Μαθηματικοί Διαγωνισμοί - Μαθηματικές Ολυμπιάδες
2.
Έστω n ένας θετικός ακέραιος αριθμός. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση x+ y +!+!=3n χ
Υ
δεν έχει λύσεις στο σύνολο των θετικών ρη τών αριθμών. Λύση
Έστω χ = κ/λ και y = μ/ρ με (κ,λ) = 1 και (μ,ρ) = 1 μία πιθανή λύση. Τότε θα έχουμε: ρμ(κ2 + λ2) + λκ(ρ2 + μ2) = 3ηρμλκ . (1) Άρα ρμlλκ(ρ2 +μ2) και επειδή (ρμ, μ2 + ρ2) = 1 (αφού (μ,ρ) = 1), έχουμε ρμlλκ. Παρόμοια έχουμε λκlρμ, οπότε λκ = ρμ. Από την ( 1 ) συμπεραίνουμε ότι 3 l κ2 + λ2 + ρ2 + μ2 , και επειδή (κ,λ) = 1, (μ,ρ) = 1 και λκ = ρμ, μεταξύ των κ, λ, μ, ρ δύο ή κανένας θα διαιρείται δια του 3, οπότε κ2 + λ2 + ρ2 + μ2 1 ή 2 (mod 3). Άτοπο. Ξ
3.
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Λ, Μ, Ν των πλευρών ΒΓ, ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα, έτσι ώστε η ΑΛ να είναι διχοτόμος της γω νίας Α και οι ΒΝ και ΓΜ να διέρχονται από ένα κοινό σημείο Σ της ΑΛ. Αν η γωνία ΑΛΒ ισούται με τη γωνία ΑΝΜ, να αποδει χθεί ότι η γωνία ΜΝΑ είναι ορθή.
ΡΚ ΡΒ (1) Άρα ΑΛ ΑΒ Επίσης από τα όμοια τρίγωνα ΝΡΓ και ΛΑΓ έχου με ΡΓ . ΜΒ . ΝΑ = 1 (2). ΡΒ ΜΑ ΝΓ Από το Θεώρημα των Διχοτόμων έχουμε ΒΛ ΑΒ (3) ΛΓ ΑΓ Από (1), (2), (3) έχουμε ΡΝ ΡΓ•ΒΛ ΡΓ•ΒΛ (4) ΡΚ ΡΒ•ΑΓ ΡΒ•ΛΓ Αρκεί λοιπόν τα σημεία Ρ, Β, Λ, Γ να αποτελούν αρμονική τετράδα. Αυτό ισχύει γιατί Α) Στο τρίγωνο ΑΒΓ από το Θεώρημα του Ceνa ΒΛ ΝΓ ΑΜ 1 δηλ. , -•-•ισχυει ΛΓ ΝΑ ΜΒ ΒΛ ΝΑ ΜΒ (5) . ΛΓ ΝΓ ΑΜ Β) Στο τρίγωνο ΑΒΓ με διατρέχουσα την ΡΜΝ (Θεώρημα του Μενελάου) έχουμε ΡΓ ΝΑ ΜΒ = 1 και αρα ΡΓ ΜΑ •ΝΓ (6) , -•-•ΡΒ ΝΓ ΜΑ ΡΒ ΝΑ ΜΒ Από τις (4), (5) και (6) έχουμε ΡΝ = ΡΚ. _
=
- = -·--
=
2"ς τρόπος
Το τετράπλευρο ΑΜΣΝ είναι πλήρες, αφού οι πλευρές του ΑΜ και ΝΣ τέμνονται στο Β και οι πλευρές του ΑΝ και ΜΣ στο Γ. Από γνωστό θε ώρημα η τομή Ρ της ΝΜ με την ΒΓ είναι σημείο αρμονικό συζυγές του Λ ως προς τα Β, Γ με Λ το ίχνος της εσωτερικής διχοτόμου ΑΛ. Άρα η ΑΡ είναι η εξωτερική διχοτόμος του τριγώνου ΑΒΓ. Επομένως Ρλλ 90 οπότε από το εγγράψιμο τετράπλευρο ΑΡΛΜ ( ΑΝΜ ΑΑΒ ) έχουμε: ΡΝΛ ΡΑΑ 90
Λύση
1 '' ς τρ ό πο ς
Θα δείξουμε ότι η ΡΛ είναι διάμετρος του κύκλου που περιγράφεται στο τετράπλευρο ΛΝΑΡ ( <rANP <rΑΛΡ ). Έστω Κ το σημείο τομής της ΑΒ με τον κύκλο. Επειδή <rΚΡΛ <rΚΑΛ και <rΛRN <rΛΑΝ , έχουμε <rΚΡΛ <rΛΡΝ και επομένως αρκείνα δείξουμε ότι ΡΝ = ΡΚ. Τα τρίγωνα ΡΒΚ και ΑΒΛ είναι όμοια. =
=
=
°
=
=
Α
�Ν
= ---
=
=
°
=
4.
=
Να εξετάσετε αν υπάρχει συνάρτηση f : R� τέτοια ώστε να ικανοποιεί τις συνθήκες 1 ) f(x+ +z) � 3(xy +yz + zx) για όλους y τους πραγματικούς αριθμούς χ, y, z και 2) υπάρχει φυσικός αριθμός ν και συνάρ τηση g τέτοια ώστε
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' λθ ' τ.3/15