Sử dụng câu hỏi, bài tập mở nhằm nâng cao hiệu quả dạy học hình học không gian ở trường THPT

1

1.1.

1.2.

1.3.

2

3

.

1.4.

3.1

3.2.

3.3

1.5.

3.4

5.1.

5.2.

4

5

5.3.

THPT.

.

h 3.3.2. Hì

6

7

-

(có -

-

1.1.

ra).

. Cho u

(1;2), v

( 4;2).

u và v vuông góc.

1.2.

BC

ASB .

sau: -

-

Cho u

(a; b) , tìm v sao cho u và v vuông góc.

Hãy

8

9

2

tĂŹn -

a.

-

-

Rubinstein: "T duy

-

-

-

10

11

, ,

. phát tr

S

Ta xét v K

Bài toán 1. (hình 1) Cho hình chóp S.ABCD

C

B Hình 1

AD

SB

AK

SB

AD và SB. Bài toán 2. , ,

D

A

ABCD

.

AD và SB. (hình 2)

12

13

Trong bài toán 2, A

2

1 1

và d2. d1 , d 2 không vuông góc. (hình 4)

S

AK

SBD

, suy d1 , d 2 1

M

và

1

A

D

2

lên

.

N

AD

1

và SB trong bài toán 2 không?

B

B'

C 1

BC

1

SB' và AD

AK

) và AD? d2

ì?

N d1

M

d1 , d 2 chéo nhau không ?

Hình 3

d1

-

d 2 . (hình 3) 1

và vuông góc

d1 M A

và d3 1

Hình 2

AB '

Hình 4

K

d2 N d3 K

và d2.

2

3

là

14

15

Hình 5

Tri th c ã có m i

D

oán

Ki m nghi m

Thích nghi (n u thành công)

Th t b i

D

Ki n th c

oán khác

,

DM

2(a 2

Suy ra V ABCD

CD = a, BC = AD = b, (hình 5)

a. H

V

1 VDMNP .

4

V ABCD

1 S .h 3

D

khám M

C

P B

A N

b2

c2 ) ,

1 2(a 2 12

DN b2

2(c 2 c 2 )(b 2

b2 c2

a 2 ) , DP a 2 )(a 2

c2

2(c 2 b 2 ).

a2

b2 )

16

17

cรกc

.

-

-

18

19

MA1 MB1 MC1 , , SB SC SA

S MAB , S MAC ,

MA1 MB1 MC1 + + ?

SB SC SA

S MCB , S ABC ?

MA1 MB1 MC1 . .

SB SC SA

khám . (hình 6)

Do MA1 // SA nên có mp( MA1 , SA

Cho hình chóp S.ABC

mp( MA1 , SA

A1 .

Do MA1 // SA A1 , B1 , C 1 .

MA1 SA

SA1 và BC

NM NA

A1 .

MA1 SA

NM NA

S MAB , S MAC , S MCB và S ABC ? Hãy

HM .

HA

S

NM NA

MA1 MB1 MC1 + + =1.

SB SC SA

bài toán

Suy ra C1

A1 K

Cho hình chóp S. ABC

C N

Hình 6

MB1 SB

S MAC .

S ABC

S MBC S MAC S MBA MA1 MB1 MC1 + + = + + S ABC S ABC S ABC SB SC SA

B

MA1 MB1 MC1 + + SC SB SA

A1 , B1 , C1 .

A1 , B1 , C1

S MBC S ABC

MC1 SA

S MBA .

S ABC

A E

M

MA1 SA

S MBC S ABC

MC1 SC

MA1 MB1 MC1 + + =1 SA SB SC MA1 MB1 . .

SB SA

20

MA1 MB1 MC1 . .

SB SC SA

MA1 SA

MB1 SB 3

MC1 SC

21

3

1 3

3

1 27

MA1 MB1 MC1 1 = = = SB SC 3 SA

Suy ra

NM KM EM = = NA KB EC

1 3

ng

h.

22

23

-

cho s -

- Tí

Bài toán 1.

1,

C1. (hình 7) S

OB1C1

S

OBC

OB1 OC1 .

OB OC

O

C1 B1 B

C

24

25

Hình 7

Tam giác

AEBFHDGC

(hình 10)

tích

O VABCD

C1

VAEBFHDGC VAHDC VBDGC VABFC VABED

1, B1, C1

thì

VOA1B1C1 VOABC

VAHDC

A1

OA1 OB1 OC1 . . . (hình 8) OA OB OC

B1

A

C

1 VAEBFHDGC 6

VABED

B

HD

a 2 b2 c 2 , HC 2

b

( ), ( )

VABFC

1 VAEBFHDGC .

3

VABCD Hình 8

b chéo nhau.

