Chương 3 : ĐẠI CƯƠNG VỀ CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
Thế λ =
h ; p = m.v ⇒ p2 = 2m(E - ET). Với E, ET lần lượt là năng lượng toàn phần và mv
thế năng của hạt. Ta có : Đặt : Ĥ =
h 2 ∂ 2 ∂2 ∂2 − + + 8π 2 m ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
+ E T ψ = Eψ h 2 ∂ 2 ∂2 ∂ 2 − + + + E T ; Ĥ : toán 2 2 2 2 8π m ∂x ∂y ∂z
tử Hamilton (Hamiltonien)
⇒ Phương trình sóng Schrodinger được viết gọn : Ĥψ = Eψ Phương trình này là phương trình cơ bản cho hệ vi mô, nó không những khảo sát cho nguyên tử mà sau đó Heitler - Londons và Hund - Muliken còn dùng nó làm công cụ để khảo sát các phân tử : Việc giải phương trình sóng Schrodinger là một việc rất phức tạp và thông thường người ta chỉ khảo sát bằng bài toán áp dụng. 3.3.NGHIỆM CƠ LƯỢNG TỬ CHO MÔ HÌNH ELECTRON CHUYỂN ĐỘNG TRONG GIẾNG THẾ 1 CHIỀU : 3.3.1.Mô hình giếng thế 1 chiều : Giếng thế một chiều là một mô hình tưởng tượng. ET = ∞ ET = ∞ Hạt chuyển động tự do, khi nó không chịu tác dụng một trường lực nào khác trong khoảng OA = a trên phương Ox, nghĩa là khi hạt chuyển động trong đoạn OA thì ET = const = 0. ET = 0 Ở O và A có ET = ∞ tức hạt không thể vượt ra, lúc ấy phương a ∂ 2ψ 8π 2 m O A trình sóng Schrodinger sẽ đơn giản : 2 + 2 Eψ = 0 ∂x
h
Vì việc giải phương trình sóng Schrodinger cho bài toán về nguyên tử rất phức tạp. Do đó trong cơ học lượng tử người ta đưa ra mô hình này và giải bài toán trong trường hợp đơn giản đó để - Tập sử dụng các nguyên lý, tiên đề. - Cụ thể hoá ý nghĩa và biết cách giải quyết vấn đề của cơ học lượng tử. 3.3.2.Kết quả của phép giải, kết luận : (Xem lời giải ở phụ lục 1) Dùng phương trình sóng Schrodinger cho mô hình giếng thế một chiều, khi giải phương trình ta được các kết quả sau : * Hàm sóng : ψ (x ) =
2 nπ sin x a a
(1) với n ∈ N* (n ≠ 0 vì khi n = 0 thì ψ luôn luôn
bằng không, tức là ψ = 0 ⇒ trong giếng luôn luôn không có hạt : vô lý) và 2
* Năng lượng :
En =
h2 8.m.a
2
n2
(2)
Thí dụ như : + Với trạng thái n = 1, từ (1) ⇒ ψ 1 (x ) =
2 π sin x a a
+ Với trạng thái n = 2, từ (1) ⇒ ψ 2 (x ) =
2π 2 sin x a a
+ Với trạng thái n = 3, từ (1) ⇒ ψ 3 (x ) =
3π 2 sin x và từ a a
và từ (2) ⇒ E1 =
h2 8.m.a 2 h2
và từ (2) ⇒ E2 = (2) ⇒ E3 =
2.m.a 2 9 h2 8.m.a 2
= 4 E1 = 9 E1
+... Từ đó ta có các đồ thị tương ứng với các hàm sóng ψ i , các mật độ xác suất tìm thấy hạt vi mô ψ i2 và các mức năng lượng Ei tương ứng. Ở đây ta chỉ vẽ các đồ thị ứng với 3 trạng thái n = 1, n = 2 và n = 3 : 20
HÓA ĐẠI CƯƠNG 1