Phương trình lượng giác 11 ( đầy đủ lí thuyết bài tập )

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A. TÓM TẮT LÍ THUYẾt Dạng toán 1: Phương trình lượng giác cơ bản 1. Phương trình: sin x = m (1) * Nếu: m > 1 ⇒ Phương trình vô nghiệm  π π * Nếu: m ≤ 1 ⇒ ∃α ∈  − ;  sin α = m  2 2

 x = α + k 2π

⇒ (1) ⇔ sin x = sin α ⇔ 

 x = π − α + k 2π

( k ∈ ℤ ).

 π π − ≤ α ≤ Chú ý : * Nếu α thỏa mãn  2 2 thì ta viết α = arcsin m . sin α = m  *Các trường hợp đặc biệt:

1. sin x = 1 ⇔ x =

π + k 2π 2

π 2 sin x = −1 ⇔ x = − + k 2 π 2

3. sin x = 0 ⇔ x = kπ

2. Phương trình: cos x = m (2) * Nếu: m > 1 ⇒ phương trình vô nghiệm * Nếu: m ≤ 1 ⇒ ∃α ∈ [0; π] : cos α = m

 x = α + k 2π ⇒ (2) ⇔ cos x = cos α ⇔  ( k ∈ Z ).  x = −α + k 2 π 0 ≤ −α ≤ π Chú ý : * Nếu α thỏa mãn  thì ta viết α = arccos m . cos α = m * Các trường hợp đặc biệt: Doc24.vn

1. cos x = 1 ⇔ x = k 2 π 2. cos x = −1 ⇔ x = π + k 2 π 3. cos x = 0 ⇔ x =

π + kπ 2

3. Phương trình : tan x = m (3)  π π Với ∀m ⇒ ∃α ∈  − ;  : tan α = m  2 2 ⇒ (3) ⇔ tan x = tan α ⇔ x = α + kπ .  π π − < α < Chú ý : * Nếu α thỏa mãn  2 2 thì ta viết α = arctan m . tan α = m  * Các trường hợp đặc biệt:

1. tan x = 1 ⇔ x =

π + kπ 4

π 2. tan x = −1 ⇔ x = − + kπ 4

3. tan x = 0 ⇔ x = kπ 4. Phương trình: cot x = m (4) π π Với ∀m ⇒ ∃α ∈ ( − ; ) : cot α = m 2 2 ⇒ (4) ⇔ cot x = cot α ⇔ x = α + k π .

 π π − < α < Chú ý : * Nếu α thỏa mãn  2 2 thì ta viết α = arc co t m . cot α = m  * Các trường hợp đặc biệt:

1. cot x = 1 ⇔ x =

Doc24.vn

π + kπ 4

2. co t x = −1 ⇔ x = −

3. cot x = 0 ⇔ x =

π + kπ 4

π + kπ 2

Ghi chú:

u = v + k 2 π * sin u = sin v ⇔  u = π − v + k 2 π

( k ∈ ℤ)

u = v + k π  * tan u = tan v ⇔  π u, v ≠ + nπ 2 

u = v + kπ * cot u = cot v ⇔  u, v ≠ nπ

* cos u = cos v ⇔ u = ± v + k 2π

( k , n ∈ ℤ)

( k , n ∈ ℤ)

Dạng 2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx Là phương trình có dạng: a sin x + b cos x = c (1) ; với a , b , c ∈ ℝ và a 2 + b2 ≠ 0 .

a 2 + b2 và đặt

Cách giải: Chia hai vế cho cos α =

a a 2 + b2

; sin α =

b a 2 + b2

.

⇒ (1) ⇔ sin x.cos α + cos x.sin α =

c 2

a +b

2

⇔ sin( x + α) =

c 2

a + b2

Chú ý: • (1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm ⇔ a 2 + b2 ≥ c 2 .

1  3 π • sin x ± 3 cos x = 2  sin x − cos x  = 2 sin( x − ) 2 3   2 •

 3  1 π 3 sin x ± cos x = 2  sin x ± cos x  = 2 sin( x ± ) 2 6  2 

 1  1 π • sin x ± cos x = 2  sin x ± cos x  = 2 sin( x ± ) .

4 2  2  Dạng 3. Phương trình bậc hai chứa một hàm số lượng giác Doc24.vn

(2).

( k ∈ ℤ)

2

 sin u( x)   sin u( x)      cos u( x)  cos u( x)    Là phương trình có dạng : a +b +c =0  tan u( x)  tan u( x)       cot u( x)   cot u( x) 

 sin u( x)    cos u( x)   Cách giải: Đặt t = ta có phương trình : at 2 + bt + c = 0  tan u( x)     cot u( x)  Giải phương trình này ta tìm được t , từ đó tìm được x

 sin u( x)  Khi đặt t =   , ta co điều kiện: t ∈  −1;1  cos u( x) Dạng 4. Phương trình đẳng cấp Là phương trình có dạng f (sin x ,cos x) = 0 trong đó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Cách giải: Chia hai vế phương trình cho cos k x ≠ 0 (k là số mũ cao nhất) ta được phương trình ẩn là tan x .

Dạng 5. Phương trình đối xứng (phản đối xứng) đối với sinx và cosx Là phương trình có dạng: a(sin x + cos x) + b sin x cos x + c = 0 (3) Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ

t2 − 1 = sin x cos x   π t = sin x + cos x = 2 sin  x +  ⇒  2 4    t ∈ − 2; 2     Thay và (5) ta được phương trình bậc hai theo t.

Ngoài ra chúng ta còn gặp phương trình phản đối xứng có dạng

a(sin x − cos x) + b sin x cos x + c = 0 (3’) t ∈  − 2 ; 2    π   Để giải phương trình này ta cũng đặt t = sin x − cos x = 2 sin  x −  ⇒  2 4  sin x cos x = 1 − t   2 Doc24.vn

Thay vào (3’) ta có được phương trình bậc hai theo t.

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. Vấn đề 1. Giải các phương trình lượng giác cơ bản Các ví dụ Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: 1. sin x − cos 2 x = 0

2. cos 2 x − sin 2 x = 0

3. 2 sin(2 x − 350 ) = 3

4. sin(2 x + 1) + cos(3 x − 1) = 0 Lời giải:

π 1. Phương trình ⇔ cos 2 x = sin x = cos( − x) 2  π 2π  π x = 6 + k 3 2x = 2 − x + k 2π ⇔ ⇔ , k∈ℤ .  x = − π + k 2π 2x = − π + x + k 2π   2 2

2. Phương trình cos 2 x − 2 sin x cos x = 0 cos x = 0  cos x = 0 ⇔ cos x(cos x − 2 sin x) = 0 ⇔  ⇔  tan x = 1 x x 2 sin = cos   2  π  x = 2 + kπ ⇔ ,k∈ℤ .  x = arctan 1 + kπ  2

3. Phương trình ⇔ sin(2 x − 350 ) =

3 = sin 60 0 2

 950 x = + k.180 0   2 x − 35 = 60 + k 360 2 ⇔ ⇔ .

0 0 0 0 1550   2 x − 35 = 180 − 60 + k 360 0  x = 2 + k.180 0

0

0

π  4. Phương trình ⇔ cos(3 x − 1) = sin( −2 x − 1) = cos  + 2 x + 1  2  Doc24.vn

 π  π  x = 2 + 2 + k 2π 3x − 1 = 2 + 2 x + 1 + k 2π . ⇔ ⇔  x = − π + k 2π 3x − 1 = − π − 2 x − 1 + k 2π   2 10 5

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau: 1. cos x − 2 sin 2 x = 0 3. sin 2 2 x = cos 2 2 x + cos 3 x

2. sin 3 x sin 3 x − cos 3 x cos 3 x = − 4. sin 2 x.cos 3 x = sin 5 x.cos 6 x

5. sin x + sin 2 x + sin 3 x = cos x + cos 2 x + cos 3 x 6. sin 2 3 x − cos 2 4 x = sin 2 5 x − cos 2 6 x

7. cos 2 3x cos 2 x − cos 2 x = 0 Lời giải:

1. Phương trình ⇔ cos x − 4 sin x cos x = 0 ⇔ cos x(1 − 4 sin x) = 0  π cos x = 0  x = 2 + kπ ⇔ ⇔ sin x = 1  x = arcsin 1 + k 2 π, x = π − arcsin 1 + k 2 π 4   4 4

2. Ta có sin 3 x =

3 sin x − sin 3 x cos 3 x + 3 cos x ; cos 3 x = 4 4

Nên phương trình đã cho tương đương với sin 3 x ( 3 sin x − sin 3 x ) − cos 3x ( cos 3 x + 3 cos x ) = − ⇔ 3 ( sin 3 x sin x − cos 3 x cos x ) − 1 = − ⇔ −3 cos 4 x = −

5 2

3 1 π π ⇔ cos 4 x = ⇔ x = ± + k , k ∈ ℤ .

2 2 12 2

3. Phương trình ⇔ sin 2 2 x − cos 2 2 x = cos 3 x ⇔ cos 4 x = − cos 3 x = cos ( π − 3 x )

Doc24.vn

5 2

5 2

 π 2π 4 x = π − 3x + k 2π x= +k  ⇔ ⇔ 7 7   4 x = −π + 3 x + k 2 π  x = −π + k 2 π

4. Phương trình ⇔

1 1  sin 5x − sin x  =  sin 11x − sin x  2 2

⇔ sin 5 x = sin 11x ⇔ x = k

π π π hoặc x = +k 6 16 8

5. Phương trình ⇔ (sin x + sin 3 x) + sin 2 x = (cos x + cos 3x) + cos 2 x ⇔ 2 sin 2 x cos x + sin 2 x = 2 cos 2 x cos x + cos 2 x  2π  1 x=± + k 2π  cos x = − 3  ⇔ (2 cos x + 1)(sin 2 x − cos 2 x) = 0 ⇔ ⇔ .

2  π π  sin 2 x = cos 2 x x= +k   8 2

6. Áp dụng công thức hạ bậc, ta có: Phương trình ⇔

1 − cos 6 x 1 + cos 8 x 1 − cos10 x 1 + cos12 x − = − 2 2 2 2

⇔ cos 6 x + cos 8 x = cos10 x + cos12 x  π x = + kπ   cos x = 0 2 . ⇔ 2 cos 7 x cos x = 2 cos11x cos x ⇔  ⇔ x = k π ; x = k π  cos11x = cos 7 x  2 9

7. Phương trình ⇔ (1 + cos 6 x) cos 2 x − 1 − cos 2 x = 0 ⇔ cos 6 x.cos 2 x − 1 = 0 ⇔ cos 8 x + cos 4 x − 2 = 0 ⇔ 2 cos 2 4 x + cos 4 x − 3 = 0 ⇔ cos 4 x = 1 ⇔ x = k

π .

2

Nhận xét: * Ở cos 6 x.cos 2 x − 1 = 0 ta có thể sử dụng công thức nhân ba, thay cos 6 x = 4 cos 3 2 x − 3 cos 2 x và chuyển về phương trình trùng phương đối với hàm số lượng giác cos 2x .

Doc24.vn

* Ta cũng có thể sử dụng các công thức nhân ngay từ đầu, chuyển phương trình đã cho về phương trình chỉ chứa cosx và đặt t = cos 2 x Tuy nhiên cách được trình bày ở trên là đẹp hơn cả vì chúng ta chỉ sử dụng công thức hạ bậc và công thức biến đổi tích thành tổng .

Ví dụ 3 Giải các phương trình sau: 1. 3 sin x + 4 cos x = 0

2. sin 2 x + 3 cos 2 x = 1

3. 2 sin 3 x + 5 cos 3 x = 5

4. 3 cos x + 3 sin x = 1

5. sin 7 x − cos 2 x = 3(sin 2 x − cos 7 x)

6. sin 3 x − 3 cos 3 x = 2 sin 2 x

7. sin x + cos x sin 2 x + 3 cos 3 x = 2(cos 4 x + sin 3 x) Lời giải: 1. Phương trình ⇔ 3 sin x = −4 cos x ⇔ tan x = −

 4 4 ⇔ x = arctan  −  + kπ .

3  3

π π 1 π 2. Phương trình ⇔ 2 sin(2 x + ) = 1 ⇔ sin(2 x + ) = = sin 3 3 2 6  π 2x + 3 = ⇔ 2x + π = 3 

π  π + k 2π x = − + kπ  6 12 ⇔ , k∈ℤ .

5π π  + k 2π x = + kπ  6 4

3. Ta có 2 2 +

( 5)

2

= 9 < 52 ⇒ phương trình vô nghiệm.

4. Phương trình ⇔ 3 cos x + sin x =

⇔x=

π 1 ⇔ cos( x − ) = 6 3 2 3

1

π 1 ± arccos + k 2π , k ∈ ℤ .

6 2 3

5. Phương trình ⇔ sin 7 x + 3 cos 7 x = 3 sin 2 x + cos 2 x  π π  π π 7 x − = x − + k 2π x=− +k   π π 6 3 36 3 , k∈ℤ. ⇔ cos(7 x − ) = cos( x − ) ⇔  ⇔ 6 3 π π π π 7 x − = − x + + k 2 π x = +k   16 4 6 3 Doc24.vn

 π 3x − = 2 x + k 2π  π 3 6. Phương trình ⇔ sin(3 x − ) = sin 2 x ⇔  3  3 x − π = π − 2 x + k 2π  3  x = ⇔ x = 

π + k 2π 3 , k∈ℤ .

4π 2π +k 15 5

7. Phương trình ⇔

3 1 3 1 sin x + sin 3 x + 3 cos 3 x = 2 cos 4 x + sin x − sin 3 x 2 2 2 2

 π  x = − 6 + k 2π π ⇔ sin 3 x + 3 cos 3 x = 2 cos 4 x ⇔ cos(3x − ) = cos 4 x ⇔  .

3  x = π + k 2π  42 7

Ví dụ 4. Giải các phương trình sau: π  2. tan  ( sin x + 1)  = 1 4 

1. cos( π sin x) = cos(3π sin x) Lời giải:

 sin x = k  3π sin x = π sin x + k 2 π ⇔ 1. Phương trình ⇔   sin x = n 3 π sin x = −π sin x + n 2 π   2

• Xét phương trình sin x = k . Do k ∈ ℤ và −1 ≤ sin x ≤ 1 nên ta có các giá trị của k : −1,0,1 Từ đó ta có các nghiệm: x = mπ, x =

• Xét phương trình sin x =

π + mπ , m ∈ ℤ 2

n . Ta có các giá trị của n là: n = ±2, n = ±1, n = 0 2

Từ đó ta tìm được các nghiệm là: x =

π π + lπ, x = lπ, x = ± + lπ, l ∈ ℤ 2 6

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = mπ, x =

Doc24.vn

π π + mπ, x = ± + mπ m ∈ ℤ .

2 6

2. Phương trình ⇔

π π sin x + 1) = + kπ ( 4 4

⇔ sin x + 1 = 1 + 4 k ⇔ sin x = 4 k ⇔ sin x = 0 ⇔ x = mπ , m ∈ ℤ .

Ví dụ 5. Giải các phương trình sau: 1.

(

)

3 − 1 sin x +

(

)

3 + 1 cos x = 2 2 sin 2 x

2. 3 sin 2 x + 5 cos 2 x − 2 cos 2 x = 4 sin 2 x x  x π 4. sin 2  −  tan 2 x − cos 2 = 0 2 2 4

3. 5 sin x − 2 = 3 ( 1 − sin x ) tan 2 x

Lời giải: 1. Phương trình ⇔ 3 sin x + cos x + 3 cos x − sin x = 2 2 sin 2 x π π 7π ⇔ sin( x + ) + cos( x + ) = 2 sin 2 x ⇔ sin( x + ) = sin 2 x 6 6 12  7π  7π  x = 12 + k 2 π  2 x = x + 12 + k 2 π . ⇔ ⇔  x = 5π + k 2 π 2 x = π − x − 7 π + k 2π   12 36 3

2. Phương trình đã cho tương đương với

3 sin 2 x + 5 cos 2 x − 2(cos 2 x − sin 2 x) = 8 sin x cos x

⇔ 5 sin 2 x − 8 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0 ⇔ 5 tan 2 x − 8 tan x + 3 = 0 ⇔ tan x = 1 hoặc tan x =

⇔x=

π 3 + kπ hoặc x = arctan + kπ 4 5

3. Điều kiện : cos x ≠ 0 ⇔ x ≠

π + kπ 2

Phương trình ⇔ 5 sin x − 2 = 3(1 − sin x)

⇔ 5 sin x − 2 = 3(1 − sin x) Doc24.vn

sin 2 x 1 − sin 2 x

sin 2 x cos 2 x

3 5

⇔ 5 sin x − 2 = 3

sin 2 x ⇔ (5 sin x − 2)(1 + sin x) = 3 sin 2 x 1 + sin x

 x = 1 π 2 ⇔ 2 sin x + 3 sin x − 2 = 0 ⇔ sin x = = sin ⇔  2 6 x = 

4. Điều kiện : cos x ≠ 0 ⇔ x ≠

π + k 2π 6 .

5π + k 2π 6

π + kπ .

2

 π  sin 2 x Phương trình ⇔ 1 − cos( x − ) − (1 + cos x) = 0 2  cos 2 x 

sin 2 x ⇔ (1 − sin x) − (1 + cos x) = 0 1 − sin 2 x ⇔

sin 2 x − (1 + cos x) = 0 1 + sin x

⇔ (1 − cos 2 x) − (1 + cos x)(1 + sin x) = 0

 x = k 2π  cos x = 1 . ⇔ (1 − cos x)(cos x − sin x) = 0 ⇔  ⇔ π  tan x = 1  x = + kπ 4 

Ví dụ 6. Giải các phương trình sau: 1. sin 3 x + cos 3 x = sin x − cos x

2. 2 cos 3 x = sin 3 x

3. sin 2 x + 3 tan x = cos x ( 4 sin x − cos x ) Lời giải: 1. Phương trình ⇔ sin x + cos x = (sin x − cos x)(sin 2 x + cos 2 x) 3

3

⇔ 2 cos 3 x − sin x cos 2 x + cos x.sin 2 x = 0

(

)

⇔ cos x sin 2 x − sin x cos x + 2 cos 2 x = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x =

π + kπ (Do sin 2 x − sin x cos x + 2 cos 2 x > 0 ∀x ∈ ℝ ) 2

2. Phương trình ⇔ 2 cos 3 x = 3 sin x − 4 sin 3 x Doc24.vn

⇔ 4 sin 3 x + 2 cos 3 x − 3 sin x(sin 2 x + cos 2 x) = 0 ⇔ sin 3 x − 3 sin x cos 2 x + 2 cos 3 x = 0 ⇔ tan 3 x − 3 tan x + 2 = 0 (do cos x = 0 không là nghiệm của hệ)

⇔ (tan x − 1)(tan 2 x + tan x − 2) = 0  π  tan x = 1 x = + kπ ⇔ ⇔ 4   tan x = −2  x = arctan( −2) + kπ

3. Điều kiện: cos x ≠ 0 Phương trình ⇔ tan 2 x + 3 tan x(1 + tan 2 x) = 4 tan x − 1 ⇔ 3 tan 3 x + tan 2 x − tan x + 1 = 0 ⇔ (tan x + 1)(3 tan 2 x − 2 tan x + 1) = 0 ⇔ tan x = −1 ⇔ x = −

π + kπ .

4

Ví dụ 7. Giải các phương trình sau: 1. sin 2 x − 5 sin x cos x − 6 cos 2 x = 0 3. 3 sin 2 x + 5 cos 2 x − 2 cos 2 x = 4 sin 2 x

2. sin 2 x − 3 sin x.cos x = −1 4. sin 3 x + cos 3 x = sin x − cos x Lời giải:

1. Nhận thấy cos x = 0 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế của phương trình cho cos 2 x ta được:

 π  tan x = −1  x = − + kπ . tan x − 5 tan x − 6 = 0 ⇒  ⇔ 4   tan x = 6 x = arctan 6 + k π  2

t = tan x

2. Phương trình ⇔ sin 2 x − 3 sin x.cos x = −(sin 2 x + cos 2 x)

⇔ 2 sin 2 x − 3 cos x sin x + cos 2 x = 0 Do cos x = 0 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho cos 2 x ta được:

Doc24.vn

 π  tan x = 1 x = + kπ  4 .

2 tan 2 x − 3 tan x + 1 = 0 ⇒  ⇔  tan x = 1 1  x = arctan + kπ  2  2 t = tan x

3. Phương trình đã cho tương đương với

3 sin 2 x + 5 cos 2 x − 2(cos 2 x − sin 2 x) = 8 sin x cos x

⇔ 5 sin 2 x − 8 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0  π  tan x = 1 x = + kπ  4 ⇔ . ⇔ 5 tan 2 x − 8 tan x + 3 = 0 ⇒   tan x = 3 3  x = arctan + kπ  5  5 t = tan x

4. Phương trình ⇔ sin 3 x + cos 3 x = (sin x − cos x)(sin 2 x + cos 2 x) ⇔ 2 cos 3 x − sin x cos 2 x + cos x.sin 2 x = 0

(

)

⇔ cos x sin 2 x − sin x cos x + 2 cos 2 x = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x =

π + kπ 2 2

 1  7 (Do sin x − sin x cos x + 2 cos x =  sin x − cos x  + cos 2 x > 0 ).

2   4 2

2

Ví dụ 8. Giải các phương trình sau: 1. cos 3 x + cos 2 x − cos x − 1 = 0 3.

1 + sin x

1 sin( x −

3π ) 2

= 4 sin(

7π − x) 4

2. 3 cos 4 x − 8 cos6 x + 2 cos 2 x + 3 = 0 4. 2 sin x(1 + cos 2 x) + sin 2 x = 1 + 2 cos x

Lời giải: 1. Ta thấy trong phương trình chứa ba cung x , 2 x , 3 x nên ta tìm cách đưa về cùng một cung x .

Phương trình ⇔ 4 cos 3 x − 3 cos x + (2 cos 2 x − 1) − cos x − 1 = 0 ⇔ 2 cos 3 x + cos 2 x − 2 cos x − 1 = 0 .

Doc24.vn

Đặt t = cos x , t ≤ 1 .

1 Ta có: 2t 3 + t 2 − 2t − 1 = 0 ⇔ (t 2 − 1)(2t + 1) = 0 ⇔ t = ±1, t = − .

2 * t = ±1 ⇔ cos x = ±1 ⇔ sin x = 0 ⇔ x = k π * t=−

1 1 2π 2π ⇔ cos x = − = cos ⇔x=± + k 2π .

2 2 3 3

Chú ý: Ta có thể giải bài toán trên theo cách sau phương trình ⇔ cos 3 x − cos x − (1 − cos 2 x) = 0

⇔ −2 sin 2 x sin x − 2 sin 2 x = 0 ⇔ sin 2 x(2 cos x + 1) = 0 sin x = 0  x = kπ  ⇔ ⇔ . cos x = − 1  x = ± 2π + k 2π 3  2 

2. Vì trong phương trình chứa các cung x , 4 x hơn nữa còn chứa hàm số côsin lũy thừa chẵn nên ta nghĩ tới cách chuyển về cung 2x .

Phương trình ⇔ 3(2 cos 2 2 x − 1) − (1 + cos 2 x)3 + 1 + cos 2 x + 3

 π π cos 2 x = 0 x= +k  ⇔ cos 2 x(cos 2 x − 3 cos 2 x + 2) = 0 ⇔  ⇔ 4 2.  cos 2 x = 1 x = k π  2

3. Trong phương trình có ba cung x; x −

3π 7 π ; − x nên ta tìm cách chuyển ba cung này về 2 4

cùng một cung x Ta có: sin( x −

sin(

3π  π  π ) = sin ( x + ) − 2 π  = sin( x + ) = cos x 2 2 2  

7π  π  π 1 − x) = sin  2 π − ( x + )  = − sin( x + ) = − ( sin x + cos x ) 4 4  4 2 

Phương trình ⇔

1 1 + = −2 2(sin x + cos x) sin x cos x

⇔ (sin x + cos x)( 2 sin 2 x + 1) = 0 .

Doc24.vn

 π sin x + cos x = 0 x = − + kπ  4 . ⇔ ⇔ sin 2 x = − 1 π 5π  x = − + kπ; x = − + kπ  2  8 8

4. Ta chuyển cung 2x về cung x.

Phương trình ⇔ 4 sin x cos 2 x + 2 sin x cos x = 1 + 2 cos x

⇔ 2 sin x cos x(2 cos x + 1) = 2 cos x + 1  π  x = 4 + kπ ⇔ (2 cos x + 1)(sin 2 x − 1) = 0 ⇔  .  x = ± 2 π + k 2π  3

Ví dụ 8. Giải các phương trình sau:

(

)

(

1. 4 cos 3x cos 3 x + sin 3x sin 3 x + 3 sin 6 x = 1 + 3 cos 4 x − sin 4 x

(

)

2. 4 sin4 x + cos 4 x + sin 4 x

(

)

)

3 − 1 − tan 2 x tan x = 3 Lời giải:

(

)

1. Ta có: 4 cos 3 x cos 3 x + sin 3 x sin 3 x = 3 cos 2 x + cos 6 x và cos 4 x − sin 4 x = cos 2 x nên Phương trình ⇔ 3 cos 2 x + cos 6 x + 3 sin 6 x = 1 + 3 cos 2 x

⇔ 3 sin 6 x = 1 − cos 6 x ⇔ 2 3 sin 3 x cos 3 x = 2 sin 2 3 x ⇔ 2 sin 3 x

(

)

3 cos 3 x − sin 3 x = 0 .

π π π Suy ra nghiệm cần tìm là x = k ; x = + k .

3 9 3   x ≠ cos 2 x ≠ 0 2. Điều kiện  ⇔ cos 0 x ≠  x ≠ 

(

)

π π +k 4 2. π + kπ 2

Ta có : 4 sin4 x + cos 4 x = 4 − 2 sin2 2 x = 3 + cos 4 x

Doc24.vn

1 + tan 2 x tan x = 1 +

=

sin 2 x sin x cos 2 x cos x + sin 2 x sin x . = cos 2 x cos x cos 2 x cos x

cos ( 2 x − x ) cos 2 x cos x

=

1 . cos 2 x

Phương trình đã cho ⇔ 3 + cos 4 x + 3 sin 4 x −

sin 4 x =3 cos 2 x

π ⇔ cos 4 x + 3 sin 4 x = 2 sin 2 x ⇔ sin(4 x + ) = sin 2 x .

6 Từ đó ta tìm được nghiệm thỏa mãn phương trình là: x=−

π 5π k π + kπ; x = + .

12 36 3

Ví dụ 10. Chứng minh rằng hàm số sau chỉ nhận giá trị dương :

y = sin 2 x − 14 sin x.cos x − 5 cos 2 x + 3. 3 33 Lời giải: • Nếu cos x = 0 ⇒ y = 1 + 3. 3 33 > 0 • Với cos x ≠ 0 ta có: y =

(1 + 3 3 33) tan 2 x − 14 tan x + 3 3 33 − 5 cos 2 x

Vì ∆ = 7 2 − (1 + 3. 3 33)(3. 3 33 − 5) < 0 Suy ra (1 + 3 3 33) tan 2 x − 14 tan x + 3 3 33 − 5 > 0 ∀x ∈ ℝ .

Suy ra điều phải chứng minh.

Ví dụ 11.

1. Cho tan α , tan β là hai nghiệm của phương trình x 2 − 6 x − 2 = 0 . Tính giá trị của biểu thức sau P = sin 2 (α + β) − 5 sin(2α + 2β) − 2.cos 2 (α + β)

2. Cho tan α , tan β là hai nghiệm của phương trình x 2 + bx + c = 0 ( c ≠ 1 ). Tính giá trị của biểu thức P = a.sin 2 ( α + β) + b sin(2α + 2β) + c.cos 2 ( α + β) theo a , b , c Doc24.vn

Lời giải: 1. Theo định lí Viét ta có: tan α + tan β = 6, tan α. tan β = −2 Suy ra tan( α + β) =

tan α + tan β =2.

1 − tan α. tan β

Ta có: P(1 + tan 2 (α + β)) =

P = tan 2 (α + β) − 10 tan(α + β) − 2 cos (α + β) 2

tan 2 ( α + β) − 10 tan( α + β) − 2 4 − 20 − 2 18 = =− 2 1+ 4 5 1 + tan (α + β)

⇒P=

2. Theo định lí Viét ta có: tan α + tan β = −b , tan α. tan β = c Suy ra tan( α + β) =

tan α + tan β −b . = 1 − tan α. tan β 1 − c

Ta có: P(1 + tan 2 ( α + β)) =

P cos (α + β) 2

= a tan 2 ( α + β) + 2b tan( α + β) + c

⇒P=

=

a tan 2 ( α + β) + 2b tan( α + β) + c = 1 + tan 2 ( α + β)

a.

b2 2b 2 − +c (1 − c )2 1 − c b2 1+ (1 − c )2

ab2 − 2b2 (1 − c ) + c(1 − c )2 .

(1 − c )2 + b2

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP (có đáp án chi tiết)  π 1 Bài 1. Giải phương trình sin  2 x +  = − 3 2 

Doc24.vn

 π  x = − 4 + kπ A.  , k∈ℤ  x = 5π + kπ  12

 x = B.  x = 

π + kπ 4 , k ∈ ℤ C. 5π + kπ 12

 π  x = 4 + kπ , k∈ℤ   x = π + kπ  12

 π π x = − 4 + k 2 D.  , k∈ℤ x = π + k π  12 2

Lời giải:  π  π Phương trình ⇔ sin  2 x +  = sin  −  3   6  π π  π  2 x + 3 = − 6 + k 2π  x = − 4 + kπ ⇔ ⇔ , k∈ℤ 2 x + π = π + π + k 2π  x = 5π + k π   3 6 12

(

)

Bài 2. Giải phương trình cos 3 x + 150 =

3 2

 x = 250 + k.120 0 A.  , k∈ℤ 0 0  x = −15 + k.120

 x = 50 + k.120 0 B.  , k∈ℤ 0 0  x = 15 + k.120

 x = 250 + k.120 0 C.  . k∈ℤ 0 0  x = 15 + k.120

 x = 50 + k.120 0 D.  , k∈ℤ 0 0  x = −15 + k.120

Lời giải: Phương trình ⇔ cos(3x + 150 ) = cos 300

 3 x + 150 = 30 0 + k.360 0  x = 50 + k.120 0 ⇔ ⇔ , k∈ℤ  0 0 0 0 0  x = −15 + k.120  3 x + 15 = −30 + k.360 1 1 Bài 3. Giải phương trình sin(4 x + ) = 2 3

Doc24.vn

 1 π x = − 8 + k 2 A.  , k∈ℤ x = π + k π  4 2

B.

 1 1 1 π  x = − 8 − 4 arcsin 3 + k 2 , k∈ℤ   x = π − 1 − 1 arcsin 1 + k π  4 8 4 3 2  x = C.  x = 

 1 1 1 π  x = − 8 − 4 arcsin 3 + k 2 D.  , k∈ℤ  x = π − 1 arcsin 1 + k π  4 4 3 2

1 1 1 π − arcsin + k 8 4 3 2 , k∈ℤ π 1 1 1 π − − arcsin + k 4 8 4 3 2

Lời giải:  1 1  4 x + 2 = arcsin 3 + k 2 π Phương trình ⇔   4 x + 1 = π − arcsin 1 + k 2 π  2 3  1 1 1 π  x = − 8 − 4 arcsin 3 + k 2 ⇔ , k∈ℤ  x = π − 1 − 1 arcsin 1 + k π  4 8 4 3 2

Bài 4. Giải phương trình sin(2 x + 1) = cos(2 − x)  x = A.  x = 

π − 2 + k 2π 2 , k∈ℤ π 1 k 2π + + 6 3 3

 x = B.  x = 

π − 3 + k 2π 2 , k∈ℤ π 1 k 2π + + 6 3 3

 x = C.  x = 

π − 3 + k 2π 2 , k∈ℤ π 1 k 2π − + 6 3 3

 x = D.  x = 

π + k 2π 2 , k∈ℤ π 1 k 2π + + 6 3 3

Lời giải: π Phương trình ⇔ sin(2 x + 1) = sin( − 2 + x) 2

Doc24.vn

 2x + 1 = ⇔ 2x + 1 = 

 π − 2 + x + k 2π x = 2 ⇔ π x = + 2 − x + k 2π  2

π − 3 + k 2π 2 , k∈ℤ . π 1 k 2π + + 6 3 3

Bài 5. Giải phương trình 2 cos x − 2 = 0 A. x = ±

π + k 2 π, ( k ∈ ℤ) 6

B. x = ±

π + k 2 π, ( k ∈ ℤ) 5

C. x = ±

π + k 2 π , ( k ∈ ℤ) 3

D. x = ±

π + k 2 π, ( k ∈ ℤ) 4

Lời giải: Phương trình ⇔ cos x =

2 π π = cos ⇔ x = ± + k 2 π, ( k ∈ ℤ) 2 4 4

Bài 6. Giải phương trình

2 cot

2x 3

=

3

A. x =

5 3 3 arc cot + kπ ( k ∈ ℤ) 2 2 2

B. x =

3 5 3 arc cot + kπ ( k ∈ ℤ) 2 2 2

C. x =

3 3 3 arc cot + kπ ( k ∈ ℤ) 2 7 2

D. x =

3 3 3 arc cot + kπ ( k ∈ ℤ) 2 2 2

Lời giải: Phương trình ⇔ cot

⇔x=

2x 3 2x 3 = ⇔ = arc cot + kπ 3 2 3 2

3 3 3 + kπ ( k ∈ ℤ) . arc cot 2 2 2

π 1 Bài 7. Giải phương trình sin(4 x − ) = 3 2

A. x =

π + k π, k ∈ ℤ 2

B. x =

C. x =

π + k π, k ∈ ℤ 5

D. x = kπ, k ∈ ℤ Lời giải:

 π  π Phương trình ⇔ tan  3 x −  = tan  −  3   3 Doc24.vn

π + k π, k ∈ ℤ 3

⇔ 3x −

π π = − + kπ ⇔ x = kπ , k ∈ ℤ 3 3

1

Bài 8. Giải phương trình cot(4 x − 20 0 ) =

3

A. x = 30 0 + k.450 , k ∈ ℤ

B. x = 20 0 + k.90 0 , k ∈ ℤ

C. x = 350 + k.90 0 , k ∈ ℤ

D. x = 20 0 + k.450 , k ∈ ℤ Lời giải: 0

Phương trình ⇔ cot(4 x − 20 ) = cot 60

0

⇔ 4 x − 20 0 = 60 0 + k.180 0 ⇔ x = 20 0 + k.450 , k ∈ ℤ

Bài 9. Giải phương trình sin 2 x − 2 cos 2 x = 0 1 kπ A. x = arctan 2 + , k∈ℤ 3 2

1 kπ B. x = arctan 2 + , k∈ℤ 3 3

1 kπ C. x = arctan 2 + , k∈ℤ 2 3

1 kπ D. x = arctan 2 + , k∈ℤ 2 2

Lời giải: Phương trình sin 2 x = 2 cos 2 x ⇔ tan 2 x = 2 1 kπ ⇔ 2 x = arctan 2 + kπ ⇔ x = arctan 2 + , k∈ℤ 2 2

Bài 10. Giải phương trình tan 2 x = tan x A. x =

1 π + kπ , k ∈ ℤ B. x = k , k ∈ ℤ 2 2

C. x =

π + kπ , k ∈ ℤ D. x = kπ , k ∈ ℤ 3

Lời giải:   2 x = x + kπ  x = kπ   π π   Phương trình ⇔  x ≠ + kπ ⇔  x ≠ + kπ ⇔ x = k π, k ∈ ℤ .

2 2   π π π π    x ≠ 4 + k 2  x ≠ 4 + k 2

Bài 11. Giải phương trình Doc24.vn

3 tan 2 x − 3 = 0

A. x =

π + 2 kπ 6

C. x =

π + kπ 6

B. x =

( k ∈ ℤ)

π + 2 kπ 3

( k ∈ ℤ)

D. x =

( k ∈ ℤ)

π + kπ 2

Lời giải: Phương trình ⇔ tan 2 x = 3 = tan

π π π ⇔ 2 x = + k 2 π ⇔ x = + kπ 3 3 6

( k ∈ ℤ) .

Bài 12. Giải phương trình cos 2 x − sin 2 x = 0  π  x = 2 + kπ A.  ( k ∈ ℤ)  x = arctan 1 + kπ  3

 π  x = 2 + kπ B.  ( k ∈ ℤ)  x = arctan 1 + kπ  4

 π  x = 2 + kπ C.  ( k ∈ ℤ)  x = arctan 1 + kπ  5

 π  x = 2 + kπ D.  ( k ∈ ℤ)  x = arctan 1 + kπ  2

Lời giải: 2

Phương trình cos x − 2 sin x cos x = 0  π cos x = 0  x = 2 + kπ  cos x = 0 . ⇔ cos x(cos x − 2 sin x) = 0 ⇔  ⇔ 1 ⇔  1 2 sin x = cos x tan x =   x = arctan + kπ 2   2

Bài 13. Giải phương trình sin(2 x + 1) + cos(3 x − 1) = 0  π  x = 2 + 2 + k 2π A.  ( k ∈ ℤ)  x = π + k 2π  10 5

 π  x = 2 + 2 + k 2π B.  ( k ∈ ℤ)  x = − π + k 2π  10 5

 π  x = 2 + 3 + k 2π C.  ( k ∈ ℤ)  x = − π + k 2π  10 5

 π  x = 2 + 6 + k 2π D.  ( k ∈ ℤ)  x = π + k 2π  10 5

Lời giải:

Doc24.vn

( k ∈ ℤ)

π  Phương trình ⇔ cos(3x − 1) = sin( −2 x − 1) = cos  + 2 x + 1  2   π  π  x = 2 + 2 + k 2π 3x − 1 = 2 + 2 x + 1 + k 2π ⇔ ⇔  x = − π + k 2π 3x − 1 = − π − 2 x − 1 + k 2π   2 10 5  π π Bài 14. Giải phương trình sin(4 x − ) + sin(2 x − ) = 0 4 3  7 π kπ  x = 72 + 3 A.  (k ∈ ℤ)  x = π + kπ  24

B.

 7 π kπ  x = 72 + 3  ( k ∈ ℤ)  x = 11π + 2 kπ  24  7 π kπ  x = 72 + 3 C.  ( k ∈ ℤ)  x = 11π + kπ  4

 7 π kπ  x = 72 + 3 D.  ( k ∈ ℤ)  x = 11π + kπ  24

Lời giải:  π π  Phương trình ⇔ sin  4 x −  = sin  − 2 x  4  3   π 4x − 4 = ⇔ 4x − π = 4 

π  7 π kπ − 2 x + k 2π x= +  3 72 3 ⇔ 2π 11 π x = + 2 x + k 2π + kπ  3 24

π Bài 15. Giải phương trình cos 7 x + sin(2 x − ) = 0 5  π k 2π  x = 50 + 5 A.  ( k ∈ ℤ)  x = − π + kπ  20 5

Doc24.vn

 3π k 2 π  x = − 50 + 5 B.  ( k ∈ ℤ)  x = − π + kπ  20 5

 x = C.  x = 

 3π k 2 π  x = 50 + 5 D.  ( k ∈ ℤ)  x = − π + kπ  20 5

π k 2π + 50 5 k∈ℤ ( ) π kπ + 20 5

Lời giải: π   3π  Phương trình ⇔ cos 7 x = sin  − 2 x  = cos  + 2x  5   10   3π  3π k 2 π 7 x = 10 + 2 x + k 2 π  x = 50 + 5 ⇔ ⇔ 7 x = − 3π − 2 x + k 2 π  x = − π + kπ 10 20 5  

π Bài 16. Giải phương trình sin 2 2 x = cos 2 ( x − ) 4  x = A.  x = 

 π  x = 4 + 2 kπ B.  ( k ∈ ℤ)  x = π + kπ  12 3

π + kπ 4 (k ∈ ℤ) π kπ + 2 3

 π  x = − 4 + kπ  ( k ∈ ℤ)  x = π + kπ  12 3

 π  x = 4 + kπ D.  ( k ∈ ℤ)  x = π + kπ  12 3

Lời giải: 1 − cos 4 x Phương trình ⇔ = 2

 π 1 + cos  2 x −  2  ⇔ cos 4 x = sin( −2 x) 2

 π  x = 4 + kπ π  ⇔ cos 4 x = cos  + 2 x  ⇔  2   x = π + kπ  12 3

Bài 17. Giải phương trình sin 2 x + cos 2 4 x = 1

Doc24.vn

C.

 x = A.  x = 

kπ 13 k ∈ ℤ ( ) kπ 15

 x = B.  x = 

kπ 23 k ∈ ℤ ( ) kπ 25

 x = C.  x = 

kπ 3 k∈ℤ ( ) kπ 5

 x = D.  x = 

kπ 33 k ∈ ℤ ( ) kπ 35

Lời giải:  x = Phương trình ⇔ cos 8 x = cos 2 x ⇔  x = 

kπ 3 kπ 5

Bài 18. Giải phương trình sin 2 x + 3 sin 4 x = 0  kπ x = 2 A.  (k ∈ ℤ)  x = ± 1 arccos  − 1  + kπ    3  6 

 kπ x = 2 B.  ( k ∈ ℤ)  x = ± 5 arccos  − 1  + kπ    2  6 

 kπ x = 2 C.  ( k ∈ ℤ)  x = ± 7 arccos  − 1  + k π    2  6 

 kπ x = 2 D.  ( k ∈ ℤ)  x = ± 1 arccos  − 1  + k π    2  6 

Lời giải:  kπ x = 2 Phương trình ⇔ sin 2 x ( 1 + 6 cos 2 x ) = 0 ⇔   x = ± 1 arccos  − 1  + kπ    2  6 

Bài 19. Giải phương trình 6 sin 4 x + 5 sin 8 x = 0  x = A.  x =  

kπ 4 ( k ∈ ℤ) 1  3  kπ arccos  −  + 4  5 2

 kπ x = 1 + 4 C.  ( k ∈ ℤ)  x = ± 1 arccos  − 3  + kπ    4  5 2 

Doc24.vn

 kπ x = 4 B.  ( k ∈ ℤ)  x = ± 1 arccos  − 3  + kπ    3  5 2   kπ x = 4 D.  ( k ∈ ℤ)  x = ± 1 arccos  − 3  + kπ    4  5 2 

Lời giải:  kπ x = 4 Phương trình ⇔ sin 4 x ( 3 + 5 cos 4 x ) = 0 ⇔  .  x = ± 1 arccos  − 3  + kπ    4  5 2 

Bài 20. Giải phương trình A. x = x=

cos 2 x =0 1 − sin 2 x

π + kπ, ( k ∈ ℤ ) 4

3π + 2 kπ, ( k ∈ ℤ ) 4

B. x = D. x =

3π + kπ , ( k ∈ ℤ ) C. 14

3π + kπ , ( k ∈ ℤ ) 4

Lời giải: Điều kiện: sin 2 x ≠ 1 ⇔ x ≠

π + kπ 4

Phương trình ⇔ cos 2 x = 0 ⇔ x =

Kết hợp điều kiện ta có: x =

π π +k 4 2

3π + kπ là nghiệm của phương trình 4

Bài 21. Giải phương trình cot 2 x.sin 3 x = 0  x = A.  x = 

π π +k 4 2 k∈ℤ ( ) 2 kπ 3

 x = D.  x = 

π π +k 4 2 k∈ℤ ( ) kπ 3

 x = B.  x = 

Lời giải: Điều kiện: sin 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠

kπ 2

 x = cot 2 x = 0 Phương trình ⇔  ⇔ x = sin 3 x = 0  Doc24.vn

π π +k 4 2 kπ 3

π π  +k x= 3 2 k ∈ ℤ C.  ( )  2 kπ x =  3

π + kπ 4 (k ∈ ℤ) kπ 3

Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x =

π π mπ với m ≠ 3n + k ,x = 4 2 3

Bài 22. Giải phương trình tan 3 x = tan 4 x A. x =

π + mπ ( m ∈ ℤ ) 2

B. x = 2 + mπ ( m ∈ ℤ ) C. x = 2 mπ ( m ∈ ℤ )

x = mπ ( m ∈ ℤ )

Lời giải:   x ≠ cos 3 x ≠ 0 Điều kiện:  ⇔ cos 4 x ≠ 0 x ≠ 

π π +k 6 3 π π +k 8 4

Phương trình ⇔ 4 x = 3 x + mπ ⇔ x = mπ Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình x = mπ .

Bài 23. Giải phương trình cot 5 x.cot 8 x = 1 A. x =

π mπ + , m ≠ 13n + 5, ( m , n ∈ ℤ ) 26 13

B. x =

π mπ + , m ≠ 13n + 6, ( m , n ∈ ℤ ) 26 15

C. x =

π mπ + , m ≠ 13n + 7, ( m , n ∈ ℤ ) 26 13

D. x =

π mπ + , m ≠ 13n + 6, ( m , n ∈ ℤ ) 26 13

Lời giải:   x ≠ sin 5 x ≠ 0 Điều kiện:  ⇔ sin 8 x ≠ 0 x ≠ 

kπ 5 kπ 8

π  π π Phương trình ⇔ cot 8 x = tan 5 x = cot  − 5 x  ⇔ x = +m 26 13 2  Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình x =

Bài 24. Số nghiệm của phương trình A. 4

B. 3

4 − x 2 sin 2 x = 0 C. 2 Lời giải:

Điều kiện: −2 ≤ x ≤ 2 Doc24.vn

π mπ + , m ≠ 13n + 6 .

26 13

D. 5

D.

 x = ±2  x = ±2 Phương trình ⇔  ⇔  x = kπ sin 2 0 x =   2 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình: x = ±2, x = ±

Bài 25. Cho phương trình

(

π ,x = 0 .

