Rèn luyện tư duy cho học sinh thông qua việc sáng tác một số PT, HPT từ các đẳng thức điển hình

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN **********

Ơ

N

1. Tên sáng kiến:

N

H

RÈN LUYÊN TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC SÁNG TÁC MỘT SỐ

.Q TP ẠO

- Chương trình Toán lớp 10 THPT, 11 THPT.

N

G

3. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ 8 - 2015 đến 5 - 2016

Đ

- Chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia.

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

B

Năm sinh: 1985

TR ẦN

Họ và tên: Bùi Văn Toan

H Ư

4. Tác giả:

10 00

Nơi thường trú: Thái học, Trực Cường, Trực Ninh, Nam Định

A

Trình độ chuyên môn: Thạc sĩ

H

Ó

Chức vụ công tác: Giáo viên

-L

Í-

Nơi làm việc: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định

ÁN

Địa chỉ liên hệ: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định Điện thoại: 0977.012.356

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:

D

IỄ N

Đ

ÀN

5. Đơn vị áp dụng sáng kiến

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỪ CÁC ĐẲNG THỨC ĐIỂN HÌNH

Tên đơn vị: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định Địa chỉ: 76 đường Vị Xuyên, TP Nam Định Điện thoại: 03503.640297

Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

1

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

ĐIỀU KIỆN, HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN Trong các kỳ thi Đại học, Cao đẳng, THPT Quốc gia và thi học sinh giỏi chúng ta

N

thường bắt gặp các dạng toán liên quan tới phương trình, hệ phương trình. Bài toán liên

H

Ơ

quan tới phương trình, hệ phương trình có khá nhiều dạng và có nhiều cách giải khác nhau.

U Y

ngoài việc nắm vững được các dạng phương trình và tìm ra cách giải thì chúng ta cũng cần

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

ẠO

giải một bài toán theo cách tự nhiên nhất, tại sao lại giải quyết bài toán như thế,...và từ đó có

G

Đ

thể rèn luyện tư duy và kích thích trí tò mò của học sinh.Vì vậy, tôi xin lựa chọn đề tài :

N

“Rèn luyện tư duy cho học sinh thông qua việc sáng tác một số phương trình, hệ

H Ư

phương trình từ các đẳng thức điển hình”

10 00

B

TR ẦN

Chương trình giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện của từng lớp học; Bồi dưỡng học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác; Rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; Tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú

Ó

A

và trách nhiệm học tập cho học sinh. Quá trình dạy học với các nhiệm vụ cơ bản là hình thành tri thức, rèn luyện các kỹ năng hoạt động nhận thức, hình thành thái độ tích cực... được xây dựng trên quá trình hoạt động thống nhất giữa thầy và trò, trò và trò, tính tự giác,

H

tích cực tổ chức, tự điều khiển hoạt động học nhằm thực hiện tốt các nhiệm vụ đã được đề

-L

Í-

ra.

ÁN

Qua thực tiễn học tập và giảng dạy, tôi nhận thấy giải các bài toán liên quan đến phương trình và hệ phương trình học sinh thường không mạnh dạn, tự tin, thường lúng túng

TO

về phương pháp cũng như tính toán, đặc biệt không nắm chắc các tính chất của hình học phẳng ở cấp học THCS. Phương trình, hệ phương trình học sinh bắt đầu được làm quen ở chương trình THCS, đến cấp THPT học sinh đã được tiếp xúc với rất nhiều bài toán về dạng

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

Hơn nữa trong quá trình xây dựng hệ thống bài tập, ta có thể rút ra được các phương pháp

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

tự xây dựng cho mình một hệ thống các bài tập liên quan tới phương trinh, hệ phương trình.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

Đó là những dạng toán khó đối với học sinh, và hệ thống bài tập khá phong phú. Tuy nhiên

D

IỄ N

Đ

này, nhưng học sinh không nhận diện được các dạng toán và chưa được hướng dẫn một cách hệ thống phương pháp để giải quyết bài toán trọn vẹn. Số lượng bài toán thuộc các dạng toán nêu trên xuất hiện ngày càng nhiều trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng và học sinh giỏi những năm gần đây.Tài liệu tham khảo khá nhiều nhưng học sinh đôi khi tiếp cận một cách thụ động hoặc chấp nhận lời giải một cách không tự nhiên, đôi khi không hiểu tại sao bài toán lại được giải quyết theo hướng đó.

Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

2

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

sáng tạo. Nâng cao khả năng tự học, tự bồi dưỡng và khả năng giải các bài toán trong kỳ thi

H

Ơ

THPT Quốc gia môn Toán 2016.

N

Giúp học sinh nhận dạng được các bài toán có một phương pháp mang lại hiệu quả rõ nét. Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán, khả năng sáng tạo và tự sáng tác các phương trình, hệ phương trình. Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy,

.Q

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

học sinh ôn thi THPT Quốc gia năm 2016.

D

IỄ N

Đ

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

phương trình và hệ phương trình được gắn vào các bài toán tổng quát, xây dựng hệ thống bài tập cho riêng mình, áp dụng vào giảng dạy thực tế đối với học sinh khá, giỏi các lớp 11A1, 10A2, 10L, 10A2 trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong trong đợt ôn thi học kì và

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

Điểm mới trong kết quả nghiên cứu: Hệ thống các dạng toán có liên quan đến

Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

3

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

NỘI DUNG SÁNG KIẾN A. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Ơ

N

I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

U Y

Bước 1: Tìm điều kiện cho các biến x, y của hệ phương trình (nếu có)

.Q

TP

thức đơn giản chứa x,y.

ẠO

Các kỹ thuật thường sử dụng:

N

TR ẦN

+ Nhẩm nghiệm + nhân liên hợp

H Ư

+ Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử

G

Đ

+ Nhóm nhân tử chung

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Bước 3: Thay hệ thức đơn giản tìm được vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình 1 ẩn

10 00

B

Bước 4: Giải phương trình 1 ẩn (cần ôn tập tốt các phương pháp giải phương trình 1 ẩn) Ví dụ 1. Giải hệ phương trình

2 x 2 + y 2 − 3 xy + 3 x − 2 y + 1 = 0  2 2 4 x − y + x + 4 = 2 x + y + x + 4 y

Ó

A

(1)

-L

Bài giải

Í-

H

(2)

ÁN

2 x + y ≥ 0 +) Điều kiện:  x + 4 y ≥ 0

(*)

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

Bước 2: Biến đổi một phương trình của hệ về dạng phương trình tích số để được các hệ

ÀN

+) Biến đổi phương trình (1) về dạng tích số. Xem (1) là một phương trình bậc hai theo ẩn

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ

D

IỄ N

Đ

y, phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử. Ta được  y = x +1 (1) ⇔ y 2 − ( 3 x + 2 ) y + 2 x 2 + 3 x + 1 = 0 ⇔  y − ( x + 1)   y − ( 2 x + 1)  = 0 ⇔   y = 2x + 1

+) Thế y = x + 1 , thay vào (2) ta được phương trình một ẩn:

Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

4

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

3x 2 − x + 3 = 3x + 1 + 5 x + 4

(3)

Do phương trình (3) có hai nghiệm x = 0 và x = 1 nên ta định hướng phân tích (3) thành

(

)

) (

) (

)

H N U Y

TP

.Q

x = 0 2 1   2 + ⇔ ( x2 − x )  3 +  = 0 ⇔ x − x = 0 ⇔ x = 1 x + 1 + 3x + 1 x + 2 + 5 x + 5    >0

[thỏa (*)]

3 − 3x = 4 x + 1 + 9 x + 4

H Ư

(4)

N

G

+) Thế y = 2 x + 1 , thay vào (2) ta được phương trình một ẩn:

ẠO

Với x = 1 ⇒ y = 2

[thỏa (*)] ;

Đ

Với x = 0 ⇒ y = 1

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

x. f ( x ) = 0 ,

) (

4x + 1 −1 +

)

9x + 4 − 2 = 0

10 00

B

4x 9x 4 9   + + = 0 ⇔ x3 + =0⇔ x=0 4x +1 +1 9x + 4 + 2 4 x + 1 + 1 9 x + 4 + 2   >0

A

⇔ 3x +

( 4 ) ⇔ 3x + (

TR ẦN

Do phương trình (4) có hai nghiệm x = 0 nên ta định hướng phân tích (4) thành dạng

Với x = 0 ⇒ y = 1

H

Ó

[thỏa (*)] .

-L

Í-

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( x; y ) là ( 0;1) và (1;2)

ÁN

(1 − y ) x − y + x = 2 + ( x − y − 1) y Ví dụ 2. Giải hệ phương trình  2 2 y − 3x + 6 y + 1 = 2 x − 2 y − 4 x − 5 y − 3

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

N Ơ

x2 − x x2 − x 3( x − x ) + + =0 x + 1 + 3x + 1 x + 2 + 5 x + 4 2

(1) (2)

ÀN

Bài giải

D

IỄ N

Đ

y ≥ 0  +) Điều kiện :  x ≥ 2 y 4 x ≥ 5 y + 3 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

(

dạng x 2 − x . f ( x ) = 0 , ( 3) ⇔ 3 x 2 − x + x + 1 − 3x + 1 + x + 2 − 5 x + 4 = 0 ⇔

(*)

+) Biến đổi phương trình (1) về dạng tích số. Do y = 1 luôn thỏa (1) nên định hướng phân tích theo nhân tử y − 1 hoặc 1 − y . Ta được: Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

5

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

(1) ⇔ (1 − y ) (

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

)

(

)

x − y − 1 + ( x − y − 1) 1 − y = 0

N

 y =1 1 1  ⇔ (1 − y )( x − y − 1)  + =0⇔   x − y + 1 1 + y   y = x −1  

Ơ

>0

U Y Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

TP

.Q

2 x 2 − x − 3 ≥ 0 Điều kiện: 1 ≤ x ≤ 2 , Khi đó: (3) ⇔  2 2 ( 2 x − x − 3) = 2 − x

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

3  ≤ − ∨ ≥ x 1 x  2  3  3  x ≤ − ∨ x ≥ 1  1± 5   x ≤ −1 ∨ x ≥ 2 ⇔  x = ⇔ ⇔ 2 2 2  4 x 4 − 4 x 3 − 11x 2 + 7 x + 7 = 0  2   ( x − x − 1)( 4 x − 7 ) = 0  7  x = ± 2   1+ 5 x = 2 ⇔ .  7 x = − 2 

H

Ó

So với điều kiện (*) ta chỉ nhận x =

1+ 5 −1 + 5 ⇒y= [thỏa (*)] 2 2

ÁN

-L

Í-

 1 + 5 −1 + 5  Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( x; y ) là ( 3;1) và  ; .

2   2 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

vào (2) ta được phương trình một ẩn: 2 x 2 − x − 3 = 2 − x (3)

ÀN

Giải các hệ phương trình

D

IỄ N

Đ

 y 2 = ( 5 x + 4 )( 4 − x ) 1)  2) 2 2  y − 5 x − 4 xy + 16 x − 8 y + 16 = 0

 x 2 − 3 x = y 2 − y − 2 3)  2 ( x + y ) x − 4 x + 5 = ( 2 − x )

 xy + x − 2 = 0  3 2 2 2 2 x − x y + x + y − 2 xy − y = 0

3  x + 18 x − y + 1 ( y + 19 ) = 0 4)  2 3 2 + + 1 x y ( )  x + 2 x + 7 y − xy = 12

Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Thế y = 1, thay vào (2) ta được phương trình một ẩn: 9 − 3 x = 0 ⇔ x = 3 .Thế y = x − 1 , thay

6

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

2  x − y) (  2x + 1 + 2 y + 1 = 5)  2 ( x + y )( x + 2 y ) + 3x + 2 y = 4 

N

 x 3 + 2 y 2 = x 2 y + 2 xy 6)  2 3  2 x − 2 y − 1 + 3 y − 14 = x − 2

H

Ơ

II. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

.Q

Bước 2: Tìm một hệ thức liên hệ đơn giản của x và y bằng phương pháp hàm số

ẠO

+ Biến đổi một phương trình của hệ về dạng f(u) = f(v) (u, v là các biểu thức chứa

Đ

x,y)

N

G

+ Xét hàm đặc trưng f(t), chứng minh f(t) đơn điệu, suy ra: u = v (đây là hệ thức

H Ư

đơn giản chứa x, y)

TR ẦN

Bước 3: Thay hệ thức đơn giản tìm được vào phương trình còn lại của hệ để được phương

trình 1 ẩn

B

Bước 4: Giải phương trình 1 ẩn.

10 00

Với phương trình một ẩn, nếu f(x) đồng biến hoặc nghịch biến trên D thì phương trình

A

f ( x ) = 0 có tối đa một nghiệm trên D.

Í-

H

Ó

8 x 3 − y 3 + 6 y 2 − 6 x − 9 y + 2 = 0 Ví dụ 1. Giải hệ phương trình  2 2  4 x + 1 − 4 x − 3 ( y − 1)( 3 − y ) + 1 = 0

(2)

ÁN

-L

Bài giải

(1)

TO

+) Điều kiện −

1 1 ≤ x ≤ ,1≤ y ≤ 3 2 2

ÀN

+) Khi đó: (1) ⇔ 8 x3 − 6 x = y 3 − 6 y 2 + 9 y − 2 ⇔ (2 x)3 − 3(2 x) = ( y − 2)3 − 3( y − 2)

D

IỄ N

Đ

+) Do −

(a)

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Bước 1: Tìm điều kiện cho các biến x, y của hệ phương trình (nếu có)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1 1 ≤ x ≤ nên − 1 ≤ 2 x ≤ 1 và 1 ≤ y ≤ 3 nên −1 ≤ y − 2 ≤ 1 .

2 2

Xét hàm đặc trưng f (t ) = t 3 − 3t , với t ∈ [ −1; 1] .Ta có f '(t ) = 3t 2 − 3 = 3(t 2 − 1) ≤ 0 , với mọi t ∈ [ −1; 1] . Suy ra f ( t ) nghịch biến trên đoạn [ −1; 1] .

Do đó:

(a) ⇔

f (2 x) = f ( y − 2) ⇔ 2 x = y − 2 ⇔ y = 2 x + 2 .

Thay y = 2 x + 2 vào phương trình (2) ta được phương trình: Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

7

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

2 3 −3 2

4 x 2 − 2 1 − 4 x 2 + 1 = 0 ⇔ 4 x 2 + 1 = 2 1 − 4 x 2 ⇔ 16 x 4 + 24 x 2 − 3 = 0 ⇔ x = ±

N

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

Ơ

 2 3 −3    2 3 −3 ; 2 + 2 3 − 3  ; ( x; y ) =  − ; 2 − 2 3 −3.    2 2    

H N U Y

(1)

ẠO

Bài giải

Ta có:

G

Đ

(1) ⇔ x3 − x 2 y = x 2 − x + y + 1 ⇔ x 2 ( x − y ) + ( x − y ) = x 2 + 1 ⇔ ( x − y ) ( x 2 + 1) = x 2 + 1

H Ư

N

⇔ x − y − 1 = 0 (vì x 2 + 1 > 0, ∀x )

TR ẦN

Thay y = x − 1 vào phương trình (2) ta được phương trình

x3 − 9 x 2 + 6 x − 6 = 3 3 6 x 2 + 2 ⇔ ( x − 1) + 3 ( x − 1) = ( 6 x 2 + 2 ) + 3 3 6 x 2 + 2

(a)

B

3

10 00

Xét hàm đặc trưng f (t ) = t 3 + 3t , với t ∈ ℝ .Ta có f '(t ) = 3t 2 + 3 > 0 , với mọi t ∈ ℝ . Suy ra

f ( t ) đồng biến trên ℝ .

H

Ó

A

Do đó: ( a ) ⇔ f ( x − 1) = f ( 3 6 x 2 + 2) ⇔ x − 1 = 3 6 x 2 + 2 ⇔ x3 − 9 x 2 + 3x − 3 = 0 .

3

2

3

3 2 +1 2 +1 2 .

V ớ i x = ⇒y= 3 3 3 2 −1 2 −1 2 −1

-L

Í-

⇔ ( x + 1) = 2 ( x − 1) ⇔ x + 1 = 3 2 ( x − 1) ⇔ x =

ÁN

 3 2 +1 2 Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( x; y ) =  3 ;3  2 −1 2 −1

(

 . 

)

ÀN

TO

 4 x 2 + 1 x + ( y − 3) 5 − 2 y = 0 (1) Ví dụ 3. Giải hệ phương trình  2 2 ( 2)  4 x + y + 2 3 − 4 x = 7

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

.Q

(2)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

 x3 − x 2 y = x 2 − x + y + 1 Ví dụ 2. Giải hệ phương trình  3 2 2 3  x − 9 y + 6 ( x − 3 y ) − 15 = 3 6 x + 2

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

( x; y ) = 

D

IỄ N

Đ

Bài giải

3 5 +) Điều kiện x ≤ , y ≤ 4 2

(

)

+) Khi đó: (1) ⇔ 4 x 2 + 1 .2 x = ( 5 − 2 y + 1) 5 − 2 y

Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

(a )

8

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

(

)

Xét hàm đặc trưng f (t ) = t 2 + 1 t = t 3 + t , với t ∈ ℝ . Ta có f '(t ) = 3t 2 + 1 > 0 , với mọi t ∈ ℝ . Suy ra f ( t ) đồng biến trên ℝ .Do đó:

Ơ H .Q TP

3 không là nghiệm của phương trình (b) 4

G

2

5   3 • Xét hàm số g ( x) = 4 x +  − 2 x 2  + 2 3 − 4 x − 7 với x ∈  0;  , khi đó:  4 2  1  2

TR ẦN

(3)

H Ư

( b ) ⇔ g ( x ) = g 

N

2

10 00

B

 3 • Khảo sát tính đơn điệu của hàm số g ( x ) trên khoảng  0;   4

Ta có:

 3 ∀x ∈  0;   4

H

Ó

A

4 4 5  g '( x ) = 8 x − 8 x  − 2 x 2  − = 4 x ( 4 x 2 − 3) − <0 3 − 4x 3 − 4x 2 

-L

Í-

1  3 Do đó f đồng biến trên khoảng  0;  . Suy ra: ( 3) ⇔ x = ⇒ y = 2 2  4

TO

ÁN

1  Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( x; y ) =  ;2  . 2 

IỄ N

Đ

ÀN

3 x 2 + 3 y 2 + 8 = ( y − x ) ( y 2 + xy + x 2 + 6 )  Ví dụ 4. Giải hệ phương trình:.  ( x + y − 13) 3 y − 14 − x + 1 = 5

D

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

• Nhận thấy x = 0 và x =

(b)

Đ

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

2

5  4x +  − 2 x2  + 2 3 − 4x − 7 = 0 2  2

(

)

(1)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

5 − 4x2 vào phương trình (2) ta được phương trình: 2

U Y

Thay y =

N

x ≥ 0  ( a ) ⇔ f (2 x) = f ( 5 − 2 y ) ⇔ 2 x = 5 − 2 y ⇔  5 − 4 x 2 . y = 2 

( 2)

Bài giải  x ≥ −1 x +1 ≥ 0  +) Điều kiện:  ⇔ 14 (*) 3 y − 14 ≥ 0  y ≥ 3 Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

9

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

+) Khai thác phương trình (1) để tìm hệ thức liên hệ đơn giản của x và y 3

+ 3 ( x + 1) = ( y − 1) + 3 ( y − 1)

(3)

Xét hàm đặc trưng f ( t ) = t 3 + 3t , t ∈ ℝ . Do f ′ ( t ) = 3t 2 + 3 > 0, ∀t ∈ ℝ ⇒ f ( t ) đồng biến

.Q

G

5  8 11   11  , x ∈  ;  ∪  ; +∞  2 x − 11 3 2   2 

3 1 10 3 x + 1 − 3x − 8 10 − + = + >0 2 2 2 3x − 8 2 x + 1 ( 2 x − 11) 2 ( 3x − 8 )( x + 1) ( 2 x − 11)

Í-

H

Ó

 8 11   11  ∀x ∈  ;  &  ; +∞  3 2   2 

A

g′ ( x ) =

Do

10 00

B

Xét hàm số : g ( x ) = 3 x − 8 − x + 1 −

N

5 = 0. ( 6 ) 2 x − 11

H Ư

3x − 8 − x + 1 −

TR ẦN

( 5) ⇔

ÁN

-L

 8 11   11  ⇒ g ( x ) đồng biến trên các khoảng  ;  &  ; +∞  3 2   2 

ÀN

TO

 8 11   8 11  +) Trên khoảng  ;  thì g ( x ) đồng biến, 3 ∈  ;  , g ( 3) = 0 nên 3 2  3 2 

Đ IỄ N

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

11 không là nghiệm của phương trình ( 5 ) nên 2

( 4) →y =5 ( 6 ) ⇔ g ( x ) = g ( 3) ⇔ x = 3 

D

)

3x − 8 − x + 1 = 5 ( 5 )

Đ

Ta nhận thấy x =

(

ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Thế(4) vào (2) để được phương trình một ẩn ( 2 x − 11)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

(4)

U Y

Do x + 1 > 0 và y − 1 > 0 nên ( 3) ⇔ f ( x + 1) = f ( y − 1) ⇔ x + 1 = y − 1 ⇔ x + 2 = y

N

H

trên ℝ .

N

3

Ơ

(1) ⇔ ( x + 1)

thoả mãn (*)

 11   11  +) Trên khoảng  ; +∞  thì g ( x ) đồng biến, 8 ∈  ; +∞  , g ( 8 ) = 0 nên 2  2  ( 4) → y = 10 ( 6 ) ⇔ g ( x ) = g (8 ) ⇔ x = 8 

Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

thoả mãn (*) 10

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( x, y ) = ( 3;5 ) , ( x, y ) = ( 8;10 ) BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

H

10 00

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

A

Bước 1: Tìm điều kiện cho các biến x, y của hệ phương trình (nếu có).

H

Ó

Bước 2: Biến đổi hai phương trình của hệ sao cho có hai biểu thức giống nhau.

-L

Í-

Bước 3: Thay hai biểu thức đó bởi hai biến mới u, v chuyển sang hệ mới và giải tìm u, v.

ÁN

Bước 4: Với u, v tìm được ta sẽ tìm được x, y.

TO

Với phương trình ta có thể đặt ẩn phụ u = u ( x ) để đưa về phương trình đơn giản hơn, hoặc

ÀN

đặt ẩn phụ không hoàn toàn, hoặc đặt ẩn phụ đưa về hệ.

D

IỄ N

Đ

 x 2 + 1 + y ( x + y ) = 4 y Ví dụ 1. Giải hệ phương trình  2 ( x + 1) ( x + y − 2 ) = y

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

ẠO

B

III. PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ

 4 x + 2 + 2 y + 4 = 6 8)  3 2 ( 2 x + 1) + 2 x + 1 = ( 2 y − 3) y − 2

TR ẦN

( 53 − 5 x ) 10 − x + ( 5 y − 48 ) 9 − y = 0 7)  2  2 x − y + 6 + x − 2 x − 66 = −2 x + y + 11

H Ư

N

G

Đ

3 3 2 ( 2012 − 3 x ) 4 − x + ( 6 y − 2009 ) 3 − 2 y = 0  x − y = 3 y + 4 y − x + 2 6)  5)  3 2 2 7 x − 8 y + 3 14 x − 18 y = x + 6 x + 13  x + y + 3 x + 3 y + 19 = 105 − y − xy

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

U Y

N

2 ( 4 x + 1) x + ( y − 3) 5 − 2 y = 0 2)  4 x 2 + y 2 + 2 3 − 4 x = 7

 x + 3 x − y y − 1 = 0 (17 − 3x ) 5 − x + ( 3 y − 14 ) 4 − y = 0 3)  4)  3 2 4 3 2 2 2 x + y + 5 + 3 3x + 2 y + 11 = x + 6 x + 13  x + x − x + 1 = x ( y − 1) + 1

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

 x3 + y 3 = 3 x 2 − 6 x − 3 y + 4 1)  2 2  x + y − 6 x + y − 10 = y + 5 − 4 x + y

Ơ

N

Giải các hệ phương trình

(1) (2)

(*)

Bài giải +) Biến đổi sao cho hai phương trình của hệ xuất hiện hai biểu thức giống nhau

Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

11

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

Ơ U Y

N

H

u + v = 2 u = 1 ⇔  u.v = 1 v = 1

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

(1) (2)

(*)

TR ẦN

H Ư

N

 x2 − y 2 − 6 = 0  Ví dụ 2. Giải hệ phương trình  4 2 ( x + y − 1) − ( x − y )2 = 3 

G

Đ

+) Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là ( x; y ) = (1; 2 ) ; ( −2;5 ) .

ẠO

TP

.Q

x2 + 1 và v = x + y − 2 , hệ trở thành y

 x2 + 1 =1 u = 1  x = 1  x = −2  +) Với  ta được hệ phương trình  y ⇔ ∨ v = 1 x + y −1 = 1  y = 2  y = 5 

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Bài giải

10 00

B

+) Điều kiện: x − y ≠ 0 .

A

+) Biến đổi hệ phương trình thành dạng có chứa hai biểu thức x + y và x − y

-L

Í-

H

Ó

( x + y )( x − y ) = 6  4  x + y −1 2 − =3 ) 2 ( x y − ( ) 

TO

ÁN

+) Đặt u = x + y và v = x − y hệ phương trình trở thành

6  6 v=  uv = 6 u = 3; v = 2    u v =  ⇔ ⇔ ⇔ u  4 3 2 2 ( u − 1) − v 2 = 3 u 2 − 2u + 1 − u = 3 8u 2 − 18u − 18 = 0 u = − 4 ; v = −8  9 

D

IỄ N

Đ

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Đặt u =

N

 x2 + 1 + ( x + y) = 4   y Do y = 0 không thỏa mãn hệ trên nên (*) ⇔  2  x + 1 ( x + y − 2) = 1  y

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Suy ra:

5  = x  x + y = 3 2 ⇔  x − y = 2 y = 1  2

35  3 = − x  x + y = −  8 và  4⇔  x − y = −8  y = 29  8

Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

12

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

 5 1   35 29  Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là ( x; y ) =  ;  ;  − ;  . 2 2  8 8 

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Ví dụ 4. Giải phương trình :

)

2

(

TR ẦN

(

pt ⇔ 33 − 2 x − x 2 = 2 − x + 1

H Ư

N

G

33 − 2 x − x 2 + 4 x + 1 = x + 5

)

4

=

(

34 − ( x + 1)

2

) = 34 − u .

2

4

B

Đặt u = x + 1, v = 2 − x + 1 ⇒ v 4 = 2 − x + 1

H

Ó

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

A

10 00

u + v = 2 u + v = 2 ⇔ Khi đó ta có hệ :  4 4 uv = −1 u + v = 34

-L

Í-

Giải các hệ phương trình

TO

ÁN

2  x + xy − 3 x + y = 0 1)  4 2 2 2  x + 3x y − 5 x + y = 0

2  y + x + xy − 6 y + 1 = 0 2)  3 2 2  y x − 9 y + x y + x = 0

 x 2 ( y + 1) = 6 y − 2 4)  4 2 2 2 2 2  x y + 2 x y + y ( x + 1) = 12 y − 1

 x 2 + y 2 + xy = 3 x − 2 5)  2 4 4 2 4 ( x + xy ) + ( y + 2 ) = 17 x

( x 2 + y 2 ) ( x + y + 1) = 25 ( y + 1) 6)  2 2  x + xy + 2 y + x − 8 y = 9

Đ

ÀN

( x 2 + x ) y 2 − 4 y 2 + y + 1 = 0  3)  2 2 3 3  xy + x y + 1 − ( 4 − x ) y = 0

Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q TP ẠO Đ

Đặt a + b = 2t ⇒ ab = 2t 2 + t − 2

IỄ N D

U Y

x − y = a, 2 y − 1 = b . Khi đó ta có hệ :

2 2 ( a + b )2 + a + b − 4 = 2ab a + b + a + b = 4 ⇔  2 2 2 2 a + 1 b + 1 = 4 ( )( ) ( ab ) + ( a + b ) − 2ab = 3 

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Đặt

N

H

Ơ

N

 x + y + 2 y − 1 + x − y = 5 Ví dụ 3. Giải hệ phương trình :  2  y + 2 = xy + y

13

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

 x 2 + 2 + y 2 + 3 + x + y = 5 7)   x 2 + 2 + y 2 + 3 − x − y = 2

2 2  x + y = xy + x + y 8)  2 2  x − y = 3

U Y Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Bước 1: Tìm điều kiện cho các biến x, y của hệ phương trình (nếu có)

TP

.Q

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Đ

Bước 2: Tìm một hệ thức liên hệ đơn giản của x và y bằng phương pháp đánh giá.

N

G

Thường là sử dụng các bất đẳng thức cơ bản: Cô-si, bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối,...

H Ư

Bước 3: Thay hệ thức đơn giản tìm được vào phương trình còn lại của hệ để được phương

TR ẦN

trình 1 ẩn

Bước 4: Giải phương trình 1 ẩn (cần ôn tập tốt các phương pháp giải phương trình 1 ẩn).

(1) (2)

A

10 00

B

 x 12 − y + y (12 − x 2 ) = 12  Ví dụ 1. Giải hệ phương trình   x3 − 8 x − 1 = 2 y − 2

H

Ó

Bài giải

(*)

ÁN

-L

Í-

−2 3 ≤ x ≤ 2 3 +) Điều kiện:  2 ≤ y ≤ 12

Đánh giá phương trình (1) để tìm hệ thức đơn giản liên hệ giữa x và y. Sử dụng BĐT Cô-si

TO

ta có:

 x 2 + 12 − y  x 12 − y ≤ x ≥ 0 2 2 12 − + 12 − ≤ 12 x y y x ⇒ 1 ⇔ nên ( ) ( )   2 2  y = 12 − x  y 12 − x 2 ≤ y + 12 − x )  ( 2

D

IỄ N

Đ

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

IV. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Ơ

N

4 ( x 4 + 2 x3 y + x 2 y 2 ) = 2 x + 2 y + 9 10)  2 2 3 x + 2 xy − y = 6 ( x + y + 1)

 x 2 + 2 x + 6 = y + 1 9)  2 2  x + xy + y = 7

Thế y = 12 − x 2 vào phương trình (2) ta được phương trình một ẩn: x 3 − 8 x − 1 = 2 10 − x 2

(3)

Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

14

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

Phương trình (3) có một nghiệm là x = 3 nên ta định hướng phân tích (3) thành dạng

)

(

2 ( x2 − 9)

 2 ( x + 3)  = 0 ⇔ ( x − 3)  x 2 + 3 x + 1 + =0⇔ x=3 2 1 + 10 − x 2 1 + 10 − x  

Ơ

N

>0

U Y .

(2)

G

Đ

ẠO

 5 x 2 + 2 xy + 2 y 2 + 2 x 2 + 2 xy + 5 y 2 = 3( x + y ) (1) Ví dụ 2. Giải hệ phương trình   2 x + y + 1 + 2 3 7 x + 12 y + 8 = 2 xy + y + 5

H Ư

N

Bài giải

TR ẦN

5 x 2 + 2 xy + 2 y 2 ≥ 0  +) Điều kiện: 2 x 2 + 2 xy + 5 y 2 ≥ 0 ⇔ x + 2 y + 1 ≥ 0 . x + 2 y +1 ≥ 0 

B

(1) →x + y ≥ 0. ( x; y ) 

10 00

+) Khi hệ có nghiệm

5 x 2 + 2 xy + 2 y 2 ≥ 2 x + y (*) dấu

Ta thấy

2

2

bằng khi x = y . Thật vậy (*) ⇔ 5 x 2 + 2 xy + 2 y 2 ≥ ( 2 x + y ) ⇔ ( x − y ) ≥ 0 luôn đúng với

A

2 x 2 + 2 xy + 5 y 2 ≥ x + 2 y (**) dấu bằng khi x = y

H

Ó

mọi x, y ∈ℝ . Tương tự

Từ (*) & (**) ⇒ VT ( ) = 5 x 2 + 2 xy + 2 y 2 + 2 x 2 + 2 xy + 5 y 2 ≥ 3 ( x + y ) = VP ( ) 1

-L

Í-

1

ÁN

Dấu đẳng thức xẩy ra khi x = y ( 3)

3 x + 1 + 2. 3 19 x + 8 = 2 x 2 + x + 5

(3)

ÀN

TO

Thế y = x vào (2), ta được:

D

IỄ N

Đ

Ta có: (3) ⇔ 3x + 1 − ( x + 1) + 2  3 19 x + 8 − ( x + 2 )  = 2 x 2 − 2 x

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

.Q

Vậy hệ phương trình có một nghiệm ( x; y ) là ( 3;3) .

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Với x = 3 ⇒ y = 3 [thỏa (*)]

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

⇔ ( x − 3) ( x + 3 x + 1) + 2

N

(3) ⇔ x 3 − 8 x − 3 + 2 1 − 10 − x 2 = 0

H

( x − 3) . f ( x ) = 0 ,

− x2 + x ⇔ + 3x + 1 + x + 1

−2 ( x3 + 6 x 2 − 7 x ) 3

(19 x + 8 )

2

+ ( x + 2) 19 x + 8 + ( x + 2) 3

Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

= 2 x2 − 2x 2

15

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

2 ( x 2 − x ) ( x + 7)

(19 x + 8)

+ 2 = 0(*)

+ ( x + 2) 3 19 x + 8 + ( x + 2) 2

.Q TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

(1)

(2)

H Ư

N

G

Đ

 8 xy 17  x y  21 +  + =  2 2 Ví dụ 3. Giải hệ phương trình  x + y + 6 xy 8  y x  4   x − 16 + y − 9 = 7

ẠO

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x, y ) ∈ {( 0;0 ) , (1;1)}

TR ẦN

Bài giải

10 00

B

 x ≥ 16 Điều kiện:  y ≥ 9

Đánh giá phương trình (1) để tìm hệ thức đơn giản liên hệ giữa x và y.

A

8 17  x y  3 +  + + =6 x y + +6 8  y x  4 y x

Í-

H

Ó

(1) ⇔

Ta có:

-L

x y x y + ≥ 2 . = 2 ( t = 2 ⇔ x = y ) và sử dụng BĐT Cô-si ta có: y x y x

ÁN

Đặt t =

TO

8 17  x y  3 8 17 3 8 1 +  + + = + t+ = + ( t + 6 ) + 2t ≥ 2 + 2.2 = 6 x y 4 t+6 8 + +6 8  y x  4 t +6 8 y x

Dấu “=” xảy ra khi

8 1 = (t + 6) ⇔ t = 2 ⇔ x = y t +6 8

D

IỄ N

Đ

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Vì x ≥ 0 nên (*) vô nghiệm. Do đó (3) ⇔x = 0 hay x = 1.

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2( x + 7) 2

Ơ

N

+ ( x + 2) 3 19 x + 8 + ( x + 2) 2

H

 x2 − x = 0  1 ⇔ +  3x + 1 + x + 1 

(19 x + 8 )

+ 2( x 2 − x) = 0

N

3

2

U Y

x2 − x ⇔ + 3x + 1 + x + 1

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

Thế y = x vào (2), ta được:

x − 16 + x + 9 = 7 ⇔

( x − 16 )( x − 9 ) = 37 − x ⇔ x = 25

Với x = 25 ⇒ y = 25 [thỏa (*)].

Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

16

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x, y ) ∈ {( 25; 25 )} .

B. MỘT SỐ ĐỊNH HƯỚNG XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG

Ơ

N

TRÌNH TỪ CÁC ĐẲNG THỨC.

.Q

H Ư

N

G

Đ

 x 3 − y 3 = 35 (1) Giải hệ phương trình :  2 .

2  2 x + 3 y = 4 x − 9 y ( 2 )

TR ẦN

Nhân hai vế của (2) với -3 rồi cộng với (1) ta được: 3

3

x3 − y 3 − 6 x 2 − 9 y 2 = 35 − 12 x + 27 y ⇔ ( x − 2 ) = ( y + 3) ⇔ x = y + 5 .

10 00

B

 y = −2 Thay vào (2) ta được : 5 y 2 + 25 y + 30 = 0 ⇔  .  y = −3

Ó

A

Nghiệm của hệ là : ( x; y ) = ( 3; −2 ) , ( x; y ) = ( 2; −3) .

H

Nhận xét: tại sao ta biết nhân hai vế của phương trình (2) với -3 rồi cộng với phương trình

ÁN

bất định.

-L

Í-

(1), tại sao lại là số -3 mà không phải số khác, tại sao lại cộng với phương trình (1) mà không phải trừ? Ta có thể giải thích vấn đề đó thông qua việc sử dụng phương pháp hệ số

TO

Xét (1) + α . ( 2 ) ta được : x3 − y 3 + 2α x 2 + 3α . y 2 = 35 + 4α x − 9α y (3)

D

IỄ N

Đ

ÀN

Từ (3) ta chọn α , a, b sao cho thỏa mãn : 3

x3 + 2α x 2 − 4α x − y 3 + 3α . y 2 + 9α y − 35 = ( x − a ) − ( y − b )

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP ẠO

Ta sẽ thu được : 2 x 2 + 3 y 2 = 4 x − 9 y . 0Từ đó ta có bài toán sau:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

3

= ( y + 3) ⇔ x3 − 6 x 2 + 12 x = y 3 + 9 y 2 + 27 y + 35

U Y

3

Khi đó, chọn x = 3; y = −2 thì (1) đúng. Do vậy, cũng với x = 3; y = −2 thì x3 − y 3 = 35 .

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

( x − 2)

N

H

Xuất phát từ một biến đổi tương đương do ta chọn :

3

α = −3 2α = −3a; −4α = 3a 2  ⇒ ⇒ a = 2 2 3 3 3α = 3b;9α = −3b ; −35 = b − a  b = −3 Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

17

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Chú ý rằng: việc xét

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

(1) + α .( 2 )

vẫn không giảm tổng quát hơn so với việc xét

β . (1) + α . ( 2 ) , vì khi ta giải phương trình có quyền chia cả hai vế cho một số khác 0.

Ơ

3

= ( y + 1) ⇔ x3 − 6 x 2 + 12 x = y 3 + 3 y 2 + 3 y + 9 (1)

H

3

.Q

H Ư

4

4

= ( y − 4 ) ⇔ x 4 − 8 x 3 + 24 x 2 − 32 x = y 4 − 16 y 3 + 96 y 2 − 256 y + 240 (*)

TR ẦN

( x − 2)

N

Với việc xuất phát từ đẳng thức :

Khi đó, chọn x = 4; y = 2 thì (*) đúng. Do vậy, cũng với x = 4; y = 2 thì x 4 − y 4 = 240 (**) .

10 00

B

Từ (*) và (**) ta được :

(

)

H

Ó

Khi đó ta có bài toán sau:

A

−8 x 3 + 24 x 2 − 32 x = −16 y 3 + 96 y 2 − 256 y ⇔ x 3 − 2 y 3 = 3 x 2 − 4 y 2 − 4 ( x − 8 y )

-L

Í-

(HSG Quốc gia 2010) Giải hệ phương trình :

( 3) ( 4)

TO

ÁN

 x 4 − y 4 = 240  3 3 2 2  x − 2 y = 3 ( x − 4 y ) − 4 ( x − 8 y )

ÀN

Nhân phương trình (4) với -8 rồi cộng với phương trình (3) ta được : 4

4

D

IỄ N

Đ

x 4 − y 4 − 8 x3 + 16 y 3 = 240 − 24 x 2 + 96 y 2 − 256 y + 32 x ⇔ ( x − 2 ) = ( y − 4 )

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

Đ

ẠO

3 3  x − y = 9 Giải hệ phương trình :  2 .

2 2 x + y = 4 x − y

TP

Ta sẽ thu được : 2 x 2 + y 2 = 4 x − y . Từ đó ta có bài toán sau:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

Khi đó, chọn x = 2; y = −1 thì (1) đúng. Do vậy, cũng với x = 2; y = −1 thì x3 − y 3 = 9

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

( x − 2)

N

Tương tự khi xuất phát từ một biến đổi tương đương do ta chọn:

x − 2 = 4 − y x = 6 − y ⇔ ⇔ x − 2 = y − 4 x = y − 2

+) Khi y = x + 2 thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được :

Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

18

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

(

)

x3 + 3x 2 + 4 x + 32 = 0 ⇔ ( x + 4 ) x 2 − x + 8 = 0 ⇔ x = −4 +) Khi y = 6 − x thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta được :

)

N Ơ H ẠO

những đẳng thức : x 2 ± y 2 ; x 3 ± y 3 ; x 4 ± y 4 .

Đ

Xuất phát với ý tưởng như trên, sau đó ta có thể thông qua phép biến đổi ẩn nữa ta có thể

N

G

thu được một bài toán phức tạp hơn.

3

= 0 ⇔ u 3 − 9u 2 + 27u + v3 + 15v 2 + 75v + 98 = 0

TR ẦN

3

( u − 3) + ( v + 5 )

H Ư

Chẳng hạn, xuất phát từ đẳng thức và qua biến đổi tương đương do ta chọn :

( *)

10 00

sẽ thu được : 3u 2 − 5v 2 = 9u + 25v .

B

Khi đó, chọn u = 3; v = −5 thì (*) đúng. Do vậy, cũng với u = 3; v = −5 thì u 3 + v3 = −98 .Ta

(1) . ( 2)

-L

Í-

H

Ó

 x 3 + 3 xy 2 = −49  2 2  x − 8 xy + y = 8 y − 17 x

A

Đặt u = x + y ; v = x − y , và qua một số phép biến đổi cơ bản, ta có hệ :

ÁN

Ta có bài toán sau :

(1) ( 2)

ÀN

TO

 x 3 + 3 xy 2 = −49 (HSG Quốc gia 2004) Giải hệ phương trình :  2 2  x − 8 xy + y = 8 y − 17 x

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

.Q

Nhận xét: Câu hỏi được đặt ra như trước là tại sao lại nhân phương trình (4) với -8 rồi lại cộng với phương trình (3) ? Điều này được lý giải tương tự như ở trên và được xuất phát từ

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm : ( 4;2 ) ; ( −4; −2 ) .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

(

x3 − 9 x 2 + 36 x − 64 = 0 ⇔ ( x − 4 ) x 2 − 5 x + 16 = 0 ⇔ x = 4

Đặt u = x + y ; v = x − y , suy ra x =

u+v u −v ;y = .Thay vào (1) ta được: 2 2

D

IỄ N

Đ

Giải.

(u + v )

3

2

+ 3 ( u + v )( u − v ) = −392 ⇔ u 3 + v3 = −98

Thay vào (2) ta được : Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

19

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

(u + v )

2

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

− 8 ( u 2 − v 2 ) + ( u − v ) = 16 ( u − v ) − 34 ( u + v ) ⇔ 3u 2 − 5v 2 = 9u + 25v 2

H

Đ

Với nhiều bài toán, đôi khi ta co thể đổi biến dưới dạng u = ax + by ; v = α x − β y ta sẽ lại

H Ư

căn, ta có thể thu được các dạng hệ phương trình vô tỷ.

N

G

thu được những bài toán phức tạp hơn, hoặc chuyển các ẩn đó bằng các biểu thức chứa dấu

TR ẦN

Bài tập tương tự :

10 00

 x3 + 3xy 2 = 49 a)  2 2  x + 8 xy + y = 8 y + 17 x

B

(Moldova Team Selection Test 2008) Giải hệ phương trình :

6 x 2 y + 2 y 3 + 35 = 0 b)  2 2 5 x + 5 y + 2 xy + 5 x + 13 y = 0

Ó

A

(Olympic các trường Chuyên khu vực Duyên hải và Đồng bằng Bắc bộ 2011)

-L

Í-

H

 x3 − y 3 − 3 y 2 = 9 a)  2 2  x + y = x − 4 y

 x 2 + 2 xy + 2 y 2 + 3 x = 0 (1) b)  2 ( 2)  xy + y + 3 y + 1 = 0

ÁN

Nhận xét: Những hệ phương trình chứa hạng tử x 2 , xy, y 2 phần lớn có thể đưa về phương

TO

trình bậc hai theo ax + by . Để làm được điều đó, ta se nhân phương trình (1) với α và

ÀN

phương trình 2 với β rồi cộng lại :

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

ẠO

Vậy hệ có nghiệm ( −1;4 ) , ( −1; −4 ) .

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

.Q

U Y

( u; v ) = ( 3; −5 ) ( x; y ) = ( −1;4 ) Khi đó ta tìm được  . ⇒ ( u; v ) = ( −5;3) ( x; y ) = ( −1; −4 )

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

Nhân phương trình dưới với -3 rồi cộng với phương trình trên ta được : v = − u − 2 .

Ơ

N

u 3 + v3 = −98 Ta có hệ mới :  2 .

2 3u − 5v = 9u + 25v

D

IỄ N

Đ

α ( x 2 + 2 xy + 2 y 2 + 3x ) + β ( xy + y 2 + 3 y + 1) = 0  β  β  β    ⇔ α  x 2 +  + 2  xy +  + 2  y 2  + 3α  x + y  + β = 0 α  α  α    

Ta cần chọn α , β sao cho : Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

20

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

β β  β   x 2 +  + 2  xy +  + 2  y 2 =  x + α α  α  

 y 

2

β β β  β  ⇔ x 2 +  + 2  xy +  + 2  y 2 = x 2 + 2 xy + 2 y 2 . α α α  α 

H

Ơ

N

2

.Q N

G

Khi đó ta được bài toán :

H Ư

Giải phương trình : 8 x3 + 8 x − 4 = 3 4 − 6 x

3

TR ẦN

Cách 1. Phương trình đã cho tương đương với : ( 2 x ) + 2 x = 3 4 − 6 x + 4 − 6 x

Xét hàm số : f ( t ) = t 3 + t , ∀t ∈ R . f ' ( t ) = 3t 2 + 1 > 0, ∀t ∈ R nên hàm số f ( t ) đồng biến Mà

phương

theo

trình : f ( 2 x ) = f

B

R.

10 00

trên

3

4 − 6x

)

nên

2x = 3 4 − 6x

1 .

2

Ó

A

⇔ 8 x 3 = 4 − 6 x ⇔ 4 x3 + 3x = 2 ⇔ x =

(

3

Í-

H

Cách 2. Phương trình đã cho tương đương với : ( 2 x ) = 3 4 − 6 x + 4 − 8 x

TO

ÁN

-L

8 y 3 = 4 − 6 x 8 y 3 = 4 − 6 x ⇔ 3 Đặt 2 y = 4 − 6 x , ta có hệ :  3 8 x + 8 x − 4 = 2 y 8 x = 2 y + 4 − 8 x 3

Trừ vế với vế ta được :

ÀN

(

)

(

)

Thay vào phương trình trong hệ ta được : 4 x 3 + 3 x = 2 ⇔ x =

1 .

2

D

IỄ N

Đ

8 x3 − y 3 = 2 ( y − x ) ⇔ ( x − y ) 4 x 2 + 4 xy + 4 y 2 + 1 = 0 ⇔ x = y

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

+ 2 x = 3 4 − 6 x + 4 − 6 x ⇔ 8 x3 + 8 x − 4 = 3 4 − 6 x

ẠO

3

Đ

( 2x)

TP

2 x = 3 4 − 6 x . Ta ghép với một hàm đơn điệu :

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Xét một phương trình bậc 3 nào đó, chẳng hạn : 4 x3 + 3x = 2 ⇔ 8 x3 = 4 − 6 x .Suy ra

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

Đồng nhất hệ số ta tìm được : β = 2α .Từ đó ta chọn α = 1 và β = 2 .

Tương tự ta có thể thu được các bài toán sau : Giải phương trình : x 2 − 4 x − 3 = x + 5 ; 2 x 2 − 6 x − 1 = 4 x + 5 Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

21

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

Cách số 2 là ta đặt ẩn phụ đưa về hệ xuất hiện nhân tử x − y hoặc đơn giản là đưa về hệ đối xứng loại 2. Thông thường ta sẽ sử dụng hằng đẳng thức :

H

Ơ

N

u = v un ( x ) − vn ( x ) = (u − v ) a ( x ) ⇔  . n −1 n −2 n −1  a ( x ) = u + u .v + ... + v = 0

+ x + 1 = ( x − 1)

U Y .Q

( x − 1)( 2 x − 3) − ( x + 1) ⇔ 4 x 2 − 11x + 10 = ( x − 1)

2x2 − 6x + 2

H Ư

N

Giải phương trình : 4 x 2 − 11x + 10 = ( x − 1) 2 x 2 − 6 x + 2 .

G

Đ

Ta được bài toán sau :

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2

TP

( 2 x − 3)

ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

u 2 + x + 1 = ( x − 1) v Đặt u = 2 x − 3, v = 2 x − 6 x + 2 . Ta có hệ :  2 v + x + 1 = ( x − 1) u

TR ẦN

2

10 00

B

u = v ⇒ u 2 − v 2 = ( x − 1)( v − u ) ⇔ ( u − v )( u + v + x − 1) = 0 ⇔  v = 1 − x − u

H

Ó

A

2 x − 3 ≥ 0 +) u = v ⇒ 2 x 2 − 6 x + 2 = 2 x − 3 ⇔  2 , hệ vô nghiệm.

2 − 6 + 7 = 0 x x 

ÁN

-L

Í-

4 − 3x ≥ 0 +) v = 1 − x − u ⇒ 2 x 2 − 6 x + 2 = 4 − 3x ⇔  2 , hệ vô nghiệm. 7 x − 6 x + 7 = 0 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

Chọn n = 2, f ( x ) = 2 x − 3, a ( x ) = x − 1, b ( x ) = x + 1 ta có :

Đ

ÀN

Đôi khi thông qua việc dự đoán nghiệm của phương trình hoặc hệ phương trình, ta có thể xây dựng được phương trình hoặc hệ phương trình mới và tìm được hướng giải quyết bài

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

n

Xuất phát từ phương trình dạng :  f ( x )  + b ( x ) = a ( x ) . n a ( x ) . f ( x ) − b ( x ) .

Ví dụ 1: Giải phương trình

D

IỄ N

toán.

3 3 x 2 + x 2 + 8 − 2 = x 2 + 15 (1)

Giải: Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

22

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

Ta dự đoán được nghiệm x = ± 1 , và ta viết lại phương trình như sau:

)

x2 − 1

=

Ơ H N U Y .Q 1

x 2 + 15 > x 2 + 8 ⇒ x 2 + 15 + 4 > x 2 + 8 + 3 ⇒

1

<

x2 + 8 + 3

G

Đ

x 2 + 15 + 4

ẠO

Mặt khác, ta có:

H Ư

N

Nên phương trình thứ hai vô nghiệm. Vậy (1) có 2 nghiệm x = 1, x = −1 .

TR ẦN

Ví dụ 2: Giải phương trình sau

3x 2 − 5 x + 1 − x 2 − 2 = 3 ( x 2 − x − 1) − x 2 − 3x + 4 (2)

10 00

B

Giải:

Ý tưởng: Trước hết, kiểm tra ta thấy được rằng phương trình đã cho có một nghiệm x = 2

2

) (

H )

(

) (

)

− 5 x + 1 − 3x 2 − 3x − 3 = −2 ( x − 2 ) và x 2 − 2 − x 2 − 3x + 4 = 3 ( x − 2 )

-L

( 3x

Í-

có nhận xét rằng:

Ó

A

nên ta sẽ cố gắng đưa phương trình trên về phương trình tích xuất hiện nhân tử ( x − 2 ) . Ta

TO

ÁN

Ta đi đến lời giải như sau:

(

)

ÀN

(2) ⇔ 3x 2 − 5 x + 1 − 3 x 2 − x − 1 = x 2 − 2 − x 2 − 3x + 4

IỄ N

Đ

⇔

D

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

x4 + 3 x2 + 1 x2 + 8 + 3 x 2 + 15 + 4  x2 = 1 ⇔  1 1 1 + =  3 x 4 + 3 x 2 + 1 x2 + 8 + 3 x 2 + 15 + 4 3

−2 x + 4 3 x 2 − 5 x + 1 + 3 ( x 2 − x + 1)

=

3x − 6 x 2 − 2 + x 2 − 3x + 4

 2 ⇔ ( x − 2)  +  3x 2 − 5 x + 1 + 3 x 2 − x − 1 ( )  Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

x2 − 1

+

x 2 + 15 − 4

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

⇔

3 ( x 2 − 1)

) (

x2 + 8 − 3 =

N

(1) ⇔ 3 ( 3 x 2 − 1) + (

 =0 2 2  x − 2 + x − 3x + 4  3

23

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

Mặt khác, ta có: 2

+

3 x − 5 x + 1 + 3 ( x − x − 1) 2

3 x − 2 + x 2 − 3x + 4 2

> 0 với mọi x

Ơ

N

2

U Y

Ví dụ 3: Giải phương trình

.Q TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Giải:

Đ

Cũng bằng cách kiểm tra, ta thấy pt (3) nhận x = 1 làm một nghiệm nên ta có thể đưa

N

G

phương trình (3) về dạng phương trình tích xuất hiện nhân tử ( x − 1) .

x 2 − 7 x + 10 − ( x + 1)  =  x 2 − 12 x + 20 − ( x + 2 )  (4)   

TR ẦN

( 3) ⇔ 2 

H Ư

Ta viết lại như sau:

x 2 − 7 x + 10 − ( x + 1) = 0 và

x 2 − 12 x + 20 − ( x + 2 ) = 0 vô

B

Để ý rằng hai phương trình

A

x 2 − 12 x + 20 + x + 2

H

x 2 − 7 x + 10 + x + 1

−16 ( x − 1)

=

Ó

−18 ( x − 1)

10 00

nghiệm nên nhân liên hợp hai vế của (4) ta có:

8 x 2 − 12 x + 20 + x + 2

(*)

ÁN

-L

Í-

x = 1 ⇔ 9  =  x 2 − 7 x + 10 + x + 1

Pt (*) ⇔ 8 x 2 − 7 x + 10 − 9 x 2 − 12 x + 20 = x + 10

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

2 x 2 − 7 x + 10 = x + x 2 − 12 x + 20 (3)

Đ

ÀN

Đến đây ta có hai hướng giải quyết:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Vậy phương trình (2) có một nghiệm duy nhất x = 2.

Hướng 2: kết hợp với pt (3) ta có hệ sau

D

IỄ N

Hướng 1: bình phương hai vế…

2 2 8 x − 7 x + 10 − 9 x − 12 x + 20 = x + 10  2 x 2 − 7 x + 10 − x 2 − 12 x + 20 = x

Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

24

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

Lấy phương trình thứ nhất trừ đi 9 lần phương trình thứ hai, ta thu được: 5  15 + 5 5 x ≥ 5 x − 7 x + 10 = 4 x − 5 ⇔  ⇔x= 4 2  x 2 − 15 x + 25 = 0 

.Q

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

Giải:

3

2 ( 3 x − 1) ( 9 x 2 + 3x + 1)

27 x 2 − 9 x + 1 + 1

  − 2 =0 2 3 3 3 3 27 x − 9 x + 1 + 1 162 x + 2 + 2 162 x + 2 + 4  

A

2 ( 9 x 2 + 3 x + 1)

(

=0

3x

)

-L

  ⇔ ( 3 x − 1)   

) + 2 162x + 2 + 4 3

3

10 00

162 x + 2 3

=0

3x ( 3x − 1)

−

Ó

(

3

2

27 x 2 − 9 x + 1 + 1

H

⇔

) + 2 162x + 2 + 4 3

3x ( 3x − 1)

TR ẦN

162 x + 2 3

−

Í-

(

3

2

B

162 x3 − 6

H Ư

N

G

Phương trình đã cho tương đương với:

ÁN

Xét phương trình:

TO

2 ( 9 x 2 + 3x + 1)

3

162 x + 2 3

IỄ N

Đ

ÀN

(

D

162 x 3 + 2 − 27 x 2 − 9 x + 1 = 1

ẠO

3

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ví dụ 4: Giải phương trình

⇔

(

3

2

) + 2 162x + 2 + 4

−

3

3

2 ( 9 x 2 + 3 x + 1) 162 x3 + 2

2

) + 2 162 x + 2 + 4 3

3

3x 27 x 2 − 9 x + 1 + 1

=

=0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

15 + 5 5 .

2

U Y

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 1, x =

H

Ơ

N

2

3x 3

162 x3 + 2

Ta đặt a = 3 162 x 3 + 2 suy ra:

Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

25

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

1 4 1 1 a a 2   2  3 x + + 1 = a + + 2 ⇔ 3 x + + 1 = + + 1 ⇒ 3x = ⇔ x = a 2 3 3x  3x 2 a 

Ơ

N

1 Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = .

3

TP

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

5 3

Đ

Đk: x ≥

N

G

Ta nhận thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình. Như vậy phương trình đã cho có thể

x 2 + 12 + 4

= 3( x − 2) +

x2 − 4

10 00

⇔

x2 − 4

B

x 2 + 12 − 4 = 3 x − 6 + x 2 + 5 − 3

TR ẦN

Phương trình đã cho tương đương với:

H Ư

phân tích được về dạng ( x − 2 ) Q ( x ) = 0 !

x2 + 5 + 3

Í-

H

Ó

A

  x+2 x+2 ⇔ ( x − 2)  − − 3 = 0 2 x2 + 5 + 3   x + 12 + 4

TO

ÁN

-L

x = 2 ⇔ x+2 x+2  − − 3 = 0(*) 2 2  x + 12 + 4 x +5 +3

1

x 2 + 12 + 4

<

1 x2 + 5 + 3

⇒

x+2 x 2 + 12 + 4

−

x+2 x2 + 5 + 3

< 0 nên pt (*) vô nghiệm.

D

IỄ N

Đ

ÀN

Do

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q

x 2 + 12 + 5 = 3 x + x 2 + 5

Giải:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Giải phương trình sau:

H

Ví dụ 5: (Olympic 30/4 Đề nghị)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2.

Ví dụ 6: Giải phương trình 3x 2 − 7 x + 3 − x 2 − 2 = 3x 2 − 5 x − 1 − x 2 − 3x + 4

Giải: Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

26

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

Phương trình đã cho tương đương với 3x 2 − 5 x − 1 − 3x 2 − 7 x + 3 + x 2 − 2 − x 2 − 3x + 4 = 0

+

3 x − 2 + x 2 − 3x + 4 2

Ơ H N

nên phương trình có nghiệm duy

ẠO

nhất x = 2.

G

Đ

Ví dụ 7: Giải phương trình

H Ư

N

5 x − 1 + 3 9 − x = 2 x 2 + 3x − 1

TR ẦN

1 Giải:ĐK: x ≥ .

5

5 x − 1 − 2 + 3 9 − x − 2 = 2 x 2 + 3x − 5

5x − 1 + 2

+

1− x

(

3

9− x

)

2

10 00

5 ( x − 1)

+ 23 9 − x + 4

A

⇔

B

Phương trình đã cho tương đương với:

Ó

 5 + ⇔ ( x − 1)  2 x + 5 −  5x − 1 + 2 

H

Í-

-L

 =0 2  3 3 9 − x + 2 9 − x + 4  1

(

)

 =0 2  3 3 9 − x + 2 9 − x + 4  1

(

)

ÀN

TO

ÁN

 5 5x − 1 + 5 ⇔ ( x − 1)  2 x + +  5x − 1 + 2 

= ( x − 1)( 2 x + 5 )

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

3x − 5 x − 1 + 3x − 7 x + 3 2

U Y

2 2

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Do

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

2 2  3x − 5 x − 1 + 3x − 7 x + 3

  =0. x 2 − 2 + x 2 − 3x + 4  3

+

.Q

2

( x − 2)

TP



N

Bằng cách nhân liên hợp, ta có:

Ví dụ 8: Giải phương trình

D

IỄ N

Đ

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 1.

x3 − 3x + 1 = 8 − 3x 2

Giải: Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

27

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

2 6 2 6 ≤x≤ , ở bài này, khó là ở chỗ ta không thể nhẩm ra ngay được nghiệm của 3 3 phương trình để dùng lượng liên hợp. Tuy nhiên với sự hỗ trợ đắc lực của công nghệ là Đk: −

Ơ

N

chiếc máy tính Casio fx570 Es thì mọi chuyện có vẻ dễ dàng hơn!

H

Thật vậy, ta sẽ lần lượt dùng chức năng Shift Solve để tìm ra 2 nghiệm của phương trình là:

.Q

G

Đ

Và từ đây, ta có thể dự đoán được x 2 − x − 1 chính là nhân tử của pt! ☺

H Ư

N

Ta viết pt đã cho lại thành:

⇔ x − 3 x + 1 − ( px + q ) +

( px + q )

2

− (8 − 3x 2 )

8 − 3 x 2 + px + q

= 0 ( 2)

(p − ( p + 3) x + 1 − q +

2

+ 3) x 2 + 2 pqx + q 2 − 8 8 − 3 x 2 + px + q

=0

Ó

A

⇔x

3

10 00

B

3

TR ẦN

x3 − 3x + 1 − ( px + q ) − 8 − 3x 2 + px + q = 0

(

)

(

)

Í-

H

Đến đây, để xuất hiện nhân tử x 2 − x − 1 thì p 2 + 3 x 2 + 2 pqx + q 2 − 8 = ∂ x 2 − x − 1 với ∂

TO

ÁN

-L

là một hệ số. Chọn ∂ = 4 thì ta được một cặp (p, q) thỏa mãn là (p, q) = (-1; 2). Khi đó (2) trở thành: x − 2x −1 + 4

  4 = 0 ⇔ x2 − x − 1  x + 1 + =0 8 − 3x 2 + 2 − x 8 − 3x 2 + 2 − x   x2 − x −1

(

)

ÀN

3

Đ IỄ N

⇒ f '( x) = 0 ⇔

−3x 8 − 3x

2

=1⇔ x = −

−3 x 8 − 3x 2

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Điều đó đã chứng tỏ A, B là hai nghiệm của phương trình: X 2 − X − 1 = 0

Xét f ( x ) = 8 − 3x 2 + 2 − x ta có: f ' ( x ) =

D

TP

B và AB, ta thu được kết quả “đẹp” sau: A + B = 1, AB = −1 .

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Bây giờ ta sẽ thử tìm xem A và B có mối quan hệ gì với nhau hay không bằng cách tình A +

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

x1 = −0,6180339887...; x2 = 1,618033989... sau đó gán hai nghiệm này vào hai biến A và B.

−1

2 3

Ta có bảng biến thiên: Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

28

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

U Y .Q TP

N H Ư

1± 5 .

2

TR ẦN

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 2 − x − 1 = 0 ⇔ x =

Ví dụ 9: Giải phương trình

10 00

B

x2 + x − 1 = ( x + 2) x2 − 2 x + 2 Giải:

H

Ó

A

Cũng bằng cách làm như ở Ví dụ 8, ta phân tích được như sau:

Í-

x2 − 2 x − 7 + 3( x + 2) − ( x + 2) x2 − 2 x + 2 = 0

-L

  ⇔ x − 2x − 7 + ( x + 2) 3 − x − 2x + 2 = 0 ⇔ ( x − 2x − 7)  

(

2

)

2

+ 1 − ( x − 1)  =0 x2 − 2x + 2 + 3  

( x − 1)

2

TO

ÁN

2

D

IỄ N

Đ

ÀN

x = 1+ 7 ⇔ .  x = 1 − 7

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

8 − 3x + 2 − x

4 2 6 4 ≥− +1+ >0 3 f ( x) 6+4 6 3

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

= x +1+

2

ẠO

4

G

⇒ x +1+

6+4 6 2 6 6+4 6 ⇒ 0 < f ( x) ≤ kết hợp với x ≤ 3 3 3

Đ

⇒ f ( x) ≤

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

H

Ơ

N

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Ta cũng có thể giải thích theo cách khác tại sao lại tìm được lượng x 2 − 2 x − 7 như sau: Do x = -2 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho (x + 2) ta được:

Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

29

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

x2 + x − 1 x − 2x + 2 = . Giả sử ta cần thêm vào hai vế của phương trình một lượng x+2 Ax + B , khi đó ta có: 2

Ơ TP

1 − A2 2 (1 + AB ) B 2 − 2 = = . Từ đó ta có: A = 0, B = 3.

1 − A 2 A + B − 1 2B + 1

G

Đ

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

TR ẦN

(1) 2 x − 1 + x 2 − 3 x + 1 = 0 ĐS: x = 1, x = 2 − 2

H Ư

N

Giải các phương trình sau:

(

)

(

A

Ó

-L

1 − x 2x + x2 = x 1 + x2

TO

ÁN

(3)

)

x − 2 − 1 = 2 x − 6 + x + 6 − 3 , sau đó trục căn thức làm xuất hiện

Í-

nhân tử chung x – 3.

Hướng dẫn: pt ⇔

11 − 3 5 2

H

Hướng dẫn: pt ⇔ 3

ĐS: x = 3; x =

10 00

(2) 3 2 + x − 2 = 2 x + x + 6

B

Hướng dẫn: pt ⇔ 2 x − 1 − 1 + x 2 − 3x + 2 = 0 , trục căn thức làm xuất hiện nhân tửx – 1.

ĐS: x =

1 2

1− x 2x + x2 −1 = − 1 , trục căn thức làm xuất hiện nhân tử chung là x 1 + x2

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

H x+2

x 2 − 2 x + 2 − ( Ax + B )

Khi đó, ta cần chọn A, B sao cho

1 − A ) x 2 + (1 − 2 A − B ) x − 1 − 2 B ( =

D

IỄ N

Đ

2x −1.

(4) 9

(

)

4 x + 1 − 3x − 2 = x + 3

Hướng dẫn: pt ⇔ 9

(

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

− 2 (1 + AB ) x + 2 − B 2

N

2

U Y

2

.Q

(1 − A ) x ⇔

N

x2 + x − 1 − ( Ax + B ) x+2

x 2 − 2 x + 2 − ( Ax + B ) =

ĐS: x = 6

)

4 x − 1 − 5 + 4 − 3x − 2 = x − 6

(5) x − 2 + 4 − x = 2 x 2 − 5 x − 1 ĐS: x = 3 Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

30

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

Hướng dẫn: pt ⇔ x − 2 − 1 + 4 − x − 1 = 2 x 2 − 5 x − 3 , trục căn thức làm xuất hiện nhân tử chung là x – 3. x+3 5

x+3 − 1 sau đó trục căn thức làm xuất hiện 5

.Q

−32 + 513 7

N

x2 − 1 .

2 x + 3 + x + 1 = 3 x + 2 2 x 2 + 5 x + 3 − 16 .

TR ẦN

(8)Giải phương trình:

H Ư

tử chung là

G

Đ

Hướng dân: pt ⇔ 2 x 2 + 16 x + 18 − ( 2 x + 4 ) + x 2 − 1 = 0 , trục căn thức làm xuất hiện nhân

Giải: Đặt t = 2 x + 3 + x + 1 > 0. (2) ⇔ x = 3

B

 x 4 − 4 x 2 + y 2 − 6 y + 9 = 0 (2)  2 2  x y + x + 2 y − 22 = 0

10 00

(9)Giải hệ phương trình :

H

Ó

A

( x 2 − 2) 2 + ( y − 3)2 = 4 Giải: (2) ⇔  2 . Đặt 2 ( x − 2 + 4)( y − 3 + 3) + x − 2 − 20 = 0

u = 0  v = 2

ÁN

-L

Í-

u 2 + v 2 = 4 u = 2 Khi đó (2) ⇔  ⇔ hoặc u.v + 4(u + v) = 8 v = 0

 x2 − 2 = u  y − 3 = v

TO

 x = 2  x = −2  x = 2  x = − 2 ⇒ ; ; ; = 3 = 3 y y 5 y =   y = 5   

D

IỄ N

Đ

ÀN

8 x3 y 3 + 27 = 18 y 3 (10)Giải hệ phương trình:  2 2 4 x y + 6 x = y

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ĐS: x = ±1; x =

ẠO

(7) 2 x 2 + 16 x + 18 + x 2 − 1 = 2 x + 4

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

nhân tử chung x – 2.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

Hướng dẫn: pt ⇔ 4 x + 1 − 3 + 2 − 3 x − 2 =

H

Ơ

N

ĐS: x = 2

N

(6) 4 x + 1 − 3 x − 2 =

3  3 3 (2 x) +   = 18 3 a + b = 3   y Giải: (2) ⇔  . Đặt a = 2x; b = . (2) ⇔  y  ab = 1 3  3 2 .

2 + = 3 x x    y y  

Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

31

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

3− 5 6   3+ 5 6  Hệ đã cho có nghiệm:  ; ; ,  3+ 5   4 3− 5   4

N Ơ H

Đ

(b) ⇔ x 2 + y 2 + 2 ( x 2 + 1).( y 2 + 1) = 14 ⇔ xy + 2 ( xy ) 2 + xy + 4 = 11 (c)

H Ư

Giải

N

G

(b )

ẠO

(a)

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

 x 2 + y 2 − xy = 3 (12)Giải hệ phương trình:  2 2  x + 1 + y + 1 = 4

TR ẦN

p =3  p ≤ 11 Đặt xy = p. (c) ⇔ 2 p + p + 4 = 11 − p ⇔  2 ⇔  p = −35 p p 3 + 26 − 105 = 0  3 

10 00

2

(a) ⇔ ( x + y ) = 3 xy + 3

B

2

p = xy = −

35 (loại) ; p = xy = 3 ⇒ x + y = ±2 3 3  xy = 3 ⇒x= y=− 3 2/ Với   x + y = −2 3

Í-

H

Ó

A

 xy = 3 ⇒x= y= 3 1/ Với   x + y = 2 3

(

3; 3 ) , ( − 3; − 3 )

ÁN

-L

Vậy hệ có hai nghiệm là:

ÀN

TO

2 xy  2 2 x + y + x + y = 1 (13)Giải hệ phương trình:   x + y = x2 − y 

D

IỄ N

Đ

2xy  2 2 x + y + x + y = 1 Giải:   x + y = x2 − y 

(1)

.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

TP

.Q

 x2 + 1 + y+ x−2= 2  x2 + 1  =1 y  x =1  x = −2   Giải: (2) ⇔  2 ⇔ hoặc  ⇔ y  y=5  x + 1 ( y + x − 2) = 1 y + x − 2 =1 y = 2   y

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

 x 2 + 1 + y ( y + x) = 4 y (11)Giải hệ phương trình:  2 (x, y ∈ ) ( x + 1)( y + x − 2) = y

Điều kiện: x + y > 0 .

(2)

Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

32

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

1   = 0 ⇔ ( x + y − 1)( x 2 + y 2 + x + y ) = 0 ⇔ x + y − 1 = 0 (1) ⇔ ( x + y ) 2 − 1 − 2xy  1 −   x+ y

Ơ H

.Q TP

(14)Giải hệ phương trình: 2 3 3 x − 2 + 3 6 − 5 x − 8 = 0

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ G

N

u = −2 3x − 2 = −2 ⇒ ⇔ x = −2 .  v = 4 6 − 5x = 16

TR ẦN

2u + 3v = 8 Ta có hệ PT:  3 . Giải hệ này ta được 2 5u + 3v = 8

ẠO

u = 3 3x − 2  u 3 = 3x − 2 . ⇒ 2  = 6 − 5x v  6 5x = − v  

6 Giải:Điều kiện: x ≤ . Đặt 5

H Ư

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Thử lại, ta thấy x = −2 là nghiệm của PT. Vậy PT có nghiệm x = − 2 .

2 y 2 − x 2 = 1  3 3 2 x − y = 2 y − x

10 00

B

(15)Giải hệ phương trình:

Í-

H

Khi y = 0 thì hệ VN.

Ó

A

Giải:Ta có: 2 x 3 − y 3 = ( 2 y 2 − x 2 ) ( 2 y − x ) ⇔ x 3 + 2 x 2 y + 2 xy 2 − 5 y 3 = 0

3

2

3

ÁN

-L

 x x  x Khi y ≠ 0 , chia 2 vế cho y ≠ 0 ta được:   + 2   + 2   − 5 = 0  y  y  y

y = x x ⇔ x = y = 1, x = y = −1 , ta có : t 3 + 2t 2 + 2t − 5 = 0 ⇔ t = 1 ⇔  2 y y =1

TO

Đặt t =

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Vậy hệ có 2 nghiệm: (1; 0), (–2; 3).

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

 x = 1 ( y = 0) Thay x = 1 − y vào (2) ta được: 1 = x 2 − (1 − x) ⇔ x 2 + x − 2 = 0 ⇔   x = −2 ( y = 3)

N

(vì x + y > 0 nên x 2 + y 2 + x + y > 0 )

D

IỄ N

Đ

3 y   x2 + y 2 − 1 + 2 x = 1  (16)Giải hệ phương trình:   x 2 + y 2 + 4 x = 22  y

Giải:Điều kiện: x ≠ 0, y ≠ 0, x 2 + y 2 − 1 ≠ 0 Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

33

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

3 2 3 2 x  + =1  + =1 Đặt u = x + y − 1; v = . Hệ PT trở thành:  u v ⇔ u v y u + 1 + 4v = 22 u = 21 − 4v 2

(1)

2

(2)

N Ơ H N U Y

 x = −3   y = −1

.Q

 x2 + y2 − 1 = 9  x 2 + y 2 = 10 x = 3  Nếu v = 3 thì u = 9, ta có Hệ PT:  x ⇔ ⇔ ∨ y =1 x = 3y y =3 

H Ư

N

G

Đ

  x2 + y 2 − 1 = 7 x2 + y2 = 8 y = 4 7    Nếu v = thì u = 7, ta có  x 7 ⇔ ⇔ 7 2 y = 2 x = y  x = 14 2   

  y = −4  ∨ 2  x = −14 53 

2 53

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

2 53 2 53

TR ẦN

So sánh điều kiện ta được 4 nghiệm của Hệ PT.

(1)

. Điều kiện : x. y ≥ 0 ; x ≥ y

(2)

H

Ó

A

 3 ( x − y ) = 2 xy Giải:  2 2 x − y = 8

10 00

B

 3 ( x − y ) = 2 xy (17)Giải hệ phương trình:  2 2 x − y = 8

-L

Í-

Ta có: (1) ⇔ 3( x − y ) 2 = 4 xy ⇔ (3x − y )( x − 3 y ) = 0 ⇔ x = 3 y hay x =

y 3

TO

ÁN

Với x = 3 y , thế vào (2) ta được : y 2 − 6 y + 8 = 0 ⇔ y = 2 ; y = 4  x = 6  x = 12 ⇒ Hệ có nghiệm  ; y = 2 y = 4

D

IỄ N

Đ

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

v = 3 3 2 2 Thay (2) vào (1) ta được: + = 1 ⇔ 2v − 13v + 21 = 0 ⇔  v = 7 21 − 4v v 2 

Với x =

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

y , thế vào (2) ta được : 3 y 2 − 2 y + 24 = 0 Vô nghiệm.

3

 x = 6  x = 12 Kết luận: hệ phương trình có 2 nghiệm là:  ; y = 2 y = 4

Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

34

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

Ơ

TP

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

• Với v = 3, u = 1 ta có hệ:

H Ư

N

G

Đ

 x2 + 1 = y  x2 + 1 = y  x2 + x − 2 = 0  x = 1, y = 2 ⇔ ⇔ ⇔ .   x = −2, y = 5 x+ y =3  y = 3− x  y = 3− x

TR ẦN

 x2 + 1 = 9 y  x2 + 1 = 9 y  x 2 + 9 x + 46 = 0 ⇔ ⇔ • Với v = −5, u = 9 ta có hệ:  , hệ này  x + y = −5  y = −5 − x  y = −5 − x vô nghiệm.

10 00

B

Kết luận: Hệ đã cho có hai nghiệm: (1; 2), ( −2; 5) .

Ó

Í-

H

Giải:Điều kiện x ≥ 0 .

A

(19)Giải phương trình: x + 1 +1 = 4 x 2 + 3 x

2x −1 =0 3x + x + 1

ÁN

-L

PT ⇔ 4 x 2 − 1 + 3 x − x + 1 = 0 ⇔ (2 x + 1)(2 x − 1) +

TO

1 1   ⇔ (2 x − 1)  2 x + 1 +  = 0 ⇔ 2x −1 = 0 ⇔ x = 2 .

3x + x + 1  

D

IỄ N

Đ

ÀN

 x + y + xy = 3  x + y + xy = 3 (20)  3 ⇔  3 2 3 3 2  y + 13 y = 6 x + 8  x + y + 13 y + 13 x = x + 13x + 6 x + 8

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

 u+v =4  u = 4−v  v = 3, u = 1 x2 + 1 ⇔ 2 ⇔ , v = x + y ta có hệ:  2 y v − 2u = 7 v + 2v − 15 = 0 v = −5, u = 9

.Q

Đặt u =

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

 x2 + 1 +x+ y =4   x 2 + y 2 + xy + 1 = 4 y y  Giải:Từ hệ PT ⇒ y ≠ 0 . Khi đó ta có  . ⇔ 2 2 2  y( x + y) = 2 x + 7 y + 2 ( x + y ) 2 − 2 x + 1 = 7  y

N

 x 2 + y 2 + xy + 1 = 4 y (18)Giải hệ phương trình:  2 2  y( x + y) = 2 x + 7 y + 2

 x + y + xy = 3 ⇔ 3 3 ( x + y + 1) + ( x + y + 1) = ( x + 2 ) + x + 2

Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

35

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

(1 − y ) x − y + x = 2 + ( x − y − 1) y  (21)  2 2 2 y + 4 y + 5x + 1 = ( x − y + 6 ) y ( x + y + 2 )

)

2

)(

(

− 4 + 1 − xy − y 2

)

N

x− y + y

x− y + y +2 =0

Ơ

(

.Q TP

1) x3 + 3 x 2 − 3 3 3 x + 5 = 1 − 3 x

N TR ẦN

3) x 2 + x + 5 = 5 4) x 2 − 2 x = 2 2 x − 1

Đặt y – 1 = 2 x − 1

10 00

B

5) x + 3 + x = 3 16 − 8 x − 3 x 2 = x 2 + 3 x − 4

H

Ó

A

7) 4 x 2 + 3 x + 1 + 5 = 13 x

Í-

8) 32 x 2 + 32 x = 2 x + 15 + 20

-L

2 x − 1 + x 2 − 3x + 1 = 0

ÁN

9)

TO

10) 2 x 2 + 4 x =

ÀN Đ IỄ N

Đặt y = 3 + x Đặt y = x 2 + 3x − 4 Đặt

3x + 1 = −(2 y − 3)

Đặt

2 x + 15 = 4 y + 2

Đặt

2 x − 1 = −( y − 1)

x+3 2

12)

4

1− x + 4 x + 5 = 2

13)

3

x −1 + 3 2x −1 = 1

14)

3

x −1 + 3 x − 2 = 3 2x − 3

15)

3x + 5

H Ư

2) x3 + 1 = 2 3 2 x − 1

6)

3

G

Đặt y + 1 =

Đ

Bài tập 1: Giải các phương trình sau

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

PHƯƠNG TRÌNH

11) 8 x3 + 53 x = 36 x 2 + 3 3 x − 5 + 25

D

)

Đặt 2y - 3 =

3

3x − 5

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

)(

x − y −1 1− y = 0 .

U Y

(

HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ GIẢI

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇔ x − y + y − xy − y 2 − 1 = 0 ⇔

N

H

Phương trình thứ nhất : ⇔

x + 1 − 3 2x − 6 = 2

Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

36

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

16) 3 6 − 5 x + 2 3 3 x − 2 − 8 = 0

N

6 − 2x 6 + 2x 8 + = 5− x 5+ x 3

H

Ơ

Bài tập2: Giải các phương trình sau:

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

5 x 2 + 14 x + 9 − x 2 − x − 20 = 5 x + 1

ẠO

21)

TP

20) 2 x 2 + 5 x − 1 = 7 x 3 − 1

G

Đ

22) 2( x 2 + 2) = 5 x3 + 1

x − 2 − x + 2 = 2 x2 − 4 − 2x + 2

25)

x + 1 + 3 − x − ( x + 1)(3 − x) = 2

27)

10 00

B

26) 3 + 2 x − x 2 = 3( x − 1 − x )

TR ẦN

24)

H Ư

N

23) x 2 + 2 x + 4 = 3 x 3 + 4 x

2 x + 3 + x + 1 = 3 x + 2 x 2 + 5 x + 3 − 16

Đặt t = 1 + x

Ó

A

28) x 2 + x + 12 x + 1 = 36

Đặt t = 1 − x

Í-

H

29) 4 1 + x − 1 = 3 x + 2 1 − x + 1 − x 2

Đặt t = 2 x + 1

-L

30) 1 + x − 2 x 2 = 4 x 2 − 1 − 2 x + 1

ÁN

31) 2 x − 1 + 5 x = ( x 2 + 4)( x + 24) HỆ PHƯƠNG TRÌNH

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

19) 3( x − 1) + 2( x 2 + x + 1) = 7 ( x − 1)( x 2 + x + 1)

ÀN

Bài 1 .Giải các hệ phương trình sau :

D

IỄ N

Đ

 x3 − 3x 2 − 3 y 2 + 3x + 4 y = 1 1.  3 2  y − 3xy − x − 6 = 6 y − 12 y + 1  y − 2x + y − x +1 = 0  xy 2.  ĐS :  2 2  1 − xy + x − y = 0

 x = 0  x = 3 ± 2 2 ; ĐS :   y = 1  y = 4 ± 2 2 x = 1  y =1

Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

18) 2( x 2 + x + 1)2 − 7( x − 1)2 = 13( x3 − 1)

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

17)

37

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

2

N

 ± 7805 − 57 x=  x = 6  17 ĐS  ; 108 ± 7850 y =1  = y  17

3 y − x + 2 xy + 6( x − y ) = 9 3.  3 2 2 ( x + y ) − 9 x − 8 y + 162 y − 173 = 0

H .Q

U Y

2

TP

2

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

3

N

1  x=  19 x − 7 y + xy (3x − 15 y + 4) = 10 x − 6 y − x + y  2 4.  ĐS :  2 2( x + y ) = 2( x − y + 2 xy ) + 1 y = 1  2  2 ( x3 + y 3 ) 3 ( x 2 + y 2 ) 5( x + y )  − + −8 = 0 3 3 2 2 x = 1  xy x y x y 5.  ĐS :  y =1  5x + y 5 x − 1 + 2 − y =   2 3  x + x +1  1  x2 ( x − y)2 (2 x 1) 1 (3 y 1) + + − = − −    2 y  y2 x− y x = 1  y  6.  ĐS :  3 2 y = 2  x − x − 4 + 4 −1 = 0  y2 y Bài 3 . Giải các hệ phương trình sau : 3

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

2 x 2 − xy 2 − 2 xy + y 3 + 2 x − y 2 = 0 x = 2  7.  2 x 2 − 2 xy + y 2 − 4 x + 4 ĐS :  + x 2 − xy + y 2 − 2 x − 2 y + 4 = 2 − y y = 2  2  2 2  x y − 10 x + 3 xy = 29 x − 2 y + 20 x = 0 8.  ĐS:  2 2 2 2  y = 10  2 x + y + 5 + x + y + x + 5 + x + 5 = x + 2 y − 5 + x + y + y − 5 + y − 5 5 x 3 − x 2 − 2 x 2 y − 2 xy − 2 xy 2 = 0 x = 0  x = 1  9.  2 ĐS: ;   1 2 2 2  y = ± 3 − 1  y = 0  x − x y − xy + y = 0 2  Bài 4 .Giải các hệ phương trình sau :  x 2 + x 2 y 6 − xy + y 2 + xy 3 + y 4 − 2 x 2 y 4 = 0  x = 1  x = −1  10.  2 x ĐS:  ; − xy = 4 y = 4  y = −4   y 

D

IỄ N

Đ

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ơ

Bài 2. Giải các hệ phương trình sau :

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2

 x3 + 2 y 3 − 3 xy 2 − 2 xy + x 2 + y 2 = 0  11.  1  y + x + 4 y + 2 +1 = 0  Bài 5 . Giải các hệ phương trình sau : Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

ĐS: Hệvô nghiệm

38

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

N H

Ơ

x = 1  y = 0

TP

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Đ

G

N

H Ư

TR ẦN

B

10 00

5  x=  x = 1   3 ;  y = 2 y = 8  3 4  11 −2   x= x= x= 2 2     4 x + 2 xy − 2 y + 5 y − x = 3  5  3  15 18.  2 ĐS :  ; ; 2 1 5 −  2 x − 5 xy + 2 y + 3 x = 10 y = y =  y = 89  3  3  30 2  8   x = 3  x = 3 3x 2 − 3xy + 3 y 2 − 9 x + 3 y + 4 = 0 ĐS :  19.  2 ; 3 y − 6 xy + 2 x − 10 y + 3 = 0 y = 1 y = 1 3  3  Bài 8 . Giải các hệ phương trình sau :

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

 y 3 + 3 xy − 17 x + 18 = x3 − 3x 2 + 13 y − 9 17.  2 ĐS : 2  x + y + xy − 6 y − 5 x + 10 = 0

D

IỄ N

Đ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

 3 2 −3 2  x = x =  40  40 ;  y = 2 y = − 2   40 40 −1  x = 3 3 3 3 2 2 3 2 2 56 x ( x − y ) − 48 x y + 6 x + 2 y = 2 x y + 6 xy + 24 xy − 72 x y  x = 0  4 ĐS :  15.  ; 3 2 2 2 2  y = 0  y = −1 28 x + 12 xy − 7 x = 24 x y − 6 xy − 3 y  4 1  −197 x=  3 4 2   3 x + 2 y + 9 x + 10 x + y = 4 16.  64 ĐS:  16 x 2 + 16 y 2 + 16 x − 16 y = 1 y = 1  2 Bài 7 . Giải các hệ phương trình sau : 21( x3 + y 3 ) + xy ( 54 x − 18 y − 16 ) = 6 ( x 2 − y 2 − y 3 ) 14.  ĐS : 2 2 80 x − 16 x + 80 y = 48 y + 1

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

( x − y ) ( x + 3) 2 + ( y + 3)2 + xy − 2  = 3 y 2 + 15 y + 3    13.  ĐS :  x 2 + 2 x + y + 2 = 3 Bài 6 . Giải các hệ phương trình sau :

5−2  −10 5 + 2 x =  18 18 ; 5+2  5 −2 y =  9 9

N

2

U Y

 6 x =  ĐS :  y = 3 

3x + 21y + 3xy + 4 x + 29 y + 10 = 0 12.  2 2 6 x − 30 y + 24 xy + 12 x + 24 y + 4 = 0 2

.Q

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

 x3 − y 3 + x 2 − 4 y 2 − 5 x + 3 = 0 20.  2 ĐS : Hệvô nghiệm 2 + + 3 + − 4 + 7 = 0 x y x xy y 

Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

39

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

x = 0  y =1

N

 x x − y y + xy + y − 2 y − x + 2 = 0 21.  ĐS : 3 x − y + 5 x + y = xy Bài 9. Giải các hệ phương trình sau :

Ơ H Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

G

N

H Ư

TR ẦN

x = 1  1   y = 3

H

Ó

A

10 00

B

43  3 2 =0  2 xy − 3 y − 4 xy + 25.  ĐS : 27 3 3 2 2 2 2 6 x y + 3 xy + 5 xy = 6 x y + 2 x + y + 1  x + x + 2 y = y 2 + y + 2 x = 2 26.  2 ĐS :   y + 3 xy + x + y − 10 = 0 y =1 Bài 11 . Giải các hệ phương trình sau :

x = 1  y =1

ÁN

-L

Í-

1 3 1 3 2 − + − 3 + −y=0 y y 6 2 x x  x 27.  ĐS :  x2 + x y − 1 + y 2 = 2 y 

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

 3 + 13  3 − 13 3 ( x + y ) + x 3 − ( xy + 1)(2 x + y − 1) + ( x + 2 y )2 − 7 x 2 − 1 = 0 x = x = 28.  2 ĐS :  2 ; 2 2 3x − 2 y − 9 x − 8 y = 3 y = 0  y = −4   Bài 12 . Giải các hệ phương trình sau :

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y ẠO

TP

.Q

 4 4 x −1 + − + x −1 = 0 x + 2 x = 1  y −1 y −1 y −1 23.  ĐS:  y = 5 y −1  ( − 1)( + 1) − 1 + 2 − 1 − = 2 y x x y  2 ( x + y )  2 + x + y 2 + 3  = (8 x + 2)(1 + 4 x 2 + 2 x + 1) −2  ( )  x =      ĐS:  24.  3  y 3 − y 2 − 12 x + 4 = 0  y = −1  Bài 10 . Giải các hệ phương trình sau :

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

 x+3 y =1  x = 8  4 y + 2x + y 22.  ĐS :  1 1 −1 y = 2  − =  3 3x − 4 y − 8 y −1 2 

2( x − y ) 2 x+ y  3+ 5  xy + xy = x + y + xy x =   2 29.  ĐS :   1 − 1 +x+ y =4 y = 3− 5  y  x 2

Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

40

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

Ơ H Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ G N H Ư

x = 1  y =1

(

y

)

2

H

Ó

A

10 00

B

 x 3 x2 1 +   + x = y y 35.  y  ĐS :  2 4 3 2 2 x − x + 3 + x = xy − y + 1  x + y + 1 = 3 xy  36.  3 2 2  x − 2 xy = 3 x y (9 xy − 8) + x − Bài 15 . Giải các hệ phương trình sau :

Í-

1   x = 2  y = 3  2 x = 1 3 x 6 − 24 y 3 + (2 y − x 2 )(9 x 2 + 18 y − 11) = 0  38.  ĐS :  1 1 + 3 2 2 y + 1 = x + 3 x + 6 y − 1  y = 2 ( x + y )(2 x − y 2 ) − 5 x + y = 3 − 3 y 2 x = 2 39.  ĐS:  2 2 y =1 ( x + y ) + x − y = 2 x − y + 7 Bài 16 . Giải các hệ phương trình sau :

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

1  1 2 3  x 6 + 2  x 2 − 6 y  − 8 y = 10 y + 3   37.  ĐS : 2 2 2 2  x 3 − 4 x ( 2 y + 1) 3 − 3x = 8 y + 2 y + 3 )  (

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N ẠO

TP

.Q

2

TR ẦN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

 −5 ± 75 x=  x + y + 2x + 3 y = 5  2 32.  2 ĐS :  2 − x + y + 8 x − 8 y = 0  y = −5 ± 75  2 x = 1  x3 + xy 2 − y 2 − 1 = 0 x = 1  33.  3 ĐS :  ; −3 2 2 2 y = 1 x y x x y + 2 + 1 = 4    y = 4  x3 − xy − x = x 2 y − x 2 − y x = 3 34.  ĐS :  2 y = 3  y x − 2 = − x y − 2 + 6 Bài 14 . Giải các hệ phương trình sau : 2

N

− x 2 + 2 x − y 2 + 2 y = 2 x = 1 30.  ĐS :  y =1  (2 − x) x + xy + 2( x + y ) = 6  x3 − y 3 + 10 x = 10 x = 1 31.  2 ĐS :  2 y =1  x y − xy = 7 x + 3 y − 10 Bài 13 . Giải các hệ phương trình sau :

Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

41

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

Ơ

N

7  x=  x 3 + y 3 + ( 3x 2 + y − 2 ) y + 1 − ( 3 y 2 + x − 2 ) x + 1 = 0  = 2 x   3 ; 40.  ĐS:  2 2 y = 2 y = 7  x + y + xy − 7 x − 6 y + 14 = 0  3

H Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

G

N

H Ư TR ẦN

Bài 17 . Giải các hệ phương trình sau :

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

 x 4 + 2 x3 − 5 x 2 + y 2 − 6 x − 11 = 0  1± 5   x = −1  x = 0 x = 2 ; 44.  2 ĐS:   3 y −7 −6 2 + = x x y = ± 11   y = ± 11    2  y = ±4 y −7  ( x − 1)2 = 1 − y x = 0 x = 1 45.  2 ĐS: ;  2 ( x + y ) = 2 xy (1 + x) y = 0 y =1 1 −3   x= x= ( x − 1)3 − ( y + 1)3 − 12( x − y ) + 24 = 0     2 ; 2 46.  2 ĐS:   1 2 x + y − x + y =  y = 1  y = −3 2  2  2  Bài 18 . Giải các hệ phương trình sau :

Đ

ÀN

 x − 1 + y = 8 47.   x + 10 + y − 5 = 8 5 y 2 − x 2 − x = 5 48.  2 2 ( x + y ) − 2 x − 6 y = 7 Bài 19. Giải các hệ phương trình sau :

 x = 26 ĐS:  y = 9  x = 0  x = 24 ĐS:  ;  y = −1  y = 11

Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

ẠO

TP

 x = −2 ĐS:   y = −2

2 2 2 2 2 x = 1 ( x − y ) ( x + y + 15 + xy ) − ( x + y ) = x − 9 y − 15 y + 94 43.  ĐS:   y = −3 4 x 2 + 4 y 2 + 6 x + 6 y − 2 xy − 9 = 0

IỄ N D

.Q

4 4  x  y + + + 1 1     = 32 42.  y  x  2 2 2 x + y + x y + 2x + y + 6 = 0

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

 ( x + y )(1 − xy ) 1  = x = 0 x = 1 41.  (1 + x 2 )(1 + y 2 ) 2 ĐS:  ; y =1 y = 0  4 3 2 2 2  x − 4 x + 6 x + y − 2 y + 4 xy − 4 x − 2 x y = −1

42

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

N Ơ

B

 7  7 x = 4−5 x = 4+5    x + 5 y + 6 xy + 4( x − y ) = 12 x = 3 x = 5  11  11 54.  2 ĐS:  ; ; ; 2 3 x + 21y + 17 xy + 10 x + 16 y = 11 7 7  y = −1  y = −3    y = 11 − 2  y = − 11 − 2  x + y + 2 x + 1 + ( x + 1)( y + 1) + 4 = y + 1  55.  ĐS: Hệvô nghiệm y +1  x +1 + y +1 −1 = x + 3 + 2 x +1  ( x + 1)3 + 5( y + 1) = 6( y + 1)3  x = 0  x = −2 56.  ĐS: ;  3 3 ( x + 1) + ( xy + 3)( x + y ) + 4 xy + 2 = 3( y + 1)  y = 0  y = −2 Bài 22 . Giải các hệ phương trình sau :

10 00

2

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

2

D

IỄ N

Đ

(2 x + y )(4 x − 2 y + 1) + x 2 y 2 − xy − x3 + y 3 = 7 x 2 x = 0 x = 1 57.  ĐS:  ;  y = 0  y = −1  x 2 − y 2 + x 2 + y 2 = xy 2 − x 2 y 4( xy − 1) 2 + 8 + 2 y 3 ( y − 2 x + 1) = ( y + 2)2 58.  3 ĐS:Hệvô nghiệm 2 3 3 2 2  y ( x − y ) ( x − y + 3) + 3xy − y + 4 = ( xy − 2) + ( y + 2) Bài 23. Giải các hệ phương trình sau :

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

 y2 + 8x2 = 3 − 1 + 3 3 y2 − 1 3 1 − 4x2  x = ±1  52.  ĐS:  2  y = ±2 4 − 3 3 ( y 2 − 1) − 2 3 y 2 − 1 = 12 x 2 + y 2 − 1 − 4 x 2  ( y − 1) 2 = ( x + 1)( x + y ) − 1  x = 0  x = −2 53.  ĐS: ;  2 2  x − ( x + y )( x + 2 x) + 1 = ( x + y ) ( x − 2 y + 3) y =1 y =1 Bài 21 . Giải các hệ phương trình sau :

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

)

(

H

ẠO

TP

.Q

U Y

N

  x xy  x2 + + − = + xy x y x y ( ) 1  x = 3   y y     51.  ĐS:  1  x2 2x y = 3   y2 − y = 3  Bài 20. Giải các hệ phương trình sau :

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

1  3 2 3  y − 3y + 5y − 3 − x + x = 0 49.  ĐS: Hệ vô nghiệm 36 2 2 3 x + 3 y − 6 x − y + 1 = 0   4 x − 4 y + x x + x y = y y + y x − x + y x = 4 50.  ĐS:  2 y = 4  3 x + 1 = x + y − 1

Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

43

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

N Ơ H N Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

TP

.Q

U Y

17 17  2 x − 2 y = x − y 61.  ĐS: Hệvô nghiệm  −3 x 3 − 4 x + y = 0  Bài 24 . Giải các hệ phương trình sau :

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

10 x 2 + 5 y 2 − 2 xy − 38 x − 6 y + 41 = 0 x = 2 62.  ĐS:  3 3 2 y =1  x + xy + 6 y − y + x − 1 = 2  x2 y 2 3( x4 + y 4 ) + 2x2 y 2  2 + 2 = x = 1 x = 1 2 x 63.  y ĐS:  ; ( x2 + y2 )  y = 1  y = −1  2 2  x y + 3 y + 4 x = 8 1   x3 − y 3 + 3x 2 + 4 x − y + 2 = 0 x=−    2 64.  ĐS:  1 1 4 y = 1  4 y + −x + y + −x = 2 4 + 2 4 2 2   2 Bài 25 . Giải các hệ phương trình sau :

ÁN

-L

Í-

H

Ó

( x 2 + 1) x + ( y − 3) 2 − y = 0 x = 1 65.  ĐS:  2 2 y =1 ( x + 3) x + xy − 8 6 − 2 x + 11 = 0  x − 3 y + x 2 + 3 y 2 = 0  x = 1  x = 2 − 2 ; 66.  ĐS:  2 2 y = 1   y = 2 − 2  2 y − 1 + 2 x − y − 3 x + 1 = 0

TO

3 3 2 2 x = 0 x = 2  x − y − 2 x + y + y = 1 67.  2 ĐS: ;  2 2 x − y − 6 x + 2 y + 3 = 0  y = −1  y = 1 Bài 26 . Giải các hệ phương trình sau :

D

IỄ N

Đ

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

3 3 2 2 x = 0 x = 1  x − y − x y + xy − 2 xy − x + y = 0 59.  ĐS:  ; 3 2  y = −1  y = 0  x − y = x − 2 x + y + 2  17 − 7  − 17 − 7 x= x=   2 4 y − x + xy =    4 4 60.  3 ĐS:  ; 3 2 4 x + y + 24 x − 6 y + 45 x + 20 = 0  y = 17 + 1  y = 1 − 17   2 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

( y + 1) 4 − x + 1 = 0  68.  ĐS: Hệvô nghiệm 9 18 8 2 ( x + 1) − ( y + 1) = 3 ( y + 1) ( y + 2 y − x ) −3 3    x = 2  x = 5 −20 y 3 − 3 y 2 + 3xy + x − y = 0 ; 69.  2 ĐS :  2  x + y − 3 y = 1  y = 1  y = −1  2  5 Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

44

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

Ơ H

7 x − 15 x y + 3xy − 2 y = 14 y + 5 xy + 11y − 1 75.  2 2 3x + xy − 11 y − x + 6 = 0 2

2

3

2

Í-

H

Ó

A

3

ÁN

-L

 x 2 + 2( y − 1)( x − y ) + xy = 2 y 76.   x(2 x + 2 y − 5) + y ( y − 3) + 3 = 0

x = 1 ĐS:  y =1

−13  x=   x = −1  3 ; ĐS:   y = −1  y = −8  3 3  x=  x = 1   5 ; ĐS:  y =1 y = 3  5

TO

Bài 29 . Giải các hệ phương trình sau :

Đ

ÀN

−3 y 3 6 4 2 2 2 2  2 x y − ( x y + y ) y − 2 x y + 3x y = 2 x 2 77.   x8 − ( x 6 + x 2 )2 y 2 − 2 x 4 = −1  2 x 2 + 2 y 2 = 1 78.  9 7 7 9  x − y =

(

6

y−6 x

)(

3

ĐS: Hệ vô nghiệm

1   x = 2 ĐS:  y + 6 xy + 3 x ( x + y + xy + 59 ) y = 1  2

Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

G

N

H Ư

TR ẦN

10 00

B

( x + y + 1)( x + y + 1 + xy ) = 12 xy 74.  2 2  y 3 x − 2 x − 1 + x 1 + y − 2 y + xy − 1 = 0

IỄ N D

N

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

)

U Y

 x y x y + 4 + x − y x( y + 2) + 4 − y x + 1 = 2 − x ( ) ( ) x = 1  71.  ĐS:  y =1  x 2 − 2 x − 3 y + 4 y 2 = 0 156 208  2 2 x 2 xy − y 2 xy = 0 18 x + 32 y + 52 xy − 72.  5 5 7 x 2 + 4 y 2 = 8   1   1   9 2 8 2   −9 2 −8 2   ĐS: ( x; y ) ∈ 1;  ;  −1; −  ;  ; ; ;  2   193 193   193 193    2   3 x 2 + 4 x − 5 = − y 2 − 6 y − 1 x = 1 73.  ĐS:   y = −1 3 − 7 x − 2 y + 2 6 − 4 x − x 2 = 0 Bài 28 . Giải các hệ phương trình sau :

(

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

  2   x 1 + = 2   x− y ĐS: Hệvô nghiệm 70.    2  y 1− = 12   x − y   Bài 27 . Giải các hệ phương trình sau :

)

45

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

N

H Ư

TR ẦN

 x3 + y 3 + 2 x3 y 3 − 6 x 2 y + 5 xy = 0  83.  3 x x − y y = 0 2 y ( x 2 + y 2 ) = 5 x  84.  2 2  x ( x − y ) = 6 y Bài 32 . Giải các hệ phương trình sau :

)

 x = 2  x = −2  x = 0 ĐS:  ; ;  y = 1  y = −1  y = 0

Ó

A

10 00

B

(

x = 0 ĐS:  y = 0

-L

Í-

H

( 2 x + 5 y + 5 )2 = 4 xy + 12 y + 7 85.  2  2 x ( 2 x − 1)( x + 5 ) + 2 x + 9 = y ( 2 x − 5 )( x + 1) + y − 5 y

(

)

Đ

ÀN

TO

ÁN

2 2 2  ( x + y ) ( 2 x + 4 y − 8 xy + 3) = 24 y − 12 y + 5 86.  2 ( y + 1) ( x − 2 y + 3) = 2 x + 3 3 y − 5 2 2  x 8 y − 5 + y 8 x − 5 = 4 24( x + y + 4) 87.  2 2 11x − 6 xy + 3 y = 12 x − 4 y Bài 33 . Giải các hệ phương trình sau :

( x + 2 )2 + 4 ( y − 1) 2 = 4 xy + 13  88.  x 2 − xy − 2 y 2 2 + x+ y =  x− y x2 − y2  Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

9  x = − ĐS:  2  y = 1  x = −1  x = 2 ĐS:  ;  y = 2  y = −1 x = 1 ĐS:  y =1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

)

(

IỄ N D

TP

)

ẠO

(

Đ

)

)

G

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

(

)(

.Q

)

(

(

U Y

N

H

 x2 − y =2 ( y − 1) 2  x = 10  x = − 10 − + − x 1 y 1 80.  ĐS:  ;  y = 2  y = 2  2 2 2 2 + 4 − 1 + 6 = 5 − 1 1 + ( − 1)( − 1) x y x x x y ( )  3 x − 7 xy + 4 y − 3 x − 2 y 2 1 − 2 x + 4 y = 0 x = 0  81.  ĐS:  3 y = 0  x − y y +6 x −2 y =0  2 2 2  2 ( x − 5) x − 2 y + x + 3 = 2 y x − 2 y + 1  x = 3  x = − 3 82.  ĐS:  ;  y = 1  y = 1  x 2 + 3 y = 6 Bài 31 . Giải các hệ phương trình sau :

Ơ

N

 x 4 + 3x 3 − 36 x 2 + 9 xy + 12 x 2 y = − x 4 + 6 xy 3 − 9 xy + 24 xy 2 − 115 x  x = 1 79.  ( x 3 + 2 x 2 ) ĐS:  3 x − 2 x 2 = 6 x − 4 xy + y = 2  y y  Bài 30 . Giải các hệ phương trình sau :

x = 1 ĐS:  y = 0

46

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

 x2 + 3 y 2 − 2 y + y − x = 0  x = 1 89.  x − y ĐS:  y = 1 x − y +1 ( x3 − y 3 )  = +  x− 2 2 2 2 4 y + + x 3 y x 3 y   x 3 − 4 y 3 + 4( x + 3 y ) − 3( x 2 + 1) = 7 90.  2 2 ( x + 1) + ( y − 1) = 4 Bài 34 . Giải các hệ phương trình sau :

N

)

.Q

TP

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Đ

G

N

H Ư

TR ẦN x = 1 ĐS:  y =1

10 00

B

 2x2 ( 2 x − 3 y ) = ( x − y )2 + 5 x − 7 y  y 94.   2  x − y + xy = y

H

Ó

A

1  8 x 3 + 20 x 2 + 18 x + 8 x 2 y + 16 xy = 5 y 3 + 3 y 2 + 9 y − 4 xy 2 x = 95.  ĐS:  2 3 5 3 y + 16 x = 7  y = 1

TO

ÁN

-L

Í-

−1  4 2 2 x − 3 x + y + y =  4 96.  6 ĐS: Hệvô nghiệm 3 2 x + 2 y y  = x4 + 4x2 + − 20  3 2 Bài 36 . Giải các hệ phương trình sau :

D

IỄ N

Đ

ÀN

 x5 + x 4 y 3 − x 2 y 3 − x3 y 2 + y 5 = 0 x = 0 97.  4 ĐS :  4 4 3 y = 0 x − y − x y = 0 Bài 37 . Giải các hệ phương trình sau :

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

H

Ơ

x = 1 ĐS:  y =1

4 x 2 + 4 y 2 − 4 x + 4 y − 7 = 0 91.  3 ĐS: Hệvô nghiệm 3 2 2  x − y − 4 x + 4 y + 10 x − 17 y + 20 = 0 2 2  4 ( 2 x − y ) ( 2 x + y ) − 2 xy  + 24 x − 47 y + 28 − 272 y = 0 92.  ĐS: Hệvô nghiệm 2 x 2 + 2 y 2 − 2 y + 2 x − 1 = 0 3  3   x = 2  x = 2 ( x + y )2 (2 x − 2) + x + y = 2 ; 93.  2 ĐS:  2 3x + y − 4 x + 4 y + 1 = 0  y = −1  y = −7  2  2 Bài 35 . Giải các hệ phương trình sau :

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

(

 x 2 + 3xy − 3( x − y ) = 0 98.  4 2 2  x + 9 y( x + y) − 5 x = 0

Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

x = 1 x = 0  ĐS :  ; 1 y = 0 y = 3 

47

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

Ơ Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

103.

 4 x 2 + 3 xy − 7 y 2 + 4( x 2 + 5 xy − 6 y 2 ) = 3 x 2 − 2 xy − y 2  2 2 3 x + 10 xy + 34 y = 47

H Ư

N

G

102.

87  3 3 = 5 y 2 − x 2 + 16 x + 6 y 4 x − y − ĐS : 8  2 2  2 x + 2 y − 2 x + 2 y = 1

Í-

H

Ó

A

10 00

B

  47 47   47 47   ĐS : ( x; y ) = (1;1) , ( −1; −1) ,  −6 ; ;− , 6  10 10   10 10     2 2 2  2 y + xy − 4 − xy − ( x − y )( x + y ) = ( x + y ) − y 104.  ĐS: Hệvô nghiệm 3 2 3  x + 2 x y + xy + y = 0 Bài 39 . Giải các hệ phương trình sau :

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

4  5 8 100  3 x= 3 2 2  x − y + ( x + y ) + 5 x − xy + 13 x =   3 105.  3 3 3 ĐS:   x 2 + y 2 + xy − 3 x − 4 y + 4 = 0 y = 4  3   (11 y + 6 x − 9) − 14 xy − 9 x = (2 x y − y y )(2 + 3 x ) x = 1  106.  11 ĐS:  3x + 7 y+x = y = 2 2 x+2  3  x3 1 2 2 y xy xy x y xy x y y 2 + 3 − 1 + + − 1 3 − − = − + xy − y − 2 y − xy ( )( )  107.  2 2  x 2 − 3x + 1 = 6 y − 4 y 2 + 5 xy  ĐS: Hệvô nghiệm Bài 40. Giải các hệ phương trình sau:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q TP

ẠO

−1  x =  2   y = −3  2

Đ

101.

TR ẦN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

100.

 x 3 + 4 x 2 − y 3 + 5 y 2 + 3(2 x − y ) = −9  x = 1  x = −1 ĐS :  ;  2 2 2 y = 4 x + 1 − x + − y + 6 y − 8 = 1 y = 2    2 x3 367 x 2 − 3 y3 + + 8 = 3 y 2 − x2 + y   7 ĐS : ( x ; y ) =  2;  18 3  3  3  y 2 + x 2 + xy − 7 x = 6 y − 14 

U Y

N

H

  11   11   ĐS : ( x; y ) ∈ ( −2012;2012 ) ,  11 − 2012; 2012 −  ,  − 11 − 2012;2012 +  2   2     Bài 38 . Giải các hệ phương trình sau :

N

1 1 3  + = x+ y+  2 99.  x + 2013 y − 2010 2 2  x + y + 2012( x − y + 2012) + xy = ( x + y )( x − y + 4024) 

(

)(

)

Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

(

)

3

48

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

4( x + 1)( x + y + 5) + (4 y + 3)( y + 2) + 4 = 0  2 3 2 4( x + 1) − ( y + 1) + ( x + 1)( x + 4 y + 5) + 2(3 y + 7 y + 4) − 6( x + 2) = 0 ĐS:Hệ vô nghiệm x = 1  x3 + 2 xy + y = 0 x = 0  109.  ĐS:  ; −1 2  xy + (1 − x) y + x + 2 y = 0 y = 0 y = 3   ±2 6 3 3 3 2 2  x = ( x − 3 y )( x + 3 y ) + y = x (3 x − 4) − 28 y + 32 3 110.  ĐS:  4 2 x + 4 + y +1 = 5 y = 4   3 Bài 41:Giải các phương trình sau: 8  2 2 x + 2 y + 2 = y x = 2  111.  ĐS:  y =1 3 x 2 + 3 y 2 + 5 = 8  2 + 1      y x  x = −1 ± 2  x3 − 2 y 3 = x + y x = 1  112.  ĐS:  ; −2 ± 2 2  xy ( y − x) + x = ( y + 1) y = 0 y =  2 3 3 2 x = 1  x + 2 y + 3xy ( x + y + 2) = −2 y + 51x + 59 y − 114 113.  2 ĐS:  2  x + y + 2 x − 2 y = 3 y = 2 −3  x=  x = 4  ( x − y )(6 x + 6 y + 1) = 3 xy + 7 2 114.  ĐS:  ;  y = 3  y = −2 ( x + y )(6 y − 6 x + 1) + 2 xy + 11 = 0  3 ( x + 6 y + 3) xy + 3 y = (8 y + 3 x + 9) y x = 1 115.  ĐS:  2 y =1  − x + 8 x − 24 y + 417 = ( y + 3) y − 1 + 3 y + 17 −68  x = 2  x = 4  3x + 2 xy + 4 x + y − 91 = 0 13  x = 61 116.  2 ĐS:  ; ; 2 y + 3xy + x + y − 61 = 0  y = 3  y = −41  y = −92  13 Bài 42 : Giải các phương trình sau:  x+ y +3 y −7 x = 4 x = 0 x = 1  117.  ĐS:  ; 2 y =1 y = 9  2 y − 1 − y xy = (2 x − 1) 2 − x xy 

D

N Ơ H Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

.Q

TP

ẠO

Đ

G

N

H Ư

TR ẦN

B

10 00

A

Ó

H

Í-

-L

ÁN

TO

IỄ N

Đ

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

108.

(

)

Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

49

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

3  1 2  1 x= + =  = 1 x   2  5 y +1 1 + xy ĐS:  ;  x +1 y =1 y = 3  x + y + 1 − xy = 2   5

N Ơ H Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

N

H Ư

TR ẦN

B

-L

TO

ÁN

125.

Í-

H

Ó

124.

10 00

123.

 3 x 2 − 8 xy + 5 y 2 = 3(5 y 2 − xy ) + 3 x 2 − 9 xy + 10 y 2 x = 5 ĐS:   2 2 2 y =1 (3 x + 5 y ) + (5 x + 3 y ) − 27 x = 509 2  5 x( x − 1)(10 x − 15 y − 15 xy + 1) + 27 x − 3 y − 4 = 0 x =   5 ĐS:  1 1  + = 2  50 x 2 − 35 x + 6 2(2 x − 3 y ) + 2 x − 3 y y = 4   15 (4 x − 11) 2 x − 7 + (3 − 4 y ) 2 y − 3 = 0 x = 7 ĐS:   2 y = 5 2 2 x + y − 3 + 4 3 y − 2 x + 8 = y + y − 10  x2   3x 2  x  x x = 3 x = 0   3 ( x − 4)  4 + ( x + 4)  + 3  + 3  = 0 y ĐS:  ; y 12   y y  y ≠ 0   4  y = 5  x − 15 xy = 15  1  x+ + x+ y−3 = 2 x = 1 x  ĐS:   2 2 y = 2  2 x (2 x + xy + 2) + x  y − 27  = −1   2  2 x + xy + 1 5  

126.

Đ

127.

 x3 − y 3 = 189 x = 5 x = 4 ĐS:  ;   y = −4  y = −5 4 x( x − 4) + 5 y ( y + 5) = 0

128.

(2 x − y ) 2 + (4 x − 2 y + 5) 3x + y = 11x + 2 y + 2 x = 1  ĐS:   y =1  2 x − y − 1 + (2 x − y ) 3x + y + 2 = 2

Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

TP

ẠO

)

A

122.

IỄ N D

(

)

Đ

(

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

)

U Y

)(

(

 x + x2 + 3 y + y2 + 3 = 3  x = 1  x = −1  119.  ĐS:  ; 1 y = − 2 2 4  y =1  2− x + 2− y = 2  Bài 43: Giải các hệ phương trình sau: (2 x + 7 y ) 2 + ( x + y )3 = 3  120.  1 ĐS:Hệ vô nghiệm 2 2 2 (2 x + y ) + ( x + 2 y ) + 22 x + 45 y = x + 6 y + 2  3 2 2 2  x x − y (1 − y ) − ( x + 3 y ) + y (2 x + 1) 2  x2 + 2 y + 2 =3 x− y  121.  5 2  4x 3 3  y = y 3 + xy 2 + x 

.Q

118.

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

50

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

Ơ H

10 00

I. KẾT QUẢ

A

Qua quá trình giảng dạy tôi thấy việc phân loại các dạng toán như trên học sinh nắm

H

Ó

được bài, hiểu được sâu kiến thức. Từ đó học sinh rèn được kĩ năng giải toán. Số học sinh đam mê, yêu thích môn toán ngày càng nhiều hơn. Đối với bài kiểm tra các em trình bày

-L

Í-

chặt chẽ, lôgic hơn với kết quả như sau:

TO

ÁN

Năm học

Lớp

Số học sinh đạt điểm Sĩ số

Dưới 5

5-6

7

8

9

10

11A1

40

0

4

8

16

11

1

11U

30

2

9

18

8

3

0

10L

34

0

5

7

10

18

4

10A2

40

1

5

16

9

8

1

D

IỄ N

Đ

2015 - 2016

Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

132.

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

 y + y − 4 x = x 2 + x + 2 ĐS: Hệ vô nghiệm  2 ( − 11) + 62 = (2 − 1) y x x x  3 2 3 4  3 6  x − y + 2 xy − 2 y = 0  x = 3 133.  3 ĐS:   y = ± 3  4 x + 5x − 8 y 2 + 7 = 0 4 2  y y Bài 44: Giải các hệ phương trình sau: C. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ẠO

5 −2    x = 3  x = 6 ĐS:  ;  y = −1  y = 5 3  3 

U Y

131.

 3x + 2 + 5 − 6 y = 7     1  − y = 0 ( x − 3 y )  x − 2 y − y   

.Q

130.

 2 3− 5 x = 0 2 x + y =  2 ĐS:   3− 5  x2 − y 2 + 1 2 + 4x2 y 2 − x2 − y 2 = 0 y = ) 2  (

TP

129.

N

−3   x = 2 ĐS:  y = 5  2

2 xy  2 2 x + y + x + y = 1   4 x 2 − 12 y + 26 + x + y = 14 x + 12 y + 4 x + 6 y 

ÀN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

51

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

II. BÀI HỌC TỔNG KẾT

U Y ẠO

SKKN áp dụng cho học sinh đại trà, khá, giỏi; học sinh trung bình nắm được phương pháp giải để vận dụng giải các bài toán đơn giản. Học sinh khá, giỏi áp dụng vào các bài

G

Đ

toán phức tạp hơn và từ đó nâng cao khả năng tư duy và tính sáng tạo của học sinh.

H Ư

N

Mỗi bài toán trong kỳ thi tuyển sinh Đại học, THPT Quốc gia sắp tới đều là những kiến thức quan trọng, căn bản. Để giúp học sinh học tập, các thầy cô giáo cần giúp các em

TR ẦN

học sinh có cái nhìn hệ thống, tổng quan về vấn đề đồng thời hướng các em đến những suy luận lôgic. Từ việc giải quyết những bài toán nhỏ, dễ đến những bài toán khó học sinh có cái nhìn tự tin và lạc quan hơn, yêu mến hứng thú với môn học hơn. Kết quả rèn luyện, học

10 00

B

tập của các em chắc chắn sẽ đạt được thành tích cao IV. KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG, TRIỂN KHAI

H

Ó

A

Đề tài sẽ có khả năng ứng dụng, triển khai rộng rãi trong trường . Đề tài có thể đưa vào trong các buổi sinh hoạt Tổ chuyên môn, trong giảng dạy ôn thi tốt nghiệp THPT, thi

Í-

tuyển sinh Đại học, Cao đẳng trước đây và kì thi THPT Quốc gia sắp tới, đặc biệt là trong

-L

việc ôn thi chọn học sinh giỏi các cấp.

ÁN

V. HƯỚNG TIẾP TỤC NGHIÊN CỨU, MỞ RỘNG ĐỀ TÀI, KIẾN NGHỊ

TO

Để nâng cao chất lượng học tập của học sinh, tôi sẽ tiếp tục vận dụng mở rộng đề tài

ÀN

cho các bài toán tổng hợp đáp ứng nhu cầu của học sinh khá giỏi.

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

.Q

III. ĐIỀU KIỆN ĐỂ ÁP DỤNG ĐỀ TÀI

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

khác nhau.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Ơ

thống bài tập, trao đổi với nhau thì học sinh nâng cao được khả năng tư duy và tính sáng tạo trong giải toán. Đề tài đã nêu được phương pháp chung cho mỗi dạng cũng như minh họa bằng các bài toán cụ thể, đồng thời cũng đưa ra cho mỗi dạng một số bài tập với các mức độ

N

Qua quá trình vận dụng đề tài trong giảng dạy, tôi nhận thấy khi giáo viên hướng dẫn học sinh giải toán bằng cách phân loại các dạng, đặt vấn đề để học sinh tự xây dựng hệ

D

IỄ N

Đ

Chuyên đề được hoàn thành với sự tổng hợp, tham khảo tài liệu và đúc rút, tổng kết kinh nghiệm từ thực tế giảng dạy, về cơ bản chuyên đề đã đạt được các mục tiêu đề ra.

Nhưng để chuyên đề có tính ứng dụng cao và sát thực tiễn hơn kính mong các thầy cô, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Toán – tin, trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong, tiếp tục đọc kỹ bản thảo, thảo luận để đóng góp, bổ sung cho chuyên đề. Hi vọng chuyên đề này có thể được coi là một tài liệu để các đồng nghiệp tham khảo nhằm rèn luyện cho học sinh tư duy Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

52

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

linh hoạt trong tiếp cận và giải quyết các bài toán liên quan tới phương trình, hệ phương trình. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp để đề tài phong phú và có hiệu quả hơn.

Ơ

N

VI. Cam kết không sao chép hoặc vi phạm bản quyền:

Đ

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

TP

Tác giả sáng kiến

H Ư

N

G

Bùi Văn Toan

TR ẦN

CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO (xác nhận, đánh giá, xếp loại)

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

(xác nhận, đánh giá, xếp loại)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

Đánh giá, xếp loại của Tổ chuyên môn

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Tôi xin cam kết những kết quả trong bản sáng kiến này đều là các kết quả do tôi nghiên cứu qua quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi cấp tỉnh. Tôi không sao chép và vi phạm bản quyền của bất kì tác giả nào.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

53

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Sáng kiến kinh nghiệm

1. Đại số và Bài tập Đại số lớp 10 ( Nâng cao và Cơ bản) 2. Nguyễn Tài Chung, sáng tạo và giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình.

Ơ

N

3. Tuyển tập 30 năm tạp chí Toán học và Tuổi trẻ.

.Q TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

ẠO

THPT Quốc gia các trường trong cả nước.

G

Đ

7. Đề thi HSG môn Toán quốc gia, các tỉnh trong cả nước.

H Ư

N

8. Tài liệu tham khảo trên internet : diendantoanhoc.net, baigiangtoanhoc.net,

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

mathscope.com, vnmath.com, hoctoancapba.com...

D

IỄ N

Đ

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

6. Đề thi thử vào Đại học môn Toán các khối A, B, D năm 2013 đến 2016 và đề thi thử

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

2002 đến năm 2012

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

5. Đề thi và đáp án thi tuyển sinh vào Đại học môn Toán các khối A, B, D từ năm

N

H

4. Tuyển tập 5 năm Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ. ‘

Bùi Văn Toan – THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

54

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial