SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CỦA HỌC SINH THÔNG QUA CÁC DẠNG TOÁN VỀ “HÀM SỐ ẨN, HÀM SỐ HỢP”

HỆ THỐNG BÀI TẬP ÔN THI THPTQG MÔN TOÁN

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection

SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CỦA HỌC SINH THÔNG QUA CÁC DẠNG TOÁN VỀ “HÀM SỐ ẨN, HÀM SỐ HỢP” TRONG KÌ THI THPT QUỐC GIA WORD VERSION | 2021 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ...

TRƯỜNG THPT ...

---------- ----------

BÁO CÁO SÁNG KIẾN

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CỦA HỌC SINH THÔNG QUA CÁC DẠNG TOÁN VỀ “HÀM SỐ ẨN, HÀM SỐ HỢP” TRONG KÌ THI THPT QUỐC GIA Họ và tên

: ...

Trình độ chuyên môn: Thạc sĩ Toán học Chức vụ

: Giáo viên

Nơi công tác

: Trường THPT ...

..., ngày 10 tháng 6 năm 2018

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

1. Tên sáng kiến: P H Á T T R I Ể N N Ă N G L Ự C C Ủ A H Ọ C S I N H T H Ô N G QUA CÁC DẠNG TOÁN VỀ ”HÀM SỐ ẨN, HÀM SỐ HỢP” TRONG KÌ THI THPT QUỐC GIA.

2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học 3. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 10/09/2017 đến ngày 10/06/2018 4. Tác giả: …

Tỷ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến: 100% 5. Đơn vị áp dụng sáng kiến: …

BÁO CÁO SÁNG KIẾN I. ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN Từ năm học 2016-2017, đối với kì thi THPT Quốc gia,Bộ Giáo dục đã chuyển đổi hình thức thi môn Toán từ hình thức thi Tự luận sang hình thức thi Trắc nghiệm. Đây là một sự thay đổi lớn đối với cả giáo viên và học sinh và các cấp quản lí. Bắt đầu từ khi thi môn Toán dưới dạng trắc nghiệm cả giáo viên và học sinh đã phải có những thay đổi trong cách dạy và cách học cho phù hợp. Các dạng toán trắc nghiệm vô cùng phong phú và đa dạng đòi hỏi người học phải có nền tảng kiến thức vững chắc và có cách nhìn nhận vấn đề sâu rộng. Những bài toán được khai thác với những ý tưởng mới mẻ cùng với những lời giải đẹp được xuất hiện ngày càng nhiều trong bài thi trắc nghiệm mà trước kia chưa từng xuất hiện trong các bài thi tự luận. Đặc biệt là những bài toán liên quan đến “Hàm số ẩn, hàm số hợp”mang đậm chất định tính, thiên về lý thuyết, đòi hỏi sự suy luận logic, không thiên nhiều về định lượng, về kỹ năng tính toán, biến đổi phức tạp. Những bài toán đó rất phù hợp với hình thức thi môn Toán dưới dạng trắc nghiệm và được những người giải toán, những người yêu toán đón nhận vàquan tâm hàng đầu.

“Hàm số hợp” là những hàm số có dạng y = f ( u ( x ) ) , trong đó u ( x ) là một biểu thức nào đó của x, đối với những hàm số dạng này thì học sinh đã được làm quen trong chương trình Toán phổ thông, nhưng “Hàm số ẩn”vẫn còn mới mẻ với đại đa số học sinh. “Hàm số ẩn”được đề cập trong chuyên đề này là những hàm số y = f ( x ) nhưng chưa có định dạng bằng công thức cụ thể, tức là những hàm số

có thể cho bởi nhiều dạng khác nhau, chẳng hạn như: Bảng biến thiên hoặc hình dáng đồ thị của hàm số y = f ( x ) hoặc biểu thức tính đạo hàm f ' ( x ) , bảng xét dấu của đạo hàm f ' ( x ) , bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) , hoặc

cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn đẳng thức nào đó ở dạng “phương trình hàm”.

Như vậy những bài toán liên quan đến “Hàm số ẩn, hàm số hợp” vẫn còn hết sức mới, học sinh còn bỡ ngỡ và tỏ rõ sự lúng túng trước những bài toán lạ. Bởi lẽ để giải quyết được những bài toán trong chuyên đề này đòi hỏi học sinh phải có nền tảng kiến thức vững chắc, phải được rèn luyện dưới hình thức Tự luận để hình 4

dung một cách hệ thống các vấn đề, các dạng bài. Ngoài ra học sinh cần một sự suy luận logic, sắc bén, một cảm nhận tinh tế để đưa ra cách giải bài toán nhanh nhất, đưa ra kết quả chính xác trong thời gian ngắn nhất.

Thực trạng trường THPT Trực Ninh học sinh chưa được tiếp cận nhiều với những bài toán liên quan đến “Hàm số ẩn và hàm số hợp”. Những em học sinh có học lực khá, giỏi của trường đã có sự quan tâm và có niềm đam mê chinh phục nội dung Toán học này. Các em học sinh khá, giỏi quan tâm đến những bài toán liên quan đến “Hàm số ẩn và hàm số hợp”bởi nội dung của Chuyên đề này thường xuyên xuất hiện trong các đề thi thử THPT Quốc gia của các trường, các Sở Giáo dục trong cả nước và đặc biệt trong đề thi Minh họa của Bộ Giáo dục và ở mức độ khó. Các em học sinh phải chiếm lĩnh được nội dung chuyên đề “Hàm số ẩn

và hàm số hợp”thì mới có cơ hội đạt điểm cao môn Toán và cơ hội trúng tuyển những trường Đại học tốp đầu mà các em đang mơ ước. Với mong muốn ngày càng có nhiều em học sinh cảm thấy có hứng thú và có niềm đam mê chinh phục những nội dung Toán học đỉnh cao này vàgiúp học sinh có tầm nhìn một cách hệ thống và sâu sắc nhất, làm chủ trong các tình huống, tôi đã mạnh dạn viết chuyên đề: Phát triển năng lực của học sinh qua dạng toán“hàm số ẩn, hàm số hợp” trong kì thi THPT Quốc gia.

II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP

1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến Trước khi học sinh được tiếp cận và giải quyết những bài toán liên quan đến “Hàm số ẩn, hàm số hợp”, học sinh đã được tiếp cận và giải quyết những bài

toán, những chuyên đề liên quan đến hàm sốđược định dạng trước bằng công thức (hàm số

được

cho

trước

một

cách

tường

minh,

chẳng

hạn

như

y = f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 2 )một cách hệ thống, bài bản dưới hình thức Tự luận. Đó là

những bài toán liên quan đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số, sự đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của hàm số, cực trị của hàm số, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, đường tiệm cận của đồ thị hàm số, đồ thị của hàm số, sự tương giao của các đồ thị hàm số. Sự thuận lợi rất lớn đối với những bài toán liên quan đến hàm số cho trước công thức là trong quá trình giải toán, học sinh được làm 5

việc trực tiếp với hàm số, với những biến đổi cụ thể. Những bài toán đó đề cao kỹ năng biến đổi, kỹ năng trình bày, khả năng lập luận trên những số liệu cụ thể, giả thiết cụ thể, trong tình trạng “mắt thấy, tai nghe” nhưng khi làm những bài toán liên quan đến “Hàm số ẩn, hàm số hợp”học sinh chủ yếu sử dụng sự suy luận logic, sự tương tự hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa, phác họa, mô phỏng hay dự đoán dựa trên những hình ảnh về đồ thị hay bảng biến thiên có trong giả thiết bài toán.

2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến Báo cáo sáng kiến kinh nghiệm là một Chuyên đề bao gồm 8 Chủ đề, trong mỗi Chủ đề được trình bày theo cấu trúc gồm hai phần: Phần 1: Kiến thức cơ sở: Bao gồm các kiến thức, lý thuyết cơ bản, cốt lõi và các kiến thức mở rộng, các kết quả mang tính chất tổng quát hóa được sử dụng để giải nhanh, cho kết quả chính xác các ví dụ minh họa điển hình có trong phần 2.

Phần 2: Các ví dụ minh họa điển hình: Bao gồm các ví dụ minh họa, đặc trưng cho các đơn vị kiến thức trọng tâm khác nhau trong chủ đề. Các ví dụ này được sắp xếp với mức độ khó tăng dần và tập trung chủ yếu vào hai cấp độ: Vận dụng thấp và vận dụng cao. Để giải quyết được các ví dụ trong mỗi chủ đề, học sinh cần đến sự hỗ trợ đắc lực của Phần 1: Kiến thức cơ sởtrong chủ đề đó. Ngoài ra học sinh cần huy động tổng lực các phương pháp khác, chẳng hạn như: Phương pháp suy luận logic, phương pháp tương tự hóa, tổng quát hóa hay đặc biệt hóa bài toán như ví dụ sau đây: Ví dụ 3.10.(Đề thi thửTHPT Quốc Gia Chuyên LHP Nam Định năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây: x f '( x )

2

1

−∞

+

f ( x)

0

−

0

+∞ +

11

4 Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ −10; 10] để đồ thị hàm số

y = f ( x ) + m có 11 điểm cực trị?

6

A. 5.

B. 6.

C. 7.

D. 8.

Trong mỗi chủ đề các ví dụ được sắp xếp theo một thứ tự logic, có tính kết nối giữa các ví dụ với nhau tạo thành một thể thống nhất. Các chủ đề trong chuyên đề cũng có mối liên hệ mật thiết với nhau, chẳng hạn giữa chủ đề 3: “Cực trị” và chủ đề 5 “Sự tương giao” thông qua ví dụ sau:

Ví dụ 3.11.Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ . Biết đồ thị của hàm số y = f ( x ) như hình vẽ bên.  1  g ( x) =    2017 

Xét f ( x) 20

 1  −   2018 

hàm f ( x) 20

số

, x ∈ ℝ. Số điểm cực trị

của hàm số y = g ( x ) trên [ −3; 5] là

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 Chuyên đề này tập trung nhiều ý tưởng mới mẻ và được quan tâm nhất, xuất hiện trong các đề thi với tần số lớn nhất là các bài toán trong chủ đề 7: Bài toán liên

quan đến đồ thị của đạo hàm y = f ' ( x ) và những bài toán có tính gợi mở mà tôi sẽ tiếp tục phát triển viết chuyên sâu hơn trong thời gian tiếp theo là những bài toán trong chủ đề 8: Tích phân của hàm số ẩn và ứng dụng của tích phân.

Đặc biệt trong mỗi ví dụ kết thúc bằng những bình luận sắc bén nhằm nhấn mạnh những điểm mấu chốt của bài toán và đưa ra các cách giải khác để so sánh ưu điểm, nhược điểm với phương pháp đã trình bày để làm tăng thêm sự phong phú đa dạng cho lời giải của bài toán. Qua đó học sinh thấy được những dấu hiện nổi bật của bài toán để lựa chọn phương pháp giải toán cho phù hợp với hình thức thi dưới dạng trắc nghiệm. Như vậy phần bình luận nhằm tổng kết lại phương pháp đã sử dụng và đưa ra những phương hướng mới cho lời giải bài toán hay phát triển bài toán thành một lớp bài toán rộng hơn, chuyên sâu hơn nhằm giúp học sinh có góc nhìn đầy đủ, thấy

được bức tranh toàn cảnh của bài toán, của vấn đề và học sinh sẽ tự tin hơn, cảm thấy có hứng thú hơn khi giải các bài toán tương tự trong chuyên đề. Sau đây tôi trình bày những nội dung cụ thể của giải pháp trong sáng kiến.

7

Chủ đề 1. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ẨN, HÀM SỐ HỢP A. KIẾN THỨC CƠ SỞ.

1. Bài toán cơ bản về phương trình tiếp tuyến. a. Định lí 1: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên khoảng ( a; b ) và có đạo hàm tại x0 ∈ ( a; b ) . Gọi ( C ) là đồ thị của hàm số đó. Gọi k∆ là hệ số góc của tiếp tuyến

∆ với đồ thị ( C ) tại điểm M ( x0 ; f ( x0 ) ) thì ta có k ∆ = f ' ( x0 ) . b. Định lí 2: Phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị ( C ) của hàm số y = f ( x ) tại điểm M ( x0 ; f ( x0 ) ) có phương trình y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 ) .

2. Một số kết quả cơ bản thường sử dụng.

Gọi k∆ là hệ số góc của tiếp tuyến ∆ và k d là hệ số góc của đường thẳng d. Khi đó ta có một số kết quả cơ bản thường được sử dụng sau đây: +) Nếu tiếp tuyến ∆ song song với đường thẳng d thì ta có k ∆ = k d . +) Tiếp tuyến ∆ vuông góc với đường thẳng d khi và chỉ khi k ∆ .k d = −1. +) Nếu tiếp tuyến ∆ tạo với đường thẳng d một góc α thì cos α =

hoặc tan α =

1 + k∆ kd 1 + k∆ 2 1 + kd 2

k∆ − kd .

1 + k∆ kd

+) Đặc biệt: Nếu tiếp tuyến ∆ tạo với trục hoành một góc α thì k∆ = tan α . Ngoài ra nếu tuyến ∆ tạo với chiều dương của trục hoành một góc α thì k∆ = tan α .

3. Công thức đạo hàm của hàm số hợp. Định lí: Nếu hàm số u = g ( x ) có đạo hàm tại x là u 'x và hàm số y = f ( u ) có đạo hàm tại là u là y 'u thì hàm hợp y = f ( g ( x ) ) có đạo hàm tại x là y 'x = y 'u .u 'x .

4. Một số kiến thức mở rộng.

Trong bài học này ngoài việc học sinh nắm được kiến thức cơ bản như phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm, các công thức liên quan đến hệ số góc 8

của tiếp tuyến, công thức tính đạo hàm của hàm sốhợp thì học sinh cần biết đến kỹ thuật lấy đạo hàm hai vế, kỹ thuật đồng nhất hệ số. Chẳng hạn ta có đẳng thức ax = 0, ∀x ∈ ℝ thì hệ số a = 0 hay đẳng thức ax + 2019 = 2018x + 2019, ∀x ∈ ℝ thì hệ số

a = 2018 hay ax2 + bx + 2019 = 2017x2 + 2018x + 2019, ∀x ∈ℝ thì

a = 2017

và

b = 2018

B. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA ĐIỂN HÌNH. Ví dụ 1.1.(Đề thi thửTHPT Quốc GiaKim Liên Hà Nội năm học 2017-2018) Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y = f ( x ) . Biết rằng tại các điểm A, B, C đồ thị hàm số có tiếp tuyến được thể hiện trên hình vẽ. Hỏi

mệnh đề

nào dưới đây đúng?

A. f ' ( xC ) < f ' ( x A ) < f ' ( xB ) .

B. f ' ( xB ) < f ' ( x A ) < f ' ( xC ) .

y = f ( x)

C. f ' ( x A ) < f ' ( xB ) < f ' ( xC ) .

D. f ' ( x A ) < f ' ( xC ) < f ' ( xB ) .

Hướng dẫn:

+) Gọi ∆1 , ∆ 2 , ∆ 3 lần lượt là tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = f ( x ) tại các điểm A, B, C . Gọi k1 , k2 , k3 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến ∆1 , ∆ 2 , ∆ 3 . Khi đó ta có

k1 = f ' ( x A ) , k2 = f ' ( xB ) , k3 = f ' ( xC ) . +) Mặt khác tiếp tuyến ∆1 song song với trục hoành nên có hệ số góc k1 = 0, suy ra f ' ( xA ) = 0 và tiếp tuyến ∆ 2 tạo với chiều dương của trục hoành một góc α thỏa mãn 900 < α < 1800 nên có hệ số góc k 2 = tan α < 0, suy ra f ' ( xB ) < 0. Cuối cùng tiếp

tuyến ∆ 3 tạo với chiều dương của trục hoành một góc β thỏa mãn 00 < β < 900 nên có hệ số góc k3 = tan β > 0, suy ra f ' ( xC ) > 0. Tóm lại f ' ( xB ) < f ' ( x A ) < f ' ( xC ) . Chọn

B. Bình luận: Đây là một bài toán đẹp về hình thức và cấu trúc đề bài lẫn nội dung lời giải. Bài toán mang tính chất định tính, thiên về lý thuyết nhằm kiểm tra kiến thức cơ 9

bản của học sinh về công thức tính hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại 1 điểm cho trước. Đồng thời bài toán kiểm tra được khả năng quan sát tinh tế của học sinh, quan sát về góc tạo bởi tiếp tuyến của đồ thị hàm số với trục hoành. Vì thế bài toán có sự phân hóa rất tốt giữa đối tượng học sinh trung bình và học sinh khá.

Ví dụ 1.2.Cho hàm số y = f ( x ) xác định và có đạo hàm trên ℝ, thỏa mãn đẳng thức

f ( 2 x ) = 4 f ( x ) cos x − 2 x, ∀x ∈ ℝ. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại giao điểm của đồ thị với trục tung.

A. y = 2 − x

B. y = − x.

C. y = x

D. y = 2 x −1.

Hướng dẫn: +) Theo giả thiết ta có f ( 2 x ) = 4 f ( x ) cos x − 2 x, ∀x ∈ ℝ. (1) Thay x = 0 vào 2 vế của đẳng thức trên ta được f ( 0 ) = 4 f ( 0 ) ⇔ f ( 0 ) = 0. +) Ngoài ra tiếp tục lấy đạo hàm 2 vế của đẳng thức (1) ta được 2 f ' ( 2 x ) = 4 f ' ( x ) cos x − 4 f ( x ) sin x − 2, ∀x ∈ℝ. ( 2 )

Thay x = 0 vào 2 vế của đẳng thức trên ta được 2 f ' ( 0) = 4 f ' ( 0) − 2 ⇔ f ' ( 0) = 1. +)Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm O ( 0; 0 ) là ∆ : y = f ' ( 0 )( x − 0 ) + f ( 0 ) = 1( x − 0 ) + 0 = x . Chọn C

Bình luận: Bài toán chưa cho hàm số y = f ( x ) một cách tường minh mà chỉ mô ta thông qua một đẳng thức, điều này làm cho học sinh khá lúng túng, vì trước đó học sinh chỉ được tiếp cận với những bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số cho trước công thức rõ ràng. Trước bài toán khá lạ này học sinh cần có những suy luận nhất

định, chẳng hạn ta cần đi tìm các đại lượng f ( 0 ) và f ' ( 0 ) . Từ giả thiết f ( 2 x ) = 4 f ( x ) cos x − 2 x, ∀x ∈ ℝ, học sinh lựa chọn một giá trị thích hợp là x = 0 để thay vào đẳng thức trên tìm được f ( 0 ) , sau đó để tính được f ' ( 0 ) thì một kỹ năng quan trọng ở dạng toán này là đạo hàm hai vế và tính thành thao đạo hàm của hàm số hợp, cuối cùng thay giá trị thích hợp là x = 0 vào hai vế thu được.

10

Ví dụ 1.3.(Đề thi thửTHPT Quốc GiaChuyên Hà Tĩnh lần 2 năm học 20172018)Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn đẳng thức 2 f ( 2 x ) + f (1 − 2 x ) = 12 x 2 , ∀x ∈ ℝ. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y = f ( x ) tại điểm có hoành độ bằng 1.

A. y = 2 x + 2.

B. y = 4 x − 6.

C. y = 2 x − 6.

D. y = 4 x − 2.

Hướng dẫn: +) Từ giả thiết 2 f ( 2 x ) + f (1 − 2 x ) = 12 x 2 , ∀x ∈ ℝ (1) .

Thay x = 0 và x =

1 vào đẳng thức (1) ta được 2

2 f ( 0 ) + f (1) = 0  f ( 0 ) = −1 ⇔ .  f + f = f = 0 2 1 3 1 2 ( ) ( ) ( )  

+) Lấy đạo hàm 2 vế đẳng thức (1), ta được đẳng thức

4 f ' ( 2 x ) − 2 f ' (1 − 2 x ) = 24 x, ∀x ∈ ℝ Thay x = 0 và x =

( 2) .

1 vào đẳng thức (2) ta được 2

2 f '( 0) − f '(1) = 0  f '( 0) = 2 ⇔ .  2 f '(1) − f '( 0) = 6  f '(1) = 4

+) Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm M (1; 2 ) là

∆ : y = f ' (1) .( x − 1) + f (1) = 4 ( x − 1) + 2 = 4 x − 2. Chọn D. Bình luận: Ý tưởng của bài toán có sự khác biệt với bài toán trước, bài toán được nâng cấp ở mức tư duy cao hơn. Nếu như bài toán trước chỉ cần lựa chọn 1 giá trị của x để tìm tung độ của tiếp điểm và hệ số góc của tiếp tuyến thì ở bài toán này học sinh phải lựa chọn 2 giá trị của x thích hợp là x = 0 và x =

1 thu được hệ phương trình để tìm 2

được f (1) và f ' (1) , từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến.

Ví dụ 1.4.(Đề thi thửTHPT Quốc GiaHoàng Văn Thụ lần 1 năm học 20172018)Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị là ( C ) , có đạo hàm trên tập số thực ℝ vàthỏa mãn

11

f 2 (1 + 2 x ) = x − f 3 (1 − x ) , ∀x ∈ ℝ. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm

có hoành độ bằng 1.

1 6 A. y = − x − .

7 7

1 6 B. y = − x + .

7 7

C. y =

1 6 x− .

7 7

D. y =

1 6 x+ .

7 7

Hướng dẫn: +) Từ giả thiết f 2 (1 + 2 x ) = x − f 3 (1 − x ) , ∀x ∈ ℝ

(1) .

 f (1) = 0 2 3 f 1 + f 1 = 0 ⇔ . ( ) ( )  Thay x = 0 vào đẳng thức (1) ta được f 1 = − 1 ( )  +) Lấy đạo hàm 2 vế đẳng thức (1), ta được đẳng thức

4 f (1 + 2 x ) f ' (1 + 2 x ) = 1 + 3 f 2 (1 − x ) f ' (1 − x ) , ∀x ∈ ℝ

( 2).

2 Thay x = 0 vào đẳng thức (2) ta được 3 f ' (1) . f (1) − 4 f (1) . f ' (1) + 1 = 0 ( 3) .

Trường hợp 1: Với f (1) = 0 thay vào đẳng thức (3) không thỏa mãn.

1 Trường hợp 2: Với f (1) = −1 thay vào đẳng thức (3) ta được f ' (1) = − .

7 +) Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm M (1; − 1) là

∆ : y = f ' (1) .( x − 1) + f (1) = −

1 1 6 ( x − 1) − 1 = − x − . Chọn A. 7 7 7

Bình luận: Kỹ thuật để giải bài toán này giống hệt bài toán trên nhưng kỹ năng tính toán cao hơn khi học sinh phải tính đạo hàm của những hàm số hợp phức tạp (2 lần hàm hợp). Điều này dẫn đến học sinh có những sai sót nhất định khi phải giải quyết bài toán trong thời gian ngắn.

Ví dụ 1.5.(Đề thi học sinh giỏi Thành Phố Hồ Chí Minh năm học 2017-2018)Cho hàm số

y = f ( x ) xác định và có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn đẳng thức

f 2 ( − x ) = ( x 2 + 2 x + 4 ) f ( x + 2 ) , f ( x ) ≠ 0, ∀x ∈ ℝ. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm có hoành độ bằng 0.

12

A. y = −2 x + 4.

B. y = −2 x − 4.

C. y = 2 x + 4.

D.

y = 2 x − 4.

Hướng dẫn:

(

)

2 2 +) Từ giả thiết f ( − x ) = x + 2 x + 4 f ( x + 2 ) , ∀x ∈ ℝ

(1) .

2  f ( 0 ) = 4 f ( 2 )  f ( 0 ) = 4 ⇔ .

Thay x = 0 và x = −2 vào đẳng thức (1) ta được  2 f 2 = 4  f ( 2 ) = 4 f ( 0 )  ( )

+) Lấy đạo hàm 2 vế đẳng thức (1), ta được đẳng thức

−2 f ( − x ) f ' ( − x ) = ( 2 x + 2 ) f ( x + 2 ) + ( x 2 + 2 x + 4 ) f ' ( x + 2 ) , ∀x ∈ ℝ

( 2).

2 f '( 0) + f '( 2) + 2 = 0  f '( 0) = −2 . ⇔ Thay x = 0 và x = −2 vào đẳng thức (2) ta được  f f f ' 0 2 ' 2 2 0 ' 2 2 + − = = ( ) ( ) ( )   Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm M ( 0;4 ) là

∆ : y = f ' ( 0 ) .( x − 0 ) + f ( 0 ) = −2 ( x − 0 ) + 4 = −2 x + 4. Chọn A. Bình luận: Kỹ năng tính đạo hàm của học sinh trong bài toán này được đẩy lên mức cao hơn khi phải tính đạo hàm của hàm số hợp và của biểu thức dạng tích. Điều này dẫn

đến kết quả đạo hàm khá cồng kềnh và học sinh dễ nhầm lẫn trong quá trình tính toán.

Ví dụ 1.6.(Đề thi thửTHPT Quốc GiaChuyên Lam Sơn lần 3 năm học 20172018)Cho hàm số

f ( x ) ≠ 0, ∀x ∈ ℝ

y = f ( x ) và y = g ( x ) đều có đạo hàm trên

ℝ thỏa mãn

3 2 2 và f ( 2 − x ) − 2 f ( 2 + 3 x ) + x g ( x ) + 36 x = 0, ∀x ∈ ℝ. Viết

phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm có hoành độ bằng 2.

A. y = x. B. y = x − 4. C. y = 2 x + 4. D. y = 2 x − 4.

Hướng dẫn: 3 2 2 +) Từ giả thiết f ( 2 − x ) − 2 f ( 2 + 3 x ) + x g ( x ) + 36 x = 0, ∀x ∈ ℝ.

(1) .

 f ( 2) = 0 3 2 f 2 − 2 f 2 = 0 ⇔ ( ) ( )  Thay x = 0 vào đẳng thức (1) ta được  f ( 2 ) = 2 Theo giả thiết f ( x ) ≠ 0, ∀x ∈ ℝ nên f ( 2 ) = 2. +) Lấy đạo hàm 2 vế đẳng thức (1), ta được đẳng thức 13

−3 f 2 ( 2 − x ) f ' ( 2 − x ) − 12 f ( 2 + 3 x ) f ' ( 2 + 3 x ) + 2 xg ( x ) + x 2 g ' ( x ) + 36 = 0, ∀x ∈ ℝ. ( 2 ) .

2 Thay x = 0 vào (2) ta được −3 f ( 2 ) f ' ( 2 ) − 12 f ( 2 ) f ' ( 2 ) + 36 = 0 ⇔ f ' ( 2 ) = 1.

+) Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm M ( 2; 2 ) là

∆ : y = f ' ( 2 ) .( x − 2 ) + f ( 2 ) = 1( x − 2 ) + 2 = x. Chọn A. Bình luận: Điểm mới mẻ của bài toán so với các bài toán trước là giả thiết có sự xuất hiện của hàm số y = g ( x ) , điều này dẫn đến học sinh tỏ ra khá lưỡng lự khi đưa ra phương án giải quyết bài toán. Tuy nhiên do cấu trúc đặc biệt nên khi thay giá trị thích hợp x = 0 thì kết quả thu được không phụ thuộc vào hàm số y = g ( x ) .

Ví dụ 1.7.Cho hai hàm số y = f ( x ) và y = f ( f ( x ) ) có đạo hàm liên tục trên ℝ . Gọi

( C1 ) , ( C2 )

lần lượt là đồ thị của các hàm số y = f ( x ) và y = f ( f ( x ) ) . Biết tiếp tuyến

của đồ thị ( C1 ) tại điểm có hoành độ bằng 1 có phương trình là y = x. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C2 ) tại điểm có hoành độ bằng 1.

A. y = x + 2.

B. y = x − 1.

C. y = x.

D.

y = 2 x + 2018.

Hướng dẫn: +) Xét hàm số y = f ( x ) có đồ thị là ( C1 ) . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C1 ) tại

điểm có hoành độ bằng 1 là ∆ : y = f ' (1)( x − 1) + f (1) = f ' (1) x + f (1) − f ' (1) = x. Từ đó suy ra f ' (1) = f (1) = 1.

+) Xét hàm số y = g ( x ) = f ( f ( x ) ) có đồ thị là ( C2 ) . Gọi Mlà điểm có hoành độ bằng 1 thuộc đồ thị ( C2 ) . Khi đó g (1) = f ( f (1) ) = f (1) = 1, suy ra điểm M (1; 1) .

Ta có g ' ( x ) = f ' ( f ( x ) ) f ' ( x ) , ∀x ∈ ℝ. Khi đó g ' (1) = f ' ( f (1) ) f ' (1) = f ' (1) f ' (1) = 1 . +) Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C2 ) tại điểm M (1; 1) là d : y = g ' (1)( x − 1) + g (1) = 1( x − 1) + 1 = x . Chọn C.

14

Bình luận: Cấu trúc và ý tưởng của bài toán đã rẽ sang một hướng khác và vì thế kỹ thuật xử lí bài toán đã thay đổi để thích ứng với yêu cầu đặt ra. Đây là mô hình bài toán có sự kết hợp 2 hay nhiều hàm số. Bài toán cho biết phương trình tiếp tuyến của đồ thị này, yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị kia. Bài toán khá lạ và mới mẻ và lời giải bài toán dựa trên kỹ thuật đồng nhất và sự suy luận logic hết sức tự nhiên.

(

)

Ví dụ 1.8.Cho các hàm số y = f ( x ) , y = f ( f ( x ) ) , y = f x 2 + 4 có đồ thị lần lượt là

( C1 ) , ( C2 ) , ( C3 ) .

Biết phương trình tiếp tuyến của các đồ thị ( C1 ) , ( C2 ) tại điểm có

hoành độ bằng 1 lần lượt có phương trình y = 2 x + 1, y = 6 x + 1. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C3 ) tại điểm có hoành độ bằng 1 là

A. y = 12 x − 5.

B. y = 6 x − 3.

C. y = 24 x − 21.

D.

y = 12 x − 9.

Hướng dẫn: +) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C1 ) tại điểm M (1; f (1) ) là

∆1 : y = f ' (1) .( x − 1) + f (1) = f ' (1) .( x − 1) + f (1) = 2 x + 1.  f ' (1) = 2  f ' (1) = 1 Đồng nhất hệ số, ta được  ⇔ .  f (1) − f ' (1) = 1  f (1) = 3

+) Xét hàm số y = g ( x ) = f ( f ( x ) ) có đạo hàm g ' ( x ) = f ' ( f ( x ) ) f ' ( x ) .

Khi

đó

g ' (1) = f ' ( 3) . f ' (1) = f ' ( 3)

và

điểm

(

N ∈ ( C2 ) ⇒ N 1; f ( f (1) )

N (1; f ( 3) ) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C2 ) tại điểm N (1; f ( 3) ) là

∆ 2 : y = g ' (1) .( x − 1) + f ( 3) = f ' ( 3 ) .( x − 1) + f ( 3) = 6 x + 1.  f ' ( 3) = 6  f ' ( 3) = 6 Đồng nhất hệ số, ta được  ⇔ . − f ' 3 + f 3 = 1 f 3 = 7 ( ) ( ) ( )  

(

)

(

)

2 2 +) Xét hàm số y = h ( x ) = f x + 2 có đạo hàm h ' ( x ) = 2 x. f ' x + 2 .

Khi đó h ' (1) = 2 f ' ( 3) = 12 và điểm P ∈ ( C3 ) ⇒ P (1; f ( 3) ) hay P (1; 7 ) 15

)

hay

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C3 ) tại điểm P (1; 7 ) là ∆ 3 : y = h ' (1) .( x − 1) + 7 = 12.( x − 1) + 7 = 12 x − 5. Chọn A.

Bình luận: Bài toán đã có sự tăng cường về số lượng hàm số tham gia bài toán. Để hoàn thành bài toán thì học sinh phải trải qua nhiều bước trung gian. Rèn luyện cho học sinh tư duy kế thừa, biết vận dụng kết quả có được ở bước trước để vận dụng thực hiện bước sau. Chẳng hạn sau khi khai thác giả thiết phương trình tiếp tuyến của hàm số y = f ( x ) , học sinh vận dụng kết quả có được để khai thác tiếp phương trình tiếp tuyến của hàm số y = g ( x ) = f ( f ( x ) ) cuối cùng vận dụng kết quả thu được từ hai hàm số

(

)

trên để khai thác tiếp hàm số y = h ( x ) = f x 2 + 4 . Bên cạnh đó kỹ năng làm việc với những hàm số hợp cũng được đề cao trong bài toán này.

Ví dụ 1.9.(Đề thi thửTHPT Quốc GiaSở Hà Tĩnh nămhọc 2017-2018)

(

)

2 Cho các hàm số y = f ( x ) , y = f ( f ( x ) ) , y = f x + 4 có đạo hàm trên ℝ vàcó đồ thị

lần lượt là

( C1 ) , ( C2 ) , ( C3 ) .

Đường thẳng x = 1 cắt

( C1 ) , ( C2 ) , ( C3 )

lần lượt tại

M , N , P. Biết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C1 ) tại điểm M và của đồ thị ( C2 ) tại

điểm N có phương trình y = 3x + 2 và y = 12 x − 5. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị

( C3 )

tại điểm P là

A. y = 8 x − 1.

B. y = 4 x + 3.

C. y = 2 x + 5.

D. y = 3 x + 4.

Hướng dẫn: +) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C1 ) tại điểm M (1; f (1) ) là ∆1 : y = f ' (1) .( x − 1) + f (1) = f ' (1) .( x − 1) + f (1) = 3 x + 2.  f ' (1) = 3  f ' (1) = 3 Đồng nhất hệ số, ta được  ⇔ .  f (1) − f ' (1) = 2  f (1) = 5

+) Xét hàm số y = g ( x ) = f ( f ( x ) ) có đạo hàm g ' ( x ) = f ' ( f ( x ) ) f ' ( x ) , ∀x ∈ ℝ.

16

Khi

đó

g '(1) = f '( f (1) ) f '(1) = 3 f '( 5)

và

điểm

(

N ∈( C2 ) ⇒ N 1; f ( f (1) )

)

hay

N (1; f ( 5 ) ) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C2 ) tại điểm N (1; f ( 5 ) ) là ∆ 2 : y = g ' (1) .( x − 1) + f ( 5 ) = 3 f ' ( 5 ) .( x − 1) + f ( 5 ) = 12 x − 5.  3 f ' ( 5 ) = 12  f ' ( 5 ) = 4 Đồng nhất hệ số, ta được  ⇔ . − 3 f ' 5 + f 5 = − 5 f 5 = 7 ( ) ( ) ( )  

(

)

(

)

2 2 +) Xét hàm số y = h ( x ) = f x + 4 có đạo hàm h ' ( x ) = 2 xf ' x + 4 , ∀x ∈ ℝ.

Khi đó h ' (1) = 2 f ' ( 5) = 8 và điểm P ∈ ( C3 ) ⇒ P (1; f ( 5) ) hay P (1; 7 ) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C3 ) tại điểm P (1; 7 ) là ∆ 3 : y = h ' (1) .( x − 1) + 7 = 8. ( x − 1) + 7 = 8 x − 1. Chọn A.

Bình luận. Kỹ thuật xử lí bài toán này giống hệt bài toán trước, tuy nhiên cách ra đề theo kiểu luyến lái, cách điệu, không tường minh so với bài toán trước đã làm học sinh gặp nhiều khó khăn hơn.

Ví dụ 1.10.(Đề thi thửTHPT Quốc Gia Quảng Ngãi lần 1 năm học 2017-2018)Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại x = 1. Gọi d1 , d 2 lần lượt là tiếp tuyến của các đồ thị hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) = xf ( 2 x − 1) tại điểm có hoành độ bằng 1. Biết rằng hai đường thẳng d1 , d 2 vuông góc với nhau. Hỏi mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. 2 < f (1) < 2.

B.

f (1) ≤ 2.

C.

f (1) ≥ 2 2.

D.

2 ≤ f (1) ≤ 2 2.

Hướng dẫn: +) Ta có tiếp tuyến d1 của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm có hoành độ bằng 1 có hệ số góc là k1 = f ' (1) .

17

+) Xét hàm số y = g ( x ) = xf ( 2 x − 1) có đạo hàm g ' ( x ) = f ( 2 x − 1) + 2 xf ' ( 2 x − 1) .

Khi đó tiếp tuyến d 2 của đồ thị hàm số y = g ( x ) tại điểm có hoành độ bằng 1 có hệ số góc là k2 = g ' (1) = f (1) + 2 f ' (1) . +)

Theo

giả

thiết

hai

tiếp

d1 , d 2

tuyến

vuông

góc

vớ i

nhau

nên

2

k1k2 = −1 ⇒ f ' (1) ( f (1) + 2 f ' (1) ) = −1 ⇔ 2 ( f ' (1) ) + f ' (1) f (1) + 1 = 0 ( *) .

Coi phương trình (*) là phương trình ẩn t = f ' (1) . Điều kiện để phương trình có 2

2

nghiệm là ∆ ≥ 0 ⇔ ( f (1) ) − 8 ≥ 0 ⇔ ( f (1) ) ≥ 8 ⇔ f (1) ≥ 2 2. Chọn C.

Bình luận: Bài toán đã có ý tưởng khác biệt so với những bài toán ở trên khi không yêu cầu trực tiếp là viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số mà hỏi vấn đề liện quan

đến tiếp tuyến. Cụ thể bài toán đề cập đến mô hình 2 hàm số ứng với 2 đồ thị, bàn về mối quan hệ hệ số góc của 2 tiếp tuyến. Kỹ thuật xử lí bài toán là trước hết học sinh cần nắm được công thức tính hệ số góc của tiếp tuyến, mối quan hệ về hệ số góc của 2 tiếp tuyến vuông góc,sau đó điểm nhấn và là mấu chốt của lời giải bài toán là học sinh phải 2

nhìn ra đẳng thức 2 ( f ' (1) ) + f ' (1) f (1) + 1 = 0 là phương trình bậc haiẩn t = f '(1)

Ví dụ 1.11.(Đề thi thửTHPT Quốc Gia Cổ Loa lần 2 năm học 2017-2018)Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại x = 2 . Gọi d1 , d 2 lần lượt là tiếp tuyến của các đồ thị hàm 2 số y = f ( x ) và y = g ( x ) = x f ( 3x − 4 ) tại điểm có hoành độ bằng 2. Biết rằng hai

đường thẳng d1 , d 2 vuông góc với nhau. Hỏi mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. 3 < f ( 2 ) < 2.

