------ Μαθη ματικοί Διαγωνισμοί - Μαθη ματικές Ολυμπιάδες ------Λ(Jση
( Σ1 )
Για να έχει ακέραια λύση η εξίσωση χ2 + 2 χ - 1 = 2" πρέπει η διακρίνουσά της ) ) ( ( Δ = 4+ 4 1 + 2• = 4 2 + 2" να είναι τέλειο τετράγωνο ακέραιου, για το οποίο πρέπει και αρκεί ο αριθμός Κ = 2 + 2" να είναι τέλειο τετράγωνο ακέραιου. Για a = Ο ή a = 2 ο αριθμός Κ δεν είναι τέλειο τετράγωνο, ενώ για a = Ι είναι Κ= 4 = 2 2 , οπότε η ε ξίσωση χ 2 + 2 χ - 1 = 21<::::> χ 2 + 2χ - 3 = Ο έχει τις λύσεις χ = -3 ή χ = 1 . Για χ = -3 η εξίσωση χ 2 - 2 χ - 1 = 7 · 2b δίνει την εξίσωση 1 4 = 7 · 2b η οποία έχει τη λύση b = 1 , οπότε προκύπτει y = a + b = 2 και για την δεδομένη εξίσωση η λύση ( χ, y) = (-3, 2) Για χ = 1 η εξίσωση χ 2 - 2χ - I = 7 · 2b δίνει την εξίσωση -2 = 7 · 2b η οποία είναι αδύνατη . Για a � 3 , αφού ο αριθμός Κ = 2 + 2" είναι άρτιος, πρέπει Κ= 2+ 2" = (2m) 2 ,m Ε Ζ+<::::> 1 + 2"- 2 =2m 2 ,m Ε Ζ+, η ΟΠΟία είναι αδύνατη . ι\(Jση
( Σ2 )
Για να έχει ακέραια λύση η εξίσωση χ 2 - 2χ - 1 = 2κ πρέπει η διακρίνουσά της Δ = 4+ 4 ( 1 + 2κ) = 4 ( 2+γ) να είναι τέλειο τετράγωνο ακέραιου, για το οποίο πρέπει και αρκεί ο αριθμός Λ= 2 + 2κ να είναι τέλειο τετράγωνο ακέραιου. Για κ= Ο ή κ = 2 ο αριθμός Λ δεν είναι τέλειο τετράγωνο, ενώ για κ= I είναι Λ = 4 = 2 2 , οπότε η ε ξίσωση χ 2 - 2χ - 1 = 21 <::::> χ 2 - 2χ - 3 = Ο έχει τις λύσεις χ = 3 ή χ = - I . Για χ= 3 η εξίσωση χ2 + 2χ - 1 = 7 · 2λ δίνει την εξίσωση 1 4 = 7 · 2λ η οποία έχει τη λύση λ = I οπό τε προκύπτει y =κ+ λ = 2 και για την δεδομένη εξίσωση η λύση ( χ, y) = ( 3, 2) Για χ = - 1 η εξίσωση χ2 + 2χ - 1 = 7 · 2λ δίνει την εξίσωση -2 = 7 · 2λ η οποία είναι αδύνατη . Για a � 3 , αφού ο αριθμός Λ = 2 + 2λ είναι άρτιος πρέπει Λ= 2+γ=(2m) 2 ,m Ε z+ <::::> 1 +γ- 2 =2m2 ,m Ε z+, η οποία είναι αδύνατη. ΠΙ'ΟΒΛΗΜΑ 2 Αν οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί χ και y έχουν άθροισμα 2α, όπου α> Ο, να αποδείξετε ότι: ,
(
x3y3 x2 +y2 2 �4αιο.
Για ποιες τιμές των χ και y αληθεύει η ισότητα;
)
(1)
Λί1ση
Επειδή για τους θετικούς πραγματικούς αριθμο ύς χ, y δίνεται ότι χ+ y = 2α, α > Ο , μπορούμε να χ = α+t, y =α -t , - α:::;t :::;α . θέσουμε: Με αντικατάσταση των χ, y στην ( 1 ), προκύπτει ότι, αρκεί να αποδείξουμε την ανισότητα
( α+t) 3 ( α -t)3 [ ( α+t) 2 + ( α -tγ Τ :::;4α10 <::::> 4 (α 2 -t 2 γ(α2 +t2 ) 2 :::;4α10 <=> (α2 -t2 )(α2 -t2 ) 2 (α2 +t2 ) 2 � α ιο <=> (α2 -t2 )(α4 -t4) 2 :::;α ιο , η οποία αληθεύει, αφού λόγω της υπόθεσης -α:::;t:::;α για τη νέα μεταβλητή t , έχουμε (α2 -t 2 )(α4 -t4)2 � α2 · αs =α ιο. Η ισότητα ισχύει όταν t = Ο , δηλαδή όταν χ = y = α . Παρατήρηση
�
όπου η ισότητα ισχύει για χ = y = α .
( ) χ3 y 3 � ( χ; Υ}' =α
2 xy:::; x ; y =α2
Για χ+ y = 2α ισχύει ότι
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 76 τ.4/ 1 0
6
(1)
(2)