Μαθηματικά για την Α ' Λυκείου
Όμοια στην περίπτωση α < Ο ισχύει: φ
(;�) = maχ {φ(χ) / χ ε �} .
3.
Αν α < β < Ύ και κ, λ, μ θετικοί αριθμοί, να ' , α < κα + λβ + μγ < Ύ αποδ ειχθει, οτι: κ+λ+μ •
Απάντηση 4. Να αποδειχθεί ότι: « 2( α 2 + β 2 ) � (α + β) 2 , Ύια οποιουσδήποτε πραΎματικούς αριθμούς Η αποδεικτέα είναι ισοδύναμη με τις ανισότητες: �+�+�<�+�+�<η+�+�� α και β». �
;...>._
Απάντηση
Η αποδεικτέα γίνεται: 2α2 + 2β 2 - α2 - β 2 - 2αβ � Ο ή (α - β) 2 � Ο «
»
και αληθεύει πάντοτε (το = ισχύει μόνον όταν: α = β). 5.
και εwαι προφανώς
αληθείς. 4.
Αν Ύια τους θετικούς αριθμούς α, β ισχύεt: ' 5α + 4β = 20 , να αποδειχθεί ότι:
( ) ( j)
(i) αβ ::; 5 και (ίί) : 1 + � 1 + � 9. Να αποδειχθεί ότι: « (α + β + Ύ) 2 � 3(αβ + βγ + Ύα) , Απάντη ση -yια οποιουσδήποτε πραΎματικούς αριθμούς Για το (i): Θεωρούμε την ταυτότητα: (5α + 4β) 2 = (5α - 4β) 2 + 8αβ . α, β, Ύ·
Οπότε παίρνουμε: (20) 2 � 80αβ .
Απάντηση
Η αποδεικτέα γίνεται: α 2 + β 2 + γ 2 + 2αβ + 2βγ + 2γα � 3(αβ + βγ + γα) ή α z + β z + γ z - αβ - βγ - γα � Ο ή 2α2 + 2β 2 + 2γ 2 - 2αβ - 2βγ - 2γα � Ο ή (α - β) 2 + (β - γ) 2 + (γ - α) 2 � Ο και αληθεύει πάντοτε (το ισχύει μόνον όταν: α = β = γ). « = »
11.
Ανισότητες υπό περιορισμό.
1.
Αν α+β > Ο, να αποδειχθεί ότι: α 3 + β 3 � β + αβ z .
(το
«
4 = )) ισχύει μόνον όταν: α = -β δηλαδή ' β
β = � και α = 2). Συνεπώς 5 � αβ . 2 Για το (ii): η αποδεικτέα γίνεται: 4 5 20 40 1 + - + - + - � 9 η, - � 8 η' 5 � α β ' α β αβ αβ που έχουμε ήδη αποδείξει. 5.
Απάντηση
Η αποδεικτέα γίνεται: α3 + β 3 - α 2 β - αβ 2 � Ο ή (α + β)( α - β) 2 � Ο και είναι προφανώς αληθής. (το = )) ισχύει μόνον όταν: α = β). «
2.
{λ(κ(αα -- β)γ) ++ μ(λ(βα -- γ)γ) << ΟΟ
Αν α > 2, β > 3, να αποδειχθεί ότι: 2αβ > 3α + 2β . Απάντηση
Η αποδεικτέα γίνεται: 2αβ - 3α - 2β > Ο ή
α(β - 3) + β( α - 2) > Ο και είναι προφανώς αληθής.
Αφού αποδειχθεί η ταυτότητα: (α z + β z )(β z + δ z ) = (αΎ + βδ) z + (αδ - βγ )� ' να αποδειχθεί ότι: «αν 3α - β = 4 τότε: α z + β z � -8 . 5 -2 ) , μονον , οταν: , α = -6 , β = (το « » ισχυει 5 5 =
•
·.
Α πάντη ση
Για το πρώτο: το πρώτο μέλος γίνεται: αzγz + β z + γz + αzδ z + β zδ z . Το δεύτερο μέλος γίνεται: α 2 γ 2 + 2αβγδ + β 2 δ 2 + α2 δ 2 - 2αδβγ + β 2 γ 2 και είναι προφανώς ίσα.
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λη ' τ.l/16