RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM TRONG DẠY HỌC

ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN MÔN TOÁN

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection

DẠY KÈM QUY NHƠN TEST PREP PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM TRONG DẠY HỌC GIẢI TÍCH 12 PDF VERSION | 2020 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

O

IC IA L

FF

Sáng kiến kinh nghiệm

Bộ môn : Toán

Năm học 2016 - 2017

D

ẠY

KÈ

M

Q

U

Y

N

H

Ơ

N

RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM TRONG DẠY HỌC GIẢI TÍCH 12

1

MỤC LỤC MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 4 Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ...................................................... 88

IC IA L

1.1. Khái niệm năng lực toán học ............................................................................ 8 1.2. Một số biểu hiện năng lực giải Toán của học sinh ............................................. 9

1.2.1. Có khả năng vận dụng những kiến thức, kỹ năng đã biết vào hoàn cảnh mới

FF

............................................................................................................................ 9

O

1.2.2. Có khả năng phát hiện, đề xuất cái mới từ một vấn đề quen thuộc ........... 10 1.2.3. Có khả năng nhìn nhận đối tƣợng dƣới các khía cạnh khác nhau ............. 10

N

1.2.4. Có khả năng phối hợp nhiều công cụ, phƣơng pháp khác nhau để giải quyết

Ơ

một vấn đề ........................................................................................................ 11

H

1.2.5. Có khả năng tìm đƣợc nhiều cách giải khác nhau đối với bài toán đã cho 12

N

1.2.6. Có khả năng tìm đƣợc cách giải độc đáo đối với bài toán đã cho ............. 12

Y

1.3. Các dạng sai lầm chủ yếu trong giải Toán Giải tích ....................................... 12

U

1.3.1. Sai lầm khi biến đổi công thức ................................................................. 12

Q

1.3.2. Sai lầm khi tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.................................................. 13

M

1.3.3. Sai lầm khi giải các bài toán tam thức bậc hai .......................................... 13

KÈ

1.3.4. Sai lầm khi giải Toán liên quan tới đạo hàm ............................................ 13

D

ẠY

1.3.5. Sai lầm khi xét bài toán về tiếp xúc và tiếp tuyến ..................................... 13

1.3.6. Sai lầm khi xét các đƣờng tiệm cận của đồ thị.......................................... 13 1.3.7. Sai lầm khi giải Toán Nguyên hàm – Tích phân....................................... 13

1.4. Thực trạng sai lầm trong giải Toán của HS ở trƣờng THPT ............................ 14 1.4.1. Những sai lầm chủ yếu ghi nhận từ HS .................................................... 14 1.4.2. Nguyên nhân dẫn đến sai lầm .................................................................. 15

1

1.4.2.1. Hiểu không đầy đủ và chính xác các thuộc tính của các khái niệm toán học .................................................................................................................... 15 1.4.2.2. Không nắm vững cấu trúc lôgic của định lý .......................................... 15

IC IA L

1.4.2.3. HS không nắm vững phƣơng pháp giải các bài toán cơ bản .................. 15 1.5. Kết luận Chƣơng 1 ......................................................................................... 16

Chƣơng 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HS

FF

THÔNG QUA VIỆC PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM TRONG DẠY HỌC GIẢI TÍCH 12 ........................................................................................................... 17

O

2.1. Nội dung chủ đề Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ............. 17

N

2.2. Một số khó khăn của HS trong nội dung Ứng dụng đạo hàm để khảo sát, vẽ đồ

Ơ

thị hàm số .............................................................................................................. 19

H

2.3. Một số biện pháp giúp đỡ HS sửa chữa sai lầm khi giải bài toán Ứng dụng đạo

N

hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ..................................................................... 19

Y

2.3.1. Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số .............................................. 19

U

2.3.2. Sai lầm khi viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số .................. 22

Q

2.4. Nội dung chủ đề Nguyên hàm – Tích phân .................................................... 23

M

2.5. Một số khó khăn của HS trong nội dung Nguyên hàm – Tích phân ................ 26

KÈ

2.6. Một số biện pháp giúp đỡ HS sửa chữa sai lầm khi giải bài toán Nguyên hàm – Tích phân ............................................................................................................. 26

D

ẠY

2.6.1. Sai lầm khi vận dụng bảng nguyên hàm cơ bản .................................... 26 2.6.2. Sai lầm do nhớ nhầm công thức nguyên hàm ........................................ 27 2.6.3. Sai lầm do không vận dụng đúng định nghĩa tích phân ......................... 28 2.6.4. Sai lầm do nhớ nhầm tính chất tích phân ............................................... 29 2.6.5. Sai lầm khi dùng phƣơng pháp đổi biến số ............................................ 29 2.6.6. Sai lầm do thực hiện sai phép biến đổi đại số ........................................ 30

2

2.7. Biện pháp thực hiện ....................................................................................... 31 2.7.1. Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà HS thiếu hụt………..31

IC IA L

2.7.2. Rèn luyện cho HS về mặt tƣ duy, kĩ năng, phƣơng pháp ...................... 31 2.7.3. Đổi mới phƣơng pháp dạy học theo hƣớng phát huy năng lực tự học, sáng tạo của HS ................................................................................................ 31 2.7.4. Phân dạng bài tập và phƣơng pháp giải ................................................. 32

FF

2.8. Kết luận chƣơng 2 ......................................................................................... 32

O

Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ................................................................. 33

N

3.1. Mục đích thực nghiệm .................................................................................. 33

Ơ

3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm............................................................... 333

H

3.2.1. Tổ chức thực nghiệm ............................................................................. 33

N

3.2.2. Nội dung thực nghiệm............................................................................ 33 3.2.2. Nội dung thực nghiệm............................................................................ 33

U

Y

3.3. Đánh giá thực nghiệm ................................................................................... 33

Q

3.3.1. Đánh giá về mặt định tính ...................................................................... 33 3.3.2. Đánh giá về mặt định lƣợng ................................................................... 33

M

3.3.3. Giáo án thực nghiệm .............................................................................. 34

KÈ

3.4. Kết luận Chƣơng 3 ......................................................................................... 37

KẾT LUẬN .............................................................................................................. 38

D

ẠY

TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................ 38

3

MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Ở trƣờng phổ thông, dạy Toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh,

IC IA L

có thể xem giải Toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Dạy học giải

Toán có vai trò đặc biệt trong dạy học Toán ở trƣờng phổ thông. Các bài toán là phƣơng tiện có hiệu quả không thể thay thế đƣợc trong việc phát triển tƣ duy, hình

thành kĩ năng và kĩ xảo. Hoạt động giải Toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục

FF

đích khác của dạy học Toán. Do đó, tổ chức có hiệu quả việc dạy học giải Toán có vai trò quyết định đối với chất lƣợng dạy học môn Toán.

O

Tuy nhiên, thực tiễn cho thấy chất lƣợng dạy học Toán ở trƣờng phổ thông

N

có lúc, có chỗ còn chƣa tốt, biểu hiện qua việc năng lực giải Toán của học sinh còn

Ơ

hạn chế do học sinh còn mắc nhiều sai lầm. Một trong những nguyên nhân quan trọng là giáo viên chƣa chú ý một cách đúng mức việc phát hiện, uốn nắn và sửa

H

chữa các sai lầm cho học sinh ngay trong các giờ học Toán, do vậy ở học sinh nhiều

N

khi thƣờng gặp phải tình trạng sai lầm nối tiếp sai lầm.

Y

Các công trình nghiên cứu đề cập đến sai lầm của học sinh trong giải Toán

U

còn tƣơng đối ít. Trong quá trình giảng dạy Toán, tôi nhận thấy nhiều học sinh còn

Q

bộc lộ những yếu kém, hạn chế về năng lực giải Toán: Nhìn các đối tƣợng toán học một cách rời rạc, chƣa thấy đƣợc mối liên hệ giữa các yếu tố toán học, không linh

M

hoạt trong điều chỉnh hƣớng suy nghĩ khi gặp trở ngại, quen với kiểu suy nghĩ rập

KÈ

khuôn, áp dụng một cách máy móc những kinh nghiệm đã có vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới đã chứa đựng những yếu tố thay đổi, học sinh chƣa có tính độc đáo

ẠY

khi tìm lời giải bài toán.

Tôi thấy rằng nội dung môn Toán Giải tích lớp 12 (chƣơng trình chuẩn) là

D

phần kiến thức quan trọng trong kì thi Trung học phổ thông quốc gia. Những sai

lầm của HS khi học về chủ đề này tƣơng đối đa dạng nhƣ: sai lầm về phân chia các trƣờng hợp riêng, ngôn ngữ diễn đạt, các sai lầm liên quan đến tƣ duy, suy luận….

