https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyên đề 18: PHƯƠNG TRÌNH HÀM 1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
N Y
TP .Q
U
- Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y là một quy tắc đặt tương ứng mỗi phần tử x của X với một và chỉ một phần tử y của Y. Phần tử y tương ứng của x gọi là ảnh của ánh xạ f, kí hiệu y = f(x) , x gọi là nghịch ảnh của y:
H Ơ
N
Ánh xạ và hàm số
ẠO
Đ Ư N
G
Hay ∀a,b ∈ X : f ( a ) = f ( b ) ⇒ a = b
TR ẦN
H
- Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y gọi là toàn ánh nếu mỗi phần tử Y bất kỳ của Y đều có nghịch ảnh x của X:
∀y ∈ Y, ∃x ∈ X : y = f ( x )
00
B
Hay Y = f ( x ) = {y ∈ Y | ∃∈ X, y = f ( x )} .
10
- Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y gọi là song ánh nếu f vừa đơn ánh và toàn ánh, tức là nếu mỗi phân tử y bất kỳ của Y đều có nghịch ảnh duy nhất x của X.
ẤP
2+
3
Hai tập hữu hạn có cùng số phần tử khi tồn tại một song ánh giữa chúng. Còn 2 tập vô hạn mà có song ánh giữa chúng thì gọi là cùng lực lượng hay cùng bản số.
C
- Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu:
Ó
A
∀x ∈ D thì − x ∈ D và f ( − x ) = f ( x )
H
- Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu:
-L
Í-
∀x ∈ D thì − x ∈ D và f ( − x ) = −f ( x )
TO
ÁN
∃a ≠ 0 - Hàm số tuần hoàn : f ( x + a ) = f ( x ) , ∀x,x + a ∈ D
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
- Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y gọi là đơn ánh nếu hai phần tử khác nhau bất kỳ của X đều cho hai ảnh khác nhau của Y: ∀a, b ∈ X : a ≠ b ⇒ f ( a ) ≠ f ( b )
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
f : X →: x ֏ y = f ( x )
G
Số dương bé nhất nếu có trong các số a thỏa mãn điều kiện trên gọi là chu kỳ T của
BỒ
ID Ư
Ỡ N
hàm số f.
∃a ≠ 0 - Hàm phản tuần hoàn : f ( x + b ) = −f ( x ) , ∀x,x + b ∈ D
- Hàm cộng tính: f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y )
Trang 1
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
- Hàm nhân tính: f ( xy ) = f ( x ) .f ( y )
N
- Điểm bất đồng của hàm f(x) là x = a sao cho f(x) = a
H Ơ
- Nếu hàm số f(x) có f '(x) = 0 trên D thì f(x) là hàm hằng trên D.
Y
N
Đặc trưng hàm sơ cấp:
ẠO
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Đ
- Hàm mũ f ( x ) = a x , a > 0, a ≠ 1: f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y )
Ư N H
- Hàm sin f ( x ) = sin : f ( 3x ) = 3f ( x ) − 4f 3 ( x )
TR ẦN
- Hàm cosin f ( x ) = cos x : f ( 2x ) = 2f 2 ( x ) − 1
3
10
00
f (x ) + f ( y) 1− f ( x ) f ( y)
B
f ( x + y ) + f ( x − y ) = 2f ( x ) f ( y ) - Hàm tang f ( x ) = tanx : f ( x + y ) =
G
- Hàm lôgarit f ( x ) = log a x , a > 0, a ≠ 1: f ( xy ) = f ( x ) + f ( y )
2+
f ( x ) f ( y) −1 f (x ) + f ( y)
ẤP
- Hàm cotang f ( x ) = cot x : f ( x + y ) =
C
ex − e− x : f ( 3x ) = 3f ( x ) + 4f 3 ( x ) 2
Ó
A
- Hàm f ( x ) = shx =
H
ex + e− x : f ( x + y ) + f ( x − y ) = 2f ( x ) f ( y ) 3
-L
Í-
- Hàm f ( x ) = chx =
ÁN
Phương trình hàm
- Tính giá trị đặc biệt f(0), f(1),...
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
- Hàm tuyến tính f ( x ) = ax, a ≠ 0 : f ( x + y ) = f ( x ) . f ( y )
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
U
x + y f ( x ) + f ( y) - Hàm bậc nhất f ( x ) = ax + b, a ≠ 0 : f = 2 2
Ỡ N
G
- Dùng phép thế, đổi biến, các chuyển đổi số học, đại lượng trung bình, biến đổi tịnh tiến và đồng dạng, biến đổi phân tuyến tính,...
BỒ
ID Ư
- Dùng tính chất đơn ánh, toàn ánh, song án, tuần hoàn,..
- Đánh giá, dự đoán hàm số, quy nạp,... Phương trình hàm Cauchy: Hàm f(x) xác định và liên tục trên R thỏa mãn:
f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) , ∀x,y ∈ ℝ thì f ( x ) = ax với a hằng số tùy ý.
Trang 2
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
2. CÁC BÀI TOÁN
N
Bài toán 18. 1: Cho hàm số f: ℝ → ℝ thỏa: f ( x + 2xy ) = f ( x ) + 2f ( xy ) , ∀x,y ∈ ℝ
H Ơ
Biết f(201) = a, hãy tính f(202).
N
Hướng dẫn giải
(x) 1 x ta được f ( 0 ) = f ( x ) + 2f − ⇒ f ( x ) = −2f 2 2 2
ẠO
Thay y = −
Đ
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
H
t ta được: 2x
TR ẦN
Xét x ≠, t ∈ ℝ bất kì. Thay y =
Ư N
G
x Suy ra f ( x ) = 2f 2
00
B
t f ( x + t ) = f ( x ) + 2f = f ( x ) + f ( t ) 2
10
Với x = 0 ta cũng có f ( 0 + t ) = f ( 0 ) + f ( t )
2+
3
Ta chứng minh bằng quy nạp theo k: f ( kx ) = kf ( x ) , ∀x ∈ ℝ, ∀k ∈ ℕ
a 201
C
ẤP
Từ đó rút ra: a = f ( 201) = 201.f (1) ⇒ f (1) =
202 a 201
H
Ó
A
Do đó f ( 202 ) = 202.f (1) =
Í-
Bài toán 18. 2: Cho hàm f(x, y) thỏa mãn các điều kiện:
ÁN
-L
f ( 0, y ) = y + 1; f ( x + 1, 0 ) = f ( x,1) f ( x + 1, y + 1) = f ( x, f ( x + 1, y ) )
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
Thay y = −1 ta được : f ( − x ) = f ( x ) + 2f ( − x ) ⇒ f ( x ) = −f ( − x )
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
U
Y
Thay x = 0 ta được: f ( 0 ) = f ( 0 ) + 2f ( 0 ) ⇒ f ( 0 ) = 0
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
Với mọi số nguyên không âm x, y. Tìm f(4, 1981)
Hướng dẫn giải
Ta có: f (1, n ) = f ( 0, f (1, n − 1) ) = 1 + f (1, n − 1) Do đó: f (1, n ) = n + f (1, 0 ) = n + f ( 0,1) = n + 2 Ta lại có: f ( 2, n ) = f (1, f ( 2, n − 1) ) = f ( 2, n − 1) + 2
Trang 3
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Do đó: f ( 2, n ) = 2n + f ( 2, 0 ) = 2n + f (1,1) = 2n + 3
H Ơ
N
Bây giờ: f ( 3, n ) = f ( 2, f ( 3, n − 1) ) = 2 f ( 3, n − 1) + 3
N
Đặt u n = 2u n −1 và u 0 = f ( 3, 0 ) + 3 = f ( 2,1) + 3 = 0
−3
ẠO Đ
f ( 4,2 ) = 2224 − 3
Ư N
G
Bằng qui nạp ta chứng minh được f ( 4,n ) = 222..24 − 3
TR ẦN
f ( 4, 1981) = 2 22..24 − 3 với số mũ chứa 1983 chữ số 2.
H
Trong đó số mũ chứa (n + 2) chữ số 2. Từ đó:
Bài toán 18. 3: Cho hàm f: ℤ + → ℤ + thỏa mãn các điều kiện sau:
00
B
(i) f ( n + 1) > f ( n ) ; ∀n ∈ ℤ +
3
10
(ii) f ( f ( n ) ) = 3n, ∀n ∈ Z + . Hãy tính f(2003).
2+
Hướng dẫn giải
C
ẤP
Từ (i) và (ii) ⇒ f (1) < f ( f (1) ) = 3 ⇒ f (1) = 2
Ó
A
Ta có: f ( 2 ) = f ( f (1) ) = 3.1 = 3
Í-
H
f ( 3) = f ( f ( 3) ) = 3.2
ÁN
.............
-L
f ( 2.3) = f ( f ( 3) ) = 3.3 = 32
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
f ( 4,n −1) + 3
f ( 4,0 ) = f ( 3,1) = 24 − 3 = 13
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Suy ra f ( 2.3n ) = 3n +1 , ∀n ∈ ℤ + ; f ( 3n ) = 2.3n ; ∀n ∈ Z +
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
Ta có: f ( 4,n ) = f ( 3, f ( 4, n − 1) ) = 2
U
Y
Do vậy: u n = 2 n+3f ( 3,n ) = 2n+3 − 3
(
)
Nên có f ( 3n +1 ) = f f ( 2.3n ) = 2.3n +1
(
)
f ( 2.3n +1 ) = f f ( 3n +1 ) = 3.3n +1 = 3n + 2 Do đó khẳng định đúng với mọi n Ta có ( 3n − 1) số nguyên m nằm giữa 3n và 2. 3n và do giả thiết (i) f ( n + 1) > f ( n )
Trang 4
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
nên có ( 3n − 1) số nguyên m nằm giữa f( 3n ) và f(2. 3n ) suy ra 0 < m < 3n
H Ơ
)
N
f ( 2.3n + m ) = f f ( 3n + m ) = 3 ( 3n + m )
TP .Q
U
Y
Vậy f ( 2.3n + m ) = 3 ( 3n + m ) với 0 < m < 3n
Bài toán 18. 4: Cho f(n) là hàm số xác định với mọi n ∈ Ν* và lấy giá tị không âm thỏa mãn tính chất:
Đ
ẠO
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Ư N
G
1. ∀n, m ∈ Ν * : f ( m + n ) − f ( m ) − f ( n ) lấy giá trị 0 hoặc 1
H
2. f ( 2 ) = 0 và f ( 3) > 0
TR ẦN
3. f ( 9999 ) = 3333 . Tính f ( 2000 ) .
Hướng dẫn giải
00
B
Vì f ( m + n ) − f ( m ) − f ( n ) lấy giá trị 0 hoặc 1 nên ta suy ra:
3
10
f ( m + n) ≥ f (m) + f ( n)
2+
⇒ f ( 2 ) ≥ 2 f (1) ⇒ f (1) = 0 ⇒ f ( 3) = 1
C
ẤP
Ta có: f ( 6 ) ≥ f ( 3) + f ( 3) = 2
Í-
H
.................
Ó
A
f ( 9 ) ≥ f ( 6 ) + f ( 3) ≥ 3
-L
f ( 9999 ) ≥ f ( 9996 ) + f ( 3) ≥ 3333
ÁN
Vì giả thiết cho f ( 9999 ) = 3333 nên ta có dấu “=” ở các bất đẳng thức trên xảy ra, tức là
f ( 3n ) = n, ∀n = 1, 2,...,3333
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
Suy ra: n = 2003 = 2.36 + 545 ⇒ f (2003) = 3 ( 36 + 545 ) = 3822
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
(
N
⇒ f ( 3n + m ) = 2.3n + 3n . Do giả thiết (ii) suy ra.
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
⇒ f (1998 ) = 666, f ( 2001) = 667
Mặt khác nếu a a, b ∈ Ν * và a > b ⇒ f ( a ) ≥ f ( b ) + f ( a − b ) ≥ f ( b )
⇒ 666 ≤ f ( 2000 ) ≤ 667 ⇒ f ( 2000 ) = 666 hoắc 667 Giả sử f ( 2000 = 667 )
Trang 5
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
⇒ f ( 4000 ) ≥ 1334 ⇒ f ( 6000 ) ≥ 1334 + 667 = 2001
N
mà f ( 6000 ) = 2000 (mâu thuẫn). Vậy: f ( 2000 ) = 666
H Ơ
Bài toán 18. 5: Cho f và g là các hàm xác định trên R thỏa:
U
Y
N
f ( x + y ) + f ( x − y ) = 2 f ( x ) .g ( y ) , ∀x, y ∈ ℝ
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
ẠO
Hướng dẫn giải
G
Đ
Ta dùng phương pháp phản chứng
Ư N
Giả sử lại một điểm y0 ∈ ℝ : g ( y0 ) = a > 1
B
00
xk + y0 , khi f ( xk + y0 ) ≥ f ( xk − y0 ) xk +1 = xk − y0 , khi f ( xk + y0 ) < f ( xk − y0 )
TR ẦN
H
Ta lấy x0 : f ( x0 ) ≠ 0 và xây dựng dãy xk ( k = 0,1, 2....) như sau:
10
Theo giả thiết ta có:
2+
3
2 f ( xk +1 ) > f ( xk + y0 ) + f ( xk − y0 ) ≥ f ( xk + y0 ) + f ( xk − y0 )
C
ẤP
= 2 f ( xk ) g ( y0 ) = 2a f ( xk )
H
Ó
A
Nên f ( xk +1 ) ≥ a f ( xk ) với a > 1; k = 1, 2,3...
Í-
Do đó ta có: f ( xk ) ≥ a k f ( x0 ) . Nhưng vì f ( x0 ) ≠ 0 và a > 1 nên có thể chọn k sao
ÁN
-L
cho a k f ( x0 ) > 1 dó đó f ( xk ) > 1 Mâu thuẫn với giả thiết. Vậy g ( y ) ≤ 1, ∀y ∈ R
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
Nếu f ( x ) ≠ 0 và f ( x ) ≤ 1, ∀x ∈ ℝ thì g ( y0 ) = a > 1
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
Chứng minh rằng:
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
Bài toán 18. 6: Cho hàm số f: ℝ → ℝ thỏa 2 điều kiện: i) f ( x ) ≥ 1 + x; ∀x ∈ ℝ ii) f ( x + y ) ≥ f ( x ) . f ( y ) ; ∀x, y ∈ ℝ Chứng minh rằng không thể tồn tại hai số a; b ∈ ℝ mà f ( a ) . f ( b ) ≤ 0
Hướng dẫn giải
Trang 6
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Ta sẽ chứng minh: f ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ
H Ơ
N
Thật vậy: với x < 1 thì theo điều kiện (i) ta có ngay f ( x ) > 0
Y
2n
U
(1)
2k
x x x = f k +1 + k +1 ≥ f ( k +1 ) 2 2 2
2k .2
x = f k +1 2
ẠO
2k +1
Ư N
(2)
tức (1) đúng với
H
x k 2
2k
TR ẦN
Ta có: f n = k +1
Đ
x Giả sử công thức (1) đúng với n − k > 0 tức f ( x ) ≥ f k 2
G
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Theo nguyên lý quy nạp toán học bất đẳng thức (1) đúng.
00
B
Bây giờ chọn n đủ lớn để x < 2n , x ∈ ℝ tùy ý, khi đó
10
2n
x x <1⇒ f n > 0 n 2 2
2+
3
x Do đó f n > 0 tức f ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ 2
ẤP
Như vậy không thể tồn tại a, b ∈ ℝ mà f ( a ) . f ( b ) ≤ 0
C
1 với x là số thực dương, và với mọi số nguyên dương n, ta 1+ x
Ó
A
Bài toán 18. 7: Đặt f ( x ) =
(
)
H
đặt: g n ( x ) = x + f ( x ) + f ( f ( x ) ) + ... + f f (...f ( x ) ) , f được lấy n lần ở số hạng cuối
-L
Í-
cùng. Chứng minh rằng: a) g n ( x ) > g n ( y ) nếu x > y > 0
ÁN
http://daykemquynhon.ucoz.com
Với n = 0: công thức (1) đúng.
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
x ∀x ∈ ℝ, ∀n ∈ ℕ thì f ( x ) ≥ f n 2
N
Với x < 1 , trước hết ta sẽ chứng minh bất đẳng thức:
F F1 F2 + + ... + n +1 F2 F3 Fn + 2
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
b) g n (1) =
với F1 = F2 = 1 và Fn + 2 = Fn +1 + Fn với n ≥ 1 .
Hướng dẫn giải
(
)
a) Kí hiệu f n ( x ) = f f (...f ( x ) ) (n lần). Kí hiệu g 0 ( x ) là hàm đồng nhất. Chú ý rằng f 2 ( x ) là hàm tăng thực sự khi x > 0 .
Trang 7
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Ta sẽ chứng minh bằng qui nạp theo n rằng g n ( x ) là hàm tăng thực sự khi x > 0 . Dễ
N
dàng kiểm tra được điều này đúng với g1 ( x )
H Ơ
Giả sử khi n ≥ 2, g1 ( x ) ,..., g n −1 ( x ) là các hàm tăng thực sự với x > 0
Y
N
Cho x > y > 0 . Ta có: g n ( x ) − g n ( y ) =
)
ẠO
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Đ
Vậy g n ( x ) là hàm tăng thực sự khi x > 0 .
Ư N
G
F F F1 = 1 và f i = i +1 . Suy ra: F2 Fi +1 Fi + 2
H
b) Để y rằng
TR ẦN
F F1 F2 + + ... + n +1 = g n (1) F2 F3 Fn + 2
2003 cos 2 ( x + y ) + a cos ( x + y + α ) với a, α ∈ ℝ . 2
00
B
Bài toán 18. 8: Cho f ( x, y ) =
2
2
3
10
Chứng minh rằng min ( f ( x, y ) ) + ( max f ( x, y ) ) ≥ 2003.
2+
Hướng dẫn giải
A
C
ẤP
2003 π π Ta có: f ( 0, 0 ) + f ; = 2 2 2 2
Í-
H
Ó
2003 π π Nên max f ( x, y ) ≥ max f ( 0, 0 ) , f , ≥ ( ∀x, y ∈ ℝ ) 2 2 2 2
2003 2
ÁN
-L
⇒ ( max f ( x, y ) ) >
2003 π π Ta lại có: f ; = − − a.sin α , 2 4 4
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
= ( g1 ( x ) − g1 ( y ) ) + g n − 2 ( f 2 ( x ) ) − g n − 2 ( f 2 ( y ) ) > 0
π π Nên f ; + 4 4
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
(
U
= ( x − y ) + ( f ( x ) − f ( y ) ) + ( f 2 ( x ) − f 2 ( y ) ) + ... + ( f n ( x ) − f n ( y ) )
2003 π π f − ;− = − + a.sin α 2 4 4
2003 π π . Suy ra: f − ;− = − 2 4 4
π π min f ( x, y ) ≤ min f ; , 4 4
2003 π π f − ; − ≤ − ( ∀x , y ∈ ℝ ) 2 4 4
Trang 8
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
(
⇒ min ( f ( x, y ) )
2
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
. ) ≥ 2003 2 2
2
H Ơ
N
Do đó : min ( f ( x, y ) ) + ( max f ( x, y ) ) ≥ 2003.
N
Bài toán 18. 9: Cho hàm số f : Ν *→ Ν * . Giả sử f (1) = 1, f ( 2n ) = f ( n ) và
Ư N
G
Có thể dùng quy nạp để chứng minh rằng f(n) là số tất cả các chữ số 1 trong biểu diễn nhị phân của số n.
H
a) Tồn tại nhiều nhất 10 chữ số 1 trong biểu diễn nhị phân của một số nếu số đó bé hơn
TR ẦN
hoặc bằng 1994 = 111111001010( 2 ) Suy ra M = 10
10
00
B
b) Với mọi số tự nhiên n ≤ 1994, ta có f ( n ) = 10 nếu và chỉ nếu n là một trong các số:
2+
3
1023 = 1111111111( 2 ) ,
ẤP
1535 = 1011111111( 2) ,1791 = 1101111111( 2) ,
A
C
1919 = 1110111111( 2) ,1983 = 1110111111( 2 ) .
x2 + 1 , ∀x ≠ 0. Giả sử f 0 ( x ) = x và 2x f n ( x ) = f ( f n −1 ( x ) ) ∀n ∈ Ν * , ∀x ≠ 0 .
-L
Í-
H
Ó
Bài toán 18. 10: Cho f ( x ) =
fn ( x ) f n +1 ( x )
= 1+
TO
ÁN
Chứng minh ∀n ∈ Ν , ∀x ≠ −1, 0,1
G Ỡ N ID Ư
BỒ
x +1 f x −1
2n
Hướng dẫn giải
Đặt pn ( x ) = qn ( x ) =
1
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
Đ
Hướng dẫn giải
ẠO
b) Tìm tất cả các số n ∈ Ν , với 1 ≤ n ≤ 1994 , sao cho f ( n ) = M
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
a) Tìm giá trị lớn nhất M của f ( n ) với n ∈ Ν* thỏa mãn điều kiện 1 ≤ n ≤ 1994
TP .Q
U
Y
f ( 2n + 1) = f ( 2n ) + 1 với mọi số tự nhiên n.
1 2n 2n x + 1) + ( x − 1) ( 2
1 2n 2n x + 1) + ( x − 1) ( 2
∀x, y ∈ Ν
Trang 9
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Ta có: pn +1 ( x ) = pn2 ( x ) + qn2 ( x )
qn +1 ( x ) = 2 pn ( x ) qn ( x )
Y
pk ( x ) qk ( x )
U ẠO Đ G Ư N H
pn ( x ) qn ( x )
Do đó: f n ( x ) =
∀n ∈ Ν, ∀x ≠ 0
TR ẦN
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Ta có: ∀n ∈ Ν , ∀x ≠ −1, 0,1 thì có: n +1
n
n
2+
3
10
00
n
B
2 2 2 2 +1 f n ( x ) ( x + 1) + ( x − 1) ( x + 1) − ( x − 1) = n n n+1 n f n +1 ( x ) ( x + 1)2 + ( x − 1) 2 ( x + 1)2 + ( x − 1)2 +1 2
( x + 1)2 + ( x − 1)2 2n 2n 2 ( x + 1) ( x − 1) 1 = = 1+ = 1+ 2n+1 2n +1 2n+1 2 n +1 x + 1 2n ( x + 1) + ( x − 1) ( x + 1) + ( x − 1) ) f( x −1 n
A
C
ẤP
n
H
Ó
Bài 18. 11: Cho hàm số f : ℝ + → ℝ + thỏa mãn phương trình:
Í-
f ( 4 x ) + 2005 f ( 2 x ) = 2006 f ( x ) ∀x ∈ ℝ + . Chứng minh tồn tại số thực k để:
-L
f ( x ) = f ( kx )
ÁN
http://daykemquynhon.ucoz.com
2
pk ( x ) +1 qk ( x ) pk2 ( x ) + qk2 ( x ) pk +1 ( x ) ⇒ f k +1 ( x ) = = = pk ( x ) 2 pk ( x ) qk ( x ) qk +1 ( x ) 2. qk ( x )
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
Giả sử: f k ( x ) =
N
x p0 ( x ) = , ∀x ≠ 0 1 q0 ( x )
TP .Q
f0 ( x ) = x =
H Ơ
N
∀x, y ∈ Ν
Hướng dẫn giải
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
Đặt f ( 2n x ) = un ( n ∈ N * ) Từ f ( 4 x ) + 2500 f ( 2 x ) = 2006 f ( x ) ∀x ∈ ℝ + bằng quy nạp ta có: f ( 2n + 2 x ) + 2005 f ( 2n +1 x ) = 2006 f ( 2n x )( x ∈ ℝ + )
Hay un + 2 + 2005un +1 − 2006un = 0 ( un > 0 ) Hướng dẫn giải phương trình đặc trưng:
Trang 10
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
λ 2 + 2500λ − 2006 = 0 ta được λ = 1; λ = −2006 n
H Ơ
N
Vậy un = p.1n + q ( −2006 ) > 0, ∀n
N
Với p > 0, q = 0 thì un = u0
U
Y
Vậy f ( 2n x ) = f ( x ) hay k = 2n ∀n ∈ N +
Hướng dẫn giải
H
(1)
TR ẦN
Đặt P ( x, y ) = z . Xét phương trình: x 2 − xyz + y 2 + 6 = 0
Gọi ( x0 , y0 , z ) là nghiệm sao cho x0 + y0 bé nhất. Vai trò x0 , y0 như nhau nên giả sử
00
B
x0 ≥ y0 .
( 2)
3
2+
Gọi nghiệm thứ hai là x1 thì x0 ≤ x1
10
Xét phương trình x 2 − zy0 x + y02 + 6 = 0
( 4)
ẤP
Ta có: x0 + x1 = zy0 ( 3) x0 x1 = y02 + 6 = 0 6 ∈ Ν* x02
Ó
A
C
1) Nếu y0 = x0 từ (1) ⇒ z = 2 +
Í-
H
⇒ x0 = y0 = 1, z = 8 (thỏa đề bài)
ÁN
cùng lẻ
-L
2) Nếu x0 = x1 từ ( 4 ) ⇒ ( x0 + y0 )( x0 − y0 ) = 6 , vô lý vì ( x0 + y0 ) và ( x0 − y0 ) cùng chẵn hay
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q ẠO
P ( x, y ) ∈ Ν * .
G
3
Ư N
Chứng minh nếu P ( z , y ) !∈ Ν * thì
x2 + y2 + 6 xy
Đ
( x, y ) ֏ P ( x, y ) =
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
3) Nếu y0 < x0 < x1 ⇒ x0 ≥ y0 + 1 và x1 ≥ y0 + 2
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
Bài toán 18. 12: Cho ánh xạ P : Ν * × Ν * → ℚ
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
Từ ( 4 ) ⇒ y02 + 6 ≥ ( y0 + 1)( y0 + 2 ) ⇒ y0 ≤
4 ⇒ y0 = 1 ⇒ z0 z1 = 7 3
⇒ x ≤ y02 mà y0 = 1 ⇒ x0 x1 = 7 x0 = 1 và x1 = 7 , vô lý vì x0 = y0 Vậy z = 23 ⇒
p ( x, y ) = 2 ∈ Ν *
Trang 11
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Bài 18. 13: Giả sử f : ℝ → ℝ là hàm liên tục và giảm sao cho với mọi
N
x, y ∈ ℝ + : f ( x + y ) f ( f ( x ) + f ( y ) ) + f ( y + f ( x ) )
H Ơ
Chứng minh rằng f ( f ( x ) ) = x
N
Hướng dẫn giải
Y U
( (
)
( (
)
)
(
Ư N
G
f 2 f ( f ( x )) − f ( 2x ) = f 2 f f ( x ) + f ( f ( x )) − f 2 f ( x + f ( x ))
H
Nếu f ( f ( x ) ) > x , vế trái của phương trình trên âm, do đó:
(
))
Đ
Trừ hai phương trình trên ta suy ra:
(
))
ẠO
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
)
TR ẦN
f f ( x ) + f ( f ( x ) ) > f ( x + f ( x ) ) và f ( x ) + f ( f ( x ) ) < x + f ( x )
là điều mâu thuẫn.
3
10
Vậy f ( f ( x ) ) = x , điều phải chứng minh.
00
B
Tương tự, ta cũng có điều mâu thuẫn xảy ra khi f ( f ( x ) ) < x
2+
Bài toán 18. 14: Cho song ánh f : Ν → Ν . Chứng minh rằng: Tồn tại vô số bộ ( a, b, c ) với
Hướng dẫn giải
A
C
ẤP
a, b, c ∈ Ν thỏa: a < b < c và 2 f ( b ) = f ( a ) + f ( c )
H
Ó
Ta xây dựng dãy {an } như sau:
-L
Í-
Trong các số từ 0, 1, 2,..., m chọn số a1 sao cho f ( a1 ) > f ( i ) ∀i = 0; a1 ( m ∈ Ν ) Chọn a2 > a1 sao cho f ( a2 ) > f ( i ) , ∀i = 0; a2
ÁN
http://daykemquynhon.ucoz.com
Thay x bằng f(x) ta có: f ( 2 f ( x ) ) + f 2 f ( f ( x ) ) = f 2 f f ( x ) + f ( f ( x ) )
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
(
)
TP .Q
(
Cho y = x ta được: f ( 2 x ) + f ( 2 f ( x ) ) = f 2 f ( x + f ( x ) )
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
Chọn ak > ak −1 sao cho f ( ak ) > f ( i ) , ∀i = 0; ak Vậy ta có dãy a1 < a2 < ... < ak < ak +1 và f ( a1 ) < f ( a2 ) < ... < f ( ak ) < f ( ak +1 ) Trong đó ai ∈ Ν và f ( ai ) > f ( j ) ∀j = 0; ai Vì f là song ánh nên f ( ak +1 ) = f ( ak ) + p, p ∈ N * Và ∃c ∈ Ν để f ( c ) = f ( ak +1 ) + p > f ( ak +1 )
Trang 12
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
ak +1 > ai Mặt khác: f ( ak +1 ) > f ( i )
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
∀i = 1, k
H Ơ
N
∀i = 1, an +1
N
Nên c > ak +1
Y U TP .Q
Đ
Bài toán 18. 15: Chứng minh với mọi hàm f : ℝ → ℝ thì:
Ư N
G
f ( xy + x + y ) = f ( xy ) + f ( x ) + f ( y ) , ∀x, y ∈ ℝ
H
⇔ f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) , ∀x, y ∈ ℝ
TR ẦN
Hướng dẫn giải
B
- Phần đảo: Cho f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) , ∀x, y ∈ R
10
00
thì f ( xy + x + y ) = f ( xy ) + f ( x + y ) = f ( xy ) + f ( x ) + f ( y ) , ∀x, y ∈ R
3
- Phần thuận: Cho f ( xy + x + y ) = f ( xy ) + f ( x ) + f ( y ) , ∀x, y ∈ R
ẤP
2+
Chọn x = y = 0 thì f ( 0 ) = 0; ∀a, b, c ∈ R ta có :
C
f ( a + b + c + ab + bc + ac + abc ) = f ( a ( c + b + bc ) + a + ( c + b + bc ) )
H
Ó
A
= f ( a ( c + b + bc ) ) + f ( a ) + f ( a + b + bc )
Í-
= f ( ac + ab + abc ) + f ( a ) + f ( c ) + f ( b ) + f ( bc )
-L
Vì f (a + b + c + ab + bc + ca + abc) = f (ba + bc + abc ) + f (a ) + f (b) + f (c) + f (ac )
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
ẠO
Do cách xây dựng, dãy {an}là dãy vô hạn nên tồn tại vô số bộ (a, b, c) thỏa điều kiện đã nêu.
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
ÁN
Nên f (bc) + f (ab + ac + abc) = f (ac) + f (ab + bc + abc )
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
p ( ak ) = f ( ak +1 ) − p ⇒ ⇒ 2 f ( ak +1 ) = f ( ak ) + f ( c ) f ( c ) = f ( ak +1 ) + p
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
Lấy a = 1: f (bc) + f (b + c + bc) = f (c) + f (b + bc + bc)
⇒ Do đó f (u + 2v) = f (u ) + 2 f (v), ∀u , v ∈ R Lấy u = a thì (2v) = 2 f (v), ∀v ∈ R nên f (u + 2v) = f (u ) + f (2v) Hay: f (b + 2bc) = f (b) + f (2bc), ∀b, c ∈ R Nếu b = 0 thì f (0) = 2 f (0) = 0 : Đúng
Trang 13
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
y thì có f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ), ∀x, y ≠ 0. 2b
H Ơ
N
Bài toán 18. 16: Hàm số f xác định trên tập các số tự nhiên N và có giá trị trên đó. Chứng minh rằng đẳng thức f ( f ( n ) ) = n + 1995 không thể nghiệm đúng với mọi n ∈ N .
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
= f ( n ) + 1995
U
G
Ư N
Xét số nguyên r bất kì: 0 ≤ r ≤ 1994 và chia f(r) cho 1995 có số dư
Đ
Và suy ra: f ( n + 1995k ) = f ( n ) + 1995k (1) đúng ∀n, k ∈ N
H
f (r ) = 1995 p + q với 0 ≤ q ≤ 1994
TR ẦN
Theo giả thiết: f ( f (r )) = r + 1995
00
Vì r ≤ 1994 nên chỉ có thể có hai khả năng
B
Từ (1): f ( f (r )) = f (q + 1995 p) = f (q ) + 1995 p
10
(i): p = 0 ⇒ f (r ) = q và f (q ) = r + 1995
2+
3
(ii): p = 1 ⇒ f (r ) = q + 1995 và f (r ) ≠ f (q ) nghĩa là r ≠ q
ẤP
Như vậy các số 0, 1,2,...,1994 có thể chia thành các cặp (a, b) sao cho
A
C
trong mỗi cặp f (a ) = b và f (b) = a + 1995 . Đó là điều vô lí vì từ 0 đến 1994 có một số lẻ số.
H
Ó
Bài toán 18.17: Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên [0, 1] sao cho:
-L
Í-
(i) f (0) = f (1) = 0
2x + y (ii) 2 f ( x) + f ( y ) = 3 với mọi x, y ∈ [0, 1] 3
ÁN
http://daykemquynhon.ucoz.com
)
ẠO
(
f ( n + 1995 ) = f f ( f ( n ) )
TP .Q
Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng Giả sử rằng ta có đẳng thức f ( f ( n ) ) = n + 1995 đúng ∀n ∈ N . Khi đó:
Y
N
Hướng dẫn giải
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
Nếu b ≠ 0 thì b = x, c =
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
Chứng minh rằng f ( x) = 0 với mọi x, y ∈ [0, 1]
Hướng dẫn giải
m Bằng quy nạp theo n ta sẽ chứng minh rằng f n = 0 với mọi số nguyên n ≥ 0 3
và với mọi m thoả mãn 0 ≤ m ≤ 3n . Các điều kiện ở đề bài chứng tỏ điều này đúng với n = 0 . Giả sử điều này đúng với n = k − 1 > 0 , ta chứng minh nó đúng với n = k .
Trang 14
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
m m/3 Nếu m = 3 (mod 3) thì theo giả thiết quy nạp ta có: f k = f k −1 = 0 3 3
H Ơ Y
N
( m + 2) / 3 f = 0+0 = 0 k −1 3
U TP .Q Đ
ẠO
( m − 2) / 3 ( m + 1) / 3 m 3f k = f +2f k −1 k −1 3 3 3
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Ư N
G
m Vậy f k = 0 với mọi số nguyên n, m ≥ 0 và m = 3n 3
m có giới hạn x. Vì hàm f(x) 3k liên tục nên suy ra f ( x ) = 0 với mọi x ∈ [ 0,1] ta có điều phải chứng minh.
TR ẦN
H
Với mọi x ∈ [ 0,1] , ta có thể lập nên một dãy số có dạng
B
Bài toán 18.18: Hàm số f(x) xác định và có đạo hàm trên [ 0, +∞] . Biết rằng với mọi x ≥ 0
00
luôn có:
3
10
1) f ( x ) ≤ 5
2+
2) f ( x ). f '( x) > sin x . Tồn tại hay không lim f ( x )
ẤP
x →∞
C
Hướng dẫn giải
Ó
A
Đặt F ( x ) = f 2 ( x ) + 2 cos x xác định trên [ 0, +∞]
Í-
H
(1) ⇒ F ( x) ≤ f 2 ( x) + 2 cos x ≤ 52 + 2
ÁN
-L
(2) ⇒ F ' ( x ) = 2 f ' ( x ) . f ( x ) − 2sin x ≥ 0 nên F(x) tang Xét dãy số {x n } = [2π , 2π +
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
Cuối cùng, nếu m = 2 (mod 3) thì 2 ≤ m ≤ 3k − 1 và
π 2
, 4π , 4π +
π 2
, 6π , 6π +
π 2
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
( m − 1) / 3 m 3f k = 2f + k −1 3 3
N
Nếu m = 1 (mod 3) thì 1 ≤ m = 3k − 2 và
...]
Thì xn > 0 , xn tăng và xn → +∞ khi xn → +∞
Đặt U n = f ( xn ) thì U n là dãy số tăng và bj chặn trên, nên tồn tại lim U n Giả sử rằng tồn tại limf(x) khi xn → +∞ thì tồn tại Vn
(
lim ( F ( xn ) − F 2 ( xn ) ) = lim U n − lim F ( xn ) x →∞
x →∞
x →∞
)
2
Trang 15
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Như thế tồn tại limcosx khi n → +∞ , điều này không thể được vì:
N
2 cos xn = {2, 0, 2, 0,...} là dãy số không có giới hạn.
Đ
Gọi Sn là phát biểu sau: nếu r ≤ n và m > r thì f (r ) < f (m)
Ư N
G
Vì khi m > 1 thì (m) > f ( s ), với s = f (m - 1) , nên f(m) không thể là phần tử nhỏ nhất của tập { f (1), f (2), f (3),...}
TR ẦN
H
Nhưng tập này bị chặn dưới bởi 0, nên chắc chắn nó phải có phần tử bé , nhất. Suy ra phần tử này là f(1). Vậy S1 đúng. Giả sử Sn đúng. Lấy m > n + 1 , khi đó m - 1 > n , do đó ta có f (m - 1) > f (n)
00
B
(vì Sn đúng). Nhưng cũng từ S n ta có: f (n) > f (n - 1) > ... > f (1) , do vậy, ta được
10
f (n) ≥ n -1 + f (1) ≥ n . Suy ra f (m - 1) > n + 1 từ đó f (m) > f (n + 1) . Từ đây
3 2+
ẤP
Vậy Sn đúng với mọi n. Nói cách khác, nếu n ≤ m thì f (n) < f (m).
A
C
Giả sử với số m nào đó ta có f (m) ≥ m + 1 , thế thì: f ( f (m)) > f (m + 1) iều này mâu thuẫn. Suy ra f (m) ≤ m với mọi m. Nhưng do ta có f (1) ≥ 1 và
H
Ó
f ( m ) > f (m - 1) > ... > f (1) nên f ( m ) ≥ m với mọi m. Suy ra f ( m ) = m với mọi
Í-
ÁN
-L
Bài toán 18. 20: Cho tập hợp T gồm tất cả các số tự nhiên không vượt quá 1999. Hãy tìm tất cả hàm số f xác định trên N, lấy giá trị trên T và thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
ẠO
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
i) f (t ) = t với mọi t ∈ T
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
Trước tiên ta sẽ chứng minh qui nạp: f (1) < f (2) < f (3)...
m.
N
TP .Q
Hướng dẫn giải
suy ra rằng Sn +1 đúng.
Y
U
Bài toán 18. 19: Tìm hàm f xác định trên tập các số nguyên dương và cũng nhận giá trị nguyên dương thoả mãn: f (n + 1) > f ( f (n)), ∀n ∈ N *
H Ơ
Vậy không tồn tại limf(x) khi xn → +∞ .
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
ii) f (m + n) = f ( f (m) + f (n)) với mọi m, n ∈ N
Hướng dẫn giải
Đặt f (2000) = a, b = 2000 - a , với 1 ≤ b ≤ 2000 Ta nhận xét: 1) Với mọi r mà 0 ≤ r < b, ta có: f(2000 + r) = a + r
Trang 16
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
2) Với mọi k ∈ N , 0 ≤ r ≤ b , ta có: f (2000 + kb + r ) = a + r
N
Từ đó suy ra nếu f là hàm số cần tìm thì thoả mãn:
U
Y
N
H Ơ
(t ) = t với mọi t ∈ T (*) f (2000) = a f (2000 + m) = a + r
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
ẠO
f (n + b) = f (n) với mọi n ≥ a, b = 2000 - a
G
Đ
n = f (n) (mod b) với mọi n ∈ N
H
Ư N
Vậy tất cả các hàm số thoả mãn đề bài được xác định theo công thức (*) với mỗi a ∈ T cho trước. Vậy có 2000 hàm số.
TR ẦN
Bài toán 18. 21: Xác định tất cả các hàm f: N* → N* hoả mãn điều kiện: f (n) + f (n + 1) = f (n + 2) f (n + 3) - 1996 với mọi n ∈ N *
00
B
Hướng dẫn giải
10
Từ giả thiết ta có: (k ) + f (k + 1) = f (k + 2) f (k + 3) - 1996
2+
3
Và f (k + 1) + f (k + 2) = f ( k + 3) f ( k + 4 ) − 1996 .
ẤP
Do đó với mọi k ∈ N thì f (k + 2) - f (k ) = f (k + 3)[ f (k + 4) - f (k + 2)]
C
Suy ra rằng:
Ó
A
f (3) - f ( 1) = f (4) f (6)... f (2k )[( f (2k + 1) - f (2k - 1)] (1)
Í-
H
f (4) - f (2) = f (5) f (7)... f (2k + 1 )[( f (2k + 2) - f (2k ) (2)
ÁN
-L
Nếu f (3) - f (1) ≠ 0 và f (4) - f (2) ≠ 0 thì hai đẳng thức trên dẫn đến mâu thuẫn. Do đó xảy ra các trường hợp sau: 1) f (3) - f (1) ≠ 0 và f (4) - f (2) = 0
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
Ngược lại cho a ∈ T , xét hàm số f xác định trên N thoả (*) thì để ý:
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
Với r = m (mod (2000 - a )) và 0 ≤ r ≤ 2000 − a
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
Từ (2) có f (2k + 2) = f (2k ) = c ≠ 0 với mọi k. Nên (2) dẫn tới f (3) - f (1) I = ck _11 f (2k + 1) - f (2k -1) ≥ c k −1 với mọi k. Như vậy ta phải có c = 1 .
Từ đó (1) trở thành f (3) - f (1) = f (2k + 1) - f (2k - 1) nên dãy ( f (2k + 1)) là cấp số cộng với công sái d. Như thế với mọi k ta có:
f (2k ) = 1, f (2k - 1) = f (1) + (k - 1)d .
Trang 17
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Từ giả thiết cho n = 1 ta có
N
f (1) + f (2) = f (3) f (4) - 1996 => f (1) + 1 = ( f (1) + d ) - 1996
⇒ (a -1 )(b -1 ) = 1997
10
00
B
Vì 1997 là số nguyên tố nên hoặc a = 2, b = 1998 hoặc a = 1998, b = 2. Ta có hai hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
2+
3
2 khi n = 2k 2 khi n = 2 k -1 và f ( n ) = f ( n) 1998 khi n = 2 k -1 1998 khi n = 2k
ẤP
Bài toán 18. 22: Tìm tất cả các hàm f: N * → N * thoả mãn
2
A
C
i) f ( x + 22 ) = f ( x ) với mọi x ∈ N *
Hướng dẫn giải
-L
Í-
H
Ó
ii) f ( x 2 y ) = ( f ( x ) ) với mọi x, y ∈ N *
ÁN
Ta chỉ cần xác định giá trị hàm số tại x ∈ {1, 2, 3,..., 22}
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TR ẦN
f (1) + f (2) = f (3) f (4) - 1996 ⇒ b + a = ab -1996
H
Ư N
G
Khi đó f (2k ) = a, f (2k - 1) = b với mọi k ∈ N * và a, b nguyên dương tùy ý. Với n = 1 ta có:
N Y
U TP .Q Đ
ẠO
1 khi n = 2k − 1 với a là sô nguyên dương tùy ý. f ( n) = a + (k -1)1997 khi n = 2k
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Cho x = y = 1 ta tính được f (1) = 1
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
2) f (3) - f (1) = 0, f (4) - f (2) ≠ 0 . Lập luận như trên ta có kết quả:
3) f (3) - f (1) = 0, f (4) - f (2) = 0
H Ơ
1 khi n = 2k a là số nguyên dương ⇒ d = 1997 . Vậy ta có: f ( n ) = a + ( k - 1)1997 khi n = 2 k -1 tùy ý.
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
Với mỗi x nguyên (2 ≤ x ≤ 21) luôn có k ∈ N * sao cho 1 + 22k ⋮ x Suy ra với x như trên ta có
1 + 22k = mx => mx 2 = x + 22kx với k là số tự nhiên. Từ đó:
f ( x) = f ( x + 22kx ) = f ( x 2 m) = ( f ( x)) 2 f (m) => f ( x) f (m) = 1
⇒ f ( x) = 1 . Ta tính f(11) và f(22)
Trang 18
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Ta có f (22) = f (44) = f (22.11) = ( f (2)) 2 . f (11) = f (11) = 1
N
Mặt khác f (112.2) = ( f (11 ))2 . f (2) = ( f (11)) 2
H Ơ
Và f (112.2) = f (22 + 10.22) = f (22) = f (11)
Y
N
Vậy: f ( x) = 1 với mọi x ∈ N
ẠO
Hướng dẫn giải
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Đ
Giả sử tồn tại hàm số f thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ư N
G
Với mỗi a ∈ N * , xây dựng dãy số ( a n ) như sau:
TR ẦN
H
a1 = a, an + i = f (an ), n = 1 , 2, 3.. Từ giả thiết ta có:
B
an +1 = f (an ) = f (an −1 ) = f (an −1 ) − 3an −1 ⇒ a n +1 = 2an − 3an −1
10
00
Từ đó chứng minh được an +1 + 4an − 2 + 3an −3 = 0 với mọi n ≥ 4
2+
Vậy không tồn tại hàm số f.
3
Do an > 0 nên đẳng thức trên không thể xảy ra.
ẤP
Bài toán 18. 24: Tìm tất cả các hàm f : Z → Z thoả mãn điều kiện
Hướng dẫn giải
H
Ó
A
C
3 f (n) − 2 f ( f (n)) = n, ∀n, ∈ Z
Í-
Viết lại phương trình hàm ban đầu 2 f ( f (n) − 2 f (n) = f (n) − n
ÁN
-L
Đặt g (n) = f (n) − n ta có g (n) = 2 g ( f (n)), ∀n ∈ Z. Ta có: g (n) = 2 g ( f (n)) = 22 g ( f ( f (n)) = 23 g ( f ( f ( f (n)))) = ...
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
f ( f ( n ) ) + 3n = 2 f ( n ) với mọi x ∈ N *
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
U
Bài toán 18. 23: Tồn tại hay không hàm số f: N * → N * thoả mãn điều kiện:
g (n) = 0 ⇒ f (n) = n . Thử lại đúng.
Vậy f (n) = n, ∀n ∈ Z.
Bài toán 18. 25: Tìm tất cả các hàm số f : Z → Z thỏa mãn:
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
Suy ra rằng g ( n ) chia hết cho 2k với mọi số tự nhiên k. Điều này chỉ xảy ra khi
i) f ( f (m) − n) = f (m 2 ) + f (n) − 2nf (m), ∀m, n ∈ Z
Trang 19
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
ii) f (1) > 0.
N
Hướng dẫn giải
H Ơ
Cho n = 0 ta có f ( f (m)) = f (m 2 ) + f (0)
Y
N
Thay n bởi f(m) ta có:
Cho m = 1 thì f (1) = f 2 (1) = 4 : vô lý nên f ( 0 ) = 0
Đ
TR ẦN
H
Thay m = 0 vào hệ thức đầu bài ta có f (-n) = f (n), ∀n ∈ Z
Ư N
G
Giả sử f ( 0 ) = 1 . Cho m = 0 thì f ( f (0)) = 2 f (0) nên f (1) = 2
ẠO
Suy ra f (0) = ( f ( f (0))2 ⇒ f (0) = 0 hoặc f ( 0 ) = 1
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Thay m = 1 vào hệ thức ở đầu bài ta có: f (1 − n) = 1 + f (n) − 2n
B
Hay f (n − 1) = 1 + f (n) − 2n => f (n) − f (n − 1) = 2n − 1
10
00
Từ đó với mọi n > 0 ta có f (n) = f (n) − f (n − 1) + f (n − 1) − f (n − 2) + ... + f (1) − f (0) + f (0)
2+
3
= (2n − 1) + (2n − 3) + ... + 3 + 1 = n 2
ẤP
Do đó f ( n ) = n 2 , ∀n ∈ Z . Thử lại đúng. Vậy f ( n ) = n 2 , ∀n ∈ Z
C
Bài toán 18. 26: Cho hàm số f xác định trên tập hợp các số nguyên dương N* và nhận giá trị 2
+ f ( n ) với mọi số nguyên
H
-L
Í-
dương m, n.
2
Ó
A
trong tập đó thoả mãn: ( m 2 + n ) chia hết cho ( f ( m ) )
Hướng dẫn giải
ÁN
Trước hết cho m = n = 1 ta được 4 chia hết cho ( f (1))2 + f (1) nên có f (1) = 1 Với mỗi p nguyên tố, thay m = 1 và n = p − 1 ta được:
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
Từ đó ta có: f (m 2 ) = ( f (m))2 , ∀m ∈ Z
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
U
f (0) = f (m 2 ) + f ( f (m) − 2( f (m))2 = 2 f (m 2 ) + f (0) − 2( f (m)) 2
f ( p − 1) + 1 chia hết p 2
Từ đó: f ( p − 1) = p − 1 hoặc f ( p − 1) = p 2 − 1 Giả sử f ( p − 1) = p 2 − 1 thì f (1) + ( f ( p − 1))2 = p 4 − 2 p 2 + 2 chia hết (1 + ( p − 1) 2 )2 ⇒ p 4 − 2 p 2 + 2 < ( p 2 − 2 p + 2) 2 , vô lí
Trang 20
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Do đó ta phải có f ( p − 1) = p − 1.
