------ Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής
------
Συμπεραίνουμε τώρα εύκολα ότι η ισοδυναμία τασιακό τύπο, που ακολουθεί, με την άρ νησή του [δηλαδή, αν p(x,y, ... ) είναι ο (ι) ισχύει, προτασιακός τύπος, που ακολουθεί, τον β) [3 χ, ρ( χ ) αληθής J � [ (3 χ, ρ( χ )) ψευδής ] aντικαθιστούμε με τον: p(x,y, ) ]. � [για οποιοδήποτε ξ Ε Ω , ρ( ξ) ψευδής] Παραδείγματα. � [για οποιοδήποτε ξ Ε Ω , ρ( ξ) αληθής] 1) Η άρνηση της πρότασης: � [V' χ, ρ( χ ) , αληθής J. V' x Ε N,3 y Ε Ζ, χ + y = 5 (αληθής) είναι: 3 χ Ε Ν,V' y Ε Ζ, χ + y :;t: 5 (ψευδής). Συμπεραίνουμε τώρα εύκολα ότι η ισοδυναμία 2) Η άρνηση της πρότασης: (2) ισχύει. V' α Ε IR,3 κ Ε Ζ, κ � α< κ+ 1 (αληθής) είναι: Παραδείγματα. 3 α Ε IR,V' κ ε Ζ, ( κ > α ή α 2: κ + ι ) (ψευδής). 1 ) όχι (V' x Ε IR, x 2 2: ο ) � (3 χ Ε IR, x 2 < ο ) 3) Ο γενικός ορισμός της περιοδικής συνάρτησης είναι ο εξής: 2) όχι (3 χ Ε Ζ, 2χ + 5 = 0 ) � (V' x Ε Ζ , 2χ + 5 :;t: Ο) . Ορισμός Μια συνάρτηση 3) όχι [V' x Ε IR, ( χ 2 2: ι ή l x l < ι ) J � f:A�JR (A:;t:Θ,AςJR ) ονομάζε•••
[3 χ ε !R, όχι ( χ 2 ι ή lx l < ι )J � [3 χ ε !R, ( χ 2 < ι και ι χι;:::ι)] . 4) όχι [3 χ IR, ( χ < ο και χ 2 = ι ) J � [V' x ΙR,όχι ( χ < Ο και χ 2 = 1 )J � [V' χ IR, ( χ ο ή χ 2 :;t: 1 ) J 5) όχι (V' x EIR, x >ι� χ 2 > ι ) � [3 χ IR, όχι ( χ > l� χ 2 > l )J � [3 χ IR, { χ > 1 και χ 2 � 1 )J . 2:
ται περιοδική αν, και μόνο αν, υ πάρχει
{
(
()
Ο αριθμός Τ ονομάζεται, τότε, μία
ε
2:
τέτοιος, ώστε για
κάθε χ Ε Α να ισχύουν : χ+ Τ) ε Α και f x+ Τ) =f x .
Ε
Ε
Τ ε IR *
περίοδος της f.
Τώρα θέλουμε να μάθουμε πότε μία συνάρτηση δεν είναι περιοδική. Η απάντηση δεν πρέπει να πε ριέχει αρνήσεις, γιατί τότε δε σχηματίζουμε την άρ Ε νηση και στην ουσία δεν απαντάμε στο ερώτημα. Λοιπόν, για να απαντήσουμε στο ερώτημα Ε πρώτα θα πρέπει να γράψουμε τον παραπάνω ορι σμό στη συμβολική του μορφή, δηλαδή: 2.11. ΑΡΝΗΣΕΙΣ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ ΜΕ f : A � IR ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΟΥΣ ΠΟΣΟΔΕΙΚΤΕΣ. � περιοδική Με βάση τις ισοδυναμίες που είδαμε στην [ 3Τ ε!R* ,V' x ε Α,( χ + Τ) ε Α και f{ χ + Τ) =f ( χ )J. προηγούμενη παράγραφο, έχουμε π.χ.: Έχουμε λοιπόν: V' x,3 y, ρ(x, y ) � V' x, [3 y, ρ(x, y ) ] ( f : Α� IR δεν είναι περιοδική) � ο
V' x,3 y, ρ(x, y ) είναι η πρόταση: 3 χ,V' y, ρ(x, y ) .
Χ-Η0
Γενικότερα:
Για να σχη ματίσουμε την άρνηση μιας ποσοδεικτικής πρότασης, aντικαθιστούμε
V'
με το
3 , το 3
με το
]
� V'τEIR*,3 xEA, (x + T)�A ή f (x + T):;t:f (x) . 4) Έστω μία συνάρτηση f : Α� IR ορισμένη κο ντά στο χ0 Ε IR . Θέλουμε να μάθουμε πότε lim f ( χ ) :;t:.e , όπου .e Ε IR . Για να απαντήσουμε
Δηλαδή, η άρνηση της πρότασης:
το
)
[
� 3 x, [3 y, ρ(x, y ) ] � 3 χ,V' y, ρ(x, y ) .
•
(
V'
στο ερώτημα πρώτα θα πρέπει να γράψουμε συμ βολικά τι σημαίνει lim f ( χ ) =.e . χ�χ. Έχουμε:
και τον προΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' λθ ' τ.3/10
lim f (x) =.e �
Χ�Χο