CHUYÊN ĐỀ “GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ’’ ÁP DỤNG CHO HỌC SINH LỚP 12 ÔN THI HSG-THPTQG

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG MÔN TOÁN HỌC

vectorstock.com/10212081

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN TEST PREP PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

CHUYÊN ĐỀ “GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ’’ ÁP DỤNG CHO HỌC SINH LỚP 12 ÔN THI HSG-THPTQG WORD VERSION | 2020 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

Giá trị lớn nhất-Giá trị nhỏ nhất của hàm số

A. GIỚI THIỆU CHUYÊN ĐỀ 1. Lý do và mục đích chọn chuyên đề Nâng cao chất lượng dạy học nói chung, chất lượng dạy học môn Toán nói riêng đang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành Giáo dục nước ta hiện nay. Một trong những khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mới nội dung và phương pháp dạy học.

Thực hiện nhiệm vụ trên trong những năm qua ngành Giáo dục đã và đang tích cực tiến hành đổi mới cả về nội dung và phương pháp dạy học. Quan điểm chung về đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường THPT là phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo, rèn luyện phương pháp tự học của học sinh.

Các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số là một mảng kiến thức rất quan trọng của chương trình toán THPT, nó đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện kỹ năng giải toán và phát triển tư duy cho học sinh, chính vì thế bài tập dạng này thường xuất hiện nhiều trong các kỳ thi THPTQG và thi học sinh giỏi các cấp. Với suy nghĩ nhằm nâng cao chất lượng điểm thi môn Toán trong kỳ thi THPTQG và thi HSG cấp tỉnh năm học 2019 -2020, và hơn nữa là góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy vì thế tôi viết chuyên đề: “Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số’’.

2.Mục tiêu và phương pháp Mục tiêu -

Biết và hiểu định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số.

Biết các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên một khoảng, trên một đoạn.

Kỹ năng -

Biết lập bảng biến thiên của một hàm số để từ đó tìm được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

Biết đọc bảng biến thiên, đọc đồ thị của một hàm số từ đó tìm được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

Biết đạo hàm của các hàm số hợp, nhận biết được mối liên hệ của hàm số y = f ( x ) , y = f ( u ( x ) ) khi biết bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) , đồ thị hàm số y = f ( x ) hoặc

-

đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) .

Biết áp dụng bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất vào bài toán thực tế.

3. Đối tượng -

Đối tượng áp dụng cho học sinh lớp 12 ôn thi HSG-THPTQG .

4. Thời lượng chuyên đề Tùy theo đối tượng học sinh mà giáo viên có thể dạy hết các dạng toán hoặc chỉ dạy một phần trong chuyên đề này, chúng tôi dự kiến dạy hết các dạng toán trong nàylà 09 tiết.

1

Giá trị lớn nhất-Giá trị nhỏ nhất của hàm số

B. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ Phần 1. Lí thuyết Định nghĩa Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên tập D.  Số M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số y = f ( x ) trên tập D , nếu f ( x ) ≤ M với ∀x ∈ D và tồn tại x0 ∈ D sao cho f ( x0 ) = M .

Kí hiệu: M = max f ( x ) .

D

 Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y = f ( x ) trên tập D , nếu f ( x ) ≥ m với ∀x ∈ D và tồn tại x0 ∈ D sao cho f ( x0 ) = m .

Kí hiệu: m = min f ( x ) .

D Phần 2. Dạng toán Dạng 1: Tìm GTLN-GTNN của hàm số y = f ( x ) liên tục trên một khoảng.

Bài toán 1:Tìm GTNN-GTLN khi cho BBT hoặc đồ thị.

Phương pháp chung: - So sánh giữa các giá trị ccực đại với các giá trị tại biên của hàm số để tìm GTLN: - So sánh giữa các giá trị ccực tiểu của hàm số với các giá trị tại biên để tìm GTNN. trị tại biên.

- Lưu ý: Ta không lấyy các giá tr Ví dụ 1:Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Biết giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là M , m . Giá trị biểu thức P = M 2 + m 2 bằng

A. P =

1 .

4

B. P =

1 .

2

C. 2 .

D. 1 .

Hướng dẫn giải Chọn B Ví dụ 2: Hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình bên dưới.

Giá trị lớn nhất-Giá trị nhỏ nhất của hàm số

Biết f ( −4 ) > f ( 8 ) ,khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên ℝ bằng A. 9 .

B. f ( −4 ) .

C. f ( 8) .

D. −4 .

Hướng dẫn giải Chọn C Ví dụ 3: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng A. max f ( x ) = f (1) . ( 0; +∞ )

B. max f ( x ) = f ( 0 ) . ( −1;1]

C. min f ( x ) = f ( −1) . D. min f ( x ) = f ( 0 ) . ( −∞; −1)

( −1; +∞ )

Hướng dẫn giải Chọn A Bài tập tương tự Câu 1: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên khoảng (−4; 4) và có bảng biến ến thiên trên khoảng (−4; 4) như sau

Phát biểu nào sau đây đúng?

A. max y = 10 và min y = −10 . ( −4;4)

B. Hàm số không có GTLN, GTNN trên

( −4;4)

(−4; 4) .

C. max y = 0 và min y = −4 . ( −4;4)

( −4;4)

D. min y = −4 và max y = 10 . ( −4;4)

Chọn B Câu 2: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình bên dưới

( −4;4)

Giá trị lớn nhất-Giá trị nhỏ nhất của hàm số

Giá trị lớn nhất của hàm số trên nửa khoảng ( −2;3] bằng A. 3 .

Chọn B

B. 4 .

C. 5 .

D. 2 .

Câu 3: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên trên nửa khoảng [ −5;7 ) như sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. min f ( x ) = 2 và hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên [ −5;7 ) . −5;7 [

)

B. max f ( x ) = 6 và min f ( x ) = 2 . −5;7 −5;7 [

)

[

)

C. max f ( x ) = 9 và min f ( x ) = 2 . −5;7 ) −5;7 [

)

[

D. max f ( x ) = 9 và min f ( x ) = 6 . −5;7 −5;7 [

)

[

)

Chọn A Bài toán 2: Tìm GTLN-GTNN của hàm số y = f ( x ) trên khoảng ( a; b ) Phương pháp:  Bước 1: Tìm TXĐ (nếu đề chưa cho khoảng).  Bước 2: Tính y′ = f ′ ( x ) ; tìm các điểm mà đạo hàm bằng không hoặc không xác định.  Bước 3: Lập bảng biến thiên (BBT).  Bước 4: Kết luận.

Lưu ý: Có thể dùng máy tính cầm tay để giải *Bước 1: Để tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên miền ( a; b ) ta sử dụng máy tính Casio với lệnh MODE 7 (MODE 9 Lập bảng giá trị). * Bước 2: Quan sát bảng giá trị máy tính hiển thị, giá trị lớn nhất xuất hiện là max, giá trị nhỏ nhất xuất hiện là min.

Giá trị lớn nhất-Giá trị nhỏ nhất của hàm số

- Ta thiết lập miền giá trị của biến x Start a End b Step

b−a (có thể làm tròn để Step 19

đẹp).

Ví dụ 1:Trên khoảng ( 0;+∞ ) thì hàm số y = − x3 + 3x + 1 A. có giá trị nhỏ nhất là 3.

C. có giá trị nhỏ nhất là −1.

B. có giá trị lớn nhất là −1.

D. có giá trị lớn nhất là 3.

Lời giải

Chọn D x =1 y ' = −3x 2 + 3 . Cho y ' = 0 ⇔   x = −1(l )

Bảng biến thiên

có giá trị lớn nhất là 3.

Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) =

x2 − x + 1 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? x2 + x + 1 1 3

A. min f ( x ) = 1. ℝ

B. min f ( x ) = .

C. max f ( x ) = 1 . ℝ

D. Hàm ssố không có giá trị lớn nhất.

ℝ

Hướng dẫn giải Chọn B Bảng biến thiên

1 3

Dựa vào BBT thì min f ( x ) = . ℝ

Giá trị lớn nhất-Giá trị nhỏ nhất của hàm số

Ví dụ 3: Gọi a là giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = của biểu thức P = A.

6 − 8x trên khoảng ( −∞;1) . Khi đó, giá trị x2 + 1

6 − 8a bằng a2 + 1

22 .

5

B.

6 .

13

C. −

58 .

65

D. −

74 .

101

Hướng dẫn giải Chọn C Ví dụ 4: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = A. 0 .

x −1 x2 + 1

B. −2 .

bằng

C. −1 .

Hướng dẫn giải

D. − 2 .

Chọn D Bài tập tương tự 3 2 3 Câu 1: Cho hàm số y = x − x + 1 . Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng 2 11    −25;  . Khi đó 10  

A. M = 1 .

B. M =

129 .

250

1 2

C. M = 0 .

D. M = .

Chọn A Câu 2: Cho hàm số y = x4 − 2 x2 + 5 . Khẳng định nào sau đây đúng: A. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất, có giá trị lớn nhất C. Hàm số có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất D. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất, có giá trị lớn nhất Chọn C Câu 3: (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2016-2017) Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3x +

4 trên khoảng ( 0; +∞ ) . x2

A. min y = 3 3 9 . ( 0;+∞)

B. min y = 7 . ( 0; +∞ )

C. min y = ( 0;+∞ )

33 .

