Μαθηματικά για την Γ Λυκείου
ημ 2 χ s -f(x) s x 2 χ χ 2 η μ χ = lim . ημχ = Και επειδή: χlim ημχ χ �ο �ο χ χ 2 και lim χ = Ο, έπεται ότι: 1· χ �Ο f(x) lim Ομοια βρίσκουμε: χlimο- f(x) χ � ο· χ � χ Άρα: Lz
συντελεστές (α1α 2 :ι:. Ο) και πραγματικές ρίζες, έχουν μία κοινή ρίζα χ0• Ονομάζουμε Δ1 και Δ2 τις διακρίνουσες των τριωνύμων αυτών αντίστοιχα και υποθέτουμε ότι Δ2>0. α χz β χ γ f"Δ: . Να δείξετε ότι: .li...m. , 2 + , + , . α z χ + β z χ + γ z νΔ:
--
=
=
1
Ο,
Ι
Ο= Ο
=Ο. = Ο.
Λύ ση
Ονομάζουμε χ την άλλη ρίζα του πρώτου τριωνύ μου και χ2 την άλλη ρίζα του δευτέρου. Επειδή Δz > έχουμε χ 0 :ι:. χ 2 . Έτσι, ονομάζοντας L το υπόψη όριο, έχουμε: L = limΧ α ι (χ - χ σ )(χ - χ ι ) = Χlim α ι (χ - χ ι ) = χ-+ ο α 2 (χ - χ 0 )(χ - χ 2 ) ->χο α 2 (χ - χ 2 ) _ J α ι (χ ο - Χ ι ) J · l α2 Cxo - χ 2 )1
)
(
7.
=Ο.
Για μια συνάρτηση f : lR � JR ισχύει: f(χ)ημχ ::;; ημ5χ, για κάθε χ ε JR . Επίσης, ισχύει: �� f(x) .e. Ε 1R . Να βρείτε =
τον αριθμό
Για κάθε χ Ε
.f. .
Λύ ση
(Ο,�) , έχουμε ημχ > Ο και άρα: f(x) ::;; ημ5χ . ημχ
(�
(1)
)
Για κάθε χ Ε - , 0 , έχουμε ημχ f(x) 2 ημ5χ ημχ
< Ο και άρα: (2)
.
5 ημ5χ ημ5χ 5χ = 5 . 'Εχουμε: lim = lim χ � ο ημχ χ � ο ημχ 6. Μια συνάρτηση f είναι ορισμένη στο διάχ στημα , και για κάθε χ Ε - , ημ5χ 'Ετσι έχουμε: χlim = 5 και lim ημ5χ = 5 . � ο · ημχ ημχ ισχύουν: Επίσης, έχουμε: lim f(x) = .e. και lim f(x) = ι ημ 2 Χ S f(X) S Χ 2 • (1) χ-+0'+Χ ο.""""+- Ο � χ Από την ( 1) έπεται ότι: Ν α βρείτε τα όρια: ημ5χ f ::;; 5 (3) f(x) - f(O) lim f(x) ::;; lim => I . L , lim f(x) . 2. L 2 l im . � · · χ�Ο χ�Ο χ � ο ημχ χ ο Χ
( ; ;)
( ; ;)
-
=
=
Από τη (2) έπεται ότι:
Λύση
Ι.
2.
Έχουμε: Ιίm ημ 2 χ = ημ 2 0 = 0 και lim x2 = 0 χ �ο χ ο �
Έτσι, από το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών, έ χουμε: lim f(x) = O. χ �ο f(O) ::;; Από την (1 ) με χ = βρίσκουμε: και άρα f(O) = Έτσι, έχουμε: f(x) . L 2 = lim χ �ο χ
Ο.
Για κάθε χ Ε
Ο,
Ο::;;
(Ο,�) , από τις ( 1 ) έχουμε:
Ο
ημ5χ f 2 5 (4) lim f(x) 2 χlim => � ο ημχ
χ � ο-
Από τις (3) και (4) έπεται ότι: f = 5 .
8. Μια συνάρτηση f είναι ορισμένη κοντά στο ι· f(χ) + ημχ - 1 ιm 2 (1) ο και ισχυει: χ�Ο Χ f(x) - 1 . , , L lιm Να β ρειτε το οριο � ν f(χ) - συνχ
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' λθ ' τ.2/6 1
·
=
=
.
.