Phát triển năng lực tư duy cho học sinh THPT qua dạy học phương trình lượng giác (2019)

LUẬN VĂN SIÊU CẤP CHANNEL

vectorstock.com/9066164

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN TEST PREP PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

Phát triển năng lực tư duy cho học sinh THPT qua dạy học phương trình lượng giác (2019) PDF VERSION | 2019 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group

Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

======

NGUYỄN THỊ THU PHƢƠNG

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƢ DUY CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA DẠY HỌCPHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học Toán

HÀ NỘI - 2019

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

======

NGUYỄN THỊ THU PHƢƠNG

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƢ DUY CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA DẠY HỌCPHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học Toán Ngƣời hƣớng dẫn khoa học

ThS. PHẠM THẾ QUÂN

HÀ NỘI - 2019

LỜI CẢM ƠN Sau một thời gian nghiên cứu và thực hiện em đã hoàn thành đề tài nghiên cứu của mình. Để có được kết quả này, em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện để em được học tập nghiên cứu trong thời gian vừa qua. Em cảm ơn các thầy cô giáo trong nhà trường đã truyền thụ vốn kiến thức để em có thể hoàn thành tốt đề tài của mình. Đặc biệt, em xin cảm ơn ThS. Phạm Thế Quân - người đã tận tình chỉ bảo và hướng dẫn em trong suốt quá trình thực hiện đề tài này.

Cuối cùng em xin cảm ơn những ý kiến đóng góp cũng như sự giúp đỡ nhiệt tình của quý thầy cô và các em học sinh lớp 11A2 trường THPT Đông Anh trong khoảng thời gian em tổ chức thực nghiệm tại trường.

Mặc dù đã cố gắng, song khóa luận không thể tránh khỏi thiếu sót, qua đó em rất mong nhận được sự lượng thứ cũng như những ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn.

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5, năm 2019 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Phƣơng

LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan đây là kết quả nghiên cứu của cá nhân em và được sự hướng dẫn của ThS. Phạm Thế Quân. Các nội dung, kết quả trong đề tài này là trung thực, chưa từng được công bố ở đâu và không trùng với công trình nghiên cứu của tác giả khác.

Ngoài ra, trong khóa luận còn sử dụng một số nhận xét, đánh giá của các tác giả khác đều có trích dẫn và chú thích nguồn gốc.

Hà Nội, tháng 5, năm 2019 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Phƣơng

DANH MỤC CỤM TỪ VIẾT TẮT STT

Viết tắt

Viết đầy đủ

1

CNH – HĐH

Công nghiệp hóa – Hiện đại hóa

2

KTM

Không thỏa mãn

3

GD – ĐT

Giáo dục – Đào tạo

4

PPDH

Phương pháp dạy học

5

TM

Thỏa mãn

6

THPT

Trung học phổ thông

7

SGK

Sách giáo khoa

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU................................................................................................... 1 CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN ............................................................... 3 1.1. Mục tiêu chung của dạy học môn toán................................................ 3 1.2. Năng lực tư duy Toán học ................................................................. 4 1.2.1. Năng lực ..................................................................................... 4 1.2.2. Tư duy ........................................................................................ 6 1.2.3. Năng lực tư duy toán học ............................................................. 9 1.3. Nội dung và mục tiêu dạy học phương trình lượng giác .....................13 1.3.1. Nội dung cơ bản chủ đề phương trình lượng giác lớp 11 ở trường THPT.........................................................................................13 1.3.2. Mục tiêu dạy học phương trình lượng giác ...................................15 1.3.3. Những thuận lợi và khó khăn khi dạy học chủ đề phương trình lượng giác lớp 11........................................................................16 TIỂU KẾT CHƢƠNG 1 ......................................................................... 17 CHƢƠNG 2. PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƢ DUY CHO HỌC SINH THPT TRONG DẠY HỌC PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC............. 18 2.1. Định hướng phát triển năng lực tư duy cho học sinh THPT trong dạy học môn toán .............................................................................18 2.2. Biện pháp phát triển năng lực tư duy cho học sinh THPT qua dạy học phương trình lượng giác lớp 11 .........................................................19 2.2.1. Cơ sở để đề xuất các biện pháp thực hiện.....................................19 2.2.2. Các biện pháp thực hiện ..............................................................19 2.3. Xây dựng hệ thống bài tập ................................................................36 2.3.1. Các dạng toán liên quan ..............................................................36 2.3.2. Các phương pháp giải cơ bản ......................................................55 TIỂU KẾT CHƢƠNG 2 ......................................................................... 65

CHƢƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ............................................ 66 3.1. Mục đích, yêu cầu thực nghiệm ........................................................66 3.2. Nội dung thực nghiệm ......................................................................66 3.3. Tổ chức thực nghiệm ........................................................................66 3.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm...........................................................67 TIỂU KẾT CHƢƠNG 3 ......................................................................... 69 KẾT LUẬN ............................................................................................. 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................................................... 71 PHỤ LỤC ............................................................................................... 73

MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Hiện nay, đất nước ta đang trong quá trình đổi mới nền kinh tế theo hướng CNH- HĐH và đặc biệt là xu thế hội nhập Quốc tế đã và đang đặt ra nhiều thách thức đối với nền GD- ĐT nước ta. Nhận thức được tầm quan trọng đó, những năm gần đây Đảng và Nhà nước đã xác định vấn đề nâng cao chất lượng giáo dục là một nhu cầu bức thiết của xã hội ngày nay. Đồng thời coi đó là yếu tố có tác động mạnh mẽ đến chất lượng nguồn nhân lực cho sự phát triển của đất nước.

Tuy nhiên trong rất nhiều các giải pháp nhằm nâng cao chất lượng giáo dục thì đổi mới phương pháp dạy học được coi là giải pháp vô cùng quan trọng đối với mọi cấp học. Hiện nay, đổi mới PPDH đang thực hiện bước chuyển từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực và đặc biệt quan tâm chú trọng tới phát triển năng lực tư duy của người học.

Trong chương trình toán THPT nói chung và với nội dung Đại số và Giải tích 11 nói riêng, việc đổi mới phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực tư duy đã phần nào thúc đẩy hiệu quả học tập cho học sinh. Tuy nhiên, học sinh vẫn còn gặp một số khó khăn ở một số nội dung trong đó có việc giải các phương trình lượng giác.

Phương trình lượng giác là phần kiến thức tương đối khó nhưng rất quan trọng đối với học sinh. Thực tế các dạng bài tập về phương trình lượng giác đa dạng và phong phú khiến cho học sinh gặp nhiều trở ngại khi tìm lời giải cho bài toán. Tuy nhiên, nếu học sinh phân loại được các dạng bài tập và phương pháp giải của chúng thì việc tìm ra lời giải cho bài toán trở lên đơn giản hơn. Từ đó kích thích sự hứng thú và phát triển tư duy của học sinh.

Với tất cả những lý do trên em đã thực hiện đề tài khóa luận “Phát triển năng lực tư duy cho học sinh THPT qua dạy học phương trình lượng giác”.

2. Mục đích nghiên cứu 1

Xây dựng hệ thống bài tập và đề xuất một số biện pháp dạy học nội dung phương trình lượng giác lớp 11 nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu cơ sở lý luận về năng lực tư duy của học sinh THPT. - Đề xuất hệ thống bài tập chủ đề phương trình lượng giác lớp 11 góp phần phát triển năng lực tư duy cho học sinh.

4. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Quá trình dạy học nội dung phương trình lượng giác lớp 11 ở trường THPT. - Phạm vi nghiên cứu: Nội dung phương trình lượng giác trong chương trình toán lớp 11.

5. Phƣơng pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về phát triển năng lực tư duy cho học sinh THPT, sách giáo khoa môn toán nội dung phương trình lượng giác lớp 11.

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thử nghiệm giảng dạy đối chiếu với mục tiêu đề ra nhằm đánh giá hiệu quả của đề tài.

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Phân tích, tổng hợp dựa trên kết quả thực nghiệm để đưa ra quy trình dạy học phù hợp.

6. Cấu trúc của khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, phụ lục và danh mục tài liệu tham khảo khóa luận gồm 3 chương.

Chương 1: Cơ sở lý luận về phát triển năng lực tư duy cho học sinh Chương 2: Phát triển năng lực tư duy cho học sinh THPT trong dạy học phương trình lượng giác Chương

3:

Thực

nghiệm

2

sư

phạm

CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1. Mục tiêu chung của dạy học môn toán Theo chương trình Giáo dục phổ thông hiện hành, chương trình môn toán giúp học sinh đạt được những mục tiêu cơ bản sau: - Trang bị tri thức, kĩ năng toán học và kĩ năng vận dụng toán học phổ thông, cơ bản và thiết thực.

- Phát triển năng lực trí tuệ, bồi dưỡng phẩm chất trí tuệ cho học sinh.

- Góp phần hình thành, phát triển, giáo dục tư tưởng phẩm chất và phong cách lao động khoa học.

- Tạo cơ sở để học sinh tiếp tục học tập hoặc đi vào cuộc sống lao động.

Theo chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán năm 2018 [1], chương trình môn toán giúp học sinh đạt được các mục tiêu: - Hình thành và phát triển năng lực Toán học bao gồm các thành tố cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập luận Toán học; năng lực mô hình hóa Toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện Toán học. Đồng thời góp phần hình thành và phát triển năng lực chung cốt lõi.

- Góp phần thực hiện các quy định về phẩm chất của Chương trình tổng thể theo các mức độ phù hợp với môn Toán ở từng cấp học.

- Có kiến thức, kỹ năng Toán học phổ thông, cơ bản, thiết yếu; phát triển khả năng giải quyết vấn đề có tính tích hợp liên môn giữa môn Toán và các môn học khác như Vật lý, Hóa học, Sinh học, Địa lý, Tin học, Công nghệ, Lịch sử, Nghệ thuật,…; tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, áp dụng Toán học vào thực tiễn.

- Có hiểu biết tương đối tổng quát về sự hữu ích của Toán học đối với từng ngành nghề liên quan để làm cơ sở định hướng nghề nghiệp, cũng như có đủ năng lực tối thiểu để tự tìm hiểu những vấn đề liên quan đến Toán học trong suốt cuộc đời.

Như vậy, ở cả hai chương trình môn Toán đều góp phần giúp học sinh đạt được 4 mục tiêu cơ bản. Tuy nhiên, theo chương trình Giáo dục phổ 3

thông môn toán mới mục tiêu hình thành và phát triển năng lực Toán học được quan tâm, chú trọng và đặt lên hàng đầu.

1.2. Năng lực tƣ duy Toán học 1.2.1. Năng lực Trong Nghị quyết Hội Nghị Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo đã nêu rõ: “Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học. Học đi đôi với hành, lý luận gắn với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục ngoài xã hội”; “Tiếp tục đổi mới phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại: khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích người học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực. Chuyển từ học chủ yếu trên lớp sang tổ chức hình thức học tập đa dạng, chú ý các hoạt động xã hội, ngoại khóa, nghiên cứu khoa học. Đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin và truyền thông trong dạy và học”.

Như vậy, dạy và học theo định hướng phát triển năng lực tư duy là một nhu cầu cấp thiết ở tất cả các môn học trong mọi cấp học. Cụ thể để hiểu rõ hơn về vấn đề này trước hết ta đi tìm hiểu các nội dung cơ bản về năng lực. a) Khái niệm năng lực Các nhà tâm lí học cho rằng, năng lực là sự kết hợp của các kiến thức, kĩ năng và thái độ có sẵn hoặc ở dạng tiềm năng của một cá nhân, là tổng hợp đặc điểm thuộc tính tâm lí của cá nhân phù hợp với yêu cầu đặc trưng của một hoạt động nhất định nhằm đảm bảo cho hoạt động đó có hiệu quả cao. Hiện nay, quan niệm chung về năng lực được nhiều người thừa nhận là: “Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong

4

những điều kiện cụ thể”. (Chương trình Giáo dục phổ thông tổng thể (tháng 7/2017)). Như vậy: - Năng lực là sự kết hợp giữa tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện của người học.

- Năng lực là sự tích hợp của kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,…

- Năng lực được hình thành, phát triển thông qua hoạt động và thể hiện ở sự thành công trong hoạt động thực tiễn.

Khái quát lại năng lực có thể hiểu là sự kết hợp của các kiến thức, kĩ năng, phẩm chất, thái độ và hành vi của một cá nhân để thực hiện một công việc có hiệu quả. Năng lực không chỉ bao hàm kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo, mà còn cả giá trị, động cơ, đạo đức và hành vi xã hội. b) Đặc điểm chung của năng lực - Đề cập tới xu thế đạt được một kết quả nào đó của một công việc cụ thể, do một con người cụ thể thực hiện (năng lực học tập, năng lực tư duy, năng lực tự quản lý bản thân, …). Như vậy, không tồn tại năng lực chung chung.

- Có sự tác động của một cá nhân cụ thể tới một đối tượng cụ thẻ (kiến thức, quan hệ xã hội, …) để có một sản phẩm nhất định; do đó có thể phân biệt người này với người khác.

- Năng lực là một yếu tố cấu thành trong một hoạt động cụ thể. Năng lực chỉ tồn tại trong quá trình vận động, phát triển của một hoạt động cụ thể.

Vì vậy, năng lực vừa là mục tiêu, vừa là kết quả hoạt động, là điều kiện của hoạt động, nhưng cũng phát triển trong chính hoạt động đó. Quá trình dạy học, giáo dục nhằm hình thành, rèn luyện, phát triển năng lực ở cá nhân tất yếu phải đưa cá nhân tham gia vào các hoạt động. c) Phân loại năng lực Năng lực được chia thành hai nhóm bao gồm năng lực chung và năng lực chuyên biệt: Năng lực chung: là những năng lực cơ bản, thiết yếu hoặc cốt lõi,…làm nền tảng cho mọi hoạt động của con người trong cuộc sống và lao động nghề 5

nghiệp như: năng lực nhận thức, năng lực trí tuệ, năng lực về ngôn ngữ và tính toán, năng lực giao tiếp, năng lực vận động,... Các năng lực này được hình thành và phát triển dựa trên bản năng di truyền của con người, quá trình giáo dục và trải nghiệm trong cuộc sống, đáp ứng yêu cầu của nhiều loại hình hoạt động khác nhau.

Năng lực chuyên biệt: Là những năng lực được hình thành và phát triển trên cơ sở các năng lực chung theo định hướng chuyên sâu, riêng biệt trong các loại hình hoạt động, công việc hoặc tình huống, môi trường đặc thù, cần thiết cho những hoạt động chuyên biệt đáp ứng yêu cầu hạn hẹp hơn của một hoạt động như Toán học, Âm nhạc, Mỹ thuật, Thể thao, Địa lý,...

