J}
�. ::=:!''
!Γ
Jl
Η Σ ΤΗΛΗ ΤΟ Υ ΜΑ ΘΗΤΗ
--
1 ---
��i . �: . ιι�\__ � ,•.
J
\ ι'
)r
-
Επιμέλεια: Αντώνης Κυριακόπουλος - Γιάννης Στρατής •
Λ Υ ΣΕ Ι Σ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 9.
Οι αριθμοί α και β ανήκουν στο διάστημα
[1, 4]. Να δείξετε ότι:
τριάδης Θ., Σ ο ύ μπλης Γ., Λ εονάρδος Σ ., Μι στριώτης Α., Άντζου Α., Γεωργακόπουλος
χ,y, ω e JR , ισχύει: �4χ2 + y2 - 4xy � ι 2χ - ω1 + 1Υ - ω ι . (1)
10. Να δείξετε ότι, για κάθε
(Επροτάθη από το μαθητή Α ' τάξης Γιάννη Π απαβασιλείου, Αθήνα).
(Επροτάθη από το μαθητή Β · τάξης Αθα
Λύση (από τον ίδιο μαθ ητή).
{
Δημη
Αλέξ.
2 � α + J!. � 17 _ β α 4
Έχουμε: 1�α�4 � 1�β�4
Ορθές λύσεις έστειλαν και οι μαθητές:
νά σ ιο Ιωάννου, Ιστιαία).
{
1� α�4 � -1 � -α � 4 . -41 � -1 � 1 4 β . β
Λύση (από την μαθήτρια Α ' τάξης Αθηνά Ά ντζου, Αθήνα).
Για να δείξουμε την (1), αρκεί να δείξουμε ότι: 2 J( 2 x - y) � l2 x - ω l + IY - ωΙ , αρκεί:
Θέτουμε � = χ , οπότε .!.. � χ � 4 και Q. _!_ 4 α χ β ( 2) l 2 x - Y l � l 2x - ω l + IY - ω Ι . 'Ετσι, έχουμε να δείξουμε ότι: 2 :::; χ + _!_ � 17 , δη χ 4 Έχουμε: 1 17 1 ' λαδή ότι: 2 � χ + - και χ + - � - . Π ρος τουτο, l2 x - ω l + IY - ω l l 2x - ω l + Ι ω - Y l � χ χ 4 I{ 2χ - ω) + (ω - y )I = l 2 x - Y l � { 2 ) . επειδή χ > Ο, αρκεί να δείξουμε ότι: ( 2) • Ορθές λύσεις έστειλαν και οι μαθητές: Καρ ύ δη ς Κ., Σ ο ύ μπλης Γ., Μιστριώτη ς Α., Λ εο • Για να δείξουμε την ( 1 ), αρκεί να δείξουμε ότι: 2 2 νάρδος Σ ., Δημητριάδης Θ., Παπαδη μητρίου χ + 1 - 2χ � Ο , δηλαδή (χ - 1 ) � Ο , ισχύει. Α., Π απαβασιλείου Γ., Γεωργακόπουλος Α • Για να δείξουμε τη ( 2 ), αρκεί να δείξουμε ότι: λεξ. (Αλέξανδρε: η τελευταία σχέση που γράφεις 4χ 2 - 17χ + 4 � 0 (3). ισχύει, αλλά όχι για το λόγο που γράφεις). Όπως βρίσκουμε εύκολα, οι ρίζες του τριωνύμου 1 1 . Σ' ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν: ΒΓ = 6 και 4χ 2 - 17χ + 4 είναι 4 και .!.. , οπότε: 4 2 2 ΑΒ - ΑΓ 48. 2 i) Να δείξετε ότι r > 9C)O . 4χ - 17χ + 4 = 4(χ - 4 ) χ - . =
.
=
( �)
=
Έτσι, για να δείξουμε την (3), αρκεί να δείξουμε ότι: (χ - 4 ) χ - � Ο , ισχύει, γιατί � � χ � 4 .
( �)
ii) Να βρείτε την προβολή της πλευράς ΑΓ στην ΒΓ. (Επροτάθη από το μαθητή Β ' τάξης Γεώρ
γιο Σ ού μπλη, Αρσάκειο Ψυχικού - Αθήνα).
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' λη ' τ.3/26