B.

f ( 2 ) ≤ 3.

C.

f ( 2 ) ≥ 3.

D.

2 ≤ f ( 2 ) ≤ 2 3.

Hướng dẫn: +) Ta có tiếp tuyến d1 của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm có hoành độ bằng 2 có hệ số góc là k1 = f ' ( 2 ) .

2 2 +) Xét hàm số y = g ( x ) = x f ( 3x − 4 ) có g ' ( x ) = 2xf ( 3x − 4) + 3x f ' ( 3x − 4) , ∀x ∈ℝ.

18

Khi đó tiếp tuyến d 2 của đồ thị hàm số y = g ( x ) tại điểm có hoành độ bằng 2 có hệ số góc là k2 = g ' ( 2 ) = 4 f ( 2 ) + 12 f ' ( 2 ) .

d1 , d 2 vuông góc với nhau nên k1k2 = −1

+) Theo giả thiết hai tiếp tuyến

2

⇒ f ' ( 2 ) ( 4 f ( 2 ) + 12 f ' ( 2 ) ) = −1 ⇔ 12 ( f ' ( 2 ) ) + 4 f ( 2 ) f ' ( 2 ) + 1 = 0 ( *) . Coi phương trình (*) là phương trình ẩn t = f ' ( 2 ) . Điều kiện để phương trình có nghiệm là 2

2

∆ ' ≥ 0 ⇔ ( 2 f ( 2 ) ) − 12 ≥ 0 ⇔ ( f ( 2 ) ) ≥ 3 ⇔ f ( 2 ) ≥ 3. Chọn C. Bình luận: Bài toán có cấu trúc giống hệt bài toán trước, chỉ có điều chỉnh nhỏ về độ phức tạp của biểu thức hàm số. Với sự trải nghiệm của bài toán trước, học sinh dễ dàng chinh phục được bài toán này.

Ví dụ 1.12.(Đề thi thửTHPT Quốc GiaChuyên Thái Bình năm học 2017-2018)Cho các hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) , y = h ( x ) =

f ( x) . Hệ số góc của các tiếp tuyến 3 − g ( x)

của các đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ x0 = 2018 bằng nhau và khác 0. Hỏi khẳng định nào sau đây là đúng?

1 4

1 4

1 4

1 4

A. f ( 2018 ) ≥ − . B. f ( 2018 ) ≤ − . C. f ( 2018 ) ≥ .

D. f ( 2018 ) ≤ .

Hướng dẫn: +) Xét hàm số y = h ( x ) =

Khi đó h ' ( 2018 ) =

f '( x ) ( 3 − g ( x ) ) + f ( x ) g '( x ) f ( x) . , ta có h ' ( x ) = 2 3 − g ( x) (3 − g ( x))

f ' ( 2018 ) ( 3 − g ( 2018 ) ) + f ( 2018 ) g ' ( 2018 )

( 3 − g ( 2018 ) )

2

(1) .

Theo giả thiết f ' ( 2018 ) = g ' ( 2018 ) = h ' ( 2018 ) ≠ 0 nên đẳng thức (1) trở thành h ' ( 2018) =

hay

f ' ( 2018) ( 3 − g ( 2018) + f ( 2018) )

( 3 − g ( 2018) ) ( g ( 2018 ) )

2

2

⇔1=

3 − g ( 2018) + f ( 2018)

( 3 − g ( 2018) )

− 5 g ( 2018 ) − f ( 2018 ) + 6 = 0 ( 2 ) .

19

2

Ở đây ta xem (2) là phương trình bậc 2 ẩn t = g ( 2018) . Điều kiện để phương trình (2) có 1 4

nghiệm là ∆ = 25 − 4 ( 6 − f ( 2018 ) ) ≥ 0 ⇔ 1 + 4 f ( 2018 ) ≥ 0 ⇔ f ( 2018 ) ≥ − . Chọn A.

Bình luận: Đây là bài toán đẹp cả về hình thức, cấu trúc đề bài lẫn nội dung lời giải. Bài toán có sự tham gia cả 3 loại hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) , y = h ( x ) khiến nhiều học sinh chưa thể định hình ngay được cách giải. Lời giải bài toán xuất phát từ việc khai thác đạo hàm của hàm số h ( x ) , từ đó biết vận dụng giả thiết f ' ( 2018) = g ' ( 2018) = h ' ( 2018) ≠ 0

( g ( 2018) )

2

để

thu

được

phương

trình

bậc

2

là

− 5 g ( 2018 ) − f ( 2018 ) + 6 = 0. Bài toán có sự phân hóa rất tốt học sinh có

học lực trung bình và học sinh có học lực khá.

20

Chủ đề 2. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ẨN, HÀM SỐ HỢP A. KIẾN THỨC CƠ SỞ.

Cho K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng nào đó của ℝ và hàm số y = f ( t ) liên tục trên miền K. Khi đó ta có một số kết quả sau đây:

1. Cho hàm số y = f ( t ) đơn điệu trên K. Khi đó với mọi u , v thuộc tập K thỏa mãn phương trình f ( u ) = f ( v ) khi và chỉ khi u = v .

2. Cho hàm số y = f ( t ) đồng biến trên K. Khi đó với mọi u, v thuộc tập K thỏa mãn bất phương trình f ( u ) > f ( v) khi và chỉ khi u > v .

3. Cho hàm số y = f ( t ) nghịch biến trên K. Khi đó với mọi u, v thuộc tập K thỏa mãn bất phương trình f ( u ) > f ( v ) khi và chỉ khi u < v .

4. Cho hàm số y = f ( x ) đơn điệu trên K thì trên K, phương trình f ( x ) = 0 có nhiều nhất một nghiệm. Điều đó cũng có nghĩa là trên K, phương trình f ( x ) = 0 nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

5. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên khoảng

( a, b ) .

Nếu trên khoảng

* phương trình f ' ( x ) = 0 có n ( n ∈ ℕ ) nghiệm phân biệt thì trên khoảng

( a, b ) ( a, b )

phương trình f ( x ) = 0 có không quá n + 1 nghiệm phân biệt. Cần lưu ý là kết quả này khi sử dụng phải chứng minh, chúng ta nên dùng nó như một dấu hiệu để nhận biết, còn khi trình bày vào bài làm thì nên lập bảng biến thiên của hàm số f ( x ) trên khoảng ( a, b ) .

6. Giải phương trình bằng phương pháp hàm số đại diện có nghĩa là chúng ta biến đổi phương trình đã cho về dạng f ( u ( x) ) = f ( v ( x) ) , x ∈ K . Trong đó hàm số y = f ( t ) là hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng

( a; b )

và

các biểu thức

u ( x) , v ( x) ∈( a; b) , ∀x ∈ K. Khi đó phương trình f ( u ( x) ) = f ( v ( x) ) ⇔ u ( x) = v ( x) .

7. Giải bất phương trình bằng phương pháp hàm số đại diện có nghĩa là ta biến đổi bất phương trình đã cho về dạng f ( u ( x ) ) > f ( v ( x ) ) , x ∈ K . Trong đó hàm số 21

y = f ( t ) là hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng ( a; b ) và các biểu thức

u ( x ) , v ( x ) ∈ ( a; b ) , ∀x ∈ K . Khi đó

a. Nếu hàm số y = f ( t ) đồng biến trên khoảng

( a; b )

thì bất phương trình

f (u ( x )) > f ( v ( x )) ⇔ u ( x ) > v ( x ) .

b. Nếu hàm số y = f ( t ) nghịch biến trên khoảng ( a; b ) thì bất phương trình f (u ( x )) > f ( v ( x )) ⇔ u ( x ) < v ( x ) .

B. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA ĐIỂN HÌNH. Ví dụ 2.1.Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình

vẽ

bên.

Xét

hàm

y = g ( x ) = f ( 2018 − x ) , x ∈ ℝ.

y = f ( x)

số Hỏi

hàm số y = g ( x ) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A. ( 2014; 2016 ) . B. ( 2016; 2017 ) .

4

C. ( 2017; 2018 ) . D. ( 2019; 2020 ) .

Hướng dẫn: +) Xét hàm số y = g ( x ) = f ( 2018 − x ) xác định và liên tụctrên ℝ , ta có

g ' ( x ) = f ' ( 2018 − x )( 2018 − x ) ' = − f ' ( 2018 − x ) , ∀x ∈ ℝ.

 −1 < 2018 − x < 1  2017 < x < 2019 ⇔ .

2 < 2018 − x < 3 2015 < x < 2016  

+) Khi đó g ' ( x ) < 0 ⇔ f ' ( 2018 − x ) > 0 ⇔ 

Khi đó hàm số y = g ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 2017; 2018 ) . Chọn C.

Bình luận: Ta xét bài toán tổng quát: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hoặc bảng biến thiên cho trước. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = g ( x ) = f ( u ( x ) ) .

Đối với bài toán này trước hết học sinh phải nắm vững công thức tính đạo hàm của hàm số hợp. Sau đó khai thác hình ảnh đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) để 22

lấy được nghiệm của bất phương trình g ' ( x ) > 0 hoặc g ' ( x ) < 0 , từ đó suy ra khoảng

đồng biến, nghịch biến của hàm số y = g ( x ) = f ( u ( x ) ) .

Trong bài toán này, học sinh có học lực trung bình gặp nhiều khó khăn khi giải bất phương trình f ' ( 2018 − x ) > 0 , ở đây ta đặt t = 2018 − x ta được f ' ( t ) > 0. Mặt khác từ

đồ thị của hàm số y = f ( x ) , ta suy ra hàm số y = f ( x ) đồng biến trên các khoảng

( −1; 1)

 −1 < x < 1  −1 < t < 1 , suy ra f ' ( t ) > 0 ⇔  . và ( 2; 3) . Khi đó f ' ( x ) > 0 ⇔  2 < x < 3 2 < t < 3    −1 < 2018 − x < 1

 2017 < x < 2019

Khi đó quay trở lại ẩn x, ta được  ⇔ .  2 < 2018 − x < 3  2015 < x < 2016 Bên cạnh lời giải theo hướng tự luận trên học sinh cần trang bị các cách giải nhanh bài toán theo hình thức Trắc nghiệm thông qua những suy luận logic, chẳng hạn từ  −1 < x < 1 −1 < 2018 − x < 1 2017 < x < 2019 f '( x) > 0 ⇔  , ta có f ' ( 2018 − x ) > 0 ⇔  ⇔ 2 < x < 3 2 < 2018 − x < 3   2015 < x < 2016

Để làm tăng độ phức tạp của dạng toán này chúng ta có thể điều chỉnh độ phức tạp của biểu thức u ( x ) để tăng mức độ kỹ năng tính đạo hàm hay giải bất phương trình, chẳng hạn

như

tìm

khoảng

đồng

biến,

nghịch

biến

 3x − 1  y = g1 ( x ) = f ( 2018 − x 2 ) , y = g2 ( x ) = f   , y = g3 ( x ) = f  x +1 

củ a

(

hàm

số

)

2018 − x .

Một hướng phát triển bài toán nữa là gắn thêm tham số m, chẳng hạn tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = g ( x ) = f ( x + m ) đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng cho trước. Khi đó bài toán sẽ phát sinh nhiều tình huống khó lường hơn.

Ví dụ 2.2.Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên

ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi hàm số 2017 f x − 2020 + 2018

2019 f x − 2020 )

( ) ( y = g ( x) = e +π nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A. ( 2016; 2018 ) .

B. ( 2017; 2019 ) .

( 2018; 2020 ) .

D. ( 2021; 2023) .

C.

23

y = f ( x)

Hướng dẫn: +) Xét hàm số y = g ( x ) = e

2017 f ( x − 2020 ) + 2018

Ta có g ' ( x ) = 2017 f ' ( x − 2020 ) e g ' ( x ) = f ' ( x − 2020 )  2017e 

+π

2019 f ( x − 2020 )

2017 f ( x − 2020 )+ 2018

2017 f ( x −2020 ) + 2018

+ 2019π

xác định và liên tục trên ℝ .

+ 2019ln π f ' ( x − 2020 ) π 2019 f ( x −2020 )

2019 f ( x − 2020 )

ln π  , ∀x ∈ ℝ. 

2017 f ( x−2020) +2018 2019 f ( x−2020) + 2019π lnπ > 0, ∀x ∈ℝ nên g ' ( x ) < 0 ⇔ f ' ( x − 2020) < 0. +) Do 2017e

Hơn nữa từ đồ thị của hàm số y = f ( x ) , ta thấy hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên mỗi khoảng ( 0; 2 ) và ( 4; + ∞ ) , suy ra f ' ( x ) < 0, ∀x ∈ ( 0; 2 ) ∪ ( 4; + ∞ ) . 0 < x − 2018 < 2  2018 < x < 2020 ⇔ .

Khi đó bất phương trình f ' ( x − 2020 ) < 0 ⇔   x − 2018 > 4  x > 2022

+) Vậy g ' ( x ) < 0, ∀x ∈ ( 2018; 2020 ) ∪ ( 2022; + ∞ ) . Khi đó hàm số y = g ( x ) nghịch biến trên mỗi khoảng ( 2018; 2020 ) và ( 2022; + ∞ ) . Chọn C.

Bình luận: Bài toán vẫn có ý tưởng tương tự như bài toán trước nhưng có thần thái riêng khi có sự điều chỉnh độ phức tạp của hàm số y = g ( x ) bằng cách pha trộn hàm số mũ, hàm số hợp để làm tăng mức độ, kỹ năng tính đạo hàm, xét dấu đạo hàm. Mấu chốt của bài toán vẫn là khai thác hình ảnh đồ thị của hàm số y = f ( x ) để suy ra sự đồng biến và nghịch biến của hàm số đó.

Để giải bất phương trình f ' ( x − 2020 ) < 0 ngoài cách như trên, chúng ta có thể đặt ẩn phụ t = x − 2020, x ∈ ℝ. Khi đó bất phương trình trở thành f ' ( t ) < 0 . Từ đồ thị của hàm số y = f ( x ) ta suy ra đồ thị của hàm số y = f ( t ) (Hình dáng, cấu trúc của đồ thị không phụ thuộc vào biến số, tức là đồ thị không thay đổi khi ta thay đổi biến số). Khi đó hàm số

y = f (t )

nghịch

biến

trên

mỗi

khoảng

( 0; 2 )

và

( 4; + ∞ ) , suy

ra

f ' ( t ) < 0, ∀t ∈ ( 0; 2 ) ∪ ( 4; + ∞ ) . Đến đây chúng ta quay ngược trở lại biến x ta được x ∈ ( 2018; 2020 ) ∪ ( 2022; + ∞ ) . Chọn C. Ví dụ 2.3.Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên ℝ đồng thời có đạo hàm được tính bằng công thức f ' ( x ) = (1 − x )( x + 2) g ( x ) + 2018, trong đó hàm số y = g ( x ) 24

có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Đặt h ( x ) = f (1 − x ) + 2018 x + 2019, ∀x ∈ ℝ. Hỏi hàm số y = h ( x ) đồng biến trên ên khoảng kho nào sau đây ?

x

O y = g ( x)

A. ( 0; 3) .

B. ( 3; + ∞ ) .

C. ( −∞; 3) . D. (1; + ∞ ) .

Hướng dẫn:

+) Xét hàm số y = h ( x ) = f (1 − x ) + 2018 x + 2019 xác định và liên tụcctrên ℝ , ta có

h ' ( x ) = f ' (1 − x ) .(1 − x ) '+ 2018 = x ( x − 3) g (1 − x ) , ∀x ∈ ℝ. +) Từ đồ thị của hàm số y = g ( x ) ta thấy g ( x ) < 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ g (1 − x ) < 0, ∀x ∈ ℝ.

Khi đó h ' ( x ) > 0 ⇔ x ( 3 − x ) < 0 ⇔ 0 < x < 3. +) Vậy hàm số y = h ( x ) = f (1 − x ) + 2018 x + 2019 đồng biến trên ( 0; 3) . Chọn A. Bình luận: Bài toán vvới sự xuất hiện củaa 3 hàm số s khác nhau

y = f ( x) , y = g ( x ) , y = h ( x) khi khiến học sinh khá lúng túng, chưa định nh hướng hư được ngay cách giải bài toán. Biểu thứ ức đạo hàm của hàm số y = h ( x ) có chứa ch biểu thức

f ' (1 − x ) , trong khi đó giả thi thiết cho f ' ( x) = (1 − x)( x + 2) g ( x) + 2018, từ đây học sinh suy

ra

được

biểu u

thức th

f ' (1− x) = 1− (1− x)  ∈ℝ. (1− x) + 2 g (1− x) + 2018 = x ( 3 − x) g (1− x) + 2018, x ∈ Ngoài ra một điểm nhấn nữ ữa để phân loại học sinh là kỹ năng đánh giá, theo giả gi thiết g ( x ) < 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ g (1 − x ) < 0, ∀x ∈ ℝ. Như vậy để giải quyếtt được đư bài toán học sinh cần có những suy luậnn logic, ch chặt chẽ, biết khai thác triệt để giả thiết, bài toán này được xếp ở mức độ vận dụụng thấp.

25

Ví dụ 2.4.Cho hàm số y = f ( t ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi

y = f (t )

có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn phương

[ −10; 10] để trình

f ( x 2 − 2 x + 3) = f ( 2 x − m + 2 ) có đúng hai nghiệm thực phân biệt?

A. 19.

B. 20. C. 21. D. 22.

Hướng dẫn: 2

+) Đặt u = x 2 − 2 x + 3, x ∈ ℝ. Ta có u = ( x − 1) + 2 ≥ 2, ∀x ∈ ℝ ⇒ u ≥ 2, ∀x ∈ ℝ. Đặt v = 2 x − m + 2, x ∈ ℝ. Ta có x − m ≥ 0, ∀ x ∈ ℝ ⇒ v ≥ 2, ∀ x ∈ ℝ.

Khi đó phương trình đã cho có dạng f ( u ) = f ( v ) (1) +) Từ đồ thị của hàm số y = f ( t ) ta thấy hàm số y = f ( t ) nghịch biến trên khoảng

(1; + ∞ ) và

u , v ∈ (1; + ∞ ) . Khi đó phương trình (1) ⇔ u = v ⇔ x2 − 2 x + 3 = 2 x − m + 2

 x 2 + 4 x + 2m + 1 = 0 ⇔ ( x − 1) = 2 x − m ⇔  2  x − 2m + 1 = 0 2

(1) ( 2)

Để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm thực phân biệt, ta xét các trường hợp sau +) Trường hợp 1: Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, phương trình (2) vô nghiệm.

1 Khi đó giá trị tìm được của m là m < .

2

+) Trường hợp 2: Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt, phương trình (1) vô nghiệm.

3 Khi đó giá trị tìm được của m là m > .

2 3 +) Trường hợp 3: Phương trình (1) có nghiệm kép, tìm được m = , khi đó x = 2 và 2

phương trình (2) có 2 nghiệm là x = 2, x = − 2. Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.

26

+) Trường hợp 4: Phương trình (2) có nghiệm kép, tìm được khi đó x = 0 và phương trình (1) có 2 nghiệm là x = 2 + 2, x = 2 − 2. Vậy phương 3 nghiệm. +) Trường hợp 5: Phương trình (1) và (2) có hai nghiệm giống nhau.

Tóm lại với m <

1 3 hoặc m > thì phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt.

2 2

Khi đó có 20 giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ −10; 10] . Chọn B.

Bình luận. Về mặt kiến thức và cũng là mấu chốt, bản chất của bài toán, với hình thức bài toán, hầu như tất cả học sinh đều có thói quen và cảm nhận một cách cơ học là

f ( x 2 − 2 x + 3) = f ( 2 x − m + 2 ) ⇔ x 2 − 2 x + 3 = 2 x − m + 2. Học sinh cần hiểu rõ bản chất của bài toán thông qua cơ sở lý thuyết như sau: Cho hàm số y = f ( t ) là hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên ( a; b ) và các biểu thức u ( x ) , v ( x ) ∈ ( a; b) , ∀x ∈ K. Khi đó phương trình f ( u ( x ) ) = f ( v ( x ) ) ⇔ u ( x ) = v ( x ) .

Thật vậy nếu ngược lại u ( x ) < v ( x ) , ∀x ∈ K hoặc u ( x ) > v ( x ) , ∀x ∈ K thì do giả thiếthàm số y = f ( t ) là hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng ( a; b ) dẫn đến f ( u ( x ) ) < f ( v ( x ) ) , ∀x ∈ K hoặc f ( u ( x ) ) > f ( v ( x ) ) , ∀x ∈ K mâu thuẫn với giả thiết

của bài toán là f ( u ( x ) ) = f ( v ( x ) ) , ∀x ∈ K .

Vận dụng trong bài toán này là hàm số y = f ( t ) đồng biến trên khoảng (1; + ∞ ) và

u ( x ) = x 2 − 2 x + 3, v ( x ) = 2 x − m + 2 ∈ (1; + ∞ ) , ∀x ∈ ℝ

nên

ta

có

kết

quả

f ( x 2 − 2 x + 3) = f ( 2 x − m + 2 ) ⇔ x 2 − 2 x + 3 = 2 x − m + 2. Về mặt kỹ năng, học sinh cần giải quyết tốt bài toán có chứa tham số m, chẳng hạn kỹ năng kiểm soát các trường hợp xảy ra, kỹ năng phân chia trường hợp, kỹ năng tính toán.

y

Ví dụ 2.5.Cho hàm số y = f ( t ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị

O 27

1

y = f (t ) t

nguyên của tham số m để phương trình f ( sin x + 2 ) = f

(

)

3 cos x − m + 2 có nghiệm

thực?

A. 4. B. 5.

B. 6.

D. 7.

Hướng dẫn: +) Đặt u = sin x + 2, x ∈ ℝ. Ta có sin x ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ u ≥ 2, ∀x ∈ ℝ.

3 co s x − m + 2, x ∈ ℝ. Ta có

Đặt v =

3 co s x − m ≥ 0, ∀ x ∈ ℝ ⇒ v ≥ 2, ∀ x ∈ ℝ.

+) Nhận thấy hàm số y = f ( t ) đồng biến trên khoảng (1; + ∞ ) và u, v ∈ (1; + ∞ ) .

Khi

đó

phương

trình

f ( sin x + 2) = f

(

3cos x − m + 2

)

có

dạng

f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v.

Hay sin x + 2 =

3 cos x − m + 2 ⇔ sin x =

3 cos x − m

  π m sin  x −  = − (1)  sin x = 3 cos x − m sin x − 3 co s x = − m 3 2  ⇔ ⇔ ⇔ .   π m sin x = − 3 cos x + m sin x + 3 cos x = m ( 2) sin  x +  = 3 2  

+) Ta có phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) hoặc phương trình (2) có nghiệm. Khi đó

m ≤ 1 ⇔ m ≤ 2 ⇔ −2 ≤ m ≤ 2. Hơn nữa m ∈ ℤ nên 2

m ∈ {−2; − 1; 0; 1; 2} . Vậy có tất cả 5 giá trị nguyên của m cần tìm. Chọn B.

Bình luận: Bài toán tiếp tục kiểm tra kiến thức của học sinh về hàm số đại diện, khi mà hàm

số

đại

u = sin x + 2, v =

diện

được

cho

bởi

đồ

thị.

Trong

bài

toán

này

3 cos x − m + 2 là các biểu thức lượng giác đơn giản. Biến đổi

phương trình đã cho về phương trình lượng giác thường gặp, cơ bản. Khi đó học sinh dễ dàng chiếm lĩnh được điều kiện của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

28

Ví dụ 2.6.Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên ℝ thỏa mãn f ( x ) >

1 và 2

1 4

m 2 x 2 − mx + m +

2 f ( x) −1 = 1 với m > 0. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham 2mx − 1 2 f ( x) − f ( x) + m + 4 3

3 2 số m thuộc khoảng ( 0; 2018 ) để bất phương trình x + 3 x + 4 x + 2 ≥ ( f ( x ) ) + f ( x )

có nghiệm đúng với mọi x ∈ [1; 2018] ?.

A. 1.

B. 2. C. 2015.

D. 2016.

Hướng dẫn: 2

1  1 +) Theo giả thiết 2 f ( x ) − 1 > 0 và f ( x ) − f ( x ) + m + =  f ( x ) −  + m > 0, ∀x ∈ ℝ, m > 0.

4  2 2

2

1  1 và m x − mx + m + =  mx −  + m > 0, ∀x ∈ ℝ, m > 0 suy ra 2mx − 1 > 0, ∀m > 0.

4  2 2 2

1 m 2 x 2 − mx + m + 2 f ( x) −1 4 về dạng Khi đó ta biến đổi phương trình = 1 2mx − 1 2 f ( x) − f ( x) + m + 4

( 2 f ( x) −1)  f ( x) − f ( x) + m + 14  = ( 2mx −1)  m x 2



2 2





1 − mx + m +  4

3 2 3 3 3 2   ⇔ 2 ( f ( x ) ) − 3( f ( x ) ) +  2m +  ( f ( x ) ) = 2 ( mx ) − 3( mx ) +  2m +  ( mx ) 2 2  

1

3



(1) .



+) Xét hàm số y = g ( t ) = 2t 3 − 3t 2 +  2m +  t trên khoảng  ; + ∞  .

2 2   2

Có g ' ( t ) = 6t 2 − 6t + 2m +

3 1  1 = 6  t −  + 2m > 0, ∀t > , m > 0. Khi đó hàm số y = g ( t ) 2 2  2

1  1  đồng biến trên khoảng  ; + ∞  . Hơn nữa f ( x ) , mx ∈  ; + ∞  , ∀x ∈ ℝ, ∀m > 0 2  2  Khi đó phương trình (1) có dạng g ( f ( x ) ) = g ( m x ) ⇔ f ( x ) = mx, ∀x ∈ ℝ, m > 0.

3

3 2 +) Khi đó bất phương trình x + 3 x + 4 x + 2 ≥ ( f ( x ) ) + f ( x ) trở thành

29

3

3

3

x3 + 3x 2 + 4 x + 2 ≥ ( mx ) + ( mx ) ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) ≥ ( mx ) + ( mx ) , ∀x ∈ [1; 2018]

( 2) .

Xét hàm số h ( u ) = u 3 + u liên tục và đồng biến trên ℝ. Khi đó bất phương trình (2) có dạng h ( x + 1) ≥ h ( mx ) ⇔ x + 1 ≥ mx ⇔ m ≤ +)

Xét

hàm

min s ( x ) = s ( 2018) = x∈[1; 2018]

số

s ( x) =

x +1 , ∀x ∈ [1;2018] ( 3) . x

x +1 nghịch x

biến

trên

[1; 2018] ,

suy

ra

2019 .

2018

Khi đó bất phương trình (3) ⇔ m ≤ min s ( x ) = x∈[1; 2018]

2019 .

2018

Do m là số nguyên dương nên m = 1. Vậy có 1 giá trị cần tìm của m. Chọn A.

Bình luận: Mấu chốt của bài toán là đi tìm kiếm hàm số y = f ( x ) . Khi đó học sinh phải nhìn nhận được giả thiết của bài toán có thể tạo ra được hàm số đại diện

1  3  y = g ( t ) = 2t 3 − 3t 2 +  2m +  t trên  ; + ∞  , từ đó thu được f ( x ) = mx, ∀x ∈ ℝ, m > 0. .

2 2  

Chủ đề 3. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ ẨN, HÀM SỐ HỢP. A. KIẾN THỨC CƠ SỞ.

1. Nghiệm bội chẵn, nghiệm bội lẻ. a. Nghiệm x = a được gọi là nghiệm bội chẵn của phương trình f ( x ) = 0 nếu x = a thỏa mãn f ( a ) = 0 và nghiệm này xuất hiện chẵn lần. Chẳng hạn xét một số phương trình: 30

 x −1 = 0 x = 1 ⇔ .  x −1 = 0 x = 1

2

• Phương trình ( x − 1) = 0 ⇔ ( x − 1)( x − 1) = 0 ⇔ 

Khi đó giá trị x = 1 được gọi là nghiệm kép hay nghiệm bội chẵn hay nghiệm bội 2 2

2

của phương trình ( x − 1) = 0 . Khi đó ( x − 1) không đổi dấu khi đi qua nghiệm x = 1

• Phương trình ( x + 1)

2018

= 0 ⇔ ( x + 1) . ( x + 1)( x + 1) ... ( x + 1) = 0 ⇔ x = −1 .

2018 lan

Khi đó giá trị x = −1 được gọi là nghiệm bội chẵn hay nghiệm bội 2018 của phương trình ( x + 1)

2018

= 0 . Khi đó biểu thức ( x + 1)

2018

không đổi dấu khi đi qua nghiệm x = 1

b. Nghiệm x = b được gọi là nghiệm bội lẻ của phương trình f ( x ) = 0 nếu x = b thỏa mãn f ( b ) = 0 và nghiệm này xuất hiện lẻ lần. Chẳng hạn ta xét một số phương trình:  x −1 = 0 x = 1  • Phương trình ( x − 1) = 0 ⇔ ( x − 1)( x − 1)( x − 1) = 0 ⇔  x − 1 = 0 ⇔  x = 1  x − 1 = 0  x = 1 Khi đó giá trị x = 1 được gọi là nghiệm bội lẻ hay nghiệm bội 3 của phương trình 3

( x − 1)3 = 0 . Khi đó biểu thức ( x − 1)3 đổi dấu khi đi qua nghiệm • Phương trình

( x − 3) 2

2019

x = 1.

x = 3 = 0 ⇔ x2 − 3 x2 − 3 x2 − 3 ... x2 − 3 = 0 ⇔ x2 = 3 ⇔ 

 x = − 3

(

)(

)(

) (

)

2019 lan

Khi đó x = 3, x = − 3 được gọi là nghiệm bội lẻ hay nghiệm bội 2019 của phương trình

( x − 3) 2

2019

= 0.

(

Khi đó x 2 − 3

)

2019

đổi dấu khi đi qua các nghiệm

x = 3, x = − 3.

c. Đặc biệt: Nếu hàm số y = f ( x) = ax2 + bx + c ( a ≠ 0) có đồ thị là ( C1 ) tiếp xúc với trục hoành tại điểm M ( m; 0 ) thì x = m là nghiệm kép của phương trình f ( x ) = 0. Nếu y = g ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 ) có đồ thị là ( C2 ) tiếp xúc với trục hoành tại

điểm N ( n; 0 ) thì x = n là nghiệm kép hoặc nghiệm bội 3 của phương trình g ( x ) = 0.

Nếu hàm số y = h ( x ) = ax 4 + bx3 + cx 2 + dx + e ( a ≠ 0 ) có đồ thị

( C3 ) tiếp xúc với

trục hoành tại điểm P ( p; 0 ) thì x = p là nghiệm kép hoặc bội 3 hoặc bội 4 của h ( x ) = 0.

2. Một số kết quả cơ bản liên quan đến cực trị của hàm số. a. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị.

31

• Định lí 1: Nếu hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên khoảng ( a; b ) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại điểm x0 thì f ' ( x0 ) = 0.

• Chú ý: Đạo hàm f ' ( x ) có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm số y = f ( x ) không đạt cực trị tại điểm x0 . Chẳng hạn như hàm số y = f ( x ) = x 3 có f ' ( 0 ) = 0 nhưng hàm số không đạt cực trị tại x = 0. Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Chẳng hạn như hàm số y = g ( x ) = x đạt cực tiểu tại x = 0, nhưng hàm số không có đạo hàm tại x = 0. Hàm số chỉ đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.

b. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị.

• Định lí 2: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên khoảng K = ( x0 − h; x0 + h ) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ { x0 } , với h > 0. Khi đó +) Nếu f ' ( x ) > 0 trên khoảng ( x0 − h; x0 ) và f ' ( x ) < 0 trên khoảng ( x0 ; x0 + h ) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số y = f ( x ) .

+) Nếu f ' ( x ) < 0 trên khoảng ( x0 − h; x0 ) và f ' ( x ) > 0 trên khoảng ( x0 ; x0 + h ) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số y = f ( x ) .

• Định lí 3: Cho hàm số

y = f ( x)

có đạo hàm cấp hai trong khoảng

K = ( x0 − h; x0 + h ) với h > 0. Khi đó

+) Nếu f ' ( x0 ) = 0, f '' ( x0 ) < 0 thì hàm số y = f ( x ) đạt cực đại tại x0 . +) Nếu f ' ( x0 ) = 0, f '' ( x0 ) > 0 thì hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu tại x0 .

Chú ý: Nếu f ' ( x0 ) = 0, f '' ( x0 ) = 0 thì chưa khẳng định được điểm x0 có là điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) hay không. Hơn nữa chiều ngược lại của định lí trên nói chung không đúng, chẳng hạn xét hàm số y = f ( x ) = x 4 có x0 = 0 là điểm cực tiểu, thế nhưng f ' ( 0 ) = 0, f '' ( 0 ) = 0 hay hàm số y = g ( x ) = − x 4 có x0 = 0 là điểm cực

đại, thế nhưng g ' ( 0) = 0, g '' ( 0) = 0 . Học sinh thường mắc sai lầm trong định lí này, chẳng hạn mắc sai lầm khi giải bài toán ” Tìm m để hàm số y = h ( x ) = mx 4 đạt cực tiểu tại x0 = 0 ”.

32

3. Tính chất, kết quả mở rộng liên quan đến cực trị của hàm số.

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên ℝ . Khi đó ta có một số kết quả sau:

• Kết quả 1: Nếu đồ thị của hàm số y = f ( x ) có n điểm cực trị thì đồ thị của hàm số

( C1 ) ( C2 ) ( C3 )

đó cắt trục hoành tại tối đa n + 1 điểm phân biệt.

Chẳng hạn xét các hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) , y = h ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị lần lượt là ( C1 ) , ( C2 ) , ( C3 ) như hình vẽ. Khi đó hàm số y = f ( x ) có 8 điểm cực trị và cắt trục hoành tại 9 điểm phân biệt, hàm số y = g ( x ) có 7 điểm cực trị và cắt trục hoành tại 8 điểm phân biệt, hàm số y = h ( x ) có 8 điểm cực trị và cắt trục hoành tại 9 điểm phân biệt.

• Kết quả 2: Gọi m, n lần lượt là số cực trị của các hàm số y = f ( x ) , y = f ( x ) và p là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và trục hoành thì ta có đẳng thức

y

y

y = f ( x)

y = f ( x)

O

x

O 33

x

m = n + p.

Chẳng hạn trong hình vẽ trên, đồ thị của hàm số y = f ( x ) có 3 điểm cực trị đồng thời cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt và hàm số y = f ( x ) có 3+4=7 điểm cực trị.

B. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA ĐIỂN HÌNH Ví dụ 3.1.Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên ℝ và có đạo hàm f ' ( x) = x2017 ( x −1)

2018

 5x  .

2  x +4

(13x −15)2019 , ∀x ∈ℝ.

A. 4.

Tìm số cực trị của hàm số y = f 

B. 5.

C. 6.

D. 7.

Hướng dẫn:  5x   , x ∈ ℝ. Ta có hàm số y = g ( x ) xác định và liên tục trên ℝ và  x2 + 4 

+) Đặt g ( x ) = f 

 5x  5x   5x  g '( x ) = f ' 2  ' =    x + 4  x2 + 4   x 2 + 4 

 5x  hay g ' ( x ) =  2   x +4

2017

2017

 − x2 + 5x − 4    2  x +4 

 5x  − 1  2  x +4 

2018

2018

 65 x  − 1  2  x +4 

 −15x2 + 65x − 60    x2 + 4  

2019

2019

−5 x2 + 20

(x

2

+4

−5x2 + 20

(x

2

+4

)

2

)

2

, x ∈ ℝ.

, x ∈ ℝ.

 x = 0   x2017 = 0 x =1  x = 0  2018 x = 4  2  − x2 + 5x − 4 =0 − x + 5 x − 4 = 0    g ' x = 0 ⇔ ⇔ ⇔ ( ) −15x2 + 65x − 60 = 0  x = 3 Khi đó 2019  2  =0  4  −15x + 65x − 60  x = 2   −5x + 20 = 0 3 2  −5x + 20 = 0 x = 2   x = −2

( (

)

)

+)

Ta có

biến

x

c ủa

g '( x )

số

−∞

−2

− 0

0 + 0

−

1 0

−

g ( x) 34

4 3 0

bảng

2 + 0

−

3 0

4 + 0

+∞

+

thiên hàm

y = g ( x ) trên ℝ như sau:

 5x  Vậy hàm số y = g ( x ) = f  2  có 5 điểm cực trị. Chọn B.  x +4

Bình luận: Bài toán tổng quát: Cho hàm số y = f ( x ) có biểu thức đạo hàm cho trước. Tìm số cực trị của hàm số y = g ( x ) = f u ( x )  . Trước hết học sinh cần nắm vững công thức đạo hàm của hàm số hợp, sau đó biết cách khác và vận dụng giả thiết của bài toán, chẳng hạn như theo giả thiết f '( x) = x2017 ( x −1) thì ta cũng có f ' ( u ) = u2017 ( u −1)

2018

(13u −15)2019 ,

2018

(13x −15)2019 , ∀x ∈ℝ.

trong đó u ( x ) là biểu thức của x

cho trước. Điểm mấu chốt của bài toán này và cũng là sai lầm học sinh thường mắc phải là chưa quan tâm đặc biệt đến sự đổi dấu của biểu thức đạo hàm g ' ( x ) . Cụ thể trong trường hợp này là biểu thức g ' ( x ) không đổi dấu khi đi qua các nghiệm bội chẵn x = 3, x = 4 và đổi dấu khi đi qua tất cả các nghiệm bội lẻ còn lại, tức là đánh

đồng tất cả các nghiệm của đạo hàm. Vì thế học sinh có thể mắc sai lầm là chọn D. Ví dụ 3.2.(Đề thi thửTHPT Quốc GiaĐặng Thúc Hứa lần 2 năm học 20172018)Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ và có bảng xét dấu đạo hàm dưới đây x

f '( x )

−2

−∞ −

0

1 0 +

+

3 0

+∞ −

Hỏi hàm số y = f ( x 2 − 2 x ) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

Hướng dẫn:

35

D. 4.

 x = −2  +) Từ bảng xét dấu đạo hàm của hàm số y = f ( x ) , ta có f ' ( x ) = 0 ⇔  x = 1  x = 3

và f ' ( x ) không đổi dấu khi đi qua nghiệm x = 1. +) Xét hàm số g ( x ) = f ( x 2 − 2 x ) , x ∈ ℝ. Ta có g ( x ) cũng có đạo hàm trên ℝ và g ' ( x ) = f ' ( x 2 − 2 x )( x 2 − 2 x ) ' = ( 2 x − 2 ) f ' ( x 2 − 2 x ) , x ∈ ℝ. x = 1+ 2   x 2 − 2 x = −2 x = 1− 2  2 2  f '( x − 2x) = 0 x − 2x = 1  ⇔ ⇔  x = −1 Khi đó g ' ( x ) = 0 ⇔  2  x − 2x = 3  2 x − 2 = 0 x = 3    x = 1  x = 1

+) Bảng xét dấu của hàm số y = g ( x ) trên ℝ x 1− 2 1 −∞ −1 + 0 − 0 − 0 g '( x)

1+ 2 +

0

+∞

3 + 0

−

Khi đó hàm số y = g ( x ) có 3 điểm cực trị là x1 = −1, x2 = 1, x3 = 3. Chọn C.

