TIỂU LUẬN TỐT NGHIỆP CÁC VẤN ĐỀ VỀ MŨ VÀ LOGARIT

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com Các vấn đề về Mũ và Logarit

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

PHẦN MỞ ĐẦU

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Ơ

N

Tiểu luận Tốt nghiệp

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 1

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com Các vấn đề về Mũ và Logarit

Tiểu luận Tốt nghiệp

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Í-

H

Ó

A

Trong đề tài này, tôi xây dựng xoay quanh các vấn đề về mũ và logarit mà trong đó trọng tâm là phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình mũ và logarit. Theo đó, các phương pháp giải các dạng toán trên cũng được tôi đề cập đến trong đề tài của mình.

-L

IV. PHẠM VI NGHIÊM CỨU:

TO

ÁN

Phạm vi nghiên cứu của đề tài chỉ xoay quanh các vấn đề về mũ và logarit đã nêu ở trên V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

D

IỄ N

Đ

Tìm và tham khảo tài liệu, sưu tầm phân tích và bài tập giải minh họa, tham khảo ý kiến của cán bộ hướng dẫn.

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

10 00

III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Mục tiêu chính của đề tài mà tôi chọn là có thể tổng hợp tất cả các dạng toán có liên quan về muc và logarit như tìm tập xác định, tính và rút gọn các biểu thức, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình cũng như các bài toán biện luận.

Tôi hy vọng trong khuôn khổ hạn hẹp của đề tài, tôi có thể giới thiệu đầy đủ các dạng toán trong phần kiến thức này.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP

ẠO Đ

II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Ơ

N

Có thể nói rằng, hàm số mũ và hàm số logarit cùng với các bài toán liên quan đến hai hàm số này là phần kiến thức khá khó trong phân phối chương trình Toán phổ thông. Khi tìm hiểu phần kiến thức này đòi hỏi chúng ta phải vận dụng rất nhiều kiến thức có liên quan để giải quyết các dạng toán. Nhiều dạng bài tập, thường gặp phải nhiều sai lầm khi giải toán nhưng mũ và logarit vẫn có những nét đẹp riệng của chúng.

Là sinh viên nghành Toán, tôi nhận thức được cái khó của mũ và logarit và thông qua tiểu luận này tôi muốn tìm hiểu thêm để phục vụ cho việc giảng dạy ở trường THPT sau này.

Do đó, tôi chọn đề tài “Các vấn đề về Mũ và Logarit”. Trong đề tài này, tôi trình bày sơ lược các kiến thức cơ bản về hàm số mũ và logarit cũng như các dạng toán điển hình của phần này qua đó tích lũy thêm kinh nghiệm cũng như kiến thức phục vụ cho việc giảng dạy sau này.

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 2

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com Các vấn đề về Mũ và Logarit

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

PHẦN NỘI DUNG

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Ơ

N

Tiểu luận Tốt nghiệp

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 3

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com Các vấn đề về Mũ và Logarit

H

Ơ

N

Tiểu luận Tốt nghiệp

TR ẦN

x

ax a =   bx b Chú ý rằng: 1) x 0 = 1, ∀x ≠ 0

G

= a x .b x

B

2) Nếu chỉ xác định với mọi

1  

x

10 00

2. Hàm số mũ: a. Định nghĩa: Hàm số mũ cơ số a ( a ≠ 0 ) là hàm số được xác định bởi công thức y = a x

Ó

A

Ví dụ: y = 2 x , y =   ,...

3

TO

ÁN

-L

Í-

H

b. Các tính chất: + Hàm số y = a x liên tục tại mọi điểm x ∈ R . + a x > 0 với mọi x ∈ R . + Nếu a = 1 thì hàm số không đổi trên R : y = 1 . + Nếu a > 1 thì hàm số đồng biến trên R . + Nếu 0 < a < 1 thì hàm số nghịch biến trên R . c. Từ các tính chất đơn điệu của hàm số mũ, ta suy ra với mọi a > 0 thì:

Đ

 a = 1  ∀M , N M N *a = a ⇔   a ≠ 1    M = N

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

 a > 1  M > N * aM > a N ⇔   0 < a < 1    M < N

Trang 4

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

x

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q TP

( ab )

= a xy

N

y

H Ư

x

IỄ N D

ax = a x− y y a

a x a y = a x+ y

(a )

Đ

ẠO

A. Tóm tắt về lũy thừa và hàm số mũ: 1. Các phép tính về lũy thừa với hàm số mũ thực: Định lý: Gọi a, b l;à những số thực dương; x, y là những số thực tùy ý. Ta có:

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

PHẦN I: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com Các vấn đề về Mũ và Logarit

H Ư

N

0

−∞

y = ax

TR ẦN

1

+∞ +∞

0

* Với 0 < a < 1 : Bảng biến thiên: x

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

Đồ thị:

0

−∞ +∞

H Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

Đ

ẠO

TP

3

x

N

.Q

( a, b ≠ 1)

Ví dụ: 2 x = 3x log 2 ; a x = e x ln a ,… e. Đồ thị hàm số mũ: y = a x * Với a > 1 : Bảng biến thiên:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

a x = b x logb a

U Y

Các tính chất trên thường dùng để giải các phương trình và bất phương trình mũ. d. Công thức đổi cơ số: Từ hàm số mũ cơ số a đổi sang hàm số cơ số b ta có công thức:

Ơ

N

 a > 1  x < 0 x * 0 < a <1⇔   0 < a < 1    x > 0

 a > 1  x > 0 * ax > 1 ⇔   0 < a < 1    x < 0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Tiểu luận Tốt nghiệp

+∞

y = ax 1 0 GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 5

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

1

x

10 00

B

+ Các hàm số y = a x và y =   có đồ thị đối xứng nhau qua trục tung. a

-L

Í-

H

Ó

A

B. Tóm tắt về hàm số Logarit: 1. Định nghĩa: Cho số thực a > 0 và a ≠ 0 , logarit cơ số a của một số dương N là một số M sao cho M N = a . Kí hiệu là log a N .

Ta có: log a N = M ⇔ N = a M .

ÁN

Ví dụ: log 2 32 = 5 vì 25 = 32 ; 3−2 =

1 1 nên log 3 = −2 .

9 9

TO

2. Tính chất: + Cơ số a > 0 và a ≠ 1 . + log a N có nghĩa khi và chỉ khi N > 0 . + log a 1 = 0 ; log a a = 1 ; log a a n = n . + log a a M = M , ∀M ∈ R ; a log N = N , ∀N > 0 Ví dụ: log 2 ( 4 − x 2 ) xác định khi và chỉ khi 4 − x 2 > 0 ⇔ −2 < x < 2 a

D

IỄ N

Đ

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

+ Đồ thị hàm số y = a x luôn luôn nằm phía trên trục hoành.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q TP ẠO Đ G N

H Ư

Nhận xét rằng: + Đồ thị hàm số y = a x luôn luôn đi qua điểm A ( 0,1) .

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Ơ

N

Đồ thị:

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 6

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

x −1 > 0 x > 1 1 < x < 5   log x −1 ( 5 − x ) xác định khi và chỉ khi  x − 1 ≠ 1 ⇔  x ≠ 2 ⇔  x ≠ 2 5 − x > 0 x < 5  

N

−4

H

Ơ

1 3log3 2 = 2 ; log 5 5−3 = −3 ; log 1 16 = log 1   = −4 2 2 2 

TR ẦN

10 00

1 n

B

* log a N α = α log a N (α ∈ R ) * log a = n N = log a N

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ G N H Ư

1  = − log a N N

Hệ quả: log a 

-L

Í-

H

Ó

A

4. Công thức đổi cơ số: Giả sử 0 < a, b ≠ 1 ; c, x > 0 ta có: * log a c = log a b.logb c

Hệ quả: log a a2 .log a a3 ...log a an−1.log a an = log a an 2

n−2

n−1

ÁN

1

TO

* log a x =

log b x log b a

Đ

* log aα x =

1

α

1

* log a b =

a log b a

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y TP

.Q

 A

* log a   = log a A − log a B B

IỄ N D

ẠO

Mở rộng: log a ( A1. A2 ... An ) = log a A1 + log a A2 + ... + log a An

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

3. Các phép tính về logarit: Giả sử 0 < a ≠ 1 ; A, B, N > 0 , ta có các công thức sau: * log a ( AB ) = log a A + log a B

* log a x = n log a x

log a x

n

* log 1 x = − log a x

* log ab x =

a

1 1 1 + log a x log b x

( x ≠ 1)

5. Hàm số logarit: GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 7

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

a. Định nghĩa: Hàm số logarit cơ số a ( a > 0, a ≠ 1) là hàm số xác định bởi công thức y = log a x .

Ví dụ: y = log 2 x , y = log 1 x .

Ơ H

Í-

H

Ó

Các tính chất nầy thường được dùng để giải các phương trình và bất phương trình logarit.

TO

ÁN

-L

6. Đồ thị của hàm số logarit: * Với a > 1 : Bảng biến thiên: x

0

y = log a x

1

a

+∞ +∞

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

N

H Ư

a > 1  0 < M < 1  * log a M < 0 ⇔  0 < a < 1    M > 1

A

10 00

B

 a > 1  M > 1 * log a M > 0 ⇔  0 < a < 1   0 < M < 1

1 0

Đ IỄ N D

 a > 1  0 < M < N * log a M < log a N ⇔  0 < a < 1    M > N > 0

TR ẦN

M = N  * log a M = log a N ⇔  N > 0  a > 0, a ≠ 1

Đ

sau:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

.Q

ẠO

TP

* Nếu 0 < a < 1 thì hàm số y = log a x nghịch biến trong khoảng ( 0; +∞ ) * Hàm số y = log a x có tập giá trị là R . c. Từ tính chất đơn điệu của hàm số logarit ta suy ra các đẳng thức và bất đẳng thức

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

b. Các tính chất: * Hàm số y = log a x có tập xác định là ( 0; +∞ ) * Hàm số y = log a x liên tục tại mọi điểm x > 0 * Nếu a > 1 thì hàm số y = log a x đồng biến trong khoảng ( 0; +∞ )

N

3

−∞

Đồ thị:

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 8

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com Các vấn đề về Mũ và Logarit

a

+∞

H Ư

0

y = log a x

TR ẦN

1

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

Đồ thị:

−∞

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nhận xét: * Đồ thị hàm số y = log a x luôn luôn đi qua điểm A (1, 0 ) . * Đồ thị hàm số y = log a x luôn luôn ở beeb phải trục tung. * Các hàm số y = log a x và y = log 1 x đối xứng nhau qua trục hoành.

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

1

N

0 +∞

x

G

Đ

ẠO

* Với 0 < a < 1 Bảng biến thiên:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Ơ

N

Tiểu luận Tốt nghiệp

a

* Vì y = log a x ⇔ x = a nên các hàm số y = log a x và y = a x là những hàm số ngược nên các đồ thị của chúng đối xứng nhau qua đường phân giác y = x . y

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 9

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

H

Ơ

N

PHẦN II: CÁC DẠNG BÀI TẬP

TR ẦN

* y = f ( x ) = a x có nghĩa khi và chỉ khi a > 0

B

2. Điều kiện có nghĩa của đa thức bậc n : y = Pn ( x ) là ∀x ∈ R

Q ( x)

có nghĩa khi và chỉ khi Q ( x ) ≠ 0

A

P ( x)

Ó

* y=

10 00

3. Gọi P ( x ) , Q ( x ) là các hàm số hợp của các hàm số cơ bản, ta có:

H

* y = 2k P ( x ) có nghĩa khi và chỉ khi P ( x ) ≥ 0; k ∈ Z

-L

Í-

* y = 2 k +1 P ( x ) có nghĩa khi và chỉ khi ∀x ∈ R; k ∈ Z  P ( x ) > 0 Q ( x ) > 0; Q ( x ) ≠ 1

ÁN

* y = log P( x ) Q ( x ) có nghĩa khi và chỉ khi  P( x )

TO

* y = Q ( x )  có nghĩa khi và chỉ khi Q ( x ) > 0 4. Các hàm số y = f ( x ) ± g ( x ) và hàm số y = f ( x ) .g ( x ) có tập xác định là D = D f ∩ Dg .

Đ IỄ N

f ( x) g ( x)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

x > 0 a > 0; a ≠ 1

* y = f ( x ) = log a x có nghĩa khi và chỉ khi 

Trong khi đó hàm số y =

D

H Ư

N

2 * y = f ( x ) = cot x có nghĩa khi và chỉ khi x ≠ kπ ; k ∈ Z

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

Đ

ẠO

TP

.Q

I. PHƯƠNG PHÁP CHUNG. Cơ sở của phương pháp tìm tập xác định của hàm số là cần xác định các giá trị của x để hàm số y = f ( x ) có nghĩa. Để làm tốt dạng bài tập này chúng ta cần lưu ý: 1. Điều kiện có nghĩa của các hàm số cơ bản: * y = f ( x ) = 2 k x có nghĩa khi và chỉ khi x ≥ 0 ; k ∈ Z π * y = f ( x ) = tan x có nghĩa khi và chỉ khi x ≠ + kπ ; k ∈ Z

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

DẠNG I: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ

có tập xác định là D = D f ∩ Dg \ { x ∈ R g ( x ) ≠ 0}

Ngoài ra muốn tìm tập xác định của hàm số chúng ta cần chú ý: * Tập xác định của hàm số y = f ( x ) là tập các giá trị x ∈ R sao cho tồn tại f ( x ) ∈ R . * Ta chú ý rằng y = aϕ ( x ) xác định khi a > 0 và ϕ ( x ) xác định. Nếu a = 0 thì ϕ ( x ) ≠ 0

và nếu a < 0 thì ϕ ( x ) ∈ Z GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 10

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

* Hàm số y = log a ϕ ( x ) xác định khi a > 0, a ≠ 1 và ϕ ( x ) xác định, ϕ ( x ) > 0 .

II. CÁC VÍ DỤ. x2 − 3x + 2 + 4 − x

)

N

(

Ơ

Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số: y = log3

H

Giải

TP

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Đ

G

N

H Ư

TR ẦN  1

1 

10 00

B

Ví dụ 2: Tìm tập xác định của hàm số: y = log 2  −   1− x 1+ x  Giải Hàm số xác định khi và chỉ khi:

-L

Í-

H

Ó

A

   x ≠ ±1  x ≠ ±1   x ≠ ±1  1  1  2x  2 + >0 ⇔ > 0 ⇔  x + 2x −1  2 ≥0 1 − x 1 + x 1 − x  2 1 x −    2x 1   1 + ≥0 log 2  1 − x 2 ≥ 1  1− x 1+ x  

ÁN

Xét dấu đa thức P ( x ) =

P ( x)

−1 − 2

−∞ +∞

−

0

−1 + 2

−1

+

−

0

1

+

−

D

IỄ N

Đ

ÀN

x

x2 + 2x − 1 ta có: 1 − x2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

x 2 − 3x + 2 ≥ x − 3 , ta có:  x − 3 ≤ 0  x ≤ 1  2   x ≤1   x − 3x + 2 ≥ 0 2 ≤ x ≤ 3 2  ⇔ ⇔ x − 3x + 2 ≥ x − 3 ⇔   x ≥ 3 x−3≥ 0 x ≥ 2      2  2  3 x ≥ 7   x − 3 x + 2 ≥ ( x − 3) Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = (−∞,1] ∪ [2,+∞)

Giải bất phương trình

.Q

U Y

 x 2 − 3 x + 2 ≥ 0  x ≤ 1 ∨ x ≥ 2 ⇒  2  2  x − 3 x + 2 + 4 − x ≥ 1  x − 3 x + 2 ≥ x − 3

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Hàm số xác định khi và chỉ khi:

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = [−1 − 2, −1) ∪ (−1 + 2,1]

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 11

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

 1 + log a 2 x  Ví dụ 3:Tìm tập xác định của hàm số: y = log3    1 + log a x 

Giải

Ơ

N

Hàm số xác định khi và chỉ khi:

H

TR ẦN

1 a

10 00

B

* Với 0 < a < 1 : D = (0, a] ∪ [1, )

1

log 3 ( x 2 − 2 x + 3m )

xác định với mọi.

A

Ví dụ 4: Tìm các giá trị của m để hàm số y =

H

Ó

Giải Hàm số xác định với mọi x ∈ R khi và chỉ khi log 3 ( x 2 − 2 x + 3m ) > 0, ∀x ∈ R

TO

ÁN

-L

Í-

x 2 − 2 x + 3m > 1, ∀x ∈ R ⇔ x 2 − 2 x + 3m − 1 > 0, ∀x ∈ R 2 Vì a = 1 > 0 nên ∆′ < 0 ⇔ 1 − ( 3m − 1) < 0 ⇔ m > 3 2 Vậy với m > thì hàm số đã cho xác định với mọi x ∈ R .

