Vận dụng và khai thác các tính chất hình học phẳng vào dạy học giải toán hình học giải tích

LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 10

vectorstock.com/10212103

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN TEST PREP PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

Vận dụng và khai thác các tính chất hình học phẳng vào dạy học giải toán hình học giải tích trong mặt phẳng WORD VERSION | 2020 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

PHẦN I. MỞ ĐẦU 1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Hình học là một trong những môn học xuất hiện khá sớm. Hàng ngàn năm trước Công nguyên, con người đã phải đo đạc các thửa ruộng, đong thóc gạo khi thu hoạch, xây dựng những kim tự tháp khổng lồ. Môn hình học lúc đầu ra đời có ý nghĩa là một khoa học về đo đạc. Nhưng rồi, con người không phải chỉ cần đo đất, mà cần nghiên cứu nhiều điều phức tạp hơn. Tuy nhiên, hình học chỉ trở thành môn khoa học thực sự khi con người nêu lên các tính chất hình học bằng con đường suy diễn chặt chẽ, chứ không phải từ đo đạc trực tiếp.

Hình học Euclid được giới thiệu ở trường trung học với việc khảo sát các hình đa giác, hình tròn, hình đa diện, hình cầu, hình nón…Hơn hai nghìn năm qua hình học Euclid đã có tác dụng to lớn đối với nền văn minh nhân loại, từ việc đo đạc ruộng đất đến vẽ đồ án xây dựng nhà cửa, chế tạo vật dụng và máy móc, từ việc mô tả quỹ đạo của các hành tinh trong hệ mặt trời đến mô tả cấu trúc của nguyên tử.

Nhận thấy được tầm quan trọng của môn hình học, cho nên trong các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng, đề thi học sinh giỏi bậc trung học thì phần hình học phẳng luôn chiếm một vị trí quan trọng. Hơn nữa, phần này cũng là những phần khó trong các đề thi. Đặc biệt là trong các đề thi bậc trung học phổ thông, đó là câu hình học giải tích trong mặt phẳng. Để giải quyết được những câu này, học sinh cần phải nắm chắc các tính chất hình học phẳng rồi kết hợp với phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Ngay cả trong quá trình ra đề, sáng tạo những bài toán mới thì giáo viên cũng cần phải nắm chắc những tính chất hình học phẳng.

Chính vì vậy, tôi nghiên cứu đề tài này, với mong muốn rằng đây sẽ là một công cụ giúp việc dạy và học phần hình học giải tích trong mặt phẳng của giáo viên, học sinh được dễ dàng và thuận lợi hơn.

Vì những lí do trên đây nên đề tài được chọn là: “Vận dụng và khai thác các tính chất hình học phẳng vào dạy học giải toán hình học giải tích trong mặt phẳng”.

3

2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 2.1. Mục đích nghiên cứu Thấy rõ được tầm quan trọng của việc nắm bắt được các tính chất hình học phẳng trong quá trình dạy học chủ để hình học giải tích trong mặt phẳng.

Nghiên cứu các tính chất hình học trong mặt phẳng nhằm áp dụng vào quá trình dạy học môn Toán lớp 10, ra đề thi cho các kì thi khảo sát chất lượng và thi học sinh giỏi bậc trung học phổ thông, góp phần nâng cao chất dạy học môn Toán lớp 10, nâng cao chất lượng thi học sinh giỏi và thi đại học, cao đẳng ở trường trung học phổ thông Trần Phú thành phố Vĩnh Yên tỉnh Vĩnh Phúc.

2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Đưa ra các tính chất hình học phẳng thông qua hệ thống các bài tập đồng thời chứng minh các tính chất đó (có thể theo nhiều cách khác nhau). Đưa ra một số bài tập về các tính chất hình học phẳng giúp học sinh và giáo viên làm cơ sở để giải toán hình học giải tích trong mặt phẳng, ra đề và sáng tạo các bài toán mới. Vận dụng các tính chất hình học vào giải toán hình học giải tích trong mặt phẳng đồng thời sáng tạo bài toán mới nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán lớp 10, luyện thi học sinh giỏi, ôn thi đại học và cao đẳng.

3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Để thực hiện các mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu chúng tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau: 4.1. Phương pháp nghiên cứu lí luận.

4.2. Phương pháp điều tra quan sát.

4.3. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.

4. GIỚI HẠN VỀ KHÔNG GIAN CỦA ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Đề tài áp dụng đối với học sinh lớp 10, 11, 12; luyện thi học sinh giỏi lớp 10, 11, 12 và ôn thi đại học, cao đẳng ở trường trung học phổ thông Trần Phú thành phố Vĩnh Yên tỉnh Vĩnh Phúc.

5. PHẠM VI VÀ KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU 4

Đề tài nghiên cứu trong vòng một năm học, từ tháng 8 năm 2015 đến tháng 5 năm 2016.

6. CẤU TRÚC ĐỀ TÀI Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, cấu trúc đề tài gồm hai chương Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 1.1. Một số tính chất trong hình học phẳng 1.2. Một số bài tập tự luyện Chương 2. Vận dụng các tính chất hình học phẳng vào giải toán hình học giải tích trong mặt phẳng.

2.1. Một số ví dụ 2.2. Bài tập tham khảo

5

PHẦN II. NỘI DUNG CHƯƠNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. MỘT SỐ TÍNH CHẤT TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Bài 1.1.1. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O có trực tâm H, tâm đường tròn nội tiếp I và J là tâm đường tròn bàng tiếp góc A. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB; D, E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ A, B, C; A’, B’, C’ lần lượt là các điểm đối xứng với A, B, C qua O; A1;B1 ;C1 lần lượt là giao điểm thứ hai của các đường thẳng AH, BH, CH với

đường tròn (O); K là giao điểm thứ hai của AI với đường tròn (O). a) Chứng minh CHBA’ là hình bình hành, AH OM , AH = 2OM . Chứng minh O, H, G thẳng hàng và OH = 3OG (G là trọng tâm tam giác ABC). b) Chứng minh A1 đối xứng với H qua BC; B1 đối xứng với H qua AC;

C1 đối xứng với H qua AB từ đó suy ra các đường tròn ngoại tiếp các tam giác HBC, HCA, HAB lần lượt đối xứng với đường tròn (O) qua BC, CA, AB. c) Chứng minh OA ⊥ EF , OA ⊥ B1C1 . d) Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF. e) Chứng minh O là trực tâm tam giác MNP. f) Chứng minh các điểm M, N, P, D, E, F và trung điểm của các đoạn HA,

t

HB, HC cùng thuộc một đường tròn.

A

g) Chứng minh K là trung điểm

B1

cung BC, các tam giác KBI và KCI cân.

E

Q

h) K là trung điểm của IJ.

Giải:

F

C1

' = 90o a) Ta có: CH ⊥ AB, ABA ' = 90o ⇒ CH BA ' BH ⊥ AC,ACA

B

⇒ BH CA ' ⇒ CHBA’ là hình bình hành

M là trung điểm BC, suy ra M là trung 6

O G

H D

C

M A1

A'

điểm của HA’.

1 1 OM ⊥ BC ⇒ OM AH ⇒ OM = AH . Do GM = GA ⇒ O,G,H thẳng hàng 2 2

và OH = 3OG ⇒ OH = 3OG . = HAC (cùng phụ với góc ACB ) b) HBC

= HAC (cùng chắn cung A C ), suy ra HBC = DBA ⇒ tam giác HBA DBA 1 1 1 1 cân tại H, suy ra H, A1 đối xứng với nhau qua BC. Tương tự, B1 đối xứng với H qua AC và C1 đối xứng với H qua AB. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác HBC, HCA, HAB lần lượt đối xứng với

đường tròn (O) qua BC, CA, AB. c) Cách 1: Dựng tiếp tuyến At của đường tròn (O). = FEA ⇒ FEA = EAt ⇒ EF At ⇒ EF ⊥ OA Tứ giác BCEF nội tiếp suy ra FBC EF là đường trung bình của tam giác B1HC1 ⇒ B1C1 ⊥ OA .

Cách 2: Tứ giác BHCA’ là hình bình hành suy ra M là trung điểm HA’.

Gọi Q là trung điểm AH, suy ra tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm Q. Tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn tâm M, suy ra QM ⊥ EF ⇒ OA ⊥ EF ⇒ OA ⊥ B1C1 .

A

= ACF (cùng phụ với góc BAC ) d) ABE Hai tứ giác BDHF và CDHE nội tiếp, suy

E

= FBH;EDH = ECH

ra FDH

P

= EDH hay DH là phân giác ⇒ FDH , tương tự suy ra H là tâm trong góc EDF

O F B

đường tròn nội tiếp tam giác DEF. e) OM ⊥ BC,OP ⊥ AB suy ra O là trực

tâm của tam giác MNP.

7

N H T D

M

C

1 f) Giả sử D nằm giữa B và M. DM PN, DP = MN = AB, suy ra DMNP là 2 hình thang cân nên tứ giác DMNP nội tiếp, tương tự suy ra sáu điểm D, E, F, M, N, P cùng thuộc một đường tròn.

Gọi T là trung điểm HC. Do tứ giác CDHE nội tiếp đường tròn đường kính HC,

= 2HCE = 2HDE = EDF ⇒ tứ giác DTEF nội tiếp, tương tự ta có 9 suy ra HNT

điểm D, E, F, M, N, P và ba trung điểm của các đoạn HA, HB, HC cùng thuộc mọt đường tròn.

A

S

, suy g) Do AK là phân giác trong góc BAC ra K là trung điểm cung BC.

I

Gọi S là giao điểm thứ hai của đường thẳng

O

BI với đường tròn (O).

Do S là trung điểm cung AC và K là trung

B

C

M

= KBI hay tam điểm cung BC, suy ra BIK

K

giác BKI cân tại K. Tương tự ta có tam giác KIC cân tại K. h) Do IB ⊥ JB,IC ⊥ JC suy ra tứ giác BICJ nội tiếp đường tròn đường kính IJ, K là tâm

J

đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC, suy ra K là trung điểm IJ.

Bài 1.1.2. Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm trên cạnh AB (khác A và B). Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng DM. Chứng minh

AH ⊥ CH .

H

Giải: = 90o ⇒ H thuộc đường tròn đường Do BHD

A

M

B

kính DB. Suy ra H thuộc đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD. Suy ra H thuộc đường tròn

đường

kính

AC

hay

D

= 90o ⇒ AH ⊥ CH .

AHC 8

C

Bài 1.1.3. Cho hình chữ nhật ABCD, M là trung điểm của BC. Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên AC, N là trung điểm đoạn AH. Chứng minh

= 90o .

DNM

Giải:

A

Cách 1: Gọi E là trung điểm của DH, suy ra

H

1 NE AD , NE = AD = MC ⇒ tứ giác CMNE 2 là hình bình hành, CE MN . Do NE ⊥ DC nên

B

N

M

E C

D

E là trực tâm của tam giác NDC, ta có CE ⊥ DN suy ra MN ⊥ DN .

Cách 2: Ta có: 2MN = BA + CH,2DN = DA + DH .

Suy ra 4MN.DN = BA + CH DA + DH = CH.DA + CD.DH

(

)(

)

= CH.HA − DH 2 = 0 ⇒ MN ⊥ DN .

Bài 1.1.4. Cho tam giác ABC cân tại A, D là trung điểm của BC. Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên cạnh AC, M là trung điểm của HD. Chứng minh BH ⊥ AM .

A

Giải: Gọi N là trung điểm của HC ⇒ MN CD , DN BH , MN ⊥ AD ⇒ M là trực tâm của

H M

tam giác AND. Suy ra AM ⊥ DN ⇒ AM ⊥ BH .

B

Bài 1.1.5. Cho hình vuông ABCD có M, N

N C

D

B

A

lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD. Chứng minh AM ⊥ BN .

Giải:

M

Xét hai tam giác ABM và tam giác BCN có: = BCN,AB

ABM = BC,BM = CN

D

= CBN

⇒ ∆ABM = ∆BCN ⇒ BAM 9

N

C

+ AMB = 90o ⇒ CBN + AMB = 90o Do BAM

⇒ AM ⊥ BN .

Bài 1.1.6. Cho hình vuông ABCD tâm I, M là điểm đối xứng với D qua C. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của C, D trên AM. Chứng minh IK / /BH và D, K đối xứng qua đường

A

B

thẳng HI.

K

Giải: = 90o suy ra năm Do AHC

I

H

điểm A, B, H, C, D cùng thuộc một đường tròn tâm I nên

= ADB = 45o AHB

và

D

C

M

= ABD = 45o . Tứ giác ADIK nội tiếp, suy ra IKH = ADI = 45o AHD suy ra KI ⊥ DH ⇒ tam giác ⇒ KI BH , KI là phân giác của góc vuông DKH

DKH cân tại K nên D, H đối xứng với nhau qua đường thẳng KI.

Bài 1.1.7. Cho tam giác ABC nhọn, dựng

N

ra bên ngoài tam giác ABC các tam giác MAB và NAC vuông cân tại A. Gọi I là

H M

trung điểm của BC. Chứng minh AI ⊥ MN .

A

Giải: Cách 1: Dựng hình bình hành ABDC, ta có = NAM (cùng bù với góc ABC ), ACD

CD = AB = AM,AN = CA .

B

C

I

= DAC . suy ra ∆ΑCD = ∆NAM ⇒ MNA

Gọi H là giao điểm của AI và MN. Do + DAC = 90o ⇒ MNA + HAN = 90o HAN ⇒ AI ⊥ MN .

= NAB,2AI

Cách 2: Ta có: MAC = AB + AC, MN = AN − AM .

10

D

2AI.MN = AB + AC AN − AM = AB.AN − AC.AM

(

)(

)

− AC.AM.cos MAC = 0 ⇒ AI ⊥ MN . = AB.AN.cos NAB

Bài 1.1.8. Cho đường tròn tâm O và một điểm M nằm bên ngoài (O). Dựng các tiếp tuyến MA, MB tới (O) (A, B là các tiếp điểm), C là điểm đối xứng với A qua O. Tiếp tuyến của (O) tại C cắt đường thẳng AB tại E. Chứng minh

IE ⊥ MC .

A

M

D

Giải: Cách 1: Dựng hình bình hành ADCE, suy ra O

ba điểm D, O,E thẳng hàng.

OM ⊥ AB,AC ⊥ DM ⇒ O là trực

B

I

tâm của tam giác MCD nên E

DE ⊥ AC .

C

Cách 2: Gọi I = BC ∩ EO

= BAC = BMO,MBO = CBE = 90o ⇒ ∆BOM ∽ ∆BEC Ta có: BCE ⇒

BM BO

⇒ ∆BEO ∽ ∆BMC ⇒ BEO = BCM

BM = EBO = . Lại có: C BC BE

+ BCM = BIO + BEI = 90o ⇒ AC ⊥ IE . ⇒ OIC

Bài 1.1.9. Cho hình chữ nhật ABCD, H là hình chiếu vuông góc của B trên AC. Trên tia đối của tia BH lấy điểm E sao cho

E

= 45 .

BE = AC . Chứng minh ADE o

Giải: Gọi K, I lần lượt là hình chiếu vuông góc của E A

lên các đường thẳng AB, DC.

B

K

C

I

= ABH = ACB ⇒ BEK = ABC và Ta có: EBK H

BE = AC , D

suy ra ∆ABC = ∆EKB

11

⇒ KE = AB = CD,BC = BK ⇒ BKIC là hình vuông. Suy ra tam giác DIE

vuông cân tại I = 45o ⇒ ADE = 45o . ⇒ EDI

Bài 1.1.10. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH (H thuộc cạnh BC). Gọi D là điểm đối xứng với B qua H; K là hình chiếu vuông góc của C trên

đường thẳng AD. Gọi M là trung điểm của AC, chứng minh HM ⊥ AK .

Giải:

B

Do tam giác ABD cân tại A và H là trung điểm H

= BDA = ABD

của BD, ta có KDC

= KCD . ⇒ BAH

D

K

Do tam giác HMC cân tại C và AH ⊥ BC , suy = MCH = BAH

ra MHD

A

M

C

+ ADH = BAH + ABH = 90o ⇒ HM ⊥ AK . ⇒ MHD

1.2. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1.2.1. Cho đường tròn ( O;R ) , đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao cho AP > R , từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với ( O ) tại M. a) Chứng minh rằng tứ giác APMO là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh BM OP . c) Đường thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Chứng minh rằng tứ giác OBNP là hình bình hành. d) Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.

Bài 1.2.2. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn (M khác A, B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn tại E, cắt tia BM tại F; tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K. a) Chứng minh rằng từ giá EFMK là tứ giác nội tiếp.

12

b) Chứng minh rằng AI 2 = IM.IB . c) Chứng minh BAF là tam giác cân. d) Chứng minh tứ giác AKFH là hình thang cân. e) Xác định vị trí của M để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn.

Bài 1.2.3. Cho tam giác ABC vuông ở A ( AB > AC ) , đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A. Vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E. Nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F. a) Chứng minh rằng tứ giác AFHE nội tiếp được. b) Chứng minh rằng BEFC là tứ giác nội tiếp. c) Chứng minh rằng AE.AB=AF.AC. d) Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn.

Bài 1.2.4. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn tâm O có hán kính MC. Đường thẳng BM cắt đường tròn O tại D. Đường thẳng AD cắt đường tròn tâm O tại S. a) Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp được.

b) Chứng minh CA là tia phân giác của góc SCB. c) Gọi E là giao điểm của BC với đường tròn tâm O. Chứng minh ằng các

đường thẳng BA, EM, CD đồng qui. d) Chưng minh điểm M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE.

Bài 1.2.5. Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lân lượt cắt đường tròn đường kính BD tại F, G. Chứng minh rằng: a) Tam giác ABC đồng dạng tam giác EBD. b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp. c) AC FG . d) Các đường thẳng AC, DE, FB đồng qui.

Bài 1.2.6. Cho tam giác đều ABC có đường cao AH. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì (M không trùng với B, C). Từ M kẻ MP, MQ lần lượt vuông góc với các cạnh AB, AC. 13

a) Chứng minh tứ giác APMQ là tứ giác nội tiếp và hãy xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó. b) Chứng minh rằng MP + MQ = AH . c) Chứng minh OH ⊥ PQ .

Bài 1.2.7. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì (H không trùng O); trên đường thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một

điểm M ở ngoài đường tròn. Đường thẳng MA và MB theo thứ tự cắt đường tròn (O) tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC. a) Chứng minh tứ giác MCID là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh các đường thẳng AD, BC, MH đồng qui tại I. c) Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID. Chứng minh KCOH là tứ giác nội tiếp.

Bài 1.2.8. Cho đường tròn ( O ) đường kính AC. Trên bán kính OC lấy điểm B tùy ý (B khác O và C). Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB. Nối CD, kẻ BI vuông góc với CD. a) Chứng minh rằng tứ giác BMDI là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh ADBE là hình thoi. c) Chứng minh BI AD . d) Chứng minh I, E, B thẳng hàng.

Bài 1.2.9. Cho tam giác ABC vuông ở A. Dựng ở miền ngoài tam giác ABC các hình vuông ABHK, ACDE. a) Chứng minh ba điểm H, A, D thằng hàng. b) Đường thẳng HD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại F, chứng minh FBC là tam giác vuông cân.

> 45o .Gọi M là giao điểm của BF và ED. Chứng minh năm c) Cho ABC

điểm B, K, E, M, C cùng nằm trên một đường tròn. d) Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

14

= 45o . Vẽ đường tròn đường kính Bài 1.2.10. Cho tam giác ABC nhọn có ABC AC có tâm O, đường tròn này cắt BA và BC tại D và E. a) Chứng minh AE = EB . b) Gọi H là giao điểm của CD và AE. Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn HE đi qua trung điểm I của BH. c) Chứng minh OD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE.

Bài 1.2.11. Trong hình chữ nhật ABCD điểm M là trung điểm của cạnh AD, N là trung điểm của đoạn thẳng BC. Trên phần kéo dài của đoạn thẳng CD về phía D lấy điểm P. Giao điểm của các đường thẳng PM và AC là Q. Chứng minh

= MNP . rằng QNM

Bài 1.2.12. Trên các cạnh BC và CD của hình bình hành ABCD dựng về phía ngoài các tam giác đều BCK và DCL. Chứng minh rằng tam giác AKL đều.

Bài 1.2.13. Trên các cạnh góc vuông CA và CB của tam giác vuông cân ABC lấy các điểm D và E sao cho CD = CE . Phần kéo dài của các đường thẳng vuông góc hạ từ các điểm D và C xuống đường thẳng AE cắt cạnh huyền AB tương ứng tại các điểm K và L. Chứng minh rằng KL = LB .

= PBC . T ừ đi ể m Bài 1.2.14. Bên trong tam giác ABC lấy điểm P sao cho PAC P xuống các BC và CA hạ các đường vuông góc PM và PK tương ứng. Giả sử D là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh rằng DK = AM.BN .

Bài 1.2.15. Cho hình bình hành ABCD với góc ở đỉnh A nhọn. Trên các tia AB và CB lấy các điểm H và K tương ứng sao cho CH = BC và AK = AB . Chứng minh rằng: a) DH = DK . b) ∆DKH ∽ ∆ABK .

Bài 1.2.16. Qua một điểm P bất kì trên cạnh AC của tam giác ABC kẻ các đường thẳng song song với các trung tuyến AK và CL, cắt các cạnh BC và AB tại E và F tương ứng. Chứng minh rằng các trung tuyến AK và CL chia đoạn thẳng EF thành ba đoạn bằng nhau.

15

Bài 1.2.17. Hai đường tròn cắt nhau tại các điểm M và K. Qua M và K kẻ các đường thẳng AB và CD tương ứng, cắt đường tròn thứ nhất tại các điểm A và C, cắt đường tròn thứ hai tại các điểm B và D. Chứng minh rằng AC BD .

Bài 1.2.18. Từ Một điểm M bất kì nằm trong góc đỉnh A cho trước hạ các đường vuông góc MP và MQ xuống các cạnh của góc. Từ điểm A hạ đường vuông góc

= MAQ .

AK xuống đoạn thẳng PQ. Chứng minh rằng PAK

Bài 1.2.19. Đường tròn nội tiếp xúc với các cạnh AB và AC của tam giác ABC tại các điểm M và N. Giả sử P là giao điểm của đường thẳng MN và đường phân

vuông. giác góc B (hay kéo dài của nó). Chứng minh rằng BPC

Bài 1.2.20. Cho tam giác cân ABC tại B và góc ở đỉnh B là góc nhọn. CD là đường phân giác của góc C. Qua điểm D kẻ đường thẳng vuông góc với CD. Đường thẳng này cắt phân kéo dài của cạnh đáy AC tại điểm E. Chứng minh 1 AD = EC .

2

Bài 1.2.21. Cho tam giác vuông ABC kẻ đường cao Ck từ đỉnh của góc vuông C và trong tam giác ACK kẻ đường phân giác CE. Chứng minh rằng CB = BE .

Bài 1.2.22. Trong tam giác vuông ABC kẻ đường cao CK từ đỉnh của góc vuông C, còn trong tam giác ACK kẻ đường phân giác CE, D là trung điểm của đoạn thẳng AC, F là giao điểm của các đường thẳng DE và CK. Chứng minh rằng BF CE .

Bài 1.2.23. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Lấy điểm D thuộc cạnh AC, điểm E thuộc tia đối của HA sao cho

AD HE 1 = = . Chứng minh AC HA 3

= 90o . rằng BED

Bài 1.2.24. Cho D thuộc trung tuyến AM của tamm giác ABC. BD cắt AC tại H, CD cắt AB tại K. Chứng minh rằng HK BC .

16

Bài 1.2.25. Cho tam giác đều ABC. Trên các cạnh AB, BC lần lượt láy các điểm D, E sao cho BD = BE . Gọi E là trọng tâm của tam giác DBE, K là trung điểm của đoạn thẳng AE. Tính

MG .

MC

Bài 1.2.26. Cho hình vuông ABCD tâm E. Gọi M là trung điểm của AB. Trên các cạnh BC, CD lần lượt lấy các điểm G, H sao cho MG và AH song song với

. nhau. Tính góc GEH

Bài 1.2.27. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BH, CK. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của B và C trên các đường thẳng HK. Chứng minh rằng DK = EH .

Bài 1.2.28. Cho hình thang ABCD. Các tia phân giác của các góc ngoài đỉnh A và D cắt nhau tại H. Các tia phân giác của các góc ngoài đỉnh B và C cắt nhau ở K. Chứng minh rằng HK DC .

Bài 1.2.29. Cho hình thang ABCD ( AB CD , AD khác BC). Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các đường chéo nhau BD, AC và G là giao điểm của đường thẳng qua E vuông góc với AD và đường thẳng qua F vuông góc với BC. Chứng minh rằng GD = GC .

Bài 1.2.30. Cho hình thang cân ABCD, AB là đáy nhỏ. Độ dài dường cao BH bằng độ dài đường trung bình của hình thang ABCD. Chứng minh rằng BD ⊥ AC .

Bài 1.2.31. Cho hình thang cân ABCD đáy nhỏ AB, AH là đường cao (H thuộc DC), E là trung điểm của cạnh bên BC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các

đoạn thẳng AE và DE, gọi I là giao điểm của Dm và AN. Chứng minh rằng 2 EI = HC .

3

Bài 1.2.32. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho DB = CE , BC cắt DE tại F. Chứng minh rằng F là trung điểm của đoạn thẳng DE.

17

cắt nhau tại M, Bài 1.2.33. Cho hình bình hành ABCD, các phân giác góc A,D cắt nhau tại N. Chứng minh rằng MN AB . các phân giác góc B,C

Bài 1.2.34. Cho tam giác ABC cân đỉnh A. Từ một điểm D trên cạnh đáy BC vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt các đường thẳng AB và AC lần lượt tại E và F. Vẽ các hình chữ nhật BDEG và CDFH. Chứng minh rằng A là trung điểm của

đoạn GH. Bài 1.2.35. Cho hình chữ nhật ABCD ( AB > BC ) . Các phân giác trong của các góc A, D cắt nhau tại M, các phân giác trong của góc B, C cắt nhau tại N. Chứng minh tứ giác DMNC là hình thang cân.

Bài 1.2.36. Cho hình chữ nhật BACD ( AB > BC ) Lấy điểm E trên cạnh AD, lấy các điểm F, K trên cạnh CD, sao cho DF = CK (F nằm giữa D và H). Vẽ đường = 90o . thẳng vuông góc với EK tại K, cắt BC tại M. Chứng minh rằng EFM

Bài 1.2.37. Cho hình chữ nhật ABCD. Vẽ BH vuông góc với AC (H thuộc AC) Trên tia đối của tia BH lấy điểm E sao cho BE = AC . Chứng minh rằng

= 45o .

ADE

Bài 1.2.38. Cho tam giác ABC đều, H là trực tâm, đường cao AD, M là điểm bất kì trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AM, ID cắt EF tại K. Chứng minh rằng ba điểm M, H, K thẳng hàng.

Bài 1.2.39. Cho tam giác ABC. Về phía ngoài tam giác dựng các hình vuông ABDE, ACFG. Chứng minh rằng đường cao AH của tam giác ABC đi qua trung

điểm M cảu đoạn thẳng EG. Bài 1.2.40. Cho tam giác ABC có gó A nhọn. Về phía ngoài của tam giác ABC dưng các hình vuông ABDE, ACFG. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng DF. Chứng minh rằng tam giác MBC vuông cân đỉnh M.

CHƯƠNG 2. VẬN DỤNG CÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC PHẲNG VÀO GIẢI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG. 2.1. MỘT SỐ VÍ DỤ 18

Để giải được các bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng, trước tiên học sinh cần phải nắm được các tính chất hình học phẳng, biết cách chứng minh các tính chất hình học phẳng như chứng minh vuông góc, song song, tam giác

đồng dạng, tính số đo góc… Trong phần này tôi xin đưa ra một số ví dụ để thấy thấy rõ được tầm quan trọng của việc cần phải nắm chắc các tính chất hình học phẳng để giải các bài toán hình giải tích trong mặt phẳng.

Bài 2.1.1. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có trọng tâm G. Gọi E, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A, I là giao

điểm của đường thẳng AB và đường thẳng CD. Biết điểm D ( −1; − 1) , đường thẳng IG có phương trình 6x − 3y − 7 = 0 và điểm E có hoành độ bằng 1. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC (Trích đề thi HSG lớp 12 tỉnh Vĩnh Phúc năm

học 2015-2016).

Trong ví dụ này, để giải được thì điều quan trọng nhất là học sinh cần phải

chứng

minh

được

DE ⊥ CE, DE IG . Chính vì

y

vậy tôi xin đưa ra một số

B

cách để chứng minh như sau:

Cách 1:

H

E

Xét bài toán phụ, chọn hệ trục tọa độ Axy như hình vẽ

G

và giả sử AB = AC = 2 thì ta

suy

ra

C

A

có: A ( 0;0 ) ,B ( 0;2 ) ,C ( 2;0 ) ,

F

H (1;1) ,D ( −1; − 1) ,

2 2 E ( 0;1) , G  ;  3 3

I

D

⇒ DE (1;2 ) ,CE ( −2;1) ,

x

2   2 4   I  0; −  ⇒ IG  ;  .

3  3 3

DE.CE = 0,IG.CE = 0 ⇒ DE ⊥ CE,IG ⊥ CE .

19

1 1 1 Cách 2: DE = DA + AE = AB + AC + AB = AB + AC 2 2 2 1

CE = AB − AC . Suy ra DE.CE = 0 ⇒ DE ⊥ CE , tứ giác CDEH nội tiếp suy ra 2

(

)

= EHD = 45o ⇒ ECD = ABH = 45o ⇒ tứ giác AGCI nội tiếp nên IG ⊥ CE ECD Vậy DE ⊥ CE, IG ⊥ CE .

B

Giải: Gọi K là trung điểm của BI, suy ra

HK CD ⇒ A là trung điểm của KI,

H

E

1 1 HK = DI = IC ; AK = BK 2 2

K

⇒ GK AC ⇒ GK ⊥ AB ⇒ GB = GI = GC hay G là tâm

A

G

F

C

đường tròn đi qua ba điểm C, I, B. = 2IBC = 90o , ID = 1 IC CGI 2

D

I

⇒ DE IG .

Phương trình đường thẳng DE: 2x − y + 1 = 0 ⇒ E (1;3) CE ⊥ IG , suy ra phương trình CE :x + 2y − 7 = 0 . Tọa độ của G là nghiệm của

7  x=   x + 2y − 7 = 0  7 7 3 ⇔ ⇒ G  ;  ⇒ C ( 5;1) hệ phương trình  3 3 6x − 3y − 7 = 0  y = 7  3

5 DG = AG ⇒ A (1;1) ⇒ B (1;5) .

2 Vậy, A (1;1) ,B (1;5 ) và C ( 5;1) .

Bài 2.1.2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H ( 3;0 ) , I ( 6;1) là trung điểm của BC và đường thẳng AH có phương trình x + 2y − 3 = 0 . Gọi D, E lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C của tam giác

20

ABC. Xác định tọa độ các đỉnh tam giác ABC, biết đường thẳng DE có phương trình x − 2 = 0 và điểm D có tung độ dương.

Giải:

A

Gọi K là trung điểm của AH. Tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn tâm K và

K

BCDE nội tiếp đường tròn tâm I. Suy ra

IK ⊥ DE ⇒ phương trình IK :y − 1 = 0 .

D

E

Tọa độ K (1;1) ⇒ A ( −1;2 )

H

D ( 2;a ) ∈ DE . Ta có

B

I

C

a = 3 2 KA = KD ⇔ 5 = 1 + ( a − 1) ⇔  a = −1(loaï i) ⇒ D ( 2;3) Phương trình AC :x − 3y + 7 = 0 . Phương trình BC :2x − y − 11 = 0 .

Tọa độ C ( 8;5) ⇒ B ( 4; − 3) Vậy, A ( −1;2 ) , B ( 4; − 3) và C ( 8;5) .

Bài 2.1.3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H thuộc đường thẳng d : 2x − y = 0 và có hoành độ nhỏ hơn

9 . Gọi M là 5

điểm trên cung nhỏ BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, gọi D là điểm đối xứng của M qua AB. Đường tròn đi qua ba điểm A, B, D có phương trình 2

2

2  14  65   x +  +  y −  = . Tìm tọa độ các đỉnh B, C biết A ( 2;5 ) , đường thẳng 3  3 9  BC đi qua điểm E ( 9;0 ) và B, C có tọa độ nguyên.

Giải:

A

Vì M và D đối xứng với nhau = AMB

qua AB nên ADB

= AMB , Mặt khác ACB

H B

21

C

D M

+ AHB = 1800 ACB + AHB = 1800 . nên ADB

Do đó tứ giác AHBD là tứ giác nội tiếp ⇒ A, D,B,H cùng thuộc một đường tròn.

5  a =  2  14  65   5 10  3 H ( a;2a ) ⇒  a +  +  2a −  = ⇔ ⇒ H ;  3  3 9 3 3   a = 9 ( loaï i )  5 2

2

Phương trình đường thẳng BC : x + 5y − 9 = 0 ⇒ B ( −5b + 9;b ) b = 2 2 2 29   14  65  Mà B ∈ ( C ) nên  −5b +  +  b −  = ⇔ ⇒ B ( −1;2 ) .

27  b = ( loaï i ) 3 3 9     13  Phương trình đường thẳng AC : 2x + y − 9 = 0 ⇒ C ( 4;1) .

Vậy B ( −1;2 ) , C ( 4;1) .

Bài 2.1.4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và D có CD = 2AB . Gọi H ( −1;0 ) là hình chiếu vuông góc của D trên AC và N là trung điểm của HC. Tìm tọa độ các điểm A, C, D biết phương trình đường thẳng DN là

B

A H

x − 2y − 2 = 0 và điểm B (1;2 ) .

Giải: Gọi K là trung điểm DH. Ta có K

ABNK là hình bình hành nên KN ⊥ AD ⇒ K là trực tâm tam giác AND

N

D

C

⇒ AK ⊥ DN ⇒ BN ⊥ DN Phương trình đường thẳng BN là 2x + y − 4 = 0 tọa độ N ( 2;0 ) ⇒ C ( 5;0 ) Phương trình đt AC là y = 0 nên phương trình đường thẳng DH là x + 1 = 0 . Tọa

3 5   độ điểm D  −1; −  . Ta có CD = 2BA ⇒ A  −2;  .

2 4  

Bài 2.1.5. Trong mặt phẳng với hê tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có 2 điểm E, F lần lượt nằm trên các cạnh AB, AD sao cho EB = 2EA, FA = 2FD .

22

Biết F ( 2;1) và phương trình đường thẳng CE : x − 3y − 9 = 0 ,tam giác CEF vuông tại F. Tìm tọa độ điểm C biết C có hoành độ dương.

Giải:

D

C

= FBE

Ta có tứ giác CBEF là tứ giác nội tiếp ⇒ FCE F

= FCB = CFD

FEA

Đặt AB = y , AD = x ( x, y > 0 ) . ⇒ AF =

2x x y 2y ;DF = ;AE = ;BE = 3 3 3 3

A

B

E

Ta có:

= tan FEA ⇔ y2 = 2 x 2 tan CFD 3

Giả sử C ( 3a + 9;a ) ⇒ FC = ( 3a + 7;a − 1) . ( a > −3 ). Vtcp của CE là u = ( 3;1) = cos FCE

10a + 20 10 10a 2 + 40a + 50

=

a+2 a 2 + 4a + 5

a+2 2 = 15 ⇒ 15 = Với y2 = x 2 ta có: cos FCE 5 3 5 a 2 + 4a + 5

 −4 + 6 a = 2 ⇔  −4 − 6 ( lo¹i ) a =  2

 6 + 3 6 −4 + 6  ; Vậy tọa độ C   2 2   Bài 2.1.6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc ( d ) : x + 3y + 7 = 0 và A (1; 5 ) . Gọi M là điểm thuộc tia đối của tia BC sao cho MC = 2BC , N là hình chiếu vuông

M

 5 1 góc của B trên MD. Tìm B,C biết N  − ;  .  2 2

Giải:

N A

B

D

C

23

Ta có ngũ giác ADCBN nội tiếp đường tròn đường kính BD ⇒ Ngũ giác cũng nội tiếp đường tròn đường kính AC ⇒ AN ⊥ NC

Vì AN ⊥ NC ⇒ ( NC ) : 7x + 9y + 13 = 0

( NC ) ∩ ( d ) = C ⇒ C ( 2; −3) Gọi B ( a;b ) ⇒ M ( 2a − 2;2b + 3) .

5   a = 2   b = − 219

AB ⊥ BC   4a 2 + 11a + 4b 2 + 3b = 0 22 Ta có:  ⇔  2 ⇔  2 a − 3a + b − 2b − 13 = 0  NM ⊥ NB  a = 7   5  421  b = − 55    5 219   7 421  Kết luận: Vậy C ( 2; −3) ,B  ; −  hoặc C ( 2; −3) ,B  ; −   2 22   5 55 

2.2. BÀI TẬP THAM KHẢO Bài 2.2.1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh  4 8 B(0; 2) , trọng tâm và trực tâm của tam giác lần lượt là các điểm G  ;  và  3 3

H(1; 3) . Tìm tọa độ đỉnh C, biết C có hoành độ lớn hơn 2.

Bài 2.2.2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 1) , 7 7 trọng tâm là điểm G  ;  và đường tròn ngoại tiếp (C) có phương trình 3 3

2x 2 + 2y 2 − 9x − 9y + 14 = 0 . Viết phương trình cạnh BC. Bài 2.2.3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có

B(0; 2), C(3; 2) và đường tròn ngoại tiếp tam giác có phương trình là (C) :x 2 + y 2 − 3x − 5y + 6 = 0 . Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC, biết rằng điểm H nằm trên đường thẳng d :x − y + 2 = 0 .

24

Bài 2.2.4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, Cho tam giác ABC có A ( 3; −7 ) , trực tâm H ( 3; −1) , tâm đường tròn ngoại tiếp là I ( −2;0 ) . Xác định tọa độ đỉnh C biết C có hoành độ dương.

Bài 2.2.5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A ( 0;3) , trực tâm H ( 0;1) và trung điểm M (1;0 ) của cạnh BC. Tìm tọa độ điểm B, biết B có hoành độ âm.

Bài 2.2.6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đỉnh A ( 2;6 ) , tâm đường  1  tròn nội tiếp D ( 2;1) và tâm đường tròn ngoại tiếp E  − ;1 . Tìm tọa độ các  2 

đỉnh B và C, biết rằng đỉnh C có hoành độ dương.

Bài 2.2.7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh 3  A ( 2;6 ) , chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A là điểm D  2; −  và tâm 2   1  đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là điểm I  − ;1 . Tìm tọa độ các đỉnh B, C  2 

của tam giác đã cho.

Bài 2.2.8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có các điểm  18 6  D  ;  ;E ( 3;0 ) ;F ( 2;2 ) lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C của  5 5

tam giác ABC. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.

Bài 2.2.9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh

A(2; 3) , tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp là I(6; 6) , tọa độ tâm đường tròn nội tiếp là K(4; 5) . Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.

Bài 2.2.10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(−1; − 3) , trực tâm H(1; − 1) và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác I(2; − 2) . Tìm tọa độ các đỉnh B, C của tam giác ABC.

Bài 2.2.11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm

H(2; 1) và tâm đường tròn ngoại tiếp I(1; 0) . Trung điểm BC nằm trên đường

25

thẳng x − 2y − 1 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh B, C; biết rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC đi qua điểm E(6; − 1) và hoành độ của B nhỏ hơn 4.

Bài 2.2.12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có

A(−2; − 1) , trực tâm H(2; 1) và BC = 20 . Gọi B’, C’ lần lượt là chân đường cao kẻ từ các đỉnh B, C. Lập phương trình đường thẳng BC, biết rằng trung điểm M của cạnh BC nằm trên đường thẳng có phương trình x − 2y − 1 = 0 , tung độ của M dương và đường thẳng B’C’ đi qua điểm E(3; − 4).

Bài 2.2.13. Cho đường tròn (T) tâm I, bán kính R = 2 . Từ điểm K ( 3;2 ) ở ngoài đường tròn (T) kẻ các tiếp tuyến KA, KB tới (T) (A, B là các tiếp điểm). Lấy C đối xứng với A qua I. Tiếp tuyến của (T) tại C cắt AB tại E, biết C thuộc đường thẳng d :2x + y − 7 = 0,IE :x − 3y − 5 = 0 . Viết phương trình đường tròn (T).

Bài 2.2.14. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC không là tam giác vuông và nội tiếp đường tròn (I) (đường tròn (I) có tâm là I); điểm H ( 2;2 ) là trực tâm tam giác ABC. Kẻ các đường kính AM, BN của đường tròn (I). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết M ( 5;3) , N (1;3) và đường thẳng BC đi qua điểm P ( 4;2 ) .

Bài 2.2.15. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ∆ABC có A ( 2;3) , đường phân giác trong góc A có phương trình x − y + 1 = 0 và tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là I ( 6;6 ) . Viết phương trình cạnh BC, biết S∆ABC = 3S∆IBC .

Bài 2.2.16. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường phân giác trong của góc A là điểm D (1; − 1) . Đường thẳng AB có phương trình 3x + 2y − 9 = 0 , tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình x + 2y − 7 = 0 . Viết phương trình đường thẳng BC.

Bài 2.2.17. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm I ( 0;5 ) . Đường thẳng AI cắt đường tròn tại M ( 5;0 ) ( M

26

 17 6  khác A). Đường cao đi qua C cắt đường tròn I tại N  − ; −  , N ≠ C . Tìm tọa  5 5

độ các đỉnh A,B,C biết hoành độ điểm B lớn hơn O. Bài 2.2.18. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm B thuộc đường thẳng 5x + 3y − 10 = 0 . Gọi M là điểm đối xứng với D qua C; H, K lần lượt là hình chiếu của D, C trên AM. Biết K (1;1) , phương trình đường thẳng đi qua điểm H và tâm hình vuông ABCD là 3x + y + 1 = 0 . Tìm tọa độ các

đỉnh B, D. Bài 2.2.19. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD với hai

 1  đáy AB, CD. Biết diện tích là 14, đỉnh A (1;1) , trung điểm của BC là H  − ;0  .  2  Viết phương trình đường thẳng AB biết D có hoành độ dương và D thuộc đường thẳng d :5x − y + 1 = 0 .

Bài 2.2.20. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD có =D = 90o , CD = 2AB . Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm D trên đường A  22 14  chéo AC. Biết M  ;  là trung điểm của HC, đỉnh D ( 2;2 ) , đỉnh B thuộc  5 5

đường thẳng x − 2y + 4 = 0 , đường thẳng BC qua E ( 5;3) . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.

Bài 2.2.21. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A. Đường thẳng AC có phương trình 3x − y − 5 = 0 . Gọi H là trung điểm của BC, D là hình chiếu vuông góc của H trên AC và M là trung điểm của HD. Đường thẳng BD đi qua E ( 8; − 5 ) và phương trình đường thẳng AM :11x − 7y − 5 = 0 .

Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

Bài 2.2.22. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là một điểm trên đoạn BD; E, F lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AD;

27

 48 4  H  − ;  là giao điểm của CM và ED. Xác định tọa độ các đỉnh của hình  13 13  vuông ABCD, biết các đường thẳng FC :x + y + 4 = 0 ; EF :6x − 7y +

109 = 0.

4

Bài 2.2.23. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ B, C xuống cạnh đối diện lần lượt là K ( −2;2 ) ,E ( 2;2 ) . Điểm  16 2  P  ; −  là hình chiếu vuông góc của E xuống BC. Tìm tọa các đỉnh của tam  5 5 giác ABC.

Bài 2.2.24. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn

( C ) :( x − 2 )

2

2

+ ( y + 3) = 4 và hai điểm A ( 2; − 1) , B ( 2; − 5 ) . Một đường kính

MN thay đổi sao cho các đường thẳng AM, AN cắt tiếp tuyến của (C) tại B lần lượt tại P và Q. Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác MPQ biết điểm H nằm trên

đường thẳng d :x − y + 3 = 0 .

Bài 2.2.25. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp 3 5 đường tròn có A ( 2;9 ) . Trung điểm của BC là D  ;  . Biết BC vuông góc với 2 2

đường thẳng 3x − y + 2015 = 0 . Gọi M là điểm túy ý thuộc cung nhỏ BC. Điểm P, Q tương ứng đối xứng với M qua AC và AB. Biết phương trình đường thẳng chứa PQ là y = 6 . Tìm tọa độ các đỉnh B, C của tam giác ABC.

Bài 2.2.26. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông

1  1  tại A và B, có AD = AB = BC . Điểm A ( −2;3) , điểm E  − ;3  là giao điểm 2  3  của hai đường chéo AC và BD, điểm D nằm trên đường thẳng d :3x + y − 4 = 0 .

Tìm tọa độ đỉnh B, C, D của hình thang ABCD.

Bài 2.2.27. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn 2

2

(I) : ( x − 1) + ( y − 2 ) = 4 . Từ một điểm A nằm ngoài (I) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến (I) với B,C là các tiếp điểm. Gọi E, F lần lượt là trung điểm AB, AC.

28

 17  Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C biết điểm M  ;4  nằm trên đường thẳng EF,  4 

điểm A có hoành độ nguyên thuộc đường thẳng x + y − 10 = 0 .

Bài 2.2.28. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có

E ∈ AB;F(2;1) ∈ AD sao cho EB = 2EA ; FA = 3FD và tam giác CEF vuông tại F. Biết rằng phương trình CE : x − 3y − 9 = 0 và x C > 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

Bài 2.2.29. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A

( AB < AC )

có tọa độ đỉnh B ( 2;1) . Đường cao AH có phương trình

x + 2y − 10 = 0 . Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AB = CD . Kẻ MD vuông

cắt đường thẳng AH tại N. Tìm góc với AH tại M. Đường phân giác góc CBM tọa độ điểm N. 3 1  Bài 2.2.30. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có I  ;   2 16  và E (1;0 ) lần lượt là tâm đường trong ngoại tiếp và nội tiếp tam giác. Đường tròn (T) bàng tiếp góc A của tam giác ABC có tâm F ( 2; − 8 ) . Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết B có hoành độ âm.

KẾT LUẬN Đề tài này, tôi đã trình bày được một số vấn đề sau: 1. Đưa ra một số ví dụ về các tính chất hình học phẳng. Đưa ra hệ thống bài tập rèn luyện các tính chất hình học phẳng.

2. Vận dụng các tính chất hình học phẳng vào làm các bài tập hình học giải tích trong mặt phẳng.

3. Đưa ra hệ thống bài tập tham khảo về hình học giải tích trong mặt phẳng.

Đề tài này nhằm cung cấp cho giáo viên và các em học sinh một tài liệu tham khảo về chủ đề đại hình học giải tích trong mặt phẳng. Với việc đưa ra các tích chất quan trọng trong hình học phẳng để áp dụng vào giải các bài toán hình 29

học giải tích trong mặt phẳng. Đề tài sẽ giúp học sinh có cái nhìn sâu sắc hơn về chủ đề này, giúp cho việc học chủ đề hình học giải tích trong mặt phẳng, vốn là một chủ đề khó trở nên dễ dàng.

Đối với trường trung học phổ thông Trần Phú, đề tài đã, đang và sẽ góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy môn Toán, nâng cao chất lượng thi học sinh giỏi và chất lượng thi tuyển sinh đại học, cao đẳng.

30

KIẾN NGHỊ Đối với giáo viên: Không ngừng đầu tư vào chuyên môn, nghiệp vụ sư phạm Không ngừng nghiên cứu đổi mới và nâng cao chất lượng giảng dạy. Cần có sự quan tâm chú ý đến khả năng nhận thức của các đối tượng học sinh để đưa ra các phương pháp dạy học phù hợp với từng đối tượng đó. Giúp học sinh có hứng thú trong học tập bộ môn Toán nói riêng và các môn học trong nhà trường nói chung.

Đối với nhà trường và tổ chuyên môn: Trong các buổi họp tổ nên tổ chức giao lưu các chuyên đề giữa các giáo viên trong tổ, giúp giải quyết các bài toán khó, các vấn đề nảy sinh trong quá trình giảng dạy. Xa hơn nữa, có thể tổ chức các buổi giao lưu chuyên đề với một số trường có chất lượng giảng dạy tốt trong tỉnh cũng như các tỉnh bạn giúp cho các giáo viên trong tổ có cơ hội học hỏi các kinh nghiệm của các đồng nghiệp, giúp nâng cao chất lượng dạy và học của trường trung học phổ thông Trần Phú.

Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân tôi đã đúc kết được trong quá trình giảng dạy, chắc chắn vần còn mang tính chủ quan của bản thân và không thể tránh khỏi các sai sót. Các vấn đề tôi đưa ra rất mong được sự góp ý nhiệt tình của các quý thầy cô, đặc biệt là của các em học sinh để đề tài của tôi ngày càng hoàn thiện hơn và áp dụng thiết thực hơn nữa vào quá trình dạy học.

31

TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Văn Như Cương, Phạm Vũ Khuê, Trần Hữu Nam. Bài tập hình học nâng cao 10, Nhà xuất bản Giáo dục, 2008.

[2] Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Nguyễn Văn Đoành, Trần Dức

Huyên. Hình học 10 , Nhà xuất bản Giáo dục, 2008.

[3] Nguyễn Bá Kim. Phương pháp dạy học môn Toán, Nhà xuất bản ĐHSP, 2008.

[4] Hoàng Văn Minh. Tuyển tập đề thi thử đại học ba miền bắc trung nam môn Toán, Nhà xuất bản ĐHSP, 2012.

[5] Đặng Thành Nam. Kỹ thuật giải nhanh hình phẳng Oxy, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2015.

[6] Bùi Văn Nghị. Phương pháp dạy học những nội dung cụ thể môn Toán, Nhà xuất bản ĐHSP, 2008.

[7] Bùi Văn Nghị. Vận dụng lí luận vào thực tiễn dạy học môn Toán ở trường phổ thông, Nhà xuất bản ĐHSP, 2009.

[8] Lưu Xuân Tình, Phạm Ngọc Anh, Bùi Anh Tuấn. Tuyển tập 36 đề ôn luyện thi môn Toán, Nhà xuất bản ĐHSP, 2010.

[9] Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực hiện chương trình SGK lớp 11 môn Toán, Nhà xuất bản Giáo dục, 2007.

32

33