Xây dựng hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề phương trình, hệ phương trình...

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

======

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

PHẠM THỊ THU HÀ

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 10

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán

HÀ NỘI - 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

======

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

PHẠM THỊ THU HÀ

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 10

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán

Người hướng dẫn khoa học ThS. Đào Thị Hoa

HÀ NỘI - 2018

LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán đã tạo điều kiện giúp em học tập và đạt kết quả như ngày hôm nay. Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo hướng dẫn: ThS Đào Thị Hoa – Tổ phương pháp đã nhiệt tình chỉ bảo, hướng dẫn và tạo điều kiện giúp em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này.

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2018 Sinh viên

Phạm Thị Thu Hà

LỜI CAM ĐOAN Được sự hướng dẫn của cô giáo Đào Thị Hoa, kết hợp với sự nỗ lực của bản thân, em đã hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp: “Xây dựng hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình cho học sinh lớp 10”.

Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả của việc học tập, nghiên cứu

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

và nỗ lực của bản thân em, không trùng lặp với kết quả của các tác giả khác.

Hà Nội, tháng 5 năm 2018 Sinh viên

Phạm Thị Thu Hà

MỤC LỤC MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1 1. Lí do chọn đề tài ......................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................. 3 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu............................................................... 3 4. Giả thuyết khoa học .................................................................................... 3 5. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................. 3 6. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................ 4

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

7. Cấu trúc khóa luận...................................................................................... 4 NỘI DUNG .................................................................................................... 5 CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ......................................... 5 1.1. Một số vấn đề cơ bản về đổi mới giáo dục ............................................... 5 1.1.1. Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo là đổi mới những vấn đề lớn, cốt lõi, cấp thiết, từ quan điểm, tư tưởng chỉ đạo đến mục tiêu, nội dung, phương pháp, cơ chế, chính sách, điều kiện bảo đảm thực hiện ............ 5 1.1.2. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học .................................... 5 1.1.3. Học đi đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn ...................................... 6 1.1.4. Chủ động, tích cực hội nhập quốc tế để phát triển giáo dục và đào tạo, đồng thời giáo dục và đào tạo phải đáp ứng yêu cầu hội nhập quốc tế để phát triển đất nước ................................................................................................. 7 1.1.5. Môn Toán trong chương trình giáo dục phổ thông mới ......................... 8 1.2. Tính thực tiễn của Toán học .................................................................... 8 1.2.1. Toán học có nguồn gốc thực tiễn .......................................................... 8 1.2.2. Toán học phản ánh thực tiễn ................................................................. 9 1.2.3. Toán học có ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn ................................... 10 1.3. Bài toán thực tiễn ................................................................................. 11 1.3.1. Khái niệm bài toán thực tiễn ............................................................... 11

1.3.2. Vai trò của bài toán thực tiễn trong quá trình dạy học ......................... 13 1.3.3. Phương pháp chung giải bài toán thực tiễn ......................................... 17 1.4. Thực trạng xây dựng và sử dụng bài toán thực tiễn chủ đề phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình trong dạy học ở phổ thông .............. 24 1.4.1. Khái quát về khảo sát thực trạng ......................................................... 24 1.4.2. Kết quả khảo sát ................................................................................. 25 Kết luận chương 1 ........................................................................................ 30 CHƯƠNG 2. HỆ THỐNG BÀI TOÁN THỰC TIỄN CHỦ ĐỀ PHƯƠNG

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 10 ............................................................................................... 31 2.1. Mục tiêu và nội dung chủ yếu của chủ đề “Phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình” ..................................................................................... 31 2.1.1. Mục tiêu ............................................................................................. 31 2.1.2. Nội dung ............................................................................................. 32 2.2. Đề xuất hệ thống bài toán thực tiễn chủ đề phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình .................................................................................. 36 2.2.1. Nguyên tắc xây dựng .......................................................................... 36 2.2.2. Phương pháp xây dựng bài toán thực tiễn ........................................... 38 2.2.3. Quy trình xây dựng ............................................................................. 40 2.2.4. Hệ thống bài toán thực tiễn ................................................................. 42 2.2.5. Định hướng sử dụng hệ thống bài toán thực tiễn chủ đề phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình ........................................................... 70 2.3. Kiểm nghiệm hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình cho học sinh lớp 10 ................... 73 2.3.1. Mục đích kiểm nghiệm ....................................................................... 73 2.3.2. Thời gian kiểm nghiệm ....................................................................... 73 2.3.3. Nội dung kiểm nghiệm ....................................................................... 73 2.3.4. Phương pháp kiểm nghiệm ................................................................. 73

2.3.5. Kết quả kiểm nghiệm.......................................................................... 73 Kết luận chương 2 ........................................................................................ 78 KẾT LUẬN .................................................................................................. 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 80

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

PHỤ LỤC

MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Luật Giáo dục nước ta quy định “Mục tiêu của giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kĩ năng cơ bản nhằm hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân, chuẩn bị cho học sinh học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc” (Luật Giáo dục 2005, chương II, mục 2, điều 27). Trong nhà trường phổ

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

thông, môn Toán có vị trí và ý nghĩa hết sức quan trọng, nó cùng với các môn học khác và các hoạt động khác nhau trong nhà trường, góp phần thực hiện mục tiêu chung của giáo dục phổ thông. Hơn nữa, tổ chức UNESCO cũng đã đề xướng mục đích học tập mang tính toàn cầu đó là: “Học để biết, học để làm, học để cùng chung sống, học để tự khẳng định mình”. Không chỉ thế, để đạt được mục tiêu đào tạo con người mới, toàn bộ hoạt động giáo dục, nói riêng là việc dạy học các bộ môn, phải được thực hiện theo nguyên lí “học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lí luận gắn liền với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội” (Luật Giáo dục 2005, chương I, điều 3). Như vậy, mục tiêu và nguyên lí giáo dục hay mục đích học tập toàn cầu cũng đều hướng tới việc học tập phải gắn liền với thực tiễn, phải vận dụng vào thực tiễn.

Hiện nay, thế giới đang bước vào cuộc Cách mạng công nghiệp lần thứ

tư (Cách mạng công nghiệp 4.0), nó mở ra nhiều cơ hội nhưng đồng thời cũng là thách thức của ngành giáo dục trong việc đào tạo nguồn nhân lực theo nhu cầu mới của xã hội. Trong đó, việc đổi mới phương pháp dạy học, đưa nội dung Toán học ở trường phổ thông đến gần với thực tiễn đời sống là không thể không nhắc đến. Hơn nữa, Tổng bí thư Nguyễn Phú Trọng đã kí ban hành Nghị quyết số 29-NQ/TW Hội nghị lần thứ 8, Ban Chấp hành Trung ương khóa XI với nội dung Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp

1

ứng yêu cầu công nghiệp hóa – hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế. Không chỉ có thế, mới đây, Bộ giáo dục và đào tạo đã công bố chương trình giáo dục phổ thông mới của 20 môn học. Ở đó, môn Toán là môn học bắt buộc và được chia ra làm hai giai đoạn: giai đoạn giáo dục cơ bản và giai đoạn giáo dục định hướng nghề nghiệp. Ở cả hai giai đoạn đều có mục đích chung cần hướng tới đó là việc sử dụng kiến thức Toán học trong cuộc sống hàng ngày và các ngành khoa học khác. Điều đó có nghĩa là, giáo dục nước ta đang chuyển mình theo xu hướng

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

mới, tăng cường vận dụng Toán học ở nhà trường phổ thông vào cuộc sống thực tiễn gần gũi với học sinh. Tuy nhiên, trên thực tế ở hầu hết các trường phổ thông hiện nay, việc gắn liền Toán học với thực tiễn trong các giờ dạy còn đang bị hạn chế bởi nhiều lí do. Một trong các lí do đó là các nguồn tài liệu về hệ thống bài toán thực tiễn chưa phong phú, khiến cả giáo viên và học sinh gặp khó khăn trong việc dạy và học.

Trong nội dung chương trình môn Toán Trung học phổ thông, “phương

trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình” là một trong những phần quan trọng và có nhiều tiềm năng để khai thác trong các bài toán thực tiễn như bài toán vận tải, bài toán chuyển động, bài toán kinh tế, bài toán lập kế hoạch sản xuất, bài toán có chứa các yếu tố hình học, bài toán trò chơi, …Dù vậy nhưng hệ thống bài toán về chủ đề này trong sách giáo khoa, cũng như sách bài tập vẫn còn nặng về mặt lý thuyết, chưa gắn với thực tiễn đời sống, do đó, chưa thu hút, khơi gợi niềm say mê Toán học của học sinh. Thực tế nêu trên cho thấy, chúng ta cần xây dựng một hệ thống bài toán thực tiễn về phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình, góp phần đổi mới phương pháp dạy học và thực hiện hiệu quả mục tiêu giáo dục, đưa giáo dục hòa vào cùng bước tiến của Cách mạng công nghiệp 4.0.

Những lí luận và thực tiễn trên đã thôi thúc tôi lựa chọn đề tài khóa luận tốt nghiệp đại học của mình là: “Xây dựng hệ thống bài toán thực tiễn trong

2

dạy học chủ đề phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình cho học sinh lớp 10”.

2. Mục đích nghiên cứu Xây dựng hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình và định hướng sử dụng hệ thống bài toán này nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy và học chủ đề này nói riêng và nâng cao chất lượng dạy học môn Toán nói chung.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

trong chương trình Đại số 10 Nâng cao.

4. Giả thuyết khoa học

Nếu xây dựng và sử dụng được hệ thống bài toán thực tiễn về chủ đề

phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình phù hợp với học sinh lớp 10 thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học chủ đề này ở trường phổ thông.

5. Nhiệm vụ nghiên cứu

5.1. Nghiên cứu cơ sở lý luận về bài toán thực tiễn

5.2. Tìm hiểu thực trạng việc xây dựng và sử dụng hệ thống bài toán thực tiễn về chủ đề phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình cho học sinh lớp 10

5.3. Xây dựng hệ thống bài toán thực tiễn về chủ đề trên cho học sinh lớp 10 5.4. Kiểm nghiệm chất lượng hệ thống bài toán thực tiễn đã được xây dựng và việc sử dụng chúng trong dạy học

3

6. Phương pháp nghiên cứu 6.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận - Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học, phương pháp dạy học môn Toán có liên quan đến đề tài.

- Nghiên cứu các văn bản, nghị quyết của Đảng, nhà nước về chương trình giáo dục và đạo tạo.

- Nghiên cứu sách giáo khoa và sách tham khảo, tạp chí và khóa luận, …có liên quan đến bài toán thực tiễn, kiểm tra đánh giá, phương pháp dạy học môn

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

toán, chủ đề phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình.

6.2. Phương pháp quan sát và điều tra

Tìm hiểu thái độ học tập của học sinh, tìm hiểu đánh giá của giáo viên,

học sinh về tác dụng của hệ thống bài toán thực tiễn trong việc dạy học môn toán cũng như tính khả thi của việc sử dụng hệ thống bài toán thực tiễn này vào dạy học Đại số lớp 10.

6.3. Phương pháp kiểm nghiệm giáo dục

Xác định chất lượng của hệ thống bài toán thực tiễn và tính khả thi của

những gợi ý cơ bản được trình bày trong khóa luận.

6.4. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

Tổng kết kinh nghiệm của giáo viên Toán về việc xây dựng và sử dụng

bài toán thực tiễn chủ đề phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình cho học sinh lớp 10.

7. Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của khóa luận bao gồm 2 chương: Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn Chương 2. Hệ thống bài toán thực tiễn chủ đề phương trình và hệ phương trình, hệ bất phương trình cho học sinh lớp 10

4

NỘI DUNG CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Một số vấn đề cơ bản về đổi mới giáo dục 1.1.1. Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo là đổi mới những vấn đề lớn, cốt lõi, cấp thiết, từ quan điểm, tư tưởng chỉ đạo đến mục tiêu, nội dung, phương pháp, cơ chế, chính sách, điều kiện bảo đảm thực hiện Đây là một trong những quan điểm chỉ đạo hàng đầu được trích trong nghị quyết số 29-NQ/TW Hội nghị lần thứ 8, Ban chấp hành Trung ương khóa XI

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo. Quan điểm chỉ rõ việc đổi mới về mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học. Nếu như trước đây, việc dạy học Toán chỉ tập trung vào các khái niệm, định lí, tính chất, … mang đậm tính hàn lâm, lý thuyết và các bài tập toán có độ khó cao, yêu cầu vận dụng các kiến thức được học để giải quyết các vấn đề phức tạp, trừu tượng trong nội bộ môn toán thì ngày nay, cần phải được chuyển hướng dần sang việc vận dụng các kiến thức toán được học vào giải quyết các vấn đề liên môn và các vấn đề nảy sinh ngay trong đời sống kinh tế, xã hội. Muốn đạt được điều đó, cần thay đổi trước hết từ mục tiêu, sau đó điều chỉnh nội dung và phương pháp dạy học để từng bước gắn liền nội dung môn toán trung học phổ thông vào thực tiễn đời sống.

1.1.2. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học

Trước đây mục tiêu giáo dục toàn diện thường được hiểu đơn giản là: Học sinh phải học đầy đủ tất cả các môn học thuộc các lĩnh vực khoa học tự nhiên, khoa học xã hội và nhân văn, nghệ thuật, thể dục thể thao…Không những thế, việc thực hiện mục tiêu giáo dục cũng nghiêng về truyền thụ kiến thức càng nhiều càng tốt; chú trọng truyền bá kiến thức hơn đào tạo, bồi dưỡng năng lực của người học; ít yêu cầu người học vận dụng kiến thức vào thực tế…

5

Tình hình này đã dẫn đến hiện tượng "quá tải", vừa thừa, vừa thiếu đối với người học và đối với mục tiêu giáo dục.

Mục tiêu giáo dục theo tinh thần đổi mới là: phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học. Toàn diện ở đây được hiểu là chú trọng phát triển cả phẩm chất và năng lực con người, cả dạy chữ, dạy người, dạy nghề.

Giáo dục và đào tạo phải tạo ra những con người có phẩm chất, năng lực cần thiết như trung thực, nhân văn, tự do sáng tạo, có hoài bão và lí tưởng phục vụ Tổ quốc, cộng đồng.

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Đồng thời phải phát huy tốt nhất tiềm năng, khả năng sáng tạo của mỗi cá nhân, làm chủ bản thân, làm chủ đất nước và làm chủ xã hội; có hiểu biết và kĩ năng cơ bản để sống tốt và làm việc hiệu quả… Như Bác Hồ từng mong muốn: “Một nền giáo dục sẽ đào tạo các em nên những người công dân hữu ích cho nước Việt Nam, một nền giáo dục làm phát triển hoàn toàn những năng lực sẵn có của các em.”

1.1.3. Học đi đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn

Quan điểm đổi mới này cũng đồng thời là nội dung của nguyên lí giáo dục: “Học đi đôi với hành, lý luận gắn liền với thực tiễn, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, nhà trường gắn liền với gia đình và xã hội.” (Luật Giáo dục 2005, chương I, điều 3).

Chủ nghĩa Mác cho rằng, lí luận và thực tiễn là hai phạm trù có quan hệ biện chứng với nhau. Lý luận không có thực tiễn là lý luận suông, thực tiễn không có lý luận là thực tiễn mù quáng. Thực tiễn là tiêu chuẩn của chân lí.

Mục đích cuối cùng của việc học là làm việc. Như trong bài nói chuyện của Bác Hồ tại Đại học Sư phạm Hà Nội ngày 21.10.1964: “Các cháu học sinh không nên học gạo, không nên học vẹt, …Học phải suy nghĩ, học phải liên hệ với thực tế, phải có thí nghiệm và thực hành. Học với hành phải kết hợp với nhau.” Hay Bác cũng đã từng nói: “Học với hành phải đi đôi. Học mà không hành thì học vô ích. Hành mà không học thì hành không trôi chảy”

6

Như vậy theo quan điểm đổi mới trên, việc dạy học phải làm thế nào đó, để học sinh có thể vận dụng được các kiến thức được học vào giải quyết những vấn đề, nhiệm vụ trong thực tiễn đời sống xã hội.

1.1.4. Chủ động, tích cực hội nhập quốc tế để phát triển giáo dục và đào tạo, đồng thời giáo dục và đào tạo phải đáp ứng yêu cầu hội nhập quốc tế để phát triển đất nước “Hội nhập quốc tế” là cụm từ không còn xa lạ với sự nghiệp phát triển giáo dục và đào tạo nước ta. Để đáp ứng đủ các yêu cầu hội nhập quốc tế, thì

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

việc đánh giá học sinh cũng cần phải được thực hiện theo những tiêu chuẩn đánh giá chung của quốc tế. Hiện nay, chương trình “Đánh giá học sinh quốc tế” PISA đang được ngành giáo dục và đào tạo nước ta quan tâm rất nhiều. Đây là bộ phận chính của một hệ thống định hướng quy mô lớn được thực hiện bởi Tổ chức Hợp tác và Phát triển Kinh tế (OECD). Hệ thống này phục vụ cho mục đích cung cấp thông tin cho các nước thành viên của tổ chức này về những ưu điểm và nhược điểm của nền giáo dục nước họ. Được tổ chức định kì 3 năm một lần, PISA kiểm tra, đánh giá sự chuẩn bị của nhà trường dành cho học sinh để bước vào xã hội tri thức, nói cách khác là khả năng thích nghi của học sinh đối với những thách thức của một xã hội tri thức, tập trung vào 3 mảng kĩ năng: khoa học, đọc hiểu và toán học. Năng lực toán học được PISA định nghĩa: “Khả năng của một cá nhân có thể nhận biết và hiểu vai trò của Toán học trong đời sống, phán đoán và lập luận dựa trên cơ sở vững chắc, sử dụng và hình thành niềm đam mê tìm tòi khám phá toán học để đáp ứng những nhu cầu trong đời sống của cá nhân đó với vai trò là một công dân có ý thức, có tính xây dựng và có hiểu biết.” [2]. Kỳ thi đánh giá năng lực của PISA được áp dụng cho học sinh ở độ tuổi từ 15 tuổi 3 tháng đến 16 tuổi 2 tháng, tức là độ tuổi của học sinh lớp 9 ở Việt Nam. Đề thi đánh giá năng lực toán học bao gồm 100% các bài toán thực tiễn xuất phát trong đời sống thực tiễn. Vậy câu hỏi đặt ra cho việc đánh giá học sinh ở lứa tuổi tiếp theo của

7

PISA, tức là học sinh lớp 10 trung học phổ thông thì được xem xét như thế nào? Điêu đó có nghĩa là cần tăng cường hơn nữa việc vận dụng toán học trong nhà trường phổ thông vào giải quyết các tình huống, vấn đề thực tiễn.

1.1.5. Môn Toán trong chương trình giáo dục phổ thông mới Chương trình môn Toán được xây dựng trên cơ sở quán triệt quan điểm nội dung phải tinh giản, chú trọng tính ứng dụng thiết thực, gắn kết với đời sống thực tế hay các môn học khác, đặc biệt với các môn học thuộc lĩnh vực giáo dục STEM, gắn với xu hướng phát triển hiện đại của kinh tế, khoa học,

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

đời sống xã hội và những vấn đề cấp thiết có tính toàn cầu (như biến đổi khí hậu, phát triển bền vững, giáo dục tài chính, ...).

Bảo đảm tính chỉnh thể, thống nhất và phát triển liên tục từ lớp 1 đến lớp 12. Có thể hình dung chương trình được thiết kế theo mô hình gồm hai nhánh song song liên kết chặt chẽ với nhau, một nhánh mô tả sự phát triển của các mạch nội dung kiến thức cốt lõi và một nhánh mô tả sự phát triển của năng lực, phẩm chất của học sinh.

Chương trình môn Toán sẽ được tích hợp xoay quanh ba mạch kiến thức: Số và Đại số; Hình học và Đo lường; Thống kê và Xác suất.

1.2. Tính thực tiễn của Toán học

Tính thực tiễn của Toán học được thể hiện ở chỗ: Toán học có nguồn gốc thực tiễn, Toán học phản ánh thực tiễn và Toán học có ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn.

1.2.1. Toán học có nguồn gốc thực tiễn Nguồn gốc của toán học cũng như các ngành khoa học đều là các vấn đề thực tiễn mà loài người cần tìm hiểu để cải thiện cuộc sống. Nhu cầu thực tiễn là nền tảng của sự phát triển toán học.

Lịch sử của Toán học gắn liền với sự phát triển của loài người, những khái niệm được hình thành hầu hết xuất phát từ đời sống thực tiễn, từ nhu cầu tìm tòi và khám phá của con người.

8

Chúng ta biết rằng những kiến thức toán học đầu tiên của loài người về số học, hình học, tam giác lượng, ... đều sinh ra từ nhu cầu của thực tiễn. Các số hình thành và phát triển do nhu cầu của phép đếm và tính toán. Rất nhiều sách ghi lại rằng hình học phát sinh ở Ai Cập do nhu cầu đo đạc đất đai hàng năm sau mỗi vụ lụt của sông Nil (hình học tiếng Hy Lạp là sự đo đất). Ngành hàng hải đòi hỏi những kiến thức về thiên văn, mà bộ môn này lại cần những kiến thức về lượng giác do đó lượng giác phát sinh và phát triển. Ở thời kỳ Phục hưng, sự phát triển mạnh mẽ của kỹ nghệ và sự hình thành quan hệ sản xuất

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

tư bản chủ nghĩa đòi hỏi phải phát triển cơ học và ngành này đã thúc đẩy phải hoàn chỉnh phép tính vi phân và tích phân. Cũng ở thời kỳ Phục hưng sự phát triển của hội hoạ và kiến trúc đòi hỏi nhiều ở phương pháp vẽ phối cảnh do đó nảy sinh ra môn hình học xạ ảnh.

Gần đây do nhu cầu thực tiễn của sự phát triển khoa học mà các ngành trung giao giữa toán học và các khoa học khác như ngôn ngữ toán, kinh tế toán, sinh vật toán ra đời, đánh dấu một xu hướng mới trong quan hệ giữa toán học và các khoa học khác.

Tất cả những điều trình bày trên đã cho thấy, toán học bắt nguồn từ thực tiễn cuộc sống, mục đích của nó là cải thiện cuộc sống.

1.2.2. Toán học phản ánh thực tiễn

Toán học không chỉ bắt nguồn từ thực tiễn mà đồng thời nó cũng có khả năng phản ánh thực tiễn một cách rất đa dạng, toàn diện.

Chúng ta đi tìm hiểu một số ví dụ sau: Ví dụ 1: Các hàm số là chân dung của Toán học của tính qui luật của tự nhiên. Ta hãy để ý đến các hiện tượng tự nhiên của thế giới xung quanh mà con người gọi chúng đó là: “quy luật tự nhiên’’; “chuồn chuồn bay thấp thì mưa, bay cao thì nắng, bay vừa thì râm”; “chớp đông nhay nháy, gà gáy trời mưa’’. Các “quy luật’’ này diễn tả một sự tương ứng của một hiện tượng thứ nhất và hiện tượng thứ hai.

9

Ví dụ 2: Khái niệm vecto phản ánh những đại lượng đặc trưng không phải chỉ bởi số đo mà còn bởi hướng, chẳng hạn vận tốc, gia tốc, lực, …

Ví dụ 3: Khái niệm đồng dạng phản ánh những hình có cùng hình dạng nhưng khác nhau về độ lớn, chẳng hạn như giữa cảnh thật và ảnh chụp cảnh, hay bản đồ với các tỉ lệ khác nhau, …

Ví dụ 4: Hàm số y=ax biểu thị mối quan hệ giữa quãng đường đi được với với thời gian trong một chuyển động đều; giữa hiệu điện thế với cường độ dòng điện khi cho trước điện trở, …

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

1.2.3. Toán học có ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn

Như ta đã biết, thực tiễn là nguồn gốc, nền tảng của sự phát triển Toán học. Ngược lại, toán học cũng có tác dụng mạnh mẽ đối với thực tiễn đời sống, trong hầu hết các lĩnh vực sản xuất, kinh tế và các ngành khoa học kĩ thuật khác.

Những ứng dụng của Toán học trong thực tiễn đã có từ rất lâu. Cụ thể, nhờ quy luật Toán học mà Leverier và Adam (thế kỉ 19), Loren (thế kỉ 20) đã xác định được trên lí thuyết sự tồn tại của hai hành tinh mới Hải Vương Tinh và Diêm Vương Tinh. Sau đó đã được quan sát thiên văn xác nhận. Bằng phương pháp vật lí toán Macxoen đã xác định được sự tồn tại của áp lực ánh sáng. Sau đó Lebedep đã xác nhận kết quả đó bằng thực nghiệm. Những thành tựu to lớn của thời đại của chúng ta như năng lượng nguyên tử, động cơ phản lực, vô tuyến điện… đều gắn liền với sự phát triển của các ngành Toán học khác nhau. Chẳng hạn như lý thuyết về các dạng không gian của không gian hình học được áp dụng trong điện động học và điện kĩ thuật. Những định lí tổng quát của hàm phức là cơ sở của lý thuyết thủy động học và khí động học mà đây là hai ngành lý thuyết cơ sở của kỹ thuật hàng hải và hàng không.

Ngày nay, Toán học càng có ứng dụng sâu sắc và rộng rãi. Có thể nói bất kì tiến bộ nào của tự động hóa cũng không thể tách rời những thành tự của Toán học. Ví dụ như việc thiết kế và sử dụng các máy tự động, các hệ thống

10

điều khiển và liên lạc đòi hỏi phải dựa trên những thành tựu của logic toán, thông tin học, đại số, lý thuyết độ tin cậy…Toán học ngày càng có nhiều ứng dụng phong phú trong các vấn đề tổ chức và quản lí sản xuất. Thông thường trước mọi vấn đề quản lí sản xuất người ta có thể đưa ra nhiều phương án.

Toán học chính là công cụ giúp trả lời câu hỏi: Làm thế nào để có thể chọn được phương án tốt nhất. Không chỉ có vậy, nhờ phương pháp Toán học người ta có thể dự đoán được tính chất của các hợp chất, nghiên cứu những vấn đề khó khăn nhất về tính di truyền, về cơ cấu hoạt động của hệ thần

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

kinh… Trong y học bằng phương pháp thống kê và máy tính điện tử người ta có thể cải tiến phương pháp chuẩn đoán bệnh cho chính xác hơn. Ở các nước tiên tiến, phương pháp của toán học thống kê, logic toán, lý thuyết thông tin… được dùng ngày càng rộng rãi trong công tác thư viện để nâng cao hiệu quả phục vụ và tính khoa học của ngành. Việc điều tra xã hội học để nghiên cứu tâm lí, thị hiếu của quần chúng trong các ngành văn hóa xã hội muốn đạt được kết quả sâu sắc chắc chắn cũng phải dùng các phương pháp của toán học.

Mặt khác, xét trên phương diện từng khái niệm, định lí của chương trình phổ thông ta cũng thấy các ứng dụng trực tiếp của Toán học vào thực tiễn cuộc sống như ứng dụng lượng giác để đo những khoảng cách không tới được, ứng dụng của đạo hàm để tính vận tốc tức thời, ứng dụng của tích phân để tính diện tích, thể tích, …

Những ví dụ trên cho ta thấy, toán học có ứng dụng rộng rãi và phong phú trong đời sống thực tiễn. Những ứng dụng của Toán học ngày càng được khai thác sâu hơn trong từng lĩnh vực và được mở rộng hơn ra nhiều lĩnh vực mới tiên tiến khác.

1.3. Bài toán thực tiễn 1.3.1. Khái niệm bài toán thực tiễn Bài toán được hiểu là: “Tất cả những câu hỏi cần giải đáp về một kết quả chưa biết cần tìm bắt đầu từ một số dữ kiện, hoặc về một phương pháp

11

cần khám phá, mà theo phương pháp này sẽ đạt được những kết quả đã biết” [8] G. Polya lại viết: “Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm hiểu một cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay” [3] Từ các cách hiểu trên, có thể nói trong dạy học bài toán là các câu hỏi, yêu cầu đặt ra cho người học để đạt được mục đích dạy học nào đó trên cơ sở các dữ liệu đã cho.

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

2  x  m y  m  1 Ví dụ 1: Cho hệ phương trình  2 . Xác định tất cả giá trị m x  y  3  m  

của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho S  x  y đạt giá trị lớn nhất.

Bài toán ở ví dụ 1 đặt ra yêu cầu là xác định tất cả giá trị của tham số m

để hệ có nghiệm duy nhất ( x; y) sao cho S  x  y đạt giá trị lớn nhất thông qua dữ liệu đã cho là một hệ phương trình. Bài toán này có thể dùng để củng cố hoặc luyện tập.

Ví dụ 2: Trong thực tế, khi cần phải đo khoảng cách giữa hai điểm B và

C mà không thể đo trực tiếp được vì giữa hai điểm đó có chướng ngại, như một đầm lầy, một cánh rừng, …

Để có thể đo được khoảng cách BC trong những trường hợp đó, người

ta thường chọn một điểm A sao cho từ A có thể nhìn thấy B, C và ta có thể đo được khoảng cách AB=c, AC=b và góc BAC. Làm được như vậy, tam giác ABC hoàn toàn xác định bởi hai cạnh và góc xen giữa. Khi đó khoảng cách AB sẽ được tính như thế nào? Đây là một bài toán dùng để gợi động cơ khi dạy học định lí Cosin trong tam giác. Bài toán cho các dữ liệu là tam giác ABC có AB=c, AC=b, và góc BAC. Câu hỏi đặt ra là khi đó khoảng cách AB sẽ được tính như thế nào?

12

Bài toán thực tiễn là bài toán mà trong giả thiết hay kết luận có chứa những nội dung liên quan đến thực tiễn. Thực tiễn ở đây không chỉ là các sự việc, tình huống trong cuộc sống xã hội mà còn được hiểu là các tình huống thực tiễn nảy sinh trong các ngành khoa học như vật lí, hóa học, sinh học, …

Trong khóa luận này chủ yếu đề cập đến các bài toán thực tiễn trong đời sống hàng ngày.

Ví dụ 3: Một máy cán thép có thể sản xuất hai sản phẩm thép tấm và thép cuộn với công suất cho mỗi loại là (nếu chỉ sản xuất một sản phẩm): thép

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

tấm là 250 tấn/giờ, thép cuộn là 150 tấn/giờ. Lợi nhuận bán sản phẩm là: thép tấm là 25USD/tấn, thép cuộn là 30USD/tấn. Theo tiếp thị, một tuần chỉ tiêu thụ được tối đa 5000 tấn thép tấm và 3500 tấn thép cuộn. Biết rằng máy làm việc không quá 40 giờ một tuần. Cần sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu trong một tuần để có lợi nhuận cao nhất?

Ví dụ 4: Trong một cuộc đua xe mô tô, ba tay đua đó khởi hành cùng

một lúc. Mỗi giờ người thứ hai chạy chậm hơn người thứ nhất 15km và nhanh hơn người thứ ba 3km nên người thứ hai đến đích chậm hơn người thứ nhất 12 phút và sớm hơn người thứ ba 3 phút. Tính vận tốc của ba tay đua mô tô trên.

1.3.2. Vai trò của bài toán thực tiễn trong quá trình dạy học Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán. Bài tập chứa

đựng trong nó những hoạt động của học sinh bao gồm: Nhận diện và thể hiện một định nghĩa, một định lí hay một phương pháp, những hoạt động Toán học phức hợp như chứng minh, định nghĩa, giải toán bằng cách lập phương trình, giải toán dựng hình, giải toán quỹ tích…, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong môn Toán như lật ngược vấn đề, xét tính giải được, phân chia trường hợp…, những hoạt động trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, so sánh, xét tính tương tự, trừu tượng hóa, khái quát hóa…và những hoạt động ngôn ngữ.

Cụ thể, bài tập toán học có vai trò như sau:

13

1.3.2.1. Củng cố kiến thức, rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo cho học sinh Khi giải bài tập, học sinh phải đi từ việc nghiên cứu đề bài đến tìm đáp án. Để làm được điều này, học sinh phải trải qua một quá trình quan sát, tổng hợp, phán đoán, …

Quá trình giải bài tập không phải bắt đầu từ con số “0” mà phải đưa vào kinh nghiệm thực tiễn những kiến thức mà học sinh đã tích lũy từ trước. Các em phải nhớ, hiểu và vận dụng được những kiến thức và kinh nghiệm đó thì mới giải được bài tập.

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Như vậy, khi giải một bài tập Toán học, cả một hệ thống kiến thức liên

quan đến bài tập được củng cố qua lại nhiều lần. Qua đó, người học hiểu sâu hơn kiến thức đồng thời giúp cho việc hoàn chỉnh hay bổ sung tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lý thuyết và biết vận dụng những kiến thức đã học vào việc giải quyết những tình huống cụ thể.

Ngoài ra, thông qua giải bài tập Toán học, học sinh cũng được rèn

luyện các kĩ năng, kĩ xảo ở các khâu khác nhau của quá trình giải bài tập, kể cả kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn.

1.3.2.2. Rèn luyện phát triển tư duy cho học sinh

Bài tập Toán học giúp phát triển năng lực tư duy, giúp học sinh năng

động, sáng tạo trong học tập, phát huy khả năng suy luận tích cực, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ và hình thành những phẩm chất tư duy khoa học.

Khi làm bài tập, trí tuệ của học sinh phải vận động đi từ những điều kiện đã biết để tìm ra câu trả lời. Hoạt động trí tuệ của học sinh rất đa dạng: quan sát, vận dụng trí nhớ, các thao tác tư duy như so sánh, tổng hợp, khái quát, suy luận…. cho nên sau mỗi lần giải bài tập thành công, niềm tin và năng lực của học sinh càng được phát triển và củng cố. Đó là một trong những cơ sở quan trọng để cho các em mạnh dạn bước vào con đường sáng tạo.

14

1.3.2.3. Rèn luyện kĩ năng vận dụng các kiến thức Toán học cho học sinh Một trong những yêu cầu của việc nắm vững kiến thức của bất kì môn khoa học nào là vận dụng các kiến thức của bộ môn khoa học đó vào giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, tức là giải quyết được các bài toán được đặt ra trong lĩnh vực khoa học đó.

Hơn nữa, mỗi bài tập Toán học là giá mang hoạt động liên hệ với những nội dung Toán học nhất định, là một phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lý thuyết.

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Chính vì thế thông qua việc giải quyết các bài tập toán học, học sinh sẽ được rèn luyện kĩ năng vận dụng các kiến thức Toán học, đồng thời mở rộng kiến thức hiểu biết một cách sinh động, phong phú.

1.3.2.4. Bồi dưỡng, phát triển nhân cách cho học sinh

Điểm cơ bản trong tính cách con người là mọi hoạt động đều có mục

đích rất rõ ràng. Khi giải một bài toán, ta luôn có định hướng, mục đích rõ rệt, vì vậy việc giải toán sẽ góp phần tích cực vào việc hiểu năng lực hành động của con người, rèn đức tính chính xác, kiên nhẫn, trung thực, lòng say mê học tập, niềm tin vào khoa học và sức mạnh của bản thân. Niềm tin này có được là do trong quá trình độc lập vận dụng kiến thức, độc lập tìm được đáp số đã giúp các em có những phương pháp giải quyết đúng đắn các vấn đề đặt ra, nhất là đối với bài toán khó, các em phải vượt qua rất nhiều khó khăn, phải kiên trì, nhẫn nại và nhiều khi phải quyết tâm rất lớn mới giải được.

Nói theo cách của G. Polya là: khát vọng và quyết tâm giải một bài toán là nhân tố chủ yếu của mọi quá trình giải toán. Do vậy thấy rằng: Hoạt động giải toán chính là nhân tố hình thành và phát triển nhân cách con người.

15

Bài toán thực tiễn cũng có đầy đủ các vai trò của bài tập toán học, ngoài ra có còn có thêm một số tác dụng khác  Về kiến thức Thông qua giải bài toán thực tiễn, học sinh hiểu kĩ hơn các khái niệm, tính chất; củng cố kiến thức một cách thường xuyên và hệ thống hoá kiến thức; mở rộng sự hiểu biết một cách sinh động, phong phú mà không làm nặng nề khối lượng kiến thức của học sinh.

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Bên cạnh đó, bài toán thực tiễn giúp học sinh thêm hiểu biết về các môn học khác, về thiên nhiên, môi trường, những vấn đề thiết thực trong cuộc sống thực tế.

Bài toán thực tiễn còn giúp học sinh bước đầu biết vận dụng kiến thức để lí giải và cải tạo thực tiễn nhằm nâng cao chất lượng cuộc sống.  Về kĩ năng

Việc giải bài toán thực tiễn giúp học sinh: -

Rèn luyện và phát triển cho học sinh năng lực nhận thức, năng lực

phát hiện và giải quyết vấn đề liên quan đến thực tế cuộc sống.

-

Rèn luyện và phát triển các kĩ năng thu thập thông tin, vận dụng kiến

thức để giải quyết tình huống có vấn đề của thực tế một cách linh hoạt, sáng tạo.

-

Rèn luyện và phát triển cho học sinh khả năng vận dụng toán học để

giải quyết vấn đề của các môn học khác.  Về giáo dục tư tưởng Việc giải bài toán thực tiễn có tác dụng: -

Rèn luyện cho học sinh tính kiên nhẫn, tự giác, chủ động, chính xác,

sáng tạo trong học tập và trong quá trình giải quyết các vấn đề thực tiễn.

-

Thông qua nội dung bài toán giúp học sinh thấy rõ lợi ích của việc

học môn toán học từ đó tạo động cơ học tập tích cực, kích thích trí tò mò,

16

óc quan sát, sự ham hiểu biết, làm tăng hứng thú học môn toán và từ đó có thể làm cho học sinh say mê nghiên cứu khoa học và công nghệ giúp học sinh có những định hướng nghề nghiệp tương lai. Ngoài ra, vì các bài toán thực tiễn gắn liền với đời sống của chính bản thân học sinh, của gia đình, của địa phương và với môi trường xung quanh nên càng góp phần tăng động cơ học tập của học sinh: học tập để nâng cao chất lượng cuộc sống của bản thân và của cộng đồng. Với những kết quả ban đầu của việc vận dụng kiến thức toán học phổ thông để giải quyết các vấn đề thực tiễn,

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

học sinh thêm tự tin vào bản thân mình để tiếp tục học hỏi, tiếp tục phấn đấu và phát triển.

1.3.3. Phương pháp chung giải bài toán thực tiễn 1.3.3.1. Phương pháp chung giải bài toán

Đối với một bài toán, có thể có hoặc không có thuật toán để giải. Tuy

nhiên, trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý các suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán lại là có thể và cần thiết cho mọi bài toán.

Dựa trên những gợi ý chi tiết của Polya (1975) về cách thức giải bài

toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, có thể nêu lên phương pháp chung để giải bài toán bao gồm bốn bước như sau: [4] Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

- Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán - Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh

- Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài Bước 2: Tìm cách giải - Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hoặc một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với

17

từng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích …

- Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan, …

- Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải hợp lí nhất Bước 3: Trình bày lời giải Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một đó.

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.

- Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.

Xét ví dụ minh họa như sau:

Bài toán: Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Chứng minh rằng với điểm O bất kì ta có: OG 



1 OA  OB  OC 3

.

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài Giả thiết

Tam giác ABC Trọng tâm G

Điểm O bất kì

Kết luận

OG 



1 OA  OB  OC 3



Bước 2: Tìm cách giải Thông thường, khi chứng minh các đẳng thức chứa vecto, ta hay chèn điểm để làm xuất hiện các vecto giống nhau hoặc các vecto có tính chất đặc biệt.

18

Áp dụng trong bài toán này, ta phân tích vecto như sau:

OG  OA  AG OG  OB  BG OG  OC  CG Cộng từng vế của các đẳng thức trên ta được:



 

3OG  OA  OB  OC  AG  BG  CG



(1)

Mặt khác, khi cho trọng tâm G của tam giác ABC, ta nhớ lại đẳng thức

GA  GB  GC  0

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

(2)

Biến đổi (1) ta được



 





3OG  OA  OB  OC  GA  GB  GC



(3)

Thay (2) vào (3) ta được

3OG  OA  OB  OC  OG 



1 OA  OB  OC 3



Đây là đẳng thức cần chứng minh.

Có thể kiểm tra lời giải bằng cách rà soát từng mắt xích chứng minh.

Bước 3: Trình bày lời giải Ta có

OG  OA  AG OG  OB  BG

OG  OC  CG

Cộng từng vế của các đẳng thức trên ta được:



    3OG   OA  OB  OC    GA  GB  GC 

3OG  OA  OB  OC  AG  BG  CG

Mà G là trọng tâm của tam giác ABC nên GA  GB  GC  0 Thay (2) vào (1) ta được

19

(1) (2)





3OG  OA  OB  OC  OG 



1 OA  OB  OC 3



Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải Ta có thể xét bài toán mở rộng của bài toán này đối với tứ giác. Bài toán mở rộng được phát biểu như sau: “Cho tứ giác ABCD có G là trọng tâm.

Chứng minh rằng với điểm O bất kì ta có: OG 





1 OA  OB  OC  OD ” 4

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

1.3.3.2. Phương pháp chung giải bài toán thực tiễn Việc có một phương pháp chung để tìm tòi lời giải cho một bài toán

cho trước là điều vô cùng cần thiết với bài toán nói chung và bài toán thực tiễn nói riêng. Thông thường, việc giải một bài toán thực tiễn bao gồm bốn bước tổng quát như sau:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung của bài toán

Toán học hoá tình huống, chuyển bài toán với những ngôn ngữ, những

dữ kiện trong cuộc sống thực tế thành bài toán với ngôn ngữ toán học. Các ràng buộc giữa các yếu tố trong bài toán thực tiễn được chuyển thành các biểu thức, các phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình toán học …

Bước này có ý nghĩa rất quan trọng đối với việc giải quyết một bài toán có nội dung thực tiễn, đồng thời nó cũng phản ánh khả năng, trình độ của người học đối với việc hiểu và vận dụng các tri thức toán học.

Bước 2: Tìm lời giải cho bài toán toán học Tìm cách giải cho bài toán toán học tương tự như bước 2 của mục 1.3.3.1.

Bước 3: Trình bày lời giải Từ cách giải đã được phát hiện, chuyển từ ngôn ngữ toán học sang ngôn ngữ thực tiễn, sau đó sắp xếp các lời giải của ngôn ngữ thực tiễn thành một chương trình gồm các bước thực hiện theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó.

20

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải Nghiên cứu khả năng ứng dụng của kết quả của lời giải. Nghiên cứu những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề. Đây là hoạt động nhằm phát huy khả năng tư duy, tìm tòi sáng tạo học sinh.

Các bước giải một bài toán thực tiễn được mô hình hóa dưới dạng sơ đồ như sau: Toán học hóa

Trình bày lời giải

Nghiên cứu sâu

bài toán thực tiễn

lời giải

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

bài toán thực tiễn

Tìm lời giải bài toán toán học vừa thiết lập

Ta xét một ví dụ cụ thể minh họa cho phương pháp chung giải một bài toán thực tiễn như sau:

Bài toán: Một hộ nông dân định trồng quất cảnh và cam cảnh trên diện tích 3 sào (1 sào bắc bộ = 360m2). Nếu trồng quất thì cần 20 công và thu được 50 triệu đồng trên 1 sào, nếu trồng cam cảnh thì cần 30 công và thu được 60 triệu đồng trên 1 sào. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích bao nhiêu để thu được nhiều tiền nhất? Biết rằng tổng số công không quá 80.

Bước 1: Tìm hiểu nội dung của bài toán

Ta chuyển các dữ liệu của bài toán thực tiễn về bài toán toán học,

chuyển ngôn ngữ thực tiễn sang ngôn ngữ toán học.

Gọi x, y (sào) lần lượt là diện tích mà hộ gia đình định trồng quất cảnh

và cam cảnh, x, y  0

Do gia đình định trồng trên diện tích 3 sào nên x  y  3 Để trồng x (sào) quất cảnh cần 20x công và để trồng y (sào) cam cảnh cần 30y công Do tổng số công không quá 80 công nên 20 x  30 y  80 Khi đó số tiền lãi là F  50 x  60 y (triệu đồng) Khi đó ta có hệ bất phương trình sau:

21

x  y  3 20 x  30 y  80  (*)   x 0  0  y

Khi đó bài toán toán học được phát biểu như sau: Trong các nghiệm của hệ bất phương trình

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

x  y  3 20 x  30 y  80  (*)   x 0  0  y

Tìm nghiệm ( x; y) sao cho F  50 x  60 y lớn nhất.

Bước 2: Tìm cách giải cho bài toán toán học Trong mặt phẳng tọa độ, ta

sẽ biểu diễn phần mặt phẳng chứa

điểm M( x, y) thỏa mãn (*). Khi đó

miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là tứ giác OABC kể cả miền trong tứ giác (Như hình vẽ).

Biểu thức F  50x  60 y đạt

giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác OABC. Tại các đỉnh

8 O(0;0);A(3;0);B(1;2);C(0; ) ta thấy F đạt giá trị lớn nhất tại B(1;2) . Khi đó, 3 F = 170.

Bước 3: Trình bày lời giải Giải Gọi x, y (sào) lần lượt là diện tích mà hộ gia đình định trồng quất cảnh và cam cảnh, x, y  0 Do gia đình định trồng trên diện tích 3 sào nên x  y  3 22

Để trồng x (sào) quất cảnh cần 20x công và để trồng y (sào) cam cảnh cần

30y công Do tổng số công không quá 80 công nên 20 x  30 y  80 Khi đó số tiền lãi là F  50 x  60 y (triệu đồng) Ta có hệ bất phương trình

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

x  y  3 20 x  30 y  80  (*)   x 0  0  y

Khi đó bài toán trở thành :

Trong các nghiệm của hệ bất phương trình (*), tìm nghiệm ( x, y) sao cho

F  50x  60 y lớn nhất.

Trong mặt phẳng tọa độ, ta sẽ biểu

diễn phần mặt phẳng chứa điểm

M( x, y) thỏa mãn (*). Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình

(*) là tứ giác OABC kể cả miền trong tứ giác (Như hình vẽ).

Biểu thức F  50x  60 y đạt giá

trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác OABC. Tại các đỉnh

8 O(0;0);A(3;0);B(1;2);C(0; ) ta thấy F đạt giá trị lớn nhất tại B(1;2) . Khi đó, 3 F = 170 triệu đồng.

Vậy gia đình cần trồng 1 sào quất cảnh và 2 sào cam cảnh để thu được số tiền lãi cao nhất.

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

23

Xét một bài toán tương tự với bài toán đã cho như sau: Một gia đình định trồng cà phê và ca cao trên diện tích 10ha. Nếu trồng cà phê thì cần 20 công và thu về 10 triệu đồng trên diện tích mỗi ha, nếu trồng ca cao thì cần 30 công và thu 12 triệu đồng trên diện tích mỗi ha. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu để thu được nhiều tiền nhất. Biết rằng cà phê do các thành viên trong gia đình tự chăm sóc và số công không vượt quá 80, còn ca cao gia đình thuê người làm với giá 100 nghìn đồng cho mỗi công.

1.4. Thực trạng xây dựng và sử dụng bài toán thực tiễn chủ đề phương

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình trong dạy học ở phổ thông 1.4.1. Khái quát về khảo sát thực trạng 1.4.1.1. Mục tiêu khảo sát

Tìm hiểu thực trạng xây dựng và sử dụng hệ thống bài toán thực tiễn

chủ đề phương trình, hệ phương bình, hệ bất phương trình trong dạy học ở phổ thông.

1.4.1.2. Đối tượng khảo sát

Thực hiện điều tra, khảo sát thực trạng xây dựng và sử dụng hệ thống

bài toán thực tiễn với hai nhóm đối tượng sau:

- Giáo viên Toán trường THPT Chuyên Hạ Long, THPT Chuyên Vĩnh Phúc, THPT Yên Định II, THPT Trần Phú.

- Học sinh lớp 11A1 và 11A3 trường THPT Nguyễn Gia Thiều.

1.4.1.3. Thời gian khảo sát Từ ngày 03/03/2018 đến ngày 08/03/2018, khi đó học sinh đã được học chủ đề này.

1.4.1.4. Phương pháp khảo sát Sử dụng phiếu khảo sát gồm hai loại như sau: -

Phiếu khảo sát được thiết kế dưới dạng câu hỏi đóng và mở dành cho

giáo viên: người được khảo sát chỉ cần đánh dấu (X) vào các ô trống có sẵn và viết câu trả lời tự luận cho câu hỏi mở. Phiếu này dùng để khảo sát mức độ 24

xây dựng, sử dụng hệ thống bài toán thực tiễn, thái độ đối với việc đưa hệ thống bài toán này vào giảng dạy, các nguồn tài liệu về bài toán thực tiễn mà thầy cô sử dụng. (Phụ lục 2) -

Phiếu khảo sát được thiết kế dưới dạng câu hỏi đóng và mở dành cho

học sinh: người được khảo sát đánh dấu (X) vào các ô trống có sẵn và viết câu trả lời tự luận cho câu hỏi mở. Phiếu này dùng để khảo sát mức độ tiếp cận và hứng thú học tập của học sinh đối với hệ thống bài toán thực tiễn, nguồn tài liệu về bài toán thực tiễn mà học sinh gặp và các khó khăn (nếu có) của học

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

sinh khi thầy cô tăng cường bài toán thực tiễn trong giảng dạy và kiểm tra.

(Phụ lục 1)

Xử lí kết quả khảo sát: Thống kê các kết quả thu thập được, biểu diễn

dưới dạng phần trăm và đưa ra đánh giá chung về kết quả điều tra của từng câu hỏi khảo sát.

1.4.2. Kết quả khảo sát

Sau khi phát phiếu khảo sát cho 77 học sinh, qua thống kê, phân tích

các phiếu điều tra, ta có kết quả sau: -

Có 6,58% học sinh trả lời rằng chưa bao giờ gặp các bài toán thực tiễn

trong chương trình môn toán nói chung; 44,74% có gặp nhưng rất ít; 46,05% thỉnh thoảng gặp; 2,63% thường xuyên gặp. Điều này cho thấy tần suất xuất hiện các bài toán thực tiễn trong dạy và học chưa nhiều, chưa được tăng cường.

-

Có 22,37% học sinh trả lời rằng chưa bao giờ gặp các bài toán thực tiễn

chủ đề phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình trong chương trình học; 35,53% có gặp nhưng rất ít; 31,58% thỉnh thoảng gặp; 10,53% thường xuyên gặp. Điều này cho thấy các bài toán thực tiễn chủ đề phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình trong dạy và học còn rải rác, không phân bố đều, hơn

1 số học sinh được hỏi chưa gặp loại bài toán này bao giờ.

5

25

-

Có 26,19% học sinh trả lời rằng biết đến các bài toán thực tiễn từ sách

giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo; 14,29% biết đến từ internet; 5,95% biết đến từ các đề kiểm tra, đề thi; 20,24% biết đến từ bài giảng của thầy cô; 33,33% biết đến từ tất cả các phương án trên. Điều này cho thấy các bài toán thực tiễn còn ít xuất hiện trong đề kiểm tra, đề thi; nguồn tài liệu này từ thầy cô cung cấp vẫn còn ít.

-

Có 2,67% học sinh trả lời rằng việc học các bài toán thực tiễn là không

cần thiết; 30,67% nói rằng có cũng được, không có cũng không sao; 46,67%

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

trả lời tương đối cần thiết; 20% trả lời rất cần thiết. Điều này cho thấy phần lớn học sinh tự nhận thức được sự cần thiết của bài toán thực tiễn.

-

Có 18,42% học sinh trả lời rằng không hề gặp các bài toán thực tiễn

trong đề kiểm tra, đề thi; 48% có gặp nhưng rất ít; 32,89% thỉnh thoảng gặp; 1,32% thường xuyên gặp. Điều này cho thấy, các bài toán thực tiễn ít được đưa vào đề kiểm tra, đề thi.

-

Có 11,84% học sinh trả lời rằng không hứng thú với việc học các bài

toán thực tiễn; 34,21% ít hứng thú; 39,47% hứng thú và 14,47% rất hứng thú. Điều này cho thấy học sinh chưa hứng thú với những bài toán thực tiễn đã học.

-

Có 15,58% học sinh trả lời rằng các bài toán thực tiễn được gặp là dễ;

54,54% bình thường; 25,97% trả lời là khó; 3,90% cho rằng rất khó. Điều này cho thấy, các bài toán thực tiễn học sinh được gặp thường có độ khó trung bình, ít bài toán quá khó.

-

Có 31,58% học sinh trả lời rằng các bài toán thực tiễn không mang tính

thời sự, cập nhật; 31,58% trả lời có nhưng rất ít cập nhật; 34,21% cho rằng bình thường; 2,63% trả lời thường xuyên cập nhật. Điều này cho thấy các bài toán thực tiễn hiện có chưa được cập nhật thường xuyên và thiếu tính thời sự.

-

Có 19,74% học sinh trả lời rằng các bài toán thực tiễn được gặp không

có tính ứng dụng trong cuộc sống; 43,42% có thấy ứng dụng nhưng ít;

26

19,74% trả lời bình thường; 17,11% thấy rằng có tính ứng dụng cao. Điều này cho thấy các bài toán thực tiễn hiện có vẫn ít có khả năng vận dụng vào giải quyết các vấn đề thực của cuộc sống.

-

Có 10,39% học sinh trả lời rằng muốn giải các bài toán thực tiễn trong

các môn học khác; 15,58% học sinh muốn gặp trong kinh tế; 14,29% muốn gặp trong các vấn đề xã hội; 59,74% muốn gặp ở tất cả các lĩnh vực trên. Điều này cho thấy học sinh ít mong muốn gặp các bài toán thực tiễn trong liên môn mà chủ yếu mong muốn vận dụng chúng trong đời sống kinh tế, xã hội.

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Sau khi tiến hành khảo sát 10 giáo viên Toán của một số trường THPT, qua thống kê, phân tích các phiếu điều tra ta có kết quả sau: -

Có 50% giáo viên trả lời rằng có sử dụng bài toán thực tiễn trong dạy

học nhưng rất ít; 50% giáo viên trả lời rằng sử dụng thường xuyên. Điều này cho thấy giáo viên đã tiếp cận và đưa bài toán thực tiễn vào giảng dạy.

-

Có 10% giáo viên không sử dụng bài toán thực tiễn chủ đề phương

trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình trong giảng dạy; 50% giáo viên sử dụng nhưng rất ít; 40% giáo viên sử dụng khá thường xuyên.

-

Khi hỏi về nguồn tài liệu về bài toán thực tiễn, có 10% giáo viên trả lời

rằng lấy từ sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo; 20% giáo viên lấy từ internet; 10% giáo viên lấy từ đề thi các trường bạn; 60% giáo viên lấy từ tất cả các nguồn tài liệu trên và tự xây dựng để sử dụng. Điều này cho thấy nguồn tài liệu có sẵn về các bài toán thực tiễn vẫn chưa nhiều.

-

Có 10% giáo viên trả lời rằng việc đưa hệ thống bài toán thực tiễn vào

giảng dạy là tương đối cần thiết; 90% giáo viên cho rằng rất cần thiết. Điều này cho thấy hầu hết giáo viên đều đã ý thức được sự cần thiết của bài toán thực tiễn trong giảng dạy hiện nay.

-

Có 10% giáo viên trả lời rằng không hề sử dụng bài toán thực tiễn trong

đề kiểm tra, đề thi; 20% giáo viên trả lời có nhưng hiếm khi sử dụng; 30% giáo viên thỉnh thoảng sử dụng; 40% giáo viên thường xuyên sử dụng. Điều

27

này cho thấy đa số giáo viên chưa quan tâm việc đưa bài toán thực tiễn vào kiểm tra và thi.

-

Có 10% giáo viên trả lời rằng học sinh tiếp thu bình thường khi đưa hệ

thống bài toán thực tiễn vào giảng dạy; 10% giáo viên cho rằng học sinh có hứng thú nhưng giải bài chậm; 80% giáo viên trả lời học sinh tiếp thu bài nhanh hơn, tốt hơn, hứng thú học hơn. Điều này cho thấy việc đưa bài toán thực tiễn vào giảng dạy giúp thu hút học sinh vào bài giảng hơn.

-

Có 30% giáo viên sử dụng bài toán thực tiễn trong việc đảm bảo trình

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

độ xuất phát; 50% giáo viên dùng để gợi động cơ; 50% giáo viên dùng để làm việc với nội dung mới; 70% giáo viên dùng để củng cố luyện tập; 50% giáo viên dùng để kiểm tra, đánh giá; 30% giáo viên dùng khi cho bài tập về nhà. Điều này cho thấy bài toán thực tiễn có thể sử dụng ở nhiều giai đoạn khác nhau trong quá trình dạy học.

-

Có 10% giáo viên không sử dụng bài toán thực tiễn trong các hoạt động

ngoại khóa; 60% giáo viên thỉnh thoảng sử dụng; 30% giáo viên thường xuyên sử dụng. Điều này cho thấy trong các hoạt động ngoại khóa, giáo viên vẫn ít đưa các bài toán thực tiễn vào nội dung sinh hoạt của học sinh.

-

Có 100% giáo viên trả lời có mong muốn sử dụng hệ thống bài toán

thực tiễn trong giảng dạy. Điều này cho thấy giáo viên đã nhận thức được tầm quan trọng và mong muốn sử dụng loại bài toán này trong dạy học.

-

Khi hỏi về sự hỗ trợ nếu sử dụng hệ thống bài toán thực tiễn trong

giảng dạy, hầu hết giáo viên trả lời rằng cần thêm thời lượng tiết học và nguồn tài liệu. Điều này cho thấy việc dạy học bài toán thực tiễn cần nhiều thời gian hơn và nguồn tài liệu về loại bài tập này vẫn chưa phong phú, dồi dào.

Như vậy, qua thực trạng trên, việc xây dựng và sử dụng hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học đã được các thầy cô ý thức quan tâm nhưng việc thực hiện còn chưa được tiến hành hoặc có nhưng rất ít và chưa đạt hiệu quả

28

cao. Việc sử dụng các bài toán thực tiễn còn hạn chế, trong các đề thi, kiểm tra gần như là không có. Phần lớn các bài toán chưa mang tính thời sự, chưa được cập nhật liên tục, các bài toán còn chưa thật sự gần gũi với thực tiễn khiến học sinh ít hứng thú với loại bài toán này. Hơn nữa, nguồn tài liệu để các giáo viên và học sinh tham khảo sử dụng còn chưa phong phú. Do vậy, để nâng cao chất lượng dạy và học cần nâng cao chất lượng và hiệu quả của việc xây dựng và sử dụng hệ thống bài toán thực tiễn, khắc phục những hạn chế

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

hiện có và tăng cường hơn nữa các điểm tích cực của hệ thống bài toán này.

29

Kết luận chương 1 Ở chương 1, chúng tôi đã hệ thống được cơ sở lý luận và thực tiễn của việc xây dựng hệ thống bài toán thực tiễn. Trong đó, những vấn đề chúng tôi đặc biệt quan tâm là: - Một số vấn đề cơ bản về đổi mới giáo dục.

- Tính thực tiễn của toán học được thể hiện qua ba nội dung chính: Toán học có nguồn gốc thực tiễn, Toán học phản ánh thực tiễn và Toán học có ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn.

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

- Bài toán thực tiễn. Trong đó có nêu rõ khái niệm bài toán thực tiễn, vai trò của bài toán thực tiễn trong quá trình dạy học, phương pháp chung giải bài toán thực tiễn kèm theo các ví dụ cụ thể.

- Thực trạng xây dựng và sử dụng hệ thống bài toán thực tiễn chủ đề phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình trong dạy học ở phổ thông. Để tìm hiểu thực trạng xây dựng và sử dụng hệ thống bài toán này, chúng tôi đã thực hiện khảo sát ở cả hai đối tượng là giáo viên Trung học phổ thông và học sinh lớp 11. Qua đó thấy được việc xây dựng và sử dụng bài toán thực tiễn còn chưa thực sự được quan tâm, do đó cần tăng cường và đẩy mạnh hơn nữa việc xây dựng và sử dụng để đạt được hiệu quả cao trong dạy và học.

Tất cả những điều trình bày ở trên, chúng tôi vận dụng để xây dựng hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình mà nội dung nghiên cứu cụ thể sẽ được trình bày ở chương sau.

Như vậy chương 1 chúng tôi đã hoàn thành nhiệm vụ 5.1 và 5.2 được đề ra ở đầu khóa luận này.

30

CHƯƠNG 2. HỆ THỐNG BÀI TOÁN THỰC TIỄN CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 10 2.1. Mục tiêu và nội dung chủ yếu của chủ đề “Phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình” 2.1.1. Mục tiêu 2.1.1.1. Kiến thức - Phát biểu được khái niệm hệ phương trình, bất phương trình bậc nhất hai ẩn,

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và miền nghiệm của nó.

- Trình bày được phương pháp giải phương trình, hệ phương trình.

- Trình bày được phương pháp tìm cực trị của biểu thức P( x; y)  ax  by trên một miền đa giác lồi.

2.1.1.2. Kĩ năng

- Thành thạo trong việc giải phương trình bậc hai một ẩn, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ba ẩn

- Xác định được miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong mặt phẳng tọa độ

- Biểu diễn được miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong mặt phẳng tọa độ

- Thành thạo trong việc tìm cực trị của biểu thức P( x; y)  ax  by trên một miền đa giác lồi

- Vận dụng các kĩ năng trên vào giải một số bài toán thực tiễn có liên quan 2.1.1.3. Thái độ Học sinh hứng thú học tập và có mong muốn vận dụng các kiến thức, kĩ năng được học để giải quyết các tình huống trong thực tiễn.

2.1.1.4. Các năng lực có thể phát triển - Năng lực mô hình hóa toán học - Năng lực đặt và giải quyết vấn đề 31

- Năng lực biểu diễn toán học - Năng lực sử dụng các đồ dùng hỗ trợ và công cụ 2.1.2. Nội dung 2.1.2.1. Phương trình và hệ phương trình - Phương trình Cách giải một số phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn và phương trình bậc hai một ẩn.

- Hệ phương trình [6]

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Định nghĩa

Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn ax  by  c và a' x  b' y  c' (Tức

2 2 '2 '2 là a  b  0 và a  b  0 ). Khi đó, ta có hệ hai phương trình bậc nhất hai

ẩn sau:

ax  by  c (I )  ' ' ' a x  b y  c

Mỗi cặp số ( x0 ; y0 ) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình trong

hệ được gọi là một nghiệm của hệ.

Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.

Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn

Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là

a1 x  b1 y  c1 z  d1  a2 x  b2 y  c2 z  d 2 a x  b y  c z  d 3 3 3  3 Trong đó các hệ số của ba ẩn x, y, z trong mỗi phương trình của hệ không đồng thời bằng không.

Giải hệ phương trình trên là tìm tất cả các bộ ba số ( x; y; z ) đồng thời nghiệm đúng cả ba phương trình của hệ.

32

2.1.2.2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn [6] - Bất phương trình bậc nhất hai ẩn và miền nghiệm của nó Định nghĩa Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là bất phương trình có một trong các dạng ax  by  c  0, ax  by  c  0, ax  by  c  0, ax  by  c  0 .

2 2 Trong đó a, b và c là những số cho trước sao cho a  b  0 ; x và y là

các ẩn.

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Mỗi cặp số ( x0 ; y0 ) sao cho ax0  by0  c  0 gọi là một nghiệm của bất phương trình ax  by  c  0 .

Nghiệm của các bất phương trình dạng

ax  by  c  0, ax  by  c  0, ax  by  c  0 được định nghĩa tương tự.

Như vậy trong mặt phẳng tọa độ, mỗi nghiệm của bất phương trình bậc

nhất hai ẩn được biểu diễn bởi một điểm và tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi một tập hợp điểm. Ta gọi tập hợp điểm ấy là miền nghiệm của bất phương trình.

Dưới đây, chúng ta sẽ thấy miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất

hai ẩn là một nửa mặt phẳng.

Cách xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn Việc xác định miền nghiệm của một bất phương trình bậc nhất hai ẩn

(hay biểu diễn hình học tập nghiệm của nó) trong mặt phẳng tọa độ dựa trên định lí được thừa nhận sau đây. Định lí Trong mặt phẳng tọa độ, đường thẳng (d ) : ax  by  c  0 chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Một trong hai nửa mặt phẳng ấy (Không kể bờ (d ) ) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình ax  by  c  0 , nửa mặt phẳng còn lại (Không kể bờ (d ) )gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình ax  by  c  0 .

33

Từ định lí, ta suy ra Nếu ( x0 ; y0 ) là một nghiệm của bất phương trình ax  by  c  0 (hay

ax  by  c  0 ) thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M ( x0 ; y0 ) chính là miền nghiệm của bất phương trình ấy.

Vậy để xác định miền nghiệm của bất phương trình ax  by  c  0 , ta làm như sau : Vẽ đường thẳng (d ) : ax  by  c  0 ;

-

Xét một điểm M ( x0 ; y0 ) không nằm trên (d).

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

-

Nếu ax0  by0  c  0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M

là miền nghiệm của bất phương trình ax  by  c  0 .

Nếu ax0  by0  c  0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) không chứa

điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax  by  c  0 .

Chú ý

Đối với các bất phương trình dạng ax  by  c  0 hoặc ax  by  c  0

thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ.

- Bất phương trình bậc nhất hai ẩn và miền nghiệm của nó Dưới đây là một ví dụ về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn 3x  y  3  0  (I) 2 x  3 y  6  0 2 x  y  4  0 

Trong mặt phẳng tọa độ, ta gọi tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn mọi bất phương trình trong hệ là miền nghiệm của hệ. Vậy miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Để xác định miền nghiệm của hệ, ta dùng phương pháp biểu diễn hình học như sau: - Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ miền còn lại.

34

- Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bất phương trình trong hệ trên cùng một mặt phẳng tọa độ, miền còn lại không bị gạch chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Một phương pháp tìm cực trị của biểu thức P( x; y)  ax  by trên một miền đa giác lồi Bài toán: Tìm giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất của biểu thức

P( x; y)  ax  by(b  0) trên một miền đa giác phẳng lồi (kể cả biên).

Bài toán đó có nghĩa là:

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Cho biểu thức P( x; y)  ax  by(b  0) và một miền đa giác lồi (S) , kể cả biên, trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất (hay lớn nhất) của

P( x; y) với ( x; y) là toạ độ của các điểm thuộc (S) .

Cách giải. Ta luôn có thể giả thiết rằng b  0 , bởi vì nếu b  0 thì ta có

thể nhân cả hai vế với 1 và bài toán tìm giá trị nhỏ nhất (hay lớn nhất) của

P( x; y)  ax  by(b  0) sẽ trở thành bài toán tìm giá trị lớn nhất (hay nhỏ ' nhất) của  P( x; y)  ax  b' y , trong đó b  b  0 .

Tập các điểm ( x; y) để P( x; y) nhận giá trị p là đường thẳng ax  by  p ,

a p a hay y   x  . Đường thẳng này có hệ số góc bằng  và cắt trục tung b b b tại điểm M (0; m) với m 

p . Kí hiệu đường thẳng này là (d m ) . Vì b  0 nên b

việc tìm giá trị nhỏ nhất (hay lớn nhất) của P( x; y)  p , tức là tìm điểm M ở vị trí thấp nhất (hay cao nhất) trên trục tung sao cho đường thẳng (d m ) có ít nhất một điểm chung với (S) .

Từ đó, chú ý rằng (d m ) có hệ số góc bằng  sau:

35

a không đổi. Ta đi đến cách làm b

- Khi tìm giá trị nhỏ nhất của P( x; y) , ta cho đường thẳng (d m ) chuyển động song song với chính nó từ một vị trí nào đó ở phía dưới miền và đi lên cho đến khi (d m ) lần đầu tiên đi qua một điểm ( x0 ; y0 ) nào đó của (S) . Khi đó, m đạt giá trị nhỏ nhất và tương ứng với nó là giá trị nhỏ nhất của P( x; y) . Đó là

P( x0 ; y0 )  ax0  by0 .

- Khi tìm giá trị lớn nhất của P( x; y) , ta cho đường thẳng (d m ) với hệ số góc

a chuyển động song song với chính nó từ một vị trí nào đó ở phía trên miền b

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T



(S) và đi xuống cho đến khi (dm ) lần đầu tiên đi qua một điểm ( x0 ; y0 ) nào đó của (S) . Khi đó, m đạt giá trị lớn nhất và tương ứng với nó là giá trị lớn nhất của P( x; y) . Đó là P( x0 ; y0 )  ax0  by0 .

Chú ý

Qua cách làm trên, ta thấy rằng P( x; y) đạt giá trị nhỏ nhất (hay lớn

nhất) tại một đỉnh nào đó của đa giác (S) .

2.2. Đề xuất hệ thống bài toán thực tiễn chủ đề phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình 2.2.1. Nguyên tắc xây dựng

Trong xây dựng hệ thống bài toán thực tiễn chủ đề phương trình, hệ

phương trình, hệ bất phương trình cho học sinh lớp 10 cần tuân thủ một số nguyên tắc. Những nguyên tắc đó được phát biểu như sau:

Nguyên tắc 1: Bài toán thực tiễn phải đảm bảo tính mục tiêu của chương trình, chuẩn kiến thức, kĩ năng và định hướng phát triển năng lực vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn cho học sinh.

Nếu bài toán thực tiễn có nội dung hoàn toàn mới về kiến thức toán học thì sẽ không tạo được động lực cho học sinh để giải bài toán đó.

36

Đây là nguyên tắc đầu tiên, quan trọng nhất cần phải tuân theo vì nếu không đảm bảo mục tiêu dạy học và không thực hiện được chuẩn kiến thức, kĩ năng đã quy định trong chương trình thì coi như thất bại, không thành công.

Nguyên tắc 2: Bài toán thực tiễn phải đảm bảo nội dung dạy học, đồng thời phải đảm bảo tính chính xác, tính khoa học, tính hiện đại.

Trong một bài toán thực tiễn, bên cạnh nội dung toán học nó còn có những dữ liệu thực tiễn. Những dữ liệu đó phải được đưa vào một cách chính xác, không tùy tiện thay đổi. Trong một số bài toán về kinh tế, sản xuất nên

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

đưa vào những thông tin mới mang tính thời sự, cập nhật, không nên đưa những thông tin quá cũ và lạc hậu.

Nguyên tắc 3: Bài toán thực tiễn phải gần gũi với kinh nghiệm của học

sinh

Nếu bài toán thực tiễn có nội dung về những vấn đề gần gũi với kinh

nghiệm, với đời sống và môi trường xung quanh học sinh thì sẽ tạo cho các em động cơ và hứng thú mạnh mẽ khi giải, từ đó hình thành thái độ học tập tích cực cho học sinh.

Nguyên tắc 4: Bài toán thực tiễn phải đảm bảo tính sư phạm Các tình huống thực tiễn thường phức tạp hơn, các dữ kiện về số liệu

thường bị lẻ, không nguyên, không đẹp trong tính toán, … nên khi xây dựng bài toán thực tiễn cho học sinh cần phải có bước xử lí sư phạm để làm đơn giản tình huống thực tiễn, các số liệu có thể được thay đổi để học sinh tính toán không quá phức tạp. Các yêu cầu giải bài toán thực tiễn cũng phải phù hợp với trình độ, khả năng của học sinh.

Nguyên tắc 5: Bài toán thực tiễn phải có tính hệ thống, logic Các bài toán thực tiễn được xây dựng trong chủ đề cần được sắp xếp theo độ khó tăng dần để phù hợp với khả năng tiếp cận của học sinh. Trong quá trình dạy học, thông qua kiểm tra, đánh giá, cần phải xây dựng những bài

37

tập thực tiễn ở mức độ vừa và cao hơn một chút so với mức độ nhận thức của học sinh để nâng dần trình độ, khả năng nhận thức của học sinh.

Tóm lại, việc xây dựng hệ thống bài toán thực tiễn phải được xây dựng dựa trên những nguyên tắc này để đảm bảo các mục tiêu về kiến thức, kĩ năng, góp phần nâng cao hiệu quả sử dụng.

2.2.2. Phương pháp xây dựng bài toán thực tiễn 2.2.2.1. Thêm các yếu tố thực tiễn vào bài toán đơn thuần lí thuyết có sẵn Từ những bài toán yêu cầu trực tiếp giải phương trình, hệ phương trình,

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

hệ bất phương trình, ta xây dựng cho chúng một mô hình thực tiễn tạo thành một bài toán thực tiễn, mà để giải được bài toán đó, ta phải đưa về việc giải phương trình, hệ phương trình hay hệ bất phương trình đã nêu trên.

Ví dụ: Xuất phát từ bài toán thuần lí thuyết trong Sách giáo khoa Đại số

10 Nâng cao (Bài 15, trang 80) như sau

Bài toán: Tìm độ dài các cạnh của một tam giác vuông, biết rằng cạnh

thứ nhất dài hơn cạnh thứ hai là 2m, cạnh thứ hai dài hơn cạnh thứ ba là 23m.

[6]

Ta có thể thêm các yếu tố thực tiễn, xây dựng bài toán thực tiễn như

sau:

Bài toán thực tiễn: Ông A có một khu vườn hình tam giác vuông cần

trang trí bằng cách đặt hàng rào gỗ xung quanh khuôn viên khu vườn. Biết cạnh thứ nhất của khu vườn dài hơn cạnh thứ hai của khu vườn là 2m, cạnh thứ hai dài hơn cạnh thứ ba là 23m. Hỏi ông A cần bao nhiêu tiền để mua hàng rào trang trí, biết mỗi mét hàng rào gỗ có giá là 250.000đ.

2.2.2.2. Thay đổi một số dữ liệu của một bài toán thực tiễn có sẵn để tạo thành một bài toán thực tiễn khác Từ một bài toán thực tiễn đã có, ta có thể thay đổi một số dữ liệu như số liệu, tên gọi, … để tạo thành một bài toán thực tiễn mới có cách giải tương tự bài toán đã cho.

38

Ví dụ: Từ bài toán thực tiễn đã có Bài toán đã có: “Một công ty cần thuê xe vận chuyển 140 người và 9 tấn hàng hóa. Nơi cho thuê xe chỉ có 10 xe hiệu MITSUBISHI và 9 xe hiệu FORD. Một chiếc xe hiệu MITSUBISHI có thể chở được 20 người và 0,6 tấn hàng. Một chiếc xe hiệu FORD có thể chở 10 người và 1,5 tấn hàng. Tiền thuê một chiếc xe hiệu MITSUBISHI là 4 triệu đồng, một chiếc xe hiệu FORD là 3 triệu đồng. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí thấp nhất?” [4, trang 93]

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Ta thay đổi một số yếu tố để có bài toán thực tiễn mới với cách giải tương tự.

Bài toán mới: Ban tổ chức chương trình “Áo ấm cho em” cần thuê xe

để chở 35 thành viên và 90kg quần áo ấm lên Bản Tả Van để tổ chức chương trình thiện nguyện cho các bạn nhỏ trong bản. Công ty cho thuê xe có hai loại xe A và B, trong đó loại xe A có 5 chiếc và loại xe B có 4 chiếc. Mỗi chiếc xe loại A cho thuê với giá 4 triệu đồng, một chiếc xe loại B cho thuê với giá 3 triệu đồng. Biết rằng mỗi xe loại A có thể chở tối đa 10 người và 20 kg quần áo; mỗi chiếc xe loại B có thể chở tối đa 15 người và 15 kg quần áo. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí bỏ ra là ít nhất.

Bên cạnh những bài toán thực tiễn có sẵn bằng tiếng Việt thì nguồn tài

liệu này bằng tiếng Anh cũng vô cùng phong phú và đa dạng. Do đó, việc dịch các bài toán thực tiễn có sẵn từ nguồn tài liệu nước ngoài cũng chính là một cách để làm dồi dào hơn nữa hệ thống bài toán này trong dạy học. Tuy nhiên cần lưu ý thay đổi một số yếu tố sao cho phù hợp với thực tiễn ở nước ta.

Ví dụ, xuất phát từ một bài toán bằng tiếng Anh như sau: Taxi company A charge $8 to get in the cab and $0.75 each mile. Taxi company B charge $3 to get in the cab and $1.25 each mile. For how many miles would the cost be the same for either company?

39

Có thể dịch và thay đổi một số yếu tố cho phù hợp với Việt Nam để được bài toán sau: Công ty taxi A có giá 9 000 đồng cho km đầu tiên, các km tiếp theo có giá 6 000 đồng trên 1km. Công ty taxi B có giá 12 000 đồng cho km đầu tiên và 5 000 đồng tính cho mỗi km tiếp theo. Hỏi người khách đi bao nhiêu km thì số tiền phải trả cho công ty A và B là như nhau?

2.2.2.3. Xuất phát từ nhu cầu giải quyết vấn đề trong cuộc sống Ví dụ: Một doanh nghiệp ở Móng Cái có đầm nuôi không quá 30 tấn tôm sú loại 1 và loại 2. Mỗi tấn tôm sú loại 1 khi bán lãi 100 triệu đồng. Mỗi

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

tấn tôm sú loại 2 khi bán lãi 75 triệu đồng. Mỗi tấn tôm sú loại 1 đến khi bán ăn hết 150 kg thức ăn. Mỗi tấn tôm sú loại 2 đến khi bán ăn hết 100 kg thức ăn. Hỏi hộ gia đình đó cần nuôi bao nhiêu tấn tôm sú mỗi loại sao cho số tiền lãi là lớn nhất, biết đại lí thức ăn cung cấp vốn bằng cách cho nợ không quá 4000 kg thức ăn.

2.2.2.4. Chọn lọc các bài toán thực tiễn từ các tài liệu có sẵn Ví dụ: Trong khi đi dọc theo các đường ray tàu điện, tôi nhận thấy cứ

12 phút có một tàu vượt qua tôi và cứ 4 phút tôi gặp một tàu. Tôi và các tàu điện di chuyển cùng một vận tốc như nhau. Với những khoảng thời gian nào các tàu điện rời khỏi ga cuối cùng của các tàu? [1]

Đây là một bài toán thực tiễn được trình bày trong Tạp chí Toán học &

tuổi trẻ số 482 tháng 8 năm 2017.

2.2.3. Quy trình xây dựng

Để xây dựng được hệ thống bài toán thực tiễn chủ đề phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình cho học sinh lớp 10 cần phải thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định mục tiêu xây dựng bài toán thực tiễn Ngoài các mục tiêu được xác định ở mục 2.1.1 thì việc xây dựng hệ thống bài toán thực tiễn còn nhằm đạt được các mục tiêu sau:

40

- Củng cố kiến thức về chủ đề phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình trong chương trình Đại số 10 nâng cao - Vận dụng các kiến thức trên vào giải quyết một số bài toán thực tiễn có liên quan Bước 2: Xác định các dạng bài toán thực tiễn Căn cứ vào nội dung các bài toán thực tiễn, có thể chia chúng thành sáu dạng như sau: Dạng 1. Bài toán lập kế hoạch sản xuất

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Dạng 2. Bài toán kinh tế

Dạng 3. Bài toán trò chơi Dạng 4. Bài toán vận tải

Dạng 5. Bài toán chuyển động

Dạng 6. Bài toán thực tiễn có yếu tố hình học Bước 3: Thiết kế các bài toán

Từ phương pháp xây dựng bài toán thực tiễn được trình bày trong mục

2.2.2 và các dạng bài toán được trình bày trong bước 2 của mục này, chúng tôi thiết kế các bài toán thực tiễn được trình bày chi tiết trong mục 2.2.4.

Bước 4: Kiểm nghiệm và chỉnh sửa

Đưa một số bài toán đã xây dựng vào kiểm nghiệm thực tế để xác định

tính hiệu quả của các bài toán đó. Từ đó có sự thay đổi và điều chỉnh hợp lí để hệ thống bài toán thực tiễn được hoàn thiện hơn. Bước này được trình bày ở mục 2.3.

41

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

2.2.4. Hệ thống bài toán thực tiễn

Dạng 1. Bài toán lập kế hoạch sản xuất

Bài 1. Một phân xưởng có hai máy đặc chủng M1, M2 sản xuất hai loại sản phẩm kí hiệu là I và II. Một tấn sản phẩm loại I lãi 2 triệu đồng, một tấn sản phẩm loại II lãi 1,6 triệu đồng. Muốn sản xuất 1 tấn sản phẩm loại I phải dùng máy M1 trong 3 giờ và máy M2 trong 1 giờ. Muốn sản xuất 1 tấn sản phẩm loại II phải dùng máy M1 trong 1 giờ và máy M2 trong 1 giờ. Một máy không thể dùng để sản xuất đồng thời hai sản phẩm trên. Máy M1 làm việc không quá 6 giờ trong một ngày. Máy M2 một ngày chỉ làm việc không quá 4 giờ.

Hãy đặt kế hoạch sản xuất sao cho tổng số tiền lãi là lớn nhất?

Giải Gọi x, y lần lượt là số tấn sản phẩm loại I và II, x, y  0 Khi đó, tổng số tiền lãi là F  2 x  1,6 y triệu đồng. Để sản xuất x tấn sản phẩm loại I cần phải dùng máy M1 3x giờ và máy M2

x giờ Để sản xuất y tấn sản phẩm loại II cần phải dùng máy M1 y giờ và máy M2

y giờ

42

Tổng thời gian sử dụng máy M1 là 3x  y giờ Tổng thời gian sử dụng máy M2 là x  y giờ Vì máy M1 làm việc không quá 6 giờ mỗi ngày, máy M2 làm việc không quá 4 giờ một ngày nên ta có hệ phương trình 3 x  y  6   x  y  4 (*)  x, y  0 

Khi đó bài toán trở thành:

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Trong các nghiệm của hệ bất phương trình (*), tìm nghiệm ( x, y) sao cho

F  2 x  1,6 y lớn nhất.

Trong mặt phẳng tọa độ, ta sẽ biểu diễn phần mặt phẳng chứa điểm M( x, y) thỏa mãn (*).

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là tứ giác OABC kể cả miền trong tứ giác (Như hình vẽ).

Biểu thức F  2 x  1,6 y đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác OABC. Tại các đỉnh O(0;0), A(2;0), B(1;3), C (0;4) , ta thấy F

đạt giá trị lớn nhất tại ( x, y)  (1;3) . Khi đó, F  6,8

Vậy cần sản xuất 1 tấn sản phẩm loại I và 3 tấn sản phẩm loại II để thu được lãi suất cao nhất.

Bài 2. Người ta dự định dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất ít nhất 140kg chất A và 9kg chất B. Từ mỗi tấn nguyên liệu loại I giá 4 triệu đồng, có thể chiết xuất được 20kg chất A và 0,6 kg chất B. Từ mỗi tán nguyên liệu loại II giá 3 triệu đồng, có thể chiết xuất được 10kg chất A và 1,5kg chất B. Hỏi phải dùng bao nhiêu tấn nguyên liệu mỗi loại để chi phí mua nguyên liệu là ít nhất,

43

biết rằng cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp không quá 10 tấn nguyên liệu loại I và 9 tấn nguyên liệu loại II? Giải Gọi x, y lần lượt là số tấn nguyên liệu loại I và II, 0  x  10,0  y  9 Tổng chi phí mua nguyên liệu là: F  4 x  3 y triệu đồng Từ x tấn nguyên liệu loại I có thể chiết xuất được 20x kg chất A và 0,6x kg chất B.