Năng lực chung và năng lực chuyên biệt đều được hình thành và phát triển thông qua các môn học, hoạt động giáo dục; năng lực chuyên biệt vừa là mục tiêu, vừa là “đơn vị thao tác” trong các hoạt động dạy học, giáo dục góp phần hình thành và phát triển các năng lực chung.

1.2.2. Tư duy a) Khái niệm tư duy Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính qui luật của sự vật, hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết [12; tr106]. b) Đặc điểm của tư duy Thuộc mức độ nhận thức cao – nhận thức lý tính, tư duy có những đặc điểm mới về chất so với cảm giác, tri giác. Theo [12] tư duy có những đặc điểm cơ bản sau:  Tính có vấn đề của tư duy Không phải bất cứ hoàn cảnh nào tư duy cũng xuất hiện. Trên thực tế, tư duy chỉ xuất hiện khi gặp những hoàn cảnh, những tình huống “có vấn đề”.

Khi đó, muốn giải quyết vấn đề để đạt được mục đích con người phải tìm cách thức giải quyết vấn đề đó. Tức là con người phải tư duy.

Hoàn cảnh (tình huống) có vấn đề kích thích con người tư duy. Song vấn đề chỉ trở nên tình huống “có vấn đề” khi con người nhận thức được tình huống có vấn đề, nhận thức được mâu thuẫn chứa đựng trong vấn đề, chủ thể

6

phải có nhu cầu giải quyết và phải có những tri thức cần thiết có liên quan tới vấn đề. Chỉ có trên cơ sở đó tư duy mới xuất hiện.

Do vậy trong dạy học cũng như trong công tác giáo dục cần phải đưa học sinh vào “hoàn cảnh có vấn đề” và hướng dẫn các em tự giải quyết vấn đề.  Tính gián tiếp của tư duy Con người không nhận thức thế giới một cách trực tiếp mà có khả năng nhận thức nó một cách gián tiếp.

Tính gián tiếp của tư duy được thể hiện ở việc con người sử dụng ngôn ngữ để tư duy và trong quá trình tư duy con người sử dụng những công cụ, phương tiện để nhận thức đối tượng.

Nhờ có tính gián tiếp mà tư duy của con người đã mở rộng không giới hạn những khả năng nhận thức của con người, con người không chỉ phản ánh những gì diễn ra trong hiện tại mà còn phản ánh được cả quá khứ và tương lai.  Tính trừu tượng và khái quát của tư duy Khác với nhận thức cảm tính, tư duy không phản ánh sự vật, hiện tượng một cách cụ thể và riêng lẻ. Tư duy có khả năng trừu xuất khỏi sự vật, hiện tượng những thuộc tính, những dấu hiệu cá biệt, cụ thể chỉ giữ lại những thuộc tính bản chất chung cho nhiều sự vật và hiện tượng. Trên cơ sở đó mà khái quát những sự vật, hiện tượng riêng lẻ nhưng có những thuộc tính bản chất chung thành một nhóm, một loại, một phạm trù.

Nhờ có tính trừu tượng và khái quát của tư duy mà con người không chỉ giải quyết được những nhiệm vụ hiện tại, mà còn có thể giải quyết được những nhiệm vụ của tương lai.  Tư duy có quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ.

Sở dĩ tư duy mang tính “có vấn đề”, tính gián tiếp, tính trừu tượng và khái quát vì nó gắn chặt với ngôn ngữ. Tư duy và ngôn ngữ có mối quan hệ mật thiết với nhau. Nếu không có ngôn ngữ thì quá trình tư duy của con người không thể diễn ra đồng thời các sản phẩm của tư duy cũng không được chủ thể và người khác tiếp nhận.

7

Ngôn ngữ cố định lại các kết quả của tư duy, là vỏ vật chất của tư duy và là phương tiện biểu đạt kết quả tư duy. Tuy nhiên ngôn ngữ không phải là tư duy, ngôn ngữ chỉ là phương tiện của tư duy.  Tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính Tư duy thường bắt đầu từ nhận thức cảm tính, trên cơ sở nhận thức cảm tính mà nảy sinh “tình huống có vấn đề”. Nhận thức cảm tính là một khâu của mối liên hệ trực tiếp giữa tư duy với hiện thực, là cơ sở, chất liệu của những khái quát hiện thực theo một nhóm, lớp, phạm trù mang tính quy luật trong quá trình tư duy.

Ngược lại, tư duy và những kết quả của nó ảnh hưởng mạnh mẽ, chi phối khả năng phản ánh của nhận thức cảm tính: làm cho khả năng cảm giác của con người tinh vi, nhạy bén hơn; làm cho tri giác của con người mang tính lựa chọn, tính ý nghĩa.

Qua đó từ những đặc điểm trên của tư duy ta có thể rút ra những kết luận cần thiết trong công tác giảng dạy và giáo dục của người giáo viên như sau: - Phải coi trọng việc phát triển tư duy cho học sinh. Bởi lẽ, không có khả năng tư duy, học sinh không học tập và rèn luyện được.

- Muốn kích thích học sinh tư duy thì phải đưa các em vào những tình huống có vấn đề và tổ chức cho học sinh độc lập, sáng tạo giải quyết tình huống có vấn đề.

- Việc phát triển tư duy phải được tiến hành song song và thông qua truyền thụ tri thức.

- Việc phát triển tư duy phải gắn với việc trau dồi ngôn ngữ. Bởi lẽ, phải nắm vũng ngôn ngữ thì học sinh mới có phương tiện để tư duy. Đây là nhiệm vụ chung của các nhà giáo dục.

- Việc phát triển tư duy phải gắn liền với việc rèn luyện cảm giác, tri giác, năng lực quan sát và trí nhớ cho học sinh. Bởi lẽ, thiếu những tài liệu cảm tính thì tư duy không thể diễn ra được. c) Quá trình tư duy  Các giai đoạn của quá trình tư duy gồm: Giai đoạn 1: Xác định vấn đề và biểu đạt vấn đề.

8

Giai đoạn 2: Huy động các tri thức kinh nghiệm.

Giai đoạn 3: Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết.

Giai đoạn 4: Kiểm tra giả thuyết.

Giai đoạn 5: Giải quyết nhiệm vụ đặt ra.  Các hoạt động trí tuệ phổ biến: - Phân tích và tổng hợp.

- So sánh.

- Trừu tượng hóa và khái quát hóa.

1.2.3. Năng lực tư duy toán học Năng lực tư duy là tổng hợp những khả năng ghi nhớ, tái hiện, trừu tượng hóa, khái quát hóa, trừu tượng, suy luận - giải quyết vấn đề, xử lý và linh cảm trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng chúng vào thực tiễn [7].

Năng lực tư duy và lập luận toán học được thể hiện thông qua việc thực hiện các hành động: - So sánh; phân tích; tổng hợp; đặc biệt hóa, khái quát hóa; tương tự; quy nạp; diễn dịch: Thực hiện được tương đối thành thạo các thao tác tư duy, đặc biệt phát hiện được sự tương đồng và khác biệt trong những tình huống tương đối phức tạp và lí giải được kết quả của việc quan sát.

- Chỉ ra được chứng cứ, lí lẽ và biết lập luận hợp lí trước khi kết luận: Sử dụng được các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để nhìn ra những cách thức khác nhau trong việc giải quyết vấn đề.

- Giải thích hoặc điều chỉnh cách thức giải quyết vấn đề về phương diện toán học: Nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề. Giải thích, chứng minh, điều chỉnh được giải pháp thực hiện về phương diện toán học. a) Các thao tác tư duy toán học  Phân tích và tổng hợp.

Phân tích là thao tác tư duy nhằm tách đối tượng toán học thành những bộ phận, những dấu hiệu và thuộc tính, những liên hệ và quan hệ giữa chúng

9

theo một hướng nhất định, nhờ đó mà nhận thức đầy đủ, sâu sắc và trọn vẹn về đối tượng toán học ấy [3].

Tổng hợp là một thao tác tư duy trong đó chủ thể tư duy dùng trí óc hợp nhất những đối tượng của bộ phận toán học đã được phân tích thành một chỉnh thể nhằm nhận thức đối tượng toán học bao quát và đầy đủ hơn [3].  So sánh và tương tự.

So sánh là xem xét cái này với cái kia để thấy sự giống nhau, khác nhau hoặc sự hơn kém nhau. So sánh có hai mục đích: phát hiện những đặc điểm chung và những đặc điểm riêng khác nhau ở một số đối tượng, sự kiện. Mục đích thứ nhất thường dẫn đến tương tự và đi đôi với khái quát hóa [9].

Tương tự là một dạng so sánh mà từ hai đối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu, rút ra kết luận hai đối tượng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác.

Như vậy, tương tự là thao tác tư duy dựa trên sự giống nhau về tính chất và quan hệ của những đối tượng toán học khác nhau [9].  Khái quát hóa và đặc biệt hóa Theo Nguyễn Bá Kim “ Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp đối tượng lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát” [5, tr51]. Từ đó, khái quát hóa trong toán học có thể được hiểu là khái quát một hoặc nhiều yếu tố của định nghĩa, định lý,…thành một kết quả tổng quát. Đặc biệt hóa là quá trình ngược lại của quá trình khái quát hóa. Đặc biệt hóa là yêu cầu đi từ cái chung đến cái riêng và làm rõ mối quan hệ chung riêng giữa cái tổng quát và cái cụ thể từ đó tìm được nhiều trường hợp riêng lẻ từ một bài toán xuất phát [9].  Trừu tượng hóa Trừu tượng hóa là tách riêng trong tư duy một đăc tính, một quan hệ nào đó khỏi những đặc tính, quan hệ khác của sự vật để nhận thức một cách sâu sắc hơn. Về mặt Toán học, trừu tượng hóa là thao tác tách ra từ một đối tượng Toán học một tính chất (về quan hệ số lượng hoặc hình dạng hoặc logic của thế giới khách quan) để nghiên cứu tính chất đó. Trừu tượng hóa gắn liền với cụ thể hóa. Nó cũng có liên hệ mật thiết với khái quát hóa. Nhờ trừu

10

tượng hóa, ta có thể khái quát hóa rộng và sâu hơn. Trừu tượng hóa và khái quát hóa là nguồn gốc của sự hình thành các khái niệm toán học [9]. b) Các loại hình tư duy toán học Những loại hình tư duy thường gặp trong dạy học môn Toán bao gồm: tư duy logic, tư duy logic biện chứng, tư duy thuật toán, tư duy hàm, tư duy phê phán, tư duy sáng tạo.  Tư duy độc lập Trong quá trình học tập, học sinh có thể được rèn luyện tư duy độc lập khi được thực hiện các nhiệm vụ vừa sức với mình. Từ đó gây hứng thú học tập cho học sinh đồng thời tạo điều kiện cho học sinh nắm bắt vấn đề một cách tự nhiên theo đúng quy luật của quá trình nhận thức.

Tính độc lập của tư duy thể hiện ở khả năng tự mình phát hiện vấn đề, tự mình xác định phương hướng, tìm ra cách giải quyết, tự mình kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt được.  Tư duy logic Tư duy logic là tư duy về mối quan hệ nhân quả mang tính tất yếu, tính quy luật. Vì vậy các yếu tố, đối tượng trong tư duy logic bắt buộc phải có quan hệ với nhau, trong đó có yếu tố là nguyên nhân, là tiền đề, yếu tố còn lại là kết quả, là kết luận.

Tư duy logic bao gồm: logic hình thức, khái niệm, phán đoán, suy luận.  Tư duy logic biện chứng Tư duy logic biện chứng là loại hình tư duy găn liền với logic biện chứng. Toán học cũng là đối tượng của logic biện chứng. Trong Toán học cũng như trong dạy học môn toán thường gặp các cặp phạm trù: phân tích và tổng hợp, nội dung và hình thức, bản chất và hiện tượng, khả năng và hiện thực, vận động và đứng yên,…  Tư duy thuật toán Thuật toán là một quy tắc chính xác và đơn trị quy định một số hữu hạn những thao tác sơ cấp theo một trình tự xác định trên những đối tượng sao cho sau một số hữu hạn những thao tác đó ta thu được kết quả mong muốn.

Trong các hoạt động nói chung và học tập nói riêng đặc biệt là hoạt động dạy học toán, ta thường phải:

11

- Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định định phù hợp với một thuật toán.

- Phân tích một quá trình thành những thao tác được thực hiện theo một trình tự xác định.

- Khái quát hóa một quá trình diễn ra trên một số đối tượng riêng lẻ thành một quá trình diễn ra trên cùng một lớp đối tượng.

- Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động.

- Phát hiện thuật toán tối ưu để giải quyết một công việc. Đó chính là hoạt động tư duy của thuật toán. Hoạt động đầu tiên thể hiện khả năng thực hiện thuật toán, bốn hoạt động sau thể hiện năng lực xây dựng thuật toán.  Tư duy hàm Tư duy hàm là quá trình nhận thức liên quan đến sự tương ứng, những mối liên hệ phụ thuộc giữa các phần tử của một hay nhiều tập hợp trong sự vận động của chúng.  Tư duy phê phán Tư duy phê phán là quá trình vận dụng tích cực trí tuệ vào việc phân tích, tổng hợp, đánh giá sự việc, xu hướng, ý tưởng, giả thuyết từ sự quan sát, kinh nghiệm, chứng cứ, thông tin và lý lẽ nhằm mục đích xác định đúng – sai, tốt - xấu, hay – dở, hợp lý – không hợp lý, nên – không nên, và rút ra quyết định, cách ứng xử của mỗi cá nhân.

Trong dạy học môn Toán ở phổ thông, việc rèn luyện và phát triển tư duy phê phán cho học sinh có vai trò quan trọng. Tư duy phê phán là nền tảng để phát triển tư duy độc lập, là bước đi thiết yếu dẫn đến tư duy sáng tạo.  Tư duy sáng tạo Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao. Ý tưởng mới thể hiện ở chỗ phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Tính độc đáo của ý tưởng mới thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc duy nhất.

Tư duy sáng tạo có những tính chất sau: - Tính mềm dẻo: đặc trưng bởi khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác.

12

- Tính nhuần nhuyễn: thể hiện ở việc sử dụng nhiều lọai hình tư duy đa dạng trong phát hiện và giải quyết vấn đề.

- Tính độc đáo: đặc trưng bởi khả năng tìm kiếm mang tính phát triển, được ứng dụng rộng rãi.

- Tính thăng hoa: thể hiện ở sản phẩm tìm được mang tính phát triển được ứng dụng rộng rãi.

