XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TOÁN HỌC DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN” Ở LỚP 11

LUẬN VĂN SIÊU CẤP CHANNEL

vectorstock.com/21693862

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN DISSERTATION PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TOÁN HỌC DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN” Ở LỚP 11 TRƯỜNG THPT THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH (2019) PDF VERSION | 2019 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

======

NGÔ THỊ HƢỚNG

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TOÁN HỌC DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN” Ở LỚP 11 TRƢỜNG THPT THEO ĐỊNH HƢỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học Toán

HÀ NỘI - 5/2019

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

======

NGÔ THỊ HƢỚNG

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TOÁN HỌC DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN” Ở LỚP 11 TRƢỜNG THPT THEO ĐỊNH HƢỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học Toán Ngƣời hƣớng dẫn khoa học

ThS. NGUYỄN VĂN HÀ

HÀ NỘI - 5/2019

LỜI CẢM ƠN Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, em đã nhận đƣợc sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô trong tổ phƣơng pháp dạy học và các bạn sinh viên trong khoa. Qua đây, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy, cô trong tổ phƣơng pháp dạy học và đặc biệt là thầy giáo Nguyễn Văn Hà- ngƣời đã định hƣớng, chọn đề tài và tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em hoàn thiện khóa luận tốt nghiệp này.

Do thời gian và kiến thức có hạn, khóa luận không tránh khỏi có những hạn chế và thiếu sót nhất định. Em kính mong nhận đƣợc sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em đƣợc hoàn thiện hơn.

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2019 Sinh viên

Ngô Thị Hƣớng

LỜI CAM ĐOAN Sinh viên lớp: K41D- Sƣ phạm Toán Trƣờng: ĐHSP Hà Nội 2 Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu của riêng em dƣới sự chỉ đạo của giáo viên hƣớng dẫn. Và nó không trùng với kết quả của bất cứ tác giả nào khác.

Hà Nội, tháng 5 năm 2019 Sinh viên

Ngô Thị Hƣớng

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU ..................................................................................................1 1. Lí do chọn đề tài ...........................................................................................1 2.Mục đích nghiên cứu .....................................................................................1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................................1 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ...............................................................2 CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN..........................................3 1.1 Năng lực và năng lực Toán học .................................................................3 1.1.1 Năng lực ..................................................................................................3 1.1.2 Năng lực Toán học của học sinh .............................................................5 1.2. Dạy học bài tập Toán học ở trƣờng phổ thông .........................................6 1.2.1 Bài toán và lời giải của bài toán .............................................................6 1.2.2. Ý nghĩa của việc giải toán ................................................................... 10 1.2.3. Phân loại bài toán ............................................................................... 14 1.2.4. Phƣơng pháp tìm lời giải bài toán (Bốn bƣớc giải toán của G.POLIA)17 1.3 Định hƣớng phát triển năng lực của học sinh trong dạy học toán ở trƣờng phổ thông ....................................................................................................... 23 1.3.1. Dạy học theo hƣớng tiếp cận nội dung và hƣớng tiếp cận năng lực ... 23 1.3.2. Dạy học môn toán theo định hƣớng phát triển năng lực học sinh ...... 24 Tiểu kết chƣơng 1.......................................................................................... 27 CHƢƠNG 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TOÁN HỌC DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN” Ở LỚP 11 TRƢỜNG THPT THEO ĐỊNH HƢỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH.............................................................................................................. 28

2.1. Phân tích nội dung dạy học chủ đề quan hệ vuông góc trong không gian ở lớp 11 trƣờng THPT. ..................................................................................... 28 2.1.1. Nội dung chƣơng trình dạy học quan hệ vuông góc trong không gian.28 2.1.2 Nhiệm vụ dạy học nội dung quan hệ vuông góc trong không gian ..... 28 2.2 Ứng dụng xây dựng hệ thống bài tập Toán học dạy học chủ đề quan hệ vuông góc trong không gian theo định hƣớng phát triển năng lực học sinh 29 2.2.1. Vectơ trong không gian, sự đồng phẳng của các vecto ...................... 29 2.2.2. Hai đƣờng thẳng vuông góc ................................................................ 34 2.2.3. Đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng .............................................. 38 2.2.4. Hai mặt phẳng vuông góc ................................................................... 47 2.2.5. Khoảng cách ........................................................................................ 53 Tiểu kết chƣơng 2.......................................................................................... 59 KẾT LUẬN ................................................................................................... 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................. 62

LỜI MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Hình học là một phần không thể thiếu trong Toán học nhƣng đó cũng là học phần mà học sinh gặp khó khăn nhiều nhất trong việc tiếp nhận kiến thức và giải các bài tập. Đặc biệt là hình học không gian. Chính vì vậy đòi hỏi giáo viên phải có phƣơng pháp dạy học phù hợp, phƣơng pháp dạy học theo hƣớng phát triển năng lực học sinh đang là lựa chọn số một của nhiều nƣớc trên thế giới. Phƣơng pháp này giúp phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo tự tìm ra kiến thức của học sinh. Qua quá trình đi tìm hiểu một số học sinh của từng vùng thì tôi nhận thấy kiến thức và bài tập về quan hệ vuông góc ở lớp 11 đang là trở ngại lớn của học sinh.

Chính vì vậy, tôi đã chọn đề tài: Xây dựng hệ thống bài tập Toán học dạy học chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian” ở lớp 11 trường THPT theo định hướng phát triển năng lực học sinh. Với mong muốn hệ thống bài tập này có thể giúp giáo viên trong giảng dạy và học sinh trong việc củng cố kiến thức về phần này.

2.Mục đích nghiên cứu Định hƣớng chung phát triển năng lực của học sinh trong dạy học toán ở trƣờng phổ thông.

Xây dựng hệ thống bài tập Toán học dạy học chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian” ở lớp 11 trƣờng THPT theo hƣớng phát triển năng lực học sinh, góp phần nâng cao chất lƣợng và hiệu quả của việc dạy học môn toán ở phổ thông hiện nay.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu về cơ sở lí luận và thực tiễn: + Năng lực và năng lực toán học của học sinh. + Định hƣớng phát triển năng lƣc của học sinh trong dạy học toán ở trƣờng phổ thông.

1

+ Dạy học bài tập Toán học và nội dung dạy học bài tập Toán học trong chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian” ở lớp 11 trƣờng THPT. - Ứng dụng xây dựng hệ thống bài tập Toán học dạy học chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian” ở lớp 11 trƣờng THPT theo hƣớng phát triển năng lực học sinh.

4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Các bài tập Toán học theo hƣớng phát triển năng lực học sinh Toán học thuộc chủ đề của chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian” ở lớp 11 trƣờng THPT. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận về năng lực, năng lực toán học của học sinh, về phƣơng pháp dạy học khái niệm môn toán.

Tổng kết kinh nghiệm tham khảo các giáo án, bài giảng theo phƣơng pháp dạy học theo định hƣớng phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học và năng lực vận dụng Toán học của học sinh.

Nghiên cứu nội dung chƣơng trình, sách giáo khoa môn Toán thuộc chủ đề của chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian” ở lớp 11 trƣờng THPT.

2

CHƢƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Năng lực và năng lực Toán học 1.1.1 Năng lực Theo quan điểm của những nhà tâm lý học năng lực là tổng hợp các đặc điểm, thuộc tính tâm lý của cá nhân phù hợp với yêu cầu, đặc trƣng của một hoạt động, nhất định nhằm đảm bảo cho hoạt động đó đạt hiệu quả cao.

Năng lực của con ngƣời có đặc điểm sau: + Năng lực luôn gắn với một hoạt động cụ thể. + Năng lực đƣợc hình thành và bộc lộ trong hoạt động. + Năng lực chịu sự chi phối của các yếu tố bẩm sinh di truyền, môi trƣờng và hoạt động của bản thân.

Nhƣ vậy, năng lực của con ngƣời hình thành trên cơ sở chi phối nhiều bởi các yếu tố tƣ chất của cá nhân, nhƣng năng lực của con ngƣời không phải hoàn toàn do tự nhiên mà có, phần lớn do công tác, do tập luyện mà hình thành phát triển năng lực.

Tâm lý học chia năng lực thành các dạng khác nhau nhƣ năng lực chung và năng lực chuyên môn. + Năng lực chung là năng lực cần thiết cho nhiều ngành hoạt động khác nhau nhƣ năng lực phán xét tƣ duy lao động, năng lực khái quát hoá, năng lực luyện tập, năng lực tƣởng tƣởng. + Năng lực chuyên môn là năng lực đặc trƣng trong lĩnh vực nhất định của xã hội nhƣ năng lực tổ chức, năng lực âm nhạc, năng lực kinh doanh, hội hoạ, năng lực toán học,...

Năng lực chung và năng lực chuyên môn có quan hệ qua lại hữu cơ với nhau, năng lực chung là cơ sở của năng lực chuyên môn, nếu chúng càng phát triển thì càng dễ thành đạt đƣợc năng lực chuyên môn. Ngƣợc lại sự phát triển của năng lực chuyên môn trong những điều kiện nhất định lại có ảnh hƣởng đối với sự phát triển của năng lực chung. Trong thực tế mọi hoạt động có kết 3

quả và hiệu quả cao thì mỗi ngƣời đều phải có năng lực chung phát triển ở trình độ cần thiết và có một vài năng lực chuyên môn tƣơng ứng với lĩnh vực công việc của mình.

Năng lực còn đƣợc hiểu theo một cách khác, năng lực là tính chất tâm sinh lý của con ngƣời chi phối quá trình tiếp thu kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo tối thiểu là cái mà ngƣời đó có thể dùng khi hoạt động. Để nắm đƣợc cơ bản các dấu hiệu khi nghiên cứu bản chất của năng lực ta cần phải xem xét trên một số khía cạnh sau: - Năng lực là sự khác biệt tâm lý của cá nhân ngƣời này khác ngƣời kia, nếu một sự việc thể hiện rõ tính chất mà ai cũng nhƣ ai thì không thể nói về năng lực.

- Năng lực chỉ là những khác biệt có liên quan đến hiệu quả việc thực hiện một hoạt động nào đó chứ không phải bất kỳ những sự khác nhau cá biệt chung chung nào.

- Năng lực con ngƣời bao giờ cũng có mầm mống bẩm sinh tuỳ thuộc vào sự tổ chức của hệ thống thần kinh trung ƣơng, nhƣng nó chỉ đƣợc phát triển trong quá trình hoạt động, phát triển của con ngƣời. Trong xã hội có bao nhiêu hình thức hoạt động của con ngƣời thì cũng có bấy nhiêu loại năng lực, có ngƣời có năng lực về quản lý kinh tế, có ngƣời có năng lực về Toán học, có ngƣời có năng lực về kỹ thuật, có ngƣời có năng lực về thể thao, ...

- Cần phân biệt năng lực với tri thức, kỹ năng, kỹ xảo: Tri thức là những hiểu biết thu nhân đƣợc từ sách vở, từ học hỏi và từ kinh nghiệm cuộc sống của mình. Kỹ năng là sự vận dụng bƣớc đầu những kiến thức thu lƣợm vào thực tế để tiến hành một hoạt động nào đó. Kỹ xảo là những kỹ năng đƣợc lắp đi lặp lại nhiều lần đến mức thuần thục cho phép con ngƣời không phải tập trung nhiều ý thức vào việc mình đang làm. Còn năng lực là một tổ hợp phầm chất tƣơng đối ổn đinh, cơ bản của cá nhân, cho phép nó thực hiện có kết quả một hoạt động. Nhƣ vậy năng lực chỉ làm cho việc tiếp thu các kiến thức kỹ năng, kỹ xảo trở nên dễ dàng hơn.

4

1.1.2 Năng lực Toán học của học sinh Theo V.A.Krutetxki thì khái niệm năng lực toán học đƣợc hiểu dƣới hai bình diện sau: Năng lực nghiên cứu Toán học là năng lực sáng tạo, các năng lực hoạt động Toán học tạo ra đƣợc các kết quả, thành tựu mới, khách quan và có ý nghĩa với nhân loại.

Năng lực Toán học của học sinh là năng lực học tập giáo trình Toán học ở trƣờng phổ thông, lĩnh hội nhanh chóng và có kết quả cao các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tƣơng ứng.

- Năng lực Toán học của học sinh: Từ khái niệm về năng lực ta có thể đi đến khái niệm về năng lực Toán học của học sinh: “Năng lực Toán học là những đặc điểm tâm lí đáp ứng đƣợc yêu cầu hoạt động học toán và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng trong lĩnh vực Toán học tƣơng đối nhanh chóng, dễ dàng, sâu sắc trong những điều kiện nhƣ nhau”.

- Trong quá trình tiếp thu tri thức, học sinh tham gia nhiều hình thức hoạt động Toán học. Mỗi hoạt động Toán học phức hợp đặc trƣng cho một dạng năng lực thành phần. Các năng lực thành phần này có quan hệ chặt chẽ với nhau tạo thành một cấu trúc năng lực Toán học. Cấu trúc năng lực Toán học bao gồm các dạng năng lực thành phần sau: + Năng lực tính toán, giải toán + Năng lực tƣ duy Toán học + Năng lực giao tiếp Toán học (Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học) + Năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn + Năng lực giải quyết vấn đề + Năng lực sáng tạo Toán học

5

1.2. Dạy học bài tập Toán học ở trƣờng phổ thông 1.2.1 Bài toán và lời giải của bài toán a) Bài toán Theo G.POLYA. Bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một cách có ý thức các phƣơng tiện thích hợp để đạt đến một mục đích nhất định trông thấy rõ ràng, nhƣng không thể đạt đƣợc ngay.

Trên cơ sở định nghĩa khái quát của G.POLYA cho ta thấy rằng. Bài toán là sự đòi hỏi phải đạt tới mục đích nào đó. Nhƣ vậy, bài toán có thể đồng nhất với một số quan niệm khác nhau về bài toán nhƣ đề toán, bài tập,...

Trong định nghĩa về bài toán ở trên ta thấy có hai yếu tố chính hợp thành của một bài toán: - Bài toán luôn có mục đích xác định.

- Sự đòi hỏi ngƣời khác thực hiện mục đích của bài toán (giao nhiệm vụ hoặc yêu cầu ngƣời khác thực hiện mục đích của bài toán).

Ví dụ 1: “Cho đƣờng tròn Từ một điểm

bất kỳ trên

và đƣờng thẳng

và đƣờng thẳng

cắt đƣờng tròn tại hai điểm

.

và nằm ở ngoài đƣờng tròn, kẻ các tiếp tuyến

là các tiếp điểm). Chứng minh rằng khi thì đƣờng tròn ngoại tiếp

di động trên

luôn đi qua hai điểm cố

định.” Đây là bài toán vì trong đó bao gồm hai yếu tố cơ bản hợp thành sau đây: - Sự đòi hỏi của bài toán thể hiện qua cụm từ "Chứng minh rằng".

- Mục đích của bài toán thể hiện. “Đƣờng tròn ngoại tiếp qua hai điểm cố định.”

Ví dụ 2: “Số tự nhiên

và

.”

6

luôn đi

+ Đây không phải là bài toán vì thiếu sự đòi hỏi ngƣời khác thực hiện mục đích. + Đây không phải là mệnh đề toán học vì không có giá trị chân lý đúng hay sai. + Đây là một hàm mệnh đề vì đó là câu có chứa biến số n và khi thay biến bởi hằng số ta đƣợc mệnh đề.

Ví dụ 3 “Tìm tố cơ bản sau:

và

.” Đây là bài toán vì trong đó bao gồm hai yếu

- Sự đòi hỏi của bài toán thể hiện qua cụm từ “tìm”.

- Mục đích của bài toán thể hiện. “

và

.”

b) Lời giải bài toán - Lời giải của bài toán đƣợc hiểu là tập hợp hữu hạn, sắp thứ tự các thao tác cần thực hiện để đạt tới mục đích đã đặt ra trong bài toán.

- Nhƣ vậy ta thống nhất các thuật ngữ bài giải, cách giải và đáp án của bài toán đều theo nghĩa lời giải ở trên.

- Một bài toán có thể có lời giải nhƣ sau: + Một lời giải. + Nhiều lời giải. + Không có lời giải.

- Giải đƣợc một bài toán đƣợc hiểu là tìm ra và trình bày đúng ít nhất một lời giải của bài toán trong trƣờng hợp bài toán có lời giải, hoặc lý giải đƣợc bài toán là không giải đƣợc trong trƣờng hợp nó không có lời giải.

Ví dụ 4: Tìm các lời giải số học của bài toán cổ sau: “Vừa gà vừa chó, Bó lại cho tròn, Ba mƣơi sáu con,

7

Một trăm chân chẵn.

Tính số gà, số chó?”

Cách 1. Giả thiết tạm Giả sử tất cả 36 con vật đều là gà.

Vậy số chân của 36 con vật là: 2  36 = 72 (chân) Tổng số chân hụt đi so với điều kiện thực tế của bài toán là: 100 – 72 = 28 (chân) Ta thấy 28 chân thiếu hụt so với điều kiện thực của bài toán là do ta giả sử tất cả 36 con vật đều là gà cả. Nhƣ vậy, ta đã bỏ đi ở mỗi con chó là 2 chân.

Vậy số con chó là: 28 : 2 = 14 (con chó) Số con gà là: 36 – 14 = 22 (con gà) Trả lời. Số gà là 22 con ; số chó là 14 con.

Cách 2. Giả thiết tạm Giả sử tất cả 36 con vật đều là chó.

Vậy số chân của 36 con vật là: 4  36 = 144 (chân) Số chân dƣ ra so với điều kiện thực tế của bài toán là: 144 – 100 = 44 (chân) Ta thấy 44 chân dƣ ra so với điều kiện thực tế của bài toán là do ta giả sử 36 con vật đều là chó cả. Nhƣ vậy, ta đã thêm vào cho mỗi con gà 2 chân.Vậy số con gà là: 44 : 2 = 22 (con gà)

8

Số con chó là: 36 – 22 = 14 (con chó) Trả lời. Số gà là 22 con ; số chó là 14 con.

Cách 3. Giả thiết tạm Giả sử tất cả 36 con vật đều có 3 chân. Vậy số chân của 36 con vật sẽ là: 3  36 = 108 (chân) Số chân dƣ ra so với điều kiện thực tế của bài toán là: 108 – 100 = 8 (chân) Ta thấy 8 chân dƣ so với điều kiện thực tế của bài toán là do ta giả sử mỗi con vật gà và chó đều 3 chân. Nhƣ vậy, ta đã thêm cho mỗi con gà 1 chân và đồng thời bớt đi mỗi con chó 1 chân.

Nếu số gà và chó bằng nhau thì số chân vừa đủ. Nếu số chó nhiều hơn số gà thì số chân phải thiếu hụt. Ở đây số chân dƣ ra 8 chân, vậy số gà nhiều hơn số chó. Mà mỗi con gà ta thêm cho nó 1 chân, vậy số con gà nhiều hơn số con chó là: 8 : 1 = 8 (con) Số con chó là (36 – 8) : 2 = 14 (con chó) Số con gà là: 14 + 8 = 22 (con gà) Trả lời. Số gà là 22 con, số chó là 14 con.

Cách 4. Giả thiết tạm Giả sử số gà bằng số chó và đều bằng 18 con.

Do đó tổng số chân của 36 con vật là: (2  18) + (4  18) = 108 (chân).

Số chân dƣ ra so với điều kiện thực tế của bài toán là: 9

108 – 100 = 8 (chân).

Ta thấy 8 chân dƣ ra là do điều giả sử số gà bằng số chó và bằng 18 con. Nhƣ vậy, ta đã chuyển một số con chó thành bằng ấy con gà hoặc ngƣợc lại.

Nếu chuyển một số con chó thành một số con gà thì tổng số chân phải thiếu hụt. Ở đây tổng số chân tăng thêm 8 chân, nghĩa là ta đã chuyển một số con gà thành con chó. Mà ta biết rằng khi chuyển một con gà thành một con chó thì số chân tăng thêm là 2 chân.Vậy số con gà đƣợc chuyển thành số con chó là: 8: 2  4 (con) .

Số gà nhiều hơn số chó là: 4  2  8 (con)

Số con chó là: (36  8) : 2  14 (con)

Số con gà là: 14  8  22 (con)

Trả lời: 22 con gà, số chó là 14 con chó.

1.2.2. Ý nghĩa của việc giải toán a) Kiến thức Trong thực tế một bài toán chứa đựng nhiều kiến thức về khái niệm toán học và các tính chất toán học. Khi giải một bài toán đòi hỏi ta phải phân tích dữ kiện đã cho của bài toán, huy động các kiến thức đã cho trong đề toán và các kiến thức đã biết khác có liên quan tới bài toán, tổng hợp lại để đề ra kiến thức mới. Và cứ nhƣ vậy các kiến thức mới tìm ra lại cùng các kiến thức đã biết trƣớc đƣợc phân tích, tổng hợp lại để đề ra các kiến thức mới nữa, ...

Cuối cùng chúng ta đi đến đƣợc lời giải của bài toán.

10

Nhƣ vậy khi giải một bài toán không những chỉ các kiến thức đã có trong bài toán mà cả một hệ thống các kiến thức liên quan tới bài toán cũng đƣợc củng cố qua lại nhiều lần.

Ví dụ 5. Hãy tìm các cách giải của bài toán sau: “Cho ba hình vuông có cạnh bằng nhau và bằng một đƣợc dựng liên tiếp nhau (Hình 1.1). Chứng minh rằng  +  = 45o ”.

Hướng dẫn A

O

D

C 



Hình 1.1

B

Cách 1. Lớp 10 1 2

1 3

Từ giả thiết ta thấy tan   , tan   .

Dễ thấy tan     

tan  tan  1 . Do đó suy ra     45o .

1  tan .tan

Với cách giải này củng cố cho học sinh những kiến thức sau.

- Định nghĩa hàm số lƣợng giác của một góc, cách xác định giá trị một hàm số lƣợng giác của một góc.

- Công thức biến đổi lƣợng giác của một tổng.