3

Đ

Ví dụ 5:Tìm tập xác định của hàm số y = lg ( lg x ) − lg ( 4 − lg x ) − lg 3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1 a

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Kết luận: * Với a > 1 : D = ( ,1] ∪ [a, +∞)

N

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

.Q

U Y

 a > 1     x ≥ a  1  < x ≤ 1 log a x ≥ 1  a ⇔ ⇔  0 < a < 1 −1 < log a x ≤ 0    0 < x ≤ a  1   1 ≤ x <     a

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

 1 + log a 2 x  1 + log a 2 x log a 2 x − log a x log 3  ≥ 0 ⇔ ≥ 1 ⇔ ≥0  1 + log a x 1 + log a x  1 + log a x 

Giải

D

IỄ N

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi:

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 12

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com Các vấn đề về Mũ và Logarit

TP ẠO

ln ( x 2 − 16 )

10 00

B

x − 5 + x 2 − 10 x + 25 Bài 4: Tìm tâp xác định của hàm số y = ln ( x − 5 + 5 − x )

(

)

2 −1

x 2 −3 x

−

1 3−2 2

A

Bài 5: Tìm tập xác định của hàm số y =

H

Ó

Bài 6: Tìm tập xác định của hàm số y = log 2 ( 3x + 4 )

Í-

Bài 7: Tìm tập xác định của hàm số y = 16 − x 2 log 2 ( x 2 − 5 x + 6 )

-L

Bài 8: Tìm tập xác định của hàm số y = x 2 − 25 + lg ( 42 + x − x 2 )

ÁN

Bài 9: Tìm tập xác định của hàm số y = log 1 2

x −1 x+5 x2 + 4 x + 3 x−2

Đ

ÀN

Bài 10: Tìm tập xác định của hàm số y = log 3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

−5 x + 6

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Bài 3: Tìm tập xác định của hàm số y =

2

TR ẦN

Bài 2: Tìm tập xác định của hàm số y = 1 − 3x

N

x −1 x

H Ư

Bài 1: Tìm tập xác định của hàm số y = log 2

G

III. BÀI TẬP VẬN DỤNG.

Đ

⇔ 3 ≤ lg x ≤ 4 ⇔ 1000 ≤ x ≤ 10000 Giá trị của x vừa tìm thỏa mãn tất cả các điều kiện (1), (2), (3).

Vậy tập giá trị của hàm số là D = [1000,10000]

.Q

U Y

N

H

Ơ

N

x > 0 (1) lg x > 0 (2)   (3) 4 − lg x > 0  lg ( lg x ) − lg ( 4 − lg x ) − lg 3 ≥ 0 (4)  lg x  lg x (4) ⇔ lg  ≥1 ≥0⇔ 3 4 lg x 3 4 lg x − − ( ) ( )   4 ( lg x − 3) lg x lg x − 3 ⇔ −1 ≥ 0 ⇔ ≥0⇔ ≥0 3 ( 4 − lg x ) 3 ( 4 − lg x ) 4 − lg x

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

D

IỄ N

DẠNG II: TÍNH GIÁ TRỊ CÁC BIỂU THỨC MŨ VÀ LOGARIT I. PHƯƠNG PHÁP CHUNG.

Để giải các bài toán dạng này, chúng ta cần nắm vững các vấn đề sau:

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 13

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

1. a n = a.a...a ( a ∈ R, n ∈ N * ) n

a 0 = 1  2. Với a ∈ R và n ∈ N , ta có:  − n 1 a = n a  * 3. Với a, b ∈ R và m, n ∈ Z ta có:

Ơ H U Y

.Q

G

Đ

α = log a b ⇔ aα = b ( a, b > 0, a ≠ 1) 5. Với mọi số dương a, b và a ≠ 1 ta có: *log a a = 1

*log a a m = m ( m ∈ R )

* a log a b = b ; b ∈ R , b > 0

H Ư

N

*log a 1 = 0

TR ẦN

6. Cho 0 < a ≠ 1 và x, y > 0

1 = − log a y y

10 00

*log a

B

*log a ( xy ) = log a x + log a y

*log a xα = α log a x (α ∈ R )

x *log a   = log a x − log a y  y x  y *log a   = − log a   x  y

A

*log a n x m =

m log a x n

Ó

7. Công thức đổi cơ số:

H

log b x hoặc log a x.log b a = logb x log b a 1 * Hệ quả 1: log a b.log b a = 1 hoặc log a b = log b a Mở rộng: Với 0 < a, b, c,..., z ≠ 1; x > 0 ta có: log a b.logb c.log c d ...log z x = log a x 1 * Hệ quả 2: log aα b = log a b .

TO

ÁN

-L

Í-

Cho 0 < a, b ≠ 1 và x > 0 ta có: log a x =

ÀN

α

n

n

n

= log a b

a

IỄ N

Đ

Đặc biệt: log 1 b = − log a b; log a b n = log a b; log a b

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

TP

*

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

n

an a *  = n b b

am = a m−n an 4. Cho a, b > 0, a ≠ 1 . Số α thỏa mãn aα = b được gọi là logarit cơ số a của b . Kí hiệu log a b = α . n

* ( a m ) = a mn

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

N

n

* ( ab ) = a n b n

* a m .a n = a m + n

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

*

D

II. CÁC VÍ DỤ.

1. Tính giá trị của biểu thức:

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 14

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

Ví dụ 1: Biết log 27 5 = a;log8 7 = b;log 2 3 = c . Tính log 6 35 Giải Theo giả thiết ta có:

.Q TP

N H Ư

1+ c

Giải

Ta có: Theo giả thiết ta lại có:

10 00

B

1 1 1 log 25 15 = log 5 15 = log 5 3.5 = ( log 5 3 + 1) 2 2 2

Ó

1 1 = log 3 5 a − 1

H

⇒ log 5 3 =

A

a = log 3 15 = log 3 3.5 = 1 + log 3 5 ⇒ log 3 5 = a − 1

Í-

Do đó:

1 1 1 a  + 1 = ( log 5 3 + 1) =  2 2  a − 1  2 ( a − 1)

-L

ÁN

log 25 15 =

TO

Vậy log 25 15 =

Đ IỄ N

3

7

a 2 ( a − 1)

121 theo a = log 49 11 và b = log 2 7 .

8

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

3 ( ac + b ) 3ac 3b + = 1+ c 1+ c 1+ c

ẠO

1 1 + log 2 7 log 3 7

3 ( ac + b )

Ví dụ 2: Tính log 25 15 theo a = log 3 15

Ví dụ 3: Tính log

D

1

TR ẦN

Vậy log 6 35 =

1 1 + log 2 5 log 3 5

+

G

=

1

Đ

log 6 35 = log 6 5 + log 6 7 =

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ta lại có:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

H

Ơ

N

1 log 27 5 = a ⇒ log 3 5 = a ⇒ log 3 5 = 3a 3 log 2 3.log 3 5 = log 2 5 ⇒ log 2 5 = 3ac 1 log 2 7 3b log 8 7 = log 2 7 = b ⇒ log 2 7 = 3b ⇒ log 3 7 = = 3 log 2 3 c

Giải Ta có: a=

1 log 7 11; b = log 2 7 2

Mặt khác:

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 15

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

121 112 9 9 = 3log 7 3 = 3 ( 2 log 7 11 − 3log 7 2 ) = 6 log 7 11 − = 12a − b 8 2 log 2 7 121 9 Vậy log 3 7 = 12a − 8 b

Ơ

A = log x 2 + log x 3 + log x 4 + ... + log x 2000

ẠO

= log x ( 2.3.4...2000 ) = log x (1.2.3.4...2000 ) = log x x = 1

H Ư

N

Ví dụ 5: Tính S = lg tan10 + lg tan 20 + lg tan 30 + ... + lg tan 890 Giải Nhận xét:

G

Đ

Vậy A = 1

TR ẦN

lg tan10 + lg tan 890 = lg ( tan10.tan 890 ) = lg1 = 0 lg tan10 + lg tan 880 = lg ( tan10.tan 880 ) = lg1 = 0

lg tan 450 = lg1 = 0 Và Suy ra:

10 00

B

………………………………………………… …………………………………………………

Ó

A

S = lg tan10 + lg tan 20 + lg tan 30 + ... + lg tan 890

H

= ( lg tan10 + lg tan 890 ) + ( lg tan 20 + lg tan 880 ) + ... + lg tan 450 = 0

Í-

S = lg tan10 + lg tan 20 + lg tan 30 + ... + lg tan 890 = 0

-L

Vậy

TO

ÁN

Ví dụ 6: Tính A = 2 x + 2− x biết rằng 4 x + 4− x = 23 Giải 2 Ta có: ( 2 x + 2− x ) = 22 x + 2−2 x + 2.2 x 2− x = 4 x + 4− x + 2 = 23 + 2 = 25 Do 2 x + 2− x > 0 nên A = 2 x + 2− x = 25 = 5 Vậy A = 2 x + 2− x = 5

Đ IỄ N D

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

.Q

U Y

Giải Do x = 2000! = 1.2.3.4...2000 nên chọn x làm cơ số.

Ta có:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

1 1 1 1 + + + ... + . Với log 2 x log 3 x log 4 x log 2000 x

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ví dụ 4: Tính A =

N

log 3 7

2. Đơn giản biểu thức:

Ví dụ 7: Rút gọn biểu thức A = ( log a b + log b a + 2 )( log a b − log ab b ) log b a − 1 Giải Ta có: GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 16

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

A = ( log a b + log b a + 2 )( log a b − log ab b ) log b a − 1 = ( log a b + log b a + 2 )(1 − log ab b ) − 1

N Ơ H

Giải

x +1)

1 + log 42 x 4 2

TR ẦN

Ta có:

2

H Ư

x

N

Ví dụ 8: Rút gọn biểu thức B = log 2 2 x 2 + ( log 2 x ) .x log ( log

10 00

B

1 B = log 2 2 x 2 + ( log 2 x ) .x log x ( log2 x +1) + log 42 x 4 2 = 1 + log 2 x + ( log 2 x ) . ( log 2 x + 1) + 2 log 22 x = 3log 22 x + 3log 2 x + 1

B = log 2 2 x 2 + ( log 2 x ) .x

1 + log 42 x 4 = 3log 22 x + 3log 2 x + 1 2

log x ( log 2 x +1)

H

Ó

A

Vậy

-L

Í-

Ví dụ 9: Rút gọn biểu thức sau: C = lg 2 (10 x ) − lg 2 x Giải Ta có: 2

2

ÁN

C = lg 2 (10 x ) − lg 2 x = ( lg (10 x ) ) − lg 2 x = (1 + lg x ) − lg 2 x = 1 + 2 lg x

TO

Vậy

C = 1 + 2 lg x

Đ IỄ N

1 1 1 1 + + + ... + log a x log a2 x log a3 x log a n x

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

G

Đ

A = ( log a b + log b a + 2 )( log a b − log ab b ) logb a − 1 = log a b

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Vậy:

Ví dụ 10: Đơn giản biểu thức sau: A =

D

N

1 log a2 b + log a b ) = log a b ( 1 + log a b

U Y

=

.Q

1 ( log a2 b + 1 + 2 log a b ) − 1 − log a b   1 + log a b 

TP

=

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

  1 = ( log a b + log b a + 2 ) 1 −  −1  1 + log a b  log a b = ( log a b + log b a + 2 ) − 1 1 + log a b

Giải Theo công thức biến đổi cơ số ta có: log an x =

log a x 1 = log a x log a a n n

Từ đó ta có:

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 17

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

=

1 + 2 + 3 + ... + n n ( n + 1) = log a x log a x

N

1 2 4 n + + + ... + log a x log a x log a x log a x

H

Ơ

=

d. 43log 3+ 2log 5 c. 2 Bài 2: Tính các giá trị của biểu thức A = log 3 2.log 4 3.log 5 4...log15 14.log16 15 Bài 3: Tính các giá trị của biểu thức B = log 6 16 theo x = log12 27 .

Bài 4: Cho lg 3 = a;lg 2 = b . Tính giá trị của biểu thức log125 30 theo a, b .

16

TR ẦN

8

10 00

B

Bài 5: Cho biết log a b = 5 . Tính giá trị của biểu thức A = log

ab

b a

7 6

A

Bài 6: Tính giá trị của cơ số a biết log a 4 3 2 = .

(

)

H

Ó

Bài 7: Tính giá trị của cơ số a biết log a 3. 3 3 3 = −

11 12

ÁN

-L

Í-

3 3  34  34  4 4 − + a b a b       Bài 8: Cho C = − ab . Tính giá trị của C .

1 1 2 2 a −b Bài 9: Tính giá trị của x để 3 số lg 2, lg ( 2 x − 1) , lg ( 2 x + 3) theo thứ tự đó lập thành một cấp số

81

3

Đ

ÀN

cộng.

Bài 10: Cho C = 92log 2+ 4log 2 . Tính giá trị của C .

Bài 11: Biết log a x = 2, log b x = 3, log c = 6 . Tính giá trị của log abc x

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

G N H Ư

25 log 2 2 64

Đ

Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức: a. log 1 5 4 5 b. log 3 3 729

ẠO

III. BÀI TẬP VẬN DỤNG.

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

.Q

U Y

n ( n + 1) 1 1 1 1 + + + ... + = log a x log a 2 x log a3 x log an x log a x

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Vậy A =

1 1 1 1 + + + ... + log a x log a2 x log a3 x log a n x

N

A=

Các vấn đề về Mũ và Logarit

D

IỄ N

Bài 12: Cho 9 x + 9− x = 47 . Tính giá trị của biểu thức A = 3x + 3− x

1 ( 9 log 2 4 − 3log 2 5 ) 2 Bài 14: Trong mỗi trường hợp sau, hãy tính log a x , biết log a b = 3 , log a c = −2 .

Bài 13: Tính giá trị x trong đẳng thức log 2 x =

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 18

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

a. x = a3b 2 c

b. x =

a4 3 b c3

.Q

Đ

ẠO

Để giải bài toán dạng này, ngoài các tính chất đã biết ở những phần trước chúng ta cần chú ý thêm một số tính chất sau:

10 00

B

TR ẦN

* Nếu a > 1 thì m > n ⇔ a m > a n * Nếu 0 < a < 1 thì m > n ⇔ a m < a n 2. Cho x, y > 0 và 0 < a ≠ 1 ta có: * Nếu a > 1 thì log a x > logb y ⇔ x > y . * Nếu 0 < a < 1 thì log a x > logb y ⇔ x < y * log a x = logb y ⇔ x = y

H Ư

N

G

 a n < b n , ∀n > 0 1. * Nếu 0 < a < b thì  n n  a < b , ∀n < 0

 a > 1, b > 1 0 < a < 1, b < 1 * log a b > 0 ⇔ trong hai số a và b có một số lớn hơn 1 và số còn lại nằm trong khoảng

Ó

A

3. * log a b > 0 ⇔ 

Í-

H

( 0;1) .

TO

ÁN

-L

Ngoài ra khi chứng minh các bất đẳng thức chúng ta cần nắm vững các tính chất của bất đẳng thức và các bất đẳng thức quen thuộc như bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, ứng dụng của đạo hàm. Đặc biệt khi giải các bài toán trắc nghiệm của dạng toán này chúng ta có thể lấy phản ví dụ để loại bỏ các đáp án nhiễu nhanh hơn.

II. CÁC VÍ DỤ.

1. Chứng minh đẳng thức:

IỄ N

Đ

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

I. PHƯƠNG PHÁP CHUNG.

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

DẠNG III: MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC MŨ VÀ LOGARIT

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Ơ

N

Bài 15: Hãy biểu diễn các logarit sau qua α và β : a. log 3 50 nếu α = log 3 15, β = log 3 10 .

D

Ví dụ 1: Chứng minh rằng nếu x, y > 0 và x 2 + 4 y 2 = 12 xy thì lg ( x + 2 y ) − 2 lg 2 =

1 ( lg x + lg y ) 2

Giải Theo giải thiết ta có: 2

x 2 + 4 y 2 = 12 xy ⇔ ( x + 2 y ) = 16 xy GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 19

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

Do x, y > 0 nên x + 2 y = 4 xy . Khi đó ta có:

m log c a

)

(

= c logc a

)

log a m

= a loga m = m .

c

. Chứng minh c = 10 Giải

1 1− lg a

.

Ơ H

N

; b = 10

1 1− lg c

H Ư

Ví dụ 3: Cho a = 10

1 1− lg b

G

Đ

c

ẠO

Nghĩa là hai vế của đẳng thức đề bài cho đều bằng m .

