ΜαθηJιατικοί Διαγωνισμοί
Θέμα2 Λύση Ρωμανού- Διογένη Μαλικιcδση Ολοι οι τρόποι με τους οποίους μπορούν να καταληφθούν οι υπόλοιπες θέσεις από τους τρεις αθλητές είναι: Δj = 7·6·5 (οι αθλητές είναι διακεκριμένοι). Σ!ον αγώνα αυτό δεν τρέχει κανείς δί πλα του, αν οι τρεις αθλητές καταλαμβάνουν όλες τις υπόλοιπες θέσεις εκτός από την τρίτη 3η κι την 5η. Αυτό γίνεται με Δ� = 543 τρόπους. Άρα η πιθανότητα είναι: p =
Θέμα3
�:::� � =
·
α) Λύση Ρωμανού - Διογένη Μαλικιcδση. Ίδια λύση έδωσε και ο Μιλτιάδης Μαυρακάκης, Β Λύκειο Χανίων, Έπαινος. Ολες οι ζαριές με τα δύο ζάρια είναι 36. Το πλήθος αυτών που έχουν άθροισμα 7 είναι 6, αυτές είναι οι (6, I ) (5, 2), (4, 3), (3, 4), (2, 5), (1, 6). Η πιθανότητα να κερδίσει ο Α στην πρώτη ρίψη ' ' ' 5 · 6, διοτι ' πρεπει ' να κερδ'ισει ο Β ει' ναι 6 να χασει πρωτα ο Α. Αν δεν κερειναι Η πιθανοτητα
' 16.
,
1
δίσει κανείς στις δύο πρώτες ρίψεις, τότε θεωρούμε ότι το παιχνίδι αρχίζει από την αρχή. Είναι 1
� �
�
λογικό το ποσό του Β να είναι ίσο με β= ·α διότι =
.
36 Αν τώρα παίζουν το παιχνίδι ν παίκτες, οι Α1• Α2, ..., Αν και στοιχηματίζουν αντίστοιχα Ι , , , 5 ν5 ·α α3 = α1, α2, ..., αν. τοτε πρεπει να ισχυει α2 = 6 ·α,, ...,α,.= 6 ·αι 1• Δηλαδή V κ ε β)
{1,
2, ..., ν}, ισχύει: α..=
..:-I
(�)
α1
()
(56)2
Ο Α κερδίζει το παιχνίδι στην πρώτη ή τρίτη ll πέμπτη κ.λ.π. προσπάθεια. Η πιθανότητα να ;
' κερδισει ο Α ειναι:
�(65)2i·(61) =6+ (56)2(16)+...=π6 1
00
Ομοια η πιθανότητα να κερδίσει ο Β είναι 5, επομένως εφόσον τα στοιχήματα είναι ανάλογα 1 1
� 151, (�} 11 ( 6 ) ( )+(56)ν+κ-Ι(61)+ . (65)"-1(6)1 ).__1_ .1 ( ) -6
των πιθανοτήτων θα είναι
=
6
ή β=
·
Άν έχουμε ν παίκτες, η πιθανότητα να κερδίσει ο κ-στος παίκτης το παιχνίδι είναι: 5 "-' 6Ι .. = γ'κ= 1• ..., ν 5 ( Αυτό συμβαίνει διότι ο κ-στος παίκτης κερδίζει το παιχνίδι στην προσπάθεια κ ή στην ν + κ ή στην 2ν + κ κ.λ.π. και πρέπει να αποτύχουν όλοι οι προηγούμενοι για να κερδίσει αυτός. Τα α στοιχήματα είναι ανάλογα των αντίστοιχων πιθανοτήτων, τότε κ = α,
, (65)κ-1
Δηλαδη α"=
α1, κ=
1, 2, ..., ν.
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' λ.
τ.
4/9
(21"- 'r.!.l
� 61