Cách 2. Lớp 7

E

A

O



C

 

D

Hình 1.2

B

Để tính tổng của hai góc  và , ta dịch chuyển góc  đến vị trí kề với  tạo ra một góc tổng của chúng (Hình 1.2).

Bằng cách xét một cặp tam giác vuông bằng nhau, ta dễ dàng chứng minh đƣợc rằng ̂

11

Với cách giải này củng cố cho học sinh các kiến thức sau: - Hai góc kề nhau - Cách chứng minh hai tam giác bằng nhau, các tính chất của hai tam giác bằng nhau. Cách chứng minh một tam giác là tam giác vuông cân.

Cách 3. Lớp 8, 9 C

O

A







D

Hình 1.3

B

đồng dạng vì chung nhau góc ̂ và hai cạnh kề góc ̂ và dễ dàng có điều cần chứng đó tỉ lệ với nhau. Từ đây suy ra minh.

Ta có

(Hình 1.3) Với cách giải này củng cố cho học sinh các kiến thức sau: - Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng.

- Tính chất của hai tam giác đồng dạng.

- Tính chất của hai đƣờng thẳng song song.

- Hình vuông và các tính chất của nó. b) Tƣ duy Đặc điểm nổi bật của Toán học cũng nhƣ của môn toán là một khoa học suy diễn, nó là môn khoa học đƣợc xây dựng bằng phƣơng pháp tiên đề. Do vậy, lời giải của bài toán là một hệ thống hữu hạn các thao tác, có thứ tự chặt chẽ để đi đến một mục đích rõ rệt. Vì vậy khi giải một bài toán nó có tác dụng trực tiếp rèn luyện cho học sinh năng lực sử dụng các phép suy luận hợp logic: Suy luận có căn cứ đúng, suy luận tuân theo quy tắc suy diễn logic, ...

Chúng ta biết rằng không thể có một phƣơng pháp chung nào để giải đƣợc mọi bài toán. Mỗi bài toán có một hình vẻ khác nhau, muốn tìm ra đƣợc lời giải của bài toán chúng ta phải biết phân tích, biết cách dự đoán kết quả, biết cách kiểm tra dự đoán, biết cách liên hệ tới các vấn đề tƣơng tự gần giống 12

nhau, biết cách suy luận tổng hợp, khái quát hoá ..... , biết cách suy đoán. Nhƣ vậy qua việc giải bài toán năng lực tƣ duy logic và tƣ duy sáng tạo của học sinh đƣợc rèn luyện và phát triển. c) Kỹ năng Một trong những yêu cầu của việc thông hiểu các kiến thức của bất cứ của bộ môn khoa học nào là biết, thông hiểu và vận dụng các kiến thức của bộ môn khoa học đó vào việc giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, tức là giải quyết đƣợc các bài toán đặt ra trong lĩnh vực khoa học đó.

Trong việc giảng dạy toán ta thấy rằng bài toán tham gia vào tất cả các tình huống điển hình của quá trình dạy học môn toán: - Trong giảng dạy khái niệm Toán học Bài toán có thể đƣợc sử dụng để tổ chức gây tình huống, để dẫn dắt cho học sinh tiếp cạn đến định nghĩa khái niệm; bài toán đƣợc sử dụng làm các ví dụ hoặc phản ví dụ minh hoạ cho khái niệm (hoạt động nhận dạng và thể hiện khái niệm); bài toán đƣợc sử dụng để luyện tập củng cố và vận dụng khái niệm.

- Trong giảng dạy định lý Toán học Bài toán có thể đƣợc sử dụng để tổ chức gây tình huống dẫn dắt học sinh phát hiện ra nội dung định lý toán học; bài toán có thể đƣợc sử dụng trong hoạt động nhận dạng và thể hiện định lý ; bài toán có thể đƣợc sử dụng để cho học sinh tập vận dụng định lý; đặc biệt là việc tổ chức hƣớng dẫn học sinh tìm ra đƣờng lối chứng minh định lý chính là việc dạy cho học sinh cách phân tích tìm ra chứng minh toán học của bài toán không có thuật toán giải.

- Trong luyện tập Toán học Bài toán là phƣơng tiện chủ yếu trong các tiết luyện tập Toán học. Trong đó ngƣời giáo viên phải xây dựng đƣợc một hệ thống các bài tập có liên quan chặt chẽ với nhau để nhằm giúp học sinh củng cố vững chắc các kiến thức cơ bản và hình thành một số kỹ năng cơ bản nào đó. d) Tƣ tƣởng

13

Đặc điểm cơ bản trong tính cách của con ngƣời là mọi hoạt động đều có mục đích rõ ràng. Khi giải một bài toán ta luôn có định hƣớng mục đích cụ thể, rõ ràng. Vì vậy việc giải bài toán sẽ góp phần tích cực vào việc rèn luyện năng lực hoạt động của con ngƣời. Để giải một bài toán, nhất là đối với các bài toán khó ngƣời giải phải vƣợt qua rất nhiều khó khăn, phải kiên trì nhẫn lại, và nhiều khi ngƣời ta phải có quyết tâm, khát vọng lớn để giải bài toán đó. Nói theo cách của G.POLIA là “Khát vọng và quyết tâm giải đƣợc bài toán là nhân tố chủ yếu của quá trình giải mọi bài toán ”. Do vậy ta thấy rằng hoạt động giải toán chính là nhân tố chủ yếu của quá trình hình thành và phát triển nhân cách của con ngƣời.

1.2.3. Phân loại bài toán Ngƣời ta có nhiều cách để phân loại các bài toán và ngƣời ta phân loại bài toán theo nhiều cách khác nhau để đạt đƣợc mục đích nhất định, thƣờng là để sử dụng các bài toán một cách thuận lợi. a) Phân loại theo hình thức bài toán Ngƣời ta căn cứ vào kết luận của bài toán để phân chia bài toán ra thành hai loại nhƣ sau: - Bài toán chứng minh.

Những bài toán mà trong kết luận của nó đã thể hiện rõ kết quả cuối cùng của mục đích bài toán.

Ví dụ 6: “Cho tam giác

, hai điểm

lần lƣợt là trung điểm các cạnh

Chứng minh rằng diện tích của tam giác giác

.”

14

bằng

1 diện tích tam 4

Hướng dẫn A

M

N C Hình 1.4

B

Ta ký hiệu diện tích của các tam

lần lƣợt là

SABC, SAMN và SABN. (Hình 1.4) Ta thấy. SABC  2  SABN (Hai tam giác này chung chiều cao hạ từ và đáy

=2×

);

SABN  2  SAMN (Hai tam giác này chung chiều cao hạ từ

và đáy

tới

=2×

tới

)

Do đó suy ra SABC  4  SAMN . Vậy ta có điều cần chứng minh.

- Bài toán tìm tòi.

Những bài toán mà trong kết luận của nó chƣa thể hiện rõ ràng kết quả cuối cùng của mục đích bài toán.

Ví dụ 7: Cho tứ giác lồi các cạnh

và các điểm và

. Tính diện tích của tứ giác

biết rằng diện

2

tích của

là 100 cm ?

Hướng dẫn

A

Q

D

Nối

lần lƣợt là trung điểm của

với

M

100 cm2

P

B

N

C

Hình 1.5

và áp dụng kết quả bài toán ở ví dụ 1 ta có (Hình 1.5)

1 1 SBMN   SBAC và SDPQ   SDAC 4 4 15

1 4

1 4

Do vậy suy ra SBMN  SDPQ   SBAC  SDAC    SABCD 1 4

1 4

Tƣơng tự ta có SAMQ  SCNP   SABD  SCBD    SABCD Do đó suy ra SBMN  SDPQ  SAMQ  SCNP  1  SABCD 2

Theo hình vẽ ta có SBMN  SDPQ  SAMQ  SCNP  SABCD  SMNPQ nên ta suy ra 1 2

đẳng thức sau. SABCD  SMNPQ   SABCD Thay số vào đẳng thức trên ta có SABCD  100 

1  SABCD .

2

Vậy ta suy ra SABCD = 200 cm2. b) Phân loại theo phƣơng pháp giải toán Ngƣời ta căn cứ vào phƣơng pháp giải bài toán để phân loại bài toán: Bài toán này có thuật toán chung giải hay chƣa để chia các bài toán thành hai loại.

- Bài toán có thuật toán giải: Những bài toán mà phƣơng pháp giải của nó theo một thuật toán chung nào đó cho một lớp các bài toán chứa nó.

Ví dụ 8: + Giải phƣơng trình bậc nhất, bậc hai một ẩn số. + Giải hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn số. + Thuật toán kiểm tra một số tự nhiên n có phải là nguyên tố hay không ? + Thuật toán liệt kê tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn số tự nhiên n cho trƣớc. + Thuật toán tìm ƣớc số chung lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số cho trƣớc. + Dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỷ số của hai số; tìm hai số khi biết hiệu và tỷ số của hai số; tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số; dạng toán rút về đơn vị ; dạng toán tìm số trung bình cộng; …

- Bài toán không có thuật toán giải: Những bài toán mà phƣơng pháp giải của nó không theo một thuật toán chung nào đó cho một lớp các bài toán chứa nó.

16

Chú ý : Các bài toán không có thuật toán giải có số lƣợng là vô cùng lớn hơn rất nhiều so với các bài toán có thuật toán giải. c) Phân loại theo nội dung bài toán Ngƣời ta căn cứ vào nội dung của bài toán đƣợc phát biểu theo thuật ngữ của một hay một vài lĩnh vực chuyên môn hẹp hơn để chia bài toán thành các loại khác nhau nhƣ sau: + Bài toán số học. Toán trồng cây ở hai đầu đƣờng ; toán về tuổi ; toán chuyển động đều ; toán về phân số ; … + Bài toán đại số. + Bài toán hình học. d) Phân loại theo ý nghĩa giải toán Ngƣời ta dựa vào ý nghĩa của việc giải bài toán để phân loại bài toán.

Bài toán này nhằm củng cố trực tiếp một hay một vài kiến thức kỹ năng nào đó, hay là bài toán nhằm phát triển tƣ duy. Ta có hai loại bài toán nhƣ sau: Bài toán cơ bản: Những bài bài toán sử dụng trực tiếp, đơn giản từng kiến thức, kỹ năng mới vào việc giải quyết các tình huống phổ biến điển hình trong thực tiễn.

Bài toán nâng cao: Những bài toán sử dụng nhiều kiến thức, kỹ năng nào đó vào việc giải quyết các tình huống mới lạ hoặc đòi hỏi phải có một khả năng tƣ duy phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo.

1.2.4. Phƣơng pháp tìm lời giải bài toán (Bốn bƣớc giải toán của G.POLIA)

Bƣớc1.Tìm hiểu đề Trƣớc khi giải một bài toán ta phải phân tích nội dung của bài toán, rồi tìm hiểu thấu đáo nội dung của bài toán bằng những câu hỏi sau: Những cái gì đã biết? Cái gì chƣa biết của bài toán?

Tìm những yếu tố cố định, những yếu tố không đổi, những yếu tố thay đổi và biến thiên của bài toán.

Xác định các ẩn và các giá trị hằng của bài toán.

17

Dữ kiện của bài toán có đủ để xác định cái chƣa biết hay không?

Bƣớc 2. Xây dựng chƣơng trình giải Để tìm đƣợc lời giải cho bài toán một cách có hiệu quả thì bƣớc xây dựng chƣơng trình giải là bƣớc quyết định, đồng thời đây cũng là bƣớc khó khăn nhất.

Bƣớc xây dựng chƣơng trình giải đòi hỏi chúng ta biết huy động các kiến thức đã biết để xem xét, phân tích, so sánh, bác bỏ, tổng hợp. Từ đó mới có thể thiết lập đƣợc mối liên hệ giữa cái đã cho và cái cần tìm. Đối với những bài toán không có angorit giải, chúng ta sẽ phải tiến hành xây dựng chƣơng trình giải theo phƣơng pháp sau: a) Phƣơng pháp đi xuôi Xuất phát từ cái đã cho (giả thiết) của bài toán đƣợc lấy làm tiền đề và bằng suy luận hợp logic chúng ta tìm ra các hệ quả logic mới. Tiếp tục chọn lọc trong các hệ quả logic để làm tiền đề mới và bằng suy luận hợp logic chúng ta rút ra các hệ quả logic mới tiếp theo.... Cứ tiếp tục quá trình nhƣ thế cho đến khi chúng ta tìm ra đƣợc hệ quả logic trùng với kết luận của bài toán thì dừng. Khi đó ta đã tìm đƣợc lời giải bài toán.

Phƣơng pháp này đƣợc mô tả theo sơ đồ sau: {

(Trong đó

là các giả thiết còn

là kết luận).

b) Phƣơng pháp đi ngƣợc Đó là quá trình xuất phát từ kết luận của bài toán. Bằng suy luận hợp logic chúng ta đi ngƣợc lên để tìm các tiền đề logic của kết luận này.

Tiếp tục quá trình đó, chúng ta chọn lọc để lấy ra tiền đề gần gũi với giả thiết của bài toán để làm kết luận mới, từ đó rút ra các tiền đề logíc mới của các kết luận mới này ... Quá trình ấy lại đƣợc tiếp diễn ta tìm đƣợc các tiền đề logic trùng với giả thiết của bài toán, ta có đƣợc lời giải của bài toán.

Phƣơng pháp này đƣợc mô tả theo sơ đồ sau: {

(trong đó

là giả thiết còn 18

là kết luận)

Chú ý: Thông thƣờng trong nhiều trƣờng hợp để tìm đƣợc lời giải của bài toán ta thƣờng kết hợp cả hai phƣơng pháp đi xuôi và phƣơng pháp đi ngƣợc. c) Phƣơng pháp sử dụng các phép suy đoán Trong Toán học để đi tới lời giải của bài toán thì có rất nhiều phƣơng pháp. Tuy nhiên không phải phƣơng pháp nào cũng có thể đi tới lời giải của bài toán.

Thực tế có những bài toán mà ta đã sử dụng nhiều phƣơng pháp. Phƣơng pháp đi xuôi, phƣơng pháp đi ngƣợc, thậm chí kết hợp cả hai phƣơng pháp đó mà vẫn chƣa tìm đƣợc lời giải của bài toán đó. Lúc này ta cần chuyển hƣớng suy nghĩ theo một hƣớng khác, tạm gọi hƣớng suy nghĩ này là phƣơng pháp sử dụng các phép suy đoán. Nghĩa là suy nghĩ đến bài toán liên quan, bài toán có gần giống với bài toán ta cần giải - Có thể là bài toán con, bài toán tƣơng tự, bài toán đặc biệt, đôi khi là bài toán khái quát.

Từ sự phân tích lời giải của các bài toán có liên quan với bài toán cần giải hoặc sử dụng kết quả của nó, chúng ta có nhiều cơ hội thuận lợi để tìm ra lời giải của bài toán đã cho.

Theo G.POLIA chúng ta thƣờng phải đặt ra các câu hỏi gợi ý sau: “Anh có biết một bài toán nào gần giống bài toán của anh không?”; “Đây là một bài toán gần giống với bài toán của anh đã giải đƣợc rồi. Anh có thể dùng đƣợc nó làm gì không?”; “Nếu anh không giải đƣợc bài toán đã cho, thì trƣớc hết hãy giải bài toán gần giống với nó.”

Bƣớc 3. Thực hiện chƣơng trình giải Đây là quá trình tổng hợp lại của bƣớc xây dựng chƣơng trình giải, ta dùng các phép suy luận hợp logic xuất phát từ giả thiết của bài toán hay các mệnh đề Toán học đã biết ta suy dần ra đi tới kết luận của bài toán.

Trong bƣớc thực hiện chƣơng trình giải một bài toán cần chú ý phân biệt sự khác nhau giữa những điều đã thấy đƣợc và những điều suy ra đƣợc chính là điều chứng minh đƣợc.

Bƣớc 4. Kiểm tra lời giải và khai thác bài toán 19

Thử lại kết quả của bài toán, thử lại các lập luận trong lời giải đã tìm đƣợc của bài toán.

Tìm các cách giải khác nếu có của bài toán.

Nghiên cứu các bài toán có liên quan: Bài toán tƣơng tự, bài toán khái quát, …

Ví dụ 9: Phân tích quá trình tìm lời giải bài toán sau: “Chứng minh rằng nếu thì

̂

thoả mãn điều kiện

̂

̂

là tam giác cân”.

Hướng dẫn Để chứng minh một tam giác là tam giác cân ta có các cách sau. Chứng minh hai cạnh nào đó bằng nhau, hoặc chứng minh hai góc nào đó bằng nhau. Ở đây ta thấy giả thiết của bài toán cho biết đẳng thức liên hệ về góc, ta sẽ chứng minh tam giác đó có hai góc nào đó bằng nhau.

Hơn nữa ta thấy trong đẳng thức đã cho có vai trò của hai góc ̂ và ̂ là bình đẳng nhau. Vậy ta sẽ chứng minh rằng trong có ̂ bằng ̂ .

Biến đổi tƣơng đƣơng đẳng thức đã cho bằng cách ta làm mất sự có mặt ̂ ), và sau đó sử dụng công thức biến đổi lƣợng của góc ̂ bởi (̂ giác ta có: ̂

̂

̂

̂

̂

̂ (̂

̂

̂

(̂ ̂

̂

̂)

̂

̂)

Vì góc ̂ ̂ là các góc của tam giác nên Vậy suy ra

̂

̂

là cân tại .

Ví dụ 10.

20

̂ ̂

. Do đó có ̂

̂.

“Cho hình vuông và điểm

thuộc cạnh

có độ dài cạnh là 20 cm. Cho biết hai điểm thuộc cạnh

Gọi điểm là giao điểm của

và

sao cho

.

. Hãy tính diện tích của tứ giác

“

Hướng dẫn E

A

B

20 cm

I

F C Hình 1.6

D

Cách 1. THCS - Tính diện tích của tam giác Xét hai tam giác =

(Hình 1.6):

và

= 10 cm;

Vậy suy ra

ta có: = 20 cm; B  C  90o

=

(c.g.c).

Do đó ta có BCE  CDF . Mặt khác ta dễ thấy rằng CDF  CFD  90o , nên ta suy ra CDF  DCI  90o . Nhƣ vậy ta có Áp dụng định lý hệ thức lƣợng trong tam giác vuông ta có: 1 1 1 1 1 1 1 . Từ đây suy ra CI2  80 .   2  2    2 2 CI CD CF CI 400 100 80

Áp dụng định lý Pi-ta-go trong tam giác vuông

ta có:

DI2 = CD2 – CI2 = 400 – 80 = 320 1 2

Do đó suy ra SICD  IC  ID  - Tính diện tích của tứ giác

1 320  80  80 (cm2) 2

:

Dựa vào hình vẽ ta có diện tích của tứ giác

là:

SAEID  SABCD – SEBC – SICD

Do đó thay các giá trị SEBC = 100 cm2 và SICD = 80 cm2 ta có:

21

SAEID  400 –100 – 80  220 (cm ).

2

Cách 2. Tiểu học - Tính diện tích của tam giác

.

Xét tỷ số diện tích của hai tam giác

và

SICF S h 50 1 = 1 = ECF = = (Với h1, h2 là chiều cao hạ từ SICD h2 SECD 200 4

tới

)

Nhƣ vậy ta đƣa về bài toán tìm hai số khi biết tổng là 100 và tỷ số là

1 .

4

Mặt khác có tổng diện tích của hai tam giác

và

là:

1 SICF  SICD  SCDF   20 10  100 (cm2) 2

Vậy ta tính đƣợc diện tích tam giác

là:

SICD  100 : (4  1)  4  80 (cm ).

2

- Tính diện tích của tứ giác

.

Dựa vào hình vẽ ta có diện tích của tứ giác

là:

SAEID  SABCD – SEBC – SICD

Do đó thay các giá trị SEBC = 100 cm2 và SICD = 80 cm2 ta có : SAEID  400 –100 – 80  220 (cm2).

Ví dụ 11. Phân tích phƣơng pháp tìm lời giải của bài toán sau: “Tính tổng S = 1 + 2a + 3a2 + 4a3 + ... + (n + 1)an.”

Hướng dẫn Ta liên hệ tới bài toán tính tổng tƣơng tự đơn giản hơn sau: “Tính tổng P = 1 + a + a2 + a3 + ... + an.”

Nhân tổng P với a và ta có. a.P = a + a2 + a3 + a4 + ... + an+1 Vậy suy ra P – a.P = 1 – an+1

22

Do đó ta có P 

1  a n+1 1 a

Vận dụng cách tính tổng P ở trên ta đi tính tổng S nhƣ sau.

Ta nhân S với a và có. aS = a + 2a2 + 3a3 + 4a4 + ... + (n + 1)an+1.

Vậy suy ra S – aS = 1 + a + a2 + ... + an – (n + 1)an+1 Mà ta đã biết 1  a  a 2  a 3  ...  a n  S  a.S 

1  a n+1 , thay vào ta có: 1 a

1  a n+1  (n  1).a n 1 1 a

Do đó rút ra kết quả S 

1  a n+1  (1  a)(n  1)a n+1 .

(1  a)2

Nhận xét cách giải. Để tính tổng S (hoặc P) là các tổng hữu hạn gồm n số hạng ta nhân tổng đó với a, rồi xét hiệu aS – S hoặc S – aS, từ đây ta tính đƣợc S. Bằng phƣơng pháp tƣơng tự ta có thể tính đƣợc các tổng sau.

A = a + 2a2 + 3a3 + ... + nan.

B = 1 + 2a + 3a2 + ... + (n + 1)an.

1.3 Định hƣớng phát triển năng lực của học sinh trong dạy học toán ở trƣờng phổ thông 1.3.1. Dạy học theo hƣớng tiếp cận nội dung và hƣớng tiếp cận năng lực Tiếp cận nội dung là cách nêu ra một danh mục đề tài, chủ đề của một lĩnh vực/môn học nào đó. Tức là tập trung xác định và trả lời câu hỏi: Chúng ta muốn ngƣời học cần biết cái gì? Cách tiếp cận này ngƣời giáo viên chủ yếu dựa vào yêu cầu nội dung học vấn của một khoa học bộ môn để thiết kế nội dung dạy học. Vì vậy nội dung dạy học thƣờng mang tính "hàn lâm", nặng về lý thuyết và ít chú trọng đến vận dụng vào thực tiễn cuộc sống, nhất là khi ngƣời thiết kế ít chú đến tiềm năng, các giai đoạn phát triển, nhu cầu, hứng thú và điều kiện của ngƣời học.

Tiếp cận năng lực là cách tiếp cận nêu rõ kết quả - những khả năng hoặc kĩ năng mà ngƣời học mong muốn đạt đƣợc vào cuối mỗi giai đoạn học tập

23

trong nhà trƣờng ở một môn học cụ thể. Nói cách khác, cách tiếp cận này nhằm trả lời câu hỏi: Chúng ta muốn ngƣời học biết và có thể làm được những gì? Theo cách tiếp cận này thì ngƣời giáo viên phải thiết kế nội dung dạy học đảm bảo "tinh giản, cơ bản, hiện đại, giảm tính hàn lâm, tăng tính thực hành và vận dụng kiến thức và kĩ năng vào thực tiễn"[2]. Định hƣớng trên cũng hạn chế đƣợc tính hàn lâm, xa rời cuộc sống.

Khác với chƣơng trình định hƣớng nội dung, chƣơng trình dạy học định hƣớng phát triển năng lực tập trung vào việc mô tả chất lƣợng đầu ra, có thể coi là ”sản phẩm cuối cùng” của quá trình dạy học. Việc quản lý chất lƣợng dạy học chuyển từ việc điều khiển “đầu vào” sang điều khiển “đầu ra”, tức là kết quả học tập của học sinh.

Chƣơng trình dạy học định hƣớng phát triển năng lực không quy định những nội dung dạy học chi tiết mà quy định những kết quả đầu ra mong muốn của quá trình giáo dục, trên cở sở đó đƣa ra những hƣớng dẫn chung về việc lựa chọn nội dung, phƣơng pháp, tổ chức và đánh giá kết quả dạy học nhằm đảm bảo thực hiện đƣợc mục tiêu dạy học tức là đạt đƣợc kết quả đầu ra mong muốn. Trong chƣơng trình định hƣớng phát triển năng lực, mục tiêu học tập, tức là kết quả học tập mong muốn thƣờng đƣợc mô tả thông qua hệ thống các năng lực (Competency). Kết quả học tập mong muốn đƣợc mô tả chi tiết và có thể quan sát, đánh giá đƣợc. HS cần đạt đƣợc những kết quả yêu cầu đã quy định trong chƣơng trình. Việc đƣa ra các chuẩn đào tạo cũng là nhằm đảm bảo quản lý chất lƣợng giáo dục theo định hƣớng kết quả đầu ra.

1.3.2. Dạy học môn toán theo định hƣớng phát triển năng lực học sinh Phƣơng pháp dạy học (PPDH) theo định hƣớng tiếp cận nội dung chủ yếu yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi: Biết cái gì (know-what). Nghĩa là yêu cầu học sinh chỉ cần ghi nhớ tri thức và hiểu tri thức, chƣa chú ý tới yêu cầu vận dụng tri thức đó.

PPDH theo định hƣớng phát triển năng lực luôn đặt ra câu hỏi: Biết làm gì từ những điều đã biết. Nói cách khác, nói đến năng lực là phải nói đến khả năng thực hiện, là phải biết làm (know-how), chứ không chỉ biết và hiểu (know-what). Nhƣ vậy, tiếp cận năng lực chủ trƣơng giúp ngƣời học

24

không chỉ biết học thuộc, ghi nhớ mà còn phải biết làm thông qua các hoạt động cụ thể, sử dụng những tri thức học đƣợc để giải quyết các tình huống do cuộc sống đặt ra. Nói cách khác, tiếp cận năng lực là dạy cho học sinh không chỉ biết và hiểu kiến thức mà phải biết làm gì từ những điều đã biết về kiến thức đó.

Nhƣ vậy, việc dạy học toán theo định hƣớng phát triển năng lực học sinh là phù hợp với quan điểm “dạy học thông qua hoạt động và bằng hoạt động” [1] , đồng thời chú ý gắn hoạt động học với thực tiễn đời sống. Phƣơng pháp dạy và học sẽ khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kĩ năng của ngƣời học, tập trung dạy cách học, cách nghĩ và tự học, theo phƣơng châm "giảng ít, học nhiều". Đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin và truyền thông trong dạy và học; đa dạng hoá các hình thức tổ chức giáo dục… Nhƣ vậy, trong công cuộc đổi mới căn bản và toàn diện hiện nay, ngƣời giáo viên toán trƣớc tiên cần có nhận thức rõ ràng về sự khác biệt của PPDH theo hƣớng truyền thụ nội dung và PPDH theo hƣớng phát triển năng lực của học sinh.  PPDH theo hƣớng truyền thụ nội dung là chú trọng vào việc truyền đạt nội dung kiến thức và truyền đạt chứng minh Toán học.  PPDH theo hƣớng phát triển năng lực là coi trọng việc dạy cho HS cách tìm ra kiến thức, tìm ra chứng minh Toán học, đồng thời chú trọng vào các hoạt động vận dụng kiến thức đó để giải quyết nhiều tình huống đặt ra trong thực tiễn và trong đời sống.

Nhƣ theo nhà giáo dục ngƣời Đức A.Đixtecvec đã viết: “ngƣời thầy giáo tồi mang chân lí đến sẵn, còn ngƣời thầy giáo giỏi dạy đi tìm chân lí”.

TÌNH HUỐNG DẠY HỌC

PPDH THEO HƢỚNG TRUYỀN THỤ NỘI DUNG

25

PPDH THEO HƢƠNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH

DH khái niệm Toán học

 Nêu định nghĩa khái niệm:

 Hình thành khái niệm:

- Hoạt động gợi động cơ học tập

- Hoạt động gợi động cơ học tập

- Công bố định nghĩa khái niệm

- Phân tích tìm các dấu hiệu đặc trƣng, bản chất khái niệm - Khái quát hóa nêu định nghĩa khái niệm

 Hoạt động củng cố, ứng dụng:

 Hoạt động củng cố, ứng dụng:

Hoạt động ngôn ngữ; hoạt động nhận dạng thể hiên; hoạt động luyện tập, vận dụng; hoạt động hệ thống hóa

Hoạt động ngôn ngữ; hoạt động nhận dạng thể hiên; hoạt động luyện tập, vận dụng; hoạt động hệ thống hóa

 Tính chất, quy tắc

 Hình thành tính chất:

DH tính - Hoạt động gợi động cơ học chất, quy tập tắc Toán - Nêu nội dung tính chất, quy học tắc

- Hoạt động gợi động cơ học tập - Hoạt động suy đoán nội dung tính chất, quy tắc - Nêu nội dung tính chất, quy tắc

- Nêu chứng minh tính chất, quy tắc

 Hoạt động chứng minh tính chất, quy tắc:

 Hoạt động củng cố, ứng dụng:

Tạo tình huống; phân tích và tìm cách giải quyết tình huống;

Hoạt động ngôn ngữ; hoạt động nhận dạng thể hiên; hoạt động luyện tập, vận dụng; hoạt động hệ thống hóa.

 Hoạt động củng cố, ứng dụng

Tóm tắt nội dung bài toán DH bài  Phân tích tìm giải pháp giải tập Toán quyết Toán học.

26

Hoạt động ngôn ngữ; hoạt động nhận dạng thể hiên; hoạt động luyện tập, vận dụng; hoạt động hệ thống hóa. Tóm tắt nội dung bài toán  Hoạt động giải pháp giải quyết Toán học của bài toán.

học

 Hoạt động giải pháp giải quyết Toán học của bài toán.  Hoạt động kiểm tra và khai thác bài toán.

Theo trên ta thấy rằng PPDH bài tập Toán học theo định hƣớng tiếp cận nội dung là chú trọng vào việc truyền thụ cho học sinh giải quyết vấn đề Toán học của nó. PPDH bài tập Toán học theo hƣớng phát triển năng lực học sinh là coi trọng việc phân tích tìm đường lối giải quyết vấn đề Toán học không chỉ chú trọng vào việc truyền thụ cho học sinh giải quyết vấn đề Toán học của nó.

Nhƣ vậy, PPDH bài tập Toán học theo hƣớng phát triển năng lực học sinh thực chất là phát triển năng lực giải quyết vấn đề Toán học của học sinh.

Do đó ta có thể dựa vào các bƣớc trong quy trình của PPDH phát hiện và giải quyết vấn đề để chọn ra các chỉ báo của PPDH bài tập Toán học theo hƣớng phát triển năng lực học sinh: - Tạo tình huống gợi vấn đề.

- Tìm giải pháp giải quyết vấn đề.

- Trình bày giải pháp giải quyết vấn đề.

- Nghiên cứu sâu giải pháp giải quyết vấn đề.

Tiểu kết chƣơng 1 PPDH bài tập Toán học theo hƣớng phát triển năng lực học sinh là coi trọng việc phân tích tìm đường lối giải quyết vấn đề Toán học không chỉ chú trọng vào việc truyền thụ cho học sinh giải quyết vấn đề Toán học của nó.

27

CHƢƠNG 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TOÁN HỌC DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN” Ở LỚP 11 TRƢỜNG THPT THEO ĐỊNH HƢỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH. 2.1. Phân tích nội dung dạy học chủ đề quan hệ vuông góc trong không gian ở lớp 11 trƣờng THPT. 2.1.1. Nội dung chƣơng trình dạy học quan hệ vuông góc trong không gian.

- Vectơ trong không gian, sự đồng phẳng của các vectơ.

- Hai đƣờng thẳng vuông góc: Góc giữa hai đƣờng thẳng; hai đƣờng thẳng vuông góc.

- Đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng: Định nghĩa; tính chất; sự liên hệ giữa tính song song và vuông góc; định lí ba đƣờng vuông góc; góc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng.

- Hai mặt phẳng vuông góc: Góc giữa hai mặt phẳng; hai mặt phẳng vuông góc; các tính chất.

- Khoảng cách.

2.1.2 Nhiệm vụ dạy học nội dung quan hệ vuông góc trong không gian - Học sinh biết đƣợc các kiến thức liên quan đến vectơ trong không gian tƣơng tự nhƣ trong phẳng: hai vectơ vuông góc, song song; điều kiện đồng phẳng của các vectơ trong không gian; hệ thức vectơ về trọng tâm hệ điểm, …

- Học sinh biết xác định góc giữa hai đƣờng thẳng trong không gian; biết khái niệm hai đƣờng thẳng vuông góc và có kĩ năng chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc.

- Biết khái niệm, tính chất của đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng; sự liên hệ giữa tính song song và vuông góc; định lí ba đƣờng vuông góc; kĩ năng xác định góc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng.

- Biết xác định góc giữa hai mặt phẳng; khái niệm hai mặt phẳng vuông góc; các tính chất và có có kĩ năng chứng minh hai mặt phẳng vuông góc.

28

- Biết xác định khoảng cách. của một điểm và mặt phẳng; của hai mặt phẳng song song, của hai đƣờng thẳng chéo nhau trong không gian.

2.2 Ứng dụng xây dựng hệ thống bài tập Toán học dạy học chủ đề quan hệ vuông góc trong không gian theo định hƣớng phát triển năng lực học sinh - Định hướng phát triển năng lực của học sinh trong dạy học bài tập Toán học ở phổ thông là phát triển năng lực giải quyết vấn đề của người học: + Coi trọng việc dạy cho học sinh phân tích tìm đƣờng lối chứng minh Toán học (Tìm giải pháp giải quyết vấn đề). + Đồng thời chú ý dạy cho học sinh chứng minh Toán học đó (Trình bày giải pháp giải quyết vấn đề).

- Xây dựng hệ thống bài tập Toán học dạy học chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian” theo định hướng phát triển năng lực học sinh: + Mục đích trọng tâm dạy học của nội dung kiến thức mới. + Bài tập cơ bản: Đƣa ra hệ thống các bài tập luyện tập củng cố cơ bản; Phân tích, hƣớng dẫn tìm giải pháp giải các bài tập; Trình bày giải pháp giải các bài tập. + Bài tập nâng cao: Đƣa ra hệ thống các bài tập luyện tập, vận dụng kết hợp các kiến thức; phân tích, hƣớng dẫn tìm giải pháp giải các bài tập trong đó; trình bày giải pháp giải các bài tập trong đó.

2.2.1. Vectơ trong không gian, sự đồng phẳng của các vecto  Mục đích trọng tâm: Học sinh biết thực hiện phép cộng và phép trừ vecto trong không gian; phép nhân vecto với một số; biết sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình hộp để tính toán.

Hiểu đƣợc sự đồng phẳng của ba vecto, điều kiện để ba vecto đồng phẳng.

29

 Bài tập cơ bản: Bài 1: Cho hình chóp a) ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗

b) ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗

có đáy

là hình chữ nhật. Chứng minh:

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

Giải: Tìm giải pháp: a) Biến đổi tổng của hai vecto thành tổng của hai vecto chung gốc sau đó biểu thị chúng qua một vecto cùng gốc và đầu mút là trung điểm của đoạn thẳng nối hai đầu mút của hai vecto đó. b) + Tính bình phƣơng vô hƣớng của một vecto qua vecto ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ và độ dài của hai đoạn thẳng + So sánh ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗

và ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

Trình bày giải pháp: là giao điểm của hai đƣờng chéo hình

Gọi

chữ nhật a) Vì

là trung điểm của

theo quy tắc

hình bình hành: ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ Vì

⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

(1)

là trung điểm của

theo quy tắc

hình bình hành: ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

(2)

Từ (1), (2) suy ra: ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

b) Theo quy tắc ba điểm: ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

(⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

Tƣơng tự: ⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ) (⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ )

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

30

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ (⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ )

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

Tƣơng tự: ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

Mà

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ (⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ )

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

là hình chữ nhật nên

Suy ra: ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

Bài 2: Cho tứ diện ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ . Xác định điểm

thỏa mãn:

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

Giải: Tìm giải pháp: Biến đổi tƣơng đƣơng hệ thức vecto điều kiện của điểm Trình bày giải pháp: Theo giả thiết ta có: ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

là đỉnh thứ tƣ của hình bình hành Bài 3: Cho tứ diện ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

, trên

và

lấy hai điểm

và

sao cho:

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ . Chứng minh các vecto ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ đồng phẳng.

Giải: Tìm giải pháp: + Biểu diễn ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ qua ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ + Để ba vecto này đồng phẳng thì ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ chỉ biểu diễn đƣợc qua ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ không có vecto ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ .

31

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

Trình bày giải pháp: ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có: ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

(⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ )

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

Ba vecto ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ đồng phẳng.  Bài tập nâng cao: Bài 1: Cho tứ diện ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

. Xác định điểm

thỏa mãn:

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

Tìm giải pháp: + Biến đổi tƣơng đƣơng hệ thức vecto về điều kiện của điểm ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

+ Dựng điểm

để: ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

+ Dựng điểm

thỏa mãn điều kiện: ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

+ Dựng điểm

thỏa mãn điều kiện: ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

Trình bày giải pháp: Trong mặt phẳng Lấy điểm

: là hình bình hành

sao cho

Khi đó, theo quy tắc hình bình hành: ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ Mà ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

Gọi

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ (1)

là trung điểm của

32

Theo quy tắc hình bình hành: ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ Từ (1), (2) suy ra ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

Bài 2: Cho tứ diện ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

b) Tìm

(2)

qua

và các điểm

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ , ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

a) Các điểm

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

là điểm đối xứng của

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

đƣợc xác định bởi:

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

thuộc mặt phẳng nào của tứ diện?

để ba vecto ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ đồng phẳng.

Giải: Tìm giải pháp: a) + Nhận xét về sự biểu diễn của ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ qua ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ để xem 4 điểm có đồng phẳng hay không? + Nhận xét sự biểu diễn của ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ qua ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ để xem 4 điểm đồng phẳng hay không? b) + Tìm sự biểu diễn của ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ qua ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ + Điều kiện để ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ đồng phẳng thì không có mặt của vecto nào?

Trình bày giải pháp: a) + Ta có ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ đồng phẳng + Ta có ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ đồng phẳng b)Ta có: ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ Từ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ , ta có: ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

Theo quy tắc ba điểm: ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

(⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ) ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ (⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

(1) ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ) (2)

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

33

(3)

Thay (1), (2) vào (3) ta đƣợc: ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

Khi

thì ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

Vậy với

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

thì ba vecto ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ đồng phẳng.

2.2.2. Hai đƣờng thẳng vuông góc  Mục đích trọng tâm: Nắm đƣợc khái niệm góc giữa hai đƣờng thẳng, đặc biệt là hai đƣờng thẳng vuông góc.

Biết cách tính góc giữa hai đƣờng thẳng và chứng minh hai đƣờng thẳng vuông góc.  Bài tập cơ bản: Bài 1: Cho hình lập phƣơng a) Chứng minh b) Chứng minh

. .

Giải: Tìm giải pháp: a) Chọn điểm để xác định góc giữa hai đƣờng thẳng và kiểm tra số đo góc đó có bằng 900 b) + Dùng phƣơng pháp vecto để kiểm tra tích vô hƣớng ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ có bằng 0 hay không? + Muốn vậy ta cần phải biểu diễn ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ thành tổng của hai vecto nào cùng vuông góc với ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ .

Trình bày lời giải: a) Do

là hình lập phƣơng

( vì chúng cùng chung điểm ) 34

Mà BB’//DD’ nên

b) Ta có: ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ (⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ )

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

Theo ý a) có

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

Bài 2: Cho tứ diện trung điểm của

trong đó và

. Gọi

. Chứng minh rằng

và

lần lƣợt là

vuông góc với nhau.

Giải: Tìm giải pháp: Muốn chứng minh

:

+ Sử dụng phƣơng pháp vecto: tích vô hƣớng của hai vecto. + Muốn vậy ta phân tích vecto ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ thành tổng của hai vecto cùng vuông góc với vecto ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ .

Trình bày giải pháp: Theo quy tắc ba điểm, ta có: ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ } ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

Bài 3: Chứng minh rằng các cặp cạnh đối trong tứ diện đều vuông góc với 35

nhau.

Giải: Tìm giải pháp: Giả sử tứ diện đó là

, ta chứng minh

:

+ Sử dụng phƣơng pháp vecto: tích vô hƣớng của hai vecto. + Phân tích ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ thành tổng của hai vecto nào đó cùng vuông góc với ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ Trình bày giải pháp: Chứng minh Gọi

là trung điểm của

Vì tứ diện ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ Xét ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

đều ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ (⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ) ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

Tƣơng tự ta chứng minh đƣợc:

.

Bài 4: Cho hình lập phƣơng

. Chứng minh rằng:

.

Giải: Tìm lời giải: + Sử dụng phƣơng pháp vecto: tích vô hƣớng của hai vecto. + Phân tích một trong hai vecto thành tổng của hai vecto khác cùng vuông góc với vecto còn lại.

Trình bày lời giải: Theo quy tắc ba điểm ta có: ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

Do ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

Xét tích vô hƣớng: 36

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ (⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ )

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

 Bài tập nâng cao: Bài 1: Cho tứ diện

thì

. Chứng minh rằng nếu

đƣờng thẳng nối trung điểm của bài toán ngƣợc lại.

và

vuông góc với chúng. Phát biểu

Giải: Tìm giải pháp: Không sử dụng phƣơng pháp vecto mà sử dụng phƣơng pháp suy luận logic: + Để chứng minh hai đoạn thẳng vuông góc ta gắn hai đoạn thẳng đó vào cùng một tam giác nào đó. + Sau đó vận dụng các tính chất về tam giác để chứng minh chúng vuông góc.

Trình bày giải pháp: Gọi

lần lƣợt là trung điểm của

Ta cần chứng minh Xét

và

có: chung (c.c.c)

Xét AMB có Mà

nên

cân tại

là trung điểm của

Chứng minh tƣơng tự ta cũng có Bài toán ngƣợc: “Cho tứ diện

. , gọi

là trung điểm của

là đƣờng vuông góc chung của

Chứng minh rằng nếu

và và

. thì

” Bài 2: Cho tứ diện

có

. Gọi

37

lần lƣợt là trung

điểm của

và

. Biết

vuông góc với

. Tính

.

Giải: Tìm giải pháp: + Sử dụng bình phƣơng vô hƣớng để tính

.

+ Sử dụng quy tắc ba điểm để tách vecto ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ thành hai vecto vuông góc với nhau. + Muốn vậy ta chọn điểm thỏa mãn:

.

Trình bày giải pháp: Gọi là trung điểm của Khi đó: { Theo bài ra, ta có:

(2)

Từ (1), (2) suy ra ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗ Theo quy tắc ba điểm ta có: ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗

⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ⃗​⃗​⃗​⃗

√ 2.2.3. Đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng  Mục đích trọng tâm: Nắm đƣợc điều kiện để đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng, biết cách chứng minh đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng và áp dụng vào giải một số bài toán Vận dụng thành thạo định lý ba đƣờng vuông góc

38

Nắm đƣợc khái niệm và biết cách tính góc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng  Bài tập cơ bản: Bài 1: Cho hình lập phƣơng

. Chứng minh rằng:

.

Giải: Tìm giải pháp: Chọn một mặt phẳng chứa một đƣờng thẳng và chứng minh đƣờng thẳng kia vuông góc với mặt phẳng đó.

Trình bày giải pháp: Ta có { Mà

Bài 2: Cho tứ diện đều chứng minh các cặp cạnh đối vuông góc với nhau.

Giải: Tìm giải pháp: Chọn một mặt phẳng chứa một đƣờng thẳng và chứng minh đƣờng thẳng kia vuông góc với mặt phẳng đó.

Trình bày giải pháp: Giả sử tứ diện đều đó là Ta cần chứng minh: Gọi là trung điểm của { Mà

Chứng minh tƣơng tự ta có

.

