CHỦ ĐỀ “PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC”

PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN

vectorstock.com/21609945

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH LỚP 11 THÔNG QUA VIỆC GIẢI BÀI TẬP CHỦ ĐỀ “PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC” WORD VERSION | 2019 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

======

NGUYỄN HỒNG NHUNG

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH LỚP 11 THÔNG QUA VIỆC GIẢI BÀI TẬP CHỦ ĐỀ “PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC” KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học môn Toán

HÀ NỘI - 2019

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN

====== NGUYỄN HỒNG NHUNG

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH LỚP 11 THÔNG QUA VIỆC GIẢI BÀI TẬP CHỦ ĐỀ “PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC” KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học môn Toán Ngƣời hƣớng dẫn khoa học

ThS. DƢƠNG THỊ HÀ

HÀ NỘI - 2019

LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sự tri ân sâu sắc đối với các thầy, cô của trƣờng; đặc biệt là các thầy, cô trong tổ Phƣơng pháp dạy học của khoa Toán, trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2 đã nhiệt tình giúp đỡ em để em có thể hoàn thành tốt khóa luận tốt nghiệp. Và em cũng xin chân thành cảm ơn tới cô giáo - Th.s Dƣơng Thị Hà đã nhiệt tình hƣớng dẫn em trong việc lựa chọn đề tài nghiên cứu, hƣớng tiếp cận và giúp em chỉnh sửa những thiếu sót trong quá trình nghiên cứu.

Trong quá trình nghiên cứu khó tránh khỏi sai sót, rất mong các thầy,cô bỏ qua và giúp em hoàn thiện hơn. Em rất mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp từ phía thầy, cô để em học thêm đƣợc nhiều kinh nghiệm và sẽ hoàn thành tốt hơn.

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2019 Sinh viên

Nguyễn Hồng Nhung

LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan đề tài: Phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 11 thông qua việc giải bài tập chủ đề “Phƣơng trình lƣợng giác” là một công trình nghiên cứu độc lập, không có sự sao chép của ngƣời khác. Đề tài là một sản phẩm mà em đã nỗ lực nghiên cứu trong suốt quá trình học tập tại trƣờng. Em xin cam đoan những lời nói trên hoàn toàn là sự thật, nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.

Hà Nội, tháng 5 năm 2019 Sinh viên

Nguyễn Hồng Nhung

MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................ 2 3. Đối tƣợng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu .............................................. 2 4. Phƣơng pháp nghiên cứu............................................................................... 3 5. Dự kiến kế hoạch thực hiên........................................................................... 3 6. Cấu trúc khóa luận ........................................................................................ 3 NỘI DUNG ....................................................................................................... 4 Chƣơng I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .............................................. 4 1.1. Cơ sở lý luận .............................................................................................. 4 1.1.1. Năng lực .................................................................................................. 4 1.1.2. Năng lực toán học ................................................................................... 5 1.1.3. Năng lực giải toán ................................................................................... 9 1.1.4. Năng lực giải quyết vấn đề.................................................................... 11 1.2. Cơ sở thực tiễn ......................................................................................... 14 1.2.1. Vị trí, vai trò, nội dung của chủ đề “Phƣơng trình lƣợng giác” trong chƣơng trình toán lớp 11........................................................................ 14 1.2.2. Thực trạng dạy và học chủ đề “Phƣơng trình lƣợng giác” ở trƣờng trung học phổ thông ........................................................................................ 16 1.2.3. Đề xuất một số định hƣớng nhằm nâng cao năng lực giải quyết vấn đề của học sinh trong việc giải bài tập chủ đề “Phƣơng trình lƣợng giác” .... 17 Kết luận chƣơng I ............................................................................................ 19 Chƣơng II: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH LỚP 11 THÔNG QUA VIỆC GIẢI BÀI TẬP CHỦ ĐỀ “PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC”. ............................................................ 20

2.1. Chủ đề phƣơng trình lƣợng giác trong chƣơng trình lớp 11 .................... 20 2.1.1. Mục tiêu................................................................................................. 20 2.1.2. Hệ thống lại các công thức lƣợng giác.................................................. 20 2.1.3. Phƣơng trình lƣợng giác........................................................................ 24 2.2. Hệ thống bài tập phƣơng trình lƣợng giác nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề. ............................................................................................ 37 2.3. Bài tập tự luyện ........................................................................................ 55 Kết luận chƣơng II .......................................................................................... 60 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 62

MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Đảng và nhà nƣớc ta xác định giáo dục là quốc sách hàng đầu và xem giáo dục là công cụ mạnh nhất tiến vào tƣơng lai. Hội nghị lần thứ IV Ban chấp hành Trung ƣơng Đảng Cộng Sản Việt Nam (khóa VII) đã chỉ ra: “Giáo dục đào tạo phải hƣớng vào đào tạo những con ngƣời lao động tự chủ, sáng tạo có năng lực giải quyết các vấn đề thƣờng gặp, qua đó góp phần tích cực thực hiện các mục tiêu lớn của đất nƣớc là dân giàu, nƣớc mạnh; xã hội công bằng, dân chủ văn minh”.

Chƣơng trình giáo dục định hƣớng phát triển năng lực nay còn gọi là dạy học định hƣớng kết quả đầu ra đƣợc bàn đến nhiều từ những năm 90 của thế kỷ XX và ngày nay đã trở thành xu hƣớng giáo dục quốc tế. Giáo dục định hƣớng phát triển năng lực nhằm mục tiêu phát triển năng lực ngƣời học.

Giáo dục định hƣớng phát triển năng lực nhằm đảm bảo chất lƣợng đầu ra của việc dạy học, thực hiện mục tiêu phát triển toàn diện các phẩm chất nhân cách, chú trọng năng lực vận dụng tri thức trong những tình huống thực tiễn nhằm chuẩn bị cho con ngƣời năng lực giải quyết các tình huống của cuộc sống và nghề nghiệp. Chƣơng trình này nhấn mạnh vai trò của ngƣời học với tƣ cách chủ thể của quá trình nhận thức.

Trong quá trình học tập bộ môn Toán, mục tiêu chính của ngƣời học bộ môn này là việc học tập những kiến thức về lý thuyết, hiểu và vận dụng đƣợc các lý thuyết chung của toán học vào những lĩnh vực cụ thể. Vì vậy giáo viên cần phải giúp học sinh phát triển đƣợc những năng lực cần có trong học tập.

Các năng lực chuyên biệt trong môn Toán bao gồm: năng lực tƣ duy, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực ngôn ngữ, năng lực tự học, năng lực tính toán và năng lực sử dụng. Trong đó, năng lực giải quyết vấn đề là một trong những năng lực cốt lõi cần phải phát triển cho ngƣời học, nó có vai trò quan trọng giúp ngƣời học giải quyết đƣợc các tình huống trong quá trình học tập và trong đời sống.

Phần “Phƣơng trình lƣợng giác” đƣợc phân bố trong chƣơng trình Đại số lớp 11 ở trung học phổ thông. Những kiến thức về lƣợng giác đã đƣợc đề 1

cập sơ bộ ở chƣơng trình THCS và chƣơng trình lớp 10. Đây là một phần khá rộng, phức tạp và học sinh thƣờng gặp nhiều khó khăn khi giải bài tập về phƣơng trình lƣợng giác. Mặt khác ngoài những phƣơng trình lƣợng giác cơ bản , thƣờng gặp thì học sinh còn gặp những phƣơng trình lƣợng giác khác đòi hỏi học sinh phải phát hiện đƣợc vấn đề, khả năng nhìn nhận bài toán từ nhiều phía và vận dụng đƣợc các kỹ năng biến đổi, kỹ năng giải toán thành thạo để giải quyết đƣợc vấn đề đặt ra.

Với các lý do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu: Phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 11 thông qua việc giải bài tập chủ đề “Phƣơng trình lƣợng giác” để làm khóa luận tốt nghiệp cho mình.

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu * Mục đích nghiên cứu: - Phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 11 thông qua việc giải bài tập chủ đề “Phƣơng trình lƣợng giác” nhằm giúp học sinh phát huy tính tích cực, chủ động trong học tập. Từ đó góp phần nâng cao chất lƣợng dạy học và khả năng giải quyết các vấn đề trong thực tiễn của học sinh. * Nhiệm vụ nghiên cứu: - Nghiên cứu cơ sở lý luận của năng lực, năng lực giải quyết vấn đề trong môn Toán - Tìm hiểu vai trò của việc phát triển năng lực giải quyết vấn đề và từ đó đề xuất một số định hƣớng phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh - Phân loại các dạng phƣơng trình lƣợng giác và lựa chọn, sắp xếp các bài tập tự luyện theo các mức độ nhận thức nhằm tạo cơ hội để học sinh phát triển năng lực giải quyết vấn đề.

3. Đối tƣợng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu * Đối tƣợng nghiên cứu: Năng lực giải quyết vấn đề của học sinh lớp 11.

2

* Phạm vi nghiên cứu Chủ đề: “Phƣơng trình lƣợng giác” lớp 11.

4. Phƣơng pháp nghiên cứu - Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận.

- Phƣơng pháp tổng kết kinh nghiệm.

5. Dự kiến kế hoạch thực hiên Từ 11/2018 đến 2/2019 6. Cấu trúc khóa luận Bao gồm 2 chƣơng: - Chƣơng I: Cơ sở lý luận và thực tiễn - Chƣơng II: Phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 11 thông qua việc giải bài tập chủ đề “Phƣơng trình lƣợng giác”.

3

NỘI DUNG Chƣơng I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Cơ sở lý luận 1.1.1. Năng lực Theo quan điểm chung của các nhà tâm lý học, năng lực là tổng hợp các đặc điểm, thuộc tính của cá nhân phù hợp với yêu cầu đặc trƣng của một hoạt động nhất định nhằm đảm bảo cho hoạt động đó đạt hiệu quả cao. Ngoài ra, năng lực còn đƣợc định nghĩa theo nhiều cách hiểu khác nhau. Chẳng hạn, theo Từ điển Tiếng Việt: “Năng lực là phẩm chất tâm lý và sinh lý tạo cho con ngƣời khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lƣợng cao”.

Theo cách hiểu của Trần Trọng Thủy và Nguyễn Quang Uẩn: “Năng lực là tổng hợp những thuộc tính độc đáo của cá nhân phù hợp với những yêu cầu đặc trƣng của một hoạt động nhất định, nhằm đảm bảo việc hoàn thành có kết quả tốt trong lĩnh vực hoạt động ấy”. Còn theo Đặng Thành Hƣng: “Năng lực là thuộc tính cá nhân cho phép cá nhân thực hiện thành công hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể” Dù có định nghĩa năng lực theo cách nào đi chăng nữa thì các nhà nghiên cứu đều có cách hiểu tƣơng tự nhau về khái niệm này.

Hiện nay, quan niệm chung về năng lực đƣợc nhiều ngƣời thừa nhận đó là: “Năng lực là thuộc tính cá nhân đƣợc hình thành, phát triển nhờ tố chất có sẵn và trong quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con ngƣời huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân khác nhƣ hứng thú, niềm tin, ý chí,…thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể” (Chƣơng trình giáo dục phổ thông tổng thể (năm 2018)). Khái niệm năng lực trên chứa đựng những đặc điểm: - Năng lực là sự kết hợp giữa tố chất có sẵn và quá trình học tập, rèn luyện của ngƣời học.

- Năng lực là sự tích hợp của kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân khác nhƣ hứng thú, niềm tin, ý chí,…

4

- Năng lực đƣợc hình thành, phát triển thông qua hoạt động và thể hiện ở sự thành công trong hoạt động thực tiễn.

- Năng lực không chỉ bao hàm kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo mà còn cả giá trị, động cơ, đạo đức và hành vi xã hội.

Ngƣời ta chia năng lực thành năng lực chung cốt lõi và năng lực chuyên môn. Năng lực chung cốt lõi là năng lực cần thiết cho nhiều ngành hoạt động khác nhau nhƣ năng lực khái quát hóa, năng lực tƣởng tƣợng,..Còn năng lực chuyên môn là năng lực đặc trƣng trong lĩnh vực của xã hội nhƣ năng lực toán học, năng lực hội họa, năng lực tổ chức, năng lực kinh doanh…Trong đó, năng lực chung cốt lõi là năng lực cơ bản cần thiết làm nền tảng để phát triển năng lực chuyên môn. Ngƣợc lại, sự phát triển của năng lực chuyên môn trong những điều kiện nhất định lại có ảnh hƣởng đối với sự phát triển của năng lực chung. Tuy nhiên, năng lực chung cốt lõi và năng lực chuyên môn không tách rời mà có quan hệ chặt chẽ với nhau.

1.1.2. Năng lực toán học 1.1.2.1. Một số quan niệm về năng lực toán học Năng lực toán học là một loại hình năng lực chuyên môn, gắn liền với môn học. Có nhiều quan niệm khác nhau về năng lực toán học: - Theo V.A. Cruchetxki thì khái niệm năng lực toán học đƣợc giải thích trên hai khía cạnh: + Các năng lực sáng tạo (khoa học) – các năng lực hoạt động toán học tạo ra đƣợc các kết quả, thành tựu mới khách quan và quý giá. + Các năng lực học tập giáo trình phổ thông, lĩnh hội nhanh chóng và có kết quả cao về kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tƣơng ứng.

- Theo PISA: “Năng lực toán học là khả năng của một cá nhân có thể nhận biết và hiểu vai trò của toán học trong đời sống, phán đoán và lập luận dựa trên cơ sở vững chắc, sử dụng và hình thành niềm đam mê tìm tòi khám phá toán học để đáp ứng nhu cầu trong đời sống của cá nhân đó với vai trò là một công dân có ý thức, có xây dựng và có hiểu biết”.

- Theo Niss (1999): “Năng lực toán học nhƣ khả năng của cá nhân để 5

sử dụng các khái niệm toán học trong một loạt các tình huống có liên quan đến toán học, kể cả những lĩnh vực bên trong hay bên ngoài của toán học (để hiểu, quyết định và giải thích)”.

Nhƣ vậy, ta có thể hiểu năng lực toán học là đặc điểm tâm lí cá nhân (trƣớc hết là các hoạt động trí tuệ) đáp ứng đƣợc các nhu cầu của hoạt động học toán và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực toán học một cách dễ dàng, hiệu quả và sâu sắc trong mọi điều kiện.

Một cá nhân tham gia vào toán học hóa thành công trong nhiều bối cảnh, các tình huống bên trong hay bên ngoài toán học và những ý tƣởng bao quát cần có đƣợc một số các năng lực toán học. Mỗi một năng lực có thể đạt đƣợc ở các mức độ thành thạo khác nhau.Những thành phần khác nhau của toán học hóa sẽ huy động các năng lực khác nhau. Để xác định và kiểm tra những năng lực này, OECD/PISA đã quyết định sử dụng tám năng lực toán học đặc trƣng theo công trình của Niss (1999). Tám năng lực đặc trƣng theo khung đánh giá của OECD/PISA đó là: năng lực tƣ duy toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực suy luận toán học; năng lực biểu diễn; năng lực sử dụng ngôn ngữ và kí hiệu hình thứ; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phƣơng tiện toán học.

1.1.2.2. Các thành tố của năng lực toán học Theo Chƣơng trình giáo dục phổ thông môn Toán (tháng 12/2018), năng lực toán học bao gồm các thành tố: năng lực tƣ duy và năng lực lập luận toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phƣơng tiện toán học.

Mỗi thành tố của năng lực toán học cần đƣợc biểu hiện cụ thể bằng các tiêu chí, chỉ báo. Điều này đƣợc minh họa trong bảng dƣới đây: Các thành tố của năng lực toán học

Các tiêu chí, chỉ báo

1. Năng lực tƣ duy Thể hiện qua việc thực hiện đƣợc các hành động: và lập luận toán học - So sánh; phân tích; tổng hợp; đặc biệt hóa; khái quát hóa; tƣơng tự; quy nạp; diễn dịch.

6

Các thành tố của năng lực toán học

Các tiêu chí, chỉ báo - Chỉ ra đƣợc chứng cứ, lí lẽ và biết lập luận hợp lí trƣớc khi kết luận.

- Giải thích hoặc điều chỉnh cách thức giải quyết vấn đề về phƣơng diện toán học.

2. Năng lực mô hình Thể hiện qua việc thực hiện đƣợc các hành động: hóa toán học - Sử dụng các mô hình toán học (gồm công thức, phƣơng trình, bảng biểu, đồ thị,…) để mô tả các tình huống đặt ra trong các bài toán thực tế.

- Giải quyết các vấn đề toán học trong mô hình đƣợc thiết lập.

- Thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không phù hợp.

3. Năng lực giải Thể hiện qua việc thực hiện đƣợc các hành động: quyết vấn đề toán - Nhận biết, phát hiện đƣợc vấn đề cần giải quyết bằng học toán học.

- Đề xuất, lựa chọn đƣợc cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề.

- Sử dụng đƣợc các kiến thức, kỹ năng toán học tƣơng thích (bao gồm các công cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra.

- Đánh giá giải pháp đề ra và khái quát hóa cho vấn đề tƣơng tự.

4. Năng lực giao Thể hiện qua việc thực hiện đƣợc các hành động: tiếp toán học - Nghe hiểu, đọc hiểu và ghi chép đƣợc các thông tin toán học cần thiết đƣợc trình bày dƣới dạng văn bản toán học hay do ngƣời khác nói hoặc viết ra.

7

Các thành tố của năng lực toán học

Các tiêu chí, chỉ báo - Trình bày, diễn đat (nói hoặc viết) đƣợc các nội dụng, ý tƣởng, giải pháp toán học trong sự tƣơng tác với ngƣời khác (với yêu cầu thích hợp về sự đầy đủ, chính xác).

- Sử dụng hiệu quả ngôn ngữ toán học (chữ số, chữ cái, kí hiệu, biểu đồ, đồ thị, các liên kết logic,…) kết hợp với ngôn ngữ thông thƣờng và động tác hình thể khi trình bày, giải thích và đánh giá các ý tƣởng toán học trong sự tƣơng tác (thảo luận, tranh luận) với ngƣời khác.

5. Năng lực sử dụng Thể hiện qua việc thực hiện đƣợc các hành động: công cụ, phƣơng - Biết tên gọi, tác dụng, quy cách sử dụng, cách thức tiện toán học bảo quản các đồ dùng, phƣơng tiện trực quan thông thƣờng, phƣơng tiện khoa học công nghệ (đặc biệt là phƣơng tiện sử dụng công nghệ thông tin) phục vụ cho việc học toán.

- Sử dụng thành thạo và linh hoạt các công cụ và phƣơng tiện học toán, đặc biệt là phƣơng tiện khoa học công nghệ để tìm tòi, khám phá và giải quyết vấn đề toán học (phù hợp với đặc điểm nhận thức lứa tuổi).

- Chỉ ra đƣợc các ƣu điểm, hạn chế của những công cụ, phƣơng tiện hỗ trợ để có cách sử dụng hợp lí.

Vì vậy, để hình thành năng lực ở học sinh, trƣớc hết phải hƣớng đến ngƣời học, phải xuất phát từ ngƣời học, hiểu ngƣời học và việc học. Tuy nhiên, năng lực đƣợc hình thành ở học sinh còn là kết quả của cả việc dạy chứ không đơn thuẩn chỉ phụ thuộc vào quá trình học.

8

1.1.3. Năng lực giải toán Năng lực giải toán là một phần của năng lực toán học. Vậy năng lực giải toán đƣợc hiểu nhƣ thế nào?

Theo OECD, Chƣơng trình đánh giá quốc tế về năng lực ngƣời trƣởng thành (PIAAC – 2008), năng lực giải toán là khả năng tiếp cận, sử dụng, diễn giải và truyền đạt thông tin, ý tƣởng toán học để xử lí những yêu cầu toán học từ những tình huống thực tế trong đời sống văn hóa và xã hội.

Theo The Literacy and Numeracy for learning and life (Ireland, The Department of Education and Skill, 2011), năng lực giải toán không chỉ đơn thuần là kỹ năng thực hiện các phép tính mà còn bao gồm khả năng sử dụng kiến thức và kỹ năng toán học để giải quyết các vấn đề, đáp ứng nhu cầu của cuộc sống hàng ngày trong các môi trƣờng xã hội phức tạp. Ở Việt Nam, năng lực giải toán đƣợc coi là một trong những năng lực chuyên môn đặc thù, đƣợc hình thành và phát triển thông qua một số môn học nhất định, trong đó môn Toán đóng vai trò cốt lõi. Nó là khả năng vận dụng những kiến thức toán học đã đƣợc lựa chọn vào hoạt động giải bài tập toán học.

Tóm lại, trong Chƣơng trình giáo dục phổ thông các nƣớc, năng lực giải toán đƣợc coi là một trong số năng lực cốt lõi, nền tảng mà học sinh hiện nay cần có. Năng lực giải toán không chỉ đơn thuần là kỹ năng thực hiện phép tính mà mà chủ yếu là khả năng sử dụng các kiến thức và kỹ năng toán học để giải quyết các vấn đề trong cuộc sống.

Theo Nguyễn Bá Kim: “Bài tập toán học là giá mang hoạt động của học sinh”. Giải bài tập là một phần mục tiêu của việc dạy học môn Toán và còn là phƣơng tiện để giúp giáo viên cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã đƣợc trình bày ở phần lý thuyết. Bài tập toán học giúp ngƣời học kiến tạo đƣợc những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục tiêu dạy học khác. Khai thác tốt hệ thống bài tập sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho việc phát triển năng lực giải toán của học sinh. Điều quan trọng trong dạy học giải bài tập toán cho học sinh là hƣớng dẫn học sinh tìm lời giải bài tập, thể hiện qua cách suy nghĩ, các hoạt động trí tuệ: tìm tòi, 9

dự đoán, quy lạ về quen, khái quát hóa, tƣơng tự hóa... Mặt khác, giáo viên cần phải xây dựng một số tình huống buộc học sinh phải sử dụng một số quy tắc, phƣơng pháp giải toán đã học. Năng lực giải toán bao gồm các thành tố: Hiểu biết kiến thức toán học phổ thông, cơ bản; Biết cách vận dụng các thao tác tƣ duy, suy luận; Tính toán, ƣớc lƣợng, sử dụng các công cụ tính toán và dụng cụ đo,…; Đọc hiểu, diễn giải, phân tích, đánh giá tình huống có ý nghĩa toán học.

Năng lực giải toán của học sinh đƣợc thể hiện qua các hoạt động sau đây: - Nhận thức kiến thức toán học; - Tƣ duy toán học; - Vận dụng kiến thức, kĩ năng toán học.

Từ khái niệm về năng lực giải toán ta có thể rút ra một số đặc điểm và cấu trúc của năng lực giải toán nhƣ sau: - Khả năng lĩnh hội nhanh chóng quy trình giải một bài toán và các yêu cầu của một lời giải.

- Có năng lực phân tích, tổng hợp trong các lĩnh vực thao tác với các kí hiệu, ngôn ngữ toán học.

- Có tính độc lập và độc đáo cao trong khi giải toán và sự phát triển của năng lực giải quyết vấn đề.

- Sự phát triển mạnh của tƣ duy logic, tƣ duy sáng tạo thể hiện ở khả năng lập luận chính xác, về quan hệ giữa các dữ kiện của bài toán.

- Khả năng tìm tòi nhiều lời giải, huy động nhiều kiến thức một lúc vào việc giải bài tập, từ đó lựa chọn lời giải tối ƣu.

- Có khả năng nêu ra một số bài tập tƣơng tự cùng với cách giải.

- Có khả năng khái quát hóa từ bài toán cụ thể đến bài toán tổng quát, tự bài toán có một yếu tố tổng quát đến bài toán có nhiều yếu tố tổng quát nhờ các thao tác trí tuệ: phân tích, tổng hợp, trìu tƣợng hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa,…

10

Vì vậy, để phát triển năng lực giải toán cho học sinh, một trong những cách khả thi là đƣa ra một hệ thống bài tập có dụng ý sƣ phạm nhằm giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tƣ duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo và ứng dụng toán học vào thực tiễn.

1.1.4. Năng lực giải quyết vấn đề 1.1.4.1. Khái niệm về năng lực giải quyết vấn đề Năng lực giải quyết vấn đề là năng lực của một cá nhân trong quá trình nhận thức nhằm hiểu và giải quyết các tình huống có vấn đề không có sẵn lời giải đáp. Năng lực này bao gồm sự tự nguyện tham gia vào các tình huống để phát huy tiềm năng của cá nhân đó nhƣ một công dân biết đóng góp cho xã hội và biết phản ánh nhận thức của chính mình (Định nghĩa trong đánh giá PISA,2012).

Giải quyết vấn đề là hoạt động trí tuệ đƣợc coi là trình độ phức tạp và cao nhất về nhận thức vì cần huy động tất cả các năng lực trí tuệ cá nhân. Để giải quyết vấn đề, chủ thể phải huy động trí nhớ, tri giác, lý luận, khái niệm hóa, ngôn ngữ, đồng thời sử dụng cả cảm xúc, động cơ, niềm tin ở năng lực bản than và khả năng kiểm soát đƣợc tình thế (Nguyễn Toàn Cảnh, 2012, Xã hội học tập – học tập suốt đời).

Theo Nguyễn Thị Lan Phƣơng, có thể định nghĩa: “Năng lực giải quyết vấn đề là khả năng của một cá nhân “huy động”, kết hợp một cách linh hoạt và có tổ chức kiến thức, kỹ năng với thái độ, tình cảm, giá trị, động cơ cá nhân,…để hiểu và giải quyết vấn đề trong tình huống nhất đinh một cách hiệu quả và với tinh thần tích cực”.

Tóm lại, ta có thể hiểu năng lực giải quyết vấn đề của học sinh là khả năng học sinh phối hợp, vận dụng những kinh nghiệm của bản thân; kiến thức, kỹ năng của các môn học trông chƣơng trình phổ thông để giải quyết thành công các tình huống có vấn đề trong học tập và trong cuộc sống một cách tích cực.

Từ những công trình nghiên cứu có liên quan tới vấn đề năng lực trong việc học toán và năng lực giải quyết vấn đề, có thể thấy rằng năng lực giải quyết vấn đề có quan hệ với các năng lực khác nhƣ: năng lực toán học, năng 11

lực giải toán…Nếu xét ở phạm vi thực tiễn cuộc sống, mỗi học sinh luôn phải nhận biết và giải quyết những vấn đề xảy ra đối với bản thân (trong đó có những vấn đề của việc học toán) thì năng lực giải quyết vấn đề có cấu trúc phức tạp hơn, bao gồm nhiều thành phần và có vai trò rộng hơn năng lực toán học. Nhƣng nếu xét riêng ở phạm vi Toán học , hay hẹp hơn nữa là trong hoạt động giải toán thì mỗi bài toán có thể chứa đựng nhiều vấn đề. Khi đó năng lực giải quyết vấn đề lại là một bộ phận trong năng lực toán học, năng lực giải toán,… Vì vậy, giữa năng lực giải quyết vấn đề với các năng lực khác luôn có sự đan xen, tƣơng hỗ, gắn bó với nhau trong quá trình nhận thức nhiều mặt của học sinh.

1.1.4.2. Mô tả sự phát triển của năng lực giải quyết vấn đề toán học theo từng cấp học Việc mô tả sự phát triển của năng lực giải quyết theo từng cấp học phù hợp với tiêu chí, chỉ báo đƣợc thể hiện thông qua bảng sau:

NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TOÁN HỌC Tiêu chí, chỉ báo Nhận biết, phát hiện đƣợc vấn đề cần giải quyết bằng toán học.

Cấp tiểu học

Cấp trung học cơ sở

Cấp trung học phổ thông

Nhận biết Phát hiện đƣợc Xác định đƣợc tình đƣợc vấn đề vấn đề cần giải huống có vấn đề; thu cần giải quyết. thập, sắp xếp, giải thích và đánh giá đƣợc quyết và nêu độ tin cậy của thông đƣợc thành tin; chia sẻ sự am hiểu câu hỏi. vấn đề với ngƣời khác.

Lựa chọn, đề Nêu đƣợc cách xuất đƣợc cách thức giải quyết thức, giải pháp vấn đề. giải quyết vấn đề.

Xác định đƣợc Lựa chọn và thiết lập cách thức, giải đƣợc cách thức, quy pháp giải quyết trình giải quyết vấn đề. vấn đề.

12

NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TOÁN HỌC Tiêu chí, chỉ báo

Cấp tiểu học

Sử dụng đƣợc kiến thức, kỹ năng toán học tƣơng thích (bao gồm các công cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra.

Thực hiện và trình bày đƣợc các thức giải quyết vấn đề ở mức độ đơn giản.

Cấp trung học cơ sở

Cấp trung học phổ thông

Sử dụng đƣợc Thực hiện và trình bày các kiến thức, kỹ đƣợc giải pháp giải năng toán học quyết vấn đề. tƣơng thích để giải quyết vấn đề.

Đánh giá đƣợc Kiểm tra đƣợc Giải thích đƣợc giải pháp đề ra giải pháp đã giải pháp đã thực và khái quát thực hiện. hiện. hóa đƣợc cho vấn đề tƣơng tự.

Đánh giá đƣợc giải pháp đã thực hiện; phản ánh đƣợc giá trị của giải pháp; khái quát hóa đƣợc cho vấn đề tƣơng tự.

 Ví dụ: Giải phƣơng trình x x cos4  sin 4  2sin x  1 2 2 Giải Học sinh thực hiện giải bài toán theo 4 bƣớc.  Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

x x + Bài toán cho: phƣơng trình cos4  sin 4  2sin x  1 2 2 + Bài toán yêu cầu: giải phƣơng trình trên.  Bƣớc 2: Tìm lời giải x x 1 + Sử dụng công thức cos4  sin 4  1  sin 2 x để đƣa 2 2 2

13

phƣơng trình đã cho về dạng:  sin 2 x  4sin x  0 + Đặt  sin x làm nhân tử chung, khi đó ta có: ( ) sin x  0



sin x  4

+ Ta nhận thấy phƣơng trình sin x  4 vô nghiệm nên khi đó ta giải phƣơng trình sin x  0 để tìm nghiệm của phƣơng trình đã cho  Bƣớc 3: Trình bày lời giải x x cos4  sin 4  2sin x  1 Ta có: 2 2 1  1  sin 2 x  2sin x  1 2 1   sin 2 x  2sin x  0 2   sin 2 x  4sin x  0

  sin x  sin x  4  0   sin x  0 sin x  0   sin x  4  0 sin x  4

 sin x  0  x  k ; k  Vậy phƣơng trình có nghiệm là: x  k ; k  .  Nhận xét: Để giải đƣợc phƣơng trình này, học sinh phải sử dụng kiến thức, kỹ năng toán học tƣơng thích (bao gồm các công cụ và thuật toán) nhƣ: các công thức lƣợng giác, phƣơng pháp giải phƣơng trình bậc hai đối với hàm

.

1.2. Cơ sở thực tiễn 1.2.1. Vị trí, vai trò, nội dung của chủ đề “Phương trình lượng giác” trong chương trình toán lớp 11 a) Vị trí Chủ đề “Phƣơng trình lƣợng giác” nằm trong “Chƣơng I: Hàm số lƣợng giác và phƣơng trình lƣợng giác” ở phần Đại số và Giải tích lớp 11.

14

Nằm sau bài: “Các hàm số lƣợng giác”, phần phƣơng trình lƣợng giác có 11 tiết bao gồm 2 bài, đó là: Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản + Luyện tập (6 tiết, từ tiết 7 đến tiết 12) và Một số phƣơng trình lƣợng giác thƣờng gặp + Luyện tập (5 tiết, từ tiết 13 đến tiết 17). b) Vai trò Phƣơng trình lƣợng giác là một phần kiến thức rất quan trọng trong chƣơng trình môn Toán trung học phổ thông nói chung và trong chƣơng trình môn Toán lớp 11 nói riêng. Hơn nữa, chủ đề “Phƣơng trình lƣợng giác” luôn có mối quan hệ chặt chẽ, qua lại với nhiều chủ đề khác nhau trong chƣơng trình môn Toán; ví dụ nhƣ: sử dụng lƣợng giác để tính tích phân thông qua việc đặt ẩn phụ, các bài toán về đạo hàm,…Thông qua chủ đề “Phƣơng trình lƣợng giác”, học sinh có thể phát huy tối đa các năng lực cần có ở bản thân nhƣ năng lực tƣ duy, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tính toán…Vì vậy, trong các đề thi Trung học phổ thông Quốc gia, phƣơng trình lƣợng giác luôn luôn có mặt. c) Nội dung Trong chủ đề “Phƣơng trình lƣợng giác” ở Toán 11, học sinh đƣợc học về cách giải các phƣơng trình lƣợng giác bao gồm: phƣơng trình lƣợng giác cơ bản; phƣơng trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm lƣợng giác; phƣơng trình bậc nhất đối với và

và

; phƣơng trình đẳng cấp bậc hai đối với

. So với trƣớc đây, yêu cầu của chủ đề nhẹ nhàng hơn, nhƣng

nội dung cơ bản không khác mấy, điều đó đƣợc thể hiện cụ thể nhƣ sau: - Sách giáo khoa không xét các phƣơng trình lƣợng giác chứa tham số. Điều này làm cho yêu cầu về mặt kiến thức và kỹ năng giải bài tập giảm nhẹ hơn rất nhiều vì đa số những bài tập nhƣ vậy thì việc biện luận khá phức tạp.

- Sách giáo khoa cũng không xét các phƣơng trình cần đặt điều kiện liên quan đến bất phƣơng trình lƣợng giác, chẳng hạn nhƣ phƣơng trình lƣợng giác có hàm số lƣợng giác trong dấu căn bậc hai.

- Sách giáo khoa chỉ yêu cầu học sinh nhớ, hiểu các phƣơng pháp để vận dụng giải đƣợc các phƣơng trình đƣợc nêu trong bài học và những

15

phƣơng trình quy về các dạng đó. Không xét các phƣơng trình có yêu cầu quá phức tạp.

1.2.2. Thực trạng dạy và học chủ đề “Phương trình lượng giác” ở trường trung học phổ thông Từ kinh nghiệm của bản thân và từ ý kiến đóng góp, phản hồi của nhiều giáo viên, học sinh cho thấy rằng: a) Về phía giáo viên: - Các bài tập ở phần này khá đa dạng, phong phú nên giáo viên phải mất nhiều thời gian để chọn lọc, tổng hợp và khái quát hóa thành một hệ thống phù hợp với trình độ nhận thức của từng học sinh.

- Để học sinh nắm đƣợc phƣơng pháp giải các phƣơng trình lƣợng giác một cách vững chắc, nhuần nhuyễn phải mất một thời gian dài. Trong khi đó thời lƣợng ở lớp 11 dành cho phần này không nhiều nên việc học sinh mở rộng, tƣ duy linh hoạt với các dạng bài tập khác là khá khó. Do đó để học sinh làm tốt các bài tập lƣợng giác thì giáo viên cần phải có chiến lƣợc giảng dạy tốt.

- Tính bị động của học sinh khá lớn nên giáo viên thƣờng vất vả trong quá trình giảng dạy nếu yêu cầu cao đối với học sinh.

- Muốn giải đƣợc các bài tập lƣợng giác thì trƣớc tiên phải thuộc công thức lƣợng giác. Nhằm củng cố kiến thức và tóm gọn các công thức lƣợng giác tốt hơn, cách gỡ bí khi học sinh quên hoặc nhầm công thức đó là cho học sinh tự chứng minh lại công thức lƣợng giác.

- Thời gian chữa bài tập trên lớp không nhiều nhƣng giáo viên vẫn đƣa ra hệ thống bài tập khá phong phú để học sinh nắm đƣợc. Đồng thời giáo viên yêu cầu học sinh về nhà tự tìm hiểu thêm, tự học để có thể học tốt phần này.

Vì vậy, trong mỗi tiết học, giáo viên cần phải mang lại cho ngƣời học một khối lƣợng hiểu biết hoàn chỉnh, kèm theo những chỉ dẫn về phƣơng pháp và tài liệu tra cứu mà học sinh có thể không có, nhƣ vậy sẽ tiết kiệm đƣợc thời gian cho học sinh và tạo điều kiện tối đa cho học sinh có thể dùng số thời gian còn lại để tự trau dồi thêm kiến thức.

16

b) Về phía học sinh Khi học lý thuyết: - Các công thức biến đối lƣợng giác rất nhiều nên học sinh thƣờng hay quên và nhầm lẫn.

- Tuy các công thức lƣợng giác đƣợc học ở cuối lớp 10 nhƣng sang đầu lớp 11 học giải phƣơng trình lƣợng giác thì học sinh phải ôn lại nhiều. Vì vậy tốn nhiều thời gian cho việc nhắc lại kiến thức cũ và đà học bị ngắt quãng.

- Để vận dụng đƣợc các công thức lƣợng giác đúng và linh hoạt thì phải dành khá nhiều thời gian cho việc làm bài tập.

Khi làm bài tập: - Do khối lƣợng các công thức lƣợng giác nhiều nên khi làm bài tập học sinh thƣờng lung túng không biết sử dụng công thức nào cho phù hợp.

- Việc tƣ duy, biến đổi của phần lƣợng giác phức tạp nên phần lớn học sinh đều gặp khó khăn khi bắt đầu học, vì vậy dễ gây chán nản cho học sinh.

- Khi làm bài tập học sinh thƣờng vận dụng một cách máy móc theo những dạng phƣơng trình lƣợng giác cơ bản nên khi gặp bài toán lƣợng giác không phải ở dạng cơ bản thì đa phần học sinh không giải quyết đƣợc.

Vì vậy, để có thể học tốt phần này đòi hỏi học sinh phải nỗ lực rất nhiều, tích cực phối hợp với giáo viên trong các bài giảng. Ngoài ra còn phải tự chủ động tìm tòi, tự học để nâng cao kết quả học tập, từ đó có thể thúc đẩy đƣợc năng lực của bản thân.

1.2.3. Đề xuất một số định hướng nhằm nâng cao năng lực giải quyết vấn đề của học sinh trong việc giải bài tập chủ đề “Phương trình lượng giác” Để nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh trong việc giải bài tập cần chú ý các biện pháp sau:  Tăng cƣờng huy động các kiến thức, kỹ năng khác nhau cho học sinh để học sinh biết giải bài tập toán bằng nhiều cách khác nhau.  Giúp cho học sinh thấy đƣợc ứng dụng thực tiễn của “Phƣơng 17

trình lƣợng giác”, từ đó tạo hứng thú cho học sinh trong quá trình học nội dung này.  Tổ chức các hoạt động giải bài toán theo hƣớng sử dụng các bƣớc giải quyết vấn đề.  Hƣớng dẫn học sinh phát hiện sai lầm và sửa chữa sai lầm cho học sinh.  Bổ sung các bài toán chứa đựng yếu tố thực tiễn cho học sinh.

18

Kết luận chƣơng I Định hƣớng đổi mới phƣơng pháp dạy học của nƣớc ta hiện nay là “hoạt động hóa ngƣời học” nhằm mục đích nâng cao hiệu quả giáo dục và đào tạo. Với nội dung đã trình bày ở chƣơng I ta có thể thấy rằng năng lực toán học nói chung và năng lực giải quyết vấn đề nói riêng có vai trò rất quan trọng trong khoa học và trong cuộc sống. Hơn thế nữa, chủ đề “Phƣơng trình lƣợng giác” còn chứa đựng nhiều tiềm năng để phát triển năng lực giải quyết vấn đề. Tuy nhiên trong thực tế hiện nay, một phần do một số bộ phận giáo viên còn áp dụng phƣơng pháp dạy học truyền thống, phần còn lại là do nhiều học sinh có tính thụ động trong việc học nên việc khai thác năng lực giải quyết vấn đề của học sinh chƣa đƣợc phát triển tối đa và hiệu quả. Vì vậy, trong chƣơng II của khóa luận, tôi sẽ xây dựng hệ thống bài tập phƣơng trình lƣợng giác để giúp học sinh phát triển năng lực giải quyết vấn đề thông qua việc giải các bài tập đó.

19

Chƣơng II: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH LỚP 11 THÔNG QUA VIỆC GIẢI BÀI TẬP CHỦ ĐỀ “PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC”.

2.1. Chủ đề phƣơng trình lƣợng giác trong chƣơng trình lớp 11 2.1.1. Mục tiêu  Kiến thức: Học sinh cần  Hiểu đƣợc cách tìm nghiệm và nắm vững đƣợc công thức nghiệm của các phƣơng trình lƣợng giác cơ bản.  Hiểu rõ và nắm vững đƣợc dạng và phƣơng pháp giải một số phƣơng trình lƣợng giác đơn giản.  Nắm vững cách giải một số phƣơng trình lƣợng giác quy về các dạng đơn giản (có thể đòi hỏi vài điều kiện đơn giản).  Kỹ năng: Giúp học sinh  Giải thành thạo các phƣơng trình lƣợng giác cơ bản, biết biểu diễn nghiệm của phƣơng trình lƣợng giác cơ bản trên đƣờng tròn lƣợng giác. 

Nhận biết và giải thành thạo các phƣơng trình lƣợng giác đơn giản.

 Lựa chọn và sử dụng đƣợc các phƣơng pháp biến đổi để giải phƣơng trình lƣợng giác quy về dạng đơn giản, thƣờng gặp.  Thái độ  Nghiêm túc, tích cực và chủ động trong việc giải bài tập.

2.1.2. Hệ thống lại các công thức lượng giác a. Công thức nghiệm cơ bản     k 2

 sin   sin   

      k 2

, k

 cos   cos       k 2 , k   tan   tan       k , k   cot   cot       k , k  20

Chú ý:  sin   1   



 k 2 , k 

2

 sin   1    



 k 2 , k  2  cos   1    k 2 , k 

 cos   1      k 2 , k   sin   0  a  k , k   cos   0   

 2

 k , k 

b. Các công thức lƣợng giác * Công thức lƣợng giác cơ bản  sin 2   cos2  1  tan .cot   1,



1 , cos2 1  1  cot 2   2 , sin 



 1  tan 2  

k ,k  2

 2

 k , k 

  k , k 

* Công thức cộng  cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b  cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b  sin(a  b)  sin a.cos b  cos a.sin b  sin(a  b)  sin a.cos b  cos a.sin b tan a  tan b 1  tan a.tan b tan a  tan b  tan(a  b)  1  tan a.tan b

 tan(a  b) 

* Công thức nhân đôi  sin 2  2sin .cos  cos 2  cos2  sin 2   2cos2 1  1 2sin 2  21

 tan 2 

2 tan  1  tan 2 

 cot 2 

cot 2  1 2cot 

Hệ quả : Công thức hạ bậc hai 1  cos2 2 1  cos2  sin 2   2 1  cos2  tan 2   1  cos2

 cos2 

* Công thức nhân ba  sin3  3sin   4sin3   cos3 = 4cos3  3cos  tan 3 

3tan   tan3   k ) , (   2 6 3 1  3tan 

Hệ quả: Công thức hạ bậc ba 1 3sin   sin 3  4 1  cos3   3cos  cos3  4 3sin   sin 3  tan3   3cos +cos3 3cos  cos3  cot3   3sin   sin 3

 sin3  

* Công thức biến đổi tích thành tổng 1  cos a.cos b  cos(a  b)  cos(a  b)  2 1  sin a.sin b  cos(a  b)  cos(a  b)  2 1  sin a.cos b  sin(a  b)  sin(a  b)  2

22

* Công thức biến đổi tổng thành tích a b a b cos 2 2 a b a b  cos a  cos b  2sin sin 2 2 a b a b  sin a  sin b  2sin cos 2 2 a b a b  sin a  sin b  2cos sin 2 2

 cos a  cos b  2cos

* Công thức bổ sung

   cos +sin  2cos     2 sin     4  4  



     cos  sin   2cos      2 sin     4 4 







   sin   cos  2 sin     2cos     4  4   1 sin 2  (sin   cos )2  tan   cot  

2 sin 2

 cot   tan   2cot 2 1 1 3  sin 4   cos4  1  sin 2 2  cos 4  2 4 4 3 3 5  sin6   cos6  1  sin 2 2  cos 4  4 8 8 * Công thức biểu diễn theo  sin  

2t 1 t 2

1 t 2 1 t 2 2t  tan   1 t 2  cos  

23

2.1.3. Phương trình lượng giác 2.1.3.1. Phương trình lượng giác cơ bản a) Phƣơng trình  Phƣơng pháp giải 

Nếu m  1 hoặc m  1 thì phƣơng trình vô nghiệm

 Nếu 1  m  1. Khi đó phƣơng trình có dạng:  x    k 2

sin x  sin   

 x      k 2

, k  . với

Ngoài ra ta có thể viết nhƣ sau:  x  arcsin m  k 2 ,k  .   x    arcsin m  k 2

Nhƣ vậy, trong cả hai trƣờng hợp ta đều kết luận đƣợc phƣơng trình có nghiệm. b) Phƣơng trình  Phƣơng pháp giải  Nếu m  1 hoặc m  1 thì phƣơng trình vô nghiệm.  Nếu 1  m  1. Khi đó phƣơng trình có dạng:  x    k 2

cos x  cos  

 x    k 2

, k  . với

.

Ngoài ra ta có thể viết nhƣ sau:  x  arccos m  k 2 ,k  .   x  arccos m  k 2

Nhƣ vậy, với mọi giá trị của tham số phƣơng trình luôn có nghiệm. c) Phƣơng trình  Phƣơng pháp giải Đặt điều kiện: cos x  0  x  Khi đó phƣơng trình có dạng:

24

 2

 k , k 

tan x  tan   x    k , k 

với

Ngoài ra ta có thể viết : x  arctan m  k , k  .

Nhƣ vậy, trong cả hai trƣờng hợp ta đều kết luận phƣơng trình có nghiệm. d) Phƣơng trình  Phƣơng pháp giải Đặt điều kiện: sin x  0  x  k , k  Khi đó phƣơng trình có dạng:

cot x  cot   x    k , k 

với

Ngoài ra ta có thể viết : x  arccot m  k , k  .

Nhƣ vậy, với mọi giá trị của tham số phƣơng trình luôn có nghiệm.

2.1.3.2. Phương trình lượng giác thường gặp a) Phƣơng trình bậc nhất đối với một hàm số lƣợng giác  Phƣơng pháp giải Chuyển vế rồi chia cả hai vế của phƣơng trình cho a để đƣa về phƣơng trình lƣợng giác cơ bản. Sau đó ta đi giải phƣơng trình lƣợng giác cơ bản để tìm nghiệm. b) Phƣơng trình bậc hai đối với một hàm số lƣợng giác  Phƣơng pháp giải Đặt t bằng hàm số lƣợng giác và đặt điều kiện cho t (nếu có).

Khi đó phƣơng trình bậc hai đối với một hàm số lƣợng giác trở thành phƣơng trình bậc hai ẩn t. Giải phƣơng trình bậc hai để tìm t thỏa mãn điều kiện sau đó tìm nghiệm của phƣơng trình đã cho. c) Phƣơng trình bậc nhất đối với

và

 Dạng: a sin x  bcos x  c, (a, b, c  ; a2  b2  0)  Phƣơng pháp giải:

25

(1)

Cách 1  Nếu a2  b2  c2 thì phƣơng trình vô nghiệm.  Nếu a2  b2  c2 , khi đó ta chia cả hai vế của phƣơng trình (1) cho a2  b2 , ta đƣợc: a a 2  b2  a Vì   2 2  a b

sin x 

b a 2  b2

2

  b    2 2   a b 

Nên tồn tại góc 

cos x 

c a 2  b2

2

   1.  

a   cos   2 2 sao cho  a  b b   sin   2 2  a b

Khi đó phƣơng trình (1) có dạng: sin x.cos  cos x.sin    sin( x   ) 

c a 2  b2

c a 2  b2

(1’)

Đây là phƣơng trình cơ bản của hàm sin. Ta giải phƣơng trình (1’) , nghiệm của phƣơng trình (1’) chính là nghiệm của phƣơng trình (1).

Cách 2

x  Với cos  0 hay x    k 2 , k  . Ta thay trực tiếp vào 2 phƣơng trình (1) để kiểm tra xem x    k 2 , k  có là nghiệm của phƣơng trình (1) hay không. x  Với cos  0  x    k 2 , k  .

2

x 2t 1 t 2 ,cos x  Đặt t  tan suy ra sin x  2 1 t 2 1 t 2 Khi đó phƣơng trình (1) có dạng: 26

a.

2t 1 t 2 .  b c 1 t 2 1 t 2

  c  b  t 2  2at  c  b  0 Sau đó ta giải phƣơng trình trên theo t . Nghiệm của phƣơng x trình t  tan chính là nghiệm của phƣơng trình (1) 2  Ví dụ minh họa  Ví dụ. Giải phƣơng trình:

3sin3x  cos3x  2

(2)

Giải Vì

 3

2

12  4  2 

 2

2

nên phƣơng trình đã cho có nghiệm.

Chia cả hai vế của phƣơng trình (2) cho 2 ta đƣợc: 3 1 2 sin 3x  cos 3x  2 2 2

   sin  3x    sin 6 4   2   x  36  k 3  ,k   x  7  k 2  36 3 Vậy x

phƣơng

trình

đã

cho

có

nghiệm

x

 36

k

2 3

và

7 2 k ;k  .

36 3

d) Phƣơng trình đẳng cấp bậc 2 đối với

và

 Dạng: a sin 2 x  b sin x.cos x  ccos2 x  d trong đó: a, b, c, d  ; a2  b2  c2  0  Phƣơng pháp giải: Cách 1: Ta viết d dƣới dạng d  d (sin 2 x  cos2 x)  Nếu cos x  0  x 

 2

 k , k  .

27

(3)

Khi đó phƣơng trình (3) trở thành: a sin 2 x  d sin 2 x  a  d + Nếu a  d thì (3) nhận x 

 2

 k , k  làm nghiệm.

+ Nếu a  d thì (3) không nhận x 

 2

 k , k 

làm nghiệm,

tức là phƣơng trình (3) vô nghiệm.  Nếu cos x  0  x 

 2

 k , k  . Ta chia cả hai vế của phƣơng

trình (3) cho cos2 x  0 ta đƣợc: a tan 2 x  b tan x  c  d (1 tan 2 x)  (a  d ) tan 2 x  b tan x  c  d  0

(3’)

Đây là phƣơng bậc hai đối với hàm số tan x .Ta giải phƣơng trình (3’), nghiệm của phƣơng trình (3’) chính là nghiệm của phƣơng trình (3).

Cách 2: Sử dụng công thức hạ bậc sin 2 x 

1  cos 2x 1  cos 2x 1 ;cos2 x  ;sin x.cos x  sin 2 x 2 2 2

Ta đƣợc: b sin 2x  (c  a)cos 2x  d  c  a

(3’’)

Đây là phƣơng trình bậc nhất đối với sin 2x và cos 2x .Ta giải phƣơng trình (3’’), nghiệm của phƣơng trình (3’’) chính là nghiệm của phƣơng trình (3).  Ví dụ minh họa  Ví dụ. Giải phƣơng trình sau:

2cos2 x  3sin 2x  sin 2 x  1

(4)

Giải +) cos x  0  x 



2 dạng 1=1(luôn đúng).

Vì vậy x 

 2

 k , k  . Khi đó phƣơng trình (4) có

 k , k 

là nghiệm của phƣơng trình (4).

28

+) cos x  0  x 

 2

 k , k  . Chia cả hai vế của phƣơng trình

(4) cho cos2 x  0 ta đƣợc: 2  6tan x  tan 2 x  1 tan 2 x 1 1  tan x   x  arctan    k , k  .

6 6

Vậy phƣơng trình đã cho có nghiệm x 

 2

 k và

1 x  arctan    k ; k  . 6

e) Phƣơng trình đẳng cấp bậc 3 đối với

và

 Dạng: a sin3 x  b sin 2 x.cos x  c sin x.cos2 x  dcos3x  e sin x  fcos x  0 (5)

 Phƣơng pháp giải  Nếu cos x  0  x 

 2

 k , k 

thì sin x  1

Khi đó phƣơng trình (5) trở thành: + Nếu a  e thì (5) nhận x 

 2

a sin3 x  e sin x  0

 k , k  làm nghiệm.

+ Nếu a  e thì (5) không nhận x 

 2

 k , k 

làm nghiệm,

tức là phƣơng trình (5) vô nghiệm.  Nếu cos x  0  x 

 2

 k , k  . Ta chia cả hai vế của phƣơng

trình (5) cho cos3 x  0 ta đƣợc: 

 1  1    f . 0 2  cos x   cos2 x 

a tan3 x  b tan 2 x  c tan x  d  e tan x 

 (a  e) tan3 x  (b  f ) tan 2 x  (c  e) tan x  d  f  0

(5’)

Đây là phƣơng trình bậc ba đối với hàm số tan x .Ta giải phƣơng trình (5’), nghiệm của phƣơng trình (5’) chính là nghiệm của phƣơng trình (5).  Ví dụ minh họa 29

 Ví dụ. Giải phƣơng trình sau: 4sin3 x  3sin 2 x.cos x  sin x  cos3x  0

(6)

Giải +) cos x  0  x 



 k , k  , thay vào phƣơng trình (6) ta

2

thấy không thỏa mãn. Vì vậy x 

 2

 k , k 

không phải là

nghiệm của phƣơng trình (6). +) cos x  0  x 

 2

 k , k  . Chia cả hai về của phƣơng trình

(6) cho cos3 x  0 ta đƣợc: 3tan3 x  3tan 2 x  tan x 1  0 Đặt t  tan x . Khi đó phƣơng trình (6’) có dạng:

(6’)

 t  1   1 3 2 3t  3t  t 1  0  t  3   1 t   3       x   4  k tan x   1    1  Suy ra :  tan x    x   k , k  .  6 3    1  x     k  tan x    6  3

Vậy phƣơng trình đã cho có ba họ nghiệm x  

x



4

 k ,



 k và x    k ; k  .

6 6

f) Phƣơng trình đối xứng với  Dạng:



và

a(sin x  cos x)  b sin x.cos x  c  0; a, b, c

 Phƣơng pháp giải

30

(7)

Cách 1 Do (sin x  cos x)2  1 2sin x.cos x nên ta đặt

t  sin x  cos x  2 sin  x  



  2cos   x  .  4 4 

Điều kiện t  2 Suy ra : sin x.cos x 

t 2 1 . Từ đó phƣơng trình (7) có dạng: 2

bt 2  2at  (b  2c)  0

(7’)

Đây là phƣơng trình bậc hai ẩn t . Ta giải phƣơng trình (7’) tìm t thỏa mãn điều kiện

t  2 . Nghiệm của phƣơng trình

t  sin x  cos x chính là nghiệm của phƣơng trình (7).

Cách 2 Đặt t 





 x thì sin x  cos x  2cos   x   2cos t 4 4 

Ta có:

1 1  1 1 sin x.cos x  sin 2 x  cos   2 x   cos 2t  cos2t  2 2 2 2  2 Do đó phƣơng trình (7) trở thành: b (7’’) bcos2t  a 2cos t   c  0 2 Đây là phƣơng trình bậc hai đối với hàm số cos t . Giải phƣơng trình (7’’) tìm t . Khi đó nghiệm của phƣơng trình (7) là

x



t .

4  Ví dụ minh họa  Ví dụ. Giải phƣơng trình sau:

3sin x  cos x   sin x.cos x  3  0 Giải t 2 1 Đặt t  sin x  cos x với  2  t  2 . Suy ra sin x.cos x  .

2

31

Khi đó phƣơng trình đã cho có dạng: t  1(TM ) t 2  6t  5  0   t  5( KTM )

Với t  1 ta có: sin x  cos x  1

 sin  x  

  1 4 

2

  x    k 2  ,k  .  2   x    k 2



Vậy phƣơng trình có nghiệm x    k 2 và x    k 2 ; k  .

2 2.1.3.3. Phương trình lượng giác sử dụng nhiều đến các phép biến đổi lượng giác. a) Phƣơng trình lƣợng giác chứa ẩn ở mẫu  Phƣơng pháp giải  Đặt điều kiện xác định cho phƣơng trình.  Rút gọn phƣơng trình đã cho và giải phƣơng trình cuối cùng khi rút gọn.  Đối chiếu điều kiện ban đầu để chọn nghiệm.  Ví dụ minh họa (1  2sin x)cos x  Ví dụ.Giải phƣơng trình:  3 (1  2sin x)(1  sin x) ( Đề thi Toán khối A năm 2009) Giải

  x   k 2  2  sin x  1    Điều kiện:  1   x   6  k 2 (k  ). sin x    2  7   x  6  k 2  Với điều kiện trên thì phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng:  cos x  sin 2x  3(cos2x  sin x)

32

1 3 3 1  cos x  sin x  cos2x  sin 2 x 2 2 2 2





 sin   x   sin   2 x  6  3 

 2   x   18  k 3 ,k  .   x    k 2  2 Đối chiếu với điều kiện ta thấy x 

 2

 k 2 , k 

không thỏa

mãn.

Vậy phƣơng trình đã cho có nghiệm là: x  

 18

k

2 ,k .

3

b) Phƣơng trình lƣợng giác chứa dấu giá trị tuyệt đối  Phƣơng pháp giải  Đặt điều kiện xác định cho phƣơng trình.  Lựa chọn phƣơng pháp thực hiện phù hợp. Ta có thể chọn các phƣơng pháp nhƣ: sử dụng định nghĩa, các tính chất giá trị tuyệt đối, đặt ẩn phụ…

Ta xét hai dạng cơ bản sau: + Dạng 1:

f ( x)  g ( x)  f 2 ( x)  g 2 ( x)

+ Dạng 2:   f ( x)  0    g ( x)  0  g ( x)  0   f ( x)  g ( x)  2  f ( x)  g ( x)    2 f ( x)  0   f ( x)   g ( x)  f ( x)  g ( x)     f ( x)   g ( x) 

+ Dạng 3:

h( x)  0 f ( x)  g ( x)  h( x)   2 f ( x)  g ( x)  h 2 ( x)  



 Đối chiếu điều kiện ban đầu để chọn nghiệm.  Ví dụ minh họa  Ví dụ. Giải phƣơng trình: 33



3cos x  2 sin x  2 (Phương pháp giải các dạng Toán THPT – Lượng giác) Giải Ta có:

3cos x  2 sin x  2  2 sin x  2  3cos x 2  3cos x  0

 

2 2  4sin x  (2  3cos x)

2  cos x  3  13cos2 x 12cos x  0 

 cos x  0  x 

 2

 k , k  .

Vậy phƣơng trình có nghiệm là: x 

 2

 k , k  .

c) Phƣơng trình lƣợng giác chứa căn  Phƣơng pháp giải  Đặt điều kiện xác định cho phƣơng trình.  Lựa chọn phƣơng pháp thực hiện phù hợp. Ta sử dụng các phép biến đổi cơ bản sau:  f ( x)  0

 g ( x)  0

+ Dạng 1:

f ( x)  g ( x)  

+ Dạng 2:

f ( x)  g ( x)  

+ Dạng 3:

  f ( x)  0  f ( x)  g ( x )  h( x )   g ( x )  0  2  f ( x)  g ( x )  h( x ) 

 f ( x)  g ( x)



 f ( x)  g ( x)

 g ( x)  0 2   f ( x)  g ( x )





Chú ý: Đối với các phƣơng trình lƣợng giác chứa căn dạng trên ta thƣờng không giải bất phƣơng trình mà ta đi giải phƣơng trình.

Sau đó kiểm tra lại nghiệm x cho điều kiện của bất phƣơng trình.

34

 Đối chiếu điều kiện ban đầu để chọn nghiệm.  Ví dụ minh họa  Ví dụ. Giải phƣơng trình: 1 sin x  cos x  0

(Phương pháp giải các dạng Toán THPT – Lượng giác) Giải Phƣơng trình đã cho đƣợc biến đổi về dạng: 1 sin x  cos x cos x  0   2 1  sin x  cos x cos x  0    cos2 x  1   sin x  1

cos x  1  sin x  1  x    k 2  ,k  .  x     k 2  2



Vậy phƣơng trình có nghiệm là x    k 2 và x    k 2 , 2 k . d) Phƣơng trình lƣợng giác chứa tham số  Phƣơng pháp giải  Biến đổi phƣơng trình đã cho về dạng

f  ( x), m  0

(8)

trong đó  ( x) là một hàm số hoặc một biểu thức lƣợng giác của

x, x  D . Ta cũng có thể dùng ẩn phụ trong từng trƣờng hợp riêng cụ thể. Đặt: t   ( x) .Gọi E là miền giá trị của hàm số  ( x) , x  D  t  E . Từ (8) ta có phƣơng trình:

35

f (t, m)  0

(8’)

 Khi đó bài toán giải và biện luận phƣơng trình (8) trở thành giải và biện luận hệ:  f (t , m)  0  t  E

 Ví dụ minh họa  Ví dụ. Giải và biện luận phƣơng trình sau: (5m 1)sin x 1  m sin x  3 Giải Ta biến đổi phƣơng trình đã cho về dạng: (4m 1)sin x  2

+ Nếu m 

1 thì phƣơng trình (9) vô nghiệm.

4

+ Nếu m 

1 2 thì từ phƣơng trình (9) ta có: sin x  .

4 4m 1

(9)

Mặt khác ta lại có 1  sin x  1 nên: 1  m  2 4 1  1   4m 1 m  3  4

Vậy: 1  m   4  x    k 2 2  sin    ,k  . + Nếu  thì sin x  4m 1 m  3  x      k 2  4

Khi đó phƣơng trình đã cho có nghiệm x    k 2 và

x      k 2 ; k  .

1 3 + Nếu   m  thì phƣơng trình (9) vô nghiệm, suy ra phƣơng 4 4 trình đã cho cũng vô nghiệm.

36

2.2. Hệ thống bài tập phƣơng trình lƣợng giác nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề. a) Giải phƣơng trình

3sin 2 x  2cos2 x  2 2  2cos2 x Hƣớng dẫn:  Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

3sin 2 x  2cos2 x  2 2  2cos2 x + Đề bài yêu cầu: giải phƣơng trình trên. + Đề bài cho: phƣơng trình

 Bƣớc 2: Tìm lời giải + Ta thấy rằng phƣơng trình đã cho vừa có sin 2x vừa có cos2x nên ta phải làm gì để biến đổi phƣơng trình đã cho chỉ còn sin x và cos x ?

Sử dụng công thức nhân đôi để đƣa sin 2x và cos2x về dạng sin x và cos x .

Ta có: sin 2x  2sin x.cos x ; cos2x  2cos2 x 1 Khi đó phƣơng trình đã cho trở thành:

2 3sin x.cos x  2cos2 x  2 2+2(2cos2 x 1)

 2 3sin x.cos x  2cos2 x  2 4cos2 x + Xét vế trái (VT): Đặt cos x làm nhân tử chung, khi đó ta có



VT = cos x 2 3sin x  2cos x Ta lại thấy



3 1  sin x  cos x  sin  x   nên ta nhân và chia 2 2 6 

đồng thời VT cho 4, tức là: 2 3   3  2 1 sin x  cos x   4cos x  sin x  cos x  VT = 4cos x  4 2  4   2 

  4cos x.sin  x   6  + Xét vế phải (VP): Sử dụng phƣơng pháp khai căn bậc hai ta có VP = 2 2cos x  4 cos x 37

+ Xét phƣơng trình VT = VP, hay phƣơng trình:

 4cos x.sin  x    4 cos x 6 

  cos x.sin  x    cos x 6 

(10)

Ta xét các trƣờng hợp của cos x để tìm nghiệm của phƣơng trình (10). Nghiệm của phƣơng trình (10) cũng chính là nghiệm của phƣơng trình đã cho ban đầu.  Nếu cos x  0 thì phƣơng trình (10) trở thành:

 cos x.sin  x    cos x 6  Chia cả 2 vế của phƣơng trình cho cos x ta có:    2 sin  x    1  x    k 2  x   k 2 ;(k  ).

6 6 2 3  Ta thấy x  x

2  k 2 ;(k  ) không thỏa mãn cos x  0 nên 3

2  k 2 ;(k  ) không phải là nghiệm của (10).

3

 Nếu cos x  0  x 

 2

 k ,(k  ). Thay vào phƣơng

trình (10) ta thấy VT = VT, do đó x 

 2

 k ,(k  ) là

nghiệm của phƣơng trình (10).  Nếu cos x  0 thì phƣơng trình (10) trở thành:

 cos x.sin  x    cos x 6  Chia cả 2 vế của phƣơng trình cho cos x ta có:

    sin  x    1  x     k 2  x    k 2 ;(k  ).

6 6 2 3  

Ta thấy x    k 2 ;(k  ) không thỏa mãn cos x  0 3



nên x    k 2 ;(k  ) không phải là nghiệm của (10).

3  Bƣớc 3: Trình bày lời giải Ta có:

3sin 2x  2cos2 x  2 2  2cos2 x 38

 2 3sin x.cos x  2cos2 x  2 2+2(2cos2 x 1)

 2 3sin x.cos x  2cos2 x  2 4cos2 x





 cos x 2 3sin x  2cos x  2 2cos x 2 3

 2 sin x  cos x   4 cos x 4  4 

 4cos x 

 3

 1 sin x  cos x   4 cos x 2  2 

 4cos x 

  cos x.sin  x    cos x 6 

(10)

+ Nếu cos x  0 thì phƣơng trình (10) trở thành:

 cos x.sin  x    cos x 6 

  sin  x    1 6     x    k 2 6 2 2 x  k 2 ;(k  ).

3 Ta thấy x  x

2  k 2 ;(k  ) không thỏa mãn cos x  0 nên 3

2  k 2 ;(k  ) không phải là nghiệm của (10).

3

+ Nếu cos x  0  x 

 2

 k ,(k  ). . Thay vào phƣơng trình

(10) ta thấy VT = VT, do đó x 

 2

 k ,(k  ) là nghiệm của

phƣơng trình (10). + Nếu cos x  0 thì phƣơng trình (10) trở thành:

 cos x.sin  x    cos x 6 

  sin  x    1 6  39

 x

 6

 x

Ta thấy x  x



 3

 2

 k 2

 k 2 ;(k  ).

2  k 2 ;(k  ) không thỏa mãn cos x  0 nên 3

2  k 2 ;(k  ) không phải là nghiệm của (10).

3

Vậy phƣơng trình đã cho có nghiệm là x 

 2

 k ,(k  ) .

Nhận xét: Để giải đƣợc phƣơng trình trên; học sinh phải sử dụng các kiến thức, kỹ năng toán học tƣơng thích ( bao gồm các công cụ và thuật toán) cụ thể nhƣ: phƣơng pháp giải phƣơng trình lƣợng giác chứa dấu giá trị tuyệt đối, phƣơng pháp giải phƣơng trình lƣợng giác cơ bản, công thức nhân đôi và công thức cộng,.. b) Giải phƣơng trình:

sin  x     cos    x  1 x 6   3   cos  sin .tan  x x   2 2 cos x  cos x  Hƣớng dẫn:  Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung đề bài + Đề bài cho: phƣơng trình

sin  x     cos    x  1 x 6   3   cos  sin .tan  x x   2 2 cos x  cos x  + Đề bài yêu cầu: giải phƣơng trình trên.  Bƣớc 2: Tìm cách giải Trƣớc tiên, chúng ta thấy rằng đây là phƣơng trình lƣợng giác chứa ẩn ở mẫu nên ta áp dụng phƣơng pháp giải phƣơng trình lƣợng giác chứa ẩn ở mẫu, cụ thể nhƣ sau: + Để phƣơng trình có nghĩa thì cần những điều kiện gì ?

40

cos x  0

Điều kiện để phƣơng trình có nghĩa: 

x

cos  0  2 

+ Rút gọn phƣơng trình: x nên 2 ta phải làm thể nào để biến đổi VT của phƣơng trình sao cho chỉ còn sin và cos ? x sin x 2 để phƣơng trình đã cho chỉ còn Đƣa tan về dạng x 2 cos 2 sin và cos.

 Xét vế trái (VT): Ta thấy VT vừa có sin x , cos x , tan

- Khi đó:

x  sin  1 2  VT =  cos x  sin x .  x cos2 x  cos  2 

- Quy đồng biểu thức trong ngoặc để rút gọn VT bằng cách áp dụng công thức cos a.cos b  sin a.sin b  cos(a  b) - Lúc đó ta có VT =

1 1 cos2 x

  Xét vế phải (VP): Ta thấy VP có sin  x   và 6 

cos  x  

 3 



, liệu chúng ta có thể biến đổi về dạng

sin  x     sin  x   

hay

cos  x     cos  x   

để

thuận tiện cho việc rút gọn đƣợc không? Và ta phải biến đổi nhƣ thế nào?  - Sử dụng công thức cos a  sin 



2

 a  để đƣa 

    sin  x    cos   x  thành sin  x    sin   x  6 6  6   3  - Áp dụng công thức sin a  sin b  2sin rút gọn VP, khi đó ta có: 41

a b a b để cos 2 2

2sin x.cos



6  3 sin x cos x cos x  Sau khi đã rút gọn VT và VP ta đi giải phƣơng trình VT=VP, tức là:

VP =

1 1 = 3 sin x 2 cos x cos x - Thực hiện quy đồng phân thức và sử dụng công thức biến đổi lƣợng giác ta đƣợc:

sin 2 x  3sin x.cos x - Sau đó ta chuyển vế và đặt nhân tử chung để đƣa phƣơng





trình về dạng sin x sin x  3cos x  0 và sau đó ta đi giải phƣơng trình này tìm nghiệm và đối chiếu với điều kiện ban đầu để tìm ra nghiệm thỏa mãn. Nghiệm thỏa mãn chính là nghiệm của phƣơng trình đã cho.  Bƣớc 3: Trình bày lời giải

   x   k ;(k  ).  2 x cos  0  x    k 2  2   cos x  0

+ Điều kiện: 

+ Với điều kiện trên phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với phƣơng trình x x  sin  x     sin  x     cos x .cos  sin x .sin       1 6 6     2 2    2 x cos x cos x   cos 2  

 x   cos 2  2sin x.cos 6 1    cos x cos2 x  cos x  2  

1 3sin x 1  2 cos x cos x

 1 cos2 x  3sin x.cos x

 sin2 x  3sin x.cos x 42





 sin x sin x  3cos x  0 sin x  0



sin x  3cos x  0

sin x  0  x  k  ;k        sin  x    0  x   k   3 3 

Đối chiếu với điều kiện ta suy ra nghiệm của phƣơng trình đã cho là:  x  k 2  ; k .  x    k  3

Nhận xét: Khi giải đƣợc phƣơng trình trên; học sinh phải lựa chọn, đề xuất đƣợc cách thức, phƣơng pháp đó là áp dụng phƣơng pháp giải phƣơng trình lƣợng giác chứa ẩn ở mẫu để giải quyết vấn đề. Bên cạnh đó học sinh còn phải sử dụng các kiến thức, kỹ năng toán học tƣơng thích (bao gồm các công cụ và thuật toán) nhƣ: công thức cộng, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức lƣợng giác liên quan giữa hai góc phụ nhau,… c) Cho phƣơng trình : cos x  sin x  sin x  cos x  2 Một bạn giải phƣơng trình trên nhƣ sau:

cos x  sin x  sin x  cos x  2   cos x  sin x  sin x  cos x   4 2

  cos x  sin x   2(cos x  sin x).(sin x  cos x)  (sin x  cos x)2  4 2

 2  2(sin 2 x  cos2 x)  4

 2cos2 x  2  cos2 x  1  x 

 2

 k ;(k  ).

Hãy cho biết bạn đó giải phƣơng trình trên đúng hay sai? Vì sao? Nếu sai hãy sửa lại cho đúng.

Hƣớng dẫn: 43

 Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung đề bài + Đề bài cho: phƣơng trình và lời giải phƣơng trình của một bạn. + Đề bài yêu cầu: cho biết lời giải trên đúng hay sai, vì sao. Nếu sai hãy sửa lại cho đúng.  Bƣớc 2: Tìm lời giải + Đây là phƣơng trình lƣợng giác có chứa dấu giá trị tuyệt đối nên theo phƣơng pháp giải phƣơng trình lƣợng giác chứa dấu giá trị tuyệt đối ta xác định phƣơng trình có dạng:

f ( x)  g ( x)  h( x);  h( x)  0  Ở đây vì 2 > 0 nên dấu tƣơng đƣơng thứ nhất bạn đó bình phƣơng hai vế của phƣơng trình là đúng. + Sang dấu tƣơng đƣơng thứ hai, bạn đó khai triển hằng đẳng thức  a  b   a2  2ab  b2 là sai. Vì do ta chƣa khẳng định 2

đƣợc dấu của a và b nên  a  b   a2  2 a . b  b2 2

+ Từ đó, bài làm của bạn đó không chính xác, vì vậy dẫn đến thiếu sót nghiệm.  Bƣớc 3: Trình bày lời giải Lời giải của bạn đó không đúng. Vì bạn khai triển sai ở chỗ

 cos x  sin x  sin x  cos x 

2

  cos x  sin x   2(cos x  sin x).(sin x  cos x)  (sin x  cos x)2 2

Sửa lại: Ta có

cos x  sin x  sin x  cos x  2   cos x  sin x  sin x  cos x   4 2

  cos x  sin x   2 (cos x  sin x).(sin x  cos x)  (sin x  cos x)2  4 2

 2  2 (sin 2 x  cos2 x)  4

44

 2 cos2 x  2  x  k  cos2 x  1   cos2 x  1     x  k ;(k  ).   x   k 2  cos2 x  1 2 

Vậy phƣơng trình đã cho có nghiệm x  k

 2

;k 

Nhận xét: Để trả lời đƣợc câu hỏi của bài toán trên; học sinh phải biết nhận biết, phát hiện đƣợc vấn đề cần giải quyết bằng toán học, cụ thể: học sinh xác định đƣợc tình huống có vấn đề, sau đó thu thập, giải thích đƣợc vì sao lời giải đó lại không chính xác. Ngoài ra học sinh còn phải đánh giá đƣợc giải pháp để ra bằng cách giải thích đƣợc cách làm mình đƣa ra là đúng. d) Giải phƣơng trình sau bằng 2 cách

  sin  3x    sin 2 x.sin  x   4 4   Hƣớng dẫn:  Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung đề bài





    + Đề bài cho: phƣơng trình sin  3x    sin 2 x.sin  x   4 4 







+ Đề bài yêu cầu: giải phƣơng trình trên bằng 2 cách  Bƣớc 2: Tìm lời giải  Cách 1: Sử dụng các phép biến đổi lƣợng giác + Làm thế nào để đƣa phƣơng trình đã cho về hàm lƣợng giác của x, 2x và 3x ?

Sử dụng công thức lƣợng giác

sin  a  b   sin a.cos b  cos a.sin b để đƣa phƣơng trình đã cho về hàm lƣợng giác của x, 2x và 3x. Khi đó phƣơng trình đã cho trở thành:

sin3x  cos3x  sin 2 x sin x  cos x   sin3x  cos3x  sin 2x.sin x  sin 2x.cos x

45

+ Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng 1 sin a.sin b  cos  a  b   cos  a  b   và 2 1 sin a.cos b  sin  a  b   sin  a  b   2

để đƣa phƣơng trình về dạng : sin3x  sin x  cos3x  cos x  0

+ Sử dụng công thức sin a  sin b  2cos

a b a b và sin 2 2

a b a b để đƣa phƣơng trình về dạng cos 2 2 tích, mục đích là để xuất hiện 2cos2x làm nhân tử chung. Khi đó cos a  cos b  2cos

ta đi giải phƣơng trình: 2cos2x  sin x  cos x   0

(11)

Nghiệm của phƣơng trình (11) chính là nghiệm của phƣơng trình đã cho ban đầu.  Cách 2: Đặt ẩn phụ + Chọn cách đặt ẩn phụ nào cho phù hợp, đặt t  3x  t  2 x hay t  x 

 4

hay



? Ở đây ta nên đặt ẩn phụ đối với biểu thức 4 có hệ số của x bằng 1 để thuận tiện cho việc đổi biến.

  3x   3t     4 Đặt t  x    . Khi đó phƣơng trình đã cho trở  4  2 x  2t   2  thành:

 sin 3t     sin  2t  .sin t 2 

+ Xét vế trái (VT): Sử dụng các công thức giá trị lƣợng giác của các cung đối nhau và bù nhau để biến đổi sin  3t      sin3t



  + Xét vế phải (VP): Áp dụng công thức sin      cos  và 2 

46



1 sin a.cos b  sin  a  b   sin  a  b   để biến đổi 2 1 1 VP = sin t  sin 3t 2 2

+ Giải phƣơng trình VT = VP, tức là giải phƣơng trình 1 1  sin 3t  sin t  sin 3t 2 2

Sử dụng công thức nhân ba sin3  3sin   4sin3  để đƣa phƣơng trình về dạng : 2sin3 t  2sin t  0

(11’)

Đây là phƣơng trình bậc ba đối với sint nên ta đã biết phƣơng pháp giải. Giải phƣơng trình (11’) tìm nghiệm t sau đó tìm x. Khi đó x chính là nghiệm của phƣơng trình đã cho ban đầu.  Bƣớc 3: Trình bày lời giải  Cách 1: Ta có

  sin  3x    sin 2 x.sin  x   4 4   

 2  2 2 2 sin 3x  cos3x  sin 2 x  sin x  cos x  2 2 2  2 

2 2 sin 3x  cos3x   sin 2 x  sin x  cos x   2 2  sin3x  cos3x  sin 2x.sin x  sin 2x.cos x 1 1  sin3x  cos3x  cos x  cos3x   sin x  sin3x  2 2  (sin3x  sin x)  (cos3x  cos x)  0 

 2cos2x.sin x  2cos2x.cosx  0

 2cos2x  sin x  cos x   0 cos2 x  0  sin x  cos x  0

47

       k 2 x x  k   2 4 2  x    k  ;(k  ).   4 2  2 sin  x     0  x    k     4 4    Vậy phƣơng trình đã cho có nghiệm là : x 





 k ;(k  ).

4 2

 Cách 2: Đặt t  x 

 4

. Khi đó phƣơng trình đã cho trở thành:

 sin 3t     sin  2t  .sin t 2    sin3t  cos2t.sin t 1   sin3t   sin(t)  sin3t  2 1 1   sin 3t  sin t  sin 3t 2 2





1 1  4sin3 t  3sin t  sin t  3sin t  4sin3 t  0 2 2

 2sin3 t  2sin t  0

  sin 3t     sin  2t  .sin t 2  sin t  0  2 sin t 1  0  t  k sin t  0      sin t  1  t   k 2  t  k ;(k  ).  2 2 sin t  1    t    k 2 2 

Từ t  k

 2

;(k  )  x 





 k ;(k  ).

4 2

48

Vậy phƣơng trình đã cho có nghiệm là x 





 k ;(k  ).

4 2

Nhận xét: Để giải đƣợc phƣơng trình trên; học sinh phải lựa chọn, đề xuất đƣợc cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề; đó là lựa chọn và thiết lập đƣợc quy trình giải phƣơng trình đã cho bằng 2 cách: sử dụng các phép biến đổi lƣợng giác và đặt ẩn phụ. Sau đó học sinh phải sử dụng đƣợc các kiến thức, kỹ năng toán học tƣơng thích (bao gồm các công cụ và thuật toán) để giải phƣơng trình theo mỗi cách tƣơng ứng, cụ thể nhƣ: công thức cộng, công thức biến đổi tích thành tổng, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức nhân ba và lựa chọn biểu thức cần đặt ẩn phụ sao cho phù hợp,… e) Giải và biện luận phƣơng trình sau theo m : 3sin x  m.cos x  2  m

(12)

Hƣớng dẫn:  Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung đề bài + Đề bài cho: phƣơng trình 3sin x  m.cos x  2  m + Đề bài yêu cầu: giải và biện luận phƣơng trình theo m.  Bƣớc 2: Tìm cách giải Ta thấy rằng phƣơng trình đã cho là phƣơng trình bậc nhất đối với

và

nên ta áp dụng phƣơng pháp giải phƣơng trình

bậc nhất đối với và cụ thể nhƣ sau: x + Xét cos  0  x    k 2 ; k  . Kiểm tra xem 2 x    k 2 ; k  có là nghiệm của phƣơng trình đã cho hay không.

x + Xét cos  0  x    k 2 ; k  .

2 x Đặt t  tan , khi đó phƣơng trình đã cho trở thành: 2 2t 2  6t  2m  2  0 (12’) Biện luận phƣơng trình (12’) theo m để tìm t từ đó suy ra nghiệm của phƣơng trình (12).

 Bƣớc 3: Trình bày lời giải 49

x  Xét cos  0  x    k 2 ; k  . Ta thấy 2 x    k 2 ; k  không phải là nghiệm của phƣơng trình đã cho.

x  Xét cos  0  x    k 2 ; k  .

2

x Đặt t  tan , khi đó phƣơng trình đã cho trở thành: 2 2t 2  6t  2m  2  0

(

Ta có:

(12’)

)

5 thì phƣơng trình (12’) vô 4 nghiệm. Do đó phƣơng trình (12) vô nghiệm.

+ Nếu

 5  4m  0  m  

+ Nếu

 5  4m  0  m  

5 thì phƣơng trình (12’) có 4

3 nghiệm kép t1  t2  .

2 3 Do đó phƣơng trình (12) có nghiệm x  2arctan    k2 ; k  . 2

 5  4m  0  m  

+ Nếu

hai nghiệm phân biệt t1 

5 thì phƣơng trình (12’) có 4

3  5  4m 3  5  4m và t2  2 2

Với t1 

 3  5  4m  3  5  4m  x  2arctan    k 2 ; k  .

2 2  

Với t2 

 3  5  4m  3  5  4m  x  2arctan    k 2 ; k  .

2 2  

Vậy :

5 thì phƣơng trình (12) vô nghiệm.

4 5 + Với m   thì phƣơng trình (12) có một nghiệm là: 4 + Với m  

50

3 x  2arctan    k 2 ; k  . 2

+ Với m  

5 thì phƣơng trình (12) có hai nghiệm là: 4

 3  5  4m    k 2 ; k  2  

x  2arctan 

và

 3  5  4m    k 2 ; k  .  2  

x  2arctan 

Nhận xét: Để giải và biện luận đƣợc phƣơng trình trên; học sinh phải nhận biết đƣợc phƣơng trình đã cho là phƣơng trình bậc nhất đối với

và

và sau đó lựa chọn, đề xuất đƣợc cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề đó là áp dụng phƣơng pháp giải phƣơng trình bậc nhất đối với và theo cách 2. Ngoài ra học sinh còn phải sử dụng các kiến thức về cách giải phƣơng trình bậc hai một ẩn để biện luận nghiệm của phƣơng trình theo f) Tìm m để phƣơng trình (m2  4m  3)sin 2 x  m(m 1) có nghiệm Hƣớng dẫn:  Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung đề bài + Đề bài cho: phƣơng trình (m2  4m  3)sin 2 x  m(m 1) + Đề bài yêu cầu: tìm m để phƣơng trình có nghiệm.  Bƣớc 2: Tìm cách giải + Phân tích đa thức m2  4m  3 thành tích của hai đa thức m 1 và m  3 để đƣa phƣơng trình đã cho về dạng:

 m 1 m  3 sin 2 x  m  m 1

(13)

+ Ta xét các trƣờng hợp của m để kiểm tra xem với trƣờng hợp nào của m thì phƣơng trình đã cho có nghiệm.  Xét m  1. Thay vào phƣơng trình (13) ta thấy VT = VP. Do đó với m  1 thì phƣơng trình đã cho luôn đúng x .  Xét m  3 . Thay vào phƣơng trình (13) ta có: VT = 0  VP = 6.

Do đó với m  3 thì phƣơng trình đã cho vô nghiệm.

51

m  1

 Xét 

m  3

. Thực hiện chia cả hai vế của phƣơng trình

(13) cho m 1 . Khi đó phƣơng trình (13) tƣơng đƣơng với phƣơng trình: m sin 2 x  (13’) m 3 Dựa vào tính chất chất của hàm số sin x ta luôn có: 1  sin x  1  0  sin 2 x  1 Do đó, để phƣơng trình (13’) có nghiệm thì: m 0 1 m3 Giải bất phƣơng trình trên ta thấy m  0 thỏa mãn phƣơng trình (13’) có nghiệm. Vì vậy m  0 cũng thỏa mãn phƣơng trình đã cho ban đầu có nghiệm.

 Bƣớc 3: Trình bày lời giải

 m2  4m  3 sin2 x  m  m 1

Ta có:

 (m 1)(m  3)sin 2 x  m(m 1)

(13)

+ Xét m  1. Thay vào phƣơng trình (13) kiểm tra ta thấy VT = VP. Do đó với m  1 thì phƣơng trình đã cho luôn đúng x . + Xét m  3 . Thay vào phƣơng trình (13) ta thấy với m  3 thì phƣơng trình đã cho vô nghiệm. m  1

+ Xét 

m  3

. Chia cả hai vế của phƣơng trình (13) cho m 1 ta

đƣợc:

m (13’) m 3 Phƣơng trình (13’) có nghiệm khi và chỉ khi: m 0 1 m  0 m3 Vậy với m  0 và m =1 thì phƣơng trình đã cho có nghiệm. sin 2 x 

Nhận xét: Để tìm đƣợc m sao cho phƣơng trình đã cho có nghiệm; học sinh 52

phải lựa chọn, đề xuất đƣợc cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề đó là đi xét từng trƣờng hợp của m để kiểm tra xem trƣờng hợp nào của m thì phƣơng trình đã cho có nghiệm. g) Cho phƣơng trình: cos2 x  5m.cos x  6  0

(14)

*) Giải phƣơng trình với m  1. **) Chứng minh rằng với mọi m thỏa mãn m  1 phƣơng trình luôn có nghiệm.

Hƣớng dẫn:  Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung đề bài + Đề bài cho: phƣơng trình cos2 x  5m.cos x  6  0 và m  1 + Đề bài yêu cầu: *) Giải phƣơng trình với m =1 **) Chứng minh rằng với mọi m thỏa mãn m  1 phƣơng trình luôn có nghiệm.  Bƣớc 2: Tìm lời giải *) + Thay m =1 vào phƣơng trình (14) để đƣợc phƣơng trình: cos2 x  5cos x  6  0 + Đây là phƣơng trình bậc hai đối với cos x nên ta đặt cos x  t

với điều kiện t  1. Sau đó ta giải phƣơng trình t 2  5t  6  0 để tìm nghiệm t thỏa mãn. Từ đó chúng ta đi giải phƣơng trình lƣợng giác cơ bản cos x  t để tìm nghiệm x. **) + Bằng cách đặt cos x  t với điều kiện t  1 và hàm số f (t )  t 2  5m.t  6

+ Để chứng minh rằng với mọi m thỏa mãn m  1 phƣơng trình luôn có nghiệm thì ta đi chứng minh với mọi m thỏa mãn m  1 53

phƣơng trình f  t   0 luôn có nghiệm thuộc  1;1 + Sử dụng phƣơng pháp phân tích đi lên: Giả sử phƣơng trình f  t   0 luôn có nghiệm thuộc  1;1 Tức là: f  1 . f 1  0  25  25m2  0  m  1 (luôn đúng theo giả thiết).

Vậy với mọi m thỏa mãn m  1 thì phƣơng trình (14) luôn có nghiệm.  Bƣớc 3: Trình bày lời giải *) Với m =1, thay vào phƣơng trình (14) ta đƣợc: cos2 x  5cos x  6  0

(14’)

Đặt cos x  t với t  1. Khi đó phƣơng trình (14’) trở thành:

t 2  5t  6  0 t  1(TM )  t  6( KTM ) Với t =1 suy ra: cos x  1  x  k 2 ;(k  ).

Vậy với m =1, phƣơng trình đã cho có nghiệm là:

x  k 2 ;(k  ). **) Đặt cos x  t với t  1 và f (t )  t 2  5m.t  6 Ta có: f  1 . f 1   5  5m. 5  5m  25  25m2 Để phƣơng trình (14) luôn có nghiệm hay phƣơng trình f  t   0 luôn có nghiệm thuộc  1;1 thì: f (1). f (1)  0  25  25m2  0  m  1 . Vậy với mọi m thỏa

mãn m  1 thì phƣơng trình (14) luôn có nghiệm.

Nhận xét: Để giải đƣợc phƣơng trình trên; học sinh phải lựa chọn, đề xuất đƣợc cách thức giải pháp giải quyết vấn đề, cụ thể là: Ở phần *) học sinh cần áp dụng phƣơng pháp giải phƣơng trình bậc hai đối với một hàm số lƣợng giác. Sang phần **) học sinh cần phải xác định đƣợc để chứng minh với mọi

54

m thỏa mãn m  1 phƣơng trình luôn có nghiệm thì cần chứng minh với mọi m thỏa mãn m  1 phƣơng trình f  t   0 luôn có nghiệm thuộc  1;1 trong đó cos x  t với điều kiện t  1 và hàm số f (t )  t 2  5m.t  6 2.3. Bài tập tự luyện Bài 1: Giải các phƣơng trình sau: a) 2sin(2 x 

3 ) 3  0 5

 Hƣớng dẫn:

3  Đƣa phƣơng trình đã cho về dạng sin  2 x  5 

3    2 . Đây là phƣơng 

trình lƣợng giác cơ bản nên ta áp dụng phƣơng pháp giải phƣơng trình lƣợng giác cơ bản để tìm nghiệm của phƣơng trình.



2   x   15  k Đáp số:  ,k  .  x    k  30

b) 4 sin6   cos6   cos    2 x   0 2



 Hƣớng dẫn: Sử dụng công thức sin6   cos6  1 3 sin 2 2 để biến 4

đổi phƣơng trình đã cho về phƣơng trình: 4  3sin 2 2 x  sin 2 x  0 Sau đó ta đi giải phƣơng trình trên để tìm nghiệm của phƣơng trình đã cho.

 Đáp số: x    k ; k  .

4

c) cos2x  3sin 2x  3sin x  cos x  0  Hƣớng dẫn: Phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với phƣơng trình sin 



6



 2 x   sin  x  



55

5  6 

 2  x  3  k 3  Đáp số:  ;k  .  x   5  k 2  3 d)

5cos x  cos2x  2sin x  0

 Hƣớng dẫn: Sử dụng phƣơng pháp giải phƣơng trình chứa căn và công thức nhân đôi để biến đổi phƣơng trình đã cho thành:  sin x  0  2  2cos x  5cos x  3  0



 Đáp số: x    k 2 ; k  .

3 e) 3sin 2 x  5cos2 x  2cos2 x  4sin 2 x  0  Hƣớng dẫn: Sử dụng công thức nhân đôi để biến đổi phƣơng trình đã cho thành phƣơng trình: 3sin 2 x  cos2 x  8sin x.cos x  2  0 Đây là phƣơng trình đẳng cấp bậc 2 đối với và

nên ta áp

dụng phƣơng pháp giải phƣơng trình đẳng cấp bậc 2 đối với để tìm nghiệm của phƣơng trình đã cho.    x  4  k  Đáp số:  ,k  . 3   x  arctan  5   k  f) 1 sin 2x  cos2x  sin 4x  cos4x  0  Hƣớng dẫn: Sử dụng công thức 1 sin 4 x  sin 2x  cos2x  và 2

cos4x  cos2 2x  sin 2 2x để biến đổi phƣơng trình đã cho về phƣơng

trình:

sin 2x  cos2x  1 2cos2x   0

56

và

3   x  8  k 2    Đáp số:  x   k , k  .

3   x     k  3 g) 5sin 2 x  2  3sin x  cos x  .tan 2 2 x 2

 Hƣớng dẫn: Sử dụng các công thức biến đổi lƣợng giác

cos2 2 x  1 sin 2 2 x  1 sin 2 x 1 sin 2 x   sin x  cos x  1 sin 2 x  2

để biến đổi phƣơng trình đã cho thành phƣơng trình: 5sin 2 x  2 

3sin 2 2 x 1  sin 2 x 

   x  12  k  Đáp số:  ;k  .  x  5  k  12 h)



2 1  sin 2 x .sin  x  

3 4

   cos2 x  0 

 Hƣớng dẫn: Sử dụng các công thức sin      sin  và cos2 x  sin 2 x   cos x  sin x  cos x  sin x  để biến đổi phƣơng trình đã

cho thành phƣơng trình:

 cos x  sin x   1 sin 2x  cos x  sin x   0 Sử dụng công thức 1 sin 2 x   cos x  sin x  để biến đổi tiếp phƣơng 2

trình về dạng:

 cos x  sin x   cos x  sin x  cos x  sin x   0 Sử dụng phƣơng pháp giải phƣơng trình lƣợng giác chứa dấu giá trị tuyệt đối để giải phƣơng trình tìm nghiệm.

57

   x  4  k   Đáp số:  x    k 2 ; k  .    x    k 2 2  Bài 2: Giải phƣơng trình 1  1  x2  x 1  2 1  x2  



 Hƣớng dẫn: + Điều kiện: x  1

   ; . Khi đó phƣơng trình đã cho có dạng:  2 2 

  

+ Đặt

1  1  sin 2   sin  1  2 1  sin 2   



+ Tiếp tục sử dụng các công thức biến đổi lƣợng giác nhƣ: công thức nhân đôi, công thức biến đổi tổng thành tích để đƣa phƣơng trình trên về dạng:

 3  2cos 1  2 sin   0 2 2  1  x   Đáp số: 2   x  1

Bài 3: Giải phƣơng trình : x  2  2  2  x  Hƣớng dẫn:  x  2 + Xét  thì vế phải của phƣơng trình đã cho không xác định. x  2

+ Xét 2  x  2 . Đặt

(

). Sau đó sử dụng các phép

biến đổi lƣợng giác để đƣa phƣơng trình đã cho về dạng:  t cos t  cos     4 8  Đáp số: x  2cos

2 9

Bài 4: Cho hệ phƣơng trình 58

 x2  y 2  9   2 2  z  t  16  xt  yz  12 

Tìm nghiệm của hệ sao cho tổng x  z đạt giá trị lớn nhất.  Hƣớng dẫn: + Hệ phƣơng trình đã cho tƣơng đƣơng với hệ:  x 2  y  2       1  3  3  2 2  z  t      1 4   4  x t y z  .  . 1 3 4 3 4 

+ Ta có:

x y z t 1 ;  1 ;  1 ;  1 nên ta đặt: 3 3 4 4 x y z t  sin  ;  cos  ;  sin  ;  cos  3 3 4 4

+ Thay vào phƣơng trình thứ ba của hệ ta có: sin      1.

Mặt khác ta có: x  z  3sin   4sin   3sin   4sin 



2

 3sin   4cos  

   k 2 

32  42 sin2   cos2   5

Kiểm tra xem dấu “ = ” xảy ra khi nào?   9 12 16 12   x; y; z; t    ; ; ;  5 5 5 5   Đáp số:    9 12 16 12  ; ; ;  (x; y; z; t )   5 5 5   5 

59



Kết luận chƣơng II Phƣơng trình lƣợng giác là một trong những kiến thức rất quan trọng trong chƣơng trình môn Toán trung học phổ thông nói chung và trong chƣơng trình môn Toán lớp 11 nói riêng. Vì vậy, để học tốt phần này, ngoài việc đòi hỏi học sinh phải có một kĩ năng biến đổi lƣợng giác thành thạo thì còn đòi hỏi các em phải biết nhận xét, quan sát, sử dụng công thức lƣợng giác phù hợp để có hƣớng biến đổi đúng đắn nhằm đƣa phƣơng trình lƣợng giác đã cho về phƣơng trình lƣợng giác đơn giản hơn. Trong chƣơng II này, tôi tập trung xây dựng hệ thống bài tập phƣơng trình lƣợng giác dựa trên những định hƣớng đã đề ra ở chƣơng I và bài tập tự luyện nhằm giúp học sinh phát triển năng lực giải quyết vấn đề.

60

KẾT LUẬN Dạy học theo định hƣớng phát triển năng lực ngƣời học đƣợc xem nhƣ một nội dung giáo dục, phƣơng pháp giáo dục hiện đại trong xu thế đổi mới căn bản và toàn diện Giáo dục và Đào tạo hiện nay. Do mục tiêu của giáo dục theo năng lực là tập trung vào đầu ra của quá trình dạy và học, trong đó nhấn mạnh năng lực và mức độ năng lực mà ngƣời học cần đạt đƣợc sau kết thúc một chƣơng trình giáo dục nên chƣơng trình giảng dạy và đánh giá cũng cần phải dựa trên năng lực đầu ra làm trọng tâm. Từ các năng lực cơ bản cốt lõi, giáo viên cũng nhƣ ngƣời thiết kế chƣơng trình giảng dạy và đánh giá cần phải chia nhỏ thành các năng lực thành phần. Đồng thời nhiều loại hình và công cụ đánh giá khác nhau đƣợc áp dụng để thu đƣợc kết quả chính xác, khách quan và tin cậy nhất là năng lực học sinh.

Trong đề tài này, tôi đã chú trọng nhấn mạnh vào việc phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh (một trong những năng lực cốt lõi và là đòn bẩy để thúc đẩy những năng lực khác phát triển) thông qua việc giải bài tập chủ đề “Phƣơng trình lƣợng giác”. Kết quả chính mà tôi đã đạt đƣợc trong khóa luận đó là: 1. Cơ sở lý luận của việc phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua giải bài tập toán học.

2. Đề xuất một số định hƣớng phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh 3. Phân dạng phƣơng trình lƣợng giác kèm theo phƣơng pháp giải, ví dụ minh họa cho từng dạng.

4. Hƣớng dẫn giải cụ thể một số bài toán và xây dựng hệ thống bài tập tự luyện theo các mức độ nhằm tạo cơ hội để học sinh phát triển năng lực giải quyết vấn đề.

61

TÀI LIỆU THAM KHẢO Bộ Giáo dục và Đào tạo (2006), Chương trình giáo dục phổ thôngnhững vấn đề chung, NXB Giáo dục.

2. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2017),Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể .

3. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2018), Chương trình môn Toán.

4. Bộ Giáo dục và Đào tạo, Sách Đại số và giải tích 10, 11 cơ bản và nâng cao.

5. Nguyễn Toàn Cảnh (2012), Xã hội học tập – học tập suốt đời.

6. Lê Hồng Đức ( 2017), Phương pháp giải các dạng toán THPT- Lượng giác, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.

7. Đặng Thành Hƣng (2012), Năng lực và giáo dục tiếp cận năng lực, Tạp chí Quản lí Giáo dục.

8. Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học môn Toán.

9. Hoàng Phê (2005), Từ điển Tiếng Việt, NXB Đà Nẵng.

10. Đỗ Đức Thái, Đỗ Tiến Đạt, Phạm Xuân Chung, Nguyễn Sơn Hà, Phạm Sỹ Nam, Vũ Đình Phƣợng, Nguyễn Thị Kim Sơn, Vũ Phƣơng Thúy,Trần Quang Vinh (2018), Dạy học phát triển năng lực môn Toán trung học phổ thông, NXB Đại Học Sƣ phạm.

11. Lê Đình Trung (2016), Dạy học theo định hướng hình thành và phát triển năng lực người học ở phổ thông, NXB Đại học Sƣ phạm.

1.

62