CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM Toán học bắt nguồn từ thực tiễn, và mọi lí thuyết toán học dù trừu tượng đến đâu cũng đều tìm thấy ứng dụng của chúng trong thực tế cuộc sống. Đến với chương này, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về các “Ứng dụng của Đạo Hàm” không chỉ đối với Toán học mà còn đối với các ngành khoa học kỹ thuật khác; bởi lẽ Đạo hàm không chỉ dành riêng cho các nhà Toán học, mà đạo hàm còn được ứng dụng rất nhiều trong cuộc sống và các ngành khoa học khác, ví dụ có thể kể đến như: Một nhà kinh tế muốn biết tốc độ tăng trưởng kinh tế nhằm đưa ra các quyết định đầu tư đúng đắn thì phải làm như thế nào ? Một nhà hoạch định chiến lược muốn có những thông tin liên quan đến tốc độ phát triển và gia tăng dân số của từng vùng miền thì phải dựa vào đâu ? Một nhà hóa học muốn xác định tốc độ của các phản ứng hóa học nào đó hay một nhà Vật lí cần làm gì để muốn tính toán vận tốc, gia tốc của một chuyển động ? Và hơn thế nữa, trong thực tiễn đời sống luôn có rất nhiều những bài toán liên quan đến tối ưu hóa nhằm đạt được lợi ích cao nhất như phải tính toán như thể nào để làm cho chi phí sản xuất là thấp nhất mà lợi nhuận đạt được là cao nhất ?,... Chúng ta hãy cùng nhau tìm hiểu, khám phá và mở mang thêm cho mình những hiểu biết về ứng dụng của đạo hàm thông qua bố cục trình bày của chương như sau: • Phần 1.1: Tóm tắt lí thuyết và các kiến thức liên quan đến đạo hàm. • Phần 1.2: Các bài toán thực tế ứng dụng đạo hàm. • Phần 1.3: Các bài toán trắc nghiệm khách quan. • Phần 1.4: Đáp án và hướng dẫn giải câu hỏi trắc nghiệm.
PHẦN 1.1: TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
Để tìm hiểu các ứng dụng của đạo hàm, trước tiên ta cần hiểu một cách thấu đáo về khái niệm của đạo hàm. Bài toán cơ bản là nguồn gốc nảy sinh khái niệm đạo hàm, một thuộc về lĩnh vực Hình học và một đến từ Vật lí. ● Đối với bài toán hình học: xác định tiếp tuyến của một đường cong. Nếu như trước đây, nhiều bài toán của Đại Số chỉ có thể được giải quyết nhờ vào công cụ và phương pháp của Hình học, thì kể từ thế kỉ XVI, với hệ thống kí hiệu do Viète (1540-1603) đề nghị vào năm 1591, Đại số đã tách khỏi Hình học, phát triển một cách độc lập với những phương pháp có sức mạnh lớn lao. Nhận thấy sức mạnh ấy, Descartes (1596-1650) và Fermat (1601-1665) đã khai thác nó vào nghiên cứu Hình học bằng việc xây dựng nên Hình học giải tích. Sự ra đời của Hình học giải tích khiến cho vấn đề nghiên cứu nhiều đường cong được đặt ra. Tuy nhiên bài toán này chỉ được các nhà toán học thời kì trước giải quyết đối với một số đường đặc biệt (đường tròn, đường Conic, ...) bằng công cụ của hình học cổ điển nhưng với hàng loạt những đường cong mới xuất hiện, bài toán xác định tiếp tuyến tuyến của một đường cong đòi hỏi một phương pháp tổng quát hơn. Khái niệm tiếp tuyến lúc này được hiểu theo những quan niệm mới như là vị trí “tới hạn” của cát tuyến hay đường thẳng trùng với một phần vô cùng nhỏ với đường cong tại tiếp điểm. Chính từ quan niệm “vị trí tới hạn” này mà hệ số góc k của tiếp tuyến với đường cong y = f ( x ) được định nghĩa (theo ngôn ngữ ngày nay) bởi biểu thức k = lim h →0
f ( x + h) − f ( x) h
= f ' ( x)
● Đối với bài toán vật lí: tìm vận tốc tức thời. Thừa nhận rằng có thể xem vận tốc tức thời vtt của vật thể có phương trình chuyển động là s = S ( t ) là giới hạn của vận tốc trung bình trong khoảng thời gian ( t;t + ∆t ) khi ∆t → 0 , Newton (1643 – 1727) cũng đã đi đến biểu thức xác định vtt (có cùng bản chất với biểu thức hệ số góc của tiếp tuyến) mà theo ngôn ngữ ngày nay ta viết là: vtt = lim
S ( t + ∆t ) − S ( t ) ∆t
∆t →0
= S' ( t )
Ngoài ra, ta cũng có thể bắt gặp một số khái niệm khác của đạo hàm như “đạo hàm - tốc độ biến thiên của hàm số” hay “đạo hàm – công cụ xấp xỉ hàm số”. Từ đây ta đưa ra định nghĩa của đạo hàm: 2.1.1 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên khoảng ( a; b ) , xo ∈ ( a; b ) , xo + ∆x ∈ ( a; b ) . Nếu tồn tại, giới hạn (hữu hạn) lim
f ( xo + ∆x ) − f ( xo )
∆x →0
tại điểm xo , kí hiệu f ' ( xo ) hay y' ( xo ) .
∆x
được gọi là đạo hàm của f ( x )