Μ αθη ματικά για την Β ' Λυκείου
. \ ίJ σ η
εξίσωση της ευθείας ΚΛ, όπως γνωρίζουμε, εί ναι: y · 4 = 2(χ - 3) <=> χ - 2y - 3 = Ο (I ) Βρίσκουμε τα κοινά σημεία της ευθείας ΚΛ και της έλλειψης C' Προς τούτο, λύνουμε το σύστηχ - 2y-3=0 y= (x-3) y= � (x-3) z μα: x 2y 2 - +- =1 1 ' χ- +24 (χ-3)- = 3 χ- -2χ+ Ι = Ο 3 3 x=l <=> y = -1 Άρα, η ευθεία ΚΛ και η έλλειψη C' έχουν ένα μο ναδικό κοινό σημείο, το Ρ( Ι , - 1 ). Η εξίσωση της εφαπτομένης της C' στο σημείο της Ρ ( 1 , - 1 ), είναι: � 2 y · (- 1) = Ι <=> χ - 2y - 3 = Ο (2). + 3 3 Η (2) όμως είναι η εξίσωση ( 1 ) της ευθείας ΚΛ Άρα, η ευθεία ΚΛ εφάπτεται στην έλλειψη C' . Η
(I)
Τ ε·
Μ χ Β'
Επειδή Β (Ο, β) και Β ' (Ο, -β) , έχουμε: -β +β λΡΒ = Υ ο Και λ ΡΒ' _- Υ ο . χο χο Η εξίσωση της ευθείας ΡΒ είναι: Υ -β Υ - β = ο χ . (2) χο Η εξίσωση της ευθείας ΡΒ · είναι: Υ +β Υ + β = ο χ . (3) χο Από τη (2) με y = Ο , έχουμε: χ = -β χ Υο - β -β χ Άρα: Μ ( '' . 0 ) . Υ,, - β Από την (3) με y = Ο . έχου με: χ = � . Υο + β
-- -ο
__
.
--
Άρα: Ν( � , Ο) . Υο + β Έτσι έχουμε: (ΟΜ) · (ΟΝ) =
(I)
=
Χ2
ο 7 --
-χ � αz
. ! i
{
7
�
?
.
1
.
3. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης C που έχει εστίες E'(-J6,0), E(J6,0) και εφάπτεται στην ευθεία ε : χ + 2y - 4 = Ο . ι 1) -ση
Έστω ότι μία έλλειψη C πληροί τις δοσμένες συν θήκες. Η εξίσωση της C θα είναι της μορφής: '
''
-βχ ο βχ ο · __ = β-χ, σ, Υσ - β Υο + β Υ� - β-
__
= α 2 ( σταθ ερο ) .
'
2. Από το σημείο Μ( -3,4) φέρνουμε τις εφα πτόμενες της παραβολής C : y 2 = 4χ και ονομά ζουμε Κ και Λ τα σημεία επαφής. Να δείξετε ότι η ευθεία ΚΛ εφάπτεται στην έλλειψη 2 2 =l. χ 2 _r_ C' : + 3 3
?
:� + �: = 1
(α>β>Ο) .
(1)
Θα έχουμε γ = J6 , οπότε: α2 - β2 = 6 . (2) Έστω ότι η C εφάπτεται στην ευθεία ε στο σημείο M( X0 , y 0 ) , οπότε : 2 2 �+�=] . (3) αz βz Έτσι, η εξίσωση της ε είναι: χχ ο , + Yf,o = 1 . (4) α- β Άρα, η εξίσωση : χ + 2y - 4 = Ο και η εξίσωση (4) παριστάνουν την ίδια ευθεία ε. Αν y ο = Ο , τότε το προηγούμενο προφανώς δεν συμβαίνει. Άρα y ο =f:. Ο . Έτσι, έχουμε:
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 73 τ.3/47