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Từ y tấn nguyên liệu loại II có thể chiết xuất được 10y kg chất A và 1,5y kg chất B.

Tổng khối lượng chất A là: 20 x  10 y kg

Tổng khối lượng chất B là: 0,6 x  1,5 y kg

Vì người ta dự định dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất ít nhất 140kg chất A và 9kg chất B nên ta có hệ bất phương trình sau 20 x  10 y  140 0,6 x  1,5 y  9  (*)  0  x  10   0  y  9

Khi đó bài toán trở thành:

Trong các nghiệm của hệ bất phương trình (*), tìm nghiệm ( x, y) sao cho

F  4 x  3 y nhỏ nhất.

Trong mặt phẳng tọa độ, ta sẽ biểu diễn phần mặt phẳng chứa điểm M( x, y) thỏa mãn (*). Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là tứ giác ABCD kể cả miền trong tứ giác (Như hình vẽ).

Biểu thức F  4 x  3 y đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác ABCD. Tại các đỉnh

44

O(0;0), A(2;0), B(1;3), C (0;4) , ta thấy F đạt giá trị nhỏ nhất tại ( x, y)  (1;3) .

Khi đó, F  6,8 .

Vậy phải dùng 1 tấn nguyên liệu loại I và 3 tấn nguyên liệu loại II để chi phí mua nguyên liệu là thấp nhất.

Bài 3. Một máy cán thép có thể sản xuất hai sản phẩm thép tấm và thép cuộn với công suất cho mỗi loại là (nếu chỉ sản xuất một sản phẩm): thép tấm là 250 tấn/giờ, thép cuộn là 150 tấn/giờ. Lợi nhuận bán sản phẩm là: thép tấm là 25USD/tấn, thép cuộn là 30USD/tấn. Theo tiếp thị, một tuần chỉ tiêu thụ được

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

tối đa 5000 tấn thép tấm và 3500 tấn thép cuộn. Biết rằng máy làm việc không quá 40 giờ một tuần. Cần sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu trong một tuần để có lợi nhuận cao nhất?

Giải

Gọi x, y lần lượt là số tấn thép tấm và thép cuộn sản xuất trong một tuần.

0  x  5000,0  y  3500

Tổng lợi nhuận là F  25x  30 y USD Để sản xuất x tấn thép tấm cần

x giờ 250

Để sản xuất y tấn thép cuộn cần

y giờ 150

Vì máy làm việc không quá 40 giờ một tuần nên ta có hệ bất phương trình sau  0  x  5000  0  y  3500 (*)  x y    40  250 150

Khi đó bài toán trở thành: Trong các nghiệm của hệ bất phương trình (*), tìm nghiệm ( x, y) sao cho

F  25x  30 y lớn nhất.

45

Trong mặt phẳng tọa độ, ta sẽ biểu diễn phần mặt phẳng chứa điểm

M( x, y) thỏa mãn (*). Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là ngũ giác OABCD kể cả miền trong ngũ giác (Như hình vẽ).

Biểu thức F  25x  30 y đạt giá trị

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác OABCD. Tại các đỉnh

12500 O(0;0), A(5000;0), B(5000;3000), C ( ;3500), D(0;3500) , ta thấy F đạt 3 giá trị lớn nhất tại ( x, y)  (5000;3000) . Khi đó, F = 215000 USD. Vậy cần sản xuất 5000 tấn thép tấm và 3000 tấn thép cuộn trong một tuần để thu được lợi nhuận cao nhất.

Bài 4. Một công ty điện tử sản xuất hai kiểu radio trên hai dây chuyền độc lập. Công suất của dây chuyền 1 là 45 radio/ngày và dây chuyền 2 là 80 radio/ngày. Để sản xuất một chiếc radio kiểu một cần 12 linh kiện điện tử E, và một chiếc radio kiểu hai cần 9 linh kiện này. Số linh kiện này được cung cấp mỗi ngày không quá 900. Tiền lãi khi bán được một chiếc radio kiểu một là 250 nghìn đồng và kiểu hai là 180 nghìn đồng. Hãy lập kế hoạch sản xuất cho lãi nhiều nhất trong ngày?

Giải

Gọi x, y lần lượt là số radio kiểu một và kiểu hai sản xuất trong một ngày,

0  x  45,0  y  80 Số tiền lãi thu về trong một ngày là F  250 x  180 y (nghìn đồng) Tổng số linh kiện cần sử dụng là 12 x  9 y Vì số linh kiện này được cung cấp mỗi ngày không quá 900 nên ta có hệ bất phương trình sau:

46

12 x  9 y  900  (*) 0  x  45 0  y  80 

Khi đó bài toán trở thành: Trong các nghiệm của hệ bất phương trình (*), tìm nghiệm ( x, y) sao cho

F  250 x  180 y lớn nhất.

Trong mặt phẳng tọa độ, ta sẽ biểu diễn phần mặt phẳng chứa điểm M( x, y) thỏa

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

mãn (*). Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là ngũ giác OABCD kể cả miền trong ngũ giác (Như hình vẽ).

Biểu thức F  250 x  180 y đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác OABCD. Tại các đỉnh

O(0;0),A(45;0),B(45;40),C(15;80),D(0;80) , ta thấy F đạt giá trị lớn nhất tại

( x, y)  (45;40) . Khi đó, F = 18.450.000

Vậy cần sản xuất 45 radio kiểu 1 và 40 radio kiểu hai trong một ngày để thu được lợi nhuận cao nhất.

Bài 5. Một hộ ở Bát Tràng sản xuất 2 loại sản phẩm là bát và lọ hoa. Để sản xuất một chiếc bát cần 0,5 kg đất cao lanh và một giờ để làm, đem lại mức lãi 4000 đồng; Để sản xuất một lọ hoa cần 1kg đất cao lanh và 0,5 giờ để làm, đem lại mức lãi 3000 đồng. Với lượng nguyên liệu là 50kg và thời gian 70 giờ thì phải sản xuất bao nhiêu chiếc mỗi loại để thu được tổng số tiền lãi cao nhất ?

Giải Gọi x, y lần lượt là số chiếc bát và lọ hoa mà hộ gia đình sản xuất, x, y  Khi đó số tiền lãi là F= 4000 x  3000 y (đồng)

47

Để sản xuất x chiếc bát và y lọ hoa cần 0,5x  y kg cao lanh và x  0,5 y giờ để làm.

Ta có lượng nguyên liệu là 50kg và thời gian 70 giờ, do đó ta có hệ bất phương trình 0,5 x  y  50   x  0,5 y  70 (*)  x, y  0 

Khi đó bài toán trở thành :

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Trong các nghiệm của hệ bất phương trình (*), tìm nghiệm ( x, y) sao cho

F  4000x  3000y lớn nhất.

Trong mặt phẳng tọa độ, ta sẽ biểu diễn phần mặt phẳng chứa điểm M( x, y) thỏa mãn (*). Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là tứ giác OABC kể cả miền trong tứ giác (Như hình vẽ).

Biểu thức F  4000x  3000y đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác OABC. Tại các đỉnh

O(0;0);A(70;0);B(60;20);C(0;50)

ta

thấy F đạt giá trị lớn nhất tại B(60;20) .

Khi đó, F = 300.000 đồng.

Vậy hộ gia đình cần sản xuất 60 chiếc bát và 20 lọ hoa để thu được tổng số tiền lãi cao nhất.

Bài 6. Một hộ nông dân định trồng quất cảnh và cam cảnh trên diện tích 3 sào (1 sào bắc bộ = 360m2). Nếu trồng quất thì cần 20 công và thu được 50 triệu đồng trên 1 sào, nếu trồng cam cảnh thì cần 30 công và thu được 60 triệu đồng trên 1 sào. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích bao nhiêu để thu được nhiều tiền nhất? Biết rằng tổng số công không quá 80.

Giải

48

Gọi x, y (sào) lần lượt là diện tích mà hộ gia đình định trồng quất cảnh và cam cảnh, x, y  0 Do gia đình định trồng trên diện tích 3 sào nên x  y  3 Để trồng x (sào) quất cảnh cần 20x công và để trồng y (sào) cam cảnh cần

30y công Do tổng số công không quá 80 công nên 20 x  30 y  80 Khi đó số tiền lãi là F  50 x  60 y (triệu đồng)

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Ta có hệ bất phương trình

x  y  3 20 x  30 y  80  (*)   x 0  0  y

Khi đó bài toán trở thành :

Trong các nghiệm của hệ bất phương trình (*), tìm nghiệm ( x, y) sao cho

F  50x  60 y lớn nhất.

Trong mặt phẳng tọa độ, ta sẽ biểu diễn phần mặt phẳng chứa điểm M( x, y) thỏa mãn (*). Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là tứ giác OABC kể cả miền trong tứ giác (Như hình vẽ).

Biểu thức F  50x  60 y đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác

8 OABC. Tại các đỉnh O(0;0);A(3;0);B(1;2);C(0; ) ta thấy F đạt giá trị lớn 3 nhất tại B(1;2) . Khi đó, F = 170 triệu đồng.

Vậy gia đình cần trồng 1 sào quất cảnh và 2 sào cam cảnh để thu được số tiền lãi cao nhất.

49

Bài 7. Một doanh nghiệp ở Móng Cái có đầm nuôi không quá 30 tấn tôm sú loại 1 và loại 2. Mỗi tấn tôm sú loại 1 khi bán lãi 100 triệu đồng. Mỗi tấn tôm sú loại 2 khi bán lãi 75 triệu đồng. Mỗi tấn tôm sú loại 1 đến khi bán ăn hết 150 kg thức ăn. Mỗi tấn tôm sú loại 2 đến khi bán ăn hết 100 kg thức ăn. Hỏi hộ gia đình đó cần nuôi bao nhiêu tấn tôm sú mỗi loại sao cho số tiền lãi là lớn nhất, biết đại lí thức ăn cung cấp vốn bằng cách cho nợ không quá 4000 kg thức ăn.

Giải

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Gọi x, y (tấn) lần lượt là số tấn tôm sú loại 1 và loại 2 mà hộ gia đình định nuôi, x, y  0

Do gia đình có đầm nuôi không quá 30 tấn tôm hai loại nên x  y  30 Để nuôi x tấn tôm sú loại 1 cần 150x kg thức ăn và để nuôi y tấn tôm sú loại 2 cần 100y kg thức ăn

Do đại lí thức ăn cho nợ không quá 4 000 kg thức ăn nên 150 x  100 y  4000 Khi đó số tiền lãi là F  100 x  75 y (triệu đồng) Ta có hệ bất phương trình

 x  y  30 150 x  100 y  4000  (*)  0  x  0  y

Khi đó bài toán trở thành : Trong các nghiệm của hệ bất phương trình (*), tìm nghiệm ( x, y) sao cho

F  100 x  75 y lớn nhất.

Trong mặt phẳng tọa độ, ta sẽ biểu diễn phần mặt phẳng chứa điểm M( x, y) thỏa mãn (*). Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là tứ giác OABC kể cả miền trong tứ giác (Như hình vẽ).

50

Biểu thức F  100 x  75 y đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác OABC. Tại các đỉnh O(0;0);A(

80 ;0);B(20;10);C(0;30) 3

ta thấy F đạt giá trị lớn nhất tại B(20;10) . Khi đó, F = 2750 triệu đồng.

Vậy doanh nghiệp cần nuôi 20 tấn tôm sú loại 1 và 10 tấn tôm sú loại 2 để thu được số tiền

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

lãi cao nhất.

Bài 8. Xí nghiệp Ladoda ở Kiêu Kị sản xuất hai loại sản phẩm bằng da là cặp sách và ba lô. Một chiếc cặp sách sản xuất mất 2 giờ và lãi 20 000 đồng ; Một chiếc ba lô sản xuất mất 1 giờ và lãi 15 000 đồng. Biết xí nghiệp có 125 công nhân, mỗi công nhân làm việc 8 giờ/ ngày. Nguyên liệu da đủ để sản xuất 800 sản phẩm mỗi ngày và trong mỗi ngày chỉ có 400 khóa cặp, 700 khóa ba lô.

Tìm số sản phẩm mỗi loại phải sản xuất trong 1 ngày để có lãi nhiều nhất.

Giải

Gọi x, y (chiếc) lần lượt là số cặp sách và ba lô mà xí nghiệp sản xuất mỗi ngày, x, y 

.

Khi đó số tiền lãi là F= 20000 x  15000 y (đồng)

Để sản xuất x chiếc cặp sách và y chiếc ba lô cần 2 x  5 y giờ. Mà xí nghiệp có 125 công nhân, mỗi công nhân làm việc 8giờ/ngày nên ta có bất phương trình 2x  5y  1000 Nguyên liệu da đủ để sản xuất 800 sản phẩm mỗi ngày nên x  y  800 Trong mỗi ngày chỉ có 400 khóa cặp và 700 khóa ba lô nên

0  x  400,0  y  700 Ta có hệ bất phương trình

51

2 x  5 y  1000  x  y  800  (*)   x  0 400  0  y  700

Khi đó bài toán trở thành : Trong các nghiệm của hệ bất phương trình (*), tìm nghiệm ( x, y) sao cho

F  20000x  15000y lớn nhất.

Trong mặt phẳng tọa độ, ta sẽ biểu

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

diễn phần mặt phẳng chứa điểm

M( x, y) thỏa mãn (*). Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*)

là tứ giác OABC kể cả miền trong tứ giác (Như hình vẽ).

Biểu thức

F  20000x  15000y

đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác OABC. Tại các đỉnh

O(0;0);A(400;0);B(400;40);C(0;200) ta thấy F đạt giá trị lớn nhất tại B(400;40) . Khi đó, F = 8.600.000 đồng.

Vậy xí nghiệp cần sản xuất 400 cặp sách và 40 ba lô trong một ngày để thu được số tiền lãi cao nhất.

Bài 9. Một gia đình định trồng cà phê và ca cao trên diện tích 10ha. Nếu trồng cà phê thì cần 20 công và thu về 10 triệu đồng trên diện tích mỗi ha, nếu trồng ca cao thì cần 30 công và thu 12 triệu đồng trên diện tích mỗi ha. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu để thu được nhiều tiền nhất.

Biết rằng cà phê do các thành viên trong gia đình tự chăm sóc và số công không vượt quá 80, còn ca cao gia đình thuê người làm với giá 100 nghìn đồng cho mỗi công.

Giải

52

Gọi x, y (ha) lần lượt là diện tích mà gia đình trồng cà phê và ca cao, x, y  0 Do gia đình có tổng diện tích 10ha nên x  y  10 Để trồng x (ha) cà phê cần 20x công và để trồng y (ha) ca cao cần 30y công Do số công trồng cà phê không quá 80 công nên 20 x  80 Mỗi công trồng ca cao có giá 100 nghìn đồng nên để trồng y (ha) ca cao cần số tiền công là 3000y nghìn đồng.

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Khi đó số tiền thu về là 10 x  12 y (triệu đồng)

Số tiền lãi là F  10 x  12 y  3 y  10 x  9 y (triệu đồng) Ta có hệ bất phương trình

 x  y  10  0  x  4 (*) 0  y 

Khi đó bài toán trở thành:

Trong các nghiệm của hệ bất phương trình (*), tìm nghiệm ( x, y) sao cho

F  10x  9y lớn nhất.

Trong mặt phẳng tọa độ, ta sẽ biểu diễn phần mặt phẳng chứa điểm M( x, y) thỏa mãn (*).

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là tứ giác OABC kể cả miền trong tứ giác (Như hình vẽ).

Biểu thức F  10x  9y đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác OABC. Tại các đỉnh O(0;0);A(4;0);B(4;6);C(0;10) ta thấy F đạt giá trị lớn nhất tại B(4;6) . Khi đó, F = 94 triệu đồng.

53

Vậy gia đình cần trồng 4ha cà phê và 6ha ca cao để thu được tổng số tiền lãi cao nhất.

Bài 10. Một công ty trong một tháng cần sản xuất ít nhất 12 viên kim cương to và 9 viên kim cương nhỏ. Từ một tấn Cacbon loại 1 (Giá 100 triệu đồng) có thể chiết xuất được 6 viên kim cương to và 3 viên kim cương nhỏ, từ một tấn Cacbon loại 2 (Giá 40 triệu đồng) có thể chiết xuất được 2 viên kim cương to và 2 viên kim cương nhỏ. Mỗi viên kim cương to có giá 20 triệu đồng, mỗi viên kim cương nhỏ có giá 10 triệu đồng. Hỏi trong một tháng công ty này thu

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

về được nhiều nhất là bao nhiêu tiền. Biết rằng mỗi tháng chỉ được sử dụng tối đa 4 tấn Cacbon mỗi loại.

Giải

Gọi x, y lần lượt là số tấn Cacbon loại 1 và loại 2 mà công ty trên dùng để chiết xuất kim cương 0  x, y  4

Khi đó tổng chi phí là : 100 x  40 y

Từ số nguyên liệu trên chiết xuất được 6 x  2 y viên kim cương to và 3x  2 y viên kim cương nhỏ.

Số tiền thu được (Cả vốn và lãi) từ các viên kim cương là :

(6 x  2 y).20  (3x  2 y).10  150 x  60 y triệu đồng Lợi nhuận hàng tháng công ty thu về là :

F  (150 x  60 y)  (100 x  40 y)  50x  20y triệu đồng 6 x  2 y  12  Ta có hệ bất phương trình : 3 x  2 y  9 (*)  0  x, y  4 

Khi đó bài toán trở thành : Trong các nghiệm của hệ bất phương trình (*),

tìm

nghiệm

( x, y)

sao

cho

F  50x  20y lớn nhất.

54

Trong mặt phẳng tọa độ, ta sẽ biểu diễn phần mặt phẳng chứa điểm M( x, y) thỏa mãn (*). Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là ngũ giác ABCDE kể cả miền trong ngũ giác (Như hình vẽ).

Biểu thức F  50x  20y đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác ABCDE. Tại các đỉnh A, B, C, D, E, ta thấy F đạt giá trị lớn nhất tại

( x; y)  (4;4) .

Vậy công ty cần dùng 4 tấn Cacbon mỗi loại để thu về lợi nhuận cao nhất.

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Dạng 2. Bài toán kinh tế Bài 1. Công ty taxi A có giá 10 000 đồng cho km đầu tiên, các km tiếp theo có giá 8 000 đồng trên 1km. Công ty taxi B có giá 18 000 đồng cho km đầu tiên và 6 000 đồng tính cho mỗi km tiếp theo. Hỏi người khách đi bao nhiêu km thì số tiền phải trả cho công ty A và B là như nhau?

Giải

Giả sử nếu đi x (km) thì số tiền phải trả cho hai công ty là như nhau, x  1 Vì công ty taxi A có giá 9 000 đồng cho km đầu tiên, các km tiếp theo có giá 6 000 đồng trên 1km nên ta có số tiền phải trả cho công ty A là

10000  8000( x  1) (đồng)

Vì công ty taxi B có giá 12 000 đồng cho km đầu tiên và 5 000 đồng tính cho mỗi km tiếp theo nên số tiền phải trả cho công ty B là

18000  6000( x  1) (đồng) Vì số tiền phải trả cho hai công ty là như nhau nên ta có phương trình

10000  8000( x  1)  18000  6000( x  1) x4

55

Vậy nếu đi 4km thì số tiền người khách này phải trả cho cả hai công ty là như nhau.

Bài 2. Chi phí để sản xuất một bộ trò chơi là 100 nghìn đồng. Giá bán của nó là 150 nghìn đồng. Nếu cửa hàng muốn thu lợi nhuận ít nhất 5% thì họ cần giảm giá cho sản phẩm này tối đa bao nhiêu phần trăm?

Giải Cửa hàng muốn thu lợi nhuận ít nhất 5% nên giá phải bán ít nhất là

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

100.1,05  105 nghìn đồng.

Gọi số phần trăm tối đa cần giảm là x , ta có 150.(1  x)  105  x  30% Vậy cửa hàng cần giảm giá cho sản phẩm này tối đa là 30%.

Bài 3. Một chiếc laptop được bán với giá bằng 80% so với giá niêm yết và cửa hàng vẫn thu lãi được 20%. Tính giá niêm yết của nó, biết giá nhập về của chiếc laptop là 2400 USD. Giải

Gọi giá niêm yết là x (USD).

Vì chiếc laptop được bán với giá bằng 80% so với giá niêm yết, nên giá bán là

0,8x (USD)

Vì cửa hàng vẫn thu lãi được 20% và giá nhập về của chiếc laptop là 2400 USD nên ta có phương trình: 0,8x  2400.1,2 Suy ra x  3600 (USD)

Vậy giá niêm yết của chiếc laptop là 3600 USD. Bài 4. Một cửa hàng tăng giá máy điều hòa mới thêm 10%, sau đó lại tăng thêm 10% nữa. Lần cuối cùng họ tăng thêm 5%. Hỏi cửa hàng phải giảm giá bao nhiêu % để sản phẩm trở về giá ban đầu ?

Giải Gọi r là số phần trăm cần giảm và giá gốc là P

56

Vì cửa hàng tăng giá máy điều hòa mới thêm 10%, sau đó lại tăng thêm 10% nữa, lần cuối cùng họ tăng thêm 5% và cần giảm giá để trở về giá ban đầu nên ta có phương trình sau :

P.1,1.1,1.1,05.(1  x)  P Suy ra r  21,3% Vậy cửa hàng phải giảm giá 21,3% để sản phẩm trở về giá ban đầu.

Bài 5. Giá một chiếc áo khoác mùa đông năm 2015 tăng 5% so với năm 2014.

Năm 2016, giá lại tăng thêm 10% so với năm 2015. Năm 2017, giá lại giảm

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

15% so với năm 2016. Hỏi năm 2017 giá chiếc áo tăng hay giảm bao nhiêu phần trăm so với năm 2014 ?

Giải

Gọi P là giá chiếc áo năm 2014.

Giá chiếc áo năm 2017 là P.1,05.1,1.0,85  0,98175.P  P(1  0,01825) Vậy năm 2017 giá chiếc áo giảm 1,825% so với năm 2014.

Bài 6. Một cửa hàng buôn bán xe cũ mua một chiếc ô tô và nâng giá của nó thêm 40%. Sau đó, chiếc xe được bán với giá bằng 80% giá đã nâng và cửa hàng lãi 4800 USD. Hỏi cửa hàng đã mua chiếc xe bao nhiêu USD ?

Giải

Gọi giá chiếc xe mà cửa hàng đã mua là x (USD), x  0 Cửa hàng đã bán chiếc xe với giá x.1,4.0,8 (USD)

Do cửa hàng lãi 4800 USD nên ta có phương trình x.1,4.0,8  x  4800 Giải ra x  40000 Vậy cửa hàng đã mua chiếc xe với giá 40000 USD Bài 7. Một chủ cửa hàng mang 1 450 000 đồng đến ngân hàng để đổi thành 1025 tờ tiền lẻ loại 1000 đồng, 2000 đồng, 5000 đồng để thuận tiện cho việc phụ tiền cho người mua khi mua hàng. Biết rằng tổng số tiền loại 1000 đồng và hai lần số tiền 2000 đồng bằng hai lần số tiền 5000 đồng. Hỏi người chủ cửa hàng đó đổi được bao nhiêu tờ tiền mỗi loại ?

57

Giải Gọi x, y, z lần lượt là số tờ tiền các loại 1000 đồng, 2000 đồng và 5000 đồng

x, y, z  . Ta có :  x  y  z  1025  1000 x  2000 y  5000 z  1450000 hay 1000 x  4000 y  10000 z 

 x  y  z  1025  x  900    x  2 y  5 z  1450   y  25  x  4 y  10 z  z  100  

Vậy người chủ cửa hàng đó đổi được 900 tờ loại 1000 đồng, 25 tờ loại 2000 đồng và 100 tờ loại 5000 đồng.

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Bài 8. Một nhà khoa học nghiên cứu tác động phối hợp của vitamin A và vitamin B đối với cơ thể người. Theo đó một người mỗi ngày có thể tiếp nhận được không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B; một người mỗi ngày cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả A lẫn B. Do tác động phối hợp của hai loại vitamin, mỗi ngày, số đơn vị vitamin B không ít hơn

1 số đơn vị vitamin A nhưng không nhiều hơn 3 lần số đơn vị vitamin A. 2

Giá của một đơn vị vitamin A là 9 đồng, giá của một đơn vị vitamin B là 7,5 đồng. Hỏi cần chi ít nhất bao nhiêu tiền mỗi ngày để dùng đủ cả hai loại vitamin trên.

Giải

Gọi x, y (đơn vị) lần lượt là số đơn vị vitamin A và vitamin B cần mua mỗi ngày, x, y  0

Khi đó, số tiền cần chi để mua vitamin là F  9 x  7,5 y (đồng) Vì một người mỗi ngày có thể tiếp nhận được không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B nên ta có 0  x  600,0  y  500 Hơn nữa, một người mỗi ngày cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả A lẫn B nên ta có 400  x  y  1000

58

Mặt khác, số đơn vị vitamin B không ít hơn

1 số đơn vị vitamin A nhưng 2

không nhiều hơn 3 lần số đơn vị vitamin A nên

1 x  y  3x 2

Ta có hệ bất phương trình

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

400  x  y  1000 1  x  y  3x (*) 2 0  x  600  0  y  500

Khi đó bài toán trở thành:

Trong các nghiệm của hệ bất phương trình (*), tìm nghiệm ( x, y) sao cho

F  9 x  7,5 y nhỏ nhất.

Trong mặt phẳng tọa độ, ta sẽ biểu

diễn phần mặt phẳng chứa điểm

M( x, y) thỏa mãn (*). Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là

lục giác ABCDEF kể cả miền trong lục giác (Như hình vẽ).

Biểu thức F  9 x  7,5 y đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của lục giác ABCDEF. Tại các đỉnh

A(

800 400 500 ; ), B(600;300), C (600;400),D(500;500),E( ;500), F (100;300) 3 3 3

ta thấy F đạt giá trị nhỏ nhất tại F (100;300) . Khi đó, F  3150 (đồng) Vậy cần chi ít nhất 3150 đồng mỗi ngày để dùng đủ cả hai loại vitamin trên.

Dạng 3. Bài toán trò chơi Bài 1. Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24g hương liệu, 9 lít nước và 210g đường để pha chế nước cam và nước táo. Để 59

pha chế 1 lít nước cam cần 30g đường, 1 lít nước và 1g hương liệu; pha chế 1 lít nước táo cần 10g đường, 1 lít nước và 4g hương liệu. Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để được số điểm thưởng là lớn nhất ?

Giải Gọi x, y lần lượt là số lít nước cam, nước táo của mỗi đội pha chế, x, y  0 Khi đó, số điểm thưởng của mỗi đội là 60 x  80 y

liệu

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Để pha chế x lít nước cam cần 30x gam đường, x lít nước và x gam hương Để pha chế y lít nước táo cần 10y gam đường, y lít nước và 4 y gam hương liệu

Do đó ta có :

Số gam đường cần dùng : 30 x  10 y gam Số lít nước cần dùng : x  y lít

Số gam hương liệu cần dùng : x  4 y gam

Vì trong cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24g hương liệu, 9 lít nước và 210g đường, nên x, y thỏa mãn hệ bất phương trình sau : 30 x  10 y  210 x  y  9  (*)  x  4 y  24   x, y  0

Khi đó bài toán trở thành : Trong các nghiệm của hệ bất phương trình (*), tìm nghiệm ( x, y) sao cho

F  60 x  80 y lớn nhất.

60

Trong mặt phẳng tọa độ, ta sẽ biểu diễn phần mặt phẳng chứa điểm M( x, y) thỏa mãn (*). Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là ngũ giác OABCD kể cả miền trong ngũ giác (Như hình vẽ).

Biểu thức F  60 x  80 y đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác OABCD.

Tại

các

đỉnh

O(0;0),A(7;0),B(6;3),C(4;5),D(0;6) ,

ta

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

thấy F đạt giá trị lớn nhất tại (x, y)  (4;5) . Khi đó, F  640 .

Vậy cần pha chế 4 lít nước cam và 5 lít

nước táo để đạt số điểm thưởng lớn nhất là 640 điểm.

Bài 2. Trong một cuộc thi gói bánh vào dịp năm mới, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 20kg gạo nếp, 2kg thịt ba chỉ và 5kg đậu xanh để gói bánh chưng và bánh ống. Để gói một cái bánh chưng cần 0,4 kg gạo nếp, 0,05 kg thịt và 0,1 kg đậu xanh; để gói một cái bánh ống cần 0,6kg gạo nếp, 0,075kg thịt và 0,15 kg đậu xanh. Mỗi cái bánh chưng nhận được 5 điểm thưởng, mỗi cái bánh ống nhận được 7 điểm thưởng. Hỏi cần phải gói mấy cái bánh chưng mỗi loại để được nhiều điểm thưởng nhất ?

Giải

Gọi x, y lần lượt là số bánh chưng và bánh ống x, y  Khi đó số điểm thưởng là F  5x  7 y

Để gói x cái bánh chưng cần 0,4x kg gạo nếp, 0,05x kg thịt và 0,1x kg đậu xanh Để gói y cái bánh ống cần 0,6y kg gạo nếp, 0,075y kg thịt và 0,15y kg đậu xanh Số gạo nếp cần dùng là 0,4 x  0,6 y (kg)

61

Số thịt cần dùng là 0,05x  0,075 y (kg) Số đậu xanh cần dùng là 0,1x  0,15 y (kg) Vì mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 20kg gạo nếp, 2kg thịt ba chỉ và 5kg đậu xanh nên ta có hệ bất phương trình sau : 0,4 x  0,6 y  20 0,05 x  0,075 y  2  (*)    0,1 x 0,15 y 5    x, y  0

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Khi đó bài toán trở thành :

Trong các nghiệm của hệ bất phương trình (*), tìm nghiệm ( x, y) sao cho

F  5x  7 y lớn nhất.

Trong mặt phẳng tọa độ, ta sẽ biểu

diễn phần mặt phẳng chứa điểm

M( x, y) thỏa mãn (*). Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*)

là tam giác OAB kể cả miền trong tam giác (Như hình vẽ).

Biểu thức F  5x  7 y đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của tam giác OAB. Tại các đỉnh O(0;0),A(40;0),B(0;

80 ) , ta thấy F đạt giá trị lớn nhất tại 3

( x, y)  (40;0) . Khi đó, F  200 .

Vậy cần gói 40 cái bánh chưng để nhận số điểm thưởng là lớn nhất.

Bài 3. Trong một cuộc thi về “Bữa ăn dinh dưỡng”, ban tổ chức yêu cầu để đảm bảo lượng dinh dưỡng hàng ngày thì mỗi gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn hàng ngày. Mỗi kg thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit, một kg thịt heo chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng mẹ chỉ được mua tối đa 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt heo. 1kg thịt bò giá 280.000đ, 1kg thịt heo giá 90.000đ.

62

Phần thắng sẽ thuộc về gia đình nào trong khẩu phần thức ăn đảm bảo chất dinh dưỡng và chi phí bỏ ra là ít nhất.

Giải Gọi x, y lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn cần mua 0  x  1,6;0  y  1,1 Khi đó, tổng chi phí cho bữa ăn là : F  280 x  90 y nghìn đồng

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

800 x  600 y  900 200 x  400 y  400  Ta có hệ bất phương trình sau :  (*) 0  x  1,6   0  y  1,1

Khi đó bài toán trở thành :

Trong các nghiệm của hệ bất phương trình (*), tìm nghiệm ( x, y) sao cho

F  280 x  90 y nhỏ nhất.

Trong mặt phẳng tọa độ, ta sẽ biểu

diễn phần mặt phẳng chứa điểm

M( x, y) thỏa mãn (*). Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là

tứ giác ABCD kể cả miền trong tứ giác (Như hình vẽ).

Biểu thức F  280 x  90 y đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ

giác ABCD. Tại các đỉnh A(1,6;1,1), B(1,6;0,2), C (0,6;0,7), D(0,3;1,1) , ta thấy F đạt giá trị nhỏ nhất tại ( x, y)  (0,3;1,1) .

Vậy cần mua 0,3 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn để khẩu phần thức ăn đảm bảo chất dinh dưỡng và chi phí bỏ ra là ít nhất.

Dạng 4. Bài toán vận tải

63

Bài 1. Một công ty taxi có 85 xe chở khách gồm hai loại, xe chở được 4 khách và xe chở được 7 khách. Dùng tất cả các xe đó, tối đa công ty chở một lần được 445 khách. Tính số xe mỗi loại của công ty taxi trên.

Giải Gọi x, y lần lượt là số xe chở được 4 khách và số xe chở được 7 khách của công ty trên, x, y 

.

Vì công ty có tổng số 85 xe nên ta có x  y  85 Dùng tất cả các xe đó, tối đa công ty chở một lần được 445 khách nên ta có

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

phương trình 4 x  7 y  445

 x  y  85  x  50 Do đó, ta có hệ phương trình   4 x  7 y  445  y  35

Vậy công ty trên có 50 xe chở được 4 khách và 35 xe chở được 7 khách.

Bài 2. Một công ty du lịch dự định xây dựng một hệ thống cáp treo để chở khách tham quan. Qua khảo sát thì có thể lắp đặt được 36 cabin chở khách gồm hai loại, loại cabin chở được 2 người và loại cabin chở được 4 người.

Thời gian để mỗi cabin di chuyển hết 1 vòng là 1 giờ. Để mỗi giờ công ty du lịch chở được 100 khách thì phải lắp mỗi loại cabin bao nhiêu chiếc ?

Giải

Gọi x, y lần lượt là số cabin chở được 2 người và số cabin chở được 4 người cần lắp công ty trên, x, y 

.

Vì có thể lặp đặt được 36 cabin nên ta có x  y  36 Vì mỗi giờ công ty du lịch cần chở 100 khách nên 2 x  4 y  100  x  y  36  x  22 Do đó, ta có hệ phương trình   2 x  4 y  100  y  14

Vậy công ty trên cần lắp 22 cabin loại chở được 2 người và 14 cabin loại chở được 4 người.

64

Bài 3. Một công ty cần thuê xe để chở 140 người và 9 tấn hàng. Nơi thuê xe có hai loại xe A và B, trong đó loại xe A có 10 chiếc và loại xe B có 9 chiếc.

Mỗi chiếc xe loại A cho thuê với giá 4 triệu đồng, một chiếc xe loại B cho thuê với giá 3 triệu đồng. Biết rằng mỗi xe loại A có thể chở tối đa 20 người và 0,6 tấn hàng; mỗi chiếc xe loại B có thể chở tối đa 10 người và 1,5 tấn hàng. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí bỏ ra là ít nhất.

Giải Gọi x, y lần lượt là số xe loại A và B, 0  x  10,0  y  9, x, y 

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Tổng chi phí thuê xe là : F  4 x  3 y triệu đồng

Với x xe loại A có thể chở được 20x người và 0,6x tấn hàng Với y xe loại B có thể chở được 10y người và 1,5y tấn hàng Tổng số người chở được là : 20 x  10 y người

Tổng khối lượng hàng chở được là : 0,6 x  1,5 y tấn

Vì công ty cần thuê xe để chở 140 người và 9 tấn hàng nên ta có hệ bất phương trình sau

20 x  10 y  140 0,6 x  1,5 y  9  (*)    0 x 10   0  y  9

Khi đó bài toán trở thành :

Trong các nghiệm của hệ bất phương trình (*), tìm nghiệm ( x, y) sao cho

F  4 x  3 y nhỏ nhất.

Trong mặt phẳng tọa độ, ta sẽ biểu diễn phần mặt phẳng chứa điểm M( x, y) thỏa mãn (*). Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là tứ giác OABC kể cả miền trong tứ giác (Như hình vẽ).

65

Biểu thức F  4 x  3 y đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác OABC. Tại các đỉnh O(0;0), A(2;0), B(1;3), C (0;4) , ta thấy F đạt giá trị nhỏ nhất tại ( x, y)  (1;3) . Khi đó, F  6,8 .

Vậy cần thuê 1 xe loại A và 3 xe loại B để chi phí thuê xe là thấp nhất.

Dạng 5. Bài toán chuyển động Bài 1. Một người đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 78km, sau đó 1 giờ người thứ hai đi từ tỉnh B đến tỉnh A, hai người gặp nhau tại địa điểm C cách B

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

36km. Tính thời gian mỗi người đã đi từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau, biết vận tốc người thứ hai lớn hơn vận tốc người thứ nhất là 4km/h.

Giải

Gọi x (km/h) là vận tốc của người thứ nhất, x  0 .

Vì vận tốc người thứ hai lớn hơn vận tốc người thứ nhất là 4km/h nên vận tốc người thứ hai là x  4 (km/h).

Khi người thứ hai bắt đầu khởi hành từ B đến A thì người thứ nhất đã đi được quãng đường là x (km).

Gọi D là điểm mà sau 1 giờ đầu tiên người thứ nhất đi tới đó thì AD  x .

Thời gian người thứ nhất đi từ D đến C bằng thời gian người thứ hai đi từ B đến C nên ta có phương trình 

78  x  36 36  x x4

42  x 36 (42  x)( x  4)  36 x  0  0  x 2  2 x  168  0 x x4 x( x  4)

Giải phương trình bậc hai trên ta được x  14 (thỏa mãn) hoặc x  12 (loại).

Vậy thời gian người thứ hai đi từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau là 2 giờ, thời gian người thứ hai đi từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau là 3 giờ.

Bài 2. Trong một cuộc đua xe mô tô, ba tay đua đó khởi hành cùng một lúc.

Mỗi giờ người thứ hai chạy chậm hơn người thứ nhất 15km và nhanh hơn người thứ ba 3km nên người thứ hai đến đích chậm hơn người thứ nhất 12 phút và sớm hơn người thứ ba 3 phút. Tính vận tốc của ba tay đua mô tô trên.

66

Giải Gọi x (km/h) là vận tốc đua của người thứ hai, x  0

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Gọi y (giờ) là thời gian đua của người thứ hai, y  0

67

Ta có bảng sau : Vận tốc (km/h) Người thứ 1

x  15

Người thứ 2

x

Người thứ 3

x 3

Thời gian (giờ)

y

1 5

Quãng đường (km) 1  ( x  15)  y   5 

y

y

xy

1 20

1   ( x  3)  y   20  

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Vì ba tay đua chạy trên cùng một quãng đường nên ta có hệ phương trình

 1   3 1 x  y  3  x  75 ( x  3)  y  20   xy     20  20    6  1 1 ( x  15)  y    xy  x  15 y  3  y  5    5 5  

Vậy vận tốc của tay đua thứ hai là 75 (km/h), của tay đua thứ nhất là 90 (km/h), của tay đua thứ ba là 72 (km/h).

Bài 3. Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách

bờ

biển

một

khoảng

cách

AB=4km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7km.

Người canh hải đăng có thể chèo thuyền từ A đến điểm M trên bờ biển với vận

tốc 3km/h rồi đi bộ đến C với vận tốc 5km/h (như hình vẽ). Tính khoảng cách giữa B và M để thời gian người đó đến kho là 148 phút.

Giải Đặt BM=x (km), điều kiện 0  x  7 .

Ta có AM =

16  x 2 (km) và MC = 7  x (km). Thời gian để người canh hải

đăng di chuyển từ A đến C là

16  x 2 7  x  (giờ). Ta có phương trình 3 5

68

16  x 2 7  x 37    5 16  x 2  3(7  x)  37  5 16  x 2  16  3x 3 5 15 16  x     x  3.

3 2 2 25(16  x )  (16  3x) 

Vậy BM=3km.

Bài 4: Trong khi đi dọc theo các đường ray tàu điện, tôi nhận thấy cứ 12 phút có một tàu vượt qua tôi và cứ 4 phút tôi gặp một tàu. Tôi và các tàu điện di

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

chuyển cùng một vận tốc như nhau. Với những khoảng thời gian nào các tàu điện rời khỏi ga cuối cùng của các tàu?

Giải

Nếu x phút tàu rời ga cuối cùng thì điều đó có nghĩa là ở nơi mà một trong các tàu vượt qua tôi có một tàu điện sẽ đến sau đó x phút. Khi tàu điện khác này đến lượt nó vượt qua tôi nó đã chạy trong 12  x phút con đường mà chính tôi đã đi qua trong 12 phút. Điều đó có nghĩa là tàu điện đi trong

12  x phút con 12

đường mà tôi đã đi trỏng 1 phút. Ở chiều khác, một tàu điện gặp tôi 4 phút sau tàu điện trước. Trong x  4 phút còn lại, nó đi con đường mà tôi đi trong 4 phút. Suy ra con đường mà tôi đi trong 1 phút thì tàu điện đã đi trong phút.

Ta có phương trình:

x  4 12  x x6  4 12

Vậy cứ 6 phút thì các tàu điện rời khỏi ga cuối cùng của các tàu.

Dạng 6. Bài toán thực tiễn có yếu tố hình học Bài 1. Người ta muốn thiết kế một vườn hoa hình chữ nhật nội tiếp trong một mảnh đất hình tròn đường kính bằng 4m (Như hình vẽ). Xác định kích thước hình chữ nhật để diện tích trồng hoa là 8 mét vuông.

69

x4 4

Giải Gọi x (m) là độ dài một cạnh hình chữ nhật cần tìm ( 0  x  4 ). Ta có độ dài cạnh còn lại của hình chữ nhật là 16  x 2 (m).

Do đó diện tích hình chữ nhật là S  x 16  x 2 (m2).

S  8m2  x 16  x 2  8  x 2 (16  x 2 )  64  x 4  16 x 2  64  0

 x 2  8  x  2 2 hoặc x  2 2

Vậy các cạnh của hình chữ nhật đều có độ dài là 2 2 m, tức hình vuông cạnh

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

2 2 m.

