Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Chuyên đề 18 - PHƯƠNG TRÌNH HÀM - Lê Hoành Phò

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyên đề 18: PHƯƠNG TRÌNH HÀM 1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

N Y

TP .Q

U

- Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y là một quy tắc đặt tương ứng mỗi phần tử x của X với một và chỉ một phần tử y của Y. Phần tử y tương ứng của x gọi là ảnh của ánh xạ f, kí hiệu y = f(x) , x gọi là nghịch ảnh của y:

H Ơ

N

Ánh xạ và hàm số

ẠO

Đ Ư N

G

Hay ∀a,b ∈ X : f ( a ) = f ( b ) ⇒ a = b

TR ẦN

H

- Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y gọi là toàn ánh nếu mỗi phần tử Y bất kỳ của Y đều có nghịch ảnh x của X:

∀y ∈ Y, ∃x ∈ X : y = f ( x )

00

B

Hay Y = f ( x ) = {y ∈ Y | ∃∈ X, y = f ( x )} .

10

- Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y gọi là song ánh nếu f vừa đơn ánh và toàn ánh, tức là nếu mỗi phân tử y bất kỳ của Y đều có nghịch ảnh duy nhất x của X.

ẤP

2+

3

Hai tập hữu hạn có cùng số phần tử khi tồn tại một song ánh giữa chúng. Còn 2 tập vô hạn mà có song ánh giữa chúng thì gọi là cùng lực lượng hay cùng bản số.

C

- Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu:

Ó

A

∀x ∈ D thì − x ∈ D và f ( − x ) = f ( x )

H

- Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu:

-L

Í-

∀x ∈ D thì − x ∈ D và f ( − x ) = −f ( x )

TO

ÁN

∃a ≠ 0 - Hàm số tuần hoàn :  f ( x + a ) = f ( x ) , ∀x,x + a ∈ D

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

- Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y gọi là đơn ánh nếu hai phần tử khác nhau bất kỳ của X đều cho hai ảnh khác nhau của Y: ∀a, b ∈ X : a ≠ b ⇒ f ( a ) ≠ f ( b )

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

f : X →: x ֏ y = f ( x )

G

Số dương bé nhất nếu có trong các số a thỏa mãn điều kiện trên gọi là chu kỳ T của

BỒ

ID Ư

Ỡ N

hàm số f.

∃a ≠ 0 - Hàm phản tuần hoàn :  f ( x + b ) = −f ( x ) , ∀x,x + b ∈ D

- Hàm cộng tính: f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y )

Trang 1

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

- Hàm nhân tính: f ( xy ) = f ( x ) .f ( y )

N

- Điểm bất đồng của hàm f(x) là x = a sao cho f(x) = a

H Ơ

- Nếu hàm số f(x) có f '(x) = 0 trên D thì f(x) là hàm hằng trên D.

Y

N

Đặc trưng hàm sơ cấp:

ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Đ

- Hàm mũ f ( x ) = a x , a > 0, a ≠ 1: f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y )

Ư N H

- Hàm sin f ( x ) = sin : f ( 3x ) = 3f ( x ) − 4f 3 ( x )

TR ẦN

- Hàm cosin f ( x ) = cos x : f ( 2x ) = 2f 2 ( x ) − 1

3

10

00

f (x ) + f ( y) 1− f ( x ) f ( y)

B

f ( x + y ) + f ( x − y ) = 2f ( x ) f ( y ) - Hàm tang f ( x ) = tanx : f ( x + y ) =

G

- Hàm lôgarit f ( x ) = log a x , a > 0, a ≠ 1: f ( xy ) = f ( x ) + f ( y )

2+

f ( x ) f ( y) −1 f (x ) + f ( y)

ẤP

- Hàm cotang f ( x ) = cot x : f ( x + y ) =

C

ex − e− x : f ( 3x ) = 3f ( x ) + 4f 3 ( x ) 2

Ó

A

- Hàm f ( x ) = shx =

H

ex + e− x : f ( x + y ) + f ( x − y ) = 2f ( x ) f ( y ) 3

-L

Í-

- Hàm f ( x ) = chx =

ÁN

Phương trình hàm

- Tính giá trị đặc biệt f(0), f(1),...

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

- Hàm tuyến tính f ( x ) = ax, a ≠ 0 : f ( x + y ) = f ( x ) . f ( y )

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TP .Q

U

 x + y  f ( x ) + f ( y) - Hàm bậc nhất f ( x ) = ax + b, a ≠ 0 : f  = 2  2 

Ỡ N

G

- Dùng phép thế, đổi biến, các chuyển đổi số học, đại lượng trung bình, biến đổi tịnh tiến và đồng dạng, biến đổi phân tuyến tính,...

BỒ

ID Ư

- Dùng tính chất đơn ánh, toàn ánh, song án, tuần hoàn,..

- Đánh giá, dự đoán hàm số, quy nạp,...

Phương trình hàm Cauchy: Hàm f(x) xác định và liên tục trên R thỏa mãn:

f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) , ∀x,y ∈ ℝ thì f ( x ) = ax với a hằng số tùy ý.

Trang 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

2. CÁC BÀI TOÁN

N

Bài toán 18. 1: Cho hàm số f: ℝ → ℝ thỏa: f ( x + 2xy ) = f ( x ) + 2f ( xy ) , ∀x,y ∈ ℝ

H Ơ

Biết f(201) = a, hãy tính f(202).

N

Hướng dẫn giải

(x) 1  x ta được f ( 0 ) = f ( x ) + 2f  −  ⇒ f ( x ) = −2f 2 2  2

ẠO

Thay y = −

Đ

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

H

t ta được: 2x

TR ẦN

Xét x ≠, t ∈ ℝ bất kì. Thay y =

Ư N

G

x Suy ra f ( x ) = 2f   2

00

B

t f ( x + t ) = f ( x ) + 2f   = f ( x ) + f ( t ) 2

10

Với x = 0 ta cũng có f ( 0 + t ) = f ( 0 ) + f ( t )

2+

3

Ta chứng minh bằng quy nạp theo k: f ( kx ) = kf ( x ) , ∀x ∈ ℝ, ∀k ∈ ℕ

a 201

C

ẤP

Từ đó rút ra: a = f ( 201) = 201.f (1) ⇒ f (1) =

202 a 201

H

Ó

A

Do đó f ( 202 ) = 202.f (1) =

Í-

Bài toán 18. 2: Cho hàm f(x, y) thỏa mãn các điều kiện:

ÁN

-L

f ( 0, y ) = y + 1; f ( x + 1, 0 ) = f ( x,1) f ( x + 1, y + 1) = f ( x, f ( x + 1, y ) )

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

Thay y = −1 ta được : f ( − x ) = f ( x ) + 2f ( − x ) ⇒ f ( x ) = −f ( − x )

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TP .Q

U

Y

Thay x = 0 ta được: f ( 0 ) = f ( 0 ) + 2f ( 0 ) ⇒ f ( 0 ) = 0

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Với mọi số nguyên không âm x, y. Tìm f(4, 1981)

Hướng dẫn giải

Ta có: f (1, n ) = f ( 0, f (1, n − 1) ) = 1 + f (1, n − 1) Do đó: f (1, n ) = n + f (1, 0 ) = n + f ( 0,1) = n + 2 Ta lại có: f ( 2, n ) = f (1, f ( 2, n − 1) ) = f ( 2, n − 1) + 2

Trang 3

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Do đó: f ( 2, n ) = 2n + f ( 2, 0 ) = 2n + f (1,1) = 2n + 3

H Ơ

N

Bây giờ: f ( 3, n ) = f ( 2, f ( 3, n − 1) ) = 2 f ( 3, n − 1) + 3

N

Đặt u n = 2u n −1 và u 0 = f ( 3, 0 ) + 3 = f ( 2,1) + 3 = 0

−3

ẠO Đ

f ( 4,2 ) = 2224 − 3

Ư N

G

Bằng qui nạp ta chứng minh được f ( 4,n ) = 222..24 − 3

TR ẦN

f ( 4, 1981) = 2 22..24 − 3 với số mũ chứa 1983 chữ số 2.

H

Trong đó số mũ chứa (n + 2) chữ số 2. Từ đó:

Bài toán 18. 3: Cho hàm f: ℤ + → ℤ + thỏa mãn các điều kiện sau:

00

B

(i) f ( n + 1) > f ( n ) ; ∀n ∈ ℤ +

3

10

(ii) f ( f ( n ) ) = 3n, ∀n ∈ Z + . Hãy tính f(2003).

2+

Hướng dẫn giải

C

ẤP

Từ (i) và (ii) ⇒ f (1) < f ( f (1) ) = 3 ⇒ f (1) = 2

Ó

A

Ta có: f ( 2 ) = f ( f (1) ) = 3.1 = 3

Í-

H

f ( 3) = f ( f ( 3) ) = 3.2

ÁN

.............

-L

f ( 2.3) = f ( f ( 3) ) = 3.3 = 32

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TP .Q

f ( 4,n −1) + 3

f ( 4,0 ) = f ( 3,1) = 24 − 3 = 13

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Suy ra f ( 2.3n ) = 3n +1 , ∀n ∈ ℤ + ; f ( 3n ) = 2.3n ; ∀n ∈ Z +

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ta có: f ( 4,n ) = f ( 3, f ( 4, n − 1) ) = 2

U

Y

Do vậy: u n = 2 n+3f ( 3,n ) = 2n+3 − 3

(

)

Nên có f ( 3n +1 ) = f f ( 2.3n ) = 2.3n +1

(

)

f ( 2.3n +1 ) = f f ( 3n +1 ) = 3.3n +1 = 3n + 2 Do đó khẳng định đúng với mọi n Ta có ( 3n − 1) số nguyên m nằm giữa 3n và 2. 3n và do giả thiết (i) f ( n + 1) > f ( n )

Trang 4

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

nên có ( 3n − 1) số nguyên m nằm giữa f( 3n ) và f(2. 3n ) suy ra 0 < m < 3n

H Ơ

)

N

f ( 2.3n + m ) = f f ( 3n + m ) = 3 ( 3n + m )

TP .Q

U

Y

Vậy f ( 2.3n + m ) = 3 ( 3n + m ) với 0 < m < 3n

Bài toán 18. 4: Cho f(n) là hàm số xác định với mọi n ∈ Ν* và lấy giá tị không âm thỏa mãn tính chất:

Đ

ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Ư N

G

1. ∀n, m ∈ Ν * : f ( m + n ) − f ( m ) − f ( n ) lấy giá trị 0 hoặc 1

H

2. f ( 2 ) = 0 và f ( 3) > 0

TR ẦN

3. f ( 9999 ) = 3333 . Tính f ( 2000 ) .

Hướng dẫn giải

00

B

Vì f ( m + n ) − f ( m ) − f ( n ) lấy giá trị 0 hoặc 1 nên ta suy ra:

3

10

f ( m + n) ≥ f (m) + f ( n)

2+

⇒ f ( 2 ) ≥ 2 f (1) ⇒ f (1) = 0 ⇒ f ( 3) = 1

C

ẤP

Ta có: f ( 6 ) ≥ f ( 3) + f ( 3) = 2

Í-

H

.................

Ó

A

f ( 9 ) ≥ f ( 6 ) + f ( 3) ≥ 3

-L

f ( 9999 ) ≥ f ( 9996 ) + f ( 3) ≥ 3333

ÁN

Vì giả thiết cho f ( 9999 ) = 3333 nên ta có dấu “=” ở các bất đẳng thức trên xảy ra, tức là

f ( 3n ) = n, ∀n = 1, 2,...,3333

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

Suy ra: n = 2003 = 2.36 + 545 ⇒ f (2003) = 3 ( 36 + 545 ) = 3822

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

(

N

⇒ f ( 3n + m ) = 2.3n + 3n . Do giả thiết (ii) suy ra.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

⇒ f (1998 ) = 666, f ( 2001) = 667

Mặt khác nếu a a, b ∈ Ν * và a > b ⇒ f ( a ) ≥ f ( b ) + f ( a − b ) ≥ f ( b )

⇒ 666 ≤ f ( 2000 ) ≤ 667 ⇒ f ( 2000 ) = 666 hoắc 667 Giả sử f ( 2000 = 667 )

Trang 5

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

⇒ f ( 4000 ) ≥ 1334 ⇒ f ( 6000 ) ≥ 1334 + 667 = 2001

N

mà f ( 6000 ) = 2000 (mâu thuẫn). Vậy: f ( 2000 ) = 666

H Ơ

Bài toán 18. 5: Cho f và g là các hàm xác định trên R thỏa:

U

Y

N

f ( x + y ) + f ( x − y ) = 2 f ( x ) .g ( y ) , ∀x, y ∈ ℝ

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

ẠO

Hướng dẫn giải

G

Đ

Ta dùng phương pháp phản chứng

Ư N

Giả sử lại một điểm y0 ∈ ℝ : g ( y0 ) = a > 1

B

00

 xk + y0 , khi f ( xk + y0 ) ≥ f ( xk − y0 )  xk +1 =   xk − y0 , khi f ( xk + y0 ) < f ( xk − y0 )

TR ẦN

H

Ta lấy x0 : f ( x0 ) ≠ 0 và xây dựng dãy xk ( k = 0,1, 2....) như sau:

10

Theo giả thiết ta có:

2+

3

2 f ( xk +1 ) > f ( xk + y0 ) + f ( xk − y0 ) ≥ f ( xk + y0 ) + f ( xk − y0 )

C

ẤP

= 2 f ( xk ) g ( y0 ) = 2a f ( xk )

H

Ó

A

Nên f ( xk +1 ) ≥ a f ( xk ) với a > 1; k = 1, 2,3...