Như vậy, với tất cả các môn học trong chương trình phổ thông nói chung và bộ môn Toán nói riêng thì sáng tạo là một trong những loại hình tư duy quan trọng nhất, cần được rèn luyện cho học sinh.

1.3. Nội dung và mục tiêu dạy học phƣơng trình lƣợng giác 1.3.1. Nội dung cơ bản chủ đề phương trình lượng giác lớp 11 ở trường THPT Theo phân phối chương trình Đại số và Giải tích 11 ở THPT:  Chương trình cơ bản: Nội dung chương 1 “Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác” lớp 11 gồm 3 bài ( ), dự kiến được trình bày trong 20 tiết.  Chương trình nâng cao: Nội dung chương 1: “Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác” lớp 11 gồm 3 bài ( ), dự kiến được trình bày trong 20 tiết.

Ta có bảng phân phối chương trình chương “Hàm số lượng giác và Phương trình lượng giác” như sau:

13

Tên bài học

Số tiết

§1. Hàm số lượng giác

5 tiết

§2. Phương trình lượng giác cơ bản

6 tiết

§3. Một số phương trình lượng giác thường gặp

6 tiết

Ôn tập chương 1

2 tiết

Kiểm tra 45 phút chƣơng 1

1 tiết

Tổng số tiết

20 tiết

Bảng 1.1. Phân phối chương trình chương “Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác” lớp 11 cơ bản Tên bài học

Số tiết

§1. Các hàm số lượng giác

6 tiết

§2. Phương trình lượng giác cơ bản

5 tiết

§3. Một số phương trình lượng giác đơn giản

6 tiết

Câu hỏi và bài tập ôn tập chương 1

2 tiết

Kiểm tra 45 phút chƣơng 1

1 tiết

Tổng số tiết

20 tiết

Bảng 1.2. Phân phối chương trình chương “Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác” lớp 11 nâng cao Như vậy, trong chương trình nâng cao ngoài tập trung vào giải các phương trình lượng giác còn chú trọng nội dung các hàm số lượng giác. Bởi trong nội dung đó đề cập tới tính chất tuần hoàn liên quan đến phần dao động điều hòa trong vật lý 10 nâng cao.

14

1.3.2. Mục tiêu dạy học phương trình lượng giác Tên bài học

Mục tiêu Kiến thức: - Nhớ lại bảng giá trị lượng giác.

y  sin x, y  cos x, y  tan x, Hàm số và y  cot x, sự biến thiên, tính tuần hoàn và các tính chất của các hàm số này.

- Tìm hiểu tính chất tuần hoàn của các hàm số lượng giác.

- Đồ thị của các hàm số lượng giác. §1. Hàm số lượng giác

Kĩ năng: - Sau khi học xong bài này, học sinh phải diễn tả được tính tuần hoàn, chu kì tuần hoàn và sự biến thiên của các hàm số lượng giác.

- Biểu diễn được đồ thị của các hàm số lượng giác.

Kiến thức -

Biết

được

các

phương

trình

sin x  m, cos x  m, tan x  m, cot x  m.

như

- Điều kiện có nghiệm và công thức nghiệm của các phương trình lượng giác trên.

Kĩ năng: §2. Phương trình - Giải thành thạo phương trình lượng giác cơ bản. lượng giác cơ bản - Biết sử dụng máy tính để hỗ trợ tìm nghiệm phương trình lượng giác cơ bản.

Kiến thức: - Biết được dạng và cách giải phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác, phương trình bậc nhất đối vớisin x và cos x .

§3. Một số phương trình lượng giác - Biết đưa các phương trình phức tạp về các dạng đã 15

thường gặp

biết.

Kĩ năng: - Giải được phương trình thuộc các dạng nêu trên.

1.3.3. Những thuận lợi và khó khăn khi dạy học chủ đề phương trình lượng giác lớp 11 Trong tất cả các nội dung của bộ môn toán nói chung chương trình toán THPT nói riêng thì ở mỗi chương, mỗi bài đều có những thuận lợi cũng như khó khăn nhất định và nội dung phương trình lượng giác cũng không ngoại lệ.

Khi dạy học chủ đề phương trình lượng giác thường có thuận lợi và khó khăn như sau: a. Thuận lợi: - Hệ thống công thức cũng như phương pháp giải các phương trình lượng giác cơ bản và một số phương trình lượng giác thường gặp được trình bày chi tiết và rõ ràng trong SGK. - Nguồn tài liệu đa dạng, phong phú thuận tiện cho công tác giảng dạy. b. Khó khăn: Bên cạnh những thuận lợi thì khi dạy học nội dung phương trình lượng giác còn gặp một số khó khăn: - Công thức lượng giác khá nhiều khiến học sinh rất khó để nhớ hết và thường dễ nhầm lẫn.

- Bài tập về phương trình lượng giác đa dạng nhưng chủ yếu là bài tập với lời giải khô khan, phạm vi biến đổi và sử dụng công thức khá rộng học sinh khó định hướng cách giải.

- Thời lượng cho việc rèn luyện bài tập để nhớ công thức theo phân phối chương trình còn hạn chế.

Qua đó, từ những thuận lợi và khó khăn này chúng ta có thể đưa ra phương pháp dạy học hợp lí thông qua việc xây dựng hệ thống bài tập phù hợp nhằm phát triển năng lực tư duy của học sinh.

16

TIỂU KẾT CHƢƠNG 1 Chương 1 đã trình bày một số vấn đề về cơ sở lý luận của đề tài trong đó đặc biệt tập trung tới các vấn đề sau: - Các khái niệm năng lực, đưa ra định nghĩa năng lực một cách tổng quát, đặc điểm chung của năng lực và phân loại năng lực.

- Một số vấn đề của tư duy: khái niệm tư duy, đặc điểm của tư duy, quá trình tư duy và đưa ra khái niệm năng lực tư duy.

- Những nội dung cơ bản của năng lực tư duy Toán học: khái niệm, các thao tác tư duy Toán học và các loại hình tư duy Toán học.

- Nội dung cơ bản chủ đề phương trình lượng giác lớp 11 ở trường THPT. - Những thuận lợi và khó khăn khi dạy học chủ đề phương trình lượng giác lớp 11.

Với các lí luận trên là cơ sở để xây dựng hệ thống bài tập về phương trình lượng giác.

17

CHƢƠNG 2. PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƢ DUY CHO HỌC SINH THPT TRONG DẠY HỌC PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC 2.1. Định hƣớng phát triển năng lực tƣ duy cho học sinh THPT trong dạy học môn toán Việc định hướng và phát triển năng lực tư duy cho học sinh ở trường THPT là yếu tố cần thiết cho tất cả các môn học nói chung và đối với môn Toán nói riêng. Bởi lẽ, lượng kiến thức và bài tập trong bộ môn này khá đa dạng, phức tạp, đặc biệt trong nội dung phương trình lượng giác khiến học sinh gặp không ít khó khăn để tìm ra lời giải cho bài toán. Do đó, trong quá trình học tập nên chú trọng các biện pháp nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh.

Trên cơ sở tìm hiểu, nghiên cứu về các biện pháp phát triển năng lực tư duy cho học sinh THPT, cần có những kế hoạch, hoạt động cụ thể góp phần thúc đẩy khả năng tư duy của học sinh. Ngoài ra, các biện pháp này cần được thực hiện xuyên suốt quá trình tìm hiểu nội dung của bài học bắt đầu từ khâu dạy bài mới, luyện tập cho tới giao bài tập về nhà. Tất cả phải được thực hiện thường xuyên, liên tục để hình thành ý thức tự giác trong học tập.

Hoạt động dạy bài mới Học sinh cần được đặt vào các tình huống có vấn đề nhằm kích thích khả năng tìm tòi phát hiện và giải quyết vấn đề dưới sự hướng dẫn của thầy cô thông qua các câu hỏi gợi ý. Chú trọng rèn luyện một số thao tác hoạt động trí tuệ như: Phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hóa,…và các loại hình tư duy như: Tư duy phê phán, tư duy sáng tạo. Bên cạnh đó, quan tâm chú ý tới những học sinh trung bình, yếu để có các biện pháp phù hợp giúp các em hiểu bài.

Hoạt động giải bài tập

18

Hệ thống câu hỏi và bài tập cần được phân hóa từ thấp tới cao phù hợp với từng đối tượng học sinh. Khuyến khích học sinh đưa ra ý tưởng, phương hướng giải bài toán theo nhiều cách khác nhau hoặc xây dựng các bài toán mới nếu có thể, góp phần bồi dưỡng tư duy sáng tạo.

Bài tập về nhà Lượng bài tập về nhà đảm bảo yếu tố vừa sức, số lượng vừa đủ các nội dung cần thiết của bài học. Hướng dẫn học sinh tổng hợp lại những kiến thức đã học, đọc bài mới đối chiếu kiến thức đã học, đã biết tạo cơ sở để tìm hiểu bài mới.

2.2. Biện pháp phát triển năng lực tƣ duy cho học sinh THPT qua dạy học phƣơng trình lƣợng giác lớp 11 2.2.1. Cơ sở để đề xuất các biện pháp thực hiện Để đề xuất các biện pháp nhằm “ Phát triển năng lực tư duy cho học sinh THPT trong dạy học phương trình lượng giác” một cách có hiệu quả cần căn cứ vào một số cơ sở sau: - Mục đích dạy học phương trình lượng giác ở phổ thông.

- Đặc điểm và vai trò của phương trình lượng giác ở phổ thông.

- Một số biểu hiện năng lực tư duy của học sinh THPT trong quá trình học tập và giải bài tập Toán học.

- Mức độ yêu cầu của chương trình, SGK và trình độ học sinh.

2.2.2. Các biện pháp thực hiện Căn cứ vào những cơ sở nêu trên trong chương này đề xuất các biện pháp phát triển năng lực tư duy cho học sinh trong dạy học phương trình lượng giác theo 2 phương diện: Thứ nhất, rèn luyện một số thao tác hoạt động trí tuệ: Phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, tổng quát hóa,…Thứ hai, phát triển một số loại hình tư duy Toán học: Tư duy phê phán, tư duy sáng tạo. a) Rèn luyện một số hoạt động trí tuệ

19

Việc bồi dưỡng tư duy toán học cho học sinh cần được tiến hành trong mối liên hệ với các hoạt động trí tuệ như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa…, trong đó phân tích và tổng hợp có vai trò quan trọng. Rèn luyện những hoạt động đó cho học sinh là yếu tố cơ bản và nền tảng trong dạy học tư duy Toán học.  Phân tích Phân tích là quá trình dùng trí óc để phân tích đối tượng nhận thức thành những “bộ phận”, những thuộc tính, những mối liên hệ và quan hệ giữa chúng để nhận thức đối tượng sâu sắc hơn [10; tr116].

Trong quá trình giải toán phân tích luôn luôn là yếu tố quan trọng giúp học sinh nắm chắc kiến thức và vận dụng linh hoạt các kiến thức đó. Khi giải bài toán trước hết phải quan sát đề bài một cách tổng quát, phân tích cái đã cho và cái cần tìm từ đó có thể phân chia bài toán thành những bài toán nhỏ đã biết cách giải. Như vậy, về bản chất phân tích là nêu rõ giả thiết, kết luận của bài toán và tìm mối liên hệ giữa chúng.

Ví dụ 1: Giải các phương trình 1) 2  3tan x  sin 2 x  0 2) 2cos 2 x  2cos x  2  0 3) 2cos 2 x  1  cos3 x 4) 5cos x  2sin 2 x  0 Phân tích: 1) Khi gặp bài toán chứa tan và cot ta nhớ đặt điều kiện và xem xét mối liên hệ giữa các góc trong bài toán. Với bài này chứa tan x và sin 2x ta nghĩ ngay tới việc đặt t  tan x  sin 2 x  phương trình đa thức.

20

2t . Khi đó bài toán trở thành giải 1 t2

2) Ta thấy có cos 2x và cos x nên nghĩ ngay tới công thức nhân đôi

cos 2 x  2cos 2 x  1 và đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai theo

cos x để giải.

3) Khi gặp bài toán lượng giác việc đầu tiên ta đánh giá về hàm số lượng giác, các góc trong đó. Thử đưa về cùng hàm cùng góc nếu có thể. Với bài toán này phương trình chỉ chứa một hàm cos nên ta nghĩ đến việc đưa về cùng góc. Ta có: cos3x  4cos3 x  3cos x và cos2x  2cos2 x  1 . Khi đó ta được phương trình bậc ba theo cos.

4) Ta thấy có cos x và sin 2x nên dùng công thưc nhân đôi sin 2 x  2sin x cos x và đưa phương trình về dạng phương trình bậc nhất đối

với một hàm số lượng giác để giải bài toán.

Như vậy, để giải các bài tập về phương trình lượng giác thì việc phân tích bài toán là một khâu quan trọng giúp học sinh hình thành kỹ năng quan sát khi gặp một bài toán. Tuy nhiên, để quá trình phân tích được thuận tiện yêu cầu học sinh phải nắm vững các công thức lượng giác cơ bản.

Tổng hợp Tổng hợp là quá trình dùng trí óc để hợp nhất những “bộ phận”, những thuộc tính, những thành phần đã được phân tách nhờ phân tích thành một chỉnh thể [11; tr116].

Ví dụ 2: Giải các phương trình 1) 2  3tan x  sin 2 x  0 2) 2cos 2 x  2cos x  2  0 3) 2cos 2 x  1  cos3 x 4) 5cos x  2sin 2 x  0 Dựa trên cơ sở phân tích ví dụ ở trên học sinh tổng hợp lại các kết quả đã phân tích được vào trình bày lời giải chi tiết cho bài toán.

Giải 1) 2  3tan x  sin 2 x  0

21

Điều kiện: cos x  0  x 

 2

 k ; k  .

Đặt t  tan x . Phương trình trở thành: 2  3t 

t  1 2t 3 2   0  3 t  2 t  t  2  0  2 1 t2 3t  t  2  0

Với t  1 ta có: tan x  1  x  

 4

 k ; k  .

Phương trình 3t 2  t  2  0 vô nghiệm nên không tìm được giá trị của t.

Vậy nghiệm của phương trình là: x  

 4

 k ; k  .

2) 2cos 2 x  2cos x  2  0

 2(2cos 2 x  1)  2cos x  2  0  4cos2 x  2cos x  2  2  0 *

Đặt t  cos x;  1  t  1 . Khi đó phương trình * trở thành:  2 TM  t  2 2 4t  2t  2  2  0    1 2  KTM  t    2

Với t 

2   ta có: cos x  cos  x    k 2 , k  .

2 4 4

Vậy nghiệm của phương trình là x  

 4

 k 2 , k  .

3) 2cos 2x  1  cos3x  2  2cos 2 x  1  1  4cos3 x  3cos x

 4cos3 x  4cos2 x  3cos x  3  0 *

Đặt t  cos x;  1  t  1 . Khi đó phương trình * trở thành:

22

 t  1 TM   3 3 2 4t  4t  3t  3  0  t  TM   2  t   3 TM   2

Với t  1 ta có: cos x  1  x  k 2 ; k  .

Với t 

3 3   ta có: cos x   cos x  cos  x    k 2 ; k  .

2 2 6 6

Với t  

3 3 5 ta có: cos x    cos x  cos 2 2 6 x

5  k 2 ; k  Z .

6

Vậy nghiệm của phương trình là: x  k 2 ; x  

 6

 k 2 ; x  

5  k 2 ; k  .

6

4) 5cos x  2sin 2 x  0  5cos x  4sin x cos x  0 cos x  0  cos x(5  4sin x)  0   5  4sin x  0. cos x  0  x 

 2

 k , k  .

5  4sin x  0  4sin x  5  sin x 

5 5 (vì  1 nên phương trình vô 4 4

nghiệm).

Vậy nghiệm của phương trình là x 

 2

 k , k  .

Như vậy, phân tích và tổng hợp có mối quan hệ qua lại mật thiết với nhau, bổ sung cho nhau thành sự thống nhất không tách rời được, phân tích là cơ sở của tổng hợp (được tiến hành theo hướng tổng hợp), tổng hợp diễn ra trên cơ sở phân tích.

23

 Khái quát hóa Khái quát hóa là quá trình dùng trí óc để bao quát nhiều đối tượng khác nhau thành một nhóm, một loại theo những thuộc tính, những mối liên hệ, quan hệ chung nhất định. Những thuộc tính chung này bao gồm hai loại: những thuộc tính giống nhau và những thuộc tính chung bản chất [10; tr117 ].

Ví dụ 3: Giải phương trình: 1) sin x  sin 2 x  sin 3 x  sin 4 x  sin 5 x  sin 6 x  0 2) sin 2 x  sin 2 2 x  sin 2 3x 

3 2

Phân tích 1) Trong trường hợp này ta thấy x  6 x  2 x  5x  3x  4 x . Khi đó ta có thể nhóm các số hạng lại thành cặp và đưa bài toán về dạng tích.

2) Trong trường hợp này từ sự xuất hiện bậc chẵn của hàm số sin và tổng hai cung

6x  2x  4 x mà ta nghĩ đến việc hạ bậc và sử dụng công thức 2

biến tổng sang tích sau đó nhóm các hạng tử để đưa về phương trình tích.

Giải 1) sin x  sin 2 x  sin 3 x  sin 4 x  sin 5 x  sin 6 x  0   sin 6 x  sin x    sin5 x  sin 2 x   sin 4 x  sin3x   0 7x  5x 3x x  cos  cos  cos   0 2  2 2 2 7x 3x  4sin cos  2cos x  1  0 2 2  2sin

2   7x x  k sin  0   7 2   3x  2  cos  0   x   k ; k .   2 3 3  2cos x  1  0   x   2  k 2   3 

Vậy nghiệm của phương trình là: 24

xk

2  2 2 ; x k ; x  k 2 ; k  .

7 3 3 3

2) sin 2 x  sin 2 2 x  sin 2 3x  

3 2

1  cos 2 x 1  cos 4 x 1  cos6 x 3    2 2 2 2

 cos 2 x  cos 4 x  cos6 x  0  cos 4 x  2cos 2 x  1  0

   x   k cos 4 x  0  8 4   ; k .  1 cos 2 x     x    k  2  3 Vậy phương trình có nghiệm x 

 8

k

 4

; x

 3

 k ; k  .

Nhận xét: Từ ví dụ trên học sinh có thể vận dụng đưa ra bài toán khái quát và cách giải tương tự cho bài toán sau: Ví dụ 4: Giải phương trình: 1) sin 2 nx  sin 2  n  1 x  sin 2  n  2  x 

3 2

2) sin x  sin 2 x  sin3x  ...  sin  n  1 x  sin nx  0 b) Yêu cầu học sinh tìm và sửa chữa sai lầm trong lời giải Yêu cầu học sinh tìm và sửa chữa sai lầm trong lời giải là một trong những biện pháp cơ bản góp phần phát triển tư duy phê phán cho học sinh. Đó là một trong những kĩ năng quan trọng và cần thiết trong tất cả các môn học và đặc biệt đối với môn Toán. Để rèn luyện tư duy phê phán cho học sinh THPT thông qua dạy học giải bài tập phương trình lượng giác lớp 11 giáo viên thường tổ chức cho học sinh nhận xét kết quả hoặc xây dựng những bài toán yêu cầu tìm lỗi sai và sửa.

25

Ví dụ 5: Tìm lỗi sai và sửa lại cho đúng trong các phương trình sau: 1) 4sin 3 x cos3x  4cos3 x sin 3x  3 3 cos 4 x  3

 4.

1 1  3sin x  sin3x  cos3x  4.  cos3x  3cos x  sin3x  3 3 cos4 x  3 4 4

 sin x cos3x  sin 3x cos x  3 cos 4 x  1  sin 4 x  3 cos 4 x  1

Chia hai vế của phương trình cho 2, ta có:

1 3 sin 4 x  cos 4 x  1 2 2  sin 4 x cos

 3

 sin

 3

cos 4 x  1

   5   sin  4 x    1  4 x    k 2  x   k 2 ; k  .

3 3 2 24   Vậy nghiệm của phương trình là: x  2)

1 1 2   cos x sin 2 x sin 4 x



1 2 1   cos x 2sin 2 x cos 2 x sin 2 x



1 1  cos 2 x  cos x sin 2 x cos 2 x

5  k ; k .

24 2

1 2sin 2 x   cos x 2sin x cos x cos 2 x 

1 sin x  cos x cos x cos 2 x

 sin x  cos 2 x  sin x  1  sin 2 x 1  sin x   2sin x  sin x  1  0   2  sin x  1 2

26

  x   k 2  1  6 sin x   sin   ; k .

5  2 6 x   k 2  6 sin x  1  x  

 2

 k ; k  .

Vậy nghiệm của phương trình là: x

 2

 k ; x 

 6

 k 2 ; x 

5  k 2 ; k  .

6

3) sin 2 x  sin 2 3x  2sin 2 2 x



1  cos 2 x 1  cos6 x   1  cos 4 x 2 2

 cos 2 x  cos6 x  2cos 4 x  2cos 4 x cos 2 x  2cos 4 x  0

 2cos4 x  cos2 x  1  0

  4 x   k cos 4 x  0    ; k 2  cos 2 x   1   2 x    k 2    x   k  8 4  ; k .   x   k  2 Vậy nghiệm của phương trình là: x

4)

 8

k

 4

; x

3 tan x  6cot x  2 3  3  0

 3 tan x 

6  2 3 30 tan x

27

 2

 k ; k  .

 tan x  3  3 tan 2 x  2 3  3 tan x  6  0    tan x  2







Với tan x  3 tan

3

x

 3

 k; k  .

Với tan x  2  x  arctan 2  k ; k .

Vậy nghiệm của phương trình là: x

 3

 k ; x  arctan  2   k; k 

Lỗi sai 1) + Khi chia hai vế của phương trình cho 2, không chia vế phải cho 2. + Sai công thức nghiệm: sin 4 x cos

 3

 sin



  cos 4 x  sin  4 x   3 3 

2) + Giải phương trình không đặt điều kiện cho mẫu khác 0. + Sai công thức nghiệm: sin x  1  x   3) Sai công thức lượng giác : sin 2 a 

 2

 k ; k  .

1  cos 2a 2

4) Không đặt điều kiện khi phương trình có chứa tan và cot.

Lời giải đúng 1) 4sin 3 x cos3x  4cos3 x sin 3x  3 3 cos 4 x  3

 4.

1 1  3sin x  sin3x  cos3x  4.  cos3x  3cos x  sin3x  3 3 cos4 x  3 4 4

 sin x cos3x  sin x cos x  3 cos 4 x  1  sin 4 x  3 cos 4 x  1

Chia hai vế của phương trình cho 2, ta có:

1 3 1 sin 4 x  cos 4 x  2 2 2  sin 4 x cos

 3

 sin

 3

cos 4 x 

1 2

28

 1      sin  4 x     sin  4 x    sin 3 2 3 6        4 x    k 2  x    k 2   3 6 24   ; k     4 x      k 2  x   k 2   8 3 6 Vậy nghiệm của phương trình là:

x 2)

 24

k

 2

; x

 8

k

1 1 2   cos x sin 2 x sin 4 x

  x   k  cos x  0 2   ; k Điều kiện: sin 2 x  0   x  k sin 4 x  0    x   k 4  

1 2 1   cos x 2sin 2 x cos 2 x sin 2 x



1 1  cos 2 x  cos x sin 2 x cos 2 x



1 2sin 2 x  cos x 2sin x cos x cos 2 x



1 sin x  cos x cos x cos 2 x

 sin x  cos 2 x  sin x  1  2sin 2 x  2sin 2 x  sin x  1  0

29

 2

;k  .

.

   x   2  k 2 sin x  1     1   x   k 2 ; k  . sin x  6  2  5 x   k 2  6 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình là: x

 2

 k 2 ; x 

 6

 k 2 ; x 

5  k 2 ; k  .

6

3) sin 2 x  sin 2 3x  2sin 2 2 x



1  cos 2 x 1  cos6 x   1  cos 4 x 2 2

 cos 2 x  cos 6 x  2cos 4 x  2cos 4 x cos 2 x  2cos 4 x  0

 2cos4 x  cos2 x  1  0

  4 x   k cos 4 x  0   ; k 2  cos 2 x  1  2 x  k 2    x   k  8 4; k .   x  k Vậy nghiệm của phương trình là: x

4)

 8

k

 4

; x  k ; k  .

3 tan x  6cot x  2 3  3  0 *

 x  k sin x  0  ; k .  Điều kiện: cos x  0   x   k    2

30

 * 

3 tan x 

6 2 3 30 tan x

 tan x  3  3 tan 2 x  2 3  3 tan x  6  0    tan x  2







Với tan x  3 tan

3

x

 3

 k; k  .

Với tan x  2  x  arctan 2  k ; k .

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình là: x

 3

 k ; x  arctan  2   k; k 

Nhận xét: Thông qua ví dụ trên ta thấy được một số lỗi học sinh thường mắc phải là: Không đặt điều kiện, sử dụng sai công thức lượng giác, sai công thức nghiệm của các phương trình lương giác cơ bản. Như vậy việc rèn luyện tư duy phê phán góp phần giúp học sinh tự nhận thấy được sai lầm thường có của mình. Từ đó, học sinh có thể tự rút kinh nghiệm cho bản thân. c) Biến đổi đề bài và cho học sinh làm quen với nhiều dạng toán khác nhau Biện pháp biến đổi đề bài và cho học sinh làm quen với nhiều dạng toán khác nhau mục đích rèn luyện tính mềm dẻo cho học sinh. Để rèn luyện tính mềm dẻo giáo viên cần hướng dẫn học sinh hướng tư duy cho bài toán mới đảm bảo không dập khuôn, máy móc và phụ thuộc vào những kiến thức đã có một cách thụ động.

Khi giải phương trình lượng giác có thể có nhiều dạng đề bài khác nhau nhưng thực chất tất cả đều qui về biến đổi các công thức lượng giác để đưa về bốn dạng phương trình lượng giác cơ bản.

Ví dụ 6: 1) Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số tương ứng bằng nhau?

31

  y  sin 3x và y  sin  x   4  sin 3 x  cos3 x 2) Cho phương trình  cos 2 x . Chứng minh rằng 2cos x  sin x x

 2

 k nghiệm đúng phương trình.

3) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số: a) y 

cos x  2sin x 2  sin x

b) y 

2cos x  sin x  1 2  cos x  sin x

Nhận xét: Với ví dụ (1) và (2) thay vì yêu cầu giải phương trình lượng giác ở dạng cho sẵn phương trình thì đề bài có chút biến đổi trong cách đặt câu hỏi. Để làm ví dụ 3 học sinh vận dụng điều kiện có nghiệm của phương trình A sin x  B cos x  C là: A2  B 2  C 2 . Ta có thể tìm được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số có dạng: y

a sin x  b cos x  c a 'sin x  b 'cos x  c '

a sin 2 x  b sin x cos x  c cos 2 x  d y a 'sin 2 x  b 'sin x cos x  c 'cos 2 x  d '

Như vậy, với cách biến đổi các dạng bài khác nhau học sinh không bị dập khuôn máy móc trong một dạng đề bài quen thuộc. d) Khuyến khích học sinh tìm nhiều lời giải cho bài toán Khuyến khích học sinh tìm nhiều lời giải cho bài toán là một trong những biện pháp góp phần phát triển và rèn luyện tính nhuần nhuyễn của tư duy sáng tạo.

32

Tính nhuần nhuyễn được thể hiện ở tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán, khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Đứng trước một bài toán, học sinh có tư duy nhuần nhuyễn sẽ nhanh chóng tìm và đề xuất được nhiều cách giải khác nhau và từ đó tìm được lời giải phù hợp nhất.

Ví dụ 7: Giải phương trình:

1) cot x  2tan 2 x  tan x 2) sin x  cos x  0 Phân tích 1) Phương trình (1) là một phương trình lượng giác cơ bản, không quá phức tạp đối với học sinh. Để giải phương trình này thông thường học sinh sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ: Đặt t  tan x suy ra cot x 

1 2t và tan 2 x  1 t2 t

Đưa bài toán về dạng giải phương trình đa thức.

Giải Điều kiện: sin x  0 sin 2 x  0    sin 4 x  0  x  k ; k  . cos x  0   4 cos 2 x  0 cos 2 x  0 

Cách 1: Sử dụng phƣơng pháp đặt ẩn phụ Đặt t  tan x , suy ra cot x 

1 2t và tan 2 x  1 t2 t

Khi đó, phương trình có dạng: 1 4t t  1  t 2  t 2 1  t 2   4t 2 2 t 1 t

t 2  1  2t  t  6t  1  0   t  1  4t   2 t  2t  1  0 4

2

2

2

2

33

 tan x  1  2  tan 1  x  1  k   x    k t  1  2  tan x  1  2  tan  2 2    ; k .  x    k  3 t  1  2  tan x  1  2  tan  3    x   4  k  tan x  1  2  tan  4

Vậy phương trình có 4 họ nghiệm.

