Μαθητικοί Μαθηματικοί Διαγωνισμοί της Ε.Μ.Ε.
4.
Μ ΒΚ Β Ν Ε' στ ω Ν η οτ μή της ΚΑ με τη Β Γ και ΑΡ I/ ΚΑ με Ρ επί της Β Γ.Τ ότε και Θ = ΜΝ = .!.. = ΚΑ Ν Ρ Θ Α ΝΡ 2 Άρ α 2ΜΝ = Ν Ρ ο πότε
� � =
2
, ΓΝ ΓΝ (2) Ε πισης ΓΑ = = ΛΑ ΝΡ 2ΜΝ : ο υμε Από τις (1) και (2) έχ
(i)
� λ� Β��ΓΝ =
+
=1
(3)
ΒΚ Γ Λ 1 ω α= και β = .Το , τε 4α + 4β � !ι α + β) Ε' στ 4=s S' ΚΑ ΛΑ Α
Ν
Γ' Λυκείου
)
)
1 1-. - 1 1 . και έ τσι Ον = !( = !(.!.- 1 +.!. - � 2 ν+1 ν+ 2 (ν ν +2 ) 2�ν ν+2 1 1 1 α 999 > 2,998). - 2000 ( οπρο ύμε ναδο ύμε ό τι 4 1 α 999 = Άρ α Ι - 200 < 3 - 000 . Μ 1 1
1. Ε' οχ υμε
2.
)
)�
Κ�
ι ς ρπο δόο υ, τότεο λό ρ κή ε μετ ο ί ρα ιθμ ο ί α, β,γ ,δ είναι ρόο ιγ ω ρο ύμε ότι ανο ιφ υσικ ρ ατη Πα γο ς
ο υ ω=! , όπ Υ
χ,
y
Ν*
Ε
2 ΚΧ. γ=κyχ 2δ, =
με
(χ,
y)= 1
Α φο ύ όμ ω ς, α βγ, δ, ε I, ώστε χ, 'Ο μως
.{J(ν
+
1 )2 -
ψ
y
ε
καιδ = α
κ, y
ε
3. Γ ια να είναιο
Υ
Ε
Νή
α=
[�· �].
2ν + 1 }Γ4 }/ 4 + -ν4ν + ν (ν + 1 )
ρ ετικ οί φ υσ ucο� άτ ο οπ. Για
3
\
3
\/ν2 ν( + 1 )2
[\/f, -\../Ψ.J
κy3 (κ Ε Ν\ Ώ
(
2ν 1 = 1 ο, ι χ, ν+ +1
<
στε α =
κy3 ,
β=
κy2χ,
y πρέπει να είναι διαοφ -
έχ ο υμε λ π ά οτ ς I και κ = Ι,
y=
ν,
χ =ν
+ I.
α ό οτ υς XiYi να είναι1 καιο ι άλλ Κ πε ρ ιττός, ρπ έπει ένας πε ρ ιττός ρα ιθ μός π ο ι Ο. Αλ λάγ ια οτ ν i το ζ εύ ρ νει τιμές (0, 0), (0, 1), (1 , 0), (1 , 1 ) και υπάρχει μι ο πε ρ ί γο ς (χί, Yi) παί α μόν ρ ιπτώσειςγια να είναι XiYi = Ο. Έτσι για κ = 1 ,... , ν οτ πλήοθ ς ω πτω σηώ στε Xi)'i = 1 , ενώ 3 πε τ ν
δ υν ατ ο τήτ ω νγ ια να είναι τα κ ομ ώ ν νυ μα XiYi = Ο είν α ι ο , τε Π(ν= τ ) Και Α(ν) =
( ) ( ) (:} ( � } ν
ν
_
1
ν+
3 ν-1 +
ν
ν
ν
3 ν_
2
2
3 ν-3 +...
( : }κ.
·
+...
) = 22ν, ε νώ Α(ν) - Π(ν) = (3 - 1)ν = 2ν. μ ς: Α(ν) + Π(ν) = (3 +1 ν 'Ο ω 2 + 2ν 2ν(2ν +1) 22ν- 2ν 2ν(2ν - 1 ) 2ν = και Α(ν) = = Τ ότε ; Π (ν) 2 2 2 2 -
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' λ.β. τ.417