PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM Đối tượng bồi dưỡng Học sinh lớp 12

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM Đối tượng bồi dưỡng Học sinh lớp 12, Thời lượng từ 4 đến 8 tiết (tùy đối tượng HS) WORD VERSION | 2021 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

MỤC LỤC MỤC LỤC:…………………………………………………………………………………..…1 A. LÝ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ HỘI THẢO……………………………………………......2 B. NỘI DUNG:…………………………………………………………………………………2 I. NHỮNG LÝ THUYẾT LIÊN QUAN ĐẾN NỘI DUNG CỦA CHUYÊN ĐỀ:…………..3 1.1. Tính đơn điệu của hàm số:……………………………………………………...…..3 1.2. Cực trị của hàm số:………………………………………………………..………..3 1.3. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:……………………………..………...4 1.4. Sự tương giao của đồ thị hàm số y  f ( x) với trục hoành:……………….……….4 1.5. Liên quan đến đồ thị đạo hàm của các cấp:……………………………….………...5 II. NỘI DUNG CỦA CHUYÊN ĐỀ:………………………………………………………….6 II.1. Dạng 1: PHƯƠNG PHÁP TÌM KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:……..….6 II.2. Dạng 2: PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ ……..…22 II.3. DẠNG 3: GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ……………………………………..…43 II.4. DẠNG 4: NHẬN DIỆN ĐỒ THỊ……………………………………………..….52 C. KHẢ NĂNG ÁP DỤNG CỦA CHUYÊN ĐỀ: …………………………………………57 D. KẾT LUẬN:…………………………………………………………………………….…58

1

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM Đối tượng bồi dưỡng: Học sinh lớp 12 Thời lượng: từ 4 đến 8 tiết (tùy đối tượng HS)

A. LÝ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ THAM GIA HỘI THẢO Công tác ôn thi THPT Quốc gia là một nhiệm vụ quan trọng trong việc nâng cao chất lượng giáo dục của mỗi nhà trường, đồng thời đáp ứng sự kỳ vọng của nhiều học sinh và phụ huynh học sinh. Tuy nhiên, đây là một công việc đòi hỏi sự nỗ lực không mệt mỏi của cả thầy và trò.

Trong những năm học vừa qua, Bộ Giáo dục và Đào tạo thực hiện đổi mới trong kỳ thi Trung học Phổ thông Quốc gia (THPTQG). Trong đó môn Toán được đổi hình thức thi từ tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm. Việc thay đổi đó đã tạo nên nhiều bỡ ngỡ cũng như khó khăn cho cả giáo viên và học sinh trong việc ôn luyện. Việc thay đổi hình thức thi đương nhiên sẽ kéo theo sự thay đổi về cách tiếp cận kiến thức cũng như cách đặt câu hỏi.

Với hình thức thi trắc nghiệm thì một dạng toán nào đó, các câu hỏi không chỉ dừng lại ở một cách hỏi nhất định hay những câu hỏi đơn thuần mà các câu hỏi tư duy mở được xuất hiện nhiều. Nếu không có phương pháp thì học sinh khó có thể giải quyết các câu hỏi tư duy mở và vì thế khó đạt điểm cao trong kì thi.

Trước đây với cách thi tự luận thì các dạng toán như: đồ thị của Đạo hàm, tính đơn điệu của hàm hợp, cực trị của hàm hợp, nhận dạng đồ thị rất ít khi gặp. Nhưng hình thức thi mới đã xuất hiện rất nhiều các câu hỏi ở các dạng toán hàm hợp và đồ thị đạo hàm. Các dạng toán mới này làm cho nhiều giáo viên phải mất thời gian, công sức nghiên cứu và tìm ra các phương pháp truyền đạt sao cho hiệu quả. Đồng thời học sinh cũng gặp không ít khó khăn trong lối tư duy để giải toán.

Xuất phát từ thực tế đó, tôi lựa chọn nghiên cứu chuyên đề “Phương pháp giải một số dạng toán liên qua tới đồ thị của Đạo hàm”.

B. NỘI DUNG Chuyên đề được chia làm 4 nội dung 1. Phương pháp tìm khoảng đơn điệu của hàm số .

2. Phương pháp giải bài toán cực trị của hàm số .

3. Bài toán tìm GTLN,GTNN của hàm số.

4. Nhận diện đồ thị.

2

Thời điểm sử dụng: Sau chương I Giải tích 12 : Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, hoặc dạy xong toàn bộ chương trình 12 dùng để ôn thi THPT Quốc Gia. I. NHỮNG LÝ THUYẾT LIÊN QUAN ĐẾN NỘI DUNG CỦA CHUYÊN ĐỀ 1.1. Tính đơn điệu của hàm số 1.1.1. Định nghĩa: Cho hàm số y  f ( x) xác định trên K , với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn. +) Hàm số y  f ( x) đồng biến (tăng) trên K nếu x1 , x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2  . +) Hàm số y  f ( x) nghịch biến (giảm) trên K nếu x1 , x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2  .

1.1.2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên khoảng K. +) Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f   x   0, x  K . +) Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f   x   0, x  K .

1.1.3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên khoảng K +) Nếu f   x   0, x  K thì hàm số đồng biến trên khoảng K . +) Nếu f   x   0, x  K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K . +) Nếu f   x   0, x  K thì hàm số không đổi trên khoảng K .

Chú ý. +) Nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “ Hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. Chẳng hạn: Nếu hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn  a; b và có đạo hàm f   x   0, x   a; b  thì hàm số đồng biến trên đoạn  a; b . +) Nếu f   x   0, x  K ( hoặc f   x   0, x  K ) và f   x   0 chỉ tại một số điểm hữu hạn của K thì hàm số đồng biến trên khoảng K ( hoặc nghịch biến trên khoảng K ).

1.2. Cực trị của hàm số 1.2.1. Định nghĩa: Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên khoảng  a; b  (có thể a là  ; b là  ) và điểm x0   a; b  .

+) Nếu tồn tại số h  0 sao cho f  x   f  x0  với mọi x   x0  h; x0  h  và x  x0 thì ta nói hàm số f  x  đạt cực đại tại x0 . +) Nếu tồn tại số h  0 sao cho f  x   f  x0  với mọi x   x0  h; x0  h  và x  x0 thì ta nói hàm số f  x  đạt cực tiểu tại x0 .

1.2.2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Giả sử hàm số y  f  x  liên tục trên

K   x0  h; x0  h  và có đạo hàm trên K hoặc trên K \{x0 } , với h  0 . +) Nếu f   x   0 trên khoảng  x0  h; x0  và f   x   0 trên  x0 ; x0  h  thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f  x  . +) Nếu f   x   0 trên khoảng  x0  h; x0  và f   x   0 trên  x0 ; x0  h  thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f  x  .

Minh họa bằng bảng biến thiến 3

Bảng 1:

Hàm số y  f  x đạt cực đại tại điểm x  x0 .

Bảng 2:

Hàm số y  f  x đạt cực tiểu tại điểm x  x0 .

Minh họa đồ thị +) Giả sử hàm số f xác định trên một khoảng  a; b  chứa điểm c . +) Nếu giá trị của f tại c lớn hơn hoặc bằng giá trị của f trên khoảng  a; b  thì hàm số f đạt cực đại tại x  c . +) Nếu giá trị của f tại c nhỏ hơn hoặc bằng giá trị của f trên khoảng  a; b  thì hàm số f đạt cực tiểu tại x  c .

Hàm số f đạt cực đại tại x  c .

Hàm số f đạt cực tiểu tại x  c .

Với  a; b  là khoảng chứa tất cả các số thực thỏa a  x  b .

1.3. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: Định nghĩa: Cho hàm số y  f  x  xác định trên tập D. +) Số M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số y  f  x  trên tập D , nếu

f  x   M với x  D và tồn tại x0  D sao cho f  x0   M . Kí hiệu: M  max f  x  .

D

4

+) Số m được gọi là giá trị lớn nhất (GTNN) của hàm số y  f  x  trên tập D , nếu

f  x   m với x  D và tồn tại x0  D sao cho f  x0   m . Kí hiệu: m  min f  x  .

D

1.4. Liên quan tới đồ thị của đạo hàm các cấp.

Phương pháp: Sử dụng 1 trong 2 phương pháp hoặc kết hợp cả 2 phương pháp.

PP1: Đồ thị hàm số f ' x  cắt trục hoành tại những điểm là các điểm cực trị của đồ thị hàm số f  x  .

PP2: Tìm giao điểm của các đồ thị hàm số với trục hoành (nếu có). Sau đó dựa vào tính chất sau.

f ' x   0, x  K  f  x  tăng trên K .

Minh hoạ bằng hàm số

y  sin x

f ' x   0, x  K  f  x  giảm trên K .

.

5

II : NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ II.1. Dạng 1: PHƯƠNG PHÁP TÌM KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ y  f  x y  f u  BÀI TOÁN : Tìm khoảng đơn điệu của hàm số ; khi biết đồ thị y  f  x hàm số .

