XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TOÁN HỌC DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC”

PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN

vectorstock.com/21609945

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TOÁN HỌC DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC” Ở LỚP 11 TRƯỜNG THPT THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH WORD VERSION | 2019 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ QUỲNH

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TOÁN HỌC DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC” Ở LỚP 11 TRƢỜNG THPT THEO ĐỊNH HƢỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học Toán

Hà Nội - 2019

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ QUỲNH

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TOÁN HỌC DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC” Ở LỚP 11 TRƢỜNG THPT THEO ĐỊNH HƢỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên nghành: Phƣơng pháp dạy học Toán Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:

ThS. NGUYỄN VĂN HÀ

Hà Nội - 2019

LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, em đã nhận được sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô trong tổ phương pháp dạy học và các bạn sinh viên trong khoa. Qua đây, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy, cô trong tổ phương pháp dạy học và đặc biệt là thầy giáo Nguyễn Văn Hà- người đã định hướng, chọn đề tài và tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em hoàn thiện khóa luận tốt nghiệp này.

Do thời gian và kiến thức có hạn, khóa luận không tránh khỏi có những hạn chế và thiếu sót nhất định. Em kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn.

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày tháng năm 2019 Sinh viên

Nguyễn Thị Quỳnh

LỜI CAM ĐOAN

Tên em là: Nguyễn Thị Quỳnh Sinh viên lớp: K41B- Sư phạm Toán Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu của riêng em dưới sự chỉ đạo của giáo viên hướng dẫn. Và nó không trùng với kết quả của bất cứ tác giả nào khác.

Hà Nội, ngày tháng năm 2019 Sinh viên

Nguyễn Thị Quỳnh

MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU ..................................................................................................... 1 NỘI DUNG.......................................................................................................... 4 Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn ................................................................. 4 1.1 Năng lực và năng lực Toán học ................................................................... 4 1.1.1 Năng lực .............................................................................................. 4 1.1.2 Năng lực Toán học của học sinh........................................................ 6 1.2 Dạy học bài tập Toán học ở trường phổ thông............................................ 7 1.2.1 Bài toán và lời giải của bài toán ....................................................... 7 1.2.2. Ý nghĩa của việc giải toán ............................................................... 11 1.2.3. Phân loại bài toán ........................................................................... 15 1.2.4 Phương pháp tìm lời giải bài toán (Bốn bước giải toán của G.POLIA) ................................................................................................... 18 1.3 Định hướng phát triển năng lực của học sinh trong dạy học toán ở trường phổ thông ........................................................................................................... 24 1.3.1 Dạy học theo hướng tiếp cận nội dung và hướng tiếp cận năng lực ..................................................................................................................... 24 1.3.2 Dạy học môn toán theo định hướng phát triển năng lực học sinh . 25 Tiểu kết chương 1 ............................................................................................. 29 Chương 2. Ứng dụng trong dạy học ở trường THPT...................................... 30 2.1 Phân tích nội dung dạy học chủ đề phương trình lượng giác ở lớp 11 trường THPT ..................................................................................................... 30 2.1.1 Nội dung chương trình dạy học phương trình lượng giác ở THPT30 2.1.2 Nhiệm vụ dạy học nội dung phương trình lượng giác ................... 30 2.1.2.1 Về kiến thức. .............................................................................. 30 2.1.2.2 Về kỹ năng.................................................................................. 31 2.2 Ứng dụng xây dựng hệ thống bài tập Toán học dạy học chủ đề phương trình lượng giác theo định hướng phát triển năng lực học sinh ..................... 31 2.2.1 Định hướng chung dạy học bài tập toán theo sự phát triển năng lực học sinh ....................................................................................................... 31

2.2.2 Xây dựng hệ thống bài tập chương: “ Phương trình lượng giác” toán học 11 ................................................................................................................. 31 Dạng 1: Phương trình lượng giác cơ bản .............................................. 32 Dạng 2: Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x ........................ 37 Dạng 3: Phương trình đẳng cấp đối với sin x và cos x ..................... 44 Dạng 4: Một số phương trình lượng giác khác:.................................... 48 Tiểu kết chương 2 ..................................................................................... 62 KẾT LUẬN ....................................................................................................... 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 65

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

LỜI MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Công cuộc đổi mới của đất nước ta, thực hiện công nghiệp hóa, hiện đại hóa gắn liền với phát triển tri thức, tích cực chủ động hội nhập quốc tế sâu rộng đã và đang đặt ra cho ngành giáo dục và đào tạo nhiệm vụ to lớn và hết sức nặng nề là đào tạo nguồn nhân lực chất lượng cao. Để thực hiện được nhiệm vụ đó, sự nghiệp giáo dục cần được đổi mới về cả mục tiêu, nội dung chương trình và phương pháp dạy học. Phương pháp dạy học phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng cho người học năng lực tự học, kĩ năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên. Do đó, phương pháp dạy học cần xây dựng theo định hướng phát triển năng lực cho học sinh.

Trong đó, phương pháp dạy học môn toán giữ một vị trí quan trọng vì toán học là công cụ để học những môn học khác, là công cụ của nhiều ngành khoa học khác nhau và là công cụ để hoạt đông trong thực tế. Tuy nhiên, đối với học sinh đây là môn học có tính trừu tượng cao và là môn học khó, các khái niệm là nguồn gốc của những khó khăn trở ngại đó. Trong việc dạy học Toán, điều quan trọng bậc nhất là hình thành cho học sinh thông hiểu một hệ thống khái niệm. Đó là cơ sở của toàn bộ kiến thức Toán học của học sinh, là tiền đề quan trọng để xây dựng khả năng vận dụng những kiến thức đã học.

Phần phương trình lượng giác được phân bố trong chương trình lớp 11 trung học phổ thông. Những kiến thức về lượng giác đã được đề cập sơ bộ ở chương trình trung học cơ sở và chương trình lớp 10. Đây là một phần khá phức tạp và học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải bài tập về Phương trình lượng giác.

Vì những lí do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu là: Xây dựng hệ thống bài tập Toán học dạy học chủ đề “Phương trình lượng giác” ở lớp 11 trường THPT theo định hướng phát triển năng lực học sinh

2. Mục đích nghiên cứu

1

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Định hướng chung phát triển năng lực của học sinh trong dạy học toán ở trường phổ thông Xây dựng hệ thống bài tập Toán học của chủ đề “Phương trình lượng giác” ở lớp 11 trường THPT theo hướng phát triển năng lực học sinh, góp phần nâng cao chất lượng và hiệu quả của việc dạy học môn toán ở phổ thông hiện nay.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu về cơ sở lí luận và thực tiễn: + Năng lực và năng lực toán học của học sinh + Định hướng phát triển năng lưc của học sinh trong dạy học toán ở trường phổ thông + Dạy học bài tập Toán học và nội dung dạy học bài tập Toán học trong chủ đề “Phương trình lượng giác” ở lớp 11 trường THPT. - Ứng dụng xây dựng hệ thống bài tập Toán học của chủ đề “Phương trình lượng giác” ở lớp 11 trường THPT theo hướng phát triển năng lực học sinh.

4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Các bài tập Toán học theo hướng phát triển năng lực học sinh Toán học thuộc chủ đề của chủ đề “Phương trình lượng giác” ở lớp 11 trường THPT. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận về năng lực, năng lực toán học của học sinh, về phương pháp dạy học khái niệm môn toán.

Tổng kết kinh nghiệm tham khảo các giáo án, bài giảng theo phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học và năng lực vận dụng Toán học của học sinh.

Nghiên cứu nội dung chương trình, sách giáo khoa môn Toán thuộc chủ đề “Phương trình lượng giác” ở lớp 11 trường THPT. 6. Cấu trúc khóa luận Phần 1: Lời mở đầu

2

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phần 2: Nội dung Chƣơng 1. Cơ sở lý luận chung 1.1 Năng lực và năng lực Toán học của học sinh 1.2 Dạy học bài tập Toán học ở phổ thông 1.3 Định hướng phát triển năng lực của học sinh trong dạy học toán ở trường phổ thông Chƣơng 2. Ứng dụng trong dạy học ở trƣờng THPT 2.1 Phân tích nội dung dạy học chủ đề phương trình lượng giác ở lớp 11 trường THPT 2.2 Ứng dụng xây dựng hệ thống bài tập Toán học dạy học chủ đề phương trình lượng giác theo định hướng phát triển năng lực học sinh Phần 3: Kết luận.

3

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

NỘI DUNG Chƣơng 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn 1.1 Năng lực và năng lực Toán học 1.1.1 Năng lực Theo quan điểm của những nhà tâm lý học năng lực là tổng hợp các đặc điểm, thuộc tính tâm lý của cá nhân phù hợp với yêu cầu, đặc trưng của một hoạt động nhất định nhằm đảm bảo cho hoạt động đó đạt hiệu quả cao.

Năng lực của con người có đặc điểm sau: + Năng lực luôn gắn với một hoạt động cụ thể + Năng lực được hình thành và bộc lộ trong hoạt động + Năng lực chịu sự chi phối của các yếu tố bẩm sinh di truyền, môi trường và hoạt động của bản thân.

Như vậy, năng lực của con người hình thành trên cơ sở chi phối nhiều bởi các yếu tố tư chất của cá nhân, nhưng năng lực của con người không phải hoàn toàn do tự nhiên mà có, phần lớn do công tác, do tập luyện mà hình thành phát triển năng lực.

Tâm lý học chia năng lực thành các dạng khác nhau như năng lực chung và năng lực chuyên môn. + Năng lực chung là năng lực cần thiết cho nhiều ngành hoạt động khác nhau như năng lực phán xét tư duy lao động, năng lực khái quát hoá, năng lực luyện tập, năng lực tưởng tưởng + Năng lực chuyên môn là năng lực đặc trưng trong lĩnh vực nhất định của xã hội như năng lực tổ chức, năng lực âm nhạc, năng lực kinh doanh, hội hoạ, năng lực toán học...

Năng lực chung và năng lực chuyên môn có quan hệ qua lại hữu cơ với nhau, năng lực chung là cơ sở của năng lực chuyên môn, nếu chúng càng phát triển thì càng dễ thành đạt được năng lực chuyên môn. Ngược lại sự phát triển của năng lực chuyên môn trong những điều kiện nhất định lại có ảnh hưởng

4

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

đối với sự phát triển của năng lực chung. Trong thực tế mọi hoạt động có kết quả và hiệu quả cao thì mỗi người đều phải có năng lực chung phát triển ở trình độ cần thiết và có một vài năng lực chuyên môn tương ứng với lĩnh vực công việc của mình.

Năng lực còn được hiểu theo một cách khác, năng lực là tính chất tâm sinh lý của con người chi phối quá trình tiếp thu kiến thức, kỹ năng và kỹ xảo tối thiểu là cái mà người đó có thể dùng khi hoạt động. Để nắm được cơ bản các dấu hiệu khi nghiên cứu bản chất của năng lực ta cần phải xem xét trên một số khía cạnh sau: - Năng lực là sự khác biệt tâm lý của cá nhân người này khác người kia, nếu một sự việc thể hiện rõ tính chất mà ai cũng như ai thì không thể nói về năng lực.

- Năng lực chỉ là những khác biệt có liên quan đến hiệu quả việc thực hiện một hoạt động nào đó chứ không phải bất kỳ những sự khác nhau cá biệt chung chung nào.

- Năng lực con người bao giờ cũng có mầm mống bẩm sinh tuỳ thuộc vào sự tổ chức của hệ thống thần kinh trung ương, nhưng nó chỉ được phát triển trong quá trình hoạt động, phát triển của con người. Trong xã hội có bao nhiêu hình thức hoạt động của con người thì cũng có bấy nhiêu loại năng lực, có người có năng lực về quản lý kinh tế, có người có năng lực về Toán học, có người có năng lực về kỹ thuật, có người có năng lực về thể thao ...

