RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH LỚP 11 THÔNG QUA DẠY HỌC MỘT SỐ BÀI

NGHIÊN CỨU KHOA HỌC SƯ PHẠM TOÁN

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN EBOOK PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH LỚP 11 THÔNG QUA DẠY HỌC MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH WORD VERSION | 2020 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

Đề tài nghiên cứu khoa học

TRƯỜNG …………………..

KHOA SƯ PHẠM TOÁN HỌC ----------

ĐỀ TÀI: “RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH LỚP 11 THÔNG QUA DẠY HỌC MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH”

Vinh, 12/2019

1

Đề tài nghiên cứu khoa học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH KHOA SƯ PHẠM TOÁN HỌC ----------

ĐỀ TÀI: “RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH LỚP 11 THÔNG QUA DẠY HỌC MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH”

Vinh, 12/2019

2

Đề tài nghiên cứu khoa học MỤC LỤC A. MỞ ĐẦU ................................................................................................ 5 I. Lí do chọn đề tài ................................................................................. 5 II.

Mục đích nghiên cứu ....................................................................... 7

III.

Nhiệm vụ nghiên cứu....................................................................... 7

IV. Đối tượng nghiên cứu ...................................................................... 7 V.

Phạm vi nghiên cứu ......................................................................... 7

VI. Phương pháp nghiên cứu ................................................................. 7 VII.

Giả thuyết khoa học ...................................................................... 7

VIII.

Các quy ước, kí hiệu, chữ viết trong đề tài .................................... 8

B. PHẦN NỘI DUNG ................................................................................ 9 CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ................................... 9 1. Kĩ năng ............................................................................................... 9 a)

Khái niệm ..................................................................................... 9

b)

Kỹ năng giải toán.......................................................................... 9

c) Sự hình thành kỹ năng giải toán ......................................................10 d) Con đường hình thành kỹ năng giải toán ..........................................10 2. Dạy học giải bài tập toán .....................................................................11 a) Mục đích dạy học toán .....................................................................11 b) Vị trí và chức năng của bài tập toán học ...........................................13 c) Yêu cầu đối với lời giải bài toán .......................................................14 d) Dạy học phương pháp chung để giải bài toán ...................................16 3. Nội dung khoảng cách trong không gian trong chương trình hình học THPT ......................................................................................................19 a) Khoảng cách trong hình học không gian trong chương trình toán THPT ...................................................................................................19 b) Một số dạng bài toán về tính khoảng cách trong không gian trong chương trình toán THPT ......................................................................20 3

Đề tài nghiên cứu khoa học CHƯƠNG 2: RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN THÔNG QUA MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN .........................................................................................................31 1. Định hướng giải các dạng bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian trong chương trình toán THPT ..............................................31 a) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng ..............................31 b) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng..................................33 c) Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó ....................................................................................................37 d) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song .....................................37 e) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau..................................37 2. Một số bài toán cụ thể giúp rèn luyện kỹ năng giải một số bài tập về tính khoảng cách trong không gian ở chương trình toán THPT ................44 C.KẾT LUẬN............................................................................................49 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................50

4

Đề tài nghiên cứu khoa học

A.MỞ ĐẦU I.

Lí do chọn đề tài

Chúng ta đang sống trong thế lỉ 21, thế kỉ của khoa học công nghệ và hội nhập. Tri thức và kĩ năng của con người là nhân tố vô cùng quan trọng trong sự phát triển của xã hội, trong đó giáo dục góp phần lớn trong việc trang bị tri thức, kĩ năng cho con người.

Toán học – một khoa học có nhiều ứng dụng thực tiễn cũng như đối với các nghành khoa học khác. Nó ra đời từ lúc bình minh của loài người và ngày càng thâm nhập vào hầu hết các lĩnh vực khoa học và đời sống.

Khoảng cách trong không gian là một phần nội dung khá trừu tượng trong chương trình toán phổ thông. Vì vậy tổ chức hiệu quả việc dạy học học hình học không gian nói chung, tính khoảng cách trong không gian nói riêng có vai trò lớn tác động đến kết quả học tập của học sinh.

GD-TĐ - Trong chương trình toán học lớp 11, 12 ở trường THPT, bài toán về khoảng cách trong không gian giữ một vai trò quan trọng, nó xuất hiện ở hầu hết các đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng; đề thi học sinh giỏi, các đề thi tốt nghiệp trong những năm gần đây. Mặc dù vậy đây là phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có tư duy sâu sắc, có trí tưởng tượng hình không gian phong phú nên đối với học sinh đại trà, đây là mảng kiến thức khó và thường để mất điểm trong các kì thi nói trên.

Trong giảng dạy thì hoạt động chủ đạo và thường xuyên của học sinh là hoạt động giải bài tập, thông qua đó hình thành kỹ năng kỹ xảo đồng thời rèn luyện trí tuệ. Vì vậy nó được quan tâm nhiều trong dạy học. Chủ đề khoảng cách trong không gian được trình bày cụ thể và chú trọng, tuy nhiên bài tập về vấn đề này đã gây ra không ít khó khăn, vướng mắc cho những người học

5

Đề tài nghiên cứu khoa học toán, có cách giải thì còn rời rạc và làm bài nào biết bài đấy và còn tốn khá nhiều thời gian.

Trí tưởng tượng không gian, khả năng vẽ hình biểu diễn, biết liên hệ, xâu chuỗi kiến thức sẽ góp phần quyết định trong việc tìm ra lời giải của một bài tập hình học. Nhưng một bài toán về khoảng cách còn đòi hỏi có sự nhạy cảm, linh hoạt để xác định và đi đến lời giải cụ thể. Đó là tiềm năng lớn để phát triển trí tuệ cho học sinh khi giải các bài toán về khoảng cách.

Với học sinh việc giải bài tập về khoảng cách đã mất nhiều thời gian thì với giáo viên việc phát triển tư duy sáng tạo thông qua các bài tập đó lại càng mất nhiều thời gian và công sức hơn. Chính những khó khăn đó đã cản trở đến quá trình truyền thụ kiến thức và phát triển trí tuệ và rèn luyện cho học sinh trong hoạt động giảng dạy.

Giải bài tập về tính khoảng cách trong không gian vừa là mục đích, vừa là phương tiện làm cho học sinh nắm được kiến thức cơ bản, rèn luyện kĩ năng – suy luận toán học, tính toán, toán học hóa các tình huống thực tế... và rèn luyện các phẩm chất tư duy: linh hoạt độc lập, sáng tạo, cẩn thận, chính xác... góp phần phát triển năng lực toán học cho học sinh.

Toán học là môn khoa học rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh và hình học không gian là một chương rất tốt để thực hiện nhiệm vụ này.

Xuất phát từ nhu cầu đang là sinh viên năm cuối tương lai là một giáo viên THPT. Tôi đã chọn đề tài: “RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH LỚP 11 THÔNG QUA DẠY HỌC MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH” đây là một cơ hội để tôi tập nghiên cứu học hỏi và cũng là một lần làm chuyên đề cho chính bản thân mình.

6

Đề tài nghiên cứu khoa học II.

Mục đích nghiên cứu

Rèn luyện kỹ năng giải một số bài toán về khoảng cách trong không gian trong chương trình toán THPT nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học hình học không gian.

III.

Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu các vấn đề lý luận có liên quan đến đề tài như: phương pháp, kỹ năng giải bài tập…

- Tìm hiểu về thực trạng việc dạy học giải bài tập về tính khoảng cách ở trường THPT. - Phân loại các bài tập về tính khoảng cách trong không gian nhằm hình thành phương pháp và kỹ năng cho học sinh.

IV.

Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu quá trình dạy học giải bài toán hình học không gian cụ thể là khoảng cách.

V.

Phạm vi nghiên cứu Kĩ năng giải các bài toán về tính khoảng cách trong không gian.

VI.

Phương pháp nghiên cứu

– Phương pháp nghiên cứu lí luận; – Phương pháp quan sát – điều tra thu thập thông tin; VII.

Giả thuyết khoa học

Nếu thường xuyên quan tâm, chú ý và coi trọng đúng mức: “ Rèn luyện kĩ năng giải toán hình học không gian cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học một số bài toán về khoảng cách .” trên cơ sở kết hợp với tư duy logic, tư duy biện chứng thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán,khắc phục những khó khăn và sai lầm học sinh, nhằmrèn luyện kĩ năng và phát triển tư duy sáng tạo của học sinh THPT. 7

Đề tài nghiên cứu khoa học VIII.

Các quy ước, kí hiệu, chữ viết trong đề tài CÁC KÍ HIỆU TOÁN HỌC

TỪ VIẾT TẮT

 : với mọi

Gv : giáo viên

 : tương đương

Hs: học sinh

 : suy ra ( kéo theo)

Thpt: trung học phổ thông

 ABC : tam giác ABC ≠ : dấu khác ≥ : không âm = : dấu bằng (

,

): khoảng cách giữa 2

đường thẳng AB và CD.

8

Đề tài nghiên cứu khoa học B. PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1. Kĩ năng a) Khái niệm Có nhiều khái niệm, định nghĩa khác nhau về kĩ năng. Những định nghĩa, khái niệm này thường bắt nguồn từ góc nhìn chuyên môn và quan niệm cá nhân của người viết. Tuy nhiên hầu hết chúng ta đều thừa nhận rằng kĩ năng được hình thành khi chúng ta áp dụng kiến thức vào thực tiễn. Kĩ năng được học do quá trình lặp đi lặp lại một hoặc một nhóm hành động nhất định nào đó. Kỹ năng luôn có chủ đích và định hướng rõ ràng. Vậy kỹ năng là năng lực hay khả năng của chủ thể thực hiện thuần thục một hay một chuỗi hành động trên cơ sở hiểu biết (kiến thức hoặc kinh nghiệm) nhằm tạo ra kết quả mong đợi.

Theo Tâm lí học, kỹ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành động nào đó theo một mục đích trong những điều kiện nhất định. b) Kỹ năng giải toán Kỹ năng giải toán là kỹ năng sử dụng có mục đích sáng tạo những kiến thức toán học để giải những bài tập toán học.

Kỹ năng giải bài tập toán học: trước hết là kĩ năng phân tích bài toán, kỹ năng xác định hướng giải đúng và kỹ năng trình bày một lời giải một cách logic, chính xác trong một thời gian nhất định.  Mức độ của kỹ năng Trong toán học có thể chia làm hai kỹ năng giải bài tập toán học: -Kỹ năng giải bài tập toán học cơ bản.

-Kỹ năng giải bài tập toán học tổng hợp.

Trong mỗi mức độ có 3 trình độ khác nhau: 9

Đề tài nghiên cứu khoa học -Biết làm: Nắm được quy trình giải một loại bài tập toán học cơ bản nào đó tương tự như bài tập mẫu nhưng chưa nhanh.

-Thành thạo: Giải nhanh, ngắn gọn, chính xác như bài tập mẫu nhưng chưa có biến đổi.

-Mềm dẻo linh hoạt sáng tạo: Đưa ra được cách giải ngắn gọn, độc đáo khác lời giải mẫu do biết vận dụng kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo không chỉ với những bài toán cơ bản mà cả những bài toán mới. c) Sự hình thành kỹ năng giải toán -Giai đoạn 1: Học sinh vận dụng lí thuyết để giải các bài tập toán học cơ bản để từ đó hình thành cho học sinh những thao tác cơ bản như: Viết các đối tượng theo ngôn ngữ toán học, viết chính xác công thức để tính toán,… Việc hình thành kỹ năng riêng của giai đoạn này là giải bài tập mẫu cụ thể để học sinh biết được angorit thao tác giải bài tập toán học cơ bản (trình bày, gợi ý để học sinh tự giải).

-Giai đoạn 2: Học sinh vận dụng những kiến thức thao tác để giải bài tập cơ bản qua đó hình thành kỹ năng giải bài tập cơ bản: Luyện tập giải một số bài toán tương tự như bài toán mẫu…

- Giai đoạn 3: Hình thành kỹ năng giải bài tập tổng hợp thông qua việc cho học sinh giải những bài toán đa dạng, phức tạp. Rèn luyện các bài tập tổng hợp với mức độ khó ngày càng nâng cao (nâng dần từ thấp tới cao).  Một số yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh ở trường THPT: -Học sinh cần hiểu cấu trúc bài tập; -Kỹ năng giải bài tập toán không đơn lẻ mà là một hệ thống các kỹ năng: bài tập lí thuyết, kỹ năng tính toán… d) Con đường hình thành kỹ năng giải toán 10

Đề tài nghiên cứu khoa học - Kỹ năng được hình thành do học tập mà có (theo lí luận dạy học).

Có thể hình thành kỹ năng theo nhiều cách: + Luyện tập theo mẫu: Cho học sinh giải bài tập toán học tương tự mẫu.

Việc này có thể hình thành ngay trong tiết học rải rác qua một số bài hoặc bài tập về nhà từ đó giúp học sinh rèn luyện từng thao tác giải từng loại bài tập cụ thể. + Luyện tập không theo mẫu: Học sinh luyện tập khi những điều kiện và yêu cầu của bài toán thay đổi từ đơn giản đến phức tạp từ đó giúp học sinh phát triển các kỹ năng bậc cao. + Luyện tập theo nhiều hình thức giải bài tập toán học khác nhau. Ngoài bài tập có nhiều hình thức rèn luyện kỹ năng giải bằng lời, giải dưới dạng viết, giải bằng thực nghiệm. + Luyện tập thường xuyên: Luyện tập thường xuyên để tạo điều kiện cho học sinh rèn luyện kỹ năng trong tiết học và ở nhà.

2. Dạy học giải bài tập toán a) Mục đích dạy học toán  Những căn cứ xác định mục đích dạy học môn Toán Việc xác định mục đích dạy học môn Toán phải xuất phát từ mục tiêu giáo dục nước ta, từ đặc điểm và vị trí môn Toán.

- Mục tiêu giáo dục Nói một cách tổng quát, mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam là hình thành những cơ sở ban đầu và trọng yếu của con người mới phát triển toàn diện phù hợp với yêu cầu và điều kiện, hoàn cảnh của đất nước Việt Nam. “Mục tiêu của giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản nhằm hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách 11

Đề tài nghiên cứu khoa học nhiệm công dân, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc” (Luật giáo dục, Chương 2, mục 2 điều 23).

Môn Toán cũng như mọi môn học khác, xuất phát từ đặc điểm vị trí của mình, phối hợp cùng với các môn học khác và các hoạt động khác nhau trong nhà trường, góp phần thực hiện mục tiêu nêu trên.

- Đặc điểm môn toán Thứ nhất, phải tính tới tính trừu tượng cao độ và tính thực tiễn phổ dụng.

Thứ hai, cần phải nhấn mạnh tính logic và tính thực nghiệm của Toán học.

Cần chú ý rằng Toán học có thể xét theo hai phương diện. Nếu chỉ trình bày lại những kết quả Toán học đã đạt được thì nó là một khoa học suy diễn và tính lôgic nổi bật lên. Nhưng nếu nhìn Toán học trong quá trình hình thành và phát triển, trong quá trình tìm tòi và phát minh, thì trong phương pháp của nó vẫn có tìm tòi dự đoán, vẫn có thực nghiệm và quy nạp. Như vậy sự thống nhất giữa suy đoán và suy diễn là một đặc điểm của tư duy Toán học.

Phải chú ý cả hai phương diện đó mới có thể hướng dẫn học sinh học Toán, mới khai thác được đầy đủ tiềm năng môn Toán để thực hiện mục đích giáo dục toàn diện.

- Vị trí môn toán Trong nhà trường phổ thông, môn Toán giữ một vị trí hết sức quan trọng với những lý do sẽ được trình bày dưới đây: Thứ nhất, môn Toán là môn học công cụ. Do tính trừu tượng cao độ, Toán học có tính thực tiễn phổ dụng. Những tri thức và kỹ năng Toán học cùng với phương pháp làm việc trong Toán học trở thành công cụ để học tập những môn học khác trong nhà trường, là công cụ của nhiều nghành khoa học khác nhau, là công cụ để hoạt động trong đời sống thực tế. Vì vậy, Toán học là một thành phần không thể thiếu đối với trình độ văn hóa phổ thông 12

Đề tài nghiên cứu khoa học của con người mới. Cùng với tri thức, môn Toán trong nhà trường còn rèn luyện cho học sinh những kỹ năng Toán học như : tính toán, vẽ hình, đọc và vẽ biểu đồ, đo đạc, ước lượng, sử dụng những dụng cụ Toán học và máy tính điện tử... Môn Toán còn giúp học sinh hình thành và phát triển những phương pháp, phương thức tư duy và hoạt động như: toán học hóa tình huống thực tế, thực hiện và xây dựng thuật giải, phát hiện và giải quyết vấn đề… Những kỹ năng này rất cần cho người lao động trong thời đại mới.

Xuất phát từ mục tiêu giáo dục Việt Nam, từ đặc điểm và vị trí môn Toán, việc dạy học môn này có các mục đích sau: - Truyền thụ tri thức, kĩ năng Toán học và kĩ năng vận dụng Toán học vào thực tiễn; - Phát triển năng lực trí tuệ chung; - Giáo dục tư tưởng chính trị, phẩm chất đạo đức và thẩm mỹ; - Bảo đảm chất lượng phổ cập, đồng thời phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu về toán. b) Vị trí và chức năng của bài tập toán học Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học, đối với học sinh có thể xem việc giải toán là một hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập toán học là điều kiện tốt để thực hiện các mục đích dạy học toán ở trường phổ thông. Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán.

Trong thực tiễn dạy học bài tập toán được sử dụng với những dụng ý khác.

Mỗi bài tập có thể tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra… Tuy nhiên, việc dạy giải một bài tập 13

Đề tài nghiên cứu khoa học cụ thể thường không chỉ nhằm vào một dụng ý đơn nhất nào đó mà thường bao hàm những ý đồ nhiều mặt đã nêu.

Mỗi bài tập toán cụ thể được đặt ra ở thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng một chức năng khác.

Những chức năng này đều hướng đến việc thực hiện các mục đích dạy học.

Trong môn toán các bài tập mang những chức năng sau: - Chức năng dạy học, bài tập nhằm hình thành cung cấp cho học sinh những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở các giai đoạn khác trong quá trình dạy học.

- Chức năng giáo dục, bài tập nhằm hình thành cho học sinh thế giới duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới.

- Chức năng phát triển, bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy học sinh đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học.

- Chức năng kiểm tra, bài tập nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy học, đánh giá khả năng độc lập toán học và trình độ phát triển của học sinh.

Trên thực tế các chức năng không bộc lộ một cách riêng lẻ và tách rời nhau.

Khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể là hàm ý nói chức năng ấy được thực hiện một cách tường minh và công khai hiệu quả của việc dạy học toán ở trường phổ thông phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác, thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của một bài tập mà người viết SGK đã có dụ ý chuẩn bị. Người giáo viên chỉ có thể khám phá và thực hiện được những dụ ý đó bằng năng lực sư phạm và trình độ nghệ thuật dạy học của mình. c) Yêu cầu đối với lời giải bài toán Để khai thác tốt chức năng của bài toán thầy và trò cần nắm vững các yêu cầu của một lời giải: 14

Đề tài nghiên cứu khoa học * Lời giải không có sai lầm: Yêu cầu này có nghĩa là lời giải không có sai sót về kiến thức toán học, về phương pháp suy luận, về kĩ năng tính toán, về kí hiệu, hình vẽ, kể cả không có sai lầm về nội dung diễn đạt. Giáo viên cần phải rèn luyện cho học sinh thói quen xem xét kiểm tra lại kết quả giải toán và lời giải của mình, qua đó giáo dục ý thức trách nhiệm đối với công việc đồng thời phát triển óc phê phán. Cần giúp học sinh kiểm tra kết quả bằng cách đối chiếu bài làm với từng câu hỏi của đề bài. Xét tính hợp lý của đáp số với đầu bài hoặc từng cách làm, tìm một phương pháp giải khác nếu có thể rồi so sánh các kết quả giải được theo những phương pháp khác nhau.

Cũng cần yêu cầu học sinh kiểm tra lại bằng việc vân dụng linh hoạt những kết quả đã học chứ không chỉ đơn thuần bằng cách so sánh với đáp số cho sẵn như nhiều học sinh vẫn làm.

Trong giải toán học sinh có thể mắc sai lầm do hấp tấp cẩu thả, sơ xuất trong tính toán, không xem xét kĩ đầu bài. * Lập luận phải có căn cứ chính xác: Yêu cầu này đòi hỏi từng bước đổi mới trong lời giải có cơ sở lý luận phải dựa vào các định nghĩa, định lý, quy tắc, công thức... đã học, đặc biệt phải chú ý đảm bảo thỏa mãn điều kiện nêu trong giả thiết của định lý. * Lời giải phải đầy đủ: Điều kiện này có nghĩa là không được bỏ sót một trường hợp nào, một khả năng, một chi tiết nào. Nó cũng có nghĩa là lời giải vừa không thừa vừa không thiếu. Muốn vậy cần chú ý tập cho học sinh trong quá trình giải toán phải luân suy xét và tự trả lời các câu hỏi như: Ta đang phải xem xét cái gì?; Như vậy đã đủ chưa?; Còn trường hợp nào nữa không?; Đã đủ các trường hợp đặc biệt chưa?;… Học sinh thường bộc lộ thiếu sót là không xem xét đầy đủ các trường hợp, các khả năng xảy ra ở một tình huống, nhất là những bài toán tham biến, các bài toán đòi hỏi phải biện luận…

15

Đề tài nghiên cứu khoa học * Ngôn ngữ chính xác. * Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật: Yêu cầu này đặt ra với cả lời văn, chữ viết, hình vẽ, cách sắp xếp các yếu tố (chữ, số, hình, kí hiệu,...) trong lời giải. * Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lý nhất. * Nghiên cứu những bài toán tương tự. d) Dạy học phương pháp chung để giải bài toán Quá trình giải một bài toán thường trải qua các bước sau đây: Tìm hiểu chung đề toán; tìm tòi lời giải bài toán; trình bày lời giải bài toán; nghiên cứu sâu lời giải. + Tìm hiểu chung đề toán Để hiểu rõ đề toán, trước hết cần nắm vững mọi khái niệm đươc đề cập đến trong bài toán. Cần phải nhớ lại vác khái niệm đó đươc định nghĩa như thế nào hoăc có thể định nghĩa bằng những cách khác nhau như thế nào?.

Sau đó phải nắm được yêu cầu của bài toán. Phải biết được bài toán cho cái gì, và yêu cầu của bài toán là gì? Đối với bài toán hình học, nói chung phải vẽ hình. Đọc kĩ toàn bộ bài toán từ đó tưởng tượng một cách tổng quát và sơ bộ hình phác thảo có chứa đựng các dữ kiện trong đề bài (nhất là đối với bài toán hình học trong không gian).

Sau đó vẫn trong tưởng tượng chọn điểm quan sát thích hợp để biểu diễn hình một cách trực quan nhất … Thường sau khi vẽ hình học sinh sẽ hiểu rõ bài toán hơn.

Hình vẽ cần mang tính tổng quát, ta không nên vẽ hình trong trường hợp đặc biệt nào. Hình vẽ phải rõ ràng, chánh có những nét chập vào nhau, các nét thấy, nét khuất phải rõ, đúng quy ước. Hình vẽ các hình biểu diễn không gian còn phải đảm bảo chính xác theo đúng lý thuyết biểu diễn hình qua 16

Đề tài nghiên cứu khoa học phép chiếu song song. Chẳng hạn trung điểm của đoạn thẳng, hình biểu diễn trọng tâm tam giác. + Tìm tòi lời giải bài toán Đây là bước quan trọng nhất trong hoạt động giải toán. Ở bước này, ta phải biết định hướng đúng để tìm ra được nhanh chóng hướng giải bài toán.

Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương tư, một trường hơp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay mộ bài toán liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán như: chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích... + Trình bày lời giải của bài toán Sau khi tìm được cách giải hay nhất sắp xếp chúng theo một trình tự nhất định và hợp lý nhất, trình bày trong bài làm của mình. + Nhìn lại bài toán Sau khi giải xong, chúng ta nên thực hiện: - Kiểm tra lại kết quả và toàn bộ quá trình giải toán.

- Suy nghĩ xem có những lời giải khác không? Lời giải đã được lựa chọn có phải là hay nhất không?

- Suy nghĩ xem có thể sử dụng kết quả hay phương pháp giải cho một bài toán khác không?

- Từ những kết quả đã thu được tìm cách đề xuất những bài toán khác nhờ tương tự, tổng quát hóa …

17

Đề tài nghiên cứu khoa học Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B, cạnh (

⊥

). Từ A kẻ AD ⊥ SB và AE ⊥ SC. Biết AB = a, BC = b, SA = c. Tính

khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ADE).

Bước 1: Tìm hiểu chung đề toán: GT

= 90 ,

hình chóp S.ABC, đáy ∆ABC,

⊥(

), AD ⊥

SB, AE ⊥ SC, AB = a, BC = b, SA = c.

KL

d (S; (ADE)) =?

Bước 2: Phân tích lời giải: - Ta có AD, AE là các đường cao trong tam giác SAB và SAC ⊥(

- Ta thấy:

)⇒ ⊥(

- Ta chỉ ra được

) và do đó ⊥

- Kết hợp với giả thiết ⊥(

⊥

⇒

⊥ ⊥(

)

) hay khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ADE) chính là độ dài

đoạn thẳng SE Bước 3: Trình bày lời giải: ⊥

Ta có: ∆ABC vuông tại B nên ⊥(

Theo giải thiết:

) ⇒

⊥

mà

⊥ ⇒

S

⊥(

Ta lại có:

)⇒ ⊥

⊥

Từ (*)(**) ta có :

(1)

(2) ⊥(

Từ (1)(2) ⇒ Mặt khác:

⊥

E

)⇒

⊥

(*)

(**) (gt) ⊥(

).

D

C

A

Hay SE chính là khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ADE) B

18

Đề tài nghiên cứu khoa học Ta có: AE.SB = AS.AC nên: =

.

=

. √

=

+

.√ √

+

+

+

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác SAE ta có: =

−

=

−

.( +

+ ) = + √

+

+

Bước 4: Nghiên cứu lời giải: Ta có thể mở rộng bài toán: Ta đã biết SE là khoảng cách từ S đến mặt phẳng (DAE) hay SE chính là đường cao trong hình chóp S.ADE. Do đoa ta có thể tính được thể tích khối chóp này.

Ta có bài toán mới: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B, cạnh

⊥(

). Từ A kẻ AD ⊥ SB và AE ⊥ SC. Biết AB = a, BC = b, SA

= c. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ADE). Tính thể tích khối chóp S.ADE. 3. Nội dung khoảng cách trong không gian trong chương trình hình học THPT a) Khoảng cách trong hình học không gian trong chương trình toán THPT Trong chương trình toán học, hình học không gian là một phần kiến thức quan trọng. Các bài toán về tính khoảng cách trong không gian có thể xem là một trong những dạng toán cơ bản nhất trong chương trình Hình Học THPT. Khoảng cách đựơc trình bày ở bài 5 trong chương 3 của hình học 11. Theo phân phối chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo, nội dung này được dạy trong 2 tiết gồm: - Định nghĩa các loại khoảng cách trong không gian.

19

Đề tài nghiên cứu khoa học - Các tính chất về khoảng cách và mối liên hệ giữa các loại khoảng cách - Bài tập về khoảng cách. b) Một số dạng bài toán về tính khoảng cách trong không gian trong chương trình toán THPT 1) Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng.

2) Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng.

3) Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song.

4) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

5) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Để giải được những bài toán về tính khoảng cách, học sinh cần có các kỹ năng tính toán, kỹ năng vẽ hình, kỹ năng chứng minh... Đặc biệt quan trọng là kỹ năng phân tích tìm cách giải, kỹ năng xác định hướng giải đúng và kỹ năng trình bày lời giải. Khóa luận sẽ tập trung rèn luyện các kỹ năng quan trọng trên c) Các kiến thức liên quan Một số khái niệm về khoảng cách trong không gian. + Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Định nghĩa: Cho điểm O và đường thẳng a. a

Trong mặt phẳng (O,a) gọi H là hình chiếu

O

vuông góc của O trên a. Khi đó khoảng

H

α

cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a, kí hiệu là d(O,a).

+ Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

O

20 H 

Đề tài nghiên cứu khoa học Định nghĩa: Cho điểm O và mặt phẳng ( ). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng ( ) . Khi đó khoảng cách giữa 2 điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến mp ( ),kí hiệu là d(O,( )).

+ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song Định nghĩa: Cho đường thẳng a song

a

O

A

song với mặt phẳng ( ), khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( ) là khoảng cách từ một điểm bất kì của a đến mp( ), kí hiệu là d(a, ( )).

H

A'



+ Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song Định nghĩa: Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia, kí hiệu là d(( ); ( )).

A 

A' 

+ Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau Định nghĩa: Đường vuông góc chung: Đường

 a

thẳng  cắt 2 đường thẳng chéo nhau a, b và vuông góc với mỗi đường thẳng ấy được gọi là

M

đường vuông góc chung của 2 đường thẳng a và b.

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:

21

b N

Đề tài nghiên cứu khoa học Nếu đường vuông góc chung  cắt 2 đường thẳng chéo nhau a và b lần lượt tại M và N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b. Kí hiệu là d(a,b).

Nhận xét. + Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng còn lại. + Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

M

a

M

a 

b a'



N

b N



+ Thể tích của khối chóp

=

.ℎ ⇔ ℎ =

(trong đó S là diện tích đáy

và h là chiều cao của khối chóp). Theo cách này, để tính khoảng cách từ đỉnh của hình chóp đến mặt đáy, ta đi tính V và S. + Tính chất của tứ diện vuông: Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O ( OA  OB , OB  OC , OC  OA ) và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng

(ABC).

1 OH

2



Khi

đó

1

1

2

OA



OB

2

đường 

cao

OH

được

tính

bằng

công

thức:

1 OC 2

+ Nếu đường thẳng  song song với mặt phẳng () và M, N   thì d ( M ;( ))  d ( N ;( )) .

22

Đề tài nghiên cứu khoa học Nếu đường thẳng  cắt mặt phẳng () tại điểm I và M, N   (M, N không trùng với I) thì

d ( M ;( )) MI .  d ( N ;( )) NI N

M

M N

N'

M' I

α

N'

M'

α

1 Đặc biệt, nếu N là trung điểm của IM thì d ( N ;( ))  d (M ;( )) 2

nếu I là trung điểm của MN thì d (M ;( ))  d ( N ;( )) + Phương pháp tọa độ trong không gian: Trong chương III - §1 sách giáo khoa (SGK) hình học 12, Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), NXBGD 2008, đã nêu định nghĩa và một số tính chất sau :

23

Đề tài nghiên cứu khoa học Trong không gian với hệ tọa độ z

Oxy cho : ⃗ = .⃗+ ⃗ ⟺ ⃗ = ( ; ; ) ⃗ = ⃗+ ⃗+ ⃗ = ⃗=( ;

Với: ( ;

;

;

i=(1;0;0) j =(0;1;0)

( ; ; )

)

k=(0;0;1)

⃗=

và

M(x;y;z)

), ta có:

k

 ⃗ ⃗ = ⃒ ⃒⃗. ⃒ ⃒⃗. cos( ⃗, ⃗)  ⃗​⃗=

+

j

+

+

 ⃒ ⃒⃗ =

i

M1

+ y

 ⃗ ⊥ ⃗ ⇔ ⃗. ⃗ = 0 ⇔ +

x

O

+

= 0.

Tích có hướng của hai vectơ 

⃗, ⃗ = ( ;

− −

;

−

) 

⃗, ⃗ ⊥ ⃗ ; ⃗, ⃗ ⊥ ⃗

 ⃗ cùng phương với với ⃗  ⃗ cùng phương với ⃗ ⇔ ⃗, ⃗ = 0  ⃗, ⃗, ⃗ đồng phẳng ⃗, ⃗ ⃗ = 0.

Một số lưu ý khi chọn hệ trục tọa độ Oxy trong không gian 24

Đề tài nghiên cứu khoa học Ta có : Ox, Oy, Oz vuông góc từng đôi một. Do đó, nếu trong mô hình chứa các cạnh vuông góc thì ta ưu tiên chọn các đường đó lần lượt thuộc các trục tọa độ. Cụ thể : Với hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’

Với hình lập phương .

z

Chọn hệ trục tọa độ sao cho : A(0;0;0);

B(a;0;0);

C(a;a;0);

A'

D(0;a;0) A’(0;0;a);

C'

B'

B’(a;0;a);

D'

C’(a;a;a); y

D’(0;a;a) A

B

x

Với hình hộp chữ nhật.

Chọn hệ trục tọa độ sao cho : A(0;0;0);

B(a;0;0);

C(a;b;0);

B’(a;0;c);

C’(a;b;c);

D(0;b;0) A’(0;0;c); D’(0;b;c)

Với hình hộp đáy là hình thoi ABCD.A’B’C’D’

25

D

C

Đề tài nghiên cứu khoa học z

Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

A'

D' O' C'

B'

- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của hai đường chéo của hình thoi

y A

ABCD

D O

B

C

- Trục Oz đi qua 2 tâm của 2 đáy

x

Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

z

Giả sử cạnh hình vuông bằng a và đường cao SO = h

S

Chọn O(0;0;0) là tâm của hình vuông Khi

đó

−

√

; 0; 0 ;

√

:

y

; 0; 0

D

A O B

√2 0; − ;0 ; 2

√2 0; ;0 ; 2

(0; 0; ℎ).

Với hình chóp tam giác đều S.ABC

26

C

x

Đề tài nghiên cứu khoa học Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

z S

Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và đường cao bằng h. Gọi I là trung điểm của BC Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho I(0;0;0)

y

A C

Khi đó : 0;

√

− ; 0; 0 ; ( ; 0; 0) ; 0 ; (0;

√

H

I

; ℎ).

B

x

Với hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA ⊥(ABCD) ABCD là hình chữ

nhật AB=a;

z

AD=b.

S

chiều cao bằng h Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao

Khi đó : B(a;0;0); C(a;b;0); D(0;b;0);

D

A

cho A(0;0;0)

O B C

S(0;0;h). x

Với hình chóp S.ABC có ABCD là hình thoi và SA⊥ (ABCD)

27

y

Đề tài nghiên cứu khoa học z

ABCD là hình thoi cạnh a chiều cao bằng h

S

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho O(0;0;0) y D

A O B

C

x

Với hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và ∆ ABC vuông tại A Tam giác ABC vuông tại A có AB=a; AC=b đường cao bằng h.

z S

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0) Khi đó : B(a;0;0); C(0;b;0); S(0;0;h)

y A

C

B

x

Với hình chóp S.ABC có SA ⊥(ABC) và ∆ ABC vuông tại B

28

Đề tài nghiên cứu khoa học Tam giác ABC vuông tại B có

S

BA=a; BC=b đường cao bằng h.

z

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho B(0;0;0) Khi

đó

:

A(a;0;0);

C(0;b;0);

y

x

S(a;0;h).

C

A

B

Với hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥(ABC), ∆SAB cân tại S và ∆ABC vuông tại C ∆ABC vuông tại C, CA=a; CB=b

S

z

chiều cao bằng h H là trung điểm của AB Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho C(0;0;0) Khi

đó

:

y

x A

A(a;0;0);

S( ; ; ℎ).

B

H

B(0;b;0); C

Với hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥(ABC), ∆SAB cân tại S và ∆ABC vuông tại A

29

Đề tài nghiên cứu khoa học ∆ABC vuông tại A; AB=a; AC=b

z

chiều cao bằng h S

H là trung điểm của AB Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0) Khi đó : B(a;0;0); C(0;b;0); S(0; ;h).

y A

C H B

x

Với hình chóp S.ABC có (SAB)⊥ (ABC), ∆SAB cân tại S và ∆ABC vuông cân tại C Tam giác ABC vuông cân tại C có

z

CA=CB=a; đường cao bằng h.

S

H là trung điểm của AB Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho H(0;0;0)

x A

Khi đó : 0; −

30

√

√

; 0; 0 ;

; 0 ; (0; 0; ℎ).

0;

√

B

H

;0 ; C

y

Đề tài nghiên cứu khoa học CHƯƠNG 2: RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN THÔNG QUA MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN 1. Định hướng giải các dạng bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian trong chương trình toán THPT a) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Cho điểm O và đường thẳng ∆. Gọi H là hình chiếu của O trên ∆. Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng ∆. Kí hiệu d(O,∆).

Nhận xét -∀

∈ ∆,

≥ ( , ∆)

- Để tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng ∆ ta có thể + Xác định hình chiếu H của O trên ∆ và tính OH + Áp dụng công thức  Đối với bài toán tính khoảng cách từ điểm O đến một đường thẳng d, ta thực hiện quá trình giải toán theo các bước sau: - Bước 1: Xác định mặt phẳng   đi qua O và vuông góc với đường thẳng d (Hoặc xác định đường thẳng  đi qua O, đồng phẳng và vuông góc với d).

- Bước 2: Xác định giao điểm H của mp   và đường thẳng d (Hoặc xác định giao điểm H của hai đường thẳng  và d). Suy ra d  O, d   OH .

- Bước 3: Tính độ dài đoạn OH (dựa vào các hệ thức lượng trong tam giác,....)

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a. Gọi I là trung điểm của cạnh SC và M là trung điểm của cạnh AB. a) Chứng minh rằng đường thẳng IO vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

31

Đề tài nghiên cứu khoa học b) Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng CM. Giải a) Ta có SA ⊥ (ABCD) mà IO∥SA

S

do đó IO ⊥ (ABCD). b) Trong mặt phẳng (ABCD) dựng H là hình chiếu vuông góc của O trên CM, ta có

I

IH ⊥ CM và IH chính là khoảng cách từ I

A

D

M

đến đường thẳng CM.

O N H

Gọi N là giao điểm của MO với cạnh CD.

B C

Hai tam giác MHO và MNC đồng dạng nên =

⇒

Lại có

=

Vậy ( ,

.

=

= và )=

=

.

=

=

√

= √ √

=

√

.

+ √

=

+

=

.

.

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng 2a, = 60 ;

= 2 và

⊥(

).

a) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng SC. b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng SB. Giải

S

a) Trong mặt phẳng (SAC), kẻ đường thẳng d đi qua O và vuông góc với SC tại I.

I

H

Ta có ( ,

)=

A

.

D

J K O B

32

C

Đề tài nghiên cứu khoa học Do tam giác SAC vuông cân tại A (SA=AC=2a) nên tam giác OIC vuông cân tại I. =

√

=

√

hay ( ,

)=

√

.

b) Trong mp (ABCD) kẻ OJ ⊥ AB. Vì SA ⊥ OJ nên OJ ⊥(SAB) hay OJ ⊥ SB. Trong mặt phẳng (SAB) kẻ JH ⊥SB. Khi đó ta có SB ⊥ (OJH), suy ra SB ⊥OH tại H. Vậy ( , ⊥

Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ =

√

=

. √

=

√

)=

√

=

=

. =

√

;

. =

Xét ∆OJH vuông tại J có Vậy ( ,

. Ta có:

)=

=

√

+

=

+

=

.

.

b) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Cho điểm O và mặt phẳng ( ) ta có thể sử dụng một trong các cách sau: Cách 1. Tính trực tiếp: Xác định hình chiếu H của O trên ( ) và tính OH. Phương pháp chung.

-Dựng mặt phẳng (P) chứa O và vuông góc với ( ) -Tìm giáo tuyến ∆ của (P) và ( ) -Kẻ

⊥∆(

∈ ∆). Khi đó

,( ) =

. Đặc biệt:

+ Trong hình chóp đều, thì chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm đáy. + Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường vuông góc hạ từ đỉnh sẽ thuộc giao tuyến của mặt bên đó với đáy. + Hình chóp có 2 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao tuyến của hai mặt bên này.

33

Đề tài nghiên cứu khoa học + Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc tạo với đáy những góc bằng nhau) thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy. + Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy.

Cách 2. Sử dụng công thức thể tích Thể tích của khối chóp

=

.ℎ ⟺ ℎ =

. Theo cách này, để tính khoảng

cách từ đỉnh của hình chóp đến mặt đáy, ta đi tính V và S. Cách 3. Sử dụng phép trượt đỉnh Ý tưởng của phương pháp này là: bằng phép trượt đỉnh O trên một đường thẳng đến một vị trí thuận lợi O’, ta quy việc tính

, ( ) về việc tính

′, ( ) . Ta thường sử dụng kết quả sau: Kết quả 1. Nếu đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng ( ) và M, N ∈ ∆ thì ,( ) =

,( )

Kết quả 2. Nếu đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng ( ) tại điểm I và M, N ∈ ∆ và ,( )

M, N không trùng với I thì

,( )

= ,( ) =

Đặc biệt, nếu M là trung điểm của NI thì ,( ) =

trung điểm của MN thì

, ( ) nếu I là

,( )

Cách 4. Sử dụng tính chất của tứ diện vuông Cơ sở của phương pháp này là tính chất sau: Gỉa sử OABC là tứ diện vuông tại O (

⊥

,

⊥

,

⊥

) và H là hình chiếu của O trên mặt

phẳng (ABC). Khi đó đường cao OH được tính bằng công thức 1

=

1

+

Cách 5. Sử dụng phương pháp tọa độ

34

1

+

1

Đề tài nghiên cứu khoa học Cơ sở của phương pháp này là ta cần chọn hệ tọa độ thích hợp sau đó sử dụng các công thức sau: ;( ) =

|

| √

( ; ( , ∆) = (∆, ∆ ) =

⃗∧ ⃗ | ⃗|

;

với

), ( ):

+

+

+

=0

với ∆ là đường thẳng đi qua A và có vec tơ chỉ phương ⃗.

⃗∧ ⃗. | ⃗∧ ⃗|

⃗

với ∆′ là đường thẳng đi qua A’ và có vec tơ chỉ phương

⃗′.

Phương pháp: Bước 1: chọn hệ tọa độ Oxy gắn với hình đang xét Bước 2: chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ tọa độ vec tơ Bước 3: giải bài toán bằng phương pháp tọa độ, rồi chuyên sang ngôn ngữ hình học.

Cách 6. Sử dụng phương pháp vec tơ Nhận xét: Việc lựa chọn hệ véctơ gốc là rất quan trọng khi giải quyết một bài toán bằng phương pháp véctơ. Nói chung việc lựa chọn hệ véctơ gốc phải thoả mãn hai yêu cầu: + Hệ véctơ gốc phải là ba véctơ không đồng phẳng. + Hệ véctơ gốc nên là hệ véctơ mà có thể chuyển những yêu cầu của bài toán thành ngôn ngữ véctơ một cách đơn giản nhất.

Phương pháp: Bước 1: Chọn hệ véctơ gốc, đưa các giả thiết kết luận của bài toán hình học đã cho ra ngôn ngữ “véctơ”.

Bước 2: Thực hiện các yêu cầu của bài toán thông qua việc tiến hành biến đổi các hệ thức véctơ theo hệ véctơ gốc.

Bước 3: Chuyển các kết luận “véctơ” sang các kết quả hình học tương ứng.

35

Đề tài nghiên cứu khoa học Ví dụ 4. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là a. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BD).

Giải Gọi O là giao điểm của AC và BD.

C'

B'

Vì AA’⊥ (ABCD) nên AA’ ⊥ BD. Mặt khác AO ⊥BD suy ra BD ⊥ (OAA’)

A'

D'

hay (A’BD) ⊥(OAA’).

C

Trong mặt phẳng(OAA’) kẻ AH ⊥ OA’. ) =

,(

Khi đó AH ⊥ (A’BD) hay

O D

′ . =

Xét OAA’ vuông tại A có: Vậy

B

H

) =

,(

√

+

=

A

+

=

.

Ví dụ 5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a.

Gọi O là tâm của đáy. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD).

Giải Vì hình chóp S.ABCD đều nên

S

SO ⊥ (ABCD), suy ra SO ⊥ CD. Gọi I là trung điểm của CD. Ta có SI ⊥ CD.

H

Do đó CD ⊥ (SOI) hay (SOI)⊥ (SCD)

D

A

theo giao tuyến SI.

I

O

Trong mặt phẳng (SOI) kẻ OH ⊥ SI, H

C

B

∈ SI. Khi đó

;(

Xét ∆SOI có: 36

) = =

. +

=

+

=

.

Đề tài nghiên cứu khoa học ,(

Vậy

) =

√

.

c) Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó Cho đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng ( ). Khoảng cách giữa đường thẳng ∆và mặt phẳng ( ) là khoảng cách từ một điểm bất kì của ∆ đến mặt phẳng ( ), kí hiệu (∆, ( )) Nhận xét - ∀M ∈ ∆, N ∈ (α), MN ≥ d(∆, (α)) - Việc tính khoảng cách từ đường thẳng ∆ đến mặt phẳng ( ) được quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. d) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.kí hiệu (( ), ( )).

Nhận xét - ∀M ∈ ( ), N ∈ (β), MN ≥ d((α), (β)) -

Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy vè tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

e) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Cho hai đường thẳng cheo nhau a và b. Đường thẳng ∆ cắt cả a và b đồng thời vuông góc với cả a và b được gọi là đường vuông góc chung của a và b. Đường vuông góc chung ∆ cắt a tại H và cắt b tại K thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b. Kí hiệu ( , ).

Nhận xét - ∀M ∈ a, N ∈ b, MN ≥ d(a, b)

37

Đề tài nghiên cứu khoa học - Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau a và b ta làm như sau: + Tìm H và K từ đó suy ra ( , ) = + Tìm một mặt phẳng (P) chứa a và song song với b. Khi đó ( , ) = ( , ( )) + Tìm cặp mặt phẳng song song (P),(Q) lần lượt chứa a và b. Khi đó ( , ) = (( ), ( )) + Sử dụng phương pháp tọa độ. Đặc biệt ⊥

- Nếu

thì ta tìm mặt phẳng (P) chứa a và vuông góc với b, tiếp

theo ta tìm giao điểm I của (P) với b. Trong mp (P), hạ đường cao IH. Khi đó ( , ) =

.

- Nếu tứ diện ABCD có AC = BD, AD = BC thì đoạn thẳng nối hai trung điểm của AB và CD là đoạn vuông góc chung của AB và CD. Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. có cạnh SA=h và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng chéo nhau sau: a) SB và CD

b) SC và BD

c) SC và AB.

Giải

S

a) Ta có: ⊥ ⊥ Mặt khác

⇒

⊥( ⊥

)⇒

⊥

.

K

.

E

A

Vậy BC là đoạn vuông góc chung của F

SB và CD. Khoảng cách giữa SB và CD là BC=a. b)Ta có: 38

D

H O B C

Đề tài nghiên cứu khoa học ⊥ ⊥

⇒

⊥(

) tại O.

Trong mặt phẳng (SAC) từ O hạ OH ⊥ CS tại H ta có OH ⊥ SC và OH ⊥ BD và BD ⊥ (SAC). Vậy OH là đoạn vuông góc chung của BD và SC. Ta có

=

= sin ⊥ ⊥

c) Ta có:

=

. Vậy ⇒

⊥(

.

=

√

.

.

√

).

Trong mp (SAD) ta có SD là hình chiếu vuông góc của SC, ta vẽ AK ⊥ SD tại K. Trong mặt phẳng (SCD) vẽ KE//CD với E∈SC. Trong mặt phẳng (KE, AB) vẽ EF//AK với F∈AB. Ta có AB và CD cùng vuông góc với mặt phẳng (SAD) nên AB ⊥AK và CD ⊥AK. ⊥ ⊥

Ta có:

⊥(

⇒

)⇒

⊥

.

Vậy AK⊥ AB và AK ⊥ SC. Vì EF//AK nên EF ⊥ AB và EF ⊥SC. Do đó EF là đoạn vuông góc chung của AB và SC. Ta có:

=

.

=

=

.

√

Ví dụ 7. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA=OB=OC=a. Gọi I là trung điểm của BC.

A

Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng chéo nhau sau:

a) OA và BC a

b) AI và OC Giải

F

⊥ ⊥

a) Ta có

=

b) Ta có 39

=

√

⊥ ⊥

a

C

O

a

⇒ OI là đoạn vuông góc chung của OA và BC. Ta có

E

H

I

K B

. ⇒

⊥(

) tại O.

Đề tài nghiên cứu khoa học Từ I vẽ IK//OC thì IK ⊥(OAB) tại trung điểm K của OB. Ta có AK là hình chiếu vuông góc của AI trên mặt phẳng (OAB).

Trong mặt phẳng (OAB) vẽ OH ⊥ AK. Dựng HE// OC với EF//OH với

∈

∈

và dựng

. Khi đó EF là đoạn vuông góc chung của AI và OC.

Ta có EF=OH. =

Trong tam giác vuông OAK ta có: Vậy

=

⇒

=

=

√

+

=

+

=

.

.

Một số trường hợp tổng quát để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: a) Giả sử a và b là hai đường thẳng chéo nhau và ⊥ .

b

- Ta dựng mặt phẳng ( ) chứa a và vuông góc a

với b.

B

- Trong ( ) dựng BA ⊥ a tại A, ta được độ dài

A

α

đoạn AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b. b) Giả sử a và b là hai đường thẳng chéo nhau nhưng không vuông góc với nhau

B

b

M

Cách 1: - Ta dựng mặt phẳng ( ) chứa a và song a

song với b.

b' A

- Lấy một điểm M tùy ý trên b dựng MM’ ⊥ ( ) tại M’.

- Từ M’ dựng b’//b cắt a tại A.

40

α

M'

Đề tài nghiên cứu khoa học - Từ A dựng AB//MM’ cắt b tại B, độ dài đoạn AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.

Cách 2:

a

- Ta dựng mặt phẳng ( ) ⊥

b

A

tại

B

O, ( ) cắt b tại I. - Dựng hình chiếu vuông góc của

b' O

b là b’ trên ( ).

- Trong mp( ), vẽ OH ⊥ b’, H

H I

α

∈b’.

- Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B. - Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A. Độ đoạn AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.

Các bài điển hình Ví dụ 8. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O có cạnh bằng a,

= √3 và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

a) Tính khoảng cách từ O đến (SBC). b) Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến (SAC).

Phân tích: Do

∩(

)= ,

nên thay vì việc tính ( , ( đi tính

( ,(

S

)) ta

)), tương tự như

vậy ta có thể quy việc tính ( ,( ( ,(

)) thông qua việc tính )) hay ( , (

)).

41

A D

F E O

Giải. a) Ta có:

G

H

∩(

)=

nên:

B

C

Đề tài nghiên cứu khoa học ( ,( ( ,( ,(

⇒

( ,(

) =

)) = ))

=

1 2

)),

Gọi H là hình chiếu của A trên SB ta có: ⊥ ⊥

⇒

⊥(

)

Trong tam giác vuông SAB có: = ⇒

+ √

=

= ⇒

,(

) =

,(

) =

=

√

.

c) Gọi E là trung điểm AB, G là trọng tâm ∆SAB. Do

∩(

)=

⇒

,(

) =

nên

))

( ,( ( (,

( ,(

))

=

=

))

Ta

có:

⇒ ⇒

,(

⊥ ⊥

⇒

,(

) =

) = .

√

=

⊥( 1 2

); ,(

∩( ) =

1 2

)= =

√2 4

√

Ví dụ 9. (Đề thi Đại học khối B năm 2011).Cho lăng trụ ABCDA1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật điểm

= ,

= √3. Hình chiếu vuông góc của

trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD, góc

giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 600. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a.

Giải

42

Đề tài nghiên cứu khoa học ,(

Phân tích: Do B1C// (A1BD) nên thay vì việc tính ( ( ,(

)) ta đi tính

)).

+ Gọi O là giao điểm của

B1

C1

AC và BD ⇒

⊥(

)

A1 D1

Gọi E là trung điểm AD ⇒

⊥

,

⊥

B C

K O

= 60

⇒

=

. tan

H A

√

=

D

E

.

SABCD= a2√3 .

Vlt=

+ Tính (

= ,(

)): ,(

Cách 1: Do B1C// (A1BD) ⇒ Hạ

⊥

Cách 2:

⊥(

⇒ ,(

)⇒

) = =

Trong đó:

43

,(

,(

,(

) =

)).

) = CH = ;(

. √

) =

= =

Suy ra:

) = ( ,(

) =

1 2

. √

.

=

1 √3 . .2 = 2 2

√3 2

= .

√

Đề tài nghiên cứu khoa học 2. Một số bài toán cụ thể giúp rèn luyện kỹ năng giải một số bài tập về tính khoảng cách trong không gian ở chương trình toán THPT Ví dụ 10. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O có cạnh AB = a. Đường cao SO của hình chóp vuông góc với đáy (ABCD) và có SO = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB.

S

Giải Vì AB//CD nên AB//(SCD). Mặt khác SC ⊂ (SCD) nên khoảng cách giữa

H

AB và SC chính là

D

A I

khoảng cách giữa AB và (SCD).

K

O

Gọi I, K lần lượt là trung điểm

B

C

của AB và CD thì ta có O là trung điểm của IK và IK ⊥ CD.

,(

Do đó:

) =

⊥ ⊥

Ta có:

⇒

,( ⊥(

) = 2 ( ,( ).

Trong tam giác vuông SOK ta có = ( ,( Ta có

=

Vậy (

,

⊥

nên

⊥(

) =2

=

), do đó

)). +

=

Do đó

)).

⇒ )=

= = ,(

+ √

( )

=

. ) =2

,(

√

.

Ví dụ 11. Cho lăng trụ đều ABC. A’B’C’ có AA’ = a, AB’ tạo với (ABC) góc 600. Tính khoảng cách giữa AA’ và BC’.

44

Đề tài nghiên cứu khoa học Giải A

Do lăng trụ đều nên các cạnh bên vuông góc với đáy.

C

AB’ có hình chiếu trên đáy là AB nên góc giữa AB’ và đáy là ′ =

Do đó:

H B

= 60 . √

.

Vì AA’//BB’ ⇒ AA’// (BCC’B’) ⇒ (

)=

,

( ,(

,(

C'

A'

) =

)).

B'

Mặt phẳng (ABC) vuông góc với (BCB’) theo giao tuyến BC nên từ A kẻ AH vuông góc với BC thì ) =

,( Vậy (

,

=

√

.

√

⊥(

).

= .

)= .

Ví dụ 12. Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA’ và BB’ AA ' . Tính khoảng cách giữa B’M và CN. Giải Phân tích. Để tính khoảng cách giữa B’M và CN ta tìm một mặt phẳng chứa CN và song song với B’M, tiếp theo ta dùng các phép trượt để quy việc tính khoảng cách từ một

A'

C'

điểm đến một mặt phẳng về việc tính khoảng B'

cách trong tứ diện vuông.

M

Gọi O, D lần lượt là trung điểm của BC và CN D

thì OACD là tứ diện vuông tại O. AMB’N là hình bình hành, suy ra NA//B’M. Mặt phẳng (ACN) chứa CN và song song với

N

C

A O B

45

Đề tài nghiên cứu khoa học B’M nên ( ,(

=

)=

,

) = 2 ( ,(

,(

) = ( ,(

)

) = 2ℎ.

Áp dụng tính chất của tứ diện vuông ta được: =

+

+

Vậy (

= √

)=

,

⇔ℎ=

√

.

.

Ví dụ 13. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của DD’. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và A’D. Giải Gọi N là trung điểm của BB’ thì A’NCM là hình bình hành nên A’N//CM. Mặt phẳng (A’ND) chứa A’D và song song với CM nên (

)=

,

,(

) = D'

,(

) = ( ,(

= Gọi

)) với

∩ ′ .

A'

∩

=

,

C'

=

B'

M

′∩

O G

thì G là trọng tâm của tam giác

N

D

C

ADD’.

Do đó:

( ,(

))

( ,(

))

=

= .

A

B

Tứ diện AA’DE vuông tại A nên 1 ,( ⇔ ( ,( Vậy (

46

)) = , ′ )=

)

=

1

+

1

+

1

=

9 4

. ,(

) =

,(

) = .

E

Đề tài nghiên cứu khoa học  Bài tập đề nghị Bài 1.( Đề thi Đại học khối D năm 2008) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’ = 2a. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, BC’.

Bài 2.( Đề thi Đại học khối D năm 2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B. AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là gia điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC).

Bài 3.(Đề thi đại học khối D năm 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2 √3 và

= 30 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ

điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.

Bài 4. (Đề thi Đại học khối A năm 2013)   300 , SBC là Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, ABC

tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).

Bài 5. (Đề thi Đại học khối B năm 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tính của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).

Bài 6. (Đề thi Đại học khối D năm 2013) 47

Đề tài nghiên cứu khoa học Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy,

= 120 , M là trung điểm cạnh BC và

= 45 .

Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC).

Bài 7. (Đề thi Đại học khối D năm 2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông,  A’AC vuông cân, A’C = a. Tính a) b) d(A, (BCD’)) Bài 8. (Đề thi Đại học khối A năm 2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, h.c.v.g của S lên (ABC) là điểm H thuộc AB sao cho HA = 2HB, góc giữa SC và (ABC) bằng 600. Tính a)

48

.

b) d(SA,BC)

Đề tài nghiên cứu khoa học C. KẾT LUẬN Đề tài "Rèn luyện kỹ năng giải toán hình học cho học sinh lớp 11 thông qua dạy học giải một số bài toán về tính khoảng cách trong không gian" đã nghiên cứu các vấn đề lí luận và thực tiễn liên quan; phân loại và rèn luyện kỹ năng giải các dạng bài tập về tính khoảng cách trong không gian, trên cơ sở đó đưa ra định hướng giải một số bài tập các dạng bài trên, từ đó góp phần giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán hình học và không thấy khó khăn khi học tập nội dung này. Đề tài là nghiên cứu đầu tay của bản thân, mặt khác đề tài được thực hiện khi đang là sinh viên, trình độ nghiên cứu khoa học còn nhiều hạn chế, chưa có kinh nghiệm giảng dạy thực tế do đó nội dung đề tài không thể tránh khỏi hạn chế, thiếu sót. Người thực hiện rất mong nhận được sự đóng góp của quý thầy cô và bạn đọc để đề tài được hoàn chỉnh hơn, có điều kiện nghiên cứu rộng hơn để trở thành một tài liệu nghiên cứu có ích hơn.

Nhân dịp này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn………………... Chúc thầy và cả lớp luôn vui vẻ , mạnh khỏe, hạnh phúc và thành công.

Em xin chân thành cảm ơn!

49

Đề tài nghiên cứu khoa học TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Sách giáo khoa Hình học 11, NXB Giáo dục, năm 2008.

[2]. Sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao, NXB Giáo dục, năm 2008.

[3]. Sách Bài tập hình học 11, NXB Giáo dục, năm 2008.

[4]. Sách Bài tập hình học 11 nâng cao, NXB Giáo dục, năm 2008.

[5]. Sách giáo khoa Hình học 12, NXB Giáo dục, năm 2008.

[6]. Sách giáo khoa Hình học 12nâng cao, NXB Giáo dục, năm 2008.

[7]. Sách Bài tập hình học 12, NXB Giáo dục, năm 2008.

[8]. Sách Bài tập hình học 12 nâng cao, NXB Giáo dục, năm 2008.

[9]. Đặng Phúc Thanh, Nguyễn Trọng Tuấn (2007), Rèn luyện giải toán Hình học 11, NXB Giáo dục.

[10]. Nguyễn Bá Kim (2011), Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Đại học Sư pham Hà Nội.

[11]. Bộ đề tuyển sinh ĐH-CĐ các năm 2000-2014, bộ GD-ĐT.

50