39

Bài 3: Cho hình lập phƣơng

Hãy xác định góc giữa

và

các mặt phẳng sau: a)

b)

c)

.

Giải: Tìm giải pháp: Sử dụng phƣơng pháp chung xác định góc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng + Xác định đƣợc giao điểm của

với mặt phẳng.

+ Chọn điểm trên BD’ và xác định chân đƣờng vuông góc của điểm đó lên mặt phẳng. + Xác định hình chiếu của đƣờng xiên xuống mặt phẳng. + Góc của đƣờng xiên và hình chiếu là góc cần tìm.

Trình bày giải pháp: a) Có B’ là hình chiếu của

lên

Hình chiếu của đƣờng xiên BD’ lên Góc giữa ̂

và

là góc giữa

là và

hay chính là góc

b) Có

là hình chiếu của

lên

Hình chiếu của đƣờng xiên BD’ lên

là

Góc giữa và c) Gọi

Gọi

và

là góc giữa

hay chính là góc ̂ là tâm hình lập phƣơng

là trung điểm của

là hình chiếu của 40

lên

Hình chiếu của đƣờng xiên Góc giữa

và

lên

là

là góc giữa

Bài 4: Cho hình chóp

và

đáy là hình thoi tâm

hay chính là góc ̂ , hai tam giác

và

√

vuông tại , cho a) Chứng minh là hình chiếu của

b) Gọi

c) Tính góc giữa

trên

và

. Chứng minh

.

.

Giải: Tìm giải pháp: vuông góc với hai đƣờng thẳng cắt nhau nào nằm trong

a) Chứng minh mặt phẳng

. vuông góc với hai đƣờng thẳng cắt nhau nào nằm trong

b) Chứng minh mặt phẳng

.

c) Sử dụng phƣơng pháp chung xác định góc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng: + Xác định đƣợc giao điểm của + Chọn điểm trên

với mặt phẳng

và xác định chân đƣờng vuông góc của điểm đó lên mặt

phẳng + Xác định hình chiếu của đƣờng xiên xuống mặt phẳng + Góc của đƣờng xiên và hình chiếu là góc cần tìm.

Trình bày giải pháp: a) Ta có:

vuông tại (1)

vuông tại (2) Từ (1), (2) suy ra b) Theo ý a) có 41

Mà

vì

Mà

vì

c) Vì

là hình thoi

là hình chiếu của

là hình chiếu của là ̂

Xét

.

trên mặt phẳng

√

Ta có:

trên

nên góc giữa

và

√ ̂

vuông tại A, ta có:

√

√

̂ Bài 5: Cho tứ diện √

có hai tam giác

. Gọi là trung điểm của

và

đều cạnh ,

. Chứng minh rằng

.

Giải: Tìm giải pháp: vuông góc với hai đƣờng thẳng cắt nhau nào nằm trong

Chứng minh .

Trình bày giải pháp: Ta có:

{

đều, là trung điểm của

√

Tƣơng tự với Xét

( có:

√

) √

có:

42

√

(

)

(

√

)

vuông tại (2) Từ (1), (2) suy ra

.

Bài 6: Cho hình lập phƣơng

Chứng minh rằng:

.

Giải: Tìm giải pháp: + Chứng minh

vuông góc với hai đƣờng thẳng cắt nhau nằm trong

. + Để chứng minh hai đƣờng thẳng chéo nhau, vuông góc với nhau ta sử dụng định lí ba đƣờng vuông góc. + Để sử dụng định lí ba đƣờng vuông góc ta cần chỉ ra đƣờng vuông góc, đƣờng xiên và hình chiếu.

Trình bày giải pháp: Ta có

là hình chiếu của đƣờng xiên

lên mặt phẳng Mà

là đƣờng vuông góc

Theo định lí ba đƣờng vuông góc: (1) Ta có

là hình chiếu của đƣờng xiên

Mà

là đƣờng vuông góc (2)

Từ (1), (2) suy ra

.

 Bài tập nâng cao: 43

lên mặt phẳng

Bài 1: Cho lăng trụ

có đáy là tam giác đều cạnh , biết

và và vuông góc với phẳng

,

là trung điểm của

. Mặt phẳng

đi qua

. Tính diện tích thiết diện của hình lăng trụ cắt bởi mặt

.

Giải: Tìm giải pháp: Bƣớc 1: Xác định mặt phẳng

:

+ Xác định một điểm trên hình lăng trụ sao cho

là hình chiếu của nó lên

mặt phẳng chứa + Từ điểm vừa tìm đƣợc kẻ vuông góc với

cắt hình lăng trụ tại một điểm

+ Mặt phẳng chứa hai điểm vừa tìm đƣợc và điểm

chính là

Bƣớc 2: Tính diện tích thiết diện: + Nhận xét thiết diện đó có gì đặc biệt + Dựa vào các công thức tính diện tích để tính Trình bày giải pháp: Gọi

là trung điểm của

Mà

Kẻ Lấy điểm

Xét

thỏa mãn

vuông tại

:

√

√

44

(

̂

√

)

√

√

√

√

√

̂ Xét

vuông tại

√(

√

:

√

)

(

√

)

√

Diện tích thiết diện là: √ Bài 2: Cho hình chóp tam giác

và

√ có đáy là tam giác đều cạnh , . Chứng minh rằng

là trọng tâm . Tính

.

Giải: Tìm giải pháp: +{

nằm trong mặt phẳng nào so với

+{

nằm trong mặt phẳng nào so với

+ Từ hai đƣờng trên xác định đƣờng thẳng + Để chứng minh

ta cần chứng minh

đƣờng thẳng nào cắt nhau trong mặt phẳng + Tính Trình bày lời giải: Theo bài ra:

nhƣ thế nào?

là trọng tâm tam giác đều

Ta có: { nằm trên mặt phẳng trung trực của

45

vuông góc với hai

(1) { nằm trên mặt phẳng trung trực của (2) Từ (1); (2) suy ra Gọi

.

là trung điểm

Xét

vuông tại : √

là trọng tâm tam giác Xét

(

vuông tại :

√

)

√ Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều

, đáy

là hình vuông tâm O

cạnh a. Góc giữa các cạnh bên và mặt phẳng đáy là 60o. a) Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng qua đỉnh cạnh

.

b) Tính diện tích thiết diện tạo thành.

Giải: Tìm giải pháp: a) Dựng thiết diện qua đỉnh + Dựng

cắt

+ Qua kẻ

//

và vuông góc với cạnh

tại

. Tứ giác

là thiết diện.

b) Tính diện tích thiết diện: + Chứng minh rằng: Tứ giác + Tính

và

có 2 đƣờng chéo

để tính diện tích thiết diện.

46

:

và vuông góc với

Trình bày giải pháp: a) Trong mặt phẳng Qua kẻ

kẻ

cắt

tại

//

Ta có

nên

Thiết diện cần tìm là tứ giác b) Ta có

nên

Mà MN//BD Nhƣ vậy tứ giác đƣờng chéo

có hai và

vuông góc với nhau nên diện tích tứ diện là:

√

+)

√

+) Góc giữa cạnh bên và mặt đáy chính là góc ̂ Xét tam giác

̂

vuông tại :

̂

̂

√

√

√

√

√

Diện tích thiết diện là: √

2.2.4. Hai mặt phẳng vuông góc  Mục đích trọng tâm: Biết cách tính góc giữa hai mặt phẳng.

Nắm đƣợc điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc và các tính chất liên quan, biết vận dụng chúng vào việc giải toán.

47

Nắm đƣợc định nghĩa của các hình lăng trụ đặc biệt, hình chóp đều và hình chóp cụt đều.  Bài tập cơ bản: Bài 1: Cho hình lập phƣơng phẳng đáy

. Xác định góc giữa hai mặt

với các mặt sau:

a) b) c) Giải: Tìm giải pháp: Phƣơng pháp chung xác định góc giữa hai mặt phẳng: + Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. + Chọn một điểm trên giao tuyến, qua điểm đã chọn kẻ hai đƣờng thẳng nằm trên hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến. Khi đó góc giữa hai đƣờng thẳng vừa dựng chính là góc cần tìm.

Trình bày giải pháp: a) Ta có

//

Góc giữa hai mặt phẳng

và

bằng . b) Giao tuyến của hai mặt phẳng và

là

Lấy điểm

thuộc giao tuyến và {

Góc giữa hai mặt phẳng

và

là góc giữa

Hay chính là góc ̂ . và

c) Giao tuyến của hai mặt phẳng

48

là

và

Lấy điểm

là trung điểm của

Ta có: { Góc giữa hai mặt phẳng

và

là góc giữa

và

Hay chính là góc ̂ .

Bài 2: Cho hình lập phƣơng a)

Chứng minh:

.

b)

.

c)

.

Giải: Tìm giải pháp: + Sử dụng phƣơng pháp chung xác định góc giữa hai mặt phẳng. + Kiểm tra số đo góc đó xem có bằng

hay không?

Trình bày giải pháp: a) Góc giữa

và

là góc ̂

Mà ̂ b) Gọi

và

lần lƣợt là tâm của hình

vuông ABCD và A’B’C’D’ Góc giữa

và

là góc ̂

Mà ̂ c) Gọi

lần lƣợt là tâm hình vuông

và

là góc ̂

Góc giữa Mà ̂ Bài 3: Cho hình chóp đều, minh

có đáy là hình thoi tâm . Gọi

.

49

là hình chiếu của

cạnh , tam giác trên

. Chứng

Giải: Tìm giải pháp: Chỉ ra một đƣờng thẳng nằm trong một mặt phẳng và chứng minh đƣờng thẳng đó vuông góc với mặt phẳng còn lại.

Trình bày giải pháp: Theo bài ra có:

Mà

Có

 Bài tập nâng cao: Bài 1: Cho hình chóp vuông góc với mặt phẳng

có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên và

. Tính góc giữa hai mặt phẳng

và Giải: Tìm giải pháp: + Sử dụng phƣơng pháp chung xác định góc giữa hai mặt phẳng. + Tính số đo góc đó Trình bày giải pháp: Ta có:

lần lƣợt là hình chiếu của ,

trên mặt phẳng

Mà vuông tại Gọi

là trung điểm của

50

là giao tuyến của hai mặt phẳng Góc giữa hai mặt phẳng

và

và

là góc giữa

và

Hay là góc ̂ .

Xét

̂

vuông tại :

√

Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật Gọi

là trung điểm của

̂

√

có

. Xác định tỉ số

để hai mặt phẳng

vuông góc với nhau.

Tìm giải pháp: + Dựa vào phƣơng pháp chung để xác định góc giữa hai mặt phẳng + Cho số đo góc đó bằng

từ đó tính tỷ số

Trình bày giải pháp: Ta có: {

Gọi

là tâm hình vuông

{ Góc giữa

là góc giữa √

√

(

√

)

( )

51

. và

vuông tại √ (

)

Bài 3: Cho tứ diện Gọi

có

đôi một vuông góc.

lần lƣợt là góc giữa mặt phẳng

với các mặt phẳng

Chứng minh: Giải: Tìm giải pháp: + Sử dụng phƣơng pháp chung xác định góc giữa hai mặt phẳng để xác định góc , , + Dựa vào các công thức lƣợng giác để tính Trình bày giải pháp: { Gọi

là hình chiếu của

trên

{ ̂

Có { Ta có: mà Nên

√

Mặt khác: Tƣơng tự ta có:

;

52

,

theo b,c,d

2.2.5. Khoảng cách  Mục đích trọng tâm: Nắm đƣợc khái niệm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng và đến một đƣờng thẳng, khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng và mặt phẳng song song với nó; khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song và biết cách tính các khoảng cách đó.

Nắm đƣợc khái niệm đƣờng vuông góc chung của hai đƣờng chéo nhau và biết cách tính khoảng cách đó.  Bài tập cơ bản: Bài 1: Cho hình lập phƣơng

. Hãy xác định khoảng cách của

cặp đƣờng thẳng sau: a)

và

b)

và

c)

và

Giải: Tìm giải pháp: Phƣơng pháp chung thƣờng dùng để xác định khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau trong không gian: Cách 1: Tìm hai điểm lần lƣợt nằm trên hai đƣờng thẳng, chứng tỏ đoạn nối hai điểm đó cùng vuông góc với hai đƣờng thẳng đã cho. Đoạn thẳng ở trên chính là khoảng cách của hai đƣờng thẳng đã cho.

Cách 2: Dựng mặt phẳng chứa đƣờng thẳng này song song với đƣờng thẳng kia, xác định khoảng cách giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng song song đó là khoảng cách cần tìm.

Trình bày giải pháp: a) Ta có

cùng vuông góc với

và

53

Khoảng cách giữa b) Ta có

và

là

cùng vuông góc với

Khoảng các giữa c) Ta có:

và

//

và

là

//

Bài 2: Cho tứ diện đều

cạnh . Tính khoảng cách giữa

và

Giải: Tìm giải pháp: Sử dụng phƣơng pháp chung: Tìm hai điểm lần lƣợt nằm trên hai đƣờng thẳng, chứng tỏ đoạn nối hai điểm đó cùng vuông góc với hai đƣờng thẳng đã cho. Đoạn thẳng ở trên chính là khoảng cách của hai đƣờng thẳng đã cho.

Trình bày giải pháp: lần lƣợt là trung điểm của

Gọi

là khoảng cách giữa Thật vậy: Ta có tam giác

cân tại ,

là trung điểm của

Tƣơng tự ta có: Xét tam giác

vuông tại √(

√

: √

)

( )

Bài 3: Cho hình lập phƣơng

cạnh

sau: a) Từ điểm

đến mặt phẳng

b) Giữa hai đƣờng thẳng

√

và

54

Tính các khoảng cách

c) Giữa hai mặt phẳng

và

Giải: Tìm giải pháp: a) Xác định hình chiếu vuông góc của

lên mặt phẳng

.

b) Sử dụng phƣơng pháp chung để xác định khoảng cách của hai đƣờng thẳng chéo nhau trong không gian: Dựng mặt phẳng chứa đƣờng thẳng này song song với đƣờng thẳng kia, xác định khoảng cách giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng song song đó là khoảng cách cần tìm. c) – Xác định khoảng cách: + Có tìm đƣợc giao tuyến của hai mặt phẳng này không? + Nhận xét vị trí của hai mặt phẳng.

– Áp dụng phƣơng pháp tính khoảng cách.

Trình bày giải pháp: a) Gọi

là tâm của hình vuông

Khi đó Mà

(

) √

Ta có: Vậy (

)

b) Ta thấy

và

√

chéo nhau mà

// (

c) Gọi

là tâm của hình vuông

nên ) . Khi đó

trung trực của

55

√ là mặt phẳng

vuông góc với giao tuyến

Kẻ thì

của hai mặt phẳng

.

Do

// (

)

Xét tam giác

vuông tại , ta có: √ (

(

√

) √

)

 Bài tập nâng cao: Bài 1: Cho hình lập phƣơng

có cạnh

Tính khoảng cách từ

tới mặt phẳng Giải : Tìm giải pháp: + Tìm hình chiếu của

trên mặt phẳng



Muốn thế ta đi chứng minh



Tiếp theo xác định giao điểm của đƣờng thẳng điểm đó là hình chiếu của

+ Tính độ dài đoạn thẳng nối

trên mặt phẳng

với giao điểm vừa tìm đƣợc.

Trình bày giải pháp: Ta có {

Tƣơng tự ta có : Do đó suy ra Gọi

là tâm hình vuông

56

với mặt phẳng

Giao điểm của

và mặt phẳng

chính là , với

Khoảng cách từ

đến mặt phẳng

là

.

vuông tại √

̂ Khoảng cách từ

√

đến mặt phẳng

Bài 2: Cho hình chóp

là

√

có đáy là hình thoi,

mặt phẳng vuông góc với

biết

cách giữa hai đƣờng thẳng

và

đều và nằm trong . Tính khoảng

.

Tìm giải pháp: + Dựng mặt phẳng chứa đƣờng thẳng này song song với đƣờng thẳng kia, xác định khoảng cách giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng song song đó, đó chính là khoảng cách cần tìm. + Xác định khoảng cách giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng song song đó. + Sử dụng các hệ thức trong tam giác để tính khoảng cách vừa tìm đƣợc.

Trình bày giải pháp: là trung điểm

Gọi

suy ra và

Do

nên

// (

// )

(

)

Do {

Kẻ

do

nên

Kẻ

do

nên

57

Gọi

là giao điểm của

và

Khi đó: √

√

√

√

√

√ √ Xét tam giác

đƣờng cao

, ta có: √

√ Bài 3: Cho hình lập phƣơng giữa hai đƣờng thẳng

có cạnh . Tính khoảng cách

và

Giải: Tìm giải pháp: + Dựng mặt phẳng chứa đƣờng thẳng này song song với đƣờng thẳng kia, xác định khoảng cách giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng song song đó, đó chính là khoảng cách cần tìm. + Xác định khoảng cách giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng song song đó. + Sử dụng các hệ thức trong tam giác để tính khoảng cách vừa tìm đƣợc.

Trình bày giải pháp: Mặt phẳng

qua (

và song song với )

58

lần lƣợt là tâm của hình vuông

Gọi (

) là hình chiếu của

Gọi

(

) lên (1)

Ta có { (2) Từ (1); (2) suy ra (

)

Áp dụng hệ thức lƣợng trong tam giác

vuông tại , đƣờng cao

(

√

:

)

√

Tiểu kết chƣơng 2 Ứng dụng xây dựng hệ thống bài tập Toán học dạy học chủ đề quan hệ vuông góc trong không gian theo định hƣớng phát triển năng lực học sinh: - Xác định mục đích trọng tâm nội dung dạy học: Học sinh cần nhận biết đƣợc các kiến thức, kĩ năng nào.

- Xây dụng hai hệ thống bài tập cơ bản và nâng cao cho phần nội dung dạy học tƣơng ứng. Trong đó chú ý dạy học bài tập theo hƣớng phát triển năng lực của học sinh gồm hai hoạt động chính sau: + Phân tích giải pháp giải quyết vấn đề (Phân tích tìm đƣờng lối chứng minh Toán học của bài tập); + Trình bày giải pháp giải quyết vấn đề (Trình bày chứng minh Toán học của bài tập).

59

KẾT LUẬN *Nhiệm vụ nghiên cứu: - Nghiên cứu về lí luận: + Năng lực; năng lực Toán học của học sinh. + Định hƣớng phát triển năng lực của học sinh trong dạy học toán ở trƣờng phổ thông. + Dạy học bài tập toán học và nội dung dạy học bài tập Toán học chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian” ở lớp 11 trƣờng THPT. - Ứng dụng thiết kế hoạt động dạy học bài tập hình học chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian” ở lớp 11 trƣờng THPT theo định hƣớng phát triển năng lực của học sinh . *Kết quả của đề tài: 1. Định hƣớng phát triển năng lực học sinh trong dạy học bài tập Toán học ở trƣờng phổ thông: Định hướng phát triển năng lực của học sinh trong dạy học bài tập Toán học ở phổ thông là phát triển năng lực giải quyết vấn đề của người học: + Coi trọng việc dạy cho học sinh hoạt động phân tích tìm đƣờng lối chứng minh Toán học (Tìm giải pháp giải quyết vấn đề); + Đồng thời chú ý dạy cho học sinh hoạt động chứng minh Toán học đó (Trình bày giải pháp giải quyết vấn đề).

2. Ứng dụng thiết kế các hoạt động dạy học bài tập hình học chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian” ở lớp 11: - Xác định mục đích trọng tâm nội dung dạy học: Học sinh cần nhận biết đƣợc các kiến thức, kĩ năng nào.

- Xây dựng hai hệ thống bài tập cơ bản và nâng cao cho phần nội dung dạy học tƣơng ứng. Trong đó chú ý dạy học bài tập theo hƣớng phát triển năng lực của học sinh gồm hai hoạt động chính sau:

60

+ Phân tích giải pháp giải quyết vấn đề (Phân tích tìm đƣờng lối chứng minh Toán học của bài tập); + Trình bày giải pháp giải quyết vấn đề (Trình bày chứng minh Toán học của bài tập).

3. Hƣớng phát triển của đề tài: Tiếp tục theo hƣớng nghiên cứu của đề tài em sẽ tiếp tục phát triển nghiên cứu việc dạy học bài tập Toán học ở nhiều chủ đề khác.

Do điều kiện và khả năng còn nhiều khiếm khuyết, sai sót. Em xin trân trọng cám ơn những ý kiến đóng góp của thầy cô giáo trong bộ PPDH Toán, cùng các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp trong khoa Toán đã đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho khóa luận của em.

61

TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Bá Kim (Chủ biên), Phương pháp dạy học môn toán, NXB Giáo dục, 2007.

[2] Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo.

[3] Trần Luận (2011), Về cấu trúc năng lực của học sinh, Kỷ yếu hội thảo quốc gia về giáo dục toán học ở trƣờng phổ thông, NXB Giáo dục.

[4] Trần Văn Hạo – Nguyễn Mộng Hy – Khu Quốc Anh – Nguyễn Hà Thanh – Phan Văn Viện, Hình học 11, NXB Giáo dục.

[5] Đoàn Quỳnh – Văn Nhƣ Cƣơng – Phạm Khắc Ban – Tạ Mân, Hình học 11 Nâng cao, NXB Giáo dục.

[6] Trần Văn Hạo (Chủ biên) – Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên) – Phan Văn Viện – Khu Quốc Anh – Nguyễn Hà Thanh, Sách giáo viên Hình học 11, NXB Giáo dục.

[7] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) – Văn Nhƣ Cƣơng (Chủ biên) – Phạm Khắc Ban – Tạ Mân, Sách giáo viên Hình học 11 Nâng cao, NXB Giáo dục Việt Nam. [8] Trần Thành Minh – Phan Lƣu Biên – Trần Quang Nghĩa, Giải toán và câu hỏi trắc nghiệm Hình học 11, NXB Giáo dục.

[9] Các trang web: http://thuvienhoclieu.com.vn; https://tailieu.com.vn; https://hocmai.com.vn; ...

62