- Cần phân biệt năng lực với tri thức, kỹ năng, kỹ xảo: Tri thức là những hiểu biết thu nhận được từ sách vở, từ học hỏi và từ kinh nghiệm cuộc sống của mình. Kỹ năng là sự vận dụng bước đầu những kiến thức thu lượm vào thực tế để tiến hành một hoạt động nào đó. Kỹ xảo là những kỹ năng được lắp đi lặp lại nhiều lần đến mức thuần thục cho phép con người không phải tập trung nhiều ý thức vào việc mình đang làm. Còn năng lực là một tổ hợp phầm chất tương đối ổn đinh, cơ bản của cá nhân, cho phép nó thực hiện có kết quả một hoạt động. Như vậy năng lực chỉ làm cho việc tiếp thu các kiến thức kỹ năng, kỹ xảo trở nên dễ dàng hơn.

5

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.1.2 Năng lực Toán học của học sinh Theo V.A.Krutetxki thì khái niệm năng lực toán học được hiểu dưới hai bình diện sau: Năng lực nghiên cứu Toán học là năng lực sáng tạo, các năng lực hoạt động Toán học tạo ra được các kết quả, thành tựu mới, khách quan và có ý nghĩa với nhân loại.

Năng lực Toán học của học sinh là năng lực học tập giáo trình Toán học ở trường phổ thông, lĩnh hội nhanh chóng và có kết quả cao các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng.

- Năng lực Toán học của học sinh: Từ khái niệm về năng lực ta có thể đi đến khái niệm về năng lực Toán học của học sinh: “Năng lực Toán học là những đặc điểm tâm lí đáp ứng được yêu cầu hoạt động học toán và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng trong lĩnh vực Toán học tương đối nhanh chóng, dễ dàng, sâu sắc trong những điều kiện như nhau” - Trong quá trình tiếp thu tri thức, học sinh tham gia nhiều hình thức hoạt động Toán học. Mỗi hoạt động Toán học phức hợp đặc trưng cho một dạng năng lực thành phần. Các năng lực thành phần này có quan hệ chặt chẽ với nhau tạo thành một cấu trúc năng lực Toán học. Cấu trúc năng lực Toán học bao gồm các dạng năng lực thành phần sau: + Năng lực tính toán, giải toán + Năng lực tư duy Toán học + Năng lực giao tiếp Toán học (Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học) + Năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn + Năng lực giải quyết vấn đề + Năng lực sáng tạo Toán học

6

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2 Dạy học bài tập Toán học ở trƣờng phổ thông 1.2.1 Bài toán và lời giải của bài toán a) Bài toán Theo G.POLYA. Bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một cách có ý thức các phương tiện thích hợp để đạt đến một mục đích nhất định trông thấy rõ ràng, nhưng không thể đạt được ngay.

Trên cơ sở định nghĩa khái quát của G.POLYA cho ta thấy rằng. Bài toán là sự đòi hỏi phải đạt tới mục đích nào đó. Như vậy, bài toán có thể đồng nhất với một số quan niệm khác nhau về bài toán như đề toán, bài tập.....

Trong định nghĩa về bài toán ở trên ta thấy có hai yếu tố chính hợp thành của một bài toán.

- Bài toán luôn có mục đích xác định.

- Sự đòi hỏi người khác thực hiện mục đích của bài toán (giao nhiệm vụ hoặc yêu cầu người khác thực hiện mục đích của bài toán) Ví dụ 1 “Cho đường tròn (O) và đường thẳng d cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Từ một điểm M bất kỳ trên d và nằm ở ngoài đường tròn, kẻ các tiếp tuyến MP và MN (P, N là các tiếp điểm). Chứng minh rằng khi M di động trên đường thẳng d thì đường tròn ngoại tiếp MNP luôn đi qua hai điểm cố định.” Đây là bài toán vì trong đó bao gồm hai yếu tố cơ bản hợp thành sau đây.

- Sự đòi hỏi của bài toán thể hiện qua cụm từ "Chứng minh rằng".

- Mục đích của bài toán thể hiện: “Đường tròn ngoại tiếp MNP luôn đi qua hai điểm cố định.”

Ví dụ 2

7

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

“Số tự nhiên n  N và n < 10.” Đây không phải là bài toán vì thiếu sự đòi hỏi người khác thực hiện mục đích. Đây không phải là mệnh đề toán học vì không có giá trị chân lý đúng hay sai. Đây là một hàm mệnh đề vì đó là câu có chứa biến số n và khi thay biến bởi hằng ta được mệnh đề.

Ví dụ 3 “Tìm n  N và n < 10.” Đây là bài toán vì trong đó bao gồm hai yếu tố cơ bản sau; - Sự đòi hỏi của bài toán thể hiện qua cụm từ “tìm”.

- Mục đích của bài toán thể hiện. “n  N và n < 10.” b) Lời giải bài toán - Lời giải của bài toán được hiểu là tập hợp hữu hạn, sắp thứ tự các thao tác cần thực hiện để đạt tới mục đích đã đặt ra trong bài toán.

- Như vậy ta thống nhất các thuật ngữ bài giải, cách giải và đáp án của bài toán đều theo nghĩa lời giải ở trên.

- Một bài toán có thể có lời giải như sau. + Một lời giải; + Nhiều lời giải; + Không có lời giải.

- Giải được một bài toán được hiểu là tìm ra và trình bày đúng ít nhất một lời giải của bài toán trong trường hợp bài toán có lời giải, hoặc lý giải được bài toán là không giải được trong trường hợp nó không có lời giải.

Ví dụ 4: Tìm các lời giải số học của bài toán cổ sau.

“Vừa gà vừa chó, Bó lại cho tròn,

8

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Ba mươi sáu con, Một trăm chân chẵn.

Tính số gà, số chó?”

Cách 1. Giả thiết tạm Giả sử tất cả 36 con vật đều là gà.

Vậy số chân của 36 con vật là 2  36 = 72 (chân) Tổng số chân hụt đi so với điều kiện thực tế của bài toán là 100 – 72 = 28 (chân) Ta thấy 28 chân thiếu hụt so với điều kiện thực của bài toán là do ta giả sử tất cả 36 con vật đều là gà cả. Như vậy, ta đã bỏ đi ở mỗi con chó là 2 chân.

Vậy số con chó là 28 : 2 = 14 (con chó) Số con gà là 36 – 14 = 22 (con gà) Trả lời. Số gà là 22 con ; số chó là 14 con.

Cách 2. Giả thiết tạm Giả sử tất cả 36 con vật đều là chó.

Vậy số chân của 36 con vật là 4  36 = 144 (chân) Số chân dư ra so với điều kiện thực tế của bài toán là 144 – 100 = 44 (chân) Ta thấy 44 chân dư ra so với điều kiện thực tế của bài toán là do ta giả sử 36 con vật đều là chó cả. Như vậy, ta đã thêm vào cho mỗi con gà 2 chân.Vậy số con gà là

9

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

44 : 2 = 22 (con gà) Số con chó là 36 – 22 = 14 (con chó) Trả lời. Số gà là 22 con ; số chó là 14 con.

Cách 3. Giả thiết tạm Giả sử tất cả 36 con vật đều có 3 chân. Vậy số chân của 36 con vật sẽ là 3  36 = 108 (chân).

Số chân dư ra so với điều kiện thực tế của bài toán là 108 – 100 = 8 (chân) Ta thấy 8 chân dư so với điều kiện thực tế của bài toán là do ta giả sử mỗi con vật gà và chó đều 3 chân. Như vậy, ta đã thêm cho mỗi con gà 1 chân và đồng thời bớt đi mỗi con chó 1 chân.

Nếu số gà và chó bằng nhau thì số chân vừa đủ. Nếu số chó nhiều hơn số gà thì số chân phải thiếu hụt. Ở đây số chân dư ra 8 chân, vậy số gà nhiều hơn số chó. Mà mỗi con gà ta thêm cho nó 1 chân, vậy số con gà nhiều hơn số con chó là 8 : 1 = 8 (con) Số con chó là (36 – 8) : 2 = 14 (con chó) Số con gà là 14 + 8 = 22 (con chó) Trả lời. Số gà là 22 con, số chó là 14 con.

Cách 4. Giả thiết tạm Giả sử số gà bằng số chó và đều bằng 18 con.

Do đó tổng số chân của 36 con vật là (2  18) + (4  18) = 108 (chân).

10

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Số chân dư ra so với điều kiện thực tế của bài toán là 108 – 100 = 8 (chân).

Ta thấy 8 chân dư ra là do điều giả sử số gà bằng số chó và bằng 18 con. Như vậy, ta đã chuyển một số con chó thành bằng ấy con gà hoặc ngược lại.

Nếu chuyển một số con chó thành một số con gà thì tổng số chân phải thiếu hụt. Ở đây tổng số chân tăng thêm 8 chân, nghĩa là ta đã chuyển một số con gà thành con chó. Mà ta biết rằng khi chuyển một con gà thành một con chó thì số chân tăng thêm là 2 chân.Vậy số con gà được chuyển thành số con chó là 8 : 2  4 (con) .

Số gà nhiều hơn số chó là 4  2  8 (con)

Số con chó là (36  8) : 2  14 (con)

Số con gà là 14  8  22 (con)

Trả lời: 22 con gà, số chó là 14 con chó 1.2.2. Ý nghĩa của việc giải toán a) Kiến thức Trong thực tế một bài toán chứa đựng nhiều kiến thức về khái niệm toán học và các tính chất toán học. Khi giải một bài toán đòi hỏi ta phải phân tích dữ kiện đã cho của bài toán, huy động các kiến thức đã cho trong đề toán và các kiến thức đã biết khác có liên quan tới bài toán, tổng hợp lại để đề ra kiến thức mới. Và cứ như vậy các kiến thức mới tìm ra lại cùng các kiến thức đã biết trước được phân tích, tổng hợp lại để đề ra các kiến thức mới nữa ...

Cuối cùng chúng ta đi đến được lời giải của bài toán.

11

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Như vậy khi giải một bài toán không những chỉ các kiến thức đã có trong bài toán mà cả một hệ thống các kiến thức liên quan tới bài toán cũng được củng cố qua lại nhiều lần.

Ví dụ 5. Hãy tìm các cách giải của bài toán sau.

“Cho ba hình vuông có cạnh bằng nhau và bằng một được dựng liên tiếp nhau (Hình 1.1). Chứng minh rằng ˆ  ˆ  450 Hướng dẫn O

A

D

C 



Hình 1.1

B

Cách 1. Lớp 10 1 2

1 3

Từ giả thiết ta thấy tan   , tan   .

Dễ thấy tan     

tan  tan  1 . Do đó suy ra ˆ  ˆ  450 .

1  tan .tan

Với cách giải này củng cố cho học sinh những kiến thức sau.

- Định nghĩa hàm số lượng giác của một góc, cách xác định giá trị một hàm số lượng giác của một góc.

- Công thức biến đổi lượng giác của một tổng.

Cách 2. Lớp 7

E

A

O





C 

D

Hình 1.2

B

Để tính tổng của hai góc  và , ta dịch chuyển góc  đến vị trí kề với  tạo ra một góc tổng của chúng (Hình 1.2).

Bằng cách xét một cặp tam giác vuông bằng nhau, ta dễ dàng chứng minh được rằng BDE = 45o .

12

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Với cách giải này củng cố cho học sinh các kiến thức sau.

- Hai góc kề nhau - Cách chứng minh hai tam giác bằng nhau, các tính chất của hai tam giác bằng nhau. Cách chứng minh một tam giác là tam giác vuông cân.

Cách 3. Lớp 8, 9 O

A

B

C 





D

Hình 1.3

Ta có BOC, DOB đồng dạng vì chung nhau góc O và hai cạnh kề góc đó tỉ lệ với nhau. Từ đây suy ra β  CBO và dễ dàng có điều cần chứng minh. (Hình 1.3) Với cách giải này củng cố cho học sinh các kiến thức sau.

- Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng.

- Tính chất của hai tam giác đồng dạng.

- Tính chất của hai đường thẳng song song.

- Hình vuông và các tính chất của nó. b) Tƣ duy Đặc điểm nổi bật của Toán học cũng như của môn toán là một khoa học suy diễn, nó là môn khoa học được xây dựng bằng phương pháp tiên đề. Do vậy, lời giải của bài toán là một hệ thống hữu hạn các thao tác, có thứ tự chặt chẽ để đi đến một mục đích rõ rệt. Vì vậy khi giải một bài toán nó có tác dụng trực tiếp rèn luyện cho học sinh năng lực sử dụng các phép suy luận hợp logic: Suy luận có căn cứ đúng, suy luận tuân theo quy tắc suy diễn logic, ...

Chúng ta biết rằng không thể có một phương pháp chung nào để giải được mọi bài toán. Mỗi bài toán có một hình vẻ khác nhau, muốn tìm ra được lời giải của bài toán chúng ta phải biết phân tích, biết cách dự đoán kết quả, biết cách kiểm tra dự đoán, biết cách liên hệ tới các vấn đề tương tự gần giống nhau, biết cách suy luận tổng hợp, khái quát hoá ..... , biết cách suy đoán. Như

13

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

vậy qua việc giải bài toán năng lực tư duy logic và tư duy sáng tạo của học sinh được rèn luyện và phát triển. c) Kỹ năng Một trong những yêu cầu của việc thông hiểu các kiến thức của bất cứ của bộ môn khoa học nào là biết, thông hiểu và vận dụng các kiến thức của bộ môn khoa học đó vào việc giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, tức là giải quyết được các bài toán đặt ra trong lĩnh vực khoa học đó.

Trong việc giảng dạy toán ta thấy rằng bài toán tham gia vào tất cả các tình huống điển hình của quá trình dạy học môn toán.

- Trong giảng dạy khái niệm Toán học Bài toán có thể được sử dụng để tổ chức gây tình huống, để dẫn dắt cho học sinh tiếp cạn đến định nghĩa khái niệm; bài toán được sử dụng làm các ví dụ hoặc phản ví dụ minh hoạ cho khái niệm (hoạt động nhận dạng và thể hiện khái niệm); bài toán được sử dụng để luyện tập củng cố và vận dụng khái niệm.

- Trong giảng dạy định lý Toán học Bài toán có thể được sử dụng để tổ chức gây tình huống dẫn dắt học sinh phát hiện ra nội dung định lý toán học; bài toán có thể được sử dụng trong hoạt động nhận dạng và thể hiện định lý ; bài toán có thể được sử dụng để cho học sinh tập vận dụng định lý; đặc biệt là việc tổ chức hướng dẫn học sinh tìm ra đường lối chứng minh định lý chính là việc dạy cho học sinh cách phân tích tìm ra chứng minh toán học của bài toán không có angorit giải.

- Trong luyện tập Toán học Bài toán là phương tiện chủ yếu trong các tiết luyện tập Toán học. Trong đó người giáo viên phải xây dựng được một hệ thống các bài tập có liên quan chặt chẽ với nhau để nhằm giúp học sinh củng cố vững chắc các kiến thức cơ bản và hình thành một số kỹ năng cơ bản nào đó. d) Tƣ tƣởng

14

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đặc điểm cơ bản trong tính cách của con người là mọi hoạt động đều có mục đích rõ ràng. Khi giải một bài toán ta luôn có định hướng mục đích cụ thể, rõ ràng. Vì vậy việc giải bài toán sẽ góp phần tích cực vào việc rèn luyện năng lực hoạt động của con người. Để giải một bài toán, nhất là đối với các bài toán khó người giải phải vượt qua rất nhiều khó khăn, phải kiên trì nhẫn lại, và nhiều khi người ta phải có quyết tâm, khát vọng lớn để giải bài toán đó. Nói theo cách của G.POLIA là “Khát vọng và quyết tâm giải được bài toán là nhân tố chủ yếu của quá trình giải mọi bài toán ”. Do vậy ta thấy rằng hoạt động giải toán chính là nhân tố chủ yếu của quá trình hình thành và phát triển nhân cách của con người.

1.2.3. Phân loại bài toán Người ta có nhiều cách để phân loại các bài toán và người ta phân loại bài toán theo nhiều cách khác nhau để đạt được mục đích nhất định, thường là để sử dụng các bài toán một cách thuận lợi. a) Phân loại theo hình thức bài toán Người ta căn cứ vào kết luận của bài toán để phân chia bài toán ra thành hai loại như sau.

- Bài toán chứng minh.

Những bài toán mà trong kết luận của nó đã thể hiện rõ kết quả cuối cùng của mục đích bài toán.

Ví dụ 6: “Cho tam giác ∆ABC, hai điểm M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC. Chứng minh rằng diện tích của tam giác ∆AMN bằng tam giác ∆ABC.” Hướng dẫn

A

M

N

C Hình 1.4

B

15

1 diện tích 4

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Ta ký hiệu diện tích của các tam giác ∆ABC, ∆AMN, ∆ABN lần lượt là SABC, SAMN và SABN. (Hình 1.4) Ta thấy. SABC  2  SABN (Hai tam giác này chung chiều cao hạ từ B tới AC và đáy AC = 2 × AN); SABN  2  SAMN (Hai tam giác này chung chiều cao hạ từ N tới

AB và đáy AB = 2 × AM Do đó suy ra SABC  4  SAMN . Vậy ta có điều cần chứng minh.

- Bài toán tìm tòi.

Những bài toán mà trong kết luận của nó chưa thể hiện rõ ràng kết quả cuối cùng của mục đích bài toán.

Ví dụ 7: Cho tứ giác lồi ABCD và các điểm M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD và DA. Tính diện tích của tứ giác ABCD biết rằng diện tích của MNPQ là 100 cm2 ?

Hướng dẫn

A

Q

M

100 cm2

D

P

B

N C Hình 1.5

Nối A với C và áp dụng kết quả bài toán ở ví dụ 1 ta có (Hình 1.5) 1 1 SBMN   SBAC và SDPQ   SDAC 4 4 1 4

1 4

Do vậy suy ra SBMN  SDPQ   SBAC  SDAC    SABCD 1 4

1 4

Tương tự ta có SAMQ  SCNP   SABD  SCBD    SABCD

16

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Do đó suy ra SBMN  SDPQ  SAMQ  SCNP  1  SABCD 2

Theo hình vẽ ta có SBMN  SDPQ  SAMQ  SCNP  SABCD  SMNPQ nên ta suy ra 1 2

đẳng thức sau. SABCD  SMNPQ   SABCD Thay số vào đẳng thức trên ta có SABCD  100  1  SABCD .

2

Vậy ta suy ra S ABCD = 200 cm2. b) Phân loại theo phƣơng pháp giải toán Người ta căn cứ vào phương pháp giải bài toán để phân loại bài toán: Bài toán này có thuật toán chung giải hay chưa để chia các bài toán thành hai loại - Bài toán có angorit giải: Những bài toán mà phương pháp giải của nó theo một thuật toán chung nào đó cho một lớp các bài toán chứa nó.

Ví dụ 8: + Giải phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn số. + Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số. + Thuật toán kiểm tra một số tự nhiên n có phải là nguyên tố hay không ? + Thuật toán liệt kê tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn số tự nhiên n cho trước. + Thuật toán tìm ước số chung lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số cho trước. + Dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỷ số của hai số; tìm hai số khi biết hiệu và tỷ số của hai số; tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số; dạng toán rút về đơn vị ; dạng toán tìm số trung bình cộng …

- Bài toán không có angorit giải: Những bài toán mà phương pháp giải của nó không theo một thuật toán chung nào đó cho một lớp các bài toán chứa nó.

17

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Chú ý : Các bài toán không có angorit giải có số lượng là vô cùng lớn hơn rất nhiều so với các bài toán có angorit giải. c) Phân loại theo nội dung bài toán Người ta căn cứ vào nội dung của bài toán được phát biểu theo thuật ngữ của một hay một vài lĩnh vực chuyên môn hẹp hơn để chia bài toán thành các loại khác nhau như sau. + Bài toán số học. Toán trồng cây ở hai đầu đường ; toán về tuổi ; toán chuyển động đều ; toán về phân số ; ….. + Bài toán đại số. + Bài toán hình học. d) Phân loại theo ý nghĩa giải toán Người ta dựa vào ý nghĩa của việc giải bài toán để phân loại bài toán.

Bài toán này nhằm củng cố trực tiếp một hay một vài kiến thức kỹ năng nào đó, hay là bài toán nhằm phát triển tư duy. Ta có hai loại bài toán như sau: Bài toán cơ bản: Những bài bài toán sử dụng trực tiếp, đơn giản từng kiến thức, kỹ năng mới vào việc giải quyết các tình huống phổ biến điển hình trong thực tiễn Bài toán nâng cao: Những bài toán sử dụng nhiều kiến thức, kỹ năng nào đó vào việc giải quyết các tình huống mới lạ hoặc đòi hỏi phải có một khả năng tư duy phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo.

1.2.4 Phƣơng pháp tìm lời giải bài toán (Bốn bƣớc giải toán của G.POLIA) Bƣớc 1.Tìm hiểu đề Trước khi giải một bài toán ta phải phân tích nội dung của bài toán, rồi tìm hiểu thấu đáo nội dung của bài toán bằng những câu hỏi sau: Những cái gì đã biết? Cái gì chưa biết của bài toán?

Tìm những yếu tố cố định, những yếu tố không đổi, những yếu tố thay đổi và biến thiên của bài toán.

18

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Xác định các ẩn và các giá trị hằng của bài toán.

Dữ kiện của bài toán có đủ để xác định cái chưa biết hay không?

Bƣớc 2. Xây dựng chƣơng trình giải Để tìm được lời giải cho bài toán một cách có hiệu quả thì bước xây dựng chương trình giải là bước quyết định, đồng thời đây cũng là bước khó khăn nhất.

Bước xây dựng chương trình giải đòi hỏi chúng ta biết huy động các kiến thức đã biết để xem xét, phân tích, so sánh, bác bỏ, tổng hợp. Từ đó mới có thể thiết lập được mối liên hệ giữa cái đã cho và cái cần tìm. Đối với những bài toán không có angorit giải, chúng ta sẽ phải tiến hành xây dựng chương trình giải theo phương pháp sau: a) Phƣơng pháp đi xuôi Xuất phát từ cái đã cho (giả thiết) của bài toán được lấy làm tiền đề và bằng suy luận hợp logic chúng ta tìm ra các hệ quả logic mới. Tiếp tục chọn lọc trong các hệ quả logic để làm tiền đề mới và bằng suy luận hợp logic chúng ta rút ra các hệ quả logic mới tiếp theo.... Cứ tiếp tục quá trình như thế cho đến khi chúng ta tìm ra được hệ quả logic trùng với kết luận của bài toán thì dừng. Khi đó ta đã tìm được lời giải bài toán.

Phương pháp này được mô tả theo sơ đồ sau.

A  C   Y (Trong đó A, B là các giả thiết còn Y là kết luận).

B  D

b) Phƣơng pháp đi ngƣợc Đó là quá trình xuất phát từ kết luận của bài toán. Bằng suy luận hợp logic chúng ta đi ngược lên để tìm các tiền đề logic của kết luận này.

Tiếp tục quá trình đó, chúng ta chọn lọc để lấy ra tiền đề gần gũi với giả thiết của bài toán để làm kết luận mới, từ đó rút ra các tiền đề logíc mới của các kết luận mới này ... Quá trình ấy lại được tiếp diễn ta tìm được các tiền đề logic trùng với giả thiết của bài toán, ta có được lời giải của bài toán.

Phương pháp này được mô tả theo sơ đồ sau.

19

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

C  A (trong đó A, B là giả thiết còn Y là kết luận) Y D  B

Chú ý: Thông thường trong nhiều trường hợp để tìm được lời giải của bài toán ta thường kết hợp cả hai phương pháp đi xuôi và phương pháp đi ngược. c) Phƣơng pháp sử dụng các phép suy đoán Trong Toán học để đi tới lời giải của bài toán thì có rất nhiều phương pháp. Tuy nhiên không phải phương pháp nào cũng có thể đi tới lời giải của bài toán.

Thực tế có những bài toán mà ta đã sử dụng nhiều phương pháp. Phương pháp đi xuôi, phương pháp đi ngược, thậm chí kết hợp cả hai phương pháp đó mà vẫn chưa tìm được lời giải của bài toán đó. Lúc này ta cần chuyể n hướng suy nghĩ theo một hướng khác, tạm gọi hướng suy nghĩ này là phương pháp sử dụng các phép suy đoán. Nghĩa là suy nghĩ đến bài toán liên quan, bài toán có gần giống với bài toán ta cần giải - Có thể là bài toán con, bài toán tương tự, bài toán đặc biệt, đôi khi là bài toán khái quát.

Từ sự phân tích lời giải của các bài toán có liên quan với bài toán cần giải hoặc sử dụng kết quả của nó, chúng ta có nhiều cơ hội thuận lợi để tìm ra lời giải của bài toán đã cho.

Theo G.POLIA chúng ta thường phải đặt ra các câu hỏi gợi ý sau: “Anh có biết một bài toán nào gần giống bài toán của anh không?”; “Đây là một bài toán gần giống với bài toán của anh đã giải được rồi. Anh có thể dùng được nó làm gì không?”; “Nếu anh không giải được bài toán đã cho, thì trước hết hãy giải bài toán gần giống với nó.”

Bƣớc 3. Thực hiện chƣơng trình giải Đây là quá trình tổng hợp lại của bước xây dựng chương trình giải, ta dùng các phép suy luận hợp logic xuất phát từ giả thiết của bài toán hay các mệnh đề Toán học đã biết ta suy dần ra đi tới kết luận của bài toán.

20

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trong bước thực hiện chương trình giải một bài toán cần chú ý phân biệt sự khác nhau giữa những điều đã thấy được và những điều suy ra được chính là điều chứng minh được.

Bƣớc 4. Kiểm tra lời giải và khai thác bài toán Thử lại kết quả của bài toán, thử lại các lập luận trong lời giải đã tìm được của bài toán.

Tìm các cách giải khác nếu có của bài toán.

Nghiên cứu các bài toán có liên quan: Bài toán tương tự, bài toán khái quát, …

Ví dụ 9: Phân tích quá trình tìm lời giải bài toán sau.

“Chứng minh rằng nếu ABC thoả mãn điều kiện sin A.sin C  cos 2

B 2

thì ABC là tam giác cân” Hướng dẫn Để chứng minh một tam giác là tam giác cân ta có các cách sau. Chứng minh hai cạnh nào đó bằng nhau, hoặc chứng minh hai góc nào đó bằng nhau. Ở đây ta thấy giả thiết của bài toán cho biết đẳng thức liên hệ về góc, ta sẽ chứng minh tam giác đó có hai góc nào đó bằng nhau.

Hơn nữa ta thấy trong đẳng thức đã cho có vai trò của hai góc A và C là bình đẳng nhau. Vậy ta sẽ chứng minh rằng trong ABC có các góc A  C .

Biến đổi tương đương đẳng thức đã cho bằng cách ta làm mất sự có mặt của góc B bởi 180o   A  C  , và sau đó sử dụng công thức biến đổi lượng giác ta có sin A.sin C  cos 2

B 2

 sin A.sin C  sin 2



 2sin A.sin C  1  cos 2 A  C



 cos A.cosC  sin A.sinC  1

21

AC .

2

Khóa luận tốt nghiệp Đại học





 cos A  C  1 .

Vì góc A, C là các góc của tam giác nên 0o  A, C  180o . Do đó có A  C . Vậy suy ra ABC là cân.

Ví dụ 10.

“Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là 20 cm. Cho biết hai điểm E thuộc cạnh AB và điểm F thuộc cạnh BC sao cho EA = EB = FB = FC. Gọi điểm I là giao điểm của CE và DF. Hãy tính diện tích của tứ giác AEID ?”

Hướng dẫn A

E

20 cm

B

I

F

C Hình 1.6

D

Cách 1. THCS - Tính diện tích của tam giác ICD (Hình 1.6): Xét hai tam giác ∆BEC và ∆CFD ta có BE = CF = 10 cm; BC = CD = 20 cm; B  C  90o Vậy suy ra ∆BEC = ∆CFD (c.g.c).

Do đó ta có BCE  CDF . Mặt khác ta dễ thấy rằng CDF  CFD  90o , nên ta suy ra CDF  DCI  90o . Như vậy ta có CI  DI. Áp dụng định lý hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có 1 1 1 1 1 1 1   2  2   . Từ đây suy ra CI2  80 .

2 2 CI CD CF CI 400 100 80

Áp dụng định lý Pi-ta-go trong tam giác vuông ∆ICD ta có DI2 = CD2 – CI2 = 400 – 80 = 320 1 2

Do đó suy ra SICD  IC  ID 

1 320  80  80 (cm2) 2

22

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

- Tính diện tích của tứ giác AEID: Dựa vào hình vẽ ta có diện tích của tứ giác AEID là SAEID  SABCD – SEBC – SICD

Do đó thay các giá trị S EBC = 100 cm2 và S ICD = 80 cm2 ta có 2

SAEID  400 –100 – 80  220 (cm ).

Cách 2. Tiểu học - Tính diện tích của tam giác ICD. Xét tỷ số diện tích của hai tam giác ICF và ICD. SICF S h 50 1 = 1 = ECF = = (Với h1, h2 là chiều cao hạ từ F, D tới IC) SICD h2 SECD 200 4

Mặt khác có tổng diện tích của hai tam giác ICF và ICD là 1 SICF  SICD  SCDF   20 10  100 (cm2) 2

Như vậy ta đưa về bài toán tìm hai số khi biết tổng là 100 và tỷ số là Vậy ta tính được diện tích tam giác ICD là 2

SICD  100 : (4  1)  4  80 (cm ).

- Tính diện tích của tứ giác AEID. Dựa vào hình vẽ ta có diện tích của tứ giác AEID là SAEID  SABCD – SEBC – SICD

Do đó thay các giá trị S EBC = 100 cm2 và S ICD = 80 cm2 ta có 2

SAEID  400 –100 – 80  220 (cm ).

Ví dụ 11. Phân tích phương pháp tìm lời giải của bài toán sau.

“Tính tổng S = 1 + 2a + 3a2 + 4a3 + ... + (n + 1)an.”

Hướng dẫn Ta liên hệ tới bài toán tính tổng tương tự đơn giản hơn sau.

23

1 .

4

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

“Tính tổng P = 1 + a + a2 + a3 + ... + an.”

Nhân tổng P với a và ta có. a.P = a + a2 + a3 + a4 + ... + an+1 Vậy suy ra P – a.P = 1 – an+1 Do đó ta có P  1  a

n+1

1 a

Vận dụng cách tính tổng P ở trên ta đi tính tổng S như sau.

Ta nhân S với a và có. aS = a + 2a2 + 3a3 + 4a4 + ... + (n + 1)an+1.

Vậy suy ra S – aS = 1 + a + a2 + ... + an – (n + 1)an+1 2 3 n Mà ta đã biết 1  a  a  a  ...  a 

1  a n+1 , thay vào ta có.

1 a

1  a n+1 S  a.S   (n  1).a n 1 1 a 1  a n+1  (1  a)(n  1)a n+1 Do đó rút ra kết quả S  .

(1  a)2

Nhận xét cách giải. Để tính tổng S (hoặc P) là các tổng hữu hạn gồm n số hạng ta nhân tổng đó với a, rồi xét hiệu aS – S hoặc S – aS, từ đây ta tính được S. Bằng phương pháp tương tự ta có thể tính được các tổng sau.

A = a + 2a2 + 3a3 + ... + nan.

B = 1 + 2a + 3a2 + ... + (n + 1)an.

1.3 Định hƣớng phát triển năng lực của học sinh trong dạy học toán ở trƣờng phổ thông 1.3.1 Dạy học theo hƣớng tiếp cận nội dung và hƣớng tiếp cận năng lực Tiếp cận nội dung là cách nêu ra một danh mục đề tài, chủ đề của một lĩnh vực/môn học nào đó. Tức là tập trung xác định và trả lời câu hỏi: Chúng ta muốn người học cần biết cái gì? Cách tiếp cận này người giáo viên chủ yếu dựa vào yêu cầu nội dung học vấn của một khoa học bộ môn để thiết kế nội dung dạy học. Vì vậy nội dung dạy học thường mang tính "hàn lâm", nặng về lý thuyết và ít chú trọng đến vận dụng vào thực tiễn cuộc sống, nhất là khi người thiết kế ít chú đến tiềm năng, các giai đoạn phát triển, nhu cầu, hứng

24

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

thú và điều kiện của người học.

Tiếp cận năng lực là cách tiếp cận nêu rõ kết quả - những khả năng hoặc kĩ năng mà người học mong muốn đạt được vào cuối mỗi giai đoạn học tập trong nhà trường ở một môn học cụ thể. Nói cách khác, cách tiếp cận này nhằm trả lời câu hỏi: Chúng ta muốn người học biết và có thể làm được những gì? Theo cách tiếp cận này thì người giáo viên phải thiết kế nội dung dạy học đảm bảo "tinh giản, cơ bản, hiện đại, giảm tính hàn lâm, tăng tính thực hành và vận dụng kiến thức và kĩ năng vào thực tiễn"[2]. Định hướng trên cũng hạn chế được tính hàn lâm, xa rời cuộc sống Khác với chương trình định hướng nội dung, chương trình dạy học định hướng phát triển năng lực tập trung vào việc mô tả chất lượng đầu ra, có thể coi là ”sản phẩm cuối cùng” của quá trình dạy học. Việc quản lý chất lượng dạy học chuyển từ việc điều khiển “đầu vào” sang điều khiển “đầu ra”, tức là kết quả học tập của HS. Chương trình dạy học định hướng phát triển năng lực không quy định những nội dung dạy học chi tiết mà quy định những kết quả đầu ra mong muốn của quá trình giáo dục, trên cở sở đó đưa ra những hướng dẫn chung về việc lựa chọn nội dung, phương pháp, tổ chức và đánh giá kết quả dạy học nhằm đảm bảo thực hiện được mục tiêu dạy học tức là đạt được kết quả đầu ra mong muốn. Trong chương trình định hướng phát triển năng lực, mục tiêu học tập, tức là kết quả học tập mong muốn thường được mô tả thông qua hệ thống các năng lực (Competency). Kết quả học tập mong muốn được mô tả chi tiết và có thể quan sát, đánh giá được. HS cần đạt được những kết quả yêu cầu đã quy định trong chương trình. Việc đưa ra các chuẩn đào tạo cũng là nhằm đảm bảo quản lý chất lượng giáo dục theo định hướng kết quả đầu ra.

1.3.2 Dạy học môn toán theo định hƣớng phát triển năng lực học sinh Phương pháp dạy học (PPDH) theo định hướng tiếp cận nội dung chủ yếu yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi: Biết cái gì (know-what). Nghĩa là yêu cầu học sinh chỉ cần ghi nhớ tri thức và hiểu tri thức, chưa chú ý tới yêu cầu vận dụng tri thức đó.

25

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

PPDH theo định hướng phát triển năng lực luôn đặt ra câu hỏi: Biết làm gì từ những điều đã biết. Nói cách khác, nói đến năng lực là phải nói đến khả năng thực hiện, là phải biết làm (know-how), chứ không chỉ biết và hiểu (know-what). Như vậy, tiếp cận năng lực chủ trương giúp người học không chỉ biết học thuộc, ghi nhớ mà còn phải biết làm thông qua các hoạt động cụ thể, sử dụng những tri thức học được để giải quyết các tình huống do cuộc sống đặt ra. Nói cách khác, tiếp cận năng lực là dạy cho học sinh không chỉ biết và hiểu kiến thức mà phải biết làm gì từ những điều đã biết về kiến thức đó.

Như vậy, việc dạy học toán theo định hướng phát triển năng lực học sinh là phù hợp với quan điểm “dạy học thông qua hoạt động và bằng hoạt động” [1]

, đồng thời chú ý gắn hoạt động học với thực tiễn đời sống. Phương pháp dạy và học sẽ khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kĩ năng của người học, tập trung dạy cách học, cách nghĩ và tự học, theo phương châm "giảng ít, học nhiều". Đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin và truyền thông trong dạy và học; đa dạng hoá các hình thức tổ chức giáo dục… Như vậy, trong công cuộc đổi mới căn bản và toàn diện hiện nay, người giáo viên toán trước tiên cần có nhận thức rõ ràng về sự khác biệt của PPDH theo hướng truyền thụ nội dung và PPDH theo hướng phát triển năng lực của học sinh.  PPDH theo hướng truyền thụ nội dung là chú trọng vào việc truyền đạt nội dung kiến thức và truyền đạt chứng minh Toán học.  PPDH theo hướng phát triển năng lực là coi trọng việc dạy cho HS cách tìm ra kiến thức, tìm ra chứng minh Toán học, đồng thời chú trọng vào các hoạt động vận dụng kiến thức đó để giải quyết nhiều tình huống đặt ra trong thực tiễn và trong đời sống.

Như theo nhà giáo dục người Đức A.Đixtecvec đã viết: “người thầy giáo tồi mang chân lí đến sẵn, còn người thầy giáo giỏi dạy đi tìm chân lí”.

26

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TÌNH HUỐNG DẠY HỌC

PPDH THEO HƢỚNG TRUYỀN PPDH THEO HƢƠNG PHÁT THỤ NỘI DUNG TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH

 Nêu định nghĩa khái niệm: DH khái - Hoạt động gợi động cơ học niệm tập Toán học

 Hình thành khái niệm: - Hoạt động gợi động cơ học tập

- Phân tích tìm các dấu hiệu đặc - Công bố định nghĩa khái trưng, bản chất khái niệm niệm

- Khái quát hóa nêu định nghĩa  Hoạt động củng cố, ứng khái niệm dụng:

 Hoạt động củng cố, ứng dụng:

Hoạt động ngôn ngữ; Hoạt Hoạt động ngôn ngữ; Hoạt động nhận dạng thể hiên; Hoạt động nhận dạng thể hiên; Hoạt động luyện tập, vân dụng; động luyện tập, vân dụng; Hoạt Hoạt động hệ thống hóa động hệ thống hóa  Tính chất, quy tắc DH tính

 Hình thành tính chất:

- Hoạt động gợi động cơ học - Hoạt động gợi động cơ học tập

chất, quy tập

- Hoạt động suy đoán nội dung

tắc Toán - Nêu nội dung tính chất, quy tính chất, quy tắc học tắc - Nêu nội dung tính chất, quy tắc

- Nêu chứng minh tính chất, - Hoạt động chứng minh tính quy tắc chất, quy tắc:  Hoạt động củng cố, ứng Tạo tình huống; Phân tích và dụng: tìm cách giải quyết tình huống; Hoạt động ngôn ngữ; Hoạt  Hoạt động củng cố, ứng dụng động nhận dạng thể hiên; Hoạt động luyện tập, vân dụng; Hoạt động hệ thống hóa

Hoạt động ngôn ngữ; Hoạt động nhận dạng thể hiên; Hoạt động luyện tập, vân dụng; Hoạt

27

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

động hệ thống hóa Tóm tắt nội dung bài toán DH

Tóm tắt nội dung bài toán

bài  Phân tích tìm đường lối  Hoạt động chứng minh Toán

tập Toán chứng minh Toán học học của bài toán. học  Hoạt động chứng minh Toán học của bài toán.  Hoạt động kiểm tra và khai thác bài toán.

Theo trên ta thấy rằng PPDH bài tập Toán học theo định hướng tiếp cận nội dung là chú trọng vào việc truyền thụ cho học sinh chứng minh Toán học của nó. PPDH bài tập Toán học theo hướng phát triển năng lực học sinh là coi trọng việc phân tích tìm đường lối chứng minh Toán học không chỉ chú trọng vào việc truyền thụ cho học sinh chứng minh Toán học của nó Như vậy, PPDH bài tập Toán học theo hướng phát triển năng lực học sinh thực chất là phát triển năng lực giải quyết vấn đề Toán học của học sinh. Do đó ta có thể dựa vào các bước trong quy trình của PPDH phát hiện và giải quyết vấn đề để chọn ra các chỉ báo của PPDH bài tập Toán học theo hướng phát triển năng lực học sinh: - Tạo tình huống gợi vấn đề - Tìm giải pháp giải quyết vấn đề - Trình bày giải pháp giải quyết vấn đề - Nghiên cứu sâu giải pháp giải quyết vấn đề.

28

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tiểu kết chƣơng 1 PPDH bài tập Toán học ở trường phổ thông theo hướng phát triển năng lực học sinh là coi trọng việc phân tích tìm đường lối chứng minh Toán học không chỉ chú trọng vào việc truyền thụ cho học sinh chứng minh Toán học đó.

29

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Chƣơng 2. Ứng dụng trong dạy học ở trƣờng THPT 2.1 Phân tích nội dung dạy học chủ đề phƣơng trình lƣợng giác ở lớp 11 trƣờng THPT 2.1.1 Nội dung chƣơng trình dạy học phƣơng trình lƣợng giác ở

THPT Phân phối chương 1: “Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác” của ĐS & GT lớp 11 nâng cao gồm 3 bài: + Các hàm số lượng giác; + Phương trình lượng giác cơ bản + Một số dạng phương trình lượng giác đơn giản.

Một số phương trình lượng giác cơ bản mà học sinh sẽ được học đó phương trình sin x  m , phương trình cos x  m , phương trình tan x  m , phương trình cot x  m . Ngoài ra còn có các phương trình bậc nhất và bậc hai đối với một hàm số lượng giác, phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x , phương trình đẳng cấp đối với sin x và cos x và một số dạng phương trình khác.

Chương trình về phương trình lượng giác yêu cầu giải các phương trình lượng giác được giảm nhẹ rất nhiều so với trước đây. Tuy nhiên, giáo viên cần chú ý rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải các phương trình lượng giác cơ bản, các phương trình lượng giác thật thành thạo. Đó là cơ sở để học sinh nâng cao kĩ năng giải các phương trình phức tạp.

2.1.2 Nhiệm vụ dạy học nội dung phƣơng trình lƣợng giác 2.1.2.1 Về kiến thức.

Giúp học sinh: - Biết được công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản.

- Biết được cách giải một số loại phương trình lượng giác cơ bản, phương trình bậc nhất và bậc hai đối với một hàm số lượng giác, phương trình dạng a sin x  bcos x  c , phương trình đẳng cấp đối với sin x và cos x , một vài phương trình khác.

30

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.1.2.2 Về kỹ năng - Hình thành kĩ năng giải phương trình lượng giác cơ bản, phương trình lượng giác có cách giải tổng quát.

- Biết vận dụng kĩ năng giải phương trình lượng giác cơ bản ở trên vào việc giải các phương trình lượng giác khác.

2.2 Ứng dụng xây dựng hệ thống bài tập Toán học dạy học chủ đề phƣơng trình lƣợng giác theo định hƣớng phát triển năng lực học sinh 2.2.1 Định hƣớng chung dạy học bài tập toán theo sự phát triển năng lực học sinh - Định hướng phát triển năng lực của học sinh trong dạy học bài tập Toán học ở phổ thông là phát triển năng lực giải quyết vấn đề của người học: + Coi trọng việc dạy cho học sinh phân tích tìm đường lối chứng minh Toán học (Tìm giải pháp giải quyết vấn đề) + Đồng thời chú ý dạy cho học sinh chứng minh Toán học đó (Trình bày giải pháp giải quyết vấn đề) - Xây dựng hệ thống bài tập Toán học dạy học chủ đề phương trình lượng giác theo định hướng phát triển năng lực học sinh: + Mục đích trọng tâm dạy học của nội dung kiến thức mới + Bài tập cơ bản: Đưa ra hệ thống các bài tập luyện tập củng cố cơ bản; Phân tích, hướng dẫn tìm giải pháp giải các bài tập; Trình bày giải pháp giải các bài tập + Bài tập nâng cao: Đưa ra hệ thống các bài tập luyện tập, vận dụng kết hợp các kiến thức; Phân tích, hướng dẫn tìm giải pháp giải các bài tập trong đó; Trình bày giải pháp giải các bài tập trong đó.

2.2.2 Xây dựng hệ thống bài tập chƣơng: “ Phƣơng trình lƣợng giác” toán học 11 Phƣơng pháp chung:

31

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

- Thông hiểu cách giải các phương trình lượng giác cơ bản và các phương trình có cách giải tổng quát - Dùng các công thức biến đổi lượng giác để biến đổi phương trình cần giải về các phương trình đã biết cách giải.( Chú ý sử dụng phương trình tích) Dạng 1: Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản 

Phương trình: sin u  m , m  R , u=u  x  , x là ẩn số ( điều kiện có để phương trình có nghiệm là 1  m  1 ) u    2k sin u  m   u      2k

 k  Z ,sin   m 

 sin   m  u  arc sin m  2k  k  Z , arc sin m              u  (  arcsinm)  2k    2 2 

hoặc sin u  m   

Phương trình: cos u  m , m  R , u=u  x  , x là ẩn số ( điều kiện có để phương trình có nghiệm là 1  m  1 ) u    2k cos u  m   u    2k

 k  Z , cos   m 

u  arccos m + k 2  cos  =m   k  Z , arccos m      u  arccos m +k 2  0     

hoặc cos u   

Phương trình: tan  m , m  R , u=u  x  , x là ẩn số

tan u  m  u    k  k  Z , tan   m    tan   m    hoặc tan u  m  u  arctan m  k  k  Z ,           2 2 



Phương trình cot u  m , m  R , u=u  x  , x là ẩn số cot u  m  u    k  k  Z ,cot   m  

cot   m   0     

hoặc cot u  m  u  arccot m  k  k  Z ,  

Một số trƣờng hợp đặc biệt

32

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

tan x  0  x  k sin x  0  x  k cos x  0  x 

 2

cot x  0  x   k

tan x  1  x 



 k 2 2 cos x  1  x  k 2

sin x  1  x 

sin x  1  x  



cot x  1  x 

 2



4



4

 k  k  k

tan x  1  x  

 k 2

2 cos x  1  x    k 2

cot x  1  x  

 4



4

 k  k

 Bài tập Bài tập cơ bản  *Bài tập 1: Giải phương trình: sin 4 x  sin     3

Hướng dẫn: Nhận dạng xem phương trình trên đã là phương trình cơ bản chưa? Nếu chưa phải ta làm thế nào để đưa về phương trình cơ bản?

Lời giải:   4 x    k 2    3 sin 4 x  sin       3  4 x      k 2  3

 k  x     12 2 k  Z     x    k  3 2

 k   x   12  2 (k  Z) Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:   k x   3 2



* Bài tập 2: Giải phương trình: sin  2 x     (1) 6 2 

1



Hướng dẫn:

33

k  Z 

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nhận dạng xem phương trình trên đã là phương trình cơ bản chưa? Nếu chưa phải ta làm thế nào để đưa về phương trình cơ bản?

Lời giải: 

    sin  2 x    sin    . Phương trình (1) 6   6

Ta thấy sin      nên 2  6 tương đương với: 1

     2 x     k 2 x    k    6 6 6 sin  2 x    sin       k  Z   6   6  2 x        k 2  x   k   6 6 2 

 

   x   6  k Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :   x    k  2

k  Z 

* Bài tập 3: Giải phương trình: cos 2x  sin x  0 Hướng dẫn: Nhận dạng xem phương trình trên đã là phương trình cơ bản chưa? Nếu chưa phải ta làm thế nào để đưa về phương trình cơ bản?

Ta thấy có thể đưa phương trình trên về phương trình lượng giác cơ 

bản, bằng cách biến đổi sin x  cos   x  2 



Lời giải: Phương trình trên tương đương:    cos 2 x  sin x  cos 2 x  cos   x  2  

 k 2      x  6  3  2 x  2  x  k 2 3x  2  k 2  k  Z    k  Z    k  Z   x     k 2  2 x     x  k 2  x     k 2    2 2 2

34

Khóa luận tốt nghiệp Đại học



k 2

 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:  x  6  3

k  Z    x     k 2  2

Bài tập nâng cao *Bài tập 1: Giải phương trình: cos x.tan 3x  sin 5x (1) Hướng dẫn: Biến đổi tương đương phương trình đã cho về phương trình chỉ chứa hàm số sin và cosin Áp dụng công thức biến đổi tích cos. sin thành tổng của 2 sin. Từ đó rút gọn đưa về phương trình cơ bản.

Giải phương trình cơ bản.

Lời giải: Phương trình (1)  cos x.

sin 3x  sin 5 x (2) cos3x

Điều kiện xác định: cos 3x  0  3x 

 2

 k  k  Z  x 

1 2



k   k  Z 6 3

1 2

 2   cos x.sin 3x  cos 3x.sin 5 x   sin 4 x  sin 2 x    sin 8 x  sin 2 x   4 x  8 x  k 2  sin 4 x  sin 8 x    4 x    8 x  k 2

k  x   2 k  Z     x    k  12 6

k  Z 

Kết hợp điều kiện ta thấy nghiệm trên thỏa mãn. k  x   2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:   x    k  12 6

* Bài tập 2: Giải phương trình sau:

2sin 3 x  cos 2x  sin x 0 1  sin 2 x

Hướng dẫn:

35

k  Z 

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nhận xét phương trình trên?

Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác để đưa về phương trình tích.

Giải các phương trình lượng giác cơ bản.

Lời giải: 2sin 3 x  cos 2x  sin x  0  2sin 3 x  cos 2x  sin x ( vì 1  sin 2 x  0 ) 2 1  sin x

  2sin 2 x  1 sin x  cos 2x  0  cos 2x.sin x  cos 2x  0

cos 2x  0  cos 2x.  sin x  1  0   sin x  1  0

  2 x   k  co s 2 x  0  2   sin x  1  x    k 2  2

 k  x  4  2 k  Z     x    k 2  2

k  Z 

 k  x  4  2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm:  k  Z   x    k 2  2

* Bài tập 3: Giải phương trình sau: sin 2 x  cos2 2 x  cos2 3x  0 Hướng dẫn: Biến đổi tương đương đưa phương trình trên về phương trình bậc nhất của hàm cosin Sử dụng biến đổi tổng 2 cosin thành tích Nhận xét phương trình sau khi biến đổi để đưa phương trình đó thành phương trình tích Giải các phương trình lượng giác cơ bản.

Lời giải: Biến đổi tương đương phương trình trên ta được:

36

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1  cos 2x 1  cos 4x 1  cos 6x    cos 2x  cos 4x  1  cos 6x  0 2 2 2  2cos 3x.cos x  1  cos 6x  0  2cos 3x.cos x  cos2 3x  0

cos 3x  0  2cos 3x  cos x  cos 3x   0   cos x  cos 3x  0

   3 x  2  k cos 3x  0  cos 3x  0    3x    x  k 2 cos 3x  cos x cos 3x  cos   x  3x    x  k 2    k   k x     6 3 x  6  3    k   4 x    k 2   x   k  Z   4 2  2 x    k 2    x     k   2

k  Z 

 k  x  6  3   k Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:  x   k  Z   4 2   x     k  2

Dạng 2: Phƣơng trình bậc nhất đối với sin x và cos x 

Khái niệm: Phương trình lượng giác sau khi biến đổi và rút gọn có dạng

a sin x  b cos x  c  a, b  0 

 Phƣơng pháp giải:Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau: * Cách 1: Thực hiện các bước sau: Bước 1: Kiểm tra - Nếu a2  b2  c2 phương trình vô nghiệm - Nếu a2  b2  c2 khi đó để tìm nghiệm của phương trình ta thực hiện bước 2

37

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Bước 2: Chia cả hai vế phương trình (1) cho a 2  b2 , ta được: a a 2  b2

sin x 

2

b a 2  b2

c

cos x 

a 2  b2

2

    a b Vì  2 2    2 2   1 nên tồn tại góc  sao cho  a b   a b 

b a  b2 2

a a 2  b2

 cos  ,

 sin  . Khi đó phương trình (1) có dạng sin x.cos   sin  .cos x 

c a 2  b2

 sin  x    

c a 2  b2

Đây là phương trình cơ bản mà ta đã biết cách giải. * Cách 2: Thực hiện theo các bước x 2

Bước 1: Với cos  0  x    k 2  k  Z  thử vào phương trình (1) có nghiệm hay không?

Bước 2: cos Đặt t  tan

x  0  x    k 2  k  Z  2

x 2t 1 t2 cos x  , suy ra sin x  , 1 t2 2 1 t2

Khi đó phương trình (1) có dạng: a

2t 1 t2  b  c   c  b  t 2  2at  c  b  0 (2) 2 2 1 t 1 t

Bước 3: Giải phương trình (2) theo t, ta được các phương trình lượng giác cơ bản.

* Công thức đặc biệt:

    sin x  cos x  2 sin  x    2 cos  x   4 4       sin x  cos x  2 sin  x     2 cos  x   4 4  

* Chú ý: Từ cách 1 ta có kết quả sau:  a 2  b2  a sin x  b cos x  a 2  b2 từ kết quả đó ta có thể áp dụng tìm

GTLN và GTNN của các hàm số có dạng

38

y  a sin x  b cos x

;

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

y

a sin x  b cos x mà phương trình csin x  d cos x  e  0 vô nghiệm. Phương csin x  d cos x  e

pháp đánh giá cho một số phương trình lượng giác.  Bài tập Bài tập cơ bản *Bài tập 1: Giải phương trình sau: sin 2x  3cos 2x  3 (1) Hướng dẫn: Nhận dạng phương trình trên? Áp dụng phương pháp chung giải phương trình dạng cơ bản đó để giải phương trình đã cho.

Lời giải: - Cách 1: Chia cả hai vế phương trình (1) cho 12 32  10 ta được 1 3 3 sin 2 x  cos 2 x  10 10 10

Chọn góc  sao cho

3  sin  , 10

1  cos  10

Khi đó phương trình (1) được viết dưới dạng cos  sin 2 x  sin  cos 2 x  sin   sin  2 x     sin   x    k  2 x      k 2   k  Z     k  Z  2 x        k 2  x   k   2  x    k

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là: 

 x    k  2

k  Z 

- Cách 2: Ta nhận thấy cos x  0 là nghiệm của phương trình (1) Với cos x  0  x 

 2

 k  k  Z 

Đặt t  tan x , lúc đó sin 2 x 

2t 1 t2 cos 2 x  , 1 t2 1 t2

39

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phương trình (1) sẽ có dạng: 2t 1 t2  3  3  2t  3 1  t 2   3 1  t 2   t  3 2 2 1 t 1 t

Suy ra: tan x  3  tan   x    k  k  Z   x    k

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: 

 x    k  2

k  Z 

*Bài tập 2: Giải phương trình sau: 1  3  sin x  1  3  cos x  2 (2) Hướng dẫn: Nhận dạng phương trình trên? Áp dụng phương pháp chung giải phương trình dạng đó để giải phương trình đã cho.

Lời giải: Chia cả hai vế cho



  2

1 3  1 3



2

 2 2 ta được

 1 3   1 3  1   sin x    cos x  2  2 2   2 2 

Chọn  sao cho

1 3 1 3  cos  ;  sin  2 2 2 2

Phương trình (2) sẽ được viết thành: sin x cos   sin  cos x 

1 2

    x     k 2 x     k 2    4  sin  x     sin   k  Z    4 k  Z  4  x        k 2  x  3    k 2   4 4    x  4    k 2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm:  k  Z   x  3    k 2  4

40

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Bài tập nâng cao  *Bài tập 1: Giải phương trình : cos x  cos 3x  1  2 sin  2 x   

4

Hướng dẫn:  Thay biểu thức 2 sin  2 x   bằng biểu thức chỉ chứa sin 2 x và cos 2x 

4

để biến đổi tương đương phương trình đã cho. Áp dụng công thức biến đổi tổng 2 cosin thành tích Nhận xét để đưa về phương trình tích Lời giải : Biến đổi tương đương phương trình đã cho ta có   cos x  cos 3x  1  2 sin  2 x    cos x+cos 3x  1  sin 2x  cos 2x 4   2 cos 2 x.cos x  1  sin 2 x  cos 2 x  cos 2 x  2 cos x  1  1  2sin x.cos x   cos 2 x  sin 2 x  .  2 cos x  1   sin x  cos x 

2

  sin x  cos x  .  cos x  sin x  .  2 cos x  1   sin x  cos x    0  sin x  cos x   0 1   cos x  sin x  .  2 cos x  1   sin x  cos x   0  2 

Giải phương trình (1)    Phương trình (1)  2 sin  x    0  x   k  k  Z   x    k  k  Z  

4

4

Giải phương trình (2): Phương trình (2) tương đương với: 2cos2 x  2sin x.cos x  2cos x  0  cos 2x  cos x  sin x 1  0 cos x  0  2cos x  0     2cos  x     1 cos x  sin x  1  0  4 

41

4

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

     x  2  k  x  2  k   cos  x     1 cos  x     cos        4 4 4 2        x  2  k x   k   2      x    k 2   x  k 2  4 4       x    k 2  x     k 2 2   4 4

k  Z 

   x   4  k  Vậy phương trình dã cho có nghiệm là:  x  k 2 k  Z     x   k 2 

* Bài tập 2: Giải phương trình sau: tan x  3cot x  4  sin x  3 cos x  Hướng dẫn: Biến đổi phương trình trên về phương trình chỉ chứa sin x và cos x Nhận xét phương trình vừa biến đổi được để đưa về phương trình tích Áp dụng phương pháp chung giải phương trình dạng phương trình bậc nhất đối với sin và cosin.

Lời giải: Điều kiện: sin x.cos x  0  x 

k k  Z  2

Phương trình đã cho tương đương với: 

sin 2 x  3cos 2 x  4 sin x  3cos x sin x.cos x





sin x cos x  3.  4 sin x  3cos x cos x sin x



sin x  3cos x  0 *  sin x  3 cos x    sin x  3 cos x .   4   0   sin x  3cos x  sin x.cos x   40    sin x.cos x











42





**

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Giải phương trình (*) Chia cả hai vế cho 12   3   2 2

Phương trình (*) trở thành: Chọn góc  

 3

để sin   

1 3 sin x  cos x  0 2 2

1 3 và cos  = 2 2

Khi đó ta có : sin x.cos  cos x.sin



3



   sin  x    0 3 3 





Với sin  x    0  x   k  k  Z   x    k  k  Z  3 3 3 



1 2

Giải phương trình (**): sin x  3 cos x  2sin 2 x  0  sin x 

    x   2 x x    k 2     3 3  sin  x    sin 2 x    3   x      2x  x  4  k 2   3 9 3

3 cos x  sin 2 x 2

k  Z 

   x   3  k Kết hợp điều kiện,ta có nghiệm của phương trình là:   x  4  k 2  9 3

k  Z 

cos 2 x  sin x.cos x * Bài tập 3: Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số: y  (5) 1  sin 2 x

Hướng dẫn: Biến đổi tương đương để đưa y 

cos 2 x  sin x.cos x về phương trình bậc 1  sin 2 x

nhất của sin 2 x và cos 2 x để có thể áp dụng được phần chú ý:  a 2  b2  a sin x  b cos x  a 2  b2

43

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lời giải: cos 2 x  sin x.cos x  y 1  sin 2 x   cos 2 x  sin x.cos x 1  sin 2 x  1  cos2 x  1  cos2 x 1  y 1   sin 2 x  y  2  1  cos2 x   1  cos2 x  sin 2 x  2 2 2   y

 3 y  ycos2 x  1  cos2 x  sin 2 x   3 y  1   y  1 cos2 x  sin 2 x

Ta có:  a2  b2  a sin x  b cos x  a 2  b2 suy ra a sin x  bcos x  a 2  b2 Hay :  3  y   

 y  1

2

 1   3  y    y  1  1  8 y 2  8 y  1  0 2

2 6 2 6  y 4 4

Vậy giá trị lớn nhất của y là ymax  ymin 

2

2 6 và giá trị nhỏ nhất của y là 4

2 6 4

Dạng 3: Phƣơng trình đẳng cấp đối với sin x và cos x  Khái niệm: Phương trình sau khi biến đổi và rút gọn có dạng a sin 2 x  b sin x.cos x  c cos2 x  d

(1)

 Phƣơng pháp giải *Cách 1: Chia từng vế của phương trình (1) cho một trong 3 hạng tử sin 2 x , cos 2 x hoặc sin x.cos x . Chẳng hạn chia hết cho cos2 x ta làm như sau: Bước 1: Kiểm tra: cos x  0  x 

 2

 k  k  Z  xem có là nghiệm của

phương trình hay không?

Bước 2: Với cos x  0 chia cả hai vế cho cos2 x lúc đó phương trình (1) trở thành: a tan 2 x  b tan x  c  d 1  tan 2 x    a  d  tan 2 x  b tan x  c  d  0 Đây là phương trình bậc 2 theo tan. Đặt ẩn phụ t để đưa về phương trình đại số. Giải phương trình đại số ta tìm được t. Ta thu được các phương trình lượng giác cơ bản. *Cách 2: Dùng công thức hạ bậc:

44

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

sin 2 x 

1  cos 2 x 2

sin 3 x 

3sin x  sin 3x 4

cos 2 x 

,

1  cos 2 x 2 cos3 x 

,

,

sin x.cos x 

sin 2 x 2

cos 3x  3cos x 4

đưa phương trình đã cho về phương trình: b sin 2 x   c  a  cos 2 x  d  c  a Đây là phương trình bậc nhất đối với sin và cosin ta đã biết cách giải.  Bài tập Bài tập cơ bản *Bài tập 1: Giải phương trình sau: sin 2 x  2sin x.cosx  cos2 x  0 (1) Hướng dẫn: Nhận dạng phương trình trên? Áp dụng phương pháp chung giải phương trình dạng cơ bản đó để giải phương trình đã cho Lời giải: Thử với cos x  0  x 

 2

 k  k  Z  vào phương trình (1) thấy không

thỏa mãn. 

Vậy x   k  k  Z  không là nghiệm của phương trình.

2

Với cos x  0 , chia cả hai vế của phương trình cho cos2 x ta được: tan 2 x  2 tan x  1  0   tan x  1  0  tan x  1  x   2

 4

 k  k  Z 



Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x    k  k  Z  4

*Bài tập 2: Giải phương trình sau: 2 3 cos2 x  6sin x.cos x  3  3 (2) Hướng dẫn: Nhận dạng phương trình trên?

45

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Áp dụng phương pháp chung giải phương trình dạng cơ bản đó để giải phương trình đã cho Lời giải: -Cách 1: Thử với cos x  0  x 



 k  k  Z  vào phương trình (2) thấy không

2

thỏa mãn. 

Vậy x   k  k  Z  không là nghiệm của phương trình.

2

Với cos x  0 , chia cả hai vế của phương trình cho cos2 x ta được:









2 3  6 tan x  3  3 . 1  tan 2 x   3  3 tan 2 x  6 tan x  3  3  0

   tan  tan    3 4  tan       tan   tan x  3 1 x   k       tan x  12 12 3 4 1  tan .tan    k  Z  1 3   3 4    x   k  tan x  1    4  x   k  k  Z   4    x  12  k Vậy phương trình trên có nghiệm là:  k  Z   x    k  4

*Cách 2: Sử dụng công thức hạ bậc Phương trình trên tương đương với: 3 1  cos 2 x   3sin 2 x  3  3 1 3 3 cos 2 x  sin 2 x  2 2 2      2 x    k 2  x   k      3 6 4  cos  2 x    cos    k  Z  3 6   2 x       k 2  x    k   3 6 12  cos 2 x  3 sin 2 x  3 

46

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vậy phương trình trên có nghiệm là:

  x   k  12 k  Z    x    k  4

Bài tập nâng cao * Bài tập 1: Giải phương trình sau: cos3 x  sin3 x  sin x  cos x (3) Hướng dẫn: Nhận xét phương trình trên để đưa về phương trình tích. Áp dụng phương pháp chung giải phương trình dạng đó để giải phương trình đã cho.

Lời giải: Phương trình trên tương đương với: cos3 x  sin 3 x  sin x  cos x  cos3 x  sin 3 x  cos x  sin x  0   cos x  sin x   cos 2 x  cos x.sin x  sin 2 x   0 cos x  sin x  0 *  2 2 cos x  cos x.sin x  sin x  0

**

Giải phương trình (*)      2cos  x    0  cos  x    0 4 4  

 x

 4



 2

 k

k  Z   x 

 4

 k  k  Z 

Giải phương trình (**) Thử với cos x  0  x 

 2

 k  k  Z  vào phương trình (**) thấy không

thỏa mãn. 

Vậy x   k  k  Z  không là nghiệm của phương trình.

2

Với cos x  0 , chia cả hai vế của phương trình cho cos2 x ta được:

47

Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1  tan x  tan 2 x  0 phương trình vônghiệm vì 1  tan x  tan 2 x  0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x 

 4

 k  k  Z 

*Bài tập 2: Giải phương trình sau: sin 6 x  cos6 x  2 sin8 x  cos6 x  Hướng dẫn: Nhận xét phương trình trên?

Biến đổi tương đương để có được nhân tử chung cos 2x để đưa về phương trình tích. Áp dụng phương pháp chung giải phương trình dạng đó để giải phương trình đã cho.

Lời giải: sin 6 x  2sin8 x  2cos8 x  cos6 x  sin 6 x 1  2sin 2 x   cos6 x  2cos2 x  1

cos 2x  0 *  sin 6 x.cos 2x  cos6 x.cos 2x   6 6 sin x  cos x **

Giải phương trình (*): cos 2x  0  2 x  Giải (**). Với cos x  0  x 

 2

 2

 k

k  Z  

x

 4



k k  Z  2

 k  k  Z  không thỏa mãn phương trình (**)



Chia cả 2 vế cho cos6 x ta được : tan 6 x  1  tan x  1  x    k  k  Z  4

 k  x  4  2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:  k  Z   x     k  4

Dạng 4: Một số phƣơng trình lƣợng giác khác: a) Phƣơng trình lƣợng giác quy về bậc hai a sin 2 x  b sin x  c  0  a  0; b, c  R  ; a cos2 x  b cos x  c  0  a  0; b, c  R  a tan 2 x  b tan x  c  0  a  0; b, c  R  ;

48

a cot 2 x  b cot x  c  0  a  0; b, c  R 

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

 Cách giải: Đặt ẩn phụ t là một trong các hàm lượng giác để đưa về phương trình đại số, giải phương trình đại số tìm giá trị của ẩn phụ, ta được các phương trình lượng giác cơ bản.  Bài tập Bài tập cơ bản *Bài tập 1: Giải phương trình sau: 2cos2 x  3cos x  1  0 (1) Hướng dẫn: Nhận xét đặc điểm của phương trình đã cho? ( Đây là phương trình bậc 2 đối với hàm số cosin) Đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc 2 Lời giải: Đặt cos x  t , điều kiện t  1 Phương trình (1) trở thành:  1 t  2t  1  0  2t  3t  1  0   2t  1 .  t  1  0    2  t  1  0 t  1 2

1  Trường hợp1: t   cos x  cos   2

   x  3  k 2   x     k 2  3

3

k  Z 

Trường hợp 2: t  1  cos x  1  x  k 2  k  Z    x    k 2  Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:  k  Z  3   x  k 2

*Bài tập 2: Giải phương trình sau: tan x  3cot x (2) Hướng dẫn:

49

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phương trình đã cho chỉ chứa tan x và cot x nên biến đổi về phương trình chứa một hàm số tan x Giải phương trình với hàm số tan x tìm được Lời giải: cos x  0 k  sin 2 x  0  x  k  Z  2 sin x  0

Điều kiện : 

Phương trình (2) tương đương với: tan x 

3 tan x t  3

3 t

Đặt tan x  t phương trình trên trở thành: t   t 2  3   Với t  3  tan x  3  x 

 3

t   3

 k  k  Z 



Với t   3  tan x   3  x    k  k  Z  3

Nghiệm trên thỏa mãn yêu cầu bài toán. 

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x    k  k  Z  3

* Bài tập 3: Giải phương trình: 4sin 4 x  4sin 2 x  3  0 (3) Hướng dẫn: Nhận xét đặc điểm của phương trình đã cho? ( Là phương trình bậc 4 đối với hàm số sin x ) Dùng phương pháp đặt ẩn phụ đưa phương trình đã cho về phương trình đại số giải được đối với ẩn phụ.

Lời giải: Đặt sin 2 x  t  0  t  1 3  t  2 Phương trình (3) trở thành: 4t 2  4t  3  0   t  1  2

50

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Với t   Với t 

3 không thỏa mãn điều kiện 2

1 1 ta suy ra sin 2 x   1  2sin 2 x  0  cos 2 x  0 2 2  2x 

 2

 k  k  Z   x 

 4



Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x 

k 2

 4

k  Z  

k 2

k  Z 

Bài tập nâng cao *Bài tập 1: Giải phương trình sau: cot x  tanx  4sin 2 x 

2 (1) sin 2 x

Hướng dẫn: Biến đổi tương đương phương trình trên để đưa về phương trình chỉ chứa hàm sin và cosin Quan sát phương trình vừa biến đổi được để tìm cách thu gọn Biến đổi phương trình đã được thu gọn về phương trình bậc 2 của cos2 x

Dùng phương pháp đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc 2 của cos2 x về phương trình đại số giải được đối với ẩn phụ.

Lời giải: cos x  0 k  sin 2 x  0  x  k  Z  2 sin x  0

Điều kiện : 

Phương trình (1) tương đương với:

cos x sin x 2   4sin 2 x  sin x cos x sin 2 x

cos 2 x  sin 2 x 2 2 cos 2 x 2   4sin 2 x    4sin 2 x  sin x.cos x sin 2 x sin 2 x sin 2 x 2 2  2 cos 2 x  4sin 2 x  2  2 cos 2 x  4(1  cos 2 x)  2  2 cos 2 2 x  cos 2 x  1  0

Đặt cos 2x  t ,điều kiện t  1

51

Khóa luận tốt nghiệp Đại học  1 t Phương trình trên trở thành: 2t  t  1  0   2t  1 .  t  1  0   2  t  1 2

1 2

Trường hợp 1: t    cos 2x  

1 2

2  2x   k 2  2 3  cos 2x  cos  3  2 x   2  k 2 3 

   x  3  k k  Z     x     k 3 

k  Z 

Trường hợp 2: t  1  cos 2 x  1  2 x  k 2  k  Z   x  k  k  Z  

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình là: x    k  k  Z  3



Vậy phương trình có nghiệm là: x    k  k  Z  3





* Bài tập 2: Giải phương trình sau: cos2   x   cos 2   x   3



3



4  sin x (2) 2

Hướng dẫn: Biến đổi tương đương đưa phương trình đã cho về phương trình bậc nhất của sin và cosin sau đó thu gọn phương trình. Áp dụng công thức biến đổi tổng của 2 cosin thành tích Biến đổi tương đương để đưa về phương trình bậc 2 của sin x Dùng phương pháp đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc 2 của sin x về phương trình đại số giải được đối với ẩn phụ.

Lời giải: Phương trình (2) tương đương với:

52

Khóa luận tốt nghiệp Đại học  2   2  1  cos   2 x  1  cos   2x   3   3   4  sin x 2 2 2  2   2   sin x  2  cos   2 x   cos   2x   0  3   3  2  sin x  2  2 cos .cos 2 x  0 3  sin x  2  cos 2 x  0  sin x  2  1  2sin 2 x   0  2sin 2 x  sin x  3  0

Đặt sin x  t ,điều kiện t  1 .

Phương trình trên trở thành: t  1 2t  t  3  0   t  1 .  2t  3  0   t   3  2 2

Với t  1  sin x  1  x  Với t  

 2

 k 2  k  Z 

3 không thỏa mãn điều kiện 2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x  * Bài tập 3: Giải phương trình sau: 2cos2

 2

 k 2  k  Z 

6x 8x  1  3cos (3) 5 5

Hướng dẫn: Biến đổi tương đương phương trình trên về phương trình bậc nhất của hàm cosin Phương trình trên có gì được biệt? ( Tìm mối liên hệ giữa

12 x 8x và ) 5 5

Sử dụng công thức nhân đôi và công thức nhân ba để đưa về phương trình vể ẩn cos

4x 5

Đặt ẩn phụ t= cos

4x để giải phương trình.

5

53

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Lời giải: Phương trình trên tương đương với: 1  cos

12 x 8x  1  3cos 5 5

 4x   4x   2  cos 3    3cos 2    5   5  4x 4x 4x    2  4 cos3  3cos  3  2 cos 2  1 3 3 3   4x 4x 4x  4 cos3  6 cos 2  3cos  5  0 3 3 3

Đặt cos

4x  t , điều kiện t  1 5

Phương trình trên trở thành: 4t 3  6t 2  3t  5  0  t  1  1  21 2   t  1 .  4t  2t  5   0  t   4  t  1  21 KTM    4

Với t  1  cos Với t 

4x 4x 5k 1  k 2  k  Z   x  k  Z  5 5 2

1  21 4 x 1  21  cos   cos 4 5 4

5 k 5  4x   5    k 2 x  4  2    4 x    k 2  x   5  k 5  5  4 2

k  Z 

5 k 5  x  4  2  5 k 5 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:  x     4 2  k 5  x   2

k  Z 

b) Phƣơng trình lƣợng giác chứa số hạng là tổng và tích của sin x , cos x

54

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

 Phƣơng pháp giải *Cách 1: Do  sin x  cos x 2  1  2sin x cos x nên ta đặt     t  sin x  cos x  2 sin  x    2 cos  x   điều kiện t  2 4 4   sin x cos x 

t 2 1 và phương trình được viết lại: bt 2  2at   b  2c   0 2

Đó là phương trình bậc 2 ta đã biết cách giải. * Cách 2: Đặt t 

   x thì sin x  cos x  2 cos   x   2 cos t 4 4 



1 1 1   1 sin x.cos x  sin 2 x  cos   2 x   cos 2t  cos 2 t  nên phương trình 2 2 2 2  2

b 2

(1) trở thành: b cos2 x  2 cos x   c  0 Đây là phương trình bậc 2 đã biết cách giải. * Chú ý: Hai cách giải trên có thể áp dụng cho phương trình a  sin x  cos x   b sin x cos x  c  0 bằng cách đặt t  sin x  cos x

Điều kiện t  2 ,lúc đó sin x cos x 

1 t2 2

 Bài tập Bài tập cơ bản *Bài tập 1: Giải phương trình sau: sin x  cos x  2sin x.cos x  1  0 Hướng dẫn: Nhận dạng phương trình trên? Áp dụng phương pháp chung giải phương trình dạng đó để giải phương trình đã cho.

Lời giải: *) Cách 1:

55

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đặt sin x  cos x  t ,điều kiện t  2 lúc đó sin x.cos x 

t 2 1 2

 t 2 1  Khi đóphương trình đã cho có dạng: t  2   1  0  2 

t  1  t2  t  2  0   t  2

 Với t  1  sin x  cos x  1  2 sin  x    1 



1     sin  x     sin  4 2   4   x  k 2  2   x    k 2

4

    x  4  4  k 2      x       k 2  4 4

k  Z 

k  Z 

Với t  2 không thỏa mãn.   x  k 2  Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là: 2   x    k 2

k  Z 

* Cách 2: Đặt t 

 4

 x .Khi đó phương trình có dạng:

    2 cos   x   sin 2 x  1  0  2 cos t  sin 2   x   1  0 4  4 

   2 cos t  sin   t   1  0  2 cos t  cos 2t  2  0 2  cos t  2   2 cos t   2 cos t  1  1  0  2 cos t  2 cos t  2  0    2 cos t  2 2

2

Ta thấy cos t  2 không thỏa mãn. Dođó:

56

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

 3 t  4  k 2  2  3  cos t=  cos t  cos     2  4  t   3  k 2  4 3   4  x  4  k 2     x   3  k 2  4 4

k  Z 

  x    k 2  k  Z    k  Z  2  x    k 2

  x  k 2  Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: k  Z  2   x    k 2

* Bài tập 2: Giải phương trình sau:

2  sin x  cos x  

1 sin x.cos x

Hướng dẫn: Nhận dạng phương trình trên? Áp dụng phương pháp chung giải phương trình dạng đó để giải phương trình đã cho.

Lời giải: Đặt sin x  cos x  t Ta có:

2t 



t 2 1 t  2 suy ra sin x.cos x  2









1 2  2t  2  t 3  t  2  0  t  2 t 2  2t  1  0 t 1 t 1 2 2

t  2  2 t  2t  1  0

  t  2  sin x  cos x  2  2cos  x    2 4       cos  x    1  x   k 2  k  Z   x   k 2  k  Z  4 4 4 

Phương trình: t 2  2t  1  0 vô nghiệm Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x 

57

 4

 k 2  k  Z 

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Bài tập nâng cao * Bài tập 1: Giải phương trình sau: cot x.

1 1  tan x. 1  0 cos x sin x

Hướng dẫn: Biến đổi phương trình trên về phương trình chỉ có chứa sin và cosin Biến đổi tương tương để dưa về phương trình dạng chứa tổng sin x  cos x và sin x.cos x

Áp dụng phương pháp chung giải phương trình dạng đó để giải phương trình đã cho.

Lời giải: sin x  0 k x 2 cos x  0

Điều kiện xác định: 

k  Z 

Phương trình trên tương đương với: cos x 1 sin x 1 1 1 .  . 1  0   1  0 sin x cos x cos x sin x sin x cos x 

1 1   1  0  sin x  cos x  sin x.cos x  0 sin x cos x

Đặt sin x  cos x  t





t  2 suy ra sin x.cos x 

Ta được phương trình : t 

t 2 1 2

t  1  2 t 2 1  0  t 2  2t  1  0   2 t  1  2

Với t  1  2 suy ra sin x  cos x  2 1   2 1    2cos  x    2  1  cos  x     cos  4 4 2    x

 4

   k 2  k  Z   x 

 4

   k 2  k  Z 

Với t  1  2 không thoản mãn điều kiện Kết hợp điều kiện ta thấy các nghiệm trên đều thỏa mãn.

58

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

  x     k 2  4 Vậy phương trình đã cho có nghiệm :  k  Z   x      k 2  4



* Bài tập 2: Giải phương trình sau: 2cos x  2cos   x   sin 2 x  2  0 2  2 1

Hướng dẫn: Dùng công thức hai góc phụ nhau và công thức góc nhân đôi để đưa phương trình đã cho về dạng chỉ chứa sin x và cos x Nhận xét phương trình vừa biến đổi có thể đưa được về phương trình dạng chứa tổng và tích của sin x và cos x không? Đặt ẩn phụ và giải phương trình.

Lời giải: Phương trình trên tương đương với phương trình : 1 2cos x  2sin x  .2sin x.cos x  2  0 2

 2  cos x  sin x   sin x.cos x  2  0 (*)

Đặt t  cos x  sin x

 t  2

1 t 2  sin x.cos x  2

1 t2 20 Do đó phương trình (*) trở thành: 2t  2 t  1  t 2  4t  3  0   t  3

 Với t  1 thì cos x  sin x  1  2cos  x    1 

 1    cos  x     cos 4 4 2 

59

4

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

    x  k 2  x  4  4  k 2   k  Z   x     k 2  x       k 2  2  4 4

Với t  3 không thỏa mãn điều kiện  x  k 2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:  k  Z   x     k 2  2

* Bài tập 3: Giải phương trình sau: 2  tan x  cot x   2  sin x  cos x  

2 sin x.cos x

Hướng dẫn: Biến đổi tương đương để đưa phương trình trên về phương trình chỉ chứa sin x và cos x Nhận xét phương trình vừa biến đổi có thể đưa được về phương trình dạng chứa tổng và tích của sin x và cos x không? Áp dụng phương pháp chung giải phương trình dạng đó để giải phương trình đã cho.

Lời giải: cos x  0 k  sin 2 x  0  x  k  Z  2 sin x  0

Điều kiện : 

Phương trình trên tương đương với: sin x cos x 2  )  2  sin x  cos x   cos x sin x sin x.cos x 2 2 sin x  cos x 2  2.  2  sin x  cos x   0 sin x.cos x sin x.cos x 2(

2 2  2  sin x  cos x   0 sin x.cos x sin x.cos x  2  2  sin x  cos x  sin x.cos x  2  0 

 2  sin x  cos x  sin x.cos x  0

Đặt sin x  cos x  t





t  2 suy ra sin x.cos x 

60

t 2 1 2

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Phương trình (*) trở thành: 2t.

t  0 t 2 1 ( thỏa mãn )  0  t3  t  0   2 t  1

Với t  1  sin x  cos x  1   1     2cos  x    1  cos  x     cos 4 4 4 2         x  4  4  k 2 x   k 2    k  Z  2   x       k 2  x  k 2  4 4

Với t  0  sin x  cos x  0      2cos  x    0  cos  x    0 4 4    x

 4



 2

 k  k  Z   x 

3  k  k  Z  4

  x   k 2  2 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình là:   x  3  k  4

   x  2  k 2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm:   x  3  k  4

61

k  Z 

k  Z 

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Tiểu kết chƣơng 2 Ứng dụng xây dựng hệ thống bài tập Toán học dạy học chủ đề phương trình lượng giác theo định hướng phát triển năng lực học sinh: - Xác định mục đích trọng tâm nội dung dạy học: Học sinh cần nhận biết được các kiến thức, kĩ năng nào - Xây dụng hai hệ thống bài tập cơ bản và nâng cao cho phần nội dung dạy học tương ứng. Trong đó chú ý dạy học bài tập theo hướng phát triển năng lực của học sinh gồm hai hoạt động chính sau: + Phân tích giải pháp giải quyết vấn đề (Phân tích tìm đường lối chứng minh Toán học của bài tập) + Trình bày giải pháp giải quyết vấn đề (Trình bày chứng minh Toán học của bài tập)

62

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

KẾT LUẬN Nhiệm vụ nghiên cứu: - Nghiên cứu về lí luận: + Năng lực; năng lực Toán học của học sinh ; + Định hướng phát triển năng lưc của học sinh trong dạy học toán ở trường phổ thông. + Dạy học bài tập toán học và nội dung dạy học bài tập Toán học chủ đề “Phương trình lượng giác” ở lớp 11 trường THPT. - Ứng dụng thiết kế hoạt động dạy học bài tập hình học chủ đề “Phương trình lượng giác” ở lớp 11 trường THPT theo định hướng phát triển năng lực của học sinh Kết quả của đề tài: 1. Định hướng phát triển năng lực học sinh trong dạy học bài tập Toán học ở trường phổ thông Định hướng phát triển năng lực của học sinh trong dạy học bài tập Toán học ở phổ thông là phát triển năng lực giải quyết vấn đề của người học: + Coi trọng việc dạy cho học sinh hoạt động phân tích tìm đường lối chứng minh Toán học (Tìm giải pháp giải quyết vấn đề) + Đồng thời chú ý dạy cho học sinh hoạt động chứng minh Toán học đó (Trình bày giải pháp giải quyết vấn đề) 2. Ứng dụng thiết kế các hoạt động dạy học bài tập hình học chủ đề “Phương trình lượng giác” ở lớp 11: - Xác định mục đích trọng tâm nội dung dạy học: Học sinh cần nhận biết được các kiến thức, kĩ năng nào - Xây dụng hai hệ thống bài tập cơ bản và nâng cao cho phần nội dung dạy học tương ứng. Trong đó chú ý dạy học bài tập theo hướng phát triển năng lực của học sinh gồm hai hoạt động chính sau:

63

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

+ Phân tích giải pháp giải quyết vấn đề (Phân tích tìm đường lối chứng minh Toán học của bài tập) + Trình bày giải pháp giải quyết vấn đề (Trình bày chứng minh Toán học của bài tập) 3. Hướng phát triển của đề tài: Tiếp tục theo hướng nghiên cứu của đề tài em sẽ tiếp tục phát triển nghiên cứu việc dạy học bài tập Toán học ở nhiều chủ đề khác Do điều kiện và khả năng còn nhiều khiếm khuyết, sai sót. EM xin trân trọng cám ơn những ý kiến đóng góp của thầy cô giáo trong bộ PPDH Toán, cùng các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp trong khoa Toán đã đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho khóa luận của em.

64

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Bá Kim (Chủ biên), Phương pháp dạy học môn toán, Nxb Giáo dục, 2007.

[2] Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo.

[3] Trần Luận (2011), Về cấu trúc năng lực của học sinh, Kỷ yếu hội thảo quốc gia về giáo dục toán học ở trường phổ thông, NXB Giáo dục.

[4] Các sách giáo khoa, sách bài tập giải tích, sách giáo viên môn Giải tích lớp 11 trường THPT, Nxb Giáo dục 2015.

[5] Vũ Quốc Anh (Chủ biên), Tuyển tập 589 bài toán Lượng Giác chọn lọc thi vào đại học và cao đẳng, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội, 2007.

[6] Nguyễn Phú Khánh (Chủ biên), Kiến thức ôn tập và kinh nghiệm làm bài thi đạt điểm 10, Nxb Đại học Sư phạm, 2012.

65