Sáng kiến Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

BÁO CÁO NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

vectorstock.com/10212081

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN EBOOK PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

Sáng kiến Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp THPTQG WORD VERSION | 2021 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1. LỜI GIỚI THIỆU. 1.1. Lý do chọn đề tài. Đồ thị hàm số là một khái niệm thể hiện hình ảnh trực quan của hàm số, thông qua đồ thị hàm số mà chúng ta nhận ra được một số tính chất: Tính đồng biến, nghịch biến, điểm cực trị của hàm số, giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm số, nghiệm (số nghiệm) của một phương trình hay bất phương trình liên quan,...

Trong thời gian gần đây, khi hình thức thi THPT Quốc gia chuyển sang thi trắc nghiệm khách quan thì các bài toán liên quan đến đồ thị rất được chú ý và thường xuất hiện trong kỳ thi THPT Quốc gia, thi HSG ở các tỉnh trên cả nước. Các bài toán có yếu tố đồ thị xuất hiện ở nhiều dạng toán khác nhau như: Sự biến thiên của hàm số, điểm cực trị của hàm số, giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm số, nghiệm của phương trình – bất phương trình, tích phân – diện tích hình phẳng,... Phạm vi của đề tài này chỉ đề cập đến hai dạng toán đó là bài toán về sự biến thiên và bài toán về cực trị của hàm số. Đối với hình thức thi trắc nghiệm như hiện nay các em học sinh thường quen làm việc với các con số, số liệu cụ thể và cố gắng sử dụng máy tính cầm tay để tìm cách chọn được đáp án nhanh nhất. Các em gặp rất nhiều khó khăn trong việc đọc được các thông tin cần thiết, chính xác về hàm số dựa vào đồ thị của chúng. Chính vì vậy tôi lựa chọn đề tài “ Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12 ” với mục đích giúp các em học sinh lớp 12 làm quen và dần thành thạo các bài toán liên quan đến đồ thị.

Trước hết các em thành thạo cách vẽ đồ thị của các hàm số cơ bản, biết cách biến đổi đồ thị để vẽ được đồ thị một số hàm số khác liên quan dựa trên đồ thị của hàm số đã cho. Tiếp đó rèn luyện cho các em kỹ năng đọc các thông tin về hàm số dựa vào đồ thị đã cho. Từ đó các em giải được các bài toán về điểm cực trị, tính đơn điệu của hàm số bằng phương pháp vẽ đồ thị hàm số hoặc khai thác các thông tin trên đồ thị để xét dấu đạo hàm của các hàm số liên quan. Qua thực tế giảng dạy ôn thi THPT Quốc gia tôi đã nghiên cứu, sưu tầm, xây dựng các bài Năm học

Trang 1

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

toán theo từng dạng điển hình, từ dễ đến khó để học sinh từng bước tiếp cận, làm quen và thành thạo các dạng toán này. Đề tài này dựa trên cơ sở của chuyên đề “ Áp dụng đồ thị vào bài toán xét sự biến thiên và cực trị của hàm số ” của chính tác giả, đã tham gia báo cáo chuyên đề ôn thi THPT Quốc gia năm học 2019-2020 và đã được hội đồng thẩm định cấp tỉnh lựa chọn vào nhóm 8 chuyên đề được tham gia báo cáo cấp tỉnh. Trên cơ sở những ghóp ý quý báu của các Thầy giáo, Cô giáo trong các cuộc hội thảo cấp trường, cấp cụm và cấp tỉnh tôi đã có tiếp thu và đã chỉnh sửa, đề xuất thêm các bài tập tự luyện cho học sinh rèn luyện thêm kỹ năng giải các bài toán liên quan đến đồ thị. Xin trân thành cảm ơn các Thầy giáo, Cô giáo, các bạn đồng nghiệp đã có những ý kiến ghóp ý cho đề tài trong thời gian qua.

Do còn hạn chế thời gian chuẩn bị cho đề tài cũng như năng lực chuyên môn nên báo cáo này không tránh khỏi những thiếu sót về nội dung và hình thức trình bày. Kính mong các Thầy, Cô đọc và góp ý để báo cáo này được hoàn chỉnh hơn.

1.2. Mục đích nghiên cứu.

- Hệ thống một số dạng toán áp dụng đồ thị hàm số để giải bài toán cực trị, tính đơn điệu của hàm số thường gặp trong các kỳ thi THPT Quốc gia.

- Đưa ra những nhận xét, đánh giá và dấu hiệu đặc trưng cho các dạng toán để học sinh nhận dạng phương pháp.

1.3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu: * Đối tượng nghiên cứu: Một số dạng toán về các phép biến đổi đồ thị thường gặp, các bài toán nhận dạng, đọc thông tin và xử lý thông tin về hàm số khi biết đồ thị của hàm số liên quan. Áp dụng đồ thị vào các bài toán về cực trị, tính đơn điệu của hàm số thường gặp trong chương trình THPT. * Phạm vi nghiên cứu:

Năm học

Trang 2

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Bám sát nội dung, chương trình giáo dục phổ thông, có sự mở rộng phù hợp với nội dung chương trình thi THPT Quốc gia môn toán trung học phổ thông.

1.4. Nhiệm vụ nghiên cứu: - Đề xuất, tuyển chọn và sắp xếp các bài toán cơ bản, hay theo trình tự từ dễ đến khó một cách hợp lý để học sinh tiếp nhận chúng một cách tự nhiên, không gặp nghiều khó khăn và theo một hệ thống. Từ đó tạo được hứng thú cho học sinh khi gặp dạng toán này.

- Đưa ra một số nhận xét, đánh giá chủ quan có hệ thống về cách tiếp cận lời giải trong các dạng toán cơ bản, điển hình.

1.5. Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu lý luận.

- Thu thập, nghiên cứu hệ thống lại các tài liệu.

- Phân tích, đề xuất phương án giải quyết bài toán.

- Thực nghiệm sư phạm qua công tác giảng dạy học sinh đại trà, công tác bồi dưỡng ôn luyện thi THPT QG của cá nhân tôi trong thời gian 3 năm học, từ năm 2017 – 2018 đến năm học 2019 – 2020.

Với mục đích, nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu đã nêu ở trên, đề tài “ Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12 ” chỉ đề cập đến một số dạng toán cơ bản, thường gặp như phần phạm vi đề tài đã nêu ra. Vì lý do còn hạn chế về thời gian cũng như kinh nghiệm giảng dạy, đề tài này chắc chắn vẫn còn nhiều thiếu sót trong cấu trúc cũng như nội dung.

Kính mong quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp đọc và cho nhận xét, góp ý đề đề tài được hoàn thiện hơn.

Tôi xin trân trọng cảm ơn !

2. TÊN SÁNG KIẾN.

Năm học

Trang 3

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHO HỌC SINH LỚP 12 3. TÁC GIẢ SÁNG KIẾN - Họ và tên: ………..

4. CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Là tác giả của sáng kiến 5. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN - Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục - Đối tượng, phạm vi áp dụng: Giảng dạy cho học sinh lớp 12, ôn thi trung học phổ thông quốc gia.

- Vấn đề sáng kiến giải quyết: Hình thành kỹ năng áp dụng đồ thị giải các bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số cho học sinh lớp 12. Giúp các em nắm chắc kiến thức môn học và đạt kết quả tốt hơn trong kỳ thi tốt nghiệp THPTQG. 6. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU. - Sáng kiến được tác giả áp dụng lần đầu: Tháng 06 năm 2018 - Sau mỗi năm sáng kiến đã được tác giả bổ sung, chỉnh sửa để đáp ứng với yêu cầu giảng dạy của giáo viên cũng như yêu cầu học tập của học sinh.

7. MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN PHẦN 1. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN. I. CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1. Vai trò của hoạt động giải bài tập toán Trong quá trình dạy học nói chung, cũng như dạy học môn Toán nói riêng, việc phát triển tư duy cho học sinh là một trong những khâu quan trọng và xuyên suốt trong nội dung, chương trình giảng dạy. Người giáo viên không chỉ truyền thụ những tri thức dưới dạng sẵn có mà cần phải quan tâm nhiều đến việc dạy phương pháp, dạy cách đi tới tri thức mới cho học sinh. Một trong những biện pháp để phát triển tư duy học sinh đó là giải các bài tập toán. Giải các bài toán đóng vai trò trung tâm trong hoạt động dạy học. Chức năng của bài toán không chỉ bó hẹp trong chức năng của bài tập áp dụng. Chính học sinh tự mình xây dựng các kiến thức toán học cho chính bản thân mình thông qua hoạt động giải các bài toán.

1.2. Các bước của hoạt động giải toán Hoạt động giải toán thường diễn ra theo năm bước sau đây: Bước 1: Tìm hiểu bài toán - Đọc kĩ đề, nghiên cứu, tìm hiểu và phân tích rõ được các dữ kiện đã cho, Năm học

Trang 4

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

điều kiện gắn liền với bài toán và hiểu được vấn đề mà bài toán yêu cầu giải quyết.

- Tóm tắt bài toán, đổi đơn vị các đại lượng cho phù hợp.

- Vẽ hình trong các bài toán hình học, hoặc mô hình minh họa.

Bước 2. Tìm kiếm phương hướng giải (Chương trình giải) Đây là vấn đề khó khăn lớn nhất đối với đa số học sinh khi đứng trước một bài toán, học sinh thường không biết “ khởi động ” như thế nào, không biết bắt đầu từ đâu. Thông thường học sinh biến đổi một cách tùy tiện, cầu may, mà không có định hướng cụ thể, mặc dù các em có thể đã hiểu được những dữ kiện và yêu cầu của bài toán.

