SKKN Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ (2015-2016)

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Ơ

1. Tên sáng kiến: Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương

N

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

U Y

2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:Khối 10, 11, 12.

.Q

TP Đ

4. Tác giả:

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

1 tháng 9 năm 2016.

N

G

Họ và tên: Lê Thị Phượng

Nơi thường trú: Nam Định

TR ẦN

H Ư

Năm sinh: 1987

B

Trình độ chuyên môn: Cử nhân toán

10 00

Chức vụ công tác: Giáo viên toán

A

Nơi làm việc: trường THPT chuyên Lê Hồng Phong

H

Ó

Địa chỉ liên hệ: 76 Vị Xuyên Nam Định

-L

Í-

Điện thoại: 0972313265.

ÁN

5. Đồng tác giả (nếu có): Không 6. Đơn vị áp dụng sáng kiến:

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

3. Thời gian áp dụng sáng kiến:Từ ngày 1 tháng 9 năm 2015 đến ngày

Địa chỉ: 76 Vị Xuyên Nam Định Điện thoại:

D

IỄ N

Đ

ÀN

Tên đơn vị: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

trình vô tỉ.

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 1

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

10 00

B

TR ẦN

Trong bài viết sáng kiến kinh nghiệm, tôi nhắc lại những kiến thức cơ bản để giải phương trình vô tỉ đồng thời đưa ra hệ thống bài tập có chọn lọc được chia ra ba dạng: phương pháp nhân liên hợp, đặt ẩn phụ, phương pháp hàm số. Trong mỗidạng bài tập thường có nhận xét và hướng dẫn học sinh cách sáng tạo bài toán mới.

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

Mặc dù đã có nhiều cố gắng song bài viết của tôi không tránh khỏi thiếu sót. Tôi rất mong sự đóng góp ý kiến quí báu của các thầy giáo, cô giáo để hoàn thiện hơn nữa sáng kiến kinh nghiệm của mình.

II. Nội dung sáng kiến:

D

IỄ N

Đ

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H Ư

N

G

Đ

học sinh biết cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp nhân liên hợp, đặt ẩn phụ hoặc phương pháp hàm số.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP

ẠO

dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ ” nhằm giúp

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Ơ

Năm học 2015-2016, tôi được phân công giảng dạy môn toán khối 10, 11. Vì vậy tôi luôn ý thức tự học tập và nghiên cứu nhằm nâng cao chất lượng bài giảng phát huy tối đa năng lực tư duy, năng lực sáng tạo của học sinh. Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy học sinh thường lúng túng và gặp nhiều khó khăn khi giải quyết một số phương trình vô tỉ. Trong kì thi THPT Quốc Gia thường xuất hiện câu giải phương trình vô tỉ, bất phương trình vô tỉ, hệ phương trình gây nhiều khó khăn cho học sinh khi làm bài thi. Chính vì vậy tôi viết sáng kiến kinh nghiệm : “ Hướng

N

I. Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến:

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 2

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ 1. Phương pháp nhân liên hợp.

H Ư

N

G

Đ

c. Bài tập áp dụng.

1.1. Nhân lượng liên hợp bằng cách thêm bớt hằng số. +) Phương pháp chung: dự đoán nghiệm x0 cuả phương trình, sau đó

TR ẦN

thêm bớt hằng số rồi nhân liên hợp để xuất hiện nhân tử x − x0 . +) Sử dụng chức năng SOLVE của máy tính cầm tay tìm nghiệm của phương trình.

10 00

B

Ví dụ 1: ( ĐHKB- 2010) Giải phương trình :

A

3x 2 − 14 x − 8 + 3x + 1 − 6 − x = 0 .

H

Ó

Phân tích:

-L

Í-

+ Nhận xét: x = 5 là một nghiệm của phương trình trên.

ÁN

+ Ta đưa phương trình trên về dạng ( x − 5 ) f ( x ) = 0 bằng phương pháp nhân liên hợp. Như vậy ta tìm hai số a, b > 0 sao cho:

IỄ N

Đ

ÀN

 3 x + 1 − a = 0  a = 4 ⇒  b − 6 − x = 0 b = 1 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

a 2 ∓ 3 ab + 3 b

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

3

TP

a±b

ẠO

a±3b=

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

3

( a, b > 0, a ≠ b )

.Q

a −b a∓ b

a± b=

N

H

Ơ

N

a. Mục đích: Biến đổi đưa phương trình đã cho về phương trình tích. b. Phương pháp: Sử dụng các hằng đẳng thức.

D

Lời giải:  1  Tập xác định: D =  − ;6   3  Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 3

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

∀ x thỏa mãn điều kiện xác định ta có:

3 x 2 − 14 x − 8 + 3 x + 1 − 6 − x = 0

)

N H

3 x − 15 x−5 + =0 3x + 1 + 4 1 + 6 − x 3 1   ⇔ ( x − 5)  + + 3 x + 1 = 0  3x + 1 + 4 1 + 6 − x 

N U Y .Q TP ẠO

 x = 5 (t / m) ⇔ 3 1  + + 3x + 1 = 0 (1)  3 x + 1 + 4 1 + 6 − x

Đ G N

3 1 + + 3x + 1 > 0 3x + 1 + 4 1 + 6 − x

TR ẦN

H Ư

 1  ∀x ∈  − ;6  ta có:  3 

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {5} .

10 00

B

Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 x 2 − 5 x − 1 = x − 2 + 4 − x .

Phân tích: ý tưởng tương tự ví dụ 1. Nhận xét pt có một nghiệm x = 3 .

H

Ó

A

Ta sử dụng phương pháp nhân liên hợp.

-L

Í-

Lời giải:

ÁN

Tập xác định: D = [ 2;4 ]

TO

∀ x thỏa mãn điều kiện xác định ta có:

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇔ ( x − 5 )( 3 x + 1) +

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

) (

3x + 1 − 4 + 1 − 6 − x = 0

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

(

Ơ

⇔ 3x 2 − 14 x − 5 +

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 4

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

x − 2 + 4 − x = 2x2 − 5x − 1

(

) (

x − 2 −1 +

)

4 − x − 1 = 2 x2 − 5x − 3

N

x −3 x−3 − = ( x − 3)( 2 x + 1) 4 − x +1 x − 2 +1 1 1   ⇔ ( x − 3)  − − 2 x − 1 = 0 4 − x +1  x − 2 +1 

Ơ H N U Y TP

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO Đ

N

G

1 1 ≥ = 2 −1 4 − x +1 1+ 2

H Ư

1 ≤ 1, x − 2 +1

Nhận xét: ∀ x ∈ [ 2;4] ta có:

1 1 − ≤2− 2 x − 2 +1 4 − x +1

TR ẦN

⇒

.Q

 x = 3 (t / m) ⇔ 1 1  − = 2 x + 1 (1)  x − 2 + 1 4 − x +1

10 00

B

Mặt khác: 2 x + 1 ≥ 5 ∀ x ∈ [ 2;4] Do đó pt (1) vô nghiệm.

Ó

A

Vậy tập nghiệm của pt là S = {3} .

Í-

H

Ví dụ 3: ( ĐHKD 2006 ) Giải phương trình: x 2 − 3x + 1 + 2 x − 1 = 0 .

ÁN

-L

Lời giải:

Nhận xét x = 1 là một nghiệm của pt.

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇔

1 2

Đ

ÀN

Đkxđ: x ≥

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

⇔

D

IỄ N

∀ x thỏa mãn điều kiện xác định ta có:

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 5

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

x 2 − 3x + 1 + 2 x − 1 = 0

(

)

2x −1 −1 = 0

N

2 ( x − 1)

Ơ H

{

}

A

Vậy tập nghiệm của pt ( 1 ) là: S = 1;2 − 2 .

H

Ó

• Cách 2: x 2 − 3 x + 1 + 2 x − 1 = 0 ⇔ x 2 − ( 2 x − 1) − x + 2 x − 1 = 0 .

-L

Í-

Đặt: t = 2 x − 1 ≥ 0 . Phương trình trở thành: x 2 − t 2 = x − t .

TO

ÁN

• Cách 3: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương.

Ví dụ 4: Giải phương trình:

Đ IỄ N

1 − x x2 + 2x = . x 1 + x2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q ẠO Đ

H Ư

10 00

B

Với t = 2 − 1 ⇒ x = 2 − 2 ( t / m )

TR ẦN

 t = −1 − 2 ( l ) t 2 + 2t − 1 = 0 ⇔  t = −1 + 2 ( t / m )

N

G

Giải pt (1) , đặt t = 2 x − 1 ≥ 0 . Phương trình (1) trở thành:

Nhận xét : x =

D

TP

 x = 1 (t / m) ⇔ 2 x − 2 + = 0 (1)  2x −1 + 1

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

=0 2x −1 + 1 2   ⇔ ( x − 1)  x − 2 + =0 2 x − 1 + 1  

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇔ ( x − 1)( x − 2 ) +

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

⇔ x 2 − 3x + 2 +

1 là một nghiệm của pt.

2

Lời giải:

Điều kiện xác định: 0 < x ≤ 1 .

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 6

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

∀ x thỏa mãn điều kiện xác định ta có:

Ơ

)

1 − x − 2x x = 0

U Y .Q TP ẠO Đ G N H Ư

 x2 2 x2 + x + 1  ⇔ (1 − 2 x )  + =0 1 − x + 2x x   1− x + x 1  x = (t / m )  2 ⇔ x2 2 x2 + x + 1  + = 0 (1)  1 − x + x 1 − x + 2x x

3

B

3x + 2 + x 3x − 2 = 2 2 x 2 + 1

A

Ví dụ 5: Giải phương trình:

10 00

1  Vậy tập nghiệm của pt là S =   . 2

TR ẦN

Với mọi 0 < x ≤ 1 ta dễ dàng chứng minh được pt (1) vô nghiệm.

-L

Í-

H

Ó

Nhận xét: phương trình chứa căn bậc hai, căn bậc ba thường giải bằng phương pháp nhân liên hợp.

Lời giải:

ÁN

+ phương trình trên có nghiệm x0 = 2 .

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

1 − x − 4 x3 ⇔ + =0 1− x + x 1 − x + 2x x

Đ

ÀN

2 Điều kiện xác định: x ≥ .

3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

x 2 (1 − 2 x )

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

) (

1− x − x +

H

(

N

⇔ x2

N

1 − x x2 + 2 x = ⇔ (1 + x 2 ) 1 − x = ( x 2 + 2 x ) x 2 x 1+ x

D

IỄ N

∀ x thỏa mãn điều kiện xác định ta có:

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 7

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

3x + 2 + x 3x − 2 = 2 2 x 2 + 1

( 3x + 2 )

2

+

+ 2 3 3x + 2 + 4

x ( 3x − 6 ) 3x − 2 + 2

=

2x ( x − 2) 2x2 + 1 + x + 1

.Q

TP

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Đ

G

N H Ư

TR ẦN

Ta có:

(

) )

x 3 2 x 2 + 1 − 2 3x − 2 + 3x − 1 3x 2x − = 3x − 2 + 2 2x2 + 1 + x + 1 3x − 2 + 2 2 x2 + 1 + x + 1

)(

(

Ó

A

10 00

B

3 x − 1 > 0 2  ∀x≥ ⇒ 18 x 2 − 12 x + 17 2 3 2 + 1 − 2 3 − 2 = >0 x x 3  2 3 2 x + 1 + 2 3x − 2 

Í-

H

3x 2x − > 0 do đó pt (1) vô nghiệm.

