Το βήμα του Ευκλείδη
r Διερεύνηση ενό ς Να βρεθεί πόσα τρίγωνα υπάρχουν της μορφής του διπλανού σχήματος, αν είναι γνωστό ότι: η Ε Ν * και Ο < χ ::::;; 1 . Α
προβλ ήματος Γιάννης Δ. Στρατής
υα = .J36x(x + 3χ) = 1 2χ = η = (ΑΡ) · δηλαδή η ΑΡ ειναι κάθετη στη ΒΓ. Κι επειδή Ο < χ :::; 1 , συμπεραίνουμε ότι: 0 < η ::; 12 · δηλαδή η ε S με S {1, 2 , . . . 1 2 } . Σε κάθε η του S αντιστοιχεί ένας ακριβώς χ = .Ε_ . Οπότε κατασκευάζεται τρίγωνο ΑΒΓ με 12 ' α = 7 η, β = 5 η, γ = 13 η (4) πλευρες: 4 6 12 ' 9 [ 1 5 αφου: α - γ = ϊ2 η < 4 η = β < 4 η = α + γ ] . Α ·
β = n+3χ r �------�--� 8
α = n + 2χ
Σχήμα 1
Το πρόβλημα είχε προταθεί απ ' τον Α καδημα ϊκό κύριο Νικόλαο Αρτεμιάδη στο τεύχος 48 στη στήλη « 0 Ευκλε ίδης προτε ίνε ι . . . Ευκλείδη και Δ ιόφαντο». Στο σχήμ α ωστόσο που συνόδευε την εκφώνηση του προβλήματος, παραλείφθηκε η ένδειξη ότι η ενδιάμεση ευθεία ΑΡ είναι κάθετη στη ΒΓ.
Σχήμα 3 15
12
Η διαπραγμάτευση που ακολουθεί αντι μετωπίζει
το πρόβλημα σε κάθε περίπτωση όπου το ΑΡ είναι
lf----�+-----J.P l l
βέβαια συγκεκρ ιμένο όχι όμως αναγκαστικά κάθετο στη ΒΓ.
<------1-4
--='"'...,_________� Βιz
__
( �) ( �) Και επειδή: Ε = � αυα = ( χ + � η ) υα
Εύκολα
'Εχουμε: Ε = χ + η 3η χ + η .
εσωτερικό της ΒΓ.
α = η +2χ
Σχήμα 2
( �)
,---,-----,-
συμπεραίνουμε ότι: υα = 3η χ + η
(1)
Πρέπει: υα :::; (ΑΡ) = η ή ισοδύναμα:
(
)
3η χ + .!.. η -< η {::} 12χ -< η 4 Έστω η = 2χ τότε:
διαπιστώνουμε
' 5 . Άρα το ιχνος συνΒ = }3
Α
1.
13
(2)
(
Δ
συνΓ = -3 ' 5 ' ' του υψους υα ειναι ότι:
)
Κι επειδή: υα = 3η .Ε_ + .!.. η δηλαδή υα. = η, 12 4 συμπεραίνουμε ότι υπάρχουν 12 ακριβώς τρίγωνα, όμοια μεταξύ τους, που ανταποκρίνονται στο σχή μα του προβλήματος. 2. Έστω η > 1 2χ {::} (ΑΡ) > υα . Ωστόσο ισχύει: Ο < χ ::Ξ; 1 . Κι επομένως συ μπεραίνουμε ότι: «για κάθε η ε Ν με η ;::: 1 3 ισχύ ει η> 12χ · δηλαδή (ΑΡ) > υα. Κι επειδή για κάθε η Ε Ν * και χ ε (0, 1] ισχύει: IC η + 2χ) - (η + x) l < η + 3χ < (η + 2χ) + (η + χ) , συμπεραίνουμε ότι υπάρχουν άπειρα τρίγωνα, που ανταποκρίνονται στο σχήμα 1 .
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' λζ ' τ.2/13