Suy ra a log b = blog a .

⇒ lg a =

1

Từ (1) và (2) suy ra:

(1) ( 2)

Ó

A

1 1 lg a 1 = ⇒ 1 − lg c = = 1+ lg a 1 − lg c lg a − 1 lg a − 1

-L

Í-

H

1−

1 1 − lg c

10 00

b = 101− lg c ⇒ lg b =

1 1 1 ⇒ 1 − lg b = ⇒ lg b = 1 − 1 − lg b lg a lg a

B

a = 10

1 1− lg b

TR ẦN

Giả sử 0 < a, b, c ≠ 10 . Khử b từ các đẳng thức giả thiết ta có:

ÁN

Vậy với a = 10

1 1− lg b

1

1 ⇒ lg c = ⇒ c = 101−lg a 1 − lg a

; b = 10

1 1− lg c

thì c = 10

1 1− lg a

.

ÀN

Ví dụ 4: Cho 0 < a, b, c, d , c, abcd ≠ 1 . Chứng minh rằng

D

IỄ N

Đ

log abcd x =

1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

a

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

c

TP

Từ đó blog a = ( c log

U Y

a

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

c

c

.Q

c

N

Ví dụ 2: Cho các số dương a, b, c trong đó c ≠ 1 . Chứng minh a log b = blog a .

Giải log b Đặt m = a , ta có log c b = log a m ⇒ b = c log m .

N

1 1 lg ( x + 2 y ) = lg 4 + lg xy ⇒ lg ( x + 2 y ) − 2 lg 2 = ( lg x + lg y ) 2 2 1 Vậy với x, y > 0 và x 2 + 4 y 2 = 12 xy thì . lg ( x + 2 y ) − 2 lg 2 = ( lg x + lg y ) .

2

1 1 1 1 + + + log a x log b x log c x log d x

Giải Theo đề bài ta có:

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 20

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

1 1 = log x abcd log x a + log x b + log x c + log x d 1

=

N

1 1 1 1 + + + log a x log b x log c x log d x

(

)

TP

)

Đ

3

Suy ra:

(1 + 2 )

7 +5 2 + 3 7 −5 2 = 2.

(

+ 3 1− 2

)

3

= 1+ 2 +1− 2 = 2

10 00

B

2. Chứng minh bất đẳng thức:

3

N

3

H Ư

3

Vậy :

7+5 2 + 3 7−5 2 =

TR ẦN

3

G

7 − 5 2 = 1− 3 2 + 6 − 2 2 = 1− 2

ẠO

Tương tự ta lại có:

Ó

A

Ví dụ 6: Không dùng bảng số hay máy tính, hãy chứng minh: 2 < log 2 3 + log3 2 <

5 2

Giải

H

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: (1)

Í-

log 2 3 + log 3 2 > 2 log 2 3.log 3 2 = 2 1 = 2

ÁN

-L

Dấu bằng không xảy ra vì log 2 3 ≠ log3 2 Mặt khác, ta giả sử: 5 5 ⇔ log 2 3 + log 3 2 − < 0 2 2 1  ⇔ 2 log 22 3 − 5 log 2 3 + 2 < 0 ⇔ 2  log 2 3 −  ( log 2 3 − 2 ) < 0 2  ⇔ ( 2 log 2 3 − 1)( log 2 3 − 2 ) < 0

TO

log 2 3 + log 3 2 <

Đ IỄ N D

3

(

7 + 5 2 = 1+ 3 2 + 6 + 2 2 = 1+ 2

.Q

Ta có:

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Giải

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

7 +5 2 + 3 7 −5 2 = 2.

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

3

U Y

Ví dụ 5: Chứng minh đẳng thức

N

H

Ơ

log abcd x =

( 2)

Ta có: 2 log 2 3 = log 2 9 > log 2 2 = 1 ⇒ 2 log 2 3 − 1 > 0 log 2 3 < log 2 4 = 2 ⇒ log 2 3 − 2 < 0

Suy ra: ( 2 log 2 3 − 1)( log 2 3 − 2 ) < 0 đúng hay log 2 3 + log 3 2 <

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 21

5 2

(3)

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

5 .

2

H Ư

Điều này trái với giả thiết x > 0 .

x+

TR ẦN

Tương tự, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương x; 1 1 > 2 x. = 2 x x

1 ta được: x

(2)

A

1 1    x  +  x +  > 4 ⇔ 3 − 4 + x x 3   

1   +x+  > 0 x  

Ó

 x 1 3 + x 3 

10 00

B

Trong trường hợp này dấu bằng cũng không xảy ra.

Cộng hai vế của hai bất phương trình (1) và (2) ta được:

Í-

H

Vậy: ( 9 x − 4.3x + 1) x + ( x 2 + 1) 3x > 0

(

ÁN

1 2

-L

Ví dụ 8: Chứng minh với mọi số a, b ≥ 1 ta có bất đẳng thức:

)

ln a + ln b ≤ ln

a+b .

2

Giải

D

IỄ N

Đ

ÀN

Từ giả thiết ta có:  a+b  a, b ≥ 1 ⇒ ln a ≥ 0;ln b ≥ 0; ln  ≥0  2 

Ơ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

ẠO

Đ

G

1 ⇔ x=0 3x

(1)

N

3x =

H

U Y

1 1 1  + ( x 2 + 1) > 0 ⇔  3x − 4 + x x 3 x 3 

TP

− 4.3x + 1)

Dấu bằng không xảy ra vì giả sử điều đó xảy ra ta có:

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

x

.Q

1   +x+  > 0 x   1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương 3x ; x ta được: 3 1 1 3 x + x > 2 3 x. x = 2 3 3

(9

N

Giải Giả thiết x > 0 nên chia hai vế của bất phương trình đã cho cho số dương x.3x :

N

Ví dụ 7: Chứng minh rằng nếu x > 0 thì ( 9 x − 4.3x + 1) x + ( x 2 + 1) 3x > 0

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Từ (1) và (3) suy ra 2 < log 2 3 + log3 2 <

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ln a; ln b ta có: ln a + ln b ≥ 2 ln a.ln b

Suy ra: 2 ( ln a + ln b ) ≥ ln a + ln b + 2 ln a.ln b =

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 22

(

ln a + ln b

)

2

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

a+b  a+b  ≥ ab ⇒ ln   ≥ ln 2  2   a+b 1 ⇒ ln  ≥  2  4

(

)

ab = 1 2

1 ( ln a + ln b ) 2

 a+b ln a + ln b ≤ ln    2  Dấu bằng xảy ra khi và chi khi: ln a = ln b ⇔ a = b sin x

+2

)

cos x

1−

≥2

1 2

N

(

. Dấu bằng xảy ra khi nào?

sin x + cos x

≥2

−

2 2

⇒ 2.2

sin x + cos x 2

≥ 2.2

−

2 2

Đ G

sin x + cos x 2

1−

⇒ 2sin x + 2cos x ≥ 2

2 2

H Ư

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

N

2

ẠO

2sin x + 2cos x ≥ 2 2sin x.2cos x = 2.2 2  π Do sin x + cos x = 2 cos  x -  ≥ − 2 nên  4

và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x =

10 00

1 2

B

1−

Vậy 2sin x + 2cos x ≥ 2

TR ẦN

2sin x = 2cos x 2 5π  ⇔ sin x = cos x = − ⇔ x= + k 2π  π  2 4 cos x  x − 4  = −1   

,k ∈Z

5π + k 2π 4

,k ∈Z .

Ó

A

Ví dụ 10: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác vuông ABC trong đó c là cạnh huyền sao cho: a ≠ 1, b ± c ≠ 1 . Chứng minh rằng:

H

log c + b a + log c −b a = 2 log c +b a.log c −b a

Í-

Giải

-L

Áp dụng định lý Pytagore ta có:

ÁN

a 2 = c 2 − b 2 = ( c + b )( c − b )

Do a ≠ 1, b ± c ≠ 1 nên:

TO

log a a 2 = log a ( c + b )( c − b ) ⇔ 2 = log a ( c + b ) + log a ( c − b ) 1 1 + ⇔ log c +b a + log c −b a = 2 log c +b a.log c −b a log c −b a log c +b a

D

IỄ N

Đ

⇔2=

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

.Q

Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm 2sin x ; 2cos x ta có:

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ví dụ 9: Chứng minh rằng ∀x ∈ R ta có 2

⇒

Ơ

2

H

)

N

ln a + ln b

U Y

(

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Do

Các vấn đề về Mũ và Logarit

III. BÀI TẬP VẬN DỤNG. 2

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức y = 5sin x + 5cos

2

2

x 2

2

Bài 2: Chứng minh rằng nếu a, b > 0 và a + b = c thì a 3 + b 3 > c 3

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 23

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com Các vấn đề về Mũ và Logarit

Ơ

với 18

H

5 11

1 1 1 , , cũng log a N log b N log c N

N

b. 4

với 8

log 2 3+ log 4

a+b 1 = ( log 7 a + log 7 b ) . Chứng minh rằng đẳng thức trên vẫn đúng khi thay đổi cơ số 7 3 2 bởi một cơ số tùy ý ( 0 < c ≠ 1)

Đ

ẠO

log 7

G

log a N log a N − log b N = trong đó a, b, c là các số dương lập log c N log b N − log c N

N

Bài 9: Chứng minh đẳng thức

TR ẦN

H Ư

thành một cấp số nhân.

Bài 10: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) của các biểu thức sau: a. y = − log 22 x + log 2 x b. y = log 1 31− x.log 1 3x + 2 2

2 5

2 5

d. y = log 1 2

2

. y = log 1 2cos

3

2

x

3

10 00

B

c. P = xy nếu log x + log y = 1

sin 2 x

I. PHƯƠNG PHÁP CHUNG.

-L

Í-

H

Ó

A

DẠNG IV: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

ÁN

1. Phương pháp đưa về cùng cơ số:

TO

Thường áp dụng các phép tính về lũy thừa hay phép tính về logarit để biến đổi. Để đồng hóa cơ số hoặc để khử biểu thức mũ hoặc logarit chứa ẩn số, ta thường lấy mũ hoặc logarit hai vế. Ta áp dụng các công thức sau: Với 0 < a ≠ 1 ta có: + aM = a N ⇔ M = N + log a M = log a N ⇔ M = N > 0 + log a N = M ⇔ N = a M Ngoài ra ta cũng cần chú ý đến một số tính chất sau:

D

IỄ N

Đ

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

lập thành một cấp số cộng.

Bài 8: Cho hai số dương a, b thỏa mãn a 2 + b2 = 7ab . Chứng minh rằng

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Bài 7: Chứng minh rằng nếu a, b, c lập thành một cáp số nhân thì

U Y

9

.Q

a. 2

2log 2 5+ log 1 9

N

Bài 3: Chứng minh rằng log1999 2000 > log 2000 2001 Bài 4: Chứng minh rằng ∀a, b > 0 và a; b ≠ 1 ta có log a b + log b a ≥ 2 Bài 5: Chứng minh rằng log135 675 > log 45 75 Bài 6: So sánh

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Tiểu luận Tốt nghiệp

b > 0 a > 0; a ≠ 1

+ log a b có nghĩa ⇔ 

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 24

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

log c b log c a m + log an b m = log a b n 2k + log a b = 2k log a b ; k ∈ Z

Ví dụ 1: Giải phương trình: 52 x = 625 4

a

N

2a − x − log 1 x = 0 a 2

TR ẦN

Ví dụ 3: Giải phương trình: log

3 5

H Ư

Vậy nghiệm của phương trình là x =

3 5

G

Đ

Ta có: 16 x = 82(1− x ) ⇔ 24 x = 26(1− x ) ⇔ 4 x = 6 (1 − x ) ⇔ 10 x = 6 ⇔ x =

Giải

Ta có:

Ó

A

10 00

B

2a − x 1  = log a 2a − x log a 2 log a − log 1 x = 0 ⇔  a x ⇔ x = a ; ( 0 < a ≠ 1) a 2 0 < x < 2a Vậy nghiệm của phương trình là x = a

-L

Í-

H

Ví dụ 4: Giải phương trình: 5x +1 − 5x = 2 x +1 + 2 x + 3 Giải Ta có:

ÁN

5 x +1 − 5 x = 2 x +1 + 2 x +3 ⇔ 5.5 x − 5 x = 2.2 x + 8.2 x ⇔ 4.5 x = 10.2 x 1

x

TO

5 5 ⇔   =   ⇔ x =1 2 2 Vậy nghiệm của phương trình là x = 1

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

TP

.Q

Ta có: 5 = 625 ⇔ 5 = 5 ⇔ 2 x = 4 ⇔ x = 2 Vậy nghiệm của phương trình là x = 2 Ví dụ 2: Giải phương trình 16 x = 82(1− x ) Giải

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

2x

U Y

Giải 2x

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Ơ

N

+ log a b =

D

IỄ N

Đ

Ví dụ 5: Giải phương trình: log 2 x + log 4 x + log8 x = 11 Giải Phương trình đã cho tương đương với:

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 25

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

Ơ H

Ví dụ 7: Giải phương trình: 4log x + x − 6 = 0 2

TR ẦN

Giải

Điều kiện: x > 0

Khi đó ta có: 4log x + x − 6 = 0 ⇔ ( 2log

2

x 2

)

10 00

B

2

 x = −3 + x − 6 = 0 ⇔ x2 + x − 6 = 0 ⇔  x = 2

Ó

A

Nhận nghiệm Vậy nghiệm của phương trình là x = 2 x −1 1 2 = log 6 ( x − 1) x−7 2

Giải

Í-

H

Ví dụ 8:Giải phương trình: 1 + log 6

TO

ÁN

-L

 x −1 >0  Điều kiện:  x − 7 ⇔ ∀x ∈ R \ {1;7} ( x − 1)2 > 0 

x −1 1 x −1 2 = log 6 ( x − 1) ⇔ 1 + log 6 = log 6 x − 1 x−7 2 x−7 1 x −1 x −1 Khi đó ta có: ⇔ log 6 ⇔ = ⇔ ( x − 7 ) x − 1 = 6 ( x − 1) ( x − 7) x −1 ( x − 7) x −1 6 1 + log 6

Đ IỄ N D

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H Ư

N

G

Đ

ẠO

  x = −2   x = ( 3 x + 4 )   x = −1 ⇔ ⇔  ⇔ x = −1 3 x + 4 > 0 4 x > −  3 Vậy nghiệm của phương trình là x = −1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q

TP

log 2 x 2 = 2 log 2 ( 3 x + 4 ) ⇔ 2 log 2 x = 2 log 2 ( 3 x + 4 ) ⇔ log 2 x = log 2 ( 3 x + 4 )

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Ví dụ 6: Giải phương trình: log 2 x 2 = 2 log 2 ( 3x + 4 ) Giải Ta có:

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

1 1 log 2 x + log 22 x + log 23 x = 11 ⇔ log 2 x + log 2 x + log 2 x = 11 2 3 11 ⇔ log 2 x = 11 ⇔ log 2 x = 6 ⇔ x = 64 6 Vậy nghiệm của phương trình là x = 64

x =1 ⇔ ⇔ x = 13  x = 13

Vậy nghiệm của phương trình là x = 13 Ví dụ 9: Giải phương trình: 2 x + 22 x = 20 GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 26

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

Giải Đặt t = 2 > 0 .

Khi đó phương trình đã cho tương đương với: x

U Y .Q ẠO

Giải Phương trình đã cho tương đương với hệ sau:

H Ư

N

G

Đ

x > 2 x > 2 x > 2    x − 2 ≠ 1 ⇔ x ≠ 3 ⇔   x ≠ 3   3  3 2 2  x − 6 x + 12 x − 8 = 0 ( x − 4 ) ( x − 2 x + 2 ) = 0 2 x = ( x − 2 )

⇔x=4

TR ẦN

Vậy nghiệm của phương trình là x = 4

2. Phương pháp mũ hóa hoặc logarit hóa:

Ó

A

10 00

B

Để giải phương trình bằng phương pháp mũ hóa hoặc logarit hóa chúng ta phải nắm vững các tính chất đã nêu ở mục 1. Tuy nhiên trước khi mũ hóa hoặc lgarit hóa, chúng ta cần biến đổi để rút gọn cả hai vế của phương trình về dạng gọn nhất. Phương pháp logarit hóa tỏ ra càng hiệu lực khi hai vế của phương trình có dạng tích của các lũy thừa.

H

x +1

Í-

Ví dụ 1: Giải phương trình: 3x.2 x −1 = 72

-L

Giải

ÁN

Điều kiện: x ≠ 1 .

Khi đó, lấy logarit thập phân hai vế ta dược:

TO

x = 2 x +1 2 x lg 3 + lg 2 = 72 ⇔ x lg 3 − x lg108 + 2 lg12 = 0 ⇔   x = lg12 x −1 lg 3  lg12 Vậy nghiệm của phương trình là x = 2; x = lg 3

Đ IỄ N D

Ví dụ 2: Giải phương trình: x

lg

1 x

= 10 x

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

Ví dụ 10: Giải phương trình: log x − 2 2 x = 3

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Vậy nghiệm của phương trình là x = 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Ơ

N

t = 4 t 2 + t = 20 ⇔   t = −5 Do t > 0 nên nhận t = 4 .

Suy ra: 2 x = 4 ⇔ x = 2

4

Giải Điều kiện: 0 < x ≠ 1 .

Khi đó phương trình đã cho tương đương với: GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 27

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

4 1 lg x = lg10 x = x 4 ⇔ x 4 = 1 ⇔ x = ±1 lg x

Ơ

N

So sánh với điều kiện ban đầu, suy ra không có giá trị x thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

U Y .Q

G N

Ví dụ 4: Giải phương trình: log 1 ( x − 1) + log 1 ( x + 1) − log 1 ( 7 − x ) = 1 2

2

Giải

10 00

B

2

Ó

A

x −1 > 0  Điều kiện:  x + 1 > 0 ⇔ 1 < x < 7 7 − x > 0 

H

Khi đó phương trình đã cho tương đương với: 2

-L

2

Í-

log 1 ( x 2 − 1) − 2 log 1 ( 7 − x ) = 1 ⇔ log 1 ( x 2 − 1) − log 1 ( 7 − x ) = 1

ÁN

⇔ log 1

2

(x

2

2

− 1)

(7 − x)

2

=1⇔

2

(x

2

− 1)

(7 − x)

2

2

x = 3 1 ⇔ x 2 + 14 x − 51 = 0 ⇔  2  x = −17

=

TO

So sánh với điều kiện ban đầu nhận nghiệm x = 3 Vậy nghiệm của phương trình là x = 3 .

Đ IỄ N

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

H Ư

x = 0 x2 − 3x + 1 = x + 1 ⇔ x2 − 4 x = 0 ⇔  x = 4 So sánh với điều kiện ban đầu nhận nghiệm x = 4 Vậy nghiệm của phương trình là x = 4 .

Đ

Khi đó phương trình đã cho tương đương với:

Ví dụ 5: Giải phương trình:

D

ẠO

TP

  x > −1 x +1 > 0 3+ 5   Điều kiện:  x + 1 ≠ 1 ⇔ x ≠ 0 ⇔x> 2  2  x − 3 x + 1 > 0 3 − 5 3 + 5  x < ∨x>  2 2

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Giải

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Ví dụ 3: Giải phương trình: log x +1 ( x 2 − 3x + 1) = 1

3 2 3 3 log 1 ( x + 2 ) − 3 = log 1 ( 4 − x ) + log 1 ( x + 6 ) 2 4 4 4

Giải Phương trình đã cho tương đương với:

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 28

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

3log 1 x + 2 − 3 = 3log 1 ( 4 − x ) + 3log 1 ( x + 6 ) 4

4

4

⇔ log 1 x + 2 − 1 = log 1 ( 4 − x ) + log 1 ( x + 6 ) 4

4

Ơ

N

4

B

3. Phương pháp đặt ẩn phụ:

(

)

10 00

Nếu một phương trình mũ hay logarit sau khi rút gọn có dạng f aϕ ( x ) = 0 hoặc f ( log a ϕ ( x ) ) = 0 trong đó ϕ ( x ) là một hàm số theo x ta sẽ đặt t = ϕ ( x ) > 0 hoặc t = log a ϕ ( x ) .

Í-

H

Ó

A

Khi đó ta sẽ được phương trình đại số f ( t ) = 0 , giải phương trình này nếu có nghiệm t ta sẽ tìm được nghiệm x . Phương pháp này được gọi là phương pháp đặt ẩn phụ.

1 x

1 x

-L

Ví dụ 1: Giải phương trình: 40 − 35 = 25

1 x

Giải

ÁN

Điều kiện: x ≠ 0 1

TO

Chia hai vế của phương trình cho 35 x , ta được:

Đ

1

1

 7 x  5 x − 1 =     5 7

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TR ẦN

Vậy nghiệm của phương trình là x = 2; x = 1 − 33 .

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO Đ G

H Ư

x = 2  4 ( x + 2 ) = − x 2 − 2 x + 24  ⇔ ⇔  x = −8 2  4 ( x + 2 ) = x + 2 x − 24  x = 1 ± 33  So sánh với điều kiện (*) ta nhận x = 2; x = 1 − 33

IỄ N D

4

N

4

TP

log 1 4 x + 2 = log 1 ( 4 − x ) . ( x + 6 )  ⇔ 4 x + 2 = ( 4 − x ) . ( x + 6 )

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Khi đó phương trình đã cho tương đương với:

.Q

U Y

N

H

 x+2 >0  −6 < x < −2  Điều kiện: 4 − x > 0 ⇔  ( *) − 2 < x < 4  x + 6 > 0 

1

 7 x Đặt t =   > 0 , ta được phương trình: 5 1 1+ 5 t −1 = ⇔ t 2 − t −1 = 0 ⇔ t = t 2

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 29

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit 1

7  7 x 1+ 5 Khi đó:   = ⇔ x = log 1+ 5 2 5 5 2

2

10

.Q

= 99

2

2

Giải 1 2

TR ẦN

Điều kiện: 2 x + 1 > 0 ⇔ x > −

H Ư

Ví dụ 3: Giải phương trình: log 3 ( 2 x + 1) = 2 log ( 2 x +1) 3 + 1

N

G

Đ

ẠO

10t 2 − 99t − 10 = 0 ⇔ t = 10 2 Suy ra 10 x = 10 ⇔ x 2 = 1 ⇔ x = ±1 Vậy nghiệm của phương trình là x = ±1 .

TP

10 x

Đặt t = 10 x > 0 . Khi đó phương trình đã cho tương đương với:

1 +1 log 3 ( 2 x + 1)

10 00

B

Biến đổi phương trình đã cho về dạng: log 3 ( 2 x + 1) = 2

Đặt t = log3 ( 2 x + 1) . Khi đó ta nhận được phương trình:

A

 t = −1 2 +1 ⇔ t2 − t − 2 = 0 ⇔  t t = 2

Ó

t=

H

Với log 3 ( 2 x + 1) = 2 ⇔ 2 x + 1 = 32 = 9 ⇔ x = 4 1 3

-L

Í-

Với log 3 ( 2 x + 1) = −1 ⇔ 2 x + 1 = 3−1 = ⇔ x = −

1 3

ÁN

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 4; x = −

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

2

Biến đổi phương trình đã cho về dạng: 10.10 x −

U Y

Giải

2

1 3

2

D

IỄ N

Đ

ÀN

Ví dụ 4: Giải phương trình: lg 4 ( x − 1) + lg 2 ( x − 1) = 25 Giải Điều kiện: x > 1 Biến đổi phương trình về dạng:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

Ví dụ 2: Giải phương trình: 101+ x − 101− x = 99

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2

H

2

7 5

N

5

Ơ

Vậy nghiệm của phương trình là x = log 1+

4

2

lg ( x − 1)2  + lg ( x − 1)3  = 25 ⇔ 16 lg 4 ( x − 1) + 9 lg 2 ( x − 1) = 25     2 Đặt t = lg ( x − 1) ; t > 0

Khi đó phương trình tương đương với:

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 30

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

t = 1 16t + 9t − 25 = 0 ⇔  25 t = − 16  2

N

So sánh với điều kiện ban đầu nhận nghiệm t = 1

Ơ

 x − 1 = 10  x = 11 1 ⇔ 11  x −1 = x = 10 10   11 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 11; x = 10

27

x

Áp dụng qui tắc log a x = a log a x Điều kiện: x > 0 Biến đổi phương trình về dạng:

H N U Y

G N H Ư

10 log 27 x ⇔ 3log 227 x − 10 log 27 x + 3 = 0 3

TR ẦN

1 + log 227 x =

.Q

Đ

Giải a

Đặt t = log 27 x .

Khi đó phương trình tương đương với:

B

t = 3 3t − 10t + 3 = 0 ⇔  1 t =  3 Với t = 3 ⇔ log 27 x = 3 ⇔ x = 273 = 39

A

10 00

2

-L

Í-

H

Ó

1 1 1 Với t = ⇔ log 27 x = ⇔ x = 27 3 = 3 27 = 3 3 3 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 39 ; x = 3

ÁN

Ví dụ 6: Giải phương trình: log 2 ( 25x +3 − 1) = 2 + log 2 ( 5x +3 + 1) Giải

25 − 1 > 0 ⇔ 25 x +3 − 1 > 0 ⇔ x + 3 > 0 ⇔ x > −3 x +1 5 + 1 > 0 x +3

D

IỄ N

Đ

ÀN

Điều kiện: 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

) = 103 log

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

x

TP

27

ẠO

Ví dụ 5: Giải phương trình: 1 + log 27 ( x log

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Suy ra lg 2 ( x − 1) = 1 ⇔ lg ( x − 1) = ±1 ⇔ 

Biến đổi phương trình về dạng: log 2 ( 25 x +3 − 1) = log 2 4 + log 2 ( 5 x +3 + 1) ⇔ 25 x +3 − 1 = 4 ( 5 x +3 + 1)

Đặt t = 5x +3 ; t > 0 Khi đó phương trình tương đương với:  t = −1 t 2 − 4t − 5 = 0 ⇔  t = 5

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 31

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

H

2 log x 3

U Y

Giải

.Q

2 log x 3

)

(

Đ G

H Ư

(

N

Khi đó phương trình đã cho tương đương với:

)

log 3 3 + 3 + x = 2 log 3 x ⇔ log 3 3 + 3 + x = log 3 x 2 ⇔ 3 + 3 + x = x 2

TR ẦN

Đặt y = 3 + x . Khi đó ta có:

B

 x 2 = 3 + y x = y ⇔ x 2 − y 2 = y − x ⇔ ( x − y )( x + y ) = y − x ± ⇔   2 x + y +1 = 0  y = 3 + x

1 ± 13 1 + 13 . So sánh với điều kiện nhận nghiệm x = 2 2 x =1 Với y = − x − 1 ⇒ x 2 + x − 2 = 0 ⇔  . So sánh với điều kiện loại cả hai nghiệm này.  x = −2 1 + 13 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = .

2

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

Với x = y ⇒ x 2 − x − 3 = 0 ⇔ x =

 3 5

2

TO

ÁN

Ví dụ 8: Tìm tất cả các nghiệm thuộc đoạn  − ;  của phương trình 4cos 2 x + 4cos x = 3 .  4 2

Đ IỄ N D

ẠO

3 + 3 + x > 0  3 + x > −3   ⇔  x ≥ −3 ⇔ 0 ≠ x >1 3 + x ≥ 0 0 ≠ x > 1 0 ≠ x > 1  

Giải 2

Áp dụng công thức cos 2 x = 2 cos − 1 Biến đổi phương trình về dạng:

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

)

TP

(

log 3 3 + 3 + x =

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Điều kiện:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

)

Ví dụ 7:Giải phương trình: log 3 3 + 3 + x =

N

(

Ơ

N

So sánh với điều kiện ban đầu nhận nghiệm t = 5 Suy ra 5x +3 = 5 ⇔ x + 3 = 1 ⇔ x = −2 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = −2

2

4

2cos 2 x −1

+4

cos2 x

2 2 2 42cos x =3⇔ + 4cos x − 3 = 0 ⇔ 4 2cos x 4.4cos x − 12 = 0 4

2

Đặt t = 4cos x ; t ≥ 1 Khi đó phương trình tương đương với:

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 32

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

t = −6 t 2 + 4t − 12 = 0 ⇔  t = 2

Ơ H

Đ

G

4

N

4

ẠO

 3 5

Do x ∈  − ;  nên chỉ có k = 0; k = 1 thỏa mãn.  4 2 π 3π Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = ; x =

H Ư

4. Sử dụng tính chất của hàm số:

10 00

B

TR ẦN

Có một số phương trình không thể dùng thuần túy các phương pháp trên, đôi khi cần phải dùng các tính chất của bất đẳng thức để giải, hoặc phát hiện tập hợp chứa nghiệm rồi thử nghiệm, hoặc phát hiện nghiệm rồi chứng minh nghiệm đó là duy nhất hoặc sử dụng tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 x = sin x 2

A

Ta có nhận xét sau:

Giải

Í-

H

Ó

2 x ≥ 20 = 1 2 x = 1 x = 0 x 2 2 sin x ⇒ = ⇔ ⇔    2 2 sin x = 1 sin 0 ≠ 1 sin x ≤ 1

ÁN

-L

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

TO

Ví dụ 2: Giải phương trình:

(

)

x 2 − 4 x + 3 + 1 log 5

x 1 + 5 x

(

)

8x − 2x2 − 6 + 1 = 0

Giải

x − 4x + 3 ≥ 0 x > 0 x > 0 x = 1   Điều kiện:  x > 0 ⇔ x2 − 4x + 3 ≥ 0 ⇔  2 ⇔ x = 3 x − 4x + 3 = 0   2 2 8 x − 2 x − 6 ≥ 0 x − 4x + 3 ≤ 0 2

Đ IỄ N D

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

+ k 2π ; k ∈ Z

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

4

.Q

π

2

TP

Hay x =

 x = ± 4 + k1 2π 1 ; ( k1 , k2 ∈ Z ) = 2 = 4 ⇔ cos x = ⇔  2  x = ± 3π + k 2π 2  4 1 2

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

4

cos2 x

N

So sánh với điều kiện ta nhận nghiệm t = 2 Suy ra: π 

Từ đó, nghiệm của phương trình chỉ có thể là x = 1 hoặc x = 3 Với x = 1 , thay vào phương trình ban đầu ta được: 1 1 1.log 5 + 1 = 0 ⇔ −1 + 1 = 0 5 1

phương trình thỏa mãn GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 33

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

Ơ H

x

Đ

G

N

H Ư

Thật vậy: x

x

TR ẦN

 2 3 Đặt f ( x ) =   +   và g ( x ) = 1 5 5 Dễ dàng thấy rằng f ( x ) là hàm nghịch biến và g ( x ) là hàm hằng. Do đó đồ thị của hai

10 00

B

hàm số này sẽ cắt nhau tại một điểm duy nhất và điểm đó có hoành độ là x = 1 .

Vậy phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm là x = 1 .

-L

Í-

H

Ó

A

Ví dụ 4: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng c . Giải các phương trình: a. a x + b x = c x b. a 2 x + b 2 x = c 2 x Giải a. Do a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng c nên ta có:

TO

ÁN

a 2 + b2 = c 2 Suy ra x = 2 là một nghiệm của phương trình a x + b x = c x

Ta lại có:

Đ

Vì

x

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

x

 2 3   +   = 1 (1) 5 5 Nhận thấy rằng x = 1 là nghiệm của phương trình đã cho.

Ta sẽ chứng minh x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình này.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

TP

Giải Chia hai vế của phương trình cho 5 ta được: x

IỄ N D

.Q

Ví dụ 3: Giải phương trình: 2 x + 3x = 5x

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

1 3 1 3 3 1.log 5 + 1 = log 5 + log 5 5 3 = log 5 2 5 3 5 53 3 3 Nhận xét: Vì 2 > 1 nên log 5 2 > 0 , suy ra phương trình không thỏa mãn.

53 53 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 1 .

N

Với x = 3 , thay vào phương trình ban đầu ta được:

x

a b a b < 1; < 1 nên các hàm số   ;   nghịch biến. c c c c x

x

a b Suy ra, f ( x ) =   +   − 1 nghịch biến trên R . c c Hay x = 2 là ngiệm duy nhất của phương trình a x + b x = c x . b. Đặt t = 2 x . Khi đó phương trình đã cho tương đương với:

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 34

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

a t + bt = c t

x = 6 x−5 2 2 2 x − 25 ) = 0 ⇔ log 2 ( x − 5 ) = 0 = log 2 1 ⇔ ( x − 5 ) = 1 ⇔  ( x+5 x = 4 So sánh với điều kiện ban đầu nhận nghiệm x = 6 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 6 .

x 2 − 2 x −3 − log3 5

TR ẦN

Ví dụ 6: Tìm tất cả các cặp số thực x, y thỏa mãn 3

H Ư

N

G

Đ

ẠO

log 2

2

4 y − y − 1 + ( y + 3) ≤ 8 (2)

=5

−( x + 4 )

(1) và

Giải

B

Ta có: x 2 − 2 x − 3 − log 5

10 00

3 5−( x + 4 ) = 3 ≥ 3− log3 5 = 5−1 ⇒ y ≤ −3 (*) Với y ≤ −3 ⇒ y = − y thay vào (2) ta được:

-L

Í-

H

Ó

A

y 2 + 3 y ≤ 0 ⇔ −3 ≤ y ≤ 0 (**) Từ (*) và (**) ta có y = −3  x = −1  x = 3 Thay vào (1) ta được  ∨  y = −3  y = −3

ÁN

Vậy có hai cặp số thỏa mãn yêu cầu đề bài là ( −1; −3) và ( 3; −3) .

Ví dụ 7: Giải phương trình:

D

IỄ N

Đ

ÀN

Giải Đặt t = 3 ; t > 0 , khi đó ta nhận được phương trình: x

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

.Q

Điều kiện: x > 5 .

Biến đổi phương trình đã cho về dạng:

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Giải

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

x−5 + log 2 ( x 2 − 25 ) = 0 x+5

U Y

Ví dụ 5: Giải phương trình: log 2

H

Ơ

N

Theo câu a phương trình này có duy nhất một nghiệm là t = 2 Suy ra 2 x = 2 ⇔ x = 1 .

Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm là x = 1 .

t 2 + 2 ( x − 2) t + 2x − 5 = 0

Ta xem phương trình trên là phương trình bậc hai theo t có hai nghiệm là: t = −1 t = −2 x + 5 

Ta chỉ nhận nghiệm t = −2 x + 5 với điều kiện x <

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 35

2 5

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

Suy ra 3x = −2 x + 5 . Nhận thấy rằng x = 1 là nghiệm của phương trình này.

Thật vậy:

U Y .Q

x +3

≤ x

−2

=

1 x

2

≤

1 không thỏa.

52

B

x x +3 = x

TR ẦN

H Ư

N

Với x < 0 : Nếu x là số nguyên chẵn thì x + 3 là số lẻ, suy ra x x +3 < 0 hay phương trình đã cho vô nghiệm. Do đó x phải là số nguyên lẻ.

Ta thấy x = −1; x = −3 là hai nghiệm của phương trình.

Xét x < −5 ⇒ x ≥ 5 , lúc này:

A

10 00

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt là x = 1; x = −1; x = −2 .

H

Ó

5. Những lưu ý:

TO

ÁN

-L

Í-

Khi giải các bài toán trắc nghiệm trong phần này chúng ta cần lưu ý một số mẹo nhỏ như sau để giải nhanh các bài toán trắc nghiệm: + Phép thử trực tiếp đối với các dạng câu hỏi trắc nghiệm khách quan tìm tập nghiệm. + Nhận xét xem phương trình đã cho là phương trình cơ bản dạng nào từ đó phán đoán dạng phương án nhiễu. + Việc sử dụng máy tính cầm tay cũng giúp cho chúng ta rất lớn trong dạng bài tập này. Do đó việc rèn luyện kỹ năng sử dụng máy tính cầm tay là vô cùng quan trọng + Nắm vững các điều kiện có nghiệm của từng dạng phương trình là điều vô cùng cần thiết, giúp ích cho chúng ta trong quá trình loại bỏ phương án nhiễu. + Các ký năng biến đổi phương trình về dạng quen thuộc cúng vô cùng quan trọng, đòi hỏi chúng ta phải nắm vững lý thuyết. + Các phương pháp giải phương trình đã nêu trên chỉ để giúp chúng ta định hướng nhanh hơn một số bài tập, từ đó có thể vận dụng vào bài tập trắc nghiệm nhanh hơn.

D

IỄ N

Đ

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

Đ

ẠO

Giải Với x = 0 : Đây không là nghiệm của phương trình đã cho.

Với x > 0 : Lấy logarit thập phân hai vế ta có: ( x + 3) lg x = 0 ⇔ x = 1 do x + 3 > 0

TP

Ví dụ 8: Tìm số nguyên x thỏa mãn x x +3 = 1

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Vậy phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm là x = 1 .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Ơ

N

3x > 3 Nếu x > 1 ta có:  nên phương trình vô nghiệm.  −2 x + 5 < 3 3x < 3 Nếu x < 1 ta có:  nên phương trình vô nghiệm.  −2 x + 5 > 3

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 36

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

III. BÀI TẬP VẬN DỤNG

N

2 lg x 2 = − lg x + lg x − 1 lg x − 1

H

3

3

3

x2 − 2

e. 4 x +

x −10

x2 −2

− 5.2 x −1+

1 − x

1 − x

f. 2.4 − 6 = 3.9 Bài 3: Giải phương trình:

+3= 0

ẠO

10

Đ

5

=6

1 − x

G

x

( 3) + ( 3)

N

d.

2

H Ư

2

U Y

3

.Q

9

TP

9

1

x −1

1

1

b. 49 x − 35 x = 25 x x+ 2 d. ( x 2 + 1) = 1

TR ẦN

a. 5x.8 x = 500 c. 8 x + 18x = 2.27 x

e. ln ( x + 3) + ln ( x − 1) = ln ( x 2 + 2 x − 3)

10 00

B

Bài 4: Giải phương trình: a. 4 x − 8.2 x + 12 = 0

Ó

A

c. 3lg x = 54 − x lg 3 Bài 5: Giải phương trình:

2

b. 2 log 2 ( x − 2 ) + log3 ( x − 4 ) = 0

H

log 3 x log 4 x log 5 x = log 3 x log 4 x + log 4 x log 5 x + log 5 x log 3 x

Í-

Bài 6: Giải phương trình: 2

2

-L

a. 42+ x − 9.22+ x + 8 = 0

ÁN

c. ( x + 1)

lg ( x +1)

b. x − 1

= 100 ( x + 1)

lg 2 x − lg x 2

d. ( x 2 − x + 1)

= x −1

x+2

3

=1

lg x + 5

2

TO

e. x log (1− x ) = 9 f. x 3 = 105+ lg x g. x 2 + 3log x = x log 5 h. 251+ 2 x − x + 91+ 2 x − x = 34.152 x − x i. log 3 x + 7 ( 9 + 12 x + 4 x 2 ) = 4 − log 2 x +3 ( 6 x 2 + 23 x + 21) x

2

2

2

2

Đ

2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

f.

=1

x

2

Ơ

2

Bài 2: Giải phương trình: a. 4log x − 6.2log x + 2log 27 = 0 b. 4log x − 5.2log x + 2log 9 = 0 c. 9 x −1 − 36.3x −3 + 3 = 0

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

e. 2 x − 21−

http://daykemquynhon.ucoz.com

b. 3x −1 + 3x + 3x +1 = 9477 d. 91+ x − 31+ x − 6 = 0

2

N

2

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Bài 1: Giải phương trình: a. 4 x + 3.2 x − 10 = 0 c. 51+ x − 51− x = 24

D

IỄ N

Bài 7: Giải phương trình: 2

a. 2 x − x + 22+ x

2

−x

=5

(

)

x

(

)

x

b. 7 + 4 3 − 3 2 − 3 + 2 = 0 2

2

c. 3x + 2 x − 5 = 0 d. 9 x + 3x +1 = 4 Bài 8: Giải phương trình: a. log 2 ( x 2 + 2 x + 3) − log 5 ( 4 + 2 x − x 2 ) = 0

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 37

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

b. log 3 ( x 2 + 2 x + 1) − log 3 x = 2 x − x 2

H

Ơ

N

=1 3− x 8 1   d. 23 x − 3 x − 6  2 x − x −1  = 1 2 2  

TP

d. log 2 x + log 4 x = log 1 3

f. 5log x x + log x x 3 + 8 log 9 x x 2 = 2 2

9

G

2

3

N

2

Đ

9

Bài 10: Giải phương trình: 2log x −16 log x −16 +1 a. 2 ( ) + 2 ( ) = 24 3

ẠO

2

7 e. log x 2 − log 4 x + = 0 6

H Ư

1 log 2 ( 5 − x ) + 2 log 8 3 − x = 1 3 lg x 2 − 21 c. lg 10 ( )  − 2 = lg x − 2 lg 5   d. lg 5 + lg ( x + 10 ) = 1 − lg ( 2 x − 1) + lg ( 21x − 20 )

TR ẦN

b.

10 00

B

Bài 11: Giải phương trình:

a. 1 + 2 log x 2.log 4 (10 − x ) =

2 log 4 x

Ó

A

b. log 4 ( log 2 x ) + log 2 ( log 4 x ) = 2

H

c. log x +1 ( 2 x3 + 2 x 2 − 3 x + 1) = 3

-L

Í-

d. log 2 x.log 3 x = log 2 x 2 + log 3 x 3 − 6

ÁN

e. 3 log 3 x − log 3 3x − 1 = 0 Bài 12: Giải phương trình: x−2

Đ

b.

= 25 − x + 9

TO

1 a.   4

3

2

3− x

= 4x−4 − 7

x

1 c.   = 65− 2 x − 12 6

d. 52 x −3 =

2 1− x

5

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

b. log 2 x −3 16 = 2

c. log 2 x −3 x = 2

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Bài 9: Giải phương trình: a. log 2 ( 9 − 2 x ) = 3 − x

U Y

N

e. log x ( 2 x 2 − 7 x + 12 ) = 2

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

c.

log 2 ( 9 − 2 x )

+ 15

D

IỄ N

Bài 13: Giải phương trình: 1 x

1 x

a. 9.4 + 5.6 = 4.9 1 x

1 x

1 x

c. 5.25 + 3.10 = 2.4 Bài 14: Giải phương trình: a. 5 4 x − 6 = 253 x − 4 GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

1 x

b. 2

2 x +5

d. 5

x+

1 2

−3

x+

9 2

=3

2 x −2

=9 =3 x

x+

7 2

= 4x+4

−5

x−

1 2

b. 3 3 x − 4 = 92 x − 2 Trang 38

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

1 5

c. 3.52 x −1 − 2.5x −1 =

1 3

1 2

d. 3.4 x + 9 x + 2 = 6.4 x + 2 − 9 x +1

Bài 15: Giải phương trình: x

N

x

Bài 17: Giải phương trình: a. log 2 ( x 2 + 3x + 2 ) + log 2 ( x 2 + 7 x + 12 ) = 3 + log 2 3

(

)

c. log 2 ( 3.2 − 1) = 2 x + 1

(

)

x

(

)

H Ư

x

x

cos x

(

7+4 3

) (



3 2

A

2

)

cos x

=4

10 00

b. 2 x +3 = 5x c. 2 x − 2 x.3x =

7−4 3

+

B

a.

TR ẦN

d. 5 − 21 + 7 5 + 21 = 2 x+3 Bài 18: Giải phương trình:

G

1 − x + 1 + x − 2 log 2 ( x 2 − x ) = 0

= 14

N

b.

x

x

3 3



x

3 3

Í-

H

Ó

d. log 5  cos + 3 tan x −  + log 1  cos + tan 2 x − =0 2 2  2 2  5   Bài 19: Giải phương trình:

-L

3 2 3 3 log 1 ( x + 2 ) − 3 = log 1 ( 4 − x ) + log 1 ( x + 6 ) 2 4 4 4

ÁN

a.

TO

b. log 3 ( 3x − 1) .log 3 ( 3x+1 − 3) = 6 c. lg ( x 2 − x − 6 ) + x = lg ( x + 2 ) + 4 d. log 2 ( x + 3log

6

x

) = log

6

x

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

x

) + (2 + 3)

.Q

U Y (

− 22 x + 4 = 0 d. 2 − 3

TP

−x

ẠO

2

b. 3.8x + 4.12 x − 18x − 2.27 x = 0

Đ

2

c. 2 x + x − 4.2 x

N

d. 51+ x + 51− x = 26

Bài 16: Giải phương trình: a. 8 x + 18x = 2.27 x

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

32 x  3 = 2  + 3 c. x 100  10 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2 x− 2

Ơ

a. 32 x + 4 + 45.6 x − 9.22 x + 2 = 0 b.

10 + 4 2 = 4

H

9

D

IỄ N

Đ

Bài 20: Giải phương trình: 1 x

1 x

1 x

a. 6.9 − 13.6 + 6.4 = 0 2 x +1 2 x +2 b. 2 x + 4 = 2 ( ) + 2 ( ) − 2 x 2

2

2

x +1

2

x −3 + 2

2

c. x .2 + 2 =x 2 log x +1 2log x =x − 48 d. 2 2 2

x −3 + 4

2

+2

+3

+1

x −1

2

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 39

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

Bài 21: Giải phương trình: x

a. 4 x + 11x + 32 = 13x b. 8.3 x + x + 9 x +1 = 9 x c. log 2 ( 3.2 x − 1) = 2 x + 1

N

4

Ơ U Y

5 3 2 b. log 2 ( x + 3) + log 1 5 = 2 log 1 ( x − 1) − log 2 ( x + 1)

.Q

4

5 2 d. log 2 x 64 + log x2 16 = 3

G N H Ư

Bài 23: Giải phương trình: a. log 2 ( 4.3x − 6 ) − log 2 ( 9 x − 6 ) = 1

Đ

ẠO

c. log 2 x + log x 2 =

11 12 2 c. log 3 x + 7 ( 9 + 12 x + 4 x ) + log 2 x +3 ( 21 + 23x + 6 x 2 ) = 4

TR ẦN

b. log 3 x + log 9 x + log 27 x =

1

 75 x 11  = log x  −  x 4 2 

x log 32 2

A

a. 3 +

10 00

B

d. log 22 x + ( x − 1) log 2 x + 2 x − 6 = 0 Bài 24: Giải phương trình:

1 x −1 + log 3 x − 3 3 2 2 3 x3 1 c. log 3 .log 2 x − log 3 = + log 2 x x 3 2 8 d. log 2 x 64 + log x3 16 = 3

ÁN

-L

Í-

H

Ó

b. log 9 ( x 2 − 5 x + 6 ) = log

TO

Bài 25: Giải phương trình:

Đ IỄ N D

TP

2

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

a. log 3 x + log 9 3 x + log 27 x =

a. log 1 x − 2 + 3 = log 1 x + 1 3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

d. 3log 3 x − log9 x = 5 Bài 22: Giải phương trình:

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

4

3

b. log 2 x + 1 − log x +1 64 = 1 2 2

c. 21+ log x + 224 = x 2log x d. 2.81x − 7.36 x + 5.16 x = 0 Bài 26: Giải phương trình: a. 1 + lg (1 − 2 x + x 2 ) − lg (1 + x 2 ) = 2 lg (1 − x ) 2

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 40

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

1   1  x lg 3 lg 2 lg 27 3 + = −    2x    2 c. log 3 x.log 9 x.log 27 x.log81 x = 3 1 3 d. log 1− 2 x2 x = log 1− 2 x 2 (1 − 2 x 2 ) − 4 ( ) ( ) 4 log 2 (1 − 2 x 2 )

 

B

I. PHƯƠNG PHÁP CHUNG. Để giải bất phương trình mũ và logarit, ta sử dụng tính chất đơn điệu của các hàm số

Ó

A

10 00

đó. * Với hàm số mũ: + Nếu thì a M < a N ⇔ M > N + Nếu a > 1 thì a M < a N ⇔ M > N Chú ý rằng ta có thể biến đổi về cùng một cơ số, chẳng hạn như: a M < b N ⇔ a M < a log b * Với hàm số logarit: Ta cần đặt điều kiện tồn tại các biểu thức logarit. Ta có hàm số y = log a N chỉ xác định

-L

Í-

H

a

TO

ÁN

a > 0  khi và chỉ khi a ≠ 1 N > 0 

+ Nếu 0 < a < 1 thì log a N < log a M ⇔ N > M > 0 + Nếu a > 1 thì log a N < log a M ⇔ 0 < N < M Chú ý rằng, ta có thể biến đổi về dạng cùng cơ số, chẳng hạn như:

Đ IỄ N

log a N log a b

D

log a N < log a M ⇔ log a N <

N

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đ G N H Ư

TR ẦN

DẠNG V: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

10

1 log 2 + 5 x − x 2 ) = ( 3 x − 5 ) 251 ( 3x − 5

U Y

.Q

ẠO

2

10

d.

TP

3sin 2 x − 2sin x = log 7 − x2 2 sin 2 x cos x c. log 6 x − x2 ( sin 3x + sin x ) = log 6 x − x2 ( sin 2 x )

b. log 7− x

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Bài 27: Giải phương trình: 2 2 2 a. ( x − 4 ) .log 4 ( x − 1) − 2 log 4 ( x − 1) = ( x − 4 ) .log x −1 4 − 2 log x −1 16

N

H

Ơ

N

b. 1 +

1. Phương pháp mũ hóa và logarit:

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 41

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

N Ơ H

ÀN

TO

ÁN

IỄ N

Đ

x2 − 2 x

1 ≥  3

x − x −1

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

-L

Í-

H

Ó

A

 0 < a < 1  c  b > a d. log a b < c ⇔  a >1    0 < b < a c  0 < a < 1  b > c > 0 e. log a b > log a c ⇔   a > 1   0 < b < c

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q TP ẠO Đ G

H Ư

 a > 1   f ( x ) > log a b >b⇔   0 < a < 1   f ( x ) < log a b 

TR ẦN

10 00

B

+ Trường hợp 2: b > 0 khi đó a f ( x )

Ví dụ 1: Giải bất phương trình: 3

D

N

 a > 1   f ( x ) < g ( x ) f ( x) g( x) a. a < a ⇔   0 < a < 1   f ( x ) > g ( x )   a > 1   b > 0   f ( x ) < log b a  f ( x) b. a < b ⇔   0 < a < 1   b > 0    f ( x ) > log a b c. a f ( x ) > b . Xảy ra hai trường hợp sau: + Trường hợp 1: b ≤ 0 khi đó f ( x ) tùy ý.

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Kiến thức cơ bản:

(1) Giải

x ≥ 2 x ≤ 0

Điều kiện: x 2 − 2 x ≥ 0 ⇔  Theo đề bài ta có:

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 42

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit x − x −1

2 1 − x + x −1 ≥  ⇔ 3 x −2 x ≥ 3 ⇔ x 2 − 2 x ≥ − x + x − 1 (2) 3 Với x ≥ 2 ta có x − 1 > 0 nên x − 1 = x − 1 . Khi đó, (2) trở thành:

N

x2 − 2 x

2

(

≤

)

2 −1

U Y TP

6 x−6 x +1

−x

ẠO

)

2 +1

Đ

Giải

)

2 +1

(

N

(

6 x −6 x +1

≤

)

2 +1

x

TR ẦN

2 + 1 > 1 nên bất phương trình tương đương với:  x > −1  x < −1  x > −1  x < −1 6x − 6 ≤x⇔ ∨ ⇔ 2 ∨ 2 2 2 x +1 6 x − 6 ≤ x + x  6 x − 6 ≥ x + x  x − 5x + 6 ≥ 0  x − 5x + 6 ≤ 0

B

Do

)

2 +1

x

 1  ≤  ⇔  2 −1 

H Ư

(

6 x −6 x +1

G

Điều kiện: x ≠ 1 .

Biến đổi bất phương trình về dạng:

A

10 00

 x > −1  ⇔  x ≤ 2  x ≥ 3 

Ó

 −1 ≤ x ≤ 2

-L

Í-

H

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là:  x ≥ 3

Ví dụ 3: Giải bất phương trình: log 3 x − x ( 3 − x ) > 1 Giải Ta có:

ÁN

2

TO

Đ IỄ N D

(

Ví dụ 2: Giải bất phương trình:

.Q

bất phương trình này vô nghiệm với mọi x ≤ 0 .

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là x ≥ 2 .

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

x 2 − 2 x ≥ −2 x + 1 ⇔ x 2 − 2 x ≥ ( −2 x + 1) ⇔ 3 x 2 − 2 x + 1 ≥ 0

3 x − x 2 > 1 log 3 x − x2 ( 3 − x ) > 1 ⇔  2 3 − x > 3 x − x

0 < 3 x − x 2 < 1

( a ) ∨ 

2 3 − x < 3 x − x

(b )

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Ơ

x 2 − 2 x ≥ −1 thỏa mãn với mọi x ≥ 2 Với x ≤ 0 ta có x − 1 < 0 nên x − 1 = 1 + x . Khi đó, (2) trở thành:

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

3

Giải (a): 3 − 5 3+ 5 <x<  2 3− 5 3 x − x > 1  x − 3 x + 1 < 0  2 ⇔ ⇔ ⇔ < x <1    2 2 x < 1 2  3 − x > 3 x − x  x − 4 x + 3 > 0    x > 3 2

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

2

Trang 43

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

Ơ H

Giải (a):

(a) (b )

ÁN

Giải (b):

-L

Í-

H

Ó

A

x > 1   x < 1 x > 1 x > 1 3 ⇔ 2 ⇔   2 2⇔x> 2 2 5 x − 8 x + 3 > x 4 x − 8 x + 3 > 0  3   x> 2  

TO

 0 < x < 1  0 < x < 1 3   0 < x < 1 1 3  2  x < ⇔ 5 x − 8 x + 3 > 0 ⇔  ⇔ <x< 5  2 2 2 5 0 < 5 x − 8 x + 3 < x 5 x 2 − 8 x + 3 < x 2   x > 1   3 1  2 < x < 2 1 3 3 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: < x < hoặc x > 2 5 2

Đ IỄ N D

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 44

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

10 00

B

TR ẦN

 x > 1  2 2  5 x − 8 x + 3 > x 2 log x ( 5 x − 8 x + 3) > 2 ⇔  0 < x <1    0 < 5 x 2 − 8 x + 3 < x 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

.Q

TP

ẠO

G

Đ

Ta có:

N

Giải

H Ư

Ví dụ 4: Giải bất phương trình: log x ( 5 x 2 − 8 x + 3) > 2

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

0 < x < 3  2  x < 3 − 5 3 x − x > 0   2 2 0 < 3 x − x 2 < 1 3+ 5  x − 3x + 1 > 0  ⇔ ⇔  < x<3  3+ 5 ⇔ 2 2 2 0 < 3 − x < 3 x − x x − 4x + 3 < 0  x > 2   x < 3 1 < x < 3 x < 3  3 − 5 < x <1  2 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:  3 + 5 < x<3   2

N

Giải (b):

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

Ví dụ 5: Giải bất phương trình: log x

3

(5x

2

− 18 x + 16 ) > 2

Giải Ta xét hai trường hợp sau:

2

)

2

Ơ

N (

− 18 x + 16 ) > 2 ⇔ 5 x 2 − 18 x + 16 > x 3

= 3x 2

2

U Y .Q

ẠO (

− 18 x + 16 ) > 2 ⇔ 0 < 5 x 2 − 18 x + 16 < x 3

)

G

3

( 5x

N

log x

1 , khi đó: 3

Đ

* Nếu 0 < x 3 < 1 ⇔ 0 < x <

1 < x < 1 hoặc x > 8 3

TP

Suy ra trong trường hợp này bất phương trình có nghiệm là

2

= 3x 2

TR ẦN

H Ư

2 5 x 2 − 18 x + 16 > 0 5 x − 18 x + 16 > 0 ⇔ 2 ⇔ 1 < x < 8 2 x − 18 x + 16 > 0 1 Do 1 < x < 8 không thỏa mãn điều kiện 0 < x < nên trong trường hợp này bất phương 3

B

trình vô nghiệm.

10 00

Kết luận: Nghiệm của bất phương trình đã cho là:  

1 < x < 1 hoặc x > 8 .

3

1

H

Ó

A

Ví dụ 6: Giải bất phương trình: log x  x −  ≥ 2 4 

Giải

-L

Í-

Ta xét hai trường hợp sau: * Nếu x > 1 , khi đó: 2

TO

ÁN

1 1 1 1 1   log x  x −  ≥ 2 ⇔ x − ≥ x 2 ⇔ x 2 − x + ≤ 0 ⇔  x −  ≤ 0 ⇔ x = 4 4 4 2 2   1 Với x = không thỏa mãn điều kiện x > 1 nên trong trường hợp này bất phương trình vô 2

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

x < 1 ⇔ 2 x 2 − 18 x + 16 > 0 ⇔  x > 8

D

IỄ N

Đ

nghiệm. * Nếu 0 < x < 1 , khi đó:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

( 5x

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

3

H

log x

1 , khi đó: 3

N

* Nếu x 3 > 1 ⇔ x >

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 45

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N Ơ H

Lúc này bất phương trình tương đương với: x

31 31  7  7 57.7 < 31.5 ⇔   < ⇔ x < log 7 ;  > 1 57  5   5  57 5 31 Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x < log 7 .

57 5

B

x

H

Ó

A

10 00

x

log a ( 5 − x )

>3

-L

Í-

Ví dụ 8: Giải bất phương trình:

log a ( 35 − x 3 )

TO

ÁN

Giải Biến đổi bất phương trình đã cho về dạng:

Đ

log ( 5− x ) (

 5 − x > 1  3 3  35 − x > ( 5 − x ) )>3⇔   0 < 5 − x < 1 3  3  0 < 35 − x < ( 5 − x )

(a)

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

5 x + 5 x +1 + 5 x + 2 = 5 x (1 + 5 + 52 ) = 31.5 x

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

.Q

TP

Đ

ẠO

7 x + 7 x +1 + 7 x + 2 = 7 x (1 + 7 + 7 2 ) = 57.7 x

H Ư

N

G

Ví dụ 7: Giải bất phương trình: 7 x + 7 x +1 + 7 x + 2 < 5x + 5x +1 + 5 x + 2 Giải Trước tiên ta có:

IỄ N D

Các vấn đề về Mũ và Logarit

1  1  x− >0 x>   1 1  4    4 log x  x −  ≥ 2 ⇔ 0 < x − ≤ x 2 ⇔  ⇔ 4 4   x − 1 ≤ x2 x2 − x + 1 ≥ 0  4  4 1  x > 4 1  ⇔ ⇔ x> 2 4  x − 1  ≥ 0    2 1 Với điều kiện 0 < x < 1 ta suy ra được < x < 1 .

4 1 Kết luận: Nghiệm của bất phương trình là < x < 1 .

4

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

(b )

Giải (a): 5 − x > 1 x < 4 x < 4 ⇔ ⇔ ⇔2< x<3    3 2 3 2 < x < 3 x − 5 x + 6 < 0  35 − x > ( 5 − x ) 

Giải (b):

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 46

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com Các vấn đề về Mũ và Logarit

Ơ H

0 < 5 − x < 1  3 3 0 < 35 − x < ( 5 − x )

N

 4 < x < 5 4 < x < 5    ⇔  x < 3 35 ⇔  x < 3 35 vô nghiệm  2  x<2  x − 5x + 6 > 0    x > 3

.Q

Ví dụ 1: Giải bất phương trình: 6log x + x log x ≤ 12 Giải Điều kiện: x > 0 t Đặt t = log 6 x ⇒ x = 6t ⇒ x log x = ( 6t ) = 6t

Đ

ẠO

6

Khi đó phương trình tương đương với: 2

2

2

2

H Ư

N

G

2

6

6log6 x + x log6 x ≤ 12 ⇔ 6t + 6t ≤ 12 ⇔ 6t ≤ 6 ⇔ t 2 ≤ 1 ⇔ −1 ≤ t ≤ 1

TR ẦN

Suy ra:

1 ≤x≤6 6 1 Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là ≤ x ≤ 6 .

6

10 00

B

−1 ≤ log 6 x ≤ 1 ⇔ 6−1 ≤ x ≤ 6 ⇔

2

2

2

Ó

A

Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 251+ 2 x − x + 91+ 2 x − x ≥ 34.152 x − x Giải Chia hai vế cho 91+ 2 x − x , ta có: 1+ 2 x − x 2

1+ 2 x − x 2

34  5  + 1 ≥ .  15  3 

-L

Í-

5    3

H

2

1+ 2 x − x 2

, t > 0 , ta có bất phương trình sau:

TO

ÁN

5 Đặt t =    3

3  0<t ≤  34 5 t2 +1 ≥ t ⇔  15 t ≥ 5  3 0 ≤ x ≤ 2  Từ đó suy ra:  x ≤ 1 − 3 x ≥ 1+ 3 

Đ IỄ N D

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 47

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2 6

TP

2. Phương pháp đặt ẩn phụ:

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là 2 < x < 3 .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Tiểu luận Tốt nghiệp

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

1

H N U Y .Q

1

 6 x − 13.   + 6 ≤ 0 4

TP

1 2   x

H Ư

N

G

Đ

1

 3 x Đặt t =   , t > 0 , ta nhận được bất phương trình: 2 2 3 6t 2 − 13t + 6 ≤ 0 ⇔ ≤ t ≤ 3 2

Từ đó suy ra:

TR ẦN

1

−1

log 9 ( 3 x 2 − 4 x + 2 ) + 1 > log 3 ( 3 x 2 − 4 x + 2 )

Giải

Í-

Điều kiện:

H

Ó

A

Ví dụ 4: Giải bất phương trình:

10 00

B

 x ≤ −1 1 3  3 x 3   ≤   ≤ ⇔ −1 ≤ ≤ 1 ⇔  2 x 2 2 x ≥ 1  x ≤ −1 Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là  . x ≥ 1

ÁN

-L

1  3 x 2 − 4 x + 2 > 0 x≤ 2  ⇔ 3x − 4 x + 1 ≥ 0 ⇔ 3  2  log 3 x − 4 x + 2 ≥ 0 ( ) 9  x ≥ 1

TO

Lúc này ta đặt t = log 9 ( 3x 2 − 4 x + 2 ) ta nhận được bất phương trình:

Đ IỄ N D

1

ẠO

1

 9 x  6 x 3 6.   − 13.   + 6 ≤ 0 ⇔ 6.   4 4 2

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

1

Chia hai vế cho 4 x , ta nhận được bất phương trình:

1  1  0≤t < 0 ≤ t <  2  2    1 t + 1 > 2t ⇔ t > 2t − 1 ⇔  t ≥ 1 ⇔  t ≥ ⇔ 0 ≤ t <1   2  2   2   1 < t < 1  t > ( 2t − 1)   4

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1

Ví dụ 3: Giải bất phương trình: 6.9 x − 13.6 x + 6.4 x ≤ 0 Giải Điều kiện: x ≠ 0

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

1

Ơ

N

0 ≤ x ≤ 2  Kết luận: nghiệm của bất phương trình đã cho là:  x ≤ 1 − 3 x ≥ 1+ 3 

Từ đó suy ra:

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 48

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com Các vấn đề về Mũ và Logarit

N Ơ H N

TR ẦN

log 2 26 log 2 24 6 2 + ≥3⇔ + ≥3 2 log 2 2 x log 2 x 1 + log 2 x log 2 x Đặt t = log 2 x ta nhận được bất phương trình sau:

Í-

H

Ó

A

10 00

B

1  −1 < t ≤ − 6 2 8t + 2 3t ( t + 1) −3t 2 + 5t + 2  + ≥3⇔ ≥ ⇔ ≥0⇔ 3  1+ t t t ( t + 1) t ( t + 1) t ( t + 1) 0 2 < t ≤  1 1 1 1 Với −1 < t ≤ − ⇒ −1 < log 2 x ≤ − ⇔ < x ≤ 3 3 3 2 2 Với 0 < t ≤ 2 ⇒ 0 < log 2 x ≤ 2 ⇔ 1 < x ≤ 4

TO

ÁN

-L

1 1 <x≤ 2  Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là 2 2  1 < x ≤ 4

Ví dụ 6: Giải bất phương trình: log x 2.log 2 x 2 > log 4 x 2 Giải

Đ IỄ N D

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đưa về cùng cơ số 2 ta có bất phương trình:

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

2

2 x > 0 x > 0 2 x ≠ 1  1   Điều kiện:  2 ⇔ x ≠ 2 x > 0   x2 ≠ 1  x ≠ 1 

U Y .Q

Ví dụ 5: Giải bất phương trình: log 2 x 64 + log x 16 ≥ 3 Giải

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

1  −1 < x ≤  3 0 ≤ log 9 ( 3 x 2 − 4 x + 2 ) < 1 ⇔ 1 ≤ 3 x 2 − 4 x + 2 < 9 ⇔  1 ≤ x < 7  3 1   −1 < x ≤ 3 Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là  1 ≤ x < 7  3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Tiểu luận Tốt nghiệp

x > 0 x ≠ 1   Điều kiện:  x ≠ 1 2   1 x ≠ 4 

Biến đổi bất phương trình về dạng: GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 49

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

1 1 1 . > log 2 x 1 + log 2 x 2 + log 2 x Đặt t = log 2 x ta nhận được bất phương trình sau:

U Y N

2

2

<x<

1 hoặc 1 < x < 2 2

TR ẦN

H Ư

1

2

3. Sử dụng tích chất của bất đẳng thức hoặc đưa về bất phương trình tích:

10 00

B

Ngoài các phương pháp trên chúng ta có thể sử dụng phương pháp biến đổi đưa về bất phương trình tích, hoặc sử dụng các tính chất đồng biến, nghịch biến của các hàm số và các tính chất của bất đẳng thức.

A

Ví dụ 1: Giải bất phương trình: 4 x 2 + x.2 x

2

+1

2

2

+ 3.2 x > x 2 .2 x + 8 x + 12

H

Ó

Giải Đặt thừa số chung ta nhận được bất phương trình:

(

2

)

(

) (

2

)

2

(

2

)

-L

Í-

x 2 2 x − 4 − 2 x 2 x − 4 − 3 2 x − 4 < 0 ⇔ 2 x − 4 ( x 2 − 2 x − 3) < 0  2 x2 − 4 < 0  2   x − 2 x − 3 > 0 ⇔ 2  2 x − 4 > 0  2   x − 2 x − 3 < 0

TO

ÁN

(a)

Đ

(b)

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP ẠO Đ G

1 4

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là 0 < x < hoặc

IỄ N D

.Q

1  0 < x < 4 log 2 x < −2   1  1  − 2 < log 2 x < −1 ⇔  2 < x < 2 2   2 0 < log 2 x < 2 1 < x < 2 

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Từ đó suy ra:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Ơ

N

t < −2  1 1 1 2 − t2 . > ⇔ > 0 ⇔  − 2 < t < −1 t 1+ t 2 + t t (1 + t )( 2 + t ) 0 < t < 2 

Giải (a): − 2 < x < 2 x < 2 2 2 x − 4 < 0   ⇔   x < −1 ⇔  x < −1 ⇔ − 2 < x < −1  2  x > 3   x − 2 x − 3 > 0   x > 3 2

Giải (b):

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 50

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com Các vấn đề về Mũ và Logarit

Ơ H N U Y

x −5 =0 x − − 4 1 ( ) 2

Đ

G

N

x −5 ( x − 4) −1 2

x = 5 x = 5  ⇔   x > 5 ⇔ x > 4 + 2   x > 4 + 2 >0 

H Ư

  x−5  log ≥0⇒  log 2 ( x − 4 ) − 1   log 

ẠO

Theo đề bài ta có:

x = 5

TR ẦN

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là 

x > 4 + 2

x2 +2 x

≤1

10 00

B

Ví dụ 3: Giải bất phương trình: ( x 2 − x + 1)

Giải Nhận xét rằng: x − x + 1 > 0, ∀x ∈ R . Do đó, ta xét các trường hợp sau: 2

A

x = 0 x = 1 Thử lại ta thấy rằng x = 0 hoặc x = 1 là nghiệm của bất phương trình đã cho. * Nếu x 2 − x + 1 > 1 , khi đó bất phương trình tương đương với:  x < 0  x 2 − x + 1 > 1   ⇔  x > 1 ⇔ −2 ≤ x < 0  2  x + 2 x ≤ 0  −2 ≤ x ≤ 0  2 * Nếu 0 < x − x + 1 < 1 ⇔ 0 < x < 1 , khi đó bất phương trình luôn đúng.

Kết luận nghiệm của bất phương trình đã cho là −2 ≤ x < 1

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

* Nếu x 2 − x + 1 = 1 ⇔ 

IỄ N

Đ

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

Giải

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

x−5 ≥0 log 2 ( x − 4 ) − 1

Ví dụ 2: Giải bất phương trình:

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

 x < − 2 2 2 x − 4 > 0  x2 > 2 ⇔ ⇔   x > 2 ⇔ 2 < x < 3  2 −1 < x < 3   x − 2 x − 3 < 0  −1 < x < 3  − 2 < x < −1 Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là   2 < x < 3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Tiểu luận Tốt nghiệp

Ví dụ 4: Giải bất phương trình: log x ( 5 x 2 − 8 x + 3) > 2

D

Giải Theo đề bài ta có:

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 51

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

 x > 1  2 2  5 x − 8 x + 3 > x 2 log x ( 5 x − 8 x + 3) > 2 ⇔  0 < x <1    0 < 5 x 2 − 8 x + 3 < x 2

(a)

Ơ

N

(b )

H

Giải (a):

+3

≤ 2.cos 2 x

TR ẦN

Giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 3

x 4  +8 π 

+3

2

x x   − 4 4  +8 π  π 

≥2 3

2 3

2

≥2

10 00

Mặt khác ta lại có:

3

x   +2 π 

B

2

 x   −4 π 

2.cos 2 x ≤ 2

A

Do đó bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi:

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

  x 2  x 3 π  − 4 = 34 π +8  2 x = −2π   x  − 4 4 x +8   3 π  + 3  π  = 2  2  ⇔ cos x = 1 ⇔ sin x = 0  2 cos 2 x = 2   2 2  x + 2  = 0  x  − 4 = 4 x + 8   π  π  π   x = −2π ⇔ ⇔ x = −2π  x = kπ ( k ∈ Z ) Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là x = −2π .

Đ IỄ N

2

Ví dụ 6: Giải bất phương trình:

log 2 ( x + 1) − log 3 ( x + 1)

x 2 − 3x − 4

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Ví dụ 5: Giải bất phương trình: 3

x 4  +8 π 

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2

 x   −4 π 

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

0 < x < 1 0 < x < 1 1 3  ⇔ 5 x 2 − 8 x + 3 > 0 ⇔ < x <  2 2 2 5 0 < 5 x − 8 x + 3 < x  2 2 5 x − 8 x + 3 < x 3 3 1 Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là < x < hoặc x > 2 5 2

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Giải (b):

.Q

U Y

N

x > 1 x > 1 3 ⇔ ⇔x>  2  2 2 2 5 x − 8 x + 3 > x 4 x − 8 x + 3 > 0

3

>0

D

Giải Điều kiện: x > −1 Khi đó ta có:

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 52

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit 2

3

log 2 ( x + 1) − log 3 ( x + 1) = 2 log 2 ( x + 1) − 3log 3 2.log 2 ( x + 1) = ( 2 − 3log 3 2 ) .log 2 ( x + 1)

2 − 3log 3 2 = log 3 9 − log 3 8 > 0

Ơ

N

Lúc này bất phương trình đã cho tương đương với:

H

log 2 ( x + 1)  ( x 2 − 3 x − 4 ) > 0

B

b. 4 x − 2 x − 2 < 0 d. 9 x − 2.3x < 3

H

Ó

A

b. 5x − 53− x > 20 d. 5x − 3x +1 > 2 ( 5x −1 − 3x − 2 )

-L

Í-

Bài 4: Giải bất phương trình: a. 4 x −1 − 2 x − 2 < 3

ÁN

c. 2

1 − 21  2

2 x +1

b. 2 x + 2 − 2 x +3 − 2 x + 4 > 5x +1 − 5x + 2 2 x +3

d. 3

4 x −3

+≥0

TO

Bài 5: Giải bất phương trình: a. 4 x −1 ≥ 2 x − 2 + 3

Đ



1 − 35   3

2 −3 x

+6≥0

b. 2 x + 2 + 2 x +3 − 2 x −1 < 5x +1 − 5x 

c. log 3  log 1 x − log 2 x + 2  < 1

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

b. 51+ x − 51− x > 24 d. 9 x − 2.3x − 15 > 0

10 00

Bài 1: Giải bất phương trình: a. 52 x −1 > 5x + 4 c. 49 x − 6.7 x − 7 < 0 Bài 2: Giải bất phương trình: a. 4 x − 10.2 x + 16 < 0 c. 52 x|+1 − 26.5x + 5 > 0 Bài 3: Giải bất phương trình: a. 7− x − 3.11+ x > 4 c. 6.5x +1 − 5x + 2 + 6.5x > 22

H Ư

N

II. BÀI TẬP VẬN DỤNG.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N .Q TP ẠO

G

Đ

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là −1 < x < 0 ; x > 4

IỄ N D

U Y

  x < −1 2  x − 3 x − 4 > 0  ⇔  x > 4 ⇔ x > 4 * log 2 ( x + 1) > 0 x +1 > 1  2  x − 3 x − 4 < 0  −1 < x < 4 * ⇔ ⇔ −1 < x < 0  −1 < x < 0 log 2 ( x + 1) < 0

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Xét hai trường hợp sau:

 4  d. ( 4 x − 16 x + 7 ) log 2 ( x − 3) > 0 2

Bài 6: Giải bất phương trình: a. log 2 x < 5 c. log 2 ( x 2 − 1) ≥ 3

b. 3log8 ( x − 2 ) − 6log8 ( x − 1) > −2 d. log 3 (13 − 4 x ) > 2

Bài 7: Giải bất phương trình: GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 53

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

x ≤ −1 x −1 3x + 1 c. log 1 ≥ −1 x +1 2

b. log 2 ( x + 1) − log x +1 64 < 1

) x − 2 − x + 1) ≤ 0

 

1

(

)

H

( c. log (

Ơ

Bài 8: Giải bất phương trình:

d. log 2 2 − x − x 2 − 1 ≥ 1

TP

Bài 9: Giải bất phương trình: 1   2  2 1  b. log 1  x +  + log 1 x ≥ 1 2 2  2

G

Đ

ẠO

a. log 1  x −  + log 1 ( x − 1) ≤ 1 2

H Ư

3

1 log 1 ( x + 8 ) ≥ log 1 ( x − 4 ) 2 5 5

TR ẦN

d.

N

c. log 1 x + 6 ≤ log 1 ( x + 4 ) 3

U Y

2

Bài 10: Giải bất phương trình: a. log 1 5 − x < log 1 ( 3 − x ) b. 3lg x + 2 < 3lg x +5 − 2 2

2

c. 2 − log 2 ( x + 3 x ) ≥ 0

d. log 2 log 3 x − 3 ≥ 0

10 00

2

B

2

3

-L

Í-

H

Ó

A

DẠNG VI: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. I. PHƯƠNG PHÁP CHUNG.

TO

ÁN

Để giải hệ phương trình, hệ bất phương trình mũ và logarit, chúng ta phải vận dụng tốt các phương pháp giải phương trình, bất phương trình, các kỹ năng biến đổi, nắm vững các tính chất của lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit. Ngoài ra các phương pháp giải hệ phương trình đại số như phương pháp cộng đại số, phương pháp thế, phương pháp đồ thị cũng giúp ích cho chúng ta rất nhiều trong quá trình giải hệ phương trình, hệ bất phương trình mũ và logarit. Đặc biệt, đối với hệ các phương pháp sau vẫn rất hiệu quả: 1. Phương pháp đưa về cùng cơ số.

2. Phương pháp logarit hóa và mũ hóa.

3. Phương pháp đặt ẩn phụ.

4. Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số.

5. Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc trong quá trình giải hệ phương trình, hệ bất phương trình mũ và logarit.

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

1 5



.Q

2

N

a. log 1 1 + x − x 2 − 4 ≤ 0 b. log 3  x 2 − 9 − x +  ≤ −1 3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

4

1 x −3 >− 2 x+3

N

d. log 1

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

a. log 2

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 54

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

II. CÁC VÍ DỤ.

Ơ

N

(1)

H

( 2)

N

Giải

U Y

Từ phương trình (2) ta suy ra:

.Q Giải

Từ phương trình (2) ta suy ra: y = 1− x

10 00

B

Thay vào phương trình (1) ta được:

21− x = 200.5 x ⇔ 21− x = 23.52.5 x ⇔ 10− x = 102 ⇔ x = −2 Suy ra: y = 3

H

Ó

A

Vậy hệ đã cho có một nghiệm là ( −2;3) .

ÁN

-L

Í-

1  1 x− y = x + y ( )  Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:  2 3 ( x + y ) .2 y − x = 48 

Giải

TO

x + y > 0 x ≠ y Đặt u = x + y; v = x − y , hệ đã cho tương đương với:

Điều kiện: 

Đ

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

(1) ( 2)

H Ư

y x 2 = 200.5 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:   x + y = 1

N

G

Đ

Suy ra: y = 0 Vậy hệ đã cho có một nghiệm là ( −2;0 )

IỄ N D

1 1 ⇔ 6x = = 6 −2 ⇔ x = −2 9 36

ẠO

3x.2 x + 2 =

TP

Thay vào phương trình (1) ta được:

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

y = x+2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

 x y 1 3 .2 = 9 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:  y − x = 2 

 1v 1 1 log 2 u = v + 4 + log 2 3 u =  log 2 u = − log 2 2 3  ⇔ 1 2 3 ⇔ v  1 u.2− v = 48 log 2 u − v = log 2 48  v ( v + 4 + log 2 3) = −1 − 2 log 2 3   v = −2 u = 12 ⇔ ⇔ log 2 u = 2 + log 2 3 v = −2

Do đó ta có hệ sau: GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 55

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

 x + y = 12 x = 5 ⇔   x − y = −2 y = 7

Ơ

N

Vậy hệ đã cho có nghiệm là ( 5;7 )

TP ẠO Đ G N

TR ẦN Giải

 x, y > 0 .  x, y ≠ 1

10 00

B

Điều kiện: 

Biến đổi hệ phương trình đã cho về dạng:

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

2 2 2 3 x + 2 y = x 3 x + 2 y = x 3 x + 2 y = x ⇔ ⇔    2 2 2 2 x + 3 y = y  x − y = x − y ( x − y )( x + y − 1) = 0  x = y = 0   x = y  3 x + 2 y = x 2  x = y = 5   2    x = −1  5 x = x  x − y = 0 ⇔ ⇔ ⇔  2 y = 1− x  y = 2    3 x + 2 y = x   3 x + 2 (1 − x ) = x 2   x + y − 1 = 0  x = 2     y = −1 

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

log x ( 3 x + 2 y ) = 2 log y ( 2 x + 3 y ) = 2

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình: 

H Ư

2  2 2 y  2 x = 9 y = 9 x  x = ±3   1 ⇔ ⇔   2 y = 2  324  y = 2  y 2 2 =     81  Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là ( −3; 2 ) , ( 3; 2 ) .

.Q

Biến đổi phương trình về dạng:

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Giải

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

H

x y =9  Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:  1 324 y = 2 x 2 

D

IỄ N

Đ

So sánh với điều kiện ban đầu nhận nghiệm ( 5;5 ) Vậy hệ đã cho có nghiệm là ( 5;5 ) .

log 22 x − log 2 x 2 < 0  Ví dụ 6: Giải hệ bất phương trình:  x3 2  − 3x + 5 x + 9 > 0 3

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 56

(1) ( 2)

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

Giải Xét bất phương trình (1):

(1) ( 2)

H Ư

log y x − log 2 y 2 = 1 log 4 x − log 4 y = 1

Ví dụ 7: Giải hệ phương trình: 

N

G

Đ

Kết luận nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là (1, 4 ) .

TR ẦN

Giải

 x, y > 0 y ≠1

Điều kiện: 

10 00

B

Từ (2) suy ra:

x log 4   = 1 ⇒ x = 4 y  y

Ó

A

Thay vào phương trình (1) ta được:

H

log y 4 y − log 2 y 2 = 1 ⇔ 1 + log y 4 − 2 log 2 y + 1 ⇔ 2 log y 2 − 2 log 2 y = 0

TO

ÁN

-L

Í-

y = 2 1 ⇔ = log 2 y ⇔ log 2 y = ±1 ⇔  1 y = log 2 y  2  1 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là ( 8; 2 ) ,  2;   2 x y 2 .3 = 12 y x 2 .3 = 18

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Vậy (1, 4 ) cũng là nghiệm của bất phương trình (2).

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

64 − 48 + 20 + 9 > 0 ⇒ f ( x ) , ∀x ∈ R 3

TP

min f ( x ) = f ( 4 ) =

1< x < 4

ẠO

(1, 4 ) . Lúc này ta có:

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Ơ

N

x > 0 x > 0 log 22 x − log 2 x 2 < 0 ⇔  2 ⇔ ⇔1< x < 4  2 2 − < < < log x log x 0 0 log x 2 2 2  2  3 x − 3x2 + 5x + 9 > 0 Xét bất phương trình (2): 3 3 x Xét f ( x ) = − 3x 2 + 5 x + 9 ⇒ f ' ( x ) = x 2 − 6 x + 5 = ( x − 1)( x − 5) 3 Với mọi x ∈ (1,5 ) ⇒ ( x − 1)( x − 5 ) < 0 ⇒ f ' ( x ) < 0 nên hàm số nghịch biến trong khoảng

D

IỄ N

Đ

Ví dụ 8: Giải hệ phương trình: 

Giải Logarit hóa theo cơ số 2 hai vế của phương trình ta được:  x + y log 2 3 = log 2 12  x + y log 2 3 = 2 + log 2 3 ⇔   y + x log 2 3 = log 2 18  y + x log 2 3 = 1 + 2 log 2 3

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 57

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

Đây là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số, áp dụng phương pháp định thức suy ra hệ

U Y

Dx = 2 − 2 log 22 3

.Q

Bài 1: Giải hệ phương trình: log 2 ( x 2 + y 2 ) = 5 a.  2 log 4 x + log 2 y = 4 2 2 3x + y = 81 c.  log 2 x + log 4 y = 1

G

N

H Ư

3lg x = 4lg y lg 4 lg 3 ( 4 x ) = ( 3 y )

TR ẦN

d. 

Bài 2: Giải hệ phương trình:

10 00

B

log 2 xy = 5  a.  x log =1 1   2 y

Đ

log xy ( x − y ) = 1 log xy ( x + y ) = 0

b. 

 xy = 64 log x y = 5

b. 

4  y +x = y3 x d.  4  y x+ y = x 3 

H

Ó

A

log x y = 2 c.  log x +1 ( y + 23) = 3

Í-

Bài 3: Giải hệ phương trình:

2  y + lg x = 2 b.   y + 4 lg x = 28  x + y = 20 d.  log 4 x + log 4 y = 1 + log 4 9

ÁN

-L

y +1  x + 2 = 3 a.  y 4 x + 4 = 32  x + 3 y −1 = 2 c.  y 3 x + 9 = 18

D

IỄ N

Đ

ÀN

Bài 4: Giải hệ bất phương trình:

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

TP

Suy ra hệ có nghiệm là ( 2;1) III. BÀI TẬP VẬN DỤNG.

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Dy = 1 − log 22 3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Ơ

N

Dx   x = D phương trình có nghiệm là  , trong đó: D y y =  D 2 D = 1 − log 2 3 ≠ 0

log x ( x + 2 ) > 2 x −1 x +1 x log 2 2 + log 2 ( 2 + 1) < log 2 ( 7.2 + 12 )

a. 

4 x2 −8 y +12 −log 4 7 = 7 2 y −1  b.  2  y − 3 − 3 y − 2 ( y + 1) ≥ 1

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 58

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

log 7 − x ( y − 4 ) < 0 log y −1 ( 3 − x ) < 0

Ơ

N

c. 

.Q

N

+ Phát hiện nghiệm và chứng minh nghiệm đó là duy nhất hoặc chỉ có những nghiệm

H Ư

đó.

TR ẦN

+ Có thể sử dụng đồ thì để giải.

II. CÁC VÍ DỤ.

10 00

B

Ví dụ 1: Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm: 3x = x + 5 Giải Theo đề bài ta có:

Ó

A

3x = x + 5 ⇔ 3x − x − 5 = 0 Đặt f ( x ) = 3x − x − 5 là hàm liên tục trên R.

H

Ta có:

Í-

f ( 0 ) = −4 < 0

-L

f ( 2) = 2 > 0

ÁN

1 >0 243 Suy ra phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng ( −5;0 ) và một f ( −5 ) =

Vẽ đồ thị của các hàm số y = 3x ; y = x + 5 :

D

IỄ N

Đ

ÀN

nghiệm nằm trong khoảng ( 0; 2 ) .

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

Đ

A = C B = C

và B ≤ C thì phương trình đã cho tương đương với hệ 

ẠO

TP

Một số phương trình hoặc bất phương trình không thể dung các phép tính về hàm số mũ, logarit, hoặc dung tính đơn điệu để giải trực tiếp ta thường chú ý vài cách như sau: + Dùng bất đẳng thức để giải: chẳng hạn như giải phương trình dạng A = B . Nếu A ≥ C

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

I. PHƯƠNG PHÁP CHUNG.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

H

DẠNG VII: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG MŨ VÀ LOGARIT KHÔNG MẪU MỰC.

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 59

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com Các vấn đề về Mũ và Logarit

2 x +1 − 4 x = x − 1 ⇔ 2 x ( 2 − 2 x ) = x − 1

B

Thấy rằng x = 1 thỏa mãn phương trình nên nó là một nghiệm.

10 00

2 x > 2 2 − 2 x < 0 ⇒ vô lý hay phương trình vô nghiệm. x −1 > 0 x −1 > 0

Khi x > 1 thì 

-L

Í-

H

Ó

A

2 x < 2 2 − 2 x > 0 Khi x > 1 thì  ⇒ vô lý hay phương trình vô nghiệm. x −1 < 0 x −1 < 0 Kết luận: phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x = 1 . x2 + x Ví dụ 3: Giải phương trình: 2 cos = 2 x + 2− x 6

ÁN

2

Giải

TO

Ta có:

Đ

cos 2

x2 + x x2 + x ≤ 1 ⇒ 2 cos 2 ≤2 6 6

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Theo đề bài ta có:

IỄ N D

TR ẦN

Giải

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q TP ẠO Đ

Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 x +1 − 4 x = x − 1

H Ư

N

G

Đồ thị cho thấy các đường cắt nhau tại hai giao điểm nên phương trình đã cho có hai nghiệm.

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Ơ

N

Tiểu luận Tốt nghiệp

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương 2 x ; 2− x ta được: 2 x + 2− x ≥ 2 2 x 2− x = 2

 2 x2 + x 2 =1 x + x cos = 2 x + 2− x ⇔  ⇔ x=0 Suy ra 2 cos 2 6 6 2 x = 2− x = 1  Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 0 .

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 60

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

Ví dụ 4: Giải phương trình: lg ( x 2 − x − 6 ) + x = lg ( x + 2 ) + 4 Giải

U Y

lg x 2 =1 lg ( 6 x − 5 )

10 00

B

Ví dụ 5: Giải phương trình:

TR ẦN

* Với x < 4 thì f ( x ) < f ( 4 ) = g ( 4 ) < g ( x ) nên không thỏa mãn.

Vậy x = 4 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

Giải

Ó

A

5  6 x − 5 > 0 5 x > Điều kiện:  2 ⇔ 6⇔ x> 6 x > 0  x ≠ 0

H

Lúc này phương trình tương đương với hệ:

TO

ÁN

-L

Í-

 x = 1   x2 x2 lg x 2 − lg ( 6 x − 5 ) = 0 =0 = 1  lg  ⇔  6x − 5 ⇔  6x − 5 ⇔  x = 5 ⇔ x = 5  lg 6 x − 5 ≠ 0 ( )     6 x − 5 ≠ 1 6 x − 5 ≠ 1 x ≠ 1 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 5 .

III.BÀI TẬP VẬN DỤNG.

Bài 1: Giải các phương trình sau: a. 3x + 4 x = 5x c. 5x + 12 x = 13x Bài 2: Giải các phương trình sau: a. 2 x + x − 3 = 0

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

H Ư

N

G

Đ

Thấy rằng: f ( 4 ) = g ( 4 ) = 0 nên x = 4 là nghiệm của phương trình đã cho.

Thật vậy: * Với x > 4 thì f ( x ) > f ( 4 ) = g ( 4 ) > g ( x ) nên không thỏa mãn.

Đ

b. 2 x + 3x = 5x d. 2 x + 3x + 5x = 10 x

IỄ N D

ẠO

g ( x ) = 4 − x là hàm số nghịch biến khi x > 3 .

.Q

 x2 − x − 6  lg   = 4 − x ⇔ lg ( x − 3) = 4 − x  x+2  Xét hàm số: f ( x ) = lg ( x − 3) là hàm số đồng biến khi x > 3

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Biến đổi phương trình về dạng:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Ơ

N

  x < −2  x2 − x − 6 > 0  Điều kiện:  ⇔   x > 3 ⇔ x > 3 x + 2 > 0  x > −2 

b. 3x + 4 x + 12 x = 13x

x

1 c.   = 2 x + 1  3

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

d. 4 x = x − 2

Trang 61

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

Bài 3: Giải các bất phương trình sau:

(

2 x

)

14 x − 2 x 4 + 2 log x

3 ≥3 x Bài 4: Trong các nghiệm của bất phương trình log x2 + 2 y 2 ( 2 x + y ) ≥ 1 , hãy chỉ ra nghiệm có x 2 − 5 x + 6 + x + 10 x − 2 x 2 − 12 + 3log 4

H Ư

N

G

DẠNG VIII: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT CHỨA THAM SỐ.

x 2 +2

(3 −

)

(

)

m − 1 − log 2 m3 x3 − 5m 2 x 2 + 6 − m = 0

(1) nghiệm đúng ∀x ∈ R .

Giải

10 00

B

log

TR ẦN

I. CÁC VÍ DỤ.

Ví dụ 1: Tìm các giá trị của m sao cho phương trình

m = 2 m = 5

Ta có x = 0 phương trình thỏa mãn 3 − m − 1 = 6 − m ⇔ 

H

Ó

A

Đảo lại ta có: * Với m = 2 ta có (1) ⇔ log x

2

+2

2 = log 2 ( 2 − 12 x 2 )

( 2) .

ÁN

-L

Í-

1  x ≤ − 6 (2) không thoả với  1  x ≥ 6 

TO

* Với m = 5 ta có (1) ⇔ log x + 2 1 − log 2 1 = 0 đúng.

Vậy với m = 5 phương trình nghiệm đúng ∀x ∈ R .

2

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

.Q

U Y π

ẠO

6x

 6 x2    − 3x  π 

Đ

y −8  = cot 4 x tan  3  Bài 5: Giải hệ phương trình:  4 log 6 x π + 27 2log9 3 y = 2 log  π 6

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

2 x + y lón nhất.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

b.

N



Ơ

) 2

(

a 2 + x 2 − 7 x + 12  − 1 ≤ x 

D

IỄ N

Đ

Ví dụ 2: Tìm m sao cho phương trình lg ( x 2 + 2mx ) − lg ( x − 1) = 0 (1) có nghiệm duy nhất.

Giải Theo đề bài ta có:  x > 1 lg ( x 2 + 2mx ) − lg ( x − 1) = 0 ⇔  2  x + ( 2m − 1) x + 1 = 0

( 2)

Phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi (2) có một nghiệm x > 2 .

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 62

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

Ơ H

ÁN

D

IỄ N

Đ

ÀN

log 3 x 2 + 2 log 1 y = 0  3 Ví dụ 4: Tìm các giá trị của m để hệ sau có nghiệm:  3 2  x + y − my = 0 

(I )

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

    m 2 − 4m − 12 ≥ 0  ∆ ≥ 0   m ≥ 6 ⇔   m + 3 ≥ 0  m < −3  f ( 0 ) ≥ 0 ⇔  m  S  > 0  > 0  2  2  m + 3 < 0   f ( 0 ) < 0 m ≥ 6 Vậy giá trị m thỏa mãn yêu cầu là  .  m < −3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP

ẠO

Đ

G

N

TR ẦN

H Ư

Ví dụ 3: Xác định m để bất phương trình sau có nghiệm 9 x − m.3x + m + 3 ≤ 0 Giải x Đặt u = 3 ; u > 0 . Khi đó ta đặt f ( u ) = u 2 − mu + m + 3 (1) Bài toán trở thành tìm m để bất phương trình (1) có nghiệm u > 0 . Điều này xảy ra khi và chỉ khi:

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

1  m = − 2  ∆ > 0 3   * Phương trình (2) có nghiệm 1 < x1 = x2 ⇔  S vô nghiệm. ⇔ m=  > 1 2   2   1 m < − 2  1   f (1) = 0 m=−    2 * Phương trình (2) có nghiệm 1 = x1 < x2 ⇔  S ⇔ vô nghiệm.

1 < 1  m < −  2  2 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là m < − 2

N

1 2

N

* Phương trình (2) có nghiệm x1 < 1 < x2 ⇔ m < −

Giải Khử logarit có số 3 ta có hệ sau: y > 0  x ≠ y  3 2 y + y − 2y = 0

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 63

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com Các vấn đề về Mũ và Logarit

(1) ( 2)

ẠO

Đ

( 0; y ) .

TR ẦN

H Ư

N

G

 a = 2  1 = y + a  y = −1 Thay vào ta có:  2 ⇔  a = 0 y =1    y = 1

Đảo lại: Với a = 2 , hệ trở thành:

A

10 00

B

2 x + x = y + x 2 + 2  2 2  x + y = 1 Nhận thấy ( ±1; 0 ) là nghiệm của hệ nên a = 2 không thỏa.

Ó

Với a = 0 , hệ trở thành:

-L

Í-

H

2 x + x = y + x 2  2 2  x + y = 1

TO

ÁN

 x = 1 x2 + y2 = 1 ⇒   y = 1 x 2 + x − x2 ≥ 1

x x 2 2 2 + x − x ≤ 1 2 + x − x = 1  x = 0 Phương trình 2 + x − x = y có  ⇔ ⇔ y =1  y = 1  y ≤ 1 Vậy a = 0 là giá trị cần tìm.

Đ

x

2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

x = −x ⇔ x = 0 . Vậy nghiệm của hệ có dạng y = y

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

2

nghiệm, do đó, để hệ có nghiệm duy nhất thì: 

IỄ N D

.Q

Giải Do − x = x; ( − x ) = x nên hệ phương trình có nghiệm là ( x; y ) thì ( − x; y ) cũng là một 2

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

2 x + x = y + x 2 + a Ví dụ 5: Xác định a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:  2 2  x + y = 1

H

Ơ

Bài toán trở thành tìm m để phương trình y 3 + y 2 − 2 y = 0 có nghiệm dương.

Do S = y1 + y2 = −1 < 0 nên nếu phương trình có nghiệm dương thì chỉ có thể là một nghiệm dương, tức là y1 < 0 < y2 ⇔ m > 0 .

Vậy m > 0 là giá trị cần tìm.

N

Tiểu luận Tốt nghiệp

II. BÀI TẬP VẬN DỤNG. Bài 1: Tìm giá trị của a để phương trình 4 x − 2 x + a = 0 có nghiệm.

Bài 2: Tìm giá trị của a để phương trình 2 lg ( x + 3) = 1 + lg ( ax ) có nghiệm duy nhất.

Bài 3: Xác định của m để phương trình 32 x −1 + 2m 2 m − 3 = 0 có nghiệm.

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 64

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

Bài 4: Với giá trị nào của a thì bất phương trình sau có ít nhất một nghiệm: x 2 − 2 x log 1 a 2 + 3 − 2 log 1 a 2 < 0 2

2

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Ơ

N

2 2 bx 2 + ( a + 1) by = a Bài 5: Tìm a để hệ sau có nghiệm với mọi b :  3 3 ( a − 1) x + y = 1

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 65

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com Các vấn đề về Mũ và Logarit

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

Thông qua đề tài tôi đã tích lũy được khá nhiều kinh nghiệm cho bản thân phục vụ cho công tác giảng dạy sau này.

D

IỄ N

Đ

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H Ư

N

G

Đ

Các dạng toán có liên quan đến hàm số Mũ và Logarit thường không dễ, đòi hỏi sự tập trung, nhạy bén trong lúc giải quyết chúng. Trong đề tài này, tôi giới thiệu 7 dạng toán có bản nhất trong đó trọng tâm là các dạng toán có liên quan đến phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình mũ và logarit.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y ẠO

TP

.Q

KẾT LUẬN

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

H

Ơ

N

Tiểu luận Tốt nghiệp

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 66

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tiểu luận Tốt nghiệp

Các vấn đề về Mũ và Logarit

H

Ơ

N

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

1. Tủ sách Toán học & tuổi trẻ, Các bài thi Olympic Toán THPT (1990 – 2000).

2. Nguyễn Thế Hùng, Bất đẳng thức và bất phương trình đại số, NXB ĐHQG T.P Hồ Chí Minh, năm 2003.

3. Nguyễn Đức Tuấn, Nguyễn Anh Hoàng, Trần Văn Hạnh, Nguyễn Đoàn Vũ, Giải phương trình – bất phương trình – hệ phương trình – hệ bất phương trình bằng bất đẳng thức, NXB ĐHQG T.P Hồ Chí Minh, năm 2006.

4. Huy Công Thái, Hướng dẫn giải phương trình mũ – logarit và hệ phương trình đại sô, NXB ĐHQG TP Hồ Chí Minh.

5. Lê Hồng Đức, Lê Hữu Trí, Phương pháp giải toán mũ và logarit, NXB Hà Nội.

6. Nguyễn Đức Đồng, Lê Hoàn Hóa, Võ Khác Thường, Lê Quang Tuấn, Nguyễ Văn Vĩnh, Phương pháp giải toán Đại số sơ cấp, NXB ĐHQG Hà Nội.

7. Trần Thị Vân Anh, PHương pháp giải toán tự luận hàm số mũ và hàm số logarit, NXB ĐHQG Hà Nội 2008.

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 67

SVTH: Phạm Ngọc Tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial