------
ΗΟΜΟ MATHEMAτiCUS
ρεις και . . . Μαθηματικά! Σας παραθέτουμε αυτή την εργασία και βγάλτε τα συμπεράσματά σας. Λόγω έλλειψης χώρου θα τη δημοσιεύσουμε σε δύο συνέχειες
I Α ' Μέρος I
Ένα όμορφο πρωινό του Σεπτεμβρίου ξεκίνησα με μερικούς φίλους για να μαζέψουμε μανιτάρια στο δάσος. Ακολουθήσαμε όλοι μαζί το κύριο μονοπάτι ως το σημείο που υπήρχε ένας ευδιάκριτος στύλος, και μετά αποφασίσαμε να συνεχίσει ο καθένας μό νος του προς τα δυτικά και να συναντηθούμε έπειτα από 4 ώρες στον στύλο. Δεν είχαμε πυξίδα, αλλά υπήρχαν αξιόπιστα ορόση μα: το μονοπάτι ακολου θούσε ακριβώς τη διεύθυνση Βορρά-Νότου, ο Ήλι ος ήταν στην ανατολή, και στις άκρες του δάσους υπήρχαν δύο μεγάλες λίμνες (Σχήμα 1 ).
τα ν στην κατεύθυνση που «απομακρύνεται από το σημείο Β». Με άλλα λόγια, κάθε χρονική στιγμή η διεύθυνση της ταχύτητάς του είναι η ευθεία «'Ηλι ος-άνθρωπος». Μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή t η διεύθυνση της ταχύτητας αντιστρέφεται και το σημείο Α αρχίζει να κινείται «προς το σημείο Β». Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου Α τη χρονική στιγμή 2t; Υ
Β', . .
.
Βόpε�α .
. . .
Δipvη '
=r
1
Νόnα
Σχήμα
1 1
1
Για να είμαι απερίσπαστος όσο μάζευα μανιτάρια και να φτάσω έγκαιρα στο σημείο συνάντησης, αποφάσισα να περπατήσω το μισό χρόνο (2 ώρες) με τον Ήλιο στην πλάτη και μετά να επιστρέψω ακολουθώντας την αντίθετη κατεύθυνση. Αφού μάζεψα ένα καλάθι μανιτάρια, ανακάλυψα ότι έπρεπε να επιφέρω κάποιες διορθώσεις στην πορεία μου. Το αποτέλεσμα ήταν ότι συνάντησα το μονοπάτι 1 Κm νοτιότερα από το σημείο συνάντησης και άργησα 1 5 ολόκληρα λεπτά. Αποφάσισα, λοιπόν, να ερμηνεύσω την πορεία μου και να βρω σε ποιο σημείο θα κατέληγα αν είχα ακολουθήσει το αρχικό σχέδιο. Έπειτα από κάποιες εύλογες παραδοχές, διατύπωσα το πρόβλημα ως εξής: Ένα σημείο Β (ο Ήλιος) κινείται στο επίπεδο xy με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω κατά μήκος ενός κύκλου με κέντρο στην αρχή των αξόνων (Σχήμα 2). Το σημείο Α (ένας άνθρωπος) ξεκινά από την αρχή των αξόνων και κινείται με σταθερή ταχύτη-
χ
. .
· · -
Β
Σχήμα 2
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Δipvη
ι
Η λύση αποδεικνύεται πολύ απλή και κατανο ητή, ειδικά για όσους έχουν κάνει τουλάχιστον μία φορά κύκλους σε δάση . Πράγματι, το σημείο Α κι νείται με σταθερή ταχύτητα, αλλά το διάνυσμα της ταχύτητας αλλάζει έτσι ώστε να απομακρύνεται πάντα από το σημείο Β - το οποίο διαγράφει έναν κύκλο. Συνεπώς, και το σημείο Α κινείται επί ενός κύκλου με γωνιακή ταχύτητα ίδια με του σημείου Β. Όταν το σημείο Β κινείται μέχρι να φτάσει στη θέση Β ' , ο άνθρωπος κινείται επί ενός κυκλικού τόξου ΑΑ' μέχρι τη θέση Α'. Είναι προφανές ότι η κίνηση της επιστροφής από το σημείο καμπής Α' έως το τελικό σημείο Α" μπορεί να περιγραφεί με παρόμοιο τρόπο. Το σημείο κινείται επί ενός κυ κλικού τόξου ΑΆ" με ίδια ακτίνα και κέντρο το σημείο Ο' το οποίο ανήκει στην ευθεία που είναι κάθετη επί την Α'Β' και διέρχεται από σημείο επαφής Α'. Αν χρησιμοποιήσουμε την πασίγνωστη σχέση μεταξύ γραμμικής και γωνιακής ταχύτητας, προ κύπτει ο επόμενος τύπος για την ακτίνα του κύ κλου AA':R = ν/ω. Επιπλέον, από τις αρχικές συν θήκες έπεται ότι το κέντρο αυτού του κύκλου βρίσκεται στο ση μείο με συντεταγμένες (ν/ω, 0). A πλά γεωμετρικά επιχειρή ματα (για παράδειγμα, από το τραπέζιο ΑΟΟΆ") μας επιτρέπουν να κα θορίσουμε τη θέση του σημείου Α", το οποίο βρίσκεται σε απόσταση r από το αρχικό σημείο Α και σχηματίζει τη γωνία θ = <Α ' ΆΟ:
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 80 τ.4/13