Μαθηματικά για την Γ Λυκείου
Επιπλέον βρίσκουμε εύκολα ότι: g(Δ) = [1,e] . Στο διάστημα αυτό η συνάρτηση f είναι ορισμένη και συνεχής. Έτσι έχουμε (θεώρημα αντικατάστασης από το δεύτερο μέλος στο πρώτο): e g( O ) Ο Ο = ημ(l ln x)dx = Ι J J f(x)dx = Jf(g(x) )g'(x)dx = Jημ ( 1 - ln e1 -x )( -e1 -x ) dx = f).
g(l)
I
I
I
= Jημ(l - 1 + x)e 1 -•dx = e Je-•ημxdx. Με παραγοντική ολοκλήρωση βρίσκουμε εύκολα ότι: I
I
ημ1.. + συν1 Α � lA = 1 - ημ1 + συν1 � Α= fe-•ημχdχ = - J( e-• ) ημχdχ =... = 1 - --=..:. e e � Α = .!_2 _ ημ1 +2eσυν1 Συνεπώς: Ι = �2 _ ημ1 +2συν1 ;\ λλ�)ς 'ϊfΗΊτως ( από το πρώτο μέλος στο δεύτερο). Ονομάζουμε h την συνάρτηση που είναι στο ολοκλήρωμα. Θεωρούμε τη συνάρτηση: g(x) = ln x Ι [1,e] = Δ ,η οποία είναι παραγωγίσιμη στο Δ 1 Ο) , συνεχή στο Δ. Έχουμε: -h(x) = ημ(1 - lη χ) = χημ(1 - lη χ) = e 1"•ημ(1 - ln χ). με g'(x) = -(:ι= χ g 1 x) -1 χ Θεωρούμε τώρα τη συνάρτηση: f(x) = e•ημ(1 - χ) , η οποία είναι ορισμένη και συνεχής στο g(Δ)= [Ο,1]. Έτσι έχουμε (θεώρημα αντικατάστασης από το πρώτο μέλος στο δεύτερο): e e Ι g( e ) Ι = Jh(x)dx = Jf(g(x) )g'(x)dx = J f(x)dx = Je•ημ(l - x)dx . Ο g(l) 1 Στη συνέχεια παρατηρούμε ότι: h 1 (χ) = e•ημ(1 - χ) = -(1 - χ) e -( Ι - χ ) ημ(1 - χ) και εφαρμόζοντας για δεύτερη φορά το θεώρημα αντικατάστασης από το 1 στο 2° μέλος με g 1 (χ) = 1 - χ και f1 (χ) = -e 1 - x ημχ καταλήγουμε και πάλι στο συμπέρασμα : Ι = e 1 e-•ημχdχ κ.τ.λ. ο
l
I
ο
ο
ι
___
ο
I
I
ο
'·
·
·
3)
ΜΙΑ ΑΝΑΦΟΡΑ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ: σ (Χ )=
Π �φ ιr i) � : ι y μ ι;
�
.
Δίνεται μια συνεχής συνάρτηση
φ : [Ο,+οο)
-t
JR .
β
Jφ
(Χ, t )jt .
α
Να βρείτε το 4
σύνολο ορισμού και την παράγωγο της συνάρτησης: σ( χ) = Jφ(2 χ - t)dt .
Λί; ση . Ο
ι
Θεωρούμε έναν αριθμό χ Ε JR . Η συνάρτηση φ(2χ-t) (σύνθεση των συναντήσεων 2x-t και φ) t Ε JR ( 1 ), και ( 1) <::::> t Ε JR <::::> t Ε ( -οο, 2χ] . είναι ορισμένη και συνεχής αν και μόνο αν: 2x -t Ο t � 2χ Η συνάντηση σ είναι ορισμένη αν και μόνο αν, η συνάρτηση φ(2χ-t) είναι ορισμένη και συνεχής στο διάστημα [1 ,4]. Προς τούτο, πρέπει και αρκεί: [1,4] (-οο,2χ] (2) και (2) <::::> 4 � 2χ <::::> χ 2. Άρα, σύνολο ορισμού της σ είναι το: Α = [2, +οο). i i ) Θεωρούμε έναν αριθμό χ 2 και τη συνάρτηση g(t) = 2χ - t 1[1,4]=Δ, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο Δ με g' ( t) = -1 , συνεχή στο Δ. Η συνάρτηση φ προφανώς είναι ορισμένη και συνεχής στο g( Δ) = [ g( 4),g(1) ] = [2χ - 4,2χ - 1] . 'Ετσι έχουμε (θεώρημα αντικατάστασης από το πρώτο μέλος στο
{
{
2
ς
2
2
δεύτερο): σ(χ) = Jφ(2x - t)dt = - Jφ(2x - t)(2x - t)'dt = - Jφ(g(t))g'(t)dt = - J φ(t)dt = 4
4
4
- J φ(t)dt = J φ(t)dt = F(2x - 1) - F(2x - 4) , 2 χ -4
2 x-l
2x -l
2 χ -4
όπου F είνάι μια παράγουσα της φ στο g (Δ) . Συνεπώς :
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ' 80 τ. 4/68
g(4) g (l )