XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TOÁN HỌC DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN” Ở LỚP 12

LUẬN VĂN SIÊU CẤP CHANNEL

vectorstock.com/26530746

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN DISSERTATION PHÁT TRIỂN NỘI DUNG XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TOÁN HỌC DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN” Ở LỚP 12 TRƯỜNG THPT THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH (2019) PDF VERSION | 2019 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ======

TRẦN THỊ UYÊN

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TOÁN HỌC DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN” Ở LỚP 12 TRƢỜNG THPT THEO ĐỊNH HƢỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học Toán

HÀ NỘI - 2019

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ======

TRẦN THỊ UYÊN

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TOÁN HỌC DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN” Ở LỚP 12 TRƢỜNG THPT THEO ĐỊNH HƢỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học Toán Ngƣời hƣớng dẫn khoa học

ThS. NGUYỄN VĂN HÀ

HÀ NỘI - 2019

LỜI CẢM ƠN Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, em đã nhận đƣợc sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô trong tổ phƣơng pháp dạy học và các bạn sinh viên trong khoa. Qua đây, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy, cô trong tổ phƣơng pháp dạy học và đặc biệt là thầy giáo Nguyễn Văn Hà- ngƣời đã định hƣớng, chọn đề tài và tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em hoàn thiện khóa luận tốt nghiệp này.

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy, cô trong khoa Toán trƣờng Đại học sƣ phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện, giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này.

Do thời gian và kiến thức có hạn, khóa luận không tránh khỏi có những hạn chế và thiếu sót nhất định. Em kính mong nhận đƣợc sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em đƣợc hoàn thiện hơn.

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2019 Sinh viên

Trần Thị Uyên

LỜI CAM ĐOAN

Tên em là Trần Thị Uyên Sinh viên lớp: K41D- Sƣ phạm Toán Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu của riêng em dƣới sự chỉ đạo của giáo viên hƣớng dẫn. Và nó không trùng với kết quả của bất cứ tác giả nào khác.

Nếu sai em hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Hà Nội, tháng 5 năm 2019 Sinh viên

Trần Thị Uyên

MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU ..................................................................................................1

1. Lí do chọn đề tài ........................................................................... 1 2.Mục đích nghiên cứu ..................................................................... 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................... 2 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ............................................... 2 5. Phƣơng pháp nghiên cứu ............................................................ 2 CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ..........................................4 1.1 Năng lực và năng lực Toán học .................................................................4 1.1.1 Năng lực ..................................................................................................4 1.1.2 Năng lực Toán học của học sinh .............................................................6 1.2. Dạy học bài tập Toán học ở trƣờng phổ thông .........................................7 1.2.1 Bài toán và lời giải của bài toán .............................................................7 1.2.2. Ý nghĩa của việc giải toán ................................................................... 11 1.3. Định hƣớng phát triển năng lực của học sinh trong dạy học toán ở trƣờng phổ thông ........................................................................................... 24 1.3.1. Dạy học theo hƣớng tiếp cận nội dung và hƣớng tiếp cận năng lực ... 24 1.3.2. Dạy học môn toán theo định hƣớng phát triển năng lực học sinh ...... 25 Tiểu kết chƣơng 1.......................................................................................... 29 CHƢƠNG 2. ỨNG DỤNG XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TOÁN HỌC DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƢƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ở LỚP 12 TRƢỜNG THPT THEO ĐỊNH HƢỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH ...................................................... 30 2.1. Phân tích nội dung dạy học chủ đề phƣơng pháp tọa độ trong không gian ở lớp 12 trƣờng THPT ........................................................................... 30

2.1.1. Nội dung chƣơng trình dạy học phƣơng pháp tọa độ trong không gian ................................................................................................................ 30 2.1.2 Nhiệm vụ dạy học nội dung phƣơng pháp tọa độ trong không gian ... 30 2.2. Ứng dụng xây dựng hệ thống bài tập Toán học dạy học chủ đề phƣơng pháp toạ độ trong không gian theo định hƣớng phát triển năng lực học sinh ................................................................................................... 31 2.2.1. Hệ tọa độ trong không gian ................................................................. 32 2.2.2. Phƣơng trình mặt phẳng ...................................................................... 34 2.2.3. Phƣơng trình đƣờng thẳng .................................................................. 46 2.2.4. Bài tập tổng hợp chƣơng ..................................................................... 56 Tiểu kết chƣơng 2.......................................................................................... 59 KẾT LUẬN ................................................................................................... 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................. 62

LỜI MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài Công cuộc đổi mới của đất nƣớc ta, thực hiện công nghiệp hóa, hiện đại hóa gắn liền với phát triển tri thức, tích cực chủ động hội nhập quốc tế sâu rộng đã và đang đặt ra cho ngành giáo dục và đào tạo nhiệm vụ to lớn và hết sức nặng nề là đào tạo nguồn nhân lực chất lƣợng cao. Để thực hiện đƣợc nhiệm vụ đó, sự nghiệp giáo dục cần đƣợc đổi mới về cả mục tiêu, nội dung chƣơng trình và phƣơng pháp dạy học. Phƣơng pháp dạy học phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tƣ duy sáng tạo của ngƣời học, bồi dƣỡng cho ngƣời học năng lực tự học, kĩ năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vƣơn lên. Do đó, phƣơng pháp dạy học cần xây dựng theo định hƣớng phát triển năng lực cho học sinh.

Trong đó, phƣơng pháp dạy học môn toán giữ một vị trí quan trọng vì toán học là công cụ để học những môn học khác, là công cụ của nhiều ngành khoa học khác nhau và là công cụ để hoạt đông trong thực tế. Tuy nhiên, đối với học sinh đây là môn học có tính trừu tƣợng cao và là môn học khó, các khái niệm là nguồn gốc của những khó khăn trở ngại đó. Trong việc dạy học Toán, điều quan trọng bậc nhất là hình thành cho học sinh thông hiểu một hệ thống khái niệm. Đó là cơ sở của toàn bộ kiến thức Toán học của học sinh, là tiền đề quan trọng để xây dựng khả năng vận dụng những kiến thức đã học.

Vì những lí do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu là: Xây dựng hệ thống bài tập Toán học dạy học chủ đề “Phương pháp toạ độ trong không gian” ở lớp 12 trường THPT theo định hướng phát triển năng lực học sinh

1

2.Mục đích nghiên cứu Định hƣớng chung phát triển năng lực của học sinh trong dạy học toán ở trƣờng phổ thông Xây dựng hệ thống bài tập Toán học của chủ đề “Phƣơng pháp toạ độ trong không gian” ở lớp 12 trƣờng THPT theo hƣớng phát triển năng lực học sinh, góp phần nâng cao chất lƣợng và hiệu quả của việc dạy học môn toán ở phổ thông hiện nay 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu về cơ sở lí luận và thực tiễn: + Năng lực và năng lực toán học của học sinh + Định hƣớng phát triển năng lƣc của học sinh trong dạy học toán ở trƣờng phổ thông + Dạy học bài tập Toán học và nội dung dạy học bài tập Toán học trong chủ đề “Phƣơng pháp tọa độ trong không gian” ở lớp 12 trƣờng THPT. - Ứng dụng xây dựng hệ thống bài tập Toán học của chủ đề “Phƣơng pháp toạ độ trong không gian” ở lớp 12 trƣờng THPT theo hƣớng phát triển năng lực học sinh 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Các bài tập Toán học theo hƣớng phát triển năng lực học sinh Toán học thuộc chủ đề của chủ đề “Phƣơng pháp toạ độ trong không gian” ở lớp 12 trƣờng THPT. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận về năng lực, năng lực toán học của học sinh, về phƣơng pháp dạy học khái niệm môn toán.

Tổng kết kinh nghiệm tham khảo các giáo án, bài giảng theo phƣơng pháp dạy học theo định hƣớng phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học và năng lực vận dụng Toán học của học sinh

2

Nghiên cứu nội dung chƣơng trình, sách giáo khoa môn Toán thuộc chủ đề của chủ đề “Phƣơng pháp toạ độ trong không gian” ở lớp 12 trƣờng THPT

3

CHƢƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Năng lực và năng lực Toán học 1.1.1 Năng lực Theo quan điểm của những nhà tâm lý học năng lực là tổng hợp các đặc điểm, thuộc tính tâm lý của cá nhân phù hợp với yêu cầu, đặc trƣng của một hoạt động, nhất định nhằm đảm bảo cho hoạt động đó đạt hiệu quả cao..

Năng lực của con ngƣời có đặc điểm sau: + Năng lực luôn gắn với một hoạt động cụ thể + Năng lực đƣợc hình thành và bộc lộ trong hoạt động + Năng lực chịu sự chi phối của các yếu tố bẩm sinh di truyền, môi trƣờng và hoạt động của bản thân Nhƣ vậy, năng lực của con ngƣời hình thành trên cơ sở chi phối nhiều bởi các yếu tố tƣ chất của cá nhân, nhƣng năng lực của con ngƣời không phải hoàn toàn do tự nhiên mà có, phần lớn do công tác, do tập luyện mà hình thành phát triển năng lực Tâm lý học chia năng lực thành các dạng khác nhau nhƣ năng lực chung và năng lực chuyên môn. + Năng lực chung là năng lực cần thiết cho nhiều ngành hoạt động khác nhau nhƣ năng lực phán xét tƣ duy lao động, năng lực khái quát hoá, năng lực luyện tập + Năng lực chuyên môn là năng lực đặc trƣng trong lĩnh vực nhất định của xã hội nhƣ năng lực tổ chức, năng lực âm nhạc, năng lực kinh doanh, hội hoạ, năng lực toán học...

Năng lực chung và năng lực chuyên môn có quan hệ qua lại hữu cơ với nhau, năng lực chung là cơ sở của năng lực chuyên môn, nếu chúng càng phát triển thì càng dễ thành đạt đƣợc năng lực chuyên môn. Ngƣợc lại sự phát triển của năng lực chuyên môn trong những điều kiện nhất định lại có ảnh hƣởng đối với sự phát triển của năng lực chung. Trong thực tế mọi hoạt động có kết 4

quả và hiệu quả cao thì mỗi ngƣời đều phải có năng lực chung phát triển ở trình độ cần thiết và có một vài năng lực chuyên môn tƣơng ứng với lĩnh vực công việc của mình.

Năng lực còn đƣợc hiểu theo một cách khác, năng lực là tính chất tâm sinh lý của con ngƣời chi phối quá trình tiếp thu kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo tối thiểu là cái mà ngƣời đó có thể dùng khi hoạt động. Để nắm đƣợc cơ bản các dấu hiệu khi nghiên cứu bản chất của năng lực ta cần phải xem xét trên một số khía cạnh sau: - Năng lực là sự khác biệt tâm lý của cá nhân ngƣời này khác ngƣời kia, nếu một sự việc thể hiện rõ tính chất mà ai cũng nhƣ ai thì không thể nói về năng lực.

- Năng lực chỉ là những khác biệt có liên quan đến hiệu quả việc thực hiện một hoạt động nào đó chứ không phải bất kỳ những sự khác nhau cá biệt chung chung nào.

- Năng lực con ngƣời bao giờ cũng có mầm mống bẩm sinh tuỳ thuộc vào sự tổ chức của hệ thống thần kinh trung ƣơng, nhƣng nó chỉ đƣợc phát triển trong quá trình hoạt động, phát triển của con ngƣời. Trong xã hội có bao nhiêu hình thức hoạt động của con ngƣời thì cũng có bấy nhiêu loại năng lực, có ngƣời có năng lực về quản lý kinh tế, có ngƣời có năng lực về Toán học, có ngƣời có năng lực về kỹ thuật, có ngƣời có năng lực về thể thao ...

- Cần phân biệt năng lực với tri thức, kỹ năng, kỹ xảo: Tri thức là những hiểu biết thu nhân đƣợc từ sách vở, từ học hỏi và từ kinh nghiệm cuộc sống của mình. Kỹ năng là sự vận dụng bƣớc đầu những kiến thức thu lƣợm vào thực tế để tiến hành một hoạt động nào đó. Kỹ xảo là những kỹ năng đƣợc lặp đi lặp lại nhiều lần đến mức thuần thục cho phép con ngƣời không phải tập trung nhiều ý thức vào việc mình đang làm. Còn năng lực là một tổ hợp phẩm chất tƣơng đối ổn định, cơ bản của cá nhân, cho phép nó thực hiện có kết quả một hoạt động. Nhƣ vậy năng lực chỉ làm cho việc tiếp thu các kiến thức kỹ năng, kỹ xảo trở nên dễ dàng hơn.

5

1.1.2 Năng lực Toán học của học sinh Theo V.A.Krutetxki thì khái niệm năng lực toán học đƣợc hiểu dƣới hai bình diện sau: Năng lực nghiên cứu Toán học là năng lực sáng tạo, các năng lực hoạt động Toán học tạo ra đƣợc các kết quả, thành tựu mới, khách quan và có ý nghĩa với nhân loại.