Bình luận: Bài toán với hình thức và cấu trúc đơn giản nhưng nếu học sinh không thực sự nắm chắc chắn và hiểu sâu sắc kiến thức về cực trị của hàm số thì sẽ mắc sai lầm. Cụ thể là từ bảng xét dấu của biểu thức đạo hàm f ' ( x ) , học sinh mới nhận ra nghiệm của

đạo hàm mà chưa quan tâm đến dấu của đạo hàm. Khi đạo hàm f ' ( x ) đi qua nghiệm x = 1 thì không đổi dấu, nếu bài toán hỏi trực tiếp về số cực trị của hàm số y = f ( x ) thì

học sinh sẽ dễ dàng trả lời đúng nhưng mấu chốt là bài toán hỏi về số cực trị của hàm số y = f ( x 2 − 2 x ) nên mắc sai lầm. Sai lầm ở đây là học sinh cho biểu thức đạo hàm g ' ( x ) = f ' ( x 2 − 2 x ) đổi dấu khi đi qua các nghiệm x = 1 + 2, x = 1 − 2, nhưng thực tế

các nghiệm này khi biểu thức đạo hàm đi qua không đổi dấu, vì những nghiệm này là những nghiệm bội chẵn mà nguyên nhân chính xuất phát từ nghiệm x = 1 của biểu thức

đạo hàm f ' ( x ) trong đề bài là nghiệm bội chẵn. Vì thế để tránh mắc phải sai lầm đáng

36

tiếc học sinh phải rèn luyện kĩ năng đọc bảng biến thiên tốt hơn, chẳng hạn biết phân loại tính chất nghiệm của đạo hàm, ý thức được sự đổi dấu của đạo hàm.

Ví dụ 3.3.(Đề thi thửChuyên Đại Học Vinhlần 3 nămhọc 2017-2018)Cho hàm số

(

)(

)

y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = x 3 − 2 x 2 x3 − 2 x , với mọi x ∈ ℝ. Hỏi hàm số y = f (1 − 2018 x ) có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?

E. 9. B. 2022.

C. 11.

D. 2018.

Hướng dẫn:

+)

Xét

hàm

(

f '( x ) = x3 − 2 x 2

)( x

y = f (1 − 2018 x )

số 3

trên

ℝ.

Theo

giả

)

− 2x , x ∈ ℝ

(

3

Nên f ' (1 − 2018 x ) = (1 − 2018 x ) − 2 (1 − 2018 x )

2

) ( (1 − 2018 x )

3

 (1 − 2018 x )3 − 2 (1 − 2018 x ) 2 = 0 Khi đó f ' (1 − 2018 x ) = 0 ⇔   (1 − 2018 x )3 − 2 (1 − 2018 x ) = 0 

)

− 2 (1 − 2018 x ) , x ∈ ℝ

(1) ( 2)

1  x=  2 2018 Ta có phương trình (1) ⇔ (1 − 2018 x ) ( (1 − 2018 x ) − 2 ) = 0 ⇔   x = −1  2018 1  x =  2018  1− 2 2  và phương trình ( 2 ) ⇔ (1 − 2018 x ) (1 − 2018 x ) − 2 = 0 ⇔  x = 2018  1+ 2   x = 2018 

(

)

+) Ta có bảng biến thiên

x f ' (1 − 2018x )

−

−∞ +

1− 2 2018

1 2018

0

0

−

f (1 − 2018x ) 37

1+ 2 2018

1 2018

+

0

−

0

+∞ +

thiết

của hàm số y = f (1 − 2018 x ) trên ℝ như sau:

Từ đó suy ra hàm số y = f (1 − 2018 x ) có tối đa 9 điểm cực trị. Chọn A.

Bình luận: Để giải nhanh và cho kết quả chính xác bài toán theo tinh thần hình thức thi Trắc nghiệm thì học sinh cần nắm được một số kết quả tổng quát sau đây: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên ℝ . Khi đó +) Kết quả 1:Nếu đồ thị của hàm số y = f ( x ) có n điểm cực trị thì đồ thị hàm số đó cắt trục hoành tại tối đa n + 1 điểm. +) Kết quả 2:Gọi m, n lần lượt là số cực trị của các hàm số y = f ( x ) , y = f ( x ) và p là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và trục hoành thì ta có đẳng thức m = n + p. +) Vận dụng các kết quả trên, ta có hàm số

y = f (1 − 2018 x ) có 4 điểm cực tri nên đồ

thị của hàm số đó cắt trục hoành tối đa tại 5 điểm phân biệt. Từ đó suy ra hàm số y = f (1 − 2018 x ) có tối đa 4+5=9 điểm cực trị.Chọn A.

Một góc nhìn khác rất phù hợp với tinh thần thi theo hình thức Trắc nghiệm là số

điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) chính bằng số điểm

cực trị của hàm số

y = f (1 − 2018 x ) , từ đó số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) chính bằng số điểm cực

trị của hàm số y = f (1 − 2018 x ) . Từ đó, bài toán trở thành: Hỏi hàm số y = f ( x ) có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực tri? Bài toán lúc này nhẹ nhàng hơn nhiều, từ giả thiết ta có hàm số y = f ( x ) có 4 điểm cực tri nên đồ thị của hàm số y = f ( x ) cắt trục hoành tại tối đa 5 điểm phân biệt. Khi đó hàm số y = f ( x ) có nhiều nhất 4+5=9 điểm cực trị.

38

Tổng quát hơn là ta khẳng định được số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) chính bằng số điểm cực trị của hàm số y = f ( ax + b ) , trong đó a, b ∈ ℝ. Từ đó suy ra số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) chính bằng số điểm cực trị của hàm số y = f (1 − 2018 x ) .

Ví dụ 3.4.(Đề thi thửChuyên Đại Học Vinh lần 1 nămhọc 2017-2018) 2

Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = ( x − 1) ( x 2 − 2 x ) với mọi x ∈ ℝ. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số f ( x 2 − 8 x + m ) có 5 điểm cực trị?

A. 15.

B. 16.

C. 17.

D. 18.

Hướng dẫn: +) Đặt g ( x ) = f ( x 2 − 8 x + m ) , x ∈ ℝ. Ta có g ' ( x ) = f ' ( x 2 − 8 x + m ) ( 2 x − 8 ) , x ∈ ℝ.

2

Theo giả thiết ta có f ' ( x ) = ( x − 1) ( x 2 − 2 x ) , x ∈ ℝ nên ta cũng có biểu thức đạo hàm f ' ( x2 − 8x + m ) =

(( x

2

) (( x

− 8x + m ) − 1

2

2

2

)

− 8 x + m ) − 2 ( x 2 − 8 x + m ) , x ∈ ℝ.

2

2 2 2 2 hay f ' ( x − 8 x + m ) = ( x − 8 x + m − 1) ( x − 8 x + m )( x − 8 x + m − 2 ) , x ∈ ℝ.

x = 4  2 2 x − 8 = 0  x − 8 x + m − 1 = 0 (1) +) Khi đó g ' ( x ) = 0 ⇔  f ' x 2 − 8 x + m = 0 ⇔  2 x − 8x + m = 0 ( 2) )  (  2  x − 8 x + m − 2 = 0 ( 3)  2

+) Ta có ( x 2 − 8 x + m − 1) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ và các phương trình (1) , ( 2 ) , ( 3) không có nghiệm chung từng đôi một nên hàm số g ( x ) có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (2) 16 − m > 0  m < 16 16 − m + 2 > 0  m < 18   ⇔ ⇔ ⇔ m < 16.  và (3) có 2 nghiệm phân biệtkhác 4  16 − 32 + m ≠ 0 m ≠ 16   16 − 32 + m − 2 ≠ 0  m ≠ 18

Vì m là số nguyên dương và m < 16 nên có tất cả 15 giá trị cần tìm của m. Chọn A.

Bình luận: Bài toán này cũng tiếp nối tinh thần của các bài toán trước là ta quan tâm đến sự đổi dấu của biểu thức đạo hàm khi đi qua các nghiệm của nó, cụ thể biểu thức đạo hàm của hàm số f ( x 2 − 8 x + m ) không đổi dấu khi đi qua các nghiệm của phương trình x 2 − 8 x + m − 1 = 0 nên điểm cực trị của hàm số không là nghiệm của phương trình

39

đó. Hơn nữa bài toán còn có chứa tham số m nên sẽ gây ra không ít khó khăn cho học sinh.

Ví dụ 3.5.(Đề thi thửĐô Lương Nghệ An lần 3 nămhọc 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = x 2018 ( 2 x + 3) ( x 2 + 2mx + 4 ) với mọi x ∈ ℝ.

Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số f ( x 2 ) có đúng 1 điểm cực trị?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D.4

Hướng dẫn: +) Xét hàm số y = g ( x ) = f ( x 2 ) xác định và liên tục trên ℝ. Ta có g ' ( x ) = 2 xf ' ( x 2 ) = 2 x ( x 2 )

2018

( 2x

2

+ 3)( x 4 + 2mx 2 + 4 ) = 2 x 4037 ( 2 x 2 + 3)( x 4 + 2mx 2 + 4 ) , x ∈ ℝ.

 x 4037 = 0  2 ⇔ Khi đó g ' ( x ) = 0 ⇔  2 x + 3 = 0  x 4 + 2 mx 2 + 4 = 0 

x = 0 .  4 2 x + 2 mx + 4 = 0 (1) 

+) Do g ' ( x ) = 0 luôn có nghiệm x = 0 và g ' ( x ) đổi dấu khi đi qua nghiệm này nên hàm số y = g ( x ) luôn nhận x = 0 là 1 điểm cực trị. Khi đó để hàm số y = g ( x ) có đúng 1 điểm cực trị thì phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm bội chẵn. Tức là phương trình

(x

2

2

− m ) = m2 − 4

vô

nghiệm

hoặc

có

nghiệm

bộ i

chẵn,

khi

đó

m2 − 4 ≤ 0 ⇔ −2 ≤ m ≤ 2.

+) Vậy có 3 giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số y = f ( x 2 ) có đúng 1 cực trị là m = −2, m = −1 m = 0. Chọn C.

Bình luận: Bài toán có cấu trúc tương tự như bài toán trên. Ý tưởng của bài toán nhằm kiểm tra kỹ năng tính đạo hàm hàm hợp, kỹ năng xét dấu đạo hàm (biểu thức đạo hàm chỉ đổi dấu khi đi qua nghiệm bội lẻ), kỹ năng biện luận trường hợp theo tham số m.

y

Ví dụ 3.6.Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ và có đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) như hình vẽ bên. Hỏi 40

y = f '( x)

có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số mthuộc đoạn [ −2018; 2018] để hàm số y = f ( x2 − 2x + m) có 5 điểm cực trị?

A.2016.

C. 2018.

B. 2017.

D. 2019.

Hướng dẫn:

+) Nhận thấy đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành  x = −2  độ lần lượt là −2, 1, 3. Khi đó phương trình f ' ( x ) = 0 ⇔  x = 1  x = 3

và biểu thức f ' ( x ) không đổi dấu khi đi qua nghiệm x = 1. +) Xét hàm số g ( x ) = f ( x 2 − 2 x + m ) , x ∈ ℝ. Ta có g ( x ) cũng có đạo hàm trên ℝ và g ' ( x ) = f ' ( x 2 − 2 x + m )( x 2 − 2 x + m ) ' = f ' ( x 2 − 2 x + m ) ( 2 x − 2 ) , x ∈ ℝ.  x 2 − 2 x + m + 2 = 0 (1)  x 2 − 2 x + m = −2  2  2  f ' ( x2 − 2x + m) = 0 x − 2x + m = 1  x − 2x + m −1 = 0 ( 2)  ⇔ ⇔ Ta có g ' ( x ) = 0 ⇔   x2 − 2x + m = 3 2  2 x − 2 = 0  x − 2 x + m − 3 = 0 ( 3)    2 x − 2 = 0 x = 1

+) Hàm số g ( x ) có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình g ' ( x ) = 0 có 5 nghiệm phân biệt và g ' ( x ) đổi dấu khi đi qua 5 nghiệm đó. Mặt khác g ' ( x ) không đổi dấu khi

đi qua các nghiệm của phương trình (2) nên khi đó phương trình (1) và (3) phải có 4 nghiệm phân biệt khác 1, từ đó ta tìm được m < −1. +) Vậy có tất cả 2017 giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ −2018; 2018] . Chọn B. Bình luận: Bài toán được phát triển từ Ví dụ 3.2khi mà thay thể bảng xét dấu của đạo hàm bằng đồ thị của đạo hàm nhưng vẫn giữ được phong cách, thần thái của bài toán.

Cụ thể là từ đồ thị của đạo hàm f ' ( x ) ta thấy f ' ( x ) không đổi dấu khi đi qua nghiệm x = 1. Điều này dẫn đến điểm cực trị của hàm số y = g ( x ) không là nghiệm của phương

trình x 2 − 2 x + m − 1 = 0. Hơn nữa bài toán được gắn thêm tham số m nên độ phức tạp của bài toán tăng lên đáng kể.

Ví dụ 3.7.Cho hàm số y = f ( x ) = 4 x 3 − 4mx , trong đó m là tham số. Giả sử F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số y = f ( x ) thỏa mãn F ( 0 ) = m + 1. Tìm tất cả các giá trị của 41

tham số m để hàm số F ( x ) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác sao cho trục hoành chia tam giác đó thành hai phần có diện tích bằng nhau.

A. m =

2 + 2+4 2 .

2

B. m = 1. C. m = 2. D. m =

2 − 2+4 2 .

2

Hướng dẫn: +) Theo giả thiết, ta có F ( x ) = ∫ f ( x ) dx = ∫ ( 4 x 3 − 4mx ) dx = x 4 − 2mx 2 + C. Ngoài ra F ( 0 ) = m + 1 suy ra C = m + 1. Khi đó F ( x ) = x 4 − 2mx 2 + m + 1 với m là tham số x = 0

2 +) Ta có F ' ( x ) = 4 x 3 − 4mx, ∀x ∈ ℝ. Khi đó F ' ( x ) = 0 ⇔ 4 x ( x − m ) = 0 ⇔ 

2 x = m

Hàm số F ( x ) có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình F ' ( x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt và F ' ( x ) đổi dấu khi đi qua 3 nghiệm đó ⇔ m > 0. +) Với m > 0 thì đồ thị của hàm số F ( x ) có 3 điểm cực trị là

(

) (

A ( 0; m + 1) , B − m ; − m 2 + m + 1 , C

y = F ( x)

)

m ; − m2 + m + 1 .

(

A

)

2

Gọi H là trung điểm của cạnh BCthì H 0; − m + m + 1 và gọi

N

M

M, N lần lượt là giao điểm của các cạnh AB, AC với trục hoành.

2

S AMN 1 AO.MN 1  AO  1 = ⇔ = ⇔ Theo bài ra ta có  = S ABC 2 AH .BC 2  AH  2  m = m +1 AO 1 1 2 ⇔ = ⇔ = ⇔ m − 2m − 2 = 0 ⇔  2  AH m 2 2 m = 

Do m > 0 nên giá trị cần tìm của m là m =

B

H

C

2 + 2+4 2 2 2 − 2+4 2 2

2 + 2+4 2 . Chọn A. 2

Bình luận: Điểm mới của bài toán là sử dụng phương pháp nguyên hàm để tìm được hàm số F ( x ) . Như vậy với ý tưởng ra đề này chúng ta có thể tạo ra những lớp bài toán về cực trị của hàm số bậc 3 hay bậc 4 khi mà những hàm số này được cho một cách

ẩn tàng, chẳng hạn như cho biết trước biểu thức đạo hàm, khi đó học sinh phải sử công cụ nguyên hàm để truy tìm ra những hàm số này.

Ví dụ 3.8.(Đề thi thửChuyên Hùng Vương Phú Thọ nămhọc 2017-2018) 42

Cho đồ thị của hàm số y = f ( x ) như hình vẽ bên.

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = f ( x − 2018 ) + m có 5 điểm cực trị. Tính tổng các phần tử cuả S.

A. 12.

B. 15.

C. 18.

D. 9.

Hướng dẫn:

+) Ta có đồ thị của hàm số y = f ( x ) có 3 điểm cực trị và

đồ thị hàm số

y = f ( x − 2018 ) có được khi ta tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x ) sang phải 2018 đơn vị.

Khi đó đồ thị của hàm số y = f ( x − 2018 ) vẫn có 3 điểm cực trị. Tiếp tục đồ thị hàm số y = f ( x − 2018) + m được tạo thành khi ta dịch chuyển đồ thị hàm số y = f ( x − 2018) 43

theo hướng lên trên (do ta chỉ xét m là số nguyên dương) m đơn vị. Khi đó đồ thị của hàm số y = f ( x − 2018 ) + m vẫn có 3 điểm cực trị. Để xét xem khi nào đồ thị của hàm số y = f ( x − 2018 ) + m có 5 điểm cực trị, chúng ta phải xét đến vị trị tương đối của các

điểm cực trị của hàm số y = f ( x − 2018) + m so với trục hoành. Điều này phụ thuộc vào giá trị của tham số m, chính vì thế chúng ta xét các trường hợp của tham số m như sau: +) Trường hợp 1: Khi 0 < m < 3 thì đồ thị của hàm số y = f ( x − 2018) + m có 7 điểm cực trị.

Trường hợp 2: Khi m = 3 thì đồ thị của hàm số y = f ( x − 2018) + m có 5 điểm cực trị.

Trường hợp 3: Khi 3 < m < 6 thì đồ thị của hàm số y = f ( x − 2018) + m có 5 điểm cực trị.

Trường hợp 4: Khi m ≥ 6 thì đồ thị của hàm số y = f ( x − 2018) + m có 3 điểm cực trị.

Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn là m = 3, m = 4, m = 5 . Chọn A.

Bình luận: Đây là dạng toán khá phổ biến và đang được ưa chuộng hiện nay kể từ khi Bộ Giáo Dục công bố đề thi Minh Họa. Bài toán được phát triển theo nhiều hướng nhau nên học sinh cần trang bị cho mình cách nhìn nhận bài toán tổng quát. Cụ thể học sinh cần hiểu sự hình thành của đồ thị hàm số dạng tổng quát y = g ( x ) = f ( x − m ) + n theo quy trình từ trong ra ngoài, tức là bắt đầu từ đồ thị hàm số y = f ( x ) , suy ra y = f ( x − m ) , sau đó đến y = f ( x − m ) + n , cuối cùng là y = g ( x ) = f ( x − m ) + n hay

có thể phát triển hơn là hàm số y = h ( x ) = f ( x − m ) + n .

Nghiện cứu sự thay đổi của hàm số ở lĩnh vực ta đang quan tâm là số điểm cực trị. Bên cạnh việc nắm vững từng dạng đồ thị học sinh có thể sử dụng một số kiến thức mở rộng

để giải nhanh bài toán, cụ thể là: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên ℝ . Khi đó +)Kết quả 1: Nếu đồ thị của hàm số y = f ( x ) có n điểm cực trị thì đồ thị hàm số đó cắt trục hoành tại tối đa n + 1 điểm.

44

+) Kết quả 2: Gọi m, n lần lượ ư t là số cực trị của các hàm số y = f ( x ) , y = f ( x ) và p là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và trục hoành thì ta có đẳng thức m = n + p.

Ví dụ 3.9.(Đề thi thửTHPT THPT Quốc Qu Gia Xuân Trường nămhọc 2017-2018 2018) Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) như hình vẽ bên.

Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m m để hàm số y = f ( x − 2 ) − có 7 điểm cực 4 trị?

A. 27. B. 28 .

C. 29. D. 30.

Hướng dẫn: ẫn:

y

3

3 2 −4

−

3 2

1

O

2 x

Hàm số y = f ( x − 2 ) có đồ thị là đồ thị hàm số

y = f ( x ) tịnh tiến sang phải 2 đơn vị.

Hàm số y = f ( x − 2) −

y = f ( x)

m có đồ thị là đồ thị hàm 4

số y = f ( x − 2) tịnh tiến lên trên hoặc xuống dưới

−7

m đơn vị như các hình ình vẽ dưới đây: 4

3 y y

3 2 −2

O

3

4

x

−

1 2

−

−7 − y = f ( x − 2)

3 2 O

1 2

−7

3

m 4

y = f (x − 45

y 3− m 3 −m 2

y 3− m 3 −m 2

7+ x

O m −7 − 4

m 4 O

y = f (x − 2) −

m y = f (x − 2) − , m < 0 4

x

m 4

+) Ta thấy đồ thị hàm số y = f ( x ) có 3 điểm cực trị. Khi tịnh tiến sang phải 2 đơn vị thì đồ thị hàm số y = f ( x − 2 ) vẫn có 3 điểm cực trị. +) Để đồ thị hàm số y = f ( x − 2 ) −

m m có 7 điểm cực trị thì đồ thị y = f ( x − 2 ) − cắt 4 4

3  2 − m > 0 3 ⇔ −28 < m < . trục hoành tại 4 điểm phân biệt ⇔  2 −7 − m < 0  4

Vậy có 29 giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho có 7 điểm cực. Chọn C.

Bình luận: Trong lời giải theo hướng tự luận trên có vẻ cồng kềnh và phức tạp nhưng giải bài toán này theo hướng Trắc nghiệm thì chủ yếu dựa trên sự suy luận logic kết hợp với việc phác họa một cách tương đối hình dáng đồ thị. Chẳng hạn sự suy luận nhanh của bài toán như sau: Đồ thị của hàm số y = f ( x ) có 3 điểm cực trị thì đồ thị của hàm số y = f ( x − 2 ) và y = f ( x − 2 ) −

m vẫn có 3 điểm cực trị. Khi đó, đồ thị của hàm số 4 46

y = f ( x − 2) −

m 4

y = f ( x − 2) −

m có tối đa 7 điểm cực trị, yêu cầu bài toán là tìm m để hàm số 4

y = f ( x − 2) −

m m có 7 điểm cực trị thì đồ thị hàm số y = f ( x − 2 ) − phải cắt trục 4 4

cắt trục hoành tối đa tại 4 điểm phân biệt và hàm số

hoành tại đúng 4 điểm phân biệt.

Ví dụ 3.10.(Đề thi thửTHPT Quốc Gia Chuyên LHP Nam Định năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

x f '( x )

2

1

−∞

+

f ( x)

0

−

0

+∞ +

11 4

Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số mthuộc đoạn [ −10; 10] để đồ thị hàm số

y = f ( x ) + m có 11 điểm cực trị?

A. 5. B. 6. C. 7. D. 8.

Hướng dẫn: +) Xét trường hợp đặc biệt y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d , a ≠ 0 là một hàm số bậc 3 thỏa mãn bảng biến thiên trong giả thiết. Khi đó ta có f ' ( x ) = 3ax 2 + 2bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt là x1 = 1, x2 = 2, suy ra 3a + 2b + c = 0 và 12a + 4b + c = 0 . Ngoài ra hàm số có giá trị cực đại, cực tiểu lần lượt là 11 và 4.

Khi đó f (1) = a + b + c + d = 11, f ( 2 ) = 8a + 4b + 2c + d = 4 ⇒ 7 a + 3b + c = −7. 3a + 2b + c = 0  a = 14   +) Giải hệ phương trình 12a + 4b + c = 0 ⇔ b = −63. 7 a + 3b + c = −7 c = 84  

Từ đó y = f ( x ) = 14 x 3 − 63 x 2 + 84 x − 24 và f ( 0 ) = −24 < 0. Khi đó đồ thị hàm số y = f ( x ) = 14 x 3 − 63 x 2 + 84 x − 24 có 5 điểm cực trị và có bảng biến thiên như sau: 47

x

−2

−∞

−

f '( x )

0

0

−1

+

0

−

11

+∞ f ( x) 4

1 2 + 0 − 0 + 11

+∞ +∞

4

−24

Từ đây suy ra bảng biến thiên của hàm số y = g ( x ) = f ( x ) + m như sau:

x

−2

−∞

−

g '( x )

0

+

0

−

+

g ( x)

4+m

1 0

2 − 0

+∞ + +∞

11 + m

11 + m

+∞

Khi đó hàm số

0

−1

−24 + m

4+m

y = g ( x ) = f ( x ) + m vẫn có 5 điểm cực trị. Để hàm số

y = g ( x ) = f ( x ) + m có 11 điểm cực trị thì đồ thị hàm số y = g ( x ) phải cắt trục

hoành tại 6 điểm phân biệt hay hàm số y = h ( x ) = g ( x ) có bảng biến thiên dạng như sau:

x h '( x )

−∞ x1

− +∞

x3 −1 x5 0 x7 1 x9 2 x11 +∞ + 0 − + − + 0 − +0 − + + 0 − 4 + m +∞ −4 − m 11 + m 24 − m 11 + m

−2

h ( x)

Ox

−24 + m

4+m

4+m

11+ m > 0 Đồ thị y = g ( x ) cắt trục hoành tại 6 điểm phân biệt ⇔  ⇔−11 < m < −4. Chọn 4 + m < 0

B. Bình luận: Đây là bài toán hay và khó, yêu cầu học sinh phải có nền tảng kiến thức vững chắc, am hiểu sâu rộng về đồ thị hàm số có chứa trị tuyệt đối, chẳng hạn các hàm số y = f ( x ) , y = f ( x ) , y = f ( x ) , y = f ( x) + m , y = f ( x + m) , y = f ( x + m) , y = f ( x + m)

48

Học sinh cần biết được mối quan hệ về đồ thị, về số cực trị của các hàm số đó. Chẳng hạn +) Các hàm số y = f ( x ) và y = f ( x + m ) có cùng số điểm cực tri, có cùng giá trị cực

đại, giá trị cực tiểu. Từ đó suy ra các hàm số y = f ( x ) và y = f ( x + m ) có cùng số điểm cực tri, có cùng giá trịcực đại, giá trị cực tiểu. +)Gọi m, n lần lượt là số cực trị của các hàm số y = f ( x ) , y = f ( x ) và p là số giao

điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và trục hoành thì ta có đẳng thức m = n + p. +) Nắm được sơ đồ biến đổi của đồ thị từ đơn giản đến phức tạp, chẳng hạn như y = f ( x ) ⇒ y = f ( x ) , y = f ( x ) ⇒ y = f ( x ) , y = f ( x + m) , y = f ( x ) + m ⇒ y = f ( x ) + m

Ví dụ 3.11.Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ .

Biết đồ thị của hàm số y = f ( x ) như hình vẽ bên. Xét hàm số  1  g ( x) =    2017 

f ( x) 20

 1  −   2018 

f ( x) 20

y = f (x

, x ∈ ℝ. Số điểm cực trị của

hàm số y = g ( x ) trên đoạn [ −3; 5] là

A. 5 B. 6 D. 8

C. 7

Hướng dẫn:  1  +) Xét hàm số y = g ( x ) =    2017 

1  1  Ta có g ' ( x ) =   20  2017 

f ( x) 20

f ( x) 20

 1  −   2018 

f ( x) 20

xác định và liên tục trên ℝ .

 1  1  1  f ' ( x ) ln  −    2017  20  2018 

f ( x) 20

 1  f ' ( x ) ln   , x ∈ ℝ.  2018 

f ( x) f ( x)   20 20 1 1 1        1   ln  Khi đó g ' ( x ) = 0 ⇔ f ' ( x )  −  ln   = 0.  2017   2017   2018   2018    

 f '( x ) = 0 (1)  f ( x) f ( x) ⇔ 20 1 1 1      20  1    ln  −  ln   = 0 ( 2)  2017   2017   2018   2018  49

+) Từ đồ thị của y = f ( x ) ta có hàm số y = f ( x ) có 4 điểm cực trị là x2 , x4 , x6 , x7 .  1  Mặt khác phương trình ( 2 ) ⇔    2017 

 2018  ⇔   2017 

f ( x) 20

=

f ( x) 20

 1   1  ln  =   2017   2018 

ln 2018  ln 2018  ⇔ f ( x ) = 20log 2018   ln 2017 2017  ln 2017 

f ( x) 20

 1  ln    2018 

( 3)

y = f ( x)

 ln2018  y = log2018   2017  ln2017  x1

x2

x3 x4 x5

x6

x7

 ln 2018   < 3 nên từ đồ thị của hàm số y = f ( x ) ta có đường thẳng ln 2017  2017 

Ta có 2 < 20log 2018 

 ln 2018  y = 20log 2018   cắt đồ của hàm số y = f ( x ) tại 3 điểm phân biệt có hoành độ là ln 2017  2017 

x1 , x3 , x5 . Khi đó phương trình (3) có 3 nghiệm phân biệt là x1 , x3 , x5 . +) Vậy phương trình g ' ( x ) = 0 có 7 nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 và g ' ( x )

đổi dấu khi đi qua các nghiệm này. Khi đó hàm số y = g ( x ) có 7 điểm cực trị. Chọn C. Bình luận: Đây là một bài toán đẹp cả về mặt hình thức lần lời giải bài toán. Lời giải là sự kết hợp hài hòa giữa yếu tố cực trị của hàm số và sự tương giao giữa đường thẳng và

đồ thị của hàm số. Khai thác tối đa hình ảnh của đồ thị hàm số y = f ( x ) là hàm số  ln 2018  y = f ( x ) có 4 điểm cực trị và đường thẳng y = 20log 2018   cắt đồ của hàm số ln 2017   2017

y = f ( x ) tại 3 điểm phân biệt, từ đó suy rahàm số y = g ( x ) có 7 điểm cực trị. Chọn C.

50

Ví dụ 3.12.(Đề thi thử Đặng Thúc Hứa lần 1 năm 20172018) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi hàm số y = f ( f ( x ) ) có bao nhiêu điểm

y = f ( x)

cực trị?

B. 4.

A. 3.

C. 5.

D. 6.

Hướng dẫn:

+) Ta thấy đồ thị hàm số y = f ( x ) có 2 điểm cực trị là x = 0, x = 2 nên phương trình

f ' ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt là x = 0, x = 2 . +)Xét hàm số y = g ( x ) = f ( f ( x ) ) trên ℝ , ta có g ' ( x ) = f ' ( f ( x ) ) . f ' ( x ) , ∀x ∈ ℝ. f g ' x = 0 ⇔  ( ) Khi đó  f

x = 0 x = 2 '( x) = 0 ⇔ '( f ( x)) = 0  f ( x) = 0   f ( x ) = 2

+) Từ đồ thị của hàm số y = f ( x ) , ta có phương trình f ( x ) = 0 có 1 nghiệm bội chẵn

x1 = 0 và 1 nghiệm x3 > 2 ; phương trình f ( x ) = 2 có 1 nghiệm x4 > 2 .

Tóm lại phương trình g ' ( x ) = 0 có 4 nghiệm là x1 = 0, x2 = 2, x3 > 2, x4 > 2 Bảng số

biến thiên của hàm

x g '( x )

g ( x)

−∞

0

+

−

2

x3

x4

0

+ 0

0

−

0

+∞

y = g ( x ) trên ℝ.

+

Do đó hàm số y = g ( x ) = f ( f ( x ) ) có 4 điểm cực tri.Chọn B.

Bình luận: Bài toán có cấu trúc đơn giản, nhưng khá nhiều học sinh đã mắc sai lầm ở bài toán này. Cụ thể học sinh cho rằng biểu thức g ' ( x ) không đổi dấu khi đi qua 51

nghiệm x = 0, dẫn đến không công nhận x = 0 là điểm cực trị của hàm số y = g ( x ) và có sự lựa chọn là phương án A. Nguyên nhân sai lầm là học sinh nhận thấy x = 0 là nghiệm sinh ra từ các phương trình f ( x ) = 0 và f ' ( x ) = 0 nên cho rằng x = 0

là

nghiệm bội chẵn (xuất hiện chẵn lần). Nhưng thực chất bài toán cho đồ thị của hàm số

y = f ( x ) khá đặc biệt là tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 0, điều này dẫn đến phương trình g ' ( x ) = 0 có nghiệm x = 0 là nghiệm bội lẻ (xuất hiện lẻ lần) và

đạo hàm g ' ( x ) vẫn đổi dấu khi đi qua x = 0 nên hàm số y = g ( x ) vẫn nhận x = 0 là điểm cực trị.

Ví dụ 3.13.Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên khoảng ( −∞; +∞ ) . Đồ thị của hàm số y = f ( x ) như hình vẽ.

2

Hỏi đồ thị của hàm số y = ( f ( x ) ) có bao nhiêu điểm cực đại cực tiểu?

A.2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.

y = f ( x)

B.2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.

C.1 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.D.3 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.

Hướng dẫn: +) Từ hình vẽ, ta thấy đồ thị của hàm số y = f ( x ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có

hoành

độ

là

x1 = 0, x2 = 1, x3 = 3

và

hàm

số

có

x2 = 1, x4 ∈ ( 0;1) , x5 ∈ (1;3) .

2

+) Xét hàm số y = g ( x ) = ( f ( x ) ) , có g ' ( x ) = 2 f ( x ) f ' ( x ) , x ∈ ℝ.  f ( x) = 0

Khi đó g ' ( x ) = 0 ⇔ f ( x ) f ' ( x ) = 0 ⇔ 

 f ' ( x ) = 0 52

(1) . ( 2)

3

đi ể m

cự c

trị

Ta có phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt x1 = 0, x2 = 1, x3 = 3 và phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt x2 = 1, x4 ∈ ( 0;1) , x5 ∈ (1;3) . +) Ta có c ủa

hàm

sau:

bảng biến thiên

x g '( x )

−∞

0

− 0

x5 1 0+

x4

+

0

−

g ( x)

3 −0

+∞

số y = g ( x ) như

+

0

Từ đó hàm số y = g ( x ) có 2 điểm cực đại và 3 điểm cực tiểu. Chọn B.

Bình luận: Bài toán tiếp tục đưa học sinh đến sai lầm tương tự như bài toán trước. Cụ thể bài toán vẫn cho đồ thị hàm số y = f ( x ) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành

độ bằng 1 nên x = 1 là nghiệm bội chẵn sinh ra từ phương trình f ( x ) = 0. Ngoài ta phương trình f ' ( x ) = 0 còn có thêm nghiệm x = 1 nữa. Tóm lại phương trình g ' ( x ) = 0 có nghiệm x = 1 (nghiệm này là nghiệm bội lẻ-xuất hiện lẻ lần) và g ' ( x ) đổi dấu khi đi qua nghiệm này. Vì thế hàm số y = g ( x ) nhận x = 1 là điểm cực trị.

Ví dụ 3.14.Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên khoảng ( −∞; +∞ ) . Đồ thị của hàm số y = f ( x ) như hình vẽ. Hỏi

đồ thị của hàm số y = f ( f ( x ) ) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 6.

C. 7.

B. 8.

D. 9.

y = f ( x)

Hướng dẫn 53

+) Từ hình vẽ, ta thấy đồ thị của hàm số y = f ( x ) có 3 điểm cực trị có hoành độ là  x1 = 1  x1 = 1, x2 = m ∈ ( 0;1) , x3 = n ∈ (1;3) . Khi đó phương trình f ' ( x ) = 0 ⇔  x2 = m  x3 = n +) Xét hàm số y = g ( x ) = f ( f ( x ) ) có g ' ( x ) = f ' ( f ( x ) ) f ' ( x ) , x ∈ ℝ.  f '( x) = 0 g ' x = 0 ⇔ f ' f x f ' x = 0 ⇔  ( ) ( ) ( ) ( ) Khi đó  f ' ( f ( x ) ) = 0

(2)

Ta

nghiệm

có

phương

trình

(2)

có

(1)

3

phân

biệt

f ( x ) = 1, f ( x ) = m ∈ ( 0;1) , f ( x ) = n ∈ (1;3) .

+) Từ đồ thị của hàm số y = f ( x ) ta vẽ thêm các đường thẳng y = 1, y = m, y = n.

y =n

y =1

C

B D

y =m

E

F

A

m

n

y = f ( x)

Khi đó ta thấy các đường thẳng y = 1, y = m, y = n đều cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại hai điểm phân biệt hay mỗi phương trình f ( x ) = 1, f ( x ) = m, f ( x ) = n đều có hai nghiệm phân biệt. Tóm lại phương trình g ' ( x ) = 0 có 9 nghiệm phân biệt và g ' ( x ) đều

đổi dấu khi đi qua 9 nghiệm đó. Vậy hàm số y = g ( x ) có tất cả 9 điểm cực trị. Chọn D. 54

Bình luận: Thoạt nhìn ban đầu bài toán này giống hệt bài toán trước, chỉ giống nhau về đồ thị của hàm số y = f ( x ) nhưng thực chất hai hàm số y = f ( f ( x ) ) và y = ( f ( x ) )

2

hoàn toàn khác nhau về cấu trúc. Điểm mấu chốt của bài toán là học sinh cần có suy  x1 = 1  luận logic, chẳng hạn phương trình f ' ( x ) = 0 ⇔  x2 = m dẫn đến ta có phương trình  x3 = n

 f ( x) = 1 ( 3)  tương ứng f ' ( f ( x) ) = 0 ⇔  f ( x) = m ( 4) sau đó chuyển số nghiệm của phương trình f x =n 5 ()  ( )

( 3 ) , ( 4 ) , ( 5 ) về số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường thẳng tương ứng y = 1, y = m, y = n.

Chủ đề 4. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ẨN, HÀM SỐ HỢP A. KIẾN THỨC CƠ SỞ.

1. Định nghĩa:Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên tập D. a. Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x ) trên D nếu f ( x ) ≤ M và tồn f ( x). tại x0 ∈ D sao cho f ( x0 ) = M . Kí hiệu M = max x∈D

b. Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên D nếu f ( x ) ≥ m và tồn f ( x). tại x0 ∈ D sao cho f ( x0 ) = m. Kí hiệu m = min x∈D

2. Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

Hướng 1: Sử dụng các phép biến đổi, đánh giá trực tiếp, hay dùng các bất đẳng thức.

Hướng 2: Tìm GTLN và GTNN bằng cách sử dụng đạo hàm, bảng biến thiên. +) Tính đạo hàm f ' ( x ) và tìm các điểm x1 , x2 ...xn ∈ D mà tại đó f ' ( x ) = 0 hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm. +) Lập bảng biến thiên của hàm số để suy ra GTLN và GTNN của hàm số.

55

Trong phần này có 2 dạng toán thường gặp: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = f ( x ) trên khoảng ( a; b ) hay trên đoạn [ a; b ] .

Hướng 3: Tìm GTLN và GTNN bằng cách gián tiếp: +)Sử dụng ẩn phụ t = u ( x ) . Khi x ∈ D tìm được t ∈ K , trong đó D là miền giá trị x và K là miền giá trị của t.

+) Bài toán trở thành: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = g ( t ) trên miền K .

Trong chủ đề này chủ yếu tập trung giải quyết các bài toán có dạng tổng quát sau:

Bài toán:Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị cho trước và u ( x ) là hàm số liên tục trên miền D. Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = f ( u ( x ) ) trên miền D. +) Đặt ẩn phụ t = u ( x ) và đi tìm miền giá trị của hàm số u ( x ) trên miền D, giả sử miền giá trị đó là K. Khi đó bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( t ) trên miền K. +) Từ đồ thị của hàm số y = f ( x ) ta suy ra đồ thị của hàm số y = f ( t ) trên K và từ đó tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( t ) trên K.

Ví dụ 4.1.(Đề thi thửTHPT Quốc GiaSở Bắc Giang nămhọc 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như

hình

vẽ

(

bên.

Đặt

)

M = max f 2 ( sin 4 x + cos 4 x ) , ℝ

(

y = f ( x)

)

m = min f 2 ( sin x + cos x ) . Tổng M + m bằng ℝ

4

4

A. 3. B. 4.

C. 5. D. 6.

Hướng dẫn: +) Đặt t = 2 ( sin 4 x + cos 4 x ) , x ∈ ℝ. Ta có t = 2 (1 − 2sin 2 x cos 2 x ) = 2 − sin 2 2 x Do 0 ≤ sin 2 2 x ≤ 1 nên 1 ≤ 2 − sin 2 2 x ≤ 2 ⇒ t ∈ [1; 2] .

56

+) Bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( t ) trên

đoạn [1; 2] . Mặt khác, đồ thị của hàm số y = f ( x ) trên đoạn [1; 2] cũng chính là đồ thị của hàm số y = f ( t ) trên đoạn [1; 2] . Khi đó

(

)

M = max f 2 ( sin 4 x + cos 4 x ) = max f ( t ) = f (1) = 3 hay M = 3 khi x = ℝ t∈ 1; 2

(

[

]

)

m = min f 2 ( sin 4 x + cos 4 x ) = min f ( t ) = f ( 2 ) = 1 hay m = 1 khi x = ℝ t∈[1; 2]

π 4

+

kπ , k ∈ℤ.

2

kπ , k ∈ℤ.

2

Do đó tổng M + m = 3 + 1 = 4. Chọn B.

Bình luận: Bài toán tổng quát: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị cho trước và u ( x ) là hàm số liên tục trên miền D. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( u ( x ) ) trên miền D.

Để giải quyết bài toán trên, trước hết ta đặt ẩn phụ t = u ( x ) và đi tìm miền giá trị của hàm số u ( x ) trên miền D, giả sử miền giá trị đó là K. Khi đó bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( t ) trên K. Cuối cùng từ đồ thị của hàm số y = f ( x ) ta suy ra đồ thị của hàm số y = f ( t ) trên K và từ đó tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( t ) trên K.

Để điều chỉnh độ phức tạp của bài toán có thể điều chỉnh độ phức tạp của hàm số u ( x ) .

Chẳng hạn ta vẫn xét hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ trên và xét một số cách thay

đổi biểu thức u ( x ) như sau:

 4x  f  2  , m = min +) Đặt M = max x∈ℝ x∈ℝ  x +1 

(

)

 4x  f  2  . Tính tổng M + m .  x +1 

f x + 2 − x2 , m = +) Đặt M = x∈max − 2; 2 



min

x∈ − 2 ; 2 

57

(

)

f x + 2 − x 2 . Tính tổng M + m .

f +) Đặt M = max  π x∈0;   2

f Đặt M = max  π x∈0;   4

(

(

)

2 ( sin x + cos x ) , m = min f

)

 π x∈0;   2

2 ( sin 3 x + cos3 x ) , m = min f  π x∈0;   4

(

)

2 ( sin x + cos x ) . Tính M + m +)

)

(

2 ( sin 3 x + cos3 x) . Tính M + m

Ví dụ 4.2.(Đề thi thửChuyên Đại Học Vinh lần 3 nămhọc 2017-2018)Cho hàm số

y = u ( x ) liên tục trên đoạn [ 0; 5] và có bảng biến thiên như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

3 x + 10 − 2 x = m.u ( x ) có nghiệm trên

đoạn [ 0; 5] ?

0 4

x

3

2

1

3

3

u ( x)

1

1

A.3.

5

B. 4.

C. 5.

D. 6.

Hướng dẫn: +) Từ bảng biến thiên của hàm số y = u ( x ) , ta có 1 ≤ u ( x ) ≤ 4, ∀x ∈ [ 0; 5].

Khi đó phương trình hàm

3x + 10 − 2 x = m.u ( x ) ⇔

v ( x ) = 3x + 10 − 2 x

+)

Xét

v ' ( x) =

3 x − , x ∈( 0; 5) .

2 3x 10 − 2x

Khi đó v ' ( x ) = 0 ⇔

3 x + 10 − 2 x = m (1) . u ( x)

số

trên

3 1 = ⇔ 3 10 − 2 x = 2 3 x ⇔ x = 3 ∈ ( 0; 5 ) .

2 3x 10 − 2 x

Ta lập bảng biến thiên của hàm số y = v ( x ) trên đoạn [ 0; 5]

x v '( x ) v ( x)

[ 0; 5] ,

0

3 +

0 5 58

0 −

có

+) Từ bảng biến thiên của hàm số y = v ( x ) , ta có 10 ≤ v ( x ) ≤ 5, ∀x ∈ [ 0; 5].

Khi đó max v ( x ) = v ( 3) = 5 và min u ( x ) = u ( 3) = 1 , suy ra [ 0; 5]

[ 0; 5]

min v ( x ) = v ( 0 ) = 10 và maxu ( x ) = u ( 0 ) = 4 , suy ra [ 0; 5]

suy ra

[ 0; 5]

v ( x) ≤ 5, ∀x ∈ [ 0; 5] u ( x)

v ( x) 10 , ∀x ∈ [ 0; 5] ≥ u ( x) 4

v ( x ) v ( 0) v ( x ) v ( 3) 10 v ( x) 10 ≤ ≤ 5, ∀x ∈[ 0; 5] hay max . = = = = 5 và min [ 0; 5] u ( x ) u ( 0 ) [ 0; 5] u ( x ) u ( 3) 4 u ( x) 4

+) Để 3 x + 10 − 2 x = m.u ( x ) có nghiệm trên đoạn [ 0; 5] thì

3x + 10 − 2 x =m u ( x)

v ( x) v ( x) 10 ≤ m ≤ max ⇔ ≤ m ≤ 5. ] u ( x) [ 0; 5] u ( x ) 4

có nghiệm trênđoạn [ 0; 5] ⇔ min 0; 5 [

Hơn nữa m ∈ ℤ nên m ∈ {1; 2; 3; 4; 5} . Vậy có tất cả 5 giá trị nguyên của m. Chọn C.

Bình luận: Đây là một bài toán đẹp về hình thức và ý tưởng hoàn toàn mới mẻ. Bài toán có chứa tham số m mà hầu hết học sinh nghĩ đến con đường cô lập tham số m. Thế nhưng sau đó học sinh gặp trở ngại lớn khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = g ( x ) =

v ( x) u ( x)

trên đoạn [ 0; 5] . Học sinh có thói quen là sử dụng đạo hàm để tìm

giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, tuy nhiên hàm số y = u ( x ) trong giả thiết chỉ cho ở dạng bảng biến thiên, không có công thức tường minh nên không thể tiến hành tính đạo hàm của hàm số y = g ( x ) =

v ( x) u ( x)

. Trước tình thế đó học sinh có thể đi

tìm trực tiếp giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số y = u ( x ) , y = v ( x ) một cách độc lập.

59

Một điểm nhấn nữa mà hầu hết học sinh có thể chưa quan tâm, đóng vai trò then chốt dẫn đến thành công của bài toán là sự trùng khớp nhau về điểm rơi của hai hàm số y = u ( x ) , y = v ( x ) , chẳng hạn ta tìm được max v ( x ) = v ( 3) = 5 và min u ( x ) = u ( 3) = 1 [ 0; 5]

suy ra max [ 0; 5]

[ 0; 5]

v ( x ) v ( 3) = = 5 , tức là tồn tại x = 3 để các hàm số y = u ( x ) , y = v ( x ) đồng u ( x ) u ( 3)

thời lần lượt đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất, từ đó tồn tại x = 3 để hàm số y=

v ( x) có giá trị lớn nhất bằng 5. u ( x)

Ví dụ 4.3.Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số mthuộc đoạn [ −2018; 2018] để bất phương trình

(

f 2 ( sin 4 x + cos4 x )

)(

y = f ( x)

)

3x + 10 − 2 x ≥ m có

nghiệm đúng với mọi x ∈ [ 0; 5] ?

A. 2018. B. 2019.

C. 2020. D. 2021.

Hướng dẫn: +) Đặt t = 2 ( sin 4 x + cos 4 x ) , x ∈ ℝ. Ta có t = 2 (1 − 2sin 2 x cos 2 x ) = 2 − sin 2 2 x Do 0 ≤ sin 2 2 x ≤ 1 nên 1 ≤ 2 − sin 2 2 x ≤ 2 ⇒ t ∈ [1; 2] . +) Mặt khác, đồ thị của hàm số y = f ( x ) trên đoạn [1; 2] cũng chính là đồ thị của hàm

(

)

f 2 ( sin 4 x + cos 4 x ) = min f ( t ) = f ( 2 ) = 1 số y = f ( t ) trên đoạn [1; 2] . Khi đó min ℝ t∈[1; 2]

(

)

4 4 Hay biểu thức f 2 ( sin x + cos x ) có giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi x = 0.

60

+)

Xét

g ' ( x) =

hàm

trên

có

3 1 = ⇔ 3 10 − 2 x = 2 3x ⇔ x = 3 ∈ ( 0; 5 ) .

2 3x 10 − 2 x

lập

hàm số

[0; 5]

[ 0; 5] ,

3 x − , x ∈( 0; 5) .

2 3x 10 − 2x

Khi đó g ( x ) = 0 ⇔ Ta

g ( x ) = 3x + 10 − 2 x

số

bảng biến thiên của

0

x

3

g '( x)

0 5

+

g ( x)

0

y = g ( x ) trên đoạn

−

10

15

Từ đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức g ( x ) = 3x + 10 − 2 x bằng 10 khi x = 0.

(

4 4 +) Xét hàm số h ( x ) = f 2 ( sin x + cos x )

)(

)

3x + 10 − 2 x trên đoạn [ 0; 5] có giá trị

nhỏ nhất là 10 khi x = 0. Khi đó bất phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi

x ∈ [ 0; 5] ⇔ min h ( x ) ≥ m ⇔ m ≤ 10. x∈[ 0; 5]

Vậy có tất cả 2021 giá trị nguyên của m thuộc đoạn [ −2018; 2018] thỏa mãn. Chọn D.

Bình luận: Bài toán tiếp tục có ý tưởng, thần thái giống bài toán trước, thông tin về các hàm số một cách nửa vời, hàm số y = g ( x ) = 3x + 10 − 2 x cho một cách tường minh

(

)

4 4 còn hàm số y = f 2 ( sin x + cos x ) được cho ở dạng ẩn tàng, nấp bóng dưới bóng đồ thị

của hàm số y = f ( x ) . Bài toán được nâng cấp hơn về mặt tư duy so với bài toán trước, nhiều học sinh (kể cả học sinh khá) cũng không thể tìm được giá trị nhỏ nhất của hàm

61

(

)

4 4 số y = f 2 ( sin x + cos x ) . Vì thế bài toán được đánh giá có sức phân hóa rất tốt giữa

các đối tượng học sinh.

Ví dụ 4.4.Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ dưới đây và hàm số y = u ( x ) liên tục trên đoạn [ 0; 5] và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới

đây.Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ 0; 2018] để bất phương

(

)

6 6 m trình f 4 ( sin x + cos x ) u ( x ) ≤ 2018 có nghiệm đúng với mọi x ∈ [ 0; 5] ?

x

0 4

1 y = f ( x)

3

3 3

0 3

u ( x) 1

1

A. m ≥ log 2018 20. B. m ≤ log 2018 20. C. m ≥ log 2018 12.

D. m ≥ log 20 2018.

Hướng dẫn: +) Đặt t = 4 ( sin 6 x + cos6 x ) , x ∈ ℝ. Ta có t = 4 (1 − 3sin 2 x cos 2 x ) = 4 − 3sin 2 2 x Do 0 ≤ sin 2 2 x ≤ 1 nên 1 ≤ 4 − 3sin 2 2 x ≤ 4 ⇒ t ∈ [1; 4] . +) Mặt khác, đồ thị của hàm số y = f ( x ) trên đoạn [1; 4] cũng chính là đồ thị của hàm

(

)

f 4 ( sin 6 x + cos 6 x ) = max f ( t ) = f ( 4 ) = 5 số y = f ( t ) trên đoạn [1; 4] . Khi đó max x∈ℝ t∈ 1; 4

(

[

]

)

Hay biểu thức f 4 ( sin 6 x + cos6 x ) có giá trị lớn nhất bằng 5 khi x = 0. +) Từ bảng biến thiên của y = u ( x ) ta có giá trị lớn nhất của u ( x ) bằng 4 khi x = 0.

62

(

)

Xét hàm số h ( x ) = f 4 ( sin 6 x + cos6 x ) u ( x ) xác định và liên tục trên đoạn [ 0; 5] đồng thời có giá trị lớn nhất bằng 20 khi x = 0. Khi đó bất phương trình đã cho có nghiệm m m đúng với mọi x ∈ [ 0; 5] ⇔ max h ( x ) ≤ 2018 ⇔ 2018 ≥ 20 ⇔ m ≥ log 2018 20. Chọn A.

[0; 5]

Bình luận: Bài toán được nâng lên một tầm cao mới so với những bài toán trước khi

(

)

6 6 các thông tin về các hàm số y = u ( x ) , y = f 4 ( sin x + cos x ) chỉ là hình ảnh bảng

biến thiên của hàm số y = u ( x ) , hình ảnh của đồ thị hàm số y = f ( x ) . Bài toán có sự phân hóa rất tốt giữa học sinh có học lực khá và học lực giỏi. Bài toán được xếp vào câu có mức độ vận dụng cao.

63

Chủ đề 5. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ẨN, HÀM SỐ HỢP. A. KIẾN THỨC CƠ SỞ.

1. Bài toán cơ bản: Xét hàm số y = f ( x ) có đồ thị là ( C1 ) và hàm số y = g ( x ) có đồ thị là ( C2 ) . Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị ( C1 ) và ( C2 ) là nghiệm của phương trình f ( x ) = g ( x ) (1) . Khi đó đồ thị ( C1 ) cắt đồ thị ( C2 ) tại k điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có k nghiệm phân biệt.

Trong chủ đề này ta xét các bài toán có mô hình y = f ( x ) có đồ thị là một đường cong ( C ) và y = g ( x ) có đồ thị là một đường thẳng.

2. Một số Bài toán trọng tâm: a. Bài toán 1: Chohàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên hay có đồ thị là ( C ) . Hỏi phương trình f ( u ( x ) ) = 0 có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt trên miền D ?

• Bước 1: Đặt t = u ( x ) , khi x ∈ D tìm được miền giá trị của t là K . Tìm mối quan hệ giữa x và t (nếu cần), 1 giá trị của t ứng với bao nhiêu giá trị của x .

• Bước 2: Khi đó phương trình trở thành f ( t ) = 0. Bảng biến thiên hay đồ thị của hàm số y = f ( t ) chính là bảng biến thiên hay đồ thị của hàm số y = f ( x) trên K. • Bước 3: Từ bảng biến thiên hay đồ thị đồ thị của hàm số y = f ( t ) để tìm được số nghiệm t ∈ K , từ đó suy ra số nghiệm x ∈ D .

b. Bài toán 2: Chohàm số y = f ( x ) có đồ thị là ( C ) . Tìm điều kiện của tham số m để phương trình f ( u ( x ) ) = g ( m ) có k nghiệm thực phân biệt?

• Dựa trên nền tảng Bài toán 1, chú ý kiểm tra 1 giá trị của t cho bao nhiêu x?

• Bài toán trở thành: Tìm m để đường thẳng y = g ( m ) cắt đồ thị hàm số y = f ( t ) , t ∈ K tại h điểm phân biệt.

c. Bài toán 3: Chohàm số y = f ( x ) , trong đó f ( x ) là biểu thức cho trước. Hỏi phương trình g ( f ( x ) ) = 0 có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

64

• Đặt t = f ( x ) , giải phương trình g ( t ) = 0 để tìm các giá trị t1 , t2 ...

• Lập bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) để kiểm tra số nghiệm của các phương trình f ( t ) = t1 , f ( t ) = t2 ... Từ đó suy ra số nghiệm của phương trình g ( f ( x ) ) = 0.

• Chú ý: Có thể sử dụng máy tính để hỗ trợ trong quá trình giải phương trình hoặc phương pháp xấp xỉ để ước lượng để giải quyết Bài toán trong thời gian ngắn nhất, phù hợp với hình thức thi dưới dạng Trắc nghiệm.

B. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA ĐIỂN HÌNH. Ví dụ 5.1.(Đề thi thửChuyên Đại Học Vinh lần 2 nămhọc 2017-2018)Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm số

giá trị nguyên của tham số m để phương trình

y = f ( x)

f ( x 2 − 2 x ) = m có 4 nghiệm thực phân biệt  3 thuộc đoạn  − ;  2

7 .

2 

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Hướng dẫn:

 3 +) Đặt u ( x ) = x 2 − 2 x, xét hàm số y = u ( x ) trên đoạn  − ;  2

x

−∞

−

3 2

u '( x ) u ( x)

7 2

1

0

− 21 4

7 . Ta có 2 

+∞

+ 21 4

−1

 3 u ' ( x ) = 2 x − 2, u ' ( x ) = 0 ⇔ x = 1. Lập bảng biến thiến của y = u ( x ) trên  − ;  2 65

7 .

2 

 3 7 Từ bảng biến thiến, ta thấy khi u = −1 cho ta đúng 1 nghiệm x = 1∈  − ;  , với mỗi  2 2

21   3 giá trị của u ∈  −1;  thì cho ta đúng 2 nghiệm x ∈  − ; 4   2

7 . Từ đó, để phương trình 2 

 3 f ( x 2 − 2 x ) = m có 4 nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn  − ;  2

7 thì phương trình 2 

21  f ( u ) = m có đúng 2 nghiệm thực phân biệt thuộc  −1;  . Khi đó đường thẳng y = m 4  21  phải cắt đồ thị hàm số y = f ( u ) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ u ∈  −1;  4 

+) Dựa vào đồ thị của hàm số y = f ( x ) ta suy ra đồ thị của hàm số y = f ( u ) trên nửa 21  khoảng  −1;  , đồng thời ta vẽ thêm các đường thẳng y = 2, y = 3, y = 4, y = 5 trên cùng 4 

hệ tọa độ uOy ta được hình vẽ như sau:

y = f ( u)

y =5 y =4

y =3 y =2

u1 −2

1

2 u2 u3 66

5

+) TH1: Nếu m = 2 ta có đường thẳng y = 2 cắt đồ thị hàm số y = f ( u) tại hai điểm phân biệt có hoành độ là u1 ∈( −3; − 2) , u =1không thỏa mãn. +) TH2: Nếu m = 3ta có đường thẳng y = 3 cắt đồ thị hàm số y = f ( u) tại hai điểm phân biệt có hoành độ là u = 0, u = 2 thỏa mãn. +) TH3: Nếu m = 4 ta có đường thẳng y = 4 cắt đồ thị hàm số y = f ( u) tại hai điểm phân biệt có hoành độ là u = −1, u2 ∈( 2; 3) không thỏa mãn. +) TH4: Nếu m = 5ta có đường thẳng y = 5 cắt đồ thị hàm số y = f ( u) tại hai điểm phân biệt có hoành độ là u3 ∈( 3;4) , u = 5 thỏa mãn.

Tóm lại ta tìm được 2 giá trị nguyên của tham số m là m = 3, m = 5. Chọn B.

Bình luận: Đây là bài toán về sự tương giao giữa đường thẳng và đồ thị hàm số. Mặc dù hàm số không cho bởi công thức cụ thể nhưng thông tin về hình ảnh của đồ thị rất rõ ràng. Vấn đề là học sinh có biết khác đồ thị đó hay không? Để khai thác được đồ thị, trước hết học sinh có thao tác đặt ẩn phụ u ( x ) = x 2 − 2 x, để quy đổi phương trình f ( x 2 − 2 x ) = m trở thành f ( u ) = m , đây là mức tư duy đại trà, tuy nhiên với những học  3 sinh khá hơn các em ý thức được việc quy đổi x ∈  − ;  2

7 21  thì u ∈  −1;  . Tiếp tục  2 4 

bài toán chưa dừng lại ở cấp độ tư duy này mà được đẩy lên cao hơn khi mà không đánh

đồng số nghiệm của phương của phương trình f ( x 2 − 2 x ) = m bằng số nghiệm của phương trình f ( u ) = m . Điều này xuất phát ngay từ mối quan hệ giữa 2 ẩn x và u , cụ thể từ bảng biến thiên của hàm số u ( x ) = x 2 − 2 x, chúng ta đã thấy có sự phân biệt về  3 7 các giá trị của u. Cụ thể khi u = −1 cho ta đúng 1 nghiệm x = 1∈  − ;  , với mỗi giá  2 2

21   3 7 trị của u ∈  −1;  thì cho ta đúng 2 nghiệm x ∈  − ;  . Từ đó, để phương trình 4   2 2  3 f ( x 2 − 2 x ) = m có 4 nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn  − ;  2 67

7 thì phương trình 2 

21  f ( u ) = m có đúng 2 nghiệm thực phân biệt thuộc  −1;  . Có thể nói công đoạn này 4 

đóng vai trò then chốt nhằm sàng lọc, phân biệt đối tượng học sinh khá với học sinh giỏi.

Bên cạnh đó học sinh cần hiểu được đồ thị của hàm số không phụ thuộc vào biến số, cụ thể là đề bài cho đồ thị của hàm số y = f ( x ) thì ta suy ra đây chính là đồ thị của hàm 21   số y = f ( u ) , nhưng chúng ta chỉ lấy đồ thị đó trên nửa khoảng  −1;  .

4 

Ví dụ 5.2.(Đề thi thửTHPT Quốc Gia Mộ Đức Quãng Ngãi nămhọc 2017-2018) Cho

hàm số x

−∞

2

1 +

+

f '( x )

+∞

2

+∞

−

−

4

+∞

f ( x) −1

−∞

−∞

−1

y = f ( x ) liên tục trên ℝ \ {1, 2} và có bảng biến thiên như dưới đây

 

Hỏiphương trình f ( 2sin x ) = 3 có bao nhiêu nghiệm trên đoạn 0;

A. 2.

B. 3.

C. 4.

Hướng dẫn:

 5π  ⇒ sin x ∈ [ 0; 1] . Khi đó t ∈ [1; 2] +) Đặt t = 2sin x , do x ∈ 0;  6 

và phương trình f ( 2sin x ) = 3 trở thành f ( t ) = 3, t ∈ [1; 2] .

68

5π  .

6 

D. 5.

+) Từ bảng biến thiên cuả hàm số y = f ( x ) ta suy ra bảng biến thiên cuả hàm số

−∞

t

1

2

t1

+∞

−

+

f '(t )

2

t2

4

f (t )

y =3 −∞

−∞ y = f ( t ) trên đoạn t ∈ [1; 2] .

Từ bảng biến thiên, ta có đường thẳng y = 3 cắt đồ thị hàm số y = f ( t ) tại hai điểm

(

)

phân biệt có hoành độ là t1 ∈ 1; 2 và t2 ∈

(

(

)

2; 2 .

 

)

+) Mặt khác, cứ với mỗi giá trị của t1 ∈ 1; 2 cho ta 1 giá trị của x ∈  0; trị của t2 ∈

(

π

 và mỗi giá 6

 π 5π  2; 2 cho ta 2 giá trị của x ∈  ; . 6 6 

)

 

Vậy phương trình f ( 2sin x ) = 3 có 3 nghiệm trên đoạn 0;

5π  . Chọn B. 6 

Bình luận: Bài toán tiếp tục bàn về sự tương giao giữa đường thẳng và đồ thị của hàm số mà hàm số không được cho một cách tường minh, chỉ thể hiện hiện thông tin trên bảng biến thiên của hàm số. Kỹ thuật, quy trình xử lí tương tự như bài toán trước nhưng cấp độ bài toán này cao hơn khi mà bài toàn có đề cập đến số nghiệm của phương trình lượng giác trên một đoạn cho trước. Cụ thể là dựa vào đường tròn lượng  giác ta có mỗi giá trị của sin x ∈  0; 

1  π  thì cho ta đúng 1 nghiệm x ∈  0; 6  và mỗi giá 2  

69

 π 5π 1  trị của sin x ∈  ; 1 thì cho ta 2 nghiệm x ∈  ;  6 6 2 

  . Khi đó mỗi giá trị của t1 ∈ 1; 2 

(

 π cho ta 1 giá trị của x ∈ 0;  và mỗi giá trị của t2 ∈ 6 



(

2; 2

)

cho ta 2 giá trị của

 π 5π  x ∈ ; . 6 6 

sin π 2

2π 3

3 2

5π 6 π

π 3 π 6

1 2

0 cos

O

Ví dụ 5.3.(Đề thi thửTHPT Quốc GiaChuyên Lam Sơn nămhọc 2017-2018)

y

Cho hàm số y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 )

2

có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi phương trình

f ( f ( x ) ) = 0 có bao nhiêu nghiệm thực?

−2

−1 O

A. 3. B. 5.

C. 7.

D. 9.

−2

70

)

1

2

x

y = f ( x)

Hướng dẫn: +) Ta thấy đồ thị của hàm số y = f ( x ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có các hoành

độ là x1 = m ∈ ( −2; − 1) , x2 = 0, x3 = n ∈ (1; 2 ) . Từ đó phương trình f ( x ) = 0 có các nghiệm là x1 = m, x2 = 0, x3 = n. Khi đó phương trình f ( f ( x ) ) = 0 cũng có các nghiệm tương ứng f ( x ) = m ∈ ( −2; − 1) , f ( x ) = 0, f ( x ) = n ∈ (1; 2 ) . Ta xét các trường hợp sau:

y y = f ( x)

2

y=n

n

m

−2 a

p −1 q O

b 1

c

s 2

x y=m

−2

+) Trường hợp 1: Xét phương trình f ( x ) = m (1) .

Ta thấy đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại 3 điểm phân biệt có hoành

độ là

x4 = a, x5 = b, x6 = c nên

phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

x4 = a, x5 = b, x6 = c.

+) Trường hợp 2: Xét phương trình f ( x ) = n ( 2 ) .

Ta thấy đường thẳng y = n cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại 3 điểm phân biệt có hoành

độ là

x7 = p, x8 = q, x9 = s

nên phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt

x7 = p, x8 = q, x9 = s.

Vậy phương trình f ( f ( x ) ) = 0 có tất cả 9 nghiệm thực phân biệt. Chọn D. 71

Bình luận: Bài toán có cấu trúc đơn giản kèm theo một lời giải đẹp. Bài toán nhằm rèn luyện cho học sinh có khả năng quan sát tinh tế. Hoành độ giao điểm sinh ra bởi đồ thị của hàm số y = f ( x ) và trục hoành là x1 = m ∈ ( −2; − 1) , x2 = 0, x3 = n ∈ (1; 2 ) . Điều này

ảnh

hưởng

trực

tiếp

đến

số

nghiệm

c ủa

các

phương

trình

f ( x ) = m ∈ ( −2; − 1) , f ( x ) = 0, f ( x ) = n ∈ (1; 2 ) sau này.

Ví dụ 5.4.(Đề thi thửChuyên Đại Học KHTN Hồng Đức nămhọc 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ

y

thị như hình bên . Hỏi có bao nhiêu điểm trên

1

đường tròn lượng giác biểu diễn nghiệm của phương trình f ( f ( cos 2 x ) ) = 0?

A. 1.

B. 2.

B. 3.

D. 4.

y = f ( x)

−1

O

1

x

Hướng dẫn: +) Ta có đồ thị của hàm số y = f ( x ) cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ là x1 = m ∈ ( −∞; − 1) , x2 = 0, x3 = n ∈ (1; + ∞ ) .

 f ( cos 2 x ) = 0  Khi đó phương trình f ( f ( cos 2 x ) ) = 0 ⇔  f ( cos 2 x ) = m  f cos 2 x = n )  ( cos 2 x = 0 ( 4 )  +) Ta có phương trình (1) ⇔ cos 2 x = m ( 5) cos 2 x = n 6 ( ) 

72

(1) ( 2) ( 3)

Phương trình cos 2 x = 0 ⇔ 2 x =

π 2

+ kπ ⇔ x =

π 4

+

kπ , k ∈ℤ, có 4 điểm trên đường 2

tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác này. Ngoài ra ta có cos 2 x ∈ [ −1; 1] , ∀x ∈ ℝ và m ∈ ( −∞; − 1) , n ∈ (1; + ∞ ) nên các phương trình (5) và (6) vô nghiệm. +) Từ đồ thị của hàm số y = f ( x ) ta thấy f ( x ) ≤ 1, ∀x ∈ ℝ mà n ∈ (1; + ∞ ) nên phương trình (3) vô nghiệm. +) Bây giờ ta xét phương trình (2), đặt t = cos 2 x ⇒ t ∈ [ −1; 1]. Phương trình (2) trở thành f ( t ) = m, t ∈ [ −1; 1]. Từ đồ thị của hàm số y = f ( x ) ta suy ra đồ thị của hàm số y = f ( t ) trên đoạn [ −1; 1]. Trên đoạn [ −1; 1] , thì đường thẳng y = m không thể cắt đồ thị hàm số y = f ( t ) . Do đó phương trình (2) vô nghiệm. Tóm lại có tất cả 4 điểm trên

đường tròn lượng giác biểu diễn nghiệm của phương trình f ( f ( cos 2 x ) ) = 0. Chọn D. Bình luận: Đây là một bài toán có hình thức và cấu trúc rất đẹp về đề bài cũng như lời giải. Bài toán vẫn tiếp nối tư tưởng lượng giác ở bài toán trước nhưng được đẩy lên mức độ tư duy cao hơn nhiều. Học sinh phải nắm được sự quy đổi số nghiệm của phương trình về số giao điểm của đồ thị và trục hoành. Tính huống khó khăn nhất là khi học sinh thực hiện giải phương trình f ( cos 2 x ) = m , học sinh quy đổi về phương trình f ( u ) = m, u ∈ [1; 1] và chuyển về xét sự tương giao giữa đường thẳng y = m và đồ thị hàm số y = f ( u ) trên [1; 1]. Tóm lại việc khai thác một cách triệt để và tinh tế đồ thị của hàm số y = f ( x ) cộng thêm những nhận xét sắc bén là chìa khóa thành công ở bài toán này.

Ví dụ 5.5.Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi có bao nhiêu

y = f ( x)

điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn nghiệm

(

c ủa

phương

trình

)

f f ( sin4 x + cos4 x) = 0?

A.4.

−4 B. 6.

−3 −2

1 1 3 2 2

−2

C. 7. D. 8.

73

−4

3

Hướng dẫn: +) Ta có đồ thị của hàm số y = f ( x ) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ là x1 = −4, x2 = −2, x3 = 0, x4 = 3 hay phương trình f ( x ) = 0 có bốn nghiệm phân biệt x1 = −4, x2 = −2, x3 = 0, x4 = 3

f  f Khi đó phương trình f f ( sin 4 x + cos 4 x ) = 0 ⇔  f  f 

(

)

( sin ( sin ( sin ( sin

4

x + cos 4 x ) = −4

4

x + cos 4 x ) = −2

4

x + cos 4 x ) = 0

4

x + cos 4 x ) = 3

(1) ( 2) ( 3) ( 4)

1 +) Nhận xét: sin 4 x + cos 4 x = 1 − 2sin 2 x cos 2 x = 1 − sin 2 2 x. Ta có 0 ≤ sin 2 2 x ≤ 1 nên 2 1 1  ≤ sin 4 x + cos 4 x ≤ 1 . Đặt t = sin 4 x + cos 4 x thì t ∈  ; 1 .

2 2  f  f Khi đó các phương trình (1) , ( 2 ) , ( 3) , ( 4 ) trở thành  f  f 

( t ) = −4 ( 5) ( t ) = −2 ( 6 ) (t ) = 0 (7) ( t ) = 3 (8)

+) Nhận xét: Từ đồ thị của hàm số y = f ( x ) ta suy ra đồ thị của hàm số y = f ( t ) trên 1  đoạn  ; 1 . Khi đó ta xét các trường hợp sau đây: 2  1  Trường hợp 1: Đường thẳng y = −4 cắt đồ thị hàm số y = f ( t ) trên đoạn  ; 1 tại 1 2  điểm duy nhất có hoành độ bằng 1. Khi đó phương trình (5) tương đương với

t = 1 ⇔ sin 2 x = 0 ⇔ 2 x = kπ ⇔ x =

kπ , k ∈ℤ.

2

74

1  Trường hợp 2: Đường thẳng y = −2 cắt đồ thị hàm số y = f ( t ) trên đoạn  ; 1 tại 1 2  điểm duy nhất có hoành độ bằng

t=

1 . Khi đó phương trình (6) tương đương với 2

1 π π kπ ⇔ sin 2 2 x = 1 ⇔ cos 2 x = 0 ⇔ 2 x = + kπ ⇔ x = + , k ∈ ℤ.

2 2 4 2

1  Trường hợp 3: Đường thẳng y = 0 không cắt đồ thị hàm số y = f ( t ) trên đoạn  ; 1 2  suy ra phương trình (7) vô nghiệm. 1  Trường hợp 4: Đường thẳng y = 3 không cắt đồ thị hàm số y = f ( t ) trên đoạn  ; 1 2  suy ra phương trình (8) vô nghiệm. +) Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x =

kπ π kπ , x = + , k ∈ℤ . Khi đó có 8 điểm 2 4 2

(

)

trên đường tròn lượng giác biểu diễn nghiệm của trình f f ( sin 4 x + cos 4 x ) = 0. Chọn D. Bình luận: Tiếp nối ý tưởng của bài toán trước, bài toán này tiếp tục khai thác sự tương

giao giữa đường thẳng và đồ thị hàm số. Tuy nhiên trong bài toán này đồ thị hàm số được cho phức tạp hơn đồng thời biểu thức lượng giác cũng được tăng cường, điều này

gây ra khó khăn rất nhiều cho học sinh trong quá trình giải toán.

Ví dụ5.6.(Đề thi thửChuyên Biên Hòa lần 2 nămhọc 2016-2017)

f ( f ( x)) 3 = 1 có bao nhiêu Cho hàm số y = f ( x ) = x3 − 3x 2 + x + . Hỏi phương trình 2 f ( x) −1 2 nghiệm thực phân biệt?

A. 4 nghiệm.

B. 5 nghiệm.

C. 6 nghiệm.

D. 9 nghiệm.

Hướng dẫn:

+) Xét hàm số y = f ( x ) = x3 − 3x 2 + x +

3 xác định và liên tục trên ℝ. Ta có 2

75

 3− 6 x = 3 f ' ( x ) = 3 x 2 − 6 x + 1, ∀x ∈ ℝ. Ta có f ' ( x ) = 3 x 2 − 6 x + 1 = 0 ⇔  .  3+ 6 x = 3 

+) Ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) = x3 − 3 x 2 + x +

x

3− 6 3

−∞

f '( x )

+

0

3+ 6 3

0

−

9+8 6 18

f ( x)

3 trên ℝ.

2

+∞

+ +∞

9 −8 6 18

−∞

f ( f ( x )) f (t ) 1 = 1 trở thành = 1 (1) . +) Đặt t = f ( x ) , t ≠ . Khi đó phương trình 2 f ( x) −1 2t − 1 2 Với t ≠

1 3 5 thì (1) ⇔ f ( t ) = 2t − 1 ⇔ t 3 − 3t 2 + t + = 2t − 1 ⇔ t 3 − 3t 2 − t + = 0 ( 2 ) .

2 2 2

+) Xét hàm số y = g ( t ) = t 3 − 3t 2 − t +

5 xác định và liên tục trên ℝ. Khi đó hàm số 2

4 3   y = g ( t ) liên tục trên các đoạn  −1; −  ,  ; 1 , [ 3; 4]. Mặt khác ta có 5 4    4 g  −  g ( −1) < 0 nên phương trình g ( t ) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc  5

4   −1; −  5 

3 3  g   g (1) < 0 nên phương trình g ( t ) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng  ; 1 4 4  g ( 3) g ( 4 ) < 0 nên phương trình g ( t ) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng ( 3; 4 ) Từ đó phương trình g ( t ) = 0 có ít nhất 3 nghiệm phân biệt. Mặt khác do g ( t ) = 0 là phương trình bậc 3 nên phương trình g ( t ) = 0 có đúng 3

nghiệm phân biệt là

4  3  t1 ∈  −1; −  , t2 ∈  ; 1 , t3 ∈ ( 3; 4 ) . Khi đó số nghiệm của phương trình đã cho bằng 5  4  tổng số nghiệm phân biệt của các phương trình f ( x ) = t1 , f ( x ) = t2 , f ( x ) = t3.

76

+) Ta có t1 <

9−8 6 9−8 6 9+8 6 9+8 6 , < t2 < , t3 > . Từ bảng biến thiên của 18 18 18 18

hàm số y = f ( x ) , ta vẽ thêm các đường thẳng y = t1 , y = t2 , y = t3 ta được bảng sau đây:

x

−∞ x1

f '( x )

x2

3− 6 3

+ 0

3+ 6 3

x3

x5

+∞

+ +∞

9+8 6 18

f ( x)

0

−

x4

y = t3 y = t2 y = t1

9 −8 6 18

−∞

+) Từ bảng biến thiên, ta thấy các đường thẳng y = t1 , y = t2 , y = t3 lần lượt cắt đồ thị hàm số

y = f ( x ) tại 1 điểm, 3 điểm, 1 điểm. Khi đó các phương trình

f ( x ) = t1 , f ( x ) = t2 , f ( x ) = t3 lần lượt có 1 nghiệm, 3 nghiệm, 1 nghiệm hay phương trình

f ( f ( x)) 2 f ( x) −1

= 1 có 5 nghiệm phân biệt là x1 , x2 , x3 , x4 , x5 . Chọn B.

Bình luận: Lời giải bài toán vẫn được trình bày khuôn mẫu, nặng nề theo hướng tự

luận. Để giải nhanh bài toán theo hình thức thi Trắc nghiệm thì học sinh cần linh hoạt hơn, chẳng hạn khi giải phương trình t 3 − 3t 2 − t +

5 = 0 học sinh hoàn toàn có thể sử 2

t1 ≈ 3,06 dụng máy tính để cho các nghiệm như sau t2 ≈ 0,87 , suy ra t3 ≈ −0,93

 f ( x ) ≈ 3,06 (1)   f ( x ) ≈ 0,87 ( 2 )  f x ≈ −0,93 3 ( )  ( )

Từ bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) ta suy ra các phương trình (1) , ( 2 ) , ( 3) lần lượt có 1 nghiệm, 3 nghiệm, 1 nghiệm. Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm. Chọn B. Ví dụ 5.7. (Đề thi thửChuyên Lam Sơn Thanh Hóa lần 4 nămhọc 2016-2017)

Cho hàm số y = f ( x ) = x 3 − 3 x 2 − 3 x + 4. Hỏi phương trình f ( f ( x) − 2) − 2 = 3− f ( x) có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

A.4 nghiệm.

B. 6 nghiệm.

C. 7 nghiệm.

Hướng dẫn: 77

D. 9 nghiệm.

+) Xét hàm số y = f ( x ) = x 3 − 3 x 2 − 3 x + 4 xác định và liên tục trên ℝ. x =1+ 2 Ta có f ' ( x ) = 3 x 2 − 6 x − 3, ∀x ∈ ℝ. Ta có f ' ( x ) = 0 ⇔ x 2 − 2 x − 1 = 0 ⇔  .  x = 1 − 2

+) Ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) = x 3 − 3 x 2 − 3 x + 4 trên ℝ. x

−∞

f '( x )

1− 2 + 0

−

1+ 2 0

+∞

+

−1+4 2

f ( x)

+∞

−1−4 2

−∞

+) Đặt t = f ( x ) , khi đó phương trình đã cho trở thành

f ( t − 2) − 2 = 3 − t

(1) .

t ≤ 3 t ≤ 3 Ta có phương trình (1) ⇔  ⇔ 3 2 2 t − 10t + 27t − 19 = 0  f ( t − 2 ) − 2 = ( 3 − t ) +) Xét hàm số y = g ( t ) = t 3 − 10t 2 + 27t − 19 xác định và liên tục trên ℝ. Khi đó hàm số y = g ( t ) liên tục trên các đoạn [1; 2] , [ 2; 3] , [ 6; 7 ]. Mặt khác ta có: g (1) g ( 2 ) < 0 nên phương trình g ( t ) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (1; 2 ) g ( 2 ) g ( 3) < 0 nên phương trình g ( t ) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng ( 2; 3) g ( 6 ) g ( 7 ) < 0 nên phương trình g ( t ) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng ( 6; 7 ) Từ đó phương trình g ( t ) = 0 có ít nhất 3 nghiệm phân biệt. Mặt khác do g ( t ) = 0 là phương trình bậc 3 nên phương trình g ( t ) = 0 có đúng 3

nghiệm phân biệt là

t1 ∈ (1; 2 ) , t2 ∈ ( 2; 3) , t3 ∈ ( 6; 7 ) . Kết hợp với điều kiện t ≤ 3 thì phương trình (1) có đúng 2 nghiệm t1 ∈ (1; 2 ) , t2 ∈ ( 2; 3) . Khi đó số nghiệm của phương trình đã cho bằng

tổng số nghiệm phân biệt của các phương trình f ( x ) = t1 , f ( x ) = t2 . +) Ta có − 1 − 4 2 < t2 , t3 < −1 + 4 2 . Từ bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) , ta vẽ thêm các đường thẳng y = t2 , y = t3 ta được bảng sau đây:

78

x

−∞ x1 x2 1− 2 x3

f '( x )

+

0

x4 1+ 2

0

−

x6 +∞

+ +∞

−1+ 4 2

f ( x)

y = t2 y = t2

−1−4 2

−∞

+) Từ bảng biến thiên, ta thấy các đường thẳng y = t2 , y = t3 lần lượt cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại 3 điểm phân biệt. Khi đó các phương trình f ( x ) = t2 và f ( x ) = t3 đều có 3 nghiệm phân biệt hay phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt. Chọn B. Bình luận: Bài toán có cấu trúc tương tự như bài toán trước nhưng được nâng cấp hơn.

Tình huống gây khó khăn cho học sinh là cách đưa ra biểu thức f ( t − 2 ) . Bắt đầu từ giả 3

2

thiết f ( x ) = x 3 − 3 x 2 − 3 x + 4, ta suy ra f ( t − 2 ) = ( t − 2 ) − 3( t − 2 ) − 3 ( t − 2 ) + 4.

Ngoài ra lời giải bài toán vẫn được trình bày khuôn mẫu, nặng nề theo hình thức Tự luận. Để giải nhanh bài toán theo hình thức thi Trắc nghiệm thì học sinh cần linh hoạt t ≤ 3 hơn, chẳng hạn khi giải đến  3 học sinh hoàn toàn có thể sử dụng 2 − + − = t 10 t 27 t 19 0 

t ≤ 3   f ( x ) ≈ 2,8 (1) t2 ≈ 2,8  t1 ≈ 6,1 máy tính để cho kết quả sau   ⇔ , suy ra  .  f ( x ) ≈ 1,1 ( 2 )  t2 ≈ 2,8 t3 ≈ 1,1  t3 ≈ 1,1  Từ bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) ta suy ra các phương trình (1) , ( 2 ) đều có 3 nghiệm phân biệt. Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt. Chọn B. Ví dụ 5.8. (Đề thi thửTHPT Quốc giaChuyên Lào Cai lần 3 nămhọc 2017-2018)

(

)

3 2 Cho hàm số f ( x ) = x − 6 x + 9 x + 1. Hỏi phương trình f f ( f ( x ) −1) − 2 = 1 có bao

nhiêu nghiệm thực phân biệt?

A.9 nghiệm.

B. 12 nghiệm.

C. 14 nghiệm.

Hướng dẫn:

+) Xét hàm số y = f ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 9 x + 1 xác định và liên tục trên ℝ.

79

D. 27 nghiệm.

x =1 Ta có f ' ( x ) = 3 x 2 − 12 x + 9, x ∈ ℝ. Ta có f ' ( x ) = 0 ⇔ x 2 − 4 x + 3 = 0 ⇔  . x = 3 3 2 Ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) = x − 6 x + 9 x + 1 trên ℝ.

−∞

x f '( x )

+

1 0

−

3 0

+∞

1

−∞ Đặt

(

+

5

f ( x) +)

+∞

a = f ( f ( x ) − 1) − 2

)

f f ( f ( x ) −1) − 2 = 1 trở thành

và

b = f ( x ) − 1.

Khi

đó

phương

trình

 a1 = 0 f ( a ) = 1 ⇔ a3 − 6a 2 + 9a = 0 ⇔  . Ta xét 2 a 3 =  2

trường hợp sau đây: +) Trường hợp 1: Nếu a1 = 0 thì f ( f ( x ) − 1) − 2 = 0 ⇔ f ( f ( x ) − 1) = 2

b1 ≈ 0,121 Khi đó f ( b ) = 2 ⇔ b − 6b + 9b − 1 = 0 ⇔ b2 ≈ 2,347 . b3 ≈ 3,5321 3

2

Với b1 ≈ 0,121 thì đường thẳng y = b1 cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại 3 điểm phân biệt hay phương trình f ( x ) = b1 có 3 nghiệm phân biệt.

Với b2 ≈ 2,347 thì đường thẳng y = b2 cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại 3 điểm phân biệt hay phương trình f ( x ) = b2 có 3 nghiệm phân biệt.

Với b3 ≈ 2,347 thì đường thẳng y = b3 cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại 3 điểm phân biệt hay phương trình f ( x ) = b3 có 3 nghiệm phân biệt. +) Trường hợp 2: Nếu a2 = 3 thì f ( f ( x ) − 1) − 2 = 3 ⇔ f ( f ( x ) − 1) = 5 b = 4 Khi đó f ( b ) = 5 ⇔ b3 − 6b 2 + 9b − 1 = 0 ⇔  4 . b5 = 1

Với b4 = 4 thì f ( x ) = 5 và đường thẳng y = 5 cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại 2 điểm phân biệt hay phương trình f ( x ) = 5 có 2 nghiệm phân biệt.

80

Với b5 = 1 thì f ( x ) = 2 và đường thẳng y = 2 cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại 2 điểm phân biệt hay phương trình f ( x ) = 2 có 3 nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình đã cho có tất cả 14 nghiệm thực phân biệt. Chọn C. Bình luận: Bài toán được nâng cấp với mức độ khó hơn các bài toán trước, bởi lẽ

(

)

phương trình f f ( f ( x ) −1) − 2 = 1 có hình thức phức tạp, trải qua nhiều vòng bảo vệ.

Lời giải bài toán này đã sử dụng đến hai ẩn phụ nhằm đưa bài toán về hình thức đơn giản hơn. Mục đích cuối cùng nhằm quy bài toán về tìm số giao điểm của đường thẳng và đồ thị của hàm số y = f ( x ) thông qua bảng biến thiên của nó. Lời giải bài toán trên theo phong cách giải toán theo hình thức Trắc nghiệm, đáp ứng kì thi THPT Quốc gia.

Ví

dụ

5.9.Biết

rằng

thị

đồ

của

hàm

số

y = f ( x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e, ( a, b, c, d , e ∈ ℝ; a ≠ 0, b ≠ 0)

y = f ( x)

cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt như hình vẽ bên .

Khi

đó

đồ

thị

của

hàm

số

2

y = g ( x) = ( 4ax3 + 3bx 2 + 2cx + d ) − 2 ( 6ax 2 + 3bx + c ) . ( ax 4 + bx3 + cx 2 + dx + e )

cắt trục hoành Ox tại bao nhiêu điểm?

A. 6.

B. 0.

C. 4.

D. 2.

Hướng dẫn: 4 3 2 +) Ta có y = f ( x ) = ax + bx + cx + dx + e xác định và liên tục trên ℝ, có đạo hàm đến 3 2 2 cấp hai trên ℝ và f ' ( x ) = 4ax + 3bx + 2cx + d , f '' ( x ) = 12ax + 6bx + 2c, ∀x ∈ ℝ.

2

Khi đó hàm số y = g ( x ) có thể viết lại là y = g ( x ) = ( f ' ( x ) ) − f ( x ) f '' ( x ) . +) Xét phương trình hoành độ giao điểm giữa đồ thị hàm số y = g ( x ) và trục hoành

( f '( x))

2

2

− f ( x ) f '' ( x ) = 0 ⇔ f '' ( x ) f ( x ) − ( f ' ( x ) ) = 0 (1) .

Nhận xét: Theo giả thiết đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt nên phương trình f ( x ) = 0 có 4 nghiệm phân biệt x = m, x = n, x = p, x = q.

Bây giờ ta xét f ( x ) ≠ 0 thì (1) ⇔

f "( x ) f ( x ) − ( f ' ( x ))

( f ( x )) 81

2

2

 f '( x )  = 0 ⇔   ' = 0 ( 2 ) .  f ( x) 

+) Nhận xét: Từ đồ thị của hàm số y = f ( x ) ta thấy hàm số y = f ( x ) có 3 điểm cực trị hay phương trình f ' ( x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 . Khi đó phương trình

f '( x) f ( x)

= 0 cũng có 3 nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 . Từ đó suy ra đồ thị của hàm số

y = h ( x) =

f '( x) f ( x)

cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có các hoành độ lần lượt là

x1 , x2 , x3 . Khi đó đồ thị của hàm số y = h ( x ) có 2 điểm cực trị hay phương trình

h ' ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt. +) Tóm lại phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt hay phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt. Vậy đồ thị hàm số y = g ( x ) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt. Chọn B.

82

Chủ đề 6. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ẨN, HÀM SỐ HỢP A. KIẾN THỨC CƠ SỞ.

1. Đường tiệm cận ngang: a. Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên một khoảng vô hạn, tức là khoảng

có dạng ( −∞; a ) , ( b; + ∞ ) hoặc ( −∞; + ∞ ) . Đường thẳng y = y0 là một đường tiệm cận ngang (tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f ( x ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim f ( x ) = y0 , lim f ( x ) = y0 . x →+∞

x→−∞

b. Chú ý: Nếu tồn tại đồng thời lim f ( x ) = m, lim f ( x ) = m thì đồ thị hàm số y = f ( x ) x →+∞

x→−∞

có 1 đường tiệm cận ngang duy nhất là y = m . Chẳng hạn hàm số y = f ( x ) =

4x x4 + 3

có đồ thị như hình vẽ dưới đây có đúng 1 đường tiệm cận ngang là y = 0. y

y=

4x x4 + 3

O

x

c. Nếu tồn tại đồng thời lim f ( x ) = m, lim f ( x ) = n ( m ≠ n ) thì đồ thị hàm số y = f ( x ) x →+∞

có

x →−∞

đúng 2 đường tiệm cận ngang là y = m, y = n. Chẳng hạn hàm số x +1

y = f ( x) =

x2 + 1

có đồ thị như hình vẽ dưới đây có đúng 2 đường tiệm cận ngang là

y = 1, y = −1.

y y=

y =1

1

x +1 x2 +1

x

−1OO

83

y = −1 Nếu hàm số y = f ( x ) xác định trên khoảng không phải là vô hạn, chẳng hạn như

[ a; b]

thì đồ thị của hàm số y = f ( x ) không có đường tiệm cận ngang. Hàm số

y = f ( x) =

2018 − x2 xác định trên − 2018; x2 + 2019

2018  nên không có tiệm cận ngang.

Tóm lại: Hàm số y = f ( x ) chỉ có thể có 2 tiệm cận ngang, 1 tiệm cận ngang hoặc không có tiệm cận ngang nào cả. Ngoài ra đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) có thể cắt chính đồ thị của hàm số đó, chẳng hạn đường tiệm cận ngang y = 1 cắt đồ thị của hàm số y = f ( x ) =

x +1 x2 + 1

như hình vẽ trên.

2. Đường tiệm cận đứng: a. Định nghĩa: Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim f ( x ) = +∞, lim f ( x ) = −∞, lim f ( x ) = +∞, lim f ( x ) = −∞.

x → x0+

x → x0+

x→ x0−

x → x0−

b. Chú ý: Nếu hàm số y = f ( x ) có tập xác định là ℝ thì sẽ không có tiệm cận đứng,

chẳng hạn như hàm số y =

4x x2 + 3

chỉ có tiệm cận ngang mà không có tiệm cận

đứng.

• Nếu hàm số có dạng y = chẳng hạn y =

P ( x) thì tiệm cận đứng sinh ra từ nghiệm của Q ( x ) = 0, Q ( x)

x2 − 5x + 6 có 2 đường tiệm cận đứng là x = 1, x = 2018. x 2 − 2019 x + 2018

• Tuy nhiên không phải bất kì nghiệm nào của phương trình Q ( x ) = 0 cũng là tiệm cận đứng, chẳng hạn ta xét hàm số y =

(x

2

− 2020 x + 6051) x − 2

( x − 2019 )( x − 3 )

84

2

(x

2

− 2018 x + 2017 )

.

x = 1 x = 3 2 2  = ⇔ − − − + = ⇔ Q x 0 x 2019 x 3 x 2018 x 2017 0 . ( )( ) ( Khi đó phương trình ( ) )  x = 2017   x = 2019 2 và phương trình P ( x ) = 0 ⇔ ( x − 2020 x + 6051)

x = 2 x − 2 = 0 ⇔  x = 3 .  x = 2017

• Nghiệm x = 1 không thỏa mãn điều kiện x ≥ 2 , nên không tồn tại giới hạn lim y, x →2017

từ đó x = 1 không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

• Nghiệm x = 2017 thỏa mãn điều kiện x ≥ 2 , nhưng x = 2017 cũng là nghiệm của x−2 2015 =− nên x = 2017 x → 2017 ( x − 2019 )( x − 3 )( x − 1) 8120448

tử số và khi đó lim y = lim x → 2017

không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

• Nghiệm x = 3 thỏa mãn điều kiện x ≥ 2 và x = 3 cũng đồng thời là nghiệm của tử x−2 = ∞ nên x = 3 vẫn là đường tiệm cận x →3 ( x − 2019 )( x − 3 )( x − 1)

số nhưng lim y = lim x →3

đứng của đồ thị hàm số.

• Nghiệm x = 2019 thỏa mãn điều kiện x ≥ 2018 , không trùng với nghiệm của tử số và lim y = +∞ nên x = 2019 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. x→2019

• Tóm lại đồ thị của hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận đứng là x = 3 và x = 2019 .

• Một đồ thị hàm số có thể có đồng thời đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang, chẳng hạn như hàm số y = f ( x ) =

2x − 2 có đồ thị như x +1

hình vẽ bên có đường tiệm cận đứng là x = −1 và đường tiệm cận ngang là y = 2 .

85

Đồ thị của hàm số y = f ( x ) =

(x

2

− 2020 x + 6051) x − 2

( x − 2019 )( x − 3 )

2

(x

2

− 2018 x + 2017 )

có 1 đường

tiệm cận ngang là y = 0 và có 2 đường tiệm cận đứng là x = 3 và x = 2019 . Khi đó hàm số đã cho có tất cả 3 đường tiệm cận.

B. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA ĐIỂN HÌNH.

Ví dụ 6.1.(Đề thi thửLương Thế Vinh Hà Nội lần 2 nămhọc 2017-2018)

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên các khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Tìm số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = g ( x ) =

−∞

x

2

1

0

0

−

+

f '( x )

e

− 2018

.

+∞ +

ln2019

ln2017 +∞

f ( x)

1 f 2 ( x)

0 −∞

A. 1.

− ln2017 B. 2.

C.3.

D. 4.

Hướng dẫn:

+) Phương trình e f

2

( x)

− 2018 = 0 ⇔ e

f 2 ( x)

 f ( x ) = ln 2018 = 2018 ⇔ f 2 ( x ) = ln 2018 ⇔   f ( x ) = − ln 2018

(1) . ( 2)

+) Từ bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) ta vẽ thêm các đường thẳng y = ln 2018, y = − ln 2018 ta được bảng sau đây :

86

x

−∞ a 0

f '( x )

1

2

b −

+

0

c +

ln2019

+∞ f ( x)

0

+∞

ln2017

− ln2017

y = ln 2018 y = − ln 2018

−∞

Khi đó ta thấy đường thẳng y = − ln 2018 cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại 1 điểm duy nhất có hoành độ là x = a, còn đường thẳng y = ln 2018 cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x = b, x = c. +) Tóm lại phương trình e f

2

đó đồ thị hàm số y = g ( x ) =

( x)

− 2018 = 0 có 3 nghiệm phân biệt là x = a, x = b, x = c. Khi 1

e

f

2

( x)

− 2018

có 3 đường tiệm cận đứng. Chọn D.

Bình luận: Học sinh cần nắm vững cách tìm tiệm cận đứng của hàm số bằng cách đi

tìm nghiệm của mẫu số, quy đổi bài toán sang mối quan hệ tương giao giữa đường thẳng và đồ thị hàm số. Cụ thể học sinh cần có kỹ năng đọc bảng biến thiên của hàm số, thấy được hình ảnh của đồ thị qua bảng biến thiên. Bài toán này có thể nâng cấp thành bài toán khó hơn bằng cách làm tăng độ phức tạp của tử số, chẳng hạn ép điều kiện trên tử số hoặc biểu thức tử số có nghiệm trùng với nghiệm của mẫu số nhằm mục đích để loại bỏ những nghiệm của mẫu số nhưng không là tiệm cận đứng. Chẳng hạn ta xét thêm bài toán sau: Tìm số đường tiệm cận đứng của hàm số y = h ( x ) =

x2 − 2 x e

f 2 ( x)

− 2018

. Khi đó, điều kiện của

x ≤ 0 , điều này sẽ có tác dụng để loại bớt nghiệm x ≥ 2

biểu thức trong căn là x 2 − 2 x ≥ 0 ⇔ 

của mẫu số là x = b ∈ (1; 2 ) không là tiệm cận đứng và 2 nghiệm còn lại của mẫu số là x = a, x = c thỏa mãn điều kiện và không trùng với nghiệm của tử số là tiệm cận đứng

của hàm số. Tóm lại hàm số y = h ( x ) có đúng 2 tiệm cận đứng.

87

Ví

dụ

6.2.Cho

hàm

ba

y

y = f ( x ) = a x3 + b x 2 + c x + d có đồ thị như hình vẽ

4

bên. Hỏi đồ thị hàm số g ( x ) =

số

bậ c

x2 − 1 có bao f 2 ( x) − 4 f ( x)

y = f ( x)

nhiêu đường tiệm cận đứng ?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

−1 O

D. 4.

1 1

x

Hướng dẫn:

+) Từ đồ thị của hàm số y = f ( x ) , ta có phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm kép x = 1 và 2

1 nghiệm x = m ∈ ( −∞; − 1) . Khi đó f ( x ) = a ( x − m )( x − 1) , a > 0. +) Từ đồ thị của hàm số y = f ( x ) , ta có phương trình f ( x ) = 4 có 1 nghiệm kép 2

x = −1 và x = n ∈ (1; + ∞ ) . Do đó f ( x ) − 4 = a ( x + 1) ( x − n ) , a > 0.

y

y=4

4 y = f ( x)

m

+) Khi đó g ( x) =

−1

O

n

1

x

x2 −1 x2 −1 1 = = 2 2 f ( x) ( f ( x) − 4) ( x − m)( x −1) ( x +1) ( x − n) ( x −1)( x +1)( x − m)( x − n)

(

)(

)

Vậy hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận đứng là x = 1, x = −1, x = m, x = n.Chọn D. 88

Bình luận: Đây là một dạng toán khá mới mẻ, khi mà bài toán tìm tiệm của hàm số

không cho trước công thức mà chỉ có thông tin về ảnh đồ thị, nhiều học sinh khá bỡ ngỡ, lúng túng trước câu hỏi này. Để giải quyết được bài toán này, trước hết học sinh phải được rèn luyện khá bài bản về những bài toán tìm tiệm cận, đặc biệt là tiệm cận đứng của những hàm số tường minh, tức là có sẵn công thức. Ngoài ra sự cảm nhận

nhạy bén về giới hạn của hàm số là yếu tố quan trọng để giải quyết bài toán. Trước hết là thao tác tìm nghiệm của mẫu số để khoanh vùng tiệm cận đứng của hàm số. Để thực hiện được điều này học sinh phải có góc nhìn về sự tương giao giữa đồ thị và đường thẳng, đặc biệt khi đường thẳng chính là tiếp tuyến của đồ thị của hàm số, chẳng hạn trục hoành và đường thẳng y = 4 . Khi đó sẽ có nghiệm của mẫu số là nghiệm kép hoặc nghiệm bội chẵn như x = 1, x = −1. Tiếp đến học sinh quan sát trên tử số xem có nghiệm nào trùng với nghiệm của mẫu số hay không. Ta thấy x = m, x = n là hai nghiệm của mẫu số và không trùng với tử số nên chắc chắn là hai tiệm cận đứng của hàm số. Ngoài ra mặc dù cả tử số và mẫu số đều có nghiệm là x = 1, x = −1, nhưng hai nghiệm này dưới mẫu số là nghiệm kép nên vẫn là tiệm cận đứng của hàm số. Tóm lại hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận đứng.

Ví

dụ

6.3.Cho

hàm

số

bậ c

ba

y

y = f ( x ) = a x3 + b x 2 + c x + d có đồ thị như hình vẽ

bên. Hỏi đồ thị hàm số g ( x ) =

x−2 có bao f ( x) − f ( x)

nhiêu tiệm cận đứng ?

A. 5

B. 3.

C. 6

D. 2.

f ( x)

1

2

O

1

2

x

Hướng dẫn:

+) Từ đồ thị của hàm số y = f ( x ) , ta có phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm kép x = 2 và 2

1 nghiệm x = m ∈ ( 0; 1) . Khi đó f ( x ) = a ( x − m )( x − 2 ) , a > 0. +) Từ đồ thị của hàm số y = f ( x ) , ta có phương trình f ( x ) = 1 có 3 nghiệm phân biệt 89

x = 1, x = n, x = p với 1 < n < 2 < p. Do đó f ( x ) − 1 = a ( x − 1)( x − n )( x − p ) , a > 0.

y

y =1

1

O

+) Khi đó g ( x ) =

x−2

(

x f

2

y = f ( x)

( x) − f ( x) )

1 n

m

=

2 p

x

x−2 x−2 = 2 2 xf ( x ) ( f ( x ) −1) a x ( x −1)( x − 2) ( x − m)( x − n)( x − p )

+) Ta có lim+ g ( x ) = +∞, lim g ( x ) = ∞ nên theo định nghĩa hàm số y = g ( x ) có 2 tiệm x→2

x→ p

cận đứng là x = 2, x = p. Chọn D. Bình luận: Bài toán này vẫn tiếp nối ý tưởng của bài toán trước, quy trình thao tác như

nhau, vẫn cho đồ thị dạng đặc biệt tiếp xúc với trục hoành tạo cơ hội cho mẫu số có nghiệm kép x = 2 và nghiệm này trùng với nghiệm của tử số. Điểm khác biệt là tử số xuất hiện biểu thức chứa căn. Điều này cảnh báo những nghiệm của mẫu số muốn trở thành tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thì phải thỏa mãn điều kiện trong căn. Cụ thể là các nghiệm của mẫu số là x = 1, x = n, x = p không là tiệm cận đứng của hàm số vì không thỏa mãn điều kiện x ≥ 2. Tóm lại điều kiện trong căn sẽ giúp thanh lọc hay tuyển chọn những nghiệm của mẫu số sẽ trở thành ứng cử viên là tiệm cận đứng của hàm số.

Ví dụ 6.4.(Đề thi thửLiên Trường Nghệ An lần 1 nămhọc 2017-2018)

Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) = a x3 + b x 2 + c x + d có đồ thị như

hình

g ( x) =

( x + 4x +3) x + x có bao nhiêu đường tiệm cận đứng x( f ( x) − 2 f ( x) ) 2

vẽ

bên.

Hỏi

đồ

thị

c ủa

hàm

số

y f ( x)

2

2

2

−3

?

90

−1

O

x

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 6.

Hướng dẫn

+) Từ đồ thị của hàm số y = f ( x ) , ta có phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm kép x = −3 2

và 1 nghiệm x = m ∈ ( −1; 0 ) . Khi đó f ( x ) = a ( x − m )( x + 3) , a < 0. +) Từ đồ thị của hàm số y = f ( x ) , ta có phương trình f ( x ) = 2 có 3 nghiệm phân biệt với

x = −1, x = n, x = p n < −3 < p < −1. Do

đó

y y = f ( x)

2

p −1 m

−3

n

O

y=2

x

f ( x ) − 2 = a ( x + 1)( x − n )( x − p ) , a < 0.

(x +) Khi đó g ( x ) =

2

(

+ 4x + 3

x f

g ( x) =

2

)

x2 + x

( x) − 2 f ( x))

=

( x + 1)( x + 3) x ( x + 1) xf ( x ) ( f ( x ) − 2 )

x ( x + 1) ( x + 1)( x + 3) x ( x + 1) = .

2 2 a 2 x ( x + 1)( x + 3) ( x − m )( x − n )( x − p ) a x ( x + 3)( x − m )( x − n )( x − p ) 91

+) Ta có lim+ g ( x ) = +∞, lim g ( x ) = ∞, lim g ( x ) = ∞, lim g ( x ) = ∞ nên theo định x →−3

x →0

x →n

x→ p

nghĩa hàm số y = g ( x ) có 4 tiệm đường cận đứng là x = 0, x = −3, x = n, x = p. Chọn C. Bình luận: Bài toán đã được tăng cường độ phức tạp của tử số so với bài toán trước.

Các nghiệm của mẫu số có những tính chất khác nhau, những số phận hoàn cảnh khác nhau. Đầu tiên nghiệm x = −1 là nghiệm đơn và trùng với nghiệm của tử số nên không là tiệm cận đứng, nghiệm x = m không trùng với nghiệm của tử số nhưng không thỏa mãn điều kiện trong căn nên không là tiệm cận đứng, sau đó đến x = −3 trùng với nghiệm của tử số nhưng là nghiệm kép và thỏa mãn điều kiện trong căn nên là tiệm cận đứng và các nghiệm x = n, x = p thỏa mãn cả 2 yếu tố là không trùng với nghiệm của tử

số và thỏa mãn điều kiện trong căn nên dĩ nhiên là tiệm cận đứng. Tóm lại đồ thị hàm số đã cho có 4 tiệm cận đứng.

Ví dụ 6.5.(Đề thi thửTHPT Quốc GiaSở Hà Tĩnh lần 2 nămhọc 2017-2018)

Cho

hàm

bậc

số

ba

y

y = f ( x ) = a x3 + b x 2 + c x + d có đồ thị như

hình

vẽ

bên.

(x y = g ( x) =

2

Hỏi

thị

đồ

− 3x + 2

)

x −1

(

x f 2 ( x) − f ( x)

)

hàm

số

có

bao

f ( x)

1

O

1

2

x

nhiêu đường tiệm cận đứng ?

A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 6.

Hướng dẫn

+) Từ đồ thị của hàm số y = f ( x ) , ta có phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm kép x = 2 và 2

1 nghiệm x = m ∈ ( 0; 1) . Khi đó f ( x ) = a ( x − m )( x − 2 ) , a > 0. +) Từ đồ thị của hàm số y = f ( x ) , ta có phương trình f ( x ) = 1 có 3 nghiệm phân biệt x = 1, x = n, x = p với 1 < n < 2 < p. Do đó f ( x ) − 1 = a ( x − 1)( x − n )( x − p ) , a > 0.

92

y

y = f ( x)

y =1

1

m 1 n 2

O

(x +) Khi đó h ( x ) =

2

− 3x + 2

)

x −1

(

x f 2 ( x) − f ( x)

h ( x) =

)

=

p

x

( x − 1)( x − 2 ) x − 1 xf ( x ) ( f ( x ) − 1)

( x −1)( x − 2) x −1 x −1 = .

2 2 a2 x ( x −1)( x − 2) ( x − m)( x − n)( x − p ) a x ( x − 2)( x − m)( x − n)( x − p )

+) Ta có lim h ( x ) = ∞ , lim h ( x ) = ∞ , lim h ( x ) = ∞ nên theo định nghĩa hàm số x→ 2

x→n

x→ p

y = h ( x ) có 3 tiệm cận đứng là x = 2, x = n, x = p. Chọn A. Bình luận: Bài toán tiếp tục có ý tưởng giống bài toán trước khi mà quy trình sàng lọc

những nghiệm của mẫu số trở thành tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho diễn ra một cách nghiêm ngặt. Đó là chúng ta phải tiến hành kiểm tra nghiệm của mẫu số có thỏa mãn điều kiện xác định của biểu thức trong căn hay không hay kiểm tra sự trùng lặp nghiệm của mẫu số và nghiệm của tử số.

Ví dụ 6.6.(Đề thi thửTHPT THPT Quốc Qu GiaChuyên Lào Cai lần 3 nămhọc ọc 2017-2018 2017 )

Cho đồ thị hàm bậc bốn y = f ( x) như hình vẽ bên dưới.

Hỏi đồ thị của hàm số sau có bao nhiêu đường tiệm cận (chỉ đếm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang) y = h( x) =

f 2 ( x ) x2 + x

(f

A. 4. B. 5.

2

( x ) − 2 f ( x ) )( 2 x 5 + x 4 − 10 x 3 − 5 x 2 + 8 x + 4 )

C. 6.

D. 7.

93

Hướng dẫn

+) Viết lại hàm số dưới dạng h ( x ) =

f 2 ( x ) x ( x + 1) f ( x )( f ( x) − 2 )( x + 2 )( x + 1)( 2 x + 1)( x − 1)( x − 2 )

+) Mặt khác, ta thấy đồ thị của hàm số y = f ( x) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ là x = 0, x = 1, x = 2 và trục hoành tiếp xúc với đồ thị hàm số

y = f ( x)

t ại

g ốc

.

y =2

nên

O

f ( x ) = ax2 ( x − 1)( x − 2) , a > 0.

m

n

Ngoài ra đường thẳng y = 2 cắt đồ thị hàm số

y = f ( x ) tại hai điểm phân biệt có hoành độ là x = m ∈ ( −1; 0 ) , x = n ∈ ( 2; 3) . Khi đó f ( x ) − 2 = b ( x − m )( x − n ) , b > 0.

2

Vậy h ( x ) =

hay h ( x ) =

a ( x 2 ( x − 1)( x − 2 ) ) . x ( x + 1) bx 2 ( x − 1)( x − 2 )( x − m )( x − n )( x + 2 )( x + 1)( 2 x + 1)( x − 1)( x − 2 )

.

ax 2 x ( x + 1)

 x ≤ −1 . Điều kiện x ( x + 1) ≥ 0 ⇔  b ( x − m )( x − n )( x + 2 )( x + 1)( 2 x + 1) x ≥ 0

+) Ta có lim h ( x ) = ∞ , lim − h ( x ) = ∞ , lim h ( x ) = ∞ nên y = h ( x ) có 3 tiệm cận x →−2

x → ( − 1)

x→ n

đứng là x = −2, x = −1, x = n. Ngoài ra lim h ( x ) = lim h ( x ) = 0 nên y = h ( x ) có 1 x →+∞

x →−∞

tiệm cận ngang là y = 0. Vậy hàm số y = h ( x ) có tất cả 4đường tiệm cận. Chọn A. Bình luận: Đây là một bài toán hay và khó khi hàm số y = h ( x ) được cho bởi một

biểu thức khá cồng kềnh và phức tạp. Tuy nhiên chúng ta vẫn giải quyết bài toán tương tự như những bài toán trước. Trước hết ta tìm được biểu thức mẫu số có 8 nghiệm là 1 1 x = −2, x = −1, x = − , x = m, x = 0, x = 1, x = 2, x = n. Khi đó có 2 nghiệm x = − , x = m 2 2  x ≤ −1

không là tiệm cận đứng vì không thỏa mãn điều kiện  . x ≥ 0  x ≤ −1

x = −1, x = 0, x = 1, x = 2 thỏa mãn điều kiện  x ≥ 0

Các nghiệm

và đồng thời là nghiệm của tử số

nhưng chỉ có x = −1 là tiệm cận đứng. Nghiệm còn lại x = n thỏa mãn điều kiện

94

 x ≤ −1 h ( x ) = ∞ nên đương nhiên là tiệm  x ≥ 0 không trùng với nghiệm của tử số và lim x→ n 

cận đứng.

Chủ đề 7. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ CỦA y = f ' ( x ) .

A. KIẾN THỨC CƠ SỞ.

1. Mối quan hệ giữa hai đồ thị hàm số y = f ( x) và y = f '( x) . +)Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục, có đạo hàm tại x0 và đồ thị hàm số y = f ' ( x ) cắt trục hoành tại điểm ( x 0 ; 0 ) và đồng thời f ' ( x ) đổi dấu khi qua x0 thì x0 là điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) . Ngoài ra nếu f ' ( x ) đổi dấu từ dương sang âm khi qua x0 thì x0 là điểm cực đại và nếu f ' ( x ) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x0 thì x0 là điểm cực

tiểu. Biểu thức đạo hàm f ' ( x ) luôn đổi dấu khi đi qua những nghiệm bội lẻ và không đổi dấu khi đi qua những nghiệm bội chẵn.