Một số biện pháp giúp học sinh tìm phương hướng: - Nhận biết kiến thức: Huy động mọi kiến thức liên quan đến giả thiết và kết luận của bài toán. Phân tích theo hướng có lợi, sắp xếp và chắp nối các kiến thức để tìm ra cách giải.

- Quy lạ về quen.

- Nghiên cứu một vài trường hợp đặc biệt, từ đó dự đoán cách giải cũng như kết quả bài toán.

- Phân tích đi lên, đi xuống: Tăng, giảm các điều kiện để tìm ra các dấu hiệu đặc biệt Bước 3: Lựa chọn phương hướng giải và tiến hành giải theo hướng đã chọn.

Trong trường hợp có nhiều cách giải, giáo viên có thể đề nghị học sinh tiến hành giải theo các cách khác nhau đã phát hiện ra. Từ đó phân tích để đi đến một cách giải tối ưu cho bài toán.

Bước 4. Tiến hành soạn lời giải. Đây cũng là một bước khó khăn đối với học sinh, nhiều học sinh không biết cách trình bày lời giải một cách ngắn gọn, rõ ràng và chính xác, không những thế đôi khi họ còn mắc sai lầm. Chính vì thế việc rèn luyện kỹ năng trình bày cho học sinh là rất quan trọng.

Bước 5. Kiểm tra, đánh giá kết quả.

Thông thường học sinh không quan tâm nhiều đến việc kiểm tra, đánh giá kết quả, hoặc đơn giản chỉ dừng lại ở việc đối chiếu một cách rất trực quan các đáp số với nhau. Khâu kiểm tra, đánh giá kết quả là rất quan trọng vì nó bao hàm nhiều mục đích khác: Năm học

Trang 5

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

- Kiểm tra các công thức và kết quả tính toán.

- Kiểm tra các suy luận có hợp logic và chặt chẽ không, kết quả có thích đáng không.

- Phát hiện cách giải khác đôi khi ngắn gọn hơn, hay hơn.

- Đánh giá phương pháp giải, hệ thống dạng toán điển hình.

- Phát hiện các trường hợp đặc biệt, khái quát hay mở rộng bài toán.

II. MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT 2.1. Hàm số liên tục 2.1.1. Định lí về mối liên hệ giữa tính liên tục và sự tồn tại nghiệm của phương trình.

Nếu hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [a; b] và f (a) f (b) < 0 , thì phương trình f ( x) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a; b) .

2.1.2. Chú ý về đồ thị hàm số liên tục - Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó.

- Đồ thị của hàm số liên tục nối hai điểm khác phía so với trục Ox thì luôn phải cắt trục Ox tại ít nhất một điểm.

2.2. Hàm số đồng biến, nghịch biến 2.2.1. Định nghĩa 1.

Cho hàm số y = f ( x) xác định trên tập D (D là một khoảng, nửa khoảng, đoạn).

- Hàm số y = f ( x) gọi là đồng biến trên tập D nếu ∀x1 , x2 ∈ D và x1 < x2 thì f ( x1 ) < f ( x2 ) .

- Hàm số y = f ( x) gọi là nghịch biến trên tập D nếu ∀x1 , x2 ∈ D và x1 < x2 thì f ( x1 ) > f ( x2 ) .

2.2.2. Nhận xét về đồ thị - Đồ thị hàm số đồng biến trên tập D là một đường đi lên từ trái sang phải trên tập D. - Đồ thị hàm số nghịch biến trên tập D là một đường đi xuống từ trái sang phải trên tập D. 2.2.3. Định lí 1 Cho hàm số y = f ( x) xác định và có đạo hàm trên tập D. Khi đó: - Nếu f '( x) > 0, ∀x ∈ D thì hàm số là hàm đồng biến trên tập D. - Nếu f '( x) < 0, ∀x ∈ D thì hàm số là hàm nghịch biến trên tập D. Năm học

Trang 6

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

- Nếu f '( x) = 0, ∀x ∈ D thì hàm số là hàm hằng số trên tập D. 2.2.4. Định lí 2 Cho hàm số y = f ( x) xác định và có đạo hàm trên tập D. Khi đó: - Nếu f '( x) ≥ 0, ∀x ∈ D và f '( x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên D thì hàm số là hàm đồng biến trên tập D. - Nếu f '( x) ≤ 0, ∀x ∈ D và f '( x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên D thì hàm số là hàm nghịch biến trên tập D. 2.3. Điểm cực trị của hàm số 2.3.1. Định nghĩa.

Cho hàm số y = f ( x) xác định và liên tục trên khoảng ( a; b) ( trong đó a có thể là −∞ , b có thể là +∞ ), x0 ∈ (a; b). a) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho

f ( x) < f ( x0 ), ∀x ∈ ( x0 − h; x0 + h) \{x0 } thì ta

nói hàm số y = f ( x) đạt cực đại tại x0 . b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho

f ( x) > f ( x0 ), ∀x ∈ ( x0 − h; x0 + h) \{x0 } thì ta

nói hàm số y = f ( x) đạt cực tiểu tại x0 .

2.3.2. Nhận xét - Nếu hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên khoảng (a; b) và đạt cực trị tại điểm x0 ∈ (a; b) thì f '( x0 ) = 0 .

2.3.3. Định lí 1 Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên khoảng K = ( x0 − h; x0 + h) và có đạo hàm trên K hoặc K |{x0 } , với h > 0. a) Nếu f '( x) > 0 trên khoảng ( x0 − h; x0 ) và f '( x) < 0 trên khoảng ( x0 ; x0 + h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số y = f ( x) .

Bảng biến thiên

b) Nếu f '( x) < 0 trên khoảng ( x0 − h; x0 ) và f '( x) > 0 trên khoảng ( x0 ; x0 + h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số y = f ( x) .

Bảng biến thiên

2.3.4. Định lí 2 Năm học

Trang 7

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Giả sử hàm số y = f ( x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng ( x0 − h; x0 + h) ( h > 0 ). Khi đó:

a) Nếu f '( x0 ) = 0 và f ''( x0 ) > 0 thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số y = f ( x) .

b) Nếu f '( x0 ) = 0 và f ''( x0 ) < 0 thì x0 là một điểm cực đại của hàm số y = f ( x) .

2.4. Các dạng đồ thị của các hàm số cơ bản thường gặp 2.4.1. Đồ thị hàm bậc 2: y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) ∆>0

∆=0

∆<0

a>0

a<0

2.4.2. Đồ thị hàm bậc 3: y = ax 3 + bx 2 + c (a ≠ 0) y ' = 0 có hai nghiệm

y ' = 0 có nghiệm kép

y ' = 0 vô nghiệm

phân biệt

a>0

a<0

2.4.3. Dạng đồ thị hàm y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0) y ' = 0 có ba nghiệm phân biệt Năm học

y ' = 0 có một nghiệm Trang 8

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

a>0

a<0

2.4.4. Dạng đồ thị hàm số y =

ax + b cx + d

(c ≠ 0, ad − bc ≠ 0)

ad − bc > 0

ad − bc < 0

2.5. Một số phép biến đổi đồ thị hàm số Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị (C). Khi đó đồ thị của một số hàm số liên qua đến hàm số y = f ( x) được xác định như sau: 2.5.1. Đồ thị hàm số y = f (− x) Đồ thị hàm số y = f (− x) có được bằng cách lấy đối xứng với đồ thị (C) qua trục Oy. 2.5.2. Đồ thị hàm số y = − f ( x) Đồ thị hàm số y = − f ( x) có được bằng cánh lấy đối xứng với đồ thị (C) qua trục Ox. 2.5.3. Đồ thị hàm số y =| f ( x) |  f ( x) khi f ( x ) ≥ 0  − f ( x) khi f ( x) < 0

Ta có: y =| f ( x) |= 

Do đó đồ thị hàm số y =| f ( x) | gồm hai phần Phần 1: Phần đồ thị (C) nằm phía bên trên của trục Ox, kể cả trục Ox. Phần 2: Phần đối xứng qua Ox với phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox. 2.5.4. Đồ thị hàm y = f (| x |) Năm học

Trang 9

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

 f ( x) khi x ≥ 0 và hàm số y = f (| x |) là hàm chẵn  f (− x) khi x < 0

Ta có: y = f (| x |) = 

Do đó đồ thị hàm số y = f (| x |) gồm hai phần Phần 1: Phần đồ thị (C) nằm phía bên phải của trục Oy, kể cả trục Oy. Phần 2: Phần đối xứng với Phần 1 qua trục Oy 2.5.5. Đồ thị hàm y = f ( x) + a Đồ thị hàm y = f ( x) + a có được bằng cách tịnh tiến đồ thị (C) theo vectơ

u = (0; a) .

+ Nếu a ≥ 0 tịnh tiến (C) lên phía trên a đơn vị. + Nếu a < 0 tịnh tiến (C) xuống phía dưới −a đơn vị.

2.5.6. Đồ thị hàm số y = f ( x + a) Đồ thị hàm số y = f ( x + a) có được bằng cách tịnh tiến đồ thị (C) theo

vectơ u = (−a; 0) . + Nếu a > 0 tịnh tiến (C) sang trái a đơn vị. + Nếu a < 0 tịnh tiến (C) sang phải −a đơn vị.

2.5.7. Đồ thị hàm số y = f ( x + a) + b Đồ thị hàm số y = f ( x + a) + b có được bằng cách tịnh tiến đồ thị (C) theo

vectơ u = (−a; b) .

