TUYỂN TẬP 90 ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2015-2016 2018-2019 MÔN THI TOÁN

ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN MÔN TOÁN

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN EBOOK PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

TUYỂN TẬP 90 ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2015-2016 2018-2019 MÔN THI TOÁN HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ WORD VERSION | 2021 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

2 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HÓA ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

Đề số 1 (Đề thi có 02 trang) Câu 1. (4 điểm)

12 12 12 5 5 5   12 − 7 − 289 − 85 5 + 13 + 169 + 91  158158158 : . a) Thực hiện phép tính: A = 81.  4 4 4 6 6 6  711711711  4− − − 6+ + +  7 289 85 13 169 91   1 x 1 x+1 1 7 1 8 2 1 1 b) Tìm x biết: 1) - ( x − ) = (2 x − 1) 2) .2 + .2 = .2 + .2 3 4 3 5 3 5 3 c. Tìm hai số tự nhiên a và b biết tổng BCNN và ƯCNN của chúng bằng 15. d. Tìm x nguyên thỏa mãn: x + 1 + x − 2 + x + 7 = 5 x − 10 Câu 2. (4 điểm) a. Thực hiện phép tính:

A=

5.(22.32 )9 .(22 )6 − 2.(22.3)14 .34 5.228.318 − 7.229.318

b. Tìm các số nguyên n sao cho: n2 + 5n + 9 là bội của n + 3 c. Chứng minh rằng bình phương của một số nguyên tố khác 2 và 3 khi chia cho 12 đều dư 1 d. Tìm x, y nguyên sao cho: xy + 2x + y + 11 = 0 Câu 3. (4 điểm) a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6, chia cho 4 dư 1và chia cho 19 dư 11.

6 9 9 b) Tìm 3 số có tổng bằng 210, biết rằng số thứ nhất bằng số thứ 2 và số thứ 7 11 11 2 2 bằng số thứ 3.

3 a 15 b 9 c 9 c) Tìm số tự nhiên a, b, c, d nhỏ nhất sao cho: = ; = ; = b 21 c 12 d 11 d) Tìm hai số biết tỉ số của chúng bằng 5 : 8 và tích của chúng bằng 360.

Câu 4. (5 điểm) 1. a) Cho đoạn thẳng AB dài 7cm. Trên tia AB lấy điểm I sao cho AI = 4 cm. Trên tia BA lấy điểm K sao cho BK = 2 cm. Hãy chứng tỏ rằng I nằm giữa A và K. Tính IK. b) Trên tia Ox cho 4 điểm A, B, C, D. biết rằng A nằm giữa B và C; B nằm giữa C và D ; OA = 5cm; OD = 2 cm ; BC = 4 cm và độ dài AC gấp đôi độ dài BD. Tìm độ dài các đoạn BD; AC. 2. Trên mặt phẳng bờ Ox vẽ hai tia Oy và Oz sao cho số đó ∠ xOy = 700 và số đo ∠ yOz = 300. a) Xác định số đo của ∠ xOz

3 b) Trên tia Ox lấy 2 điểm A và B (Điểm A không trùng với điểm O và độ dài OB dài hơn OA). Gọi M là trung điểm của OA. Hãy so sách độ dài MB so với trung bình cộng với độ dài OB và AB. Câu 5. ( 3 điểm) a) Chứng minh rằng: 32 + 33+ 34 +……+ 3101 chia hết cho 120. a a b) Cho hai số a và b thỏa mãn: a – b = 2(a + b) = . Chứng minh a = -3b ; Tính ; b b Tìm a và b c) Tìm x, y, z biết: ( x – y2 + z)2 + ( y – 2)2 + ( z +3)2 = 0

___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

4 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HÓA ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2014-2015 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

Đề số 2 (Đề thi có 01 trang) Bài 1 (4,5 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau: a. A =

2 5 1 + : 5 − .(−3) 2 3 6 18

b. B = 3.{5.[(52 + 23): 11] - 16} + 2015

 

c. C =  1 +

1  1  1   1  1 + 1 +  ...1 +  1.3  2.4  3.5   2014.2016 

Bài 2 (4,0 điểm) a. Tìm số tự nhiên x biết 8.6 + 288 : (x - 3)2 = 50 b. Tìm các chữ số x; y để A = x183y chia cho 2; 5 và 9 đều dư 1. c. Chứng tỏ rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2 - 1 chia hết cho 3.

Bài 3 (4,5 điểm) 5 a. Cho biểu thức : B = ( n ∈ Z , n ≠ 3) n−3 Tìm tất cả các giá trị nguyên của n để B là số nguyên. b.Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: x2 + 117 = y2 c. Số 2100 viết trong hệ thập phân có bao nhiêu chữ số .

Bài 4 (5,0 điểm) = 550. Trên các tia Bx; By lần lượt lấy các điểm A; C Cho góc xBy ( A ≠ B; C ≠ B). Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D sao cho ABD = 300 a. Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm. . b. Tính số đo của DBC

= 900. Tính số đo ABz . c. Từ B vẽ tia Bz sao cho DBz Bài 5 (2,0 điểm) a. Tìm các chữ số a, b, c khác 0 thỏa mãn: abbc = ab × ac × 7 2015 94 1 b. Cho A = (7 2012 − 392 ) . Chứng minh A là số tự nhiên chia hết cho 5.

2 ___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

5

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2011-2012 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HÓA ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 3 (Đề thi có 01 trang) Bài 1 (4.0 điểm) : Tính giá trị biểu thức a/ A = 2 + 5 + 8 + 11 + ... + 2012 1  1   1  1  1   b/ B =  1 −  1 −   1 −  ...  1 −  1 −   2   3   4   2011   2012 

Bài 2 (4.0 điểm) : a/ Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55 b/ Chứng minh rằng :

1 1 1 1 1 + 2 + 2 + ... + < 2 2 4 6 8 (2n) 4

Bài 3 (3.0 điểm ) : Cho biểu thức : A =

2n + 1 3n − 5 4n − 5 + − n−3 n−3 n −3

a/ Tìm n để A nhận giá trị nguyên. b/ Tìm n để A là phân số tối giản Bài 4 (3.0 điểm) : Tìm số nguyên tố ab ( a > b > 0 ), sao cho ab − ba là số chính phương Bài 5 (4.0 điểm) : Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA và OB. a/ Vẽ tia OC tạo với tia OA một góc bằng ao, vẽ tia OD tạo với tia OCC một góc bằng (a + 10)o và với tia OB một góc bằng (a + 20)o. Tính ao b/ Tính góc xOy, biết góc AOx bằng 22o và góc BOy bằng 48o c/ Gọi OE là tia đối của tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD khi góc AOC bằng ao Bài 6 (3.0 điểm) : Cho A = 10 2012 + 10 2011 + 10 2010 + 10 2009 + 8 a/ Chứng minh rằng A chia hết cho 24 b/ Chứng minh rằng A không phải là số chính phương.

___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

6

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOÀI NHƠN ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 4 (Đề thi có 01 trang) Bài 1: (4,0 điểm) a) Cho n = 7a5 + 8b4. Biết a – b = 6 và n chia hết cho 9. Tìm a và b. b) Tìm các số tự nhiên x, y sao cho: 5x + 12y = 26.

Bài 2: (4,0 điểm) a 1 1 − = 7 2 b+3 1 1 1 22 ( + +...+ ).x= 45 1.2.3 2.3.4 8.9.10

a)Tìm các số nguyên a, b biết rằng: b) Tìm x, biết :

Bài 3: (4,0 điểm) a) Cùng một công việc nếu mỗi người làm riêng thì 3 người A, B, C hoàn thành công việc trong thời gian lần lượt là 6 giờ, 8 giờ, 12 giờ. Hai người B và C làm chung trong 2 giờ sau đó người C chuyển đi làm việc khác, người A cùng làm với người B tiếp tục công việc cho đến khi hoàn thành. Hỏi người A làm trong mấy giờ? b) Cho D = 5 + 52 + 53 + 54 + ... + 519 + 520. Tìm số dư khi chia D cho 31.

Bài 4: (4,0 điểm) a) So sánh M và N biết:

M=

19 30 + 5 ; 19 31 + 5

N =

19 31 + 5 19 32 + 5

b) Thực hiện tính:

E = 1+

1 1 1 1 (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + (1 + 2 + 3 + 4) + ... + (1 + 2 + ... + 200) 2 3 4 200

Bài 5: (4,0 điểm)

= 500. Gọi Om là tia phân của góc

= 1200, xOz a) Cho: xOy yOz . Tính xOm b) Cho 20 điểm phân biệt trong đó có đúng 7 điểm thẳng hàng, ngoài ra không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Hỏi từ 20 điểm đó vẽ được tất cả bao nhiêu đường thẳng?

___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

7 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN ĐỨC PHỔ ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

Đề số 5 (Đề thi có 01 trang)

Câu 1: ( 4 điểm) a) A =

1 1 1 1 + + + ... + 10 15 21 120

b) Tìm các số nguyên x và y biết rằng ( x − 2 )( xy − 1) = 5 Câu 2: ( 5 điểm) a) Tìm các số nguyên n để giá trị của biểu thức A =

17 là số nguyên 2n + 1

b) Tìm số tự nhiên x biết rằng

x + ( x + 1) + ( x + 2 ) + ( x + 3) + ... + ( x + 100 ) = 8080 Câu 3: ( 5 điểm) a) Cho hai phân số có tổng bằng 2013 lần tích của hai phân số đó. Tính tổng số các nghịch đảo của hai phân số đó. b) Tìm số tự nhiên a biết rằng khi chia 355 cho a ta được số dư là 13 và khi chia 836 cho a có số dư là 8 Câu 4: ( 2 điểm) Chứng tỏ rằng nếu a là một số lẻ không chia hết cho 3 thì a 2 − 1 chia hết cho 6 Câu 5: ( 4 điểm) a)Trên đường thẳng xy lấy các điểm M, N, P sao cho độ dài MN = a và NP = 2a ( với a > 0) . Tính độ dài đoạn thẳng MP theo a

trong nửa mặt phẳng có chứa tia ON với bờ là b) Cho tia Ox là phân giác của MON

> MON . Chứng tỏ rằng: đường thẳng chứa tia OM, vẽ tia Oy sao cho MOy

= MOy + NOy xOy 2

___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN

8

HUYỆN VŨ THƯ

LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 6 (Đề thi có 01 trang) Bài 1 (4 điểm): 1) Tính giá trị các biểu thức sau:

A = - 1 - 2 + 3 + 4 - 5 - 6 + 7 + 8 - 9 - 10 + 11 + 12 - ... - 2013 - 2014 + 2015 + 2016 1  1  1  1   1   1   1  2) B =  − 1  :  − 1 :  − 1 :  − 1 : ... :  − 1 :  − 1 :  − 1 2  3  4  5   98   99   100  Bài 2 ( 4 điểm): 2

3

4

5

6

2014

2015

2016

1) Cho C = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + ... + 4 +4 +4 Chứng minh rằng C ⋮ 21 và C ⋮ 105 2) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên khác 0, có số lượng các ước tự nhiên là một số lẻ thì số tự nhiên đó là một số chính phương.

Bài 3 ( 4 điểm): 1) Tìm số dư trong phép chia khi chia một số tự nhiên cho 91. Biết rằng nếu lấy số tự nhiên đó chia cho 7 thì được dư là 5 và chia cho 13 thì được dư là 4.

x 1 +1= 5 y -1

2) Tìm các cặp số nguyên (x, y) biết: Bài 4 (2 điểm):

1 1 1 1 1 1 1 1 và F = + + +... + + + + ... + 1.101 2.102 3.103 10.110 1.11 2.12 3.13 100.110 E Tính tỉ số: F = 1200 . Điểm E nằm giữa B và C sao cho Bài 5 ( 4 điểm): Cho tam giác ABC có BAC = 300 . Trên mặt phẳng có bờ AC chứa điểm B kẻ tia Ax sao cho CAx = 300 , tia Ax BAE Cho E =

cắt BC ở F.

. a) Chứng minh F nằm giữa E và C. Tính số đo của EAF

. Chứng minh AI cũng là tia phân giác của EAF . b) Gọi AI là tia phân giác của BAC 2

Bài 6 (2 điểm): Cho biểu thức: D =

(2!)

12

2

+

(2!)

32 So sánh D với 6. Biết n! = 1.2.3.....n; n ∈ N

2

+

(2!)

52

2

+

(2!)

72

2

+ ... +

(2!)

20152

___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN

9

TRƯỜNG QUỲNH GIANG

LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2016-2016 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 7 (Đề thi có 01 trang) Câu 1 (2,0 điểm) a) Tính nhanh: 16 + (27 - 7.6) - (94.7 - 27. 99) b) Tính tổng: A =

2 2 2 2 + + + .... + 1.4 4.7 7.10 97.100

Câu 2 (2,0 điểm) Cho biểu thức: M = 5 + 52 + 53 + … + 580. Chứng tỏ rằng: a) M chia hết cho 6. b) M không phải là số chính phương.

Câu 3 (2,0 điểm) a) Chứng tỏ rằng:

2n + 5 , ( n ∈ N ) là phân số tối giản. n+3

b) Tìm các giá trị nguyên của n để phân số B =

2n + 5 có giá trị là số nguyên. n+3

Câu 4 (1,0 điểm) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 3 dư 1; chia cho 4 dư 2; chia cho 5 dư 3; chia cho 6 dư 4 và chia hết cho 11.

Câu 5 (2,0 điểm) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ 3 tia Oy, Oz, Ot sao cho

= 30 ; xOz = 70 ; xOt = 110 xOy

yOz và zOt a) Tính

b) Trong 3 tia Oy, Oz, Ot tia nào nằm giữa 2 tia còn lại? Vì sao? c) Chứng minh: Oz là tia phân giác của góc yOt. Câu 6 (1,0 điểm) Chứng minh rằng:

1 1 1 1 + 2 + 2 +...+ <1 2 2 3 4 100 2

___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN TĨNH GIA

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2013-2014

10

MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 8 (Đề thi có 01 trang) Câu 1: (4.0 điểm) Thực hiện phép tính bằng cách hợp lí : a) (-2013).2014+1007.26  1313 10   130 1515  b)  + − −   1414 160   140 1616 

Câu 2: (6.0 điểm) a) Tìm x, y, z biết: x- y = 2011 ; y-z = -2012 ; z+x = 2013 b) Tìm hai số tự nhiên a và b biết : BCNN(a,b)=180; ƯCLN(a,b) = 12 c) Tìm n ∈ Z để phân số A=

4n − 1 có giá trị nguyên.

2n + 3

Câu 3: (4.0 điểm) Một hiệu sách có năm hộp bút bi và bút chì. Mỗi hộp chỉ đựng một loại bút. Hộp 1: 78 chiếc; Hộp 2: 80 chiếc; Hộp 3: 82 chiếc; Hộp 4: 114 chiếc; Hộp 5: 128 chiếc. Sau khi bán một hộp bút chì thì số bút bi còn lại gấp bốn lần số bút chì còn lại. Hãy cho biết lúc đầu hộp nào đựng bút bi, hộp nào đựng bút chì?

Câu 4: (4.0 điểm) Trên tia Ox cho 4 điểm A, B, C, D. Biết rằng A nằm giữa B và C; B nằm giữa C và D ; OA = 7cm; OD = 3cm ; BC = 8cm và AC =3BD. a) Tính độ dài AC. b) Chứng tỏ rằng: Điểm B là trung điểm của đoạn thẳng AD. Câu 5: (2.0 điểm) Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho sau khi viết tiếp số đó vào sau số 2014 ta được số chia hết cho 101.

___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN VIỆT YÊN

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2012-2013

11 ĐỀ THI CHÍNH THỨC

MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

Đề số 9 (Đề thi có 01 trang)

Câu 1: (4 điểm). Thực hiện phép tính

5.(22.32 )9 .(22 )6 − 2.(22.3)14 .34 a) A = 5.2 28.318 − 7.229.318 12 12 12 5 5 5   12 − 7 − 289 − 85 5 + 13 + 169 + 91  158158158 : . b) B = 81.  4 4 4 6 6 6  4− − − 6+ + +  711711711 7 289 85 13 169 91  

Câu 2: (4 điểm) a) So sánh P và Q Biết

P=

2010 2011 2012 2010 + 2011 + 2012 và Q = + + 2011 2012 2013 2011 + 2012 + 2013

b) Tìm hai số tự nhiên a và b, biết: BCNN(a,b) = 420; ƯCLN(a,b)=21 và a +21 = b.

Câu 3: (4 điểm) a) Chứng minh rằng: Nếu 7x + 4y ⋮ 37 thì 13x +18y ⋮ 37 b) Cho A =

1 3 3 2 3 3 3 4 3 3 + + ( ) + ( ) + ( ) + ... + ( ) 2012 và B = ( ) 2013 : 2 2 2 2 2 2 2 2

Tính B – A , trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 6 cm. Trên tia đối của Câu 4. (6 điểm) Cho xAy tia Ax lấy điểm D sao cho AD = 4 cm. a) Tính BD. = 800, BCA = 450. Tính ACD . b) Lấy C là một điểm trên tia Ay. Biết BCD

c) Biết AK = 2 cm (K thuộc BD). Tính BK Câu 5: (2 điểm) Tìm hai số nguyên tố x và y sao cho: x2 – 2x + 1 = 6y2 -2x + 2 ___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN TÂN UYÊN ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2010-2011 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

12

Đề số 10 (Đề thi có 01 trang) Câu 1. (3 điểm) Tìm chữ số tận cùng của các số sau: a) 572011 b) 931999 Câu 2. (4 điểm) a) Không quy đồng hãy tính tổng sau: −1 −1 −1 −1 −1 −1 A= + + + + + 20 30 42 56 72 90 −7 −15 −15 −7 b) So sánh: N = 2005 + 2006 và M = 2005 + 2006 10 10 10 10 Câu 3. (4,5 điểm) a) Cho

ababab là số có sáu chữ số, chứng tỏ số ababab là bội của 3.

b) Chứng tỏ rằng

12 n + 1 là phân số tối giản.

30n + 2 5

15

c) Chứng tỏ: S = 16 + 2

chia hết cho 33.

Câu 4: ( 3,5 điểm) Số học sinh khối 6 của một trờng cha đến 400 bạn, biết khi xếp hàng 10; 12; 15 đều d 3 nhng nếu xếp hàng 11 thì không d. Tính số học sinh khối 6 của trờng đó.

Câu 5 (2 điểm) Cho 2010 đờng thẳng trong đó bất kì 2 đờng thẳng nào cũng cắt nhau. Không có 3 đờng thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng.

Câu 6. (3 điểm) Cho góc xOy và góc yOz là hai góc kề bù. Góc yOz bằng 300 = 750; tia On nằm trong góc yOz sao a.Vẽ tia Om nằm trong góc xOy sao cho xOm = 150 cho yOn b. Hình vẽ trên có mấy góc? c. Nếu có n tia chung gốc thì sẽ tạo nên bao nhiêu góc? ___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HẬU LỘC ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN

13

Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) Đề số 11 (Đề thi có 01 trang) Bài 1 : (5 điểm) Thực hiện các phép tính sau một cách hợp lý :

(

2

2

a) 10 + 11 + 12

2

) : (13

2

+ 142 ) .

b) 1.2.3...9 − 1.2.3...8 − 1.2.3...7.8

2

16 2

c)

( 3.4.2 )

11.213.411 − 169

d) 1152 - (374 + 1152) + (-65 + 374) e) 13 - 12 + 11 + 10 - 9 + 8 - 7 - 6 + 5 - 4 + 3 + 2 - 1 Bài 2 : (4 điểm) Tìm x, biết:

(

2

a) 19x + 2.5

) :14 = (13 − 8)

2

− 42

b) x + ( x + 1) + ( x + 2 ) + ... + ( x + 30 ) = 1240 c) 11 - (-53 + x) = 97 d) -(x + 84) + 213 = -16 Bài 3 : (2 điểm) Tìm hai số tự nhiên a và b, biết: BCNN(a,b)=300; ƯCLN(a,b)=15 và a+15=b.

Bài 4 : (3 điểm) 2010 2011 2012 2010 + 2011 + 2012 a) So sánh P và Q, biết: P = + + và Q = 2011 2012 2013 2011 + 2012 + 2013 2009 2008 + 1 2009 2009 + 1 và B = 2009 2009 + 1 2009 2010 + 1 Bài 5 : (6 điểm) Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của OA, OB. a) Chứng tỏ rằng OA < OB. b) Trong ba điểm O, M, N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại ? c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB).

b) So sánh A và B biết A =

___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN QUAN SƠN ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

14

Đề số 12 (Đề thi có 01 trang) Bài 1 (4điểm) Thực hiện phép tính a/ A=

3 5 5 1 1 + 6 11 − 9  : 8 5 6  20 4 3

b/ B =

−1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 + + + + + + + + 2 6 12 20 30 42 56 72 90

Bài 2 (4điểm): Tìm x biết

2 4 5 + − 1 3   a/ x :  9 −  = 5 9 11  2 2  8 + 16 − 20 5 9 11

1 2  1  b/ 2x − − ( −2 ) = 4.  3  −2 

3

Bài 3 (5điểm) a/ Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số biết rằng số đó chia cho 4,6,7 đều dư 3. b/ Tìm số nguyên tố p sao cho p+10 và p + 14 đều là số nguyên tố c/ Tìm các số nguyên x, y thoả mãn điều kiện

x ( y + 2) − y = 3

Bài 4 (5điểm): Cho góc xAy, trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB=5cm. Trên tia đối của tia Ax lấy điểm D sao cho AD = 3cm, C là một điểm trên tia Ay. a/ Tính độ dài đoạn thẳng BD.

= 850 , BCA = 500 . Tính số đo góc ACD. b/ Biết BCD c/ K là điểm trên đoạn thẳng BD sao cho AK = 1cm. Tính BK. Bài 5 (2 điểm) Cho các số a 1 ,a 2 ,...,a 7 là các số nguyên và b1 , b 2 ,..., b 7 cũng là các số nguyên đó nhưng lấy theo thứ tự khác. Chứng minh rằng

( a1 − b1 )( a 2 − b2 ) ( a 3 − b3 )....( a 7 − b7 ) là số chẵn. ___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN LƯƠNG TÀI ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

15

Đề số 13 (Đề thi có 01 trang) Bài 1: (1,0điểm) Thực hiện phép tính ( tính hợp lý nếu có thể ) a/ 1968 : 16 + 5136 : 16 -704 : 16 b/ 23. 53 - 3 {400 -[ 673 - 23. (78 : 76 +70)]} Bài 2: ( 1,0điểm) M có là một số chính phương không nếu : M = 1 + 3 + 5 +…+ (2n-1) ( Với n ∈ N , n ≠ 0 ) Bài 3: (1,5điểm) Chứng tỏ rằng: a/ (3100+19990) ⋮ 2 b / Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4 Bài 4 : (1,0điểm) So sánh A và B biết :

A=

17 18 + 1 , 1719 + 1

B=

17 17 + 1 1718 + 1

Bài 5: ( 2,0điểm ) Tím tất cả các số nguyên n để: a) Phân số

n +1 có giá trị là một số nguyên n−2

b) Phân số

12 n + 1 là phân số tối giản 30 n + 2

Bài 6: (2,5điểm) Cho góc xBy = 550 .Trên các tia Bx, By lần lượt lấy các điểm A, C ( A ≠ B, C ≠ B ). Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D sao cho góc ABD = 300 a/ Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm b/ Tính số đo góc DBC c/ Từ B vẽ tia Bz sao cho góc DBz = 900 . Tính số đo ABz. Bài 7: (1,0điểm) Tìm các cặp số tự nhiên x , y sao cho : (2x + 1)( y – 5) = 12 ___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN ANH SƠN ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

16

Đề số 14 (Đề thi có 01 trang) Bài 1: (2,5 điểm) Thực hiện phép tính: a) - 32.56 - 32.25 - 32.19 b) 24.5 − 131 − (13 − 4)2    c)

93.253 182.1252

Bài 2: (2,0 điểm) Tìm x, biết; a) 4 – 2(x + 1) = 2 b) 52 x −3 − 3.52 = 52.2 Bài 3: (2,0 điểm) Cho phân số A=

n+1 (n ∈ Z) n-3

a) Tìm n để A là phân số. b) Tìm n để A là phân số tối giản. c) Tìm n để A có giá trị lớn nhất.

Bài 4: (2,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB. Điểm C thuộc tia đối của tia BA. M là trung điểm của đoạn thẳng AB. a) Chứng tỏ rằng: CM =

CA + CB 2

= 300 ; b) Gọi O là một điểm nằm ngoài đoạn thẳng AB. Biết AOC = 1200 ; BOC

không? Vì sao?

AOM = 600 . Hỏi OB có phải là tia phân giác của MOC Bài 5: (1.5 điểm) a) Có 68 người đi tham quan bằng hai loại xe: loại 12 chỗ ngồi và loại 7 chỗ ngồi.

Biết số người đi vừa đủ với số ghế ngồi. Hỏi mỗi loại có mấy xe? b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có n 2 + n + 2 không chia hết cho 5.

___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN VIỆT YÊN ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

17

Đề số 15 (Đề thi có 01 trang) Câu 1: (4 điểm) Tính: a) A = 1 + 2 − 3 − 4 + 5 + 6 − 7 − 8 + 9 + ... + 2013 + 2014 − 2015 − 2016 b) B =

2.4.10 + 4.6.8 + 14.16.20 3.6.15 + 6.9.12 + 21.24.30

Câu 2: (6 điểm)

102014 + 2016 102015 + 2016 và B = 102015 + 2016 102016 + 2016 1 1 1 1 119 b) Tìm x biết: ( + + + ... + ).x = 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 7.8.9.10 720 a) So sánh A =

c) Chứng minh rằng: nếu p và p2+2 là các số nguyên tố thì p3+2 cũng là số nguyên tố.

Câu 3: (4 điểm) a) Tìm số tự nhiên n để phân số

2n + 1 là phân số rút gọn được. n+2

b) Trong đợt tổng kết năm học tại một trường THCS, tổng số học sinh giỏi của ba lớp 6A, 6B, 6C là 90 em. Biết rằng của lớp 6B và bằng

2 1 số học sinh giỏi của lớp 6A bằng số học sinh giỏi 5 3

1 số học sinh giỏi của lớp 6C. Tính số học sinh giỏi mỗi lớp.

2

Câu 4: (4 điểm)

= 600 , AB=6cm. Trên cạnh AB lấy điểm D (D khác A,B) Cho tam giác ABC có ACB sao cho AD=2cm. a) Tính độ dài đoạn thẳng BD. biết ACD = 200 . b) Tính số đo của DCB

= 900 . Tính ACx . c) Dựng tia Cx sao cho DCx d) Trên cạnh AC lấy điểm E (E khác A,C). Chứng minh hai đoạn thẳng CD và BE cắt nhau.

Câu 5: (2 điểm) Tìm bộ ba số nguyên dương a, b, c sao cho:

1 1 1 4 + + = a b c 5

___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG TRANG NÔNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2014-2015 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

18

Đề số 16 (Đề thi có 01 trang)

Câu 1 (1,5 điểm): Thực hiện phép tính.

3 3 3 3 − + − 24.47 − 23 7 11 1001 13 . a) A = 9 9 9 9 24 + 47 − 23 − + − +9 1001 13 7 11 3+

b) M =

1 + 2 + 22 + 23 + ... + 22012 22014 − 2

Câu 2 (2,5 điểm) a) Cho S = 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 +…+ 52012. Chứng tỏ S chia hết cho 65. b) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6, chia cho 4 dư 1và chia cho 19 dư 11. c) Chứng tỏ: A = 10n + 18n - 1 chia hết cho 27 (với n là số tự nhiên) Câu 3 (2,0 điểm) a) Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55 b) Chứng minh rằng:

1 1 1 1 1 + 2 + 2 + ... + < 2 2 4 6 8 (2n) 4

Câu 4 (2,5 điểm): Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA và OB. a) Vẽ tia OC tạo với tia OA một góc bằng ao, vẽ tia OD tạo với tia OCC một góc bằng (a + 10)o và với tia OB một góc bằng (a + 20)o. Tính ao b) Tính góc xOy, biết góc AOx bằng 22o và góc BOy bằng 48o c) Gọi OE là tia đối của tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD khi góc AOC bằng ao Câu 5 (1,5 điểm): Cho A = 102012 + 102011 + 10 2010 + 102009 + 8 a) Chứng minh rằng A chia hết cho 24 b) Chứng minh rằng A không phải là số chính phương. ___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG NGA SƠN ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 17

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2011-2012 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

19 (Đề thi có 01 trang) Câu 1 (4 điểm ): Tính:  136 28 62  21 a.  − + . .

5 10  24  15 2 2 2 c. . + + ... + 3.5 5.7 49.51

5 5 5 1 1 + 6  11 − 9  : 8 .

6 6  20 4 3 2 a 3b 4c 5d 2a 3b 4c 5d d. + + + biết = = = .

3b 4c 5d 2a 3b 4c 5d 2a

b.

Câu 2 (4 điểm ): Tìm x biết: a. (19 x + 2.52 ) :14 = (13 − 8) 2 − 42.

b. (

3x −1 + 1) : (-4) = .

7 28

c. 1 + 5 + 9 + 13 + 17 + ... + x = 4950 .

Câu 3( 5 điểm): a. Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, biết rằng khi chia số đó cho các số 30 ; 39 ; 42 thì được các số dư lần lượt là 11 ; 20 ; 23.

1 1 1 3 4 . Chứng minh: < S < . + + ... + 31 32 60 5 5

b. Cho tổng : S =

Câu 4 (6 điểm): Cho tam giác ABC có ABC = 550, trên cạnh AC lấy điểm D sao cho

ABD = 300. a) Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm.

. b) Tính số đo của DBC = 900. Tính số đo c) Từ B dựng tia Bx sao cho DBx ABx . d) Trên cạnh AB lấy điểm E (E không trùng với A và B). Chứng minh rằng 2 đoạn thẳng BD và CE cắt nhau.

Câu 5 (1 điểm): Không sử dụng máy tính hãy tính giá trị của biểu thức: A = 22 + 42 + 62 + ... + 982.

___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THẠCH THÀNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 18

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2016-2017 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

20 (Đề thi có 01 trang) Câu 1: (4,0 điểm). Tính giá trị các biểu thức sau: a) A = 68.74 + 27.68 – 68 b) B = 23.53 – 3.{539 – [639 – 8.(78 : 76 + 20170)]}

 151515 179   1500 1616  c) C =  + 10  −  −   161616 17   1600 1717   1  1  1   1  d) D =  2 − 1 2 − 1  2 − 1 .....  − 1 2 2 3 4 100       Câu 2: (2,0 điểm). Tìm số nguyên x, biết: x x x x x x x x x x 220 a) 2016 : [25 – (3x + 2)] = 32.7 b) + + + + + + + + + = 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 39 Câu 3: (3,0 điểm) a) Cho A = 3 + 32 + 33 + 34 + … + 390. Chứng minh rằng A chia hết cho 11 và 13 b) Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y sao cho: xy – 2x + y + 1 = 0 Câu 4: (4,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số, sao cho chia nó cho 8 thì dư 7 và chia nó cho 31 thì dư 28 .

4n + 5 b) Tìm số nguyên n để phân số có giá trị là một số nguyên 2n − 1 Câu 5: (5,0 điểm). Vẽ hai góc kề bù xOy và zOy. Vẽ tia Om và tia On theo thứ tự là tia phân giác của các góc xOy và góc zOy. Vẽ tia Om' là tia đối của tia Om. a) Tính số đo góc mOn

b) Tính số đo của góc kề bù với góc yOm, biết m 'Oz = 300 c) Cần vẽ thêm bao nhiêu tia phân biệt chung gốc O và không trùng với các tia đã vẽ trong hình để tạo thành tất cả 300 góc.

Câu 6: (2,0 điểm) a) Tìm các số tự nhiên a và b thỏa mãn: (100a + 3b + 1)(2a + 10a + b) = 225 1 1 1 1 b) Cho A = + + + ... + 1+ 3 1+ 3 + 5 1+ 3 + 5 + 7 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2017 3 Chứng minh A < 4 ___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG TIỀN HẢI ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 19

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

21 (Đề thi có 01 trang)

Bài 1: (5,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức: A =

11.329 − 915

(

2.314

)

2

.

b) Tìm số nguyên x, biết: (x + 5) + (x + 10) + (x + 15) + ... + (x + 60) = 450 . c) Cho S = 1 + 32 + 34 + 36 + ... + 398 . Tính S và chứng minh S chia hết cho 10.

Bài 2: (4,0 điểm) a) Cho hai số tự nhiên có tổng bằng 162 và ƯCLN của chúng là 18. Tìm hai số đó. b) Tìm số nguyên tố p sao cho: p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố.

Bài 3: (4,0 điểm) a) Tìm tất cả các chữ số a, b, c thỏa mãn: abc − cba = 6b3 .

(

)

b) Chứng minh rằng: Nếu ab + cd + eg ⋮11 thì abc deg ⋮11 .

Bài 4: (5,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB = 5cm. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AB, trên tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho AN = AM. a) Tính BN khi BM = 2cm. b) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, vẽ các tia Ax và Ay sao

= 400 , BAy = 1100 . Tính yAx, NAy . cho BAx c) Xác định vị trí của điểm M trên đoạn thẳng AB để đoạn thẳng BN có độ dài lớn nhất.

Bài 5: (2,0 điểm) a) Cho 1000 điểm phân biệt, trong đó có đúng 3 điểm thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng tạo bởi hai trong 1000 điểm đó? b) Tìm số tự nhiên n biết: n + S(n) = 2016 , trong đó S(n) là tổng các chữ số của số tự nhiên n. __________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG NGA SƠN ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 20

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2010-2011 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

22 (Đề thi có 01 trang) Câu 1 (6 điểm ): 1. Tính nhanh: 7 7 5 21 49 8 a. + × × × .

13 15 12 39 91 15 12 23 34 1 1 1 b. ( + )× ( - - ).

199 200 201 2 3 6 2. So sánh: a. 3200 và 2300 b. 7150 và 3775 201201 201201201 c. và .

202202 202202202 Câu 2 (4 điểm): 1 1 1 1 1 a. Cho A = 2 + 2 + 2 + 2 +…+ . Chứng minh rằng: A < 2.

2 3 4 1 50 2 b. Cho B = 21 + 22 + 23 + … + 230. Chứng minh rằng: B chia hết cho 21.

Câu 3 (4 điểm): Một người đi từ A đến B với vận tốc 24km /h. Một lát sau một người khác cũng đi từ A đến B với vận tốc 40km /h. Theo dự định hai người sẽ gặp nhau tại B nhưng khi đi được nửa quãng đường AB thì người thứ 2 đi tăng vận tốc lên thành 48km /h. Hỏi hai người sẽ gặp nhau tại địa điểm cách B bao nhiêu km? Biết rằng quãng đường AB dài 160km.

Bài 4: (4,0 điểm). Trên đường thẳng AM lấy một điểm O (O nằm giữa A và M). Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AM vẽ các tia OB, OC sao cho: góc MOC = 1150; góc BOC = 700.

Trên nửa mặt phẳng đối diện dựng tia OD (D không cùng nằm trong nửa mặt phẳng với B,C qua bờ là AM) sao cho góc AOD = 450. a) Tia OB nằm giữa hai tia OM, OC không? vì sao? b) Tính góc MOB và góc AOC ? c) Chứng tỏ rằng 3 điểm D, O, B thẳng hàng.

Bài 5: (2,0 điểm).

Trong một cuộc thi có 50 câu hỏi. Mỗi câu trả lời đúng được 20 điểm,

còn trả lời sai bị trừ 15 điểm. Một học sinh được tất cả 650 điểm. Hỏi bạn đó trả lời được mấy câu đúng ? __________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN SẦM SƠN ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 21

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

23 (Đề thi có 01 trang) Câu 1 ( 4điểm ) Tìm x biết:

1 1 1 1 = 511 2) x : + x : + x : + ... + x : 2 4 8 512

1) 2 x − 3 − 1 = 2 Câu 2: ( 5 điểm)

1)Tìm các cặp số nguyên (x; y) biết : (x+2) (y-3) =5 2) Hai lớp 6A và 6B cùng thu nhặt được số giấy vụn bằng nhau , trong lớp 6A có một bạn thu nhặt được 26kg còn các bạn khác mỗi bạn thu nhặt được 11 kg. trong lớp 6B có một bạn thu nhựt được 25 kg, còn các bạn khác thu nhặt được mỗi bạn 10 kg.Biết số giấy mỗi lớp thu được trong khoảng từ 200 đến 300 kg tính số học sinh mỗi lớp.

Câu 3: (5điểm) 1) Cho số 155x710y4z16 có 12 chữ số chứng tỏ rằng nếu thay các chữ số bởi các chữ số khác nhau trong ba chữ số 1;2;3 một cách tuỳ ý thì số đó luôn chia hết cho 936 .

2) Cho a,b là hai số nguyên tố cùng nhau chứng tỏ rằng ab và a+b cũng nguyên tố cùng nhau.

Câu 4: Cho đoạn thẳng BC và A là một điểm nằm ngoài đoạn thẳng BC . D là một điểm thuộc tia đối của tia CB Biết số đo của các goác BAC và BAD lần lượt là 600 và 1500 . a) Tính số đo góc CAD b) Gọi AE là tia phân giác của góc BAC ( E thuộc BC ) tính số đo góc EAD Câu 5:(2 điểm) Cho A = A =

455 454 453 2 1 + + + ... + + 1 2 3 454 455

So sánh A và 2007 ___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG NGUYỄN CHÍCH ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 22 (Đề thi có 01 trang)

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

24

Câu 1 (2,0 điểm):

Tính hợp lí:

a) 21.72 - 11.72 + 90.72 + 49.125.16 Câu 2(6,0 điểm):

b)

5.415.99 − 4.320.89 5.29.619 − 7.229.27 6

Tìm x là số tự nhiên, biết:

2 2 − 1 3 9 11 a) x : ( 9 - ) = 8 8 2 2 1,6 + − 9 11 0,4 +

b)

x +1 8 = 2 x +1

d) 2 x − 7 = 20 + 5.(−3)

c) 52x - 3 – 2.52 = 52.3 Câu 3 (6,0 điểm):

a) Tìm số nguyên x và y, biết : xy - x + 2y = 3. b) Tìm các số tự nhiên x, y biết: 2x + 1 . 3y = 12x c) Cho số 155 * 710 * 4 *16 có 12 chữ số. Chứng minh rằng nếu thay các dấu (*) bởi các chữ số khác nhau trong ba chữ số 1; 2; 3 một cách tuỳ ý thì số đó luôn chia hết cho 396. d) Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau là số tự nhiên: B=

2n + 2 5n + 17 3n + − n+2 n+2 n+2

Câu 4 (5,0 điểm): Cho đoạn thẳng AB = 5cm. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AB, trên tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho AN = AM. a) Tính BN khi BM = 2cm. b) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, vẽ các tia Ax và Ay sao

= 400 , BAy = 1100 . Tính yAx, NAy . cho BAx c) Xác định vị trí của điểm M trên đoạn thẳng AB để đoạn thẳng BN có độ dài lớn nhất.

Câu 5 (1,0 điểm): Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết rằng: 1 + 2 + 3 + …….+ n = aaa ___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG TỨ TRƯNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 23 (Đề thi có 01 trang)

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2007-2008 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

25

Bài 1: (2 điểm) a. Tìm số tự nhiên a, b sao cho : (a + b)3 = aba b. Tìm tổng sau: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 2008.2009 Bài 2: (2 điểm) 2 2 2 2 202 + + + ... + = 40 88 154 x( x + 3) 1540

a. Tìm x, biết:

b. Chứng minh rằng: 405n + 2405 + m 2 không chia hết cho 10 Bài 3: (2điểm) Chứng minh rằng hai số 2n + 1 và 6n + 5 nguyên tố cùng nhau (n ∈ N ) Bài 4: (1,5 điểm) Tìm các số tự nhiên n có hai chữ số, biết rằng hai số 2n + 1 và 3n + 1 đồng thời là hai số chính phương.

Bài 5: (1 điểm) Chứng minh rằng:

1 1 1 1 + + .... + > 100 1001 2000 2

Bài 6: (1,5 điểm) Cho các tia OB, OC nằm trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA. Gọi OM là tia phân giác của góc BOC. Tính góc AOM, biết rằng ∠AOB = 1000 , ∠AOC = 600 .

___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THÁI THỤY ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 24 (Đề thi có 01 trang)

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

26

Bài 1 (3 điểm). Thực hiện phép tính a) N = 1- 5 – 9 +13 +17 – 21 – 25 + ....... + 2001 – 2005 – 2009 + 2013 b) So sánh P và Q 2010 2011 2012 2010 + 2011 + 2012 Biết P = và Q = + + 2011 2012 2013 2011 + 2012 + 2013 Bài 2. (1 điểm).

Tính N =

5.(2 2.32 )9 .(2 2 )6 − 2.(2 2.3)14 .36 5.2 28.319 − 7.2 29.318

Bài 3 (4 điểm). a) Cho a ; b là các số nguyên thỏa mãn (a2 + b2 ) chia hết cho 3. Chứng minh rằng a và b cùng chia hết cho 3. b) Cho A = 1 + 3 + 32 + 33 + 34 +.......+ 32012 và B = 32013 : 2. Tính: B – A. Bài 4 (4 điểm) a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6, chia cho 4 dư 1và chia cho 19 dư 11. b) Tìm hai số nguyên tố x và y sao cho: x2 – 6y2 = 1 Bài 5 (4 điểm). a) Tìm số tự nhiên x sao cho 2 x − 1 < 5

 1 1 1  b) Cho B = 1.2.3....2012.  1 + + + ⋅⋅⋅ +  . Chứng minh rằng B chia hết cho 2013.

2012   2 3 , trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 5 cm. Trên tia đối của tia Ax Bài 6. (4 điểm). Cho xAy lấy điểm D sao cho AD = 3 cm, C là một điểm trên tia Ay. a) Tính BD.

= 850, BCA = 500. Tính b) Biết BCD ACD . c) Biết AK = 1 cm (K thuộc BD). Tính BK ___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG NGƯ LỘC ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 25 (Đề thi có 01 trang)

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2010-2011 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

27 Bài 1 : (5 điểm) Thực hiện các phép tính sau một cách hợp lý :

(

2

2

a) 10 + 11 + 12

2

) : (13

2

+ 142 ) .

b) 1.2.3...9 − 1.2.3...8 − 1.2.3...7.8

2

16 2

c)

( 3.4.2 )

11.213.411 − 169

d) 1152 - (374 + 1152) + (-65 + 374) e) 13 - 12 + 11 + 10 - 9 + 8 - 7 - 6 + 5 - 4 + 3 + 2 - 1 Bài 2 : (4 điểm) Tìm x, biết:

(

2

a) 19x + 2.5

) :14 = (13 − 8)

2

− 42

b) x + ( x + 1) + ( x + 2 ) + ... + ( x + 30 ) = 1240 c) 11 - (-53 + x) = 97 d) -(x + 84) + 213 = -16 Bài 3 : (3 điểm) Tìm hai số tự nhiên a và b, biết: BCNN(a,b)=300; ƯCLN(a,b)=15 và a+15=b.

Bài 4 : (2 điểm) a) Chứng minh đẳng thức: - (-a + b + c) + (b + c - 1) = (b - c + 6) - (7 - a + b) + c. b) Cho a > b; tính S , biết: S = - (-a - b - c) + (-c + b + a) - (a + b).

Bài 5 : (6 điểm) Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của OA, OB. d) Chứng tỏ rằng OA < OB. e) Trong ba điểm O, M, N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại ? f) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB).

___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG QUÊ PHÚ ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 26 (Đề thi có 01 trang) Câu 1: (2.5 điểm)

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2009-2010 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

28 a. Cho S=41 + 42 + 43 + 44 +…+ 496. Chứng tỏ S chia hết cho các số 2, 3, 4, 5, 6, 7 b. Viết liên tiếp các số 1, 2, 3, … 99 ta được một số rất lớn: A = 123456789101112…979899. Hãy chứng tỏ số A chia hết cho 9.

Câu 2: (1.5 điểm) Ma phương là một hình vuông chứa các số sao cho tổng các số trong mỗi hàng, mỗi cột, mỗi đường chéo đều bằng nhau. Hình vẽ bên dưới cho một ma phương có 3x3 ô. Trong đó mỗi ô được điền một số từ 1 đến 9. Các ô A1, C2, A3 có giá trị lần lượt là 2, 1, 4. Hãy tìm giá trị sáu ô còn lại.

A 1

B

2

2 3

C

1 4

Câu 3: (2.0 điểm) a. Chia một số tự nhiên a cho 60 được số dư là 27. Nếu chia a cho 12 thì được thương là 12. Hãy tìm số a. b. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất, khác 0 thoả mãn cả hai tính chất sau: - Khi chia a cho 44 thì được thương và số dư bằng nhau.

- Khi chia a cho 53 thì được thương và số dư bằng nhau.

Câu 4: (2.0 điểm) a. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p + 11 cũng là số nguyên tố. b. Tìm tất cả các số nguyên tố p để p + 8, p + 10 cũng là các số nguyên tố.

Câu 5: (2.0 điểm) Trên đoạn thẳng AB = 3 cm lấy điểm M. Trên tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho AM = AN. a. Tính độ dài đoạn thẳng BN khi BM = 1cm. b. Hãy xác định vị trí của M (trên đoạn thẳng AB) để BN có độ dài lớn nhất.

___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG QUÊ PHÚ ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 27 (Đề thi có 01 trang) Bài 1: (2,0 điểm)

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2010-2011 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

29 a. Thực hiện tính A bằng cách nhanh (hợp lý) nhất: 2000 × 2001 − 1000 A= .

2000 × 2000 + 1000 b. Tìm y biết: (y + 1) + (y + 2) + (y + 3) + …+ (y + 50) = 1425.

Bài 2: (2,5 điểm) 1 1 số gạo ở thùng A đổ vào thùng B, sau đó lấy số gạo có tất 5 3 cả ở thùng B đổ vào thùng C thì số gạo ở mỗi thùng đều bằng 20 kg. Hỏi lúc đầu mỗi thùng có bao nhiêu ki-lô-gam gạo?

Có 3 thùng gạo. Lấy

Bài 3: (2,0 điểm) Có hai chiếc bình, một chiếc loại 5 lít và một chiếc loại 7 lít. Người ta có thể đong để lấy 1 lít, 2 lít, 4 lít, 6 lít dầu từ một thùng đựng bằng cách chỉ sử dụng hai chiếc bình trên. Em hãy nêu cách đong để lấy: a. 3 lít dầu. b. 1 lít dầu.

Bài 4: (3,5 điểm) Hình thang vuông ABCD có góc A và góc D vuông. Đường chéo AC cắt đường cao BH tại điểm I. a. Hãy so sánh diện tích tam giác IDC với diện tích tam giác BHC. b. Cho AD = 9cm; AB = 10cm; DC = 12cm.

Hãy tính diện tích tam giác BIC.

A

B

I

D

H

___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỊ XÃ PHÚ THỌ ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 28 (Đề thi có 01 trang)

Bài 1: ( 2.0 điểm)

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2010-2011 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

C

30

a) Cho ababab là số có sáu chữ số. Chứng tỏ số

ababab là bội của 3.

b) Cho S = 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 …+ 52004. Chứng minh S chia hết cho 126 và chia hết cho 65.

Bài 2: (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên x biết : a) x + (x + 1) + (x + 2) + … + (x + 2010) = 2029099 b) 2 + 4 + 6 + 8 + … + 2x = 210 Bài 3: (2,0 điểm) Tìm ba số nguyên tố a; b; c khác nhau sao cho: abc < ab + bc + ca .

Bài 4: (2,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB và trung điểm M của nó. a) Chứng tỏ rằng nếu C là điểm thuộc tia đối của tia BA thì CM = b) Chứng tỏ rằng nếu C là điểm nằm giữa M và B thì CM =

CA + CB 2

CA − CB .

2

Bài 5: (2,0 điểm) Chứng tỏ rằng số: A = 0,3. (19831983 − 19171917 ) là một số nguyên.

___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN NGA SƠN ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 29 (Đề thi có 01 trang)

Bài 1: (3điểm) Tính bằng cách hợp lý nhất:

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2016-2017 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

31 a. 2.31.12 + 4.6.42 + 8.27.3 b. (68.8686 – 6868.86).(1+2+3+ …+ 2016) Bài 2: (3điểm) So sánh a.

2711 và 818

b. 6315 và 3418 Bài 3: (4điểm) a. Cho A = 21 + 22 + 23 + … + 230. Chứng minh rằng: A chia hết cho 21. b. Tìm các chữ số a, b sao cho số a 65b ⋮ 45 Bài 4: (3 điểm) Khối 6 của một trường có chưa tới 400 học sinh, khi xếp hàng 10; 12; 15 đều dư 3 nhưng nếu xếp hàng 11 thì không dư. Tính số học sinh khối 6.

Bài 5: (6 điểm) a. Cho đoạn thẳng AB = 8cm. Điểm C thuộc đường thẳng AB sao cho BC = 4cm.

Tính độ dài đoạn thẳng AC. b. Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau và không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm. Tính số giao điểm của chúng.

Bài 6: (1điểm) Tìm các số tự nhiên n có hai chữ số biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 đều là các số chính phương.

___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN TIỀN HẢI ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2016-2017 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

Đề số 30 (Đề thi có 01 trang) Bài 1: (4,0 điểm) 1) Tính giá trị biểu thức: A =

1 + 3 + 5 + ... + 19 21 + 23 + 25 + ... + 39

32 18 2) Tìm số tự nhiên x, biết: 5 x.5 x +1.5 x + 2 = 1000...0 : 2

18 chữ số 0

Bài 2: (4,0 điểm) 1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì ƯCLN (21n + 4; 14n + 3) = 1 2) Chứng minh rằng: Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 và 2p + 1 cũng là số nguyên tố thì 4p + 1 là hợp số?

Bài 3: (4,0 điểm) 1) Chứng minh rằng số viết bởi 27 chữ số giống nhau thì chia hết cho 27.

2) Tìm số tự nhiên n có 4 chữ số biết rằng n là số chính phương và n là bội của 147.

Bài 4: (6,0 điểm) 1) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA vẽ các tia OB, OC sao cho = 1200 , AOC = 800 . Gọi OM là tia phân giác của BOC .

AOB

. a) Tính AOM . b) Vẽ tia ON là tia đối của tia OM. Chứng minh rằng OA là tia phân giác của CON 2) Trên nửa mặt phẳng bờ là tia Ox, vẽ các tia Ox1, Ox2, Ox3,..., Oxn sao cho: 2 = 2xOx ; xOx 3 = 3xOx ; xOx 4 = 4xOx ; ...; xOx n = nxOx . Tìm số n nhỏ nhất để trong xOx 1 1 1 1 các tia đã vẽ có một tia là tia phân giác chung của 2017 góc.

Bài 5: (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau đều tối giản.

7 8 9 100 ; ; ;...; n + 9 n + 10 n + 11 n + 102 ___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THIỆU HÓA ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

Đề số 31 (Đề thi có 01 trang) Bài 1 (4,0 điểm).

1  1  1   1  1  1   a) Tính: A =  1 −   1 −  1 −  ...  1 −  1 −  1 −   2   3   4   2014   2015   2016 

33 b) Tìm x biết:

x − 2 x − 2 x − 2 x − 2 x − 2 x − 2 16 + + + + + = 12 20 30 42 56 72 9

Bài 2 (3,0 điểm). a) Tìm các chữ số x; y để B = x183y chia cho 2; 5 và 9 đều dư 1. b) Cho a và b là hai số nguyên dương và không chia hết cho nhau.

Biết BCNN(a, b) = 630 và ƯCLN(a, b) = 18. Tìm hai số a và b.

Bài 3 (3,0 điểm). a) Cho p là tích của 2016 số nguyên tố đầu tiên. Chứng minh rằng p - 1 và p + 1 không là số chính phương. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của phân số

ab a+b

( ab là số có 2 chữ số).

Bài 4 (4,0 điểm). a) Tìm số tự nhiên x, y sao cho: ( 2x + 1) ( y 2 − 5 ) = 12 .

2015 2015 b) Hai số 2 và 5 viết trong hệ thập phân và viết liền nhau tạo thành một số.

Hỏi số đó có bao nhiêu chữ số?

Bài 5 (5,0 điểm). Cho điểm O nằm ngoài đường thẳng d. Trên đường thẳng d lấy 3 điểm A, B, C sao cho AB = 6cm, AC= 2cm. a) Tính BC. o

b) Giả sử cho OAB = 80 , tính OAC .

c) Trên đường thẳng d lấy thêm 2015 điểm phân biệt (khác A, B, C). Hỏi có bao nhiêu góc có đỉnh O và cạnh đi qua 2 điểm thuộc đường thẳng d.

Bài 6 (1,0 điểm). Tìm các chữ số a, b, c khác 0 thỏa mãn: abbc = ab × ac × 7 . ___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN LÝ NHÂN ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 32 (Đề thi có 01 trang) Bài 1 ( 4,0 điểm):

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2011-2012 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

34

7 7 1 + − 2012 9 4 a, Tính M = 5 3 1 − − 9 2012 2 b, So sánh A và B biết A =

2010 2011 2012 1 1 1 1 và B = + + + ... + + + 2011 2012 2010 3 4 5 17

Bài 2 ( 4,0 điểm): 5 7  1  3 a, Tìm x biết  + 2 − 2, 75  x − 7 =  + 0, 65 +  : 0, 07 8 4 2 200     7 x+ y b, Tìm các số tự nhiên x, y sao cho ( x, y ) = 1 và 2 = 2 25 x +y

Bài 3 ( 4,0 điểm): 14

a, Tìm chữ số tận cùng của số

9

P = 14 14 + 9 9 + 2 3

4

b, Tìm ba số nguyên dương biết rằng tổng của ba số ấy bằng nửa tích của chúng.

Bài 4( 2,0 điểm): Cho các số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn ab = cd. Chứng minh rằng A = an + bn + cn + dn là một hợp số với mọi số tự nhiên n.

Bài 5( 6,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của OA, OB. a, Chứng tỏ rằng OA < OB. b, Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí điểm O. c, Lấy điểm P nằm ngoài đường thẳng AB. Cho H là điểm nằm trong tam giác ONP . Chứng tỏ rằng tia OH cắt đoạn NP tại một điểm E nằm giữa N và P ___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG BA ĐÌNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 33 (Đề thi có 01 trang) Câu 1: (4 điểm)

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2009-2010 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

35 Cho phân số A =

n + 10 (Với n ∈ N*) 2n

a) Viết A thành tổng của hai phân số không cùng mẫu . b) Tìm n để A đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.

Câu 2: (4 điểm) Tìm x biết: a) 60% x +

2 x = - 76 3

2 2   2 b)  + + ... +  .462 − [ 0, 04 : ( x + 1, 05) ] : 0,12 = 19 19.21   11.13 13.15

Câu 3: (4 điểm) Tại một buổi học ở lớp 6A số học sinh vắng mặt bằng

1 số học sinh có mặt. Người 7

ta nhận thấy rằng nếu lớp có thêm 1 học sinh nghỉ học nữa thì số học sinh vắng mặt bằng 1 số học sinh có mặt. Tính số học sinh của lớp 6A .

6

Câu 4: (5 điểm) Cho góc BOC bằng 750 . A là một điểm nằm trong góc BOC. Biết ∠ BOA = 400 . a) Tính góc AOC . b) Vẽ tia OD là tia đối của tia OA. So sánh hai góc BOD và COD .

Câu 5 (3 điểm): Chứng minh a + 2b chia hết cho 3 khi và chỉ khi b + 2a chia hết cho 3 .

___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN TAM DƯƠNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2019-2020 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

Đề số 34 (Đề thi có 01 trang) Câu 1. (3 điểm) Tính giá trị của các biểu thức sau: a) S = 1 + 2 − 3 − 4 + 5 + 6 − 7 − 8 + 9 + ... + 994 − 995 − 996 + 997 + 998

36 b) P =

311.11 + 311.21 39 .25

Câu 2. (2 điểm) Tìm x biết:

2 10  131313 131313 131313 131313  .x − 70 :  + + +  = −5 3 11  151515 353535 636363 999999 

Câu 3. (2 điểm) Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng bằng 84 và ƯCLN của chúng bằng 6.

Câu 4. (2 điểm) Tìm các chữ số x; y để A = x183y chia cho 2; 5 và 9 đều dư 1.

2n + 1 có giá trị là số nguyên. n+2 Câu 6. (2 điểm) Ba xe buýt cùng khởi hành lúc 6 giờ sáng từ một bến xe và đi theo 3 hướng

Câu 5. (2 điểm) Tìm số nguyên n để phân số

khác nhau. Xe thứ nhất quay về bến sau 1 giờ 5 phút và sau 10 phút lại đi. Xe thứ hai quay về bến sau 56 phút và lại đi sau 4 phút. Xe thứ ba quay về bến sau 48 phút và sau 2 phút lại đi. Hỏi ba xe lại cùng xuất phát từ bến lần thứ hai vào lúc mấy giờ?

Câu 7. (1,5 điểm) Tìm các số nguyên tố p sao cho

2 p + p 2 là một số nguyên tố.

Câu 8. (2 điểm) Trên đường thẳng xy lấy điểm O. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ xy vẽ hai

= 400 , xOb = 1000 .Vẽ tia Oc là tia phân giác của . tia Oa, Ob sao cho xOa yOb . Tính số đo aOc Câu 9. (2 điểm) Trên mặt phẳng cho n đường thẳng trong đó bất kỳ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau và không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm. Biết rằng tổng số giao điểm mà n đường thẳng đó cắt nhau tạo ra bằng 465. Tìm n.

Câu 10. (1,5 điểm) Trong một buổi giao lưu toán học, ngoại trừ Bình, hai người bất kì đều bắt tay nhau, Bình chỉ bắt tay với những người mình quen. Biết rằng mỗi cặp hai người chỉ bắt tay nhau không quá một lần và có tổng cộng 420 lần bắt tay. Hỏi Bình có bao nhiêu người quen trong buổi giao lưu đó. ___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG QUANG AN ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 35 (Đề thi có 01 trang) Câu 1: (3 điểm) Tính

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2016-2017 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

37

a) 4. 5 – 3. (24 – 9) 2

 1 b) 7 + 6. −   2

2

25.7 + 2 5 c) 5 2 2 .5 − 25.3

Câu 2: (3 điểm) Tìm x biết a) (x - 15) : 5 + 22 = 24

b) x + 7 = 15 -(- 4)

1 1 5 5  c)  x −  : + = 9 2 3 7 7 

Câu 3: (5 điểm) 1) Cho: A = 1 2 + 3 4 + + 99 100. a) Tính A b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ? c) A có bao nhiêu ước tự nhiên? Bao nhiêu ước nguyên?

2) Thay a, b bằng các chữ số thích hợp sao cho 24a68b ⋮ 45 3) Cho a là một số nguyên có dạng a = 3b + 7 (b ∈ Z). Hỏi a có thể nhận những giá trị nào trong các giá trị sau ? Tại sao ? a = 11 ; a = 2002 ; a = 2003 ; a = 11570 ; a = 22789 ; a = 29563 ; a = 299537.

Câu 4: (3 điểm) a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng số đó chia cho 9 dư 5, chia cho 7 dư 4 và chia cho 5 thì dư 3 b) Cho A = 1 + 2012 + 20122 + 20123 + 20124 +

+ 201271 + 201272 và

B = 201273 - 1. So sánh A và B. Câu 5: (6 điểm) Cho góc bẹt xOy, trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA = 2 cm; trên tia Oy lấy hai điểm M và B sao cho OM = 1 cm; OB = 4 cm. a. Chứng tỏ: Điểm M nằm giữa hai điểm O và B; Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB. = 1300 , zOy = 300 . Tính số đo tOz . b. Từ O kẻ hai tia Ot và Oz sao cho tOy ___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐỒNG THÁP ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 36 (Đề thi có 01 trang)

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2016-2017 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

38 Câu 1: (4.0 điểm). Thực hiện phép tính 1) A =

5.(22.32 )9 .(22 )6 − 2.(22.3)14 .34 5.228.318 − 7.229.318

12 12 12 5 5 5   12 − 7 − 289 − 85 5 + 13 + 169 + 91  158158158 : .

2) B = 81.  4 4 4 6 6 6  711711711  4− − − 6+ + +  7 289 85 13 169 91   Câu 2: (4.0 điểm) 1) So sánh P và Q Biết P =

2010 2011 2012 2010 + 2011 + 2012 và Q = + + 2011 2012 2013 2011 + 2012 + 2013

2) Tìm hai số tự nhiên a và b, biết: BCNN(a, b) = 420; ƯCLN(a, b) = 21 và a + 21 = b.

Câu 3: (4.0 điểm) 1) Chứng minh rằng: Nếu 7x + 4y ⋮ 37 thì 13x +18y ⋮ 37 2) Cho A =

1 3 3 2 3 3 3 4 3 3 + + ( ) + ( ) + ( ) + ... + ( ) 2012 và B = ( ) 2013 : 2 2 2 2 2 2 2 2

Tính B – A Câu 4. (6.0 điểm) Cho xÂy, trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 6 cm. Trên tia đối của tia Ax lấy điểm D sao cho AD = 4 cm.

1) Tính BD. 2) Lấy C là một điểm trên tia Ay. Biết BĈD = 800, BĈA = 450. Tính AĈD 3) Biết AK = 2 cm (K thuộc BD). Tính BK Câu 5: (2.0 điểm)

x 3 1 − = 9 y 18 10n − 3 2) Tìm số tự nhiên n để phân số B = đạt GTLN. Tìm giá trị lớn nhất đó.

4n − 10

1) Tìm các số tự nhiên x, y sao cho:

___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP ĐÀ NẴNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 37 (Đề thi có 01 trang)

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2005-2006 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

39 Bài 1 (1,5 điểm): a) So sánh: 2225 và 3151 b) So sánh không qua quy đồng: A =

−7 −15 − 15 −7 + 2006 ; B = 2005 + 2006 2005 10 10 10 10

Bài 2 (1,5 điểm): Không quy đồng hãy tính hợp lý các tổng sau: a) A =

−1 −1 −1 −1 −1 −1 + + + + + 20 30 42 56 72 90

5 4 3 1 13 + + + + 2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 n−2 Bài 3 (1,5 điểm): Cho A = .Tìm giá trị của n để: n+3 b) B =

a) A là một phân số.

b) A là một số nguyên.

Bài 4 (1,5 điểm):

10 n − 3 đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.

4 n − 10 x 3 1 b) Tìm các số tự nhiên x, y sao cho: − = 9 y 18 a) Tìm số tự nhiên n để phân số B =

Bài 5 (1,5 điểm): Một người bán năm giỏ xoài và cam. Mỗi giỏ chỉ đựng một loại quả với số lượng là: 65 kg; 71 kg; 58 kg; 72 kg; 93 kg. Sau khi bán một giỏ cam thì số xoài còn lại gấp ba lần số cam còn lại. Hãy cho biết giỏ nào đựng cam, giỏ nào đựng xoài?

Bài 6 (2,5 điểm): Cho góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù . Biết góc BOC bằng năm lần góc AOB. a) Tính số đo mỗi góc. b) Gọi OD là tia phân giác của góc BOC. Tính số đo góc AOD. c) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB,OD, vẽ thêm n tia phân biệt (không trùng với các tia OA;OB;OC;OD đã cho) thì có tất cả bao nhiêu góc? ___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG LÊ QUÝ ĐÔN ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 38 (Đề thi có 01 trang) Câu 1. (3 điểm):

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2014-2015 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

40 a) Trong một đợt thi đua, lớp 6a có 42 bạn được từ một điểm 10 trở lên, 39 bạn được từ hai điểm 10 trở lên, 14 bạn được từ ba điểm 10 trở lên, 5 bạn được bốn điểm 10, không có ai được trên bốn điểm 10. Tính xem trong đợt thi đua lớp 6a được bao nhiêu điểm 10? b) Tìm hai chữ số tận cùng của 2100 ?

Câu 2. (4,5 điểm): a) Tính giá trị của biểu thức: A= ( −1).( −1) 2 .( −1)3 .( −1) 4 .....( −1) 2014 1  555 4444 33333 11 13  B=  + + + +  7  222 12221 244442 330 60  1 2 3 92 1 1 1 1 E . Tính b) Cho E = 92 − − − − ⋅⋅⋅ − ;F = + + + ⋅⋅⋅ + 9 10 11 100 45 50 55 500 F Câu 3. (4,75 điểm): 1 2 3 8 9 a) Cho M = + + + ⋅⋅⋅ + + .

2! 3! 4!

9! 10!

So sánh M với 1 ( với n!=1.2.3.4. ... .(n-1).n; n ∈ N * ).

5 y 1 b) Tìm số nguyên x, y biết: − = x 3 6 7n + 6 c) Tìm tất cả các giá trị tự nhiên n để phân số chưa phải là phân số tối giản.

6n + 7 Câu 4. (3,75 điểm): 20 a) Tìm phân số bằng phân số , biết ƯCLN của cả tử và mẫu của phân số đó là 36.

39 b) Viết dạng tổng quát của số tự nhiên chia cho 5 thì dư 1, chia cho 7 thì dư 5. Tìm số nhỏ nhất ?

Câu 5. (4 điểm): và = 4 yOz kề bù sao cho xOy yOz .

Cho hai góc xOy a) Tính số đo mỗi góc có trên hình vẽ? =108 0 . Tính tOy ? b) Vẽ tia Ot sao cho xOt c) Trên mỗi tia Ox, Oy, Oz, Ot vẽ 10 điểm phân biệt khác điểm O. Hỏi trên hình vẽ có tất cả bao nhiêu tia? ___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG TRẦN QUỐC TUẤN ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 39 (Đề thi có 01 trang) Câu 1 : (2 điểm)

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2014-2015 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

41 Cho biểu thức A =

a 3 + 2a 2 − 1 a 3 + 2a 2 + 2 a + 1

a, Rút gọn biểu thức b, Chứng minh rằng nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được của câu a, là một phân số tối giản.

Câu 2: (1 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho abc = n 2 − 1 và cba = (n − 2) 2 Câu 3: (2 điểm) a. Tìm n để n2 + 2006 là một số chính phương b. Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi n2 + 2006 là số nguyên tố hay là hợp số.

Câu 4: (2 điểm) a. Cho a, b, n ∈ N* Hãy so sánh b. Cho A =

1011 − 1 ; 1012 − 1

B=

a+n a và b+n b

1010 + 1 . So sánh A và B. 1011 + 1

Câu 5: (2 điểm) Cho 10 số tự nhiên bất kỳ :

a1, a2, ....., a10. Chứng minh rằng thế nào cũng có một

số hoặc tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy trên chia hết cho 10.

Câu 6: (1 điểm) Cho 2006 đường thẳng trong đó bất kì 2 đườngthẳng nào cũng cắt nhau. Không có 3 đường thẳng nào đồng qui. Tính số giao điểm của chúng. ___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG VÕ THỊ SÁU ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2014-2015 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

Đề số 40 (Đề thi có 01 trang) Câu 1. ( 2,0 điểm) Cho A = 2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 220. Tìm chữ số tận cùng của A.

42 Câu 2. ( 1,0 điểm) Số tự nhiên n có 54 ước. Chứng minh rằng tích các ước của n bằng n27.

Câu 3. ( 1,5 điểm) Chứng minh rằng: n( n +1)( 2n +1)( 3n + 1)( 4n +1) chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên n.

Câu 4. ( 1,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên tố p và q sao cho các số 7p + q và pq + 11 cũng là các số nguyên tố.

Câu 5. ( 1,5 điểm) a) Tìm ƯCLN( 7n +3, 8n - 1) với (n €N*). Tìm điều kiện của n để hai số đó nguyên tố cùng nhau. b) Tìm hai số tự nhiên biết: Hiệu của chúng bằng 84, ƯCLN của chúng bằng 28 và các số đó trong khoảng từ 300 đến 440.

Câu 6. ( 1,0 điểm) Tìm các số nguyên x, y sao cho: xy – 2x - y = -6.

Câu 7. ( 2,0 điểm) Cho xAy, trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 5 cm. Trên tia đối của tia Ax lấy điểm D sao cho AD = 3 cm, C là một điểm trên tia Ay. a. Tính BD. = 850 , BCA = 500. TínhACD . b. Biết BCD

c. Biết AK = 1 cm (K thuộc BD). Tính BK.

___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG YẾT KIÊU ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2016-2017 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

Đề số 41 (Đề thi có 01 trang) Câu 1 (3,0 điểm): Tính giá trị của các biểu thức sau: a. 24.5 − [131 − (13 − 4) 2 ]

43 b.

−3 28.43 28.5 28.21 + + − 5 5.56 5.24 5.63

Câu 2 (4,0 điểm): Tìm các số nguyên x biết.

3

−24 −5  −5  a.   < x < .

35 6  3 

b. (7 x − 11)3 = ( −3) 2 .15 + 208 c. 2 x − 7 = 20 + 5.(−3) Câu 3 (5,0 điểm): a, Một số tự nhiên chia cho 7 dư 5,chia cho 13 dư 4. Nếu đem số đó chia cho 91 thì dư bao nhiêu? b, Học sinh khối 6 khi xếp hàng; nếu xếp hàng 10, hàng 12, hàng15 đều dư 3 học sinh. Nhưng khi xếp hàng 11 thì vùa đủ. Biết số học sinh khối 6 chưa đến 400 học sinh.Tính số học sinh khối 6?

Câu 4 (6,0 điểm): Cho góc bẹt xOy. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ xy,vẽ các tia Oz và Ot sao = 700 ; cho xOz yOt = 550 . a. Chứng tỏ tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Ot ? b. Chứng tỏ tia Ot là tia phân giác của góc yOz? c.Vẽ tia phân giác On của góc xOz. Tính góc nOt? Câu 5 (2,0 điểm): Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi n2 + 2006 là số nguyên tố hay là hợp số. ___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN TAM DƯƠNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2018-2019 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

Đề số 42 (Đề thi có 01 trang) Câu 1. (3 điểm) Tính giá trị của các biểu thức sau: a) S = 1 + 2 − 3 − 4 + 5 + 6 − 7 − 8 + 9 + ... + 994 − 995 − 996 + 997 + 998

44 b) P =

311.11 + 311.21 39 .25

Câu 2. (2 điểm) Tìm x biết:

2 10  131313 131313 131313 131313  .x − 70 :  + + +  = −5 3 11  151515 353535 636363 999999 

Câu 3. (2 điểm) Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng bằng 84 và ƯCLN của chúng bằng 6.

Câu 4. (2 điểm) Tìm các chữ số x; y để A = x183y chia cho 2; 5 và 9 đều dư 1.

2n + 1 có giá trị là số nguyên. n+2 Câu 6. (2 điểm) Ba xe buýt cùng khởi hành lúc 6 giờ sáng từ một bến xe và đi theo 3 hướng

Câu 5. (2 điểm) Tìm số nguyên n để phân số

khác nhau. Xe thứ nhất quay về bến sau 1 giờ 5 phút và sau 10 phút lại đi. Xe thứ hai quay về bến sau 56 phút và lại đi sau 4 phút. Xe thứ ba quay về bến sau 48 phút và sau 2 phút lại đi. Hỏi ba xe lại cùng xuất phát từ bến lần thứ hai vào lúc mấy giờ?

Câu 7. (1,5 điểm) Tìm các số nguyên tố p sao cho

2 p + p 2 là một số nguyên tố.

Câu 8. (2 điểm) Trên đường thẳng xy lấy điểm O. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ xy vẽ hai

= 400 , xOb = 1000 .Vẽ tia Oc là tia phân giác của . tia Oa, Ob sao cho xOa yOb . Tính số đo aOc Câu 9. (2 điểm) Trên mặt phẳng cho n đường thẳng trong đó bất kỳ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau và không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm. Biết rằng tổng số giao điểm mà n đường thẳng đó cắt nhau tạo ra bằng 465. Tìm n.

Câu 10. (1,5 điểm) Trong một buổi giao lưu toán học, ngoại trừ Bình, hai người bất kì đều bắt tay nhau, Bình chỉ bắt tay với những người mình quen. Biết rằng mỗi cặp hai người chỉ bắt tay nhau không quá một lần và có tổng cộng 420 lần bắt tay. Hỏi Bình có bao nhiêu người quen trong buổi giao lưu đó. ___________________Hết_________________ KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2016-2017 HUYỆN TAM DƯƠNG MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 43 (Đề thi có 01 trang) Câu 1. (2,5 điểm) Cho phép toán (*) xác định bởi a * b = ab + a + b . a) Tính A = (1* 2 ) * ( 3* 4 ) b) Tính giá trị của B = m*m nếu 3*m = -1 c) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x*y = 3*x + y*1

45 Câu 2. (1,5 điểm) Hãy nghiên cứu sơ đồ dưới đây: 1 ; 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 ...

1 ; 2 2 1 , ; 2 3 3 2 1 , , ; 2 3 4

2016 sẽ nằm ở hàng thứ bao nhiêu và ở thứ tự bao nhiêu trong hàng đó tính từ trái sang?

2017 Câu 3. (2,0 điểm) Một người đi từ A đến B với vận tốc 24 km/h. Một lát sau một người khác cũng đi từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Theo dự định hai người sẽ gặp nhau tại B, nhưng khi đi được nửa quãng đường AB thì người thứ hai tăng vận tốc lên thành 48 km/h.

Hỏi hai người sẽ gặp nhau tại địa điểm cách B bao nhiêu km? Biết rằng quãng đường AB dài 160km. =5 Câu 4. (3,0 điểm) Cho góc xOy và góc yOz là hai góc kề bù thỏa mãn: xOy yOz .

4 a) Tính số đo các góc xOy và yOz. = 800. Tia Oy có là tia phân giác của góc tOz không? b) Kẻ tia Ot sao cho tOy

Hỏi số

c) Khi Oy là tia phân giác của góc tOz. Qua O kẻ thêm 50 đường thẳng phân biệt sao cho các đường thẳng này đều không chứa các tia Ox, Oy, Oz và Ot. Vẽ đường tròn tâm O bán kính r. Gọi A là tập hợp các giao điểm của đường tròn nói trên với các tia gốc O có trong hình vẽ. Tính số tam giác mà các đỉnh của nó đều thuộc tập hợp A. (Cho biết ba điểm phân biệt cùng nằm trên một đường tròn thì không thẳng hàng) a +1 b +1 Câu 5. (1,0 điểm) a) Cho các số tự nhiên a, b (a, b ≠ 0) sao cho có giá trị là số tự + b a nhiên. Gọi d là ước chung lớn nhất của a và b. Chứng minh rằng: a + b ≥ d 2 . b) Cho một lưới ô vuông kích thước 5x5. Người ta điền vào mỗi ô của lưới một trong các số -1; 0; 1. Xét tổng của các ô được tính theo từng cột, theo từng hàng và theo từng đường chéo. Hãy chứng tỏ rằng trong tất cả các tổng đó luôn tồn tại hai tổng có giá trị bằng nhau.

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2014-2015 TRƯỜNG GIA VIỄN MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số 44 (Đề thi có 01 trang) Câu 1 (4 điểm). a. Tính giá trị của biểu thức A =

1  31  1  17  1  1 1 1 1  9 −  −  4 +  + + + + ... +  31  5  2 2  5  2 6 12 930

b. Tính giá trị của biểu thức B biết: B2 = c(a - b) - b(a -c) và a = -50, b-c = 2.

46

Câu 2. (4 điểm) a. Tìm số tự nhiên x,y biết: (2x + 1)(y - 3) = 12 b. Tìm số tự nhiên x biết: 2 x + 2 x +1 + 2 x + 2 + ... + 2 x + 2015 = 2 2019 − 8 c. So sánh: 3625 và 2536 Câu 3. (3 điểm) 6n + 5 Cho phân số: p = (n ∈ N ) 3n + 2 a. Chứng minh rằng phân số p là phân số tối giản b. Với giá trị nào của n thì phân số p có giá trị lớn nhất? tìm giá trị lớn nhất đó.

Câu 4. (7,5 điểm) 1. Cho hai góc kề bù xOy và yOt, trong đó xOy =400. Gọi Om là tia phân giác của yOt. a. Tính mOx ? b. Trên nửa mặt phẳng không chứa tia Oy và có bờ là đường thẳng chứa tia Ox, vẽ tia On sao cho xOn=700 . Chứng tỏ tia Om và tia On là hai tia đối nhau 2. Vẽ đoạn thẳng AB =6cm. Lấy hai điểm C và D nằm giữa A và B sao cho AC+BD= 9cm a. Chứng tỏ D nằm giữa A và C b. Tính độ dài đoạn thẳng CD Câu 5. (1,5 điểm) Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn : 2x + 3y = 14

___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG VĨNH LỘC ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề số 45 (Đề thi có 01 trang) Bài 1: (4.0 điểm) Thực hiện phép tính a) A = 1.2.3…9 - 1.2.3…8 - 1.2.3…8.8

( 3.4.2 ) 16

b) B=

2

11.213.411 − 169

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2016-2017 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

47 131313 131313 131313 + + ) 565656 727272 909090 1 1 1 1 d) Thực hiện phép tính: B = + + + ... + 4.9 9.14 14.19 64.69 Bài 2: (4.0 điểm) Tìm x biết :

c) C = 70.(

a) b)

7 1 2 − 2x + = 3 3 2

( 3 x − 54 ) .8 : 4 = 18 5

c) ( 2 x − 15 ) = ( 2 x − 15 )

3

d) x + (x + 1) + (x + 2) +…+ ( x + 2013) = 2035147 Bài 3: (4.0 điểm) a). Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng số đó khi chia cho 3, cho 4, cho 5, cho 6 đều dư là 2, còn chia cho 7 thì dư 3. b) Tìm x, y nguyên biết: x + y + xy = 40 c) Khi chia một số tự nhiên a cho 4 ta được số dư là 3 còn khi chia a cho 9 ta được số dư là 5. Tìm số dư trong phép chia a cho 36.

Bài 4: (6.0 điểm) Cho góc ∠xBy = 550. Trên các tia Bx; By lần lượt lấy các điểm A, C sao cho A ≠ B; C ≠ B. Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D sao cho ∠ABD = 300 a. Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm. b. Tính số đo của ∠DBC . c. Từ B vẽ tia Bz sao cho ∠DBz = 900. Tính số đo ∠ABz .

2 3 4 2016 2017 Bài 5: (2.0 điểm) Cho tổng T = 1 + 2 + 3 + .............. + 2015 + 2016 2 2 2 2 2 So sánh T với 3. ___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG TIÊN LỮ ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2009-2010 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

Đề số 46 (Đề thi có 01 trang) Câu 1: (4,0 điểm).Tính giá trị các biểu thức sau: a) A = 68.74 + 27.68 – 68 b) B = 23.53 – 3.{539 – [639 – 8.(78 : 76 + 20170)]}

48

 151515 179   1500 1616  + 10  −  − c) C =    161616 17   1600 1717   1  1  1   1  d) D =  2 − 1 2 − 1 2 − 1 .....  − 1 2 2  3  4   100  Câu 2: (2,0 điểm). Tìm số nguyên x, biết: a) 2016 : [25 – (3x + 2)] = 32.7 x x x x x x x x x x 220 b) + + + + + + + + + = 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 39 Câu 3: (3,0 điểm) a) Cho A = 3+32 + 33 + 34 + … + 390. Chứng minh rằng A chia hết cho 11 và 13 b) Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y sao cho: xy – 2x + y + 1 = 0 Câu 4: (3,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số, sao cho chia nó cho 8 thì dư 7 và chia nó cho 31 thì dư 28 .

4n + 5 b) Tìm số nguyên n để phân số có giá trị là một số nguyên 2n − 1 Câu 5: (5,0 điểm). Vẽ hai góc kề bù xOy và zOy. Vẽ tia Om và tia On theo thứ tự là tia phân giác của các góc xOy và góc zOy. Vẽ tia Om' là tia đối của tia Om. a) Tính số đo góc mOn

b) Tính số đo của góc kề bù với góc yOm, biết m 'Oz = 300 c) Cần vẽ thêm bao nhiêu tia phân biệt chung gốc O và không trùng với các tia đã vẽ trong hình để tạo thành tất cả 300 góc.

Câu 6: (2,0 điểm) a) Tìm các số tự nhiên a và b thỏa mãn: (100a + 3b + 1)(2a + 10a + b) = 225 3 1 1 1 1 b) Cho A = Chứng minh A < + + + ... + 1+ 3 1+ 3 + 5 1+ 3 + 5 + 7 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2017 4 Câu 7: (1,0 điểm). Tính chính xác: 22557788.113399 ___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG NGUYỄN THỊ LỢI ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2009-2010 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

Đề số 47 (Đề thi có 01 trang) A/ PHẦN CHUNG (8 ĐIỂM) Câu 1: ( 2 điểm). a. Tính giá trị của biểu thức một cách hợp lí.

A = 1 + 2 - 3 - 4 + 5 + 6 - 7 - 8 + 9 + 10 - 11 - 12 + ... - 299 - 300 + 301 + 302

49 b. Cho A = 1 + 4 + 42 + 43 + ... + 499, B = 4100. c. Rút gọn. B =

Chứng minh rằng

A<

B 3

1 1 1 + 2 + ... + 99 3 3 3

Câu 2: (2,5 điểm). a) Tìm hai số nguyên tố biết tổng của chúng bằng 601. b) Chứng tỏ rằng

21n + 4 là phân số tối giản.

14n + 3

c) Tìm cặp số nguyên (x; y) biết: xy - 2x + 5y - 12 = 0 Câu 3: (1,5 điểm). Hai lớp 6A; 6B cùng thu nhặt một số giấy vụn bằng nhau. Lớp 6A có 1 bạn thu được 26 kg còn lại mỗi bạn thu được 11kg. Lớp 6B có 1 bạn thu được 25 kg còn lại mỗi bạn thu được 10kg. Tính số học sinh mỗi lớp biết rằng số giấy mỗi lớp thu được trong khoảng 200kg đến 300kg.

Câu 4: (2 điểm). Cho ∠ AOB và tia phân giác của nó. Trên nửa mặt phẳng có chứa tia OB với bờ là đường thẳng OA ta vẽ tia Oy sao cho ∠ AOy > ∠ AOB. Chứng tỏ rằng: a. Tia OB nằm giữa 2 tia Ox, Oy. b. ∠ xOy =

∠AOy + ∠BOy 2

II. PHẦN CHỌN. (2 ĐIỂM) Câu 5a: (2 điểm).

1) Chứng minh rằng: 281 + 255 ⋮ 10

2) Cho 100 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Cứ qua 2 điểm ta vẽ một đường thẳng. Có tất cả bao nhiêu đường thẳng.

Câu 5b: (2 điểm) 1) Chứng minh rằng tổng sau: P = 1 + 3 + 32 + 33 + ...+ 361 + 362 không là số chính phương.

2) Trên đoạn thẳng AB lấy 2006 điểm khác nhau đặt tên theo thứ tự từ A đến B là A1, A2, A3, A4,...A2004. Từ điểm M không nằm trên đoạn thẳng AB ta nối M với các điểm A; A1; A2; ...; A2004; B. Tính số tam giác được tạo thành. ___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN BÁ THƯỚC ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2011-2012 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

Đề số 48 (Đề thi có 01 trang) Câu 1: (3 điểm) Tính: a) 4. 5 – 3. (24 – 9) 2

 1 b) 7 + 6. −   2

2

25.7 + 2 5 c) 5 2 2 .5 − 25.3

50 Câu 2: (3 điểm) Tìm x biết b) x + 7 = 15 -(- 4)

a) (x - 15) : 5 + 22 = 24

1 1 5 5  c)  x −  : + = 9 2 3 7 7 

Câu 3: (5 điểm) 1) Cho: A = 1 – 2 + 3 – 4 + … + 99 – 100. a) Tính A b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ? c) A có bao nhiêu ước tự nhiên? Bao nhiêu ước nguyên?

2) Thay a, b bằng các chữ số thích hợp sao cho 24a68b ⋮ 45 3) Cho a là một số nguyên có dạng a = 3b + 7 (b ∈ Z). Hỏi a có thể nhận những giá trị nào trong các giá trị sau ? Tại sao ? a = 11 ; a = 2002 ; a = 2003 ; a = 11570 ; a = 22789 ; a = 29563 ; a = 299537.

Câu 4: (3 điểm) a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng số đó chia cho 9 dư 5, chia cho 7 dư 4 và chia cho 5 thì dư 3 b) Cho A = 1 + 2012 + 20122 + 20123 + 20124 + … + 201271 + 201272 và B = 201273 - 1. So sánh A và B. Câu 5: (6 điểm) Cho góc bẹt xOy, trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA = 2 cm; trên tia Oy lấy hai điểm M và B sao cho OM = 1 cm; OB = 4 cm. a. Chứng tỏ: Điểm M nằm giữa hai điểm O và B; Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB. b. Từ O kẻ hai tia Ot và Oz sao cho tOy = 1300, zOy = 300. Tính số đo tOz. ___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG HOẰNG PHÚ ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

Đề số 49 (Đề thi có 02 trang) Bài 1: (5,0 điểm) .

50 48 46 44 6 4 2 Cho A = 5 – 5 + 5 − 5 + … +5 - 5 + 5 − 1. a) Tính A. b) Tìm số tự nhiên n biết 26.A + 1 = 5 n

51 c) Tìm số dư trong phép chia A cho 100.

Bài 2: (3,0 điểm).

Tìm số tự nhiên x ,biết:

a ) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 +…+ ( 2 x –1) = 225

b) 2 x + 2 x +1 + 2 x + 2 + 2 x + 3 + … +2 x + 2015 = 2 2019 − 8.

Bài 3: (5,0 điểm) a) Cho số abc chia hết cho 37. Chứng minh rằng số cab cũng chia hết cho 37. b) Tìm số x, y nguyên biết x.y + 12 = x + y Bài 4 (3,0 điểm): Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho: a chia cho 2 dư 1, a chia cho 3 dư 1, a chia cho 5 dư 4, a chia cho 7 dư 3.

Bài 5: (4,0 điểm) 1. Cho 30 điểm phân biệt trong đó có a điểm thẳng hàng, cứ qua 2 điểm ta vẽ được 1 đường thẳng. Tìm a, biết số đường thẳng tạo thành là 421 đường thẳng.

2. Vẽ đoạn thẳng AB = 6cm . Lấy hai điểm C và D nằm giữa A và B sao cho

AC + BD = 9cm. a) Chứng tỏ D nằm giữa A và C. b) Tính độ dài đoạn thẳng CD ?

___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG PHAN ĐÌNH PHÙNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 6 THCS NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)

Đề số 50 (Đề thi có 02 trang) Bài 1 (2,5 điểm) a) Tính tổng S =

6 6 6 6 + + + ... + và chứng tỏ S < 1 2.5 5.8 8.11 29.32

52 b) So sánh hai phân số

a −1 b +1 và (với a; b là số nguyên cùng dấu và a; b ≠ 0) a b

Bài 2 (2,5 điểm) a) Cho x là tổng của tất cả các số nguyên có 2 chữ số, y là số nguyên âm lớn nhất.

Hãy tính giá trị của biểu thức: A = 2009.x2006 - 2008.y2007 b) Tìm x biết: −

7 33 3333 333333 33333333 ) = 22 x.( + + + 4 12 2020 303030 42424242

Bài 3 (2,0 điểm) Tìm một phân số tối giản, biết rằng khi cộng mẫu số vào tử số và cộng mẫu số vào mẫu số của phân số ấy thì được một phân số mới, lớn gấp 2 lần phân số ban đầu ?

Bài 4 (3,0 điểm) Trên đường thẳng xy lấy một điểm O. Trên một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy ta kẻ các tia Om và On sao cho mOx = a0 ; mOn = b0 (a > b). Vẽ tia Ot là phân giác của xOn : a) Tính số đo mOt theo a và b trong hai trường hợp (tia On nằm giữa hai tia Ox và Om; tia Om nằm giữa hai tia Ox và On) ? b) Trên nửa mặt phẳng bờ là xy có chứa tia Ot vẽ tia Ot’ vuông góc với tia Ot. Chứng tỏ trong cả hai trường hợp trên ta đều có tia Ot’ là tia phân giác của nOy ?

___________________Hết_________________ Họ và tên: ...................................................Số báo danh:................................

HƯỚNG DẪN GIẢI Đề số 1.

Câu 1.

12 12 12 5 5 5   12 − 7 − 289 − 85 5 + 13 + 169 + 91  158158158 : . a) Ta có: . A = 81.  4 4 4 6 6 6  711711711  4− −  − 6+ + + 7 289 85 13 169 91  

53

  1 1 1   1 1 1  12 1 − 7 − 289 − 85  5 1 + 13 + 169 + 91   158.1001001 :   . = 81.    4 1 − 1 − 1 − 1  6 1 + 1 + 1 + 1   711.1001001   7 289 85   13 169 91    12 5  158 = 81.  :  .  4 6  711 18 2 324 = 81. . = 5 9 5 b) (x + 1) + ( x + 2 ) + . . . . . . . . + (x + 100) = 5750 => x + 1 + x + 2 + x + 3 + . . . . . . .. . .. . . . + x + 100 = 5750 => ( 1 + 2 + 3 + . . . + 100) + ( x + x + x . . . . . . . + x ) = 5750 101 . 50

+

100 x = 5750 100 x + 5050 = 5750 100 x = 5750 – 5050 100 x = 700 x = 7

Câu 2.

5.(22.32 )9 .(22 )6 − 2.(22.3)14 .34 5.228.318 − 7.229.318 5.218.318.212 − 2.228.314.34 = 5.228.318 − 7.229.318 5.230.318 − 2 29.318 = 2 28.318 (5 − 7.2) 2 29.318 (5.2 − 1) 2.9 = 28 18 = = −2 2 .3 (5 − 14) −9

a) Ta có: A =

b) Ta có: S = (3)0+(3)1 + (3)2+(3)3+...+ (3)2015.

3S = (3).[(3)0+(3)1+(3)2 + ....+(3)2015] = (3)1+ (3)2+ ....+(3)2016] 3S – S = [(3)1 + (3)2+...+(3)2016] - (3)0-(3)1-...-(3)2015.

2S = (3)2016 -1.

(3) 2016 − 1 S = 2 Câu 3. a) Gọi số cần tìm là a ta có: (a - 6) ⋮ 11 ;(a - 1) ⋮ 4; (a - 11) ⋮ 19. (a - 6 +33) ⋮ 11 ; (a - 1 + 28) ⋮ 4 ; (a - 11 +38 ) ⋮ 19. (a + 27) ⋮ 11 ; (a + 27) ⋮ 4 ; (a + 27) ⋮ 19.

Do a là số tự nhiên nhỏ nhất nên a + 27 nhỏ nhất

54 Suy ra: a +27 = BCNN (4 ;11 ; 19 ) .

Từ đó tìm được : a = 809 9 6 21 : = (số thứ hai) b) Số thứ nhất bằng: 11 7 22 9 2 27 Số thứ ba bằng: : = (số thứ hai) 11 3 22 22 Số thứ hai bằng: (số thứ hai) 22 22 + 21 + 27 70 Tổng của 3 số bằng: (số thứ hai) = (số thứ hai) 22 22 70 21 27 Số thứ hai là : 210 : = 66 ; số thứ nhất là: . 66 = 63 ; số thứ 3 là: .66 = 81 22 22 22 Câu 4. a) 1) Trên tia BA ta có BK = 2 cm. BA = 7cm nên BK< BA do đó điểm K nằm giữa A và B. Suy ra AK + KB = AB hay AK + 2 = 7 ⇒ AK = 5 cm. Trên tia AB có điểm I và K mà AI < AK (và 4 <5) nên điểm I nằm giữa A và K 2) Do I nằm giữa A và K nên AI + IK = AK. Hay 4 + IK = 5 ⇒ IK = 5 – 4 = 1. b) Vì A nằm giữa B và C nên BA +AC = BC ⇒ BA +AC = 4 (1) Lập luân ⇒ B nằm giữa A và D. Theo gt OD < OA ⇒ D nằm giữa O và A. Mà OD + DA = OA ⇒ 2 + DA =5 ⇒ DA =3 cm Ta có DB + BA = DA ⇒ DB +BA = 3 (2) Lấy (1) – (2): AC – DB = 1 (3) Theo đề ra : AC = 2BD thay và (3) Ta có 2BD – BD = 1 ⇒ BD = 1 ⇒ AC = 2BD ⇒ AC = 2 cm Câu 5. a) Ta có 32 + 33+ 34+…… + 3101 = (32+ 33+ 34 + 35) + (36 + 37 + 38 + 39)+…+ (398 + 399 + 3100 + 3101) = 31(3+32+33+34) + 35(3+32+33+34) +…+397(3+32+33+34) = 31.120 + 35.120 +…+397.120 = 120(31 + 35 +…+397)⋮ 120 (đpcm) b) a – b = 2(a + b) nên a – b = 2a + 2b do đó: 2a – a = -b – 2b hay a = - 3b do đó: 9  a=−  a − b = −3   a − b = −3   4 Vì thế a – b = 2(a + b) = - 3 do đó:  ⇔ −3 ⇔  2 a + b = − 3 3 ( ) a + b =   b=  2 4  2 2 2 2 c) ( x – y + z) + ( y – 2) + ( z +3) = 0

Do (x – y2 + z)2 ≥ 0 , (y – 2)2 ≥ 0 và ( z + 3)2 ≥ 0 nên:

a = −3 b

55

x − y2 + z = 0 x − 4 − 3 = 0  x = 7    y=2 ⇔ y=2 ⇔y=2   z = −3  z = −3  z = −3   

Đề số 2 Câu 1. a. A=

2 1 1 2.2 + 1 − 1.3 2 1 2 5 1 + : 5 − .(−3) 2 = + − = = = 3 6 18 3 6 2 6 6 3

b. B= 3.{5.[(52 + 23): 11] - 16} + 2015 = 3.{5.[33 : 11] - 16} + 2015 = 3.{15-16} + 2015 = 3.(-1) + 2015 = 2012

 

c. C= 1+

2 2 2 20152 1  1  1   1  2 3 4 + + + 1 1 ...

1 . . ... =      1.3 2.4  3.5   2014.2016  1.3 2.4 3.5 2014.2016

=

(2.3.4...2015).(2.3.4...2015) (1.2.3...2014).(3.4.5...2016)

=

2015.2 2015 = 2016 1008

Câu 2.  x − 3 = 12  x = 15 a. Biến đổi được: (x-3)2=144 = 122 = (−12)2 ⇔  ⇔  x − 3 = −12  x = −9 Vì x là số tự nhiên nên x = -9 (loại). Vậy x = 15 b. Do A = x183y chia cho 2 và 5 đều dư 1 nên y = 1. Ta có A = x1831 Vì A = x1831 chia cho 9 dư 1 ⇒ x1831 - 1 ⋮ 9 ⇒ x1830 ⋮ 9 ⇔ x + 1 + 8 + 3 + 0 ⋮ 9 ⇔ x + 3 ⋮ 9, mà x là chữ số nên x = 6

Vậy x = 6; y = 1 c. Xét số nguyên tố p khi chia cho 3.Ta có: p=3k+1 hoặc p=3k+2 ( k ∈ N*) Nếu p=3k+1 thì p2-1 = (3k+1)2 -1 = 9k2+6k chia hết cho 3 Nếu p=3k+2 thì p2-1 = (3k+2)2-1 = 9k2 + 12k chia hết cho 3 Vậy p2-1 chia hết cho 3.

Câu 3. a. Để B nhận giá trị nguyên thì n - 3 phải là ước của 5 => n - 3 ∈ {-1;1;-5;5} => n ∈ { -2 ; 2; 4; 8}

56 Đối chiếu đ/k ta được n ∈ { -2 ; 2; 4; 8} b. Với x = 2, ta có: 22 + 117 = y2 ⇔ y2 = 121 ⇒ y = 11 (là số nguyên tố) * Với x > 2, mà x là số nguyên tố nên x lẻ ⇒ y2 = x2 + 117 là số chẵn => y là số chẵn kết hợp với y là số nguyên tố nên y = 2 (loại) Vậy x = 2; y = 11. c. Ta có : 1030= 100010 và 2100 =102410. Suy ra : 1030 < 2100 (1) Lại có : 2100= 231.263.26 = 231.5127.64 và 1031=231.528.53=231.6257.125 Nên : 2100< 1031 (2). Từ (1) và(2) suy ra số 2100 viết trong hệ thập phân có 31 chữ số Câu 4.

a) Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm giữa A và C => AC = AD + CD = 4 + 3 = 7 cm b) Chứng minh tia BD nằm giữa hai tia BA và BC

ta có đẳng thức: ABC = ABD + DBC

= ABC − ABD = 550 – 300 = 250 => DBC c) Xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: Tia Bz và BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia BA nằm giữa hai tia Bz và BD ABz = 900 − ABD = 90 0 − 30 0 = 60 0 Tính được - Trường hợp 2: Tia Bz, và BD nằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia BD nằm giữa hai tia Bz và BA ABz , = 900 + Tính được ABD = 90 0 + 30 0 = 120 0 Câu 5. a. Ta có: abbc = ab × ac × 7 (1) ⇔ 100. ab +

bc = 7. ab . ac ⇔ ab (7. ac - 100) = bc

57

bc bc Vì 0 < < 10 nên 0 < 7. ac - 100 < 10 ab ab 100 110 < ac < <16. Vậy ac = 15 ⇔ 100 < 7. ac < 110 ⇔ 14 < 7 7 thay vào (1) được 1bb5 = 1b ×15× 7 ⇔ 1005 + 110b = 1050 + 105.b ⇔ 7.

ac - 100 =

⇔ 5b = 45 ⇔ b =9 Vậy a = 1; b = 9; c = 5 b) Vì 2012 ; 92 đều là bộ của 4 nên 2012 2015 và 9294 cũng là bội của 4 ⇒ 2012 2015 = 4.m ( m ∈ N * ) ;9296 = 4.n ( n ∈ N * )

Tức là 72012 Dễ thấy 72012

m

− 392 = 7 4 m − 34 n = ( 7 4 ) − ( 34 ) = (...1) − (...1) = ...0

2015

− 392 có tận cùng bằng 0 hay 72012

2015

94

n

2015

Khi đó 7 2012

94

94

2015

2015

− 392 > 0 mà 72012

94

− 392 ⋮10 94 1 − 392 ⋮10 suy ra A = (7 2012 2

2015

Suy ra A là số tự nhiên chia hết cho 5.

Đề số 3 Câu 1. a/ A = 2 + 5 + 8 + 11 + ... + 2012 A = (2 + 2012) [ (2012 − 2) : 3 + 1] : 2 = 675697 1  1   1  1  1   b/ B =  1 −  1 −   1 −  ...  1 −  1 −   2   3   4   2011   2012  1   2012 1   2 1   3 1   4 1   2011 B =  −  −  −  ...  − −    2 2   3 3   4 4   2011 2011   2012 2012  1 2 3 2010 2011 B = . . ... .

2 3 4 2011 2012 1 B= 2012

Câu 2. a/ Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55 =>(3y – 1)(2x + 1) = -55 −55 => 2 x + 1 = (1) 3y − 2 Để x nguyên thì 3y – 2 ∈ Ư(-55) = {1;5;11;55; −1; −5; −11; −55} +) 3y – 2 = 1 => 3y = 3 => y = 1, thay vào (1) => x = 28 7 +) 3y – 2 = 5 => 3y = 7 => y = (Loại) 3 13 +) 3y – 2 = 11 => 3y = 13 => y = (Loại) 3 +) 3y – 2 = 55 => 3y = 57 => y = 19 , thay vào (1) => x = -1

94

− 392 ) = 5.k; k ∈ N .

58 1 (Loại) 3 +) 3y – 2 = -5 => 3y = -3 => y = -1, thay vào (1) => x = 5 +) 3y – 2 = -11 => 3y = -9 => y = -3 , thay vào (1) => x = 2 −53 +) 3y – 2 = -55 => 3y = -53 => y = (Loại) 3 Vậy ta có 4 cặp số x, y nguyên thoả mãn là (x ; y ) = (28 ; 1) , (-1 ; 19) , (5 ; -1), (2 ; -3) 1 1 1 1 1 b/ Chứng minh rằng : 2 + 2 + 2 + ... + 2 < 4 6 8 2n 4 Ta có 1 1 1 1 A = 2 + 2 + 2 + ... + 4 6 8 (2n) 2 1 1 1 1 A= + + + ... + 2 2 2 (2.2) (2.3) (2.4) (2.n) 2 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1  A =  2 + 2 + 2 + ... + 2  <  + + +  42 3 4 n  4  1.2 2.3 3.4 ( n − 1) n 

+) 3y – 2 = - 1 => 3y = 1 => y =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 −   − + − + − + ... + 4 1 2 2 3 3 4 ( n − 1) n  1 1 1 A < 1 −  < (ĐPCM) 4 n 4 A<

Câu 3.

2n + 1 3n − 5 4n − 5 + − n−3 n−3 n −3 a/ Tìm n để A nhận giá trị nguyên : Đ/k n ≠ 3 2n + 1 3n − 5 4 n − 5 (2 n + 1) + (3n − 5) − (4n − 5) 2n + 1 + 3n − 5 − 4n + 5 n + 1 Ta có : A = + − = = = n−3 n−3 n−3 n−3 n−3 n−3 4 n −3+ 4 (2) A= = 1+ n−3 n−3 A nguyên khi n – 3 ∈Ư(4) = {1; 2;4; −1; −2; −4} => n ∈ {4;5;7; 2;1; −1} (Thoả mãn)

Cho biểu thức : A =

b/ Tìm n để A là phân số tối giản n +1 (Theo câu a) ( n ≠ 3) Ta có : A = n−3 TH 1 : n là số lẻ => n + 1 và n – 3 là số chẵn n +1 => A = không tối giản n−3 TH 2 : n là số chẵn => n + 1 không chia hết cho 2 Gọi d là ước chung của (n + 1) và (n – 3) => d không chia hết cho 2 => (n + 1) ⋮ d và (n – 3) ⋮ d => (n + 1) - (n – 3) chia hết cho d => 4 chia hết cho d∈Ư(4) ={1 ; 2; 4; -1 ; -2; -4) Vì d không chia hết cho 2 => d = 1 ; - 1

59 n +1 là phân số tối giản n−3 Kết luận : Với n là số chẵn thì A là phân số tối giản

=> ƯCLN(n + 1; n – 3) = 1 => A =

Câu 4.

Tìm số nguyên tố ab ( a > b > 0 ), sao cho ab − ba là số chính phương Ta có : ab − ba = (10a + b) − (10b + a ) = 10a + b − 10b − a = 9a − 9b = 9( a − b) = 32 ( a − b) Vì => a,b ∉ {1; 2;3; 4;5;6; 7;8;9} => 1 ≤ a- b ≤ 8 Để ab − ba là số chính phương thì a – b = 1; 4 +) a – b = 1 (mà a > b) ta có các số ab là : 98 ; 87 ; 76; 65; 54 ; 43; 32; 21 Vì ab là số nguyên tố nên chỉ có số 43 thoả mãn +) a – b = 4 (mà a > b) ta có các số ab là : 95 ; 84 ; 73; 62; 51 Vì ab là số nguyên tố nên chỉ có số 73 thoả mãn Kết luận : Vậy có hai số thoả mãn điều kiện bài toán là 43 và 73 Câu 5.

Hình vẽ

D

C

y (a+20)o

(a+10)o x 22o

ao

48o

A

O

B

E

Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA và OB. a/ Vẽ tia OC tạo với tia OA một góc bằng ao, vẽ tia OD tạo với tia OCC một góc bằng (a + 10)o và với tia OB một góc bằng (a + 20)o.Tính ao > COA (a + 10 > a) . Nên tia Do OC, OD nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và COD OC nằm giữa hai tia OA v à OD + DOB = AOC + COD AOB => => ao + (a + 10)o + (a + 20)o = 180o => 3.ao + 30o = 180o => ao = 50o b/ Tính góc xOy, biết góc AOx bằng 22o và góc BOy bằng 48o Tia Oy nằm giữa hai tia OA v à OB = 180o − 48o = 132o > Ta có : AOy = 180o − BOy AOx = 22o Nên tia Ox nằm giữa hai tia OA và Oy = AOy => 22o + xOy = 132o => xOy = 132o − 22o = 110o => AOx + xOy c/ Gọi OE là tia đối của tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD khi góc AOC bằng ao V ì tia OC nằm giữa hai tia OA và OD nên

60 o

= AOC + COD AOD => AOD = a o + ( a + 10 ) = 2a o + 10o = 2.50 o + 10o = 110o

< Vì AOx AOD(22o < 110o ) nên tia Ox nằm giữa hai tia OA và OD + xOD = = 110o => xOD = 110o − 22o = 88o => AOx AOD => 22o + xOD Vậy số đo góc kề bù với góc xOD có số đo là : 180o – 88o = 92o Câu 6.

Cho A = 102012 + 102011 + 10 2010 + 10 2009 + 8 a/ Chứng minh rằng A chia hết cho 24 Ta có : A = 103 (102009 + 102008 + 102007 + 102006 ) + 8 = 8.125 (10 2009 + 10 2008 + 10 2007 + 10 2006 ) + 8 A = 8. 125 102009 + 10 2008 + 10 2007 + 102006 + 1 ⋮ 8 (1) Ta lại có các số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 có tổng tổng các chữ số bằng 1, nên các số 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 khi chia cho 3 đều có số dư bằng 1 8 chia cho 3 dư 2.

Vậy A chia cho 3 có số dư là dư của phép chia (1 + 1 + 1 + 1 + 2) chia cho 3 Hay dư của phép chia 6 chia cho 3 (có số dư bằng 0) Vậy A chia hết cho 3 Vì 8 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên A chia hết cho 8.3 = 24 b/ Chứng minh rằng A không phải là số chính phương.

Ta có các số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 đều có chữ số tận cùng là 0 Nên A = 102012 + 102011 + 10 2010 + 10 2009 + 8 có chữ số tận cùng là 8 Vậy A không phải là số chỉnh phương vì số chính phương là những số có chữ số tận cùng là 1 ; 4; 5 ; 6 ; 9

(

)

Đề số 4 Câu 1. a) Cho n = 7a5 + 8b4. Biết a – b = 6 và n chia hết cho 9. Tìm a và b.

Ta có: n = 7 a5 + 8b 4 ⋮ 9 ⇔ 7 + a + 5 + 8 + b + 4 ⋮ 9

⇔ 24 + a + b⋮9 ⇒ a + b ∈ {3;12} (vì a + b < 19).

Mà a – b = 6 nên a + b > 3. Do đó a + b = 12.

Kết hợp với a – b = 6, suy ra a = 9, b = 3. b) Tìm các số tự nhiên x, y sao cho: 5x + 12y = 26.

Ta có 122 = 144 > 26 và y ∈ N => 0 ≤ y ≤ 1 => y ∈ 0; 1 +) Với y = 1 => 5x + 121 = 26 => 5x = 14 => không tìm được x ∈ N. +) Với y = 0 => 5x + 120 = 26 => 5x = 25=52 => x = 2 Câu 2. a) Tìm các số nguyên a, b biết rằng:

1 a 1 − = 7 2 b+3

a 1 1 2a − 7 1 − = ⇒ = ⇒ (2a − 7)(b + 3) = 14.

7 2 b+3 14 b+3 Do a, b ∈ Z nên 2a – 7 ∈ Ư(14)

61 Vì 2a – 7 lẻ nên 2a – 7 ∈{−7; −1;1;7} ⇒ a ∈ {0;3; 4;7} .

Từ đó tính được: (a; b) = (0; -5), (3; -17), (4; 11), (7; -1) 1 1 1 22 b) Tìm x , biết : ( + +...+ ).x= 1.2.3 2.3.4 8.9.10 45 1 1 1 22 ( + +...+ ).x= 1.2.3 2.3.4 8.9.10 45 1 1 1 1 1 1 1 22 ( ).x= − + − + ⋅⋅⋅ + − 2 1.2 2.3 2.3 3.4 8.9 9.10 45 1 1 1 22 ( − ).x= ⇒ 2 2 90 45 ⇒ x=2 Câu 3. a) Trong 1 giờ mỗi người A, B, C lần lượt làm được được

1 1 1 (CV ) , (CV ) , (CV ) , B và C làm 6 8 12

1 1 5 + = (CV ) 8 12 24

5 5 ⋅ 2 = (CV ) 24 12 5 7 A và B làm được 1 − = (CV ) 12 12 1 1 7 1 giờ A và B cùng làm được: + = (CV ) 6 8 24 7 7 Thời gian A cùng làm với B là: : = 2 giờ.

12 24 b) D + 1 = (1+ 5 + 52 ) + 53(1+ 5 + 52 ) + 56(1+ 5 + 52 ) + ... + 518(1+ 5 + 52 ) Do 1 + 5 + 52 = 31 nên D + 1 chia hết cho 31 => D chia 31 dư 30.

2 giờ B và C làm được

Câu 4.

19 30 + 5 19 31 + 5 ; N = 19 31 + 5 19 32 + 5 19.(19 30 + 5) 90 19 30 + 5 19 31 + 95 M = 31 nên 19M = = = 1 + 31 31 31 19 + 5 19 + 5 19 + 5 19 + 5 31 31 32 19.(19 + 5) 19 + 95 19 + 5 90 N = 32 nên 19N = = = 1 + 32 32 32 19 + 5 19 + 5 19 + 5 19 + 5 90 90 Vì 31 > 32 19 + 5 19 + 5 90 90 Suy ra 1 + 31 > 1 + 32 19 + 5 19 + 5 Hay 19M > 19N Nên M > N b) Thực hiện tính:

a) So sánh M và N biết M =

62

1 1 1 1 E = 1+ (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + (1 + 2 + 3 + 4) + ... + (1 + 2 + ... + 200) 2 3 4 200 Từ 1 + 2 + 3 + ... + n =

n(n + 1) được: 2

1 2.3 1 3.4 1 4.5 1 200.201 E = 1+ . + . + . + ... + .

2 2 3 2 4 2 200 2 3 4 5 201 = 1 + + + + ... + 2 2 2 2 1 1 2 3 4 5 201 E + = + + + + + ... + 2 2 2 2 2 2 2 1 = (1 + 2 + 4 + ... + 201) 2 1 1 1 201.202 1 E = (1 + 2 + 4 + ... + 201) − = . − = 10150 2 2 2 2 2 Câu 5. a, Trường hợp 1 : 2 tia Oy, Oz thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ Ox = 500 < 1200 = xOy nên tia Oz xOz nằm giữa Ox và Oy. = 1200 – 500 = 700

– xOz yOz = xOy

= yOz = 350 zOm 2

xOm = 350 + 500 = 850 b, Trường hợp 2 : 2 tia Oy, Oz thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ Ox.

Từ đầu bài ta có Ox nằm giữa 2 tia Oy và Oz.

yOz = 1200 + 500 = 1700 ° = 170 = 850 zOm 2

xOm = 850 – 500 = 350

b) Nếu trong 20 điểm không có ba điểm nào thẳng hàng thì vẽ được

20.( 20 − 1) = 190 .

2

(Đường thẳng).

Trong 7 điểm không có ba điểm nào thẳng hàng thì tạo thành 7.(7 − 1) = 21 (Đường thẳng).

2 Vì 7 điểm thẳng hàng tạo thành 1 đường thẳng nên số đường thẳng giảm 21 - 1 = 20 (Đường thẳng).

Vậy có 190 – 20 = 170 (Đường thẳng).

63

Đề số 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + ... + = + + + + ... + + 10 15 21 120 2.5 5.3 7.3 7.4 15.7 15.8 1   1 1  1  11 1 11 1 1 1 1  1  1 = + + + +  + ... +   =  +  +  +  + ... +  +  15  7 8   2.5 5.3   7.3 7.4   15.7 15.8  5  2 3  7  3 4  1 1 1 1 1 1 1 1 3 = + + ... + = + + ... + = − = 6 12 56 2.3 3.4 7.8 2 8 8 b) Ta có 5 = ( −1)( −5) = 1.5 ⇒ ( x − 2 )( xy − 1) = ( −1)( −5 ) = 1.5 Câu 1: a) A =

x−2

xy − 1 x y

-1 -5 1 -4

-5 -1 -3 0

1 5 3 2

5 1 7

2 ( loại) 7

Vậy ( x; y ) = {(1; −4 ) ; ( −3;0 ) ; ( 3; 2 )} Câu 2: Để biểu thức A =

-17 -1 2n + 1 n -9 -1 Vậy n ∈ {−9; −1;0;8}

17 là số nguyên thì 17⋮ 2n + 1 . Ta có Ư(17) = {±1; ±17} nên 2n + 1 1 0

17 8

b) x + ( x + 1) + ( x + 2 ) + ( x + 3) + ... + ( x + 100 ) = 8080 ( 1) Từ 0 đến 100 có 101 số hạng của x nên ta có 101x và từ 1đến 100 có tổng

100.101 = 101.50 = 5050 nên vế trái của (1) là 101x + 5050 ta có 2 3030 101x + 5050 = 8080 ⇒ 101x = 3030 ⇒ x = = 30 . Vậy x = 30 là số tự nhiên cần tìm 101 Câu 3: a) Gọi hai phân số cần tìm là x và y với x; y ≠ 0 ⇒ xy ≠ 0 . Theo đề ta có x + y = 2003xy (1) Do xy ≠ 0 nên chia hai vế của (1) cho xy ta được

x + y 2013 xy 1 1 = ⇒ + = 2013 . Nên tổng các nghịch đảo của hai phân số đó là 2013 xy xy x y b) Theo đề khi chia 355 cho a ta được số dư là 13 nên ta có 355 = a.m + 13 với m ∈ N * và a > 13 hay a.m = 342 = 18.19 (2) và khi chia 836 cho a ta được số dư là 8 nên ta có 836 = a.n + 8 ⇒ a.n = 828 = 18.46 với n ∈ N * (3). Từ (2) và (3) suy ra a = 18 là số tự nhiên cần tìm.

Câu 4: Khi a là một số lẻ không chia hết cho 3 nên a có dạng: a = 6k − 1 và a = 6k + 1 với k ∈ N . Khi a = 6k − 1 2

⇒ a 2 − 1 = ( 6k − 1) − 1 = ( 6k − 1)( 6k − 1) − 1 = 6k ( 6k − 1) − ( 6k − 1) − 1 = 36k 2 − 6k − 6k + 1 − 1 = 36k 2 − 12k = 6k ( 6k − 2 )⋮ 6 với mọi k. Vậy a 2 − 1⋮ 6 .

64 2

Khi a = 6k + 1 ⇒ a 2 − 1 = ( 6k + 1) − 1 = ( 6k + 1)( 6k + 1) − 1 = 6k ( 6k + 1) + ( 6k + 1) − 1 =

36k 2 + 6k + 6k + 1 − 1 = 36k 2 + 12k = 6k ( 6k + 2 )⋮ 6 với mọi k. Vậy a 2 − 1⋮ 6 .

Câu 5: a) • Trường hợp N và P nằm khác phía với M ta có M nằm giữa N và P nên ta có MN + MP = NP ⇒ MP = NP − MN = 2a − a = a •

Trường hợp N; P nằm cùng phía với M ta có N nằm giữa M và P nên MP = MN + NP = a + 2a = 3a

nên b) Do Ox là tia phân giác của MON

> MON (gt) nên tia ON = 1 MON . Do MOy xON 2 nằm giữa hai tia OM và Oy nên

+ NOM = MOy ⇒ NOy = MOy − MON

NOy

= = MOy − MON + 1 MON = MOy − 1 MON = 2 MOy − MON xOy yON + NOx 2 2 2

MOy + MOy − MON MOy + NOy = = 2 2

Đề số 6 Câu 1.

1) A= - 1 - 2 + 3 + 4 - 5 - 6 + 7 + 8 - 9 - 10 + 11 + 12 - ..... - 2013 - 2014 + 2015 + 2016

A= (- 1- 2+3+4)+(- 5- 6+7+8)+(- 9- 10+11+12)+..... +(-2013- 2014+2015+2016) Ta có tổng A có 2016 số hạng nên có 2016 : 4 = 504 nhóm A = 4 + 4 + 4 + ….. + 4 (tổng có 504 số 4) A = 4. 504 A = 2016 Vậy A = 2016 2) B =  1 − 1 :  1 − 1 :  1 − 1 :  1 − 1 : ..... :  1 − 1 :  1 − 1 2  3  4  5   98   99   1  2  3  4  97   98   99  B =  −  :  −  :  −  :  −  : ..... :  −  :  −  :  −   2  3  4  5  98   99   100   1  3  4  5  98   99   100  B =  −  .  −  .  −  .  −  . ..... .  −  .  −  .  −   2  2  3  4  97   98   99  Ta thấy tích B có 99 thừa số âm nên tích mang dấu âm 1 .3 .4 .5 .6 .....9 8 .9 9 .1 0 0 B = 2 .2 .3 .4 .5 .....9 7 .9 8 .9 9 100 B = 2 .2

 1  : − 1 100  

65 B = - 25 Vậy B = - 25 Câu 2.

1) Chứng minh C ⋮ 21 Ta có:

C = 4 + 42 + 43 + 44 + 45 + 46 + ..... + 42014 + 42015 + 42016 C = ( 4 + 42 + 43 ) + ( 44 + 45 + 46 ) +.....+ ( 42014 + 42015 + 42016 ) C = 4.(1 + 4 + 42 ) + 44 .(1 + 4 + 42 ) + ..... + 42014.(1 + 4 + 42 ) C = 4.21 + 44 .21 + ..... + 42014 .21 C = 21.( 4 + 44 + ..... + 42014 ) Do đó: C ⋮ 21 Chứng minh C ⋮ 105 Chứng minh C ⋮ 5

C = 4 + 42 + 43 + 44 + 45 + 46 + ..... + 42014 + 42015 + 42016 C = ( 4 + 42 ) + ( 43 + 44 ) + ( 45 + 46 ) + ..... + ( 42013 + 42014 ) + ( 42015 + 42016 ) C = 4.(1 + 4 ) + 43.(1 + 4 ) + 45.(1 + 4 ) + ..... + 42013.(1 + 4 ) + 42015.(1 + 4 ) C = 5.( 4 + 43 + 45 + ..... + 42013 + 42015 ) Do đó: C ⋮ 5 Ta có C ⋮ 5 và C ⋮ 21 mà (5 ; 21 ) = 1 Do đó C ⋮ 5.21 hay C ⋮ 105 2) Gọi số tự nhiên đó là P (P ≠ 0) Nếu P = 1 ta có 1 = 12 ⇒ P là số chính phương x

Nếu P > 1. Phân tích P ra thừa số nguyên tố ta có P = a (với a, b, ... , c là các số nguyên tố) Khi đó số lượng các ước của P là (x + 1).(y + 1).....(z + 1) Theo bài ra (x + 1).(y + 1).....(z + 1) là số lẻ ⇒ x + 1 , y + 1 , ... , z + 1 đều là các số lẻ ⇒ x, y , ... , z đều là các số chẵn Do đó x = 2.m ; y = 2.n ; ... ; z = 2.t Nên P = a

2 .m

.b 2 . n .....c 2 .t =

.b y .....c z

2

(a m .b n .....c t )

⇒ P là số chính phương Vậy chứng tỏ với mọi số tự nhiên khác 0, có số lượng các ước là một số lẻ thì số tự nhiên đó là một số chính phương.

Câu 3.

1) Gọi số tự nhiên đó là a Theo bài ra ta có: a = 7.p + 5 và a = 13.q + 4 (với p, q ∈ N )

66 Suy ra: a + 9 = 7.p + 14 = 7.(p + 2) ⋮ 7 a + 9 = 13.q + 13 = 13.(q + 1) ⋮ 13 Ta có a + 9 ⋮ 7 và a+ 9 ⋮ 13 mà (7 ; 13) = 1 Do đó a + 9 ⋮ 7. 13 hay a + 9 ⋮ 91 Vậy a + 9 = 91.k (với k ∈ N ) ⇒ a = 91.k – 9 = 91.k – 91 + 82 = 91.(k-1) + 82 Nên a chia cho 91 có số dư là 82.

1 1 x x +5 +1= = ⇔ ⇔ ( x + 5).( y − 1) = 5.1 5 y -1 5 y −1 ⇔ ( x + 5).( y − 1) = 5.1 = 1.5 = - 5 . (-1) = - 1 . (-5)

2) Ta có:

Nên ta có bảng sau x+5 y-1 x y

5 1 0 2

1 5 -4 6

-5 -1 -10 0

-1 -5 -6 -4

Vậy các cặp số nguyên (x;y) là: (0;2) ; (- 4; 6) ; (- 10; 0) ; (- 6;- 4) Câu 4.

1) Ta có

1 1 1 1 + + + ..... + 1.101 2.102 3.103 10.110 1  100 100 100 100  . E= + + + ..... +  100 1.101 2.102 3.103 10.110  1  1 1 1 1 1 1 1  E= .1 − + − + − + ..... + −  100  101 2 102 3 103 10 110  1  1 1 1  1 1 1 1  E= . 1 + + + ..... +  −  + + + ..... +  100  2 3 10  101 102 103 110  1 1 1 1 F= + + + ..... + 1.11 2.12 3.13 100.110 1  10 10 10 10  F = . + + + ..... +  10 1.11 2.12 3.13 100.110  E=

1  1 1 1 1 1 1 1  − .1 − + − + − + ..... +  10  11 2 12 3 13 100 110  1  1 1 1   1 1 1 1  F = . 1 + + + ..... + ..... − + + + +    10  2 3 100  11 12 13 110  F=

F=

1  1 1 1  1 1 1 1  . 1 + + + ..... +  −  + + + ..... +  10  2 3 10  101 102 103 110 

2) Ta có

67

1 1 10 1 E 100 = = . = 1 100 1 10 F 10 1 E Vậy tỉ số = F 10 Câu 5.

C

x F I E

300 300 A

a) Theo bài ra ta có điểm E nằm giữa hai điểm B và C Nên tia AE nằm giữa hai tia AB và AC Ta có: góc BAE + góc EAC = góc BAC ⇒ 300 + góc EAC = 1200 ⇒ góc EAC = 1200 – 300 = 900 Xét nửa mặt phẳng bờ AC có chứa điểm B Ta có: góc CAF = 300 góc CAE = 900 ⇒ góc CAF < góc CAE (vì 300 < 900) Do đó tia AF nằm giữa hai tia AC và AE Vậy điểm F nằm giữa hai điểm C và E ⇒ góc CAF + góc FAE = góc CAE ⇒ 300 + góc FAE = 900 ⇒ góc FAE = 600 b) Ta có: AI là tia phân giác của góc BAC

g ócB A C 1200 = = 600 Nên góc BAI = góc CAI = 2 2 *) Xét nửa mặt phẳng bờ AC có chứa điểm B Có góc CAF < góc CAI (vì 300 < 600) Suy ra tia AF nằm giữa hai tia AC và AI ⇒ góc CAF + góc FAI = góc CAI ⇒ 300 + góc FAI = 600 ⇒ góc FAI = 300 *) Xét nửa mặt phẳng bờ AF có chứa điểm B Ta có: góc FAE = 600 và góc FAI = 300 ⇒ góc FAI < góc FAE (vì 300 < 600)

B

68

⇒ Tia AI nằm giữa hai tia AF và AE 1 600 0 Hơn nữa góc FAI = góc FAE (vì 30 = ) 2 2 Do đó AI là phân giác của góc FAE. Câu 6.

Ta có 2

(2!)

2

(2!)

2

(2!)

2

2

(2!)

(2!)

+ + ..... + 52 72 2015 2 22 22 22 22 22 D = 2 + 2 + 2 + 2 + ..... + 1 3 5 7 2015 2 2 2 2 2  D = 4 + 2. 2 + 2 + 2 + ..... +   3 5 7 2015 2  2 2 2 1 Ta thấy 2 = < = 1− 3 3.3 1.3 3 2 2 2 1 1 = < = − 2 5 5.5 3.5 3 5 2 2 2 1 1 = < = − 2 7 7.7 5.7 5 7 D=

12

+

32

+

…………………………………

2 2 2 1 1 = < = − 2 2015 2015.2015 2013.2015 2013 2015 Do đó

1 1 1 1 1 1 1 1  − D < 4 + 2. − + − + − + ..... +  1 3 3 5 5 7 2013 2015   1  D < 4 + 2.1 −  2015  D < 4 + 2−

2 <6 2015

Vậy D < 6

Đề số 7 Câu 1 (Mỗi câu đúng, cho 1,0 điểm) a) 16 + (27 - 7.6) - (94.7 - 27. 99) = 16 + 27 - 7.6 - 94.7 + 27.99 = 16 + 27 + 27.99 - 7.6 - 94.7

69 = 16 + 27(99 + 1) - 7.(6 + 94) = 16 +27.100 - 7. 100 = 16 + 100(27- 7) = 16 + 100.20 = 16 + 2000 = 2016 b) A = Ta có

2 2 2 2 + + + .... + 1.4 4.7 7.10 97.100

1 1 1 1 2 2 1 1 = ( − )⇒ = ( − ) 1.4 3 1 4 1.4 3 1 4

Tương tự: ⇒A=

2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 = ( − ); = ( − ) ; ......; = ( − ) 4.7 3 4 7 7.10 3 7 10 97.100 3 99 100

2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 99 33 ) = ( − = ( − + − + − + ..... + − )= .

3 1 4 4 7 7 10 99 100 3 1 100 3 100 50

Câu 2 (Mỗi câu đúng, cho 1,0 điểm) a) Ta có: M = 5 + 52 + 53 + … + 580 = 5 + 52 + 53 + … + 580 = (5 + 52) + (53 + 54) + (55 + 56) +... + (579 + 580) = (5 + 52) + 52.(5 + 52) + 54(5 + 52) + ... + 578(5 + 52) = 30 + 30.52 + 30.54 + ... + 30.578 = 30 (1+ 52 + 54 + ... + 578) ⋮ 30 b) Ta thấy : M = 5 + 52 + 53 + … + 580 chia hết cho số nguyên tố 5.

Mặt khác, do: 52+ 53 + … + 580 chia hết cho 52 (vì tất cả các số hạng đều chia hết cho 52) ⇒ M = 5 + 52 + 53 + … + 580 không chia hết cho 52 (do 5 không chia hết cho 52) ⇒ M chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 52 ⇒ M không phải là số chính phương.

(Vì số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho p2).

Câu 3 (Mỗi câu đúng, cho 1,0 điểm) a). Chứng tỏ rằng:

2n + 5 , ( n ∈ N ) là phân số tối giản. n+3

Gọi d là ước chung của n + 3 và 2n + 5 với d ∈ N ⇒ n + 3 ⋮ d và 2n + 5 ⋮ d ⇒ (n + 3) - (2n + 5) ⋮ d ⇒ 2(n + 3) - (2n + 5) ⋮ d ⇔ 1 ⋮ d ⇒ d = 1 ∈ N ⇒ ƯC( n + 3 và 2n + 5) = 1

70 ⇒ ƯCLN (n + 3 và 2n + 5) = 1 ⇒

2n + 5 , ( n ∈ N ) là phân số tối giản. n+3

b). Tìm các giá trị nguyên của n để phân số B = Ta có:

2n + 5 2( n + 3) − 1 1 = =2n+3 n+3 n+3

Để B có giá trị nguyên thì Mà

2n + 5 có giá trị là số nguyên. n+3

1 nguyên. n+3

1 nguyên ⇔ 1 ⋮ (n +3) hay n + 3 là ước của 1. n+3

Do Ư(1) = {±1}; Ta tìm được n = {-4 ; - 2} Câu 4: Gọi số phải tìm là x. Theo bài ra ta có x + 2 chia hết cho 3, 4, 5, 6. ⇒ x + 2 là bội chung của 3, 4, 5, 6

Mà BCNN(3; 4; 5; 6) = 60 nên x + 2 = 60.n .

Do đó x = 60.n – 2; (n = 1; 2; 3…..)

Mặt khác x ⋮ 11 nên lần lượt cho n = 1; 2; 3…. Ta thấy n = 7 thì x = 418 ⋮ 11 Vậy số nhỏ nhất phải tìm là 418.

Câu 5 (Vẽ hình đúng, cho 0,5 điểm. Còn lại mỗi ý 0,5 điểm)

< xOz (300 < 700) a). xOy ⇒ Tia Oy nằm giữa 2 tia Ox và Oz

t

z

yOz = 700 - 300 = 400 ⇒

y

< xOt (700 < 1100) xOz ⇒ Tia Oz nằm giữa 2 tia Ox và Ot = 1100 - 700 = 400 ⇒ zOt

< xOt (300 < 1100) b) xOy ⇒ Tia Oy nằm giữa 2 tia Ox và Ot

yOt = 1100 - 300 = 800 ⇒

0

30

O

x

71

yOz = 400 Theo trên, ⇒ yOz < yOt (400 < 800) ⇒ Tia Oz nằm giữa 2 tia Oy và Ot = 400 yOz = 400; zOt c). Theo trên: Tia Oz nằm giữa 2 tia Oy và Ot và có:

⇒ Oz là tia phân giác của góc yOt.

Câu 6: Chứng minh rằng : Ta có

1 1 1 1 + 2 + 2 +...+ <1 2 2 3 4 100 2

1 1 1 1 < = 2 2 .1 1 2 2

1 1 1 1 < = 2 3 2 .3 2 3

..

1 1 1 1 < = 2 100 99.100 99 100 ⇒

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + 2 +...+ < - + - + ...+ = 1<1 2 2 99 100 100 2 3 100 1 2 2 3

Chú ý: Nếu học sinh làm theo cách khác đúng, vẫn cho điểm tối đa.

Đề số 8 Câu 1.

a) (-2013).2014+1007.26 = (-2013).2014+2014.13 = 2014.(-2013+13) = 2014.(-2000) = - 4028000  1313 10   130 1515  a)  + − −   1414 160   140 1616   13 1   13 15  =  + − −   14 16   14 16   13 13   15 1  =  − + +   14 14   16 16  =1

Câu 2. a) Từ đề bài ta có:

72

(x-y)+(y-z)+(z+x) = 2011+(-2012)+2013 ⇒ 2x = 2012 ⇒ x = 1006 Vì x- y = 2011 ⇒ y = x - 2011 = 1006 - 2011 = -1005 Vì x+z = 2013 ⇒ z = 2013 - x = 2013 - 1006 = 1007 Vậy: x = 1006 ; y = -1005 ; z = 1007 b) Ta có: ab = 180.12 = 2160 Giả sử a ≤ b. Vì ƯCLN(a,b)= 12 nên a=12m, b=12n với (m,n)=1 và m ≤ n Suy ra : 12m.12n = 2160 ⇒ m.n = 15. Ta có bảng sau: m n a b 1 15 12 180 3 5 36 60

4n −1 2(2n + 3) 7 7 = − = 2− 2n + 3 2n + 3 2n + 3 2n + 3 A có giá trị nguyên ⇔ 2n+3 ∈ Ö(7) = { ± 1; ± 7} Ta có bảng sau

c) A =

2n+3 n

1 -1

-1 -2

7 2

-7 -5

Câu 3.

Tổng số bút bi và bút chì lúc đầu là: 78+ 80+ 82+ 114+ 128 = 482 (chiếc) Vì số bút bi còn lại gấp bốn lần số bút chì còn lại nên tổng số bút bi và và bút chì còn lại là số chia hết cho 5, mà 482 chia cho 5 dư 2 nên hộp bút chì bán đi có số lượng chia cho 5 dư 2.

Trong các số 78; 80; 82; 114; 128 chỉ có 82 chia cho 5 dư 2 .

Vậy hộp bút chì bán đi là Hộp 3: 82 chiếc.

Số bút bi và bút chì còn lại là : 482 - 82= 400 (chiếc) Số bút chì còn lại : 400:5 = 80(chiếc) Vậy: Các hộp đựng bút chì là: Hộp 2 ; Hộp 3 .

Các hộp đựng bút bi là: Hộp 1; Hộp 4; Hộp 5 Câu 4. a) Ta có: O

D

B

A

C

Đặt BD = x (cm) ⇒ AC = 3x (cm) Vì D nằm giữa O và A (Do OD < OA) nên: OD + DA = OA ⇒ DA = 4 ⇒ DB+BA = 4 hay x + BA = 4 (1) Vì A nằm giữa B và C nên: BA + AC = BC hay 3x + BA = 8 (2) Từ (1) và (2) ta có: (3x + BA) - (x + BA) = 8-4

73 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2 ⇒ AC = 3.2 = 6 (cm)

b) Theo (1) ta có: x + BA = 4 mà x = 2 ⇒ BA = 2 Mà BD = x = 2 ⇒ BD = BA (=2) ⇒ B là trung điểm của đoạn thẳng AD Câu 5.

Giả sử n có k chữ số (k ≥ 1) Ta có 2014=19.101 + 95, do đó: 2014n = 2014.10k + n = 19.101.10k + 95.10k + n Suy ra: 2014n ⋮ 101 khi và chỉ khi 95.10k + n ⋮ 101

Với k= 1 thì 95.10k + n = 950 + n = 101.9 + ( 41 + n )⋮101 khi và chỉ khi 41 + n⋮101 nhưng n có một chữ số nên 41 + n ≤ 41 + 9 < 101 , nên không có số n thỏa mãn đầu bài.

Với k = 2 thì 95.10k + n = 9500 + n =101.94 + ( 6 + n )⋮101 suy ra 6 + n⋮101 , và số n nhỏ nhất được xác định bởi 6 + n = 101. Suy ra n = 95 Đáp số: n = 95 thỏa mãn đề ra.

Đề số 9 Câu 1.

5.(22.32 )9 .(22 )6 − 2.(22.3)14 .34 5.228.318 − 7.229.318 5.218.318.212 − 2.228.314.34 = 5.2 28.318 − 7.2 29.318 5.230.318 − 229.318 = 228.318 (5 − 7.2) 229.318 (5.2 − 1) 2.9 = 28 18 = = −2 2 .3 (5 − 14) −9

a) Ta có: A =

KL:…..

12 12 12 5 5 5   12 − 7 − 289 − 85 5 + 13 + 169 + 91  158158158 : . b) Ta có: . B = 81.  4 4 4 6 6 6  4− − − 6+ + +  711711711 7 289 85 13 169 91     1 1 1   1 1 1  12  1 − 7 − 289 − 85  5 1 + 13 + 169 + 91   158.1001001 :  . = 81.   1 1 1 1 1 1     711.1001001  4 1− − − 6 1 + + +    7 289 85   13 169 91  

74

 12 5  158 = 81.  :  .  4 6  711 18 2 324 = 81. . = = 64,8 5 9 5

KL:…………

Câu 2. a) Ta có: Q=

2010 + 2011 + 2012 2010 2011 = + + 2011 + 2012 + 2013 2011 + 2012 + 2013 2011 + 2012 + 2013 2012 + 2011 + 2012 + 2013

Lần lượt so sánh từng phân số của P và Q với các tử là : 2010; 2011; 2012 thấy được các phân thức của P đều lớn hơn các phân thức của Q Kết luận: P > Q b) Từ dữ liệu đề bài cho, ta có : + Vì ƯCLN(a, b) = 21, nên tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao cho: a = 21m; b = 21n (1) và ƯCLN(m, n) = 1 (2) + Vì BCNN(a, b) = 420, nên theo trên, ta suy ra :

⇒ BCNN ( 21m; 21n ) = 420 = 21.20 ⇒ BCNN ( m; n ) = 20

(3)

+ Vì a + 21 = b, nên theo trên, ta suy ra :

⇒ 21m + 21 = 21n ⇒ 21.( m + 1) = 21n

⇒ m +1= n

(4)

Trong các trường hợp thoả mãn các điều kiện (2) và (3), thì chỉ có Trường hợp : m = 4, n = 5 hoặc m = 2, n = 3 là thoả mãn điều kiện (4).

Vậy với m = 4, n = 5 hoặc m = 2, n = 3 ta được các số phải tìm là : a = 21 . 4 = 84; b = 21 . 5 = 105 Câu 3. a) Ta có: 5(13 x + 18 y ) − 4(7 x + 4 y ) = 65 x + 90 y − 28 x − 16 y = 37 x + 74 y = 37( x + 2 y ) ⋮ 37

Hay 5(13 x + 18 y ) − 4(7 x + 4 y ) ⋮ 37 (*) Vì 7 x + 4 y ⋮ 37 , mà (4;37) = 1 nên 4(7 x + 4 y ) ⋮ 37 Do đó, từ (*) suy ra: 5(13 x + 18 y ) ⋮ 37 , mà (5; 37) = 1 nên 13 x + 18 y ⋮ 37 b)Ta có: 1 3 3 2 3 3 3 4 3 + + ( ) + ( ) + ( ) + ... + ( ) 2012 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 => A = + ( ) 2 + ( )3 + ( ) 4 + ... + ( ) 2013 2 4 2 2 2 2 A=

Lấy (2) – (1), ta được: 3 3 3 1 3 A − A = ( ) 2013 + − − 2 2 4 2 2

(1) (2)

75

1 3 1 32013 1 A = ( )2013 + => A = 2012 + 2 2 4 2 2 2013 2013 3 3 5 Vậy B − A = 2014 − 2012 + .

2 2 2

Câu 4.

C

D

a)

y

A

B

x

Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối của tia Ax ⇒ A nằm giữa D và B ⇒ BD = BA + AD = 6 + 4 = 10 (cm)

KL:….. b) Vì A nằm giữa D và B => Tia CA nằm giữa 2 tia CB và CD

⇒ ACD + ACB = BCD − ⇒ ACD = BCD ACB = 800 − 450 = 350

KL:…. c) * Trường hợp 1 : K thuộc tia Ax -

Lập luận chỉ ra được K nằm giữa A và B

-

Suy ra: AK + KB = AB

⇒ KB = AB – AK = 6 – 2 = 4 (cm)

D

A

K

* Trường hợp 2 : K thuộc tia đối của tia Ax - Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B

B

x

76

- Suy ra: KB = KA + AB ⇒ KB = 6 + 2 = 8 (cm)

D

K

A

B

* Kết luận: Vậy KB = 4 cm hoặc KB = 8 cm Câu 5.

Ta có: x2 – 2x + 1 = 6y2 -2x + 2 => x2 – 1 = 6y2 ⇒ 6y2 = (x-1).(x+1) ⋮ 2 , do 6y2 ⋮ 2 Mặt khác x-1 + x +1 = 2x ⋮ 2 ⇒ (x-1) và (x+1) cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Vậy (x-1) và (x+1) cùng chẵn ⇒ (x-1) và (x+1) là hai số chẵn liên tiếp ⇒ (x-1).(x+1) ⋮ 8 ⇒ 6y2 ⋮ 8 ⇒ 3y2 ⋮ 4 ⇒ y2 ⋮ 4 ⇒ y ⋮ 2 ⇒ y = 2 ( y là số nguyên tố) , tìm được x = 5.

Kết luận:…….

Đề số 10.

Câu 1. a) Tìm chữ số tận cùng của số 572011 Xét 72011; ta có: 72011 = (74)502.73 = 2401502. 343 Suy ra chữ số tận cùng bằng 3 Vậy số 572011 có chữ số tận cùng là 3. b) Tìm chữ số tận cùng của số 931999 Xét 31999; ta có: 31999 = (34)499. 33 = 81499.27 Suy ra chữ số tận cùng bằng 7 Vậy số 31999 có chữ số tận cùng là 7.

Câu 2. a) Tính

x

77

−1 −1 −1 −1 −1 −1 + + + + + 20 30 42 56 72 90 1 1 1 1 1   1 = − + + + + +   4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  = − − + − + − + − + −   4 5 5 6 6 7 8 9 9 10 

A=

1 1  = − −   4 10  3 =− 20 b) So sánh −7 −15 −7 −8 −7 Xét: N = 2005 + 2006 = 2005 + 2006 + 2006 10 10 10 10 10 −15 −7 −7 −8 −7 và: M = 2005 + 2006 = 2005 + 2005 + 2006 10 10 10 10 10 −8 −8 Ta có: 2006 > 2005 10 10 Vậy: N > M Câu 3. a)

ab .10000 + ab .100 + ab = 10101. ab - Do 10101 chia hết cho 3 nên ababab chia hết cho 3 hay ababab ababab

=

b) Chứng tỏ rằng

12n + 1 là phân số tối giản 30n + 2

Gọi d là ớc chung của 12n+1và 30n+2 ta có 5(12n+1)-2(30n+2) =1 chia hết cho d vậy d=1 nên 12n+1 và 30n+2 nguyên tố cùng nhau do đó

12 n + 1 là phân số tối giản 30 n + 2 15

5

c) Chứng minh: S = 16 + 2 5

15

Có S = 16 + 2 = 2

20

4 5

chia hết cho 33 15

= (2 ) + 2

+ 215 = 215.25 + 215

15 5 = 2 (2 + 1) = 215.33 ⇒ S chia hết cho 33 Câu 4.

Gọi số học sinh là a (a ∈ Z*) Ta có a - 3 ∈ BC(10; 12; 15) a - 3 = 60k (k ∈ N*) ⇒ a = 60k + 3

là bội của 3.

78

k

1

2

3

4

5

6

7

a

63

123

183

243

303

363

423

Ta xem với giá trị nào của k thì a < 400 và a ⋮ 11 Trong các giá trị trên, chỉ có a = 363 < 400 và a ⋮ 11 Vậy số học sinh cần tìm là 363 học sinh.

Câu 5.

Mỗi đường thẳng cắt 2009 đường thẳng còn lại tạo nên 2009 giao điểm.

Mà có 2010 đường thẳng nên có: 2009 x 2010 giao điểm.

Nhưng mỗi giao điểm được tính 2 lần nên số giao điểm thức tế là: (2009 x 2010):2 = 2009 x 1005 = 2019045 giao điểm.

Câu 6. = 300 a. Vẽ đợc góc xOy và góc yOz kề bù và yOz Vẽ đợc tia Om thỏa mãn điều kiện m

Vẽ đợc tia On thỏa mãn điều kiện

y

n x

O

z

b. Hình vẽ trên có 10 góc c. Lập luận (từ hình vẽ trên ta có mỗi tia với 1 tia còn lại tạo thành 1 góc. Xét 1 tia, tia đó cùng với 4 tia còn lại tạo thành 4 góc. Làm nh vậy với 5 tia ta đợc 5.4 góc. Nhng mỗi góc đã đợc tính 2 lần do đó có tất cả là

5.4 = 10 góc) 2

Từ đó suy ra tổng quát: với n tia chung gốc có n(

Đề số 11

Câu 1.

n −1 ) (góc).

2

79

a) (102 + 112 + 122 ) : (132 + 142 ) = (100 + 121 + 144 ) : (169 + 196 ) = 365 : 365 = 1 b) 1.2.3...9 − 1.2.3...8 − 1.2.3...7.82 = 1.2.3...7.8.( 9 − 1 − 8 ) = 1.2.3...7.8..0 = 0 16 2

c)

(3.4.2 )

2

11.213.411 − 169

16 2

( 3.2 .2 ) = 11.2 .( 2 ) − ( 2 ) 13

=

2 11

4 9

=

32.( 218 )

2

11.213.222 − 236

32.236 32.236 32.236 32.2 = = = =2 11.213.2 22 − 236 11.235 − 236 235 (11 − 2 ) 9

d) 1152 - (374 + 1152) + (-65 + 374) = 1152 - 374 - 1152 + (-65) + 374 = (1152 - 1152) + (-65) + (374 - 374) = -65 e) 13 - 12 + 11 + 10 - 9 + 8 - 7 - 6 + 5 - 4 + 3 + 2 - 1 = = 13 - (12 - 11 - 10 + 9) + (8 - 7 - 6 + 5) - (4 - 3 - 2 + 1) = 13 Câu 2.

(

2

a) 19x + 2.5

) :14 = (13 − 8)

{

2

− 42

}

2 ⇒ x = 14. (13 − 8 ) − 42  − 2.52 :19   ⇒x=4 b) x + ( x + 1) + ( x + 2 ) + ... + ( x + 30 ) = 1240

  x + x ⇒  + ... + x  + (1 + 2 + ... + 30 ) = 1240    31 So hang  30.(1 + 30 ) ⇒ 31x + = 1240 2 ⇒ 31x = 1240 − 31.15 775 ⇒x= = 25 31 c) 11 - (-53 + x) = 97

⇒ x = 11 − 97 − (−53) = −33 d) -(x + 84) + 213 = -16

⇒ −(x + 84) = −16 − 213 ⇒ −(x + 84) = −229 ⇒ x + 84 = 229 ⇒ x = 229 − 84 = 145 Câu 3.

Từ dữ liệu đề bài cho, ta có : + Vì ƯCLN(a, b) = 15, nên ắt tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao cho: a = 15m; b = 15n (1)

80 và ƯCLN(m, n) = 1 + Vì BCNN(a, b) = 300, nên theo trên, ta suy ra :

(2)

⇒ BCNN (15m; 15n ) = 300 = 15.20 ⇒ BCNN ( m; n ) = 20

(3)

+ Vì a + 15 = b, nên theo trên, ta suy ra :

⇒ 15m + 15 = 15n ⇒ 15.( m + 1) = 15n

⇒ m +1 = n

(4)

Trong các trường hợp thoả mãn các điều kiện (2) và (3), thì chỉ có trường hợp : m = 4, n = 5 là thoả mãn điều kiện (4).

Vậy với m = 4, n = 5, ta được các số phải tìm là : a = 15 . 4 = 60; b = 15 . 5 = 75 Câu 4. a) So sánh P và Q Biết: P =

2010 2011 2012 2010 + 2011 + 2012 + + và Q = 2011 2012 2013 2011 + 2012 + 2013

2010 + 2011 + 2012 2010 2011 = + + 2011 + 2012 + 2013 2011 + 2012 + 2013 2011 + 2012 + 2013 2012 + 2011 + 2012 + 2013 2010 2010 Ta có: < 2011 + 2012 + 2013 2011 2011 2011 < 2011 + 2012 + 2013 2012 2012 2012 < 2011 + 2012 + 2013 2013 2010 2011 2012 2010 2011 2012 + + < + + => 2011 + 2012 + 2013 2011 + 2012 + 2013 2011 + 2012 + 2013 2011 2012 2013 Kết luận: P > Q

Q=

b) - Thực hiện qui đồng mẫu số: C= D=

(2009 2008 + 1)(2009 2010 + 1) 2009 4018 + 2009 2010 + 2009 2008 + 1 = (2009 2009 + 1)(2009 2010 + 1) (2009 2009 + 1)(2009 2010 + 1) (2009 2009 + 1)(2009 2009 + 1) 2009 4018 + 2009 2009 + 2009 2009 + 1 = (2009 2010 + 1)(2009 2009 + 1) (2009 2010 + 1)(2009 2009 + 1)

2009 2010 + 2009 2008 = 2009 2008 (2009 2 + 1) 2009 2009 + 2009 2009 = 2009 2008 (2009 + 2009) Do (2009 2 + 1) > ( 2009 + 2009) nên C > D (Có thể chứng tỏ C - D > 0 để kết luận C > D).

Câu 5.

o

m

a

n

b

81 a) Hai tia AO, AB đối nhau, nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B, suy ra : ⇒ OA < OB. b) Ta có M và N thứ tự là trung điểm của OA, OB, nên :

⇒ OM =

OA OB ; ON = 2 2

Vì OA < OB, nên OM < ON. Hai điểm M và N thuộc tia OB, mà OM < ON, nên điểm M nằm giữa hai điểm O và N. c) Vì điểm M nằm giữa hai điểm O và N, nên ta có : suy ra : hay :

⇒ OM + MN = ON ⇒ MN = ON − OM OB − OA AB ⇒ MN = = 2 2

Vì AB có độ dài không đổi, nên MN có độ dài không đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB).

Đề số 12 Bài 1. a) A=

3 5 5 1  1 3 41  1 1  25 + 6 11 − 9  :8 = +  11 − 9  : 5 6  20 4 3 5 6  4 4 3

3 41 3 = + .2.

5 6 25

3 41 15 41 56 6 + = + = =2 5 25 25 25 25 25 6 Vậy A = 2 25 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 b) B = + + + + + + + + 2 6 12 20 30 42 56 72 90 1 1 1 1 1 1 1 1   1 + + + + + + + + = −   1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  = − − + − + − + − + − + − + − + − + −   1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10  1  −9  = − 1 −  =  10  10 −9 Vậy B = 10 =

82 Bài 2. a) Ta có

2 4 5 2 4 5 + − + − x  1 3  5 9 11 5 9 11 x :9 −  = ⇒ = 8 16 20 2 4 5  8  2 2 + − 4 + −  5 9 11  5 9 11  x 1 ⇒ = 8 4 Vậy x=2 b) Ta có: 3

1 1 1 2  1  2x − − ( −2 ) = 4.  ⇒ 2x − − 4 = 4.

3 3 −8  −2  1 1 7 ⇒ 2x − = 4 − = 3 2 2 1 7   2x − 3 = 2 ⇒  2x − 1 = − 7  3 2

Với

1 7 23 23 2x − = ⇒ 2x = ⇒ x = 3 2 6 12

1 7 −19 −19 2x − = − ⇒ 2x = ⇒x= 3 2 6 12 23 −19 ; Vậy x = 12 12 Với

Bài 3. a) Gọi số cần tìm là a . điều kiện a ∈ N,a ≥ 100 Vì a chia cho 4, 6, 7 đều dư 3 ⇒ a − 3⋮ 4,6,7

⇒ a – 3 ∈ BC ( 4;6;7 ) = B (84 ) = {0; 84;168; 252; ...} ⇒ a ∈ {87;171; 255; ...} và vì a là số tự nhiên có ba chữ số.

⇒ a − 3⋮ BCNN ( 4,6,7 ) ⇒ a − 3⋮84 Vì a ≥ 100 ⇒ a − 3 ≥ 97 , và a là số nhỏ nhất có 3 chữ số ⇒ a − 3 = 168 ⇒ a = 171 Vậy số cần tìm là 165

83 b) Nếu p = 3 thì p+10=13; p+14=17 đều là số nguyên tố

⇒ p = 3 là giá trị cần tìm *

Nếu p ≠ 3 , vì p là số nguyên tố nên p có dạng p = 3k + 1 (với k ∈ N ) hoặc p = 3k + 2 (với k ∈ N ).

Với p = 3k + 1 (với k ∈ N ) ⇒ p + 14 = 3k + 1 + 14 = 3 ( k + 5 )⋮3 và *

P + 14 >3 nên p + 14 là hợp số.

Với p = 3k + 2 (với k ∈ N ) ⇒ p + 10 = 3k + 2 + 10 = 3 ( k + 4 )⋮3 và P + 10 > 3 nên p + 10 là hợp số.

Do đó nếu p ≠ 3 thì một trong hai số p+10, p+14 là hợp số nên không thoả mãn bài toán.

Vậy p = 3 c) Ta có:

x ( y + 2) − y = 3 ⇒ x ( y + 2) − ( y + 2) = 1 ⇒ ( x − 1)( y + 2 ) = 1

(1)

Vì x, y là các số nguyên nên x -1, y + 2 cũng là các số nguyên Từ (1) suy ra x -1 và y+2 là ước của 1.

Với x - 1=1 và y + 2 =1. Suy ra x=2 và y=-1 Với x-1=-1 và y+2=-1.suy ra x=0 và y=-3 Vậy (x,y)=(2,-1); (0,-3) y +3 1 Có thể làm: Từ x(y + 2) – y = 3 ⇒ x = y + 2 = 1 + y + 2 Vì x, y nguyên nên y + 2 ∈ Ư (1) = ± 1 ⇒ y = – 1 ; – 3 Vậy (x, y) = (2 ; - 1) ; (0 ; -3) Bài 4.

y C

D

A

B

x

a) Vì điểm D thuộc tia đối của tia Ax nên điểm A nằm giữa hai điểm B và D

⇒ BD = BA + AD = 5 + 3 = 8 ( cm ) Vậy BD=8cm b) Vì điểm A nằm giữa hai điểm B và D nên tia AC nằm giữa 2 tia CB và CD.

84

+ BCA = BCD

⇒ ACD + 500 = 850 ⇒ ACD = 350 ⇒ ACD = 350 Vậy ACD c) Vì Điểm K thuộc đoạn thẳng BD và AK = 1cm nên ta xét 2 trường hợp.

TH1: Điểm K thuộc đoạn thẳng AB A

D

K

B

x

B

x

Vì K thuộc đoạn thẳng AB

⇒ AK + KB = AB

⇒ 1 + BK = 5 ⇒ BK = 4 ( cm ) TH2:Điểm K thuộc đoạn thẳng AD D

K

A

Vì K thuộc đoạn thẳng AD nên điểm A nằm giữa 2 điểm K và B

⇒ BK = BA + AK = 5 + 1 = 6 ( cm ) Vậy BK= 4cm , BK=6cm Bài 5.

Xét tổng

( a1 − b1 ) + ( a 2 − b2 ) + ( a 3 − b3 ) + .... + ( a 7 − b7 ) = ( a1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 ) − ( b1 + b 2 + b3 + b 4 + b5 + b6 + b 7 ) = 0 Nếu cả 7 số a 1 − b1 ,a 2 − b 2 ,.....,a 7 − b 7 đều lẻ thì tổng của chúng là số lẻ và do đó khác 0 (lẻ đối nhau vẫn có thể bằng 0) Suy ra có ít nhất một trong 7 số a 1 − b1 ,a 2 − b 2 ,.....,a 7 − b 7 là số chẵn

⇒ ( a1 − b1 )( a 2 − b 2 ) ( a 3 − b3 ) ....( a 7 − b 7 ) là số chẵn.

Ta có hiệu ( ai − bi ) khác tính chẵn lẻ sẽ là một số lẻ.

Không mất tính tổng quát nếu ta giả sử ( a1 − b1 )( a2 − b2 )( a3 − b3 ) ... ( a6 − b6 ) là các hiệu khác tính chẵn lẻ, nên tích trên là số lẻ ⇒ a 7 và b 7 sẽ cùng tính chẵn lẻ, hay ( a7 − b7 ) là số chẵn.

Vậy ( a1 − b1 )( a 2 − b 2 ) ( a 3 − b3 ) ....( a 7 − b 7 ) là số chẵn.

Đề số 13 Bài 1. a) 1968 : 16 + 5136 : 16 -704 : 16 = (1968 + 5136 – 704) : 16

85 = 16(123+ 321 - 44):16 = 400 b) 23. 53 - 3 {400 -[ 673 - 23. (78 : 76 +70)]} = 8.125-3.{400-[673-8.50]} = 1000-3.{400-273} =619 Bài 2.

M = 1 + 3 + 5 +…+ (2n-1) ( Với n ∈ N , n ≠ 0 ) Tính số số hạng = ( 2n - 1-1): 2 + 1 = n Tính tổng = ( 2n – 1 + 1 ) n : 2 = 2n2 : 2 = n 2 KL: M là số chính phương Bài 3. a) Ta có: 3100 = 3.3.3….3 (có 100 thừa số 3) = (34)25 = 8125 có chữ số tận cùng bằng 1 19990 = 19.19…19 ( có 990 thứa số 19 ) = (192)495 = 361495 ( có chữ số tận cùng bằng 1 Vậy 3100+19990 có chữ số tận cùng bằng 2 nên tổng này chia hết cho 2 b) Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là : a ; (a +1) ;( a + 2) ;( a + 3 ) ; ( a ∈ N ) Ta có : a + (a+1) + (a+2) + (a+3) = 4a + 6 Vì 4a ⋮ 4 ; 6 không chia hết 4 nên 4a+ 6 không chia hết 4 Bài 4.

Vì A =

Vậy A < B Bài 5. a)

( (

17 18 + 1 17 18 + 1 1718 + 1 + 16 17 1717 + 1 < 1 A= < = ⇒ 1719 + 1 1719 + 1 1719 + 1 + 16 17 1718 + 1

n +1 là số nguyên khi ( n+1) ⋮ (n-2) n−2

Ta có (n+1) = [ (n − 2) + 3] Vậy (n+1) ⋮ (n-2) khi 3 ⋮ (n-2) (n-2) ∈ Ư(3) = {−3; −1;1;3}

) )

=

17 17 + 1 =B 1718 + 1

86 => n ∈ {−1;1;3;5} b) Gọi d là ƯC của 12n+1 và 30n+2 ( d ∈ N* ) ⇒ 12n + 1⋮ d ,30n + 2⋮ d [5(12n + 1) − 2(30n + 2) ]⋮ d ⇔ (60n+5-60n-4) ⋮ d ⇔ 1 ⋮ d mà d∈ N* ⇒ d = 1 Vậy phân số đã cho tối giản Câu 6.

TH1

TH2 x

A

z

x

A

D

D

B

B C

y

a) Vì

C y

Vẽ hình đúng D thuộc đoạn thẳng AC

nên D nằm giữa A và C : AC = AD + CD = 4+3 = 7 cm b) Chứng minh được tia BD nằm giữa hai tia BA và BC Ta có đẳng thức : ∠ ABC = ∠ ABD + ∠ DBC ⇒ ∠ DBC = ∠ ABC - ∠ ABD =550 – 300 = 250 c) Xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: Tia Bz và tia BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia BA nằm giữa hai tiaBz và BD Tính được ∠ ABz = 900 - ∠ ABD = 900- 300 = 600 - Trường hợp 2 :Tia Bz và tia BD nằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia BD nằm giữa hai tia Bz và BA Tính được ∠ ABz = 900 + ∠ ABD = 900 + 300 = 1200 Bài 7 (2x+ 1); (y - 5) là các ước của 12 Ư(12) = {1;2;3;4;6;12 Vì 2x + 1 là lẻ nên :

}

2x + 1= 1 ⇒ x = 0 , y =17 2x + 1= 3 ⇒ x = 1 , y = 9 Vậy với x = 0 thì y = 17 ; Với x = 1 thì y = 9

87

Đề số 14 Câu 1. a) - 32.56 - 32.25 - 32.19 = - 32(56 + 25 + 19) = - 32(56 + 25 + 19) = - 32( 100) = - 3200 4 b) 2 .5 − 131 − (13 − 4) 2  = 16.5 − 131 − 92  = 80 − 131 − 81 = 30 c)

93.253 182.1252

=

36 ⋅ 56 22 ⋅ 34 ⋅ 56

=

32 22

=

9 4

Câu 2. a) 4 – 2(x + 1) = 2 4 – 2x – 2 = 2 x=0 2 x− 3 b) 5 − 3.52 = 52.2

52 x−3 = 52.2 + 3.52 52 x−3 = 53 2x − 3 = 3 x=3 Câu 3. a) A là phân số khi n − 3 ≠ 0 ⇒ n ≠ 3 b) Để A là phân số tối giản thì ƯCLN(n +1, n - 3) = 1 Hay ƯCLN((n – 3) + 4, n - 3) = 1 Vì 4⋮ 2 (2 là ước nguyên tố) Nên để ƯCLN((n – 3) + 4, n - 3) = 1 thì n - 3 không chia hết cho 2 Suy ra n − 3 = 2k + 1 (k là số nguyên) Hay n là số chẵn. n+1 n-3+4 4 c) Ta có: A= = = 1+ n-3 n-3 n−3 4 Với n > 3 thì >0 n−3 4 Với n < 3 thì <0 n−3 Để A có giá trị lớn nhất thì n – 3 nguyên dương và có giá trị nhỏ nhất. Hay n – 3 = 1 ⇒ n = 4 Câu 4.

A

M

B

C

a) Do M là trung điểm của AB, và C là điểm thuộc tia đối của tia BA nên M nằm giữa A và C.

88 Ta có: CA = MA + MC(1) Ta có B nằm giữa M và C Ta có CB = CM – MB(2) Từ (1) và (2) ta có: CA + CB = MA + MC + CM – MB ⇒ CA + CB = 2CM(Do MA = MB) CA + CB ⇒ MC = 2 b) O

A

B

M

- Theo câu a điểm M nằm giữa A và C nên ta có: = MOC AOC − AOM = 1200 − 600 = 600 = 1 MOC

Ta thấy điểm B nằm giữa M và C và BOC 2 .

Nên OB là tia phân giác của MOC

Câu 5. a) Gọi x là số xe 12 chỗ ngồi, y là số xe 7 chỗ ngồi ( x,y ∈ N* ) Theo bài ra ta có: 12.x + 7.y = 68 Vì 12.x ⋮ 4; 68 ⋮ 4 nên 7.y ⋮ 4 mà (7,4) = 1 Suy ra y ⋮ 4.

Hơn nữa x ∈ N* nên y ≤ 8 ⇒ y = 4 hoặc y = 8 10 Với y = 4 ta thấy 12x + 7.4 = 68 ⇒ x = không thỏa mãn.

3 Với y = 8 thì x = 1 Thỏa mãn.

Vậy có 1 xe loại 12 chỗ ngồi, 8 xe loại 1 chỗ ngồi. b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, Ta có n 2 + n + 2 = n(n +1) + 2 Do n(n+1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2. ⇒ n(n+1) có tận cùng là 0, 2, 6 ⇒ n(n+1) + 2 có tận cùng là 2,4,8 không chia hết cho 5.

Đề số 15 Câu 1.

1.1 A = 1 + 2 − 3 − 4 + 5 + 6 − 7 − 8 + 9 + ... + 2013 + 2014 − 2015 − 2016 Tính được số các số hạng của A là (2016 - 1) : 1 + 1 = 2016 số hạng Nhóm 4 số hạng liên tiếp vào một nhóm:

C

89 A = (1 + 2 − 3 − 4) + (5 + 6 − 7 − 8) + ... + (2013 + 2014 − 2015 − 2016) 4 + (−4) + ... + ( −4) A=−

= −4.504 = −2016 có 504 sô'

Vậy A=-2016

2.4.10 + 4.6.8 + 14.16.20 8.(1.2.5 + 2.3.4 + 7.8.10) 8 = = 3.6.15 + 6.9.12 + 21.24.30 27.(1.2.5 + 2.3.4 + 7.8.10) 27 8 Vậy B= 27

1.2 B =

Câu 2.

102014 + 2016 (102014 + 2016)(102016 + 2016) = 10 2015 + 2016 (102015 + 2016)(102016 + 2016) 104030 + 2016.(10 2014 + 10 2016 ) + 20162 = (102015 + 2016)(102016 + 2016)

2.1 Ta có A =

=

Ta có B =

104030 + 2016.102014.101 + 20162 (10 2015 + 2016)(102016 + 2016)

(1)

102015 + 2016 (102015 + 2016)(102015 + 2016) = 102016 + 2016 (102016 + 2016)(102015 + 2016)

=

104030 + 2.2016.102015 + 20162 (102016 + 2016)(102015 + 2016)

=

104030 + 20.2016.102014 + 20162 (102016 + 2016)(102015 + 2016)

(2)

Từ (1) và (2) suy ra A>B Vậy A > B 1 1 1 1 + + + ... + 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 7.8.9.10 1 1 1 1 1 1 1 ) = ( − + − + ... + − 3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 2.3.4 7.8.9 8.9.10 1 1 1 1 119 = ( − )= .

3 6 720 3 720 1 119 119 Nên từ (1) suy ra: . =>x=3 .x = 3 720 720 Vậy x=3

2.2 Ta có:

2.3 Ta nhận xét rằng mọi số nguyên tố lớn hơn 3 thì chia cho 3 đều có dạng p=3k+1 hoặc p=3k+2 ( k ∈ N * ) Với p=3k+1 thì p2+2=9k2+6k+3 chia hết cho 3.

Với p=3k+2 thì p2+2=9k2-6k+6 chia hết cho 3 Vì p là nguyên tố nên p ≥ 2 khi đó trong cả 2 trường hợp trên thì p2+2 đều lớn hơn 3 và chia hết cho 3. Tức là p2+2 là hợp số => p2+2 chỉ là nguyên tố khi p=3 (khi đó p2+2=11 là số nguyên tố)

90 => p3+2=27+2=29 là số nguyên tố Vậy nếu p và p2+2 là các số nguyên tố thì p3+2 cũng là số nguyên tố.

Câu 3.

3.1 Gọi d là ƯCLN(2n+1,n+2) (d∈ N * ) Ta có 2n+1 ⋮ d, n+2 ⋮ d => [(2n+4)-(2n+1)] ⋮ d => 3 ⋮ d Vì d ∈ N * nên d∈ {1;3} Để phân số

2n + 1 rút gọn được thì d=3 n+2

=> n+2=3k ( k ∈ N * ) => n=3k-2 ( k ∈ N * ) Vậy với n=3k-2 ( k ∈ N * ) thì phân số

2n + 1 là phân số rút gọn được. n+2

3.1 Số học sinh giỏi của lớp 6B bằng

2 1 6 : = ( số học sinh giỏi lớp 6A) 5 3 5 Số học sinh giỏi lớp 6C bằng

2 1 4 : = ( số học sinh giỏi lớp 6A) 5 2 5 Số học sinh giỏi của cả 3 lớp bằng

1+

6 4 + = 3 ( số học sinh giỏi lớp 6A) 5 5

Vậy số học sinh giỏi lớp 6A là 90: 3 = 30 học sinh, của lớp 6B là 36 học sinh và của lớp 6C là 24 học sinh Câu 4.

a) D nằm giữa A và B => AD+BD =AB =>BD=6-2=4cm

91 KL... b) Tia CD nằm giữa hai tia CA và tia CB = ACB

=> ACD + DCB =400 => DCB KL... c) Xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: Hai tia CD và Cx nằm về một phía so với đường thẳng CB Tính được góc ACx = 900- ACD = 700

K.L...

- Trường hợp 2: Hai tia CD và Cx nằm về hai phía so với đường thẳng CB Tính được góc ACx = 900 + ACD = 1100 K.L ...

- Xét đường thẳng CD. Do CD cắt AB nên đường thẳng CD chia mặt phẳng làm 2 nửa: 1 nửa MP có bờ CD chứa điểm B và nửa MP bờ CD chứa điểm A => tia CA thuộc nửa MP chứa điểm A. E thuộc đoạn AC => E thuộc nửa MP bờ CD chứa điểm A => E và B ở 2 nửa MP bờ CD => đường thẳng CD cắt đoạn EB - Xét đường thẳng BE. Lập luận tương tự: ta có đường thẳng EB cắt đoạn CD. Vậy 2 đoạn thẳng EB và CD cắt nhau.

Câu 5.

Không làm mất tính tổng quát, ta giả sử: a ≤ b ≤ c khi đó ta có: 3 4 15 ≥ , a≤ a 5 4 Nếu a = 1 thì không thể được, do đó a = 2 hoặc a=3 1 1 3 Nếu a = 2 thì + = b c 10 2 3 20 Suy ra ≥ , b ≤ b 10 3 3 1 Suy ra b=4 hoặc b= 5 hoặc b=6 vì < 10 3 Suy ra các số a, b, c thỏa mãn là (a=2,b=4,c=20) và (a=2,b=5,c=10) Nếu a =3 thì từ đó

1 1 7 + = b c 15

2 7 30 suy ra b=3 hoặc b=4. Không có trường hợp nào thỏa mãn ≥ , b≤ b 15 7 K.L có 12 bộ số thỏa mãn là các hoán vị của hai bộ ba số (2,4,20) và (2,5,10)

Đề số 16 Câu 1.

92 a) Đặt A=B.C

B=

24.47 − 23 1128 − 23 1105 = = 24 + 47 − 23 71 − 23 48

1 1  1 1 3 1 + − + −  7 11 1001 13  1 = C=  1 1 1  1  3 9 − + − + 1  1001 13 7 11  Suy ra A = b) M =

1105 144

1 + 2 + 22 + 23 + ... + 22012 22014 − 2

- Đặt A = 1+2+22+23 + ...+22012 - Tính được A = 22013 – 1 - Đặt B = 22014 – 2 - Tính được B = 2.(22013 – 1) - Tính được M =

1 2

Câu 2. a) S = 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 +…+ 52012.

S = (5+52+53+54)+55(5+52+53+54)+....+52009(5+52+53+54) Vì (5+52+53+54) =780 ⋮ 65 Vậy S chia hết cho 65 Gọi số cần tìm là a ta có: (a-6) ⋮ 11 ;(a-1) ⋮ 4; (a-11) ⋮ 19. (a-6 +33) ⋮ 11; (a-1 + 28) ⋮ 4; (a-11 +38 ) ⋮ 19. (a +27) ⋮ 11; (a +27) ⋮ 4; (a +27) ⋮ 19. b) Do a là số tự nhiên nhỏ nhất nên a+27 nhỏ nhất Suy ra: a +27 = BCNN (4 ;11 ; 19 ) .

Từ đó tìm được : a = 809 A = 10n + 18n − 1 = 10n − 1 − 9n + 27 n = 99.....9 − 9n + 27n n

93 = 9.(11.....1 − n) + 27n

n

Ta biết số n và số có tổng các chữ số bằng n có cùng số dư khi chia cho 9 do đó 11.....1 − n) ⋮ 27 . Vậy A⋮ 27 − n ⋮ 9 nên 9.(11.....1

n

n

Câu 3. a) Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55 =>(3y – 1)(2x + 1) = -55 => 2 x + 1 =

−55 (1) 3y − 2

Để x nguyên thì 3y – 2 ∈ Ư(-55) = {1;5;11;55; −1; −5; −11; −55} +) 3y – 2 = 1 => 3y = 3 => y = 1, thay vào (1) => x = 28 +) 3y – 2 = 5 => 3y = 7 => y =

7 (Loại) 3

+) 3y – 2 = 11 => 3y = 13 => y =

13 (Loại) 3

+) 3y – 2 = 55 => 3y = 57 => y = 19 , thay vào (1) => x = -1 +) 3y – 2 = - 1 => 3y = 1 => y =

1 (Loại) 3

+) 3y – 2 = -5 => 3y = -3 => y = -1, thay vào (1) => x = 5 +) 3y – 2 = -11 => 3y = -9 => y = -3 , thay vào (1) => x = 2 +) 3y – 2 = -55 => 3y = -53 => y =

−53 (Loại) 3

Vậy ta có 4 cặp số x, y nguyên thoả mãn là (x ; y ) = (28 ; 1) , (-1 ; 19) , (5 ; -1), (2 ; -3) b/ Chứng minh rằng :

1 1 1 1 1 + 2 + 2 + ... + 2 < 2 4 6 8 2n 4

Ta có

A=

1 1 1 1 + 2 + 2 + ... + 2 4 6 8 (2n)2

A=

1 1 1 1 + + + ... + 2 2 2 (2.2) (2.3) (2.4) (2.n) 2

1 1 1 1 1  A =  2 + 2 + 2 + ... + 2  < 42 3 4 n 

1 1 1 1 1  + + +   4  1.2 2.3 3.4 (n − 1)n 

94

1 1 1 1 1 1 1 1 1 A <  − + − + − + ... + −  4 1 2 2 3 3 4 (n − 1) n  A<

1 1 1  1 −  < (ĐPCM) 4 n 4

Câu 4.

Vẽ đúng hình

D

C

y (a+20)o

(a+10)o x 22o

ao

48o

A

O

B

E

Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA và OB. a) Vẽ tia OC tạo với tia OA một góc bằng ao, vẽ tia OD tạo với tia OCC một góc bằng (a + 10)o và với tia OB một góc bằng (a + 20)o.Tính ao

> COA (a + 10 > a) . Nên tia Do OC, OD nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và COD OC nằm giữa hai tia OA v à OD + DOB = => AOC + COD AOB

=> ao + (a + 10)o + (a + 20)o = 180o => 3.ao + 30o = 180o => ao = 50o b) Tính góc xOy, biết góc AOx bằng 22o và góc BOy bằng 48o Tia Oy nằm giữa hai tia OA v à OB

= 180o − 48o = 132o > Ta có : AOy = 180o − BOy AOx = 22o Nên tia Ox nằm giữa hai tia OA và Oy

= = 132o => xOy = 132o − 22o = 110o => AOx + xOy AOy => 22o + xOy c) Gọi OE là tia đối của tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD khi góc AOC bằng ao V ì tia OC nằm giữa hai tia OA và OD nên

95 o

= AOC + COD AOD => AOD = a o + ( a + 10 ) = 2a o + 10o = 2.50o + 10o = 110o

< Vì AOx AOD(22o < 110o ) nên tia Ox nằm giữa hai tia OA và OD + xOD = = 110o => xOD = 110o − 22o = 88o => AOx AOD => 22o + xOD

Vậy số đo góc kề bù với góc xOD có số đo là : 180o – 88o = 92o

Câu 5. a) Chứng minh rằng A chia hết cho 24 Ta có : A = 103 (102009 + 102008 + 102007 + 102006 ) + 8 = 8.125 (102009 + 102008 + 102007 + 102006 ) + 8 A = 8. 125 10 2009 + 102008 + 102007 + 102006 + 1 ⋮ 8 (1)

(

)

Ta lại có các số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 có tổng tổng các chữ số bằng 1, nên các số 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 khi chia cho 3 đều có số dư bằng 1 8 chia cho 3 dư 2.

Vậy A chia cho 3 có số dư là dư của phép chia (1 + 1 + 1 + 1 + 2) chia cho 3 Hay dư của phép chia 6 chia cho 3 (có số dư bằng 0) Vậy A chia hết cho 3 Vì 8 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên A chia hết cho 8.3 = 24 b) Chứng minh rằng A không phải là số chính phương.

Ta có các số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 đều có chữ số tận cùng là 0 Nên A = 102012 + 102011 + 10 2010 + 102009 + 8 có chữ số tận cùng là 8 Vậy A không phải là số chỉnh phương vì số chính phương là những số có chữ số tận cùng là 1 ; 4; 5 ; 6 ; 9

Đề số 17 Câu 1. a. Ta có:  136 28 62  21 = − + .  5 10  24  15 29 21 203 11 = . = =8 3 24 24 24 b. Ta có:

 272 168 186  21 − +  .  30 30 30  24

96 5 5 5 1  1 5 41  1 1  25 5 41 3 + 6  11 − 9  : 8 = + 11 − 9  : = + .2.

6 6  20 4 3 6 6  4 4 3 6 6 25 5 41 125 246 371 71 = + = + = =2 6 25 150 150 150 150 c. Ta có: 2 2 2 1 1 1 1 1 1 = ( − ) + ( − ) + ... + ( − ) + + ... + 3.5 5.7 49.51 3 5 5 7 49 51 1 1 16 − = 3 51 51 d. Ta có: 2a 3b 4c 5d Đặt = = = =k 3b 4 c 5d 2a 2a 3b 4c 5d Ta có . . . = k4 => k4 = 1 ⇒ k = ± 1.

3b 4c 5d 2a 2a 3b 4c 5d ⇒ + + + = ± 4 3b 4c 5d 2a

Câu 2. a. Ta có:

(19x + 2.5 ) :14 = (13 − 8) 2

{

2

− 42

}

⇒ x = 14. (13 − 8 ) − 42  − 2.52 :19   ⇒x=4 2

b. Ta có: 3x −1 ( + 1) : (-4) = 7 28 3x 1 ⇒ = −1 7 7 ⇒ 3x = −6 ⇒ x = −2 c. Ta có: 5 = 2 + 3; 9 = 4 + 5; 13 = 6 + 7; 17=8+ 9...

Do vậy x = a + (a+1) (a ∈ N) Nên 1 + 5 + 9 + 13 + 16 +...+ x = 1+2+3+4+5+6+7+...+a+(a+1) = 4950 Hay (a+1)(a+1+1): 2 = 4950 (a+1)(a+2) = 9900 = 99.100 Suy ra: a = 98. Do đó: x = 98 + (98 + 1) = 197 Câu 3. a. Ta có: Gọi số tự nhiên phải tìm là x.

- Từ giả thiết suy ra (x+19) ⋮ 30 và (x+19) ⋮ 39 và (x+19) ⋮ 42 nên x+ 19 là bội chung của 30; 39 và 42.

- Tìm được BCNN (30; 39; 42) = 5460 suy ra (x + 19) = k.5460 ( k ∈ N ) .

- Vì x là số tự nhiên có 4 chữ số suy ra x ≤ 9999 suy ra (x+19) ≤ 10018 ⇒ x + 19 = 5460 ⇒ x = 5441.

97 b. Ta có: 1   1 1 1  1 1 1   1 1 Ta có : S =  + + ... +  +  + + ... +  +  + + ... +  31 32 40 41 42 50 51 52 60       1 1 1 1 1 1 1 1 1       ⇒ S <  + + ... +  +  + + ... +  +  + + ... +  30   40 40 40   50 50 50   30 30 10 10 10 47 48 4 tức là: S < Vậy S < (1) hay S < + + < 30 40 50 60 60 5 1 1   1 1 1   1 1 1   1 Mặt khác: S >  + + ... +  +  + + ... +  +  + + ... +  40   50 50 50   60 60 60   40 40 10 10 10 37 36 3 ⇒ S> tức là: S > Vậy S > (2). + + > 40 50 60 60 60 5 Từ (1) và (2) suy ra đpcm.

Câu 4.

A

E D

B

C

a) Ta có: D nằm giữa A và C => AC = AD + CD = 4 + 3 = 7 cm b) Ta có:

Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC nên ABC = ABD + DBC = => DBC ABC − ABD = 550 – 300 = 250 c) Ta có: Xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: Tia Bx và BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB Tính được ABx = 900 − ABD = 90 0 − 30 0 = 60 0

- Trường hợp 2: Tia Bx và BD nằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB ABx = 900 + ABD = 90 0 + 30 0 = 120 0 Tính được d) Ta có: - Xét đường thẳng BD. Do BD cắt AC nên đường thẳng BD chia mặt phẳng làm 2 nửa: 1 nửa mp có bờ BD chứa điểm C và nửa mp bờ BD chứa điểm A => tia BA thuộc nửa mp chứa điểm A. E thuộc đoạn AB => E thuộc nửa mp bờ BD chứa điểm A => E và C ở 2 nửa mp bờ BD => đường thẳng BD cắt đoạn EC - Xét đường thẳng CE. Lập luận tương tự: ta có đường thẳng EC cắt đoạn BD.

98 Vậy 2 đoạn thẳng EC và BD cắt nhau.

Câu 5.

A = 22 + 42 + 62 + ... + 982 nên 2A = 2(22 + 42+...+ 962+ 982) = 2.2.2 + 2.4.4 + ...+ 2.98.98 = (1+3)2 + (3+5)4+...+(97+99)98 = (1.2 + 2.3) + (3.4 + 4.5) +...+ (97.98 + 98.99) = 1.2+2.3+3.4+...+ 98.99.

6A = 3.1.2+3.2.3+...+ 3.98.99 = (1.2.3- 0.1.2)+(2.3.4-1.2.3) + ...+ (98.99.100- 97.98.99) = 98.99.100 A = 98.99.100 : 6 A = 161700

Đề số 18 Câu 1: (4,0 điểm). a) A = 68.74 + 27.68 – 68 = 68.(74 + 27 – 1) = 68.100 = 6800 b) B = 23.53 – 3.{539 – [639 – 8.(78 : 76 + 20170)]} B = 8.125 – 3.{539 – [639 – 8.(72 + 1)]} B = 1000 – 3.{539 – [639 – 8.(49 + 1)]} B = 1000 – 3.{539 – [639 – 8.50]} B = 1000 – 3.{539 – [639 – 400]} B = 1000 – 3.{539 – 239} B = 1000 – 3.300 B = 1000 – 900 B = 100

 151515 179   1500 1616  + 10  −  − c) C =    161616 17   1600 1717   15.10101 1   15 16.101  C=  + − −   16.10101 17   16 17.101 

C=

15 1 15 16 + − + 16 17 16 17

 15 15   1 16  C =  − + +   16 16   17 17 

C=0+1 C=1

99  1  1  1   1  d) D =  2 − 1 2 − 1  2 − 1 .....  − 1 2 2  3  4   100 

 1 − 4   1 − 9   1 − 16   1 − 1000  D =  2  2  2  .....   2  2   3   4   100 

D=

−3 −8 −15 −9999 . 2 . 2 .....

2 2 3 4 1002

D= −

1.3 2.4 3.5 99.101 . 2 . 2 .....

2 2 3 4 1002

D= −

(1.2.3.....99)(3.4.5.....101) (2.3.4.....100).(2.3.4.....100)

D= −

1.101 100.2

D= −

101 200

Câu 2: a) 2016 : [25 – (3x + 2)] = 32.7 2016 : [25 – (3x + 2)] = 9.7 2016 : [25 – (3x + 2)] = 63 25 – (3x + 2) = 2016 : 63 25 – (3x + 2) = 32

b)

3x + 2

= 25 – 32

3x + 2

=–7

3x

=–9

x

=–3

x x x x x x x x x x 220 + + + + + + + + + = 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 39

1 1 1 1 1 1  220 1 1 1 1 ⇔ x + + + + + + + + +  =  6 10 15 21 28 36 45 55 66 78  39

1 1 1 1 1 1 1 1 1  220 1 ⇔ 2x  + + + + + + + + + =  12 20 30 42 56 72 90 110 132 156  39 1 1 1 1 1 1 1 1 1  220  1 ⇔ 2x  + + + + + + + + + =  3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 10.11 11.12 12.13  39  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  220 ⇔ 2x  − + − + − + − + − + − + − + − + − + −  =  3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13  39

100  1 1  220 ⇔ 2x  −  =  3 13  39

⇔ 2x.

10 220 = 39 39

⇔ 2x =

220 10 : 39 39

⇔ 2x = 22 ⇔ x = 11 Câu 3: a) A có 90 số hạng mà 90 ⋮ 5 nên: A = 3 + 32 + 33 + 34 + … + 390 A = (3 + 32 + 33 + 34 + 35) + (36 + 37 + 38 + 39 + 310) + … + (386 + 387 + 388 + 389 + 390) A = 3.(1 + 3 + 32 + 33 + 34) + 36.(1 + 3 + 32 + 33 + 34) + … + 386.(1 + 3 + 32 + 33 + 34) A = 3.121 + 36.121 + … + 386.121 A = 121(3 + 36 + … + 386) A = 11.11(3 + 36 + … + 386) ⋮ 11

⇒ A ⋮ 11 A có 90 số hạng mà 90 ⋮ 3 nên: A = 3 + 32 + 33 + 34 + … + 390 A = (3 + 32 + 33) + (34 + 35 + 36) + … + (388 + 389 + 390) A = 3.(1 + 3 + 32) + 34.(1 + 3 + 32) + … + 388.(1 + 3 + 32) A = 3.13 + 34.13 + … + 388.13 A = 13(3 + 34 + … + 388) ⋮ 11

⇒ A ⋮ 13 b) Ta có: xy – 2x + y + 1 = 0

⇔ x(y – 2) + (y – 2) + 1 = – 2 ⇔ (x + 1)(y – 2) = – 3 = 1. (– 3) = ( – 3).1

Ta có bảng sau: x+1

1

–3

y–2

–3

1

x

0

–4

101 y

–1

3

Câu 4: a) Gọi số cần tìm là a ( a ∈ N,100 ≤ a ≤ 999 ) Vì a chia cho 8 thì dư 7 và chia cho 31 thì dư 28 nên:

a − 7 ⋮ 8 a − 7 + 8⋮8 a + 1⋮8 a + 1 + 64⋮8 a + 65⋮8 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  a − 28⋮ 31 a − 28 + 31⋮ 31 a + 3⋮ 31 a + 3 + 62⋮ 31 a + 65⋮ 31 Vì (8, 31) = 1 nên a + 65 ⋮ (8.31) hay a + 65 ⋮ 248 ⇔ a = 248k – 65 (k ∈ N*). Vì a là số có 3 chữ số lớn nhất nên k = 4, khi đó a = 248.4 – 65 = 927.

Vậy số cần tìm là 927 b) Ta có:

4n + 5 4n − 2 + 7 n(2n − 1) + 7 7 = = =n+ 2n − 1 2n − 1 2n − 1 2n − 1

Vì n nguyên nên để

4n + 5 7 nguyên thì nguyên hay 2n – 1 ∈ Ư(7) = {–7; –1; 1; 7} 2n − 1 2n − 1

⇔ 2n ∈ {– 6; 0; 2; 8} ⇔ n ∈ {– 3; 0; 1; 4} Vậy với n ∈ {– 3; 0; 1; 4} thì

4n + 5 có giá trị là một số nguyên 2n − 1

Câu 5: (5,0 điểm). n

y

m

z

O

m'

kề bù với zOy nên: xOy + zOy = 1800 a) Vì xOy nên: Vì tia Om là tia phân giác của xOy = 1 xOy

mOy 2

nên: Vì tia On là tia phân giác của zOy = 1 zOy

nOy 2

x

102

kề bù với zOy nên tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz mà tia Om là tia phân Vì xOy và tia On là tia phân giác của zOy nên tia Oy nằm giữa hai tia Om và On, giác của xOy khi đó:

+ yOn = mOn

mOy ⇔

1 1 xOy + zOy = mOn 2 2

⇔

1

xOy + zOy = mOn 2

⇔

1

.1800 = mOn 2

(

)

= 900 ⇔ mOn

b) Vì hai tia Om và Om' đối nhau, khi đó m 'Oz kề bù với zOm

= 1800 ⇒ m 'Oz + zOm

⇔ ⇔

300

= 1800 + zOm = 1500 zOm

kề bù với mOx

Vì hai tia Ox và Oz đối nhau, khi đó zOm + mOx = 1800 ⇒ zOm = 1800 ⇔ 1500 + mOx

⇔

= 300 mOx

nên: mOy = mOx = 300 Vì tia Om là tia phân giác của xOy kề bù với yOm'

Vì hai tia Om và Om' đối nhau, khi đó yOm + yOm' = 1800 ⇒ yOm ' = 1800 ⇔ 300 + yOm ⇔

= 1500 yOm'

c) Giả sử cần vẽ thêm n tia phân biệt chung gốc O và không trùng với các tia đã vẽ trong hình để tạo thành tất cả 300 góc.

Khi đó tổng số tia gốc O trên hình là n + 6 Cứ 1 tia gốc O tạo với n + 5 tia gốc O còn lại thành n + 5 góc, mà có n + 6 tia như vậy nên tạo thành: (n + 5)(n + 6) góc

103 Vì tia này tạo với kia và ngược lại nên mỗi góc được tính hai lần, suy ra số góc tạo thành là:

(n

+ 5 )( n + 6 )

2

góc

Vì có 300 góc được tạo thành nên:

(n

+ 5 )( n + 6 ) = 300 ⇔ (n + 5)(n + 6) = 600 = 24.25 2

⇔ n + 5 = 24 ⇔ n = 19 Câu 6:

100a + 3b + 1 a) Ta có: (100a + 3b + 1)(2a + 10a + b) = 225 (1) vì 225 lẻ nên  a cùng lẻ (2) 2 + 10a + b *) Với a = 0: (1) ⇔ (100.0 + 3b + 1)(20 + 10.0 + b) = 225

⇔ (3b + 1)(1 + b) = 225 = 32.52 Vì 3b + 1 chia cho 3 dư 1 và 3b + 1 > 1 + b nên: (3b + 1)(1 + b) = 25.9

3b + 1 = 25 ⇔ b=8  1 + b = 9 *) Với a là số tự nhiên khác 0: Khi đó 100a chẵn, từ (2) ⇒ 3b + 1 lẻ ⇒ b chẵn ⇒ 2a + 10a + b chẵn, trái với (2) nên b ∈∅ Vậy: a = 0 ; b = 8 b) Ta có:

A= A=

1 1 1 1 + + + ... + 1+ 3 1+ 3 + 5 1+ 3 + 5 + 7 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2017

1 1 1 1 + + + ... + (1 + 3).2 (1 + 5).3 (1 + 7).4 (1 + 2017).1009 2 2 2 2

A=

2 2 2 2 + + + ... + 2.4 3.6 4.8 1009.2018

A=

1 1 1 1 + + + ... + 2.2 3.3 4.4 1009.1009

A<

1  1 1 1  + + + ... +  2.2  2.3 3.4 1008.1009 

A<

1 1 1 1 1 1 1  +  − + − + ... + −  4 2 3 3 4 1008 1009 

A<

1 1 1  + −  4  2 1009 

104 A<

1 1 + 4 2

A<

3 4

Đề số 19 Câu 1. a) Ta có:

A=

A=

15

( )

11.329 − 32

11.329 − 330 = 22.328

2.314.2.314

(11 − 3) .329 22.328

=

8.329 22.328

A=6 b) Ta có: (x + 5) +(x +10) +(x +15) +... +(x + 60) = 450

⇒

(x + x + .. + x) +(5 +10 +15 + ... + 60) = 450

12soá x

12.x −

(5 + 60).12

= 450 2 ⇒ 12x + 390 = 450 ⇒ x = 5 . c) Cho S = 1 + 32 + 34 + 36 + ... + 398 . Tính S và chứng minh S chia hết cho 10. ⇒

+) Ta có S = 1 + 32 + 34 + 36 + ... + 398 ⇒ 32.S = 32 + 34 + 36 + ... + 3100 ⇒ 32.S − S = (32 + 34 + 36 + ... + 3100 ) − (1 + 32 + 34 + ... + 398 )

⇒ 8S = 3100 − 1 ⇒ S =

3100 − 1 8

+) Ta có S = (1 + 32 ) + (34 + 36 ) + ... + (396 + 398 ) S = 10 + 34.10 + ... + 396.10 + Suy ra S chia hết cho 10.

Câu 2. a) Gọi hai số tự nhiên phải tìm là a và b, giả sử a ≤ b Vì ƯCLN(a, b) = 18 nên tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao cho: a = 18m; b = 18n và ƯCLN(m, n) = 1, m ≤ n (1) Ta có a + b = 18m + 18n = 162 ⇒ m + n = 9 (2) Từ (1) và (2) suy ra ta chọn các cặp số nguyên tố cùng nhau m, n có tổng bằng 9 và m ≤ n như sau: m

n

a

b

105 1 2 4

8 7 5

18 36 72

144 126 90

Vậy hai số tự nhiên cần tìm là: 18 và 144; 36 và 126; 72 và 90 b) + Với p = 2 ⇒ p + 2 = 4; p + 4 = 6 ⇒ p + 2 và p + 4 là các hợp số. ⇒ p = 2 không thỏa mãn + Với p = 3 ⇒ p + 2 = 5 là số nguyên tố p + 4 = 7 là số nguyên tố ⇒ p = 3 thỏa mãn + Với p là số nguyên tố và p > 3 ⇒ p chỉ có thể có dạng p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 (k ∈ N* ) * Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3 ⋮ 3 và p + 2 > 3 ⇒ p + 2 là hợp số (trái với đề bài) * Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 ⋮ 3 và p + 4 > 3 ⇒ p + 4 là hợp số (trái với đề bài) Vậy p = 3 thì p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố.

Câu 3. a) Điều kiện a ≠ 0, c ≠ 0 Vì abc − cba = 6b3 ⇒ 100a + 10b + c − 100c − 10b − a = 6b3 ⇒ 99 ( a − c ) = 6b3

⇒ 6b3⋮ 99 ⇒ b = 9 ⇒ a − c = 693 : 99 = 7 ⇒ a = 7+c Do 0 < a ≤ 9 ⇒ 0 < c + 7 ≤ 9 ⇒ c = 1 hoặc c = 2 Với c = 1 suy ra a = 8 Với c = 2 suy ra a = 9 Vậy a = 9, b = 9, c = 2 hoặc a = 8, b = 9, c = 1 b) Ta có: abc deg = 10000.ab + 100.cd + eg

(vì c ≠ 0 )

= (9999.ab + 99.cd) + (ab + cd + eg) Do (9999.ab + 99.cd) ⋮11 và theo bài ra (ab + cd + eg)⋮11 Suy ra: abc deg ⋮11 Câu 4. y

x 400

)

N A

M

B

106

a) Vì M thuộc AB nên AM + MB = AB

⇒ AM + 2 = 5 ⇒ AM = 3 cm Có AN = AM ⇒ AN = 3 cm Do N thuộc tia đối của tia AB nên điểm A nằm giữa N và B BN = AB + AN = 5 + 3 = 8 cm < BAy (400 < 1100 ) ⇒ Tia b) + Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia AB có: BAx + xAy = BAy

Ax nằm giữa hai tia AB và Ay nên ta có: BAx = 1100 ⇒ xAy = 1100 − 400 = 700 hay 400 + xAy và NAy là hai góc kề bù . + Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ AB, ta có BAy + NAy = 1800 ⇒ BAy = 1800 ⇒ NAy = 1800 −1100 = 700 hay 1100 + NAy c) Vì BN = AB + AN = 5 + AN Suy ra BN có độ dài lớn nhất khi AN có độ dài lớn nhất Mà AN = AM ⇒ BN có độ dài lớn nhất khi AM có độ dài lớn nhất Có AM ≤ AB ⇒ AM lớn nhất khi AM = AB khi đó điểm M trùng với điểm B. Vậy khi điểm M trùng với điểm B thì BN có độ dài lớn nhất.

Câu 5.

1000.999 đường thẳng 2 3.2 Số đường thẳn tạo bởi 3 điểm không thẳng hàng là: = 3 đường thẳng 2 Theo bài ra vì có 3 điểm thẳng hàng nên số đường thẳng giảm đi là: 3 – 1 = 2 đường thẳng.

1000.999 Vậy số đường thẳng tạo thành là: − 2 = 499498 ( đường thẳng) 2 b) Nếu n là số ít hơn 4 chữ số suy ra n ≤ 999 và S(n) ≤ 27 ⇒ n + S(n) = 1026 < 2016 (không thỏa mãn) Vì n < n + S(n) = 2016 ⇒ n < 2016 ⇒ n không có 5 chữ số Vậy n có 4 chữ số.

Suy ra S(n) ≤ 9.4 = 36 ⇒ n ≥ 2016 − 36 = 1980

a) Số đường thẳng tạo bởi 1000 điểm phân biệt là:

Vì 1980 ≤ n ≤ 2016 nên n = 19ab hoặc n = 20cd +) Với n = 19ab ⇒ 19ab + 1 + 9 + a + b = 2016 ⇒ 11a + 2b = 106 (1) ⇒ a⋮2 Vì 11a = 106 – 2b ≥ 106 – 2.9 = 88 ⇒ 8 ≤ a ≤ 9 và a ⋮ 2 ⇒ a = 8 , thay a = 8 vào (1) được b = 9 +) Tương tự n = 20cd suy ra c = 0 và d = 7

107 Vậy số cần tìm là 1989 hoặc 2007.

Đề số 20 Câu 1.

7 7 5 21 49 8 7 7 5 7 7 8 + = + × × × × × × 13 15 12 39 91 15 13 15 12 13 13 15 7 7 5 8 = ( + ) 13 15 12 15 7 5 = (1- ) 13 12 7 7 49 = = × 13 12 156 12 23 34 1 1 1 + )×( - - ) 1b) ( 199 200 201 2 3 6 12 23 34 3 2 1 =( + )× ( - ) 199 200 201 6 6 6 12 23 34 =( + )× 0 = 0 199 200 201

1a)

2a. So sánh 3200 và 2300 Ta có: 3200 = (32)100 = 9100 2300 = (23)100 = 8100 mà 8100 < 9100 nên 2300 < 3200 2b. So sánh 7150 và 3775 Ta thấy: 7150 < 7250 = (8.9)50 = 2150.3100 3775 > 3675 = (4.9) 75 = 2150. 3150 mà 2150. 3150 > 2150.3100 Từ (1), (2), và (3) suy ra: 3775 > 7150 201201 201201201 2c. So sánh và .

202202 202202202 201201 201 1001 201 Ta có: = . = 202202 202 1001 202 201201201 201 1001001 201 = . = 202202202 202 1001001 202 Vậy 2 phân số trên bằng nhau.

(1) (2) (3)

Câu 2. a) Chứng minh: A = Ta có: <

1 1 1 = 1.2 1 2

1 1 1 1 + + 2 + 2 +…+ <2 2 1 3 4 50 2

108 1 1 1 1 < = 2 2 .3 2 3 3 1 1 1 1 < = ……

2 3 .4 3 4 4 1 1 1 < = 2 49 50 50 1 1 1 1 1 1 1 1 Vậy: A = 2 ++ 2 + 2 +…+ < + + + +…+ 2 2 1 3 4 50 1 1.2 2.3 3.4 1 1 1 1 1 1 = 1+ + - +…+ 1 2 2 3 49 50 1 99 = 1+1 = <2 50 50 b) B = 21 + 22 + 23 + … + 230 Ta có: B = 21 + 22 + 23+ … + 230 = (21 + 22) + (23 + 24) + … (229 + 230) = 2.(1+2) + 23.(1+2) + … + 229.(1+2) (1) = 3.( 2 + 23 +…+ 229) suy ra B ⋮ 3 1 2 3 30 Ta có: B = 2 + 2 + 2 + … + 2 = (21 + 22 + 23) + (24 + 25 + 26) + … (228 +229 + 230) = 2.(1+2+22) + 24.(1+2+22) + … + 228.(1+2+22) = 7 (2 + 24 + … + 228) suy ra B ⋮ 7 (2) Mà 3 và 7 là 2 số nguyên tố cùng nhau.

Kết hợp với (1) và (2) suy ra: B ⋮ 3.7 hay B ⋮ 21 Câu 3. Hiệu vận tốc của hai người là: 40 - 24 = 16 (km/h) 20 h = 6h40' 3 Thời gian người thứ hai đi hết quãng đường AB theo dự kiến 40km/h là: 160: 40 = 4 (h) 8 Thời gian người thứ nhất đi trước người thứ hai là: 6h40' - 4h = 2h40'= h 3 8 Quãng đường người thứ nhất đi trước là: . 24 = 64 (km) 3 Khoảng cách giữa hai người khi người thứ hai tăng vận tốc là: 64 - 16. 2 = 32 (km) 4 Thời gian từ khi người thứ hai tăng vận tốc đến lúc gặp nhau là: 32: (48 -24)= h 3 4 Đến lúc gặp người thứ hai đã đi quãng đường là: 80 + 48 . = 144 (km) 3 Chỗ gặp cách B là: 160 - 144 = 16 (km)

Thời gian người thứ nhất đi hết quãng đường AB là: 160: 24 =

Bài 4. a) Nếu OB nằm giữa 2 tia OA, OC thì ta có :

B

C

+ COB = MOB

MOC

= 1850 > 1800 (vô lý) ⇒ MOB A O

109 Vậy OB nằm giữa 2 tia OM, OC. M

+ BOC = MOC

b) Do tia OB nằm giữa 2 tia OM, OC nên : MOB = MOC − BOC = 1150 - 700 = 450 ⇒ MOB

là 2 góc kề bù nên : AOC + COM = 1800 Hai góc AOC , COM = 1800 − COM = 1800 − 1150 = 650 ⇒ AOC

và BOM là 2 góc kề bù ⇒ AOB + BOM = 1800 c) Hai góc AOB =1800- 450 = 1350 ⇒ AOB và AOB là góc có cạnh chung OA. Còn 2 cạnh OD, OB nằm trong 2 nửa Hai góc DOA mặt phẳng đối nhau bờ AM nên :

+ AOB = 450 + 1350 = 1800 ⇒ OD, OB là 2 tia đối nhau. ⇒ D, O, B thẳng hàng.

DOA Bài 5. Nếu bạn đó trả lời được 50 câu thì tổng số điểm là 50 x 20 = 1.000 (điểm) Nhưng bạn chỉ được 650 điểm còn thiếu 1.000 – 650 = 350 (điểm). Thiếu 350 điểm vì trong số 50 câu bạn đã trả lời sai một số câu. Giữa câu trả lời đúng và trả lời sai chênh lệch nhau 20 + 15 = 35(điểm). Do đó câu trả lời sai của bạn là 350:35 =10 (câu) Vậy số câu bạn đã trả lời đúng là 50 – 10 = 40 (câu)

Đề số 21 Câu1: 1) tìm được x ∈{0;3} 2) x( 2+ 22 + 23 +24+....29)= 511 tính được 2+ 22 + 23 +24+....29=210 -2 =1022 từ đó tính được x = 0,5 Câu 2: 1/ Lập bảng x+2

1

5

-5

-1

y-3

5

1

-1

-5

x

-1

3

-7

-3

110 y

8

4

2

-2

từ đó ta có (x;y) = (-1;8) ; (3;4) ; (-7;2) ; (-3;-2) 2) gọi số học sinh của 6A; 6B lần lượt là : a; b

( a; b ∈ N*)

Thiết lập hệ thức 11a +15 =10b +15 khi đó số giấy nhặt được của mỗi lớp bớt đi 15 kg là c thì c là bội chung của 11 và 10 => c ⋮[11;10] ⇒ c ⋮110 mà 200-15 < c < 300-15 buộc c=220 số học sinh 6A là 220:11 =20 HS số học sinh 6B là 220: 10 =22 HS Câu 3: a) Số 155x710y4z16 khi thay các chữ số x,y,z bởi ba chữ số 1;2;3 tùy ý thì được số A có tổng các chữ số là 36 nên số đó chia hết cho 9 2 chữ số tận cùng là 16 ⋮ 4 nên số A đó chia hết cho 4 Vậy A ⋮[ 4;9] nên A ⋮ 36 x;y; z đều đứng ở hàng chẵn nên tổng các chữ số hàng chẵn (viết dưới dạng cơ số mười có mũ chẵn) là18 tổng các chữ số hàng lẻ là 18 hiệu của 2 tổng là 0 ⋮ 11 nên A ⋮ 11 Vậy A ⋮ [11;36] = 396 b) (a,b) =1 ; giả sử số nguyên tố p ∈ ƯC (a + b; ab) khia đó a+b ⋮ p Nên a(a+b ) ⋮ p hay a2 +ab ⋮ p mà ab ⋮ p nên a2 ⋮ p mà p nguyên tố buộc a ⋮ p (dạng phân tích tiêu chuẩn của a2 chứa p2k với k ∈ N * ) Chứng minh tương tự ta có b ⋮ p vây 1 ⋮ p vô lý vì p là số nguyên tố (a+b; ab) =1 Câu 5: A+ 455 = 456( 1 +

1 1 1 1 ) + + + ... + 2 3 4 455

1 1 1 1 ta có : 1 + + + + ... + 2 3 4 455 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1 + + ( + ) + ( + + + ) + ... + ( + + ... + )+ + + ... + 2 3 4 5 6 7 8 129 130 256 257 258 455 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1 + + + + ( + + + ) + ... + ( + + ... + )+ + + ... + 2 2 12 5 6 7 8 129 130 256 257 258 455

111

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 > 1 + + + ( + + + ) + ... + ( + + ... + )+( + + ... + 2 2 5 6 7 8 129 130 256 257 258 455 1 1 1 ) + + + ... + 456 457 512 >1 +

1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + + =5,5 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Vậy A + 455 > 456.5,5 = 2508 suy ra A > 2053 vậy A > 2007

Đề số 22 Câu 1. a) 21.72 - 11.72 + 90.72 + 49.125.16 = 72(21 – 11 + 90) + 49.125.16 = 49. 100 + 49. 100. 20 = 49.100(1 + 20) = 49.100.21 b)

5.415.99 − 4.320.89 5 .2 3 0 .3 1 8 − 2 2 .3 2 0 .2 2 7 = 5.29.619 − 7.229.27 6 5 .2 9 .2 1 9 .3 1 9 − 7 .2 2 9 .3 1 8 =

229.318 (5.2 − 32 ) =2 228.318 (5.3 − 7.2)

Câu 2.

2 2 2 2 0, 4 + − − 1 3 7 11 9 11 ⇒ x :8 = a) x : ( 9 - ) = 8 8 2 2 2 2  1,6 + − 4 0,4 + −   9 11 7 11   0,4 +

⇒x:8=

1 4

⇒ x = 2 .Vậy x = 2

x +1 8 ⇒ (x + 1) 2 = 16 = ( ± 4)2 = 2 x +1 *) x + 1 = 4 ⇒ x = 3 *) x + 1 = - 4 ⇒ x = - 5 .

Do x ∈ N nên x = 3. c) 52x - 3 – 2.52 = 52.3 ⇒ 52x - 3 = 52.3 + 2.52 ⇒ 52x - 3 = 52.5 ⇒ 52x - 3 = 53 ⇒ 2x - 3 = 3 ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3. Vậy x = 3 d) 2 x − 7 = 20 + 5.(−3) ⇒ 2 x − 7 = 5 ⇒ 2x − 7 = ±5

b)

*) 2x – 7 = 5 ⇒ 2x =12 ⇒ x = 6 *) 2x – 7 = - 5 ⇒ 2x = 2 ⇒ x = 1 Vậy x ∈ {6;1} Câu 3. a) Tìm số nguyên x và y, biết : xy - x + 2y = 3. xy - x + 2y = 3 ⇒ ( xy – x) + (2y – 2) = 1

112

⇒ x( y – 1) + 2( y – 1) = 1 ⇒ (y – 1)( x + 2) = 1

 y −1 = 1  y = 2 ⇒ x + 2 = 1   x = −1

*) 

 y − 1 = −1  y = 0 ⇒ + 2 = − 1 x   x = −3

*) 

Vậy x = - 1 ; y = 2 hoặc x = -3 ; y = 0 b) 2x + 1 . 3y = 12x ⇒ 2x + 1 . 3y = (4.3)x = 22x.3x 22 x 3 y ⇒ x +1 = x ⇒ 2 x −1 = 3 y − x 2 3 Nhận thấy : ( 2, 3) = 1 ⇒ x – 1 = y - x = 0 ⇒ x = y = 1 c) Ta thấy, vị trí của các chữ số thay thế ba dấu sao trong số trên đều ở hàng chẵn và vì ba chữ số đó đôi một khác nhau, lấy từ tập hợp {1;2;3} nên tổng của chúng luôn bằng 1+ 2+ 3 = 6.

Mặt khác 396 = 4.9.11 trong đó 4;9;11 đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta cần chứng minh A = 155 * 710 * 4 *16 chia hết cho 4 ; 9 và 11.

Thật vậy : *) A ⋮ 4 vì số tạo bởi hai chữ số tận cùng của A là 16 chia hết cho 4 *) A ⋮ 9 vì tổng các chữ số chia hết cho 9 : 1+ 5+ 5 +7+ 1 + 4 + 1+ 6 + (*+*+*) = 30 + 6 = 36 chia hết cho 9 *) A ⋮ 11 vì hiệu số giữa tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ là 0, chia hết cho 11. {1+5+7+4+1)-(5+1+6+(*+*+*)} = 18 – 12 – 6 = 0 Vậy A ⋮ 396 d) B =

2n + 2 5n + 17 3n 2n + 2 + 5n + 17 − 3n 4n + 19 + − = = n+ 2 n+ 2 n+ 2 n+ 2 n+ 2

4n + 19 4( n + 2) + 11 11 = = 4+ n+2 n+2 n+2 11 Để B là số tự nhiên thì là số tự nhiên n+2 ⇒ 11 ⋮ (n+2) ⇒ n + 2 ∈ Ư(11) = {±1; ±11}

B=

Do n + 2 > 1 nên n + 2 = 11 ⇒ n = 9 Vậy n = 9 thì B ∈ N

Câu 4.

113 Vẽ hình

y

x

400

)

N

M

B

A

a) Vì M thuộc AB nên AM + MB = AB ⇒ AM + 2 = 5 ⇒ AM = 3 cm Có AN = AM ⇒ AN = 3 cm Do N thuộc tia đối của tia AB nên điểm A nằm giữa N và B BN = AB + AN = 5 + 3 = 8 cm. Vậy BN = 8cm < BAy (400 < 1100 ) ⇒ Tia b) + Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia AB có: BAx + xAy = BAy

Ax nằm giữa hai tia AB và Ay nên ta có: BAx hay = 1100 ⇒ xAy = 1100 − 400 = 700 400 + xAy

và NAy là hai góc kề bù Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ AB, ta có BAy + NAy = 1800 ⇒ BAy

+

= 1800 ⇒ NAy = 1800 −1100 = 700 hay 1100 + NAy c) Vì BN = AB + AN = 5 + AN ⇒ BN có độ dài lớn nhất khi AN có độ dài lớn nhất Mà AN = AM ⇒ BN có độ dài lớn nhất khi AM có độ dài lớn nhất Có AM ≤ AB ⇒ AM lớn nhất khi AM = AB khi đó điểm M trùng với điểm B. Vậy khi điểm M trùng với điểm B thì BN có độ dài lớn nhất.

Câu 5.

Dãy số 1; 2; ………; n có n số hạng ⇒ 1 + 2 +…+ n =

( n + 1).n 2

Mà 1 + 2 + 3+…..+ n = aaa ( n + 1).n = aaa = a . 111 = a . 3.37 ⇒ n(n + 1) = 2.3.37.a Suy ra 2 Vì tích n(n + 1) Chia hết cho số nguyên tố 37 nên n ⋮ 37 hoặc n + 1 ⋮ 37 ( n + 1).n Vì số có 3 chữ số ⇒ n+1 < 74 ⇒ n = 37 hoặc n + 1 = 37 2 37.38 +) Với n = 37 thì = 703 ( loại) 2 36 .37 +) Với n + 1 = 37 thì = 666 ( thoả mãn) 2 Vậy n = 36 và a = 6. Ta có: 1+ 2 + 3+…..+ 36 = 666

Đề số 23 Câu 1.

114 1. Ta có: 100 ≤ aba ≤ 999 ⇒ 100 ≤ (a + b)3 ≤ 999 ⇒ 5≤ a+b ≤9 Xét các trường hơp của a + b và có a= 3, b = 4 thoả mãn 2. Ta có 3A = 3.(1.2 + 2.3 + 3.4 + …+ 2008.2009) = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 +…+ 2008.2009.3 = 1.2.3 + 2.3.(4 – 1) + 3.4.(5 – 2) +…+ 2008.2009.(2010- 2007) Khai triển rồi dùng khử liên tiếp, ta được: 3A = 2008.2009.2010 Suy ra A = 2008.2009.2010:3 = 2602828240 Câu 2.

1. Ta có: 2 2 2 2 202 + + + ... + = 40 88 154 x( x + 3) 1540 1 1 1 1 101 2.( + + + ... + ) = 2.

5.8 8.11 11.14 1540 x( x + 3) 1 1 1 1 101 Suy ra: + + + ... + )= 5.8 8.11 11.14 x( x + 3) 1540 3 3 3 3 303 ⇒ + + + ... + )= 5.8 8.11 11.14 x( x + 3) 1540 Sử dụng phương pháp khử liên tiếp ta được 1 1 303 ⇒ x =305 − = 5 x + 3 1540 2. Ta thấy 405n có tận cùng là 5 2405 = 2404.2 có chữ số tận cùng là 2 Mà m2 không có chữ số tận cùng là 3 (Vì m2 là số chính phương) Suy ra 405n + 2405 + m 2 không chia hết cho 10 Câu 3.

Giả sử d = ƯCLN( 2n + 1, 6n + 5) ⇒ 2n + 1⋮ d ;6n = 5⋮ d 2n + 1⋮ d ⇒ 3.(2n + 1)⋮ d ⇔ 6n + 3⋮ d

⇒ (6n + 5) − (6n + 3)⋮ d ⇒ 2⋮ d Do đó d = 1 hoặc d = 2 Vì 2n + 1 là số lẻ nên 2n + 1 không chia hết cho 2 Vậy d = 1 Suy ra 2n + 1 và 6n +5 nguyên tố cùng nhau Câu 4.

Ta có 10 ≤ n < 100 nên 21 ≤ 2n + 1 < 201 Mặt khác 2n +1 là số chính phương lẻ, do vậy 2n + 1 chỉ có thể là 25; 49; 81; 121; 169. Từ đó n chỉ có thể nhận các giá trị tương ứng 12; 24; 40; 60; 84

115 3n + 1 chỉ có thể nhận các giá trị 37; 73; 121; 181; 253.

Trong các số này chỉ có 121 = 112 là số chính phương.

Từ đó 3n + 1= 121 Suy ra n = 40 Câu 5.

1 1 1 1 1 Ta có + + .... + > .1000 = 100 1001 2000 2000 2 1 1 1 1 Suy ra + + .... + > 100 1001 2000 2 Câu 6.

- Vẽ hình đúng và tính được góc BOC và góc COM - Tính đúng góc AO - Lần lượt tính ∠BOC = 400 , ∠COM = 200

∠AOM = ∠AOC + ∠COM = 600 + 200 = 800 M B

C

A

Đề số 24 Bài 1.

Thực hiện phép tính a) N = 1- 5 – 9 +13 +17 – 21 – 25 + ....... + 2001 – 2005 – 2009 + 2013 Nhận xét : Tổng - hiệu trên có 504 số N = (1- 5 – 9 +13) + (17 – 21 – 25 + 29) +......+ (2001 – 2005 – 2009 + 2013) = 0 + 0 +……+ 0 =0 b) So sánh P và Q 2010 2011 2012 2010 + 2011 + 2012 Biết P = và Q = + + 2011 2012 2013 2011 + 2012 + 2013 2010 + 2011 + 2012 2010 2011 = + + 2011 + 2012 + 2013 2011 + 2012 + 2013 2011 + 2012 + 2013 2012 + 2011 + 2012 + 2013 Lần lượt so sánh từng phân số của P và Q với các tử là : 2010; 2011; 2012 thấy được các phân thức của P đều lớn hơn các phân thức của Q Kết luận: P > Q

Q=

116 Bài 2.

5.(22.32 )9 .(22 )6 − 2.(22.3)14 .36 5.228.319 − 7.229.318 5.218.318.212 − 2.228.314.36 N = 5.228.319 − 7.229.318 5.230.318 − 229.320 229.318 (5.2 − 32 ) = 28 18 = 2 .3 (5.3 − 7.2) 2 28.318 (15 − 14)

Tính N =

=

2 1

= 2

Bài 3. a) Cho a ; b là các số nguyên thỏa mãn (a2 + b2 ) chia hết cho 3. Chứng minh rằng a và b cùng chia hết cho 3.

- Chứng minh được: Bình phương của một số nguyên chia cho được các số dư là 0 hoặc là 1 - Nếu a2 và b2 không chia hết cho 3 thì a2 + b2 chia cho 3 dư 1 hoặc dư 2, điều này trái với (a2 + b2 ) chia hết cho 3 Vậy a2 và b2 cùng chia hết cho 3. Do 3 là số nguyên tố nên a và b cùng chia hết cho 3 b) Cho A = 1 + 3 + 32 + 33 + 34 +.......+ 32012 và B = 32013 : 2.

Tính: B – A. 2B = 32013 3A = 3 + 32 + 33 + 34 +.......+ 32012 + …. + 32013 2A = 3A – A = 32013 - 1 1 2B – 2A = 32013 - 32013 + 1 vậy B-A = 2 Bài 4. a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6, chia cho 4 dư 1và chia cho 19 dư 11.

Gọi số cần tìm là a ta có: (a-6) ⋮ 11 ; (a-1) ⋮ 4 ; (a-11) ⋮ 19. (a-6 +33) ⋮ 11 ; (a-1 + 28) ⋮ 4 ; (a-11 +38 ) ⋮ 19. (a +27) ⋮ 11 ; (a +27) ⋮ 4 ; (a +27) ⋮ 19.

Do 4 ; 11 ; 19 là 3 số nguyên tôt cùng nhau, nên a +27 nhỏ nhất là BCNN (4 ;11 ; 19 ) .

Từ đó tìm được : a = 809 b) Tìm hai số nguyên tố x và y sao cho: x2 – 6y2 = 1 x2 – 1 = 6y2 ⇒ 6y2 = (x-1).(x+1) ⋮ 2 , do 6y2 ⋮ 2 Mặt khác x-1 + x +1 = 2x ⋮ 2 ⇒ (x-1) và (x+1) cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Vậy (x-1) và (x+1) cùng chẵn ⇒ (x-1) và (x+1) là hai số chẵn liên tiếp ⇒ (x-1).(x+1) ⋮ 8 ⇒ 6y2 ⋮ 8 ⇒ 3y2 ⋮ 4 ⇒ y2 ⋮ 4 ⇒ y ⋮ 2 ⇒ y = 2 ( y là số nguyên tố) , tìm được x = 5. Kết luận Bài 5.

2x − 1 < 5 a) Tìm số tự nhiên x sao cho Do x là số tự nhiên nên 2x -1 là số lẻ . 2x − 1 nhận các giá trị 1 hoặc 3 Vậy

2x- 1 = -3 2x- 1 = -1

, x = -1 , x=0

117 2x- 1 = 1 2x- 1 = 3

, x=1 , x=2

b) Cho B = 1.2.3....2012.(1 +

1 1 1 ) + + ⋅⋅ ⋅ + 2 3 2012

Chứng minh rằng B chia hết cho 2013.

Nhận xét : Tổng 1 +

1 1 1 + + ⋅ ⋅⋅ + có 2012 số hạng 2 3 2012

1 1 1 + + ⋅ ⋅⋅ + 2 3 2012 1 1 1 1 1 1 1 )+( + )+( + ) + ...... + ( ) = (1 + + 2012 2 2011 3 2010 1006 1007

1+

2013 2013 2013 2013 + + + ......... + 1.2012 2.2011 3.2010 1006.1007 1 1 1 1 ) = 2013 ( + + + ......... + 1.2012 2.2011 3.2010 1006.1007 1.2012 2.2011 3.2010 1006.1007 Vậy B = 2013 ( ) + + + ...... + 1.2012 2.2011 3.2010 1006.1007 = 2013( 1 +1+1+…..+1) ⋮ 2013 Kết luận B chia hết cho 2013 Bài 6. =

C

D

y

A

B

x

, trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 5 cm. Trên tia đối của tia Ax lấy điểm D sao Cho xAy cho AD = 3 cm, C là một điểm trên tia Ay. a) Tính BD Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối của tia Ax

⇒ A nằm giữa D và B ⇒ BD = BA + AD = 5,5 + 3 = 8,5 (cm) = 850, BCA = 500. Tính ACD . b) Biết BCD

- Vì A nằm giữa D và B => Tia CA nằm giữa 2 tia CB và CD

⇒ ACD + ACB = BCD − ⇒ ACD = BCD ACB = 850 − 600 = 250

118 c) Biết AK = 1 cm (K thuộc BD). Tính BK Xét 2 trường hợp * Trường hợp 1 : K thuộc tia Ax

-

Lập luận chỉ ra được K nằm giữa A và B

-

Suy ra: AK + KB = AB

⇒ KB = AB – AK = 5,5 – 1 = 4,5 (cm)

D

A

K

x

B

* Trường hợp 2 : K thuộc tia đối của tia Ax - Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B - Suy ra: KB = KA + AB

⇒ KB = 5,5 + 1 = 6,5 (cm)

D

K

A

B

x

* Kết luận: Vậy KB = 4,5cm hoặc KB = 6,5cm

Đề số 25 Bài 1.

a) (102 + 112 + 122 ) : (132 + 142 ) = (100 + 121 + 144 ) : (169 + 196 ) = 365 : 365 = 1 b) 1.2.3...9 − 1.2.3...8 − 1.2.3...7.82 = 1.2.3...7.8.( 9 − 1 − 8 ) = 1.2.3...7.8..0 = 0

119 16 2

c)

( 3.4.2 )

11.213.411 − 169

16 2

( 3.2 .2 ) = 11.2 .( 2 ) − ( 2 ) 2

13

=

2 11

4 9

=

32.( 218 )

2

11.213.222 − 236

32.236 32.236 32.236 32.2 = = = =2 11.213.222 − 236 11.235 − 236 235 (11 − 2 ) 9

d) 1152 - (374 + 1152) + (-65 + 374) = 1152 - 374 - 1152 + (-65) + 374 = (1152 - 1152) + (-65) + (374 - 374) = -65 e) 13 - 12 + 11 + 10 - 9 + 8 - 7 - 6 + 5 - 4 + 3 + 2 - 1 = = 13 - (12 - 11 - 10 + 9) + (8 - 7 - 6 + 5) - (4 - 3 - 2 + 1) = 13 Bài 2.

(

2

a) 19x + 2.5

) :14 = (13 − 8)

{

2

− 42

}

2 ⇒ x = 14. (13 − 8 ) − 42  − 2.52 :19   ⇒x=4 b) x + ( x + 1) + ( x + 2 ) + ... + ( x + 30 ) = 1240

  x + x + ... + x  + (1 + 2 + ... + 30 ) = 1240 ⇒     31 So hang  30.(1 + 30 ) ⇒ 31x + = 1240 2 ⇒ 31x = 1240 − 31.15 775 ⇒x= = 25 31 c) 11 - (-53 + x) = 97

⇒ x = 11 − 97 − (−53) = −33 d) -(x + 84) + 213 = -16

⇒ −(x + 84) = −16 − 213 ⇒ −(x + 84) = −229 ⇒ x + 84 = 229 ⇒ x = 229 − 84 = 145 Bài 3.

Từ dữ liệu đề bài cho, ta có : + Vì ƯCLN(a, b) = 15, nên ắt tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao cho: a = 15m; b = 15n (1) và ƯCLN(m, n) = 1 (2) + Vì BCNN(a, b) = 300, nên theo trên, ta suy ra :

⇒ BCNN (15m; 15n ) = 300 = 15.20 ⇒ BCNN ( m; n ) = 20

(3)

120 + Vì a + 15 = b, nên theo trên, ta suy ra :

⇒ 15m + 15 = 15n ⇒ 15.( m + 1) = 15n

⇒ m +1 = n

(4)

Trong các trường hợp thoả mãn các điều kiện (2) và (3), thì chỉ có trường hợp : m = 4, n = 5 là thoả mãn điều kiện (4).

Vậy với m = 4, n = 5, ta được các số phải tìm là : a = 15 . 4 = 60; b = 15 . 5 = 75 Bài 4. a) Chứng minh đẳng thức: - (-a + b + c) + (b + c - 1) = (b - c + 6) - (7 - a + b) + c.

Biến đổi vế trái của đẳng thức, ta được : VT = -(-a + b + c) + (b + c - 1) = -(-a) - (b + c) + (b + c) + (-1) = a - 1 Biến đổi vế phải của đẳng thức, ta được : VP = (b - c + 6) - (7 - a + b) + c = b + (-c) + 6 - 7 + a - b + c=[b + (-b)] + [(-c) + c] + a + [6 + (-7)]=a-1 So sánh, ta thấy : VT = VP = a - 1 Vậy đẳng thức đã được chứng minh. b) Với a > b và S = -(-a - b - c) + (-c + b + a) - (a + b), ta có :

⇒ S = − ( −a − b − c ) + ( −c + b + a ) − ( a + b ) ⇒ S = −(−a − b)+c + (−c) + (b + a) − (a + b) ⇒ S = −(−a − b) = a + b Tính S : theo trên ta suy ra : ⇒ S = a + b * Xét với a và b cùng dấu, ta có các trường hợp sau xảy ra : + a và b cùng dương, hay a > b > 0, thì a + b > 0 : ⇒ S = a + b = a + b + a và b cùng âm, hay 0 > a > b, thì a + b < 0 ⇒ −(a + b) > 0 , nên suy ra

⇒ S = a + b = − ( a + b ) = −a + ( − b ) * Xét với a và b khác dấu : Vì a > b, nên suy ra : a > 0 và b < 0 ⇒ − b > 0 , ta cần xét các trường hợp sau xảy ra : + a > b ,hay a > -b > 0, do đó a + b = a − (− b) > 0 ,

⇒ S = a+b =a+b + a < b , hay -b > a > 0, do đó a + b = a − (− b) < 0 , hay − ( a + b ) > 0 ⇒ S = a + b = −(a + b) = −a + ( −b) Vậy, với : + S = a + b (nếu b < a < 0) + S = −a + ( − b ) (nếu b < a < 0, hoặc b < 0 < a < b ) Bài 5.

o

m

a

n

b

a) Hai tia AO, AB đối nhau, nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B, suy ra :

121

⇒ OA < OB. b) Ta có M và N thứ tự là trung điểm của OA, OB, nên :

⇒ OM =

OA OB ; ON = 2 2

Vì OA < OB, nên OM < ON. Hai điểm M và N thuộc tia OB, mà OM < ON, nên điểm M nằm giữa hai điểm O và N. c) Vì điểm M nằm giữa hai điểm O và N, nên ta có : suy ra : hay :

⇒ OM + MN = ON ⇒ MN = ON − OM OB − OA AB ⇒ MN = = 2 2

Vì AB có độ dài không đổi, nên MN có độ dài không đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB).

Đề số 26 Câu 1: a) (1,5đ) - S ⋮ 4 do mỗi số hạng của tổng chia hết cho 4. S ⋮ 4 nên ⋮ 2.

- S = 4(1 + 4) + 43(1 + 4) + … + 495(1+4) = 5(4 + 43+ … + 495) ⇒ S chia hết cho 5.

- S = 4(1 + 4 + 42) + 44(1+ 4 + 42) + … + 494(1 + 4 + 42) = 21(4 + 44 + …+494) ⇒ S ⋮ 21 ⇒ S ⋮ 3 và S ⋮ 7.

- S ⋮ 2, S ⋮ 3, (2,3) = 1 nên S ⋮ 6. b) (1đ) - Tổng các chữ số của A bằng: 9+9 + (9+8 + 1) + (9+7+2) +…+ (9+ 0 + 9) + (8+9 + 1+0) + (8+8+1+1) +…+(5+0+4+9) = 18 + 18 +…+18 - Tổng trên chia hết cho 9 do mỗi số hạng của nó chia hết cho 9.

- A có tổng các chữ số chia hết cho 9 nên nó chia hết cho 9.

Câu 2: - Tổng các số trong hình vuông là: 1 + 2 + … + 9 = 45.

- Tổng của mỗi hàng (cột) đều bằng nhau nên tổng mỗi hàng (cột) là 45 : 3 = 15.

- Suy ra được giá trị các ô do đã biết giá trị của hai ô trên cùng hàng hoặc cột: A2 = 15 - (2 + 4) = 9.

B2 = 15 - (9 + 1) = 5.

C3 = 15 - (2+5) = 8.

B3 = 15 - (4 + 8) = 3.

C1 = 15 - (8 + 1) = 6.

B1 = 15 - (2 + 6) = 7.

Câu 3: a) Ta có: a=60q+27=12.5q+12.2+3 chia 12 dư 3.

- Do 60 là bội của 12 nên a chia 60 được số dư là 27 thì chia 12 dư 3 (Số dư của 27 chia 12).

- a chia 12 thì được thương là 12 dư 3 nên a = 12.12 + 3 = 147.

- Thử lại và kết luận. b) - Khi chia a cho 44 thì được thương và số dư bằng nhau: a = 44q + q ⇒ a = 45q

122 - Khi chia a cho 53 thì được thương và số dư bằng nhau: a = 53p + p ⇒ a = 54p - a nhỏ nhất, khác 0 thoả mãn hai tính chất trên nên a = BCNN(45, 54).

- Tính được a = 33.2.5 = 270.

Câu 4: a) - Nếu p lẻ ⇒ p + 11 là số chẵn lớn hơn 11 nên không là số nguyên tố.

- Suy ra p chẵn ⇒ p = 2. b) - Nếu p chia 3 dư 1 thì p + 8 là số lớn hơn 3 và chia hết cho 3 nên không là số nguyên tố.

- Nếu p chia 3 dư 2 thì p + 10 là số lớn hơn 3 và chia hết cho 3 nên không là số nguyên tố.

- Suy ra p chia hết cho 3, p nguyên tố nên p = 3.

Câu 5: a) - Hình vẽ:

N

A

M

B

- M nằm giữa hai điểm A, B nên MA = AB - MB = 3 - 1 = 2 (cm) - AN = AM = 2 (cm).

- A nằm giữa hai điểm N, B nên BN = AN + AB = 2 + 3 = 5 (cm). b) - BN = AN + AB, AB không đổi nên BN lớn nhất khi AN lớn nhất.

- AN lớn nhất khi AM lớn nhất.

- AM lớn nhất khi AM = AB. - Lúc đó M trùng với B và BN bằng 6(cm).

Đề số 27 Câu 1.

2000 × 2001 − 1000 2000 × 2000 + 2000 − 1000 = 2000 × 2000 + 1000 2000 × 2000 + 1000 2000 × 2000 + 1000 = =1 2000 × 2000 + 1000 b) (y + 1) + (y + 2) + (y + 3) + …+ (y + 50) = 50y + 1 + 2 + 3 + … + 50 = 1425 = 50y + 1275 = 1425 Suy ra: 50y = 150 Do đó: y = 3

a) A =

Câu 2.

-

-

Sau khi đổ vào thùng B, số gạo còn lại ở thùng A (so với ban đầu) là: 1 -

1 4 = 5 5

(Thùng A) 4 4 thùng A bằng 20 nên thùng A bằng: 20 : = 25 (kg).

5 5 1 Số gạo đã đổ từ A sang B là 25. = 5(kg).

5 Sau khi đổ vào thùng C, số gạo còn lại ở thùng B (so với lúc chưa đổ sang C) là: 1 1 2 = 3 3

123 2 2 thùng B bằng 20 nên thùng B bằng: 20 : = 30 (kg).

3 3 - Thùng B lúc đầu (Chưa đổ từ A sang B) là : 30 - 5 = 25 (kg).

1 - Số gạo đã đổ tù B sang C là: 30. =10 (kg).

3 Số gạo ban đầu của thùng C là: 20 – 10 = 10 (kg).

-

Câu 3. a. Để đong 3 lít ta thực hiện: - Đong đầy bình 5 lít thứ nhất.

- Rót tất cả từ bình 5 lít sang bình 7 lít - Đong đầy bình 5 lít thứ hai. Rót từ bình 5 lít sang bình 7 lít cho đến khi đầy bình 7 lít (Tức phải rót sang 2 lít).

- Lượng dầu còn lại trong bình 5 lít là 3 lít ( 5 + 5 – 7 = 3). b. Để đong 1 lít ta tiếp tục thực hiện: - Rót lượng dầu 3 lít từ bình 5 lít vào bình 7 lít (Tất nhiên trước đó phải rót tất lượng dầu trong bình 7 lít vào thùng) - Đong đầy bình 5 lít thứ ba.

- Rót từ bình 5 lít sang bình 7 lít cho đến khi đầy bình 7 lít (Tức phải rót 4 lít).

- Lượng dầu còn lại trong bình 5 lít là 1 lít ( 3 + 5 - 7 = 1) Câu 4.

- Tam giác AIH và tam giác DIH có có đường cao bằng nhau và có cạnh đáy bằng nhau (HI chung) nên có diện tích bằng nhau.

- Suy ra tam giác IDC và tam giác AHC có diện tích bằng nhau (do cùng cộng thêm diện tích tam giác IHC).

- Tam giác BHC và tam giác AHC có đường cao bằng nhau và cạnh đáy bằng nhau (HC chung) nên có diện tích bằng nhau.

- Suy ra tam giác IDC và tam giác BHC có diện tích bằng nhau (do cùng bằng diện tích tam giác AHC).

- Tính được HC = 2(cm) - Tính được diện tích BHC = (2 x 9):2 = 9 (cm2) - Diện tích IDC bằng diện tích BIC bằng 9 (cm2) 2 S IDC 2.9 3 = = (cm) - Tính được IH = DC 12 2 3 (9 − ).2 BI .CH 2 = 15 (cm2) = - SBIC = 2 2 2

124

Đề số 28 Câu 1. a) Ta có:

ab .10000 + ab .100 + ab = 10101. ab .

Do 10101 chia hết cho 3 nên ababab chia hết cho 3 hay ababab ababab

=

là bội của 3.

b) Có: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5(1 + 5 ) + 5 (1 + 5 ) + 5 (1 + 5 ) = 5. 126 + 52.126 + 53.126 ⇒ 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 chia hết cho 126.

S = (5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56) + 56(5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56) + … + 51998(5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56).

Tổng trên có (2004: 6 =) 334 số hạng chia hết cho 126 nên nó chia hết cho 126.

Có: 5 + 52 + 53 + 54 = 5+ 53 + 5(5 + 53) = 130 + 5. 130. ⇒ 5 + 52 + 53 + 54 chia hết cho 130 .

S = 5 + 52 + 53 + 54 + 54 (5 + 52 + 53 + 54 ) + … + 52000(5 + 52 + 53 + 54 ) Tổng trên có (2004: 4 =) 501 số hạng chia hết cho 130 nên nó chia hết cho 130.

Có S chia hết cho 130 nên chia hết cho 65.

2

3

4

5

6

3

2

3

3

3

Câu 2. a) x + (x + 1) + (x + 2) + … + (x + 2010) = 2029099 ⇒ 2011x + 1 + 2 + … + 2010 = 2029099 2010.2011 ⇒ 2011x + = 2029099 2 2010.2011 ⇒ 2011x = 2029099 2 2010.2011   ⇒ x =  2029099  : 2011 = 4 2   b) 2 + 4 + 6 + 8 + … + 2x = 210 ⇒ 2(1 + 2 + 3 + … + x) = 210 x( x + 1) ⇒2 = 210 2 ⇒ x( x + 1) = 210 Giải được x = 14 (Do 210 = 2.3.5.7 = 14.15) Câu 3.

Chia 2 vế của BĐT abc < ab + bc + ac cho số dương abc được 1 1 1 1 < + + (1) Giả sử a>b>c ≥ 2. c a b 1 1 1 → c < 3 Vậy c = 2.

Trong 3 phân số thì lớn nhất nên > c c 3 1 1 1 1 1 1 Thay c = 2 vào (1) được + > (2) Trong 2 phân số ; phân số lớn hơn nên a b 2 a b b 1 1 1 > :2= do đó b < 4 mà b > c = 2 vậy b = 3 b 2 4

125 1 1 > do đó a < 6 mà a > b = 3 và a là số nguyên tố a 6

thay b= 3 vào (2) được Vậy a = 5.

Vậy các số nguyên tố a; b; c phải tìm là 2; 3; 5 và hoán vị của chúng.

Câu 4. a) Chứng tỏ rằng nếu C là điểm thuộc tia đối của tia BA thì CM =

CA + CB 2

CA = MA + CM CB = MB - CM Trừ được CA - CB = 2CM (Do MA = MB) CA − CB ⇒ CM = 2 b) Chứng tỏ rằng nếu C là điểm nằm giữa M và B thì CM =

CA = CM + MA CB = CM - MB Cộng được CA + CB = 2CM (Do MA = MB) CA + CB ⇒ CM = 2 Câu 5.

Ta có: k

k 4 19834 k = (1980 + 3)  = (10q + 34 ) = (10m + 1) = 10t + 1   4 k +1 1983 = 10 p + 3 19834 k + 2 = 10l + 9 19834 k + 4 = 10s + 7 Vì 1983 có dạng 4k+3 nên 19831983 =10s+7 k

Ta lại có:

1917 4 k = 10a + 1 1917 4 k +1 = 10b + 7 1917 4 k + 2 = 10c + 9 1917 4 k +3 = 10d + 3 Vì 1917 có dạng 4k+1 nên 19171917 =10h+7 Vậy A = 0,3. (19831983 − 19171917 ) là một số nguyên

Đề số 29

CA − CB .

2

126 Câu 1. a) 2.31.12 + 4.6.42 + 8.27.3 =(2.12).31 + (4.6).42 + (8.3).27 = 24.31 + 24.42 + 24.27 = 24.(31 + 42 + 27) =24. 100 = 2400 b) (68.8686 – 6868.86).(1+2+3+ …+ 2016) = (68.86.111 – 68.111.86).(1+2+3+ …+ 2016) = 0. (1+2+3+ …+ 2016) = 0 Câu 2. a) Ta có 2711 = (33)11 = 333 818 = (34)8 = 332 Vì 333>332 nên 2711 > 818 Vậy 2711 > 818 b) Ta có 6315 < 6415 =(26)15 = 290 3418 > 3218 = (25)18 =290 => 6315 < 3418 Vậy 6315 < 3418 Câu 3. a) A = 21 + 22 + 23 + … + 230 Ta có: A = 21 + 22 + 23+ … + 230 = (21 + 22) + (23 + 24) + … (229 + 230) = 2.(1+2) + 23.(1+2) + … + 229.(1+2) = 3.( 2 + 23 +…+ 229) suy ra A ⋮ 3 (1) 1 2 3 30 Ta có: A = 2 + 2 + 2 + … + 2 = (21 + 22 + 23) + (24 + 25 + 26) + … (228 +229 + 230) = 2.(1+2+22) + 24.(1+2+22) + … + 228.(1+2+22) = 7 (2 + 24 + … + 228) suy ra A ⋮ 7 (2) Mà (3,7) = 1. Kết hợp (1) và (2) => A ⋮ 3.7 hay A ⋮ 21 b) Ta có 45 = 5.9 và (5,9)=1

⇒ a 65b ⋮ 45 ⇔ a 65b ⋮ 5 và a65b⋮ 9 Vì a65b⋮ 5 ⇒ b= 0 hoặc b = 5 * TH1: b = 0 ⇒ a650⋮ 9 ⇔ a+11 ⋮ 9 Mà 1 ≤ a ≤ 9 ⇒ 12 ≤ a + 11 ≤ 20 ⇒ a + 11 = 18 ⇒ a = 7

127 * TH2: b = 5 ⇒ a655⋮ 9 ⇔ a+16 ⋮ 9 Mà 1 ≤ a ≤ 9 ⇒ 17 ≤ a + 11 ≤ 25 ⇒ a + 16 = 18 ⇒ a = 2 Vậy a=7 và b= 0; a= 2 và b = 5.

Câu 4.

Gọi số học sinh khối 6 là a học sinh ( 3<a < 400) (a Ta có: a-3 ⋮ 10; a-3 ⋮ 12; a- 3 ⋮ 15 ⇒ a-3

∈ N)

∈ BC(10;12;15)

Lại có: BCNN(10,12,15)= 60 => BC(10;12;15)= B(60) = {0;60;120;180;240;300;360;420;…} Vì 3< a <400 nên 0< a-3 < 397 => a-3

∈ {60;120;180;240;300;360}

a-3

60

120

180

240

300

360

a

63

123

183

243

303

363

Vì a ⋮ 11 => a=363 Vậy khối 6 có 363 học sinh.

Câu 5. a) Xét hai trường hợp : *TH 1: C thuộc tia đối của tia BA. ● ● ● A B C Hai tia BA, BC là hai tia đối nhau ⇒ B nằm giữa A và C ⇒ AC = AB + BC = 12 cm.

Vậy AC = 12 cm. *TH 2 : C thuộc tia BA. ● ● ● A C B C nằm giữa A và B (Vì BA > BC) ⇒ AC + BC = AB ⇒ AC = AB - BC = 4 cm.

Vậy AC = 4 cm. b) - Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng còn lại nên tạo ra 100 giao điểm.

- Có 101 đường thẳng nên có : 101.100 = 10100 giao điểm.

- Do mỗi giao điểm được tính hai lần nên số giao điểm là : 10100 : 2 = 5050 giao điểm.

Vậy số giao điểm là: 5050 giao điểm.

Câu 6.

Ta có 10 ≤ n ≤ 99 nên 21 ≤ 2n+1 ≤ 199.

128 Tìm số chính phương lẻ trong khoảng trên ta được: 2n + 1

25

49

81

121

169

n

12

24

40

60

84

3n +1

37

73

121

181

253

Chỉ có 121 là số chính phương.

Vậy n = 40.

Đề số 30 Câu 1. a) Ta có : 1 + 3 + 5 + ... + 19 = (1 + 19) + (3 + 17) + (5 + 15) + (7 + 13) + (9 + 11)

= 20 + 20 + 20 + 20 + 20 = 100 21 + 23 + 25 + ... + 39 = (21 + 39) + (23 + 37) + (25 + 35) + (27 + 33) + (29 + 31)

= 60 + 60 + 60 + 60 + 60 = 300 Suy ra A =

100 300

Rút gọn A =

1 3

18 b) Ta có: 5x.5x +1.5x + 2 = 1000...0 : 2 18c/sô0

5x + x +1+ x + 2 = 1018 : 218 18

53x +3 =

1018  10 10 10  =  . ...  = 518 18 2  2 2 2

Suy ra: 3x + 3 = 18 Giải ra x = 5 Câu 2. a) Gọi d là ƯCLN (21n + 4; 14n + 3) Suy ra: 21n + 4⋮ d và 14n + 3⋮ d

⇒ 2.(21n + 4)⋮ d và 3.(14n + 3)⋮ d ⇒ 3.(14n + 3) − 2.(21n + 4)⋮ d ⇒ 1⋮ d

⇒ d =1 Vậy ƯCLN (21n + 4; 14n + 3) = 1

129 b) + Vì p là số nguyên tố, p > 3

⇒ 4p không chia hết cho 3 Ta có 4p + 2 = 2 (2p + 1) Theo bài ra p > 3 ⇒ 2p + 1> 7 và là số nguyên tố ⇒ 2p + 1 không chia hết cho 3. Suy ra 4p + 2 không chia hết cho 3 Mà 4p; 4p + 1; 4p + 2 là ba số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại một số chia hết cho 3 do đó 4p + 1 chia hết cho 3.

Vì 4p + 1 > 13 nên 4p + 1 là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước.

Suy ra 4p + 1 là hợp số.

Câu 3. a) Trước hết ta chứng minh số gồm 27 chữ số 1 thì chia hết cho 27 Thật vậy: 111...11

= 11...1x1000...01000...01 27c/sô 1

9c/sô 1

8c/sô 0

8c/sô 0

Mà 11...1 ⋮ 9 và 1000...01000...01 ⋮ 3 9c/sô 1

8c/sô 0

8c/sô 0

⇒ 111...1 ⋮ 27 27c/sô1

Từ đó suy ra nếu một số viết bởi 27 chữ số a thì số đó bằng a. 111...1 nên số đó chia hết cho 27c/sô1

27. b) Vì n là số tự nhiên có 4 chữ số nên 1000 ≤ n ≤ 9999 Theo bài ra n là bội của 147 nên n = 147.k = 72.3k Do n là số chính phương nên khi phân tích ra thừa số nguyên tố thì lũy thừa các thừa số nguyên tố phải có số mũ chẵn suy ra k ⋮ 3 ⇒ k = 3m ⇒ n = 7 2.32.m = 441m

⇒ 1000 ≤ 441m ≤ 9999 ⇒ 2 < m < 22 Để n là số chính phương thì m là số chính phương ⇒ m = 4;9;16 Suy ra các số tự nhiên cần tìm là: 1764; 3969; 7056.

Câu 4.

B

M

C

ˆˆ

O

A

130

< AOB (800 < 1200) a) Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA có AOC

⇒ Tia OC nằm giữa hai tia OA và OB + BOC = AOB ⇒ 800 + BOC = 1200 ⇒ BOC = 400 ⇒ AOC

⇒ BOM = COM = BOC = 40 = 200 Vì OM là tia phân giác của BOC 2 2

< BOA

Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OB có BOM

(200< 1200) nên tia OM nằm giữa hai tia OA và OB + MOA = AOB

⇒ BOM = 1200 ⇒ MOA = 1000 200 + MOA và AON là hai góc kề bù. b) Vì OM và ON là hai tia đối nhau nên hai góc AOM + AON = 1800 ⇒ AOM = 1800 ⇒ AON = 800 ⇒ 1000 + AON = AON ( vì cùng bằng 800) (1) Suy ra AOC

Vì hai tia OM và ON nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là tia OA nên tia OA nằm giữa hai tia OM và ON (2)

Từ (1) và (2) suy ra tia OA là tia phân giác của CON

2 = 2xOx ; c) Trên nửa mặt phẳng bờ là tia Ox, vẽ các tia Ox1, Ox2, Ox3,..., Oxn sao cho: xOx 1

3 = 3xOx ; xOx 4 = 4xOx ; ...; xOx n = nxOx

xOx 1 1 1 1 = x

⇒ xOx 1Ox 2 = x 2 Ox 3 = ... = x n −1Ox n

Vậy khi n nhỏ nhất là n = 2017.2 = 4034 thì lúc đó Ox 2017 là tia phân giác chung của 2017 4034 = x

góc: xOx 1Ox 4033 = x 2 Ox 4032 = ... = x 2016 Ox 2018

131 Câu 5.

Các phân số đã cho đều có dạng:

a , vì các phân số này đều tối giản nên n + 2 và a a + (n + 2)

phải là hai số nguyên tố cùng nhau.

Như vậy n + 2 phải nguyên tố cùng nhau với lần lượt các số 7; 8; 9; ...; 100 và n + 2 phải là số nhỏ nhất.

⇒ n + 2 là số nguyên tố nhỏ nhất lớn hơn 100. ⇒ n + 2 = 101 ⇒ n = 99

Đề số 31 Câu 1. a) Tính: 1  1  1   1  1  1   A = 1 −  1 −  1 −  ... 1 −  1 −  1 −   2  3  4   2014  2015  2016   2 − 1  3 − 1   4 − 1   2014 − 1  2015 − 1  2016 − 1  =    ...      2  3   4   2014  2015  2016  1.2.3...2013.2014.2015 1 = = 2.3.4.5...2014.2015.2016 2016 1 A= 2016 Vậy b) Tìm x x − 2 x − 2 x − 2 x − 2 x − 2 x − 2 16 + + + + + = 12 20 30 42 56 72 9 1 1 1 1  16  1 1 (x − 2)  + + + + + =  12 20 30 42 56 72  9

1 1 1 1 1  16  1 (x − 2)  + + + + + =  3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9  9  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  16 (x − 2)  − + − + − + − + − + −  = 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9  1 1  16 (x − 2)  −  = 3 9 9 2 16 (x − 2) = 9 9 2(x − 2) = 16

x−2 =8

x = 10 Vậy x = 10 Câu 2. a) Do B = x183y chia cho 2 và 5 đều dư 1 nên y = 1. Ta có B = x1831

132 Vì B = x1831 chia cho 9 dư 1 ⇒ x1831 - 1 ⋮ 9 ⇒ x1830 ⋮ 9 ⇔ x + 1 + 8 + 3 + 0 ⋮ 9 ⇔ x + 3 ⋮ 9, mà x là chữ số nên x = 6

Vậy x = 6; y = 1 b) ƯCLN ( a, b ) = 18 nên a = 18x; b = 18y và x, y nguyên tố cùng nhau +) a.b= ƯCLN(a, b) x BCNN(a, b) = 18.630 ⇒18x.18y = 18.630 ⇒ xy = 630 : 18 = 35

+) Vì a, b là hai số nguyên dương và không chia hết cho nhau nên x, y cũng là hai số nguyên dương và không chia hết cho nhau: ⇒ x.y = 35 = 5.7 ⇒ x = 5; y = 7 hoặc x = 7; y = 5

Vậy a = 90; b = 126 hoặc a = 126; b = 90 Câu 3. a) Nhận xét: Một số chính phương khi chia cho 3 và 4 thì chỉ có thể dư 0 hoặc 1 +) Từ giả thiết, suy ra p chia hết cho 2, 3 nhưng không chia hết cho 4 +) Như vậy, vì p ⋮ 3 suy ra p – 1 chia cho 3 dư 2 ⇒ p – 1 không là số chính phương; +) Vì p⋮ 2 và p không chia hết cho 4 suy ra p chia cho 4 dư 2 ⇒ p + 1 chia cho 4 dư 3 nên p + 1 cũng không là số chính phương.

Vậy rằng p - 1 và p + 1 không là số chính phương. b) Nhận xét: ab là số có 2 chữ số suy ra 1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b ≤9 Ta có

ab 10a + b 9a 9 = = 1+ = 1+ b a+b a+b a+b 1+ a

Phân số

( vì a ≠ 0 )

b ab nhỏ nhất ⇔ lớn nhất ⇔ b = 9; a = 1 a+b a

Vậy giá trị nhỏ nhất của phân số là:

19 10

Câu 4. a) Theo giả thiết, suy ra 2x + 1 là số tự nhiên lẻ và y2 – 5 cũng là số tự nhiên.

(

)

⇒ ( 2x + 1) y 2 − 5 = 12 = 3.4 = 1.12

TH1: 2x + 1 = 3 và y2 – 5 = 4. Giải tìm được x = 1 và y = 3 TH2: 2x + 1 = 1 và y2 – 5 = 12. Tìm được x = 0 và y2 = 17 ( vô lý) Vậy x = 1 và y = 3 2015 2015 b) Giả sử 2 có m chữ số và 5 có n chữ số (m, n nguyên dương)

Ta có 10

m −1

< 22015 < 10m ; 10n −1 < 52015 < 10n suy ra 10m + n − 2 < 102015 < 10 m + n

133 Do đó m + n – 2 < 2015 < m + n hay 2015 < m + n < 2017 ⇒ m + n = 2016 Vậy số tạo thành có 2016 chữ số Câu 5.

a) Tính BC. Vì A, B, C thuộc đường thẳng d và AB > AC nên xảy ra 2 trường hợp TH1: C nằm giữa A và B (hình 1)

⇒ AB = AC + CB ⇒ BC = AB – AC = 6cm – 2cm = 4cm TH2: A nằm giữa B và C (hình 2)

⇒ BC = AC + AB = 6cm + 2cm = 8cm Vậy BC = 4cm hoặc BC = 8cm b) Tính

OAC .

TH1: C nằm giữa A và B (hình 1)

o

Tia AC và tia AB trùng nhau ⇒ OAC = OAB = 80 TH2: A nằm giữa B và C (hình 2)

+ OAB =180o OAB là hai góc kề bù ⇒ OAC Tia AC và tia AB đối nhau ⇒ OAC;

Suy ra: OAC =180 − OAB =180 − 80 =100 o

Vậy

o

o

o

o = 80o

OAC hoặc OAC =100

c) +) Trên đường thẳng d có 2018 điểm phân biệt +) Cứ 2 điểm trên đường thẳng d nối với điểm O được một góc đỉnh O. Có bao nhiêu đoạn thẳng trên đường thẳng d thì có bấy nhiêu góc đỉnh O. Số góc đỉnh O đi qua 2 điểm bất kì trên đường thẳng d là : Vậy có 2035153 góc đỉnh O. Câu 6.

2018.2017 = 2035153 (góc) 2

134 Ta có: abbc = ab × ac × 7 (1) ⇔ 100. ab + bc = 7. ab . ac ⇔ ab (7. ac - 100) = bc

bc bc Vì 0 < < 10 nên 0 < 7. ac - 100 < 10 ab ab 100 110 ⇔ 100 < 7. ac < 110 ⇔ 14 < < ac < < 16 . Vậy ac = 15 7 7 thay vào (1) được 1bb5 = 1b ×15 × 7 ⇔ 1005 + 110b = 1050 + 105.b ⇔ 5b = 45 ⇔ b = 9 ⇔ 7. ac - 100 =

Vậy a = 1; b = 9; c = 5

Đề số 32 Câu 1. a, Ta có: 7 1  7 + − .2012.9.2   2012 9 4  N= 3 1 5 − .2012.9.2  −  9 2012 2  7.9.2 + 7.2012.2 − 1006.9 N= 5.2012.2 − 3.9.2 − 2012.9 7.2021 − 503.9 N= 5.2012 − 3.9 − 1006.9 9620 N= 979 b, Ta có: 1   1   2   A = 1 −   + 1 −  + 1 +  2011   2012   2010  1   1 1   1 − A = 3+ − +   2010 2011   2010 2012  A>3 1  1 1 1 1 1 B =  +  +  + ... +  +  + ... +  9   10 17  3 4 5 1 1 1 B < .2 + .5 + .8 2 5 8 B<3 Từ đó suy ra A > B

Câu 2. a, Ta có:

135 5 437 7 x−7 = : 8 200 100 5 437 100 x−7 = .

8 200 7 5 437 +7 x= 8 14 5 535 x= 8 14 535 5 x= : 14 8 1 x = 61 7

b) Ta có: Vai trò của x, y bình đẳng. Giả sử x ≥ y, ta có 7 x+ y = 2 2 25 x +y 7(x2+y2)=25(x+y) x(7x – 25) = y(25-7y) Suy ra 7x – 25 và 25 – 7y cùng dấu vì x, y là các số tự nhiên a, Nếu 7x – 25 < 0 thì 25 – 7y < 0 Suy ra x < 4, y > 4 ( trái với điều giả sử) b, Nếu 7x – 25 > 0 thì 25 – 7y > 0 Vậy x ≥ 4, y < 4 Thử các số tự nhiên y từ 0, 1,2,3 ta được x = 4 Cặp số (x,y) = (4,3); vai trò của x, y như nhau nên (x,y) = (3,4).

Câu 3. a, Ta có: 14

9

P = 1414 + 9 9 + 2 3

4

14

-

Tìm chữ số tận cùng của 1414 là 6

-

Tìm chữ số tận cùng của 9 9 là 9

9

4

- Tìm chữ số tận cùng của 2 3 là 2 Chữ số tận cùng của P là chữ số tận cùng của tổng (6+9+2): là 7 b, Gọi 3 số nguyên dương cần tìm là a, b, c Ta có a + b + c = abc/2 Giả sử a ≤ b ≤ c thì a + b + c ≤ 3c abc Do đó ≤ 3c hay ab ≤ 6 2 Có các trường hợp sau 1, ab = 6 suy ra c = 3,5 ( loại ) 2, ab = 5 Suy ra a = 1, b = 5 , c = 4 ( Loại) 3, ab = 4 Suy ra a = 1, b = 4 , c = 5( thỏa mãn) a =2, b = 2, c = 4 (Thỏa mãn)

136 4, ab = 3 Suy ra a = 1, b = 3, c = 8 ( thỏa mãn) 5, ab = 2..........................................( Không thỏa mãn) 6, ab = 1 ..........................................( Không thỏa mãn) Vậy bộ ba số cần tìm là 1, 4, 5 hoặc 1, 3, 8 Câu 4.

Giả sử t = (a,c). Đặt a = a1t; c = c1t với (a1,c1) = 1 ab = cd suy ra a1bt = c1dt , Suy ra a1b = c1d Mà (a1,c1) = 1 suy ra b chia hết c1 , đặt b = c1k Do đó d = a1k Ta có A = a1n .tn + c1n.kn + c1n.tn + a1n.kn A = ( a1n + c1n)(kn + tn) Vì a1; c1; t; k nguyên dương nên A là hợp số.

Câu 5. a, Ta có: P

E H

O

M

A

N

Hai tia AO và AB là hai tia đối nhau Suy ra điểm A nằm giữa điểm O và điểm B Vậy OA < OB b, Ta có: Vì M, N lần lượt là trung điểm của OA và OB Suy ra OM = (1/2) . OA, ON = (1/2) . OB Theo câu a vì OA < OB nên OM < ON M, N thuộc tia OB nên M nằm giữa O và N Suy ra OM + MN = ON Suy ra MN = ON – OM MN = (1/2) .OB – (1/2) . OA = (1/2) .(OB – OA)= (1/2) AB AB có độ dài không đổi nên MN không đổi. c, Ta có: Điểm H nằm trong tam giác ONP suy ra H nằm trong góc O Suy ra tia OH nằm giữa hai tia ON và OP P, N là các điểm không trùng O và thuộc các tia ON, OP Suy ra tia OH cắt đoạn NP tại điểm E năm giữa N và P

Đề số 33 Câu 1.

B

137 a) HS làm, cho kết quả A = b) Ta có A đạt GTLN khi Lúc đó A max =

1 5 + 2 n

5 5 lớn nhất. Với n ∈ N* thì lớn nhất khi n nhỏ nhất và bằng 1. n n

1 + 5 = 5,5 . Vậy với n = 1 thì A đạt giá trị lớn nhất . GTLN đó bằng 5,5 .

2

Câu 2. a) HS thực hiện phép tính được x = - 60

2 2   2 1 1  + + ... +  .462 =  −  .462 = 20 19.21   11.13 13.15  11 21  Suy ra: 20 − [ 0, 04 : ( x + 1, 05) ] : 0,12 = 19

b) Ta có: 

Hay [ 0, 04 : ( x + 1, 05) ] : 0,12 = 1 .Từ đây tìm được x = -

43 .

60

Câu 3.

Lúc đầu số HS vắng mặt bằng 1/8 số HS cả lớp. Nếu có thêm 1 HS nữa vắng mặt thì số HS vắng mặt bằng 1/7 số HS cả lớp. Như vậy 1 HS bằng 1 1 1 1 ( HS cả lớp) . Vậy số HS cả lớp là 1 : = 56 ( häc sinh) . − = 7 8 56 56 Câu 4.

C

D

O

350 400

A

B

a) (2,5đ) Vì điểm A nằm trong góc BOC nên tia OA nằm giữa hai tia OB và OC. Do đó: ∠ BOA + ∠ AOC = ∠ BOC Mà ∠ BOA = 400 , ∠ BOC = 750 nên ∠ AOC = 750 - 400 = 350 . b) (2,5đ) Vì OD là tia đối của tia OA nên các góc AOB và BOD; AOC và COD là hai góc kề bù, do đó: ∠ AOB + ∠ BOD = 1800 , HS suy ra được ∠ BOD = 1400 (1) Lập luận tương tự được : ∠ COD = 1450 (2) Từ (1) và (2) suy ra góc BOD < góc COD

138 Câu 5. * Nếu b + 2a ⋮ 3:  3 a + 3b ⋮ 3 Ta có :  => ( 3a + 3b) - (b + 2a) ⋮ 3 hay a + 2b ⋮ 3 b + 2 a ⋮ 3 * Nếu a + 2b ⋮ 3 , HS lập luận tương tự được b + 2a ⋮ 3 Vậy ta luôn có a + 2b chia hết cho 3 khi và chỉ khi b + 2a chia hết cho 3.

Đề số 34 Câu 1. a) S= 1 + ( 2 − 3 − 4 + 5) + ( 6 − 7 − 8 + 9) + ... + ( 994 − 995 − 996 + 997) + 998 = 1+0+0+....+0+998 =999 11 311.11 + 311.21 3 (11 + 21) b) P= = 39.25 39.25 311.32 = 9 3 .32 32 = =9 1

Câu 2.

2 10  131313 131313 131313 131313  .x − 70 :  + + +  = −5 3 11  151515 353535 636363 999999  2 780  13 13 13 13  ⇔ x− + +  = −5 : + 3 11  15 35 63 99 

Ta có:

⇔

2 780 13  2 2 2 2  + + + x− :   = −5 3 11  2  3.5 5.7 7.9 9.11  

⇔

2 780 13  1 1   x− :  −  = −5 3 11  2  3 11  

2 780  13 8  x− :  .  = −5 3 11  2 33  2 ⇔ x − 45 = −5 3 2 ⇔ x = 40 3 ⇔ x = 60 ⇔

Câu 3.

Gọi hai số tự nhiên phải tìm là a và b (giả sử a b).

139 Ta có: (a, b) = 6 nên a = 6a’; b = 6b’ trong đó (a’, b’) = 1. (a’, b’ N).

Do a + b = 84 nên 6(a’+ b’) = 84 a’+ b’ = 14.

Chọn cặp số a’, b’ nguyên tố cùng nhau có tổng bằng 14 (a’ b’), ta có các trường hợp: a’= 1; b’ = 13 a = 6; b = 78 a’ = 3; b’ = 11 a = 18; b = 66 a’ = 5; b’ = 9 a = 30; b = 5.

KL: Vây các cặp số thỏa mãn là: (6;78); (18;66); (30;5) Câu 4.

Do A =chia cho 2 và 5 đều dư 1 nên y = 1.

Ta có A = Vì A = chia cho 9 dư 1 ⇒ - 1 9 9 ⇔x+1+8+3+0 9 ⇔ x + 3 9, mà x là chữ số nên x = 6 Vậy x = 6; y = 1.

Câu 5. Để

2n + 1 có giá trị là số nguyên thì 2n + 1 ⋮ n +2 (1) n+2

Vì n + 2 ⋮ n + 2 nên 2(n + 2) ⋮ n + 2 (2) Từ (1) và (2)=> [2(n+2)-(2n+1)] ⋮ n+2 => 3 ⋮ n+2 Vì n+2 nguyên nên n+2 ∈ {-1;-3;1;3} => n ∈ {-3;-5;-1;1} Vậy với n ∈ {-3;-5;-1;1} thì phân số

2n + 1 là số nguyên. n+2

Câu 6.

Giả sử sau a phút (kể từ lúc 6h) thì 3 xe lại cùng xuất phát tại bến lần thứ 2.

Lập luận để suy ra a là BCNN (75,60,50) Tìm được BCNN (75,60,50) = 300 (phút) = 5 giờ.

Sau 5h thì 3 xe lại cùng xuất phát, lúc đó là 11h cùng ngày.

Câu 7.

- Xét p=2: Không thỏa mãn.

- Xét p=3: =17 là số nguyên tố. Vậy p=3 thỏa mãn.

- Xét p>3: p2 chia 3 dư 1.

Còn vì p lẻ nên 2p=22k+1=4k.2 chia 3 dư 2 nên chia hết cho 3, mà >3 nên sẽ là hợp số.

KL: Vậy p=3 là số nguyên tố duy nhất thỏa mãn đề bài.

140 Câu 8.

-Lập luận và tính được b

Ta có hình vẽ: - Lập luận và tính được .

- Suy ra

c

a

= 600 - Lập luận và tính được aOb y

x O

Câu 9.

Có n đường thẳng trong đó bất kỳ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy, nên mỗi đường thẳng sẽ cắt n-1 đường thẳng còn lại tạo ra n 1 giao điểm phân biệt.

Do đó n đường thẳng thì có n(n – 1) giao điểm nhưng mỗi giao điểm đã được tính 2 lần.

Vậy thực tế chỉ có giao điểm.

Theo bài ra ta có: ⇒ n(n − 1) = 930 = 31.30

⇒ n = 31 Vậy n = 31 Câu 10.

Giả sử trong buổi giao lưu, ngoài Bình còn có n người nữa, và Bình có k người quen. (ĐK: k ,n ∈ Ν ,k ≤ n ) Số lần bắt tay giữa n người khác (không kể Bình) là:

n.( n − 1) (lần) 2

Số lần bắt tay giữa Bình và những người quen của Bình là k (lần) Vì có tổng cộng 420 lần bắt tay nên :

n.( n − 1) + k = 420 2

Hay: n.( n − 1) + 2k = 840 (*) Vì k ,n ∈ Ν ,0 ≤ k ≤ n nên n 2 − n ≤ n.( n − 1) + 2k ≤ n 2 − n + 2n Hay n 2 − n ≤ n.( n − 1) + 2k ≤ n 2 + n Kết hợp với (*) suy ra n 2 − n ≤ 840 ≤ n 2 + n ⇔ ( n − 1) n ≤ 840 ≤ n ( n + 1) Ta có: 28.29 ≤ 840 ≤ 29.30 nên n=29 Thay vào (*) tính được k=14 Vậy Bình có 14 người quen.

Đề số 35 Câu 1. a) 55 17 b) 2

141 c)

2 5 (7 + 1) 8 4 = = 5 2 (25 − 3) 22 11

Câu 2. a) x= 25 b) x = 12 hoặc x = - 26 c) x =

7 2

Câu 3.

1) a) A = - 50 b) A ⋮ 2 cho 5 A

không chia hết cho 3

c) A có 6 ước tự nhiên và có 12 ước nguyên 2) Ta có 45 = 9.5 mà (5; 9) = 1 Do 24a68b ⋮ 45 suy ra 24a68b ⋮5 Do 24a68b ⋮5 Nên b = 0 hoặc 5 TH1: b = 0 ta có số 24a680 Để 24a680⋮9 thì (2 + 4 + a + 6 + 8 + 0) ⋮ 9 Hay

a + 20 ⋮ 9 Suy ra a = 7 ta có số 247680

TH2: b = 5 ta có số 24a685 Để 24a685⋮9 thì (2 + 4 + a + 6 + 8 + 5) ⋮ 9 Hay

a + 25 ⋮ 9 Suy ra a = 2 ta có số 242685

Vậy để 24a68b ⋮ 45 thì ta có thể thay a = 7; b = 0 hoặc a = 2; b =5 3) Số nguyên có dạng a = 3b + 7 (b ∈ Z) hay a là số chia cho 3 dư 1 Vậy a có thể nhận những giá trị nào trong các giá trị sau a = 2002; a = 22789 ; a = 29563 Câu 4. a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng số đó chia cho 9 dư 5, chia cho 7 dư 4 và chia cho 5 thì dư 3 Gọi số cần tìm là a Ta có a chia cho 9 dư 5

⇒ a = 9k + 5 (k ∈ N) ⇒ 2a = 9k1 + 1 ⇒ (2a- 1) ⋮ 9

142 Ta có a chia cho 7 dư 4

⇒ a = 7m + 4 (m ∈ N) ⇒ 2a = 7m1 + 1 ⇒ (2a- 1) ⋮ 7 Ta có a chia cho 5 dư 3 ⇒ ⇒

a = 5t + 3 (t ∈ N) ⇒ 2a = 5t1 + 1 ⇒ (2a- 1) ⋮ 5 (2a- 1) ⋮ 9; 7 và 5

Mà (9;7;5;) = 1 và a là số tự nhiên nhỏ nhất ⇒

2a

1 = BCNN(9 ;7 ; 5) = 315

Vậy a = 158 b) Cho A = 1 + 2012 + 20122 + 20123 + 20124 +

+ 201271 + 201272 và

B = 201273 - 1. So sánh A và B. Ta có 2012A = 2012 + 20122 + 20123 + 20124 + Lấy 2012A

A = 201273

Vậy A = (201273

+ 201271 + 201273

1

1) : 2011 < B = 201273 - 1.

Câu 5.

a) Trên tia Oy ta có OM = 1 cm < OB = 4 cm Vậy M là điểm nằm giữa O và B Do M nằm giữa O và B ta có: OM + MB = OB MB = OB

OM = 4

1=3

Do A thuộc tia Ox , M thuộc tia Oy nên O nằm giữa hai điểm A và M suy ra OM + OA = MA MA = 2 + 1 = 3 cm

143 Mặt khác do A, B nằm trên hai tia đốii nhau, M nằm giữa O và B nên M nằm giữa A và B. Vậy M là trung điểm của AB b) TH1: Tia Ot và tia Oz trên cùng một nửa mặt phẳng.

Do yOt = 1300 , Ta cã

yOz = 300 suy ra tia Oz nằm giữa hai tia Ot và Oy.

tOz = tOy

yOz = 1300

300 = 1000

TH2: Tia Ot và tia Oz không nằm trên cùng một nữa mặt phẳng bờ là xy Suy ra tia Oy nằm giữa hai tia Ot và Oz Ta cớ

tOz = tOy + yOz = 1300 + 300 = 1600

Đề số 36 Câu 1. a) Ta có: A =

5.(22.32 )9 .(22 )6 − 2.(22.3)14 .34 5.228.318 − 7.229.318

5.218.318.212 − 2.228.314.34 = 5.228.318 − 7.229.318 5.230.318 − 229.318 228.318 (5 − 7.2)

=

=

229.318 (5.2 − 1) 228.318 (5 − 14)

=

2.9 −9

= −2

KL:…..

12 12 12 5 5 5   12 − 7 − 289 − 85 5 + 13 + 169 + 91  158158158 b) Ta có: B = 81.  : .

4 4 4 6 6 6  711711711  4− − − 6+ + +  7 289 85 13 169 91  

  1 1 1   1 1 1  12 1 − 7 − 289 − 85  5 1 + 13 + 169 + 91   158.1001001 :   . = 81.    4 1 − 1 − 1 − 1  6 1 + 1 + 1 + 1   711.1001001      13 169 91     7 289 85  = 81.

18 2 324 . = = 64,8 5 9 5

KL:……

Câu 2. a) Ta có:

 12 5  158 = 81.  :  .  4 6  711

144 Q= +

2010 + 2011 + 2012 2010 2011 = + + 2011 + 2012 + 2013 2011 + 2012 + 2013 2011 + 2012 + 2013

2012 2011 + 2012 + 2013

Lần lượt so sánh từng phân số của P và Q với các tử là: 2010; 2011; 2012 thấy được các phân thức của P đều lớn hơn các phân thức của Q Kết luận: P > Q b) Từ dữ liệu đề bài cho, ta có: + Vì ƯCLN(a, b) = 21, nên tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao cho: a = 21m; b = 21n và ƯCLN(m, n) = 1

(1) (2)

+ Vì BCNN(a, b) = 420, nên theo trên, ta suy ra:

⇒ BCNN ( 21m; 21n ) = 420 = 21.20 ⇒ BCNN ( m; n ) = 20

(3)

+ Vì a + 21 = b, nên theo trên, ta suy ra:

⇒ 21m + 21 = 21n ⇒ 21.( m + 1) = 21n

⇒ m +1 = n

(4)

Trong các trường hợp thoả mãn các điều kiện (2) và (3), thì chỉ có Trường hợp: m = 4, n = 5 hoặc m = 2, n = 3 là thoả mãn điều kiện (4).

Vậy với m = 4, n = 5 hoặc m = 2, n = 3 ta được các số phải tìm là: a = 21.4 = 84; b = 21.5 = 105 Câu 3. a) Ta có: 5(13 x + 18 y ) − 4(7 x + 4 y ) = 65 x + 90 y − 28 x − 16 y

= 37 x + 74 y = 37( x + 2 y )⋮ 37 Hay 5(13x + 18 y ) − 4(7 x + 4 y)⋮ 37 (*) Vì 7 x + 4 y ⋮ 37 , mà (4; 37) = 1 nên 4(7 x + 4 y )⋮ 37 Do đó, từ (*) suy ra: 5(13x + 18 y )⋮ 37 , mà (5; 37) = 1 nên 13x + 18 y ⋮ 37 b) Ta có: 1 3 3 2 3 3 3 4 3 + + ( ) + ( ) + ( ) + ... + ( ) 2012 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 => A = + ( )2 + ( )3 + ( ) 4 + ... + ( ) 2013 2 4 2 2 2 2 A=

(1) (2)

145 Lấy (2) – (1), ta được: 3 3 3 1 3 A − A = ( ) 2013 + − − 2 2 4 2 2

1 3 1 32013 1 A = ( ) 2013 + => A = 2012 + 2 2 4 2 2 Vậy B − A =

32013 32013 5 − + 22014 2 2012 2

Câu 4.

C

Hình vẽ:

y

.

D

A

B

a) Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối của tia Ax

⇒ A nằm giữa D và B ⇒ BD = BA + AD = 6 + 4 = 10 (cm) KL:….. b) Vì A nằm giữa D và B => Tia CA nằm giữa 2 tia CB và CD => ACD + ACB = BCD => ACD = BCD – ACB = 800 – 450 = 350 KL:…. c) * Trường hợp 1: K thuộc tia Ax - Lập luận chỉ ra được K nằm giữa A và B - Suy ra: AK + KB = AB

⇒ KB = AB – AK = 6 – 2 = 4 (cm)

* Trường hợp 2: K thuộc tia đối của tia Ax - Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B - Suy ra: KB = KA + AB

x

146

⇒ KB = 6 + 2 = 8 (cm)

* Kết luận: Vậy KB = 4 cm hoặc KB = 8 cm Câu 5. a) Từ

x 3 1 x 1 3 2x −1 3 − = ⇔ − = ⇔ = 9 y 18 18 y 9 18 y

⇔ (2x – 1).y = 54 = 1.54 = 2.27 = 3.18 = 6.9 Vì x là số tự nhiên nên 2x – 1 là ước số lẻ của 54.

Ta có bảng sau: 2x – 1

1

3

9

27

x

1

2

5

14

y

54

18

6

2

Vầy (x; y) = (1; 54); (2; 18); (5; 6); (14; 2) b) B =

10 n − 3 22 = 2,5 + 4 n − 10 4n − 10

Vì n ∈ N nên B = 2,5 + Mà

22 22 đạt GTLN khi đạt GTLN. 4n − 10 4n − 10

22 đạt GTLN 4n – 10 là số nguyên dương nhỏ nhất.

4n − 10

- Nếu 4n – 10 = 1 thì n =

11 ∉ N (loại) 4

- Nếu 4n – 10 = 2 thì n = 3.

Vậy GTLN của B = 13,5 khi n = 3.

Đề số 37 Bài 1 (1,5 điểm): a) 2225 = 23.75 = 875 ; 3151 > 3150 mà 3150 = 32.75 = 975 975 > 875 nên: 3150 > 2225 .Vậy: 3151 > 3150 > 2225 Bài 2 (1,5 điểm):

147

−1 −1 −1 −1 1 1 1 1 + + + ... + = −( + + + ... + ) 20 30 42 90 4.5 5.6 6.7 9.10 −3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = −( − + − + + + ... + − ) = −( − ) = 4 5 5 6 6 7 9 10 4 10 20

a) A =

5 4 3 1 13 5 4 3 1 13 + + + + = 7.( + + + + ) 2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 2.7 7.11 11.14 14.15 15.28 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13 1 = 7.( − + − + − + − + − ) = 7.( − ) = =3 2 7 7 11 11 14 14 15 15 28 2 28 4 4

b) B =

Bài 3(1,5 điểm):

a) A =

n−2 là phân số khi: n-2 ∈ Z , n+3 ∈ Z và n+3 ≠ 0 n+3 ⇔ n ∈ Z và n ≠ -3

n − 2 ( n + 3) − 5 5 = =1− n+3 n+3 n+3 A là số nguyên khi n+3 ∈ Ư(5) ⇔ n+3 ∈ {− 1;1; − 5; 5} ⇔ n ∈ {− 4; − 2; − 8; 2}

b) A =

Bài 4 (1,5 điểm):

10n − 3 5(2n − 5) + 22 5 22 5 11 = + = + = 4n − 10 2(2n − 5) 2 2(2n − 5) 2 2n − 5 11 B đạt giá trị lớn nhất khi đạt giá trị lớn nhất. Vì 11>0 và không đổi nên 2n − 5 11 đạt giá trị lớn nhất khi: 2n - 5> 0 và đạt giá trị nhỏ nhất ⇔ 2n - 5 = 1 ⇔ n = 3 2n − 5 5 Vậy B đạt giá trị lớn nhất là + 11 = 13,5 khi n = 3 2 x 3 1 3 x 1 2x − 1 = b) Từ − = ta có: = − (x,y ∈ N) 9 y 18 y 9 18 18 Suy ra: y(2x-1) = 54 do đó y ∈ Ư(54) = {1; 2; 3; 6; 9;18; 27; 54} , vì 54 là số chẵn mà 2x-1 là số lẻ nên y là ước chẵn của 54. Vậy y ∈ {2; 6;18 ; 54} a) B =

Ta có bảng sau:

y

2

6

18

54

2x-1

27

9

3

1

x

14

5

2

1

Vậy (x;y) ∈ {(14;2);(5;6);(2;18);(1;54)} Bài 5 (1,5 điểm): Tổng số xoài và cam lúc đầu: 65+ 71+ 58+ 72+ 93 = 359 (kg)

148 Vì số xoài còn lại gấp ba lần số cam còn lại nên tổng số xoài và cam còn lại là số chia hết cho 4, mà 359 chia cho 4 dư 3 nên giỏ cam bán đi có khối lượng chia cho 4 dư 3.

Trong các số 65; 71; 58; 72; 93 chỉ có 71 chia cho 4 dư 3.

Vậy giỏ cam bán đi là giỏ 71 kg.

Số xoài và cam còn lại : 359 - 71= 288 (kg) Số cam còn lại : 288:4 = 72(kg) Vậy: các giỏ cam là giỏ đựng 71 kg ; 72 kg . các giỏ xoài là giỏ đựng 65 kg ; 58 kg; 93 kg.

Bài 6 (2,5 điểm:) Vẽ hình đúng B

A

D

C

O

a)Vì góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù nên: AOB + BOC =1800 mà BOC = 5AOB nên: 6AOB = 1800 Do đó: AOB = 1800 : 6 = 300 ; BOC = 5. 300 = 1500 1 b)Vì OD là tia phân giác của góc BOC nên BOD = DOC = BOC = 750.

2 Vì góc AOD và góc DOC là hai góc kề bù nên: AOD + DOC =1800 Do đó AOD =1800 - DOC = 1800- 750 = 1050 c) Tất cả có n+4 tia phân biệt. Cứ 1 tia trong n + 4 tia đó tạo với n + 4 - 1= n + 3 tia còn lại thành n+3 góc.Có n+4 tia nên tạo thành (n + 4)(n + 3) góc, nhưng như thế mỗi góc được tính hai lần .Vậy có tất cả

( n + 4)( n + 3) góc 2

Đề số 38 Câu 1. a) Lớp 6a có số bạn được một điểm 10 là: 42-39=3 (bạn) Lớp 6a có số bạn được hai điểm 10 là: 39-14=25 (bạn) Lớp 6a có số bạn được ba điểm 10 là: 14-5=9 (bạn) Trong đợt thi đua đó lớp 6a được số điểm 10 là: 3.1+25.2+9.3+5.4=100 (điểm) b) Ta có: 210 = 1024;

10

2100 = ( 210 ) = 102410 = (10242 )

Mà 1024 2 có hai chữ số tận cùng là 76 =>( 1024 2 ) 5 có hai chữ số tận cùng là 76 Vậy 2100 có hai chữ số tận cùng là 76 Câu 2.

5

149 a) Ta thấy A là tích các luỹ thừa cơ số là ( -1) với các số mũ tự nhiên liên tiếp tăng dần từ 1 tới 2014 Số các thừa số của A là: 2014-1+1=2014 (thừa số) A= (-1).1.(-1).1. ... . (-1).1 A có 2014:2=1007 thừa số (-1) và 1007 thừa số1 Vậy A=1 1  555 4444 33333 11 13  B=  + + + +  7  222 12221 244442 330 60  15 4 3 1 13  B=  + + + +  7  2 11 22 30 60  1 5 4 3 1 13  B=  + + + +  7  2.1 1.11 11.2 2.15 15.4  4 3 1 13   5 B= + + + +   2.7 7.11 11.14 14.15 15.28  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B= − + − + − + − + − 2 7 7 11 11 14 14 15 15 28

Vậy B =

1 1 13 − = 2 28 28

b) Ta có: 1 2 3 92 E = 92 − − − − ⋅⋅⋅ − 9 10 11 100

Số các số hạng của E là: 1+(92-1+1)=93(số hạng) 1 2 3 92 ) ( Có 92 nhóm) E = (1 − ) + (1 − ) + (1 − ) + ⋅⋅⋅ + (1 − 9 10 11 100 8 8 8 8 E = + + + ⋅⋅⋅ + 9 10 11 100 1 1 1 1 ) E = 8( + + + ⋅⋅⋅ + 9 10 11 100 1 1 1 1 1 Mà F = ( + + + ⋅⋅⋅ + ) 5 9 10 11 100 E 1 => =8: =40 F 5 Câu 3. a) Ta có: 2 −1 3 −1 4 −1 9 − 1 10 − 1 + + + ⋅⋅⋅ + + 2!

3!

4!

9!

10!

1 1 1 1 1 1 1 1 1 M = (1 − ) + ( − ) + ( − ) + ⋅⋅⋅ + ( − ) + ( − ) 2!

2! 3!

3! 4!

8! 9!

9! 10!

1 M = 1− 10!

M=

150 Vậy M < 1 ( vì 0 < b) Ta có:

1 <1) 10!

5 1 y = + x 6 3

5 1+ 2 y = x 6 x(1+2y) =5.6 =30 (4) => x, 1+2y ∈ Ư(30) (1) M à Ư(30) = {-30; -15; -10; -6; -5; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30 } (2) Mặt khác 1-2y là số lẻ (3) Từ (1, (2), (3), (4) ta có bảng sau: 1+2y -15 -5 -3 -1 1 3 5 15 x -2 -6 -10 -30 30 10 6 2 y -8 -3 -2 -1 0 1 2 7

Vậy các cặp số nguyên (x,y) cần tìm là: (-2;8), (-6;-3), (-10;2) ; (-30;-1) ; (30;0) ; (10;1) ; (6;2) ; (2;7) ; c) Gọi d là ước nguyên tố của 7n+6 v à 6n+7 ( d là số nguyên tố)

7 n + 6 ⋮ d ⇒ 6 n + 7 ⋮ d 42n + 36⋮ d ⇒ 42n + 49⋮ d

⇒ (42n+49)-(42n+36) ⋮ d ⇒ 13 ⋮ d Mà d là số nguyên tố ⇒ d=13 7n + 6 Để phân số chưa phải là phân số tối giản thì tử và mẫu của phân số đó phải chia hết 6n + 7 cho 13 7 n + 6⋮13 ⇔ 6n + 7 ⋮13 ⇒ 7n+6-13 ⋮ 13 ⇒ 7n-7 ⋮ 13 ⇒ n-1 ⋮ 13 Vậy với n=13t+1 (t ∈ N) thì

7n + 6 chưa phải là phân số tối giản.

6n + 7

Câu 4. a) Ta thấy ƯCLN(20,39)=1 => phân số

20 là phân số tối giản 39

151 Mà ƯCLN của cả tử và mẫu của phân số cần tìm là 36 20 Nên phân số cần tìm đã được rút gọn thành bằng cách chia cả tử và mẫu cho 36 39 20.36 720 Vậy phân số cần tìm là: = 39.36 1404 b)

Gọi số tự nhiên chia cho 5 thì dư 1, chia cho 7 thì dư 5 là x (x ∈ N , x > 5) Vì x chia cho 5 thì dư 1,  x = 5n + 1 chia cho 7 thì dư 5 ⇒  với m,n ∈ N  x = 7m + 5

 x + 9 = 5n + 10 = 5(n + 2) ⇒  x + 9 = 7 m + 14 = 7(m + 2)  x + 9⋮ 5 ⇒  x + 9⋮ 7 ⇒ x + 9 ∈ BC (5, 7) Mà BCNN(5,7)=35 ⇒ x = 35t – 9 ( với t ∈ N * ) Vậy dạng tổng quát của số tự nhiên chia cho 5 thì dư 1, chia cho 7 thì dư 5 là 35t – 9 ( với t ∈N* ) Và số nhỏ nhất ứng với t = 1 là 35.1- 9 = 26.

Câu 5.

y

O

x

z

và a)Ta có hai góc xOy yOz kề bù nên tia Ox và Oz là hai tia đối nhau 0 = 180 ⇒ xOz

+ yOz = 180 0 ( kề bù) và xOy yOz + yOz =180 0 4

yOz =180 0 5

yOz =36 0 =4. 36 0 =144 0 ⇒ xOy =144 0 = 1800 , Vậy xOz yOz =36 0 , xOy =108 0 .Ta vẽ được hai tia Ot thoả mãn đề bài b) Vẽ tia Ot sao cho xOt +)Trường hợp 1: Ot nằm trên nửa mp bờ xz chứa tia Oy ⇒ Ot nằm giữa Ox và Oy y

t

x

O

z

152

+ ⇒ xOt yOt = xOy

yOt = 36 0

y

+)Trường hợp 2: Ot nằm trên nửa mp bờ xz không chứa tia Oy x

⇒ tia Oz nằm giữa tia Oy và Ot = ⇒ yOz + zOt yOt

O

z

t

+ zOt = 180 0 (kề bù) Mặt khác xOt =180 0 108 0 + zOt =72 0 zOt

⇒ yOt =36 0 +72 0 =108 0 c) Trên mỗi tia Ox, Oy, Oz, Ot vẽ 10 điểm phân biệt khác điểm O. Vì mỗi điểm nằm trên 1 tia tạo ra 1 tia mới; mỗi điểm nằm trên 1 đường thẳng tạo ra 2 tia mới ⇒ Trên mỗi tia Oy, Ot vẽ 10 điểm phân biệt khác điểm O tạo ra số tia là: 11tia và do tia Ox và Oz là hai tia đối nhau nên trên mỗi tia này vẽ 10 điểm phân biệt khác điểm O thì có tất cả 21 điểm nằm trên xz tạo ra 21.2 = 42 tia Vậy số tia tạo thành trên hình vẽ là 11.2+42 = 64 tia.

Đề số 39 Câu 1: a) Ta có: A =

a 3 + 2a 2 − 1 (a + 1)(a 2 + a − 1) a 2 + a − 1 = = a 3 + 2a 2 + 2a + 1 (a + 1)(a 2 + a + 1) a 2 + a + 1

Điều kiện: a ≠ -1 b. Gọi d là ước chung lớn nhất của a2 + a – 1 và a2 + a + 1 Vì a2 + a – 1 = a(a + 1) – 1 là số lẻ nên d là số lẻ Mặt khác, 2 = [ a2+a +1 – (a2 + a – 1) ] ⋮ d Nên d = 1 tức là a2 + a + 1 và a2 + a – 1 nguyên tố cùng nhau.

Vậy biểu thức A là phân số tối giản.

Câu 2: abc = 100a + 10 b + c = n2 - 1

(1)

153 cba = 100c + 10 b + c = n2 – 4n + 4 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ 99(a – c) = 4 n – 5 ⇒ 4n – 5 ⋮ 99 (3) Mặt khác: 100 ≤ n2-1 ≤ 999 ⇔ 101 ≤ n2 ≤ 1000 ⇔ 11 ≤ n ≤ 31 ⇔ 39 ≤ 4n – 5 ≤ 119 (4) Từ (3) và (4) ⇒ 4n – 5 = 99 ⇒ n = 26 Vậy: abc = 675 ( Câu 3: a) Giả sử n2 + 2006 là số chính phương khi đó ta đặt n2 + 2006 = a2 ( a∈ Z)

⇔ a2 – n2 = 2006 ⇔ (a-n) (a+n) = 2006 (*) + Thấy : Nếu a,n khác tính chất chẵn lẻ thì vế trái của (*) là số lẻ nên không thỏa mãn (*) + Nếu a,n cùng tính chẵn hoặc lẻ thì (a-n) ⋮ 2 và (a+n) ⋮ 2 nên vế trái chia hết cho 4 và vế phải không chia hết cho 4 nên không thỏa mãn (*) Vậy không tồn tại n để n2 + 2006 là số chính phương. b) n là số nguyên tố > 3 nên không chia hết cho 3.

Vậy n2 chia hết cho 3 dư 1 do đó n2 + 2006 = 3m + 1 + 2006 = 3m+2007= 3( m+669) chia hết cho 3.

Vậy n2 + 2006 là hợp số.

Bài 4: a) Ta xét 3 trường hợp

a =1 b

;

a a > 1; <1 b b

TH 1:

a a+n a = 1 ⇔ a = b thì = =1 . b b+n b

TH 2:

a > 1 ⇔ a > b ⇔ a + n > b+ n. b

Mà vì TH3:

a+n a −b a a−b ; có phần thừa so với 1 là có phần thừa so với 1 là , b+n b+n b b a−b a −b a+n a < < nên b+n b b+n b

a < 1 ⇔ a < b ⇔ a + n < b + n. b

Khi đó vì

a+n b−a a b−a có phần bù tới 1 là , có phần bù tới 1 là , b+n b+n b b

b−a b−a a a+n < nên < b+n b b b+n

154 b) Cho A =

1011 − 1 ; 1012 − 1

a+n a a (1011 −1) +11 1011 +10 rõ ràng A < 1 nên theoa, nếu b <1 thì b + n > b ⇒ A< = (1012 −1) +11 1012 +10

1011 + 10 10(1010 + 1) 1010 + 1 Do đó A< 12 = = 10 + 10 10(1011 + 1) 1011 + 1

Vây A < B. Bài 5: Lập dãy số . Đặt

B1 = a1.

B2 = a1 + a2 .

B3 = a1 + a2 + a3 ...................................

B10 = a1 + a2 + ... + a10 .

Nếu tồn tại Bi ( i= 1,2,3...10). nào đó chia hết cho 10 thì bài toán được chứng minh.

Nếu không tồn tại Bi nào chia hết cho 10 ta làm như sau: Ta đem Bi chia cho 10 sẽ được 10 số dư ( các số dư ∈ { 1,2.3...9}).

Theo nguyên tắc Dirichlet, phải có ít nhất 2 số dư bằng nhau.

Các số Bm - Bn, chia hết cho 10 (m > n) ⇒ ĐPCM.

Bài 6: Mỗi đường thẳng cắt 2005 đường thẳng còn lại tạo nên 2005 giao điểm. Mà có 2006 đường thẳng ⇒ có : 2005x 2006 giao điểm. Nhưng mỗi giao điểm được tính 2 lần ⇒ số giao điểm thực tế là: (2005x 2006):2 = 1003x 2005 = 2011015 giao điểm.

Đề số 40 Câu 1.

A. 2 = (2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 220.). 2 = 22 + 23 + 24 + 25 + . . . + 221.

Nên A.2 - A = 221 -2 ⇒ A = 221 - 2

Ta có : 221 = 24.5+1 = (24)5 . 2 = 165 .2 ... 165 có tận cùng là 6 . Nên 165 . 2 có tận cùng là 6. 2 có tận cùng là 2.

Vậy A có tận cùng là 2.

155 Câu 2.

Gọi d1 ; d2 ; d3 ;….; d54 là các ước của n theo thứ tự (trong đó d1 ; d2 ; d3 ;….; d54 đôi một khác nhau) Ta có n = d1.d54 = d2.d53 = d3.d52 = …. = d27.d28 (có 27 tích cặp số) => Tích các ước của n là: 27 (d1.d54 ).(d2.d53 ). (d3.d52 ).…. (d27.d28) = n.n.n....n

= n 27 so n

Câu 3.

Với mọi số tự nhiên n ta có các trường hợp sau: TH1: n chia hết cho 5 thì tích chia hết cho 5.

TH 2: n chia cho 5 dư 1 thì n = 5k +1 ⇒ 4n +1= 20k + 5 chia hết cho 5 ⇒ tích chia hết cho 5.

TH3: n chia cho 5 dư 2 thì n = 5k +2 ⇒ 2n +1= 10k + 5 chia hết cho 5 ⇒ tích chia hết cho 5.

TH4: n chia cho 5 dư 3 thì n = 5k +3 ⇒ 3n +1= 15k + 10 chia hết cho 5 ⇒ tích chia hết cho 5.

TH 5: n chia cho 5 dư 4 thì n = 5k +4 ⇒ n +1= 5k + 5 chia hết cho 5 ⇒ tích chia hết cho 5.

Vậy : n( n +1)( 2n +1)( 3n + 1)( 4n +1) chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên n.

Câu 4.

Nếu pq + 11 là số nguyên tố thì nó phải là số nguyên tố lẻ ( vì pq + 11 > 2) ⇒ pq là số chẵn ⇒ ít nhất 1 trong 2 số phải chẵn, tức là bằng 2.

+ Giả sử p = 2. Khi đó 7p + q = 14 + q ; pq + 11 = 2q + 11.

Thử q = 2( loại) q = 3( t/m) q > 3 có 1 số là hợp số. ⇒ p = 2 và q = 3.

+ Giả sử q = 2. Giải TT như trên ta được p = 3.

Vậy p = 2; q = 3 hoặc p = 3; q = 2.

Câu 5. a) Gọi ƯCLN( 7n +3, 8n - 1) = d với (n €N*) Ta có: 7n +3 ⋮ d, 8n - 1 ⋮ d. ⇒ 8.( 7n +3) – 7.( 8n - 1) ⋮ d ⇔ 31 ⋮ d ⇒ d = 1 hoặc 31. Để hai số đó nguyên tố cùng nhau thì d ≠ 31.

156 Mà 7n + 3 ⋮ 31 ⇔ 7n + 3 - 31 ⋮ 31⇔ 7(n - 4) ⋮ 31 ⇔ n – 4 ⋮ 31( vì 7 và 31 nguyên tố cùng nhau) ⇔ n = 31k + 4( với k là số tự nhiên) Do đó d ≠ 31⇔ n ≠ 31k + 4.

Vậy hai số 7n +3, 8n – 1 nguyên tố cùng nhau khi n ≠ 31k + 4( với k là số tự nhiên). b) Gọi hai số phải tìm là a và b ( a, b ∈ N* , a > b) Ta có: ƯCLN(a, b) = 28 nên a = 28k và b = 28q . Trong đó k, q∈N*và k, q nguyên tố cùng nhau.

Ta có : a - b = 84 ⇒k-q=3

Theo bài ra: 300 ≤ b < a ≤ 440 ⇒ 10 < q < k <16.

Chọn hai số có hiệu bằng 3 trong khoảng từ 11 đến 15 là 11 và 14; 12 và 15.

Chỉ có 11 và 14 là hai số nguyên tố cùng nhau. nên q = 11và k = 14.

Ta có : a = 28. 11 = 308 ; b = 28. 14 = 392 Vậy hai số phải tìm là 308 và 392.

Câu 6. xy – 2x - y = -6 ⇔(x – 1)( y - 2) = -4. Với x, y là số nguyên, ta có bảng:

x-1

-1

1

-2

2

-4

4

y-2

4

-4

2

-2

1

-1

x

0

2

-1

3

-3

5

y

6

-2

4

0

3

1

Vậy các số x, y thỏa mãn là: ( x,y) ∈{( 0;6); (2;-2); (-1;4)…}

Câu 7.

C y

D

a) Tính BD

A

B

x

157 Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối của tia Ax

⇒ A nằm giữa D và B ⇒ BD = BA + AD = 5 + 3 = 8 (cm) = 850, BCA = 500. Tính ACD

b) Biết BCD

Vì A nằm giữa D và B => Tia CA nằm giữa 2 tia CB và CD + BCA = BCD

=> ACD = BCD - BCA = 850 - 500 = 350 => ACD

c) Biết AK = 1 cm (K thuộc BD). Tính BK * Trường hợp 1: K thuộc tia Ax - Lập luận chỉ ra được K nằm giữa A và B - Suy ra: AK + KB = AB ⇒ KB = AB – AK = 5 – 1 = 4 (cm)

* Trường hợp 2: K thuộc tia đối của tia Ax - Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B - Suy ra: KB = KA + AB ⇒ KB = 5 + 1 = 6 (cm)

* Kết luận: Vậy KB = 4 cm hoặc KB = 6 cm

Đề số 41 Câu 1. a) Ta có: 24.5 − [131 − (13 − 4)2 ] = 16.5 − (131 − 9 2 ) = 80 − 50 = 30

b) Ta có:

158

−3 28 43 5 1 + .( + − ) 5 5 56 24 3 −3 28 129 35 56 ) = + .( + − 5 5 168 168 168 −3 28 108 = + .

5 5 168 −3 18 = + 5 5 =3

Câu 2. a) Ta có: 125 4 <x< 27 7 ⇒ x ∈ {−3; −2; −1;0} −

b) Ta có: (7 x − 11)3 = (−3)2 .15 + 208 (7 x − 11)3 = 9.15 + 208 (7 x − 11)3 = 73 ⇒ 7 x − 11 = 7

⇔x=

18 (không thỏa mãn) 7

c) Ta có:

2 x − 7 = 20 + 5.(−3) ⇔ 2x − 7 = 5  2x − 7 = 5  2 x − 7 = −5

⇔

 2 x = 12  2x = 2

⇔

x = 6  x =1

⇔

Vậy x ∈ {1;6} Câu 3. a) Gọi số đó là a

159 Vì a chia cho 7 dư 5, chia cho 13 dư 4

⇒ a + 9⋮ 7; a + 9⋮13 mà (7,13)=1 nên a + 9⋮ 7.13

⇒ a+9=91k ⇒ a=91k-9 =91k-91+82=91(k-1)+82 (k ∈ N) Vậy a chia cho 91 dư 82. b) Gọi số Hs khối 6 là a (3<a<400) Vì khi xếp hàng 10,hàng 12, hàng 15 đều dư 3

⇒ a − 3⋮10;12;15 ⇒ a − 3 ∈ BC (10,12,15) ta có BCNN(10,12,15)=60 ⇒ a − 3 ∈ {60;120;180; 240;300;360;420;....} ⇒ a ∈ {63;123;183;243;303;363; 423;...} mà a ⋮11; a < 400 ⇒ a=363 Vậy số HS khối 6 là 363 học sinh.

Câu 4.

a) Vì góc xOy là góc bẹt nên suy ra trên cùng một

là hai góc kề bù. và tOy nưả mặt phẳng có bờ xy có xOt = 1800 ⇒ xOt + tOy = 180 0 − 550 ⇒ xOt = 1250 ⇒ xOt < xOt (700 < 1250 ) ⇒ Tia Oz nằm Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox có: xOz giữa hai tia Ox và Ot.

b) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ xy ,ta có xOz

là hai góc kề bù ⇒ xOz + zOy = 1800 hay và zOy = 1800 ⇒ zOy = 1800 − 700 = 1100 700 + zOy

160 Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oy có: yOt < yOz (550 < 1100 ) ⇒ Tia Ot nằm giữa

hai

tia

Oy

và

Oz

(1)

nên

ta

có:

= yOt + tOz yOz

hay

= 1100 ⇒ tOz = 1100 − 550 = 550 550 + tOz

(= 550 ) (2).Từ (1) và (2) suy ra Ot là tia phân giác của góc yOz. ⇒ yOt = tOz

là góc bẹt nên suy ra tia Ox và tia Oy là hai tia đối nhau ⇒ Hai tia Ox và Oy c) Vì xOy nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia Oz

(1)

0

= xOz = 70 = 350 và hai tia On và Ox cùng Vì On là tia phân giác của góc xOz nên nOz 2 2

nằm trên mặt phẳng có bờ chứa tia Oz (2) Ta lại có tia Ot là tia phân giác của góc yOz (theo b,)

⇒ Hai tia Ot và Oy cùng nằm trên một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oz (3) . Từ (1),(2), (3) suy ra tia On và tia Ot nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia Oz ⇒ tia Oz nằm giữa hai tia On và Ot nên ta có: + zOt = nOt hay nOt = 350 + 550 = 900 .Vậy nOt = 900 nOz

Câu 5. n là số nguyên tố, n > 3 nên n không chia hết cho 3.

Vậy n2 chia hết cho 3 dư 1 do đó n2 + 2006 = 3m + 1 + 2006 = 3m+2007 = 3( m+669) chia hết cho 3.

Vậy n2 + 2006 là hợp số.

Đề số 42 Câu 1. a) S= 1 + ( 2 − 3 − 4 + 5) + ( 6 − 7 − 8 + 9) + ... + ( 994 − 995 − 996 + 997) + 998 = 1+0+0+....+0+998 =999 11 311.11 + 311.21 3 (11 + 21) b) P= = 39.25 39.25 311.32 = 9 3 .32 32 = =9 1

161 Câu 2.

2 10  131313 131313 131313 131313  .x − 70 :  + + +  = −5 3 11  151515 353535 636363 999999  2 780  13 13 13 13  ⇔ x− + +  = −5 : + 3 11  15 35 63 99 

Ta có:

⇔

2 780 13  2 2 2 2  + + + x− :   = −5 3 11  2  3.5 5.7 7.9 9.11  

⇔

2 780 13  1 1   x− :  −  = −5 3 11  2  3 11  

2 780  13 8  x− :  .  = −5 3 11  2 33  2 ⇔ x − 45 = −5 3 2 ⇔ x = 40 3 ⇔ x = 60 ⇔

Câu 3.

Gọi hai số tự nhiên phải tìm là a và b (giả sử a b).

Ta có: (a, b) = 6 nên a = 6a’; b = 6b’ trong đó (a’, b’) = 1. (a’, b’ N).

Do a + b = 84 nên 6(a’+ b’) = 84 a’+ b’ = 14.

Chọn cặp số a’, b’ nguyên tố cùng nhau có tổng bằng 14 (a’ b’), ta có các trường hợp: a’= 1; b’ = 13 a = 6; b = 78 a’ = 3; b’ = 11 a = 18; b = 66 a’ = 5; b’ = 9 a = 30; b = 5.

Câu 4.

Do A =chia cho 2 và 5 đều dư 1 nên y = 1.

Ta có A = Vì A = chia cho 9 dư 1 ⇒ - 1 9 9 ⇔x+1+8+3+0 9 ⇔ x + 3 9, mà x là chữ số nên x = 6 Vậy x = 6; y = 1 Câu 5.

2n + 1 Để có giá trị là số nguyên thì 2n+1n+2 (1) n+2 Vì n+2n+2 nên 2(n+2)n+2 (2) Từ (1) và (2)=> [2(n+2)-(2n+1)]n+2 => 3n+2 Vì n+2 nguyên nên n+2{-1;-3;1;3}

162 => n{-3;-5;-1;1} Vậy với n{-3;-5;-1;1} thì phân số

2n + 1 là số nguyên. n+2

Câu 6.

Giả sử sau a phút (kể từ lúc 6h) thì 3 xe lại cùng xuất phát tại bến lần thứ 2.

Lập luận để suy ra a là BCNN (75,60,50) Tìm được BCNN (75,60,50) = 300 (phút) = 5 giờ.

Sau 5h thì 3 xe lại cùng xuất phát, lúc đó là 11h cùng ngày.

Câu 7.

- Xét p=2: Không thỏa mãn.

- Xét p=3: =17 là số nguyên tố. Vậy p=3 thỏa mãn.

- Xét p>3: p2 chia 3 dư 1.

Còn vì p lẻ nên 2p=22k+1=4k.2 chia 3 dư 2 nên chia hết cho 3, mà >3 nên sẽ là hợp số.

KL: Vậy p=3 là số nguyên tố duy nhất thỏa mãn đề bài Câu 8.

Ta có hình vẽ: yOb = 800 .

- Lập luận và tính được c

= 400 - Suy ra bOc

= 600 - Lập luận và tính được aOb = 1000 -Lập luận và tính được aOc

b a

y

x O

Câu 9.

Có n đường thẳng trong đó bất kỳ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy, nên mỗi đường thẳng sẽ cắt n-1 đường thẳng còn lại tạo ra n 1 giao điểm phân biệt.

Do đó n đường thẳng thì có n(n – 1) giao điểm nhưng mỗi giao điểm đã được tính 2 lần.

Vậy thực tế chỉ có giao điểm.

Theo bài ra ta có: ⇒ n(n − 1) = 930 = 31.30

⇒ n = 31 Vậy n = 31 Câu 10.

Giả sử trong buổi giao lưu, ngoài Bình còn có n người nữa, và Bình có k người quen. (ĐK: k ,n ∈ Ν ,k ≤ n ) Số lần bắt tay giữa n người khác (không kể Bình) là:

n.( n − 1) (lần) 2

Số lần bắt tay giữa Bình và những người quen của Bình là k (lần) Vì có tổng cộng 420 lần bắt tay nên : Hay: n.( n − 1) + 2k = 840 (*)

n.( n − 1) + k = 420 2

163 Vì k ,n ∈ Ν ,0 ≤ k ≤ n nên n 2 − n ≤ n.( n − 1) + 2k ≤ n 2 − n + 2n Hay n 2 − n ≤ n.( n − 1) + 2k ≤ n 2 + n Kết hợp với (*) suy ra n 2 − n ≤ 840 ≤ n 2 + n ⇔ ( n − 1) n ≤ 840 ≤ n ( n + 1) Ta có: 28.29 ≤ 840 ≤ 29.30 nên n=29 Thay vào (*) tính được k =14 Vậy Bình có 14 người quen.

Đề số 43 Câu 1. a) Theo cách xác định phép toán (*) ta có: A=

(1* 2 ) * ( 3* 4 )

= (1.2 + 1 + 2)*(3.4 + 3 + 4) = 5*19 = 5.19 + 5 + 19 = 119 b) Theo cách xác định phép toán (*) ta có: 3*m = -1 3m + 3 + m = -1 4m = -4 m = -1 và B= m*m = m2 + 2m, thay m = -1 vào B ta có B = (-1)2 + 2.(-1) = 1 – 2 = -1 Vậy B = -1 c) Ta có: x*y = 3*x + y*1 xy + x + y = 3x + 3 + x + y + y + 1 xy – 3x – y = 4 hay (x – 1)(y – 3) = 7 Lập luận và tính được các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn là: (2; 10); (0; -4); (8; 4); (-6; 2).

Câu 2.

Quan sát ta nhận thấy : * Mẫu của mỗi phần tử là số thứ tự trong hàng * Tử số + Mẫu số - 1 = số phần tử trong hàng Ta có: 2016 + 2017 – 1 = 4032

164 Vậy số

2016 nằm ở hàng thứ 4032 2017

Số thứ tự của số đó từ trái sang là 2017 Câu 3.

Hiệu vận tốc của hai người là: 40 - 24 = 16 (km/h) Thời gian người thứ nhất đi hết quảng đường AB là: 160: 24 =

20 h 3

Thời gian người thứ hai đi hết quảng đường AB theo dự kiến 40km/h là: 160: 40 = 4 (h) Thời gian người thứ nhất đi trước người thứ hai là: 6h40' - 4h = Quảng đường người thứ nhất đi trước đi là:

8 h 3

8 . 24 = 64 (km) 3

Khoảng cách giữa hai người khi người thứ hai tăng tốc là: 64 - 16. 2 = 32 (km) Thời gian khi người thứ hai tăng tốc đến khi gặp nhau là: 32: (48 - 24)= Đến lúc gặp nhau thì người thứ hai đã đi quảng đường là: 80 + 48 .

4 = 144 (km) 3

Chỗ gặp cách B là: 160 - 144 = 16 (km).

Câu 4.

Hình 1

y

z

O

x

a) Vì góc xOy và góc yOz là hai góc kề bù nên ta có

+ =5 xOy yOz = 1800 mà xOy yOz 4

4 h 3

165

5 yOz + yOz = 1800 4 9 ⇒ yOz = 1800 ⇒ yOz = 800 4 = 1000 ⇒ xOy ⇒

b) TH1: (hình 1) Tia Ot thuộc nửa mặt phẳng chứa tia Oz bờ là đường thẳng chứa tia Oy thì tia Ot trùng

= yOz = 800) nên tia Oy không là tia phân giác của góc tOz. với tia Oz (do tOy TH2: (Hình 2) Tia Ot thuộc nửa mặt phẳng chứa tia Ox bờ là đường thẳng chứa tia Oy thì tia Oy nằm giữa hai tia Oz và Ot

= yOz = 800 nên tia Oy là tia phân giác của góc tOz Mà tOy c) Khi Oy là tia phân giác của góc tOz (Hình 2) thì 4 tia Ox, Oy, Oz, Ot là 4 tia phân biệt.

- Lập luận để có 50.2 + 4 = 104 tia gốc O phân biệt, suy ra A có 104 điểm (phần tử).

- Lập luận để có

104.103 = 5356 đoạn thẳng nối 2 trong 104 điểm của A 2

- Nối hai đầu của mỗi đoạn thẳng đó với 1 điểm thuộc 102 điểm còn lại (không phải là các mút của đoạn thẳng đó) được 102 tam giác - vậy có 5356.102 tam giác. Nhưng như thế thì mỗi tam giác được tính 3 lần.

Vậy ta có

5356.102 = 182 104 (tam giác) 3

Câu 5. a)Ta có

a + 1 b + 1 a2 + b2 + a + b + = có giá trị là số tự nhiên b a ab

⇒ a 2 + b2 + a + b⋮ ab Lại có ƯCLN(a,b)=d ⇒ a ⋮ d ; b⋮ d ⇒ a 2 ; b 2 ; ab ⋮ d 2

⇒ a 2 + b2 + a + b⋮ d 2 ⇒ a + b⋮ d 2 ⇒ a + b ≥ d 2 (đpcm) b) Vì lưới ô vuông có kích thước 5x5 thì có 5 cột, 5 hàng và 2 đường chéo do đó có tất cả 12 tổng.

Do chọn điền vào các ô các số -1; 0; 1 nên giá trị mỗi tổng S là một số nguyên thỏa mãn:

−5 ≤ S ≤ 5 Vậy có 11 giá trị mà có 12 tổng, theo nguyên lí Đi-rich-lê tồn tại hai tổng có giá trị bằng nhau

Đề số 44

166

Câu 1. a.

Ta có: 1  31  1  17  1  1 1 1 1 = A =   9 −  −  4 +  + + + + ... + 31  5  2 2  5  2 6 12 930

Xet : M =

1  31  1  17  1  1  31 17 17 21  17  31 − 21  17 −  9 −  −  4 +  =  =  =  31  5  2 2  5  31  5 2 2 5  31  10  31

1 1 1 1 1 1  1 1 + + + ... + = + + + ... +  2 6 12 930  2 2.3 3.4 30.31  1 1 1 30 1 1 1 1 1 =  + − + − + ... + −  = 1− = 30 31  31 31 2 2 3 3 4 17 30 47 A=M +N = + = 31 31 31 Xet : N =

b. B2 = c(a - b) - b(a - c) = ca – cb – ba + bc = ca - ba = a(c - b) thay a = -50, b – c = 2 vào ta được B2 = -50.(-2) =100 do B ∈ N nên B =10 Câu 2. a. Ta có: (2x+1)(y-3)= 12 Với x, y ∈ N ⇒ 2x+1 là số lẻ.

Ta có: 12 =1.12=3.4 2x+1=1⇒ 2x=0⇒ x=0; y-3=12 ⇒ y=15 2x+1=3⇒ 2x=2⇒ x=1; y-3=1 ⇒ y = 4 Vậy x = 0 và y =1 hoặc x =1 và y = 4 b. Ta có : 2 x + 2 x +1 + 2 x + 2 + ... + 2 x +1015 = 2 2019 − 8

(

)

⇔ 2 x 1 + 21 + 2 2 + ... + 2 2015 = 2 2019 − 8 1

2

Xet : C = 1 + 2 + 2 + ... + 2

2015

2C = 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 2016 2C − C = 2 2016 − 1 ⇒ C = 2 2016 − 1 ⇒ 2 x (2 2016 − 1) = 2 2019 − 8 = 2 2019 − 2 3 = 2 3 (2 2016 − 1) ⇒ 2 x = 23 ⇒ x=3 c. Ta có: 3625 = (18.2)25 =1825 .225 =1825 .26 .219 2536 =2525.2511= 2525.522= 2525.53.519 ta có: 53=125, 26=64, ⇒ 53>26 2525>1825; 519>219 Vậy 2525.53.519 >1825 .26 .219 hay 3625 <2536 Câu 3. a. Gọi d là UC của 6n + 5 và 3n + 2 ta có: 6n + 5 ⋮ d và 3n + 2 ⋮d

167 3n + 2 ⋮ d → 2(3n + 2) ⋮ d hay 6n + 4 ⋮ d → 6n + 5 - (6n + 4) ⋮ d → 1⋮ d d =1 6n + 5 (n ∈ N ) là phân số tối giản 3n + 2 6 n + 5 6n + 4 + 1 1 = = 2+ b. Ta có p = 3n + 2 3n + 2 3n + 2 1 p đạt giá trị lớn nhất khi đạt giá trị lớn nhất, khi đó 3n + 2 đạt giá trị nhỏ nhất 3n + 2 vì 3n + 2 ≥ 2 nên 3n+2 nhỏ nhất bằng 2 khi 3n = 0 hay n = 0 1 3 Vậy với n=0 thì p đạt giá trị lớn nhất là 2 + = 2 2 Câu 4.

Vậy phân số p =

1a. Ta có ∠xOy + ∠yOt=1800 (Vì 2 góc kề bù) Thay ∠xOy = 400 ta có: 400+∠yOt = 1800 suy ra ∠yOt =1400 Ta có: Om là tia phân giác của ∠tOy nên Vì 2 góc xOy và yOt kề bù nên Ox và Ot là hai tia đối nhau suy ra ∠tOm và ∠mOx là hai góc kề bù ⇒∠tOm + ∠mOx = 1800 700 + ∠mOx = 1800 ∠mOx = 1800-700= 1100 1b. Ta có ∠mOx+ ∠xOn = 1100+ 700=1800 ⇒ ∠mOx và ∠xOn là hai góc bù nhau (1) - Do Om và Oy cùng thuộc nửa mp có bờ là đường thẳng chứa tia Ox; - Lại có On và Oy nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng chứa tia Ox nên: Om và On nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng chứa tia Ox ⇒ ∠mOx và ∠xOn là hai góc kề nhau (2) Từ (1) và (2) suy ra ∠mOx và ∠xOn là hai góc kề bù.

2. (3,5đ)

168 - Vì D nằm giữa A và B nên: AD + DB = AB Thay AB = 6cm ta có AD + DB = 6 (cm) Lại có AC + DB = 9cm (gt) ⇒ AD + DB< AC + DB hay AD < AC (1) - Mà D và C cùng nằm giữa A và B hay D,C cùng thuộc tia AB (2) Từ (1) và (2) suy ra D nằm giữa A và C b, Vì D nằm giữa A và C suy ra: AD + DC = AC Lại có AC + BD = 9 nên AD + DC + BD = 9 hay (AD + DB) + DC =9 Thay (AD + DB) = 6 ta có 6+DC = 9 vậy DC = 3(cm) Câu 5.

Xét 2x + 5y = 14 Ta có: Do (5,2) =1 nên Ta có 3y < 14 ⇒ y < 14 :5 ⇒ Mà y là số nguyên dương và nên y = 2 ta có 2x+5.2 =14⇒ 2x = 4⇒ x = 2 vậy x = 2, y = 2

Đề số 45 Bài 1.

Thực hiện phép tính a) A = 1.2.3…9- 1.2.3…8- 1.2.3…8.8 = 1.2.3…8.(9 - 1 - 8) =0

( 3.4.2 ) 16

b) B =

11.213.411 − 169

( 3.2 .2 ) 2

=

2

16

2

11.213.222 − 236 9.236 = 11.235 − 236 9.236 = 35 2 . (11 − 2 ) =

9.236 =2 235.9

c) C = 70.( = 70.(

131313 131313 131313 + + ) 565656 727272 909090

13 13 13 + + ) 56 72 90

= 70.13.(

1 1 1 + + ) 7.8 8.9 9.10

169 = 70.13.(

1 1 ) 7 10

= 39 d)B= =

1 1 1 1 + + + ... + 4.9 9.14 14.19 64.69

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( − + − + − + ... + − ) 5 4 9 9 14 14 19 64 69

1 1 1 = ( − ) 5 4 69 13 = 276

Bài 2.

1 1 1 2 2 10 ⇒ − 2x + = 4 ⇒ − 2x = 4 − 2x = 3 3 3 2 2 2 − 17 1 10 1 10 ⇒ 2x = ⇒ 2x = ⇒ x= TH1: - 2x = 2 3 2 3 6 1 10 1 10 23 ⇒ 2x = ⇒ 2x = ⇒ x= TH2: - 2x = − + 2 3 2 3 6 − 17 23 Vậy x= ;x= 12 12

a)

b)

( 3 x − 54 ) .8 : 4 = 18 ( 3x − 54 ) .8 = 72 3 x − 54 = 9 3 x = 63 x = 21 Vậy x = 21 5

c) ( 2 x − 15 ) = ( 2 x − 15 )

3

5

3

=0

2

− 1 = 0 

( 2 x − 15) − ( 2 x − 15 ) ( 2 x − 15) . ( 2 x − 15 ) 3

( 2 x − 15 )3 = 0 ⇒ ( 2 x − 15 )2 − 1 = 0  *2 x − 15 = 0 ⇒ x = 7, 5 2

2

* ( 2 x − 15 ) − 1 = 0 ⇒ ( 2 x − 15 ) = 12  2 x − 15 = 1 x = 8 ⇒ ⇒  2 x − 15 = −1  x = 7

Vậy x ∈ {7;7,5;8} d) x + (x + 1) + (x + 2) +…+ ( x + 2013) = 2035147

− 17 12 23 12

170 2014x + (1+2+3+…+2013) = 2035147 2014x + 2027091 = 2035147 2014x = 8056 x =4 Vậy x = 4 Bài 3. a) Gọi số tự nhiên cần tìm là a Vì a chia cho 3, cho 4, cho 5, cho 6 đều dư là 2 nên a - 2 chia hết cho 3, cho 4, cho 5, cho 6 do đó a - 2 là BC(3, 4, 5, 6) + BCNN(3, 4, 5, 6) = 60 + Lập luận a - 2 ∈ {0;60;120;180;...} a ∈ {2;62;122;182;...} Mà a là số tự nhiên nhỏ nhất và chia cho 7 thì dư 3 nên a = 122 b) x + y + xy = 40 (y+1)x + y + 1= 41 (x + 1)(y + 1) = 41 Mà x, y nguyên => x +1 và y + 1 là ước của 41 Tính được (x, y) ∈ {( 40;0 ) ; ( 0; 40 ) ; ( −2; −42 ) ; ( −42; −2 )} c) Theo đề bài ta có: a = 4p+3 = 9q + 5 ( p, q nguyên) Suy ra a + 13 = 4p + 3 + 13 = 4(p + 4) (1) a + 13 = 9q + 5 + 13 = 9(q + 2) (2) Từ (1) và (2) ta nhận thấy a + 13 là bội của 4 và 9 mà (4,9) = 1 nên a + 13 là bội của 4.9 = 36 Ta có a + 13 = 36k (k nguyên) => a = 36k – 13 = 36(k - 1) + 23 Vậy a chia cho 36 dư 23 Bài 4. y C

z

D

B

x

A

z

a) Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm giữa A và C => AC = AD + CD = 4 + 3 = 7(cm) Vậy AC = 7cm b) Chứng minh tia BD nằm giữa hai tia BA và BC

171 ta có đẳng thức: ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC => ∠DBC = ∠ABC - ∠ABD = 550 – 300 = 250 c) Xét hai trường hợp ( Học sinh vẽ hình trong hai trường hợp) - Trường hợp 1: Tia Bz và BA nằm trên cùng 1 nửa mặt phẳng có bờ là BD + Lập luận tia BA nằm giữa hai tia Bz và BD Tính được ∠ABz = ∠DBz - ∠ABD = 90 0 − 30 0 = 60 0 - Trường hợp 2: Tia Bz, và BA nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là BD + Lập luận tia BD nằm giữa hai tia Bz và BA Tính được ∠ABz = ∠DBz + ∠ABD = 90 0 + 30 0 = 120 0 Bài 5.

2 3 4 2016 2017 + 2 + 3 + .............. + 2015 + 2016 1 2 2 2 2 2 3 4 2016 2017 2T = 2 + 1 + 2 + .............. + 2014 + 2015 2 2 2 2 3 2 4 3 2016 2015 2017 2016 2017 2T – T = 2 + 1 - 1 + 2 - 2 +…….+ 2014 - 2014 + 2015 - 2015 - 2016 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2017 T= 2+ 1 + 2 +………+ 2015 - 2016 2 2 2 2 1 1 1 Đặt N = 1 + 2 +………+ 2015 2 2 2 1 1 1 Ta có 2N = 1+ 1 + 2 +………+ 2014 2 2 2 1 2N – N = 1- 2015 2 Vậy N < 1 2017 2017 Nên T < 2+1- 2016 =3- 2016 2 2 Vậy T < 3

T=

Đề số 46 Câu 1: (4,0 điểm). a) A = 68.74 + 27.68 – 68 = 68.(74 + 27 – 1) = 68.100 = 6800 b) B = 23.53 – 3.{539 – [639 – 8.(78 : 76 + 20170)]} B = 8.125 – 3.{539 – [639 – 8.(72 + 1)]}= 1000 – 3.{539 – [639 – 8.(49 + 1)]} B = 1000 – 3.{539 – [639 – 8.50]} = 1000 – 3.{539 – [639 – 400]} B = 1000 – 3.{539 – 239} = 1000 – 3.300= 1000 – 900= 100

 151515 179   1500 1616   15.10101 1   15 16.101  + 10  −  − c) C =  + − − =   161616 17   1600 1717   16.10101 17   16 17.101 

172 C=

15 1 15 16  15 15   1 16  + − + =  −  +  +  = 0 + 1= 1 16 17 16 17  16 16   17 17 

 1  1  1   1  d) D =  2 − 1 2 − 1  2 − 1 .....  − 1 2 2 3 4 100      

 1 − 4  1 − 9   1 − 16   1 − 1000  =  2  2   2  .....   2  2  3   4   100 

=

−3 −8 −15 −9999 1.3 2.4 3.5 99.101 = − 2 . 2 . 2 ..... . 2 . 2 .....

2 2 2 3 4 100 2 3 4 1002

= −

(1.2.3.....99)(3.4.5.....101) 1.101 = − (2.3.4.....100).(2.3.4.....100) 100.2

= −

101 200

Câu 2:

a) 2016 : [25 – (3x + 2)] = 32.7 x b)

= –3

x x x x x x x x x x 220 + + + + + + + + + = 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 39

1 1 1 1 1 1  220 1 1 1 1 ⇔ x + + + + + + + + +  =  6 10 15 21 28 36 45 55 66 78  39 1 1 1 1 1 1 1 1  220 1 1 ⇔ 2x  + + + + + + + + + = 12 20 30 42 56 72 90 110 132 156   39 1 1 1 1 1 1 1 1 1  220  1 ⇔ 2x  + + + + + + + + + =  3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 10.11 11.12 12.13  39

 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  220 ⇔ 2x  − + − + − + − + − + − + − + − + − + −  =  3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13  39 10 220 220 10  1 1  220 ⇔ 2x  −  = ⇔ 2x. = ⇔ 2x = : ⇔ 2x = 22 ⇔ x = 11 39 39 39 39  3 13  39

Câu 3: a) A có 90 số hạng mà 90 ⋮ 5 nên: A = (3 + 32 + 33 + 34 + 35) + (36 + 37 + 38 + 39 + 310) + … + (386 + 387 + 388 + 389 + 390) A = 3.(1 + 3 + 32 + 33 + 34) + 36.(1 + 3 + 32 + 33 + 34) + … + 386.(1 + 3 + 32 + 33 + 34) A = 3.121 + 36.121 + … + 386.121 = 121(3 + 36 + … + 386)= 11.11(3 + 36 + … + 386) ⋮ 11 ⇒ A ⋮ 11

A có 90 số hạng mà 90 ⋮ 3 nên: A = (3 + 32 + 33) + (34 + 35 + 36) + … + (388 + 389 + 390)

173 A=3.(1 + 3 + 32)+34.(1 + 3 + 32) +… +388.(1 + 3 + 32)A = 3.13 + 34.13 + … + 388.13 = 13(3 + 34 + … + 388) ⋮ 11

⇒ A ⋮ 13 b) Ta có: xy – 2x + y + 1 = 0 ⇔ x(y – 2) + (y – 2) + 1 = – 2 ⇔ (x + 1)(y – 2) = – 3 = 1. (– 3) = ( – 3).1 Ta có bảng sau: x+1

1

–3

y–2

–3

1

x

0

–4

y

–1

3

Câu 4: a) Gọi số cần tìm là a ( a ∈ N,100 ≤ a ≤ 999 ) Vì a chia cho 8 thì dư 7 và chia cho 31 thì dư 28 nên:

a − 7 ⋮ 8  a − 7 + 8⋮ 8 a + 1⋮8 a + 1 + 64⋮8 a + 65⋮8 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  a − 28⋮ 31 a − 28 + 31⋮ 31 a + 3⋮ 31 a + 3 + 62⋮ 31 a + 65⋮ 31 Vì (8, 31) = 1 nên a + 65 ⋮ (8.31) hay a + 65 ⋮ 248 ⇔ a = 248k – 65 (k ∈ N*). Vì a là số có 3 chữ số lớn nhất nên k = 4, khi đó a = 248.4 – 65 = 927.

Vậy số cần tìm là 927 b) Ta có:

4n + 5 4n − 2 + 7 n(2n − 1) + 7 7 = = =n+ 2n − 1 2n − 1 2n − 1 2n − 1

Vì n nguyên nên để

4n + 5 7 nguyên thì nguyên hay 2n – 1 ∈ Ư(7) = {–7; –1; 1; 7} 2n − 1 2n − 1

⇔ 2n ∈ {– 6; 0; 2; 8} ⇔ n ∈ {– 3; 0; 1; 4} Vậy với n ∈ {– 3; 0; 1; 4} thì

4n + 5 có giá trị là một số nguyên n 2n − 1

y

Câu 5: (5,0 điểm).

kề bù với zOy nên: xOy + zOy = 1800 a) Vì xOy

m

nên: Vì tia Om là tia phân giác của xOy = 1 xOy

mOy 2

nên: Vì tia On là tia phân giác của zOy

z

O

m'

x

174 = 1 zOy

nOy 2

kề bù với zOy nên tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz mà tia Om là tia phân Vì xOy và tia On là tia phân giác của zOy nên tia Oy nằm giữa hai tia Om và On, giác của xOy khi đó:

+ yOn = mOn ⇔ 1 xOy ⇔ 1 xOy

+ 1 zOy = mOn + zOy = mOn mOy 2 2 2

(

⇔

)

1 ⇔ mOn = 900 .1800 = mOn 2

b) Vì hai tia Om và Om' đối nhau, khi đó m 'Oz kề bù với zOm

= 1800 ⇔ ⇒ m 'Oz + zOm

300

= 1800 ⇔ + zOm

= 1500 zOm

kề bù với mOx

Vì hai tia Ox và Oz đối nhau, khi đó zOm + mOx = 1800 ⇔ 1500 + mOx = 1800 ⇔ ⇒ zOm

= 300 mOx

nên: mOy = mOx = 300 Vì tia Om là tia phân giác của xOy kề bù với yOm ' Vì hai tia Om và Om' đối nhau, khi đó yOm

+ yOm ' = 1800 ⇔ 300 + yOm ' = 1800 ⇔ ⇒ yOm

' = 1500 yOm

c) Giả sử cần vẽ thêm n tia phân biệt chung gốc O và không trùng với các tia đã vẽ trong hình để tạo thành tất cả 300 góc.

Khi đó tổng số tia gốc O trên hình là n + 6 Cứ 1 tia gốc O tạo với n + 5 tia gốc O còn lại thành n + 5 góc, mà có n + 6 tia như vậy nên tạo thành: (n + 5)(n + 6) góc Vì tia này tạo với kia và ngược lại nên mỗi góc được tính hai lần, suy ra số góc tạo thành là:

(n

+ 5 )( n + 6 ) góc 2

Vì có 300 góc được tạo thành nên:

(n

+ 5 )( n + 6 )

2

= 300 ⇔ (n + 5)(n + 6) = 600 = 24.25

⇔ n + 5 = 24 ⇔ n = 19

Câu 6:

100a + 3b + 1 a) Ta có: (100a + 3b + 1)(2a + 10a + b) = 225 (1) vì 225 lẻ nên  a cùng lẻ (2) 2 + 10a + b *) Với a = 0: (1) ⇔ (100.0 + 3b + 1)(20 + 10.0 + b) = 225 ⇔ (3b + 1)(1 + b) = 225 = 32.52

175 Vì 3b + 1 chia cho 3 dư 1 và 3b + 1 > 1 + b nên: (3b + 1)(1 + b) = 25.9 3b + 1 = 25 ⇔ b=8  1 + b = 9

*) Với a là số tự nhiên khác 0: Khi đó 100a chẵn, từ (2) ⇒ 3b + 1 lẻ ⇒ b chẵn ⇒ 2a + 10a + b chẵn, trái với (2) nên b ∈∅ Vậy: a = 0 ; b = 8 b) Ta có:

A= A=

1 1 1 1 + + + ... + 1+ 3 1+ 3 + 5 1+ 3 + 5 + 7 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2017 1 1 1 1 + + + ... + (1 + 3).2 (1 + 5).3 (1 + 7).4 (1 + 2017).1009 2 2 2 2

A=

2 2 2 2 1 1 1 1 = + + + ... + + + + ... + 2.4 3.6 4.8 1009.2018 2.2 3.3 4.4 1009.1009

A<

1  1 1 1  + + + ... +  2.2  2.3 3.4 1008.1009 

A<

1 1 1 1 1 1 1  1 1 1  1 1 3 +  − + − + ... + −  < + −  < + < 4 2 3 3 4 1008 1009  4  2 1009  4 2 4

Câu 7: Dùng casio giải đúng- 1điểm

Đề số 47 I. PHẦN CHUNG .

Câu 1: a) A = 1 + (2 - 3 - 4 + 5) + (6 - 7 - 8 + 9) + ... + (298 - 299 - 300 + 301) + 302 A = 1 + 302 A = 303 b) Ta có: 4A = 4 + 42 + 43 + ... + 4100 (0,25đ) B = 4100 100 => 4A = 4 - 1 < B B => 3A < B => A < 3 1 1 1 1 1  c) 3B = 1 + +....+ 98 => 3B - B = 1 - 99 => B = 1 − 99  3 2 3  3 3 Câu 2: a) Vì 601 là số lẻ nên 1 trong 2 số nguyên tố phải có 1 số chẵn mà số chẵn là số nguyên tố chỉ có thể bằng 2. Vậy số kia là 601 - 2 = 599. b) Gọi d = ƯC (21n + 4; 14n +3) => 2(21n + 4) - 3(14n + 3) ⋮ d => 1 ⋮ d => d = 1

176 Vậy (21n + 4, 14n + 3) = 1 nên

21 + 4 là phân số tối giản.

14 + 3

c)

xy - 2x + 5y - 12 = 0 x(y - 2) + 5(y - 2) + 2 = 0 (x + 5) (y - 2) = 2 Vì x, y ∈ Z => x + 5; y - 2 ∈ Ư(2) = { ± 1; ± 2} => (x; y) = (-6; 0); (-4; 4); (-7; 1); (-3; 3) Câu 3: Gọi số giấy mỗi lớp thu được là x (kg) thì (x - 26) ⋮ 11 và (x - 25) ⋮ 10 Do đó (x - 15) ∈ BC (10; 11) và 200 300 => x - 15 = 220 => x = 235 Số HS lớp 6A là (235 - 26) : 11 + 1 = 20 HS Số HS lớp 6B là (235 - 25) : 10 + 1 = 22 HS Câu 4. Vẽ hình đúng được y a) Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA Ta có tia Ox là phân giác của góc AOB B => ∠ AOx < ∠ AOB mà ∠ AOB < ∠ AOy => ∠ AOx < ∠ AOB < ∠ AOy => OB nằm giữa 2 tia Ox và Oy b) Theo a có Ox nằm giữa 2 tia OA và Oy. (1đ) => ∠ xOy = ∠ xOB + ∠ Boy ∠ xOy = ∠ Aoy - ∠ Aox O 2 ∠ xOy = ∠ Aoy + ∠ Boy => ∠ xOy = ( ∠ Aoy + ∠ Boy) : 2 II. PHẦN RIÊNG. Câu 5a.

1. CMR: 281 + 255 ⋮ 10 Có 281 - (24)20 . 2 = (16)20. 2 Có chữ số tận cùng là 2.

255 = (24)13. 23 = (16)13. 8 Có chữ số tận cùng là 8.

81 55 => 2 + 2 có chữ số tận cùng = 0 => 281 + 255 ⋮ 10 2. Chọn một điểm. Qua điểm đó và từng điểm trong 99 điểm còn lại, ta vẽ được 99 đường thẳng.

- Làm như vậy với 100 điểm ta được 99.100 đường thẳng - Nếu như vậy mỗi đường thẳng được tính 2 lần. Nên số đường thẳng là: 99.100:2 = 4950 đường thẳng. b.

1. P = (1 + 3 + 32 + 33) + (34 + 35 + 36 + 37) + ... + (356 + 357 + 358 + 359) + 360 + 361 + 362 = (40 + 34. 40 + ... + 356. 40) + 360 + 361 + 362.

- Các số hạng trong ngoặc đều có tận cùng là 0.

- Số 360 = (32)30 = 930 => chữ số tận cùng là 1.

- Số 361 = 3.360 => có chữ số tận cùng là 3.

- Số 362 = 9.360 => có chữ số tận cùng là 9.

Vậy tổng P có chữ số tận cùng là 3 => P không là số chính phương.

x

A

177 2. Trên đoạn AB có các điểm A; A1; A2; A3;...; A2004; B do đó tổng số điểm trên AB là 2006 điểm suy ra có 2006 đoạn thẳng nối từ M đến các điểm đó.

- Mỗi đoạn thẳng (Vd MA) có thể kết hợp với 2005 đoạn thẳng còn lại và các đoạn thẳng tương ứng trên AB để tạo thành 2005 tam giác.

- Do đó 2006 đoạn thẳng sẽ tạo thành 2005 - 2006 = 4022030 tam giác (lưu ý khi kết hợp MA với MA1 hay MA1 với MA ta được 2 tam giác nhưng thực ra chỉ là 1). => Số tam giác thực có là 4022030 : 2 = 2011015.

Đề số 48

Câu 1. a) 55 b)

17 2

c)

2 5 (7 + 1) 8 4 = = 5 2 (25 − 3) 22 11

Câu 2. a) x= 25 b) x = 12 hoặc x = - 26 c) x =

7 2

Câu 3.

1) Ta có: a) A = - 50 b) A ⋮ 2 cho 5 A

không chia hết cho 3

c) A có 6 ước tự nhiên và có 12 ước nguyên 2) Ta có 45 = 9.5 mà (5; 9) = 1 Do 24a68b ⋮ 45 suy ra 24a68b ⋮5 Do 24a68b ⋮5 Nên b = 0 hoặc 5 TH1: b = 0 ta có số 24a680 Để 24a680⋮9 thì (2 + 4 + a + 6 + 8 + 0) ⋮ 9 Hay

a + 20 ⋮ 9 Suy ra a = 7 ta có số 247680

TH2: b = 5 ta có số 24a685 Để 24a685⋮9 thì (2 + 4 + a + 6 + 8 + 5) ⋮ 9 Hay

a + 25 ⋮ 9

178 Suy ra a = 2 ta có số 242685 Vậy để 24a68b ⋮ 45 thì ta có thể thay a = 7; b = 0 hoặc a = 2; b =5 3) Số nguyên có dạng a = 3b + 7 (b ∈ Z) hay a là số chia cho 3 dư 1 Vậy a có thể nhận những giá trị nào trong các giá trị sau a = 2002; a = 22789 ; a = 29563 Câu 4. a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng số đó chia cho 9 dư 5, chia cho 7 dư 4 và chia cho 5 thì dư 3 Gọi số cần tìm là a Ta có a chia cho 9 dư 5

⇒ a = 9k + 5 (k ∈ N) ⇒ 2a = 9k1 + 1 ⇒ (2a- 1) ⋮ 9 Ta có a chia cho 7 dư 4

⇒ a = 7m + 4 (m ∈ N) ⇒ 2a = 7m1 + 1 ⇒ (2a- 1) ⋮ 7 Ta có a chia cho 5 dư 3 ⇒ ⇒

a = 5t + 3 (t ∈ N) ⇒ 2a = 5t1 + 1 ⇒ (2a- 1) ⋮ 5 (2a- 1) ⋮ 9; 7 và 5

Mà (9;7;5;) = 1 và a là số tự nhiên nhỏ nhất ⇒

2a – 1 = BCNN(9 ;7 ; 5) = 315

Vậy a = 158 b) Cho A = 1 + 2012 + 20122 + 20123 + 20124 + … + 201271 + 201272 và B = 201273 - 1. So sánh A và B. Ta có 2012A = 2012 + 20122 + 20123 + 20124 + … + 201271 + 201273 Lấy 2012A – A = 201273 – 1 Vậy A = (201273 – 1) : 2011 < B = 201273 - 1.

Câu 5.

t

z

x

A

O

M

B

y

179

a) Trên tia Oy ta có OM = 1 cm < OB = 4 cm Vậy M là điểm nằm giữa O và B Do M nằm giữa O và B ta có OM + MB = OB MB = OB – OM = 4 – 1 = 3 Do A thuộc tia Ox, M thuộc tia Oy nên O nằm giữa hai điểm A và M suy ra OM + OA = MA MA = 2 + 1 = 3 cm Mặt khác do A, B nằm trên hai tia đối nhau, M lại nằm giữa O và B nên suy ra M nằm giữa A và B Vậy M là trung điểm của AB b) TH1: Tia Ot và tia Oz trên cùng một nữa mặt phẳng Do yOt = 1030 , yOz = 300 suy ra tia Oz nằm giữa hai tia Ot và Oy. Ta có:

tOz = tOy – yOz = 1300 – 300 = 1000

TH2: Tia Ot và tia Oz không nằm trên cùng một nữa mặt phẳng bờ là xy Suy ra tia Oy nằm giữa hai tia Ot và Oz Ta có:

tOz = tOy – yOz = 1300 + 300 = 1600

Đề số 49 Câu 1.

a) Tính

A = 550 – 548 + 546 − 544 + … +56 - 54 + 52 − 1.

⇒ 25A = 5 2. ( 550 – 5 48 + 5 46 − 5 44 + … +56 - 54 + 52 − 1.)

= 552 – 550 + 548 − 546 + … +58 - 56 + 54 − 52.

Suy ra 25A + A = 552 − 1 Vậy

A = ( 552 − 1) : 26

b) Tìm số tự nhiên n biết 26.A + 1 = 5 n 52 n Ta có 26.A + 1 = 5 n mà 26A = 552 − 1 nên 5 − 1 + 1 = 5 52

n

Suy ra 5 = 5 ⇒ n = 52 .Vậy n = 52 c). Tìm số dư trong phép chia A cho 100.

A = 550 – 548 + 546 − 544 + … +56 - 54 + 52 − 1. ( có 26 số hạng) = ( 550 – 548 ) + ( 546 − 544 ) + … + ( 56 - 54 ) + 52 − 1.

= ( 550 – 548 ) + ( 546 − 544 ) + … + ( 56 - 54 ) + ( 52 − 1) . = 548. ( 52 – 1) + 5 44. ( 52 – 1) + … +54 . ( 52 – 1) + ( 52 − 1) . = 5 48.24 + 5 44.24 + … +5 4 .24+ 24.

180

= 546.25.24 + 542.25.24 + … +52 .25.24+ 24. = 546.600 + 542.600 + … +52 .600+ 24. = 6.100. ( 546 + 542 + ... + 52 ) + 24 Suy ra A chia cho 100 dư 24.

Câu 2.

a) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 +…+ ( 2 x – 1) = 225 Với mọi x ∈ N ta có 2x – 1 là số lẻ Đặt A = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 +…+ ( 2 x – 1) ⇒ A là tổng của các số lẻ liên tiếp từ 1 đến 2x – 1

Số số hạng của A là: ( 2x –1–1) : 2 + 1 = x (Số hạng)

⇒ A = ( 2x – 1) + 1 .x : 2 = x 2 Mà A = 225 ⇒ x 2 = 225 = 15 2 ⇒ x = 15 Vậy x = 15

b) 2 x + 2 x +1 + 2 x + 2 + 2 x + 3 + … +2 x + 2015 = 2 2019 − 8.

2 x .1 + 2 x .2 + 2 x .2 2 + 2 x .23 + … +2 x .2 2015 = 2 2019 − 23.

2 x . (1 + 2 + 22 + 23 + … +2 2015 ) = 23. ( 22016 − 1) .

M = 1 + 2 + 2 2 + 23 + … +2 2015 2 3 4 2016 Ta được 2.M = 2 + 2 + 2 + 2 … +2 2016 −1 Suy ra M = 2

Đặt

Vậy ta có

2x . ( 22016 − 1) = 23. ( 22016 − 1) .

⇒ 2 x = 23 ⇒ x = 3 .Vậy x = 3 Câu 3. a) Cho số abc chia hết cho 37. Chứng minh rằng số cab cũng chia hết cho 37.

Ta có abc ⋮ 37 ⇒ 100.abc ⋮ 37 ⇒ abc00⋮ 37

(

)

⇒ ab .1000 + c00 ⋮ 37

⇒  ab .999 + c00 + ab  ⋮ 37  

(

(

)

)

⇒ ab .999 + cab ⋮ 37 Mà ab .999 = ab .37.27 ⋮ 37

⇒ cab⋮ 37 Vậy nếu abc⋮ 37 thì cab⋮ 37 b) Tìm số x, y nguyên biết x.y + 12 = x + y Ta có x.y + 12 = x + y ⇒ x.y − x − y + 12 = 0 ⇒ x. ( y − 1) − y + 12 = 0

181

⇒ x. ( y − 1) − ( y − 1) + 11 = 0 ⇒ ( x − 1) . ( y − 1) = −11 (1) Vì x, y ∈ Z nên x − 1 ∈ Z; y − 1 ∈ Z Do đó từ (1) ⇒ x − 1; y − 1 là các ước của -11 Các ước của -11 là -11; -1;1;11 +) Với x − 1 = −11 thì y − 1 = 1. Suy ra +) Với x − 1 = −1 thì y − 1 = 11. Suy ra +) Với x − 1 = 1 thì y − 1 = −11. Suy ra +) Với x − 1 = 11 thì y − 1 = −1. Suy ra

x = −10; y = 2 ( Thỏa mãn) x = 0; y = 12 ( Thỏa mãn) x = 2; y = -10 ( Thỏa mãn) x = 12; y = 0 ( Thỏa mãn)

Vậy ( x; y ) ∈ {( −10; 2 ) ; ( 0;12 ) ; ( 2; −10 ) ; (12; 0 )} .

Câu 3.

Vì a chia cho 2 dư 1, a chia cho 3 dư 1, a chia cho 5 dư 4, a chia cho 7 dư 3

a − 1⋮ 2 ;a − 1⋮ 3 ; a − 4⋮ 5 ; a − 3⋮ 7 ⇒ a + 1⋮ 2 ;a + 2⋮ 3 ; a + 1⋮ 5 ; a + 4⋮ 7 ⇒ a + 11⋮ 2 ;a + 11⋮ 3 ; a + 11⋮ 5 ; a + 11⋮ 7 ⇒ a + 11 ∈ BC ( 2;3;5;7 ) .

Nên

Mà a là số tự nhiên nhỏ nhất

⇒ a + 11 = BCNN ( 2;3;5;7 ) .

Mà các số 2; 3; 5; 7 nguyên tố cùng nhau

⇒ BCNN ( 2;3;5;7 ) = 2.3.5.7 = 210 ⇒ a + 11 = 210. ⇒ a = 199.

Vậy số tự nhiên cần tìm là 199.

Câu 4.

1. – Giả sử trong 30 điểm phân biệt không có 3 điểm nào thẳng hàng : + Chọn một điểm bất kì trong 30 điểm đã cho. Qua điểm đó và từng điểm trong 29 điểm còn lại ta vẽ được 29 đường thẳng. + Làm như vậy với 30 điểm thì ta vẽ được tất cả là 29.30 đường thẳng. + Nhưng mỗi đường thẳng đã được tính hai lần nên số đường thẳng thực tế vẽ được là

( 29.30) : 2 = 435

đường thẳng.

Vậy qua 30 điểm phân biệt mà không có 3 điểm nào thẳng hàng ta vẽ được 435 đường thẳng.

– Tương tự như trên, giả sử trong a điểm phân biệt không có 3 điểm nào thẳng hàng ta vẽ được a. ( a − 1) : 2 đường thẳng.

Nhưng qua a điểm thẳng hàng ta chỉ vẽ được một đường thẳng nên số đường thẳng bị giảm đi là a. ( a − 1) : 2 − 1 đường thẳng.

182 Theo bài ra ta có : a. ( a − 1) : 2 − 1 = 435 − 421 = 14

⇒ a. ( a − 1) = 30 = 6.5 Vì a-1 và a là hai số tự nhiên liên tiếp và a − 1 < a nên a = 6.

2. Hình vẽ :

A

D

C

B

a) Chứng tỏ D nằm giữa A và C. Vì D nằm giữa A và B nên: AD + DB = AB Thay AB = 6 cm ta có AD + DB = 6 cm .

Lại có AC + DB = 9 cm ⇒ AD + DB < AC + DB hay AD < AC. Trên tia AB có : AD < AC suy ra D nằm giữa A và C b) Tính độ dài đoạn thẳng CD ?

Vì D nằm giữa A và C suy ra AD + DC = AC. Lại có AC + DB = 9 cm , suy ra AD + DC + DB = 9cm Hay ( AD + DB ) + DC = 9cm Thay AD + DB = 6 cm , ta có 6cm + DC = 9 ( cm ) . Vậy DC = 3 ( cm )

Đề số 50 Bài 1. a) Ta có: 3 3 3   3 S = 2.  + + + ...  29.32   2.5 5.8 8.11 1 1  1 1 1 1 1 1 S = 2.  − + − + − + ... + − .

29 32   2 5 5 8 8 11  1 1  30 S = 2.  −  =  2 32  32 Vì 30 < 32 nên S < 1 a −1 1 b +1 1 b) Có =1và =1+ a a b b 1 1 * Nếu a > 0 và b > 0 thì > 0 và >0 a b 1 1 a −1 b +1 ⇒1< 1+ hay < a b a b 1 1 * Nếu a < 0 và b < 0 thì < 0 và <0 a b 1 1 a −1 b +1 ⇒1> 1+ hay > a b a b Bài 2. Ta có: a) Theo bài ta có x = - 99 + (- 98) + ...+ (-11) + (- 10) + 10 + 11 + ...+ 98 + 99 x = (- 99 + 99) + (- 98 + 98) + ... + (-11 + 11) + (- 10 + 10) x = 0 ⇒ x2006 = 0 và y = - 1 ⇒ y2007 = (- 1)2007 = - 1

183 Do đó ta có A = 2009.x2006 - 2008.y2007 = 0 - 2008.(-1) = 2008 7 33 3333 333333 33333333 + + ) = 22 b) Ta có − x.( + 4 12 2020 303030 42424242 7 33 33 33 33 + + ) = 22 ⇒ − x.( + 4 12 20 30 42 7 1 1 1 1 + + ) = 22 ⇒ − x.33.( + 4 12 20 30 42 7 1 1 1 1 1 1 1 1 ⇒ − x.33.( − + − + − + − ) = 22 4 3 4 4 5 5 6 6 7 7 1 1 7 4 ⇒ − x.33.( − ) = 22 ⇒ − x.33. = 22 4 3 7 4 21 ⇒ -11.x = 22 ⇒ x = - 2 a Bài 3. Gọi phân số tối giản lúc đầu là . Nếu chỉ cộng mẫu số vào mẫu số ta được phân b a a a = số ; phân số này nhỏ hơn phân số hai lần b + b 2b b a+b Để gấp 2 lần phân số lúc đầu thì a + b phải bằng 4 lần a ⇒ Mẫu số b phải gấp 3 lần 2b tử số a Phân số tối giản thoả mãn điều kiện trên là Bài 4. m t’ a) Xét đủ hai trường hợp : n * Khi tia On nằm giữa hai tia Ox và Om t + Vì tia On nằm giữa hai tia Om và Ox ⇒ xOn = a0 - b0 ............0,25đ x y O 0 1 a − b0 + Vì Ot là phân giác của xOn nên nOt = xOn = 2 2 0 0 a −b a0 + b0 + Số đo của mOt là : mOt = mOn + nOt = b 0 + = 2 2 * Khi tia Om nằm giữa hai tia Ox và On m n t’ + Vì tia Om nằm giữa hai tia Ox và On ⇒ xOn = xOm + mOn = a0 + b0 + Vì Ot là phân giác của xOn nên 1 a0 + b0 xOt = xOn = y x 2 2 O a0 + b0 a 0 − b0 + Số đo của mOt là : mOt = xOm - xOt = a 0 − = 2 2 b) Trong cả hai trường hợp trên, ta đều có : tOn + nOt’ = xOt + t’Oy = 900 Mà tOn = xOt ( do Ot là phân giác của xOn ) ⇒ nOt’ = t’Oy hay Ot’ là phân giác của nOy

184

_____________________HẾT_____________________

1 ĐỀ SỐ 1: ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN 6 HUYỆN HOẰNG HÓA NĂM 2018 - 2019 Câu 1 (4,0 điểm): Tính giá trị của các biểu thức: a) A = −37 + 54 + ( −70 ) + ( −163) + 246 .

3

b) B = 125. ( −61) . ( −2 ) . ( −1)

2n

( n ∈ ℕ* ) .

c) C = 1 + 2 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 − ... + 2014 – 2015 – 2016 + 2017 + 2018 . d) D =

32 32 32 32 32 + + + + .

2.5 5.8 8.11 11.14 14.17

Câu 2 (5,0 điểm): 2 1 1 3  1. Tìm x biết: a)  x −  :1 + = 3 3 2 2 

b) 2 x −

1 1 2 + = 6 2 3

2. Tìm tất cả các chữ số x, y sao cho 2019xy chia hết cho cả 2, 3 và 5.

3. Tìm x, y nguyên biết: x + y + xy = 40 .

4. Tìm n ∈ ℕ* biết n < 30 để các số 3n + 4 và 5n + 1 có ước chung lớn hơn 1.

Câu 3 (4,0 điểm): 1. Tìm tất cả các chữ số a, b, c thỏa mãn: abc − cba = 6b3 .

2. Tìm một số chính phương có ba chữ số biết rằng nó chia hết cho 56.

3. Chứng minh rằng : A = 75. ( 42018 + 42017 + ... + 42 + 5 ) + 25 chia hết cho 42019 .

Câu 4 (5,0 điểm):

= 5.

AOB Cho góc AOB và góc BOC là hai góc kề bù. Biết rằng BOC 1. Tính số đo các góc AOB và góc BOC .

2. Gọi OD là tia phân giác của góc BOC . Tính số đo góc AOD .

3. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB vẽ thêm 2019 tia phân biệt (không trùng với các tia OA, OB, OC , OD đã cho) thì có tất cả bao nhiêu góc.

Câu 5 (2,0 điểm):

1 2 3 4 99 100 3 1. Chứng minh rằng A = − 2 + 3 − 4 + ... + 99 − 100 < .

3 3 3 3 3 3 16 2. Tìm tất cả các số nguyên tố p, q sao cho 7 p + q và pq + 11 đều là số nguyên tố.

------------------ Hết ------------------

2 LỜI GIẢI ĐỀ HỌC SINH GIỎI TOÁN 6 HUYỆN HOẰNG HÓA NĂM 2018 - 2019 Câu 1: a) A = −37 + 54 + ( −70 ) + ( −163) + 246 = ( 54 + 246 ) + ( −37 ) + ( −163)  + ( −70 )

= 300 + ( −200 ) + ( −70 ) = 30 .

Vậy A = 30 .

3

b) B = 125. ( −61) . ( −2 ) . ( −1)

2n

( n ∈ ℕ* )

= 125. ( −8) . ( −61) .1 = 61000 .

Vậy B = 61000 . c) C = 1 + 2 – 3 – 4 + 5 + 6 – 7 − ... + 2014 – 2015 – 2016 + 2017 + 2018

= 1 + ( 2 – 3 – 4 + 5) + ( 6 – 7 – 8 + 9 ) + ... + ( 2014 – 2015 – 2016 + 2017 ) + 2018 = 1 + 2018 = 2019 .

Vậy C = 2019 . d) D =

32 32 32 32 32 + + + + 2.5 5.8 8.11 11.14 14.17

15 45 1 1 1 1 1 1 1 1  = 3.  − + − + ... + −  = 3.  −  = 3. = 34 34 14 17  2 5 5 8  2 17  Vậy D =

45 .

34

Câu 2: 1. Tìm x biết: 2 1 1 3 2 1 2 4  a)  x −  :1 + = ⇒ ( x − ):1 =1⇒ x − = ⇒ x = 2 .

3 3 2 2 3 3 3 3 

Vậy x = 2 b) 2 x −

1 1 2 1 1 + = ⇒ 2x − = 6 2 3 6 6

TH1: 2 x −

1 1 1 = ⇒x = .

6 6 6

TH2: 2 x −

1 1 =− ⇒x =0 6 6

3  1 Vậy x ∈ 0;  .  6

2. Tìm tất cả các chữ số x, y sao cho 2019xy chia hết cho cả 2, 3 và 5.

Ta có 2019xy chia hết cho cả 2 và 5 ⇒ y = 0 .

Lại có 2019xy ⋮ 3 nên ( 2 + 0 + 1 + 9 + x + 0 )⋮ 3 ⇒ (12 + x )⋮ 3 .

⇒ x ∈ {0; 3; 6; 9} Vậy ( x; y ) ∈ {( 0;0 ) ; ( 3;0 ) ; ( 6;0 ) ; ( 9;0 )} .

3. Tìm x, y nguyên biết: x + y + xy = 40 .

( y + 1) x + y + 1 = 41 ⇔ ( x + 1)( y + 1) = 41 Mà x, y nguyên x + 1 và y + 1 là ước của 41 Tính được ( x, y ) ∈ {( 40; 0 ) ; ( 0; 40 ) ; ( −2; −42 ) ; ( −42; −2 )} Vậy ( x, y ) ∈ {( 40; 0 ) ; ( 0; 40 ) ; ( −2; −42 ) ; ( −42; −2 )} 4. Tìm n ∈ ℕ* biết n < 30 để các số 3n + 4 và 5n + 1 có ước chung lớn hơn 1.

Gọi d là một ước chung của 3n + 4 và 5n + 1 ( d ∈ ℕ * ) Ta có 3n + 4⋮ d và 5n + 1⋮ d nên 5 ( 3n + 4 ) – 3 ( 5n + 1)⋮ d ⇔ 17⋮ d ⇒ d ∈ {1;17} Để 3n + 4 và 5n + 1 có ước chung lớn hơn 1, ta phải có 3n + 4⋮17 hay 3 ( n –10 )⋮17 mà UCLN ( 3 ; 17 ) = 1 nên

( n –10 )⋮17

n –10 = 17k (k ∈ ℕ) . Vì n ∈ ℕ, n < 30 ⇒ −10 ≤ n –10 < 20 nên k ∈ {0 ; 1} .

Với k = 0 ⇒ n = 10 , khi đó 3.10 + 4⋮17 và 5.10 + 1⋮17 (thỏa mãn) Với k = 1 ⇒ n = 27 , khi đó 3.27 + 4⋮17 và 5.27 + 1⋮17 (thỏa mãn) Vậy n ∈ {10 ; 27} .

Câu 3: Điều kiện : a, b, c ∈ N , 0 < a, c ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9 .

Vì abc − cba = 6b3 ⇒ 100a + 10b + c − 100c − 10b − a = 6b3 ⇒ 99 ( a − c ) = 6b3 ⇒ 6b3⋮ 99 ⇒ b = 9 ⇒ a − c = 693 : 99 = 7 ⇒ a = 7 + c

Do 0 < a ≤ 9 ⇒ 0 < c + 7 ≤ 9 ⇒ c = 1 hoặc c = 2 (vì c ≠ 0 ) Với c = 1 ⇒ a = 8 .

4 Với c = 2 ⇒ a = 9 .

Vậy a = 9, b = 9, c = 2 hoặc a = 8, b = 9, c = 1 .

2. Gọi số chính phương đó là : xyz với 1 ≤ x ≤ 9; 0 ≤ y; z ≤ 9 .  xyz = k 2 ta có:  ( k ∈ℕ; l ∈ℕ ) do đó : k 2 = 56.l = 4.14l  xyz = 56l suy ra: l = 14h 2 (1) với h ∈ ℕ . mặt khác 100 ≤ 56l ≤ 999 ⇒ 2 ≤ l ≤ 17 ( 2 ) , từ (1) và (2) suy ra: h = 1 , do đó l = 14 . nên số chính phương phải tìm là: 784.

Vậy số cần tìm là 784.

3. Chứng minh rằng : A = 75. ( 42018 + 42017 + ... + 42 + 5 ) + 25 chia hết cho 42019 . Đặt M = 42018 + 42017 + ... + 42 + 5 = 42018 + 42017 + ... + 42 + 4 + 1

4 M = 4. ( 42018 + 42017 + ... + 42 + 4 + 1) = 42019 + 42018 + ... + 43 + 4 2 + 4 4 M – M = ( 42019 + 42018 + ... + 43 + 4 2 + 4 ) – ( 42018 + 4 2017 + ... + 4 2 + 4 + 1) 3M = 42019 –1 ⇒ M = ( 42019 –1) : 3 A = 75. ( 4 2019 –1) : 3 + 25 = 25. ( 42019 –1) + 25

= 25. 42019 −25 + 25 = 25.42019 chia hết cho 42019 .

Câu 4: D

C

A

O

là hai góc kề bù nên = 180° AOB và BOC 1. Vì AOB + BOC 180° = 5. = 30° AOB = AOB nên 6. mà BOC AOB = 1800 ⇒ 6

B

5

= 5.30° = 150° ⇒ BOC

= DOC = 1 BOC = 75° .

2. Vì OD là tia phân giác của góc BOC nên BOD 2 = 1800 .

Vì góc AOD và góc DOC là hai góc kề bù nên AOD + DOC = 180° – 75° = 105° .

Do đó AOD = 180° − DOC 3. Tất cả có 2019 + 4 = 2023 tia phân biệt.

Cứ mỗi tia trong 2023 tia tạo với 2023 –1 = 2022 tia còn lại thành 2022 góc.

Có 2023 tia nên tạo thành 2023.2022 góc, nhưng như thế mỗi góc được tính hai lần.

Vậy có tất cả

2023.2022 = 2045253 góc.

2

Câu 5

1 2 3 4 99 100 3 1. A = − 2 + 3 − 4 + ... + 99 − 100 < 3 3 3 3 3 3 16 2 3 4 99 100 ⇒ 3 A = 1 − + 2 − 3 + ... + 98 − 99 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 100 ⇒ 4 A = 1 − + 2 − 3 + ... + 98 − 99 − 100 3 3 3 3 3 3

1 1 1 1 1 ⇒ 4 A < 1 − + 2 − 3 + ... + 98 − 99 3 3 3 3 3

(1)

1 1 1 1 1 Đặt B = 1 − + 2 − 3 + ... + 98 − 99 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 ⇒ 3B = 2 + − 2 + 3 + ... + 97 − 98 3 3 3 3 3 ⇒ 4 B = B + 3B = 3 −

3 1 <3 ⇒ B< 99 3 4

Từ (1) và (2) ⇒ 4 A < B <

(2)

3 3 ⇒ A< .

4 16

2. Tìm tất cả các số nguyên tố p, q sao cho 7 p + q và pq + 11 đều là số nguyên tố.

Ta có: p, q là số nguyên tố nên pq + 11 là số nguyên tố lớn hơn 11

⇒ pq + 11 là số lẻ suy ra pq là số chẵn.

Do 7 p + q là số nguyên tố lớn hơn 7 nên p và q không thể cùng tính chẵn lẻ. *) TH1: p = 2 thì 7 p + q = 14 + q . Ta thấy 14 chia 3 dư 2

6 +) Nếu q chia hết cho 3, do q là số nguyên tố nên q = 3 .

7 p + q = 17 ; pq + 11 = 17 (T/m) +) Nếu q chia cho 3 dư 1 thì 14 + q chia hết cho 3 ⇒ 7 p + q là hợp số +) Nếu q chia cho 3 dư 2 thì 2 q chia cho 3 dư 1 nên pq + 11 = 2q + 11 chia hết cho 3

⇒ pq + 11 là hợp số. *) TH2: q = 2 thì 7 p + q = 7 p + 2 +) Nếu 7 p chia hết cho 3 thì p chia hết cho 3 nên p = 3 ⇒ 7 p + q = 23; pq + 11 = 17 (Thỏa mãn) +) Nếu 7 p chia cho 3 dư 1 chia hết cho 3 ⇒ 7 p + 2 là hợp số +) Nếu 7 p chia cho 3 dư 2 thì p chia cho 3 dư 2 nên 2p chia cho 3 dư 1

⇒ pq + 11 = 2 p + 11 chia hết cho 3 nên pq + 11 là hợp số.

Vậy: p = 2, q = 3 hoặc p = 3, q = 2 . ĐỀ SỐ 2 : ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TAM DƯƠNG - NĂM 2019 Câu 1:

(2,0 điểm) Tính giá trị của các biểu thức sau: a) S = 1 + 2 − 3 − 4 + 5 + 6 − 7 − 8 + 9 + ... + 994 − 995 − 996 + 997 + 998 . b) P =

311.11 + 311.21 .

39.25

2 10  131313 131313 131313 131313  .x − 70 :  + + +  = −5 .

3 11  151515 353535 636363 999999  Câu 3: (2,0 điểm) Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng bằng 84 và ƯCLN của chúng bằng 6.

Câu 4: (2,0 điểm) Tìm các chữ số x; y để A = A = x183 y chia cho 2; 5 và 9 đều dư 1.

2n + 1 Câu 5: (2,0 điểm) Tìm số nguyên n để phân số có giá trị là số nguyên. n+2 Câu 6: (2,0 điểm) Ba xe buýt cùng khởi hành lúc 6 giờ sáng từ một bến xe và đi theo 3 hướng khác nhau. Xe thứ nhất quay về bến sau 1 giờ 5 phút và sau 10 phút lại đi. Xe thứ hai quay về bến sau 56 phút và lại đi sau 4 phút. Xe thứ ba quay về bến sau 48 phút và sau 2 phút lại đi. Hỏi ba xe lại cùng xuất phát từ bến lần thứ hai vào lúc mấy giờ?

Câu 2:

(2,0 điểm) Tìm x biết:

Câu 7:

(2,0 điểm) Tìm các số nguyên tố p sao cho

2 p + p 2 là một số nguyên tố.

7 Câu 8:

(2,0 điểm) Trên đường thẳng xy lấy điểm O. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ xy = 400 , xOb = 1000 .Vẽ tia Oc là tia phân giác của yOb . Tính số vẽ hai tia Oa, Ob sao cho xOa . đo aOc Câu 9: (2,0 điểm) Trên mặt phẳng cho n đường thẳng trong đó bất kỳ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau và không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm. Biết rằng tổng số giao điểm mà n đường thẳng đó cắt nhau tạo ra bằng 465. Tìm n.

Câu 10: (2,0 điểm) Trong một buổi giao lưu toán học, ngoại trừ Bình, hai người bất kì đều bắt tay nhau, Bình chỉ bắt tay với những người mình quen. Biết rằng mỗi cặp hai người chỉ bắt tay nhau không quá một lần và có tổng cộng 420 lần bắt tay. Hỏi Bình có bao nhiêu người quen trong buổi giao lưu đó.

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TAM DƯƠNG - NĂM 2019 Câu 1: a) S= S = 1 + ( 2 − 3 − 4 + 5 ) + ( 6 − 7 − 8 + 9 ) + ... + ( 994 − 995 − 996 + 997 ) + 998

= 1 + 0 + 0 + .... + 0 + 998 = 999 11 311.11 + 311.21 3 (11 + 21) = 39.25 39.25 311.32 32 = 9 = =9.

3 .32 1

b) P =

2 10  131313 131313 131313 131313  .x − 70 :  + + +  = −5 3 11  151515 353535 636363 999999  2 780  13 13 13 13  :  + + +  = −5 . ⇔ x− 3 11  15 35 63 99 

Câu 2:

Ta có:

⇔

2 780 13  2 2 2 2  x− :  + + +  = −5 .

3 11  2  3.5 5.7 7.9 9.11  

⇔

2 780 13  1 1   x− :  −  = −5 .

3 11  2  3 11  

⇔

2 780  13 8  x− :  .  = −5 3 11  2 33 

⇔

2 x − 45 = −5 .

3

⇔

2 x = 40 .

3

⇔ x = 60 .

Vậy x = 60 .

Câu 3:

Gọi hai số tự nhiên phải tìm là a và b (giả sử a ≤ b ).

Ta có: ( a, b ) = 6 nên a = 6a’; b = 6b’ trong đó ( a’, b’) = 1 . ( a’, b’∈ N ).

8 Do a + b = 84 nên 6 ( a’ + b’) = 84 ⇒ ⇒ a’ + b’ = 14 .

Chọn cặp số a’, b’ nguyên tố cùng nhau có tổng bằng 14 ( a’ ≤ b’ ), ta có các trường hợp: a’ = 1; b’ = 13 ⇒ a = 6; b = 78 . a’ = 3; b’ = 11⇒ a = 18; b = 66 a’ = 5; b’ = 9 ⇒ a = 30; b = 5.

Vậy các cặp số thỏa mãn là: ( 6;78 ) ; (18; 66 ) ; ( 30;5 ) Câu 4:

Do A = x183 y chia cho 2 và 5 đều dư 1 nên y = 1 .

Ta có A = x183 y Vì A = x183 y chia cho 9 dư 1 ⇒ x183 y − 1⋮ 9

⇒ x1830 9 ⇔ x + 1 + 8 + 3 + 0 ⋮9 ⇔ x + 3⋮ 9 , mà x là chữ số nên x = 6 Vậy x = 6; y = 1 2n + 1 có giá trị là số nguyên thì 2n + 1⋮ n + 2 (1) n+2 Vì n + 2⋮ n + 2 nên 2 ( n + 2 )⋮ n + 2 (2)

Câu 5:

Để

Từ (1) và (2)  2 ( n + 2 ) − ( 2n + 1)  ⋮ n + 2 ⇒ 3⋮ n + 2 Vì n + 2 nguyên nên n + 2 ∈ {−1; −3;1;3} ⇒ n ∈ {−3; −5; −1;1} Vậy với ⇒ n ∈ {−3; −5; −1;1} thì phân số

2n + 1 là số nguyên. n+2

Câu 6: Giả sử sau a phút (kể từ lúc 6h) thì 3 xe lại cùng xuất phát tại bến lần thứ 2.

Lập luận để suy ra a là BCNN ( 75,60,50 ) .

Tìm được BCNN ( 75,60,50 ) = 300 (phút) = 5 giờ.

Sau 5h thì 3 xe lại cùng xuất phát, lúc đó là 11h cùng ngày.

Câu 7:

- Xét p = 2 Không thỏa mãn.

- Xét p = 3 thì 2 p + p 2 =17 là số nguyên tố. Vậy p = 3 thỏa mãn.

- Xét p > 3 : p 2 chia 3 dư 1.

Còn vì p lẻ nên 2 p = 2 2 k +1 = 4 k .2 chia 3 dư 2 nên 2 p + p 2 chia hết cho 3, mà 2 p + p 2 > 3 nên sẽ là hợp số.

KL: Vậy p = 3 là số nguyên tố duy nhất thỏa mãn đề bài

9 Câu 8: và + xOb yOB kề bù ⇒ xOb yOb = 180°

b c

⇒ yOb = 180° − xOb

a

= 180° − 100° = 80° .

1 Oc là tia phân giác của yOb nên yOc = yOb 2 1 = .80° = 40° .

2

y

x O

+ xOa và yOa kề bù nên xOa yOa = 180° ⇒ yOa = 180° − 40° = 140°.

Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy có yOc < yOa ( 40° < 140° ) nên tia Oc nằm giữa hai tia Oy và Oa

= ⇒ yOc + cOa yOa . = ⇒ cOa yOa − yOc = 140° − 40° = 100° Câu 9: Có n đường thẳng trong đó bất kỳ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy, nên mỗi đường thẳng sẽ cắt n − 1 đường thẳng còn lại tạo ra n − 1 giao điểm phân biệt.

Do đó n đường thẳng thì có n(n – 1) giao điểm nhưng mỗi giao điểm đã được tính 2 lần.

Vậy thực tế chỉ có Theo bài ra ta có:

n( n − 1) giao điểm.

2 n(n − 1) = 465 2

⇒ n( n − 1) = 930 = 31.30 ⇒ n = 31

Vậy n = 31 Câu 10: Giả sử trong buổi giao lưu, ngoài Bình còn có n người nữa, và Bình có k người quen. (ĐK: k , n ∈ Ν , k ≤ n ) Số lần bắt tay giữa n người khác (không kể Bình) là:

n. ( n − 1) 2

(lần)

Số lần bắt tay giữa Bình và những người quen của Bình là k (lần) Vì có tổng cộng 420 lần bắt tay nên : Hay: n. ( n − 1) + 2k = 840 (*)

n. ( n − 1) 2

+ k = 420

10 Vì k , n ∈ Ν , 0 ≤ k ≤ n nên n 2 − n ≤ n. ( n − 1) + 2k ≤ n2 − n + 2n Hay n 2 − n ≤ n. ( n − 1) + 2k ≤ n 2 + n Kết hợp với (*) suy ra n 2 − n ≤ 840 ≤ n 2 + n ⇔ ( n − 1) n ≤ 840 ≤ n ( n + 1) Ta có: 28.29 ≤ 840 ≤ 29.30 nên n=29 Thay vào (*) tính được k=14 Vậy Bình có 14 người quen. ĐỀ SỐ 3: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN BA VÌ - NĂM 2019 Bài 1:

(5 điểm). Tính hợp lí 75.54 + 175.54 1) A = 20.25.125 − 625.75 51.125 − 51.42 − 17.150 2) B = 3 + 6 + 9 + ... + 99 1 1 1 3) C = + + ... + 1.2.3 2.3.4 98.99.100 Bài 2: (6 điểm).

1) Tìm x , y biết 124 xy ⋮ 45 .

2) Tìm p nguyên tố để p + 10 và p + 26 cũng là số nguyên tố.

3) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất lớn hơn 10 , biết rằng số đó chia cho 5; 6; 7 có số dư lần lượt là 3; 2;1 .

1 Bài 3: (3 điểm) Một người mang cam đi chợ bán. Người thứ nhất mua số cam và 5 quả.

6 Người thứ hai mua 20% số cam còn lại và thêm 12 quả. Người thứ ba mua 25% số cam 1 còn lại và thêm 9 quả. Người thứ tư mua số cam còn lại và 12 quả thì vừa hết. Tính số 3 cam người đó mang đi bán.

Bài 4: (5 điểm). Trên đường thẳng xy lấy điểm A . Trên hai nữa mặt phẳng đối nhau bờ là = xAN = 120° . đường thẳng xy lấy M , N sao cho MAx

. a) Tính số đo MAN . b) Gọi AP là tia đối của tia AM . Chứng minh rằng AP là tia phân giác của xAN Bài 5: (1 điểm). Một hộp bi có 2019 viên bi. Hai bạn chơi bốc bi ra khỏi hộp, mỗi lần chỉ được lấy từ 2 đến 7 viên bi. Hai bạn lần lượt thay nhau bốc, ai bốc được viên bi cuối cùng thì người đó thắng cuộc. Chứng minh rằng có cách chơi để bạn bốc trước bao giờ cũng thắng ?

-------HẾT----LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN BA VÌ - NĂM 2019

11 Bài 1:

75.54 + 175.54 3.52.54 + 52.7.54 3.56 + 7.56 56.10 = 2 2 3 4 2= 2 6 = 6 = 10 .

20.25.125 − 625.75 2 .5.5 .5 − 5 .3.5 2 .5 − 3.56 5 51.125 − 51.42 − 17.150 2) B = .

3 + 6 + 9 + ... + 99 Đặt: A = 51.125 − 51.42 − 17.150 ; C = 3 + 6 + 9 + ... + 99 .

A = 51.125 − 51.42 − 17.150 = 51.125 − 51.42 − 17.3.50 = 51.125 − 51.42 − 51.50 = 51. (125 − 42 − 50 ) = 51.33 .

1)

A=

C = 3 + 6 + 9 + ... + 99 Số các hạng tử của C : ( 99 − 3) : 3 + 1 = 33 .  99 + 3  Do đó: C = 3 + 6 + 9 + ... + 99 = 33.   = 33.51 .  2  51.125 − 51.42 − 17.150 A 51.33 Vậy B = = = =1.

3 + 6 + 9 + ... + 99 C 33.51 1 1 1 .

3) C = + + ... + 1.2.3 2.3.4 98.99.100 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ⇒ 2C = + + ... + = − + − + ... + − 1.2.3 2.3.4 98.99.100 1.2 2.3 2.3 3.4 98.99 99.100 1 1 50.99 − 1 4949 = − = = 1.2 99.100 100.99 9900 4949 . ⇒C = 19800

Bài 2: 1) Đặt A = 124 xy Để A⋮ 45 thì A⋮ 5 và A⋮ 9 . Để A⋮ 5 thì y = 0 hoặc y = 5 .

Với y = 0 , để A⋮ 9 thì (1 + 2 + 4 + x + 0 )⋮ 9 ⇒ x = 2 .

Với y = 5 , để A⋮ 9 thì (1 + 2 + 4 + x + 5 )⋮ 9 ⇒ x = 6 .

Vậy y = 0 , x = 2 hoặc y = 5 , x = 6 .

2) Thử p = 2 không thỏa mãn.

Với p = 3 thì p + 10 = 13 và p + 26 = 29 đều là số nguyên tố Suy ra p = 3 thỏa mãn.

Với p > 3 do p là số nguyên tố nên p không chia hết cho 3 .

Nếu p = 3k + 1 thì p + 26⋮ 3 không thỏa mãn.

Nếu p = 3k + 2 thì p + 10⋮ 3 không thỏa mãn.

Vậy p = 3 .

3)

Gọi số phải tìm là a ( a ∈ ℕ, a > 10 ) .

Theo đề bài, ta có: a chia cho 5 dư 3 ⇒ ( a − 3)⋮ 5 ⇒ ( a − 3) − 5⋮ 5 hay a − 8⋮ 5

a chia cho 6 dư 2 ⇒ a − 2⋮ 6 ⇒ ( a − 2 ) − 6⋮ 6 hay a − 8⋮ 6 . a chia cho 7 dư 1 ⇒ a − 1⋮ 7 ⇒ ( a − 1) − 7⋮ 7 hay a − 8⋮ 7 .

Do đó a − 8 ∈ BC ( 5, 6, 7 ) .

12 Để a nhỏ nhất lớn hơn 10 thì a − 8 = BCNN ( 5,6, 7 ) = 210

Bài 3:

⇒ a − 8 = 210 ⇒ a = 218 .

Vậy số tự nhiên cần tìm là 218 .

1 2 Phân số chỉ 12 quả cam là 1 − = (số cam còn lại sau khi người thứ 3 mua).

3 3 2 Số cam còn lại sau khi người thứ 3 mua là: 12 : = 18 quả.

3 1 3 Phân số chỉ 36 + 12 = 48 quả cam là 1 − 25% = 1 − = (số cam còn lại sau khi 4 4 người thứ 2 mua).

3 Số cam còn lại sau khi người thứ 2 mua là: 27 : = 36 quả.

4 1 4 Phân số chỉ 18 + 9 = 27 quả cam là 1 − 20% = 1 − = (số cam còn lại sau khi 5 5 người thứ nhất mua).

4 Số cam còn lại sau khi người thứ nhất mua là: 48 : = 60 quả.

5 1 5 Phân số chỉ 60 + 5 = 65 quả cam là 1 − = (số cam mang đi bán).

6 6 5 Số cam người đó mang đi bán là: 60 : = 78 quả.

6

Bài 4:

M

A

y

x

P

N

+ MAy = 180° (hai góc kề bù) a) Ta có: xAM = 180° − xAM = 180° − 120° = 60° . ⇒ MAy + NAy = 180° (hai góc kề bù) Tương tự ,ta có: xAN = 180° − xAN = 180° − 120° = 60° . ⇒ NAy Mà AM , AN nằm ở 2 nửa mặt phẳng đối nhau bờ Ay nên Ay nằm giữa hai tia AM , AN = MAy + NAy = 120° .

Do đó: MAN b) Vì AP là tia đối của tia AM nên Ax nằm giữa AM , AP

13

= 180° − 120° = 60° .

Do đó: xAP < xAN ( 60° < 120° ) .

Trên cùng nửa mặt phẳng, bờ chứa tia Ax có xAP

Nên AP nằm giữa Ax, AN = xAN

Khi đó: xAP + PAN

= 120° ⇒ PAN = 120° − 60° = 60° .

60° + PAN = PAN ( 60° = 60° ) Ta có AP nằm giữa Ax, AN và xAP Bài 5:

.

Vậy AP là tia phân giác của xAN Muốn thắng thì trước lần bốc cuối bạn thứ nhất phải để lại trong hộp đúng 9 viên.

Do đó bạn thứ nhất phải điều chỉnh sao cho sau mỗi lần bốc để lại trong hộp bội của 9 .

Vì 2019 chia cho 9 dư 3 nên bạn bốc trước lần đầu bốc 3 viên bi, sau đó cứ bạn thứ hai bốc k viên ( 2 ≤ k ≤ 7 ) thì bạn thứ nhất lại bốc 9 − k viên.

Theo cách đó thì bạn bốc trước bao giờ cũng thắng. ĐỀ SỐ 4 - ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN SÔNG LÔ NĂM HỌC 2018-2019

Câu 1:

(2,0 điểm) 13 19  23 2 8 Tính: 1 ⋅ ( 0, 5 ) ⋅ 3 +  − 1  :1 15  15 60  24

Câu 2:

(2,0 điểm) 1 1  22  1 Tìm x thỏa mãn:  + + ... +  .x = 8.9.10  45  1.2.3 2.3.4

Câu 3:

(2,0 điểm) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng số đó chia 9 dư 5, chia 7 dư 4, chia 5 dư 3.

Câu 4:

(3,0 điểm) a. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì phân số

2n + 1 luôn tối 6n + 5

gian b. Cho hai số tự nhiên a, b sao cho: ab = 20182018 . Hỏi a + b có chia hết cho 2019 hay không?

Câu 5:

(2,0 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên có ba chữ số abc sao cho p = abc + bca + cab là số chính phương.

Câu 6:

(2,0 điểm) Tìm số nguyên dương chỏ nhất có 15 ước nguyên dương.

Câu 7:

(2,0 điểm)

14 Biết abcd là nguyên tố có bốn chữ số thỏa mãn ab; cd cũng là các sô snguyeen tố và b 2 = cd + b − c . Hãy tìm abcd Câu 8:

(1,5 điểm) Cho góc nhọn xOy . Trên nửa mặt phẳng chứa tia Oy bờ là đường thẳng chứa tia = 120°. Gọi Om, On lần lượt là phan giác của góc Ox vẽ tia Oz sao cho xOz ; xOy yOz . Tính góc mOn .

Câu 9:

(1,5 điểm)

a. Cho đoạn thẳng AB =1cm. Gọi A1 , A2 , A3 ,..., A2019 lần lượt là trung điểm của

AB, A1 B, A2 B, ..., A2018 B .Tính dộ dài đoạn thẳng AA2019 .

Câu 10: (2,0 điểm) Một cuộc thi văn nghệ có 40 bạn học sinh tham gia, trong đó mỗi bạn đều quen ít nhất với 27 bạn khác. Chúng minh rằng luôn chọn được nhóm 4 bạn sao cho hai bạn bất kì trong nhóm đều quen nhau.

……………….HẾT…………….

LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HUYỆN SÔNG LÔ NĂM HỌC 2018-2019

7 2 13 19  23 28 1 2 8  8 79  24 = − =1 ⋅ ( 0,5 ) ⋅ 3 +  − 1  :1 = . .3 +  −  .

5 5 15 60  24 15 4  15  15 60  47

Câu 1:

1

Câu 2:

1 1  22  1 + + ... +   .x = 1.2.3 2.3.4 8.9.10 45   ⇔

1 1 1 1 1 1 1 1 1  22 − + − + − + ... + −  x = 2  1.2 2.3 2.3 3.4 4.5 5.6 8.9 9.10  45

⇔

1 1 1  22 −  x = 2  1.2 9.10  45

1 22 22 ⇔ . .x = 2 45 45 ⇔x=2

Câu 3:

Gọi số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu đề bài là a Vì a chia 9 dư 5 nên a + 4⋮ 9 ⇒ a + 4 + 153⋮ 9 ⇒ a + 157 ⋮ 9 Vì a chia 7 dư 4 nên a + 3⋮ 7 ⇒ a + 3 + 154⋮ 7 ⇒ a + 157 ⋮ 7 Vì a chia 5 dư 3 nên a + 2⋮ 5 ⇒ a + 2 + 155⋮ 5 ⇒ a + 157 ⋮ 5 Suy ra a + 157∈ BC ( 9,5, 7 )

BCNN ( 9,5, 7 ) = 315

15

⇒ a + 157 = 315k ví a nhỏ nhất nên k = 1 ⇒ a = 158 Vậy số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu đề bài là : 158.

2n + 1⋮ d Giả sử d ∈UCLN ( 2n + 1, 6n + 5) ⇒  ⇒ 6n + 5 − 3 ( 2n + 1)⋮ d 6n + 5⋮ d ⇒ 2⋮ d ⇒ d ∈ {1; 2}

Câu 4:

Vì n là số nguyên dương nên 2n + 1 ⋮ 2 ⇒ d ≠ 2 ⇒ d = 1 Vậy với mọi số nguyên dương n thì phân số a.

2n + 1 luôn tối giản.

6n + 5

Ta có 2018 ≡ 2 ( mod 3) 20182018 ≡ 22.1009 ( mod 3) ⇒ 20182018 ≡ 1( mod 3)

⇒ a, b lần lượt có dạng   a = 3l + 2   b = 3n + 2 ⇒  a + b chia 3 du 1  a + b chia 3 du 2   a = 3k + 1    b = 3m

Mà 2019⋮ 3 ⇒ a + b ⋮ 2019 Câu 5:

Ta có : p = abc + bca + cab = 100 a + 10 b + c + 100b + 10 c + a + 100c + 10a + b

= 111( a + b + c ) = 3.37. ( a + b + c ) Để p là số chính phương thì a + b + c ⋮ 37.3 mà 0 < a + b + c ≤ 27 ⇒ a + b + c ⋮ 37.3 Nên không có số tự nhiên nào có ba chữ số abc thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 6:

Gọi số nguyên dương cần tìm là a Vì 15 = 3.5 = 5.3 nên giả sử a = 2 x 3 y có 15 ước nguyên dương nên

( x + 1)( y + 1) = 15 = 3.5 = 5.3  x + 1 = 5  x = 4    a = 144  y + 1 = 3  y = 2  ⇒ ⇒ ⇒  x + 1 = 3  x = 2  a = 324     y + 1 = 5   y = 4

Vì a nhỏ nhất nên a = 144.

Câu 7:

Vì ab; cd là các số nguyên tố nên b, d lẻ và khác 5 Ta lại có b 2 = cd + b − c ⇔ b2 − b = 9c + d ⇔ b ( b − 1) = 9c + d Nếu b = 1 (không thỏa mãn) Nếu b = 3 nên 9c + d = 6 ⇒ c = 0, d = 6 (không thỏa mãn)

16 Nếu b = 7 ⇒ 9c + d = 42 ⇒ d = 42 − 9c ⇒ c = 4;d = 6 (loại) Nếu b = 9 ⇒ 9c + d = 72 ⇔ d = 72 − 9c ⇒ c = 7; d = 9 (thỏa mãn)

⇒ a ∈ {1; 2;7} Vậy abcd ∈ {1979;2979;7979}

Câu 8: n

z

y

m

4

3 2

x

1

O

là góc tù nên xOy < xOz

Vì góc xOy là góc nhọn và xOz < xOz ⇒ Oy nằm giữa hai Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox có xOy tia Ox và Oz +

xOy yOz = xOz

(1)

; mà Om, On lần lượt là phân giác của góc xOy yOz

= mOy + nOy =O +O

⇒ mOn 2 3

( 2)

=O = 1 xOy

Vì Om là phân giác của góc xOy nên O 1 2 2

( 3)

=O =1 nên O yOz Vì On là phân giác của góc zOy 3 4 2

( 4)

1 =O +O . = 1 xOy + yOz = .120° = 60° Từ (1) , ( 2 ) , ( 3) và ( 4 ) ⇒ mOn 2 3 2 2

(

)

Câu 9: B A

Vì A1 là trung điểm của AB nên

A1

A2

A3

17

A1 B =

1 1 AB = 2 2

A2 B =

1 1 A1 B = 2 2 2

……..

A2019 B =

1 2

2019

⇒ AA2019 = 1 −

1 2

2019

Câu 10: Giá sử có ba bạn A, B , C Bạn A quen ít nhất 27 bạn nên có 12 bạn không quen A (mời những bạn này ra khỏi lớp) còn lại ít nhất 28 bạn trong lớp. Trong 28 bạn đó có B quen với A và cũng có nhiều nhất 12 bạn không quen với B trong lớp (lại mời 12 bạn ra khỏi lớp) Còn lại ít nhất 28 − 12 = 16 bạn trong lớp quen với cả A và B .

Trong 16 bạn đó có C và có nhiều nhất 12 bạn không quen C trong lớp nên còn lại ít nhất 16 −12 −1 −1 −1 = 1 bạn quen với cả ba bạn A, B , C .

Vậy luôn chọn được nhóm 4 bạn sao cho hai bạn bất kì trong nhóm đều quen nhau. ĐỀ SỐ 5: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NGHI XUÂN - NĂM 2019 Câu 1: (4,0 điểm) 1. Thực hiện phép tính sau 16 2

( 3.4.2 )

1 1 1 1 . + + + ..... + 11.2 .4 − 16 2.5 5.8 8.11 2015.2018 1930 + 5 1931 + 5 ; B = 32 .

2. So sánh A và B biết: A = 31 19 + 5 19 + 5 a) A =

13

11

9

;

b) B =

Câu 2: (4,0 điểm) 1. Tìm tất cả các số nguyên n để phân số

n +1 có giá trị là một số nguyên. n−2

2. Cho n = 7 a5 + 8b 4. Biết a − b = 6. và n⋮9. Tìm a, b.

Câu 3: (4,0 điểm) 1. Tìm x ∈ ℕ biết:

(

)

a) 3. 5 x − 1 − 2 = 70;

1 1 1  22  1 + + + ..... +  .x = .

8.9.10  45  1.2.3 2.3.4 3.4.5

b) 

18 2. Tổng số trang của 8 quyển vở loại một, 9 quyển vở loại hai và 5 quyển vở loại ba là 1980. Số trang của quyển vở loại hai chỉ bằng

2 số trang của một quyển vở 3

loại một. Số trang của 4 quyển vở loại 3 bằng số trang của 3 quyển vở loại hai.

Tính số trang của mỗi quyển vở mỗi loại?

Câu 4: (6,0 điểm)

và , On là tia phân Cho xOy yOz là hai góc kề bù. Om là tia phân giác của xOy yOz. giác của . a) Tính mOn

' = 30° thì m b) Kẻ Om’ là tia đối của tia Om . Nếu zOm ' Oy có số đo bằng bao nhiêu độ. c) Vẽ đường thẳng d không đi qua O. Trên đường thẳng d lấy 2019 điểm phân biêt. Tính số các góc có đỉnh O và cạnh đi qua hai điểm bất kì trên đường thẳng

d.

Câu 5: (2,0 điểm) Một số chia cho 7 dư 3, chia cho 17 dư 12, chia cho 23 dư 7. Hỏi số đó chia cho 2737 dư bao nhiêu?

-------- Hết -------LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NGHI XUÂN - NĂM 2019 16 2

Câu 1:

1. a) Ta có A =

( 3.4.2 )

11.213.411 − 169

=

32.236 32.236 32.236 = = =2 11.235 − 236 235 (11 − 2 ) 235.9

2. Có

B=

1 1 1 1 1 3 3 3 3  + + + ..... + =  + + + ..... +  2.5 5.8 8.11 2015.2018 3  2.5 5.8 8.11 2015.2018 

1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 1  336 =  − + − + − + ..... + − . =  − = 3  2 5 5 8 8 11 2015 2018  3  2 2018  2018 Câu 2:

1. Xét phân số Để

3 n +1 n − 2 + 3 = = 1+ n−2 n−2 n−2

n +1 là một số nguyên ⇔ 3⋮ n − 2 ⇔ n − 2 ∈ Ư(3) = {±1; ±3} n−2

Từ đó ta có:

n−2

−3

−1

1

3

19

n

−1

3

1

Vậy n ∈ Ư(3) = {−1;1;3;5} thì

5

n +1 là một số nguyên n−2

2. Do n⋮9 ⇒ 7a5 + 8b 4⋮ 9 ⇒ 700 + 10a + 5 + 800 + 10b + 4⋮9 ⇒ 1509 + 10a + 10b⋮9

⇒ 1503 + 9a + 9b + 6 + a + b⋮ 9 ⇒ 6 + a + b⋮ 9 ⇒ a + b ∈ {3;12} + Với a + b = 3 thì a; b khác tính chẵn lẻ và a − b = 6 thì a; b cùng tính chẵn lẻ.

Do đó không tồn tại a; b. + Với a + b = 12 và a − b = 6 suy ra a = 9; b = 3.

Vậy a = 9; b = 3.

Câu 3:

1. Tìm x ∈ ℕ biết:

(

)

(

)

a) 3. 5 x − 1 − 2 = 70 ⇒ 3. 5 x − 1 = 72 ⇒ 5 x − 1 = 24 ⇒ 5 x = 25 ⇒ x = 5.

Vậy x = 5. b)

1 2 2 2 2  22 + + + ..... +   .x = 2  1.2.3 2.3.4 3.4.5 8.9.10  45

1 1 1 1 1 1 1 1 1  22 − + − + − + ..... + −   .x = 2  1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 8.9 9.10  45 1 1 1  22 1 22 22 1 − ⇒ . .x = ⇒ x = 1 ⇒ x = 2.   .x = 2  1.2 9.10  45 2 45 45 2 Vậy x = 2.

2. Gọi số trang sách của một quyển vở loại một, loại hai, loại ba theo thứ tự là

x , y , z trang.

Do tổng số trang sách ba loại là 1980 nên ta có 8 x + 9 y + 5 z = 1980 Số trang của quyển vở loại hai chỉ bằng nên

y 2 3 = ⇒x= y x 3 2

(1)

2 số trang của một quyển vở loại một 3

( 2)

Số trang của 4 quyển vở loại 3 bằng số trang của 3 quyển vở loại hai nên

4z = 3 y ⇒ z =

3 y 4

( 3)

Thay (2); (3) vào (1) ta được:

3 3 99 8. y + 9 y + 5. z = 1980 ⇒ 12 y + 9 y + 3,75 y = 1980 ⇒ y = 1980 ⇒ y = 80 2 4 4 Lần lượt tính được x = 120; z = 60.

Vậy theo thứ tự số trang mỗi quyển vở là 120;80;60.

20 Câu 4: z

m

n 2 1

x

3

y

4

O

m'

d

A1

A2

A2019

A3

a) Do Om, On lần lượt là tia phân giác của

; zOy ⇒O =O = 1 xOz ; O =O = 1 zOy

xOz 1 2 3 4 2 2 + zOy = 180° ⇒ 2 O +O = 180° ⇒ mOn = 180° = 90° Mặt khác: xOz 2 3

(

)

2

' = 30° ⇒ zOm = 150° (hai góc kề bù) b) Nếu zOm

= 1 xOz ⇒ xOz = 300° > 180°. (không xác định).

Mặt khác zOm 2

' = 30°.

Vậy không tồn tại tia Om’ để zOm c) Từ O vẽ hai tia qua hai điểm bất kì trên đường thẳng d ta xác định được 1 góc có đỉnh tại O. Mà trên đường thẳng d có 2019 điểm phân biệt. Nếu chọn một trong 2019 điểm là điểm thứ nhất, còn 2018 cách chọn điểm thứ 2. Do đó ta có 2019.2018 tia, mà mỗi tia tính 2 lần nên số các góc có đỉnh O và cạnh đi qua hai điểm bất kì trên đường thẳng d là 2019.2018 : 2 = 2037171 góc.

Câu 5: Gọi số đã cho là A. Theo bài ra ta có: A = 7 a + 3 = 17b + 12 = 23c + 7 Mặt khác: A + 39 = 7 a + 3 + 39 = 17b + 12 + 39 = 23c + 7 + 39

= 7 ( a + 6 ) = 17 ( b + 3) = 23 ( c + 2 ) Như vậy A + 39 đồng thời chia hết cho 7,17 và 23.

Nhưng ƯCLN ( 7,17, 23) = 1 ⇒ ( A + 39 ) ⋮ 7,17, 23 ⇒ A + 39⋮ 2737 ⇒ A = 2698.

Do 2698 < 2737 nên A : 2737 có số dư là 2698. ĐỀ SỐ 6: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TP BẮC NINH - NĂM 2019

21 Câu 1: 1) Từ 5 chữ số 0; 1; 2; 3; 5 viết tất cả các số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 3 và 5 .

2) So sánh: a)

3) Tính A =

25 2525 và ; 53 5353

b)

2018 20182019 và .

2019 20192019

5.415.99 − 4.320.89 .

5.29.619 − 7.229.276

Câu 2: a) Chứng minh rằng: 817 – 279 – 913 ⋮ 45. b) N =

1 1 1 1 không là số tự nhiên. + 2 + 2 + ... + 2 2 3 4 100 2

Câu 3: a) Trong một hội nghị học sinh giỏi, số học sinh nữ chiếm

2 3 , trong đó có số nữ 5 8

2 là học sinh lớp 6 . Biết số học 9 sinh dự hội nghị trong khoảng từ 100 đến 170 em. Tính số học sinh nam và học sinh nữ khối 6 .

là học sinh lớp 6. Trong số học sinh nam dự hội nghị có

b) Cho các số p = bc + a , q = ab + c , r = c a + b là các số nguyên tố

( a, Câu 4:

b, c ∈ ℕ *) Chứng minh rằng ba số p , q , r có ít nhất hai số bằng nhau.

Cho tam giác ABC có BC = 5 cm. Điểm M thuộc tia đối của tia CB sao cho

CM = 3 cm. a) Tính độ dài BM .

= 80° , BAC = 60° . Tính MAC . b) Cho biết BAM và MAC . Tính xAy . c) Vẽ các tia Ax , Ay lần lượt là tia phân giác của BAC d) Lấy K thuộc đoạn thẳng BM sao cho CK = 1 cm. Tính độ dài BK .

Câu 5: Cho 2019 số nguyên dương a1 , a2 , ... , a2019 thỏa mãn:

1 1 1 + + ... + = 1010 . a1 a2 a2019

Chứng minh rằng có ít nhất 2 trong số 2019 số nguyên dương đã cho bằng nhau.

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TP BẮC NINH - NĂM 2019 Câu 1: 1) Các số chia hết cho 3 , 5 lập từ các số trên là: 120; 150; 210; 510; 105; 315; 135 .

Ta có

25 25.101 2525 = = 53 53.101 5353

22 2a)

2018 2018.10001 20182018 20182019 < = = 2019 2019.10001 20192019 20192019

b)

5.415.99 − 4.320.89 5.230.318 − 22.320.227 = 5.29.619 − 7.229.276 5.228.319 − 7.229.318 =

229.318 (10 − 9 ) 228.318 (15 − 14 )

=

2 29.318 =2 228.318

Câu 2: a) Ta có: 7

9

13

( ) − (3 ) − (3 )

817 − 279 − 913 = 34

3

2

= 328 − 327 − 326

= 326 ( 32 − 3 − 1) = 326.5 = 324.45 ⋮ 45

b) Có N =

1 1 1 1 + 2 + 2 + ... + >0.

2 2 3 4 1002

Mặt khác

1 1 1 1 < = − 2 2 1.2 1 2

1 1 1 1 < = − 2 3 2.3 2 3 1 1 1 1 < = − 2 4 3.4 3 4

…

……..

1 1 1 1 < = − 2 100 99.100 99 100

Nên N < 1 −

1 1 1 1 1 1 1 1 = 1− < 1. + − + − + ... − 2 2 3 3 4 99 100 100

Do đó 0 < N < 1 . Vậy N không là số tự nhiên.

Câu 3: a) Số học sinh nữ khối 6 là:

3 2 3 (tổng số học sinh) . = 8 5 20

Số học sinh nam dự hội nghị là: 1 − Số học sinh nam khối 6 là:

2 3 (tổng số học sinh) = 5 5

2 3 2 (tổng số học sinh) . = 9 5 15

23 Số học sinh dự hội nghị phải là số chia hết cho 15 và 20 .

Mà BCNN (15, 20 ) = 60 =>

BC (15, 20 ) =

{0;

60; 120; 180; …} .

Mà số học sinh trong khoảng từ 100 đến 170 học sinh => Số học sinh dự hội nghị là 120 em => Học sinh nam khối 6 là:

2 .120 = 16 (hs) 15

Học sinh nữ khối 6 là:

3 .120 = 18 (hs) 20

b) Trong 3 số a, b, c có ít nhất hai số cùng tính chẵn lẻ.

Giả sử hai số cùng tính chẵn lẻ là a và b .

Suy ra p = bc + a là số nguyên tố chẵn nên p = 2 .

Suy ra a = b = 1 . Khi đó q = c + 1 và r = c + 1 nên q = r .

Vậy trong ba số p , q , r có ít nhất hai số bằng nhau.

Câu 4:

a) Vì M thuộc tia đối của tia CB nên C nằm giữa B và M

=> BM = BC + CM = 5 + 3 = 8 (cm). b) Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ MB điểm C nằm giữa B và M => Tia AC nằm giữa hai tia AB và AM .

+ MAC = BAM

=> BAC = BAM − BAC = 80° − 60° = 20° . => MAC

24

=> xAC = BAC = 30° . c) Có Ax là tia phân giác của BAC 2

MAC => Có Ay là tia phân giác của MAC = 10° . yAC = 2

- Vì tia AC nằm giữa hai tia AB và AM mà các tia Ax, Ay lần lượt là tia phân

và MAC . giác của BAC => Tia AC nằm giữa hai tia Ax và Ay

= xAC + => xAy yAC = 30° + 10° = 40° . d) TH1. Nếu K nằm trên đoạn BC thì BK = BC – CK = 5 − 1 = 4 (cm).

TH2. Nếu K nằm trên đoạn CM thì BK = BC + CK = 5 + 1 = 6 (cm).

Câu 5:

Giả sử 2019 số nguyên dương a1 , a2 , ... , a2019 không có hai số nào bằng nhau và

a1 < a2 < … < a2019 => a1 ≥ 1; a2 ≥ 2; … ; a2019 ≥ 2019 .

Khi đó:

1 1 1 1 1 1 1 1 + + ... + ≤ + + ... + < 1 + + ... + = 1 + 1009 = 1010.

2019 2 2 a1 a2 a2019 1 2 Mâu thuẫn với giả thiết.

Vậy có ít nhất 2 trong số 2019 số nguyên dương đã cho bằng nhau. ĐỀ SỐ 7: ĐỀ THI CHỌN HỌC HSG OLYMPIC THÁNG 4 TP. HCM - NĂM 2019 Câu 1.

(4 điểm) Nếu ta lấy tổng tất cả các chữ số của một số tự nhiên có hai chữ số nhân

với 5 thì kết quả nhận được lớn hơn số đã cho 1 đơn vị. Tìm số tự nhiên có hai chữ số đó.

Câu 2.

(3 điểm) Trong tất cả các học sinh khối 6 của một trường, có 37 học sinh tham gia

cuộc thi Toán, 49 học sinh tham gia cuộc thi Khoa học, 18 học sinh tham gia cả hai cuộc thi và 83 học sinh không tham gia cuộc thi nào. Hỏi khối 6 của trường đó có bao nhiêu học sinh.

Câu 3.

(3 điểm) Trong một lớp có 21 bạn nam và một số bạn nữ. Tất cả học sinh này đều

là đoàn viên hoặc đội viên. Biết rằng số đội viên nữ nhiều hơn số đoàn viên nam là 5 . Hỏi lớp đó có tất cả bao nhiêu đội viên.

25 Câu 4.

(6 điểm) Có ba bình đựng nước. Nếu ta rót

bình thứ hai rồi rót rót

1 lượng nước từ bình thứ nhất sang 3

1 lượng nước hiện có từ bình thứ hai sang bình thứ ba và cuối cùng 4

1 lượng nước hiện có từ bình thứ ba sang bình thứ nhất thì trong mỗi bình đều có 9 10

lít nước. Hỏi lúc đầu mỗi bình chứa bao nhiêu lít nước?

Câu 5.

A

F

E

B

(4 điểm) ABCD là hình vuông cạnh bằng 10 cm .

AB = 7 cm , CG = 6 cm AJ = 5 cm , CL = 7 cm . Tính diện tích

phần được tô đậm.

-HẾT-

I

L

J

K

D

C

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TP HỒ CHÍ MINH - NĂM 2019 Câu 1.

Gọi số tự nhiên có hai chữ số là ab với a , b ∈ {0;1; 2;...;9} Ta có: 5. ( a + b ) = 10a + b + 1 ⇒ 4b = 5a + 1 .

a = 3 Từ đó ta có:  b = 4

a = 7 và b = 9

Vậy có hai số là 34 và 79 .

Câu 2.

Số học sinh khối 6 tham gia ít nhất một cuộc thi là: 37 + 49 − 18 = 68 (hs) Số học sinh khối 6 của trường là: 68 + 83 = 151 (hs)

Câu 3.

Gọi x là số đoàn viên nam.

Suy ra số đội viên nữ là x + 5 và số đội viên nam là 21− x .

Vậy số đội viên của lớp là: x + 5 + 21 − x = 26 .

1 lượng nước hiện có từ bình thứ ba sang bình thứ nhất thì lượng 10 1 nước rót sang bình thứ nhất bằng lượng nước còn lại, tức là bình thứ nhất đã nhận 9

Câu 4.

Sau khi rót

thêm 1(lit) Do đó

2 lượng nước của bình thứ nhất bằng 9 − 1 = 8 (lit) 3

26 Vậy lượng nước của bình thứ nhất là: 8 :

2 = 12 (lit) 3

1 lượng nước hiện có từ bình thứ hai sang bình thứ ba thì lượng nước rót sang 4 1 bình thứ ba bằng lượng nước còn lại, tức là bình thứ ba đã nhận thêm 3 (lit) 3

Sau khi rót

Vậy lượng nước của bình thứ ba là : 9 + 1 − 3 = 7 (lít).

Lượng nước của bình thứ hai là: 9.3 − 12 − 7 = 8 (lít).

Câu 5.

A

F

E

B

I

L

J

K

D

C

Ta có EF = AE + CG − AB = 7 + 6 − 10 = 3 cm .

Suy ra diện tích hình chữ nhật EFGH là 3.10 = 30 cm 2 .

Ta có: IJ = AJ + CE − AD = 5 + 7 − 10 = 2 cm .

Suy ra diện tích hình chữ nhật IJKL là 2.10 = 20 cm 2 .

Diện tích phần được tô đậm là: 30 + 20 − 3.2 = 44 cm 2 .

ĐỀ SỐ 8: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN BÌNH GIANG - NĂM 2019 Câu 1: (2,0 điểm) 1. Thực hiện các phép tính:

3 3 1 1 + 0,5 − + − 0, 2 5 .7 − 25 .49 17 37 + 3 4 B= A= 3 9 3 5 5 5 7 7 7 (125.7 ) + 5 .14 − + − + − 3,5 6 17 37 5 4 3 1 1 1 C = − (1 + 2 + 3) − (1 + 2 + 3 + 4 ) − ⋅⋅⋅ − (1 + 2 + 3 + ⋅⋅⋅ + 50 ) .

3 4 50 10

3

5

2

2. So sánh M và N biết: M = Câu 2: (2,0 điểm)

0,5 −

1930 + 5 ; 1931 + 5

N=

1931 + 5 .

1932 + 5

27

1 .

2019o 2. Tìm số nguyên x, y biết: xy + 4 x = 25 + 5 y.

1. Tìm x biết: 3x − 24 .7 2018 = 2.7 2019 ⋅

3. Tìm số nguyên x biết: 2 x + 2 x +1 + 2 x + 2 + ⋅⋅⋅ + 2 x + 2015 = 22019 − 8.

Câu 3: (2,0 điểm)

6n + 5 ( n ∈ ℕ).

3n + 2 a) Chứng tỏ rằng phân số P là phân số tối giản.

1. Cho phân số: P =

b) Với giá trị nào của n thì phân số P có giá trị lớn nhất?

2. Một học sinh từ lớp 5 đến lớp 9 đã qua 31 kì thi, trong số đó số kì thi ở năm sau nhiều hơn số kì thi ở năm trước và số kì thi ở năm cuối gấp ba lần số kì thi ở năm đầu. Hỏi học sinh đó thi bao nhiêu kì thi ở năm thứ tư?

Câu 4: (2,0 điểm)

= 120°, xOz = 50°. Gọi Om là tia 1. Cho ba tia tia chung gốc Ox, Oy, Oz biết xOy

. phân giác của yOz. Tính xOm 2. Cho 2019 điểm phân biệt trong đó có đúng 7 điểm thẳng hàng, ngoài ra không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Hỏi từ 2019 điểm đó vẽ được tất cả bao nhiêu đường thẳng?

Câu 5: (2,0 điểm) 1. Giả sử p và p 2 + 2 là các số nguyên tố. Chứng tỏ p3 + p 2 + 1 cũng là số nguyên tố.

2. Chứng tỏ rằng trong 27 số tự nhiên tùy ý luôn tồn tại hai số sao cho tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 50.

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN BÌNH GIANG - NĂM 2019 Câu 1:

1. Thực hiện các phép tính:

510 .73 (1 − 7 ) 5. ( −6 ) −10 510 .73 − 510 .74 = 9 3 9 3 3= = = ⋅ A= 3 9 3 (125.7 ) + 59 .143 5 .7 + 5 .7 .2 59 .73 (1 + 23 )

510 .73 − 255 .492

3 3 1 1 + 0,5 − + − 0, 2 17 37 + 3 4 B= = 5 5 5 7 7 7 − + − + − 3,5 6 17 37 5 4 3 0,5 −

3 3 3 1 1 1 1 − + − + − 6 17 37 + 2 3 4 5 5 5 5 7 7 7 7 − + − + − 6 17 37 5 4 3 2

1 1 1  1 1 1 1 3 − +  − + − 6 17 37  + 2 3 4 5 = 3 − 1 = 16 ⋅ =  1 1 1   1 1 1 1  5 7 35 5  − +  −7  − + −   6 17 37   2 3 4 5

28

1 1 1 (1 + 2 + 3) − (1 + 2 + 3 + 4 ) − ⋅⋅⋅ − (1 + 2 + 3 + ⋅⋅⋅ + 50 ) 3 4 50 1 (1 + 3) .3 1 (1 + 4 ) .4 1 (1 + 50 ) .50 =− ⋅ − ⋅ − ⋅ 3 2 4 2 50 2

C=−

  +1+ ⋅⋅⋅ +  1

1 + ( 3 + 4 + ⋅⋅⋅ + 50 ) 1 + 3 + 1 + 4 + ⋅⋅⋅ + 1 + 50 48 chöõ soá 1  =− =− 2 2 ( 3 + 50 ) .48 48 + 2 =− = −24 + 53.12 = 612.

2 2. So sánh M và N biết: M = Ta có: M =

1930 + 5 ; 1931 + 5

N=

1931 + 5 .

1932 + 5

1930 + 5 1931 + 95 90 ⇒ 19 M = 31 = 1 + 31 31 19 + 5 19 + 5 19 + 5

1931 + 5 1932 + 95 90 ⇒ 19 N = = 1 + 32 32 32 19 + 5 19 + 5 19 + 5 90 90 Vì 31 > 32 nên 19 M > 19 N ⇔ M > N .

19 + 5 19 + 5 1 1. Tìm x biết: 3 x − 24 .7 2018 = 2.7 2019 ⋅ 2019° 1 3 x − 24 .7 2018 = 2.7 2019 ⋅ ⇔ 3 x − 24 .7 2018 = 2.7 2019 ⇔ 3 x − 16 = 14 2019°

N=

Câu 2:

 x = 10 3 x − 16 = 14 3 x = 30 ⇔ ⇔ ⇔ x = 2 x x 3 − 16 = − 14 3 = 2   3 

2  Vậy x ∈ 10;  ⋅ 3 

2. Tìm số nguyên x, y biết: xy + 4 x = 25 + 5 y.

Ta có: xy + 4 x = 25 + 5 y ⇔ x ( y + 4 ) = 25 + 5 y

(1)

+) Nếu y = −4 thì pt (1) vô nghiệm +) Nếu y ≠ −4 thì pt (1) trở thành: x=

5 y + 25 5 ( y + 4 ) + 5 5 = = 5+ y+4 y+4 y+4

Để x, y nguyên thì y + 4 ∈ {± 1; ± 5} Lập bảng y+4

−5

−1

1

5

y

−9

−5

−3

1

x

4

0

10

6

29 Vậy ( x, y ) = ( 4; − 9 ) , ( 0; − 5 ) , (10; − 3) , ( 6; 1) .

3. Tìm số nguyên x biết: 2 x + 2 x +1 + 2 x + 2 + ⋅⋅⋅ + 2 x + 2015 = 22019 − 8.

Ta có: 2 x + 2 x +1 + 2 x + 2 + ⋅⋅⋅ + 2 x + 2015 = 22019 − 8 ⇔ 2 x (1 + 2 + 22 + ⋅⋅⋅ + 22015 ) = 22019 − 23 ⇔ 2 x . ( 22016 − 1) = 23 ( 22016 − 1) ⇔ 2 x = 23 ⇔ x = 3.

Câu 3:

6n + 5 ( n ∈ ℕ ).

3n + 2 a) Chứng tỏ rằng phân số P là phân số tối giản.

1. Cho phân số: P =

Gọi d = ƯC ( 6n + 5, 3n + 2 ) (với d ∈ ℕ* ) ⇒ 6n + 5 ⋮ d và 3n + 2 ⋮ d

⇒ ( 6n + 5 ) − ( 3n + 2 ) .2 ⋮ d ⇔ 1 ⋮ d ⇒ d = 1 Vậy phân số P là phân số tối giản. b) Với giá trị nào của n thì phân số P có giá trị lớn nhất?

6n + 5 2 ( 3n + 2 ) + 1 1 = = 2+ 3n + 2 3n + 2 3n + 2 1 1 1 5 5 ≤ ⇔ 2+ ≤ ⇒P≤ Với n ∈ ℕ thì 3n + 2 ≥ 2 ⇒ 3n + 2 2 3n + 2 2 2 Dấu “=” xảy ra ⇔ n = 0 5 Vậy n = 0 thì phân số P có giá trị lớn nhất bằng ⋅ 2 2. Gọi số kì thi lần lượt là a, b, c, d , e với a, b, c, d , e ∈ ℕ* và a < b < c < d < e Ta có: P =

Theo đề bài ta có: a + b + c + d + e = 31 và e = 3a .

Ta có: 31 = a + b + c + d + e ≥ a + ( a + 1) + ( a + 2 ) + ( a + 3) + 3a

⇔ 7 a + 6 ≤ 31 ⇔ a ≤ 3 ⇒ a ∈ {1; 2; 3} +) TH1: a = 1 ⇒ e = 3 Khi đó 1 < b < c < d < 3 (không tìm được b, c, d ∈ ℕ* thỏa mãn) +) TH2: a = 2 ⇒ e = 6 Khi đó 2 < b < c < d < 6 ⇒ b = 3; c = 4; d = 5 (không thỏa mãn a + b + c + d + e = 31 ) +) TH3: a = 3 ⇒ e = 9

3 < b < c < d < 9 3 < b < c < d < 9 Khi đó  ⇔ 3 + b + c + d + 9 = 31 b + c + d = 19 Nếu b = 4 thì ( c, d ) = ( 5; 10 ) , ( 6; 9 ) , ( 7; 8 ) ⇒ c = 7; d = 8 (thỏa mãn) Nếu b = 5 thì ( c, d ) = ( 6; 9 ) , ( 7; 8 ) ⇒ c = 7; d = 8 (thỏa mãn) Nếu b = 6 thì ( c, d ) = ( 7; 6 ) (không thỏa mãn).

Vậy học sinh đó thi 8 kì thi ở năm thứ tư.

30 Câu 4:

= 120°, xOz = 50°. Gọi Om là tia 1. Cho ba tia tia chung gốc Ox, Oy, Oz biết xOy

. yOz. Tính xOm phân giác của TH1: Tia Oz và tia Oy nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox y

m

z

O

x

+

+) Vì tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy nên xOz yOz = xOy

⇒ 50° + yOz = 120° ⇔ yOz = 120° − 50° = 70°

= 1 xOy ⇒ xOm = 1 ⋅ 70° = 35° +) Vì tia Om là tia phân giác của yOz nên xOm 2 2

+) Vì tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Om nên xOm = xOz + zOm = 50° + 35° = 85° ⇒ xOm TH2: Tia Oz và tia Oy nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ chứa tia Ox y m

O

x

z

+ xOy = +) Vì tia Ox nằm giữa hai tia Oz và Oy nên xOz yOz

⇒ 50° + 120° = yOz ⇔ yOz = 170° 1 1 yOm = yOz ⇒ yOm = ⋅170° = 85° +) Vì tia Om là tia phân giác của yOz nên 2 2 + mOy = xOy

+) Vì tia Om nằm giữa hai tia Ox và Oy nên xOm

+ 85° = 120° ⇔ xOm = 120° − 85° = 35°. ⇒ xOm 2. Cho 2019 điểm phân biệt trong đó có đúng 7 điểm thẳng hàng, ngoài ra không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ được một đường thẳng. Hỏi từ 2019 điểm đó vẽ được tất cả bao nhiêu đường thẳng? +) Qua 2019 điểm phân biệt mà không có ba điểm nào thẳng hàng, ta vẽ được

31

2019.2018 = 2 037171 (đường thẳng) 2 +) Qua 7 điểm thẳng hàng, ta vẽ được 1 đường thẳng. Nếu 7 điểm này không 7.6 = 21 (đường thẳng). thẳng hàng thì vẽ được 2 Số đường thẳng giảm đi là 21 − 1 = 20 (đường thẳng).

Vậy vẽ được tất cả là 2037171 − 20 = 2037151 (đường thẳng).

Câu 5:

1. Giả sử p và p 2 + 2 là các số nguyên tố. Chứng tỏ p3 + p 2 + 1 cũng là số nguyên tố. +) Với p = 2 thì p 2 + 2 = 8 không là số nguyên tố. +) Với p = 3 thì p 2 + 2 = 11 và p 3 + p 2 + 1 = 37 đều là số nguyên tố. +) Với p > 3 ⇒ p = 3k ± 1 ( k ∈ ℕ, k ≥ 2 )

⇒ p 2 + 2 = ( 3k ± 1) + 2 = 9k 2 ± 6k + 3 = 3 ( 3k 2 ± 2k + 1) ⋮ 3 nên p 2 + 2 là hợp số.

2

Vậy chỉ có p = 3 thì p 2 + 2 và p3 + p 2 + 1 đều là số nguyên tố.

2. Chứng tỏ rằng trong 27 số tự nhiên tùy ý luôn tồn tại hai số sao cho tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 50.

TH1: Nếu 27 số tự nhiên trên có 2 số có cùng số dư khi chia cho 50 thì hiệu của chúng chia hết cho 50.

TH2: Nếu 27 số tự nhiên trên không có hai số nào có cùng số dư khi chia cho 50 Số dư khi chia cho 50 gồm: 0; 1; 2; ...; 49 chia làm 26 nhóm:

( 0 ) , (1; 49 ) , ( 2; 48) ,... ( 24; 26 ) , ( 25) Chia 27 số dư khác nhau vào 26 nhóm trên, tồn tại ít nhất 2 số cùng một nhóm.

Suy ra tổng của chúng chia hết cho 50.

Vậy trong 27 số tự nhiên tùy ý luôn tồn tại hai số sao cho tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 50. ĐỀ SỐ 9: ĐỀ HỌC SINH GIỎI QUẬN HÀ ĐÔNG NĂM HỌC 2018-2019 Bài 1: (4 điểm ) Tính giá trị 1) 1.2.3....100 − 1.2.3....99 − 1.2.3.98.992 16

2)

2

(3.4.2 )

11.213.411 − 49.218

Bài 2: (6 điểm )

(

)

2

1) Tìm số tự nhiên x biết : 19x + 22.32 : 14 = (11 − 6) 2) Cho A = 2xy − 10x + 3y

32 Tìm các số nguyên x , y để A = 28 3) Cho số abc ⋮ 37 .chứng minh rằng cab ⋮ 37 Bài 3: ( 3 điểm ) Một tổ sản xuất phải làm xong một số sản phẩm theo kế hoạch trong 3

1 3 số sản phẩm .Ngày thứ hai làm được số sản phẩm 3 5 còn lại .Ngày thứ ba làm được 107 sản phẩm , vì vậy so với kế hoạch còn thiếu 13 sản phẩm .Hỏi số sản phẩm cần làm theo kế hoạch

ngày . Ngày thứ nhất làm được

Bài 4:( 6 điểm ) = 40° .Gọi Om là tia phân giác của 1) Cho hai góc kề bù xOy và yOt , trong đó xOy

yOt

a) Tính mOx

b) Trên nửa mặt phẳng không chứa Oy và có bờ là đường thẳng chứa tia Ox vẽ tia On

= 70° .Chứng tỏ tiaOm và tia On là hai tia đối nhau sao cho xOn 2) Cho 5 điểm A, B,C , D, E trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng . a) Có bao nhiêu đoạn thẳng mà mỗi đoạn thẳng nối 2 trong 5 điểm đã cho .Kể tên các đoạn thẳng ấy b) Có thể dựng được một đường thẳng không đi qua điểm nào trong 5 điểm đã cho mà cắt đúng 5 đoạn thẳng trong các đoạn thẳng nói trên không ? giải thích vì sao ?

Bài 5: (1 điểm ) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x ; y ) thỏa mãn x 2 + x = 32020y + 1 LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HÀ ĐÔNG 2018-2019 Bài 1: 1) 1.2.3....100 − 1.2.3....99 − 1.2.3.98.992 = 1.2.3...99 (100 − 1 − 99) = 0 16

2)

2

(3.4.2 )

11.213.411 − 49.218

=

32.236

=2

235 (11 − 2)

Bài 2: 1)

2

(19x + 22.3 ) : 14 = (11 − 6) 2

19x + 198 = 350

19x = 152 x =8

33 2) A = 2xy − 10x + 3y

2xy − 10x + 3y = 28 2x (y − 5) + 3y − 15 = 13 2x (y − 5) + 3 (y − 5) = 13

(2x + 3)(y − 5) = 13 = 1.13 = 13.1 = −1. − 13 = −13. − 1 Từ đó ta có các cặp (x ; y ) là y (1;18); (5;6); (−2; −8);(−8; 4)

m

3) Vì abc ⋮ 37 nên t

100.abc ⋮ 37 ⇒ 10000a + 1000b + 100c ⋮ 37 ⇒ 100c + 10a + b + 9990a + 999b ⋮ 37

O

x

⇒ cab + 37. (270a + 27b )⋮ 37 n

⇒ cab ⋮ 37

Bài 3: Phân số chỉ số sản phẩm làm ở ngày thứ 2 là :

Phân số chỉ số sản phẩm làm ngày thứ 3 là : 1 −

3  1 2 . 1 −  = 5  3  5

1 2 4 − = 3 5 15

Do làm được 107 và thiếu 13 sản phẩm nên số sản phẩm theo kế hoạch là :

4

(107 + 13) : 15 = 450 Vậy theo kế hoạch phải làm 450 sản phẩm Bài 4: a)

= 180° − xOy = 140° ( kề bù ) Số đo góc yOt là : yOt

yOt

= 70° Do Om là tia phân giác nên : yOm = 2

Vậy xOm = xOy + yOm = 40° + 70° = 110° + xOn = 70° + 110° = 180° nên Om và On là hai tia đối nhau b) Ta có : xOm 1)

34 D C

E

B A

a) Có 10 đoạn thẳng đó là : AB, AC , AD, AE, BC , BD, BE ,CD,CE, DE b) Ta nhận xét rằng qua 3 điểm không thẳng hàng thì 1 đường thẳng không đi qua 3 điểm đó chỉ cắt nhiều nhất hai đoạn thẳng Tương tự qua 3 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng thì cắt nhiều nhất 3 đoạn thẳng Vậy qua 5 điểm chỉ cắt được 4 đoạn thẳng nên không dựng được 1 đường thẳng cắt 5 đoạn thẳng trên Bài 5: Xét trường hợp y = 0 Khi đó : x 2 + x = 2 ⇒ x (x + 1) = 2 ⇒ x = 1; x = −2 vậy cặp (x ; y ) thỏa là

(1; 0); (−2; 0) Xét trường hợp y > 0 khi đó 32020y + 1 chia 3 dư 1 còn x (x + 1) là tích của hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3

hoặc chia 3 dư 2 nên không xảy ra Vậy cặp (x ; y ) thỏa là : (1; 0) ; (−2; 0) ĐỀ SỐ 10: ĐÊ THI CHỌN LỌC HỌC SINH GIỎI HUYỆN KÌ ANH NĂM 2019 Câu 1. Thực hiện phép tính

{

}

a) ( −8) : 25 − 18 : ( 52 + 22 ) :11 − 20180  2

b) (11.37.97 − 915 ) : ( 2.314 )

2

Câu 2. a) Tìm x biết: 33 x+3 − 2.33 x+1 = 567

35 b) Tìm cặp số nguyên dương ( x; y ) thỏa mãn:

x 5 3 − = 4 y 2

Câu 3. a) Với a, b là các số nguyên, chứng tỏ rằng: a + 4b ⋮13 khi và chỉ khi 10a + b ⋮13

1 1 1 1 1 1 + b) Cho A = 1 − + − + ...... − 2 3 4 5 2018 20219

B=

1 1 1 + + ... + 1010 1011 2019

Tính tỉ số

A .

B

Câu 4. Cho đoạn thẳng AB = 7 cm. Trên tia đối của tia BA lấy điểm C sao cho BC = 3 cm, trên đoạn thẳng AC lấy điểm M sao cho MB = 2 cm. a) Tính độ dài đoạn thẳng AM . b) Gọi I và K thứ tự là trung điểm của AM và BC . Tính độ dài IK . c) Lấy điểm D nằm ngoài đường thẳng AB . So sánh ADB và ADC .

Câu 5. Cho P =

1 1 1 1 + 2 + 2 + ... + .

2 1 2 3 20192

Chứng minh rằng P không phải là một số tự nhiên.

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN LỌC HỌC SINH GIỎI HUYỆN KÌ ANH 2019 Câu 1.

{

}

2 a) ( −8) : 25 − 18 : ( 52 + 22 ) :11 − 20180 

= 64 : {25 − 18 : [33 :11 − 1]}

= 64 : {25 − 18 : 2} = 64 :16 = 4 .

b) (11.37.911 − 915 ) : ( 2.314 )

2

= (11.37.322 − 330 ) : ( 22.328 ) = (11.329 − 330 ) : ( 2 2.328 ) = 329.8 : ( 22.328 )

36 = 329.23 : ( 22.328 ) = 3.2 = 6 .

Câu 2. a) 33 x +3 − 2.33 x +1 = 567

33 x.27 − 2.33 x.3 = 567 33 x. ( 27 − 6 ) = 567

33 x.21 = 567 33 x = 567 : 21 33 x = 33 Vậy 3 x = 3 x =1.

b) Ta có:

x 5 3 − = 4 y 2

xy − 20 3 = 4y 2

2 xy − 40 = 12 y xy − 6 y = 20 y. ( x − 6 ) = 20 TH1: y = 1 ⇒ x − 6 = 20 x = 26

Vậy: y = 1 , x = 26 (thỏa mãn).

TH2: y = 20 ⇒ x − 6 = 1 x=7

Vậy: y = 20 , x = 7 (thỏa mãn).

TH3: y = 2 ⇒ x − 6 = 10 x = 16

Vậy: y = 2 , x = 16 (thỏa mãn).

Th4: y = 10 ⇒ x − 6 = 2 x =8

37 Vậy: y = 10 , x = 8 (thỏa mãn).

TH5: y = 4 ⇒ x − 6 = 5 x = 11

Vậy: y = 4 , x = 11 (thỏa mãn).

TH6: y = 5 ⇒ x − 6 = 4 x = 10

Vậy: y = 5 , x = 10 (thỏa mãn).

Câu 3. a) Ta có: a + 4b ⋮13 ⇒ 10. ( a + 4b )⋮13 (1) Lại có: 10 ( a + 4b ) = 10a + 40b = 10a + b + 39a Mà 39a ⋮13 (2).

Từ (1) và (2) ⇒ 10a + b ⋮13 . b) Ta có:

1 1 1 1 1 1 A = 1 − + − + ...... − + 2 3 4 5 2018 20219 1  1 1 1 1   1 1 A = 1 + + + ... +  −  + + + ... +  3 5 2019 2 4 6 2018     1 1  1   1 1 1 1 1 1 1 A =  1 + + + + + ... + +  − 2.  + + + ... +  2018 2019  2018   2 3 4 5 2 4 6 1 1   1 1 1 1   1 1 1 1 A =  1 + + + + + ... + +  − 1 + + + + ... +  2018 2019   2 3 4 1009   2 3 4 5

A=

1 1 1 1 + + ... + + 1010 1011 2018 2019

1 1 1 1 + + ... + + A 1010 1011 2018 2019 = 1 = 1 1 1 1 B + + ... + + 1010 1011 2018 2019 Câu 4. a) TH1 Ta có: BA = 7 cm, BM = 2 cm ⇒ BA > BM ( 7 > 2 ), nên M nằm giữa

38 hai điểm A; B .

Vậy AB = MA + MB ⇒ AM = AB − MB = 7 − 2 = 5 (cm).

TH2: Có tia BA và tia BM là hai tia đối nhau nên B nằm giữa hai điểm M ; A .

Vậy: MA = AB + BM = 7 + 2 = 9 (cm). b) Vì I là trung điểm của AM nên IM =

1 1 AM = .5 = 2,5 (cm).

2 2

1 1 Vì K là trung điểm của BC nên BK = .BC = .3 = 1,5 (cm).

2 2 Có MI ; MB là 2 tia đối nhau nên M nằm giữa hai điểm I ; B .

Vậy: IB = IM + MB = 2,5 + 2 = 4,5 (cm).

Lại có: BI ; BK là hai tia đối nhau nên B nằm giữa hai điểm I ; K .

Vậy: IK = IB + BK = 4,5 + 1,5 = 6 (cm). c) Ta có BA và BC là hai tia đối nhau nên B nằm giữa hai điểm A và C nên tia BD ADB < ADC . nằm giữa hai tia AD và DC . Vậy Câu 5.

Ta có:

1 =1 12 1 1 1 < .

22 1 2 1 1 1 < .

32 2 3 …….

1 1 1 < .

2 2019 2018 2019 ⇒ P < 1+

1 1 1 1 + + + ... + 1.2 2.3 3.4 2018.2019

39

1 1 1 1 1 1 1 ⇒ P < 1 + 1 − + − + − + ... + − 2 2 3 3 4 2018 2019 ⇒ P < 2−

1 2019

Vậy P không phải là một số tự nhiên. ĐỀ SỐ 11: ĐÊ THI CHỌN LỌC HỌC SINH GIỎI HUYỆN LƯƠNG TÀI NĂM 2019 Bài 1 (3,0 điểm ) 1)Tính bằng cách hợp lý nhất nếu có thể a) 78.(−23) + 37.(−78) + 40.(−78)

2  3

5 2 7 7 11 12 5.7 + 7 c) 9 2 7 .5 −13.79

b) −1 .15 + .(−15) + (−105). −

2

2)Cho A = 1 + 2 + 2 + ..... + 2 Bài 2( 2;0 điểm ) 1)Tìm x biết

2002

4 1  +  5 7 

và B = 2 2003 .So sánh A; B

3

a) (7 x −11) = 25.52 + 200 b)

x −1 x −1 x −1 x −1 x −1 x −1 16 + + + + + = 12 20 30 42 56 72 9

2)Có hai loại xe trọng tải 4 tấn và 11 tấn.Nếu mỗi xe chở đúng trọng tải thì cần mỗi loại mấy xe để chở hết 58 tấn hàng Bài 3(2,5 điểm ) 1)Tìm x; y nguyên biết : x + y + xy = 40 2)Tìm số tự nhiên có ba chữ số biết rằng khi chia số đó cho các số 25; 28;35 thì được các số dư lần lượt là 4;7;14 3)Cho 22 số nguyên dương x1 ; x2 ; x3 ,......; x22 biết

1 1 1 1 + + + .... + =7 x1 x2 x3 x22

Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai số bằng nhau Bài 4(2 điểm ) 1)Trên đường thẳng x ' x lấy điểm O tùy ý.Vẽ hai tia Oy và Oz nằm trên cùng một nửa

= 40° và x mặt phẳng bờ x ' x sao cho xOz ' Oy = 3xOz a)Trong ba tia Ox; Oy; Oz tia nào nằm giữa hai tia còn lại

' Oy .Tính góc z b)Gọi Oz ' là tia phân giác góc x ' Oz 2)Cho n đường thẳng trong đó bất kì hai đường thẳng nào cũng cắt nhau ; không có ba đường thẳng nào đồng qui.Biết rằng tổng số giao điểm là 465 .Tìm n Bài 5(0,5 điểm ) Cho 10 số tự nhiên bất kì a1 ; a2 ; a3 ;.....; a10 .Chứng minh rằng tồn tại một số hoặc tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy chia hết cho 10

40 HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: a) Ta có:

78.(−23) + 37.(−78) + 40.(−78) = (−78).23 + (−78).37 + (−78).40 = −78(23 + 37 + 40) = (−78).100 = −7800   3

  7

5 2 2 4 1 b) −1 .15 + .(−15) + (−105). − +  7

7

5

12 2  12 2 1 + (−15). + (−105). = (−15) +  + (−1) = (−15).2 −1 = −31  7 7  7 7 105 5.711 + 712 711 (5 + 7) 711.12 = = = 7 2 = 49 9 9 2 c) 79.52 −13.79 7 (5 −13) 7 .12 = (−15).

2) Ta có

2 A = 2 + 22 + 23 + 24 + .... + 22003 ⇒ 2 A − A = (2 + 2 2 + 23 + ..... + 22002 + 22003 ) − (1 + 2 + 22 + .... + 2 2002 ) = 22003 −1 2003 −1 < 22003 = B ⇒ A < B Hay là A = 2 Bài 2: 3

3

1a) (7 x −11) = 25.52 + 200 ⇒ (7 x −11) = 32.25 + 200 = 1000 = 103

⇒ 7 x −11 = 10 ⇒ 7 x = 21 ⇒ x = 3 1 n + 1− n 1 1 1b)Ta chú ý : = = − (n ∈ N ) n (n + 1) (n + 1) n n n + 1 Ta đi xét tổng sau

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + +. + = + + + + + 12 20 30 42 56 72 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 = − + − + − + − + − + − = − = 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 3 9 9 1 1 1 1 1 1  16 2 16 Phuong trình đã cho ⇔ ( x −1) + + + + +  = ⇔ ( x −1). = 12 20 30 42 56 72  9 9 9 ⇔ x −1 = 8 ⇔ x = 9 2)Ta gọi x; y ( với x; y ∈ N * ) lần lượt là số xe trọng tải 4 tấn và 11 tấn cần tìm Ta có 4 x + 11 y = 58 ⇒ 11 y < 58 ⇒ 1 ≤ y ≤ 5 Mặt khác ta lại có

4 x + 11y = 58 ⇒ 4( x + 3 y ) = 58 + y = 56 + ( y + 2) ⇒ y + 2 = 4 ( x + 3 y −14) Như thế ( y + 2)⋮ 4 ta kết hợp với 1 ≤ y ≤ 5 ⇒ y = 2 Với y = 2 ⇒ 4.x + 11.2 = 58 ⇒ 4 x = 36 ⇒ x = 9 Kết luận : Ta cần tổng cộng 9 xe trọng tả 4 tấn và 2 xe trọng tải 11 tấn để chở hết 58 tấn hàng này Bài 3: 1)Ta có x + y + xy = 40 ⇒ x + y + xy + 1 = 41

⇒ x ( y + 1) + ( y + 1) = 41 ⇒ ( x + 1)( y + 1) = 41 Mà 41 chỉ có các cách phân tích thành tích của các cặp số nguyên như sau

41

 x + 1 = 1; y + 1 = 41   x + 1 = 41; y + 1 = 1 41 = (−1).(−41) = 1.41 ⇒   x + 1 = −1; y + 1 = −41   x + 1 = −41; y + 1 = −1   x = 0; y = 40   x = 40; y = 0 ⇒  x = −2; y = −42   x = −42; y = −2  b)Ta gọi x = abc ( 0 < a ≤ 9;0 ≤ b; c ≤ 9; a; b; c ∈ N ) là số tự nhiên có 3 chữ số cần tìm Theo giả thiết x khi chia cho 25; 28;35 ta được các số dư lần lượt là 4;7;14

  x = 25m + 4 ( x + 21)⋮ 25  ⇒  x = 28n + 7 ( m; n; p ∈ N ) ⇒ ( x + 21)⋮ 28    x = 35 p + 14  ( x + 21)⋮ 35 Như thế x + 21 là bội chung (25; 28;35) mà BCNN [ 25;28;35] = 700 ⇒ ( x + 21)⋮ 700 Do 100 ≤ x ≤ 999 ⇒ 121 ≤ ( x + 21) ≤ 1020 ⇒ x + 21 = 700 ⇒ x = 679 3)Giả sử 22 số nguyên dương x1 ; x2 ; x3 ;....; x22 là 22 số nguyên dương phân biệt ( nhận giá trị khác nhau ) Như thế ta có thể giả sử sắp thứ tự 22 số này như sau :

x1 < x2 < x3 < ........ < x21 < x22 ⇒ x1 ≥ 1; x2 ≥ 2; x3 ≥ 3;....; x21 ≥ 21; x22 ≥ 22 1 1 1 1 1 1 1 + + + ..... + ≤ 1 + + + ...... + < 7 Khi đó x1 x2 x3 x22 2 3 22 1 1 1 7 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 8 < Ta có + < 1 ; + + + < = 1 ; + + ..... + < = 1 ; + + ... + 2 3 4 5 6 7 4 8 9 15 8 16 17 22 16 1 1 1 1 7 71 ⇒ 1 + + + + ........ + < 1 + 1 + 1 + 1 + = < 7 2 3 4 22 16 16 1 1 1 1 ⇒ + + + ..... + < 7 ⇒ mâu thuẫn với giả thiết x1 x2 x3 x22 Vậy điều ta đã giả sử không thể xảy ra nên trong 22 số nguyên dương x1 ; x2 ; x3 ;.....; x22 phải có ít nhất hai số bằng nhau Bài 4: 1)

42

= 180° ( tổng ' Oy + xOy a) Ta có x hai góc kề bù )

y

z'

z

= 3.40° mà theo đề x ' Oy = 3.xOz = 60° = 120° ⇒ xOy = 40° < xOy = 60° Như vậy xOz x

x' O

Mà hai tia Oz ; Oy nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ x ' x nên tia Oz nằm giữa hai tia Oy; Ox

b)Ta có x ' Oy = 120° mà Oz ' là tia phân giác

1 1 ' Oy ⇒ ' Oz ' = x ' Oy = .120° = 60° x yOz ' = x 2 2 = xOy − xOz = 60°− 40° = 20° Ta cũng có zOy = 180°− 40° = 140° > x ' Oz = 180°− xOz ' Oy = 120° nên tia Oy nằm giữa Mặt khác do x ' Oz = z ' Oy + yOz = 60° + 20° = 80° hai tia Ox '; Oz ⇒ Oy nằm giữa Oz '; Oz ⇒ z 2)Xét đường thẳng thứ 1 ta có số giao điểm của đường thẳng này với các đường thẳng còn lại là : n−1 Tương tự cac đường thẳng thứ 2;3; 4,...n mỗi đường thẳng cũng tạo ra : n −1 ( giao điểm) Như thế số giao điểm của n đường thẳng là : n (n −1) Vì hai đường thẳng chỉ cắt nhau đúng 1 lần và tạo ra đúng 1 giao điểm nên ta có số giao điểm của n đường thẳng này thực sự là : Theo giả thiết :

n (n −1) 2

n (n −1) 2

= 465 ⇒ n (n −1) = 930 ; bằng cách thử trực tiếp ta chọn n = 31

Kết luận : n = 31 ( đường thẳng ) Bài 5: Xét 10 tổng sau : S1 = a1 ; S 2 = a1 + a2 ; S3 = a1 + a2 + a3 ;…..:

S10 = a1 + a2 + a3 + ..... + a10 Nếu trong 10 tổng trên tồn tại 1 tổng nào đó chia hết cho 10 thì bài toán được chứng minh Ta di xét trường hợp : cả 10 tổng S1 ; S 2 ;..; S10 đều không chia hết cho 10 Do vậy số dư trong phép chia S1 ; S 2 ; S3 ;.....; S10 cho 10 chỉ có thể thuộc tập hợp

A = (1; 2;3; 4;5;6;7;89) gồm 9 phần tử do vậy theo nguyên lý Đi rich lê luôn tồn tại ít nhất 2 tổng Si ; S j (i < j;1 ≤ i < j ≤ 10) có cùng số dư khi chia cho 10

⇒ ( S j − Si )⋮10 ⇒ (ai+1 + ai+2 + ..... + a j )⋮10 ta có điều cần chứng minh. ĐỀ SỐ 12: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NGA SƠN - NĂM 2019

Câu 1. (3,0 điểm) Thực hiện phép tính để tính giá trị của các biểu thức sau:

43  136 28 62  21 a) A =  − + ⋅ 5 10  24  15

 131313 131313 131313  b) B = 70 ⋅  + +   565656 727272 909090 

c) C =

5 4 3 1 13 + + + + 2.1 1.11 11.2 2.15 15.4

Câu 2. (4,0 điểm) a) Tìm x, biết: a)

5 1 5 x−7 − = ⋅ 4 2 8

b) 52 x − 3 − 2.52 = 52.3.

b) Tìm số tự nhiên abcde , biết rằng abcde2 = 3.2abcde . c) Chứng tỏ rằng phân số

3n + 2 tối giản với mọi số tự nhiên n.

5n + 3

Câu 3. (4,0 điểm) a) Cho S =

5 5 5 5 + + + ⋅⋅⋅ + ⋅ Chứng minh rằng: 3 < S < 8.

20 21 22 49

b) Trong một cuộc thi có 22 câu hỏi, mỗi câu trả lời đúng được 15 điểm, mỗi câu trả lời sai bị trừ 10 điểm. Một bạn học sinh được tất cả 155 điểm. Hỏi bạn đó trả lời đúng mấy câu?

Câu 4. (3,0 điểm) a) Cho A = 1999 + 19992 + 19993 + ⋅⋅⋅ + 19991998 ⋅ Chứng minh rằng A ⋮ 2000. b) Tìm số tự nhiên n lớn nhất có 3 chữ số thỏa mãn điều kiện: n chia cho 8 dư 7, chia cho 31 dư 28.

Câu 5. (5,0 điểm) 1) Cho ba đoạn thẳng cùng ở trên một đường thẳng và có cùng một đầu mút chung.

8 1 Đoạn thẳng thứ nhất bằng đoạn thứ hai và đoạn thứ ba bằng đoạn thứ hai. Tổng số 25 3 độ dài của cả ba đoạn thẳng là 248cm. a) Tính độ dài mỗi đoạn thẳng. b) Tính độ dài của đoạn thẳng có đầu mút là các trung điểm của đoạn thẳng thứ hai và đoạn thẳng thứ ba.

2) Bạn An vẽ được một số tia chung gốc A. Bạn Bình vẽ được một số tia chung gốc B. Biết bạn Bình vẽ được nhiều hơn bạn An đúng một tia và tổng số góc hai bạn vẽ được là 100. Hỏi mỗi bạn vẽ được bao nhiêu tia?

44 Câu 6. (1,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương n biết rằng n cộng với tổng các chữ số của nó bằng 2013.

----------------------Hết---------------------

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN 6 – NĂM HỌC 2018 - 2019 (HUYỆN NGA SƠN) Câu 1.  136 28 62  21  136 28 31  7  136 3  7  136 9  7 a) Ta có: A =  − + ⋅ = − + ⋅ = + ⋅ = + ⋅ 5 10  24  15 5 5  8  15 5  8  15 15  8  15  29  7 203 = ⋅ =  3  8 24

13 13 13  131313 131313 131313   13 13 13  b) B = 70 ⋅  + +  = 70 ⋅  + +  = 70 ⋅ + 70 ⋅ + 70 ⋅ 56 72 90  565656 727272 909090   56 72 90 

=

5.13 35.13 7.13 5.13.9 35.13 7.13.4 5.13.9 + 35.13 + 7.13.4 + + = + + = 4 36 9 4.9 36 9.4 36

=

5.13.9 + 35.13 + 7.13.4 1404 = = 39 36 36

c) C =

5 4 3 1 13 5 4 3 1 13  5 1 13   4 3  + + + + = + + + + = + +  +  +  2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 2 11 22 30 60  2 30 60   11 22 

 5.30 1.2 13   4.2 3  150 + 2 + 13 8 + 3 165 11 11 1 13 = + + + + = + = + = + = 60 22 60 22 4 2 4  2.30 30.2 60   11.2 22 

Câu 2.

9 9 5 5 x −7= x = +7   5 1 5 5 5 1 5 9 8 4 8 1) a) x − 7 − = ⇒ x − 7 = + ⇒ x − 7 = ⇒  4 ⇒ −9  5 −9 4 2 8 4 8 2 4 8 5 +7 x −7= x=  4  8 8 4 65  65 5 13 5  4 x = 8 x = 8 : 4 x = 2 ⇒ ⇒ ⇒  5 x = 47  x = 47 : 5  x = 47  10 8 8 4  4 

45 Vậy x =

13 47 ;x= ⋅ 2 10

b) 52 x − 3 − 2.52 = 52.3 ⇒ 52 x − 3 = 52.3 + 2.52 ⇒ 52 x − 3 = 52. ( 3 + 2 ) ⇒ 52 x − 3 = 53 ⇒ 2 x − 3 = 3

⇒ 2x = 3 + 3⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3 Vậy x = 3.

(

)

2) Ta có: abcde2 = 3.2abcde ⇒ abcde.10 + 2 = 3. 2.105 + abcde . ⇒ abcde.10 − 3.abcde = 3.2.105 − 2

⇒ 7.abcde = 600000 − 2 ⇒ abcde =

600000 − 2 = 85714 7

Vậy số cần tìm là: 85714.

3n + 2 ⋮ d 15n + 10 ⋮ d ⇒ ⇒1 ⋮ d ⇒ d = 1 3) Gọi ( 3n + 2,5n + 3) = d ⇒  5n + 3 ⋮ d 15n + 9 ⋮ d Vậy

3n + 2 tối giản với mọi số tự nhiên n.

5n + 3

Câu 3. a) Ta có: S =

5 5 5 5 1 1 1  1  1 + + + ⋅⋅⋅ + > 5.  + + + ⋅⋅⋅ +  = 5 ⋅ ⋅ 30 = 3 20 21 22 49 50  50  50 50 50

⇒ S > 3 (1) Tương rự: S =

⇒S <

5 5 5 5 1 1 1  1 15  1 + + + ⋅⋅⋅ + < 5.  + + + ⋅⋅⋅ +  = 5 ⋅ ⋅ 30 = 20 21 22 49 20  20 2  20 20 20

15 ( 2) 2

Từ (1) và (2) ⇒ 3 < S < 8 (đpcm). b) Giả sử bạn học sinh đó trả lời đúng x câu và trả lời sai y câu.

Có: 15 x − 10 y = 155 ⇒ 3x − 2 y = 31 (1) Mà: x + y = 22 ⇒ 2 x + 2 y = 44 ( 2 ) Cộng vế với vế của (1) với (2) ta được: 5 x = 75 ⇒ x = 15 ⇒ y = 7.

( x, y ∈ ℤ ; x > y ) *

46 Vậy bạn học sinh đó trả lời đúng 15 câu và trả lời sai 7 câu.

Câu 4. a) Có: A = (1999 + 19992 ) + (19993 + 19994 ) + ⋅⋅⋅ + (19991997 + ⋅⋅⋅ + 19991998 )

= 1999. (1 + 1999 ) + 19993 (1 + 1999 ) + ⋅⋅⋅ +19991997 (1 + 1999 ) = 1999.2000 + 19993.2000 +⋅⋅⋅ +19991997.2000 = 2000. (1999 + 19993 + ⋅⋅⋅ +19991997 ) ⇒ A ⋮ 2000 (đpcm)

n = 8 x + 7 n − 7 ⋮ 8 n − 7 + 72 ⋮ 8 n + 65 ⋮ 8 b) Ta có: ⇒  x, y ∈ ℕ* ) ⇒  ⇒ ⇒ ( n = 31y + 28 n − 28 ⋮ 31 n − 28 + 93 ⋮ 31 n + 65 ⋮ 31 ⇒ n + 65 ∈ BCNN (8,31) = {248; 496;744;992} ⇒ n ∈ {183; 431; 679;927} ⇒ n = 927 (vì n lớn nhất có 3 chữ số) Vậy số cần tìm là: 927.

Câu 5.  1 8  1) a) Độ dài đoạn thẳng thứ hai là: 248 :  1 + +  = 150 (cm)  3 25 

Độ dài đoạn thẳng thứ nhất là: 150 ⋅ Độ dài đoạn thẳng thứ ba là: 150 ⋅

8 = 48 ( cm ) 25

1 = 50 ( cm ) 3

b) Độ dài đoạn thẳng nối trung điểm của đoạn thư hai và thứ ba là:

(150 + 50 ) = 100 2

2) Nếu bạn An vẽ được x tia, bạn Bình vẽ được y tia. ( x, y ∈ ℕ* ) Số góc bạn An vẽ được là:

x ( x − 1) (góc) 2

Số góc bạn Bình vẽ được là: Mà:

y ( y − 1) ( x + 1)( x + 1 − 1) x ( x + 1) = = (góc) (Vì: y = x + 1 ) 2 2 2

x ( x − 1) x ( x + 1) + = 100 ⇒ x ( x − 1) + x ( x + 1) = 200 ⇒ x ( x − 1) + ( x + 1)  = 200 2 2

⇒ x.2 x = 200 ⇒ x.x = 100 ⇒ x = 10 (TM ) Vậy bạn An vẽ được 10 tia, bạn Bình vẽ được 11 tia.

( cm )

47 Câu 6.  n =1abc Ta có: S( n ) + n = 2013 ⇒   n = 2abc

TH1: Nếu n =1abc ⇒1abc + 1 + a + b + c = 2013 ⇒1000 + abc = 2012 − ( a + b + c ) ⇒ abc ≥ 1012 − 27 = 985 ⇒ a = 9 ⇒ 9bc ≥ 985 ⇒ b ≥ 8

Nếu b = 8 ⇒ c = {5;6;7;8;9} ( KTM ) Nếu b = 9 ⇒ 2c = 5 ( KTM ) TH2: Nếu n = 2abc ⇒ 2abc + 2 + a + b + c = 2013 ⇒ 2000 + abc + ( a + b + c ) = 2011

abc + ( a + b + c ) = 11 ⇒ a = 0

⇒ bc + ( b + c ) = 11 Nếu b = 0 ⇒ 2c =11 ( KTM ) Nếu b =1 ⇒ c = 0 (TM ) Vậy n = 2010.

ĐỀ SỐ 13: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NGHĨA ĐÀN- NĂM 2019

Câu 1: (4,5 điểm) 1. Tính giá trị của biểu thức:

1   1   a) A =  2019 −  −  2018 −  2019   2019  

1   1  1   b) B = 1 −  1 −  ... 1 −   5   6   100  7 11 15 2019 9 2. Cho A = + 2 + 3 + ... + 504 . Chứng minh rằng A < .

3 3 3 3 2 Câu 2: (4,5 điểm) a) Số học sinh của một trường trong khoảng 500 đến 700 học sinh. Khi xếp hàng 7 người, 8 người, 10 người đều thừa một người. Tính số học sinh của trường đó? b) Hãy so sánh M và N với M =

102018 + 1 10 2019 + 1 và .

N = 102019 + 1 10 2020 + 1

48 c) Tìm hai số nguyên tố x , y thỏa mãn x 2 − y 2 = 45.

Câu 3: (3,0 điểm) Tìm x biết: a) 3x − 6 +

3

1  b)  − x  = 27 .

4  

1 =3 4

2n + 3 ( n ≠ 2) . n−2 a) Tìm số nguyên n để A là một số nguyên.

Câu 4: (3,0 điểm) Cho A =

b) Tìm số nguyên n để A có giá trị lớn nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Câu 5: (5,0 điểm) Trên tia Ax lấy hai điểm M , N sao cho AM = 5cm , AN = 3cm. a) Tính độ dài các đoạn thẳng MN ;

AOM = 50°. Tính b) Lấy điểm O nằm ngoài đường thẳng AM , giả sử AON = 35°, ; số đo góc MON c) Vẽ các tia OE, OF

( E , F ∈ Ax )

AON và lần lượt là tia phân giác của các góc

. Tính số đo góc = 30°.

MON AOM nếu FOE

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NGHĨA ĐÀN - NĂM 2019

Câu 1:

1 1 1   1   − 2018 + 1. a) A =  2019 −  −  2018 −  = 2019 − 2019   2019  2019 2019  = 2019 − 2018 −

1 1 + =1 2019 2019

Vậy A = 1.

1   5 − 1  6 − 1   99 − 1  100 − 1   1  1   b) B = 1 − 1 −  ... 1 −  =   ...     5  6   100   5  6   99  100 

4 5 98 99 4 1 = . ... . = = 5 6 99 100 100 25 Vậy B = 2. A =

1 25

7 11 15 2019 + 2 + 3 + ... + 504 3 3 3 3

Ta có: 3 A = 7 +

11 15 2019 + 2 + ... + 503 3 3 3

11 15 2019   7 11 15 2019   Suy ra 3 A − A =  7 + + 2 + ... + 503  −  + 2 + 3 + ... + 504  3 3 3  3 3 3 3  

49

2A = 7 +

11 7 15 11 2019 2015 2019 − + 2 − 2 + ... + 503 − 503 − 504 3 3 3 3 3 3 3

4 4 4 2019 2 A = 7 + + 2 + ... + 503 − 504 3 3 3 3 1  2019 1 1 1 2 A = 7 + 4  + 2 + 3 + ... + 503  − 504 3  3 3 3 3

1 1 1 1 Đặt B = + 2 + 3 + ... + 503 3 3 3 3 1 1 1 3B = 1 + + 2 + ... + 502 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1  3B − B = 1 + + 2 + ... + 502 −  + 2 + 3 + ... + 503  3 3 3 3  3 3 3

1 1 1 1 1 1 1 2 B = 1 + − + 2 − 2 + ... + 502 − 502 − 503 3 3 3 3 3 3 3 2B = 1 −

1 3503

1 1  B = 1 − 503  2 3 

2 2019 2 2019 1   2019 1  Do đó 2 A = 7 + 4  1 − 503   − 504 = 7 + 2 − 503 − 504 = 9 − 503 − 504 3 3 3 3  2  3  3 A= Câu 2:

9 1 2019 9 9 − 503 − 504 < . Do đó A < .

2 3 2.3 2 2

a) Gọi số học sinh của trường đó là a ( 500 < a < 700 ) (học sinh) Theo đề bài: Xếp hàng 7 người, 8 người, 10 người đều thừa một người nên ( a − 1)

đều chia hết cho 7, 8, 10.

Suy ra a − 1 thuộc BC ( 7, 8, 10 ) .

BCNN ( 7, 8, 10 ) = 280 a − 1∈ {280; 560; 840;...} Vì 500 < a < 700 nên a − 1 = 560 . Do đó a = 561.

Vậy trường đó có 561 học sinh. b) 10M =

10 N =

10 (102018 + 1)

102019 + 1

10 (102019 + 1)

102020 + 1

=

=

102019 + 10 9 = 1 + 2019 2019 10 + 1 10 + 1

102020 + 10 9 = 1 + 2020 2020 10 + 1 10 + 1

50 Ta thấy

9

10

2019

9

>

+ 1 10

2020

+1

nên 10 M > 10 N . Do đó M > N .

c) Ta có: x 2 = 45 + y 2 .

Ta thấy x 2 > 45 và x là số nguyên tố nên x phải là số nguyên tố lẻ. Suy ra x2 là số lẻ.

Từ đó suy ra y 2 là số chẵn, mà y là số nguyên tố. Suy ra y = 2 ; x = 7 Vậy x = 7 và y = 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 3:

a) 3x − 6 +

1 =3 4

3x − 6

= 3−

3x − 6

=

1 4

11 4

*TH 1: 3x − 6 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2 thì 3x − 6 =

3x =

11 +6 4

3x =

35 4

x =

35 (TM x ≥ 2 ) 12

*TH 2: 3x − 6 < 0 ⇒ x < 2 thì 6 − 3x =

−3x

=

11 −6 4

−3x

=

−13 4

x Vậy x =

35 13 ; x= .

12 12 3

1 1  b)  − x  = − 27 4 

1 −1 −x= 4 3

11 4

=

11 .

4

13 (TM x < 2 ) 12

51

−x=

−1 1 − 3 4

−x=

−7 12

x=

7 12

Vậy x =

7 .

12

a) Ta có: A =

Câu 4:

2n + 3 2 ( n − 2 ) + 7 7 = 2+ = n−2 n−2 n−2

Để A là một số nguyên thì

7 phải là số nguyên. n−2

Do đó ( n − 2 ) ∈ Ö ( 7 ) mà Ö ( 7 ) = {±1; ± 7} , nên ta có bảng sau: n−2

-7

-1

1

7

n

-5

1

3

9

TM n ∈ ℤ

TM n ∈ ℤ

TM n ∈ ℤ

TM n ∈ ℤ

Vậy n ∈ {−5; 1; 3; 9} thì A là một số nguyên. b) * Tìm A có giá trị lớn nhất.

Ta có: A = 2 +

7 n−2

Để A đạt GTLN thì

7 có GTLN, do đó n − 2 là số nguyên dương nhỏ nhất. n−2

Với n − 2 = 1 suy ra n = 3 .

Khi đó A = 2 +

7 =9 1

Vậy A có giá trị lớn nhất bằng 9 khi n = 3 . * Tìm A có giá trị nhỏ nhất.

Ta có: A = 2 +

7 n−2

Để A đạt GTNN thì

7 có GTNN, do đó n − 2 là số nguyên âm lớn nhất. n−2

Với n − 2 = − 1 suy ra n = 1 .

Khi đó A = 2 − 7 = −5 .

52 Vậy A có giá trị nhỏ nhất bằng − 5 khi n = 1 .

Câu 5:

O

A

x E

N

F

M

a) Trên tia Ax có AM > AN ( 5 > 3) nên điểm N nằm giữa hai điểm A và M .

Suy ra MN = AM − AN

MN = 5 − 3 = 2 Do đó MN = 2cm b) Vì điểm N nằm giữa hai điểm A và M .

O là điểm nằm ngoài đường thẳng AM .

Suy ra ON nằm giữa hai đường thẳng OA và OM

= = 15° .

Ta có: NOM AOM − AON = 50° − 35° . Suy ra NOM

AON nên AOE = EON c) Vì OE là phân giác của nên NOF = FOM

OF là phân giác của MON + NOF =

AOE + FOM Suy ra EON = 30° , suy ra EON + NOF = = 30° .

Mà EOF AOE + FOM + NOF + = 30° + 30° = 60° .

Do đó EON AOE + FOM ĐỀ SỐ 14: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NHƯ THANH 2018 - 2019 Câu 1.

(4,5 điểm) Tính

Câu 2.

2 A = 24.5 − 131 − (13 − 4 )    15 16 2 .7 − 2 b) B = 5.215 −1 −1 −1 −1 −1 −1 c) C = + + + + + 20 30 42 56 72 90 (4 điểm)

a)

1. a)

Tìm x biết: 52 x+ 3 − 2.52 = 52.3

53 b)

(19 x − 1 + 2.5 ) :14 = (13 − 8) 2

2

− 42

x − 2019 1 = 4 x − 2019 2. Tìm các số x , y nguyên tố để x 2 + 23 = y 3 .

c)

Câu 3. (4 điểm) 1. Cho S = 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 + … + 52019 . a) Chứng tỏ S chia hết cho 21 . b) 4S + 5 có phải số chính phương hay không ?

2. Chứng minh rằng hai số 2n + 1 và 10n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n .

Câu 4. (5.5 điểm) 1.

Cho góc xOy có số đo bằng 120 0 . Trên tia Ox lấy hai điểm A và B sao cho

OA = 3cm , OB = 5cm .

M, N thứ tự là trung điểm của OA và AB. a) Tính độ dài đoạn thằng MN. Vẽ tia Oz nằm trong góc xOy sao cho góc xOz có số bằng hai lần góc zOy . Gọi Ot là tia phân giác của góc xOz . Chứng tỏ rằng Oz là tia phân giác của góc tOy .

Cho 2018 điểm phân biệt, trong đó chỉ có 3 điểm thẳng hàng, cứ qua

2 điểm

ta vẽ một đường thẳng. Hỏi vẽ được tất cả bao nhiêu đường như trên.

Câu 5. (2 điểm) 1. Cho n ∈ ℕ* và n + 1 và 2n + 1 là số chính phương. Chứng minh rằng n chia hết cho 12 .

1 1 1 1 2. Chứng minh rằng + + + … + không là số tự nhiên.

5 7 9 101 LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NHƯ THANH 2018 – 1019

Câu 1. a)

Ta có :

2 A = 24.5 − 131 − (13 − 4 )  = 16.5 − (131 − 92 )  

= 80 − (131 − 81) = 80 − 50 = 30 . b) 15 215.7 − 216 2 ( 7 − 2 ) 5 = = = 1.

B= 5.215 5.215 5 c)

54 −1 −1 −1 −1 −1 −1 + + + + + 20 30 42 56 72 90 1 1 1 1 1   1 = − + + + + +  4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10  

C=

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  = − − + − + − + − + − + −   4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10  1 1 −3 . =− + = 4 10 20

Câu 2.

1. a) 5

Ta có:

2 x+ 3

− 2.52 = 52.3

52 x+3 = 52.3 + 2.52

52 x + 3 = 52 ( 3 + 2 ) 52 x+3 = 53

2x + 3 = 3 2x = 0 x=0 b) Ta có:

(19 x − 1 + 2.5 ) :14 = (13 − 8) 2

2

− 42

(19 x − 1 + 2.25) :14 = 25 − 16 19 x − 1 + 50 = 9.14 19 x − 1 = 76 x − 1 = 76 :19 = 4 .

Vậy x − 1 = 4 hoặc x − 1 = −4 .

Do đó x = 5 hoặc x = −3 . c) Ta có: x − 2019 1 = 4 x − 2019

( x − 2019 )

2

=4

( x − 2019 )

2

= 22

x − 2019 = 2 x = 2 + 2019 x = 2021 .

2.

Nếu là số nguyên tố lẻ thì y 3 = x2 + 23 là số chẵn. Vậy y3 = 2 (loại).

-

Nếu x = 2 thì y3 = 22 + 23 = 27 . Vậy y = 3 .

55 Câu 3.

1.

Ta có:

S = 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 + … + 52019 = ( 5 + 52 + 53 ) + ( 54 + 55 + 56 ) + … + ( 52017 + 52018 + 52019 ) = 5 (1 + 5 + 52 ) + 54 (1 + 5 + 52 ) + … + 52017 (1 + 5 + 52 ) = (1 + 5 + 52 )( 5 + 54 + … + 52017 ) = 31( 5 + 54 + … + 52017 )⋮ 31 .

2.

Ta có :

4 S = 5S − S = 52020 − 5

Suy ra 4 S + 5 = 52020 là số chính phương.

3.

Đặt d = UCLN ( 2n + 1,10n + 7 )

Suy ra 2n + 1⋮ d . Vì vậy 5 ( 2n + 1)⋮ d .

Mà 10n + 7⋮ d nên 10n + 7 − 5 ( 2n + 1)⋮ d

⇒ 2⋮ d Do đó d = 2 hoặc d = 1 .

Nếu d = 2 thì 2n + 1⋮ 2 (vô lý).

⇒ d = 1.

1 = UCLN ( 2n + 1,10n + 7 ) Vậy 2n + 1 và 10n + 7 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Câu 4. (5.5 điểm) 1. a)

Vì

M là trung điểm của OA nên

OM = MA =

Vì O , A ,

OA 3 = = 1,5cm .

2 2

B nằm trên tia Ox A nằm giữa O và B

và OA < OB nên Do đó

AB = OB − OA = 5 − 3 = 2cm .

Mà N là trung điểm của NA = NB =

AB nên

AB 2 = = 1cm .

2 2

Suy ra MN = MA + AN = 1, 5 + 1 = 2, 5cm .

z y t

56

+ zOy = xOy = 1200 hay = 2 zOy và xOz + zOy = xOy nên 2 zOy b) Vì xOz = 1200 .

3zOy = 400 .

Vậy zOy = 1200 − 400 = 800 . Thiếu dấu góc ⇒ xOz 0

= tOz = xOz = 80 = 400 .

Vì Ot là tia phân giác của góc xOZ nên xOt 2 2 nên Oz là tia phân giác của Vì Oz nằm giữa Oy , Ot và yOz = zOt yOt .

2. Qua 2 điểm ta vẽ được một đường thằng. Vậy với 2018 điểm thì có: 2018.2017 = 2035153 đường thẳng.

2 Vì trong đó có 3 điểm thẳng hàng nên 3 đường thẳng được tạo ra từ 3 điểm đó trùng nhau.

Vậy có tất cả 2035153 − 2 = 2035151 đường thẳng.

Câu 5.

1.

Vì 2n + 1 là số chính phương lẻ nên 2n + 1 chia 8 dư 1. Do đó n⋮ 4 (1) Nếu n = 3k + 1, k ∈ ℕ thì n + 1 = 3k + 2, k ∈ ℕ không là số chính phương.

-

Nếu n = 3k + 2, k ∈ ℕ thì 2 n + 1 = 6k + 5, k ∈ ℕ không là số chính phương vì số

này chia 3 dư 2, mà số chính phương chia 3 chỉ dư 0 hoặc 1.

Vậy n⋮ 3 .

(2)

Từ (1) và (2) suy ra n ⋮12 .

2.

1 1 1 1 + + +… + 5 7 9 101 Quy đồng với mẫu số chung là 5.7.9.….101 .

1 1 1 1 Nhận thấy tử số của các phân số , , ,… , khi quy đồng đều chứa thừa số nguyên 5 7 9 99 1 tố 101 nhưng phân số khi quy đồng không có thừa số nguyên tố 101 .

101 Vì thế sau khi cộng các phân số lại thì tử số không chia hết cho số nguyên tố 101 và

mẫu số chia hết cho 101 . Suy ra tổng các phân số trên không là số tự nhiên. ĐỀ SỐ 15: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NÔNG CỐNG 2018 - 2019 Câu 1.(4.5 điểm) 1) Tính hợp lí giá trị của các biểu thức sau:

57

5.415.99 â&#x2C6;&#x2019; 4.320.89 ; 5.29.619 â&#x2C6;&#x2019; 7.229.276 2 2 2 2 b) B = + + + ... + 60.63 63.66 66.69 117.120 2) Cho biáť&#x192;u thᝊc C = 2 + 2 2 + 23 + ... + 2100 .TĂŹm Ä&#x2018;áť&#x192; 2 2 x â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; 2 = C Câu 2. (5,5 Ä&#x2018;iáť&#x192;m) 1 x 1) TĂŹm cĂĄc cạp sáť&#x2018; nguyĂŞn ( ; ) tháť?a mĂŁn : + 1 = 5 y â&#x2C6;&#x2019;1 a) A =

2) TĂŹm sáť&#x2018; nguyĂŞn táť&#x2018; ab( a > b > 0) , biáşżt ab â&#x2C6;&#x2019; ba lĂ sáť&#x2018; chĂ­nh phĆ°ĆĄng.

3) TĂŹm sáť&#x2018; táťą nhiĂŞn cĂł ba chᝯ sáť&#x2018;, biáşżt ráşąng khi chia cĂĄc sáť&#x2018; Ä&#x2018;Ăł cho cĂĄc sáť&#x2018; 25; 28; 35 ta Ä&#x2018;ưᝣc sáť&#x2018; dĆ° lần lưᝣt lĂ 5,8,15 Câu 3. ( 3,0 Ä&#x2018;iáť&#x192;m) 1) TĂŹm giĂĄ tráť&#x2039; nháť? nhẼt cᝧa biáť&#x192;u thᝊc: |x-2018|+(y+2019)2018+2020 2! 2! 2!

2!

2) Chᝊng táť? ráşąng : S = + + + .... + < 1 (váť&#x203A;i n â&#x2C6;&#x2C6; N ; n â&#x2030;Ľ 3 ) 3! 4! 5! n!

Câu 4.(5,0 Ä&#x2018;iáť&#x192;m) 1) TrĂŞn tia lẼy 2 Ä&#x2018;iáť&#x192;m , sao cho = 6 , = 10 . Gáť?i , lần lưᝣt lĂ trung Ä&#x2018;iáť&#x192;m cᝧa , . TĂ­nh Ä&#x2018;áť&#x2122; dĂ i Ä&#x2018;oấn tháşłng . = 50° vĂ

= 2) Trên cÚng n᝭a mạt phẳng b� chᝊa tia vẽ hai tia , sao cho

100° . Váş˝ tia â&#x20AC;˛ lĂ tia Ä&#x2018;áť&#x2018;i cᝧa tia .

. a) TĂ­nh sáť&#x2018; Ä&#x2018;o b) TrĂŞn cĂšng máť&#x2122;t nᝯa mạt pháşłng cĂł báť? lĂ Ä&#x2018;Ć°áť?ng tháşłng xy chᝊa tia , váş˝ thĂŞm n tia phân biáť&#x2021;t ( khĂ´ng trĂšng váť&#x203A;i cĂĄc tia , , ) thĂŹ cĂł tẼt cả bao nhiĂŞu gĂłc?

Câu 5. (2.0Ä&#x2018;iáť&#x192;m) 1) Cho 4 sáť&#x2018; táťą nhiĂŞn , , , â&#x2C6;&#x2C6; * tháť?a mĂŁn Ä&#x2018;áşłng thᝊc a 2 + b 2 = c 2 + d 2 Chᝊng minh ráşąng sáť&#x2018; + + + lĂ hᝣp sáť&#x2018;.

1 2 3 4 99 100 3 2) Cho S = â&#x2C6;&#x2019; 2 + 3 â&#x2C6;&#x2019; 4 + ... + 99 â&#x2C6;&#x2019; 100 Chᝊng táť? ráşąng S < 3 3 3 3 3 3 16

HĆŻáť&#x161;NG DẪN GIẢI Câu 1. 1) Ta cĂł: 5.415.99 â&#x2C6;&#x2019; 4.320.89 5.230.318 â&#x2C6;&#x2019; 22.320.227 A = 20 9 19 = 5.2 .6 â&#x2C6;&#x2019; 7.229.27 6 5.29.219.319 â&#x2C6;&#x2019; 7.2 29.318 5.230.318 â&#x2C6;&#x2019; 229.320 = 5.228.319 â&#x2C6;&#x2019; 7.229.318 229.318 (5.2 â&#x2C6;&#x2019; 32 ) = 28 18 =2 2 .3 (5.3 â&#x2C6;&#x2019; 7.2)

58

2 2 2 2 + + + ... + 60.63 63.66 66.69 117.120 2 3 3 3 3  B=  + + + ... +  3  60.63 63.66 66.69 117.120 

b) B = 1

2 1 1 1 1 1 1 1 1  B =  − + − + − + ... + −  3  60 63 63 66 66 69 117 120  2 1 1  1 B=  − = 3  60 120  180 2) Ta có: C = 2 + 22 + 23 + 24 +…+ 2100 => 2C = 22 + 23 + 24 + 25 +…+ 2101 => C = 2C – C = 2101 – 2 Mà 22 x −1 − 2 = C => 22 x −1 − 2 = 2101 − 2 => 2 x − 1 = 101 => x = 5

1 1 x x+5 +1 = => = 5 y −1 5 y −1 =>(x+5)(y-1) = 5

Câu 2. Ta có :

Do ; ∈ " nên + 5 và − 1 là ước của 5 mà Ư(5)= {±1; ±5} Ta có bảng giá trị tương ứng sau: x+5

-5

-1

1

5

y-1

-1

-5

5

1

x

-10

-6

-4

0

y

0

-4

6

2

Vậy các cặp số nguyên cần tìm là : (x,y)= {(−4;6), (0; 2), (−6; 4), (−10, 0)} 1) Ta có ab − ba = 10a + b − 10b − a => ab − ba = 9( a − b) => ab − ba = 32 ( a − b) Để ab − ba là số chính phương khi − là số chính phương Do , là các chữ số và 0 < a, b ≤ 9 => 1 ≤ a − b ≤ 8 =>( − ) là số chính phương khi (a − b) ∈ {1, 4} +Nếu a − b = 1 ⇒ ab ∈ {21,32, 43,54, 65, 76,87,98} mà ab là số nguyên tố và là số lẻ => ab = 43 +Nếu a − b = 4 ⇒ ab ∈ {51, 62, 73,84,95} mà ab là số nguyên tố và là số lẻ => ab = 73

59 Váş­y ab â&#x2C6;&#x2C6; {43; 73} 2) Gáť?i sáť&#x2018; cần tĂŹm lĂ a (a â&#x2C6;&#x2C6; N;100 â&#x2030;¤ a â&#x2030;¤ 999) VĂŹ khi chia a cho cĂĄc sáť&#x2018; 25,28,35 cĂł sáť&#x2018; dĆ° lần lưᝣt lĂ 5,8,15 nĂŞn + 20 chia háşżt cho 25,28,35 â&#x2021;&#x2019; a + 20 â&#x2C6;&#x2C6; BC (15,18, 25) %

(25,28,35) = 700

â&#x2021;&#x2019; a + 20 â&#x2C6;&#x2C6; B (700) = {700;1400;....} â&#x2021;&#x2019; a â&#x2C6;&#x2C6; {680,1380;.....}

VĂŹ lĂ sáť&#x2018; táťą nhiĂŞn cĂł ba chᝯ sáť&#x2018; tháť?a mĂŁn Ä&#x2018;iáť u kiáť&#x2021;n trĂŞn nĂŞn = 680 Câu 3. 1) Ta cĂł : x â&#x2C6;&#x2019; 2018 â&#x2030;Ľ 0, â&#x2C6;&#x20AC;x dẼu báşąng xảy ra khi vĂ cháť&#x2030; khi = 2018 MĂ (y+2019)2020 â&#x2030;Ľ 0; â&#x2C6;&#x20AC;y dẼu báşąng xảy ra khi vĂ cháť&#x2030; khi = â&#x2C6;&#x2019;2019 â&#x2021;&#x2019; (| x â&#x2C6;&#x2019; 2018 | +2) 2 + ( y + 2019) 2020 + 2020 â&#x2030;Ľ 2020 â&#x2021;&#x2019; P â&#x2030;Ľ 2020

DẼu báşąng xảy ra khi x=2018 vĂ y=-2019 Váş­y MinP = 2020 khi x = 2018 vĂ y = â&#x2C6;&#x2019;2019 2) Ta cĂł: 2! 2! 2!

2! + + + ... + 3! 4! 5! n!

1 1 1 1 S = 2! + + + .... +  n!   3! 4! 5!

S=

 1  1 1 1 S < 2! + + + ... +  ( n â&#x2C6;&#x2019; 1).n   2.3 3.4 4.5 1 1 1 1 1 1 S < 2! â&#x2C6;&#x2019; + â&#x2C6;&#x2019; + ... + â&#x2C6;&#x2019;  n â&#x2C6;&#x2019;1 n  2 3 3 4 1 1 S < 2 â&#x2C6;&#x2019;  2 n 2 s < 1â&#x2C6;&#x2019; n S <1

Câu 4.

O .â&#x20AC;˘

.

E

â&#x20AC;˘

.

A

â&#x20AC;˘

.

F

â&#x20AC;˘.

B

x

x

â&#x20AC;˘

1) VĂŹ hai Ä&#x2018;iáť&#x192;m , cĂšng náşąm trĂŞn tia mĂ < (6 < 10 ) nĂŞn Ä&#x2018;iáť&#x192;m náşąm giᝯa 2 Ä&#x2018;iáť&#x192;m vĂ

60

=> OA + AB = OB => 6 + AB = 10 => AB = 4cm.

OA 6 = = 3(cm) 2 2 AB 4 VĂŹ lĂ trung Ä&#x2018;iáť&#x192;m cᝧa nĂŞn AF = = = 2(cm) 2 2 Do náşąm giᝯa vĂ , mĂ lĂ trung Ä&#x2018;iáť&#x192;m cᝧa , lĂ trung Ä&#x2018;iáť&#x192;m cᝧa nĂŞn

VĂŹ lĂ trung Ä&#x2018;iáť&#x192;m cᝧa nĂŞn EA =

Ä&#x2018;iáť&#x192;m náşąm giᝯa hai Ä&#x2018;iáť&#x192;m vĂ

=> EF = EA + AF = 3 + 2 = 5 ( cm ) Váş­y = 5 z

y

O

x

y'

<

2) a)VĂŹ hai tia , cĂšng náşąm trĂŞn nᝯa mạt pháşłng báť? chᝊa tia , mĂ

nĂŞn tia náşąm giᝯa hai tia vĂ

+

=

=> 50o +

= 1000 =>

=>

= 50° Do tia â&#x20AC;˛ lĂ tia Ä&#x2018;áť&#x2018;i cᝧa tia

)Ă

+Ă , - .Ăł 0áť Ăš =>

+

=> = 180°=> + 50° = 180°

= 130° => Vậy

= 130°

61 a) Trên cùng 1 nữa mặt phẳng có bờ là đường thẳng ′ chứa tia vẽ thêm 3 tia phân biệt không trùng với các tia , , ta có tất cả 3 + 3 tia phân biệt.

Cứ 1 tia trong 3 + 4 tia đó tạo với 3 + 3 − 1 = 3 + 2 tia còn lại thành 3 + 2 góc . có 3 + 2 tia tạo thành (3 + 3)(3 + 2)góc , nhưng mỗi góc được tính hai lần. (n + 3)( n + 2) Vậy có tất cả góc 2 Câu 5.

1) Ta có a 2 + c 2 = b 2 + d 2 ⇒ a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 2(b 2 + d 2 ) là số chẵn

⇒ a2 + b2 + c2 + d 2 ⋮ 2 + Xét ⇒ a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − (a + b + c + d ) = a(a − 1) + b(b − 1) + c(c− 1) + d(d − 1) -Vì là số nguyên dương nên , − 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp => ( − 1) ⋮ 2 Tương tự ( − 1); ( − 1); ( − 1) đều chia hết cho 2

⇒ a(a − 1) + b(b − 1) + c(c− 1) + d(d − 1)⋮ 2 ⇒ a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − (a + b + c + d )⋮ 2 Mà a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ⋮ 2 ⇒ ( a + b + c + d )⋮ 2 => + + + là số chẵn mà a + b + c + d < 2( doa, b, c, d ∈ N * ) => + + + là hợp số 1 2 3 4 99 100 2) S = − 2 + 3 − 4 + ... + 99 − 100 3 3 3 3 3 3 1 2 3 4 99 100 3S = − + 2 − 3 + ... + 98 − 99 1 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 100 4 S = S + 3S = + 2 − 3 + 4 − ... − 99 − 100 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 100 12 S = 4S .3 = 2 + − 2 + 3 − 4 + ... − 98 − 99 3 3 3 3 3 3 101 100 ⇒ 16 S = 12 S + 4 S = 3 − 99 − 100 < 3 3 3 3 ⇒S< 16 ĐỀ SỐ 16: ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN 6 THÀNH PHỐ PHỦ LÝ - NĂM 2019 Câu 1: (5,0 điểm) a) Tính M = 50 + 51 + 52 + 53 + 54 + ⋯ + 52018 + 52019 .

1.2.5 − 2.4.10 + 5.10.25 − 6.12.30 + 7.14.35 b) Tính nhanh: 1.5.7 − 2.10.14 + 5.25.35 − 6.30.42 + 7.35.49 1 1 1 c) Chứng tỏ 2 + 2 + ⋯ + < 1.

2 3 20192

62 Câu 2: (4,0 điểm) a) Không thực hiện phép tính hãy cho biết kết quả phép toán 15.31.37 + 11.102 là số nguyên tố hay hợp số? Vì sao? b) Tìm số nguyên tố p để p + 10 và p + 14 đều là số nguyên tố.

Câu 3: (4,0 điểm) Tìm x, biết: a) x − 1 = 4 b) 2 x.2 x +1.2 x + 2.518 = 1000 … 0

(18 chữ số 0)

Câu 4: (5,0 điểm) Cho hai góc kề bù xOy và yOz. Trên tia Oy lấy điểm A, trên tia Ox lấy điểm B , trên tia AB lấy điểm C sao cho AB < AC. a) Chứng tỏ Ox nằm giữa hai tia OA và OC. b) Cho góc yOz = 130°, góc zOC = 150° tính số đo góc AOC. c) Có 6 cây cột, có 12 chiếc võng. Hãy vẽ sơ đồ dựng 6 cây cột để căng được 12 chiếc võng mà các võng không chồng chéo nhau.

Câu 5: (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên x , y sao cho 10 x = y 2 − 143.

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 6 THÀNH PHỐ PHỦ LÝ - NĂM 2019 Câu 1:

a) M = 50 + 51 + 52 + 53 + 54 + ⋯ + 52018 + 52019 5M = 51 + 52 + 53 + 54 + ⋯ + 52019 + 52020

5M − M = ( 51 + 52 + 53 + 54 + ⋯ + 52019 + 52020 ) − ( 50 + 51 + 52 + 53 + 54 + ⋯ + 52018 + 52019 )

52020 − 1 4 1.2.5 − 2.4.10 + 5.10.25 − 6.12.30 + 7.14.35 b) 1.5.7 − 2.10.14 + 5.25.35 − 6.30.42 + 7.35.49 (1.2.5 + 5.10.25 + 7.14.35 ) − ( 2.4.10 + 6.12.30 ) = (1.5.7 + 5.25.35 + 7.35.49 ) − ( 2.10.14 + 6.30.42 ) 4 M = 52020 − 1 ⇒ M =

(1.2.5 + 5.1.2.5 + 7.1.2.5) − ( 2.4.10 + 3.2.4.10 ) (1.5.7 + 5.1.5.7 + 7.1.5.7 ) − ( 2.10.14 + 3.2.10.14 ) (1 + 5 + 7 )1.2.5 − (1 + 3) 2.4.10 = 13.1.2.5 − 4.2.4.10 = 38 = (1 + 5 + 7 )1.5.7 − (1 + 3) 2.10.14 13.1.5.7 − 3.2.10.14 77

=

1 1 1 1 1 1 + 2 +⋯+ < + +⋯+ 2 2 2 3 2019 1.2 2.3 2018.2019 1 1 1 1 1 1 1 2018 = − + − +⋯+ − = 1− = < 1.

1 2 2 3 2018 2019 2019 2019 a) Ta có 15⋮3 nên 15.31.37⋮3

c)

Câu 2:

102⋮3 nên 11.102⋮3

63 Do đó (15.31.37 + 11.102 )⋮ 3 . Vậy 15.31.37 + 11.102 là hợp số. b) Mọi số tự nhiên đều được viết dưới 1 trong 3 dạng 3k , 3k + 1, 3k + 2 (k ∈ ℕ ).

Trường hợp 1. p = 3k , mà p là số nguyên tố nên k = 1 ⇒ p = 3 ⇒ p + 10 = 13, p + 14 = 17 thỏa mãn.

Trường hợp 2. p = 3k + 1 ⇒ p + 14 = 3k + 1 + 14 = 3k + 15 = 3 ( k + 5 )⋮ 3 và p + 14 lớn hơn 3 nên p + 14 là hợp số.

Trường hợp 3. p = 3k + 2 ⇒ p + 10 = 3k + 2 + 10 = 3 ( k + 4 )⋮ 3 và p + 10 lớn hơn 3 nên p + 10 là hợp số.

Vậy p = 3.

Câu 3:

a) x − 1 = 4

⇒ x − 1 = 4 hoặc x − 1 = −4 ⇒ x = 5 hoặc x = −3 Vậy x = 5; x = −3 b) 2 x.2 x +1.2 x + 2.518 = 1000 … 0 ⇒ 23 x + 3.518 = 1018 ⇒ 23 x + 3.518 = 218.518 ⇒ 23 x + 3 = 218 ⇒ 3 x + 3 = 18 ⇒ x = 5

Vậy x = 5.

Câu 4:

y A

B

x

O

z

C

a) Trên tia AB, ta có AB < AC nên B nằm giữa A và C. Ba tia Ox, OA, OC chung gốc O. Tia Ox cắt AC tại B là một điểm nằm giữa A và C. Vậy Ox nằm giữa hai tia

OA và OC. + zOC = 180° (kề bù) b) Ta có xOC + 150° = 180° ⇒ xOC = 30° xOC + xOC = 130° + 30° = 160°.

Ta có tia Ox nằm giữa hai tia OA và OC ⇒ AOC = xOy c)

64

Câu 5:

10 x = y 2 − 143 ⇒ 10 x + 143 = y 2 Nếu x = 0 ⇒ y = 12 thỏa mãn.

Nếu x > 0 ⇒ 10 x có chữ số tận cùng là 0 ⇒ 10 x + 143 có chữ số tận cùng là 3. Mà

y 2 là số chính phương nên không thể có tận cùng bằng 3. Do đó không tồn tại x, y ∈ ℕ thỏa mãn.

Vậy x = 0; y = 12. ĐỀ SỐ 17: ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN QUẢNG XƯƠNG - NĂM 2019 Câu 1: (4,0 điểm) 2 1 1. Tìm x biết: + : x = −1 3 3 2. Thực hiện phép tính: 183 ( 764 + 317 ) − 317 (183 − 764 )

Câu 2: (4,0 điểm) 1. Tính tổng: S = 1 + 2 − 3 − 4 + 5 + 6 − 7 − 8 + ... + 101 + 102 2. Có bao nhiêu số tự nhiên giữa 1 và 93, nguyên tố cùng nhau với 93.

Câu 3: (4,0 điểm) 1. Tìm các số tự nhiên n để 21n + 3 chia hết cho 4.

1 số học sinh còn lại. Cuối 7 1 năm do có thêm 3 học sinh giỏi nên số học sinh giỏi bằng số học sinh còn lại.

4

2. Cuối học kỳ I, số học sinh giỏi của lớp 6A bằng

Tìm số học sinh của lớp 6A. Câu 4: (6,0 điểm) 1. Trên tia Ox cho các điểm A và B sao cho OA = 5cm và OB = 10cm. a) Tính AB b) A có phải là trung điểm của OB không? Vì sao?

65

= 400 và OKB = 900 . Tính góc c) Ở ngoài đường thẳng Ox lấy điểm K sao cho OKA

AKB 2. Cho đoạn thẳng AB có đọ dài là a . Gọi A1 là trung điểm của AB , A2 là trung điểm của

AA1 , A3 là trung điểm của AA 2 ,…, A100 là trung điểm của AA99 .Biết AA100 = 2cm , hãy tính a?

Câu 5: (2,0 điểm) Người ta ghi các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lên các mặt của con xúc xắc hình lập phương. Sau lần tung thứ nhất tổng các số ở 4 mặt xung quanh là 12. Sau lần tung thứ hai, tổng các số ở 4 mặt xung quanh là 15. Hỏi số được ghi ở mặt đối diện với số 3 là bao nhiêu?

66 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN QUẢNG XƯƠNG - NĂM 2019 Câu 1: 1.

2 1 + : x = −1 3 3 1 2 : x = −1 − 3 3 1 −5 :x= 3 3

x = −5 2. 183 ( 764 + 317 ) − 317 (183 − 764 )

= 183.764 + 183.317 − 317.183 + 317.764 = 764 (183 + 317)

= 382000 Câu 2: 1. S = 1 + 2 − 3 − 4 + 5 + 6 − 7 − 8 + ... + 101 + 102 S = 1 + (2 − 3 − 4 + 5) + (6 − 7 − 8 + 9) + ... + (98 − 99 − 100 + 101) + 102

S = 1 + 0 + 0... + 0 + 102 S = 103 2. Vì 93⋮ 3 nên số số tự nhiên giữa số 1 và 93 chia hết cho 3 là: (90 − 3) : 3 + 1 = 30 (số) Số số tự nhiên giữa số 1 và số 93 là: (92 − 2) :1 + 1 = 91 (số) Số số tự nhiên giữa 1và 93, nguyên tố cùng nhau với 93 là: 91 − 30 = 31 (số) Câu 3: 1. Ta có: 21n + 3 = 16n + 5n + 3 Để (21n + 3) ⋮ 4 thì (5n + 3) ⋮ 4 Ta thấy 5n có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.

Do đó (5n + 3) ⋮ 4 khi n ∈ {1;5;9;13;....} Vậy (21n + 3) ⋮ 4 thì n ∈ {1;5;9;13;....} 2.

1 Số học sinh giỏi kỳ I bằng số học sinh cả lớp 8 1 Số học sinh giỏi cuối bằng số học sinh cả lớp.

5 1 1 3 3 học sinh là − = số học sinh cả lớp.

5 8 40 3 3 số học sinh cả lớp là 3 nên số học sinh cả lớp là 3 : = 40 (học sinh) 40 40

Câu 4:

67

A

O

x

B

1. a) Vì trên Ox có các điểm A và B sao cho OA = 5cm < OB = 10cm nên điểm A nằm giữa O và B .

Do đó: AB = OB − OA

AB = 10 − 5 = 5cm b) Điểm A là trung điểm của OB vì : + Điểm A nằm giữa O và B . + AO = OB c)

K

B

A

O

x

Vì điểm A nằm giữa O và B nên tia KA nằm giữa hai tia KO và KB = OKA + AKB Do đó OKB

= OKB − OKA

⇒ AKB = 900 − 400 = 500 2.

A

A2

A1

AB a = (cm) 2 2 AA a A2 là trung điểm của A1 A nên A2 A = 1 = 2 (cm ) 2 2

A1 là trung điểm của AB nên A1 A =

Như vậy: AA3 =

a a a , AA4 = 4 , AA100 = 100 ,..., 3 2 2 2

Mà AA100 = 2(cm) Do đó

a = 2(cm) ⇒ a = 2100.2 = 2101 2100

B

68 Vậy AB = 2101 Câu 5: Gọi số đối diện với mặt chứa số 3 là x ; các mặt còn lại số chấm lần lượt là: y; z; m; n. (mặt y; z đối diện nhau; mặt m; n đối diện nhau); (chú ý x ≠ 3 ⇒ x + 3 ≠ 6 ) Tổng tất cả ⇒ x + y + z + m + n = 18

các

mặt

của

hình

lập

phương: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

TH1: Nếu lần gieo đầu tiên số 3 không nằm ở các mặt xung quanh

⇒ 3 + x = 21 − 12 = 9 ⇒ x = 6 và m + n + y + z = 12 Do lần gieo thứ hai tổng số chấm ở bốn mặt xung quanh thay đổi so với lần gieo đầu tiên lúc này số 3 phải nằm ở các mặt xung quanh: 3 + x + m + n = 15 ⇒ m + n = 6; y + z = 6 (có nghiệm thỏa mãn chẳng hạn m = 1; n = 5; y = 2; z = 4 )

TH2: Nếu lần gieo đầu tiên số 3 ở một trong 4 mặt xung quanh: 3 + x + y + z = 12 Lần gieo thứ hai vì tổng số chấm ở 4 mặt xung quanh là 15 nên tổng 2 mặt đáy trên và đáy dưới là 6 nên ở lần gieo thứ 2 số 3 không thể ở mặt đáy trên hoặc mặt đáy dưới ( x + 3 ≠ 6 ) Vậy ở lần gieo thứ hai số 3 vẫn ở 1 trong 4 mặt xung quanh và tổng số chấm ở 4 mặt xung quanh có sự thay đổi so với lần gieo đầu tiên nên: 3 + x + m + n = 15 Còn lại: 6 + 2 x + m + n + y + z = 27 ⇒ 6 − x + 18 = 27 ⇒ x = 3 (mâu thuẫn) ĐỀ SỐ 18: ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN QUỐC OAI - NĂM 2019 Câu 1: (3 điểm) Tìm x biết: a) 17 − 3 2x − 1 = 2

b) 2 x − 2 x + 2 + 2 x +3 = 80

Câu 2: (3 điểm)

a b 2⊕3 + , hãy tính giá trị của M = b a 5⊕6 b) Phép tính sau được xác định: a ⊗ b = a.b + a + b .

Tìm giá trị của x trong: 4 ⊗ x = 49 Câu 3: (3 điểm) a) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( x; y) thỏa mãn: (2 x + 1) 2 ( y − 2)2 = 4 b) Giữa 1 và 2019 có bao nhiêu số là bội của 5 hoặc 7?

Câu 4: (3 điểm) a) Phép tính sau được xác định: a ⊕ b =

69 Mật khẩu Zalo của tôi là một số có 6 chữ số bắt đầu bằng chữ số 1. Nếu tôi chuyển chữ số 1 đó về vị trí hàng đơn vị thì số có 6 chữ số mới gấp 3 lần số ban đầu. Hỏi mật khẩu tài khoản Zalo của tôi là số nào?

Câu 5: (3 điểm) Một chiếc xe máy được niêm yết giá bán cao hơn giá gốc là 20%. Trong đợt khuyến mại, người ta bán nó với giá bằng 80% giá bán trước đó, vì vậy bị lỗ 84 đôla. Hỏi giá gốc của chiếc xe máy là bao nhiêu?

Câu 6: (5 điểm) Cho đoạn thẳng AB = 6cm , O thuộc tia đối của tia AB. Trên một nửa mặt phẳng bờ OB vẽ = 60o và xAy = 45o . hai tia Ax và Ay sao cho xAB

. a) Tính số đo OAy b) Gọi M là trung điểm của OA, N là trung điểm của OB. Tính độ dài của đoạn thẳng MN. HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: (3 điểm) a)17 − 3 2 x − 1 = 2

3 2 x − 1 = 15 2x −1 = 5 2 x − 1 = 5 2 x = 6 x = 3 ⇒ ⇒ ⇒  2 x − 1 = −5  2 x = −4  x = −2 Vậy x = 3 hoặc x = −2 Câu 2: (3 điểm) a) Ta có 2 3 4 9 13 2⊕3 = + = + = 3 2 6 6 6 5 6 25 36 61 5⊕6 = + = + = 6 5 30 30 30 2 ⊕ 3 13 61 13 30 65 ⇒M = = : = . = 5 ⊕ 6 6 30 6 61 61 65 Vậy M = 61

b) 2 x − 2 x+ 2 + 2 x +3 = 80 2 x (1 − 22 + 23 ) = 80 2 x.5 = 80 2 x = 16 2x = 2 5 ⇒ x=5 Vậy x = 5

b) Ta có 4 ⊗ x = 4 x + 4 + x = 5 x + 4 ⇒ 5 x + 4 = 49 5 x = 45 x=9 Vậy x = 9

Câu 3: (3 điểm) a) Vì x, y nguyên nên 2 x + 1, y − 2 nguyên ⇒ (2 x + 1) 2 , ( y − 2)2 nguyên

⇒ (2 x + 1)2 , ( y − 2)2 là ước của 4 Ư (4) = {1; −1; 2; −2; 4; −4} Mà (2 x + 1)2 , ( y − 2) 2 ≥ 0 ⇒ (2 x + 1) 2 , ( y − 2) 2 ∈ {1; 2; 4} Lại có 2 x + 1 là số lẻ nên (2 x + 1) 2 là số lẻ

70

2 x + 1 = 1 2 x = 0  x = 0    (2 x + 1) = 1  2 x + 1 = −1  2 x = −2  x = −1 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 2 ( y − 2) = 4   y − 2 = 4  y = 6  y = 6   y − 2 = −4   y = −2   y = −2    Vậy các cặp số nguyên ( x; y) thỏa mãn đề bài là (0;6) ; (0; −2) ; (−1; 6) ; (−1; −2) b) Tập hợp các bội của 5 từ 1 đến 2019 là A = {5;10;15;...; 2010; 2015} 2

Tập hợp các bội của 7 từ 1 đến 2019 là B = {7;14;121;...; 2009; 2016} Tập hợp các bội chung của 5 và 7 từ 1 đến 2019 là C = {35;70;105;...;1960;1995} Số phần tử của tập hợp A là ( 2015 − 5) : 5 + 1 = 403 Số phần tử của tập hợp B là (2016 − 7) : 7 + 1 = 288 Số phần tử của tập hợp C là (1995 − 35) : 35 + 1 = 57 Vậy giữa 1 và 2019 có 403 + 288 − 57 = 634 số là bội của 5 hoặc 7 Câu 4: (3 điểm) Ta có thể viết số có 6 chữ số cần tìm dưới dạng 1A (với A là một số chứa 5 chữ số còn lại của số ban đầu). Khi đó, số cần tìm có thể viết là 100000 + A .

Khi di chuyển chữ số 1 về hàng đơn vị và số A lên trước, ta được số mới có dạng 10A + 1.

Theo bài ra ta có 10. A + 1 = 3.(100000 + A) ⇒ 7 A = 299999 ⇒ A = 42857 Vậy số có 6 chữ số ban đầu là 142857.

Câu 5: (3 điểm) Gọi giá gốc của chiếc xe là a ( đôla, a > 0 ) 6 Giá niêm yết của xe là a + 20%a = a 5 6 24 a Giá xe sau khuyến mại là 80%. a = 5 25

Vì sau khuyến mại lỗ 84 đô la nên ta có a −

24 a = 84 ⇒ a = 2100 (thỏa mãn) 25

Vậy giá gốc của chiếc xe là 2100 đôla.

Câu 6: (5 điểm) a) Trường hợp 1: Tia Ay nằm giữa hai tia AB và Ax + yAx = BAx

⇒ BAy

+ 45o = 60o ⇒ BAy = 15o ⇒ BAy Vì AB và AO là hai tia đối nhau nên và yAO là hai góc kề bù BAy + yAO = 180o ⇒ BAy = 180o ⇒ yAO = 165o ⇒ 15o + yAO

x

y B

Trường hợp 2: Tia Ax nằm giữa hai tia AB và Ay + yAx = BAy

⇒ BAx

= 60o + 45o = 105o ⇒ BAy

N

A

M

O

71 Vì AB và AO là hai tia đối nhau nên và yAO là hai góc kề bù BAy

y

x

+ yAO = 180o ⇒ BAy = 180o ⇒ yAO = 75o ⇒ 105o + yAO b) Vì M là trung điểm của OA nên OM =

OA 2

B

N

A

M

O

OB 2 OB OA OB − OA AB − = = = 3 (cm) Ta có MN = ON − OM = 2 2 2 2 Vì N là trung điểm của OB nên ON =

ĐỀ SỐ 19: ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN TÂN UYÊN NĂM HỌC 2018-2019 Câu 1: (4,0 điểm) 1.1. Tính giá trị của biểu thức: a) 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + ... + 4019 − 4020 b) A =

210.13 + 29.130 28.104

1.2. Tìm x , biết : 2.3 x = 10.312 + 8.27 4 Câu 2: (4,0 điểm) 2.1. Tìm hai số tự nhiên a , b biết : BCNN ( a , b ) = 72 , UCLN ( a , b ) = 12 và a + 12 = b 2.2. Tìm số nguyên tố p sao cho p + 4 và p + 20 cũng là số nguyên tố.

Câu 3: (5,0 điểm) 3.1. Tìm số tự nhiên n sao cho 2n + 7 ⋮ n + 1 3.2. Tìm chữ số tận cùng của 132019 3.3. Tìm số nguyên n để B =

2n + 3 có giá trị nguyên.

3n + 2

Câu 4: (5,0 điểm) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB . Vẽ điểm N nằm giữa M và B. Cho biết MN = a ( cm) , NB = b ( cm) a) Tính AB b) Lấy điểm O nằm ngoài đường thẳng AB. Giả sử

= 200 . Hỏi tia ON có phải là tia phân giác của MOB AOB = 1000 ; AOM = 600 ; MON không ? Vì sao ?

Câu 5: (2,0 điểm)

72 So sánh : C =

1 + 5 + 52 + ... + 59 1 + 3 + 32 + ... + 39 và D = 1 + 5 + 52 + ... + 58 1 + 3 + 32 + ... + 38

……………….HẾT…………….

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN TÂN UYÊN - NĂM HỌC 2018 - 2019 Câu 1: 1.1. a) 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + ... + 4019 − 4020 = ( 1 − 2 ) + ( 3 − 4 ) + ( 5 − 6 ) + ... + ( 4019 − 4020 ) = ( −1) + ( −1) + ( −1) + ... + ( −1) = −2010

2010 so hang

210.13 + 29.130 210.13 + 210.13.5 = 28.104 210.13.2 10 2 .13(1 + 5) 6 A= = =3 210.13.2 2

b) A =

1.2. 2.3 x = 10.312 + 8.27 4

3 x = 5.312 + 4.27 4

( )

3 x = 5.312 + 4. 33

4

3 x = 5.312 + 4.312 3 x = 312 ( 5 + 4 ) 3 x = 312.32 = 314 x=4

Câu 2: 2.1. Từ dữ liệu đề bài cho, ta có : + Vì UCLN ( a , b ) = 12 , nên ắt tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao cho: a = 12 m ; b = 12n (1) và UCLN ( m , n ) = 1 (2)

+ Vì BCNN ( a , b ) = 72 , nên theo trên, ta suy ra :

⇒ BCNN (12m; 12n ) = 72 = 12.6 ⇒ BCNN ( m; n ) = 6 + Vì a + 12 = b , nên ta có:

(3)

73 ⇒ 12m + 12 = 12n ⇒ 12. ( m + 1) = 12n

⇒ m +1 = n

(4)

Trong các trường hợp thoả mãn các điều kiện (2) và (3), thì chỉ có trường hợp : m = 2, n = 3 là thoả mãn điều kiện (4).

Vậy với m = 2, n = 3 , ta được các số phải tìm là : a = 12 . 2 = 24 ; b = 12.3 = 36 2.2. Xét p = 2 ⇒ p + 4 = 6 và p + 20 = 22 (không là số nguyên tố) Xét p = 3 ⇒ p + 4 = 7 (là số nguyên tố) và p + 20 = 23 (là số nguyên tố) Xét p > 3 khi đó do p là số nguyên tố nên p không chia hết cho 3 ⇒ p = 3 k + 1 hoặc p = 3 k + 2

(k ∈ N *)

+ Khi p = 3k + 1 ⇒ p + 20 = 3k + 21⋮ 3 ⇒ p + 20 là hợp số + Khi p = 3k + 2 ⇒ p + 4 = 3k + 6⋮ 3 ⇒ p + 4 là hợp số Vậy chỉ có p = 3 thỏa mãn bài toán.

Câu 3: 3.1. Ta có: 2n + 7 ⋮ n + 1

⇔ 2 ( n + 1) + 5⋮ ( n + 1) ⇔ 5⋮ n + 1

⇔ n + 1 ∈ U ( 5 ) = {1; 5} , vi n ∈ N ⇔ n ∈ {0 ; 4} 3.2 . Nhận xét: chữ số tận cùng của 132019 chính là chữ số tận cùng của 32019

( )

Ta có: 3 2019 = 34.504 + 3 = 34

504

.33 = 81504.27 có chữ số tận cùng là 7

Vậy 13 2019 có chữ số tận cùng là 7

3.3. Để B =

2n + 3 có giá trị nguyên 3n + 2

⇔ 2n + 3 ⋮ 3n + 2 ⇒ 3 ( 2n + 3 )⋮ 3n + 2 và 2 ( 3n + 2 )⋮ 3n + 2

74

⇒ 3 ( 2 n + 3 ) − 2 ( 3n + 2 ) ⋮ ( 3 n + 2 ) ⇒ 5⋮ 3n + 2

⇒ 3n + 2 ∈ U ( 5 ) ∈ {1; − 1; 5 ; − 5} ⇒ n ∈ {−1;1} , vi n ∈ Z Câu 4:

a) Vì N nằm giữa M và B nên ta có: MN + NB = MB hay MB = a + b (cm)

Vì M là trung điểm của đoạn thẳng AB Nên AB = 2.MB = 2( a + b) ( cm) b) Vì tia OM nằm giữa hai tia OA và OB

= = 1000 ⇒ AOM + MOB AOB hay 600 + MOB = 400 ⇒ MOB Vì tia ON nằm giữa hai tia OM và OB

+ NOB = MOB hay 200 + NOB = 400 ⇒ MON = 200 ⇒ NOB = NOB = 200 Suy ra: MON

Vậy tia ON có phải là tia phân giác của MOB Câu 5: Ta có:

75

1 + 5 + 52 + ... + 59 59 1 + 5 + 5 2 + ... + 58 = 1 + = 1 + 1 : 1 + 5 + 52 + ... + 58 1 + 5 + 5 2 + ... + 58 59  1 1 1 1 C = 1 + 1 :  9 + 8 + 7 + ... +  5 5 5 5 C=

1 + 3 + 3 2 + ... + 39 39 1 + 3 + 32 + ... + 38 = 1 + = 1 + 1 : 1 + 3 + 3 2 + ... + 38 1 + 3 + 32 + ... + 38 39 1  1 1 1 D = 1 + 1 :  9 + 8 + 7 + ... +  3 3 3 3 D=

Do

1 9

5

<

3

9

;

9

+

1

1 5

8

<

1 3

8

;

1 7

5

<

1 7

3

; ...;

1 1 < 5 3

1 1 1 1 1 + .... + < 9 + 8 + 7 + .... + 5 3 3 5 5 5 3 3  1 1 1 1  1 1 1 1 ⇒ 1 :  9 + 8 + 7 + .... +  > 1 :  9 + 8 + 7 + .... +  5 3 5 5 3 3 5 3 ⇒

1

1

8

+

1

7

 1 1 1 1  1 1 1 1 ⇒ 1 + 1 :  9 + 8 + 7 + .... +  > 1 + 1 :  9 + 8 + 7 + .... +  5 3 5 5 3 3 5 3 ⇒C>D ĐỀ SỐ 20: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 6 HUYỆN THÁI THỤY - NĂM 2019 Bài 1. (4,0 điểm). Tính hợp lý giá trị biểu thức: a) A =

−3 7 3 13 3 . − : +1 .

5 13 5 6 5

 151515 179   1500 176  b) B =  + 10  −  − .  161616 17   1600 187 

1  1  1   1   c) C =  1 +  1 +  1 +  ...  1 + .

1.3 2.4 3.5 2018.2020       Bài 2. (3,0 điểm). Tìm số tự nhiên x , biết: a) 2 x − 1 ≤ 4 . b) 2 x + 2 x +1 + 2 x + 2 + ... + 2 x + 2015 = 22019 − 8 .

Bài 3. (3,0 điểm) a) Một đơn vị bộ đội xếp hàng 20, 25, 30 đều dư 15; nhưng xếp hàng 41 thì vừa đủ.

Tính số người của đơn vị đó, biết rằng số người của đơn vị chưa đến 1000 người.

2

b) Tìm các chữ số a và số tự nhiên x sao cho (12 + 3x ) = 1a 96 .

76 Bài 4. (4,0 điểm) a) Tìm số nguyên tố có hai chữ số khác nhau có dạng xy ( x > y > 0 ) sao cho hiệu của số đó với số viết theo thứ tự ngược lại của số đó là số chính phương. b) Cho các số nguyên dương a ; b ; c ; d ; e thoả mãn a 2 + b2 + c 2 + d 2 + e2 chia hết cho 2. Chứng tỏ rằng: a + b + c + d + e là hợp số. c) Cho n ∈ ℤ , n > 2 . Chứng tỏ rằng P =

3 8 15 n2 − 1 + + + ... + 2 không là số nguyên.

4 9 16 n

Bài 5. (5,0 điểm) Cho góc bẹt xOy , trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA = 2 cm, trên tia Oy lấy hai điểm M và B sao cho OM = 1 cm, OB = 4 cm. a) Chứng tỏ M là trung điểm của đoạn thẳng AB .

. yOt = 130 , yOz = 30 . Tính số đo zOt b) Từ O kẻ hai tia Ot và Oz sao cho c) Qua O kẻ thêm n tia phân biệt khác tia Ox , Oy , Oz , Ot . Biết rằng trên hình có 190 góc phân biệt chung gốc O . Tính n .

Bài 6. (1,0 điểm) Cho Q =

2007 1 20202018 7 − 32008 . Chứng minh Q là số tự nhiên chia hết cho 5.

2

(

)

--HẾT—

LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 6 HUYỆN THÁI THỤY - NĂM 2019 Bài 1. a) A =

−3 7 3 13 3 −3 7 3 6 8 −3  7 6  8 −3 8 . − : + 1 = . − . + = . +  + = + = 1.

5 13 5 6 5 5 13 5 13 5 5  13 13  5 5 5

 151515 179   1500 176  15 1 15 16 = 1. b) B =  + 10  −  − = + − +  161616 17   1600 187  16 17 16 17 2 2 2 1  1  1   1 20192   2 3 4 C = 1 + 1 + 1 + ...

1 + = . . ... c)        1.3   2.4   3.5   2018.2020  1.3 2.4 3.5 2018.2019

= Bài 2.

( 2.3.4...2019 ) . ( 2.3.4...2019 ) ( 2.3.4...2019 ) . ( 3.4.5...2018)

= 2.2019 = 4038 .

77 a) Ta có: 2 x − 1 ≤ 4 ⇔ −4 ≤ 2 x − 1 ≤ 4 ⇔ −3 ≤ 2 x ≤ 5 ⇔

−3 5 ≤x≤ .

2 2

Vì x là số tự nhiên nên x ∈ {0; 1; 2} . b) 2 x + 2 x +1 + 2 x + 2 + ... + 2 x + 2015 = 22019 − 8 ⇔ 2 x. (1 + 2 + 2 2 + ... + 2 2015 ) = 2 2019 − 8

⇔ 2 x. ( 22016 − 1) = 23. ( 2 2016 − 1)

⇔ 2 x = 23 ⇔ x = 3 .

Bài 3. a) Gọi số người của đơn vị bộ đội là a (người).

Vì đơn vị đó xếp hàng 20, 25, 30 đều dư 15 nên ( a − 15)⋮ 20 ; ( a − 15)⋮ 25 ; ( a − 15)⋮ 30 .

Suy ra, ( a − 15) ∈ BC ( 20; 25; 30) .

Ta tính được: BCNN (20; 25; 30) = 300 ⇒ BC (20; 25; 30) = {0; 300; 600; 900; 1200; ... }

⇒ a ∈ {15; 315; 615; 915; 1215; ... } .

Vì đơn vị đó xếp hàng 41 thì vừa đủ nên a ⋮ 41 và số người của đơn vị chưa đến 1000 người nên chọn a = 615 .

Vậy số người của đơn vị đó là 615 người.

2

2

2

b) Ta có: (12 + 3 x ) = 1a 96 ⇔ 9. ( 4 + x ) = 1096 + 100a ⇔ 9. ( 4 + x ) = 1089 + 7 + 100a .

Vì 1089⋮ 9 nên ( 7 + 100a )⋮ 9 ⇒ ( 7 + a )⋮ 9 ⇒ a = 2 .

 4 + x = 12 x = 8 2 2 ⇔ Với a = 2 , 9. ( 4 + x ) = 1296 ⇔ ( 4 + x ) = 144 ⇔  .  4 + x = −12  x = −16 Vì x là số tự nhiên nên chọn x = 8 .

Vậy a = 2 , x = 8 .

Bài 4. a) Theo đề ta có: xy − yx là số chính phương.

Khi đó: 10 x + y − (10 y + x ) = 10. ( x − y ) − ( x − y ) = 9 ( x − y ) là số chính phương.

Suy ra: x − y là số chính phương.

Vì x > y > 0 nên x; y ∈ {1; 2; ...; 9} , ta xét các trường hợp sau:

78 + TH1: x − y = 1 và xy là số nguyên tố nên xy = 43 . + TH2: x − y = 4 và xy là số nguyên tố nên xy = 73 . + TH3: x − y = 9 và xy là số nguyên tố nên không có số nào thoả mãn.

Vậy xy ∈ {43; 73} . b) Ta xét:

a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 − ( a + b + c + d + e) = a ( a − 1) + b ( b − 1) + c ( c − 1) + d ( d − 1) + e ( e − 1) .

Mà a ( a − 1) ⋮ 2 (hai số nguyên liên tiếp).

Suy ra:  a ( a − 1) + b ( b − 1) + c ( c − 1) + d ( d − 1) + e ( e − 1)  ⋮ 2 .

Theo đề:  a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2  ⋮ 2 nên ( a + b + c + d + e )⋮ 2

(1)

Mà a ; b ; c ; d ; e là các số nguyên dương nên a + b + c + d + e > 2

(2)

Từ (1) và ( 2 ) suy ra a + b + c + d + e là hợp số. c) Ta có: P =

= 1−

Lại có:

= 1−

3 8 15 n 2 − 1 4 − 1 9 − 1 16 − 1 n2 − 1 + + + ... + 2 = + + + ... + 2 4 9 16 n 4 9 16 n 1 1 1 1 1  1 1 + 1 − 2 + 1 − 2 + ... + 1 − 2 = n − 1 −  2 + 2 + ... + 2  < n − 1 (1) 2 2 3 4 n n  2 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1 − + − + − + ... + − + 2 + ... + 2 < + + ... + 2 2 3 n 1.2 2.3 2 2 3 3 4 n −1 n ( n − 1) .n

1 . n 1  1 Suy ra: P > n − 1 −  1 −  = n − 2 + > n − 2 n  n

(2)

Vậy n − 2 < P < n − 1 nên P không phải số nguyên.

Bài 5. a) Trên tia Oy ta có OM < OB (1cm < 4cm) nên M nằm giữa O và B .

79

Suy ra OM + MB = OB ⇒ MB = OB − OM = 4 − 1 = 3 cm.

(1)

Do A và M nằm trên hai tia đối nhau nên O nằm giữa A và M .

(2)

Suy ra AM = AO + OM = 2 + 1 = 3 cm.

Mặt khác do A và B nằm trên hai tia đối nhau và M nằm giữa O và B nên suy ra

( 3)

M nằm giữa A và B .

Từ (1) , ( 2 ) và ( 3) suy ra M là trung điểm của đoạn thẳng AB . b) TH1: Oz và Ot nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy : Vì

< yOz < yOt nên tia Oz nằm giữa hai tia Ot và Oy nên yOz + zOt yOt = ⇒ zOt yOt − yOz = 130 − 30 = 100 . t z

y

x A

O

M

B

TH2: Oz và Ot nằm trên hai nửa mặt phẳng khác nhau có bờ là đường thẳng xy ,

= khi đó tia Oy nằm giữa hai tia Ot và Oz nên zOt yOt + yOz = 130 + 30 = 160 . t

M

x A

O

c) Đặt m = n + 4 . Khi đó:

y B

Tia thứ 1 tạo ra m góc có gốc O . z

Tia thứ 2 tạo ra m − 1 góc có gốc O khác các góc ở trên.

Tia thứ 3 tạo ra m − 2 góc có gốc O khác các góc ở trên. .....

Tia thứ m tạo ra m − ( m − 1) góc có gốc O khác các góc ở trên.

80 Như vậy tổng số góc phân biệt chung gốc O là:

m + m − 1 + m − 2 + ... + m − (m − 1) = m.m − 1 + 2 + ... + ( m − 1) + m  =m

2

1 + m ] .m m 2 − m [ − = .

2

2

Theo đề ta có:

 m = 20 m2 − m = 190 ⇔ m2 − m = 380 ⇔ ( m − 20) . ( m + 19 ) = 0 ⇔  .

2  m = −19

Chọn m = 20 . Suy ra n = 16 .

Bài 6.

Vì 2020; 2008 đều là bội của 4 nên 20202018 và 20082007 cũng là bội của 4. Đặt 20202018 = 4m ( m ∈ ℕ *) ; 20082007 = 4n ( n ∈ ℕ *) .

Khi đó 72020

2018

2007

− 32008

m

n

= 74 m − 34 n = ( 74 ) − ( 34 ) = 2401m − 81n .

Ta thấy 2401m và 81n có tận cùng là 1 nên 2401m − 81n có tận cùng là 0.

Suy ra Q =

2007 1 20202018 7 − 32008 có tận cùng là 0 hoặc 5.

2

(

)

Vậy Q là số tự nhiên chia hết cho 5.

ĐỀ SÓ 21: ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN THANH CHƯƠNG - NĂM 2019 Câu 1. (2,0 điểm) 7  −17  −5 a. Thực hiện phép tính sau một cách hợp lí: A =  + 0, 75 − . : 24 12  8 −  b. Rút gọn B =

255 + 257 + 259 511 + 513 + 515 + 517 + 519 + 521

Câu 2. (2,5 điểm) a. Tìm x biết: 3 1 − x = 6 . b. Tìm x biết: 8 x + 3 + 23 x − 29 = 218 . c. Tìm hai số nguyên dương a, b biết: a + b = 30 và [ a, b] = 6 ( a, b ) .

Câu 3. (2,0 điểm) a. Chứng minh rằng: 1028 + 8 ⋮ 72 .

1 1 1 1 1 1 1 − + − + − < .

2 4 8 16 32 64 3 Câu 4. (3,0 điểm) Cho góc bẹt xOy. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ xy , vẽ các tia Oz b. Chứng minh rằng:

= 70°, yOt = 55° . và Ot sao cho xOz

81 a. Chứng tỏ tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Ot. b. Chứng tỏ tia Ot là tia phân giác của góc yOz . c. Vẽ tia phân giác On của góc xOz. Tính góc nOt. 1 1 1 1 . Chứng minh A không là số tự nhiên.

Câu 5. (0,5 điểm) Cho A = 1 + + + + ... + 2 3 4 2019

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN THANH CHƯƠNG - NĂM 2019

Câu 1:

7  −17  −5 18 14  −17 9 −8 −9  −5 a. A =  + 0, 75 − = + + : = . = : 8 17 17 −12  8  24  24 24 24  8 b.

510 (1 + 54 + 58 ) 255 + 257 + 259 510 + 514 + 518 B = 11 13 15 17 19 21 = 11 15 19 = 5 +5 +5 +5 +5 +5 ( 5 + 5 + 5 ) + ( 513 + 517 + 521 ) (1 + 54 + 58 )( 511 + 513 )

= Câu 2:

510 1 1 = = 11 13 5 +5 5 + 125 130

a. 3 1 − x = 6

⇒ 1− x = 2 ⇒ 1 − x = ±2

+) 1 − x = 2 ⇒ x = −1. +) 1 − x = −2 ⇒ x = 3.

Vậy x ∈ {−1;3} là các giá trị cần tìm. b. 8x +3 + 23 x − 29 = 218

⇒ 8x.83 + 8x − 83 − 86 = 0 ⇒ 8 x ( 83 + 1) − 83 ( 83 + 1) = 0 ⇒ ( 83 + 1)( 8 x − 83 ) = 0

⇒ 8x − 83 = 0 (vì 83 + 1 > 0 ) ⇒ 8x = 83 ⇒ x=3

Vậy x = 3 . c. Gọi ( a, b ) = d Suy ra a = d .m , b = d .n trong đó m, n, d ∈ ℕ* , ( m, n ) = 1.

Khi đó [ a, b] =

ab = mnd d

82 mn = 6 mnd = 6d Vì [ a, b] = 6 ( a, b ) và a + b = 30 nên  ⇒ d ( m + n ) = 30 dm + dn = 30

Vì ( m, n ) = 1 và m + n ∈ Ư(30), nên ta có bảng:

m

3

2

n

2

3

d

6

6

a

18

12

b

12

18

Vậy hai số phải tìm là 12 và 18.

Câu 3:

a. Ta có 72=8.9

1028 + 8 = 100.....008 (27 chữ số 0) +) 1028 + 8 = 100.....008 có ba chữ số tận cùng là 008 chia hết cho 8 nên 1028 + 8⋮ 8 (1) +) Tổng các chữ số của 100...008 (27 chữ số 0) là: 1 + 27.0 + 8 = 9⋮ 9

⇒ 1028 + 8⋮ 9

(2)

Mà ƯCLN ( 8;9 ) = 1

(3)

Từ (1), (2), (3) suy ra 1028 + 8⋮ 72 (đpcm).

1 1 1 1 1 b. Ta có 2 A = 1 − + − + − 2 4 8 16 32 1   1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 ⇒ 2 A + A = 1 − + − + −  +  − + − + −   2 4 8 16 32   2 4 8 16 32 64  ⇒ 3A = 1− ⇒ 3A =

1 64

63 1 < 1 ⇒ A < (đpcm).

64 3

Câu 4:

a. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy , ta có tia Ot nằm giữa

+

hai tia Ox và Oy ⇒ xOt yOt = xOy = xOy − ⇒ xOt yOt = 180° − 55° = 125°

83

< xOt

Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy , ta có xOz

( 70° < 125° ) ⇒ Tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Ot .

b. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy , ta có tia Oz nằm giữa

+ = 180° hai tia Ox và Oy ⇒ xOz yOz = xOy

⇒ yOz = 180° − 70° = 110° Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy , ta có yOt < yOz

( 55° < 110° ) ⇒ Tia Ot nằm giữa hai tia Oy và Oz yOz 110° Ta lại có yOt = 55° = = 2 2 ⇒ tia Ot là tia phân giác của góc yOz .

= xOz = 70° = 35° c. Vì On là tia phân giác của góc xOz nên xOn 2 2 + nOt + = 180° Ta có xOn yOt = xOy

Câu 5:

= 180° − 35° − 55° = 90° . ⇒ nOt 1 1 1 1 Xét tổng 1 + + + + ... + 2 3 4 2019 Chọn mẫu chung là 210.3.5.7.9....2017

1 là số lẻ ( 3.5.7.9.....2017 ) , còn lại các thừa số phụ 1024 khác đều chẵn. Do đó sau khi quy đồng mẫu và cộng các tử lại thì tử là số lẻ, còn mẫu chung là số chẵn.

Thừa số phụ của phân số

Do đó phân số kết quả không là số tự nhiên. ⇒ đpcm.

ĐỀ SỐ 22: ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN THANH OAI - NĂM 2019 Câu 1: (4,0 điểm) 2

1 1  1. Tìm x biết:  x −  − = 0 .

2 4  2. Tìm số nguyên n để phân số M =

2n − 7 có giá trị là số nguyên. n−5

Câu 2: (5,0 điểm) 1. Tìm số nguyên tố x , y sao cho x 2 + 165 = y 2 .

84 2. Chứng minh rằng với n là số tự nhiên thì n ( n + 1) + 2019 không chia hết cho

2020 .

3. So sánh 7150 và 37 75 .

Câu 3. (3,0 điểm) 1. Chứng minh rằng hai số lẻ liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau.

2. Chứng minh rằng: 1 2 3 4 99 100 3 − 2 + 3 − 4 + … + 99 − 100 < .

3 3 3 3 3 3 16

=1 Câu 4: (7,0 điểm) Cho góc vuông xOy . Vẽ tia Oz sao cho xOz yOz .

4

.

1. Tính xOz 2. Gọi Om và On lần lượt là hai tia phân giác của hai góc xOz và yOz . Tính góc

mOn ?

Câu 5: (1,0 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( x, y ) thỏa mãn: x 2 + x = 32019 y + 1 .

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN THANH OAI - NĂM 2019 2

Câu 1:

1 1  1.  x −  − = 0 2 4  2

1 1  x−  = 2 4  1 1 1 1 ⇒ x − = hoặc x − = − 2 2 2 2 1 1 +) TH1: x − = 2 2

x =1 +) TH2: x −

1 1 =− 2 2

x=0 Vậy x ∈ {1; 0} 2. Ta có M =

2n − 7 2n − 10 + 3 2 ( n − 5) + 3 3 = = = 2+ n −5 n−5 n−5 n−5

Vì 2 ∈ ℤ nên để M ∈ ℤ thì Lập bảng:

3 ∈ ℤ ⇒ n − 5 là ước của 5. n−5

85

n −5

1

−1

5

−5

n

6 (tm)

4 (tm)

10 (tm)

0 (tm)

Vậy với n ∈ {0; 4;6;10} thì M có giá trị là số nguyên.

Câu 2:

1. Vì x 2 + 165 = y 2 nên y 2 > 165 ⇒ y > 12 Vì y là số nguyên tố, y > 12 nên y là số lẻ ⇒ y 2 là số lẻ Ta có x 2 + 165 = y 2 và y 2 là số lẻ nên x 2 là số chẵn ⇒ x là số chẵn Vì x là số nguyên tố nên x = 2 Khi đó: 22 + 165 = y 2

y 2 = 169 ⇒ y = 13 (thỏa mãn).

Vậy x = 2, y = 13 .

2. Vì n là số tự nhiên nên n ( n + 1)⋮ 2 ⇒ n ( n + 1) là số chẵn ⇒ n ( n + 1) + 2019 là số lẻ Do đó n ( n + 1) + 2019 không chia hết cho 2020 .

50

3. Ta có 7150 < 7250 = ( 23.32 ) = 2150.3100 75

37 75 > 3675 = ( 22.32 ) = 2150.3150

Vì 7150 < 2150.3100 < 2150.3150 < 37 75 nên 7150 < 37 75 .

Câu 3:

1. Gọi hai số lẻ liên tiếp là 2n + 1 và 2n + 3 ( n ∈ ℕ ) .

Gọi ước chung lớn nhất của 2n + 1 và 2n + 3 là d ⇒ 2n + 1⋮ d và 2n + 3 ⋮ d

⇒ ( 2n + 3) − ( 2n + 1) ⋮ d ⇒ 2 ⋮ d ⇒ d ∈ {1; 2} Vì 2n + 1 và 2n + 3 là số lẻ nên d = 1 .

Vậy hai số lẻ liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau.

1 2 3 4 99 100 2. Đặt VT = − 2 + 3 − 4 + … + 99 − 100 3 3 3 3 3 3 1 1 2 3 4 99 100 ⇒ VT = 2 − 3 + 4 − 5 + … + 100 − 101 3 3 3 3 3 3 3 4 1 1 1 1 1 1 100 ⇒ VT = − 2 + 3 − 4 + … + 99 − 100 − 101 3 3 3 3 3 3 3 3 4 1 1 1 1 1 1 100 ⇒ VT = 2 − 3 + 4 − 5 + … + 100 − 101 − 102 9 3 3 3 3 3 3 3 16 1 101 100 1 ⇒ VT = − 101 − 102 < 9 3 3 3 3 3 ⇒ VT < 16 1 2 3 4 99 100 3 Vậy − 2 + 3 − 4 + … + 99 − 100 < .

3 3 3 3 3 3 16

86 Câu 4: y n

z m O

x

và + ⇒ xOz + a) Vì xOz yOz là hai góc kề nhau nên xOz yOz = xOy yOz = 90°

=1

yOz ⇒ yOz = 4 xOz Mà xOz 4 + 4.xOz = 90° Do đó xOz = 90° ⇔ 5.xOz = 18° ⇒ ⇔ xOz yOz = 72° = 18°, Vậy xOz yOz = 72° .

nên xOm = mOz = 1 xOz = 1 .18° = 9° 2. Vì Om là tia phân giác của xOz 2 2 1 =1 Vì On là tia phân giác của yOz nên yOn = nOz yOz = .72° = 36° 2 2 Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oy có yOn < yOx ( 36° < 90° ) ⇒ tia On nằm giữa hai tia Ox, Oy

+ nOy = xOy

⇒ xOn

+ 36° = 90° ⇒ xOn = 54° ⇒ xOn < xOn

Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox có xOm ⇒ tia Om nằm giữa hai tia Ox, On

+ mOn = xOn

⇒ xOm = 54° ⇒ 9° + mOn = 45° ⇒ mOn = 45° .

Vậy mOn Câu 5:

+) TH1: Với y < 0 , ta có: VP = 32019 y + 1 không là số nguyên VT = x 2 + x là số nguyên

⇒ Trường hợp này loại.

( 9° < 54° )

87 +) Với y = 0 , ta có x 2 + x = 32019.0 + 1 ⇒ x 2 + x = 2

⇒ x ( x + 1) = 1.2 = ( −2 ) . ( −1)

⇒ x = 1 hoặc x = −2 . +) Với y ≥ 1 , ta có: VP = 32019 y + 1 chia cho 3 dư 1 Vì x nguyên nên x có dạng 3k ; 3k + 1; 3k + 2 Với x = 3k và x = 3k + 2 thì VT = x ( x + 1) ⋮ 3 Với x = 3k + 1 thì VT = x ( x + 1) chia cho 3 dư 2.

Do đó trường hợp này loại.

Vậy cặp số nguyên ( x; y ) cần tìm là: (1; 0 ) , ( −2;0 ) .

ĐỀ SỐ 23: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN CỬA LÒ - NĂM 2019 Câu 1. (4,0 điểm) Thực hiện phép tính (tính hợp lý nếu có): a) A = 105 − ( 52.2 − 24.3) .

−1 −1 −1 −1 −1 −1 + + + + + .

20 30 42 56 72 90 Câu 2. (6,0 điểm) x −2 5+ x . a) Tìm x biết: = 4 3 b) Tìm x , y nguyên biết: 3x + xy + 2 y = 17 . b) B =

c) Chứng minh: M = 2a +3 + 2a +5 + 2a + 7

(a ∈ ℕ)

chia hết cho 42 .

n−2 n+3 a) Tìm điều kiện của n để: A là một phân số.

Câu 3. (2,0 điểm) Cho A =

b) Tìm giá trị nguyên của n để A là một số nguyên.

Câu 4. (3,0 điểm) a) So sánh không qua quy đồng: A =

−7 −13 −13 −7 + 2019 ; B = 2018 + 2019 .

2018 10 10 10 10

b) Cho số nguyên tố p > 3 . Hỏi p 2 + 2018 là số nguyên tố hay hợp số. c) Cho số tự nhiên A gồm 100 chữ số 1, số tự nhiên B gồm 50 chữ số 2 . Chứng minh rằng A − B là số chính phương.

Câu 5. (5,0 điểm)

Cho góc xOy và góc yOz là hai góc kề bù. Biết góc xOy bằng

góc yOz . a) Tính số đo mỗi góc. b) Gọi Ot là tia phân giác của góc yOz . Tính số đo góc xOt .

1 lần 5

88 c) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xz chứa tia Ot , vẽ thêm n tia phân biệt (không trùng với các tia Ox ; Oy ; Oz ; Ot đã cho) thì có tất cả bao nhiêu góc?

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN CỬA LÒ - NĂM 2019

Câu 1:

a) A = 105 − ( 52.2 − 24.3) = 105 − 2. ( 52 − 23.3) = 105 − 2. ( 25 − 24 ) = 105 − 2 = 103 .

−1 −1 −1 −1 −1 −1 + + + + + 20 30 42 56 72 90 − 1 −1 − 1 −1 − 1 − 1 = + + + + + 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 1 =  − + − + − + − + − + −   5 4   6 5   7 6   8 7   9 8   10 9 

b) B =

−1 1 −3 . + = 4 10 20 x−2 5+ x a) = 4 3 =

Câu 2:

⇔ 3( x − 2) = 4 (5 + x ) ⇔ 3 x − 6 = 20 + 4 x ⇔ x = −26

Vậy x = −26 . b) 3x + xy + 2 y = 17

⇔ x ( 3 + y ) + 2 ( 3 + y ) = 23 ⇔ ( x + 2 )( 3 + y ) = 23 Ta có bảng: x+2

−1

1

−23

23

3+ y

−23

23

−1

1

x

−3

−1

−25

21

y

−26

20

−4

−2

Vậy ( x; y ) ∈ {( −3; − 26 ) ; ( −1; 20 ) ; ( −25; − 4 ) ; ( 21; − 2 )} . c) M = 2a +3 + 2a +5 + 2a + 7 = 2a + 2. ( 2 + 23 + 25 ) = 2a + 2. ( 2 + 8 + 32 ) = 2a + 2.42 .

Ta có: 2a+ 2.42⋮ 42 nên M ⋮ 42 (đpcm).

Câu 3:

n ∈ ℤ n ∈ ℤ ⇔ a) Để A là một phân số thì  . n + 3 ≠ 0 n ≠ −3 5 n−2 b) Ta có: A = = 1− n+3 n+3

89

Để A là một số nguyên thì ( n + 3) ∈ Ư ( 5) = {±1; ± 5} Ta có bảng:

n+3

−5

−1

1

5

n

−8

−4

−2

2

Vậy để A là một số nguyên thì n ∈ {−8; − 4; − 2; 2} .

Câu 4:

−13   −13 −7  −7 + 13 −13 + 7 6 6  −7 a) Ta có: A − B =  2018 + 2019  −  2018 + 2019  = + = 2018 − 2019 2018 2019 10 10 10 10   10 10  10  10 1 1 6 6 Mà 10 2018 < 102019 ⇒ 2018 > ⇒ 2018 > 10 2019 10 2019 ⇒ A− B > 0 ⇒ A > B.

b) Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p 2 chia cho 3 dư 1 .

⇒ p 2 = 3k + 1 .

Ta có: p 2 + 2018 = 3k + 1 + 2018 = 3k + 2019 Vì 3k ⋮ 3 và 2019⋮ 3 ⇒ ( 3k + 2019 )⋮ 3 ⇒ ( p 2 + 2018 )⋮ 3 Vậy p 2 + 2018 là hợp số. c) Ta có: A − B = 11...11 − 2.11...11

100 ch÷ sè 1

50 ch÷ sè 1

  = 11...11.  100...001

− 2  50 ch÷ sè 1  2 ch÷ sè 1 vµ 49 ch÷ sè 0  = 11...11.99...99

50 ch÷ sè 1 50 ch÷ sè 9

= 11...11.11...11.9

50 ch÷ sè 1 50 ch÷ sè 1 2

  2 =  11...11  .3

  50 ch÷ sè 1    =  11...11.3   50  ch÷ sè 1 

2

Vậy A − B là số chính phương.

Câu 5:

t

y z

O

x

và + a) Vì xOy yOz là hai góc kề bù nên xOy yOz = 180°

90

=1

yOz ⇒ yOz = 5 xOy Mà xOy 5

= 30° . ⇒ 6 xOy = 180° ⇒ xOy ⇒ yOz = 5.30° = 150° . = 30° ; Vậy xOy yOz = 150° .

150° = yOz ⇒ zOt = 75° b) Ot là tia phân giác của góc yOt = 2 + tOy = 1800 (2 góc kề bù) Ta có xOt = 1800 750 + tOx = 1050 tOx = 105° .

Vậy xOt c) Tất cả có n + 4 tia phân biệt. Cứ mỗi tia trong n + 4 tia đó tạo với n + 4 − 1 = n + 3 tia còn lại thành n + 3 góc. Có n tia tạo thành ( n + 4 )( n + 3) góc,

nhưng như vậy mỗi góc được tính hai lần. Vậy có tất cả

( n + 4 )( n + 3) 2

góc.

ĐỀ SỐ 24: ĐỀ GIAO LƯU MÔN TOÁN 6 – THÀNH PHỐ CHÍ LINH NĂM 2019 Câu 1. (2 điểm) Thực hiện phép tính: 2.3.5 + 4.9.25 + 6.9.35 + 10.21.40 a) A = 2.3.7 + 4.9.35 + 6.9.49 + 10.21.56 1 1 1 1  b) B =  − 1   − 1   − 1  ...  − 1  4   9   16   400  2010 2009 2008 1 + + + .... + 2 3 2010 c) C = 1 1 1 1 1 + + + ... + 2 3 4 2011 Câu 2. (3 điểm) 1) Tìm số tự nhiên x , biết: a) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + .... + ( 2 x − 1) = 225 b) 2 x + 2 x +1 + 2 x + 2 + 2 x +3 + ... + 2 x + 2015 = 2 2019 − 8 2) Tìm số có ba chữ số chia hết cho 7 và tổng các chữ số của nó cũng chia hết cho 7.

Câu 3. (2 điểm) a) Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là số nguyên tố: p + 14; p + 40 b) Chứng minh rằng :

1 1 1 1 1 1 1 − + − + − < 2 4 8 16 32 64 3

Câu 4. (2 điểm) Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA và OB .

91 a) Vẽ tia OC tạo với tia OA một góc bằng 50° , vẽ tia OD sao cho tia OC nằm = 60° . Tính BOD . giữa hai tia OA và OD , và COD

= 48° . Tính xOy . b) Vẽ hai tia Ox, Oy sao cho AOx = 22°, BOy c) Cần vẽ thêm bao nhiêu tia phân biệt gốc O để tạo thành 190 góc đỉnh O trên hình.

Câu 5. (1 điểm) Tìm số tự nhiên n sao cho n2 + 2n là số chính phương.

……………….HẾT…………….

LỜI GIẢI ĐỀ GIAO LƯU MÔN TOÁN 6 – THÀNH PHỐ CHÍ LINH NĂM 2019 Câu 1:

2.3.5 + 4.9.25 + 6.9.35 + 10.21.40 2.3.7 + 4.9.35 + 6.9.49 + 10.21.56 2.3.5 + 2.3.5.2.3.5 + 2.3.5.3.3.7 + 2.3.5.5.7.8 = 2.3.7 + 2.3.7.2.3.5 + 2.3.7.3.3.7 + 2.3.7.5.7.8 2.3.5 (1 + 2.3.5 + 3.3.7 + 5.7.8 ) 5 = = 2.3.7 (1 + 2.3.5 + 3.3.7 + 5.7.8 ) 7

a) A =

1 1 1 1  b) B =  − 1   − 1   − 1  ...  − 1  4   9   16   400  −3 −8 −15 −399 = . . ...

4 9 16 400 3.8.15....399 =− 2 2 2 2 .3 .4 ...202 1.3.2.4.3.5....19.21 =− 2.2.3.3.4.4....20.20 1.2.3...19 3.4.5...21 =− .

2.3.4...20 2.3.4...20 1 21 21 =− . =− 20 2 40 2010 2009 2008 1 + + + .... + c) Ta có 1 2 3 2010  2009   2008   2007   1  = + 1 +  + 1 +  + 1 .... +  + 1 + 1  2   3   4   2010  2011 2011 2011 2011 2011 = + + + ... + + 2 3 4 2010 2011 1 1  1 1 1 = 2011 + + + ... + +  2010 2011  2 3 4

92 2010 2009 2008 1 + + + .... + 2 3 2010 Do đó C = 1 1 1 1 1 + + + ... + 2 3 4 2011 1 1  1 1 1 + 2011 + + + ... +  2010 2011  2 3 4 = = 2011 1 1 1 1 + + + ... + 2 3 4 2011

Câu 2: 1) a) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + .... + ( 2 x − 1) = 225

( 2 x − 1) − 1 : 2 + 1 ( 2 x − 1) + 1 = 225 2 ( 2 x − 2 ) : 2 + 1 .2 x = 225 2 x .2 x = 225 2 x 2 = 225 x = 15 b) 2 x + 2 x +1 + 2 x + 2 + 2 x +3 + ... + 2 x + 2015 = 2 2019 − 8 2 x (1 + 2 + 22 + 23 + ... + 22015 ) = 2 2019 − 23 2 x ( 22016 − 1) = 23 ( 22016 − 1)

2 x = 23 x=3 c) Gọi số tự nhiên cần tìm là abc ( a, b, c ∈ ℕ,1 ≤ a ≤ 9, 0 ≤ b, c ≤ 9 ) Ta có abc = 100a + 10b + c = 98a + 7b + 2 a + 3b + c = 98a + 7b + ( a + b + c ) + ( a + 2b )

abc ⋮ 7  Vì 98a + 7b ⋮ 7 ⇒ a + 2b ⋮ 7 a + b + c⋮ 7  Mà a , b ∈ ℕ ,1 ≤ a ≤ 9, 0 ≤ b ≤ 9 ⇒ 1 ≤ a + 2b ≤ 27 Suy ra a + 2b ∈ {7;14; 21} Trường hợp 1 : a + 2b = 7 Ta có 2b là số chẵn suy ra a lẻ và a < 7 ⇒ a = {1;3;5} và khi đó tương ứng

b = {3; 2;1} a = 1, b = 3 ⇒ c = 3 (thỏa mãn) ⇒ abc = 133 với  a + b + c ⋮ 7  a = 3, b = 2 ⇒ c = 2 hoaë c c = 9 (thỏa mãn) ⇒ abc = 322 hoặc abc = 329 với  a + b + c⋮7

93

a = 5, b = 1 ⇒ c = 1 hoaë c c = 8 (thỏa mãn) ⇒ abc = 511 hoặc abc = 518 với  a + b + c⋮ 7 Trường hợp 2 : a + 2b = 14 Ta có 2b là số chẵn suy ra a chẵn và a < 8 ⇒ a = {2; 4;6;8} và khi đó tương ứng b = {6;5; 4;3}

a = 2, b = 6 ⇒ c = 6 (thỏa mãn) ⇒ abc = 266 với  a + b + c⋮ 7 a = 4, b = 5 ⇒ c = 5 (thỏa mãn) ⇒ abc = 455 với  a + b + c⋮ 7 a = 6, b = 4 với  ⇒ c = 4 (thỏa mãn) ⇒ abc = 644 a + b + c ⋮ 7 a = 8, b = 3 ⇒ c = 3 (thỏa mãn) ⇒ abc = 833 với  a + b + c ⋮ 7 Trường hợp 3 : a + 2b = 21 Ta có 2b là số chẵn suy ra a lẻ và a ≤ 9 ⇒ a = {3;5; 7;9} và khi đó tương ứng

b = {9;8; 7;6} a = 3, b = 9 với  ⇒ c = 2 hoaë c c = 9 (thỏa mãn) ⇒ abc = 392 hoặc abc = 399 a + b + c⋮ 7 a = 5, b = 8 ⇒ c = 1 hoaë c c = 8 (thỏa mãn) ⇒ abc = 581 hoặc abc = 588 với  a + b + c⋮ 7  a = 7, b = 7 ⇒ c = 0 hoaë c c = 7 (thỏa mãn) ⇒ abc = 770 hoặc abc = 777 với  a + b + c⋮7 a = 9, b = 6 ⇒ c = 6 (thỏa mãn) ⇒ abc = 966 với  a + b + c⋮ 7 Vậy các số tự nhiên cần tìm là: 133; 266;322;329;392;399; 455;511;518;581; 588; 644; 770; 777;833;966

Câu 3: a) + Nếu p = 2 thì p + 14 = 16 và p + 40 = 42 đều không phải là số nguyên tố. + Nếu p = 3 thì p + 14 = 17 và p + 40 = 43 đều là các số nguyên tố suy ra p = 3 là giá trị cần tìm + Nếu p ≠ 3 suy ra p có dạng 3k + 1 hoặc dạng 3k − 1 Với p = 3k + 1 thì p + 14 = 3k + 1 + 14 = 3k + 15 = 3 ( k + 5 )⋮ 5 Với p = 3k − 1 thì p + 40 = 3k − 1 + 40 = 3k + 39 = 3 ( k + 13)⋮ 3 Vậy nếu p ≠ 3 thì hoặc p + 14 hoặc p + 40 là hợp số suy ra không thỏa mãn bài ra Do đó: giá trị duy nhất cần tìm là p = 3

94

1 1 1 1 1 1 − + − + − 2 4 8 16 32 64 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  ⇒ 2 A = 2  − + − + −  = 1− + − + − 2 4 8 16 32  2 4 8 16 32 64 

b) Đặt A =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 63 − + − + − +1− + − + − = 1− = 2 4 8 16 32 64 2 4 8 16 32 64 64 21 21 1 ⇒ A= < = 64 63 3

⇒ 3A =

Vậy Câu 4:

1 1 1 1 1 1 1 − + − + − < 2 4 8 16 32 64 3

(2 điểm) D

C

y x 600

22

A

0

480

B

O

= a) Tia OD sao cho tia OC nằm giữa hai tia OA và OD nên AOC + COD AOD

AOD = 50° + 60° = 110° là hai góc kề bù nên = 180° Ta có AOD và DOB AOD + DOB = 180° 110° + DOB = 70° DOB và b) Ta có BOy yOA là hai góc kề bù nên AOy + yOB = 180° + 48° = 180° AOy

AOy = 132° Ta có AOx < AOy ( 22° < 132° ) nên tia Ox nằm giữa hai tia OA và Oy

= AOy

Suy ra AOx + xOy = 132° 22° + xOy = 110° xOy c)

Vì mỗi tia với 1 tia còn lại tạo thành 1 góc. Xét 1 tia, tia đó cùng với n −1 tia

còn lại tạo thành n −1 góc. Làm như vậy với n tia ta được n (n −1) góc. Nhưng

95 mỗi góc đã được tính 2 lần do đó với với n tia phân biệt sẽ tạo thành

n (n −1)

2

góc.

Theo đề bài

n (n −1)

2

= 190

n (n −1) = 380 n (n −1) = 20.19

n = 20 Câu 5: Đặt n2 + 2n = a 2 ( a ∈ ℕ )

(n

2

+ 2n + 1) − a 2 = 1

( n + 1)

2

− a2 = 1

( n + 1 − a )( n + 1 + a ) = 1 Với n, a ∈ ℕ ta suy ra n + 1 − a = 1 và n + 1 + a = 1 Suy ra n − a = 0 và n + a = 0 Suy ra n = 0 ĐỀ SỐ 25: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN THANH TRÌ - NĂM 2019

Câu 1. (4,0 điểm)

2 2 2  + + 3  7 17 37  16 1. Tìm x biết 1 +  x=  5 5+ 5 + 5  5  7 17 37  1  1   1  1  1   2. Tính A =  1 −  1 −   1 −  ...  1 −  1 −   2   3   4   2018   2019 

Câu 2. (3,0 điểm) 1. Cho a , b là số tự nhiên. Chứng minh: ƯCLN ( a, b ) = ƯCLN ( 5a + 2b, 7a + 3b ) 2. Cho p và p + 4 là các số nguyên tố ( p > 3) . Chứng minh rằng p + 14 là hợp số.

Câu 3. (4,0 điểm) Trong đợt phát động “Tết trồng cây đời đời nhớ ơn Bác Hồ” – Xuân Kỷ Hợi, tổng số cây trồng được của cả hai lớp 6A và 6B là 175 cây. Biết rằng số cây trồng được của lớp 6A và 1 1 số cây trồng được của lớp 6B bằng số cây trồng được của lớp 6B và số cây trồng được 3 2 của lớp 6A. Tính số cây trồng được của mỗi lớp.

96 Cây 4. (5,0 điểm) Đề bài.

Cho góc BAC bằng 110 o . Lấy điểm D nằm giữa B và C sao cho góc BAD bằng 40 o . Trên nửa mặt phẳng chứa điểm B có bờ là AC , vẽ tia AE sao cho góc CAE bằng 30o ( E thuộc đoạn BC ). a) Chứng tỏ E nằm giữa hai điểm D và C . b) Tia AD có là phân giác của góc BAE không? Vì sao? c) Lấy 2015 điểm phân biệt trên đoạn BC khác các điểm B , D, E , C . Hỏi có bao nhiêu góc có đỉnh A được tạo thành.

Câu 6. (3,0 điểm) 1. Tìm số tự nhiên n có 4 chữ số sao cho n là số chính phương và là bội của 147.

2. Tìm số tự nhiên n có 4 chữ số sao cho chia n cho 131 thì dư 112, chia n cho 132 thì dư 98.

Câu 7. (1,0 điểm) Chứng minh rằng A <

1 1 2 3 99 với A = 2 + 3 + 4 + ... + 100 .

16 5 5 5 5

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN THANH TRÌ - NĂM 2019

Câu 1.

2 2 2  + + 3  7 17 37  16 1. 1 +  x = 5 5 5 5  + + 5   7 17 37  1  1 1 + + 8 2  7 17 37  16 ⇒ +  x=  5 5 1 + 1 + 1  5 7 17 37   2 8 ⇒ x= 5 5 ⇒x=4 Vậy x = 4

1  1   1  1   1   2. A =  1 −  1 −  1 −  ... 1 −  1 −  2 3 4 2018 2019        1 2 3 2017 2018 1 ⇒ A = . . ..... . = 2 3 4 2018 2019 2019 1 Vậy A = 2019

97 Câu 2.

5a + 2b⋮ d 1. Gọi d , m lần lượt là ước chung lớn nhất của ( 5a + 2b;7a + 3b ) và ( a, b ) ⇒  7a + 3b⋮ d 5a + 2b⋮ d  7a + 3b⋮ d ⇒ 5 ( 7a + 3b ) − 7 ( 5a + 2b )⋮ d ⇒ 35a + 15b − 35a − 14b⋮ d ⇒ b⋮ d (1) 5a + 2b⋮ d  7a + 3b⋮ d ⇒ 3 ( 5a + 2b ) − 2 ( 7a + 3b )⋮ d

⇒ 15a + 6b − 14a − 6b⋮ d ⇒ a ⋮ d (2) Từ (1) và (2) ⇒ d là ước chung của a , b . Do đó d ≤ m .

Mặt khác hiển nhiên m là ước của d nên m ≤ d , suy ra m = d .

Vậy ƯCLN ( a, b ) = ƯCLN ( 5a + 2b, 7a + 3b ) 2.

Vì p là số nguyên tố và p > 3 nên p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 Mà p + 4 là số nguyên tố nên p không thể có dạng 3k + 2 Suy ra p có dạng 3k + 1

⇒ p + 14 = 3k + 15 = 3 ( k + 5)⋮ 3 ⇒ p + 14 là hợp số.

Câu 3. Gọi a là số cây lớp 6A trồng được, b là số cây lớp 6B trồng được. ( a, b > 0 ) Do tổng số cây trồng được của cả hai lớp 6A và 6B là 175 cây ⇒ a + b = 175 ⇒ a = 175 − b Theo đề bài ta có: 1 1 a+ b = a+b 3 2

1 1 ⇒ 175 − b + b = (175 − b ) + b 3 2 ⇒ b = 75 ⇒ a = 175 − 75 = 100 Vậy lớp 6A trồng được 100 cây, lớp 6B trồng được 75 cây.

98 Câu 4.

< BAC ( 40o < 110o ) ⇒ tia AD nằm giữa tia AB và AC a) Ta có: BAD

= BAC

⇒ ABD + DAC = BAC − ⇒ DAC ABD = 110o − 40o = 70o < CAD ( 30o < 70o ) ⇒ tia AE nằm giữa tia AD và AC , mà D , E , C cùng thuộc Ta có: CAE

BC

⇒ E nằm giữa D và C b) Ta có: tia AE nằm giữa tia AD và AC

+ EAC = DAC

⇒ DAE = DAC − EAC = 70o − 30o = 40o ⇒ DAE = BAD ( = 40o ) (1) ⇒ DAE Ta có: E nằm giữa D và C mà D nằm giữa B và C ⇒ D nằm giữa B và E (2)

Từ (1) và (2) ⇒ AD có là phân giác của góc BAE c) Góc có đỉnh A được tạo thành từ 2 điểm trong 2019 điểm thuộc BC và đỉnh A . ⇒ có

2019.2018 = 2037171 góc.

2

Câu 5. 1. Đặt n = 147k = 3.49.k ⋮ 3 ( k ∈ℕ )

Vì n là số chính phương chia hết cho 3 nên phải chia hết cho 9.

⇒ k ⋮ 3 ⇒ k = 3k1 ⇒ n = 9.49.k1 = 212.k1 = k22

Do n có 4 chữ số ⇒ 1000 ≤ 212 k1 ≤ 9999 ⇒ 3 ≤ k1 ≤ 22 2

Ta có: k1 =

k22  k2  =   ⇒ k1 là số chính phương.

212  21 

99

⇒ k1 = {4,9,16} ⇒ n = 441.k1 ∈ {1764,3969, 7056} 2. Gọi số cần tìm là x

x chia cho 131 thì dư 112 ⇒ x = 131.k + 112 ( k ∈ ℕ* , k < 77 ) ⇒ x = 131.k + k + 112 − k ⇒ x = 132k + (112 − k )

x chia cho 132 thì dư 98 ⇒ 98 = 112 − k ⇒ k = 14

⇒ x = 131.14 + 112 = 1946 Vậy số cần tìm là 1946.

Câu 6.

Chứng minh rằng A < A=

1 1 2 3 99 với A = 2 + 3 + 4 + ... + 100 .

16 5 5 5 5

1 2 3 99 + 3 + 4 + ... + 100 2 5 5 5 5

⇒ 5A =

1 2 3 99 + 2 + 3 + ... + 99 5 5 5 5

1 1 1 1 99 + 2 + 3 + ... + 99 − 100 5 5 5 5 5 1 1 1 ⇒ 20 A = 1 + + ... + 98 − 99 5 5 5 1 1 1  1 1 1 99   ⇒ 20 A − 4 A = 1 + + ... + 98 − 99  −  + 2 + ... + 99 − 100  5 5  5 5 5 5   5 2 99 ⇒ 16 A = 1 − 99 + 100 < 1 5 5 ⇒ 4A =

⇒ A<

1 16

ĐỀ SỐ 26: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN THUẬN THÀNH - NĂM 2019

Bài 1. (6 điểm) 1. Tính và so sánh:

A=

5.415.99 − 4.320.89 5.29.619 − 7.2 29 27 6

B = 2 2019 − 2 2018 − 2 2017 − 2 2016 − 2 2015 − ... − 2 − 1

2. Tìm x biết: 1 + 5 + 9 + 13 + 17 + ... + x = 501501

100 3. Tìm các số nguyên x và y biết: 2 xy − 6 y + x = 9 .

Bài 2. (4 điểm) 1. Cho A = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + ... + 19 − 20 a. A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không? b. Tìm tất cả các ước của A. 2. Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi n 2 + 2018 là số nguyên tố hay là hợp số?

Bài 3. (4 điểm) Tìm tất cả các số nguyên n để: n +1 có giá trị là một số nguyên. n−2 12n + 1 2. Phân số là phân số tối giản.

30n + 2

1. Phân số

Bài 4. (4 điểm) 1. Cho A và B là hai điểm trên tia Ox sao cho OA = a (cm ) với a > 0; AB = 3 cm . Tính OB.

2. Cho điểm O nằm giữa hai điểm A và B. trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường = 42°, thẳng AB, kẻ ba tia OC, OD, OE sao cho BOC AOD = 97°, AOE = 56° . Chứng

thành hai phần bằng nhau. tỏ tia OD chia góc COE Bài 5. (2 điểm) Cần bao nhiêu số hạng của tổng S = 1 + 2 + 3 + ... để được một số có ba chữ số giống nhau.

----Hết---

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN THUẬN THÀNH - NĂM 2019 Bài 1.

1. Tính và so sánh:

229.318 ( 5.2 − 32 ) 2.1.1 5.415.99 − 4.320.89 5.230.318 − 22.320.227 = = = =2 A= 5.29.619 − 7.229 276 5.29.219.319 − 7.229.318 228.318 ( 5.3 − 7.2 ) 1.1.1 B = 2 2019 − 2 2018 − 2 2017 − 2 2016 − 2 2015 − ... − 2 − 1 2018 + 2 2017 + 2 2016 + ... + 2 + 1 Đặt C = 2

2C = 2. ( 22018 + 22017 + 2 2016 + ... + 2 + 1) 2C = 22019 + 22018 + ... + 2 ⇒ C = 2 2019 − 1 ⇒ B = 22019 − ( 2 2019 − 1) = 1

Vậy A = 2 B .

2. Tìm x biết: 1 + 5 + 9 + 13 + 17 + ... + x = 501501 Ta có 5 = 2 + 3; 9 = 4 + 5; 13 = 6 + 7; 17 = 8 + 9 ...

101 Do vậy x = a + (a + 1)

(a ∈ ℕ)

Nên 1 + 5 + 9 + 13 + 17 + ... + x = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ... + a + ( a + 1) = 501501 Hay ( a + 1)( a + 1 + 1) : 2 = 501501

( a + 1)( a + 2 ) = 1003002 = 1001.1002 ⇒ a = 1000 Do đó x = 1000 + (1000 + 1) = 2001 .

3. Tìm các số nguyên x và y biết: 2 xy − 6 y + x = 9 .

2 xy − 6 y + x = 9

2 y ( x − 3) + ( x − 3) = 6

( x − 3)( 2 y + 1) = 6 Vì x, y là các số nguyên nên ( x − 3) và ( 2 y + 1) là các ước của 6 và ( 2 y + 1) là số lẻ nên: •

x − 3 = 6 x = 9 ⇒  2 y + 1 = 1  y = 0

•

 x − 3 = −6  x = −3 ⇒  2 y + 1 = −1  y = −1

• •

x − 3 = 2 x = 5 ⇒  2 y + 1 = 3  y = 1  x − 3 = −2 x = 1 ⇒   2 y + 1 = −3  y = −2

Bài 2.

1. Cho A = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + ... + 19 − 20 a. A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không?

A = (1 − 2 ) + ( 3 − 4 ) + ( 5 − 6 ) + ... + (19 − 20 ) (có 10 nhóm)

= ( −1) + ( −1) + ( −1) + ... + ( −1) (có 10 số hạng) = 10. ( −1) = −10 Vậy A⋮ 2, A ⋮ 3, A⋮ 5 .

b. Tìm tất cả các ước của A. Ư(A) = {±1; ± 2; ± 5; ± 10} .

2. Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi n 2 + 2018 là số nguyên tố hay là hợp số.

n là số nguyên tố lớn hơn 3 nên n ⋮ 3 . Vậy n 2 chia cho 3 dư 1 ⇒ n 2 = 3m + 1 Do đó n 2 + 2018 = 3m + 1 + 2018 = 3m + 2019 = 3 ( m + 673) ⋮ 3 Vậy n 2 + 2018

Bài 3.

1.

n +1 là số nguyên khi ( n + 1) ⋮ ( n − 2 ) n−2

102 Ta có n + 1 = ( n − 2 ) + 3 Vậy ( n + 1) ⋮ ( n − 2 ) khi 3 ⋮ (n − 2) ( n − 2) ∈ Ư(3) = {−3; − 1; 1; 3} ⇒ n ∈ {−1; 1; 3; 5} .

2. Gọi d là ƯC của 12n + 1 và 30n + 2 ( d ∈ ℕ *) ⇒ 12n + 1 ⋮ d ; 30n + 2 ⋮ d ⇒ 5 (12n + 1) − 2 ( 30n + 2 )  ⋮ d ⇒ 1 ⋮ d mà d ∈ ℕ* ⇒ d = 1 .

Vậy phân số đã cho tối giản với mọi n nguyên.

Bài 4.

1. Cho A và B là hai điểm trên tia Ox sao cho OA = a (cm ) với a > 0; AB = 3 cm .

Tính OB.

*) Trường hợp điểm B nằm trên tia đối của tia AO khi đó điểm A nằm giữa O và B ⇒ OB = OA + AB = a + 3 (cm)

*) Trường hợp điểm B nằm giữa tia AO. - Nếu a > 3 thì điểm B nằm giữa A và O suy ra OB = OA − AB = a − 3 (cm ) - Nếu a = 3 thì điểm B trùng với điểm O khi đó OB = 0 (cm ) .

- Nếu a < 3 thì O nằm giữa A và B không xảy ra trên tia Ox.

2.

- Lập luận tia OE nằm giữa 2 tia OA và OD.

= 41° .

- Tính được DOE và = 180° − AOD là hai góc kề bù nên BOD Mặt khác BOD AOD = 83° .

Lập luận tia OC nằm giữa hai tia OB và OD. = 41° ⇒ COD = DOE , chỉ ra tia OD nằm giữa 2 tia OE, OC. Tính được COD

-

thành hai phần bằng nhau.

Vậy tia OD chia góc COE Bài 5.

Giả sử số có 3 chữ số là aaa = 111.a ( a là chữ số khác 0).

Gọi số số hạng của tổng là n, ta có:

n ( n + 1)

2

= 111.a = 3.37.a ⇒ n ( n + 1) = 2.3.37.a

Vậy n ( n + 1) chia hết cho 37, mà 37 là số nguyên tố và n + 1 < 74 ( n = 74 không thỏa mãn) Do đó n = 37 hoặc n + 1 = 37 .

Nếu n = 37 ⇒ n + 1 = 38 lúc đó Nếu n + 1 = 37 ⇒ n = 36 lúc đó Vậy số số hạng của tổng là 36.

n ( n + 1)

2 n ( n + 1)

2

= 703 không thỏa mãn. = 666 thỏa mãn.

103 ĐỀ SỐ 27: ĐỀ THI KSCL HSG HUYỆN THƯỜNG TÍN - NĂM 2019 Câu 11:

(5,0 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau: 2 2 5 1 + : 5 − . (−3) 3 6 18 b) B = 3. 5.  52 + 23 : 11 − 16 + 2022     1  1 1 + 1   1 + 1  ...1 +  c) C = 1 +    1.3  2.4  3.5   2018.2020  

a) A =

{ (

Câu 12:

)

}

(4,0 điểm) Tìm x biết: a) 121 − (115 + x ) = 3x − (25 − 9 − 5x ) − 8

 1  1 1 1  2016 2017 2018   − + b) x 2 − 4 3x +  =  − −    2017 2018 2019  2   3 4 12  

(

)

(2019 c)

100

) = 2019

+ 201996 + ⋯ + 20194 + 1 x − 2019

Câu 13: (3,0 điểm) Cho A =

104

−1 2019 − 1 4

n −1 n +4

a) Tìm n nguyên để A là một phân số. b) Tìm n nguyên để A là một số nguyên.

Câu 14: (6,0 điểm) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy , lấy một điểm

1 O . Vẽ Oz sao cho: xOz = xOy 5

a) Tính góc xOz , yOz ? = 18° Vẽ tia On sao cho yOn = 72° Tính góc b) Vẽ tia Om sao cho xOm . .

? mOn c) Lấy điểm A ∈ Oz ; B ∈ Oy; C ∈ Ox . Nối AB, AC ; Ở giữa hai tia Ox và Oz . Vẽ

thêm n tia gốc O không trùng với tia Ox và Oz (đường thẳng AC cắt tất cả các tia trong góc xOz ; đường thẳng AB cắt tia On tại I ) và người ta đếm được tất cả 214 tam giác. Tìm n ?

Câu 15: (2,0 điểm)

  1  1  1   1 1 +  1 + ... 1 +  Cho A = 1 + 1.3  2.4  3.5   2017.2019   Chứng minh rằng A < 2 ?

LỜI GIẢI ĐỀ THI KSCL HSG THƯỜNG TÍN-NĂM 2019

104

Câu 1: a) Ta có A =

2 2 5 1 2 5 1 2 1 1 5 1 1 + : 5 − . (−3) = + : 5 − .9 = + − = − = .

3 6 18 3 6 18 3 6 2 6 2 3

1 .

3

Vậy A =

{ (

}

{

}

b) B = 3. 5.  52 + 23 : 11 − 16 + 2022 = 3. 5. (25 + 8) : 11 − 16 + 2022    

)

{

}

= 3. 5. 33 : 11 − 16 + 2022  

= 3. {5.3 − 16} + 2022

= 3. {15 − 16} + 2022 = 3. {−1} + 2022 = (−3) + 2022 = 2019 .

Vậy B = 2019 .

  1  1  1   1  1 + 1 + ...1 +  c) Ta có C = 1 +  1.3  2.4  3.5   2018.2020  =

4 9 16 4076361 . . ...

1.3 2.4 3.5 2018.2020

=

2.2 3.3 4.4 2019.2019 . . ...

1.3 2.4 3.5 2018.2020

=

2.3.4...2019 2.3.4...2019 .

1.2.3...2018 3.4.5...2020

= 2019. = Vậy C =

2 2020

2019 .

1010

2019 .

1010

Câu 2: a) 121 − (115 + x ) = 3x − (25 − 9 − 5x ) − 8

⇒ 121 − 115 − x = 3x − (16 − 5x ) − 8 ⇒ 6 − x = 3x − 16 + 5x − 8 ⇒ 6 − x = 8x − 24 ⇒ 9x = 30 ⇒x =

10 .

3

105

10 .

3

Vậy x =

 1  1 1 1  2016 2017 2018   b) x 2 − 4 3x +  =  − −   − +  2017 2018 2019  2   3 4 12  

(

)

 1  4 3 1  2016 2017 2018   − + ⇒ x 2 − 4 3x +  =  − −   2  12 12 12  2017 2018 2019  

(

)

  2016 2017 2018  1  − + ⇒ x 2 − 4 3x +  = 0.   2   2017 2018 2019 

(

)

 1 ⇒ x 2 − 4 3x +  = 0  2 

(

)

⇒ x 2 − 4 = 0 hoặc 3x +

1 =0 2 2

Với x 2 − 4 = 0 ⇒ x 2 = 4 ⇒ x 2 = 22 = (−2) ⇒ x = 2 hoặc x = −2

1 −1 −1 = 0 ⇒ 3x = . ⇒x = 2 2 6  −1 Vậy x ∈  2; −2;  .  6 

Với 3x +

(2019 c)

100

) = 2019

+ 201996 + ... + 20194 + 1 x - 2019

104

-1 2019 - 1 4

ĐK: x ≠ 2019 Đặt A = 2019100 + 201996 + ... + 20194 + 1 ⇒ 20194.A = 2019104 + 2019100 + ... + 20198 + 20194 ⇒ (20194 − 1).A = 2019104 − 1 ⇒A=

(*) ⇒

⇒

2019104 − 1 20194 − 1

2019104 − 1 2019104 − 1 = 20194 − 1 x - 2019 20194 − 1 1

.

1 =1 x - 2019

⇒ x - 2019 = 1 ⇒ x - 2019 = 1 hoặc x - 2019 = −1 ⇒ x = 2020 (thỏa đk) hoặc x = 2018 (thỏa đk).

Vậy x = 2020 hoặc x = 2018 .

(*)

106 Câu 3:

a) Để A là một phân số thì

n −1 là một phân số khi n + 4 ≠ 0 hay n ≠ −4 . n +4

Vậy các số nguyên n ≠ −4 thì A là một phân số. b) Ta có A =

n −1 n + 4−5 5 = = 1− n+4 n +4 n +4

Để A là một số nguyên thì

5 là một số nguyên khi 5 ⋮(n + 4) hay n + 4 ∈ Ư n +4

(5) ⇒ (n + 4) ∈ {5; −5;1; −1} n +4

5

−5

1

n

1

−9

−3

−1 −5

Vậy n ∈ {1; −9; −3; −5} .

Câu 4: n

z

A m x

C

I O

B

y

a) Vì điểm O nằm trên đường thẳng xy nên tia Ox và tia Oy là hai tia đối nhau = 180° hay góc xOy là góc bẹt, suy ra xOy

= 1 xOy = 1 .180° Ta có: xOz = 36° .

5 5 < xOy (vì Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy , xOz

36° < 180°) nên tia Oz nằm giữa hai tiaOx và Oy + zOy = xOy

Suy ra: xOz

36° + zOy = 180° = 180° − 36° zOy

= 144° zOy . = 144° = 36° , zOy Vậy xOz .

107 < xOy (vì b) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy , xOm

18° < 180°) nên tia Om nằm giữa hai tiaOx và Oy + mOy = xOy

Suy ra: xOm = 180° 18° + mOy = 180° − 18° mOy = 162° mOy < yOm (vì Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy , yOn 72° < 162° nên tia On nằm giữa hai tia Om và Oy

+ nOm = yOm

Suy ra: yOn

= 162° 72° + mOn

= 162° − 72° mOn = 90° mOn = 90° .

Vậy mOn

c) Vì có n tia chung gốc O nằm giữa hai tia Ox và Oz nên trên đoạn thẳng AC có n + 2 điểm, suy ra n + 2 đoạn thẳng nối từ O đến các điểm đó.

Mỗi đoạn thẳng có thể kết hợp với n + 1 đoạn thẳng và các đoạn thẳng tương ứng trên AC để tạo thành n + 1 tam giác.

Do đó n + 2 đoạn thẳng sẽ tạo thành (n + 2)(n + 1) tam giác.

Vì số tam giác được tính hai lần nên số tam giác tạo thành là

(n + 2)(n + 1) 2

tam

giác.

Theo đề đếm được tất cả 214 tam giác gồm 4 tam giác: ∆ABC , ∆AIO, ∆ABO,

∆OBI và 210 tam giác được tạo bởi hai trong n + 2 đoạn thẳng nối từ O đến n + 2 điểm trên đoạn thẳng AC và các đoạn thẳng tương ứng trên AC .

Do đó:

(n + 2)(n + 1) = 210 2

⇒ (n + 2)(n + 1) = 210.2 ⇒ (n + 2)(n + 1) = 21.20

Vì n + 2 và n + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên n = 19 .

Vậy n = 19 .

Câu 5:

108

 1  1  1   1  = 4 . 9 . 16 ... 4072324 1 +  1 + ... 1 + Ta có A = 1 +    1.3  2.4  3.5   2017.2019  1.3 2.4 3.5 2017.2019  =

2.2 3.3 4.4 2018.2018 2.3.4...2018 2.3.4...2018 . . ... = .

1.3 2.4 3.5 2017.2019 1.2.3...2017 3.4.5...2019

= 2018.

2 2 < 2019. =2.

2019 2019

Vậy A < 2.

ĐỀ SỐ 28: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TIÊN HẢI - NĂM 2019 Câu 1. (5,0 điểm) 1 3 −3 1 1 1 −2 1. Tính: A = − − . + − + + 3 4 5 73 36 15 9

2. Cho B = 7 + 7 2 + 73 + ... + 7 2018 + 7 2019 .

Tính B . Hỏi B có là số chính phương không?

3. Tìm x biết ( x + 2 ) + ( x + 7 ) + ( x + 12 ) + ... + ( x + 42 ) + ( x + 47 ) = 655 .

Câu 2. (4,0 điểm) 1. Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết nó chia cho 23 thì dư 14 và chia cho 25 thì dư 16.

2. Cho C =

20192018 +1 20192019 +1 D = và . So sánh C và D .

20192019 +1 20192020 +1

Câu 3. (4,0 điểm) 1. Tìm số tự nhiên ab biết: ab . a . b = bbb 2. Cho N =155*710*4*16 là số tự nhiên có 12 chữ số. Chứng tỏ rằng nếu thay các dấu * bởi các chữ số khác nhau trong ba chữ số 1; 2; 3 một cách tùy ý thì N luôn chia hết cho 396.

Câu 4. (5,0 điểm) Cho đoạn thảng AB = 7 cm, lấy điểm P thuộc đoạn thẳng AB . Trên tia đối của tia AB lấy điểm Q sao cho AQ = AP .

1. Biết BP = 3 cm, tính đoạn PQ .

2. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB , vẽ tia Ax , Ay sao cho

= 60° , BAy =150° . Tính QAy , yAx .

BAx

109 3. Cho O không thuộc đường thẳng AB và thêm 2016 điểm phân biệt khác thuộc đoạn thẳng AB và không trùng với 4 điểm A, B, P, Q , Hỏi có thể vẽ được bao nhiêu đoạn thẳng có hai đầu mút là hai điểm trong số các điểm đã cho?

Câu 5. (2,0 điểm) Cho M = 21 + 35 + 49 + ... + 20188065 + 20198069 . Tìm chữ số tận cùng của M

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TIÊN HẢI - NĂM 2019 Câu 1.

1 3 − 3 1 1 1 −2 1. Ta có A = − − + − + + 3 4 5 73 36 15 9  1 −3 1   3 1 −2  1 + +− − + + A= −  3 5 15   4 36 9  73 A=

5 + 9 + 1 −27 − 8 − 1 1 + + 15 36 73

. A = 1 + ( −1) + Vậy A =

1 1 = 73 73

1 .

73

2. Ta có B = 7 + 7 2 + 73 + ... + 7 2018 + 7 2019 và 7 B = 7 2 + 73 + 7 4 + ... + 7 2019 + 7 2020 Khi đó 7 B − B = 7 2020 − 7 suy ra B =

7 2020 − 7 .

6

Một số chính phương chia hết cho p thì chia hết cho p 2 ( p∈Ν , p ≠ 0 )

B chia hết cho 7 nhưng không chia hết cho 7 2 vì 7 không chia hết cho 7 2 Vậy B không là số chính phương.

3 Ta có ( x + 2 ) + ( x + 7 ) + ( x + 12 ) + ... + ( x + 42 ) + ( x + 47 ) = 655  47 − 2   47 − 2  ⇔ + 1 x + ( 47 + 2 )  + 1 :2 = 655  5   5  ⇔ 10 x + 245 = 655 ⇔ x = 41

Vậy x = 41

Câu 2.

1. Gọi số tự nhiên có ba chữ số là a

a = 23 p + 14 a + 9 = 23m Ta có  ⇒ ( m, n, p, q ∈Ν ) sai de a = 25q + 16 a + 9 = 25n Khi đó a + 9∈ BC ( 23, 25 ) = {0;575;1150;...} Vì a là số có ba chữ số nên a = 566

110

2019. ( 2019 +1) 20192019 +1 + 2018 20192018 + 1 2018 ⇒ 2019 C = = =1 + 2. C = 2019 2019 2019 2019 +1 2019 + 1 2019 + 1 20192019 + 1 2018

2019. ( 2019 + 1) 20192020 +1 + 2018 20192019 + 1 2018 D= ⇒ 2019 D = = =1 + 2020 2020 2020 2019 + 1 2019 + 1 2019 +1 20192020 +1 2019

Vì

2018 2018 > nên 2019C > 2019 D ⇒ C > D 2019 2019 +1 20192020 +1

Câu 3.

1. Ta có bbb = b .111 = 37.3. b = 37.3.7 = ab . a . b ⇒ ab = 37 2. Ta có 396 = 4.9.11 + N có hai chữ số tận cùng là 16 chia hết cho 4 suy ra N chia hết cho 4 + Tổng các chữ số của N bằng 1 + 5 + 5 + * + 7 + 1 + 0 + * + 4 + * + 1 + 6 = 30 + * + * + * = 30 + 6 = 36 chia hết cho 9 suy ra N

chia hết cho 9. + Tổng các chữ số hàng chẵn của N – Tổng các chữ số hàng lẽ của N = 18 – 18 = 0 chia hết cho 11 suy ra N chia hết cho 11.

Vậy N chia hết cho 4, 9, 11 suy ra N chia hết cho 396.

Câu 4.

1.

Q

A

P

B

Ta có BP = 3 cm suy ra AP = 4 cm Mà AQ = AP ⇒ QB = AQ + AB = 4 + 7 = 11 cm x y

Q

2.

A

P

B

+ QAy =180° ⇒ QAy = 30° Ta có BAy

+ BAx yAx =150° ⇒ yAx = 90° 3. Ta có 2016 + 4 = 2020 điểm thuộc AB (không có điểm nào trùng nhau) và 1 điểm không thuộc AB. Vậy qua 2021 điểm sẽ có các đoạn thẳng là 2021(20211):2=2041210 Câu 5.

111 Tất cả số hạng tổng trên đều có dạng a 4 n +1 = a. a 4 n Nếu a tận cùng là 0, 1, 5, 6 thì a 4 n +1 tận cùng giống tận cùng của a Nếu a tận cùng là 7, 9 suy ra a 2 có tận cùng là 1 suy ra a 4n tận cùng là 1 suy ra

a 4 n . a có tận cùng giống a .

Nếu a tận cùng là 3 suy ra a 2 tận cùng là 9 suy ra 1 suy ra a 4n tận cùng là 1suy ra

a 4 n . a có tận cùng giống a Nếu a tận cùng là 2 suy ra a 4 n tận cùng là 6 suy ra a 4 n . a tận cùng giống 6.2 => tận cùng là 2 => giống a Chứng minh tương tự ta có các số tận cùng là 4, 8 thì a 4n . a có tận cùng giống a Vậy a 4 n + 1 có chữ số tận cùng giống a với mọi a

Chữ số tận cùng của M giống chữ số tận cùng của N với N là tổng N = 2 + 3 + 4 + ... + 2019 =

2019.2020 − 1 = 2019.1010 − 1 2

Do 2019.1010 có tận cùng là 0 => N tận cùng là 9 => M tận cùng là 9.

ĐỀ SỐ 29: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TIÊN HẢI - NĂM 2019 Câu 1. (5,0 điểm) 1 3 −3 1 1 1 −2 1. Tính: A = − − . + − + + 3 4 5 73 36 15 9

2. Cho B = 7 + 7 2 + 73 + ... + 7 2018 + 7 2019 .

Tính B . Hỏi B có là số chính phương không?

3. Tìm x biết ( x + 2 ) + ( x + 7 ) + ( x + 12 ) + ... + ( x + 42 ) + ( x + 47 ) = 655 .

Câu 2. (4,0 điểm) 1. Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết nó chia cho 23 thì dư 14 và chia cho 25 thì dư 16.

2. Cho C =

20192018 +1 20192019 +1 D = và . So sánh C và D .

20192019 +1 20192020 +1

Câu 3. (4,0 điểm) 1. Tìm số tự nhiên ab biết: ab . a . b = bbb 2. Cho N =155*710*4*16 là số tự nhiên có 12 chữ số. Chứng tỏ rằng nếu thay các dấu * bởi các chữ số khác nhau trong ba chữ số 1; 2; 3 một cách tùy ý thì N luôn chia hết cho 396.

Câu 4. (5,0 điểm)

112 Cho đoạn thảng AB = 7 cm, lấy điểm P thuộc đoạn thẳng AB . Trên tia đối của tia AB lấy điểm Q sao cho AQ = AP .

1. Biết BP = 3 cm, tính đoạn PQ .

2. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB , vẽ tia Ax , Ay sao cho

= 60° , BAy =150° . Tính QAy , yAx .

BAx 3. Cho O không thuộc đường thẳng AB và thêm 2016 điểm phân biệt khác thuộc đoạn thẳng AB và không trùng với 4 điểm A, B, P, Q , Hỏi có thể vẽ được bao nhiêu đoạn thẳng có hai đầu mút là hai điểm trong số các điểm đã cho?

Câu 5. (2,0 điểm) Cho M = 21 + 35 + 49 + ... + 20188065 + 20198069 . Tìm chữ số tận cùng của M

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TIÊN HẢI - NĂM 2019 Câu 1.

1 3 − 3 1 1 1 −2 1. Ta có A = − − + − + + 3 4 5 73 36 15 9  1 −3 1   3 1 −2  1 + +− − + + A= −  3 5 15   4 36 9  73 A=

5 + 9 + 1 −27 − 8 − 1 1 + + 15 36 73

. A = 1 + ( −1) + Vậy A =

1 1 = 73 73

1 .

73

2. Ta có B = 7 + 7 2 + 73 + ... + 7 2018 + 7 2019 và 7 B = 7 2 + 73 + 7 4 + ... + 7 2019 + 7 2020 Khi đó 7 B − B = 7 2020 − 7 suy ra B =

72020 − 7 .

6

Một số chính phương chia hết cho p thì chia hết cho p 2 ( p∈Ν , p ≠ 0 )

B chia hết cho 7 nhưng không chia hết cho 7 2 vì 7 không chia hết cho 7 2 Vậy B không là số chính phương.

3. Ta có ( x + 2 ) + ( x + 7 ) + ( x + 12 ) + ... + ( x + 42 ) + ( x + 47 ) = 655  47 − 2   47 − 2  ⇔ + 1 x + ( 47 + 2 )  + 1 :2 = 655  5   5  ⇔ 10 x + 245 = 655 ⇔ x = 41

Vậy x = 41

Câu 2.

113

1. Gọi số tự nhiên có ba chữ số là a

a = 23 p + 14 a + 9 = 23m ⇒ Ta có  ( m, n, p, q ∈Ν ) sai de a = 25q + 16 a + 9 = 25n Khi đó a + 9∈ BC ( 23, 25) = {0;575;1150;...} Vì a là số có ba chữ số nên a = 566

2019. ( 20192018 +1) 20192019 +1 + 2018 20192018 + 1 2018 ⇒ 2019C = = =1 + 2. C = 2019 2019 2019 2019 +1 2019 + 1 2019 + 1 20192019 + 1 2019. ( 20192019 + 1) 20192020 +1 + 2018 20192019 + 1 2018 D= ⇒ 2019 D = = =1 + 2020 2020 2020 2019 + 1 2019 + 1 2019 +1 20192020 +1 Vì

2018 2018 > nên 2019C > 2019 D ⇒ C > D 2019 2019 +1 20192020 +1

Câu 3.

1. Ta có bbb = b .111 = 37.3. b = 37.3.7 = ab . a . b ⇒ ab = 37 2. Ta có 396 = 4.9.11 + N có hai chữ số tận cùng là 16 chia hết cho 4 suy ra N chia hết cho 4 + Tổng các chữ số của N bằng 1 + 5 + 5 + * + 7 + 1 + 0 + * + 4 + * + 1 + 6 = 30 + * + * + * = 30 + 6 = 36 chia hết cho 9 suy ra N

chia hết cho 9. + Tổng các chữ số hàng chẵn của N – Tổng các chữ số hàng lẽ của N = 18 – 18 = 0 chia hết cho 11 suy ra N chia hết cho 11.

Vậy N chia hết cho 4, 9, 11 suy ra N chia hết cho 396.

Câu 4.

1.

Q

A

P

B

Ta có BP = 3 cm suy ra AP = 4 cm Mà AQ = AP ⇒ QB = AQ + AB = 4 + 7 = 11 cm x y

2.

Q

A

+ QAy =180° ⇒ QAy = 30° Ta có BAy

P

B

114

+ BAx yAx =150° ⇒ yAx = 90° 3. Ta có 2016 + 4 = 2020 điểm thuộc AB (không có điểm nào trùng nhau) và 1 điểm không thuộc AB. Vậy qua 2021 điểm sẽ có các đoạn thẳng là 2021(2021-1):2=2041210

Câu 5.

Tất cả số hạng tổng trên đều có dạng a 4 n +1 = a. a 4 n Nếu a tận cùng là 0, 1, 5, 6 thì a 4 n + 1 tận cùng giống tận cùng của a Nếu a tận cùng là 7, 9 suy ra a 2 có tận cùng là 1 suy ra a 4n tận cùng là 1 suy ra

a 4 n . a có tận cùng giống a .

Nếu a tận cùng là 3 suy ra a 2 tận cùng là 9 suy ra 1 suy ra a 4n tận cùng là 1suy ra

a 4 n . a có tận cùng giống a Nếu a tận cùng là 2 suy ra a 4n tận cùng là 6 suy ra a 4 n . a tận cùng giống 6.2 => tận cùng là 2 => giống a Chứng minh tương tự ta có các số tận cùng là 4, 8 thì a 4n . a có tận cùng giống a Vậy a 4 n + 1 có chữ số tận cùng giống a với mọi a

Chữ số tận cùng của M giống chữ số tận cùng của N với N là tổng N = 2 + 3 + 4 + ... + 2019 =

2019.2020 − 1 = 2019.1010 − 1 2

Do 2019.1010 có tận cùng là 0 => N tận cùng là 9 => M tận cùng là 9.

ĐỀ SỐ 30: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TĨNH GIA- NĂM 2019 Câu 1. (4,0 điểm) 1) Thực hiện các phép tính sau bằng cách hợp lí: . a) 123. 456456 − 456. 123123 b)

5 4 3 1 13 + + + + 2.1 1.11 11.2 2.15 15.4

2) Rút gọn biểu thức sau: M =

11.322.37 + 915 14 2

( 2.3 )

.

Câu 2. (6,0 điểm) 1) Cho x là tổng của tất cả các số nguyên có hai chữ số, y là số nguyên âm lớn nhất. Hãy tính giá trị của biểu thức : A = 2020.x 2018 − 2019. y 2017 .

2) Tìm số nguyên x và y biết : xy − x + 2 y = 3 .

8  8  8   8  8  3) Tìm x, biết :  1 +  . 1 +  . 1 +  ... 1 +  .x = 1 − 22   36   8352  10  10  

115 Câu 3. (4,0 điểm) 1) Tìm phân số tối giản cho

a 14 16 lớn nhất ( a, b ∈ ℕ* ) sao cho khi chia mỗi phân số ; b 75 165

a ta được kết quả là một số tự nhiên. b

1 1   1 1 2) Cho A = 1.2.3...2018.1 + + + ... + +  , chứng tỏ rằng A là số tự nhiên 2017 2018   2 3

chia hết cho 2019.

Câu 4. (4,0 điểm) Cho góc bẹt xOy, trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA = 4 cm. Trên tia Oy lấy hai điểm M và B sao cho OM = 2 cm, OB = 8 cm.

1) Chứng tỏ điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB. 2) Từ O hai tia Oz và Ot nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng

. xy sao cho yOz = 40°, yOz = 110° . Tính số đo zOt 3) Qua O kẻ thêm n tia phân biệt khác tia Ox, Oy, Ot, Oz. Biết rằng trên hình có 120 góc phân biệt chung gốc O. Tính n .

Câu 5. (2,0 điểm) Cho a, b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng : A = ab − a − b + 1 chia hết cho 48 .

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TĨNH GIA - NĂM 2019 Câu 1. 1) a) Ta có : 123. 456456 − 456. 123123 = 123.456.1001 − 456.123.1001 = 0 b)

5 4 3 1 13 5 4.2 + 3 2.1 + 13 5 1 1 + + + + = + + = + + 2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 2 11.2 15.4 2 2 4 = 3+

1 13 = .

4 4

2) Ta có : M =

11.322.37 + 915 14 2

( 2.3 )

=

11.329 + 330 329 (11 + 3) 3.14 3.7 21 . = = = = 22.328 4.328 4 2 2

Câu 2.

1) Vì x là tổng của tất cả các số nguyên có hai chữ số nên :

x = ( −10 ) + (−11) + ... + ( −99 ) + 10 + 11 + ... + 99 = ( −10 ) + 10  + ( −11) + 11 + ... + ( −99 ) + 99  = 0 + 0 + ... + 0 = 0

y là số nguyên âm lớn nhất nên: y = −1 . Do đó: A = 2020.x 2018 − 2019. y 2017 = 2020.02018 − 2019.( −1)

2017

= 0 − 2019.( −1) = 2019 .

2) Ta có: xy − x + 2 y = 3 ⇒ xy − x + 2 y − 2 = 5 ⇒ ( xy − x ) + ( 2 y − 2 ) = 5

⇒ x ( y − 1) + 2 ( y − 1) = 5 ⇒ ( y − 1)( x + 2 ) = 5

116 Vì x, y ∈ ℤ nên y − 1 ∈ Ư(5) = {−5; − 1; 1; 5}

y -1

-5

-1

1

5

y

-4

0

2

6

x+2

-1

-5

5

1

x

-3

-7

3

-1

Vậy các cặp số nguyên x, y thỏa mãn là: ( x; y ) ∈ {( −3; −4 ) , ( −7;0 ) , ( 3;2 ) , ( −1;6 )} .

3) Ta có: 8  8  8   8  18.30.44...8360 2.9.3.10.4.11...88.95  = 1 +  .1 +  .1 +  ...  1 + = 22   36   8352  10.22.36...8352 1.10.2.11.3.12...87.96  10  

=

( 2.3.4...88) .( 9.10.11...95 ) = 88.9 = 33 (1.2.3...87 ) .(10.11.12...96 ) 96 4

. Do đó:

33 1 1 33 4 8  8  8   8  8  ⇒ .x = ⇒ x = : ⇒ x =  1 +  . 1 +  . 1 +  ... 1 +  .x = 1 − 4 5 5 4 165 22   36   8352  10  10   Vậy x =

4 .

165

Câu 3.

1) Theo đề bài ta có :

14⋮ a 14 a 14b : = ∈ℕ ⇔  (Vì (14,75) =1, (a, b) =1 75 b 75a b⋮ 75

16⋮ a 16 a 16b : = ∈ℕ ⇔  ( Vì (16,165) = 1, (a, b) =1 165 b 165a b⋮165 Để phân số tối giản

a lớn nhất thì a = ƯCLN(14; 16)=2, b = BCNN(75; 165) = 825. b

Vậy phân số cần tìm là :

2) Ta có : 1 +

2 .

825

1 1 1 1 1  1 1  1    1 + + ... + + = 1 + + + + ...  +    2 3 2017 2018  2018   2 2017   1009 1010 

1 1  1  = 2019  + + ... +  1009.1010   1.2018 2.2017

= 2019.

2.3...2016.2017 + 1.3.4...2016.2018 + ... + 1.2...1008.1011...2017.2018 1.2.3...2017.2018

1 1   1 1 Do đó : A = 1.2.3...2018.1 + + + ... + + = 2017 2018   2 3

117

= 1.2.3...2018.2019.

2.3...2016.2017 + 1.3.4...2016.2018 + ... + 1.2...1008.1011...2017.2018 1.2.3...2017.2018

= 2019.( 2.3...2016.2017 + 1.3.4...2016.2018 + ... + 1.2...1008.1011...2017.2018 ) ⋮ 2019 Vậy A là số tự nhiên chia hết cho 2019.

Câu 4.

1) 8cm

x

y A

4cm

O

2cm

B

M

( hình vẽ) Trên tia Oy ta có OM < OB (2 < 8) nên điểm M nằm giữa hai điểm O và B. Do đó : OM + MB = OB ⇒ MB = OB − OM = 8 − 2 = 6 cm

Vì M nằm trên tia Oy, A nằm trên tia Ox . Hai tia Ox, Oy là hai tia đối nhau , do đó OM và OA là hai tia đối nhau suy ra : O nằm giữa M và A. Ta có: MA = OA + OM = 4 + 2 = 6 cm Vì O nằm giữa A và M; M nằm giữa O và B ⇒ M nằm giữa A và B. Lại có MA = MB (=6cm) ⇒ M là trung điểm của AB z

2) Kẻ tia Oz' là tia đối của tia Oz , khi đó

Tia Oy nằm giữa hai tia Oz, Oz' nên :

' yOz + yOz ' = zOz

( hình vẽ)

O

x

40° 110°

' − ⇒ yOz ' = zOz yOz = 180° − 40° = 140° Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oy có

z'

yOt < yOz ' (110° < 140° ) nên tia Ot nằm

t

giữa hai tia Oy, Oz' . Do đó:

' = ' = yOt + tOz yOz ' ⇒ tOz yOz ' − yOt = 140° − 110° = 30° Vì tia Oy nằm giữa hai tia Oz, Oz' ; tia Ot nằm giữa hai tia Oy, Oz' ⇒ tia Ot nằm + tOz ' = zOz ' ⇒ zOt = zOz ' − tOz ' = 180° − 30° = 150° . giữa hai tia Oz, Oz' nên : zOt

= 150° .

Vậy zOt 3) Tất cả các tia chung gốc O là n + 4 ⇒ Số góc do n + 4 tia này tạo ra là :

y

118

( n + 4 )( n + 4 − 1) = ( n + 3)( n + 4 ) 2

2

( n + 3)( n + 4 ) 2

nhiên liên tiếp

. Theo đề bài ta có :

= 120 ⇒ ( n + 3)( n + 4 ) = 240 = 15.16 vì n + 3 và n + 4 là hai số tự

nên : n + 3 = 15 ⇒ n = 12

Câu 5.

Vì a,b là bình phương hai số nguyên lẻ liên tiếp nên : 2

a = ( 2n − 1) ; b = ( 2n + 1)

2

( n ∈ ℤ)

Ta có : ab − a − b + 1 = ( ab − a ) − ( b − 1) = a ( b − 1) − ( b − 1) = ( a − 1)( b − 1) . Do đó: 2 2 A = (a − 1) ( b − 1) = ( 2n − 1) − 1 ( 2n + 1) − 1 = 4n ( n − 1) .4n ( n + 1) = 16n2 ( n − 1)( n + 1)   

mà n ( n − 1)( n + 1) ⋮ 3 ( tích 3 số nguyên liên tiếp) ⇒ A⋮ (16.3) ⇒ A⋮ 48 ( dpcm )

ĐỀ SỐ 31: ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN 6 HUYỆN TRIỆU SƠN- NĂM 2018 – 2019 Bài 1. ( 5,0 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau: 2  4  3   1, 6.  1 .1, 25   1,08 −  : 25  7  2   5 +  a) A = + ( −0,6 ) .50% :   .

1 5 1 2    −5  0, 64 −  5 − 2  .2 25 9 4 17  

b) B =

11.911.37 − 275 .

22.914

1  1   1   1 1 2     c) C =  1 +  . 1 +  . 1 +  … 1 +  . 1 +  1,08 −  .

25   1.3   2.4   3.5   2016.2018   2017.2019   Bài 2. (4,0 điểm) a) Tìm các số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số bằng các tổng a + b = c + d = e + f với các số a, b, c, d , e thỏa mãn

a 35 c 130 e 14 ; = . = ; = b 49 d 143 f 26

b) Tìm các số tự nhiên x , y thỏa mãn

x y x+ y + = .

2 3 2+3

1 + 5 + 52 + 53 + … + 52019 1 + 3 + 32 + 33 + … + 32019 c) Cho M = và N = . Hãy so sánh M 1 + 5 + 52 + 53 + … + 52018 1 + 3 + 32 + 33 + … + 32018 và N .

Bài 3. (3,0 điểm) a) Tìm các số nguyên tố x và y để P = xy + 5x − 2 y − 10 cũng là số nguyên tố. b) Chứng minh rằng:

119 1) Q = n 5 − n chia hết cho 10 với mọi n là số tự nhiên.

2) Cho A = 15 + 25 + 35 + …+ 20195 và B = 1 + 2 + 3 + … + 2019 .

Chứng minh rằng A và B có số tận cùng giống nhau.

Bài 4. (6,0 điểm) Cho điểm O nằm trên đường thẳng xy . Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là xy vẽ 0

các tia Om tạo với Ox một góc bằng a 0 . Vẽ tia On tạo với Om một góc ( a + 10 ) và 0

tạo với Oy một góc là ( a + 20 ) . a) Tính a 0 . b) Trên nửa mặt phẳng chứa Om và On vẽ các tia Oz và Ot sao cho góc tOx bằng

220 và góc yOz bằng 400 . Tính góc tOz . c) Vẽ thêm 2019 tia gốc O khác các tia Ox,Oy,Oz, Ot,Om,On . Hỏi có tất cả bao nhiêu góc tạo thành.

Bài 5. (2,0 điểm) Có 2021 số nguyên khác nhau thỏa mãn rằng cứ ghép 10 số bất kì thành một nhóm thì tổng thu được là một số dương. Chứng minh rằng trong các số đó có ít nhất là 203 số nguyên dương.

--HẾT--

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 6 HUYỆN TRIỆU SƠN- NĂM 2018 - 2019 Bài 1.

2  4  3   1, 6.  1 .1, 25   1,08 −  : 25  7  2   5 +  a) A = + ( −0,6 ) .50% :   1 1 2  5  −5  0, 64 −  5 − 2  .2 25 4  17  9  8 5   27 2  4 1, 6.  .   −  :  5 4  +  25 25  7 +  − 3  . 1 :  2  =     16 1  50 9  36  5  2  −5  − − .   25 25  9 4  17

7 3, 2 3 1 5 4 = + + . .

3 117 36 5 2 2 .

5 36 17 16 7 1 3 16 19 = + . + = +1 = .

3 4 7 4 3 3

120 b) B =

=

11.911.37 − 279 22.914

27 11.329 − 327 3 (11 − 9 ) 1 = = .

22.328 22.328 6 2

1 n 2 + 2n + 1 ( n + 1) = = c)Với mọi n ∈ N ta có 1 + . n (n + 2) n (n + 2) n (n + 2) *

Từ đó C=

2 2 32 42 52 .20182  27 2  . . . … . −  1.3 2.4 3.5 4.6 2017.2019  25 25 

=

22.32.42.52 … 20182 1.2.32.42.52 … 20172.2018.2019

=

2 .

2019

Bài 2. (4,0 điểm) a) Tìm các số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số bằng các tổng a + b = c + d = e + f với các số a, b, c, d , e thỏa mãn

a 35 c 130 e 14 = ; = ; = . b 49 d 143 f 26

b) Tìm các số tự nhiên x , y thỏa mãn c) Cho M =

x y x+ y + = .

2 3 2+3

1 + 5 + 52 + 53 + … + 52019 1 + 3 + 32 + 33 + … + 32019 và N = . Hãy so sánh M 1 + 5 + 52 + 53 + … + 52018 1 + 3 + 32 + 33 + … + 32018

và N .

Lời giải a) Gọi T = a + b Ta có Từ đó

a 5 a 35 a 5 = ⇒ = . Vậy có phân số tối giản là do đó a ⋮5, b⋮ 7 . b 49 b 7 b 7 a b a+b T = = = ⇒ T ⋮12 .

5 7 12 12

Tương tự thì Và

c 130 10 c d T = = ⇒ = = ⇒ T ⋮ 21 . d 143 11 10 11 21

e 14 7 e f T = = ⇒ = = ⇒ T ⋮ 20 . f 26 13 7 13 20

Mà BCNN (12;21;20 ) = 420 ⇒ T ⋮ 420 ⇒ max T = 840 . b)

x y x+ y + = ⇒ 15 x + 10 y = 6 ( x + y ) ⇒ 9 x = −4 y. (*) 2 3 2+3

Từ (*) thì mà x , y là số tự nhiên nên x, y ≥ 0 từ đó 9 x ≥ 0 ≥ −4 y .

Vậy ta phải có x = y = 0 .

121

c)Ta có 2 3 2018 1 + 5 + 52 + 53 + … + 52019 1 + 5 (1 + 5 + 5 + 5 + … + 5 ) 1 M= = = 5+ 2 3 2018 2 3 2018 2 1+ 5+ 5 + 5 +…+ 5 1+ 5+ 5 + 5 +…+ 5 1 + 5 + 5 + 53 + … + 52018 .

2 3 2018 1 + 3 + 32 + 33 + … + 32019 1 + 3 (1 + 3 + 3 + 3 + … + 3 ) N= = 1 + 3 + 32 + 33 + … + 32018 1 + 3 + 32 + 33 + … + 32018 1 = +3 2 1 + 3 + 3 + 33 + … + 32018

Vậy M − N = 1 + Rõ ràng

1 1   + 1 − .

3 2018 2 3 2018  1 + 5 + 5 + 5 + …+ 5  1 + 3 + 3 + 3 + …+ 3  2

1 1 =1⇒ M − N 0 ⇒ M > N .

3 2018 1 + 3 + 3 + 3 + …+ 3 1 2

Bài 3. a) Ta có P = xy + 5 x − 2 y − 10 = x ( y + 5) − 2 ( y + 5) = ( x − 2 )( y + 5) .

Bới vậy để P là số nguyên tố thì một trong hai giá trị x − 2 và y + 5 phải bằng 1 mà

y + 5 ≥ 7 nên x − 2 = 1 ⇔ x = 3 từ đó P = y + 5 . Nếu y lẻ thì P sẽ chẵn, điều này vô lí ⇒ y phải chẵn mà y là số nguyên tố ⇒ y = 2 Vậy x = 3; y = 2 . b) 1) Ta có Q = n 5 − n = n ( n 4 − 1) . (*) Nhận thấy rằng nếu n lẻ thì n 4 − 1 chẵn ⇒ n ( n 4 − 1) luôn là số chẵn ⇒ Q ⋮ 2 . (*) Nếu n không chia hết cho 5 thì sử dụng định lí Phecma ta có n 4 ≡ 1 ( mod 5) tức là n 4 − 1 sẽ chia hết cho 5. Vậy n ( n 4 − 1) luôn chia hết cho 5 với mọi n .

Từ đó Q chia hết cho bội chung của 2 và 5 tức là 10.

Bài 4. a)

+ mOn + nOy = 1800 ⇒ a + a + 100 + a + 200 = 1800 ⇔ a = 500 .

Ta có xOm

122

b)

= 1800 − tOx − zOy = 1800 − 400 − 220 = 1180 Ta có tOz c) Như vậy ta có tất cả là 2025 tia.

Với mỗi tia trong đó, kết hợp với 2024 tia còn lại thì sẽ tạo được 2024 góc nhưng mỗi góc sẽ bị tính 2 lần, do đó số góc được tạo ra sẽ là

2024.2025 = 2049300 .

2

Bài 5.

Nếu chỉ có tối 202 số nguyên dương thì dễ dàng lấy ra được 10 số không dương trong số 1819 số còn lại, khi đó xét tổng của 10 số này là một số không âm, điều này vô lí.

Vậy phải có ít nhất 203 số nguyên dương.

Chú ý: Đề bài không rõ ràng. ĐỀ SỐ 32: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6 HUYỆN CHƯƠNG MỸ 2019 Câu 1. (4,0 điểm) 2  4 4   0,8 :  .1, 25   1, 08 −  : 25  7 5  + 1, 2.0, 5 : 0,8 1. Cho biểu thức: A =  và B = ( ) 1 5 2   0, 64 −  6 − 3, 25  .2 25  9  17

Tính A + 3B ?

2. Cho S =

1 1 1 1 504 + + + ... + . So sánh S với 3.7 7.11 11.15 2019.2023 6068

Câu 2. (4,0 điểm) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 2

a) ( 2 x − 1) : 9 = 49 c)

2x 2 1 − = 3 y 3

b) 3x + 3x + 2 = 810 d) 80⋮ x;56⋮ x và x ≥ 3

Câu 3. (3,0 điểm)

1. Cho A = 5 + 52 + 53 + ... + 52019 . Chứng tỏ rằng 4 A + 5 là số chính phương.

123 2. Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì 3n + 2 và 5n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Câu 4. (2,0 điểm) 1. Cho phân số P =

2019 . Tìm số nguyên x để P có giá trị lớn nhất. Tìm giá x − 2020

trị lớn nhất đó.

2. Hãy chia số 36 thành ba số a, b, c sao cho

a 3 b 4 = và = . b 4 c 5

Câu 5. (6,0 điểm) 1. Cho điểm O nằm trên đường thẳng xy . Trên tia Ox lấy điểm M sao cho OM = 1 cm. Trên tia Oy lấy hai điểm N và P sao cho ON = 1 cm, OP = 3 cm.

a) Chứng tỏ rằng N là trung điểm của đoạn thẳng MP . b) Trên tia đối của tia My lấy điểm Q sao cho MQ = 2 cm. Tìm trung điểm của các đoạn thẳng PQ, MN , NQ ? Giải thích vì sao?

2. Cho hai tia Ox và Oy đối nhau. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường

= 45°; xOB = 80°; thẳng xy vẽ các tia OA, OB, OC sao cho xOA yOC = 65° .

không? Vì sao? a) Tia OA có là tia phân giác của xOB b) Vẽ tiếp 2016 tia chung gốc O trong đó không có hai tia nào trùng nhau kể cả các tia đã cho. Hỏi có tất cả bao nhiêu góc được tạo thành?

Câu 6. ( 1 điểm) Lớp 6A có 45 học sinh làm bài kiểm tra môn Toán không có ai bị điểm dưới 2 và chỉ có 2 bạn được điểm 10. Chứng tỏ rằng ít nhất cũng tìm được 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau. Biết điểm kiểm tra là số tự nhiên từ 0 đến 10?

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN CHƯƠNG MỸ - NĂM 2019 Câu 1.

2  4  4 7 1:  1, 08 −  : 25  7 7 =4=1 1. Ta có: A =  = 11 2 5 2 7 4   3 .2  6 − 3, 25  .2 36 17  9  17

4  0,8 :  .1, 25  5   + 1, 2.0,5 : 0,8 = 4 : 3 + 3 = 25 B= ( ) 1 5 5 4 12 0, 64 − 25 A + 3B =

1 25 1 25 13 + 3. = + = 4 12 4 4 2

124 2. S =

1 1 1 1 + + + ... + 3.7 7.11 11.15 2019.2023

4 4 4 4 + + + ... + 3.7 7.11 11.15 2019.2023 1 1 1 1 1 1 1 1 4S = − + − + − + ... + − 3 7 7 11 11 15 2019 2023 1 1 2020 4S = − = 3 2023 6069 505 S= 6069 4S =

Ta có:

504 5564 = 1− ; 6068 6068 Mà

505 5564 = 1− 6069 6069

5564 5564 504 505 > ⇒ < 6068 6069 6068 6069

Vậy S >

504 6068

Câu 2.

1)

( 2 x − 1)

2

2

: 9 = 49 ⇒ ( 2 x − 1) = 411 ⇒ 2 x − 1 = 21 hoặc 2 x − 1 = −21

+) 2 x − 1 = 21 ⇒ x = 11 +) 2 x − 1 = −21 ⇒ x = −10 Vậy x ∈ {−10;11} 2) 3x + 3x+ 2 = 810 10.3x = 810 3x = 81 3x = 34

⇒x=4

Vậy x = 4 3)

2x 2 1 − = 3 y 3 2x −1 2 = 3 y

⇒ ( 2 x − 1) y = 6 Ta có: 2 x − 1; y là các số nguyên mà 2 x − 1 là số nguyên lẻ.

Mà Ư(6)= {−6; −3; −2; −1;1; 2;3;6} Nê ta có bảng:

125 2x −1

1

3

-1

-3

y

6

2

-6

-2

x

1

2

0

-1

Vậy ( x; y ) = {(1;6 ) , ( 0; −6 ) , ( −1, −2 )} 4) 80⋮ x;56⋮ x ⇒ x ∈ ƯC(80,56) Ta có ƯCLN(80,56)=8 Nên ƯC(80,56)= Ư(8)= {±1; ±2; ±4; ±8} Vì x ∈ ƯC(80,56) và x ≥ 3 nên x ∈ {4;8}

Câu 3: 1) Ta có:

5 A = 52 + 53 + 54... + 52020 5 A − A = 52020 − 5 4 A + 5 = 52020 = ( 51010 )

2

Vậy 4 A + 5 là số chính phương.

2) Đặt: ƯCLN( 3n + 2 , 5n + 3 ) = d

⇒ ( 3n + 2 )⋮ d ; ( 5n + 3)⋮ d ⇒ 5 ( 3n + 2 ) − 3 ( 5n + 3)  ⋮ d

1⋮ d ⇒ d = 1 Vậy với mọi số tự nhiên n thì 3n + 2 và 5n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Câu 4: 1. ĐK: x ≠ 2020 *Nếu x < 2020 thì x − 2020 < 0 ⇒ P < 0 *Nếu x > 2020 thì x − 2020 > 0 ⇒ P > 0 Vì x là số nguyên nên x − 2020 ≥ 1 Do đó P =

2019 ≤ 2019 x − 2020

Xảy ra P = 2019 khi x − 2020 = 1 ⇒ x = 2021 Vậy với x = 2021 thì giá trị lớn nhất của P = 2019 .

2. Vì chia số 36 thành ba số a, b, c nên a + b + c = 36 (1) Ta có:

3 a 3 = ⇒a= b b 4 4 4 b 4 = ⇒b= c c 5 5

126

Thay vào (1) ta có

3 5 b + b + b = 36 ⇒ 3b = 36 ⇒ b = 12 4 4

⇒ a = 9; c = 15 Vậy a = 9; b = 12; c = 15 Câu 5:

1.

Ta có hình vẽ: a)

Do ON = 1 cm, OP = 3 cm nên ON < OP suy ra N nằm giữa hai điểm O và P .

Ta có: ON + NP = OP 1 + NP = 3 ⇒ NP = 2 Do OM , ON là hai tia đối nhau nên O nằm giữa hai điểm M và N Ta có: MN = ON + OM = 1 + 1 = 2 Vì MN = NP = MP : 2 nên N là trung điểm của đoạn thẳng MP .

b) Do Q thuộc tia Mx nên Q thuộc tia Ox , mà P thuộc tia Oy nên điểm O nằm giữa hai điểm P và Q .

Do tia MQ và tia MO là 2 tia đối nhau nên điểm M nằm giữa hai điểm O và Q . Ta có:

OQ = OM + MQ = 1 + 2 = 3 (cm). ⇒ OP = OQ = 3 cm Lại có điểm O nằm giữa hai điểm P và Q Vậy điểm O là trung điểm của đoạn thẳng PQ .

Tương tự: + Điểm O nằm giữa hai điểm M và N ; OM = ON = 1 cm, nên điểm O là trung điểm của đoạn thẳng MN . + Điểm M nằm giữa hai điểm Q và N ; MN = NQ = 2 cm, nên điểm M là trung điểm của đoạn thẳng QN .

2. Ta có hình vẽ:

127

= 45°; xOB = 80° ⇒ xOA < xOB

a) Do xOA ⇒ Tia OA nằm giữa hai tia Ox và OB . Ta có: +

BOA AOx = BOx

+ 45° = 80° ⇒ BOA = 35° BOA = 45° Mà xOA

≠ .

AOB . Vậy tia OA không là tia phân giác của xOB Suy ra xOA và + b) Do xOC yOC là hai góc kề bù nên xOC yOC = 180° = 180° − ⇒ xOC yOC = 180° − 65° = 115° = 45°; xOB = 80°; xOC = 115° Ta có: xOA ⇒ Tia OB nằm giữa hai tia Ox và OC . Ta có: + BOx = COx

BOC

+ 80° = 115° BOC

⇒ ∠BOC = 115o − 80o = 35o

= BOC = 35° nên tia Do tia OB nằm giữa hai tia OA và OC mà BOA AOC .

OB là tia phân giác của c)

Có tất cả 2021 tia phân biệt chung gốc O .

Từ 1 tia ban đầu tạo với 2020 tia còn lại được tất cả 2020 góc.

Mà có tất cả 2020 tia như vậy nên có 2020.2021 góc. Tuy nhiên mỗi góc

đã được tính 2 lần nên số góc tạo thành là: 2020.2021: 2 = 2041210 (góc).

Câu 6: Số học sinh lớp 6A đạt điểm kiểm tra từ 2 đến 9 là: 45 − 2 = 43 ( học sinh) Ta có: 43 = 8.5 + 3 Khi phân chia 43 học sinh vào 8 loại điểm kiểm tra từ 2 đến 9 thì theo Nguyên lý Dirichlet luôn tồn tại ít nhất 5 + 1 = 6 học sinh có điểm kiểm tra giống nhau.

ĐỀ SỐ 33: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6 HUYỆN VĨNH YÊN 2019 Câu 1:

(2,0 điểm) 1. Thực hiện phép tính: 2. Cho A= Tính

Câu 2:

A .

B

(2,5 điểm)

A = 2100 − 299 − 299 −...... − 22 − 2 −1 .

34 51 85 68 39 65 52 26 + + + . và B = + + + 7.13 13.22 22.37 37.49 7.16 16.31 31.43 43.49

128 1. Tìm x ∈ ℕ biết:

1 1 1 1 101 + + +...... + = 2.5 5.8 8.11 x(x + 3) 618

2. Tìm các cặp số nguyên dương ( x; y ) biết :

3xy + x + y =13.

3. Tìm các số nguyên tố a, b, c biết: 2a + 3b + 6c = 78

Câu 3:

(1,5 điểm) 1. Tìm hai số tự nhiên a và b thõa mãn điều kiện: a + 2b = 51 và [ a; b] + ( a; b ) = 93.

2. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, 1000! chứa thừa số nguyên tố 7 với số mũ

bằng bao nhiêu?

Câu 4:

(1,0 điểm) Chứng minh rằng: tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 là một số chính phương.

Câu 5:

(2,0 điểm)

= 60°. Trên các tia Ox ; Oy lần lượt lấy các điểm A, B (điểm A, B khác Cho xOy

AOC = 30° . điểm O ).Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C sao cho . a) Tính số đo BOC = 90°. . Tính số đo b) Từ O vẽ tia Oz sao cho COz AOz .

Câu 6:

(1,0 điểm) Cho A =

1 1 1 1 1 1 1 < A< . + 2 + 2 + .... + 2 + ... + . Chứng minh rằng: 2 2 5 6 7 n 2004 65 4 LỜI GIẢI ĐỀ GIAO LƯU HSG HUYỆN VĨNH YÊN NĂM HỌC 2018-2019

Câu 1:

1. Ta có

A = 2100 −( 299 + 298 +...... + 22 + 2 +1)

B = 299 + 298 +...... + 22 + 2 +1⇒2B = 2100 + 299 +...... + 23 + 22 + 2 ⇒ 2 B − B = ( 2100 + 2 99 + ...... + 2 3 + 2 2 + 2 ) − ( 299 + 298 + ...... + 2 2 + 2 + 1)

⇒ B = 2100 − 1

(

)

100 100 100 100 100 Vậy A = 2 − B = 2 − 2 − 1 = 2 − 2 + 1 = 1

2. Ta có

A=

34 51 85 68 + + + 7.13 13.22 22.37 37.49

⇒ A= =

17.2 17.3 17.5 17.4 17  3.2 3.3 3.5 3.4  + + + = . + + +  7.13 13.22 22.37 37.49 3  7.13 13.22 22.37 37.49 

17  13 − 7 22 − 9 37 − 22 49 − 37  . + + +  3  7.13 13.22 22.37 37.49 

129 = Lại có: B =

=

17  1 1 1 1 1 1 1 1  17  1 1  . − + − + − + −  = . −  3  7 13 13 22 22 37 37 49  3  7 49  13.3 13.5 13.4 13.2 13  3.3 3.5 3.4 3.2  + + + = . + + +  7.16 16.31 31.43 43.49 3  7.16 16.31 31.43 43.49 

13  1 1 1 1 1 1 1 1  13  1 1  . − + − + − + −  = . −  3  7 16 16 31 31 43 43 49  3  7 49 

17  1 1  . − A 3  7 49  17 = = .

Từ đó suy ra B 13  1 1  13 . −  3  7 49  Vậy

A 17 = .

B 13

Câu 2.

1. Ta có:

1 1 1 1 101 + + + ...... + = 2.5 5.8 8.11 x ( x + 3) 618

1  3 3 3 3  101 ⇒ . + + + ...... + = 3  2.5 5.8 8.11 x( x + 3)  618 1 1 1 1 1 1 1 1 1  101 ⇒ .  − + − + − + .... + − = 3  2 5 5 8 8 11 x x + 3  618 1  101 1 1 : ⇒ − =  2 x + 3  618 3

1 1 101  1 1  101 1 1 1 101 ⇒ − : ⇒ − = ⇒ = − =  2 x + 3  618 3 2 x + 3 206 x + 3 2 206 ⇒

1 103 − 101 1 1 = ⇒ = ⇒ x + 3 = 103 ⇒ x = 100 x+3 206 x + 3 103

Vậy x = 100 .

2. Từ 3 xy + x + y = 13.

1 1 ⇒ x(3y +1) + .(3y +1) − =13.

3 3 1 1 ⇒ (3 y + 1).( x + ) = 13 + .

3 3

⇒ (3 y + 1).(3x + 1) = 40. (*)

x

0 (loại)

1

y

13

3

130 Vì x; y nguyên dương do đó 3 y + 1 và 3x + 1 cũng là hai số nguyên dương nên từ (*)suy ra 3 y + 1;3 x + 1 là ước của 40. Mặt khác 3 x + 1 là số chia 3 dư 1 nên ta có bảng sau:

3x + 1

1

4

3y +1

40

10

Vậy cặp số nguyên dương ( x; y ) thõa mãn bài toán là ( x; y ) = (1;3)

3. Tìm các số nguyên tố a, b, c biết: 2a + 3b + 6c = 78 (*) Vì 2a ⋮ 2;6c⋮ 2;78⋮ 2 nên từ ( *) suy ra 3b⋮ 2 . Mà b là số nguyên tố suy ra b = 2 .

Lại có 3b⋮ 3;6c⋮ 3;78⋮ 3 nên từ ( *) suy ra 2a⋮ 2 . Mà a là số nguyên tố suy ra a = 3 .

Thay a = 3 ; b = 2 vào (*) ta có c = 11 Vậy các số nguyên tố ( a; b; c ) thõa mãn bài toán là ( a; b; c ) = (3; 2;11)

Câu 3. 1.Gọi (a; b) = d ⇒ a = md ; b = nd với (m; n ∈ N *); (m; n) = 1 . Khi đó [ a; b] = d .m.n Từ a + 2b = 51 ⇒ md + 2 nd = 51 ⇒ (m + 2 n) d = 51 (1) .

Từ [ a; b] + ( a; b ) = 93 ⇒ dmn + d = 93 ⇒ d ( mn + 1) = 93 (2) Từ (1) và (2) suy ra d ∈ UC (51;93) mà ƯCLN (51;93) = 3 ⇒ d ∈ {1;3}

m + 2n = 51 +) Với d = 1 Thay vào (1) và (2) ta có:  nm = 92 Vì m; n ∈ N * nên từ m + 2n = 51 suy ra m lẻ và m < 51 Kết hợp với nm = 92 suy ra m = 23 khi đó n = 4 ( không thõa mãn (1) )

(m + 2n).3 = 51 m + 2n = 17 +)Với d = 3 Thay vào (1) và (2) ta có:  ⇔ 3nm = 93 mn = 31 Vì m; n ∈ N * nên từ m + 2n = 51 suy ra m lẻ và m < 17 Kết hợp với nm = 31 suy ra m = 1 khi đó n = 31 ( không thõa mãn m + 2n = 17 ) Vậy không tồn tại hai số tự nhiên a và b thõa mãn điều kiện: a + 2b = 51 và

[ a; b] + ( a; b ) = 93.

2.Ta có : 1000! = 1.2.3.4.5.......999.1000.

Trong dãy số 1; 2;3; 4;5;.....;1000 : - Các bội của 7 là 7;14; 21;35;.......;994 ; gồm : - Các bội của 7 2 là 49;98;....;980. ; gồm :

994 − 7 + 1 = 142 (số).

7

980 − 49 + 1 = 20 (số).

49

131

- Các bội của 7 3 là 343;686; ; gồm : 2 số .Không có số là bội của 7 4 (vì 7 4 = 2401 > 1000 ). Do đó khi phân tích ra thừa số nguyên tố, 1000! chứa thừa số nguyên tố 7 với số mũ bằng : 142.1 + 20.2 + 2.3 = 188 Câu 4.

Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n + 2, n + 3 (n ∈ ℕ) . Theo đề bài ta có: A = n (n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3 (n + 1)(n + 2) + 1

(

)(

)

= n 2 + 3n n 2 + 3n + 2 + 1

(*)

2

Đặt n 2 + 3n = t (t ∈ ℕ) thì (*) = t (t + 2) + 1 = t 2 + 2t + 1 = (t + 1)

(

2

)

⇒ A = n 2 + 3n + 1 .

(

)

Vì n ∈ ℕ nên suy ra: n 2 + 3n + 1 ∈ ℕ .

Vậy n (n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương.

Câu 5. a) Vì điểm C thuộc đoạn thẳng AB nên tia OC nằm giữa hai tia OA và OB

= AOC + BOC AOB = 60° ⇒ BOC = 30° 30° + BOC

y

hay

= 90°. . Tính b) Từ O vẽ tia Oz sao cho COz B

số đo AOz .

Có hai trường hợp xảy ra:

C

TH1:tia Oz và tia OA nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia OC Khi đó trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia OC có

< COz (30° < 90°) nên tia OA nằm giữa COA

30)0 A

O

x

hai tia OC và Oz ,do đó:.

+

COA AOz = COz − COA = 90° − 30° = 60°. ⇒ AOz = COz z

TH1:tia Oz và tia OA nằm trên hai nửa mặt phẳngđối nhau bờ chứa tia OC .

+ COz = 90° + 30° = 120°.

Khi đó,tia OC nằm giữa hai tia OA và Oz nên ta có: AOz = COA

132

y

z

B

C

30)0 O

A

x

Câu 6.

Ta có : A =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 + 2 + 2 + .... + 2 + ... + < + + + ... + 2 2 5 6 7 n 2004 4.5 5.6 6.7 2003.2004

⇒ A<

1 1 1 1 1 1 1 − + − + − ... + − 4 5 5 6 6 2003 2004

⇒ A<

1 1 501 − 1 500 500 1 − = = < = (1) 4 2004 2004 2004 2000 4

Mặt khác , A > ⇒ A>

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + ..... + = − + − + − ..... + − 5.6 6.7 7.8 2004.2005 5 6 6 7 7 2004 2005

1 1 400 80 7 7 1 − = = > > = (2) 5 2005 2005 401 401 455 65

Từ (1) và (2) suy ra

1 1 < A< ; 65 4

ĐỀ SỐ 34: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN VŨ THƯ - NĂM 2019 Câu 1. (6,0 điểm)

Tính giá trị của biểu thức sau một cách hợp lý: 1. A = (2019 − 174) .2018 − 2019(2018 − 174)

 171717 1717171 1717171  + + 2. B = 40. 424242 565656   303030 3. C =

1 1 1 1 1 + + + + ... + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 4.5.6 98.99.100

Câu 2. (4,0 điểm)

1. Chứng minh nếu ab = 2cd với a, b, c, d là các chữ số khác 0 thì abcd chia hết cho 67.

15 2. Tìm số tự nhiên x biết: 2x .2x +1.2x +2 = 100...00 : 5 15 chöõ soá 0

133 Câu 3. (4,0 điểm) 1. Chứng minh rằng phân số

8n + 1 tối giản với mọi số tự nhiên n.

36n + 4

2. Tìm số chính phương có 4 chữ số mà nó là lập phương của một số tự nhiên.

Câu 4. (5,0 điểm) 1. Cho đường thẳng xy và điểm O thuộc đường thẳng đó tìm cùng một nửa mặt = 60°; xOz = 120°; tOm = 90° phẳng bở xy kẻ các tia Oz ;Ot;Om sao cho xOt . .Chứng minh Om là tia phân giác của zOy

2. Cho đoạn thẳng AB = 6 cm , C là điểm trên đoạn thẳng AB sao cho

AC =

2 AB . Gọi D; E lần lượt là trung điểm của CA và CB , F là trung điểm của 3

AD . Tính EF .

3. Cho đường thẳng xy , O là một điểm trên đường thẳng đó.Trên nửa mặt phẳng bờ xy , vẽ 10 tia chung gốc O đôi một phân biệt, không tia nào trùng với

Ox ;Oy . Hỏi có bao nhiêu góc có số đo nhỏ hơn 180° tạo thành từ 10 tia đó và Ox ;Oy ?

Câu 5. (1,0 điểm) Chứng minh rằng từ 52 số nguyên bất kì luôn tồn tại 2 số mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 100.

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN VŨ THƯ- NĂM 2019 Bài 1.

1.A = (2019 − 174) .2018 − 2019(2018 − 174) = 2019.2018 − 174.2018 − 2019.2018 + 2019.174 = 2019.174 − 174.2018 = 174.(2019 − 2018) = 174.1

= 174 2.

134

 171717 1717171 1717171  + + B = 40.  424242 565656   303030  17.10101 17.10101 17.10101   B = 40.  + +  30.10101 42.10101 56.10101  17 17 17  B = 40.  + +   30 42 56  1 1 1 B = 40.17  + +   30 42 56   1 1 1  B = 40.17  + +   5.6 6.7 7.8  1 1 1 1 1 1 B = 40.17  − + − + −   5 6 6 7 7 8  1 1 B = 40.17.  −   5 8  3 B = 40.17.

40 B = 51 3

C =

1 1 1 1 1 + + + + ... + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 4.5.6 98.99.100

2 2 2 2 2 + + + + ... + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 4.5.6 98.99.100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2C = − + − + − + − + ... + − 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 4.5 5.6 98.99 99.100 1 1 2C = − 2 99.100 4899 C = 19800 2C =

Bài 2.

1.Ta có ab = 2cd và abcd = ab.100 + cd = 2cd .100 + cd = cd .201 = cd .67.3 Vậy abcd chia hết cho 67 15 2. Ta có 2x .2x +1.2x +2 = 100...00 : 5 15 chöõ soá 0

135 2x .2x .2.2x .22 = 1015 : 515 23x .23 = 215.515 : 515 23x = 215 : 23 23x = 212 ⇒ 3x = 12 ⇒ x = 12 : 3 ⇒x =4

Bài 3.

1. Gọi d = (36n + 4; 8n + 1) .Ta có 8n + 1⋮d; 36n + 4 ⋮d

Vì 8n + 1⋮d => 9 (8n + 1)⋮d => 72n + 9 ⋮d Vì 36n + 4 ⋮d => 2 (36n + 4)⋮d => 72n + 8 ⋮d ⇒ (72n + 9) − (72n + 8)⋮d ⇒ 72n − 72n + 9 − 8 ⋮d ⇒ 1⋮d ⇒ d = 1

2. Gọi số chính phương có 4 chữ số là abcd

Vì abcd là số có 4 chữ số nên 1000 ≤ abc ≤ 9999 Vì abcd là số chính phương nên ta có abcd = x 2 ,( x ∈ N ) Vì abcd là lập phương của một số tự nhiên nên ta có abcd = y 3 ( y ∈ N ) Và 1000 ≤ abcd ≤ 9999 ⇒ 1000 ≤ y 3 ≤ 9999 ⇒ 10 ≤ y ≤ 21

Lại có y 3 = x 2 nên y là số chính phương y=16 y 3 = 163 = 4096

Vậy số phải tìm là 4096 Bài 4.(5điểm)

1)Trên nửa mặt phẳng bở xy có

z

< xOz (do 60° < 120° ) xOt

t m

=>Tia Om nằm giữa hai tia Ox và Oz + tOz = xOz

xOt = 120° => 60° + tOz

tOz = 60°

+Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ot có

x

O

y

136

< tOm (vì 60° < 120° ) zOt => Tia Oz nằm giữa hai tia Ot và Om

+ mOz = tOm

zOt = 90° => 60° + mOz = 30° mOz < tOy (vì 90° < 120° ) +Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ot có : mOt

=> Tia Om nằm giữa hai tia Ot và Oy + mOy = tOy

=> mOt = 120° 90° + mOy

mOy = 30°

Do đó ta có mOy = mOz = 30°

Lại có tia Om nằm giữa 2 tia Oz và Oy Nên tia Om là tia phân giác của góc zOy. 2.

A

F

D

Vì C ∈ AB và AC =

C

E

B

2 2 AB nên AC = .6 = 4cm 3 3

và AC+CB=AB=> CB=AB-AC=6-4=2cm Vì D là trung điểm của CA => AD=DC= Vì E là trung điểm của CB => CE=BE=

AC 4 = = 2 (cm) 2 2

BC 2 = = 1 (cm) 2 2

Vì F là trung điểm của AD => AF=DF=

AD 2 = = 1 (cm) 2 2

Do đó ta có EF=FD+DC+CE=1+2+1=4(cm) 3).

Vì O là điểm trên trên đường thẳng xy.Vẽ 10 tia chung gốc O đôi một phân biệt, không tia nào trùng với Ox, Oy nên ta có 12 tia phân biệt.

Cứ 1 tia bất kì tạo với 11 tia còn lại tạo thành 11 góc chung gốc O Số góc tạo thành từ 12 tia là: 12.11 (góc) Do mỗi góc được tính 2 lần nên số góc phân biệt là 12.11:2=66 (góc) Vậy có 66 góc tạo thành có số đo nhỏ hơn 180° từ 10 tia đó và Ox, Oy Bài 5.

137 Chia 52 số nguyên tùy ý cho 100,ta có thể có các số dư từ 0,1,2,3,…,99.Ta phân các số dư thành các nhóm sau: {0} ; {1, 99} ;...; {49, 51} , {50} . Ta có tất cả 51 nhóm và khi chia 52 số cho 100 ta có 52 số dư. Theo nguyên lí Dirichlet sẽ có 2 số dư cùng thuộc một nhóm. Ta có 2 trường hợp: Trường hợp 1: Hai số dư giống nhau, suy ra hiệu hai số có 2 số dư tương ứng đó sẽ chia hết cho 100.

Trường hợp 2: Hai số dư khác nhau,suy ra tổng của hai số dư có hai số dư tương ứng đó sẽ chia hết cho 100 Ta suy ra điều phải chứng minh.

ĐỀ SỐ 35: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LẬP THẠCH - NĂM 2019 Câu 1. Thực hiện phép tính: 2

 84   35  a)   +    13   13 

2

5 4  5  b) 10101 + −   111111 222222 3.7.11.13.37 

Câu 2. Tìm số nguyên x, biết rằng: a) 720 :  41 − ( 2 x − 5 )  = 23.5 b) x − 2 + 7 = 12

Câu 3. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 5, cho 7, cho 9 có số dư theo thứ tự là 3, 4, 5.

Câu 4. Người ta muốn chia 200 bút bi, 240 bút chì, 320 tẩy thành một số phần thưởng như nhau. Hỏi có thể chia được nhiều nhất thành bao nhiêu phần thưởng, mỗi phần thưởng có bao nhiêu bút bi, bút chì, tẩy?

Câu 5. Cho A =

1 1 1 1 + + + ....... + 101 102 103 200

Chứng minh rằng: A >

7 12

Câu 6. Cho điểm C thuộc đường thẳng AB nhưng không thuộc đoạn thẳng AB. Biết

CA = a, CB = b. Gọi I là trung điểm của AB . Tính độ dài IC theo a và b.

Câu 7. Chứng minh rằng: nếu n ∈ N và ÖCLN (n, 6) = 1 thì (n − 1)(n + 1)⋮ 24 Câu 8. Tìm các số có ba chữ số, sao cho hiệu của số ấy và số gồm ba chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại là một số chính phương.

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN BÌNH GIANG - NĂM 2019

138 2

Câu 1:

2

 84   35  7056 1225 7056 + 1225 a)   +   = + = = 49 169 169 169  13   13  5 4  5  b) 10101 + −   111111 222222 3.7.11.13.37  5.10101 5.10101 4.10101 = + − 111111 222222 3.7.11.13.37 5 5 4 1 5 2 5 7 = + − = + = + = 11 22 11 11 22 22 22 22

Câu 2:

a) 720 :  41 − ( 2 x − 5 )  = 23.5 ⇒ 720 : ( 36 − 2 x ) = 40 ⇒ 36 − 2 x = 18 ⇒ 2 x = 18 ⇒ x = 9

Vậy x = 9 b) x − 2 + 7 = 12 ⇒ x − 2 = 12 − 7 ⇒ x − 2 = 5 x − 2 = 5 hoặc x − 2 = −5 ⇒ x = 7 hoặc x = −3

Vậy x = 7 hoặc x = −3

Câu 3:

Gọi a là số tự nhiên cần tìm

a = 5m + 3 (m ∈ N ) ⇒ 2a = 10m + 6 chia 5 dư 1

a = 7n + 4 (n ∈ N ) ⇒ 2a = 14n + 8 chia 7 dư 1 a = 9 p + 5 ( p ∈ N ) ⇒ 2a = 18 p + 10 chia 9 dư 1 Do đó: 2a − 1∈ BC (5,7,9). Để a nhỏ nhất thì 2a − 1 là BCNN (5, 7,9) = 315 ⇒ 2a − 1 = 315 ⇔ 2 a = 316 ⇔ a = 158

Vậy số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 5 dư 3, cho 7 dư 4, cho 9 dư 5 là 158

Câu 4:

Goi x là số phần thưởng nhiều nhất có thể chia ( x ∈ ℕ* ) Theo đề: 200⋮ x, 240⋮ x,320⋮ x và x nhiều nhất

x = ÖCLN (200, 240,320) ⇒ x = 40 Vậy có thể chia nhiều nhất thành 40 phần thưởng.

Mỗi phần thưởng có số bút bi là: 200 : 40 = 5 (cây) Mỗi phần thưởng có số bút chì là: 240 : 40 = 6 (cây) Mỗi phần thưởng có số tẩy là: 320 : 40 = 8 (cái)

139 Câu 5:

A=

1 1 1 1 + + + ....... + 101 102 103 200

1 1 1   1 1 1 1   1 > + + + ....... + + + + ....... + +  (có 50 số hạng 150   200 200 200 200   150 150 150 1 1 và ) 150 200

=

50 50 1 1 7 + = + = 150 200 3 4 12

Vậy A >

7 12

Câu 6.

TH1: C thuộc tia đối của tia AB

Do C thuộc tia đối tia AB nên tia AB và AC đối nhau Nên A nằm giữa C và B CA + CB = CB AB = BC − AC = b − a

I là trung điểm AB

AI =

AB b − a = 2 2

Do tia AC và tia AB đối nhau I là trung điểm AB A nằm giữa C và I

IC = CA + AI = a +

b−a a+b = 2 2

TH2: C thuộc tia đối của tia BA

Do C thuộc tia đối tia BA nên tia BA và BC đối nhau B nằm giữa A và C CB + BA = CA AB = AC − BC = a − b

I là trung điểm AB

BI =

AB a − b = 2 2

140 Ta có tia BA và tia BC đối nhau I là trung điểm AB suy ra tia BI và BA trùng nhau Suy ra BI và tia BC đối nhau Suy ra B nằm giữa C và I

IC = BI + BC = Vậy IC =

a −b a+b +b = 2 2

a+b 2

Câu 7.

Vì (n − 1), (n + 1) ⇒ n = 6k + 1 hoặc n = 6 k + 5 k ∈ ℕ *Với n = 6k + 1 ⇒ (n − 1)(n + 1) = 6k (6k + 2) = 12k (3k + 1) Nếu k chẵn ⇒ 12k ⋮ 24 Nếu k lẻ ⇒ (3k + 1)⋮ 2 ⇒ 12k (3k + 1)⋮ 24 *Với n = 6k + 5 ⇒ (n − 1)(n + 1) = (6k + 4)(6k + 6) = 2(3k + 2).6(k + 1) = 12(3k + 2)(k + 1) Nếu k chẵn ⇒ (3k + 2)⋮ 2 ⇒ 12(k + 1)(3k + 2) : 24 Nếu k lẻ ⇒ (k + 1)⋮ 2 ⇒ 12k (k + 1)(3k + 2)⋮ 24 Vậy (n − 1)(n + 1)⋮ 24

Câu 8.

Gọi abc là số tự nhiên có ba chữ số cần tìm Theo đề ta có: abc − cba = 100a + 10b + c − 100c − 10b − a

= 99a − 99c = 9.11(a − c) = 32.11(a − c) Để abc − cba là số chính phương thì a − c = 11 (không tồn tại) hoặc a−c = 0⇒ a = b

Vậy số cần tìm có dạng abc với a = c ∈ {1; 2;3; 4;5; 6;7;8;9} và

b ∈ {0;1; 2;3; 4;5;6;7;8;9}

ĐỀ SỐ 36: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NGỌC LẶC - NĂM 2019 Câu 1: (4,0 điểm)

1 1 1 1 1 1 a) Tính giá trị của biểu thức A = 1 + − 2 + 3 − 4 + ..... + 199 − 200 .

3 3 3 3 3 3 b) Tính tỉ số Biết A =

A .

B

4 6 9 7 7 5 3 11 + + + + + + và B = .

7.31 7.11 10.41 10.57 19.31 19.43 23.43 23.57

141 Câu 2: (4,0 điểm) a) Tìm số nguyên x biết: ( 3 x − 24 ) .72018 = 2.7 2019.

1 20190

b) Tìm các số tự nhiên x, y biết: 2 xy − 5 x + 2 y = 148

Câu 3: (4,0 điểm) a) Chứng minh rằng bình phương của một số nguyên tố khác 2 và 3 chia cho 12 dư 1

b) Chứng minh rằng S =

1 1 1 1 1 + + + .... + > 101 102 103 130 4

Câu4 : (6,0 điểm) Cho góc bẹt xOy. Trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA = 2cm, trên tia Oy lấy điểm M và B sao cho OM=1cm, OB = 4cm. a) Chứng tỏ điểm M nằm giữa hai điểm O và B; điểm M là trung điểm của AB.

= 130°; zOy = 30°. Tính số đo tOz ? b) Từ O kẻ tia Ot và Oz sao cho tOy c) Cần vẽ thêm bao nhiêu tia phân biệt chung gốc O và không trùng với các tia đã vẽ trong hình để tạo thành tất cả 105 góc.

Câu 5: (2,0 điểm) Cho a, b, c, d ∈ N. Biết tích ab là liền sau của tích cd và a + b = c + d . Chứng minh a=b

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1:

1 1 1 1 1 1 a) Tính giá trị của biểu thức A = 1 + − 2 + 3 − 4 + ..... 199 − 200 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 Ta có 3 A = 3 + 1 − + 2 − 3 + ..... 198 − 199 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1   1 1 1 1 1 1  1  3 A + A =  3 + 1 − + 2 − 3 + ..... 198 − 199  +  1 + − 2 + 3 − 4 + ..... 199 − 200  = 5 − 200 3 3 3 3 3   3 3 3 3 3 3  3  1 1   ⇒ 4 A = 5 − 200 ⇒ A =  5 − 200  : 4 3 3   b) Tính tỉ số Biết A =

A B

4 6 9 7 7 5 3 10 11 + + + + + + + và B = 7.31 7.11 10.41 10.57 19.31 19.43 23.43 10.41 23.57

4 6 9 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A = + + + = − + − + − + − = − 5 35.31 35.41 50.41 50.57 31 35 35 41 41 50 50 57 31 57

7 5 3 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B = + + + = − + − + − + − = − 2 38.31 38.43 46.43 46.57 31 38 38 43 43 46 46 57 31 57

142

⇒

A B A 5 = ⇒ = 5 2 B 2

Câu 2: Tìm số nguyên x biết : a) ( 3 x − 24 ) .7 2018 = 2.7 2019.

1 ⇒ ( 3 x − 24 ) .7 2018 = 2.7 2019 ⇒ 3 x − 2 4 = 2.7 2019 : 7 2018 20190

⇒ 3 x − 16 = 14 ⇒ 3 x = 14 + 16 ⇒ 3 x = 30 ⇒ x = 10 ⇒ x = ±10 ( thỏa mãn) b) Tìm các số tự nhiên x, y biết

2 xy − 5 x + 2 y = 148 ⇒ ( 2 xy + 2 y ) − 5 x − 5 = 148 − 5 ⇒ 2 y ( x + 1) − 5 ( x + 1) = 143 ⇒ ( x + 1)( 2 y − 5 ) = 143 Do x, y là các số tự nhiên nên x + 1 và 2 y − 5 là ước của 143 Do 143= 1.143=11.13 nên ta có bảng sau

x+1

1

143

11

13

2y-5

143

1

13

11

x

0

142

10

12

y

74

3

9

8

Câu 3: a) Chứng minh rằng bình phương của một số nguyên tố khác 2 và 3 chia cho 12 dư 1 Gọi p là số nguyên tố khác 2 và 3 ta chứng minh p có dạng 6 k + 1 hoặc 6k + 5 (k ∈ N * ) Vì p là số nguyên tố khác 2 và 3 khi chia p cho 5 số dư có thể là 1;2;3;4 hoặc 5 * Nếu p = 6k + 2 = 2(3k + 1) ( là hợp số) * Nếu p = 6k + 4 = 2(3k + 2) ( là hợp số) * Nếu p = 6k + 3 = 3(2k + 1) ( là hợp số) Vậy p = 6k + 1 hoặc p = 6k + 5 TH1: p = 6k + 1 thì

p = ( 6k + 1) = ( 6k + 1)( 6k + 1) = 36k 2 +6k + 6k + 1 = 36k 2 +12k + 1 = 12 ( 3k 2 + k ) + 1 chia 12 dư 1 2

TH2: p = 6k + 5 thì

p = ( 6k + 5 ) = ( 6k + 5 )( 6k + 5 ) = 36k 2 +30k + 30k + 25 = 36k 2 +60k + 25 = 12 ( 3k 2 + 5k + 2 ) + 1 2

chia 12 dư 1 b) Chứng minh rằng S = S=

1 1 1 1 1 + + + .... + > 101 102 103 130 4

1 1 1 1 1 1   1 1 1   1 1 1   1 + + + .... + = + + ... + + + ... + + + ... + + +  101 102 103 130  101 102 110   111 112 120   121 122 130 

143

Ta có

1 1 1 1 1 1 10 1 + + ... + > + + ... + = = 101 102 110 110 110 110 110 11 1 1 1 1 1 1 10 1 + + ... + > + + ... + = = 111 112 120 120 120 120 120 12

1 1 1 1 1 1 10 1 + + ... + > + + ... + = = 121 122 130 130 130 130 130 13 S>

1 1 1 431 429 1 + + = > = 11 12 13 1716 1716 4

Câu 4:

a) x

O

A

M

B

y

Trên tia Oy ta có OM < OB. ( vì 1cm < 3cm. ) nên điểm M nằm giữa hai điểm nằm giữa hai điểm O và B Ta có M nằm giữa hai điểm O và B nên tia MO và tia MB là hai tia đối nhau (1) Tia Ox và tia Oy là hai tia đối nhau mà A thuộc tia Ox, M thuộc tia Oy nên O nằm giữa hai điểm A và M nên tia MO và Tia MA là hai tia trùng nhau (2) Từ (1) và (2) ⇒ Tia MA và tia MB đối nhau (3) M nằm giữa hai điểm O, B nên OM + MB = OB ⇒ 1 + MB = 4 ⇒ MB = 4 − 1 = 3(cm) Do O nằm giữa hai điểm A, M nên MO + OA = MA ⇒ 1 + 2 = MA ⇒ MA = 3(cm) Ta có MA = MB = 3(cm ) (4) Từ (3) và (4) ⇒ M là trung điểm của đoạn thẳng AB b) TH1: Tia Oz và tia Ot cùng nằm trên nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oy t z

130 x

A

O

°

M

30

°

B

y

< tOy (vì 300 < 1300 ) nên tia Oz nằm Trên cùng nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oy ta có zOy + tOz = tOy ⇒ 300 + tOz = 1300 ⇒ tOz = 1300 − 300 = 1000 giữa hai tia Oy và Ot ta có : zOy TH2: Tia Oz và Ot nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia Oy

144 z

x

O

A

M

130

30

°

B

y

°

t

Do tia Oz và tia Ot nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia Oy nên tia Oy + tOy = tOz ⇒ 300 + 1300 = tOz ⇒ tOz = 1600 nằm giữa hai tia Oz và Ot nên ta có zOy c) Giả sử ta cần vẽ thêm n tia phân biệt gốc O ( không trùng với các tia đã vẽ) thì tổng số tia gốc O là : n + 4 tia Trong n + 4 tia này ta tách ra một tia, tia này tạo với n + 3 tia còn lại n + 3 góc. Ta cứ làm như vậy với n + 4 tia thì tổng số góc tạo thành là ( n + 4 )( n + 3) (góc) Tuy nhiên mỗi góc tính hai lần nên tổng số góc thực tế là ( n + 4 )( n + 3) : 2 (góc) Theo bài tổng số góc tạo thành là 105 góc ta có

( n + 4 )( n + 3) : 2 = 105 ⇒ ( n + 4 )( n + 3) = 210 ⇒ ( n + 4 )( n + 3) = 15.14 ⇒ n + 4 = 15 ⇒ n = 11 ( thỏa mãn) Vậy cần vẽ thêm 11 tia Câu 5: Cho a, b, c, d ∋ N. Biết tích ab là liền sau của tích cd và a + b = c + d . Chứng minh

a=b

a − c = d − b Theo bài ab = cd + 1; a + b = c + d ⇒  a − d = c − b Ta có 2

2

a + b = c + d ⇒ ( a + b ) = ( c + d ) ⇒ a 2 + 2ab + b 2 = c 2 + 2cd + d 2 ⇒ a 2 + b 2 = c 2 + d 2 − 2 ⇒ a 2 + b 2 − c 2 − d 2 = −2 ⇒ ( a − c )( a + c ) + ( b − d )( b + d ) = −2 ⇒ ( a − c )( a + c ) − ( d − b )( b + d ) = −2 ⇒ ( a − c )( a + c ) − ( a − c )( b + d ) = −2 ⇒ ( a − c )( a + c − b − d ) = −2 ⇒ ( a − c )( 2a − 2d ) = −2 ⇒ ( a − c )( a − d ) = −1

 a −c =1  a − c = −1 ⇒ ⇒ d − c = 2 hoặc  ⇒ d − c = −2  a − d = −1  a − d =1 TH1: d − c = 2

145 2 ( a + b )2 = 4c 2 + 8c + 4 ( a + b ) = 4 ( c 2 + 2c + 1)  a + b = 2c + 2 ⇒ ⇒ ⇒ 2 ab = c 2 + 2c + 1 ab = c ( c + 2 ) + 1  ab = c + 2c + 1  2

2

⇒ ( a + b ) = 4ab ⇒ a 2 − 2ab + b 2 = 0 ⇒ ( a − b ) = 0 ⇒ a = b TH2: d − c = −2 làm tương tự a = b

ĐỀ SỐ 37: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN PHÚ XUYÊN - NĂM 2019 Câu 1. (5,5 điểm)

 112  2018 2017 2016 1  + 0,415  : 0,01 + + + ... + 200   2 3 2018 .

1. Tính: a) A = b) B = 1 1 1 1 1 1 1 − 37,25 + 3 + + + ... + 12 6 2 3 4 2019 2. Tìm x , biết: x + ( x + 1) + ( x + 2) + ... + ( x + 30) = 1240

Câu 2. (4,5 điểm) a) Tìm các số có 3 chữ số, biết rằng khi chia số đó cho 8 dư 7 chia cho 31 thì dư 28.

2n + 5 , (n ∈ ℕ ) là phân số tối giản. n+3 2 y 6 c) Tìm số nguyên x , y biết = = . x 6 12

b) Chứng tỏ rằng

Câu 3. (4,0 điểm) Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể. Vòi 1 chảy trong 10 giờ thì đầy bể, vòi 2 chảy trong 6 giờ thì đầy bể. a) Hỏi cả 2 vòi cùng chảy thì trong bao lâu sẽ đầy bể? b) Nếu có vòi thứ 3 tháo nước ra trong vòng 15 giờ sẽ cạn hết bể đầy nước, thì khi mở cả 3 vòi cùng một lúc sau bao lâu sẽ đầy bể? (lúc đầu bể cạn hết nước).

. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ xy , vẽ các tia Oz Câu 4. (4,0 điểm) Cho góc bẹt xOy

= 70° ; và Ot sao cho xOz yOt = 55° . a, Chứng tỏ tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Ot ? yOz ? b, Chứng tỏ tia Ot là tia phân giác của ^

? c, Vẽ tia phân giác On của góc xOz . Tính nOt Câu 5. (2,0 điểm) Chứng tỏ: a) 1 +

1 1 1 1 + + + ... + >3 2 3 4 32

b) 5 27 < 2 63 < 5 28

146

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN PHÚ XUYÊN - NĂM 2019 Câu 1.

1. a) Ta có:

 112  204 100 + 0, 415  : 0, 01  121 + 83  : 1  .

200 102 102 200 200 100   = = 200 1 = = = −3 A=  1 1 1 149 19 1 447 38 −408 −4 − 37, 25 + 3 − + − + 12 6 12 4 6 12 12 12 12 Vậy

A = −3

2018 2017 2016 1 2017 2016 1 + + + ... + 1+ +1+ + 1 + ... + +1 1 2 3 2018 2 3 2018 b) B = = 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + ... + + + + ... + 2 3 4 2019 2 3 4 2019

1+ =

=

2019 2019 2019 2019 2019 2019 2019 + + ... + + + + ... + 2 3 2018 = 2019 2 3 2018 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + ... + + + + ... + 2 3 4 2019 2 3 4 2019

1  1 1 1 2019.  + + + ... +  2019  2 3 4 = 2019 1 1 1 1 + + + ... + 2 3 4 2019

Vậy B = 2019.

2. Ta có: x + ( x + 1) + ( x + 2) + ... + ( x + 30) = 1240 x + 30.x +

(30 + 1).30 = 1240 2

31.x + 465 = 1240 31.x = 775 x = 25 Vậy x = 25

Câu 2. a) Gọi số tự nhiên có 3 chữ số cần tìm là abc (1 ≤ a ≤ 9;0 ≤ b, c ≤ 9) Theo bài ta có: abc : 8 dư 7 ⇒ (abc + 1) ⋮8 ⇒ (abc + 1) + 64 ⋮8 ⇒ abc + 65⋮8 (1)

abc : 31 dư 28 ⇒ (abc + 3) ⋮31 ⇒ (abc + 3) + 62 ⋮31 ⇒ abc + 65⋮31 (2) Từ (1) và (2) ⇒ (abc + 65) ∈ BC (8,31) vì ƯCLN (8,31) = 1 nên ⇒ (abc + 65) ⋮ 248

⇒ (abc + 65 = 248.k (k ∈ ℕ* ) + Với k = 1 ⇒ abc = 183

147 + Với k = 2 ⇒ abc = 431 + Với k = 3 ⇒ abc = 679 + Với k = 4 ⇒ abc = 927 + Với k = 5 ⇒ abc = 1175 (loại vì abc < 1000) Vậy các số cần tìm là: 183; 431; 679; 927. b) Gọi ước chung lớn nhất của (2 n + 5, n + 3) là d:

2n + 5⋮ d (1)

n + 3⋮ d ⇒ 2.(n + 3) ⋮ d ⇒ 2n + 6⋮ d (2) Từ (1) và ( 2) ta có: (2n + 6) − (2n + 5)⋮ d ⇒ 1⋮ d ⇒ d ∈¦ (1) ⇒ d = 1 ⇒ ¦ CLN(2 n + 5, n + 3) = 1

Vậy

2n + 5 (n ∈ N ) là phân số tối giản. n+3

c) Theo bài ta có:

2 6 = ⇒ 2.12 = 6.x ⇒ x = 4 x 12

y 6 = ⇒ y.12 = 6.6 ⇒ y = 3 6 12 Vậy (x, y) cần tìm là (4, 3)

Câu 3. a) Trong 1 giờ, vòi 1 chảy được Trong 1 giờ, vòi 2 chảy được

1 phần của bể.

10

1 phần của bể.

6

Trong 1 giờ chảy cả 2 vòi chảy được số phần của bể là:

1 1 4 + = (phần của bể) 10 6 15 Thời gian 2 vòi cùng chảy để đầy bể là:

1:

4 15 3 = = 3 (h) = 3 giờ 45 phút 15 4 4

Vậy cả 2 vòi cùng chảy thì sau 3 giờ 45 phút sẽ đầy bể. b) Trong 1 giờ, vòi 3 chảy được

1 phần của bể.

15

Trong 1 giờ cả 3 vòi chảy được số phần của bể là:

1 1 1 1 + + = (phần của bể) 10 6 15 3 Thời gian để cả 3 vòi cùng chảy đầy bể là:

1:

1 = 3(h) 3

148

Vậy cả 3 vòi cùng chảy thì sau 3 giờ sẽ đầy bể.

Câu 4.

< yOx vì (55° < 180°) nên tia Ot a) Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Oy có yOt nằm giữa 2 tia Oy và Ox . Ta có:

+ tOx = yOx

yOt = 180° 55° + tOx = 125° tOx

< xOt vì (70° < 125°) Lại có, Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox có góc xOz nên tia Oz nằm giữa 2 tia Ox và Ot . b) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia

Ox có

< xOt < xOy

xOz

vì

(70° < 125° < 180°) nên tia Ot nằm giữa tia Oz và Oy .

- Vì tia Oz nằm giữa 2 tia Ox và Ot nên:

+ zOt = xOt

xOz = 125° 70° + zOt = 55° zOt = tOy = 55° nên Ot là tia phân giác của góc Vậy Ot nằm giữa Oz và Oy mà zOt

zOy

nên: xOn = nOz = 70° = 35° c) Vì On là tia phân giác của xOz 2 Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia

Ox có

(35° < 70° < 125°) nên tia Oz nằm giữa 2 tia On và Ot , ta có:

+ zOt = nOt

nOz

35° + 55° = nOt

90° = nOt

Vậy 90° = nOt Câu 5.

< xOz < xOt

xOn

vì

149 a) Theo bài ta có

S = 1+

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   1 1  + + + ... + = 1 + +  +  +  + ... +  +  + ... +  +  + ... +  2 3 4 32 2 3 4 5 8 9 16   17 32 

1 1 lớn hơn .

3 4 1 1 1 1 , , lớn hơn .

5 6 7 8 1 1 1 lớn hơn ,...

9 15 16 1 1 1 . Do đó ,... lớn hơn 17 31 32

Vì

S > 1+

1  1 1 1 1 1 1  1 1   1 1  +  +  +  + + +  +  + ... +  +  + ... +  2  4 4   8 8 8 8   16 16   32 32 

1 1 1 1 1 + + + + ⇒S >3 2 2 2 2 2 1 1 1 1 Vậy 1 + + + + ... + > 3 (đpcm) 2 3 4 32

⇒ S > 1+

b) Ta có: 5 27 = (5 3 ) 9 = 1259 ; 2 63 = (2 7 ) 9 = 1289 vì 125 9 < 128 9 ⇒ 5 27 < 2 63 (1).

Lại có: 2 63 = (2 9 ) 7 = 512 7 ; 5 28 = (5 4 ) 7 = 6257 vì 512 7 < 625 7 ⇒ 2 63 < 5 28 (2).

Từ (1) và (2) ta có: 5 27 < 2 63 < 5 28

ĐỀ SỐ 38: ĐỀ KHẢO SÁT HSG HUYỆN THẠCH THÀNH – NĂM HỌC 2019 Câu 1. (3,0 điểm) Tính nhanh:

(3.4) 2 .416 A= .

11.213.411

1.

2. Cho A = Tính 3.

4 6 9 7 7 5 3 11 + + + + + + và B = .

7.31 7.41 10.41 10.57 19.31 19.43 23.43 23.57

A .

B

92  1 1 7   239 118 C = + +  + −  .  2004 1981 1986  3 4 12 

Câu 2. (2,0 điểm) 1. Tìm x biết: 7 − 5.( x − 2) = 3 + 2.(4 − x ) .

2. So sánh:

25 257 và (không quy đồng).

13 137

150 Câu 3. (3,0 điểm) 1. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số sao cho số đó chia 7 dư 3 và chia 11 dư

5.

2. Cho a , b ∈ ℕ* thỏa mãn (a ; b) = 1 . Chứng minh rằng: ( a 2 + b 2 ; ab) = 1 .

Câu 4. (3,5 điểm) 1. Cho A =

3n − 13 ( n ∈ ℤ) . n −1

a) Tìm n nguyên để A nguyên. b) Tìm n nguyên để A là phân số tối giản.

2. Cho a, b ∈ ℕ . Chứng minh rằng: (4 a + b )⋮ 5 ⇔ (a + 4b)⋮5 .

Câu 5. (5,5 điểm)

= 80° . = 30° và xOz 1. Trên cùng một mặt phẳng cho xOy yOz . a) Tính

. và b) Gọi Om ; On là tia phân giác của xOy yOz . Tính mOn 2. Trên mặt phẳng cho 2019 điểm phân biệt sao cho trong bất cứ 3 điểm nào trong 2019 điểm ở trên ta luôn tìm được 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1 cm.

Chứng minh rằng: Sẽ tồn tại ít nhất 1010 điểm nằm trong 1 đường tròn có bán kính bằng 1 cm.

Câu 6. (3,0 điểm) 1. Cho M =

1 3 5 7 631 . . . ..... . Chứng minh rằng: M < 0,04 .

2 4 6 8 632 2

2

2. Cho x , y là 2 số nguyên thỏa mãn: x + 2019 x = 2020 y + y . Chứng minh rằng: x − y là số chính phương.

LỜI GIẢI ĐỀ KHẢO SÁT HSG HUYỆN THẠCH THÀNH – NĂM HỌC 2019 Câu 1.

(3.4) 2 .416 1. Ta có A = 11.213.411

= Vậy A =

9 32.42.45 9.47 9.(2 2 ) 7 9.214 = . = = = 13 13 13 13 22 11.2 11.2 11.2 11.2

9 22

2. Ta có A =

4 6 9 7 + + + 7.31 7.41 10.41 10.57

151

⇒

A 4 6 9 7 = + + + 5 35.31 35.41 50.41 50.57 A 35 − 31 41 − 35 50 − 41 57 − 50 = + + + 5 35.31 35.41 50.41 50.57 A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − + − + − + − = − 5 31 35 35 41 41 50 50 57 31 57

1 1  ⇒ A = 5. −  .  31 57  Lại có: B =

⇒

7 5 3 11 + + + 19.31 19.43 23.43 23.57

B 7 5 3 11 = + + + 2 38.31 38.43 46.43 46.57 =

38 − 31 43 − 38 46 − 43 57 − 46 + + + 38.31 38.43 46.43 46.57

=

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − + − = − 31 38 38 43 43 46 46 57 31 57

1 1  ⇒ B = 2. −  .  31 57  1 1  5.  −  A 31 57  5 =  = .

Từ đó suy ra B 1 1  2 2.  −   31 57  Vậy

A 5 = .

B 2

3. Ta có:

92  1 1 7   239 118 C = + +  + −   2004 1981 1986  3 4 12  92   7 7   239 118 + + C=  . −   2004 1981 1986   12 12  92   239 118 + + C=  .0 = 0 .  2004 1981 1986  Vậy C = 0 .

Câu 2:

1. Ta có: 7 − 5.( x − 2) = 3 + 2.(4 − x )

7 − 5.2 − 5.(−2) = 3 + 2.4 + 2.(− x) 7 − 5 x + 10 = 3 + 8 − 2x

152

−5 x + 2 x = 3 + 8 − 7 − 10 −3 x = −6

x=2 Vậy x = 2 .

2. Ta có:

25 12 120 = 1+ = 1+ 13 13 130

257 120 = 1+ 137 137 Vì

Câu 3:

25 257 120 120 > nên > .

130 137 13 137

1. Gọi A là số cần tìm. ( A ∈ ℕ và 100 < A < 999 )

A chia 7 dư 3 nên A = 7 m + 3 ⇔ A + 4 = 7 m + 7 ( m ∈ ℕ) chia hết cho 7 và A chia 11 dư 5 nên A = 11n + 5 ⇔ A + 6 = 11n + 11 (n ∈ ℕ ) chia hết cho 11.

Ta thấy:

35⋮ 7 suy ra A + 4 + 35 = A + 39 chia hết cho 7

(1)

33⋮11 suy ra A + 6 + 33 = A + 39 chia hết cho 11

(2)

Từ (1) và (2) suy ra A + 39 chia hết cho BCNN (7;11) = 77

⇒ A = 77.k − 39 (k ∈ ℕ*) Để A nhỏ nhất có ba chữ số ta chọn k = 2 khi đó A = 115 .

Vậy số cần tìm là 115 .

2

2

2. Gọi UCLN (a + b ; ab) là d Suy ra a 2 + b 2 chia hết cho d và ab chia hết cho d .

Do ab chia hết cho d nên a ⋮ d hoặc b⋮ d .

Với a⋮ d mà a 2 + b 2 chia hết cho d suy ra b⋮ d Với b⋮ d mà a 2 + b 2 chia hết cho d suy ra a ⋮ d Từ đó suy ra a⋮ d và b⋮ d hay d ∈ UC ( a; b) Mà UCLN ( a; b) = 1 nên UC ( a; b ) = U (1) = 1 Suy ra d = 1 Vậy ( a 2 + b 2 ; ab) = 1

Câu 4:

1. a) Ta có: A =

3n − 13 3n − 3 − 10 3(n − 1) − 10 10 = = = 3− n −1 n −1 n −1 n −1

Để A nguyên thì 10 chia hết cho n − 1 hay n − 1 = Ư (10) = { ± 1; ±2; ±5; ±10} .

n −1

−10

−5

−2

−1

1

2

5

10

153

n

−9

−4

−1

0

3

2

6

11

⇒ n ∈ { − 9; −4; −1;0;2;3;6;11} Vậy nới n ∈ { − 9; −4; −1;0;2;3;6;11} thì A nguyên. b) Gọi d là UCLN (3n − 13, n − 1) . Nên suy ra:

3n − 13 ⋮ d 3n − 13 ⋮ d ⇒  n − 1 ⋮ d 3.(n − 1) ⋮ d ⇒ 3n − 13 − 3(n − 1) ⋮ d 3n − 13 − 3n + 3 = −10 ⋮ d

⇒ d ∈ { ± 1; ±2; ±5; ±10} * Nếu d = 2 thì n − 1 ⋮ 2 ⇒ n − 1 = 2k ⇒ n = 2k + 1 (k ∈ ℕ )

(1)

⇒ 3n − 13 = 3(2k + 1) − 13 = 2.3k + 3 − 13 = 2.3k − 10 = 2(3k − 5) ⋮ 2

(2)

Nếu d = 5 thì n − 1 ⋮ 5 ⇒ n − 1 = 5k ⇒ n = 5k + 1 ( k ∈ ℕ* )

(3)

⇒ 3n − 13 = 3(5k + 1) − 13 = 15k − 10 = 5(3k − 2) ⋮ 5

(4)

Từ (1), (2), (3), và (4) suy ra: n − 1 ⋮ 10 và 3n − 13 ⋮ 10 Để phân số Câu 5:

3n − 13 là phân số tối giản thì n ≠ {2k + 1; 5k + 1; 10k + 1} . n −1

1.

(do 30° < 80° ), < xOz a) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là tia Ox ta có xOy nên tia Oy nằm giữa tia Ox và Oz . Ta có:

+

xOy yOz = xOz

z

30° + yOz = 80°

n y

⇒ yOz = 80° − 30° = 50° Vậy yOz = 50° .

m

và b) Do Om ; On là tia phân giác của xOy

yOz

nên

ta

có:

= 1 zOy = 25° ; nOy 2

= 1 xOy = 15° mOy 2 = mOy + nOy = 25° + 15° = 40° . ⇒ mOn = 40° .

Vậy mOn 2.

x

154 Nếu khoảng cách giữa hai điểm đều bé hơn 1 thì ta chỉ cần chọn một điểm A bất kì trong số 2019 điểm đã cho, rồi vẽ đường tròn ( A,1) , đường tròn ấy sẽ chứa cả 2018 điểm còn lại, do đó ta có điều phải chứng minh.

Giả sử có hai điểm A và B trong đó 2019 điểm đã cho mà có khoảng cách lớn hơn 1. Vẽ các đường tròn tâm là A , B và bán kính cùng là 1. Ta còn lại 2017 điểm. Mỗi điểm C bất kì trong số 2017 điểm ấy.

Theo bài thì AB, AC , BC phải có một đoạn thẳng có độ dài bé hơn 1.

Vì AB > 1 nên BC < 1 hoặc AC < 1 . Do đó hoặc là C nằm trong đường tròn

( A,1) hoặc là B nằm trong đường tròn ( B ,1) .

Do có 2017 điểm C như vậy nên theo nguyên lí Dirichlet, tồn tại ít nhất

 2017   2  + 1 = 1009 điểm nằm trong cùng một đường tròn.

Giả sử đường tròn đó là ( A,1) . Cùng với điểm A ta có 1010 điểm nằm trong đường tròn ( A,1) (đpcm).

Câu 6:

1. Đặt N =

2 4 6 8 632 . . . ..... .

3 5 7 9 633

1  1 3 5 7 631   2 4 6 8 632  ⇒ M .N =  . . . .....  . . . . ..... =  2 4 6 8 632   3 5 7 9 633  633 Mà

1 2 3 4 631 633 < ; < ; …; < nên M 2 < M .N ⇒ M < 0,39 2 3 4 5 632 632

Vậy M < 0,04 (đpcm).

2. Ta có: x + 2019 x = 2020 y + y ⇒ 2020 x − 2020 y + x − y = x 2

2

2

2

2

2020( x 2 − y 2 ) + ( x − y) = x 2

2020( x − y)( x + y) + ( x − y) = x 2 ( x − y )(2020 x + 2020 y + 1) = x 2

(1)

Gọi d là ước chung lớn nhất của x − y và 2020 x + 2020 y + 1 thì (2020 x + 2020 y + 1) + 2020( x − y ) chia hết cho d ⇒ 4040 x + 1 chia hết cho d Mặt khác, từ (1) ta có: x 2 chia hết cho d 2 suy ra x chia hết cho d.

Từ 4040 x + 1 chia hết cho d mà x chia hết cho d ta có 1 chia hết cho d

⇒ d = 1 hay UCLN ( x − y , 2020 x + 2020 y + 1) = 1 Từ đó suy ra x − y và 2020 x + 2020 y + 1 là các số nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn (1) nên chúng đều là các số chính phương.

Vậy x − y là số chính phương (đpcm).

155

ĐỀ SỐ 39: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUẬN HOÀNG MAI - NĂM 2019 Câu 1. (3,0 điểm) Tính giá trị của biểu thức sau một cách hợp lý: 1 1 1 1 1 1 + + +⋯ + + + 9120 9506 9900 .

A = 2 12 30 50 51 52 97 98 99 50 − − − − ....... − − − 51 52 53 98 99 100

Câu 2. (5,0 điểm) 1) Tìm số nguyên tố p sao cho 2 p − 1; p 2 + 2 là các số nguyên tố.

2) Cho biểu thức: B =

a b c d + + + b+a+c a+b+d b+c+d c+d +a

Tìm các số nguyên dương a, b, c, d sao cho biểu thức B có giá trị là một số nguyên.

Câu 3. (5,0 điểm)

n+2 là phân số tối giản. n−4 2018! 2018!

2018! 2018! + + ....... + + 2) Cho biểu thức E = 2018!+ 2 3 2017 2018 1) Tìm số nguyên dương n (với n ≠ 4 ) sao cho M =

Chứng minh rằng: E ⋮ 2019

Câu 4. (5,0 điểm) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA vẽ các tia OB , OC sao cho

AOB = x (độ), AOD sao cho AOD , AOC là hai góc kề AOC = ( 3 x + 10 ) (độ). Vẽ nhau và AOD = ( x + 10) (độ) với 0 < x ≤ 55 .

không? Tại sao?

1) Nếu x = 300 thì tia OB có phải là tia phân giác của COD 2) Tìm tất cả các giá trị nguyên x để tia OB không nằm giữa hai tia OC và OD .

Câu 5. (2,0 điểm) Viết 6 số tự nhiên bất kỳ vào 6 mặt của một con súc sắc. Chứng minh rằng khi ta gieo súc sắc xuống mặt bàn thì trong năm mặt có thể nhìn thấy của con súc sắc đó (khi súc sắc đã đứng yên) bao giờ cũng tìm thấy được một hay nhiều mặt có tổng các số trên đó chia hết cho 5.

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUẬN HOÀNG MAI- NĂM 2019 Câu 1.

Xét tử:

156 1 1 1 1 1 1 + + +⋯ + + + 2 12 30 9120 9506 9900 1 1 1 1 1 1 T= + + +⋯ + + + 1.2 3.4 5.6 95.96 97.98 99.100 1 1 1 1 1 1 1 T = 1 − + − + ..... + − + − 2 3 4 97 98 99 100 1 1 1 1  1 1   1 1 1 1 1 T = 1 + + + + ...... + + + +  − 2.  + + .... + +  97 98 99 100  98 100   2 3 4 2 4 1 1   1 1 1 1   1 1 1 T = 1 + + + + ...... + + +   −  1 + + + .... + 99 100   2 3 49 50   2 3 4 1 1 1 1 1 T = + + + ...... + + (1) 51 52 53 99 100 T=

Xét mẫu: 50 51 52 97 98 99 − − − ....... − − − 51 52 53 98 99 100 99   50   51   98   M =  1 −  + 1 −  + ..... +  1 −  +  1 −   51   52   99   100  1 1 1 1 M = + + ... + + (2) 51 52 99 100 M = 50 −

Từ (1) và (2) suy ra: tử bằng mẫu. Do đó: A = 1

Câu 2.

1) Xét p = 2 , 2 p − 1 = 2.2 − 1 = 3 (là số nguyên tố) và p 2 + 2 = 22 + 2 = 6 (là hợp số) Vậy p = 2 không thỏa mãn Xét p = 3 , khi đó khi đó 2 p − 1 = 2.3 − 1 = 5 (là số nguyên tố) và p 2 + 2 = 32 + 2 = 11 (là số nguyên tố) Vậy p = 3 là giá trị cần tìm.

Xét p là số nguyên tố lớn hơn 3 ⇒ p có hai dạng là

p = 3k + 1; p = 3k + 2 (k ∈ ℕ, k ≥ 1) 2

Nếu p = 3k + 1 thì p 2 + 2 = ( 3k + 1) + 2 = ( 3k + 1)( 3k + 1) + 2 = 9 k 2 + 3k + 3k + 1 + 2 = ( 9 k 2 + 6 k + 3 )⋮ 3

Do p > 3 ⇒ p 2 + 2 > 3 mà p 2 + 2⋮ 3 ⇒ p 2 + 2 là hợp số (loại) Nếu p = 3k + 2 thì 2 p − 1 = 2. ( 3k + 2 ) − 1 = 6k + 4 − 1 = 6k + 3⋮ 3 Do p > 3 ⇒ 2 p − 1 > 3 mà 2 p − 1⋮ 3 ⇒ 2 p − 1 là hợp số (loại) Vậy p = 3 là giá trị cần tìm.

2) Do a, b, c, d Ta có:

là các số nguyên dương nên a, b, c, d > 0

157 a a+b+c+d b a+b+c+d c a+b+c+d d a+b+c+d

a a < b+a+c a+b b b < < a +b+d a+b c c < < b+c+d c+d d d < < a+d +c c+d <

(1) (2) (3) (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra 1 < B < 2 .

Do đó B không phải là số nguyên.

Vậy, không có số nguyên dương a, b, c, d nào để B có giá trị là một số nguyên

Câu 3.

1) Giả sử n + 2⋮ d và n − 4⋮ d

Để phân số M =

n+2 là phân số tối giản thì d = ±1 n−4

Nếu n + 2⋮ d và n − 4⋮ d ⇒ ( n + 2 ) − ( n − 4 )⋮ d ⇒ 6⋮ d ⇒ d ∈ {±1; ±2; ±3; ±6} Để M là phân số tối giản thì d ≠ ±2; ±3 ⇒ d ≠ 2, d ≠ 3 (Nếu tử và mẫu không chia hết cho 2 và 3 thì cũng không chia hết cho 6) +) Nếu d ≠ 2 thì n + 2 không chia hết cho 2, n không chia hết cho 2

⇒ n ≠ 2k1 (k1 ∈ ℕ* ) +) Nếu d ≠ 3 thì n + 2 không chia hết cho 3, ( n − 1) + 3 không chia hết cho 3

⇒ n ≠ 3k2 + 1(k2 ∈ ℕ ) Vậy với n ≠ 2k1 (k1 ∈ ℕ* ) và n ≠ 3k2 + 1(k2 ∈ ℕ) hay n là những số nguyên dương lẻ, chia hết cho 3 hoặc hoặc chia cho 3 dư 2 thì M =

n+2 là phân số tối giản n−4

2) Vì 2019 = 3.673 mà 3 và 673 là hai số nguyên tố Để Chứng minh E ⋮ 2019 ta chứng minh E ⋮ 3 và E ⋮ 673 Ta xét từng số hạng của E

2018! = 1.2.3...2018 có chứa thừa số 3 và 673. Do đó 2018!⋮ 3.673 2018!

2018! ⋮ 3.673 có chứa thừa số 3 và 673. Do đó 2 2 2018!

2018! ⋮ 3.673 có chứa thừa số 6 và 673. Do đó 3 2 2018!

Lần lượt như vậy ta thấy tất cả các số hạng còn lại (trừ ) đều chứa thừa số 673 3 và 673 nên các số hạng đều chia hết cho 3 và 673

158

Số

2018!

2018! ⋮ 3.673 có chứa thừa số 3 và thừa số 1346 chia hết cho 673. Nên 673 673

Vậy tất cả các số hạng của E đều chia hết cho 3.673. Do đó: E ⋮ 2019 Câu 4.

C

B

A O

D

1) Nếu x = 300 thì AOB =300, AOD = 400 AOC = 1000, +) Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ OA có AOB < AOC , (300 < 1000) nên tia OB nằm giữa hai tia OA và OC . Ta có:

+ = AOC = BOC AOB ⇒ BOC AOC − AOB = 1000 − 300 = 700 +) Do AOC và AOD là hai góc kề nhau nên tia hai tia OD và OC nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia OA . Mặt khác OB và OC thuộc cùng một nửa mặt phảng có bờ chứa tia OA nên hai tia OB và OD nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ chứa tia OA mà

AOD + AOB = 700 < 1800 . Nên tia OA nằm giữa hai tia OB và OD . = AOD + AOB = 700 .

Khi đó ta có: BOD +) Do AOC và AOD là hai góc kề nhau mà AOC + AOD = 1400 < 1800 nên tia OA = DOA + nằm giữa hai tia OD và OC Suy ra: DOC AOC = 1400

= BOC = 700 mà DOC = 1400 Vậy ta có: BOD

= DOC ⇒ BOD = BOC 2 .

Suy ra: Tia OB là tia phân giác của COD và BOD hai góc kề nhau có chung cạnh OB . Để 2) Theo phần 1) ta thấy, BOC + BOD > 1800 tia OB không nằm giữa hai tia OD và OC thì BOC

= AOC − AOB = ( 3x + 10 ) − x = 2 x + 10 (độ) Ta có: BOC = BOD AOD + AOB = x + ( x + 10 ) (độ)

+ BOD = 4 x + 20 (độ) ⇒ BOC

⇒ 4 x + 20 > 180 ⇒ x > 40

159 Mà theo đề bài: x ≤ 55 ⇒ 40 ≤ x < 55 Vậy x ∈ ℕ và 40 < x ≤ 55 thì tia OB không nằm giữa hai tia OD và OC .

Câu 5.

Gọi các số trên 5 mặt là a1 ; a2 ; a3 ; a4 ; a5 Xét 5 tổng:

S1 = a1 S2 = a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3 S4 = a1 + a2 + a3 + a4

S5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 - Nếu có một trong 5 tổng đó chia hết cho 5 thì bài toán đã giải xong.

- Nếu không có tổng nào chia hết cho 5 thì tồn tại hai tổng có cùng số dư khi chia cho 5 (vì 5 tổng mà chỉ có 4 số dư khác 0 là 1; 2; 3; 4). Hiệu của hai tổng này chia hết cho 5. Gọi hai tổng đó là S m và S n (1 ≤ n < m ≤ 5 ) , thì Sm − S n ⋮ 5 hay ( a1 + a2 + ... + am ) − ( a1 + a2 + ... + an ) = an +1 + an + 2 + ... + am ⋮ 5

ĐỀ SỐ 40: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA PHỐ BẮC GIANG 2018-2019 Câu 1. (6 điểm) 1. Tìm số nguyên n để 4n + 5 chia hết cho 2n + 1 .

1   1  1 1 1 2. Tính A =  + 2 + 3 + ... + 2019  :  1 − 2019  .

2   2  2 2 2

Câu 2. (6 điểm) 1. Tìm số tự nhiên a nhỏ hơn 1000, biết a chia cho 15 dư 5, chia cho 32 dư 22, chia cho 40 dư 30.

2. Cho biểu thức: B =

1 1 1 1 . + + + ... + 1+ 3 1+ 3 + 5 1+ 3 + 5 + 7 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 101

3 Chứng minh B < .

4 3. Tìm số nguyên tố x , y biết 19 x 4 + 57 = y 2 .

Câu 3. (4 điểm)

742018 + 1 742019 − 2021 .

1. So sánh: C = 2019 và D = 2020 74 + 1 74 − 2021 2. Lớp 6A có 29 học sinh, lớp 6B có 35 học sinh. Trong một buổi lao động cả hai lớp trồng được tất cả 285 cây. Tính số cây của mỗi học sinh lớp 6A, 6B trồng được.

Câu 4. (3 điểm)

160

và = 5 .

1. Cho xOy yOz là hai góc kề bù. Biết xOy yOz . Tính xOy 2. Cho điểm B thuộc đường thẳng AC ( B không trùng với A và C ). Hai điểm D, E

lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AB, AC . Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng BC gấp đôi độ dài đoạn thẳng DE .

Câu 5. (1 điểm) Tìm các số nguyên tố p , q sao cho 7 p + q và pq + 17 đều là các số nguyên tố.

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ BẮC GIANG NĂM 2018-2019 Câu 1. 1, Ta có: 4n + 5 = 2. ( 2n + 1) + 3 Vì 2 ( 2n + 1)⋮ 2n + 1 với ∀n ∈ ℤ Nên để 4 n + 5⋮ 2n + 1 thì 3⋮ 2n + 1 ⇒ 2n + 1 ∈ Ư(3) = {−3; −1;1;3}

Ta có bảng giá trị sau: 2n + 1

-3

-1

1

3

n

-2

-1

0

1

Vậy n ∈ {−2; −1;0;1} thì 4 n + 5⋮ 2 n + 1 1   1  1 1 1 2. Ta có A =  + 2 + 3 + ... + 2019  :  1 − 2019  2 2 2 2   2  1   1  1 1 1 ⇒ 2. A = 2.  + 2 + 3 + ... + 2019  :  1 − 2019  2 2   2 2 2  1   1   1 1 2. A =  1 + + 2 + ... + 2018  :  1 − 2019  2   2  2 2 

Xét hiệu: 1   1  1 1 1 1   1   1 1 2. A − A =  1 + + 2 + ... + 2018  :  1 − 2019  −  + 2 + 3 + ... + 2019  :  1 − 2019  2   2 2 2  2 2  2 2   2  1 1 1 1 1   1   1 1 A =  1 + + 2 + ... + 2018 − − 2 − 3 − ... − 2019  :  1 − 2019  2 2 2 2 2   2   2 2 1   1   A =  1 − 2019  :  1 − 2019  = 1  2   2 

Vậy A = 1

Câu 2.

1. Ta có

161

a = 15.m + 5 => a + 10⋮15 a = 32.n + 22 => a + 10⋮ 32 => a + 10 ∈ BC (15;32; 40) a = 40.q + 30 => a + 10⋮ 40 Mà 15 = 3.5; 32 = 25 ; 40 = 23.5

⇒ BCNN (15,32, 40 ) = 25.3.5 = 480 ⇒ a + 10 ∈ B(480) = {0; 480;960;1440...}

Vì a là số tự nhiên nhỏ hơn 1000 nên a ∈ {470;950}.

2. Ta có B =

1 1 1 1 + + + ... + 1+ 3 1+ 3 + 5 1+ 3 + 5 + 7 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 101

Nhận xét: Vì :

1 + 3 = 4 = 22 1 + 3 + 5 = 9 = 32 > 3.2 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42 > 4.3 …

1 + 3 + 5 + 7 +…+ 101 = 512 > 51.50 Suy ra:

1 1 1 1 + + + ... + 2 4 9 16 51 1 1 1 1 B< + + + ... + 4 2.3 3.4 50.51 1 1 1 1 1 1 1 B < + − + − + ... + − 4 2 3 3 4 50 51 3 1 B< − 4 51 3 B< 4 3. TH1: x là số nguyên tố chẵn ⇒ x = 2.

B=

Thay x = 2. vào (1) ta có: 19.24 + 572 = y 2 ⇒ y 2 = 361 = 192 ⇒ y = 19 (thỏa mãn là số nguyên tố).

TH2: x là số nguyên tố lẻ => 19x 4 lẻ ⇒ 19 x 4 + 57 chẵn ⇒ y 2 là số chẵn ⇒ y chẵn ⇒ mà y là số nguyên tố ⇒ y = 2 (vô lí vì 19 x 4 + 57 > 2 ).

Vậy x = 2; y = 19 là giá trị cần tìm.

Câu 3.

1. Ta có:

162

74 2018 + 1 742019 + 1 742019 + 74 742019 + 1 + 73 74.C = = 742019 + 1 742019 + 1 73 74.C = 1 + 2019 (1) 74 + 1

C=

742019 − 2021 742020 − 2021 74 2020 − 2021.74 742020 − 2021.(1 + 73) 74.D = = 742020 − 2021 742020 − 2021 74 2020 − 2021 − 2021.73 74.D = 74 2020 − 2021 2021.73 74.D = 1 − 2020 (2) 74 − 2021 D=

Từ (1) và (2) suy ra 74C > 74 D ⇒ C > D 2. Gọi số cây mỗi học sinh lớp 6A, 6B trồng được lần lượt là x; y (cây); ĐK ( x, y ∈ ℕ* ) Ta có 29 x + 35 y = 285 ⇒ 29 x = 285 − 35 y Vì 285 − 35 y ⋮ 5 mà ( 29;5) = 1 nên x ⋮ 5

29 x + 35 y = 285 ⇒ x < 10 Do đó x = 5 Thay x = 5 ⇒ y = 4 (thỏa mãn điều kiện) Vậy mỗi học sinh lớp 6A trồng được 5 cây.

Mỗi học sinh lớp 6B trồng được 4 cây.

Câu 4.

1. Ta có hình vẽ

và Vì xOy yOz là hai gó kề bù nên: + Suy ra xOy yOz = 180° mà

= 5 xOy yOz

nên 6 yOz = 180°

= 5.30° = 150° => yOz = 30° và xOy 2. Ta có hình vẽ:

Ta có B thuộc đoạn AC nên AB < AC

163 Mà D là trung điểm AB nên AD = DB = E là trung điểm AC nên AE = EC =

AB => AB = 2 AD (1) 2

AC => AC = 2 AE (2) 2

nên AD < AE hay D nằm giữa A và E Suy ra AD + DE = AE => DE = AE − AD (3) AB + BC = AC => BC = AC − AB (4)

Từ (1); (2) ; (3)và (4) suy ra : BC = 2 AE − 2 AD = 2( AE − AD) = 2 DE

Câu 5.

Vì pq + 17 là số nguyên tố nên pq là số chẵn ⇒ p = 2 hoặc q = 2 TH1: Nếu p = 2 ⇒ 7 p + q = 14 + q Ta thấy 14 chia 3 dư 2.

Nếu q chia hết cho 3, q là số nguyên tố ⇒ q=3 Khi đó 7 p + q = 7.2 + 3 = 17 (thỏa mãn là số nguyên tố).

Và pq + 17 = 2.3 + 17 = 23 (thỏa mãn là số nguyên tố). +) Nếu q chia 3 dư 1 ⇒ 14+q chia hết cho 3 mà 14 + q > 3 ⇒ 14 + q là hợp số (loại). +) Nếu q chia 3 dư 2 thì 2q chia 3 dư 1=> pq + 17 > 3 chia hết cho 3 (loại vì là hợp số).

TH2: Nếu q = 2 ⇒ 7 p + q = 2 + 7 p .

Ta thấy 2 chia 3 dư 2. +) Nếu 7p chia hết cho 3 ⇒ p là số nguyên tố ⇒ p=3.

Khi đó: 7 p + q = 7.3 + 2 = 23 (thỏa mãn là số nguyên tố).

Và pq + 17 = 3.2 + 17 = 23 (thỏa mãn là số nguyên tố). +) Nếu 7p chia cho 3 dư 1 thì 7 p + 2 chia hết cho 3 (loại vì là hợp số). +) Nếu 7p chia cho 3 dư 2 thì p chia 3 dư 2 2p chia 3 dư 1 ⇒ pq + 17 = 2 p + 17 chia hết cho 3 (loại vì là hợp số).

Vậy giá trị của p, q thỏa mãn là p = 2; q = 3 hoặc p = 3; q = 2 .

164