Μαθηματικά yια την Β' Λυκείου
μών των γωνιών α+β και ά-β αν είναι γνωστοί οι Αν χ + y = 135° και εφχ = .!_ να υπολογίσετε τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών α,β. 2 Για οποιεσδήποτε γωνίες α,β ισχύουν : την εφy .
Λύση συν( α-β) = συνασυνβ+ημαημβ συν( α+β) =συνασυνβ - ημαημβ Ειναι: εφy = εφ ( 135 -χ ) = εφ135° -εφχ ι+ εφι35 εφχ ηιi( α-β) = ημασυνβ-συνα ημβ Όμως: εφι 35° = εφ ( ι 80° - 45° ) = -εφ45° = -1 ημ( α+β) =ημασυνβ+συναημβ π -1-_!_ Αν συνα:;t:Ο<::> α :;t:κπ+-,κΕΖ, άρα εφy=---f= -3 . 2 . ι π συνβ :;t: Ο<=> β :;t: λπ +-,λ 2 2 ΕΖ, π Άσκηση 3η συν( α-β) :;t: Ο<=> α-β. νπ+ -2 , ν Ε Ζκαι Άν εφα = ! και εφβ = ! με α, β Ε ( π, 3π ) 3 2 2 π α+β) :;t: Ο<=> α+β συν( μπ+ 2 ,μ Ε Ζτότε: 1) να βρεθεί η εφ ( α + β ) και να βρεθεί η γωνία α+β. Λύση εφ( α+β) = εφα+εφβ και -εφαεφβ ι +-ι εφα-εφβ εφα+εφβ εφ( α-β) = ι +εφαεφβ 3 2_!_ = 1 1 ) Είναι εφ( α+β) = 1-εφαεφβ = ι �_!_ .2 3 Άσκηση lη 3π και π<β<-3π 2) 'Ομως: π<α<Αν 1JD= 4,o<α< π και συνβ= - 5 π<β< 2 2 9π 5 2 2 να υπολσyιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί άρα 2π<α+β<3π οπότε α+β=2π+�= . 4 4 της γωνίας α-β. Άσκηση 4η Λύση Αν α,β e ( ο, ;} ημαημβ=χ και εφαεφβ=y Επειδή: ημ( α-β) = ημα συνβ -συνα ημβ και συν (α-β) = συνα συνβ +ημα ημβ αρκεί να υπο να βρείτε ως συναρτήσεις των χ, y το λογίσουμε το συνα και το ημβ . συν ( α + β ) . Λύση ι6 ' 9 Έχουμε : συν2α=ι-ημ2α=ι--= - , 25 25 'Εχουμε: εφα εφβ = y ημα ημβ = y ι44 π 3 . συνa συνβ Ο<α<2 αρα σι:Μl=s και ημμ=ι-υυvμ=ι- 1w = ιw' = συνασυνβ . Είναι: (α+β) =σιΜlσιJ\.β-ψαημβ ι2 . ημβ= - -. π<β<-3π2 αρα Υ ι 3-5 -ι2 χ -χ= x(1-y) ,y>O. = _!i = Τότε: ημ( α-β) = �· - � · Υ Υ 53 -513 45 -1213 6563 Άσκηση 5η και συν( α-β) =-·5 -13 +-5 · -13 =--65 . Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν ισχύει (l + εφΑ)(l + εφΒ) = 2 (1) τότε: 16 ημ(α-β) = 65 = - _!i 1) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τις γωνί εφ(α-β) = συν( ες Α και Β, 63 α -β) 65 63 2) να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι α βλυγώνιο και σφ(α-β) =--63ι6 . 3) αν εφΒ = � να βρεθεί το συν ( Α - Β ) . 4 •
0
•
•
0
• • •
•
:;t:
:;t:
•
2)
ι
•
3π
13 ,
-- )Ω
2a
ή
25
συν
�
_
Λύση
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λστ' τ.l/58
ή