Do vậy, việc rèn luyện năng lực giải Toán cho học sinh là một yêu cầu cấp bách.

4

Vì những lý do trên, tôi quyết định lựa chọn đề tài nghiên cứu: Rèn luyện năng lực giải Toán cho học sinh thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm trong dạy học Giải tích 12.

IC IA L

2. Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu các sai lầm phổ biến của HS khi giải Toán – Giải tích 12, đồng thời đề xuất các giải pháp sƣ phạm để hạn chế và sửa chữa sai lầm này, nhằm rèn

luyện năng lực giải Toán cho HS và góp phần nâng cao chất lƣợng dạy học toán

FF

trong các trƣờng trung học phổ thông.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

O

- Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn của việc rèn luyện năng lực giải Toán

N

cho học sinh thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm trong dạy học Giải tích

Ơ

12.

- Làm rõ thực trạng của việc rèn luyện năng lực giải Toán cho học sinh thông

H

qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm trong dạy học Giải tích 12.

N

- Đề xuất một số biện pháp sƣ phạm với các tình huống điển hình để rèn

Y

luyện năng lực giải Toán cho học sinh thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm

U

trong dạy học Giải tích 12.

Q

- Tiến hành thực nghiệm sƣ phạm nhằm đánh giá tính khả thi, hiệu quả của các biện pháp đƣợc đề xuất.

M

4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

KÈ

4.1. Đối tƣợng nghiên cứu Biện pháp rèn luyện năng lực giải Toán cho học sinh thông qua việc phát

hiện và sửa chữa sai lầm trong dạy học Giải tích 12.

ẠY

4.2. Phạm vi nghiên cứu

D

Nghiên cứu biện pháp rèn luyện năng lực giải Toán cho học sinh thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm trong dạy học Giải tích 12 (chƣơng trình chuẩn), ở trƣờng trung học phổ thông Nguyễn Trung Trực, huyện Tân Trụ, tỉnh Long An. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu 5.1. Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận

5

- Nghiên cứu các tài liệu về chủ trƣơng của Bộ giáo dục trong công tác giáo dục, Luật giáo dục và các tài liệu về giáo dục học, tâm lý học, phƣơng pháp dạy học môn Toán.

IC IA L

- Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, sách bồi dƣỡng giáo viên, các

báo, tạp chí về rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh trung học phổ thông.

- Nghiên cứu các công trình đã công bố có liên quan đến đề tài.

FF

5.2. Phƣơng pháp chuyên gia

- Trao đổi, tham khảo ý kiến với các chuyên gia trong lĩnh vực mà bản thân

O

nghiên cứu để có những định hƣớng cho việc nghiên cứu đề tài.

N

- Trao đổi với các giáo viên dạy học môn Toán lớp 12 về phát hiện và sửa

Ơ

chữa sai lầm trong dạy học Giải tích 12.

5.3. Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm

H

Sử dụng một số biện pháp phát hiện và sửa chữa sai lầm cho HS trong dạy học Giải

N

tích 12 đã biên soạn để tiến hành thực nghiệm sƣ phạm. Qua đó giúp học sinh rèn

Y

luyện năng lực giải Toán. Việc này đƣợc kiểm chứng khi dạy một lớp thực nghiệm

U

và một lớp đối chứng ở trƣờng trung học phổ thông. Sau đó đánh giá tính hiệu quả

Q

của đề tài qua phiếu lấy ý kiến học sinh, kết quả bài kiểm tra khảo sát sau tiết học. Đây là phƣơng pháp quan trọng để đánh giá tính đúng đắn của cơ sở giả thuyết khoa

M

học và mức độ đạt đƣợc của đề tài.

KÈ

6. Giả thuyết khoa học Nếu xác định và thực hiện đƣợc một số biện pháp rèn luyện năng lực giải Toán cho học sinh thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm trong dạy học Giải tích 12

ẠY

một cách khoa học và có tính khả thi sẽ phát huy tốt hơn tính tích cực chủ động học

D

tập của học sinh, góp phần nâng cao chất lƣợng dạy học môn Toán ở các trƣờng

trung học phổ thông.

7. Những đóng góp của sáng kiến kinh nghiệm - Góp phần hoàn thiện cơ sở lý luận của việc rèn luyện năng lực giải Toán cho học sinh thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm trong dạy học Giải tích 12.

6

- Đề xuất một số biện pháp rèn luyện năng lực giải Toán cho học sinh thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm trong dạy học Giải tích 12.

8. Cấu trúc của sáng kiến kinh nghiệm

IC IA L

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm ba chƣơng: Chƣơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chƣơng 2: Một số biện pháp rèn luyện năng lực giải Toán cho học sinh thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm trong dạy học Giải Tích 12.

FF

Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm

D

ẠY

KÈ

M

Q

U

Y

N

H

Ơ

N

O

Luận văn có sử dụng 33 tài liệu tham khảo và kèm theo 4 Phụ lục.

7

Chƣơng 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Khái niệm năng lực toán học

IC IA L

Theo V. A. Krutecxki năng lực toán học đƣợc hiểu theo 2 ý nghĩa, 2 mức độ:

Một là, theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với việc học toán, đối với việc nắm giáo trình toán học ở trƣờng phổ thông, nắm một cách nhanh và tốt các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tƣơng ứng.

FF

Hai là, theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học), tức là năng lực hoạt động

sáng tạo toán học, tạo ra những kết quả mới, khách quan có giá trị lớn đối với xã hội

O

loài ngƣời.

N

Giữa hai mức độ hoạt động toán học đó không có một sự ngăn cách tuyệt

Ơ

đối. Nói đến năng lực học tập toán không phải là không đề cập tới năng lực sáng tạo. Có nhiều em học sinh có năng lực, đã nắm giáo trình toán học một cách độc lập

H

và sáng tạo, đã tự đặt và giải các bài toán không phức tạp lắm; đã tự tìm ra các con

N

đƣờng, các phƣơng pháp sáng tạo để chứng minh các định lý, độc lập suy ra các

Y

công thức, khám phá ra các phƣơng pháp giải độc đáo cho những bài toán không

U

mẫu mực ... Tuy nhiên, đó chỉ chiếm một tỉ lệ rất nhỏ. Với việc nghiên cứu khái

Q

quát, Luận văn chỉ chủ yếu tiếp cận năng lực toán học theo góc độ thứ nhất: - Năng lực học tập toán học là các đặc điểm tâm lý cá nhân (trƣớc hết là các

M

đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu hoạt động toán học và giúp cho việc

KÈ

nắm giáo trình toán một cách sáng tạo, giúp cho việc nắm một cách tƣơng đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo toán học.

- Những năng lực học toán đƣợc hiểu là những đặc điểm tâm lý cá nhân

ẠY

(trƣớc hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu của hoạt động toán

D

học, và trong những điều kiện vững chắc nhƣ nhau thì là nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạo toán học với tƣ cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tƣơng đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực toán học.

8

Nói đến học sinh có năng lực toán học là nói đến học sinh có trí thông minh trong việc học toán. Tất cả mọi học sinh đều có khả năng và phải nắm đƣợc chƣơng trình trung học, nhƣng các khả năng đó khác nhau từ học sinh này qua học sinh

IC IA L

khác. Các khả năng này không phải cố định, không thay đổi, các năng lực này không phải bất biến mà hình thành và phát triển trong quá trình học tập, luyện tập để nắm đƣợc hoạt động tƣơng ứng.

1.2. Một số biểu hiện năng lực giải toán của học sinh

FF

Năng lực góp phần rèn luyện và phát triển nhân cách cũng nhƣ các năng lực trí tuệ cho học sinh; bồi dƣỡng hứng thú và nhu cầu học tập, khuyến khích học sinh

O

say mê tìm tòi, sáng tạo.

N

Trên cơ sở cho học sinh làm quen với một số hoạt động sáng tạo nhằm rèn

Ơ

luyện năng lực, giáo viên đƣa ra một số bài tập có thể giúp học sinh vận dụng sáng tạo nội dung kiến thức và phƣơng pháp có đƣợc trong quá trình học tập, mức độ

H

biểu hiện của học sinh đƣợc sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Đối với học sinh phổ

Y

tích 12 qua các khả năng sau.

N

thông có thể thấy các biểu hiện của năng lực giải toán trong việc giải bài tập giải

U

1.2.1. Có khả năng vận dụng những kiến thức, kỹ năng đã biết vào hoàn

Q

cảnh mới

Khả năng này thƣờng đƣợc biểu hiện nhiều nhất nên trong quá trình dạy học

M

giáo viên cần quan tâm phát hiện và bồi dƣỡng khả năng này. Khả năng áp dụng các

KÈ

thuật giải đã có sẵn để giải một bài toán mới, hay vận dụng trực tiếp các kiến thức, kỹ năng đã có trong một bài toán tƣơng tự hoặc đã biết là khả năng mà tất cả học sinh đều phải cố gắng đạt đựợc trong học toán. Biểu hiện năng lực giải toán của học

ẠY

sinh ở khả năng này đƣợc thể hiện là: với nội dung kiến thức và kỹ năng đã đƣợc

D

học, học sinh biết biến đổi những bài tập trong một tình huống cụ thể hoàn toàn mới

nào đó về những cái quen thuộc, những cái đã biết để áp dụng vào giải một cách dễ dàng, từ đó học sinh thể hiện đƣợc năng lực của bản thân khi giải những bài toán đó.

Ví dụ 1: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau y  x4  2 x 2  1 .

9

Giải: TXĐ: D 

x  0 y '  0  4 x3  4 x  0   x  1  x  1 Bảng biến thiên:

 –

0

0 +

–

0

+

+

1 0

+

+

1

FF

y' y

–1

O

x

IC IA L

. Ta có y '  4 x3  4 x .

0

N

Hàm số đồng biến trong từng khoảng (-1; 0); (1; +  ).

Ơ

Hàm số nghịch biến trong các khoảng (   ; -1); (0; 1).

H

1.2.2. Có khả năng phát hiện, đề xuất cái mới từ một vấn đề quen thuộc Khi đứng trƣớc một bài tập học sinh nhận ra đƣợc vấn đề mới trong các điều kiện,

N

vấn đề quen thuộc; phát hiện ra chức năng mới trong những đối tƣợng quen thuộc,

Y

tránh đƣợc sự rập khuôn máy móc, dễ dàng điều chỉnh đƣợc hƣớng giải quyết trong

U

điều kiện mới, đây cũng là biểu hiện tạo điều kiện để học sinh rèn luyện tính mềm

Q

dẻo của năng lực giải toán.

M

Ví dụ 2: Chứng minh rằng hàm số y  x3  x2  3x  10 luôn tăng trên . Ta có y '  4 x3  4 x

KÈ

Giải: TXĐ: D 

ẠY

 '  8  0   y '  0, x  . Vậy hàm số luôn tăng trên a 30 

D

.

.

1.2.3. Có khả năng nhìn nhận đối tượng dưới các khía cạnh khác nhau Mỗi khi học sinh cố gắng làm các bài toán mà lại thất bại, thông thƣờng học

sinh sẽ có cảm giác chán nản chứ không chuyển sang làm theo một hƣớng suy nghĩ

hay cách nhìn khác. Tuy nhiên, một thất bại mà học sinh đã nếm trải sẽ chỉ có ý nghĩa nếu nhƣ học sinh không quá coi trọng phần kém hiệu quả của nó. Thay vào đó, học sinh nếu biết phân tích lại toàn bộ quá trình cũng nhƣ các yếu tố liên quan,

10

và cân nhắc xem liệu sẽ thay đổi những yếu tố đó nhƣ thế nào để đạt đƣợc kết quả mới.

cực trị tại x  1 .

2 . Ta có y '  3x  2  2m  1 x   m  5 .

Giải: TXĐ: D 

Hàm số đạt cực trị tại x  1  f ' 1  0  m  2 .

FF

Thử lại, với m  2 .

x  1 y '  3x  10 x  7 . Cho y '  0   x  7 3 

N

 0

+

N

-

H

1

+

7 3

0

+ -

CĐ



CT

Y

y

Ơ

Bảng biến thiên:

y/

O

2

x

IC IA L

Ví dụ 3: Tìm m để hàm số y  f  x    x3   2m  1 x2   m  5 x  1 đạt

U

Hàm số đạt cực tiểu tại x  1 . (thỏa điều kiện bài toán)

Q

Kết luận: Với m  2 thì hàm số đạt cực tiểu tại x  1 .

M

1.2.4. Có khả năng phối hợp nhiều công cụ, phương pháp khác nhau để giải quyết một vấn đề

KÈ

Đứng trƣớc một bài tập toán mang tính sáng tạo cao, đòi hỏi học sinh phải

vận dụng rất nhiều kiến thức khác nhau và nhiều phƣơng pháp, cách giải khác nhau.

ẠY

Đồng thời học sinh cũng phải biết phối hợp các kiến thức và phƣơng pháp đó, huy

D

động những kỹ năng, kinh nghiệm của bản thân cộng với sự nỗ lực, phát huy năng

lực giải toán của cá nhân để tìm tòi, giải quyết vấn đề.

11

1.2.5. Có khả năng tìm được nhiều cách giải khác nhau đối với bài toán đã cho Đây là biểu hiện của học sinh khi đứng trƣớc những bài toán có những đối

IC IA L

tƣợng, những quan hệ có thể xem xét dƣới nhiều khía cạnh khác nhau. Đứng trƣớc

những bài toán loại này học sinh biểu hiện khả năng, năng lực chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, thể hiện năng lực nhìn một đối tƣợng toán học dƣới nhiều khía cạnh khác nhau.

FF

1.2.6. Có khả năng tìm được cách giải độc đáo đối với bài toán đã cho Có những bài toán các yếu tố trong đó hiện lên một cách trực tiếp qua

O

ngôn ngữ của đề bài nhƣng cũng có những bài toán yếu tố đƣợc ẩn ngầm dƣới

N

cách diễn đạt không dễ phát hiện, thậm chí là một cách đánh lừa khả năng tƣ duy

Ơ

của học sinh, khi giải bài toán nếu nhìn ra trọng tâm yêu cầu của bài toán, phát hiện cái mới, khác lạ, không bình thƣờng trong quá trình làm bài học sinh sẽ thể hiện ra

H

năng lực giải toán.

N

1.3. Các dạng sai lầm chủ yếu trong giải Toán Giải tích 12

Y

Chƣơng trình toán Giải tích 12 bao gồm những nội dung và kiến thức cơ bản

U

là HS tiếp thu đƣợc về kiến thức đạo hàm và ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm và

Q

vẽ đồ thị hàm số, hoặc nghiên cứu một số hàm lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit, các bài toán về nguyên hàm và tích phân và dạng toán về số phức.... HS

M

đƣợc hình thành vốn kiến thức một số phƣơng pháp giải toán Giải tích 12 nhằm

KÈ

giúp cho các em học tiếp chƣơng trình Toán học ở các cấp học cao hơn, cũng nhƣ các môn học khác áp dụng các dạng toán học một cách hiệu quả. Các dạng sai lầm của HS thƣờng thể hiện qua các lời giải của từng dạng toán đã đƣợc học nhƣ: sai

ẠY

lầm do tính toán, sai lầm khi vận dụng các khái niệm, định nghĩa, định lý, sai lầm

D

qua phép biến đổi.

1.3.1. Sai lầm khi biến đổi công thức Những sai lầm khi biến đổi công thức thƣờng mắc khi sử dụng các đẳng thức mà không phải là hằng đẳng thức, đó là các “các đẳng thức” chƣa đúng với điều

12

kiện nào đó. Đôi khi sai lầm xuất hiện do hiểu nhầm công thức, sử dụng công thức mà quên mất điều kiện ràng buộc.

1.3.2. Sai lầm khi tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất

IC IA L

- Những sai lầm khi tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hay của biểu thức nhiều ẩn thƣờng do vi phạm quy tắc suy luận lôgic:

 f ( x)  m, x  A + Nếu  thì min f  x   m .

A  xo  A : f ( xo )  m

O

FF

 f ( x)  M , x  A + Nếu  thì max f  x   M .

A  xo  A : f ( xo )  M - Đối với biểu thức nhiều ẩn cũng có quy tắc tƣơng tự.

N

1.3.3. Sai lầm khi giải các bài toán tam thức bậc hai

Ơ

Khi giải toán tam thức bậc hai, các sai lầm xuất hiện do không chú ý đến giả

H

thiết của các định lý mà đã vội vàng áp dụng hoặc là lạm dụng suy diễn những mệnh đề không đúng hoặc xét thiếu trƣờng hợp cần biện luận.

N

1.3.4. Sai lầm khi giải toán liên quan tới đạo hàm

Y

Các sai lầm liên quan tới khái niệm đạo hàm thƣờng gặp khi tính đạo hàm và

U

khi vận dụng đạo hàm để giải toán.

Q

1.3.5. Sai lầm khi xét bài toán về tiếp xúc và tiếp tuyến Các sai lầm khi xét bài toán loại này xuất phát từ việc không nắm vững

M

thuật ngữ hoặc không hiểu đúng sự tiếp xúc của hai đồ thị là gì ?

KÈ

1.3.6. Sai lầm khi xét các đường tiệm cận của đồ thị Khái niệm về đƣờng tiệm cận của đồ thị quan hệ chặt chẽ tới phép tính giới

ẠY

hạn (kể cả phép tính giới hạn một phía). Nhiều học sinh không nắm đƣợc định

nghĩa mà chỉ nhìn vào hình thức của hàm số và suy đoán máy móc nên dẫn đến sai

D

lầm. Tất nhiên việc tính các giới hạn sai cũng dẫn đến sai lầm khi tìm các đƣờng tiệm cận.

1.3.7. Sai lầm khi giải toán nguyên hàm, tích phân Những sai lầm loại này liên quan tới sự hiểu biết không đúng các khái niệm và vận dụng sai các định lý, quy tắc.

13

1.4. Thực trạng sai lầm trong giải Toán của HS ở trƣờng THPT Thông qua những giờ dạy, giờ dự giờ và qua ý kiến thăm dò, khảo sát một số giáo viên thì ngƣời viết nhận thấy thực trạng dạy và học bài tập Giải tích 12 hiện nay của

IC IA L

giáo viên và học sinh bên cạnh những thuận lợi thì còn có những khó khăn và tồn

tại, việc phát huy năng lực giải toán, tính tích cực, chủ động của học sinh chƣa thực sự đạt hiệu quả, mặc dù các giáo viên đã nỗ lực điều hành, định hƣớng và tổ chức quá trình lĩnh hội tri thức của học sinh bằng những phƣơng pháp dạy học tích cực

FF

tuy nhiên chất lƣợng dạy học vẫn còn khiêm tốn. Điều đó do nhiều nguyên nhân, cả khách quan và chủ quan:

O

+ Thứ nhất, hệ quả này xuất phát từ sự ảnh hƣởng của phƣơng pháp dạy học

N

cũ, nặng về truyền thụ một chiều của ngƣời dạy, lấy ngƣời dạy làm trung tâm, một

Ơ

số giáo viên còn chậm đổi mới.

+ Thứ hai, hệ thống học tập bài tập Giải tích 12 đƣa ra trong những giờ dạy

H

còn chƣa thật phong phú, đa dạng về nội dung, đơn giản về hình thức.

N

+ Thứ ba, việc thực hành làm bài tập tại lớp của học sinh còn mang tính hình

Y

thức, đối phó.

U

+ Thứ tƣ, việc ra những bài toán có khả năng sáng tạo chƣa đƣợc quan tâm

Q

nhiều nên chƣa kích thích đƣợc ngƣời học, chƣa phù hợp với từng đối tƣợng học sinh.

M

+ Thứ năm, năng lực làm bài tập Giải tích 12 của các em học sinh còn hạn

KÈ

chế, tâm lí coi nhẹ việc thực hành, do đó khi đứng trƣớc một bài toán gây nên sự chán nản, nặng nề.

Thực tiễn trên đã đặt ra yêu cầu cấp thiết là chúng ta phải chú trọng phát huy

ẠY

năng lực giải toán, tính chủ động của học sinh trong giờ thực hành làm bài tập Giải

D

tích 12.

1.4.1 Những sai lầm chủ yếu ghi nhận từ HS Tiến hành khảo sát ba lớp 12 (122 học sinh) tại Trƣờng THPT Nguyễn Trung

Trực năm học 2015 – 2016 và ghi nhận một số nguyên nhân chính: - Không hiểu khái niệm, nội dung, tính toán nhầm lẫn.

14

- Xét thiếu trƣờng hợp, không lôgic trong suy diễn .

- Hiểu sai đề toán, thiếu điều kiện, quên xét điều kiện - Nhớ sai công thức, tính chất, diễn đạt kém....

IC IA L

Đây là những sai lầm có tần xuất cao trong các lời giải toán của HS, nhƣ đã nói, các sai lầm này nằm chủ yếu ở bộ môn Giải tích 12 phổ thông trung học.

1.4.2. Nguyên nhân dấn đến sai lầm

1.4.2.1. Hiểu không đầy đủ và chính xác các thuộc tính của các khái niệm

FF

toán học

Chúng ta biết rằng: khái niệm là một trong các sản phẩm của tƣ duy toán

O

học. Mỗi khái niệm đều có nội hàm và ngoại diện. Tập hợp các dấu hiệu đặc trƣng

N

cho bản chất của các đối tƣợng đƣợc phản ánh trong các khái niệm chính là nội hàm

Ơ

của các khái niệm. Tập hợp các đối tƣợng có chứa các dấu hiệu trên là chính là ngoại diện của khái niệm sẽ dẫn học sinh tới sự hiểu không trọn vẹn, thậm chí sai

H

lệch bản chất của khái niệm. Từ đó, các sai lầm khi giải toán sẽ xuất hiện.

N

1.4.2.2. Không nắm vững cấu trúc lôgic của định lý

Y

Định lý là một mệnh đề đã đƣợc khẳng định đúng. Cấu trúc thông thƣờng

U

của định lý có dạng A  B . Trong cấu trúc của định lý A  B thì A là giả thiết

Q

của định lý và cho chúng ta biết phạm vi sử dụng đƣợc của định lý. Ngƣời ta còn nói A là điều kiện đủ để có B . Nhƣng khá nhiều học sinh không nắm vững hoặc

M

coi thƣờng giả thuyết A nên dẫn tới sai lầm.

KÈ

Nhiều học sinh nhầm giả thuyết A của định lý cũng là điều kiện cần để có

kết luận B nên mắc sai lầm.

ẠY

1.4.2.3. Học sinh không nắm vững phương pháp giải các bài toán cơ bản - Không nắm vững phƣơng pháp giải các bài toán cơ bản, HS không nghĩ

D

đƣợc đủ trƣờng hợp cần xét và dẫn đến điều kiện sai.

- Không nắm vững phƣơng pháp giải các bài toán, HS sẽ không biện luận đủ

các trƣờng hợp xảy ra của bài toán.

- Không nắm vững phƣơng pháp giải các bài toán, HS sẽ không áp dụng đúng phạm vi và dẫn đến bế tắc, không đi đến lời giải.

15

- Không nắm vững phƣơng pháp giải các bài toán, HS sẽ bỏ qua những bƣớc quan trọng và đi ngay tới kết luận.

- Không nắm vững phƣơng pháp giải, lời giải của học sinh sẽ không có trình

IC IA L

tự lôgic và sẽ không biết khi nào kết thúc lời giải.

1.5. Kết luận chƣơng 1

Thông qua việc nghiên cứu những cơ sở lí luận và thực tiễn chƣơng trình

cũng nhƣ thực trạng dạy và học Giải tích 12, ngƣời viết bƣớc đầu góp phần làm

FF

sáng tỏ nội dung “Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh thông qua việc phát

hiện và sửa chữa sai lầm trong dạy học giải tích 12”, đồng thời chỉ ra đƣợc những

O

thuận lợi, khó khăn đối với giáo viên và học sinh trong dạy và học Giải tích 12 theo

N

hƣớng rèn luyện năng lực giải toán. Kết quả nghiên cứu của chƣơng này một lần

Ơ

nữa đã khẳng định tính cấp thiết của đề tài. Nó đòi hỏi ngƣời giáo viên cần quan tâm để rèn luyện và phát triển năng lực giải toán cho học sinh. Từ đó học sinh mới

H

trở thành những chủ thể tích cực trong học tập cũng nhƣ trong đời sống xã hội, phát

D

ẠY

KÈ

M

Q

U

Y

N

triển toàn diện và đóng góp sức mình cho đất nƣớc.

16

IC IA L

Chƣơng 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HS THÔNG QUA VIỆC PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM TRONG DẠY HỌC GIẢI TÍCH 12 2.1. Nội dung, chƣơng trình chủ đề Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - Định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số:

+ Hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng K nếu với mọi x1, x2  K ,

FF

x1  x2  f  x1   f  x2  .

O

+ Hàm số y  f  x  nghịch biến trên khoảng K nếu với mọi x1, x2  K ,

N

x1  x2  f  x1   f  x2  .

- Tính chất của các hàm số đồng biến, nghịch biến:

Ơ

+ Nếu f  x  và g  x  là hai hàm số cùng đồng biến (hoặc nghịch biến) trên

H

D thì tổng f  x   g  x  cũng là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D . Tính

N

chất này nói chung không đúng với hiệu f  x   g  x  .

Y

+ Nếu f  x  và g  x  là hai hàm số dƣơng, cùng đồng biến (hoặc nghịch

Q

U

biến) trên D thì tích f  x  .g  x  cũng là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên

D . Tính chất này nói chung không đúng với tích f  x  .g  x  khi f  x  và g  x  là

M

hai hàm số không cùng dƣơng trên D .

KÈ

- Công thức tính đạo hàm:

D

ẠY

Hàm số hợp y  u có đạo hàm y '   .u -1.u ' (*) + Công thức (*) chỉ đúng với số mũ  là hằng số.

+ Nếu  không nguyên thì công thức (*) chỉ đúng khi u nhận giá trị dƣơng.

- Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số của hàm số: Định lí: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trong khoảng K .

(Kí hiệu K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng). + Nếu f '  x   0, x  K thì hàm số f  x  đồng biến trên K .

17

+ Nếu f '  x   0, x  K thì hàm số f  x  nghịch biến trên K . + Nếu f '  x   0, x  K thì hàm số f  x  không đổi trên K .

kiện cần.

- Quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số: a) Định lí 1: Giả sử hàm số

y  f  x

IC IA L

Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số là điều kiện đủ chứ không phải điều

liên tục trên khoảng

FF

K  ( xo  h; xo  h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \  xo  , với h  0 .

+ Nếu f '  x   0 trên khoảng ( xo  h; xo ) và f '  x   0 trên khoảng

O

( xo ; xo  h) thì xo là một điểm cực đại của hàm số f  x  .

N

+ Nếu f '  x   0 trên khoảng ( xo  h; xo ) và f '  x   0 trên khoảng

Ơ

( xo ; xo  h) thì xo là một điểm cực tiểu của hàm số f  x  .

H

b) Định lí 2: Giả sử hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp hai trong khoảng

N

( xo  h; xo  h) , với h  0 . Khi đó:

Y

+ Nếu f '  x   0 , f ''  x   0 thì xo là điểm cực tiểu.

U

+ Nếu f '  x   0 , f ''  x   0 thì xo là điểm cực đại.

Q

Quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số là điều kiện đủ chứ không phải điều

M

kiện cần. Do vậy, điều ngƣợc lại nói chung không đúng.

- Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên miền D :

D

ẠY

KÈ

  f  x   m, x  D m  min f  x    D  xo  D : f  xo   m   f  x   m, x  D M  max f  x    D  xo  D : f  xo   M

+ Nếu f ( x)  m , x  D (hay f ( x)  M , x  D ) nhƣng không tồn tại

xo  D sao cho f  xo   m (hay f  xo   M ) thì dấu "=" không xảy ra. Khi đó, không tồn tại giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số f  x  trên miền D .

18

+ Khi tìm giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số f  x  trên miền

D mà chuyển sang xét giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số g  t  với phép đặt t  u  x  thì cần chuyển đổi điều kiện để đƣợc bài toán tƣơng đƣơng.

IC IA L

- Về phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C  của hàm số y  f  x  :

+ Tiếp tuyến tại điểm M  xo ; yo    C  có phƣơng trình: y  f '  xo  x  xo   yo . + Tiếp tuyến với  C  có hệ số góc k , đi qua điểm A  x A ; y A  có phƣơng trình:

FF

y  k  x  x A   y A . Trong đó hệ số góc k thỏa mãn hệ:

O

  f  x   k  x  xA   y A (**)  f ' x  k    

Ơ

N

Nếu điểm A  x A ; y A  nói trên thuộc  C  thì hệ số góc k vẫn thỏa mãn hệ (**). Trong trƣờng hợp này, số tiếp tuyến có thể nhiều hơn một tiếp tuyến.

H

2.2. Một số khó khăn của HS trong nội dung Ứng dụng đạo hàm để khảo

N

sát, vẽ đồ thị hàm số

Y

Trong thực tế, khi học sinh học chƣơng I “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và

U

vẽ đồ thị hàm số” thƣờng gặp phải những khó khăn sau:

Q

- Không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng, không hiểu chính xác về định nghĩa điểm tới hạn của hàm số.

M

- Không nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng.

KÈ

- Không nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm xo .

- Không nắm vững định nghĩa về giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên

ẠY

một miền D .

- Không nắm vững bản chất sự khác nhau giữa tiếp tuyến tại một điểm thuộc

D

đồ thị số với tiếp tuyến kẻ từ một điểm đến đồ thị hàm số đã cho.

2.3. Một số biện pháp giúp đỡ HS sửa chữa sai lầm khi giải bài toán Ứng

dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2.3.1. Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số

19

- Một số học sinh thƣờng mắc phải sai lầm khi không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số.

x2 x2

IC IA L

Ví dụ 2.1: Xét tính đơn điệu của hàm số: y  f ( x)  Một số học sinh trình bày nhƣ sau:

\ 2 . Ta có: y ' 

Tập xác định: D 

4  0, x  D ( x  2)2

x

FF

Bảng biến thiên: -2 +

O

y'

2

N

y

+

Ơ

2

H

Suy ra: Hàm số đồng biến trên (; 2)  (2; )

N

* Phân tích:

Y

Lời giải trên có vẻ nhƣ đúng rồi, nếu ta không chú ý đến kết luận của bài

U

toán. Chú ý rằng: Nếu hàm số y  f  x  đồng biến trên tập D thì với mọi

và x2  0  D thì x1  x2 nhƣng

f  x1   5 , f  x2   1 nên

M

x1  3  D

Q

x1, x2  D , x1  x2  f  x1   f  x2  . Trong kết luận của bài toán, nếu ta lấy

KÈ

f  x1   f  x2  .

* Lời giải đúng là:

\ 2 . Ta có: y ' 

D

ẠY

Tập xác định: D 

4  0, x  D . ( x  2)2

Bảng biến thiên:

x

-2

y'

+

+ 2

y 2 20

Suy ra: Hàm số đồng biến trên từng khoảng (; 2) và (2; ) . + Nhiều khi các học sinh không chú ý đến các điểm tới hạn của hàm số, vì

IC IA L

vậy việc xét dấu của đạo hàm y ' sẽ bị sai.

Ví dụ 2.2: Xét tính đơn điệu của hàm số y  f  x   x  1  9  x 2 .

x

Tập xác định : D   3;3 . Ta có y '  1 

9  x2

O

 0  9  x2  x  9  x2  x2

N

x

+

0

-

3  2 2 2

Q

U

-4

y

0

Y

-

3 2 3 2

3

N

-3

y'

 x     x  

H

Ta có bảng biến thiên: x

9  x2

Ơ

y '  0  1

FF

Một số học sinh trình bày nhƣ sau:

M

2  3 3  ; Hàm số đồng biến trên khoảng   và nghịch biến trên các khoảng  2 2 

KÈ

3    3  ;3  .  3;   và  2   2 

ẠY

* Phân tích: Nếu để ý ở bảng biến thiên ta thấy ngay một điều vô lý là trên

D

3  3  2 2  đoạn  3;  giá trị của hàm số giảm từ 4 xuống . Thực ra ở đây  2 2  

3 không phải là điểm tới hạn của hàm số.

2 *Lời giải đúng là: Tập xác định: D  3;3 . Ta có: y '  1 

21

x 9  x2

y '  0  1

 3 x  0  0  9  x2  x   x 2 2 2  9  x2 9  x  x

x

x -3

+

0

-

3 2 2 2

y

FF

y'

IC IA L

Bảng biến thiên:

O

-4

3

2

Ơ

N

3    3  ;3  Hàm số đồng biến trên khoảng  3;  , nghịch biến trên khoảng  2   2  .

H

2.3.2. Sai lầm khi viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

N

Ví dụ 2.3: Cho hàm số y  f  x    x3  3x 2  1 , có đồ thị  C  . Viết

Y

phƣơng trình tiếp tuyến của  C  biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A  1;5 .

Q

U

Một số học sinh trình bày nhƣ sau: f '  x   3x 2  6 x Ta có điểm

A  1;5   C 

suy ra phƣơng trình tiếp tuyến là:

M

y  f '  1 . x  1  5  y  9 x  4 .

KÈ

* Phân tích: Phƣơng trình tiếp tuyến y  9 x  4 là tiếp tuyến tại A (nhận

A làm tiếp điểm) . Nhƣng vẫn có thể có tiếp tuyến của đồ thị  C  đi qua A mà

D

ẠY

không nhận A làm tiếp điểm. *Lời giải đúng là: Phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua điểm A  1;5

và có hệ số góc k là y  k  x  1  5 .

22

Điều kiện để đƣờng thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị  C  là hệ sau có 3 2   x  3x  1  k  x  1  5 (I) nghiệm:  2 3x  6 x  k 

IC IA L

3   x  2  k  0 2 x  6 x  4  0 Hệ (I)   .  2 x  1  k  9  3 6 k   x  x   Kết luận hai tiếp tuyến có phƣơng trình: y  5 và y  9 x  4 .

FF

2.4. Nội dung, chƣơng trình chủ đề Nguyên hàm - Tích phân

- Định nghĩa nguyên hàm: Cho hàm số f  x  xác định trên K ( K là

Ơ

- Định lí:

N

f  x  trên K nếu F '  x   f  x  , x  K .

O

khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F  x  đƣợc gọi là nguyên hàm của hàm số

H

+ Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K thì với mỗi hằng

N

số C , hàm số F  x   C cũng là một nguyên hàm của f  x  trên K .

Y

+ Ngƣợc lại, nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên K thì mọi

U

nguyên hàm của f  x  trên K đều có dạng F  x   C với C là một hằng số.

 f  x  dx .

 f  x  dx  F  x   C với C

là hằng số.

Q

Kí hiệu họ nguyên hàm của f  x  là

M

Khi đó:

KÈ

- Tính chất của nguyên hàm:

D

ẠY

Tính chất 1:

 f '  x  dx  f  x   C .

Tính chất 2:  kf  x  dx  k  f  x  dx ( k là hằng số khác 0) .

Tính chất 3:   f  x   g  x  dx   f  x dx   g  x dx .

- Sự tồn tại của nguyên hàm: Định lí: Mọi hàm số f  x  liên tục trên K

đều có nguyên hàm trên K .

- Bảng công thức tính nguyên hàm của một số hàm thường gặp

23

x 1  x dx    1  C 



  ax  b 

1

1

 1

1  ax  b  dx  . a  1 1

 ax  b dx  a .ln ax  b  C

e

e

dx  e x  C

ax b

IC IA L

 x dx  ln x  C x

C

1 dx  .eax b  C a

1 a mx  n dx  . C m ln a

ax  a dx  ln a  C

a

 cos xdx  sin x  C

 cos  ax  b  dx  a .sin  ax  b   C

 sin xdx   cos x  C

 sin  ax  b  dx   a .cos  ax  b   C

O

1

N

1

Ơ

1

1

 cos2  ax  b  dx  a .tan  ax  b   C

 cos2 x

dx  tan x  C

1

dx   cot x  C

H

1

1

1

N

 sin 2  ax  b  dx   a .cot  ax  b   C

Y

 sin 2 x

mx  n

FF

x

U

- Phương pháp tính nguyên hàm

Q

+ Phương pháp đổi biến số

 f t  dt  F t   C và t  u  x  là hàm số có đạo hàm liên tục

 f u  x  .u '  x  dx  F u  x   C .

KÈ

thì

M

Định lí: Nếu

+ Phương pháp nguyên hàm từng phần

ẠY

Định lí: Nếu hai hàm số u  u  x  và v  v  x  có đạo hàm liên tục trên K

D

thì

 u  x .v '  x  dx  u  x .v  x    u '  x .v  x  dx hay viết gọn là  udv  uv   vdu .

- Định nghĩa tích phân: Cho f  x  là hàm số liên tục trên đoạn  a; b  . Giả

sử F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên đoạn  a; b . Hiệu số F  b   F  a  đƣợc gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn  a; b ) của hàm

24

số f  x  , kí hiệu là

b

b

 f  x dx . Khi đó:  f  x  dx  F  x  a F b   F  a  b

a

. (Công

a

- Tính chất của tích phân b

b

a

a

b

b

b

a

a

a

FF

Tính chất 1:  kf  x  dx  k  f  x  dx ( k là hằng số).

IC IA L

thức Newton – Leibnitz)

c

b

a

a

c

- Phương pháp tính tích phân

N

 f  x  dx  f  x  dx   f  x  dx với a  b  c .

Ơ

Tính chất 3:

b

O

Tính chất 2:   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx .

H

+ Phƣơng pháp đổi biến số: Cho hàm số f  x  liên tục trên  a; b . Giả sử

N

hàm số x    t  có đạm hàm liên tục trên  ;   sao cho a     , b      và

 f  x dx   f   t . '  t  dt .

Q

Khi đó:



U

b

Y

a    x   b , t   ;   .

a



M

+ Phƣơng pháp tích phân từng phần: Từ phƣơng pháp tính nguyên hàm từng

KÈ

phần, ta có định lí sau đây: Định lý: Nếu u  u  x  và v  v  x  là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên b

b

a

a

D

ẠY

 a; b thì  u  x  .v '  x dx  u  x  .v  x  ba   u '  x  .v  x  dx hay viết gọn là b

b b udv  uv a  vdu . a a





25

2.5. Một số khó khăn của HS trong nội dung Nguyên hàm -Tích phân Những kiến thức căn bản về nguyên hàm và tích phân là kiến thức hoàn toàn mới mẻ đối với học sinh nhƣng sự hình thành ít nhiều liên quan đến kiến thức về

IC IA L

đạo hàm, các em có thể dựa vào các công thức đạo hàm để hình thành công thức nguyên hàm, tuy vậy đa phần các em hay nhầm lẫn giữa hai loại công thức này. Các

kiến thức căn bản về biến đổi đại số, học sinh cũng đã đƣợc học từ bậc THCS những em học lực trung bình, yếu kém đều bị mất gốc phần kiến thức này do đó dù

FF

các em có nắm đƣợc kiến thức căn bản của nguyên hàm tích phân thì cũng sẽ bế tắc khi thực hiện lời giải. Còn với đa phần các em có học lực khá, giỏi tâm lí chung khi

O

gặp một bài toán là nóng vội lao vào tìm phƣơng pháp giải, tìm ra phƣơng pháp rồi

N

thì vội vàng trình bày lời giải, tìm ra đáp số, thấy kết quả gọn, đẹp là yên tâm mà

Ơ

quên mất các thao tác quen thuộc: phân tích đề, kiểm tra các điều kiện, kiểm tra các phép tính…. Vì vậy những sai sót xảy ra là điều tất yếu.

H

Kinh nghiệm cũng cho thấy việc phát hiện ra lỗi sai của ngƣời khác thì dễ

N

còn việc phát hiện ra lỗi sai của chính mình là rất khó. Trong quá trình dạy về phần

Y

kiến thức này, tôi cho các em chủ động tự làm theo lối tƣ duy logic của riêng mình,

U

để các em theo dõi nhận xét lời giải của nhau từ đó phát hiện những lỗi sai và từ đó

Q

phân tích để các em hiểu đƣợc bản chất của vấn đề khắc phục sai sót và tổng kết thành kinh nghiệm.

M

Tuy nhiên, nếu cứ lúc nào cũng chỉ ra những sai lầm của học sinh dễ khiến các em

KÈ

thấy nhàm chán, mất đi hứng thú học tập. Vì vậy, tôi vận dụng nó linh hoạt trong các tiết dạy và có những gợi ý cần thiết hỗ trợ cho các em tìm kiếm lời giải.

2.6. Một số biện pháp giúp đỡ HS sửa chữa sai lầm khi giải bài toán

D

ẠY

Nguyên hàm - Tích phân và ví dụ minh họa 2.6.1. Sai lầm khi vận dụng bảng nguyên hàm cơ bản Ví dụ 2.4: Tính tích phân I    3x  1 dx .

6

* Lời giải có sai lầm: I    3x  1

6

26

7 3x  1  dx  C .

7

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh vận dụng công thức

n  x dx 

x n 1  c với n  1. n 1

Đặt t  3x  1  dt  3dx  dx 

IC IA L

* Lời giải đúng:

dt .

3

 3x  1  C . t7  C  Do đó   3x  1 dx   t 3 21 21 7

6 dt

FF

6

O

2.6.2. Sai lầm do nhớ nhằm công thức nguyên hàm 3

N

Ví dụ 2.5: Tính tích phân I   x  1dx .

0

3

Ơ

3

H

* Lời giải có sai lầm: I   x  1dx   x  1d  x  1  0

0

3 1 1  .

2 x 1 0 2

N

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Sự hình thành nguyên hàm ít nhiều cũng

Y

liên quan đến kiến thức đạo hàm, các em hay nhầm lẫn giữa hai loại công thức đạo

U

hàm và nguyên hàm của hàm số.

Q

* Cách khắc phục: Yêu cầu các em học thuộc công thức nguyên hàm các

M

hàm số cơ bản.

3

3

0

0

1

KÈ

* Lời giải đúng: I   x  1dx    x  1 2 d  x  1  1

3 3 2 14  x  1 2  .

0 3 3

D

ẠY

Ví dụ 2.6: Tính tích phân I    3x  1 dx .

5

0

1

* Lời giải có sai lầm: I    3x  1

5

0

27

6 3x  1 1 1  dx   .

6

0

2

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh vận dụng sai công thức nguyên

  ax  b 

 1

1  ax  b  dx  .  1 a

C. 1

6 3x  1 1 1  dx   .

* Lời giải đúng: I    3x  1

5

0

3.6

6

FF

0

IC IA L



x 1  C thay vì  1

  x dx 

hàm của hàm hợp, đã dùng

(Có thể hƣớng dẫn các em giải cách khác: Đặt t  3x  1).

O

* Cách khắc phục: Yêu cầu các em học thuộc bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản và nguyên hàm hàm hợp tƣơng ứng, tự lặp ra bảng nguyên hàm của hàm hợi

N

tƣng ứng với u  ax  b . Giúp các em khắc sâu thói quen kiểm tra công thức: lấy

Ơ

đạo hàm của nguyên hàm tìm đƣợc xem có bằng hàm số đã cho?

H

2.6.3. Sai lầm do không vận dụng đúng định nghĩa tích phân 1



N

Ví dụ 2.7: Tính tích phân I 

Y

3  x  2 

1

Q

U

* Lời giải có sai lầm : I 

dx



dx

3  x  2 

2

M

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: y 



2

.

1 1 1 1  1  . x  2 3 3 6

1

 x  2

2

không xác định tại

KÈ

x  2   3;1 .

ẠY

* Lời giải đúng: Hàm số y 

1

 x  2

2

không xác định tại x  2   3;1

D

suy ra hàm không liên tục trên  3;1 , nên không sử dụng đƣợc công thức Newton

– Leinbitz nhƣ cách giải trên.

28

* Cách khắc phục: Yêu cầu các em nhớ định nghĩa tích phân, giúp các em b

tạo thói quen khi tính

 f  x  dx

cần chú ý kiểm tra xem hàm số y  f  x  có liên

a

IC IA L

tục trên đoạn  a; b không? Nếu có thì áp dụng các phƣơng pháp đƣợc học để tính tích phân đã cho, còn nếu không thì kết luận tích phân đó không tồn tại.

2.6.4. Sai lầm do nhớ nhằm tính chất tích phân 1

FF

Ví dụ 2.8: Tính tích phân I   2 xe x dx .

1

1

O

0

1

1 1 * Lời giải có sai lầm : I   2 xe dx   2 xdx. e x dx  x 2 .e x  e  1.

0 0 x

0

0

N

0

Ơ

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh tự “sáng tạo” ra quy tắc nguyên

1

H

hàm của một tích thay vì sử dụng công thức tích phân từng phần.



* Lời giải đúng: I   2 xe dx  2 xe

1

0

U

1  2e  2  e  1  2 0

Q

 2e  2e x

 0  2 e xdx

x 1

Y

0

N

x

* Cách khắc phục: Yêu cầu các em học thuộc các tính chất của nguyên hàm

M

và tích phân giúp các em tổng quát hoá các dạng toán sử dụng phƣơng pháp tích

KÈ

phân từng phần.

2.6.5. Sai lầm khi đổi biến số

Ví dụ 2.9: Tính tích phân I   1  x 2 dx .

ẠY D

1

0

* Lời giải có sai lầm: Đặt x  sin t  dx  cos tdt .

1

1

1  cos 2t  t sin 2t  1 1 1 dt       sin 2 2 4 0 2 4 2 0

1

I   1  sin t cos tdt   cos tdt   2

0

2

0

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh đổi biến nhƣng không đổi cận. * Lời giải đúng: Đặt x  sin t  dx  cos tdt .

29



Đổi cận: x  0  t  0 , x  1  t  

I 0

.







 1  cos 2t  t sin 2t  1  sin t cos tdt   cos tdt   dt     2 .

4  4 2 2 0 0 0 2

2

2

2

IC IA L

2

2

* Cách khắc phục: Yêu cầu các em thực hiện từng tự cách bƣớc tính tích

phân theo phƣơng pháp đổi biến số (đổi biến và đổi cận). Khi gặp tích phân dạng 

FF

I   a 2  x 2 dx , nếu tích phân tồn tại thì thông thƣờng ta dùng cách đặt x  a sin t 

O

(hoặc x  a cos t ) và đổi cận, chuyển tích phân biến x sang biến t ; sau đó tính tích

N

phân mới theo biến t .

1

dx

 3x  1

3

.

Ơ

Ví dụ 2.10: Tính tích phân I   0

Y

I 

N

dt 1 4 15 .   t 3 2t 2 1 32 1 4

H

* Lời giải có sai lầm: Đặt t  3x  1 . Đổi cận: x  0  t  1 , x  1  t  4 .

U

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: HS thực hiện đổi biến nhƣng không tính vi

Q

phân dt .

* Lời giải đúng: Đặt t  3x  1  dt  3dx .

M

Đổi cận: x  0  t  1 , x  1  t  4 .

dt 1 4 5  2  3 3t 6t 1 32 1 4

KÈ

I 

ẠY

* Cách khắc phục: Yêu cầu các em học thuộc các bƣớc thực hiện phƣơng

pháp đổi biến số giúp các em tạo thói quen kiểm tra lại bài làm, kiểm tra kết quả

D

bằng phép tính gần đúng trên máy tính bỏ túi.

2.6.6. Sai lầm do thực hiện sai phép biến đổi đại số 2

Ví dụ 2.11: Tính tích phân I   x 2  2 x  1dx 0

* Lời giải có sai lầm: 30

2

2

 x  1

I   x  2 x  1dx   2

0

0

2

2

dx    x  1

 x  1 dx  2

0

2

2 0

0

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh thực hiện sai phép biến đổi đại số:

 x  1 với x  0;2 , thay vì dùng 2

 x  1 2

* Lời giải đúng: I   x  2 x  1dx   2

0

2

 x  1

0

1

2

0

1

 x  1 với x  0;2 .

2

2

dx   x  1 dx 0

  1  x  dx    x  1 dx 

IC IA L

2

1 1  1 2 2

FF

 x  1

 f  x  

2n

thì dùng phép biến đổi

2n

 f  x  

N

2n

hàm số dạng

O

* Cách khắc phục: Yêu cầu các em lƣu ý khi gặp tích phân hàm vô tỉ chứa 2n

 f  x  ( n  * ).

Ơ

Khi đó ta phải xét dấu hàm số f  x  trên đoạn  a; b rồi dùng tính chất tách cận,

N

2.7. Biện pháp thực hiện

H

phân tích thành tổng các tích phân để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Y

Để khắc phục những khó khăn mà HS thƣờng gặp phải, chúng tôi đã thực

U

hiện một số giải pháp nhƣ sau:

2.7.1. Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà HS thiếu hụt

Q

- Phân tích, mổ xẻ các khái niệm, định nghĩa, định lí để HS nắm đƣợc bản chất

M

của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó.

KÈ

- Đƣa ra các ví dụ, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa, định lí.

- So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy đƣợc sự giống và

D

ẠY

khác nhau giữa chúng.

- Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải.

2.7.2. Rèn luyện cho HS về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp - Thao tác tƣ duy: Phân tích, so sánh,...

- Kỹ năng: Lập luận vấn đề, chọn phƣơng án phù hợp để giải quyết vấn đề.

- Phƣơng pháp: Phƣơng pháp giải toán.

2.7.3. Đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy năng lực tự học,

31

sáng tạo của HS - Sử dụng phƣơng pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế.

- Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho HS.

IC IA L

- Sử dụng phƣơng tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho bài giảng sinh

động hơn, bớt khô khan và học sinh không cảm thấy nhàm chán. Chẳng hạn sử dụng bảng phụ, phiếu học tập, nếu có điều kiện thì sử dụng giáo án điện tử kết hợp 2.7.4 Phân dạng bài tập và phương pháp giải - Phân dạng bài tập và phƣơng pháp giải.

O

- Hệ thống kiến thức cơ bản.

FF

với việc trình chiếu để HS thấy đƣợc hình động liên quan trực tiếp tới bài giảng.

N

- Đƣa ra các bài tập tƣơng tự, bài tập nâng cao.

Ơ

- Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán, suy ra kết 2.8. Kết luận chƣơng 2

H

quả mới, bài toán mới. Nhƣ vậy học sinh sẽ có tƣ duy linh hoạt và sáng tạo.

N

Chƣơng này ngƣời viết đã đề xuất một số biện pháp nhằm phát huy năng lực

Y

giải toán cho học sinh thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm khi dạy học giải

U

tích 12. Trong đó chú trọng vào việc xây dựng hệ thống bài tập đa dạng và phong

Q

phú, phù hợp với trình độ và năng lực của học sinh.

Với những đề xuất này, tác giả hi vọng góp thêm đƣợc một tiếng nói vào việc cụ thể

M

hóa đổi mới phƣơng pháp dạy học trong giai đoạn hiện nay trong việc nâng cao chất

D

ẠY

KÈ

lƣợng dạy học giải tích nói riêng và dạy học bộ môn Toán nói chung.

32

Chƣơng 3 THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 3.1. Mục đích thực nghiệm

IC IA L

Kiểm nghiệm giả thiết khoa học mà luận văn đã đề xuất trong việc rèn luyện

năng lực giải Toán cho HS thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm trong dạy học Giải tích 12.

Xem xét tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp khi áp dụng dạy học Giải

FF

tích 12.

Căn cứ vào kết quả thực nghiệm, phân tích và xử lý các số liệu thu đƣợc để

O

đánh giá ƣu điểm, khuyết điểm của từng biện pháp trong điều kiện thực tế ở trƣờng

N

THPT trên địa bàn.

3.2.1. Tổ chức thực nghiệm

Ơ

3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm

H

Thực nghiệm sƣ phạm đƣợc tiến hành ở cặp lớp …. của trƣờng THPT….làm

N

thực nghiệm (TN) và đối chứng (ĐC) thể hiện cho các kết quả của luận văn. Giáo

Y

viên chủ nhiệm cho biết trình độ HS các lớp là tƣơng đƣơng nhau.

U

- GV dạy lớp thực nghiệm: …..

Q

- GV dạy lớp đối chứng: …..

- Lớp thực nghiệm 12A1: Giảng dạy có sử dụng các biện pháp rèn luyện rèn

M

luyện năng lực giải Toán cho HS thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm trong

KÈ

dạy học Giải tích 12.

- Lớp đối chứng 12A3: Giảng dạy không sử dụng các biện pháp rèn luyện

rèn luyện năng lực giải Toán cho HS thông qua việc phát hiện và sửa chữa sai lầm

D

ẠY

trong dạy học Giải tích 12.

3.2.2. Nội dung thực nghiệm Nội dung thực nghiệm sƣ phạm chủ yếu chỉ tập trung vào một số bài tập giải

tích 12 có kiến thức liên quan ở chƣơng I: “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và đồ thị hàm số”.

Trang bị cho học sinh các kiến thức về phƣơng pháp giải toán, đặc biệt là các

33

dấu hiệu phát hiện lời giải sai, tạo các “bẫy” trong các bài toán, nhằm rèn luyện cho học sinh hạn chế sai lầm khi giải toán.

3.3.3. Giáo án thực nghiệm VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ I. Mục tiêu: - Kiến thức cơ bản:

IC IA L

BÀI TẬP ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT

FF

+ Nắm khái niệm đơn điệu của hàm số và quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng hay nghịch biến trên một khoảng cho trƣớc.

O

+ Vận dụng các định lý 1 và định lý 2 để xác định các khoảng đơn điệu của

N

hàm số.

Ơ

+ Giúp HS giải đƣợc một số bài toán lien quan: Tìm tham số m để hàm số đồng biến.

H

- Kỹ năng: Xét tính dơn điệu của hàm số va cực trị của hàm số.

N

- Thái độ nhận thức: Tái hiện, so sánh và liên tƣởng.

Y

II . Chuẩn bị:

GV: Phiếu học tập và một số bài tập làm thêm.

-

HS: Ôn lại định nghĩa và các định lý về sự đơn điệu của hàm số.

Q

U

-

III. Tiến trình:

M

1) Ổn định lớp: Kiểm tra sĩ số:

KÈ

2) Kiểm tra bài cũ:

ẠY

a/ Phát biểu định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến.

b/ Phát biểu định lý thể hiện mối liên hệ giữa dấu của đạo hàm và tính đơn

D

điệu của hàm số. c/ Áp dụng: Xác định khoảng đơn điệu của hàm số y  2 x 4  1 .

Sửa bài tập TXĐ: D 

. Ta có y '  8 x3

y'  0  x  0 34

Bảng biến thiên -

X

+

0

y’

+

0

_ +

Y

IC IA L

+

1

FF

Hàm số đồng biến trên  0;  , hàm số nghịch biến trên  ;0  .

3) Bài mới:

O

Hoạt động 1: Bài tập xét tính đơn điệu của hàm số.

Hoạt động của HS

N

Hoạt động của GV

+ TXĐ: D 

+ Điều kiện để hàm số

y '  6 x 2  6  m  2  x  6  m  1

đồng biến trên

+ Để hàm số luôn đồng biến

H

?

 x2   m  2 x   m  1  0, x 

Q

+ Kết luận ?

M

\ m

KÈ

tƣơng tự

Gọi HS nhận xét

ẠY

nào của m thì hàm số sau luôn đồng biến:

y  2 x3  3  m  2  x 2 6  m  1 x  3m  5

1  0  m2  0  m  0    0

Gọi HS lên bảng giải + TXĐ:

D

Bài tập 1: Với giá trị

U

+ TXĐ ?

N

ra điều kiện m

ta suy  y '  0, x 

Y

+ Từ điều kiện

Ơ

+ Tính y ' ?

Nội dung

Bài tập 2: Với giá trị nào của m thì hàm số

y' 

m2  m  2

 x  m

2

+ Để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

 y '  0  m2  m  2  0  2  m  1

Hoạt động 2: Bài tập về cực trị của hàm số.

35

y

mx  m  2 xm

nghịch biến trên từng khoảng xác định.

Hoạt động GV

Hoạt động HS

Nội dung

+ Điều kiện để hàm số

y '  3x 2  3mx  3  2m  1

Bài tập 4:

đạt cực trị tại x  xo

y ''  6 x  6m

Tìm m để hàm số

x  xo .

y  x3  3mx 2  3 2m  1 x  1 đạt cực đại tại x  1 .

O

3  12m  3  0 m  0   m  1 m  1

FF

 y '  1  0   y "  1  0

IC IA L

+ Điều kiện để hàm số Hàm số đã cho là hàm bậc 3 đạt cực đại, cực tiểu tại Hàm số đạt cực đại tại x  1

Vậy m  0 thì hàm số có cực

Ơ

N

đại tại x  1.

4) Cũng cố và dặn dò:

H

- Xem lại các bài tập về tính đơn điệu của hàm số.

N

- Các bài tập về cực trị của hàm số.

Y

- Hƣớng dẫn HS các bài tập về nhà.

U

1/ Xác định m để hàm số hàm số y  x3  3mx 2  3(2m  1) x  1 luôn đồng

Q

biến trên tập xác định.

M

2/ Định m để hàm số hàm số y 

mx  1 (với m là tham số thực) giảm trên x2

KÈ

từng khoảng xác định của nó.

3/ Xác định m để hàm số y  x3  3mx 2  3  m2  1 x  m2  3m có cực trị.

5/ Xác định m để hàm số y  x 4  4mx 2  m có ba cực trị.

D

ẠY

4/ Xác định m để hàm số y  x 4   m  1 x 2  1  m có một cực trị.

36