3x − 2 + 2 2x2 + 1 + x + 1

-L

Suy ra

ÁN

Vậy tập nghiệm của pt là S = {2} .

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

  3 3x 2x  =0 ⇔ ( x − 2) + − 2  3 ( 3 x + 2 )2 + 2 3 3 x + 2 + 4  3x − 2 + 2 2x + 1 + x + 1    x = 2 (t / m)  3 3x 2x ⇔ + − = 0 (1) 2  3 3x + 2 2 + 2 3 3x + 2 + 4 − + 3 x 2 2 2x + 1 + x + 1 )  (

1 2

x +1

+2

Đ

ÀN

Ví dụ 6: Giải phương trình :

x2 + x + 1 x2 + = x+4 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

3

2 x2 + 1 − x − 1

3x − 2 − 2 = 2

3x − 6

⇔

)

) (

) (

3x + 2 − 2 + x

N

3

Ơ

(

H

⇔

N

3

D

IỄ N

Phân tích:

Sử dụng chức năng SOLVE của máy tính cầm tay ta tính được phương trình có hai  x1 + x2 = 0 nghiệm x1 , x2 thỏa mãn:   x1 x2 = −3 Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 8

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ 2 Do đó x1 , x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình: x − 3 = 0 .

N

Vậy phương trình trên có hai nghiệm là: x = ± 3 .

H

Ơ

Lời giải:

.Q TP

)

TR ẦN

(

H Ư

N

 x2 + x + 1   x2 3   1 1  ⇔ − 1 +  −  +  − =0 2    2 2 2 4 x + 1 x +    x2 − 3 x2 − 3 x2 − 3 ⇔ + + =0 2 x2 + x + 1 2 x2 + 1 x2 + 1 + 2 +1 x+4

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

x +1

+2

ẠO

2

Đ

1

G

x2 + x + 1 x2 + = 2 x+4

(

)

H

Ó

A

10 00

B

 x2 − 3 = 0 ⇔ x = ± 3 (t / m )  1 1 1 ⇔ + + = 0 ( ptvn )  x2 + x + 1 2 2 x2 + 1 x2 + 1 + 2  +1 x+4 

{

}

3; − 3 .

-L

Í-

Vậy phương trình có tập nghiệm: S =

ÁN

Tương tự ta có thể giải một sốpt vô tỉ bằng phương pháp nhân liên hợp.

Bài tập: Giải các phương trình:

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Với ∀ x thỏa mãn điều kiện xác định ta có:

ÀN

1. x 2 + 9 x + 20 = 2 3x + 10 . Đáp án: x = −3 .

D

IỄ N

Đ

2.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

Điều kiện xác định: x > −4

x + 7 − 10 − x + x 2 − 2 x − 66 = 0 . Đáp án: x = 9 .

3. 2 x 2 − 3x − 2 = 3x − 2 − x + 2 . Đáp án: x = 2 .

4.

x 2 + 12 + 5 = 3 x + x 2 + 5 . Đáp án: x = 2 .

5. 9

(

)

4 x + 1 − 3x − 2 = x + 3 . Đáp án: x = 6 .

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 9

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Nhân liên hợp bằng cách thêm bớt ẩn số.

Ơ N

H

Ví dụ 1: Giải phương trình: 4 x + 2 + 22 − 3 x = x 2 + 8 .

U Y

TP

.Q

+ Bước 1: Sử dụng máy tính ta có hai nghiệm của pt là x = −1; x = 2 . Do đó

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

+ Bước 2: Ta tìm bộ số a, b sao cho 4 x + 2 − ( ax + b ) = 0

ẠO

phương trình có nhân tử chung là: x 2 − x − 2

H Ư

N

G

Cho x = 2 ⇒ 2a + b = 8 Cho x = −1 ⇒ −a + b = 4

10 00

B

TR ẦN

4  = a  3 ⇒ b = 16  3

22 − 3 x − ( cx + d ) = 0

Í-

H

Cho x = 2 ⇒ 4 = 2c + d

Ó

A

Ta tìm bộ số c, d sao cho

TO

ÁN

1  = − c  3 ⇒  d = 14  3

-L

Cho x = −1 ⇒ 5 = −c + d

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Phân tích:

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

Phương pháp: Sử dụng máy tính CASIO tìm nghiệm của phương trình, sau đó thêm bớt biểu thức thích hợp để làm xuất hiện nhân tử chung.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1.2.

D

IỄ N

Lời giải:

Điều kiện xác định: −2 ≤ x ≤

22 .

3

Với ∀ x thỏa mãn điều kiện xác định ta có: Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 10

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Ơ H

10 00

B

4 1 + >0 9 x + 2 + 3 x + 12 9 22 − 3 x − 3 x + 42

⇒ phương trình (1) vô nghiệm.

Í-

H

Ó

A

 x = −1 ( t / m ) Ta có: x 2 − x − 2 = 0 ⇔   x = 2 ( t / m )

ÁN

-L

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {−1; 2} .

Ví dụ 2: Giải phương trình: x 3 + 3 x 2 − 4 x + 1 = ( x 2 + 3) x 2 − x + 1 .

D

IỄ N

Đ

ÀN

Phân tích: Sử dụng máy tính CASIO ta nhận thấy phương trình có một nghiệm 8 x = − . Như vậy phương trình có nhân tử chung là 7 x + 8 .

7

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q

TP ẠO

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

22 9 x + 2 + 3 x + 12 > 0 ⇒ 3 9 22 − 3x − 3 x + 42 > 0

TR ẦN

−2 ≤ x ≤

H Ư

N

Ta có:

⇒1+

Đ

G

 x2 − x − 2 = 0 ⇔ 4 1 1 + + = 0 (1)  9 x + 2 + 3 x + 12 9 22 − 3 x − 3 x + 42

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

16    14    4  1 ⇔  4 x + 2 −  x +   +  22 − 3 x −  − x +   = x 2 − x − 2 3   3  3  3  − x2 + x + 2 − x2 + x + 2 ⇔ 4. + = x2 − x − 2 9 x + 2 + 3 x + 12 9 22 − 3 x − 3 x + 42 4 1   ⇔ ( x 2 − x − 2 ) 1 + + =0  9 x + 2 + 3 x + 12 9 22 − 3 x − 3 x + 42 

N

4 x + 2 + 22 − 3 x = x 2 + 8

Lời giải:

Điều kiện xác định: x ∈ ℝ Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 11

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

+ ta có nhận xét:

 x ≤ −3  x ≤ −3  x + 3 + x − x +1 = 0 ⇔  2 ⇔ 8 ( không thỏa mãn ) 2 = − x − + 1 = − 6 + 9 x x x x   7

U Y TP

.Q

x 3 + 3 x 2 − 4 x + 1 = ( x 2 + 3) x 2 − x + 1

)

(

H Ư

N

 ( x + 3) 2 − ( x 2 − x + 1)   − ( 7 x + 8) = 0 ⇔ ( x + 3)   x + 3 + x 2 − x + 1  2

G

Đ

⇔ ( x 2 + 3) x + 3 − x 2 − x + 1 − ( 7 x + 8 ) = 0

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

⇔ ( x 2 + 3 ) ( x + 3 ) − 7 x − 8 = ( x 2 + 3) x 2 − x + 1

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

  x2 + 3 ⇔ ( 7 x + 8)  − 1 = 0 2  x + 3 + x − x +1  8  x = − (t / m)  7 ⇔  x 2 + 3 = x + 3 + x 2 − x + 1 (1)

Í-

H

Giải phương trình (1) ⇔ x 2 − x = x 2 − x + 1

ÁN

-L

Đặt t = x 2 − x + 1 ( t > 0 ) . Phương trình (1) trở thành:

TO

 1− 5 (l ) t = 2 2 t −1 = t ⇔   1+ 5 (t / m ) t =  2

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Với mọi x ∈ ℝ ta có:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Ơ

N

2

D

Ta có: t=

1+ 5 1+ 5 1+ 5 1± 3 + 2 5 ⇒ x2 − x + 1 = ⇔ x2 − x − =0⇔ x= (t / m ) 2 2 2 2

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 12

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

N

 8 1 ± 3 + 2 5  Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =  − ; .

7 2  

U Y

Lời giải:

.Q TP

⇔

(

x + 2 + 2 4 x2 − x − 3 − 2 

)

(

N

x+2+2 =0 

)

Ó H

TO

ÁN

-L

Í-

Giải pt (1) ta có:

A

10 00

 x + 2 + 2 = 0 ( ptvn ) ⇔  4 x 2 − x − 3 − 2 x + 2 = 0 (1)

)

x+2−2 =0

B

2

TR ẦN

2

G

2

H Ư

2

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2

( 4 x − x − 7 ) x + 2 = −8 x + 4 x + 10 ⇔ ( 4 x − x − 7 ) x + 2 + 8 x − 4 x − 10 = 0 ⇔ ( 4 x − x − 7 ) ( x + 2 + 2) − ( 2 x − 4) = 0 ⇔ ( 4 x − x − 7 ) ( x + 2 + 2 ) − 2 ( x + 2 + 2 )(

Đ

2

ẠO

Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có:

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Điều kiện xác định: x ≥ −2 .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Ơ

Ví dụ 3: Giải phương trình : ( 4 x 2 − x − 7 ) x + 2 = −8 x 2 + 4 x + 10 .

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 13

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

N Ơ

TR ẦN

A Ó

ÁN

-L

Í-

H

 x = −1 ( t / m )   x = 1 (l )  4  ⇔  x = 5 + 41 ( t / m )  8   x = 5 − 41 ( l ) 8 

10 00

B

 x ≥ 1  3  ⇔  x ≤ −  4  ( x + 1)( 4 x − 1) ( 4 x 2 − 5 x − 1) = 0 

H Ư

N

G

Đ

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

 x ≥ 1  3  ⇔  x ≤ − 4  16 x 4 − 8 x3 − 23 x 2 + 2 x + 1 = 0

IỄ N

Đ

ÀN

 5 + 41  Vậy tập nghiệm của pt là S =  −1; .

8  

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP

.Q

U Y

N

H

 x ≥ 1  3  ⇔  x ≤ − 4  16 x 4 − 8 x3 − 23 x 2 + 6 x + 9 = 4 ( x + 2 )

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

 x ≥ −2  1 ⇔ ( ) 4 x 2 − x − 3 ≥ 0  2 2 ( 4 x − x − 3) = 4 ( x + 2 )

D

Ví dụ 4: Giải phương trình : x 2 + x − 1 = ( x + 2 ) x 2 − 2 x + 2 .

Lời giải:

Điều kiện xác định: x ∈ ℝ Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 14

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có: x2 + x − 1 = ( x + 2) x2 − 2x + 2

N

)

Ơ H U Y .Q TP ẠO

+ 1 − ( x − 1)  =0 2 3 + x − 2x + 2  

Đ

2

G

( x − 1)

N

 ⇔ ( x − 2x − 7)    2

TR ẦN

H Ư

 x 2 − 2 x − 7 = 0 (1) ⇔  ( x − 1)2 + 1 − ( x − 1) = 0 ( 2 ) 

B

Giải pt (1) ta có: (1) ⇔ x = 1 ± 2 2 ( t / m )

+ 1 > x −1 ≥ x −1⇒

( x − 1)

A

2

2

+ 1 − ( x − 1) > 0 ⇒ pt (2) vô nghiệm.

H

Ó

( x − 1)

10 00

Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có

{

}

ÁN

-L

Í-

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 1 ± 2 2 .

Ví dụ 5: Giải phương trình:

3 ( x 2 + 2 x − 3)

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

  x+2 ⇔ ( x 2 − 2 x − 7 ) 1 − =0 2  3 + x − 2x + 2 

7 x 2 − 19 x + 12 − = 16 x 2 + 11x − 27 . x + 4 −1 12 − 7 x

ÀN

Lời giải:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

 − x2 + 2x + 7  ⇔ x − 2x − 7 + ( x + 2)  =0 2  3 + x − 2x + 2  2

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

(

⇔ x2 − 2x − 7 + ( x + 2) 3 − x2 − 2x + 2 = 0

D

IỄ N

Đ

12   −4 ≤ x < Điều kiện:  7  x ≠ −3

Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 15

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

x + 4 −1

−

7 x 2 − 19 x + 12 = 16 x 2 + 11x − 27 12 − 7 x

(

)

Ơ

N

⇔ ( x − 1) 3 x + 4 + 12 − 7 x − 16 x − 24 = 0

2

) −(

N U Y 12 − 7 x

)

2

)(

)

( 3) ⇔ 3

x + 4 = 12 − 7 x + 1

N H Ư

3 x + 4 + 12 − 7 x = 0 ( ptvn ) ⇔ 3 x + 4 − 12 − 7 x − 1 = 0 ( 3)

G

x + 4 − 12 − 7 x − 1 = 0

)

TR ẦN

(

⇔ 3 x+4+

Đ

⇔ 3 x + 4 + 12 − 7 x = 3 x + 4 + 12 − 7 x 3 x + 4 − 12 − 7 x

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

( 12 − 7 x ) ( 3

x+4

TP

(

ẠO

⇔ 3 x + 4 + 12 − 7 x = 9

.Q

x + 4 + 12 − 7 x = 16 x − 24

⇔ 2 12 − 7 x = 16 x + 23

10 00

B

⇔ 9 ( x + 4 ) = 12 − 7 x + 1 + 2 12 − 7 x

-L

Í-

H

Ó

A

48-28x = 256 x 2 + 736 x + 529 −382 + 6 633  ⇔  23 ⇔x= (t / m) 12 256 − ≤ x <  16 7 

ÁN

 −382 + 6 633  Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =  .

256  

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

( 2) ⇔ 3

H

 x = 1 (t / m) ⇔ 3 x + 4 + 12 − 7 x − 16 x − 24 = 0 ( 2 )

ÀN

Ví dụ 6: Giải phương trình: x 3 − x + 2 = 2 3 3 x − 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

3 ( x 2 + 2 x − 3)

IỄ N

Đ

Lời giải:

D

Điều kiện xác định: x ∈ ℝ

Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 16

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

x3 − x + 2 = 2 3 3x − 2 ⇔ x3 − 3x + 2 = 2 3 3x − 2 − 2 x

U Y .Q

)

TP

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

(

TR ẦN

H Ư

N

G

)

Ó

A

Lời giải:

7 x 2 + 20 x − 86 + x 31 − 4 x − x 2 = 3 x + 2

10 00

Ví dụ 7: Giải phương trình:

B

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1; −2} .

-L

Í-

H

2 7 x + 20 x − 86 ≥ 0 Điều kiện xác định:  2 31 − 4 x − x ≥ 0

ÁN

Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có Xét trường hợp 1:

IỄ N

Đ

ÀN

x ≥ 2 ⇔ x = −2 + 19 7 x 2 + 20 x − 86 = x − 2 ⇔  2 6 x + 24 x − 90 = 0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

 =0 2  3 3x − 2 + x 3 3x − 2 + x 2   2

 x 3 − 3 x + 2 = 0 (1)  2 ⇔ 1 + = 0 ( ptvn ) 2  2 3 3 3x − 2 + x 3x − 2 + x   x = 1 (t / m) 2 (1) ⇔ ( x − 1) ( x + 2 ) = 0 ⇔   x = −2 ( t / m )

(

N

=0

Ơ

+ x 3x − 2 + x

2

H

)

3

ẠO

 ⇔ ( x3 − 3x + 2 ) 1 +   

3x − 2

2

Đ

(

3

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇔ x − 3x + 2 + 2

N

x3 − 3x + 2

3

D

Thử lại: x = −2 + 19 không là nghiệm của phương trình trên.

Xét trường hợp 2:

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 17

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

7 x 2 + 20 x − 86 ≠ x − 2 ⇔ x ≠ −2 + 19

N

Ta có:

H

TR ẦN

H Ư

N

 x = −2 − 19 ( t / m ) (1) ⇔   x = −2 + 19 ( l )

31 − 4 x − x 2 + 24 = x 7 x 2 + 20 x − 86 + 2 x − x 2

10 00

B

7 x 2 + 20 x − 86 = 3 x + 2 − x 31 − 4 x − x 2

(

6 31 − 4 x − x 2 + 24 = x 3 x + 2 − x 31 − 4 x − x 2

)

Ó

A

⇔ ( x 2 + 6 ) 31 − 4 x − x 2 = 2 x 2 + 4 x − 24

)(

31 − 4 x − x 2 − 1

-L

(

)

31 − 4 x − x 2 + x 2 + 7 = 0

ÁN

⇔

Í-

H

⇔ ( 31 − 4 x − x 2 ) + ( x 2 + 6 ) 31 − 4 x − x 2 − x 2 − 7 = 0

TO

 31 − 4 x − x 2 = 1 (1) ⇔  31 − 4 x − x 2 + x 2 + 7 = 0 ( ptvn ) 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

G

 x 2 + 4 x − 15 = 0 (1)  ⇔ 6 x − = 0 ( 2) 2  7 x 2 + 20 x − 86 + 2 − x 31 − 4 x − x + 4

( 2) ⇔ 6

N

=0

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

31 − 4 x − x 2 + 4

U Y

−

.Q

x ( x 2 + 4 x − 15 )

TP

7 x 2 + 20 x − 86 + 2 − x

)

31 − 4 x − x 2 − 4 = 0

ẠO

⇔

(

Đ

6 ( x 2 + 4 x − 15 )

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇔  7 x 2 + 20 x − 86 − ( 2 − x )  + x  

Ơ

7 x 2 + 20 x − 86 + x 31 − 4 x − x 2 = 3 x + 2

2

D

IỄ N

Đ

 x = −2 + 34 ( t / m ) (1) ⇔ 31 − 4 x − x = 1 ⇔ x + 4 x − 30 = 0 ⇔   x = −2 − 34 ( l ) 2

{

}

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = −2 − 19; − 2 + 34 .

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 18

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Ví dụ 8:Giải phương trình: 2

− 5 x + 10 ) x + 7 + ( 2 x + 6 ) x + 2 = x3 + 13x 2 − 6 x + 32

Ơ

N

Lời giải:

N

H

Điều kiện xác định: x ≥ −2

U Y .Q

2

3

+ 5 x − 10

Đ G N

TR ẦN

H Ư

 5 x 2 − 5 x + 10  2x + 6 ⇔ ( x − 2)  + − ( x2 + 5) = 0 x+2+2  x+7 +3   x = 2 (t / m )  ⇔  5 x 2 − 5 x + 10 2x + 6 + − ( x 2 + 5 ) = 0 (1)  x + 7 + 3 x+2+2

2

ẠO

2

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

3

TP

2

( 5x − 5 x + 10 ) x + 7 + ( 2 x + 6 ) x + 2 = x + 13x − 6 x + 32 ⇔ ( 5 x − 5 x + 10 ) ( x + 7 − 3) + ( 2 x + 6 ) ( x + 2 − 2 ) = x − 2 x



1 1 1 1  −  + ( 2 x + 6)  − =0  x+7 +3 5  x+2 +2 2

10 00

B

(1) ⇔ ( 5 x 2 − 5 x + 10 ) 

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

5 x 2 − 5 x + 10 > 0  2 x + 6 > 0  1 1 x ≥ −2 ⇒  − <0  x+7 +3 5  1 1 − <0   x+2+2 2

TO

1 1 1 1   ⇒ ( 5 x 2 − 5 x + 10 )  −  + ( 2x + 6)  − <0  x+7 +3 5  x+2 +2 2

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

( 5x

D

IỄ N

Đ

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2} .

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 19

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Hướng dẫn học sinh tự học và nghiên cứu.

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Bài 1: Giải phương trình:

5x − 1 + x + 2 = 7 − x .

10 00

B

Ví dụ 2: Cho x = 3 ta có:

2 x − 5 = 1, 2 x 2 − 5 x = 3

4 − x = 1,

H

Ó

A

Như vậy ta có bài toán sau.

x − 2 + 4 − x + 2 x − 5 = 2 x2 − 5x

-L

Í-

Bài 2: Giải phương trình:

3

ÁN

Ví dụ 3: Cho x = 3 ta có: x 2 − 1 + x = 5,

x3 − 2 = 5

ÀN

Như vậy ta có bài toán sau.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP

ẠO

TR ẦN

Như vậy ta có bài toán sau.

x − 2 = 1,

G

5x − 1 + x + 2 = 5 = 7 − x

N

x + 2 = 2,

H Ư

5 x − 1 = 3,

Đ

Ví dụ 1: Cho x = 2 ta có:

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Ơ

Phương pháp nhân lượng liên hợp là một phương pháp thường dùng khi giải các phương trình, bất phương trình chứa căn. Việc sáng tác bài toán mới dựa trên phương pháp này cũng rất đơn giản, ta chỉ cần chọn sẵn một nghiệm rồi xây dựng các biểu thức thỏa mãn đẳng thức xảy ra. Một kĩ thuật rất quan trọng của phương pháp này là đoán được nghiệm của phương trình từ đó ta sẽ biết được cần thêm bớt hằng số nào, biểu thức nào. Ta có thể dựa vào máy tính cầm tay CASIO để đoán nghiệm của phương trình.