2

)

1 − x + 1 + x cos x = 0 kết luận nào sau đây về phương trình

là đúng?

A. Có 1 nghiệm

B. Có 2 nghiệm

C. Có vô số nghiệm D. Vô nghiệm Lời giải:

Điều kiện: −1 ≤ x ≤ 1 Phương trình ⇔ cos x = 0 ⇔ x =

π + kπ 2

Kết hợp điều kiện ta thấy phương trình vô nghiệm. π Bài 26. Giải phương trình tan 2 x + cot 2 x = 1 + cos 2 (3 x + ) 4

A. x =

π + 2 kπ 4

B. x =

π π +k 4 2

C. x =

π π +k 4 3

Lời giải: Điều kiện: sin 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠

kπ 2

 π Ta có: tan 2 x + cot 2 x ≥ 2 ≥ 1 + cos 2  3 x +  4   π  tan 2 x = cot 2 x x = ± + kπ    4 Nên phương trình ⇔   ⇔ π sin  3 x + 4  = 0 x = − π + m π     12 3 ⇔x=

π + kπ là nghiệm của phương trình đã cho.

4

Bài 27. Giải phương trình cos(

Doc24.vn

2π 2π sin x − ) = 1 3 3

D. x =

π + kπ 4

A. x = x=

π + kπ, ( k ∈ ℤ ) 2

B. x =

π 2π +k ,( k ∈ ℤ) 2 3

C.

π π + k 2 π , ( k ∈ ℤ ) D. x = + k 2 π , ( k ∈ ℤ ) 2 3

Lời giải: Phương trình ⇔

2π 2π sin x − = k 2 π ⇔ sin x = 1 + 3 k 3 3

Do −1 ≤ sin x ≤ 1 ⇒ k = 0 ⇒ x =

π + k 2π 2

π  Bài 28. Giải phương trình cot  ( cos x − 1)  = −1 4 

A. x =

π + 2 kπ, ( k ∈ ℤ ) 2

D. x =

π + kπ , ( k ∈ ℤ ) 2

B. x =

π π π π + k , ( k ∈ ℤ ) C. x = + k , ( k ∈ ℤ ) 2 2 2 3

Lời giải: Phương trình ⇔

π π cos x − 1) = − + kπ ( 4 4

⇔ cos x = 4 k ⇒ k = 0 ⇒ cos x = 0 ⇔ x =

Bài 29. Giải phương trình  x = kπ A.  (k ∈ ℤ)  x = π + kπ 3   x = 2 kπ  ( k ∈ ℤ)  x = 2 π + 2 kπ  3

π + kπ .

2

3 sin 2 x − cos 2 x + 1 = 0  x = kπ B.  ( k ∈ ℤ)  x = 2 π + 2 kπ 3 

 x = kπ  D. (k ∈ ℤ)  x = 2π + kπ  3

Lời giải:  x = kπ  π 1  Phương trình ⇔ sin  2 x −  = − ⇔  x = 2 π + kπ 6 2   3

Doc24.vn

C.

Bài 30. Giải phương trình sin 3 x − 3 cos 3 x = 2 cos 5 x  5π kπ  x = 48 + 5 A.  (k ∈ ℤ)  x = − 5π − k π  12

 5π kπ  x = 48 + 4 B.  ( k ∈ ℤ)  x = − 5π − 2 k π  12

 5π kπ  x = 48 + 4 C.  ( k ∈ ℤ)  x = − 5π − k π  12 2

 5π kπ  x = 48 + 4 D.  (k ∈ ℤ)  x = − 5π − k π  12

Lời giải:  π π  Phương trình ⇔ sin  3 x −  = sin  − 5 x  3  2   π 3x − 3 = ⇔ 3x − π = 3 

π  5π k π − 5 x + k 2π x= +  2 48 4 ⇔ π  x = − 5π − kπ + 5x + k 2π  2 12

Bài 31. Cho phương trình sin x(sin x + 2 cos x) = 2 khẳng định nào sao đây là đúng?

A. Có 1 nghiệm

B. Vô nghiệm

C. Có 4 nghiệm

D. Có 2 họ nghiệm

Lời giải: Phương trình ⇔

1 − cos 2 x + sin 2 x = 2 ⇔ 2 sin 2 x − cos 2 x = 3 2

Phương trình vô nghiệm.

Bài 32. Giải phương trình  π 2π  x = − 10 + k 5 A.  ( k ∈ ℤ)  x = 7 π + k 2π  54 9

Doc24.vn

3(sin 2 x + cos 7 x) = sin 7 x − cos 2 x  π 3π  x = 10 + k 5 B.  ( k ∈ ℤ) x = 7π + k π  54 3

 π π  x = 10 + k 5 C.  ( k ∈ ℤ) x = 7π + k π  54 9

D.

 π 2π  x = 10 + k 5  ( k ∈ ℤ)  x = 7 π + k 2π  54 9

Lời giải: Phương trình ⇔ 3 sin 2 x + cos 2 x = sin 7 x − 3 cos 7 x  π 2π x= +k   π  π 10 5 ⇔ sin  2 x +  = sin  7 x −  ⇔  6 3    x = 7 π + k 2π  54 9

(

)

Bài 33. Giải phương trình 4 sin 4 x + cos 4 x + 3 sin 4 x = 2  π kπ x = 4 + 7 A.  ( k ∈ ℤ)  x = − π + kπ  12 7

π kπ  x = 4 + 5 B.  ( k ∈ ℤ)  x = − π + kπ  12 5

 π kπ x = 4 + 3 C.  ( k ∈ ℤ)  x = − π + kπ  12 3

 π kπ x = 4 + 2 D.  ( k ∈ ℤ)  x = − π + kπ  12 2

Lời giải: 2

Phương trình ⇔ 4 − 2 sin 2 x + 3 sin 4 x = 2  π kπ x= +   π 1 4 2 . cos 4 x + 3 sin 4 x = −1 ⇔ cos  4 x −  = − ⇔  3 2   x = − π + kπ  12 2

Bài 34. Giải phương trình A. x =

Doc24.vn

1 + cos x + cos 2 x + cos 3 x 2 = (3 − 3 sin x) 3 2 cos 2 x + cos x − 1

π π + kπ, x = − + kπ, ( k ∈ ℤ ) 2 6

B. x =

π π + k 2π, x = − + k 2π, ( k ∈ ℤ ) 2 6

C. x =

π π + k 3π , x = − + k 3 π , ( k ∈ ℤ ) 2 6

D. x = −

π π + k 2π, x = − + k 2π, ( k ∈ ℤ ) 2 6

Lời giải: Điều kiện: 2 cos 2 x + cos x − 1 ≠ 0 Phương trình ⇔

4 cos 3 x + 2 cos 2 x − 2 cos x 2 = 3 − 3 sin x 3 2 cos 2 x + cos x − 1

(

)

 π  x = 2 + k 2π  π 3 ⇔ 3 cos x = 3 − 3 sin x ⇔ cos  x −  = ⇔ 6 2   x = − π + k 2π  6 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình là: x =

Bài 35. Giải phương trình

π π + k 2π, x = − + k 2π .

2 6

cos x − 2 sin x.cos x = 3 2 cos 2 x + sin x − 1

A. x =

5π k π + ,k∈ℤ 18 3

B. x =

5π k 2 π + ,k∈ℤ 18 3

C. x =

5π k 4 π + ,k∈ℤ 18 3

D. x =

5π k 5π + ,k ∈ℤ 18 3

Lời giải: Điều kiện: 2 cos 2 x + sin x − 1 ≠ 0 Phương trình ⇔ cos x − sin 2 x = 3 cos 2 x + 3 sin x  π  x = − 2 + k 2π  π π sin  2 x +  = sin( x − ) ⇔  3 6   x = 5π + k 2 π  18 3 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình. x =

5π k 2 π + ,k∈ℤ 18 3

Bài 36. Khẳng định nào đúng về phương trình 2 2 ( sin x + cos x ) cos x = 3 + cos 2 x A. Có 1 họ nghiệm B. Có 2 họ nghiệm

C. Vô nghiệm

nhất

Lời giải: Doc24.vn

D. Có 1 nghiệm duy

Phương trình ⇔ 2 sin 2 x + 2(1 + cos 2 x) = 3 + cos 2 x

⇔ 2 sin 2 x +

(

)

2 − 1 cos 2 x = 3 − 2 phương trình vô nghiệm.

Bài 37. Giải phương trình 3 cos 4 x − sin 2 2 x + cos 2 x − 2 = 0 A. x =

π 6 + k 2 π ( k ∈ ℤ) hoặc x = ± arccos + k 2 π ( k ∈ ℤ ) .

2 7

B. x =

π π 6 + k ( k ∈ ℤ) hoặc x = ± arccos + k 2 π ( k ∈ ℤ ) .

2 2 7

C. x =

π 6 + k π ( k ∈ ℤ) hoặc x = ± arccos + kπ ( k ∈ ℤ ) .

2 7

D. x =

π 6 + k π ( k ∈ ℤ) hoặc x = ± arccos + k 2 π ( k ∈ ℤ ) .

2 7

Lời giải: Phương trình đã cho tương đương với 3(2 cos 2 2 x − 1) − (1 − cos 2 2 x) + cos 2 x − 1 = 0 ⇔ 7 cos 2 2 x + cos 2 x − 6 = 0 ⇔ cos 2 x = −1 hoặc cos 2 x =

⇔x=

6 7

π 6 + kπ hoặc x = ± arccos + k 2 π .

2 7

Bài 38. Giải phương trình A. x = −

1 + 3 cot x + 1 = 0 sin 2 x

π π π + k ( k ∈ ℤ ) hoặc x = arc cot( −2) + k ( k ∈ ℤ ) 4 2 2

π π π B. x = − + k ( k ∈ ℤ ) hoặc x = arc cot( −2) + k ( k ∈ ℤ ) 4 3 3 π C. x = − + kπ ( k ∈ ℤ ) hoặc x = arc cot( −2) + kπ ( k ∈ ℤ ) 4

D. x =

π + kπ ( k ∈ ℤ ) hoặc x = arc cot(2) + kπ ( k ∈ ℤ ) 4

Lời giải: Phương trình ⇔ 1 + cot 2 x + 3 cot x + 1 = 0 Doc24.vn

⇔ cot 2 x + 3 cot x + 2 = 0 ⇔ cot x = −1 hoặc cot x = −2 ⇔x=−

π + kπ hoặc x = arc cot( −2) + kπ 4

Bài 39. Giải phương trình  x = A.  x = 

π + kπ 4 ( k ∈ ℤ) π π +k 6 2

 x = D.  x = 

π + kπ 4 ( k ∈ ℤ) π + kπ 6

3 tan x + cot x − 3 − 1 = 0  x = B.  x = 

π + k 2π 4 ( k ∈ ℤ ) C. π + k 2π 6

Lời giải: Phương trình ⇔ 3 tan 2 x − ( 3 + 1) tan x + 1 = 0   tan x = 1 x =  ⇔ ⇔  tan x = 1 x =  3 

π + kπ 4 π + kπ 6

Bài 40. Giải phương trình cos 2 x − 3 cos x = 4 cos 2 A. x = ± x=±

x 2

2π + kπ ( k ∈ ℤ ) 3

B.

2π 2 + k π (k ∈ ℤ) 3 3

C. x = ±

2π + k 4π ( k ∈ ℤ ) 3

D. x = ±

2π + k 2π ( k ∈ ℤ ) 3

Lời giải: Phương trình ⇔ 2 cos 2 x − 1 − 3 cos x = 2(1 + cos x) ⇔ 2 cos 2 x − 5 cos x − 3 = 0 ⇔ cos x = −

1 2π ⇔x=± + k 2π 2 3

Bài 41. Giải phương trình ( 1 + sin x )( 1 + cos x ) = 2

Doc24.vn

 x =  x = 

π + k 3π 4 ( k ∈ ℤ) π + k 3π 6

 π x = + k 2π  A. , k∈ℤ 2   x = kπ

 π x = + kπ  B. , k∈ℤ 4   x = kπ

 π x = + k 2π  C. ⇔ , k∈ℤ 2  2 x = k π 

 π x = + k 2π  D. , k∈ℤ 3  x = k 2 π 

Lời giải: Phương trình ⇔ sin x + cos x + sin x cos x − 1 = 0

t2 − 1 π Đặt t = sin x + cos x = 2 cos( x − ), t ∈  − 2; 2  ⇒ sin x cos x = .   2 4 Thay vào phương trình ta có: t +

t2 − 1 − 1 = 0 ⇔ t 2 + 2t − 3 = 0 ⇔ t = 1 2

 π π  π  x − 4 = 4 + k 2π x = + k 2π  π  ⇔ 2 cos  x −  = 1 ⇔  , k∈ℤ . ⇔ 2  4   x − π = − π + k 2π x = k 2 π   4 4

Bài 42. Giải phương trình sin 2 x + 4 ( sin x − cos x ) = 4  π x = + kπ  A. (k ∈ ℤ) 2  x = π + k π   π 1 x = 2 + k 2 π  ( k ∈ ℤ) x = π + k 1 π  2

 π 2 x = 2 + k 3 π B.  ( k ∈ ℤ) x = π + k 2 π  3

 π x = + k 2π  D. ( k ∈ ℤ) 2   x = π + k 2 π

Lời giải:  π Đặt t = sin x − cos x = 2 sin  x −  , t ∈  − 2; 2  ⇒ 2 sin x cos x = 1 − t 2 .   4  Thay vào phương trình ta được: 1 − t 2 + 4t = 4 ⇔ t 2 − 4t + 3 = 0 ⇔ t = 1  π x = + k 2π  π 1  ⇔ sin  x −  = ⇔ 2  4 2   x = π + k 2 π

Doc24.vn

C.

Bài 43. Giải phương trình A. x = x=

2 ( sin x + cos x ) = tan x + cot x

π + kπ, ( k ∈ ℤ ) 4

π 2 + k π, ( k ∈ ℤ ) 4 3

B. x = D. x =

π 1 + k π, ( k ∈ ℤ ) 4 2

C.

π + k 2π, ( k ∈ ℤ ) 4

Lời giải: Điều kiện: sin 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠

kπ 2

Phương trình ⇔ 2 ( sin x + cos x ) =

2 ⇔ sin 2 x ( sin x + cos x ) = 2 sin 2 x

Đặt t = sin x + cos x , t ∈  − 2; 2  ⇒ sin 2 x = t 2 − 1   Thay vào phương trình ta có được:

(t 2 − 1)t = 2 ⇔ t 3 − t − 2 = 0 ⇔ (t − 2)(t 2 + 2t + 1) = 0  π π ⇔ t = 2 ⇔ sin  x +  = 1 ⇔ x = + k 2 π .

4 4 

Bài 44. Giải phương trình cos 3 x − sin 3 x = −1 .  π x = + kπ A.  ( k ∈ ℤ) 2   x = −π + kπ

 π x = + k 3π B.  ( k ∈ ℤ) 2   x = −π + k 3π

 π x = + k7 π  C. ( k ∈ ℤ) 2   x = −π + k7 π

 π x = + k 2π  D. ( k ∈ ℤ) 2   x = −π + k 2 π

Lời giải: Phương trình ⇔ (cos x − sin x)(1 + sin x cos x) + 1 = 0  π 1 − t2 Đặt t = cos x − sin x = 2 cos  x +  , t ∈  − 2; 2  ⇒ sin x cos x = .   4 2 

 1 − t2  3 Thay vào phương trình ta được: t  1 +  + 1 = 0 ⇔ t − 3t − 2 = 0 ⇔ t = −1 2  

Doc24.vn

 π x = + k 2π  π 1  . ⇔ cos  x +  = − ⇔ 2  4 2   x = −π + k 2 π

Bài 45. Giải phương trình 2 sin 2 x + 5 sin x + 3 = 0 A. x = −

π + kπ ( k ∈ ℤ ) 2

B. x = −

π C. x = − + k 3π ( k ∈ ℤ ) 2

π 1 + k π ( k ∈ ℤ) 2 2

π D. x = − + k 2 π ( k ∈ ℤ ) 2

Lời giải: π Phương trình sin x = −1 ⇔ x = − + k 2 π 2

Bài 46. Giải phương trình 2 cos 2 2 x − 2

(

)

3 + 1 cos 2 x + 3 = 0

1 3 −1 π A. x = ± arccos + k ( k ∈ ℤ) 2 2 2

1 3 −1 B. x = ± arccos + 3kπ ( k ∈ ℤ ) 2 2

1 3 −1 C. x = ± arccos + kπ ( k ∈ ℤ ) 2 2

1 3 −1 D. x = ± arccos + 2 kπ ( k ∈ ℤ ) 2 2

Lời giải: Phương trình ⇔ cos 2 x =

3 −1 1 3 −1 ⇔ x = ± arccos + kπ 2 2 2

Bài 47. Giải phương trình

2 tan x = 5.

1 − tan 2 x

A. x = arctan

−1 ± 26 + 2 kπ, ( k ∈ ℤ ) 5

B. x = arctan

−1 ± 26 1 + kπ , ( k ∈ ℤ ) 5 2

C. x = arctan

−1 ± 26 + 3 kπ, ( k ∈ ℤ ) 5

D. x = arctan

−1 ± 26 + kπ, ( k ∈ ℤ ) 5

Lời giải: 2

Phương trình ⇔ 5 tan x + 2 tan x − 5 = 0 ⇔ tan x =

−1 ± 26 −1 ± 26 ⇔ x = arctan + kπ 5 5

Bài 48. Giải phương trình cos 2 x − 5 sin x − 3 = 0 .

Doc24.vn

A. x = −

π 7π + kπ , x = + kπ ( k ∈ ℤ ) 6 6

B. x = −

π 7π + k 3π , x = + k 3π ( k ∈ ℤ ) 6 6

C. x = −

π 7π + k 4π, x = + k 4π ( k ∈ ℤ ) 6 6

D. x = −

π 7π + k 2π, x = + k 2π ( k ∈ ℤ ) 6 6

Lời giải: Phương trình ⇔ 2 sin 2 x + 5 sin x + 2 = 0 ⇔ sin x = −

1 π 7π ⇔ x = − + k 2π, x = + k 2π .

2 6 6

Bài 49. Giải phương trình 5 ( 1 + cos x ) = 2 + sin 4 x − cos 4 x .

A. x = ±

2π + kπ, ( k ∈ ℤ ) 3

B. x = ±

2π 1 + k π, ( k ∈ ℤ ) 3 2

C. x = ±

2π + k 2π, ( k ∈ ℤ ) 3

D. x = ±

π + k 2π , ( k ∈ ℤ ) 3

Lời giải: 2

Phương trình ⇔ 5 + 5 cos x = 2 + sin x − cos 2 x ⇔ 2 cos 2 x + 5 cos x + 2 = 0 ⇔ cos x = −

1 2π ⇔x=± + k 2π 2 3

 5π   7π  Bài 50. Giải phương trình sin  2 x +  − 3 cos  x −  = 1 + 2 sin x .

2  2   

A. x = kπ, x =

π 5π + kπ, x = + kπ 6 6

C. x = k 2 π , x =

B. x = k 2 π, x =

π 5π + k π, x = + kπ 6 6

D. x = kπ, x =

π 5π + k 2π, x = + k 2π 6 6

π 5π + k 2π, x = + k 2π 6 6

Lời giải: Phương trình ⇔ cos 2 x + 3 sin x = 1 + 2 sin x 2 sin 2 x − sin x = 0 ⇔ x = kπ, x =

π 5π + k 2π, x = + k 2π 6 6

Bài 51. Giải phương trình 7 cos x = 4 cos 3 x + 4 sin 2 x  x = A.  x =  Doc24.vn

π + k 2π 2 π 5π + k 2π, x = + k 2π 6 6

 x = B.  x = 

π + k 2π 2 π 5π + kπ, x = + kπ 6 6

 x = C.  x = 

 x = D.  x = 

π + kπ 2 π 5π + kπ, x = + kπ 6 6

π + kπ 2 π 5π + k 2π, x = + k 2π 6 6

Lời giải:

(

)

Phương trình ⇔ cos x 4 cos 2 x + 8 sin x − 7 = 0  x = cos x = 0 ⇔ ⇔  2 x =  4 sin − 8 sin x + 3 = 0 

π + kπ 2 π 5π + k 2π, x = + k 2π 6 6

Bài 52. Giải phương trình cos 4 x = cos 2 3x  x = k 2π A.   x = ± π + k 3π  12 2

 x = kπ B.   x = ± π + k 3π  12 2

 x = k 2π C.   x = ± π + kπ  12 2

 x = kπ D.   x = ± π + kπ  12 2

Lời giải: Phương trình ⇔ 2 cos 4 x = 1 + cos 6 x ⇔ 4 cos 3 2 x − 4 cos 2 2 x − 3 cos x + 3 = 0 cos 2 x = 1  x = kπ  x = kπ   ⇔ ⇔ ⇔ cos 2 2 x = 3 cos 4 x = 1  x = ± π + kπ  4  2  12 2

Bài 53. Giải phương trình 2 cos 2 x + 6 sin x cos x + 6 sin 2 x = 1  π  x = − 4 + k 2π A.   x = arctan  − 1  + k 2 π     6 

 π  x = − 4 + k 2π B.   x = arctan  − 1  + kπ     6 

 π  x = − 4 + kπ C.   x = arctan  − 1  + k 1 π    2  6 

 π  x = − 4 + kπ D.   x = arctan  − 1  + kπ     6 

Lời giải: Phương trình cos 2 x + 5 sin x cos x + 5 sin 2 x = 0

Doc24.vn

 π  tan x = −1  x = − 4 + kπ ⇔ 5 tan 2 x + 6 tan x + 1 = 0 ⇔  ⇔  tan x = − 1  x = arctan  − 1  + kπ   6    6 

Bài 54. Giải phương trình cos 2 x − 3 sin 2 x = 1 + sin 2 x  π x = + kπ  A. 3  x k = π 

 π x = + k 2π  B. 3  x k = 2π 

 π  x = 3 + kπ C.  x = k 1 π  2

 π x = + k 2π  D. 3  x k = π 

Lời giải:  π 1 Phương trình ⇔ cos 2 x − 3 sin 2 x = 1 ⇔ cos  2 x −  = 3 2   π π  π 2 x − 3 = 3 + k 2π x = + k 2π ⇔ ⇔ 3  2 x − π = − π + k 2π  x = kπ  3 3

Bài 55. Giải phương trình cos 2 x − sin x cos x − 2 sin 2 x − 1 = 0 là:  1 A. x = k 2 π, x = arctan  −  + k 2 π  3

1  1 1 B. x = k π , x = arctan  −  + k π 3 3  3

1 1  1 C. x = k π, x = arctan  −  + k π 2 2  3

 1 D. x = kπ, x = arctan  −  + kπ  3

Lời giải: Phương trình ⇔ sin x(3 sin x + cos x) = 0 ⇔ sin x = 0 hoặc tan x = −

1 3

 1 ⇔ x = kπ, x = arctan  −  + kπ  3

Bài 57. Giải phương trình cos 2 x + 3 sin x cos x − 1 = 0 là: A. x = k 2 π, x =

π + k 2π 3

1 π 1 x = k π, x = + k π 2 3 2

Doc24.vn

B.