Năng lực Toán học của học sinh là năng lực học tập giáo trình Toán học ở trƣờng phổ thông, lĩnh hội nhanh chóng và có kết quả cao các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tƣơng ứng.

- Năng lực Toán học của học sinh: Từ khái niệm về năng lực ta có thể đi đến khái niệm về năng lực Toán học của học sinh: “Năng lực Toán học là những đặc điểm tâm lí đáp ứng đƣợc yêu cầu hoạt động học toán và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng trong lĩnh vực Toán học tƣơng đối nhanh chóng, dễ dàng, sâu sắc trong những điều kiện nhƣ nhau” - Trong quá trình tiếp thu tri thức, học sinh tham gia nhiều hình thức hoạt động Toán học. Mỗi hoạt động Toán học phức hợp đặc trƣng cho một dạng năng lực thành phần. Các năng lực thành phần này có quan hệ chặt chẽ với nhau tạo thành một cấu trúc năng lực Toán học. Cấu trúc năng lực Toán học bao gồm các dạng năng lực thành phần sau: + Năng lực tính toán, giải toán + Năng lực tƣ duy Toán học + Năng lực giao tiếp Toán học (Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học) + Năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn + Năng lực giải quyết vấn đề + Năng lực sáng tạo Toán học

6

1.2. Dạy học bài tập Toán học ở trƣờng phổ thông 1.2.1 Bài toán và lời giải của bài toán a) Bài toán Theo G.POLYA. Bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một cách có ý thức các phƣơng tiện thích hợp để đạt đến một mục đích nhất định trông thấy rõ ràng, nhƣng không thể đạt đƣợc ngay.

Trên cơ sở định nghĩa khái quát của G.POLYA cho ta thấy rằng. Bài toán là sự đòi hỏi phải đạt tới mục đích nào đó. Nhƣ vậy, bài toán có thể đồng nhất với một số quan niệm khác nhau về bài toán nhƣ đề toán, bài tập.....

Trong định nghĩa về bài toán ở trên ta thấy có hai yếu tố chính hợp thành của một bài toán.

- Bài toán luôn có mục đích xác định.

- Sự đòi hỏi ngƣời khác thực hiện mục đích của bài toán (giao nhiệm vụ hoặc yêu cầu ngƣời khác thực hiện mục đích của bài toán) Ví dụ 1 “Cho đƣờng tròn (O) và đƣờng thẳng d cắt đƣờng tròn tại hai điểm A, B. Từ một điểm M bất kỳ trên d và nằm ở ngoài đƣờng tròn, kẻ các tiếp tuyến MP và MN (P, N là các tiếp điểm). Chứng minh rằng khi M di động trên đƣờng thẳng d thì đƣờng tròn ngoại tiếp MNP luôn đi qua hai điểm cố định.” Đây là bài toán vì trong đó bao gồm hai yếu tố cơ bản hợp thành sau đây.

- Sự đòi hỏi của bài toán thể hiện qua cụm từ "Chứng minh rằng".

- Mục đích của bài toán thể hiện. “Đƣờng tròn ngoại tiếp MNP luôn đi qua hai điểm cố định.”

Ví dụ 2 “Số tự nhiên n  N và n < 10.”

7

Đây không phải là bài toán vì thiếu sự đòi hỏi ngƣời khác thực hiện mục đích. Đây không phải là mệnh đề toán học vì không có giá trị chân lý đúng hay sai. Đây là một hàm mệnh đề vì đó là câu có chứa biến số n và khi thay biến bởi hằng ta đƣợc mệnh đề.

Ví dụ 3 “Tìm n  N và n < 10.” Đây là bài toán vì trong đó bao gồm hai yếu tố cơ bản sau; - Sự đòi hỏi của bài toán thể hiện qua cụm từ “tìm”.

- Mục đích của bài toán thể hiện. “n  N và n < 10.” b) Lời giải bài toán - Lời giải của bài toán đƣợc hiểu là tập hợp hữu hạn, sắp thứ tự các thao tác cần thực hiện để đạt tới mục đích đã đặt ra trong bài toán.

- Nhƣ vậy ta thống nhất các thuật ngữ bài giải, cách giải và đáp án của bài toán đều theo nghĩa lời giải ở trên.

- Một bài toán có thể có lời giải nhƣ sau. + Một lời giải; + Nhiều lời giải; + Không có lời giải.

- Giải đƣợc một bài toán đƣợc hiểu là tìm ra và trình bày đúng ít nhất một lời giải của bài toán trong trƣờng hợp bài toán có lời giải, hoặc lý giải đƣợc bài toán là không giải đƣợc trong trƣờng hợp nó không có lời giải.

Ví dụ 4: Tìm các lời giải số học của bài toán cổ sau.

“Vừa gà vừa chó, Bó lại cho tròn, Ba mƣơi sáu con,

8

Một trăm chân chẵn.

Tính số gà, số chó?”

Cách 1. Giả thiết tạm Giả sử tất cả 36 con vật đều là gà.

Vậy số chân của 36 con vật là 2  36 = 72 (chân) Tổng số chân hụt đi so với điều kiện thực tế của bài toán là 100 – 72 = 28 (chân) Ta thấy 28 chân thiếu hụt so với điều kiện thực của bài toán là do ta giả sử tất cả 36 con vật đều là gà cả. Nhƣ vậy, ta đã bỏ đi ở mỗi con chó là 2 chân.

Vậy số con chó là 28 : 2 = 14 (con chó) Số con gà là 36 – 14 = 22 (con gà) Trả lời. Số gà là 22 con ; số chó là 14 con.

Cách 2. Giả thiết tạm Giả sử tất cả 36 con vật đều là chó.

Vậy số chân của 36 con vật là 4  36 = 144 (chân) Số chân dƣ ra so với điều kiện thực tế của bài toán là 144 – 100 = 44 (chân) Ta thấy 44 chân dƣ ra so với điều kiện thực tế của bài toán là do ta giả sử 36 con vật đều là chó cả. Nhƣ vậy, ta đã thêm vào cho mỗi con gà 2 chân.Vậy số con gà là 44 : 2 = 22 (con gà)

9

Số con chó là 36 – 22 = 14 (con chó) Trả lời. Số gà là 22 con ; số chó là 14 con.

Cách 3. Giả thiết tạm Giả sử tất cả 36 con vật đều có 3 chân. Vậy số chân của 36 con vật sẽ là 3  36 = 108 (chân).

Số chân dƣ ra so với điều kiện thực tế của bài toán là 108 – 100 = 8 (chân) Ta thấy 8 chân dƣ so với điều kiện thực tế của bài toán là do ta giả sử mỗi con vật gà và chó đều 3 chân. Nhƣ vậy, ta đã thêm cho mỗi con gà 1 chân và đồng thời bớt đi mỗi con chó 1 chân.

Nếu số gà và chó bằng nhau thì số chân vừa đủ. Nếu số chó nhiều hơn số gà thì số chân phải thiếu hụt. Ở đây số chân dƣ ra 8 chân, vậy số gà nhiều hơn số chó. Mà mỗi con gà ta thêm cho nó 1 chân, vậy số con gà nhiều hơn số con chó là 8 : 1 = 8 (con) Số con chó là (36 – 8) : 2 = 14 (con chó) Số con gà là 14 + 8 = 22 (con chó) Trả lời. Số gà là 22 con, số chó là 14 con.

Cách 4. Giả thiết tạm Giả sử số gà bằng số chó và đều bằng 18 con.

Do đó tổng số chân của 36 con vật là (2  18) + (4  18) = 108 (chân).

Số chân dƣ ra so với điều kiện thực tế của bài toán là

10

108 – 100 = 8 (chân).

Ta thấy 8 chân dƣ ra là do điều giả sử số gà bằng số chó và bằng 18 con. Nhƣ vậy, ta đã chuyển một số con chó thành bằng ấy con gà hoặc ngƣợc lại.

Nếu chuyển một số con chó thành một số con gà thì tổng số chân phải thiếu hụt. Ở đây tổng số chân tăng thêm 8 chân, nghĩa là ta đã chuyển một số con gà thành con chó. Mà ta biết rằng khi chuyển một con gà thành một con chó thì số chân tăng thêm là 2 chân.Vậy số con gà đƣợc chuyển thành số con chó là

8 : 2  4 (con) .

Số gà nhiều hơn số chó là

4  2  8 (con) Số con chó là (368):214(con)

Số con gà là

14822 (con) Trả lời: 22 con gà, số chó là 14 con chó 1.2.2. Ý nghĩa của việc giải toán a) Kiến thức Trong thực tế một bài toán chứa đựng nhiều kiến thức về khái niệm toán học và các tính chất toán học. Khi giải một bài toán đòi hỏi ta phải phân tích dữ kiện đã cho của bài toán, huy động các kiến thức đã cho trong đề toán và các kiến thức đã biết khác có liên quan tới bài toán, tổng hợp lại để đề ra kiến thức mới. Và cứ nhƣ vậy các kiến thức mới tìm ra lại cùng các kiến thức đã biết trƣớc đƣợc phân tích, tổng hợp lại để đề ra các kiến thức mới nữa ...

Cuối cùng chúng ta đi đến đƣợc lời giải của bài toán.

11

Nhƣ vậy khi giải một bài toán không những chỉ các kiến thức đã có trong bài toán mà cả một hệ thống các kiến thức liên quan tới bài toán cũng đƣợc củng cố qua lại nhiều lần.

Ví dụ 5. Hãy tìm các cách giải của bài toán sau.

“Cho ba hình vuông có cạnh bằng nhau và bằng một đƣợc dựng liên tiếp nhau (Hình 1.1). Chứng minh rằng  +  = 45o ” Hướng dẫn A

O

C 



D

Hình 1.1

B

Cách 1. Lớp 10 1 2

1 3

Từ giả thiết ta thấy tan  , tan   .



a n     1    45o .

Dễ thấy t .

Do đó suy ra 1  t a n  . t a n t a n  t a n

Với cách giải này củng cố cho học sinh những kiến thức sau.

- Định nghĩa hàm số lƣợng giác của một góc, cách xác định giá trị một hàm số lƣợng giác của một góc.

- Công thức biến đổi lƣợng giác của một tổng.

Cách 2. Lớp 7

E

A

O



C

 

D

Hình 1.2

B

Để tính tổng của hai góc  và , ta dịch chuyển góc  đến vị trí kề với  tạo ra một góc tổng của chúng (Hình 1.2).

Bằng cách xét một cặp tam giác vuông bằng nhau, ta dễ dàng chứng minh đƣợc rằng BDE=45o .

12

Với cách giải này củng cố cho học sinh các kiến thức sau.

- Hai góc kề nhau - Cách chứng minh hai tam giác bằng nhau, các tính chất của hai tam giác bằng nhau. Cách chứng minh một tam giác là tam giác vuông cân.

Cách 3. Lớp 8, 9 C

O

A







D

Hình 1.3

B

Ta có BOC, DOB đồng dạng vì chung nhau góc O và hai cạnh kề góc đó tỉ lệ với nhau. Từ đây suy ra β  CBO và dễ dàng có điều cần chứng minh. (Hình 1.3) Với cách giải này củng cố cho học sinh các kiến thức sau: - Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng.

- Tính chất của hai tam giác đồng dạng.

- Tính chất của hai đƣờng thẳng song song.

- Hình vuông và các tính chất của nó. b) Tƣ duy Đặc điểm nổi bật của Toán học cũng nhƣ của môn toán là một khoa học suy diễn, nó là môn khoa học đƣợc xây dựng bằng phƣơng pháp tiên đề. Do vậy, lời giải của bài toán là một hệ thống hữu hạn các thao tác, có thứ tự chặt chẽ để đi đến một mục đích rõ rệt. Vì vậy khi giải một bài toán nó có tác dụng trực tiếp rèn luyện cho học sinh năng lực sử dụng các phép suy luận hợp logic: Suy luận có căn cứ đúng, suy luận tuân theo quy tắc suy diễn logic, ...

Chúng ta biết rằng không thể có một phƣơng pháp chung nào để giải đƣợc mọi bài toán. Mỗi bài toán có một hình vẻ khác nhau, muốn tìm ra đƣợc lời giải của bài toán chúng ta phải biết phân tích, biết cách dự đoán kết quả, biết cách kiểm tra dự đoán, biết cách liên hệ tới các vấn đề tƣơng tự gần giống nhau, biết cách suy luận tổng hợp, khái quát hoá ..... , biết cách suy đoán. Nhƣ 13

vậy qua việc giải bài toán năng lực tƣ duy logic và tƣ duy sáng tạo của học sinh đƣợc rèn luyện và phát triển. c) Kỹ năng Một trong những yêu cầu của việc thông hiểu các kiến thức của bất cứ của bộ môn khoa học nào là biết, thông hiểu và vận dụng các kiến thức của bộ môn khoa học đó vào việc giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, tức là giải quyết đƣợc các bài toán đặt ra trong lĩnh vực khoa học đó.

Trong việc giảng dạy toán ta thấy rằng bài toán tham gia vào tất cả các tình huống điển hình của quá trình dạy học môn toán.

- Trong giảng dạy khái niệm Toán học Bài toán có thể đƣợc sử dụng để tổ chức gây tình huống, để dẫn dắt cho học sinh tiếp cạn đến định nghĩa khái niệm; bài toán đƣợc sử dụng làm các ví dụ hoặc phản ví dụ minh hoạ cho khái niệm (hoạt động nhận dạng và thể hiện khái niệm); bài toán đƣợc sử dụng để luyện tập củng cố và vận dụng khái niệm.

- Trong giảng dạy định lý Toán học Bài toán có thể đƣợc sử dụng để tổ chức gây tình huống dẫn dắt học sinh phát hiện ra nội dung định lý toán học; bài toán có thể đƣợc sử dụng trong hoạt động nhận dạng và thể hiện định lý ; bài toán có thể đƣợc sử dụng để cho học sinh tập vận dụng định lý; đặc biệt là việc tổ chức hƣớng dẫn học sinh tìm ra đƣờng lối chứng minh định lý chính là việc dạy cho học sinh cách phân tích tìm ra chứng minh toán học của bài toán không có angorit giải.

- Trong luyện tập Toán học Bài toán là phƣơng tiện chủ yếu trong các tiết luyện tập Toán học. Trong đó ngƣời giáo viên phải xây dựng đƣợc một hệ thống các bài tập có liên quan chặt chẽ với nhau để nhằm giúp học sinh củng cố vững chắc các kiến thức cơ bản và hình thành một số kỹ năng cơ bản nào đó.

14

d) Tƣ tƣởng Đặc điểm cơ bản trong tính cách của con ngƣời là mọi hoạt động đều có mục đích rõ ràng. Khi giải một bài toán ta luôn có định hƣớng mục đích cụ thể, rõ ràng. Vì vậy việc giải bài toán sẽ góp phần tích cực vào việc rèn luyện năng lực hoạt động của con ngƣời. Để giải một bài toán, nhất là đối với các bài toán khó ngƣời giải phải vƣợt qua rất nhiều khó khăn, phải kiên trì nhẫn lại, và nhiều khi ngƣời ta phải có quyết tâm, khát vọng lớn để giải bài toán đó. Nói theo cách của G.POLIA là “Khát vọng và quyết tâm giải đƣợc bài toán là nhân tố chủ yếu của quá trình giải mọi bài toán ”. Do vậy ta thấy rằng hoạt động giải toán chính là nhân tố chủ yếu của quá trình hình thành và phát triển nhân cách của con ngƣời.

1.2.3. Phân loại bài toán Ngƣời ta có nhiều cách để phân loại các bài toán và ngƣời ta phân loại bài toán theo nhiều cách khác nhau để đạt đƣợc mục đích nhất định, thƣờng là để sử dụng các bài toán một cách thuận lợi. a) Phân loại theo hình thức bài toán Ngƣời ta căn cứ vào kết luận của bài toán để phân chia bài toán ra thành hai loại nhƣ sau.

- Bài toán chứng minh.

Những bài toán mà trong kết luận của nó đã thể hiện rõ kết quả cuối cùng của mục đích bài toán.

Ví dụ 6: “Cho tam giác ∆ABC, hai điểm M, N lần lƣợt là trung điểm các cạnh AB, AC. Chứng minh rằng diện tích của tam giác ∆AMN bằng tam giác ∆ABC.”

A

Hướng dẫn M

N

C Hình 1.4

B

15

1 diện tích 4

Ta ký hiệu diện tích của các tam giác ∆ABC, ∆AMN, ∆ABN lần lƣợt là SABC, SAMN và SABN. (Hình 1.4) 2 S Ta thấy. S A B C A B N(Hai tam giác này chung chiều cao hạ từ B tới AC và đáy AC = 2 × AN); S 2 S A B N A M N (Hai tam giác này chung chiều cao hạ từ N tới

AB và đáy AB = 2 × AM) 4 S Do đó suy ra S . Vậy ta có điều cần chứng minh.

A B C A M N

- Bài toán tìm tòi.

Những bài toán mà trong kết luận của nó chƣa thể hiện rõ ràng kết quả cuối cùng của mục đích bài toán.

Ví dụ 7: Cho tứ giác lồi ABCD và các điểm M, N, P, Q lần lƣợt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD và DA. Tính diện tích của tứ giác ABCD biết rằng diện tích của MNPQ là 100 cm2 ?

Hướng dẫn

A

Q

M

100 cm2

D

P

B

N

C

Hình 1.5

Nối A với C và áp dụng kết quả bài toán ở ví dụ 1 ta có (Hình 1.5) 1 1 S S S và S D P Q  D A C B M N  B A C 4 4

1 4

1 4

 S   S  S   S   Do vậy suy ra S B M N D P Q B A C D A C A B C D 1 4

1 4

 S   S  S   S   Tƣơng tự ta có S A M Q C N P A B D C B D A B C D

16

1 2

  SS   S Do đó suy ra SS B M N D P Q A M Q C N P A B C D

 S  S  S  S S B M N D P Q A M Q C N PA B C D M N P Q Theo hình vẽ ta có S nên ta suy ra 1 2

 S  S đẳng thức sau. S A B C D M N P Q A B C D 1 2

 1 0 0  S Thay số vào đẳng thức trên ta có S .

A B C D A B C D

Vậy ta suy ra SABCD = 200 cm2. b) Phân loại theo phƣơng pháp giải toán Ngƣời ta căn cứ vào phƣơng pháp giải bài toán để phân loại bài toán: Bài toán này có thuật toán chung giải hay chƣa để chia các bài toán thành hai loại - Bài toán có angorit giải: Những bài toán mà phƣơng pháp giải của nó theo một thuật toán chung nào đó cho một lớp các bài toán chứa nó.

Ví dụ 8: + Giải phƣơng trình bậc nhất, bậc hai một ẩn số. + Giải hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn số. + Thuật toán kiểm tra một số tự nhiên n có phải là nguyên tố hay không ? + Thuật toán liệt kê tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn số tự nhiên n cho trƣớc. + Thuật toán tìm ƣớc số chung lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số cho trƣớc. + Dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỷ số của hai số; tìm hai số khi biết hiệu và tỷ số của hai số; tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số; dạng toán rút về đơn vị ; dạng toán tìm số trung bình cộng …

- Bài toán không có angorit giải: Những bài toán mà phƣơng pháp giải của nó không theo một thuật toán chung nào đó cho một lớp các bài toán chứa nó.

17

Chú ý : Các bài toán không có angorit giải có số lƣợng là vô cùng lớn hơn rất nhiều so với các bài toán có angorit giải. c) Phân loại theo nội dung bài toán Ngƣời ta căn cứ vào nội dung của bài toán đƣợc phát biểu theo thuật ngữ của một hay một vài lĩnh vực chuyên môn hẹp hơn để chia bài toán thành các loại khác nhau nhƣ sau. + Bài toán số học. Toán trồng cây ở hai đầu đƣờng ; toán về tuổi ; toán chuyển động đều ; toán về phân số ; ….. + Bài toán đại số. + Bài toán hình học. d) Phân loại theo ý nghĩa giải toán Ngƣời ta dựa vào ý nghĩa của việc giải bài toán để phân loại bài toán.

Bài toán này nhằm củng cố trực tiếp một hay một vài kiến thức kỹ năng nào đó, hay là bài toán nhằm phát triển tƣ duy. Ta có hai loại bài toán nhƣ sau: Bài toán cơ bản: Những bài bài toán sử dụng trực tiếp, đơn giản từng kiến thức, kỹ năng mới vào việc giải quyết các tình huống phổ biến điển hình trong thực tiễn Bài toán nâng cao: Những bài toán sử dụng nhiều kiến thức, kỹ năng nào đó vào việc giải quyết các tình huống mới lạ hoặc đòi hỏi phải có một khả năng tƣ duy phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo.

1.2.4. Phƣơng pháp tìm lời giải bài toán (Bốn bƣớc giải toán của G.POLIA) Bƣớc1.Tìm hiểu đề Trƣớc khi giải một bài toán ta phải phân tích nội dung của bài toán, rồi tìm hiểu thấu đáo nội dung của bài toán bằng những câu hỏi sau: Những cái gì đã biết? Cái gì chƣa biết của bài toán?

Tìm những yếu tố cố định, những yếu tố không đổi, những yếu tố thay đổi và biến thiên của bài toán.

Xác định các ẩn và các giá trị hằng của bài toán.

18

Dữ kiện của bài toán có đủ để xác định cái chƣa biết hay không?

Bƣớc 2. Xây dựng chƣơng trình giải Để tìm đƣợc lời giải cho bài toán một cách có hiệu quả thì bƣớc xây dựng chƣơng trình giải là bƣớc quyết định, đồng thời đây cũng là bƣớc khó khăn nhất.

Bƣớc xây dựng chƣơng trình giải đòi hỏi chúng ta biết huy động các kiến thức đã biết để xem xét, phân tích, so sánh, bác bỏ, tổng hợp. Từ đó mới có thể thiết lập đƣợc mối liên hệ giữa cái đã cho và cái cần tìm. Đối với những bài toán không có angorit giải, chúng ta sẽ phải tiến hành xây dựng chƣơng trình giải theo phƣơng pháp sau: a) Phƣơng pháp đi xuôi Xuất phát từ cái đã cho (giả thiết) của bài toán đƣợc lấy làm tiền đề và bằng suy luận hợp logic chúng ta tìm ra các hệ quả logic mới. Tiếp tục chọn lọc trong các hệ quả logic để làm tiền đề mới và bằng suy luận hợp logic chúng ta rút ra các hệ quả logic mới tiếp theo.... Cứ tiếp tục quá trình nhƣ thế cho đến khi chúng ta tìm ra đƣợc hệ quả logic trùng với kết luận của bài toán thì dừng. Khi đó ta đã tìm đƣợc lời giải bài toán.

Phƣơng pháp này đƣợc mô tả theo sơ đồ sau.

A C  Y (Trong đó A, B là các giả thiết còn Y là kết luận).  B D 

b) Phƣơng pháp đi ngƣợc Đó là quá trình xuất phát từ kết luận của bài toán. Bằng suy luận hợp logic chúng ta đi ngƣợc lên để tìm các tiền đề logic của kết luận này.

Tiếp tục quá trình đó, chúng ta chọn lọc để lấy ra tiền đề gần gũi với giả thiết của bài toán để làm kết luận mới, từ đó rút ra các tiền đề logíc mới của các kết luận mới này ... Quá trình ấy lại đƣợc tiếp diễn ta tìm đƣợc các tiền đề logic trùng với giả thiết của bài toán, ta có đƣợc lời giải của bài toán.

Phƣơng pháp này đƣợc mô tả theo sơ đồ sau.

19

A C Y  (trong đó A, B là giả thiết còn Y là kết luận) B D

Chú ý: Thông thƣờng trong nhiều trƣờng hợp để tìm đƣợc lời giải của bài toán ta thƣờng kết hợp cả hai phƣơng pháp đi xuôi và phƣơng pháp đi ngƣợc. c) Phƣơng pháp sử dụng các phép suy đoán Trong Toán học để đi tới lời giải của bài toán thì có rất nhiều phƣơng pháp. Tuy nhiên không phải phƣơng pháp nào cũng có thể đi tới lời giải của bài toán.

Thực tế có những bài toán mà ta đã sử dụng nhiều phƣơng pháp. Phƣơng pháp đi xuôi, phƣơng pháp đi ngƣợc, thậm chí kết hợp cả hai phƣơng pháp đó mà vẫn chƣa tìm đƣợc lời giải của bài toán đó. Lúc này ta cần chuyển hƣớng suy nghĩ theo một hƣớng khác, tạm gọi hƣớng suy nghĩ này là phƣơng pháp sử dụng các phép suy đoán. Nghĩa là suy nghĩ đến bài toán liên quan, bài toán có gần giống với bài toán ta cần giải - Có thể là bài toán con, bài toán tƣơng tự, bài toán đặc biệt, đôi khi là bài toán khái quát.

Từ sự phân tích lời giải của các bài toán có liên quan với bài toán cần giải hoặc sử dụng kết quả của nó, chúng ta có nhiều cơ hội thuận lợi để tìm ra lời giải của bài toán đã cho.

Theo G.POLIA chúng ta thƣờng phải đặt ra các câu hỏi gợi ý sau: “Anh có biết một bài toán nào gần giống bài toán của anh không?”; “Đây là một bài toán gần giống với bài toán của anh đã giải đƣợc rồi. Anh có thể dùng đƣợc nó làm gì không?”; “Nếu anh không giải đƣợc bài toán đã cho, thì trƣớc hết hãy giải bài toán gần giống với nó.”

Bƣớc 3. Thực hiện chƣơng trình giải Đây là quá trình tổng hợp lại của bƣớc xây dựng chƣơng trình giải, ta dùng các phép suy luận hợp logic xuất phát từ giả thiết của bài toán hay các mệnh đề Toán học đã biết ta suy dần ra đi tới kết luận của bài toán.

20

Trong bƣớc thực hiện chƣơng trình giải một bài toán cần chú ý phân biệt sự khác nhau giữa những điều đã thấy đƣợc và những điều suy ra đƣợc chính là điều chứng minh đƣợc.

Bƣớc 4. Kiểm tra lời giải và khai thác bài toán Thử lại kết quả của bài toán, thử lại các lập luận trong lời giải đã tìm đƣợc của bài toán.

Tìm các cách giải khác nếu có của bài toán.

Nghiên cứu các bài toán có liên quan: Bài toán tƣơng tự, bài toán khái quát, …

Ví dụ 9: Phân tích quá trình tìm lời giải bài toán sau.

B 2

2 in A .s in Cc o s “Chứng minh rằng nếu ABC thoả mãn điều kiện s

thì ABC là tam giác cân” Hướng dẫn Để chứng minh một tam giác là tam giác cân ta có các cách sau. Chứng minh hai cạnh nào đó bằng nhau, hoặc chứng minh hai góc nào đó bằng nhau. Ở đây ta thấy giả thiết của bài toán cho biết đẳng thức liên hệ về góc, ta sẽ chứng minh tam giác đó có hai góc nào đó bằng nhau.

Hơn nữa ta thấy trong đẳng thức đã cho có vai trò của hai góc A và C là bình đẳng nhau. Vậy ta sẽ chứng minh rằng trong ABC có các góc A  C .

Biến đổi tƣơng đƣơng đẳng thức đã cho bằng cách ta làm mất sự có mặt o của góc B bởi 180 AC, và sau đó sử dụng công thức biến đổi lƣợng giác

ta có  C 2A 2B i n A .s i n C  s i n s in A .s in Cc o s s .

2 2

 

2 s i n A . s i n C  1  c o sA  C 2

c o s A . c o s C  s i n A . s i n C  1

21





 cos AC1. o , C1 8 0 Vì góc A, C là các góc của tam giác nên 0oA . Do đó có

A  C . Vậy suy ra ABC là cân.

Ví dụ 10.

“Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là 20 cm. Cho biết hai điểm E thuộc cạnh AB và điểm F thuộc cạnh BC sao cho EA = EB = FB = FC. Gọi điểm I là giao điểm của CE và DF. Hãy tính diện tích của tứ giác AEID ?”

Hướng dẫn A

E

20 cm

B

I

F

C Hình 1.6

D

Cách 1. THCS - Tính diện tích của tam giác ICD (Hình 1.6): Xét hai tam giác ∆BEC và ∆CFD ta có BE = CF = 10 cm; BC = CD = 20 cm; BC90o Vậy suy ra ∆BEC = ∆CFD (c.g.c). o Do đó ta có B , C EC D F. Mặt khác ta dễ thấy rằng C D FC F D  9 0 o nên ta suy ra C . Nhƣ vậy ta có CI  DI. D FD C I 9 0

Áp dụng định lý hệ thức lƣợng trong tam giác vuông ta có 1 1 1 1 1 1 1  2 2     . Từ đây suy ra CI2  80 .

2 2 C I C D C F C I 4 0 01 0 08 0

Áp dụng định lý Pi-ta-go trong tam giác vuông ∆ICD ta có DI2 = CD2 – CI2 = 400 – 80 = 320 1 2

1 2

 I C I D 3 2 0  8 0 8 0 Do đó suy ra S (cm2) I C D

22

- Tính diện tích của tứ giác AEID: Dựa vào hình vẽ ta có diện tích của tứ giác AEID là S  S – S – S A E I D A B C D E B C I C D

Do đó thay các giá trị SEBC = 100 cm2 và SICD = 80 cm2 ta có S  4 0 0 – 1 0 0 – 8 0  2 2 0 A E I D (cm2).

Cách 2. Tiểu học - Tính diện tích của tam giác ICD. Xét tỷ số diện tích của hai tam giác ICF và ICD. S 5 01 I C F h E C F 1 S = = = =(Với h1, h2 là chiều cao hạ từ F, D tới IC) S 0 04 I C D h 2 S E C D 2

Mặt khác có tổng diện tích của hai tam giác ICF và ICD là 1 SSS    2 0  1 0  1 0 0 (cm2) I C F I C DC D F 2

Nhƣ vậy ta đƣa về bài toán tìm hai số khi biết tổng là 100 và tỷ số là Vậy ta tính đƣợc diện tích tam giác ICD là S  1 0 0 :( 4  1 )48  0 I C D (cm2).

- Tính diện tích của tứ giác AEID. Dựa vào hình vẽ ta có diện tích của tứ giác AEID là S  S – S – S A E I D A B C D E B C I C D

Do đó thay các giá trị SEBC = 100 cm2 và SICD = 80 cm2 ta có S  4 0 0 – 1 0 0 – 8 0  2 2 0 A E I D (cm2).

Ví dụ 11. Phân tích phƣơng pháp tìm lời giải của bài toán sau.

“Tính tổng S = 1 + 2a + 3a2 + 4a3 + ... + (n + 1)an.”

Hướng dẫn Ta liên hệ tới bài toán tính tổng tƣơng tự đơn giản hơn sau.

23

1 .

4

“Tính tổng P = 1 + a + a2 + a3 + ... + an.”

Nhân tổng P với a và ta có. a.P = a + a2 + a3 + a4 + ... + an+1 Vậy suy ra P – a.P = 1 – an+1 Do đó ta có

1an+1 P 1a

Vận dụng cách tính tổng P ở trên ta đi tính tổng S nhƣ sau.

Ta nhân S với a và có. aS = a + 2a2 + 3a3 + 4a4 + ... + (n + 1)an+1.

Vậy suy ra S – aS = 1 + a + a2 + ... + an – (n + 1)an+1 n + 1 1  a , thay vào ta có.

1  a

 a  aa.  . .a  Mà ta đã biết 1 2

3

n

n + 1 1  a n  1 S  a .

S   ( n  1 ) . a 1  a n + 1 n + 1 1  a  ( 1  a ) ( n  1 ) a S  Do đó rút ra kết quả .

2 ( 1  a )

Nhận xét cách giải. Để tính tổng S (hoặc P) là các tổng hữu hạn gồm n số hạng ta nhân tổng đó với a, rồi xét hiệu aS – S hoặc S – aS, từ đây ta tính đƣợc S. Bằng phƣơng pháp tƣơng tự ta có thể tính đƣợc các tổng sau.

A = a + 2a2 + 3a3 + ... + nan.

B = 1 + 2a + 3a2 + ... + (n + 1)an.

1.3. Định hƣớng phát triển năng lực của học sinh trong dạy học toán ở trƣờng phổ thông 1.3.1. Dạy học theo hướng tiếp cận nội dung và hướng tiếp cận năng lực Tiếp cận nội dung là cách nêu ra một danh mục đề tài, chủ đề của một lĩnh vực/môn học nào đó. Tức là tập trung xác định và trả lời câu hỏi: Chúng ta muốn ngƣời học cần biết cái gì? Cách tiếp cận này ngƣời giáo viên chủ yếu dựa vào yêu cầu nội dung học vấn của một khoa học bộ môn để thiết kế nội dung dạy học. Vì vậy nội dung dạy học thƣờng mang tính "hàn lâm", nặng về lý thuyết và ít chú trọng đến vận dụng vào thực tiễn cuộc sống, nhất là khi ngƣời thiết kế ít chú đến tiềm năng, các giai đoạn phát triển, nhu cầu, hứng 24

thú và điều kiện của ngƣời học.

Tiếp cận năng lực là cách tiếp cận nêu rõ kết quả - những khả năng hoặc kĩ năng mà ngƣời học mong muốn đạt đƣợc vào cuối mỗi giai đoạn học tập trong nhà trƣờng ở một môn học cụ thể. Nói cách khác, cách tiếp cận này nhằm trả lời câu hỏi: Chúng ta muốn ngƣời học biết và có thể làm được những gì? Theo cách tiếp cận này thì ngƣời giáo viên phải thiết kế nội dung dạy học đảm bảo "tinh giản, cơ bản, hiện đại, giảm tính hàn lâm, tăng tính thực hành và vận dụng kiến thức và kĩ năng vào thực tiễn"[2]. Định hƣớng trên cũng hạn chế đƣợc tính hàn lâm, xa rời cuộc sống Khác với chƣơng trình định hƣớng nội dung, chƣơng trình dạy học định hƣớng phát triển năng lực tập trung vào việc mô tả chất lƣợng đầu ra, có thể coi là ”sản phẩm cuối cùng” của quá trình dạy học. Việc quản lý chất lƣợng dạy học chuyển từ việc điều khiển “đầu vào” sang điều khiển “đầu ra”, tức là kết quả học tập của HS. Chƣơng trình dạy học định hƣớng phát triển năng lực không quy định những nội dung dạy học chi tiết mà quy định những kết quả đầu ra mong muốn của quá trình giáo dục, trên cở sở đó đƣa ra những hƣớng dẫn chung về việc lựa chọn nội dung, phƣơng pháp, tổ chức và đánh giá kết quả dạy học nhằm đảm bảo thực hiện đƣợc mục tiêu dạy học tức là đạt đƣợc kết quả đầu ra mong muốn. Trong chƣơng trình định hƣớng phát triển năng lực, mục tiêu học tập, tức là kết quả học tập mong muốn thƣờng đƣợc mô tả thông qua hệ thống các năng lực (Competency). Kết quả học tập mong muốn đƣợc mô tả chi tiết và có thể quan sát, đánh giá đƣợc. HS cần đạt đƣợc những kết quả yêu cầu đã quy định trong chƣơng trình. Việc đƣa ra các chuẩn đào tạo cũng là nhằm đảm bảo quản lý chất lƣợng giáo dục theo định hƣớng kết quả đầu ra.

1.3.2. Dạy học môn toán theo định hướng phát triển năng lực học sinh Phƣơng pháp dạy học (PPDH) theo định hƣớng tiếp cận nội dung chủ yếu yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi: Biết cái gì (know-what). Nghĩa là yêu cầu học sinh chỉ cần ghi nhớ tri thức và hiểu tri thức, chƣa chú ý tới yêu cầu vận dụng tri thức đó.

PPDH theo định hƣớng phát triển năng lực luôn đặt ra câu hỏi: Biết làm 25

gì từ những điều đã biết. Nói cách khác, nói đến năng lực là phải nói đến khả năng thực hiện, là phải biết làm (know-how), chứ không chỉ biết và hiểu (know-what). Nhƣ vậy, tiếp cận năng lực chủ trƣơng giúp ngƣời học không chỉ biết học thuộc, ghi nhớ mà còn phải biết làm thông qua các hoạt động cụ thể, sử dụng những tri thức học đƣợc để giải quyết các tình huống do cuộc sống đặt ra. Nói cách khác, tiếp cận năng lực là dạy cho học sinh không chỉ biết và hiểu kiến thức mà phải biết làm gì từ những điều đã biết về kiến thức đó.

Nhƣ vậy, việc dạy học toán theo định hƣớng phát triển năng lực học sinh là phù hợp với quan điểm “dạy học thông qua hoạt động và bằng hoạt động” [1] , đồng thời chú ý gắn hoạt động học với thực tiễn đời sống. Phƣơng pháp dạy và học sẽ khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kĩ năng của ngƣời học, tập trung dạy cách học, cách nghĩ và tự học, theo phƣơng châm "giảng ít, học nhiều". Đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin và truyền thông trong dạy và học; đa dạng hoá các hình thức tổ chức giáo dục… Nhƣ vậy, trong công cuộc đổi mới căn bản và toàn diện hiện nay, ngƣời giáo viên toán trƣớc tiên cần có nhận thức rõ ràng về sự khác biệt của PPDH theo hƣớng truyền thụ nội dung và PPDH theo hƣớng phát triển năng lực của học sinh.  PPDH theo hƣớng truyền thụ nội dung là chú trọng vào việc truyền đạt nội dung kiến thức và truyền đạt chứng minh Toán học.  PPDH theo hƣớng phát triển năng lực là coi trọng việc dạy cho HS cách tìm ra kiến thức, tìm ra chứng minh Toán học, đồng thời chú trọng vào các hoạt động vận dụng kiến thức đó để giải quyết nhiều tình huống đặt ra trong thực tiễn và trong đời sống.

Nhƣ theo nhà giáo dục ngƣời Đức A.Đixtecvec đã viết: “ngƣời thầy giáo tồi mang chân lí đến sẵn, còn ngƣời thầy giáo giỏi dạy đi tìm chân lí”.

26

TÌNH HUỐNG DẠY HỌC

PPDH THEO HƢỚNG TRUYỀN THỤ NỘI DUNG

 Nêu định nghĩa khái niệm:

PPDH THEO HƢƠNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH

 Hình thành khái niệm:

DH khái - Hoạt động gợi động cơ học tập - Hoạt động gợi động cơ học tập niệm - Công bố định nghĩa khái niệm - Phân tích tìm các dấu hiệu đặc Toán trƣng, bản chất khái niệm  Hoạt động củng cố, ứng học dụng: - Khái quát hóa nêu định nghĩa khái niệm Hoạt động ngôn ngữ; Hoạt động nhận dạng thể hiên; Hoạt động luyện tập, vân dụng; Hoạt động hệ thống hóa

 Hoạt động củng cố, ứng dụng:

 Tính chất, quy tắc

 Hình thành tính chất:

DH tính - Hoạt động gợi động cơ học chất, quy tập tắc Toán - Nêu nội dung tính chất, quy học tắc

Hoạt động ngôn ngữ; Hoạt động nhận dạng thể hiên; Hoạt động luyện tập, vân dụng; Hoạt động hệ thống hóa

- Hoạt động gợi động cơ học tập - Hoạt động suy đoán nội dung tính chất, quy tắc - Nêu nội dung tính chất, quy tắc

- Nêu chứng minh tính chất, quy tắc

- Hoạt động chứng minh tính chất, quy tắc:

 Hoạt động củng cố, ứng dụng:

Tạo tình huống; Phân tích và tìm cách giải quyết tình huống;

Hoạt động ngôn ngữ; Hoạt động nhận dạng thể hiên; Hoạt động luyện tập, vân dụng; Hoạt

 Hoạt động củng cố, ứng dụng

27

Hoạt động ngôn ngữ; Hoạt

TÌNH HUỐNG DẠY HỌC

PPDH THEO HƢỚNG TRUYỀN THỤ NỘI DUNG

PPDH THEO HƢƠNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH

động hệ thống hóa

động nhận dạng thể hiên; Hoạt động luyện tập, vân dụng; Hoạt động hệ thống hóa

Tóm tắt nội dung bài toán

Tóm tắt nội dung bài toán

DH bài  Phân tích tìm đƣờng lối  Hoạt động chứng minh Toán tập Toán chứng minh Toán học học của bài toán. học  Hoạt động chứng minh Toán học của bài toán.  Hoạt động kiểm tra và khai thác bài toán.

Theo trên ta thấy rằng PPDH bài tập Toán học theo định hƣớng tiếp cận nội dung là chú trọng vào việc truyền thụ cho học sinh chứng minh Toán học của nó. PPDH bài tập Toán học theo hƣớng phát triển năng lực học sinh là coi trọng việc phân tích tìm đường lối chứng minh Toán học không chỉ chú trọng vào việc truyền thụ cho học sinh chứng minh Toán học của nó Nhƣ vậy, PPDH bài tập Toán học theo hƣớng phát triển năng lực học sinh thực chất là phát triển năng lực giải quyết vấn đề Toán học của học sinh.

Do đó ta có thể dựa vào các bƣớc trong quy trình của PPDH phát hiện và giải quyết vấn đề để chọn ra các chỉ báo của PPDH bài tập Toán học theo hƣớng phát triển năng lực học sinh: - Tạo tình huống gợi vấn đề - Tìm giải pháp giải quyết vấn đề - Trình bày giải pháp giải quyết vấn đề - Nghiên cứu sâu giải pháp giải quyết vấn đề

28

Tiểu kết chƣơng 1 PPDH bài tập Toán học ở trƣờng phổ thông theo hƣớng phát triển năng lực học sinh là coi trọng việc phân tích tìm đường lối chứng minh Toán học không chỉ chú trọng vào việc truyền thụ cho học sinh chứng minh Toán học đó. PPDH theo hƣớng phát triển năng lực là coi trọng việc dạy cho HS cách tìm ra kiến thức, tìm ra chứng minh Toán học, đồng thời chú trọng vào các hoạt động vận dụng kiến thức đó để giải quyết nhiều tình huống đặt ra trong thực tiễn và trong đời sống.

29

CHƢƠNG 2

ỨNG DỤNG XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TOÁN HỌC DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƢƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ở LỚP 12 TRƢỜNG THPT THEO ĐỊNH HƢỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH 2.1. Phân tích nội dung dạy học chủ đề phƣơng pháp tọa độ trong không gian ở lớp 12 trƣờng THPT 2.1.1. Nội dung chương trình dạy học phương pháp tọa độ trong

không gian - Hệ tọa độ trong không gian: Định nghĩa hệ tọa độ trong không gian; tọa độ của một vectơ, tọa độ của một điểm; liên hệ giữa tọa độ vectơ và tọa độ hai đầu mút; phƣơng trình mặt cầu; tích có hƣớng của hai vectơ; - Phƣơng trình mặt phẳng: Xây dựng phƣơng trình tổng quát của một mặt phẳng; các trƣờng hợp riêng; vị trí tƣơng đối của hai mặt phẳng; khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng; - Phƣơng trình đƣờng thẳng: Phƣơng trình tham số và phƣơng trình chính tắc của đƣờng thẳng; vị trí tƣơng đối giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng; vị trí tƣơng đối giữa hai đƣờng thẳng; 2.1.2 Mục tiêu dạy học nội dung phương pháp tọa độ trong không gian - Học sinh nhận biết đƣợc các khái niệm về tọa độ của một điểm, tọa độ vectơ đối với hệ trục tọa độ và mối liên hệ giữa tọa độ vectơ với tọa độ hai đầu mút; - Học sinh biết vận dụng đƣợc các biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ, các công thức và tính các đại lƣợng hình học bằng tọa độ. Học sinh biết 30

biểu thị chính xác bằng tọa độ các quan hệ hình học: Sự thẳng hàng của ba điểm; sự cùng phƣơng của hai vectơ; sự đồng phẳng của ba vectơ và đặc biệt là các mối quan hệ song song; quan hệ vuông góc của các đƣờng thẳng cũng nhƣ các mặt phẳng; - Nhận dạng các phƣơng trình đƣờng thẳng, mặt phẳng, mặt cầu trong một hệ trục tọa độ cho trƣớc. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng, mặt phẳng, mặt cầu khi biết điều kiện xác định nào đó của chúng; - Hình thành cho học sinh kĩ năng vận dụng phƣơng pháp tọa độ để giải toán hình học không gian 2.2. Ứng dụng xây dựng hệ thống bài tập Toán học dạy học chủ đề phƣơng pháp toạ độ trong không gian theo định hƣớng phát triển năng lực học sinh - Định hướng phát triển năng lực của học sinh trong dạy học bài tập Toán học ở phổ thông là phát triển năng lực giải quyết vấn đề của người học: + Coi trọng việc dạy cho học sinh phân tích tìm đƣờng lối chứng minh Toán học (Tìm giải pháp giải quyết vấn đề) + Đồng thời chú ý dạy cho học sinh chứng minh Toán học đó (Trình bày giải pháp giải quyết vấn đề) - Xây dựng hệ thống bài tập Toán học dạy học chủ đề phương pháp toạ độ trong không gian theo định hướng phát triển năng lực học sinh: + Mục đích trọng tâm dạy học của nội dung kiến thức mới + Bài tập cơ bản: Đƣa ra hệ thống các bài tập luyện tập củng cố cơ bản; Phân tích, hƣớng dẫn tìm giải pháp giải các bài tập; Trình bày giải pháp giải các bài tập + Bài tập nâng cao: Đƣa ra hệ thống các bài tập luyện tập, vận dụng kết hợp các kiến thức; Phân tích, hƣớng dẫn tìm giải pháp giải các bài tập trong đó; Trình bày giải pháp giải các bài tập trong đó

31

2.2.1. Hệ tọa độ trong không gian  Mục đích trọng tâm: - Học sinh biết đƣợc định nghĩa hệ tọa độ trong không gian: Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau đƣợc gọi là hệ tọa độ vuông góc trong không gian; - Các véctơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz lần lƣợt là i(1;0;0), j (0;1;0), k (0;0;1) ;

- Tọa độ của một vectơ, tọa độ của một điểm; mối liên hệ giữa tọa độ vectơ và tọa độ hai đầu mút; - Học sinh nhận biết đƣợc phƣơng trình mặt cầu và tìm tâm, bán kính của nó; đồng thời viết đƣợc phƣơng trình mặt cầu khi cho trƣớc các điều kiện xác định của nó; - Học sinh biết đƣợc khái niệm tích có hƣớng của hai vectơ và thông hiểu tính chất của tích có hƣớng của hai vectơ.  Bài tập cơ bản: Bài 1: Cho ba vectơ u(1;2;3;), v(2;2; 1), w(4;0; 4) . Tìm tọa độ của vectơ x biết: 1 a) x  5u  3v  w 2 b)2u  v  w  3x  0

Tìm giải pháp: -Muốn tìm đƣợc x theo tọa độ các vectơ ta cần những kiến thức, kỹ năng nào về biểu thức tọa độ các phép toán trên vectơ?

(Phép toán cộng trừ vectơ, nhân vectơ với một số) Trình bày giải pháp: Áp dụng tính chất tọa độ vectơ ta tính đƣợc: a) x  (3; 4; 20) b)3x  2u  v  w  3x  (0; 6; 9)  x  (0; 2; 3)

Bài 2: Cho hình bình hành với A(1; 4;0), B(0; 2;1), C(1;0; 4) 32

Tìm tọa độ điểm D và tính chu vi hình bình hành.

Tìm giải pháp: -Muốn tính đƣợc tọa độ điểm D cần nhớ tính chấtcơ bản nào về vectơ đối với hình bình hành ABCD? ( AB  DC ) -Để tính chu vi hình bình hành cần biết độ dài các cạnh nào? (AB, AD).

Trình bày giải pháp: ABCD là hình bình hành gọi D(x,y,z),ta có: AB  DC  (1; 2;1)  (1  x;  y; 4  z ) 1  1  x x  2    2   y   y  2  D(2; 2;3) 1  4  z z  3   AB  AB  6, AD  AD  14

Chu vi hình bình hành ABCD: CABCD = 2( AB + AD) = 2( 6 + 14)

 Bài tập nâng cao: Bài 1: a) Cho ba điểm A(2;5;3), B(3;7; 4), C(x, y, 6) . Tìm x, y để A, B, C thẳng hàng. b) Cho hai điểm A(1;6;6), B(3; 6; 2) . Tìm điểm M thuộc mp(Oxy) sao cho MA+MB nhỏ nhất.

(Bài 6- trang 116- SBT Hình học 12NC) Tìm giải pháp: a) Điều kiện về tọa độ để 3 điểm trong không gian thẳng hàng là gì? ( AC  k AB hoặc  AC, AC   0 ) b) Điều kiện để 2 điểm ngoài mặt phẳng trong không gian để tổng khoảng cách từ một điểm bất kì trong mặt phẳng tới 2 điểm cho trƣớc đạt giá trị nhỏ nhất? ( Xét vị trí hai điểm A, B cùng phía hay khác phía đối với mặt phẳng đã cho) 33

Trình bày giải pháp: a) Cách 1: A, B, C thẳng hàng x  2  k x  5   AC  k AB   y  5  2k   y  11(k  0) k  3 k  3  

Cách 2: Sử dụng tích có hƣớng của hai vectơ, A, B, C thẳng hàng  2 1 1 1 1   AB, AC   0   ; ;  y 5 3 3 x 2 x 2

2  x  5   (0;0;0)   y 5   y  11

b) Ta thấy Z A .Z B  0  A,B ở hai phía của mp(Oxy) MA+MB nhỏ nhất khi M, A, B thẳng hàng. Bài toán trở về bài toán tƣơng tự câu a. Đáp số : M(2;-3;0) Mở rộng: Nếu A, B nằm khác phía so với mặt phẳng đã cho thì sao?

2.2.2. Phương trình mặt phẳng  Mục đích trọng tâm: Học sinh biết đƣợc a)Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng - Học sinh biết đƣợc định nghĩa vectơ pháp tuyến của mắt phẳng, tích có hƣớng của hai vectơ không cùng phƣơng và giá chúng song song với mặt phẳng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó. b) Phƣơng trình mặt phẳng - Phƣơng trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm M ( x0 , y0 , z0 ) với vectơ pháp tuyến n( A;B;C) có phƣơng trình tổng quát là: A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0

Mỗi mặt phẳng đều có phƣơng trình tổng quát là: Ax  By  Cz  D  0 với A2  B 2  C 2  0 (*)

Ngƣợc lại, mỗi phƣơng trình có dạng (*) đều là phƣơng trình của một mặt phẳng xác định.

34

 Phƣơng trình mặt phẳng theo đoạn chắn Mặt phẳng () không đi qua gốc O, cắt trục Ox tại điểm A(a;0;0), cắt trục Oy tại điểm B(0;b;0), cắt trục Oz tại điểm C( 0;0;c) có phƣơng trình:

x y z + + = 1; abc ¹ 0(**) a b c Phƣơng trình (**) đƣợc gọi là phƣơng trình theo đoạn chắn của mặt phẳng (). *) Các trường hợp đặc biệt Xét các mặt phẳng () có phƣơng trình: Ax+By+Cz=0. Khi đó: D=0 ) đi qua gốc tọa độ C=0, D0 ) song song với trục Oz C=D=0, ) chứa trục Oz B=C=0, D0 ) song song với (Oyz) B=C=D=0 ) là mặt phẳng (Oyz) ( Các trƣờng hợp khác suy ra tƣơng tự). b) Vị trí tƣơng đối của hai mặt phẳng c) Cho hai mặt phẳng (a ) : Ax+By+Cz+D=0(A 2 + B 2 + C 2 > 0) ( b ) : A' x + B ' y + C ' z + D ' = 0( A' + B ' + C ' > 0) 2

2

2

 () cắt ()  A : B : C  A' : B ' : C '  ( ) (  ) 

A B C D  '  '  ' ( A ', B ', C ', D'  0) ' A B C D

 ( )  (  ) 

A B C D    ( A ', B ', C ', D'  0) A' B ' C ' D '

d) khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 35

Cho mặt phẳng ( ) : Ax+By+Cz+D=0(A 2  B  C 2  0) 2

và một điểm

M ( x0 , y0 , z0 ) . Khi đó:

d(M,(a ))=

Ax 0 + By0 + Cz0 + D A2 + B 2 + C 2

e) Góc giữa hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng (a ) : Ax+By+Cz+D=0(A 2 + B 2 + C 2 > 0) ( b ) : A' x + B ' y + C ' z + D ' = 0( A' + B ' + C ' > 0) Gọi  là góc giữa mặt phẳng () và (). Ta có: 2

Cos j =

2

2

A. A' + B.B' + C.C ' A2 + B 2 + C 2 . A'2 + B ' + C ' 2

2

 Bài tập cơ bản: Bài 1. Trong không gian Oxyz. Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) biết: a) (P) đi qua điểm M(1;-2;4) và nhận vectơ n(2;3;5) làm vectơ pháp tuyến. b) (P) đi qua ba điểm M (2;0; 1), N(1; 2;3), E(0;1; 2) c) (P) đi qua điểm M (2; 1; 2) và song song với mp (Q) : 2 x  y  3z  4  0 d) (P) đi qua hai điểm M (4; 1;1), N (3;1; 1) và song song với trục Ox e) (P) đi qua hai điểm A(0;1;1), B(1;0; 2) và vuông góc với mặt phẳng (Q) : x  y  z  1  0

Tìm giải pháp Muốn viết phƣơng trình mặt phẳng ta cần biết những yếu tố nào? ( VTPT và một điểm thuộc mặt phẳng đó) Trình bày giải pháp a) ( P) : 2( x  1)  3( y  2)  5( z  4)  0 hay ( P) : 2 x  3 y  5 z  16  0

36

b) Có MN  (1; 2;4) và ME  (2;1;3) không cùng phƣơng Gọi n là VTPT của (P) n  MN  n   MN , ME   (2;1;1) Có: n  ME

Mp (P) là: 2(x  2)  1(y 0)  1(z  1)  0 hay ( P) : 2 x  y  z  3  0 . c) Mp (P) có VTPT n  nQ  (2; 1;3)  mp ( P ) : 2(x  2)  (y  1)  3(z  2)  0 hay ( P ) : 2 x  y  3 z  11  0

d) Tính MN  (1;2; 2). Gọi n là VTPT của (P) (P) đi qua 2 điểm M, N  n  MN (P) song song với Ox  n  i  n   MN , i   (0; 2; 2) . Vậy ( P) : y  z  0 .

e) Tính AB, nQ Gọi n là VTPT của mặt phẳng (P)  n   AB, nQ  MP (P): y  z  2  0 .

Bài 2. a) Cho bốn điểm A(1; 2;1), B(2; a;0), C (4; 2;5), D(6;6;6) cùng thuộc một mặt phẳng. b) Cho ba điểm A(1;1;1), B(3; 1;1), C(1;0; 2) . Điểm C có thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn AB không?

(Bài 37-trang 124 SBT Hình học 12 NC) Tìm giải pháp a) Điều kiện về biểu thức để bốn điểm đồng phẳng là gì? ( AD  xAB  y AC hoặc  AB, AC  AD  0 hoặc B  ( ADC ) )

37

b) Làm thế nào để viết phƣơng trình mặt phẳng trung trực của AB? ( Cách 1: - VTPT của mặt phẳng cần tìm là AB , điểm đi qua là trung điểm I của AB. Từ đó viết phƣơng trình mặt phẳng.

- Thay tọa độ điểm C vào ptmp vừa viết để kiểm tra Cách 2: - Tính tọa độ trung điểm I của AB - Xét tích vô hƣớng CI .AB  0 hay không) Trình bày giải pháp 5  x.1  y.3  AD  x AB  y AC  4  x(a  2)  y.4 5   x.1  y 4 

a)

Cách 1:

78  a  5 5  x  3 y  5    4  2 x  xa  4 y   x  7 5   x  4 y   10  y  7 

Cách 2: Tính AB, AC, AD 78

Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng   AB, AC  AD  0  a  5

Cách 3: - Viết phƣơng trình mp (ACD): 36 x  5 y  32 z  6  0 - A, B, C, D thuộc cùng một mặt phẳng  B  ( ACD ) Tìm đƣợc a 

78 5

b) Cách 1: - Viết phƣơng trình mp(Q) là mặt phẳng trung trực của AB (Q) đi qua trung điểm I của AB và nhận AB làm VTCP  (Q) : x  y  2  0 - Thay tọa độ C vào phƣơng trình mặt phẳng đó ta thấy C  mp trung trực của AB. Cách 2: I (1; 1;0)  CI  (2; 1; 2)  CI . AB  4  2  0  6  0 . Vậy C  mp trung trực của AB.

38

Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho điểm M (30,15;6) a) Hãy viết phƣơng trình mặt phẳng ( ) đi qua các hình chiếu của M trên các trục tọa độ. b) Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm O trên mp ( ) .

(Ví dụ 2- trang 85 SGK Hình học 12NC) Tìm giải pháp: a) - Muốn viết phƣơng trình mặt phẳng ( ) ta cần xác định tọa độ hình chiếu của M trên các trục tọa độ?

- Áp dụng viết phƣơng trình mặt phẳng theo đoạn chắn b) - Để viết tọa độ hình chiếu H của O xuống mp ( ) ta cần viết phƣơng trình đƣờng thẳng nào? ( phƣơng trình đƣờng thẳng OH) - Xác định mối quan hệ giữa OH và vtpt của ( ) . Từ đây tìm tọa độ điểm H? Trình bày giải pháp a) Gọi A, B, C lần lƣợt là hình chiếu của M trên Ox, Oy, Oz. Ta có A(30;0;0), B(0;15;0), C(0;0;6)

Phƣơng trình mp ( ) đi qua ba điểm A, B, C là phƣơng trình mp theo đoạn chắn:

x y z    1 hay x  2 y  5 z  30  0 .

30 15 6

b) Mặt phẳng ( ) có VTPT là nP  (1; 2;5) Gọi H ( x; y; z ) là hình chiếu cần tìm, OH cùng phƣơng với nP tức là x  t  OH  tnP (t  )   y  2t (t  ) (1)  z  5t  H  ( )  x  2 y  5 z  30  0

(2)

Từ (1) và (2): t  1; x  1; y  2; z  5 Vậy H (1; 2;5) Bài 4. Xét vị trí tƣơng đối của mỗi cặp mặt phẳng cho bởi phƣơng trình sau: 39

a) x  y  2 z  4  0 và 10 x  10 y  20 z  40  0 b) 3x  2 y  3z  5  0 và 9 x  6 y  9 z  5  0 c) x  2 y  z  5  0 và 2 x  3 y  7 z  4  0 (Bài 41- trang 125 SBT Hình học 12 NC) Tìm giải pháp Cho biết vị trí tƣơng đối của hai mặt phẳng trong không gian khi biết phƣơng trình của chúng.

Trình bày giải pháp a) Hai mặt phẳng trùng nhau b) Hai mặt phẳng song song c) Hai mặt phẳng cắt nhau.

Bài 5. Cho hai mặt phẳng ( P) : 2 x  my  3z  6  m  0 và (Q) : (m  3) x  2 y  (5m  1) z  10  0 Với giá trị nào của m thì hai mặt phẳng đó a) Song song với nhau b) Trùng nhau c) Cắt nhau d) Vuông góc với nhau.

Tìm giải pháp Xét vị trí tƣơng đối của hai mặt phẳng khi biết phƣơng trình mặt phẳng.

Trình bày giải pháp a) ( P) / /(Q) 

2 m 3 6  m    (m  3, m  1/ 5)(*) m  3 2 5m  1 10

40

m  2   m2  3m  4  0 Ta có:  m  3 2   2  m 1 m 3 5 m  m  6  0      2 5m  1

Nhƣng m= 1 ta có:

m 1 6  m 1  và  tức là điều kiện (*) không thỏa mãn.

2 2 10 2

Vậy không có giá trị nào của m để 2 mặt phẳng song song. b) Từ đó suy ra ( P)  (Q)  m  1 c) (P) cắt (Q)  m  1 ( P)  (Q)  2( m  3)  2m  3(5m  1)  0  19m  9  0  m 

9 19

 Bài tập nâng cao: Bài 1. Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng (α) và (β) a) ( ) : 2 x  y 2 z  1  0, (  ) : 6 x  3 y  2 z  2  0 b) ( ) : x  2 y  z  1  0, (  ) : x  2 y  z  5  0 ( Bài 19- trang 90 SGK Hình học 12 NC) Tìm giải pháp Tìm quỹ tích những điểm trong không gian cách đều hai mặt phẳng cho trƣớc?

(- Nếu hai mặp phẳng song song thì quỹ tích là mặt phẳng song song cách đều - Nếu hai mặt phẳng cắt nhau thì quỹ tích là mặt phẳng phân giác nhị diện cạnh là giao tuyến của 2 mặt phẳng) Trình bày giải pháp a) Gọi M ( x; y; z ) là điểm cách đều hai mặt phẳng  d (M, ( ))  d(M, (  )) 

2x  y  2z 1 6x  3 y  2z  2  4 x  16 y  20 z  1  0   3 7 32 x  2 y  8 z  13  0

Vậy tập hợp điểm cần tìm là hai mp:

4 x  16 y  20 z  1  0 32 x  2 y  8 z  13  0

41

b) Tƣơng tự Bài 2. Viết phƣơng trình mặt phẳng (β) song song với (α): 4 x  3 y  12 z  1  0 và tiếp xúc với mặt cầu (S): x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  2  0 .

Tìm giải pháp - Điều kiên để mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng cho trƣớc? ( d ( I , (  ))  R với I, R là tâm và bán kính mặt cầu đã cho) - VTPT của mp (β) có mối quan hệ nhƣ thế nào với VTPT của mp (α)? ( n  n ) Trình bày giải pháp Từ phƣơng trình mặt cầu (S)  tâm I (1; 2; 3) và bán kính R=4 Gọi (  ) là mặt phẳng cần tìm (  ) / /( )  phƣơng trình mặt phẳng (β) có dạng: 4 x  3 y  12 z  d  0

(β) tiếp xúc với mặt cầu (S)  d ( I , (  ))  R 

4.(1)  3.(2)  12(3)  d 4  3  12 2

2

2

d  26 4 d  78

Vậy có hai phƣơng trình mặt phẳng cần tìm là: 4 x  3 y  12 z  26  0 hay 4 x  3 y  12 z  78  0

Bài 3. a) Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz và tạo với ( ) : 2 x  y  5z  0 một góc 60 0

b) Viết phƣơng trình mp (Q) đi qua A(3;0;0), C (0;0;1) và tạo với mp (Oxy) một góc 60 0 .

Tìm giải pháp - Viết dạng phƣơng trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz? (Gọi mặt phẳng (P) chứa d có dạng: Ax + By + Cz + D = 0, Mặt phẳng (P) chứa d nên chứa hai điểm O(0; 0; 0), M(0; 0; 1) nên từ đó tìm ra C=D=0 ta có:

42

(P): Ax+ By=0 với A, B không đồng thời bằng 0) - Tính góc giữa 2 mp là góc giữa 2 VTPT của 2 mặt phẳng đó. Từ đó suy ra A, B và viết đƣợc phƣơng trình mặt phẳng (P).

Trình bày giải pháp a) Mặt phẳng (P) chứa Oz nên có dạng Ax  By  0  nP  ( A; B;0) Tính n  (2;1;  5) .Theo giả thiết cos(nP , n ) 

2A  B A2  B 2 . 4  1  5

 cos 600 

1 2

 2 2 A  B  10. A2  B 2  6 A2  16 AB  6 B 2  0

1  A 1  Chọn B  1  3 . Vậy có hai mặt phẳng (P): x  y  0; 3 x  y  0  3  A  3

b) Mặt phẳng (Q) đi qua A, C tạo với mp (Oxy) một góc 60 0 nên (Q) cắt Oy tại điểm B(0; b;0), (b  0) Khi đó phƣơng trình mp (Q) là: x y z    1 hay bx  3 y  3bz  3b  0  nQ  (b;3;3b) 3 b 1

Mặt phẳng (Oxy) có VTVP là k  (0;0;1) . Theo giả thiết ta có: cos(nQ , k )  cos 600 

3b



1 2

b  9  9b 9 3  6b  10b 2  9  b 2  b 26 26 2

2

Vậy có hai mặt phẳng (Q) là: x  26 y  3z  3  0; x  26 y  3z  3  0

Bài 4. Trong không gian cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật với cạnh AB  a, AD  a 2 và đƣờng cao hình chóp SA  2a . Gọi M là trung điểm cạng BC. a) Tính góc giữa hai đƣờng thẳng AC và DM

43

a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (SMD).

Tìm giải pháp a) Chọn hệ trục đề các vuông góc cho hình vẽ bài toán, tính tọa độ S, C, D, M? - Để tính góc giữa AC và DM ta tính góc của 2 vectơ chỉ phƣơng nào? b) Tƣơng tự.

Trình bày giải pháp a) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz ta có A  O , tia AB là tia Ox, tia AD là tia Oy, tia AS là tia Oz. Tính tọa đọ các điểm S, C, D, M S (0;0; 2a), C (a; a 2;0), D(0; a 2;0), M (a;

a 2 ;0) 2

Tính tọa độ các vectơ AC  (a; a 2;0), DM  (a;

a 2 ;0) 2

Dễ thấy AC.DM  0 , vậy ta suy ra AC  DM b) Ta có VTPT của mp (ABCD) là n1  (0;0;1) VTPT của mp (SCD) là n2   DS , DM   ( 2a2 ; 2a2 ;  2a2 ) Góc giữa hai mặt phẳng chính là góc giữa hai VTPT của hai mp đó cos(n1.n2 ) 

0. 2  0.2  1. 2 ( 2) 2  22  ( 2) 2 .1



1 .

2

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (SND) là 60 0 .

S

2a

M

B

C

O

A

44

a 2

D

Bài 5. Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (C): x2 + y2 + z2 = 9 và một đƣờng thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng x + y = 6 và z = 0. a) Viết phƣơng trình của mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (C) chứa d. b) Viết phƣơng trình mặt phẳng chắn là tiếp xúc với mặt cầu (C) .

Tìm giải pháp a) - Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (C) ?

- Tính chất mặt phẳng (P) chứa đƣờng thẳng d phải chứa 2 điểm phân biệt nào ?

(Chứa hai điểm phân biệt A(6; 0; 0), B(0; 6; 0)) - Xác định VTPT của mặt phẳng (P)? Từ đó viết phƣơng trình mặt phẳng (P)? b) - Gọi (Q) là mặt phẳng chắn, nên phƣơng trình (Q) có dạng ?

- Điều kiện để mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu (C) ?

Trình bày giải pháp a) Dễ thấy mặt cầu đã cho có tâm O(0; 0; 0) và bán kính R = 3.

Gọi mặt phẳng (P) chứa d có dạng: ax + by + cz + d = 0 với a2 + b2 +c2 > 0 Mặt phẳng (P) chứa d nên chứa hai điểm A(6; 0; 0), B(0; 6; 0) nên ta có: 6a  d  0 a  b a  b      6b  d  0 6a  d  0  d  6a

Điều kiện để (P) tiếp xúc với mặt cầu là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu (C) tới mặt phẳng (P) bằng bán kính, nên ta có: d(O,(P))  3 

a.0  b.0  c.0  6a 2a 2  c2

3

45

d(O,(P))  3  36a 2  9(2a 2  c 2 )  2a 2  c 2

Nếu chọn a = 1 suy ra c =  2 và d  6 .

Vậy ta có phƣơng trình của (P) là x  y  2z  6  0 và x  y  2z  6  0 .

b) Gọi (Q) là mặt phẳng chắn, nên phƣơng trình có dạng: x  y  z  1 với a, a

b

c

b, c khác 0. Điều kiện để mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu (C) tới mặt phẳng (Q) bằng bán kính, nên ta có: 0 0 0   1 a b c d(O,(Q))  3  3 1 1 1   a 2 b 2 c2

d(O,(Q))  3 

1 1 1 1    a 2 b2 c2 9

Dựa vào đẳng thức trên, ta có thể chọn vô số a, b, c khác 0 thỏa mãn nó. Do vậy kết luận có vô số mặt phẳng chắn tiếp xúc với mặt cầu (C). ĐS: a) x  y  2z  6  0 và x  y  2 z  6  0 2.2.3. Phương trình đường thẳng  Mục đích trọng tâm: Học sinh biết đƣợc a) Vectơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng d : vectơ u  0 có giá song song hoặc trùng với d . b) Phƣơng trình đƣờng thẳng: Đƣờng thẳng d đi qua điểm M 0 ( x0 , y0 , z0 ) với vectơ chỉ phƣơng u(a; b; c) có:

46

o

 x  x0  at Phƣơng trình tham số là:  y  y0  bt (t  R)   z  z  ct 0 

( Mỗi giá trị của t cho ta các giá trị tƣơng ứng x, y, z là tọa độ một điểm M thuộc đƣờng thẳng). o Phƣơng trình chính tắc là:

x  x0 y  y0 z  z0   ; abc  0  a b c

c) Vị trí tƣơng đối giữa hai đƣờng thẳng Trong không gian, cho đƣờng thẳng d đi qua điểm M 0 có VTPT u và đƣờng thẳng d ' đi qua điểm M 0' có VTCP u ' + d và d ' cùng nằm trong một mặt phẳng  u, u '  .M 0 M 0'  0 + d  d '  u, u '   u, M 0 M 0'   0  u , u '   0  + d / / d     u, M 0 M 0'   0   '

 u, u '  .M M '  0   0 0 '   + d cắt d  u , u '   0  

+ d , d ' chéo nhau  u, u '  .M 0 M 0'  0 Khi giải bài tập nếu biết phƣơng trình của hai đƣờng thẳng d , d ' ta cũng có thể xét vị trí tƣơng đối giữa chúng bằng cách giải hệ phƣơng trình để tìm giao điểm. + Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì d , d ' cắt nhau + Nếu hệ phƣơng trình có vô số nghiệm thì d  d ' + Nếu hệ phƣơng trình vô nghiệm thì d , d ' song song hoặc chéo nhau, lúc đó cần xét thêm các vectơ chỉ phƣơng của chúng.

47

d) Góc + Cho hai đƣờng thẳng d , d ' lần lƣợt có VTCP u(a; b; c) và u '  (a ' , b' , c ' ) . Góc  giữa hai đƣờng thẳng đó đƣợc tính theo công thức: cos  

u.u ' u.u

'



aa '  bb'  cc ' a b c . a b c 2

2

2

'2

'2

'2

(0    900 )

+ Cho đƣờng thẳng d có VTCP u(a; b; c) và mặt phẳng ( ) có VTPT n  (A;B;C) . Gọi  là góc giữa d và ( ) thì  đƣợc tính theo công thức sau: sin  

u.n

Aa  Bb  Cc



A2  B 2  C 2 . a 2  b2  c 2

u.n

e)

Khoảng cách

+ Khoảng cách từ một điểm M tới đƣờng thẳng  (đi qua M 0 với VTCP u ) là:  MM 0 , u    d ( M , )  u

+ Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau  (đi qua M 0 với VTCP u ) và  ' ( đi qua M 0' với VTCP u ' ) là: u, u '  .MM 0   d ( ,  )  u , u '    '

 Bài tập cơ bản: Bài 1: Lập phƣơng trình tham số hoặc chính tắc của đƣờng thẳng d biết: a) d đi qua M (3; 2;1) và vuông góc với (P) : 2 x  5 y  4  0  x  1  2t b) d đi qua M (2; 0; 3) và song song với đƣờng thẳng  :  y  3  3t  z  4t 

c) d đi qua hai điểm M (1; 2; 2), N (2;1;1) 48

d) d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( P) : x  3 y  z  0 và (Q) : x  y  z  4  0 Tìm giải pháp: - Viết phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng cần biết những yếu tố nào? ( VTCP và một điểm thuộc đƣờng thẳng đó) Trình bày giải pháp: a) d  ( P) nên VTCP của d là u  nP  (2; 5;0)  x  3  2t Phƣơng trình đƣờng thẳng d là:  y  2  5t z  1 

b) d / /   u  u  (2;3; 4)  Phƣơng trình đƣờng thẳng d là:

x2 y z 3   2 3 4

c) d có VTCP u  MN  (1;1;3) x  1 t Phƣơng trình đƣờng thẳng d là:  y  t  z  2  3t 

d) Cách 1: + Tìm điểm M  d + VTCP của d là: ud  nP , nQ  Cách 2: Tập hợp điểm thuộc đƣờng thẳng d chính là cặp (x, y) thỏa mãn hai phƣơng trình mặt phẳng Tìm hai điểm phân biệt thuộc đƣờng thẳng d . Khi đó bài toán trở thành viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua hai điểm.

Cách 3: Chọn y=t. Rút x; y theo t ta đƣợc phƣơng trình đƣờng thẳng.  x  2  t Đ/S:  y  t  z  2  2t 

Bài 2: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(0; 0; 2), B(3; 0; 5), C(1; 1; 0), D(4; 1; 2) a) Viết phƣơng trình tham số của đƣờng cao tứ diện ABCD hạ từ D. 49

b) Tìm tọa độ hình chiếu H của D trên mp (ABC). ( Ví dụ 2- trang 93- SGK Hình học 12NC) Tìm giải pháp a) – Để viết phƣơng trình đƣờng cao ta cần xác định những yếu tố nào? ( VTPT của mp chứa chân đƣờng cao và đỉnh đƣờng cao đó đi qua) b) Tọa độ hình chiếu H của D trên mp (ABC) là giao điểm cảu đƣờng thẳng nào và mặt phẳng nào? (giao điểm của đƣờng cao DH và ( ABC)) Trình bày giải pháp: a) Tính AB  (3;0;3), AC  (1;1; 2),  AB, AC   (1; 3; 1) Đƣờng cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D đi qua D và nhận  AB, AC  làm x  4  t VTCP  phƣơng trình đƣờng cao d là:  y  1  3t z  2  t 

b) + Viết phƣơng trình mp (ABC): x  3 y  z  2  0 + Hính chiếu H của D trên mp (ABC) là giao điểm của đƣờng thẳng d với mp (ABC). Để tìm tọa độ điểm H, ta giải hệ gồm các phƣơng trình của đƣờng thẳng d và mp (ABC) 1  t   11  x  4  t  x  43  y  1  3t   11   z  2  t  y  14  x  3 y  z  2  0  11  23 z   11

Vậy H   ; ;  .  11 11 11  43 14 23

Bài 3. Xét vị trí tƣơng đối và tính khoảng cách của mỗi cặp đƣờng thẳng d và d ’ cho bởi phƣơng trình sau:

50

a) d :

x 1 y  7 z  3 x  6 y 1 z  2   ;d ':   2 1 4 3 2 1

b) d :

x 1 y  2 z x y 8 z 4   ;d ':   2 2 1 2 3 1

c) d :

x  2 y z 1 x7 y2 z   ;d ':   4 6 8 6 9 12

 x  9t d) d :  y  5t ;  z  3  t 

d ’ là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) : 2 x  3 y  3 z  9  0;( ') : x  2 y  z  3  0.

Tìm giải pháp Cho biết vị trí tƣơng đối của các đƣờng thẳng trong không gian khi biết phƣơng trình của chúng? + d  d '  u, u '   u, M 0 M 0'   0  u , u '   0  + d / / d     u, M 0 M 0'   0   '

 u, u '  .M M '  0   0 0 '   + d cắt d  u , u '   0  

+ d , d ' chéo nhau  u, u '  .M 0 M 0'  0 Trình bày giải pháp a) d đi qua M(1; 7; 3) và có VTCP u  (2;1;4) d ’ đi qua M’(6; -1; 2) và có VTCP u '  (3; 2;1)

Ta có MM '  (5; 8; 5), u, u '  (9;10; 7)  0  u, u ' .MM '  0 Vậy d và d ’ cắt nhau và khoảng cách giữa chúng bằng 0.

51

b) d , d ’ chéo nhau c) d , d ’ song song d) d , d ’ trùng nhau Bài 4. Xét vị trí tƣơng đối giữa đƣờng thẳng d và mặt phẳng ( ) cho bởi các phƣơng trình sau: a)

x  12 y  9 z  1   ;( ) : 3 x  5 y  z  2  0 4 3 1

b)

x 1 y  3 z   ;( ) : 3 x  3 y  2 z  5  0 2 4 3

c)

x  9 y 1 z  3   ;( ) : x  2 y  4 z  1  0 8 2 3

d)

x  7 y 1 z  5   ;( ) : 3 x  y  2 z  5  0 5 1 4

Tìm giải pháp Cho biết vị trí tƣơng đối của đƣờng thẳng và mặt phẳng trong không gian khi biết phƣơng trình của chúng?

Trình bày giải pháp a) d đi qua điểm M(12; 9; 1) và có VTCP u  (4;3;1) ( ) có VTPT n  (3;5; 1)

Vì u.n  26  0 nên d cắt ( ) b) d song song với ( ) c) d nằm trong ( ) d) d cắt ( ) Bài 5. a) Tính khoảng cách từ điểm M 0  (2;3;1) tới đƣờng thẳng d:

x  2 y 1 z 1   1 2 2

52

b) Cho đƣờng thẳng d đi qua M(0; 0; 1) có VTCP u(1;1;3) và mặt phẳng ( ) có phƣơng trình: 2 x  y  z  5  0 . Chứng minh d song song với ( ) . Tính

khoảng cách giữa d và ( ) .

Tìm giải pháp Cho biết công thức tính khoảng cách từ một điểm tới một đƣờng thẳng trong không gian khi biết phƣơng trình của đƣờng thẳng?

Trình bày giải pháp a) d đi qua M(-2; 1; -1) và có VTCP u(1;2; 2) . Tính M 0 M ; u, M 0 M   d (M 0 , d ) 

u , M 0 M  200 10 2     3 3 u

b) VTCP của đƣờng thẳng d là u(1;1;3) VTPT của mặt phẳng ( ) là n  (2;1; 1) Vì n.u  0 nên u  n nên d song song với ( )  khoảng cách từ M tới ( ) bằng khoảng cách từ d tới ( ) d (d , ( )) 

1  5 2 1 1 2

2

2



2 6 3

 Bài tập nâng cao: x  t Bài 1. Cho đƣờng thẳng d:  y  8  4t và mặt phẳng (P): x  y  z  7  0  z  3  2t 

Viết phƣơng trình hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng (P).

(Bài 27- trang 103- SGK Hình học 12NC) Tìm giải pháp Phƣơng pháp chung để xác định hình chiếu của một đƣờng thẳng xuống mặt phẳng là gì?

53

- Lấy hai điểm A, B trên đƣờng thẳng d - Tìm hình chiếu A’, B’ của A, B trên mặt phẳng (P) - Đƣờng thẳng cần tìm là đƣờng thẳng đi qua A’, B’.

Trình bày giải pháp Lấy A(0; 8; 3), B(1; 12; 5) thuộc d . 4 20 5

9 25 4

Hình chiếu của A, B xuống mặt phẳng (P) là A '  ; ;  , B '  ; ;   3 3 3  3 3 3 Khi đó, hình chiếu vuông góc của d xuống mặt phẳng (P) đi qua điểm A ' và 4 5  x  3  3 t  20 5 có VTCP là véctơ A ' B ' có phƣơng trình là:  y   t 3 3  5 1  z  3  3 t 

Bài 2. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua điểm A(1; -1; 1) và cắt cả hai đƣờng thẳng sau:  x  1  2t x  t   d : y  t ; d ' :  y  1  2t z  3  t z  2  t  

(Bài 29- trang 103- SGK Hình học 12NC) Tìm giải pháp Giả sử đƣờng thẳng  đi qua A cắt đƣờng thẳng d và d ’ lần lƣợt tại M, N. Xét xem điểm A,hai đƣờng thẳng d và  có cùng mặt phẳng không? ( Cùng thuộc một mặt phẳng) Xác định giao điểm của đƣờng thẳng d ’ và mặt phẳng trên? ( điểm N) Từ đó xác định đƣợc tọa độ điểm N và viết đƣợc phƣơng trình đƣờng thẳng AN là đƣờng thẳng  cần tìm. 

M • A

N

•

•

d

d' 54

’’’

Trình bày giải pháp Lấy một điểm M thuộc d , chẳng hạn M(1; 0; 3). Tính tọa độ AM=(0; 1; 2) Viết mặt phẳng (P) xác định bởi d là điểm A, có VTPT là: nP  u, AM   (3; 4;2)

Phƣơng trình mặt phẳng (P) là: 3x  4 y  2 z  9  0 1 15 27

 Xác định tọa độ giao điểm N của (P) và d’ là: N  ; ;   13 13 13 

 x  1  6t Từ đó viết đƣợc phƣơng trình đƣờng thẳng AN là:  y  1  t  z  1  7t 

Bài 3. (Đề TSĐH, A, 2006) Cho hình lập phƣơng ABCD.A’B’C’D’ với các điểm A(0; 0; 0); B(1; 0; 0); D(0; 1; 0); A’(0; 0; 1). Gọi M, N lần lƣợt là trung điểm của các cạnh AB, CD. a) Tính khoảng cách giữa A’C và MN ; b) Viết phƣơng trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với (Oxy) một góc  , có cos  

1 .

6

Tìm giải pháp C

B

N

M

D

A C’

D’

B’ A’

a) Chọn hệ trục tọa độ cho hình vẽ bài toán Tính tọa độ C, M, N trong hệ trục đã chọn

55

Tính A 'C,MN,MC và tính MN, A'C .MC  ? để kết luận b)Gọi mặt phẳng cần tìm (Q) là ax  by  cz  d  0 ( a 2 + b2 + c2  0 ).

Tính chất mặt phẳng (Q) chứa A’C nên chứa 2 điểm phân biệt nào? Từ đây xác định VTPT của mặt phẳng (Q) ?

Tính chất mặt phẳng (Q) tạo với Oxy một góc  , xác định VTPT của mặt phẳng (Q) ?

Trình bày giải pháp a) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có A trùng với O, tia AB là tia Ox, tia AD là tia Oy, tia AA’ là tia Oz. Xác định tọa độ các điểm: C(1; 1; 0), M  1 ; 0; 0  , N  1 ; 1; 0  , nên tọa 2  2  độ của các vectơ A'C = (1; 1; -1), MN = (0; 1; 0) . Ta có 1 1  MC   ; 1; 0  , MN, A'C   1; 0; 1 và  MN, A'C .MC  .

2 2 

Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng trong không gian ta có kết quả là d  A 'C, MN   2 .

4

b) Gọi mặt phẳng cần tìm (Q) là ax  by  cz  d  0 ( a 2 + b2 + c2  0 ).

Vì mặt phẳng (Q) chứa A’(0; 0; 1) và C(1; 1; 0) nên suy ra c  d  a  b.

Vậy phƣơng trình của (Q) có dạng ax  by   a  b  z   a  b   0.

Vectơ pháp tuyến của (Q) là n Q  (a; b; a  b) .

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD) là AA' = k = (0; 0; 1) .

Từ giá trị cos   1  6

ab a 2  b 2  (a  b) 2

=

1 6

a  2b .  b   2a 

2.2.4. Bài tập tổng hợp chương Bài 1. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(-2; 1; 2), B( 0; 4; 1),

56

C(5; 1; -5), D(-2; 8; -5) và đƣờng thẳng d :

x  5 y 1 z  9   3 5 4

a) Chứng mình A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện b) Tính thể tích khối tứ diệm ABCD c) Viết phƣơng trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diệm d) Tìm tọa độ các giao điểm M, N của đƣờng thẳng d với mặt cầu (S) e) Viết phƣơng trình các mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M, N. Tính góc  tạo bởi hai mặt phẳng đó. Đ/S: b) VABCD 

98 c) (S): ( x  2)2  ( y  1)2  ( z  5)2  49 3

d) M (1; 1;1), N(4; 4;  3)

( P) : 3 x  2 y  6 z  11  0 e) (Q) : 6 x  3 y  2 z  30  0 24 cos   49

Bài 2. Cho hai mặt phẳng (P). (Q) lần lƣợt có phƣơng trình (P): 2 x  y  z  2  0 và (Q): x  y  2 z  1  0

a) Chứng mình (P) và (Q) cắt nhau. Tìm góc giữa hai mặt phẳng đó. b) Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua A(1; 2; -3) song song với cả (P) và (Q). c) Viết phƣơng trình mặt phẳng (R) đi qua B(-1; 3; 4) vuông góc với cả (P), (Q). ( Bài 8- trang 111 Hình học 12NC) Đ/S: a) Góc giữa (P) và (Q) bằng 60 0 x  1 t b) d :  y  2  t  z  3  t 

c) ( R) : x  y  z  2  0

Bài 3. Cho hai đƣờng thẳng

57

 x  7  3t x 1 y  2 z  5  d :  y  2  2t ; d ' :   2 3 4  z  1  2t 

a) Chứng minh rằng d và d ’ đồng phẳng. Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) chứa chúng b) Tính thể tích tứ diện giới hạn bởi mp (P) và ba mặt phẳng tọa độ. ( Bài 6- trang 110- SGK Hình học 12NC) Đ/S: a) ( P) : 2 x  16 y  13 z  31  0

313 b) V  2496

Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đƣờng thẳng :

x2 y2 z 3   và điểm A(0; 0; -2) 2 3 2

a) Tính khoảng cách từ A đến  b) Viết phƣơng trình mặt cầu tâm A cắt  tại hai điểm B và C: BC= 8. ( Đề thi TSĐH- Khối A- 2010) Đ/S: a) 3

b) ( S ) : x 2  y 2  ( z  2) 2  25

Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đƣờng thẳng :

x  6 y 1 z  2   và điểm A(1; 7; 3) 3 2 1

Viết phƣơng trình mp (P) đi qua A và vuông góc với  . Tìm tọa độ điểm M thuộc  sao cho AM  2 30 . (Đề thi TSĐH- Khối A- 2013) 51 1 17  Đ/S: ( P) : 3x  2 y  z  14  0; M (3; 3; 1) hoặc M  ; ;  7 7 7 

58

Tiểu kết chƣơng 2

Ứng dụng xây dựng hệ thống bài tập Toán học dạy học chủ đề phƣơng pháp toạ độ trong mặt phẳng theo định hƣớng phát triển năng lực học sinh: - Xác định mục đích trọng tâm nội dung dạy học: Học sinh cần nhận biết đƣợc các kiến thức, kĩ năng nào - Xây dựng hai hệ thống bài tập cơ bản và nâng cao cho phần nội dung dạy học tƣơng ứng. Trong đó chú ý dạy học bài tập theo hƣớng phát triển năng lực của học sinh gồm hai hoạt động chính sau: + Phân tích giải pháp giải quyết vấn đề (Phân tích tìm đƣờng lối chứng minh Toán học của bài tập) + Trình bày giải pháp giải quyết vấn đề (Trình bày chứng minh Toán học của bài tập)

59

KẾT LUẬN Nhiệm vụ nghiên cứu: - Nghiên cứu về lí luận: + Năng lực; năng lực Toán học của học sinh ; + Định hƣớng phát triển năng lƣc của học sinh trong dạy học toán ở trƣờng phổ thông. + Dạy học bài tập toán học và nội dung dạy học bài tập Toán học chủ đề “Phƣơng pháp tọa độ trong không gian” ở lớp 12 trƣờng THPT. - Ứng dụng thiết kế hoạt động dạy học bài tập hình học chủ đề “Phƣơng pháp tọa độ trong không gian” ở lớp 12 trƣờng THPT theo định hƣớng phát triển năng lực của học sinh Kết quả của đề tài: 1. Định hƣớng phát triển năng lực học sinh trong dạy học bài tập Toán học ở trƣờng phổ thông Định hướng phát triển năng lực của học sinh trong dạy học bài tập Toán học ở phổ thông là phát triển năng lực giải quyết vấn đề của người học: + Coi trọng việc dạy cho học sinh hoạt động phân tích tìm đƣờng lối chứng minh Toán học (Tìm giải pháp giải quyết vấn đề) + Đồng thời chú ý dạy cho học sinh hoạt động chứng minh Toán học đó (Trình bày giải pháp giải quyết vấn đề) 2. Ứng dụng thiết kế các hoạt động dạy học bài tập hình học chủ đề “Phƣơng pháp tọa độ trong không gian” ở lớp 12: - Xác định mục đích trọng tâm nội dung dạy học: Học sinh cần nhận biết đƣợc các kiến thức, kĩ năng nào - Xây dụng hai hệ thống bài tập cơ bản và nâng cao cho phần nội dung dạy học tƣơng ứng. Trong đó chú ý dạy học bài tập theo hƣớng phát triển năng lực của học sinh gồm hai hoạt động chính sau:

60

+ Phân tích giải pháp giải quyết vấn đề (Phân tích tìm đƣờng lối chứng minh Toán học của bài tập) + Trình bày giải pháp giải quyết vấn đề (Trình bày chứng minh Toán học của bài tập) 3. Hƣớng phát triển của đề tài: Tiếp tục theo hƣớng nghiên cứu của đề tài em sẽ tiếp tục phát triển nghiên cứu việc dạy học bài tập Toán học ở nhiều chủ đề khác Do điều kiện và khả năng còn nhiều khiếm khuyết, sai sót. Em xin trân trọng cám ơn những ý kiến đóng góp của thầy cô giáo trong bộ PPDH Toán, cùng các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp trong khoa Toán đã đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho khóa luận của em.

61

TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Bá Kim (Chủ biên), Phương pháp dạy học môn toán, Nxb Giáo dục, 2007.

[2] Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo.

[3] Trần Luận (2011), Về cấu trúc năng lực của học sinh, Kỷ yếu hội thảo quốc gia về giáo dục toán học ở trƣờng phổ thông, NXB Giáo dục.

[4] Các sách giáo khoa, sách bài tập hình học, sách giáo viên môn Hình học lớp 11 trƣờng THPT, Nxb Giáo dục 2015.

[5] Đề tài khóa luận “Dạ y học bài tập toán chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian theo phương pháp dạy học tích cực ” ( Nguyễn Thị Thu Hƣơng-2014)

62