N
Bây giờ với n là số tự nhiên tùy ý, chọn m = p − 1 , ta có:
H Ơ
A = f (n) + ( p − 1) 2 chia hết (n + ( p − 1) 2 )2
G
Đ
Bài toán 18. 27: Tìm tất cả f : Z → Z sao cho:
Ư N
Hướng dẫn giải
TR ẦN
H
ii) ∀m ∈ Z , Nếu f (m) = n thì f (n) = m và f (n + 3) = m − 3
B
Ta có: ∀n ∈ Z , f ( f (n)) = n và f ( f (n) + 3) = n − 3
ẤP
2+
3
10
f (0) − 3k , n = 3k Suy ra: f ( n ) = (1) − 3k , n = 3k + 1 f (2) − 3k , n = 3k + 2
00
Nên f (n − 3) = f ( f ( f (n) + 3)) = f (n) + 3, ∀n ∈ Z
C
Với k ∈ Z . Vì 1995⋮ 3 nên từ f (1995) = 1996
Ó
A
f (0) − 1995 = 1996 ⇒ f (0) = 3991 ⇒ f (3991) = 0
Í-
H
Mà 3991 =3.1330+ 1 nên: 0 = f (1) − 3990 ⇒ f (1) = 3990
-L
Nếu f (2) = 3t , t ∈ Z thì:
ÁN
2 = f (3t ) = f (0) − 3t = 3991 − 3t => 3989 = 3t => 3989 ⋮ 3 (vô lý)
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
ẠO
Từ đó f (n) = n . Thử lại đúng. Vậy f (n) = n vơi mọi n ∈ N *
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
⇒ f ( 2 ) ≠ 3t , t ∈ Z
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
A > (n − f (n)) 2 .
i) f (1995 ) = 1996
U
TP .Q
Như vậy A chia hết (n − f (n))2 Với bất kì số nguyên tố p. Chỉ cần chọn p đủ lớn ta có
Y
N
Chú ý rằng (n + ( p − 1) 2 ) 2 = (n − f (n) + A) 2 = (n − f (n)) 2 (mod A)
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
Nếu f (2) = 3t + 1 thì 2 = f (3t + 1) = f (1) − 3t = 3990 − 3t => 3988 = 3t => 3988 ⋮ 3 (vô lý) ⇒ f (2) ≠ 3t + 1. Như vậy: f (2) = 3t + 2 3991 − n, n ≠ 3k + 2 Tóm lại ta có: f ( n ) = với t bất kỳ, k ∈ Z 3t − n + 4, n = 3k + 2
Trang 21
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Thử lại, ta thấy hàm số trên là nghiệm của bài toán.
H Ơ
N
Bài toán 18. 29: Tìm tất cả các hàm số f xác định trên tập hợp các số nguyên z và lấy giá trị trong tập số thực dương R* sao cho:
N
f (m − 1) f (m) + f (m) f (m + 1) < 2 f (m − 1) f (m + 1), ∀m ∈ Z
Ta có: g (m + 1) < g (m), Vm ∈ Z
B
Nếu f(m) không là hàm hằng thì tồn tại k ∈ Z sao cho g ( k ) ≠ 0 .
10
00
Xét trường hợp g ( k ) < 0 : Với p nguyên dương thì:
2+
3
g (k + 1) + g (k + 2) + ... + g (k + p) = −
ẤP
1 1 1 = + g ( k + 1) + g ( k + 2 ) + ... + g ( k + p ) ≤ + pg ( k ) < 0 f (k + p) f (k ) f (k )
Ó
−1 f (k ) g (k )
1 1 ≤ vô lý f (k + p) f (k )
ÁN
-L
Khi đó 0 <
Í-
H
⇔ p>
A
C
⇒
1 1 + f (k ) f (k + p)
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
1 1 − , ∀m ∈ Z f ( m ) f ( m − 1)
H
Đặt g ( m ) =
ẠO
1 1 1 1 − ≤ − , ∀m ∈ Z f ( m + 1) f ( m − 1) f ( m ) f ( m − 1)
Đ
⇒
G
1 1 2 + ≤ , ∀m ∈ Z f ( m + 1) f ( m − 1) f ( m )
Ư N
⇒
TR ẦN
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
* Xét trường hợp g ( k ) > 0 với q nguyên dương thì:
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
U
Giả sử hàm số thoả f (m - 1) f (m) + f (m) f (m + 1) < 2 f (m -1 ) f (m + 1), ∀m ∈ Z
Y
Hướng dẫn giải
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
g (k ) + g (k − 1) + ... + g (k − (q − 1)) =
⇒−
1 1 − f (k ) f (k − q)
1 1 1 =− + qg ( k ) g(k ) + g(k − 1) + ... + g(k − q + 1 ) ≥ − f (k − q) f (k ) f (k )
Ta có: −
−1 < 0 , ta sẽ chọn q nguyên dương sao cho: f (k − q)
Trang 22
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
H Ơ
1 1 ≥− + qg ( k ) > 0, vô lý f (k − q) f (k )
N U
Y
Vậy f(m) phải là hàm hằng ⇒ f ( m ) = C . Thử lại đúng
TP .Q
Vậy f ( m ) = C , ∀m ∈ Z , với C là số thực dương tuỳ ý.
Đ
ẠO
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Ư N
B
f ( x + 1) = 2 f ( x) − f ( x + 1) + 2, ∀x ∈ Q
TR ẦN
Từ giả thiết, cho y = 1 ta có:
H
Hướng dẫn giải
G
f (1) = 2 f ( xy + y ) = f ( x). f ( y ) − f ( x + 1) + 2 ∀x, y ∈ Q
10
00
⇔ f ( x + 1) = f ( x) + 1, ∀x ∈ Q
3
Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được:
ẤP
Từ giả thiết cho y = x , ta có:
2+
f ( x + n) = f ( x) + n ∀x ∈ Q, ∀n ∈ Z .
A
C
f ( x 2 + x ) = f 2 ( x ) − f ( x + 1) + 2, ∀x ∈ Q
H
Ó
f ( x 2 + x ) = f 2 ( x ) − f ( x) + 1 + 2, ∀x ∈ Q
Í-
p (p ∈ Z, q ∈ N \ {0} thì có: q
ÁN
-L
∀x ∈ Q , đặt x =
2 p p p f + q + + q = f 2 + q − q q q
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
Bài toán 18. 30: Tìm tất cả các hàm số f : Q → Q thoả:
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
Khi đó −
N
−1 1 + qg ( k ) > 0 ⇔ q > f (k ) f (k ) g (k )
p f + q +1 q
2 p 2 p p 2 ⇔ f + + q + 2 p + q = f + q − q q q
p f − q +1 q
p 2 p p p ⇔ f + + q 2 + 2 p + q = f 2 + 2qf + q 2 − q q q q
p f − q +1 q
Trang 23
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
p p p f + 1 + q 2 + 2 p + q = f 2 − 2qf + q 2 − q q q
p f − q +1 q
N
p ⇔ f 2 − q
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
N
H Ơ
p p p ⇔ qf = p + q ⇔ f = + 1 (Do q ≠ 0 ) q q q
U
Y
V ậ y f ( x ) = x + 1 , ∀x ∈ Q
TP .Q
G TR ẦN
Hướng dẫn giải
Ư N
2
H
i)) f ( x 2 ) = ( f ( x ) )
Đ
i) f ( x + 1) = f ( x) + 1
Từ điều kiện i) thì có f ( x + nk ) = f ( x) + k , ∀x ∈ Q * và ∀k ∈ N
B
p ∈ Q * ( p, q ∈ N *). q
2+
3
10
p 2 m2 p m Giả sử f ( x ) = f = ⇒ f 2 = 2 q n q n
00
Lấy x =
C
ẤP
p p m Khi đó f + q = f + q = + q n q q
H
Ó
A
p2 m 2 2mq ⇒ f 2 + 2 p + q2 = 2 + + q2 q n n
ÁN
-L
Í-
p2 m 2 2mq m p 2mq Hay f 2 + 2 p + q 2 = 2 + + q2 ⇒ = 2p ⇒ = n n n n q q
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
ẠO
Bài toán 18. 31: Tìm tất cả các hàm số f : Q * → Q * thoả mãn đồng thời các điều kiện sau với mọi x ∈ Q *
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Nên f ( x) = x, ∀x ∈ Q . Thử lại đúng. Vậy f ( x ) = x, ∀x ∈ Q
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
Thử lại ta thấy hàm số f ( x) = x + 1, ∀x ∈ Q thảo đề bài
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
Bài toán 18. 32: Gọi Q* là tập hợp tất cả các số hữu tỉ dương. Hãy xây dựng một hàm số f: Q* → Q * sao cho: f ( xf ( y )) =
f ( x) y
, với mọi x, y ∈ Q * .
Hướng dẫn giải Trước tiên, ta chứng minh f (1) = 1 Thật vậy, ấy x = y = 1 ta có f ( f (1)) = f ( 1) , suy ra:
Trang 24
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
f (1) =1 f (1)
N H Ơ
Tiếp đến, ta sẽ chứng minh rằng f ( xy ) = f ( x) f ( y )
Y U TP .Q G
f (1) 1 = x x
TR ẦN
Sau cùng, ta có: f ( f ( x)) = f (1 f ( x)) =
Đ
f ( x) = f ( x) f ( y ) z
Ư N
f ( xy ) = f ( xf ( z )) =
ẠO
1 thì f ( z ) = y . Từ đó suy ra: f ( y)
H
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Bài toán chỉ yêu cầu tìm một hàm thoả mãn các điều kiện đã cho. Do vậy, ta phân tập các số nguyên tố thành 2 tập vô hạn:
00
B
S = { p1 , p2 ,..}; T = {q1 , q2 ,...}
2+
3
10
Ta bắt đầu xây dựng hàm f thoả mãn yêu cầu bài toán bằng định nghĩa 1 f ( pn ) = qn . f ( pn ) = pn
C
ẤP
Sau đó, chúng ta mở rộng định nghĩa này trên tập các số hữu tỉ bằng cách dùng các hệ thức f ( xy ) = f ( x ) f ( y ) :
Ó
A
pm1 pm2 ...qi1 qi2 .. = pi1 pi2 ...qk1 qk2
-L
Í-
H
pi pi ...qi qi f 1 2 1 2 pk pk ...qm qm 1 2 1 2
ÁN
Thử lại, ta thây hàm vừa xây dựng thoả mãn: f ( xf ( y )) =
f ( x) y
Bài toán 18. 33: Tìm tất cả các hàm f: [0, 1) → ( 0, 1] thoả mãn điều kiện:
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
Do đó, nếu z =
N
1 f f ( y) 1 Với mọi y ∈ Q * ta có: 1 = f(1) =f f ( y ) f ( y ) = y
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
f (1 ) = f ( f (1 )) = f (1 f ( f (1 ))) =
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
f ( f ( x)) + f ( x) = 12 x , với mọi x ≥ 0 .
Hướng dẫn giải
Cho trước x ≥ 0 tùy ý. Đặt f 0 ( x ) = x và f1 ( x ) = f ( x ) Với n ≥ 1 đặt f n ( x ) = f ( f n −1 ( x ) ) Phương trình hàm đã cho trở thành f n + 2 ( x ) + f n +1 ( x ) = 12 f n ( x )
Trang 25
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Phương trình đặt trưng x 2 + x − 12 = 0 ⇔ x1 = 3, x2 = −4
N
n
H Ơ
Sử dụng điều kiện ban đầu, ta có:
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Y U
1 1 n f ( x ) + 4 x ) 3n + ( 3 x − f ( x ) ) . ( − 4 ) ( 7 7
Đ
TR ẦN
H
Từ đây ta có được 3x − f ( x ) ≥ 0 Cho n là số lẻ, ta có:
G
1 1 n f ( x ) + 4 x ) 3n + ( 3 x − f ( x ) ) . ( −4 ) ≥ 0 ( 7 7
Ư N
Cho n là số chẵn, ta có:
ẠO
Vì f ( x ) ≥ 0 nên f n ( x ) ≥ 0 với mọi n ≥ 0
1 1 f ( x ) + 4 x ) 3n − ( 3 x − f ( x ) ) 4n ≥ 0 ( 7 7
00
B
Từ đây ta được: 3 x - f ( x) ≤ 0
3
10
Do đó f ( x) = 3 x . Dễ dàng kiểm tra được f ( x) = 3 x thoả mãn phương trình hàm đã cho. Vậy f ( x) = 3 x .
2+
Bài toán 18. 34: Tìm mọi hàm số: f : (−1; +∞) ( −1; +∞) thỏa mãn hai điều kiện sau
là hàm sô tăng nghiêm ngặt trong các khoảng ( − 1; 0) và (0; +∞)
A
x
Ó
f ( x)
Hướng dẫn giải
Í-
H
(2)
C
ẤP
(1) f ( x + f ( y ) + xf ( y )) = y + f ( x) + yf ( x); ∀x, y ∈ ( −1; + ∞)
-L
Thay y bởi x vào (1) ta được: f ( x + (1 + x). f ( x)) = x + ( x + 1 ). f ( x), ∀x ∈ ( −1, + ∞)
ÁN
http://daykemquynhon.ucoz.com
Từ đó ta có: f 0 ( x ) =
N
f ( x) + 4x 3x − f ( x ) và C2 = 7 7
TP .Q
C1 =
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
Nên f n ( x ) = C1 3n + C2 ( −4 )
TO
Đặt u = x + (1 + x). f ( x)
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
Do đó: f (u ) = u , nên suy ra được : f ( u 2 + 2u ) = u 2 + 2u Vậy f(x) có hai họ điểm bất động là u và u 2 + 2u Theo giả thiết (2) ta xét các trường hợp sau: (1) −1 < u ≤ 0 ⇒ u 2 + 2u ≤ 0
Trang 26
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
f ( x) f ( x) = 1 có nghiệm X X tăng trên khoảng ( −1; 0) suy ra phương trình x x
H Ơ
N
duy nhất. Suy ra phương trình f ( x) = x có nghiệm duy nhất.
TP .Q
(3) Khi u = 0 ta có f ( 0 ) = 0 . Vậy f có điểm bất động duy nhất là 0.
ẠO
Hướng dẫn giải
TR ẦN
f ( x − f ( y )) = f ( f ( y )) + xf ( y ) + f ( x) − 1, ∀x, y ∈ R
Ư N
Bài toán 18. 35: Tìm tất cả các hàm f : R → R sao cho:
G
Đ
−x . hử lại f(x) thoả mãn đề bài. x +1
H
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
B
Đặt c = f ( 0 ) và gọi A = f ( R ) . Nếu a ∈ A , đặt a = f ( y ) và x = a
3
1 + c a2 − 2 2
2+
f (a) =
10
00
Ta có f ( a − a ) = f ( a ) + a 2 + f ( a ) − 1 , suy ra
ẤP
Ta chứng minh { z | x ∈ R, ∃a, b ∈ A : x = a − b} = R
A
C
Để ý c khác 0, vì nếu thế thì đặt y = 0 , ta có: (**)
H
Ó
f ( x − c) = f (c) + xc + f ( x) − 1,
-L
Í-
Suy ra f (0) = f (c) = 1 , mâu thuẫn! Từ (**) ta cũng có:
ÁN
( x − c) − f ( x) = xc + ( f (c) − 1) mà x chạy trên R nên xc + ( f (c) − 1) cũng nhận giá trị bất kì trên R.
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
Suy ra x + ( x + 1) f ( x) = 0, ∀x ∈ (-1; +∞) Vậy f ( x ) =
Y U
(2) u > 0 ⇒ u 2 + 2u > 0 lập luận tương tự ta cũng có u = 0 hay u = −1 (loại cả hai)
N
Do đó: u = u 2 + 2u ⇔ u = 0 hay u = −1 (loại)
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
Ta có
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
Như vậy, mọi X thuộc R, ta có thể tìm được a, b thuộc A sao cho x = a − b Do đó, dung (*) ta khi đến: f ( x ) = c −
b2 a2 x2 + ab − = c , ∀x ∈ R 2 2 2
Đặc biệt, điều này đúng cho mọi X thuộc A. So sánh với (*) ta suy ra c = 1
x2 Do vậy, mọi x thuộc R ta có: f ( x) = 1 − ) 2
Trang 27
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Hàm f xác định như trên thoả mãn các giả thiết của bài toán, do vậy, f là nghiệm duy nhất cùa bài toán.
H Ơ
N
Bài toán 18. 36: Hãy tìm tất cả các hàm số f xác định trên tập số thực R, lấy giá trị trong R và thoả mãn hệ thức: f ( f ( x − y )) = f ( x). f ( y ) − f ( x) + f ( y ) − xy, với mọi số thực x,y
Y
N
Hướng dẫn giải
f ( f ( x − y )) = f ( x). f ( y ) − f ( x) + f ( y ) − xy (1)
Đặt f ( 0 ) = a . Thế x = y = 0 vào (1), ta được f ( a ) = a 2
Đ
(2)
Ư N
G
Thế x = y vào (1), với lưu ý tới (2), ta được: (3)
H
( f ( x)) 2 = x 2 + a 2 , ∀x ∈ R
ẠO
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
TR ẦN
Suy ra ( f ( x)) 2 = ( f (− x)) 2 , ∀x ∈ R , hay ( f ( x) + f ( − x )) f ( x) − f ( − x) = 0, ∀x ∈ R (4) Giả sử tồn tại x0 ≠ 0 sao cho f ( x0 ) = f ( − x0 )
10
Thế x = 0, y = − x vào (1), ta được:
(5)
00
B
Thế y = 0 vào (1), được: f ( f ( x)) = a. f ( x) − f ( x) + a, ∀x ∈ R
(6)
2+
3
f ( f ( x )) = a. f ( − x) + f − x) − a, ∀x ∈ R
ẤP
Từ (5) và (6) suy ra: a.( f (- x) - f ( x)) + f ( x) + f (- x) = 2a, ∀x ∈ R (7)
A
C
Thế x = x0 vào (7), ta được: f ( x0 ) = a (*)
H
Ó
Mặt khác, từ (3) suy ra nếu f ( x1 ) = f ( x2 ) thì x12 = x2 2 . Vì thế, từ (*) suy ra x0 = 0
-L
Í-
trái với giả thiết x0 ≠ 0 . Mâu thuẫn chứng tỏ f ( x) ≠ f ( − x), ∀x ≠ 0 . Do đó, từ (4) suy ra:
− f ( x) = f (− x), ∀x ≠ 0
ÁN
http://daykemquynhon.ucoz.com
với mọi X, y thuộc R.
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
U
Giả sử R → R là hàm số thoả mãn hệ thức của đề bài, nghĩa là:
TO
Thế (8) vào (7), ta được: a.( f ( x) − 1) = 0 , ∀x ≠ 0
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
Suy ra a = 0 , vì nếu ngược lại, a ≠ 0 thì f ( x) = 1, ∀x ≠ 0. 2
Do đó, từ (3) có: ( f ( x ) ) = x 2 , ∀x ∈ R (9) Giả sử tồn tại x0 ≠ 0 sao cho f ( x0 ) = x0 . Khi đó theo (5) ta phải có:
x0 = f ( x0 ) = − f ( f ( x0 ) ) = − f ( x0 ) = − x0
Trang 28
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Mâu thuẫn chứng tỏ f ( x) ≠ x, ∀x ≠ 0
N
Vì vậy, từ (9) ta được: f ( x ) = - x, ∀x E ∈ R . Thử lại đúng.
2
G Ư N
H
1 1 1 f ( 0) + f ( 0) − f ( x ) f ( 0) ≥ 2 2 4
TR ẦN
Cho y = z = 0 thì (1):
Đ
1 1 1 ≤ 0 hay f ( 0 ) − ≤ 0 nên: f ( 0 ) = 4 2 2
1 1 1 1 1 Hay f (0) − f ( x). f (0) ≥ . − f ( x ) ≥ nên: f ( x ) ≤ 4 2 2 4 2
2
10
1 1 1 hay f (1) − ≤ 0 , suy ra f (1) = 4 2 2
2+
3
(1): f (1) − f 2 (1) ≥
00
B
Cho x = y = z = 1 , thì:
1 , ta có: 2
C
ẤP
Cho y = z = 1 còn x tuỳ ý, chú ý rằng f (1) =
1 với mọi x thực. Thử lại đúng. 2
-L
Í-
Do đó: f ( x ) =
H
Ó
A
1 1 1 1 1 1 f ( x ) + f ( x ) − f ( x ) f (1) ≥ ⇒ f ( x ) ≥ ⇒ f ( x ) ≥ 2 2 4 2 4 2
N Y
ÁN
Cách 2: Chứng minh f ( xy ) = f ( x ) , ∀y
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
ẠO
Cho x = y = z = 0 , thì:
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Bài toán 18. 38: Tìm tất cả các hàm số liên tục f : [ 0,1] → R thỏa mãn:
f ( x) > 2 xf ( x 2 ) ∀x ∈ [ 0,1] Hướng dẫn giải
Từ giả thiết thì f (0) ≥ 0, f (1) ≤ 0
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
Hướng dẫn giải
(1) : f 2 ( 0 ) − f ( 0 ) +
U
TP .Q
Bài toán 18. 37: Hãy xác định hàm số f : R → R sao cho bất đẳng thức sau đúng với các sô 1 1 1 thực x, y, z bât kỳ f ( xy ) + f ( xz ) − f ( x ) . f ( yz ) ≥ (1) 2 2 4
H Ơ
Vậy, hàm số f ( x) = − x, x ∈ R là hàm số duy nhất cần tìm.
Trang 29
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
1 thì băng phương pháp quy nạp, suy ra: 2 n
x2 x2
n
− n −1
f ( x 2 n ) ∀n ≥ 1.
n n Vì 0 < 2 x < 1 nên: lim ( 2n ) x 2 n − n −1 f x 2 ∀n ≥ 1 .
Y
− n −1
n f x2 = 0
( )
U
2
Đ
Ư N
)
G
(
( )
H
Với 0 < x < 1 thì: f
1 f x 2n f x x ≥ 2 x f ( x) ⇒ f ( x) ≤ ≤ 1 1− 2 x 2n x n
ẠO
1 Do vậy: f ( x) ≥ 0∀x ∈ 0, 2
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
B
TR ẦN
1 f x 2n 1 Vì lim 1 = 0 f ( x ) ≤ 0∀x ∈ ( 0,1) ⇒ f ( x ) = 0∀x ∈ 0, ; 1− 2 2n x n
−1
( ) = 0; f ( x ) ≥ 0∀x ∈ 12 ,1
f x2
n
2+
n
ẤP
f ( x ) ≥ 2n.x 2
3
10
00
n 1 1 Với mỗi x ∈ ,1 tồn tại n ∈ N để x 2 < ( chọn n > log 2 log 1 2 nên : 2 2 2
Ó
A
C
1 Do đó f ( x ) = 0, ∀x ∈ ,1 2
Í-
H
Vậy f ( x ) = 0, ∀ x ∈ [0, 1)
-L
Vì f(x) liên tục trên [0, 1] nên f ( x) = 0 ∀x ∈ [0, 1]
ÁN
Bài toán 18. 39: Xác định f(x) liên tục trên R thoả mãn: f ( x ) f ( y ) = f ( x + y ) với ∀x, y ∈ R và f (1) = 2
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
n
TP .Q
Vì 0 < 2 x < 1 nên : lim ( 2 x ) x 2
N
( )
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
( 2x )
N
f ( x ) ≥ 2 xf ( x 2 ) ≥
H Ơ
V ới 0 < x <
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
Hướng dẫn giải
Ta có f (2 x) = f ( x + x ) = [ f ( x)]2 Dùng quy nạp, ta có f (nx) = [ f ( x)]n với n ∈ N *, ∀x ∈ R
1 Chọn x = ⇒ f (1) = f n
n
1 1 1 n 1 ⇒ f = f ( ) n n
Trang 30
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
n
N
m 1 1 1 1 Từ đó: f = 2 n ⇒ f m − f = 2 n . Với m, n ∈ N * n n n
Y
N
m 1 1 m = n ⇒ f − = 2n f ( n) 2 n
U
m
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
TP .Q
Thay y = 1 ⇒ f ( x)[1 - f (1)] = 0, ∀x ∈ R
00
B
f ( x ) ≠ 1 từ (3) suy ra f ( x) = 0, ∀x ∈ R
Ư N
TR ẦN
Hướng dẫn giải
H
Bài toán 18. 40: Xác định f(x) liên tục trên R thoả mãn: xy ) = f ( x). f ( y ), ∀ x , y e ∈ R \{0 }
G
Vì f(x) liên tục tại x0 nên f ( x0 ) = 2 x0 . Vậy f ( x) = 2 x , ∀x ∈ R.
1 , ∀x ∈ R \ {0} x
2+
3
10
1 f (1) = 1 . Khi đó f (1) = f x. = f ( x ) . f x
Đ
ẠO
Với x0 ∈ R có 1 dãy hữu tỉ tiến về x0 .
2
ẤP
=> f ( x) ≠ 0, ∀x ∈ R \{0} và f ( x 2 ) = f ( x ) > 0, ∀x ∈ R \ {0}
A
C
Nếu x, y ∈ R * . Đặt x = eu , y = ev và f ( et ) = g ( t )
H
Ó
Khi đó g (u + v) = g (u ). g (v) , ∀u, v ∈ R
-L
Í-
⇒ g (t ) = a t , ∀t ∈ R, a > 0
ÁN
Do đó: f ( x) = f (eu ) = g (u ) = a u = a ln x = (e ln a )ln x = xα Với α = Ina, ∀x ∈ R *
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
m Nên f = 2 n với ∀m ∈ Z và ∀n ∈ N * n
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
⇒ f ( −n ) =
H Ơ
Nhận xét rằng: f (n) f (-n) = f (0) = 1
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
Nếu x, y ∈ R * thì x, y ∈ R * theo trên ta có:
[ f ( x)]2 = f ( x 2 ) = ( x 2 ) β = ( ( x ) β ) 2 , ∀x ∈ R − , ∀β ∈ R
x β ∀x ∈ R * Do f(x) liên tục trên R nên f ( x ) = β − − x ∀x ∈ R Vậy f ( x) = 0, ∀x ∈ R
Trang 31
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
α
f ( x ) = x ∀x ∈ R \ {0} , α ∈ R tùy ý
N
,β ∈ R tùy ý.
H Ơ Y
N
Bài toán 18. 41: Tìm tất cả các hàm số f liên tục trên R thoả :
TP .Q
U
( f ( x))3 − ( x 2 + 3)( f ( x))2 + ( x 2 + 3) f ( x) + x 4 − 1 = 0, ∀x ∈ R
G
Đ
Hướng dẫn giải t theo y: ∆1 = ( y 2 − 3 y + 2) 2
ẠO
Đặt y = f ( x), t = x 2 ta có: t 2 - ( y 2 − y )t + y 3 − 3 y 2 + 3 y − 1 = 0
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Ư N
t = y 2 − 2 y + 1 = ( y − 1 )2; t = y − 1
TR ẦN
H
Viết lại phương trình hàm: [ x 2 − ( f ( x) − 1) 2 ] [ x 2 − ( f ( x ) − 1)] = 0
⇔ ( f ( x) − 1 − x)( f ( x) − 1 + x )( f ( x) − 1 − x 2 ) = 0
B
⇔ f ( x) ∈ {1 + x ; 1 − x; x 2 + 1}
10
00
Để ý: Đồ thị các hàm số f1 ( x ) = 1 + x và f 2 ( x ) = 1 − x có điểm chung A(0, 1)
2+
3
Đồ thị các hàm số f1 ( x) = 1 + x và f 3 ( x) = x 2 + 1 có 2 điểm chung A(0, 1) và
ẤP
B (1 ,2).
C
Đồ thị các hàm số f 2 ( x) = 1 − x và f 3 ( x) = x 2 + 1 có 2 điểm chung A(0, 1) và
Ó
A
C (-1 ,2)
khi x ∈ ( −∞, −1)
ÁN
-L
Í-
fi ( x ) f j ( x) f ( x) = fk ( x ) f x l( )
H
Do điều kiện f liên tục trên R nên:
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
Hướng dẫn giải
khi x ∈ [ −1, 0]
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
x β ∀x ∈ R* f ( x) B − − x ∀x ∈ R
khi x ∈ ( 0,1) khi x ∈ [1, +∞ )
Vậy có tất cả 25 hàm số liên tục thoả phương trình hàm và được xác định
( ) = 0, ∀x
Bài toán 18. 42: Tìm f(x) liên tục thoả: Cn0 f ( x ) + Cn1 f ( x 2 ) + ... + Cnn f x 2
n
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
Với: i, j , k , ℓ chọn trong [1,2, 3] sao cho f liên tục.
Hướng dẫn giải
Trang 32
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
n
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
( ) ( )
( )
k =1
k
n −1
( )
g n −1 ( x ) = g n −1 f ( x 2 ) = f ( x ) + ∑ ( Cnk−1 + Cnk−−11 ) f x 2 + f ( x 2 n ) k
( )
( )
k
( ) = g ( x) = 0 k
n
H
= ∑ Cnk f x 2 k =0
Ư N
n
n
G
k =1
ẠO
n −1
= Cn0 f ( x ) + ∑ Cnk x 2 + Cnn f x 2
Đ
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
B
Nếu x = 0 thì g n −1 ( 0 ) = 0 hoặc x = 1 thì g( n −1) = 0
TR ẦN
Vì f liên tục trên R nên gn(x) luôn xác định và liên tục trên R.
00
Nếu 0 < x < 1 thì ta có:
3
10
g n-1 ( x) = g n-1 ( x 2 ) = ... = g n-1 ( x 2 m ) = ... = g n −1 ( 0 ) = 0
2+
Nếu x > 1 thì từ g n -1 ( x) = − g n -1 ( x 2 ) ta suy ra
A
C
ẤP
1 1 g n−1 (t ) = g n −1 t 2 = ... = (−1) m g n −1 , (t 2 m ) = g n−1 (1) = 0
H
Ó
Do đó: Nếu x ≥ 0 thì g n −1 ( x ) = 0∀n ∈ N *
-L
Í-
Nếu x < 0 ⇒ g n −1 ( x ) = − g n −1 ( x 2 ) = 0
ÁN
⇒ g n −1 ( x ) = 0, ∀x ∈ R, n ∈ R * Vậy g n ( x ) = g 0 ( x ) = 0, ∀x ∈ R, ∀n ∈ N *
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
k =1
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
k =0
n
= ∑ Cnk−−11 f x 2
Y
( ) k +1
U
n −1
k
N
k =0
g n −1 f ( x 2 ) = ∑ Cnk−1 f x 2
N
n −1
Ta có: g n ( x) = 0, ∀x ∈ R; g n-1 ( x) = ∑ Cnk−1 f x 2
H Ơ
k =0
k
TP .Q
Đặt g n ( x ) = ∑ Cnk x 2
Thử lại đúng. Vậy: f ( x ) = 0
Bài toán 18. 43: Tìm tất cả các hàm liên tục f : R + → R + thỏa mãn:
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
Mà g 0 ( x ) = f ( x ) do đó f ( x) = 0, ∀x ∈ R
x +1 + f ( x) = f , với mọi x ∈ R + 2 x
Trang 33
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Hướng dẫn giải
H Ơ
xn + 1 ,n ≥1 xn + 2
N TP .Q
U
Y
x +1 Khi đó f n = f ( xn ) = f ( xn −1 ) = ... = f ( x0 ) = f ( a ) xn + 2
)
ẠO
2 5 − 4 −1 + 5 , hiển nhiên đúng. = 2 3− 5
H
(
⇔ 3− 5 a > 2 5 − 4 ⇔ a >
5+2 5
G
Thật vậy, (1) tương đương với 2a + 2 > − a + a
Đ
−1 + 5 a + 1 −1 + 5 ta chứng minh (1) > 2 a+2 2
Ư N
- Nếu a >
−1 + 5 2
00
B
Từ đây suy ra dãy { xn } bị chặn dưới bởi
TR ẦN
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
xn + 1 x + 1 − xn 2 − 2 xn − x 2 n − xn + 1 − xn = n = xn + 2 xn − 2 xn + 2
3
10
Mặt khác, xét xn +1 − xn =
2+
−1 + 5 nên x 2 n + xn − 1 > 0 ⇔ − x 2 n − xn + 1 < 0 2
ẤP
Do xn >
A
C
⇒ xn +1 < xn , nghĩa là dãy { xn } giảm
Ó
H
-L
ÁN
−1 + 5 2
a + 1 −1 + 5 −1 + 5 . Khi đó dễ thấy < ⇒ { xn } bị chặn trên bởi 2 a+2 2
Í-
-Nếu 0 < a <
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
Vậy hàm f(x) là không đỗi trên dãy { xn }
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
Mặt khác, xét xn +1 − xn =
Do xn <
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
Xét dãy { xn } như sau: xn +1 =
N
Ta sẽ chứng minh f(x) là hàm hằng. Lấy a > b tuỳ ý.
xn + 1 x + 1 − xn 2 − 2 xn − xn 2 − xn + 1 − xn = n = xn + 2 xn + 2 xn + 2
−1 + 5 nên xn 2 + xn − 1 < 0 ⇔ − xn 2 − xn + 1 > 0 2
⇒ xn +1 > xn ,ghĩa là dãy { xn } tăng Trong cả hai trường hợp, dãy (xn) đều hội tụ về b = lim xn
Trang 34
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Chuyển qua giới hạn trong (*) ta có:
H Ơ
−1 + 5 2
N U TP .Q ẠO
Vậy f ( x ) = C . Thử lại đúng.
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Hướng dẫn giải
Ư N
f 2 ( x ) + f 2 ( y) , ∀x, y ∈ R, n ∈ N * 2
H
=
TR ẦN
xn + yn f 2
G
Đ
Bài toán 18. 44: Tìm hàm f ( x ) ≥ 0 . Xác định và khả vi trên R + thoả mãn điều kiện:
00
10
f 2 ( x) + f 2 ( y ) 2
3
ny n −1 = xn + yn 4 2
2
2+
xn + yn f ' 2
f ( x) f '( x)
f ( y ) f '( y )
ẤP
nx n −1 = n n 4 x +y 2
2
f 2 ( x) + f 2 ( y ) 2
x
n −1
Ó
y n −1
, ∀x, y ∈ R +
= a , (hằng số dương) ⇒ f ( x ) f ' ( x ) = a.x n −1
ÁN
x
n −1
f ( y ) f '( y )
-L
f ( x) f '( x)
=
H
f ( x) f '( x)
Í-
⇒
A
C
xn + yn f ' 2
B
Đạo hàm hai vế của đẳng thức đề bài cho lần lượt theo X và y ta được:
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
−1 + 5 Như vậy f ( a ) = lim f ( xn ) = f ( lim xn ) = f = C 2
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
Do b > 0 nên b =
N
b −1 −1 ± 5 ⇔ b2 + b − 1 = 0 ⇔ b = b−2 2
Y
b=
2 n ax Thử lại ta thấy hàm f(x) thoả các yêu cầu đề bài. n
Vậy: f ( x ) =
2 n ax n
Bài toán 18. 451: Cho hàm số f : R → R xác định bởi:
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
⇒ f ( x) =
y = f(x) = (1999) x + (1999) x − 2 .
Trang 35
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Với giá trị nào của a thì hàm y = f ( x + a ) là hàm số chẵn.
N
Hướng dẫn giải
H Ơ
Ta có: f ( x) = (1999) x + (1999)2 − x , ∀x
Y
N
⇒ f ( x + a ) = (1999) + (1999) 2 − a − x , ∀x
] = 0∀x
Đ
2−a
G
a
⇔ [(1999) x − (1999) x ][ (1999 ) − (1999 )
ẠO
= (1999) − x . (1999) a + (1999)2 − a . (1999) x ∀ x
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
H
TR ẦN
Vậy a = 1 thì y = f ( x + a ) là hàm chẵn trên R.
Ư N
[(1999)a − (1999) 2− a ]=0 ⇔ a=2 − a ⇔ a=1
Bài toán 18. 46: Cho b là một số thực dương. Hãy xác định tất cả các hàm số f xác định trên tập các số thực R, lấy giá trị trong R và thoả mãn: + f ( y ) −1
+ + b x (3b y + f ( y ) −1 − b y ) , ∀x, y ∈ R
B
y
00
f ( x + y ) = f ( x ).3b
3
2+
Phương trình đã cho tương đương với
10
Hướng dẫn giải
y + f ( y ) −1
, ∀x, y ∈ R
ẤP
f ( x + y ) + b x + y = ( f ( x) + b x ) 3b
C
Đặt g ( x) = f ( x) + b x Khi đó (1) có dạng
H
Ó
A
g ( x + y ) = g ( x)3g ( y ) −1 , x, y ∈ R (2)
-L
Í-
Thay y = 0 vào PT (2) ta được
g ( x) = g ( x)3
ÁN
http://daykemquynhon.ucoz.com
⇔ f ( x + a ) = f (− x + a ) ∀x
g ( y ) −1
g ( x ) = 0, ∀x ∈ R ∀x ∈ R ⇔ g ( 0 ) = 1
(1)
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
U
Do đó: y = f ( x + a ) là hàm số chẵn trên R
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
Với g ( x) = 0, ∀x ∈ R thì f ( x ) = −b x
Với g ( 0 ) = 1 thế x = 0 vào PT (2) ta được:
g ( y ) = g (0)3g ( y )- 1 ⇔ g ( y ) = 3
g ( y ) −1
⇔ 3g ( y )−1 − g ( y ) = 0, ∀y ∈ R Xét hàm số h(t ) = 3t - 1 − t có h ' ( t ) = 3t −1 In3 − 1
Trang 36
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
h '(t ) = 0 ⇔ t = log3 ( log 3 e ) + 1 < 1
Ư N
G
Từ bảng biến thiên ta thấy PT h(t ) = 0 có hai nghiệm t1 = 1 và t2 = c , với 0 < c < 1
g ( y) = 1 ⇔ ∀y ∈ R g ( y ) = c, 0 < c < 1
TR ẦN
H
1 ( vì h0 = ). Tức là g ( y ) = 3g ( y )−1 3 (4)
10
00
B
Giả sử tồn tại y0 ∈ R sao cho g ( y0 ) = c
1 ≠c c
2+
3
Khi đó: 1 = g (0) = g ( y0 − y0 ) = g ( − y0 ).39( y ) − 1 = c.g (− y0 ). Suy ra ( − y0 ) =
ẤP
mâu thuẫn với (4).
C
Nên g ( y ) = 1, ∀y ∈ R suy ra f ( x) = 1 − b x . Thử lại đúng.
Ó
A
Vậy có hai hàm số thoả mãn đề bài là:
Í-
H
f ( x ) = −b x và f ( x ) = 1 − b x
-L
Bài toán 18. 47: Cho số thực a thỏa mãn 0 < a ≠ 1 . Hãy xác định tất cả các hàm số f : R → R
ÁN
thỏa mãn phương trình sau:
TO
( x + y ) = f ( x). 3b
y
+ f ( y ) −1
+ b x ( 3b y + f ( y )−1 - b y )
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
Hướng dẫn giải
(
)
a) Xét x>0, đặt 2 + 2 x = t > 0 ⇔ x = 2 f + 2+ 2
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
Đ
ẠO
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
TP .Q
U
Y
N
H Ơ
N
Ta có bảng biến thiên sau, với a = log 3e − log 3 (log 3e) − 1 < 0
1 thì 2+ 2
4+3 2 f = 2 f ( t ) ⇔ f 2+ 2
(
t 2 −1 t + f = 2 f (t ) 2 −1
)
Trang 37
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
Đặt t =
(
)
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
u
2 − 1 thì phương trình trên trở thành
H Ơ
2 −1
) ) hì phương trình trên trở thành u
N
((
Y
Tiếp tục đặt Đặt f
N
f (( 2 − 1)u +1 ) + f (( 2 − 1)u −1 ) = 2 f (( 2 − 1)u )
TP .Q
⇔ h ( u + 1) = h ( u ) , ∀u
Ư N
G
Đ
k (u ), 0 ≤ u < 1 g (u ) = nh ( u − n ) + k ( u − n ) , n ≤ u ≤ n + 1, ∀n ≤ Z
H
trong đổ h(u), k(u) là các hàm số tùy ý, h(u) tuần hoàn với chu kì 1. 2 −1
x).x > 0
TR ẦN
Suy ra f ( x ) = g (log
(− x)), x < 0
00
2 −1
10
f ( x ) = g (log
B
Xét x < 0 thì đặt −(2 + 2 )x = t = ( − 2 − 1)u ta được
2+
)
ẤP
(
3
a, x = 0 với g(x) xác định như trên. Vậy f ( x ) = g log 2 −1 x , x ≠ 0 y
+ f ( y ) −1
+ b xb
b y + f ( y ) −1
= by )
Ó
A
C
b b) Với mọi số thực x, y thì f ( x + y ) = f ( x).(3
b y + f ( y ) −1
Í-
H
⇔ f ( x + y ) = b x + y = ( f ( x ) = bx ) 3
-L
Đặt g ( x) = f ( x) + b x , ∀x thì phương trình g ( x + y ) = g ( x).3g ( y )−1
TO
ÁN
g ( x) = 0, ∀x ∈ R Chọn y = 0 thì g ( x ) = g ( x ) 3g ( 0) −1 ⇔ g (0) = 1
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
ẠO
Bằng quy nạp, thì g ( u + n ) = nh ( u ) + g ( u ) với n là số nguyên dương. Do đó:
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
U
g (u + 1) + g (u − 1) = 2 g (u ) ⇔ g (u + 1) − g (u ) = g (u ) − g (u − 1 )
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
Nếu g ( x) = 0, ∀x thì f ( x) = − b x , ∀x Nếu g(0) = 1, thay x = 0, ta có g ( y ) = 3
g ( y ) −1
Xét hàm số h(t ) = 3t −1 − t , t ∈ R . Ta có
h(t ) = 3t −1 In3 − 1, h''(t ) = 3t −1 ( In3) 2 >0 ∀t. nên phương trình h(t) = 0 có không quá hai nghiệm
Trang 38
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
9 < 0 , nê n theo tính chất liên tục của hàm số, 10 phương trình h(t) = 0 có đúng hai nghiệm là t1 = 1, t2 = c, 0 < c < 1
H Ơ
N
Ta lại thấy h ( t ) = 0, h ( 0 ) > 0, h
Y
N
g ( y) = 1 Do đó g ( y ) = 3g ( y ) −1 ⇔ , ∀y ∈ R 9( y ) = c, 0 < c < 1
1 >1> c c
Ư N
G
Điều mâu thuẫn này cho thấy hàm số có dạng g ( y ) = c, 0 < c < 1 không thỏa mãn đề
TR ẦN
Do đó g ( y ) = 1, ∀y ∈ R hay f ( x) = 1 − b x , ∀x.
H
bài.
Thử lại ta thấy thỏa mãn. Vậy các hàm số thỏa mãn đề bài là f ( x ) = b x hoặc
00
B
f ( x ) = 1 − b x , mọi x.
10
Bài toán 18. 48: Tìm tất cả hàm f : R → R thỏa mãn: f (0) = 0, f (1) = 2013 và
2+
3
( x − y )( f ( f 2 ( x)) − f ( f 2 ( y )) = ( f ( x) − f ( y ))( f 2 ( x) − f 2 ( y )) đúng với mọi x, y ∈ R.
C
ẤP
Hướng dẫn giải
A
Ta chứng minh f ( x) = 2013 x.
H
Ó
Cho y = 0 và x ≠ 0 thì xf(f 2 (x)) = f 3 (x)
Í-
f 3 ( x) , ∀x ≠ 0 x
ÁN
-L
Suy ra f ( f 2 ( x ) =
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
= cg ( − y0 )
ẠO
⇔ g ( − y0 ) =
g ( y0 ) −1
Đ
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Thay vào PT cho
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
1 = g (0) = g ( y0 − y0 ) = g (− y0 ). 3
U
Giả sử tồn tại y0 ∈ R sao cho g ( y0 ) = c thì
f 3 ( x) f 3 ( y) 2 − = ( f ( x ) - f ( y ))( f ( x ) − f x y
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
( x − y)
2
( y )), ∀x, y ≠ 0
Thay x<0 và y = 1 , ta có
( x − 1) (
f 3 ( x) − 20133 ) = ( f ( x) − 2013)( f 2 ( x) − 20132 ) x
Hay ( f ( x) − 2013 x)( f 2 ( x) − 20132 x) = 0, ∀x < 0
Trang 39
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Mặt khác với x <0 thì f 2 ( x) > 20132 x nên f ( x) = 2013 x, ∀x < 0
H Ơ
f 3 ( x) + 20133 ) = ( f ( x) + 2013) < f 2 ( X ) - 20132 ) x
N TP .Q
U
Y
Hay (f ( x ) − 2013 x) ( f 2 x ) + 20132 x) = 0, ∀x > 0
ẠO
Ta có f(0) = 0 nên f ( x ) =2013x∀x ∈ R .
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Đ
Thử lại đúng.
Ư N
G
3. BÀI LUYỆN TẬP
)
2012 − 2011
)
00
B
Hướng dẫn
(
TR ẦN
(
2 2 1 + 2011 x = 2 2 + 2 . Tính f f 1 + = x x2
H
Bài tập 18.1: Cho hàm f thỏa mãn
2
(
)
2012 − 2011 = 2012
ẤP
Kết quả f
2+
3
10
2 2 2 Biến đổi f 1 + rồi đặt y = 1 + 1 2011 = + + x x x
A
C
Bài tập 18. 2: Hãy xác định tất cả các hàm số: f : N * → N * thoả mãn đẳng thức
Hướng dẫn
Í-
H
Ó
f (n) + f (n + 1) = f (n + 2) f (n + 3) − 1996 với mọi n ∈ N *
ÁN
-L
1, n = 2k + 1 n = 2k Kết quả Nếu f(3) = f(1) = 1 thì f(n) = n a + 2 − 11997
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
Suy ra f ( x) = 2013 x, ∀x > 0.
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
( x + 1) (
N
Thay x >0 và y = − 1 , ta có
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
2, n = 2k + 1 1998 , n = 2k + 1 Nếu f(3) = f(1 )>1 thì: f(n) = ; f (n) = 1998, n = 2k 2, n = 2k
1, n = 2k Nếu f(3) > f(1) thì f(n) = n −1 a + 2 1997, n = 2k + 1
Bài tập 18. 3: Tìm tất cả các hàm số f : Q → Q sao cho f thoả mãn điều kiện
Trang 40
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
f (1) = 2 và f ( xy ) = f ( x ). f ( y ) − f ( x + y ) + 1, x, y ∈ Q.
N
Hướng dẫn
N
H Ơ
1 1 Chứng minh f = + 1 . Kết quả f ( x) = x + 1 n n
U
Y
Bài tập 18. 4: Tìm tất cả hàm số f : R → R thoả mãn
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Đ
ẠO
Chứng minh f đơn ánh . Kết quả f ( x ) = − x − 2 .
)
Hướng dẫn
B
Chứng minh f đơn điệu giảm. Kết quả f ( x ) = x
TR ẦN
H
(
Ư N
f ( 2019 ) = 2018 (Ký hiệu f n ( x) = f ( f ... ( f ) ) , n lần) f ( x ) . f 4 ( x ) = 1∀x ∈ R
G
Bài tập 18. 5: Xác định f liên tục trên R và thoả mãn hai điều kiện:
10
00
Bài tập 18. 6: Tìm các hàm số f xác định với mọi số nguyên và nhận giá trị thực, thoả mãn:
2+ ẤP
5 2
C
ii) f ( 0 ) ≠ 0; f (1) =
3
i) Với mọi số nguyên x và y thì: f ( x ). f ( y ) = f ( x + y ) + f ( x - y );
Hướng dẫn
A
5 = 2 + 2−1 , f (2) = 2 + 2−2. 2
H
Ó
Dự đoán f (1) =
-L
Í-
Kết quả f ( n ) = 2 n + 2− n
ÁN
Bài tập 18. 7: Hãy xác định tất cả các hàm f: R+_> R+ thoả mãn các điều kiện sau: f (2) = 0; f ( x) ≠ 0, với 0 ≤ x < 2; f ( xf ( y )) f ( y ) = f ( x + y ), ∀x, y ∈ R *
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
Hướng dẫn
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
f ( x + f ( y ) + xf ( y )) = x + xy + y, ∀x, y ∈ R
Chứng minh f ( y ) ≥
Hướng dẫn 2 2− y
0, x ≥ 2 Kết quả f ( x ) = 2 2 − x , 0 < x < 2
Trang 41
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Bài tập 18. 8: Có tòn tại hàm f : Z * → Z* thoả mãn f ( mf ( n ) ) = n + f ( 2013m ) với mọi m, n nguyên dương.
H Ơ
N
Hướng dẫn
N
Chứng minh f đơn ánh rồi suy ra f (n) = 2013a n .
U
Y
Kết quả không tồn tại.
ẠO
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Đ
Chứng minh ∀x ∈ R ta có f (2017 x) = 2017 f ( x)
G
Hướng dẫn
Ư N
Chứng minh qui nạp f ( kx ) = kf ( x )
TR ẦN
H
Bài tập 18. 10: Giả sử các hàm f , g ; R → R không phải hằng số và thoả mãn hai đồng nhất thức f ( x + y ) = f ( x ).g ( y ) + g ( x) f ( y ); g ( x + y ) = g ( x). f ( y ) − f ( x ) f ( y ) Tìm tất cả các giá trị có thể của f(0) và g(0).
00
B
Hướng dẫn .
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
C
ẤP
2+
3
10
Kết quả f ( 0 ) = 0, g ( 0 ) = 1
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
f ( x 3 + y 3 ) = ( x + y )[( f ( x)) 2 − f ( x) f ( y ) + ( f ( y )) 2 ], ∀x, y ∈ R
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò
TP .Q
Bài tập 18. 9: Cho f : R → R thoả:
Trang 42
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial