PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG ĐẠI SỐ TỔ HỢP

PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH

vectorstock.com/10212081

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection

PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG ĐẠI SỐ TỔ HỢP WORD VERSION | 2021 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG ĐẠI SỐ TỔ HỢP

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN CHUYÊN NGÀNH LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC (BỘ MÔN TOÁN) MÃ SỐ: 60 14 10

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT

Viết tắt

Viết đầy đủ

1. ĐSTH

Đại số tổ hợp

2. Nxb

Nhà xuất bản

3. TDST

Tư suy sáng tạo

4. THPT

Trung học phổ thông

i

MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn ................................................................ Error! Bookmark not defined.

Danh mục chữ viết tắt ................................................................................................. i Mục lục ....................................................................................................................... ii Danh mục các bảng ................................................................................................... vi Danh mục biểu đồ, sơ đồ .......................................................................................... vii MỞ ĐẦU ....................................................................................................................1 Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ....................................................5 1.1. Một số vấn đề cơ bản của tư duy .........................................................................5 1.1.1. Khái niệm ..........................................................................................................5 1.1.2. Đặc điểm cơ bản của tư duy ..............................................................................5 1.1.3. Quá trình tư duy ................................................................................................8 1.2. Tư duy sáng tạo ..................................................................................................10 1.2.1. Khái niệm ........................................................................................................10 1.2.2. Các tính chất của tư duy sáng tạo ...................................................................11 1.2.3. Một số biểu hiện đặc trưng của tư duy sáng tạo .............................................13 1.3. Tư duy sáng tạo trong Toán học ........................................................................14 1.4. Đại số tổ hợp trong chương trình toán THPT ....................................................18 1.4.1. Bài toán đại số tổ hợp......................................................................................18 1.4.2. Quá trình phát triển bài toán đại số tổ hợp trong chương trình toán THPT....19 1.5. Thực trạng dạy và học đại số tổ hợp ở trường THPT đối với yêu cầu phát triển TDST cho học sinh....................................................................................................21 1.5.1. Thực trạng dạy học đại số tổ hợp ở trường THPT đối với yêu cầu phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh .........................................................................................21 1.5.2. Một số vấn đề trong học tập đại số tổ hợp của học sinh THPT ......................22 Kết luận Chương 1 ....................................................................................................23 Chương 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TẬP ĐSTH THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN TDST.................24

ii

2.1. Phương hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua hệ thống bài tập nội dung đại số tổ hợp .........................................................................................24 2.2. Nội dung đại số tổ hợp và những kiến thức cơ bản ...........................................26 2.2.1. Những quy tắc cơ bản .....................................................................................26 2.2.2. Hoán vị không lặp ...........................................................................................28 2.2.3. Hoán vị lặp ......................................................................................................28 2.2.4. Chỉnh hợp không lặp .......................................................................................29 2.2.5. Chỉnh hợp lặp ..................................................................................................30 2.2.6. Tổ hợp không lặp ............................................................................................30 2.2.7. Tổ hợp lặp .......................................................................................................31 2.3. Hệ thống bài tập và hướng dẫn học sinh giải các bài tập đại số tổ hợp theo hướng phát triển tư duy sáng tạo ...............................................................................34 2.3.1. Bài tập có nhiều cách giải ...............................................................................34 2.3.2. Loại bài tập có nội dung biến đổi ....................................................................53 2.3.3. Loại bài tập mở ...............................................................................................70 2.3.4. Loại bài tập ngụy biện .....................................................................................74 BÀI TẬP TỰ LUYỆN ..............................................................................................81 Kết luận Chương 2 ....................................................................................................87 Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ..............................................................88 3.1. Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm ...................................................................88 3.1.1. Mục đích thực nghiệm ....................................................................................88 3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm ....................................................................................88 3.2. Phương pháp thực nghiệm .................................................................................88 3.3. Tổ chức và nội dung thực nghiệm ......................................................................88 3.3.1. Tổ chức thực nghiệm.......................................................................................88 3.3.2. Nội dung thực nghiệm .....................................................................................89 3.4. Kết quả thực nghiệm ..........................................................................................99 3.4.1. Nhận xét của giáo viên qua tiết dạy thực nghiệm ...........................................99 3.4.2. Ý kiến của học sinh về giờ day thực nghiệm ................................................100 3.4.3. Những đánh giá từ kết quả bài kiểm tra ........................................................100 Kết luận Chương 3 ..................................................................................................106

iii

KẾT LUẬN ............................................................................................................107 TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................108

iv

DANH MỤC CÁC BẢNG Trang Bảng 3.1. Đặc điểm học sinh lớp đối chứng - lớp thực nghiệm .......................... 89 Bảng 3.2. Kết quả bài kiểm tra.............................................................................100 Bảng 3.3. Phân loại bài kiểm tra ..........................................................................101

v

DANH MỤC BIỂU ĐỒ, SƠ ĐỒ Trang Sơ đồ 1.1. Quá trình tư duy .................................................................................. 9 Biểu đồ 3.1. Phân loại bài kiểm tra ......................................................................101

vi

MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng của nhà trường phổ thông.

Qua các hoạt động tìm tòi sáng tạo, học sinh sẽ quen dần với kiểu tư duy mà bấy lâu nay nhà trường ít dạy cho họ, học sinh tự tin hơn vào khả năng sáng tạo của mình và có lòng ham muốn tìm tòi phát minh.

Môn Toán có vị trí nổi bật trong việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.

Thật vậy, kĩ năng làm việc độc lập của học sinh được rèn luyện trong môn Toán là phương pháp hiệu quả nhất để học sinh hiểu kiến thức một cách sâu sắc, có ý thức và khơi dậy tiềm năng sáng tạo. Tri thức người học nhận được ở nhà trường chỉ sống và sinh sôi nảy nở nếu người học biết sử dụng nó một cách sáng tạo bằng cách độc lập suy nghĩ của bản thân đã được tôi luyện. Nhà tâm lý học Mỹ Guilford (1967) đã nhận xét rằng: “Không có một hiện tượng tâm lý nào đã bị coi thường trong suốt một thời gian dài và đồng thời được quan tâm trở lại một cách bất ngờ như là hiện tượng sáng tạo... Ngày nay, hoạt động sáng tạo được coi là một tiền đề của sức khỏe trí tuệ ” [3]. Trong giai đoạn đổi mới hiện nay, trước những thời cơ và thử thách to lớn, để tránh nguy cơ bị tụt hậu, việc rèn luyện và phát triển khả năng sáng tạo cho thế hệ trẻ lại càng cần thiết và cấp bách hơn bao giờ hết. Điều 28 trong Luật giáo dục nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam năm 2005 đã đề cập: “ Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh...”. Nghị quyết Đại hội Đại biểu toàn quốc lần thứ IX của Đảng Cộng sản Việt Nam đã đề ra cho ngành giáo dục và đào tạo nhiệm vụ: “... Đổi mới phương pháp dạy và học, phát huy tư duy sáng tạo và năng lực tự đào tạo của người học ”.

Vấn đề phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh đã được khá nhiều người quan tâm nghiên cứu. Tuy nhiên, việc khai thác và ứng dụng những lí luận này vào thực tế giảng dạy môn toán ở các trường phổ thông nước ta còn nhiều hạn chế.

Tổ hợp nói chung và đại số tổ hợp nói riêng là một nội dung khá thú vị và khó trong chương trình trung học phổ thông. Trong các kì thi tuyển sinh Đại học, các bài

1

toán đại số tổ hợp cũng thường xuất hiện rất hay và thách thức khả năng sáng tạo của học sinh. Trong các kì thi học sinh giỏi Toán các cấp, bài toán tổ hợp thường chiếm tới 20-30% tổng số bài. Tuy nhiên, học sinh phổ thông nói chung còn tương đối yếu về mảng toán này. Nguyên nhân chính là các bài toán này thường không yêu cầu nhiều kiến thức nhưng mỗi bài toán lại đòi hỏi những suy luận, sáng tạo riêng để giải quyết vấn đề.

Thực tế cho thấy, một số giáo viên hiện nay thường gặp khó khăn trong việc giảng dạy nội dung đại số tổ hợp để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, và học sinh khi nghiên cứu về nội dung đại số tổ hợp vẫn còn nhiều hạn chế. Điều này dẫn đến khi học sinh gặp một bài toán tổ hợp được phát biểu hơi khác những gì được học, sẽ gặp những lúng túng nhất định, thậm chí là không phát hiện ra những sự liên kết giữa các bài toán có liên quan.

Xuất phát từ những lí do trên cũng như mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về nội dung đại số tổ hợp và vận dụng vào quá trình dạy học, nên tôi chọn nghiên cứu đề tài: “ Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học nội dung đại số tổ hợp”.

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận về tư duy, tư duy sáng tạo.

- Thực trạng dạy và học nội dung đại số tổ hợp theo hướng phát triển tư duy sáng tạo ở nhà trường THPT hiện nay.

- Đề xuất một số dạng bài toán đại số tổ hợp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh THPT. - Thực nghiệm sư phạm để kiểm tra chất lượng, hiệu quả và tính khả thi của đề tài, trên cơ sở đó đưa ra giải pháp nhằm nâng cao chất lượng dạy học toán.

3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu 3.1. Khách thể nghiên cứu Hoạt động dạy và học.

3.2. Đối tượng nghiên cứu Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trong dạy học nội dung đại số tổ hợp.

4. Vấn đề nghiên cứu Đề tài tập trung vào nghiên cứu vấn đề cơ bản sau:

2

Làm thế nào để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông trong quá trình dạy học nội dung đại số tổ hợp?

5. Giả thuyết khoa học Nếu sử dụng hợp lí hệ thống bài tập đại số tổ hợp trong dạy học toán thì có thể phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh và góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học nội dung này.

6. Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu các bài toán đại số tổ hợp trong chương trình THPT. 7. Mẫu khảo sát Lớp 11A2 , 11A3 trường THPT Lương Văn Can, Hà Nội.

8. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 8.1. Ý nghĩa lý luận - Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh THPT. - Đề xuất một số phương pháp dạy nội dung đại số tổ hợp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh THPT. 8.2. Ý nghĩa thực tiễn - Kết quả nghiên cứu giúp giáo viên khai thác chương trình giảng dạy nội dung đại số tổ hợp.

- Cung cấp cho giáo viên một số dạng bài tập nội dung đại số tổ hợp phát triển tính sáng tạo của học sinh trung học phổ thông.

- Giúp học sinh độc lập suy nghĩ, sáng tạo và không bị lúng túng trước các bài tập đại số tổ hợp và phát triển khả năng sáng tạo, tìm tòi, yêu thích môn Toán.

9. Phương pháp nghiên cứu 9.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận - Nghiên cứu cơ sở lý luận phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông .

- Nghiên cứu một số vấn đề có liên quan đến đề tài: phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học nội dung đại số tổ hợp.

- Nghiên cứu nội dung, cấu trúc và các dạng bài tập nội dung đại số tổ hợp.

3

9.2. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn Phương pháp điều tra, khảo sát, quan sát các quá trình học tập, giảng dạy môn toán ở trường phổ thông. Thu nhận các ý kiến của giáo viên và học sinh và tổng kết kinh nghiệm.

9.3. Phương pháp xử lý thông tin Sử dụng thống kê toán học, các phương pháp nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng và các phần mềm tin học để xử lí, phân tích và đánh giá các kết quả thực nghiệm sư phạm.

9.4. Thực nghiệm sư phạm Tổ chức thực nghiệm sư phạm có lớp đối chứng để kiểm tra chất lượng, hiệu quả và tính khả thi của đề tài.

10. Cấu trúc của luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo nội dung chính của luận văn gồm ba chương: Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn.

Chương 2. Xây dựng hệ thống bài tập và hướng dẫn học sinh giải các bài tập đại số tổ hợp theo hướng phát triển tư duy sáng tạo.

Chương 3. Thực nghiệm sư phạm.

4

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1.

Một số vấn đề cơ bản của tư duy

1.1.1. Khái niệm Hiện thực xung quanh có nhiều cái mà con người chưa biết. Nhiệm vụ của cuộc sống và hoạt động thực tiễn luôn đòi hỏi con người phải hiểu biết cái chưa biết đó ngày một sâu sắc, đúng đắn và chính xác hơn, phải vạch ra những cái bản chất và những quy luật tác động của chúng. Quá trình nhận thức đó được gọi là tư duy.

Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính, bản chất mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiên tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết [18].

Theo từ điển triết học: “Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lí luận. Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt động sản xuất xã hội của con người và đảm bảo phản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật. Tư duy chỉ tồn tại trong mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài người cho nên tư duy của con người được thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ với lời nói và những kết quả của tư duy được ghi nhận trong ngôn ngữ. Tiêu biểu cho tư duy là quá trình trừu tượng hóa, phân tích và tổng hợp. Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó”.

1.1.2. Đặc điểm cơ bản của tư duy - Tính có vấn đề của tư duy Tư duy chỉ xuất hiện khi gặp những hoàn cảnh, tình huống có vấn đề. Câu hỏi đặt ra ở đây là “ thế nào là vấn đề”? Vấn đề chính là những tình huống, hoàn cảnh chứa đựng một mục đích, một vấn đề mới mà những hiểu biết cũ, những cách giải quyết cũ còn cần thiết song không đủ để giải quyết. Muốn giải quyết vấn đề đó con người phải tìm cách thức giải quyết mới, đó chính là tư duy.

5

Tuy nhiên, không phải bất cứ hoàn cảnh nào tư duy cũng xuất hiện. Vấn đề chỉ trở nên tình huống có vấn đề khi chủ thể nhận thức được tình huống có vấn đề, nhận thức được mâu thuẫn chứa đựng trong vấn đề, chủ thể phải có nhu cầu giải quyết và phải có những tri thức liên quan đến vấn đề. Chỉ trên cơ sở đó, tư duy mới xuất hiện.

- Tính gián tiếp của tư duy Tính gián tiếp của tư duy được thể hiện trước hết ở việc con người sử dụng ngôn ngữ để tư duy. Nhờ có ngôn ngữ mà con người sử dụng các kết quả nhận thức (quy tắc, khái niệm, công thức, quy luật…) và kinh nghiệm của bản thân vào quá trình tư duy (phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát…) để nhận thức được cái bên trong, bản chất của sự vật hiện tượng.

Tính gián tiếp của tư duy còn được thể hiện ở chỗ,trong quá trình tư duy con người sử dụng những công cụ, phương tiện (như đồng hồ, nhiệt kế, máy móc…) để nhận thức đối tượng mà không thể trực tiếp tri giác chúng.

- Tính trừu tượng và khái quát của tư duy Khác với nhận thức cảm tính, tư duy không phản ánh sự vật, hiện tượng một cách cụ thể và riêng lẻ. Tư duy có khả năng trừu xuất khỏi sự vật, hiện tượng những thuộc tính, những dấu hiệu cá biệt, cụ thể, chỉ giữ lại những thuộc tính bản chất chung cho nhiều sự vật hiện tượng, trên cơ sở đó mà khái quát những sự vật hiện tượng riêng lẻ, nhưng có những thuộc tính chung thành một nhóm, một loại, một phạm trù. Nói cách khác tư duy mang tính trừu tượng và khái quát.

Trừu tượng là dùng trí óc để gạt bỏ những mặc những thuộc tính, những mối liên hệ, quan hệ thứ yếu không cần thiết và chỉ giữ lại những yếu tố cần thiết cho tư duy.

Khái quát là dùng tri óc để hợp nhất nhiều đối tượng khác nhau thành một nhóm, một loại, một phạm trù theo những thuộc tính, liên hệ, quan hệ chung nhất định.

Trừu tượng và khái quát có mối liên hệ mật thiết với nhau ở mức độ cao.

Không có trừu tượng thì không thể tiến hành khái quát, nhưng trừu tượng mà không khái quát thì hạn chế quá trình nhận thức.

6

Nhờ có đặc điểm này mà con người không chỉ giải quyết được những nhiệm vụ hiện tại mà còn có thể giải quyết được những nhiệm vụ của tương lai, trong khi giải quyết nhiệm vụ cụ thể vẫn có thể sắp xếp nó vào một nhóm, một loại, một phạm trù để có những quy tắc, những phương pháp giải quyết tương tự.

- Tư duy có quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ Tư duy mang tính có vấn đề, tính gián tiếp, tính trừu tượng và khái quát là do nó gắn chặt với ngôn ngữ. Tư duy và ngôn ngữ có mối quan hệ mật thiết với nhau.

Nếu không có ngôn ngữ thì quá trình tư duy của con người không thể diễn ra được, đồng thời các sản phẩm của tư duy (khái niệm, phán đoán…) cũng không được chủ thể và người khác tiếp nhận.

Ngôn ngữ cố định lại kết quả của tư duy, là phương tiện biểu đạt kết quả tư duy, do đó có thể khách quan hóa kết quả tư duy cho người khác và cho bản thân chủ thể tư duy. Ngược lại, nếu không có tư duy thì ngôn ngữ chỉ là những chuỗi âm thanh vô nghĩa. Tuy nhiên, ngôn ngữ không phải là tư duy mà chỉ là phương tiện của tư duy.

Ngôn ngữ của chúng ta ngày nay là kết quả của quá trình phát triển tư duy lâu dài trong lịch sử phát triển của nhân loại, do đó ngôn ngữ luôn thể hiện kết quả tư duy của con người.

- Tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính Nhận thức cảm tính bao gồm cảm giác và tri giác. Trong đó, cảm giác là một quá trình tâm lí phản ánh từng thuộc tính riêng lẻ của sự vật hiện tượng đang trực tiếp tác động vào giác quan của ta, tri giác là quá trình tâm lí phản ánh một cách trọn vẹn các thuộc tính bề ngoài của sự vật, hiện tượng khi chúng đang trực tiếp tác động vào giác quan của ta.

Tư duy phải dựa vào nhận thức cảm tính, dựa trên những tài liệu cảm tính, trên kinh nghiệm, trên cơ sở trực quan sinh động. Tư duy thường bắt đầu từ nhận thức cảm tính, trên cơ sở nhận thức cảm tính mà nảy sinh tình huống có vấn đề. Nhận thức cảm tính là một khâu của mối liên hệ trực tiếp giữa tư duy với hiện thực, là cơ sở của những khái quát kinh nghiệm dưới dạng những khái niệm, quy luật…, là chất liệu của những khái quát hiện thực theo một nhóm, một lớp, một phạm trù mang tính quy luật trong quá trình tư duy.

7

X.L.Rubinstein – nhà tâm lí học Xô viết đã viết: “nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong tư duy trừu tượng, tựa hồ như làm thành chỗ dựa của tư duy”. Lênin từng nói: “không có cảm giác thì không có quá trình nhận thức nào cả”.

Ngược lại, tư duy và những kết quả của nó ảnh hưởng mạnh mẽ, chi phối khả năng phản ánh của nhận thức cảm tính: làm cho khả năng cảm giác của con người tinh vi, nhạy bén hơn, làm cho tri giác của con người mang tính lựa chọn, tính ý nghĩa. Chính vì lẽ đó, Ph.Angghen đã viết: “nhập vào với mắt của chúng ta chẳng những có các cảm giác khác mà còn có cả hoạt động tư duy của ta nữa”.

1.1.3. Quá trình tư duy Tư duy là một quá trình hoạt động trí tuệ. Nghĩa là tư duy có nảy sinh diễn biến và kết thúc. Quá trình tư duy bao gồm 4 bước cơ bản: - Xác định được vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy. Nói cách khác là tìm được câu hỏi cần giải đáp.

- Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giả thiết về cách giải quyết vấn đề, trả lời câu hỏi.

- Xác minh giả thiết trong thực tiễn, nếu giả thiết đúng thì qua bước sau, nếu sai thì phủ định nó và hình thành giả thiết mới.

- Quyết định đánh giá kết quả, đưa ra sử dụng.

Sơ đồ quá trình tư duy do K.K.Platonop xây dựng như sau:

8

NhËn thøc vÊn ®Ò C©u hái XuÊt hiÖn c¸c liªn t−ëng

Sµng läc c¸c liªn t−ëng vµ h×nh thµnh gi¶ thuyÕt

Gi¶ thuyÕt

KiÓm tra gi¶ thuyÕt

Kh¼ng ®Þnh

Phñ ®Þnh

ChÝnh x¸c hãa

T×m gi¶ thuyÕt míi

X¸c minh

QuyÕt ®Þnh Hµnh ®éng t− duy míi

Gi¶i quyÕt vÊn ®Ò

Sơ đồ 1.1. Quá trình tư duy Như vậy quá trình tư duy là một quá trình hoạt động về trí tuệ có nhiều thao tác trí tuệ tham gia vào quá trình tư duy cụ thể như: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng và khái quát hóa.

Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó biểu hiện ở khả năng con người có thể xây dựng được những khái niệm chung gắn liền với sự trình bày của những quy luật tương ứng.

9

1.2.

Tư duy sáng tạo

1.2.1. Khái niệm Theo định nghĩa trong từ điển thì sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết vấn đề mới không gò bó và phụ thuộc vào cái đã có. Nội dung của sáng tạo gồm hai ý chính là có tính mới (khác cái cũ, cái đã biết) và có lợi ích (giá trị hơn cái cũ).

Sáng tạo cần được nghiên cứu trên nhiều phương diện như là một quá trình phát sinh cái mới trên nền tảng cái cũ, như một kiểu tư duy, như là một năng lực của con người.

Các nhà nghiên cứu đã đưa ra nhiều quan điểm khác nhau về tư duy sáng tạo.

Theo Nguyễn Bá Kim: “Tính linh hoạt, tính độc lập, tính phê phán là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác sáng tạo của tư duy sáng tạo. Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ” [9].

Theo Tôn Thân quan niệm: “Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập tạo ra ý tưởng mới, độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao”. Và theo tác giả “tư duy sáng tạo là tư duy độc lập và nó không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã có. Tính độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích, vừa trong việc tìm giải pháp”. Mỗi sản phẩm của tư duy sáng tạo đều mang rất đậm dấu ấn của mỗi cá nhân đã tạo ra nó [15].

Nhà tâm lí học người Đức Mehlow cho rằng: “Tư duy sáng tạo là hạt nhân của sự sáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục”. Theo ông, tư duy sáng tạo được đặc trưng bởi mức độ cao của chất lượng, hoạt động trí tuệ như tính mềm dẻo, tính chính xác, tính nhạy cảm, tính kế hoạch. Trong khi đó, J.DanTon lại cho rằng: “Tư duy sáng tạo đó là những năng lực tìm thấy những ý nghĩa mới, tìm thấy những mối quan hệ, là một chức năng của kiến thức, trí tưởng tượng và sự đánh giá, là một quá trình, một cách dạy và học bao gồm những chuỗi phiêu lưu bao gồm những điều như: sự khám phá, sự phát sinh, sự đổi mới, trí tưởng tượng, sự thí nghiệm, sự thám hiểm”.

10

Theo Rubinstein thì tư duy sáng tạo luôn luôn bắt đầu bằng một tình huống gợi vấn đề. “ Sáng tạo bắt đầu từ thời điểm khi các phương pháp logic để giải quyết các nhiệm vụ là không đủ, hoặc vấp phải trở ngại, hoặc kết quả không đáp ứng các đòi hỏi đặt ra từ đầu hoặc xuất hiện giải pháp mới tốt hơn giải pháp cũ.”

Trong cuốn “Sáng tạo toán học”, G.Polya cho rằng: “Một tư duy gọi là có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó. Có thể coi là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán sau này. Các bài toán vận dụng phương tiện và tư liệu này có số lượng càng lớn, có dạng muôn màu muôn vẻ thì mức độ sang tạo của tư duy càng cao. ”[5].

Qua những định nghĩa của các tác giả trên chúng ta đều nhận thấy nét phổ biến nhất của tư duy sáng tạo là tư duy sáng tạo ra cái mới. Thật vậy, tư duy sáng tạo dẫn đến những tri thức mới về thế giới, về các phương thức hoạt động. Lene đã chỉ ra các thuộc tính sau của tư duy sáng tạo: - Có sự tự lực chuyển các tri thức và kĩ năng sang một tình huống sáng tạo.

- Nhìn thấy những vấn đề mới trong điều kiện quen biết “đúng quy cách”.

- Nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết.

- Nhìn thấy cấu tạo của đối tượng đang nghiên cứu.

- Kỹ năng nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìm hiểu lời giải.

- Kỹ năng sáng tạo ra một phương pháp giải độc đáo tuy đã biết nhưng theo một phương thức khác.

Có thể nói đến tư duy sáng tạo khi học sinh tự khám phá, tự tìm cách chứng minh mà học sinh đó chưa biết đến. Bắt đầu từ tình huống gợi vấn đề, tư duy sáng tạo giải quyết mâu thuẫn tồn tại trong tình huống đó với hiệu quả cao, thể hiện ở tính hợp lí, tiết kiệm, tính khả thi và cả ở vẻ đẹp của giải pháp.

1.2.2. Các tính chất của tư duy sáng tạo Tổng hợp các kết quả nghiên cứu của tư duy sáng tạo, ta có thể thấy nổi lên năm tính chất cơ bản của tư duy sáng tạo: - Tính mềm dẻo: là khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác.

11

- Tính nhuần nhuyễn: là khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau.

- Tính độc đáo: là khả năng tìm kiếm và quyết định phương thức giải quyết lạ và duy nhất.

- Tính hoàn thiện: là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng.

- Tính nhạy cảm vấn đề: là năng lực nhanh chóng phát hiện ra vấn đề, mâu thuẫn, sai lầm, sự thiếu logic, chưa tối ưu ... do đó nảy sinh ý muốn cấu trúc lại hợp lý, hài hòa, tạo ra cái mới.

Tuy nhiên, có thể thấy rằng ba yếu tố đầu tiên (tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo) là ba yếu tố cơ bản, cốt lõi của sáng tạo. Vì vậy trong luận văn này, chúng tôi chỉ đề cập đến ba trong nhiều tính chất cơ bản của tư duy sáng tạo đó là tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn và tính độc đáo.

1.1.1.1.

Tính mềm dẻo

Tính mềm dẻo của tư duy là năng lực dễ dàng đi từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, từ thao tác tư duy này sang thao tác tư duy khác, vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa, cụ thể hóa và các phương pháp suy luận để dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác, điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại. Suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc các kiến thức kỹ năng đã có sẵn vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới, trong đó những yếu tố đã thay đổi, có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những kinh nghiệm, những phương pháp, những cách suy nghĩ từ trước. Đó là nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết.

Như vậy, tính mềm dẻo là một trong những đặc điểm cơ bản của tư duy sáng tạo. Do đó, để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh ta có thể cho các em giải các bài tập mà thông qua đó rèn luyện được tính mềm dẻo của tư duy.

1.1.1.2.

Tính nhuần nhuyễn

Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện ở năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của các tình huống, hoàn cảnh, đưa ra giả

12

thuyết mới. Các nhà tâm lí học rất coi trọng yếu tố chất lượng của ý tưởng sinh ra, lấy đó làm tiêu chí để đánh giá sáng tạo.

Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhất định các ý tưởng. Số ý tưởng nghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuất hiện ý tưởng độc đáo, trong trường hợp này số lượng làm nảy sinh chất lượng. Tính nhuần nhuyễn còn thể hiện rõ nét ở 2 đặc trưng sau: Một là tính đa dạng của các cách xử lí khi giải toán, khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Đứng trước một vấn đề giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề xuất được nhiều phương án tối ưu.

Hai là khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau, có cái nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tượng chứ không phải cái nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc.

1.1.1.3.

Tính độc đáo

Tính độc đáo của tư duy được đặc trưng bởi các khả năng: - Khả năng tìm ra những hiện tượng và những kết hợp mới.

- Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện mà bên ngoài liên tưởng như không có liên hệ với nhau.

- Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác.

Các yếu tố cơ bản trên không tách rời nhau mà trái lại chúng có mối quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau. Tính mềm dẻo của tư duy sáng tạo tạo điều kiện cho việc tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau và nhờ đó đề xuất được nhiều phương án khác nhau mà có thể tìm được giải pháp lạ, đặc sắc. Các yếu tố này có quan hệ khăng khít với các yếu tố khác như: tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề. Tất cả các yếu tố đặc trưng nói trên cùng góp phần tạo nên tư duy sáng tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con người.

1.2.3. Một số biểu hiện đặc trưng của tư duy sáng tạo Theo nghiên cứu về TDST, một số nhà khoa học đã chỉ ra một số biểu hiện đặc trưng của TDST là:

13

- Thực hiện độc lập việc chuyển các tri thức, kỹ năng, kỹ xảo sang tình huống mới hoặc gần hoặc xa, bên trong hay bên ngoài hay giữa các hệ thống kiến thức.

- Nhìn thấy những nội dung mới trong điều kiện quen biết.

- Nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết.

- Nhìn thấy cấu trúc của đối tượng đang nghiên cứu.

- Độc lập kết hợp các phương thức hoạt động đã biết tạo thành cái mới.

- Nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìm kiếm lời giải.

- Xây dựng phương pháp mới về nguyên tắc, khác với những phương pháp quen thuộc.

1.3.

Tư duy sáng tạo trong Toán học Ở trường phổ thông, đối tượng của môn Toán là những quan hệ hình dạng,

quan hệ số lượng, quan hệ logic. Môn Toán so với những môn học khác được đặc trưng bởi tính trừu tượng cao độ của nó. Toán học có ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn, tính trừu tượng cao độ làm cho toán học có tính phổ dụng, có thể ứng dụng được trong nhiều lĩnh vực rất khác nhau của đời sống thực tế.

Môn Toán được đặc trưng bởi tính logic chặt chẽ của nó. Nhìn chung, các kiến thức Toán từ lớp 1 đến lớp 12 đều có tính hệ thống, logic của nó: kiến thức học trước là cơ sở cho kiến thức học sau; khái niệm học sau được minh họa, định nghĩa thông qua các khái niệm học trước, từ các mệnh đề này suy ra mệnh đề khác một cách tuần tự.

Theo A.Astolia, dạy toán là dạy hoạt động toán học, trong đó hoạt động chủ yếu là hoạt động giải toán. Bài tập toán mang nhiều chức năng như chức năng giáo dục, chức năng giáo dưỡng, chức năng kiểm tra và đánh giá. Dạy học bài tập toán được xem là một trong những tình huống điển hình trong dạy học môn toán, khối lượng và bài tập toán ở trường THPT rất phong phú và đa dạng, có những bài toán đã có thuật giải, nhưng cũng có những bài toán chưa có thuật giải. Đứng trước những bài toán chưa có thuật giải đó người giáo viên cần gợi ý, hướng dẫn học sinh tìm đường lối giải quyết bài toán. Đó là việc làm mà người giáo viên cần phải quan tâm chú ý. Bài tập toán là một trong những phương tiện dạy học hết sức quan trọng, nhiều tài liệu lý luận dạy học toán đã xem bài tập toán là phương tiện thực hành

14

giúp học sinh hiểu sâu hơn về những kiến thức toán học, biết phân tích, tổng hợp, vận dụng kiến thức vào thực tiễn.

Các nhà tâm lý học cho rằng: “Sáng tạo bắt đầu từ thời điểm mà các phương pháp logic để giải quyết nhiệm vụ là không đủ và gặp trở ngại hoặc kết quả không đáp ứng được các đòi hỏi đặt ra từ ban đầu, hoặc xuất hiện giải pháp mới tốt hơn giải pháp cũ.”

Theo một số nghiên cứu, để phát triển khả năng sáng tạo toán học, ngoài lòng say mê học tập, cần phải rèn luyện khả năng phân tích vấn đề một cách toàn diện ở nhiều khía cạnh khác nhau, biểu hiện ở hai mặt quan trọng sau: - Phân tích các khái niệm, bài toán, kết quả đã biết ở nhiều khía cạnh khác nhau, từ đó tổng quát hóa hoặc xét các vấn đề tương tự theo nhiều khía cạnh; - Tìm nhiều lời giải khác nhau của một bài toán, khai thác các lời giải đó để giải các bài toán tương tự hay tổng quát hơn hoặc đề xuất các bài toán mới.

Chính vì vậy điều quan trọng là hệ thống bài tập cần được khai thác và sử dụng hợp lý nhằm rèn luyện cho học sinh khả năng phát triển TDST biểu hiện ở các mặt như: khả năng tìm hướng đi mới (khả năng tìm nhiều lời giải khác nhau cho bài toán), khả năng tìm ra kết quả mới (khai thác các kết quả của một bài toán, xem xét các khía cạnh khác nhau của một bài toán).

Có nhiều phương pháp khai thác các bài tập cơ bản trong sách giáo khoa để tạo ra các bài toán có tác dụng rèn luyện tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo của tư duy sáng tạo. Dựa trên cơ sở phân tích khái niệm tư duy sáng tạo cùng những tính chất đặc trưng của nó và dựa vào quan điểm bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo để phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho các em. Các bài tập chủ yếu nhằm bồi dưỡng tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo của tư duy sáng tạo.

Phương hướng chủ yếu để phát triển tư duy sáng tạo toán học cho học sinh - Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo Trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý bồi dưỡng từng yếu tố của tư duy sáng tạo: tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo. Có thể khái thác nội dung các vấn đề giảng dạy, đề xuất các câu hỏi thông minh nhằm giúp học sinh lật đi lật lại vấn đề theo các khía cạnh khác nhau để học sinh nắm thật vững bản chất các khái

15

niệm, các mệnh đề, tránh được lối học thuộc lòng máy móc và vận dụng thiếu sáng tạo.

Sử dụng từng loại câu hỏi và bài tập tác động đến từng yếu tố của tư duy sáng tạo như: những bài tập có cách giải riêng đơn giản hơn là việc áp dụng công thức tổng quát, những bài tập có nhiều lời giải khác nhau đòi hỏi học sinh phải biết chuyển từ phương pháp này sang phương pháp khác, những bài tập có những vấn đề thuận nghịch đi liền với nhau, song song với nhau, giúp việc hình thành các liên tưởng ngược xảy ra đồng thời với việc hình thành các liên tưởng thuận, những bài toán không theo mẫu, không đưa được về các loại giải toán bằng cách áp dụng các định lí, quy tắc trong chương trình…

- Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề, khơi dậy những ý tưởng mới Về giảng dạy lý thuyết, cần tận dụng phương pháp tập dượt nghiên cứu, trong đó giáo viên đưa ra các tình huống có vấn đề dẫn dắt học sinh tìm tòi, dự đoán được những quy luật của thế giới khách quan, tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề, dự đoán được các kết quả, tìm được hướng giải của một bài toán, hướng chứng minh một định lý. Nói cách khác là tăng cường cả hai bước suy đoán và suy diễn trong quá trình dạy toán.

Về thực hành giải toán, cần coi trọng các bài tập trong đó chưa rõ điều phải chứng minh, học sinh phải tự xác lập, tự tìm tòi để phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề.

- Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cần kết hợp hữu cơ với các hoạt động trí tuệ khác Việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh cần được tiến hành trong mối quan hệ hữu cơ với các hoạt động trí tuệ khác như: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, trừu tượng hóa, đặc biệt hóa, hệ thống hóa trong đó phân tích và tổng hợp đóng vai trò nền tảng. Để bồi dưỡng tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn của tư duy, học sinh cần được luyện tập thường xuyên năng lực tiến hành phân tích đồng thời với tổng hợp để nhìn thấy đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau trong những mối quan hệ khác nhau.

Trên cơ sở so sánh các trường hợp riêng lẻ, dùng phép tương tự hóa để chuyển từ trường hợp riêng lẻ này sang trường hợp riêng lẻ khác, khai thác mối liên hệ mật

16

thiết với trừu tượng hóa, làm rõ mối quan hệ chung riêng giữa mệnh đề xuất phát và mệnh đề tìm được bằng đặc biệt hóa và hệ thống hóa, ta có thể luyện tập cho học sinh khái quát hóa tài liệu toán học, tạo khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau, khả năng tìm ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tưởng như không có liên hệ với nhau, khả năng tìm ra giải pháp lạ hoặc duy nhất. Các hoạt động này góp phần bồi dưỡng tính nhuần nhuyễn cũng như tính độc đáo của tư duy.

- Chú trọng bồi dưỡng tư duy sáng tạo qua việc rèn luyện từng yếu tố cụ thể bằng việc xây dựng và dạy học hệ thống bài tập.

Giáo viên cần chú ý tới từng yếu tố của tư duy sáng tạo như tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo... Chúng ta cần phải xây dựng hệ thống bài tập giúp phát triển được các yếu tố trên, quá trình giải các bài toán này cũng sẽ chính là quá trình rèn luyện các yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo đó. Tránh cách ra bài tập máy móc, đơn giản áp dụng công thức, thiếu sự tìm tòi, vận dụng cho phù hợp với điều kiện bài toán mới...

Việc rèn luyện cho học sinh tư duy sáng tạo là một việc làm cần thiết có vai trò quan trọng trong việc hình thành kỹ năng và năng lực làm việc của học sinh sau này. Rèn luyện tư duy sáng tạo là một nhiệm vụ cũng chính là đích đến của việc dạy học. Do đó người giáo viên cần nghiêm túc thực hiện, xây dựng hệ thống bài dạy theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. Những công việc này phải được tiến hành thường xuyên, liên tục. Đòi hỏi chính người giáo viên cũng phải không ngừng sáng tạo.

Chúng ta có thể thực hiện các phương hướng trên thông qua các biện pháp cụ thể như: - Tập cho học sinh thói quen dự đoán, phân tích, tổng hợp từ trực quan hình tượng cụ thể; - Tập cho học sinh biết nhìn tình huống đặt ra dưới nhiều góc độ khác nhau; - Tập cho học sinh biết giải quyết vấn đề bằng nhiều phương pháp khác nhau và lựa chọn cách giải quyết tối ưu nhất; - Tập cho học sinh vận dụng các thao tác khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự;

17

- Tập cho học sinh biết cách hệ thống hoá kiến thức và phương pháp; - Tập cho học sinh biết cách vận dụng kiến thức vào thực tiễn; - Quan tâm tới sai lầm của học sinh tìm ra nguyên nhân và cách khắc phục; - Tôn trọng tính sáng tạo của học sinh, luôn khuyến khích động viên kịp thời chú trọng việc khơi gợi để học sinh tự phát hiện và giải quyết vấn đề.

Chúng ta có thể áp dụng một số phương pháp dạy học để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh như phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, phương pháp dạy học kiến tạo, phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn, phương pháp dạy học tự học... Các hình thức dạy học cần được đổi mới liên tục cập nhật thông tin, coi người học là trung tâm hướng tới. Hình thức tổ chức dạy học có thể là đàm thoại, là hoạt động nhóm, là pháp vấn...

Nhìn chung việc dạy học để học sinh có thể hiểu và nhận thức được vấn đề đã là khó, việc dạy cho học sinh có thể tư duy sáng tạo càng khó khăn hơn. Bên cạnh việc thực sự hiểu đối tượng học sinh của mình, người giáo viên còn cần kiên trì, liên tục đổi mới, tìm tòi học hỏi từ đồng nghiệp, từ tài liệu... để từ đó có cách giảng dạy phù hợp nhất với đối tượng học sinh của mình thu được hiệu quả giáo dục cao nhất có thể.

1.4.

Đại số tổ hợp trong chương trình toán THPT

1.4.1. Bài toán đại số tổ hợp Các bài toán tổ hợp (hay còn gọi là các bài toán về Đại số tổ hợp) chiếm một vị trí quan trọng trong chương trình giảng dạy và học tập của bộ môn Toán ở nhà trường phổ thông. Đối tượng của các bài toán này thường liên quan đến một tập hợp có hữu hạn các phần tử, vì thế các kiến thức ở đây ít liên quan đến tính liên tục, một trong những tính chất quan trọng của bộ môn giải tích. Chính vì vậy, để giải quyết các bài toán về tổ hợp người ta chủ yếu dựa vào các tư duy và lập luận của toán logic và toán học rời rạc.

Trong quá trình giải toán chúng ta thường gặp các bài toán về số tổ hợp, số chỉnh hợp, và lớp bài toán quan trọng nhất của đại số tổ hợp là các bài toán về phép đếm. Các bài toán ĐSTH thường gắn liền với các sự việc trong cuộc sống, vì vậy rất gần gũi với học sinh và các bài toán này rất đa dạng, phong phú, thú vị.

18

Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán cho học sinh. Trong đó hoạt động giải toán là hình thức chủ yếu. Vì vậy, khi học sinh tiếp xúc với các bài toán đại số tổ hợp, học sinh được rèn luyện và phát triển về mặt TDST, lập luận, suy luận logic.

Mỗi bài toán ĐSTH có thể được giải bằng nhiều cách, có thể được áp dụng nhờ các kiến thức khác nhau, nên khi giải bài toán ĐSTH là cơ hội để học sinh so sánh, lựa chọn, phân tích phương pháp phù hợp tốt nhất trong trường hợp cụ thể, giúp học sinh rèn luyện và phát triển được các thao tác tư duy.

1.4.2. Quá trình phát triển bài toán đại số tổ hợp trong chương trình toán THPT Như đã phân tích ở trên, nét đặc trưng nổi bật của TDST là tạo ra được cái mới. Qua việc giải hệ thống bài tập đã thiết kế, học sinh được rèn luyện nhiều về khả năng tìm ra hướng đi mới (tìm nhiều lời giải khác nhau), khả năng tìm ra kết quả mới (khai thác các kết quả của một bài toán, xem xét các khía cạnh khác nhau của một bài toán). Khả năng phát hiện vấn đề mới là một khả năng cực kì quan trọng mà ta cần quan tâm, bồi dưỡng, phát triển cho học sinh. Khả năng này thể hiện rõ nét nhất ở chỗ đề xuất được bài toán mới. Bài toán mới có thể là bài toán hoàn toàn mới, cũng có thể là sự mở rộng, đào sâu bài toán đã biết. Thực ra khó có thể đề ra một bài toán hoàn toàn mới không có mối liên hệ gì với bài toán đã có.

Vì vậy, tìm ra phương pháp dẫn đến bài toán mới từ những bài toán đã có là điều rất quan trọng và to lớn.

Theo tác giả, có thể có năm phương pháp sau đây: - Phương pháp thứ nhất: lập bài toán tương tự với bài toán ban đầu Những đối tượng tương tự thường là những đối tượng có tính chất giống nhau, có vai trò giống nhau. Vấn đề tương tự của hai bài toán có thể được xem xét dưới các khía cạnh sau: - Chúng có đường lối giải, phương pháp giải giống nhau.

- Nội dung của chúng có những nét giống nhau.

- Chúng đề cập đến những vấn đề giống nhau, những đối tượng có tính chất giống nhau.

19

Đây chính là tác dụng của phương pháp tương tự trong việc tạo ra bài toán mới: sau khi so sánh, đối chiếu các thuộc tính giống nhau của các đối tượng ta có thể đề ra bài toán tương tự và giải bài toán đó.

- Phương pháp thứ hai: lập bài toán đảo của bài toán ban đầu Một số bài toán nếu cứ làm theo yêu cầu của đề bài sẽ dễ dẫn đến lời giải sai, lời giải không chặt chẽ, thiếu trường hợp, hoặc lời giải quá dài, hoặc không thể tìm được lời giải. Nhưng khi ta đặt ngược lại yêu cầu của bài toán thì ta là có cách giải đơn giản và chính xác.

- Phương pháp thứ ba: thêm vào bài toán ban đầu một số yêu tố, đặc biệt hóa bài toán ban đầu Để tạo ra bài toán mới có thể thêm vào bài toán ban đầu một số yếu tố, cụ thể có thể thêm vào bài toán một số điều kiện, yêu cầu. Việc thêm yếu tố vào bài toán ban đầu có thể làm bài toán phức tạp hơn nhưng cũng có thể làm bài toán đơn giản hơn. Đặc biệt hóa bài toán thường được sử dụng trong việc soạn các bài tập có tính đặc thù, có thể làm cho bài toán trở nên hẹp hơn, nhằm chống suy nghĩ rập khuôn, chống áp dụng qui tắc, thuật toán một cách máy móc, giúp khắc phục tính ỳ của tư duy.

- Phương pháp thứ tư: bớt đi một số yếu tố của bài toán ban đầu, khái quát hóa bài toán ban đầu.

Khi đề xuất bài toán mới bằng cách bớt đi một số yếu tố của bài toán ban đầu, ta có thể bỏ đi một vài dữ kiện đã cho, bỏ đi một vài điều kiện ràng buộc. Việc bớt đi một số yếu tố phải đảm bảo hợp lí, nhằm tạo ra bài toán mới một cách xác định.

Khi đó ta mở rộng hoặc tăng tính phức tạp của bài toán.

Con đường bớt đi một số yếu tố của bài toán ban đầu, khái quát hóa bài toán ban đầu thường được sử dụng cho những bài toán có nhiều kết quả nhằm phát triển khả năng tư duy của học sinh.

- Phương pháp thứ năm: thay đổi một số yếu tố của bài toán ban đầu.

Khi thay đổi một số yếu tố của bài toán đã cho, ta có thể thay đổi một vài dữ kiện của bài toán, cũng có thể thay đổi một vài điều cần phải tìm. Việc thay đổi này làm cho bài toán trở thành một bài toán khác, có thể dễ hơn hay khó hơn, có thể

20

chuyển sang một thể loại khác, phải dùng phương pháp giải khác so với bài toán ban đầu.

1.5.

Thực trạng dạy và học đại số tổ hợp ở trường Trung học phổ thông đối

với yêu cầu phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh 1.5.1. Thực trạng dạy học đại số tổ hợp ở trường THPT đối với yêu cầu phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh Qua thực tế dạy học ở trường phổ thông cùng với việc trao đổi chuyên môn qua một số giáo viên, việc dạy học nói chung và việc bồi dưỡng cho đối tượng học sinh khá và giỏi thông qua dạy học nội dung đại số tổ hợp đối với yêu cầu phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, tác giả nhận thấy có một số tồn tại sau: - Do số tiết học trên lớp còn ít, khối lượng tri thức cần truyền đạt nhiều đồng thời phải đúng lịch phân phối chương trình theo qui định nên việc mở rộng, khai thác và ứng dụng sáng tạo các kiến thức mới đã học chưa triệt để sâu sắc. Điều này ảnh hưởng đến việc huy động vốn kiến thức của học sinh, hạn chế đến việc rèn luyện tính tích cực, độc lập, sáng tạo của học sinh trong học tập, nhất là đối tượng học sinh khá và giỏi.

- Trong chương trình toán trung học phổ thông, số lượng các bài toán về đại số tổ hợp còn đề cập rất hạn chế, nó chỉ nằm rải rác ở một bộ phận sách tham khảo, hơn nữa các dạng bài toán đại số tổ hợp rất phong phú và đa dạng, biến đổi theo nhiều hướng giải quyết. Do đó, một số giáo viên hiện nay thường gặp khó khăn trong việc giảng dạy nội dung đại số tổ hợp để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, và học sinh khi nghiên cứu về nội dung đại số tổ hợp vẫn còn nhiều hạn chế. Điều này dẫn đến việc giải các bài toán đại số tổ hợp học sinh còn tỏ ra lúng túng, chưa được rèn luyện về kĩ năng giải toán, giáo viên chưa kích thích được sự ham mê tìm tòi khám phá của học sinh, từ đó học sinh tiếp thu kiến thức một cách hời hợt và hình thức. Việc tiến hành phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh chưa được tiến hành một cách thường xuyên ngay từ đầu, chính vì vậy quá trình bồi dưỡng kiến thức toán học theo hướng nâng cao của nội dung đại số tổ hợp chưa được liền mạch và chưa có hệ thống. Chính điều đó làm cho học sinh dễ hụt hẫng kiến thức, sự khai thác bài toán gặp nhiều khó khăn.

21

Hơn nữa, hệ thống bài tập trong sách tham khảo rất đa dạng và phong phú nhưng hầu như còn rời rạc, thiếu sự liên kết trong chủ đề, và khi không có sự tự giác học tập, học sinh thường là không động đến sách tham khảo, học tập một cách thụ động.

Trong thực tế, cách dạy phổ biến hiện nay là giáo viên với tư cách là người điều khiển đưa ra kiến thức rồi chứng minh, sau đó đưa ra một số bài tập áp dụng, làm cho học sinh cố gắng tiếp thu vận dụng. Rõ ràng cách dạy như vậy giáo viên cũng thấy chưa thỏa mãn với bài dạy của mình, học sinh cũng thấy chưa hiểu được cội nguồn của vấn đề mà chỉ học một cách máy móc, thụ động, làm cho các em ít cơ hội phát triển tư duy sáng tạo, ít có cơ hội tìm tòi cái mới.

1.5.2. Một số vấn đề trong học tập đại số tổ hợp của học sinh THPT Trong quá trình học tập nội dung ĐSTH, việc giải các bài toán đại số tổ hợp học sinh còn tỏ ra lúng túng, chưa được rèn luyện về kĩ năng giải toán, chưa thực sự ham mê tìm tòi khám phá, từ đó học sinh tiếp thu kiến thức một cách hời hợt và hình thức. Điều đó dẫn đến học sinh mắc phải một số vấn đề sau: - Rất hay nhầm lẫn giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân.

- Thường hay lúng túng không biết khi nào dùng tổ hợp, khi nào dùng chỉnh hợp, khi nào dùng hoán vị và gặp khó khăn khi phối hợp sử dụng chúng.

- Chưa nắm vững một số khái niệm toán học cơ bản như chữ số đầu tiên của một số tự nhiên lớn hơn 0 phải khác 0, dấu hiệu số lẻ, số chẵn, dấu hiệu chia hết, đoạn thẳng, vectơ…

- Nắm không chính xác điều kiện để có thể thực hiện các quy tắc đếm cơ bản: trong trường hợp công việc bao gồm nhiều công đoạn thì công đoạn thứ Ai phụ thuộc vào công đoạn thứ Ai – 1.

- Hay mắc sai lầm khi gặp bài toán đếm có phải chia thành nhiều trường hợp: hoặc bị thừa trường hợp, hoặc bị thiếu trường hợp, hoặc vừa thừa vừa thiếu trường hợp.

22

Kết luận Chương 1

1. Trong chương này luận văn đã làm rõ một số vấn đề của tư duy, tư duy sáng tạo và nêu được các tính chất và một số biểu hiện đặc trưng của tư duy sáng tạo.

2. Qua việc phân tích lý luận về tư duy sáng tạo cùng với thực trạng dạy học nội dung ĐSTH ta thấy rằng: - Phát triển TDST cho học sinh là rất cần thiết và cần được quan tâm trong dạy học toán.

- Việc dạy và học nội dung ĐSTH hiện nay chưa được quan tâm và khai thác đúng mức để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.

3. Chính vì vậy việc khai thác tiềm năng của các bài toán ĐSTH để phát triển TDST cho học sinh là một hướng đi đúng đắn và cần thiết. Vậy công việc của mỗi giáo viên trong quá trình dạy học là tìm ra các phương pháp nhằm phát triển TDST cho học sinh.

23

CHƯƠNG 2 XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TẬP ĐẠI SỐ TỔ HỢP THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO 2.1. Phương hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua hệ thống bài tập nội dung đại số tổ hợp Phát triển TDST cho học sinh là quá trình lâu dài cần được thực hiện trong tất cả các khâu của quá trình dạy học. Để làm được điều này người giáo viên cần chú ý bồi dưỡng, rèn luyện TDST cho học sinh theo các thành phần của tư duy sáng tạo như: tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo... trên cơ sở tập luyện các hoạt động như sau: - Tập cho học sinh thói quen dự đoán, phân tích, tổng hợp. Từ trực quan hình tượng cụ thể, nêu dự đoán, rồi dùng các phương pháp tương thích phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa kiểm tra lại tính đúng đắn của dự đoán.

- Tập cho học sinh biết nhìn tình huống đặt ra với nhiều góc độ khác nhau, giải quyết vấn đề dưới nhiều khía cạnh, biện luận các khả năng xảy ra.

- Tập cho học sinh biết giải quyết vấn đề bằng nhiều phương pháp khác nhau, tìm ra cách giải quyết tối ưu. Người thầy có vai trò định hướng và giúp học sinh thực hiện điều này. Giúp học sinh biết hệ thống hóa kiến thức kỹ năng và sử dụng một cách mềm dẻo linh hoạt. Tập luyện tính nhuần nhuyễn của tư duy.

- Tập luyện cho học sinh biết vận dụng các thao tác, khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự. Từ các sự kiện cụ thể riêng biệt biết so sánh đối chiếu các sự kiện với nhau để phát triển ra các sự kiện chung rồi khái quát hóa thành sự kiện tổng quát. Suy diễn tiếp theo lại phát triển vấn đề mới.

- Tập cho học sinh biết hệ thống hóa kiến thức và phương pháp. Mỗi dạng bài có một cách giải riêng, cũng có khi một bài lại có nhiều cách giải do đó giáo viên phải hệ thống và chỉ ra cách giải quyết tối ưu. Đây là cách dạy học cho học sinh cách tự học, tự phát hiện và giải quyết vấn đề, bước đầu rèn luyện tư duy sáng tạo.

Học sinh có cái nhìn tổng thể về kiến thức trong chương trình, các dạng bài tập

24

thường gặp. Ở mỗi dạng biết cách hình thành và hệ thống phương pháp giải, đồng thời qua cách giải bài tập này mở rộng ra các bài tập mới, hình thành phong cách tự học.

- Quan tâm đến các sai lầm của học sinh, tìm nguyên nhân và đưa ra cách khắc phục. Học sinh thường mắc các sai lầm về logic, về vận dụng khái niệm định lý, kỹ năng tính toán,... Ở mỗi dạng sai lầm đều có hướng khắc phục chủ yếu theo ba hướng: cho học sinh nắm vững kiến thức về logic, kiến thức giáo khoa, các phương pháp giải toán cơ bản. Việc sửa chữa sai lầm nên theo hướng để học sinh tự tìm và tự khắc phục, như thế mới có độ bền và độ chắc. Từ đó học sinh mới linh hoạt và sáng tạo trong học tập cũng như trong nhận xét đánh giá các bạn.

Dạy học là một quá trình xã hội, trong đó có sự tương tác giữa người và người, người và xã hội (tập thể lớp, nhóm bạn, gia đình…). Hiểu được tính xã hội của dạy học và ảnh hưởng to lớn của xã hội đối với nhà trường sẽ giúp người thầy có một tiết dạy được thuận lợi và lôi cuốn học sinh. Trong hoạt động của mình người thầy cần quan tâm đến kinh nghiệm sống và điều kiện học tập thực tế của học sinh để xây dựng kế hoạch và nội dung học tập thích hợp.

Như vậy, căn cứ vào nhận thức hiện đại về quá trình dạy học ( quá trình nhận thức, quá trình tâm lí và quá trình xã hội), hệ thống câu hỏi và bài tập cần phản ánh tích cực và có chọn lọc các tri thức, phương pháp, kĩ năng liên quan chặt chẽ đến các hoạt động tư duy sáng tạo, thúc đẩy sự phát triển cho các kĩ năng tâm lí đặc biệt là hứng thú nhận thức, đồng thời chú ý thích đáng đến kinh nghiệm sống và điều kiện thực tế của học sinh.

Dựa trên cơ sở lí luận đã trình bày ở chương 1, hệ thống bài tập đại số tổ hợp được xây dựng nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh là những dạng bài tập như sau: - Tính mềm dẻo của tư duy sáng tạo được rèn luyện và phát triển qua dạng bài tập có nhiều cách giải, bài tập có nội dung biến đổi, bài tập mở…

- Tính nhuần nhuyễn của tư duy sáng tạo được rèn luyện và phát triển qua dạng bài tập có nhiều kết quả, bài tập có nhiều cách giải…

- Tính độc đáo của tư duy sáng tạo được rèn luyện và phát triển qua dạng bài tập kiểu đố vui, câu đố, ngụy biện…

25

2.2. Nội dung đại số tổ hợp và những kiến thức cơ bản 2.2.1. Những quy tắc cơ bản 2.1.1.1. Quy tắc cộng - Một công việc có thể thực hiện theo phương án A hoặc phương án B. Có n cách chọn phương án A, m cách chọn phương án B. Khi đó, công việc có thể thực hiện theo n + m cách.

- Ta có quy tắc cộng tổng quát: Giả sử một công việc có thể tiến hành theo một trong k phương án

A1 , A2 ,..., Ak −1 , Ak .

Phương án A1 có thể thực hiện theo n1 cách, phương án A2 có thể thực hiện theo n2 cách,..., phương án Ak có thể thực hiện theo nk cách.

Khi đó công việc có thể thực hiện theo n1 + n2 + ... + nk cách.

2.1.1.2. Quy tắc nhân - Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B. Có n cách thực hiện công đoạn A, m cách thực hiện công đoạn B. Khi đó, công việc có thể thực hiện theo n.m cách.

- Quy tắc nhân tổng quát: Giả sử một công việc bao gồm k công đoạn A1 , A2 ,..., Ak −1 , Ak .

Công đoạn A1 có thể thực hiện theo n1 cách, công đoạn A2 có thể thực hiện theo n2 cách,..., công đoạn Ak có thể thực hiện theo nk cách.

Khi đó công việc có thể thực hiện theo n1 .n2 ...nk cách.

Ví dụ 1. Với sáu chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có bốn chữ số đôi một khác nhau và trong đó nhất thiết phải có chữ số 1?

Giải: Gọi số phải lập là abcd . Vì số phải lập nhất thiết phải có chữ số 1 nên ta xét các tập A1 , A2 , A3 , A4 là tập các số có dạng 1bcd , a1cd , ab1d , abc1 tương ứng.

- Xét tập A1 , b có 5 cách chọn, c có 4 cách chọn, d có 3 cách chọn.

Do đó, số các số có dạng 1bcd là: 5.4.3 = 60 hay A1 = 60 .

26

- Xét tập A2 , a có 4 cách chọn, c có 4 cách chọn, d có 3 cách chọn.

Do đó, số các số có dạng 1bcd là: 4.4.3 = 48 hay A2 = 48 .

- Tương tự ta cũng có: hay A3 = A4 = 48 .

Vậy số các số cần tìm thỏa mãn bài toán là:

A1 + A2 + A3 + A4 = 60 + 48 + 48 + 48 = 204 .

Ví dụ 2. Hình vuông có độ dài cạnh bằng n được chia thành n 2 hình vuông đơn vị bởi các đường thẳng song song với các cạnh của hình vuông. Hỏi có bao nhiêu hình vuông con có các cạnh song song với các cạnh hình vuông đã cho và đỉnh là giao điểm của các đường thẳng song song?

Giải: Số các hình vuông con có độ dài cạnh bằng 1 là n.n = n 2 .

Số các hình vuông con có độ dài cạnh bằng 2 là (n − 1) 2 . ...

Số các hình vuông con có độ dài cạnh bằng n là 12 .

Tổng số các hình vuông con là: 12 + 2 2 + ... + n 2 .

Ví dụ 3. Từ thành phố A đến thành phố B có 7 con đường, từ thành phố B đến thành phố C có 8 con đường, từ thành phố C đến thành phố D có 9 con đường. Hỏi có bao nhiêu con đường đi từ thành phố A đến thành phố D biết rằng những con đường này phải đi qua thành phố B và thành phố C. Giải: Từ thành phố A để đến được thành phố D cần phải đi qua hai thành phố B và C. Do đó chúng ta phải sử dụng qui tắc nhân để làm bài toán này: Bước 1: Đi từ thành phố A đến thành phố B có: 7 con đường, Bước 2: Đi từ thành phố B đến thành phố C có: 8 con đường, Bước 3: Đi từ thành phố C đến thành phố D có: 9 con đường.

Do đó ta có tất cả là 7 × 8 × 9 = 504 con đường đi từ thành phố A đến thành phố D.

27

2.2.2. Hoán vị không lặp Giả sử A là một tập hữu hạn gồm n phần tử.

Một bộ có thứ tự của n phần tử khác nhau của A( x1 , x 2 ,..., xn ) gọi là một hoán vị.

Hai hoán vị ( x1 , x 2 ,..., x n ) và ( y1 , y 2 ,..., y n ) của các phần tử của tập hợp A là khác nhau nếu có tồn tại i ∈ {1,2,..., n} sao cho xi ≠ yi .

Kí hiệu P(n ) là số hoán vị của n phần tử của tập A. Khi đó:

P (n ) = n( n − 1)....2.1 = n!

Ví dụ 4. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số 0, 1, 2, 3?

Giải: Có P(4 ) = 4!= 24 hoán vị của tập A = {0,1,2,3}, nhưng phải trừ đi những hoán vị có chữ số 0 ở đầu bằng P(3) = 3!= 6 .

Vậy số các số phải tìm là: 24 − 6 = 18 .

2.2.3. Hoán vị lặp - Định nghĩa 1: Tập hợp A gồm n phần tử (không nhất thiết phân biệt). Một hoán vị của n phần tử A là một bộ sắp thứ tự của k phần tử của tập A ( k ≤ n ), trong đó: - Phần tử thứ nhất có mặt n1 lần.

- Phần tử thứ hai có mặt n2 lần. ....

- Phần tử thứ k có mặt nk lần. được gọi là một hoán vị lặp của n phần tử.

Số hoán vị lặp này được tính theo công thức:

P (n1 , n2 ,..., nk ) =

n! n1!n2 !...n3 !

Ví dụ 5. Sự sắp xếp lại thứ tự giữa các chữ cái của một từ được gọi là phép đảo chữ.

Hỏi có bao nhiêu phép đảo chữ của từ “MATEMHTICA”.

Giải:

28

Tập chữ cái của từ gồm 10 chữ cái, trong đó có 2 chữ A, 2 chữ M, 2 chữ T, 1 chữ E, 1 chữ I, 1 chữ C, 1 chữ H. Mỗi phép đảo chữ là một cách sắp xếp có lặp của 10 chữ cái trên.

Số phép đảo chữ là:

10! = 453600 .

2!.2!.2!

2.2.4. Chỉnh hợp không lặp Giả sử k ≤ n , M là tập hữu hạn gồm n phần tử.

Một hoán vị (sự sắp xếp) của một tập con gồm k phần tử của M gọi là một phép biến đổi không lặp k phần tử từ các phần tử của M hay gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử.

Số chỉnh hợp chập k của n phần tử kí hiệu là A(k , n ) hoặc Ank .

Ta có:

Ank =

n! . (n − k )!

Ví dụ 6. Một ban lãnh đạo sinh viên của một trường gồm 7 người. Có bao nhiêu cách chọn chủ tịch, phó chủ tịch, thư kí, thủ quỹ từ 7 người trên?

Giải: Cần chọn ra 4 người. Mỗi cách chọn tương ứng với một cách sắp xếp 4 phần tử từ 7 phần tử nên số cách chọn bằng: A74 = 840 cách.

Ví dụ 7. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số phân biệt được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5?

Giải: - Trường hợp 1: Số cần tìm có chữ số tận cùng là chữ số 0. Số cách chọn 3 trong 5 chữ số còn lại đặt vào 3 vị trí còn lại là số chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử:

A53 = 60 cách.

Số các số trong trường hợp này là 60 số.

- Trường hợp 2: Số cần tìm có chữ số tận cùng là 2, 4.

Chọn chữ số để đặt vào chữ số tận cùng có 2 cách.

Chọn chữ số để đặt vào vị trí đầu tiên có 4 cách.

29

2 Chọn 2 chữ số trong 4 chữ số còn lại đặt vào 2 vị trí còn lại có A4 = 12 cách.

Số các số trong trường hợp này là: 2 × 4 × 12 = 96 (số).

Vậy các số thỏa mãn bài toán là: 60 + 96 = 156 số.

2.2.5. Chỉnh hợp lặp Sự biến đổi không lặp ( x1 , x 2 ,..., x n ) đòi hỏi xi ≠ x j là những phần tử khác nhau của tập hợp hữu hạn n phần tử của tập M .

Sự biến đổi có lặp đòi hỏi các phần tử không khác nhau.

Ví dụ như: M = {a, b} thì (a, a, b, a ), (b, a, a, b ) là những biến đổi có lặp 4 phần tử của M . Vì các phần tử có thể trùng nhau nên để có một chỉnh hợp có lặp

k phần tử ta làm như sau: - Có n cách chọn phần tử thứ nhất.

- Có n cách chọn phần tử thứ hai. ...

- Có n cách chọn phần tử thứ k .

Suy ra số chỉnh hợp có lặp k phần tử là: n k .

Ví dụ 8. Tìm số các số tự nhiên gồm 5 chữ số từ tập M = {0,1,2,3,4,5,6} .

Giải: Vì các chữ số có thể trùng nhau nên mỗi số tương ứng với một chỉnh hợp có lặp chập 5 của 7 phần tử bớt đi trường hợp có chữ số 0 đứng đầu (trường hợp có chữ số 0 đứng đầu là chỉnh hợp lặp chập 4 của 6 phần tử).

Do đó số các số là: 7 5 − 7 4 = 14460 .

2.2.6. Tổ hợp không lặp Một tập hợp A gồm n phần tử. Một dãy gồm k phần tử ( 0 ≤ k ≤ n ) phân biệt (đôi một khác nhau) của tập A, không kể thứ tự các phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n .

Số tổ hợp chập k của n được kí hiệu: Cnk .

Ta có công thức liên hệ giữa số tổ hợp chập k của n và số chỉnh hợp hập k của n như sau:

30

C nk =

Ank k!

Ví dụ 9. Trong số 7 nam, 4 nữ của tổ 1 có thể vào đội bóng chuyền, giáo viên cần chọn ra 6 em, trong đó có ít nhất 2 nữ để lập một đội bóng chuyền. Hỏi có bao nhiêu cách lập đội như vậy?

Giải: - Trường hợp 1: Đội bóng chuyền có 2 nữ và 4 nam.

Số cách lập đội trong trường hợp này là: C42 × C74 = 210 cách.

- Trường hợp 2: Đội bóng chuyền có 3 nữ và 3 nam.

Số cách lập đội trong trường hợp này là: C43 × C73 = 140 cách.

- Trường hợp 2: Đội bóng chuyền có 4 nữ và 2 nam.

Số cách lập đội trong trường hợp này là: C44 × C72 = 21cách.

Vậy số cách lập đội bóng chuyền là: 210 + 140 + 21 = 371 cách.

2.2.7. Tổ hợp lặp - Cho tập M gồm n loại đồ vật, mỗi loại có ít nhất p đồ vật ( p = n, p > n, p < n ). Khi đó một bộ gồm p đồ vật, không kể thứ tự các đồ vật, mỗi đồ vật được lấy từ M có thể được lặp lại tối đa n lần, hay phân biệt, gọi là một tổ hợp lặp chập p của n .

- Xét tập hữu hạn không rỗng gồm, khi đó cặp (M ,α ) gọi là tập bội M , trong đó:

α : M → N o (α (a ) ≠ 0) .

Số các phần tử của tập bội M bằng N =

 α (a ) . a∈M

Ví dụ với M = ( a, b), α 1 ( a ) = 2, α 2 (b) = 3 thì tập bội của M gồm 5 phần tử

M = (a, a, b, b, b ) .

Giả sử M là một tập hữu hạn gồm n phần tử. Một tập con gồm k phần tử của tập bội (M ,α ) , gọi là một tổ hợp lặp k phần tử của M .

Số các tổ hợp có lặp k phần tử của M bằng:

31

C0 (k , n) = P0 (k , n − 1) =

(k + n − 1)! . k!(n − 1)!

Chứng minh: Mỗi tập con k phần tử của tập bội (M ,α ) có dạng:

   a1 ,..., a1 , a 2 , a 2 ,..., a 2 ,........, a n , a n ,..., a n    trong đó α (ai ) = 0 nếu không có phần tử a i và

α (a1 ) + α (a 2 ) + .... + α (a n ) = k .

Khi đó mỗi tập con k phần tử của tập bội (M ,α ) ta gán cho một dãy số gồm các số 1, 0 tương ứng theo quy tắc sau: + Dãy gồm có α ( a1 ) số 1, một số 0, α ( a 2 ) số 1, một số 0,... +Nếu α ( ai ) = 0 thì thay thế bởi một số 0.

Ví dụ như tập M = (a, b, c ) , khi đó tập con của tập bội

(a, a, b, b, b, c ) ↔ (1,1,0,1,1,1,0,1) (a, a, c, c, c, c ) ↔ (1,1,0,0,1,1,1,1) Phép tương ứng trên là một song ánh và số các tập con k phần tử bằng số các bộ số nêu trên được tính như sau: Bộ số đã cho gồm p số 0 và 1, trong đó:

P = α (a1 ) + 1 + α (a 2 ) + 1 + .... + α (a n −1 ) + 1 + α ( a n ) (vì có 1 số 0 ở giữa và có α (a1 ) số 1,... ).

P = α ( a1 ) + α ( a 2 ) + .... + α ( a n −1 ) + α ( a n ) + n − 1 = k + n − 1 , với α ( a1 ) + α ( a 2 ) + .... + α ( a n −1 ) + α ( a n ) bằng k số 1.

Các bộ số như vậy bằng số cách sắp xếp có lặp của k + n − 1 phần tử, trong đó một phần tử xuất hiện k lần và một phần tử xuất hiện n − 1 lần.

Suy ra số các bộ bằng:

C0 (k , n) = P0 (k , n − 1) =

(k + n − 1)! . k!(n − 1)!

Ví dụ 10. Người ta phát 15 quả bóng cho 6 học sinh. a, Tìm tất cả số cách phát.

32

b, Tìm số cách phân phát sao cho mỗi học sinh được nhận ít nhất một quả bóng.

Giải: a, Ta giả thiết những quả bóng là giống hệt nhau nên hai cách phát được gọi là khác nhau nếu có một vài học sinh nhận được số bóng khác nhau.

Ta xét tập A = ( a1 , a 2 , a3 , a 4 , a5 , a 6 ) , trong đó a i ứng với học sinh thứ i .

Nếu học sinh a i nhận được α i bóng thì ta đặt α (ai ) = α i .

Khi đó mỗi cách phân phát tương ứng với một tổ hợp có lặp gồm 15 phần tử.

Số cách phân phát bằng: C0 (15,6) =

(15 + 5)! = C 205 .

15!×5!

b, Trước hết ta phát cho mỗi học sinh 1 quả bóng, như vậy số bóng còn lại là 9 quả bóng và chúng ta lại phân phát cho 6 học sinh như trong câu a.

Số cách phân phát bóng cho học sinh thỏa mãn bài toán là:

C0 (9,6) =

(9 + 5)! = C145 .

9!×5!

Ví dụ 11. Có bao nhiêu cách phân phát 7 quả cam và 5 quả táo giống nhau cho 3 học sinh?

Giải: Vì các quả cam và quả táo là giống nhau nên các cách phân phát được xem là khác nhau nếu có học sinh nhận được số cam và số táo khác nhau.

Mỗi cách phát 7 quả cam tương ứng với một tổ hợp có lặp của 7 phần tử của tập A = (a1 , a2 , a3 ) ứng với 3 em học sinh.

Số cách phát 7 quả cam bằng: C0 (7,3) = Số cách phát 5 quả táo bằng: C 0 (5,3) =

(7 + 2)! = C92 .

7!×2!

(5 + 2)! = C72 .

5!×2!

Số cách phát cam và táo cho 3 em là: C92 × C72 = 756 cách.

33

2.3. Hệ thống bài tập và hướng dẫn học sinh giải các bài tập đại số tổ hợp theo hướng phát triển tư duy sáng tạo Khi giải các bài toán về đại số tổ hợp, học sinh cần hiểu và sử dụng thành thạo về hai qui tắc cộng và nhân. Đồng thời học sinh cần phân biệt được khi nào thì sử dụng qui tắc cộng, qui tắc nhân, khi nào thì sử dụng chỉnh hợp, tổ hợp, hoán vị.

Trong một bài toán đại số tổ hợp, có thể phải kết hợp sử dụng cả qui tắc cộng và qui tắc nhân, có thể phải sử dụng hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp kết hợp cùng hai qui tắc cộng và nhân thì bài toán mới có lời giải.

2.3.1. Bài tập có nhiều cách giải Khi tìm tòi nhiều cách giải cho một bài toán, học sinh dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, đồng thời học sinh không suy nghĩ rập khuôn hay áp dụng một cách máy móc các kiến thức, kĩ năng có sẵn, có thể nhìn nhận vấn đề theo nhiều phương diện khác nhau. Qua các cách giải khác nhau của một bài toán, học sinh sẽ phân tích, đánh giá được phương hướng giải, ưu điểm, nhược điểm của mỗi cách giải và nhận định được đâu là cách giải tối ưu nhất. Vì với bài toán này thì cách giải này là phù hợp nhất, nhưng với bài toán khác thì cách giải đó lại không phù hợp và dễ dẫn đến sai lầm trong việc tìm ra kết quả. Đặc biệt, học sinh có thể tạo ra một số lượng nhất định các ý tưởng. Số ý tưởng nghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuất hiện ý tưởng độc đáo. Đứng trước một vấn đề giải quyết, các em có thể nhanh chóng tìm và đề xuất được nhiều phương án tối ưu.

Những điều này là đặc trưng của tính mềm dẻo và tính nhuần nhuyễn trong TDST. Sau đây là một số ví dụ điển hình cho loại bài tập có nhiều cách giải.

Bài toán 1. Từ các chữ số từ 0 đến 9 lập các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau. Có bao nhiêu số được lập?

Giải: Nhận xét: Số cần tìm được lập từ tập chữ số từ 0 đến 9, do đó, học sinh chú ý đến điểm đặc biệt của bài toán đó là chữ số hàng trăm cần khác 0.

Cách 1: Gọi số cần tìm là abc ( a, b, c đôi một khác nhau, a ≠ 0 ).

Bước 1: Chọn a có 9 cách chọn,

34

Bước 2: Chọn b có 9 cách chọn, Bước 3: Chọn c có 8 cách chọn.

Vậy số các số cần tìm thỏa mãn bài toán là: 9 × 9 × 8 = 648 số.

Cách 2: Gọi số cần tìm là abc ( a, b, c đôi một khác nhau, a ≠ 0 ).

Bước 1: Chọn a có 9 cách chọn, Bước 2: Chọn 2 trong chín chữ số còn lại đặt vào 2 vị trí còn lại có A92 cách.

2 Vậy số các số cần tìm thỏa mãn bài toán là: 9 × A9 = 648 số.

Cách 3: Xét số có dạng abc ( a, b, c đôi một khác nhau, a có thể bằng 0).

Mỗi số được lập được là một chỉnh hợp chập 3 của 10 phần tử. Số các số lập được là A103 số.

Xét số có dạng 0bc ( b, c đôi một khác nhau).

Mỗi số được lập được là một chỉnh hợp chập 2 của 9 phần tử. Số các số lập 2 được là A9 số.

3 2 Số các số cần tìm là: A10 − A9 = 648 số.

Cách 4: Tập hợp đã cho gồm 10 chữ số, số tạo thành là số có 3 chữ số đôi một khác nhau. Nếu coi vai trò của 10 chữ số đã cho là như nhau thì mỗi số tạo thành là một chỉnh hợp chập ba của mười chữ số trên. Số các số tìm được là số chỉnh hợp chập 3 3 của 10 phần tử: A10 = 720 (số).

Trong 720 số tìm được, ở mỗi vị trí ( hàng trăm, chục, đơn vị) mỗi chữ số 0, 1, 2, ..., 9 xuất hiện là như nhau và xuất hiện 720 : 10 = 72 lần.

Như vậy có 72 số mà chữ số đầu bằng 0.

Vậy số các số thỏa mãn bài toán là: 720 − 72 = 648 (số).

Nhận xét: Nhìn nhận được yếu tố đặc biệt của bài toán là chữ số a ≠ 0 nên cách 1 và cách 2 làm, học sinh chọn a trước. Vì nếu chọn b hoặc chọn c trước thì với b, c = 0 hay b, c ≠ 0 thì có số cách chọn a lại khác nhau.

35

Nhìn vấn đề a ≠ 0 dưới góc độ khác, đó là tạm thời chấp nhận tất cả các số được lập, sau đó loại bỏ các số có chữ số hàng trăm bằng 0, ta có cách làm thứ 3 của bài toán này mà kết quả vẫn chính xác.

Cũng với việc coi chữ số 0 có vai trò như các chữ số khác, ta có cách làm thứ 4. Tuy nhiên điều này khác với cách 3 đó là học sinh dựa vào số lần xuất hiện của các chữ số trong các số tìm được để loại trừ những số không thỏa mãn. Cách 3 và cách 4 cho thấy học sinh phát huy được tính mềm dẻo và tính nhuần nhuyễn trong suy nghĩ và sáng tạo được những cách làm rất độc đáo cho bài toán.

Bài toán 2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau và luôn có mặt chữ số 2?

Giải: Nhận xét: Tập chữ số cho ban đầu có mặt chữ số 0. Đây là một chữ số đặc biệt vì khi có sự xuất hiện của nó thì khi làm bài cần nhớ rằng chữ số hàng nghìn của số cần tìm luôn khác 0. Cùng với yêu cầu của bài toán là luôn có mặt chữ số 2 nên bài toán có 2 điểm đặc biệt đó là: - Chữ số hàng nghìn luôn khác 0, - Số cần tìm luôn có mặt chữ số 2.

Vậy phải làm thế nào để có thể tìm được số thỏa mãn 2 điểm đặc biệt này của bài toán?

Xét các cách giải sau đây: Cách 1: Gọi số cần tìm là abcd ( a, b, c, d đôi một khác nhau, a ≠ 0 ).

- Trường hợp 1: a = 2 Bước 1: Chọn b có 5 cách chọn, Bước 2: Chọn c có 4 cách chọn, Bước 3: Chọn d có 3 cách chọn.

Số các số tìm được thỏa mãn bài toán trong trường hợp này là:

5 × 4 × 3 = 60 (số).

- Trường hợp 2: a ≠ 2 .

Bước 1: Chọn a có 4 cách chọn (do a ≠ 2 và a ≠ 0 ), Bước 2: Chọn vị trí để đặt chữ số 2: có 3 cách chọn,

36

Bước 3: + Vị trí thứ nhất trong 2 vị trí còn lại có 4 cách chọn, + Vị trí thứ hai trong 2 vị trí còn lại có 3 cách chọn.

Số các số tìm được thỏa mãn bài toán trong trường hợp này là:

4 × 3 × 4 × 3 = 144 (số).

Vậy số các số thỏa mãn bài toán là 60 + 144 = 204 (số).

Cách 2: Gọi số cần tìm là abcd ( a, b, c, d đôi một khác nhau, a ≠ 0 ).

- Trường hợp 1: a = 2 . Chọn 3 trong năm chữ số còn lại để đặt vào 3 vị trí còn lại có A53 = 60 cách.

Số các số tìm được thỏa mãn bài toán trong trường hợp này là 60 số.

- Trường hợp 2: a ≠ 2 .

Bước 1: Chọn a có 4 cách chọn (do a ≠ 2 và a ≠ 0 ), Bước 2: Chọn vị trí để đặt chữ số 2: có 3 cách chọn, Bước 3: Chọn 2 trong 4 chữ số còn lại đặt vào 2 vị trí còn lại có A42 cách.

Số các số trong trường hợp này là: 4 × C31 × A42 = 144 số.

Vậy số các số thỏa mãn bài toán là 60 + 144 = 204 số.

Cách 3: Trước hết ta tìm số các số có 4 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Bước 1: Chọn a có 5 cách chọn.

(Chúng ta phải xuất phát từ a trước, vì a là điểm đặc biệt) 3 Bước 2: Chọn 3 trong năm chữ số còn lại đặt vào 3 vị trí còn lại có A5 cách.

3 Số các số tìm được là: 5 × A5 = 300 (số).

Tìm số các số có 4 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 không có mặt chữ số 2: Bước 1: Chọn a có 4 cách chọn.

(Chúng ta phải xuất phát từ a trước, vì a là điểm đặc biệt) 3 Bước 2: Chọn 3 trong bốn chữ số còn lại đặt vào 3 vị trí còn lại có A4 cách.

3 Số các số tìm được là: 4 × A4 = 96 (số).

37

Vậy số các số tìm được thỏa mãn bài toán là: 300 − 96 = 204 số.

Cách 4: Gọi số có dạng abcd ( a, b, c, d đôi một khác nhau, a có thể bằng 0), luôn có mặt chữ số 2.

Bước 1: Chọn vị trí để đặt chữ số 2 có 4 cách, 3 Bước 2: Chọn 3 trong năm chữ số còn lại đặt vào 3 vị trí còn lại có A5 cách.

3 Số các số có dạng trên là: 4 × A5 = 240 (số).

Gọi số có dạng 0bcd ( b, c, d đôi một khác nhau), luôn có mặt chữ số 2.

Bước 1: Chọn vị trí để đặt chữ số 2 có 3 cách, Bước 2: Chọn 2 trong bốn chữ số còn lại đặt vào 2 vị trí còn lại có A42 cách.

Số các số có dạng trên là: 3 × A42 = 36 (số).

Vậy số các số thỏa mãn bài toán là: 240 − 36 = 204 số.

Cách 5: Để có số cần tìm ta xét bộ ba chữ số abc được lập từ các chữ số 0, 1, 3, 4, 5.

- Trường hợp 1: a = 0 Bước 1: Chọn b có 4 cách chọn, Bước 2: Chọn c có 3 cách chọn, Đưa chữ số 2 vào bộ ba chữ số này chỉ có 1 cách (đứng đầu).

Số các số tìm được thỏa mãn bài toán trong trường hợp này là:

4 × 3 = 12 (số).

- Trường hợp 2: a ≠ 0 .

Bước 1: Chọn a có 4 cách chọn, Bước 2: Chọn b có 4 cách chọn, Bước 3: Chọn c có 3 cách chọn, Đưa chữ số 2 vào bộ ba chữ số này có 4 cách.

Số các số tìm được thỏa mãn bài toán trong trường hợp này là:

4 × 4 × 3 × 4 = 192 (số).

Vậy số các số tìm được thỏa mãn bài toán là: 12 + 192 = 204 (số).

38

Nhận xét: Cách 1 và cách 2 của bài toán được học sinh giải quyết theo phương diện trực tiếp của bài toán và sự kết hợp thỏa mãn 2 yếu tố đặc biệt, nên xuất phát từ cách chọn a và chia 2 trường hợp.

Tuy nhiên, với bài toán này, ngoài cách nhìn nhận theo phương diện trực tiếp, học sinh còn có thể nhìn nhận theo phương diện gián tiếp, tức là đưa bài toán về bài toán ngược của bài toán đã cho và giải quyết bài toán đó. Cách làm này còn được gọi là đi tìm “phần bù” của bài toán ban đầu. Với một số bài toán thì cách làm gián tiếp đơn giản hơn rất nhiều so với cách làm trực tiếp. Từ đó, học sinh có cách làm thứ 3.

Cách 4 và cách 5 là 2 cách làm rất độc đáo và sáng tạo. Cách 4 được đưa ra khi học sinh nhìn nhận yếu tố đặc biệt là chữ số hàng nghìn cần khác 0, cách 5 là do học sinh nhìn nhận từ yếu tố chữ số cần có mặt là chữ số 2. Học sinh nghĩ đến việc bỏ bớt chữ số 2 và chỉ tìm số có 3 chữ số, sau đó chèn chữ số 2 vào sẽ được số có 4 chữ số và luôn có mặt chữ số 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Trong các cách làm bài toán trên, cả 5 cách làm đều có hiệu quả như nhau và có những ưu điểm. Nhưng với cách 4 và cách 5 có hướng làm rất khác so với các cách làm còn lại. Điều này sẽ tạo hứng thú cho học sinh tìm tòi và khám phá thêm nhiều cách làm khác và tạo cho học sinh thói quen suy nghĩ không rập khuôn trước một vấn đề.

Bài toán 3. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và lớn hơn 2009?

Giải: Bài toán trên có 2 yêu cầu: - Số cần tìm là số chẵn.

- Số cần tìm lớn hơn 2009.

Xét 3 cách giải: 2 cách trực tiếp và 1 cách gián tiếp sau đây: Cách 1: Trực tiếp.

Gọi số cần tìm là abcd ( a, b, c, d đôi một khác nhau, a ≠ 0 ).

Số cần tìm lớn hơn 2009 nên a = {2,3,4,5,6,7,8,9}.

- Trường hợp 1: a = {3,4,5,6,7,8,9}.

39

Do số cần tìm là số chẵn nên d = {0,2,4,6,8}. + Nếu d = {0,2}.

Bước 1: Chọn d có 2 cách chọn.

Bước 2: Chọn a có 7 cách chọn.

Bước 3: Chọn 2 trong 8 chữ số còn lại để đặt vào 2 vị trí b, c có A82 cách chọn.

Số các số cần tìm thỏa mãn bài toán trong trường hợp này là:

2 × 7 × A82 = 784 (số). +Nếu d = {4,6,8}.

Bước 1: Chọn d có 3 cách chọn.

Bước 2: Chọn a có 6 cách chọn.

2 Bước 3: Chọn 2 trong 8 chữ số còn lại để đặt vào 2 vị trí b, c có A8 cách

chọn.

Số các số cần tìm thỏa mãn bài toán trong trường hợp này là:

3 × 6 × A82 = 1008 (số).

- Trường hợp 2: a = 2 . Số cần tìm có dạng 2bcd .

Số cần tìm lớn hơn 2009 nên b = {0,1,3,4,5,6,7,8,9}.

• Nếu b = 0 . Số có dạng 20cd .

Bước 1: Chọn d có 3 cách chọn ( d = {4,6,8}).

Bước 2: Chọn c có 7 cách chọn.

Số các số thỏa mãn bài toán trong trường hợp này là: 3 × 7 = 21 (số).

• Nếu b = {1,3,4,5,6,7,8,9} . + Nếu d = 0 .

Bước 1: Chọn b có 8 cách chọn.

Bước 2: Chọn c có 7 cách chọn.

Số các số cần tìm thỏa mãn bài toán trong trường hợp này là:

8 × 7 = 56 (số). +Nếu d = {4,6,8}.

Bước 1: Chọn d có 3 cách chọn.

40

Bước 2: Chọn b có 7 cách chọn.

Bước 3: Chọn c có 7 cách chọn.

Số các số cần tìm thỏa mãn bài toán trong trường hợp này là:

3 × 7 × 7 = 147 (số).

Vậy số các số thỏa mãn bài toán là:

784 + 1008 + 21 + 56 + 147 = 2016 (số).

Cách 2: Gọi số cần tìm là abcd ( a, b, c, d đôi một khác nhau, a ≠ 0 ).

Số cần tìm lớn hơn 2009 nên a = {2,3,4,5,6,7,8,9}.

- Trường hợp 1: a = {3,5,7,9}.

Chọn a có 4 cách chọn.

Chọn d có 4 cách chọn (do phải loại đi 1 chữ số đã chọn cho a ).

2 Chọn 2 trong 8 chữ số còn lại để đặt vào 2 vị trí còn lại, có A8 cách chọn.

Số các số thỏa mãn bài toán trong trường hợp này là:

4 × 4 × A82 = 896 (số).

- Trường hợp 2: a = {2,4,6,8}.

Chọn a có 4 cách chọn.

Chọn d có 5 cách chọn.

2 Chọn 2 trong 8 chữ số còn lại để đặt vào 2 vị trí còn lại, có A8 cách chọn.

Số các số thỏa mãn bài toán trong trường hợp này là:

5 × 4 × A82 = 1120 (số).

Vậy số các số cần tìm là: 896 + 1120 = 2016 (số).

Cách 3: Gián tiếp.

Với cách làm gián tiếp ta thực hiện 2 việc, đó là đi tìm số các số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau và đi tìm số các số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau mà nhỏ hơn 2009.

- Xét số có dạng: abcd ( a, b, c, d đôi một khác nhau).

Bước 1: Chọn d có 5 cách chọn.

41

3 Bước 2: Chọn 3 trong 9 chữ số còn lại để đặt vào 3 vị trí a, b, c có A9 cách

chọn.

Số các số cần tìm thỏa mãn bài toán trong trường hợp này là:

5 × A93 = 2520 (số).

- Xét số có dạng: 0bcd ( a, b, c, d đôi một khác nhau).

Bước 1: Chọn d có 4 cách chọn.

Bước 2: Chọn 2 trong 8 chữ số còn lại để đặt vào 2 vị trí b, c có A82 cách chọn.

Số các số cần tìm thỏa mãn bài toán trong trường hợp này là:

4 × A82 = 224 (số).

Vậy số các số chẵn có 4 chữ số là: 2520 − 224 = 2296 (số).

- Xét số có dạng: abcd ( a, b, c, d đôi một khác nhau).

Do số cần tìm là số nhỏ hơn 2009 và có 4 chữ số đôi một khác nhau nên chỉ có trường hợp duy nhất là chữ số a = 1 .

Bước 1: Chọn d có 5 cách chọn.

Bước 2: Chọn 2 trong 8 chữ số còn lại để đặt vào 2 vị trí b, c có A82 cách chọn.

Số các số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau và nhỏ hơn 2009 là:

5 × A82 = 280 (số).

Vậy số các số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau và lớn hơn 2009 là:

2296 − 280 = 2016 (số).

Nhận xét: - Bài toán trên được giải quyết bằng 3 cách làm trong đó có 2 cách làm trực tiếp và 1 cách làm gián tiếp.

- Với 2 cách làm trực tiếp, cùng là tách trường hợp theo lựa chọn cho vị trí a , nhưng với mỗi cách tách trường hợp lại có cách giải quyết bài toán khác nhau: +Với cách tách trường hợp ở cách 1, có quá nhiều trường hợp cần phải xét đến nên dễ dẫn đến học sinh xét thiếu hoặc thừa trường hợp và dẫn đến hướng làm sai lệch. Do học sinh cứ nghĩ đến yếu tố quan trọng là số cần tìm là số chẵn, nên các

42

em khi làm bài đã chỉ nghĩ đến việc là phải xét đến d đầu tiên. Nhưng các em rất khó để nhìn nhận ra rằng nếu d thay đổi thì số cách lựa chọn a và số cách lựa chọn b cũng thay đổi theo. + Với cách tách trường hợp ở cách 2, đây thực sự là 1 cách tách rất khôn khéo và bài toán được giải quyết 1 cách rất gọn nhẹ. Tưởng chừng như đây là 1 bài toán rất phức tạp, nhưng khi bài toán được giải quyết theo cách này thì lại thấy rằng nó cực kì đơn giản. Dù là số cần tìm phải lớn hơn hay nhỏ hơn bao nhiêu cũng không gây trở ngại gì với cách làm này.

- Với cách làm gián tiếp, học sinh có thể nghĩ đến khi phần bù của nó có ít trường hợp hơn rất nhiều. Ví dụ ở bài toán này, phần bù của yêu cầu chỉ có 1 trường hợp duy nhất dành cho a .

Khi tiếp xúc với bài toán trên và tự nghiên cứu hướng làm, học sinh có thể tự rút kinh nghiệm cho bản thân và tự tìm ra những hướng giải khác, những khả năng khác nhau của bài toán. Tuy nhiên các em cũng nhận thức được một điều đó là cần phải nhìn tổng quan bài toán, và cần tìm cho mình hướng giải quyết tối ưu nhất.

Bài toán 3. Cho tập hợp các chữ số E = {1,2,3,4,5,6}. Từ chúng viết được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau? Tính tổng của tất cả các số đó.

Giải: Cách 1: Mỗi số được lập từ các chữ số của tập hợp E cho trước là một chỉnh hợp chập năm của sáu phần tử.

Vậy số các số được lập là: A65 = 720 (số).

Tính tổng của 720 số được lập: Trong 720 số trên, ở mỗi vị trí (hàng chục nghìn, hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị) mỗi chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có vai trò như nhau nên số lần có mặt cũng như nhau và bằng: 720 : 6 = 120 lần.

Ta có tổng của các chữ số: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 .

Vậy tổng của các số được tạo thành là:

120 × 21 × (10000 + 1000 + 100 + 10 + 1) = 27999720 .

Cách 2:

43

Tính tổng của 720 số được lập: Nhận xét: Dễ thấy rằng với mỗi số trong 720 số được lập ta luôn tìm được 1 số sao cho tổng của hai số này bằng 77777. Ví dụ như số 13524 ta tìm được số tương ứng là 64253.

Do đó ta chia 720 số thành 360 cặp và mỗi cặp có tổng 2 số là 77777.

Vậy tổng của tất cả các số là: 360 × 77777 = 27999720 .

Cách 3: - Ta xét các cặp abcde và mnprs với a + m = b + n = c + p = d + r = e + s = 7 .

Tổng mỗi cặp này là 77777 Số cặp dạng này là 720 : 2 = 360 cặp.

Do đó, tổng của tất cả các số là: 360 × 77777 = 27999720 .

Nhận xét: Trong số các số thỏa mãn bài toán, luôn có các cặp có tính chất giống nhau, đó là tổng của chúng bằng 77777. Kết luận được điều này, học sinh đưa ra cách giải số 2 và số 3 của bài toán. Hai cách giải này là cùng một hướng làm, nhưng cách trình bày theo ý hiểu lại khác nhau. Đây là một cách làm hay và độc đáo. Tuy nhiên, thường những bài toán dạng tính tổng các số tạo thành được làm theo các bước như sau: - Tính số các số tạo thành thỏa mãn bài toán.

- Tính số lần có mặt của mỗi chữ số khác 0 ở vị trí mỗi hàng.

Có những bài toán thì cách giải 1 là cách giải tối ưu, nhưng có một số bài toán thì cách giải 1 lại không phải là cách giải tối ưu. Vì vậy, học sinh cần biết tổng hợp, so sánh, đánh giá ưu điểm, nhược điểm của mỗi cách giải ứng với mỗi bài toán và có thể sáng tạo cách làm độc đáo.

Bài toán 4. Hòa có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Hòa phải gửi thư đến cho 3 người bạn thân, do đó phải chọn từ đó ra 3 tem và 3 bì thư, mỗi bì thư dán 1 tem. Hỏi Hòa có bao nhiêu cách?

Giải: Cách 1:

44

Bước 1: Mỗi cách chọn 3 tem thư trong 5 tem thư là một tổ hợp chập ba của năm phần tử. Số cách chọn là: C53 = 10 cách.

Bước 2: Mỗi cách chọn 3 bì thư trong 6 bì thư là một tổ hợp chập ba của sáu phần tử. Số cách chọn là: C63 = 20 cách.

Bước 3: Mỗi cách dán 3 tem thư đã chọn vào 3 bì thư đã chọn chính là một hoán vị của ba phần tử. Số cách dán là: 3!= 6 cách.

Vậy số cách Hòa có thể làm là: 10 × 20 × 6 = 1200 cách.

Cách 2: Bước 1: Mỗi cách chọn 3 bì thư trong 6 bì thư là một tổ hợp chập ba của sáu phần tử. Số cách chọn là: C63 = 20 cách.

Bước 2: Mỗi cách chọn 3 tem thư trong 5 tem thư và dán vào 3 bì thư đã chọn 3 là một chỉnh hợp chập ba của năm phần tử. Số cách chọn là: A5 = 60 cách.

Vậy số cách Hòa có thể làm là: 20 × 60 = 1200 cách.

Cách 3: Bước 1: Chọn bì thư cho bạn thứ nhất có 6 cách.

Bước 2: Chọn bì thư cho bạn thứ hai có 5 cách.

Bước 3: Chọn bì thư cho bạn thứ ba có 4 cách.

3 Bước 4: Chọn 3 tem có C5 cách.

Vậy số cách Hòa có thể làm là: 6 × 5 × 4 × C53 = 1200 cách.

Cách 4: Bước 1: Chọn tem thư cho bạn thứ nhất có 5 cách.

Bước 2: Chọn tem thư cho bạn thứ hai có 4 cách.

Bước 3: Chọn tem thư cho bạn thứ ba có 3 cách.

Bước 4: Chọn 3 tem có C63 cách.

3 Vậy số cách Hòa có thể làm là: 5 × 4 × 3 × C6 = 1200 cách.

Nhận xét: Bài toán trên với 4 cách làm đã giúp cho học sinh nhìn nhận về hoán vị và chỉnh hợp, tổ hợp trong một môi trường hoàn toàn khác. Từ đó các em có thể rút ra kết luận về sự so sánh và liên quan đến nhau của 3 đại lượng: hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp:

45

- Hoán vị là sắp xếp.

- Tổ hợp là chọn lựa.

- Chỉnh hợp là chọn lựa và sắp xếp.

Bài toán 5. Cô giáo có 5 quyển sách giáo khoa giống nhau và 4 quyển sách tham khảo đôi một khác nhau. Cô muốn đem các quyển sách này tặng cho 8 bạn học sinh giỏi của lớp, mỗi người được 1 quyển (còn thừa 1 quyển sách). Hỏi cô giáo có bao nhiêu cách tặng thưởng cho 8 học sinh giỏi này?

Nhận xét: Trong bài toán trên, học sinh cần lưu ý 5 quyển sách giáo khoa là giống nhau, và 4 quyển sách tham khảo khác nhau, do đó cách tặng sách giáo khoa và cách tặng sách tham khảo cũng sẽ khác nhau. Nếu học sinh không biết cách phân biệt điều này thì bài làm sẽ bị sai.

Giải: Cách 1: Bài toán xảy ra 2 trường hợp sau: - Trường hợp 1: Cô giáo tặng 4 quyển sách giáo khoa và 4 quyển sách tham khảo.

Bước 1: Chọn 4 học sinh để tặng 4 quyển sách giáo khoa có C84 = 70 cách.

Bước 2: Tặng 4 quyển sách tham khảo cho 4 em học sinh còn lại có

4!= 24 cách.

Số cách tặng sách trong trường hợp này là: 70 × 24 = 1680 .

- Trường hợp 2: Cô giáo tặng 5 quyển sách giáo khoa và 3 quyển sách tham khảo.

5 Bước 1: Chọn 5 em học sinh để tặng sách giáo khoa có C8 = 56 cách.

3 Bước 2: Chọn 3 quyển sách tham khảo để tặng có C4 = 4 cách.

Bước 3: Tặng 3 quyển sách tham khảo cho 3 em học sinh còn lại có 3!= 6 cách.

Số cách tặng trong trường hợp này là: 56 × 4 × 6 = 1344 cách.

Vậy số cách tặng thưởng cho các em học sinh là:

1680 + 1344 = 3024 cách.

Cách 2:

46

Bài toán xảy ra 2 trường hợp sau: - Trường hợp 1: Cô giáo tặng 4 quyển sách giáo khoa và 4 quyển sách tham khảo.

4 Bước 1: Chọn 4 học sinh để tặng 4 quyển sách tham khảo có A8 = 1680 cách.

Bước 2: Tặng 4 quyển sách giáo khoa giống nhau cho 4 em học sinh còn lại có

1cách.

Số cách tặng sách trong trường hợp này là: 1680 cách.

- Trường hợp 2: Cô giáo tặng 5 quyển sách giáo khoa và 3 quyển sách tham khảo.

5 Bước 1: Chọn 5 em học sinh để tặng sách giáo khoa có C8 = 56 cách.

Bước 2: Chọn 3 quyển sách tham khảo khác nhau để tặng 3 em còn lại có

A43 = 24 cách.

Số cách tặng trong trường hợp này là: 56 × 24 = 1344 cách.

Vậy số cách tặng thưởng cho các em học sinh là: 1680 + 1344 = 3024 cách.

Cách 3: Có 9 quyển sách nhưng có 8 học sinh, do đó thừa ra 1 cuốn sách. Để giải quyết bài toán này, giả định có 9 học sinh (cho thêm 1 học sinh vào nhận quyển sách còn thừa), như vậy tất cả số sách đều được tặng và không ảnh hưởng gì đến kết quả của bài toán.

Bước 1: Chọn 5 trong 9 em học sinh để nhận 5 quyển sách giáo khoa có

C95 = 126 cách.

Bước 2: Tặng 4 quyển sách tham khảo cho 4 em học sinh còn lại có

4!= 24 cách.

Số cách tặng sách là: 126 × 24 = 3024 cách.

Qua bài toán tặng quà trên, học sinh rút ra được 3 điều cần lưu ý và phân biệt sau đây: k - Số cách chọn k trong n người để nhận k phần quà giống nhau là Cn . k - Số cách chọn k trong n người để nhận k phần quà khác nhau là An .

- Số cách k người nhận k phần quà khác nhau là: k !.

47

Nhận xét: Với mỗi cách làm thứ nhất và thứ hai của bài toán trên, giúp học sinh phân biệt được hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp được dùng như thế nào cho hợp lí và không bị nhầm lẫn. Cách làm thứ ba là một cách làm rất độc đáo và sáng tạo. Bằng việc thêm học sinh để không có quyển sách nào bị thừa, bài toán đã cho trở thành một bài toán có cách làm rất đơn giản. Cách làm này được đưa ra đã giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo. Học sinh có thể thêm hoặc bớt hoặc thay đổi giả thiết bài toán để có thể có bài toán mới mà cách giải quyết dễ dàng hơn rất nhiều so với bài toán ban đầu. Hay học sinh có thể có được bài toán mới phức tạp hơn. Đồng thời, các em có những hướng suy nghĩ sáng tạo cách làm khác cho bài toán.

Bài toán 6. Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng, 6 viên bi vàng. Hùng chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi bạn Hùng có bao nhiêu cách chọn để số bi lấy ra không đủ cả 3 màu.

Giải: Cách 1: Ta thấy số bi cần lấy ra là 4 viên bi, mà 4 ≤ min{4,5,6}. Do đó, xảy ra 2 trường hợp số bi lấy ra không đủ 3 màu: - 4 viên bi lấy ra chỉ có 1 màu.

- 4 viên bi lấy ra là 2 trong 3 màu .

Ta có cách giải như sau: - Trường hợp 1: 4 viên bi lấy ra chỉ có 1 màu.

4 4 4 Số cách lấy bi trong trường hợp này là: C4 + C5 + C6 = 21 cách.

- Trường hợp 2: 4 viên bi lấy ra có 2 màu.

Ta có tổng số bi đỏ và trắng là 9 viên, tổng số bi đỏ và vàng là 10 viên, tổng số bi trắng và vàng là 11 viên.

Số cách lấy 4 viên bi là màu đỏ và trắng là: C94 − (C44 + C54 ) = 120 cách.

Số cách lấy 4 viên bi là màu đỏ và vàng là: C104 − (C44 + C64 ) = 194 cách.

Số cách lấy 4 viên bi là màu trắng và vàng là:

C114 − (C54 + C64 ) = 310 cách.

Số cách lấy bi trong trường hợp này là: 120 + 190 + 310 = 620 cách.

Vậy số cách lấy bi thỏa mãn bài toán là: 645 cách.

48

Cách 2: Số cách chọn 4 viên bi trong tổng số 15 viên bi là: C154 = 1365 cách.

Ta tìm số cách chọn 4 viên bi mà có đủ cả 3 màu. 4 viên bi lấy ra là một trong các trường hợp sau: - Trường hợp 1: lấy ra 2 bi đỏ, 1 bi trắng, 1 bi vàng.

2 1 1 Số cách lấy bi trong trường hợp này là: C4 × C5 × C6 = 180 cách.

- Trường hợp 2: lấy ra 1 bi đỏ, 2 bi trắng, 1 bi vàng.

1 2 1 Số cách lấy bi trong trường hợp này là: C4 × C5 × C6 = 240 cách.

- Trường hợp 3: lấy ra 1 bi đỏ, 1 bi trắng, 2 bi vàng.

1 1 2 Số cách lấy bi trong trường hợp này là: C4 × C5 × C6 = 300 cách.

Vậy số cách lấy 4 viên bi không có đủ cả 3 màu là:

1365 − (180 + 240 + 300) = 645 cách.

Bài toán 7. Có 5 hành khách trên một đoàn tàu gồm 4 toa, mỗi toa đều có ít nhất 5 chỗ, các toa được đánh số thứ tự toa 1, toa 2,... Hỏi có bao nhiêu cách lên tàu sao cho không có đúng 3 hành khách nào lên cùng một toa?

Nhận xét: Bài toán trên là một trong các bài toán dạng sắp xếp sao cho phù hợp với yêu cầu của bài toán. Số cách lên tàu của 5 khách là số cách sắp xếp 5 khách lên tàu.

Giải: Cách 1: Trực tiếp.

Tách 5 hành khách thành các nhóm và không có nhóm nào có 3 người, mỗi nhóm lên 1 toa tàu, ta có các cách tách sau đây:

5 =1+ 4 =1+ 2 + 2 =1+1+1+ 2.

Vậy bài toán có 5 trường hợp.

- Trường hợp 1: 5 hành khách cùng lên 1 toa tàu. Chọn 1 trong 4 toa tàu để lên 1 có C4 = 4 cách.

- Trường hợp 2: 4 khách lên cùng 1 toa, 1 khách lên 1 toa.

4 Bước 1: Chọn 4 trong 5 hành khách lên cùng 1 toa có C5 = 5 cách.

Bước 2: Chọn 1 trong 4 toa tàu cho 4 khách có 4 cách chọn.

49

Bước 3: Chọn 1 trong 3 toa tàu còn lại cho khách còn lại có 3 cách.

Số cách lên tàu của các hành khách trong trường hợp này là:

5 × 4 × 3 = 60 cách.

- Trường hợp 3: 1 khách lên 1 toa, 2 khách lên 1 toa khác và 2 khách còn lại lên 1 toa khác 2 toa trên.

Bước 1: Chọn 2 trong 5 khách lên cùng 1 toa có C52 = 10 cách.

2 Bước 2: Chọn 2 trong 3 khách lên cùng 1 toa có C3 = 3 cách .

2 Bước 3: Chọn 2 trong 4 toa có 2 khách có C 4 = 6 cách.

Bước 4: Chọn 1 trong 2 toa còn lại cho 1 khách có 2 cách.

Số cách lên tàu trong trường hợp này là:

10 × 3 × 6 × 2 = 360 cách.

- Trường hợp 4: 2 khách lên 1 toa, 3 khách còn lại lên 3 toa khác nhau.

2 Bước 1: Chọn 2 trong 5 khách lên cùng 1 toa có C5 = 10 cách.

Bước 2: Chọn toa cho 2 khách có 4 cách.

Bước 3: 3 khách còn lại lên 3 toa có 3!= 6 cách.

Số cách lên tàu trong trường hợp này là: 10 × 4 × 6 = 240 cách.

Vậy số cách lên tàu là: 4 + 60 + 360 + 240 = 664 cách.

Cách 2: Gián tiếp.

Ta tìm số cách hành khách lên tàu bất kì và số cách hành khách lên tàu sao cho luôn có trường hợp 3 khách lên cùng một toa. + Mỗi hành khách luôn có 4 cách lựa chọn toa tàu độc lập với nhau. Do đó số cách chọn toa tàu của 5 hành khách một cách bất kì là: 4 5 = 1024 cách. + Tách 5 hành khách thành các nhóm lên tàu sao cho luôn có nhóm có 3 khách, có các trường hợp sau:

5 = 3 +1+1= 3 + 2.

- Trường hợp 1: 3 khách lên 1 toa, 2 khách còn lại lên 2 toa khác nhau và khác 2 toa trên.

Bước 1: Chọn 1 khách lên 1 toa có 5 cách chọn.

Bước 2: Chọn 1 khách trong 4 khách còn lại có 4 cách chọn.

2 Bước 3: Chọn 2 toa có 1 người có C4 = 6 cách.

50

Bước 4: Chọn 1 trong 2 toa còn lại cho 3 khách còn lại có 2 cách.

Số cách lên tàu trong trường hợp này là: 5 × 4 × 6 × 2 = 240 cách.

- Trường hợp 2: 1 toa có 3 khách lên, 1 toa khác có 2 khách lên.

3 Bước 1: Chọn 3 trong 5 khách lên cùng 1 toa có C5 = 10 cách.

Bước 2: Chọn 1 toa cho 3 khách này có 4 cách.

Bước 3: Chọn 1 toa cho 2 khách còn lại có 3 cách.

Số cách lên tàu trong trường hợp này là: 10 × 4 × 3 = 120 cách.

Vậy số cách lên tàu theo yêu cầu bài toán là:

1024 − 240 − 120 = 664 cách.

Bài toán 8. Hòa có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Hòa phải gửi thư đến cho 3 người bạn thân, do đó phải chọn từ đó ra 3 tem và 3 bì thư, mỗi bì thư dán 1 tem. Hỏi Hòa có bao nhiêu cách?

Giải: Cách 1: Bước 1: Mỗi cách chọn 3 tem thư trong 5 tem thư là một tổ hợp chập ba của năm phần tử. Số cách chọn là: C53 = 10 cách.

Bước 2: Mỗi cách chọn 3 bì thư trong 6 bì thư là một tổ hợp chập ba của sáu phần tử. Số cách chọn là: C63 = 20 cách.