Nhận xét: Trong ví dụ này ngoài phương pháp đặt ẩn phụ học sinh có thể sử dụng phương pháp luận hệ số để phân tích bằng cách tách 2 tan 2x đưa phương trình về dạng cot x  tan 2 x  tan x tan 2 x và biến đổi phương trình về dạng phương trình lượng giác cơ bản.

Cách 2: Sử dụng phƣơng pháp luận hệ số để phân tích.

Biến đổi phương trình về dạng: cot x  tan 2 x  tan x  tan 2 x 

cos x sin 2 x sin 3x   sin x cos 2 x cos x.cos 2 x

  cos2 x.cos x  sin 2 x.sin x .cos x  sin3x.sin x

 cos3x.cos x  sin 3x.sin x  0  cos 4 x  0  4x 

    k  x   k ; k  .

2 8 4

Vậy nghiệm của phương trình là: x 

 8

k

 4

; k .

2) Tương tự, ta có thể giải phương trình (2) theo những cách sau: Cách 1:

  sin x  cos x  0  2 cos  x    0 4 

     cos  x    0  x    k ; k  .

4 4 2  x

3  k ; k  .

4

Vậy nghiệm của phương trình là: x 

34

3  k ; k  .

4

Cách 2: sin x  cos x  0  cos x   sin x

 cos x  sin   x     cos x  cos  x  2     x     x   k 2 ; k  2 

x

 4

 k ; k  .

Vậy nghiệm của phương trình x  

 4

 k ; k  .

Cách 3: sin x  cos x  0  sin x   cos x



sin x  1 cos x

 tan x  1  x  

  k ; k  .

4

Nhận xét: Cách 1 cho ta họ nghiệm x 

3  k ; k  .

4

Cách 2; 3 cho ta họ nghiệm x  

 4

 k ; k  .

Hai kết quả này về mặt hình thức khác nhau, nhưng thực chất thì hai tập nghiệm này bằng nhau.

Như vậy, khi giải phương trình lượng giác học sinh có thể linh hoạt vận dụng nhiều cách giải khác nhau. Trong ví dụ trên quan sát thấy giải theo cách 2 sẽ rút ngắn được thời gian hơn cho học sinh trong việc đưa ra kết quả của bài toán. Qua đó việc rèn luyện tính nhuần nhuyễn cho học sinh khi giải phương trình lượng giác là cần thiết và phù hợp với thực tế dạy và học.

35

2.3. Xây dựng hệ thống bài tập Việc xây dựng hệ thống bài tập là một khâu quan trọng trong việc hình thành và phát triển năng lực tư duy của học sinh. Trên cơ sở phạm vi kiến thức và mục tiêu dạy học nội dung “ Phương trình lượng giác” hệ thống bài tập được phân chia từ cơ bản đến phức tạp theo hai hình thức: Các dạng toán liên quan và phương pháp giải cơ bản. Từ đó học sinh có thể dễ dàng nhận biết cũng như phát huy năng lực tư duy của mình.

2.3.1. Các dạng toán liên quan a) Phương trình lượng giác cơ bản Việc nắm vững các công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản là vô cùng quan trọng, vì để giải quyết bất kì một phương trình lượng giác nào ta đều phải qui về phương trình lượng giác cơ bản.

Phương trình sin x  a  Nếu a  1 thì phương trình vô nghiệm.  Nếu a  1 gọi  là một cung thỏa mãn sin   a . Khi đó phương trình sin x  a có các nghiệm là x    k 2 ,

k

và x      k 2 , k  Nếu  thỏa mãn điều kiện





và sin   a thì ta viết 2 2   arcsin a . Khi đó các nghiệm của phương trình sin x  a là: 

 

x  arcsin a k 2 ,

k

và x    arcsin a  k 2 , k  Phương trình sin x  sin  o có các nghiệm là: x   o  k 360o ,

k

và x  180o   o  k 360o , k  Các trường hợp đặc biệt: 36

 a  1 : Phương trình sin x  1 có các nghiệm là  x   k 2 , k  .

2  a  1 : Phương trình sin x  1 có các nghiệm là  x    k 2 , k  .

2  a  0 : Phương trình sin x  0 có các nghiệm là x  k , k  .

37

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

     1) sin  2 x    sin  x   12  4   2) sin x 

1 2

  3) 2sin  x    1  0 4  Phân tích: Trong ví dụ này phương trình (1) đã được viết ở dạng sin x  sin  khi đó học sinh dễ dàng áp dụng công thức tìm được nghiệm của phương trình. Tương tự phương trình (1) để giải phương trình (2) và (3) bước

đầu tiên học sinh cần biến đổi đưa phương trình về dạng sin x  sin  sau đó áp dụng công thức tìm nghiệm của phương trình.

Giải

   2 x   x   k 2       12 4 1) sin  2 x    sin  x     12  4    2 x      x    k 2  12 4   x   k 2  6  ; k .  x  2  k 2  9 3 Vậy phương trình có các nghiệm là x

 6

 k 2 và x 

2 2 k ; k .

9 3

1  1   sin nên sin x   sin x  sin 2 6 2 6 Vậy phương trình có các nghiệm là

2) Vì

x

 6

 k 2 và x   

  3) 2sin  x    1  0 4  38

 6

 k 2 

5  k 2 , k  6

 1   sin  x     4 2       sin  x    sin    4   6  5    x     k 2  x    k 2   4 6 12   ; k .     x      k 2  x    k 2  4 6  12 Vậy phương trình có các nghiệm là x

 5  k 2 ; x    k 2 ; k  .

12 12

Bài tập đề nghị 1 Giải các phương trình sau:

  1) 2sin  x    3  0 4  2) sin x 

1 5

0 3) sin  x  45   

2 2

4) sin 2 x  1 Phương trình cos x  a  Nếu a  1 thì phương trình vô nghiệm.  Nếu a  1 gọi  là một cung thỏa mãn cos  a . Khi đó phương trình cos x  a có các nghiệm là x    k 2 ,

k

0     và cos  a thì ta viết Nếu  thỏa mãn điều kiện   arcsin a . Khi đó các nghiệm của phương trình sin x  a là: x   arccos a k 2 ,

k

Phương trình cos x  cos  o có các nghiệm là: x    o  k 360o , 39

k

Các trường hợp đặc biệt:  a  1 : Phương trình cos x  1 có các nghiệm là: x  k 2 , k  .

 a  1 : Phương trình cos x  1 có các nghiệm là: x    k 2 , k  .

 a  0 : Phương trình cos x  0 có các nghiệm là:  x   k , k  .

2 Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

    1) cos  4 x    cos  x   6 3   2) cos x 

1 3

3) 2cos 2 x  3  0 Phân tích: Trong ví dụ này phương trình (1) đã được viết ở dạng

cos x  cos khi đó học sinh dễ dàng áp dụng công thức tìm được nghiệm của phương trình. Tương tự phương trình (1) để giải phương trình (2) và (3) bước đầu tiên học sinh cần biến đổi đưa phương trình về dạng cos x  cos  sau đó áp dụng công thức tìm nghiệm của phương trình.

Giải

   4 x   x   k 2      6 3 1) cos  4 x    cos  x     6 3    4 x     x    k 2  6 3  2  x   k  6 3  ; k .  x     k 2  30 5 Vậy các nghiệm của phương trình là x

 6

k

2  2 và x    k ; k .

3 30 5 40

1 1 2) cos x   x   arccos  k 2 , k  .

3 3 Vậy các nghiệm của phương trình là: 1 x   arccos  k 2 , k  .

3

3 2

3) 2cos 2 x  3  0  cos 2 x  

 cos 2x  cos  2x  

5 6

5 5  k 2  x    k ; k  .

6 12

Vậy các nghiệm của phương trình là x  

5  k ; k  .

12

Bài tập đề nghị 2 Giải các phương trình sau:

 2  1) cos  3x     6 2  2 2) cos  x  2   5





1 2 4) 1  2cos x  3  cos x   0 3) cos 2 x  500 

Phương trình tan x  a Điều kiện của phương trình x 

 2

Nếu  thỏa mãn điều kiện 

 k , k 

 2

 



và tan   a thì ta viết

2

  arctan a .

Khi đó các nghiệm của phương trình là x   arctan a k 2 ,

k

Phương trình tan x  tan  o có các nghiệm là:

41

x   o  k180o ,

k

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau: 1) tan x  tan

 5

1 3 Phân tích: Trong ví dụ này phương trình (1) đã được viết ở dạng

2) tan 2 x  

tan x  tan  khi đó học sinh dễ dàng áp dụng công thức tìm được nghiệm của

phương trình. Tương tự phương trình (1) để giải phương trình (2) bước đầu tiên học sinh cần biến đổi đưa phương trình về dạng tan x  tan  sau đó áp dụng công thức tìm nghiệm của phương trình.

Giải Ta có: 1) tan x  tan

 5

x

 5

 k , k  .

Vậy nghiệm của phương trình là: x 

 5

 k , k  .

1  1 2) tan 2 x    2 x  arctan     k 3  3 1   1  x  arctan     k , k  .

2 2  3 Vậy nghiệm của phương trình là 1   1 x  arctan     k , k  .

2 2  3

Bài tập đề nghị 3 Giải các phương trình sau: 1) tan 2 x  tan

2 7

2) tan  3x  300   

3 3

42

3) tan 3 x tan x  1   4) tan   x   tan 2 x 4  Phương trình cot x a

Điều kiện của phương trình x  k , k  Nếu  thỏa mãn điều kiện 0     và cot   a thì ta viết:   arc cot a .

Khi đó nghiệm của phương trình là: x  arctan a  k ; k  .

Phương trình cot x  cot  o có các nghiệm là: x   0  k1800 ; k  .

Ví dụ 4: Giải các phương trình sau:

1) cot 4 x  cot

2 7

2) cot 3 x  2 Phân tích:Trong ví dụ này phương trình (1) đã được viết ở dạng cot x  cot  khi đó học sinh dễ dàng áp dụng công thức tìm được nghiệm của

phương trình. Tương tự phương trình (1) để giải phương trình (2) bước đầu tiên học sinh cần biến đổi đưa phương trình về dạng cot x  cot  sau đó áp dụng công thức tìm nghiệm của phương trình.

Giải 2 2  4x   k 7 7    x   k , k .

14 4 Vậy nghiệm của phương trình là

1) cot 4 x  cot

x

 14

k

 4

, k .

2) cot 3x  2  3x  arctan  2   k 1   x  arc cot   2  k , k  .

3 3

43

Vậy nghiệm của phương trình là 1  x  arc cot  2   k , k  .

3 3

Bài tập đề nghị 4 Giải các phương trình sau:

  1) cot  4 x    3 6  2) cot  2 x  100  

1 3

x  x   3)  cot  1 cot  1  0 3  2    1 4) cot 2 x  cot     3 Chú ý: Việc nắm vững các công thức nghiệm của phương trình lượng

giác cơ bản là vô cùng quan trọng, vì để giải quyết bất kỳ một phương trình lượng giác nào ta đều quy về các phương trình lượng giác cơ bản. b) Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng at+b=0, trong đó a, b là các hằng số  a  0 ; t làm một trong các hàm số lượng giác, là những phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

Cách

giải:

Chuyển vế rồi chia 2 vế của phương trình

at  b  0 (a  0) cho a ta đưa phương trình về phương trình lượng giác cơ bản.

Ví dụ 5: Giải các phương trình sau: 1)

3 tan 2 x  3  0

2) cos( x  30o )  2cos2 15o  1 Phân tích:

44

1) Phương trình (1) là phương trình bậc nhất đối với tan2 x . Để giải

3 sau đó đưa phương 3

phương trình này ta chia 2 vế của phương trình cho trình về dạng phương trình lượng giác cơ bản.

2) Phương trình (2) là phương trình bậc nhất đối với cos  x 30 0  và hệ số a  1 . Để giải phương trình ta chuyển 2cos2 150 sang vế phải ta được:

1  2cos 2 15o   cos30o  cos150o Dễ dàng đưa bài toán về dạng phương trình lượng giác cơ bản.

Giải 1) 3 tan 2 x 3 0 3  tan 2 x   3 3

 tan 2 x  

    tan 2 x  tan     2 x    k 3  3  x

Vậy nghiệm của phương trình là x  

 6

k

 2

 6

k

 2

, k .

, k .

2) cos( x  30o )  2cos2 15o  1 Ta có 1  2cos 2 15o   cos30o  cos150o . Khi đó cos( x  30o )  2cos2 15o  1  cos( x  30o )  1  2cos2 15o  x  30o  150o  k 360o  cos( x  30 )  cos150   o o o  x  30  150  k 360  x  120o  k 360o  , k . o o x   180  k 360  o

o

45

Vậy

các

x  180o  k 360o

nghiệm

của

phương trình là

x  120o  k 360o

và

(riêng họ nghiệm thứ hai cũng có thể viết là

x  180o  k 360o ).

Nhận xét: Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là một dạng toán cơ bản, không quá phức tạp nhưng là cơ sở để giải các phương trình ở các dạng phức tạp hơn. Để giải các phương trình dạng này, học sinh bắt buộc phải nắm được các công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản.

Bài tập đề nghị 5 Giải các phương trình sau: 1) 2sin x  3  0 2)

3 tan x  1  0

3) 3cos x  5  0 4)

3 cot x  3  0

c) Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng at 2  bt  c  0 , trong đó a, b, c là các hằng số  a  0 và t làm một trong các hàm số lượng giác.

Cách giải: Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ ( nếu có) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này. Cuối cùng, ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản.

Ví dụ 6: Giải các phương trình sau: 1) 2sin 2 x  5sin x  3  0 2) 2cos 2 2 x  3sin 2 x  2 Phân tích:

46

1) Phương trình (1) là phương trình bậc hai đối với sin x . Để giải phương trình chỉ cần đặt sin x  t ( với t  1 ) khi đó dễ dàng tìm được nghiệm của phương trình.

2) Phương trình (2) có xuất hiện sin 2 x và cos 2 2x làm cho phương trình chưa ở dạng tổng quát chính vì vậy bước đầu tiên học sinh cần đưa phương trình về dạng tổng quát bằng cách hạ bậc sin2 x 

1  cos 2x . Khi đó 2

phương trình (2) đưa về phương trình bậc hai theo cos 2x .

Giải 1) 2sin 2 x  5sin x  3  0 Đặt sin x  t ( với t  1 ) ta được phương trình t1  3, ( KTM ) 2t  5t  3  0   t2  1 , (TM )  2 2

Với t 

1 1 ta có sin x  2 2

  x   k 2   6  sin x  sin   , k .

6  x  5  k 2  6 Vậy nghiệm của phương trình là x 

 6

 k 2 và x 

2) 2cos2 2 x  3sin 2 x  2  2cos 2 2 x  3.

1  cos 2 x 2 2

 4cos2 2 x  3cos 2 x  1  0 Đặt t  cos2 x, ( t 1). Khi đó ta được phương trình: t  1 (TM ) 4t  3t  1  0   1 t   (TM )  4 2

47

5  k 2 , k  .

6

Với t  1 ta có cos2x  1  2x  k 2  x  k , k  .

Với t  

1 1  1 ta có cos 2 x    2 x   arccos     k 2 4 4  4 1  1  x   arccos     k , k  .

2  4

Vậy các nghiệm của phương trình là: x  k 2 , k 

1  1 và x   arccos     k , k  .

2  4

Nhận xét: Khi giải các dạng phương trình này học sinh thường mắc một số lỗi: - Nhầm công thức hạ bậc sin 2 x 

1  cos 2 x 1  cos 2 x ; cos 2 x  2 2

- Khi đặt ẩn phụ thường bỏ qua điều kiện dẫn đến thừa hoặc thiếu nghiệm của phương trình.

Bài tập đề nghị 6 Giải các phương trình sau: 1) 3cos 2 x  5cos x  2  0 2) 3cot 2 x  5cot x  7  0

1 3) sin 4 x  cos 4 x  sin 2 x 2 4) 2  cos 2 x  sin 4 x d) Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x Định nghĩa: Phương trình dạng a sin x  b cos x  c trong đó, a, b,c là các hằng số và a 2  b2  0 được gọi là phương trình bậc nhất đối với sin x và

cos x .

Cách giải: Xét phương trình: a sin x  b cos x  c  a; b; c  ; a 2  b 2  0 

48

(1)

a 2  b 2 ta được:

Chia cả 2 vế phương trình (1) cho

a a2  b

.sin x  2

b a2  b

2

c

.cos x  2

a 2  b2

2

    a b Nhận thấy  2   1 nên tồn tại  sao cho:   2 2 2  a  b a  b    

a a 2  b2

 cos  ;

b a 2  b2

 sin 

Khi đó phương trình (1) có dạng:

sin x.cos   sin  .cos x   sin  x    

c a 2  b2

c a 2  b2

Đây là phương trình lượng giác cơ bản đã biết cách giải.

Chú ý: c

1

có nghiệm 

1

vô nghiệm  a2  b2  c2

a b 2

2

 1  a 2  b2  c2

Từ điều kiện có nghiệm của phương trình ta có thể tìm được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số có dạng: y

a sin x  b cos x  c a 'sin x  b 'cos x  c '

a sin 2 x  b sin x cos x  c cos 2 x  d y a 'sin 2 x  b 'sin x cos x  c 'cos 2 x  d '

Nhận xét: Ta có thể giải phương trình dạng này theo cách khác như sau: Kiểm tra xem với cos

x 0  x    k2  k  2

của phương trình hay không?

49



có phải là nghiệm

Với cos

x 0  x    k2  k  2

 . Đặt t  tan

x ta có: 2

2t 1 t2 sin x  ; cos x  1 t2 1 t2

Khi đó phương trình (1) trở thành: 1 t2 2t a.  b. c 2 1 t 1 t2

  a  c  t 2  2bt  c  a  0 Đây là phương trình bậc hai mà ta đã biết cách giải.

Ví dụ 7: a) Giải phương trình sau: cos3 x  sin 3 x  1 b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y

2cos x  sin x  1 2  cos x  sin x

Giải a) Cách 1: cos3 x  sin 3 x  1

Chia cả 2 vế của phương trình cho 

2 ta được;

1 1 1 cos3 x  sin 3 x  2 2 2







 cos cos3 x  sin sin 3 x  cos 4 4 4       cos  3x    cos  3 x     k 2 4 4 4 4  2  x  k , k 3 x  k 2 , k   3     3 x    k 2 , k   x     k 2 , k   2  6 3

Vậy các nghiệm của phương trình là

50

xk

2 , k 3

và x  

 6

k

2 , k .

3

Cách 2: Với cos

3x 0 không thỏa mãn phương trình.

2

Với cos

3x  2 0 x k 2 3 3 sin 3x 

k  

đặt t  tan

3x ta có: 2

2t 2t ; cos3x  2 1 t 1 t2

Khi đó phương trình đã cho trở thành: t  0 1 t2 2t 2  2 t  2 t  0    1 t  1 1 t2 1 t2 

Với t  0  tan

3x 3x k2 0   k  x k 2 2 3

Với t   1 tan



3x 3x   k 2  1     k  x   k 2 2 4 6 3

Vậy nghiệm của phương trình là: xk

b) y 

2 , k 3

và x  

 6

k

2 , k .

3

2cos x  sin x  1 * 2  cos x  sin x

Xét phương trình * với ẩn số x, ta có:

  2  cos x  sin x  2  2 cos  x    0, x 4  Khi đó: *  y  2  cos x  sin x   2cos x  sin x  1   y  1 sin x   y  2  cos x  2 y  1

*

có nghiệm   y  1   y  2   2 y  1  2

2

 2 y2  6 y  4  0

51

2





Vậy max y 

3  17  3  17  y 2 2

3  17 3  17 ; min y  2 2

Bài tập đề nghị 7 1. Giải các phương trình sau a)

3sin x  cos x  2

b) cos2 x  sin 2 x  2 c) 3sin 2 x  4cos2 x 

5 2

d) sin x  2sin 2 x sin3 x 3 2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: cos 2 x  sin x cos x y 1  sin 2 x

3. Chứng minh x  , ta có: 4  71 2sin x  cos x 4  71   11 sin x  2cos x  4 11

e) Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x Xét phương trình dạng

a sin 2 x  b sin x cos x  cos2 x  0 Trong đó a,b,c là những số đã cho, với a  0 hoặc b  0 hoặc c  0 .

Chúng được gọi là phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x Cách giải: Chia hai vế cho cos 2 x ( với điều kiện cos x  0 ) để đưa về phương trình đối với tan x , hoặc chia hai vế cho sin 2 x ( với điều kiện sin x  0 ) để đưa về phương trình đối với cot x .

Chú ý: Nếu không xét trường hợp cos x  0 mà chia hai vế cho

cos 2 x thì xảy ra trường hợp mất nghiệm x 

52

  k ; k  .

2

Nhận xét: - Từ phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x học sinh có thể rút ra cách giải cho phương trình bậc ba, bậc bốn,…tương tự như phương trình bậc hai.

- Phương trình a sin 2 x  b sin x cos x  c cos 2 x  0 khi a  0 hoặc c  0 có thể được giải gọn hơn bằng cách đưa về phương trình tích.

- Đối với phương trình: a sin 2 x  b sin x cos x  c cos 2 x  d  a, b, c, d  ; a 2  b 2  c 2  0 

ta có thể quy về phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x bằng cách viết d dưới dạng d  d  sin 2 x  cos 2 x  Ví dụ 8: Giải các phương trình sau: 1) 4sin 2 x  5sin x cos x  6cos 2 x  0 2) cos2 x  2sin x cos x  5sin 2 x  2 3) 4cos 2 x  3sin x cos x  3sin 2 x  1 Phân tích: Phương trình (1) và (2) đều là phương trình thuần nhất bậc hai. Để giải phương trình này ta chia hai vế của phương trình cho sin 2 x hoặc

cos2 x Giải 1) 4sin 2 x  5sin x cos x  6cos 2 x  0 Với cos x 0 sinx  1  VT 4  VP . Vậy cos x  0 không thỏa mãn phương trình.

Với cos x 0 chia 2 vế cho cos 2 x ta được

4tan 2 x  5tan x  6  0  x  arctan 2  k  tan x  2   ; k .

3  3  tan x   x  arctan     k   4  4

Vậy nghiệm của phương trình là: 53

 3 x  arctan 2  k ; x  arctan     k ; k  .  4

2) cos2 x  2sin x cos x  5sin 2 x  2 Với cos x 0 ta có VT  5  VP . Do đó cos x  0 không thỏa mãn phương trình.

Với cos x  0 chia 2 vế cho cos 2 x ta được 1  2 tan x  5tan 2 x  2(1  tan 2 x)  3tan 2 x  2 tan x  1  0

   tan x  1  x    k , k  4  1   tan x   x  arctan 1 , k  .

3   3 Kết hợp điều kiện ta có các nghiệm của phương trình là x

 4

 k , k 

1 và x  arctan , k  .

3

3) 4cos 2 x  3sin x cos x  3sin 2 x  1 Với cos x 0 ta có VT  3  VP . Do đó cos x  0 không thỏa mãn phương trình.

Với cos x 0  x 

 2

2  k  chia 2 vế cho cos x ta được

4  3tan x  3tan 2 x  1  tan 2 x  2tan 2 x  3tan x  3  0 ( vô nghiệm) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài tập đề nghị 8 Giải các phương trình sau: 1) sin 2 x  2sin 2 x  3cos 2 x  0 2) 2sin 2 x  5sin 2 x  cos 2 x  2 2 2 3) sin x  sin 2 x  2cos x 

1 2 54

4) 2cos 2 x  3 3 sin 2 x  4sin 2 x  4 2.3.2. Các phương pháp giải cơ bản a) Phương pháp biến đổi tương đương Phương pháp: Sử dụng công thức lượng giác đã học thực hiện các phép biến đổi đại số và lượng giác đưa phương trình về dạng quen thuộc đã biết cách giải..

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: 1) cos3x  cos 4 x  cos5 x  0 2) 2sin x cot x  0 Phân tích: Đây là các phương trình lượng giác cơ bản khoog quá phức tạp. Để giải các phương trình này học sinh cần nhớ được các công thức biến đổi lượng giác để đưa phương trình về dạng phương trình lượng giác cơ bản đã biết cách giải.

Giải 1) cos3x  cos 4 x  cos5 x  0  cos3x  cos5 x  cos 4 x  0  2cos 4 x cos x  cos 4 x  0  cos 4 x(2cos x  1)  0

     x k , k cos 4 x  0  4 x   k , k   8 4 2   1  cos x   x     k 2 , k  .  x     k 2 , k  .  2  3 3  Vậy các nghiệm của phương trình là x

 8

k

 4

, k

và x  

 3

 k 2 , k 

2) 2sin x cot x  0 (ĐK: sin x  0  x  k )  2sin x cos x.

cos x 0 sin x

 2cos 2 x  0  cos x  0  x 

55

 2

 k , k  .

Các giá trị này thỏa mãn điều kiện của phương trình. Vậy các nghiệm của phương trình là x 

 2

 k , k  .

Nhận xét: Khi giải phương trình lượng giác bằng phương pháp biến đổi tương đương học sinh cần chú ý đến mối liên hệ giữa các cung của các hàm lượng giác, mối liên hệ này sẽ chỉ đường cho cách biến đổi phương trình.

Bài tập đề nghị 1: Giải các phương trình sau:   1) sin x sin 4 x  2cos   x   3 cos x sin 4 x 6 

2) 2cos2 x  sin 2 x  2  sin x  cos x  3) cos 2 x  cos8 x  cos 6 x  1 4) sin 4 x  4sin x   cos4 x  4cos x   1 b) Phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp: Có 2 loại đặt ẩn phụ (1) Đặt ẩn phụ, đưa phương trình đã cho về phương trình mới dễ giải hơn.

(2) Đặt ẩn phụ đưa phương trình đã cho về hệ phương trình đại số.

Phụ thuộc vào mỗi phương trình mà ta phải biết đặt ẩn phụ một cách khéo léo để có được một phương trình mới đơn giản hơn, dễ giải hơn.

Thông thường trong Phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác ta thường gặp 2 loại đặt ẩn phụ sau:  Đổi biến dưới hàm lượng giác.  Đặt cả biểu thức lượng giác làm ẩn phụ Nhận xét: Một số phương trình lượng giác có thể giải được bằng cách quy về phương trình đại số qua một số phép đặt ẩn phụ thường gặp: Đặt t  sin x; t  cos x thì t  1

56

Đặt t  tan x; t  cot x thì t  Đặt t  a sin x  b cos x thì t  a 2  b 2 Đặt t  tan x  cot x thì t  2...

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: 1) 3sin 2 x  4cos x  2  0  3 x  1   3x     sin    2) sin   10 2  2  10 2 

3) tan x  tan 2 x  tan 3 x  cot x  cot 2 x  cot 3 x  6 4) 3cos x  4sin x 

6 0 3cos x  4sin x  1

Giải 1) 3sin 2 x  4cos x  2  0  3(1  cos 2 x)  4cos x  2  0  3cos 2 x  4cos x  1  0

(*)

Đặt t  cos x, (t  1) . Khi đó phương trình (*) trở thành:  2 7 TM  t  2 2 3t  4t  1  0    2 7  KTM  t  3 

Với t 

2 7 2 7 ta có cos x  3 3 2 7   x   arccos    k 2 , k  .

3  

Vậy các nghiệm của phương trình là: 2 7  x   arccos    k 2 , k  .

3  

57

 3 x  1   3x  2) sin     sin     10 2  2  10 2 

   3x    3x    3 x  Ta có: sin     sin        sin 3    10 2   10 2    10 2   3  3 x    x  2t . Khi đó phương trình trở thành: Đặt t   5  10 2  1 sin t  sin 3t  sin t  4sin 2 t  1  0  sin t  2cos 2t  1 2

 t  k  2t  k 2 sin t  0     1    2t    k 2 cos 2t  2t    k 2 3 3  2  

3  3  2 t   5 5   3  2t  3  5 5

3  x   2 k  5   k 2 4  2 k , k  . hay  x    5   k 2  14 3 x   2 k  5

Vậy các nghiệm của phương trình là x

3 4 14  2 k ; x   2k và x   2k ( k  ).

5 5 5

3) tan x  tan 2 x  tan 3 x  cot x  cot 2 x  cot 3 x  6 sin x  0 k  sin 2 x  0  x  Điều kiện:  2 cos x  0

Đặt t  tan x  cot x  t 

1 2   t 2 sin x cos x sin 2 x

tan 2 x  cot 2 x  t 2  2 tan 3 x  cot 3 x   tan x  cot x   tan 2 x  tan x cot x  cot 2 x 

 t  t 2  3  t 3  3t

58

Phương trình đã cho trở thành:

t

3

 3t    t 2  2   t  6

 t 3  t 2  2t  8  0   t  2   t 2  3t  4   0  t  2

2  2  sin 2 x  1 sin 2 x

t 2  2x 



2

 k 2  x 



4

 k  k 



Vậy phương trình đã cho có một họ nghiệm:

x 4) 3cos x  4sin x 

  k ; k  .

4

6 0 3cos x  4sin x  1

Đặt t  3cos x  4sin x 1 Do 5  3cos x  4sin x  1  5  4  t  6 Vậy t  4;6  \ 0  Phương trình đã cho trở thành: t

t  1 6  7  t 2  7t  6  0   t t  6

Với t  1 : 3cos x 4sin x 0

3 3  tan x    x   arctan  k ; k  .

4 4 Với t  6: 3cos x 4sin x 5 3 4  cos x  sin x  1 5 5

Thay

3 4  cos  ;  sin  . Ta được: 5 5

cos x cos   sin x sin   1

59

 cos  x     1  x    k 2  x    k 2 ; k  .

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm:

3 x   arctan  k ; x    k 2 ; k  .

4 Chú ý: Sai lầm học sinh thường gặp khi giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đặt ẩn phụ là không đặt điều kiện cho ẩn phụ đẫn đến thừa hoặc thiếu nghiệm.

Bài tập đề nghị 2 Giải các phương trình sau: 1) cos 2 x  4sin 4 x  8cos6 x 2) 2  cos x  2tan

x 2

3) 1  tan x 1  sin 2 x   1  tan x 4) cos 2 x  5)

1 1  cos x  2 cos x cos x

1 5  cot 2 x   tan x  cot x   2  0 2 cos x 2

c) Phương pháp đối lập Giả sử ta cần giải phương trình:

f ( x)  g ( x), x  D (*) Nếu ta chứng minh được:

 f  x   a; x  D   g  x   a ; x  D  f  x   a thì phương trình *    g  x   a Để đánh giá 2 vế của một phương trình ta thường sử dụng các bất đẳng thức đại số như bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopxki.  Bất đẳng thức Cauchy: 60

Cho ai  0;  i  1,2,..., n  ta có: a1  a2  ...  an n  a1a2 ...an n

Dấu "  " xảy ra khi và chi khi a1  a2  ...  an .  Bất đẳng thức Bunhiacopxki Cho hai dãy số thực: a1; a2 ;...; an b1; b2 ;...; bn

Ta có

a b  a b 1 1

2 2

 a nbn    a12  a 2 2  ...a n 2  b12  b2 2  ...  bn 2  2

Dấu "  " xảy ra khi và chi khi

a1 a2 a   ...  n b1 b2 bn

Ví dụ 3: Giải các phương trình lượng sau: 5 1) sin8 x  cos8 x  2(sin10 x  cos10 x)  cos 2 x 4

sin 6 x  cos 6 x 2) sin x  cos x  2 sin 2 x  cos 2 2 x 10

10

3) sin 8 x  cos8 x 

1 8

2 2 4) sin x  2  sin x  sin x 2  sin x  3

Giải 5 1) sin8 x  cos8 x  2(sin10 x  cos10 x)  cos 2 x 4

5  (1  2sin 2 x)sin 8 x  (2cos 2 x  1)cos8 x  cos 2 x 4 5  cos 2 x sin 8 x  cos 2 x cos8 x  cos 2 x 4 cos 2 x  0 5 8 8  (sin x  cos x)cos 2 x  cos 2 x   8 5 sin x  cos8 x  4  4

61

cos 2 x  0  2 x  sin8 x  cos8 x 

 2

 k  x 

 4

k

 2

, k .

5 . Ta có nhận xét sin8 x  cos8 x  sin8 x  1 nên 4

5 phương trình sin8 x  cos8 x  vô nghiệm.

4

Vậy nghiệm của phương trình ban đầu là x 

 4

k

 2

, k .

sin 6 x  cos 6 x 2) sin x  cos x  2 sin 2 x  cos 2 2 x 10

10

Ta có nhận xét 3 2 1  sin 2 x 1 (sin x  cos x)  3sin x cos x 4 VP    4(sin 2 2 x  cos 2 2 x)  3sin 2 2 x 4  3sin 2 2 x 4 3

2

2

Mặt khác: 10 2 1 1 1 cos x  cos x 10 10 2 2  VT  (sin x  cos x )  (sin x  cos x )   10 2 4 4 4 sin x  sin x

sin 6 x  cos 6 x 1  VT  Do đó: sin x  cos x  2 2 sin 2 x  cos 2 x 4 10

10

 cos x  0  cos10 x  cos 2 x cos x  1 cos x  0   10   2 sin x  0  sin x  sin x sin x  0   sin x  1   sin 2 x  0  2 x  k  x  k

Vậy nghiệm của phương trình là x  k

 2

 2

, k .

, k .

Như vậy bằng nhận xét cosn x  cos2 x, sin n x  sin 2 x (n  2, n  ) ta có thể giải bài toán dễ dàng.

62

3) sin 8 x  cos8 x 

1 (1) 8

Sử dụng bất đẳng thức Cosi ta có nhận xét: 4 4 4  8 1 1 1 1 2 cos 2 x           cos 2 x  2 2 2 2   4 4 4 1 1 1 1 2  8 sin 2 x   2    2    2   2 sin 2 x 

Cộng vế với vế ta có: 4

1 1 sin 2 x  cos 2 x  6    (sin 2 2 x  cos 2 2 x) 2 2 1  sin 8 2 x  cos8 2 x  8 8

8

4  8 1 cos 2 x     2  4 1  8 Do đó (1) sin 2 x   2  

 sin 2 2 x  cos 2 2 x 

 4x 

 2

 k  x 

1  cos 4 x  0 2

 8

k

 4

, k  .

Vậy nghiệm của phương trình là: x

 8

k

 4

, k  .

2 2 4) sin x  2  sin x  sin x 2  sin x  3

Ta có: VT 2  (1.sin x  2  sin 2 x  sin x 2  sin 2 x ) 2  (1  2  sin 2 x  sin 2 x)(sin 2 x  1  2  sin 2 x)  9  VT  3

Vậy phương trình vô nghiệm

63

Bài tập đề nghị 3 Giải các phương trình sau: 1) 2cos 2  x3  x 2  x   2 x  2 x 2) cos3x  2  cos 2 3x  2 1  sin 2 2 x  3) 3 tan 2 x  tan 2 2 x  tan 2 3x    tan x tan 2 x tan3x 

2

cos 2 x 

4)

64

1 1  sin 2 x   2 2 2

TIỂU KẾT CHƢƠNG 2 Chương 2 đã tập trung trình bày một số vấn đề sau: - Định hướng phát triển năng lực tư duy cho học sinh THPT trong dạy học môn toán.

- Biện pháp phát triển năng lực tư duy cho học sinh trong dạy học phương trình lượng giác lớp 11 bao gồm: Rèn luyện một số hoạt động trí tuệ và phát triển một số loại hình tư duy Toán học.

- Xây dựng hệ thống bài tập bao gồm các dạng toán liên quan và phương pháp giải cơ bản.

65

CHƢƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM

Chương này mô tả quá trình thực thực nghiệm sư phạm trên cơ sở các biện pháp phát triển năng lực tư duy khi dạy học phương trình lượng giác đã đề xuất ở chương 2. Chúng tôi tiến hành dạy thực nghiệm ở một lớp, sau đó thu thập ý kiến của mỗi học sinh về mức độ hiểu bài và hứng thú với nội dung bài học. Từ đó đánh giá kết quả thu được thông qua phiếu đánh giá của học sinh đối với hai tiết học và đưa ra kết luận thực nghiệm sư phạm.

3.1. Mục đích, yêu cầu thực nghiệm Mục đích: Bước đầu kiểm nghiệm tính khả thi của việc sử dụng các biện pháp “Phát triển năng lực tư duy cho học sinh THPT qua dạy học phương trình lượng giác” vào dạy học Toán nội dung phương trình lượng giác lớp 11 nhằm nâng cao kết quả dạy và học.

Yêu cầu: Bảo đảm tính khách quan của các thực nghiệm, quá trình thực nghiệm diễn ra sát với thực tế, phù hợp với môi trường học tập của học sinh.

3.2. Nội dung thực nghiệm Tiến hành tổ chức dạy thực nghiệm 1 tiết bài “Luyện tập giải các phương trình lượng giác thường gặp”. Trong giờ thực nghiệm, các nội dung dạy học được lựa chọn phù hợp, đáp ứng mục tiêu của bài học.

3.3. Tổ chức thực nghiệm - Địa điểm thực nghiệm: Trường THPT Đông Anh, Hà Nội.

- Đối tượng thực nghiệm: lớp 11A2, sĩ số 45.

- Học lực: Hầu hết học sinh trong lớp xếp loại học lực khá trở lên.

Quy trình thực nghiệm: - Giáo viên dạy học 1 tiết bài “ Luyện tập giải các phương trình lượng giác thường gặp” theo 2 giáo án khác nhau với nội dung bài tập khác nhau.

Một giáo án thông thường của giáo viên đã chuẩn bị và một giáo án thực nghiệm.

66

- Tiến hành thu thập ý kiến của mỗi học sinh thông qua phiếu đánh giá tiết dạy. Từ đó, xác định được tính hiệu quả của các biện pháp này.

3.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm Cách thức đánh giá: Kết quả thực nghiệm được đánh giá thông qua hình thức bỏ phiếu nhận xét đối với hai tiết dạy.

Kết quả: Đa số học sinh có nhận xét như sau: Ưu điểm: - Tiết học thực nghiệm sôi nổi, nhiều hoạt động thú vị.

- Bài tập trong giờ học thực nghiệm đa dạng, phù hợp với năng lực của học sinh.

- Học sinh được phát triển khả năng tư duy của mình thông qua việc sáng tạo các bài toán mới.

- Tự rút ra những sai lầm thường gặp thông qua những bài toán tìm lỗi sai.

Nhược điểm: Một số học sinh chưa quen với phương pháp học tập mới.

Qua kết quả khảo sát và quá trình dạy thực nghiệm thu được một số kết quả sau: Về nội dung: Nội dung thực nghiệm góp phần phát triển năng lực tư duy của học sinh trong dạy học nội dung phương trình lượng giác.

Về phương pháp: Đã áp dụng một số phương pháp phát triển năng lực lực tư duy cho học sinh: Thứ nhất, rèn luyện một số thao tác hoạt động trí tuệ: Phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, tổng quát hóa,…Thứ hai, phát triển một số loại hình tư duy Toán học: Tư duy phê phán, tư duy sáng tạo.

Khả năng tiếp thu của học sinh: Đa số các học sinh tiếp thu tốt, hứng thú với nội dung bài học trong tiết học thực nghiệm.

Nhận xét quá trình thực nghiệm: Trong quá trình tiến hành thực nghiệm, chúng tôi đã giành thời gian nghiên cứu tài liệu, soạn giáo án, tìm hiểu tình hình của lớp thực nghiệm để lực chọn các nội dung và phương pháp dạy học phù hợp nhằm đạt được hiệu quả tốt nhất.

67

Mặc dù, thời gian thực nghiệm chưa nhiều, nhưng từ kết quả thực nghiệm thu được bước đầu cho thấy tính khả thi của đề tài. Ở lớp thực nghiệm, học sinh đã có sự thay đổi tích cực về năng lực tư duy Toán học từ đó thúc đẩy hứng thú học tập đối với nội dung phương trình lượng giác nói riêng và chương trình môn Toán nói chung.

68

TIỂU KẾT CHƢƠNG 3 Chương 3 tiến hành thực nghiệm sư phạm ở lớp 11A 2 của trường THPT Đông Anh, Hà Nội nhằm đánh giá tính khả thi và tính hiệu quả của các biện phát triển năng lực tư duy cho học sinh THPT khi dạy học nội dung phương trình lượng giác lớp 11.

Vì thời gian có hạn nên quá trình thực nghiệm bước đầu cho thấy rằng: - Các biện pháp phù hợp với học sinh, phù hợp với yêu cầu giáo dục.

- Học sinh được hình thành và phát triển các một số thao tác hoạt động trí tuệ: Phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, tổng quát hóa,…và phát triển một số loại hình tư duy Toán học: Tư duy phê phán, tư duy sáng tạo.

Tóm lại, kết quả thực nghiệm sư phạm đã phần nào kiểm nghiệm được tính

khả

thi

và

hiệu

69

quả

của

đề

tài.

KẾT LUẬN Qua quá trình thực hiện, đề tài đã thu được một số kết quả sau: - Phần nào làm sáng tỏ khái niệm năng lực, năng lực tư duy và phát triển năng lực tư duy.

- Tìm hiểu thực trạng dạy và học nội dung giải phương trình lượng giác trong chương trình toán THPT. - Bước đầu đề xuất giải pháp để nâng cao hiệu quả phát triển năng lực tư duy cho học sinh trong dạy học.

- Điều tra, thực nghiệm sư phạm và đã xác định được tính khả thi của các phương án đề xuất.

- Hoàn thành tương đối nhiệm vụ nghiên cứu đề ra.

Tuy nhiên, do khả năng và thời gian nghiên cứu có hạn nên kết quả của đề tài mới chỉ dừng lại ở những kết luận ban đầu, nhiều vấn đề vẫn chưa được phát triển sâu và không tránh khỏi những sai sót. Vì vậy, em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn để bổ sung thêm cho đề tài của mình.

70

TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2018), Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán.

[2]. Đậu Thế Cấp (hiệu đính), Nguyễn Tiến Dũng, Dương Tiến Đạt, Trần Phan Đông Hưng, Nguyễn Lê Thống Nhất, Các phương pháp giải toán THPT lượng giác 11, NXB Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh.

[3]. Nguyễn Thu Hương (2010), Phát triển tư duy cho học sinh thông qua dạy học chương “Tứ giác” lớp 8 trung học cơ sở, Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Toán học, Trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội.

[4]. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên, Đại số và Giải tích 11, NXB Giáo dục.

[5]. Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Đại học Sư phạm.

[6]. Vũ Tuấn (Chủ biên), Trần Văn Hạo, Đào Ngọc Nam, Phạm Phu, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên, Bài tập Đại số và Giải tích 11, NXB Giáo dục.

[7]. Nguyễn Thị Tươi (2015), Phát triển một số năng lực tư duy Toán học cho học sinh THPT qua dạy học phương trình vô tỉ, Luận văn Thac sĩ Sư phạm Toán học, Trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội.

[8]. Nguyễn Thế Thạch (chủ biên), Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng môn Toán lớp 11, NXB Giáo dục Việt Nam. [9]. Đỗ Đức Thái (chủ biên), Dạy học phát triển năng lực môn Toán trung học cơ sở, NXB Đại học Sư phạm.

[10]. Chu Cẩm Thơ (2015), Phát triển tư duy thông qua dạy học môn Toán ở trường phổ thông, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội.

[11]. Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên), Đại số và Giải tích 11 nâng cao, NXB Giáo dục.

71

[12]. Nguyễn Quang Uẩn (Chủ biên), Tâm lý học đại cương, NXB Đại học Sư phạm.

72

PHỤ LỤC Phụ lục 1: Giáo án bài “ Luyện tập giải các phương trình lượng giác thường gặp”.

Giáo án thực nghiệm I. Mục tiêu 1. Kiến thức Củng cố lại kiến thức cơ bản về một số phương trình lượng giác thường gặp: Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác và phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

2. Kỹ năng - Nhận dạng được bài toán.

- Vận dụng các cách biến đổi vào giải bài toán.

- Vận dụng giải thành thạo các phương trình lượng giác khác.

3. Thái độ Tạo cho học sinh tinh thần hợp tác, tích cực tham gia bài học, hứng thú trong tiếp thu kiến thức.

4. Tư duy Phát triển năng lực tư duy cho học sinh: đặc biệt là tư duy phê phán và tư duy sáng tạo.

II. Chuẩn bị 1. Giáo viên: SGK; giáo án; phiếu học tập.

2. Học sinh: SGK; vở ghi; bài cũ.

III. Tiến trình bài dạy 1. Ổn định lớp: (1’) 2. Kiểm tra bài cũ: (3’) 73

Câu hỏi: Nêu dạng và cách giải của phương trình bậc nhất và bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

3. Bài mới Hoạt động của Hoạt động của Nội dung ghi bảng giáo viên học sinh Hoạt động 1: Bài tập về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác (17’) HĐ 1: Giáo viên đưa Ghi đề bài Bài 1: Giải các phương trình đề bài tập 1 sau: H: Nhận xét gì về các TL: phương trình đã cho? + Phương trình (1); Nêu cách giải?

(2) lần lượt là phương trình bậc nhất đối với x cos và tan x .

2 HĐ 2: Gọi 3 học sinh Cách giải: Chuyển vế lên bảng trình bày. rồi đưa về phương trình lượng giác cơ HĐ 3: Gọi 1 học sinh bản. nhận xét bài trên bảng. + Phương trình (3) là phương trình tích.

Cách giải: Cho từng nhân tử bằng 0 và HĐ 5: Củng cố. giải tương tự như + Chia lớp thành các phương trình (1) và nhóm: 2 bàn một (2). nhóm thảo luận 5 phút trả lời các câu hỏi trong phiếu học tập 1. + Gọi đại diện của 4 nhóm lên bảng trình bày. + Yêu cầu các nhóm còn lại so sánh kết quả và nhận xét.

74

x 1)2cos  3  0 2 2) 3 tan x  1  0





3)  sin x  1 2cos 2 x  2  0

Giải

x 1)2cos  3  0 2 x 3  5   cos    cos   2 2  6  x 5    k 2 ; k  .

2 6 5  x  k 4 ; k  .

3 Vậy nghiệm của phương trình là: 5 x  k 4 ; k  .

3 2) 3 tan x  1  0 * Điều kiện: x 

  k ; k  .

2 1  

*  tan x  

3

 tan     6



 k ; k  TM  .

6 Vậy nghiệm của phương trình là:  x



 k ; k  .

6 3)  sin x  1 2cos 2 x  2  0 x





sin x  1  0   2cos 2 x  2  0 sin x  1  cos 2 x  2  2

sin x  1  x  

  k 2 2 

2  cos 2 4

cos 2 x 

 2x  





4

 k 2 ; k 

 k ; k  .

2 Vậy nghiệm của phương trình là : x

x



2

 k ; k  .

Hoạt động 2: Bài tập về phƣơng trình bậc hai đối với một hàm số lƣợng giác (17’) HĐ 1: Giáo viên đưa Ghi đề bài vào vở Bài 2: Giải các phương trình đề bài tập 2 sau: 1) 3sin 2 x  2sin x  5  0 H1: Nhận xét gì về các TL: 2) tan 4 x  2tan 2 x  1  0 phương trình đã cho? + Phương trình (1) là 2 2 Nêu cách giải? phương trình bậc hai 3)2sin x  5sin 2 x  cos x  2 với sin x .

Cách giải: Đặt ẩn phụ 75

Giải

rồi giải phương trình 1) 3sin 2 x  2sin x  5  0 HĐ 2: Gọi 3 học sinh theo ẩn phụ. Đặt sin x  t  1  t  1 lên bảng trình bày. + Phương trình (2) là được: HĐ 3: Gọi 1 học sinh phương trình bậc hai nhận xét bài trên bảng. với tan 2 x .

Cách giải: Đặt điều kiện rồi sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình. + Phương trình (3) đưa được về dạng phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

Cách giải: Chia 2 vế hoặc sin x  0 ) đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai đối với tan x hoặc 2 cot x . cho cos x hoặc sin 2 x ( điều kiện cos x  0 H2: Với các phương TL: Có cách giải trình trên có cách giải khác. nào khác không?

1) Tách 5  3  2 đưa phương trình về HĐ 4: Củng cố dạng phương trình + Chia lớp thành các tích. nhóm 2 bàn một nhóm 2) Tương tự, tách thảo luận 5 phút trả 2 đưa về lời các câu hỏi trong 2 tan x phương trình tích. phiếu học tập 2. + Gọi đại diện của 4 3) Chia cả 2 vế cho 2 nhóm lên bảng trình cos x ,sử dụng công thức bày.

1 + Yêu cầu các nhóm  1  tan 2 x còn lại so sánh kết quả cos 2 x 76

ta

t  1 TM  3t  2t  5  0   t   5  KTM   3 2

Với t  1 ta có:  sin x  1  x 

2

 k 2 ; k  .

Vậy nghiệm của phương trình là:



 k 2 ; k  .

2 2) Điều kiện: cos x  0   x   k ; k  .

2 Đặt t  tan 2 x ; t  0 ta được: t  1 t 2  2t  1  0   t  1 Với t  1 ta có:  tan x  1 tan 2 x  1    tan x  1    x  4  k  ; k .   x    k  4 Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm trên là nghiệm của phương trình. x

3)2sin 2 x  5sin 2 x  cos2 x  2  2sin 2 x  10sin x cos x  cos2 x  2  sin 2 x  cos2 x   4sin 2 x  10sin x cos x  cos 2 x  0

Với cos x  0  sin 2 x  1

và nhận xét. đưa phương trinhg về  VT  4  VP nên + Giáo viên nhận xét dạng phương trình cos x  0 không là nghiệm của và khái quát lại nội bậc hai. phương trình. dung bài học.  Với cos x  0  x   k 2 chia cả 2 vế cho cos 2 x ta được: 4 tan 2 x  10 tan x  1  0  5  21  tan x  4   5  21  tan x   4  5  21  k  x  arctan 4   5  21  k  x  arctan  4 Kết luận.

4. Củng cố: - Nhắc lại cách giải phương trình bậc nhất và bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

- Các lỗi thường gặp khi giải phương trình lượng giác.

5. Bài tập về nhà - Xem trước mục III SGK trang 35.

Làm bài tập 1; 2;

77

3;

4

SGK

trang

37.

Phụ lục 2 : Phiếu học tập Phiếu học tập số 1 I. Trắc nghiệm Câu 1: Số nghiệm của phương trình A.0

  2 cos  x    1 với 0  x  2 là: 3  C.1 D. 3

B.2  Câu 2: Cho biết x    k 2 ; k  là họ nghiệm của phương trình nào sau 3 đây?

A. 2cos x  1  0 B. 2cos x  3  0 C. 2sin x  3  0 D. 2sin x  1  0   Câu 3: Họ nghiệm của phương trình tan  x    3  0 là: 5  8 8 A. x  B. x    k ; k  .  k ; k  .

15 15 8 8 C. x   D. x   k 2 ; k  .  k 2 ; k  .

15 15 Câu 4: Phương trình nào tương đương với phương trình sin 2 x  cos2 x  1  0 ?

2 A. cos 2 x  1 B. 2cos 2 x  1  0 C. cos 2 x  1 D.  sin x  cos x   1 sin 2 x  1 Câu 5: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 0 2 cos x  1 3  A. x    k 2 ; k  .

B. x   k 2 ; k  .

4 4





 k ; k  .

4 4 Câu 6: Nghiệm của phương trình sin 4 x  cos 4 x  0 là: C. x 

A. x  

 k 2 ; k  .



 k ; k  .

D. x  

B. x





k ; k .

4 2

4 3   k 2 ; k  .

C. x  D. x    k 2 ; k  .

4 4 II. Tự luận Câu hỏi: 1) Giải phương trình sau: 2 2 2 2 a) sin 2 x  sin 3x  sin 4 x  sin 5 x  2 2 2 2 2 b) sin x  sin 2 x  sin 3x  sin 4 x 2) Từ bài toán trên, viết bài toán tổng quát và giải bài toán đó.

78

Phiếu học tập số 2 I. Trắc nghiệm Câu 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc hai của một hàm số lượng giác.

A. 2sin 2 x  sin 2 x  1  0 B. 2sin 2 2 x  sin 2 x  0 C. cos 2 x  cos 2 x  7  0 D. tan 2 x  cot x  5  0 Câu 2: Nghiệm của phương trình 2sin 2 x  3sin x  1  0 thỏa mãn điều kiện

0 x



là: 2    5 A. x  B. x  C. x  D. x  2 3 6 6 2 Câu 3: Phương trình tan x  5tan x  6  0 có nghiệm là: A. x  B. x 



4



4

 k ; x  arctan  6   k ; k  .  k 2 ; x  arctan  6   k 2 ; k  .



 k ; x  arctan  6   k 2 ; k  .

4 D. x  k ; x  arctan  6   k ; k  .

C. x  

Câu 4: Nghiệm của phương trình 2cos 2 x  2cos x  2  0 là:

  k 2 ; k  .

4  C. x    k 2 ; k  .



 k ; k  .

4  D. x    k ; k  .

3 3 Câu 5: Phương trình tan x  3cot x  4 có nghiệm là: A. x  

A. x  B. x 



4

B. x  

 k 2 ; k  .; x  arctan3  k 2 ; k  .

  k ; k  .

4

C. x  arctan 4  k ; k  .



 k ; k  .; x  arctan3  k ; k  .

4 Câu 6: Trong các nghiệm sau, nghiệm âm lớn nhất của phương trình 2tan 2 x  5tan x  3  0 là: D. x 

79

 3 II. Tự luận

B. 

A. 

 4

C. 

 6

D. 

5 6

Câu hỏi : Tìm lỗi sai và sửa lại cho đúng trong các phương trình sau:









3 sin 2 x  1  3 sin x cos x  cos 2 x  1  3  0

a)

Với cos x 0 chia cả 2 vế của phương trình cho cos 2 x ta được:

    x  1  3  tan x  3  0

3 tan 2 x  1  3 tan x  1  1  3 1  tan 2 x   0

 tan 2

  x    k 2   tan x  1 4   ; k .  tan x  3  x   k 2   3 Vậy nghiệm của phương trình là: x  



4

 k ; x 

 3

sin 4 x  cos 4 x 1   tan 2 x b) cos 2 x  sin 2 x 2 sin 4 x  cos 4 x sin 2 x   cos 2 x 2cos 2 x 1  sin 4 x  cos 4 x   sin 2 x 2 1  1  2sin 2 x cos2 x   sin 2 x 2 sin x  1 TM   sin 2 2 x  sin 2 x  2  0   sin x  3  KTM 

sin x  1  x 



2

 k 2 ; k  .

Vậy nghiệm của phương trình là: x  3) sin 2 x  cos 2 2 x  

 2

 k 2 ; k  .

1 2

1  cos 2 x 1  cos 2 2 x  2 2

80

 k ; k  .

1  cos 2 x   1  cos 2 x  cos 2 x  0   2  2 cos 2 x  0 2 2    2 x   3  k 2  x  6  k 2   ; k .     2 x   k x   k   2 4 2   2 Vậy nghiệm của phương trình là: x   k 2 ; x   k ; k  .

4 2 6 2

81

Phụ lục 3: Đáp án Phiếu học tập 1 I. Trắc Nghiệm 1 2 3 4 5 B A B C A II. Tự luận 1) Giải phương trình: a) sin 2 2 x  sin 2 3x  sin 2 4 x  sin 2 5 x  2 1  cos4 x 1  cos6 x 1  cos8 x 1  cos10 x     2 2 2 2 2   cos10 x  cos4 x    cos8x  cos6 x   0  2cos7 x.cos3 x  2cos7 x.cos x  0  2cos7 x. cos3x  cos x   0  4cos 7 x.cos 2 x.cos x  0      x   k 7 x   k   14  7 2 cos7 x  0       cos 2 x  0   2 x   k   x   k ; k  .    2 4 2 cos x  0      x   k  x   k   2 2 Kết luận b) sin 2 x  sin 2 x  sin 2 3x  sin 2 4 x 1  cos2 x 1  cos4 x 1  cos6 x 1  cos8 x     2 2 2 2  cos 2 x  cos 4 x  cos 6 x  cos8 x  2cos3 x.cos x  2cos7 x.cos x

6 B

cos x  0  cos x  cos7 x  cos3x   0   cos7 x  cos3 x  0

cos x  0  x 



2

 k ; k  .

  x  k 5 ; k . cos3 x  cos7 x  0  cos3 x  cos7 x  3 x  7 x  k 2    x  k  2 Vậy nghiệm của phương trình là: x  k



5

82

; x

  k ; k  .

2

2) Bài toán tổng quát: a) sin 2 2nx  sin 2 3nx  sin 2 4nx  sin 2 5nx  2  n  b) sin 2 nx  sin 2 2nx  sin 2 3nx  sin 2 4nx  n  Giải : Tương tự như phần 1.

Phiếu học tập 2 I. Trắc Nghiệm 1 2 B C II. Tự luận

3 A





4 A

1) Xét thiếu trường hợp cos x  0  x 

 2

5 D

6 B

 k ; k  .

cos 2 x  sin 2 x  0   2) Thiếu điều kiện:   cos 2 x  0  x   k ; k  .

4 2 cos 2 x  0

3) Sai công thức lượng giác: sin 2 x 

1  cos 2 x 2

Lời giải đúng

3) sin 2 x  cos 2 2 x  

1 2

1  cos 2 x 1  cos2 2 x  2 2

1  cos2 2 x  cos2 x  0 2 cos 2 x  0  2 x  cos 2 x 

 2

 k ; k  .

1     cos 2 x  cos  2 x    k 2  x    k ; k  .

2 3 3 6

Vậy nghiệm của phương trình là: x  

 6

83

 k ; k  .