N

Phân tích:

IỄ N

Đ

Bài 3: ( Đề nghị Olympic 30/4/2011 )Giải phương trình: x 2 − 1 + x = x3 − 2

D

3

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 20

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Ví dụ 4: Xét ba hàm số f , g , h như sau:

f ( x ) = x ( x + 1)( x − 3) + 3 ⇒ f ( 0 ) = 3, f ( 3) = 3

U Y .Q TP

x ( x + 1)( x − 3) + 3 = 4 − x + 1 + x

Đ

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Bài 4: Giải phương trình:

N

G

x ( x + 1)( x − 3) + 3 = 4 − x + 1 + x

TR ẦN

Ta tìm hàm số k ( x ) = ax + b sao cho:

H Ư

Gợi ý:

10 00

B

1  k ( 0 ) = 4 − 0 = 2 b = 2 1 a = − ⇒ ⇒ 3 ⇒ k ( x) = − x + 2  3 3a + b = 1 b = 2  k ( 3) = 4 − 3 = 1 

Í-

H

Ó

A

 1  Do đó ta nhóm 4 − x −  − x + 2   3 

-L

Tương tự ta tìm hàm số p ( x ) = cx + d sao cho :

TO

ÁN

 1  p ( 0 ) = 1 + 0 = 1 d = 1 1 c = ⇒ ⇒  3 ⇒ p( x) = x + 1  3 k ( 3) = 1 + 3 = 2 3c + d = 2 d = 1

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Như vậy hai số 0, 3 là hai nghiệm của phương trình

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Ơ

N

 g ( 0 ) + h ( 0 ) = 3 g ( x) = 4 − x, h( x) = 1+ x ⇒   g ( 3) + h ( 3) = 3

D

IỄ N

Đ

1  Do đó ta nhóm 1 + x −  x + 1 . 3 

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 21

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Bài tập: Giải các phương trình: 2x2 − x − 1 + x2 − 2 x − 3 − x − 1 + x2 − 4 x − 3 = 0

N Ơ H N

G

1 2 − x3 + x − = 1 3 9

TR ẦN

1 23 x 1 + = + 3 x 2 + 11 2 x −1 2x − 3

B

12)

Í-

3

Ó

A

11)

2 x 2 − 9 x + 17

-L

13)

=3− x

ÁN

2 x 2 − 6 x + 16 + 3 x − 1

3

x − 3 − 4 − x − x 2 + x + 35 = 0

15)

x 2 + 9 x − 1 + x 11 − 3 x = 2 x + 3

ÀN

TO

14)

x3 1 x 1 − + + = 3x − 2 + 1 3 3x 3 3x 2− x 2x − 3 − 3 x − 1 = 4 4 x − 9 2 x − 1 + 4 x 2 − 27 = 0

10 00

10)

H

9)

x + x 2 − 3 x + 9 = x 2 + 2 x + 10 + 1

Đ

17)

x3 + x 2 − 1 + x3 + x 2 + 2 = 3

18)

5 x 2 + 2 x + 1 + 2 x 2 + 1 + x − 1 = 3x + 3

19)

2x + 3 + x + 5 + 2x2 + 7 x + 2 = 0

20)

x 2 + 2 x + 92 = x 2 + 2 x + x − 1 + 1

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

3

TP

7)

ẠO

3 + 3 7x − 6 x+3 = 7−x 4 + 7 − 3x

Đ

6)

8) x 3 + 22 x 2 − 11x = ( 6 x 2 + 12 x − 6 ) 2 x − 1

IỄ N

.Q

)

(

+ 3x ) 1 + x 2 + 1 = 4 x + 12 + 4 x + 28

(x

16)

D

2

5)

H Ư

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

4) x 2 x − 1 + 3 x + 6 + x 3 − 3 x 2 − 2 = 0

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

3)

x + 6 + x + 9 + 2 x 2 + 30 x + 97 = 0 6x − 3 = 3 + x − x2 x − 1− x

N

3

2)

U Y

1)

Page 22

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

2. Phương pháp đặt ẩn phụ.

Phương pháp:

H

Ơ

N

+ Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện của ẩn phụ ( nếu có )

.Q

(

)

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

2x + 3 − 2 x + 1 + 2 x2 + 5x + 3 = 1

Đ

Ví dụ 1:Giải phương trình: ( x + 2 )

TP

+ Tìm nghiệm của phương trình ban đầu ứng với ẩn phụ vừa tìm được.

Điều kiện xác định: x ≥ −1 .

TR ẦN

Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có

H Ư

N

G

Lời giải:

2 x 2 + 5 x + 3 = ab , x + 2 = a 2 − b 2

10 00

⇒ a 2 − 2b 2 = 1 ,

B

Đặt: a = 2 x + 3; b = x + 1 ( a ≥ 1, b ≥ 0 )

2

− b 2 ) ( a − 2b ) + ab = 1

H

(a

Ó

A

Phương trình trở thành:

-L

Í-

⇔ ( a − b )( a + b )( a − 2b ) + ab − 1 = 0

ÁN

⇔ ( a − b ) ( a 2 − 2b 2 − ab ) + ab − 1 = 0 ⇔ ( a − b )(1 − ab ) + ab − 1 = 0

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

+ Giải phương trình theo ẩn phụ và đối chiếu với điều kiện của ẩn phụ ( nếu có )

ÀN

⇔ ( a − b − 1)(1 − ab ) = 0

D

IỄ N

Đ

a − b − 1 = 0 ⇔  ab = 1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

+ Đưa phương trình đã cho về phương trình theo ẩn phụ

Trường hợp 1:

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 23

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

a − b −1 = 0 ⇒ 2x + 3 − x + 1 −1 = 0 ⇔ 2x + 3 = x + 1 + 1

Ơ

N

⇔ 2x + 3 = x + 2 + 2 x + 1

Đ

Trường hợp 2:

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

TP

.Q

 x +1 = 0  x = −1 ( t / m ) ⇔ ⇔  x = 3 ( t / m )  x + 1 − 2 = 0

N

G

ab = 1 ⇒ 2 x 2 + 5 x + 3 = 1

H Ư

⇔ 2 x 2 + 5x + 3 = 1

TR ẦN

⇔ 2 x 2 + 5x + 2 = 0

10 00

B

1  x = − (t / m ) 2 ⇔   x = −2 ( l )

H

Ó

A

1  Vậy tập nghiệm của phương trình là S = −1; 3; -  .

2 

-L

Í-

Ví dụ 2: Giải phương trình:

x+2−2

ÁN

6 ( x2 + 2 x + 4) − 2 ( x + 2)

=

1 2

ÀN

Lời giải:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

)

x +1 − 2 = 0

U Y

(

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇔ x +1

H

⇔ x +1 = 2 x +1

IỄ N

Đ

Điều kiện xác định: x ≥ −2 .

D

Ta có: 2 ( x2 − 2x + 4)

2

6 ( x + 2 x + 4) − 2 ( x + 2) =

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

2

6 ( x + 2 x + 4) + 2 ( x + 2)

> 0 ∀ x ≥ −2

Page 24

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có

N

)

H

x + 2 − 2 = 6 ( x2 + 2x + 4) − 2 ( x + 2)

.Q Đ

G N

x . Phương trình trở thành: x+2

TR ẦN

Đặt: t =

2

H Ư

x  x  2+2 = 12 + 6   x+2  x+2

x + 2 ta có pt (1) trở thành:

ẠO

Chia cả hai vế của phương trình cho

TP

Nhận xét x = −2 không là nghiệm của phương trình (1).

10 00

B

t ≥ −1 t + 1 ≥ 0 2 + 2t = 12 + 6t 2 ⇔  ⇔ ⇔t=2  2 2 2 + + = + 4 8 t 4 t 12 6 t − = 2 t 2 0 ( )  

Ó

A

x > 0 x =2⇔ 2 ⇔ x = 2 + 2 3 (t / m) − − = x 4 x 8 0 x+2 

Í-

H

t = 2⇒

{

}

ÁN

-L

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 2 + 2 3

TO

Ví dụ 3: Giải phương trình:

1 + 3x + 3

1 2x + 6 = 2 x + 2 x + 2x + 4

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇔ 2 x + 2 + 2 x = 6 x 2 + 12 ( x + 2 ) (1)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

(

U Y

⇔2

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

6 ( x2 + 2x + 4) − 2 ( x + 2)

1 2

=

Ơ

x+2 −2

Đ

Lời giải:

D

IỄ N

Điều kiện xác định: x > −1 .

Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 25

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

1 2x + 6 = 2 x + 2 x + 2x + 4 2 ( x + 1) + 4 1 1 ⇔ + = 2 x + 1 + 1 ( x + 1) + 3 3 ( x + 1)

H

Ơ

N

1 + 3x + 3

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ G

10 00

Với t = a − 2 ta có phương trình:

B

t = a − 2 ⇔ ( a + 4 ) t + 2t + 1 = 0 ( ptvn )

TR ẦN

H Ư

N

a t+2 = 2 ⇔ at 2 + 3a = ( t + 2 ) ( a 2 − 4t − 1) a − 4t − 1 t + 3 ⇔ ( t − a + 2 ) ( a + 4 ) t + 2t + 1 = 0

=

A

t + 2 = 3t + t + 1

ÁN

-L

Í-

H

Ó

t > 0 t > 0 ⇔ 2 ⇔ 2  2 2 2 ( t + 3) = 4 ( 3t + 3t ) t + 4t + 4 = 4t + 1 + 2 3t + 3t t > 0 ⇔ 4 2 t − 6t − 12t + 9 = 0

TO

t >0 x = 2 (t / m) t = 3  ⇔ ⇔ ⇒  3  3 3   t = 4 − 1  x = 4 − 2 ( t / m ) ( t − 3) ( t + 1) − 4  = 0

Đ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

3t + t + 1 − 4t − 1

đặt: a = 3t + t + 1 ( a > 0 ) . Phương trình (1) trở thành: 2

U Y

N

)

t+2 (1) t2 + 3

.Q

(

2

TP

3t + t + 1

ẠO

1 1 2t + 4 3t + t + 1 t + 2 + = 2 ⇔ = 2 ⇔ t + 3 3t t +1 t + 3 2 3t ( t + 1)

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Đặt t = x + 1 ( t > 0 ) . Phương trình trên trở thành:

{

3

}

4 −2 .

D

IỄ N

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = 2;

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 26

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Ví dụ 4: Giải phương trình: ( x − 2 ) x 2 + x + 1 + ( x + 1) x 2 − x + 2 = 2 x − 1

N

Lời giải:

H

Ó

Trường hợp 1:

Í-

 x 2 + x + 1 ≥ 0 1 a = b ⇒ x + x +1 = x − x + 2 ⇔  2 x ⇔ = (t / m) 2 2  x + x + 1 = x − x + 2 2

ÁN

-L

2

TO

Trường hợp 2:

D

IỄ N

Đ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

G N H Ư

TR ẦN

A

10 00

B

a = b  ⇔ a + b − 3 = 0  a + b + 1 = 0 ( ptvn ) 

Đ

⇔ ( a 3 − b3 ) + ab ( a − b ) − 3 ( a − b ) − 2 ( a 2 − b 2 )

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

⇔ a ( a 2 − b 2 − 3) + b ( a 2 − b 2 + 3) = 2 ( a 2 − b 2 )

2 ⇔ ( a − b )  ( a + b ) − 2 ( a + b ) − 3 = 0   ⇔ ( a − b )( a + b + 1)( a + b − 3) = 0

H

TP

.Q

 a2 + 1 − b2   a 2 + 1 − b2  a − 2 + b + 1 = a 2 − b 2 2 2    

⇔ ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 + ab − 3 − 2a − 2b ) = 0

N

x 2 − x + 2 = b ( a, b ≥ 0 ) . Phương trình trên trở thành:

U Y

x 2 + x + 1 = a;

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Đặt:

Ơ

Điều kiện xác định: x ∈ ℝ

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 27

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

N Ơ H

G

Đ

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

7 1 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =  ; -1;  .

8 2

H Ư

N

Ví dụ 5: Giải phương trình: ( x3 + 6 x 2 + 4 ) x3 + x 2 + 4 = 2 x ( 2 x 3 + 3 x 2 + 8 )

Điều kiện xác định: x3 + x 2 + 4 ≥ 0 .

TR ẦN

Lời giải:

x3 + x 2 + 4 = a ( a > 0 ) . Ta có hệ phương trình:

A

Đặt

10 00

B

Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có

-L

Í-

H

Ó

 x3 + 6 x 2 + 4 = a 2 + 5 x 2  3 2 2 2 2 x ( 2 x + 3 x + 8 ) = 2 x ( 2a + x )

ÁN

Khi đó phương trình trên trở thành: a ( a 2 + 5 x 2 ) = 2 x ( 2a 2 + x 2 )

ÀN

⇔ 2 x3 − 5ax 2 + 4a 2 x − a 3 = 0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

TP

.Q

x ≤ 5 5 − x ≥ 0 ⇔ 3 x2 − x + 2 = 5 − x ⇔  2 ⇔  2 2 8 x + x − 7 = 0 9 ( x − x + 2 ) = ( 5 − x ) x ≤ 5    x = −1 ( t / m ) ⇔  7  x = (t / m)   8

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

a = 3 − b ⇒ x 2 + x + 1 = 3 − x 2 − x + 2 ⇒ x 2 + x + 1 = x 2 − x + 11 − 6 x 2 − x + 2

2

D

IỄ N

Đ

⇔ ( x − a) (2x − a) = 0 x = a ⇔ 2x = a

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 28

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Trường hợp 1:

H

Ơ

N

x ≥ 0  x ≥ 0 x = a ⇒ x = x3 + x 2 + 4 ⇔  2 ⇔  3 2 3  x = x + x + 4  x = − 4 ( l )

H Ư

N

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {2} .