Bước 3: Mỗi cách dán 3 tem thư đã chọn vào 3 bì thư đã chọn chính là một hoán vị của ba phần tử. Số cách dán là: 3!= 6 cách.

Vậy số cách Hòa có thể làm là: 10 × 20 × 6 = 1200 cách.

Cách 2: Bước 1: Mỗi cách chọn 3 bì thư trong 6 bì thư là một tổ hợp chập ba của sáu phần tử. Số cách chọn là: C63 = 20 cách.

Bước 2: Mỗi cách chọn 3 tem thư trong 5 tem thư và dán vào 3 bì thư đã chọn 3 là một chỉnh hợp chập ba của năm phần tử. Số cách chọn là: A5 = 60 cách.

Vậy số cách Hòa có thể làm là: 20 × 60 = 1200 cách.

Cách 3: Bước 1: Chọn bì thư cho bạn thứ nhất có 6 cách.

Bước 2: Chọn bì thư cho bạn thứ hai có 5 cách.

51

Bước 3: Chọn bì thư cho bạn thứ ba có 4 cách.

Bước 4: Chọn 3 tem có C53 cách.

Vậy số cách Hòa có thể làm là: 6 × 5 × 4 × C53 = 1200 cách.

Cách 4: Bước 1: Chọn tem thư cho bạn thứ nhất có 5 cách.

Bước 2: Chọn tem thư cho bạn thứ hai có 4 cách.

Bước 3: Chọn tem thư cho bạn thứ ba có 3 cách.

3 Bước 4: Chọn 3 tem có C6 cách.

3 Vậy số cách Hòa có thể làm là: 5 × 4 × 3 × C6 = 1200 cách.

Nhận xét: Bài toán trên với 4 cách làm đã giúp cho học sinh nhìn nhận về hoán vị và chỉnh hợp, tổ hợp trong một môi trường hoàn toàn khác. Mỗi cách làm là một cách nhìn nhận vấn đề dưới một góc độ khác. Cách 1 và cách 2 lấy vấn đề tem thư và phong bì làm trung tâm để chọn và ghép vào nhau, cách 3 và cách 4 đặt các bạn của mình làm trung tâm để chọn tem thư và phong bì cho bạn. Ở mỗi cách làm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp được sử dụng linh hoạt, nhuần nhuyễn. Từ đó các em có thể rút ra kết luận về sự so sánh và liên quan đến nhau của 3 đại lượng: hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp: - Hoán vị là sắp xếp.

- Tổ hợp là chọn lựa.

- Chỉnh hợp là chọn lựa và sắp xếp.

52

2.3.2. Loại bài tập có nội dung biến đổi Bài toán đại số tổ hợp không chỉ xoay quanh các bài toán đếm (bài toán đếm cơ bản và bài toán đếm có điều kiện), mà còn có những bài toán liên quan đến việc sắp xếp, phân phối, phân chia công việc, phân chia các phần tử của một tập hợp, phân hoạch... Đây là những bài toán có nội dung rất thân quen với những vấn đề xung quanh các em học sinh. Vì vậy, khi tiếp xúc với những bài toán này, học sinh có thể dễ dàng liên hệ với thực tiễn và có hứng thú học tập, tìm hiểu hơn. Đồng thời, khi giải các bài toán có nội dung biến đổi học sinh dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác. Những bài tập dạng này giúp học sinh có khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới, nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tưởng như không có liên hệ với nhau. Những điều này có tác động rất lớn đến tư duy sáng tạo của học sinh. Đồng thời khi giải những bài tập này, học sinh sẽ được linh hoạt trong tư duy, suy nghĩ với những kiến thức mà các em đã biết. Từ đó các em cảm thấy hứng thú với những bài toán đại số tổ hợp nói riêng và sự thích thú học tập môn Toán nói chung, đồng thời khi tiếp xúc với những bài toán dạng này sẽ tạo cho các em học sinh lối suy nghĩ không bị rập khuôn. Loại bài tập này giúp học sinh phát triển được tính mềm dẻo và tính nhuần nhuyễn trong TDST. Bài toán 1. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số trong đó: a, luôn có một chữ số 1. b, luôn có mặt chữ số 1 và chữ số 5, các chữ số còn lại đôi một khác nhau. c, luôn có mặt hai chữ số 1, chữ số 5 và chúng đứng cạnh nhau và các chữ số còn lại đôi một khác nhau. d, luôn có ít nhất một chữ số 1. e, là số chẵn và các chữ số còn lại đôi một khác nhau. g, là số chẵn luôn có mặt một chữ số 1 và các chữ số còn lại đôi một khác nhau.

Giải: a, Gọi số cần tìm có dạng abcd .

- Trường hợp 1: a = 1 .

53

3 Chọn chữ số để đặt vào 3 vị trí còn lại có 5 cách.

Số các số trong trường hợp này là: 53 = 125 (số).

- Trường hợp 2: a ≠ 1.

Bước 1: Chọn a có 4 cách.

Bước 2: chọn vị trí đặt chữ số 1 có 3 cách.

Bước 3: Chọn chữ số đặt vào 2 vị trí còn lại có 52 cách.

Số các số thỏa mãn bài toán trong trường hợp này là:

4 × 3 × 52 = 300 (số).

Vậy số các số thỏa mãn bài toán là: 125 + 300 = 425 số. b, Gọi số có dạng abcd ( a, b, c, d đôi một khác nhau, a có thể bằng 0), luôn có mặt chữ số 1 và chữ số 5.

Bước 1: Chọn vị trí để đặt chữ số 1 có 4 cách.

Bước 2: Chọn vị trí đặt chữ số 5 có 3 cách.

Bước 3: Chọn 2 trong bốn chữ số còn lại đặt vào 2 vị trí còn lại có A42 cách.

2 Số các số có dạng trên là: 4 × 3 × A4 = 144 (số).

Gọi số có dạng 0bcd ( b, c, d đôi một khác nhau), luôn có mặt chữ số 1 và chữ số 5.

Bước 1: Chọn vị trí để đặt chữ số 1 có 3 cách.

Bước 2: Chọn vị trí để đặt chữ số 5 có 2 cách.

Bước 3: Chọn chữ số đặt vào vị trí còn lại có 3 cách.

Số các số có dạng trên là: 3 × 2 × 3 = 18 (số).

Vậy số các số thỏa mãn bài toán là: 144 − 18 = 126 số. c, Ta dán chữ số 1 và chữ số 5 liền với nhau tạo thành chữ số kép. Bài toán trở thành từ tập các chữ số 0, 2, 3, 4, số kép lập số có 3 chữ số đôi một khác nhau.

Gọi số có dạng abc ( a, b, c đôi một khác nhau, a ≠ 0 ), luôn có chữ số 1 và chữ số 5 đứng cạnh nhau.

Bước 1: Dán chữ số 1 và chữ số 5 có 2 cách.

Bước 2: Chọn a có 4 cách.

2 Bước 3: Chọn 2 chữ số đặt vào 2 vị trí còn lại có A4 cách.

54

2 Số các số được lập thỏa mãn bài toán là: 2 × 4 × A4 = 96 số.

d, Bài toán yêu cầu tìm số thỏa mãn điều kiện là số có 4 chữ số và có ít nhất một chữ số 1. Ta giải bài toán theo cách gián tiếp tức là tìm số các số có 4 chữ số mà không có chữ số 1.

- Gọi số có dạng abcd là số có 4 chữ số được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Ta tìm số các số dạng này.

Bước 1: Chọn a có 5 cách.

Bước 2: Chọn chữ số để đặt vào 3 vị trí còn lại có 63 cách.

Số các số dạng này là: 5 × 63 = 1080 số.

- Gọi số có dạng abcd là số có 4 chữ số được lập từ các chữ số 0, 2, 3, 4, 5.

Ta tìm số các số dạng này.

Bước 1: Chọn a có 4 cách.

Bước 2: Chọn chữ số để đặt vào 3 vị trí còn lại có 53 cách.

Số các số dạng này là: 4 × 53 = 500 số.

Vậy số các số thỏa mãn bài toán là: 1080 − 500 = 580 số. e, Gọi số cần tìm có dạng abcd . Ta có số cần tìm là số chẵn nên d = {0,2,4}.

- Trường hợp 1: d = 0 .

Bước 1: Chọn a có 5 cách.

Bước 2: Chọn 2 trong bốn chữ số còn lại đặt và 2 vị trí còn lại có A42 cách.

Số các số được lập thỏa mãn bài toán trong trường hợp này là:

5 × A42 = 60 (số).

- Trường hợp 2: d = {2,4}.

Bước 1: Chọn d có 2 cách.

Bước 2: Chọn a có 4 cách.

2 Bước 3: Chọn 2 trong bốn chữ số còn lại đặt và 2 vị trí còn lại có A4 cách.

Số các số được lập thỏa mãn bài toán trong trường hợp này là:

2 × 4 × A42 = 96 (số).

Vậy số các số thỏa mãn bài toán là: 60 + 96 = 156 số.

55

g, Gọi số cần tìm có dạng abcd ( a, b, c, d đôi một khác nhau). Ta có số cần tìm là số chẵn nên d = {0,2,4} và luôn có mặt chữ số 1.

- Trường hợp 1: a = 1 .

Bước 1: Chọn d có 3 cách.

Bước 2: Chọn 2 trong bốn chữ số còn lại đặt và 2 vị trí còn lại có A42 cách.

Số các số được lập thỏa mãn bài toán trong trường hợp này là:

3 × A42 = 36 (số).

- Trường hợp 2: a ≠ 1 . + Nếu d = 0 .

Bước 1: Chọn vị trí để đặt chữ số 1 có 2 cách.

2 Bước 2: Chọn 2 trong bốn chữ số còn lại đặt và 2 vị trí còn lại có A4 cách.

Số các số được lập thỏa mãn bài toán trong trường hợp này là:

2 × A42 = 24 (số). + Nếu d = {2,4}.

Bước 1: Chọn d có 2 cách.

Bước 2: Chọn a có 3 cách.

Bước 3: Chọn vị trí đặt chữ số 1 có 2 cách.

Bước 4: Chọn chữ số đặt vào vị trí còn lại có A31 cách.

Số các số được lập thỏa mãn bài toán trong trường hợp này là:

2 × 3 × 2 × A31 = 36 (số).

Số các số thỏa mãn trường hợp này là: 24 + 36 = 60 số.

Vậy số các số thỏa mãn bài toán là: 36 + 60 = 96 số.

Nhận xét: Bài toán trên biến đổi liên tục với sáu yêu cầu khác nhau nhưng các yêu cầu này lại có sự liên quan nhất định đến nhau. Ý a) và ý b) của câu hỏi là về sự xuất hiện cố định của một chữ số trong số cần được lập, nhưng với ý a), số cần được lập không yêu cầu các chữ số là khác nhau, ý b) có sự xuất hiện cố định của 2 chữ số và các chữ số còn lại thì đôi một khác nhau. Cùng hỏi về sự xuất hiện cố định của chữ số nhưng hướng hoạt động và suy nghĩ lại hoàn toàn khác nhau. Khi học

56

sinh làm 2 ý này, cần sự linh hoạt và khéo léo chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác. Ý c) của bài toán cũng là sự xuất hiện cố định của 2 chữ số, tuy nhiên 2 chữ số này có thêm một yêu cầu nữa là cần phải đứng cạnh nhau. Một vấn đề khác lại nảy sinh và cần phải làm thế nào để giải quyết? Ý b) và ý c) liệu có giống nhau không?

Học sinh tự đặt câu hỏi đặt cho mình. Nếu các em làm ý c) giống ý b) thì các em đã hoàn toàn bị nhầm lẫn và hiểu chưa rõ về bài toán. Vấn đề lại được phát triển thêm một bước nữa, phát triển tính mềm dẻo và nhuần nhuyễn trong tư duy sáng tạo của học sinh. Ý d) của bài toán sự xuất hiện của chữ số cần phải là ít nhất. Thế nào là ít nhất? Giải quyết bài toán này như thế nào cho hợp lí và ngắn gọn? Giải bài toán theo cách trực tiếp hay gián tiếp? Ý d) của bài toán khó hơn các ý trên một chút. Điều này cần đến sự mềm dẻo và linh hoạt trong suy nghĩ, tư duy của các em. Ý g) của bài toán có yêu cầu là sự kết hợp câu hỏi của các ý trên.

Từ bài toán này, các em có thể tự sáng tạo bài toán mới bằng cách thay đổi bài toán bằng một số yêu cầu khác và giải quyết bài toán linh hoạt, có năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của tình huống để đưa ra giải thuyết mới, yêu cầu mới. Học sinh thể hiện tính đa dạng trong cách xử lí các ý câu hỏi của bài toán.

Bài toán 2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn: a, có 8 chữ số trong đó chữ số 5 lặp lại 3 lần, các chữ số còn lại có mặt 1 lần. b, có 9 chữ số trong đó chữ số 1 xuất hiện 2 lần, chữ số 2 xuất hiện 3 lần, các chữ số khác xuất hiện 1 lần.

Giải: a, Số cần tìm có 8 chữ số và chữ số 5 được lặp lại 3 lần nên ta có số thỏa mãn điều kiện được lập từ tập sau: A = {0,1,2,3,4,5,5,5}.

- Xét các số có dạng: abcdefgh (các chữ số đôi một khác nhau). Mỗi số dạng này được lập là một hoán vị của 8 phần tử của tập A. Tập A có 3 phần tử giống nhau. Do đó, số các số dạng này được lập là:

57

8! = 6720 (số).

3!

- Xét các số có dạng: 0bcdefgh (các chữ số đôi một khác nhau). Mỗi số dạng này được lập là một hoán vị của 7 phần tử của tập B = {1,2,3,4,5,5,5}. Tập B có 3 phần tử giống nhau. Do đó, số các số dạng này được lập là:

7! = 840 (số).

3!

Vậy số các số thỏa mãn bài toán là: 6720 − 840 = 5880 (số). b, Do chữ số 1 xuất hiện 2 lần, chữ số 2 xuất hiện 3 lần và các chữ số khác xuất hiện 1 lần nên ta xét tập B = {0,1,1,2,2,2,3,4,5}. Tập B gồm 9 phần tử. Mỗi số tự nhiên có 9 chữ số được lập từ tập A là một hoán vị của 9 phần tử, trong đó có các phần tử giống nhau.

- Xét các số có dạng: abcdefghk (các chữ số đôi một khác nhau). Mỗi số dạng này được lập là một hoán vị của 9 phần tử của tập B. Số các số dạng này được lập là:

9! = 30240 (số).

2!×3!

- Xét các số có dạng: 0bcdefgh (các chữ số đôi một khác nhau). Mỗi số dạng này được lập là một hoán vị của 8 phần tử của tập C = {1,1,2,2,2,3,4,5}.

Số các số dạng này được lập là:

8! = 3360 (số).

2!×3!

Vậy số các số thỏa mãn bài toán là: 30240 − 3360 = 26880 (số).

Bài toán 3. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau thỏa mãn: a, chia hết cho 2 và 5. b, chia hết cho 3. c, chia hết cho 6.

Giải: a, Gọi số cần tìm là abcd ( a, b, c, d đôi một khác nhau, a ≠ 0 ).

Số cần tìm là số chia hết cho 2 và 5 nên có tận cùng là 0.

Do đó d = 0 .

Chọn 3 trong năm chữ số còn lại đặt vào 3 vị trí còn lại có A53 cách.

3 Vậy số các số thỏa mãn bài toán là: A5 = 60 số.

58

b, Ta có số cần tìm chia hết cho 3, do đó học sinh cần phải nhớ đến dấu hiệu chia hết cho 3, là những số có tổng các chữ số chia hết cho 3.

Gọi số cần tìm là abcd ( a, b, c, d đôi một khác nhau, a ≠ 0 ).

Bước 1: Ta cần phải tìm được bộ 4 số có tổng chia hết cho 3. Đó là 5 bộ số sau: (0, 1, 2, 3); (0, 2, 3, 4); (0, 3, 4, 5); (0, 1, 3, 5); (1, 2, 4, 5).

Bước 2: Với bộ số (0, 1, 2, 3).

Chọn a có 3 cách. 3 vị trí còn lại là hoán vị của 3 phần tử, có 3! cách.

Số các số thỏa mãn bài toán với bộ số này là: 3 × 3! = 18 (số).

Tương tự với mỗi bộ số (0, 2, 3, 4); (0, 3, 4, 5); (0, 1, 3, 5) ta cũng có 18 số thỏa mãn bài toán.

Với bộ số (1, 2, 4, 5), ta có mỗi số được lập là một hoán vị của 4 phần tử. Do đó số các số thỏa mãn với bộ số này là: 4! = 24 (số).

Vậy số các số thỏa mãn bài toán là:

18 × 4 + 24 = 96 số. c, Gọi số cần tìm là abcd ( a, b, c, d đôi một khác nhau, a ≠ 0 ).

Bước 1: Ta có bộ 4 số có tổng chia hết cho 3 là: (0, 1, 2, 3); (0, 2, 3, 4); (0, 3, 4, 5); (0, 1, 3, 5); (1, 2, 4, 5). + Với bộ số (0, 1, 2, 3).

Chọn d = 0 . a có 3 cách chọn, b có 2 cách chọn, c có 1 cách chọn.

Chọn d = 2 . a có 2 cách chọn, b có 2 cách chọn, c có 1 cách chọn.

Số các số tìm được với bộ số này là 10 số. + Với bộ số (0, 3, 4, 5) tương tự ta cũng tìm được 10 số thỏa mãn. +Với bộ số (0, 2, 3, 4).

Chọn d = 0 . a có 3 cách chọn, b có 2 cách chọn, c có 1 cách chọn.

Chọn d = {2,4} . a có 2 cách chọn, b có 2 cách chọn, c có 1 cách chọn.

Số các số tìm được thỏa mãn bài toán với bộ số này là: 6 + 2 × 2 × 2 = 14 số. + Với bộ số (0, 1, 3, 5).

Số các số tìm được thỏa mãn bài toán với bộ số này là: 3! = 6 (số). +Với bộ số (1, 2, 4, 5).

59

Chọn d = {2,4} . a có 3 cách chọn, b có 2 cách chọn, c có 1 cách chọn.

Số các số thỏa mãn bài toán với bộ số này là: 2 × 3 × 2 = 12 (số).

Vậy số các số tìm được thỏa mãn bài toán là:

10 + 10 + 6 + 14 + 12 = 52 số.

Nhận xét: Bài toán này gợi nhớ cho học sinh đến một số dấu hiệu chia hết. Để giải được bài toán trên chính xác, các em cần nhớ đến dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 6 là như thế nào, từ đó tìm ra điểm đặc biệt mấu chốt của yêu cầu và có được cách làm phù hợp. Bài toán dấu hiệu chia hết lúc này được nhìn dưới góc độ đại số tổ hợp. Học sinh được rèn luyện và phát triển tính TDST chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, vận dụng linh hoạt các kiến thức, kĩ năng vốn có.

Bài toán 4. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số có tổng các chữ số là lẻ?

Nhận xét: Bài toán yêu cầu những số tự nhiên cần tìm là những số có tổng các chữ số là lẻ. Vậy dẫn đến học sinh cần phải lập luận, suy nghĩ bộ 5 số có đặc điểm gì thì mới có tổng là lẻ.

Giải: Gọi số cần tìm là abcde ( a ≠ 0 ).

Xét tổng 4 chữ số đầu: a + b + c + d .

Trường hợp 1: Nếu a + b + c + d là một số chẵn. Để a + b + c + d + e là một số lẻ thì e là một số lẻ. Do đó e = {1,3,5,7,9}. Có 5 cách chọn e .

Trường hợp 2: Nếu a + b + c + d là một số lẻ. Để a + b + c + d + e là một số lẻ thì e là một số chẵn. Do đó e = {0,2,4,6,8}.

Có 5 cách chọn e .

Mà abcd có 9 × 10 × 10 × 10 số.

Vậy số các số cần tìm thỏa mãn bài toán là:

9 × 10 × 10 × 10 × 5 = 45000 số.

Bài toán 5. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 gồm 3 chữ số đôi một khác nhau và thỏa mãn số đó nhỏ hơn 347?

Giải: Gọi số cần tìm là abc ( a, b, c đôi một khác nhau, a ≠ 0 ).

60

Nhận xét: Số cần tìm nhỏ hơn 347, do đó a = {1,2,3}.

- Trường hợp 1: a = 1 hoặc a = 2 .

Chọn b có 5 cách chọn, Chọn c có 4 cách chọn.

Số các số cần tìm trong trường hợp này là: 2 × 5 × 4 = 40 (số).

- Trường hợp 2: a = 3 . Do số cần tìm nhỏ hơn 347, nên b = {1,2,4}. + Với b = {1,2}.

Chọn b có 2 cách chọn, Chọn c có 4 cách chọn. + Với b = 4 , chọn c có 4 cách chọn.

Số các số tìm được trong trường hợp này là: 2 × 4 + 4 = 12 (số).

Vậy số các số thỏa mãn bài toán là: 52 số.

Bài toán 6. Một tổ có 10 bạn học sinh, trong đó có 5 bạn nam, 5 bạn nữ. Giáo viên sắp xếp chỗ ngồi cho các bạn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu: a, Các học sinh ngồi tùy ý ở ghế dài có 10 chỗ ngồi. b, Học sinh nam ngồi cạnh nhau, học sinh nữ ngồi cạnh nhau ở ghế dài 10 chỗ ngồi c, Học sinh nam và học sinh nữ ngồi xen kẽ ở ghế dài 10 chỗ ngồi. d, Các học sinh được sắp xếp ngồi quanh bàn tròn có 10 ghế.

Giải: a, Các học sinh ngồi tùy ý.

Trong bài toán có 10 học sinh và 10 chỗ ngồi cần phải sắp xếp. Như vậy mỗi học sinh có 1 chỗ ngồi. Do đó số cách sắp xếp chỗ ngồi trong trường hợp này là số hoán vị của 10 phần tử.

Số cách sắp xếp là: 10!= 3628800 (cách). b, Học sinh nam ngồi cạnh nhau, học sinh nữ ngồi cạnh nhau.

Bước 1: Mỗi cách xếp chỗ ngồi cho 5 học sinh nam là một hoán vị của 5 phần tử. Số cách sắp xếp là: 5!= 120 cách, Bước 2: Mỗi cách xếp chỗ ngồi cho 5 học sinh nữ là một hoán vị của 5 phần tử. Số cách sắp xếp là 120 cách,

61

Bước 3: Sắp xếp 2 nhóm học sinh nam và học sinh nữ là hoán vị của 2 phần tử. Số cách sắp xếp là: 2!=2 cách.

Vậy số cách xếp chỗ ngồi là: 120 × 120 × 2 = 28800 (cách). c, Học sinh nam và học sinh nữ ngồi xen kẽ.

- Trường hợp 1: Học sinh nam ngồi đầu bàn.

Bước 1: Xếp 5 học sinh nam vào 5 vị trí 1, 3, 5, 7, 9 là hoán vị của 5 phần tử.

Số cách xếp là 120 cách, Bước 2: Xếp 5 học sinh nữ vào 5 vị trí còn lại là hoán vị của 5 phần tử. Số cách xếp là 120 cách.

Số cách xếp chỗ ngồi trong trường hợp này là: 120 × 120 = 14400 (cách).

- Trường hợp 2: Học sinh nữ ngồi đầu bàn.

Bước 1: Xếp 5 học sinh nữ vào 5 vị trí 1, 3, 5, 7, 9 là hoán vị của 5 phần tử. Số cách xếp là 120 cách, Bước 2: Xếp 5 học sinh nam vào 5 vị trí còn lại là hoán vị của 5 phần tử. Số cách xếp là 120 cách.

Số cách xếp chỗ ngồi trong trường hợp này là: 120 × 120 = 14400 (cách).

Vậy số cách xếp chỗ ngồi là: 14400 + 14400 = 28800 (cách). d, Khi xếp các em học sinh ngồi quanh một bàn tròn thì có điểm khác biệt so với xếp vào một bàn dọc. Với bàn dọc thì có thể chỉ định học sinh ngồi đầu bàn, học sinh ngồi cuối bàn và thay đổi. Nhưng với bàn tròn thì không thể phân định được vị trí nào làm chuẩn.

Do đó, đầu tiên cô giáo cần phải chọn một vị trí làm chuẩn.

Giải: - Người thứ nhất chỉ có 1 cách chọn, vì ngồi vào vị trí nào cũng không phân biệt so với bàn tròn.

- Lúc này có người thứ nhất làm chuẩn rồi, nên mỗi cách xếp 9 bạn học sinh còn lại là một hoán vị của 9 phần tử. Do dó số cách xếp 9 bạn là 9! Cách.

Vậy có 9! cách xếp 10 bạn học sinh ngồi quanh một bàn tròn 10 ghế.

Tổng quát: Với cách lập luận như trên, ta có thể biết được số cách sắp xếp cho n người ngồi quanh một bàn tròn n ghế.

- Người thứ nhất chỉ có 1 cách chọn.

62

- Sau khi có chuẩn của người thứ nhất thì n − 1 người còn lại có (n − 1)! cách xếp.

Vậy xếp n người thì có (n − 1)! cách xếp.

Nhận xét: Bài toán được đưa ra với 2 điều kiện khác nhau, đó là học sinh được xếp ngồi vào ghế dài ở ý a), ý b), ý c) của bài toán, đến ý d) học sinh được xếp ngồi quanh bàn tròn. Cùng số lượng người cần xếp nhưng với 2 điều kiện môi trường bên ngoài khác nhau như vậy thì cách xếp có vấn đề gì thay đổi, vấn đề gì cần phải lưu ý? Tính mềm dẻo của TDST được phát triển khi học sinh tiếp xúc với bài toán này. Bài toán tạo cho học sinh suy nghĩ không rập khuôn, kiến thức không bị áp dụng một cách máy móc trong điều kiện, hoàn cảnh mới. Vấn đề quen thuộc là sắp xếp chỗ ngồi cho 10 bạn học sinh được nhìn nhận trong một hoàn cảnh mới. Từ đó các em có thể tìm ra được cách làm tổng quát cho dạng toán mới.

Bài toán 7. Tìm số giao điểm tối đa của: a, 10 đường thẳng phân biệt. b, 10 đường tròn phân biệt. c, 10 đường thẳng và 10 đường tròn phân biệt.

Giải: a, Dễ thấy rằng 2 đường thẳng phân biệt có nhiều nhất 1 giao điểm. Vậy số giao điểm tối đa của 10 đường thẳng phân biệt chính là số chỉnh hợp chập 2 của 10 phần tử: C102 = 45 . b, Dễ thấy 2 đường tròn phân biệt có nhiều nhất 2 giao điểm, nên số giao điểm tối đa của 10 đường tròn phân biệt là: 2 × C102 = 90 . c, Nhận xét: Một đường thẳng cắt một đường tròn có tối đa 2 giao điểm.

Do đó, 1 đường thẳng và 10 đường tròn thì có tối đa 20 giao điểm. Vậy nên số giao điểm tối đa của 10 đường thẳng và 10 đường tròn là: 20 × 10 = 200 .

10 đường thẳng và 10 đường tròn, có các giao điểm là giao điểm của 10 đường thẳng với nhau, 10 đường tròn với nhau và 10 đường thẳng với 10 đường tròn. Vậy số giao điểm tối đa có được là: 45 + 90 + 200 = 335 điểm.

Nhận xét: Yếu tố hình học được gắn liền với bài toán ĐSTH, tạo ra sự thích thú và mới mẻ cho học sinh. Bài toán trên không còn là dạng bài toán phải chọn hay

63

sắp xếp thứ tự nữa, mà học sinh cần phải suy nghĩ, dự đoán đáp án dựa vào những yếu tố đặc biệt trong hình học. Học sinh có thể suy nghĩ thêm nhiều vấn đề hình học khác để đưa vào trở thành bài toán mới, ví dụ như tìm số giao điểm, tìm số hình bình hành, hình tam giác... được tạo thành từ tập điểm cho trước... Có rất nhiều ý tưởng mới, bài toán mới được sáng tạo, tổng hợp từ các yếu tố riêng lẻ của các tình huống mới, hoàn cảnh mới. Điều này tạo nên sự đa dạng, phong phú trong hoạt động tư duy của các em học sinh.

Bài toán 8. Một thầy giáo có 12 quyển sách đôi một khác nhau gồm 5 sách Văn học, 4 sách Âm nhạc và 3 sách Hội họa. Thầy lấy 6 quyển sách tặng đều cho 6 học sinh. Có bao nhiêu cách tặng sách sao cho sau khi tặng xong thì mỗi loại sách còn ít nhất 1 quyển.

Nhận xét: Ta thấy rằng tổng 2 loại sách nào cũng đều lớn hơn 6 nên khi lấy 6 quyển sách đem tặng thì không có trường hợp cả 2 loại sách cùng hết và dù tặng thế nào thì cũng chỉ có 1 loại bị hết.

Mỗi loại sách đều có số quyển ít hơn 6 nên cả 3 loại sách đều có thể hết.

Với bài toán này, giải bằng phương pháp gián tiếp là cách tối ưu nhất.

Giải: Số cách chọn 6 quyển sách từ 12 quyển sách khác nhau tặng cho 6 học sinh là:

A126 = 665280 cách.

Ta loại đi các trường hợp sau: - Trường hợp 1: Sách Văn học đem tặng hết.

Bước 1: Chọn 5 em học sinh và tặng 5 quyển sách Văn học có A65 = 720 cách.

Bước 2: Chọn 1 trong 7 quyển sách còn lại tặng em học sinh còn lại có 7 cách.

Số cách tặng sách trong trường hợp này là: 720 × 7 = 5040 cách.

- Trường hợp 2: Sách Âm nhạc đem tặng hết.

Tương tự như trường hợp 1, ta có số cách tặng sách trong trường hợp này là:

A64 × A82 = 20160 cách.

- Trường hợp 3: Sách Hội họa đem tặng hết.

3 3 Số cách tặng sách trong trường hợp này là: A6 × A9 = 60480 cách.

Vậy số cách tặng sách cần tìm là:

64

665280 − (5040 + 20160 + 60480) = 579600 cách.

Bài toán 9. Trong thư viện nhà trường có 5 quyển sách truyện khác nhau, 7 sách Toán tham khảo khác nhau và 8 sách Văn khác nhau. Giáo viên muốn lấy 13 quyển trong số sách trên để làm giải thưởng sao cho mỗi loại còn ít nhất 1 quyển.

Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Nhận xét: Bài toán 8 và bài toán số 9 có cùng 1 yêu cầu đó là sau khi tặng thưởng thì mỗi loại sách còn ít nhất 1 quyển. Nhưng trong bài toán số 8, tổng 2 loại sách nào cũng đều lớn hơn số sách cần lấy, còn trong bài toán 9, tổng số sách truyện và số sách tham khảo, tổng số sách truyện và sách Văn lại ít hơn và bằng số sách cần lấy. Cách giải quyết vấn đề có gì khác?

Giải: Ta có: Tổng số sách truyện và sách Toán tham khảo là 12 quyển.

Tổng số sách truyện và sách Văn là 13 quyển.

Tổng số sách Toán tham khảo và sách Văn là 15 quyển.

Số cách chọn 13 quyển sách từ 20 quyển sách khác nhau là:

C2013 = 77520 cách.

Ta loại đi các trường hợp sau: - Trường hợp 1: Sách truyện lấy hết.

Bước 1: Lấy 5 quyển sách truyện có 1 cách.

8 Bước 2: Chọn 8 trong 15 quyển sách Toán và Văn có C15 = 6435 cách.

Số cách lấy sách trong trường hợp này là: 6435 cách.

- Trường hợp 2: Sách Toán lấy hết.

Tương tự như trường hợp 1, ta có số cách lấy sách trong trường hợp này là:

C136 = 1716 cách.

- Trường hợp 3: Sách Văn lấy hết.

Số cách lấy sách trong trường hợp này là: C125 = 792 cách.

- Trường hợp 4: Sách truyện và Toán lấy hết.

Số cách lấy sách trong trường hợp này là: C81 = 8 cách.

65

- Trường hợp 5: Sách truyện và Văn lấy hết. Số cách lấy sách trong trường hợp này là: 1 cách.

Vì cách lấy 12 quyển sách truyện và Toán và cách lấy 13 quyển sách truyện vàn Văn có đồng thời trong cách lấy 5 quyển sách truyện. Do đó số cách tặng sách cần tìm là:

77520 − (6435 + 1716 + 792 − 8 − 1) = 68586 cách.

Chú ý: Trong bài toán này, học sinh rất dễ bị nhầm kết quả khi không nhận ra rằng cách lấy 12 quyển sách truyện và Toán và cách lấy 13 quyển sách truyện vàn Văn có đồng thời trong cách lấy 5 quyển sách truyện hoặc chỉ loại các trường hợp mà 1 loại sách bị lấy hết.

Bài toán 10. Có bao nhiêu cách chia 8 đồ vật khác nhau cho 3 người sao cho có 1 người được 2 đồ vật, 2 người được 3 đồ vật?

Giải: Bước 1: Chọn 1 trong 3 người nhận 2 đồ vật có 3 cách.

2 Bước 2: Chọn 2 trong 8 đồ vật cho người này có C8 = 28 cách.

Bước 3: Chọn 3 trong 6 đồ vật còn lại cho người được 3 đồ vật thứ nhất có

C63 = 20 cách.

Bước 4: 3 đồ vật còn lại cho người còn lại có 1 cách.

Vậy số cách chia thỏa mãn bài toán là:

28 × 20 × 3 = 1680 cách.

Chú ý: Bài toán trên, học sinh rất dễ mắc sai lầm khi tính ra đáp số là:

C82 × C63 hoặc C82 × C63 × 3! với lí do như sau: - Khi học sinh không phân biệt người nhận 2 đồ vật với người nhận 3 đồ vật, 2 3 sẽ tính được kết quả là C8 × C6 .

- Khi học sinh phân biệt 2 người nhận 3 đồ vật với nhau, sẽ tính được kết quả 2 3 là C8 × C6 × 3! .

Vậy nên khi làm những bài toán dạng này, các em cần lưu ý rằng những người nhận cùng số lượng quà tặng, khi hoán đổi sẽ cho cùng một kết quả nhận quà. Do đó nếu phân biệt họ thì số cách nhận quà sẽ bị lặp lại. Và kết quả bài toán dẫn đến bị sai.

66

Bài toán 11. Có bao nhiêu cách chia 11 phần thưởng khác nhau cho 3 người sao cho mỗi người được ít nhất 3 phần thưởng?

Nhận xét: Ta thấy: 11 = 3 + 3 + 5 = 3 + 4 + 4 .

Do đó, đề bài yêu cầu mỗi người được ít nhất 3 phần thưởng thì bài toán xảy ra 2 trường hợp: - Có 2 người được 3 phần thưởng, 1 người được 5 phần thưởng.

- Có 1 người được 3 phần thưởng, 2 người được 4 phần thưởng.

Giải: - Trường hợp 1: 2 người được 3 phần thưởng, 1 người được 5 phần thưởng.

Bước 1: Chọn 1 trong 3 người được 5 phần thưởng có 3 cách.

Bước 2: Số cách chọn 5 trong 11 phần thưởng là C115 = 462 .

Bước 3: Chọn 3 trong 6 phần thưởng còn lại cho người được 3 phần thưởng thứ nhất có C63 = 20 cách.

Số cách chia phần thưởng trong trường hợp này là:

3 × 462 × 20 = 27720 cách.

- Trường hợp 2: 1 người được 3 phần thưởng, 2 người được 4 phần thưởng.

Bước 1: Chọn 1 trong 3 người được 3 phần thưởng có 3 cách.

Bước 2: Số cách chọn 3 trong 11 phần thưởng là C113 = 165 .

Bước 3: Chọn 4 trong 8 phần thưởng còn lại cho người được 4 phần thưởng thứ nhất có C84 = 70 cách.

Bước 4: 4 phần thưởng còn lại cho người còn lại có 1 cách.

Số cách chia phần thưởng trong trường hợp này là:

3 × 165 × 70 = 34650 cách.

Vậy số cách chia phần thưởng theo yêu cầu bài toán là:

27720 + 34650 = 62370 cách.

Bài toán 12. Có bao nhiêu cách chia 60 đồ vật giống nhau cho 4 người sao cho mỗi người được ít nhất 5 đồ vật?

Nhận xét: Với điều kiện mỗi người được ít nhất 5 đồ vật mà 60 đồ vật được chia hết cho cả 4 người, hướng giải quyết sẽ rất khó khăn, vì trong bài toán này ta không thể phân tích được như bài toán trên, do số đồ vật quá lớn, nếu phân tích sẽ

67

có rất nhiều trường hợp. Nhưng nếu chúng ta đưa bài toán về dạng bài chia cho mỗi người được ít nhất 1 đồ vật thì sẽ dễ dàng giải quyết hơn.

Do đó để đảm bảo mỗi người có ít nhất 5 đồ vật thì chúng ta sẽ chia đều cho mỗi người 4 đồ vật trước. Số đồ vật còn lại được chia thỏa mãn yêu cầu mỗi người được ít nhất 1 đồ vật.

Bài toán được giải như sau: Giải: Ta đem chia trước cho mỗi người 4 đồ vật. Số đồ vật còn lại là:

60 − 4 × 4 = 44 .

Giả sử đặt 44 đồ vật còn lại thành 1 hàng ngang. Khi đó, giữa chúng có 43 khoảng trống. Nếu đặt 3 cái que vào bất kì 3 khoảng trống nào đó trong 43 khoảng trống, 44 đồ vật sẽ được tách thành 4 phần, và mỗi phần luôn có ít nhất 1 đồ vật.

Do đó số cách chia 44 đồ vật cho 4 người sao cho mỗi người có ít nhất 1 đồ vật chính là số cách đặt 3 cái que vào 3 trong 43 khoảng trống.

Vậy số cách chia thỏa mãn bài toán là: C433 = 12341 cách.

Nhận xét: Từ bài toán trên, ta luôn tính được cách chia X đồ vật giống nhau cho n người sao cho mỗi người được ít nhất k đồ vật ( X ≥ kn ).

- Ta chia trước cho mỗi người k − 1 đồ vật.

- Số đồ vật còn lại là: Y = X − ( k − 1)n .

- Số đồ vật còn lại đem chia cho n người sao cho mỗi người được ít nhất 1 đồ n −1 vật thì số cách chia là CY −1 . Đây chính là số cách chia thỏa mãn bài toán.

Bài toán 13. Có 5 cây dừa, 6 cây cau, và 7 cây chuối. Bác nông dân muốn đem trồng thành 2 dãy trong vườn, mỗi dãy có 9 cây, tạo thành 9 hàng, mỗi hàng 2 cây đối diện nhau. Bác nông dân muốn trồng sao cho 2 cây đối diện nhau thì không cùng loại. Hỏi bác có bao nhiêu cách trồng?

Nhận xét: Bài toán yêu cầu 2 cây đối diện nhau không cùng loại, nghĩa là bác nông dân cần phải xếp các cặp khác loại nhau để trồng cùng một hàng: cặp (dừa, cau); cặp (cau, chuối); cặp (chuối, dừa).

68

Cần phải tìm ra số lượng chính xác các cặp. Tổng số cây trong bài là 18 cây, do đó có 9 cặp. Có 7 cây chuối, nên sẽ có 7 cặp có cây chuối, do đó chỉ có 2 cặp (dừa, cau). Số cặp (dừa, chuối) là 3 cặp, số cặp (cau, chuối) là 4 cặp.

2 Bước 1: Chọn 2 trong 9 hàng trồng cặp (dừa, cau) có C9 = 36 cách.

Bước 2: Chọn 3 trong 7 hàng còn lại trồng cặp (dừa, chuối) có C73 = 35 cách.

Bước 3: 4 hàng còn lại trồng cặp (cau, chuối) có 1 cách.

Bước 4: Với mỗi hàng, có 2 cách trồng (hoán đổi vị trí 2 cây trong cặp). Do đó 9 hàng ta có 2 9 cách trồng.

Vậy số cách bác nông dân có thể trồng là: 36 × 35 × 2 9 = 645120 cách.

Chú ý: Trong bài toán trên, học sinh rất dễ mắc sai lầm vì bỏ qua bước thứ 4.

Các cặp cây trồng ở đây là khác nhau, nên mỗi lần hoán vị vị trí cây trong một cặp ta có một cách trồng khác.

Nhận xét: Với mỗi một ý tưởng, một nội dung khác nhau được đề cập trong các bài toán trên, học sinh thấy được sự phong phú trong bài toán ĐSTH. Đồng thời có sự linh hoạt trong tư duy, suy nghĩ không rập khuôn khi giải quyết mỗi bài toán của các em. Các em có cái nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tượng. Tính mềm dẻo và tính nhuần nhuyễn của TDST được phát triển qua loại bài tập này.

69

2.3.3. Loại bài tập mở Với loại bài tập này, học sinh có thể nhìn nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc và nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết, tác động rõ rệt trong việc bồi dưỡng và phát triển tính mềm dẻo của TDST. Điều phải tìm trong loại bài tập này không được nêu lên một cách tường minh, học sinh phải tìm và chứng minh tất cả các kết quả có thể, hoặc phải dự đoán, phát hiện các kết luận cần chứng minh.

Sau đây là một số ví dụ với loại bài tập này.

Bài toán 1. Chọn pi là các số nguyên tố ( i = 1,2,..., n ). Tìm số ước ( là số tự nhiên) của số q = p1 p2 ... pn . k1

k2

kn

Giải: Ta có: 2 - Thừa số p1 có ( k1 + 1 ) ước: 1, p1 , p1 ,..., p1 k1

k1

2 - Thừa số p2 có ( k 2 + 1 ) ước: 1, p2 , p2 ,..., p2 k2

k2

(1).

(2).

....

2 - Thừa số pn có ( k n + 1 ) ước: 1, pn , pn ,..., pn kn

kn

(n).

Ta thấy rằng cứ một thừa số trong (1) kết hợp với (2) cho ta k 2 + 1 ước mới.

Khi đó, ta có số ước của q1 = p1 p2 là ( k1 + 1)( k 2 + 1) . k1

k2

Vậy số ước của số q = p1 p2 ... pn là ( k1 + 1)( k 2 + 1)...( k n + 1) . k1

k2

kn

Bài toán 2. Cho tập A = {a1 , a 2 ,..., a n } gồm n phần tử ( n ≥ 3 ). Có bao nhiêu cách chia A thành a, hai tập khác rỗng? b, hai tập khác rỗng và trong đó có một tập chứa 2 phần tử a1 và a2 ? c, hai tập khác rỗng và có một tập con chứa một trong hai phần tử a1 , a 2 ?

Giải: a, Giả sử A được chia thành 2 tập con khác rỗng B, C .

Vì B, C khác rỗng , không mất tính tổng quát, ta xét tập B có thể có số phần tử là 1 hoặc 2... hoặc n − 1 phần tử.

70

1 - B1 : Nếu B có 1 phần tử thì có Cn cách chọn.

2 - B2 : Nếu B có 2 phần tử thì có Cn cách chọn. k - Bk : Nếu B có k phần tử thì có Cn cách chọn. n −k - Bn − k : Nếu B có n − k phần tử thì có Cn cách chọn.

- Bn −1 : Nếu B có n − 1 phần tử thì có C nn −1 cách chọn.

Vậy có số cách chọn B là:

Cn1 + Cn2 + ... + Cnn −1 = (Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + C nn −1 + Cnn ) − 2 = 2 n − 2.

Ta loại đi các cách trùng nhau: Nếu bước Bk có số cách chọn B là X thì bước Bn−k cũng cho số cách chọn tập C là X. Vậy nên số cách chia A thành hai tập khác rỗng là:

2n − 2 = 2 n−1 − 1 cách chia.

2 b, Đặt

thì M có n − 2 phần tử. Chia M thành 2 tập khác

rỗng B và C . Tương tự như câu a ta có số cách chia là: 2 n −3 − 1 .

Ghép cặp ( a1 , a 2 ) vào hai tập con B hay C ta có 2 cách.

Do đó số cách chia là: 2 × (2 n−3 − 1) = 2 n −2 − 2 cách.

Trường hợp chia M có một tập rỗng, không mất tính tổng quát giả sử đó là tập B thì B = {a1 , a 2 }.

Vậy số cách chia tập A thỏa mãn bài toán là: 2 n − 2 − 2 + 1 = 2 n − 2 − 1 . c, Bài toán yêu cầu tìm số cách chia tập A thành hai tập khác rỗng và có một tập con chứa một trong hai phần tử a1 , a 2 , nghĩa là 2 tập con của A không có tập nào chứa cả hai phần tử a1 , a 2 .

Theo câu a ta có số cách chia A thành hai tập khác rỗng là: 2 n −1 − 1 .

Theo câu b ta có số cách chia A thành hai tập khác rỗng và trong đó có một tập chứa hai phần tử a1 , a 2 là: 2 n − 2 − 1 . n −1 n−2 n −1 n−2 Vậy số cách chia tập A thỏa mãn là: 2 − 1 − (2 − 1) = 2 − 2 .

71

Bài toán 3. Cho tập hợp A gồm 3n phần tử. Có bao nhiêu cách chia A thành 3 tập, mỗi tập gồm n phần tử?

Giải: n Bước 1: Chọn 1 tập gồm n phần tử trong 3n phần tử có C3n cách. n Bước 2: Chọn 1 tập gồm n phần tử trong 2n phần tử có C2 n cách.

Ta loại các trường hợp trùng nhau: Xét một cách chia A thành 3 tập A1 , A2 , A3 ( A1 ∪ A2 ∪ A3 = A) thì: Nếu trong bước 1 chọn được A1 và trong bước 2 chọn được A2 , A3 , có 2 lần trùng nhau.

Trong bước 1 chọn được A2 và trong bước 2 chọn được A1 , A3 .

Trong bước 1 chọn được A3 và trong bước 2 chọn được A1 , A2 .

Vậy mỗi cách chia đã được tính 3! lần nên số cách chia thỏa mãn bài toán là:

C3nn C 2nn .

3!

Nhận xét: Hai bài toán trên là các bài toán tổng quát của việc đếm số cách chia một tập bất kì thành các tập con thỏa mãn yếu tố nào đó, do đó học sinh rất dễ bị sai kết quả nếu không nhận ra có những trường hợp trùng nhau và phải loại đi. Đây là một trong những dạng toán khó và phức tạp.

Bài toán 4. Một chiếc xe chở h học sinh đi tham quan ở n địa điểm. Có những em tham quan ở những địa điểm không giống nhau. Hỏi xe đó có bao nhiêu cách đưa các em đi tham quan?

Giải: Gọi a1 , a2 ,..., an là n địa điểm tham quan.

Nếu ở địa điểm a1 có h1 học sinh tham quan.

Nếu ở địa điểm a2 có h2 học sinh tham quan. ...

Nếu ở địa điểm a n có hn học sinh tham quan.

Với: h1 + h2 + ... + hn = h Thì mỗi cách xe đưa các em đi tham quan là một tổ hợp lặp chập h của n .

72

Vậy số cách xe đó đưa các em đi tham quan là: C0 (h, n) =

(h + n − 1)! . h!(n − 1)!

Bài toán 5. Hỏi có bao nhiêu cách xếp cho n người ngồi quanh một bàn tròn n ghế?

Giải: Chú ý rằng khi xếp n người ngồi quanh một bàn tròn thì có điểm khác biệt so với xếp vào một bàn dọc. Với bàn dọc thì có thể chỉ định người ngồi đầu bàn, người ngồi cuối bàn và thay đổi. Nhưng với bàn tròn thì không thể phân định được vị trí nào làm chuẩn.

Do đó, đầu tiên cần phải chọn một vị trí làm chuẩn. Giả sử chọn người 1 người bất kì làm chuẩn. Khi đó, - Người đó chỉ có 1 cách chọn.

- Sau khi có chuẩn của người thứ nhất thì n − 1 người còn lại có (n − 1)! cách xếp.

Vậy xếp n người thì có (n − 1)! cách xếp.

Bài toán 6. Cho k viên bi màu đỏ đôi một khác nhau và k viên bi màu xanh đôi một khác nhau. Ta muốn bỏ 2k viên bi vào một hàng 2k lỗ cho trước thành một hàng. a, Có bao nhiêu cách bỏ khác nhau? b, Có bao nhiêu cách bỏ khác nhau sao cho hai bi cạnh nhau thì khác màu? c, Có bao nhiêu cách bỏ khác nhau sao cho k viên bi màu đỏ ở vị trí chẵn? d, Có bao nhiêu cách bỏ khác nhau sao cho k viên bi màu đỏ luôn cạnh nhau?

Giải: a, Do 2k viên bi là khác nhau nên khi bỏ 2k lỗ là có kể thứ tự.

Vậy có ( 2k )! cách. b, Bước 1: Chọn màu bi bỏ vào lỗ thứ nhất có 2 cách chọn.

Bước 2: Bỏ bi vào lỗ: Nếu chọn bi đỏ thì có k ! cách bỏ vào các lỗ lẻ, k! cách bỏ bi xanh vào các lỗ chẵn.

Vậy số cách cần tìm là: 2 × k!×k! cách. c,

73

Bước 1: bỏ k viên bi màu đỏ ở vị trí chẵn có k! cách.

Bước 2: bỏ k viên bi màu xanh ở vị trí lẻ có k ! cách.

Vậy số cách cần tìm là: k!×k! cách. d, bước 1: sắp k viên bi đỏ vào k vị trí có k ! cách.

Bước 2: coi k viên bi đỏ là một viên bi xanh. Khi đó ta có k + 1 viên bi xanh.

Do đó có (k + 1)! cách bỏ các viên bi xanh vào lỗ.

Vậy số cách cần tìm thỏa mãn bài toán là: k! (k + 1)!.

2.3.4. Loại bài tập ngụy biện Loại bài tập này tác động đến khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới của học sinh, đồng thời học sinh có thể nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tưởng như không có liên hệ với nhau. Khi xảy ra những tranh luận giữa mình và các bạn, học sinh sẽ thấy hào hứng hơn trong học tập. Nhìn nhận ra những sai lầm trong cách làm của các bạn, hoặc sai lầm của chính mình, hoặc hùng biện bảo vệ cho cách làm của mình làm cho tư duy của học sinh được kích thích, hoạt động liên tục và có thể tự rút được kinh nghiệm cho bản thân với những bài tập tiếp theo. Đôi khi cách giải bài toán của người khác có kết quả sai nhưng hướng làm lại giúp chính học sinh tìm ra cách làm mới lạ và chính xác cho bài toán. Tính độc đáo của TDST được bồi dưỡng và phát triển rõ nét khi học sinh giải bài toán dạng này.

Sau đây là một số ví dụ điển hình trong loại bài tập này.

Bài toán 1. Cô giáo cho bài toán sau: Một lớp học có 33 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách giao 3 chức danh cho lớp trưởng, lớp phó học tập, lớp phó văn thể cho 3 học sinh, biết mỗi học sinh chỉ có thể nhận nhiều nhất một chức danh và học sinh nào cũng có khả năng đảm nhận những chức danh trên?

Cô gọi bạn Hòa và bạn An lên bảng.

- bạn Hòa giải như sau: Có 33 cách chọn lớp trưởng.

Có 32 cách chọn lớp phó học tập.

74

Có 31 cách chọn lớp phó văn thể.  có 33 + 32 + 31 = 96 cách chọn thỏa mãn đề bài.

- Bạn An giải như sau: Có 33 cách chọn lớp trưởng.

Sau khi chọn lớp trưởng, có 32 cách chọn lớp phó học tập.

Sau khi chọn lớp trưởng và lớp phó học tập, có 31 cách chọn lớp phó văn thể.  có 33.32.31 = 32736 cách chọn thỏa mãn đề bài.

Ở đây, bạn An giải bài toán đúng, bạn Hòa giải bài toán sai, do bạn đã nhớ nhầm công thức của quy tắc cộng và quy tắc nhân, hoặc nhìn nhận sai về công việc bầu ban cán sự lớp rằng được thực hiện theo một trong 3 phương án: bầu lớp trưởng, hoặc lớp phó học tập hoặc lớp phó văn thể. Thông qua thảo luận với bạn bè, học sinh sẽ nhìn nhận ra lỗi sai của mình và sẽ tự rút ra kinh nghiệm học tập cho bản thân.

Bài toán 2. Chi đoàn 11A2 có 46 đoàn viên. Trong buổi đại hội chi đoàn, các đoàn viên phải bầu ra ban chấp hành gồm 3 thành viên. Hỏi: a) Có bao nhiêu cách chọn 3 đoàn viên vào ban chấp hành chi đoàn? b) Có bao nhiêu cách chọn 3 đoàn viên vào ban chấp hành chi đoàn gồm một bí thư, một phó bí thư và một ủy viên?

Trong những lời giải sau đây, cách giải nào đúng, cách giải nào sai và vì sao?

- Lời giải 1: Nhận xét thấy câu hỏi (a) và câu hỏi (b) giống nhau và đều là chọn ra 3 người trong 46 người, nên mỗi cách chọn là một tổ hợp chập 3 của 46 phần tử. Vậy 3 ta có số cách chọn là C46 .

- Lời giải 2: Nhận xét thấy câu hỏi (a) và câu hỏi (b) giống nhau và đều là sắp xếp 3 người trong 46 người, nên mỗi cách chọn là một chỉnh hợp chập 3 của 46 phần tử.

3 Vậy ta có số cách chọn là A46 .

- Lời giải 3: a) Mỗi cách chọn 3 đoàn viên vào ban chấp hành chi đoàn là một tổ hợp chập 3 của 46 phần tử. Vậy ta có số cách chọn thỏa mãn đề bài là C 463 .

75

b) Mỗi cách chọn 3 đoàn viên vào ban chấp hành chi đoàn gồm một bí thư, một phó bí thư và một ủy viên là một chỉnh hợp chập 3 của 46 phần tử. Vậy ta có số cách chọn thỏa mãn đề bài là A463 . Ở đây, lời giải đúng là lời giải 3. Lời giải 1 và lời giải 2 là sai. Hai lời giải này chứng tỏ quá trình tiếp nhận và xử lí thông tin là sai, không phân biệt được sự khác nhau của hai câu hỏi, vì thế đã “lồng” cả hai câu hỏi vào cùng một, do đó sẽ dẫn đến sự “thất bại” của mình trong cách làm. Thông qua thảo luận với bạn bè học sẽ phát hiện và tự điều chỉnh lỗi sai của mình và sẽ tự rút ra kinh nghiệm học tập cho bản thân.

Bài toán 3. Cho tập A = {0; 2; 4; 6; 8}. Hỏi từ A lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau? Nhận xét về tính đúng sai trong các lời giải sau đây: - Lời giải 1: Mỗi số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau là một bộ có sắp thứ tự 3 chữ 3 số từ 5 chữ số của tập A nên số các số tự nhiên cần tìm là A5 = 60 số.

- Lời giải 2: Có 5 cách chọn chữ số hàng trăm.

Có 4 cách chọn chữ số hàng chục.

Có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị.  có 5 × 4 × 3 = 60 cách chọn số có 3 chữ số từ tập A.

- Lời giải 3: Có 4 cách chọn chữ số hàng trăm.

Có 4 cách chọn chữ số hàng chục.

Có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị.  có 4 × 4 × 3 = 48 cách chọn số có 3 chữ số từ tập A.

- Lời giải 4: Số các dãy số bất kì gồm 3 chữ số đôi một khác nhau được lập từ 5 chữ số trên là A53 = 60 .

Số các dãy số gồm 3 chữ số đôi một khác nhau được lập từ 5 chữ số trên mà 2 có chữ số 0 đứng đầu là A4 = 12 .

76

 số các số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau được lập từ 5 chữ số trên là

60 – 12 = 48 số.

Trong bài toán trên thì: + Lời giải đúng là lời giải 3, 4. + Lời giải 1, 2 sai do HS không nhận thức được một số tự nhiên lớn hơn 0 thì chữ số đầu tiên của nó phải khác 0.

Bài toán 4. Cho bài toán: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số và luôn có mặt chữ số 2?

Cách giải bài toán sau đây đúng hay sai và tại sao? Để có số cần tìm thỏa mãn bài toán, ta xét một bộ ba chữ số abc , các chữ số không cần đôi một khác nhau, được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5.

- Trường hợp 1: a = 0 Bước 1: Chọn b có 6 cách chọn, Bước 2: Chọn c có 6 cách chọn, Đưa chữ số 2 vào bộ ba chữ số này chỉ có 1 cách (đứng đầu).

Số các số tìm được thỏa mãn bài toán trong trường hợp này là:

6 × 6 = 36 (số).

- Trường hợp 2: a ≠ 0 .

Bước 1: Chọn a có 5 cách chọn, Bước 2: Chọn b có 6 cách chọn, Bước 3: Chọn c có 6 cách chọn, Đưa chữ số 2 vào bộ ba chữ số này có 4 cách.

Số các số tìm được thỏa mãn bài toán trong trường hợp này là:

5 × 6 × 6 × 4 = 720 (số).

Vậy số các số tìm được thỏa mãn bài toán là: 36 + 720 = 756 (số).

Trả lời: Cách giải trên là sai. Vì: Ta xét bộ số 222 trong trường hợp a ≠ 0 . Nếu đưa chữ số 2 vào bộ ba chữ số này ta chỉ được một số duy nhất đó là 2222. Nhưng theo cách lập luận ở trường hợp 2, ta có đến 4 số cần tìm. Do đó bài toán đã có cách làm và kết quả sai.

77

Bài toán 5. Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 người lên 2 xe?

Lời giải sau đây đúng hay sai và tại sao?

- Xét các trường hợp sau: + Trường hợp 1: 4 người lên cùng 1 xe: có 1 cách chọn 4 người. Trong đó lại có 2 cách chọn xe nên có 2 cách chọn cho trường hợp 1. + Trường hợp 2: 3 người lên 1 xe, người còn lại 1 xe: có C43 = 4 cách chọn 3 người lên 1 xe. Khi đó người còn lại lên xe còn lại. Trong đó lại có 2 cách chọn xe cho 3 người kia. Như vậy có 4.2 = 8 cách chọn cho trường hợp 2. + Trường hợp 3: mỗi xe có 2 người: có C42 = 6 cách chọn 2 người lên 1 xe.

Trong đó có 2 cách chọn xe cho 2 người nên có 6.2 = 12 cách chọn cho trường hợp 3.

- Vậy có 2 + 8 + 12 = 22 cách chọn thỏa mãn đề bài.

Trả lời: Sai lầm của lời giải là ở trường hợp 3, khi chọn xe cho 2 người thì 2 người còn lại nhất định phải lên xe còn lại, vì vậy chỉ có 1 cách chọn xe, ứng với C42 cách chọn 2 người lên 1 xe nên chỉ có 6 cách chọn cho trường hợp 3 và đáp số đúng của bài toán là 16 cách chọn.

Có những học sinh khi làm bài toán này có thể cũng mắc phải sai lầm của lời giải, do trước đó các em đã có nhận thức rằng cách chọn người lên xe thì có 2 công đoạn: chọn người lên xe rồi chọn xe hoặc ngược lại nên cần phối hợp tổ hợp và quy tắc nhân. Tuy nhiên, các em không nhận ra được rằng việc chọn 2 người lên 1 xe thì 2 người còn lại bắt buộc phải lên xe còn lại, như vậy không cần thực hiện giai đoạn chọn xe, tức không cần sử dụng đến quy tắc nhân trong trường hợp 3, hoặc nếu vẫn sử dụng quy tắc nhân thì sẽ phải là nhân với 1 (1 là số cách chọn xe thỏa mãn trường hợp 3) chứ không phải nhân với 2. Vì thế học sinh sẽ mắc sai lầm trong việc “lồng” quy tắc nhân vào trường hợp 3.

Bài toán 6. Có 4 bạn A, B, C, D cần được chọn làm lớp trưởng, bí thư, lớp phó, mỗi người đảm nhận một chức vụ. Giả sử việc chọn thỏa mãn A không là lớp trưởng, bí thư là C hoặc D. Hỏi có bao nhiêu cách chọn cho các chức vụ thỏa mãn các điều kiện trên?

Cách giải bài toán trên sau đây là đúng hay sai?

78

Bước 1: Có 3 cách chọn lớp trưởng (trừ A).

Bước 2: Có 2 cách chọn bí thư (C hoặc D).

Bước 3: Có 2 cách chọn lớp phó (1 trong 2 HS còn lại).  có 3.2.2 = 12 cách chọn thỏa mãn đề bài.

Trả lời: Cách giải trên là sai. Vì : Học sinh khi làm như vậy đã không phát hiện được công đoạn 2 phụ thuộc vào cách làm công đoạn thứ nhất: nếu ở công đoạn thứ nhất, người được chọn làm lớp trưởng là C hoặc D thì số cách chọn trong công đoạn thứ hai sẽ khác. Những học sinh không nhận ra ngay sai lầm của lời giải có thể do các em cũng mắc phải sai lầm như trong lời giải, tức là chúng không nắm vững việc sử dụng quy tắc nhân và “quên” đi rằng nếu chọn lớp trưởng ở công đoạn thứ nhất thì việc chọn bí thư ở công đoạn thứ hai sẽ phụ thuộc vào việc chọn lớp trưởng trước đó sao cho bí thư không trùng với người đã được chọn làm lớp trưởng. Thực chất, để áp dụng quy tắc nhân, cần hiểu rõ khi phải thực hiện n hành động liên tiếp, nếu hành động thứ nhất có n1 kết quả, ứng với mỗi kết quả đó thì đều có n2 kết quả cho hành động thứ hai, … Khi đó, số kết quả thực hiện sau n lần liên tiếp là: n1 .n2 ...nn . ở đây, ứng với mỗi cách chọn lớp trưởng không phải khi nào cũng có 2 cách chọn bí thư. Và như vậy, lời giải trên phải được học sinh điều chỉnh lại cho chính xác. Để tránh nhầm lẫn, các em nên làm theo thứ tự khác lời giải được đưa ra như sau: Bước 1: Chọn bí thư: có 2 cách chọn (C hoặc D).

Bước 2: Chọn lớp trưởng: có 2 cách chọn (trừ A).

Bước 3: Chọn lớp phó: có 2 cách chọn.  có 2.2.2 = 8 cách chọn thỏa mãn đề bài.

Bài toán 7. Có 25 nam, 15 nữ. Người ta chọn ra một nhóm gồm 3 người trong đó có ít nhất 1 nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

Lời giải sau đây của bạn Bình là đúng hay sai ? Nếu sai hãy chỉ ra chỗ sai và hãy giải bài toán.

Bình giải như sau : Bước 1 : chọn 1 nam có 25 cách.

2 Bước 2: Chọn 2 người tùy ý trong 39 người có C39 cách.

79

2 Vậy có: 25 × C39 cách.

Trả lời: Lời giải của bạn Bình là sai.

Trong bước 2 của lời giải, nhóm 2 người gồm có 2 loại là loại gồm 2 nam và loại gồm 1 nam.

Loại gồm 2 nam, đưa 1 nam đã chọn ở bước 1 vào ta được nhóm có 3 nam.

Ta xét 1 nhóm (A, B, C) gồm 3 nam. Giả sử bước 1 chọn được A, suy ra bước 2 chọn được (B, C). Do vai trò của A, B, C như nhau nên nhóm gồm 3 nam này đã được tính 3 lần.

Tương tự nhóm gồm 2 nam và 1 nữ được tính 2 lần.

Do đó mà kết quả của bài toán bị sai.

Lời giải đúng của bài toán rất đơn giản, ta chỉ cần đi tìm phần bù của bài toán.

Lời giải như sau: Bước 1: Chọn 1 nhóm gồm 3 người tùy ý có C 403 cách.

Bước 2: Chọn 1 nhóm gồm 3 nữ có C153 cách.

Vậy số cách chọn thỏa mãn bài toán là: C403 − C153 = 9425 cách.

Bài toán 8. Có bao nhiêu cách tặng 5 phần quà đôi một khác nhau cho 3 học sinh biết rằng có 2 học sinh nhận 1 phần quà và học sinh còn lại nhận 3 phần quà?

Hãy giải thích cách giải sau sai ở đâu?

Bước 1: Gói các phần quà.

1 Gói quà thứ nhất gồm 1 phần quà có C5 cách.

1 Gói quà thứ hai gồm 1 phần quà có C 4 cách.

Bước 2: Trao quà cho 3 học sinh có 3! cách.

1 1 Vậy số cách trao quà là : C5 × C4 × 3! = 120 cách.

Trả lời: Bài toán trên sai ở bước 1. Ở bước này, mỗi cách gói quà đã được tính 2 lần, vì khi 2 người cùng nhận số lượng quà giống nhau thì khi hoán đổi sẽ cho kết quả giống nhau.

Lời giải đúng của bài toán như sau:

80

Bước 1: Gói các phần quà.

Gói quà thứ nhất gồm 3 phần quà có C53 cách.

Gói quà thứ hai và thứ ba gồm 1 phần quà có

1 1 C2 cách.

2

Bước 2: Trao quà cho 3 học sinh có 3! cách.

1 2

1 1 Vậy số cách trao quà là : C5 × × C2 × 3! = 60 cách.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Cho tập A = {1,2,3,4,5,6}. Hỏi có bao nhiêu cách viết số a, có 4 chữ số? b, có 4 chữ số đôi một khác nhau? (Đáp số: a, 1296 ; b,360).

Bài 2. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt tối đa 5 lần, còn các chữ số 2, 3, 4 mỗi số có mặt tối đa 1 lần? (Đáp số: 228 số).

Bài 3. Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7}. Từ tập A có thể viết được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có 2 chữ số 2, 6? (Đáp số: 1200).

Bài 4. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số chia hết cho 9, mỗi số gồm 3 chữ số đôi một khác nhau? (Đáp số: 16).

Bài 5. Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số có tận cùng bằng chữ số 6 và chia hết cho 3? (Đáp số: 3000).

Bài 6. Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số mà tổng các chữ số của mỗi số nhỏ hơn hoặc bằng 51? (Đáp số: 899972).

Bài 7. Từ các chữ số 1, 2, 3, ..., 9 lập các số chẵn có 3 chữ số khác nhau. Hỏi có bao nhiêu số không lớn hơn 789? (Đáp số: 171).

Bài 8. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau và mỗi số lập được đều nhỏ hơn 2500? (Đáp số: 360).

81

Bài 9. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau và lớn hơn 2007? (Đáp số: 2016).

Bài 10. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau bé hơn 345? (Đáp số: 50).

Bài 11. Tìm tất cả các số tự nhiên sao cho trong mỗi số đó, chữ số liền sau lớn hơn chữ số liền trước nếu: a, số có 5 chữ số. b, số lẻ có 5 chữ số. (Đáp số: a, 252; b, 86).

Bài 12. Chia nhóm 16 học sinh gồm 3 học sinh giỏi, 5 học sinh khá, 8 học sinh trung bình thành 2 tổ, mỗi tổ có 8 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chia mà mỗi tổ đều có học sinh giỏi và có ít nhất 2 học sinh khá? (Đáp số: 3780).

Bài 13. Một hàng ghế gồm 10 chiếc ghế. Có bao nhiêu cách sắp xếp một đôi vợ chồng ngồi vào các ghế đó nếu: a, Họ ngồi ghế nào cũng được. b, Họ ngồi kề nhau. c, Vợ ngồi bên phải chồng. d, Họ ngồi cách nhau một ghế.

Bài 14. Hòa có 12 cuốn sách khác nhau gồm 2 sách Toán, 4 sách Văn và 6 sách Anh. Hỏi Hòa có bao nhiêu cách xếp sách lên kệ dài mà sách cùng loại liền kề nhau? (Đáp số: 207360).

Bài 15. An có 6 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ, 2 viên bi vàng. An muốn cho Nam 4 viên bi mà có đủ 3 màu. Hỏi An có bao nhiêu cách cho? (Đáp số: 144).

Bài 16. Trong vườn có 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng, 4 bông hồng đỏ.

Mẹ muốn chọn ra một bó hoa gồm 7 bông. Tìm số cách Mẹ chọn một bó hoa nếu trong đó có đúng một bông hồng đỏ. (Đáp số: 112 cách).

Bài 17. Đội tuyển học sinh giỏi của trường gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè, sao cho có mặt đủ học sinh 3 khối?

82

(Đáp số: 41811).

Bài 18. Cô giáo có 5 sách tiếng anh giống nhau và 6 sách tiếng Pháp khác nhau. Cô muốn thưởng cho 9 em học sinh giỏi của lớp mỗi em 1 quyển. Hỏi có bao nhiêu cách nhận phần thưởng của 9 em học sinh? (Đáp số: 196560).

Bài 19. Có 6 quả cầu màu xanh đánh số từ 1 đến 6; 5 quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5; 4 quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 4. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu vừa khác màu vừa khác số? (Đáp số: 64).

Bài 20. Trong lớp 10A có 7 học sinh nam và 4 học sinh nữ ưu tú, trong đó có 2 bạn Nam và Hoa. Cô giáo chủ nhiệm cần lập một ban cán bộ lớp gồm 6 người, sao cho có ít nhất 2 bạn nữ, ngoài ra, Nam và Hoa không thể làm việc chung với nhau trong ban cán sự. Hỏi cô giáo có bao nhiêu cách lập ban cán sự lớp? (Đáp số: 260).

Bài 21. Có 5 nhà Toán học nam, 3 nhà Toán học nữ, 4 nhà Vật lí nam. Lập một đoàn công tác 3 người cần có cả nam và nữ, cả nhà toán học và nhà vật lí học.

Hỏi có bao nhiêu cách lập đoàn công tác? (Đáp số: 90).

Bài 22. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn, mỗi số có 5 chữ số đôi một khác nhau trong đó có đúng 2 chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ này đứng cạnh nhau? (Đáp số: 360).

Bài 23. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho mỗi số tạo thành chia hết cho 4? (Đáp số: 96).

Bài 24. Biển số xe là một dãy gồm 2 chữ cái đứng trước và 4 chữ số đứng sau.

Các chữ cái được lấy từ 26 chữ cái A, B,...,Z. Các chữ số được chọn từ 10 chữ số 0, 1, 2,..., 9. Hỏi có bao nhiêu biển số xe có 2 chữ cái khác nhau đồng thời có đúng 2 chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ giống nhau? (Đáp số: 487500).

Bài 25. Trong một toa tàu có 2 ghế xa- lông đối mặt nhau. Mỗi ghế có 4 chỗ ngồi. Trong số 8 hành khách có 3 người muốn ngồi nhìn theo hướng tàu chạy, 2 người muốn ngồi ngược lại, 3 người không có yêu cầu gì. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi? (Đáp số: 1728).

Bài 26. Số điện thoại của một thành phố có 6 chữ số được lựa chọn trong tập

{0,1,2,3,...,9}.

83

a, Có bao nhiêu số điện thoại gồm 3 cặp hai số giống nhau (tức là có dạng

ababab ), chấp nhận cả số 000000. (Đáp số: 100). b, Có bao nhiêu số điện thoại mà số 6 có mặt 2 lần, số 2 và số 5 có mặt đúng 1 lần và hai số còn lại có tổng chia hết cho 3? (Đáp số: 2700).

Bài 27. Cho hình thập giác lồi. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của thập giác lồi, nhưng cạnh của tam giác không phải là cạnh của thập giác lồi? (Đáp số: 50).

Bài 28. Cho hai đường thẳng song song d1 và d 2 . Trên d 2 có 20 điểm phân biệt, trên d1 có 17 điểm phân biệt. Tính số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong số 37 điểm trên d1 và d 2 . (Đáp số: 5950).

Bài 29. Người ta sơn bề ngoài của một khối lập phương màu trắng và cưa thành 8 khối lập phương nhỏ. Sau đó từ các khối lập phương nhỏ, người ta lập lại khối lập phương cũ, nhưng các khối lập phương nhỏ có thể thay đổi vị trí va quay đi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các khối lập phương như thế để khối lập phương lớn có bề ngoài vẫn sơn màu trắng? (Đáp số: 38.8!).

Bài 30. Một cửa hàng có 10 lon nước giải khát đôi một khác nhau dùng để bày hàng. Người ta xếp các lon đó thành hình quả núi, số lon từ hàng dưới cùng đến hàng trên cùng lần lượt là 4, 3, 2, 1. Hàng ngày người ta đổi vị trí các lon cho nhau sao cho không có hai ngày nào bày như nhau. Hỏi bắt đầu từ ngày 1/1/2014 thì có thể tiến tới ngày nào? (Đáp số: 6/3/11950).

Bài 31. Từ thành phố A đến thành phố B có 7 con đường, từ thành phố B đến thành phố C có 8 con đường, từ thành phố C đến thành phố D có 9 con đường. Hỏi có bao nhiêu con đường đi từ thành phố A đến thành phố D biết rằng những con đường này phải đi qua thành phố B và thành phố C. (Đáp số:504).

Bài 32. Đi từ thành phố A đến thành phố B có 3 lối đi, từ thành phố B đến thành phố C có 4 lối đi. Hỏi đi từ thành phố A đến thành phố C rồi quay trở về thành phố A có bao nhiêu lối đi sao cho lối đi và về không trùng nhau? (Đáp số:72).

84

Bài 33. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 6, gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?

Bài 34. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau chia hết cho cả 2 và 5?

Bài 35.Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau, không chia hết cho 10?

Bài 36.Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 9, gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?

Bài 37. Một người có 7 cái áo, trong đó có 3 áo sọc và 4 áo trắng; có 6 quần trong đó có 3 quần đen; và có 4 đôi giày, trong đó có 2 đôi giày đen. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn áo- quần- giày nếu: a, Chọn áo, quần và giày nào cũng được. b, Nếu chọn áo sọc thì với quần nào, giày nào cũng được; còn nếu chọn áo trắng thì chỉ mặc với quần đen và đi giày đen. (Đáp số: a. 168; b. 96).

Bài 38. Có 7 bạn A, B, C, D, E, G, H chụp ảnh chung. Họ muốn chụp ảnh chung bằng cách đổi chỗ lẫn nhau, nhưng bộ 3 bạn A, B, C bao giờ cũng đứng kề nhau theo thứ tự đó. Hỏi có bao nhiêu bức ảnh? (Đáp số:120).

Bài 39. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4? (Đáp số:60).

Bài toán 40. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số trong đó chữ số 4 được lặp lại 3 lần, chữ số 1 được lặp lại 2 lần. (Đáp số:420).

Bài 41. Trong đội bóng có 11 cầu thủ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 cầu thủ và sắp thứ tự (vào danh sách) đá phạt luân lưu 11m trong một trận đấu? (Đáp số:55440).

Bài 42. Lan 4 phần quà khác nhau, nhưng lại có 6 người bạn thân. Lan muốn đem quà đến tặng hết cho 6 người bạn đó. Hỏi Lan có bao nhiêu cách tặng quà nếu mỗi người bạn được nhận không quá 1 phần quà? (Đáp số:360).

85

Bài 43. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có chữ số 1 và chữ số 5 ở mỗi số. (Đáp số:1200).

Bài toán 44. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau? (Đáp số:1260).

Bài 45. Cho 10 chữ số 0, 1, 2, ..., 8, 9. Lập được bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số đôi một khác nhau và nhỏ hơn 600000 xây dựng từ 10 chữ số trên. (Đáp số:36960).

Bài 46. Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ? (Đáp số:207900).

Bài 47. Tổ 1 lớp 10A được phân công 2 công việc là trồng cây và làm vệ sinh sân trường. Trong tổ có 12 bạn, cô giáo muốn phân công thành 4 nhóm làm việc, trong đó 2 nhóm trồng cây và 2 nhóm làm vệ sinh sân trường. Hỏi cô giáo có bao nhiêu cách chia nếu phân biệt thứ tự các nhóm làm một công việc giống nhau. (Đáp số:369600).

86

Kết luận Chương 2

Trong chương 2 của luận văn, tác giả đã trình bày hệ thống bài tập ĐSTH được xem như là công cụ, là cơ sở nền tảng cho học sinh phát huy được khả năng sáng tạo của mình khi xử lý các bài toán dạng này. Tác giả đưa ra một số ví dụ cụ thể về các bài toán ĐSTH, nhưng cái mà tác giả hướng tới chính là thông qua các ví dụ đó học sinh nắm được phương pháp, cách làm và có khả năng tự ứng dụng giải nhiều bài toán khác một cách độc lập, thậm chí hình thành kĩ năng tự học, tự tìm hiểu và đưa ra đề toán mới, linh hoạt trong tư duy. Các ví dụ đưa ra mang tính điển hình, có khả năng gợi mở tư duy, đòi hỏi người dạy trong quá trình dạy học cũng luôn phải quan tâm chú ý tới việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, đầu tư giáo án, nghiên cứu tìm tòi các bài toán sao cho phù hợp với học sinh mà vẫn kích thích học sinh tìm tòi sáng tạo.

Luận văn cũng đã đưa ra được một số phân tích trong việc giải bài toán ĐSTH phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông góp phần mang lại hiệu quả tích cực trong đổi mới phương pháp dạy học ở nhà trường phổ thông. Thông qua việc dạy học nội dung ĐSTH theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, tác giả hi vọng có thể giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo, độc lập trong học tập cũng như trong cuộc sống.

87

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

3.1. Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm 3.1.1. Mục đích thực nghiệm Thực nghiệm sự phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của hệ thống bài tập theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học nội dung đại số tổ hợp đã được trình bày trong Luận văn.

3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm 1. Biên soạn tài liệu thực nghiệm theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học một số bài toán đại số tổ hợp với các ví dụ cụ thể. Tài liệu thực nghiệm được trình bày dưới dạng bài giảng (các giáo án) hay bài kiểm tra.

2. Hướng dẫn sử dụng tài liệu thực nghiệm cho giáo viên.

3. Chọn lớp dạy thực nghiệm và lớp đối chứng, tiến hành dạy thực nghiệm một số tiết đã chọn theo giáo án mẫu.

4. Phân tích và xử lý các kết quả thực nghiệm.

5. Đánh giá kết quả thực nghiệm trên hai phương diện: Định tính và định lượng.

3.2. Phương pháp thực nghiệm Phương pháp thực nghiệm có đối chứng.

3.3. Tổ chức và nội dung thực nghiệm 3.3.1. Tổ chức thực nghiệm Thời gian thực nghiệm: Đợt thực nghiệm được tiến hành từ 14/10/2013 đến 2/11/2013.

Lớp thực nghiệm: 11A2 trường THPT Lương Văn Can. Lớp đối chứng: 11A3 trường THPT Lương Văn Can.

88

Trước khi tiến hành thực nghiệm tác giả đã tìm hiểu một số đặc điểm của hai lớp được thể hiện trong bảng sau: Bảng 3.1. Đặc điểm học sinh lớp đối chứng - lớp thực nghiệm

Lớp

Tổng số học sinh

Xếp loại học tập môn toán

Giới tính

học kỳ I năm 2011-2012

Nam

Nữ

Khá –

Trung

Yếu -

Giỏi

bình

kém

11A2

35

19

16

17

13

5

11A3

33

16

17

16

11

6

Tác giả hướng dẫn giáo viên (tham gia thực nghiệm) sử dụng tài liệu để soạn giáo án và thực hiện các bước lên lớp đối với bài dạy thuộc nội dung đại số tổ hợp theo phương án đã nêu ở Chương 2 của Luận văn này. Thực nghiệm sự phạm được thực hiện song song giữa lớp thực nghiệm và lớp đối chứng do cùng một giáo viên dạy, với lớp thực nghiệm giáo án là do tác giả thiết kế và hướng dẫn giáo viên khi lên lớp theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho các em học sinh, với lớp đối chứng, giáo án được dùng là do giáo viên tự thiết kế theo phương pháp truyền thống mà giáo viên đó đang dạy.

3.3.2. Nội dung thực nghiệm Dạy học thực nghiệm một số nội dung đã trình bày ở Chương 2 của Luận văn. Sau đó kiểm tra 45 phút.

Giáo án thực nghiệm được chúng tôi thiết kế như sau: I. Mục tiêu 1) Giúp học sinh: - Hiểu và phân biệt được cách dùng qui tắc cộng, qui tắc nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.

- Rèn luyện tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo của tư duy sáng tạo thông qua việc giải bài tập đại số tổ hợp.

89

- Biết xuất phát từ những vấn đề đã giải quyết, thông qua những nhận xét để đề xuất vấn đề mới góp phần bồi dưỡng và phát triển năng lực tư duy sáng tạo toán học, khả năng tự học, tự nghiên cứu.

2) Tạo điều kiện cho học sinh tự giác tích cực học tập.

3) Làm cho học sinh được rèn luyện tính kiên trì, cẩn thận, khả năng phán đoán.

4) Làm cho học sinh tư duy các vấn đề của toán học một cách logic, khoa học.

II. Phương pháp dạy học Phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề kết hợp với phương pháp gợi mở - vấn đáp.

III. Chuẩn bị - Giám viên: Giáo án + đồ dùng dạy học.

- Học sinh: Ôn tập lý thuyết về qui tắc cộng, qui tắc nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.

IV. Thời lượng 90 phút (02 tiết học) V. Tiến trình dạy học 1. Ổn định lớp 2. Kiểm tra bài cũ Nhắc lại kiến thức cơ bản cần nhớ của qui tắc cộng, qui tắc nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.

3. Bài mới

90

LUYỆN TẬP HAI QUI TẮC ĐẾM, HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học sinh

Bài toán 1. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau và luôn có mặt chữ số 2?

Các em đưa ra hướng giải cho Hướng 1: Làm từng bước sử dụng qui tắc bài toán

nhân.

Hướng 2: Sử dụng tổ hợp, chỉnh hơp.

Hướng 3: Giải bài toán theo cách gián tiếp.

Các em hãy trình bày các cách Cách 1. Gọi số cần tìm là abcd ( a, b, c, d đôi giải bài toán

một khác nhau, a ≠ 0 ).

- Trường hợp 1: a = 2 Bước 1: Chọn b có 5 cách chọn, Bước 2: Chọn c có 4 cách chọn, Bước 3: Chọn d có 3 cách chọn.

Số các số tìm được thỏa mãn bài toán trong trường hợp này là:

5 × 4 × 3 = 60 (số).

- Trường hợp 2: a ≠ 2 .

Bước 1: Chọn a có 4 cách chọn (do a ≠ 2 và

a ≠ 0 ), Bước 2: Chọn vị trí để đặt chữ số 2: có 3 cách chọn, Bước 3: + Vị trí thứ nhất trong 2 vị trí còn lại có 4 cách chọn, + Vị trí thứ hai trong 2 vị trí còn lại có 3 cách chọn.

91

Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học sinh Số các số tìm được thỏa mãn bài toán trong trường hợp này là:

4 × 3 × 4 × 3 = 144 (số).

Vậy số các số thỏa mãn bài toán là

60 + 144 = 204 (số).

Cách 2. Gọi số cần tìm là abcd ( a, b, c, d đôi một khác nhau, a ≠ 0 ).

- Trường hợp 1: a = 2 . Chọn 3 trong năm chữ số còn lại để đặt vào 3 vị trí còn lại có

A53 = 60 cách.

Số các số tìm được thỏa mãn bài toán trong trường hợp này là 60 số.

- Trường hợp 2: a ≠ 2 .

Bước 1: Chọn a có 4 cách chọn (do a ≠ 2 và

a ≠ 0 ), Bước 2: Chọn vị trí để đặt chữ số 2: có 3 cách chọn, Bước 3: Chọn 2 trong 4 chữ số còn lại đặt vào 2 2 vị trí còn lại có A4 cách.

Số các số trong trường hợp này là:

4 × C31 × A42 = 144 số.

Vậy số các số thỏa mãn bài toán là

60 + 144 = 204 số.

Cách 3. Trước hết ta tìm số các số có 4 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Bước 1: Chọn a có 5 cách chọn.

(Chúng ta phải xuất phát từ a trước, vì a là

92

Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học sinh điểm đặc biệt) Bước 2: Chọn 3 trong năm chữ số còn lại đặt vào 3 vị trí còn lại có A53 cách.

3 Số các số tìm được là: 5 × A5 = 300 (số).

Tìm số các số có 4 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 không có mặt chữ số 2: Bước 1: Chọn a có 4 cách chọn.

(Chúng ta phải xuất phát từ a trước, vì a là điểm đặc biệt) Bước 2: Chọn 3 trong bốn chữ số còn lại đặt 3 vào 3 vị trí còn lại có A4 cách.

Số các số tìm được là: 4 × A43 = 96 (số).

Vậy số các số tìm được thỏa mãn bài toán là:

300 − 96 = 204 số.

Cách 4. Gọi số có dạng abcd ( a, b, c, d đôi một khác nhau, a có thể bằng 0), luôn có mặt chữ số 2.

Bước 1: Chọn vị trí để đặt chữ số 2 có 4 cách, Bước 2: Chọn 3 trong năm chữ số còn lại đặt 3 vào 3 vị trí còn lại có A5 cách.

Số các số có dạng trên là: 4 × A53 = 240 (số).

Gọi số có dạng 0bcd ( b, c, d đôi một khác nhau), luôn có mặt chữ số 2.

Bước 1: Chọn vị trí để đặt chữ số 2 có 3 cách, Bước 2: Chọn 2 trong bốn chữ số còn lại đặt 2 vào 2 vị trí còn lại có A4 cách.

93

Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học sinh 2 Số các số có dạng trên là: 3 × A4 = 36 (số).

Vậy số các số thỏa mãn bài toán là:

240 − 36 = 204 số.

Cách 5. Để có số cần tìm ta xét bộ ba chữ số

abc được lập từ các chữ số 0, 1, 3, 4, 5.

- Trường hợp 1: a = 0 Bước 1: Chọn b có 4 cách chọn, Bước 2: Chọn c có 3 cách chọn, Đưa chữ số 2 vào bộ ba chữ số này chỉ có 1 cách (đứng đầu).

Số các số tìm được thỏa mãn bài toán trong trường hợp này là:

4 × 3 = 12 (số).

- Trường hợp 2: a ≠ 0 .

Bước 1: Chọn a có 4 cách chọn, Bước 2: Chọn b có 4 cách chọn, Bước 3: Chọn c có 3 cách chọn, Đưa chữ số 2 vào bộ ba chữ số này có 4 cách.

Số các số tìm được thỏa mãn bài toán trong trường hợp này là:

4 × 4 × 3 × 4 = 192 (số).

Vậy số các số tìm được thỏa mãn bài toán là:

12 + 192 = 204 (số).

94

Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học sinh

Các em thích cách nào?

Bài toán 2. Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 người lên 2 xe?

Xét lời giải sau - Xét các trường hợp sau: + Trường hợp 1: 4 người lên cùng 1 xe: có 1 cách chọn 4 người. Trong đó lại có 2 cách chọn xe nên có 2 cách chọn cho trường hợp 1. + Trường hợp 2: 3 người lên 1 xe, người còn lại 1 xe: có C43 = 4 cách chọn 3 người lên 1 xe.

Khi đó người còn lại lên xe còn lại. Trong đó lại có 2 cách chọn xe cho 3 người kia. Như vậy có 4.2 = 8 cách chọn cho trường hợp 2. + Trường hợp 3: mỗi xe có 2 người: có C42 = 6 cách chọn 2 người lên 1 xe. Trong đó có 2 cách chọn xe cho 2 người nên có 6.2 = 12 cách chọn cho trường hợp 3.

- Vậy có 2 + 8 + 12 = 22 cách chọn thỏa mãn đề bài.

95

Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học sinh

Lời giải trên đúng hay sai? Nếu sai hãy chỉ ra sai lầm và các em hãy đưa ra hướng khắc phục cho sai lầm trên.

Lời giải trên sai.

Sai lầm của lời giải là ở trường hợp 3, khi chọn xe cho 2 người thì 2 người còn lại nhất định phải lên xe còn lại, vì vậy chỉ có 1 cách chọn xe, ứng với C42 cách chọn 2 người lên 1 xe nên chỉ có 6 cách chọn cho trường hợp 3 và đáp số đúng của bài toán là 16 cách chọn.

Bài toán 3. Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa được xem như đôi một khác nhau), người ta muốn chọn ra 1 bó hoa gồm 7 bông. a, Có mấy cách chọn bó hoa trong đó có đúng 1 bông hồng

96

Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học sinh

đỏ. b, Có mấy cách chọn bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ. c, Có mấy cách chọn bó hoa sao cho số bông hồng đỏ nhiều hơn số bông hồng vàng.

Hướng dẫn học sinh cách giải bài. a, Chọn 1 bông hồng đỏ và 6 a, Chọn 1 trong 4 bông hồng đỏ có C 41 cách. bông hồng khác.

Chọn 6 bông hồng trong 8 bông còn lại có C86 cách.

Vậy số cách chọn bó hoa theo yêu cầu bài toán 1 6 là: C4 × C8 = 112 cách.

b, Bó hoa có ít nhất 3 bông hồng b, Có 3 trường hợp có thể xảy ra như sau: vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ, - Trường hợp 1: Chọn 4 bông vàng và 3 bông như vậy có những trường hợp đỏ. nào có thể xảy ra?

4 3 Số cách chọn là: C5 × C4 = 20 cách.

- Trường hợp 2: Chọn 3 bông vàng và 4 bông đỏ.

3 4 Số cách chọn là: C5 × C4 = 10 cách.

- Trường hợp 3: Chọn 3 bông vàng, 3 bông đỏ và 1 bông trắng.

Số cách chọn là: C53 × C43 × C31 = 120 cách.

97

Hoạt động của giáo viên

Hoạt động của học sinh Vậy số cách chọn thỏa mãn bài toán là:

20 + 10 + 120 = 150 cách. c, Bài toán yêu cầu số bông đỏ Số bông cần chọn là 7 bông, trong đó có nhiều nhiều hơn số bông vàng với số nhất là 3 bông trắng, vậy tổng số bông đỏ và lượng các bông như vậy thì có vàng tối thiểu phải là 4 bông. Mặt khác, số thể tìm ra được số bông tối thiểu bông đỏ cần phải nhiều hơn số bông vàng. Do cần có mỗi loại không?

đó số bông đỏ phải nhiều hơn 2 bông thì mới có được số bông thỏa mãn bài toán.

Có thể xảy ra 2 trường hợp như sau:

Vậy có những trường hợp nào có - Trường hợp 1: Có 4 bông hồng đỏ. thể xảy ra?

Trong trường hợp này, mọi cách chọn đều thỏa mãn yêu cầu bài toán, vì số bông hồng vàng được chọn ≤ 3 bông. Ta chỉ cần chọn 3 bông trong 8 bông còn lại. Số cách chọn là:

C44 × C83 = 56 cách.

- Trường hợp 2: Có 3 bông hồng đỏ, 2 bông hồng vàng, 2 bông hồng trắng.

Số cách chọn là: C43 × C52 × C32 = 120 cách.

- Trường hợp 3: Có 3 bông hồng đỏ, 1 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng.

3 1 3 Số cách chọn là: C4 × C5 × C3 = 20 cách.

Vậy số cách chọn bó hoa thỏa mãn bài toán là:

56 + 120 + 20 = 196 cách.

4. Củng cố Phân biệt qui tắc cộng và qui tắc nhân, chỉnh hợp và tổ hợp.

Sai lầm khi giải bài toán đại sổ tổ hợp.

98

Giải bài toán linh hoạt với những yêu cầu khác nhau.

5. Hướng dẫn về nhà Hướng dẫn học bài và làm bài tập ở nhà. Để đánh giá kết quả thực nghiệm, tác giả đã soạn một đề kiểm tra với thời giam làm bài 45 phút, cho các lớp làm trong cùng một điều kiện, tổ chức lớp như nhau và đánh giá kết quả của các lớp. ĐỀ KIỂM TRA Câu 1. Trong hộp đựng 2 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng, 5 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ trong hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số các viên bi lấy ra: a, Có đúng 1 viên bi trắng. b, Có ít nhất 1 viên bi trắng. c, Các viên bi không đủ 3 màu.

Câu 2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau và luôn có mặt chữ số 1? a, Cách giải bài toán sau đây đúng hay sai và tại sao? Để có số cần tìm thỏa mãn bài toán, ta xét một bộ ba chữ số abc , được lập từ các chữ số 0, 2, 3, 4, 5.

Bước 1: Chọn a có 4 cách chọn, Bước 2: Chọn b có 4 cách chọn, Bước 3: Chọn c có 3 cách chọn, Đưa chữ số 1 vào bộ ba chữ số này có 4 cách.

Số các số tìm được thỏa mãn bài toán là:

4 × 4 × 3 × 4 = 192 (số). b, Hãy đưa ra một số cách giải khác cho bài toán.

3.4. Kết quả thực nghiệm 3.4.1. Nhận xét của giáo viên qua tiết dạy thực nghiệm - Giờ học dễ điều khiển học sinh tham gia vào các hoạt động học tập, thu hút được nhiều đối tượng tham gia.

99

- Các hoạt động học tập (giải bài tập, trả lời các câu hỏi, nhận xét) học sinh tự rút ra kiến thức mới, nắm ngay kiến thức cơ bản ở trên lớp. Đồng thời giáo viên cũng dễ dàng phát hiện những sai lầm mắc phải của học sinh để có hướng khắc phục.

- Học sinh tham gia các tiết học sôi nổi, hào hứng hơn, tự mình phát hiện và giải quyết vấn đề vì thế việc học tập của học sinh sẽ chủ động, sáng tạo, tự giác hơn, học sinh có hứng thú học tập hơn.

- Muốn các hoạt động có hiệu quả trên lớp, giáo viên phải nghiên cứu kỹ bài giảng mới, các kiến thức cũ có liên quan để có hệ thống câu hỏi và bài tập hợp lý nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.

3.4.2. Ý kiến của học sinh về giờ day thực nghiệm - Giờ dạy thực nghiệm sự phạm đã tạo được không khí học tập sôi nổi, học sinh hứng thú, thi đua nhau về tốc độ hướng giải, tích cực làm bài, suy nghĩ sáng tạo và được thể hiện mình.

- Hiệu quả rất rõ là các em đã thực sự chắc chắn trong việc giải các bài toán đại số tổ hợp, thể hiện sự sáng tạo trong việc tìm tòi ra cách giải hay, mới lạ.

- Hơn nữa, các em có sự bình tĩnh, tự tin đứng trước bài toán khó có tốc độ xử lý bài toán nhanh hơn và tốt hơn.

3.4.3. Những đánh giá từ kết quả bài kiểm tra - Qua quá trình kiểm tra, đánh giá, xử ký kết quả, chúng tôi đã thu được các kết quả sau: + Kết quả cụ thể Bảng 3.2. Kết quả bài kiểm tra Điểm Lớp

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Số bài

Thực nghiệm

11A2

0

0

0

0

1

7

9

4

6

5

3

35

Đối chứng

11A3

0

0

0

0

3

10

7

5

5

3

0

33

+ Từ kết quả trên ta có bảng khảo sát sau:

100

Bảng 3.3. Phân loại bài kiểm tra TT Lớp thực nghiệm (11A2) Lớp đối chứng (11A3)

Số bài điểm yếu – kém

Tỷ lệ

Số bài điểm trung bình

Tỷ lệ

Số bài điểm khá- giỏi

Tỷ lệ

1

2,8%

16

45,7%

18

51,5%

3

9,1%

17

51,5%

13

39,4%

Biểu đồ 3.1. Phân loại bài kiểm tra - Qua quan sát quá trình học sinh làm bài kiểm tra và qua việc chấm bài tác giả có nhận xét: + Câu 1: Lớp thực nghiệm: Đa số các em đều rất linh hoạt khi giải bài toán thuộc nội dung khác kiểu này, và có kết quả chính xác ở cả 3 ý của câu.

Lớp đối chứng: Có nhiều em bị lúng túng trong cách giải ở ý số 2 và số 3 sau khi làm đúng ý số 1. Các em bị mất nhiều thời gian suy nghĩ và vẫn có một số bạn tính nhầm kết quả, nhầm lẫn giữa các qui tắc.

Lời giải: 1 3 a, Số cách chọn đúng 1 viên bi trắng là: C3 × C7 = 105 cách.

4 b, Số cách chọn 4 viên bi bất kì là: C10 = 210 cách.

101

4 Số cách chọn 4 viên bi trong đó không có viên bi trắng là: C7 = 35 cách.

Số cách chọn 4 viên bi thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

210 − 35 = 75 cách. c, Chọn 4 viên bi sao cho có đủ cả 3 màu, có các trường hợp sau: (2 đỏ, 1 trắng, 1 vàng); (1 đỏ, 2 trắng, 1 vàng); (1 đỏ, 1 trắng, 2 vàng).

Số cách chọn 4 viên bi sao cho có đủ cả 3 màu là:

C22 × C31 × C51 + C21 × C32 × C51 + C21 × C31 × C52 = 105 cách.

Vậy số cách chọn bi sao cho không có đủ cả 3 màu là:

210 − 105 = 105 cách. + Câu 2: Lớp thực nghiệm: Tất cả học sinh đều nhanh chóng tìm được sai lầm của cách giải bài toán và làm đúng. Đặc biệt có nhiều em có các cách giải rất phong phú (5 cách).

Lớp đối chứng: Hầu hết các em cũng chỉ ra được sai lầm trong cách giải của đề bài, nhưng việc giải thích tại sao sai thì chưa làm tốt. Với ý câu hỏi số 2 đa số các em chỉ giải bài toán sử dụng qui tắc nhân, không có sự sáng tạo trong cách làm bài và chỉ có một vài em làm được 4 cách.

Lời giải: a, Cách làm trên sai.

Vì cách làm trên chỉ đúng khi a ≠ 0 . Ta cần phải xét 2 trường hợp của chữ số a trong bộ 3 chữ số abc , đó là a = 0 và a ≠ 0 . Với a = 0 , khi thêm chữ số 1 đứng trước chữ số a ta vẫn có được số thỏa mãn yêu cầu bài toán. b, Một số cách giải cho bài toán: Cách 1: Gọi số cần tìm là abcd ( a, b, c, d đôi một khác nhau, a ≠ 0 ).

- Trường hợp 1: a = 1.

Bước 1: Chọn b có 5 cách chọn, Bước 2: Chọn c có 4 cách chọn, Bước 3: Chọn d có 3 cách chọn.

Số các số tìm được thỏa mãn bài toán trong trường hợp này là:

102

5 × 4 × 3 = 60 (số).

- Trường hợp 2: a ≠ 1 .

Bước 1: Chọn a có 4 cách chọn (do a ≠ 1 và a ≠ 0 ), Bước 2: Chọn vị trí để đặt chữ số 1: có 3 cách chọn, Bước 3: + Vị trí thứ nhất trong 2 vị trí còn lại có 4 cách chọn, + Vị trí thứ hai trong 2 vị trí còn lại có 3 cách chọn.

Số các số tìm được thỏa mãn bài toán trong trường hợp này là:

4 × 3 × 4 × 3 = 144 (số).

Vậy số các số thỏa mãn bài toán là 60 + 144 = 204 (số).

Cách 2: Gọi số cần tìm là abcd ( a, b, c, d đôi một khác nhau, a ≠ 0 ).

- Trường hợp 1: a = 1 . Chọn 3 trong năm chữ số còn lại để đặt vào 3 vị trí 3 còn lại có A5 = 60 cách.

Số các số tìm được thỏa mãn bài toán trong trường hợp này là 60 số.

- Trường hợp 2: a ≠ 1.

Bước 1: Chọn a có 4 cách chọn (do a ≠ 2 và a ≠ 0 ), Bước 2: Chọn vị trí để đặt chữ số 1: có 3 cách chọn, 2 Bước 3: Chọn 2 trong 4 chữ số còn lại đặt vào 2 vị trí còn lại có A4 cách.

1 2 Số các số trong trường hợp này là: 4 × C3 × A4 = 144 số.

Vậy số các số thỏa mãn bài toán là 60 + 144 = 204 số.

Cách 3: Trước hết ta tìm số các số có 4 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Bước 1: Chọn a có 5 cách chọn.

3 Bước 2: Chọn 3 trong năm chữ số còn lại đặt vào 3 vị trí còn lại có A5 cách.

3 Số các số tìm được là: 5 × A5 = 300 (số).

Tìm số các số có 4 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 không có mặt chữ số 1: Bước 1: Chọn a có 4 cách chọn.

103

3 Bước 2: Chọn 3 trong bốn chữ số còn lại đặt vào 3 vị trí còn lại có A4 cách.

3 Số các số tìm được là: 4 × A4 = 96 (số).

Vậy số các số tìm được thỏa mãn bài toán là: 300 − 96 = 204 số.

Cách 4: Gọi số có dạng abcd ( a, b, c, d đôi một khác nhau, a có thể bằng 0), luôn có mặt chữ số 1.

Bước 1: Chọn vị trí để đặt chữ số 1 có 4 cách, Bước 2: Chọn 3 trong năm chữ số còn lại đặt vào 3 vị trí còn lại có A53 cách.

Số các số có dạng trên là: 4 × A53 = 240 (số).

Gọi số có dạng 0bcd ( b, c, d đôi một khác nhau), luôn có mặt chữ số 1.

Bước 1: Chọn vị trí để đặt chữ số 1 có 3 cách, Bước 2: Chọn 2 trong bốn chữ số còn lại đặt vào 2 vị trí còn lại có A42 cách.

2 Số các số có dạng trên là: 3 × A4 = 36 (số).

Vậy số các số thỏa mãn bài toán là: 240 − 36 = 204 số.

Cách 5: Để có số cần tìm ta xét bộ ba chữ số abc được lập từ các chữ số 0, 2, 3, 4, 5.

- Trường hợp 1: a = 0 Bước 1: Chọn b có 4 cách chọn, Bước 2: Chọn c có 3 cách chọn, Đưa chữ số 1 vào bộ ba chữ số này chỉ có 1 cách (đứng đầu).

Số các số tìm được thỏa mãn bài toán trong trường hợp này là:

4 × 3 = 12 (số).

- Trường hợp 2: a ≠ 0 .

Bước 1: Chọn a có 4 cách chọn, Bước 2: Chọn b có 4 cách chọn, Bước 3: Chọn c có 3 cách chọn, Đưa chữ số 1 vào bộ ba chữ số này có 4 cách.

Số các số tìm được thỏa mãn bài toán trong trường hợp này là:

4 × 4 × 3 × 4 = 192 (số).

104

Vậy số các số tìm được thỏa mãn bài toán là: 12 + 192 = 204 (số).

Như vậy rõ ràng các em lớp thực nghiệm không chỉ giải tốt bài tập mà điều quan trọng là việc phát hiện hướng giải, tốc độ xử lý bài toán của các em là nhanh hơn hẳn và có cách giải sáng tạo.

105

Kết luận Chương 3 Qua việc tiến hành thực nghiệm và những kết quả rút ra sau thực nghiệm cho thấy: 1. Mục đích của việc thực nghiệm đã hoàn thành. Thực nghiệm đã cho thấy những giả thiết về mặt lý thuyết đã được thực tiễn chứng minh tính đúng đắn của nó. Các phương pháp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học các bài toán nội dung đại số tổ hợp là khả thi. Các kết quả là sự định lượng cũng như định tính cho việc giảng dạy có đổi mới phương pháp nhằm hướng tới hiệu quả tối cao của dạy học là phát triển con người.

Quá trình thực nghiệm cũng cho thấy những khó khăn mắc phải đòi hỏi người thực hiện kiên trì với phương pháp có sự chuẩn bị chu đáo, thường xuyên học tập, nắm chắc đối tượng học sinh và có phương pháp sư phạm phù hợp.

2. Tính thiết thực, khả thi của việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh THPT qua dạy học các bài toán về nội dung đại số tổ hợp được khẳng định. Việc thực nghiệm cho thấy, hiệu quả rõ rệt khi chúng ta áp dụng các phương pháp phát triển tư duy sáng tạo. Qua đó người dạy thấy được rằng, không chỉ ở bài toán đại số tổ hợp mà việc dạy học giúp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh có thể được triển khai ở nhiều nội dung khác nữa, qua đó nâng cao kết quả dạy và học. Đây cũng chính là gợi ý cho người viết thực hiện các đề tài, các chuyên đề nghiên cứu tiếp theo của mình. Quá trình thực nghiệm có khó khăn tuy nhiên hoàn toàn có thể khắc phục nếu người dạy tích cực đổi mới phương pháp giảng dạy.

Kết quả của thực nghiệm cũng cho thấy tính khách quan, bằng những số lượng so sánh đối chiếu cụ thể ta thấy được kết quả học tập của học sinh có sự khác biết rõ rệt. Đó cũng chính là mục đích của đề tài này.

106

KẾT LUẬN

Trên cơ sở mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài, qua quá trình nghiên cứu và thực hiện đề tài, chúng tôi đã giải quyết được một số vấn đề sau: 1. Hệ thống lại và cụ thể hoá các vấn đề lý luận có liên quan tới khái niệm tư duy, tư duy sáng tạo. Đặc biệt là một số thành phần cụ thể của tư duy sáng tạo.

2. Tìm hiểu thực trạng việc dạy và học nội dung đại số tổ hợp ở một vài trường Trung học phổ thông.

3. Hệ thống bài tập nội dung đại số tổ hợp, là công cụ, là cơ sở nền tảng cho học sinh phát huy được khả năng sáng tạo nhằm nâng cao hiệu quả dạy học nội dung này.

4. Đề xuất được 4 loại bài tập để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh qua dạy học nội dung đại số tổ hợp với các ví dụ điển hình. Các loại bài tập này đã được kiểm nghiệm qua thực nghiệm sư phạm và kiểm tra đối chứng.

5. Đã hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu đề ra. Hơn nữa đề tài và phương pháp nghiên cứu của luận văn này còn có thể được tiếp tục áp dụng cho nhiều nội dung khác của bộ môn Toán.

Qua việc thực hiện luận văn, tác giả đã thu nhận được nhiều kiến thức bổ ích về lý luận qua sách, tạp chí và các công trình nghiên cứu về các lĩnh vực liên quan đến đè tài của luận văn. Tôi hy vọng rằng, trong thời gian tiếp theo những tư tưởng, giải pháp đã được đề xuất sẽ tiếp tục được thực nghiệm, khẳng định tính khả thi trong việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. Và cũng hy vọng luận văn sẽ là tài liệu hữu ích cho giáo viên và học sinh trong nhà trường phổ thông.

107

TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.

Bộ Giáo dục và Đào tạo (2006), Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực hiện chương trình SGK lớp 10, 11, 12 THPT môn toán học. Nxb Giáo dục.

2.

Bộ Giáo dục và Đào tạo (2007), Tài liệu Phân phối chương trình môn toán trung học phổ thông. Nxb Giáo dục.

3.

Bộ Giáo dục và Đào tạo (2010), Phân phối chương trình môn toán trung học phổ thông. Nxb Giáo dục Việt Nam.

4.

Nguyễn Huy Đoan, Phạm Thị Bạch Ngọc, Đoàn Quỳnh, Đặng Hùng Thắng, Lưu Xuân Tình (2009), Bài tập Đại số và Giải tích 11 nâng cao.

Nxb Giáo dục.

5.

G. Polia (1997), Sáng tạo toán học. Nxb Giáo dục.

6.

Nguyễn Thái Hòe (2001), Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập toán. Nxb Giáo dục.

7.

Lê Văn Hồng (2001), Tâm lý học lứa tuổi và tâm lý học sư phạm. Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội.

8.

Phan Huy Khải (2008), Các bài toán tổ hợp. Nxb Giáo dục.

9.

Nguyễn Bá Kim (2006), Phương pháp dạy học môn toán. Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội.

10.

Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy (2007), Phương pháp dạy học môn toán.

Nxb Đại học Sư phạm.

11.

Trần Luận (1995), Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua hệ thống bài tập toán. Viện nghiên cứu giáo dục.

12.

Hoàng Văn Minh, Nguyễn Đức Tiến (2010), Phương pháp ôn luyện thi Đại học Cao đẳng môn Toán theo chủ đề tổ hợp và xác suất. Nxb Đại học Sư phạm.

13.

Phan Trọng Ngọ (2005), Dạy học và phương pháp dạy học trong nhà trường.

Nxb Sư phạm.

14.

Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng (2010), Đại số và Giải tích 11 nâng cao. Nxb Giáo dục Việt Nam.

108

15.

Tôn Thân (1995), Xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập nhằm bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho học sinh khá và giỏi Toán ở trường THCS Việt Nam. Viện Khoa học Giáo dục Hà Nội.

16.

Nguyễn Văn Thuận, “Rèn luyện cho học sinh khả năng phối hợp giữa dự đoán và suy diễn trong quá trình giải toán”, Tạp chí Khoa học giáo dục (118).

17.

Trần Thúc Trình (2003), Rèn luyện tư duy trong dạy học Toán. Viện Khoa học Giáo dục.

18.

Nguyễn Quan Uẩn (1997), Tâm lí học đại cương. Nxb Giáo dục Hà Nội.

19.

Phan Văn Việt (2007), Tìm hiểu sâu về đại số tổ hợp- Phương pháp soạn và giải đề toán trắc nghiệm khách quan. Nxb Trẻ.

109