VBDGC

Suy ra VABCD

u ? ( hình 9).

b2 c2 a 2 , HA 2

a 2 c 2 b2 2

1 2 a 2 b2 c 2 a 2 c 2 b 2 b 2 c 2 a 2 .

12

a

( ) và ( ) .

1,

Hình 9

d2

A d1 , B d 2 ). Trên d1, d2

AM

x, BN

y

x, y

(hình 11)

M

Suy ra OH OA OB

B

E

OAM

A

A d1

OHM

AM

NB HN

MN

HM .

O

F

x

d2

G

D H

C Hình 10

H

y.

B N

26

27

x, y

Tri th c ã có m i

Hình 11

MN 2

AN 2

MN 2

AM 2 , AN 2

AM 2

Suy ra AB 2

AB2

BN 2

AB 2

x y

D

oán

Ki m nghi m

Thích nghi (n u thành công)

Th t b i

BN 2 2

x2

y2

AB2 .

2 xy .

,

-

khám phá các n

.

-

a.

1.3.2. Vai tr

D

oán khác

Ki n th c

28

29

3 - 2(cosA + cosB + cosC) cosA + cosB + cosC a.b

a b cos(a, b) .

0

3 2

i, j i

1; j

i. j

1

cos .

Tam giác

A

.

D1

B1

C1 B

3 .

2

C

A1

B1, C1 là

(hình 12)

A

B

, Ta có

C 180

C

,

G

1, B1, C1, D1 là các

(hình 13) .

1I

BC thì OI

0

g góc ta có D1I BC. D1 IA1

, ,

(i = 1,6

Hình 13 1,

,

,

D1OA1 1800 .

Ta có: BC Rõ ràng

3 + 2(cos + cos + cos )

D A1

I i

Hình 12

, ,

O

B

O

tam giác ABC ta có cosA + cosB + cosC

A

0

,

,

,

30

4

ei 2 +2 e1 e2 +2 e1 e3 +2 e1 e4 +2 e2 e3 +2 e2 e4 +2 e3 e4

31

0

i 1

4+2[cos(AB)+cos(BC)+cos(CD)+cos(DA)+cos(AC)+cos(BD)] CD khi CA2 DB 2

0

CB 2

AD2 (1) . (hình 14)

A

6

4 - 2(

cos i )

0

sinh tìm tòi

i 1 6

(

cos i )

2.

D

B

i 1

E C Hình 14

h

CA2

DB2

CB 2

AD2

. Suy ra AB

AE (1)

CD . Suy ra AC 2

AE 2 CE 2 CE 2

DC .

ED2

BD 2 BC 2

AE 2

BD2 .

AE 2 CE 2 và AD2 ED2

BC 2

AE 2

ED2

32

33

BE

Suy ra CD

ABE

CD

CD .

AB .

1 AH 2

1 AS 2

1 AK 2

Suy ra

1 AK 2

1 AB 2

Ta có SB

2a , SD

1 AH 2 1 AD 2

1 AS 2

AK

5a , BD

1 AD 2

2a .

3

Hình 15

5a .

S

Theo côn

1 AB 2

SBD

3a 2 .

2 VA.SBD

VA. SBD

1 SA. AB.AD 6

h

SA. AB. AD 2.S SBD

1 h.S 3

SBD

.

2a 2a 3 = .

3 3a 2

Bài toán 1. ( )

C

(hình 15)

I

( ) . (hình 16)

S

(SBD)?

N

Hình

2a 3

AH

BD H BD

AK

S

SH .

(SBD).

A

a .

3

K I

D

HO B

C

M

34

35

trình nào.

36

37

[14, tr. 89].

Ta xét bài toán sau:

1.6.

38

39

bĂŹnh ta

sinh.

40

41

+

tìm tòi khám phá. thành

gian sau:

[25, tr. 30].

-C

-

-

.

42

43

mang t

sinh

44

45

quá trình hì

có

?

(hình 17, 18)

a

b

46

47

a

b

Hình 17

các hình bên và n

Hình 18

(hình 19) S

A3

A1 A2

S

S

A3

A4 A1

A5

A1

A2

A2

A4

A3

Hình 19

-

1A2,

A1A2A3

n

SA2A3

nA1

1A2 A3An.

c

SA

ABCD

SC, SD. (hình 20)

S

I

H

K B

A D

C

48

BC AH

SAB , CD

SAD , BD

SDC , AK

49

SAC ,

SBC .

Xét trong tam giác MAC có KB AC , MA KB suy ra KB MC .

KB AH

SC

AH

SC

AK

Do BH

SAB

SDC , AK SC

MB

Hình

SBC

MC , HB

MC suy ra NB

MC .

NC

AHK

SAD

KD .

HK // BC

HK

AC suy ra HK

-

(SAC) .

-

S d

(hình 21)

I MN

BC .

D

A

M

là MC và NB.

B (hình 22)

g vuông góc A

K

C

O H I B N Hình

d AB, CD 1 AI 2

d AB, SCD 1 AS 2

1 AD 2

C Hình 22

d A, SCD

AI

2a .

5

AI

50

51

Va , Vb ,Vc , Vd

MABC. (hình 24) Ta có

Va .MA Vb .MB Vc .MC Vd .MD 0

Va

Vb

Vc

Vd

(2)

D

1 V ABCD 4

thú và

M

MA MB

MC

MD

0

N

C

A

I

E

F

B

Hình 24

Tr

A

bài toán sau.

MA, MB , MC , MD I

Sa , Sb , Sc

B

C

Hình 23

S a .IA Sb .IB S c .IC

(hình 23)

0 (1) .

S IBC .IA S IAC .IB S IAB .IC

S IBC .(IM (S IBC

S IAC

S ABC IM

MA) S IAC .(IM S IAB ) IM

0

MB) S IAB (.IM

MC)

0

S IBC .MA S IAC .MB S IAB .MC

S IBC .MA S IAC .MB S IAB .MC

S IBC .MA S IAC .MB S IAB .MC

S ABC

0

IM .MD MD

0 (3)

0

52

Va Vd

V S IBC MD , b .

Vd S ABC IM

Vc Vd

VMABD VMABC

53

S IAC MD Vc . , S ABC IM Vd

MD VMIAB MI S ABC VMIAB S IAB

S IAB MD .

S ABC IM

SA SA1

SC SC1

g

SB SB1

SD SD1

MD S IAB .

MI S ABC

A

SA SA1

SB SC và SC1 SB1

SD có SD1

I

E

F

B

C O

Hình 26

không?

Cho hình chóp S.ABCD A1 , B1 , C1

F và AO. (hình 26)

A1C1 và SO.

S

AO AB AC , và ?

AI AE AF

(hình 25).

D1

D1

A1

C1

I D B1

SA SA1

SC SC1

2

SC SC1

SB SB1

AB AC và , AE AF

O

SO .

SI

A

AO AI

B

Hình 25

SA SA1

.

C

giác nào?

S AEI S ABO

SD SD1 S AEI S ABO

S AFI S ACO

AE AI .

AB AO

AI AE ( AO AB

AF ) AC

Cho hình chóp S.ABCD A1 , B1 , C1

A1C1 và SO. D1

2

AE AF .

AB AC

AI AE ( AO AB

AF ) AC

,

S AFI S ACO S AEF 1 S ABC 2

AB AE

AF AI .

AC AO AI AE ( AO AB AC AF

2

AO AI

AF ) AC

54

Trong SB SB1

SD SD1

tam 2

giác

SAC,

SBD

SB SB1

SD .

SD1

55

ta

SA SA1

có

SO SI

SC SC1

2

AB AE

SO , SI

k

AC AF

(k 1)

AO .

AI

S

SA SA1

SC SC1

E

Bài toán 1. Cho hình chóp t

I

K

F

,

N

A

, và

.

C G

cos2

D

, cos

2

và cos

2

. (hình 29).

B

cos2

, cos 2 và cos 2

Hình 27

cos2

, cos 2 và cos 2

S

(hình 27) SA SB SC , , SE SF SK SA SE

SB SF

SC SK

3

SG và ?

SI

SG ?

SI

Do tam gi

SB SF SA SE

2

SC SK

2

SD ND

SD ND

3

1 SH 2

1 SE 2

I

bài toán 1 thành bài toán m

k

Suy ra

SG .

3 SI B

OB OC

O

Hình 28

AB AC , AE AF

H

và

AO ? (hình 28).

AI

F C

1 SB 2

1 .

SC 2

1 SH 2

1 SA2

cos 2

cos 2

1 SB 2

SH 2 SA 2

1 SC 2

cos 2

1

SH 2 SB 2

E Hình 29

B

E

SD 2 ND

C

1 .

SE 2

SG SI A

SA SE

A 1 SA2

SH 2 SC 2

1

56

57

1

, và

, cos 2

cos2

.

2a 5a , AP .

3 4

a , AN 2

sao cho AM

ng

(hình 31)

,

và cos 2 . (hình 30) S

bài toán 2 là gì ?

A1

1 AH 2

C1 H A

SH

(ABC)

B1

C

M

1 AN 2

1 AP 2

Hình 31

A

10a .

689

AH

Hình 30

B

1 AM 2

B

Bài toán 4. (hình 32). cos 2

cos 2

cos 2

AB, AD, AA1

A1 , B1 và C1 .

Trong hình chóp S. A1 B1C1 Trong hình chóp S. A1 B1C1 ta có

cos 2

1 SH 2

cos 2

1 SA1

1 2

SB1

C

A1

D1

, ,

ABCDA1 B1C1D1

1

D

cos 2

cos 2

cos 2

cos 2

cos 2

cos 2

B1

AC1

C1 Hình 32

1.

1 2

SC1

cos 2

2

ABCDA1B1C1D1

1 c khám

chính. (hình 33) 1 1,

AM 2

ABCDA1 B1C1D1

AN 2

AP 2

a 2 (cos 2

D lên AC1

BAC1 cos 2

A1 AC1 cos 2

M cos

A

N

B

M D

C1

P

B1 D1

BAC1 cos 2

Suy ra AM 2

A A1 AC1 cos 2

AN 2

AP2

DAC1

a2 .

1.

D M

B N A1

C A1

2

DAC1 )

D1

C P

B1 C1

58

59

ABCDA1B1C1 D1

a2 .

CC1, C1B1, C1D1 lên AC1

x P

Hình 33

A1 BC , A1B1 , BD1 , DB1 , D1 A1 , CD

D1

nhiêu? (hình 35)

AC1

B1

C1 A

F E

B

C

S

Q

D

Hình 35

K

BC và AD lên AC1?

H

T

l

d

x

Hình 34 A P

IK lên d. (hình 34). (hình 36) AI

2

Hình 36 2

AM cos

2

MAI

AM 2 sin 2 MAx .

, ,

1 1

2

a sin BC , DB1 , CD và A1 B1 , BD1 , D1 A1

AM 2

AN 2

AP 2

2

sin

2 hác sin

AC1

a2 .

2

sin

2

sin 2

. sin 2

2

a2 .

ABCDA1B1C1 D1

4a 2 .

ph

(hình 37)

M

I

60

61

a2

1 B1)

và (ADA1D1

1

S H1

S H .cos

(hình 38) A

x P

A1 B1

P m

D1

M

BD, AC, A1, B1, C1, D1

C1 A

n

D

B

o,

Q

C

Bo, Co, Do

D

B N

Hình 38

Hình 37

C

.

AB, MN và CD (hình 39).

, ,

1

1C1),

(ADA1D1) là 1C1),

2a 2 .cos2

(ADA1D1

.

1B1),

ADC

(CDC1D1) và (ABCD), (A1B1C1D1

2a 2 .cos 2

ABN cân

và 2a 2 .cos 2 .

MN

2a 2 . (cos

2

cos 2

BCD

cos 2 )

2a 2 .

CD .

AN

MN

BN

AB

Hình 39

62

63

( ) và ( ) ( ) và ( )

.

AD = BC hay không?

Do OA= OB suy ra OAB ON

OM

AB .

CD

D

.

j N

(hình 40)

G C1

C

D1 A

A

Do OA = OB

AC = BD, AD = BC. Hãy so

M

1

O

B

N

( ), ( )

AB và CD. Ta

( ) và ( ) .

1,

MD1 MC

MC1 MD

1 suy ra C1 D1 // CD 3

thang cân. Suy ra CC1 DD1 .

Hình 40

Hình 41

và DD1, AA1 và BB1? (hình 41)

D

C

M

AA1 =BB1.

DC1 MCD cân nên CDC1 D1 là hình

B

64

1=

65

DD1, AA1 = BB1

D

không?

Do C1, D1 C1D1 // CD suy ra CDC1D1

1=

CDC1 D1 là hình thang cân. Suy ra MN

MN

DD1 nên

CD .

và

AB

T 1,

AAo

suy ra N

và

B1, C1, D1

DD1 và AA1 = BB1.

CC1

BBo và CCo

DDo .

. và

thì D

= BD và AD = BC không?(hình 42)

1

và

N1

N1

AB và CD?

M1 A

J

N 1

B

C M 1 N1

D

ABCD, O1

ta

1,

.

và

O1

.

M

?

I

A

Hình 42

Hình 43

Do hai tam giác vuông CIJ và DJI CIDJ

B

C

M 1 N1

VDNAB

VCNAB .

66

67

AC = BD, AD = BC VDNAB

.

10.

VCNAB

MN

.

1

Do O1

1

MN

VCNAB

AC = BD, AD = BC,

1.

2.

3.

4. nhau.

5.

6.

7.

8.

MN .

MN

VDNAB

0

. cรกc

.

1

9.

.

.

68

69

-

-

. Cho hình chóp S.ABCD có SA

ABCD

3.3.1.

S SC, AG và SD, AE và SB vuông góc.

2

F

G D

b. Ch

C

3

.

3.3.2.

AF DC

10/11/2007.

E

A

c.

AG AG

B

SC

m)

SAD

SCD SD AE

SB

70

71

AGF

AEF

900

Cho chóp S.ABC có SA

ABC

S

AGC

ADC

AFC

AEC

ABC

D

900

+

N

A

là vuông góc.

E M

K B

gì?

Q

.

b.

3

4

5

6

7

8

9

10

2

3

5

7

11

9

7

1

45

5

6

9

9

7

6

2

0

44

BN

SAC

SC

BND

NB

SB

+ SC + NBD c. + SC

BND MEC

BND

SBC SBC SC

SC

MEC

BND , SBC KI QB

MEC

SBC SB

QC , SA

C

I

QC

F

72

73

3.4.2.

c

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

1

4

7

6

9

9

8

0

45

2

5

7

6

10

7

4

3

0

44

n.

3.4.1.

Ã

74

75

Quá t

Nxb [3]. Hoàng Chúng (2000),

[4]. Hoàng Chúng (2000),

11(nâng cao), [6]. G.Polya (1997), [7]. qu

- 30, tr 17.

Nxb

76

77

toán,

thông, Nxb .

[13]. I.F.Kharlamop (1978),

-

, Nxb

28.

[14]. Jean Piaget (2001), T

200 bài thi

[28]. Tôn Thân, (1995), .

To

. Nxb

Phát toán (1997),Quy tr

, Nxb [32]. Thái Duy Tuyên (1999),

, ,

[33]. V.A.Cruchetxki (1978),

,

78

79

H

Giรกo รกn 1 * Hai mp

* 1.

2.

3.

* ong.

(P), (Q).

.

(P) (Q)

80

81

, , i a , b . (Q) là mp qua a, b.

song song

Ta có (Q)//(P).

(P) (P)

a

(Q)

không?

(R)

(Q)

g

không?

(Q) thì (P)//(Q) .

* V HS phân tích,

Ta suy ra a // c và b // c

* (P) và (Q) là hai mp song song, mp (P)

a

a,b.

Suy ra (P)//(Q). b

(Q) (R)

b

A

a

(Q)

b' a'

(P)

song song

a, , b,

(P).

82

83

Giáo án 2

1.

A AB

2.

CD, AC

BD

K D 3.

F

E

A lên mp (BCD) theo

DH

DC .

AD

n (ABC).

BD

BC

*

C HB

HC

B BC?

H

BC .

ra AH và DK

HS so sánh AB2 CD2 và AC 2 BD2 .

AC 2

AE 2

EC 2 . BD2

DE 2

EB2

DC 2

DE 2

EC 2 . AB2

AE 2

EB2 .

2

2

Suy ra AB

2

2

CD = AC

BD

không

84

85

AB2 CD2 = AC 2 BD2 = AD2 BC 2

O vuông góc .

(ABC).

A K

C

H

trong tam giác ABC?

E B

giác ABC.

1 OH 2

* 1 OH 2

1 OA2

1 OB 2

, ,

1 .

OC 2

Trong AEO ,ta có

1 OH 2

Trong OBC , ta có

1 OE 2

1 OA2 1 OB 2

1 OE 2 1 OC 2

cos 2 , cos 2 , cos 2 ?