Hoặc: - Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x + a) từ đồ thị (C) được đồ thị ( C1 ) - Vẽ đồ thị y = f ( x + a) + b từ đồ thị ( C1 )

2.6. Một số điểm cần chú ý khi đọc các thông tin trên một đồ thị hàm số 2.6.1. Khi biết đồ thị của hàm số y = f ( x ) - Khi biết đồ thị của hàm số (hoặc bảng biến thiên ) chúng ta cần phải nhận dạng được các yếu tố sau đây: + Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f ( x ) + Điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f ( x ) . + Dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định. + Sự tương giao của đồ thị hàm số y = f ( x ) với một số đường đặc biệt: các trục tọa độ, các đồ thị hàm số khác liên quan,...

2.6.2. Khi biết đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) - Khi biết đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) (hoặc bảng xét dấu của f ' ( x ) ) chúng ta cần phải nhận dạng được các yếu tố sau đây: + Dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định. + Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f ( x ) + Điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f ( x ) .

Năm học

Trang 10

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

III. CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH Định hướng chung khi giải bài toán về sự biến thiên, cực trị của hàm số bằng phương pháp đồ thị.

Hướng 1. – Từ đồ thị hàm số (hàm số) đã cho chúng ta vẽ đồ thị của hàm số liên quan bằng các cách biến đổi đồ thị.

- Dựa vào đồ thị rút ra kết luận.

Hướng 2. – Căn cứ vào đồ thị hàm số đã cho chúng ta lập được bảng xét dấu của hàm số liên quan.

- Dựa vào bảng xét dấu rút ra kết luận 3.1. Bài toán về sự biến thiên của hàm số 3.1.1. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f ( u ( x) ) + v( x) khi biết đồ thị của hàm số y = f ( x ) Chú ý: Khi biết đồ thị (hoặc bảng biến thiên của hàm số) hàm số y = f ( x ) thì khoảng đơn điệu của hàm số dựa trên cơ sở sau: - Khoảng đồng biến của hàm số tương ứng với những phần đồ thị là đường đi lên kể từ trái qua phải.

- Khoảng nghịch biến của hàm số tương ứng với những phần đồ thị là đường đi xuống kể từ trái qua phải.

Ví dụ 1. (NB) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình bên. Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. ( −2; 0 ) .

B. ( 2; + ∞ ) . C. ( 0; 2 ) .

D. ( 0; + ∞ ) .

Hướng dẫn giải Từ đồ thị ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −2) và ( 0; 2 ) .

Chọn phương án C. Ví dụ 2. (NB)

Năm học

Trang 11

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng ạng toán vvề đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên.

Hàm số y = f ( x ) đồng ng biến biế trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A. (2;6) .

B. (0; 4) .

C. (3; 4) . D. (−1; 4) .

Hướng dẫn giải Từ đồ thị ta thấy hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng (2; 4) do đó đ đồng biến trên (3; 4) .

Chọn phương án C. Ví dụ 3. (TH) Cho hàm số y = f ( x ) liên ttục trên ℝ , có đồ thị như hình vẽ. Xét tính đơn điệu ệu ccủa hàm số y = f ( x ) ?

Hướng dẫn giải  f ( x ) khi x ≥ 0

Ta có: y = f ( x ) = 

 f ( − x ) khi x < 0

. Mặt khác hàm số y = f ( x ) là hàm số s chẵn

trên tập ℝ . Nên đồ thịị của ủa hhàm số y = f ( x ) nhận trục Oy làm trục ục đối đố xứng.

Do đó đồ thị hàm y = f ( x ) gồm 2 phần: - Phần 1: Giữ nguyên ên phần ph đồ thị hàm số y = f ( x ) nằm phía bên phải ph trục Oy , kể cả Oy. - Phần 2: Lấy đối xứng ứng P Phần 1 qua trục Oy . Đồ thị hàm àm ssố y = f ( x )

Đồ thị hàm số y = f ( x )

Từ đồ thị suy ra: Hàm số y = f ( x ) đồng ồng bi biến trên các khoảng ( −3; −1) và ( 0;1) và ( 3; +∞ ) .

Hàm số y = f ( x ) nghịch ngh biến trên các khoảng ( −∞; −3) và ( −1;0 ) và (1;3) .

Ví dụ 4. (TH) Năm học

Trang 12

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −1;1) .

B. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng (1; +∞ ) .

C. Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −1;0 ) .

D. Hàm số y = f ( x ) đồng biến biến trên khoảng ( −1;1) .

Hướng dẫn giải Đồ thị hàm y = f ( x ) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x = a(a < −1); x = b(0 < b < 1); x = c(c > 1).

Cách vẽ đồ thị hàm số ( C ) : y = f ( x )  f ( x ) khi f ( x ) ≥ 0 .  − f ( x ) khi f ( x ) < 0

Ta có y = f ( x ) = 

Từ đó suy ra cách vẽ đồ thị hàm số ( C ) từ đồ thị hàm số y = f ( x ) gồm 2 phần sau: Phần 1: Giữ nguyên đồ thị y = f ( x ) phần nằm phía trên trục Ox, kể cả Ox. Phần 2: Lấy đối xứng với phần 1 qua trục Ox. Đồ thị hàm số y = f ( x ) Đồ thị hàm số y = f ( x )

Từ đồ thị suy ra: Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên các khoảng (−∞; a ), ( −1; b ) , (1; c).

Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên các khoảng (a; −1), ( b;1) , (c; +∞). Đối chiếu với các điều kiện của a, b, c ta nhận thấy (−1;0) ⊂ (−1; b) nên hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1;0 ) .

Ví dụ 5.(VDT) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên. Xét tính đơn điệu của hàm số g ( x) = f ( x +1 ) ?

Năm học

Trang 13

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng ạng toán vvề đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Hướng dẫn giải Đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x + 1 )

Đồ thị hàm số y = f ( x )

- Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) (đường ng nét đứt trên hình vẽ) - Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) vẽ đồ thị hàm số y = f ( x + 1 ) bằng ng cách ttịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x ) sang trái 1 đơn vị (đường nét liền trên hình vẽẽ). Dựa vào đồ thị ta thấy: Hàm số g ( x ) = f ( x + 1 ) đồng biến trên các khoảng (−4; −2), (−1;0), 1; 0), (2; +∞).

Hàm số g ( x ) = f ( x + 1 ) nghịch biến trên các khoảng (−∞; −4), (−2; −1), (0; 2).

Ví dụ 6. (VDC) Cho hàm số y = f ( x) = ax 4 + bx 2 + c, (a ≠ 0) có đồ thị (C) như hình ình vvẽ.

Hàm số g ( x) =  f 

(

3

x2 + 1  − 3  f  

)

x2 + 1  

)

(

khoảng nào?

A. ( 0; +∞ ) .

C. (−∞;0)

2

đồng biến trên

B. (−1; 0) D. (−1;1) Hướng dẫn giải

Do hàm y = f ( x ) có đạo ạo hàm h trên ℝ nên hàm y = g ( x ) cũng có đạo hhàm trên ℝ . f ' ( x ) = 0 ⇔ x = ±1;0;

Ta có g ′( x) = 3  f 

(

f ' ( x ) > 0 ∀x ∈ (−1;0) 1; 0) ∪ (1; +∞); f ' ( x ) < 0 ∀x ∈ ( −∞; −1) ∪ (0;1).

2

x2 + 1  .  f  

)

(

′ x2 + 1  − 6 f 

)

(

x2 + 1 .  f 

) (

′ x2 + 1  . 

)

′ = 3 f ( x 2 + 1).  f ( x 2 + 1)  .  f ( x 2 + 1) − 2      x = 3 f ( x 2 + 1). . f '( x 2 + 1).  f ( x 2 + 1) − 2  .

2   x +1

( f ′(

Từ đồ thị ( C ) có f ( x ) ≥ 2 , ∀x ∈ ℝ . Suy ra f x 2 + 1 ≥ 1, ∀x ∈ ℝ nên dựa ựa vào v ( C ) suy ra

Năm học

) x + 1 ) ≥ 0 . Do đó g '( x) = 0 ⇔ x = 0 .

x 2 + 1 − 2 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ . Mặt M khác 2

Trang 14

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng ạng toán vvề đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Ta có bảng xét dấu của y = g '( x) ( Thông qua xét dấu của g '(±1) )

Do đó hàm số y = g ( x) đồng ồng bi biến trên [0; +∞) . Vậy hàm số đồng ng biế biến trên khoảng (0; +∞) .

Ví dụ 7. (VDC) Cho hàm số

y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d

với

a, b, c, d ; a ≠ 0 là các số ố thực, thự có đồ thị như hình vẽ

bên. Có tất cả bao nhiêu ssố nguyên m thuộc khoảng (−2019; 2019) để hàm số g ( x) = f ( x3 − 3x 2 + m ) nghịch ngh trên khoảng ( 2; +∞ ) ?

A. 2012 C. 4028

B. 2013 D. 4026 Hướng dẫn giải

Ta có g ′( x) = (3x 2 − 6 x) f ′( x 3 − 3x 2 + m) .

Với mọi x ∈ (2; +∞) ta có 3x 2 − 6 x > 0 nên để hàm số g ( x) = f ( x3 − 3x 2 + m ) nghịch biến trên khoảng ( 2; +∞ ) ⇔ g '( x) ≤ 0, ∀x ∈ (2; +∞) ⇔ f ′( x 3 − 3x 2 + m) ≤ 0, ∀x ∈ (2; +∞) .  x ≤1 ; x ≥ 3

Từ đồ thị ta nhận thấy: f ′( x) ≤ 0 ⇔ 

 x =1 f '( x) = 0 ⇔  x = 3

Do đó: f ′( x 3 − 3 x 2 + m) ≤ 0, ∀x ∈ (2; +∞) ⇔ h( x) = x 3 − 3 x 2 + m ∈ (−∞;1] ∪ [3; +∞), ∀x ∈ (2; +∞). (*)

Xét hàm số h( x ) = x3 − 3x 2 + m trên khoảng x ∈ (2; +∞) .

Ta có: h '( x) = 3x 2 − 6 x = 3x( x − 2) > 0, ∀x > 2 ⇒ Hàm h( x) đồng biến trên ên khoảng kho x ∈ (2; +∞) . h( x) = +∞.

Lại có h(2) = m − 4; xlim →+∞ Suy ra tập giá trị của hàm àm h( x) trên khoảng x ∈ (2; +∞) là T = (m − 4; +∞) Do đó (*) ⇔ (m − 4; +∞) ⊂ (−∞;1] ∪ [3; +∞) ⇔ m − 4 ≥ 3 ⇔ m ≥ 7 .

Do m nguyên thuộcc khoảng (−2019; 2019) nên các giá trị nguyên củ ủa m là 7;8;9;...; 2018.

Vậy có 2012 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn phương ương án A 3.1.2. Tìm khoảng đồng biến, bi nghịch biến của hàm số y = f ( u ( x) ) + v( x) khi biết đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) .

Năm học

Trang 15

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng ạng toán vvề đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Chú ý: Khi cho đồ thị ccủa hàm y = f ' ( x ) thì chúng ta cầnn nhận ra được các khoảng đồng biến ( f ' ( x ) > 0 ) tương ứng với phần đồ thị y = f ' ( x ) nằm phía bên trên trục Ox, còn các kho khoảng nghịch biến ( f ' ( x ) < 0 ) tương ứng ng với vớ phần đồ thị y = f ' ( x ) nằm phía dưới ới trục trụ Ox. Ví dụ 1. (NB) Cho hàm số f ( x ) có đạo ạo hhàm liên tục trên ℝ và có đồ thị của hàm y = f ′ ( x ) như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Hàm số f ( x ) nghịch biến trên ( −1;0 ) .

B. Hàm số f ( x ) đồng biến trên (1; +∞ ) .

C. Hàm số f ( x ) nghịch biến trên ( −∞; 2 ) .

D. Hàm số f ( x ) đồng biến trên ( 2; +∞ ) .

Hướng dẫn giải Từ đồ thị ta thấy f ′ ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ ( −∞; 2 ) ; f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ ( 2; +∞ ) ; f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = −1; 2.

Từ đó suy ra các mệnh đề A, C, D đúng và B sai.

Ví dụ 2. (TH) (Dựa theo Mã 102 102- Đề thi THPT Quốc gia năm m 2018-2019) 2018 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ và đồ thị hàm y = f ' ( x ) như hình ình bên. Hàm số y = f ( 5 − 2 x ) nghịch biến trên khoảng ảng nào n dưới đây?

A. ( 2;3) .

B. ( 0; 2) .

C. ( 3;5) .

D. ( 5; +∞ ) .

Hướng dẫn giải Ta có y = f ( 5 − 2 x ) ⇒ y′ = −2 f ′ ( 5 − 2 x ) .

Hàm số nghịch biến ⇔ y′ ≤ 0 ⇒ −2 f ′ ( 5 − 2 x ) ≤ 0 ⇔ f ′ ( 5 − 2 x ) ≥ 0 . 5 − 2 x ≥ 1 x ≤ 2 ⇔ .  −3 ≤ 5 − 2 x ≤ −1  3 ≤ x ≤ 4

Dựa vào đồ thị hàm y = f ' ( x ) ta có f ′ ( 5 − 2 x ) ≥ 0 ⇔ 

Vậy hàm số y = f ( 5 − 2 x ) nghịch biến trên các khoảng ( 3; 4 ) , ( −∞; 2 ) . Chọn phương án B. Ví dụ 3. (VDT) ( Đề thi HSG lớp l 12 Tân Yên – Bắc Giang năm m 2019) Cho hàm số y = f ( x ) liên ttục và có đạo hàm trên ℝ .

Hàm số y = f ' ( x ) có đồồ thị th như hình vẽ bên. Hàm số y = f (1 − x 2 ) nghịch biến ến tr trên khoảng nào sau đây ?

A. (1; 2).

1 B.  − ; +∞   2



C. (−2; −1)

D. (−1;1)

Hướng dẫn giải.

Năm học

Trang 16

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Ta có y = f (1 − x 2 ) ⇒ y ' = −2 xf '(1 − x 2 ); Khi đó y ' < 0 ⇔ xf '(1 − x 2 ) > 0  x=0 x=0   Khi đó y ' = 0 ⇔ xf '(1 − x ) = 0 ⇔  ⇔  1 − x 2 = 1 ⇔ x = 0 .

2  f '(1 − x ) = 0 2   1 − x = 2 2

Ta có bảng biến thiên của hàm y = f (1 − x 2 )

Từ BBT suy ra hàm y = f (1 − x 2 ) nghịch biến trên [0; +∞) . Chọn phương án A. Ví dụ 4. (VDT) Cho hàm số y = f ( x ) với đạo hàm f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Đặt g ( x ) = 3 f ( x ) − x3 + 3 x 2 − 3 x + 2019 .

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

A. Hàm số y = g ( x ) đồng biến trên khoảng (1; 2 ) .

B. Hàm số y = g ( x ) đồng biến trên khoảng ( −1;0 ) .

C. Hàm số y = g ( x ) đồng biến trên khoảng ( 0;1) .

D. Hàm số y = g ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 2; +∞ ) .

Hướng dẫn giải Ta có: g ′ ( x ) = 3 f ′ ( x ) − 3 x 2 + 6 x − 3 ; g ′ ( x ) = 0 ⇔ 3 f ′ ( x ) − 3x 2 + 6 x − 3 = 0 ⇔ f ′ ( x ) = x 2 − 2 x + 1

- Xét sự tương giao của hai đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) và y = x2 − 2 x + 1 .

Nhận thấy đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) và đồ thị hàm số y = x 2 − 2 x + 1 cắt nhau tại đúng ba điểm phân biệt B, C , D có hoành độ lần lượt là x = 0; x = 1; x = 2 . Khi đó x = 0 g '( x) = 0 ⇔ f ′ ( x ) = x − 2 x + 1 ⇔  x = 1 .  x = 2 2

Ta có bảng biến thiên:

Năm học

Trang 17

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Từ bảng biến thiên suy ra: Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( 0;1) Chọn phương án C. Ví dụ 5. (VDC) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ có f ( 0 ) = 0 và đồ thị hàm số y = f ' ( x ) như hình vẽ bên. Hàm số y = 3 f ( x ) − x3 đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A. ( −1;0 ) .

B. ( 0;1) .

C. (1; +∞ ) .

D. (1;3) .

Hướng dẫn giải Xét hàm số g ( x ) = 3 f ( x ) − x3 ⇒ g ' ( x ) = 3  f ' ( x ) − x 2  . Ta có: g ' ( x ) = 0 ⇔ f ' ( x ) = x 2 (1).

Nhận thấy đồ thị hàm số y = x 2 đi qua 3 điểm O(0;0), A(1;1), B(2;4) và hai đồ thị hàm số y = f ' ( x ) , y = x 2 cắt nhau tại đúng 3 điểm O(0;0), A(1;1), B(2; 4) . x = 0 Khi đó g ' ( x ) = 0 ⇔ f ' ( x ) = x ⇔  x = 1 .  x = 2 2

Từ đồ thị hàm số y = f ' ( x ) và y = x 2 trên cùng một hệ trục tọa độ như hình vẽ ta thấy: Với x ∈ ( −∞;0 ) hoặc x ∈ ( 2; +∞ ) thì f ' ( x ) ≤ x 2 ⇒ f ' ( x ) − x 2 ≤ 0 ⇔ g ' ( x ) ≤ 0.

Với x ∈ ( 0; 2 ) ⇒ f ' ( x ) ≥ x 2 ⇒ f ' ( x ) − x 2 ≥ 0 ⇔ g ' ( x ) ≥ 0.

Có f ( 0 ) = 0 ⇒ g ( 0 ) = 0 và xlim g ( x) = lim (3 f ( x ) − x3 ) = −∞. Suy ra đồ thị hàm →+∞ x →+∞ y = g ( x ) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ x = 0; x = a(a > 2).

Từ đó ta có bảng biến thiên

Minh họa bằng đồ thị: Năm học

Trang 18

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng ạng toán vvề đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Đồ thị hàm àm ssố y = g ( x )

Đồ thị hàm số y =| g ( x ) |

Từ đồ thị hàm số y = g ( x ) vẽ đồ thị hàm số y = g ( x ) . Suy ra hàm số s y = 3 f ( x ) − x 3 đồng biến ến tr trên khoảng ( 0; 2 ) và ( a; +∞ ) với g ( a ) = 0, a > 2. Chọn

phương án B. 1.3. Bài tập tự luyện Bài tập 1. (NB) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình bên. Hàm số f ( x ) đồng biến trên ên kho khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A. ( 0; +∞ ) . B. ( 0; 2) . C.. ( −2;0 ) . D. ( −∞; −2 ) .

Bài tập 2. (NB) (Khảoo sát 12 lần l 1-THPT Yên Lạc - năm họcc 2019-2020) 2019 Cho hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến trên ên kho khoảng nào trong các khoảng sau đây?

B. (−1;1) C. (0;1) D. (1;+∞) A. (−∞; −1)

Bài tập 3. (NB) (Khảoo sát 12 lần l 1-THPT Lê Xoay-năm học 2019--2020) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ đ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình bên dưới. Khẳng định nào ào sau đây sai?

A. Hàm số f ( x ) đồng ồng bi biến trên (1; +∞ ) .

B. Hàm số f ( x ) đồng ồng biến bi trên ( −2;1) .

C. Hàm số f ( x ) nghịch ịch bi biến trên ( −1;1) .

D. Hàm số f ( x ) nghịch ịch bi biến trên ( −∞; −2 ) .

Bài tập 4. (NB) (KSCL trường trư Lý Thánh Tông – Hà nội lần 2 năm ăm 2019 2019-2020)

Năm học

Trang 19

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng ạng toán vvề đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình bên. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên ên khoảng kho nào?

A. ( −∞; −1) B. ( −1;1) C. ( 2; +∞ ) D. ( 0;1)

trư Lê Quý Đôn – Quảng Ninh năm m 2019-2020) 2019 Bài tập 5. (NB) (KSCL trường Cho hàm số y = f ( x ) có đồ đ thị như hình vẽ Hàm số đồng biến trên kho khoảng: A. ( −2; 0 )

B. ( −2; −1) .

C. ( −1; 0 ) .

D. ( 0; 0;22 ) .

Bài tập 6. (NB) (KSCL lầần 1- THPT Quốc Thái – An Giang năm ăm 2019-2020) 2019 Cho hàm số y = f (x ) liên tục t trên ℝ. và có đồ thị y = f '(x ) như hình vẽ. Hàm ssố y = f (x ) nghịch biến trong khoảng nào dưới ớ đây?

A. (−∞; −1) .

B. (0;2) .

C. (−1; 0) .

D. (2; +∞) .

ăm 2019-2020) 2019 Bài tập 7. (NB) (KSCL lầần 1- THPT Ngô Quyền – Hải Phòng năm Cho hàm số y = f ( x ) liên tục t trên tập số thực ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên ên và f ( 2 ) = f (−2) = 0 . Hàm số y = f ( 3 − x ) nghịch ch biến biế trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

A. (−∞;1)

B. (1;2)

C. (5; +∞)

D. (−2;3)

Bài tập 8.(TH) ( Sở Nghệ An-Thi liên trường lần 1 năm học 2019--2020) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ đ thị y = f ′( x ) như hình vẽ bên. Hỏi hàm số g ( x) = f ( x 2 − 5) nghịch biến trên khoảng nào trong các kho khoảng sau đây?

5 A. ( −4; −1) B.  2;  C. ( −1;1) D. (1;2 ) 

2

Bài tập 9. (TH) Năm học

Trang 20

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′( x ) trên ℝ và đồ thị của hàm số y = f ′( x ) như hình vẽ. Hàm số g ( x ) = f ( x 2 − 2 x − 1) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. ( −∞;1) . B. (1; +∞ ) .

C. ( 0; 2 ) . D. ( −1;0) .

Bài tập 10. (TH) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số y = f ' ( x ) như hình bên. Hàm số y = f ( 3 − 2 x ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. ( 4; + ∞ ) . B. ( −2;1) . C. ( 2; 4 ) .

D. (1; 2 ) .

Bài tập 11. (TH) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây ?

A. ( −∞ ; − 3) .

B. ( −∞ ; − 2 ) .

C. ( −∞ ; − 2 ) và ( 0; + ∞ ) D. ( −3; − 2 ) và ( 0; + ∞ ) .

Bài tập 12.(TH) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ , biết ràng hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số g ( x) = f ( 3 − x 2 ) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây ?

A. (−2;0) B. (2;3) C. (−1;0) D. (0;1) Bài tập 13. (TH) (KSCL lần 1- Chuyên Hạ Long – Quảng ninh năm 2019-2020) Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên ℝ và đồ thị hàm số y = f '( x) hình vẽ bên. Hàm số y = f (3 − 2 x) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây ?

A. (−∞; −1). B. (1;2). C. (2; +∞). D. (−1;1).

Bài tập 14. (TH) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên ℝ , có đồ thị như hình vẽ bên. Có tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = f ( 2 x + m ) nghịch biến trên khoảng (4;5).

Bài tập 15. (VDT) Năm học

Trang 21

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Cho hàm số f ( x ) = ax3 + 3bx 2 − 2cx + d ( a ≠ 0 ) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số g ( x) =

a 4 x + ( a + b ) x 3 + ( 3b − c ) x 2 + ( d − 2c ) x + d − 2019 4

nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A. ( −∞; 0 ) .

3 B.  − ;0  .  4



C. (1; 2 ) .

D. ( 2; +∞ ) .

Bài tập 16. (VDT) Cho

hai

hàm

số

f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx −

1 2

và

( a, b, c, d , e ∈ R; a. d ≠ 0 ) . Biết rằng đồ thị của hai hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) cắt nhau tại ba g ( x ) = dx 2 + ex + 1

điểm có hoành độ lần lượt là −3; −1;1 như hình vẽ dưới 1 6

7 2

đây. Hàm số h ( x ) = f ( x ) − g ( x ) − x3 − x +

3 2

nghịch

biến trên khoảng nào dưới đây?

A. ( −3; 2 ) B. ( −3;3) C. ( −3; −1) D. ( −1; 2 ) Bài tập 17. (VDT) (HSG 12 huyện Lương Tài – Bắc Ninh năm 2018-2019).

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên ℝ .

Hàm y = f ' ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số y = −2 f ( 2 − x ) + x 2 nghịch biến trên khoảng:

A. (−3; −2).

B. ( −2; −1)

C. (−1;0)

D. (0; 2)

Bài tập 18. (VDT) ( Khảo sát chuyên Vĩnh Phúc lần 1 năm học 2018-2019) Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên ℝ , biết hàm số y = f '( x − 2) + 2 có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi hàm số f ( x) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A. (−∞; 2).

B. (−1;1).

3 5 C.  ;  .

2 2 



D. (2; +∞).

Bài tập 19. (VDT) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ thoả f ( 2 ) = f ( −2 ) = 0 và đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) có dạng 2

như hình bên. Hàm số y = ( f ( x ) ) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

A.  −1; 3  . 

Năm học

2

B. ( −1;1) .

C. ( −2; −1) .

D. (1; 2 ) .

Trang 22

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Bài tập 20. (VDT) Cho hàm số y = f ( x ). Đồ thị hàm số y = f ′( x ) như hình bên dưới và f (−2) = f (2) = 0. Hàm số g ( x ) =  f (3 − x ) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A. (−2;−1).

B. (1;2).

C. (2;5). D. (5; +∞).

Bài tập 21.(VDT) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ , biết ràng hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số g ( x) = f ( x ) + x3 + x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây ?

A. (0; 2) B. (−2;0) C. (−1;1) D. (−4; −2) 2

Bài tập 22.(VDT) (KSCL -THPT Lê Quý Đôn – Quảng Ninh năm 2019-2020) Cho hàm số f ( x ) xác định trên tập số thực ℝ và có đồ thị f ′ ( x ) như hình sau. Đặt g ( x ) = f ( x ) − x , hàm số g ( x ) nghịch biến trên khoảng A. ( 2; + ∞ ) .

B. ( −∞; −1) .

D. ( −1; 2 ) .

C. (1; +∞ ) .

Bài tập 23. (VDT) (KSCL - THPT Ngô Sĩ Liên – Bắc Giang năm 2019-2020 ) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên tập số thực ℝ và có đồ thị hàm y = f ' ( x ) như hình vẽ bên. Hàm số g ( x ) = f ( x − 1) −

x3 x 2 + đồng biến trên 3 2

khoảng nào sau đây ?

A. (−∞; −1) B. (0;1) C. (2; +∞) D. (−1;0) Bài tập 24. (VDC) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên ℝ , có đồ thị như hình vẽ bên. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ −2019; 2019] để hàm số y = f ( cos x + 2 x + m ) đồng biến trên nửa khoảng [ 0; + ∞ ) .

A. 2019.

B. 2020.

C. 4038.

D. 4040.

Bài tập 25. (VDC) Năm học

Trang 23

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng ạng toán vvề đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Cho hàm số f ( x) liên tục trên ℝ có f (−1) = 0 và đồ thị hàm số y = f ′( x) như hình vẽ bên bên. Hàm số y = 2 f ( x − 1) − x 2 đồng biến trên khoảng

A. ( 3; +∞ ) .

B. ( −1; 2 ) .

C. ( 0; +∞ ) .

D. ( 0;3)

3.2. Bài toán về cực trịị củ của hàm số 3.2.1. Tìm điểm cực trịị củ của hàm số y = f ( u ( x) ) + g ( x) khi biết ế đồ thị của hàm số y = f ( x ) Chú ý: Nhìn vào đồ thịị hàm h ủa hhàm số đó: y = f ( x ) nhận ra các điểm cực trị của Là các điểm nối tiếp giữa ữa khoảng kho đồng biến và nghịch biến hoặcc giữa giữ khoảng nghịch biến và đồng biến của hàm số.

Ví dụ 1. (NB) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ đ thị như hình vẽ bên. Giá trị cực đại của hàm số g ( x ) = f ( x ) + 1 là A. 2.

B.

5 2

C. 4.

D.

9 .

2

Hướng dẫn giải Tịnh tiến đồ thị hàm y = f ( x ) lên phía trên theo phương Oy một ột đoạn đoạ 1 đơn vị ta thu được đồ thị hàm y = g ( x ) , từ đó ta có: 7 2

9 2

-Hàm số y = f ( x ) + 1 đạt ạt cự cực đại tại x = 2 và giá trị cực đại là f ( 2 ) + 1 = + 1 = .

-Hàm số y = f ( x ) + 1 đạt ạt cự cực tiểu tại x = 4 và giá trị cực tiểu là 7 5 f ( 4 ) + 1 = − + 1 = − . Chọn ọn phương ph án D 2 2

Ví dụ 2. (TH) Tìm sốố điể điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x3 − 3 x 2 + 3 và hàm y =| x |3 −3 x 2 + 3

Hướng dẫn giải Bước 1. Vẽ đồ thị hàm sốố y = x3 − 3x 2 + 3 .

Nhận thấy có một ột điểm cực trị thuộc trục Ox. Bước 2. Vẽ đồ thị các hàm àm ssố y = x3 − 3x 2 + 3 và y =| x |3 −3x 2 + 3 Đồ thị hàm Đồ thị hàm Đồ ồ thị th hàm y = x3 − 3x 2 + 3

Năm học

y = x3 − 3x 2 + 3

y =| x |3 −3 x 2 + 3

Trang 24

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Bước 3. Kết luận: Hàm số y = x3 − 3x 2 + 3 có 5 điểm cực trị.

Hàm số y =| x |3 −3x 2 + 3 có 3 điểm cực trị.

Ví dụ 3. (VDT) 3

Đồ thị hàm số y = x − 3 x 2 − x + 3 có bao nhiêu điểm cực trị.

A. 9 .

B. 5 .

C. 7 .

Hướng dẫn giải

D. 3 .

Đồ thị hàm số y = f ( x ) được suy ra bằng cách: Bước 1. Vẽ đồ thị hàm y = x 3 − 3x 2 − x + 3 = f ( x) .

Bước 2. Vẽ đồ thị hàm y = f (| x |) từ đồ thị hàm y = f ( x) .

Bước 3. Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) từ đồ thị hàm số y = f ( x ) . ĐT hàm 3

2

y = x − 3x − x + 3

ĐT hàm 3

2

y =| x | −3 x − | x | +3

ĐT hàm 3

y = x − 3x 2 − x + 3

3

Như vậy từ đồ thị hàm y = x3 − 3x2 − x + 3 ta vẽ được đồ thị hàm y = x − 3x 2 − x + 3 3

Từ đồ thị ta suy ra đồ thị hàm số y = x − 3 x 2 − x + 3 có 7 điểm cực trị.

Ví dụ 4. (VDC) Cho hàm số f ( x ) = x3 + ax 2 + bx + c thỏa mãn c > 2019 , a + b + c − 2018 < 0 .

Tìm số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) − 2019 .

Năm học

Trang 25

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

A. 3 .

B. 5 .

C. 2 .

Hướng dẫn giải

D. 1 .

 lim g ( x ) = −∞; lim g ( x ) = +∞ x →+∞  x →−∞ Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) − 2019 ta có  g ( 0 ) = c − 2019 > 0 .   g (1) = a + b + c − 2018 < 0

Do đó đồ thị hàm số y = g ( x ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt x1 < 0 < x2 < 1 < x3 nên y = g ( x ) có hai điểm cực trị. Đồ thị hàm số y = g ( x ) có hình

dạng như sau Đồ thị hàm số y = g ( x )

Đồ thị hàm số y =| g ( x ) |

Từ đồ thị y = g ( x ) , ta vẽ được đồ thị hàm số y = g ( x ) .

Từ đó ta nhận thấy đồ thị y = g ( x ) có 5 điểm cực trị.

Qua các bài toán về số điểm cực trị của các hàm số y = f ( x + a ) + b, y =| f ( x ) | , y = f (| x |) chúng ta rút ra nhận xét sau đây:

Nhận xét. (Áp dụng cho các hàm số liên tục trên ℝ và số điểm cực trị là hữu hạn) - Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x + a ) + b bằng số điểm cực trị của hàm y = f ( x) .

- Số điểm cực trị của hàm y =| f ( x ) | bằng tổng số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) và số nghiệm của phương trình f ( x ) = 0 không trùng với điểm cực trị.(

Trừ các hàm số bằng 0 trên một khoảng nào đó) Năm học

Trang 26

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

- Số điểm cực trị của hàm y = f (| x |) bằng 2 lần số điểm cực trị dương của hàm số y = f ( x ) cộng thêm 1.( Trừ các hàm số là hằng số trong lân cận của điểm 0) Đồ thị minh họa cho các kết luận trên: Số điểm cực trị của hàm y =| f ( x ) | - TH1. Đồ thị hàm y = f ( x ) cắt trục Ox tại các điểm không là điểm cực trị. Đồ thị y = f ( x )

Đồ thị y =| f ( x ) |

Số điểm cực trị

2 + 3 = 5 (CT)

-TH2. Đồ thị hàm y = f ( x ) giao với trục Ox tại điểm cực trị. Đồ thị y = f ( x )

Đồ thị y =| f ( x ) |

Số điểm cực trị

2 + 1 = 3 (CT)

-TH3. Đồ thị hàm y = f ( x ) không cắt trục Ox. Đồ thị y = f ( x )

Năm học

Đồ thị y =| f ( x ) |

Số điểm cực trị

Trang 27

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

3+0=3 (CT)

-TH4. Đồ thị hàm y = f ( x ) không có điểm cực trị. Đồ thị y = f ( x )

Đồ thị y =| f ( x ) |

Số điểm cực trị

0 + 1 = 1 (CT)

Số điểm cực trị của hàm y = f (| x |) -TH1. Điểm cực trị của đồ thị hàm y = f ( x ) không thuộc trục Oy. Đồ thị y = f ( x )

Đồ thị y = f (| x |)

Số điểm cực trị 2.2 + 1 = 5

-TH2. Điểm cực trị của đồ thị hàm y = f ( x ) thuộc trục Oy. Đồ thị y = f ( x ) Năm học

Đồ thị y = f (| x |)

Số điểm cực trị Trang 28

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

2.1 + 1 = 3

-TH3. Đồ thị hàm y = f ( x ) không có điểm cực trị. Đồ thị y = f (| x |)

Đồ thị y = f ( x )

Số điểm cực trị 2.0 + 1 = 1

Trong nhiều bài toán chúng ta có thể áp dụng nhận xét để thu được kết quả nhanh hơn.

Ví dụ 5. (VDT) Tìm m để đồ thị hàm số y =| x 2 − 4 x + 2m − 1| có 3 điểm cực trị.

Hướng dẫn giải Ta có BBT của hàm số f ( x) = x 2 − 4 x + 2m − 1

5 2

TH1. Nếu 2m − 5 ≥ 0 ⇔ m ≥ . Đồ thị hàm số y = x 2 − 4 x + 2m − 1

Đồ thị hàm số y =| x 2 − 4 x + 2m − 1|

Năm học

Trang 29

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Đồ thị hàm y =| x 2 − 4 x + 2m − 1| có 1 điểm cực trị.

5 2

TH2. Nếu 2m − 5 < 0 ⇔ m < . Đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số y = x 2 − 4 x + 2m − 1

y =| x 2 − 4 x + 2m − 1|

Đồ thị hàm y =| x 2 − 4 x + 2m − 1| có 3 điểm cực trị. Vậy m <

5 thỏa mãn điều kiện 2

bài toán.

Ví dụ 6. (VDC) (Thi thử THPT chuyên Hùng Vương – Phú Thọ 2018-2019) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = f ( x − 1) + m có 5 điểm cực trị. Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng: A. 12 .

B. 15 .

C. 18 .

D. 9 .

Hướng dẫn giải Tịnh tiến đồ thị ( C ) : y = f ( x ) sang phải 1 đơn vị ta được đồ thị ( C ′) : y = f ( x − 1) . Đồ thị ( C ) : y = f ( x )

Năm học

Đồ thị ( C ′) : y = f ( x − 1)

Trang 30

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Vì m > 0 nên đồ thị ( C ′′ ) : y = f ( x − 1) + m có được bằng cách tịnh tiến

( C ′ ) : y = f ( x − 1) lên trên

m đơn vị.

Trường hợp 1. 0 < m < 3 . Có 3 (cực trị) + 4 (giao điểm khác điểm CT) = 7 điểm cực trị. Đồ thị ( C ′′ ) : y = f ( x − 1) + m Đồ thị hàm y = f ( x − 1) + m

Tương tự như vậy ta có hai trường hợp tiếp theo Trường hơp 2. 3 ≤ m < 6 Trường hợp 3. m ≥ 6 Có 3 (CT) + 2 (giao điểm khác Có 3 (CT) + 0 (giao điểm khác CT) = CT) = 5 CT. 3 CT.

Vậy để hàm y = f ( x − 1) + m có 5 điểm cực trị điều kiện cần và đủ là 3 ≤ m < 6 .

Năm học

Trang 31

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng ạng toán vvề đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Với m nguyên suy ra các giá tr trị m thỏa mãn là 3; 4;5 ⇒ S = 12.

Chú ý: Ta có thể nhận n dạ dạng nhanh bằng quy tắc đã nêu ở trên: +) Ta có số điểm cực ực trị của hàm số y = f ( x − 1) + m bằng số ố điể điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) , từ giảả thiết thiế suy ra hàm số y = f ( x − 1) + m có 3 điểm ểm ccực trị. +) Số điểm cực trị của ủa hhàm số y = f ( x − 1) + m bằng số cực ực trị của hàm số y = f ( x − 1) + m cộng với ới số nghiệm bội lẻ của phương trình f ( x − 1) + m = 0 , nên

để hàm số y = f ( x − 1) + m có đúng 5 điểm cực trị thì phương trình ình f ( x − 1) = −m cần có đúng hai nghiệm ệm bộ bội lẻ. +) Đồ thị y = f ( x − 1) có được đư bằng cách tịnh tiến đồ thị y = f ( x ) sang phải 1 đơn vị. Vậy để phương ương tr trình f ( x − 1) = −m có đúng hai nghiệệm bội lẻ thì  −m ≥ 2  m ≤ −2  −6 < − m ≤ −3 ⇔ 3 ≤ m < 6 .  

Do m nguyên dương ng nên m ∈ {3; 4;5} . Tổng các giá trị m thỏa mãn ãn là 12.

3.2.2. Tìm điểm cực trịị củ của hàm số y = f ( u ( x) ) + g ( x) khi biết ế đồ thị hàm số y = f '( x)

Nhận xét.

- Khi có đồ thị của ủa hhàm y = f ' ( x ) chúng ta nhận ra đượcc các điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) : Là các hoành độ điểm giao của đồ thị hàm h y = f ' ( x ) với trục c Ox đồng thời đi qua các điểm này thì f ' ( x ) phải đổi dấu.

Ví dụ 1. (NB) (Dựa theo Mã 101 101- Đề thi THPT Quốc gia năm m 2018-2019) 2018 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ và đồ thị hàm y = f ' ( x ) như hình ình bên. Hàm số s y = f ( x ) đạt cực tiểu tại A. x = 2 .

B. x = 1 . C. x = −1 .

D. x = −3 .

Hướng dẫn giải Từ đồ thị của hàm y = f ' ( x ) ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) như sau:

Từ đó ta có hàm số đãã cho đạt cực tiểu tại x = −1 . Chọn phương ng án C. Ví dụ 2. (TH) Năm học

Trang 32

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng ạng toán vvề đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên ℝ và hàm số y = f ′ ( x ) có đồ đ thị như hình vẽ bên.

Tìm các điểm cực trịị của ủa hàm h số y = f ( x ) ?

Hướng dẫn giải Xét hàm số y = f ( x ) có đạo đ hàm y′ = f ′ ( x ) . ên: Bảng biến thiên:  x = −3  x = −1 ′ ′ y = 0 ⇔ f ( x) = 0 ⇔   x =1  x = 5

Vậy hàm số y = f ( x ) đạt ạt cực cự đại tại x = −1; x = 5 và đạt cực tiểu tại x = −3; x = 1.

Ví dụ 3. (VDT) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo đ hàm f ′ ( x ) trên ℝ và đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) như hình vẽ. Hàm số x3 + x 2 − x + 2 đạt cực đại tại điểm nào?

3 A. x = −1 . B. x = 1 .

C. x = 0 .

D. x = 2 .

g ( x) = f ( x) −

Hướng dẫn giải Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − ( x − 1)

2

Điểm cực trị của hàm số y = g ( x ) là nghiệm của phương trình g ′ ( x ) = 0 tức là nghiệm của 2

phương trình f ′ ( x ) = ( x − 1) suy ra điểm cực trị của hàm số y = g ( x ) là hoành độ giao điểm của các đồ thịị hàm h số y = f ′ ( x ) ; y = x 2 − 2 x + 1 .

- Vẽ đồ thị của các hàm sốố y = f ′ ( x ) ; y = x 2 − 2 x + 1 trên cùng một hệ trục tọa độ như nh hình vẽ sau: - Dựa vào đồ thị trên ên ta có bảng xét dấu của hàm y = g ( x ) như sau:

Dựa vào bảng ng xét dấu d ta thấy hàm số y = g ( x ) đạt cực đại tại điểm x = 1 .

Năm học

Trang 33

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Ví dụ 4. (VDT) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ. Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình vẽ bên. Hỏi hàm số g ( x ) = f (1 + x 2 ) + 2019 có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 1 .

B. 2 .

C. 3 .

D. 0 .

Hướng dẫn giải Ta có g ( x ) = f (1 + x ) + 2019 ⇒ g ′( x) = 2 x. f ′(1 + x 2 ) .

Theo đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) ta có 2

x = 0 x = 0  x=0  g′ ( x) = 0 ⇔  ⇔ 1 + x 2 = 1 ⇔  2  x = ±1  f ′ (1 + x ) = 0 1 + x 2 = 2 

1 2

Ta có bảng xét dấu của g ′ ( x ) ( thông qua dấu của g ′ ( ±2 ) , g '(± ) ) được xác định như sau:

Dựa vào bảng xét dấu của g ′ ( x ) suy ra y = g ( x ) có 3 điểm cực trị- Chọn A Ví dụ 5. (VDC) (HSG 12 tỉnh Hà Tĩnh năm học 2018 – 2019) Cho hàm số y = f ( x ) xác định và có đạo hàm tại 9 2

1 2

mọi điểm x ∈ ℝ, f ( −3) > 8, f ( 4 ) > , f ( 2 ) < . Biết rằng hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên.

Hỏi đồ thị hàm số y =| 2 f ( x ) − ( x − 1)2 | có bao nhiêu điểm cực trị ?

Hướng dẫn giải Đặt g ( x) = 2 f ( x ) − ( x − 1) , ta có g '( x) = 2 f ' ( x ) − 2( x − 1) = 2[ f '( x) − ( x − 1)].

2

Xét sự tương giao giữa đồ thị y = f ' ( x ) và đường thẳng y = x − 1 ta nhận thấy:  x = −1  x =1  g '( x) = 0 ⇔   x=2  x = 3

Từ đồ thị các hàm số ta có BBT. Năm học

Trang 34

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Nhận thấy hàm số y = g ( x) có 3 điểm cực trị x = −1; 2;3. Mặt khác f ( −3) > 8 ⇒ g ( −3) = 2 f ( −3) − 16 > 0,

f (4) >

f (2) <

1 ⇒ g ( 2 ) = 2 f (2) − 1 < 0, 2

9 ⇒ g ( 4 ) = 2 f (4) − 9 > 0.

2

Do g ( −3) .g (2) < 0; g (2).g (4) < 0 , kết hợp với BBT nhận thấy phương trình g ( x ) = 0 có đúng hai nghiệm phân biệt x1 ∈ (−3; 2), x2 ∈ (2; 4).

Minh họa bằng đồ thị. Đồ thị hàm y = 2 f ( x ) − ( x − 1) 2

Đồ thị hàm y =| 2 f ( x ) − ( x − 1)2 |

Vậy hàm số có 3 + 2 = 5 điểm cực trị.

3.2.3. Bài tập tự luyện Bài tập 1. (NB) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình bên.

Hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu tại 2 3

A. x = − .

B. x = −2 . C. x = 3 .

D. x = 1 .

Bài tập 2. (NB). (KSCL lần 2- THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc năm 2019 – 2020) Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ℝ và có đồ thị hàm số y = f ′ ( x) như hình bên dưới.

Hỏi hàm số y = f ( x) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 4.

B. 3.

C. 1.

D. 2.

Năm học

Trang 35

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng ạng toán vvề đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Bài tập 3. (NB) (KSCL lầần 1-THPT Ngô Quyền – Hải Phòng năm ăm 2019-2020) 2019 Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị y = f ' ( x ) liên tục trên tập số thực ℝ và có đđồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) là A.3 B. 2 C. 1 D. 4

Bài tập 4. (TH) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục t trên ℝ và có đồ thị như

y

hình bên. Đồ thị của hàm àm ssố y = f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2 .

B. 4 .

C. 3 .

D. 1 .

Bài tập 5. (TH) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục t trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số y = f (| x |) + 3 có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

A. 5 .

B. 3 .

C. 2 .

D. 4 .

Bài tập 6. (TH) Cho hàm số y = − x 3 + x 2 + 4 x − 4 có đồ thị như hình vẽ. Đồ

x O

y

O

x

3

thị hàm số y = − x + x 2 + 4 x − 4 có bao nhiêu điểm cực trị.

A. 9 .

B. 7 .

C. 6 .

D. 5 .

Bài tập 7. (TH) Cho hàm số y = ax 4 + bx 2 + c ( a, b, c ∈ ℝ ) có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trịị của củ hàm số y = ax 4 + bx 2 + c là A. 5 .

B. 6 .

C. 7 .

D. 3 .

Bài tập 8. (TH) (KSCL lầần 1 -Chuyên Hạ Long – Quảng Ninh năm ăm 2019-2020) 2019 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục t trên ℝ , có 3 cực trị và có đồ thị như hình vẽ. 

 .  ( x − 1)2    2.

Tìm số điểm cực trịị của ủa hhàm số y = f  A. 3.

Năm học

B. 0.

C. 1.

D.

1

Trang 36

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng ạng toán vvề đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Bài tập 9. (TH) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục t trên ℝ , có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi đồ thị hàm àm ssố y = f ( x − 1) + 1 có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 3 .

B. 4 .

C. 5 .

D. 7 .

Bài tập 10. (VDT) (Đề minh họa h của BDG năm 2019) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng b xét dấu của đạo hàm như sau.

Hàm số y = 3 f ( x + 2) − x 3 + 3x đồng biến trên khoảng nào dưới ới đây?

A. (1; +∞) B. (−∞; −1) C. (−1; 0) D. (0; 2) Bài tập 11. (VDT) Cho hàm số bậc 3 y = f ( x ) xác định và liên tục và có đạo hàm trên ℝ . Đồ thịị hhàm y = f ( x ) như hình vẽ bên.

Hàm số g ( x ) = f ( x 2 − 2 ) có bao nhiêu điểm cực tiểu ?

A.1 B. 2 C. 3 D. 5.

Bài tập 12. (VDT) (Đềề thi THG llớp 12 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2018--2019) Tìm tất cả các giá trị của ủa tham ssố m để hàm số y = x3 − 3 x 2 + m − 2 có đúng năm điểm cực trị.

Bài tập 13. (VDT) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo đ hàm trên ℝ và hàm số f ' ( x ) = x3 + ax 2 + bx + c có đồ thị như hình vẽ bên. Số

điểm cực trị của hàm số y = f [f ' ( x ) ] là : A.77 B.11 C.9 D.8 Bài tập 14. (VDT) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục t trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi S là ttập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm àm ssố y = 2 f ( x ) − m có 5 điểm cực trị. Tính tổng ng các phần phầ tử của S .

A. 14 .

B. 10 .

C. 21 .

D. 15 .

Bài tập 15. (VDT) Tìm m để đồ thị hàm số y =| x 3 − 3x + m | thỏa ỏa mãn m điều kiện sau: a) Có 3 điểm cực ực trị b) Có 5 điểm ểm cực cự trị.

4 2 Bài tập 16. (VDT) Tìm m để đồ thị hàm số y =| x − 8 x + m | thỏa ỏa mãn m điều kiện sau: a) Có 7 điểm cực ực trị b) Có 5 điểm ểm cực cự trị.

Năm học

Trang 37

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Bài tập 17. (VDT) (KSCL -THPT Ngô Sĩ Liên – Bắc Giang năm 2019-2020) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên ℝ , biết ràng hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên.

Số điểm cực đại của hàm số 4 2 6 4 2 g ( x) = 3 f ( x − 2 x + 2 ) − 2 x − 6 x + 18 x bằng A.4

B.2

C. 3

D. 1

Bài tập 18. (VDT) (KSCL lần 1-THPT Quốc Thái – An Giang năm 2019-2020) Cho y = f (x ) là hàm đa thức và có đồ thị như hình vẽ. Hàm số g (x ) = f 2 (x ) − 4 f (x ) có bao nhiêu điểm cực đại?

A. 4.

C. 2.

B. 3.

D. 5.

Bài tập 19. (VDT) (KSCL - THPT Ngô Quyền – Hải Phòng năm 2019-2020) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên tập số thực ℝ và hàm số không cực trị. Đồ thị hàm y = f ( x ) có dạng như hình vẽ 1 2

Xét hàm số h ( x ) = [f ( x)]2 − 2 xf ( x) + 2 x 2 . Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?

A.Đồ thị hàm số y = h ( x ) có điểm cực đại là M(1;0).

B. Đồ thị hàm số y = h ( x ) có điểm cực đại là M(1;2).

C. Đồ thị hàm số y = h ( x ) có điểm cực tiểu là M(1;0).

D. Hàm số y = h ( x ) không có điểm cực trị.

Bài tập 20. (VDT) Cho hàm số y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số g ( x ) = f nhiêu điểm cực trị?

A. 1 .

B. 5 .

Bài tập 21. (VDC)

(

C. 3 .

)

x 2 + x + 2 có bao

D. 7 .

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị f ′ ( x ) như hình vẽ.

Tìm số điểm cực tiểu của hàm số y = f (1 − x ) + A. 0 .

Năm học

B. 1 .

C. 3 .

x2 −x 2

D. 2 .

Trang 38

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng ạng toán vvề đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Bài tập 22. (VDC) (Đềề tham khảo kh BGD&ĐT năm 2018) Có bao nhiêu giá trịị nguy nguyên của tham số m để hàm số y = 3x 4 − 4 x3 − 12 x 2 + m có 7 điểm cực trị.

A. 5 B. 6 C. 4 D. 3 Bài tập 23. (VDC) (HSG 12 tỉnh Bắc Ninh năm 2018-2019) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại mọi điểm x ∈ ℝ.

Hàm số y = f ' ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của ủa hàm h số y = f [ f ' ( x ) ] là: A.8

B.

11

C.7

D.9

Bài tập 24. (VDC) Thi th thử THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa năm m 2018-2019.

2018 Cho hàm số y = f ( x ) liên ttục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tất cảả các giá trị tr của tham số m để đồ thị 2 hàm số h ( x ) =| f ( x) + 2 f ( x) + 2m | có đúng ba điểm cực trị.

A. m > 1

B. m ≥

1 2

C. m > 2

D. m < 2

Bài tập 25. (VDC) Cho hàm số y = f ( x ) có đđạo hàm y = f ′ ( x ) liên tục trên ình vẽ v bên. Có bao nhiêu số nguyên ℝ và có đồ thị như hình àm ssố y = f ( x + 1 − m ) có nhiều m ∈ [ −2019; 2019] để hàm điểm cực trị nhất?

A. 2024 . B. 2025 . C. 2107 .

D. 2016 .

Bài tập 26. (VDC) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục t trên ℝ và có đồ thị (C) như hình vẽ bên. Đặt g ( x ) = f ( x + m) , m là tham số thực. a). Tìm m để đồ thị hàm àm ssố y = g (| x |) có 5 điểm cực trị. b). Có tất cả bao nhiêu êu giá tr trị nguyên của m để đồ thị hàm số y = g (| x |) có 3 điểểm cực trị.

Phần n 2. KHẢ NĂNG ÁP DỤNG CỦA SÁNG KIẾN ẾN. 2.1. Giải pháp đã đượcc tác giả áp dụng vào thực tiễn giảng dạy.

Qua thực nghiệm ệm gi giảng dạy ở các lớp 12 mà tôi từng ng giảng ddạy từ năm học 2017 – 2018 đến năm ăm hhọc 2019 – 2020. Tôi thấy họcc sinh sau khi được bồi Năm học

Trang 39

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

dưỡng chuyên đề về đồ thị hàm số thì các em đã có những chuyển biến lớn về nhận thức và kỹ năng trình bày, các em đã nhận dạng các bài toán điển hình và từ đó đã giải được nhanh và chính xác các bài toán về đồ thị hàm số.

2.2. Khả năng áp dụng của đề tài.

Giải pháp này có thể áp dụng vào công tác giảng dạy cho học sinh lớp 12, giảng dạy ôn thi trung học phổ thông quốc gia.

8. CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN. - Giáo viên thực hiện: Hiểu rõ được nội dung kiến thức cần truyền đạt cho học sinh, chuẩn bị kĩ nội dung mỗi phần mình định giảng dạy, phải xây dựng một phương pháp truyền đạt kiến thức cho học sinh một cách đơn giản, dễ hiểu nhất, tránh đi vào phức tạp hóa vấn đề. Bài tập đưa ra phải phù hợp với từng đối tượng học sinh.

- Học sinh các khối lớp 12: Học sinh học hết chương 1 môn giải tích lớp 12, học sinh ôn thi tốt nghiệp THPTQG có ý thức học tập bộ môn, say mê nghiên cứu, tìm tòi, có ý thức vươn lên trong học tập, có mục tiêu học tập rõ ràng.

9. ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC CỦA SÁNG KIẾN. 9.1. Đánh giá lợi ích thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả.

- Học sinh đã thành thạo một số dạng toán thường gặp về đồ thị hàm số trong chương trình trung học phổ thông sau khi được bồi dưỡng chuyên đề này.

- Rèn luyện được cho học sinh kỹ năng trình bày lời giải một cách rõ ràng và chặt chẽ. Khuyến khích các em tìm tòi nhiều cách giải, đặc biệt là những cách giải hay, ngắn gọn.

- Rèn luyện cho học sinh kỹ năng, thói quen kiểm tra và đánh giá kết quả. Điều này giúp các em hiểu sâu thêm kiến thức và liên hệ, tìm tòi những kết quả mới, bài toán mới. Đồng thời các em hình thành được phương pháp giải các bài toán tổng quát, điển hình.

- Học sinh thêm yêu thích bộ môn Toán, biết vận dụng kiến thức thuộc lĩnh vực này để giải quyết các bài toán thuộc lĩnh vực khác trong chính nội tại của bộ môn toán.

Năm học

Trang 40

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

- Tạo được sự phấn khởi cho học sinh đối với những thành công, làm tiêu tan sự chán nản, tăng thêm sự yêu thích bộ môn, khích lệ các em tiếp tục tìm hiểu các nội dụng kiến thức mới.

9.2. Kết quả thực nghiệm sau khi tác giả áp dụng sáng kiến.

Kết quả bài kiểm tra một tiết trước và sau khi áp dụng đề tài ở các lớp mà tác giả trực tiếp giảng dạy. Học sinh đã có nhiều tiến bộ sau khi đề tài được áp dụng. Kết quả cụ thể về làn điểm như sau: Lớp

Các lần

Các làn điểm đánh giá

(Năm học)

đánh giá

0-<3,5 3,5-<5 5-<6,5 6,5-<8 8-10

12A1 (2017 – 2018)

Trước

0

2

6

12

20

Sau

0

0

0

15

25

Trước

4

9

10

9

6

Sau

2

3

11

12

10

Trước

0

6

12

14

8

Sau

0

2

9

14

15

Trước

5

4

10

10

15

Sau

0

0

9

10

25

Trước

4

6

11

8

7

Sau

1

3

9

10

13

Trước

6

9

10

9

2

Sau

3

5

13

10

7

12A5 (2017 – 2018) Ôn thi THPTQG (2017 – 2018)

Sĩ số

40

38

40

12A1 (2019 – 2020)

44

12A4 (2019 – 2020)

36

12A5 (2019 – 2020)

38

10. CÁC TỔ CHỨC, CÁ NHÂN ĐÃ THAM GIA ÁP DỤNG SÁNG KIẾN. Số TT

Tên tổ chức/cá nhân

Năm học

Địa chỉ

Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Trang 41

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Năm học

Trang 42