Í-

Do đó ta có: f ( xk ) ≥ a k f ( x0 ) . Nhưng vì f ( x0 ) ≠ 0 và a > 1 nên có thể chọn k sao

ÁN

-L

cho a k f ( x0 ) > 1 dó đó f ( xk ) > 1 Mâu thuẫn với giả thiết. Vậy g ( y ) ≤ 1, ∀y ∈ R

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nếu f ( x ) ≠ 0 và f ( x ) ≤ 1, ∀x ∈ ℝ thì g ( y0 ) = a > 1

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TP .Q

Chứng minh rằng:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Bài toán 18. 6: Cho hàm số f: ℝ → ℝ thỏa 2 điều kiện: i) f ( x ) ≥ 1 + x; ∀x ∈ ℝ ii) f ( x + y ) ≥ f ( x ) . f ( y ) ; ∀x, y ∈ ℝ Chứng minh rằng không thể tồn tại hai số a; b ∈ ℝ mà f ( a ) . f ( b ) ≤ 0

Hướng dẫn giải

Trang 6

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Ta sẽ chứng minh: f ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ

H Ơ

N

Thật vậy: với x < 1 thì theo điều kiện (i) ta có ngay f ( x ) > 0

Y

2n

U

(1)

2k

x   x   x = f  k +1 + k +1  ≥  f ( k +1 )  2   2  2

2k .2

x  = f  k +1  2  

ẠO

2k +1

Ư N

  

(2)

tức (1) đúng với

H

 x  k 2

2k

TR ẦN

 Ta có:  f  n = k +1

  

Đ

  x Giả sử công thức (1) đúng với n − k > 0 tức f ( x ) ≥  f  k  2

G

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Theo nguyên lý quy nạp toán học bất đẳng thức (1) đúng.

00

B

Bây giờ chọn n đủ lớn để x < 2n , x ∈ ℝ tùy ý, khi đó

10

2n

x  x  <1⇒ f  n  > 0 n 2 2 

2+

3

  x  Do đó  f  n   > 0 tức f ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ   2 

ẤP

Như vậy không thể tồn tại a, b ∈ ℝ mà f ( a ) . f ( b ) ≤ 0

C

1 với x là số thực dương, và với mọi số nguyên dương n, ta 1+ x

Ó

A

Bài toán 18. 7: Đặt f ( x ) =

(

)

H

đặt: g n ( x ) = x + f ( x ) + f ( f ( x ) ) + ... + f f (...f ( x ) ) , f được lấy n lần ở số hạng cuối

-L

Í-

cùng. Chứng minh rằng: a) g n ( x ) > g n ( y ) nếu x > y > 0

ÁN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Với n = 0: công thức (1) đúng.

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TP .Q

  x  ∀x ∈ ℝ, ∀n ∈ ℕ thì f ( x ) ≥  f  n     2 

N

Với x < 1 , trước hết ta sẽ chứng minh bất đẳng thức:

F F1 F2 + + ... + n +1 F2 F3 Fn + 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

b) g n (1) =

với F1 = F2 = 1 và Fn + 2 = Fn +1 + Fn với n ≥ 1 .

Hướng dẫn giải

(

)

a) Kí hiệu f n ( x ) = f f (...f ( x ) ) (n lần). Kí hiệu g 0 ( x ) là hàm đồng nhất. Chú ý rằng f 2 ( x ) là hàm tăng thực sự khi x > 0 .

Trang 7

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Ta sẽ chứng minh bằng qui nạp theo n rằng g n ( x ) là hàm tăng thực sự khi x > 0 . Dễ

N

dàng kiểm tra được điều này đúng với g1 ( x )

H Ơ

Giả sử khi n ≥ 2, g1 ( x ) ,..., g n −1 ( x ) là các hàm tăng thực sự với x > 0

Y

N

Cho x > y > 0 . Ta có: g n ( x ) − g n ( y ) =

)

ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Đ

Vậy g n ( x ) là hàm tăng thực sự khi x > 0 .

Ư N

G

F  F F1 = 1 và f  i  = i +1 . Suy ra: F2  Fi +1  Fi + 2

H

b) Để y rằng

TR ẦN

F F1 F2 + + ... + n +1 = g n (1) F2 F3 Fn + 2

2003 cos 2 ( x + y ) + a cos ( x + y + α ) với a, α ∈ ℝ .

2

00

B

Bài toán 18. 8: Cho f ( x, y ) =

2

2

3

10

Chứng minh rằng min ( f ( x, y ) ) + ( max f ( x, y ) ) ≥ 2003.

2+

Hướng dẫn giải

A

C

ẤP

2003 π π  Ta có: f ( 0, 0 ) + f  ;  = 2 2 2 2

Í-

H

Ó

 2003  π π  Nên max f ( x, y ) ≥ max  f ( 0, 0 ) , f  ,   ≥ ( ∀x, y ∈ ℝ ) 2  2 2   2

2003 2

ÁN

-L

⇒ ( max f ( x, y ) ) >

2003 π π  Ta lại có: f  ;  = − − a.sin α , 2 4 4

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

= ( g1 ( x ) − g1 ( y ) ) + g n − 2 ( f 2 ( x ) ) − g n − 2 ( f 2 ( y ) ) > 0

π π  Nên f  ;  + 4 4

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TP .Q

(

U

= ( x − y ) + ( f ( x ) − f ( y ) ) + ( f 2 ( x ) − f 2 ( y ) ) + ... + ( f n ( x ) − f n ( y ) )

2003  π π f − ;−  = − + a.sin α 2  4 4

2003  π π . Suy ra: f − ;−  = − 2  4 4

 π π  min f ( x, y ) ≤ min  f  ;  ,  4 4

2003  π π  f  − ; −  ≤ − ( ∀x , y ∈ ℝ ) 2  4 4 

Trang 8

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

(

⇒ min ( f ( x, y ) )

2

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

. ) ≥ 2003 2 2

2

H Ơ

N

Do đó : min ( f ( x, y ) ) + ( max f ( x, y ) ) ≥ 2003.

N

Bài toán 18. 9: Cho hàm số f : Ν *→ Ν * . Giả sử f (1) = 1, f ( 2n ) = f ( n ) và

Ư N

G

Có thể dùng quy nạp để chứng minh rằng f(n) là số tất cả các chữ số 1 trong biểu diễn nhị phân của số n.

H

a) Tồn tại nhiều nhất 10 chữ số 1 trong biểu diễn nhị phân của một số nếu số đó bé hơn

TR ẦN

hoặc bằng 1994 = 111111001010( 2 ) Suy ra M = 10

10

00

B

b) Với mọi số tự nhiên n ≤ 1994, ta có f ( n ) = 10 nếu và chỉ nếu n là một trong các số:

2+

3

1023 = 1111111111( 2 ) ,

ẤP

1535 = 1011111111( 2) ,1791 = 1101111111( 2) ,

A

C

1919 = 1110111111( 2) ,1983 = 1110111111( 2 ) .

x2 + 1 , ∀x ≠ 0. Giả sử f 0 ( x ) = x và 2x f n ( x ) = f ( f n −1 ( x ) ) ∀n ∈ Ν * , ∀x ≠ 0 .

-L

Í-

H

Ó

Bài toán 18. 10: Cho f ( x ) =

fn ( x ) f n +1 ( x )

= 1+

TO

ÁN

Chứng minh ∀n ∈ Ν , ∀x ≠ −1, 0,1

G Ỡ N ID Ư

BỒ

 x +1 f   x −1 

2n

Hướng dẫn giải

Đặt pn ( x ) = qn ( x ) =

1

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

Đ

Hướng dẫn giải

ẠO

b) Tìm tất cả các số n ∈ Ν , với 1 ≤ n ≤ 1994 , sao cho f ( n ) = M

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

a) Tìm giá trị lớn nhất M của f ( n ) với n ∈ Ν* thỏa mãn điều kiện 1 ≤ n ≤ 1994

TP .Q

U

Y

f ( 2n + 1) = f ( 2n ) + 1 với mọi số tự nhiên n.

1 2n 2n x + 1) + ( x − 1)  (  2 

1 2n 2n x + 1) + ( x − 1)  (  2 

∀x, y ∈ Ν

Trang 9

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Ta có: pn +1 ( x ) = pn2 ( x ) + qn2 ( x )

qn +1 ( x ) = 2 pn ( x ) qn ( x )

Y

pk ( x ) qk ( x )

U ẠO Đ G Ư N H

pn ( x ) qn ( x )

Do đó: f n ( x ) =

∀n ∈ Ν, ∀x ≠ 0

TR ẦN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Ta có: ∀n ∈ Ν , ∀x ≠ −1, 0,1 thì có: n +1

n

n

2+

3

10

00

n

B

2 2  2 2 +1   f n ( x ) ( x + 1) + ( x − 1)  ( x + 1) − ( x − 1)  = n n n+1 n f n +1 ( x ) ( x + 1)2 + ( x − 1) 2  ( x + 1)2 + ( x − 1)2 +1      2

( x + 1)2 + ( x − 1)2  2n 2n 2 ( x + 1) ( x − 1) 1     = = 1+ = 1+ 2n+1 2n +1 2n+1 2 n +1 x + 1 2n ( x + 1) + ( x − 1) ( x + 1) + ( x − 1) ) f( x −1 n

A

C

ẤP

n

H

Ó

Bài 18. 11: Cho hàm số f : ℝ + → ℝ + thỏa mãn phương trình:

Í-

f ( 4 x ) + 2005 f ( 2 x ) = 2006 f ( x ) ∀x ∈ ℝ + . Chứng minh tồn tại số thực k để:

-L

f ( x ) = f ( kx )

ÁN

http://daykemquynhon.ucoz.com

2

 pk ( x )    +1 qk ( x )  pk2 ( x ) + qk2 ( x ) pk +1 ( x )  ⇒ f k +1 ( x ) = = = pk ( x ) 2 pk ( x ) qk ( x ) qk +1 ( x ) 2. qk ( x )

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

Giả sử: f k ( x ) =

N

x p0 ( x ) = , ∀x ≠ 0 1 q0 ( x )

TP .Q

f0 ( x ) = x =

H Ơ

N

∀x, y ∈ Ν

Hướng dẫn giải

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

Đặt f ( 2n x ) = un ( n ∈ N * ) Từ f ( 4 x ) + 2500 f ( 2 x ) = 2006 f ( x ) ∀x ∈ ℝ + bằng quy nạp ta có: f ( 2n + 2 x ) + 2005 f ( 2n +1 x ) = 2006 f ( 2n x )( x ∈ ℝ + )

Hay un + 2 + 2005un +1 − 2006un = 0 ( un > 0 ) Hướng dẫn giải phương trình đặc trưng:

Trang 10

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

λ 2 + 2500λ − 2006 = 0 ta được λ = 1; λ = −2006 n

H Ơ

N

Vậy un = p.1n + q ( −2006 ) > 0, ∀n

N

Với p > 0, q = 0 thì un = u0

U

Y

Vậy f ( 2n x ) = f ( x ) hay k = 2n ∀n ∈ N +

Hướng dẫn giải

H

(1)

TR ẦN

Đặt P ( x, y ) = z . Xét phương trình: x 2 − xyz + y 2 + 6 = 0

Gọi ( x0 , y0 , z ) là nghiệm sao cho x0 + y0 bé nhất. Vai trò x0 , y0 như nhau nên giả sử

00

B

x0 ≥ y0 .

