Μαθη ματικά για την Β ' Λυκείου
Σύμφωνα με το γνωστό θεώρημα του Euler, (Άσκηση 4 αποδεικτική της σελίδας 1 98 του σχο λικού εγχειριδίου) για το τετράπλευρο ΑΒΓΔ έ χουμε:
ΑΒ +Br +ΓΔ +ΑΔ = Ar +ΒΔ +4ΣΤ Η ισότητα (1) , βάσει των (2), (3), (4) γράφεται:
(4) . ισοτήτων
z D, + D 2 + D 3 + D 4 = 2 · Ρ02 + ΚΜ + 2 · Ρ0 2 + 2 ΛΝ 2 _!_ (ΑΓ 2 + ΒΔ2 + 4ΣΤ 2 ) = + 2 4 = 4Pd + _!. (ΚΜ2 + ΝΝ ) - _!. (ΑΓ2 + Μ ) - ΣΓ2 2 4 1 Σf z = 4Pd +-1 (ΚΜ2 + ΝΛ2 ) -- (4 · ΚΛ:z + 4 · ΜΛ2 ) -4· (-) 2 4 2 ΣΓ 2 _!. = 4[Pd - ( ) ] + (ΚΜ2 + NN )-(I<N + ΜΝ ) 2 2 (5) = 4D + _!. [ΚΜ2 + ΝΝ -2(1<Ν + ΜΝ )] 2 Αρκεί να δειχθεί ότι: --
_
_!_ [ ΚΜ 2 + ΝΛ2 - 2(ΚΛ2 + ΜΛ2 ) ] Ο ή 2 ΚΜ 2 + ΝΛ2 - 2(ΚΛ2 + ΜΛ2 ) Ο ή ΚΜ2 + ΝΝ - κΝ - ΜΝ - ΝΜ2 -ΚΝ2 0 ή ΚΛ2 + ΜΛ2 + ΝΜ 2 + ΚΝ 2 ΚΜ 2 + ΝΛ2 =
=
,
,
=
,
=
σχέση που ισχύει (ως γνωστόν) σε κάθε παραλλη λόγραμμο . ΑΣ Κ Η 1: Η ( 6 ) Τρίγωνο ΑΒΓ είναι εγγεγραμμένο σ ε κύκλο. Η διάμεσος ΑΜ = μα τέμνει τον κύκλο στο ση-
Α πό δ ε ιξη : α ) Από το
θεώρημα των τεμνομένων χορδών, για τις χορδές ΑΡ,ΒΓ έχουμε: α α ΜΑ · Μ Ρ = ΜΒ · ΜΓ ::::::> μ · ΜΡ = - · - ::::::> 2 2 z α ::::::> ΜΡ = (1) 4μ α 1 α2 GP = GM + M P = - μ α + - = 3 4μ α β) (2) a
γ) Επειδή τα τρίγωνα Λ
BGP, AGN
έχουν τις κατά
κορυφήν γωνίες G ίσες, από το θεώρημα των εμβαδών στα τρίγωνα αυτά έχουμε: 2 . 4μ � + 3α 2 μ (BGP ) GB · GP 3 Ρ 1 2μα = = 2 .1 (AGN) GA · GN ) μα J μβ 2β z + 2γ z - α z + 3α z 2(β z + γ z + α z ) 2β z + 2γ z - α z 2β 2 + 2γ z - α z .__ ____;_:... __, ___
__;___.;_
ΑΣ Κ Η Σ Η ( 7 ) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Έστω ΑΜ, ΒΝ, ΓΡ οι διάμεσοι του τριγώνου. Θεωρούμε το παραλλη λόγραμμο ΒΜΤΝ. Να αποδείξετε ότι: α) η Α Τ είναι παράλληλη και ίση προς την τρί τη διάμεσο ΓΡ του τριγώνου ΑΒΓ. β)
(ΑΜτ) = �(ΑΒΓ ) . 4
Α
Ρ :Εστω ΒΝ = μ Ρ η διάμεσος που αντιστοι χεί στην πλευρά ΑΓ του τριγωνου και G το κέ ντρο βάρους του τριγώνου ΑΒΓ. Ν α δειχθεί ότι: μείο
2
α)
ΜΡ = �
β)
GP =
2 3 2 4 μα + α
1 2μα (GBP) 2(β + γ + α 2 ) γ) = (GAN) 2β 2 + 2γ 2 - α 2 Α___. 4μ a
2
__
2
τ Β Γ
Α πό δ ειξη α) Αφού το
τετράπλευρο ΒΜΤΝ είναι παραλ ληλόγραμμο, θα έχουμε:
ΝΤ 11 = ΒΜ ΒΓ ΡΝ . Δηλ. το Ν είναι κοινό 2 =
μέσο των ΡΤ και ΑΓ, οπότε το τετράπλευρο ΑΤΓΡ είναι παραλληλόγραμμο με αποτέλεσμα να ισχύει ΑΤ 11 ΓΡ , που είναι το ζητούμενο . β) Επειδή η ΤΝ είναι διάμεσος του τριγώνου Α ΤΓ ισχύει =
Ρ
=
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 66 τ.2/42