Μ α θηματικά για την Γ Λυκείου
π β+π -< <χ<π 2 2 --
Οπότε θα είναι
,
(;)
β π ' εχουμε g ( x) < g
lim g (x)
.r ->π
:-ς
g
( β +2 π ) < _!._π
( 8).
Από τις (3) και ( 8) καταλήγουμε ότι _!._ < _!._ , που π π είναι άτοπο, επίσης. Συνεπώς, δείξαμε ότι για κάθε χ ε (Ο , π ) είναι χ g ( x) = ημ > _!._ (9). χ ( π - χ) π Από τις ( 1 ) και (9) προκύπτει ότι 1 4 χ - < ημ -< -2 π χ ( π - χ) π •
2.
Μια συνάρτηση /ορίζεται στο διάστημα {α, β) και είναι τρείς φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα αυτό. Για την fιιη;ύουν (ί) J<3> (x) > Ο για κάθε χ στο διάστημα {α, β]. (ii) Η f παρουσιάζει στο διάστημα (α,β) ακριβώς 2 τοπικά ακρότατα στις θέσεις γ,δ με α < y < δ < β . Να δείξετε ότι (α) Η f έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής (ξ, /(ξ)) με y < ξ < δ . (β) Η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στη θέση γ και τοπικό ελάχιστο στη θέση δ. (γ) Η f στρέφει τα κοίλα άνω στο [ξ,β] και τα κοίλα κάτω στο διάστημα [α,ξ]. Cδ
>
(�) και ( α ; ) ι
� Ι<Ρ> � f( a ) ; /(ξ)
ξ Ρ :::; Ι< ξ> ι
ξ
.\ iJσn� ,
(α). Επειδή η f -σύμφωνα με το (i) - είναι παραγωγίσιμη στο {α,β} και παρουσιάζει ακρότατα -σύμφωνα με το (ii)- στις θέσεις r και δ, θα έχουμε -σύμφωνα με το θεώρημα του FeπnatΓC r) = Γ ( δ) = Ο ( 1 ). Επειδή η f ' είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο [γ,δ] και, όπως είδαμε στην ( 1 ), ισχύει Γ (r) = Γ ( δ ) , σύμφωνα με το θεώρημα Rolle, θα υπάρχει ξ στο (y, δ) με f " ( ξ) = Ο . Επειδή f < 3 > (x) > Ο στο [α,β} η συνάρτηση f" είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό · και επειδή μηδενίζεται στο ξ θα είναι f "(x) < Ο (2) στο [α, ξ) και f "(x) > Ο ( 3) στο (ξ, β], οπότε έχει ένα ακριβώς σημείο καμπής στη θέση ξ. (β). Από το (ii) και το (α) προκύπτει ότι α < r < ξ < δ < β και ότι η / " είναι γνησίως
αύξουσα στο διάστημα {α,β}. Θα είναι, συνεπώς, f" ( α ) < f" (y) < f" ( ξ ) = Ο < f" ( δ) < f" ( β ) (4) Οπότε θα είναι: f" ( α ) < f" ( y) < Ο (5), και Ο < f" ( δ) < f" ( β ) (6). Από τις ( 5) και ( 6) προκύπτει αντιστοίχως ότι η f ' είναι γνησίως φθίνουσα στο [α, ξ] και γνησίως αύξουσα στο [ξ, β] . Και επειδή από το ( 1 ) έχουμε ότι στα γ και δ η τιμή της f ' είναι Ο , θα πρέπει να είναι: Γ ( α ) > ΓC r) = Ο > Γ ( ξ ) (7), οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο [α, γ] και γνησίως φθίνουσα στο [γ, ξ] . Δηλαδή στο σημείο γ έχουμε αλλαγή της μονοτονίας -από αύξουσα σε φθίνουσα- και συνεπώς στη θέση αυτή η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο. Με παρόμοιο τρόπο θα δείξουμε ότι στη θέση δ η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο . Είναι Γ ( ξ ) < Γ ( δ) = ο < Γ ( β) ( 8), οπότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [ξ,δ] και γνησίως αύξουσα στο [δ,β]. Από όσα προηγήθηκαν προκύπτει ότι στο σημείο δ έχουμε αλλαγή της μονοτονίας -από φθίνουσα σε αύξουσα - και συνεπώς στη θέση αυτή η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.
3. Δίνεται ότι η συνάρτηση f είναι ορισμένη και δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [α,β] και ότι στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ. (α) Να δείξετε ότι το σύνολο τιμών της /' είναι το διάστημα [J'( a ), J'(β)] . (β) Αν λ πραγματικός αριθμός στο Δ ', να δείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα σημείο Α της γραφικής παράστασης Cι της f στο οποίο η εφαπτομένη να είναι παράλληλη προς την y = λ χ + μ . (γ) Αν η ευθεία y λχ + μ δεν τέμνει την C1 και ισχύει f (χ) > λχ + μ για κάθε χ στο Δ, να δείξετε ότι το σημείο Α του προηγούμενου ερωτήματος είναι το σημείο της Cι το οποίο έχει από την ευθεία y λ χ + μ τη μικρότερη απόσταση. (δ) Να βρεθεί το σημείο της έλλειψης 4χ 2 + y 2 1 το οποίο απέχει τη μικρότερη απόσταση από την ευθεία y χ 3 .
Δ=
Δ'=
=
,
=
=
=
,\ι'Jση,
-
(α). Επειδή η f στρέφει τα κοίλα άνω, η Γ είναι γνησίως αύξουσα στο Δ = [ α , β ] , οπότε το σύνολο τιμών της Γ είναι το
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' τ.3/74