+) Cho các hàm số y = f ( x) và y = f '( x) liên tục trên ℝ.Gọi ( C1 ) , ( C2 ) lần lượt là đồ

y y = f '( x)

A3

A1

A7

A5

A9

( C2 ) y = f ( x)

x

O

A2

( C1 ) A6

A4

A8

A10

thị của các hàm số y = f ( x) và y = f ' ( x) . Khi đó ta có một số kết quả sau đây.

• Kết quả 1: Đồ thị ( C2 ) cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ trùng với hoành độ

của các điểm cực trị của đồ thị ( C1 ) .

95

• Kết quả 2: Đồ thị ( C2 ) nằm trên trục hoành ở miền nào (đạo hàm f '( x) dương trên

miền nào) thì trên miền đó đồ thị ( C1 ) đi lên (hàm số f ( x) đồng biến trên miền đó).

Ngược lại đồ thị ( C2 ) nằm dưới trục hoành ở miền nào (đạo hàm f ' ( x) âm trên miền nào) thì trên miền đó đồ thị ( C1 ) đi xuống (hàm số f ( x) nghịch biến trên miền đó).

• Kết quả 3: Đồ thị ( C2 ) cắt trục hoành tại n điểm phân biệt thì đồ thị ( C1 ) có tối đa n điểm cực trị và đồ thị của ( C1 ) cắt trục hoành tối đa tại n +1 điểm phân biệt.

2. Một số dạng toán trọng tâm: a. Dạng 1: Cho hàm số y = f ( x) , biết đồ thị của hàm số y = f ' ( x) . Hỏi các vấn đề

liên quan đến hàm số ban đầu y = f ( x) , chẳng hạn như: Sự đơn điệu, cực trị, tiếp tuyến, sự tương giao, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. b. Dạng 2: Cho hàm số y = f ( x) , biết đồ thị của hàm số y = f '( x) . Xét hàm số

y = g ( x) = f ( x) + h( x) , trong đó y = h( x) là một hàm số cho trước chẳng hạn như 2 3 2 : h ( x ) = ax + b, h ( x ) = ax + bx + c, h ( x ) = ax + bx + cx + d.

Hỏi các vấn đề

liên quan đến sự đơn điệu, cực trị, tiếp tuyến, sự tương giao, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = g ( x) . c. Dạng 3: Cho hàm số y = f ( x) , biết đồ thị của hàm số y = f ' ( x) . Hỏi các vấn đề

liên quan đến hàm số y = f ( u ( x) ) , chẳng hạn như: Sự đơn điệu, cực trị, tiếp tuyến, sự tương giao, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. d. Dạng 4: Cho hàm số y = f ( x) , biết đồ thị của hàm số y = f '( x) . Xét hàm số

y = g ( x) = f ( u ( x) ) + h( x) , trong đó y = h( x) là một hàm số cho trước chẳng hạn 2 3 2 như : h ( x ) = ax + b, h ( x ) = ax + bx + c, h ( x ) = ax + bx + cx + d .

Hỏi các vấn

đề liên quan đến sự đơn điệu, cực trị, tiếp tuyến, sự tương giao, giá trị lớn nhất và

nhỏ nhất của hàm số y = g ( x) .

96

e. Dạng 5: Cho hàm số y = f ( x) , biếtđồ thị của hàm số y = f ' ( x) . Hỏi các vấn đề

liên quan đến hàm số y = g ( f ( x) ) , chẳng hạn như: Sự đơn điệu, cực trị, tiếp tuyến, sự tương giao, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. f. Dạng 6: Cho hàm số y = f ( x) , kiểm tra các đồ thị ( C1 ) , ( C2 ) , ( C3 ) cho trước theo

thứ tự là đồ thị của các hàm số nào sau đây: y = f ( x ) , y = f ' ( x ) , y = f '' ( x ) .

B. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA ĐIỂN HÌNH 1. Dạng 1: Cho hàm số y = f ( x) , biết đồ thị của hàm số y = f ' ( x) . Hỏi các vấn đề liên quan đến hàm số ban đầu y = f ( x) , chẳng hạn như: Sự đơn điệu, cực trị, tiếp tuyến, sự tương giao, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

Ví dụ 7.1.(Đề thi học sinh giỏi lớp 12 Sở Hà Tĩnh nămhọc 2017-2018).

Cho hàm số liên tục trên thỏa mãn f ( 0 ) + f (1) − 2 f ( 2 ) = f ( 4 ) − f ( 3) . Biết rằng hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng?

A. min f ( x ) = f ( 0) .

B. min f ( x ) = f (1) .

[0; 4]

[ 0; 4]

C. min f ( x ) = f ( 2) .

D. min f ( x ) = f ( 4) .

[ 0; 4]

[ 0; 4]

Hướng dẫn:

+) Nhận xét đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ là 0, 2. Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) trên đoạn [ 0; 4]. x

f '( x) f ( x)

−∞

0 0

2

1

+

f (1)

0 f (2

f (0)

4

3

+∞

−

f (3 f (4

+) Mặt khác, từ giả thiết ta có f ( 0 ) − f ( 4 ) =  f ( 2 ) − f (1)  +  f ( 2 ) − f ( 3)  > 0 97

Khi đó f ( 0 ) > f ( 4 ) . Vậy min f ( x ) = f ( 4) . Chọn D. [0; 4]

Bình luận: Bài toán khá đẹp với ý tưởng độc đáo, có sự phân loại rõ nét giữa đối tượng

học sinh có học lực trung bình và học sinh có học lực khá. Đối với học sinh trung bình chỉ có khả năng lập bảng biến thiên và gặp bế tắc, còn học sinh khá hơn còn có khả năng biến đổi khéo léo giả thiết và kết hợp với bảng biến thiên thu được để suy ra được giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x ) trên đoạn [ 0; 4].

Ví dụ 7.2.Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục

trên [ a; e] và có đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) như hình vẽ . Biết f ( a ) + f ( c) = f ( b) + f ( d ) . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên

y = f '( x)

đoạn [ a; e] . max f ( x ) = f ( c )  [ a ; e] .

A.  min f ( x ) = f ( a )  [ a; e]

max f ( x ) = f ( a )  [ a; e] .

C.  min f ( x ) = f ( b )  [ a ; e]

max f ( x) = f ( e)  [ a; e] .

B.  min f x = f b ( ) ( )   [a; e]

max f ( x ) = f ( d )  [ a ; e] .

D.  min f x = f b ( ) ( )   [ a; e]

Hướng dẫn:

+) Ta có đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ làn lượt

là x

f '( x)

f ( x)

−∞

a

c

b −

+

0

e

d 0

+∞

+

f (e)

f (a) f (d f (b )

f (c)

x = b, x = d . Từ đó, ta lập được bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) trên [ a; e]

98

+) Từ giả thiết f ( a ) + f ( c ) = f ( b ) + f ( d ) , suy ra f ( a ) − f ( d ) = f ( b ) − f ( c ) .

Ngoài ta từ bảng biến thiên, ên, ta có f ( b ) < f ( c ) ⇒ f ( b ) − f ( c ) < 0.

Khi đó f ( a ) − f ( d ) < 0 hay f ( a ) < f ( d ) . Tiếp tục từ bảng biến thiên f ( d ) < f ( e ) nên ta có f ( a ) < f ( e ) . Vậy min f ( x ) = f ( b) và max f ( x ) = f ( e ) . Chọn B. [ a; e]

[ a ; e]

Bình luận: Bài toán vẫn có ý tưởng và thần thái giống bài toán trước. Bài toán

nhằm cũng cố cho học sinh kỹ năng tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn cho trước khi biết trước đồ thị của đạo hàm. Học sinh cần nắm được quy trình xử lí bài toán là trước hết lập bảng biến thiên để phác họa dáng điệu đồ thị và khoanh vùng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, sau đó kết hợp với việc biến đổi khéo léo giả thiết để kết thúc bài toán.

Ví dụ 7.3.(Đề thi thửLê Văn ăn Th Thịnh Bắc Ninh lần 1

y

nămhọc 2017-2018)..

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị th là đường cong ( C ) biết đồ thi ̣của hàm số y = f ' ( x ) như hình vẽ bên dưới.

y = f '( x )

Tiếp tuyến của ( C ) tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt đồ

1

thi ̣ ( C ) tại hai điểm A, B phân biệt lần lượt có hoành

3

x

−1 O

độ a, b . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. 4 ≥ a − b ≥ −4

B. a, b < 3

C. a 2 + b 2 > 10

D. a − b ≥ 0

Hướng dẫn:

+) Ta hàm

x

f '( x ) f ( x)

−∞

a

−1 −

0 +

1

3

0

− 0

f99(1

có đồ thị

b +

+∞

số

y = f ' ( x ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1 = −1, x2 = 1, x3 = 3. Ngoài ra f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ( −1; 1) ∪ ( 3; + ∞ ) và

f ' ( x ) < 0, ∀x ∈ ( −∞; −1) ∪ (1; 3) . Từ đó lập được bảng biến thiên của hàm số y = f ( x )

+) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm có hoành độ bằng 1 là

∆ : y = f ' (1)( x − 1) + f (1) = 0 ( x − 1) + f (1) = f (1) .

Từ bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) ta vẽ thêm đường thẳng ∆ : y = f (1) .

Khi đó ta thấy đường thẳng ∆ cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại hai điểm phân biệt có 2 2 hoành độ lần lượt là a, b thỏa mãn a < −1 và b > 3. Khi đó a + b > 10. Chọn D.

Bình luận: Đây là bài toán khá hay, có sự phân hóa rất tốt giữa các đối tượng học

sinh. Trước hết một thao tác quen thuộc là khi giả thiết cho đồ thị của đạo hàm của hàm số là ta tiến hành lập bảng biến thiên của hàm số để truy ngược ra dáng điệu của hàm số ban đầu. Bài toán đề cập đến phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm có hoành độ cho trước. Học sinh có học lực khá có thể nhận ra là x = 1 là hoành độ của điểm cực đại và suy ra tiếp tuyến cần lập có tính chất song song hoặc trùng với trục

hoành. Khi đó tiếp tuyến này là một đường thẳng nằm ngang và học sinh dễ dàng vẽ trực tiếp tiếp tuyến này trên bảng biến thiên và các giao điểm xuất hiện với các hoành 2 2 độ lần lượt là a, b thỏa mãn a < −1 và b > 3. Khi đó a + b > 10.

100

Ví

dụ

7.4.Cho

các

hàm

số

y

y = f ( x ) , y = g ( x ) liên tục trên ℝ .

Biết

rằng

hàm

y = g '( x)

a

số

c

b

x

O

y = f ' ( x ) , y = g ' ( x ) có đồ thị như

B

C

hình vẽ bên. Gọi ba giao điểm A, B, C

của

hai

thị

đồ

hàm

số

y = f '( x

y = f ' ( x ) , y = g ' ( x ) trên hình vẽ có

hoành độ lần lượt là a, b, c. Tìm giá trị

nhỏ

nhất

của

hàm

A

số

h ( x ) = f ( x ) − g ( x ) trên [ a; c ].

A. min h ( x ) = h ( 0 ) .

B. min h ( x ) = h ( a ) .

[ a; c]

C. min h ( x ) = h ( b ) . D.

[ a; c]

[ a ; c]

min h ( x ) = h ( c ) . [ a; c]

Hướng dẫn:

+) Xét hàm số h ( x ) = f ( x ) − g ( x ) xác định và liên tục trên đoạn [ a; c ].

Ta có h ' ( x ) = f ' ( x ) − g ' ( x ) , ∀x ∈ ℝ và h ' ( x ) = 0 ⇔ f ' ( x ) = g ' ( x ) , x ∈ ℝ.

Ta thấy hai đồ thị của các hàm số y = f ' ( x ) và y = g ' ( x ) cắt nhau tại các điểm có x = a hoành độ lần lượt là x = a, x = b, x = c nên phương trình f ' ( x ) = g ' ( x ) ⇔  x = b  x = c

+) Trên miền b < x < c thì đồ thị củahàm số y = f ' ( x ) nằm phía trên đồ thị hàm số y = g ' ( x ) nên f ' ( x ) − g ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ( b; c ) hay h ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ( b; c ) .

+) Trên miền a < x < b thì đồ thị củahàm số y = f ' ( x ) nằm phía dưới đồ thị hàm số

x

h'( x)

h( x)

−∞

a 0

−

b 0

c +

0

h( c)

h( a) 101h

( b)

+∞

y = g ' ( x ) nên f ' ( x ) − g ' ( x ) < 0, ∀x ∈ ( a; b ) hay h ' ( x ) < 0, ∀x ∈ ( a; b ) .

+)Từ bảng biến thiên ta có min h ( x ) = h ( b ) . Chọn C. [ a; c]

Bình luận: Bài toán có sự thay đổi, phá cách so với những bài toán trước khi đề

bài cho đồng thời hai đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) và y = g ' ( x ) . Bài toán có sự đổi mới về hình thức song lời giải không có nhiều biến động với những bài toán trước. Cụ thể ta quan tâm đến giao điểm của 2 đồ thị hàm số y = f ' ( x ) và y = g ' ( x ) . Từ đó suy ra nghiệm của phương trình đạo hàm h ' ( x) = f ' ( x) − g ' ( x) = 0 đồng thời quan sát vị trí tương đối của 2 đồ thị đó để xét được dấu của biểu thức đạo hàm h '( x) . Mục đích cuối cùng là thiết lập bảng biến thiên của hàm số y = h( x) để tìm được gía trị nhỏ nhất của

y = h ( x) trên [ a; c].

2. Dạng 2: Cho hàm số y = f ( x) , biết đồ thị của hàm số y = f '( x) . Xét hàm số

y = g ( x) = f ( x) + h( x) , trong đó y = h( x) là một hàm số cho trước chẳng hạn như 2 3 2 : h ( x ) = ax + b, h ( x ) = ax + bx + c, h ( x ) = ax + bx + cx + d . Hỏi các vấn đề liên

quan đến sự đơn điệu, cực trị, tiếp tuyến, sự tương giao, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = g ( x) .

Ví dụ 7.5.Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm

y

trên ℝ và đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) như hình vẽ bên. Tìm số cực trị của hàm số y = f ( x ) + 2 x A. 1.

y = f '( x)

−1 O

B. 2.

102

−2

x

C. 3.

D. 4.

Hướng dẫn.

+) Xét hàm số y = g ( x) = f ( x) + 2x xác định và liên tục trên ℝ .

Ta có g ' ( x ) = f ' ( x ) + 2, ∀x ∈ ℝ. Khi đó g ' ( x ) = 0 ⇔ f ' ( x ) = −2, x ∈ ℝ. +) Dựa vào đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) ta thấy đường thẳng y = −2 là tiếp tuyến của đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) tại điểm có hoành độ bằng -1 và đường thẳng này còn cắt đồ thị y = f ' ( x ) tại 1 điểm khác nữa. Khi đó phương trình g ' ( x ) = 0 có 3 nghiệm, trong đó x = −1 là nghiệm bội chẵn nên biểu thức g ' ( x ) không đổi dấu khi qua nghiệm này

và chỉ đổi dấu khi đi qua nghiệm còn lại. Vậy hàm số y = f ( x ) + 2 x chỉ có đúng 1 điểm cực trị.

Bình luận: Bài toán có cấu trúc gọn nhẹ, lời giải hết sức tự nhiên. Tuy nhiên điểm chết

của bài toán ở chỗ nếu học sinh không nhận ra được đường thẳng y = −2 là tiếp tuyến của đồ thì hàm số y = f ' ( x ) thì sẽ có lựa chọn sai lầm là chọn B. Ví dụ 7.6.(Đề thi thửTHPT Quốc GiaSở Thái Bình năm 2017-2018)

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ . Biết rằng hàm

f '( x)

số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số y = g ( x) = f ( x) +

2017 − 2018x có số điểm cực trị là 2017

A. 1. B. 2.

C. 3. D. 4.

Hướng dẫn:

+) Xét hàm số y = g ( x) = f ( x) +

2017 − 2018x 2017

xác định và liên tục trên ℝ .

f '( x)

2018 , ∀x ∈ ℝ.

Ta có g ' ( x) = f ' ( x) − 2017

y= 103

2018 2017

Khi đó g ' ( x ) = 0 ⇔ f ' ( x ) =

2018 , x ∈ ℝ.

2017

+) Dựa vào đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) ta thấy đường thẳng y =

2018 cắt đồ thị của 2017

hàm số y = f ' ( x ) tại 4 điểm phân biệt. Do đó phương trình f ' ( x ) =

2018 có 4 nghiệm 2017

phân biệt hay phương trình g ' ( x ) = 0 có 4 nghiệm phân biệt. Hơn nữa g ' ( x ) đổi dấu khi qua 4 nghiệm đó. Vậy hàm số y = f ( x ) +

2017 − 2018x có 4 điểm cực trị.

2017

Bình luận: Bài toán có hình thức cồng kềnh và phức tạp hơn bài toán trên nhưng có quy trình lời giải tương tự. Cụ thể là đi tìm số cực trị của hàm số bằng cách quy đổi về số giao điểm của đường thẳng và đồ thị hàm số y = f ' ( x ) . Tuy nhiên bài toán này số lượng học sinh mắc sai lầm ít hơn bài toán trước vì đường thẳng ở đây y =

2018 không 2017

rơi vào trường đặc biệt là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ' ( x ) nên tất cả các giao

điểm sinh ra bởi đường thẳng y =

2018 và đồ thị hàm số y = f ' ( x ) có hoành độ đều là 2017

các điểm cực trị của hàm số đồ thị hàm số y = g ( x ) .

Ví dụ 7.7.Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ . Biết rằng hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm

y = f '( x)

số y = f ( x − 2017) − 2018x + 2019 có số điểm cực trị là

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Hướng dẫn:

+)Xét

hàm

số

y = f ( x − 2017) − 2018x + 2019

trên

tập

số

thực

ℝ.

Ta

có

y ' ( x ) = f ' ( x − 2017 ) − 2018, ∀x ∈ ℝ. Khi đó y ' ( x ) = 0 ⇔ f ' ( x − 2017 ) = 2018, x ∈ ℝ.

+) Dựa vào đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) , ta thấy đường thẳng y = 2018 cắt đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) tại 1 điểm duy nhất, suy ra đường thẳng y = 2018 cắt đồ thị của hàm

104

số y = f ' ( x − 2017 ) tại 1 điểm duy nhất. Do đó phương trình f ' ( x − 2017 ) = 2018 có 1 nghiệm duy nhất x0 hay phương trình y ' ( x ) = 0 có 1 nghiệm duy nhất x0 . +)

Hơn

nữa

y '( x )

đổi

dấu

khi

qua

nghiệm

x0

đó.

Vậy

hàm

số

y = f ( x − 2017) − 2018x + 2019 có đúng 1 điểm cực trị.

Bình luận: Bài toán bắt đầu có ý tưởng mới mẻ so với các bài toán trước. Cụ thể từ đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) , ta suy ra đồ thị của hàm số y = f ' ( x − 2017 ) bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ' ( x ) sang phải 2017 đơn vị. Tuy nhiên bản chất của bài toán là số giao điểm của đường thẳng y = 2018 và đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) chính bằng số giao điểm của đường thẳng y = 2018 và đồ thịcủa hàm số y = f ' ( x − 2017 ) .

Ví dụ 7.8. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số

1 y = f ' ( x ) . Xét hàm số g ( x) = f ( x) + x2 + x + 2018.

2 Hỏi mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số y = g ( x ) có 4 điểm cực trị.

f '( x)

B. Hàm số y = g ( x ) có 2 điểm cực trị.

C. Hàm số y = g ( x ) có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu D. Hàm số y = g ( x ) có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu.

Hướng dẫn:

1 2 +) Xét hàm số g ( x) = f ( x) + x + x + 2018 trên 2

y = −x −

ℝ. Ta có g '( x) = f '( x) + x +1, ∀x ∈ℝ.

Khi đó g '( x) = 0 ⇔ f '( x) = −x −1, x ∈ℝ. +) Từ đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) và ta vẽ thêm đường thẳng y = − x − 1 ta thấy đường 105

f '( x)

thẳng y = − x − 1 cắt đồ thị hàm số y = f ' ( x ) tại các điểm có hoành độ lần lượt là

x = −3, x = 1, x = 3. Khi đó phương trình f '( x) = −x −1 có 3 nghiệm phân biệt là x1 = −3, x2 = 1, x3 = 3 hay phương trình g '( x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt là x1 = −3, x2 = 1, x3 = 3 . +) Mặt khác, xét trên miền x∈( −∞; − 3) ∪(1; 3) thì đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) nằm phía trên đường thẳng y = − x − 1 . Do đó f ' ( x ) > − x − 1, ∀x ∈ ( −∞; − 3) ∪ (1; 3) hay

g ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ( −∞; − 3) ∪ (1; 3) . Vậy hàm số y = g ( x) đồng biến trên các khoảng

( −∞; − 3) và (1; 3) . +) Tiếp tục xét trên miền x ∈( −3; 1) ∪( 3; +∞) thì đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) nằm phía dưới đường thẳng

y = − x − 1 . Do đó

f ' ( x ) < − x − 1, ∀x ∈ ( −3; 1) ∪ ( 3; + ∞ ) hay

g ' ( x ) < 0, ∀x ∈ ( −3; 1) ∪ ( 3; + ∞ ) . Vậy hàm số y = g ( x) nghịch biến trên các khoảng

( −3; 1)

và ( 3; +∞) . Cuối cùng ta tiến hành lập bảng biến thiên của hàm số y = g ( x ) và

thu được kết quả hàm số y = g ( x ) có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu. Chọn C.

Bình luận: Vẫn tiếp nối ý tưởng của bài toán trước nhưng bài toán này đường thẳng cắt đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) không phải ở dạng đặc biệt là song song với trục hoành nên việc kiểm soát số giao điểm khó hơn. Ý tưởng là ta vẽ thêm đường thẳng y = − x − 1 trên cùng hệ tọa độ với đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) để thấy được giao điểm giữa chúng và suy ra nghiệm của phương trình g ' ( x ) = 0 . Ngoài ra việc xét dấu đạo hàm cũng trở lên khó khăn hơn khi phải xét đến vị trí tương đối giữa đường thẳng và đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) trên từng vùng miền khác nhau.

y

Ví dụ 7.9.(Đề thi thửNguyễn Đăng Đạo năm 2017-2018) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ . Biết rằng hàm số

y = f '( x)

có đồ thị như hình vẽ bên. Đặt

106

f '( x)

1 −2

O

1

−2

x

x2 g ( x ) = f ( x ) − . Điều kiện cần và đủ để hàm số y = g ( x ) có đúng 7 điểm cực trị là 2

 g ( 0) > 0  A.  g (1) < 0 . B.   g ( −2 ) < 0

 g ( 0 ) > 0 . C.   g (1) < 0

 g ( 0) > 0  D.  g ( −2 ) ≤ 0.   g (1) ≤ 0

 g ( 0 ) > 0 .   g ( −2 ) > 0

Hướng dẫn: x2 +) Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) − trên ℝ. Ta có 2 g ' ( x ) = f ' ( x ) − x , ∀x ∈ ℝ. Khi đó g '( 0) = f '( 0) = 0,

f '( x)

y=x

g ' (1) = f ' (1) − 1 = 0, g ' ( −2 ) = f ' ( −2 ) + 2 = 0.

+) Mặt khác từ đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) ta có

f ' ( x ) < x, ∀x ∈ ( −∞; − 2 ) ∪ ( 0; 1) và f ' ( x ) > x, ∀x ∈ ( −2; 0 ) ∪ (1; + ∞ ) . +) Bảng biến thiên của hàm số y = g ( x ) trên ℝ. x g '( x )

−∞ −

0

1

0

−2

+

0 g ( 0)

−

0

+∞ +

g ( x) g (1)

g ( −2)

Từ đó hàm số y = g ( x ) có 3 điểm cực trị. Điều kiện cần và đủ hàm số y = g ( x ) có 7  g ( 0) > 0  điểm cực trị là đồ thị y = g ( x ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt ⇔  g (1) < 0 .   g ( −2 ) < 0

Bình luận: Để giải quyết bài toán này học sinh cần nắm vững quy trình sử lí bài toán về đồ thị hàm số có dạng y = g ( x ) . Trước hết học sinh cần bắt đầu từ đồ thị hàm số 107

y = g ( x ) bằng cách thiết lập bảng biến thiên của nó. Việc thiết lập bảng biến thiên dựa trên quan hệ vị trí tương đối giữa đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) và đường thẳng y = x.

Bên cạnh đó học sinh cần nắm vững cách vẽ đồ thị hàm số y = g ( x ) và khẳng định

y = g ( x ) có 7 điểm cực trị khi đồ thị của y = g ( x ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt  g ( 0) > 0  ⇔ g (1) < 0 .  g ( −2) < 0

Ví dụ 7.10.Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ và có đồ thị của hàm số y = f ' ( x )

như hình vẽ bên. Biết

f ( 2 ) = −6, f ( 4 ) = −10 và

xét

hàm

số

x2 g ( x ) = f ( x ) + , ∀x ∈ ℝ. Biết 2

hàm

số

y = f '( x)

y = g ( x ) có ba điểm cực trị. Hỏi phương

trình g ( x ) = 0 có bao nhiêu nghiệm trên ( 2; 4 ) .

A. 3 nghiệm.

B. 4 nghiệm.

C. 2 nghiệm.

D. Vô nghiệm.

Hướng dẫn: +) Xét hàm số y = g ( x ) = f ( x ) +

x2 2

xác định và liên tục trên tập số thực ℝ.

Có g ' ( x ) = f ' ( x ) + x, ∀x ∈ ℝ.

y = f '( x) Khi đó g ' ( x ) = 0 ⇔ f ' ( x ) = − x

(1) . y =−x 108

+) Ta vẽ thêm đường thẳng y = − x trên cùng hệ tọa độ với đồ thị hàm số y = f ' ( x ) .

Nhận thấy đường thẳng y = − x cắt đồ thị hàm số y = f ' ( x ) tại 3 điểm phân biệt có hoành độlà

x1 = −2, x2 = 2, x3 = 4.

Khi đó (1) có 3 nghiệm phân biệt là

x1 = −2, x2 = 2, x3 = 4.

Ngoài ra, xét trên miền ( −∞; − 2 ) ∪ ( 2; 4 ) thì đồ thị hàm số y = f ' ( x ) nằm phía trên

đường

thẳng

y = −x

nên

f ' ( x ) > − x, ∀x ∈ ( −∞; − 2 ) ∪ ( 2; 4 ) .

Khi

đó

( −2; 2 ) thì đồ thị hàm số

g ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ( −∞; − 2 ) ∪ ( 2; 4 ) . Ngược lại xét trên miền

y = f ' ( x ) nằm phía dưới đường thẳng y = − x nên f ' ( x ) < − x, ∀x ∈ ( −2; 2 ) . Khi đó g ' ( x ) < 0, ∀x ∈ ( −2; 2 ) . Từ đây ta có bảng biến thiên của hàm số y = g ( x ) như sau:

x

g '( x ) g ( x)

+

0

4

2

−2

−∞

−

0

g ( −2 )

+

0

+∞ −

g (4) g (2)

+) Theo giả thiết f ( 2 ) = −6, f ( 4 ) = −10 nên ta có g ( 2 ) = f ( 2 ) + 2 = −6 + 2 = −4 và g ( 4 ) = f ( 4 ) + 2 = −10 + 8 = −2 . Do g ( 2 ) < 0, g ( 4 ) < 0 và hàm số y = g ( x ) liên tục trên

đoạn [ 2; 4] nên phương trình g ( x ) = 0 không có nghiệm trên khoảng ( 2; 4 ) . Chọn D. Bình luận: Bài toán cho biết hình ảnh của đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) khá cầu kì, hoa mỹ và phức tạp, không phải là đồ thị của những hàm số quen thuộc. Điều này ảnh hưởng đến tâm lí làm bài của những bạn học sinh có học lực trung bình, trung bình khá (những học sinh không thích sự mới lạ của những bài toán). Tuy nhiên lời giải bài toán lại không quá cầu kì và phức tạp như hình ảnh đã thấy. Điểm then chốt của bài toán vẫn là tư duy lập bảng biến thiên của hàm số y = g ( x ) , điều này được thực hiện dựa trên quan hệ về vị trí tương đối giữa đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) và đường thẳng y = − x .

Sau khi có bảng biến thiên của hàm số y = g ( x ) thì học sinh dễ dàng suy ra được đồ thị 109

hàm số y = g ( x ) nằm hoàn toàn dưới trục hoành trên khoảng ( 2; 4 ) . Từ đó suy ra phương trình g ( x ) = 0 không có nghiệm trên khoảng ( 2; 4 ) .

Ví dụ 7.11. (Đề thi thửChuyênBắc Ninh lần 2 năm học 2017- 2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ . Biết rằng hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi hàm số x3 g ( x ) = f ( x ) − + x 2 − x + 2 đạt cực đại tại điểm nào sau đây?

3

A. x = −1.

B. x = 1.

C. x = 0.

D. x = 2.

Hướng dẫn: +) Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) −

x3 + x 2 − x + 2 trên ℝ . Ta 3 2

có g ' ( x ) = f ' ( x ) − x 2 + 2 x − 1 = f ' ( x ) − ( x − 1) , ∀x ∈ ℝ.

2

Khi đó g ' ( x ) = 0 ⇔ f ' ( x ) = ( x − 1) , x ∈ ℝ. +) Từ đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) và đồ thị của parabol 2

y = ( x −1) ta thấy chúng cắt nhau tại các điểm có hoành

độ lần lượt là x = 0, x = 1, x = 2. Ngoài ra trên miền x ∈ ( −∞; 0 ) ∪ (1; 2 ) thì đồ thị hàm số y = f ' ( x ) nằm phía dưới đồ thị của parabol

y = ( x −1)

2

nên

2

f ' ( x ) < ( x − 1) , ∀x ∈ ( −∞; 0 ) ∪ (1; 2 )

và

trên

miền

x ∈ ( 0; 1) ∪ ( 2; + ∞ ) thì đồ thị hàm số y = f ' ( x ) nằm phía trên đồ thị của parabol 2

2

y = ( x −1) nên f ' ( x ) > ( x − 1) , ∀x ∈ ( 0; 1) ∪ ( 2; + ∞ ) . Ta có bảng biến thiên của hàm

số y = g ( x ) x

g '( x)

1

0

−∞ −

1

+

0

g ( x)

110

+∞

2 −

1

+

+) Vậy hàm số y = g ( x ) đạt cực đại tại điểm x = 1. Chọn B.

Bình luận: Bài toán đã được nâng cấp lên về mô hình, bàn về sự tương giao giữa đồ thị hàm số y = f ' ( x ) và parabol ( P ) , điều này gây ra khó khăn lớn đối với nhiều học sinh, kể cả học sinh có học lực khá. Bài toán nhằm cho rèn luyện cho học sinh kỹ năng vẽ parabol ( P ) , kỹ năng quan sát đồ thị, thấy được các điểm đặc biệt trên đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) cũng nằm trên parabol ( P ) , từ đó suy các điểm chung giữa đồ thị của y = f ' ( x ) và parabol ( P ) , nhằm mục đích tìm nghiệm của phương trình g ' ( x ) = 0 .

Bênh cạnh đó công đoạn xét dấu của đạo hàm g ' ( x ) cũng làm nhiều học sinh gặp khó khăn. Bài toán tiếp tục đề cao kỹ thuật xét vị trị tương đối giữa đồ thị của y = f ' ( x ) và parabol ( P ) , để phục công tác xét dấu đạo hàm g ' ( x ) , từ đó suy ra bảng biến thiên của hàm số y = g ( x ) và tìm được điểm cực đại của hàm số.

Ví dụ 7.12.(Đề thi thửChuyên Hùng Vương Phú Thọ lần 1 nămhọc 2017-2018).

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị

y = f ' ( x ) như hình vẽ bên . Xét hàm số y = g ( x ) thỏa

mãn

1 3 3 g ( x ) = f ( x ) − x3 − x 2 + x + 2018, ∀x ∈ ℝ.

3 4 2 Hỏi mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. min g ( x ) = g ( −1) . C. min g ( x ) = g (1) . [ −3; 1]

[ −3; 1]

B. min g ( x ) = g ( −3) . D. min g ( x ) = [ −3; 1]

[ −3; 1]

g ( −3) + g (1) .

2

Hướng dẫn: 1 3 3 2 3 +) Vì hàm số g ( x ) = f ( x ) − x − x + x + 2018 3 4 2 liên tục trên ℝ nên liên tục trên đoạn [ −3; 1].

2 Mặt khác g ' ( x ) = f ' ( x ) − x −

3 3 x + , ∀x ∈ ℝ.

2 2

111

y = f '( x)

2 Khi đó g ' ( x ) = 0 ⇔ f ' ( x ) = x +

3 3 x − , x ∈ ℝ.

2 2

2 +) Ta vẽ thêm parabol ( P ) của hàm số y = x +

3 3 x − trên cùng hệ trục tọa độ như 2 2

 3 33  hình vẽ trên, ( P ) có đỉnh là I  − ; −  và đi qua các điểm ( −3; 3) , ( −1; − 2 ) , (1; 1) .  4 16 

Từ đó đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) và parabol

( −3; 3) , ( −1; − 2 ) , (1; 1)

( P)

cắt nhau tại các điểm

hay phương trình g ' ( x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt

là

x1 = −3, x2 = −1, x3 = 1.

2 +) Mặt khác, xét trên khoảng ( −1; 1) thì f ' ( x ) > x +

2 và xét trên khoảng ( −3; − 1) thì f ' ( x ) < x +

3 3 x − nên g ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ( −1; 1) 2 2

3 3 x − nên g ' ( x ) < 0, ∀x ∈ ( −3; − 1) .

2 2

Từ đó, ta có bảng biến thiên của hàm số y = g ( x ) như sau: x

g '( x) g ( x)

−∞

−3 0

−

−1 0

1 0

+

+∞

g (1

g (3) g ( − 1)

Từ bảng biến thiên, ta có min g ( x ) = g ( −1) . Chọn A. [ −3; 1]

Bình luận: Bài toán tiếp tục củng cố mô hình về sự tương giao giữa đồ thị hàm số y = f ' ( x ) và parabol ( P ) . Yêu cầu học sinh có kỹ năng vẽ chính xác parabol, thấy được

những điểm chung giữa đồ thị y = f ' ( x ) và ( P ) trên đoạn [ −3;1] , từ đó suy ra được nghiệm của phương trình g ' ( x ) = 0. Bài toán tiếp tục đề cao khả năng quan sát đồ thị của học sinh, cụ thể là vị trí tương đối giữa đồ thị y = f ' ( x ) và ( P ) , nhằm mục đích xét

112

được dấu đạo hàm g ' ( x ) , lập được bảng biến thiên của hàm số y = g ( x ) và suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số y = g ( x ) trên đoạn [ −3;1].

Ví dụ 7.13.Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ . Biết rằng hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Xét hàm số g ( x ) = 2 f ( x ) + 2 x3 − 4 x − 3m − 6 5 với m là

tham số thực. Để g ( x ) ≤ 0, ∀x ∈  − 5; 5  thì điều kiện của m là

A. m ≥

2 f 3

( 5 ).

B. m ≤

2 f 3

( 5).

y

2

y = f '( x )

( P)

2 f ( 0) − 2 5 .

3 2 D. m ≥ f − 5 − 4 5.

3

C. m ≤

(

)

− 5

Hướng dẫn: +) Xét

−

6 3

6 3

O

−2

y = g ( x ) = 2 f ( x ) + 2x3 − 4x − 3m − 6 5

xác định và liên tục trên ℝ . Ta có g ' ( x ) = 2 f ' ( x ) + 6 x 2 − 4, ∀x ∈ ℝ.

Khi

−4

đó

g ' ( x ) = 0 ⇔ f ' ( x ) = 2 − 3x2 (1) .

−6

+) Từ đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) ta vẽ thêm parabol ( P ) : y = 2 − 3x2 . Khi đó ta thấy

−8

chúng cắt nhau tại các điểm có hoành độ − 5, 0, 5

hay phương trình (1) có 3

−10

nghiệm phân biệt là x1 = − 5, x2 = 0, x3 = 5.

113

−12

5

x

+) Hơn nữa, xét trên − 5; 5 thì đồ thị hàm số y = f ' ( x) nằm trên parabol

( P) : y = 2 −3x2 . Khi đó

f ' ( x ) ≥ 2 − 3x2 , ∀x ∈ − 5; 5  hay g ' ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ − 5; 5  . Từ đây

suy ra hàm số y = g ( x ) đồng biến trên đoạn − 5; 5  . +) Khi đó bất phương trình g ( x ) ≤ 0 có nghiệm đúng với ∀x ∈  − 5; 5  khi và chỉ khi max g ( x ) ≤ 0 ⇔ m ≥ g − 5; 5   

( 5 ) = 23 f ( 5 ) .

Bình luận: Về bản chất của bài toán này vẫn tương tự như bài toán trước, bàn về sự tương giao hay vị trí tương đối giữa đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) và parabol ( P ) . Bài toán nhằm củng cố một số kỹ năng cơ bản, chẳng hạn như kỹ năng vẽ parabol, k ỹ năng xét dấu của đạo hàm, kỹ năng tìm giá trị lớn nhất trên đoạn cho trước.

Tuy nhiên về mặt hình thức bài toán này có chứa tham số m, cụ thể là tìm m để bất phương trình g ( x ) ≤ 0, ∀x ∈  − 5; 5  . Khi đó đối với học sinh có học lực trung bình, trung bình khá không có khả năng chuyển đổi sang bài toán tương ứng là tìm m để max g ( x ) ≤ 0 . Vì thế bài toán này có khả năng phân loại rất tốt đối tượng học sinh có  − 5; 5   

học lực trung bình, trung bình khá và học lực khá giỏi.

3. Dạng 3: Cho hàm số y = f ( x) , biết đồ thị của hàm số y = f '( x) . Hỏi các vấn đề liên quan đến hàm số y = f ( u ( x ) ) , chẳng hạn như: Sự đơn điệu, cực trị, tiếp tuyến, sự tương giao, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

Ví dụ 7.14.(Đề thi thửTHPT Quốc GiaSở Nam Định lần 1 nămhọc 2017-2018).

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ . Biết rằng

y = f '( x)

y

hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi hàm số y = f ( x 2 − 5 ) nghịch biến trên khoảng nào

−4

sau đây?

−1 O

−2 114

2

x

A. (1; 2 ) . B. ( 0; 1) .

C. ( −1; 0 ) . D. ( −1; 1) .

Hướng dẫn:

 x = −4  −4 < x < −1  −1 < x < 2  , f '( x ) < 0 ⇔  +) Ta có f ' ( x ) = 0 ⇔  x = −1 và f ' ( x ) > 0 ⇔   x>2  x < −4  x = 2

+) Xét hàm số y = g ( x ) = f ( x 2 − 5) xác định và liên tục trên ℝ .

Ta có g ' ( x ) = f ' ( x 2 − 5 ) . ( x 2 − 5 ) ' = 2 xf ' ( x 2 − 5 ) , ∀x ∈ ℝ   x > 0  2   f ' ( x − 5 ) < 0 2 Khi đó y ' ( x ) < 0 ⇔ 2 xf ' ( x − 5 ) < 0 ⇔    x < 0  f ' x2 − 5) > 0   (

 x > 0  x > 0  2  2  0 < x < 1    x − 5 < −4  x < 1      −1 < x 2 − 5 < 2  4 < x2 < 7   2 < x < 7   . ⇔ ⇔ ⇔  x < 0  x < 0   x<− 7   2 2     −4 < x − 5 < −1   1 < x < 4   −2 < x < −1  2  2    x − 5 > 2    x > 7

(

)

(

)

+) Vậy hàm số y = g ( x ) nghịch biến trên các khoảng −∞; − 7 , ( −2; −1) , ( 0; 1) , 2; 7 .

Từ đó hàm số y = g ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 0; 1) . Chọn B.

Bình luận: Bài toán xuất hiện với tần suất tăng lên đáng kể trong các đề thi thử THPT Quốc gia kể từ khi Bộ Giáo dục và Đào tạo công bố đề thi Minh họa. Bài toán này kiểm tra được kỹ năng đọc đồ thị đạo hàm của học sinh. Cụ thể từ đồ thị của hàm số y = f ( x ) ta suy ra được nghiệm của đạo hàm f ' ( x ) = 0 , đặc biệt xét được dấu của đạo

hàm f ' ( x ) .

115

Về mặt kiến thức và cũng là bản chất, mấu chốt của bài toán là học sinh phải có khả năng vận dụng linh hoạt các kết quả có trước, chẳng hạn từ kết quả  −4 < x 2 − 5 < −1  −4 < x < −1 . thì ta cũng có f ' ( x 2 − 5) > 0 ⇔  2 f '( x ) > 0 ⇔  x > 2 x − 5 > 2  

Về mặt k ỹ năng, bài toán đề cao khả năng giải hệ bất phương trình, kết hợp nghiệm thành thạo để đưa ra kết quả chính xác. Một yếu tố nữa làm nhiều học sinh lúng túng vì thiếu kinh nghiệm khi đối chiếu kết quả thu được với các phương án A, B, C, D và dẫn

đến sự lựa chọn sai lầm ở “phút 89”. Nếu kết luận đầy đủ thì hàm số y = g ( x ) nghịch

(

)

(

)

biến trên 4 khoảng −∞; − 7 , ( −2; −1) , ( 0; 1) , 2; 7 . Thế nhưng đáp án A chỉ thể hiện 1 khoảng nghịch biến, là tập con của kết quả thu được.

Từ bài toán này có thể mở rộng thành một lớp bài toán có lời giải tương tự, cụ thể là: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ . Biết rằng hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị cho trước. Tìm khoảng đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số y = g ( x ) = f ( u ( x ) ) .

Chúng ta có thể điều chỉnh thành các bài toán theo các cấp độ khác nhau bằng cách điều chỉnh độ phức tạp của đồ thị hàm số y = f ' ( x ) và biểu thức u ( x ) .

Ví dụ 7.15.(Đề thi thửTHPT Quốc GiaSở Vĩnh Phúc lần 1 nămhọc 2017-2018).

Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ. Hình vẽ bên là

đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) . Xét hàm số g ( x ) = e Hỏi mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Hàm số y = g ( x ) nghịch biến trên

B. Hàm số C. Hàm số D. Hàm số

(

f x2 −2

( −∞; − 2 ) . y = g ( x ) đồng biến trên ( 2; + ∞ ) . y = g ( x ) nghịch biến trên ( −1; 0 ) . y = g ( x ) nghịch biến trên ( 0; 2 ) .

).

y −2 −1 O

2 x

−2

Hướng dẫn:  x = −1 x < 2 +) Ta có f ' ( x ) = 0 ⇔  và f ' ( x ) > 0 ⇔ x > 2 , f ' ( x ) < 0 ⇔  x = 2 x ≠ 1 116

1

y = f '( x)

+) Xét hàm số y = g ( x ) = e Ta có g ' ( x ) = e +) Do biểu thức e

(

f x 2 −2

)

xác định và liên tục trên ℝ .

(

) f ' x 2 − 2 . x 2 − 2 ' = 2 xf ' x 2 − 2 e f ( x − 2) , ∀x ∈ ℝ ( )( ) ( )

(

)

f x2 −2

f x2 −2

2

> 0, ∀x ∈ ℝ nên khi đó g ' ( x ) > 0 ⇔ xf ' ( x 2 − 2) > 0

 x > 0   x > 0  2  2 x > 2  x − 2 > 2   f ' ( x − 2 ) > 0   ⇔ ⇔ x < 0 ⇔   −2 < x < 0 .    x < 0 2   x ≠ −1  x − 2 > 2  2  2 f ' x − 2) < 0   (   x − 2 ≠ −1

Suy ra hàm số y = g ( x ) đồng biến trên các khoảng ( −2; −1) , ( −1; 0) , ( 2; +∞) và nghịch biến trên các khoảng ( −∞; − 2) , ( 0; 1) , (1; 2) . Chọn C.

Bình luận: Bài toán có cấu trúc tương tự bài toán trước, có sự khác biệt nhỏ về hình thức hàm số g ( x ) = e

(

f x2 −2

),

thể hiện sự kết hợp giữa hàm số hợp và hàm số mũ. Cách ra

đề này nhằm tăng k ỹ năng tính đạo hàm, làm tăng khả năng suy luận của học sinh còn về mặt bản chất không có thay đổi nhiều so với bàn toán trước.

Ví dụ 7.16.Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ .

Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số

y = g ( x ) = f ( 2 − e x ) đồng biến trên khoảng A. ( 0; ln 3) . B. (1; + ∞ ) .

D. ( −∞; 0 ) .

C. ( −1; l ) .

Hướng dẫn:  x < −1 +) Từ đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) , ta có f ′ ( x ) < 0 ⇔  1 < x < 4.

(

)

x +) Xét hàm số y = g ( x ) = f 2 − e xác định và liên tục trên ℝ .

(

x Ta có g ' ( x ) = f ' 2 − e

)( 2 − e ) ' = − f ' ( 2 − e ) .e , ∀x ∈ ℝ. x

x

117

x

y = f '( x)

2 − ex < −1  x > ln3 ⇔ +) Khi đó g ' ( x ) > 0 ⇔ f ' ( 2 − e ) .e < 0 ⇔ f ' ( 2 − e ) < 0 ⇔  x < 0 . x 1 < 2 − e < 4   x

(

x

x

)

x Suy ra hàm số y = f 2 − e đồng biến trên mỗi khoảng ( −∞; 0 ) và ( ln 3; + ∞ ) .

Bình luận: Bài toán vẫn tiếp nối mô hình tổng quát ở trên, chỉ thay đổi biểu thức u ( x ) = 2 − e x là biểu thức mũ thay vì các tam thức bậc 2 như trên nhằm mục đích cho

học sinh thấy được sự linh hoạt trong giả thiết bài toán. Học sinh dần dần có góc nhìn hoàn thiện hơn và cảm thấy không bỡ ngỡ trước những bài toán có hình thức mới mẻ.

Ví dụ 7.17.(Đề thi thửChuyên Đại Học Vinh lần 2 nămhọc 2017-2018).

Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) . Hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực đại của hàm số y = f

(

y = f '( x)

)

x 2 + 2 x + 2 là

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Hướng dẫn:  x = −1  −1 < x < 1  x < −1  , f '( x ) < 0 ⇔  +) Ta có f ' ( x ) = 0 ⇔  x = 1 và f ' ( x ) > 0 ⇔   x>3 1< x < 3  x = 3

+) Xét hàm số y = g ( x ) = f

(

)

2

x2 + 2x + 2 , x ∈ℝ. Ta có x2 + 2x + 2 = ( x +1) +1 > 0, ∀x ∈ℝ

và hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên ℝ nên hàm số y = g ( x ) xác định và liên t ục

trên

g '( x ) = f '

(

ℝ

và

có

)(

x2 + 2 x + 2 .

+) Khi đó g ' ( x ) = 0 ⇔ f '

(

đạo

hàm

)

x2 + 2 x + 2 ' = f '

(

được

tính

)

x2 + 2x + 2 .

bởi x +1 x2 + 2x + 2

công , ∀x ∈ ℝ

)

 f ' x2 + 2 x + 2 = 0  x +1 x2 + 2 x + 2 . =0⇔ x +1 x2 + 2 x + 2  =0 2  x + 2 x + 2

(

)

118

thức

 x 2 + 2 x + 2 = −1  x = −1 + 2 2   x2 + 2x + 1 = 0 2   x + 2x + 2 = 1  ⇔ ⇔  x 2 + 2 x − 7 = 0 ⇔  x = −1 − 2 2 .  x = −1  x2 + 2x + 2 = 3  x = −1    x + 1 = 0 

+) Đến đây ta lập bảng biến thiên của hàm số y = g ( x ) trên ℝ. x

−∞

g '( x)

−1

−1 − 2 2

1

−

−1 + 2 2

0

+

−

0

+∞ +

−2 Dựa vào bảng biến thiến, ta thấy hàm số y = g ( x ) đạt cực đại tại điểm x = −1. Vậy hàm số y = f

(

)

x 2 + 2 x + 2 có đúng 1 điểm cực trị. Chọn A.

Bình luận: Ngoài cách giải bài toán như trên, học sinh có giải quyết bài toán theo hướng khác như sau: Theo giả thiết hàm số y = f ( x ) là hàm số bậc 4 và đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) có dạng bậc 3: y = f ' ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d , với a > 0 (như hình vẽ trên). Phương trình f ' ( x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt là x = −1, x = 1, x = 3 nên suy ra biểu thức đạo hàm f ' ( x ) = a ( x + 1)( x − 1)( x − 3) , a > 0. +) Khi đó f '

(

) (

)(

x2 + 2x + 2 = a

x2 + 2 x + 2 + 1

)(

x2 + 2x + 2 − 1

)

x2 + 2x + 2 − 3 .

2

Hay f '

(

)

2

x + 2x + 2 =

a ( x + 1) ( x 2 + 2 x − 7 )

Xét hàm số y = g ( x ) = f

x2 + 2 x + 2 + 3

(

, với a > 0.

)

x 2 + 2 x + 2 xác định và liên tục trên ℝ . Ta có 3

g '( x) = f '

(

2

x + 2x + 2

)(

2

)

x + 2x + 2 ' =

a ( x + 1) ( x 2 + 2 x − 7 ) x2 + 2x + 2

 x = −1 ( x + 1)3 = 0  ⇔  x = −1 + 2 2 .

Khi đó g ' ( x ) = 0 ⇔  2  x + 2 x − 7 = 0  x = −1 − 2 2  119

(

x2 + 2x + 2 + 3

)

, x ∈ ℝ.

+)

Đến

đây ta lập bảng

biến

y = g ( x)

− 1

−∞

x

g '( x

−

−1 + 2 2

−1

1

+

0

0

−

+∞

+

thiên của hàm số trên ℝ.

−2

Dựa vào bảng biến thiến, ta thấy hàm số y = g ( x ) đạt cực đại tại điểm x = −1.

Vậy hàm số y = f

(

)

x 2 + 2 x + 2 có đúng 1 điểm cực trị. Chọn A.

Ví dụ 7.18.Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và

y

f ( −2 ) < 0 và đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) như hình

−2

vẽ bên. Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm

số

y = f (1 − x2018 )

nghịch

biến

O

trên

( −∞; − 2) .

2018 B. Hàm số y = f (1 − x ) có 2 điểm cực tiểu.

y = f '( x )

2018 C. Hàm số y = f (1 − x ) có 2 điểm cực đại và 1

điểm cực tiểu.

2018 D. Hàm số y = f (1 − x ) đồng biến trên ( 2; + ∞ ) .

Hướng dẫn: +) Xét hàm số y = g ( x ) = f (1 − x 2018 ) liên tục trên ℝ và có đạo hàm g ' ( x ) = f ' (1 − x 2018 )(1 − x 2018 ) ' = f ' (1 − x 2018 )( −2018 x 2017 ) , x ∈ ℝ.

x = 0 x = 0 x = 0   ⇔ 1 − x 2018 = 2 ⇔  x = 2018 3 .

Khi đó g ' ( x ) = 0 ⇔  2018 f ' 1 − x = 0 )  ( 2018  2018  = −2 1 − x x = − 3

+) Ta có bảng biến thiên của hàm số y = g ( x ) trên ℝ như sau

120

2

x

x

−∞

−2018 3

+

g '( x)

1

0 0

−

2018

+

0

−

f ( −2)

f ( −2)

g ( x)

+∞

3

f ( 0)

(

)

2018 +) Theo giả thiết f ( −2 ) < 0 nên đồ thị của hàm số y = g ( x ) = f 1 − x nằm hoàn

(

2018 toàn dưới trục hoành. Khi đó đồ đ thị của hàm số y = f 1 − x

)

sẽ có 1 điểm cực đại

và 2 điểm cực tiểu, suy ra mệnh đề sai là C.

Bình luận: Bài toán nhằm kiểm tra kỹ năng kiểm soát đồ thị của học sinh. Trước hết

(

2018 cần phải biết được sự hình thành hình dáng đồ thị của hàm số y = g ( x ) = f 1 − x

(

)

)

2018 thông qua bảng biến thiên của nó, rồi suy ra dáng điệu của hàm số y = f 1 − x .

Ví dụ 7.19.Cho hàm số y = f ( x ) xác định và f '( x)

liên tục trên ℝ . Biết rằng đồ thị của y = f ′ ( x ) như hình vẽ bên. Để hàm số y = f ( x − 2018 ) có 7 điểm cực trị thì mệnh đềề nào dưới đây là

đúng ?

A. f ( a ) > 0 > f ( −2 ) B. f ( −2 ) > 0 > f ( a ) C.

f ( b ) > 0 > f ( a ) .D. f ( b ) > 0 > f ( −2 ) .

Hướng dẫn +) Ta thấy đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ lần lượt là x = −2, x = a, x = b. Khi đó f ' ( x ) = 0 có các nghiệm là x = −2, x = a, x = b.

Mặt khác f ' ( x ) > 0 ⇔ x ∈ ( −∞; − 2 ) ∪ ( a; b ) và f ' ( x ) < 0 ⇔ x ∈ ( −2; a ) ∪ ( b; + ∞ ) .

Từ đây ta lập được bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) trên ℝ như sau:

x

f '( x)

f ( x)

−∞

−2 +

1

a 0

−

f ( −2) 121

+∞

b

+

0

f ( b)

−

f ( a) +) Từ bảng biến ta suy ra giá trị cực đại của hàm số y = f ( x ) là f ( −2 ) và f ( b ) , giá trị cực tiểu là f ( a ) . Mặt khác đồ thị y = f ( x − 2018 ) có được bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số y = f ( x ) sang phải 2018 đơn vị nên hàm số y = f ( x − 2018) có giá tri cực

đại, giá trị cực tiểu không thay đổi so với hàm số y = f ( x ) . Hiện tại hàm số y = f ( x − 2018) đã có 3 điểm cực trị nên điều kiện để hàm số y = f ( x − 2018 ) có 7

điểm cực trị là đồ thị của y = f ( x − 2018) phải cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Hơn nữa ta chứng minh được f ( −2 ) < f ( b ) . Khi đó điều kiện là f ( −2 ) > f ( 0 ) > f ( a ) .

Chọn B. Bình luận: Bài toán nhằm kiểm tra kiến thức tổng hợp của học sinh về sự hình thành của đồ thị hàm số từ đơn giản đến phức tạp. Bắt đầu từ đồ thị của hàm số

y = f ′ ( x ) để lập bảng biến thiên và suy ra dáng điệu của y = f ( x ) , sử dụng phép tịnh tiến để suy ra đồ thị y = f ( x − 2018 ) và sử dụng kĩ thuật lấy đối xứng để suy ra đồ thị y = f ( x − 2018 )

4. Dạng 4: Cho hàm số y = f ( x) , biếtđồ thị của hàm số y = f '( x) . Xéthàm số

y = g ( x) = f ( x) + h( x) , trong đó y = h ( x) là một hàm số cho trước chẳng hạn 2 3 2 như : h ( x ) = ax + b, h ( x ) = ax + bx + c, h ( x ) = ax + bx + cx + d .

Hỏi các vấn

đề liên quan đến sự đơn điệu, cực trị, tiếp tuyến, sự tương giao, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = g ( x) .

Ví dụ 7.20.(Đề thi thửChuyên Đại Học Vinh lần 3 nămhọc 2017-2018).

Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số

122

y = f '( x )

y = f ' ( x ) . Hàm số y = −2 f ( 2 − x ) + x2 nghịch biến trên khoảng nào?

A. ( −1; 0 ) . B. ( 0; 2 ) .

C. ( −2; − 1) . D. ( −3; − 2 ) .

Hướng dẫn: 2 +) Xét hàm số y = g ( x ) = −2 f ( 2 − x ) + x , x ∈ℝ. Ta có g ' ( x ) = 2 f ' ( 2 − x ) + 2x, x ∈ ℝ.

Khi đó g ' ( x ) < 0 ⇔ 2 f ' ( 2 − x ) + 2x ⇔ f ' ( 2 − x ) < −x (1) . +) Đặt t = 2 − x thì bất phương trình (1) trở thành f ' ( t ) < t − 2 ( 2 ) .

Mặt khác, từ đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) , ta suy ra đồ thị của hàm số y = f ' ( t ) .

Ngoài ra ta vẽ thêm đường thẳng y = t − 2 trên cùng một hệ trục tọa độ tOy .

y = f '(t ) t1

y =t−2 t2

Từ đồ thị trên ta thấy đường thẳng y = t − 2 cắt đồ thị hàm số y = f ' ( t ) tại hai điểm phân biệt có hoành độ là t1 ∈ (1; 2 ) và t2 = 3. +) Ngoài ra xét trên miền

t ∈ ( 2; 3) thì đường thẳng y = t − 2 nằm trên đồ thị

y = f '(t ) Do đó xét trên miền t ∈ ( 2; 3) thì f ' ( t ) < t − 2 hay xét trên x ∈ ( −1; 0 ) thì f ' ( 2 − x ) < − x 2 Tức là g ' ( x ) < 0 ∀x ∈ ( −1; 0) . Vậy hàm số y = −2 f ( 2 − x) + x nghịch biến trên ( −1; 0 ) .

Bình luận: Đây là bài toán có hình thức đơn giản nhưng đòi hỏi học sinh phải có những suy luận logic, vững chắc mới giải quyết thành công bài toán. Học sinh gặp khó 123

khăn khi giải bất phương trình f ' ( 2 − x ) < − x. Để khai thác được giả thiết về đồ thị hàm số y = f ' ( x ) thì một kỹ năng quan trọng là đặt ẩn phụ t = 2 − x như lời giải trên để thực hiện việc luôn chuyển đồ thị. Tổng quát hóa khi gặp bất phương trình dạng

f ' ( ax + b) < mx + n thì học sinh có thể đặt ẩn phụ t = ax + b để biến đổi bất phương trình về dạng f ' ( t ) < pt + q , từ đó ta khai thác được hình ảnh đồ thị của hàm số

y = f ' ( x ) trong giả thiết, đưa ra được tập nghiệm của bất phương trình

f ' ( ax + b) < mx + n .

Ví dụ 7.21.(Đề thi thửChuyên Đại Học Vinh lần 2 nămhọc 2017-2018).

Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ Bảng biến thiên của hàm số y = f ′ ( x )

được cho như hình vẽ bên. Hàm số  x y = f 1 −  + x nghịch biến trên khoảng  2

A. ( 2; 4 ) .

B. ( 0; 2 ) .

C. ( −2; 0 ) .

D. ( −4; − 2 ) .

Hướng dẫn:  x +) Xét hàm số y = g ( x ) = f 1 −  + x trên ℝ . Do hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên  2

ℝ có đạo hàm trên ℝ nên hàm số y = g ( x ) cũng có đạo hàm trên ℝ .  x  x  1  x Khi đó g ' ( x ) = f ' 1 −  . 1 −  '+ 1 =  −  f ' 1 −  + 1, ∀x ∈ ℝ.  2  2  2  2 và

 1  x  x g ' ( x ) < 0 ⇔  −  f ' 1 −  + 1 < 0 ⇔ f ' 1 −  > 2  2  2  2

t1

+) Nhận xét: Từ bảng biến thiên của hàm số y = f ′ ( x ) , xét trên khoảng ( 2;3) thì đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) nằm trên đường 124

y=2

thẳng y = 2. Do đó f ′ ( x ) > 2, ∀x ∈ ( 2; 3 )

 x x Với x ∈ ( −4; − 2 ) thì 1 − ∈ ( 2; 3) . Khi đó đồ thị hàm số y = f '  1 −  nằm trên 2  2  x đường thẳng y = 2 hay trên khoảng ( −4; − 2 ) thì f ' 1 −  > 2 và g ' ( x ) < 0 .  2  x Vậy hàm số y = g ( x) = f 1−  + x nghịch biến trên khoảng ( −4; − 2 ) . Chọn D.  2

Bình luận: Bài toán với hình thức đơn giản nhưng khi triển khai thực hiện học sinh khá lúng khi đưa ra kết quả cuối cùng. Mấu chốt của bài toán là công đoạn giải bất  x x phương trình f ' 1 −  > 2 . Ta đặt t = 1 − thì bất phương trình trở thành f ' ( t ) > 2 .

2  2 Từ bảng biến thiên của hàm số y = f ' ( x ) , ta suy ra bảng biến thiên của hàm số

y = f ' ( t ) . Trên bảng biến thiên đó ta vẽ thêm đường thẳng y = 2. Đường thẳng này cắt đồ thị của hàm số y = f ' ( t ) tại hai điểm phân biệt có hoành độ là t1 ∈ ( −1; 0 ) và t2 = 2.

Xét trên miền t ∈ ( −1; t1 ) ∪ ( 2; + ∞ ) thì đồ thị của hàm số y = f ' ( t ) nằm trên đường thẳng y = 2 nên bất phương trình f ' ( t ) > 2 ⇔ t ∈ ( −1; t1 ) ∪ ( 2; + ∞ ) . Đến đây ta quay

trở lại biến x ta được

x   −1 < 1 − 2 < t1  2 − 2t1 < x < 4 ⇔  . Khi đó hàm số  x < −2  1− x > 2  2

 x y = g ( x) = f 1−  + x nghịch biến trên mỗi khoảng ( −∞; − 2 ) và ( 2 − 2t1 ; 4 ) . Đến đây khi  2

 x soi chiếu đáp án, ta thấy ( −4; − 2) ⊂ ( −∞; − 2) nên suy ra y = g ( x) = f 1−  + x nghịch  2 biến trên ( −4; − 2 ) . Chọn D. Cách giải quyết bài toán theo hướng trên làm sáng tỏ bản chất bài toán, học sinh cần có sự luôn chuyển hợp lí giữa ẩn x ban đầu và ẩn phụ t. Tuy nhiên lời giải trên cũng bộc lộ nhược điểm nhất định, học sinh phải dành nhiều thời gian để giải quyết bài toán.

125

Để giải quyết bài toán trong thời gian ngắn nhất, phù hợp với tinh thần thi theo hình thức Trắc nghiệm, học sinh có thể sử dụng phương án giải ngược. Cụ thể coi mỗi phương án A, B, C, D là các giả thiết bài toán, học sinh có thể thử từng phương án xem

 x phương án nào thỏa mãn bất phương trình f '  1 −  > 2 . Chẳng hạn ta thử phương án  2 D:  x x Với x ∈ ( −4; − 2 ) thì 1 − ∈ ( 2; 3) . Khi đó đồ thị hàm số y = f '  1 −  nằm trên 2  2  x đường thẳng y = 2 hay trên khoảng ( −4; − 2 ) thì f ' 1 −  > 2 thỏa mãn. Chọn D.  2

5. Dạng 5: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị của hàm số y = f '( x) . Hỏi các vấn đề liên quan đến hàm số y = g ( f ( x) ) , chẳng hạn như: Sự đơn điệu, cực trị, tiếp tuyến, sự tương giao, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

Ví dụ 7.22.Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên

y

ℝ và đồthị của hàm số y = f ′ ( x ) như hình vẽ

y = f '( x

bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số y = g ( x) = e

2017 f ( x )+ 2018

+π

−1

2019 f ( x )

A. 1.

C. 3.

O

1

B. 2.

D.4.

Hướng dẫn

+) Xét hàm số y = g ( x ) = e Ta có g ' ( x ) = 2017 f ' ( x ) e g ' ( x ) = f ' ( x )  2017e 

2017 f ( x )+ 2018

2017 f ( x ) + 2018

2017 f ( x ) + 2018

+ 2019π

+π

2019 f ( x )

trên tập số thực ℝ

+ 2019ln π f ' ( x ) π 2019 f ( x )

2019 f ( x )

ln π  , ∀x ∈ ℝ. 

+) Do 2017e2017 f ( x )+2018 + 2019π 2019 f ( x ) ln π > 0, ∀x ∈ ℝ nên g ' ( x ) = 0 ⇔ f ' ( x ) = 0.

126

4

x

Nhận thấy đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ là x1 = −1, x2 = 1, x3 = 4 nên phương trình f ' ( x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt hay phương trình g ' ( x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt là x1 = −1, x2 = 1, x3 = 4 . +) Hơn nữa g ' ( x ) đổi dấu khi đi qua các nghiệm x1 = −1, x2 = 1, x3 = 4 .

Do đó hàm số y = g ( x ) = e

2017 f ( x )+ 2018

+π

2019 f ( x )

có 3 điểm cực trị. Chọn C.

Bình luận: Bài toán khá đẹp về mặt cấu trúc, kiểm tra kỹ năng tính đạo hàm và khả năng đọc đồ thị của học sinh. Lời giải được trình bày theo hướng tự luận, tuy nhiên khi học sinh làm bài Trắc nghiệm thì chủ yếu suy luận logic xoay quanh nghiệm của phương trình f ′ ( x ) = 0 dựa vào hình ảnh đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) .

Có thể tăng độ khó của câu hỏi bằng cách hỏi cụ thể về số điểm cực đại, cực tiểu của hàm số y = f ( x ) . Khi đó học sinh phải thực hiện thêm thao tác là lập bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) . Cụ thể là từ đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) ta có f ′ ( x ) > 0 ⇔ x ∈ ( −1;1) ∪ ( 4; + ∞ ) , điều này dẫn đến g ' ( x ) > 0 ⇔ x ∈ ( −1;1) ∪ ( 4; + ∞ ) ,

ngược lại g ' ( x ) < 0 ⇔ x ∈ ( −∞; − 1) ∪ (1; 4 ) . Ta có bảng biến thiên của hàm số y = g ( x )

−∞

x

0

−1 −

1

+

1 0

−

4 0

+∞

+

−2 Từ đó suy ra hàm số y = g ( x ) có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu.

Ví dụ 7.23.Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ và đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) như hình vẽ bên. Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng?

y

−

2 3

1

2

3

O

4

x y = f '( x) 127

 2



 1



f 2 x +1 A. Hàm số y = e ( ) − 2017 đồng biến trên  − ; 1 và nghịch biến trên [1; 4 ] .  3 

f 2 x +1 B. Hàm số y = e ( ) − 2017 đồng biến trên  − ; 1 và nghịch biến trên [1; 9] .  3  f 2 x +1 C. Hàm số y = e ( ) − 2017 đồng biến trên [ −1; 0] và nghịch biến trên [ 0; 2] .

 5





3

f 2 x +1 D. Hàm số y = e ( ) − 2017 đồng biến trên  − ; 0  và nghịch biến trên 0;  .  6   2

Hướng dẫn. +) Ta thấy đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ là −

2 3

2  x = − 2 3 . Ngoài ra f ′ ( x ) > 0 ⇔ − < x < 1. và 0 nên phương trình f ′ ( x ) = 0 ⇔   3 x =1 f 2 x +1 f 2 x +1 +) Xét hàm số y = g ( x ) = e ( ) − 2017, x ∈ ℝ. Ta có g ' ( x ) = 2 f ' ( 2 x + 1) e ( ) , x ∈ ℝ.

2 5    f ' ( 2 x + 1) = 0 2x +1 = − x=−   ⇔ 3⇔ 6.

Khi đó g ' ( x ) = 0 ⇔  f ( 2 x +1)   =0 e 2 x + 1 = 1 x = 0

2 5 Và g ' ( x ) > 0 ⇔ f ' ( 2 x + 1) > 0 ⇔ − < 2 x + 1 < 1 ⇔ − < x < 0 3 6

+) Ta

lập được bảng

biến số tập số

x

g '( x)

5 2 1 3 −∞ −1 − 6 − 3 − 3 2018 4 3 1 2 2 − + 0 − 1

g ( x)

128

thiên của hàm 9

+∞

y = g ( x ) trên

thực ℝ.

 5





3

Từ đó suy ra hàm số đồng biến trên  − ; 0  và nghịch biến trên 0;  . Chọn D.  6   2

Bình luận: Bài toán với giả thiết quen thuộc khi cho giả thiết là đồ thị đạo hàm của hàm số y = f ( x ) với các thông tin rõ ràng. Tuy nhiên trong các phương án A, B, C, D lại f 2 x +1 bàn về hàm số y = g ( x ) = e ( ) − 2017, x ∈ ℝ. Để giải quyết bài toán cần một sự suy

2  x=−  3 thì ta có kết quả tương tự về hàm luận nhẹ nhàng, chẳng hạn khi f ′ ( x ) = 0 ⇔  x = 1

2 5   2x + 1 = − x=−   3⇔ 6 . Bên cạnh đó học sinh cần chú ý, cẩn số hợp f ' ( 2 x + 1) = 0 ⇔   2 x + 1 = 1 x = 0

trọng khi soi chiếu kết quả thu được với các phương án A, B, C, D để đưa ra kết luận

đúng.

Ví dụ 7.24.(Đề thi thửTHPT Quốc GiaHậu Lộc 2 nămhọc 2017-2018).

Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ và

y

có đồ thị như hình vẽ bên. Xét hàm số y = g ( x ) = f ( f ( x ) ) . Trong các mệnh đề

y = f ( x)

dưới đây có bao nhiêu mệnh đề đúng?

I. Hàm số y = g ( x ) đồng biến trên mỗi

1

O

khoảng ( −∞; 0 ) và ( 2; + ∞ ) .

2

3

II. Hàm số y = g ( x ) có bốn điểm cực trị. g ( x ) = 0.

III. max −1; 1 [

−3

]

IV. Phương trình g ( x ) = 0 có ba nghiệm.

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Hướng dẫn: +) Xét hàm số y = g ( x ) = f ( f ( x ) ) , ta có g ' ( x ) = f ' ( f ( x ) ) f ' ( x ) , ∀x ∈ ℝ.

129

x

 f '( x) = 0 Khi đó g ' ( x ) = 0 ⇔ f ' ( f ( x ) ) f ' ( x ) = 0 ⇔   f ' ( f ( x ) )

(1) ( 2)

+) Ta có đồ thị của hàm số y = f ( x ) có 2 điểm cực trị là x1 = 0, x2 = 2.

Khi đó phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 = 0, x2 = 2.  f ( x) = 0

( 3) . ( 4)

+) Phương trình (2) ⇔ 

 f ( x ) = 2

Ta có đồ thị của hàm số y = f ( x ) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ là x1 = 0, x3 = 3. Khi đó phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt x1 = 0, x3 = 3.

Ngoài ra số nghiệm của phương trình (4) là số giao điểm của đường thẳng y = 2 và đồ thị hàm số y = f ( x ) , do đó phương trình (4) có 1 nghiệm duy nhất x4 = b∈( 3; +∞) .

Tóm lại phương trình g ( x ) = 0 có 4 nghiệm phân biệt là x1 = 0, x2 = 2, x3 = 3, x4 = b.

Từ đây ta có

được bảng biến

thiến của

x

y = g ( x)

g '( x)

ℝ.

−∞

0

2

1

0

−∞

+

+

b

−

g ( 2)

+∞

hàm số trên tập số thực

1 − 0 + +∞

g ( 3)

g ( 0)

g ( x)

3

g ( b)

+) Từ bảng biến thiên ta có hàm số y = g ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 3; b) nên hàm số y = g ( x ) không đồng biến trên khoảng ( 2; +∞) . Do đó mệnh đề I là sai. Hàm số y = g ( x ) có 4 cực tri, do đó mệnh đề II đúng. Giá trị lớn nhất của hàm số y = g ( x )

trên đoạn [ −1; 1] là g ( 0 ) = f ( f ( 0 ) ) = f ( 0 ) = 0 do đó mệnh đề III đúng. Ngoài ra 130

g ( 3) = f ( f ( 3) ) = f ( 0) = 0 và lim g ( x ) = +∞ nên đồ thị hàm số y = g ( x ) cắt trục x →+∞

hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ là x1 = 0, x3 = 3, x5 = c > b. Do đó phương trình g ( x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt hay mệnh đề IV đúng. Vậy có 3 mệnh đề đúng. Chọn

D Bình luận: Bài toán nhằm kiểm tra các kỹ năng cơ bản của học sinh về hàm số hơp, chẳng hạn như kỹ năng tính đạo hàm, kỹ năng giải phương trình đạo hàm, kỹ năng xét dấu đạo hàm để đưa ra bảng biến thiên của hàm số y = g ( x ) = f ( f ( x ) ) . Các mệnh đề trong bài toán có nội dung khác nhau nhưng cách kiểm tra tính đúng sai hoàn toàn dựa vào kết quả của bảng biến thiên thu được. Bên cạnh đó học sinh cần phân biệt

y = g ( x ) = f ( f ( x ) ) và

được sự khác nhau của hai loại hàm số hợp là 2

y = h ( x ) = ( f ( x ) ) . Các hàm số này có tần xuất suất hiện khá lớn trong các đề thi thử THPT Quốc gia.

Ví dụ 7.25.(Đề thi thửTHPT Quốc GiaHậu Lộc Thanh Hóa năm học 2017-2018).

Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục

y

trên ℝ . Hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

a

O

x

b

m để hàm số y = g ( x ) = f 2 ( x ) + f ( x ) + m có

đúng

ba

điểm

cực

trị,

biết

y = f '( x)

rằng

f ( b ) = 0, lim f ( x ) = +∞ , lim f ( x ) = −∞. x →+∞

1 4

A. m < .

x →−∞

B. m > 0.

C. m ≤ 0.

Hướng dẫn:

+) Xét hàm số y = g ( x ) = f 2 ( x ) + f ( x ) + m trên tập số thực ℝ , ta có g ' ( x ) = 2 f ( x ) f ' ( x ) + f ' ( x ) = f ' ( x ) ( 2 f ( x ) + 1) , x ∈ ℝ.  f '( x ) = 0 Ta có g ' ( x ) = 0 ⇔ f ' ( x ) ( 2 f ( x ) + 1) = 0 ⇔   f ( x) = − 1  2 131

(1) ( 2)

1 4

D. m ≥ .

+) Từ đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) , ta có phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt Ngoài ra, ta lập

x = a, x = b.

bảng

biến

số y = f ( x )

x

−∞ c

f '( x

a 0

+

+∞

b −

+

0

như sau:

+∞

f ( a)

f (x

thiên của hàm

f ( b)

−∞ y=−

1 2

+) Từ bảng biến thiên, kết hợp giả thiết f ( b ) = 0 ta có đường thẳng y = −

1 cắt đồ thị 2

hàm số y = f ( x ) tại 1 điểm duy nhất có hoành độ x = c hay phương trình f ( x ) = − x = a  có đúng 1 nghiệm duy nhất x = c . Tóm lại phương trình g ' ( x ) = 0 ⇔  x = b .  x = c

Ta có bảng biến thiên của hàm số y = g ( x ) = f 2 ( x ) + f ( x ) + m như sau: x

+

g '( x g ( x)

c

−

0

+∞

f ( b)

+

0 g ( a)

−

b 0

+∞ +

−∞ g ( b)

g (c )

+) Để hàm số y = f 2 ( x ) + f ( x ) + m có đúng ba điểm cực trị thì điều kiện là 2 m ≥ 0  g ( b ) ≥ 0 1  f ( b ) + f ( b ) + m ≥ 0  ⇔ 2 ⇔ 1 1 ⇔m≥ .  4  g ( c ) ≥ 0  f ( c ) + f ( c ) + m ≥ 0  4 − 2 + m ≥ 0

Vậy với m ≥

1 thì hàm số y = f 2 ( x ) + f ( x ) + m có đúng ba điểm cực trị.

4

2 Cách 2: Ta có y = f ( x ) + f ( x ) + m =

( f ( x ) + f ( x ) + m ). Khi đó 2

132

1 2

 f 2 ( x ) + f ( x ) + m   2 f ( x ) f ' ( x ) + f ' ( x )  f ' ( x )  f 2 ( x ) + f ( x ) + m   2 f ( x ) + 1 g '( x ) = = .

2 2 2 2 2  f ( x ) + f ( x ) + m  2  f ( x ) + f ( x ) + m 

 f '( x ) = 0  1  f ' ( x )  f ( x ) + f ( x ) + m   2 f ( x ) + 1 = 0 g '( x ) = 0 ⇔  ⇔  f ( x) = − 2  2  f ( x ) + f ( x ) + m ≠ 0  2  f ( x) + f ( x) + m = 0

(1)

2

( 2) ( 3)

+)Từ đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) , ta có phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x = a, x = b. Ngoài ra theo trên phương trình (2) có 1 nghiệm duy nhất x = c. Khi đó

hàm số đã cho có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (3) vô nghiệm hoặc có 1 1 1 nghiệm kép f ( x ) = − , tức là ∆ ≤ 0 ⇔ 1 − 4m ≤ 0 ⇔ m ≥ . Thử lại với m = thì 2 4 4 2

phương trình (3) trở thành

1 1   f ( x ) +  = 0 ⇔ f ( x ) = − (thỏa mãn). Đáp số 2 2 

1 m≥ .

4

Bình luận: Đây là một bài toán rất hay, đẹp cả về hình thức, cấu trúc đề bài lẫn nội dung lời giải. Để giải quyết được bài toán này đòi hỏi học sinh cần có một kiến thức sâu rộng, với những trải nghiệm nhất định. Bài toán thể hiện mối tương quan mật thiết giữa bảng biến thiên và đồ thị, giữa yếu tố cực trị của hàm số và sự tương giao giữa đường thẳng và đồ thị. Bên cạnh đó là khả năng kiểm soát, khả năng biện luận, thâu tóm các trường hợp xảy ra với phương trình có chứa tham số m.

6. Dạng 6: Cho hàm số y = f ( x) , kiểm tra các đồ thị ( C1 ) , ( C2 ) , ( C3 ) cho trước theo

thứ

tự

là

đồ

thị

của

các

hàm

số

nào

sau

đây:

y = f ( x ) , y = f ' ( x ) , y = f '' ( x ) .

Ví dụ 7.26.Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp một f ' ( x ) và đạo hàm cấp hai f '' ( x ) trên tập số thực ℝ. Biết đồ thị của các hàm số y = f ( x ) , y = f ' ( x ) , y = f '' ( x ) là một trong các đường cong ( C1 ) , ( C2 ) , ( C3 ) ở hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị của các hàm số y = f ( x ) , y = f ' ( x) , y = f '' ( x) lần lượt theo thứ tự nào sau đây?

133

( C1 ) ( C2 )

( C3 )

A. ( C2 ) , ( C1 ) , ( C3 ) .

B. ( C1 ) , ( C2 ) , ( C3 ) .

A2

a1

b2

B5

a2 b3 a

( C1 ) ( C2 )

B7

b5 a5

a6

b6

B4

B2 A1

a4

b4

D. ( C3 ) , ( C1 ) , ( C2 ) .

A6

A4 B3

B1 b1

C. ( C3 ) , ( C2 ) , ( C1 ) .

b7 a7

b8

B6

A3

A5

Hướng dẫn:

134

( C3 ) B8

A7

+) Xét mối quan hệ giữa hai đồ thị ( C1 ) , ( C2 ) . Gọi A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 , A7 là các điểm cực trị của đồ thị ( C2 ) . Ta thấy đồ thị ( C1 ) cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ lần lượt trùng với hoành độ các điểm A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 , A7 . Hơn nữa, khoảng nào trên trục hoành mà đồ thị ( C1 ) nằm trên trục hoành thì trên khoảng đó đồ thị ( C2 ) đồng biến và ngược lại khoảng nào trên trục hoành mà đồ thị ( C1 ) nằm dưới trục hoành thì trên khoảng đó đồ thị ( C2 ) nghịch biến. Từ đó ta khẳng định đồ thị ( C1 ) là đồ thị của hàm số được sinh ra bởi đạo hàm của hàm số mà có đồ thị là ( C2 ) . +) Xét mối quan hệ giữa hai đồ thị ( C2 ) , ( C3 ) . Gọi B1 , B2 , B3 , B4 , B5 , B6 , B7 , B8 là các

điểm cực trị của đồ thị ( C3 ) . Ta thấy đồ thị ( C2 ) cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ lần lượt trùng với hoành độ các điểm B1 , B2 , B3 , B4 , B5 , B6 , B7 , B8 . Hơn nữa, khoảng nào trên trục hoành mà đồ thị ( C2 ) nằm trên trục hoành thì trên khoảng đó đồ thị ( C3 )

đồng biến và ngược lại khoảng nào trên trục hoành mà đồ thị ( C2 ) nằm dưới trục hoành thì trên khoảng đó đồ thị ( C3 ) nghịch biến. Từ đó ta khẳng định đồ thị ( C2 ) là đồ thị của hàm số được sinh ra bởi đạo hàm của hàm số mà có đồ thị là ( C3 ) . +) Ta có thể tổng kết những nhận định trên qua 2 bảng biến thiên sau đây: x

( C1 )

f '' ( x )

( C2 )

f '( x )

−∞

a2

a1 −

0

0 − 0

+

( C2 )

f '( x )

0

+

a

a5 −

0

+

A4

−∞

b1 b2 b3 + 0 − 0 + 0 −

0

−

b5

b4

B3

0

+

0

−

b6

b7

b8

0

+ 0

− 0

B5

B7

f ( x) B2

B4 135

+

A7

A5

0

+∞

a7

A6

A3

B1

( C3 )

a4

A2

A1 x

a3

B6

B8

+∞ +

Khi đó có thể khẳng định đồ thị của các hàm số y = f ( x ) , y = f ' ( x ) , y = f '' ( x ) lần lượt theo thứ tự là ( C3 ) , ( C2 ) , ( C1 ) . Chọn B.

Bình luận: Cơ sở lí thuyết của bài toán xoay quanh mối quan hệ của hai hàm số

y = f ( x) và y = f ' ( x) . Gọi ( C1 ) , ( C2 ) lần lượt là đồ thị của các hàm số y = f ( x) và y = f ' ( x) . Khi đó ta có một số kết quả sau đây. +) Kết quả 1: Đồ thị ( C2 ) cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ trùng với hoành độ của các điểm cực trị của đồ thị ( C1 ) . +) Kết quả 2: Đồ thị ( C2 ) nằm trên trục hoành ở miền nào (đạo hàm f ' ( x) dương) thì trên miền đó đồ thị của ( C1 ) đi lên (hàm số f ( x) đồng biến). Ngược lại đồ thị ( C2 ) nằm dưới trục hoành ở miền nào (đạo hàm f ' ( x) âm) thì trên miền đó đồ thị của ( C1 ) đi xuống (hàm số f ( x) nghịch biến).

136

Chủ đề 8. TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ ẨN A. KIẾN THỨC CƠ SỞ.

1. Cho hai hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) thỏa mãn f ( x ) = g ( x ) , ∀x ∈ ( a; b ) thì trên khoảng ( a; b ) ta có

∫ f ( x )dx = ∫ g ( x )dx (1) .

2. Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên đoạn [ a; b ] và hình phẳng ( H ) được giới hạn bởi các đường y = f ( x ) , y = 0, x = a, x = b. Khi đó công thức tính diện tích b

của hình phẳng ( H ) là S = ∫ f ( x ) dx ( 2 ) . a

a. Nếu f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ a; b ] hay đồ thị của hàm số y = f ( x ) nằm hoàn toàn trên trục b

hoành trên đoạn [ a; b ] thì S = ∫ f ( x )dx. a

b. Nếu f ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ [ a; b ] hay đồ thị của hàm số y = f ( x ) nằm hoàn toàn dưới b

trục hoành trên đoạn [ a; b ] thì S = − ∫ f ( x )dx. a

c. Gọi

S1 , S2 , S3 , S4

l ần

lượt

là

diện

tích

củ a

các

( H1 ) , ( H 2 ) , ( H 3 ) , ( H 4 ) , ( H1 ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( x) , y = 0, x = −2, x = 0 ( H 2 ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( x) , y = 0, x = 0, x = 2

( H 3 ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( x) , y = 0, x = 2, x = 5

( H4 )

là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( x) , y = 0, x = 5, x = 6

S3 y = f ( x)

S1

S2 137

S4

hình

phẳng

0

Khi đó S1 =

∫ f ( x ) dx, S

2

2

5

6

0

2

5

= −∫ f ( x ) dx, S3 = ∫ f ( x ) dx, S4 = −∫ f ( x ) dx.

−2

3. Cho hai hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) xác định và liên tục trên đoạn [ a; b ] và hình phẳng ( H ) được giới hạn bởi các đường y = f ( x ) , y = g ( x ) , x = a, x = b. Khi đó b

công thức tính diện tích của hình phẳng ( H ) là S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx ( 3) . a

a. Nếu f ( x ) ≥ g ( x ) , ∀x ∈ [ a; b ] hay đồ thị của hàm số y = f ( x ) nằm hoàn toàn b

trên đồ thị của hàm số y = g ( x ) trên đoạn [ a; b] thì S = ∫  f ( x ) − g ( x ) dx. a

b. Nếu f ( x ) ≤ g ( x ) , ∀x ∈ [ a; b ] hay đồ thị của hàm số y = f ( x ) nằm hoàn toàn b

dưới đồ thị của hàm số y = g ( x ) trên đoạn [ a; b ] thì S = ∫  g ( x ) − f ( x ) dx. a

c. Gọi ( H1 ) là hình phẳng giới hạn bới các đường

y = f ( x) , y = g ( x) = x +1, x = −3, x = 1 và ( H2 )

y' S1

4

là hình phẳng giới hạn bới các đường

y = f ( x) , y = g ( x) = x +1, x = −3, x = 1. Gọi S1 và S2 lần lượt là diện tích của các hình phẳng

( H1 )

và

( H2 ) .

Quan sát hình vẽ ta thấy

1

S1 = ∫  f ( x) − ( x +1) dx

và

−3 3

S2 = ∫ ( x + 1) − f ( x ) dx 1

138

y = f ( x)

y = x +1

2 −3

S2

O 1 −2

3

x

B. MỘT SỐ VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH. Ví dụ 8.1.(Đề thi thửTHPT Quốc GiaChuyên Hà Tĩnh năm học 2017-2018)Cho

1 hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên ℝ thỏa mãn f ( 0 ) = , f ( x ) > 0, ∀x ∈ ℝ và 2 f ' ( x ) = −e x . f 2 ( x ) , ∀x ∈ ℝ. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại

điểm có hoành độ bằng ln 2.

A. 2 x + 9 y − 2ln 2 − 3 = 0. B. 2 x + 9 y − 2ln 2 + 3 = 0.

C. 2 x − 9 y + 2ln 2 − 3 = 0. D. 2 x + 9 y + 2ln 2 − 3 = 0.

Hướng dẫn: +) Từ giả thiết f ' ( x ) = −e x . f 2 ( x ) , ∀x ∈ ℝ. Ta có Suy ra +)

∫

− f '( x ) df ( x ) 1 dx = ∫ e x dx ⇔ ∫ − 2 = ∫ e x dx ⇔ = e x + C. 2 f ( x) f ( x) f ( x)

Theo

f '( x) =

− f '( x ) = e x , ∀x ∈ ℝ 2 f ( x)

giả

−e x

( ex + 1)

2

f ( 0) =

thiết

1 ⇒ C = 1.

2

Khi

đó

f ( x) =

1 e +1 x

, ∀x ∈ ℝ.

−eln 2 2 1 =− . = và f ' ( ln 2) = Khi x = ln 2 ⇒ f ( ln 2 ) = ln 2 2 e +1 3 ( eln 2 +1) 9

1

+) Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ ln 2 là 139

và

∆ : y = f ' ( ln 2)( x − ln 2) + f ( ln 2) = −

2 1 ( x − ln 2) + hay 2 x + 9 y − 2ln 2 − 3 = 0.

9 3

Bình luận: Bài toán mang một phong cách, thần thái khác biệt so với bài toán trước khi mà giả thiết cho đẳng thức thể hiện mối quan hệ giữa 2 biểu thức f ( x ) và f ' ( x ) . Cụ thể là

f ' ( x ) = −e x . f 2 ( x ) , ∀x ∈ ℝ, dựa vào thông tin này bằng k ỹ thuật cô lập

− f '( x ) = e x , ∀x ∈ ℝ để lấy nguyên hàm, tích phân 2 vế chúng ta sẽ chiết xuất ra được 2 f ( x) hàm số y = f ( x ) và viết được phương trình tiếp tuyến. Chúng ta có thể tạo ra một lớp bài toán như này theo các cấp độ khác nhau, tuy nhiên kỹ thuật chính là dựa trên nguyên hàm, tích phân nằm ở Chương sau nên ở đây tác giả không đào sâu dạng toán này. y = f ( x ) có đạo hàm

Ví dụ 8.2.Cho hàm số 3 f ' ( x ) .e

f 3 ( x ) − x 2 −1

−

trên

ℝ

và

thỏa mãn

2x = 0, ∀x ∈ ℝ và f ( 0 ) = 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để f ( x) 2

3

phương trình ( f ( x ) ) = log 2018 m có 2 nghiệm thực phân biệt.

A. m > 2018.

B. m > 0. C. 0 < m < 2018. D. 2000 < m < 2030.

Hướng dẫn:

f +) Biến đổi giả thiết 3 f ' ( x ) .e

3 f 2 ( x ) f ' ( x ) .e ⇔ ∫e

f 3 ( x)

f 3 ( x)

3

( x ) − x2 −1

−

2x = 0, ∀x ∈ ℝ về dạng f ( x) 2

2

= 2 xe x +1 , ∀x ∈ ℝ. Khi đó 2

df 3 ( x ) = ∫ e x +1d ( x 2 + 1) ⇔ e

f 3 ( x)

= ex

f 2 ∫ 3 f ( x ) f ' ( x ) .e 2

+1

3

( x)

2

dx = ∫ 2 xe x +1dx

+C.

+) Theo giả thiết f ( 0 ) = 1 nên tìm được C = 0. Khi đó e

f 3 ( x)

2

= ex +1 ⇔ f 3 ( x ) = x2 +1.

3

+) Khi đó phương trình ( f ( x ) ) = log 2018 m ⇔ x 2 + 1 = log 2018 m ⇔ x 2 = log 2018 m − 1 (1) .

Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ log 2018 m − 1 > 0 ⇔ log 2018 m > 1 ⇔ m > 2018.

Bình luận: Bài toán chủ yếu xoay quanh việc truy tìm hàm số y = f ( x ) . Với giả thiết của bài toán rất khó để khai thác, tìm ra hướng giải. Bài toán đề cao khả năng quan sát

140

với việc biến đổi khéo léo giả thiết cộng thêm khả năng vận dụng hợp lí kỹ thuật lấy nguyên hàm 2 vế là chìa khóa giải quyết thành công bài toán này

Ví dụ 8.3.Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; 4] và đồng biến trên 2 3 đoạn [1; 4] đồng thời thỏa mãn 1 + 2 xf ( x ) = ( f ' ( x ) ) , ∀x ∈ [1; 4]. Biết rằng f (1) = , 2

Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên đoạn

[1; 4] .

Tính S = M + m.

A. S =

203 205 206 208 . B. S = . C. S = . D. S = .

9 9 9 9

Hướng dẫn: 2

+) Ta có giả thiết x + 2xf ( x ) =  f ' ( x )  , ∀x ∈[1; 4] ⇔ x (1 + 2 f ( x ) ) = f ' ( x ) , ∀x ∈[1; 4].

Mặt khác hàm số y = f ( x ) đồng biến trên đoạn [1; 4] nên ta có f ' ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [1; 4] Khi đó f ' ( x ) = f ' ( x ) , ∀x ∈ [1; 4] và

+) Khi đó

∫

f ' ( x ) dx 1+ 2 f ( x)

Theo giả thiết f (1) = ⇔ 2 f ( x) +1 =

= ∫ xdx ⇔

x (1 + 2 f ( x) ) = f ' ( x) ⇔

f ' ( x) 1 + 2 f ( x)

= x , ∀x ∈[1; 4].

1 d (1 + 2 f ( x ) ) 2 = xdx ⇔ 1 + 2 f x = x x +C ( ) ∫ 2 ∫ 1+ 2 f ( x) 3

3 4 ⇒ C = . Khi đó 2 3

1+ 2 f ( x) =

2 4 x x + , ∀x ∈ [1; 4] .

3 3

4 x 3 + 16 x x + 16 4 x 3 + 16 x x + 1 , ∀x ∈ [1; 4 ]. ⇔ f ( x) = 9 18

+) Theo giả thiết hàm số y = f ( x ) đồng biến trên đoạn [1; 4] nên 7 385 203 m = min f ( x ) = f (1) = , M = max f ( x ) = f ( 4 ) = . Khi đó M + m = . Chọn A. 6 18 9 [1; 4] [1; 4]

Bình luận: Bài toán vẫn nằm trong mô hình ” Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ẩn”. Bản chất của bài toán xoay quanh việc truy tìm hàm số y = f ( x ) mà chúng ta chưa biết. Bài toán đã sử dụng kỹ thuật lấy nguyên hàm 2 vế. Tư tưởng kĩ thuật này còn khá mới mẻ với đại đa số học sinh.

Ví dụ 8.4.(Đề thi thửLương Thế Vinh Hà Nội lần 2 nămhọc 2017-2018) 141

Cho hàm số

y = f ( x)

có đạo hàm

f ' ( x ) ≥ 3 x 2 + 2 x − 5, ∀x ∈ [1; + ∞ ) .

trên

[1; + ∞ )

f (1) = 1 và

thỏa mãn

Tìm số nguyên dương m lớn nhất sao cho

min f ( x ) ≥ m, với mọi hàm số y = f ( x ) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

[3; 10]

A. m = 15. B. m = 20. C. m = 25. D. m = 30.

Hướng dẫn: +) Xét hàm số y = g ( x ) = 3 x 2 + 2 x − 5 trên [1; + ∞ ) . Ta có g ' ( x ) = 6 x + 2 > 0, ∀x ≥ 1.

Khi đó hàm số y = g ( x ) đồng biến trên [1; + ∞ ) , suy ra min g ( x ) = g (1) = 0. x∈[1; +∞ )

2 +) Theo giả thiết f ' ( x ) ≥ 3x + 2 x − 5, ∀x ∈ [1; + ∞ ) . Khi đó f ' ( x ) ≥ 0, ∀x ≥ 1.

Vậy hàm số y = f ( x ) đồng biến trên [1; + ∞ ) , suy ra min f ( x ) = f ( 3) . x∈[3; 10]

Khi đó, ta cần tìm số nguyên dương m lớn nhất sao cho m ≤ f ( 3) với mọi hàm số y = f ( x ) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

3

+) Mặt khác f ' ( x ) ≥ 3 x 2 + 2 x − 5, ∀x ≥ 1 nên ta có

∫

3

f ' ( x )dx ≥ ∫ ( 3 x 2 + 2 x − 5 )dx

1

1

Hay f ( 3 ) − f (1) ≥ 24 ⇔ f ( 3 ) ≥ 25. Do đó m ≤ 25. Chọn C.

Bình luận: Để giải quyết được bài toán này học sinh phải có tư duy rất tốt, có sự suy luận logic. Hàm số y = f ( x ) trong giả thiết cũng ở dạng ẩn tàng, có nhiều hàm số thỏa mãn yêu cầu đề bài. Nút thắt của bài toán ở chỗ học sinh phải kết hợp nhuần nhuyễn các phương pháp, đặc biệt phương pháp tích phân hỗ trợ tích cực trong bài toán này.

Ví dụ 8.5.(Đề thi thửĐại Học Khoa Học Huế lần 2 năm học 2016-2017).

Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) liên tục

y 3

trên ℝ và đồ thị của hàm số f ′ ( x ) trên đoạn [ −2;6]

2

như hình vẽ bên. Hỏi mệnh đề nào sau đây là đúng ?

1 A. max f ( x ) = f ( −2 ) . x∈[ −2;6 ]

B. max f ( x ) = f ( 2 ) . x∈[ −2;6]

−2

142

2 O

−1 C. max f ( x ) = f ( 6 ) D. max f ( x ) = f ( −1) . x∈[ −2;6] x∈[ −2;6]

y = f '( x )

4

6x

Hướng dẫn: +) Nhận thấy trên đoạn [ −2; 6] đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) cắt trục hoành tại hai

điểm phân biệt có hoành độ là x1 ∈ ( −2; 0 ) và x2 = 2. Khi đó phương trình f ' ( x ) = 0 có

2

nghiệm

phân

biệt

là

x1 ∈ ( −2; 0 )

x2 = 2. Hơn

và

nữ a

f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ [ −2; x1 ) ∪ ( 2; 6 ) và f ' ( x ) < 0, ∀x ∈ ( x1 ; 2 ) . Ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) trên [ −2; 6] .

−∞

x

−2

f '( x)

x1 +

0

−

0

+

f (6

f ( x1 )

f ( x)

+∞

6

2

f (2

f ( −2 )

+) Hơn nữa, gọi S1 , S2 lần lượt là diện tích của các hình phẳng ( H1 ) , ( H 2 ) trong đó

( H1 ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = f ' ( x ) , y = 0, x = x1 , x = 2.

( H 2 ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ' ( x ) , y = 0, x = 2, x = 6.

2

6

x1

2

y

Ta có S1 < S 2 ⇔ ∫ − f ' ( x )dx < ∫ f ' ( x )dx

3 2

⇔ f ( x1 ) − f ( 2 ) < f ( 6 ) − f ( 2 ) ⇔ f ( x1 ) < f ( 6 ) .

Từ đây kết hợp với kết quả thu được từ bảng

1 −2 x1

S2

2 4

O

−1

biến thiên ta có max f ( x ) = f ( 6 ) . Chọn C. x∈[ −2;6]

y = f '( x )

6 x

S1

Bình luận: Bài toán khai thác triệt để cấu trúc đặc biệt của đồ thị hàm số y = f ' ( x ) Cụ thể là các giao điểm sinh ra từ đồ thị và trục hoành, các hình phẳng được giới hạn bởi

đồ thị và trục hoành. Bài toán được giải quyết trọn vẹn nhờ sử dụng tổng lực hai 143

phương pháp, đó là phương pháp lập bảng biến thiên và phương pháp khai thác ứng dụng của tích phân. Ý tưởng này cũng được sử dụng trong kì thi THPT Quốc gia năm 2016-2017.

Ví dụ 8.6.(Đề thi thửTHPT Quốc GiaSở Thanh Hóa nămhọc 2017-2018).

Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ' ( x ) có

đồ

thị như hình

vẽ bên.

y = f '( x )

Đặt

f '( x)

M = max f ( x), m = min f ( x), T = M + m. Hỏi [ −2; 6]

1

[ −2; 6]

mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. T = f ( 0 ) + f ( 2 ) . B. T = f ( 5 ) + f ( −2 ) .

C. T = f ( 5 ) + f ( 6 ) . D. T = f ( 0 ) + f ( −2 ) .

Hướng dẫn: +) Nhận xét: Đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) cắt trục hoành tại 5 điểm phân biệt có hoành

độ lần lượt là −2; 0; 2; 5; 6 nên phương trình f ' ( x ) = 0 có 5 nghiệm phân biệt là x1 = −2; x2 = 0; x3 = 2; x4 = 5; x5 = 6. Hơn nữa f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ( −2; 0 ) ∪ ( 2; 5 ) và ngược

lại f ' ( x ) < 0, ∀x ∈ ( 0; 2 ) ∪ ( 5; 6 ) . Ta lập bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) . x

f '( x)

−∞

0

−2 0

+

0 − f (0)

2

5

0 +

0

−2

+∞

− 0

f (5)

f ( x) f ( −2 )

f ( 2)

f (6)

+) Gọi S1 , S2 , S3 , S4 lần lượt là diện tích của các hình phẳng ( H1 ) , ( H 2 ) , ( H 3 ) , ( H 4 ) ,

( H1 ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = f ' ( x ) , y = 0, x = −2, x = 0.

( H 2 ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = f ' ( x ) , y = 0, x = 0, x = 2.

( H 3 ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = f ' ( x ) , y = 0, x = 2, x = 5.

144

( H 4 ) là

phẳng giới hạn

hình

y = f '( x) , y = 0, x = 5, x = 6

bởi các đường

S3 S1

S3

S4

S2

0

2

−2

0

Ta có S1 > S2 ⇔ ∫ f ' ( x )dx > ∫ − f ' ( x )dx ⇔ f ( 0) − f ( −2) > f ( 0) − f ( 2) ⇔ f ( −2) < f ( 2) (1) .

2

5

0

2

Ta có S2 < S3 ⇔ ∫ − f ' ( x )dx < ∫ f ' ( x )dx ⇔ f ( 0) − f ( 2) < f ( 5) − f ( 2) ⇔ f ( 0) < f ( 5) ( 2) .

5

6

2

5

Ta có S3 > S4 ⇔ ∫ f ' ( x )dx > ∫ − f ' ( x )dx ⇔ f ( 5) − f ( 2) > f ( 5) − f ( 6) ⇔ f ( 2) < f ( 6) ( 3) . +)

Từ

bảng

biến

thiên

và

(1) , ( 2 ) , ( 3) ta

có

M = max f ( x ) = f ( 5) , m = min f ( x ) = f ( −2 ) và T = M + m = f ( 5 ) + f ( −2 ) . Chọn B. [ −2; 6]

[ −2; 6]

Bình luận: Bài toán tiếp tục đưa học sinh vào tình huống khó khăn khi mà trải qua công đoạn lập bảng biến thiên của hàm số vẫn chưa tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên đoạn [ −2;6]. Một biện pháp cực mạnh tỏ ra phát huy tác dụng, khắc phục được nhược điểm này là phương pháp tích phân mà cụ thể là

đi so sánh diện tích của các hình phẳng sinh ra bởi đồ thị của y = f ' ( x ) và trục hoành.

Ví dụ 8.7.(Đề thi chính thức THPT Quốc Gia nămhọc 2016-2017).

145

Cho hàm số y = f ( x) . Đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) như

y' 4

2

hình bên. Đặt g ( x ) = 2 f ( x ) − ( x + 1) . Mệnh đề nào dưới

đây đúng?.

2

y = f '( x)

O 1 −2

3

−3

A. g ( −3) > g ( 3) > g (1) . B. g (1) > g ( −3) > g ( 3) .

x

C. g ( 3) > g ( −3) > g (1) . D. g (1) > g ( 3) > g ( −3) .

Hướng dẫn: 2

+) Xét hàm số g ( x ) = 2 f ( x ) − ( x + 1) xác định và

y ' y = f '( x)

liên tục trên ℝ. Có g '( x) = 2 f '( x) − 2( x + 1), ∀x ∈ ℝ.

S1

4

Khi đó g ' ( x ) = 0 ⇔ f '( x) = x + 1 (1) .

y = x +1

2 −3

+) Từ đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) ta vẽ thêm

S2

O 1 −2

đường thẳng y = x + 1 . Quan sát đồ thị ta thấy đường thẳng y = x + 1 cắt đồ thị hàm số y = f ' ( x )

3

x

tại ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1 = −3; x2 = 1; x3 = 3 hay phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt x1 = −3; x2 = 1; x3 = 3 +) Ngoài ra, xét trên khoảng ( −3; 1) thì đồ thị hàm số y = f ' ( x ) nằm phía trên đường thẳng y = x + 1 hay f ' ( x ) > x + 1, ∀x ∈ ( −3; 1) . Khi đó g ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ( −3; 1) .

Ngược lại, xét trên khoảng (1; 3) thì đồ thị hàm số y = f ' ( x ) nằm phía dưới đường thẳng y = x + 1 hay f ' ( x ) < x + 1, ∀x ∈ (1; 3) . Khi đó g ' ( x ) < 0, ∀x ∈ (1; 3) .

Khi

đó ta lập x

c ủa

g '( x)

−∞

−3 0

3

1 +

0

−

0

g (1)

146

được bảng biến thiên hàm số y = g ( x)

g( x) g ( −3)

+∞

g ( 3)

trên đoạn [ −3; 3] như sau:

+) Gọi ( H1 ) là hình phẳng giới hạn bới các đường y = f ' ( x) , y = x +1, x = −3, x = 1 và ( H2 ) là hình phẳng giới hạn bới các đường y = f ' ( x) , y = x +1, x = −3, x = 1.

Gọi S1 và S 2 lần lượt là diện tích của các hình phẳng ( H1 ) và ( H2 ) .

Quan sát hình vẽ ta thấy S1 > S 2 ⇔

1

3

−3

1

∫  f ' ( x ) − ( x + 1) dx > ∫ ( x + 1) − f ' ( x )dx

1

3

1

3

−3

1

−3

1

⇔ ∫ 2  f ' ( x ) − ( x + 1) dx > ∫ 2 ( x + 1) − f ' ( x ) dx hay ∫ g ' ( x )dx > ∫ − g ' ( x )dx 1

3

−3

1

⇔ g ( x)| > −g ( x)| ⇔ g (1) − g ( −3) > g (1) − g ( 3) ⇔ g ( 3) > g ( −3) .

Từ đây kết hợp với bảng biến thiên, ta được g (1) > g ( 3) > g ( −3) . Chọn D.

Bình luận: Bài toán được đánh giá là hay và khó nhất đề thi THPT Quốc Giá năm học 2016-2017. Xét tại thời điểm ấy, bài toán xuất hiện với hình thời mới lạ cùng với lời giải đẹp. Bởi lẽ thông thường để giải quyết bài toán như thế học sinh thường sử dụng bảng biến thiên để xem xét. Tuy nhiên ở bài toán này chừng ấy là chưa đủ, phải kết hợp với việc đi so sánh diện tích của các hình phẳng sinh ra bởi đồ thị của hàm số y = f '( x) và đường thẳng y = x +1. Qua đây thấy được mối quan hệ mật thiết giữa hai Chương của Giải tích lớp 12, đó là Chương: Hàm số và các bài toán liên quan và Chương: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng. Bài toán mang tính chất khai tâm và người giải toán cảm thấy có hứng thú với sự đa dạng, phong phú của hình thức thi Trắc nghiệm.

147

Ví dụ 8.8. (Đề thi thử THPT Quốc Gia Hàm Rồng năm học 2017-2018).

Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên ℝ.

y

Biết hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lần

O

a

lượt là a, b, c, d như hình vẽ bên. Trong

b

c

d

x

y = f '( x )

các mệnh đề sau có bao nhiêu mệnh đề

đúng?

1. Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −∞; a ) .

2. Hàm số y = g (1 − 2 x ) đạt cực tiểu tại x =

1− b .

2

3. max f ( x ) = f ( c ) ; min f ( x ) = f ( d ) . [a; d ]

[a; d ]

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Hướng dẫn: +) Ta có đồ thị hàm số y = f ' ( x ) cắt trục hoành tại 4 điểm có hoành độ lần lượt là x1 = a, x2 = b, x3 = c, x4 = d . Khi đó phương trình f ' ( x ) = 0 có 4 nghiệm phân biệt là x1 = a, x2 = b, x3 = c, x4 = d . Ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) như sau:

x

f '( x) f ( x)

a

−∞

+

1

c

b 0

−

+

d

+∞

1 − 0 + f ( c)

f ( a) f ( b)

f (d )

+) Từ bảng biến thiên, ta có y = f ( x ) đồng biến trên ( −∞; a ) nên mệnh đề 1 là sai. +) Hơn nữa, gọi S1 , S2 , S3 lần lượt là diện tích của các hình phẳng ( H1 ) , ( H 2 ) , ( H 3 ) trong đó ( H1 ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ' ( x ) , y = 0, x = a, x = b.

( H 2 ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = f ' ( x ) , y = 0, x = b, x = c

148

( H 3 ) là hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = f ' ( x ) , y = 0, x = c, x = d

y S2

O

a

c

b S1

x

d

y = f '( x )

S3 b

c

a

b

Ta có S1 < S2 ⇔ ∫ − f ' ( x )dx < ∫ f ' ( x )dx ⇔ f ( a ) − f ( b ) < f ( c ) − f ( b ) ⇔ f ( a ) < f ( c ) c

d

b

c

và S2 < S3 ⇔ ∫ f ' ( x )dx < ∫ − f ' ( x )dx ⇔ f ( c ) − f ( b) < f ( c ) − f ( d ) ⇔ f ( d ) < f ( b) Từ đây kết hợp với bảng biến thiên ta có max f ( x ) = f ( c ) ; min f ( x ) = f ( d ) . [a; d ]

[a; d ]

+) Ta xét hàm y = h ( x ) = g (1 − 2 x ) , có h ' ( x ) = g ' (1 − 2 x )(1 − 2 x ) ' = −2 g ' (1 − 2 x ) , x ∈ ℝ.

1 − 2 x = a 1 − 2 x = b  = ⇔ − = ⇔ h ' x 0 g ' 1 2 x 0 ( ) Khi đó ( ) 1 − 2 x = c  1 − 2 x = d

 1− a x = 2  x = 1− b  2 ⇔ x = 1− c 2   1− d x =  2

Từ đây ta biến

l ập

thiên x

h '( x)

1− b 1− a 1− c +∞ 2 2 2 1 + 0 − 1 + 0

1− d 2

−∞ −

h ( x) 149

c ủa

được hàm

bảng số

y = h ( x ) = g (1 − 2 x ) như sau:

−

+) Từ bảng biên thiên ta có hàm số y = g (1 − 2 x ) đạt cực tiểu tại x =

1− b .

2

Do đó mệnh đề 2 là đúng. Tóm lại có 2 mệnh đề đúng. Chọn C.

Bình luận: Bài toán là sự tổng hợp các nội dung cơ bản của hàm số: Sự đơn điệu của hàm số, cực trị của hàm số và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số. Tuy nhiên phương pháp chủ đạo trước hết là thiết lập bảng biến thiên của hàm số. Nếu bảng biến thu được chưa đủ kiểm chứng tính đúng sai của các mệnh đề thì một phương pháp cực mạnh nữa là khai thác ứng dụng tích phân để đi so sánh diện tích của các hình phẳng sinh ra bởi đồ thị của hàm số và trục hoành, bài toán này minh chứng cho những điều

đó.

III.

HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI

Sáng kiến kinh nghiệm đã trình bày một cách có hệ thống và bài bản về chuyên đề

“Hàm số ẩn và hàm số hợp”. Học sinh có thể học hỏi và đúc rút kinh nghiêm qua mỗi ví dụ cụ thể. Các ví dụ được xây dựng theo hai cấp độ: Vận dụng thấp-vận dụng cao nên đã đáp ứng được đông đảo các đối tượng học sinh muốn chinh phục điểm 6, 7, 8, 9, 10 môn Toán trong kì thi THPT Quốc gia. Mỗi học sinh có thể lĩnh hội được những ví dụ, những nội dung phù hợp với bản thân. Đặc biệt các em học sinh khá giỏi cảm thấy hứng thú khi sử dụng các phương pháp đã tích lũy được trong chuyên đề để giải được các bài toán mới lạ, đáp ứng được kì thi THPT Quốc gia.

Thực tế, qua kiểm tra đánh giá sau khi áp dụng sáng kiến tại hai lớp 12A1 và 12A của trường THPT Trực Ninh năm học 2017-2018, tôi có kết quả như sau.

Kết quả kiểm tra tại lớp 12A1 150

Trước khi áp dụng sáng kiến Sau khi áp dụng sáng kiến

Số học sinh

Số học sinh

Số học sinh đạt điểm

đạt điểm giỏi (%)

đạt điểm khá (%)

trung bình (%)

50

30

20

80

10

10

Kết quả kiểm tra tại lớp 12A

Trước khi áp dụng sáng kiến Sau khi áp dụng sáng kiến

Số học sinh

Số học sinh

Số học sinh đạt điểm

đạt điểm giỏi (%)

đạt điểm khá (%)

trung bình (%)

30

30

40

50

40

10

Sáng kiến kinh nghiệm đã giúp học sinh có phương pháp mới và cách nhìn hoàn thiện hơn về hàm số, các đặc trưng của hàm số, các cách cho thông tin về hàm số.

Học sinh có thể tự tin hơn khi lựa chọn phương pháp phù hợp để giải toán trong thời gian ngắn nhất và cho kết quả chính xác nhất, phù hợp với tinh thần thi môn Toán dưới hình thức Trắc nghiệm. Sáng kiến thực sự là luồng gió mới để ngày càng có nhiều học sinh quan tâm, có niềm đam mê chinh phục và cảm thấy có hứng thú với Toán học nói chung và chuyên đề“Hàm số ẩn, hàm số hợp” nói riêng.

Một trong những hướng phát triển mới của sáng kiến kinh nghiệm làphát triển chủ

đề 8 thành chuyên đề“Phát triển năng lực của học sinh thông qua dạng toán về hàm số ẩn, hàm số hợp trong tích phân”. Do khuôn khổ bài viết có hạn nên tôi tiếp tục viết chuyên đề này vào thời gian sau với mục tiêu hoàn thiện chuyên đề

“Phát triển năng lực của học sinh thông qua dạng toán về hàm số ẩn, hàm số hợp trong chương trình THPT”.

151

IV. LỜI CAM ĐOAN

152

Tôi xin cam đoan rằng sáng kiến kinh nghiệm này do bản thân tôi suy nghĩ và sáng tạo ra, không sao chép của bất kì tác giả nào. Tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm nếu vi phạm lời cam đoan trên.

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ

TÁC GIẢ SÁNG KIẾN

THÔNG.......................................................

..................................................................... .............. …………………………………………… …………………………………………… ……………………………………………

153

MỤC LỤC

I.

Điều kiện hoàn cảnh tạo ra giải pháp………………..Trang 1

II.

Mô tả giải pháp………………………………………..............2-4

Chủ đề 1. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số ẩn, hàm số hợp………........5-16 Chủ đề 2. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số ẩn, hàm số hợp. 17-25 Chủ đề 3. Cực trị của hàm số ẩn, hàm số hợp…………………..… 26-48 Chủ đề 4. GTLN và GTNN của hàm số ẩn, hàm số hợp……….….49-56 Chủ đề 5. Sự tương giao của đồ thị hàm số ẩn, hàm số hợp………..57-73 Chủ đề 6. Đường tiệm cậncủa đồ thị hàm số ẩn, hàm số hợp….….74-84 Chủ đề 7. Bài toán liên quan đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) ……….85-123 Chủ đề 8. Tích phân của hàm số ẩn, hàm số hợp…………………..124-135 III. Hiệu quả do sáng kiến đem lại……………………………...136-137 Lời cam đoan……………………………………………………….138 Mục lục……………………………………………………...Trang 139

154