Bài 2. Ông A có một khu vườn hình tam giác vuông cần trang trí bằng cách đặt hàng rào gỗ xung quanh khuôn viên khu vườn. Biết cạnh thứ nhất của khu vườn dài hơn cạnh thứ hai của khu vườn là 2m, cạnh thứ hai dài hơn cạnh thứ ba là 23m. Hỏi ông A cần bao nhiêu tiền để mua hàng rào trang trí, biết mỗi mét hàng rào gỗ có giá là 250.000đ.

Giải

Gọi x (m) là độ dài cạnh thứ ba của khu vườn ( x  0 ). Khi đó độ dài cạnh thứ hai là x  23 (m), độ dài cạnh thứ nhất là x  25 (m).

Vì khu vườn có hình tam giác vuông nên áp dụng định lí Pytago ta có phương trình

x2  ( x  23)2  ( x  25)2  x 2  4 x  96  0  x  12 hoặc x  8

Suy ra độ dài cạnh thứ ba là 12m, độ dài cạnh thứ hai là 35m, độ dài cạnh thứ nhất là 37m. Vậy chu vi khu vườn là 84m. Vậy ông A cần số tiền để trang trí là T  84x250.000  21.000.000 đồng 2.2.5. Định hướng sử dụng hệ thống bài toán thực tiễn chủ đề phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình Hệ thống bài toán được xem là cơ sở quan trọng trong việc lồng ghép những bài toán có nội dung thực tiễn vào dạy học. Tùy vào từng mục, từng quá trình, từng chi tiết cụ thể mà ta có kế hoạch dạy học, rèn luyện cho học 70

sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn một cách phù hợp nhất. Những bài toán trong hệ thống bài toán chỉ mang tính chất điểm tựa, để bài dạy thêm sinh động, tận dụng được nhiều cơ hội liên hệ thực tế hơn. Trong nhiều trường hợp ta cần sáng tạo thêm một số bài toán khác đơn giản hơn, cụ thể hơn, sát với đời sống thực tế hơn nhưng không phức tạp trong việc giải chúng. Cụ thể khi sử dụng và giảng dạy hệ thống bài toán cần chú ý những điểm sau đây: Thứ nhất: Về việc khai thác hệ thống bài toán trong giảng dạy

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Mặc dù hệ thống bài toán được lựa chọn cân nhắc một cách thận trọng

về nội dung hình thức số lượng trong dạy học chủ đề phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, nhưng trong quá trình giảng dạy cần chú ý vận dụng linh hoạt vào từng trường hợp cụ thể, chẳng hạn như:

- Đối với học sinh trung bình, yếu ta cần sử dụng những bài toán ở mức

độ thấp hơn hoặc sử dụng vừa phải những bài toán trong hệ thống, có sự hướng dẫn, gợi ý để giúp các em hoàn thành được bài toán. Ví dụ như các bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 dạng 2; bài 1, 2, 3 dạng 4; bài 1, 2 dạng 6; bài 1, 2 dạng 5;…

- Đối với học sinh khá giỏi giáo viên có thể lựa chọn những bài tập

nâng cao, ra nhiều bài tập hơn so với các học sinh khác, các bài tập cần biến đổi và tư duy. Ví dụ như bài 8, 9, 10 dạng 1; bài 8 dạng 2; bài 1, 2, 3 dạng 3; bài 4 dạng 5; …

Thứ hai: Về việc lựa chọn thời điểm đưa các bài toán có nội dung thực tiễn vào giảng dạy.

Tùy thuộc vào từng nội dung kiến thức, từng đối tượng học sinh mà ta đưa bài toán có nội dung thực tiễn vào thời điểm nào là phù hợp.

- Có thể đưa bài toán có nội dung thực tiễn vào giai đoạn gợi động cơ. Chẳng hạn như khi dạy về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, có thể sử dụng bài 8 dạng 2; bài 1, 2, 3 dạng 3; … để đặt vấn đề gợi động cơ cho bài học.

71

- Khi khai thác các ví dụ và tình huống thực tế trong xây dựng và củng cố kiến thức, thay thế bổ sung các ví dụ hoặc bài tập trong sách giáo khoa. Ví dụ như bài 2 dạng 6 có thể thay thế cho bài tập 15 sách giáo khoa đại số 10 Nâng cao trang 80 hay bài 8 dạng 1 có thể dùng bổ sung làm ví dụ trong mục 3, §5 trong sách giáo khoa Đại số 10 Nâng cao trang 131.

- Ngoại khóa ứng dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn phù hợp với trình độ của học sinh. Ví dụ như bài 4 dạng 5 có thể sử dụng làm một bài toán đố trong một buổi ngoại khóa, vì sau khi toán học hóa bài toán thực tiễn này học

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

sinh sẽ có một phương trình bậc nhất một ẩn khá đơn giản, tuy nhiên, điểm hay của bài toán là nó đòi hỏi sự tư duy, lập luận tinh tế để tìm ra phương trình đó.

Thứ ba: Về phương pháp dạy học bài toán có nội dung thực tiễn.

Trong giảng dạy các bài toán có nội dung thực tiễn cần chú ý vận dụng

linh hoạt các bước sau:

Bước 1: Chuyển bài toán thực tiễn về dạng ngôn ngữ thích hợp với lý thuyết toán học dùng để giải (lập mô hình toán học của bài toán).

Bước 2: Dùng kiến thức toán học để giải bài toán.

Bước 3: Chuyển kết quả của lời giải Toán học về ngôn ngữ của lĩnh vực thực tiễn.

Trong ba bước trên, bước 1 thường được xem là bước quan trọng nhất.

Để thực hiện được bước này, giáo viên cần tập luyện cho học sinh biết xem xét những đại lượng trong những mối liên hệ với nhau, phát hiện những mối liên quan về lượng giữa chúng để trên cơ sở đó có thể biểu thị đại lượng này qua đại lượng khác, phát hiện ra đâu là những yếu tố cho trước, đâu là yếu tố cần tìm để từ đó vận dụng những kiến thức đã biết để giải quyết bài toán.

72

2.3. Kiểm nghiệm hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình cho học sinh lớp 10 2.3.1. Mục đích kiểm nghiệm Kiểm nghiệm mức độ khó dễ của hệ thống bài toán thực tiễn đã xây dựng từ đó điều chỉnh và hoàn thiện hệ thống bài tập.

2.3.2. Thời gian kiểm nghiệm Từ ngày 16/04/2018 đến ngày 28/04/2018.

2.3.3. Nội dung kiểm nghiệm

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

- Chúng tôi đã soạn ba đề kiểm tra, mỗi đề gồm 4 bài toán thực tiễn, thuộc các nội dung phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Các bài toán này được lấy trong hệ thống bài toán thực tiễn đã soạn thảo ở mục 2.2.4. Thời gian làm bài là 45 phút. Nội dung cụ thể của đề kiểm tra và thang điểm chấm (tham khảo) được trình bày ở phần phụ lục 3.

- Tiến hành kiểm tra cho học sinh lớp 10 (10A6, 10A8), trường THPT Trần Phú, thành phố Móng Cái, tỉnh Quảng Ninh với số học sinh tham gia kiểm nghiệm là 82 học sinh.

- Phân tích kết quả, từ đó rút ra nhận xét, đánh giá hệ thống bài toán thực tiễn.

2.3.4. Phương pháp kiểm nghiệm

- Từ 12 bài toán đã chọn ra, chúng tôi chia thành ba đề 1, 2, 3 khác nhau. Sau đó cho học sinh hai lớp trên làm lần lượt 3 đề. (Phụ lục 3)

- Trước khi kiểm nghiệm, học sinh được thông báo hình thức, nội dung kiểm tra trước một tuần để có kế hoạch ôn tập.

- Kết quả kiểm nghiệm được xử lý theo phương pháp thống kê. Từ đó rút ra nhận xét, đánh giá cần thiết, làm cơ sở để chỉnh sửa các bài toán chưa phù hợp.

2.3.5. Kết quả kiểm nghiệm - Phân tích, đánh giá từng bài toán đã kiểm nghiệm

73

Đề 1 Câu 1: Đây là một bài toán ở mức độ dễ có mức điểm tối đa là 2 điểm. Khi toán học hóa bài toán này, học sinh sẽ thu được một phương trình bậc nhất một ẩn đơn giản và giải được dễ dàng. Không có học sinh (HS) nào đạt điểm từ 0,5 trở xuống; có 4 HS (4,88%) đạt (0,5; 1]; có 9 HS (10,98%) đạt (1; 1,5] và 69 HS (84,15%) đạt (1,5; 2]. Như vậy, hầu hết HS làm được bài toán này nên nó được sử dụng ở mức độ dễ là phù hợp.

Câu 2: Đây là một bài toán ở mức độ dễ có mức điểm tối đa là 2 điểm. Khi

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

toán học hóa bài toán này, học sinh sẽ thu được một hệ phương trình bậc nhất ba ẩn. Không có HS nào có điểm từ 0,5 trở xuống; có 3 HS (3,66%) đạt (0,5; 1]; có 1 HS (1,22%) đạt (1; 1,5] và 78 HS (95,12%) đạt (1,5; 2]. Như vậy, bài toán này được sử dụng ở mức độ dễ là phù hợp.

Câu 3: Đây là một bài toán ở mức độ trung bình có mức điểm tối đa là 3 điểm. Khi toán học hóa bài toán này và biến đổi, học sinh sẽ thu được một phương trình bậc hai một ẩn. Không có HS nào đạt 0 điểm; có 1 HS (1,22%) có điểm thuộc (0; 0,5]; có 2 HS (2,44%) đạt (0,5; 1]; có 2 HS (2,44%) đạt (1; 1,5]; có 4 HS (4,88%) đạt (1,5; 2]; có 13 HS (15,85%) đạt (2; 2,5] và 60 HS (73,17%) đạt (2,5; 3]. Như vậy, bài toán này được sử dụng ở mức độ trung bình là chưa phù hợp vì hầu hết học sinh đều làm đúng. Bài toán này nên sử dụng ở mức độ là một bài toán dễ, dành cho học sinh yếu kém, dưới trung bình.

Câu 4: Đây là một bài toán ở mức độ khó có mức điểm tối đa là 3 điểm. Khi toán học hóa bài toán này, học sinh sẽ thu được một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và phải đi tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức bậc nhất hai ẩn.

Có 11 HS (13,41%) đạt 0 điểm; có 12 HS (14,63%) có điểm thuộc (0; 0,5]; có 36 HS (43,90%) đạt (0,5; 1]; có 18 HS (21,95%) đạt (1; 1,5]; có 2 HS (2,44%) đạt (1,5; 2]; có 1 HS (1,22%) đạt (2; 2,5] và 2 HS (2,44%) đạt (2,5; 3]. Như

74

vậy, bài toán này được sử dụng ở mức độ khó là phù hợp. Nên dùng bài toán này ở phần củng cố, luyện tập để phân loại học sinh khá, giỏi. Đề 2 Câu 1: Đây là một bài toán ở mức độ dễ có mức điểm tối đa là 2 điểm. Khi toán học hóa bài toán này, học sinh sẽ thu được một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn đơn giản. Không có HS nào đạt từ 0,5 điểm trở xuống; có 4 HS (4,88%) đạt (0,5; 1]; có 8 HS (9,76%) đạt (1; 1,5] và 70 HS (85,37%) đạt (1,5; 2]. Như vậy, bài toán này được sử dụng ở mức độ dễ là phù hợp, dành cho tất

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

cả học sinh.

Câu 2: Đây là một bài toán ở mức độ dễ có mức điểm tối đa là 2 điểm. Khi toán học hóa bài toán này, học sinh sẽ thu được một phương trình bậc nhất một ẩn. Không có HS nào đạt 0 điểm; có 1 HS (1,22%) đạt (0; 0,5]; có 5 HS (6,10%) đạt (0,5; 1]; có 3 HS (3,66%) đạt (1; 1,5] và 73 HS (89,02%) đạt (1,5; 2]. Như vậy, bài toán này được sử dụng ở mức độ dễ là phù hợp.

Câu 3: Đây là một bài toán ở mức độ trung bình có mức điểm tối đa là 3 điểm. Khi toán học hóa bài toán này và biến đổi, học sinh sẽ thu được một phương trình bậc hai một ẩn. Có 3 HS (3,66%) không làm được câu này; không có HS nào đạt điểm (0; 0,5]; có 2 HS (2.44%) đạt (0,5; 1]; có 10 HS (12,20%) đạt (1; 1,5]; có 51 HS (63,41%) đạt (1,5; 2]; có 8 HS (9,76%) đạt (2; 2,5] và 8 HS (9,76%) đạt (2,5; 3]. Như vậy, bài toán này được sử dụng ở mức độ trung bình là phù hợp, dành cho học sinh khá và trung bình khá.

Câu 4: Đây là một bài toán ở mức độ khó có mức điểm tối đa là 3 điểm. Khi toán học hóa bài toán này, học sinh sẽ thu được một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và phải đi tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức bậc nhất hai ẩn.

Có 13 HS (15,85%) đạt 0 điểm; có 10 HS (12,20%) có điểm thuộc (0; 0,5]; có 39 HS (47,56%) đạt (0,5; 1]; có 13 HS (15,85%) đạt (1; 1,5]; có 4 HS (4,88%) đạt (1,5; 2]; có 2 HS (2,44%) đạt (2; 2,5] và 1 HS (1,22%) đạt (2,5; 3]. Như

75

vậy, bài toán này được sử dụng ở mức độ khó là phù hợp. Nên dùng bài toán này ở phần củng cố, luyện tập để phân loại học sinh khá, giỏi. Đề 3 Câu 1: Đây là một bài toán ở mức độ dễ có mức điểm tối đa là 2 điểm. Khi toán học hóa bài toán này, học sinh sẽ thu được một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Không có HS nào đạt điểm từ 0,5 trở xuống; có 3 HS (3,66%) đạt (0,5; 1]; có 12 HS (14,63%) đạt (1; 1,5] và 67 HS (81,71%) đạt (1,5; 2]. Như vậy, bài toán này được sử dụng ở mức độ dễ là phù hợp.

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Câu 2: Đây là một bài toán ở mức độ dễ có mức điểm tối đa là 2 điểm. Khi toán học hóa bài toán này, học sinh sẽ thu được một phương trình bậc nhất một ẩn. Không có HS nào đạt 0 điểm; có 1 HS (2,44%) đạt (0; 0,5]; có 1 HS (9,76%) đạt (0,5; 1]; có 6 HS (25,06%) đạt (1; 1,5] và 74 HS (60,98%) đạt (1,5; 2]. Như vậy, bài toán này được sử dụng ở mức độ dễ là phù hợp.

Câu 3: Đây là một bài toán ở mức độ trung bình có mức điểm tối đa là 3 điểm. Khi toán học hóa bài toán này và áp dụng định lí Pytago, học sinh sẽ thu được một phương trình bậc hai một ẩn. Không có HS nào đạt điểm dưới 1; có 5 HS (6,10%) đạt (1; 1,5]; có 6 HS (7,32%) đạt (1,5; 2]; có 18 HS (21,95%) đạt (2; 2,5] và 53 HS (64,63%) đạt (2,5; 3]. Như vậy, bài toán này được sử dụng ở mức độ trung bình là chưa phù hợp vì tỉ lệ phần trăm HS làm đúng là cao, và không có em nào không làm được. Do đó, bài toán này nên chuyển sang sử dụng ở mức độ là bài toán dễ.

Câu 4: Đây là một bài toán ở mức độ khó có mức điểm tối đa là 3 điểm. Khi toán học hóa bài toán này, học sinh sẽ thu được một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và phải đi tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức bậc nhất hai ẩn.

Có 12 HS (14,63%) đạt 0 điểm; có 10 HS (12,20%) có điểm thuộc (0; 0,5]; có 24 HS (29,27%) đạt (0,5; 1]; có 19 HS (23,17%) đạt (1; 1,5]; có 8 HS (9,76%) đạt (1,5; 2]; có 5 HS (6,10%) đạt (2; 2,5] và 4 HS (4,88%) đạt (2,5; 3]. Như

76

vậy, bài toán này được sử dụng ở mức độ khó là phù hợp. Nên dùng bài toán này ở phần củng cố, luyện tập để phân loại học sinh khá, giỏi.

Như vậy, sau khi tiến hành kiểm nghiệm 12/30 bài toán đã xây dựng, có thể nói phần lớn các bài toán được kiểm nghiệm đều phù hợp với mục tiêu kiến thức, kĩ năng, chỉ có 2/12/30 bài toán cần thay đổi vị trí về mức độ khó

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

dễ để phù hợp với học sinh hơn.

77

Kết luận chương 2 Chương 2 đã xây dựng một hệ thống bài toán thực tiễn gồm 30 bài toán về phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình theo từng dạng bài tập và độ khó tăng dần. Đây không phải là những bài tập quá khó đối với học sinh, nhưng nó lại là những bài tập đòi hỏi sự tư duy, lập luận của học sinh để đưa các bài toán thực tiễn về bài tập thuần túy toán học và giải chúng.

Dựa trên hệ thống bài toán thực tiễn chủ đề phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình đã xây dựng, chúng tôi đã lựa chọn 12 bài tập để

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

tiến hành kiểm nghiệm. Sau khi tiến hành kiểm tra, chúng tôi đã phân tích độ khó, độ phân biệt và phân tích khả năng vận dụng của bài toán trong đời sống thực tiễn. Từ đó, chúng tôi nhận thấy các bài toán thực tiễn trong đề đều khá phù hợp với học sinh và đã bước đầu hình thành những hình dung của học sinh về mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn, góp phần tạo hứng thú và niềm say mê học toán của học sinh.

Việc kiểm nghiệm chất lượng các bài toán thực tiễn bước đầu đã giúp

chúng tôi tích luỹ được những kinh nghiệm cần thiết trong việc xây dựng và đánh giá chất lượng hệ thống bài toán thực tiễn. Với những kinh nghiệm và kết quả đã đạt được, trong thời gian tới chúng tôi sẽ cố gắng chỉnh sửa, hoàn thiện hệ thống bài toán thực tiễn đã xây dựng một cách tốt nhất.

Như vậy chương 2 đã thực hiện được nhiệm vụ 5.3 và 5.4 được đặt ra ở

đầu khóa luận này.

78

KẾT LUẬN Trên đây là những nghiên cứu và nội dung cơ bản của bài khóa luận: “Xây dựng hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình cho học sinh lớp 10”. Khóa luận đã giải quyết được những vấn đề như sau: - Đưa ra được cơ sở lý luận và thực tiễn về bài toán thực tiễn, tính thực tiễn của Toán học và thực trạng xây dựng, sử dụng bài toán thực tiễn.

- Xây dựng và kiểm nghiệm được hệ thống bài toán thực tiễn chủ đề phương

10.

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn cho học sinh lớp Qua bài khóa luận này giúp cho bạn đọc có cái nhìn đầy đủ và sâu sắc

hơn về bài toán thực tiễn đặc biệt là chủ đề phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình góp phần tích cực trong việc đổi mới phương pháp dạy cũng như phương pháp kiểm tra đánh giá môn toán ở trường Trung học phổ thông nhằm nâng cao chất lượng dạy và học.

Do kiến thức và thời gian còn hạn chế nên khóa luận của em chỉ kiểm

nghiệm được 12 trên 30 bài toán đã xây dựng. Trong thời gian tới, em sẽ tiếp tục tiến hành kiểm nghiệm những bài toán thực tiễn còn lại để từ đó chỉnh sửa và hoàn thiện hệ thống bài toán đã xây dựng. Khóa luận của em không thể tránh khỏi những sai sót về nội dung và hình thức, em rất mong nhận được sự góp ý, chỉ bảo của Quý thầy, cô giáo và các bạn sinh viên để đề tài của em được hoàn chỉnh, chính xác và đầy đủ hơn.

Hà Nội, ngày 08 tháng 05 năm 2018 Sinh viên

Phạm Thị Thu Hà

79

TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bộ giáo dục và đào tạo, Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ, Số 482 tháng 8 năm 2017, NXB Giáo dục.

[2] Lê Thị Mỹ Hà (Chủ biên), nhiều tác giả, Tài liệu tập huấn PISA 2015 và các dạng câu hỏi do OECD phát hành lĩnh vực Toán học.

[3] G. Polya (1975), Giải một bài toán như thế nào?, Bản dịch tiếng việt của Hồ Tường NXB Giáo dục.

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

[4] Nguyễn Bá Kim (2015), Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Đại học Sư phạm.

[5] Phạm Hoàng Quân (Chủ biên), Phạm Sỹ Nam, Phan Hoàng Chơn, Nguyễn Sơn Hà, Hoa Ánh Tường, Ôn tập, kiểm tra năng lực môn Toán lớp 10 (Theo hình thức tự luận và trắc nghiệm), NXB Đại học Sư phạm.

[6] Đoàn Quỳnh, Sách giáo khoa Đại số 10 Nâng cao, NXB Giáo dục.

[7] PGS.PTS.NGƯT. Đoàn Phan Tân, “Toán học và thực tiễn đời sống”, Thông báo khoa học Đại học văn hóa, Tháng 4 năm 1999.

[8] Từ điển Petit Robert (1993), Edition DicoRobert, Canada.

80

PHỤ LỤC PHỤ LỤC 1

PHIẾU KHẢO SÁT Phần A: Thông tin cá nhân Họ và tên: …………………………………………………………………

Lớp: ………………………………………………………………………

Trường: …………………………………………………………………

Phần B: Nội dung

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Hãy đánh dấu (X) vào ô trống trước phương án mà các em lựa chọn 1. Em có gặp các bài toán thực tiễn trong chương trình học môn Toán nói chung không?

Chưa bao giờ

Có nhưng rất ít Thỉnh thoảng

Thường xuyên

2. Em có gặp các bài toán thực tiễn chủ đề phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong chương trình học không?

Chưa bao giờ

Có nhưng rất ít Thỉnh thoảng

Thường xuyên 3. Em biết đến các bài toán thực tiễn từ đâu?

Từ sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo Từ internet Từ các đề kiểm tra, đề thi Trong bài giảng của thầy, cô giáo

Tất cả các phương án trên

4. Em thấy việc học các bài toán thực tiễn có cần thiết không?

Không cần thiết Có cũng được, không có cũng không sao Tương đối cần thiết Rất cần thiết

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

5. Các em có gặp các bài toán thực tiễn trong đề kiểm tra, đề thi không?

Không hề có

Có, nhưng rất ít Thỉnh thoảng

Thường xuyên

6. Em có hứng thú với việc học các bài toán thực tiễn không?

Không hứng thú Ít hứng thú Hứng thú

Rất hứng thú

7. Độ khó của các bài toán thực tiễn mà em gặp Dễ Bình thường Khó Rất khó

8. Các bài toán thực tiễn em gặp có mang tính thời sự, cập nhật không?

Không cập nhật Có nhưng rất ít Bình thường Thường xuyên cập nhật 9. Em thấy khả năng ứng dụng của các bài toán thực tiễn em từng được gặp vào cuộc sống như thế nào?

Không có ứng dụng

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Có nhưng rất ít Bình thường

Có tính ứng dụng cao

10. Em mong muốn giải các bài toán thực tiễn trong vấn đề nào?

Các môn học khác như Lí, Hóa, Sinh, …

Kinh tế

Vấn đề xã hội

Tất cả các nội dung trên

11. Nếu thầy (cô) tăng cường sử dụng hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học và kiểm tra, em có gặp khó khăn gì không?

………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

Xin chân thành cảm ơn! Chúc các em sức khỏe, học tập tốt!

PHỤ LỤC 2 PHIẾU KHẢO SÁT Để có những tư liệu thực tế phục vụ cho đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình, em rất mong nhận được sự giúp đỡ từ quý thầy cô. Việc lấy ý kiến chỉ duy nhất nhằm mục đích nghiên cứu. Sự giúp đỡ chân thành và nhiệt tình của quý thầy cô sẽ góp phần làm cho đề tài của em thành công hơn.

Phần A: Thông tin cá nhân (Quý thầy cô có thể không cung cấp thông tin) Họ và tên: ………………………………………………………

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Trường: …………………………………………………………

Phần B: Nội dung

Thầy (cô) hãy đánh dấu (X) vào ô trống trước phương án phù hợp 1. Thầy (cô) hãy cho biết mức độ sử dụng bài toán thực tiễn trong dạy học môn Toán?

Không sử dụng

Có sử dụng nhưng rất ít

Sử dụng khá thường xuyên Sử dụng rất nhiều

2. Thầy (cô) hãy cho biết mức độ sử dụng bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong giảng dạy?

Không sử dụng Có sử dụng nhưng rất ít Sử dụng khá thường xuyên Sử dụng rất nhiều 3. Hệ thống các bài toán thực tiễn mà thầy cô sử dụng được lấy từ đâu?

Sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo

Từ internet Từ các đề thi của các trường bạn Tự xây dựng để sử dụng Tất cả các phương án trên 4. Việc đưa hệ thống bài toán thực tiễn vào dạy học có cần thiết không?

Không cần thiết Có cũng được, không có cũng không sao

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Tương đối cần thiết Rất cần thiết

5. Thầy (cô) có sử dụng các bài toán thực tiễn trong đề kiểm tra không?

Không hề có

Có, nhưng rất hiếm khi sử dụng Thỉnh thoảng

Thường xuyên sử dụng

6. Khi sử dụng các bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình cho học sinh lớp 10, cảm nhận của thầy (cô) về mức độ tiếp thu bài của học sinh là như thế nào?

Học sinh tiếp thu bài nhanh hơn, tốt hơn, hứng thú học hơn.

Học sinh vẫn tiếp thu bình thường.

Học sinh có hứng thú nhưng giải bài chậm.

Học sinh không hiểu bài, không hứng thú.

7. Thầy (cô) thường sử dụng bài toán thực tiễn trong giai đoạn nào của quá trình dạy học? (Có thể lựa chọn nhiều phương án) Đảm bảo trình độ xuất phát

Gợi động cơ Làm việc với nội dung mới Củng cố, luyện tập Kiểm tra, đánh giá Bài tập về nhà Tất cả các phương án trên 8. Trong hoạt động ngoại khóa, thầy (cô) có thường xuyên sử dụng bài toán thực tiễn không?

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Không bao giờ Thỉnh thoảng

Thường xuyên

Luôn luôn sử dụng

9. Thầy (cô) có mong muốn sử dụng hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học không?

Có

Không

10. Nếu sử dụng hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học, thầy (cô) cần thêm sự hỗ trợ nào không? (Về thời lượng tiết học, cơ sở vật chất, nguồn tài liệu, …) ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………

Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô! Kính chúc thầy cô sức khỏe, công tác tốt!

PHỤ LỤC 3

ĐỀ KIỂM TRA SỐ 1 Câu 1: (2đ) Chi phí để sản xuất một bộ trò chơi là 100 nghìn đồng. Giá bán của nó là 150 nghìn đồng. Nếu cửa hàng muốn thu lợi nhuận ít nhất 5% thì họ cần giảm giá cho sản phẩm này tối đa bao nhiêu phần trăm?

Câu 2: (2đ) Một chủ cửa hàng mang 1 450 000 đồng đến ngân hàng để đổi thành 1025 tờ tiền lẻ loại 1000 đồng, 2000 đồng, 5000 đồng để thuận tiện cho việc phụ tiền cho người mua khi mua hàng. Biết rằng tổng số tiền loại 1000

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

đồng và hai lần số tiền 2000 đồng bằng hai lần số tiền 5000 đồng. Hỏi người chủ cửa hàng đó đổi được bao nhiêu tờ tiền mỗi loại?

Câu 3: (3đ) Người ta muốn thiết kế một vườn hoa hình chữ

nhật nội tiếp trong một mảnh đất hình tròn đường kính bằng 4m (Như hình vẽ). Xác định kích thước hình chữ nhật để diện tích trồng hoa là 8 mét vuông.

Câu 4: (3đ) Một doanh nghiệp ở Móng Cái có đầm nuôi không quá 30 tấn tôm sú loại 1 và loại 2. Mỗi tấn tôm sú loại 1 khi bán lãi 100 triệu đồng. Mỗi tấn tôm sú loại 2 khi bán lãi 75 triệu đồng. Mỗi tấn tôm sú loại 1 đến khi bán ăn hết 150 kg thức ăn. Mỗi tấn tôm sú loại 2 đến khi bán ăn hết 100 kg thức ăn.

Hỏi hộ gia đình đó cần nuôi bao nhiêu tấn tôm sú mỗi loại sao cho số tiền lãi là lớn nhất, biết đại lí thức ăn cung cấp vốn bằng cách cho nợ không quá 4000 kg thức ăn.

Lời giải Câu 1

Điểm

Cửa hàng muốn thu lợi nhuận ít nhất 5% nên giá phải bán ít nhất là 100.1,05  105 nghìn đồng

0,5

Gọi số phần trăm tối đa cần giảm là x , ta có 150.(1  x)  105

0.5

 x  30%

0.5

0.5

Gọi x, y, z lần lượt là số tờ tiền các loại 1000 đồng, 2000 đồng và 5000 đồng x, y, z  .

0.5

 x  y  z  1025  1000 x  2000 y  5000 z  1450000 1000 x  4000 y  10000 z 

0.5

 x  y  z  1025  x  900    x  2 y  5 z  1450   y  25  x  4 y  10 z  z  100  

0.5

Vậy người chủ cửa hàng đó đổi được 900 tờ loại 1000 đồng, 25 tờ loại 2000 đồng và 100 tờ loại 5000 đồng.

0.5

Gọi x (m) là độ dài một cạnh hình chữ nhật cần tìm ( 0  x  4)

0.5

Ta có độ dài cạnh còn lại của hình chữ nhật là 16  x 2 (m).

0.5

Do đó diện tích hình chữ nhật là S  x 16  x 2 (m2).

0.5

S  8m2  x 16  x 2  8

0.5

 x2 (16  x 2 )  64  x 4  16 x 2  64  0

0.5

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Câu 2

Vậy cửa hàng cần giảm giá cho sản phẩm này tối đa là 30%.

Câu 3

 x 2  8  x  2 2 hoặc x  2 2

Vậy các cạnh của hình chữ nhật đều có độ dài là 2 2 m,

0.5

tức hình vuông cạnh 2 2 m.

Câu 4

Gọi x, y (tấn) lần lượt là số tấn tôm sú loại 1 và loại 2 mà hộ gia đình định nuôi, x, y  0

0.5

Khi đó số tiền lãi là F  100 x  75 y (triệu đồng) Do gia đình có đầm nuôi không quá 30 tấn tôm hai loại

0.5

nên x  y  30 Để nuôi x tấn tôm sú loại 1 cần 150x kg thức ăn và để nuôi y tấn tôm sú loại 2 cần 100y kg thức ăn Do đại lí thức ăn cho nợ không quá 4 000 kg thức ăn nên

150 x  100 y  4000

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Ta có hệ bất phương trình  x  y  30 150 x  100 y  4000  (*)  0  x  0  y

Khi đó bài toán trở thành :

0.5

Trong các nghiệm của hệ bất phương trình (*), tìm nghiệm

( x, y) sao cho F  100 x  75 y lớn nhất.

Trong mặt phẳng tọa độ, ta sẽ biểu diễn phần mặt phẳng chứa điểm M( x, y)

thỏa mãn (*). Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là tứ giác OABC kể cả miền trong tứ giác (Như hình vẽ).

Biểu thức F  100 x  75 y

đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác OABC. Tại các đỉnh O(0;0);A(

80 ;0);B(20;10);C(0;30) ta 3

1

thấy F đạt giá trị lớn nhất tại B(20;10) . Khi đó, F = 2750 triệu đồng.

(Thiếu hình vẽ trừ 0,5đ) Vậy doanh nghiệp cần nuôi 20 tấn tôm sú loại 1 và 10 tấn

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

tôm sú loại 2 để thu được số tiền lãi cao nhất.

0.5

ĐỀ KIỂM TRA SỐ 2 Câu 1: (2đ) Một công ty taxi có 85 xe chở khách gồm hai loại, xe chở được 4 khách và xe chở được 7 khách. Dùng tất cả các xe đó, tối đa công ty chở một lần được 445 khách. Tính số xe mỗi loại của công ty taxi trên.

Câu 2: (2đ) Một chiếc laptop được bán với giá bằng 80% so với giá niêm yết và cửa hàng vẫn thu lãi được 20%. Tính giá niêm yết của nó, biết giá nhập về của chiếc laptop là 2400 USD. Câu 3: (3đ) Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng cách

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

AB=4km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7km.

Người canh hải đăng có thể chèo thuyền từ A đến điểm M trên bờ biển với vận tốc 3km/h rồi đi bộ đến C với vận tốc 5km/h (như hình vẽ). Tính khoảng cách giữ B và M để thời gian người đó đến kho là 148 phút.

Câu 4: (3đ) Trong một cuộc thi gói bánh vào dịp năm mới, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 20kg gạo nếp, 2kg thịt ba chỉ và 5kg đậu xanh để gói bánh chưng và bánh ống. Để gói một cái bánh chưng cần 0,4 kg gạo nếp, 0,05 kg thịt và 0,1 kg đậu xanh; để gói một cái bánh ống cần 0,6kg gạo nếp, 0,075kg thịt và 0,15 kg đậu xanh. Mỗi cái bánh chưng nhận được 5 điểm thưởng, mỗi cái bánh ống nhận được 7 điểm thưởng. Hỏi cần phải gói mấy cái bánh chưng mỗi loại để được nhiều điểm thưởng nhất?

Lời giải

Câu 1

Điểm

Gọi x, y lần lượt là số xe chở được 4 khách và số xe chở 0,5 được 7 khách của công ty trên, x, y 

.

Vì công ty có tổng số 85 xe nên ta có x  y  85 Dùng tất cả các xe đó, tối đa công ty chở một lần được 445 khách nên ta có phương trình 4 x  7 y  445

0.5

 x  y  85  x  50 Do đó, ta có hệ phương trình   4 x  7 y  445  y  35

0.5

Vậy công ty trên có 50 xe chở được 4 khách và 35 xe chở 0.5 được 7 khách.

Câu 2

Gọi giá niêm yết là x (USD), x  0

0.5

Vì chiếc laptop được bán với giá bằng 80% so với giá niêm

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

yết, nên giá bán là 0,8x (USD)

Câu 3

Vì cửa hàng vẫn thu lãi được 20% và giá nhập về của chiếc laptop là 2400 USD nên ta có phương trình: 0,8x  2400.1,2

0.5

Suy ra x  3600 (USD)

0.5

Vậy giá niêm yết của chiếc laptop là 3600 USD.

0.5

Đặt BM=x (km), điều kiện 0  x  7

0.5

Ta có AM = 16  x 2 (km) và MC = 7  x (km). Thời gian để người canh hải đăng di chuyển từ A đến C là

0.5

16  x 2 7  x  (giờ).

3 5

Ta có phương trình

0.5

16  x 2 7  x 37   3 5 5

 5 16  x2  3(7  x)  37  5 16  x 2  16  3x

0.5

16  x     x  3.

3 2 2 25(16  x )  (16  3 x) 

0.5

Vậy BM=3km.

0.5

Câu 4

Gọi x, y lần lượt là số bánh chưng và bánh ống x, y  0

0.5

Khi đó số điểm thưởng là F  5x  7 y Để gói x cái bánh chưng cần 0,4x kg gạo nếp, 0,05x kg thịt 0.5 và 0,1x kg đậu xanh Để gói y cái bánh ống cần 0,6y kg gạo nếp, 0,075y kg thịt và 0,15y kg đậu xanh

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Số gạo nếp cần dùng là 0,4 x  0,6 y Số thịt cần dùng là 0,05x  0,075 y

Số đậu xanh cần dùng là 0,1x  0,15 y

Vì mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 20kg gạo nếp, 2kg thịt ba chỉ và 5kg đậu xanh nên ta có hệ bất phương trình sau : 0,4 x  0,6 y  20 0,05 x  0,075 y  2  (*)    0,1 x 0,15 y 5    x, y  0

Khi đó bài toán trở thành :

Trong các nghiệm của hệ bất phương trình (*), tìm nghiệm

( x, y) sao cho F  5x  7 y lớn nhất.

0.5

Trong mặt phẳng tọa độ, ta sẽ

1

biểu diễn phần mặt phẳng chứa điểm M( x, y) thỏa mãn (*). Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là tam giác OAB kể cả miền trong tam giác (Như hình vẽ).

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Biểu thức F  5x  7 y đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh

của

tam

O(0;0),A(40;0),B(0;

giác

OAB.

Tại

các

đỉnh

80 ) , ta thấy F đạt giá trị lớn nhất tại 3

( x, y)  (40;0) . Khi đó, F  200 .

(Thiếu hình vẽ trừ 0,5đ)

Vậy cần gói 40 cái bánh chưng để nhận số điểm thưởng là lớn 0.5 nhất.

ĐỀ KIỂM TRA SỐ 3 Câu 1: (2đ) Một công ty du lịch dự định xây dựng một hệ thống cáp treo để chở khách tham quan. Qua khảo sát thì có thể lắp đặt được 36 cabin chở khách gồm hai loại, loại cabin chở được 2 người và loại cabin chở được 4 người. Thời gian để mỗi cabin di chuyển hết 1 vòng là 1 giờ. Để mỗi giờ công ty du lịch chở được 100 khách thì phải lắp mỗi loại cabin bao nhiêu chiếc?

Câu 2: (2đ) Giá một chiếc áo khoác mùa đông năm 2015 tăng 5% so với năm 2014. Năm 2016, giá lại tăng thêm 10% so với năm 2015. Năm 2017, giá lại

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

giảm 15% so với năm 2016. Hỏi năm 2017 giá chiếc áo tăng hay giảm bao nhiêu phần trăm so với năm 2014?

Câu 3: (3đ) Ông A có một khu vườn hình tam giác vuông cần trang trí bằng cách đặt hàng rào gỗ xung quanh khuôn viên khu vườn. Biết cạnh thứ nhất của khu vườn dài hơn cạnh thứ hai của khu vườn là 2m, cạnh thứ hai dài hơn cạnh thứ ba là 23m. Hỏi ông A cần bao nhiêu tiền để mua hàng rào trang trí, biết mỗi mét hàng rào gỗ có giá là 250.000đ.

Câu 4: (3đ) Một công ty trong một tháng cần sản xuất ít nhất 12 viên kim cương to và 9 viên kim cương nhỏ. Từ một tấn Cacbon loại 1 (Giá 100 triệu đồng) có thể chiết xuất được 6 viên kim cương to và 3 viên kim cương nhỏ, từ một tấn Cacbon loại 2 (Giá 40 triệu đồng) có thể chiết xuất được 2 viên kim cương to và 2 viên kim cương nhỏ. Mỗi viên kim cương to có giá 20 triệu đồng, mỗi viên kim cương nhỏ có giá 10 triệu đồng. Hỏi trong một tháng công ty này thu về được nhiều nhất là bao nhiêu tiền. Biết rằng mỗi tháng chỉ được sử dụng tối đa 4 tấn Cacbon mỗi loại.

Câu 1

Lời giải Điểm Gọi x, y lần lượt là số cabin chở được 2 người và số cabin chở được 0,5 4 người cần lắp công ty trên, x, y 

.

Vì có thể lặp đặt được 36 cabin nên ta có x  y  36

0.5

Vì mỗi giờ công ty du lịch cần chở 100 khách nên 2 x  4 y  100

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

0.5  x  y  36  x  22 Do đó, ta có hệ phương trình   2 x  4 y  100  y  14 Vậy công ty trên cần lắp 22 cabin loại chở được 2 người và 14 cabin 0.5 loại chở được 4 người.

Câu 2

Gọi giá chiếc xe mà cửa hàng đã mua là x (USD), x  0

0.5

Cửa hàng đã bán chiếc xe với giá x.1,4.0,8 (USD) Do

cửa

hàng

lãi

4800

USD

nên

ta

có

phương

trình 0.5

x.1,4.0,8  x  4800

Câu 3

Giải ra x  40000

0.5

Vậy cửa hàng đã mua chiếc xe với giá 40000 USD

0.5

Gọi x (m) là độ dài cạnh thứ ba của khu vườn ( x  0 ). Khi đó độ dài

0.5

cạnh thứ hai là x  23 (m), độ dài cạnh thứ nhất là x  25 (m).

Vì khu vườn có hình tam giác vuông nên áp dụng định lí Pytago ta có

0.5

phương trình x2  ( x  23)2  ( x  25)2

 x2  4 x  96  0  x  12 hoặc x  8 Suy ra độ dài cạnh thứ ba là 12m, độ dài cạnh thứ hai là 35m, độ dài cạnh thứ nhất là 37m.

Chu vi khu vườn là 84m.

Vậy ông A cần số tiền để trang trí là T  84x250.000  21.000.000

0.5 0.5 0.5 0.5

đồng Câu 4

Gọi x, y lần lượt là số tấn Cacbon loại 1 và loại 2 mà công ty trên dùng để chiết xuất kim cương 0  x, y  4 Khi đó tổng chi phí là : 100 x  40 y (triệu đồng)

0.5

Từ số nguyên liệu trên chiết xuất được 6 x  2 y viên kim cương to và

0.5

3x  2 y viên kim cương nhỏ.

Số tiền thu được (Cả vốn và lãi) từ các viên kim cương là :

(6 x  2 y).20  (3x  2 y).10  150 x  60 y triệu đồng Lợi nhuận hàng tháng công ty thu về là :

F  (150 x  60 y)  (100 x  40 y)  50x  20y triệu đồng

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

6 x  2 y  12  Ta có hệ bất phương trình : 3 x  2 y  9 (*)  0  x, y  4 

Khi đó bài toán trở thành :

0.5

Trong các nghiệm của hệ bất phương trình (*), tìm nghiệm ( x, y) sao cho F  50x  20 y lớn nhất.

Trong mặt phẳng tọa độ, ta sẽ biểu

1

diễn phần mặt phẳng chứa điểm

M( x, y) thỏa mãn (*). Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là

ngũ giác ABCDE kể cả miền trong ngũ giác (Như hình vẽ).

Biểu thức F  50x  20 y đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của

ngũ giác ABCDE. Tại các đỉnh A, B, C, D, E, ta thấy F đạt giá trị lớn nhất tại ( x; y)  (4;4) .

(Thiếu hình vẽ trừ 0,5đ) Vậy công ty cần dùng 4 tấn Cacbon mỗi loại để thu về lợi nhuận cao 0.5 nhất.

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ======

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

NGUYỄN THỊ DUYÊN

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT CHO HỌC SINH LỚP 12

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học môn Toán

HÀ NỘI

2018

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ======

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

NGUYỄN THỊ DUYÊN

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN

THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC CHỦ

ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT CHO HỌC SINH LỚP 12

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học môn Toán

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học ThS. ĐÀO THỊ HOA

HÀ NỘI

2018

LỜI CẢM ƠN Trong quá trình thực hiện khóa luận này, bên cạnh sự nỗ lực của bản thân, em đã nhận đƣợc sự giúp đỡ và động viên nhiệt tình của gia đình, thầy cô, bạn bè.

- Đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trực thuộc khoa Toán của trƣờng Đại học sƣ phạm Hà Nội 2 đã tận tình giúp đỡ và truyền đạt những

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

kiến thức, kinh nghiệm quý báu cho em trong suốt 4 năm học đại học.

- Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Ths. Đào Thị Hoa - giảng viên hƣớng dẫn khóa luận - ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành khóa luận này.

- Cuối cùng, em xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn lắng nghe, chia sẻ và ủng hộ em trong suốt thời gian học tập cũng nhƣ làm khóa luận.

Dù đã cố gắng hết sức nhƣng khóa luận vẫn không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Kính mong nhận đƣợc sự góp ý, nhận xét từ phía thầy cô và các bạn.

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2018 Sinh viên thực hiện Nguyễn Thị Duyên

MỤC LỤC MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 1 1. Lí do chọn đề tài ............................................................................................. 1 2. Mục đích nghiên cứu....................................................................................... 2 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu .................................................................. 2 4. Giả thuyết khoa học ........................................................................................ 2 5. Nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................................... 2

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

6. Phƣơng pháp nghiên cứu ................................................................................ 2 7. Cấu trúc của khóa luận .................................................................................... 3 NỘI DUNG ........................................................................................................... 4 CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ............................................. 4 1.1. Một số vấn đề cơ bản về đổi mới giáo dục .................................................. 4 1.1.1. Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo là đổi mới những vấn đề lớn, cốt lõi, cấp thiết, từ quan điểm, tƣ tƣởng chỉ đạo đến mục tiêu, nội dung, phƣơng pháp, cơ chế, chính sách, điều kiện bảo đảm thực hiện........................... 4 1.1.2. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất ngƣời học ................................................. 4 1.1.3. Học đi đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn ......................................... 5 1.1.4. Chủ động, tích cực hội nhập quốc tế để phát triển giáo dục và đào tạo, đồng thời giáo dục và đào tạo phải đáp ứng yêu cầu hội nhập quốc tế để phát triển đất nƣớc......................................................................................................... 6 1.1.5. Dự thảo môn Toán chƣơng trình giáo dục phổ thông mới ....................... 7 1.2. Tính thực tiễn của Toán học........................................................................... 7 1.1.6. Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn ......................................................... 7 1.1.7. Toán học phản ánh thực tiễn..................................................................... 8 1.1.8. Toán học có ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn ........................................ 9 1.2. Bài toán thực tiễn ....................................................................................... 12 1.2.1. Khái niệm bài toán thực tiễn................................................................... 12 1.2.2. Vai trò của bài toán thực tiễn trong quá trình dạy học ........................... 14

1.3.3. Phƣơng pháp chung giải bài toán thực tiễn ............................................ 17 1.4. Thực trạng xây dựng và sử dụng bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề phƣơng trình mũ-logarit cho học sinh lớp 12 ..................................................... 22 1.4.1. Khái quát về khảo sát thực trạng ............................................................ 22 1.4.2. Kết quả khảo sát ..................................................................................... 23 Kết luận chƣơng 1 ............................................................................................... 26 CHƢƠNG 2. HỆ THỐNG BÀI TOÁN THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC CHỦ

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT CHO HỌC SINH LỚP 12 ................... 27 2.1. Mục tiêu và nội dung chủ yếu của chủ đề phƣơng trình mũ-logarit trong dạy học Toán ở phổ thông ................................................................................... 27 2.2. Đề xuất hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học phƣơng trình mũ-logarit cho học sinh lớp 12 ............................................................................................. 31 2.2.1. Nguyên tắc xây dựng................................................................................. 31 2.2.2. Phƣơng pháp xây dựng bài toán thực tiễn................................................. 33 2.2.3. Quy trình xây dựng ................................................................................... 34 2.2.4. Hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học phƣơng trình mũ-logarit ........ 35 2.2.5. Định hƣớng sử dụng hệ thống bài toán đã xây dựng ................................ 66 2.3. Kiểm nghiệm hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề phƣơng trình mũ-logarit cho học sinh lớp 12 ........................................................................... 68 2.3.1. Mục đích kiểm nghiệm.............................................................................. 68 2.3.2. Thời gian kiểm nghiệm ............................................................................. 68 2.3.3. Nội dung kiểm nghiệm .............................................................................. 68 2.3.4. Phƣơng pháp kiểm nghiệm ....................................................................... 68 2.3.5. Kết quả kiểm nghiệm ................................................................................ 68 Kết luận chƣơng 2 ............................................................................................... 72 KẾT LUẬN CHUNG .......................................................................................... 73 TÀI LIỆU THAM KHẢO

DANH MỤC VIẾT TẮT Đáp số

GV:

Học sinh

HS:

Học sinh

PPDH:

Phƣơng pháp dạy học

SBT:

Sách bài tập

SGK:

Sách giáo khoa

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Đ/S:

THCS:

Trung học cơ sở

THPT:

Trung học phổ thông

MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Hiện nay nhà nƣớc ta đang tiến hành công cuộc công nghiệp hóa, hiện đại hóa, đổi mới tiến tới xây dựng nhà nƣớc xã hội phát triển hòa nhập với khu vực và thế giới. Đổi mới giáo dục và đào tạo là một trong những yếu tố quan trọng quyết định sự thành công của công nghiệp hóa, hiện đại hóa, thực hiện mục tiêu

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

“dân giàu, nƣớc mạnh, công bằng, dân chủ, văn minh”.

Nghị quyết 88 của Quốc hội khóa XIII chỉ rõ: “Đổi mới giáo dục phổ thông theo hƣớng tinh giản, hiện đại, thiết thực, phù hợp với lứa tuổi, trình độ và định hƣớng nghề nghiệp, tăng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tích hợp cao ở các lớp dƣới và phân hóa dần ở các lớp trên”[6]. Yếu tố tăng tính thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn đƣợc nhấn mạnh trong định hƣớng đổi mới giáo dục đào tạo nhằm phát triển phẩm chất và năng lực của ngƣời học.

Trong chƣơng trình Toán phổ thông, phƣơng trình giữ vị trí quan trọng trong chƣơng trình. Phƣơng trình nói chung và phƣơng trình mũ-logarit nói riêng không chỉ có vai trò trong nội bộ môn Toán mà còn có vai trò quan trọng trong các môn học khác nhƣ Vật lý, Hóa học, Sinh học, Địa lý,… và cả trong thực tế.

Việc vận dụng các kiến thức lý thuyết này vào cuộc sống, việc giải các bài tập gắn liền với thực tiễn sẽ làm phát triển ở các em tính tích cực, tự lập, sự sáng tạo, sự hứng thú nhận thức, tinh thần vƣợt khó, đó là những phẩm chất quý báu đối với cuộc sống, lao động sản xuất.

Tuy nhiên, hệ thống bài toán thực tiễn trong chƣơng trình Giải tích 12 nói chung và chủ đề phƣơng trình mũ-logarit nói riêng còn ít, chƣa đa dạng, chƣa đáp ứng đƣợc mục tiêu dạy và học của giáo viên cũng nhƣ học sinh. Học sinh có thể giải thành thạo các bài toán liên quan đến phƣơng trình mũ-logarit nhƣng lại lúng túng với các bài toán ứng dụng của nó trong thực tiễn và các môn học khác.

Trên quan điểm đó cùng với sự mong muốn xây dựng hệ thống bài toán thực tiễn ứng dụng của phƣơng trình mũ-logarit có chất lƣợng tốt, góp phần nâng cao 1

hiệu quả dạy và học, em đã chọn đề tài “XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT CHO HỌC SINH LỚP 12” làm đề tài nghiên cứu của mình.

2. Mục đích nghiên cứu - Xây dựng hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề phƣơng trình mũ-logarit và định hƣớng sử dụng hệ thống bài toán này nhằm góp phần nâng cao chất lƣợng dạy và học chủ đề này nói riêng và nâng cao chất

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

lƣợng dạy học môn Toán nói chung.

3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

- Phƣơng trình mũ-logarit trong chƣơng trình Giải tích 12 nâng cao.

4. Giả thuyết khoa học

Trong quá trình dạy học phƣơng trình mũ-logarit, nếu giáo viên xây dựng và sử dụng đƣợc hệ thống bài toán thực tiễn của chủ đề phƣơng trình mũ-logarit thì góp phần nâng cao chất lƣợng dạy và học chủ đề này ở nhà trƣờng phổ thông nói riêng và dạy học môn Toán nói chung.

5. Nhiệm vụ nghiên cứu 5.1.

Nghiên cứu cơ sở lý luận, cơ sở thực tiễn.

5.2.

Tìm hiểu thực trạng xây dựng và sử dụng hệ thống bài toán thực tiễn về dạy học chủ đề phƣơng trình mũ-logarit ở chƣơng trình toán 12 của giáo viên phổ thông.

5.3.

Xây dựng hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề phƣơng trình mũ-logarit ở chƣơng trình toán 12.

5.4.

Kiểm nghiệm chất lƣợng của hệ thống bài toán đã xây dựng.

6. Phƣơng pháp nghiên cứu 6.1.

-

Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận Nghiên cứu các văn bản, nghị quyết của Đảng, Nhà nƣớc về lĩnh vực giáo

dục, đào tạo.

2

-

Nghiên cứu các sách, báo, khoá luận, tạp chí,… có liên quan đến các bài

toán thực tiễn, kiểm tra đánh giá, phƣơng pháp dạy học môn Toán, chủ đề phƣơng trình mũ-logarit.

6.2.

-

Phƣơng pháp điều tra, quan sát Tìm hiểu thực trạng xây dựng và sử dụng các bài toán thực tiễn trong dạy

học chủ đề phƣơng trình mũ-logarit cho học sinh lớp 12.

-

Tìm hiểu thái độ học tập, cách nhìn nhận của học sinh, tìm hiểu đánh giá

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

của giáo viên, học sinh về tác dụng của hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy và học chủ đề phƣơng trình mũ-logarit ở chƣơng trình toán 12.

6.3.

Phƣơng pháp kiểm nghiệm giáo dục

Xác định chất lƣợng của hệ thống bài toán thực tiễn và tính khả thi của những gợi ý cơ bản đã đƣợc trình bày trong khoá luận.

6.4.

Phƣơng pháp tổng kết kinh nghiệm

Tổng kết kinh nghiệm của các giáo viên toán THPT về việc xây dựng và sử dụng bài toán thực tiễn trong dạy và học chủ đề phƣơng trình mũlogarit cho học sinh lớp 12.

7. Cấu trúc của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, khóa luận bao gồm 2 chƣơng:

Chƣơng 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chƣơng 2. Hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề phƣơng trình mũlogarit cho sinh lớp 12.

3

NỘI DUNG CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1.

Một số vấn đề cơ bản về đổi mới giáo dục

1.1.1. Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo là đổi mới những vấn đề lớn, cốt lõi, cấp thiết, từ quan điểm, tư tưởng chỉ đạo đến mục tiêu, nội dung, phương pháp, cơ chế, chính sách, điều kiện bảo đảm thực hiện Đây là một trong những quan điểm chỉ đạo hàng đầu đƣợc trích trong

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

nghị quyết số 29-NQ/TW, Hội nghị lần thứ 8, Ban chấp hành Trung ƣơng khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo. Quan điểm chỉ rõ việc đổi mới về mục tiêu, nội dung và phƣơng pháp dạy học. Nếu nhƣ trƣớc đây, việc dạy học Toán chỉ tập trung vào các khái niệm, định lí, tính chất,… mang đậm tính hàn lâm, lý thuyết và các bài tập toán có độ khó cao, yêu cầu vận dụng các kiến thức đƣợc học để giải quyết các vấn đề phức tạp, trừu tƣợng trong nội bộ môn Toán thì ngày nay, cần phải đƣợc chuyển hƣớng dần sang việc vận dụng các kiến thức toán đƣợc học vào giải quyết các vấn đề liên môn và các vấn đề nảy sinh ngay trong đời sống kinh tế, xã hội. Muốn đạt đƣợc điều đó, cần thay đổi trƣớc hết từ mục tiêu, sau đó điều chỉnh nội dung và phƣơng pháp dạy học để từng bƣớc gắn liền nội dung môn Toán trung học phổ thông vào thực tiễn đời sống.

1.1.2. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học Trƣớc đây mục tiêu giáo dục toàn diện thƣờng đƣợc hiểu đơn giản là: Học sinh phải học đầy đủ tất cả các môn học thuộc các lĩnh vực khoa học tự nhiên, khoa học xã hội và nhân văn, nghệ thuật, thể dục thể thao,… Không những thế, việc thực hiện mục tiêu giáo dục cũng nghiêng về truyền thụ kiến thức càng nhiều càng tốt; chú trọng truyền bá kiến thức hơn đào tạo, bồi dƣỡng năng lực của ngƣời học; ít yêu cầu ngƣời học vận dụng kiến thức vào thực tế,…

Tình hình này đã dẫn đến hiện tƣợng “quá tải”, vừa thừa, vừa thiếu đối với ngƣời học và đối với mục tiêu giáo dục.

4

Mục tiêu giáo dục theo tinh thần đổi mới là: phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất ngƣời học. Toàn diện ở đây đƣợc hiểu là chú trọng phát triển cả phẩm chất và năng lực con ngƣời, cả dạy chữ, dạy ngƣời, dạy nghề.

Giáo dục và đào tạo phải tạo ra những con ngƣời có phẩm chất, năng lực cần thiết nhƣ trung thực, nhân văn, tự do sáng tạo, có hoài bão và lí tƣởng phục vụ Tổ quốc, cộng đồng. Đồng thời phải phát huy tốt nhất tiềm năng, khả năng sáng tạo của mỗi cá

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

nhân, làm chủ bản thân, làm chủ đất nƣớc và làm chủ xã hội; có hiểu biết và kĩ năng cơ bản để sống tốt và làm việc hiệu quả,… nhƣ Bác Hồ từng mong muốn: “Một nền giáo dục nó sẽ đào tạo các em nên những ngƣời công dân hữu ích cho nƣớc Việt Nam, một nền giáo dục làm phát triển hoàn toàn những năng lực sẵn có của các em”[7].

1.1.3. Học đi đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn

Quan điểm đổi mới này cũng đồng thời là nội dung của nguyên lí giáo dục: “Học đi đôi với hành, lý luận gắn liền với thực tiễn, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, nhà trƣờng gắn liền với gia đình và xã hội”.

Chủ nghĩa Mác cho rằng, lí luận và thực tiễn là hai phạm trù có quan hệ biện chứng với nhau. Lý luận không có thực tiễn là lý luận suông, thực tiễn không có lý luận là thực tiễn mù quáng. Thực tiễn là tiêu chuẩn của chân lí. Mục đích cuối cùng của việc học là làm việc. Nhƣ trong bài nói chuyện của Bác Hồ tại Đại học Sƣ phạm Hà Nội ngày 21.10.1964: “Các cháu học sinh không nên học gạo, không nên học vẹt,… Học phải suy nghĩ, học phải liên hệ với thực tế, phải có thí nghiệm và thực hành. Học với hành phải kết hợp với nhau”. Hay Bác cũng đã từng nói: “Học với hành phải đi đôi. Học mà không hành thì học vô ích. Hành mà không học thì hành không trôi chảy”.

Nhƣ vậy theo quan điểm đổi mới trên, việc dạy học phải làm thế nào đó, để học sinh có thể vận dụng đƣợc các kiến thức đƣợc học vào giải quyết những vấn đề, nhiệm vụ trong thực tiễn đời sống xã hội.

5

1.1.4. Chủ động, tích cực hội nhập quốc tế để phát triển giáo dục và đào tạo, đồng thời giáo dục và đào tạo phải đáp ứng yêu cầu hội nhập quốc tế để phát triển đất nước “Hội nhập quốc tế” là cụm từ không còn xa lạ với sự nghiệp phát triển giáo dục và đào tạo nƣớc ta. Để đáp ứng đủ các yêu cầu hội nhập quốc tế, thì việc đánh giá học sinh cũng cần phải đƣợc thực hiện theo những tiêu chuẩn đánh giá chung của quốc tế. Hiện nay, chƣơng trình “Đánh giá học sinh quốc tế (PISA)”

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

đang đƣợc ngành giáo dục và đào tạo nƣớc ta quan tâm rất nhiều. Đây là bộ phận chính của một hệ thống định hƣớng quy mô lớn đƣợc thực hiện bởi Tổ chức Hợp tác và Phát triển Kinh tế (OECD). Hệ thống này phục vụ cho mục đích cung cấp thông tin cho các nƣớc thành viên của tổ chức này về những ƣu điểm và nhƣợc điểm của nền giáo dục nƣớc họ. Đƣợc tổ chức định kì 3 năm một lần, PISA kiểm tra, đánh giá sự chuẩn bị của nhà trƣờng dành cho học sinh để bƣớc vào xã hội tri thức, nói cách khác là khả năng thích nghi của học sinh đối với những thách thức của một xã hội tri thức, tập trung vào 3 mảng kĩ năng: khoa học, đọc hiểu và toán học. Năng lực toán học đƣợc PISA định nghĩa: “Khả năng của một cá nhân có thể nhận biết và hiểu vai trò của Toán học trong đời sống, phán đoán và lập luận dựa trên cơ sở vững chắc, sử dụng và hình thành niềm đam mê tìm tòi khám phá toán học để đáp ứng những nhu cầu trong đời sống của cá nhân đó với vai trò là một công dân có ý thức, có tính xây dựng và có hiểu biết”[4]. Kỳ thi đánh giá năng lực của PISA đƣợc áp dụng cho học sinh ở độ tuổi từ 15 tuổi 3 tháng đến 16 tuổi 2 tháng, tức là độ tuổi của học sinh lớp 9 ở Việt Nam. Đề thi đánh giá năng lực toán học bao gồm 100% các bài toán thực tiễn xuất phát trong đời sống thực tiễn. Vậy Bài hỏi đặt ra cho việc đánh giá học sinh ở lứa tuổi tiếp theo của PISA, tức là học sinh lớp 10 trung học phổ thông thì đƣợc xem xét nhƣ thế nào? Đồng nghĩa với việc cần tăng cƣờng hơn nữa việc vận dụng toán học trong nhà trƣờng phổ thông vào giải quyết các tình huống thực tiễn, các bài toán thực tiễn.

6

1.1.5. Dự thảo môn Toán chương trình giáo dục phổ thông mới Chƣơng trình môn Toán đƣợc xây dựng trên cơ sở quán triệt quan điểm nội dung phải tinh giản, chú trọng tính ứng dụng thiết thực, gắn kết với đời sống thực tế hay các môn học khác, đặc biệt với các môn học thuộc lĩnh vực giáo dục STEM, gắn với xu hƣớng phát triển hiện đại của kinh tế, khoa học, đời sống xã hội và những vấn đề cấp thiết có tính toàn cầu (nhƣ biến đổi khí hậu, phát triển

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

bền vững, giáo dục tài chính,...).

Bảo đảm tính chỉnh thể, thống nhất và phát triển liên tục từ lớp 1 đến lớp 12.

Có thể hình dung chƣơng trình đƣợc thiết kế theo mô hình gồm hai nhánh song song liên kết chặt chẽ với nhau, một nhánh mô tả sự phát triển của các mạch nội dung kiến thức cốt lõi và một nhánh mô tả sự phát triển của năng lực, phẩm chất của học sinh.

Chƣơng trình môn Toán sẽ đƣợc tích hợp xoay quanh ba mạch kiến thức: Số và Đại số; Hình học và Đo lƣờng; Thống kê và Xác suất.

1.2. Tính thực tiễn của Toán học

Tính thực tiễn của Toán học đƣợc thể hiện ở chỗ: Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn, Toán học phản ánh thực tiễn, Toán học có ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn.

1.1.6. Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn

Số học ra đời trƣớc hết do nhu cầu của số đếm. Hình học phát sinh do nhu cầu đo lại ruộng đất sau những trận lụt ở ven bờ sông Nin hàng năm,... Ăng-ghen đã chỉ ra rằng: Trong quá trình tồn tại và phát triển loài ngƣời, do nhu cầu hoạt động thực tiễn của con ngƣời, những khái niệm Toán học ban đầu (khái niệm về số tự nhiên, về đại số và hình học) đƣợc con ngƣời trừu tƣợng hóa từ trong thế giới hiện thực, chứ không phải là do phát sinh từ trí não của con ngƣời, do tƣ duy thần túy, những ngón tay, ngón chân, những hòn đá nhỏ, nhờ đó ngƣời ta học đếm. Từ chỗ biết đếm, con ngƣời có khái niệm đầu tiên về số tự nhiên, khái 7

niệm về 4 phép tính số học, những đối tƣợng có hình dạng khác nhau mà ngƣời ta so sánh, những mảnh đất trên đó ngƣời ta đo diện tích và thể tích,… đƣa đến kiến thức ban đầu về hình học. Con ngƣời đã nghiên cứu tất cả những sự vật đó, số lƣợng, hình dạng, thể tích, diện tích của chúng trong khi giải quyết những bài toán mà họ gặp phải trong hoạt động thực tiễn của họ. Kiến thức toán học thời xƣa đƣợc xây dựng nhờ kinh nghiệm săn bắt, trồng trọt, chăn nuôi, xây dựng,… Có thể nói đây là giai đoạn phát sinh của Toán học.

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Những kiến thức rời rạc và chỉ dựa vào kinh nghiệm dần dần đƣợc hệ thống hóa và ngƣời ta xây dựng Toán học thành một khoa học suy diễn.

Sự phát triển của Toán học có thể chia làm 3 giai đoạn khác nhau tƣơng ứng với trình độ sản xuất và kỹ thuật.

Giai đoạn 1: Giai đoạn Toán sơ cấp tƣơng ứng với trình độ sản xuất theo kiểu thủ công với kỹ thuật thô sơ.

Giai đoạn 2: Giai đoạn Toán học cao cấp cổ điển tƣơng ứng với trình độ sản xuất kiểu cơ khí đòi hỏi phải có những công cụ Toán học để phục vụ cho cơ học, thúc đẩy sự ra đời của các môn hình học giải tích, phép tính vi phân và tích phân,…

Giai đoạn 3: Giai đoạn Toán học hiện đại tƣơng ứng với trình độ sản xuất tự động hóa là với sự ra đời của lý thuyết tập hợp, các lý thuyết thuật toán,… Góp phần phát minh ra máy tính điện tử, phát triển ngành Toán học tính toán.

Với 3 giai đoạn phát triển của Toán học chúng ta thấy rằng Toán học có nguồn gốc từ nhu cầu thực tiễn của cuộc sống con ngƣời và do cả nhu cầu của chính bản thân nó.

1.1.7. Toán học phản ánh thực tiễn Toán học không chỉ bắt nguồn từ thực tiễn mà đồng thời nó cũng có khả năng phản ánh thực tiễn một cách rất đa dạng, toàn diện. Đó là bởi: Toán học là khoa học về cấu trúc tổng quát, các quan hệ đƣợc trừu tƣợng hóa các đối tƣợng của hiện thực khách quan.

Chúng ta đi tìm hiểu một số ví dụ sau: 8

Ví dụ 1. Về định nghĩa của hàm số: Các hàm số là chân dung của Toán học của tính qui luật của tự nhiên. Ta hãy để ý đến các hiện tƣợng tự nhiên của thế giới xung quanh mà con ngƣời gọi chúng đó là: “Quy luật tự nhiên”; “chuồn chuồn bay thấp thì mƣa, bay cao thì nắng, bay vừa thì râm”; “chớp đông nhay nháy, gà gáy trời mƣa”. Các “quy luật” này diễn tả một sự tƣơng ứng của một hiện tƣợng thứ nhất và hiện tƣợng thứ hai.

Ví dụ 2. Trong nghệ thuật nhiếp ảnh thì lƣợng ánh sáng tác động vào phim

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

ảnh cho tƣơng ứng với độ đen của nó.

Trong Toán học mọi quy tắc xác định tƣơng ứng đƣợc gọi là một hàm số.

Trong ví dụ 2, theo cách nói của Toán học thì độ đen của phim ảnh là hàm số của lƣợng ánh sáng.

1.1.8. Toán học có ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn

Toán học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ cũng nhƣ trong sản xuất và đời sống.

Trong quá trình học tập tại trƣờng phổ thông, HS sẽ đƣợc biết đến các ứng dụng thực tiễn đơn giản của toán học qua các bài toán nhƣ: -

Ứng dụng lƣợng giác để đo khoảng cách không tới đƣợc

Ví dụ 1. “Tính khoảng cách từ một điểm trên bờ trong đến một gốc cây trên một cù lao ở giữa sông.

Để đo khoảng cách từ một điểm A trên bờ sông đến gốc cây C trên cù lao giữa sông, ngƣời ta chọn một điểm B cùng ở trên bờ sông A sao cho từ A đến B có thể nhìn thấy điểm C. Ta đo khoảng cách AB, góc CAB và CBA . Chẳng hạn ta đo đƣợc AB

40 m, CAB

45o, CBA= =70o.

Khi đó khoảng cách AC đƣợc tính nhƣ sau: Áp dụng định lý sin vào tam giác ABC , ta có 9

AC sin B

AB sin C

Vì sinC = sin(α + β) nên AC =

ABsinβ 40.sin70o = sin(α + β) sin115o

Vậy AC -

41, 47 (m).

41, 47 (m) ”[5].

Ứng dụng của đạo hàm để tính vận tốc tức thời của chuyển động.

s

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Ví dụ 2. Một ngƣời trƣợt ván trên đƣờng có hình Parabol với phƣơng trình: 1 2 t ( t tính bằng giây, s tính bằng mét). Tính vận tốc của chất điểm tại 4

thời điểm t0

2 (giây).

Ta có “vận tốc tức thời v(t0 ) tại thời điểm to của chuyển động có phƣơng trình s

s(t) bằng đạo hàm hàm số s

s(t) tại điểm t0 , tức v(t 0 ) = s (t 0 ) ”[1].

Nên vận tốc của chất điểm tại thời điểm t0 v(t0 )

-

s (t0 )

1 t 2 0

2 là

1 .2 2

1 (m).

Ứng dụng của tích phân để tính diện tích, thể tích

Ví dụ 3. Một chi đoàn thanh niên đi dựng trại, họ dự định dựng một lều trại có dạng parabol (nhìn từ mặt trƣớc, lều trại đƣợc căng thẳng từ trƣớc ra sau, mặt sau trại cũng là parabol có kích thƣớc giống nhƣ mặt trƣớc) với kích thƣớc: nền trại là một hình chữ nhật có chiều rộng là 3 mét, chiều sâu là 6 mét, đỉnh của parabol cách mặt đất là 3 mét. Hãy tính thể tích phần không gian phía trong trại để cử số lƣợng ngƣời tham dự trại cho phù hợp.

Giả sử nền trại là hình chữ nhật ABCD có AB

3 mét, BC

6 mét, đỉnh

của Parabol là I . Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho: O là trung điểm của cạnh AB ,

A

3 3 ; 0 , B ; 0 , I 0;3 ; phƣơng trình của parabol có dạng: 2 2 10

ax 2

y

b (a

0) . Do I , A, B thuộc (P) nên ta có: y 3 2

tích phần không gian phía trong trại là V = 6.2 0

4 2 x 3

3 . Vậy thể

4 - x 2 + 3 dx = 36 m3 .

3

Ngoài ra, Toán học còn ứng dụng nhiều trong các lĩnh vực khác nhƣ: Trong y học, nhờ có những phƣơng tiện kỹ thuật hiện đại và những phƣơng pháp tính toán, sử dụng phƣơng pháp thống kê toán học và máy tính điện tử đã

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

giúp con ngƣời khai thác một cách có hiệu quả các kinh nghiệm để khám và chữa bệnh một cách hiệu quả và chính xác.

Trong giao thông vận tải Toán học cũng đóng một vai trò rất quan trọng ngƣời ta dùng phƣơng trình tuyến tính để lựa chọn phƣơng án vận chuyển tiết kiệm nhất, chọn phƣơng án hợp lý để giảm bớt chi phí và đạt hiệu quả tối ƣu nhất.

Các nhà Toán học sử dụng góc để thiết kế chỗ đỗ xe vì hầu hết việc sắp xếp vị trí đỗ xe đều liên quan đến không gian đỗ.

Các phi công máy bay, các chuyên gia quân sự, các thủy thủ đi trên các chuyến tàu vƣợt đại dƣơng,… đều cần sử dụng khái niệm góc để di chuyển tới đích một cách hiệu quả.

Ngoài ra chúng ta đã biết trong giao thông tắc đƣờng là chuyện thƣờng ngày đối với các đô thị lớn, đặc biệt là Hà Nội và thành phố Hồ Chí Minh. Bài toán tắc đƣờng là một bài toán nhỏ cụ thể trong một bài toán lớn tổng quát hơn, trừu tƣợng hơn thuộc lý thuyết vận trù, lý thuyết về graph, lý thuyết về nút,…

Trong kinh tế, nhờ sự ra đời của lý thuyết xác suất mà một loạt các lý thuyết mới ra đời ở thế kỷ XX có ý nghĩa thực tiễn vô cùng quan trọng ở các lĩnh vực nhƣ: tổ chức thƣơng mại điện tử, tổ chức sản xuất, vận tải hàng hóa,… Các lý thuyết này đã đƣa vào hƣớng ứng dụng toán học mới gọi là: “Nghiên cứu

11

các thuật toán” nhằm tìm các lời giải tối ƣu theo quan điểm mạo hiểm trong những điều kiện nhất định.

Trong quản lý nhân sự có vấn đề phân chia công việc cho n công nhân mà mỗi công nhân ở mỗi vị trí nhất định sao cho khối lƣợng công việc hoàn thành là lớn nhất.

Trong quân sự và quốc phòng, Toán học đã làm nên cuộc cách mạng trong công nghệ mật mã. Hiện nay nhiều tổ chức quân sự, kinh tế, tài chính hay các

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

cơ quan chính phủ khi truyền đi các tin tức tối mật của mình thƣờng dùng một loại mật mã gọi là mật mã công khai gọi tắt là RSA. Mật mã RSA đƣợc xây dựng dựa trên một kết quả sơ cấp của số học và một sự kiện là rất khó phân tích ra thừa số nguyên tố.

Trong hội họa, những cấu trúc hình học thƣờng có mặt trong tác phẩm của các nhà danh họa. Các biểu đồ với mức độ hiện diện khác nhau trong các bố cục bức tranh cũng thƣờng đƣợc xem xét đến khi xem tranh, tùy thuộc vào hình dáng của hình học đƣợc lấy làm cơ sở cho bố cục bức tranh mà ngƣời ta gọi tên các loại bố cục nhƣ: bố cục hình chóp, bố cục hình tròn, bố cục hình xoắn ốc,…

Tóm lại, Toán học có ứng dụng to lớn trong thực tiễn cũng nhƣ trong sự phát triển của các ngành khoa học kỹ thuật, nó là điều kiện thiết yếu để phát triển lực lƣợng sản xuất. Toán học là sợi dây liên hệ ràng buộc các ngành khoa học với nhau, thúc đẩy chúng cùng phát triển.

1.2.

Bài toán thực tiễn

1.2.1. Khái niệm bài toán thực tiễn Bài toán đƣợc hiểu là: “Tất cả những câu hỏi cần giải đáp về một kết quả chƣa biết cần tìm bắt đầu từ một số dữ kiện, hoặc về một phƣơng pháp cần khám phá, mà theo phƣơng pháp này sẽ đạt đƣợc những kết quả đã biết”[8].

G. Polya lại viết: “Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm hiểu một cách có ý thức phƣơng tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ ràng nhƣng không thể đạt đƣợc ngay”[3].

12

Từ các cách hiểu trên, có thể nói bài toán là các câu hỏi, yêu cầu đặt ra cho ngƣời học để đạt đƣợc mục đích dạy học nào đó thông qua các dữ liệu đã cho.

Ví dụ 1. “Tìm m để phƣơng trình y 2

(m

1)y

m2

0 có hai nghiệm

phân biệt”.

Bài toán ở ví dụ 1 đặt ra yêu cầu là xác định tất cả giá trị của tham số m để phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt. Bài toán này có thể dùng để củng cố

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

hoặc luyện tập giải phƣơng trình bậc hai.

Ví dụ 2. Trong thực tế, khi cần phải đo khoảng cách giữa hai điểm B và

C mà không thể đo trực tiếp đƣợc vì giữa hai điểm đó có chƣớng ngại, nhƣ một đầm lầy, một cánh rừng,…

Để có thể đo đƣợc khoảng cách BC trong những trƣờng hợp đó, ngƣời ta thƣờng chọn một điểm A sao cho từ A có thể nhìn thấy B , C và ta có thể đo đƣợc khoảng cách AB

c , AC

b và BAC . Làm đƣợc nhƣ vậy,

ABC hoàn

toàn xác định bởi hai cạnh và góc xen giữa. Khi đó khoảng cách AB sẽ đƣợc tính nhƣ thế nào?

Đây là một bài toán dùng để gợi động cơ khi dạy học định lí Cosin trong tam giác. Bài toán cho các dữ liệu là

ABC có AB

c , AC

b , và BAC .

Câu hỏi đặt ra là khi đó khoảng cách AB sẽ đƣợc tính nhƣ thế nào?

Bài toán thực tiễn là bài toán mà trong giả thiết hay kết luận có chứa những nội dung liên quan đến thực tiễn. Thực tiễn ở đây không chỉ là các sự việc, tình huống trong cuộc sống xã hội mà còn đƣợc hiểu là các tình huống nảy sinh trong các ngành khoa học nhƣ vật lí, hóa học, sinh học,… Trong khóa luận này chủ yếu đề cập đến các bài toán thực tiễn trong đời sống hàng ngày.

Ví dụ 3. Một chiếc ôtô chạy trên quãng đƣờng AB dài 250km với vận tốc trung bình là 50 km/h. Hỏi thời gian để chiếc ôtô đó chạy hết quãng đƣờng AB là bao nhiêu, biết rằng ôtô có dừng nghỉ một lần trong 13

1 giờ?

2

Ví dụ 4. Một tên lửa bay vào không trung với quãng đƣờng đi đƣợc là s t (km) là hàm phụ thuộc theo biến t (giây) theo quy tắc sau: s(t)

et

2

3

2te3t

1

(km). Hỏi vận tốc của tên lửa sau 1 giây là bao nhiêu (biết hàm biểu thị vận tốc là đạo hàm của hàm biểu thị quãng đƣờng tính theo thời gian).

Ví dụ 3 và ví dụ 4 đƣa ra hai bài toán thực tiễn, tức là trong giả thiết và kết luận của bài toán đều chứa những yếu tố có liên quan đến thực tiễn. Các bài toán này có thể xuất phát từ thực tiễn nhƣ ví dụ 4, hoặc có thể do tƣởng tƣợng,

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

sáng tạo ra nhƣ ở ví dụ 3.

1.2.2. Vai trò của bài toán thực tiễn trong quá trình dạy học Bài toán có vai trò quan trọng trong môn Toán. Thông qua việc giải bài toán, học sinh thực hiện đƣợc nhiều hoạt động nhƣ nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc hay phƣơng pháp, những hoạt động Toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ. Cụ thể, bài toán có vai trò:

1.2.2.1. Củng cố kiến thức, rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo cho học sinh Khi giải một bài toán học sinh phải đi từ việc nghiên cứu đề bài đến tìm đáp án. Để làm đƣợc điều này học sinh phải trải qua một quá trình quan sát, tổng hợp, phán đoán,…

Quá trình giải bài toán không phải bắt đầu từ con số “0” mà phải dựa vào kinh nghiệm thực tiễn, những kiến thức mà học sinh đã tích lũy từ trƣớc. Các em phải nhớ, hiểu và vận dụng đƣợc những kiến thức và kinh nghiệm đó thì mới giải đƣợc bài toán.

Nhƣ vậy, khi giải một bài toán không những chỉ các kiến thức đã có trong bài toán, mà cả một hệ thống kiến thức liên quan tới bài toán cũng đƣợc củng cố qua lại nhiều lần,… Qua đó, ngƣời học hiểu sâu hơn kiến thức, đồng thời giúp cho việc hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã đƣợc trình bày trong phần lý thuyết và biết vận dụng những kiến thức đã học vào việc giải quyết những tình huống cụ thể.

14

Thông qua việc giải bài toán, học sinh cũng đƣợc rèn luyện các kĩ năng, kĩ xảo ở các khâu khác nhau của quá trình giải bài toán, kể cả kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn.

1.2.2.2. Rèn luyện phát triển tư duy cho học sinh Bài toán giúp phát triển năng lực tƣ duy, giúp học sinh năng động, sáng tạo trong học tập, phát huy khả năng suy luận tích cực, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ và hình thành những phẩm chất tƣ duy khoa học.

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Trong bất kì bài toán nào cũng có mâu thuẫn, những điều đã biết và những điều chƣa biết. Khi giải bài toán, trí tuệ của học sinh phải vận động để tìm ra câu trả lời. Hoạt động trí tuệ của học sinh rất đa dạng: quan sát, vận dụng trí nhớ, các thao tác tƣ duy nhƣ so sánh, tổng hợp, khái quát, suy luận… cho nên sau mỗi lần giải bài toán thành công, niềm tin và năng lực của học sinh càng đƣợc phát triển và củng cố. Đó là một trong những cơ sở quan trọng để các em mạnh dạn bƣớc vào con đƣờng sáng tạo.

1.2.2.3. Rèn luyện kỹ năng vận dụng các kiến thức Toán học cho học sinh Một trong những yêu cầu của việc nắm vững kiến thức của bất cứ bộ môn khoa học nào là hiểu, nhớ, vận dụng các kiến thức của bộ môn khoa học đó vào giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, tức là giải quyết đƣợc các bài toán đặt ra trong lĩnh vực khoa học đó.

Hơn nữa, mỗi bài toán là giá mang hoạt động liên hệ với những nội dung Toán học nhất định, là một phƣơng tiện cài đặt nội dung đề hoàn chỉnh hay bổ sung cho tri thức nào đó đã đƣợc trình bày trong phần lý thuyết. Chính vì thế mà thông qua việc giải quyết các bài toán, học sinh sẽ đƣợc rèn luyện kĩ năng vận dụng các kiến thức Toán học, đồng thời mở rộng sự hiểu biết một cách sinh động, phong phú.

1.2.2.4. Bồi dưỡng, phát triển nhân cách cho học sinh Điểm cơ bản trong tính cách của con ngƣời là mọi hoạt động đều có mục đích rất rõ ràng. Khi giải một bài toán ta luôn có định hƣớng mục đích rõ rệt, vì vậy việc giải toán sẽ góp phần tích cực vào việc rèn luyện năng lực hoạt động của 15

con ngƣời: rèn luyện đức tính chính xác, kiên nhẫn, trung thực, lòng say mê học tập và niềm tin vào khoa học, sức mạnh của bản thân. Niềm tin này có đƣợc là do trong quá trình độc lập vận dụng kiến thức, độc lập tìm đƣợc đáp số đã giúp các em có những phƣơng pháp giải quyết đúng đắn các vấn đề đặt ra, nhất là đối với bài toán khó, các em phải vƣợt qua rất nhiều khó khăn, phải kiên trì nhẫn nại và nhiều khi phải quyết tâm rất lớn mới giải đƣợc.

Nói theo cách của G.Polya là: Khát vọng và quyết tâm giải đƣợc một bài toán

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

là nhân tố chủ yếu của mọi quá trình giải toán. Do vậy, ta thấy rằng: Hoạt động giải toán chính là nhân tố chủ yếu của quá trình hình thành và phát triển nhân cách con ngƣời.

Bài toán thực tiễn cũng có đầy đủ các vai trò của bài tập toán học, ngoài ra có còn có thêm một số tác dụng khác: -

Về kiến thức

Thông qua giải bài toán thực tiễn, HS hiểu kĩ hơn các khái niệm, tính chất; củng cố kiến thức một cách thƣờng xuyên và hệ thống hoá kiến thức; mở rộng sự hiểu biết một cách sinh động, phong phú mà không làm nặng nề khối lƣợng kiến thức của HS.

Bên cạnh đó, bài toán thực tiễn giúp HS thêm hiểu biết về các môn học khác, về thiên nhiên, môi trƣờng, những vấn đề thiết thực trong cuộc sống thực tế.

Bài toán thực tiễn còn giúp HS bƣớc đầu biết vận dụng kiến thức để lí giải và cải tạo thực tiễn nhằm nâng cao chất lƣợng cuộc sống.

-

Về kĩ năng

Việc giải bài toán thực tiễn giúp HS: + Rèn luyện và phát triển cho HS năng lực nhận thức, năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề liên quan đến thực tế cuộc sống. + Rèn luyện và phát triển các kĩ năng thu thập thông tin, vận dụng kiến thức để giải quyết tình huống có vấn đề của thực tế một cách linh hoạt, sáng tạo.

16

+ Rèn luyện và phát triển cho HS khả năng vận dụng toán học để giải quyết vấn đề của các môn học khác.

-

Về giáo dục tƣ tƣởng

Việc giải bài toán thực tiễn có tác dụng: + Rèn luyện cho HS tính kiên nhẫn, tự giác, chủ động, chính xác, sáng tạo trong học tập và trong quá trình giải quyết các vấn đề thực tiễn. + Thông qua nội dung bài tập giúp HS thấy rõ lợi ích của việc học môn Toán

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

học từ đó tạo động cơ học tập tích cực, kích thích trí tò mò, sự quan sát, sự ham hiểu biết, làm tăng hứng thú học môn Toán và từ đó có thể làm cho HS say mê nghiên cứu khoa học và công nghệ giúp HS có những định hƣớng nghề nghiệp tƣơng lai.

Ngoài ra, vì các bài toán thực tiễn gắn liền với đời sống của chính bản thân HS, của gia đình, của địa phƣơng và với môi trƣờng xung quanh nên càng góp phần tăng động cơ học tập của HS: học tập để nâng cao chất lƣợng cuộc sống của bản thân và của cộng đồng. Với những kết quả ban đầu của việc vận dụng kiến thức toán học phổ thông để giải quyết các vấn đề thực tiễn HS thêm tự tin vào bản thân mình để tiếp tục học hỏi, tiếp tục phấn đấu và phát triển.

1.3.3. Phương pháp chung giải bài toán thực tiễn 1.3.3.1. Phương pháp chung giải bài toán

Đối với một bài toán, có thể có hoặc không có thuật giải. Tuy nhiên, việc trang bị những hƣớng dẫn chung, gợi ý các suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán lại là có thể và cần thiết cho mọi bài toán.

Theo G. Polya, phƣơng pháp chung để giải một số bài toán thƣờng đƣợc tiến hành theo bốn bƣớc nhƣ sau: Bước 1. Tìm hiểu nội dung đề bài -

Phát biểu đề bài dƣới những dạng hình thức khác nhau để hiểu rõ nội

dung bài toán.

-

Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh.

17

-

Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.

Bước 2. Tìm cách giải -

Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán:

biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tƣơng tự, một trƣờng hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phƣơng pháp đặc thù với từng dạng tích,…

-

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

toán nhƣ chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bƣớc thực hiện hoặc đặc biệt

hoá kết quả tìm đƣợc hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan,…

-

Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn đƣợc cách giải hợp

lí nhất.

Bước 3. Trình bày lời giải

Từ cách giải đã đƣợc phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chƣơng trình gồm các bƣớc theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bƣớc đó.

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu sâu lời giải -

Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong quá trình giải.

-

Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.

-

Nghiên cứu giải những bài toán tƣơng tự, mở rộng hay lật ngƣợc vấn đề.

Ví dụ. Cho bài toán: “Chứng minh: sin 4 x

cos4 x

1

1 sin 2 2 x ”.

2

Bước 1. Tìm hiểu nội dung đề bài - Đề bài yêu cầu chứng minh đẳng thức sin 4 x

cos4 x

1

1 sin 2 2 x .

2

Bước 2. Tìm cách giải Để giải bài toán này, ta cần biến đổi vế trái đẳng thức (VT ) bằng vế phải đẳng thức (VP ).

Ta có VT

sin4 x

cos4 x 18

Áp dụng công thức x2 x

sin2 x, y

VT

sin4 x

y2

(x

y)2

2 xy , đặc biệt hóa với

cos2 x ta đƣợc: cos4 x

(sin2 x

cos2 x)2

Áp dụng công thức lƣợng giác sin2 x

2 sin2 x cos2 x

cos2 x

1 và sin 2 x

2 sin x cos x ta

đƣợc: VT

1

1 sin 2 2 x 2

VP.

VT

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Ngƣợc lại, ta có thể biến đổi VP

Hơn nữa, với bài toán này ta có thể xét hiệu VT

VP

0 khi đó đẳng thức

cũng đƣợc chứng minh.

Bước 3. Trình bày lời giải Ta có VT

sin 4 x

cos4 x

(sin 2 x

cos2 x)2

2 sin 2 x cos2 x

Bước 4. Kiểm tra và nghiên cứu sâu lời giải

1

1 sin 2 2 x 2

VP

Khi đã biết cách giải bài toán này, ta có thể giải tƣơng tự với bài toán sau: sin6 x

cos6 x

1

3 sin 2 2 x 4

1.3.3.2. Phương pháp chung giải bài toán thực tiễn

Nhƣ đã nói ở trên, việc trang bị những hƣớng dẫn chung, gợi ý các suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán là rất cần thiết, bài toán thực tiễn cũng vậy.

Dựa trên những tƣ tƣởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của G.Polya về cách thức giải bài toán đã đƣợc kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, kết hợp với những đặc thù riêng của bài toán thực tiễn, có thể nêu lên phƣơng pháp chung để giải bài toán thực tiễn nhƣ sau: Bước 1. Tìm hiểu nội dung của bài toán: Toán học hoá tình huống, chuyển bài toán với những ngôn ngữ, những dự kiện trong cuộc sống thực tế thành bài toán với ngôn ngữ toán học. Các ràng buộc giữa các yếu tố trong bài toán thực 19

tiễn đƣợc chuyển thành các biểu thức, các phƣơng trình, hệ phƣơng trình, bất phƣơng trình toán học,…

Bước 2. Tìm cách giải của bài toán toán học: Tìm lời giải bài toán toán học tƣơng tự nhƣ bƣớc 2 của mục 1.3.3.1.

Bước 3. Trình bày lời giải: Từ cách giải đã đƣợc phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chƣơng trình gồm các bƣớc thực hiện theo một trình tự thích hợp và chuyển từ ngôn ngữ toán học sang ngôn ngữ thực tiễn.

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Bước 4. Đƣa ra kết luận cuối cùng cho yêu cầu của bài toán thực tiễn. Đồng thời cần có sự nghiên cứu sâu lời giải, nghiên cứu khả năng ứng dụng của kết quả của lời giải. Nghiên cứu những bài toán tƣơng tự, mở rộng hay lật ngƣợc vấn đề. Đây là hoạt động nhằm phát huy khả năng tƣ duy, tìm tòi sáng tạo học sinh.

Ví dụ. Bài toán: “Trong tháng đầu hai tổ công nhân sản xuất đƣợc 800 sản phẩm. Sang tháng thứ hai tổ I vƣợt mức 15% , tổ II vƣợt mức 20% , do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất đƣợc 945 sản phẩm. Hỏi rằng trong tháng đầu, mỗi tổ công nhân sản xuất đƣợc bao nhiêu sản phẩm?”.

Bước 1. Tìm hiểu nội dung bài toán

Yêu cầu của bài toán? Phân tích bài toán có những đại lƣợng nào? Quan hệ giữa chúng ra sao? Toán học hóa các đại lƣợng và các mối quan hệ đó. + Ở đây, bài toán yêu cầu tìm số sản phẩm mà mỗi tổ sản xuất trong tháng đầu.

Vậy ta có thể coi số sản phẩm mà tổ I làm đƣợc ở tháng đầu là x, số sản phẩm của tổ II là y. + Tháng đầu, cả hai tổ sản xuất đƣợc 800 sản phẩm nên ta có phƣơng trình

x

y

800 .

20

+ Tháng thứ hai, tổ I vƣợt 15% nên số sản phẩm mà tổ làm đƣợc là vƣợt 20% nên số sản phẩm mà tổ II làm đƣợc là sản phẩm nên ta có phƣơng trình

115 x 100

115 x , tổ II 100

120 y , cả hai tổ làm đƣợc 945 100

120 y 100

945 .

Sau khi toán học hóa bài toán ta đƣợc hệ hai phƣơng trình bậc nhất hai ẩn y

800

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

x

115 x 100

120 y 100

945

mà học sinh có thể giải đƣợc. Nghiệm hệ phƣơng trình là kết quả của bài toán *

nên ta phải có điểu kiện cho nghiệm: x; y

, x; y

800 .

Bước 2. Tìm cách giải của bài toán toán học

Bài toán đƣợc đƣa về bài toán giải hệ phƣơng trình, HS có thể dùng phƣơng pháp cộng đại số, phƣơng pháp thế hoặc dùng máy tính để ra đáp án

x

300, y

500 .

Bước 3. Trình bày lời giải: Chuyển về ngôn ngữ thực tiễn.

Gọi số sản phẩm mà tổ I làm đƣợc ở tháng đầu là x (sản phẩm), x

*

,x

800

Số sản phẩm mà tổ II làm đƣợc trong tháng đầu là y(sản phẩm), y

*

,y

800

Vì trong tháng đầu cả hai tổ làm đƣợc 800 sản phẩm nên ta có phƣơng trình:

x

y

800 (1)

Vì tháng thứ hai tổ I vƣợt mức 15%, tổ II vƣợt mức 20%, cả hai tổ sản xuất đƣợc 945 sản phẩm nên ta có phƣơng trình: x

115 x 100 y

Vậy từ (1) và (2) ta có hệ phƣơng trình: 115 x 100 21

120 y 100

800 120 y 100

945

945 (2)

Giải hệ phƣơng trình ta đƣợc:

x

300

y

500

(thỏa mãn điều kiện).

Bước 4: Đƣa ra kết luận cuối cùng cho bài toán thực tiễn Vậy trong tháng đầu, tổ I sản xuất đƣợc 300 sản phẩm, tổ II đƣợc 500 sản phẩm. x

Với bài toán này ta có thể đƣa về hệ phƣơng trình:

y

15 x 100

800 12 y 100

145(*)

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Trong đó x, y vẫn nhƣ phép đặt ở trên, chỉ khác ở phƣơng trình (*).

Phƣơng trình (*) thể hiện cho tổng số sản phẩm vƣợt mức của tổ I và tổ II. HS có thể giải theo hệ nào cũng đƣợc. HS có thể tự giải các bài toán cùng dạng tƣơng tự khác nhƣ bài toán: “Năm ngoái dân số của tỉnh A và B là 4 triệu ngƣời.

Năm nay, dân số tỉnh A tăng 1, 2% còn tỉnh B tăng 1,1% tổng dân số của hai tỉnh năm nay là 4,045 triệu ngƣời. Tính dân số mỗi tỉnh năm ngoái và năm nay?”.

1.4.

Thực trạng xây dựng và sử dụng bài toán thực tiễn trong dạy học chủ

đề phƣơng trình mũ-logarit cho học sinh lớp 12 1.4.1. Khái quát về khảo sát thực trạng 1.4.1.1. Mục tiêu khảo sát thực trạng

Đánh giá thực trạng việc xây dựng và sử dụng hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề phƣơng trình mũ-logarit của giáo viên Toán ở trƣờng THPT. 1.4.1.2. Đối tượng khảo sát Giáo viên trƣờng THPT, học sinh lớp 12 của trƣờng THPT. 1.4.1.3. Thời gian khảo sát Từ ngày 26/2/2018 đến 2/3/2018, khi đó học sinh đã học xong chủ đề này.

1.4.1.4. Phương pháp khảo sát Để thực hiện đề tài của mình, chúng tôi điều tra thực tế về thực trạng xây dựng hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề phƣơng trình mũ-logarit ở 22

một số trƣờng THPT bằng việc sử dụng phiếu tham khảo ý kiến (phụ lục 1). Cụ thể: -

Phát phiếu điều tra tới mỗi GV và HS.

+

Phiếu điều tra GV gồm 6 câu hỏi trắc nghiệm nhắm đánh giá thực trạng

xây dựng và sử dụng, mức độ cần thiết của hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học của chủ đề phƣơng trình mũ-logarit cho học sinh lớp 12. +

Phiếu điều tra HS gồm 6 câu hỏi trắc nghiệm nhằm đánh giá thực trạng

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

vận dụng và mức độ cần thiết của hệ thống bài toán thực tiễn trong quá trình học tập của chủ đề phƣơng trình mũ-logarit với học sinh lớp 12.

-

Thu lại phiếu, sau đó tổng hợp xử lý thông tin thu đƣợc trên cơ sở phần

trả lời phiếu.

-

Đánh giá thực trạng.

1.4.2. Kết quả khảo sát  Về giáo viên

Sau khi tiến hành điều tra các 30 GV các trƣờng THPT, em đã tổng hợp đƣợc kết quả nhƣ sau: -

Có 40 % GV cho rằng bài toán thƣc tiễn là các bài toán liên quan đến

thực tiễn, 60 % GV cho rằng bài toán thực tiễn là những bài toán chứa nội dung liên quan đến thực tiễn hoặc các môn học khác và phải sử dụng toán học để giải quyết. Điều đó cho thấy các GV đều có sự hiểu biết về bài toán thực tiễn.

-

Có tới 70 % GV cho rằng các bài toán thực tiễn có vai trò rất quan trọng

trong dạy học chủ đề phƣơng trình mũ-logarit, 20 % GV thấy bình thƣờng và

10% GV cho rằng không quan trọng, không cần thiết. Tuy nhiên, theo kết quả khảo sát từ câu 3 (phụ lục 1)- về mức độ sử dụng thì lại chỉ có 40 % GV thƣờng xuyên sử dụng còn lại 60 % GV chỉ sử dụng đôi khi. Điều đó cho ta thấy hầu hết các GV thấy đƣợc vai trò quan trọng của bài toán thực tiễn nhƣng lại hạn chế trong việc sử dụng.

-

Từ phiếu điều tra, ta thấy rằng đa số các GV (80 % ) sử dụng các bài toán

thực tiễn chủ đề phƣơng trình mũ-logarit đều lấy từ quá trình tham khảo trên 23

internet, các sách tham khảo, đồng nghiệp, tạp chí,… ngoài ra có 20 % GV lấy bài toán thực tiễn từ SGK, SBT và từ quá trình tự biên soạn của mình.

-

Có 90 % GV mong muốn sử dụng hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy

học chủ đề phƣơng trình mũ-logarit cho HS lớp 12 và cũng có 90 % thầy cô đồng ý với quan điểm xây dựng hệ thống bài toán thực tiễn là rất cần thiết. Điều này cho thấy giáo viên đã nhận thức đƣợc tầm quan trọng và mong muốn sử dụng loại bài toán này trong dạy học.

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

 Về học sinh Sau khi phát phiếu cho 68 HS, qua thống kê, phân tích, ta có kết quả sau: -

Có 2,94 % HS quan niệm bài toán thực tiễn là các bài toán liên quan đến

thực tiễn cuộc sống, 1, 46% HS có ý kiến khác với quan điểm của chúng tôi đƣa ra, 95,6 % HS cho rằng bài toán thực tiễn là những bài toán có chứa nội dung liên quan đến thực tiễn hoặc các môn học khác và phải sử dụng toán học để giải quyết. Nhƣ vậy hầu hết HS đều hiểu một cách đúng đắn về bài toán thực tiễn.

-

Có 29,4 % HS cho rằng thầy cô của mình sử dụng thƣờng xuyên bài toán

thực tiễn trong dạy học chủ đề phƣơng trình mũ-logarit, 4,41 % HS cho rằng thầy cô có sử dụng nhƣng rất ít, 7,36 % HS cho rằng thầy cô không sử dụng bao giờ nhƣng đa số các em (58,83 % ) cùng quan điểm rằng thầy cô đôi khi sử dụng. Điều này cho thấy, tần suất sử dụng các bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề phƣơng trình mũ-logarit chƣa nhiều, chƣa đƣợc tăng cƣờng.

-

Điều đáng nói là 55,89 % các em HS cảm thấy bài học dễ hiều hơn, thú vị

hơn khi thầy cô sử dụng bài toán thực tiễn trong dạy học của đề phƣơng trình mũ-logarit. Tuy nhiên vẫn có 26,47 % các em cho rằng bài học vẫn bình thƣờng,

11, 76% các em cho rằng bài học phức tạp, khó hiểu hơn. Vậy ta có thể thấy rằng hầu hết các em điều có thái độ tích cực khi thầy cô sử dụng bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đè phƣơng trình mũ-logarit.

-

Có 51,47 % HS làm các bài toán thực tiễn chủ đề phƣơng trình mũ-logarit

khi thầy cô cho, 4,41 % do tự HS tìm hiểu, 36,76 % các em làm các bài toán 24

thực tiễn từ cả thầy cô cho và tự mình tìm hiểu và vẫn có 7,36 % các em không giải bao giờ. Nhƣ vậy, GV là nguồn tiếp cận chính các bài toán thực tiễn đối với các em HS. -

Có 14,7 % các em trả lời rằng thầy cô cho nhiều bài toán thực tiễn của

chủ đề phƣơng trình mũ-logarit, 14,7 % bình thƣờng, 69,12 % là ít, 6,48 % không bao giờ cho. Vậy hầu hết các em đều làm các bài toán thực tiễn rất ít.

-

Cuối cùng, 81,47 % HS mong muốn thầy cô cho nhiều bài toán thực tiễn

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

hơn, 11,76 % HS mong thầy cho hạn chế bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề phƣơng trình mũ-logarit và 6,77 % không muốn cho bài toán thực tiễn vào dạy học chủ đề này. Có thể nói, đa số các em đều mong muốn thầy cô của mình cho nhiều bài toán thực tiễn hơn nữa.

Nhƣ vậy, qua thực trạng trên, việc xây dựng và sử dụng hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề phƣơng trình mũ-logarit còn chƣa đƣợc quan tâm nhiều. Việc sử dụng các bài toán thực tiễn của GV còn hạn chế mặc dù các GV đều thấy đƣợc vai trò của các bài toán thực tiễn đối với HS. Hơn nữa, đa số các GV đều mong muốn sử dụng hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề phƣơng trình mũ-logarit. Do vậy, để nâng cao chất lƣợng và hiệu quả dạy học, chúng ta cần phải xây dựng hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề này.

25

Kết luận chƣơng 1 Ở chƣơng 1, chúng tôi đã hệ thống đƣợc cơ sở lý luận và thực tiễn của việc xây dựng hệ thống bài toán thực tiễn. Trong đó, những vấn đề chúng tôi đặc biệt quan tâm là: + Một số vấn đề cơ bản về đổi mới giáo dục, tính thực tiễn của Toán học. + Khái niệm bài toán thực tiễn, vai trò của bài toán thực tiễn trong quá trình

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

dạy học và phƣơng pháp giải một bài toán thực tiễn. + Thực trạng sử dụng hệ thống bài toán thực tiễn chủ đề phƣơng trình mũlogarit trong dạy học ở phổ thông.

Nhƣ vậy, chúng tôi đã hoàn thành nhiệm vụ 5.1, 5.2 trong mục 5, qua đó thấy đƣợc việc xây dựng và sử dụng bài toán thực tiễn còn chƣa thực sự đƣợc quan tâm, do đó cần tăng cƣờng và đẩy mạnh hơn nữa việc xây dựng và sử dụng để đạt đƣợc hiệu quả cao trong dạy và học.

Tất cả những lí luận ở trên là cơ sở để em xây dựng hệ thống bài toán thực tiễn chủ đề phƣơng trình mũ-logarit mà nội dung nghiên cứu cụ thể sẽ đƣợc trình bày ở chƣơng sau.

26

CHƢƠNG 2. HỆ THỐNG BÀI TOÁN THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT CHO HỌC SINH LỚP 12 2.1. Mục tiêu và nội dung chủ yếu của chủ đề phƣơng trình mũ-logarit trong dạy học Toán ở phổ thông 2.1.1. Mục tiêu 2.1.1.1. Về kiến thức

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Học sinh nắm đƣợc định nghĩa và các tính chất của hàm số mũ, hàm số

-

logarit, phƣơng trình mũ, phƣơng trình logarit.

-

Công thức tính đạo hàm và đồ thị hàm mũ, hàm logarit.

-

Cách giải phƣơng trình mũ, phƣơng trình logarit.

2.1.1.2. Về kĩ năng

Biết vận dụng định nghĩa để tính một số biểu thức chứa mũ, logarit đơn

giản.

-

Biết vận dụng tính chất vào các bài tập biến đổi, tính toán các biểu thức

chứa mũ, logarit.

-

Biết giải phƣơng trình mũ, logarit.

-

Biết vận dụng các kiến thức để giải các bài toán thực tiễn.

-

Biết vẽ đồ thị các hàm mũ và hàm logarit.

2.1.1.3. Về tư duy, thái độ

Học sinh hứng thú học tập và có mong muốn vận dụng các kiến thức, kĩ năng đƣợc học để giải quyết các tình huống trong thực tiễn.

2.1.1.4. Năng lực - Năng lực mô hình hóa toán học.

- Năng lực giải quyết vấn đề.

- Năng lực tƣ duy và lập luận toán học.

27

2.1.2. Nội dung kiến thức - Hàm số mũ y

a x,(a

0, a

1).

 Tập xác định: D  Tập giá trị: T

(0,

)

 Tính đơn điệu +

1 thì phƣơng trình y

Khi a a g ( x)

f (x)

g(x).

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

a f ( x)

a x đồng biến, khi đó ta luôn có:

+ Khi 0 a f ( x)

1 thì phƣơng trình y

a

a g ( x)

f (x)

a x nghịch biến, khi đó ta luôn có:

g(x).

 Đạo hàm (a x )

a x .ln a

(e x )

ex

(n u)

(a u )

(eu )

u .a u .ln a

eu .u

u

n. n u n

1

 Đồ thị: Nhận trục hoành làm đƣờng tiệm cận ngang.

1

1

O

O

- Phƣơng trình mũ: a x

m , m là hằng số.

Nếu m

0 thì phƣơng trình a x

Nếu m

0 phƣơng trình a x

m vô nghiệm; m có một nghiệm duy nhất x

28

loga m .

 Một số công thức liên quan Công thức

STT 1

a.a...a

an

Công thức

STT 7

a m.a n

8

am an

am

n

n thua so

2 3

5

a a

a0

a

a

6

9

0

am

am

n

m n

m n

a

10

1 an

n

n

a

a

11

m

1

12

1

m n

n

- Hàm số logarit y

(0,

a b

aM

N

n

a m.n

a n .bn

n

M

an bn loga N

am

loga x, (a

 Tập xác định: D

a.b

n

m

an

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

4

a a

a1

0, a

1) .

).

 Tập giá trị: T

 Tính đơn điệu: + Khi a loga f ( x)

+ Khi 0 loga f ( x)

1 thì y

loga x đồng biến trên D, khi đó nếu:

loga g( x)

a

1 thì y

loga g( x)

f ( x)

g( x) .

loga x nghịch biến trên D, khi đó nếu f ( x)

g( x) .

 Đạo hàm:

29

log a x (ln x)

1 x.ln a 1 , (x x

u u.ln a u u

log a u

0)

(ln u )

(ln n u )

n

u ln n u

1

u

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

 Đồ thị: Nhận trục tung làm đƣờng tiệm cận đứng.

O

1

O

1

- Phƣơng trình logarit: loga x

m, x

0 , m là hằng số.

Với mỗi giá trị của m, phƣơng trình loga x

m luôn có nghiệm duy nhất

am .

x

 Một số công thức liên quan Công thức

STT 1 2 3

4

5 6

7

loga 1

0

8

loga a

1

9

M

10

loga a M

a

loga N

loga N1.N 2

log a

N1 N2 loga N

11

N

loga N1

log a N1

Công thức

STT

loga N 2

log a N 2

.loga N 30

12 13

loga N 2

loga N

2.loga N

loga b.logb N

logb N

log a N log a b

log a b

1 logb a

loga N

a

logb c

1

c

loga N logb a

 Một số phƣơng pháp giải phƣơng trình mũ và logairt + Phƣơng pháp đƣa về cùng cơ số + Phƣơng pháp đặt ẩn phụ + Phƣơng pháp logatirit hóa + Phƣơng pháp sử dụng tính đồng biến hay nghịch biến của hàm số 2.2.

Đề xuất hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học phƣơng trình mũ-

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

logarit cho học sinh lớp 12 2.2.1. Nguyên tắc xây dựng

2.2.1.1. Việc xây dựng hệ thống bài toán thực tiễn phải đảm bảo sự tôn trọng, kế thừa, phát triển chương trình sách giáo khoa hiện hành.

Chƣơng trình và sách giáo khoa môn Toán đƣợc xây dựng trên cơ sở kế thừa những kinh nghiệm tiên tiến ở trong và ngoài nƣớc theo một hệ thống quan điểm nhất quán về phƣơng diện Toán học cũng nhƣ về phƣơng diện sƣ phạm, nó đã đƣợc thực hiện thống nhất trong phạm vi toàn quốc trong nhiều năm và đƣợc điều chỉnh nhiều lần cho phù hợp với mục tiêu đào tạo mới, phù hợp với thực tiễn giáo dục ở nhà trƣờng nƣớc ta.

Vì vậy, hệ thống bài toán thực tiễn muốn đƣợc thực thi phải phù hợp với Chƣơng trình và sách giáo khoa. Hơn nữa phải khai thác hết tiềm năng của Chƣơng trình và sách giáo khoa hiện hành.

2.2.1.2. Bài toán thực tiễn phải sát với đời sống thực tế, sát với quá trình lao động sản xuất và đảm bảo tính đa dạng về nội dung.

Khi xây dựng hệ thống bài toán có nội dung thực tiễn, cần phải chọn lọc những bài toán đơn giản, gần gũi, quen thuộc với học sinh. Đó là những tình huống sát với vốn kinh nghiệm trong đời sống, lao động sản xuất của học sinh.

Các tình huống nhƣ vậy tạo ra một bức tranh sinh động về bài toán thực tiễn mà học sinh có thể cảm thụ đƣợc. Qua các bài tập này, học sinh đƣợc luyện tập sử dụng các kiến thức và kỹ năng toán học để giải quyết bài toán thực tiễn trong đời sống sản xuất.

31

Sự đa dạng về nội dung của hệ thống bài toán thực tiễn đƣợc thể hiện ở sự đa dạng về các tình huống, phạm vi các lĩnh vực lao động sản xuất, đời sống xã hội. Sự đa dạng đó làm cho học sinh thấy đƣợc ứng dụng rộng rãi và sâu sắc của các bài tập có nội dung thực tiễn trong nhiều lĩnh vực khác nhau, làm nổi bật ý nghĩa ứng dụng của Toán học.

2.2.1.3. Hệ thống bài toán phải đảm bảo tính chính xác, khoa học và hiện đại.

Trong một bài toán thực tiễn, bên cạnh nội dung toán học nó còn có

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

những dữ liệu thực tiễn. Những dữ liệu đó cần phải đƣợc đƣa vào một cách chính xác, không tuỳ tiện thay đổi. Ví dụ: Vi khuẩn HP (Helicobacter pylori) gây đau dạ dày tại ngày thứ m với số lƣợng là F(m), biết nếu phát hiện sớm khi số lƣợng vi khuẩn không vƣợt quá 4000 con thì bệnh nhân sẽ đƣợc cứu chữa.

Khi xây dựng bài toán thực tiễn không thể tuỳ tiện thay đổi tên vi khuẩn gây đau dạ dày. Làm nhƣ vậy là phi thực tế, không chính xác khoa học.

Trong một số bài toán về kinh tế, sản xuất nên đƣa vào những thông tin mới mang tính thời sự, cập nhật, không nên đƣa những thông tin quá cũ và lạc hậu.

2.2.1.4. Hệ thống bài toán bảo đảm tính sư phạm

Các tình huống thực tiễn thƣờng phức tạp hơn, các dữ kiện về số liệu thƣờng bị lẻ, không nguyên, không đẹp trong tính toán,… nên khi xây dựng bài toán thực tiễn cho học sinh cần phải có bƣớc xử lí sƣ phạm để làm đơn giản tình huống thực tiễn, các số liệu có thể đƣợc thay đổi để học sinh tính toán không quá phức tạp. Các yêu cầu giải bài toán thực tiễn cũng phải phù hợp với trình độ, khả năng của học sinh.

2.2.1.5. Hệ thống bài toán phải đảm bảo tính mục đích, tính hiệu quả và tính khả thi trong khâu sử dụng.

- Tính mục đích: Mục đích của hệ thống bài toán thực tiễn với ý nghĩa ứng dụng rõ rệt, thông qua quá trình rèn luyện cho học sinh khả năng và ý thức sẵn sàng ứng dụng Toán học vào thực tiễn, đồng thời góp phần tích cực để thực hiện tốt và toàn diện các nhiệm vụ dạy học Toán ở trƣờng THPT. 32

- Tính khả thi: Tức khả năng thực hiện đƣợc (xây dựng đƣợc, sử dụng đƣợc) hệ thống bài toán này trong thực tế dạy học ở trƣờng THPT hiện nay.

- Tính hiệu quả: Sự tiến bộ vững chắc, mức độ thành thạo trong việc giải bài toán thực tiễn của học sinh. Hình thành và phát triển ở các em thói quen hay hứng thú vận dụng kiến thức Toán học vào các tình huống trong học tập, lao động sản xuất và trong đời sống.

2.2.2. Phương pháp xây dựng bài toán thực tiễn

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

2.2.2.1. Thêm các yếu tố thực tiễn vào bài toán đơn thuần lí thuyết Từ những bài toán yêu cầu giải phƣơng trình, ta xây dựng cho chúng một mô hình thực tiễn tạo thành một bài toán thực tiễn, mà để giải đƣợc bài toán đó, ta phải đƣa về việc giải phƣơng trình đã nêu trên.

Ví dụ. Xuất phát từ bài tập thuần lí thuyết: “Giải phƣơng trình 525

21.e28 x ”

Ta có thể thêm các yếu tố thực tiễn, xây dựng bài toán thực tiễn nhƣ sau: Bài toán thực tiễn: “Sự tăng trƣởng của một loại vi khuẩn đƣợc tính theo công thức S

A.ert , trong đó A là số lƣợng vi khuẩn bân đầu, r là tỉ lệ tăng

0) , t (tính theo giờ) là thời gian tăng trƣởng. Biết số vi khuẩn ban

trƣởng (r

đầu là 21 con, sau 28 giờ là 525 con. Hỏi tỉ lệ tăng trƣởng của vi khuẩn là bao nhiêu?”.

2.2.2.2. Thay đổi một số dữ liệu của một bài toán thực tiễn để tạo thành một bài toán thực tiễn khác.

Từ một bài toán thực tiễn đã có, ta có thể thay đổi một số dữ liệu nhƣ số liệu, tên gọi,… để tạo thành một bài toán thực tiễn mới có cách giải tƣơng tự bài toán đã cho.

Ví dụ. Từ bài toán thực tiễn đã có trong SGK Giải tích 12 nâng cao: “Một ngƣời gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn một quý với lãi suất

1, 65% một quý. Hỏi sau bao lâu ngƣời đó đƣợc ít nhất 20 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi) từ số vốn ban đầu? (Giả sử lãi suất không thay đổi)”.

33

Ta xây dựng bài toán mới có cách giải tƣơng tự nhƣ bài toán đã cho: “Vừa bán đƣợc mảnh đất 450 triệu đồng, chú Nam gửi luôn vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn một quý với lãi suất 1, 2% một quý với dự định khi cả vốn lẫn lãi 500 triệu đồng thì chú sẽ rút tiền về xây nhà. Hỏi sau bao lâu thì chú thực hiện đƣợc dự định của mình?”.

2.2.2.3. Xuất phát từ nhu cầu giải quyết vấn đề trong cuộc sống Ví dụ. “Một ngƣời vay ngân hàng 1 tỷ đồng với lãi kép là 12% một năm. Hỏi

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

ngƣời đó phải trả ngân hàng tháng bao nhiêu tiền để sau đúng 5 năm ngƣời đó trả xong nợ ngân hàng?”.

2.2.2.4. Xuất phát từ nhu cầu giải quyết các bài toán thực tiễn của các môn học khác

Ví dụ. Giải quyết bài toán thực tiễn trong môn Vật lý

Trong một bản hợp ca, coi mọi ca sĩ đều hát với cƣờng độ âm, độ âm và coi cùng tần số. Khi một ca sĩ hát thì cƣờng độ âm là 68dB. Khi cả bản hợp ca cùng hát thì đo đƣợc mức cƣờng độ âm là 80dB. Tính số ca sĩ trong bản hợp ca đó, biết mức cƣờng độ âm L đƣợc tính theo công thức L

10 log

I trong đó I I0

là cƣờng độ âm và I0 là cƣờng độ âm chuẩn.

2.2.2.5. Xuất phát từ quá trình tham khảo tài liệu

Các bài toán có thể lấy trong SGK, SBT, sách tham khảo, tài liệu trên mạng, các đề kiểm tra,…

Ví dụ. Từ đề thi thử THPT quốc gia 2018 môn Toán Sở GD&ĐT Bắc Giang: “Một ngƣời vay ngân hàng 500 triệu đồng với lãi suất 1, 2% một tháng để mu axe ô tô. Nếu mỗi tháng ngƣời đó trả ngân hàng 10 triệu đồng và thời điểm bắt đầu trả cách thời điểm vay là đúng một tháng. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng thì ngƣời đó trả hết nợ cho ngân hàng? Biết rằng lãi suất không thay đổi”.

2.2.3. Quy trình xây dựng

34

Để xây dựng đƣợc hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề phƣơng trình mũ-logarit cho học sinh lớp 12 cần phải thực hiện các bƣớc sau: Bước 1. Xác định mục tiêu xây dựng bài toán thực tiễn Ngoài các mục tiêu đã đƣợc xây dựng ở mục thì HS cần - Củng cố kiến thức vè phƣơng trình mũ-logarit.

- Biết vận dụng các kiến thức của phƣơng trình mũ-logarit vào giải các bài toán liên quan đến phƣơng trình mũ-logarit ở các môn học khác, cũng nhƣ

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

trong thực tế.

Bước 2. Xác định các dạng bài toán thực tiễn

Căn cứ vào nội dung và tính chất của các bài toán, chúng tôi đã chia nhỏ các bài toán thành các dạng sau: - Bài toán lãi đơn.

- Bài toán lãi kép.

- Bài toán vay trả góp-góp vốn.

- Bài toán dân số.

- Bài toán ứng dụng trong các môn học.

- Các bài toán thực tiễn khác.

Bước 3. Thiết kế bài toán

Từ các nguyên tắc, phƣơng pháp xây dựng đã đƣợc trình bày trong mục 2.2.1 và 2.2.2 và các dạng bài tập đã đƣợc nêu trong bƣớc 2 của mục này, chúng tôi thiết kế các bài toán thực tiễn đƣợc trình bày chi tiết trong mục 2.2.4 Bước 4. Kiểm nghiệm và chỉnh sửa Đƣa một số bài toán đã xây dựng vào kiểm nghiệm thực tế để xác định tính hiệu quả của các bài toán đó. Từ đó có sự thay đổi và điều chỉnh hợp lý để hệ thống bài toán đƣợc hoàn thiện hơn.

Bƣớc này đƣợc trình bày ở mục 2.3.

2.2.4. Hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học phương trình mũ-logarit Dựa theo các nguyên tắc và quy trình xây dựng ở trên, tôi đã xây dựng đƣợc hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học phƣơng trình mũ-logarit cho học sinh 35

lớp 12. Các bài toán đƣợc cho hƣớng dẫn cụ thể, phân chia các dạng rõ ràng nhƣ

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

sơ đồ sau:

2.2.4.1. Bài toán lãi đơn

Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra trong một khoảng thời gian cố định (chỉ có vốn gốc mới phát sinh tiền lãi).

Công thức tính: Sn Trong đó:

A

nAr

A(1

nr)

S n là tổng số tiền đạt đƣợc (cả vốn lẫn lãi) sau n kì hạn;

A là vốn gốc mà khách hàng gửi vào ngân hàng (đồng); r là lãi suất mỗi kì hạn ( % );

n là số kì hạn (n

*

).

Chú ý: - Quy đổi số kỳ hạn ra số tháng, số năm hoặc quy đổi số năm ra số kỳ hạn. + Kỳ hạn 1 tháng: 1 năm = 12 kỳ hạn; + Kỳ hạn 3 tháng (1 quý): 1 năm = 4 kỳ hạn; 36

+ Kỳ hạn 6 tháng (nửa năm): 1 năm = 2 kỳ hạn.

- Trong quá trình vay (hoặc gửi) ngân hàng mà lãi suất thay đổi, ta tính riêng từng giai đoạn, tổng số tiền thu đƣợc (hoặc nợ) cuối giai đoạn này sẽ là số tiền ban đầu của giai đoạn tiếp theo.

Bài 1. Bác Năm gửi vào ngân hàng 16 triệu đồng với lãi đơn 5% một năm thì sau 5 năm số tiền của bác Năm cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu?

Giải

A

A(1

nr) với:

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Áp dụng công thức tính lãi đơn Sn

16000000, r

5%

0, 05, n

5

Ta có số tiền của bác Năm nhận đƣợc cả vốn lẫn lãi sau 5 năm là: S5

16000000(1

5.0, 05)

20000000 (đồng).

Bài 2. Khi An gửi tiết kiệm 50 (triệu đồng) vào một ngân hàng với lãi suất 6, 9% một năm thì sau 10 năm ta nhận đƣợc số tiền lãi là bao nhiêu?

Hướng dẫn

Giải tƣơng tự nhƣ bài 1. Đ/S: 84,5 (triệu đồng).

Bài 3. Bác Phƣợng bỏ vốn 450 000 000 đồng, đầu tƣ vào một công ty bất động sản với lãi suất đầu tƣ 12% một năm (theo hình thức lãi đơn) trong vòng 2 năm 3 tháng. Xác định giá suất đầu tƣ đạt đƣợc vào cuối đợt đầu tƣ.

Hướng dẫn

Giải tƣơng tự nhƣ bài 1. Đ/S: 571500000 đồng.

Bài 4. Công ty X đầu tƣ vào một thƣơng siêu thị với lãi suất 10% một năm (theo hình thức lãi đơn) cho số vốn 25 triệu đồng, nhà đầu tƣ X mong muốn thu đƣợc 32 125 000 đồng vào cuối đợt đầu tƣ. Vậy phải đầu tƣ trong bao lâu để đạt đƣợc giá trị nhƣ trên? (Giả sử lãi suất hằng năm không đổi).

Giải Từ công thức tính lãi suất đơn Sn

A

nAr với 37

A

25000000, r=10%=0,1, Sn

n

Sn A Ar

32125000 ta có

32125000 25000000 25000000.0,1

2, 85 (năm) hay 2 năm 10 tháng 6

ngày.

Bài 5. Bác Hai gửi ngân hàng 60 triệu đồng trong 3 năm 4 tháng với lãi suất r% một năm thì đạt kết quả cuối cùng 75 210 000 đồng. Xác định r biết hình thức

Giải

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

lãi suất là lãi suất đơn và lãi suất hàng năm không thay đổi.

Đổi 3 năm 4 tháng=

10 năm.

3

Từ công thức tính lãi suất đơn Sn Sn

r

A

An

nAr ta có

A

75210000

60000000 10 60000000.

3

7, 605%

Vậy lãi suất mà bác Hai gửi là 7, 605% một năm.

Bài 6. Với lãi suất đầu tƣ 12% một năm (theo hình thức lãi suất đơn) thì nhà đầu tƣ A phải bỏ ra số vốn ban đầu là bao nhiêu để thu đƣợc 290 triệu đồng trong thời gian 3 năm 9 tháng? (Giả sử lãi suất hằng năm không đổi).

Giải

Đổi 3 năm 9 tháng = 3

9 12

15 năm.

4

Áp dụng công thức tính lãi suất đơn Sn A

Sn 1 nr

290 000 000 15 12 1 .

4 100

A(1

nr) ta có:

200 000 000 (đồng).

2.2.4.2. Bài toán lãi kép Lãi kép là số tiền lãi của kì hạn trƣớc nếu ngƣời gửi không rút tiền ra thì đƣợc tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau.

- Bài toán lãi suất kép 38

Công thức tính: Sn

A(1

r)n

Trong đó: S n là tổng số tiền đạt đƣợc (cả vốn lẫn lãi) sau n kì hạn;

A là số tiền khách hàng gửi vào ngân hàng (đồng);

r là lãi suất mỗi kì ( % ); *

n là số kì hạn (n

).

- Bài toán lãi suất kép liên tục Aenr

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Công thức tính : Sn

Trong đó: S n là tổng số tiền đạt đƣợc (cả vốn lẫn lãi) sau n kì hạn;

A là số tiền khách hàng gửi vào ngân hàng (đồng);

r là (n

*

) lãi suất mỗi kì hạn ( % );

n là số kì hạn .

Bài 7. Một ngƣời gửi vào một ngân hàng 10 triệu đồng. Hỏi nếu theo kì hạn 3 tháng với lãi suất 1, 65% một quý thì sau 2 năm ngƣời đó nhận đƣợc số tiền là bao nhiêu?

Giải

Ta có 2 năm

8 quý.

Ap dụng công thức lãi kép Sn

A

A(1

r)n với:

10 000 000, r=1,65%=0,0165, n

8

Vậy sau 2 năm ngƣời đó nhận đƣợc số tiền là : S8

A(1

r)8

10. 1

0, 0165

8

11, 399 (triệu đồng).

Bài 8. Một ngƣời đầu tƣ 100 triệu đồng vào một ngân hàng theo thể thức lãi kép với lãi suất 13% một năm. Hỏi sau 5 năm mới rút lãi thì ngƣời đó thu đƣợc bao nhiêu tiền? (Giả sử lãi suất hằng năm không đổi) ( SGK Giải tích 12 nâng cao).

Hướng dẫn Giải tƣơng tự nhƣ bài 7. Đ/S: 184 triệu đồng.

39

Bài 9. Một ngƣời đem 100 000 000 đồng đi gửi tiết kiệm với lãi suất 7% một tháng, sau mỗi tháng số tiền lãi đƣợc nhập vào vốn. Hỏi sau hết kì hạn 6 tháng, ngƣời đó đƣợc lĩnh về bao nhiêu tiền? (Trích đề thi thử môn Toán Sở GD&ĐT Đồng Tháp-2018).

Hướng dẫn Giải tƣơng tự nhƣ bài 7. Đ/S: 108.(1, 07)6 đồng.

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Bài 10. Anh Minh cho anh Mẫn vay 1 tỉ đồng với lãi suất hàng tháng là 0,5% theo hình thức tiền lãi hàng tháng đƣợc cộng vào tiền gốc cho tháng kế tiếp. Sau 3 năm, anh Mẫn trả cho anh Minh cả gốc lẫn lãi số tiền là bao nhiêu (làm tròn đến phần nghìn)?

Hướng dẫn

Giải tƣơng tự nhƣ bài 7. Đ/S: 1196681000 đồng.

Bài 11. Bác X gửi a đồng vào ngân hàng với lãi suất 0, 5% một tháng. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng số tiền lãi sẽ đƣợc nhập vào vốn ban đầu. Để sau 10 tháng bác X sẽ nhận đƣợc 20 000 000 đồng thì a ít nhất là bao nhiêu?

Giải

Ap dụng công thức lãi kép Sn A=a, r

0,5%

Ta có: 20 000 000

0,005, n a(1

A(1

r)n với:

10, Sn 0, 005)10

20 000 000 a

19 026 958, 81 (đồng).

Bài 12. Một ngƣời gửi 10 triệu đồng vào ngân hàng thời gian 10 năm với lãi suất 5% một năm. Hỏi rằng ngƣời đó nhận đƣợc số tiền nhiều hơn hay ít hơn bao nhiêu nếu ngân hàng trả lãi suất

5 % một tháng.

12

Giải 40

Áp dụng công thức lãi kép Sn

10 000 000. 1

5 100

10 000 000 1

r)n nên số tiền sau 10 năm là:

10

16 288 946, 27 (đồng).

Số tiền nhận sau 10 năm

5 1200

A(1

120 tháng với lãi suất

5 % một tháng là: 12

120

16 470 094, 98 đồng.

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Vậy số tiền gửi lãi theo tháng sẽ nhiều hơn gửi theo năm.

Bài 13. Một ngƣời đem gửi tiền ở một ngân hàng với lãi suất là 12% một năm.

Biết rằng, cứ sau mỗi một quý (3 tháng) thì lãi sẽ đƣợc cộng dồn vào vốn gốc.

Hỏi sau tối thiểu bao nhiêu năm thì ngƣời đó nhận lại đƣợc số tiền, bao gồm cả vốn lẫn lãi gấp 3 lần số tiền ban đầu.

Giải

Gọi số tiền ngƣời đó gửi là A, lãi suất mỗi quý là 0,03.

Sau n quý, tiền mà ngƣời đó nhận đƣợc là: A 1 Theo bài ta có: A(1

0, 03)n

3A

n

n

0, 03 .

log1,03 3

37,17 .

Vậy số năm tối thiểu là khoảng 9 năm 3 tháng.

Bài 14. Một bác nông dân vừa bán một con trâu đƣợc số tiền là 20 000 000(đồng). Do chƣa cần dùng đến số tiền nên bác nông dân đem toàn bộ số tiền đó đi gửi tiết kiệm loại kì hạn 6 tháng vào ngân hàng với lãi suất 8, 5% một năm thì sau 5 năm 8 tháng bác nhận đƣợc bao nhiêu tiền cả vốn lẫn lãi. Biết rằng bác đó không rút cả vốn lẫn lãi tất cả cá định kì trƣớc và nếu rút trƣớc thời hạn thì ngân hàng trả lãi suất theo loại không kì hạn 0, 01% một ngày (một tháng tính 30 ngày).

Giải

41

Một kì hạn 6 tháng có lãi suất là

8, 5% .6 12

4, 25 . Sau 5 năm 6 tháng (có nghĩa 100

là 66 tháng tức là 11 kì hạn), số tiền cả vốn lẫn lãi bác nông dân nhận đƣợc là:

A

20000000. 1

4, 25 100

11

(đồng).

Vì 5 năm 8 tháng thì có 11 kì hạn và dƣ 2 tháng hay dƣ 60 ngày nên số tiền A đƣợc tính lãi suất không kì hạn trong 60 ngày là:

B

4, 25 100

11

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

0, 01 A .60 100

120000. 1

(đồng). Suy ra, sau 5 năm 8 tháng số tiền

bác nông dân nhận đƣợc là:

C

A

đồng.

20000000. 1

B

4, 25 100

11

120000. 1

4, 25 100

11

31802750, 09

Bài 15. Doanh nghiệp B muốn thu đƣợc 280 triệu đồng bằng cách đầu tƣ ở hiện tại là 170 triệu đồng, với lãi suất sinh lời là 13% một năm theo thể thức lãi kép.

Xác định thời gian đầu tƣ?

Giải

Từ công thức tính lãi kép Sn

n

log1

r

Sn A

log1

0.13

A(1

280 170

r)n ta suy ra số thời gian đầu tƣ là:

4, 08 năm (khoảng 4 năm 1 tháng).

Bài 16. Một ngƣời gửi 60 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép, kì hạn 1 năm với lãi suất 7, 56% một năm. Hỏi sau bao nhiêu năm gửi sẽ có ít nhất 120 triệu đồng từ số tiền gửi ban đầu (giả sử lãi suất không thay đổi)?

Hướng dẫn Giải tƣơng tự nhƣ bài 15. Đ/S: 9,51 năm (khoảng 9 năm 6 tháng).

42

Bài 17. Một ngƣời gửi số tiền 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 7% một năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ nhập vào vốn ban đầu (ngƣời ta gọi là lãi kép). Để ngƣời đó lãnh đƣợc số tiền 250 triệu đồng thì ngƣời đó cần gửi trong khoảng thời gian ít nhất bao nhiêu năm? (Nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi) ( trích đề thi thử Toán trƣờng THPT Lƣơng Thế Vinh, Hà Nội-2018).

Hướng dẫn

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Giải tƣơng tự nhƣ bài 15. Đ/S: 14 năm.

Bài 18. Doanh nghiệp A gửi tiền vào ngân hàng với số tiền là 720 triệu đồng, theo thể thức lãi kép, kì hạn 1 năm với lãi suất r% một năm. Sau 5 năm, doanh nghiệp A có một số tiền 1200 triệu đồng. Xác định r ?(Biết lãi suất hằng năm không thay đổi).

Giải

Từ công thức tính lãi kép Sn

r

n

Sn A

1

5

1200 720

1

A(1

r)n ta suy ra lãi suất mỗi năm là:

10, 76%

Bài 19. Phƣợng vay ngân hàng một số vốn, theo thể thức lãi kép, lãi gộp vốn 6 tháng 1 lần với lãi suất 9, 6% một năm. Tổng số tiền chủ cửa hàng phải trả sau 4 năm 3 tháng là 536 258 000 đồng. Xác định số vốn chủ cửa hàng đã vay? (Biết lãi suất hằng năm không thay đổi).

Giải Coi một kì hạn là lãi suất 6 tháng một lần của ngân hàng. Khi đó r

9, 6% 2

0, 048

Vậy 4 năm 3 tháng là 8,5 kì hạn.

Từ công thức tính lãi kép Sn

A(1

r)n ta suy ra số vốn của cửa hàng đã vay

ban đầu là: 43

A

Sn (1

r)

n

536 258 000 (1 0, 048)8,5

360 000 315, 7 đồng.

Bài 20. Ông Năm gửi 320 triệu đồng ở hai ngân hàng X và Y theo phƣơng thức lãi kép. Số tiền thứ nhất gửi ở ngân hàng X với lãi suất 2,1% một quý trong thời gian là 15 tháng. Số tiền còn lại giữa ở ngân hàng Y với lãi suất 0, 73% một tháng trong thời gian 9 tháng. Tổng lợi tức đạt đƣợc ở hai ngân hàng là 347507768,13 đồng (chƣa làm tròn). Hỏi số tiền ông Năm lần lƣợt gửi ở ngân

Giải

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

hàng X và Y là bao nhiêu?

Tổng số tiền cả vốn và lãi (lãi chính là lợi tức) ông Năm nhận đƣợc từ cả hai ngân hàng là 347,50776813 triệu đồng. Gọi x (triệu đồng) là số tiền gửi ở ngân hàng X, khi đó 320

x (triệu đồng) là số tiền gửi ở ngân hàng Y.

Ta có 15 tháng là 5 quý.

Theo giả thiết ta có: x(1

0, 021)5

(320

x)(1

0, 0073)9

347, 50776813

x

140

Vậy ông Năm gửi 140 triệu ở ngân hàng X, 180 triệu đồng ở ngân hàng Y. Bài 21. Bác Bình có 100 triệu đồng đem gửi vào một ngân hàng. Ngân hàng cho biết lãi suất là 1% một tháng và đƣợc tính theo thể thức lãi kép. Để thu đƣợc số tiền lãi lớn nhất sau 2 năm, bác Bình phân vân các kì hạn 3 tháng, 4 tháng, 6 tháng, 12 tháng. Em hãy giúp bác chọn kì hạn tốt nhất với bác.

Giải Số tiền lãi bác Bình nhận đƣợc là - Theo kì hạn 3 tháng với lãi suất là 3% 100.106.(1

0, 03)8

100.106

26 677 008 (đồng).

- Theo kì hạn 4 tháng với lãi suất 4% 100.106.(1

0, 04)6

100.106

0, 03 :

0, 04 :

26 531 902 (đồng).

- Theo kì hạn 6 tháng với lãi suất 6% 44

0, 06 :

100.106.(1

0, 06)4

100.106

26 247 696 (đồng).

- Theo kì hạn 12 tháng với lãi suất 12% 100.106.(1

0,12)2

100.106

0,12 :

25 440 000 (đồng).

Vậy bác Bình nên chọn gửi theo kì hạn 3 tháng.

Bài 22. Với số vốn 100 triệu đồng gửi vào ngân hàng theo thể thức lãi kép liên tục, lãi suất 8% một năm thì sau 2 năm số tiền thu về cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu? ( SGK Giải tich 12 nâng cao).

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Giải

Áp dụng công thức tính lãi kép liên tục ta có: A.enr

Sn

100.e2.0,08

117, 351087 triệu đồng.

Bài 23. Một ngƣời gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng theo kì hạn một năm với lãi suất 1,75% năm theo thể thức lãi kép liên tục thì sau bao nhiêu năm ngƣời đó thu đƣợc một số tiền là 200 triệu? Biết rằng tiền lãi sau mỗi năm đƣợc cộng vào tiền gốc trƣớc đó và trở thành tiền gốc của năm tiếp theo.

Giải

Áp dụng công thức tính lãi kép liên tục ta có: Sn A r

200 100 1, 75% ln

ln

A.enr

Sn

n

39, 6 (năm).

2.2.4.3. Bài toán vay trả góp-góp vốn

Dạng 1: Ngƣời A hàng tháng gửi (vay) tiền vào ngân hàng X một số tiền nhƣ nhau là a đồng (vào đầu mỗi kì hạn), kì hạn 1 tháng với lãi suất r% một tháng.

Sau n tháng, ngƣời đó nhận (nợ) đƣợc số tiền vốn và lãi là bao nhiêu?

Ta có Cuối tháng thứ 1, ngƣời A có (nợ) số tiền là: S1 Đầu tháng thứ 2, ngƣời đó có (nợ) số tiền là: S1

a

a(1

r)

a

a[1

(1

r)]

Cuối tháng thứ 2, ngƣời A có (nợ) số tiền là: 45

a

a.r

a(1

r) .

S2

S1

a(1

S1r

r)

a

a[1

(1

r)]=a[(1

r)2

(1

r)]

Đầu tháng thứ 3, ngƣời đó có (nợ) số tiền là: S2

a (1

a

r)2

(1

r)

a

a[1

(1

r)

(1

r)2 ]

…

Cuối tháng thứ n, ngƣời A có (nợ) số tiền là:

Sn

a[(1

r)n

(1

r)n 1+(1

r)n 2 +...+(1

r)2 +(1

r)]=a.(1

r).

(1

r)n r

1

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Bài 24. Một bà mẹ Việt Nam anh hùng đƣợc hƣởng số tiền là 4 triệu đồng trên một tháng (chuyển vào tài khoản của mẹ ở ngân hàng vào đầu tháng). Từ tháng 1 năm 2018 mẹ không đi rút tiền mà để lại ngân hàng và đƣợc tính lãi suất 1% trên một tháng. Đến đầu tháng 12 năm 2018 mẹ rút toàn bộ số tiền (gồm số tiền của tháng 12 và số tiền đã gửi tháng 1). Hỏi khi đó mẹ lĩnh về bao nhiêu tiền?

(Kết quả làm tròn theo đơn vị nghìn đồng).

Giải

Số tiền tháng 1 mẹ nhận đƣợc là 4 triệu đồng, gửi đến đầu tháng 12 (đƣợc 11 kì hạn), vậy cả vốn lẫn lãi do số tiền tháng 1 nhận sinh ra là

1 100

4. 1

11

4.1, 0111 triệu đồng.

Tƣơng tƣ số tiền tháng 2 nhận sẽ sinh ra là: 4.1, 0110 triệu đồng.

………………………………………………………………….

Số tiền tháng 12 mẹ lĩnh luôn nên mẹ nhận: 4 triệu đồng.

Vậy tổng số tiền mẹ lĩnh là: 4.1, 01

11

4.1, 01

10

4.1, 01

9

...

4.1, 01

4

1 1, 0112 4.

1 1, 01

50, 730 (triệu).

Bài 25. Một ngƣời hàng tháng gửi vào ngân hàng 3 000 000 đồng, theo hình thức lãi kép, kì hạn 1 tháng. Biết rằng lãi suất hàng tháng là 0, 67%. Hỏi sau 2 năm ngƣời đó nhận đƣợc số tiền là bao nhiêu?

46

Hướng dẫn Giải tƣơng tự nhƣ bài 24. Đ/S: 78351483, 45 đồng.

Bài 26. Bạn Nam là sinh viên của một trƣờng đại học, muốn vay tiền ngân hàng với lãi suất ƣu đãi để trang trải kinh phí học tập hàng năm. Đầu mỗi năm học, bạn ấy vay ngân hàng số tiền 10 triệu đồng với lãi suất mỗi năm là 4% . Tính số tiền mà Nam nợ ngân hàng sau 4 năm, biết rằng trong 4 năm đó, ngân hàng

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

không thay đổi lãi suất (kết quả làm tròn đến nghìn đồng).

Hướng dẫn

Giải tƣơng tự nhƣ bài 24. Đ/S: 44163000 đồng.

Bài 27. Muốn có số tiền là 200 triệu đồng sau 36 tháng thì phải gửi tiết kiệm mỗi tháng là bao nhiêu? Biết rằng tiền gửi tiết kiệm ngân hàng theo thể thức lãi kép. Kì hạn 1 tháng với lãi suất 0, 67% , lãi suất không thay đổi trong thời gian gửi.

Giải

a.(1

Áp dụng công thức Sn

a

200000000, r

0, 0067, n

r.Sn

a 1

r (1

r)n

r).

r)n r

1

, với:

36 ta đƣợc:

0, 0067.200000000

a

1

(1

1

0, 0067 (1

0, 0067)36

4898146, 723

1

Bài 28. Ông A muốn sau 5 năm có 1 000 000 000 đồng để mua ô tô Camry. Hỏi rằng ông A phải gửi ngân hàng mỗi tháng số tiền gần nhất với số tiền nào sau đây? Biết lãi suất hàng tháng là 0, 5%, tiền lãi sinh ra hàng tháng đƣợc nhập vào tiền vốn, số tiền gửi hàng tháng là nhƣ nhau (Trích đề khảo sát chất lƣợng học kì 2 môn Toán Sở GD&ĐT Nam Định-2018).

Hướng dẫn Giải tƣơng tự nhƣ bài 27.

47

Đ/S: a

14261500 đồng.

Bài 29. Do có nhiều cố gắng trong học kì 1 năm học lớp 12, Hoa đƣợc bố mẹ cho chọn một món quà dƣới 5 triệu đồng. Nhƣng Hoa muốn mua một cái Laptop 10 triệu đồng nên bố mẹ đã cho Hoa 5 triệu gửi vào ngân hàng (vào ngày 1 tháng 1 năm 2018) với lãi suất 1% trên tháng, đồng thời ngày đầu tiên mỗi tháng (bắt đầu từ ngày 1 tháng 2 năm 2018) bố mẹ sẽ cho Hoa 300000 đồng và cũng gửi tiền vào ngân hàng với lãi suất 1% trên tháng. Biết hàng tháng Hoa

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

không rút lãi ra và tiền lãi đƣợc cộng vào vốn cho tháng sau, chỉ rút vốn vào cuối tháng mới đƣợc tính lãi của tháng ấy. Hỏi ngày nào gần nhất với ngày 1 tháng 2 năm 2018 mà Hoa có đủ tiền mua Laptop? (Trích đề thi thử môn Toán trƣờng THPT Bình Giang, Hải Dƣơng-2018).

Giải

Hoa gửi 5 triệu đồng vào ngân hàng nên số tiền cả vốn lẫn lãi của Hoa sau tháng thứ n là: A

5000000.(1

0, 01)n

5000000.1, 01n .

Sau đó một tháng, Hoa đều gửi 300000 đồng vào ngân hàng mỗi tháng nên số tiền cả vốn và lãi này sau (n 1) tháng là: B

300000.(1

0, 01).

(1

0, 01)n 0, 01

1

1

30000000.1, 01n

30300000

Vậy sau tháng thứ n, tổng số tiền trong ngân hàng của Hoa là

A

B

5000000.1, 01n

30000000.1, 01n

30300000

Khi số tiền đó lên 10 triệu thì:

5000000.1, 01n

30000000.1, 01n

35000000.1, 01n

40300000

30300000 1, 01n

1,15

10000000 n

log1,01 1,15

14

Vậy khoảng 1 năm 2 tháng thì Hoa có đủ tiền mua Laptop, khi đó ngày gần với ngày 1 tháng 2 năm 2018 mà Hoa mua đƣợc laptop là 1 tháng 3 năm 2019.

Dạng 2. Giả sử có một ngƣời gửi vào ngân hàng a đồng, lãi suất r% một tháng, kì hạn 1 tháng. Mỗi tháng ngƣời đó rút ra x đồng vào ngày ngân hàng tính lãi. Hỏi sau n tháng số tiền còn lại là bao nhiêu?

48

Gọi Sn là số tiền còn lại sau tháng thứ n .

Sau tháng thứ nhất só tiền gốc và lãi là: a

ar

a(1

Rút x đồng thì số tiền còn lại là: S1

x

ad

ad

r)

x.

d d

ad với d

1

r.

1 1

Sau tháng thứ 2 cả tiền gốc và lãi là ad

x

ad

x .r

ad

x 1

r

x .d

ad

S2

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Rút x đồng thì số tiền còn lại là: x .d

ad

ad 2

x

xd

x(d

ad 2

x

1)

ad 2

x

1

r

d2 1 . d 1

Sau tháng thứ 3 số tiền cả gốc và lãi là: x(d

ad 2

1)

ad 2

x(d

1) .r

x(d

ad 2

1) d

Rút x đồng thì số tiền còn lại là:

x(d

ad 2

S3 ad

3

…

x(d

2

1) d

d

1)

ad 3

x

ad

3

xd 2

xd

x

(1

r)n r

d3 1 x. d 1

Sau tháng thứ n số tiền còn lại là: Sn

ad

n

dn 1 x. d 1

Sn

a(1

r)

x.

n

1

,d

Bài 30. Một cụ già có 100000000 đồng gửi vào ngân hàng theo hình thức lãi kép, kì hạn 1 tháng với lãi suất 0,65% một tháng. Mỗi tháng cụ rút ra 1000000 đồng vào ngày ngân hàng tính lãi. Hỏi sau 2 năm số tiền còn lại của cụ là bao nhiêu?

Giải Áp dụng công thức Sn với a

100000000; x

a(1

r)

n

1000000; r

x.

(1

r)n r

1

0, 0065; n

Khi đó: 49

,

24 .

100000000.(1

S24

0, 0065)

1000000.

24

(1

0, 0065)24 0, 0065

1

90941121, 63

Vậy số tiền còn lại sau 2 năm của cụ là 90941121,63 đồng.

Bài 31. Bạn Lan đƣợc gia đình cho gửi tiết kiệm vào ngân hàng với số tiền là 200 triệu đồng với hình thức lãi kép, kì hạn 1 tháng với lãi suất 0, 75% mỗi tháng. Nếu mỗi tháng Lan rút một số tiền nhƣ nhau vào ngày ngân hàng tính lãi thì Lan phải rút bao nhiêu tiền một tháng để sau đúng 5 năm số tiền Lan đã gửi

Giải

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

vào vừa hết?

a(1

Áp dụng công thức Sn

n

60, r

Ta có

0, 75%

r)

n

0, 0075 , a

x.

(1

r)n r

1

với

200000000, Sn

S60

0.

a(1 r)60 S60 .r r)60 1 S60 a(1 r ) x. x r (1 r )60 1 200000000.(1 0, 0075)60 0 .0, 0075 x 4151671 (1 0, 0075)60 1 60

(1

Vậy ngƣời đó cần rút 4151671 đồng.

Bài 32. Ông Ba gửi vào ngân hàng 120 triệu đồng với lãi suất 0,85% một tháng.

Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, ông Ba rút ra một số tiền nhƣ nhau để chi tiêu. Hỏi số tiền mỗi tháng ông Ba rút ra là bao nhiêu (làm tròn đến nghìn đồng) để sau đúng 1 năm thì rút hết số tiền?

Hướng dẫn Giải tƣơng tự nhƣ bài 31. Đ/S: 10,561 triệu đồng.

Dạng 3. Trả góp ngân hàng hoặc mua đồ trả góp Một ngƣời vay số tiền là a đồng, kì hạn 1 tháng với lãi suất cho số tiền chƣa trả là r% một tháng (hình thức này gọi là tính lãi trên dƣ nợ giảm dần nghĩa là tính 50

lãi trên số tiền mà ngƣời đó vay còn nợ ở thời điểm hiện tại), số tháng vay là n tháng, sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ngƣời này bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là nhƣ nhau, số tiền đều đặn trả vào ngân hàng là x đồng. Tìm công thức tính x ? Biết lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian vay.

Gọi S n là số tiền còn lại sau tháng thứ n .

Sau tháng thứ nhất, số tiền cả gốc và lãi là: a

1

a(1

r)

ad với

r

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

d

ar

Trả

x

S1

ad

đồng

x

thì

x.

ad

số

d d

còn

tiền

lại

sau

tháng

thứ

nhất

là:

1 1

Sau tháng thứ hai, số tiền cả gốc và lãi là: ad

x

(ad

x)r

x (1

ad

r)

ad x d

Trả x đồng thì số tiền còn lại sau tháng thứ hai là: S2

ad

x d

x

ad

2

xd

x

ad

x(d

2

1)

ad

2

d2 1 x. d 1

Sau tháng thứ ba, số tiền cả gốc và lãi là:

x(d

ad 2

1)

ad 2

x(d

1)

ad 2

x(d

1) (1

r)

ad 2

Trả x đồng thì số tiền còn lại sau tháng thứ ba là:

x(d

ad 2

S3 ad

3

x(d

2

1) d d

1)

ad 3

x ad

3

xd 2

xd

x

d3 1 x. d 1

…

Số tiền còn lại sau tháng thứ n là: Sn

ad n

x.

dn 1 d 1

a(1

r)n

x.

(1

r)n r

1

, với d

1

Do sau n tháng ngƣời vay tiền đã trả hết số tiền vay nên ta có: 51

r

x(d

1) d

Sn

0

ad

n

dn 1 x. d 1

0

x

ad n (d 1) dn 1

x

a(1 r)n r (1 r)n 1

Bài 33. Bác A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, lãi suất cho số tiền chƣa trả là 12% một năm. Bác muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng 1 tháng kể từ ngày vay, bác bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng 1 tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là nhƣ nhau và trả hết tiền nợ sau đúng 3 tháng kể tƣ ngày vay. Hỏi theo cách đó số tiền x mà bác A phải trả cho ngân

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian bác A hoàn nợ.

Giải

Lãi suất 12% một năm suy ra trong 1 tháng là 1% một tháng. Áp dụng công thức x

a(1 r)n r cho a (1 r)n 1

100, r

1%

0, 01, n

3.

Vậy số tiền x mà bác A phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ, để 3 tháng hết nợ là: x

a(1 r)n r (1 r)n 1

100.0, 01.(1 0, 01)3 (1 0, 01)3 1

34 triệu đồng.

Bài 34. Một ngƣời vay ngân hàng 1 tỷ đồng với lãi kép là 12% một năm. Hỏi ngƣời đó phải trả ngân hàng tháng bao nhiêu tiền để sau đúng 5 năm ngƣời đó trả xong nợ ngân hàng?

Hướng dẫn

Giải tƣơng tự nhƣ bài 33. Đ/S: 47073472 đồng.

Bài 35. Một ngƣời vay ngân hàng với số tiền 50 000 000 đồng, mỗi tháng trả góp số tiền 4 000 000 đồng và phải trả lãi suất cho số tiền chƣa trả là 1,1% một tháng theo hình thức lãi kép. Hỏi sau bao lâu ngƣời đó trả hết nợ?

Giải Áp dụng công thức x

a(1 r)n r cho (1 r)n 1 52

50000000, x

a

4000000, r

1,1%

x(1

r )n

ar(1

x

(1

Ta có: a(1 r)n r (1 r )n 1

x

(x

ar)(1

r)n

x

r )n x

r)n

ar

x

4000000 r 0, 011 4000000 50000000.0, 011 x ar Ở đây n không nguyên nên ta chọn x

log1

log1

n

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

n

Chọn n

n

13, 52

13

Số tiền ngƣời còn nợ sau tháng thứ 13 là: 50.(1

S13

0, 011)

13

4.

(1

0, 011)13 0, 011

1

2, 067160083 triệu đồng.

Số tiền ngƣời nay trả tháng cuối là 2, 067160083. 1

0, 005

2, 09 triệu đồng.

Bài 36. Một ngƣời mua xe máy trả góp với giá tiền là 20 triệu đồng, mức lãi suất là 1, 2% một tháng với quy ƣớc 1 tháng trả 800 ngàn đồng cả gốc và lãi. Hỏi sau 12 tháng kể từ ngày ngƣời ấy mua xe số tiền còn nợ là bao nhiêu đồng?

Giải

Tổng số tiền nợ sau 12 tháng là: a(1

r)n

Tổng số tiền ngƣời đó giả sau tháng thứ 12 là: x.

(1

r)n r

1

Số tiền còn lại sau tháng thứ 12 là: Sn

a(1

r)

n

20000000(1

x.

(1

r)n r

1, 2%)12

1 800000.

(1

1, 2%)12 1, 2%

1

12818250.87

Bài 37. Bạn Hùng trúng tuyển vào trƣờng đại học A nhƣng vì lý do không đủ nộp học phí nên Hùng quyết định vay ngân hàng trong 4 năm mỗi năm vay 3000000 đồng để nộp học phí với lãi suất 3% một năm. Sau khi tốt nghiệp đại học, bạn Hùng phải trả góp hàng tháng số tiền T (không đổi) cùng với lãi suất 53

0, 25% một tháng trong vòng 5 năm. Số tiền T hàng tháng mà Hùng phải trả cho ngân hàng (làm tròn đến kết quả hàng đơn vị) là bao nhiêu? (Trích đề thi thử môn Toán trƣờng THPT chuyên Lào Cai-2018).

Giải Tổng số tiền Hùng nợ ngân hàng sau 4 năm học là: 3000000.(1

0, 03).

(1

0, 03)4 0, 03

1

12927407, 43 đồng.

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Sau khi tốt nghiệp đại học, Hùng giả ngân hàng hàng tháng T đồng nên áp dụng công thức: T

Ta đƣợc: T

a(1 r )n r với a (1 r)n 1

a(1 r)n r (1 r)n 1

12927407, 43; n

60, r

12927407, 43.(1 0, 25%)60.0, 25% (1 0, 25%)60 1

0, 25% .

232289 đồng.

2.2.4.3. Bài toán dân số

Sự tăng dân số đƣợc tính bằng một trong hai công thức sau: Công thức 1: S

A.enr

Công thức 2: S

A.(1

r)n

Trong đó: A là dân số của năm lấy làm mốc tính;

S là dân số sau n năm;

r là tỉ lệ tăng (giảm) dân số hằng năm.

Bài 38. Cho biết sự tăng dân số đƣợc ƣớc tính theo công thức S

A.enr . Đầu

năm 2010 dân số tỉnh Bắc Ninh là 1.038.229 ngƣời, tính đến đầu năm 2015 dân số của tỉnh là 1.153.600 ngƣời. Hỏi nếu tỉ lệ tăng dân số hằng năm giữ nguyên thì đầu năm 2020 dân số của tỉnh trong khoảng nào? (Trích đề thi thử môn Toán Sở GD&ĐT Bắc Ninh-2017).

Giải Gọi S1 là dân số năm 2015, ta có S1

1153600, n

54

5, A

1038229 .

Ta có: S1

A.en .r

S1 A

en .r

S1 A 5

ln r

ln

1153600 1038229 .

5

Gọi S 2 là dân số đầu năm 2020, ta có S2

A.e10.r

1038229.e10 r

1281791, 358 .

Bài 39. Cho biết sự tăng dân số đƣợc ƣớc tính theo công thức S

A.(1

r)n .

Trong đó, A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau n năm, r là

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

tỉ lệ tăng (giảm) dân số hằng năm. Huyện A có 100 000 nghìn ngƣời với mức tăng dân số bình quân 1,5% một năm thì sau n năm dân số sẽ vƣợt lên 130 000 ngƣời. Hỏi n nhỏ nhất là bao nhiêu?

Giải

Áp dụng công thức Sn Ta có: S

A1

r 100

A.(1

r)n với Sn

n

n

log

1

r 100

130000, A

S A

log1,015 1, 3

100000, r

1, 5%

17, 6218 .

Vậy n nhỏ nhất là 18 năm.

Bài 40. Theo số liệu từ Facebook, số lƣợng các tài khoản hoạt động tăng một cách đáng kể tính từ thời điểm tháng 2 năm 2004. Gọi U x là số lƣợng tài khoản hoạt động sau x tháng với x là số tháng kể từ sau tháng 2 năm 2004.

Biết số lƣợng tài khoản tăng theo hàm số mũ xấp xỉ nhƣ sau: U x

A.(1

0, 04)x , với A là số tài khoản hoạt động đầu tháng 2 năm 2004.

Hỏi sau bao lâu thì số tài khoản hoạt động xấp xỉ là 194 790 ngƣời, biết sau 2 tháng thì số tài khoản hoạt động là 108 160 ngƣời.

Giải Do đề đã cho công thức tổng quát và có dữ liện là sau 2 tháng số tài khoản hoạt động là 108 160 ngƣời. Do đó thay vào công thức tổng quát ta sẽ tìm đƣợc A. Khi đó A 1

0, 04

2

108160

A

100000 .

Khi đó công việc của ta chỉ là tìm x sao cho 55

100000(1

0, 04)x

194790

log(1

x

0, 04)

194790 100000

17 tháng.

Bài 41. Tính đến đầu năm 2011, dân số toàn tỉnh Bình Phƣớc đạt gần 905.300, mức tăng dân số là 1,37% mỗi năm. Tỉnh thực hiện tốt chủ trƣơng 100% trẻ em đúng độ tuổi đều vào lớp 1. Đến năm học 2024-2025 ngành giáo dục của tỉnh cần chuẩn bị bao nhiêu phòng học cho học sinh lớp 1, mỗi phòng dành cho 35 học sinh? (Giả sử trong năm sinh của lứa học sinh vào lớp 1 đó toàn tỉnh có

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

2400 ngƣời chết, số trẻ tử vong trƣớc 6 tuổi không đáng kể). (Trích Hoc247.net).

Giải

Chỉ những em sinh năm 2018 mới đủ tuổi đi học (6 tuổi) vào lớp 1 của năm học 2024-2025.

Áp dụng công thức Sn Trong đó A

A1

905300; r

1, 37; n

Dân số tỉnh năm 2018 là A

Dân số năm 2017 là A

n

r để tính dân số của năm 2018.

8

905300. 1

905300. 1

Số trẻ và lớp 1 là: 1009411 995769

1, 37 100

1, 37 100

1009411

7

995769

2400

Số phòng học cần chuẩn bị là: 16042 : 35

8

16042

458 .

Bài 42. Tỉ lệ tăng dân số hàng năm của nƣớc X là 0, 2%. Năm 1998 dân số của nƣớc đó là 125 932 000. Vào năm nào thì dân số của nƣớc X là 140 000 000?

Hướng dẫn Giải tƣơng tự nhƣ bài 39. Đ/S: Năm 2051.

Bài 43. Dân số thế giới tăng hàng năm theo hàm mũ có dạng P(t )  P(0).ekt trong đó P(0) là dân số tại thời điểm chọn làm mốc, P(t ) là dân số thế giới sau 56

mốc thời gian t năm và hệ số k đƣợc xác định tùy theo khoảng thời gian. Biết dân số thế giới năm 1950 là 2,56 tỉ ngƣời và năm 1960 là 3,04 tỉ ngƣời. Hãy dự đoán thế giới có số dân là bao nhiêu vào năm 2020? (Làm tròn đến 2 chữ số thập phân, đơn vị tỉ).

Giải Coi dân số năm 1950 làm mốc. Khi đó ta có P(0)  2,56

3,04 2,56 10

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Đến năm 1960 tức t  10 thì ta đƣợc 3,04  2,56.e10 k  k 

ln

ln

Dân số thế giới năm 2020 là P(70)  2,56.e

3,04 2,56 .70 10

 8,5 (tỉ ngƣời).

2.2.4.4. Bài toán ứng dụng trong các môn học

Bài 44. Trong Vật lý, sự phân rã của các chất phóng xạ đƣợc biểu diễn bởi công thức: m(t ) điểm t

m0

1 2

t T

trong đó m0 là khối lƣợng chất phóng xạ ban đầu (tại thời

0 ); T là chu kì bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa khối lƣợng

chất phóng xạ bị biến thành chất khác). Chu kì bán rã của Cacbon 14C là khoảng 5730 năm. Cho trƣớc mẫu Cacbon có khối lƣợng 100g. Hỏi sau khoảng thời gian t thì khối lƣợng còn bao nhiêu?

Giải

Theo công thức m(t )

m(t)

100.

1 2

m0

1 2

t T

ta có khối lƣợng của chất phóng xạ còn:

t 5730

Bài 45. Trong Vật lý, sự phân rã của các chất phóng xạ đƣợc biểu diễn bởi công thức: m(t )

m0

1 2

t T

trong đó m0 là khối lƣợng chất phóng xạ ban đầu (tại thời 57

điểm t

0 ) ; T là chu kì bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa khối lƣợng

chất phóng xạ bị biến thành chất khác). Chu kì bán rã của Cacbon 14C là khoảng 5730 năm. Ngƣời ta tìm đƣợc trong một mẫu đồ cổ một lƣợng Cacbon và xác định đƣợc nó đã mất khoảng 25% lựơng Cacbon ban đầu của nó. Hỏi mẫu đồ cổ đó có độ tuổi là bao nhiêu?

Giải Giả sử khối lƣợng ban đầu của mẫu đồ cổ chứa Cacbon là m0 , tại thời điểm t

3 m 4 0

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

tính từ thời điểm ban đầu ta có:

m0

1 2

t 5730

t 5730

log 1

2

3 4

t

5730.log 1

2

3 4

2378 (năm)

Bài 46. Trong Vật lý, sự phân rã của các chất phóng xạ đƣợc biểu diễn bởi công thức: m(t )

m0

1 2

t T

trong đó m0 là khối lƣợng chất phóng xạ ban đầu (tại thời

điểm t=0); T là chu kì bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa khối lƣợng chất phóng xạ bị biến thành chất khác). Chu kì bán rã của Cacbon 14C là khoảng 4862 năm. Ngƣời ta tìm đƣợc trong một mẫu đồ cổ một lƣợng Cacbon và xác định đƣợc nó đã mất khoảng 25% lựng Cacbon ban đầu của nó. Hỏi mẫu đồ cổ đó có độ tuổi là bao nhiêu?

Hướng dẫn

Giải tƣơng tự nhƣ bài 45. Đ/S: 2018 năm.

Bài 47. Cho biết chu kỳ bán rã của chất phóng xạ Plutoni Pu239 là 24360 năm (tức là một lƣợng Pu239sau 24360 năm phân hủy chỉ còn lại một nửa). Sự phân hủy đƣợc tính theo công thức S

A.ert . Trong đó A là số lƣợng chất phóng xạ

ban đầu, r là tỉ lệ phân hủy hằng năm ( r

0 ), t là thời gian phân hủy, S là

lƣợng còn lại sau thời gian phân hủy t . Hỏi 10 gam Pu239 sau bao nhiêu năm phân hủy sẽ còn 1 gam?

58

Giải A 2

Theo giả thiết ta có:

Ae24360 r

1 .

2

e24360 r

10 gam, gọi t là thời gian phân hủy để còn lại S

Với A

1 gam, ta có

phƣơng trình 1

10e

0,1

rt

e

24360 r .

t 24360

t

80922 (năm).

Bài 48. Trong một bản hợp ca, coi mọi ca sĩ đều hát với cƣờng độ âm, độ âm và

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

coi cùng tần số. Khi một ca sĩ hát thì cƣờng độ âm là 68dB . Khi cả bản hợp ca cùng hát thì đo đƣợc mức cƣờng độ âm là 80dB . Tính số ca sĩ trong bản hợp ca đó, biết mức cƣờng độ âm L đƣợc tính theo công thức L

10 log

I trong đó I I0

là cƣờng độ âm và I 0 là cƣờng độ âm chuẩn.

Giải

Gọi I1, I n lần lƣợt là cƣờng đọ âm của một ngƣời và của n ngƣời.

Ta có I n

nI1

n

In I1

Ta có L1

10 log

I1 I0

68; Ln

Khi đó Ln

n

In I0

L1

10 log

Ln L1

10

10

10

6 5

In I0

10 log

10 log

I1 I0

In I0

80

10 log

In I1

16

Vậy có 16 ca sĩ.

Bài 49. Một tên lửa bay vào không trung với quãng đƣờng đi đƣợc là s t (km) là hàm phụ thuộc theo biến t (giây) theo quy tắc sau: s(t)

59

et

2

3

2te3t

1

(km). Hỏi vận tốc của tên lửa sau 1 giây là bao nhiêu (biết hàm biểu thị vận tốc là đạo hàm của hàm biểu thị quãng đƣờng tính theo thời gian).

Giải Ta có công thức vận tốc:

v(t)

s (t)

et

2

2t.e3t

3

1 ta có: v(t)

Với t

2.e4

2t.et

1

8.e4

2

3

6t

2 e 3t

1

10.e4 (km/s).

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Bài 50. Một lon nƣớc soda 80o F đƣợc đƣa vào một máy làm lạnh chứa đá tại

32o F . Nhiệt độ của soda ở phút thứ t đƣợc tính theo định luật Newton bởi công thức T t Giải

32

t

48. 0, 9 . Phải làm mát soda trong bao lâu để nhiệt độ là 50o F

Gọi t0 là thời điểm nhiệt độ lon nƣớc 80o F khi đó

T t0

32

48. 0, 9

t0

80

0, 9

80

t0

32

48

1

t0

0

3 8

t1

log0,9

Gọi t1 là thời điểm nhiệt độ lon nƣớc là 50o F nên

T t0

32

48. 0, 9

t0

50

0, 9

50

t1

32

48

3 8

9, 3

Vậy sau 9,3 phút thì nhiệt độ soda là 50o F .

Bài 51. Sự tăng trƣởng của một loại vi khuẩn đƣợc tính theo công thức f ( x)

A.ert trong đó A là số lƣợng vi khuẩn ban đầu, r , ( r

0 ) là tỉ lệ tăng

trƣởng, x (tính theo giờ) là thời gian tăng trƣởng. Biết số vi khuẩn ban đầu có 1000 con và sau 10 giờ là 5000 con. Hỏi sau bao lâu thì số lƣợng vi khuẩn tăng gấp 10 lần?

Giải Gọi thời gian cần tìm là t . Ta có: 5000

60

1000.e10r nên r

ln 5 .

10

Do đó, 10000

1000.ert

t

ln 10 r

10 ln 10 ln 5

10 log5 10 (giờ).

Bài 52. Sự tăng trƣởng của một loại vi khuẩn đƣợc tính theo công thức S

A.ert trong đó A là số lƣợng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trƣởng (r>0), t

(tính theo giờ) là thời gian tăng trƣởng. Biết số vi khuẩn ban đầu có 100 con và sau 5 giờ là 300 con. Hỏi sau bao lâu thì số lƣợng vi khuẩn tăng gấp đôi?

Hướng dẫn

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Giải tƣơng tự nhƣ bài 51. Đ/S: 3,16 giờ.

Bài 53. Một loại virus có số lƣợng cá thể tăng trƣởng mũ với tốc độ x% một giờ. Ngƣời ta thả vào ống nghiệm 20 cá thể, sau 53 giờ số lƣợng cá thể virus đếm đƣợc trong ống nghiệm là 1,2 triệu. Tìm x ? (Tính chính xác đến hàng phần trăm).

Giải

Áp dụng công thức: S

A.(1

r)n với S là số lƣợng cá thể virus sau n giờ ;

A là số lƣợng cá thể ban đầu ;

r là tỉ lệ tăng lên của vius ; n là thời gian.

Ta có:

1200000

20.(1

x)53

(1

x)53

60000

1

x

1, 2307

x

23, 07%

Bài 54. Số lƣợng của loại vi khuẩn A trong một phòng thí nghiệm đƣợc tính theo công thức s(t)

s(0).2t , trong đó s 0 là số lƣợng vi khuẩn A lúc ban

đầu, s t là số lƣợng vi khuẩn A có sau t (phút). Biết sau 3 phút thì số lƣợng vi khuẩn A là 625 nghìn con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc bắt đầu, số lƣợng vi khuẩn A là 10 triệu con?

Giải Trƣớc hết ta tìm s 0 , với t

3 có 625000 61

s(0).23

s(0)

78125

Nên 10000000

78125.2t

2t

128

log2 128

t

7 (phút).

Bài 55. Các loại cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận đƣợc một lƣợng nhỏ Cacbon 14 (một đồng vị Cacbon). Khi một bộ phận của cây đó bị chết thì hiện tƣợng quang hợp cũng sẽ ngƣng và nó sẽ không nhận thêm Cacbon 14 nữa.

Lƣợng Cacbon 14 của bộ phận đó sẽ phân hủy một cách chậm chạp, chuyển hóa thành nitơ 14. Gọi P t là số phần trăm Cacbon 14 còn lại trong một bộ phận

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

của một cây sinh trƣởng từ t năm trƣớc đây thì P t đƣợc cho bởi công thức t 5750

P(t)

100.(0, 5)

(%) . Phân tích một mẫu gỗ từ một công trình kiến trúc cổ,

ngƣời ta thấy lƣợng Cacbon 14 còn lại trong gỗ là 65, 21 % . Hãy xác định niên đại của công trình kiến trúc đó?

Giải

Thay vào công thức P(t )

100.(0, 5)

0, 5

t 5750

t 5750

0, 6521

100.(0, 5) t 5750

t 5750

65, 21

log0,5 0, 6521

3547

t

Bài 56. Một nghiên cứu cho thấy một nhóm học sinh đƣợc cho xem cùng một danh sách các loài động vật và đƣợc kiểm tra lại xem họ nhớ bao nhiêu % mỗi tháng. Sau t tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đƣợc cho bởi công thức M (t)

75

20 ln(t

1), t

0 (đơn vị % ). Hỏi sau khoảng bao lâu

thì nhóm học sinh nhớ đƣợc danh sách đó dƣới 10 % ?

Giải Theo công thức tính tỉ lệ % thì cần tìm t thỏa mãn: 75

20 ln(1

t)

10

ln(t

1)

3, 25

t

24, 79

2.2.4.5. Các bài toán ứng dụng khác Bài 57. Ngƣời ta thả một lá bèo vào một hồ nƣớc. Kinh nghiệm cho thấy sau 9 giờ bèo sẽ sinh sôi kín cả một mặt hồ. Biết rằng sau mỗi giờ, lƣợng lá bèo tăng 62

gấp 10 lần lƣợng lá bèo trƣớc đó và tốc độ tăng không đổi. Hỏi sau mấy giờ thì số lá bèo phủ kín

1 cái hồ?

3

Giải Gọi t là thời gian các lá bèo phủ kín

1 cái hồ. Vì tốc độ tăng không đổi, 1 giờ 3

1 9 10 3

tăng gấp 10 lần nên ta có 10t

t

9

log 3

8, 5 (giờ).

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Bài 58. Ngƣời ta thả một lá bèo vào một hồ nƣớc. Giả sử sau t giờ, bèo sẽ sinh sôi kín cả mặt hồ. Biết rằng sau mỗi giờ, lƣợng lá bèo tăng gấp 10 lần lƣợng lá bèo trƣớc đó và tốc độ tăng không đổi. Hỏi sau mấy giờ thì số lá bèo phủ kín cái hồ?

Giải

1 cái hồ. Vì tốc độ tăng không đổi, 1 giờ 3

Gọi t0 là thời gian các lá bèo phủ kín

1 t 10 3

t

tăng gấp 10 lần nên ta có 10 0

1 3

t0

t

log 3 (giờ).

Bài 59. Một khu rừng có trữ lƣợng gỗ là 3.106(m3). Biết tốc độ sinh trƣởng của các cây trong khu rừng đó là 5% mỗi năm. Sau 10 năm nữa, trữ lƣợng gỗ trong rừng là bao nhiêu?

Giải Gọi A (m3) là trữ lƣợng gỗ ban đầu của khu rừng ; r là tốc độ sinh trƣởng hằng năm ( % ). M n là trữ lƣợng gỗ sau n năm (m3).

Năm đầu tiên, M1

A

Năm thứ hai, M 2

M1

M1r

M1(1

r)

A(1

r)2

Năm thứ ba, M 3

M2

M 2r

M 2(1

r)

A(1

r)3

Ar

Tƣơng tự năm thứ 10, M10

A(1

3.106(1

r)

5%)10 63

4886683, 88 (m3).

Bài 60. Theo dự báo với mức tiêu thụ dầu không đổi nhƣ hiện nay thì trữ lƣợng dầu của nƣớc A sẽ hết sau 100 năm nữa. Nhƣng do nhu cầu thực tế, mức tiêu thụ tăng lên 4% mỗi năm. Hỏi sau bao nhiêu năm số dầu dự trữ của nƣớc ta sẽ hết?

Giải Giả sử số lƣợng dầu của nƣớc A là 100 đơn vị. Số dầu sử dụng không đổi mà 100 năm mới hết thì suy ra số dầu nƣớc ta dùng trung bình 1 năm là 1 đơn vị.

Gọi n là số năm tiêu thụ hết sau khi thực tế mỗi năm tăng 4% ta có 0, 04). (1

0, 04)n

1

log1,04 4, 846

40, 24

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

1.(1

100

0, 04

n

Vậy sau 41 năm thì số dầu sẽ hết.

Bài 61. Lan là sinh viên đại học xa nhà. Bố mẹ đã cho Lan số tiền dự tính tiêu trong một năm học (tức 10 tháng). Do có nhiều vấn đề nảy sinh trong thực tế nên mức tiêu thụ của Lan tăng lên 4% mỗi tháng. Hỏi sau bao nhiêu tháng thì số tiền bố mẹ cho Lan ban đầu sẽ hết?

Hướng dẫn

Giải tƣơng tự nhƣ câu 53. Đ/S: 9 tháng.

Bài 62. Cƣờng độ một trận động đất M độ Richte đƣợc cho bởi công thức M

log A

log A0 với A là biên độ rung chấn tối đa và A0 là một biên độ

chuẩn (hằng số). Đầu thế kỉ 20, một trân động đất ở San Francisco có cƣờng độ 8 độ Richte. Trong cùng năm đó, trận động đất khác ở Nam Mỹ có cƣờng độ mạnh hơn gấp 4 lần. Hởi cƣờng độ trận động đất ở Nam Mỹ là bao nhiêu?

Giải Trận động đất ở San Francisco có cƣờng độ 8 độ Richte khi đó áp dụng công thức M

log A

log A0

8

log A

log A0

Trận động đất ở Nam Mỹ có biên độ là 4A, khi đó cƣờng độ trận động đất ở Nam Mỹ là: 64

log 4 A

M2

log A0

M2

log 4

log A

log A0

M2

log 4

8

8, 6

độ Richte.

Bài 63. Cƣờng độ một trận động đất M Richte đƣợc cho bởi công thức log A

M

log A0 với A là biên độ rung chấn tối đa và A0 là một biên độ

chuẩn (hằng số). Đầu thế kỉ 20, một trân động đất ở San Francisco có cƣờng độ 8 độ Richte. Trong cùng năm đó, trận động đất khác ở Nhật Bản có cƣờng độ đo đƣợc 6 độ Richte. Hỏi trận động đất ở San Francisco có biên độ gấp bao nhiêu

Giải

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

lần biên độ trân động đất ở Nhật bản?

Trận động đất ở San Francisco có cƣời độ 8 độ Richte khi đó áp dụng công thức

log A1

M1 A1

log A0

8 log A0

10

10

log A1

8

log A0

log A0

log A1

8

log A0

.108

Với A1 là biên độ trân động đất ở San Francisco.

Trận động đất ở Nhật Bản có cƣờng độ đo đƣợc 6 độ Richte khi đó áp dụng công thức

log A2

M2 A2

10

log A0

6 log A0

A Khi đó ta có 1 A2

10

108 106

6

log A0

log A2

log A0

log A2

6

log A0

.106

100

A1

100 A2 .

Vậy trận động đất ở San Francisco có biên độ gấp 100 lần biên độ trận động đất ở Nhật Bản.

Bài 64. Giả sử một ngƣời đi làm đƣợc lĩnh lƣơng khởi điểm là 2 triệu đồng một tháng. Cứ 3 năm ngƣời ấy lại đƣợc tăng thêm 7% lƣơng. Hỏi sau 36 năm làm việc ngƣời ấy lĩnh đƣợc tất cả bao nhiêu tiền (làm tròn đến nghìn đồng)?

Giải Số lần tăng lƣơng trong 36 năm là 11 lần.

Tổng tiền lƣơng khởi điểm của ngƣời đó là: 2.36 Tổng tiền lƣơng sau đợt tăng lƣơng thứ 1 là: 72.(1 65

72 7%)

Tổng tiền lƣơng sau đợt tăng lƣơng thứ 2 là: 72.(1

7%)2

Tổng tiền lƣơng sau đợt tăng lƣơng thứ 3 là là: 72.(1

7%)3

...

Tổng tiền lƣơng sau đợt tăng lƣơng thứ 11 là là: 72.(1

7%)11

Tổng số tiền sau 36 năm làm việc là

72

72.(1

7%)

...

72.(1

7%)

72.

11

(1

7%)12 7%

1

1287, 97 (triệu).

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

2.2.5. Định hƣớng sử dụng hệ thống bài toán đã xây dựng

Hệ thống bài toán đƣợc xem là cơ sở quan trọng trong việc lồng ghép những bài toán có nội dung thực tiễn vào dạy học .Tùy vào từng mục, từng quá trình, từng chi tiết cụ thể mà ta có kế hoạch dạy học, rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn một cách phù hợp nhất.

Những bài toán trong hệ thống bài toán chỉ mang tính chất điểm tựa, để bài dạy thêm sinh động, tận dụng đƣợc nhiều cơ hội liên hệ thực tế hơn. Trong nhiều trƣờng hợp ta cần sáng tạo thêm một só bài toán khác đơn giản hơn, cụ thể hơn, sát với đời sống thực tế hơn nhƣng không phức tạp trong việc giải chúng. Cụ thể khi sử dụng và giảng dạy hệ thống bài toán cần chú ý những điểm sau đây:

Thứ nhất: Về việc khai thác hệ thống bài toán trong giảng dạy Mặc dù hệ thống bài toán đƣợc lựa chọn cân nhắc một cách thận trọng về nội dung hình thức số lƣợng trong dạy học chủ đề phƣơng trình mũlogarit ở phổ thông , nhƣng trong quá trình giảng dạy cần chú ý vận dụng linh hoạt vào từng trƣờng hợp cụ thể, chẳng hạn nhƣ: +) Đối với học sinh trung bình, yếu ta cần sử dụng những bài toán ở mức độ thấp hơn hoặc sử dụng vừa phải những bài toán trong hệ thống, có sự hƣớng dẫn, gợi ý để giúp các em hoàn thành đƣợc bài toán.

Ví dụ. Có thể cho đối tƣợng học sinh này làm dạng bài nhƣ bài số 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 13, 17, 18,…

66

+) Đối với học sinh khá giỏi giáo viên có thể lựa chọn những bài tập nâng cao, ra nhiều bài tập hơn so với các học sinh khác, các bài tập cần biến đổi và tƣ duy nhƣ bài số 20, 37, 33, 29, 34, 35, 41,…

Thứ hai:Về việc lựa chọn thời điểm đƣa các bài toán có nội dung thực tiễn vào giảng dạy.

Tùy thuộc vào từng nội dung kiến thức, từng đối tƣợng học sinh mà ta đƣa bài toán có nội dung thực tiễn vào thời điểm nào là phù hợp.

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

- Có thể đƣa bài toán có nội dung thực tiễn vào mở bài (hay đặt vấn đề) cho bài dạy phƣơng trình mũ bằng việc sử dụng bài toán số 1, 7, 8, 16, 26, 43,…

- Khi khai thác các ví dụ và tình huống thực tế trong xây dựng vào củng cố kiến thức, thay thế bổ sung các ví dụ hoặc bài tập trong SGK. - Ngoại khóa ứng dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn phù hợp với trình độ của học sinh bằng việc sử dụng các bài toán số 10, 14, 26, 28, 40, 56, 61,…

Thứ ba: Về phƣơng pháp dạy học bài toán thực tiễn.

Trong giảng dạy các bài toán thực tiễn cần chú ý vận dụng linh hoạt các bƣớc sau:

Bước 1: Chuyển bài toán thực tiễn về dạng ngôn ngữ thích hợp với lý thuyết toán học dùng để giải (lập mô hình toán học của bài toán).

Bước 2: Dùng kiến thức toán học để giải bài toán.

Bước 3: Chuyển kết quả của lời giải Toán học về ngôn ngữ của lĩnh vực thực tiễn.

Trong ba bƣớc trên, bƣớc 1 thƣờng đƣợc xem là bƣớc quan trọng nhất. Để thực hiện đƣợc bƣớc này, giáo viên cần tập luyện cho học sinh biết xem xét những đại lƣợng trong những mối liên hệ với nhau, phát hiện những mối liên quan về lƣợng giữa chúng để trên cơ sở đó có thể biểu thị đại lƣợng này qua đại lƣợng khác, phát hiện ra đâu là những yếu tố cho trƣớc, đâu là yếu tố cần tìm để từ đó vận dụng những kiến thức đã biết để giải quyết bài toán.

67

2.3. Kiểm nghiệm hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề phƣơng trình mũ-logarit cho học sinh lớp 12 2.3.1. Mục đích kiểm nghiệm Kiểm nghiệm tính hiệu quả của hệ thống bài toán thực tiễn đã xây dựng.

Từ đó, sửa chữa, điều chỉnh và hoàn thiện hệ thống bài toán.

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

2.3.2. Thời gian kiểm nghiệm Tiến hành kiểm nghiệm sau đợt thực tập sƣ phạm từ ngày 16/04/2018 đến ngày 29/04/2018.

2.3.3. Nội dung kiểm nghiệm

Chúng tôi đã soạn 2 đề kiểm tra mỗi đề gồm 6 bài, gồm các bài toán lấy trong hệ thống bài toán thực tiễn đã soạn thảo ở mục 2.2.4. Với 3 bài ở mức độ dễ, 2 bài trung bình và 1 bài khó. Thời gian làm bài là 45 phút. Nội dung cụ thể của đề kiểm tra đã đƣợc trình bày ở phần phụ lục 2.

Tiến hành kiểm tra lần lƣợt từng đề cho HS lớp 12C và 12D, trƣờng THPT Đa Phúc với số HS tham gia kiểm nghiệm là 93 em.

Phân tích kết quả, từ đó rút ra nhận xét, đánh giá hệ thống bài toán thực tiễn.

2.3.4. Phương pháp kiểm nghiệm

Từ 12 bài toán đã chọn, chúng tôi chia thành 2 đề 1, 2 khác nhau nhƣng độ khó tƣơng đƣơng nhau.

Trƣớc khi kiểm nghiệm, HS đƣợc thông báo hình thức, nội dung kiểm tra trƣớc 1 tuần để có kế hoạch ôn tập.

Kết quả kiểm nghiệm đƣợc xử lý theo phƣơng pháp thống kê. Từ đó rút ra nhận xét, đánh giá cần thiết, làm cơ sở để chỉnh sửa các bài toán cho phù hợp.

2.3.5. Kết quả kiểm nghiệm 68

Dựa vào đáp án và thang điểm (phụ lục 3), chúng tôi thu đƣợc kết quả bài làm của các HS. Phân tích kết quả sau khi chấm chúng tôi sắp xếp kết quả các bài theo các khoảng điểm và đƣợc nhận xét chi tiết từng câu nhƣ sau: Bài 1 (2 điểm). Đây là bài toán lãi đơn đƣợc xây dựng với mức độ thấp để các em HS kém cũng có thể làm đƣợc. Điểm

0

x

1

1, 5

x

0

1, 5

6,45

x

2

94,34

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Tỉ lệ (%)

1

Kết quả cho thấy không có HS làm dƣới 1 điểm câu này, một số em không đƣợc điểm tối đa do tính toán nhầm. Nhƣ vậy, bài toán hợp lý với cách xây dựng và có thể dùng đƣợc.

Bài 2 (2 điểm). Bài toán lãi kép này cũng đƣợc xây dựng ở mức độ thấp. Tỉ lệ HS đạt điểm cao khá nhiều nhƣ vậy bài toán có thể dùng đƣợc. Điểm

0

Tỉ lệ (%)

x

1

1

3,23

1, 5

x

1, 5

16,13

x

2

80,64

Bài 3 (1,5 điểm). Bài toán dân số

Bài toán đƣợc xây dựng ở mức trung bình, HS kém khó đạt điểm tối đa của câu này.

Điểm

Tỉ lệ (%)

0

x

0, 5

0, 5

5,38

x

22,58

1

1

x

1, 5

72,04

Kết quả cho thấy, tỉ lệ HS đạt dƣới 1 điểm khá nhiều, chúng tôi đã xem xét đề bài và nhận thấy câu hỏi của bài toán theo hình thức trắc nghiệm, cần sửa để có thể dùng đƣợc nhƣ sau: “Cho biết sự tăng dân số đƣợc ƣớc tính theo công thức S

A.en.r . A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau n năm, r

là tỉ lệ tăng (giảm) dân số hằng năm. Đầu năm 2010 dân số tỉnh Bắc Ninh là 1.038.229 ngƣời, tính đến đầu năm 2015 dân số của tỉnh là 1.153.600 ngƣời. Hỏi 69

nếu tỉ lệ tăng dân số hằng năm giữ nguyên thì đầu năm 2015 dân số của tỉnh là bao nhiêu?”.

Bài 4 (2 điểm). Đây là bài toán ứng dụng thực tiễn của môn Vật lý đơn giản ở mức độ thấp. Tỉ lệ phần trăm số điểm đƣợc ghi trong bảng sau: Điểm

0

Tỉ lệ (%)

x

1

1

1,08

1, 5

x

1, 5

11,83

x

2

87,09

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Tỉ lệ HS làm đƣợc khá cao, câu hỏi phù hợp, có thể dùng đƣợc.

Bài 5 (1,5 điểm). Bài toán về động đất. Điểm

0

0, 5

x

Tỉ lệ (%)

0, 5

5,38

x

1

1

20,43

x

1, 5

74,19

Bài toán đƣợc xây dựng ở mức độ trung bình, tỉ lệ điểm của HS hợp lý với mục tiêu. Bài toán có thể dùng đƣợc.

Bài 6 (1 điểm). Bài toán đƣợc xây dựng ở mức độ cao, cho HS khá giỏi. Điểm

0

0, 5

x

Tỉ lệ (%)

0, 5

11,83

x

1

88.17

Từ bảng trên cho thấy rất nhiều HS làm đƣợc bài toán này, vậy bài toán không phù hợp với HS khá giỏi, bài toán nên đƣa vào mức độ thấp hơn. Đề 2 Bài 1 (2 điểm). Bài toán lãi kép. Chúng tôi định hƣớng bài toán này ở mức độ thấp. Kết quả kiểm tra cho thấy độ phù hợp của bài toán là tốt. Điểm Tỉ lệ (%)

0

x

1

1

1,08

x 3,23

1, 5

1, 5

x

2

95,69

Bài 2 (2 điểm). Bài toán lãi đơn này định hƣớng ở mức độ thấp. Kết quả cho thấy tỉ lệ HS đạt điểm cao lớn, phù hợp với định hƣớng xây dựng.

70

Điểm

0

Tỉ lệ (%)

x

1

1

1, 5

x

2,15

1, 5

3,23

x

2

94,62

Bài 3 (1,5 điểm). Bài toán dân số. Bài toán đƣa ra ở vận dụng trung bình nhƣng 98,92% các em đều đạt điểm cao, nhƣ vậy ta cần đƣa bài toán xuống mức độ thấp hơn. Điểm

0

0, 5

x 0

x

1 1

1, 5

x

1,08

98,92

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Tỉ lệ (%)

0, 5

Bài 4 (2 điểm). Bài toán ứng dụng thực tiễn môn Vật lý. Điểm

0

Tỉ lệ (%)

x

1

1

1, 5

x

12,9

1, 5

0

x

2

87,1

Bài toán đƣa ra ở mức độ thấp. Kết quả cho thấy bài toán có độ phân biệt lớn nhƣng vẫn có thể dùng đƣợc.

Bài 5 (1,5 điểm). Kết quả điểm nhƣ sau Điểm

Tỉ lệ (%)

0

x

0, 5

0, 5

11,82

x

1 1

44,09

x

1, 5

44,09

Bài 5 đƣợc xây dựng ở mức độ trung bình. Tỉ lệ điểm khá ổn, có thể dùng đƣợc.

Bài 6 (1 điểm). Kết quả bài 6 nhƣ sau: Điểm

0

Tỉ lệ (%)

x 64,52

0, 5

0, 5

x

1

35,48

Bài toán định hƣớng vào đối tƣợng HS khá giỏi và kết quả thu đƣợc phù hợp với yêu cầu., bài toán có thể dùng đƣợc.

71

Nhƣ vậy, chúng tôi đã kiểm nghiệm đƣợc 12/64 bài toán đã xây dựng, đa số các bài toán đều đạt yêu cầu, chỉ có 1 câu có câu hỏi không phù hợp với dạng tự luận và các bài toán cần phân rõ mức độ của từng bài toán hơn.

Kết luận chƣơng 2 Ở chƣơng 2, chúng tôi đã xây dựng đƣợc hệ thống bài toán thực tiễn

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

chủ đề phƣơng trình mũ-logarit gồm 64 bài theo dạng bài tập tự luận với nhiều dạng toán khác nhau đồng thời chúng tôi cũng đƣa ra định hƣớng sử dụng các bài toán này. Dựa trên hệ thống bài toán thực tiễn chủ đề phƣơng trình mũ-logarit đã xây dựng, chúng tôi đã đƣa ra đƣợc 2 đề kiểm tra cho HS làm và đánh giá. Sau khi tiến hành kiểm tra, chúng tôi đã phân tích độ khó, độ phân biệt và phân tích khả năng vận dụng của bài toán vào đời sống thực tiễn.

Nhƣ vậy chúng tôi đã hoàn thành nhiệm vụ 5.3 và 5.4 ở mục 5. Từ đó,

chúng tôi nhận thấy các bài toán thực tiễn trong đề đều khá phù hợp với học sinh và đã bƣớc đầu hình thành những hình dung của học sinh về mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn, góp phần tạo hứng thú và niềm say mê học toán của học sinh.

Việc kiểm nghiệm chất lƣợng các câu hỏi đã giúp chúng tôi bƣớc đầu

tích lũy đƣợc các kinh nghiệm khi ra đề cho HS và cần xử lý các bài toán thực tiễn khi đƣa vào chƣơng trình dạy học nhƣ thế nào. Trong thời gian tới chúng tôi sẽ cố gắng chỉnh sửa và hoàn thiện hơn hệ thống.

72

KẾT LUẬN CHUNG Trên đây là những nghiên cứu và nội dung cơ bản của bài luận: “Xây dựng hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề phương trình mũ-logarit cho học sinh lớp 12”. Khóa luận đã giải quyết đƣợc những vấn đề nhƣ sau: -

Đƣa ra đƣợc cơ sở lý luận và thực tiễn về bài toán thực tiễn, tính thực

tiễn của Toán học và thực trạng sử dụng nó.

Xây dựng và kiểm nghiệm đƣợc hệ thống bài toán thực tiễn chủ đề

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

-

phƣơng trình mũ-logarit cho học sinh lớp 12.

Qua khóa luận này giúp cho bạn đọc có cái nhìn đầy đủ và sâu sắc hơn về bài toán thực tiễn đặc biệt là chủ đề phƣơng trình mũ-logarit góp phần tích cực trong việc đổi mới phƣơng pháp dạy cũng nhƣ phƣơng pháp kiểm tra đánh giá môn Toán ở trƣờng THPT nhằm nâng cao chất lƣợng dạy và học.

Do kiến thức và thời gian còn hạn chế nên khóa luận chỉ kiểm nghiệm đƣợc 12 trên 64 bài toán đã xây dựng. Trong thời gian tới, chúng tôi sẽ tiếp tục tiến hành kiểm nghiệm những bài toán thực tiễn còn lại để từ đó chỉnh sửa và hoàn thiện hệ thống bài toán đã xây dựng. Vì vậy, khóa luận không thể tránh khỏi những sai sót về nội dung và hình thức, chúng tôi rất mong nhận đƣợc sự góp ý, chỉ bảo của quý thầy, cô giáo và các bạn sinh viên để đề tài đƣợc hoàn chỉnh, chính xác và đầy đủ hơn.

73

TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đặng Hùng Thắng, SGK Đại số và Giải tích 11 (Nâng cao), NXB Giáo dục Việt Nam, năm 2014.

[2] G. Polya , Sáng tạo Toán học, NXB Giáo dục Việt Nam, năm 1976.

[3] G. Polya (1975), Giải một bài toán như thế nào?, Bản dịch tiếng việt

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

của Hồ Tƣờng NXB Giáo dục.

[4] Nguyễn Thị Phƣơng Hoa, Lê Diễm Phúc, Nguyễn Thị Thu Hà, Pisa và một quan niệm mới về đánh giá trong giáo dục, Tạp chí khoa học ĐHQGHN: Nghiên cứu nƣớc ngoài, Số 1(2016) 58-65.

[5] Trần Văn Đạo, Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Nguyễn Văn Đoành, Trần Đức Huyên, Sách giáo khoa Hình học 10 (Cơ bản), NXB Giáo dục Việt Nam, năm 2010.

[6] Nghị quyết số 88/2014/QH13 về đổi mới chƣơng trình, sách giáo khoa giáo dục phổ thông.

[7] Thƣ Bác Hồ gửi các học sinh năm 1945.

[8] Từ Petit Robert (1993), Edition DicoRobert, Canada.

PHỤ LỤC PHỤ LỤC 1 PHIẾU THAM KHẢO Ý KIẾN VỀ THỰC TRẠNG XÂY DỰNG VÀ SỬ DỤNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH MŨLOGARIT CHO HỌC Ở SINH LỚP 12 Ở TRƢỜNG PHỔ THÔNG Thông tin cá nhân (thầy/cô có thể điền hoặc không)

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Giáo viên:………………………………………………..

Trƣờng:..........................................................................

Xin quý thầy/cô đánh dấu ( X ) vào ô mình chọn. Những thông tin mà quý thầy/cô cung cấp sẽ giúp chúng tôi đánh giá đƣợc sự cần thiết của việc đƣa các kiến thức toán học có nội dung gắn với thực tiễn vào quá trình dạy học ở trƣờng THPT. Rất mong nhận đƣợc sự đóng góp ý kiến nhiệt tình của quý thầy/cô.

Câu 1. Thầy/cô hiểu thế nào là bài toán thực tiễn?

 Là các bài toán liên quan đến thực tiễn cuộc sống.

 Là các bài toán có nội dung liên quan các môn học khác.  Là những bài toán có chứa nội dung liên quan đến thực tiễn hoặc các môn học khác và phải sử dụng toán học để giải quyết.

 Ý kiến khác: ……………………………………………………………….

Câu 2. Theo thầy/ cô tầm quan trọng của các bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề phƣơng trình mũ-logarit là nhƣ thế nào?  Quan trọng.  Bình thƣờng.  Không quan trọng, không cần thiết.  Ý kiến khác: ……………………………………………………………..

Câu 3.Trong thực tế, thầy/cô có sử dụng bài toán gắn với thực tiễn trong dạy học phƣơng trình mũ-logarit không ?

Thƣờng xuyên.

Đôi khi.

Có, nhƣng rất ít.

Không sử dụng.

Câu 4. Thầy/ cô thƣờng sử dụng các bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề phƣơng trình mũ-logarit cho học sinh lớp 12 từ nguồn nào?  Từ sách giáo khoa, sách bài tập.  Từ quá trình tự xây dựng của giáo viên.  Từ quá trình tham khảo (internet, các sách tham khảo, đồng nghiệp,tạp chí,…).

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

 Từ quá trình tự tham khảo, tự xây dựng của giáo viên.  Ý kiến khác:……… ………………………………………………………

Câu 5. Thầy/ cô có mong muốn sử dụng hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề phƣơng trình mũ-logarit cho học sinh lớp 12 không?  Có.

 Không.

Câu 6. Theo thầy/cô việc xây dựng hệ thống bài toán gắn với thực tiễn trong dạy học cần thiết không?  Cần thiết.

 Bình thƣờng.

 Không cần thiết.

 Ý kiến khác: ........................................................................................

PHIẾU THAM KHẢO Ý KIẾN VỀ THỰC TRẠNG XÂY DỰNG VÀ SỬ DỤNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH MŨLOGARIT CHO HỌC Ở SINH LỚP 12 Ở TRƢỜNG PHỔ THÔNG Thông tin cá nhân (có thể điền hoặc không).

Học sinh:……………………………………………….. Lớp: ………………..

Trƣờng:………………………………………………………………………….

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

Em hãy đánh dấu (X) vào ô trống trƣớc phƣơng án trả lời của mình.

Câu 1. Em hiểu thế nào là bài toán thực tiễn?

 Là các bài toán liên quan đến thực tiễn cuộc sống.

 Là các bài toán có nội dung liên quan các môn học khác.

 Là những bài toán có chứa nội dung liên quan đến thực tiễn hoặc các môn học khác và phải sử dụng toán học để giải quyết.

 Ý kiến khác: ………………………………………………………………

Câu 2. Trong thực tế, thầy/cô của em có thƣờng hay sử dụng bài toán gắn với thực tiễn trong dạy học chủ đề phƣơng trình mũ-logarit không ?

Thƣờng xuyên.

Đôi khi.

Câu 3. Khi thầy cô sử dụng các bài toán thực tiễn để dạy học, em cảm thấy thế nào?

 Bài học dễ hiểu hơn, thú vị hơn.  Bài học vẫn bình thƣờng.

 Bài học trở nên phức tạp, khó hiểu.  Ý kiến khác: ………….…………………………………………………

Câu 4. Em giải các bài toán thực tiễn của chủ đề phƣơng trình mũ-logarit khi nào?  Khi thầy/cô cho.  Khi em tìm hiểu.  Khi thầy/cô cho và do em tự tìm hiểu.  Em không giải bao giờ.

Câu 5. Khi học chủ đề phƣơng trình mũ-logarit, em thấy số lƣợng các bài toán thực tiễn mà thầy/cô cho là ?

Rất nhiều.

Bình thƣờng.

Hiếm khi cho.

Không bao giờ cho.

Câu 6. Mong muốn của em về việc giáo viên sử dụng các bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề phƣơng trình mũ-logarit là gì?  Thầy/cô cho nhiều bài toán thực tiễn hơn.

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

 Thầy/cô hạn chế đƣa ra các bài toán thực tiễn.  Thầy/cô không đứa ra các bài toán thực tiễn cho chủ đề này.  Ý kiến khác: ………………………………………………………………

PHỤ LỤC 2 ĐỀ KIỂM TRA KIỂM NGHIỆM HỆ THỐNG BÀI TOÁN THỰC TIỄN CHỦ ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT CHO HỌC SINH LỚP 12 Đề 1 Bài 1 (2 điểm). Bác Vui gửi vào ngân hàng 5 triệu đồng với lãi đơn 5% một năm thì sau 5 năm số tiền của bác Vui cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu?

Bài 2 (2 điểm). Một ngƣời đem gửi tiền ở một ngân hàng với lãi suất là 12%

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

năm. Biết rằng, cứ sau mỗi một quý (3 tháng) thì lãi sẽ đƣợc cộng dồn vào vốn gốc. Hỏi sau tối thiểu bao nhiêu năm thì ngƣời đó nhận lại đƣợc số tiền, bao gồm cả vốn lẫn lãi gấp 3 lần số tiền ban đầu?

Bài 3 (1,5 điểm). Cho biết sự tăng dân số đƣợc ƣớc tính theo công thức A.en.r A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau n năm, r là tỉ

S

lệ tăng(giảm) dân số hằng năm. Đầu năm 2010 dân số tỉnh Bắc Ninh là 1.038.229 ngƣời, tính đến đầu năm 2015 dân số của tỉnh là 1.153.600 ngƣời. Hỏi nếu tỉ lệ tăng dân số hằng năm giữ nguyên thì đầu năm 2020 dân số của tỉnh trong khoảng nào?

Bài 4 (2 điểm). Trong Vật lý, sự phân rã của các chất phóng xạ đƣợc biểu diễn bởi công thức: m(t )

m0

1 2

t T

trong đó m0 là khối lƣợng chất phóng xạ ban

đầu (tại thời điểm t=0) ; T là chu kì bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa khối lƣợng chất phóng xạ bị biến thành chất khác). Chu kì bán rã của Cacbon 14

C là khoảng 5730 năm. Ngƣời ta tìm đƣợc trong một mẫu đồ cổ một lƣợng

Cacbon và xác định đƣợc nó đã mất khoảng 25% lựng Cacbon ban đầu của nó.

Hỏi mẫu đồ cổ đó có độ tuổi là bao nhiêu ?

Bài 5 (1,5 điểm). Cƣờng độ một trận động dất M Richte đƣợc cho bởi công thức M

log A

log A0 với A là biên độ rung chấn tối đa và A0 là một biên độ

chuẩn (hằng số). Đầu thế kỉ 20, một trân động đất ở San Francisco có cƣời độ 8

độ Richte. Trong cùng năm đó, trận động đất khác ở Nam Mỹ có cƣờng độ mạnh hơn gấp 4 lần. Hởi cƣờng đọ trận động đất ở Nam Mỹ là bao nhiêu ?

Bài 6 (1 điểm). Bác A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, lãi suất cho số tiền chƣa trả là 12% một năm. Bác muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng 1 tháng kể từ ngày vay, bác bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng 1 tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là nhƣ nhau và trả hết tiền nợ sau đúng 3 tháng kể tƣ ngày vay. Hỏi theo cách đó số tiền x mà bác A phải trả cho

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian bác A hoàn nợ. Đề 2

Bài 1 (2 điểm). Một ngƣời gửi vào một ngân hàng 10 triệu đồng. Hỏi nếu theo kì hạn 3 tháng vơi lãi suất 1,65% một quý thì sau 2 năm ngƣời đó nhận đƣợc số tiền là bao nhiêu?

Bài 2 (2 điểm). Với lãi suất 10% một năm (theo hình thức lãi đơn) cho số vốn 25 triệu đồng, nhà đầu tƣ A mong muốn thu đƣợc 32 125 000 đồng vào cuối đợt đầu tƣ. Vậy phải đầu tƣ trong bao lâu để đạt đƣợc giá trị nhƣ trên? (Giả sử lãi suất hằng năm không đổi).

Bài 3 (1,5 điểm). Cho biết sự tăng dân số đƣợc ƣớc tính theo công thức S

A.(1

r)n , A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau n năm, r

là tỉ lệ tăng(giảm) dân số hằng năm. Huyện H có 100 000 nghìn ngƣời với mức tăng dân số bình quân 1,5% năm thì sau n năm dân số sẽ vƣợt lên 130 000 ngƣời.

Hỏi n nhỏ nhất là bao nhiêu?

Bài 4 (2 điểm). Một lon nƣớc soda 80oF đƣợc đƣa vào một máy làm lạnh chứa đá tại 32oF. Nhiệt độ của soda ở phút thứ t đƣợc tính theo định luật Newton bởi công thức T(t)=32+48.(0,9)t. Phải làm mát soda trong bao lâu để nhiệt độ là 50oF ?

Bài 5 (1,5 điểm). Lan là sinh viên đại học xa nhà. Bố mẹ đã cho Lan số tiền dự tính tiêu trong một năm học (tức 10 tháng). Do có nhiều vấn đề nảy sinh trong thực tế nên mức tiêu thụ của Lan tăng lên 4% mỗi tháng. Hỏi sau bao nhiêu tháng thì số tiền bố mẹ cho Lan ban đầu sẽ hết?

Bài 6 (1 điểm). Bạn Hùng trúng tuyển vào trƣờng đại học A nhƣng vì lý do không đủ nộp học phí nên Hùng quyết định vay ngân hàng trong 4 năm mỗi năm vay 3.000.000 đồng để nộp học phí với lãi suất 3% một năm. Sau khi tốt nghiệp

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

đại học, bạn Hùng phải trả góp hàng tháng số tiền T (không đổi) cùng với lãi suất 0,25% một tháng trong vòng 5 năm. Số tiền T hàng tháng mà Hùng phải trả cho ngân hàng (làm tròn đến kết quả hàng đơn vị) là bao nhiêu?

PHỤ LỤC 3 ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA Đề 1 Câu

Hƣớng dẫn giải + Nêu công thức tính lãi đơn Sn Với A

5%

0, 05, n

nr)

0,5

5

0,5

+ Thay vào công thức, tính đƣợc

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

1

16000000, r

A(1

Điểm

S5

16000000(1

1

20000000 (đồng).

5.0, 05)

+ Tính đƣợc lãi suất mỗi quý là 0,03

+ Sau n quý, tiền mà ngƣời đó nhận đƣợc là: A 1 2

+ Theo bài ta có: A(1 + Tính ra n

0, 03)n

log1,03 3

0, 03

0,5 n

3A

37,17

+ Gọi S1 là dân số năm 2015, ta có S1

3

1153600, n

+ Tính ra r từ e

n .r

5, A

S1 A

1038229 và có S1

S1 A 5

ln

r

ln

A.e10.r

1038229.e10 r

1153600 1038229 .

5

4

3 4

+ Theo bài ta có: m(t )  m0 , T  5730

0,5 0,5

0,5

0,5

1281791, 358

+ Giả sử khối lƣợng ban đầu của mẫu đồ cổ chứa Cacbon là m0 Lƣợng Cacbon còn lại của mẫu đồ cổ là

0,5

A.en.r

+ Gọi S 2 là dân số đầu năm 2020 Tính đƣợc S2

0,5

0,5

3 m 4 0 0,5

3 + Thay vào công thức: m0 4 + Tính đƣợc t

0,5

t 5730

1 m0 2

0,5

2378 (năm)

+ Trận động đất ở San Francisco có cƣờng độ 8 độ Richte khi đó M1

5

log A

log A0

log A

8

log A0

+ Trận động đất ở Nam Mỹ có biên độ là 4A nên ta có log 4 A

+ Biến đổi M 2 đƣợc M2

log 4

log A

log A0

log 4

+ Áp dụng công thức x

a

100, r

1%

a(1 r)n r cho (1 r)n 1

0, 01, n

0,5

8, 6 độ Richte.

8

+ Lãi suất 12% một năm suy ra lãi suất 1 tháng là 1% .

6

0,5

log A0

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

M2

0,5

0,25 0,25

3.

+ Vậy số tiền x mà bác A phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn

0,5

nợ, để 3 tháng hết nợ là:

x

a(1 r)n r (1 r)n 1

100.0, 01.(1 0, 01)3 (1 0, 01)3 1

34 triệu đồng.

Đề 2 Câu

Hƣớng dẫn giải + Đổi 2 năm

8 quý.

+ Ap dụng công thức lãi kép Sn 1

A

Điểm 0,5

A(1

10 000 000, r=1,65%=0,0165, n

r)n với:

0,5

8

+ Vậy sau 2 năm ngƣời đó nhận đƣợc số tiền là :

1

S8

A(1

r)8

10. 1

0, 0165

8

11, 399 (triệu đồng)

+ Từ công thức tính lãi suất đơn Sn + A 2

nAr

A

25000000, r=10%=0,1, Sn

32125000

0,5 0,5

+ Thay vào công thức lãi suất đơn tính đƣợc n

1

Sn A Ar

32125000 25000000 25000000.0,1

2, 85 (năm)

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

hay 2 năm 10 tháng 6 ngày + Áp dụng công thức Sn Sn

3

130000, A

100000, r

A.(1

+ Ta có Sn

+ Tính đƣợc n

A.(1

r)n

log

n

S A

r 100

1

r)n với

0,5

1, 5%

log1

r

Sn A

log1,015 1, 3

17, 6218 .

0,5

0,5

Vậy n nhỏ nhất là 18 năm.

+ Gọi t0 là thời điểm nhiệt độ lon nƣớc 80o F khi đó T t0

4

48. 0, 9

32

+ Tính đƣợc t0

t0

32

48. 0, 9

+ Tính đƣợc t1

0,5

0

+ Gọi t1 là thời điểm nhiệt độ lon nƣớc là 50o F nên T t0

0,5

t0

0,5

50

9, 3

Vậy sau 9,3 phút thì nhiệt độ soda là 50o F .

0,5

+ Giả sử số tiền học dự định của Lan là 10 đơn vị.

0,5

Số tiền sử dụng không đổi mà 10 tháng mới hết thì suy ra số tiền Lan 5

dùng trung bình 1 tháng là 1 đơn vị + Gọi n là số tháng tiêu thụ hết sau khi thực tế mỗi tháng tăng 4% nên

1.(1

0, 04). (1

0, 04)n

1 10

0, 04

n

9

+ Tổng số tiền Hùng nợ ngân hàng sau 4 năm học là:

6

0, 03).

0, 03)4 0, 03

1

0,5

12927407, 43 đồng.

D ẠY da K y k ÈM em Q qu UY yn N ho H nb ƠN us O in F es F s@ ICI gm AL ai ST l.c &G om T

3000000.(1

(1

+ Hùng giả ngân hàng hàng tháng T đồng nên áp dụng công thức:

T

a(1 r )n r với a (1 r)n 1

+ Tính đƣợc T

12927407, 43; n

a(1 r)n r (1 r)n 1

1

60, r

232289 đồng.

0,25

0, 25% .

0,25