Μαθηματικά για την Α ' Λυκείου
Για το δεύτερο: Απ' το πρώτο μέρος έχουμε την ταυτότητα: [ 32 + ( -Ι) 2 J <α2 + β 2 ) = (3α - β) 2 + (3β + α) 2 ή ΙΟ(α 2 + β 2 ) 2 Ι6 . Συνεπώς: α 2 + β 2 2 Ι6 = � . (το « = » ισχ6ει μόνον 10 5 όταν: 3β + α = Ο · δηλαδή β = -2 ,α = � ). 5 5 Αν για τους θετικούς αριθμούς α, β ισχύει: 6. α + β = 3 , να αποδειχθεί ότι:
2 1)
2 1)
( + +( +β α
α
β
·
2 169 • 18
Απά ντ η ση
Η αποδεικτέα γίνεται Ι 69 α2 + -Ι + 2 + β + -Ι + 2 2 -
(
α2 (α2 + β z ) Ι +
2
β2
--f..τ ) 2 97 . 8 αβ
Ι8
και παρατηρούμε ότι: «Οι κ, λ, είναι προφανώς θε τικοί αριθμοί)). Με πρόσθεση κατά μέλη των παραπάνω σχέσεων παίρνουμε 4(α + β + γ) - (α + β + γ) = κ + λ + μ ή α+β+γ = κ+λ+μ ( 2) 3 Κι επειδή: 2( α + β + γ) - 3α = κ συμπεραίνουμε ότι: 3α = 3. (κ + λ + μ) - κ ή α = 2(λ + μ) - κ . 3 9 Παρόμοια εργαζόμαστε και βρίσκουμε: β = 2(μ + κ) - λ , γ = 2(κ + λ) - μ . 9 9 Έτσι το πρώτο μέλος της αποδεικτέας γίνεται: 2(λ-+ μ)-'---'- + 2(μ + κ) - λ + 2(κ + λ) - μ = ---'9λ 9κ 9μ
η,
[( Η ;)] - J · i = 3. [( � + � ) + ( μ + �) + ( μ + �)] - .!. ; 3. . 6 _ .!. 9 κ λ κ μ λ μ 3 9 3 �
Ι Κι επειδή 2(α 2 + β 2 ) 2 (α + β) 2 , συμπεραίνουμε ότι: α2 + β 2 2 2 . Και συνεπώς για να αποδείξουμε 2 την (Ι) είναι αρκετό να αποδείξουμε ότι: 97 Ι Ι8 = 97 � -Ι- >- Ι6 � Ι + -2 -2 >- Ji αβ 8Ι α2 β 2 8Ι
� � + � � + �Η: +
=Ι (το « = )) ισχ6ει μόνον όταν: κ = λ = μ δηλαδή ό ταν α = β = γ. Με άλλα λόγια όταν το τρίγωνο εί ναι ισόπλευρο). Αν p,q > O , τότε Ε. + 3. 2 2 . (το « = )) ισχ6ει q Ρ μόνον όταν: p = q). � 9 2 4αβ �(α + β) 2 2 4αβ , που είναι αληθής. (το « » ισχ6ει μόνον όταν: α = β = � ). 2 111. Α νισώσεις Έτσι έχουμε: (α 2 + β 2 ) Ι + --f..τ 2 2 · 97 = 97 . 3χ - 5 - -χ > 2 + 1 , Να επιλυθει, η ανισωση: -1. α β 2 8Ι Ι8 4 3 χ 7. Αν α, β, γ τα μέτρα των πλευρών τριγώνου Α πάντη ση ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι: Η ανίσωση μετά την απαλοιφή των παρονομαστών α β γ 2 1 . γίνεται: 3(3x - 5) - 4x > I2(2x + l) ή Ι 9 χ < -27 ή + + 2(β + γ) - α 2(γ + α) - β 2(α + β) - γ 27 . χ < -Ι9 ( την έχει προτείνει ο συνάδελφος Γιώργος Α πο Τελικά το σύνολο λύσεων της ανίσωσης είναι το στολόπουλος απ' το Μεσολογγι). ανοικτό δι�στημα S = Απάντη ση Θέτουμε: 4χ + 3 :::; 2 • , 2(β+γ) - α = κ,2(γ+α) - β = λ, 2(α+β) - γ = μ (Ι) 2. Να επιλυθει, η ανισωση: χ-1 *
υποθ
=
( )
•
(
-οο, -
�;) .
--
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λη ' τ.l/17