------
Μαθη ματικοί Διαγωνισμοί - Μαθη ματικές Ολυμπιάδες
-------
x(z + 2 ) x + z + 2 < (5) x+z+2- 4 Με πρόσθεση κατά μέλη των ( 3 ), (4) και (5) λαμβάνουμε x(y + 1 ) (y + 1 )(z + 2 ) x(z + 2 ) 2(χ + y + z) + 6 -----' ----'-- + + �x+z+2 χ+y+1 y+z+3 4 x(y + 1 ) (y + 1 )(z + 2 ) x(z + 2 ) 2 · 3 + 6 + + � =3. x+y+ 1 x+z+2 y+z+3 4 Η ισότητα αληθεύει όταν χ = y + 1 = z + 2 , οπότε από την σχέση χ + y + z = 3 προκύπτει ότι χ + χ- 1 + χ - 2 =3 <=> 3χ = 6 <=> χ = 2 και y = 1, z = Ο. -'---
Β' ΛΥΚΕΙΟΥ
: ;- .�·
Να λύσετε την εξίσωση 2 Θα αναζητήσουμε λύσεις που ικανοποιούν την ανίσωση 3 χ- 2 2 Ο <=> χ 2 -. 3 Επειδή και τα δύο μέλη της εξίσωσης είναι θετικά, η δεδομένη εξίσωση είναι ισοδύναμη με την (1) ( χ2 + 2 ) 2 = 9 ( 3 χ - 2 ) <=> χ4 + 4χ 2 - 27 χ + 22 = ο . Οι πιθανές ακέραιες λύσεις της ( 1 ) είναι οι : 1 , - 1 , 2, -2, 1 1 , - 1 1 , 22, -22. Εύκολα διαπrστώνουμε ότι η ο ακέραιος 1 είναι ρίζα της εξίσωσης και μέσω του σχήματος Homer καταλήγουμε στην εξίσωση (χ - 1 ) ( χ3 + χ 2 + 5χ- 22) = Ο.
Χρησιμοποιώντας και πάλι το σχήμα Homer για χ = 2 , για το πολυώνυμο χ3 + χ2 + 5χ- 22 καταλήγουμε στην εξίσωση ( χ - 1 )(χ + 2 ) ( χ 2 + 3 χ + 1 1 ) = ο <=> χ = 1 ή χ = 2 ή χ 2 + 3 χ + 1 1 = ο <=> χ = 1 ή χ = 2, αφού το τριώνυμο χ 2 + 3χ + 1 1 = Ο έχει διακρίνουσα Δ = - 3 5 < Ο .
2 2 3-'Χ- 2L,-;::; για χ 2-. ' χ 2-. χ ρησιμοποιουμε ' τον μετασχηματισμο' y = νr;::;πρεπει 3 3 Τότε λαμβάνουμε y 2 Ο και / = 3 χ - 2 , ενώ η δεδομένη εξίσωση γίνεται χ 2 + 2 = 3 y . χ 2 = 3 y- 2 2 , 'Ε τσι εχουμε το συστημα με χ 2- και y 2 Ο . 3 y 2 = 3χ- 2 Με αφαίρεση των δύο εξισώσεων κατά μέλη λαμβάνουμε χ 2 - / = 3(y- χ ) <=> (χ- y )(χ + y + 3 ) = Ο <=> χ - y = Ο ή χ + y + 3 = Ο <=> χ = y ή χ + y = - 3 . ο μοιως '
{
}
,
είναι αδύνατη λόγω των περιορισμών χ 2 3. και y 2 Ο . 3 2 2 Για χ = y έχουμε την εξίσωση χ = 3χ- 2 <=> χ - 3χ + 2 =Ο <=> χ = 1 ή χ = 2.
Η εξίσωση χ + y = - 3 Πρ6j:1λημu. 2
Σε ένα "τουρνουά" ποδοσφαίρου συμμετέχουν n ομάδες οι οποίες θα παίξουν όλες μεταξύ τους μία μόνο φορά. Για τη νίκη μιας ομάδας δίνονται 3 βαθμοί, για την ισοπαλία 2 βαθμοί και για την ήττα 1 βαθμός. Αν στο τέλος του "τουρνουά" ο συνολικός αριθμός των βαθμών ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β' 67 τ.3/14