TR ẦN

Ví dụ 6: Giải phương trình: 9 x 2 − 5 x = ( 2 − x ) 3x 2 − 8 x + 3 Lời giải:

H

Ó

A

10 00

B

 4+ 7 x ≥ 3 Điều kiện xác định: 3 x 2 − 8 x + 3 ≥ 0 ⇔   4− 7 x ≤ 3 

-L

Í-

Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có 2

ÁN

9 x 2 − 5 x = ( 2 − x ) 3 x 2 − 8 x + 3 ⇔ ( 3 x − 1) + x − 1 = ( 2 − x )

đặt: 1 − 3x = t;

( 2 − x )(1 − 3x ) − ( x − 1)

3x 2 − 8 x + 3 = y ( y ≥ 0 ) . Ta có hệ phương trình:

D

IỄ N

Đ

ÀN

t 2 + x − 1 = ( 2 − x ) y  2  y + x − 1 = ( 2 − x ) t

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

Đ

ẠO

 x = 2 (t / m) ⇔  x = −1 ( l )

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

TP

.Q

x ≥ 0  x ≥ 0 2 x = a ⇒ 2 x = x3 + x 2 + 4 ⇔  2 ⇔  2 3 2 4 x = x + x + 4 ( x − 2 ) ( x + 1) = 0

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Trường hợp 2:

t = y ⇒ t 2 − y 2 = ( 2 − x )( y − t ) ⇔ ( t − y )( t + y + 2 − x ) = 0 ⇔  t + y = x − 2

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 29

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Trường hợp 1: 1  x ≤ t = y ⇒ 1 − 3x = 3x − 8 x + 3 ⇔  3 2 3 x − 8 x + 3 = 9 x 2 − 6 x + 1 

N Ơ H

TR ẦN

H Ư

N

G

3  x ≥  4 t + y = x − 2 ⇔ 3x 2 − 8 x + 3 = 4 x − 3 ⇔  2 13 x − 16 x + 6 = 0 ( ptvn ) 

Ví dụ 7: Giải phương trình:

2x + 1 + x2 + x + 5 = 2x

Ó

A

Lời giải:

10 00

B

 −1 + 13 −1 − 13  Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =  ; .

6 6  

H

1 2

-L

Í-

Điều kiện xác định: x ≥ −

ÁN

Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có

TO

2x + 1 + x2 + x + 5 = 2 x

IỄ N

Đ

⇔ 2x + 1 +

2 x + 1 = t ( t ≥ 0 ) . Phương trình trở thành:

D

Đặt

1 19 2 ( 2 x + 1) + = ( 2 x + 1) − 1 4 4

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đ

Trường hợp 2:

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

TP

.Q

U Y

N

 −1 + 13 1  x= (t / m)  x ≤ 6 ⇔ ⇔ 3  −1 − 13 3 x 2 + x − 1 = 0  (t / m ) x = 6 

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

2

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 30

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

1 4 19 2 = t −1 t + 4 4

N

⇔ 2t + t 4 + 19 = 2 ( t 2 − 1) ⇔ t 4 + 19 = 2 ( t 2 − t − 1)

Ơ

2

N

H

⇔ t 4 + 19 = 4 ( t 2 − t − 1) ⇔ 4 ( t 4 − 2t 3 − t 2 + 2t + 1) − t 4 − 19 = 0

U Y TP

.Q

t = 3 ⇔ 3 2 3t + t − t + 5 = 0

Đ

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Trường hợp 1:

N

G

t = 3 ⇒ 2x + 1 = 3 ⇔ x = 4 (t / m )

H Ư

Trường hợp 2:

TR ẦN

3t 3 + t 2 − t + 5 = 0

B

Ta có: x ≥ 0 ⇒ t ≥ 1 ⇒ 3t 3 + t 2 − t + 5 = 3t 3 + 5 + t ( t − 1) > 0

10 00

Do đó phương trình trên vô nghiệm.

Ó

A

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {4} .

TO

ÁN

-L

Í-

H

Cách 2: ta có thể giải bằng phương pháp nhân liên hợp.

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇔ 3t 4 − 8t 3 − 4t 2 + 8t − 15 = 0 ⇔ ( t − 3) ( 3t 3 + t 2 − t + 5 ) = 0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

t+

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 31

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Hướng dẫn học sinh tự học, tự nghiên cứu.

Ơ

U Y

3

.Q

3

= a 3 + b3 + c3 + 3 ( a + b )( b + c )( c + a )

a 3 + b3 − ab ( a + b ) = ( a + b )( a − b )

2

TR ẦN

a 3 + b3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 )

(

N

3

H Ư

(a + b + c)

G

Đ

ẠO

trình vô tỉ chứa căn bậc ba. Ta sẽ tạo ra một số phương trình vô tỉ từ các hằng đẳng thức.

)(

)

10 00

B

a 4 + b 4 = a 2 − 2ab + b 2 a 2 + 2ab + b 2

Ví dụ 1:Cho a = 3 7 x + 1, b = − 3 x 2 − x − 8, c = 3 x 2 − 8 x − 1 ta có:

Ó

A

a 3 + b3 + c3 = 8 . Như vậy ta được bài toán sau:

-L

7 x + 1 − 3 x2 − x − 8 + 3 x2 − 8x − 1 = 2 .

ÁN

3

Í-

H

Bài toán 1( Đề nghị Olympic 30/4/1999 ). Giải phương trình:

Ví dụ 2:Từ hằng đẳng thức a 3 + b3 − ab ( a + b ) = ( a + b )( a − b )

2

Đ

ÀN

Ta chọn a = 3 x + 1, b = − 3 x + 2 khi đó:

D

IỄ N

a3 + b3 − ab ( a + b ) = −1 + 3 x 2 + 3x + 2

(

3

x +1 − 3 x + 2

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

Bằng cách chọn a, b, c sao cho ( a + b + c ) = a 3 + b3 + c 3 ta sẽ tạo ra được phương

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ta có: ( a + b + c ) = a 3 + b3 + c 3 ⇔ ( a + b )( b + c )( c + a ) = 0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

3

Ví dụ từ hằng đẳng thức: ( a + b + c ) = a 3 + b3 + c 3 + 3 ( a + b )( b + c )( c + a )

N

Phân tích : Xuất phát từ các hằng đẳng thức đáng nhớ chúng ta có thể sáng tạo ra một lớp các phương trình vô tỉ hay và khó.

)

Bằng cách cho a 3 + b3 − ab ( a + b ) = 0 ta được bài toán sau:

Bài 2: Giải phương trình sau: Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

3

x 2 + 3x + 2

(

3

)

x + 1 − 3 x + 2 = 1.

Page 32

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Ví dụ 3: Từ hằng đẳng thức x 3 + 8 = ( x + 2 ) ( x 2 − 2 x + 4 )

Ơ

N

Đặt u = x + 2, v = x 2 − 2 x + 4 ⇒ uv = x3 + 8

U Y

.Q

2 ( 2u 2 + v 2 ) = 5uv ta có phương trình:

Đ

ẠO

2 ( x 2 + 8) = 5 x3 + 8

H Ư

N

G

2 ( x 2 + 8) = 5 x3 + 8

Bài 3:Giải phương trình sau:

TR ẦN

Ví dụ 3: Từ hằng đẳng thức a 4 + 4 = ( a 2 + 2a + 2 )( a 2 − 2a + 2 ) Đặt: u = x 2 + 2 x + 2, v = x 2 − 2 x + 2 khi đó uv = x 4 + 4

10 00

B

Ta muốn sáng tác một phương trình dạng au 2 − buv + cv 2 = 0

A

Ta tính au 2 + cv 2 theo x , sau đó cho buv = au 2 + cv 2 ta được phương trình ẩn x .

H

Ó

Xét ( u − 2v )( 3u − v ) = 0 ⇔ 3u 2 + 2v 2 = 7uv

-L

Í-

Mà 3u 2 + 2v 2 = 5 x 2 + 2 x + 10 ta sẽ tạo ra bài toán sau:

TO

ÁN

Bài 4: Giải phương trình: 5 x 2 + 2 x + 10 = 7 x 4 + 4 .

D

IỄ N

Đ

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

Ví dụ ta có: 2u 2 + v 2 = x 2 + 8 . Xét

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ta tính au 2 + cv 2 theo x , sau đó cho buv = au 2 + cv 2 ta được phương trình ẩn x .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Ta muốn sáng tác một phương trình dạng au 2 − buv + cv 2 = 0

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 33

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Tương tự ta có thể giải một số phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

N

Bài tập: Giải các phương trình:

.Q TP

4 x 2 − 2 x − 3 20 + 2 x − 11 2 x + 3 = 2x 2x + 2x + 3

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

(

4

N

1 =2 x −3

2x − 7 + 4 x − 3 + 5

)

H Ư

1 + 2x − 7

TR ẦN

4) 3 x +

G

Đ

3)

ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Ó

A

6) x 2 + 3 x 4 − x 2 = 2 x + 1

10 00

B

5) ( 4 x − 1) 3 − 2 x + ( 7 − 4 x ) 2 x − 1 = 2 −4 x 2 + 8 x − 3 + 4

-L

Í-

H

7) 18 x 2 − 18 x + 5 = 3 3 9 x 2 − 9 x + 2

ÁN

8) x + x 2 − 3 x + 9 = x 2 + 2 x + 10 + 1 4

1 + 2 x − x 2 + 1 − 2 x − x 2 = 2 (1 − x ) ( 2 x 2 − 4 x + 1)

D

IỄ N

Đ

ÀN

9)

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

)

U Y

(

2) ( 2 x + 1) 1 + 2 x + 1 + 1 = 3 2 x + 1 3 ( x + 1)

N

H

Ơ

1) x 1 + x + ( x + 2 ) 1 − x = x + 1 + 1 − x 2

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 34

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

3. Phương pháp hàm số đơn điệu.

U Y

G

Đ

Lời giải:

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Ví dụ 1:Giải phương trình sau: 3 x 3 + 4 x 2 − 1 = 3 x 6 + 2 x 3 + x 2

TP

.Q

∀ u , v ∈ D, f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v .

H Ư

N

Điều kiện xác định: x ∈ ℝ .

TR ẦN

+ Nhận xét: x = 0 không là nghiệm của phương trình trên. Ta có:

1 1 1 1 + x 3 + 2 + = 3 x3 + 2 + + x3 + 2 + x x x x

10 00

⇔ 3x 2 + 4 x −

1 3 3 1 = x +2+ x x

B

3x3 + 4 x 2 − 1 = 3 x 6 + 2 x3 + x 2 ⇔ 3x 2 + 4 x −

H

Ó

A

⇔ ( x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1) + ( x + 1) = x3 + 2 + 3

-L

Í-

⇔ ( x + 1) + ( x + 1) = x3 + 2 +

ÁN

Xét hàm số: f ( t ) = t 3 + t

1 3 3 1 + x +2+ x x

1 3 3 1 + x + 2 + (1) x x

∀t ∈ ℝ ⇒ f ' ( t ) = 3t 2 + 1 > 0

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

+ Nếu hàm số f ( x ) là hàm số đơn điệu trên miền D thì

ÀN

Hàm số f ( t ) liên tục trên tập ℝ suy ra hàm số f ( t ) đồng biến trên ℝ .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

nếu có nghiệm thì có nghiệm duy nhất trên miền D .

Ơ

+ Nếu hàm số f ( x ) là hàm số đơn điệu trên miền D thì phương trình f ( x ) = 0

N

Phương pháp:

D

IỄ N

Đ

Ta có:

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 35

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

 1 1 f  3 x3 + 2 +  ⇔ x + 1 = 3 x3 + 2 + x x  1 1 3 ⇔ ( x + 1) = x3 + 2 + ⇔ 3 x 2 + 3 x + 1 = 2 + x x 3 2 2 ⇔ 3 x + 3 x − x − 1 = 0 ⇔ ( x + 1) ( 3 x − 1) = 0

N Ơ H Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

H Ư

8 x 2 + x + 1 ( x + 1)( 9 x − 14 ) x − 2 = Ví dụ 2: Giải phương trình: .

3 x x +1 Lời giải:

10 00

B

Điều kiện xác định: x ≥ 2

Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có

H

Ó

A

8 x 2 + x + 1 ( x + 1)( 9 x − 14 ) x − 2 . = 3 x x +1

-L

Í-

3 x3 + x 2 + x = ( 9 x − 14 ) x − 2 ( x + 1) x + 1 8

ÁN

⇔

x ( x + 1) 3 x3 ⇔ + = 9 ( x − 2 ) + 4  x − 2 ( x + 1) x + 1 ( x + 1) x + 1 8 3

x 27 3 = ( x − 2) x − 2 + x−2 2 x +1 8

3

x 3  3 x−2 + x − 2 (1) = x +1  2  2

ÀN

Đ IỄ N

 x  ⇔  +  x +1 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N .Q TP ẠO Đ

G

N

1   Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = −1; ± .

3  

 x  ⇔  +  x +1 

D

U Y

 x = −1 ( t / m ) ⇔  x = ± 1 (t / m )  3

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

(1) ⇔ f ( x + 1) =

3

Xét hàm số f (t) = t 3 + t ∀t ∈ ℝ ⇒ f ' ( t ) = 3t 2 + 1 > 0 Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 36

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Hàm số f ( t ) liên tục trên tập ℝ suy ra hàm số f ( t ) đồng biến trên ℝ .

H Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ G N H Ư

TR ẦN

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {3} .

(

2x + 3 − 2

)

Lời giải:

Ó

A

3 Điều kiện xác định: x ≥ − .

2

10 00

B

4 x2 + 8x − 5 Ví dụ 3: Giải phương trình sau: = ( 4x + 4) 2x2 + 1

TO

ÁN

-L

Í-

H

Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có

D

IỄ N

Đ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

.Q

ẠO

TP

x ≥ 2   x = 3 (t / m ) ⇔  6    x = − 5 ( l )

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ơ

 x  f =  x +1 

3 x 3  f x−2⇔ = x−2 x +1 2 2  x ≥ 2  x ≥ 2 ⇔ 2 x = 3 ( x − 2 )( x + 1) ⇔  2 ⇔ 2  4 x = 9 ( x + 1)( x − 2 ) 5 x − 9 x − 18 = 0

(1) ⇔

N

Ta có:

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 37

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

)

2x + 3 − 2 ⇔

( 2 x − 1)( 2 x + 5) = ( 4 x + 4 )( 2 x − 1) 2 x2 + 1

2x + 3 + 2

(

)

2

Ơ H N .Q

3

2

ẠO

)

2x + 3

+ 2 2 x + 3 = ( 2 x ) + 2 ( 2 x ) + 2.2 x ( 2 )

G

(

3

2x + 3 + 2

N

⇔

Đ

⇔ ( 2 x + 3) 2 x + 3 + 2 2 x + 3 + 2 ( 2 x + 3) = 8 x3 + 8 x 2 + 4 x

TP

⇔ ( 2 x + 5) 2 x + 3 = 8 x3 + 8 x 2 − 6

H Ư

Xét hàm số f ( t ) = t 3 + 2t 2 + 2t ∀t ∈ ℝ ⇒ f ' ( t ) = 3t 2 + 4t + 2 > 0

TR ẦN

Hàm số f ( t ) liên tục trên ℝ suy ra hàm số f ( t ) đồng biến trên ℝ

f

(

)

10 00

( 2) ⇔

B

Từ phương trình (2) ta có:

2x + 3 = f ( 2x) ⇔ 2x + 3 = 2x

-L

Í-

H

Ó

A

 1 + 13 (t / m) x = x ≥ 0 x ≥ 0 4 ⇔ ⇔ 2 ⇔ 2 2 x + 3 = 4 x 4 x − 2 x − 3 = 0  1 − 13   (l ) x =  4

TO

ÁN

1 + 13 1  Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =  ; .

2   4

IỄ N

Đ

x3 − x2 − 4 x + 4 Ví dụ 4: Giải phương trình: 3 = x − 2 x2 + x + 6

D

U Y

)

2 x + 3 + 2 = ( 4 x + 4 ) ( 2 x 2 + 1)

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

(1) ⇔ ( 2 x + 5 ) (

N

1  2 x − 1 = 0 ⇔ x = 2 (t / m ) ⇔  2x + 5 = 4x + 4 (1)  2 x 2 + 1 2x + 3 + 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

(

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

4 x2 + 8x − 5 = ( 4x + 4) 2 x2 + 1

x2 − 3 − 1 x +1

Lời giải:

Điều kiện xác định:

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 38

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ 3 2  x − 2 x + x + 6 ≠ 0, x + 1 ≠ 0  2  x − 3 ≥ 0

Ơ H Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H Ư

N

G

x2 − 3 + 1

TR ẦN

⇔ x3 − 3 x 2 + x + 7 = ( x 2 − 1) x 2 − 3

⇔ x3 − 3 x 2 + x + 7 + 2 ( x 2 − 3) = ( x 2 − 1) x 2 − 3 + 2 x 2 − 3 + 2 ( x 2 − 3) 2

(

) (

x −3 + 2

2

x −3

2

) +2

x2 − 3 ( 2)

10 00

⇔ ( x − 1) + 2 ( x − 1) + 2 ( x − 1) =

3

2

B

3

Xét hàm số

Ó

A

f ( t ) = t 3 + 2t 2 + 2t ∀t ∈ ℝ

-L

Í-

H

⇒ f ' ( t ) = 3t 2 + 4t + 2 > 0 ∀t ∈ ℝ

ÁN

Hàm số f ( t ) liên tục trên ℝ suy ra hàm số đồng biến trên ℝ .

Từ pt (2) ta có:

f

(

x ≥ 1 x2 − 3 ⇔ x − 1 = x2 − 3 ⇔  2 ⇔ x = 2(t / m) 2 − + = − x 2 x 1 x 3 

)

D

IỄ N

Đ

ÀN

( 2 ) ⇔ f ( x − 1) =

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

.Q

)

TP

(1) ⇔ x3 − 2 x 2 + x + 6 = ( x 2 − 1) (

)

(

ẠO

(1)

Đ

 x 2 − 4 = 0 ⇔ x = ±2 ( t / m )  x −1 1 ⇔ = 3 2  x − 2x + x + 6 ( x + 1) x 2 − 3 + 1 

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

)

(

U Y

( x − 1) ( x 2 − 4 ) x2 − 3 − 1 x2 − 4 ⇔ 3 = x +1 x − 2 x 2 + x + 6 ( x + 1) x 2 − 3 + 1

x3 − x 2 − 4 x + 4 = x3 − 2 x2 + x + 6

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có

Vậy tập nghiệm của phương trình trên là: S = {2} .

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 39

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

x 2 + 4 x − 12 = ( x + 2) x 2 − 2 x + 10

Ví dụ 5: Giải phương trình:

(

x+2 −2

) Ơ

N

Lời giải:

( x − 2 )( x + 6 ) = ( x − 2 )( x + 2 ) x 2 − 2 x + 10

H Ư

N

G

Đ

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

3

x + 2 = x 3 + 6 x + 20 ⇔ x3 + 4 x + 8 = ( x + 6 ) x + 2

2

⇔ ( x + 1) − 3 ( x + 1) + 4 ( x + 1) =

3

)

x+2

− 3( x + 2) + 4 x + 2 ( 2)

10 00

B

Xét hàm số:

(

TR ẦN

(1) ⇔ 2 x + 12 + ( x + 6 )

ẠO

 x = 2 (t / m) ⇔ x+6 x+2  = (1) 2  x − 2 x + 10 2 + x + 2

2+ x+2

f ( t ) = t 3 − 3t 2 + 4t ∀t ∈ ℝ

A

2

H

Ó

⇒ f ' ( t ) = 3t 2 − 6t + 4 = 3 ( t − 1) + 1 > 0 ∀t ∈ ℝ

ÁN

Ta có:

-L

Í-

Hàm số f ( t ) liên tục trên ℝ suy ra hàm số đồng biến trên ℝ

TO

 x ≥ −1 x + 2 ⇔ x +1= x + 2 ⇔  2 ( x + 1) = x + 2  x ≥ −1   −1 + 5   x ≥ −1  x = (t / m) ⇔ 2 ⇔ 2  x + x − 1 = 0    x = −1 − 5 ( l ) 2  

( 2 ) ⇔ f ( x + 1) = f

(

)

D

IỄ N

Đ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

)

x+2 −2 ⇔

.Q

(

TP

x 2 + 4 x − 12 = ( x + 2) x 2 − 2 x + 10

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có

U Y

N

H

Điều kiện xác định: x ≥ −2

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 40

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

N H Ư

10 00

13   x = 8 (t / m ) ⇔ x x −1  = (1) 2  x − 3 x + 4 3 + 2 2 x − 1

A

2 x − 1 = x3 − 4 x2 + 7 x − 4

Ó

(1) ⇔ 3x + 2 x

G

) TR ẦN

(

B

8 x 2 − 13 x = ( x − 1) 2 2 x − 1 − 3 x 2 − 3x + 4 x ( 8 x − 13) ( x − 1)( 8 x − 13) ⇔ 2 = x − 3x + 4 3 + 2 2x −1

Đ

Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có

H

⇔ x3 − 4 x 2 + 4 x − 4 = 2 x 2 x − 1 2

Í-

3

-L

⇔ ( x − 1) − ( x − 1) + ( x − 1) =

(

)

3

2 x − 1 − ( 2 x − 1) + 2 x − 1 ( 2 )

ÁN

Xét hàm số: f (t) = t 3 − t 2 + t ∀t ∈ ℝ ⇒ f '(t) = 3t 2 − 2t + 1 > 0

ÀN

Hàm số f ( t ) liên tục trên ℝ suy ra hàm số đồng biến trên ℝ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y TP

.Q

1 2

ẠO

Điều kiện xác định: x ≥

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Lời giải:

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ơ

)

N

(

H

8 x 2 − 13 x Ví dụ 6: Giải phương trình sau: 2 = ( x − 1) 2 2 x − 1 − 3 x − 3x + 4

N

 −1 + 5  Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =  ; 2 .  2 

D

IỄ N

Đ

Ta có:

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 41

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

(

)

2x − 1 ⇔ x − 1 = 2x − 1

N Ơ H N U Y TP

ẠO

7 x − 2x + 4 2

Đ

Ví dụ 7: Giải phương trình: x + 1 = x x − 2 +

.Q

13   Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =  2 + 2; .

8 

Điều kiện xác định: x ≥ 2

7 x2 − 2x + 4

B

x +1 = x x − 2 +

TR ẦN

Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có

H Ư

N

G

Lời giải:

10 00

7 x2 − 2x − 3 2 x x x = − − ⇔ = x x − 2 −1 x2 − 2 x + 4 x2 − 2x + 4  x = 3 (t / m) x + 1)( x − 3) x ( x − 3) ( ⇔ 2 = ⇔  x +1 x x − 2x + 4 = x − 2 +1  2 (1) x − 2 +1  x − 2 x + 4

(

)

(

( x − 1)

2

+3

x−2

)

3

=

x −1+1 ⇔ ( x − 2 + 3) x − 2 +1 3

(

2 x − 2 + 1 = ( x − 1) + 3 ( x − 1 + 1)  

)

2

+ x − 2 + 3 x − 2 + 3 = ( x − 1) + ( x − 1) + 3 ( x − 1) + 3 ( 2 )

ÀN

⇔

x−2+3

ÁN

(1) ⇔

-L

Í-

H

Ó

A

⇔ 1−

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

x ≥ 1  x ≥ 1  x ≥ 1  ⇔ ⇔ 2 = 0 ⇔  x = 2 + 2 ( t / m ) 2 ( x − 1) = 2 x − 1  x − 4 x + 2    x = 2 − 2 ( l )

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

f

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

( 2 ) ⇔ f ( x − 1) =

IỄ N

Đ

Xét hàm số

D

f (t) = t 3 + t 2 + 3t ∀t ∈ [ 0; +∞ )

⇒ f ' ( t ) = 3t 2 + 2t + 3 > 0 ∀t ∈ [ 0; +∞ )

Hàm số f (t) liên tục trên [ 0; +∞ ) suy ra hàm số f (t) đồng biến trên [ 0; +∞ ) .

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 42

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Ta có:

)

x − 2 = f ( x − 1) ⇔ x − 2 = x − 1

U Y

N

H

Ơ

N

 x ≥ 2  x ≥ 2 ⇔ ⇔  2 2 ( x − 1) = x − 2  x − 3 x + 3 = 0 ( ptvn )

.Q ẠO

(

x+3−2

)

Đ

x 2 + 3x − 4 = ( 2x + 2) 2x + 1 + 2

G

Ví dụ 8: Giải phương trình:

TP

Cách 2: ta có thể sử dụng phương pháp nhân liên hợp.

1 2

TR ẦN

Điều kiện xác định: x ≥ −

H Ư

N

Lời giải:

10 00

(

x+3−2

)

 x = 1 (t / m)

A

x 2 + 3x − 4 = ( 2x + 2) 2x + 1 + 2

B

Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có

Ó

( x − 1)( x + 4 ) = ( x − 1)( 2 x + 2 ) ⇔  ⇔

H

 x+4 =  2 x + 1 + 2

x+3+2

-L

Í-

2x + 1 + 2

2x + 1 + 1 x + 3 +1 = ⇔ ( x + 3 + 1) 2x + 1 + 2 x+3 +2

⇔

(

ÁN

(1) ⇔

3

)

x+3 +2

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {3} .

(

x+3

)

2

+ x+3 =

(

(

2x + 2 (1) x+3+2

)

x + 3 + 2 = ( 2 x + 1 + 1) 3

)

2x + 1 + 2

(

)

(

2x + 1 + 2

)

2

2 x + 1 + 2x + 1 ( 2)

Đ

ÀN

xét hàm số: f ( t ) = t 3 + 2t 2 + t ∀t ∈ [ 0; +∞ )

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

(

f

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

( 2) ⇔

D

IỄ N

⇒ f ' ( t ) = 3t 2 + 4t + 1 > 0 ∀t ∈ [ 0; +∞ )

Hàm số f ( t ) liên tục trên [ 0; +∞ ) suy ra hàm số f ( t ) đồng biến trên [ 0; +∞ ) .

( 2) ⇔

f

(

) (

x+3 = f

)

2x + 1 ⇔ x + 3 = 2x + 1 ⇔ x = 2 (t / m)

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 43

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1; 2} .

Ơ U Y .Q

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO Đ

TR ẦN

H Ư

N

G

3   2 2 x − + 1   2 x − 6 x + 6 = 4 x − 16 x + 17 2x − 4   ( x − 1)( 2 x − 4 ) + 3 2 x 2 − 6 x + 6 = 4 x − 2 2 + 1 ⇔ ( ) 2x − 4 2 ( x 2 − 3x + 2 ) + 3 2 ⇔ 2 ( x 2 − 3x + 2 ) + 2 = 4 ( x − 2 ) + 1 2( x − 2)

TP

Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có

3 2 ⇔  2 ( x 2 − 3 x + 2 ) + 3 2 ( x 2 − 3 x + 2 ) + 2 = 8 ( x − 2 ) + 2 ( x − 2 )

B

3

10 00

3 ⇔  2 ( x 2 − 3 x + 2 ) + 2  + 2 ( x 2 − 3 x + 2 ) + 2 =  2 ( x − 2 )  + 2 ( x − 2 ) (1)  

H

Ó

A

Xét hàm số: f ( t ) = t 3 + t ∀t ∈ ℝ ⇒ f ' ( t ) = 3t 2 + 1 > 0 ∀t ∈ ℝ

-L

Í-

Hàm số f ( t ) liên tục trên ℝ suy ra hàm số đồng biến trên ℝ

f

(

)

2 ( x 2 − 3x + 2 ) + 2 = f ( 2 ( x − 2 ) ) ⇔ 2 ( x 2 − 3x + 2 ) + 2 = 2 x − 4

TO

(1) ⇔

ÁN

Ta có:

 5+ 5 = x (t / m)   x > 2 x > 2 2 ⇔ 2 ⇔ 2 ⇔ 2 2 − 6 + 6 = 4 − 4 + 4 x x x x − 5 + 5 = 0 x x  ( ) 5− 5   (l ) x =  2

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Điều kiện xác định: x ≠ 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Lời giải:

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

3   2 2 Ví dụ 9: Giải phương trình:  x − 1 +  2 x − 6 x + 6 = 4 x − 16 x + 17 2x − 4  

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 44

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

H

Ơ

Ví dụ 10: Giải phương trình: ( x + 1)( 3x + 1) + x 4 + 3x 2 + 2 ( 2 x + 1) x 2 + x + 1 = 0

N

 5 + 5  Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =  .  2 

.Q

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2

⇔ ( 2 x + 1) − x 2 + x x 2 + 3 x + ( 2 x + 1)

2

+3 =0

H Ư

( 2 x + 1)

N

G

⇔ 3 x 2 + 4 x + 1 + x 4 + 3 x 2 + ( 2 x + 1) 4 x 2 + 4 x + 4 = 0

2

( 2 x + 1)

2

+ 3 = x 2 − x x 2 + 3x

2

( 2 x + 1)

2

+ 3 = (− x ) + − x

2

(

x 2 + 3x

) (1)

B

⇔ ( 2 x + 1) + ( 2 x + 1)

TR ẦN

⇔ ( 2 x + 1) + ( 2 x + 1)

2

10 00

Xét hàm số 2

2

t2 t2 + 3

H

Ó

A

f ( t ) = t + t t + 3 ∀t ∈ ℝ ⇒ f ' ( t ) = 2t + t + 3 +

t2

ÁN

t2 + 3 +

-L

Í-

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có:

2

t +3

≥ 2 t ≥ −2t ⇒ 2t + t 2 + 3 +

2

IỄ N

Đ

ÀN

Dấu bằng xảy ra ⇔ t + 3 =

2

Do đó: 2t + t + 3 +

D

ẠO

x 4 + 3 x 2 + 2 ( 2 x + 1) x 2 + x + 1 = 0

Đ

( x + 1)( 3x + 1) +

TP

Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Điều kiện xác định: x ∈ ℝ

t2 t2 + 3

t2 2

t +3

t2 2

t +3

≥ 0 ∀t ∈ ℝ

⇔ t 2 + 3 = t 2 ( vô lí )

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

Lời giải:

> 0 ∀t ∈ ℝ

Hàm số f ( t ) liên tục trên ℝ nên hàm số đồng biến trên ℝ .

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 45

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Ta có:

10 00

1 3 Điều kiện xác định: − ≤ x ≤ 2 2

N

H Ư

B

Lời giải:

1 2 ( 2 x − 1) ( 4 x 2 − 4 x + 3) 4

TR ẦN

4 + 2 4x − 4x2 + 3 + 2x + 1 + 3 − 2x =

G

Đ

Ví dụ 11: Giải phương trình :

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {−1} .

Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có

H

Ó

A

4 + 2 4x − 4x2 + 3 + 2x + 1 + 3 − 2x =

Í-

2x + 1 + 3 − 2x

) +(

-L

(

2

 ( 2 x − 1)2  ( 2 x − 1)2 2x + 1 + 3 − 2x =   + (1) 2 2  

)

ÁN

⇔

2

1 2 ( 2 x − 1) ( 4 x 2 − 4 x + 3) 4

Xét hàm số:

ÀN

f ( t ) = t 2 + t ∀ t ∈ [ 0; +∞ )

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP

.Q

U Y

N

H

Ơ

N

 x ≥ 0    x = −1 ( l )  3 ⇔   x<0    x = −1 ( t / m ) 

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

(1) ⇔ f ( 2 x + 1) = f ( − x ) ⇔ 2 x + 1 = − x

IỄ N

Đ

⇒ f ' ( t ) = 2t + 1 > 0 ∀ t ∈ [ 0; +∞ )

D

Hàm số Hàm số f ( t ) liên tục trên [ 0; +∞ ) suy ra hàm số f ( t ) đồng biến trên

[0; +∞ ) .

Ta có: Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 46

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

)

Đặt y = 4 − ( 2 x − 1)

2

N

( 0 ≤ y ≤ 2 ) ⇒ ( 2 x − 1)

2

( 2 x − 1) = 4

= 4 − y2

Đ

Phương trình trên trở thành:

H Ư

N

⇔ y ( y + 2) ( y2 − 2 y − 4) = 0 ⇔ y = 0 ( 0 ≤ y ≤ 2)

4

3 (t / m) .

2

TR ẦN

Với y = 0 ⇒ x =

G

2 2

(4 − y ) 4 + 2y =

4

N

⇔ 4 + 2 4 − ( 2 x − 1)

2

10 00

B

3 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =   . 2

H

Ó

A

9 x 2 − 9 x − 10 = 3x3 − x 2 Ví dụ 12: Giải phương trình: 2 x + 2 x − 4x + 7

-L

Í-

Lời giải:

TO

ÁN

x = 0 3 x3 − x 2 ≥ 0 Điều kiện xác định:  2 ⇔ 1 x ≥  x − 4 x + 7 ≠ 0 3 

IỄ N

Đ

1 Nhận xét x = 0 không là nghiệm của phương trình nên x ≥ .

3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

4

4

U Y

( 2 x − 1) +3 =

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇔ 4 + 2 4x − 4x

2

H

2

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

⇔ 2x + 1 +

2

Ơ

( 2 x − 1) 3 − 2x =

.Q

(

TP

f

ẠO

(1) ⇔

 ( 2 x − 1)2  2x + 1 + 3 − 2x = f     2  

D

Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 47

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

9 x 2 − 9 x − 10 = 3x3 − x 2 2 x − 4x + 7 ( 3x − 5 )( 3x + 2 ) = x 3x − 1 − 2 x ⇔ x2 − 4x + 7

N Ơ H Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ G

N

H Ư

⇒ f ' ( t ) = 3t 2 + 4t + 3 > 0 ∀t ∈ ℝ

10 00

B

( 2) ⇔ f ( a ) = f (b ) ⇔ a = b

TR ẦN

Xét hàm số: f ( t ) = ( t 2 + 3) ( t + 2 ) = t 3 + 2t 2 + 3t + 6 ∀t ∈ ℝ

Khi đó:

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

x ≥ 2    x = 7 + 29 x ≥ 2 3x − 1 = x − 2 ⇔  2 ⇔  2  x − 7 x + 5 = 0    x = 7 − 29 2  

(t / m ) (l )

Đ

ÀN

 7 + 29 5  ; .

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =  3   2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

ẠO

Đặt a = 3 x − 1; b = x − 2 . Phương trình (1) trở thành: a2 + 3 b + 2 = ⇔ ( a 2 + 3 ) ( a + 2 ) = ( b 2 + 3) ( b + 2 ) ( 2 ) 2 b +3 a+2

.Q

TP

5  x = (t / m)  ( 3x − 5 )( 3x + 2 ) = x ( 3x − 5 ) ⇔  3 ⇔  3x + 2 = ( x − 2 ) + 2 1 x2 − 4x + 7 3x − 1 + 2 ()  ( x − 2 )2 + 3 3 x − 1 + 2 

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

2x +

D

IỄ N

4 x 2 − 17 x Ví dụ 13: Giải phương trình: 2 = 2 x − 4 −1 ( x − 2 x + 5) ( 2 x − 1)

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 48

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Lời giải:

Điều kiện xác định: x ≥ 4 .

Ơ

N

Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có

H

2

+4

Đ G N

2 ( x − 1) + 1 2 x − 4 +1

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

( x − 1)

=

H Ư

x−4+4

TR ẦN

(1) ⇔

ẠO

17   x = 4 (t / m ) ⇔ x 2x −1  = (1) 2  x − 2 x + 5 2 x − 4 + 1

10 00

B

Đặt: a = x − 1; b = x − 4 ta có phương trình (1) trở thành:

H

Ó

A

b 2 + 4 2a + 1 = ⇔ ( b 2 + 4 ) ( 2b + 1) = ( a 2 + 4 ) ( 2a + 1) 2 a + 4 2b + 1 ⇔ 2a 3 +a 2 +8a = 2b3 +b 2 +8b ( 2 )

-L

Í-

Xét hàm số

ÁN

f ( t ) = 2t 3 + t 2 + 8t ∀t ∈ ℝ ⇒ f ' ( t ) = 6t 2 + 2t + 8 > 0 ∀t ∈ ℝ

ÀN

Hàm số f ( t ) liên tục trên ℝ nên hàm số đồng biến trên ℝ .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q

4 x 2 − 17 x 4 x − 17 = ( x 2 − 2 x + 5) ( 2 x − 1) 2 x − 4 + 1

TP

⇔

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

4 x 2 − 17 x = 2 x − 4 −1 ( x2 − 2 x + 5) ( 2 x − 1)

D

IỄ N

Đ

Ta có: ( 2 ) ⇔ f ( a ) = f ( b ) ⇔ a = b

Khi đó:

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 49

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

 x ≥ 4 x − 4 = x −1 ⇔  2  x − 3 x + 5 = 0 ( ptvn )

Ơ H .Q Đ

Điều kiện xác định: x ≥ −3

)

x + 3 −1

TR ẦN

(

H Ư

N

G

Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có x2 + 6 x + 8 =x x2 − 2x + 2

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Lời giải:

10 00

B

 x = −2 ( t / m ) 2 4 2 x + x + x x + ( )( )= ( ) ⇔ ⇔ 2 x  x+4 = (1) x − 2x + 2 x + 3 +1 2  ( x − 1) + 1 x + 3 + 1 

Ó

A

Đặt: u = x + 3; v = x − 1. Phương trình (1) trở thành:

ÁN

Xét hàm số

-L

Í-

H

u2 + 1 v + 1 = ⇔ u 3 + u 2 + u = v3 + v 2 + v 2 v +1 u +1

f ( t ) = t 3 + t 2 + t ∀t ∈ ℝ ⇒ f ' ( t ) = 3t 2 + 2t + 1 > 0 ∀t ∈ ℝ

D

IỄ N

Đ

ÀN

Ta có:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

)

x + 3 −1

TP

(

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

x2 + 6x + 8 =x Ví dụ 14: Giải phương trình: 2 x − 2x + 2

N

17  Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =   . 4

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 50

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

N Ơ H Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ G N H Ư TR ẦN B 10 00 A Ó H Í-L ÁN TO

D

IỄ N

Đ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q TP

ẠO

 3 + 17  Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =  ; −2  .  2 

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

x ≥ 1 f (u ) = f ( v ) ⇔ u = v ⇒ x + 3 = x − 1 ⇔  2 x + 3 = x − 2x + 1 x ≥ 1    x = 3 + 17 ( t / m ) ⇔  2     x = 3 − 17 ( l ) 2  

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 51

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Ơ

Phân tích: Dựa vào nội dung phương pháp giáo viên có thể hướng dẫn học sinh tự phát triển và sáng tạo phương trình vô tỉ dựa vào tính đơn điệu của hàm số.

N

Hướng dẫn học sinh tự học và nghiên cứu :

U Y

)

− x3 + 9 x 2 − 19 x + 11 = f ( x − 1) ta có pt:

.Q 3

ẠO

− x3 + 9 x 2 − 19 x + 11 + 2 3 − x3 + 9 x 2 − 19 x + 11 = ( x − 1) + 2 ( x − 1)

G

Đ

Khai triển và rút gọn ta có bài toán thi OLYMPIC 30/4/2009:

(

3

)

7 x 2 + 9 x − 4 ta có pt:

3

TR ẦN

+) Cho f ( x + 1) = f

H Ư

N

Giải phương trình sau: x 3 − 6 x 2 + 12 x − 7 = 3 − x 3 + 9 x 2 − 19 x + 11

B

( x + 1) + ( x + 1) = 7 x 2 + 9 x − 4 + 3 7 x 2 + 9 x − 4

10 00

Khai triển và rút gọn ta có bài toán thi học sinh giỏi Tp HCM năm 2004-2005

3

)

6 x + 1 ta có pt:

H

(

-L

Í-

+) Cho f ( 2 x ) = f

Ó

A

x3 − 4 x 2 − 5 x + 6 = 3 7 x 2 + 9 x − 4

ÁN

8 x3 + 2 x = 6 x + 1 + 3 6 x + 1

Khai triển và rút gọn ta có bài toán sau:

ÀN

8 x3 − 4 x − 1 = 3 6 x + 1

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

3

TP

(

TO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

+) Cho f

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Ví dụ 1: Xét hàm số f ( t ) = t 3 + 2t đồng biến trên ℝ

D

IỄ N

Đ

Từ hàm số trên ta xây dựng được hệ thống các bài tập tương tự như trong ví dụ 1, 2, 9.

Như vậy thông qua các ví dụ trên học sinh có thể tự xây dựng hệ thống các bài tập giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp hàm số đơn điệu.

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 52

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Bài tập: Giải các phương trình:

Ơ

N

1) −2 x 3 + 10 x 2 − 17 x + 8 = 2 3 5 x − x 3 .x 2

5 + x + 1− x +

5)

5 x3 − 1 + 3 2 x − 1 + x − 4 = 0

6)

x 2 + 15 + 2 = 3 3 x + x 2 + 8

TP

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO Đ G N

H Ư TR ẦN B

x+3 = ( x + 2) x + 2 x3 + x

A

7)

x + x+6 2

( 5 + x )(1 − x ) =

-L

Í-

H

Ó

8) x 5 + x 3 − 1 − 3 x + 4 = 0

TO

ÁN

9) x 3 + 5 x 2 + 3 x + 2 = 3 x 2 + 10 x + 8 x3 x3 + 1

=

1 − x. x

D

IỄ N

Đ

ÀN

10)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

4)

U Y

1 + x2 − x2 + x + 4 = x2 + x + 5 + x

.Q

3)

10 00

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

H

2) x 3 − 5 x − 5 = 3 6 x + 5

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 53

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

III. Hiệu quả do sáng kiến đem lại:

Ơ

H

học sinh khối 10, khối 11 rất hứng thú, giúp các em phát triến tư duy logic, sáng

N

Trongquá trình áp dụng sáng kiến kinh nghiệm trên vào bài giảng, tôi nhận thấy

.Q

G

Đ

Tôi hy vọng sáng kiến kinh nghiệm trên sẽ là một phần tài liệu tham khảo

TR ẦN

H Ư

N

của các thầy giáo, cô giáo và các em học sinh phổ thông.

Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song tài liệu trên cũng không thể tránh khỏi

10 00

B

thiếu sót. Tôi rất mong sự đóng góp ý kiến quý báu của các thầy giáo, cô giáo để hoàn thiện nội dung sáng kiến!

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

Tôi xin chân thành cảm ơn!

D

IỄ N

Đ

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

TP

khác, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến quý báu của thầy cô.

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

trong kì thi THPT Quốc Gia. Tuy nhiên các bài tập trên còn có thể giải theo cách

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

tạo. Phương pháp giải phương trình vô tỉ này còn có thể dạy cho học sinh khối 12

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 54

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CỦA CƠ QUAN ĐƠN VỊ

TÁC GIẢ SÁNG KIẾN (Ký ghi rõ họ tên)

.................................................................................................................................................................

B

.................................................................................................................................................................

10 00

.................................................................................................................................................................

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO (Xác nhận, đánh giá và xếp loại)

D

IỄ N

Đ

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

(Xác nhận, đánh giá và xếp loại)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q TP ẠO Đ G

H Ư

N

CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Ơ

N

Lê Thị Phượng

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 55

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Ó

A

10 00

4. Tạp chí toán học và tuổi trẻ.

B

TR ẦN

3. Tài liệu tham khảo trên mạng internet, các đề ôn thi THPT Quốc Gia năm 2015 - 2016.

TO

ÁN

-L

Í-

H

5. Một số tài liệu ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi.

D

IỄ N

Đ

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H Ư

N

G

Đ

2. Một số đề thi THPT Quốc Gia các năm.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

ẠO

TP

[ Nguyễn Tài Chung, nhà xuất bản tổng hợp thành phố Hồ Chí Minh].

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

1. Sáng tạo và giải phương trình, hệ phương trình bất phương trình

N

H

Ơ

N

Tài liệu tham khảo

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Page 56

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

IỄ N

D

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

ÁN

TO

A

Ó

H B

10 00 TR ẦN G

N

H Ư

ẠO

Đ

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Í-

-L

TP

U Y

.Q

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

ÀN

Đ

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

Ơ

H

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Page 57

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

IỄ N

D

Gv: Lê Thị Phượng – LHP - NĐ

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

ÁN

TO

A

Ó

H B

10 00 TR ẦN G

N

H Ư

ẠO

Đ

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Í-

-L

TP

U Y

.Q

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

ÀN

Đ

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

Ơ

H

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Page 58

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial