Xây dựng hệ thống bài tập chủ đề hàm số lớp 12 nhằm phát triển năng lực mô hình hóa Toán học cho học

LUẬN VĂN SIÊU CẤP CHANNEL

vectorstock.com/8635866

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN DISSERTATION PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

Xây dựng hệ thống bài tập chủ đề hàm số lớp 12 nhằm phát triển năng lực mô hình hóa Toán học cho học sinh (2019) PDF VERSION | 2019 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group

Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

LÊ THỊ NGUYỆT

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP CHỦ ĐỀ HÀM SỐ LỚP 12 NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học môn Toán

Hà Nội - 2019

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

LÊ THỊ NGUYỆT

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP CHỦ ĐỀ HÀM SỐ LỚP 12 NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học môn Toán

Người hướng dẫn khoa học

ThS. PHẠM THẾ QUÂN

Hà Nội - 2019

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành quá trình nghiên cứu và hoàn thiện khóa luận này, lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô trong khoa Toán, các thầy cô trong tổ phƣơng pháp đã dạy dỗ em tận tình trong suốt thời gian em học tập tại trƣờng ĐHSP Hà Nội 2.

Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới thầy giáo ThS. Phạm Thế Quân, ngƣời đã trực tiếp dạy dỗ, hƣớng dẫn, chỉ bảo em tận tình trong suốt thời gian em thực hiện khóa luận tốt nghiệp này. Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn thầy và chúc thầy dồi dào sức khỏe.

Tuy nhiên, do đây là lần đầu tiên em làm quen với công việc nghiên cứu khoa học, hơn nữa do thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế nên không thể tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy em kính mong nhận đƣợc sự đóng góp ý kiến quý báu của các thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em đƣợc hoàn thiện hơn.

Một lần nữa xin gửi đến thầy cô và bạn bè lời cảm ơn chân thành và tốt đẹp nhất!

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày tháng năm 2019 Sinh viên

Lê Thị Nguyệt

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin khẳng định đây là kết quả nghiên cứu của riêng cá nhân tôi với sự hƣớng dẫn của thầy giáo ThS. Phạm Thế Quân. Đề tài này chƣa từng đƣợc công bố ở đâu và hoàn toàn không trùng với nghiên cứu của tác giả khác.

Hà Nội, ngày tháng năm 2019 Sinh viên

Lê Thị Nguyệt

DANH MỤC CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT

STT

Viết tắt

Viết đầy đủ

1

GV

Giáo viên

2

HS

Học sinh

3

THPT

Trung học phổ thông

4

TCCN

Trung nghiệp

5

ĐH

Đại học

6

CĐ

Cao đẳng

7

BT

Bài toán

8

BBT

Bảng biến thiên

cấp

chuyên

MỤC LỤC MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1 CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ....................................... 4 1.1. Mục tiêu chung của dạy học môn Toán ..................................................... 4 1.2. Bài tập toán học .......................................................................................... 8 1.2.1. Khái niệm bài tập toán học ..................................................................... 8 1.2.2. Vai trò của bài tập toán học .................................................................... 9 1.2.3. Phân loại bài tập toán học ..................................................................... 11 1.2.4. Phƣơng pháp chung để giải bài tập toán học ........................................ 12 1.3. Năng lực mô hình hóa Toán học .............................................................. 14 1.3.1. Năng lực ................................................................................................ 14 1.3.2. Năng lực mô hình hóa Toán học ........................................................... 14 1.3.3. Quá trình mô hình hóa toán học ............................................................ 16 1.4. Nhu cầu bồi dƣỡng năng lực mô hình hóa Toán học cho học sinh.......... 19 TIỂU KẾT CHƢƠNG 1.................................................................................. 20 CHƢƠNG 2. HỆ THỐNG BÀI TẬP CHỦ ĐỀ HÀM SỐ NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC ..................... 21 2.1. Nguyên tắc xây dựng hệ thống bài tập phát triển năng lực mô hình hóa Toán học........................................................................................................... 21 2.1.1. Bám sát nội dung chƣơng trình hiện hành đảm bảo chuẩn kiến thức kĩ năng ..................................................................................................... 21 2.1.2. Đảm bảo tính chính xác, khoa học, phù hợp với thực tiễn ................... 28 2.1.3. Phù hợp với trình độ kiến thức, khả năng giải toán của HS ................. 28 2.1.4. Đảm bảo tính sƣ phạm .......................................................................... 28 2.1.5. Đảm bảo tính hệ thống, tính kế thừa ..................................................... 28 2.1.6. Hệ thống bài tập phải giúp HS phát triển năng lực mô hình hóa .......... 28

2.2. Hệ thống bài tập phát triển năng lực mô hình hóa toán học .................... 35 2.2.1. Bài toán xác định hàm số và tính chất từ mô hình thực tế .................... 35 2.2.2. Bài toán thực tế liên quan đến hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logairt. ................................................................................................. 51 2.3. Một số cách thức sử dụng hệ thống bài tập .............................................. 72 2.3.1. Dùng BT trong việc củng cố, mở rộng đào sâu kiến thức .................... 72 2.3.2. Dùng BT để giao nhiệm vụ về nhà ....................................................... 72 2.3.3. Dùng BT trong giờ ôn tập, luyện tập .................................................... 73 2.3.4. Dùng BT để kiểm tra, đánh giá ............................................................. 74 TIỂU KẾT CHƢƠNG 2.................................................................................. 70 KẾT LUẬN .................................................................................................... 76 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 78

MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Hiện nay, Việt Nam đang hƣớng tới một nền giáo dục và tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nƣớc trong khu vực và thế giới và trong đó “học để làm” là một trong bốn trụ cột của giáo dục. Chƣơng I, điều 3, khoản 2 của Luật Giáo dục năm 2005 nêu rõ: “hoạt động giáo dục phải thực hiện theo nguyên lý học đi đôi với hành, giáo dục nhà trƣờng kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội.”

Và trong điều 28, mục 2, chƣơng II, Luật Giáo dục năm 2005 quy định “Nội dung giáo dục phổ thông phải đảm bảo tính phổ thông, cơ bản, toàn diện, hƣớng nghiệp và có hệ thống; gắn với thực tiễn cuộc sống, phù hợp với tâm sinh lý lứa tuổi HS, đáp ứng mục tiêu giáo dục ở mỗi cấp học.” “Phƣơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với từng đặc điểm của lớp học, môn học, bồi dƣỡng phƣơng pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tế; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho HS”.

Những quy định trên đã khẳng định giáo dục Việt Nam đang hƣớng tới mục tiêu đảm bảo học đi đôi với hành, nội dung dạy học gắn liền với thực tiễn cuộc sống. Giáo dục cần chuyển từ giúp ngƣời học “học đƣợc cái gì” sang học thì phải “làm đƣợc cái gì”. Nói cách khác quá trình giáo dục phải tạo điều kiện cho ngƣời học không chỉ có kiến thức khoa học mà còn vận dụng đƣợc chúng để giải quyết các vấn đề thực tiễn, nhắc đến đây thì việc phát triển năng lực mô hình hóa cho HS cấp THPT là điều cần thiết và quan trọng trong quá trình tƣ duy, cách tiếp cận với kiến thức, cách giải quyết một bài toán cho HS, đòi hỏi HS cần có sự hiểu biết về cuộc sống, thực tiễn, trang bị cho mình thêm nhiều kiến thức để vận dụng vào giải toán.

Năng lực mô hình hóa của HS ở THPT vẫn còn hạn chế do vẫn còn chú trọng vào giải các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập mà không chú trọng tới các bài toán từ thực tiễn, cuộc sống. Chủ đề “Hàm

1

số” lớp 12 cũng là một chủ đề hay và khó ở THPT, và em thấy rằng việc phát triển năng lực mô hình hóa thông qua dạy học về chủ đề này ở lớp 12 còn hạn chế, hệ thống bài tập có mô hình hóa chiếm rất ít.

Do đó, em muốn chọn đề tài: “Xây dựng hệ thống bài tập chủ đề hàm số lớp 12 nhằm phát triển năng lực mô hình hóa Toán học cho học sinh” làm đề tài nghiên cứu cho khóa luận tốt nghiệp của mình.

2. Mục đích nghiên cứu Xây dựng hệ thống bài tập hàm số lớp 12 góp phần phát triển năng lực mô hình hóa cho HS. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu ý nghĩa, vai trò của việc dạy học giải bài tập qua việc mô hình hóa bài toán về hàm số ở lớp 12.

- Phân tích nội dung chƣơng trình sách giáo khoa về dạy học hàm số .

- Phân tích các tài liệu giáo dục để làm rõ bản chất năng lực mô hình hóa Toán học ở ngƣời học.

- Hệ thống các bài tập về hàm số lớp 12 giúp phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh.

4. Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Đối tƣợng nghiên cứu: Năng lực ngƣời học, khả năng phát triển mô hình hóa, các bài toán về hàm số ở lớp 12.

- Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán về hàm số ở lớp 12.

5. Phƣơng pháp nghiên cứu - Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh THP, lý luận dạy học môn toán, sách, báo, tạp chí về khoa học toán học, tâm lý học và các công trình liên quan đến đề tài.

2

- Phƣơng pháp điều tra, quan sát: Tìm hiểu việc giảng dạy hàm số cho học sinh ở THPT. 6. Cấu trúc khóa luận Khoá luận bao gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và nội dung chính của khóa luận gồm 2 chƣơng: Chƣơng 1: Cơ sở lí luận Chƣơng 2: Hệ thống bài tập chủ đề hàm số nhằm phát triển năng lực mô hình hóa toán học

3

CHƢƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Mục tiêu chung của dạy học môn Toán Chƣơng trình giáo dục phổ thông môn Toán hiện hành nhằm giúp học sinh đạt đƣợc các mục tiêu sau: a) Trang bị tri thức, kĩ năng toán học và kĩ năng vận dụng toán học Môn toán cần cung cấp cho học sinh những kiến thức, kĩ năng, phƣơng pháp toán học phổ thông cơ bản, thiết thực. Học sinh kiến tạo tri thức, rèn luyện kĩ năng, đó là cơ sở để thực hiện các mục tiêu về các phƣơng diện khác. Để đạt đƣợc mục tiêu quan trọng này, môn toán cần trang bị cho HS một hệ thống vững chắc những tri thức, khái niệm, phƣơng pháp toán học phổ thông cơ bản, hiện đại, sát thực tiễn Việt Nam, theo tinh thần giáo dục kĩ thuật tổng hợp, đồng thời bồi dƣỡng cho họ khả năng vận dụng những hiểu biết toán học vào việc học tập các môn học khác, vào đời sống lao động sản xuất và tạo tiềm lực tiếp thu khoa học kĩ thuật.

Thứ nhất, cần tạo cho HS kiến tạo những dạng tri thức khác Tri thức sự vật: một khái niệm, một định lí, một ứng dụng toán học…

Tri thức phƣơng pháp liên hệ với hai loại phƣơng pháp khác nhau về bản chất: những phƣơng pháp là những thuật về làm tròn những giá trị gần đúng.

Tri thức giá trị có nội dung là những mệnh đề đánh giá.

Trong dạy toán ngƣời thầy giáo cần coi trọng đúng mức các dạng tri thức khác nhau, tạo cơ sở cho việc thực hiện giáo dục toàn diện. Đặc biệt tri thức phƣơng pháp ảnh hƣởng quan trọng tới việc rèn luyện kĩ năng, tri thức giá trị liên hệ mật thiết với giáo dục tƣ tƣởng chính trị.

4

Thứ hai, cần rèn luyện cho HS những kĩ năng trên bình diện khác nhau: Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ toán học, kĩ năng vận dụng tri thức toán vào các môn khác, kĩ năng vận dụng toán vào đời sống.

Thứ ba, cần có ý thức để HS phối hợp giữa chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kĩ năng thể hiện ở 6 chức năng trí tuệ từ thấp đến cao: Biết ghi nhớ và tái hiện thông tin; thông hiểu giao tiếp sử dụng thông tin đã có; vận dụng áp dụng các thông tin vào tình huống mới mà không cần sự gợi ý; phân tích chia thông tin thành các bộ phận và thiết lập sự phụ thuộc lẫn nhau giữa chúng; tổng hợp cải tổ các thông tin thành các nguồn khác nhau, trên cơ sở đó tạo nên mâu thuẫn mới; đánh giá: phán đoán về giá trị của một tƣ tƣởng, phƣơng pháp, tài liệu nào đó.

Thứ tư, cần làm nổi bật những mạch tri thức, khái niệm xuyên suốt chương trình Dạy học môn toán không chỉ dừng lại ở việc truyền thụ những tri thức đơn lẻ, rèn luyện những kĩ năng riêng biệt cho HS, mà phải thƣờng xuyên chú ý những hệ thống tri thức, kĩ năng tạo thành những mạch xuyên suốt chƣơng trình. b) Phát triển năng lực trí tuệ Thứ nhất, rèn luyện tư duy logic và chính xác Làm cho HS nắm vững, hiểu đúng và sử dụng đúng những liên kết logic: và, hoặc, nếu, thì…

Phát triển khả năng định nghĩa và làm việc với những định nghĩa.

Phát triển khả năng hiểu chứng minh, trình bày lại chứng minh và độc lập tiến hành chứng minh.

Thứ hai là phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng Làm cho HS quen và có ý thức sử dụng những quy tắc suy đoán nhƣ xét tƣơng tự, khái quát hóa…

5

Tập luyện cho HS khả năng hình dung đƣợc những đối tƣợng, quan hệ không gian và làm việc với chúng dựa trên những dữ liệu bằng lời hay những hình phẳng, từ những biểu tƣợng của những đối tƣợng đã biết có thể hình thành, sáng tạo ra hình ảnh của đối tƣợng chƣa biết hoặc không có trong đời sống.

Thứ ba, rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa Phân tích là tách một hệ thống thành những vật, một vật thành những bộ phận riêng lẻ.

Tổng hợp là liên kết những bộ phận thành một vật, liên kết nhiều vật thành một hệ thống.

Trừu tƣợng hóa là tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất.

Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tƣợng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát.

Thứ tư, hình thành những phẩm chất trí tuệ Tính linh hoạt: thể hiện ở khả năng chuyển hƣớng quá trình tƣ duy.

Tính độc lập: thể hiện ở khả năng tự mình phát hiện vấn đề, tự mình xây dựng phƣơng hƣớng, tìm ra cách giải quyết, tự mình kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt đƣợc. Tính độc lập liên hệ mật thiết với tính phê phán của tƣ duy. c) Giáo dục chính trị tƣ tƣởng phẩm chất và phong cách lao động khoa học Thứ nhất, cần giáo dục lòng yêu nước, yêu CNXH Đƣa những số liệu về công cuộc xây dựng và bảo vệ tổ quốc vào những đề toán. Khai thác một số dự kiện về lịch sử toán học liên quan tới

6

truyền thống dân tộc. Giáo dục lòng tự hào về tiềm năng toán học của dân tộc.

Thứ hai, cần bồi dưỡng cho HS thế giới quan duy vật biện chứng Làm cho HS thấy rõ mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn, cụ thể là thấy rõ toán học là một dạng phản ánh thực tế khách quan, thấy rõ nguồn gốc, đối tƣợng và công cụ của toán học.

Làm cho HS ý thức đƣợc những yếu tố của phép biện chứng, sự thống nhất và đấu tranh giữa các mặt độc lập, sự chuyển hóa từ thay đổi số lƣợng sang chất lƣợng…

Thứ ba, cần rèn luyện phẩm chất đạo đức, phong cách lao động khoa học cho HS: tính cẩn thận, chính xác, tính kế hoạch, kỉ luật, kiên trì vƣợt khó, khả năng hợp tác lao động, thái độ phê phán, thói quen tự kiểm tra..

Thứ tư, giáo dục thẩm mĩ qua môn toán Môn toán có những cơ hội để HS cảm nhận và thể hiện cái đẹp theo nghĩa thông thƣờng trong đời sống. Những hình vẽ đẹp trong SGK, cách trình bày sáng sủa của thầy,…có tác dụng bồi dƣỡng óc thẩm mĩ, làm cho HS biết thƣởng thức cái đẹp, sáng tạo cái đẹp. d) Tạo cơ sở để HS tiếp tục học tập hoặc đi vào cuộc sống lao động Môn toán cần tạo cơ sở để HS tiếp tục học ĐH, CĐ, TCCN,…hoặc đi vào cuộc sống lao động theo định hƣớng phân ban: ban KHTN và ban KHXH và nhân văn. Tạo tiềm lực để ngƣời học có thể thích ứng với những con đƣờng sự nghiệp khác nhau, với những hoàn cảnh khác nhau và có thể thực hiện giáo dục suốt đời.

Học để biết là nắm đƣợc những công cụ để hiểu, học để làm là phải có khả năng hoạt động sáng tạo tác động vào môi trƣờng của mình.

Học để chung sống là tham gia hợp tác với những ngƣời khác trong mọi hoạt động của con ngƣời. Học để làm ngƣời là sự tiến triển quan trọng nảy sinh từ ba loại hình học tập trên, nhằm phát huy tốt hơn

7

nhân cách của mình và sẵn sàng hành động với một khả năng ngày càng gia tăng về các mặt tự chủ, suy xét và về trách nhiệm cá nhân.

Mục tiêu chung của dạy học môn toán trong chƣơng trình mới 2018 Theo chƣơng trình Giáo dục phổ thông môn Toán năm 2018, chƣơng trình môn Toán giúp học sinh đạt đƣợc các mục tiêu chủ yếu sau: Hình thành và phát triển năng lực Toán học bao gồm các thành tố cốt lõi sau: năng lực tƣ duy và lập luận Toán học; năng lực mô hình hóa Toán học; năng lực sử dụng công cụ, phƣơng tiện Toán học. Đồng thời góp phần hình thành và phát triển năng lực chung cốt lõi.

Góp phần thực hiện các quy định về phẩm chất của chƣơng trình tổng thế theo các mức độ phù hợp với môn Toán ở từng cấp học.

Có kiến thức, kỹ năng Toán học phổ thông, cơ bản, thiết yếu; phát triển khả năng giải quyết vấn đề có tính tích hợp liên môn giữa môn Toán và các môn học khác nhƣ Vật lý, Hóa học, Sinh học, Địa lý, Tin học, Công nghệ, Lịch sử, Nghệ thuật,…; tạo cơ hội để học sinh đƣợc trải nghiệm, áp dụng Toán học vào thực tiễn.

Có hiểu biết tƣơng đối tổng quát về sự hữu ích của Toán học đối với từng ngành nghề liên quan để làm cơ sở định hƣớng nghề nghiệp, cũng nhƣ có đủ năng lực tối thiểu để tự tìm hiểu những vấn đề liên quan đến Toán học trong suốt cuộc đời.

Nhƣ vậy, ở cả hai chƣơng trình môn toán đều góp phần giúp học sinh đạt đƣợc 4 mục tiêu cơ bản. Tuy nhiên, theo chƣơng trình Giáo dục phổ thông môn toán mới mục tiêu hình thành và phát triển năng lực Toán học đƣợc quan tâm, chú trọng và đặt lên hàng đầu.

1.2. Bài tập toán học 1.2.1. Khái niệm bài tập toán học Bài toán đƣợc hiểu là: “Tất cả những câu hỏi cần giải đáp về một kết quả chƣa biết cần tìm bắt đầu từ một số dữ kiện, hoặc về một phƣơng

8

pháp cần khám phá, mà theo phƣơng pháp này sẽ đạt đƣợc kết quả đã biết”. G.Pôlya lại viết: “Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm hiểu một cách có ý thức phƣơng tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ ràng nhƣng không thể đạt đƣợc ngay”.

Từ các cách hiểu trên ta thấy rằng: Bài toán là yêu cầu cần có để đạt đƣợc mục đích nào đó. Với cách hiểu này bài toán đồng nghĩa với đề toán, bài tập, câu hỏi, vấn đề, nhiệm vụ,... Mục đích nêu trong bài toán có thể là một tập hợp bất kỳ (của các số, các hình, các biểu thức,...) hoặc sự đúng đắn của một hoặc nhiều kết luận...

Nhƣ vậy, bài tập toán học là bài toán trong đó có những yêu cầu đặt ra cho ngƣời học nhằm đạt đƣợc mục đích dạy học nào đó.

1.2.2. Vai trò của bài tập toán học Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán. Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc hay phƣơng pháp, những hoạt động Toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ. Cụ thể, bài tập toán học có vai trò a) Củng cố kiến thức, rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo cho học sinh Khi giải một bài tập học sinh phải đi từ việc nghiên cứu đề bài đến tìm đáp án. Để làm đƣợc điều này học sinh phải trải qua một quá trình quan sát, tổng hợp, phán đoán...

Quá trình giải bài tập không phải bắt đầu từ con số “0” mà phải dựa vào kinh nghiệm thực tiễn, những kiến thức mà học sinh đã tích lũy từ trƣớc. Các em phải nhớ, hiểu và vận dụng đƣợc những kiến thức và kinh nghiệm đó thì mới giải đƣợc bài tập.

Nhƣ vậy, khi giải một bài tập toán học không những chỉ các kiến thức đã có trong bài tập, mà cả một hệ thống kiến thức liên quan tới bài tập cũng đƣợc củng cố qua lại nhiều lần...Qua đó, ngƣời học hiểu sâu hơn kiến thức, đồng thời giúp cho việc hoàn chỉnh hay bổ sung cho

9

những tri thức nào đó đã đƣợc trình bày trong phần lý thuyết và biết vận dụng những kiến thức đã học vào việc giải quyết những tình huống cụ thể.

Thông qua giải bài tập toán học, học sinh cũng đƣợc rèn luyện các kĩ năng, kĩ xảo ở các khâu khác nhau của quá trình giải bài tập, kể cả kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn. b) Rèn luyện phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh Bài tập toán học giúp phát triển năng lực tƣ duy, giúp học sinh năng động, sáng tạo trong học tập, phát huy khả năng suy luận tích cực, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ và hình thành những phẩm chất tƣ duy khoa học. Trong bất kì bài tập nào cũng có mâu thuẫn, những điều đã biết và những điều chƣa biết. Khi giải bài tập, trí tuệ của học sinh phải vận động đi từ những điều kiện đã biết để tìm ra câu trả lời. Hoạt động trí tuệ của học sinh rất đa dạng: quan sát, vận dụng trí nhớ, các thao tác tƣ duy nhƣ so sánh, tổng hợp, khái quát, suy luận... cho nên sau mỗi lần giải bài tập thành công, niềm tin và năng lực của học sinh càng đƣợc phát triển và củng cố. Đó là một trong những cơ sở quan trọng để các em mạnh dạn bƣớc vào con đƣờng sáng tạo. c) Rèn luyện kỹ năng vận dụng các kiến thức Toán học cho học sinh Một trong những yêu cầu của việc nắm vững kiến thức của bất cứ bộ môn khoa học nào là hiểu, nhớ, vận dụng các kiến thức của bộ môn khoa học đó vào giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, tức là giải quyết đƣợc các bài toán đặt ra trong lĩnh vực khoa học đó.

Hơn nữa, mỗi bài tập toán học là giá mang hoạt động liên hệ với những nội dung Toán học nhất định, là một phƣơng tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho tri thức nào đó đã đƣợc trình bày trong phần lý thuyết. Chính vì thế mà thông qua việc giải quyết các bài tập toán học, học sinh sẽ đƣợc rèn luyện kĩ năng vận dụng các kiến thức Toán học, đồng thời mở rộng sự hiểu biết một cách sinh động, phong phú.

10

d) Bồi dƣỡng, phát triển nhân cách cho học sinh Điểm cơ bản trong tính cách của con ngƣời là mọi hoạt động đều có mục đích rất rõ ràng. Khi giải một bài toán ta luôn có định hƣớng mục đích rõ rệt, vì vậy việc giải toán sẽ góp phần tích cực vào việc rèn luyện năng lực hoạt động của con ngƣời: rèn luyện đức tính chính xác, kiên nhẫn, trung thực, lòng say mê học tập và niềm tin vào khoa học, sức mạnh của bản thân. Niềm tin này có đƣợc là do trong quá trình độc lập vận dụng kiến thức, độc lập tìm đƣợc đáp số đã giúp các em có những phƣơng pháp giải quyết đúng đắn các vấn đề đặt ra, nhất là đối với bài toán khó, các em phải vƣợt qua rất nhiều khó khăn, phải kiên trì nhẫn nại và nhiều khi phải quyết tâm rất lớn mới giải đƣợc.

Nói theo cách của G.Pôlya là: Khát vọng và quyết tâm giải đƣợc một bài toán là nhân tố chủ yếu của mọi quá trình giải toán. Do vậy, ta thấy rằng: Hoạt động giải toán chính là nhân tố chủ yếu của quá trình hình thành và phát triển nhân cách con ngƣời.

1.2.3. Phân loại bài tập toán học Dựa theo nhiều cơ sở có thể chia bài tập toán học ra thành nhiều loại nhỏ. a) Phân loại theo hình thức bài tập - Bài tập chứng minh: Là bài tập mà kết luận của nó đã đƣợc đƣa ra một cách rõ ràng trong đề bài.

- Bài tập tìm tòi: Là bài tập trong đó kết luận của nó chƣa có sẵn trong đề bài. b) Phân loại theo phƣơng pháp giải bài tập - Bài tập có algôrit giải: Là bài tập mà phƣơng pháp giải của nó theo một algôrit nào đó hoặc mang tính chất algôrit nào đó.

- Bài tập không có algôrit giải: Là bài tập mà phƣơng pháp giải của nó không theo một algôrit nào đó hoặc không mang tính chất algôrit nào đó.

11

c) Phân loại theo nội dung bài tập - Bài tập số học.

- Bài tập đại số.

- Bài tập hình học. d) Phân loại theo ý nghĩa bài tập - Bài tập củng cố kĩ năng: Là bài tập nhằm củng cố trực tiếp ngay sau khi học hoặc một vài kiến thức hay kĩ năng nào đó.

- Bài tập phát triển tƣ duy: Là bài tập nhằm củng cố một hệ thống các kiến thức cũng nhƣ kĩ năng nào đó hoặc đòi hỏi phải có một khả năng tƣ duy phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo.

1.2.4. Phƣơng pháp chung để giải bài tập toán học Trong môn toán ở trƣờng phổ thông có nhiều bài toán chƣa có hoặc không có thuật giải và cũng không có một thuật giải tổng quát nào để giải tất cả các bài toán. Chúng ta chỉ có thể thông qua việc dạy học giải một số bài toán cụ thể mà dần dần truyền thụ cho học sinh cách thức, kinh nghiệm trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải cho mỗi bài toán.

Dạy học giải bài tập toán học không có nghĩa là giáo viên cung cấp cho học sinh lời giải bài toán. Biết lời giải của bài toán không quan trọng bằng làm thế nào để giải đƣợc bài toán. Để làm tăng hứng thú học tập của học sinh, phát triển tƣ duy, thầy giáo cần phải hình thành cho học sinh một quy trình chung, phƣơng pháp tìm lời giải cho một bài toán.

Theo Pôlya, phƣơng pháp chung để giải một bài toán thƣờng đƣợc tiến hành theo 4 bƣớc nhƣ sau: Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài - Phát biểu đề bài dƣới những dạng hình thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán.

- Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh.

- Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.

12

Bước 2: Tìm cách giải - Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tƣơng tự, một trƣờng hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phƣơng pháp đặc thù với từng dạng toán nhƣ chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích...

- Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bƣớc thực hiện hoặc đặc biệt hoá kết quả tìm đƣợc hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan,...

- Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn đƣợc cách giải hợp lí nhất.

Bước 3: Trình bày lời giải Từ cách giải đã đƣợc phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chƣơng trình gồm các bƣớc theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bƣớc đó.

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu sâu lời giải - Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong quá trình giải.

- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.

- Nghiên cứu giải những bài toán tƣơng tự, mở rộng hay lật ngƣợc vấn đề.

Công việc kiểm tra lời giải của một bài toán có ý nghĩa vô cùng quan trọng. Trong nhiều trƣờng hợp, sự kết thúc của bài toán này lại mở đầu cho một bài toán khác. Vì vậy, cần phải luyện tập cho học sinh có thói quen kiểm tra lại bài toán, xét xem có sai lầm hay thiếu sót gì không, nhất là những bài toán có đặt điều kiện hoặc bài toán đòi hỏi phải biện luận. Việc kiểm tra lại lời giải yêu cầu học sinh thực hiện một cách thƣờng xuyên.

13

1.3. Năng lực mô hình hóa Toán học 1.3.1. Năng lực Các nhà tâm lí học cho rằng, năng lực là sự kết hợp của các kiến thức, kĩ năng và thái độ sẵn có hoặc ở dạng tiềm năng của một cá nhân, là tổng hợp đặc điểm thuộc tính tâm lí của cá nhân phù hợp với yêu cầu đặc trƣng của một hoạt động nhất định nhằm đảm bảo cho hoạt động đó có hiệu quả cao. Hiện nay, quan niệm chung về năng lực đƣợc nhiều ngƣời thừa nhận là: “Năng lực là thuộc tính cá nhân đƣợc hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con ngƣời huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác nhƣ hứng thú, niềm tin, ý chí,…thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể” (Chương trình Giáo dục phổ thông tổng thể (tháng 7/2017)). Nhƣ vậy: - Năng lực là sự kết hợp giữa tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện của ngƣời học.

- Năng lực là sự tích hợp của kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác nhƣ hứng thú, niềm tin, ý chí,…

- Năng lực đƣợc hình thành, phát triển thông qua hoạt động và thể hiện ở sự thành công trong hoạt động thực tiễn.

Khái quát lại năng lực có thể hiểu là sự kết hợp của các kiến thức, kĩ năng, phẩm chất, thái độ và hành vi của một cá nhân để thực hiện một công việc có hiệu quả. Năng lực không chỉ bao hàm kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo mà còn cả giá trị, động cơ, đạo đức và hành vi xã hội.

1.3.2. Năng lực mô hình hóa Toán học Mô hình hóa toán học: Một mô hình toán học là một cấu trúc toán học mô tả gần đúng đặc trƣng của một hiện tƣợng nào đó, một mô hình hóa toán học bao gồm các đối tƣợng toán học và mối quan hệ giữa các đối tƣợng đó.

Mô hình hoá toán học cho phép HS kết nối toán học nhà trƣờng với thế giới thực, chỉ ra khả năng áp dụng các ý tƣởng toán, đồng thời

14

cung cấp một bức tranh rộng hơn, phong phú hơn về toán học, giúp việc học toán trở nên ý nghĩa hơn. a) Năng lực mô hình hóa toán học Thể hiện qua việc thực hiện đƣợc các hành động: - Sử dụng các mô hình toán học (gồm công thức, phƣơng trình, bảng biểu, đồ thị,…) để mô tả các tình huống đặt ra trong các bài toán thực tế.

- Giải quyết các vấn đề toán học trong mô hình đƣợc thiết lập.

- Thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không phù hợp. b) Mô tả đƣờng phát triển năng lực mô hình hóa toán học qua từng cấp học [1] Năng lực mô hình hóa toán học

Cấp tiểu học

Cấp trung học cơ sở

Cấp trung học phổ thông

- Lựa chọn đƣợc các phép toán, công thức số học, sơ đồ, bảng biểu, hình vẽ để trình bày, diễn đạt (nói hoặc viết) đƣợc các nội dung, ý

- Sử dụng đƣợc các mô hình hóa toán học (gồm công thức toán học, sơ đồ, bảng biểu, hình vẽ, phƣơng trình, hình biểu

- Thiết lập đƣợc mô hình hóa toán học (gồm công thức, phƣơng trình, sơ đồ, hình vẽ, bảng biểu, đồ thị,…) để mô tả tình huống đặt ra trong một số bài

Thể hiện qua việc: - Xác định đƣợc mô hình hóa toán học (gồm công thức, phƣơng trình, bảng biểu, đồ thị,…) cho tình huống xuất hiện trong bài

15

toán tiễn.

thực

- Giải quyết đƣợc những vấn đề toán học trong mô hình đƣợc thiết lập.

- Thể hiện và đánh giá đƣợc lời giải trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến đƣợc mô hình nếu cách giải quyết không phù hợp.

tƣởng của tình huống xuất hiện trong bài toán thực tiễn đơn giản.

diễn,…) để mô tả tình huống xuất hiện trong một số bài toán thực tiễn không quá phức tạp.

- Giải quyết đƣợc những bài toán xuất hiện từ sự lựa chọn trên.

toán thực tiễn.

- Giải quyết đƣợc những vấn đề toán học trong mô hình đƣợc thiết lập.

- Lí giải đƣợc tính đúng đắn của lời giải (những kết luận thu đƣợc từ các tính toán là có ý nghĩa, phù hợp với thực tiễn hay không). Đặc biệt, nhận biết đƣợc cách đơn giản hóa, cách điều chỉnh những yêu cầu thực tiễn (xấp xỉ, bổ sung thêm giả thiết, tổng quát hóa,…) để đƣa đến những bài

- Nêu đƣợc câu trả lời cho tình huống xuất hiện trong bài toán thực tiễn.

16

toán đƣợc.

giải

1.3.3. Quá trình mô hình hóa toán học - Để vận dụng kiến thức toán học vào việc giải quyết tình huống của thực tế, ngƣời ta phải toán học hóa tình huống đó, tức là xây dựng một mô hình hóa toán học thích hợp cho phép tìm câu trả lời cho tình huống. Quá trình này đƣợc gọi là mô hình hóa toán học.

- Quá trình mô hình hóa Toán học: Bước 1: Hiểu tình huống thực tế, xác định các yếu tố có ý nghĩa quan trọng nhất trong hệ thống và xác lập các qui luật mà chúng ta phải tuân theo, có thể đƣa vào các điều kiện và giả thiết phù hợp, có thể lý tƣởng hóa, đơn giản hóa vấn đề từ đó tạo ra một mô hình thực tế của tình huống (mô hình trung gian).

Bước 2: Mô hình thực tế đƣợc toán học hóa, tức là đƣợc thông dịch sang ngôn ngữ toán học để dẫn đến một mô hình toán học của tình huống ban đầu. Chúng ta nên lƣu ý rằng là ứng với vấn đề đang xem xét có thể có nhiều mô hình hóa toán học khác nhau, việc xác định, đƣa ra mô hình phụ thuộc vào việc chúng ta đánh giá yếu tố nào của hệ thống và mối liên hệ nào giữa chúng là quan trọng.

Bước 3: Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán hình thành ở bƣớc 2. Căn cứ vào mô hình đã xây dựng cần phải chọn hoặc xây dựng phƣơng pháp giải cho phù hợp.

Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu đƣợc trong bƣớc 3. Ở đây ngƣời ta phải xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tế. Chúng ta lƣu ý rằng: đây là một bƣớc quan trọng giúp cho ngƣời thực hiện nhận ra rằng giải pháp đó liên quan chặt chẽ đến ngữ cảnh. Đây cũng là bƣớc quan trọng khi mà sự mạnh yếu của mô hình đƣợc xem xét, thảo luận.

Bước 5: Báo cáo giải thích, dự đoán kết quả. Đây là một bƣớc đòi hỏi ngƣời thực hiện cần có kinh nghiệm sử dụng ngôn ngữ để trình bày những ý tƣởng toán học. Ở đây chúng ta sẽ phản ánh đƣợc chất lƣợng tƣ

17

duy của ngƣời thực hiện. Các báo cáo nên bao gồm các tài liệu về quá trình tiến hành, cũng nhƣ các dự đoán và các câu trả lời cuối cùng.

Ta thể hiện bằng sơ đồ quy trình mô hình hóa toán học nhƣ sau:

Trên đây là năm bƣớc của quá trình mô hình hóa toán học, lƣu ý rằng có nhiều biến thể của quy trình này. Ở bƣớc 4, có thể xảy ra một trong hai khả năng: Khả năng thứ nhất: Mô hình và các kết quả tính toán phù hợp với thực tế. Khi đó chỉ cần tổng kết lại cách đặt vấn đề, mô hình hóa toán học đã xây dựng, các thuật toán đã sử dụng, kết quả thu đƣợc.

Khả năng thứ hai: Mô hình và kết quả không phù hợp với thực tế.

Lúc này phải tìm nguyên nhân. Có thể đặt ra những câu hỏi sau: Các kết quả tính ở bƣớc thứ ba có đủ độ chính xác không? Để trả lời, ngƣời ta phải kiểm tra lại các thuật toán, các quy trình, các tính toán đã sử dụng. Ở đây, ngƣời ta tạm chấp nhận rằng mô hình toán học (và cũng có nghĩa là mô hình trung gian) xây dựng nhƣ vậy là thỏa đáng.

Mô hình toán học xây dựng nhƣ thế đã thỏa đáng chƣa? Nếu chƣa thì phải xây dựng lại. Với loại câu hỏi này, ta tạm chấp nhận mô hình trung gian đã xây dựng, nhƣng phải xem xét lại mô hình toán học đã lựa chọn.

Mô hình trung gian xây dựng có phản ánh đƣợc đầy đủ hiện tƣợng thực tế không? Nếu không thì cần phải rà soát lại bƣớc một có yếu tố, qui luật nào bị bỏ sót không. [5-tr.23]

18

1.4. Nhu cầu bồi dƣỡng năng lực mô hình hóa Toán học cho học sinh Trong các cấp học từ tiểu học tới THPT vẫn còn hạn chế việc đƣa vào các bài toán thực tế chứa đựng mô hình toán học. Để đáp ứng đƣợc mục tiêu chung của việc dạy học môn toán là phát triển năng lực tƣ duy, năng lực tự giải quyết vấn đề, năng lực phân tích, lập luận…thì việc mô hình hóa toán học trong dạy học toán là điều cần thiết và quan trọng.

Hơn nữa, năng lực mô hình hoá toán học là một trong bốn năng lực cốt lõi mà quá trình dạy học Toán cần chú ý phát triển cho học sinh [1].

Thực tế cho thấy HS vẫn còn hạn chế khả năng mô hình hóa các bài toán, vẫn còn lúng túng và bỡ ngỡ với những bài toán thực tiễn cần mô hình hóa toán học để giải quyết. Những điều đó cho thấy yếu điểm của việc dạy và học ở các cấp học tiểu học tới THPT. Do đó nhu cầu bồi dƣỡng mô hình hóa toán học cho học sinh cần đƣợc thúc đẩy cao và tích cực hơn nữa, bên cạnh đó là việc nâng cao năng lực chuyên môn của ngƣời dạy, tinh thần trách nhiệm trong công việc mà cụ thể là xây dựng các hệ thống bài toán có mô hình hóa phù hợp với học sinh để đảm bảo cho mục tiêu của dạy học môn toán.

19

TIỂU KẾT CHƢƠNG 1

Trong chƣơng 1, khóa luận đã trình bày một số vấn đề cơ sở lý luận và thực tiễn của đề tài nhƣ sau: + Mục tiêu chung của dạy học môn Toán. + Hệ thống các khái niệm, lý luận cơ bản về năng lực mô hình hoá Toán học. + Nhu cầu bồi dƣỡng năng lực mô hình hóa Toán học cho học sinh. + Ý nghĩa của đề tài “Xây dựng hệ thống bài tập chủ đề hàm số lớp 12 nhằm phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh” trong việc dạy học phát triển năng lực mô hình hóa Toán học cho học sinh.

20

CHƢƠNG 2 HỆ THỐNG BÀI TẬP CHỦ ĐỀ HÀM SỐ NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC

2.1. Nguyên tắc xây dựng hệ thống bài tập phát triển năng lực mô hình hóa Toán học 2.1.1. Bám sát nội dung chƣơng trình hiện hành đảm bảo chuẩn kiến thức kĩ năng Bảng 2.1. Nội dung dạy học Hàm số lớp 12 Tên chƣơng

Tên bài

S ố ti ế t

Chƣơng 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

3

2. Cực trị của hàm số

3

3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

3

4. Đƣờng tiệm cận

2

5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

7

6. Ôn tập chƣơng 1

2

7. Kiểm tra 45’

1

Tổng số tiết

2 1

1. Lũy thừa

3

Chƣơng

21

2: HÀM SỐ LUỸ THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

2. Hàm số lũy thừa

2

3. Logarit

3

4. Hàm số mũ. Hàm số logarit.

3

5. Phƣơng trình mũ và phƣơng trình logarit

3

6. Bất phƣơng trình mũ và bất phƣơng trình logarit

2

7. Ôn tập chƣơng II

1

8. Kiểm tra 45’

1

Tổng số tiết

1 8

Bảng 2.2. Mục đích dạy học Hàm số lớp 12 Chủ đề I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số 1. Ứng dụng đạo hàm cấp một để xét tính đơn điệu của hàm số.

Mức độ cần đạt Về kiến thức: - Biết mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của một hàm số và dấu đạo hàm cấp một của nó.

Về kỹ năng: - Biết cách xét sự đồng biến, nghịch biến của một hàm số trên một khoảng dựa vào dấu đạo hàm cấp một của nó.

22

Ví dụ Ví dụ. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số: y  2 x3  6 x  2

y

3x  1 1 x .

2. Cực trị của hàm số Định nghĩa. Điều kiện đủ để có cực trị.

Về kiến thức: - Biết các khái niệm điểm cực đại, điểm cực tiểu, điểm cực trị của hàm số.

- Biết các điều kiện đủ để có điểm cực trị của hàm số.

Ví dụ. Tìm điểm cực trị của các hàm số: y  x3 (1  x)2 y  2 x3  3x 2  36 x 10

Về kỹ năng: - Biết cách tìm điểm cực trị của hàm số.

3. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Về kiến thức: - Biết các khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp số.

Về kỹ năng: - Biết cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, một khoảng.

Ví dụ. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y  x3  3x2  9x  35 trên đoạn  4; 4 .

Ví dụ. Tính các cạnh của hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích

48m2 .

4. Đƣờng tiệm cận của đồ thị hàm số. Định nghĩa và cách tìm các

Về kiến thức: - Biết khái niệm đƣờng tiệm cận đứng, đƣờng tiệm cận ngang của đồ thị.

23

Ví dụ: Tìm đƣờng tiệm cận đứng và đƣờng tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số:

đƣờng tiệm cận đứng, đƣờng tiệm cận ngang.

Về kỹ năng:

5. Khảo sát hàm số. Sự tƣơng giao của hai đồ thị. Cách viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.

Về kiến thức:

y

- Biết cách tìm đƣờng tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

- Biết các bƣớc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (tìm tập xác định, xét chiều biến thiên, tìm cực trị, tìm tiệm cận, lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị).

Về kỹ năng:

3x  2 x3 ;y 2 2x 1 x 4

Ví dụ. Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số: y

x4 3  x2  2 2

y   x 2  3x  1

y

4x 1 2x  3 .

- Biết cách khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số

Ví dụ. Dựa vào đồ thị của hàm số y  x3  3x2 , biện

y  ax 4  bx 2  c  a  0 

luận số nghiệm của phƣơng trình

y  ax3  bx 2  cx  d (a  0) ax  b y (ac  0) cx  d

Trong đó a, b, c, d là các số cho trƣớc.

- Biết cách dùng đồ thị hàm số để biện luận số nghiệm của một phƣơng trình.

- Biết cách viết phƣơng trình tiếp tuyến

24

x 3  3x 2  m  0

theo giá trị của tham số m .

Ví dụ.

Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y   x4  2x2  3

biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến

của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị hàm số.

đó là 8 .

Ví dụ.

Viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  2 x3  3x 2  1 tại

điểm có hoành độ 2.

Chủ đề I. Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit

Mức độ cần đạt

Ví dụ

Về kiến thức:

Ví dụ. Tính

- Biết các khái niệm lũy thừa với số mũ nguyên của số thực, lũy thừa với số mũ hữu tỉ và lũy thừa với số mũ thực của số dƣơng.

 1   16   

- Biết các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên, lũy thừa với số mũ hữu tỉ và lũy thừa.

Về kiến thức:

2. Logarit Định

nghĩa

- Biết

khái

25

 0, 25

5 2

2   13  a  a  a 3    1 3 1    a4  a4  a 4    4 3

Ví dụ. Chứng minh rằng 1    3

2 5

3 2

1    3

Ví dụ. Tính niệm



Ví dụ. Rút gọn biểu thức

Về kỹ năng: - Biết dùng các tính chất của lũy thừa để đơn giản biểu thức, so sánh những biểu thức có chứa lũy thừa.

0,75

logarit

cơ

số

logarit

cơ

số

a  a  0, a  1

 a  0, a  1 của

của một số dƣơng. Các tính chất cơ bản của logarit. Logarit thập phân. Số e và logarit tự nhiên.

số dƣơng.

log

a

một

- Biết các tính chất của logarit (so sánh hai logarit cùng cơ số, quy tắc tính logarit, đổi cơ số của logarit).

- Biết các khái niệm logarit thập phân và logarit tự nhiên.

a. 3

1 27

2

b. log 6.log 9.log 2 3 8 6 Ví dụ. Biểu diễn log log log

30 30 30

8 qua 5 và 3

Về kỹ năng : - Biết vận dụng định nghĩa để tính một số biểu thức chứa logarit đơn giản.

- Biết vận dụng các tính chất của logarit vào các bài tập biến đổi, tính toán các biểu thức chứa logarit.

Ví dụ. So sánh các số a) log 5 và 3 log 4 7 b) log 2 và 0,3

log 5 0,2 3. Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ. Hàm số logarit. Định nghĩa, tính

Về kiến thức: - Biết khái niệm và tính chất của hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit.

26

Ví dụ. Vẽ đồ thị của các hàm số: a) y  3.2 x

b) y  2 x4 Ví dụ. Vẽ đồ thị

chất, đạo hàm và đồ thị.

- Biết công thức tính đạo hàm của các hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit.

Về kỹ năng: - Biết vận dụng tính chất của các hàm số mũ, hàm số logarit vào việc so sánh hai số, hai biểu thức chứa mũ và logarit.

- Biết vẽ đồ thị các hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit.

các hàm số:

a) y  2log x 1 2 b) y  log x2 1 2 Ví dụ.Tính đạo hàm của các hàm số: a) y  2 xe x  3sin 2 x

b) y  5x2  ln x  8cos x

- Tính đƣợc đạo hàm các hàm số y  e x , y  ln x 4. Phƣơng trình mũ, bất phƣơng trình mũ và logarit.

Về kỹ năng: - Giải đƣợc phƣơng trình, bất phƣơng trình mũ: Phƣơng pháp đƣa về lũy thừa cùng cơ số, phƣơng pháp logarit hóa, phƣơng pháp dùng ẩn số phụ, phƣơng pháp sử dụng tính chất của hàm số.

- Giải đƣợc phƣơng trình, bất phƣơng trình logarit: phƣơng pháp

27

Ví dụ.

Giải phƣơng trình 7  11   

2 x3

3x7

 11   7



Ví dụ.

Giải phƣơng trình a)2.16 x 17.4 x  8  0 b)log ( x  2)  log x 4 2

Ví dụ. Giải bất

đƣa về logarit cùng cơ số, phƣơng pháp mũ hóa, phƣơng pháp dùng ẩn số phụ.

phƣơng trình a)9 x  5.3x  6  0

b)log ( x  2)  log ( x  2) 3 9

2.1.2. Đảm bảo tính chính xác, khoa học, phù hợp với thực tiễn Hệ thống bài tập phải đảm bảo tính chính xác, khoa học về mặt toán học, BT đóng vai trò là cầu nối giữa lý thuyết và thực tiễn, giữa nhà trƣờng và đời sống. Nó phải là phƣơng tiện rèn cho HS những kỹ năng chung nhất của tự học, của việc giải quyết các vấn đề nhận thức, góp phần hình thành ở HS những phẩm chất đạo đức cũng nhƣ văn hóa lao động.

2.1.3. Phù hợp với trình độ kiến thức, khả năng giải toán của HS - Bảo đảm cân đối về thời gian học lí thuyết và bài tập.

- Có tính phân hóa, vừa sức với HS, HS có khả năng giải quyết đƣợc.

2.1.4. Đảm bảo tính sƣ phạm - Ngôn ngữ của BT chuẩn mực, ngắn gọn, mạch lạc, dễ hiểu.

- Số lƣợng đủ để hình thành các kĩ năng cần thiết.

- Có một số BT hay để phát triển năng lực mô hình hóa toán học, rèn trí thông minh cho HS. 2.1.5. Đảm bảo tính hệ thống, tính kế thừa Hệ thống bài tập phải có tính kế thừa, bổ sung lẫn nhau, BT trƣớc chuẩn bị cho BT phần sau, BT phần sau phát triển phần trƣớc, tạo nên một hệ thống toàn vẹn những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo cho HS. 2.1.6. Hệ thống bài tập phải giúp HS phát triển năng lực mô hình hóa - Xây dựng BT có nội dung toán học phong phú sâu sắc, phần tính toán đơn giản nhẹ nhàng, BT rèn luyện cho HS năng lực phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề.

28

- Tăng cƣờng các BT thực tiễn định lƣợng, BT nhằm giải quyết các vấn đề trong thực tiễn cuộc sống.

- Đa dạng các loại BT nhƣ BT tích hợp liên môn, các BT từ thực tế đời của các lĩnh vực trong đời sống.

- Thông qua việc giải BT, HS sẽ đƣợc rèn luyện trí tƣởng tƣợng, khả năng phân tích vấn đề, suy luận, phát hiện và giải quyết vấn đề, sử dụng kiến thức để giải quyết vấn đề do thực tiễn đặt ra .  Bài toán rèn luyện cho học sinh năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề.

Ví dụ 1: Một công ty xác định rằng tổng thu nhập (tính bằng USD) từ việc sản xuất và bán x đơn vị sản phẩm đƣợc cho bởi công thức: P( x) 

150000 . Hãy tìm số x đơn vị sản phẩm cần sản xuất x  60 x  1000 2

và bán để tổng thu nhập lớn nhất?

Phát hiện vấn đề: Bài toán đƣa về tìm giá trị lớn nhất của hàm P( x )

Giải quyết vấn đề: Tính P '( x) 

150000  2 x  60 

x

2

 60 x  1000 

2

, x  R

P '( x)  0  x  30 . Lập bảng biến thiên

Bảng 2.3 x

P ' ( x)





30 +

P( x )

0



1500

Dựa vào BBT ta suy ra đƣợc max P  x   1500  x  30 .

Ví dụ 2: Một khu vƣờn hình chữ nhật đƣợc xây dựng bên cạnh một nhà để xe. Ngƣời làm vƣờn có hàng rào dài 100m và dự định làm một hàng rào 3 cạnh: mặt bên của nhà để xe sẽ là cạnh thứ 4. Kích thƣớc nào sẽ làm cho diện tích của khu vƣờn lớn nhất?

29

Hình 2.1 Phát hiện vấn đề: Nếu đặt x là chiều rộng của hình chữ nhật thì chiều dài của hình chữ nhật là 100  2x . Diện tích của hình chữ nhật lúc này là phƣơng trình bậc hai ẩn x . Khi đó bài toán là tìm giá trị của x để cho f ( x) lớn nhất.

Giải quyết vấn đề: S ( x)  x(100  2 x)  2 x 2  100 x , S ' ( x)  4 x  100 , S ' ( x)  0  x  25

Lập bảng biến thiên ta đƣợc Bảng 2.4 

x



25

f ' x

+

f  x

0



1250

Dựa vào BBT ta suy ra Smax  1250 khi x  25  Bài toán tích hợp liên môn Ví dụ 1 (Ứng dụng trong Vật lý) Một tên lửa bay vào không trung với quãng đƣờng đi đƣợc là s (t ) (km) là hàm phụ thuộc theo biến t (giây) tuân theo biểu thức sau: s(t )  et 3  2te3t 1 (km) . Hỏi vận tốc của tên lửa 2

sau 1 giây là bao nhiêu (biết hàm biểu thị vận tốc là đạo hàm cấp một của hàm biểu thị quãng đƣờng theo thời gian)?

Hướng dẫn giải: v(t )  s '(t )  2tet

2

3

 2e3t 1  6te3t 1  v(t )  2e 4  2e 4  6e 4  10e 4 (km/s)

30

Ví dụ 2 (Ứng dụng trong Sinh học) Giả sử n  f (t )  n0 .2t là số lƣợng cá thể trong một đám vi khuẩn tại thời điểm t , n0 là số cá thể lúc ban đầu. Khi đó tốc độ phát triển về số lƣợng của vi khuẩn tại thời điểm t chính là f ' (t ) . Giả sử mẫu thử ban đầu của ta có n0  100 vi khuẩn. Vậy

tốc độ phát triển sau 4 giờ sẽ là bao nhiêu con vi khuẩn?

Hướng dẫn giải: Ta có: f ' (t )  n0 2t ln 2, n0  100  f ' (4)  100.24.ln 2  1109 con vi khuẩn Ví dụ 3 (Ứng dụng trong Y học) Độ giảm huyết áp của bệnh nhân đƣợc cho bởi công thức G( x)  0,025x 2 (30  x) với x là liều lƣợng thuốc đƣợc tiêm cho bệnh nhân ( x : miligam). Tính liều lƣợng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiểu nhất và tính độ giảm?

Hướng dẫn giải: Ta

có

G( x)  0,025 x 2 (30  x)  0,025 x3  0,75 x 2  G ' ( x)  0, 075 x 2  1,5 x x  0 G ' ( x)  0  0, 075 x 2  1,5 x  0    x  20

Ta thấy giá trị x  0 không thỏa mãn Lập bảng biến thiên ta đƣợc Bảng 2.5 x G ' ( x)





20 +

0

G  x



100

Dựa vào BBT ta có max G  x   100  x  20 Ví dụ 4 (Ứng dụng trong Hóa học) Đốt cháy các hidrocacbon của dãy đồng đẳng nào dƣới đây thì tỉ lệ mol H 2O : mol CO2 giảm dần khi số cacbon tăng dần?

Phân tích:

31

Để làm đƣợc bài này, ta cần có hiểu biết về kiến thức về chƣơng Hidrocacbon đã học ở chƣơng trình hóa lớp 9 hoặc hóa lớp 11.

Từ đây ta thiết lập công thức tổng quát của hidrocacbon là C2 H 2 n  2 2 k

Sau

đó xt ,t

thực

hiện

phản

ứng

cháy

0

Cn H 2 n22 k  O2 nCO2  (n  1  k ) H 2O

Đến đây ta thấy đƣợc tỉ lệ mol giữa nƣớc và khí cacbonic sinh ra chính là

nH 2 O nCO2



n 1 k . n

Tới đây ta có thể xét hàm f (n) 

n 1 k , n  N * . Khảo sát và tìm n

điều kiện của k (chính là số liên kết  ).

Hướng dẫn giải: Công thức tổng quát của một hidrocacbon là C2 H 2 n 22 k với k là số liên kết  trong phân tử. Phƣơng trình phản ứng cháy là: xt ,t 0

Cn H 2 n22 k  O2 nCO2  (n  1  k ) H 2O

Ta có

nH 2 O nCO2



n 1 k n 1 k . Xét hàm số f (n)  , n  N* n n

Ta có f ' (n)  nên

k 1 . Theo giả thiết ta có f  n  là hàm nghịch biến n2

f '(n)  0 

kN k 1  0  k  1  0  k  1 k  0  CTTQ : C2 H 2 n  2 :  n2

ankan  Bài toán có nhiều cách giải Một bài toán học thƣờng có nhiều cách giải. Chúng ta có thể giải bài toán theo các cách truyền thống (lập phƣơng trình, hệ phƣơng trình, bất phƣơng trình,…). Đặc biệt, hiện nay trong các kỳ thi tốt nghiệp, đại học, môn toán học đƣợc thi dƣới hình thức trắc nghiệm khách quan thì việc HS cần nắm nhiều phƣơng pháp giải và sự phối hợp các phƣơng pháp là sự cần thiết .

32

Trong thực tế, HS thƣờng chọn các phƣơng pháp truyền thống để giải một bài toán trắc nghiệm khách quan. Vì vậy, HS thƣờng phải mất rất nhiều thời gian mới giải quyết đƣợc vấn đề đặt ra.

Từ thực tế đó, GV cần phải yêu cầu HS tìm các cách giải khác nhau đối với một bài toán, so sánh các cách giải để tìm ra cách giải phù hợp nhất đối với một dạng bài toán nhất định. Việc giải bài tập theo nhiều cách khác nhau sẽ giúp cho HS vận dụng tối đa kiến thức cũng nhƣ kỹ năng, kỹ xảo của mình. Nhờ đó, tƣ duy học sinh sẽ đƣợc rèn luyện và phát triển.

Ví dụ 1: Một nhà máy sản xuất máy tính vừa làm ra x sản phẩm mới và bán với giá là p  1000  x (USD) cho mỗi sản phẩm. Nhà sản xuất xác định rằng tổng chi phí làm ra x sản phẩm là C  x   3000  20 x (USD). a) Hãy xác định tổng thu nhập R( x) và tổng lợi nhuận P( x) của nhà máy? b) Nhà máy phải sản xuất và bán bao nhiêu sản phẩm và giá bán mỗi sản phẩm là bao nhiêu để lợi nhuận là lớn nhất?

Hướng dẫn giải Cách 1: a) R( x)  x(1000  x)   x 2  1000 x và P( x)  R( x)  C ( x)   x 2  980 x  3000

b) Để lợi nhuận là lớn nhất thì khi đó P( x) đạt giá trị lớn nhất. Bài toán lúc này là tìm max P  x  . Khi đó nhà máy nên sản xuất x

b 980   490 (sản phẩm) và giá bán mỗi sản phẩm là Nhà máy 2a 2.(1)

C  x   3000  2.490  3980 để thu đƣợc lợi nhuận cao nhất là max P( x)  4902  980.490  3000  237100

Cách 2: P( x)   x 2  980 x  3000  237100   x  490   237100 2

Dấu “=” xảy ra khi x  490 .

33

Ví dụ 2: Giám đốc của một nhà hát A đang phân vân trong việc xác định giá vé xem các chƣơng trình đƣợc trình chiếu trong nhà hát.

Việc này rất quan trọng, nó sẽ quyết định nhà hát thu đƣợc lợi nhuận hay bị tổn thất. Theo những cuốn sổ ghi chép của mình, ông ta xác định rằng: nếu giá vé vào cửa là 20 USD/ngƣời thì trung bình có 1000 ngƣời đến xem. Nhƣng nếu tăng tiền vé lên thêm 1 USD/ngƣời thì sẽ mất đi 100 khách hàng trong số trung bình. Biết rằng, trung bình, mỗi khách hàng dành 1,8 USD cho việc uống nƣớc trong nhà hát. Hãy giúp giám đốc nhà hát này xác định xem cần tính giá vé vào cửa là bao nhiêu để thu nhập là lớn nhất?

Phân tích Gọi x là số tiền cần tăng thêm của giá vé vào cửa (USD) Nếu x  0 thì có nghĩa là ta nên giảm giá vé. Khi đó tổng thu nhập của nhà hát sẽ bao gồm thu nhập từ việc bán vé và nƣớc uống. Dĩ nhiên khi tăng giá vé lên thì sẽ tác động đến việc nhu cầu xem phim ở rạp. Và lợi nhuận việc bán nƣớc lại phụ thuộc vào số ngƣời đi xem.

Hướng dẫn giải Cách 1: Gọi x là số tiền cần tăng thêm của giá vé vào cửa (USD) Nếu x  0 thì có nghĩa là ta nên giảm giá vé. Khi đó tổng thu nhập của nhà hát gồm thu nhập từ việc bán vé và bán nƣớc uống.

Ta xác định nhƣ sau: R( x)  (1000 100x)(20  x) 1,8(1000 100x)  R( x)  100 x 2  1180 x  21800 .

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số R( x) với x  R R '( x)  200x 1180, R '( x)  0  x  5,9

Lại có R ''( x)  200  0, x Do đó, max R  x   R  5,9   25281 .

Vậy để tổng thu nhập là lớn nhất, nhà hát nên tính giá tiền mỗi vé là 20  5,9  14,1 (USD). Giá vé này sẽ hấp dẫn nhiều ngƣời đến xem hơn.

Cụ thể là 1000 100.(5,9)  1590 khách hàng Khi đó tổng thu nhập lớn nhất là 25281 (USD).

Cách 2:

34

R  x   100 x 2  1180 x  21800 R  x   10 x  10 x  118

10 x  10 x  118  21800  4

2

 21800  25821

Dấu “=” xảy ra khi 10 x  10 x 118  x  5,9 .

2.2. Hệ thống bài tập phát triển năng lực mô hình hóa toán học 2.2.1. Bài toán xác định hàm số và tính chất từ mô hình thực tế Bài tập tự luận Bài 1: Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng Q(n)  480  20n (gam). Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch đƣợc nhiều cá nhất?

Hướng dẫn giải: Ta đặt hàm P  n   n.Q  n   n(480  20n)  20n 2  480n là số gam cá thu đƣợc sau một vụ thu hoạch. Khi đó, bài toán quy về tìm max P  n  .

P '(n)  40n  480 , P' (n)  0  n  12 . Lập bảng biến thiên ta đƣợc

Bảng 2.6 n

P '(n)





12 +

P n

0



2880

Dựa vào BBT, ta suy ra max P(n)  P 12   2880 Bài 2: Một nhà sản xuất in 4000 ấn phẩm. Nhà xuất bản có tất cả 14 máy in đƣợc cài đặt, hoạt động tự động và giám sát bởi 1 kĩ sƣ. Mỗi máy in có thể in đƣợc 30 ấn phẩm trong một giờ. Chi phí cài đặt máy in là 12 USD/máy, chi phí giám sát là 9 USD/giờ. Tính số máy in nhà xuất bản nên sử dụng để chi phí in là nhỏ nhất?

Hướng dẫn giải: Gọi x là số máy in mà nhà xuất bản sử dụng (1  x  14) .

35

Chi phí lắp đặt là 12x . Chi phí sản xuất = chi phí lắp đặt + chi phí giám sát = 12 x 

1200 1200 . Đặt C  x   12 x  . Bài toán trở thành tìm x x

min C  x   ?

x1;14

Ta có: C ' ( x)  12 

1200 ' , C  x   0  x2  100  x  10 .

2 x

Lập bảng biến thiên, ta đƣợc Bảng 2.7 x

1

10 

C ' ( x)

0

14 +

C ( x)

240 Dựa vào BBT ta có: xmin C  x   C 10   240 USD  1;14 



Bài 3: Một nhà sản xuất bóng đèn với giá là 30 USD, tại giá bán này khách hàng sẽ mua 3000 bóng mỗi tháng. Nhà sản xuất dự định tăng giá bán và họ ƣớc tính rằng cứ giá mà tăng lên 1 USD thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn 100 bóng. Biết rằng nhà sản xuất bóng đèn với chi phí 18 USD mỗi bóng. Hỏi nhà sản xuất tăng giá bán là bao nhiêu để lợi nhuận là lớn nhất?

Hướng dẫn giải: Gọi x là giá bán mới  x  30  .

Lƣợng tiền tăng trong giá bán là: x  30 Với giá bán mới, lƣợng bóng đèn bán ra hàng tháng sẽ giảm 100  x  30 

Số bóng đèn bán hàng tháng theo giá mới là: 3000  100  x  30   6000  100 x

Lợi nhuận mỗi bóng sẽ là x 18 . Lợi nhuận thu đƣợc hàng tháng là P( x)   6000  100 x  x  18   100 x 2  7800 x  108000

Bài toán quy về tìm max P( x) .

36

P '( x)  200x  7800, P '( x)  0  x  39

Lập bảng biến thiên ta suy ra đƣợc max P( x)  260100 khi x  39 .

Vậy nhà sản xuất cần bán 39 USD/bóng để đạt đƣợc lợi nhuận cao nhất.

Bài 4: Trong nội dung thi điền kinh và bơi lội phối hợp đƣợc diễn ra tại một hồ bơi có chiều rộng 50m và chiều dài 200m. Một vận động viên cần chạy phối hợp với bơi (bắt buộc cả hai) khi phải thực hiện lộ trình xuất phát từ A đến B nhƣ hình vẽ. Hỏi rằng sau khi chạy đƣợc bao xa (quãng đƣờng x ) thì vận động viên nên nhảy xuống để tiếp tục bơi về đích nhanh nhất? Biết rằng vận tốc của vận động viên khi chạy trên bờ và khi bơi lần lƣợt là 4,5 m/s và 1,5 m/s.

Hình 2.2 Phân tích: Với lộ trình đã vạch sẵn nhƣ hình vẽ, ta thấy cùng với chiều rộng và chiều dài của hồ bơi, ta nhận thấy tổng quãng đƣờng vận động viên đi sẽ là AC + CB. Giả sử đặt AC  x ( x  0 ). Khi đó ta nhận thấy để tính quãng đƣờng bơi từ C đến B thì phải dựa vào chiều rộng của hồ, và quãng đƣờng còn lại nếu vận động viên đi dọc theo bờ hồ.

Do vận tốc trên bộ và dƣới nƣớc là khác nhau nên thời gian di chuyển cũng khác nhau. Việc xác định x thỏa mãn yêu cầu bài toán, ta có thể sử dụng ứng dụng của đạo hàm.

Hướng dẫn giải: Gọi C là vị trí mà vận động viên kết thúc phần chạy điền kinh và

37

AC  x  0  x  200  . Khi đó

x là khoảng thời gian vận động viên 4,5

chạy từ A đến C. Đồng thời quãng đƣờng bơi chính là BC 

 200  x 

2

 502 .

 200  x 

Khi đó ta có Tổng

 502

là thời gian bơi từ C đến B.

1,5

thời

x T  t1  t2   4,5

2

gian

 200  x 

2

của

động

vận

viên

sẽ

là

 502

1,5

502   200  x  x  , 0  x  200 Xét hàm f ( x)  4,5 1,5 2

Bài toán trở thành tìm min f ( x)  ? x 0;200

2 9

2 3

Ta có f '( x)   .

  200  x 

 200  x 

f '( x)  0  3  200  x   x

2

 50

 200  x 

2

2

, x   0; 200 

 502  8  200  x   502 2

400  25 2  182,322 2

Lập bảng biến thiên ta đƣợc Bảng 2.8 x f ' ( x)

0



x0 

0

+

f ( x) f  x0 

 400  25 2    75,87 s 2  

Dựa vào BBT ta có: min f  x   f  x 0;200 

Bài 5: Một hộp mở với đế vuông đƣợc làm từ một miếng bìa cứng hình vuông 24 inch ở một bên bằng cách cắt ra một hình vuông từ mỗi góc và lật lên hai bên. Xem hình ( Chú thích 1 inch =2,54 cm)

38

Hình 2.3 a) Biểu diễn thể tích V của hộp thông qua độ dài x của cạnh hình vuông đƣợc cắt từ mỗi góc. b) Thể tích của hình hộp nếu hình vuông bị cắt có cạnh là 3 inch bằng bao nhiêu? c) Thể tích của hình hộp nếu hình vuông bị cắt có cạnh là 10 inch bằng bao nhiêu? d) Với giá trị nào của x thì V lớn nhất?

Hướng dẫn giải: a) Ta có x là độ dài của cạnh hình vuông đƣợc cắt từ mỗi góc; đơn vị là inch.

Theo giả thiết thì độ dài cạnh của hình vuông là mặt đáy của hình hộp đƣợc tính bằng 24  2x . Công thức tính thể tích hình hộp là V  Sd .h ( Sd là diện tích đáy, h là chiều cao của hình hộp) Do đó, diện tích đáy của hình hộp là Sd   24  2 x 

2

Chiều cao của hình hộp là x .

Từ đó ta có thể tích của hình hộp V   24  2 x  .x   4 x 2  96 x  576  .x  4 x3  96 x 2  576 x 2

b) Hình vuông 3 inch bị cắt nên x  3 inch, thay vào công thức 2 tính thể tích hình hộp ở câu a) ta có V   24  2.3 .3  972 .

c) Tƣơng tự ta có x  10 , thể tích của hình hộp là

39

V   24  2.10  .10  160 inch.

2

d) Để Vmax thì hàm f ( x)  4 x3  96 x 2  576 x đạt giá trị lớn nhất . Ta tính f ' ( x)  12 x 2 192 x  576 x  4

f ' ( x)  0  

 x  12

HS lập bảng biến thiên ta đƣợc Bảng 2.9 x



4 

f ' ( x)

+

f ( x)

12

 

0



0



1024 

+

0

Từ BBT suy ra đƣợc tại x  4 thì Vmax  1024 .

Bài 6: Một hòn đảo cách điểm P gần nhất trên một đƣờng bờ thẳng. Một thị trấn cách 12 dặm xuống phía dƣới bờ từ P. Xem hình minh họa.

Hình 2.4 a) Nếu một ngƣời có thể chèo thuyền với tốc độ trung bình 3 dặm một giờ và cũng ngƣời đó có thể đi bộ 5 dặm một giờ, xây dựng một mô

40

hình thể hiện thời gian T mà nó cần để đi từ đảo đến thị trấn nhƣ một hàm của khoảng cách x từ P đến nơi ngƣời đó xuống thuyền . b) Miền của T là gì? c) Sẽ mất bao lâu để ngƣời đó đi từ đảo đến thị trấn nếu ngƣời đó đi bộ từ vị trí cách P 4 dặm? d) Sẽ mất bao lâu để ngƣời đó đi từ đảo đến thị trấn nếu ngƣời đó đi bộ từ vị trí cách P 8 dặm?

Hướng dẫn giải: a) Gọi x là khoảng cách từ P đến nơi xuống thuyền tại một điểm trên đất liền (xem hình vẽ) ( x  0) (dặm) Thời gian để ngƣời đó đi từ đảo tới thị trấn đƣợc tính bằng thời gian ngƣời đó đi thuyền cộng với thời gian ngƣời đó đi bộ đến thị trấn.

Gọi thời gian ngƣời đó đi thuyền là T1 , thời gian ngƣời đó đi bộ đến thị trấn là T2 . (T1, T2  0) (giờ) Tổng thời gian ngƣời đó đi từ đảo tới thị trấn là T (T  0) (giờ) Từ giả thiết bài toán ta tính đƣợc T1  Do đó, ta tính đƣợc T  T1  T2 

22  x 2 12  x , T2  3 5

22  x2 12  x  3 5

b) Ta tìm điều kiện của x . Dễ thấy 0  x  12 nên miền T   x  R | 0  x  12

c) Ta có x  4 dặm . Ta tính đƣợc T 

22  42 12  4   3,1 giờ 3 5

d) Tƣơng tự x  8 dặm ta tính đƣợc T  3,55 giờ Bài 7: Metro Media cáp đƣợc yêu cầu cung cấp dịch vụ cho một khách hàng có nhà cách mặt đƣờng 2 dặm mà dọc theo đó cáp đƣợc đặt.

Hộp kết nối gần nhất cho cáp cách 5 dặm từ vị trí mặt đƣờng cách nhà 2 dặm. (Xem hình)

41

Hình 2.5 a) Nếu chi phí lắp đặt là $ 500 mỗi dặm dọc đƣờng và $ 700 cho mỗi dặm ra khỏi đƣờng, xây dựng một mô hình thể hiện tổng chi phí C cài đặt nhƣ một hàm của khoảng cách x (dặm) từ hộp kết nối đến điểm nơi cài đặt cáp ngoài mặt đƣờng. Xác định miền T . ( chú thích 1 dặm = 1,069 km) b) Tính chi phí nếu x  1 dặm. c) Tính chi phí nếu x  3 dặm. d) Giá trị nào của x dẫn đến chi phí thấp nhất ?

Hướng dẫn giải: a) Gọi x là khoảng cách từ hộp kết nối đến nơi đặt cáp ( x  0) .

Chi phí lắp đặt từ nhà tới chỗ đặt cáp đƣợc tính bằng số dặm từ nhà tới chỗ đặt cáp nhân với 700$. Ta kí hiệu là C1 Chi phí lắp đặt từ hộp kết nối đến nơi đặt cáp đƣợc tính bằng x nhân với 500$. Ta kí hiệu là C2 . Ta tính đƣợc C2  x.500 Gọi tổng chi phí lắp đặt là C Theo hình vẽ và áp dụng định lý Pythagore và lập luận ở trên ta có: C1  22  (5  x) 2 .700

Từ đó, ta tính đƣợc

42

C  C1  C2  22   5  x  .700  500 x  x 2  10 x  29.700  500 x 2

Mặt khác, 0  x  5 . Biểu thức trong căn x 2 10 x  29  0, x Do đó, miền của x là T   x  R | 0  x  5 b) Với x  1 dặm ta có C  12  10.1  29.700  500.1  3630,5 $ c) Với x  3 dặm ta có C  22  (5  3)2 .700  500.3  3479,9 $ d) Ta tìm giá trị của x để Cmin .

Sử dụng điều kiện 0  x  5 ta thấy: x 2  10 x  29   x  5   4  4, x  0;5 2

Từ đó, x 2  10 x  29.700  500 x  4.700  500.0  1400 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x  5 .

Vậy để Cmin  1400 thì x  5 Bài 8: Một cửa sổ có hình dạng của một hình chữ nhật và một hình bán nguyệt có đƣờng kính bằng chiều rộng của hình chữ nhật. (Xem hình 2.6). Nếu chu vi của cửa sổ là 20 feet, xác định kích thƣớc của cửa sổ để nhận đƣợc nhiều ánh sáng nhất? (Chú thích 1 feet = 0,3048m)

Hình 2.6 Hướng dẫn giải: Để cửa sổ đón đƣợc nhiều ánh sáng nhất thì ta cần thiết kế cửa sổ sao cho nó có diện tích lớn nhất, với chu vi cửa sổ đã cho là 20 feet.

Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là x , chiều dài là y ,  x, y  0 

43

Theo giả thiết ta có: chu vi của cửa sổ = chu vi của nửa đƣờng tròn + chu vi của hình chữ nhật Bán kính nửa hình tròn là r

x 2

Ta có phƣơng trình 20 

x 2



 ( x  y ).2  y  10  

4



 1 x 

Ta tính diện tích cửa sổ. Diện tích cửa sổ ( S ) = diện tích nửa đƣờng tròn + diện tích hình chữ nhật. Khi đó, ta có phƣơng trình   x    S  x       x 10    1 x    x 2  10 x 2 4    2

Cách

1:

Ta

tìm

Smax

bằng

cách

tính

S ' ( x)  2 x  10 ,

S ' x  0  x  5

Lập bảng biến thiên ta đƣợc Smax  25 , khi x  5 .

Cách 2: Để Smax thì hàm f ( x)   x 2  10 x đạt giá trị lớn nhất.

Vì a  1  0 nên bề lõm parabol quay xuống, do đó hàm đạt giá trị lớn nhất tại x

b 10   5  Smax  52  10.5  25 2a 2.(1)

Bài tập trắc nghiệm Bài 9: Một đƣờng dây điện đƣợc nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C, khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 1 km. Khoảng cách tù B đến A là 4 km. Mỗi km dây điện đặt dƣới nƣớc là mất 5000 USD, còn đặt dƣới đất là mất 3000 USD. Hỏi điểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất?

44

Hình 2.7 A.

15 km.

4

B.

13 km.

4

C.

10 km 4

D.

19 km.

4

Bài 10: Có hai chiếc cọc cao 10m và 30m lần lƣợt đặt tại hai vị trí A,B. Biết khoảng cách giữa hai cọc bằng 24m. Ngƣời ta chọn một cái chốt ở vị trí M trên mặt đất nằm giữa hai chân cột để giang dây nối đến hai đỉnh C và D của cọc (nhƣ hình vẽ). Hỏi ta phải đặt chốt ở vị trí nào để tổng độ dài của hai sợi dây đó là ngắn nhất?

Hình 2.8 A. AM  6m, BM  18m .

B. AM  7m, BM  17m .

C. AM  4m, BM  20m .

D. AM  12m, BM  12m .

Bài 11: Một kho hàng đƣợc đặt tại vị trí A trên bến cảng cần đƣợc chuyển tới kho C trên một đảo, biết rằng khoảng cách ngắn nhất từ kho C đến bờ biển AB bằng độ dài CB  60 km và khoảng cách giữa hai điểm A, B là AB  130 km. Chi phí để vận chuyển toàn bộ kho hàng bằng đƣờng bộ là 300.000 đồng/km, trong khi đó chi phí vận chuyển hàng bằng đƣờng thủy là 500.000 đồng/km. Hỏi phải chọn điểm trung chuyển hàng D (giữa đƣờng bộ và đƣờng thủy) cách kho A một khoảng bằng bao nhiêu thì tổng chi phí vận chuyện hàng từ kho A đến kho C là ít nhất?

45

A. 45 km.

Hình 2.9 B. 65 km.

C. 85 km

D.

105

km Bài 12: Một con cá hồi bơi ngƣợc dòng để vƣợt một khoảng cách là 400 km, vận tốc dòng nƣớc là 10 km/h. Nếu vận tốc bơi của cá khi nƣớc đứng yên là v (km/h) thì năng lƣợng tiêu hao của cá trong t giờ đƣợc cho bởi công thức E (v)  cv3t , trong đó c là một hằng số, đƣợc tính bằng jun. Tìm vận tốc của cá khi nƣớc đứng yên để năng lƣợng tiêu hao là ít nhất.

A. 12 (km/h) B. 15 (km/h) C. 18 (km/h) D. 20 (km/h) Bài 13: Một vùng đất hình chữ nhật ABCD có AB  25 km, BC  20 km và M, N lần lƣợt là trung điểm của AD, BC. Một ngƣời cƣỡi ngựa xuất phát từ A đi đến C bằng cách đi thẳng từ A đến một điểm X thuộc đoạn MN rồi lại di thẳng từ X đến C. Vận tốc của ngựa khi đi trên phần ABNM là 15 km/h, vận tốc của ngựa khi đi trên phần MNCD là 30 km/h. Thời gian ít nhất để ngựa di chuyển từ A đến C là mấy giờ?

A.

2 5 3

B.

41 4

C.

4  29 6

D.

5 3

Bài 14: Mƣơng nƣớc  P  thông với mƣơng nƣớc  Q  , bờ của mƣơng nƣớc  P  vuông góc với bờ của mƣơng nƣớc  Q  . Chiều rộng của hai mƣơng bằng nhau và bằng 8m. Một thanh gỗ AB, thiết diện nhỏ không đáng kể trôi từ mƣơng  P  sang mƣơng  Q  . Độ dài lớn nhất của thanh AB (lấy gần đúng đếm chữ số phần trăm) sao cho AB khi trôi không bị vƣớng là

46

Hình 2.10 A. 22,63 m. m.

B. 22,61 m.

C. 23,26 m.

D. 23,62

Bài 15: Cho hai vị trí A, B cách nhau 615m, cùng nằm về một phía bờ sông nhƣ hình vẽ. Khoảng cách từ A và từ B đến bờ sông lần lƣợt là 118m và 487m. Một ngƣời đi từ A đến bờ sông để lấy nƣớc mang về B. Đoạn đƣờng ngắn nhất mà ngƣời đó có thể đi là:

Hình 2.11 B. 671,4 m

A. 569,5 m C. 779,8 m D. 741,2 m Bài 16: Một nhà sản xuất sữa có hai phƣơng án làm hộp sữa. Hộp sữa có dạng khối hộp chữ nhật hoặc hộp sữa có dạng khối trụ. Nhà sản xuất muốn chi phí bao bì càng thấp càng tốt (tức diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất), những vẫn phải chứa đƣợc một thể tích xác định là V cho trƣớc. Khi đó, diện tích toàn phần của hộp sữa bé nhất trong hai phƣơng án là A. 3 2 V 2

B. 6 3 V 2

C. 3 3 6V 2

3 3 2 V 2

47

D.

Bài 17: Từ miếng tôn hình vuông cạnh bằng 4 dm, ngƣời ta cắt ra hình quạt tâm O bán kính OA  4 dm (xem hình) để cuộn lại thành một chiếc phễu hình nón (khi đó OA trùng với OB). Chiều cao của chiếc phễu có số đo gần đúng (làm tròn đến 3 chữ số thập phân) là

Hình 2.12 B. 3,874 dm

A. 3,872 dm C. 3,871 dm D. 3,873 dm Bài 18: Một khối đá có hình là một khối cầu có bán kính R , ngƣời thợ thủ công mỹ nghệ cần cắt và gọt viên đá đó thành một viên đá cảnh có hình dạng là một khối trụ. Tính thể tích lớn nhất có thể của viên đá cảnh sau khi đã hoàn thiện.

Hình 2.13 A.

4 3 R 3 3

B.

4 3 R 3 9

C.

48

4 3 R 3 6

D.

3 3 R 3 12

HƢỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Bài 9: Chọn B Trƣớc tiên, ta xây dựng hàm số f ( x) là hàm số tính tổng chi phí sử dụng. Đặt BS  x , thì ta đƣợc: SA  4  x, CS  x2  1 . Theo đề bài, mỗi km dây điện đặt dƣới nƣớc mất 5000 USD, còn đặt dƣới đất mất 3000 USD, nhƣ vậy

ta

có

hàm

số

đƣợc

f ( x)

xác

định

nhƣ

sau:

f ( x)  3000.(4  x)  5000 x 2  1 , x   0; 4 .

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của f ( x) để có đƣợc số tiền ít nhất cần sử dụng và từ đó xác định đƣợc vị trí điểm S. f '( x)  3000  5000.

x x 1 2

x

f '( x)  0  3000  5000.

x 1 2

 0  3000 x 2  1  5000 x  0

 3000 x 2  1  5000 x  0  3 x2  1  5x 3  16 x 2  9 3 x     4x 4 x  0  x  0

Hàm số f ( x) liên tục trên đoạn  0; 4 .

3 Ta có: f (0)  17000, f    16000, f  4   20615,52813. 4

3 4

Vậy giá trị nhỏ nhất của f ( x) là 16000 và tại x  . Khi đó chi phí là 3 4

thấp nhất và điểm S nằm cách một đoạn SA  4  x  4   Bài 10: Chọn A Đặt AM  x

( 0  x  24 )

 BM  24  x.

13 .

4

Ta

CM  CA2  AM 2  x 2  100

 24  x 

MD  MB2  BD2  CM  MD 

 24  x 

2

2

 900 . Suy ra tổng độ dài hai sợi dây là:

 900  x 2  100  f ( x) ,  0  x  24 

Khảo sát hàm ta đƣợc: x  6  m   BM  18  m 

49

có

Bài 11: Chọn C Đặt BD  x ( 0  x  130 )  AD  130  x .

Ta

có

CD  DB 2  DC 2  x 2  3600

Chi phí vận chuyển hàng là: f ( x)  3000. 13  x   5000 x 2  3600 Khảo sát hàm ta đƣợc: x  45  km   AD  85  km  .

Bài 12: Chọn D Thời gian cá hồi bơi ngƣợc dòng để vƣợt một khoảng cách là 200 km là: 200 v 8

Suy ra công thức E  v   cv3t  c

200v3 v 8

Ta thay thế 4 đáp án của đề vào ta đƣợc bảng sau: Bảng 2.10 A. 12  km / h 

E  86400c

B. 9  km / h 

E  345600c

C. 10  km / h 

E  100000c

D. 15  km / h 

E  16000c

Bài 13: Chọn A

Hình 2.14 Gọi MX  x  km  với 0  x  25 Quãng đƣờng AX  x 2  102  thời gian tƣơng ứng

50

x 2  100  h 15

Quãng

đƣờng

CX 

 25  x 

2

 102  thời

gian

tƣơng

ứng

x 2  50 x  725  h 30

Tổng thời gian f '( x) 

x 2  100 x 2  50 x  725 với x  0; 25 .  15 30

Tìm giá trị nhỏ nhất f  x  . f '( x) 

x 15 x  100 2



x  25 30 x  50 x  725

Tính các giá trị f (0) 

2

, f '( x)  0  x  5

4  29 1  29 2 5  1,56, f  25   , f (5)   1, 49 6 3 3

Vậy hàm số đạt GTNN bằng

2 5 tại x  5 .

3

Bài 14: Chọn A

Hình 2.15 Thanh gỗ trôi qua đƣợc khi thanh gỗ chạm điểm O thì OA  OB .

Vậy ABmin khi OA  OB (A nằm trên bờ mƣơng (P), B nằm trên bờ mƣơng (Q)). Do hai mƣơng có chiều rộng bằng nhau nên tam giác HAB vuông cân tại H. Khi đó AB  62  162  16 2  22,627.

Bài 15: Chọn C

Hình 2.16

51

Giả sử ngƣời đó đi từ A đến M để lấy nƣớc và đi từ M về B. Dễ dàng tính đƣợc BD  369, EF  492. Ta đặt EM  x , khi đó ta đƣợc: MF  492  x, AM  x 2  1182 , BM 

 492  x 

2

 4872

Nhƣ vậy ta có hàm số f ( x) đƣợc xác định bằng tổng quãng đƣờng AM 2 và MB: f ( x)  x2  1182   492  x   4872 với x   0; 492

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của f  x  để có đƣợc quãng đƣờng ngắn nhất và từ đó xác định đƣợc vị trí điểm M. f '( x) 

x x  118 2

f '( x)  0  

x

2

492  x



 492  x 

x x  118 2

x x 2  1182

2



 492  x 

2



2

 4872

492  x

 492  x 

2

 4872

0

492  x

 492  x 

2

 4872

 4872   492  x  x 2  1182

 x 2  492  x 2  487 2    492  x 2 .  x 2  1182     0  x  492

 58056   x  605  58056   58056  x  605   x   605  0  x  492

Hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0; 492 . So sánh các giá trị của  58056   58056  f  0 , f   , f  492  ta có giá trị nhỏ nhất là f    779,8 m  605   605 

Khi đó quãng đƣờng đi ngắn nhất là xấp xỉ 779,8 m.

Bài 16: Chọn D

52

Hình 2.17 Trƣờng hợp 1: Hộp sữa hình trụ Thể tích không đổi V   R2 h  h 

V 2V .Stp  2 R 2  2 Rh  2 R 2  2 R R V V R R

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho bộ ba số dƣơng 2 R2 , , .

V V V V  3 3 2 R 2 . .  3 3 2V 2 (*) R R R R

Ta có: Stp  2 R 2  

Trƣờng hợp 2: Hộp sữa hình chữ nhật Thể tích V  abh  h 

không

đổi

V V V V V  ; Stp  2ab  2a.  2b.  2  ab    ab ab ab b a 

V V a b

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho bộ ba số dƣơng ab; ; V V  6 3 V 2 (**) a b

Ta có: Stp  2.3 3 ab. .

Xét hai kết quả ta thấy (*) nhỏ hơn Vậy diện tích toàn phần của hộp sữa bé nhất là Stp  3 3 2V 2 (đvdt) Bài 17: Chọn D

Hình 2.18

53

Ta có cung AB có độ dài bằng

 2

.4  2 .

Dựa vào đề bài ta thấy có thể tạo thành hình nón đỉnh O, đƣờng sinh OA. Để cuộn lại thành một chiếc phễu hình nón (khi đó OA trùng với OB) thì chu vi C đƣờng tròn đáy bằng độ dài cung AB bằng 2 . Khi đó bán kính đáy là C  2 R  R  IA  R  1

2  1. Xét tam giác OIA vuông tại I có OA  4 dm, 2 h  OI trong

dm.

đó

OI 2  OA2  IA2  42  12  15  OI  15  3,873 .

Vậy h  3,873 .

Bài 18: Chọn B Giả sử 2x là chiều cao hình trụ ( 0  x  R ) (xem hình vẽ)

Hình 2.19 Bán kính của khối trụ là r  R 2  x 2 . Thể tích khối trụ là: V    R2  x2  2x

Xét

hàm

V  x     R 2  x 2  2 x, 0  x  R ,

số

V '( x)  2  R 2  3x 2   0  x 

R 3 3

Bảng biến thiên: Bảng 2.11 x

V '( x)

R 3 3

0 +

54

0

R 

có

V  x

4 R 3 3 9

0

0

Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn nhất khi chiều cao của khối trụ là

2R 3 4 R 3 3 . Vmax  .

9 3

2.2.2. Bài toán thực tế liên quan đến hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logairt Bài tập tự luận a) Bài toán lãi kép Trong khái niệm lãi kép, các khoản tiền lời phát sinh từ hoạt động đầu tƣ mỗi kì đƣợc tính gộp vào vốn ban đầu và bản thân nó lại tiếp tục phát sinh lãi trong suốt thời gian đầu tƣ.

Bây giờ ta xét bài toán tổng quát sau: Một ngƣời gửi vào ngân hàng số tiền là P0 đồng, với lãi suất mỗi kì theo hình thức lãi kép là r trong thời gian n kì . Tính Pn tổng giá trị đạt đƣợc (vốn và lãi) sau n kì.

Chú ý: Đơn vị thời gian của mỗi kì có thể là năm, quý, tháng, ngày. o Ở cuối kì thứ nhất ta có: 

Tiền lãi nhận đƣợc: P0 r



Tổng giá trị đạt đƣợc (vốn và lãi) cuối kì thứ nhất: P1  P0  P0 r  P0 (1  r )

o Do lãi nhập vào vốn đến cuối kì thứ hai ta có: 

Tiền lãi nhận đƣợc: P1.r



Tổng giá trị đạt đƣợc (vốn và lãi) cuối kì thứ hai là: P2  P1  P1.r  P1 1  r   P0 1  r 1  r   P0 1  r 

2

………….. o Một cách tổng quát, sau n kì, tổng giá trị đạt đƣợc là:

55

Pn  P0 1  r  (2) n

Trong đó Pn là tổng giá trị đạt đƣợc (vốn và lãi) sau n kì.

P0 là vốn gốc.

r là lãi suất mỗi kì.

o Ta cũng tính đƣợc số tiền lãi thu đƣợc sau n kì là: Pn  P0 Dạng 1: Cho biết vốn và lãi suất. Tìm tổng số tiền có được sau n kỳ.

Phương pháp 

Xác định rõ các giá trị ban đầu: vốn P0 , lãi suất r, số kỳ n.



Áp dụng công thức Pn  P0 1  r  (2) n

Bài 19: Ông A gửi 10 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép. a) Nếu theo kì hạn 1 năm với lãi suất 7,56% một năm thì sau 2 năm ngƣời đó thu đƣợc số tiền là bao nhiêu? b) Nếu theo kì hạn 3 tháng với lãi suất 1,65% một quý thì sau 2 năm ngƣời đó thu đƣợc số tiền là bao nhiêu?

Phân tích: Đề bài yêu cầu tìm tổng số tiền ông A rút đƣợc từ ngân hàng sau 2 n năm, lúc này ta sử dụng trực tiếp công thức Pn  P0 1  r  (2)

Ta phải xác định rõ: P0  ?, r  ?, n  ? , từ đó thay vào công thức (2) tìm đƣợc Pn Hướng dẫn giải: a) Ta có P0  10.000.000 đồng, n  2 năm, lãi suất trong 1 năm là r  7,56% một năm.

Áp dụng công thức (2) ta tính đƣợc số tiền ngƣời đó thu đƣợc sau 2 2 năm là: P2  10.000.000  1  7, 65%   11.569.000 đồng.

b) Ta có P0  10.000.000 đồng, n  2 năm = 8 quý, lãi suất trong 1 quý là r  1,65% một quý.

56

Áp dụng công thức (2) ta tính đƣợc số tiền ngƣời đó thu đƣợc sau 8 2 năm là: P2  10.000.000  1  1, 65%   11.399.000 đồng.

Dạng 2: Cho biết vốn và lãi suất, tổng số tiền có được sau n kỳ.

Tìm n Phương pháp  Xác định rõ các giá trị ban đầu: vốn P0 , lãi suất r trong mỗi kỳ, tổng số tiền có được sau n kỳ.  Để tìm n, áp dụng công thức (2), ta có Pn  P0 1  r   (1  r ) n  n

Pn (*) P0

Để tìm n từ đẳng thức (*) ta có nhiều cách thực hiện: Cách 1: Ta coi (*) là một phương trình mũ, giải ra tìm n.

1  r 

n



Pn P  n  log1 r n P0 P0

Cách 2: Lấy logarit thập phân hai vế của công thức (*), ta được: log 1  r 

Pn P P P0  log n  n.log(1  r )  log n  n  P0 P0 log(1  r ) log

n

Bài 20: Doanh nghiệp B muốn thu đƣợc 280 triệu đồng bằng cách đầu tƣ ở hiện tại 170 triệu đồng, với lãi suất sinh lợi là 13% một năm theo thể thức lãi kép. Xác định thời gian đầu tƣ?

Phân tích: Ta xác định giả thiết đề bài: Số tiền ban đầu P0  170.000.000 đồng, theo hình thức lãi kép với lãi suất sinh lợi r  13% một năm và giá trị đạt đƣợc vào cuối đợt đầu tƣ là 280.000.000 đồng. Để tìm thời gian đầu tƣ trong bao lâu, ta xuất phát từ công thức (2) Hướng dẫn giải: Ta có Pn  280.000.000 đồng, P0  170.000.000 đồng, r  13% một năm.

Sau n năm đầu tƣ, doanh nghiệp B thu đƣợc tổng số tiền là: Pn  P0 1  r  (*). n

57

Để tìm n từ công thức ta lấy logarit thập phân 2 vế của đẳng thức (*) ta đƣợc

*  1  r  n

Pn P P P0  n  n log 1  r   log n  n  P0 P0 log(1  r ) log

n

280.000.000 170.000.000  4,08 năm = 4 năm 1 tháng. log 1  13% 

log

Vậy phải đầu tƣ số vốn trong thời gian 4 năm 1 tháng để đạt đƣợc giá trị mong muốn.

Bài 21: Một khách hàng có 100.000.000 đồng gửi ngân hàng kì hạn 3 tháng với lãi suất 0,65% một tháng theo thể thức lãi kép. Hỏi sau tối thiểu bao nhiêu quý gửi tiền vào ngân hàng, khách mới có số tiền lãi lớn hơn số tiền gốc ban đầu gửi ngân hàng, giả sử ngƣời đó không rút lãi trong tất cả các quý định kì.(số quý gửi là số nguyên) Phân tích: Ta xác định giả thiết: Số tiền ban đầu P0  100.000.000 đồng, gửi theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,65% một tháng và kì hạn gửi là 3 tháng, từ đó suy ra đƣợc lãi suất trong 1 kì hạn là: r  3  0, 65%  1,95% Để tìm thời gian n gửi tối thiểu trong bao lâu, để số tiền lớn hơn số tiền gốc ban đầu ta làm nhƣ sau. Ta tìm tổng số tiền lãi Pn  P0 có đƣợc sau n quý. Từ đó ta giải bất phƣơng trình Pn  P0  P0 suy ra n cần tìm.

Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức (2) ta có: P0  100.000.000 đồng, lãi suất trong 1 kì hạn là: r  3  0, 65%  1,95% . Sau n quý tổng số tiền (vốn và lãi) khách n hàng có đƣợc là: Pn  P0 1  r  suy ra tổng số tiền lãi có đƣợc sau n quý

là: Pn  P0 n n Cần tìm n để Pn  P0  Po  P0 1  r   P0  P0  1  r   2

 n  log1 r 2  n  log11,95% 2  35,89

Vậy sau 36 quý (tức là 9 năm ) ngƣời đó sẽ có số tiền lãi lớn hơn số tiền gốc ban đầu gửi ngân hàng

58

Dạng 3: Cho biết vốn, tổng số tiền có được sau n kỳ. Tìm lãi suất.

Phương pháp  Xác định rõ các giá trị ban đầu: P0 , tổng số tiền có được sau n kỳ, số kỳ n.  Để tính lãi suất r mỗi kì. Từ công thức (2) ta có: Pn  P0 1  r   1  r   n

n

Pn  1 r  P0

Pn r P0

n

Pn 1 P0

Bài 22: Doanh nghiệp C gửi tiền vào ngân hàng với số tiền là 720 triệu đồng theo thể thức lãi kép, kì hạn 1 năm với lãi suất r% một năm.

Sau 5 năm doanh nghiệp C có một số tiền 1200 triệu đồng. Xác định r? (biết lãi suất hàng năm không thay đổi) Phân tích: Số tiền ban đầu P0  720.000.000 đồng, tổng số tiền có đƣợc sau 5 năm (n=5 kì hạn) là 1200.000.000 đồng. Đề bài yêu cầu tìm lãi suất mỗi kì, ta áp dụng công thức r  n

Pn 1 P0

Hướng dẫn giải: Lãi suất mỗi kì là: r  5

P5 1200.000.000  1 5  1  10, 76% một năm.

P0 720.000.000

Vậy lãi suất tiền gửi là 10,76% một năm để đạt đƣợc giá trị mong muốn.

Dạng 4: Cho biết lãi suất, tổng số tiền có được sau n kỳ. Tìm vốn ban đầu.

Phương pháp  Xác định rõ các giá trị ban đầu: tổng số tiền có được sau n kỳ, lãi suất r, số kỳ n.  Tính số vốn ban đầu: Áp dụng công thức Pn  P0 1  r   P0  n

59

Pn (1  r )n

Bài 23: Chủ cửa hàng C vay ngân hàng một số vốn, theo thể thức lãi kép, lãi gộp vốn 6 tháng 1 lần với lãi suất 9,6% một năm. Tổng số tiền chủ cửa hàng phải trả sau 4 năm 3 tháng là 536.258.000 đồng. Xác định số vốn chủ cửa hàng C đã vay (biết lãi suất hàng năm không thay đổi) Phân tích: Số tiền phải trả sau 4 năm 3 tháng là Pn  536.258.000 đồng, hình thức đầu tƣ theo lãi kép, lãi gộp vốn 6 tháng 1 lần với lãi suất 9,6% một 1 2

năm, từ đó suy ra lãi suất trong 1 kì là: r   9,6%  4,8% và đầu tƣ trong thời gian 4 năm 3 tháng, từ đó suy ra số kì vay là: n  8,5 Số vốn chủ cửa hàng vay ban đầu là: P0 

Pn

1  r 

n

Hướng dẫn giải: Ta có n  8,5 ; r  4,8% ; Pn  536.258.000 Số vốn chủ cửa hàng vay ban đầu là: P0 

Pn

1  r 

n

 P0 

536.258.000

1  4,8% 

8,5

 360.000.000 đồng

b) Bài toán vay trả góp - góp vốn Bài 24: Ông Ninh hàng tháng gửi vào ngân hàng Y một số tiền nhƣ nhau là a đồng (vào đầu mỗi kì hạn), kì hạn 1 tháng với lãi suất r% một tháng. Sau n tháng ông Ninh nhận đƣợc số tiền vốn và lãi là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải: Cuối tháng thứ 1, ông Ninh có số tiền là: P1  a  ar  a(1  r ) Đầu tháng thứ 2, ông Ninh có số tiền là: P1  a  a 1  r   a  a  a(1  r )  a 1  (1  r ) 

Cuối tháng thứ 2, ông Ninh có số tiền là: 2   P2  P1  Pr 1  a  a (1  r )   a  a (1  r )  r  a 1  r   (1  r ) 

Đầu tháng thứ 3, ông Ninh có số tiền là: P2  a  a 1  (1  r )  (1  r ) 2   a  a 1  (1  r )  (1  r ) 2 

60

……………….

Cuối tháng thứ n, ông Ninh có số tiền là: Pn  a (1  r ) n  (1  r ) n 1  ...  (1  r ) 2  (1  r ) 

 Pn  a 1  r 

1  r 

n

1

r

(3)

Các số hạng của tổng là tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân với công bội là q  1  r và số hạng đầu là u1  1  r nên ta có

1  r   1 qn 1 S n  u1  1  r  q 1 r n

Để hiểu ý tƣởng này HS cùng làm ví dụ sau đây Ví dụ: Một ngƣời hàng tháng gửi vào ngân hàng 3.000.000 đồng, theo hình thức lãi kép, kì hạn 1 tháng. Biết rằng lãi suất hàng tháng 0,67%. Hỏi sau 2 năm ngƣời đó nhận đƣợc số tiền là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức (3) cho a  3.000.000 đồng, r  0, 67% , n  2 12  24 tháng

Ta có: sau 2 năm ngƣời đó nhận đƣợc số tiền là: P24  3.000.000 1  0, 67% 

1  0, 67%  0, 67%

24

1

 78.351.483, 45

Bài 25 (Bài toán trả góp ngân hàng hoặc mua đồ trả góp) Xét bài toán tổng quát sau: Một ngƣời vay số tiền là a đồng, kì hạn 1 tháng với lãi suất cho số tiền chƣa trả là r % một tháng (hình thức này gọi là tính lãi trên dƣ nợ giảm dần nghĩa là tính lãi trên số tiền mà ngƣời vay còn nợ ở thời điểm hiện tại), số tháng vay là n tháng, sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ngƣời này bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoan nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là nhƣ nhau, số tiền đều đặn trả vào ngân hàng là x đồng. Tìm công thức tính x ? Biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian vay.

Hướng dẫn giải: Gọi Pn là số tiền còn lại sau tháng thứ n .

61

Sau tháng thứ nhất số tiền gốc và lãi là: a  ar  a(1  r )  ad với d  1 r

Trả x đồng thì số tiền còn lại sau tháng thứ nhất là: P1  ad  x  ad  x

d 1 d 1

Sau tháng thứ hai số tiền gốc và lãi là: ad  x  (ad  x)r  (ad  x)(1  r )  (ad  x)d

Trả x đồng thì số tiền còn lại sau tháng thứ 2 là: P2  (ad  x)d  x  ad 2  xd  x  ad 2  x(d  1)  ad 2  x

d 2 1 d 1

Sau tháng thứ ba số tiền gốc và lãi là: ad 2  x(d  1)   ad 2  x(d  1)  r   ad 2  x(d  1)  1  r    ad 2  x(d  1)  d

Trả x đồng thì số tiền còn lại sau tháng thứ 3 là: P3  ad 2  x(d  1)  d  x  ad 3  xd 2  xd  x  ad 3  x(d 2  d  1)  ad 3  x

d 3 1 d 1

……………….

Số tiền còn lại sau tháng thứ n là:

1  r   1 (5a) với d  1  r d n 1 Pn  ad  x  Pn  a (1  r ) n  x d 1 r n

n

Do sau tháng thứ n ngƣời vay tiền đã trả hết số tiền đã vay ta có ad n  d  1 a 1  r  .r d n 1 (5b) Pn  0  ad  x 0 x  x  n d 1 d n 1 1  r   1 n

n

Ví dụ: Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, lãi suất cho số tiền chƣa trả là 12%/ năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là

62

nhƣ nhau và trả hết tiền nợ sau đúng 3 tháng kể từ ngày vay. Hỏi, theo cách đó, số tiền x mà ông A phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ.

Hướng dẫn giải: Lãi suất 12% một năm suy ra lãi suất trong 1 tháng là 1% một tháng. Áp dụng công thức (5b) cho: a  100.000.00 , r  1% , n  3 , P3  0 .

Tìm x ?

Vậy số tiền mà ông A phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ để 3 tháng hết nợ là: x 

a.r.(1  r )n 100.0,01.(1  0,01)3   34 triệu đồng (1  r )n  1 (1  0,01)3  1

một tháng. c) Bài toán lãi kép liên tục – công thức tăng trưởng mũ - ứng dụng trong lĩnh vực đời sống xã hội Bài 26 (Bài toán lãi kép liên tục): Nếu đem gửi ngân hàng một số vốn ban đầu là P0 với lãi suất mỗi năm là r theo thể thức lãi kép thì sau n năm gửi số tiền thu về cả vốn lẫn lãi sẽ là P0 . 1  r  . Giả sử ta chia n

mỗi năm thành m kỳ để tính lãi và giữ nguyên lãi suất mỗi năm là r thì lãi suất mỗi kì là r  P0 . 1    m

r và số tiền thu đƣợc sau n năm là (hay sau n.m kỳ) là m

m. n

. Hiển nhiên khi tăng số kỳ m trong một năm thì số tiền thu

đƣợc sau n năm cũng tăng theo. Tuy nhiên nhƣ ta thấy sau đây, nó không thể tăng lên vô cực đƣợc.

Thể thức tính lãi sau khi m   gọi là thể thức lãi kép liên tục.

Nhƣ vậy với số vốn ban đầu là P0 với lãi suất mỗi năm là r theo thể thức lãi kép liên tục thì ta chứng minh đƣợc rằng sau n năm gửi số tiền thu về cả vốn lẫn lãi sẽ là: Pn  P0 .enr (6). Công thức (6) gọi là công thức lãi kép liên tục.

63

Chú ý: Công thức 1: Pn  P0enr (công thức tăng trƣởng suy giảm mũ) Công thức 2: Pn  P0 1  r  (công thức tính lãi kép) n

Ví dụ: Với số vốn là 100 triệu đồng gửi vào ngân hàng theo thể thức lãi kép liên tục, lãi suất 8% năm thì sau 2 năm số tiền thu về cả vốn lẫn lãi sẽ là: S  100.228%  117,351087 triệu đồng.

Nhiều bài toán, hiện tƣợng tăng trƣởng (hoặc suy giảm) của tự nhiên và xã hội, chẳng hạn sự tăng trƣởng dân số, cũng đƣợc tính theo công thức (6). Vì vậy công thức (6) còn gọi là công thức tăng trƣởng (suy giảm) mũ.

Bài 27 (Bài toán về dân số) Dân số nƣớc ta năm 2014 đạt 90,7 triệu ngƣời (theo Thông cáo báo chí của ASEAN stats), tỉ lệ tăng dân số là 1,06%. a) Dự đoán dân số nƣớc ta năm 2024 là bao nhiêu? b) Biết rằng dân số nƣớc ta sau m năm sẽ vƣợt 120 triệu ngƣời.

Tìm số m bé nhất?

Hướng dẫn giải: a) Từ giả thiết ta có các dữ kiện sau: P0  90.700.000 , n  2024  2014  10 , r  1,06%

Áp dụng công thức (1): Khi đó dự đoán dân số nƣớc ta năm 2024 là: P10  90.700.000  e101,06%  100.842.244 (ngƣời)

b) Áp dụng công thức (2): Khi đó dự đoán dân số nƣớc ta năm 2024 là: P10  90.700.000  1  1,06%   1,0106m  m

 m  log1,0106

1200  m  27 907

64

1200 907

Vậy m bé nhất bằng 27. (Tức là sau ít nhất 27 năm (từ năm 2041) dân số nƣớc ta sẽ vƣợt mốc 120 triệu ngƣời). Áp dụng công thức (1): 120.000.000  90.700.000  em1,06%  e0,0106m 

1200 1200  0,0106m  ln  m  27 907 907

d) Ứng dụng trong lĩnh vực khoa học kĩ thuật Bài 28: Cƣờng độ một trận động đất M Richte đƣợc cho bởi công thức M  log A  log A0 , với A là biên độ rung chấn tối đa và A0 là một biên độ chuẩn (hằng số). Đầu thế kỷ 20, một trận động đất ở San Francisco có cƣờng độ 8 độ Richte. Trong cùng năm đó, trận động đất khác Nam Mỹ có biên độ mạnh hơn gấp 4 lần. Hỏi cƣờng độ của trận động đất ở Nam Mỹ là bao nhiêu?

Phân tích: Để tính cƣờng độ của trận động đất ở Nam Mỹ ta sử dụng công thức đề bài cho M  log A  log A0 . Trong đó A0 là hằng số, vậy muốn tính M phải tính đƣợc biên độ A .

Hướng dẫn giải: Trận động đất ở San Francisco có cƣờng độ 8 độ Richte khi đó áp dụng công thức M1  log A  log A0  8  log A  log A0 Trận động đất ở Nam Mỹ có biên độ là: 4A, khi đó cƣờng độ của trận động đất ở Nam Mỹ là: M 2  log  4 A  log A0  M 2  log 4  log A  log A0  M 2  log 4  8  8, 6

độ Richte.

Bài 29: Để đặc trƣng cho độ to nhỏ của âm, ngƣời ta đƣa ra khái niệm mức cƣờng độ của âm. Đơn vị thƣờng dùng để đo mức cƣờng độ của âm là đề xi ben (viết tắ là dB). Khi đó mức cƣờng độ L của âm đƣợc tính theo công thức L  dB   10 log

I trong đó, I là cƣờng độ của âm tại I0

65

thời điểm đang xét, I 0 cƣờng độ âm ở ngƣỡng nghe ( I0  1012 w / m2 ). Một cuộc trò chuyện bình thƣờng trong lớp học có mức cƣờng độ âm trung bình là 68 dB. Hãy tính cƣờng độ âm tƣơng ứng ra đơn vị w / m2 .

Phân tích: Đề bài cho biết mức cƣờng độ âm một cuộc nói chuyện trong lớp là L  dB   68 dB yêu cầu tính cƣờng độ âm I ?

Từ những phân tích trên ta chỉ cần áp dụng công thức L  dB   10log

I và sử dụng kiến thức về giải phƣơng trình logarit cơ bản I0

là tìm đƣợc câu trả lời cho bài toán.

Hướng dẫn giải: Theo giả thiết ta có L(dB)  68 dB, I0  1012 w / m2 . Tính I . Áp dụng công thức ta có: L(dB)  10 log

I I I I  68  10 log  log  6,8   106,8 I0 I0 I0 I0

I  6,3.106  I  6,3.106.1012 w / m2 .

I0

Bài tập trắc nghiệm Bài 30: Sau nhiều năm làm việc anh Nam tiết kiệm đƣợc p đồng, dự định số tiền đó để mua một căn nhà. Nhƣng hiện nay với số tiền đó thì anh ta chƣa thể mua đƣợc nhà vì giá trị ngôi nhà mà anh ta muốn mua là 2 p đồng. Vì vậy, anh Nam gửi tiết kiệm số tiền này vào ngân hàng X. Theo bạn sau bao nhiêu năm anh Nam mới có thể sở hữu đƣợc ngôi nhà đó. Biết rằng lãi suất gửi tiết kiệm là 8,4% một năm, lãi hàng năm đƣợc nhập vào vốn và giá của ngôi nhà đó không thay đổi trong 12 năm tới. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

A. 9 năm

B. 10 năm

C. 8 năm

D. 11 năm

Bài 31: Một học sinh 16 tuổỉ đƣợc hƣởng tài sản thừa kế 200.000.000 VND. Số tiền này đƣợc bảo quản trong một ngân hàng với kì

66

hạn thanh toán 1 năm và học sinh này chỉ nhận đƣợc số tiền này khi đã đủ 18 tuổi. Biết rằng khi đủ 18 tuổi, số tiền mà học sinh này nhận đƣợc sẽ là 228.980.000 VNĐ. Vậy lãi suất kì hạn 1 năm của ngân hàng này là bao nhiêu?

A. 6%/năm

B. 5%/năm

C. 7%/năm

D. 8%/năm

Bài 32: Tỉ lệ tăng dân số hàng năm của In-đô-nê-xi-a là 1,5%.

Năm 1998, dân số của nƣớc này là 212.942.000 ngƣời. Hỏi dân số của Inđô-nê-xi-a vào năm 2006 gần với số nào sau đây nhất?

A. 240.091.000

B. 250.091.000

C. 230.091.000

D.

220.091.000

Bài 33: Áp suất không khí P ( đo bằng milimet thủy ngân, kí hiệu là mmHg) suy giảm mũ so với độ cao x (đo bằng mét), tức P giảm theo công thức: P  P0e xi trong đó P0  760 mmHg là áp suất ở mực nƣớc biển

 x  0  , I là hệ số suy giảm. Biết rằng ở độ cao 1000m thì áp suất của không khí là 672,71 mmHg. Hỏi áp suất của không khí ở độ cao 3000m gần với số nào sau đây nhất?

A.530,23 mmHg mmHg

B.540,23 mmHg

C.520,23 mmHg

D.510,23

Bài 34: Trong vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ đƣợc biểu 1

1 T diễn bằng công thức: m(t )  m0   trong đó m0 là khối lƣợng chất 2

phóng xạ ban đầu (tại thời điểm t  0 , m(t ) là khối lƣợng chất phóng xạ tại thời điểm t , T là chu kì bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa số nguyên tử của chất phóng xạ bị biến thành chất khác). Cho biết chu kì bán ra của một chất phóng xạ là 24 giờ (1 ngày đêm). Hỏi 250 gam chất đó sẽ còn lại bao nhiêu sau 3,5 ngày đêm? (Kết quả làm tròn đến 3 chữ số thập phân sau dấu phẩy) A.22,097 (gam) (gam)

B.23,097 (gam)

C.20,097 (gam)

67

D.24,097

Bài 35: Cƣờng độ một trận động đất M đƣợc cho bởi công thức M  log A  log A0 , với A là biên độ rung chấn tối đa, A0 là một biên độ

chuẩn (hằng số). Đầu thế kỷ 20, một trận động đất ở San Francisco có cƣờng độ 8,3 độ Richte. Trong cùng năm đó, trận động đất khác ở gần đó đo đƣợc 7,1 Richte. Hỏi trận động đất ở San Francisco có biên độ gấp bao nhiêu trận động đất này.

A.1,17

B.2,2

C.15,8

D.4

Bài 36: Biểu đồ bên cho thấy kết quả thống kê sự tăng trƣởng về số lƣợng của một đàn vi khuẩn: cứ sau 12 tiếng thì số lƣợng của một đàn vi khuẩn tăng gấp 2 lần. Số lƣợng vi khuẩn ban đầu của đàn là 250 con.

Công thức nào dƣới đây thể hiện sự tăng trƣởng về số lƣợng của đàn vi khuẩn thay đổi tại thời điểm t ?

Hình 2.20 A. N  500.t12

t

B. N  250.2t

C. N  250.2 2

D. N  250.22t

Bài 37: Nam định mua một chiếc xe máy theo phƣơng thức trả góp. Theo phƣơng thức này sau một tháng kể từ khi nhận xe phải trả đều đặn mỗi tháng một lƣợng tiền nhất định nào đó, liên tiếp trong vòng 24 tháng. Giả sử giá xe máy thời điểm Nam mua là 16 triệu (đồng) và giả sử lãi suất công ty tài chính cho vay tiền là 1% một tháng trên số tiền chƣa trả. Với mức phí trả hàng tháng gần với kết quả nào sau đây nhất thì việc mua trả góp là chấp nhận đƣợc?

A.755 ngàn mỗi tháng

B. 751 ngàn mỗi tháng

C. 826 ngàn mỗi tháng

D. 861 ngàn mỗi tháng

68

Bài 38: Một công ty vừa tung ra thị trƣờng sản phẩm mới và học tổ chức quảng cáo trên truyền hình mỗi ngày. Một nghiên cứu thị trƣờng cho thấy, nếu sau x quảng cáo đƣợc phát thì số % ngƣời xem mua sản phẩm là P( x) 

100 , x  0 . Hãy tính số quảng cáo đƣợc phát tối 1  49e0,015 x

thiểu để số ngƣời mua đạt hơn 75%.

A. 333 323

B. 343

C. 330

D.

Bài 39: Một ngƣời gửi tiết kiệm ngân hàng, mỗi tháng gửi 1 triệu đồng, với lãi suất kép 1%/tháng. Gửi đƣợc hai năm 6 tháng ngƣời đó có công việc nên đã rút toàn bộ gốc và lãi về. Số tiền ngƣời đó rút đƣợc là: A. 101. 1,01 1 (triệu đồng) đồng)

B. 101. 1,01 1 (triệu

C. 100. 1,01 1 (triệu đồng) đồng)

D. 100. 1,01 1

30

29

30

30

(triệu

HƢỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHỊÊM Bài 30: Chọn A Áp dụng công thức (2): Pn  P0 . 1  r  tính số tiền lĩnh sau n năm gởi tiết n

kiệm với lãi suất nhƣ trên là: Pn  P0 1  0, 084   P 1, 084  n

n

Theo yêu cầu bài toán đặt ra, ta có: Pn  2 P  P 1, 084   2 P  1, 084   2  n  log1,084 2  8,59  n  9 n

n

Bài 31: Chọn C Áp dụng công thức (2) Pn  P0 . 1  r 

n

Với P0  200.000.000, P2  228.980.000, r  n  2 . Tính Khi

đó:

P2  228.980.000  200.000.000 1  r   228.980.000  1  r   1,1499 2

2

69

 r  1,1499  1  0,07  7%

Bài 32: Chọn A Áp dụng công thức: Pn  212.942.000, r  1,5%, n  2006  1998  8 Ta có: P8  212.942.000e1,5%8  240091434,6 Bài 33: Chọn A Áp dụng công thức P  P0e xi ở độ cao 1000m, ta có: P0  760mmHg , x  1000m, P  672, 71mmHg , từ giả thiết này ta sẽ tìm đƣợc hệ số suy giảm i .

Ta có: 672,71  760e1000i  1000i  ln

672, 21  i  0,00012 760

Khi đó ở độ cao 3000 m, áp suất của không khí là: P  760e0,000123000  530, 2340078

Bài 34: Chọn A 1

1 T Áp dụng công thức m(t )  m0   2

Với m0  250, T  24 giờ = 1 ngày đêm, t  3,5 ngày đêm.

3,5

1 1 Ta có: m(3,5)  250    22, 097 gam 2

Bài 35: Chọn C Ta có M 8,3  M 7,1  log

A8,3 A7,1



A8,3 A7,1

 108,37,1  15,8

Bài 36: Chọn D Cách 1: Từ giả thiết và quan sát đồ thị ta có bảng sau

70

Bảng 2.12 Thời gian t (ngày)

Số lƣợng của đàn vi khuẩn

0

250

1 2

500  250.2

1

100250.4  250.22.1

3 2

2.

1 2

2.

2000  250.8  250.2

3 2

Từ đó ta thấy đƣợc công thức thể hiện sự tăng trƣởng về số lƣợng của đàn vi khuẩn N tại thời điểm t có dạng: N  250.22t Cách 2: Từ đồ thị ta thấy sau thời gian t  0,5 ngày số lƣợng của đàn vi khuẩn là: 500 con. Từ đồ thị ta thấy sau thời gian t  1 ngày số lƣợng của đàn vi khuẩn là: 1000 con. Từ đó thay t  1, t  0,5 lần lƣợt vào các công thức ở đáp án A,B,C,D thì ta thấy chỉ có công thức ở đáp án D thỏa mãn, từ đó suy ra chọn đáp án D. Bài 37: Chọn A a 1  r  .r n

Áp dụng công thức 5b: x 

1  r 

n

1

16 1  1%  1% 24

x

1  1% 

24

1

(đồng) Bài 38: Chọn A Theo giả thiết ta phải tìm x thỏa mãn: 100 1 ,n  2  75  100  75  3675e0,015 x  e0,015 x  0,015 x 1  49e 147  0,015x  ln

1  x  332,6955058 147

Bài 39: Chọn A

71

 753175,5556

Áp dụng công thức 3: Pn  a 1  r 

1  r 

n

1

r

với a  1 , r  1% , n= 2 năm 6

tháng = 30 tháng.

Từ

đó

P30  11  1% 

suy

1  1%  1%

30

ra 1

số

tiền

rút

đƣợc

là:

30  101 1  1%   1 .  

2.3. Một số cách thức sử dụng hệ thống bài tập - Hệ thống bài tập sẽ đƣợc áp dụng lồng vào mỗi tiết học tƣơng ứng với từng phần từng bài của hàm số để có thể vận dụng vào củng cố hoặc muốn cho HS khắc ghi sâu kiến thức khi dạy, tạo thêm tinh thần học hỏi và sự hứng thú khi học tập và giải các bài toán từ thực tiễn…điều này góp phần nâng cao chất lƣợng truyền đạt kiến thức, nâng cao nhận thức của HS về các lĩnh vực, các kiến thức thực tế ở trong cuộc sống..

- Hệ thống bài tập đƣợc cho dƣới dạng bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm hoặc có thể bổ sung phiếu bài tập (nếu cần). Điều này đƣợc áp dụng linh hoạt với từng đối tƣợng lớp học.

2.3.1. Dùng BT trong việc củng cố, mở rộng đào sâu kiến thức Ở bƣớc này, nếu sử dụng những BT phù hợp với nội dung vừa đƣa ra sẽ giúp HS có đƣợc “chỗ tựa” cho kiến thức vừa xây dựng để ghi nhớ tốt hơn, lâu hơn. Mặt khác, các em cũng bƣớc đầu phát triển đƣợc kỹ năng lựa chọn kiến thức toán học để vận dụng vào một số tình huống thực tế.

Ví dụ: Sau khi học xong phần cực trị của hàm số, có thể đƣa ra một số bài tập từ các tình huống thực tế để củng cố, tạo hứng thú và giúp HS nhớ lâu hơn. Việc mô hình hóa bài toán để giải quyết không quá khó, vừa sức để HS thấy việc học tập có sự tích cực hơn và có tinh thần học hỏi hơn.

2.3.2. Dùng BT để giao nhiệm vụ về nhà Những BT ở đây phải vừa có tác dụng tái hiện, củng cố kiến thức trên lớp, vừa phải tạo ra những tình huống mới giúp HS vận dụng những kiến thức đã học để giải quyết. Tùy theo từng đối tƣợng HS, GV có thể

72

giao số lƣợng và mức độ BT phù hợp. Với những BT ở mức độ vận dụng sáng tạo, GV nên cho về nhà để HS có thời gian tƣ duy, BT về nhà cũng thƣờng đƣợc giao cho HS để chuẩn bị cho tiết ôn tập.

2.3.3. Dùng BT trong giờ ôn tập, luyện tập Các BT đƣa ra trong giờ ôn tập nên có nội dung tổng hợp, liên quan tới nhiều kiến thức cần ôn tập, qua đó khắc sâu, hệ thống và khái quát hóa kiến thức, kỹ năng...GV cần chọn các bài tiêu biểu, điển hình, tránh trùng lặp (dạng bài có kiến thức toán học trọng tâm, có phƣơng pháp giải mới, dạng bài quan trọng, phổ biến hay ra thi,…), chú ý dạy học bằng “bài toán” phân hóa. Ngoài số bài tập chung cho cả lớp cần lựa chọn BT tích hợp riêng cho từng đối tƣợng khá, giỏi, trung bình, yếu để từng HS đều phải độc lập suy nghĩ, bộc lộ năng lực suy luận logic, khả năng phân tích bài toán.

Các BT trong giờ luyện tập nên đa dạng, có nhiều mức độ khác nhau: có thể là BT có nhiều cách giải để HS tƣ duy, cũng có thể là BT giải nhanh trong thời gian nhất định, cũng có thể cho HS giải theo nhóm rồi cử đại diện lên bảng giải hoặc GV có thể chỉ định bất cứ thành viên nào trong nhóm lên giải. Thực tế cho thấy những phƣơng pháp này làm HS hứng thú, đồng thời cũng rèn luyện khả năng phản xạ cũng nhƣ tinh thần làm việc theo nhóm cho HS. GV cần chú ý: - Hƣớng dẫn cho HS cách phân tích bài tập, chứ không chỉ đi sâu vào giải cụ thể, giúp HS nắm chắc phƣơng pháp giải các dạng bài tập cơ bản.

- Gọi HS lên bảng: cho BT phù hợp với trình độ HS, bổ sung sửa chữa kịp thời sai sót của HS, khi HS có hƣớng giải sai nên dừng lại ngay. Đối với HS yếu chỉ cho BT vừa sức, để đơn giản, không nên giải nhiều phƣơng pháp, từng bƣớc nâng cao trình độ cho HS. - Sửa bài chi tiết, trình bày rõ ràng, diễn đạt chính xác. Trong khi sửa, kết hợp sửa các lỗi điển hình của HS. - Kết hợp nhiều phƣơng pháp dạy học khi sửa bài, nhất là các phƣơng pháp dạy học tích cực, chú trọng dạy HS cách trình bày lời giải.

Ví dụ: Có thể cho HS bài toán sau trong tiết luyện tập

73

Trong một môi trƣờng dinh dƣỡng có 1000 vi khuẩn đƣợc cấy vào. Bằng thực nghiệm xác định đƣợc số lƣợng vi khuẩn tăng theo thời gian bởi qui luật N (t )  1000 

10t (con vi khuẩn), trong đó t là thời 100  t 2

gian (đơn vị giây). Hãy xác định thời điểm sau khi thực hiện cấy vi khuẩn vào, số lƣợng vi khuẩn tăng lên là lớn nhất?

Bài toán này có 2 cách giải.

Cách 1 là xét hàm N (t )  1000 

10t , tính đạo hàm cấp 1 rồi 100  t 2

cho bằng 0 để tìm giá trị của t , từ đó lập bảng biến thiên và kết luận.

Cách 2 là không dùng tới đạo hàm, ta có thể biến đổi hàm N (t ) nhƣ sau N (t )  1000 

Do

100t 100 100  100   1000   1005 2 100 100  t 2.10 t t

100 100 t  2 .t  20 . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi t t

100  t  t  10 . t

2.3.4. Dùng BT để kiểm tra, đánh giá Mục đích của kiểm tra, đánh giá là kiểm tra việc thực hiện mục tiêu môn học. Đánh giá phải đối chiếu với mục tiêu của lớp, của chƣơng, bài nhằm thu đƣợc những thông tin phản hồi giúp đánh giá kết quả học tập của HS đã đạt đƣợc mục tiêu đề ra hay chƣa, đồng thời giúp GV điều chỉnh phƣơng pháp dạy học nhằm đạt kết quả tối ƣu.

Trong nội dung kiểm tra, đánh giá cần chú ý: - Đánh giá theo tỉ lệ phù hợp 3 mức độ nhận thức: biết, hiểu, vận dụng. một đề kiểm tra cần đánh giá đƣợc cả ba mức độ trên.

- Đánh giá kỹ năng, đặc biệt là kỹ năng vận dụng kiến thức, kỹ năng thực hiện các hoạt động cụ thể, kỹ năng lập kế hoạch từng hành động…

74

TIỂU KẾT CHƢƠNG 2

Trong chƣơng 2 khóa luận đã đƣa ra hệ thống bài tập theo từng chƣơng của Hàm số lớp 12 với mức độ từ đơn giản đến khó, đa dạng về nội dung và hình thức của bài tập đƣợc thể hiện qua các mục nhƣ sau:  Hệ thống các bài toán xác định hàm số và tính chất từ mô hình thực tế gồm 8 bài tự luận, 10 bài trắc nghiệm với các bài toán mô hình hóa là: bài toán tối ƣu, một số bài toán tích hợp liên môn …  Hệ thống các bài toán thực tế liên quan đến hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit gồm có 11 bài tập tự luận, 10 bài tập trắc nghiệm các dạng bài toán mô hình hóa: bài toán lãi kép, bài toán lãi kép liên tục – công thức tăng trƣởng mũ - ứng dụng trong đời sống xã hội, bài toán vay trả góp - góp vốn, bài toán ứng dụng trong lĩnh vực khoa học kĩ thuật. Trong mục dạng bài toán lãi kép lại đƣợc chia thành nhiều dạng toán cụ thể hơn, hệ thống hơn với nhiều bài tập đa dạng phong phú.

Qua hệ thống các BT và phƣơng pháp giảng dạy HS phần nào làm quen hơn với mô hình hóa Toán học, có cảm nhận sâu sắc hơn về ý nghĩa của toán học trong thực tiễn cuộc sống từ đó giúp các em thấy yêu thích việc học Toán hơn, và tƣ duy tốt hơn.

75

KẾT LUẬN

Qua quá trình thực hiện đề tài đã thu đƣợc một số kết quả sau: - Bƣớc đầu đã tiếp cận và tìm hiểu khái niệm mô hình hóa toán học, năng lực mô hình hóa toán học.

- Xây dựng đƣợc hệ thống bài tập mô hình hóa với số lƣợng tƣơng đối và hình thức, nội dung phong phú trên nhiều lĩnh vực trong cuộc sống, bài tập ở mức độ dễ và không quá khó.

- Hoàn thành tƣơng đối nhiệm vụ nghiên cứu đề ra.

Tuy nhiên, do khả năng và thời gian nghiên cứu có hạn nên kết quả của đề tài mới chỉ dừng lại ở những kết luận ban đầu, nhiều vấn đề vẫn chƣa đƣợc phát triển sâu, không tránh khỏi những sai sót. Vì vậy, em rất mong nhận đƣợc sự đóng góp ý kiến của các Thầy, Cô và các bạn để bổ sung thêm cho đề tài của mình.

76

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2018), Chương trình giáo dục phổ thông môn toán.

[2]. Nguyễn Huy Đoan, Trần Phƣơng Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Phạm Thị Bạch Ngọc, Đoàn Quỳnh, Đặng Hùng Thắng (2008), Bài tập Giải tích 12 nâng cao, Nxb Giáo dục.

[3]. Huỳnh Hữu Hiền (2016), Năng lực mô hình hóa toán học của học sinh lớp 10 trong học theo bối cảnh, Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học, Đại học Huế.

[4]. Huỳnh Thị Kim Huệ, Mô hình hóa trong dạy học Hàm số lớp 12, Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học, Trƣờng Đại học Sƣ phạm TP. HCM. [5]. Nguyễn Thị Hƣơng (2016), Phát triển năng lực mô hình hóa toán học ở học sinh khi dạy học các bài toán giải bằng cách lập phương trình, hệ phương trình, Khóa luận tốt nghiệp Đại học, Trƣờng Đại học Sƣ Phạm Hà Nội 2.

[6]. Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Đại học Sƣ phạm.

[7]. Nguyễn Danh Nam (2015), Nghiên cứu vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học môn toán ở trường phổ thông, Khóa luận tốt nghiệp Đại học lĩnh vực nghiên cứu Giáo dục học – Tâm lý học, Đại học Sƣ phạm.

[8]. Nguyễn Danh Nam (2014), Quy trình mô hình hóa trong dạy học Toán ở trường phổ thông, Tạp chí Khoa học ĐHQGHN: Nghiên cứu giáo dục, tập(31), 7.

[9]. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần Phƣơng Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng(2008) ,Giải tích 12 (nâng cao) Sách giáo viên, NXB Giáo dục.

77

[10]. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần Phƣơng Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng( 2007), Giải tích 12 (nâng cao), Nxb Giáo dục.

[11]. Nguyễn Thành Quốc (2013), Phát triển tư duy hàm cho học sinh mô hình hóa Toán học và giải quyết tình huống gợi vấn đề, Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học , Đại học Sƣ phạm TP. Hồ Chí Minh.

[12]. Lê Thái Bảo Thiên Trung & Phạm Hoài Trung (2017), Dạy và học định nghĩa chính xác về giới hạn của hàm số thông qua quá trình mô hình hóa Toán học, Tạp chí Khoa học trƣờng Đại học Cần Thơ, tập(51), 6.

[13]. Vũ Thị Phƣơng Thủy (2012), Xây dựng hệ thống bài tập phát triển tư duy cho học sinh lớp 11 ban nâng cao ở trường trung học phổ thông, Luận văn Thạc sĩ, Đại học Sƣ phạm TP. Hồ Chí Minh.

78

79