Ví dụ ở mức độ nhận biết: Loại 1: Cho đồ thị hàm số y  f   x  , tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

y  f  x .

Phương pháp: - Khoảng đồng biến của hàm số y  f  x  là khoảng mà đồ thị hàm số y  f   x  nằm phía trên trục hoành.

- Khoảng nghịch biến của hàm số y  f  x  là khoảng mà đồ thị hàm số y  f   x  nằm phía dưới trục hoành.

Ví dụ 1. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị y  f   x  như hình vẽ ( đồ thị f   x  cắt Ox ở các điểm có hoành độ lần lượt là 1, 2,5, 6 .Chọn khẳng định đúng ?

A. f  x  nghịch biến trên khoảng 1; 2  .

B. f  x  đồng biến trên khoảng  5;6  .

C. f  x  nghịch biến trên khoảng 1;5  .

D. f  x  đồng biến trên khoảng  4;5  .

Lời giải

Từ đồ thị hàm số y  f   x  ta nhận thấy trên các khoảng 1; 2  và  5;6  đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành, trên các khoảng  ;1 ,  2;5 ,  6;   đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành.

Do đó ta có: hàm số y  f  x  đồng biến trên các khoảng 1; 2  và  5;6  , nghịch biến trên các khoảng  ;1 ,  2;5 ,  6;   . Chọn B. Ví dụ 2: Cho hàm số y  f  x . Đồ thị hàm số y  f   x  như hình bên. Khẳng định nào sau đây sai ?

6

A. Hàm số B. Hàm số C. Hàm số D. Hàm số

f  x  đồng biến trên 2;1. f  x  đồng biến trên 1; f  x  nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 . f  x  nghịch biến trên ;2.

Lời giải.

Dựa vào đồ thị của hàm số y  f '  x  ta thấy: 2  x  1

+) f '  x   0 khi  x  1

  f x 

đồng biến trên các khoảng 2;1 , 1; .

Suy ra A đúng, B đúng.  f  x  nghịch biến trên khoảng ; 2 . Suy ra D đúng. +) f '  x   0 khi x  2  Dùng phương pháp loại trừ, ta chọn C. Ví dụ ở mức độ thông hiểu: Loại 2: Cho đồ thị hàm số y  f   x  , tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

y  f u  .

Cách 1: Từ đồ thị hàm số y  f   x  tìm ra các khoảng mà f   x   0 (giả sử là khoảng

 a; b  ) và các khoảng mà

f   x   0 (giả sử là khoảng  c; d  ).

Ta có  f  u    u . f   u  khi đó  u   0  u   0    f   u   0 a  u  b y  f  u  đồng biến khi và chỉ khi u f   u   0     u   0   u  0    f  u   0  c  u  d   u   0  u   0    f   u   0 c  u  d y  f  u  nghịch biến khi và chỉ khi u f   u   0     u   0   u  0    f   u   0  a  u  b  Cách 2: Tính  f  u    u . f   u  và giải phương trình uf   u   0 rồi lập bảng biến thiên

của hàm số y  f  u  .

Ví dụ 3. Cho hàm số y  f  x . Đồ thị hàm số y  f   x  như hình bên dưới 7

Hàm số g  x   f 3 2x  nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A. 0;2.

B. 1;3.

C. ;1.

D. 1; .

Lời giải 2  x  2 . Ta có g   x  2 f  3  2x . x  5

Cách 1. Dựa vào đồ thị, suy ra f   x   0  

1 5 2  3  2 x  2  x  2 2.  3  2 x  5  x  1

Xét g   x   0  f  3  2 x   0  

1 5 Vậy g  x  nghịch biến trên các khoảng  ;  và ;1. Chọn C 2 2

 5 x   2 3  2 x  2   1  theo do thi f ' x  Cách 2. Ta có g   x   0  f  3  2 x   0  3  2 x  2   x  .  2 3  2 x  5   x   1   

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C  

 2

1 Chú ý: Dấu của g   x  được xác định như sau: Ví dụ ta chọn x  0  1; , suy ra 3  2 x  3 theo do thi f ' x    f  3  2 x   f  3  0. Khi đó g  0  f  3  0.

Nhận thấy các nghiệm của g   x  là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu. Chọn C 8

Ví dụ 4: Cho hàm số y  f  x . Đồ thị hàm số y  f   x  như hình bên dưới.

Hàm số g  x   f 2  e x  nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây ?

A. ;0 .

B. 0; . x  0

Dựa vào đồ thị, ta có f   x   0  

x  3

C. 1;3 .

Lời giải.

D. 2;1 .

.

2  e x  0

theo do thi f ' x   Xét g   x   e x . f  2  e x ; g   x   0  f  2  e x   0  

x  2  e  3

 x  0.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số g  x  nghịch biến trên ;0. Chọn A. Ví dụ 5. Cho hàm số y  f  x . Đồ thị hàm số y  f   x  như hình bên dưới

Hàm số g  x   2 f 32 x  đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?  1 A. ;  . 

2

 1  B.  ;1.

C. 1;2.

 2 

D. ;1.

Lời giải  x  1

Cách 1. Dựa vào đồ thị, suy ra f   x   0  

1  x  4

.

Ta có g   x   2 f  3  2 x .2 f 32 x .ln 2.

9

  x  2  .  1   x  1 1  3  2 x  4   2   1  khoảng  ;1, 2; . Chọn B.  2  3  2 x  1

Xét g   x   0  f  3  2 x   0   Vậy g  x  đồng biến trên các

x  2 3  2 x  1    theo do thi f ' x  3  2 x  4   x   1 .

Cách 2. Ta có g   x   0  f  3  2 x   0    2 3  2 x  1   x  1 

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B. Ví dụ 6. Cho hàm số y  f  x . Đồ thị hàm số y  f   x  như hình bên dưới

Hàm số g  x   f  3  x  đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

A. ; 1.

B. 1;2.

C. 2;3.

D. 4;7.

Lời giải 1  x  1 x  4

Dựa vào đồ thị, suy ra f   x   0   +) Với x  3 khi đó

 x  1

và f   x   0  

. 1  x  4 1  x  3  1  2  x  4 g  x   f  x  3   g   x   f   x  3  0     x  3  4  x  7

hàm số g  x  đồng biến trên các khoảng 3;4 , 7; .  g   x    f  3  x   0  f  3  x   0 +) Với x  3 khi đó g  x   f 3  x    x  4  loaïi 3  x  1   hàm số g  x  đồng biến trên khoảng 1;2. Chọn B.      

1  3  x  4

1  x  2

Ví dụ ở mức độ vận dụng: Ví dụ 7: Cho hàm số y  f  x . Đồ thị hàm số y  f   x  như hình bên.

10

Hỏi hàm số g  x   f  x 2  đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

A. ; 2.

B. 2; 1.

C. 1;0.

Lời giải.

D. 1;2.

Cách 1. Ta có g   x   2 xf  x 2 .

Hàm số g  x  đồng biến

0  x  1  x  2  . 2  x  1 

 x  0  x  0     2 2 2  f  x   0  1  x  1  x  4 theo do thi f ' x     g   x   0       x  0   x  0  2  2 2  f  x 0   x  1  1  x  4      

Chọn B.

x  0   x 2  1  x  0 x  0 theo do thi f ' x      2   x  1.

Cách 2. Ta có g   x   0   2  x  1  f   x   0  x  2  2   x  4

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B. Chú ý: Dấu của g   x  được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 2; +) x  2;   x  0. 1 theo do thi f ' x  +) x  2;   x 2  4 . Với x 2  4   f   x 2   0.

2 

Từ 1 và 2, suy ra g   x   2 xf  x 2   0 trên khoảng 2; nên g   x  mang dấu  .

Nhận thấy các nghiệm của g   x  là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu.

Ví dụ 8: Cho hàm số f 2  f 2  0

y  f  x . Đồ thị hàm số y  f   x  như hình vẽ bên dưới và

11

Hàm số g  x    f  x  nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

2

 3 A. 1; . 

B. 2;1.

2

C. 1;1.

D. 1;2.

Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số y  f   x , suy ra bảng biến thiên của hàm số f  x  như sau

Từ bảng biến thiên suy ra f  x   0, x  .

Ta có g   x   2 f   x . f  x .   f  x   0

Xét g   x   0  f   x . f  x   0  

   f x   0

 x  2  .  1  x  2

Suy ra hàm số g  x  nghịch biến trên các khoảng ;2, 1;2. Chọn D. Ví dụ 9 . Cho hàm số y  f  x . Đồ thị hàm số y  f   x  như hình bên dưới và f 2  f 2  0.

Hàm số g  x    f 3  x  nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

2

A. 2;1.

B. 1;2.

C. 2;5.

Lời giải

D. 5; .

Dựa vào đồ thị hàm số y  f   x , suy ra bảng biến thiên của hàm số f  x  như sau

12

Từ bảng biến thiên suy ra f  x   0, x  .

Ta có g   x   2 f  3  x . f 3  x .  f  3  x   0  2  3  x  1  2  x  5   .

Xét g   x   0  f  3  x . f 3  x   0         3  x  2 x  1  f 3  x   0 Suy ra hàm số g  x  nghịch biến trên các khoảng ;1, 2;5. Chọn C. Ví dụ 10. Cho hàm số y  f  x . Đồ thị hàm số y  f   x  như hình bên dưới

Hàm số g  x   f  x 2  2 x  2  nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

A. ; 1  2 2 .

C. 1;2 2 1.

B. ;1.

D. 2 2 1; .

Lời giải  x  1   Dựa vào đồ thị, suy ra f  x   0   x  1 . x  3  x 1 Ta có g   x   2 f  x 2  2x  2 ; x  2x  2





 x  1 nghiem boi ba  x 1  0   x 1  0     2 theo do thi f ' x  g  x   0     x  2 x  2  1  .  x  1  2 2  2   f  x  2x  2  0  2    x  2x  2  3 x  1  2 2  





Lập bảng biến thiên và ta chọn A. Chú ý: Cách xét dấu g   x  như sau: Ví dụ xét trên khoảng 1;1  2 2  ta chọn x  0. Khi đó g  0 

1 2

f

 2  0

vì dựa vào đồ thị f   x  ta thấy tại x  2  1;3 thì f   2   0. Các

nghiệm của phương trình g   x   0 là nghiệm bội lẻ nên qua nghiệm đổi dấu.

Ví dụ ở mức độ vận dụng cao: Loại 3: Cho đồ thị f '  x . Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f u  x   g  x .

13

Ví dụ 11. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên . Đồ thị hàm số y  f   x  như hình bên dưới

Đặt g  x   f  x   x , khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. g 2  g 1  g 1.

B. g 1  g 1  g 2.

C. g 1  g 1  g 2.

D. g 1  g 1  g 2.

Lời giải  g   x   0  f   x   1.

Ta có g   x   f   x  1  Số nghiệm của phương trình g   x   0 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y  f   x  và đường thẳng d : y  1 (như hình vẽ bên dưới).

 x  1 

Dựa vào đồ thị, suy ra g   x   0   x  1 . x  2 

Bảng biến thiên

 g 2  g 1  g 1. Chọn C. Dựa vào bảng biến thiên  Chú ý: Dấu của g   x  được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 2; , ta thấy đồ thị hàm số nằm phía trên đường thẳng y  1 nên g   x   f   x  1 mang dấu .

14

Ví dụ 12. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên . Đồ thị hàm số y  f   x  như hình bên dưới

Hàm số g  x   2 f  x   x 2 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây ?

A. ;2.

B. 2;2.

C. 2;4.

D. 2; .

Lời giải  g   x   0  f   x   x.

Ta có g   x   2 f   x   2 x  Số nghiệm của phương trình g   x   0 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y  f   x  và đường thẳng d : y  x (như hình vẽ bên dưới).

 x  2  Dựa vào đồ thị, suy ra g   x   0   x  2 . x  4  Lập bảng biến thiên (hoặc ta thấy với x  2;2 thì đồ thị hàm số f   x  nằm phía trên đường  hàm số g  x  đồng biến trên 2;2. Chọn B. thẳng y  x nên g   x   0 ) 

Ví dụ 13: ( ĐỀ CHÍNH THỨC 2018 – mã 103) Cho hai hàm số y  f  x  , y  g  x  . Hai hàm số y  f   x  và y  g   x  có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số y  g   x  .

15

y

y  f  x

10 8 5 4 O 3

8 1011

x

y  g x

3  Hàm số h  x   f  x  4   g  2 x   đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

2   31  9   31   25  A.  5;  .

B.  ; 3  .

C.  ;    .

D.  6;  .  5  4   5   4 

Lời giải Cách 1: Đặt X  x  4 , Y  2 x 

3 . Ta có h  x   f   X   2 g  Y  .

2

3  Để hàm số h  x   f  x  4   g  2 x   đồng biến thì h  x   0 2 

3  x  4  8  .  f   X   2 g  Y  với X , Y   3;8   3 3  2 x  2  8  1  x  4  1  x  4 9 19    9  9 19 19   x  .Vì 4 4  2  2 x  2  4  x  4

 9   9 19   ; 3    ;  nên chọn B. 4  4 4 

Cách 2: Kẻ đường thẳng y  10 cắt đồ thị hàm số y  f   x  tại A  a;10  , a   8;10  .  f  x  4   10, khi 3  x  4  a  f  x  4   10, khi  1  x  4   Khi đó ta có     3 3 3 3 25 .  g  2 x  2   5, khi 0  2 x  2  11  g  2 x  2   5, khi 4  x  4      

3 3  Do đó h  x   f   x  4   2 g   2 x    0 khi  x  4 .

4 2  3 Cách 3: Kiểu đánh giá khác: Ta có h  x   f   x  4   2 g   2 x   .

2 

25 9   x  4  7 , f  x  4  f  3  10 ; Dựa vào đồ thị, x   ;3  , ta có 4 4  16

3  2x 

3 9 3  , do đó g  2 x    f  8   5 .

2 2 2 

3  9  Suy ra h  x   f   x  4   2 g   2 x    0, x   ;3  .

2  4  9  Do đó hàm số đồng biến trên  ;3  . 4 

Ví dụ 14. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm y  f   x  như hình vẽ.

1 3 3 Xét hàm số g  x   f  x   x 3  x 2  x  1 . Trong 4 mệnh đề sau đây: 3 4 2 (I). g  3  g  1 .

(II). Hàm số g  x  đồng biến trên  3;1 .

(III). min g  x   g  1 . x 1;0 

(IV). max g  x   max  g ( 3), g (1) x 3;1

Số mệnh đề đúng là : A. 2 .

B. 1.

C. 3 .

D. 4 .

Lời giải - Ta có : g   x   f   x   x 2 

3 3 3 3  x   f   x    x2  x   .

2 2 2 2 

 f ( 1)  2  g (1)  0   - Dựa vào đồ thị ta có:  f (1)  1   g (1)  0  f ( 3)  3  g (3)  0  

17

- Vẽ parabol  P  : y  x 2 

3 3 x  trên cùng một hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số y  f   x  2 2

(như hình vẽ).

- Dựa vào đồ thị ta thấy: + Trên khoảng  3; 1 thì f   x   x 2  + Trên khoảng  1;1 thì f   x   x 2 

3 3 x  nên g   x   0 , x   3; 1 .

2 2

3 3 x  nên g   x   0 , x   1;1 .

2 2

Do đó bảng biến thiên của hàm số y  g  x  trên đoạn  3;1 như sau:

- Từ BBT suy ra: + g  3  g  1 : mệnh đề (I) sai. + Hàm số g  x  nghịch biến trên  3; 1 và đồng biến trên  1;1 : mệnh đề (II) sai. + min g  x   g  1 : mệnh đề (III) đúng. x 1;0

+ max g  x   max  g ( 3), g (1) : mệnh đề (IV) đúng. x 3;1

18

Vậy số mệnh đề đúng là 2 . Chọn A Bài tập về nhà Mức độ nhận biết

Bài 1.

Cho hàm số y  f  x  . Biết hàm số y  f '  x  có đồ thị như hình vẽ bên.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.  2;1 .

B.  ; 2  .

C.  ; 3 .

D.  0; 4  .

Mức độ thông hiểu:

Bài 2. (Sở GD&ĐT Hà Nam - Học kì 2 - 2017 - 2018) Cho hàm số y  f  x  . Biết hàm số y  f '  x  có đồ thị như hình vẽ bên.

Hàm số y  f  2 x  3 x 2  đồng biến trên khoảng nào dưới đây. 1 1 A.  ;  . 3 2

1  B.  ;   . 2 

1  C.  ;  .

3 

1  D.  2;  .

2 

Bài 3. (THPT Lê Hồng Phong-Nam Định-L3-2018) Cho hàm số y  f  x  . Hàm số

y  f   x  có đồ thị như hình bên. Hàm số g  x   f  x 2  1 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

19

A. 1;   .

B. 1; 2  .

C.  0;1 .

D.  2; 1 .

Bài 4. (SỞ GD TIỀN GIANG-2018) Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f   x  có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hàm số y  f  x 2  1 đồng biến trên khoảng



A.  0;1 .



C.  1;1 .

B. ;  2 .





D. 1; 2 .

Mức độ vận dụng:

Bài 5. Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f '  x  có đồ thị như hình vẽ. Hàm số

y  f   x3  đồng biến trên khoảng





B.  2;   .

A.  3 4;1 .

C.  1;1 .

D.  ; 2  .

Bài 6. Cho hàm số y  f  x  . Đồ thị hàm số y  f   x  có đồ thị như hình bên.

Hàm số y  f  x 2  1 đồng biến trên khoảng A.  0;1 .

B. 1; 2  .

C. 1;   .

D.  2; 1 .

Mức độ vận dụng cao:

20

Bài 7. Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm trên . Đồ thị hàm số y  f '( x ) như hình vẽ dưới đây. y

x

O

Khẳng định nào sau đây đúng?  2  A. Hàm số y  e f ( 2 x 1)  2017 đồng biến trên đoạn   ;1 và nghịch biến trên đoạn 1; 4 .  3   1  B. Hàm số y  e f ( 2 x 1)  2018 đồng biến trên đoạn   ;1 và nghịch biến trên đoạn 1; 9 .  3 

C. Hàm số y  e f ( 2 x 1)  2000 đồng biến trên đoạn  1;0 và nghịch biến trên đoạn 0; 2 .  5  D. Hàm số y  e f ( 2 x 1)  2001 đồng biến trên đoạn   ;0  và nghịch biến trên đoạn  6 

 3 0; 2  .

Bài 8: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên . Đồ thị hàm số y  f   x  như hình bên dưới

Hỏi hàm số g  x   f 1  x   A. 3;1.

x2 x 2

B. 2;0.

nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?  3 C. 1; . 

2

D. 1;3.

21

II.2. Dạng 2: PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ .

Ví dụ ở mức độ nhận biết:

BÀI TOÁN 1: Cho đồ thị hàm số y  f   x  , tìm cực trị của hàm số y  f  x  . Điều kiện cần và đủ để hàm số y  f  x  đạt cực trị tại x0 là f   x0   0 và f   x  đổi dấu khi đi qua x0 .

Phương pháp: Để xác định các điểm cực trị của hàm số y  f  x  ta xác định các điểm x0 mà tại đó đồ thị hàm số y  f   x  cắt trục hoành và đổi dấu khi đi qua x0 .

Số điểm cực trị của hàm số y  f  x  là số giao điểm của đồ thị hàm số y  f   x  với truch hoành mà tại các giao điểm đó đồ thị hàm số y  f   x  đi qua trục hoành.

Ví dụ 1. (Sở GD&ĐT Hưng Yên-107-2018) Cho hàm số y  f  x . Hàm số y  f   x có đồ thị như hình bên:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Đồ thị hàm số y  f  x có ba điểm cực trị.

B. Đồ thị hàm số y  f  x có hai điểm cực trị.

C. Đồ thị hàm số y  f  x có một điểm cực trị.

D. Đồ thị hàm số y  f  x không có điểm cực trị.

Lời giải Dựa vào đồ thị ta có f   x cắt trục hoành tại ba điểm và đổi dấu 3 lần, đo đó đồ thị hàm số

y  f  x có ba điểm cực trị. Chọn A Ví dụ 2.

Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f   x  có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định

nào sau đây là khẳng định đúng?

22

A. Đồ thị hàm số y  f  x  có hai điểm cực trị.

B. Đồ thị hàm số y  f  x  có một điểm cực trị.

C. Đồ thị hàm số y  f  x  có ba điểm cực trị.

D. Đồ thị hàm số y  f  x  cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

Lời giải

x  1 Ta có f   x   0   x  2 . Từ đồ thị hàm số ta nhận thấy các nghiệm x  1; x  2; x  3 là  x  3 các nghiệm đơn nên đồ thị hàm số y  f  x  có ba điểm cực trị. Chọn C Ví dụ 3. (Sở GD - ĐT Hà Tĩnh - 2017 - 2018) : Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị hàm số y  f '  x  . Số điểm cực trị của hàm số y  f  x  là

y

x

O

A. 4 .

B. 3 .

C. 5 .

D. 2 .

Lời giải: Gọi bốn nghiệm của phương trình f '  x   0 lần lượt là x1  x2  x3  x4 .

23

Cách 1: Dựa vào đồ thị hàm số y  f '  x  ta nhận thấy tại các điểm x1 , x3 đồ thị hàm số

y  f   x  cắt trục hoành nhưng không đổi dấu, tại các điểm x2 , x4 đồ thị hàm số y  f   x  cắt trục hoành và đổi dấu nên các điểm x2 , x4 là các điểm cực trị của hàm số y  f  x  do đó hàm số y  f  x  có hai điểm cực trị. Chọn D Cách 2: Ta lập bảng biến thiên của hàm số y  f  x 

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: hàm số y  f  x  đạt cực trị tại x2 , x4 .

Ví dụ 4.

Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f '  x  có đồ thị trên một khoảng K như

hình vẽ dưới. Trong các khẳng định sau, có tất cả bao nhiêu khẳng định đúng?  I  . Trên K , hàm số y  f  x  có hai điểm cực trị.

 II  . Hàm số y  f  x  đạt cực đại tại x3 .  III  . Hàm số y  f  x  đạt cực tiểu tại x1 .

24

y

x2

x1

A. 2 .

x3

O

x

C. 1.

B. 0 .

D. 3 .

Lời giải Từ đồ thị hàm số y  f   x  ta có bảng biến thiên của hàm số y  f  x  .

x

y'



x1 0



x2 0



x3 0



y

Theo BBT, câu  I  và  III  là mệnh đề đúng, (II) là mệnh đề sai. Chọn A. Ví dụ ở mức độ thông hiểu:

DẠNG TOÁN 2. Biết đồ thị hàm số y  f   x  xét cực trị của hàm số y  f  x   h  x  Ví dụ 1.

Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  và đồ thị hàm số y  f '  x  như

hình bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số y  f  x   x 2  x  2019 đạt cực đại tại x  0 .

B. Hàm số y  f  x   x 2  x  2019 đạt cực tiểu tại x  0 .

C. Hàm số y  f  x   x 2  x  2019 không có cực trị.

25

D. Hàm số y  f  x   x 2  x  2019 không đạt cực trị tại x  0 .

Lời giải Ta có: y '  f '  x   2 x  1 , cho y '  0  f '  x   2 x  1 (1) Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của 2 đồ thị y  f   x  và y  2 x  1

Dựa vào đồ thị hàm số y  f   x  và đường thẳng y  2 x  1 có x  0,2 là các nghiệm của phương trình (1):

y '  1  f '  1  2  1  0 ; y ' 1  f ' 1  2  1  0 ;

y '  3  f '  3  6  1  0

Bảng xét dấu:

 Hàm số y  f  x   x 2  x  2019 đạt cực đại tại x  0 .

Ví dụ 2.

Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  và có đồ thị hàm số y  f   x  như

hình vẽ.

Hàm số g  x   2 f  x   x 2 đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?

A. x  1 .

B. x  0 .

C. x  1 .

D. x  2 .

Lời giải Ta có g   x   2 f   x   2 x cho g   x   0  f   x    x (1) Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của 2 đồ thị y  f   x  và y   x

26

Dựa vào đồ thị hàm số y  f   x  và đường thẳng y   x có x  1,0,1,2 là các nghiệm của phương trình (1) (trong đó x  1 x  2 là các nghiệm bội chẵn).

Có bảng xét dấu x 0  1  0 0    g  x  

1

0

2



0

Từ đó suy ra hàm số g  x  đạt cực đại tại điểm x  1 .

Ví dụ 3.

Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và có đồ thị hàm số y  f   x  như hình

bên dưới.

Hàm số g(x )  f (x )  A. x  1 .

x3  x 2  x  2 đạt cực đại tại điểm nào?

3 B. x  1 .

Lời giải

C. x  0 .

D. x  2 .

Ta có g(x ) xác định trên  và g (x )  f (x )  (x  1)2 do đó số nghiệm của phương trình g (x )  0 bằng số giao điểm của hai đồ thị y  f (x ) và parabol y  (x  1)2 ; g (x )  0 khi đồ thị y  f (x ) nằm trên parabol y  (x  1)2 và ngược lại.

27

x  0  Từ đồ thị suy ra g (x )  0  x  2 nhưng g (x ) chỉ đổi dấu từ dương sang âm khi qua  x  1 x  1 . Do đó hàm số đạt cực đại tại x  1 .

Ví dụ 4 :

Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên  , có đạo hàm f   x  . Biết đồ

thị của hàm số f   x  như hình vẽ.

Xác định điểm cực tiểu của hàm số g  x   f  x   x .

B. x  0 .

A. Không có cực tiểu.

C. x  1 .

D. x  2 .

Lời giải Ta có g   x   f   x   1 . Dựa vào đồ thị thấy g   x  đổi dấu từ “-” sang “+” qua điểm x  1 nên hàm số g  x  đạt cực tiểu tại x  1 . Chọn C. Ví dụ 5 : Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  , hàm số y  f '  x  có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số y  f  x  

A. 4 .

2017  2018 x có số điểm cực trị là.

2017

B. 3 .

C. 2 .

D. 1 .

Lời giải 28

Ta có: y  f  x  

2017  2018 x 2018 2018  y '  f '  x  ; y '  0  f '  x  2017 2017 2017

Dựa vào hình vẽ ta nhận thấy phương trình f '  x  

2018 có 4 nghiệm phân biệt.

2017

Vậy hàm số có 4 điểm cực trị.Chọn A

2018  2 nên dựa vào đồ thị nhìn thấy đường thẳng nằm trong vùng từ 1 đến 2017 2 từ đó quan sát thấy có 4 nghiệm.

Chú ý: Do 1 

DẠNG TOÁN 3. Cho đồ thị hàm số y  f   x  , tìm cực trị của hàm số y  f  u  .

Phương pháp: - Từ đồ thị hàm số y  f   x  tìm ra các điểm xi mà f   xi   0 và f   x  đổi dấu khi đi qua xi .

- Tính  f  u    u. f   u  .

u   0 u   0  - Giải phương trình uf   u   0   .  f   u   0 u  xi - Lập bảng biến thiên của hàm số y  f  u  .

- Từ bảng biến thiên ta kết luận cực trị của hàm số y  f  u  .

Ví dụ 1. Cho hàm số f  x  có đồ thị f   x  của nó trên khoảng K như hình vẽ. Khi đó trên K , hàm số y  f  x  2020  có bao nhiêu điểm cực trị? y

x

O

A. 1.

B. 4.

C. 3.

D. 2.

Lời giải Đồ thị hàm số f ' x  2020 là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số f   x  theo phương song song trục hoành nên đồ thị hàm số f ' x  2020 vẫn cắt trục hoành tại 3 điểm và đổi dấu 1 lần do đó hàm số y  f  x  2020  có một cực trị. Ta chọn đáp án A.

29

Cho hàm số y  f  x  , hàm số y  f   x  có đồ thị như hình bên. Hàm số

Ví dụ 2.

y  f  x 2  1 có bao nhiêu cực trị? y y=f'(x)

1 1

-1

4

x

O

A. 3

.

B. 2 .

C. 5 .

D. 4 .

Lời giải Ta có y  f  x 2  1  y   2 x. f   x 2  1 x  0 x  0  2 x  1  1    x  3 . y  0  2 x 1  1 x   3   2  x  1  4 x   3 1  x 2  1  1  1  x  1 2   Ta lại có: f  x   0   . Suy ra f x  1  0   2  . x  4  x  3 x 1  4





Bảng biến thiên

Dựa vào BBT ta thấy, hàm số y  g  x   f  x 2  1 có ba cực trị. Chọn A Ví dụ 3. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên tập  . Hàm số y  f   x  có đồ thị như hình sau:

30

Hàm số y  f  x 2  x  có bao nhiêu điểm cực tiểu?

A. 1 .

C. 3 .

B. 2 .

D. 4 .

Lời giải Xét hàm số y  f  x 2  x  . Ta có y   2 x 1 f   x 2  x .  1 x   1  2 x    2 x  0   2 x 1  0  2  y   0     x  x  2   x  1 .

2   f   x  x   0  x 2  x  0  x  1    2 x  2  x  x  2  

 2  x 2  x  0 0  x  1 f   x 2  x   0   2  x  2 .  x  x  2  x  1   Ta có bảng biến thiên của hàm số y  f  x 2  x  là:

Vậy hàm số y  f  x 2  x  có 3 điểm cực tiểu. Chọn C. 31

Ví dụ ở mức độ vận dụng: DẠNG TOÁN 4. Biết đồ thị hàm số y  f   x  xét cực trị của hàm số y  f  u  x    h  x  Ví dụ 1. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm và liên tục trên R, có đồ thị hàm y  f   x  như hình vẽ sau:

Tìm số điểm cực trị của hàm số y  g  x   f  x  2019   2017 x  2018 .

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải Ta có: y  g '  x   f   x  2019   2017 Tịnh tiến sang phải 2019 đơn vị rồi tịnh tiến lên trên 2017 đơn vị ta thấy đồ thị hàm số y  g '  x   f   x  2019   2017 cắt trục Ox tại 1 điểm.

Do đó hàm số có 1 cực trị. Chọn A Ví dụ 2. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và có đồ thị hàm số y  f   x  như hình bên dưới.

Hàm số g  x   15 f   x 4  2 x 2   10 x 6  30 x 2  20 có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 0 .

B. 3 .

C. 2 .

D. 5 .

Lời giải Ta có g  x   15 f   x 4  2 x 2   10 x 6  30 x 2  20 liên tục trên  .

32

Có g   x   60   x3  x  f    x 4  2 x 2   60 x5  60 x  60   x 3  x   f    x 4  2 x 2   x 2  1  x  0, x  1 g x  0   4 2 2  f    x  2 x   x  1  0 * 2

Ta thấy  x 4  2 x 2    x 2  1  1  1 x , kết hợp với đồ thị hàm số y  f   x  , suy ra f    x 4  2 x 2   0 x . Hơn nữa, x 2  1  0 x nên phương trình * vô nghiệm. mà x  0 , x   1 là các nghiệm đơn của phương trình g   x   0 nên hàm số y  g  x  có 3 điểm cực trị.

Ví dụ 3. Cho hàm số f '  x  như hình vẽ.

Hàm số g  x   f  x 2   A. 3 .

x6  x 4  x 2 đạt cực tiểu tại bao nhiêu điểm?

3 B. 2 .

C. 0 .

Lời giải

D. 1.

x6  x 4  x 2  g '  x   2 x  f '  x 2    x 4  2 x 2  1  3 x  0 x  0  Ta có g '  x   0   f '  x 2    x 4  2 x 2  1  0   2 2 2 f ' x  x  2 x 2  1          k x Ta có: g  x   f  x 2  

Đặt t  x 2  t  0  ,phương trình    trở thành f '  t   t 2  2t 2  1  .

Vẽ thêm đồ thị hàm số x 2  2 x  1 (màu đỏ) trên đồ thị f '  x  đề cho.

33

2  x  0 ( boäi chaün). t  0  x  0   Dựa vào đồ thị,    t  1   x 2  1   x  1.  x   2. t  2  x 2  2  

Theo đó ta lập bảng biến thiên như sau:

Vậy g  x  đạt cực tiểu tại 1 điểm x  0 .

Ví dụ 4.

Cho hàm số y  f ( x ) . Hàm số y  f / ( x) có đồ thị như hình bên. Tìm m để

hàm số y  f ( x 2  m) có 3 điểm cực trị?

y

0

1

2

3

x

2

A. m   0;3 .

B. m   0;3 .

C. m   3;   . D. m   ; 0  .

Lời giải 34

x  0 Ta có: f ( x)  0   x  1 và f / ( x) không đổi dấu khi qua 1 hay 1 là nghiệm bội chẵn.  x  3 /

/

y /   f ( x 2  m)   f / ( x 2  m).2 x .  x2  m  0  x 2  m  2 / 2  f ( x  m)  0  x  m  1(loai ) y/  0    2   x2  3  m.  x m3 x  0 x  0    x  0 Hàm số y  f ( x2  m) có 3 điểm cực trị  y /  0 có 3 nghiệm phân biệt và đổi dấu khi qua ba nghiệm đó  m   0;3 . Chọn B Ví dụ 5. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm y = f   x với mọi x  . và có đồ thị như hình vẽ.

O

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số g  x   f  x 2  8 x  m  có 5 điểm cực trị?

A. 15.

B. 16.

C. 17.

D. 18.

Lời giải Ta có g   x   2  x  4  f   x 2  8 x  m  x  4   x 2  8 x  m  1 nghiem boi 2  2   g x   0  2  x  4 f  x  8 x  m  0   2 .  x  8 x  m  0 1   x 2  8 x  m  2 2  

Yêu cầu bài toán  g   x   0 có 5 nghiệm bội lẻ  mỗi phương trình 1, 2 đều có hai nghiệm phân biệt khác 4. *

35

Cách 1: *

16  m  0    16  m  2  0   m  16 .   m  16    m  18  

Vậy có 15 giá trị m nguyên dương thỏa mãn điều kiện. Chọn A Cách 2: Xét đồ thị C  của hàm số y  x 2  8 x và hai đường thẳng d1 : y  m, d2 : y  m  2 (hình vẽ).

Khi đó *  d1 , d2 cắt C  tại bốn điểm phân biệt  m  16  m  16.

Vậy có 15 giá trị m nguyên dương thỏa mãn điều kiện.

Ví dụ ở mức độ vận dụng cao: k

DẠNG TOÁN 5: Biết đồ thị hàm số y  f   x  xét cực trị của hàm số y   f  u  x    .

Ví dụ 1.

Cho hàm số f  x  liên tục và có đạo hàm trên  0;6 . Đồ thị của hàm số f   x 

trên đoạn  0;6 được cho bởi hình bên dưới.

Hỏi hàm số y   f  x   A. 3 .

2

có tối đa bao nhiêu cực trị?

B. 7 .

C. 6 .

D. 4

Lời giải  f  x  0 Ta có: y  2 f  x  . f   x  nên y  0    f  x  0 36

Từ đồ thị ta suy ra f  x   0 có tối đa 4 nghiệm, f   x   0 có tối đa 3 nghiệm.

2

Do đó, hàm số y   f  x   có tối đa 7 điểm cực trị nên có tối đa 7 cực trị.

Ví dụ 2. Cho hàm số y  f  x  là hàm đa thức bậc bốn có f  1  0 , đồ thị hàm số

y  f   x  như hình vẽ

2

Số điểm cực trị của hàm số g  x    f  x   là A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải Từ hình vẽ ta có bảng biến thiên hàm số y  f  x  x



f  x

3

1



0



0



f  x



 

f  1

 f  x  0 Ta có g   x   2 f   x  f  x  . Xét g   x   0   .  f  x   0

Do f  1  0 nên f  x   0, x   .  x  1 Dựa vào đồ thị, ta có f   x   0   .  x  3 (nghiÖm kÐp) Do vậy hàm số g  x  chỉ có 1 điểm cực trị.

Ví dụ 3. Cho hàm số y  f  x   mx5  nx3  px có đồ thị hàm số y  f   x  như hình vẽ:

37

5

Số điểm cực trị của hàm số g  x    f  x  2   là A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải 5

4

Ta có g  x    f  x  2    g   x   5 f   x  2   f  x  2   .

4

Do  f  x  2    0 nên dấu g   x  chỉ phụ thuộc dấu của 5 f   x  2  .

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số y  f   x  cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt nên f   x   a  x  x1  x  x2  , a  0 f   x   a  x  2  x1  x  2  x2  ,

Suy ra g   x  đổi dấu từ + sang - khi qua x  x1  2 , từ - sang + khi qua x  x2  2 .

Hàm số g  x  có 2 điểm cực trị.

Ví dụ 4.

Cho hàm số y  f  x  là hàm đa thức bậc bốn có đồ thị hàm số y  f   x  như

hình vẽ

3

Số điểm cực đại của hàm số g  x    f 1  2 x   là A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Lời giải

38

3

2

Ta có g  x    f 1  2 x    g   x   6 f  1  2 x   f 1  2 x   .

2

Do  f 1  2 x    0 nên dấu g   x  chỉ phụ thuộc dấu của 6 f  1  2 x  .

2

Dựa vào đồ thị ta có f   x   a  x  3 x  1 , a  0  f  1  2 x   a  4  2 x  2 x 

2

Suy ra g   x  đổi dấu từ - sang + khi qua x  2 nên x  2 là điểm cực tiểu của hàm số g  x  .

Hàm số g  x  không có điểm cực đại.

Ví dụ 5.

Cho hàm số y  f  x  là hàm đa thức bậc bốn có f  3  0, đồ thị hàm số

y  f   x  như hình vẽ

2020

Số điểm cực trị của hàm số g  x    f  x  1  A. 1.

là

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải Từ hình vẽ ta có bảng biến thiên hàm số y  f  x  x



f  x

3

1



0



0







f  x



f  1

y0

 f   x  1  0 1 Ta có g   x   2020 f   x  1 f 2019  x  1 . Xét g   x   0   .  f  x  1  0  2 

39

 x  1 Xét 1 . Dựa vào đồ thị, ta có f   x   0   .  x  3 (nghiÖm kÐp)  x  1  1  x  0  f   x  1  0     x 1  3  x  4(nghiÖm kÐp) Xét  2  . Do f  3   0 nên f  x   0 có hai nghiệm phân biệt thuộc  ; 2  và  3;   Suy ra f  x  1  0 có hai nghiệm phân biệt x1   ; 1 và x2   4;   x  0  x  4 ( nghiÖm kÐp) Ta có g   x   0   . Do vậy hàm số g  x  có 3 điểm cực trị.  x  x1   ; 1   x  x2   4;  

Ví dụ 6.

ho hàm số y  f  x  là hàm đa thức bậc 6 có đồ thị hàm số y  f   x  như hình

vẽ:

7

3 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g  x    f  x  1  m  có 2 điểm cực   trị?

A. 2.

B. 0.

C. 1.

D. Vô số.

Lời giải 7

6

3 3 2 Ta có g  x    f  x  1  m   g   x   21.  f  x  1  m  . f  x  1 . f   x  1     6

3 2 Ta có  f  x  1  m  . f  x  1 nên dấu của g   x  phụ thuộc vào dấu f   x  1 .  

Hàm số f   x  cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt nên có 2 điểm cực trị, số điểm cực trị hàm

f  x  1 bằng số điểm cực trị hàm f  x  nên g  x  có 2 điểm cực trị với mọi m .

Vậy với mọi m hàm số g  x  đều có 2 điểm cực trị. Chọn D Bài tập về nhà Mức độ nhận biết: 40

Bài 1. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  . Đồ thị hàm số y  f   x  như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số y  f  x  là:

y 3

1 2

1 O

3

4 5

x

2 A. 1 .

Mức độ thông hiểu:

B. 6 .

C. 5 .

D. 4 .

Bài 2 : Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  . Đồ thị hàm số y  f   x  như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số g  x   f  x   4 x là.

B. 3 .

A. 2 .

C. 1.

D. 4 .

Bài 3 : Cho hàm số f  x  xác định trên  và có đồ thị f   x  như hình vẽ bên. Đặt

g  x   f  x   x . Hàm số g  x  đạt cực đại tại điểm thuộc khoảng nào dưới đây?

3  A.  ;3  . 2 

B.  2;0  .

C.  0;1 .

1  D.  ; 2  . 2  41

Mức độ vận dụng: Bài 4. Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên  . Biết rằng hàm số y  f   x  có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Hàm số y  g ( x)  f  x 2  5  có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

A. 3 .

B. 4 .

C. 5 .

D. 6 .

Bài 5. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  và có đồ thị của hàm số

y  f   x  như hình vẽ. Đặt g  x   3 f  x   x3  3x 2 . Tìm số điểm cực trị của hàm số y  g  x  .

A. 0 .

B. 1.

C. 2 .

D. 3 .

Mức độ vận dụng cao: Bài 6.

Cho hàm số

y  f ( x) có đồ thị hàm số

y  f '( x ) như hình vẽ và

f '( x)  0 x  (; 3, 4)  (9; ) . Đặt g ( x )  f ( x )  mx  5 với m   .

42

Có bao nhiêu giá trị của m để hàm số y  g ( x ) có đúng 2 điểm cực trị?

A. 8 .

B. 11 .

C. 9 .

D. 10 .

II.3. DẠNG 3: GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ BÀI TOÁN: Cho đồ thị hàm số f   x . Tìm GTLN-GTNN của hàm số f u  x   g  x  .

Ví dụ ở mức độ nhận biết: Ví dụ 1. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên  và đồ thị của hàm số f   x  trên đoạn 2;6  như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

f  x   f 1.

A. max 2;6

f  x   f 2.

B. max 2;6

f  x   f 6 .

C. max 2;6

D. max f  x   max  f 1, f 6 . 2;6 













Lời giải. Đồ thị f   x  có bảng biến thiên như hình bên

43

f  x   max  f 1; f 6 . Chọn D. Từ bảng biến thiên suy ra : max [ 2;6]

Ví dụ ở mức độ thông hiểu: Ví dụ 2. Cho hàm số y  f  x . Đồ thị hàm số y  f   x  như hình bên.

Biết rằng f 0  f 3  f 2  f 5. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của f  x  trên đoạn 0;5 lần lượt là A. f 0; f 5.

B. f 2; f 0.

C. f 1; f 5.

Lời giải.

D. f 2; f 5.

Từ đồ thị hàm số y  f   x  trên đoạn 0;5, ta có bảng biến thiên của hàm số y  f  x  như hình bên.

Suy ra min f  x   f 2 và max f  x   max  f 0 ; f 5. 0;5 0;5 



Từ giả thiết, ta có f 5  f 3  f 0  f 2. 1  f 3  f 2. 2 Hàm số f  x  đồng biến trên 2;5   max f  x    f 0 , f 5  f 5. Chọn D. Từ 1 và 2 , suy ra f 5  f 0  0;5 

Ví dụ 3.



Cho hàm số y  f  x . Đồ thị hàm số y  f   x  như hình bên.

Biết rằng f 0  f 1  2 f 2  f 4  f 3. Hỏi trong các giá trị f 0, f 1, f 3, f 4 giá trị nào là giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f  x  trên đoạn 0;4  ?

A. f 0.

B. f 1.

C. f 3.

D. f  4.

Lời giải.

Từ đồ thị hàm số y  f   x , ta suy ra bảng biến thiên của hàm số y  f  x  44

Từ BBT suy ra min f  x   min  f 0 , f 4 .  0;4  Ta tiếp tục đi so sánh f 0 và f 4.

Từ giả thiết ta có f 4  f 0  f 1  f 3  2 f 2  0 (vì f 1  f 2, f 3  f 2 ). f  x   f 4 . Chọn D. Suy ra f 4  f 0  0 hay f 4  f 0. Vậy min  0;4  Ví dụ ở mức độ vận dụng: Ví dụ 4. Cho hàm số y  f  x . Đồ thị hàm số y  f   x  như hình bên.

Xét hàm số g  x   2 f  x    x  1 , mệnh đề nào sau đây đúng ?

2

A. max g  x   g 1.

B. max g  x   g 3.

3;3

C. min g  x   g 1. 3;3

3;3

D. Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của g  x  trên 3;3 .

Lời giải.

Ta có g   x   2 f   x  2  x  1; g   x   0  f   x   x  1.

Suy ra số nghiệm của phương trình g   x   0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số

y  f   x  và đường thẳng y  x  1.

45

 x  3  Dựa vào đồ thị ta suy ra g   x   0   x  1 .  x  3  Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra max g  x   g 1. Chọn A. 3;3

Chú ý: Dấu của g   x  được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 3; ta thấy đồ thị hàm số y  f   x  nằm phía trên đường thẳng y  x  1 nên suy ra g   x   0.

Ví dụ 5. Cho hàm số y  f  x . Đồ thị hàm số y  f   x  như hình vẽ bên.

1 3 3 Xét hàm g  x   f  x   x 3  x 2  x  2018, mệnh đề nào sau đây đúng ?

3 4 2 A. min g  x   g 3.

B. min g  x   g 1. 3;1

C. min g  x   g 1. 3;1

3;1

D. min g  x   3;1

g 3  g 1 .

2

Lời giải.  2 3  3 Ta có g   x   f   x   x  x  . Số nghiệm của phương trình g   x   0 chính là số  2 2 giao điểm của đồ thị C  của hàm số y  f   x  và đồ thị  H  của hàm số 3 3 h x   x 2  x  .

2 2

46

Ta thấy  H  cắt C  tại ba điểm 3;3, 1; 2 và 1;1.

 x  3  Do đó ta có g '  x   0   x  1.  x  1 

Bảng biến thiên như hình bên

Từ bảng biến thiên ta suy ra min g  x   g 1. Chọn B. 3;1

Ví dụ ở mức độ vận dụng cao: Ví dụ 6.

Cho hai hàm số y  f  x  và y  g  x  liên tục trên  có đồ thị hàm số y  f   x  là đường cong nét đậm và y  g   x  là đường cong nét mảnh như hình vẽ. Gọi ba giao điểm A, B, C của đồ thị y  f   x  và y  g   x  trên hình vẽ

lần lượt có hoành độ là a, b, c. Giá trị nhỏ nhất của hàm số h  x   f  x   g  x  trên đoạn a; c  bằng A. h 0.

B. h a.

C. h b .

D. h c .

Lời giải. x  a 

do thi  hx   0   x  b .

Ta có h   x   f   x  g   x   

x  c 

Bảng biến thiên

47

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra min h  x   h b . Chọn C. a ;c 

y  f  x , y  g  x  f   x  g   x .

Ví dụ 7. Cho hai hàm số có đạo hàm là , Đồ thị hàm số   y  f x  y  g x  và được cho như hình vẽ bên.

Biết rằng f 0 f 6  g 0  g 6. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

h  x   f  x   g  x  trên đoạn 0;6 lần lượt là A. h 6, h 2.

B. h 2, h 6.

C. h 0, h 2.

D. h 2, h 0.

Lời giải.

Xét trên đoạn 0;6 , ta có h   x   f   x   g   x   0  x  2.

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, ta có min h  x   h 2 .  0;6 

Từ giả thiết suy ra f 0  g 0  f 6 g 6   h 0   h 6    max h  x   h 6 . Chọn A.  0;6 

Ví dụ 8. Cho hàm số y  f  x . Đồ thị hàm số y  f   x  như hình bên

48

Xét hàm số g  x   2 f  x   2 x 3  4 x  3m  6 5 với m là tham số thực. Để g  x   0 với mọi x   5; 5  , khẳng định nào sau đây đúng ?   2 2 A. m  f 5 .

B. m  f 5 .

3 3 2 2 C. m  f 0   2 5.

D. m  f  5  4 5.

3 3 Lời giải.  f   x   2  3x 2 .

Ta có g   x   2 f   x   6 x 2  4; g   x   0 

 

  



Để g  x   0 với x   5; 5  thì max g  x   0.  5; 5     

1

Dựa vào đồ thị hàm số y  f   x  và y  3 x 2  2

ta thấy f   x   3 x 2  2  0, x   5; 5    g   x   0, x   5; 5  nên hàm số       g  x  luôn đồng biến trên  5; 5  . Suy ra max g  x   g 5  2 f 5  3m. 2  5; 5     

 

 

 

2 f 5 . Chọn A. 3 Ví dụ 9. Người ta khảo sát gia tốc a  t  của một vật thể chuyển động ( t là khoảng thời gian

Từ 1 và 2, suy ra m 

tính bằng giây từ lúc vật thể chuyển động) từ giây thứ nhất đến giây thứ 3 và ghi nhận được a  t  là một hàm số liên tục có đồ thị như hình bên dưới. Hỏi trong thời gian từ giây thứ nhất đến giây thứ 3 được khảo sát đó, thời điểm nào vật thể có vận tốc lớn nhất? a(t) 6

3

O

1

2

3

t

1,5

-6

A. giây thứ 2.

B. giây thứ nhất.

C. giây thứ 1,5.

Lời giải

D. giây thứ 3.

49

Phương pháp: a  t   v  t  . Từ đồ thị ta có: a  t   0  v  t   0  t  2 . Ta có BBT sau:

Dựa vào BBT ta chọn A Bài tập về nhà Mức độ nhận biết: Bài 1. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và có đồ thị hàm số y  f '  x  như hình vẽ.  7 Hàm số y  f  x  đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn  0;  tại điểm nào dưới đây ?  2

A. x0  0 .

B. x0  1 .

C. x0 

7 .

2

D. x0  3 .

Mức độ thông hiểu: Bài 2.

Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm y  f   x  . Đồ thị hàm số y  f   x  như hình vẽ.

Biết f  0   f  2   f 1  f  4  . Hỏi tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y  f  x  trên đoạn  0; 4 là A. f  0   f  2  .

B. f  2   f  4  .

C. f  0   f  4  .

D. f  0   f 1 .

Mức độ vận dụng: Bài 3.

Hàm số y  f  x  có đồ thị y  f   x  như hình vẽ.

50

1 3 3 Xét hàm số g  x   f  x   x3  x2  x  2017 . Trong các mệnh đề dưới đây: 3 4 2 (I) g  0  g 1 (II) min g  x   g  1 x 3;1

(III) Hàm số g  x  nghịch biến trên  3; 1 Số mệnh đề đúng là A. 2.

B. 1.

C. 3.

(IV) max g  x   max  g  3 ; g 1 x 3;1

D. 4.

Bài 4. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị y  f   x  như hình vẽ bên. Xét hàm số g  x 

1 3 3 2 3 x  x  x  f  x  . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

3 4 2

A. max g  x   g  3 .

B. max g  x   g  1 .

C. max g  x   g 1 .

D. max g  x  

 3;1

 3;1

 3;1

 3;1

g  3  g 1 .

2

Mức độ vận dụng cao: Bài 5.

Người ta khảo sát gia tốc a  t  của một vật thể chuyển động ( t là khoảng thời gian

tính bằng giây từ lúc vật thể chuyển động) từ giây thứ nhất đến giây thứ 10 và ghi nhận được a  t  là một hàm số liên tục có đồ thị như hình bên dưới. Hỏi trong thời gian từ giây thứ nhất đến giây thứ 10 được khảo sát đó, thời điểm nào vật thể có vận tốc lớn nhất?

A. giây thứ 7.

B. giây thứ nhất.

C. giây thứ 10.

D. giây thứ 3.

51

II.4. DẠNG 4: NHẬN DIỆN ĐỒ THỊ BÀI TOÁN: Cho đồ thị hàm số y  f  x  , y  f   x  , y  f   x  cùng trên một hệ trục tọa độ. Hãy xác định đồ thị của các hàm số tương ứng.

Phương pháp: - Nếu hàm số y  f  x  đồng biến trên K thì f   x   0 trên K ( dấu  xảy ra tại hữu hạn điểm) tức là trên K đồ thị hàm số y  f   x  nằm phía trên trục hoành.

- Nếu hàm số y  f  x  nghịch biến trên K thì f   x   0 trên K ( dấu  xảy ra tại hữu hạn điểm) tức là trên K đồ thị hàm số y  f   x  nằm phía dưới trục hoành.

- Tại các điểm hàm số y  f  x  đạt cực trị thì f   x   0 tức đồ thị hàm số y  f   x  cắt trục hoành.

Ví dụ ở mức độ nhận biết: Ví dụ 1.Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  , sao cho đồ thị hàm số

y  f   x  là parabol có dạng như trong hình bên.

Hỏi đồ thị của hàm số y  f  x  có đồ thị nào trong bốn đáp án sau?

Lời giải Từ đồ thị y  f '  x  suy ra hàm y  f  x  đồng biến trên mỗi khoảng  ; 1 và 1;   , nghịch biến trên khoảng  1;1 . Hàm số đạt cực đại tại. x  1 , đạt cực tiểu tại x  1 . Do đó chỉ có đồ thị B thỏa mãn. Chọn B .

Ví dụ ở mức độ thông hiểu: Ví dụ 2.

Cho đồ thị của ba hàm số y  f  x  , y  f   x  , y  f   x  được vẽ mô tả ở 52

hình dưới đây. Hỏi đồ thị các hàm số y  f  x  y  f   x  và y  f   x  theo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào?

A.  C3  ;  C2  ;  C1  .

B.  C2  ;  C1  ;  C3  .

C.  C2  ;  C3  ;  C1  .

D.  C1  ;  C3  ;  C2  .

Lời giải

Từ hình vẽ ta thấy: đồ thị  C2  cắt trục Ox tại 1 điểm là điểm cực trị của của đồ thị hàm số

 C3  . Đồ thị  C2  đồng biến trên

 mà đồ thị  C1  lại nằm hoàn toàn trên trục hoành.

Chọn A. Ví dụ ở mức độ vận dụng : Ví dụ 3. Cho đồ thị của ba hàm số y  f  x  , y  f   x  , y  f   x  được vẽ mô tả ở hình dưới đây. Hỏi đồ thị các hàm số y  f  x  y  f   x  và y  f   x  theo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào?

A.  C3  ;  C2  ;  C1  .

B.  C2  ;  C1  ;  C3  .

C.  C2  ;  C3  ;  C1  .

D.  C1  ;  C2  ;  C3  .

Lời giải

Từ hình vẽ ta thấy: đồ thị  C2  cắt trục Ox tại 3 điểm là 3 điểm cực trị của của đồ thị hàm số  C1  .

Trên những khoảng đồ thị  C1  đồng biến thì đồ thị  C2  nằm phía trên trục hoành. Trên những

53

khoảng đồ thị  C1  nghịch biến thì đồ thị  C2  nằm phía dưới trục hoành nên đồ thị  C2  là đồ thị đạo hàm cấp 1 của đồ thị  C1  Đồ thị  C3  cắt trục Ox tại 2 điểm là 2 điểm cực trị của của đồ thị hàm số  C2  .

Trên những khoảng đồ thị  C2  đồng biến thì đồ thị  C3  nằm phía trên trục hoành. Trên những khoảng đồ thị  C2  nghịch biến thì đồ thị  C3  nằm phía dưới trục hoành nên đồ thị  C3  là đồ thị đạo hàm cấp 1 của đồ thị  C2  . Chọn D. Ví dụ ở mức độ vận dụng cao: Ví dụ 4. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm đến cấp hai trên  . Đồ thị của các hàm số

y  f  x  ; y  f   x  ; y  f   x  lần lượt là các đường nào trong các đường sau đây.

A.  C1  ;  C3  ;  C2  .

B.  C3  ;  C2  ;  C1  .

C.  C2  ;  C3  ;  C1  . D.  C2  ;  C1  ;  C3  .

Lời giải Nhận thấy: Tại hoành độ những điểm cực trị của đồ thị  C1  thì  C3  cắt trục hoành, trên những khoảng  C1  đồng biến thì đồ thị  C3  nằm phía trên trục hoành, trên những khoảng

 C1 

nghịch biến thì đồ thị  C3  nằm phía dưới trục hoành nên đồ thị  C3  là đồ thị đạo

hàm của  C1  . Tương tự thì  C1  là đồ thị đạo hàm của đồ thị  C2  . Chọn D Ví dụ 5.Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp một f   x  và đạo hàm cấp hai f   x  trên  . Biết đồ thị của các hàm số y  f  x  , y  f   x  , y  f   x  là một trong các đường

cong  C1  ,  C2  ,  C3  như hình vẽ.

54

Hỏi đồ thị của hàm số y  f  x  , y  f   x  , y  f   x  lần lượt theo thứ tự nào dưới đây?

A.  C2  ,  C1  ,  C3  .

B.  C1  ,  C2  ,  C3  .

C.  C3  ,  C2  ,  C1  .

D.  C3  ,  C1  ,  C2  .

Lời giải

Ta nhận thấy đường  C1  và  C3  cùng cắt trục hoành tại cùng một điểm và hoành độ của điểm đó là cực trị của đường  C2  . Và giao điểm của đường  C2  với trục hoành có hoành độ là hoành độ cực trị của hai đường còn lại.

Ngoài ra, ta thấy phần đồ thị nằm dưới trục hoành của  C2  ứng với phần nghịch biến của

 C3  và phần nằm trên trục hoành của  C2  ứng với phần đồ thị của  C3   C2  là đồ thị của hàm số đạo hàm của hàm số có đồ thị là  C3  .

nên đồ thị của

Tương tự, phần đồ thị nằm dưới trục hoành của  C1  ứng với phần nghịch biến của  C2  và phần nằm trên trục hoành của  C1  ứng với phần đồ thị của  C1  nên đồ thị của  C1  là đồ thị của hàm số đạo hàm của hàm số có đồ thị là  C2  . Chọn C. Bài tập về nhà Mức độ nhận biết:

Bài 1. Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên  , đồ thị hàm số y  f   x  như trong hình vẽ bên. Biết f  a   0 , hỏi phương trình f  x   0 có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?

55

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 4.

Mức độ thông hiểu:

Bài 2. Cho đồ thị của ba hàm số y  f  x  , y  f   x  , y  f   x  được vẽ mô tả ở hình dưới đây. Hỏi đồ thị các hàm số y  f  x  y  f   x  và y  f   x  theo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào?

A.  C3  ;  C2  ;  C1  .

B.  C2  ;  C1  ;  C3  .

C.  C2  ;  C3  ;  C1  . D.  C1  ;  C2  ;  C3  .

Mức độ vận dụng:

Bài 3. Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị  C  và đạo hàm cấp một của nó f '  x  có đồ thị tương ứng là một trong các đường cong  C1  ,  C2  ,  C3  ,  C4  như hình vẽ. Mệnh đề nhận xét nào dưới đây đúng? y

C 

 C1   C3 

O

x

 C4 

 C2  A. Đường  C1  biểu diễn đạo hàm f '  x  . B. Đường  C3  biểu diễn đạo hàm f '  x  .

C. Đường  C4  biểu diễn đạo hàm f '  x  .

D. Đường  C2  biểu diễn đạo hàm f '  x  .

56

Mức độ vận dụng cao:

Bài 4. Cho đồ thị  C  của hàm số y  f  x  và đạo hàm cấp một f   x  của nó có đồ thị là một trong bốn đường  G1  ,  G2  ,  G3  ,  G4  như hình vẽ. Biết rằng đường thẳng  là tiếp tuyến của  C  tại điểm có hoành độ x0 . Đồ thị ứng với đạo hàm cấp một f   x  là

A.  G2  .

B.  G1  .

C.  G4  .

D.  G3  .

C. KHẢ NĂNG ÁP DỤNG CỦA CHUYÊN ĐỀ : Để có đánh giá khách quan và chính xác hơn về phương pháp này, tôi đã làm một phiếu điều tra hứng thú học tập cho các em học sinh ở cả 3 lớp 12A1, 12A2, 12A7, kết quả thu được như sau: Lớp 12A1: Kết quả điều tra hứng thú học lập trình lớp 12A1 Rất thích

Thích

Bình thường

Không thích

Số lượng

Tỉ lệ

Số lượng

Tỉ lệ

Số lượng

Tỉ lệ

Số lượng

Tỉ lệ

30

75%

10

25%

0

0-%

0

0%

Lớp 12A2: Kết quả điều tra hứng thú học lập trình lớp 12A2 Rất thích

Thích

Bình thường

Số lượng

Tỉ lệ

Số lượng

Tỉ lệ

Số lượng

19

48,8%

10

25,6% 10

Không thích Tỉ lệ

Số lượng

Tỉ lệ

25,6%

0

0%

57

Lớp 12A7: Kết quả điều tra hứng thú học lập trình lớp 12A7 Rất thích

Thích

Bình thường

Số lượng

Tỉ lệ

Số lượng

Tỉ lệ

Số lượng

10

27,8%

15

41,7% 11

Không thích Tỉ lệ

Số lượng

Tỉ lệ

30.5%

0

0%

D. KẾT LUẬN Dựa vào kết quả trên, có thể nhận thấy một thực tế là việc áp dụng phương pháp tôi đưa ra góp phần giúp học sinh hứng thú hơn và giảm bớt những khó khăn khi gặp dạng toán liên quan tới đồ thị của đạo hàm và bài toán cự trị, đơn điệu của hàm hợp. Điều này chứng tỏ sự thành công của phương pháp mà tác giả nghiên cứu, vì vậy chuyên đề có thể mở rộng áp dụng để giảng dạy ôn thi THPT Quốc gia ở các trường THPT. Theo các em học sinh thì phương pháp này đã giúp các em hoàn thành tốt các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao, các câu hỏi tư duy mở về tính đơn điệu của hàm số, cực trị của hàm số, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số, nhận diện đồ thị hàm số trong các đề thi thử của các trường trên cả nước. Với phương pháp này dự kiến các em sẽ có thêm lối tư duy mở cho các dạng toán khác và dự kiến kết quả thi THPT Quốc gia sẽ có nhiều thành công hơn nữa.

58