( 2)

3

2+

Gọi nghiệm thứ hai là x1 thì x0 ≤ x1

10

Xét phương trình x 2 − zy0 x + y02 + 6 = 0

( 4)

ẤP

Ta có: x0 + x1 = zy0 ( 3) x0 x1 = y02 + 6 = 0 6 ∈ Ν* x02

Ó

A

C

1) Nếu y0 = x0 từ (1) ⇒ z = 2 +

Í-

H

⇒ x0 = y0 = 1, z = 8 (thỏa đề bài)

ÁN

cùng lẻ

-L

2) Nếu x0 = x1 từ ( 4 ) ⇒ ( x0 + y0 )( x0 − y0 ) = 6 , vô lý vì ( x0 + y0 ) và ( x0 − y0 ) cùng chẵn hay

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TP .Q ẠO

P ( x, y ) ∈ Ν * .

G

3

Ư N

Chứng minh nếu P ( z , y ) !∈ Ν * thì

x2 + y2 + 6 xy

Đ

( x, y ) ֏ P ( x, y ) =

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

3) Nếu y0 < x0 < x1 ⇒ x0 ≥ y0 + 1 và x1 ≥ y0 + 2

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

Bài toán 18. 12: Cho ánh xạ P : Ν * × Ν * → ℚ

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Từ ( 4 ) ⇒ y02 + 6 ≥ ( y0 + 1)( y0 + 2 ) ⇒ y0 ≤

4 ⇒ y0 = 1 ⇒ z0 z1 = 7 3

⇒ x ≤ y02 mà y0 = 1 ⇒ x0 x1 = 7 x0 = 1 và x1 = 7 , vô lý vì x0 = y0 Vậy z = 23 ⇒

p ( x, y ) = 2 ∈ Ν *

Trang 11

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 18. 13: Giả sử f : ℝ → ℝ là hàm liên tục và giảm sao cho với mọi

N

x, y ∈ ℝ + : f ( x + y ) f ( f ( x ) + f ( y ) ) + f ( y + f ( x ) )

H Ơ

Chứng minh rằng f ( f ( x ) ) = x

N

Hướng dẫn giải

Y U

( (

)

( (

)

)

(

Ư N

G

f 2 f ( f ( x )) − f ( 2x ) = f 2 f f ( x ) + f ( f ( x )) − f 2 f ( x + f ( x ))

H

Nếu f ( f ( x ) ) > x , vế trái của phương trình trên âm, do đó:

(

))

Đ

Trừ hai phương trình trên ta suy ra:

(

))

ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

)

TR ẦN

f f ( x ) + f ( f ( x ) ) > f ( x + f ( x ) ) và f ( x ) + f ( f ( x ) ) < x + f ( x )

là điều mâu thuẫn.

3

10

Vậy f ( f ( x ) ) = x , điều phải chứng minh.

00

B

Tương tự, ta cũng có điều mâu thuẫn xảy ra khi f ( f ( x ) ) < x

2+

Bài toán 18. 14: Cho song ánh f : Ν → Ν . Chứng minh rằng: Tồn tại vô số bộ ( a, b, c ) với

Hướng dẫn giải

A

C

ẤP

a, b, c ∈ Ν thỏa: a < b < c và 2 f ( b ) = f ( a ) + f ( c )

H

Ó

Ta xây dựng dãy {an } như sau:

-L

Í-

Trong các số từ 0, 1, 2,..., m chọn số a1 sao cho f ( a1 ) > f ( i ) ∀i = 0; a1 ( m ∈ Ν ) Chọn a2 > a1 sao cho f ( a2 ) > f ( i ) , ∀i = 0; a2

ÁN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Thay x bằng f(x) ta có: f ( 2 f ( x ) ) + f 2 f ( f ( x ) ) = f 2 f f ( x ) + f ( f ( x ) )

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

(

)

TP .Q

(

Cho y = x ta được: f ( 2 x ) + f ( 2 f ( x ) ) = f 2 f ( x + f ( x ) )

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

Chọn ak > ak −1 sao cho f ( ak ) > f ( i ) , ∀i = 0; ak Vậy ta có dãy a1 < a2 < ... < ak < ak +1 và f ( a1 ) < f ( a2 ) < ... < f ( ak ) < f ( ak +1 ) Trong đó ai ∈ Ν và f ( ai ) > f ( j ) ∀j = 0; ai Vì f là song ánh nên f ( ak +1 ) = f ( ak ) + p, p ∈ N * Và ∃c ∈ Ν để f ( c ) = f ( ak +1 ) + p > f ( ak +1 )

Trang 12

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

ak +1 > ai Mặt khác:   f ( ak +1 ) > f ( i )

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

∀i = 1, k

H Ơ

N

∀i = 1, an +1

N

Nên c > ak +1

Y U TP .Q

Đ

Bài toán 18. 15: Chứng minh với mọi hàm f : ℝ → ℝ thì:

Ư N

G

f ( xy + x + y ) = f ( xy ) + f ( x ) + f ( y ) , ∀x, y ∈ ℝ

H

⇔ f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) , ∀x, y ∈ ℝ

TR ẦN

Hướng dẫn giải

B

- Phần đảo: Cho f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) , ∀x, y ∈ R

10

00

thì f ( xy + x + y ) = f ( xy ) + f ( x + y ) = f ( xy ) + f ( x ) + f ( y ) , ∀x, y ∈ R

3

- Phần thuận: Cho f ( xy + x + y ) = f ( xy ) + f ( x ) + f ( y ) , ∀x, y ∈ R

ẤP

2+

Chọn x = y = 0 thì f ( 0 ) = 0; ∀a, b, c ∈ R ta có :

C

f ( a + b + c + ab + bc + ac + abc ) = f ( a ( c + b + bc ) + a + ( c + b + bc ) )

H

Ó

A

= f ( a ( c + b + bc ) ) + f ( a ) + f ( a + b + bc )

Í-

= f ( ac + ab + abc ) + f ( a ) + f ( c ) + f ( b ) + f ( bc )

-L

Vì f (a + b + c + ab + bc + ca + abc) = f (ba + bc + abc ) + f (a ) + f (b) + f (c) + f (ac )

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

ẠO

Do cách xây dựng, dãy {an}là dãy vô hạn nên tồn tại vô số bộ (a, b, c) thỏa điều kiện đã nêu.

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

ÁN

Nên f (bc) + f (ab + ac + abc) = f (ac) + f (ab + bc + abc )

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

 p ( ak ) = f ( ak +1 ) − p  ⇒ ⇒ 2 f ( ak +1 ) = f ( ak ) + f ( c )  f ( c ) = f ( ak +1 ) + p

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Lấy a = 1: f (bc) + f (b + c + bc) = f (c) + f (b + bc + bc)

⇒ Do đó f (u + 2v) = f (u ) + 2 f (v), ∀u , v ∈ R Lấy u = a thì (2v) = 2 f (v), ∀v ∈ R nên f (u + 2v) = f (u ) + f (2v) Hay: f (b + 2bc) = f (b) + f (2bc), ∀b, c ∈ R Nếu b = 0 thì f (0) = 2 f (0) = 0 : Đúng

Trang 13

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

y thì có f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ), ∀x, y ≠ 0.

2b

H Ơ

N

Bài toán 18. 16: Hàm số f xác định trên tập các số tự nhiên N và có giá trị trên đó. Chứng minh rằng đẳng thức f ( f ( n ) ) = n + 1995 không thể nghiệm đúng với mọi n ∈ N .

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

= f ( n ) + 1995

U

G

Ư N

Xét số nguyên r bất kì: 0 ≤ r ≤ 1994 và chia f(r) cho 1995 có số dư

Đ

Và suy ra: f ( n + 1995k ) = f ( n ) + 1995k (1) đúng ∀n, k ∈ N

H

f (r ) = 1995 p + q với 0 ≤ q ≤ 1994

TR ẦN

Theo giả thiết: f ( f (r )) = r + 1995

00

Vì r ≤ 1994 nên chỉ có thể có hai khả năng

B

Từ (1): f ( f (r )) = f (q + 1995 p) = f (q ) + 1995 p

10

(i): p = 0 ⇒ f (r ) = q và f (q ) = r + 1995

2+

3

(ii): p = 1 ⇒ f (r ) = q + 1995 và f (r ) ≠ f (q ) nghĩa là r ≠ q

ẤP

Như vậy các số 0, 1,2,...,1994 có thể chia thành các cặp (a, b) sao cho

A

C

trong mỗi cặp f (a ) = b và f (b) = a + 1995 . Đó là điều vô lí vì từ 0 đến 1994 có một số lẻ số.

H

Ó

Bài toán 18.17: Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên [0, 1] sao cho:

-L

Í-

(i) f (0) = f (1) = 0

 2x + y  (ii) 2 f ( x) + f ( y ) = 3   với mọi x, y ∈ [0, 1]  3 

ÁN

http://daykemquynhon.ucoz.com

)

ẠO

(

f ( n + 1995 ) = f f ( f ( n ) )

TP .Q

Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng Giả sử rằng ta có đẳng thức f ( f ( n ) ) = n + 1995 đúng ∀n ∈ N . Khi đó:

Y

N

Hướng dẫn giải

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

Nếu b ≠ 0 thì b = x, c =

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

Chứng minh rằng f ( x) = 0 với mọi x, y ∈ [0, 1]

Hướng dẫn giải

m Bằng quy nạp theo n ta sẽ chứng minh rằng f  n  = 0 với mọi số nguyên n ≥ 0 3 

và với mọi m thoả mãn 0 ≤ m ≤ 3n . Các điều kiện ở đề bài chứng tỏ điều này đúng với n = 0 . Giả sử điều này đúng với n = k − 1 > 0 , ta chứng minh nó đúng với n = k .

Trang 14

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

m  m/3 Nếu m = 3 (mod 3) thì theo giả thiết quy nạp ta có: f  k  = f  k −1  = 0 3  3 

H Ơ Y

N

 ( m + 2) / 3  f  = 0+0 = 0 k −1  3 

U TP .Q Đ

ẠO

 ( m − 2) / 3   ( m + 1) / 3  m 3f  k  = f  +2f   k −1 k −1 3   3   3 

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Ư N

G

m Vậy f  k  = 0 với mọi số nguyên n, m ≥ 0 và m = 3n 3 

m có giới hạn x. Vì hàm f(x) 3k liên tục nên suy ra f ( x ) = 0 với mọi x ∈ [ 0,1] ta có điều phải chứng minh.

TR ẦN

H

Với mọi x ∈ [ 0,1] , ta có thể lập nên một dãy số có dạng

B

Bài toán 18.18: Hàm số f(x) xác định và có đạo hàm trên [ 0, +∞] . Biết rằng với mọi x ≥ 0

00

luôn có:

3

10

1)  f ( x )  ≤ 5

2+

2) f ( x ). f '( x) > sin x . Tồn tại hay không lim f ( x )

ẤP

x →∞

C

Hướng dẫn giải

Ó

A

Đặt F ( x ) = f 2 ( x ) + 2 cos x xác định trên [ 0, +∞]

Í-

H

(1) ⇒ F ( x) ≤ f 2 ( x) + 2 cos x ≤ 52 + 2

ÁN

-L

(2) ⇒ F ' ( x ) = 2 f ' ( x ) . f ( x ) − 2sin x ≥ 0 nên F(x) tang Xét dãy số {x n } = [2π , 2π +

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

Cuối cùng, nếu m = 2 (mod 3) thì 2 ≤ m ≤ 3k − 1 và

π 2

, 4π , 4π +

π 2

, 6π , 6π +

π 2

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

 ( m − 1) / 3  m 3f  k  = 2f  + k −1 3   3 

N

Nếu m = 1 (mod 3) thì 1 ≤ m = 3k − 2 và

...]

Thì xn > 0 , xn tăng và xn → +∞ khi xn → +∞

Đặt U n = f ( xn ) thì U n là dãy số tăng và bj chặn trên, nên tồn tại lim U n Giả sử rằng tồn tại limf(x) khi xn → +∞ thì tồn tại Vn

(

lim ( F ( xn ) − F 2 ( xn ) ) = lim U n − lim F ( xn ) x →∞

x →∞

x →∞

)

2

Trang 15

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Như thế tồn tại limcosx khi n → +∞ , điều này không thể được vì:

N

2 cos xn = {2, 0, 2, 0,...} là dãy số không có giới hạn.

Đ

Gọi Sn là phát biểu sau: nếu r ≤ n và m > r thì f (r ) < f (m)

Ư N

G

Vì khi m > 1 thì (m) > f ( s ), với s = f (m - 1) , nên f(m) không thể là phần tử nhỏ nhất của tập { f (1), f (2), f (3),...}

TR ẦN

H

Nhưng tập này bị chặn dưới bởi 0, nên chắc chắn nó phải có phần tử bé , nhất. Suy ra phần tử này là f(1). Vậy S1 đúng.