5

D. min y = 2 3 9 . ( 0; +∞ )

Chọn A DẠNG 2:Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn.

Bài toán 1: Tìm GTLN-GTNN khi cho biết BBT hoặc đồ thị.

Phương pháp chung:

6

Giá trị lớn nhất-Giá trị nhỏ nhất của hàm số

So sánh giữa các giá trị của hàm số trên đoạn đã cho(thường là các giá trị cực đại với giá trị tại biên) kể cảcác giá trị tại biên để tìm GTLN. t biên để tìm - So sánh giữa các giá trị của hàm số trên đoạn đã chokể cảcác giá trị tại GTNN. Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [-1;3] và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi -

M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [ −1;3] . Giá

trị của M − m bằng

A. 0.

B. 1.

C. 4.

Lời giải

D. 5.

Chọn D Căn cứ vào đồ thị ta có M = max y = 3 , m = min y = −2 .Vậy M − m = 5 . [ −1;3]

[ −1;3]

Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [3;5] và có bảng biến thiên như hình vẽ:

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) trên đoạn [ −3;5] bằng A. 2 .

B. 5 .

C. 3 .

Lời giải

D. 0 .

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: max f ( x ) = 6 ; min f ( x ) = −4 . −3;5 −3;5 [

[

]

]

Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) trên đoạn [ −3;5] bằng −4 + 6 = 2 .  7 Ví dụ 3: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn  0;  có đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình vẽ. 

2

Giá trị lớn nhất-Giá trị nhỏ nhất của hàm số

7 Hàm số y = f ( x ) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0;  tại điểm x0 nào dưới đây? 

B. x0 = 1 .

A. x0 = 2 .

2

C. x0 = 0 .

D. x0 = 3 .

Lời giải Chọn D Dựa vào đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) , ta có bảng biến thiên:

Suy ra min y = f ( 3) . Vậy x0 = 3 .  7  0; 2 

Ví dụ 4:Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên R có đồ thị như dưới đây. Gọi M và giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f ( −2 sin x + 1) . khi đógiá trị của

A. 0.

B. 1.

C. 4.

Lời giải

Chọn D Đặt t = −2sin x + 1 vì −1 ≤ sin x ≤ 1 ⇒ t ∈ [ −1;3].

Do đó M = max f (t ) = f (3) = 3; min f (t ) = f (2) = −2 ⇒ M − m = 5. [ −1;3]

Bài tập tương tự

[ −1;3]

m lần lượt là

M − m bằng

D. 5.

Giá trị lớn nhất-Giá trị nhỏ nhất của hàm số

Câu 1: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [ −1;5] và có đồ thị trên đoạn [ −1;5] như hình vẽ bên

ất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) trên đoạn [ −1;5] bằng dưới. Tổng giá trị lớn nhất

A. −1 Chọn C

B. 4

C. 1

D. 2

Câu 2: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ −1;3] và có đồ thị như hình bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớnn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ −1;3] . Giá trị của M − m bằng

A. 4 Chọn B

B. 5

C. 0

D. 1

Câu 3: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [ −2; 4 ] và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và

ớn nh nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [ −2; 4 ] . m lần lượt là giá trị lớn Giá trị của M 2 + m2 bằng

A. 8 .

Chọn D

B. 20 .

C. 53 .

D. 65 .

Câu 4: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ −3;3] và có đồ thị như hình vẽ bên. Tổng

nhất của hàm số f ( x ) trên đoạn [ −3;3] bằng giá trị lớn nhất và nhỏ nh

Giá trị lớn nhất-Giá trị nhỏ nhất của hàm số

A. 0 .

Chọn A

B. 3 .

C. 4 .

D. −9 .

ến thiên như hình vẽ Câu 5: Hàm số f ( x ) xác định và liên tục trên đoạn [ −2;3] và có bảng biến sau x

-2

y'

-1

+

0

3

0

-

||

+ 5

1 y 0

-2

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) trên đoạn [ −2;3] bằng A. 6 .

Chọn D

B. 4 .

C. 5 .

D. 3 .

Câu 6: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [ −1; 2] và có đồ thị như hình vẽ bên. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ccủa hàm số đã cho trên đoạn [ −1; 2] bằng

A. 1.

Chọn D

B. 3.

C. 0.

D. 2.

Bài toán 2:Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) liên tục trên một đoạn [ a; b] Phương pháp

Bước 1: Tính f ′ ( x ) .

Bước 2: Tìm các điểm xi ∈ ( a ; b ) mà tại đó f ′ ( x ) = 0 hoặc f ′ ( xi ) không xác định.

Bước 3: Tính f ( a ) , f ( xi ) , f ( b ) .

Bước 4: Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số ở bước 2.

Giá trị lớn nhất-Giá trị nhỏ nhất của hàm số

Khi đó M = max f ( x ) và m = min f ( x ) . [ a ,b ]

[ a ,b ]

Ví dụ 1: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 4 − x2 + 13 trên đoạn [ −1; 2 ] bằng A. 85 .

B. 12, 75 .

C. 25 .

Lời giải

D. 13 .

Chọn B  x = 0 ∈ ( −1; 2 ) 1 . y′ = 4 x3 − 2 x = 0 ⇔  ∈ ( −1; 2 ) x = ± 2  

1 

 1 

Có: y ( −1) = 13; y  −  = 12, 75; y ( 0 ) = 13; y   = 12, 75; y ( 2 ) = 25 2   2 Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 4 − x2 + 13 trên đoạn [ −1; 2 ] bằng 12, 75 .

Ví dụ 2 : (MĐ 101 BGD&ĐT NĂM 2016-2017) Gọi mlà GTNN của hàm số y = x3 − 7 x 2 + 11x − 2 trên đoạn [0; 2] . Khi đó B. m = 0

A. m = 11

C. m = −2 Lời giải.

D. m = 3

Chọn C 11  x = ∉ ( 0;2 )  3 y′ = 3x − 14 x + 11 y ' = 0 ⇔   x = 1 ∈ ( 0;2 ) 2

f ( 0 ) = −2; f (1) = 3; f ( 2 ) = 0;

Do đó m = min y = −2 .

[0;2]

Ví dụ 3:Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = 1 2

A. max y = − .

[1;2]

2x −1 trên đoạn [1; 2] . x +1

B. max y = 1 .

1 2

C. max y = .

[1;2]

[1;2]

1 3

D. max y = − .

[1;2]

Lời giải Chọn B Ta có: y′ =

3

( x + 1)

2

1 > 0, ∀x ≠ −1. y (1) = ; y ( 2 ) = 1.

2

Vậy max y = 1 [1;2]

11

Giá trị lớn nhất-Giá trị nhỏ nhất của hàm số

Ví dụ 4: Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = A. 1.

B. 4 .

x2 + 4 trên đoạn [1; 4] x

C. 5 .

Lời giải

D. 9 .

Chọn D Ta có: f ' ( x ) =

 x = 2 ∈ [1; 4 ] x2 − 4 . =0 ⇔  2 x  x = −2 ∉ [1; 4]

+ Do f (1) = 5, f ( 2 ) = 4, f ( 4 ) = 5 . ⇒ max f ( x ) = f (1) = f ( 4 ) = 5; min f ( x ) = f ( 2 ) = 4 .

[1;4]

[1;4]

Vậy max f ( x ) + min f ( x ) = 9 .

[1;4]

[1;4]

Ví dụ 5: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = A. −5 .

x2 + x + 4 trên đoạn [ 0; 2] bằng x +1

B. 3 .

C. 4 .

D.

10 .

3

Lời giải Chọn B Hàm số luôn xác định trên [ 0; 2] .

Mặt khác f ′ ( x ) =

x2 + 2x − 3

( x + 1)

2

 x = −3 ∉ [ 0; 2]

; f ′( x) = 0 ⇔ 

Ta có: f ( 0 ) = 4; f (1) = 3; f ( 2 ) =

 x = 1 ∈ [ 0; 2]

.

10 . Vì vậy min f ( x ) = f (1) = 3 . [ 0;2] 3

Ví dụ 6: M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = x + 1 + 2 − x 2 . Giá trị của M − m là A. M − m = 2 2 .

B. M − m = 2 − 2 . C. M − m = 4 − 2 .

Lời giải

D. M − m = 2 + 2 .

Chọn D Tập xác định: D =  − 2; 2  . f ′( x) = 1−

x 2− x

2

; f ′ ( x ) = 0 ⇔ 2 − x2 − x = 0 ⇔ 2 − x2 = x2 ( x ≥ 0) .

⇔ x = 1 và đạo hàm không xác định tại x = ± 2 . Ta có: 12

Giá trị lớn nhất-Giá trị nhỏ nhất của hàm số

(

)

m = f − 2 = 1 − 2; f

Ví dụ 7: Hàm số f ( x ) =

( 2 ) = 1+

2; f (1) = 3 = M ⇒ M − m = 2 + 2 .

mx + 5 có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ 0;1] bằng −7 khi x−m

5 7

A. m = .

B. m = 0 .

C. m = 1 .

D. m = 2 .

Lời giải Chọn D TXĐ: ℝ \ {m} .

Ta có: f ′ ( x ) =

−m2 − 5

( x − m)

2

< 0 , ∀x ∈ [ 0;1] . Do đó nếu m = 1 thì hàm số không có GTNN.

Khi m ≠ 1, suy ra min f ( x ) = f (1) ⇔ −7 = [ 0;1]

m+5 ⇔ m = 2.

1− m

Bài tập tương tự Câu 1: Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = x3 − 8 x 2 + 16 x − 9 trên đoạn [1;3] là A. max f ( x ) = 5 .

1;3 [ ]

B. max f ( x ) = −6 .

1;3 [ ]

C. max f ( x ) = 1;3 [ ]

13 .

27

D. max f ( x ) = 0 .

1;3 [ ]

Chọn C Câu 2: Biết giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

x3 + 2 x 2 + 3x − 4 trên [ −4;0] lần 3

lượt là M và m . Giá trị của M + m bằng A.

4 .

3

B. −

28 .

3

4 3

C. −4 .

D. − .

Chọn B Câu 3: Giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x ) = x 4 − 8 x 2 + 16 trên đoạn [ −1;3] .

A. 9 .

Chọn C

B. 19 .

C. 25 .

D. 0 .

Câu 4: Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) =

x +1 trên x −1

đoạn [3;5] . Khi đó M − m bằng A. 2

B.

3 8

C.

7 2

D.

1 2

Chọn D Câu 5: Giá trị lớn nhất của hàm số y = A. max y = 7 . [ 2;4]

x2 + 3 trên đoạn [ 2;4] . x −1

B. max y = 6 . [ 2;4]

C. max y = [ 2;4]

11 .

3

D. max y = [ 2;4]

19 .

3

13

Giá trị lớn nhất-Giá trị nhỏ nhất của hàm số

Chọn A Câu 6: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = x + A. 8 .

B.

41 .

5

16 trên đoạn [1; 5] bằng x

C. 17 .

D. − 8 .

Chọn A Câu 7: Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = x 2 + A.

37 .

4

B.

29 .

4

2 trên đoạn x

C. 8 .

1   2 ; 2  .

D. 6 .

Chọn C Câu 8: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = bằng: A. 1 và −1 .

Chọn A

B. 2 và 0 .

Câu 9: Giá trị lớn nhất của hàm số y = A. −

13 .

3

2 x2 + x − 2 trên đoạn [ −2;1] lần lượt 2− x

C. 0 và −2 .

x 2 − 3x + 3 trên đoạn x −1

B. 4 .

D. 1 và −2 .

1   −2; 2  bằng.

C. −3 .

7 2

D. − .

Chọn C Câu 10: (MĐ 102 BGD&ĐT NĂM 2016-2017) Cho hàm số y = mãn min y + max y = [1;2]

A. m ≤ 0

[1;2]

16 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

3 B. m > 4 C. 0 < m ≤ 2

x+m ( m là tham số thực) thoả x +1

D. 2 < m ≤ 4

Hướng dẫn giải Chọn B Câu 11: Trên đoạn [ −2;2] , hàm số y = khi A. m = −2 .

mx (với m ≠ 0 ) đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 1 khi và chỉ x2 + 1

B. m = 2 .

C. m < 0 .

Hướng dẫn giải

D. m > 0 .

Chọn C Ta có y′ =

− mx 2 + m m m 2m 2m = 0 ⇔ x = ±1 , f (1) = , f ( −1) = − , f ( 2 ) = , f ( −2 ) = − 2 x +1 2 2 5 5

Trường hợp 1: m < 0 .

14

Giá trị lớn nhất-Giá trị nhỏ nhất của hàm số

m 2m suy ra hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 1 . < f ( −2 ) = − 2 5

Do m < 0 nên f (1) = Trường hợp 2: m > 0 .

Hàm số không đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 1 .

Vậy hàm số y = mx (với m ≠ 0 ) đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 1 khi và chỉ khi m < 0 .

2 x +1

x − m2 − 1 ất trên [ 0;4] bằng −6 Câu 12: Số các giá trị tham số m để hàm số y = có giá trị lớn nhất x−m là A. 0.

B. 2.

C. 1.

D. 3.

Chọn C s Câu 13: Có một giá trị m0 củaa tham số

m để hàm số

y = x 3 + (m 2 + 1) x + m + 1 đạt giá trị nhỏ

nhất bằng 5 trên đoạn [0;1] . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

B. 2m0 −1<0 .

2 A. 2018m0 −m0 ≥ 0 .

2 C. 6m0 −m0 <0 .

D. 2m0 +1<0.

Hướng dẫn giải Chọn A + Đặt f ( x ) = x 3 + (m 2 + 1) x + m + 1 .

2

2

+ Ta có: y′ =3x +m +1. Dễ thấy rằng

m thuộc ℝ nên hàm số f ( x) = f (0) đồng biến trên ℝ , suy ra hàm số đồng biến trên [0;1] . Vì thế min y = min [ 0;1] [ 0;1] y′ > 0

với mọi x,

= m +1.

+ Theo bài ra ta có: m + 1 = 5 , suy ra m = 4 .

2 + Như vậy m0 =4 và mệnh đề đúng là 2018m0 −m0 ≥ 0 .

Câu 14: Gọi M ,

(

m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất nhấ của hàm số

)

y = x 2017 + 2019 − x 2 trên tập xác định của nó. Tính M − m .

Giá trị lớn nhất-Giá trị nhỏ nhất của hàm số

A. 2019 2019 + 2017 2017 .

C. 4036 2018 .

B. 4036 .

D. 2019 + 2017 .

Hướng dẫn giải

Chọn C Câu 15: Cho hàm số y = x + 12 − 3x 2 . Giá trị lớn nhất của hàm số bằng: A. 4.

B. 3.

C. 1.

Chọn A

D. 2.

Câu 16: Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = x − 4 − x2 .Khi đó M − m bằng A. 4.

B. 2 − 2 .

C. 2 ( 2 − 1) .

D. 2 ( 2 + 1) .

Chọn D Câu 17: Tìm x để hàm số y = x + 2 + 6 − x đạt giá trị lớn nhất?

A. x = 2 .

B. x = 0 .

C. x = −2 .

Chọn A

D. x = 4 .

Câu 18: Cho hàm số y = 3x − x3 + m ( m là tham số). Để giá trị lớn nhất của ủa hàm số trên đoạn  0; 

3  bằng 5 2 thì giá trị của

A. 3 2 .

Chọn B

B.

4 2.

m bằng: C.

2

.

D.

2 2.

Bài toán 3: GTLN-GTNN của hàm số y = f ( x ) trên đoạn [ a ; b] .

Phương pháp chung

Bước 1: Tìm GTLN -GTNN của hàm số f ( x) trên đoạn [ a ; b] , giả sử thứ tự là M , m .

Bước 2:  Tìm. max y = max { M ; m } [ a ; b]

Giá trị lớn nhất-Giá trị nhỏ nhất của hàm số

 Tìm min y a;b [

]

TH 1: M . m < 0 ⇒ min y = 0 . [ a ; b]

TH 2: m ≥ 0 ⇒ min y = m . [ a;b]

TH 3: M ≤ 0 ⇒ min y = M = −M . [ a ; b]

Bước 3: Kết luận.

Lưu ý: Có thể áp dụng biến đổi y = f ( x ) =

f 2 ( x ) để xét trực tiếp với một số hàm số .

Giá trị lớn nhất-Giá trị nhỏ nhất của hàm số

Ví dụ 1:Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 2 − x 2 trên đoạn [ −1; 2] . Tổng A.

4−2

M +m 2

B.

2

bằng 2+

C. 1 + Lời giải

2

D.

2

3 2 −2

Chọn C 2 Xét hàm số g(x) = x − x 2 , với x∈[ −1;2] .

g '( x) = 2x − 2 ; g '( x) = 0 ⇔ x =

2 ∈ ( −1;2) .

2

Ta có: g(−1) = 1+ 2 , g(2) = 4 − 2 2 , g (

2 1 )=− .

2 2

Do đó: min g ( x ) = − 1 ; max g ( x ) = 1 + 2 − 1;2 [

2

]

[ − 1;2 ]

Vì M .m < 0 ⇒ min f ( x ) = 0) .  2  M = max g ( x) =  g (−1) ; g ( )  = 1 + 2 . [ −1;2] 2  

Vậy:

M +

2m = 1 +

2

.

Nhận xét : Có thể sử dụng máy tính casio để tìm như ví dụ dưới đây.

Ví dụ 2:Hàm số y = x 2 − 3 x + 2 có giá trị lớn nhất trên đoạn [ −3;3] bằng A. 9.

B. 11 .

C. 20 .

Lời giải

D. 8.

Chọn C

Cách 1: Ta sử dụng MTCT bấm Mode 7 rồi bấm Shift, nhập f ( X ) = X 2 − 3 X + 2 chọn Start -3 End 3 Step 0.5. Máy cho ra một bảng có các giá trị của f ( X ) trong đó giá trị lớn nhất của f ( X ) là 20 khi X = −3 .

Ví dụ 3:Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số y = a là phân số tối giản và b

A. S = 830 .

1 3  9 10  x − 2x2 +1 trên  − ;  . Biết M = a với 2 b  8 3

a ∈ℤ, b∈ℕ* . Giá trị của B. S = 2 .

S = a + b 2 là

C. S = 122 .

Hướng dẫn giải

.

D. S = 127 .

Chọn A 18

Giá trị lớn nhất-Giá trị nhỏ nhất của hàm số

 9 10  Xét hàm số f ( x ) = 1 x 3 − 2 x 2 + 1 trên  − ;  .

2  8 3 3 2 3  Ta có f ' ( x ) = x − 4 x = x  x − 4  , f ' ( x ) = 0 ⇔ 2 2 

x = 0  . x = 8 3 

 9 10  Suy ra bảng biến thiên của f ( x) trên  − ;  là  8 3

Suy ra M = 101 do đó S = 101 + 27 2 = 830 .

27

Bài tập tương tự Câu 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = x 3 − x 2 − x + 1 trên đoạn [ −3;0] .

Câu 2: Tìm GTNN, GTLL của hàm số y = 2 x3 − x 2 − 5 x + 4 trên các đoạn [ −7;0] ?

Câu 3 :Cho hàm số f ( x ) = 2 x 3 − 3 x 2 + m . Có bao nhiêu số nguyên

m để

min f ( x ) ≤ 3 [ −1;3]

A. 4.

Chọn D

B. 8.

C. 31 .

D. 39 .

Bài toán 4: Tìm tham số để GTLN của hàm số y = f ( x ) + g ( m ) trên đoạn [ a; b] đạt giá trị nhỏ

nhất.

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm α = m ax f ( x ) ; β = m in f ( x ) . [a ; b ] [a ; b ] - Bước 2: Gọi M là giá trị lớn nhất của y = f ( x ) + g ( m ) thì +) M = max { α + g ( m ) ; β + g ( m ) } ≥

α + g ( m) + β + g ( m) 2

=

α + g ( m ) + −β − g ( m ) 2

dấu bằng xảy ra ⇔ α + g ( m ) = β + g ( m ) . +) Áp dụng bất đẳng thức

α + g ( m ) + −β − g ( m ) 2

≥

α + g ( m) − β − g ( m) 2

=

α −β 2

,

,

Giá trị lớn nhất-Giá trị nhỏ nhất của hàm số

dấu bằng xảy ra ⇔ α + g ( m )   − β − g ( m )  ≥ 0 .

- Bước 3: Kết luận min M =

α −β 2

khi g ( m ) = −α − β .

2

Ví dụ 1:Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số y = x 2 + 2 x + m − 4 trên đoạn [ −2;1] đạt giá trị nhỏ

nhất, giá trị của tham số A. 1.

m bằng B. 3.

C. 4.

Hướng dẫn giải

D. 5.

Chọn B Đặt f ( x) = x2 + 2x .

Ta có: f ′ ( x) = 2x + 2 ; f ′ ( x) = 0 ⇔ x = −1∈( −2;1) . f ( −2) = 0; f (1) = 3; f ( −1) = −1 .

Do đó m ax f ( x ) = 3; m in f ( x ) = − 1 . [ − 2;1] [ − 2;1] Suy ra: max y = max { m − 5 ; m −1} ≥

m − 5 + m −1

2

[−2;1]

≥

5 − m + m −1

2

= 2.

 m − 5 = m −1 ⇒ m = 3 ( thỏa mãn).

Dấu bằng xảy ra ⇔  ( 5 − m)( m −1) ≥ 0

Ví dụ 2: Để giá trị lớn nhất của hàm số y = 2 x − x 2 − 3m + 4 đạt giá trị nhỏ nhất thì m bằng A. m = 3 .

B. m = 5 .

2

C. m = 4 .

3

3

D. m = 1 .

2

Hướng dẫn giải Chọn A

Tập xác định: D = [ 0;2] . Đặt f ( x) = 2 x − x 2 , x ∈ D , ta có f '( x) =

1− x 2 x − x2

; f '( x) = 0 ⇔ x = 1 .

f ( 0) = 0; f ( 2) = 0; f (1) = 1.

Suy ra: P = max y = max { 3m − 4 ; 3m − 5 } ≥ D

≥

5 − 3m + 3m − 4

2

3m − 4 + 3m − 5 2

1 = .

2 20

Giá trị lớn nhất-Giá trị nhỏ nhất của hàm số

 3m − 4 = 3m − 5 ⇒ m = 3 ( thỏa mãn).

Dấu bằng xảy ra ⇔  2 ( 5 − 3m)( 3m − 4) ≥ 0

Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là nhỏ nhất khi m = 3 .

2

Bài tập tương tự Câu 1: Cho hàm số f ( x) =

của

x − m2 + m với m là tham số thực.Biết rằng có hai giá trị khác nhau x +1

m là m1 và m2 để giá trị lớn nhất của hàm số g( x) = f ( x) với x∈[1;2] đạt giá trị

nhỏ nhất.Tích T = m1m2 là B. − 6 .

A. 1.

C. − 8 .

5

5

D. − 7 .

5

Chọn D Câu 2: Cho hàm số y = 2 x 2 + ( a + 4 ) x + b + 3 .Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn

[ −2;3] .Khi M đạt giá trị nhỏ nhất, tính a + 4b .

A. 41.

B. −41.

C. 30 .

Lời giải

D. −30 .

2 Đồ thị của hàm số f ( x) = 2x + ( a + 4) x + b + 3 là parabol có bề lõm quay lên trên và nhận 2  a+4 a + 4)  ( ;b + 3 −  làm đỉnh. điểm I  −  4 8  

a > 4 thì M = max { f (−2) ; f (3) } = max { b − 2a + 3 ; b + 3a + 33 } a < −16

+ Nếu xI ∉ [ −2;3] ⇔ 

≥

2a − 3 − b + b + 3a + 33 2

≥

5a + 30

2

> 25 .

+ Nếu xI ∈[ −2;3] ⇔ −16 ≤ a ≤ 4 thì M = max { f (−2) ; f (3) ; y I

( a + 4) 2

2

8

≥

(a + 6) = 16

2

+

}

 ( a + 4 )2  = max  − b − 3 ; b − 2a + 3 ; b + 3a + 33  8  

 ( a + 4 )2  − b − 3 + b − 2a + 3 + b + 3a + 33  − 2b − 6  + ( b − 2a + 3) + ( b + 3a + 33)  4   ≥ 4 4 25 25 . ≥ 4 4

a = −6 a = −6 25   2 ⇔  ( a + 4) M= ⇔ 35 .

4 − b − 3 = b − 2a + 3 = b + 3a + 33 ≥ 0  b = − 4  8 21

Giá trị lớn nhất-Giá trị nhỏ nhất của hàm số

Chọn B Bài toán 5: Tìm tham số để GTLN của hàm số y = f ( x ) trên đoạn [α; β ] nhỏ hơn hoặc bằng k .

Phương pháp:

Bước 1: Tìm max f ( x ) = max { A ; B }. [α ;β ]

[α ;β ]

Bước 2: Xét các trường hợp  A = k tìm

m , thử lại các giá trị m đó.

 B = k tìm

m , thử lại các giá trị m đó.

Bước 3: Kết luận.

Ví dụ 1:Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm 2 số y = x + mx + m trên đoạn [1;2] bằng 2. Số phần tử của tập S là

x +1

B. 1.

A. 3.

C. 4.

Hướng dẫn giải

D. 2.

Chọn D

Xét hàm số y = f ( x) =

x2 + mx + m . x +1

 x = 0 ∉[1;2] 2 Ta có: y ′ = x + 2 x2 = 0 ⇔  .  x = −2 ∉[1;2] ( x + 1)

Mà f (1) = 2 m + 1 ; f ( 2 ) = 3m + 4 .

2

3

 2m + 1 3m + 4  ; .

3   2

Do đó max y = max  [1;2]

3  m=  2m + 1 2 .

Trường hợp 1: max y = =2⇒  [1;2] 2 m = − 5  2

3 3m + 4 17 = > 2 (loại).

• V ới m = ⇒ 2 3 6 5 3m + 4 7 = < 2 (thỏa mãn).

• V ới m = − ⇒ 2 3 6

22

Giá trị lớn nhất-Giá trị nhỏ nhất của hàm số 2  m=   3m + 4 = 6 3m + 4 3 .

Trường hợp 2: max y = =2⇒  ⇔ [1;2] 3  3m + 4 = − 6  m = − 10  3

2 2m + 1 7 = < 2 (thỏa mãn).

• V ới m = ⇒ 3 2 6

• V ới m = −

10 2m + 1 17 ⇒ = > 2 (loại).

3 2 6

Vậy có 2 giá trị của

m thỏa mãn.

Ví dụ 2: Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số 1 f ( x ) = x4 −14x2 + 48x + m − 30 trên đoạn [ 0;2] không vượt quá 30. Tổng các phần tử 4 của S bằng A. 108.

B. 120.

C. 210.

Hướng dẫn giải

D. 136.

Chọn D

Xét hàm số g ( x ) = 1 x 4 − 14 x 2 + 48 x + m − 30 trên đoạn [ 0;2] .

4

 x = −6 ∉ [ 0; 2 ]  Ta có: g ' ( x ) = x − 28x + 48; g ' ( x ) = 0 ⇔  x = 2 .  x = 4 ∉ [ 0; 2 ]  3

 g ( 0 ) ≤ 30  m − 30 ≤ 30 ⇔ ⇔ 0 ≤ m ≤ 16 .  m + 14 ≤ 30  g ( 2 ) ≤ 30

Để max g ( x ) ≤ 30 ⇔  [ 0;2]

⇒ m ∈{0;1;2;...;15;16} . Tổng các phần tử của S là 136.

Bài tập tương tự Câu 1: Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) = x3 + 3 x 2 − 72 x + 90 + m trên đoạn [ −5;5] bằng 2018.

Trong các khẳng định dưới đây khẳng định nào đúng?

A. 1600 < m < 1700 .

B. m = 400 .

C. m < 1618 .

Chọn A

D. 1500 < m < 1600 .

Câu 2: Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y = x 3 − 3 x + m trên đoạn [ 0;2] bằng 3. Số phần tử của S là:

A. 0.

Chọn B

B. 2.

C. 3.

D. 1.

23

Giá trị lớn nhất-Giá trị nhỏ nhất của hàm số

Câu 3: Có bao nhiêu số thực

.

A. 2.

Chọn D

m để giá trị nhỏ nhất của hàm số B. 3.

y = x 2 − 4 x + m + 3 − 4 x bằng −5

C. 0.

D. 1.

Bài toán 6: Tìm tham số để GTNN của hàm số y = f ( x, m ) = ax 2 + bx + c + mx đạt GTLN. Phương pháp chung:

Gọi g ( m ) là GTNN của hàm số y = f ( x, m ) ⇒ g ( m ) ≤ f ( x, m ) , ∀x, m ∈ ℝ. .

TH1 : a.c > 0.

Ta thấy: g ( m) ≤ f ( 0, m) = c, ∀m ∈ ℝ.

Xét f ( x, −b ) = ax 2 + bx + c − bx ≥ ax 2 + bx + c − bx ≥ c, ∀x ∈ ℝ. ⇒ max ( min y ) = c.

TH2 : a.c < 0.

Phương trình ax 2 + bx + c = 0 luôn có hai nghiệm trái dấu x1 < 0 < x2.

g ( m) ≤ f ( x1, m) = mx1 ≤ 0, ∀m ≥ 0 ⇒ g ( m) ≤ 0, ∀m ∈ ℝ.

Ta thấy:  g ( m) ≤ f ( x1, m) = mx2 < 0, ∀m < 0 Mặt khác f ( x, 0 ) = ax 2 + bx + c ≥ 0, ∀x ∈ ℝ.

Vậy: Khi a.c > 0 ⇒ max ( min y ) = c, đạt được khi m = −b.

Khi a.c < 0 ⇒ max ( min y ) = 0, đạt được khi m = 0.

Nhận xét : lim y = +∞ nên hàm số luôn luôn tồn tại giá trị nhỏ nhất bằng g ( m ) . x →±∞

Ví dụ 1: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x, m ) = x 2 − 6 x + 5 + mx đạt giá trị lớn nhất bằng?

A. 2.

B. 5.

C. 8.

Hướng dẫn giải

D. 9.

Chọn B

Gọi g ( m ) là GTNN của hàm số y = f ( x, m ) .

Ta có: g ( m) ≤ f ( 0, m) = 5, ∀m ∈ ℝ.

24

Giá trị lớn nhất-Giá trị nhỏ nhất của hàm số

Xét m = 6 ta có: f ( x, 6 ) = x 2 − 6 x + 5 + 6 x ≥ x 2 − 6 x + 5 + 6 x ≥ 5, ∀x ∈ ℝ , dấu bằng xảy ra tại x = 0.

Suy ra min f ( x,6) = 5, ∀x ∈ ℝ. min f ( x, m ) ≤ 5, ∀m ∈ ℝ ⇒ max ( min f ( x, m ) ) = 5, đạt được khi m = 6 .

Vì  min f ( x,6 ) = 5, ∀x ∈ ℝ

Ví dụ 2: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x, m ) = x 2 − 4 x − 7 + mx đạt giá trị lớn nhất bằng?

A. 7.

B. − 7.

C. 0.

Hướng dẫn giải

D. 4.

Chọn C

Phương trình x 2 − 4 x − 7 = 0 luôn có hai nghiệm trái dấu x1 < 0 < x2.

Gọi g ( m ) là GTNN của hàm số y = f ( x, m ) .

TH1: Nếu m ≥ 0.

Ta có: g ( m) ≤ f ( x1, m) = mx1 ≤ 0, ∀m ≥ 0.

Xét m = 0 ta có: f ( x, 0 ) = x 2 − 4 x − 7 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ, dấu bằng xảy ra tại x = x1,2 , TH2: Nếu m < 0.

Ta có: g ( m) ≤ f ( x2 , m) = mx2 < 0, ∀m < 0 .

So sánh cả hai trường hợp thì g ( m) ≤ 0, ∀m ∈ ℝ.  g ( m ) ≤ 0, ∀m ∈ ℝ ⇒ max ( min f ( x, m ) ) = 0 khi m = 0.

Vì  min f ( x,0 ) = 0, ∀x ∈ ℝ

Câu hỏi tương tự Câu 1: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x, m ) = x 2 − 2020 x + 2019 + mx đạt giá trị lớn nhất khi

tham số m bằng A. 2020 .

Chọn A

B. 2019 .

C. 0.

D. 2018 .

Câu 2: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2018 x 2 + 2019 x + 2020 + ( m + 2019 ) x đạt giá trị lớn nhất

bằng A. 2020 .

Chọn A

B. 2019 .

C. 0.

D. 2018 .

25

Giá trị lớn nhất-Giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài toán 7: Điều kiện cần và đủ để mọi bộ ba số thực a, b, c ∈[α; β ] ⊂ ( 0; +∞) là độ dài ba cạnh

của một tam giác: Phương pháp: a + b > c  Ta đã biếtba số thực dương a , b , c là độ dài ba cạnh một ta giác ⇔ a + c > b . b + c > a 

Áp dụng vào thì - Khi a , b, c phân biệt thì: 2α ≥ β (1) .

- Khi a , b, c tùy ý thì: 2α > β ( 2 ) .

Giải thích (1)

Không mất tính tổng quát giả sử α ≤ a < b < c ≤ β , với giả sử đó thì ba số thực dương a , b, c là độ dài ba cạnh một tam giác ⇔ a + b > c.

• ĐKC: 2α ≥ β ⇒ a + b > c .

Hiển nhiên a + b > 2α ≥ β ≥ c ⇒ a + b > c.

• ĐKĐ: a + b > c ⇒ 2α ≥ β .

Thật vậy chọn a = α , b = α +

β −α ( n ∈ ℕ* ) và c = β , n

Từ a + b > c ⇔ 2α + β − α > β ⇒ lim  2α + β − α  ≥ lim β ⇒ 2α ≥ β . x → +∞ x → +∞ n



n



3

2

Ví dụ 1: [Chuyên KHTN Hà Nội-L/N2018]Cho hàm số f (x) = x −3x + m.Có bao nhiêu số

nguyên m < 10 để với mọi bộ ba số thực phân biệt a, b, c ∈ [1;3] thì f ( a ), f ( b ), f ( c ) là độ dài ba cạnh một tam giác.

A. 1.

B. 2.

C. 3.

Lời giải

D. 4.

Chọn B 3

2

2

Xét hàm số f (x) = x −3x + m với x ∈ [1;3] .Ta có f '(x) = 3x −6x ∀x ∈[1;3] ; x = 0 . f '( x) = 0 ⇔  x = 2

Do đó min f ( x) = min { f (0); f (1); f (2); f (3)} = f (2) = m − 4 và x∈[1;3]

max f ( x) = max { f (0); f (1); f (2); f (3)} = f (0) = f (3) = m . x∈[1;3]

26

Giá trị lớn nhất-Giá trị nhỏ nhất của hàm số

Suy ra 2 ( m − 4) ≥ m ⇔ m ≥ 8 ⇒ m ∈{8;9} ⇒ Chọn B. (Chú ý f ( a ), f ( b ), f ( c ) phân biệt).

Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x) = x 4 − 8 x 2 − m .Có bao nhiêu giá trị nguyên của m∈[ −50;50] sao cho với

mọi số thực a, b, c∈[ 0;3] thì f ( a ), f (b ), f ( c ) là độ dài ba cạnh một tam giác.

A. 23 .

B. 25 .

C. 27 .

Lời giải

D. 29 .

Chọn B Đặt t = x 4 − 8 x 2 , khi đó ∃x ∈ [ 0;3] ⇔ ∃t ∈ [ −16;9] .

Ta có: +) max f ( x ) = max t − m = max { m + 16 ; m − 9 } = m + [ 0;3]

[ −16;9 ]

7 25 + .

2 2

0; m ∈ [ −16;9] 0; m ∈ [ −16;9 ]  = +) min f ( x) = min t − m =  .

7 25 [0;3] [ −16;9]  min { m + 16 ; m − 9 } ; m ∉ [ −16;9 ]  m + 2 − 2 ; m ∉ [ −16;9] 

+) Yêu cầu bài toán được thực hiện khi và chỉ khi: m ∉ [ −16;9]   m > 34 2min f ( x) > max f ( x) ⇔  .

7 7 25 ⇔  [ 0;3] [0;3]  m < −41 2 m + 2 − 25 > m + 2 + 2  Chú ý f ( a ), f (b ), f ( c ) tùy ý.

Bài tương tự: Câu 1: Cho hàm số f ( x ) = x3 − 3x + m + 2. Có bao nhiêu số nguyên dương m < 2018 sao cho

với mọibộ ba số thực phân biệt a, b, c ∈ [ −1;3] thì f ( a ) , f ( b ) , f ( c ) là độ dài ba cạnh một tam giác nhọn?

A. 1968.

B. 1969.

C. 1970.

Lời giải

D. 2008.

Chọn B min f ( x ) = m  f ( a ) + f ( b ) > f ( c ) [ −1;3] Ta tìm được  . Khi đó ycbt ⇔  2 2 2 f ( x ) = m + 20  f ( a ) + f ( b ) − f ( c ) > 0 max [−1;3]

Câu 2: [HSG Hà Tĩnh Năm 2017-2018]Cho hàm số f ( x) = 2 x 3 − 9 x 2 + 12 x + m .Tìm tất cả các

số thực m sao cho với mọi số thực a, b, c ∈ [1;3] thì f ( a ), f (b ), f ( c ) là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Giá trị lớn nhất-Giá trị nhỏ nhất của hàm số

Dạng 3: Áp dụng vào một số bài toán thực tế 1 3

Ví dụ 1: Một vật chuyển động theo quy luật s = − t 3 + 6t 2 với t (giây) là khoảng thời gian tính từ

khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 7 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?

A. 180 ( m/s ) .

B. 36 ( m/s ) .

C. 144 ( m/s ) .

D. 24 ( m/s ) .

Hướng dẫn giải Chọn B

Ta có v ( t ) = s′ ( t ) = −t 2 + 12t . Ta tìm GTLN của v ( t ) trên [ 0;7] . v′ ( t ) = −2t + 12 , v′ ( t ) = 0 ⇔ t = 6 . Khi đó v ( 6 ) = 36 , v ( 0 ) = 0 , v ( 7 ) = 35 .

Vậy vận tốc lớn nhất đạt được bằng 36 ( m/s ) .

Ví dụ 2: Người ta muốn rào quanh một khu đất với một số vật liệu cho trước là a (m) thẳng hàng

rào. Ở đó người ta tận dụng một bờ giậu có sẵn để làm một cạnh của hàng rào. Vậy để rào khu đất ấy theo hình chữ nhật sao cho có diện tích lớn nhất thì giá trị lớn nhất đó tính theo a bằng.

A.

a2 2 m .

8

( )

B.

a2 2 m .

12

( )

C.

a2 2 m .

4

( )

D.

a2 2 m .

6

( )

Hướng dẫn giải Chọn A

Gọi x là chiều dài cạnh song song bờ giậu và y là chiều dài cạnh vuông góc với bờ giậu. a 2

Theo đề: x + 2 y = a ⇒ x = a − 2 y , 0 < y < .

Diện tích miếng đất: S = xy = y (a − 2 y ).  a Đặt f ( y ) = y (a − 2 y ) , ∀y ∈ 0;  .  2

Cách1:

Ta có: f ′ ( y ) = a − 4 y ⇒ f ′ ( y ) = 0 ⇔ y = Do đó: max S = max f ( y ) =

 a a và f ′′ ( y ) = −4 < 0, ∀y ∈ 0;  .  2 4

a2 a a ⇔ y= ⇒x= .

8 4 2

Cách2: 28

Giá trị lớn nhất-Giá trị nhỏ nhất của hàm số

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy có: 2

1 1 (2 y + a − 2 y ) a2 S = xy = y (a − 2 y ) = 2 y (a − 2 y ) ≤ = ..

2 2 4 8 a 4

a 2

D ấu " = " ⇔ 2 y = a − 2 y ⇔ y = ⇒ x = . .

Ví dụ 3: Chiều dài bé nhất của cái thang AB để nó có thể tựa vào tường AC và mặt đất BC , ngang qua một cột đỡ DH cao 4m song song và cách tường CH = 0,5m là: A D

C

A. Xấp xỉ 5,5902 .

B

H

B. Xấp xỉ 6,5902 .

.

C. Xấp xỉ 5, 4902 .

D. Xấp xỉ 5, 602

.

Hướng dẫn giải Chọn A Đặt CB = x , CA = y khi đó ta có hệ thức: 1 4 4 2x −1 8x + =1⇔ = ⇔y= .

2x y y 2x 2x −1

Ta có: AB = x2 + y 2 .

2

8x  Bài toán quy về tìm min của A = x + y = x +   .  2x −1  2

2

2

5 2

Khảo sát hàm số và lập bảng biến thiên ta thấy GTNN đạt tại x = ; y = 5 . hay AB min =

5 5 .

2

Ví dụ 4: Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức f ( x ) = 0, 025 x 2 ( 30 − x ) ,

trong đó x (miligam) là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân. Khi đó, liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất là A. 30 miligam.

B. 10 miligam.

C. 15 miligam.

Hướng dẫn giải Chọn D

D. 20 miligam.

Giá trị lớn nhất-Giá trị nhỏ nhất của hàm số 3

x + x + 60 − 2 x  Ta có f ( x ) = 0, 025 x ( 30 − x ) = 0, 0125 x.x. ( 60 − 2 x ) ≤ 0, 0125.   = 100 .

3   2

Dấu “=” xảy ra khi x = 60 − 2 x ⇔ x = 20 miligam.

Ví dụ 5: Ông An muốn xây một bể nước dạng hình hộp chữ nhật có nắp với dung tích 3000 lít. Đáy bể là một hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây hồ là 500 000 đồng cho mỗi mét vuông. Hỏi chi phí thấp nhất ông An cần bỏ ra để xây bể nước là bao nhiêu?

A. 6 490123 đồng.

B. 7 500 000 đồng.

C. 5151214 đồng.

D. 6 500 000 đồng.

Hướng dẫn giải Chọn A

Gọi x là chiều rộng bể, chiều dài bể là 2x ⇒ diện tích đáy là 2x 2 .

Do thể tích bể là V = 3000 ( l ) = 3 ( m3 ) nên chiều cao bể là

3 .

2x 2

Diện tích xây dựng là diện tích toàn phần của bể là 3 3  9  9 9   S = 2  2 x 2 + x. 2 + 2 x. 2  = 2  2 x 2 +  = 4 x 2 + + ≥ 3 3 81 .

2x 2x  2x  2x 2x  

Vậy diện tích xây dựng ít nhất là S = 9 3 3 khi 4 x 2 =

3 9 9 . ⇔ x= 2x 2

Chí phí xây dựng ít nhất là 9 3 3.500 000 = 6490123 đồng.

Ví dụ 6: Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo hình mẫu. Hộp có đáy là một hình vuông cạnh x ( cm ) , chiều cao h ( cm ) và có thể tích là 500 ( cm3 ) . Hãy tìm độ dài cạnh của hình vuông sao cho chiếc hộp được làm ra tốn ít nhiên liệu nhất.

A. 5 cm.

B. 10 cm.

C. 2 cm.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Để tốn ít nhiên liệu nhất thì diện tích toàn phần phải nhỏ nhất.

V = x 2 .h = 500 ⇒ h =

500 2000 . S = x 2 + 4 xh = x 2 + .

2 x x

D. 3 cm.

Giá trị lớn nhất-Giá trị nhỏ nhất của hàm số ⇒ f '( x) = 2x −

2000 x ∈ 0;10 5 x2

( (

)) ⇒ x = 10 (thỏa mãn).

.

V ậy …

Ví dụ 7:Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB = 4 ( km ) . Trên bờ biển

có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng BC = 7 ( km ) . Người canh hải đăng phải chèo đò từ vị trí A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc 6 ( km / h ) rồi đi xe đạp từ M đến C với vận tốc 10 ( km / h ) (hình vẽ bên). Xác định khoảng cách từ M đến C để

người đó đi từ A đến C là nhanh nhất.

A

x M

B

A. 9km .

C

7km

B. 6km .

.

C. 3km .

D. 4km .

Hướng dẫn giải Chọn D 2

Quãng đường AM = AB 2 + BM 2 = 16 + ( 7 − x ) ⇒ thời gian đi quãng đường AM là 16 + ( 7 − x ) 6

2

(giờ). Quãng đường MC = x ⇒ thời gian đi quãng đường MC là

(giờ).

Tổng thời gian đi từ A đến C là y = 1 6

Đạo hàm y′ = .

Giá trị y ( 0 ) =

x−7

16 + ( 7 − x )

2

+

1 1 2 16 + ( 7 − x ) + x (với 0 ≤ x ≤ 7 ).

6 10

1 2 ; y′ = 0 ⇔ 6 16 + ( 7 − x ) = 10 ( 7 − x ) ⇔ x = 4 .

10

1 41 17 , y ( 4) = .

65 , y ( 7 ) = 6 30 15

Vậy GTNN là y ( 4 ) = Bài tập tương tự

17 , tức là khoảng cách x = 4 ( km ) .

15

x 10

Giá trị lớn nhất-Giá trị nhỏ nhất của hàm số 1 2

Câu 1:Một vật chuyển động theo quy luật s = − t 3 + 9t 2 với t (giây) là khoảng thời gian tính từ

lúc bắt đầu chuyển động và y ( − 2) = 22 (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?

A. 216 ( m/s ) .

B. 30 ( m/s ) .

C. 400 ( m/s ) .

D. 54 ( m/s ) .

Chọn D Câu 2: Người ta cần xây một hồ chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không cần nắp, có thể 500 3 m . Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê công 3 nhân xây hồ là 500000 đồng trên 1m2 . Hãy xác định kích thước của hồ sao cho chi phí

tích là

thuê công nhân thấp nhất. Chi phí đó là.

A. 74 triệu đồng.

B. 77 triệu đồng.

C. 75 triệu đồng.

D. 76 triệu đồng.

Câu 3:Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm

vào cơ thể trong t giờ được tính theo công thức c ( t ) =

t . Sau khi tiêm thuốc bao lâu t +1 2

thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất?

A. 4 giờ.

B. 1 giờ.

C. 3 giờ.

D. 2 giờ.

Chọn B Câu 4:Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C như hình vẽ. Khoảng cách từ C đến B là 1 km. Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách là 4 km. Tổng chi phí lắp đặt cho 1 km dây điện trên biển là 40 triệu đồng, còn trên đất liền là 20 triệu đồng. Tính tổng chi phí nhỏ nhất để hoàn thành công việc trên(làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy).

A. 106, 25 triệu đồng.

B. 120 triệu đồng.

C. 114,64 triệu đồng.

D. 164,92 triệu đồng.

Chọn C Dạng 4: Tìm tham số để hàm số đa thức bậc cao y = f ( x ) đạt GTLN-GTNN tại x0 .

Phương pháp chung:

Hướng 1: Chuyển về bài toán tìm tham sốđể f ( x ) ≥ f ( x0 ) , ∀x ∈ ℝ .

Hướng 2: Điều kiện cần là f ′ ( x0 ) = 0 ⇒ m = ? . Thử lại kết luận.

Ví dụ 1: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyêncủa tham số m để hàm số 32

Giá trị lớn nhất-Giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = x8 + ( m − 3) x5 − ( m2 − 9 ) x 4 + 1 đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 0 ?

A. vô số.

B. 7 .

C. 5 .

Lời giải

D. 6 .

Chọn D Điều kiện: y = x8 + ( m − 3) x 5 − ( m 2 − 9 ) x 4 + 1 ≥ y ( 0 ) = 1, ∀x ∈ ℝ . ⇔ x 4  x 4 + ( m − 3 ) x − ( m 2 − 9 )  ≥ 0, ∀ x ∈ ℝ .

Để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 0 thì f ( x ) = x 4 + ( m − 3) x − ( m 2 − 9 ) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ min f ( x ) ≥ 0 . x∈ℝ

3

Ta có: f ′(x) = 4x + m−3 4

 3− m   3− m  3− m ⇒ min f ( x) = f  3 =  3 + ( m − 3) 3 − 9 + m2     x∈ℝ 4 4 4    

  3 3− m  3 3− m  = ( 3 − m)  m + 3 − 3  ⇒ ( 3 − m)  m + 3 − 3  ≥ 0 ⇔ 3 ≤ m ≤ 8,44 .

4 4 4 4     Suy ra có các giá trị nguyên của

m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: m ∈{3;4;5;6;7;8} .

Ví dụ 2: Cho hàm số y = x 6 + mx 4 + ( m3 − 3m 2 − 4m + 12 ) x 3 + 1 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đạt GTNN tại x = 0 ?

A. 1 .

B. 2.

D. 4.

C. 3.

Lời giải

Chọn B Điều kiện cần: y = x 6 + mx 4 + ( m3 − 3m2 − 4m + 12 ) x3 + 1 ≥ y ( 0 ) = 1, ∀x ∈ ℝ . ⇔ x 3 ( x3 + mx + m3 − 3m 2 − 4m + 12 ) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ

Suy ra phương trình

x 3 + mx + m 3 − 3 m 2 − 4 m + 12 = 0

có một nghiệm bằng 0.

 m = ±2 m3 − 3m2 − 4m + 12 = 0 ⇔  .  m=3

Thử lại chỉ có m = 2; m = 3 thỏa mãn.

Vậy có 2 giá trị của

m thỏa mãn bài toán.

Bài tập tương tự Câu 1: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số

m để hàm số

y = m 2 x 4 − ( m + 2 ) x 3 + x 2 + ( m 2 − 1) x + 2020 đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 0. Số phần tử của

33

Giá trị lớn nhất-Giá trị nhỏ nhất của hàm số

tập S là A. 3.

Chọn D

B. 2.

C. 0.

D. 1.

Câu 2: Có bao nhiêu cặp số thực ( a ; b ) để hàm số y = ( x − 1)( x + 2 ) ( ax 2 + bx + 2 ) + 2 đạt giá trị

lớn nhất tại x = 1 .

A. 3.

Chọn D

B. 2.

C. 0.

D. 1.

Câu 3: Trong số các cặp số thực ( a; b) để hàm số y = ( x − 1)( x − a ) ( x 2 + x + b ) + 3 đạt giá trị nhỏ

nhất bằng 3 với mọi x ∈ ℝ , tích ab nhỏ nhất bằng A. − 1 .

4

B. −1.

C. 1 .

4

D. 1.

Chọn C Dạng 5: Giá trị lớn nhất-Giá trị nhỏ nhất liên quan đến hàm ẩn Bài toán 1: Tìm GTLN,GTNN của hàm số y = f ( x ) , y = f ( u ( x ) ) , y = f ( u ( x ) ) ± h ( x ) ... khi biết

bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số y = f ( x ) .

Phương pháp giải

Cách 1: Bước 1: Đặt t = u ( x) . Đánh giá tìm giá trị của t trên khoảng K. Bước 2: Từ bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số cho ta giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của hàm số y = f ( t ) .

Bước 3: Kết luận.

Cách 2: Bước 1: Tính đạo hàm y′ = u′ ( x) f ′ ( u ( x) ) Bước 2: Tìm nghiệm y′ = u′ ( x ) f ′ ( u ( x ) ) = 0 .

Bước 3: Lập bảng biến thiên.

Bước 4: Kết luận về GTLN,GTNN của hàm số y = f ( x ) , y = f ( u ( x ) ) ,

y = f ( u ( x ) ) ± h ( x ) ...

34

Giá trị lớn nhất-Giá trị nhỏ nhất của hàm số

Ví dụ 1:Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ

và có đồ thị như hình vẽ bên.Gọi M , m lần lượt là GTLN – GTNN của hàm số g ( x ) = f  2 ( sin 4 x + cos 4 x )  . Tổng M + m bằng A. 3.

C. 5.

B. 4.

D. 6.

Lời giải

Chọn B x∈ ℝ Ta có sin 4 x + cos 4 x = 1 − 1 sin 2 2 x ∀  → 1 ≤ 2 ( sin 4 x + cos 4 x ) ≤ 2.

2

M = max g ( x ) = f (1) = 3   → M + m = 4.

Dựa vào đồ thị suy ra  m = min g ( x ) = f ( 2) = 1

Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên R

và có đồ thị là hình bên.Gọi M , m theo thứ tự là hàm số GTLN –GTNN của 3 2 trên đ o ạn y = f (x) − 2 − 3( f (x) − 2) + 5

[ −1;3] . Tích

M .m bằng

A. 2.

C. 54.

B. 3.

D. 55.

Lời giải

Chọn D

Trên [ −1;3] , ta có 1 ≤ f ( x ) ≤ 7 ⇔ −1 ≤ f ( x ) − 2 ≤ 5  → 0 ≤ f ( x ) − 2 ≤ 5. t = 0 . t = 2

Đặt t = f ( x ) − 2 với t ∈[ 0;5]. Khi đó y = t 3 − 3t 2 + 5 → y′ = 3t 2 − 6t = 0 ⇔  M = 55  → M .m = 55. m = 1

Ta có y ( 0) = 5; y ( 2) = 1; y ( 5) = 55. Suy ra  Bài tập tương tự

Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục, có đạo hàm trên

ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên. Ký hiệu g ( x ) = f ( 2 2 x + 1 − x ) + m . Tìm điều kiện của tham số

m sao cho

A. m > 4.

max g ( x ) > 2 min g ( x ) .

[0;1]

B. m< 3.

[0;1]

Giá trị lớn nhất-Giá trị nhỏ nhất của hàm số

C. 0 < m < 5.

Chọn B Câu 2:

D. m < 2.

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ bên.Xét hàm số m để Tìm g ( x ) = f ( 2 x3 + x − 1) + m. m ax g ( x ) = − 10.

[0 ;1]

A. m = −13.

C. m = − 1.

B. m = −12.

D. m = 3.

Chọn A Câu 3: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục, đạo hàm

trên ℝ và đồ thị y = f ( x ) như hình vẽ bên.

Ký hiệu g ( x ) = f ( x3 − x 2 + x + 2 ) + 3m, với

m là tham số thực. Giá trị nhỏ nhất của biểu

thức 2

P = m + 3 m ax g ( x ) + 4 m in g ( x ) + m [ 0 ;1]

[ 0 ;1]

A. −150.

C. −50.

B. −102.

D. 4.

Lời giải

Chọn B 2 Đặt t = x 3 − x 2 + x + 2 có t′ = 3x − 2x +1> 0, ∀x∈ℝ nên t đồng biến trên ℝ.

max f ( x3 − x2 + x + 2) = max f ( t ) = f ( 3) = 5 [1;3]  [0;1] do thi → .

Do đó với x ∈[ 0;1] thì t ∈[1;3]  3 2 min f x − x + x + 2 = min f t = f 2 = 1 ) ( ( ) ( )  [0;1] [1;3] 

Khi đó P = m 2 + 3 m ax g ( x ) + 4 m in g ( x ) + m = m 2 + 3. [5 + 3 m ] + 4 [1 + 3 m ] + m 0 ;1 0;1 [

[

]

]

2

= m 2 + 22 m + 19 = ( m + 11) − 102 ≥ −102.

Bài toán 2: Tìm GTLN,GTNN của hàm số y = f ( x ) , y = f ( u ( x ) ) , y = f ( u ( x ) ) ± h ( x ) ... khi biết

đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) .

Phương pháp giải Bước 1: Tính đạo hàm y = f ( x ) , y = f ( u ( x ) ) , y = f ( u ( x ) ) ± h ( x ) ...

Bước 2: Tìm nghiệm y′ = 0

Giá trị lớn nhất-Giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bước 3: Lập bảng biến thiên.

Bước 4: Kết luận về GTLN,GTNN hàm số y = f ( x ) , y = f ( u ( x ) ) , y = f ( u ( x ) ) ± h ( x ) ...

Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x) . Đồ thị hàm số

y = f ′ ( x)

như

hình

bên.

Biết

rằng

f ( 0) + f ( 3) = f ( 2) + f ( 5) . Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của f ( x) trên đoạn [ 0;5] lần lượt là A. f ( 0) ; f ( 5) .

B. f ( 2) ; f ( 0) .

C. f (1) ; f ( 5) .

D. f ( 2) ; f ( 5) .

Lời giải Chọn D

Từ đồ thị hàm số y = f ′ ( x) trên đoạn [ 0;5] , ta có bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) sau.

Suy ra min f ( x ) = f ( 2 ) và max f ( x ) = max { f ( 0 ) ; f ( 5 )} . [ 0;5 ] [ 0;5 ] Từ giả thiết, ta có f ( 5) − f ( 3) = f ( 0) − f ( 2) . (1)

→ f ( 3) > f ( 2) . ( 2 ) Hàm số f ( x) đồng biến trên [ 2;5]  Từ (1) và ( 2 ) ,suy ra f ( 5 ) > f ( 0 )   max ax f ( x ) = { f ( 0 ) , f ( 5 )} = f ( 5 ) . →m [ 0 ;5 ] Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị hàm số y = f ′ ( x) 2

như hình bên. Xét hàm số g ( x ) = 2 f ( x ) − ( x + 1) , mệnh đề nào sau đây đúng?

A. max g ( x ) = g (1 ) . − 3;3 [

]

B. max g ( x ) = g ( 3 ) . − 3;3 [

]

C. m in g ( x ) = g (1 ) . [ − 3;3 ] D. Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của g ( x ) trên

g′ ( x ) = 2 f ′ ( x ) − 2 ( x +1) ; g ′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) = x +1.

Lời giải

Giá trị lớn nhất-Giá trị nhỏ nhất của hàm số

Chọn A

Ta có g′ ( x ) = 2 f ′ ( x ) − 2 ( x + 1) ; g ′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) = x +1. Suy ra số nghiệm của phương trình g ′ ( x ) = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) và đường thẳng y = x + 1.

 x = −3  Dựa vào đồ thị ta suy ra g ′ ( x ) = 0 ⇔  x = 1 .  x = 3

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra max g ( x ) = g (1 ) . − 3;3 [

]

Chú ý: Dấu của g′( x) được xác định như sau: Xét trên khoảng ( 3; +∞) ta thấy đồ thị hàm

số y = f ′ ( x) nằm phía trên đường thẳng y = x + 1 nên suy ra g′ ( x) > 0.

Bài tập tương tự Câu 1: Cho hàm số y = f ( x) . Đồ thị hàm số y = f ′ ( x)

như

hình

bên.

Biết

rằng

f ( 0) + f (1) − 2 f ( 2) = f ( 4) − f ( 3) . Hỏi trong các giá trị f ( 0) , f (1) , f ( 3) , f ( 4) giá trị nào là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên đoạn [ 0;4] ?

A. f ( 0) .

Chọn D

B. f (1) .

C. f ( 3) .

D. f ( 4) .

Giá trị lớn nhất-Giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = f ( x) , y = g ( x ) Câu 2: Cho hai hàm số có đạo hàm f ′( x) g ′ ( x ) . y = f ′ ( x) là , Đồ thị hàm số và y = g′ ( x ) được cho như hình vẽ bên. Biết rằng f ( 0 ) − f ( 6) < g ( 0 ) − g ( 6) .

Giá trị lớn nhất, giá trị h ( x) = f ( x) − g ( x) nhỏ nhất của hàm số trên [0;6] lần lượt là đ o ạn A. h( 6) , h ( 2) .

B. h( 2) , h ( 6) .

C. h( 0) , h( 2) .

D. h ( 2) , h ( 0) .

Chọn A Câu 3: Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị hàm số y = f ′ ( x) như

bên.

hình

vẽ

Xét

hàm

g (x) = f (x) −

1 3 3 2 3 x − x + x + 2018, mệnh đề nào sau 3 4 2

đây đúng?

A. min g ( x ) = g ( − 3 ) . B. m in g ( x ) = g ( − 1 ) . − 3;1 − 3;1 [

]

[

C. m in g ( x ) = g (1 ) . − 3;1 [

]

]

D min g ( x ) = [−3;1]

g ( −3) + g (1)

2

.

Chọn B 3  2 3 Ta có g′ ( x ) = f ′ ( x ) −  x + x −  . Số nghiệm của phương trình g′ ( x ) = 0 chính là số 2 2  giao điểm của đồ thị ( C ) của hàm số y = f ′ ( x) và đồ thị ( H ) của hàm số h (x) = x2 +

3 3 x− .

2 2

Ta thấy ( H ) cắt ( C ) tại ba điểm ( −3;3) , ( −1; −2 ) và (1;1) .  x = −3  Do đó ta có g ' ( x ) = 0 ⇔  x = −1.  x = 1

Bảng biến thiênnhư hình bên Từ bảng biến thiên ta suy ra m in g ( x ) = g ( − 1 ) . − 3;1 [

]

Giá trị lớn nhất-Giá trị nhỏ nhất của hàm số

Câu 4: Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị hàm số y = f ′ ( x) như hình

bên.Xét hàm số g ( x ) = 2 f ( x ) + 2 x3 − 4 x − 3m − 6 5 với

m

là tham số thực. Để g ( x) ≤ 0 với mọi x ∈  − 5 ; 5  , khẳng định nào sau đây đúng?

A. m ≥ 2 f

( )

5 .

3 C. m ≤ 2 f ( 0 ) − 2 5.

3

B. m ≤ 2 f

( )

5 .

3 D. m ≥ 2 f − 5 − 4 5.

3

(

)

Chọn A Câu 5: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên

[ −2; 2]

và đồ thị hàm số y = f ′ ( x) như hình vẽ

bên. Đặt g ( x ) = f ( x ) − x. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. g ( 0) > g ( −2) > g ( 2) .

B. g ( 2) > g ( 0) > g ( −2) .

C. g ( 2) > g ( −2) > g ( 0) .

D. g ( 0) > g ( 2) > g ( −2) .

Chọn A Câu 6: Cho hàm số y = f ( x) . Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như

hình vẽ bên. Giá trị lớn nhất của hàm số

g ( x ) = 3 f ( x ) + x3 −15x + 1 trên đoạn [ 0;3] là A. g ( 0) .

B. g (1) .

C. g ( 2) .

D. g ( 3) .

Chọn D Câu 7.Cho hai hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) liên tục trên ℝ có đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) là đường cong nét đậm và y = g′ ( x ) là đường cong nét mảnh như hình vẽ. Gọi ba giao điểm A , B , C

của đồ thị y = f ′ ( x) và y = g′ ( x ) trên hình vẽ lần lượt có hoành độ là a , b, c. Giá trị nhỏ nhất của hàm số h ( x ) = f ( x ) − g ( x ) trên đoạn [ a; c] bằng A. h ( 0) .

Chọn C

B. h( a) .

C. h( b) .

D. h ( c) .