1 π 1 C. x = k π, x = + k π 3 3 3

D. x = kπ, x =

π + kπ 3

Lời giải: Phương trình ⇔ sin x ⇔ x = kπ, x =

(

)

3 cos x − sin x = 0 ⇔ sin x = 0 hoặc tan x = 3

π + kπ .

3

Bài 58. Cho phương trình 2 2 ( sin x + cos x ) cos x = 3 + 2 cos 2 x , Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Có 1 nghiệm

B. Có 2 họ nghiệm

C. Vô nghiệm

D. Vô số nghiệm

Lời giải:

(

)

Phương trình ⇔ 2 2 ( tan x + 1) = 3 1 + tan 2 x + 2 ⇔ 3 tan 2 x − 2 2 tan x + 5 − 2 2 = 0 vô nghiệm

Bài 59. Giải phương trình tan x + cot x = 2 ( sin 2 x + cos 2 x ) là:  x = A.  x = 

 x = B.  x = 

π + kπ 4 π + kπ 8

 x = C.  x = 

π + k 2π 4 π + k 2π 8

π 3π +k 4 2 π 3π +k 8 2

 x = D.  x = 

Lời giải: Phương trình ⇔

1 = sin 2 x + cos 2 x ⇔ 1 + cot 2 2 x = 1 + cot 2 x sin 2 x

 x = cot 2 x = 0 ⇔ ⇔ x = cot 2 x = 1 

π π +k 4 2 π π +k 8 2

Bài 60. Giải phương trình 2 cos 3 x = sin 3 x  x = arctan( −2) + k 2 π A.   x = π + k 2π  4

Doc24.vn

 1  x = arctan( −2) + k 2 π B.  x = π + k 1 π  4 2

π π +k 4 2 π π +k 8 2

 1  x = arctan( −2) + k 3 π C.  x = π + k 1 π  4 3

 x = arctan( −2) + kπ D.   x = π + kπ  4

Lời giải: Phương trình ⇔ 2 cos 3 x = 3 sin x − 4 sin 3 x = 3 sin x cos 2 x − sin 3 x  x = arctan( −2) + kπ  tan x = −2  ⇔ 2 = 3 tan x − tan x ⇔  ⇔  x = π + kπ  tan x = 1  4 3

Bài 61. Giải phương trình 4 sin 3 x + 3 cos 3 x − 3 sin x − sin 2 x cos x = 0  π  x = ± 3 + k 2π A.   x = π + k 2π  4

 π 1 x = ± 3 + k 2 π B.  x = π + k 1 π  4 2

1  π x = ± 3 + k 3 π C.  x = π + k 1 π  4 3

 π  x = ± 3 + kπ D.   x = π + kπ  4

Lời giải: Phương trình ⇔ 4 tan 3 x + 3 − 3 tan x(1 + tan 2 x) − tan 2 x = 0  π x = ± + kπ 2   tan x = 3 3 ⇔ tan 3 x − tan 2 x − 3 tan x + 3 = 0 ⇔  ⇔ π tan = 1 x  x = + kπ   4

Bài 62 . Giải phương trình  7π  x = 24 + kπ A.   x = π + kπ  24

3 sin 2 x + cos 2 x = 2 là:

 7π  x = 24 + k 2 π B.   x = π + k 2π  24

7π 1   x = 24 + k 2 π C.  x = π + k 1 π  24 2

 7π  x = 24 + kπ D.   x = π + kπ  24

Lời giải:  π π  7π 2 x − 3 = 4 + k 2π  x = 24 + kπ  π 2 Phương trình ⇔ cos  2 x −  = ⇔ ⇔ 3 2  2 x − π = − π + k 2π  x = π + kπ   3 4 24

Bài 63. Giải phương trình 4 sin x + 3 cos x +

Doc24.vn

6 = 6 là: 4 sin x + 3 cos x + 1

   3  2  x = −α + arcsin  −  + kπ  x = −α + arcsin  −  + k 2 π  5  5 A.  hoặc     3  2  x = π − α − arcsin  −  + kπ  x = π − α − arcsin  −  + k 2π  5  5      3  2  x = −α + arcsin  −  + k 2 π  x = −α + arcsin  −  + k π  5  5 B.  hoặc     3  2  x = π − α − arcsin  −  + k 2 π  x = π − α − arcsin  −  + kπ  5  5      3 1  2 1  x = −α + arcsin  −  + k π  x = −α + arcsin  −  + k π 2 3  5  5 C.  hoặc     3 1  2 1  x = π − α − arcsin  −  + k π  x = π − α − arcsin  −  + k π 2 3  5  5  

   3  2  x = −α + arcsin  −  + k 2 π  x = −α + arcsin  −  + k 2 π  5  5 D.  hoặc     3  2  x = π − α − arcsin  −  + k 2 π  x = π − α − arcsin  −  + k 2π  5  5   Lời giải: 2

Phương trình ⇔ (4 sin x + 3 cos x) − 5(4 sin x + 3 cos x) + 6 = 0  3  sin( x + α ) = − 5  4 sin x + 3 cos x = −3  π 3 với α ∈  0;  : sin α = ⇔ ⇔ 5  2  sin( x + α ) = − 2  4 sin x + 3 cos x = −2  5

   3  2  x = −α + arcsin  −  + k 2 π  x = −α + arcsin  −  + k 2 π  5  5 ⇔ hoặc     3  2  x = π − α − arcsin  −  + k 2 π  x = π − α − arcsin  −  + k 2π  5  5   Bài 64. Giải phương trình A. x = −

π π +k 18 3

cos x − 2 sin x.cos x = 3 2 cos 2 x + sin x − 1

B. x = −

π 4π +k 18 3

C. x = − Lời giải:

2

Điều kiện: 2 cos x + sin x − 1 ≠ 0 ⇔ cos 2 x + sin x ≠ 0 Doc24.vn

π 5π +k 18 3

D. x = −

π 2π +k 18 3

Phương trình ⇔ cos x − sin 2 x = 3 cos 2 x + 3 sin x  π  x = 2 + k 2π  π  π ⇔ cos  2 x −  = cos  x +  ⇔  6 3    x = − π + k 2π  18 3

Kết hợp điều kiện ta có x = −

π 2π +k .

18 3

(

)

Bài 65. Giải phương trình 4 sin 4 x + cos 4 x + 3 sin 4 x = 2  π k 3π x = 4 + 2 A.   x = − π + k 3π  12 2

 π k 5π x = 4 + 2 B.   x = − π + k 5π  12 2

 π k7 π x = 4 + 2 C.   x = − π + k7 π  12 2

Lời giải:  1  Phương trình ⇔ 4  1 − sin 2 2 x  + 3 sin 4 x = 2 2  

⇔ 1 − 2 sin 2 2 x + 3 sin 4 x = −1 ⇔ cos 4 x + 3 sin 4 x = −1  π kπ x = 4 + 2  π 1 ⇔ cos  4 x −  = − ⇔  3 2   x = − π + kπ  12 2

Bài 66. Giải phương trình 2 sin 2 x − ( sin x + cos x ) + 1 = 0 A. x = kπ, x =

 π 1  π + kπ hoặc x = ± arccos  −  + kπ 4 2  2 2

 π 1  1 1 π 1 B. x = k π, x = + k π hoặc x = ± arccos  − + k π 4 3 3 2 3  2 2  π 1  2 2 π 2 C. x = k π, x = + k π hoặc x = ± arccos  − + k π 4 3 3 2 3  2 2 D. x = k 2 π , x = Doc24.vn

 π 1  π + k 2 π hoặc x = ± arccos  −  + k 2π 4 2  2 2

 π kπ x = 4 + 2 D.   x = − π + kπ  12 2

Lời giải:

 π   t ≤ 2 Đặt t = sin x + cos x = 2 cos  x −  ⇒  4  sin 2 x = t 2 − 1  Ta có : 2(t 2 − 1) − t + 1 = 0 ⇔ 2t 2 − t − 1 = 0 ⇔ t = 1, t = −

1 2

 π 1 π • t = 1 ⇔ cos  x −  = ⇔ x = k 2π, x = + k 2π 4 2 2  •t=−

 1  π 1 π 1  ⇔ cos  x −  = − ⇔ x = ± arccos  −  + k 2π 2 4 4 2 2   2 2

Bài 67. Giải phương trình sin 2 x − 12 ( sin x − cos x ) + 12 = 0 A. x =

π + k π, x = −π + k 2π 2

B. x =

2 π + k 2 π, x = −π + k π 2 3

C. x =

π 1 2 + k π, x = −π + k π 2 3 3

D. x =

π + k 2π , x = −π + k 2π 2

Lời giải:

 π   t ≤ 2 Đặt t = cos x − sin x = 2 cos  x +  ⇒  4  sin 2 x = 1 − t 2   π 1 Ta có: 1 − t 2 + 12t + 12 = 0 ⇔ t = −1 ⇔ cos  x +  = − 4 2  ⇔x=

π + k 2 π, x = −π + k 2 π .

2

 π Bài 68. Giải phương trình sin 2 x + 2 sin  x −  = 1 4 

A. x =

π π + k π, x = + kπ, x = π + k 2 π 4 2

B. x =

π 1 π 1 1 + k π, x = + k π, x = π + k π 4 2 2 2 2

C. x =

π 2 π 2 + k π, x = + k π, x = π + k 2π 4 3 2 3

D. x =

π π + k π, x = + k 2π, x = π + k 2π 4 2

Lời giải:

 π  t ≤ 2 Đặt t = 2 sin  x −  = sin x − cos x ⇒  2 4  sin 2 x = 1 − t Doc24.vn

Ta có: 1 − t 2 + t = 1 ⇔ t = 0, t = 1 Từ đó ta tìm được: x =

π π + k π, x = + k 2π, x = π + k 2π 4 2

Bài 69. Giải phương trình 1 + tan x = 2 2 sin x A. x =

π 11π 5π + kπ, x = + kπ, x = − + kπ 4 12 12

C. x =

π 11π 1 5π + k 2π, x = + k π, x = − + k 2π 4 12 4 12

x=

B. x =

π 2 11π 2 5π 2 + k π, x = + k π, x = − +k π 4 3 12 3 12 3

D.

π 11π 5π + k 2π , x = + k 2πx = , x = − + k 2π 4 12 12

Lời giải: Điều kiên: cos x ≠ 0 Phương trình ⇔ sin x + cos x = 2 sin 2 x  π   t ≤ 2 Đặt t = sin x + cos x = 2 cos  x −  ⇒  4  sin 2 x = t 2 − 1  

(

)

Ta có: t = 2 t 2 − 1 ⇔ 2t 2 − t − 2 = 0 ⇔ t = 2 , t = −

Từ đó tìm được: x =

1 2

π 11π 5π + k 2π , x = + k 2πx = , x = − + k 2π 4 12 12

Bài 70. Giải phương trình cos x − sin x + 2 sin 2 x = 1 A. x =

k 3π 2

B. x =

k 5π 2

C. x =

k7 π 2

D. x =

Lời giải: 2  π sin 2 x = 1 − t Đặt t = sin x − cos x = 2 cos  x −  ⇒  4  0 ≤ t ≤ 2

Ta có: t + 2(1 − t 2 ) = 1 ⇔ 2t 2 − t − 1 = 0 ⇔ t = 1 ⇔ sin 2 x = 0 ⇔ x =

Bài 71. Giải phương trình cos 3 x + sin 3 x = cos 2 x

Doc24.vn

kπ 2

kπ 2

A. x = −

π π + k 2 π , x = − + kπ, x = kπ 4 2

π 1 π 2 C. x = − + k π, x = − + k π, x = k 2 π 4 3 2 3

B. x = −

π 2 π + k π , x = − + kπ, x = kπ 4 3 2

D. x = −

π π + kπ, x = − + k 2 π, x = k 2 π 4 2

Lời giải: Phương trình ⇔ (sin x + cos x)(1 − sin x cos x) = (sin x + cos x)(cos x − sin x) ⇔ ( sin x + cos x )( 1 − sin x cos x − cos x + sin x ) = 0 Từ đó ta tìm được: x = −

π π + kπ, x = − + k 2 π, x = k 2 π 4 2

Bài 72. Giải phương trình cos 3 x + sin 3 x = 2 sin 2 x + sin x + cos x A. x =

k 3π 2

B. x =

k 5π 2

C. x = kπ

D. x =

kπ 2

Lời giải: Phương trình ⇔ ( cos x + sin x )( 1 − sin x cos x ) = 2 sin 2 x + sin x + cos x  π   t ≤ 2 Đặt t = sin x + cos x = 2 cos  x −  ⇒  4  sin 2 x = t 2 − 1  

 t2 − 1  kπ 2 2 Ta có: t  1 −  = 2(t − 1) + t ⇔ t = 1 ⇔ sin 2 x = 0 ⇔ x = 2  2  Lời giải: Giải phương trình cosx +

1 1 10 + sinx + = cos x sin x 3

A. x =

π 2 + 19 ± arccos + k 2π 4 3 2

B. x =

π 2 + 19 ± arccos + k 2π 4 2

C. x =

π 2 + 19 ± arccos + kπ 4 2

D. x =

π 2 − 19 ± arccos + k 2π 4 3 2

Bài 73. Phương trình ⇔ sin x + cos x +

sin x + cos x 10 = sin x cos x 3

 π   t ≤ 2 Đặt t = sin x + cos x = 2 cos  x −  ⇒  4  sin 2 x = t 2 − 1   Doc24.vn

Ta có: t +

2t 10 = ⇔ 3t(t 2 − 1) + 6t = 10(t 2 − 1) (t ≠ ±1) t −1 3 2

⇔ 3t 3 − 10t 2 + 3t + 10 = 0 ⇔ (t − 2)(3t 2 − 4t − 5) = 0 ⇔ t =

2 − 19 3

 π  2 − 19 π 2 − 19 ⇔ cos  x −  = ⇔ x = ± arccos + k 2π 4 4 3 2 3 2  Bài 74. Giải phương trình 2 cos 2 x + 6 sin x cos x + 6 sin 2 x = 1 A. x = −

π  1 + k 2 π; x = arctan  −  + k 2π 4  5

π  1 1 1 C. x = − + k π; x = arctan  −  + k π 4 4 4  5

B. x = −

π 2  1 2 + k π; x = arctan  −  + k π 4 3 3  5

D. x = −

π  1 + kπ; x = arctan  −  + kπ 4  5

Lời giải: Phương trình ⇔ 5 sin 2 x + 6 sin x cos x + cos 2 x = 0 Giải ra ta được x = −

π  1 + kπ; x = arctan  −  + kπ .

4  5

Bài 75. Giải phương trình cos 2 x − 3 sin 2 x = 1 + sin 2 x  x = k 2π A.   x = π + k 2π  3

 1 x = k 2 π B.  x = π + k 1 π  3 2

 2 x = k 3 π C.  x = π + k 2 π  3 3

 x = kπ D.   x = π + kπ  3

Lời giải:  x = kπ sin x = 0 Phương trình ⇔ 2 sin 2 x − 2 3 sin x cos x = 0 ⇔  ⇔ .  x = π + kπ  tan x = 3  3

Bài 77. Giải phương trình tan x + cot x = 2 ( sin 2 x + cos 2 x ) A. x =

π π + k π, x = + kπ 4 8

B. x =

π π π π + k ,x = + k 4 4 8 4

C. x =

π π π π + k ,x = + k 4 3 8 3

D. x =

π π π π + k ,x = + k 4 2 8 2

Lời giải: Doc24.vn

Điều kiện: sin 2 x ≠ 0 Phương trình ⇔

2 1 = 2(sin 2 x + cos 2 x) ⇔ = 1 + cot 2 x sin 2 x sin 2 2 x

⇔ cot 2 2 x = cot 2 x ⇔ x =

π π π π + k ,x = + k .

4 2 8 2

Bài 78. Giải phương trình 2 cos 3 x = sin 3 x  x = arctan( −2) + k 2 π A.   x = π + k 2π  4

 1  x = arctan( −2) + k 2 π B.  x = π + k 1 π  4 2

 2  x = arctan( −2) + k 3 π C.  x = π + k 2 π  4 3

 x = arctan( −2) + kπ D.   x = π + kπ  4

Lời giải: 3

3

Phương trình ⇔ 2 cos x = 3 sin x − 4 sin x

(

)

⇔ 2 = 3 tan x 1 + tan 2 x − 4 tan 3 x ⇔ tan 3 x − 3 tan x + 2 = 0  x = arctan( −2) + kπ  tan x = −2 ⇔ ⇔  x = π + kπ tan 1 x =   4

Bài 79. Giải phương trình 4 sin 3 x + 3 cos 3 x − 3 sin x − sin 2 x cos x = 0 A. x =

π π + k 2π , x = ± + k 2 π 4 3

B. x =

π 1 π 1 + k π, x = ± + k π 4 2 3 2

C. x =

π 1 π 1 + k π, x = ± + k π 4 3 3 3

D. x =

π π + k π, x = ± + k π 4 3

Lời giải: Ta thấy cos x = 0 không là nghiệm của phương trình Nên phương trình ⇔ 4 tan 3 x + 3 − 3 tan x(1 + tan 2 x) − tan 2 x = 0  tan x = 1 π π ⇔ tan 3 x − tan 2 x − 3 tan x + 3 = 0 ⇔  ⇔ x = + kπ, x = ± + kπ .

4 3  tan x = ± 3 Doc24.vn

Bài 80. Giải phương trình sin 2 x ( tan x + 1) = 3 sin x ( cos x − sin x ) + 3  π  x = − 4 + k 2π A.   x = ± π + k 2π  3

 π 2 x = − 4 + k 3 π C.  x = ± π + k 2 π  3 3

 π 1 x = − 4 + k 2 π B.  x = ± π + k 1 π  3 2

 π  x = − 4 + kπ D.   x = ± π + kπ  3

Lời giải: Phương trình đã cho tương đương với

tan 2 x(tan x + 1) = 3 tan x(1 − tan x) + 3(1 + tan 2 x)  π x = − + kπ  4 ⇔ tan 3 x + tan 2 x − 3 tan x − 3 = 0 ⇔  π  x = ± + kπ  3

(

Bài 81. Giải phương trình cos 3 x + sin 3 x = 2 cos 5 x + sin 5 x A. x = ±

π + k 2π 4

B. x = ±

1 π +k π 4 2

C. x = ±

)

1 π +k π 4 3

D. x = ±

π + kπ 4

Lời giải: vì cos x = 0 không là nghiệm của phương trình nên ta có

(

1 + tan 2 x + tan 3 x(1 + tan 2 x) = 2 1 + tan 5 x

)

⇔ tan 5 x − tan 3 x − tan 2 x + 1 = 0 ⇔ (tan 2 x − 1)(tan 3 x − 1) = 0 ⇔ tan x = ±1 ⇔ x = ±

π + kπ .

4

(

)

cos 3 x + sin 3 x = 2 cos 5 x + sin 5 x ⇔ 2 cos 5 x − cos 3 x = 2 sin 5 x − sin 3 x

(

)

(

)

(

Cách khác: ⇔ cos 3 x 2 cos 2 x − 1 = sin 3 x 2 sin 2 x − 1 ⇔ cos 2 x cos 3 x + sin 3 x

)

 π π  π π x= +k  x= +k 4 2 ; k ∈ℤ ⇔ ( ) 4 2⇔  π  tan x = − 1 x = − + kπ   4 Bài 82. Giải phương trình sin 2 x + 3 tan x = cos x ( 4 sin x − cos x ) A. x = Doc24.vn

π + k 2 π, x = arctan −1 ± 2 + k 2 π 4

(

)

B. ⇔ x =

1 1 π + k π, x = arctan −1 ± 2 + k π 4 2 2

(

)

C. x =

π 2 2 π + k π, x = arctan −1 ± 2 + k π D. ⇔ x = + kπ , x = arctan −1 ± 2 + kπ 4 3 3 4

(

)

(

)

Lời giải: Phương trình ⇔ tan 2 x + tan x(1 + tan 2 x) = 4 tan x − 1 ⇔ tan 3 x + tan 2 x − 3 tan x + 1 = 0 ⇔ (tan x − 1)(tan 2 x + 2 tan x − 1) = 0 ⇔x=

π + kπ, x = arctan −1 ± 2 + kπ .

4

(

)

π Bài 83. Giải phương trình 2 2 cos 3 ( x − ) − 3 cos x − sin x = 0 4  x = A.  x = 

π + k 2π 2 π + k 2π 4

 x = B.  x = 

 x = C.  x = 

π 1 +k π 2 2 π 1 +k π 4 2

π 2 +k π 2 3 π 2 +k π 4 3

 x = D.  x = 

Lời giải: 3

Phương trình ⇔ ( sin x + cos x ) − 3 cos x − sin x = 0

⇔ (sin x + cos x)3 − (3 cos x + sin x)(sin 2 x + cos 2 x) = 0  x =  cos x = 0 2 3 ⇔ sin x cos x − cos x = 0 ⇔  ⇔ x =  tan x = 1 

π + kπ 2 . π + kπ 4

Bài 84. Giải phương trình 2 sin 2 x − 3 sin x + 1 = 0  x = π A. x = + k π ;  2 x = 

Doc24.vn

π + kπ 6 5π + kπ 6

 x = π B. x = + k 2 π ;  2 x = 

π 2 +k π 6 3 5π 2 +k π 6 3

π + kπ 2 π + kπ 4

 x= π 5  C. x = + k π ;  2 2  x= 

 x = π D. x = + k 2 π ;  2 x = 

π 1 +k π 6 2 5π 1 +k π 6 2

π + k 2π 6 5π + k 2π 6

Lời giải: Đặt t = sin x , t ∈ [−1;1] , ta có phương trình : 2t 2 − 3t + 1 = 0 ⇔ t = 1; t =

* t = 1 ⇔ sin x = 1 ⇔ x =

1 .

2

π + k 2π .

2

 x = 1 1 π * t = ⇔ sin x = = sin ⇔  2 2 6 x = 

π + k 2π 6 .

5π + k 2π 6

Bài 85. Giải phương trình 2 cos 2 x + 3 sin x − 1 = 0

 π  x = 2 + kπ  1 A.  x = arcsin( − ) + kπ  4  1  x = π − arcsin( − ) + k π 4 

 π 1 x = 2 + k 2 π  1 1 B.  x = arcsin( − ) + k π  4 2  1 1  x = π − arcsin( − ) + k π 4 2 

 π 2 x = 2 + k 3 π  1 2 C.  x = arcsin( − ) + k π  4 3  1  x = π − arcsin( − ) + k 2 π 4 3 

 π  x = 2 + k 2π  1 D.  x = arcsin( − ) + k 2 π  4  1  x = π − arcsin( − ) + k 2 π 4  Lời giải:

Phương trình ⇔ −4 sin 2 x + 3 sin x + 1 = 0

 π  x = 2 + k 2π  sin x = 1 1  ⇔ ⇔  x = arcsin( − ) + k 2 π .  sin x = − 1 4   4 1  x = π − arcsin( − ) + k 2 π 4  Bài 86. Giải phương trình 3 cos 4 x − sin 2 2 x + cos 2 x − 2 = 0 Doc24.vn

 π  x = 2 + kπ A.   x = ± arccos 6 + kπ  7  π  x = 3 + kπ   x = ± arccos 6 + k 2π  7

 π  x = 2 + k 2π B.   x = ± arccos 6 + k 2π  7

C.

 π  x = 2 + kπ D.   x = ± arccos 6 + k 2π  7

Lời giải: Phương trình đã cho tương đương với 3(2 cos 2 2 x − 1) − (1 − cos 2 2 x) + cos 2 x − 1 = 0  π  cos 2 x = −1 x = + kπ  2 ⇔ ⇔ 7 cos 2 2 x + cos 2 x − 6 = 0 ⇔   cos 2 x = 6  x = ± arccos 6 + k 2 π  7  7

Bài 87. Giải phương trình 4 cos x.cos 2 x + 1 = 0  π  x = ± 3 + k 2π A. ⇔  −1 ± 3  + k 2π  x = ± arccos 8

 π  x = ± 3 + k 2π B. ⇔  −1 ± 5  + k 2π  x = ± arccos 8

 π  x = ± 3 + k 2π C. ⇔  −1 ± 7  + k 2π  x = ± arccos 8

 π  x = ± 3 + k 2π D. ⇔  −1 ± 6  + k 2π  x = ± arccos 8

Lời giải: Phương trình ⇔ 4 cos x(2 cos 2 x − 1) + 1 = 0 ⇔ 8 cos 3 x − 4 cos x + 1 = 0 ⇔ (2 cos x − 1)(4 cos 2 x + 2 cos x − 1) = 0  π  1 x = ± + k 2π  1 cos x =   cos x = 3 2 . ⇔ ⇔ ⇔ 2  −1 ± 5 −1 ± 5   2 + k 2π  4 cos x + 2 cos x − 1 = 0  x = ± arccos cos x = 8 8

Bài 88. Giải phương trình 16(sin 8 x + cos8 x) = 17 cos 2 2 x

Doc24.vn

A. x =

π 5π +k 8 4

B. x =

π 7π +k 8 4

C. x =

π 9π +k 8 4

D. x =

π π +k 8 4

Lời giải: Ta có sin 8 x + cos 8 x = (sin 4 x + cos 4 x)2 − 2 sin 4 x cos 4 x 2

 1  1 =  1 − sin 2 2 x  − sin 4 2 x .

2   8 Nên đặt t = sin 2 2 x , 0 ≤ t ≤ 1 ta được phương trình: 2

 1  1 16  1 − t  − 2t 2 = 17(1 − t ) ⇔ 2t 2 + t − 1 = 0 ⇔ t = 2  2  ⇔ sin 2 2 x =

1 π π ⇔ 1 − 2 sin 2 2 x = 0 ⇔ cos 4 x = 0 ⇔ x = + k .

2 8 4

Bài 89. Giải phương trình cos 4 x − cos 2 x + 2 sin 6 x = 0 A. x = k 2 π

1 B. x = k π 2

2 C. x = k π 3

D. x = kπ

Lời giải: 1 1 Đặt t = cos 2 x ⇒ −1 ≤ t ≤ 1 ⇒ cos 4 x = (1 + t )2 ; sin 6 x = (1 − t )3 4 8 Nên phương trình đã cho trở thành: 1 1 (1 + t )2 − t + (1 − t )3 = 0 ⇔ t 3 − 4t 2 + 5t − 2 = 0 ⇔ t = 1; t = 2 4 4 t = 1 ⇔ cos 2 x = 1 ⇔ x = kπ .

Bài 90. Giải phương trình cos2 x + cos x + 1 = 0 A. x =

π 2π + k 2π, x = ± + kπ 2 3

B. x =

π 2π + kπ, x = + k 2π 2 3

C. x =

π 2π 7 + k 3π, x = ± +k π 2 3 2

D. x =

π 2π + kπ , x = ± + k 2π 2 3

Lời giải: Phương trình ⇔ 2 cos 2 x + cos x = 0 ⇔ x =

Doc24.vn

π 2π + kπ, x = ± + k 2π 2 3

Bài 91. Giải phương trình cos 2 x − 3 cos x = 4 cos 2 A. x = ±

2π + kπ 3

B. x = ±

2π 2 +k π 3 3

x 2

C. x = ±

π + k 2π 3

D. x = ±

2π + k 2π 3

Lời giải: . Phương trình ⇔ 2 cos 2 x − 1 − 3 cos x = 2(1 + cos x) ⇔ 2 cos 2 x − 5 cos x − 3 = 0 ⇔ cos x = −

1 2π ⇔x=± + k 2π 2 3

Bài 92. Giải phương trình 6sin 2 x + 2sin 2 2x = 5 A. x =

π 2 +k π 4 3

B. x =

π π +k 4 3

C. x =

π π +k 4 4

D. x =

π π +k 4 2

D. x =

π + kπ 4

Lời giải: 2

Phương trình ⇔ 3(1 − cos 2 x) + 2(1 − cos 2 x) = 5 ⇔ 2 cos 2 2 x + 3 cos 2 x = 0 ⇔ x =

π π +k 4 2

Bài 93. Giải phương trình 2 sin 4 x + 2 cos 4 x = 2 sin 2 x − 1 A. x =

π + k 2π 4

B. x =

π 2 +k π 4 3

C. x =

π 1 +k π 4 2

Lời giải: 1 1 Phương trình ⇔ 1 − sin 2 2 x = sin 2 x − 2 2 ⇔ sin 2 2 x + 2 sin 2 x − 3 = 0 ⇔ sin 2 x = 1 ⇔ x =

Bài 94. Giải phương trình 2cos 2 2 x − 2

(

π + kπ 4

)

3 + 1 cos2 x + 3 = 0

1 3 +1 A. x = ± arccos + kπ 2 2

1 3 −1 B. x = ± arccos + k 2π 2 2

1 3 −2 C. x = ± arccos + kπ 2 2

1 3 −1 D. x = ± arccos + kπ 2 2 Lời giải:

Doc24.vn

Phương trình ⇔ cos 2 x =

3 −1 1 3 −1 ⇔ x = ± arccos + kπ 2 2 2

Bài 95. Giải phương trình 2 tan 2 x + 3 = A. x = k 2 π

3 cos x 2 C. x = k π 3

B. x = kπ

1 D. x = k π 3

Lời giải:  1  3 Phương trình ⇔ 2  − 1 + 3 = 2 cos x  cos x 

⇔2

1 1 −3 + 1 = 0 ⇔ cos x = 1 ⇔ x = k 2 π 2 cos x cos x

Bài 96. Giải phương trình 9 − 13 cos x + A. x = k 2 π

4 =0 1 + tan 2 x 1 C. x = k π 2

B. x = kπ

2 D. x = k π 3

Lời giải: cos x ≠ 0 Phương trình ⇔  ⇔ cos x = 1 ⇔ x = k 2 π 2  4 cos x − 13 cos x + 9 = 0

Bài 97. Giải phương trình 5 ( 1 + cos x ) = 2 + sin 4 x − cos 4 x A. x = ±

π + kπ 3

B. x = ±

2 π +k π 3 3

C. x = ±

3 π +k π 3 4

Lời giải: 2

Phương trình ⇔ 3 + 5 cos x = (sin x − cos x)(sin 2 x + cos 2 x) ⇔ 2 cos 2 x − 5 cos x + 2 = 0 ⇔ cos x =

2

1 π ⇔ x = ± + k 2π 2 3

 5π   7π  Bài 98. Giải phương trình sin  2 x +  − 3cos  x −  = 1 + 2sinx 2  2   

Doc24.vn

D. x = ±

π + k 2π 3

  x = k 2π  π A.  x = + k 2 π ; ( k ∈ ℤ )  6  5π + kπ x = 6 

 1 x = k 2 π  π B.  x = + k π ; ( k ∈ ℤ )  6   x = 5π + k 2 π 6 

  x = kπ  π C.  x = + k 2 π ; ( k ∈ ℤ )  6  5π + k 2π x = 6 

  x = k 2π  π D.  x = + k 2 π ; ( k ∈ ℤ )  6  5π + k 2π x = 6 

Lời giải: Phương trình ⇔ cos 2 x + 3 sin x = 1 + 2 sin x ⇔ 1 − 2 sin 2 x + 3 sin x − 1 − 2 sin x = 0   x = kπ  sin x = 0   x = π + k 2π ; ( k ∈ ℤ ) ⇔ −2 sin 2 x + sin x = 0 ⇔  ⇔ 1  sin x =  6  2  5π + k 2π x = 6 

Bài 99. Giải phương trình 7 cos x = 4 cos 3 x + 4 sin 2 x  x = A.  x = 

π + k 2π 2 π 5π + kπ, x = + kπ 6 6

 x = B.  x = 

π 1 +k π 2 4 π 5π + k 2π, x = + k 2π 6 6

 x = C.  x = 

π 1 +k π 2 2 π 5π + kπ, x = + k 2π 6 6

 x = D.  x = 

π + kπ 2 π 5π + k 2π, x = + k 2π 6 6

Lời giải:

(

)

Phương trình ⇔ cos x 4 cos 2 x + 8 sin x − 7 = 0  x = ⇔ cos x 4 sin 2 x − 8 sin x + 3 = 0 ⇔  x = 

(

Doc24.vn

)

π + kπ 2 π 5π + k 2π , x = + k 2π 6 6

Bài 100. Giải phương trình cos4 x = cos 2 3 x  x = k 2π A.   x = ± π + kπ, x = ± 5π + k π  12 12

 x = kπ B.   x = ± π + k 1 π , x = ± 5π + k 1 π  12 2 12 2

 x = kπ C.   x = ± π + k 3π , x = ± 5π + k 3 π  12 12

 x = kπ D.   x = ± π + kπ, x = ± 5π + k π  12 12

Lời giải: Phương trình ⇔ 2 cos 4 x = 1 + cos 6 x

(

)

⇔ 2 2 cos 2 2 x − 1 = 1 + 4 cos 3 2 x − 3 cos 2 x cos 2 x = 1  x = kπ   ⇔ 4 cos 2 x − 4 cos 2 x − 3 cos 2 x + 3 = 0 ⇔ ⇔ cos 2 x = ± 3  x = ± π + k π , x = ± 5π + k π    12 12 2 3

2

BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( ĐÁP ÁN KHÔNG CHI TIẾT)

1

Câu 1. Phương trình sin x = −

A. x =

2

chỉ có các nghiệm là

π 5π + k 2 π và x = + k 2 π ( k ∈ ℤ ).

4 4

B. x = −

π 5π + k 2 π và x = − + k 2 π ( k ∈ ℤ ).

4 4

π 3π π 5π C. x = − + k 2 π và x = − + k 2 π ( k ∈ ℤ ). D. x = + k 2 π và x = − + k 2 π ( k ∈ ℤ ).

4 4 4 4

Câu 2.Phương trình cos x = −

6 2 2

chỉ có các nghiệm là

A. x =

π 2π + k 2 π và x = + k 2 π ( k ∈ ℤ ).

3 3

C. x =

5π 5π π π + k 2 π và x = − + k 2 π ( k ∈ ℤ ). D. x = + k 2 π và x = − + k 2 π ( k ∈ ℤ ).

6 6 3 3

Câu 3. Phương trình tan x = − Doc24.vn

6 3 2

B. x =

π 5π + k 2 π và x = + k 2 π ( k ∈ ℤ ).

6 6

chỉ có các nghiệm là

A. x =

π + k π ( k ∈ ℤ ).

6

B. x = −

π + kπ ( k ∈ ℤ ).

6

C. x =

π + k π ( k ∈ ℤ ).

3

D. x = −

π + kπ ( k ∈ ℤ ).

3

Câu 4. Phương trình cot x = −

12 chỉ có các nghiệm là 2

A. x =

π + k π ( k ∈ ℤ ).

6

B. x = −

π + kπ ( k ∈ ℤ ).

6

C. x =

π + k π ( k ∈ ℤ ).

3

D. x = −

π + kπ ( k ∈ ℤ ).

3

Câu 5. Phương trình sin x = cos x chỉ có các nghiệm là A. x =

π + k π ( k ∈ ℤ ).

4

C. x =

π π + k π và x = − + kπ ( k ∈ ℤ ).

4 4

B. x =

D. x =

π + k 2 π ( k ∈ ℤ ).

4

π π + k 2 π và x = − + k 2 π ( k ∈ ℤ ).

4 4

Câu 6. Phương trình tan x = cot x chỉ có các nghiệm là A. x =

π + k 2 π ( k ∈ ℤ ).

4

B. x =

π + k π ( k ∈ ℤ ).

4

C. x =

π π + k ( k ∈ ℤ ).

4 2

D. x =

π π + k ( k ∈ ℤ ).

4 4

Câu 7. Phương trình 4 sin 2 x = 3 chỉ có các nghiệm là A. x =

π π + k 2 π và x = − + k 2 π ( k ∈ ℤ ).

3 3

B. x =

π π + k π và x = − + kπ ( k ∈ ℤ ).

3 3

C. x =

π π + k π và x = − + kπ ( k ∈ ℤ ).

6 6

D. x =

π π + k 2 π và x = − + k 2 π ( k ∈ ℤ ).

6 6

Câu 8. Phương trình tan 2 x = 3 chỉ có các nghiệm là A. x =

Doc24.vn

π π + k 2 π và x = − + k 2 π ( k ∈ ℤ ).

3 3

B. x =

π π + k π và x = − + kπ ( k ∈ ℤ ).

3 3

C. x =

π π + k π và x = − + kπ ( k ∈ ℤ ).

6 6

D. x =

π π + k 2 π và x = − + k 2 π ( k ∈ ℤ ).

6 6

Câu 9. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình sin x = 0 ?

A. cos x = −1 .

B. cos x = 1 .

C. tan x = 0 .

D. cot x = 1 .

Câu 10. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình

2 cos 2 x = 1 ?

A. 2 sin x + 2 = 0 . B. sin x =

2 .

2

C. tan x = 1 .

D. tan 2 x = 1 .

Câu 11 Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình tan 2 x = 3 ?

1 A. cos x = − .

2

B. 4 cos 2 x = 1 .

C. cot x =

1 3

.

D. cot x = −

1 3

.

Câu 12. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình

3 sin 2 x = cos 2 x ?

A. sin x =

1 .

2

B. cos x =

3 .

2

C. sin 2 x =

3 .

4

D. cot 2 x = 3 .

Câu 13. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình tan x = 1 ?

A. sin x =

2 .

2

B. cos x =

2 .

2

C. cot x = 1 .

D. cot 2 x = 1 .

Câu 14 Phương trình sin x = cos 5 x chỉ có các nghiệm là A. x = Doc24.vn

π π + k 2 π và x = − + k 2 π ( k ∈ ℤ ).

4 4

B. x =

π π + k π và x = − + kπ ( k ∈ ℤ ).

4 4

C. x =

π π π π + k và x = − + k ( k ∈ ℤ ).

12 3 8 2

D. . x = −

π π π π + k và x = + k ( k ∈ ℤ ).

12 3 8 2

Câu 15. Trên khoảng ( 0; π ) , phương trình tan x.tan 3 x = 1 A. chỉ có các nghiệm là

π π 5π ; ; .

6 2 6

C. chỉ có các nghiệm là x =

B. chỉ có các nghiệm là

π π + k ( k ∈ ℤ ).

6 3

với các nghiệm ở trên.

Câu 16. Phương trình 2 sin 2 x − 7 sin x + 3 = 0 A. vô nghiệm.

B. chỉ có các nghiệm là x =

π + k 2 π ( k ∈ ℤ ).

6

C. chỉ có các nghiệm là x =

5π + k 2 π ( k ∈ ℤ ).

6

D. chỉ có các nghiệm là x =

π 5π + k 2 π và x = + k 2 π ( k ∈ ℤ ).

6 6

Câu 17. Phương trình 2 cos 2 x − 4 3 cos x + 3 = 0 A. vô nghiệm.

B. chỉ có các nghiệm là x =

π + k 2 π ( k ∈ ℤ ).

3

C. chỉ có các nghiệm là x =

π + k 2 π ( k ∈ ℤ ).

6

D. chỉ có các nghiệm là x =

π π + k 2 π và x = − + k 2 π ( k ∈ ℤ ).

6 6

Câu 18. Phương trình 2 sin 2 x + 7 cos x − 5 = 0 A. vô nghiệm.

Doc24.vn

π π 3π ; ; .

6 4 4

D. có các nghiệm khác

B. chỉ có các nghiệm là x =

π + k 2 π ( k ∈ ℤ ).

3

C. chỉ có các nghiệm là x =

5π + k 2 π ( k ∈ ℤ ).

3

D. chỉ có các nghiệm là x =

π π + k 2 π và x = − + k 2 π ( k ∈ ℤ ).

3 3

Câu 19. Phương trình sin 2 x − 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. cos x = 0 .

B. cot x = 1 .

C. tan x = 3 .

 tan x = 1 D.  . cot x = 1 3 

Câu 20. Phương trình sin 2 x − 4 sin x cos x + 4 cos 2 x = 5 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. cos x = 0 .

1 B. tan x = − .

2

C. cot x = 2 .

 1 tan x = −  D. 2.  cos x = 0

Câu 21. Phương trình tan x + 5 cot x = 6 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. cot x = 1 .

B. tan x = 5 .

 tan x = 1 C.  .  tan x = 5

 tan x = 2 D.  .  tan x = 3

Câu 22. Phương trình cos 2 x + 3 cos x = 4 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. cos x = 1 .

B. cos x =

−5 .

2

cos x = 1 C.  . cos x = 5  2

cos x = −1 D.  . cos x = 5  2

Câu 23. Phương trình cos 2 x − 5 sin x + 6 = 0 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?

Doc24.vn

−5 A. sin x = .

2

B. sin x = 1 .

sin x = −1 C.  . sin x = 7  2

sin x = −1 D.  . sin x = − 7  2

Câu 24. Phương trình sin x + cos x = 1 chỉ có các nghiệm là  π  x = 4 + k 2π A.  ( k ∈ ℤ) .  x = − π + k 2π  4  x = k 2π  ( k ∈ ℤ) .  x = π + k 2π  2

 π  x = 4 + kπ B.  ( k ∈ ℤ) .  x = − π + kπ  4

C.

 x = k 2π D.  ( k ∈ ℤ) .  x = − π + k 2π  4

Câu 25. Phương trình sin x + cos x = −1 chỉ có các nghiệm là  π  x = 4 + k 2π A.  ( k ∈ ℤ) .  x = − π + k 2π  4  x = k 2π  ( k ∈ ℤ) .  x = π + k 2π  4

 π  x = 4 + kπ B.  ( k ∈ ℤ) .  x = − π + kπ  4

C.

 x = ( 2 k + 1) π D.  ( k ∈ ℤ) .  x = − π + k 2π  2

Câu 26. Phương trình sin x − 3 cos x = 1 chỉ có các nghiệm là  π  x = 2 + k 2π A.  ( k ∈ ℤ) .  x = 7 π + k 2π  6  π  x = − 2 + k 2π ( k ∈ ℤ) .   x = 7 π + k 2π  6

B.

 π  x = − 2 + k 2π ( k ∈ ℤ) .C.   x = − 7 π + k 2π  6

 π  x = 2 + k 2π D.  ( k ∈ ℤ) .  x = − 7 π + k 2π  6

Câu 27. Phương trình 3 sin x + ( m − 1) cos x = m + 2 (với m là tham số) có nghiệm khi và chỉ khi

A. m > 1 .

Doc24.vn

B. m < 1 .

C. m ≥ 1 .

D. m ≤ 1 .

Câu 28. Phương trình tan x + m cot x = 8 (với m là tham số) có nghiệm khi và chỉ khi A. m > 16 .

B. m < 16 .

C. m ≥ 16 .

D. m ≤ 16 .

Câu 29. Phương trình 16 cos x.cos 2 x.cos 4 x.cos 8 x = 1 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. sin x = 0 .

B. sin x = sin 8 x .

C. sin x = sin 16 x .

D. sin x = sin 32 x .

Câu 30. Phương trình 2 n+1 cos x.cos 2 x.cos 4 x.cos 8 x...cos 2 n x = 1 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. sin x = 0 .

B. sin x = sin 2 n x .

C. sin x = sin 2 n+1 x . D. sin x = sin 2 n+ 2 x .

Câu 31. Phương trình sin 3 x + sin 2 x = sin x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. sin x = 0 .

B. cos x = −1 .

1 C. cos x = − .

2

sin x = 0 D.  . cos x = 1  2

Câu 32. Phương trình cos 5 x.cos 3 x = cos 4 x.cos 2 x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. sin x = cos x .

B. cos x = 0 .

C. cos 8 x = cos 6 x .

D. sin 8 x = cos 6 x .

Câu 33. Phương trình sin 4 x + cos 4 x = 1 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. sin x = −1 .

B. sin x = 1 .

C. cos x = −1 .

sin x = 0 D.  . cos x = 0

Câu 34. Phương trình sin 2 m x + cos 2 m x = 1 ( m ≥ 1, m ∈ ℤ ) có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. sin x = −1 .

Doc24.vn

B. sin x = 1 .

C. cos x = −1 .

sin x = 0 D.  . cos x = 0

Câu 35. Phương trình sin x + sin 2 x + sin 3 x = cos x + cos 2 x + cos 3 x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?

3 A. sin x = − .

2

B. cos 2 x = sin 2 x .

1 C. cos x = .

2

 1 cos x = −  D. .

2  cos 2 x = sin 2 x 

Câu 36. Phương trình sin 3 x = cos 4 x − sin 4 x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. cos 2 x = sin 3 x .

B. cos 2 x = − sin 3x . C. cos 2 x = sin 2 x .

D. cos 2 x = − sin 2 x .

Câu 37. Phương trình sin 2 x + sin 2 2 x + sin 2 3 x + sin 2 4 x = 2 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. sin 5 x = 1 .

B. cos 3 x = − cos x .

C. cos 3 x = cos x .

D. cos 3 x = − cos x .

Câu 38. Phương trình tan x + tan 2 x = sin 3 x.cos x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. sin 3 x = 0 .

B. cos 2 x = 0 .

C. cos 2 x = −2 .

sin 3 x = 0 D.  . cos 2 x = 0

Câu 39. Phương trình 2 sin 2 x + 5 cos x = 5 có thể chuyển về phương trình bậc hai với ẩn phụ được đặt như sau

A. t = sin x .

B. t = cos x .

C. t = tan x .

D. t = cot x .

Câu 40. Phương trình 3 cos 2 x − 4 sin x = 10 có thể chuyển về phương trình bậc hai với ẩn phụ được đặt như sau

A. t = sin x .

B. t = cos x .

(

C. t = tan x .

D. t = cot x .

)

Câu 41 Phương trình 2 cos 4 x − sin 4 x = 1

A. vô nghiệm.

Doc24.vn

 π x = 6 B. chỉ có các nghiệm  . x = − π  6

 π  x = 6 + k 2π C. chỉ có các nghiệm  ( k ∈ ℤ) D. . chỉ có các nghiệm  x = − π + k 2π  6

 π  x = 6 + kπ ( k ∈ ℤ)   x = − π + kπ  6

2

Câu 42. Phương trình ( cos x + sin x ) = 3 sin 2 x  π  x = 12 B. chỉ có các nghiệm  .  x = 5π  12

A. vô nghiệm.

 π  π  x = 12 + kπ  x = 12 + k 2 π C. chỉ có các nghiệm  ( k ∈ ℤ) . D. . chỉ có các nghiệm  ( k ∈ ℤ) .  x = 5π + k π  x = 5π + k 2 π   12 12

2

Câu 43. Phương trình ( cos x − sin x ) = 1 − cos 3 x  π  x = 10 B. chỉ có các nghiệm  . x = − π  2

A. vô nghiệm.

 π  x = 10 + kπ C. chỉ có các nghiệm  ( k ∈ ℤ) . D. . chỉ có các nghiệm  x = − π + kπ  2

Câu 44. Phương trình sin 4 x + cos 4 x =

3 4

A. vô nghiệm.

B. chỉ có các nghiệm x =

 π  x = 8 + k 2π C. chỉ có các nghiệm  ( k ∈ ℤ) . D. chỉ có các nghiệm  x = − π + k 2π  8

Câu 45. Phương trình sin 6 x + cos 6 x =

Doc24.vn

 π 2π  x = 10 + k 5 ( k ∈ ℤ) .   x = − π + k 2π  2

7 16

π π + k ,k∈ℤ .

8 4

 π  x = 8 + kπ ( k ∈ ℤ) .   x = − π + kπ  8

A. chỉ có các nghiệm x =

π π + k , k ∈ ℤ ..

6 2

π π B. chỉ có các nghiệm x = − + k , k ∈ ℤ .

6 2

 π π x = 6 + k 2 C. chỉ có các nghiệm  ( k ∈ ℤ) . D. vô nghiệm. x = − π + k π  6 2

Câu 46. Phương trình

tan 2 3 x − tan 2 x =1 1 − tan 2 3 x. tan 2 x

 π π  x = 12 + k 6  π  A. chỉ có các nghiệm  x ≠ + kπ, k ∈ ℤ .

2  π π  x ≠ 6 + k 3 

C. chỉ có các nghiệm x =

π π + k ,k∈ℤ .

6 3

Câu 47. Phương trình sin 4 x + cos 4 x =

D. vô nghiệm.

3 + cos x 4

A. vô nghiệm.

B. chỉ có các nghiệm x = k

C. chỉ có các nghiệm x = k x=k

π + k 2π, k ∈ ℤ .

3

B. chỉ có các nghiệm x =

2π ,k∈ℤ .

5

D.

chỉ có

các

2π ,k∈ℤ .

3

nghiệm

x=k

2π 5

và

2π ( k ∈ ℤ) .

5

Câu 48. Tổng các nghiệm thuộc khoảng • của phương trình 4 sin 2 2 x − 1 = 0 bằng: A. 0

B. (1 − m) tan 2 x −

2 + 1 + 3m = 0 cos x

B.

π 3

D. π

Câu 49. Số nghiệm thuộc t1 , t2 > 1 của phương trình sin 2 x − cos 2 3 x = 0 là: A. 2

B. 4

C. 6

D. 8

Câu 50. Hiệu giữa nghiệm lớn nhất và nghiệm nhỏ nhất trên 0; 2 π của phương trình ⇔

3 m+3 < < 1 ⇔ 0 < m < 1 là: 4 4

Doc24.vn

A. 0

B.

2π 3

C.

4π 9

D. 2π

 π π  Câu 51. Tất cả các nghiệm của phương trình cos  2 x −  + sin  − x  = 0 là: 4  3   13π  x = 36 + k 2 π A.   x = − 7 π + k 2π  12

 13π 2  x = 36 + k 3 π B.   x = − 7 π + k 2π  12

 13π 2  x = 36 + k 3 π C.   x = 7 π + k 2π  12

 13π 2  x = 36 + k 3 π D.   x = − 7 π + k 2π  12

 3π  Câu 52. Tích các nghiệm thuộc 0; π của phương trình sin  2 x + + cos x = 0 bằng: 4  

A.

π2 48

B.

π2 16

C.

3π 2 16

D.

π2 64

Câu 53. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình sinx − 3 cos x = 2 là: A.

−17 12

B. −

13 12

C. −

11 12

D. −

19 12

Câu 54. Hiệu giữa nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình

3 cos 2 x + sin 2 x = 2 bằng A. 0

B.

π 2

C. π

D.

3π 2

Câu 55. Tổng của nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình

sin 2 x tanx+ cos 2 x cot x + 2 sinxcosx = A. −

π 2

B.

4 3 bằng: 3

π 6

C.

π 3

D. π

Câu 56. Số nghiệm của phương trình sinx = cos 2 x thuộc 0; 2 π là: A. 2

B. 1

C. 4

D. 3

 π π  Câu 57. Tổng các nghiệm của phương trình cos  2 x +  + sin  − 2 x  = 2 thuộc ( 0; π ) là: 6  3 

A.

π 2

B.

5π 12

Câu 58. Số nghiệm của phương trình Doc24.vn

C.

π 24

D.

sin 2 x  π  = 1 thuộc  − ; 0  là: 1 − cos x  2 

π 4

A. 2

B. 0

C. 1

D. 3

Câu 59. Tổng các nghiệm thuộc ( 0; 2π ) của phương trình sinxcos 3 x− sinx+ 2 cos 3 x− 2 = 0 là:

A.

2π 3

B. 2π

C. 4π

D. 0

 π Câu 60. Số nghiệm thuộc 0; π của phương trình sin  2 x +  = 0 là: 4 

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 61. Phương trình m sinx + 3 cosx = 2 m có nghiệm khi và chỉ khi: A. m ≤ 3

B. m ≤ − 3

C. m ≤ 3

D. m ≥ 3

Câu 62. Số nghiệm của phương trình 5 sin 2 x + sinx+ cosx + 6 = 0 trong khoảng ( 0; π ) là: A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

 π  π Câu 63. Cho phương trình cos  x −  − sin  2 x +  = 0 . Có hai bạn giải được hai đáp án 3 2   sau:  π  x = 9 + l2π I.   x = − π + k 2π  3

 π 2π x = 9 + l 3 II .   x = − π − k 2π  3

A. I, II cùng sai

B. Chỉ I đúng

C. Chỉ II đúng

D. I, II cùng đúng

Câu 64. Cho phương trình 2 cos 2 2 x + cos 4 x = 0 . Trong các số sau, số nào là họ nghiệm của phương trình trên: I. x =

π π +k 6 4

II. x = −

π π +k 6 2

III. x =

π π +k 6 2

π π IV. x = − + k 6 4

Chọn câu trả lời đúng nhất.

A. Chỉ I, IV đúng

B. Chỉ I đúng

C. Chỉ IV đúng

D.

I, II, III, IV cùng

đúng

Câu 65. Cho phương trình sin 6 x + cos6 x = 1 . Có ba bạn giải được 3 kết quả sau:

Doc24.vn

π I .x = k 2

 x = kπ II .   x = π + kπ  2

 x = k 2π  x = k 2π III .  hay   x = π + k 2π x = π + k 2 π   2

A. Chỉ I đúng

B. Chỉ II đúng

C. Chỉ III đúng

Câu 66. Phương trình cos x = − A. 2

D. Cả ba đều đúng

1 có mấy nghiệm thuộc khoảng ( −π; 4 π ) ?

2

B. 3

C. 4

D. 5

 π Câu 67. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình tan  x −  = 1 là: 3 

A. −

7π 12

B. −

5π 12

C. −

11π 12

D. Một đáp án khác

 2π  2 Câu 68. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình sin  x − =− là:  3  2  A. −

π 15

B. −

7π 12

C. −

π 12

D. Đáp án khac

 π 1 Câu 69. Tổng các nghiệm của phương trình cos  x +  = trong khoảng ( −π; π ) là: 4 2 

A.

π 2

B. −

π 2

C. −

3π 2

Câu 70. Tổng các nghiệm của phương trình sinxcos A.

π 2

B. −

π 2

C.

D. Đáp án khác

π π 1 + sin cos x = trên −π  ; π là: 8 8 2

3π 2

D.

3π 4

 3π  Câu 71. Phương trình sin x = m có đúng 1 nghiệm x ∈  0;  khi và chỉ khi:  2 

A. −1 < m < 1

B. −1 ≤ m ≤ 1

C. −1 ≤ m < 0

D. Đáp số khác

 π 3π  Câu 72. Phương trình 1 + cos x = m có đúng 2 nghiệm x ∈  ;  khi và chỉ khi: 2 2 

A. 0 < m < 1

Doc24.vn

B. 0 ≤ m < 1

C. −1 ≤ m ≤ 1

D. −1 < m < 0

Câu 73. Số nghiệm của phương trình sin x cos x cos 2 x cos 4 x cos 8 x =

1 sin 12 x trên 16

 π π  − 2 ; 2  là:  

A. 15

B. 16

C. 17

D. 18

ĐÁP ÁN

Doc24.vn

Câu 1

Câu 2

Câu 3

C

C

B

Câu 4

Câu 5 Câu 6

Câu 7 Câu 8 Câu 9 Câu

Câu

Câu

Câu

10

11

12

13

B

A

C

B

B

C

D

B

D

C

Câu

Câu

Câu

Câu

Câu

Câu

Câu

Câu

Câu

Câu

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

C

D

D

D

D

D

B

C

A

B

Câu

Câu

Câu

Câu

Câu

Câu

Câu

Câu

Câu

Câu

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

C

D

A

D

D

C

D

D

C

D

Câu

Câu

Câu

Câu

Câu

Câu

Câu

Câu

Câu

Câu

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

D

D

A

D

A

B

A

D

C

D

Câu 44 Câu

B

Câu

Câu

45

46

47

C

A

D

BÀI TẬP TỰ LUYỆN KHÔNG CÓ ĐÁP ÁN Câu 1. Nghiệm của phương trình A. x = −

π 2

+ k 2π

B. x =

sinx = 1 là:

π 2

Câu 2. Nghiệm của phương trình A. x = −

π 2

+ kπ

π 3

+ k 2π

B. x =

π 6

C. x = ±

π 3

π 4

π 2

B. x = −

+ k 2π

D. x =

C. x = kπ

D. x =

C. x = k 2π

D. x =

C. x = π + k 2π

D. x =

2

+ k 2π

3π + kπ 2

π 6

+ k 2π

π 2

+ kπ

cosx = –1 là:

π 2

+ k 2π

1 là: 2

+ k 2π

B. x = ±

+ kπ

D. x = ±

Câu 7. Nghiệm của phương trình cosx = –

Doc24.vn

C. x = kπ

π

1 là: 2

+ kπ

Câu 6. Nghiệm của phương trình cosx = A. x = ±

D. x =

cosx = 1 là:

Câu 5. Nghiệm của phương trình A. x = π + kπ

2

+ k 2π

sinx =

Câu 4. Nghiệm của phương trình A. x = kπ

π

B. x = −

B. x =

C. x = kπ

sinx = –1 là:

Câu 3. Nghiệm của phương trình A. x =

+ kπ

1 là: 2

π 6

π 2

+ k 2π + k 2π

3π + kπ 2

A. x = ±

π 3

B. x = ±

+ k 2π

π 6

+ k 2π

Câu 8. Nghiệm của phương trình cos2x = A. x = ± C. x = ±

π 2

π 3

π 3

+ k 2π

D. x = ±

B. x =

C.

π 2

π 2

+ k 2π

2

4

+k

C. x = −

D. x =

B. x = k

+ k 2π

Câu 12. Nghiệm của phương trình

π 4

+ k 2π

π 6

+ kπ

π 2

π

8

π 2

;x =

C. x = k π ; x =

π 4

π 4

+ kπ

π 2

π 2

C. x = k 2π

D. x =

cos3x = cosx là:

π 2

π 2

+ k 2π

+ k 2π

sin3x = cosx là:

π

+ kπ

B. x = k 2π ; x =

+ kπ

`D. x = kπ ; x = k

2

+ k 2π

π 2

Câu 14. Nghiệm của phương trình sin2x – sinx = 0 thỏa điều kiện: 0 < x < π

Doc24.vn

2

sinx.cosx = 0 là:

D. x = kπ ; x =

+k

π

+ kπ ; x = k 2π

C. x = k 2 π Câu 13. Nghiệm của phương trình

D. x =

+k

4

B. x = k 2π ; x =

π

+ kπ

2

A. x = k 2π

A. x =

6

π

B. x = kπ ; x =

+ kπ

Câu 11. Nghiệm của phương trình

π

π

sin3x = sinx là:

x = k 2π

A. x =

D. x = ±

3 + 3tanx = 0 là:

Câu 10. Nghiệm của phương trình A. x =

π

B. x =

+ kπ

2π + k 2π 3

1 là: 2

+ k 2π

Câu 9. Nghiệm của phương trình A. x =

C. x = ±

π 6

+ k 2π

A. x =

π

B. x = π

2

C. x = 0

D. x = −

Câu 15. Nghiệm của phương trình sin2x + sinx = 0 thỏa điều kiện: − A. x = 0

B. x = π

C. x =

π

<x<

2

π

2

π 2

D. x =

3

π

π 2

Câu 16. Nghiệm của phương trình cos2x – cosx = 0 thỏa điều kiện: 0 < x < π A. x =

π

B. x =

2

π

C. x =

4

π

D. x = −

6

Câu 17. Nghiệm của phương trình cos2x + cosx = 0 thỏa điều kiện: A. x = π

B. x =

π

C. x =

3

π 2

<x<

3π 2

π 2

3π 2 D. x = −

3π 2

Câu 18. Nghiệm của phương trình cosx + sinx = 0 là: A. x = −

π 4

B. x =

+ kπ

π 6

Câu 19. Nghiệm của phương trình 2sin(4x – A. x =

π 8

+k

π 2

;x =

7π π +k 24 2

C. x = kπ

+ kπ

π 3

D.

π 2

π

D. x = π + k 2π ; x = k

B. x =

6

π 4

π 2

C. x =

π

C. x = Doc24.vn

π 2

π 6

+ k 2π ; x =

7π + k 2π 6

+ kπ ; x = π + k 2π

B. x =

2

D. x =

π 3

π 4

π 2

D. x = −

Câu 21. Nghiệm của phương trình 2sin2x – 5sinx – 3 = 0 là: A. x = −

4

+ k 2π

Câu 20. Nghiệm của phương trình 2sin2x – 3sinx + 1 = 0 thỏa điều kiện: 0 ≤ x < A. x =

π

) – 1 = 0 là:

B. x = k 2π ; x =

C. x = kπ ; x = π + k 2π

x=

+ k 2π ; x =

5π + k 2π 6

+ k 2π ; x =

5π + k 2π 4

π 2

+ kπ

Câu 22. Nghiệm của phương trình cosx + sinx = 1 là: A. x = k 2π ; x = C. x =

π

π 2

B. x = kπ ; x = −

+ k 2π

D. x =

+ kπ ; x = k 2π

6

π 4

π 2

+ k 2π

+ kπ ; x = kπ

Câu 23. Nghiệm của phương trình cosx + sinx = –1 là: A. x = π + k 2π ; x = − C. x = −

π + k 2π 2

B. x = π + k 2π ; x = −

π + k 2π ; x = k 2π 3

D. x =

Câu 24. Nghiệm của phương trình sinx + A. x = − C. x =

π 3

3 cosx =

π 5π + k 2π ; x = + k 2π 12 12 + k 2π ; x =

π + kπ ; x = kπ 6

2 là:

B. x = −

2π + k 2π 3

π + k 2π 2

π 3π + k 2π ; x = + k 2π 4 4

π

D. x = −

4

+ k 2π ; x = −

5π + k 2π 4

Câu 25. Nghiêm của pt sinx.cosx.cos2x = 0 là: A. x = kπ

B. x = k .

π

C. x = k .

2

π

D. x = k .

8

π 4

Câu 26. Nghiêm của pt 3.cos2x = – 8.cosx – 5 là: A. x = kπ

B. x = π + k 2π

C. x = k 2π

D. x = ±

Câu 27. Nghiêm của pt cotgx + A. x =

π 3

+ k 2π

A. x = −

π 3

+ k 2π

π 6

+ kπ

+ k 2π

C. x = −

π 6

+ kπ

D. x = −

π 3

+ kπ

3 .cosx = 0 la:

B. x = −

π 3

+ kπ

Câu 29. Nghiêm của pt 2.sinx.cosx = 1 là: Doc24.vn

2

3 = 0 là:

B. x =

Câu 28. Nghiêm của pt sinx +

π

C. x =

π 3

+ kπ

D. x = −

π 6

+ kπ

A. x = k 2π

B. x = kπ

C. x = k .

π 2

D. x =

π + kπ 4

+ kπ

D. x = −

+ kπ

D. x =

Câu 30. Nghiêm của pt sin2x = 1 là A. x = k 2π

B. x = π + k 2π

C. x =

π 2

π 2

+ kπ

Câu 31. Nghiệm của pt 2.cos2x = –2 là: A. x = k 2π

B. x = π + k 2π

Câu 32. Nghiệm của pt sinx + A. x = C. x =

π

C. x =

π 2

2

+ k 2π

3 = 0 là: 2

+ k 2π

B. x = −

5π + kπ 6

D. x = ±

6

π

π 3

+ k 2π

2π + k 2π 3

Câu 33. Nghiệm của pt cos2x – cosx = 0 là : A. x = k 2π

B. x = k 4π

C. x = kπ

D. x = k .

π 2

Câu 34. Nghiêm của pt sin2x = – sinx + 2 là: A. x =

π + k 2π 2

B. x =

π + kπ 2

C. x = −

π + k 2π 2

D. x = kπ

Câu 35. Nghiêm của pt sin4x – cos4x = 0 là: A. x = ±

π 4

+ k 2π

B. x =

3π + k 2π 4

C. x = −

π 4

+ kπ

D. x =

π 4

+ k.

Câu 36. Xét các phương trình lượng giác: (I )

sinx + cosx = 3

, (II ) 2.sinx + 3.cosx = 12

, (III ) cos2x + cos22x = 2

Trong các phương trình trên , phương trình nào vô nghiệm?

A. Chỉ (III )

B. Chỉ (I )

Câu 37. Nghiệm của pt sinx = –

Doc24.vn

1 là: 2

C. (I ) và (III )

D. Chỉ (II )

π 2

A. x =

x=

π + k 2π 3

π + k 2π 6

B. x = −

C. x =

π + kπ 6

D.

C. x =

π π +k 8 2

D. x =

5π + k 2π 6

Câu 38. Nghiêm của pt tg2x – 1 = 0 là: A. x = −

π + kπ 4

B. x =

3π + k 2π 4

π + kπ 4

Câu 39. Nghiêm của pt cos2x = 0 là: A. x =

π + kπ 2

B. x = ±

π + k 2π 2

C. x =

π π + k.

4 2

D. x = −

π + k 2π 2

Câu 40. Cho pt : cosx.cos7x = cos3x.cos5x (1) . Pt nào sau đây tương đương với pt (1) A. sin4x = 0

B. cos3x = 0

C. cos4x = 0

D. sin5x = 0

Câu 41. Nghiệm của pt cosx – sinx = 0 là: A. x =

π + kπ 4

B. x = −

C. x =

π + k 2π 4

D. x = −

π + k 2π 4

C. x = ±

π + k 2π 3

Câu 42. Nghiệm của pt 2cos2x + 2cosx – A. x = ±

π + k 2π 4

B. x = ±

Câu 43. Nghiệm của pt sinx – A. x =

π + kπ 6

Câu 44. Nghiệm của pt A. x = −

π + kπ 6

π + kπ 4

2 =0

π + kπ 4

π + kπ 3

3 cosx = 0 là:

B. x =

π + kπ 3

C. x =

π + k 2π 3

D. x =

π + k 2π 6

C. x =

π + kπ 3

D. x =

π + kπ 6

3 sinx + cosx = 0 là:

B. x = −

π + kπ 3

Câu 45. Điều kiện có nghiệm của pt A. sin5x + B. cos5x = c là: Doc24.vn

D. x = ±

A. a2 + b2 ≥ c2

B. a2 + b2 ≤ c2

C. a2 + b2 > c2

D. a2 + b2 < c2

Câu 46. Nghiệm của pt tanx + cotx = –2 là: A. x = x=−

π + kπ 4

B. x = −

π + kπ 4

C. x =

π + k 2π 4

D.

C. x =

5π + k 2π 4

D.

C. x =

π + k 2π 2

D. x =

π + k 2π 4

Câu 47. Nghiệm của pt tanx + cotx = 2 là: A. x = − x=−

π + kπ 4

B. x =

π + kπ 4

3π + k 2π 4

Câu 48. Nghiệm của pt cos2x + sinx + 1 = 0 là: π A. x = − + k 2 π 2

B. x = ±

π + k 2π 2

Câu 49. Tìm m để pt sin2x + cos2x = A. 1 − 5 ≤ m ≤ 1 + 5

π + kπ 2

m có nghiệm là: 2

B. 1 − 3 ≤ m ≤ 1 + 3

C. 1 − 2 ≤ m ≤ 1 + 2

D. 0 ≤ m ≤ 2

Câu 50. Nghiệm dương nhỏ nhất của pt (2sinx – cosx) (1+ cosx ) = sin2x là: A. x =

π 6

B. x =

5π 6

C. x = π

D.

π 12

Câu 51. Nghiệm của pt cos2x – sinx cosx = 0 là: A. x =

π π + k π; x = + kπ 4 2

C. x =

π + kπ 2

B. x = D. x =

π + kπ 2

5π 7π + kπ; x = + kπ 6 6

Câu 52. Tìm m để pt 2sin2x + m.sin2x = 2m vô nghiệm: A. 0 < m < m≥

4 3

Doc24.vn

4 3

B. 0 ≤ m ≤

4 3

C. m ≤ 0; m ≥

4 3

D.

m < 0 ;

Câu 53. Nghiệm dương nhỏ nhất của pt 2sinx + A. x =

3π 4

B. x =

π 4

2 sin2x = 0 là:

C. x =

π 3

D. x = π

Câu 54. Nghiệm âm nhỏ nhất của pt tan5x.tanx = 1 là: A. x = −

π 12

B. x = −

π 3

π 6

C. x = −

D. x = −

π 4

Câu 55. Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ của pt sin4x + cos5x = 0 theo thứ tự là: A. x = −

π π ;x = 18 6

B. x = −

π 2π ;x = 18 9

C. x = −

π π ;x = 18 2

D. x = −

π π ;x = 18 3

Câu 56. Nghiệm của pt 2.cos2x – 3.cosx + 1 = 0 A. x = k 2 π; x = C. x =

π + k 2π 6

π π + k 2 π; x = + k 2 π 2 6

B. x =

π 5π + k 2 π; x = + k 2π 6 6

D. x = −π + k 2 π; x =

2π + k 2π 3

Câu 57. Nghiệm của pt cos2x + sinx + 1 = 0 là: A. x = − C. x = −

π + k 2π 2

π + kπ 2

B. x =

π + k 2π 2

D. x = ±

π + k 2π 2

Câu 58. Nghiệm dương nhỏ nhất của pt 4.sin2x + 3. 3 sin2x – 2.cos2x = 4 là: A. x =

π 6

B. x =

π 4

C. x =

π 3

D. x =

π 2

B. x =

π + kπ 2

Câu 59. Nghiệm của pt cos4x – sin4x = 0 là: A. x =

π π +k 4 2

C. x = π + k 2π Doc24.vn

D. x = kπ

Câu 60. Nghiệm của pt sinx + cosx = A. x =

π + k 2π 4

C. x = −

π B. x = − + k 2 π 4

π + k 2π 6

Câu 61. Nghiệm của pt sin2x + A. x =

2 là:

π 5π + k 2 π; x = − + k 2π 6 6

Câu 62. Nghiệm của pt sinx –

π + k 2π 6

B. x =

π π + k 2 π; x = + k 2 π 2 6

D. x =

π 5π + k 2 π; x = + k 2π 6 6

3 sinx.cosx = 1 là:

π π + k π; x = + kπ 2 6

C. x = −

D. x =

3 cosx = 1 là

A. x =

5π 13π + k 2 π; x = + k 2π 12 12

B. x =

π π + k 2 π; x = + k 2 π 2 6

C. x =

π 5π + k 2 π; x = + k 2π 6 6

D. x =

π 5π + k 2 π; x = + k 2π 4 4

Câu 63. Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm: (I) cosx =

5− 3

(II) sinx = 1– 2

(III) sinx + cosx = 2

A. (I)

B. (II)

C. (III)

D. (I) và (II)

Một số vấn đề nâng cao.

Vấn đề 2. Tìm nghiệm phương trình lượng giác cơ bản Các ví dụ Ví dụ 1. Tìm tổng các nghiệm trong khoảng ( −π; π) của phương trình: π π 1. sin(3 x + ) = cos(2 x − ) 3 4

Lời giải.

Doc24.vn

π 2. sin 2 2 x = cos 2 (3 x − ) 8

 π  3π  1. Phương trình ⇔ sin  3 x +  = sin  − 2x  3   4   π 3π  π k 2π 3x + 3 = 4 − 2 x + k 2π  x = 12 + 5 ⇔ ⇔ 3x + π = π + 2 x + k 2π  x = − π + k 2π   3 4  12 Do x ∈ ( −π; π ) nên ta có: x = −

43π 19 π π 29 π 53π π ,x = − ,x = ,x = ,x = ,x = − 60 60 12 60 60 12

Vậy tổng các nghiệm trong ( −π; π ) bằng

π .

3

 π 2. Phương trình ⇔ cos  6 x −  = − cos 4 x = cos ( π + 4 x ) 4   5π  π  x = 8 + kπ 6 x − 4 = 4 x + π + k 2 π ⇔ ⇔  x = − 3π + kπ 6 x − π = −4 x − π + k 2 π   4 40 5 Các nghiệm nằm trong ( −π; π) của phương trình là: x=

5π 7π 27 π 19 π 11π 3π π ,x = − ,x = − ,x = − ,x = − ,x = − ,x = , 8 8 40 40 40 40 8

x=

13π 21π 29 π 37 π ,x = ,x = ,x = 40 40 40 40

Vậy tổng các nghiệm thuộc ( −π; π) là:

7π .

8

Ví dụ 2. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của các phương trình sau: 1. sin 2 2 x + cos 2 5 x = 1

2. (sin x + cos x)2 = 2 cos 2 3x Lời giải:

1. Phương trình ⇔

Doc24.vn

1 − cos 4 x 1 + cos10 x + =1 2 2

 x = 10 x = 4 x + k 2 π ⇔ cos10 x = cos 4 x ⇔  ⇔ x = 10 x = −4 x + k 2 π 

kπ 3 kπ 7

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình là: x =

π π ,x = − .

7 7

2. Phương trình ⇔ 1 + sin 2 x = 1 + cos 6 x  π kπ  π  x = 16 + 4 6 x = 2 − 2 x + k 2π π  ⇔ cos 6 x = sin 2 x = cos  − 2 x  ⇔  ⇔ 2   x = − π + kπ 6 x = − π + 2 x + k 2π   2 8 2 Vậy nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình đã cho là: x=

π π ,x = − .

16 8

Ví dụ 3 Tìm số dương nhỏ nhất của phương trình :

  1  1. cos  π  x 2 + 2 x −   = sin πx 2 2   

2 2. sin πx 2 = sin  π ( x + 1)   

( )

( )

Lời giải:

( )

1. Phương trình sin  π( x + 2 x) = sin πx 2

2

 π( x 2 + 2 x) = πx 2 + k 2 π x = k ∈ ℤ ⇔ 2 ⇔ 2 2  2 x + 2 x − 2 k − 1 = 0 (1)  π( x + 2 x) = π − πx + k 2 π Từ đó ta tìm được x =

−1 + 3 .

2

 2k + 1  πx 2 = π( x + 1)2 + k 2 π x = − 2 2. Phương trình ⇔  2 ⇔ 2  2  πx = π − π( x + 1) + k 2 π  x + x − k = 0 Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình x = −

2k + 1 1 , k ∈ ℤ là x = 2 2

Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình x 2 + x − k = 0 là: x =

Doc24.vn

−1 + 5 1 > 2 2

Vậy x =

1 là nghiệm cần tìm.

2

Ví dụ 4 π  Tìm nghiệm nguyên của phương trình : cos  3 x − 9 x 2 + 160 x + 800  = 1 8 

)

(

Lời giải:  16 k  16 k x≥ x≥     3 3 Phương trình 3 x − 9 x 2 + 160 x + 800 = 16 k ⇔  ⇔ 2  x = 8 k − 25 9 x = 24 k − 40 − 25 3k + 5  3k + 5  Theo bài toán suy ra:

25 ∈ ℤ ⇒ k ∈ {0, −2, −10} 3k + 5

Thử lại ta có các nghiệm nguyên của phương trình : x = −7( k = −2), x = −31 ( k = −10) .

Ví dụ 5 Tính tổng các nghiệm nằm trong khoảng (0; 2 π) của phương trình sau:

(

)

3 − 1 sin x +

(

)

3 + 1 cos x = 2 2 sin 2 x Lời giải:

Ta có sin

7π 6+ 2 7π 6− 2 = = ; cos 12 4 12 4

Nên phương trình đã cho tương đương với:

⇔ sin x.cos

3 −1 2 2

sin x +

3 +1 2 2

7π 7π + cos x.sin = sin 2 x 12 12

 7π  7π x= + k 2π 2x = x + + k 2π   7π 12 12 ⇔ sin( x + ) = sin 2 x ⇔  . ⇔ 12  x = 5π + k 2 π 2 x = π − x − 7 π + k 2π   12 36 3 Do x ∈ ( 0; 2 π ) nên phương trình có các nghiệm là: 7 π 5π 29 π 53π ; ; ; .

12 36 36 36 Doc24.vn

cos x = sin 2 x

Vậy tổng các nghiệm cần tính là: 3π .

Chú ý: Ta có thể giải theo cách khác như sau Phương trình ⇔ 3 sin x + cos x + 3 cos x − sin x = 2 2 sin 2 x π π 7π ⇔ sin( x + ) + cos( x + ) = 2 sin 2 x ⇔ sin( x + ) = sin 2 x 6 6 12 Tiếp tục giải ta được kết quả như trên.

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP π Bài 1. Tìm tổng các nghiệm của phương trình: 2 cos( x − ) = 1 trên ( −π; π) 3

A.

2π 3

B.

π 3

C.

4π 3

D.

7π 3

Lời giải:  x = k 2π π 1 π Phương trình ⇔ cos( x − ) = = cos ⇔   x = 2π + k 2π 3 2 3  3 Vì x ∈ ( −π; π ) nên: * Với x = k 2 π ta chỉ chọn được k = 0 ⇒ x = 0 . * Với x =

2π 2π + k 2π ta chỉ chọn được k = 0 ⇒ x = .

3 3

Vậy tổng các nghiệm bằng

2π .

3

π π Bài 2. Tìm tổng các nghiệm của phương trình sin(5 x + ) = cos(2 x − ) trên [0; π] 3 3

A.

7π 18

B.

4π 18

C.

47 π 8

Lời giải: Doc24.vn

D.

47 π 18

π 5π Phương trình ⇔ sin(5 x + ) = sin( − 2 x) 3 6  π 5π  π 2π 5x + 3 = 6 − 2 x + k 2π  x = 14 + k 7 ⇔ ⇔ . 5x + π = π + 2 x + k 2π  x = − π + k 2π   3 6 18 3 • Với x =

⇔−

π 2π π 2π +k ⇒0≤ +k ≤π 14 7 14 7

π 2 π 13π 1 13 ≤k ≤ ⇔ − ≤ k ≤ . Do k ∈ ℤ ⇒ k ∈ {0,1, 2, 3} 14 7 14 4 4

Suy ra các nghiệm: x =

• Với x = −

⇔

π 5π 9π 13π ,x = ,x = ,x = 14 14 14 14

π 2π π 2π +k ⇒0≤− +k ≤π 18 3 18 3

2π 19 π 1 19 π ≤k ≤ ⇔ ≤k≤ . Do k ∈ ℤ ⇒ k = 1 18 3 18 12 12

Suy ra các nghiêm: x =

11π .

18

Vậy tổng các nghiệm là:

47 π .

18

Bài 3.Tìm sô nghiệm nguyên dương của phương trình sau π  sin  3 x − 9 x 2 − 16 x − 80  = 0 . 4 

(

)

A. 1

B. 2

C. 3 Lời giải:

Điều kiện: 9 x 2 − 16 x − 80 ≥ 0 ⇔ x ≥ 4 .

Phương trình ⇔

π 3 x − 9 x 2 − 16 x − 80 = kπ, k ∈ ℤ 4

(

)

⇔ 3 x − 9 x 2 − 16 x − 80 = 4 k ⇔ 9 x 2 − 16 x − 80 = 3 x − 4 k

Doc24.vn

D. 4

  4k  x ≥ x ≥  ⇔ ⇔ 3  x = 9 x 2 − 16 x − 80 = (3 x − 4 k )2  

4k 3 .

2 k 2 + 10 3k − 2

 2 k 2 + 10 4 k ≥  3 k − 2 3  2 2 k + 10  Yêu cầu bài toán ⇔  x = ≥4.

3k − 2   2 k 2 + 10  3k − 2 ∈ ℤ   2 k 2 + 10 4 k  −6 k 2 + 8 k + 30 ≥ ≥0   2 3 k − 2 3 3 k − 2 Ta có:  ⇔ 2 ⇔ <k≤3 2 3  x = 2 k + 10 ≥ 4  2 k − 12 k + 18 ≥ 0 3k − 2 3k − 2   Vì k ∈ ℤ ⇒ k = 1, 2, 3 . * k = 1⇒

2 k 2 + 10 = 12 ∈ ℤ 3k − 2

* k=2⇒

2 k 2 + 10 9 = ∉ℤ 3k − 2 2

* k =3⇒

2 k 2 + 10 = 4∉ℤ 3k − 2

Kết hợp điều kiện, ta có x = 4, x = 12 là những giá trị cần tìm.

Bài 4. Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình: cos π(3 − 3 + 2 x − x 2 ) = −1 .

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải:

(

)

Phương trình ⇔ π 3 − 3 + 2 x − x 2 = π + k 2 π, k ∈ ℤ ⇔ 2 − 2 k = 3 + 2 x − x 2 Ta có: 0 ≤ 4 − (1 − x)2 ≤ 2 và 2 − 2k là số chẵn nên ta có các nghiệm là: x = −1, x = 3, x = 1 .

Bài 5. Tìm số nghiệm x ∈  0; 14  nghiệm đúng phương trình : cos 3 x − 4 cos 2 x + 3 cos x − 4 = 0 Doc24.vn

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải: Phương trình ⇔ 4 cos 3 x − 3 cos x − 4(2 cos 2 x − 1) + 3 cos x − 4 = 0 ⇔ 4 cos 3 x − 8 cos 2 x = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x =

π + kπ 2

π 3π 5π 7π Vì x ∈  0; 14  ⇒ x = , x = ,x = ,x = .

2 2 2 2

Bài 6. Tìm số nghiệm trên khoảng ( −π; π) của phương trình :

2( sinx + 1)( sin2 2 x − 3sinx + 1) = sin4 x.cosx A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải: Ta có phương trình đã cho tương đương với  1 − cos 4 x  2 ( sin x + 1)  − 3 sin x + 1  = sin 4 x.cos x 2   ⇔ ( sin x + 1)( 3 − 6 sin x − cos 4 x ) = sin 4 x.cos x ⇔ ( sinx + 1)( 3 − 6sinx ) − sinx.cos4x − cos4x = sin4x.cosx ⇔ 3(1 − 2 sin2 x) − 3sinx = sin5 x + cos4 x  π  π ⇔ 3 cos 2 x + 3 cos  x +  = cos  5 x −  + cos 4 x 2 2   ⇔ 3.2.cos(

3x π x π 9x π x π + ).cos( − ) = 2.cos( − ).cos( − ) 2 4 2 4 2 4 2 4

 x π 3x π 9 x 3π  ⇔ cos  −   3 cos( + ) + cos( + ) = 0 2 4 2 4   2 4    x π x= cos( − ) = 0   x π 3 x π 2 4 ⇔ cos( − ).cos 3 ( + ) = 0 ⇔  ⇔ 2 4 2 4 x =  cos( 3 x + π ) = 0   2 4 π π 3π Vì x ∈ ( −π; π) nên suy ra x = − , x = , x = .

2 6 2 Doc24.vn

3π + k 2π 2 . π + k 2π 6

Bài 7 Tìm số nghiệm x ∈ ( 0; 2 π ) của phương trình : A. 1

B. 2

sin 3 x − sin x 1 − cos 2 x

C. 3

= sin 2 x + cos 2 x

D. 4

Lời giải: Điều kiện: cos 2 x ≠ 1 ⇔ 2 x ≠ k 2π ⇔ x ≠ kπ Phương trình ⇔

2 cos 2 x sin x 2 sin x

 π = 2 cos  2 x −  4 

Ta thấy x = π không là nghiệm của phương trình .

• Nếu x ∈ ( 0; π ) thì phương trình ⇔

2 cos 2 x sin x 2 sin x

 π = 2 cos  2 x −  4 

 π π π ⇔ cos 2 x = cos  2 x −  ⇔ x = + k ,k∈ℤ 4 16 2  Do x ∈ ( 0; π ) ⇒ 0 <

π π 1 15 + k < π, k ∈ Z ⇔ − < k < , k ∈ Z 16 2 8 8

 π x= k = 0  16 . ⇔ ⇒ k = 1 9 x = π   16 • Nếu x ∈ ( π; 2 π ) thì phương trình ⇔

2 cos 2 x sin x − 2 sin x

 π = 2 cos  2 x −  4 

 π 5π π ⇔ cos 2 x = − cos  2 x −  ⇔ x = + k ,k∈ℤ 4 16 2  Do x ∈ ( π; 2 π ) ⇒ π <

π 5π 11 27 + k < 2π, k ∈ Z ⇔ <k< ,k∈Z 16 2 8 8

 21π x=  k = 2 16 . ⇔ ⇔  x = 29 π k = 3  16 Nghiệm phương trình thỏa mãn bài toán là : x=

π 9π 21π 29 π ;x = ;x = ;x = .

16 16 16 16

Doc24.vn

Vấn đề 3 . Phương pháp loại nghiệm khi giải phương trình lượng giác có điều kiện Phương pháp 1: Biểu diễn các nghiệm và điều kiện lên đưòng tròn lượng giáC. Ta loại đi những điểm biểu diễn của nghiệm mà trùng với điểm biểu diễn của điều kiện.

Với cách này chúng ta cần ghi nhớ • Điểm biểu diễn cung α và α + k 2 π , k ∈ ℤ trùng nhau • Để biểu diễn cung α +

2kπ lên đường tròn lượng giác ta cho k nhận n giá trị (thường n

chọn k = 0,1, 2,..., n − 1 ) nên ta có được n điểm phân biệt cách đều nhau trên đường tròn tạo thành một đa giác đều n cạnh nội tiếp đường tròn.

Phương pháp 2: Sử dụng phương trình nghiệm nguyên Giả sử ta cần đối chiếu hai họ nghiệm α +

kπ lπ và β + , trong đó m , n∈ ℤ đã biết, còn n m

k , l ∈ ℤ là các chỉ số chạy.

Ta xét phương trình : α +

kπ lπ = β + ⇔ ak + bl = c (*) n m

Với a , b , c là các số nguyên.

Trong trường hợp này ta quy về giải phương trình nghiệm nguyên

ax + by = c

(1).

Để giải phương trình (1) ta cần chú ý kết quả sau: • Phương trình (1) có nghiệm ⇔ d = ( a , b) là ước của c • Nếu phương trình (1) có nghiệm ( x0 ; y0 ) thì (1) có vô số nghiệm  b  x = x0 + d t ,t ∈ ℤ .  y = y − a 0  t

Phương pháp 3: Thử trực tiếp

Doc24.vn

Phương pháp này là ta đi giải phương trình tìm nghiệm rồi thay nghiệm vào điều kiện để kiểm trA.

Phương pháp 4: Biểu diễn điều kiện và nghiệm thông qua một hàm số lượng giác: Giả sử ta có điều kiện là u( x) ≠ 0 ( u( x) ≥ 0, u( x) ≤ 0 ), ta biến đổi phương trình đã cho về phương trình chứa u( x) và giải phương trình để tìm u( x) .

Các ví dụ Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: 1. cot 3 x = cot x

2. cot 4 x.cot 7 x = 1 Lời giải:

1. Điều kiện: x ≠ k

π 3

Phương trình ⇔ 3 x = x + nπ ⇔ x =

nπ ,n∈ℤ 2

Loại nghiệm: Để loại nghiệm của phương trình ta có các cách sau

Cách 1: Biểu diễn các điểm cuối của cung k

Biểu diễn các điểm cuối của cung

π ta có các điểm A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 .

3

nπ ta có các điểm B1 , B2 , B3 , B4 .

2 y

A3

B2

A2

A1

B3 A4

A5

Ta thấy A1 ≡ B1 , A4 ≡ B3 .

Doc24.vn

B1

O

B4

A6

x

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x =

Cách 2: Ta có

π + mπ, m ∈ ℤ .

2

 k = 3t nπ kπ 2k = ⇔n= ⇒ 2 3 3  n = 2t

Do đó ta cần loại những giá trị n chẵn.

Vậy nghiệm của phương trình là: x =   x ≠ 2. Điều kiện:  x ≠ 

π + mπ, m ∈ ℤ .

2

kπ 4 . nπ 7

π Phương trình ⇔ cot 7 x = tan 4 x = cot( − 4 x) 2 ⇔ 7x =

π π π − 4 x + mπ ⇔ x = +m .

2 22 11

• Ta có:

π π kπ k+2 +m = ⇔ 2 + 4 m = 11k ⇔ m = 3 k − 22 11 4 4

Vì m , k ∈ ℤ ⇒

• Ta có:

k+2 = t ⇒ k = 4t − 2 ⇒ m = 11t − 6 4

π mπ nπ + = ⇔ 7 + 14 m = 22n ⇒ 22n − 14 m = 7 22 11 7

Vì 22n − 14 m là số chẵn còn 7 là số lẻ nên phương trình này vô nghiệm.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x=

π mπ + với m ≠ 11t − 6 , t ∈ ℤ .

22 11

Ví dụ 2. Giải phương trình sau:

sin x cot 5 x =1 cos 9 x

Lời giải:  mπ  x ≠ 5 sin 5 x ≠ 0 Điều kiện:  ⇔ cos 9 x ≠ 0  x ≠ π + mπ  18 9 Doc24.vn

Phương trình ⇔ sin x cos 5 x = cos 9 x sin 5 x ⇔ sin 6 x − sin 4 x = sin 14 x − sin 4 x ⇔ sin 14 x = sin 6 x  x = 14 x = 6 x + k 2 π ⇔   x = 14 x = π − 6 x + k 2 π  • Nghiệm x =

kπ 4 π kπ + 20 10

kπ bị loại khi và chỉ khi một trong hai phương trình sau có nghiệm nguyên 4

m, k  m = 5t  kπ mπ  = 4 5k = 4m  k = 4t 5 ⇔ ⇔  ⇒ k (chẵn)   k = 2 + 4t  kπ = π + mπ 9 k − 4m = 2   4 18 9  m = 4 + 9t • Nghiệm x =

π kπ bị loại khi và chỉ khi một trong hai phương trình sau có nghiệm + 20 10

nguyên m , k  π kπ mπ  20 + 10 = 5 4m − 2 k = 1 ta thấy cả hai phương trình này vô nghiệm. ⇔   π + kπ = π + mπ 18 k − 10 m = 1  20 10 18 9 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x =

π kπ π kπ + , x= + .

20 10 4 2

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Giải phương trình : sin x = cos 2 x A. x = ±

π + k 2π 6

B. x = ±

π 1 +k π 6 2

C. x = ±

π 1 +k π 6 3

Lời giải: Cách 1: • Với sin x ≥ 0 (*) thì phương trình đã cho tương đương với

Doc24.vn

D. x = ±

π + kπ 6

 π 2 x = − x + k 2π  π  2 cos 2 x = sin x = cos  − x  ⇔  2  2 x = − π + x + k 2π  2  π 2kπ (1) x = 6 + 3 ⇔  x = − π + k 2 π (2)  2 Dễ thấy nghiệm (2) không thỏa (*) Biểu diễn nghiệm (1) lên đường tròn lượng giác ta được các điểm A1 , A2 , A3 . Trong đó chỉ có hai điểm A1 , A2 nằm phía trên Ox y A2

A1

O

1 x

A3

Hai điểm này ứng với các cung x =

π 5π + k 2 π và x = + k 2π .

6 6

• Với sin x < 0 (**) thì phương trình đã cho tương đương với  π 2 x = + x + k 2π  π  2 cos 2 x = − sin x = cos  + x  ⇔  2   2 x = − π − x + k 2π  2  π  x = 2 + k 2 π (3) ⇔  x = − π + k 2 π (4)  6 3 Dễ thấy (3) không thỏa (**) Doc24.vn

Biểu diễn (4) trên đường tròn lượng giác ta được các điểm B1 , B2 , B3 Trong đó chỉ có hai điểm B2 , B3 nằm dưới Ox ( sin x < 0 ) y B1

O B2

1 x B3

π 5π Hai điểm đó ứng với cung: x = − + k 2 π và x = − + k 2π 6 6 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = ±

π + kπ .

6

Bài 2: Giải phương trình : cos 3 x tan 4 x = sin 5 x A. x = k 2π , x =

π k 3π + 16 8

1 π k 3π B. x = k π, x = + 2 16 8

2 π kπ C. x = k π, x = + 3 16 8

D. x = kπ, x =

π kπ + 16 8

Lời giải: Điều kiện: cos 4 x ≠ 0 Phương trình ⇔ sin 4 x cos 3 x = sin 5 x cos 4 x ⇔ sin 7 x + sin x = sin 9 x + sin x ⇔ sin 9 x = sin 7 x ⇔ x = kπ , x =

π kπ + 16 8

• Với x = kπ thì cos 4 x = cos 4 kπ = 1 ≠ 0 • Với x = Doc24.vn

 π kπ  π kπ + thì cos 4 x = cos  +  ≠ 0 đúng với mọi k 16 8 4 2 

Vậy nghiệm của phương trình là: x = kπ, x =

Bài 3: Giải phương trình

π kπ , k∈ℤ . + 16 8

2 ( sin 3x + cos 3x ) = 1 + 2 sin 6 x + 2 sin 2 x

A. x =

π 17 π + nπ và x = + 2nπ 12 12

B. x =

π 17 π + 2nπ và x = + nπ 12 12

C. x =

π 2 17 π + nπ và x = + 2nπ 12 3 12

D. x =

π 17 π + 2nπ và x = + 2nπ 12 12

Lời giải:

sin 3 x + cos 3 x ≥ 0 Phương trình ⇔  2 2 ( sin 3 x + cos 3 x ) = 1 + 2 sin 6 x + 2 sin 2 x sin 3 x + cos 3 x ≥ 0 sin 3 x + cos 3 x ≥ 0 (*)   ⇔ ⇔  π 1 5π + kπ (1), x = + kπ (2) sin 2 x = x =  2  12 12 • Với nghiệm x =

π + kπ thì 12

π  π  sin 3 x + cos 3 x = sin  + 3 kπ  + cos  + 3kπ  ≥ 0 ⇔ k = 2n 4  4  • Với nghiệm x =

5π + kπ thì 12

 5π   5π  sin 3 x + cos 3 x = sin  + 3 kπ  + cos  + 3 kπ  ≥ 0 ⇔ k = 2n + 1 .  4   4  Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x =

π 17 π + 2nπ và x = + 2nπ 12 12

Bài 4: Giải phương trình : tan 2 x tan 3 x tan 7 x = tan 2 x + tan 3 x + tan 7 x .  k ≠ 2(2t + 1) kπ  A. x = với  k ≠ 3(2t + 1) , t ∈ ℤ 2  k ≠ 6(2t + 1) 

 k ≠ 2(2t + 1) kπ  B. x = với  k ≠ 5(2t + 1) , t ∈ ℤ 12  k ≠ 6(2t + 1) 

 k ≠ 2(2t + 1) kπ  C. x = với  k ≠ 5(2t + 1) , t ∈ ℤ 3  k ≠ 6(2t + 1) 

 k ≠ 2(2t + 1) kπ  D. x = với  k ≠ 3(2t + 1) , t ∈ ℤ 12  k ≠ 6(2t + 1) 

Doc24.vn

Lời giải:

 π π x ≠ 4 + k 2 cos 2 x ≠ 0  π π   Điều kiện: cos 3 x ≠ 0 ⇔  x ≠ + k .

6 3 cos 7 x ≠ 0   π k π   x ≠ 14 + 7  Phương trình ⇔ − tan 2 x(1 − tan 3 x tan 7 x) = tan 3x + tan 7 x Nếu tan 3 x tan 7 x = 1 ⇒ tan 3 x + tan 7 x = 0 vô lí Nên ta có phương trình : − tan 2 x =

⇔ 10 x = −2 x + mπ ⇔ x =

tan 3 x + tan 7 x = tan 10 x 1 − tan 3 x tan 7 x

mπ .

12

Loại nghiệm: Với bài toán này nếu chúng ta sử dụng phương pháp loại nghiệm bằng cách biểu diễn lên đường tròn lượng giác hay phương pháp thử trực tiếp sẽ phải xét nghiều trường hợp. Do đó ta lựa chọn phương pháp đại số.

•

π π mπ +k = ⇔ 3 + 6k = m 4 2 12

•

π π mπ +k = ⇔ 2 + 4k = m 6 3 12

•

m = 12t + 6 π π mπ +k = ⇔ 6 + 12 k = 7 m ⇔  ,t ∈ ℤ 14 7 12 k = 7t + 3

 k ≠ 2(2t + 1) kπ  KL: Nghiệm của phương trình là: x = với  k ≠ 3(2t + 1) , t ∈ ℤ 12  k ≠ 6(2t + 1) 

Vấn đề 4 . Phương trình lượng giác chứa tham số. Đây là chuyên đề giới thiệu, nên giáo viên có thể minh họa bằng toán tự luận cho học sinh, chứ nếu chuyển về bài toán trắc nghiệm thật sự không tốt.

Các ví dụ Doc24.vn

Ví dụ 1. Tìm giá trị m để phương trình: 2 sin( x +

π ) = 2 m + 1 vô nghiệm.

10

Lời giải:  π  2m + 1 Phương trình ⇔ sin  x +  = 10  2  • Nếu −1 ≤

2m + 1 3 1 ≤ 1 ⇔ − ≤ m ≤ thì phương trình có nghiệm 2 2 2

 π 2m + 1  x = − 10 + arcsin 2 + k 2 π   x = 9 π − arcsin 2 m + 1 + k 2 π  10 2  3 m < − 2 • Nếu  ⇒ phương trình vô nghiệm. m > 1  2

Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình: m cos 2 x = m − 1 Lời giải:

• Nếu m ≥

1 m−1 ⇒ ≤ 1 ⇒ phương trình có nghiệm 2 m

1 m−1 x = ± arccos + k 2π 2 m • Nếu m <

1 thì phương trình vô nghiệm.

2

Ví dụ 3. Cho phương trình : ( m − 1) cos x + 2 sin x = m + 3 1. Giải phương trình khi m = −2

2. Tìm m để phương trình có nghiệm Lời giải:

1. Với m = 2 ta có phương trình : 3 cos x − 2 sin x = −1 ⇔

3 13

cos x −

Với sin α = Doc24.vn

2 13

2 13

sin x = −

,cos α =

1 13

⇔ cos( x + α) = −

 π ; α ∈  0;  .

13  2

3

1 13

⇔ x + α = ± arccos

−1 13

+ k 2 π ⇔ x = −α ± arccos

−1 13

+ k 2π .

1 2. Phương trình đã cho có nghiệm ⇔ ( m − 1)2 + 4 ≥ ( m + 3)2 ⇔ m ≤ − .

2

Ví dụ 4. Tìm m để phương trình: ( m + 1) cosx + ( m − 1) sinx = 2m + 3 có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn: x1 − x2 =

π 3

Lời giải: Ta có phương trình đã cho tương đương với m +1 2m2 + 2

m −1

cosx +

2 m2 + 2

⇔ cos ( x + α ) = cosβ

(Trong đó cos α =

sinx =

2m + 3 2m2 + 2 2m+3

(với đk −1 ≤ m +1 2 m2 + 2

2m 2 + 2 2m+3

; cosβ =

2m2 + 2

≤ 1 (*) )

) ⇔ x = β ± α + k 2π

Do đó x1 , x2 có dạng x1 = β + α + k1 2 π; x2 = β − α + k2 2π (Vì nếu x1,x2 cùng thuộc một họ nghiệm thì x1 − x2 = l 2π , l ∈ Z ) Do đ ó: x1 − x2 =

π 3

⇔ 2α+( k1 − k2 )2 π =

⇔ cos 2α+( k1 − k2 )2 π = cos

π 3

π 1 ⇔ cos 2α = .

3 2

Mặt khác cos2α = 2cos 2 α − 1 nên ta có: 2

2

 m +1  1 3 ( m + 1) = 2 −1 ⇔ =    2 2 4 2m2 + 2  2m + 2 

⇔ m 2 − 4 m + 1 = 0 ⇔ m = 2 ± 3 (ko thoả mãn (*)) Vậy không tồn tại m thoả mãn yêu cầu bài toán .

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau: Doc24.vn

1. 4 sin 2 x = 2m + 1

π 2 ( m − 1) cos 2 (4 x + ) = 2 m 3

π 3. tan(2 x − ) = m + 1 6

π 4. m cot 2 (2 x − ) = 2 m + 1 8

Lời giải: . Phương trình ⇔ sin 2 x =

2m + 1

• Nếu

4

 x = nghiệm  x = 

2m + 1 (1) 4

≤ 1 ⇔ 2m + 1 ≤ 4 ⇔ −

5 3 ≤ m ≤ thì phương trình (1) có 2 2

1 2m + 1 arcsin + kπ 2 4 , k∈ℤ 2m + 1 π 1 − arcsin + kπ 2 2 4

 5 3  • Nếu m ∈  −∞; −  ∪  ; +∞  thì phương trình (1) vô nghiệm 2 2  

Lời giải: 2.

• Nếu m = 1 ⇒ phương trình (1) vô nghiệm  π  2m • Nếu m ≠ 1 ⇒ phương trình đa cho ⇔ cos 2  4 x +  = (2) 3  m−1   2m ≥0  m ∈ ( −∞; 0] ∪ (1; +∞) +) Nếu  m − 1 ⇔ ⇔ −1 ≤ m ≤ 0 thì − ≤ < 2 m 1 m 1   ≤1  m − 1

 π 2m Phương trình (2) ⇔ cos  2 x +  = ± 3 m −1  ⇔ 2x +

  π 2m  π 1 2m  = ± arccos  ±  + k 2 π ⇔ x = − ± arccos  ±  + kπ, k ∈ ℤ  m −1   m−1  3 6 2    

 m < −1 +) Nếu  thì phương trình (2) vô nghiệm. m > 0

Doc24.vn

Lời giải: 3. Với mọi giá trị của m ta có phương trình đã cho tương đương với

2x −

π π 1 kπ = arctan( m + 1) + kπ ⇔ x = + arctan( m + 1) + 6 12 2 2 Lời giải:

4.

• Nếu m = 0 ⇒ phương trình vô nghiệm  π  2m + 1 • Nếu m ≠ 0 thì phương trình đã ch tương đương với cot 2  2 x −  = 8 m  +) Nếu

2m + 1 1 < 0 ⇔ − < m < 0 thì phương trình (4) vô nghiệm m 2

 1 m≤− +) Nếu  2 thì phương trình (4) có nghiệm là   m > 0 2x −

 2m + 1   2 m + 1  kπ π π 1 = arc cot  ± + arc cot  ± , k∈ℤ.  + kπ ⇔ x = +   8 m  16 2 m  2  

Bài 2 Giải và biện luận các phương trình sau: 1. m sin 2 2 x + m − 1 = 0

2. (2 m − 1) tan 2 3 x = m + 2 Lời giải:

1.

• Nếu m = 0 ⇒ phương trình vô nghiệm • Nếu m ≠ 0 ⇒ phương trình ⇔ sin 2 2 x =

1− m m

 1 1− m m < +) > 1 ⇔ 1− m > m ⇔  2 ⇒ phương trình vô nghiệm m m ≠ 0   x =  1 +) m ≥ ⇒ phương trình có nghiệm :  2  x =  Doc24.vn

 1− m  1 arcsin  ±  + kπ   2 m    1− m  π 1 − arcsin  ±  + kπ  2 2 m  

(4)

Lời giải: 2.

• Nếu m =

1 ⇒ phương trình vô nghiệm 2

• Nếu m ≠

1 m+2 thì phương trình ⇔ tan 2 3 x = 2 2m − 1

+) Nếu −2 < m <

1 ⇒ phương trình vô nghiệm 2

 m ≤ −2  1 m + 2  kπ +) Nếu  . ⇒ phương trình có nghiệm x = arc t an  ± + 1  2m − 1  3 m > 3    2

Bài 3 Cho phương trình ( m − 1) s inx + m cos x = 2 m − 1 (1) 1. Tìm m để phương trình (1) có một nghiệm x =

π , giải phương trình với giá trị m vừa 3

tìm đượC.

2. Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.

Lời giải: 1. Phương trình có nghiệm x =

π khi và chỉ khi 3

π π 3− 3 ( m − 1) sin + m cos = 2m − 1 ⇔ m = 3 3 6 Bạn đọc tự giải phương trình.

Lời giải: 2. Phương trình có nghiệm ⇔ ( m − 1) + m 2 ≥ (2 m − 1)2 2

⇔ m2 − m ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 1 .

Bài 4 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 1. cos 2 x + cos 2 x + 3 sin x + 2 m = 0 có nghiệm Lời giải: . Phương trình ⇔ 3 sin 2 x − 3 sin x = 2 m + 2 Doc24.vn

2 Đặt t = sin, t ∈ −  1;1 . Ta có phương trình : 3t − 3t = 2 m + 2

Xét hàm số f (t ) = 3t 2 − 3t , t ∈ −  1;1 Bảng biến thiên

t

−1 1

6 f (t )

0 Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình đã cho có nghiệm ⇔ 0 ≤ 2 m + 2 ≤ 6 ⇔ −1 ≤ m ≤ 2 .

π  2. cos 2 x − (2 m + 1) cos x + m + 1 = 0 có nghiệm trên  ; π  2 

Lời giải: . Phương trình ⇔ 2cos x − ( 2m + 1) cosx + m = 0 2

 2 cos x − 1 = 0 ⇔ ( 2 cos x − 1)( cos x − m ) = 0 ⇔   cos x − m = 0 π  Ta có : x ∈  ; π  ⇒ −1 ≤ cos x ≤ 0 2  π  Suy ra phương trình đã cho có nghiệm x ∈  ; π  ⇔ −1 ≤ m ≤ 0 . 2 

Bài 5: Giải và biện luận phương trình :

(

)

(

)

1. 8 m 2 + 1 sin 3 x − 4 m2 + 1 sin x + 2 m cos 3 x = 0 Lời giải: .

Doc24.vn

• Nếu m = 0 , phương trình ⇔ sin 3 x − sin x = 0 sin x cos 2 x = 0 ⇔ sin 2 x = 0 ⇔ x =

kπ 2

• Nếu m ≠ 0 , chia hai vế phương trình cho cos 3 x ≠ 0 ta được

(

)

(8 m2 + 1) tan 3 x − (4 m 2 + 1) tan x 1 + tan 2 x + 2 m = 0 ⇔ 4 m 2 tan 3 x − (4 m 2 + 1) tan x + 2 m = 0 ⇔ (2 m tan x − 1)(2 m tan 2 x + tan x − 2 m) = 0  1  1  1 x = arctan + kπ  tan x = tan x = 2m  ⇔ ⇔ ⇔  2m 2m   1 kπ 2  tan 2 x = 4 m 2 m tan x + tan x − 2 m = 0 x = arctan(4 m) +    2 2

KL: • Nếu m = 0 thì phương trình có nghiệm x =

kπ 2

• Nếu m ≠ 0 thì phương trình có nghiệm x=

kπ 1 1 kπ . , x = arctan + kπ, x = arctan(4 m) + 2 2m 2 2

2. 2 m sin x cos x − ( sin x + cos x ) + 1 = 0 .

Lời giải: t2 − 1  π . . Đặt t = sin x + cos x = 2 cos  x −  , t ∈  − 2; 2  ⇒ sin x cos x =   4 2  Thay vào phương trình ta có:

t = 1 m(t 2 − 1) − t + 1 = 0 ⇔ (t − 1)( mt + m − 1) = 0 ⇔   mt = 1 − m  π x = + k 2π  π 1  • t = 1 ⇔ cos  x −  = ⇔ 2  4 2   x = k 2 π • Xét phương trình : mt = 1 − m (*) +) Nếu m = 0 ⇒ (*) vô nghiệm

Doc24.vn

+) Nếu

 m ≤ −1 − 2 m ≠ 0 1− m ≤ 2⇔ 2 ⇔ m  m ≥ −1 + 2 m + 2 m − 1 ≥ 0

⇒ (*) ⇔ t =

 1− m  π 1− m  π  1− m ⇔ x = ± arccos  ⇔ cos  x −  =  + k 2π 4 m 4 m 2  m 2

1− m m ≠ 0 +)  vô nghiệm. ⇒ (*) ⇔ t = m −1 − 2 < m < −1 + 2

KL: • Nếu −1 − 2 < m < −1 + 2 ⇒ phương trình có nghiệm x =

π + k 2π, x = k 2π .

2

 m < −1 − 2 ⇒ phương trình có nghiệm • Nếu   m > −1 + 2 x=

 1− m  π π + k 2 π , x = k 2 π , x = ± arccos   + k 2π .

2 4 m 2

3. m cot 2 x =

cos 2 x − sin 2 x cos 6 x + sin 6 x

Lời giải: . Phương trình ⇔ m

cos 2 x cos 2 x = sin 2 x 1 − 3 sin 2 x cos 2 x

• Phương trình luôn có nghiệm: x =

• Phương trình:

π π +k .

4 2

m 4 hay 3mt 2 + 4t − 4 m = 0 (*) = sin 2 x 4 − 3 sin 2 2 x

Với t = sin 2 x ∈ −  1;1 \{0} . +) m = 0 phương trình vô nghiệm +) m ≠ 0 ⇒ phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt t1t2 = − thì chỉ có nhiều nhất một nghiệm thuộc −  1;1 Nghiệm t =

Doc24.vn

−2 + 2 1 + 3m 2 ∈ − 1;1 ⇔ 2 1 + 3m 2 − 2 ≤ 3 m  3m

4 nên trong đó nếu có 3

⇔ 3m2 + 8 ≤ 8 1 + 3m2 ⇔ 9 m 4 − 144 m 2 ≤ 0 ⇔ m ≤ 2

Nghiệm t =

−2 − 2 1 + 3m 2 ∈ −1; 1 ⇔ 2 1 + 3m2 + 2 ≤ 3 m vô nghiệm 3m

m = 0 π π Vậy : * Nếu  thì phương trình đã cho có nghiệm x = + k 4 2  m > 2 m ≠ 0 π π * Nếu  thì phương trình đã cho có nghiệm x = + k 4 2  m ≤ 2 1 −2 + 2 1 + 3 m 2 π 1 −2 + 2 1 + 3 m 2 x = arcsin + kπ, x = − arcsin + kπ .

2 3m 2 2 3m

Bài 6: Tìm m để phương trình m cos 2 x + sin x = cos x cot x có đúng 4 nghiệm thuộc ( 0; 2π ) Lời giải:

 sin x ≠ 0 (1) Phương trình ⇔  cos 2 x( m sin x − 1) = 0 (2) • Nếu m = 0 ⇒ phương trình ⇔ cos 2 x = 0

⇔x=

π 3π 5π 7π ,x = ,x = ,x = ⇒ m = 0 thỏa yêu cầu bài toán 4 4 4 4

• m ≠ 0 . Vì phương trình luôn có 4 nghiệm trên ( 0; 2π ) nêu yêu cầu bài toán ⇔ phương trình m sin x − 1 = 0 vô nghiệm hoặc có các nghiệm trên m ≠ 0  m ≠ 0  1 > 1    Điều đó xảy ra khi   m ⇔  m < 1 .   1 2    m = ± 2 =   m 2

m <1 Vậy  là những giá trị cần tìm.  m = ± 2 2. (1 − m) tan 2 x −

2 + 1 + 3m = 0 có nhiều hơn một nghiệm thuộc khoảng cos x

Lời giải: Doc24.vn

 π  0;  .  2

Phương trình ⇔

Đặt t =

1− m 2 − + 4m = 0 2 cos x cos x

1 ⇒ t > 1 ∀x ∈ ( 1; +∞ ) cos x

Ta có phương trình : (1 − m)t 2 − 2t + 4 m = 0 (*) Yêu cầu bài toán ⇔ (*) có nhiều hơn một nghiệm t > 1 ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt t1 , t2 > 1  1 1 − m ≠ 0 m ≠ 1, m ≠   2  ∆ ' = 1 + 4 m( m − 1) > 0 ⇔ ⇔ t1 + t2 − 2 > 0 (t1 − 1) + (t 2 − 1) > 0 t t − (t + t ) + 1 > 0 1 2 (t1 − 1)(t2 − 1) > 0 12 

 1  1  1 m ≠ 1, m ≠ 2 m ≠ 1, m ≠ 2 m ≠ 1, m ≠  1    m≠ 2    2  2m  2 ⇔ −2 >0 ⇔ >0 . ⇔ 0 < m < 1 ⇔ 1 − m 1 − m 1 1 < m < 1 2  3  4m  3m − 1  <m<1 3 1 − m − 1 − m + 1 > 0  1− m > 0  

3. m tan 2 x + 2 tan x − 1 =

1 có nghiệm. cos 2 x

Lời giải: Phương trình ⇔ m tan 2 x + 2 tan x − 1 = 1 + tan 2 x

⇔ ( m − 1) tan 2 x + 2 tan x − 2 = 0 (1) • m = 1 ⇒ (*) ⇔ tan x = 1 • m ≠ 1 . Ta có (*) có nghiệm ⇔ ∆ ' = 2m − 1 ≥ 0 ⇔ m ≥

Vậy m ≥

1 là những giá trị cần tìm.

2

 π 4. cos 4 x = cos 2 3x + m sin 2 x có nghiệm x ∈  0;   12 

Lời giải: Doc24.vn

1 2

Phương trình ⇔ 2 cos 2 2 x − 1 =

1 + cos 6 x m(1 − cos 2 x) + 2 2

⇔ 4 cos 3 2 x − 4 cos 2 2 x − 3 cos 2 x + 3 + m(1 − cos 2 x) = 0 cos 2 x = 1 ⇔ (cos 2 x − 1)(4 cos 2 x − 3 − m) = 0 ⇔  2 cos 2 x = m + 3  4 2

 3   π  π Vì x ∈  0;  ⇒ 2 x ∈  0;  ⇒ cos 2 x ∈  ;1   2   12   6   Do đó phương trình đã cho có nghiệm ⇔

3 m+3 < <1⇔ 0< m<1 4 4

Bài 8: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 1 sin 4 x + cos 4 x – cos2x + sin 2 2 x + m = 0 4

Lời giải: 1 Phương trình ⇔ 1 − sin 2 2 x − cos 2 x + m = 0 4

⇔ cos 2 2 x − 4 cos 2 x = −3 − 4m Đặt t = cos 2 x ⇒ t ∈ −1;1 Ta có phương trình f (t ) = t 2 − 4t = −4 m − 3 Bảng biến thiên

t

−1 1 5

f (t )

−3

Dựa vào bảng biến thiến ta thấy phương trình có nghiệm Doc24.vn

⇔ −3 ≤ −4 m − 3 ≤ 5 ⇔ −2 ≤ m ≤ 0 .

Bài 9: Chứng minh phương trình cosx + mcos2x = 0 luôn có nghiệm với mọi m.

Lời giải: 2

Phương trình ⇔ 2 m cos x + cos x − m = 0 2 Đặt t = cos x , t ∈ −  1; 1 ta có phương trình 2 mt + t − m = 0 .

• m = 0 ⇒ t = 0 là nghiệm phương trình • m ≠ 0 ta thấy phương trình luôn có hai nghiệm t1 , t2 và t1t2 = luôn có một nghiệm thuộc −  1;1

Doc24.vn

1 ⇒ trong hai nghiệm 2