Giả sử Sn đúng. Lấy m > n + 1 , khi đó m - 1 > n , do đó ta có f (m - 1) > f (n)

00

B

(vì Sn đúng). Nhưng cũng từ S n ta có: f (n) > f (n - 1) > ... > f (1) , do vậy, ta được

10

f (n) ≥ n -1 + f (1) ≥ n . Suy ra f (m - 1) > n + 1 từ đó f (m) > f (n + 1) . Từ đây

3 2+

ẤP

Vậy Sn đúng với mọi n. Nói cách khác, nếu n ≤ m thì f (n) < f (m).

A

C

Giả sử với số m nào đó ta có f (m) ≥ m + 1 , thế thì: f ( f (m)) > f (m + 1) iều này mâu thuẫn. Suy ra f (m) ≤ m với mọi m. Nhưng do ta có f (1) ≥ 1 và

H

Ó

f ( m ) > f (m - 1) > ... > f (1) nên f ( m ) ≥ m với mọi m. Suy ra f ( m ) = m với mọi

Í-

ÁN

-L

Bài toán 18. 20: Cho tập hợp T gồm tất cả các số tự nhiên không vượt quá 1999. Hãy tìm tất cả hàm số f xác định trên N, lấy giá trị trên T và thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

i) f (t ) = t với mọi t ∈ T

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

Trước tiên ta sẽ chứng minh qui nạp: f (1) < f (2) < f (3)...

m.

N

TP .Q

Hướng dẫn giải

suy ra rằng Sn +1 đúng.

Y

U

Bài toán 18. 19: Tìm hàm f xác định trên tập các số nguyên dương và cũng nhận giá trị nguyên dương thoả mãn: f (n + 1) > f ( f (n)), ∀n ∈ N *

H Ơ

Vậy không tồn tại limf(x) khi xn → +∞ .

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

ii) f (m + n) = f ( f (m) + f (n)) với mọi m, n ∈ N

Hướng dẫn giải

Đặt f (2000) = a, b = 2000 - a , với 1 ≤ b ≤ 2000 Ta nhận xét: 1) Với mọi r mà 0 ≤ r < b, ta có: f(2000 + r) = a + r

Trang 16

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

2) Với mọi k ∈ N , 0 ≤ r ≤ b , ta có: f (2000 + kb + r ) = a + r

N

Từ đó suy ra nếu f là hàm số cần tìm thì thoả mãn:

U

Y

N

H Ơ

(t ) = t  với mọi t ∈ T (*)  f (2000) = a  f (2000 + m) = a + r 

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

ẠO

f (n + b) = f (n) với mọi n ≥ a, b = 2000 - a

G

Đ

n = f (n) (mod b) với mọi n ∈ N

H

Ư N

Vậy tất cả các hàm số thoả mãn đề bài được xác định theo công thức (*) với mỗi a ∈ T cho trước. Vậy có 2000 hàm số.

TR ẦN

Bài toán 18. 21: Xác định tất cả các hàm f: N* → N* hoả mãn điều kiện: f (n) + f (n + 1) = f (n + 2) f (n + 3) - 1996 với mọi n ∈ N *

00

B

Hướng dẫn giải

10

Từ giả thiết ta có: (k ) + f (k + 1) = f (k + 2) f (k + 3) - 1996

2+

3

Và f (k + 1) + f (k + 2) = f ( k + 3) f ( k + 4 ) − 1996 .

ẤP

Do đó với mọi k ∈ N thì f (k + 2) - f (k ) = f (k + 3)[ f (k + 4) - f (k + 2)]

C

Suy ra rằng:

Ó

A

f (3) - f ( 1) = f (4) f (6)... f (2k )[( f (2k + 1) - f (2k - 1)] (1)

Í-

H

f (4) - f (2) = f (5) f (7)... f (2k + 1 )[( f (2k + 2) - f (2k ) (2)

ÁN

-L

Nếu f (3) - f (1) ≠ 0 và f (4) - f (2) ≠ 0 thì hai đẳng thức trên dẫn đến mâu thuẫn. Do đó xảy ra các trường hợp sau: 1) f (3) - f (1) ≠ 0 và f (4) - f (2) = 0

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ngược lại cho a ∈ T , xét hàm số f xác định trên N thoả (*) thì để ý:

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TP .Q

Với r = m (mod (2000 - a )) và 0 ≤ r ≤ 2000 − a

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Từ (2) có f (2k + 2) = f (2k ) = c ≠ 0 với mọi k.

Nên (2) dẫn tới f (3) - f (1) I = ck _11 f (2k + 1) - f (2k -1) ≥ c k −1 với mọi k. Như vậy ta phải có c = 1 .

Từ đó (1) trở thành f (3) - f (1) = f (2k + 1) - f (2k - 1) nên dãy ( f (2k + 1)) là cấp số cộng với công sái d. Như thế với mọi k ta có:

f (2k ) = 1, f (2k - 1) = f (1) + (k - 1)d .

Trang 17

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Từ giả thiết cho n = 1 ta có

N

f (1) + f (2) = f (3) f (4) - 1996 => f (1) + 1 = ( f (1) + d ) - 1996

⇒ (a -1 )(b -1 ) = 1997

10

00

B

Vì 1997 là số nguyên tố nên hoặc a = 2, b = 1998 hoặc a = 1998, b = 2. Ta có hai hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

2+

3

 2 khi n = 2k  2 khi n = 2 k -1 và f ( n ) =  f ( n)  1998 khi n = 2 k -1 1998 khi n = 2k

ẤP

Bài toán 18. 22: Tìm tất cả các hàm f: N * → N * thoả mãn

2

A

C

i) f ( x + 22 ) = f ( x ) với mọi x ∈ N *

Hướng dẫn giải

-L

Í-

H

Ó

ii) f ( x 2 y ) = ( f ( x ) ) với mọi x, y ∈ N *

ÁN

Ta chỉ cần xác định giá trị hàm số tại x ∈ {1, 2, 3,..., 22}

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TR ẦN

f (1) + f (2) = f (3) f (4) - 1996 ⇒ b + a = ab -1996

H

Ư N

G

Khi đó f (2k ) = a, f (2k - 1) = b với mọi k ∈ N * và a, b nguyên dương tùy ý.

Với n = 1 ta có:

N Y

U TP .Q Đ

ẠO

1 khi n = 2k − 1 với a là sô nguyên dương tùy ý. f ( n) =   a + (k -1)1997 khi n = 2k

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Cho x = y = 1 ta tính được f (1) = 1

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

2) f (3) - f (1) = 0, f (4) - f (2) ≠ 0 . Lập luận như trên ta có kết quả:

3) f (3) - f (1) = 0, f (4) - f (2) = 0

H Ơ

1 khi n = 2k a là số nguyên dương ⇒ d = 1997 . Vậy ta có: f ( n ) =   a + ( k - 1)1997 khi n = 2 k -1 tùy ý.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Với mỗi x nguyên (2 ≤ x ≤ 21) luôn có k ∈ N * sao cho 1 + 22k ⋮ x Suy ra với x như trên ta có

1 + 22k = mx => mx 2 = x + 22kx với k là số tự nhiên.

Từ đó:

f ( x) = f ( x + 22kx ) = f ( x 2 m) = ( f ( x)) 2 f (m) => f ( x) f (m) = 1

⇒ f ( x) = 1 . Ta tính f(11) và f(22)

Trang 18

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Ta có f (22) = f (44) = f (22.11) = ( f (2)) 2 . f (11) = f (11) = 1

N

Mặt khác f (112.2) = ( f (11 ))2 . f (2) = ( f (11)) 2

H Ơ

Và f (112.2) = f (22 + 10.22) = f (22) = f (11)

Y

N

Vậy: f ( x) = 1 với mọi x ∈ N

ẠO

Hướng dẫn giải

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Đ

Giả sử tồn tại hàm số f thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ư N

G

Với mỗi a ∈ N * , xây dựng dãy số ( a n ) như sau:

TR ẦN

H

a1 = a, an + i = f (an ), n = 1 , 2, 3..

Từ giả thiết ta có:

B

an +1 = f (an ) = f (an −1 ) = f (an −1 ) − 3an −1 ⇒ a n +1 = 2an − 3an −1

10

00

Từ đó chứng minh được an +1 + 4an − 2 + 3an −3 = 0 với mọi n ≥ 4

2+

Vậy không tồn tại hàm số f.

3

Do an > 0 nên đẳng thức trên không thể xảy ra.

ẤP

Bài toán 18. 24: Tìm tất cả các hàm f : Z → Z thoả mãn điều kiện

Hướng dẫn giải

H

Ó

A

C

3 f (n) − 2 f ( f (n)) = n, ∀n, ∈ Z

Í-

Viết lại phương trình hàm ban đầu 2 f ( f (n) − 2 f (n) = f (n) − n

ÁN

-L

Đặt g (n) = f (n) − n ta có g (n) = 2 g ( f (n)), ∀n ∈ Z. Ta có: g (n) = 2 g ( f (n)) = 22 g ( f ( f (n)) = 23 g ( f ( f ( f (n)))) = ...

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

f ( f ( n ) ) + 3n = 2 f ( n ) với mọi x ∈ N *

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TP .Q

U

Bài toán 18. 23: Tồn tại hay không hàm số f: N * → N * thoả mãn điều kiện:

g (n) = 0 ⇒ f (n) = n . Thử lại đúng.

Vậy f (n) = n, ∀n ∈ Z.

Bài toán 18. 25: Tìm tất cả các hàm số f : Z → Z thỏa mãn:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Suy ra rằng g ( n ) chia hết cho 2k với mọi số tự nhiên k. Điều này chỉ xảy ra khi

i) f ( f (m) − n) = f (m 2 ) + f (n) − 2nf (m), ∀m, n ∈ Z

Trang 19

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

ii) f (1) > 0.

N

Hướng dẫn giải

H Ơ

Cho n = 0 ta có f ( f (m)) = f (m 2 ) + f (0)

Y

N

Thay n bởi f(m) ta có:

Cho m = 1 thì f (1) = f 2 (1) = 4 : vô lý nên f ( 0 ) = 0

Đ

TR ẦN

H

Thay m = 0 vào hệ thức đầu bài ta có f (-n) = f (n), ∀n ∈ Z

Ư N

G

Giả sử f ( 0 ) = 1 . Cho m = 0 thì f ( f (0)) = 2 f (0) nên f (1) = 2

ẠO

Suy ra f (0) = ( f ( f (0))2 ⇒ f (0) = 0 hoặc f ( 0 ) = 1

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Thay m = 1 vào hệ thức ở đầu bài ta có: f (1 − n) = 1 + f (n) − 2n

B

Hay f (n − 1) = 1 + f (n) − 2n => f (n) − f (n − 1) = 2n − 1

10

00

Từ đó với mọi n > 0 ta có f (n) = f (n) − f (n − 1) + f (n − 1) − f (n − 2) + ... + f (1) − f (0) + f (0)

2+

3

= (2n − 1) + (2n − 3) + ... + 3 + 1 = n 2

ẤP

Do đó f ( n ) = n 2 , ∀n ∈ Z . Thử lại đúng. Vậy f ( n ) = n 2 , ∀n ∈ Z

C

Bài toán 18. 26: Cho hàm số f xác định trên tập hợp các số nguyên dương N* và nhận giá trị 2

+ f ( n ) với mọi số nguyên

H

-L

Í-

dương m, n.

2

Ó

A

trong tập đó thoả mãn: ( m 2 + n ) chia hết cho ( f ( m ) )

Hướng dẫn giải

ÁN

Trước hết cho m = n = 1 ta được 4 chia hết cho ( f (1))2 + f (1) nên có f (1) = 1 Với mỗi p nguyên tố, thay m = 1 và n = p − 1 ta được:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

Từ đó ta có: f (m 2 ) = ( f (m))2 , ∀m ∈ Z

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TP .Q

U

f (0) = f (m 2 ) + f ( f (m) − 2( f (m))2 = 2 f (m 2 ) + f (0) − 2( f (m)) 2

f ( p − 1) + 1 chia hết p 2

Từ đó: f ( p − 1) = p − 1 hoặc f ( p − 1) = p 2 − 1 Giả sử f ( p − 1) = p 2 − 1 thì f (1) + ( f ( p − 1))2 = p 4 − 2 p 2 + 2 chia hết (1 + ( p − 1) 2 )2 ⇒ p 4 − 2 p 2 + 2 < ( p 2 − 2 p + 2) 2 , vô lí

Trang 20

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Do đó ta phải có f ( p − 1) = p − 1.

N

Bây giờ với n là số tự nhiên tùy ý, chọn m = p − 1 , ta có:

H Ơ

A = f (n) + ( p − 1) 2 chia hết (n + ( p − 1) 2 )2

G

Đ

Bài toán 18. 27: Tìm tất cả f : Z → Z sao cho:

Ư N

Hướng dẫn giải

TR ẦN

H

ii) ∀m ∈ Z , Nếu f (m) = n thì f (n) = m và f (n + 3) = m − 3

B

Ta có: ∀n ∈ Z , f ( f (n)) = n và f ( f (n) + 3) = n − 3

ẤP

2+

3

10

 f (0) − 3k , n = 3k  Suy ra: f ( n ) = (1) − 3k , n = 3k + 1   f (2) − 3k , n = 3k + 2

00

Nên f (n − 3) = f ( f ( f (n) + 3)) = f (n) + 3, ∀n ∈ Z

C

Với k ∈ Z . Vì 1995⋮ 3 nên từ f (1995) = 1996

Ó

A

f (0) − 1995 = 1996 ⇒ f (0) = 3991 ⇒ f (3991) = 0

Í-

H

Mà 3991 =3.1330+ 1 nên: 0 = f (1) − 3990 ⇒ f (1) = 3990

-L

Nếu f (2) = 3t , t ∈ Z thì:

ÁN

2 = f (3t ) = f (0) − 3t = 3991 − 3t => 3989 = 3t => 3989 ⋮ 3 (vô lý)

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

ẠO

Từ đó f (n) = n . Thử lại đúng. Vậy f (n) = n vơi mọi n ∈ N *

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

⇒ f ( 2 ) ≠ 3t , t ∈ Z

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

A > (n − f (n)) 2 .

i) f (1995 ) = 1996

U

TP .Q

Như vậy A chia hết (n − f (n))2 Với bất kì số nguyên tố p. Chỉ cần chọn p đủ lớn ta có

Y

N

Chú ý rằng (n + ( p − 1) 2 ) 2 = (n − f (n) + A) 2 = (n − f (n)) 2 (mod A)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Nếu f (2) = 3t + 1 thì 2 = f (3t + 1) = f (1) − 3t = 3990 − 3t => 3988 = 3t => 3988 ⋮ 3 (vô lý) ⇒ f (2) ≠ 3t + 1. Như vậy: f (2) = 3t + 2 3991 − n, n ≠ 3k + 2 Tóm lại ta có: f ( n ) =  với t bất kỳ, k ∈ Z 3t − n + 4, n = 3k + 2

Trang 21

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Thử lại, ta thấy hàm số trên là nghiệm của bài toán.

H Ơ

N

Bài toán 18. 29: Tìm tất cả các hàm số f xác định trên tập hợp các số nguyên z và lấy giá trị trong tập số thực dương R* sao cho:

N

f (m − 1) f (m) + f (m) f (m + 1) < 2 f (m − 1) f (m + 1), ∀m ∈ Z

Ta có: g (m + 1) < g (m), Vm ∈ Z

B

Nếu f(m) không là hàm hằng thì tồn tại k ∈ Z sao cho g ( k ) ≠ 0 .

10

00

Xét trường hợp g ( k ) < 0 : Với p nguyên dương thì:

2+

3

g (k + 1) + g (k + 2) + ... + g (k + p) = −

ẤP

1 1 1 = + g ( k + 1) + g ( k + 2 ) + ... + g ( k + p ) ≤ + pg ( k ) < 0 f (k + p) f (k ) f (k )

Ó

−1 f (k ) g (k )

1 1 ≤ vô lý f (k + p) f (k )

ÁN

-L

Khi đó 0 <

Í-

H

⇔ p>

A

C

⇒

1 1 + f (k ) f (k + p)

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TP .Q

1 1 − , ∀m ∈ Z f ( m ) f ( m − 1)

H

Đặt g ( m ) =

ẠO

1 1 1 1 − ≤ − , ∀m ∈ Z f ( m + 1) f ( m − 1) f ( m ) f ( m − 1)

Đ

⇒

G

1 1 2 + ≤ , ∀m ∈ Z f ( m + 1) f ( m − 1) f ( m )

Ư N

⇒

TR ẦN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

* Xét trường hợp g ( k ) > 0 với q nguyên dương thì:

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

Giả sử hàm số thoả f (m - 1) f (m) + f (m) f (m + 1) < 2 f (m -1 ) f (m + 1), ∀m ∈ Z

Y

Hướng dẫn giải

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

g (k ) + g (k − 1) + ... + g (k − (q − 1)) =

⇒−

1 1 − f (k ) f (k − q)

1 1 1 =− + qg ( k ) g(k ) + g(k − 1) + ... + g(k − q + 1 ) ≥ − f (k − q) f (k ) f (k )

Ta có: −

−1 < 0 , ta sẽ chọn q nguyên dương sao cho: f (k − q)

Trang 22

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

1 1 ≥− + qg ( k ) > 0, vô lý f (k − q) f (k )

N U

Y

Vậy f(m) phải là hàm hằng ⇒ f ( m ) = C . Thử lại đúng

TP .Q

Vậy f ( m ) = C , ∀m ∈ Z , với C là số thực dương tuỳ ý.

Đ

ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Ư N

B

f ( x + 1) = 2 f ( x) − f ( x + 1) + 2, ∀x ∈ Q

TR ẦN

Từ giả thiết, cho y = 1 ta có:

H

Hướng dẫn giải

G

 f (1) = 2   f ( xy + y ) = f ( x). f ( y ) − f ( x + 1) + 2 ∀x, y ∈ Q

10

00

⇔ f ( x + 1) = f ( x) + 1, ∀x ∈ Q

3

Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được:

ẤP

Từ giả thiết cho y = x , ta có:

2+

f ( x + n) = f ( x) + n ∀x ∈ Q, ∀n ∈ Z .

A

C

f ( x 2 + x ) = f 2 ( x ) − f ( x + 1) + 2, ∀x ∈ Q

H

Ó

f ( x 2 + x ) = f 2 ( x ) − f ( x) + 1 + 2, ∀x ∈ Q

Í-

p (p ∈ Z, q ∈ N \ {0} thì có: q

ÁN

-L

∀x ∈ Q , đặt x =

2  p  p  p  f  + q  +  + q   = f 2  + q  −  q  q   q 

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

Bài toán 18. 30: Tìm tất cả các hàm số f : Q → Q thoả:

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

Khi đó −

N

−1 1 + qg ( k ) > 0 ⇔ q > f (k ) f (k ) g (k )

p  f  + q  +1 q 

2  p  2 p   p   2 ⇔ f   + + q + 2 p + q  = f    + q  −  q    q  q 

 p f   − q +1 q

 p  2 p   p  p ⇔ f   + + q 2 + 2 p + q  = f 2   + 2qf   + q 2 − q q  q  q 

 p f   − q +1 q

Trang 23

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

 p  p  p f   + 1 + q 2 + 2 p + q = f 2   − 2qf   + q 2 − q q q

 p f   − q +1 q

N

 p ⇔ f 2  − q

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

N

H Ơ

 p  p p ⇔ qf   = p + q ⇔ f   = + 1 (Do q ≠ 0 ) q q q

U

Y

V ậ y f ( x ) = x + 1 , ∀x ∈ Q

TP .Q

G TR ẦN

Hướng dẫn giải

Ư N

2

H

i)) f ( x 2 ) = ( f ( x ) )

Đ

i) f ( x + 1) = f ( x) + 1

Từ điều kiện i) thì có f ( x + nk ) = f ( x) + k , ∀x ∈ Q * và ∀k ∈ N

B

p ∈ Q * ( p, q ∈ N *). q

2+

3

10

 p 2  m2  p m Giả sử f ( x ) = f   = ⇒ f  2  = 2 q n q  n

00

Lấy x =

C

ẤP

p   p m Khi đó f  + q  = f   + q = + q n q  q

H

Ó

A

 p2  m 2 2mq ⇒ f  2 + 2 p + q2  = 2 + + q2 q n n  

ÁN

-L

Í-

 p2  m 2 2mq m p 2mq Hay f  2  + 2 p + q 2 = 2 + + q2 ⇒ = 2p ⇒ = n n n n q q 

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

ẠO

Bài toán 18. 31: Tìm tất cả các hàm số f : Q * → Q * thoả mãn đồng thời các điều kiện sau với mọi x ∈ Q *

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Nên f ( x) = x, ∀x ∈ Q . Thử lại đúng. Vậy f ( x ) = x, ∀x ∈ Q

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

Thử lại ta thấy hàm số f ( x) = x + 1, ∀x ∈ Q thảo đề bài

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Bài toán 18. 32: Gọi Q* là tập hợp tất cả các số hữu tỉ dương. Hãy xây dựng một hàm số f: Q* → Q * sao cho: f ( xf ( y )) =

f ( x) y

, với mọi x, y ∈ Q * .

Hướng dẫn giải Trước tiên, ta chứng minh f (1) = 1 Thật vậy, ấy x = y = 1 ta có f ( f (1)) = f ( 1) , suy ra:

Trang 24

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

f (1) =1 f (1)

N H Ơ

Tiếp đến, ta sẽ chứng minh rằng f ( xy ) = f ( x) f ( y )

Y U TP .Q G

f (1) 1 = x x

TR ẦN

Sau cùng, ta có: f ( f ( x)) = f (1 f ( x)) =

Đ

f ( x) = f ( x) f ( y ) z

Ư N

f ( xy ) = f ( xf ( z )) =

ẠO

1 thì f ( z ) = y . Từ đó suy ra: f ( y)

H

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Bài toán chỉ yêu cầu tìm một hàm thoả mãn các điều kiện đã cho. Do vậy, ta phân tập các số nguyên tố thành 2 tập vô hạn:

00

B

S = { p1 , p2 ,..}; T = {q1 , q2 ,...}

2+

3

10

Ta bắt đầu xây dựng hàm f thoả mãn yêu cầu bài toán bằng định nghĩa 1 f ( pn ) = qn . f ( pn ) = pn

C

ẤP

Sau đó, chúng ta mở rộng định nghĩa này trên tập các số hữu tỉ bằng cách dùng các hệ thức f ( xy ) = f ( x ) f ( y ) :

Ó

A

 pm1 pm2 ...qi1 qi2 ..  = pi1 pi2 ...qk1 qk2 

-L

Í-

H

 pi pi ...qi qi f 1 2 1 2  pk pk ...qm qm  1 2 1 2

ÁN

Thử lại, ta thây hàm vừa xây dựng thoả mãn: f ( xf ( y )) =

f ( x) y

Bài toán 18. 33: Tìm tất cả các hàm f: [0, 1) → ( 0, 1] thoả mãn điều kiện:

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

Do đó, nếu z =

N

 1  f  f ( y)   1   Với mọi y ∈ Q * ta có: 1 = f(1) =f   f ( y ) f ( y )  = y  

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

f (1 ) = f ( f (1 )) = f (1 f ( f (1 ))) =

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

f ( f ( x)) + f ( x) = 12 x , với mọi x ≥ 0 .

Hướng dẫn giải

Cho trước x ≥ 0 tùy ý. Đặt f 0 ( x ) = x và f1 ( x ) = f ( x ) Với n ≥ 1 đặt f n ( x ) = f ( f n −1 ( x ) ) Phương trình hàm đã cho trở thành f n + 2 ( x ) + f n +1 ( x ) = 12 f n ( x )

Trang 25

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Phương trình đặt trưng x 2 + x − 12 = 0 ⇔ x1 = 3, x2 = −4

N

n

H Ơ

Sử dụng điều kiện ban đầu, ta có:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Y U

1 1 n f ( x ) + 4 x ) 3n + ( 3 x − f ( x ) ) . ( − 4 ) ( 7 7

Đ

TR ẦN

H

Từ đây ta có được 3x − f ( x ) ≥ 0 Cho n là số lẻ, ta có:

G

1 1 n f ( x ) + 4 x ) 3n + ( 3 x − f ( x ) ) . ( −4 ) ≥ 0 ( 7 7

Ư N

Cho n là số chẵn, ta có:

ẠO

Vì f ( x ) ≥ 0 nên f n ( x ) ≥ 0 với mọi n ≥ 0

1 1 f ( x ) + 4 x ) 3n − ( 3 x − f ( x ) ) 4n ≥ 0 ( 7 7

00

B

Từ đây ta được: 3 x - f ( x) ≤ 0

3

10

Do đó f ( x) = 3 x . Dễ dàng kiểm tra được f ( x) = 3 x thoả mãn phương trình hàm đã cho. Vậy f ( x) = 3 x .

2+

Bài toán 18. 34: Tìm mọi hàm số: f : (−1; +∞) ( −1; +∞) thỏa mãn hai điều kiện sau

là hàm sô tăng nghiêm ngặt trong các khoảng ( − 1; 0) và (0; +∞)

A

x

Ó

f ( x)

Hướng dẫn giải

Í-

H

(2)

C

ẤP

(1) f ( x + f ( y ) + xf ( y )) = y + f ( x) + yf ( x); ∀x, y ∈ ( −1; + ∞)

-L

Thay y bởi x vào (1) ta được: f ( x + (1 + x). f ( x)) = x + ( x + 1 ). f ( x), ∀x ∈ ( −1, + ∞)

ÁN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Từ đó ta có: f 0 ( x ) =

N

f ( x) + 4x 3x − f ( x ) và C2 = 7 7

TP .Q

C1 =

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

Nên f n ( x ) = C1 3n + C2 ( −4 )

TO

Đặt u = x + (1 + x). f ( x)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Do đó: f (u ) = u , nên suy ra được : f ( u 2 + 2u ) = u 2 + 2u Vậy f(x) có hai họ điểm bất động là u và u 2 + 2u Theo giả thiết (2) ta xét các trường hợp sau: (1) −1 < u ≤ 0 ⇒ u 2 + 2u ≤ 0

Trang 26

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

f ( x) f ( x) = 1 có nghiệm X X tăng trên khoảng ( −1; 0) suy ra phương trình x x

H Ơ

N

duy nhất. Suy ra phương trình f ( x) = x có nghiệm duy nhất.

TP .Q

(3) Khi u = 0 ta có f ( 0 ) = 0 . Vậy f có điểm bất động duy nhất là 0.

ẠO

Hướng dẫn giải

TR ẦN

f ( x − f ( y )) = f ( f ( y )) + xf ( y ) + f ( x) − 1, ∀x, y ∈ R

Ư N

Bài toán 18. 35: Tìm tất cả các hàm f : R → R sao cho:

G

Đ

−x . hử lại f(x) thoả mãn đề bài. x +1

H

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

B

Đặt c = f ( 0 ) và gọi A = f ( R ) . Nếu a ∈ A , đặt a = f ( y ) và x = a

3

1 + c a2 − 2 2

2+

f (a) =

10

00

Ta có f ( a − a ) = f ( a ) + a 2 + f ( a ) − 1 , suy ra

ẤP

Ta chứng minh { z | x ∈ R, ∃a, b ∈ A : x = a − b} = R

A

C

Để ý c khác 0, vì nếu thế thì đặt y = 0 , ta có: (**)

H

Ó

f ( x − c) = f (c) + xc + f ( x) − 1,

-L

Í-

Suy ra f (0) = f (c) = 1 , mâu thuẫn! Từ (**) ta cũng có:

ÁN

( x − c) − f ( x) = xc + ( f (c) − 1) mà x chạy trên R nên xc + ( f (c) − 1) cũng nhận giá trị bất kì trên R.

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

Suy ra x + ( x + 1) f ( x) = 0, ∀x ∈ (-1; +∞) Vậy f ( x ) =

Y U

(2) u > 0 ⇒ u 2 + 2u > 0 lập luận tương tự ta cũng có u = 0 hay u = −1 (loại cả hai)

N

Do đó: u = u 2 + 2u ⇔ u = 0 hay u = −1 (loại)

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

Ta có

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Như vậy, mọi X thuộc R, ta có thể tìm được a, b thuộc A sao cho x = a − b Do đó, dung (*) ta khi đến: f ( x ) = c −

b2 a2 x2 + ab − = c , ∀x ∈ R 2 2 2

Đặc biệt, điều này đúng cho mọi X thuộc A. So sánh với (*) ta suy ra c = 1

 x2  Do vậy, mọi x thuộc R ta có: f ( x) = 1 −   )  2 

Trang 27

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hàm f xác định như trên thoả mãn các giả thiết của bài toán, do vậy, f là nghiệm duy nhất cùa bài toán.

H Ơ

N

Bài toán 18. 36: Hãy tìm tất cả các hàm số f xác định trên tập số thực R, lấy giá trị trong R và thoả mãn hệ thức: f ( f ( x − y )) = f ( x). f ( y ) − f ( x) + f ( y ) − xy, với mọi số thực x,y

Y

N

Hướng dẫn giải

f ( f ( x − y )) = f ( x). f ( y ) − f ( x) + f ( y ) − xy (1)

Đặt f ( 0 ) = a . Thế x = y = 0 vào (1), ta được f ( a ) = a 2

Đ

(2)

Ư N

G

Thế x = y vào (1), với lưu ý tới (2), ta được: (3)

H

( f ( x)) 2 = x 2 + a 2 , ∀x ∈ R

ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

TR ẦN

Suy ra ( f ( x)) 2 = ( f (− x)) 2 , ∀x ∈ R , hay ( f ( x) + f ( − x )) f ( x) − f ( − x) = 0, ∀x ∈ R (4) Giả sử tồn tại x0 ≠ 0 sao cho f ( x0 ) = f ( − x0 )

10

Thế x = 0, y = − x vào (1), ta được:

(5)

00

B

Thế y = 0 vào (1), được: f ( f ( x)) = a. f ( x) − f ( x) + a, ∀x ∈ R

(6)

2+

3

f ( f ( x )) = a. f ( − x) + f − x) − a, ∀x ∈ R

ẤP

Từ (5) và (6) suy ra: a.( f (- x) - f ( x)) + f ( x) + f (- x) = 2a, ∀x ∈ R (7)

A

C

Thế x = x0 vào (7), ta được: f ( x0 ) = a (*)

H

Ó

Mặt khác, từ (3) suy ra nếu f ( x1 ) = f ( x2 ) thì x12 = x2 2 . Vì thế, từ (*) suy ra x0 = 0

-L

Í-

trái với giả thiết x0 ≠ 0 . Mâu thuẫn chứng tỏ f ( x) ≠ f ( − x), ∀x ≠ 0 . Do đó, từ (4) suy ra:

− f ( x) = f (− x), ∀x ≠ 0

ÁN

http://daykemquynhon.ucoz.com

với mọi X, y thuộc R.

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TP .Q

U

Giả sử R → R là hàm số thoả mãn hệ thức của đề bài, nghĩa là:

TO

Thế (8) vào (7), ta được: a.( f ( x) − 1) = 0 , ∀x ≠ 0

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Suy ra a = 0 , vì nếu ngược lại, a ≠ 0 thì f ( x) = 1, ∀x ≠ 0.

2

Do đó, từ (3) có: ( f ( x ) ) = x 2 , ∀x ∈ R (9) Giả sử tồn tại x0 ≠ 0 sao cho f ( x0 ) = x0 . Khi đó theo (5) ta phải có:

x0 = f ( x0 ) = − f ( f ( x0 ) ) = − f ( x0 ) = − x0

Trang 28

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Mâu thuẫn chứng tỏ f ( x) ≠ x, ∀x ≠ 0

N

Vì vậy, từ (9) ta được: f ( x ) = - x, ∀x E ∈ R . Thử lại đúng.

2

G Ư N

H

1 1 1 f ( 0) + f ( 0) − f ( x ) f ( 0) ≥ 2 2 4

TR ẦN

Cho y = z = 0 thì (1):

Đ

1 1 1  ≤ 0 hay  f ( 0 ) −  ≤ 0 nên: f ( 0 ) = 4 2 2 

1 1 1 1 1 Hay f (0) − f ( x). f (0) ≥ . − f ( x ) ≥ nên: f ( x ) ≤ 4 2 2 4 2

2

10

1 1 1  hay  f (1) −  ≤ 0 , suy ra f (1) = 4 2 2 

2+

3

(1): f (1) − f 2 (1) ≥

00

B

Cho x = y = z = 1 , thì:

1 , ta có: 2

C

ẤP

Cho y = z = 1 còn x tuỳ ý, chú ý rằng f (1) =

1 với mọi x thực. Thử lại đúng.

2

-L

Í-

Do đó: f ( x ) =

H

Ó

A

1 1 1 1 1 1 f ( x ) + f ( x ) − f ( x ) f (1) ≥ ⇒ f ( x ) ≥ ⇒ f ( x ) ≥ 2 2 4 2 4 2

N Y

ÁN

Cách 2: Chứng minh f ( xy ) = f ( x ) , ∀y

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

ẠO

Cho x = y = z = 0 , thì:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Bài toán 18. 38: Tìm tất cả các hàm số liên tục f : [ 0,1] → R thỏa mãn:

f ( x) > 2 xf ( x 2 ) ∀x ∈ [ 0,1] Hướng dẫn giải

Từ giả thiết thì f (0) ≥ 0, f (1) ≤ 0

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

Hướng dẫn giải

(1) : f 2 ( 0 ) − f ( 0 ) +

U

TP .Q

Bài toán 18. 37: Hãy xác định hàm số f : R → R sao cho bất đẳng thức sau đúng với các sô 1 1 1 thực x, y, z bât kỳ f ( xy ) + f ( xz ) − f ( x ) . f ( yz ) ≥ (1) 2 2 4

H Ơ

Vậy, hàm số f ( x) = − x, x ∈ R là hàm số duy nhất cần tìm.

Trang 29

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

1 thì băng phương pháp quy nạp, suy ra: 2 n

x2 x2

n

− n −1

f ( x 2 n ) ∀n ≥ 1.

n n Vì 0 < 2 x < 1 nên: lim ( 2n ) x 2 n − n −1 f x 2  ∀n ≥ 1 .  

Y

− n −1

n f x2  = 0 

( )

U

2

Đ

Ư N

)

G

(

( )

H

Với 0 < x < 1 thì: f

 1  f  x 2n  f x x ≥ 2 x f ( x) ⇒ f ( x) ≤ ≤  1 1− 2 x 2n x n

ẠO

 1 Do vậy: f ( x) ≥ 0∀x ∈  0,   2

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

B

TR ẦN

 1  f  x 2n   1 Vì lim  1  = 0 f ( x ) ≤ 0∀x ∈ ( 0,1) ⇒ f ( x ) = 0∀x ∈  0,  ; 1−  2 2n x n

−1

( ) = 0; f ( x ) ≥ 0∀x ∈  12 ,1

f x2

n

2+

n

ẤP

f ( x ) ≥ 2n.x 2

3

10

00

  n 1 1  Với mỗi x ∈  ,1 tồn tại n ∈ N để x 2 < ( chọn n > log 2  log 1 2  nên : 2 2   2 

Ó

A

C

1  Do đó f ( x ) = 0, ∀x ∈  ,1 2 

Í-

H

Vậy f ( x ) = 0, ∀ x ∈ [0, 1)

-L

Vì f(x) liên tục trên [0, 1] nên f ( x) = 0 ∀x ∈ [0, 1]

ÁN

Bài toán 18. 39: Xác định f(x) liên tục trên R thoả mãn: f ( x ) f ( y ) = f ( x + y ) với ∀x, y ∈ R và f (1) = 2

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

n

TP .Q

Vì 0 < 2 x < 1 nên : lim ( 2 x ) x 2 

N

( )

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

( 2x )

N

f ( x ) ≥ 2 xf ( x 2 ) ≥

H Ơ

V ới 0 < x <

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Hướng dẫn giải

Ta có f (2 x) = f ( x + x ) = [ f ( x)]2 Dùng quy nạp, ta có f (nx) = [ f ( x)]n với n ∈ N *, ∀x ∈ R

1  Chọn x = ⇒ f (1) =  f n 

n

1  1  1 n 1 ⇒ f = f   ( )        n  n

Trang 30

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

n

N

m 1 1    1  1  Từ đó: f   = 2 n ⇒ f  m −   f    = 2 n . Với m, n ∈ N * n    n  n 

Y

N

m 1 1  m = n ⇒ f −  = 2n f ( n) 2  n

U

m

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

TP .Q

Thay y = 1 ⇒ f ( x)[1 - f (1)] = 0, ∀x ∈ R

00

B

f ( x ) ≠ 1 từ (3) suy ra f ( x) = 0, ∀x ∈ R

Ư N

TR ẦN

Hướng dẫn giải

H

Bài toán 18. 40: Xác định f(x) liên tục trên R thoả mãn: xy ) = f ( x). f ( y ), ∀ x , y e ∈ R \{0 }

G

Vì f(x) liên tục tại x0 nên f ( x0 ) = 2 x0 . Vậy f ( x) = 2 x , ∀x ∈ R.

1   , ∀x ∈ R \ {0}  x

2+

3

10

 1 f (1) = 1 . Khi đó f (1) = f  x.  = f ( x ) . f  x

Đ

ẠO

Với x0 ∈ R có 1 dãy hữu tỉ tiến về x0 .

2

ẤP

=> f ( x) ≠ 0, ∀x ∈ R \{0} và f ( x 2 ) =  f ( x )  > 0, ∀x ∈ R \ {0}

A

C

Nếu x, y ∈ R * . Đặt x = eu , y = ev và f ( et ) = g ( t )

H

Ó

Khi đó g (u + v) = g (u ). g (v) , ∀u, v ∈ R

-L

Í-

⇒ g (t ) = a t , ∀t ∈ R, a > 0

ÁN

Do đó: f ( x) = f (eu ) = g (u ) = a u = a ln x = (e ln a )ln x = xα Với α = Ina, ∀x ∈ R *

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

m Nên f   = 2 n với ∀m ∈ Z và ∀n ∈ N * n

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

⇒ f ( −n ) =

H Ơ

Nhận xét rằng: f (n) f (-n) = f (0) = 1

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Nếu x, y ∈ R * thì x, y ∈ R * theo trên ta có:

[ f ( x)]2 = f ( x 2 ) = ( x 2 ) β = ( ( x ) β ) 2 , ∀x ∈ R − , ∀β ∈ R

 x β ∀x ∈ R * Do f(x) liên tục trên R nên f ( x ) =  β − − x ∀x ∈ R Vậy f ( x) = 0, ∀x ∈ R

Trang 31

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

α

f ( x ) = x ∀x ∈ R \ {0} , α ∈ R tùy ý

N

,β ∈ R tùy ý.

H Ơ Y

N

Bài toán 18. 41: Tìm tất cả các hàm số f liên tục trên R thoả :

TP .Q

U

( f ( x))3 − ( x 2 + 3)( f ( x))2 + ( x 2 + 3) f ( x) + x 4 − 1 = 0, ∀x ∈ R

G

Đ

Hướng dẫn giải t theo y: ∆1 = ( y 2 − 3 y + 2) 2

ẠO

Đặt y = f ( x), t = x 2 ta có: t 2 - ( y 2 − y )t + y 3 − 3 y 2 + 3 y − 1 = 0

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Ư N

t = y 2 − 2 y + 1 = ( y − 1 )2; t = y − 1

TR ẦN

H

Viết lại phương trình hàm: [ x 2 − ( f ( x) − 1) 2 ] [ x 2 − ( f ( x ) − 1)] = 0

⇔ ( f ( x) − 1 − x)( f ( x) − 1 + x )( f ( x) − 1 − x 2 ) = 0

B

⇔ f ( x) ∈ {1 + x ; 1 − x; x 2 + 1}

10

00

Để ý: Đồ thị các hàm số f1 ( x ) = 1 + x và f 2 ( x ) = 1 − x có điểm chung A(0, 1)

2+

3

Đồ thị các hàm số f1 ( x) = 1 + x và f 3 ( x) = x 2 + 1 có 2 điểm chung A(0, 1) và

ẤP

B (1 ,2).

C

Đồ thị các hàm số f 2 ( x) = 1 − x và f 3 ( x) = x 2 + 1 có 2 điểm chung A(0, 1) và

Ó

A

C (-1 ,2)

khi x ∈ ( −∞, −1)

ÁN

-L

Í-

 fi ( x )   f j ( x) f ( x) =   fk ( x ) f x  l( )

H

Do điều kiện f liên tục trên R nên:

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

Hướng dẫn giải

khi x ∈ [ −1, 0]

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

 x β ∀x ∈ R* f ( x)  B − − x ∀x ∈ R

khi x ∈ ( 0,1) khi x ∈ [1, +∞ )

Vậy có tất cả 25 hàm số liên tục thoả phương trình hàm và được xác định

( ) = 0, ∀x

Bài toán 18. 42: Tìm f(x) liên tục thoả: Cn0 f ( x ) + Cn1 f ( x 2 ) + ... + Cnn f x 2

n

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Với: i, j , k , ℓ chọn trong [1,2, 3] sao cho f liên tục.

Hướng dẫn giải

Trang 32

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

n

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

( ) ( )

( )

k =1

k

n −1

( )

g n −1 ( x ) = g n −1 f ( x 2 ) = f ( x ) + ∑ ( Cnk−1 + Cnk−−11 ) f x 2 + f ( x 2 n ) k

( )

( )

k

( ) = g ( x) = 0 k

n

H

= ∑ Cnk f x 2 k =0

Ư N

n

n

G

k =1

ẠO

n −1

= Cn0 f ( x ) + ∑ Cnk x 2 + Cnn f x 2

Đ

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

B

Nếu x = 0 thì g n −1 ( 0 ) = 0 hoặc x = 1 thì g( n −1) = 0

TR ẦN

Vì f liên tục trên R nên gn(x) luôn xác định và liên tục trên R.

00

Nếu 0 < x < 1 thì ta có:

3

10

g n-1 ( x) = g n-1 ( x 2 ) = ... = g n-1 ( x 2 m ) = ... = g n −1 ( 0 ) = 0

2+

Nếu x > 1 thì từ g n -1 ( x) = − g n -1 ( x 2 ) ta suy ra

A

C

ẤP

1  1 g n−1 (t ) = g n −1  t 2  = ... = (−1) m g n −1 , (t 2 m ) = g n−1 (1) = 0  

H

Ó

Do đó: Nếu x ≥ 0 thì g n −1 ( x ) = 0∀n ∈ N *

-L

Í-

Nếu x < 0 ⇒ g n −1 ( x ) = − g n −1 ( x 2 ) = 0

ÁN

⇒ g n −1 ( x ) = 0, ∀x ∈ R, n ∈ R * Vậy g n ( x ) = g 0 ( x ) = 0, ∀x ∈ R, ∀n ∈ N *

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

k =1

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

k =0

n

= ∑ Cnk−−11 f x 2

Y

( ) k +1

U

n −1

k

N

k =0

g n −1 f ( x 2 ) = ∑ Cnk−1 f x 2

N

n −1

Ta có: g n ( x) = 0, ∀x ∈ R; g n-1 ( x) = ∑ Cnk−1 f x 2

H Ơ

k =0

k

TP .Q

Đặt g n ( x ) = ∑ Cnk x 2

Thử lại đúng. Vậy: f ( x ) = 0

Bài toán 18. 43: Tìm tất cả các hàm liên tục f : R + → R + thỏa mãn:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Mà g 0 ( x ) = f ( x ) do đó f ( x) = 0, ∀x ∈ R

 x +1  + f ( x) = f   , với mọi x ∈ R + 2 x  

Trang 33

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn giải

H Ơ

xn + 1 ,n ≥1 xn + 2

N TP .Q

U

Y

 x +1  Khi đó f  n  = f ( xn ) = f ( xn −1 ) = ... = f ( x0 ) = f ( a )  xn + 2 

)

ẠO

2 5 − 4 −1 + 5 , hiển nhiên đúng. = 2 3− 5

H

(

⇔ 3− 5 a > 2 5 − 4 ⇔ a >

5+2 5

G

Thật vậy, (1) tương đương với 2a + 2 > − a + a

Đ

−1 + 5 a + 1 −1 + 5 ta chứng minh (1) > 2 a+2 2

Ư N

- Nếu a >

−1 + 5 2

00

B

Từ đây suy ra dãy { xn } bị chặn dưới bởi

TR ẦN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

xn + 1 x + 1 − xn 2 − 2 xn − x 2 n − xn + 1 − xn = n = xn + 2 xn − 2 xn + 2

3

10

Mặt khác, xét xn +1 − xn =

2+

−1 + 5 nên x 2 n + xn − 1 > 0 ⇔ − x 2 n − xn + 1 < 0 2

ẤP

Do xn >

A

C

⇒ xn +1 < xn , nghĩa là dãy { xn } giảm

Ó

H

-L

ÁN

−1 + 5 2

a + 1 −1 + 5 −1 + 5 . Khi đó dễ thấy < ⇒ { xn } bị chặn trên bởi 2 a+2 2

Í-

-Nếu 0 < a <

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

Vậy hàm f(x) là không đỗi trên dãy { xn }

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Mặt khác, xét xn +1 − xn =

Do xn <

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

Xét dãy { xn } như sau: xn +1 =

N

Ta sẽ chứng minh f(x) là hàm hằng. Lấy a > b tuỳ ý.

xn + 1 x + 1 − xn 2 − 2 xn − xn 2 − xn + 1 − xn = n = xn + 2 xn + 2 xn + 2

−1 + 5 nên xn 2 + xn − 1 < 0 ⇔ − xn 2 − xn + 1 > 0 2

⇒ xn +1 > xn ,ghĩa là dãy { xn } tăng Trong cả hai trường hợp, dãy (xn) đều hội tụ về b = lim xn

Trang 34

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Chuyển qua giới hạn trong (*) ta có:

H Ơ

−1 + 5 2

N U TP .Q ẠO

Vậy f ( x ) = C . Thử lại đúng.

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Hướng dẫn giải

Ư N

f 2 ( x ) + f 2 ( y) , ∀x, y ∈ R, n ∈ N * 2

H

 =  

TR ẦN

 xn + yn f  2 

G

Đ

Bài toán 18. 44: Tìm hàm f ( x ) ≥ 0 . Xác định và khả vi trên R + thoả mãn điều kiện:

00

10

f 2 ( x) + f 2 ( y ) 2

3

 ny n −1 =   xn + yn 4 2

2

2+

 xn + yn f '  2 

f ( x) f '( x)

f ( y ) f '( y )

ẤP

 nx n −1 =  n n  4 x +y 2

2

f 2 ( x) + f 2 ( y ) 2

x

n −1

Ó

y n −1

, ∀x, y ∈ R +

= a , (hằng số dương) ⇒ f ( x ) f ' ( x ) = a.x n −1

ÁN

x

n −1

f ( y ) f '( y )

-L

f ( x) f '( x)

=

H

f ( x) f '( x)

Í-

⇒

A

C

 xn + yn f '  2 

B

Đạo hàm hai vế của đẳng thức đề bài cho lần lượt theo X và y ta được:

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

 −1 + 5  Như vậy f ( a ) = lim f ( xn ) = f ( lim xn ) = f    = C 2  

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

Do b > 0 nên b =

N

b −1 −1 ± 5 ⇔ b2 + b − 1 = 0 ⇔ b = b−2 2

Y

b=

2 n ax Thử lại ta thấy hàm f(x) thoả các yêu cầu đề bài. n

Vậy: f ( x ) =

2 n ax n

Bài toán 18. 451: Cho hàm số f : R → R xác định bởi:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

⇒ f ( x) =

y = f(x) = (1999) x + (1999) x − 2 .

Trang 35

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Với giá trị nào của a thì hàm y = f ( x + a ) là hàm số chẵn.

N

Hướng dẫn giải

H Ơ

Ta có: f ( x) = (1999) x + (1999)2 − x , ∀x

Y

N

⇒ f ( x + a ) = (1999) + (1999) 2 − a − x , ∀x

] = 0∀x

Đ

2−a

G

a

⇔ [(1999) x − (1999) x ][ (1999 ) − (1999 )

ẠO

= (1999) − x . (1999) a + (1999)2 − a . (1999) x ∀ x

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

H

TR ẦN

Vậy a = 1 thì y = f ( x + a ) là hàm chẵn trên R.

Ư N

[(1999)a − (1999) 2− a ]=0 ⇔ a=2 − a ⇔ a=1

Bài toán 18. 46: Cho b là một số thực dương. Hãy xác định tất cả các hàm số f xác định trên tập các số thực R, lấy giá trị trong R và thoả mãn: + f ( y ) −1

+ + b x (3b y + f ( y ) −1 − b y ) , ∀x, y ∈ R

B

y

00

f ( x + y ) = f ( x ).3b

3

2+

Phương trình đã cho tương đương với

10

Hướng dẫn giải

y + f ( y ) −1

, ∀x, y ∈ R

ẤP

f ( x + y ) + b x + y = ( f ( x) + b x ) 3b

C

Đặt g ( x) = f ( x) + b x Khi đó (1) có dạng

H

Ó

A

g ( x + y ) = g ( x)3g ( y ) −1 , x, y ∈ R (2)

-L

Í-

Thay y = 0 vào PT (2) ta được

g ( x) = g ( x)3

ÁN

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇔ f ( x + a ) = f (− x + a ) ∀x

g ( y ) −1

 g ( x ) = 0, ∀x ∈ R ∀x ∈ R ⇔   g ( 0 ) = 1

(1)

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TP .Q

U

Do đó: y = f ( x + a ) là hàm số chẵn trên R

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

Với g ( x) = 0, ∀x ∈ R thì f ( x ) = −b x

Với g ( 0 ) = 1 thế x = 0 vào PT (2) ta được:

g ( y ) = g (0)3g ( y )- 1 ⇔ g ( y ) = 3

g ( y ) −1

⇔ 3g ( y )−1 − g ( y ) = 0, ∀y ∈ R Xét hàm số h(t ) = 3t - 1 − t có h ' ( t ) = 3t −1 In3 − 1

Trang 36

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

h '(t ) = 0 ⇔ t = log3 ( log 3 e ) + 1 < 1

Ư N

G

Từ bảng biến thiên ta thấy PT h(t ) = 0 có hai nghiệm t1 = 1 và t2 = c , với 0 < c < 1

g ( y) = 1 ⇔ ∀y ∈ R  g ( y ) = c, 0 < c < 1

TR ẦN

H

1 ( vì h0 = ). Tức là g ( y ) = 3g ( y )−1 3 (4)

10

00

B

Giả sử tồn tại y0 ∈ R sao cho g ( y0 ) = c

1 ≠c c

2+

3

Khi đó: 1 = g (0) = g ( y0 − y0 ) = g ( − y0 ).39( y ) − 1 = c.g (− y0 ). Suy ra ( − y0 ) =

ẤP

mâu thuẫn với (4).

C

Nên g ( y ) = 1, ∀y ∈ R suy ra f ( x) = 1 − b x . Thử lại đúng.

Ó

A

Vậy có hai hàm số thoả mãn đề bài là:

Í-

H

f ( x ) = −b x và f ( x ) = 1 − b x

-L

Bài toán 18. 47: Cho số thực a thỏa mãn 0 < a ≠ 1 . Hãy xác định tất cả các hàm số f : R → R

ÁN

thỏa mãn phương trình sau:

TO

( x + y ) = f ( x). 3b

y

+ f ( y ) −1

+ b x ( 3b y + f ( y )−1 - b y )

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Hướng dẫn giải

(

)

a) Xét x>0, đặt 2 + 2 x = t > 0 ⇔ x =  2  f   +  2+ 2 

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

Đ

ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

TP .Q

U

Y

N

H Ơ

N

Ta có bảng biến thiên sau, với a = log 3e − log 3 (log 3e) − 1 < 0

1 thì 2+ 2

 4+3 2   f   = 2 f ( t ) ⇔ f    2+ 2 

(

 t  2 −1 t + f    = 2 f (t )  2 −1  

)

Trang 37

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Đặt t =

(

)

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

u

2 − 1 thì phương trình trên trở thành

H Ơ

2 −1

) ) hì phương trình trên trở thành u

N

((

Y

Tiếp tục đặt Đặt f

N

f (( 2 − 1)u +1 ) + f (( 2 − 1)u −1 ) = 2 f (( 2 − 1)u )

TP .Q

⇔ h ( u + 1) = h ( u ) , ∀u

Ư N

G

Đ

k (u ), 0 ≤ u < 1 g (u ) =  nh ( u − n ) + k ( u − n ) , n ≤ u ≤ n + 1, ∀n ≤ Z

H

trong đổ h(u), k(u) là các hàm số tùy ý, h(u) tuần hoàn với chu kì 1.

2 −1

x).x > 0

TR ẦN

Suy ra f ( x ) = g (log

(− x)), x < 0

00

2 −1

10

f ( x ) = g (log

B

Xét x < 0 thì đặt −(2 + 2 )x = t = ( − 2 − 1)u ta được

2+

)

ẤP

(

3

a, x = 0 với g(x) xác định như trên.

Vậy f ( x ) =   g log 2 −1 x , x ≠ 0 y

+ f ( y ) −1

+ b xb

b y + f ( y ) −1

= by )

Ó

A

C

b b) Với mọi số thực x, y thì f ( x + y ) = f ( x).(3

b y + f ( y ) −1

Í-

H

⇔ f ( x + y ) = b x + y = ( f ( x ) = bx ) 3

-L

Đặt g ( x) = f ( x) + b x , ∀x thì phương trình g ( x + y ) = g ( x).3g ( y )−1

TO

ÁN

 g ( x) = 0, ∀x ∈ R Chọn y = 0 thì g ( x ) = g ( x ) 3g ( 0) −1 ⇔   g (0) = 1

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

ẠO

Bằng quy nạp, thì g ( u + n ) = nh ( u ) + g ( u ) với n là số nguyên dương. Do đó:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

g (u + 1) + g (u − 1) = 2 g (u ) ⇔ g (u + 1) − g (u ) = g (u ) − g (u − 1 )

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Nếu g ( x) = 0, ∀x thì f ( x) = − b x , ∀x Nếu g(0) = 1, thay x = 0, ta có g ( y ) = 3

g ( y ) −1

Xét hàm số h(t ) = 3t −1 − t , t ∈ R . Ta có

h(t ) = 3t −1 In3 − 1, h''(t ) = 3t −1 ( In3) 2 >0 ∀t. nên phương trình h(t) = 0 có không quá hai nghiệm

Trang 38

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

9 < 0 , nê n theo tính chất liên tục của hàm số, 10 phương trình h(t) = 0 có đúng hai nghiệm là t1 = 1, t2 = c, 0 < c < 1

H Ơ

N

Ta lại thấy h ( t ) = 0, h ( 0 ) > 0, h

Y

N

 g ( y) = 1 Do đó g ( y ) = 3g ( y ) −1 ⇔  , ∀y ∈ R 9( y ) = c, 0 < c < 1

1 >1> c c

Ư N

G

Điều mâu thuẫn này cho thấy hàm số có dạng g ( y ) = c, 0 < c < 1 không thỏa mãn đề

TR ẦN

Do đó g ( y ) = 1, ∀y ∈ R hay f ( x) = 1 − b x , ∀x.

H

bài.

Thử lại ta thấy thỏa mãn. Vậy các hàm số thỏa mãn đề bài là f ( x ) = b x hoặc

00

B

f ( x ) = 1 − b x , mọi x.

10

Bài toán 18. 48: Tìm tất cả hàm f : R → R thỏa mãn: f (0) = 0, f (1) = 2013 và

2+

3

( x − y )( f ( f 2 ( x)) − f ( f 2 ( y )) = ( f ( x) − f ( y ))( f 2 ( x) − f 2 ( y )) đúng với mọi x, y ∈ R.

C

ẤP

Hướng dẫn giải

A

Ta chứng minh f ( x) = 2013 x.

H

Ó

Cho y = 0 và x ≠ 0 thì xf(f 2 (x)) = f 3 (x)

Í-

f 3 ( x) , ∀x ≠ 0 x

ÁN

-L

Suy ra f ( f 2 ( x ) =

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TP .Q

= cg ( − y0 )

ẠO

⇔ g ( − y0 ) =

g ( y0 ) −1

Đ

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Thay vào PT cho

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

1 = g (0) = g ( y0 − y0 ) = g (− y0 ). 3

U

Giả sử tồn tại y0 ∈ R sao cho g ( y0 ) = c thì

 f 3 ( x) f 3 ( y)  2 −  = ( f ( x ) - f ( y ))( f ( x ) − f x y  

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

( x − y)

2

( y )), ∀x, y ≠ 0

Thay x<0 và y = 1 , ta có

( x − 1) (

f 3 ( x) − 20133 ) = ( f ( x) − 2013)( f 2 ( x) − 20132 ) x

Hay ( f ( x) − 2013 x)( f 2 ( x) − 20132 x) = 0, ∀x < 0

Trang 39

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Mặt khác với x <0 thì f 2 ( x) > 20132 x nên f ( x) = 2013 x, ∀x < 0

H Ơ

f 3 ( x) + 20133 ) = ( f ( x) + 2013) < f 2 ( X ) - 20132 ) x

N TP .Q

U

Y

Hay (f ( x ) − 2013 x) ( f 2 x ) + 20132 x) = 0, ∀x > 0

ẠO

Ta có f(0) = 0 nên f ( x ) =2013x∀x ∈ R .

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Đ

Thử lại đúng.

Ư N

G

3. BÀI LUYỆN TẬP

)

2012 − 2011

)

00

B

Hướng dẫn

(

TR ẦN

(

2  2  1 + 2011 x = 2 2 + 2 . Tính f f  1 + = x  x2 

H

Bài tập 18.1: Cho hàm f thỏa mãn

2

(

)

2012 − 2011 = 2012

ẤP

Kết quả f

2+

3

10

 2 2  2 Biến đổi f  1 + rồi đặt y = 1 + 1 2011 = + +     x x   x  

A

C

Bài tập 18. 2: Hãy xác định tất cả các hàm số: f : N * → N * thoả mãn đẳng thức

Hướng dẫn

Í-

H

Ó

f (n) + f (n + 1) = f (n + 2) f (n + 3) − 1996 với mọi n ∈ N *

ÁN

-L

1, n = 2k + 1  n = 2k Kết quả Nếu f(3) = f(1) = 1 thì f(n) =   n  a +  2 − 11997   

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

Suy ra f ( x) = 2013 x, ∀x > 0.

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

( x + 1) (

N

Thay x >0 và y = − 1 , ta có

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

2, n = 2k + 1 1998 , n = 2k + 1 Nếu f(3) = f(1 )>1 thì: f(n) =  ; f (n) =  1998, n = 2k 2, n = 2k

1, n = 2k  Nếu f(3) > f(1) thì f(n) =  n −1 a + 2 1997, n = 2k + 1

Bài tập 18. 3: Tìm tất cả các hàm số f : Q → Q sao cho f thoả mãn điều kiện

Trang 40

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

f (1) = 2 và f ( xy ) = f ( x ). f ( y ) − f ( x + y ) + 1, x, y ∈ Q.

N

Hướng dẫn

N

H Ơ

1 1 Chứng minh f   = + 1 . Kết quả f ( x) = x + 1 n n

U

Y

Bài tập 18. 4: Tìm tất cả hàm số f : R → R thoả mãn

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Đ

ẠO

Chứng minh f đơn ánh . Kết quả f ( x ) = − x − 2 .

)

Hướng dẫn

B

Chứng minh f đơn điệu giảm. Kết quả f ( x ) = x

TR ẦN

H

(

Ư N

f ( 2019 ) = 2018 (Ký hiệu f n ( x) = f ( f ... ( f ) ) , n lần)   f ( x ) . f 4 ( x ) = 1∀x ∈ R

G

Bài tập 18. 5: Xác định f liên tục trên R và thoả mãn hai điều kiện:

10

00

Bài tập 18. 6: Tìm các hàm số f xác định với mọi số nguyên và nhận giá trị thực, thoả mãn:

2+ ẤP

5 2

C

ii) f ( 0 ) ≠ 0; f (1) =

3

i) Với mọi số nguyên x và y thì: f ( x ). f ( y ) = f ( x + y ) + f ( x - y );

Hướng dẫn

A

5 = 2 + 2−1 , f (2) = 2 + 2−2.

2

H

Ó

Dự đoán f (1) =

-L

Í-

Kết quả f ( n ) = 2 n + 2− n

ÁN

Bài tập 18. 7: Hãy xác định tất cả các hàm f: R+_> R+ thoả mãn các điều kiện sau: f (2) = 0; f ( x) ≠ 0, với 0 ≤ x < 2; f ( xf ( y )) f ( y ) = f ( x + y ), ∀x, y ∈ R *

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

Hướng dẫn

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TP .Q

f ( x + f ( y ) + xf ( y )) = x + xy + y, ∀x, y ∈ R

Chứng minh f ( y ) ≥

Hướng dẫn 2 2− y

0, x ≥ 2  Kết quả f ( x ) =  2  2 − x , 0 < x < 2

Trang 41

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Bài tập 18. 8: Có tòn tại hàm f : Z * → Z* thoả mãn f ( mf ( n ) ) = n + f ( 2013m ) với mọi m, n nguyên dương.

H Ơ

N

Hướng dẫn

N

Chứng minh f đơn ánh rồi suy ra f (n) = 2013a n .

U

Y

Kết quả không tồn tại.

ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Đ

Chứng minh ∀x ∈ R ta có f (2017 x) = 2017 f ( x)

G

Hướng dẫn

Ư N

Chứng minh qui nạp f ( kx ) = kf ( x )

TR ẦN

H

Bài tập 18. 10: Giả sử các hàm f , g ; R → R không phải hằng số và thoả mãn hai đồng nhất thức f ( x + y ) = f ( x ).g ( y ) + g ( x) f ( y ); g ( x + y ) = g ( x). f ( y ) − f ( x ) f ( y ) Tìm tất cả các giá trị có thể của f(0) và g(0).

00

B

Hướng dẫn .

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

C

ẤP

2+

3

10

Kết quả f ( 0 ) = 0, g ( 0 ) = 1

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

f ( x 3 + y 3 ) = ( x + y )[( f ( x)) 2 − f ( x) f ( y ) + ( f ( y )) 2 ], ∀x, y ∈ R

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Tác giả : Lê Hoành Phò

TP .Q

Bài tập 18. 9: Cho f : R → R thoả:

Trang 42

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial