Phương pháp giải phương trình & bất phương trình chứa căn thức - Lê Hồng Đức - Nhóm Cự Môn by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Bµi 4. (Đề thi đại học − Khối D năm 2005): Giải phương trình:

TR ẦN

H Ư

2 x + 2 + 2 x + 1 − x + 1 = 4. Bµi 5. (Đề thi đại học − Khối B năm 2011): Giải phương trình: 3 2 + x − 6 2 − x + 4 4 − x 2 = 10 − 3x, (x ∈ ℝ ).

Bµi 6. (Đề thi đại học − Khối B năm 2007): Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ d−¬ng cña tham sè m, ph−¬ng tr×nh sau cã hai nghiÖm thùc ph©n biÖt:

10 00

x 2 + 2x − 8 = m(x − 2).

Bµi 7. (Đề thi đại học − Khối A năm 2007): T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm thùc:

3 x − 1 + m x + 1 = 2 4 x 2 − 1.

IỄ N

Ơ H

ÀN

ÁN

-L

Í-

§ÞNH H¦íNG Nhận thấy: 1. Bài 1 thuộc Dạng phương trình chứa 1 căn bậc hai. 2. Bài 2 thuộc Dạng phương trình chứa 2 căn bậc hai. 3. Bài 3 thuộc Dạng phương trình chứa 2 căn có bậc khác nhau. 4. Bài 4, bài 5 thuộc Dạng phương trình chứa nhiều căn. 5. Bài 6, bài 7 thuộc Dạng phương trình chứa tham số.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2 3 3x − 2 + 3 6 − 5x − 8 = 0, (x ∈ ℝ ).

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Bµi 3. (Đề thi đại học − Khối A năm 2009: Giải phương trình:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

ẠO

3x + 1 − 6 − x + 3x 2 − 14x − 8 = 0, x ∈ ℝ.

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Bµi 2. (Đề thi đại học − Khối B năm 2010): Giải phương trình:

2x − 1 + x 2 − 3x + 1 = 0, x ∈ ℝ.

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

GIíI THIÖU Kể từ năm 2005 đến nay, đề thi đại học môn toán có bài toán về phương trình chứa căn: Bµi 1. (Đề thi đại học − Khối D năm 2006): Giải phương trình:

§ 2 ph−¬ng t tr×nh r×nh chøa c¨n thøc

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Ơ H MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

Tham khảo thêm cuốn sách: 1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ − NXB Hà Nội do LÊ HỒNG ĐỨC chủ biên. 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ VÔ TỈ” − NXB Đại học Sư Phạm do LÊ HỒNG ĐỨC chủ biên.

Từ đó, để cung cấp cho các em học sinh một giáo trình gọn nhẹ với đầy đủ kiến thức, bài giảng này sẽ được chia thành 5 phần (5 dạng phương trình). Ví dụ đầu tiên ở mỗi phần rất quan trọng, bởi nó sẽ cung cấp các phương pháp để giải. Hoạt động sau mỗi ví dụ chính là bài tập.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

I. Ph−¬ng tr×nh chøa mét c¨n bËc hai

ÁN

Gi¶i

-L

Í-

Sử dụng phương pháp hàm số, với nhận xét : − VT là hàm đồng biến. − VP là hàm nghịch biến. Suy ra, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. Nhẩm nghiệm x0 = 3.

ÀN

Ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1: Với điều kiện 5 − x ≥ 0 tức x ≤ 5 , ta biến đổi phương trình về dạng: x = 3 2 x + 1 = ( 5 − x ) ⇔ x 2 − 11x + 24 = 0 ⇔  .  x = 8 (loai)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

10 00

Sử dụng phương pháp đạt ẩn phụ, với t = x + 1, t ≥ 0.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1   + x − 3 = 0 ⇔ ( x − 3)  + 1  = 0. x +1 + 2  x +1 + 2 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

ẠO

H Ư

TR ẦN

x −3

⇔

U Y

f(x) = g(x) và dễ nhận thấy khi sử dụng phép khai phương ta nhận được một phương trình bậc hai − Bài toán giải được. Ngoài ra, phương trình còn được giải theo các cách khác: Nhẩm nghiệm x0 rồi chuyển phương trình về dạng tích (x − x0)h(x) bằng phép nhân liên hợp. Cụ thể: − Nhận xét rằng x0 = 3 là nghiệm của phương trình. − Biến đổi phương trình về dạng: x +1− 4 x +1 − 2 = 3 − x ⇔ = 3−x x +1 + 2

IỄ N D

Gi¶i ph−¬ng tr×nh: x + 1 = 5 − x.

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Phương trình dạng cơ bản

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

VÝ dô 1:

g(x) ≥ 0 .  2 f(x) = g (x) (*) Phép biến đổi này không cần đặt điều kiện f(x) ≥ 0. Tuy nhiên, các em học sinh cần biết đánh giá tính giải được của phương trình (*) − Với đa thức thì bậc của (*) phải nhỏ hơn 5.

f(x) = g(x) ta có phép biến đổi tương đương:

Với phương trình

VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 3.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Cách 2: Với điều kiện x + 1 ≥ 0 tức x ≥ −1, ta biến đổi phương trình về dạng: x +1− 4 x −3 x +1 − 2 = 3 − x ⇔ = 3−x ⇔ + x −3 = 0 x +1 + 2 x +1 + 2

1   ⇔ ( x − 3)  + 1  = 0 ⇔ x − 3 = 0 ⇔ x = 3. + 2  x + 1 

VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 3.

U Y

NhËn xÐt: Nh− vËy, ®Ó gi¶i mét phương tr×nh chøa c¨n ta cã thÓ lùa chän

-L

Í-

10 00

mét trong çc çch: Çch 1: BiÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng. L−u ý çch nhẩm nghiệm x0 rồi chuyển phương trình về dạng tích (x − x0)h(x) bằng phép nhân liên hợp, bëi trong nhiÒu tr−êng hîp sÏ nhËn ®−îc çch gi¶i hay. Çch 2: §Æt Èn phô. Mét hoÆc nhiÒu Èn phô. Çch 3: Sö dông ph−¬ng ph¸p hµm sè. Sö dông ®¹o hµm. Çch 4: §¸nhgi¸.

ÁN

HOẠT ĐỘNG 1: Giải phương trình:

Gi¶i ph−¬ng tr×nh:

x + 2 = 3x − 4.

IỄ N

ÀN

VÝ dô 2:

2x − 1 = 2 − x.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

H Ư

Cách 4: Nhận xét rằng: VP là hàm đồng biến. VT là hàm nghịch biến. Nên phương trình nếu có nghiệm thì sẽ là duy nhất. Nhận thấy x = 2 là nghiệm của phương trình.

ẠO

⇔ x = 3. VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 3.

x +1 = 2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

t = 5 − (t2 − 1) ⇔ t2 + t − 6 = 0 ⇔  ⇒  t = −3 (loai)

t = 2

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Đặt t = x + 1, (t ≥ 0) . Suy ra x = t2 − 1. Phương trình có dạng:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Cách 3: Điều kiện x + 1 ≥ 0 tức x ≥ −1.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

f(x) = g(x) và dễ nhận thấy khi sử dụng phép khai phương ta nhận được một phương trình bậc hai − Bài toán giải được. Ngoài ra, phương trình còn được giải theo các cách khác: Nhẩm nghiệm x0 rồi chuyển phương trình về dạng tích (x − x0)h(x) bằng phép nhân liên hợp. Cụ thể: − Nhận xét rằng x0 = 2 là nghiệm của phương trình. − Biến đổi phương trình về dạng:

VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 2. Cách 2: Với điều kiện x + 2 ≥ 0 tức x ≥ −2 , ta biến đổi phương trình về dạng:

10 00

x+2 +2

= 3x − 6

x = 2 1   ⇔ (x − 2)  − 3 = 0 ⇔  1  =3 + + x 2 2    x + 2 + 2

ÁN

-L

Í-

1 Phương trình (*) vô nghiệm bởi VT ≤ . 2 VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 2.

ÀN

Cách 3: Điều kiện x + 2 ≥ 0 tức x ≥ −2. Đặt t = x + 2, (t ≥ 0) . Suy ra x = t2 − 2. Phương trình có dạng: t = 3(t2 − 2) − 4 ⇔ 3t2 − t − 10 = 0

(*)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

x = 2 2 x + 2 = ( 3x − 4 ) ⇔ 9x 2 − 25x + 14 = 0 ⇔  .  x = 7 (loai)  9

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

H Ư

4 Cách 1: Với điều kiện 3x − 4 ≥ 0 tức x ≥ , ta biến đổi phương trình về dạng: 3

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Ta có thể trình bày theo các cách sau:

x+2−4

.Q TP

ẠO

Gi¶i

x + 2 − 2 = 3x − 6 ⇔

H N

= 3x − 6

U Y

x+2 +2

Sử dụng phương pháp đạt ẩn phụ, với t = x + 2, t ≥ 0.

IỄ N D

x+2−4

1   ⇔ (x − 2)  − 3 = 0  x+2 +2 

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

x + 2 − 2 = 3x − 6 ⇔

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Phương trình dạng cơ bản

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

t = 2 ⇒ ⇔  t = − 5 (loai)  3

x + 2 = 2 ⇔ x = 2.

VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 2.

Gi¶i ph−¬ng tr×nh:

U Y

x 2 + 8 = 4x 2 − 1.

f(x) = g(x) và dễ nhận thấy khi sử dụng phép khai phương ta nhận được một phương trình trùng phương − Bài toán giải được. Ngoài ra, phương trình còn được giải theo các cách khác:

x +8 +3 2

(

= 4 x2 − 1

)

  1 ⇔ (x 2 − 1)  − 4 = 0 2  x +8 +3 

10 00

Sử dụng phương pháp đạt ẩn phụ, với t = x 2 + 8, t ≥ 2 2.

Gi¶i

Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Í-

(

Cách 1: Với điều kiện 4x2 − 1 ≥ 0 tức x ≥

-L

x 2 + 8 = 4x 2 − 1

)

1 , ta biến đổi phương trình về dạng: 2

(

)(

)

⇔ 16x 4 − 9x 2 − 7 = 0 ⇔ x 2 − 1 16x 2 + 7 = 0

⇔ x = ±1.

ÁN

VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = ±1. x 2 + 8 − 3 = 4x 2 − 4 ⇔

x2 + 8 − 9 x +8 +3 2

(

= 4 x2 − 1

)

IỄ N

ÀN

Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

x2 + 8 − 9

TR ẦN

x 2 + 8 − 3 = 4x 2 − 4 ⇔

H Ư

Nhẩm nghiệm x0 rồi chuyển phương trình về dạng tích (x − x0)h(x) bằng phép nhân liên hợp. Cụ thể: − Nhận xét rằng x0 = 1 là nghiệm của phương trình. − Biến đổi phương trình về dạng:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Phương trình dạng cơ bản

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

VÝ dô 3:

x 2 + 9 = 2x + 3.

2x + 1 = x − 1.

HOẠT ĐỘNG 2: Giải các phương trình sau:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

 x = ±1   1 ⇔ (x − 1)  − 4 = 0 ⇔  1  2 =4  x +8 +3  2  x + 8 + 3 2

(*)

1 Phương trình (*) vô nghiệm bởi VT ≤ . 3 VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = ±1.

f(x) = g(x) và dễ nhận thấy khi sử dụng phép khai phương ta nhận được một phương trình bậc ba − Bài toán giải được. Ngoài ra, phương trình còn được giải theo các cách khác: Nhẩm nghiệm x0 rồi chuyển phương trình về dạng tích (x − x0)h(x) bằng phép nhân liên hợp. Cụ thể: − Nhận xét rằng x0 = −2 là nghiệm của phương trình. − Biến đổi phương trình về dạng:

ÁN

-L

⇔ x+2+

1 − x3 − 9 1 − x3 + 3

=x+2

 x2 − x + 1  = 0 ⇔ (x + 2)  1 + =0 1 − x3 + 3 1 − x3 + 3  

x3 + 8

Sử dụng phương pháp hàm số, với nhận xét : − VP là hàm đồng biến. − VT là hàm nghịch biến. Suy ra, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. Nhẩm nghiệm x0 = −2.

TO ÀN Đ

)

1 − x3 − 3 = x + 2 ⇔

Í-

(

10 00

TR ẦN

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Phương trình dạng cơ bản

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Gi¶i ph−¬ng tr×nh:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

x 2 + 3 = 3x 2 − 1.

1 − x 3 = x + 5.

IỄ N D

x3 + 3 = 3x − 1.

H Ư

VÝ dô 4:

HOẠT ĐỘNG 3: Giải các phương trình sau: a.

x2 + 8 = 3

ẠO

⇔ x2 = 1 ⇔ x = ±1. VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = ±1.

⇒

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

 t = − 11 (loai)  4

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

t = 3

t = 4(t2 − 8) − 1 ⇔ 4t2 − t − 33 = 0 ⇔ 

U Y

Cách 3: Đặt t = x 2 + 8, t ≥ 2 2. Suy ra x2 = t2 − 8. Phương trình có dạng:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Gi¶i

Ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1: Với điều kiện x + 5 ≥ 0 tức x ≥ −5, ta biến đổi phương trình về dạng: 1 − x3 = ( x + 5 ) ⇔ x3 + x 2 + 10x + 24 = 0 2

 x = −2 ⇔ (x + 2) x 2 − x + 12 = 0 ⇔  2 .  x − x + 12 = 0 (vn)

)

Ơ 1 − x3 + 3

ẠO

 x = −2  x2 − x + 1   ⇔ (x + 2)  1 + x2 − x + 1 =0 ⇔  3 1 + =0 1− x + 3    1 − x3 + 3

(*)

Phương trình (*) vô nghiệm bởi VT ≥ 1. VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = −2.

TR ẦN

H Ư

Cách 3: Nhận xét rằng: VT là hàm nghịch biến. VP là hàm đồng biến. Nên phương trình nếu có nghiệm thì sẽ là duy nhất. Nhận thấy x = −2 là nghiệm của phương trình. 2x + 1 = 1 − x.

x + 2 = 4 − x.

x 3 + 3 = 3 − x.

x2 + 8 = 4 − x2 .

Gi¶i ph−¬ng tr×nh:

Í-

VÝ dô 5:

10 00

HOẠT ĐỘNG 4: Giải các phương trình sau:

x 2 + 3x + 5 = 2x 2 + 6x − 5.

f(x) = g(x) và dễ nhận thấy khi sử dụng phép khai phương ta nhận được một phương trình bậc bốn − Để giải được phương trình này cần có kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử. Ngoài ra, phương trình còn được giải theo các cách khác:

Sử dụng phương pháp đạt ẩn phụ, với t = x 2 + 3x + 5, t ≥ 0.

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Phương trình dạng cơ bản

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

1 − x3 + 3

x3 + 8

=x+2 ⇔ x+2+

)

1 − x3 − 9

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

(

1 − x3 − 3 = x + 2 ⇔

U Y

Cách 2: Với điều kiện 1 − x3 ≥ 0 tức x ≤ 1, ta biến đổi phương trình về dạng:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = −2.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

(

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Nhẩm nghiệm x0 rồi chuyển phương trình về dạng tích (x − x0)h(x) bằng phép nhân liên hợp. Cụ thể: − Nhận xét rằng x0 = 1 là nghiệm của phương trình. − Biến đổi phương trình về dạng: x 2 + 3x + 5 − 9 x + 3x + 5 + 3 2

= 2(x 2 + 3x − 4)

N N

  1 ⇔ (x 2 + 3x − 4)  − 2  = 0. 2  x + 3x + 5 + 3 

U Y

TR ẦN

x = 1 ⇒ x 2 + 3x + 5 = 3 ⇔ x 2 + 3x − 4 = 0 ⇔  .  x = −4

VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 1 và x= −4. Cách 2: Ta có biến đổi:

x 2 + 3x + 5 − 3 = 2x 2 + 6x − 8 ⇔

x 2 + 3x + 5 − 9

= 2(x 2 + 3x − 4)

10 00

x + 3x + 5 + 3  x 2 + 3x − 4 = 0   1  ⇔ (x 2 + 3x − 4)  − 2 = 0 ⇔  1 2 −2=0  x + 3x + 5 + 3   x 2 + 3x + 5 + 3 2

Í-

 x = 1 & x = −4 ⇔ 1  =2 2  x + 3x + 5 + 3

-L

(*)

ÀN

ÁN

1 Phương trình (*) vô nghiệm bởi VT ≤ . 3 VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 1 và x= −4. Cách 3: Với điều kiện 2x2 + 6x − 5 ≥ 0, ta có biến đổi:

(

x 2 + 3x + 5 = 2x 2 + 6x − 5

)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO H Ư

t = 3 t = 2t − 15 ⇔ 2t − t − 15 = 0 ⇔   t = − 5 (loai)  2 2

Đặt t = x 2 + 3x + 5, (t ≥ 0) ta được:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

)

x 2 + 3x + 5 = 2 x 2 + 3x + 5 − 15.

IỄ N D

(

Ta có thể trình bày theo các cách sau : Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Gi¶i

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

x 2 + 3x + 5 − 3 = 2x 2 + 6x − 8 ⇔

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

⇔ x 2 + 3x + 5 = 4x 4 + 36x 2 + 25 + 24x 3 − 20x 2 − 60x

⇔ 4x 4 + 24x3 + 15x 2 − 63x + 20 = 0 ⇔ (x − 1)(4x3 + 28x 2 + 43x − 20) = 0 ⇔ (x − 1)(x + 4)(4x 2 + 12x − 5) = 0

N U Y

HOẠT ĐỘNG 5: Giải phương trình:

f(x) = g(x) và dễ nhận thấy khi sử dụng phép khai phương ta nhận được một phương trình bậc bốn − Để giải được phương trình này cần có kỹ nămg phân tích đa thức thành nhân tử. Ngoài ra, phương trình còn được giải theo các cách khác:

H Ư

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Phương trình dạng cơ bản

2x − 1 − x 2 2x − 1 − x + x − 2x + 1 = 0 ⇔ + x 2 − 2x + 1 = 0 2x − 1 + x

)

10 00

(

TR ẦN

Nhẩm nghiệm x0 rồi chuyển phương trình về dạng tích (x − x0)h(x) bằng phép nhân liên hợp. Cụ thể: − Nhận xét rằng x0 = 1 là nghiệm của phương trình. − Biến đổi phương trình về dạng: 2

1   ⇔ ( x 2 − 2x + 1) 1 − =0 2x − 1 + x  

-L

Gi¶i

Í-

Sử dụng phương pháp đạt ẩn phụ, với t = 2x − 1, t ≥ 0.

2 −  x + 3x − 1 ≥ 0 2x − 1 = − x 2 + 3x − 1 ⇔  2 2 2x − 1 = (− x + 3x − 1)

IỄ N

ÀN

ÁN

Ta cã thÓ tr×nh bµy theo çc çch sau: Çch 1: BiÕn ®æi ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2x − 1 + x 2 − 3x + 1 = 0, x ∈ ℝ.

(Đề thi đại học khối D − 2006): Giải phương trình:

VÝ dô 6:

ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

x 2 − 3x + 6 = 3x 2 − 9x + 8.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 1 và x= −4.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

(*)

x = 1 . ⇔  x = −4

x − 1 = 0  ⇔ x + 4 = 0  2(2x 2 + 6x − 5) + 5 = 0

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

10 00

⇔ x = 2 − 2.

VËy, ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = 1 vµ x = 2 − 2 . t2 +1 C¸ch 3: §Æt t = 2x − 1 (t ≥ 0), suy ra x = . 2 Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh ®−îc chuyÓn vÒ d¹ng: 2

ÀN

ÁN

-L

Í-

 t2 +1  t2 +1 t + − 3. + 1 = 0 ⇔ t4 − 4t2 + 4t − 1 = 0  2  2  t ≥0  t = 1 t −1 = 0 ⇔ (t − 1)2(t2 + 2t − 1) = 0 ⇔  2 ⇔  t + 2t − 1 = 0 t = 2 −1  2x − 1 = 1 x = 1 ⇔ . ⇔  2x − 1 = 2 − 2 x = 2 − 2

Ơ H

U Y

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

H Ư

Biến đổi tiếp (*) về dạng: 1 = 1 ⇔ 2x − 1 + x = 1 ⇔ 2x − 1 = 1 − x 2x − 1 + x  x ≤ 1 1 − x ≥ 0 x ≤ 1 ⇔ ⇔ 2 ⇔ 2  x = 2 ± 2 2x − 1 = (1 − x)  x − 4x + 2 = 0

(*)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

2x − 1 + x



x = 1

1    ⇔ ( x 2 − 2x + 1) 1 −  = 0 ⇔ 1 − 2x − 1 + x   

IỄ N D

)

ẠO

(

VËy, ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = 1 vµ x = 2 − 2 . 1 Cách 2: Với điều kiện 2x − 1 ≥ 0 tức x ≥ , ta biến đổi phương trình về dạng: 2 2x − 1 − x 2 2x − 1 − x + x 2 − 2x + 1 = 0 ⇔ + x 2 − 2x + 1 = 0 2x − 1 + x

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

2 2  x − 3x + 1 ≤ 0  x − 3x + 1 ≤ 0 ⇔ 4 ⇔ 3 2 3 2  x − 6x + 11x − 8x + 2 = 0 (x − 1)(x − 5x + 6x − 2) = 0  x 2 − 3x + 1 ≤ 0  x 2 − 3x + 1 ≤ 0 2  x − 3x + 1 ≤ 0   ⇔ ⇔ ⇔ − = x 1 0   x = 1 2 2 (x − 1) (x − 4x + 2) = 0  2    x − 4x + 2 = 0 x = 2 ± 2 x = 1 . ⇔ x = 2 − 2

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

VËy, ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = 1 vµ x = 2 − 2 .

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

HOẠT ĐỘNG 6: Giải phương trình sau:

3x + 1 = −4x 2 + 13x − 5, x ∈ ℝ + .

(*) (**)

ÁN

-L

Í-

10 00

4 cos3 t − 3cos t = 1 − cos 2 t ⇔ cos3t = |sint| (**) π  ⇔ cos 3t = sin t ⇔ cos 3t = cos  − t  2  π  π  t= x = cos   8 8 π  π kπ    t = 8 + 2 (**)  5π 3t = 2 − t + 2kπ 5 π ⇔ ⇔ ⇔ t = ⇔  x = cos .   8 8  t = − π + kπ 3t = − π + t + 2kπ     3 π 3 2  4 t =  x = cos π   4 4 VËy, ph−¬ng tr×nh cã ba nghiÖm ph©n biÖt. ta ®· chuyÓn ph−¬ng tr×nh ban ®Çu vÒ ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c vµ ®Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh ®ã chóng ta ®· lùa chän ph−¬ng ph¸p biÕn ®æi thµnh tÝch.

IỄ N

ÀN

NhËn xÐt: Nh− vËy, b»ng viÖc lùa chän ph−¬ng ph¸p l−îng gi¸c ho¸, chóng

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

§iÒu kiÖn: 1 − x2 ≥ 0 ⇔ |x| ≤ 1. Víi ®iÒu kiÖn (*), ®Æt x = cost, t ∈ [0; π]. Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh ®−îc chuyÓn vÒ d¹ng:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Gi¶i

H Ư

ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

4x 3 − 3x = 1 − x 2 . cã bao nhiªu nghiÖm. §¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Phương trình dạng cơ bản f(x) = g(x) và dễ nhận thấy khi sử dụng phép khai phương ta nhận được một phương trình bậc sáu. Do vậy cách này không khả thi. Từ điều kiện có nghĩa của phương trình: 1 − x2 ≥ 0 ⇔ |x| ≤ 1. Gợi ý ta lựa chọn ẩn phụ lượng giác x = sint hoặc x = cost. Ở đây, ta chọn x = cost bởi khi đó VP = 4cos3t − 3cost = cos3t.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Ph−¬ng tr×nh:

VÝ dô 7:

4x + 9 = 7x 2 + 7x, x ∈ ℝ + . 28 x + 1 = x 2 + 4x + 5, x ∈ ℝ + .

2x − 1 − x 2 + 3x − 3 = 0, x ∈ ℝ.

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tæng kÕt: Nh− vËy, víi ph−¬ng tr×nh chøc c¨n d¹ng:

N Ơ H

Giải phương trình:

10 00

(x + 3) 10 − x 2 = x 2 − x − 12. §¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Phương trình được mở rộng từ dạng cơ bản

-L

Í-

f(x) = g(x) thành h(x) f(x) = g(x) nên chưa thể sử dụng phép khai phương. Trước tiên, hãy đi đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình. Nhận xét rằng: x2 − x − 12 = (x + 3)(x − 4) suy ra, phương trình có thể được biến đổi về dạng tích:

(

)

10 − x 2 − (x − 4) = 0.

ÁN

(x + 3) 10 − x 2 = (x + 3)(x − 4) ⇔ (x + 3)

§iÒu kiÖn: 10 − x2 ≥ 0 ⇔ x ≤ 10.

(*)

IỄ N

ÀN

Gi¶i

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

VÝ dô 8:

c¨n bËc hai.

TR ẦN

Chó ý: TiÕp theo, lµ minh ho¹ c¸c d¹ng më réng cña ph−¬ng tr×nh chøa mét

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

ẠO

= 2 2. x2 −1 x 2 + 1 (x 2 + 1) 2 x2 +1 + . = 2x 2x(1 − x 2 )

H Ư

b. x +

1 + 1 − x 2 = x(1 + 2 1 − x 2 ).

a 2 + x 2 : Sö dông Èn phô x = a.cott, t ∈ (0; π)  π π hoặc x = ta n t, t ∈  − ;  .  2 2 HOẠT ĐỘNG 7: Giải phương trình sau:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

a 2 − x 2 : Sö dông Èn phô x = cost, t ∈ [0; π]  π π hoặc x = sin t, t ∈  − ;  .  2 2 1  π π x 2 − a 2 : Sö dông Èn phô x = , t ∈  − ;  \ {0} sin t  2 2 1 π hoặc x = , t ∈ ( −π; π ) \   . co s 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Ph−¬ng tr×nh ®−îc viÕt l¹i: (x + 3) 10 − x 2 = (x + 3)(x − 4) ⇔ (x + 3)

(

)

10 − x 2 − (x − 4) = 0

x + 3 = 0 ⇔ x = −3. ⇔ 2  10 − x + 4 − x = 0 (vo nghiem do (*)) VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = −3.

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Phương trình được mở rộng từ dạng cơ bản

TR ẦN

H Ư

f(x) = g(x) thành h(x) f(x) = g(x) nên chưa thể sử dụng phép khai phương. Trước tiên, hãy đi đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình.

Nhận xét rằng với ẩn phụ t = x 2 − 2x , (t ≥ 0) , ta được:

x2 − 2tx − 1 = 0. suy ra, phương trình bậc hai ẩn x và tham số t.

10 00

Gi¶i

§iÒu kiÖn:

(*)

x ≥ 2 . x2 − 2x ≥ 0 ⇔  x ≤ 0

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

§Æt t = x 2 − 2x , (t ≥ 0) Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: x2 − 2tx − 1 = 0. ta cã: ∆’ = t2 + 1 = (x2 − 2x) + 1 = (x − 1)2 do ®ã, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm:  x = x 2 − 2x + (x − 1)  x 2 − 2x = 1 x = t ± (x − 1) ⇔  ⇔  x = x 2 − 2x − (x − 1)  x 2 − 2x = 2x − 1

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2x x 2 − 2x = x 2 − 1, (x ∈ ℝ).

Giải phương trình:

VÝ dô 9:

ẠO

c. (4x − 1) x3 + 1 = 2x3 + 2x + 1.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

x +1 = −3. x −3

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

b. (x − 3)(x + 1) + 4(x − 3)

U Y

a. (x − 1) 4 − x 2 = x 2 − 3x + 2.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

HOẠT ĐỘNG 8: Giải các phương trình sau:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

 x 2 − 2x − 1 = 0  x 2 − 2x = 1  x = 1 − 5  1 . ⇔   2x − 1 ≥ 0 ⇔   x ≥ ⇔  2 x 1 5  = +    x 2 − 2x = (2x − 1) 2  2  3x − 2x + 1 = 0 

VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 1 ± 5.

HOẠT ĐỘNG 9: Giải các phương trình sau:

x 3 + 2 = 3 3 3x − 2, x ∈ ℝ.

f(x) = g(x) và dễ nhận thấy khi sử dụng phép lập phương ta nhận được một phương trình bậc sáu − Không khả thi.

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Phương trình dạng cơ bản

H Ư

TR ẦN

Sử dụng phương pháp đạt ẩn phụ, với y = 3 3x − 2 ta được: y3 = 3x − 2 ⇔ y3 + 2 = 3x. Khi đó, phương trình được chuyển thành hệ:

10 00

 x 3 + 2 = 3y .  3  y + 2 = 3x Đây là hệ đối xứng loại II, được giải bằng cácg trừ theo vế hai phương trình của hệ cho nhau.

Gi¶i

ÀN

ÁN

-L

Í-

§Æt y = 3 3x − 2. Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh ®−îc chuyÓn thµnh hÖ:  x 3 + 2 = 3y ⇒ x3 − y3 = −3(x − y)  3  y + 2 = 3x x − y = 0

⇔ (x − y)(x2 + xy + y2 + 3) = 0 ⇔ 

2 2 x + xy + y + 2 = 0 ( v « nghiÖm)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Giải phương trình:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

VÝ dô 10:

ẠO

Chó ý: TiÕp theo, lµ minh ho¹ ph−¬ng tr×nh chøa mét c¨n bËc ba.

IỄ N D

c. x 2 + 4x = (x + 2) x 2 − 2x + 4, (x ∈ ℝ).

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

b. (4x − 1) x 3 + 1 = 2x 3 + 2x + 1, (x ∈ ℝ).

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

a. 2x x 2 + 2x = x 2 − 1, (x ∈ ℝ).

⇔ x = y.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Thay x = y vµo ph−¬ng tr×nh thøc nhÊt cña hÖ, ta ®−îc: x − 1 = 0

x3 − 3x + 2 = 0 ⇔ (x − 1)(x2 + x − 2) = 0 ⇔ 

x + x − 2 = 0

x = 1 .  x = −2

⇔

VËy, nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ x = 1 hoÆc x = − 2.

HOẠT ĐỘNG 10: Giải các phương trình sau:

a. x 3 + 1 = 2 3 2x − 1, x ∈ ℝ.

)

N U Y .Q ẠO

3 − x − x + 2 = 1.

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Ph−¬ng tr×nh chøa hai c¨n bËc hai dạng cơ bản:

f(x) ± g(x) = k

) (

3−x −4

3−x +2

⇔

−

)

x + 2 +1 = 0

10 00

3−x −2 −

(

TR ẦN

H Ư

Nên cần hai phép khai phương. Ngoài ra, phương trình còn được giải theo các cách khác: Nhẩm nghiệm x0 rồi chuyển phương trình về dạng tích (x − x0)h(x) bằng phép nhân liên hợp. Cụ thể: − Nhận xét rằng x0 = −1 là nghiệm của phương trình. − Biến đổi phương trình về dạng: x + 2 −1 x + 2 −1

=0 ⇔

−x − 1 3−x +2

−

x +1 x + 2 −1

-L

Í-

1 1   ⇔ (− x − 1)  + =0 x + 2 −1   3−x +2 Sử dụng phương pháp đạt ẩn phụ, với:

IỄ N

ÀN

ÁN

u = 3 − x u 2 = 3 − x , u, v ≥ 0 ⇒  2 ⇒ u 2 + v 2 = 5.   v = x + 2  v = x + 2 Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh ®−îc chuyÓn thµnh hÖ: u − v = 1 , hệ được giải bằng phương pháp thế.  2 2 u + v = 5

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Gi¶i ph−¬ng tr×nh:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

VÝ dô 11:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

2. ph−¬ng tr×nh chøa hai c¨n bËc hai

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

(

b. x 3 35 − x 3 x + 3 35 − x 3 = 30, x ∈ ℝ.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Sử dụng phương pháp hàm số, với nhận xét : − VT là hàm nghịch biến. − VP là hàm hằnh. Suy ra, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. Nhẩm nghiệm x0 = −1.

N Ơ

3−x +2

−

x + 2 −1

−x − 1

=0 ⇔

3−x +2

-L

1 1   ⇔ (− x − 1)  + =0 x + 2 −1   3−x +2

ÁN

( ⇔ (− x − 1) (

ÀN

⇔ (− x − 1)

)

x + 2 −1+ 3 − x + 2 = 0

)

x + 2 + 3 − x +1 = 0

⇔ x = −1, tho¶ m·n ®iÒu kiÖn. VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = −1.

−

x +1 x + 2 −1

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

x + 2 −1

3−x −4

Í-

⇔

)

x + 2 +1 = 0

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

H Ư

) (

3−x −2 −

(

10 00

C¸ch 2: §iÒu kiÖn: 3 − x ≥ 0 ⇔ −2 ≤ x ≤ 3.  x + 2 ≥ 0 BiÕn ®æi ph−¬ng tr×nh:

TR ẦN

VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = −1.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q TP

− x ≥ 0 x ≤ 0 x + 2 = −x ⇔  ⇔  2 2  x + 2 = (− x) x − x − 2 = 0 x ≤ 0  ⇔   x = −1 ⇔ x = −1, tho¶ m·n ®iÒu kiÖn. x = 2  ⇔

ẠO

3 − x = 1 + x + 2 ⇔ 3 − x = 1 + (x + 2) + 2 x + 2

IỄ N D

Ta cã thÓ tr×nh bµy theo çc çch sau: Çch 1: §iÒu kiÖn: 3 − x ≥ 0 ⇔ −2 ≤ x ≤ 3.  x + 2 ≥ 0 BiÕn ®æi ph−¬ng tr×nh:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Gi¶i

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

TR ẦN

H Ư

C¸ch 4: NhËn xÐt r»ng: VT lµ hµm nghÞch biÕn. VP lµ hµm ®ång biÕn. Nên phương trình nếu có nghiệm thì sẽ là duy nhất. Nhận thấy x = −1 là nghiệm của phương trình.

⇔ x = −1, tho¶ m·n ®iÒu kiÖn. VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = −1.

10 00

C¸ch 5: BiÕn ®æi ph−¬ng tr×nh: 3 − x = 1 + x + 2. NhËn xÐt r»ng: VT lµ hµm nghÞch biÕn. VP lµ hµm ®ång biÕn. Nên phương trình nếu có nghiệm thì sẽ là duy nhất. Nhận thấy x = −1 là nghiệm của phương trình.

ÁN

-L

Í-

HOẠT ĐỘNG 11: Giải các phương trình sau: 11 − 2x − x + 3 = 1.

2x + 7 + x + 3 = 7 − 2x.

c. 3 − x − x + 2 = 2x + 3.

(Đề thi đại học − Khối A năm 2002): Gi¶i ph−¬ng tr×nh: x 2 − 3x + 3 + x 2 − 3x + 6 = 3.

IỄ N

ÀN

VÝ dô 12:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

C¸ch 3: §iÒu kiÖn: 3 − x ≥ 0 ⇔ −2 ≤ x ≤ 3.  x + 2 ≥ 0 §Æt: u = 3 − x u 2 = 3 − x , u, v ≥ 0 ⇒ u 2 + v 2 = 5. ⇒   2  v = x + 2  v = x + 2 Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh ®−îc chuyÓn thµnh hÖ: u − v = 1 u − v = 1 u − v = 1 u + (− v) = 1 ⇔ ⇔ ⇔  2    2 2 uv = 2 u(− v) = −2 u + v = 5 (u − v) + 2uv = 5 Suy ra u, −v lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh t2 − t − 2 = 0  3 − x = 2 t = 2 u = 2 ⇔1 ⇔  ⇔  − v = −1  t 2 = −1  x + 2 = 1

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

10 00

3 3 3  t = x −  + ≥ 2 4 4 

3 4

do ®ã, ®iÒu kiÖn cho Èn phô t lµ t ≥ .

Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: t + t + 3 = 3 ⇔ t + t + 3 + 2 t(t + 3) = 9 ⇔

Í-

3 − t ≥ 0

⇔ 

-L

 t(t + 3) = (3 − t)

t ≤ 3 x = 1 ⇔ t = 1 ⇔ x2 − 3x + 3 = 1 ⇔  . t = 1 x = 2

⇔ 

3 3 3  t = x −  + ≥ 2 4 4 

ÀN

ÁN

VËy, ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = 1 vµ x = 2. C¸ch 2: §Æt t = x2 − 3x + 3, ta cã:

Đ IỄ N

t(t + 3) = 3 − t

3 4

Ơ H https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Ta cã thÓ tr×nh bµy theo çc çch sau: Çch 1: §Æt t = x2 − 3x + 3, ta cã:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

H Ư

TR ẦN

Gi¶i

U Y

+ =0 x 2 − 3x + 3 + 1 x 2 − 3x + 6 + 2   1 1 ⇔ (x 2 − 3x + 2)  + =0 2 2 x − 3x + 3 + 1 x − 3x + 6 + 2  

do ®ã, ®iÒu kiÖn cho Èn phô t lµ t ≥ .

⇔

x 2 − 3x + 6 + 2 x 2 − 3x + 2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

x 2 − 3x + 3 + 1 x 2 − 3x + 2

x 2 − 3x + 6 − 4

x 2 − 3x + 3 − 1

⇔

)

x 2 − 3x + 6 − 2 = 0

ẠO

x 2 − 3x + 3 − 1 +

) (

(

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Ph−¬ng tr×nh chøa hai c¨n bËc hai víi lâi lµ c¸c hµm sè bËc hai. Nªn kh«ng thÓ sö dông ph−¬ng ph¸p b×nh ph−¬ng. NhËn xÐt r»ng x2 − 3x + 3 vµ x2 − 3x + 6 ®ång d¹ng víi nhau. Nªn víi Èn phô t = x2 − 3x + 3 ta sÏ nhËn ®−îc: t + t + 3 = 3. §©y lµ d¹ng mÉu mùc mµ ta ®· biÕt c¸ch gi¶i. Ngoài ra, phương trình còn được giải theo cách "Nhẩm nghiệm x0" rồi chuyển phương trình về dạng tích (x − x0)h(x) bằng phép nhân liên hợp. Cụ thể: − Nhận xét rằng x0 = 1 là nghiệm của phương trình. − Biến đổi phương trình về dạng:

Gi¶i

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: t + t + 3 = 3. NhËn xÐt r»ng: VP lµ hµm h»ng. VT lµ hµm ®ång biÕn. Nên phương trình nếu có nghiệm thì sẽ là duy nhất. Nhận thấy t = 1 là nghiệm của phương trình.

x = 1

N U Y .Q

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

x 2 − 3x + 6 + 2 x 2 − 3x + 2

+ =0 x 2 − 3x + 3 + 1 x 2 − 3x + 6 + 2   1 1 ⇔ (x 2 − 3x + 2)  + =0 2 x 2 − 3x + 6 + 2   x − 3x + 3 + 1 x = 1

H Ư

⇔

TR ẦN

⇔ x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔  . x = 2 VËy, ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = 1 vµ x = 2.

10 00

HOẠT ĐỘNG 12: Giải các phương trình sau: a. x 2 + 3x + 4 + 2 2x 2 + 6x = 2. x − 2 + x 2 − 5 = 3.

-L

Gi¶i

(Đề thi đại học − Khối B năm 2010): Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 3x + 1 − 6 − x + 3x 2 − 14x − 8 = 0, x ∈ ℝ.

Í-

VÝ dô 13:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

x 2 − 3x + 3 + 1 x 2 − 3x + 2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

⇔

x 2 − 3x + 6 − 4

x 2 − 3x + 3 − 1

)

x 2 − 3x + 6 − 2 = 0

ẠO

x 2 − 3x + 3 − 1 +

) (

(

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

ÁN

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: §©y lµ ph−¬ng tr×nh kh«ng mÉu mùc chøa hai

c¨n bËc hai nªn kh«ng thÓ sö dông ph−¬ng ph¸p b×nh ph−¬ng vµ còng kh«ng thÓ sö dông ph−¬ng ph¸p Èn phô (víi hai Èn phô) bëi nÕu ®Æt: u = 3x + 1 u 2 = 3x + 1 ⇒ , (u, v ≥ 0)  2  v = 6 − x v = 6 − x

IỄ N

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

C¸ch 3: BiÕn ®æi ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng:

t = 1 ⇔ x2 − 3x + 3 = 1 ⇔  . x = 2 VËy, ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = 1 vµ x = 2.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Ơ H

⇔

3x + 1 − 16 3x + 1 − 4 3x − 15 3x + 1 − 4

−

6 − x −1 6 − x +1

ẠO

+ 3x 2 − 14x − 5 = 0

x−5

6 − x +1

+ ( 3x + 1)( x − 5) = 0

10 00

Tíi ®©y, ta ®· cã ®−îc nh©n tö chung lµ x − 5.

Gi¶i

§iÒu kiÖn:

3x + 1 ≥ 0 1 ⇔ − ≤ x ≤ 6.  3 6 − x ≥ 0

(*)

-L

⇔

3x + 1 − 16

⇔

3x + 1 − 4 3x − 15 3x + 1 − 4

− +

)

6 − x − 1 + 3x 2 − 14x − 5 = 0 6 − x −1 6 − x +1 x−5 6 − x +1

+ 3x 2 − 14x − 5 = 0 + ( 3x + 1)( x − 5) = 0

IỄ N

ÀN

) (

3x + 1 − 4 −

ÁN

(

Í-

BiÕn ®æi ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

⇔

)

6 − x − 1 + 3x 2 − 14x − 5 = 0

H Ư

) (

3x + 1 − 4 −

TR ẦN

(

NhËn thÊy r»ng x0 = 5 nªn ta cã phÐp t¸ch:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

3x 0 + 1, 6 − x 0 ∈ ℕ.

Víi c¸c bµi to¸n kiÓu nµy x0 ®−îc chän sao cho

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

u 2 + 3v 2 = 19 − Kh«ng kh¶ thi. ⇒ 2 2 2 u v = (3x + 1)(6 − x) = −3x + 17x + 6 Nh− vËy, chØ cßn çc ph−¬ng ph¸p: Hµm sè, khi ®ã nÕu coi VT lµ hµm sè f(x) th×: 3 1 f '(x) = + + 6x 2 − 14 = 0 2 3x + 1 2 6 − x Vµ nh− vËy, rÊt khã ®Ó ®¸nh gi¸ ®−îc dÊu cña nã trªn tËp x¸c ®Þnh  1  D = − ; 6 .  3  BiÕn ®æi ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng tÝch, trong h−íng lùa chän nµy nh©n tö chung chØ cã thÓ xuÊt hiÖn khi thùc hiÖn çc phÐp trôc c¨n thøc. Vµ nh− vËy, çc em häc sinh cÇn cã kÜ n¨ng nhÈm ®−îc nghiÖm x0 cña ph−¬ng tr×nh th× míi cã thÓ ®−a ra ®−îc phÐp t¸ch phï hîp.

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

x − 5 = 0 ⇒ x = 5. ⇔ 3 1  + + 3x + 1 = 0 (vn do(*)) 6 − x +1  3x + 1 − 4

VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 5.

HOẠT ĐỘNG 13: Giải các phương trình sau:

)

(

3x − 2 vµ c¨n bËc hai

)

6 − 5x mµ gi÷a chóng:

H Ư

(

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: NhËn xÐt r»ng ph−¬ng tr×nh chøa c¶ c¨n bËc ba

-L

Gi¶i

Í-

10 00

TR ẦN

§−îc liªn kÕt víi nhau bëi phÐp "+", nªn viÖc sö dông phÐp n©ng lªn luü thõa ®Ó khö c¨n cho ph−¬ng tr×nh lµ kh«ng kh¶ thi. Kh«ng cã mèi liªn hÖ mò víi nhau, nªn kh«ng thÓ sö dông mét Èn phô ®Ó chuyÓn ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng ®a thøc. Tõ ®ã, ph−¬ng ph¸p ®−îc ®Ò xuÊt lµ sö dông hai Èn phô: u = 3 3x − 2 u 3 = 3x − 2 ⇒ 5u3 + 3v2 = 8. ⇔ 2   v = 6 − 5x  v = 6 − 5x Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh ®−îc chuyÓn thµnh hÖ: 2u + 3v − 8 = 0  3 2 5u + 3v = 8 vµ ®Ó gi¶i hÖ trªn chóng ta chØ cÇn sö dông ph−¬ng ph¸p thÕ. §iÒu kiÖn:

IỄ N

ÀN

ÁN

6 6 − 5x ≥ 0 ⇔ x ≤ . 5 Sö dông hai Èn phô: u = 3 3x − 2 ⇔   v = 6 − 5x , v ≥ 0

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

u 3 = 3x − 2 ⇒ 5u3 + 3v2 = 8.  2  v = 6 − 5x

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Gi¶i

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

(Đề thi đại học − Khối Anăm 2009: G¶i ph−¬ng tr×nh: 2 3 3x − 2 + 3 6 − 5x − 8 = 0, (x ∈ ℝ).

ẠO

VÝ dô 14:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

3. ph−¬ng tr×nh chøa hai c¨n c¸c bËc kh¸c nhau

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

x − 2 + x 2 − 5 + x − 6 = 0.

U Y

a. 2 x + 3 − 5 − x + 2x 2 + 5x − 9 = 0.

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Ơ H

3x − 2 + 3 2 − x − 4 = 0.

(Đề thi đại học − Khối D năm 2005): Giải phương trình:

H Ư

VÝ dô 15:

10 00

TR ẦN

2 x + 2 + 2 x + 1 − x + 1 = 4, x ∈ ℝ. §¸nh §¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Khi b¾t tay vµo gi¶i ph−¬ng tr×nh nµy, c¸c em häc sinh nghÜ ngay tíi viÖc ph¶i ®Æt ®iÒu kiÖn cã nghÜa cho ph−¬ng tr×nh vµ chÝnh tõ c«ng viÖc nµy sÏ gióp c¸c em ®Þnh h−íng ®−îc lêi gi¶i, cô thÓ:  x + 1 ≥ 0  x ≥ −1 ⇔  ⇔ x ≥ − 1.   x + 2 + 2 x + 1 ≥ 0  x + 1 + 2 x + 1 + 1 ≥ 0 lu«n dóng Nh− vËy, chóng ta nhËn thÊy viÖc biÕn ®æi:

2 x + 2 + 2 x + 1 = 2 ( x + 1 + 1) 2 = 2 x + 1 + 1 = 2( x + 1 + 1)

ÁN

-L

Í-

tøc lµ, ph−¬ng tr×nh ®−îc chuyÓn vÒ d¹ng: a ≥ 0 a ≥ 0 x +1 = a ⇔  ⇔  . 2 2 x + 1 = a x = a − 1   Vµ còng chÝnh v× vËy, khi tr×nh bµy lêi gi¶i bµi to¸n trªn chóng ta ®−îc quyÒn bá qua b−íc ®Æt ®iÒu kiÖn.

ÀN

Gi¶i BiÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

2 − x = 1 − x − 1.

ẠO

4. ph−¬ng tr×nh chøa nhiÒu c¨n bËc hai

IỄ N D

HOẠT ĐỘNG 14: Giải các phương trình sau:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh ®−îc chuyÓn thµnh hÖ: 8 − 2u  v = 8 − 2u   3 2u + 3v − 8 = 0 v =  ⇔ ⇔ 3  3 2 2 5u + 3v = 8 15u 3 + 4u 2 − 32u + 40 = 0 5u 3 + 3  8 − 2u  = 8      3  8 − 2u   u = −2 v = ⇒ 6 − 5x = 4 ⇔ ⇔ 3 v 4 (tho ¶ m·n ) = 2  (u + 2)(15u − 26u + 20) = 0  ⇔ 6 − 5x = 16 ⇔ x = −2. VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = −2.

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

2 ( x + 1 + 1) 2 − x + 1 = 4

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

⇔ 2 x + 1 + 1 − x + 1 = 4 ⇔ 2( x + 1 + 1) − x + 1 = 4 ⇔ x + 1 = 2 ⇔ x + 1 = 4 ⇔ x = 3. VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 3. C¸ch kh¸c: Víi ®iÒu kiÖn x ≥ −1, biÕn ®æi ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng:

)

⇔ 3x = 9 ⇔ x = 3.

) (

(Đề thi đại học − Khối B năm 2011): Gi¶i ph−¬ng tr×nh:

ẠO

3 2 + x − 6 2 − x + 4 4 − x 2 = 10 − 3x, (x ∈ ℝ).

Gi¶i

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: §©y lµ ph−¬ng tr×nh chøa c¨n ®−îc më réng tõ

d¹ng c¬ b¶n: Ph−¬ng tr×nh chøa f(x) ± g(x) ,

TR ẦN

g(x) , khi ®ã

H Ư

f(x) ±

sö dông Èn phô t =

f(x).g(x) vµ f(x) + g(x) = k (k = const), ta

t2 − k . 2 ë ®©y, ta cã ®¸nh gi¸ më réng b»ng c¸ch viÕt l¹i ph−¬ng tr×nh d−íi d¹ng:

f(x).g(x) = ±

)

(

2 + x − 2 2 − x = 10 − 3x − 4 4 − x 2 .

10 00

Khi ®ã, víi Èn phô t = 2 + x − 2 2 − x suy ra: 2+x −2 2−x

(

)

= 10 − 3x − 4 4 − x 2 .

t2 =

-L

Í-

Do ®ã, ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: 3t = t2 ⇔ t2 − 3t = 0 ⇔ t = 0 hoÆc t = 3. Tíi ®©y, c«ng viÖc chØ cßn lµ gi¶i d¹ng ph−¬ng tr×nh chøa c¨n c¬ b¶n d¹ng: 2 + x − 2 2 − x = k ⇔ 2 + x = k + 2 2 − x.

§iÒu kiÖn: 2 + x ≥ 0 ⇔ −2 ≤ x ≤ 2.  2 − x ≥ 0

IỄ N

ÀN

ÁN

Chó ý: Tr−íc tiªn, chóng ta cÇn ®Æt ®iÒu kiÖn cã nghÜa cho ph−¬ng tr×nh. Gi¶i

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

(*)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

VÝ dô 16:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

2x + 2 + 2 2x + 1 − 2x + 1 = 1, x ∈ ℝ.

U Y

HOẠT ĐỘNG 15: Giải phương trình:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 3.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

(

⇔ 4 x + 2 + 2 x +1 = 4 + x +1

2 x + 2 + 2 x +1 = 4 + x +1

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

BiÕn ®æi ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng: 3

(

)

2 + x − 2 2 − x = 10 − 3x − 4 4 − x 2 .

(1)

§Æt t = 2 + x − 2 2 − x suy ra: 2

= 10 − 3x − 4 4 − x 2 .

N Ơ H N U Y .Q

2+x −2 2−x = 3 ⇔ 2+x = 2 2−x +3

ẠO

(**)

⇔ 2 + x = 4(2 − x) + 9 + 12 2 − x ⇔ 12 2 − x = 5x − 15

H Ư

ph−¬ng tr×nh nµy v« nghiÖm do víi ®iÒu kiÖn (*) th× VP < 0. 6 VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = . 5

TR ẦN

Chó ý: Cã thÓ sö dông ®¸nh gi¸ ®Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh (**) nh− sau:

10 00

2 + x ≤ 2 + 2 = 4 ⇒ 2 + x ≤ 2 ⇒ VT ≤ 2, VP = 2 2 − x + 3 ≥ 3 . Tõ ®ã, suy ra ph−¬ng tr×nh nµy v« nghiÖm.

HOẠT ĐỘNG 16: Giải phương trình sau:

2 1 + x − 6 1 − x + 3 1 − x 2 = 5 − 4x, (x ∈ ℝ).

Gi¶i ph−¬ng tr×nh:

VÝ dô 17:

Í-

2 n (1 + x)2 + 3 n 1 − x 2 + n (1 − x)2 = 0, (x ∈ ℝ).

-L

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Chia 2 vÕ cña ph−¬ng tr×nh cho

ÁN

(1 + x ) 2n 2 (1 − x )

+ 3n

(1 − x )

1+ x . 1− x

 1+ x + 1 = 0 ⇔ 2  n  1− x

(1 − x )

≠0

 1+ x +1 = 0  + 3 n 1− x 

IỄ N

ÀN

xuÊt hiÖn Èn phô t =

1− x2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2+x −2 2−x

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

(

Do ®ã ph−¬ng tr×nh (1) cã d¹ng: 3t = t2 ⇔ t2 − 3t = 0 ⇔ t = 0 hoÆc t = 3. Ta lÇn l−ît: Víi t = 0 th×: 2+x −2 2−x = 0 ⇔ 2+x = 2 2−x 6 ⇔ 2 + x = 4(2 − x) ⇔ 5x = 6 ⇔ x = , tho¶ m·n (*). 5 Víi t = 3 th×:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

t2 =

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh cã d¹ng:  t = −1 . 2t2 + 3t + 1 = 0 ⇔   t = −1/ 2 Víi mçi nghiÖm t0 cÇn xÐt trêng hîp n ch½n, n lÎ.

Ơ H

IỄ N

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2 n (1 + x)2 − n 1 − x 2 − n (1 − x)2 = 0, (x ∈ ℝ).

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

V× x = ±1 kh«ng lµ nghiÖm, chia 2 vÕ cña ph−¬ng tr×nh cho n 1 − x 2 ≠ 0 , ta ®−îc: 1+ x 1− x 2n +3+ n = 0. (1) 1− x 1+ x NhËn xÐt r»ng: 1+ x n 1− x n . =1 1− x 1+ x 1+ x 1− x 1 = . nªn nÕu ®Æt t = n th× n 1− x 1+ x t Khi ®ã:  t = −1 1 . (1) ⇔ 2t + 3 + = 0 ⇔ 2t2 + 3t + 1 = 0 ⇔  t  t = −1/ 2 B©y giê ta xÐt hai tr−êng hîp: Tr−êng hîp 1. NÕu n ch½n Khi ®ã, ®iÒu kiÖn cña t ph¶i kh«ng ©m, do ®ã hai nghiÖm trªn bÞ lo¹i. VËy ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm Tr−êng hîp 2. NÕu n lÎ Víi t = −1, ta ®−îc: 1+ x 1+ x n = −1 ⇔ = −1 ⇔ 1 + x = −1 + x, v« nghiÖm 1− x 1− x 1 Víi t = − , ta ®−îc: 2 1+ x 1 1+ x 1 1 + 2n n =− ⇔ =− n ⇔ x= . 1− x 2 1− x 2 1 − 2n 1 + 2n . VËy, víi n lÎ ph−¬ng tr×nh nghiÖm x = 1 − 2n HOẠT ĐỘNG 17: Gi¶i ph−¬ng tr×nh:

Gi¶i

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

5. ph−¬ng tr×nh chøa tham sè

(Đề thi đại học − Khối A năm 2007): T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm thùc:

10 00

x + 1 , ta ®−îc:

x −1 x −1 x −1 x −1 . + m = 24 ⇔3 + m = 24 2 x +1 (x + 1) x +1 x +1 2

x −1 2 , ta cã biÕn ®æi t = 4 1 − suy ra 0 ≤ t < 1 x +1 x +1 Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: 3t2 − 2t = −m. XÐt hµm sè f(t) = 3t2 − 2t tªn tËp D = [0; 1), ta cã: 1 f’(t) = 6t − 2, f’(t) = 0 ⇔ 6t − 2 = 0 ⇔ t = . 3 Ta cã b¶ng biÕn thiªn: x 1/3 1 0 y' 0 + 0 − 0 1 y −1/3 4

(*)

IỄ N

Ơ H N

ÀN

ÁN

-L

Í-

§Æt t =

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

§iÒu kiÖn x ≥ 1. Chia hai vÕ cña ph−¬ng tr×nh cho

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Gi¶i

TR ẦN

H Ư

mét ph−¬ng tr×nh bËc hai d¹ng: 3t2 − 2t + m = 0. (*) Khi ®ã, ®Ó ph−¬ng tr×nh ban ®Çu cã nghiÖm thùc ®iÒu kiÖn lµ ph−¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm t ∈ [0; 1). Víi c«ng viÖc nµy c¸c em häc sinh cã thÓ sö dông ph−¬ng ph¸p tam thøc bËc hai hoÆc ph−¬ng ph¸p hµm sè.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

x −1 (0 ≤ t < 1) chóng ta sÏ nhËn ®−îc x +1

ẠO

Tõ ®ã, víi viÖc sö dông Èn phô t =

x −1 x −1 x −1 x2 −1 . + m = 24 ⇔3 + m = 24 2 x +1 (x + 1) x +1 x +1

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

3 x − 1 + m x + 1 = 2 4 x 2 − 1. §¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Tr−íc tiªn, chóng ta ®i nhËn xÐt r»ng: x2 − 1 = (x − 1)(x + 1) Do ®ã, ®Ó ®¹i sè ho¸ ph−¬ng tr×nh ®· cho chóng ta sÏ thùc hiÖn chia c¶ hai vÕ cña ph−¬ng tr×nh cho x − 1 hoÆc x + 1 . Vµ ®Ó m ë d¹ng tù do chóng ta sÏ chän c¸ch chia cho x + 1 . Khi ®ã, ta ®−îc:

VÝ dô 18:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

U Y .Q

3x − 2 + x − 1 = 4x − 9 + 2 3x 2 − 5x + 2.

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: NhËn xÐt r»ng:

)

3x − 2 + x − 1 = 3x − 2 + x − 1 + 2 (3x − 2)(x − 1)

(

(1)

10 00

TR ẦN

H Ư

= 4x − 3 + 2 3x 2 − 5x + 2. Do ®ã, víi Èn phô t = 3x − 2 + x − 1 ta chuyÓn ®−îc ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng: mt = t2 − 6 ⇔ t2 − mt − 6 = 0. Tõ ®ã, ®Ó thùc hiÖn ®óng víi bµi to¸n chøa tham sè ta thùc hiÖn theo c¸c b−íc: B−íc 1: §Æc ®iÒu kiÖn cã nghÜa cho ph−¬ng tr×nh. B−íc 2: Sö dông Èn phô t = 3x − 2 + x − 1 , nh−ng ph¶i t×m ®−îc ®iÒu kiÖn ®óng cho t. B−íc 3: Sö dông ph−¬ng ph¸p tam thøc bËc hai hoÆc ph−¬ng ph¸p hµm sè.

Gi¶i §iÒu kiÖn:

3x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1.  x − 1 ≥ 0

(*)

Í-

ViÕt l¹i ph−¬ng tr×nh d−íi d¹ng:

-L

m( 3x − 2 + x − 1 ) = [(3x − 2) + 2 3x 2 − 5x + 2 + (x − 1)] − 6 (2) (**) (3)

IỄ N

ÀN

ÁN

⇔ m( 3x − 2 + x − 1 ) = ( 3x − 2 + x − 1 )2 − 6. §Æt t = 3x − 2 + x − 1 , t ≥ 1. Khi ®ã: (2) ⇔ mt = t2 − 6 ⇔ f(t) = t2 − mt − 6 = 0. Ph−¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm ⇔ (3) cã nghiÖm t ≥ 1

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

)

(

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm thùc:

ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

m x − 1 + 3 x + 1 = 2 4 x 2 − 1.

Ơ H N

HOẠT ĐỘNG 18: T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm thùc:

VÝ dô 19:

§Ó ph−¬ng tr×nh ban ®Çu cã nghiÖm thùc ®iÒu kiÖn lµ ph−¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm t ∈ [0; 1), tøc ®−êng th¼ng y = −m c¾t ®å thÞ hµm sè f(t) = 3t2 − 2t trªn tËp D = [0; 1), ta ®−îc: 1 1 − < −m < 1 ⇔ − 1 < m < . 3 3 1 VËy, víi −1 < m < tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. 3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

NhËn xÐt r»ng (3) lu«n cã hai nghiÖm tr¸i dÊu, do vËy ®Ó (3) cã nghiÖm tho¶ m·n t ≥ 1 ®iÒu kiÖn lµ:

(3) cã nghiÖm tho¶ m·n t1 ≤ 1 ≤ t2 ⇔ a.f(1) ≤ 0 ⇔ 1 − m − 6 ≤ 0 ⇔ m ≥ 5. VËy, víi m ≥ 5 ph−¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm.

Ơ H

10 00

Víi m > 0 th× ®iÒu kiÖn cña ph−¬ng tr×nh lµ x ≥ 2. Ph−¬ng tr×nh ®−îc biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng vÒ d¹ng:

(x − 2)(x + 4) = m(x − 2) ⇔ (x − 2)2(x + 4)2 = m(x − 2)

ÀN

ÁN

-L

Í-

x = 2 ⇔ (x − 2)[(x − 2)(x + 4)2 − m] = 0 ⇔  3 2 (*)  x + 6x − 32 − m = 0 Ta chØ cÇn ®i chøng minh ph−¬ng tr×nh (*) lu«n cã ®óng mét nghiÖm thuéc kho¶ng (2; +∞). ThËt vËy, xÐt hµm sè y = x3 + 6x2 − 32 trªn tËp D = (2; +∞), ta cã: y’ = 3x2 + 12x > 0, ∀x∈D ⇒ Hµm sè ®ång biÕn trªn D. Ta cã b¶ng biÕn thiªn: x 2 +∞ y' + +∞ y 0

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Gi¶i

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TR ẦN

H Ư

ẠO

x2 + 2x − 8 = (x − 2)(x + 4) do ®ã, b»ng c¸ch b×nh ph−¬ng hai vÕ cña ph−¬ng tr×nh (víi ®iÒu kiÖn x ≥ 2) chóng ta sÏ nhËn ®−îc: x = 2 . (x − 2)f(x, m) = 0  f (x, m) = 0 Khi ®ã, ®Ó chøng minh víi m > 0 ph−¬ng tr×nh ban ®Çu lu«n cã hai nghiÖm thùc ph©n biÖt chóng ta chØ cÇn ®i chøng minh ph−¬ng tr×nh f(x) = 0 lu«n cã ®óng mét nghiÖm thuéc (2; +∞).

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

(Đề thi đại học − Khối B năm 2007): Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ d−¬ng cña tham sè m, ph−¬ng tr×nh sau cã hai nghiÖm thùc ph©n biÖt: x 2 + 2x − 8 = m(x − 2).

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Tr−íc tiªn, chóng ta ®i nhËn xÐt r»ng:

IỄ N D

)

5− x + 4−x .

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

VÝ dô 20:

(

x x + x + 12 = m

HOẠT ĐỘNG 19: T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm thùc:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tõ b¶ng biÕn thiªn ta thÊy víi mäi m > 0 ph−¬ng tr×nh (*) lu«n cã ®óng mét nghiÖm thuéc kho¶ng (2; +∞). VËy, víi mäi m > 0 ph−¬ng tr×nh ban ®Çu lu«n cã hai nghiÖm thùc ph©n biÖt.

HOẠT ĐỘNG 20: Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ d−¬ng cña tham sè m, ph−¬ng tr×nh sau cã hai nghiÖm thùc ph©n biÖt:

x 2 + 2x − 3 = m(x − 1). Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× ph−¬ng tr×nh: 3 1 − x + 3 1 + x = a cã nghiÖm thùc. §¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Sö dông hai Èn phô:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

u 3 + v 3 = 2  u + v = a

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh ®−îc chuyÓn thµnh hÖ:

C¸ch kh¸c: Ph−¬ng ph¸p hµm sè.

Gi¶i

H Ư

§Æt :

TR ẦN

u = 3 1 − x , suy ra u3 + v3 = 2.  3 v = 1 + x

Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh ®−îc chuyÓn thµnh hÖ:

2 (u + v )(u 2 + v 2 − uv ) = 2  2 ⇔ a(u + v − uv) = 2 .  u + v = a u + v = a

10 00

u 3 + v 3 = 2 ⇔  u + v = a

a. NÕu a = 0, th× hÖ v« nghiÖm. b. NÕu a ≠ 0, th× hÖ

2 2  2  u + v = a 2 2 u + v − uv = (u + v) − 3uv =  a ⇔  a ⇔   1 2 2 , u + v = a u + v = a uv = 3 (a − a )   

Í-

Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm ⇔ hÖ cã nghiÖm (S2 − 4P ≥ 0) 1 3

-L

⇔ a2 − 4. (a2 −

2 8 − a3 2−a )≥0 ⇔ ≥0 ⇔ 0 < a ≤ 2. ≥0⇔ a 3a 3a

IỄ N

ÀN

ÁN

VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm khi 0 < a ≤ 2. C¸ch kh¸c: XÐt hµm sè y = 3 1 − x + 3 1 + x trªn ℝ : §¹o hµm: 1 1 y' = − , + 2 2 3 3 (1 − x ) 3 3 (1 + x )

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y TP

u = 3 1 − x , suy ra u3 + v3 = 2.  3 v = 1 + x

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

VÝ dô 21:

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

1− x

)

− 3 (1 − x)(1 + x) +

0 0 2

− 3 (1 − x)(1 + x) +

)

B¶ng biÕn thiªn: x −∞ y' − y

)

(

1+ x

)

(

1+ x

)

+∞ 0 0

= 0.

H Ư

VËy, ®Ó ph−¬ng tr×nh ban ®Çu cã nghiÖm thùc ®iÒu kiÖn lµ:

TR ẦN

§−êng th¼ng y = a c¾t ®å thÞ hµm sè y = 3 1 − x + 3 1 + x ⇔ 0 < a ≤ 2.

1 − x + 1 + x = m, x ∈ ℝ.

x 2 + x + 1 − x 2 − x + 1 = m, x ∈ ℝ.

10 00

T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm thùc duy nhÊt:

VÝ dô 22:

HOẠT ĐỘNG 21: Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm:

-L

Gi¶i

Í-

1 − x 2 + 2 3 1 − x 2 = m. §¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Sö dông ph−¬ng ph¸p “§iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ”

1 − x 2 + 2 1 − x 2 = 3.

IỄ N

ÀN

ÁN

§iÒu kiÖn cÇn: NhËn xÐt r»ng nÕu ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x0, th× còng nhËn − x0 lµm nghiÖm. Do ®ã ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt th× ®iÒu kiÖn ®ñ lµ: x0 = − x0 ⇔ x0 = 0 ⇔ m = 3. §iÒu kiÖn ®ñ: Víi m = 3, khi ®ã ph−¬ng tr×nh cã d¹ng:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

1− x

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

(

3 3 (1 + x )

⇔ (1 + x)2 = (1 − x)2 ⇔ x = 0.

(1 − x) + (1 + x) 2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

x →∞

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

= lim

(

1− x + 3 1+ x

x →∞

(1 − x )

3 3 (1 − x )

U Y

= lim

(

x →∞

=0 ⇔

lim y = lim

3 3 (1 + x )

ẠO

Giíi h¹n:

(1 + x )

3 3 (1 − x )

⇔

y’ = 0 ⇔ −

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

V×:  2  1− x ≤ 1 ⇒  3 1 − x 2 ≤ 1

1 − x 2 + 2 1 − x 2 ≤ 3. 3

Do ®ã ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm khi vµ chØ khi

 2  1− x = 1 ⇔ x = 0.  3 1 − x 2 = 1

10 00

Í-

VËy, ®Ó ph−¬ng tr×nh ban ®Çu cã nghiÖm thùc duy nhÊt ®iÒu kiÖn lµ:

ÁN

-L

§−êng th¼ng y = m c¾t ®å thÞ hµm sè y = 1 − x 2 + 2 3 1 − x 2 trªn D t¹i duy nhÊt mét ®iÓm ⇔ m = 3.

x + 4 2 − x + x + 2 − x = m.

IỄ N

ÀN

HOẠT ĐỘNG 22: T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm thùc duy nhÊt:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

   = 0 ⇔ x = 0. 

TR ẦN

 2  1 ⇔ −x + 2 2 3 3 (1 − x 2 )  1 − x B¶ng biÕn thiªn: x 0 1 −1 y' 0 + 0 − 3 y 0 0

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

H Ư

ẠO

C¸ch kh¸c: XÐt hµm sè y = 1 − x 2 + 2 3 1 − x 2 trªn D = [−1; 1]: §¹o hµm: 1 1 y' = − 3 , + 3 3 1− x 3 1+ x x 2x − =0 y’ = 0 ⇔ − 2 2 2 1− x 3 3 (1 − x )

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

hµm sè ë vÕ tr¸i lµ hµm ch½n. Trong nhiÒu tr−êng hîp ta cÇn ®¸nh gi¸ tÝnh ®èi xøng th«ng qua viÖc thay ®æi vai trß.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

NhËn xÐt: Trong vÝ dô trªn, viÖc ®¸nh gi¸ tÝnh ®èi xøng lµ kh¸ ®¬n gi¶n bëi

VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt khi m = 3.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

®¸p sè − lêi gi¶i c¸c ho¹t ®éng HOẠT ĐỘNG 1: Ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1: Với điều kiện 2 − x ≥ 0 tức x ≤ 2, ta biến đổi phương trình về dạng: x = 1 2 2x − 1 = ( 2 − x ) ⇔ x 2 − 6x + 5 = 0 ⇔  .  x = 5 (loai)

Ơ H

-L

Í-

10 00

⇔ x = 1. VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 1. Cách 4: Nhận xét rằng: VP là hàm đồng biến. VT là hàm nghịch biến. Nên phương trình nếu có nghiệm thì sẽ là duy nhất. Nhận thấy x = 1 là nghiệm của phương trình.

x = 4 2 2x + 1 = ( x − 1) ⇔ x 2 − 4x = 0 ⇔  .  x = 0 (loai)

VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 4.

IỄ N

ÀN

ÁN

HOẠT ĐỘNG 2: a. Ta có thể trình bày theo các cách sau : Cách 1: Với điều kiện x − 1 ≥ 0 tức x ≥ 1, ta biến đổi phương trình về dạng:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

TR ẦN

H Ư

1 Cách 3: Điều kiện 2x − 1 ≥ 0 tức x ≥ . 2 t2 +1 . Đặt t = 2x − 1, (t ≥ 0) . Suy ra x = 2 Phương trình có dạng: t2 + 1 t = 1 ⇒ 2x − 1 = 1 t = 2− ⇔ t2 + 2t − 3 = 0 ⇔  2  t = −3 (loai)

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 1.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

1 Cách 2: Với điều kiện 2x − 1 ≥ 0 tức x ≥ , ta biến đổi phương trình về dạng: 2 2x − 1 − 1 2(x − 1) 2x − 1 − 1 = 1 − x ⇔ = 1− x ⇔ + x −1 = 0 2x − 1 + 1 2x − 1 + 1 2   ⇔ ( x − 1)  + 1  = 0 ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = 1. 2x − 1 + 1  

VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 1.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

1 Cách 2: Với điều kiện 2x + 1 ≥ 0 tức x ≥ − , ta biến đổi phương trình về dạng: 2 2x + 1 − 9

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

H Ư

TR ẦN

⇔ x = 4. VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 4. b. Ta có thể trình bày theo các cách sau :

3 Cách 1: Với điều kiện 2x + 3 ≥ 0 tức x ≥ − , ta biến đổi phương trình về dạng: 2

10 00

x = 0 2 x 2 + 9 = ( 2x + 3 ) ⇔ 3x 2 + 12x = 0 ⇔  .  x = −4 (loai)

VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 0.

1 Cách 2: Với điều kiện 2x + 1 ≥ 0 tức x ≥ − , ta biến đổi phương trình về dạng: 2

-L

Í-

x 2 + 9 − 3 = 2x ⇔

x2 + 9 − 9 x2 + 9 + 3

= 2x

(*)

1 Phương trình (*) vô nghiệm bởi VT ≤ . 6 VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 0.

IỄ N

ÀN

ÁN

x = 0   x ⇔ x − 2  = 0 ⇔  x 2 =2  x +9 +3  2  x + 9 + 3

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

(*)

2 Phương trình (*) vô nghiệm bởi VT ≤ . 3 VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 4. 1 Cách 3: Điều kiện 2x + 1 ≥ 0 tức x ≥ − . 2 t2 −1 Đặt t = 2x + 1, (t ≥ 0) . Suy ra x = . 2 Phương trình có dạng: t2 −1 t = 3 t= − 1 ⇔ t2 − 2t − 3 = 0 ⇔  ⇒ 2x + 1 = 3 2  t = −1 (loai)

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

x = 4 2   ⇔ (x − 4)  − 1 = 0 ⇔  2  =1  2x + 1 + 3   2x + 1 + 3

=x−4

2x + 1 + 3

2x + 1 − 3 = x − 4 ⇔

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

HOẠT ĐỘNG 3: 1 a. Với điều kiện 3x − 1 ≥ 0 tức x ≥ , ta biến đổi phương trình về dạng: 3

(

)

x 3 + 3 = ( 3x − 1) ⇔ x 3 − 9x 2 + 6x + 2 = 0 ⇔ (x − 1) x 2 − 8x − 2 = 0 2

.Q (

)(

)

⇔ 9x 4 − 7x 2 − 2 = 0 ⇔ x 2 − 1 9x 2 + 2 = 0

⇔ x = ±1.

Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng: x2 + 3 − 4

x +3 +2 2

(

= 3 x2 − 1

TR ẦN

x 2 + 3 − 2 = 3x 2 − 3 ⇔

H Ư

VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = ±1.

)

 x = ±1   1 ⇔ (x − 1)  − 3 = 0 ⇔  1  2 =3  x +3 +2   x 2 + 3 + 2

(*)

10 00

1 Phương trình (*) vô nghiệm bởi VT ≤ . 2 VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = ±1.

-L

Í-

Cách 3: Đặt t = x 2 + 3, t ≥ 3. Suy ra x2 = t2 − 3. Phương trình có dạng: 2

⇔ x2 = 1 ⇔ x = ±1. VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = ±1.

x2 + 3 = 2

IỄ N

ÀN

ÁN

t = 2 ⇒ t = 3(t − 3) − 1 ⇔ 3t − t − 10 = 0 ⇔   t = − 5 (loai)  3 2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

)

(

x 2 + 3 = 3x 2 − 1

1 , ta biến đổi phương trình về dạng: 3

ẠO

Cách 1: Với điều kiện 3x2 − 1 ≥ 0 tức x ≥

b. Ta có thể trình bày theo các cách sau :

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 1 vµ x = 4 + 3 2.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

x = 1 x − 1 = 0  . ⇔ 2 ⇔ x = 4 + 3 2  x − 8x − 2 = 0   x = 4 − 3 2 (loai)

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

HOẠT ĐỘNG 4: a. Ta có thể trình bày theo các cách sau : Cách 1: Với điều kiện 1 − x ≥ 0 tức x ≤ 1, ta biến đổi phương trình về dạng: x = 0 2 2x + 1 = (1 − x ) ⇔ x 2 − 4x = 0 ⇔  .  x = 4 (loai)

VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 0.

.Q TP ẠO

VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 0.

TR ẦN

H Ư

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

1 Cách 3: Điều kiện 2x + 1 ≥ 0 tức x ≥ − . 2 t2 −1 . Đặt t = 2x + 1, (t ≥ 0) . Suy ra x = 2 Phương trình có dạng: t2 −1 t = 1 ⇒ 2x + 1 = 1 t = 1− ⇔ t2 + 2t − 3 = 0 ⇔  2  t = −3 (loai)

-L

Í-

10 00

⇔ x = 0. VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 0. Cách 4: Nhận xét rằng: VP là hàm đồng biến. VT là hàm nghịch biến. Nên phương trình nếu có nghiệm thì sẽ là duy nhất. Nhận thấy x = 0 là nghiệm của phương trình. b. Ta có thể trình bày theo các cách sau : Cách 1: Với điều kiện 4 − x ≥ 0 tức x ≤ 4, ta biến đổi phương trình về dạng:

ÁN

x = 2 2 x + 2 = ( 4 − x ) ⇔ x 2 − 9x + 14 = 0 ⇔  .  x = 7 (loai)

IỄ N

ÀN

VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 2. Cách 2: Với điều kiện x + 2 ≥ 0 tức x ≥ −2 , ta biến đổi phương trình về dạng: x+2 −2 =2−x ⇔

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

x+2−4 x+2 +2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

+x=0

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

2x + 1 + 1

2x + 1 − 1

U Y

)

2x + 1 − 1 + x = 0 ⇔

2   ⇔ x + 1  = 0 ⇔ x = 0.  2x + 1 + 1 

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

(

1 Cách 2: Với điều kiện 2x + 1 ≥ 0 tức x ≥ − , ta biến đổi phương trình về dạng: 2

=2−x

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

1   ⇔ (x − 2)  + 1  = 0 ⇔ x − 2 = 0 ⇔ x = 2.  x+2 +2 

VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 2. Cách 3: Điều kiện x + 2 ≥ 0 tức x ≥ −2.

N U Y

x = 1 ⇔ (x − 1) x 2 + 6 = 0 ⇔  2 .  x + 6 = 0 (vn)

)

TR ẦN

(

VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 1.

(

10 00

Cách 2: Với điều kiện x3 + 3 ≥ 0 tức x ≥ − 3 3, ta biến đổi phương trình về dạng:

)

x3 + 3 − 2 = 1 − x ⇔

x3 + 3 − 4 x3 + 3 + 2

+ x −1 = 0

 x2 + x + 1  ⇔ (x − 1)  + 1 = 0 3  x +3 +2 

ÁN

-L

Í-

x = 1  ⇔  x2 + x + 1 +1= 0  x 3 + 3 + 2

(*)

IỄ N

ÀN

Phương trình (*) vô nghiệm bởi VT ≥ 1. VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 1. Cách 3: Nhận xét rằng: VT là hàm nghịch biến.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

H Ư

x 3 + 3 = ( 3 − x ) ⇔ x 3 − x 2 + 6x − 6 = 0

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

⇔ x = 2. VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 2. Cách 4: Nhận xét rằng: VP là hàm đồng biến. VT là hàm nghịch biến. Nên phương trình nếu có nghiệm thì sẽ là duy nhất. Nhận thấy x = 2 là nghiệm của phương trình. c. Ta có thể trình bày theo các cách sau : Cách 1: Với điều kiện 3 − x ≥ 0 tức x ≤ 3, ta biến đổi phương trình về dạng:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

x+2 =2

⇒ t = 4 − (t2 − 2) ⇔ t2 + t − 6 = 0 ⇔   t = −3 (loai)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

t = 2

Đặt t = x + 2, (t ≥ 0) . Suy ra x = t2 − 2. Phương trình có dạng:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

VP là hàm đồng biến. Nên phương trình nếu có nghiệm thì sẽ là duy nhất. Nhận thấy x = 1 là nghiệm của phương trình. d. Ta có thể trình bày theo các cách sau : Cách 1: Với điều kiện 4 − x2 ≥ 0 tức |x| ≤ 2, ta biến đổi phương trình về dạng:

(

)(

)

⇔ x 4 − 9x 2 + 8 = 0 ⇔ x 2 − 1 x 2 − 8 = 0

U Y

 x = ±1 . ⇔  x = ±2 2 (loai)

)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

H Ư

Cách 3: Đặt t = x 2 + 8, t ≥ 2 2. Suy ra x2 = t2 − 8. Phương trình có dạng:

ẠO

  1 ⇔ (x 2 − 1)  + 1  = 0 ⇔ x = ±1. 2  x +8 +3  VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = ±1.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

(

+ x2 − 1 = 0

x +8 +3 2

x2 + 8 − 9

x2 + 8 − 3 = 1 − x2 ⇔

Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

t = 3

t = 4 − (t2 − 8) ⇔ t2 + t − 12 = 0 ⇔  ⇒  t = −4 (loai)

x2 + 8 = 3

10 00

⇔ x2 = 1 ⇔ x = ±1. VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = ±1.

HOẠT ĐỘNG 5: Ta có thể trình bày theo các cách sau : Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng:

(

)

x 2 − 3x + 6 = 3 x 2 − 3x + 6 − 10.

Í-

Đặt t = x 2 − 3x + 6, (t ≥ 0) ta được:

-L

t = 2 t = 3t − 10 ⇔ 3t − t − 10 = 0 ⇔   t = − 5 (loai)  3 2

ÁN

x = 1 ⇒ x 2 − 3x + 6 = 2 ⇔ x 2 − 3x + 2 = 0 ⇔  . x = 2

VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 1 và x= 2.

IỄ N

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = ±1.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

)

(

x2 + 8 = 4 − x2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Cách 2: Ta có biến đổi: x 2 − 3x + 6 − 4

x 2 − 3x + 6 − 2 = 3x 2 − 9x + 6 ⇔

= 3(x 2 − 3x + 2)

x − 3x + 6 + 2 2

Ơ H B

TR ẦN

x − 1 = 0 x = 1  ⇔ x − 2 = 0 . ⇔ x = 2  9x 2 + 27x + 29 = 0

10 00

VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 1 và x= 2.

-L

Í-

HOẠT ĐỘNG 6: a. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo çc çch sau: Çch 1: BiÕn ®æi ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng: 2  x − 3x + 3 ≥ 0 2 2x − 1 = x − 3x + 3 ⇔  2 2 2x − 1 = (x − 3x + 3)

ÀN

ÁN

 x 2 − 3x + 3 ≥ 0  x 2 − 3x + 3 ≥ 0 ⇔ 4 ⇔ 3 2 3 2  x − 6x + 15x − 20x + 8 = 0 (x − 1)(x − 5x + 10x − 8) = 0  x 2 − 3x + 1 ≤ 0 2   x − 3x + 1 ≤ 0 ⇔ x − 1 = 0 ⇔ 2 2 (x − 1) (x − 4x + 2) = 0  2   x − 4x + 2 = 0

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

⇔ (x − 1)(x − 2)(9x 2 + 27x + 29) = 0

H Ư

⇔ 9x 4 − 54x 3 + 128x 2 − 141x + 58 = 0 ⇔ (x − 1)(9x 3 − 45x 2 + 83x − 58) = 0

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

⇔ x 2 − 3x + 6 = 9x 4 − 54x 3 + 129x 2 − 144x + 64

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q TP

)

(

ẠO

Cách 3: Với điều kiện 2x2 + 6x − 5 ≥ 0, ta có biến đổi:

IỄ N D

(*)

1 Phương trình (*) vô nghiệm bởi VT ≤ . 2 VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 1 và x= 2.

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

x = 1 & x = 2 ⇔ 1  =3  x 2 − 3x + 6 + 2

x 2 − 3x + 6 = 3x 2 − 9x + 8

 x 2 − 3x + 2 = 0   1  ⇔ (x 2 − 3x + 2)  − 3 = 0 ⇔  1 2 −3= 0  x − 3x + 6 + 2   x 2 − 3x + 6 + 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

 x 2 − 3x + 1 ≤ 0 x = 1  ⇔ x = 1 . ⇔ x = 2 − 2  x = 2 ± 2 VËy, ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = 1 vµ x = 2 − 2 . t2 +1 . 2 Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh ®−îc chuyÓn vÒ d¹ng:

U Y .Q

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

 2x − 1 = 1 x = 1 ⇔ . ⇔  2x − 1 = 2 − 2 x = 2 − 2

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

H Ư

VËy, ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = 1 vµ x = 2 − 2 . 1 Cách 3: Với điều kiện 2x − 1 ≥ 0 tức x ≥ , ta biến đổi phương trình về dạng: 2 2x − 1 − x 2 2x − 1 − x + x 2 − 2x + 1 = 0 ⇔ + x 2 − 2x + 1 = 0 2x − 1 + x

)

TR ẦN

(

x = 1

1    ⇔ ( x − 2x + 1) 1 −  = 0 ⇔ 1 − 2x − 1 + x   

10 00



2x − 1 + x

(*)

2x − 1 = 1 − x

Biến đổi tiếp (*) về dạng: 1 = 1 ⇔ 2x − 1 + x = 1 ⇔ 2x − 1 + x

-L

Í-

1 − x ≥ 0 x ≤ 1  x ≤ 1 ⇔ ⇔ 2 ⇔ 2  x = 2 ± 2 2x − 1 = (1 − x)  x − 4x + 2 = 0

ÁN

⇔ x = 2 − 2.

VËy, ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = 1 vµ x = 2 − 2 . b. ViÕt l¹i ph−¬ng tr×nh d−íi d¹ng: 4x + 9 1 7 = 7(x + )2 − 2 4 28

IỄ N

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

 t2 +1  t2 +1 t + − 3. + 1 = 0 ⇔ t4 − 4t2 + 4t − 1 = 0  2  2  t ≥0  t = 1 t −1 = 0 ⇔ (t − 1)2(t2 + 2t − 1) = 0 ⇔  2 ⇔  t + 2t − 1 = 0 t = 2 −1

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

C¸ch 2: §Æt t = 2x − 1 (t ≥ 0), suy ra x =

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn §Æt y +

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

1 4x + 9 , ®iÒu kiÖn : = 2 28

1 3 > 2 2 7

3− 7

⇔y>

2 7

(*)

(1) (2)

y + 1 = (x + 2)2 (1) ⇔ 

10 00

x + 1 = (y + 2)2 (2)

-L

Í-

⇒ x − y = − [(x + 2)2 − (y + 2)2] ⇔ x − y = − (x − y)(x + y + 4) (*) vµ x >0 ⇔ (x − y)(x + y + 5) = 0 ←  → x = y. Víi x = y vµo (1) ®−îc : x2 + 3x + 3 = 0 v« nghiÖm. VËy ph−¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm. d. §iÒu kiÖn

ÁN

3x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ −

1 . 3

(*)

§Æt − 2y + 3 = 3x + 1 , ®iÒu kiÖn − 2y + 3 ≥ 0 ⇔ y ≤

ÀN

ViÕt l¹i ph−¬ng tr×nh d−íi d¹ng : 2 3x + 1 = − (2x − 3) + x + 4 ⇔ 3x + 1 = − (−2x + 3)2 + x + 4 3 . 2

(**)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

(*)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

§Æt y + 2 = x + 1 , ®iÒu kiÖn y + 2 ≥ 0 ⇔ y ≥ − 2. Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh ®−îc chuyÓn thµnh hÖ: y + 2 = (x + 2)2 + 1  (y + 2)2 = x + 1

.Q TP

TR ẦN

H Ư

c. §iÒu kiÖn: x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ − 1. ViÕt l¹i ph−¬ng tr×nh d−íi d¹ng : 2 x + 1 = (x + 2) + 1

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

50 − 6 . 7

ẠO

VËy, nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ x =

50 − 6 . 7

U Y

⇒ x − y = − 7(x2 − y2) − 7(x − y) ⇔ (x − y)(8 + x + y) = 0 (*) vµ x >0 ←  → x = y. Víi x = y vµo (1) ®−îc : x >0 14x2 + 12x − 1 = 0 ← → x =

IỄ N D

1 = 7x 2 + 7x 2 1 = 7y 2 + 7y 2

⇔

 y +  x + 

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

1  2 y + 2 = 7x + 7x  (y + 1 )2 = 4 x + 9  2 28

Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh ®−îc chuyÓn thµnh hÖ:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh ®−îc chuyÓn thµnh hÖ: − 2y + 3 = −(−2x + 3)2 + x + 4  (−2y + 3)2 = 3x + 1

(−2x + 3)2 = x + 2y + 1 (1) ⇔  (−2y + 3)2 = 3x + 1

(2)

⇒ (2x − 3) − (2y − 3) = − 2(x − y) ⇔ 4(x − y)(x + y − 3) = − 2(x − y) 2

x = y

H U Y

15 − 97 . 8

Víi 2y = 5 − 2x vµo (1) ®−îc :

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

15 − 97 11 − 73 vµ x = . 8 8

N H Ư

(*)

TR ẦN

HOẠT ĐỘNG 7: a. §iÒu kiÖn: 1 − x2 ≥ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1.  π π §Æt x = sin t, t ∈  − ;  .  2 2 Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh cã d¹ng:

VËy ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x =

11 − 73 . 8

ẠO

(*) vµ (**) 4x2 − 11x + 3 = 0 ←  → x =

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Í-

10 00

1 + 1 − sin 2 t = sint(1 + 2 1 − sin 2 t ) ⇔ 1 + cos t = sint(1 + 2cost) t t 3t t ⇔ 2 cos = sint + sin2t ⇔ 2 cos = 2sin .cos 2 2 2 2 t  π  1  cos 2 = 0 (l) t = 6 x= t 3t ⇔ 2 cos (1 − 2 sin )=0 ⇔  ⇔  ⇔  2.  2 2  3t 2 t = π x = 1 sin = 2  2 2 

-L

VËy, nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ x=

1 hoÆc x=1. 2

ÁN

b. §iÒu kiÖn:

x 2 − 1 > 0 ⇔ x > 1.  x > 0

Víi ®iÒu kiÖn (*), ®Æt x =

(*) 1 , t ∈ (0, π ). 2 cos t

IỄ N

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

(*) vµ (**) 4x2 − 15x + 8 = 0 ←  → x =

Víi x = y vµo (1) ®−îc :

⇔ (x − y)(2x + 2y − 5) = 0 ⇔  2 y = 5 − 2 x

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: 1 cos t 1

1 + cos t

cos2 t

1 1 + =2 2 cos t sin t

=2 2 ⇔ −1

u2 −1 . 2

Khi ®ã:

1 − tg2 t 1 + tg2 t

x2 +1 1− x2

x2 +1

4x(1 − x 2 ) (x 2 + 1) 2

⇔ sin4t =

⇒

⇔

U Y

G (*)

1 , cos t

TR ẦN

1 + tg 2 t

⇒ x2 +1 =

x2 +1 1 = , 2x sin 2 t

10 00

cos2t =

2 tgt

cos t

sin2t =

x2 + 1 = tg2t + 1 =

π π π , ) \ {± , 0}. 2 2 4

H Ư

§Æt x = tgt, t ∈ ( −

VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 2 . c. §iÒu kiÖn x ≠ ± 1, 0.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

π π )=1⇔t+ = π 2 4 4

⇒ sin2t.cos2t =

2 x(1 − x 2 ) (x 2 + 1) 2

2 (x 2 + 1) 2 = . sin 4t 2 x(1 − x 2 )

Ph−¬ng tr×nh ®−îc biÕn ®æi ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng:

⇔ 4sint.cos2t + 2cos2t = 2

-L

Í-

1 1 2 + = cos t sin 2 t sin 4t

(*)

VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x =

1 3

1 2

⇔t=

π 6

⇔x=

1 3

IỄ N

ÀN

ÁN

⇔ 2sint.cos2t = 1 − cos2t ⇔ 2sint.cos2t = 2sin2t ⇔ (cos2t − sint).sint = 0 ⇔ (1 − 2sin2t − sint).sint = 0 ⇔ (sint + 1)(2sint − 1).sint = 0 ⇔ sint =

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

⇔ sin(t +

⇔ sint + cost = 2 ⇔ 2 sin(t

u = 2  2 =0⇔  1 u=− (l)  2  π + )= 2 4 π + 2kπ ⇔ t = ⇔ x = 4

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

ẠO

u = 2 (u − 1) ⇔ 2 u − u − 2

Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh cã d¹ng:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

§Æt sint + cost = u, ®iÒu kiÖn 1 ≤ u ≤ 2 , suy ra sint.cost =

⇔ sint + cost = 2 2 sint.cost.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

HOẠT ĐỘNG 8: a. §iÒu kiÖn: 4 − x2 ≥ 0 ⇔ x ≤ 2. Ph−¬ng tr×nh ®−îc viÕt l¹i:

(*)

(x − 1) 4 − x 2 = (x − 1)(x − 2) ⇔ (x − 1)  4 − x 2 − (x − 2)  = 0

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

10 00

• Víi t = −3, ta ®−îc:

 t = −3

t2 + 4t + 3 = 0 ⇔  .  t = −1

x < 3 x − 3 < 0 ⇔  2  (x − 3)(x + 1) = 9  x − 2x − 12 = 0

x +1 = −3 ⇔ x −3

13 , tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (*).

Í-

 x < 3 ⇔x=1−  x = 1 ± 13

⇔ 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

G H Ư

x +1 , suy ra (x − 3)(x + 1) = t2. x −3

Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh cã d¹ng:

(x-3)

(*)

x > 3  x ≤ −1 . 

TR ẦN

§Æt t = (x − 3)

VËy, ph−¬ng tr×nh cã c¸c nghiÖm x = 1 vµ x = 2. b. §iÒu kiÖn: x +1 ≥0⇔ x −3

ẠO

x − 2 ≥ 0 x ≥ 2  ⇔ 2 ⇔   x = 0 ⇔ x = 2.  2 2  2x − 4x = 0  x = 2 4 − x = (x − 2) 

-L

• Víi t = −1, ta ®−îc: x +1 =-1 ⇔ x −3

x < 3 x − 3 < 0 ⇔  2  (x − 3)(x + 1) = 1  x − 2x − 4 = 0

 x < 3 ⇔x=1−  x = 1 ± 5

⇔ 

5 , tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (*).

VËy, ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = 1 − 13 vµ x = 1 −

IỄ N

ÀN

ÁN

(x-3)

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

(1) x −1 = 0 ⇔ 2  4 − x = x − 2 (2) Gi¶i (1), ta ®−îc nghiÖm x = 1, tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (*). Gi¶i (2), b»ng phÐp biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng: x ≥ 2

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com





www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Chó ý: NhiÒu em häc sinh khi thùc hiÖn bµi to¸n trªn m¾c ph¶i sai lÇm tõ phÐp biÕn ®æi:

x +1 = (x − 3)(x + 1) , x −3 ®ã ®−¬ng nhiªn kh«ng ph¶i lµ phÐp biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng. CÇn nhí r»ng:

HOẠT ĐỘNG 9: a. §iÒu kiÖn:

x ≥ 0 . x2 + 2x ≥ 0 ⇔   x ≤ −2

ÁN

-L

Í-

§Æt t = x 2 + 2x , víi t ≥ 0. Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: x2 − 2tx − 1 = 0. ta cã: ∆’ = t2 + 1 = (x2 + 2x) + 1 = (x + 1)2 do ®ã, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm:  x = x 2 + 2x + (x + 1)  x 2 + 2x = 1 (1) x = t ± (x + 1) ⇔  ⇔  x = x 2 + 2x − (x + 1)  x 2 + 2x = 2x − 1 (2)

ÀN Đ

(*)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

10 00

VËy, ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TR ẦN

H Ư

 1 x ≥ 2x − 1 ≥ 0 2    3 t = 2x − 1  x = 0 2 x = 2 ⇔  1 ⇔ x + 1 = (2x − 1) ⇔  . ⇔  = x 2 t = x = −3 3 / 4  1 3  2 x + 1 =  4   x = −3 3  4

IỄ N D

4x − 1 ± (4x − 3) 4

ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

c. §Æt t =

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

x 3 + 1 , víi t ≥ 0 ⇒ t2 = x3 + 1. Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: (4x − 1).t = 2(x3 + 1) + 2x − 1 ⇔ 2t2 − (4x − 1)t + 2x − 1 = 0 ta cã: ∆ = (4x − 1)2 − 8(2x − 1) = (4x − 3)2 do ®ã, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm:

 (x − 3)(x + 1) neu x − 3 > 0 x +1 =  . x −3 − (x − 3)(x + 1) neu x − 3 < 0 

U Y

(x − 3)

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

N Ơ H

2 2 x + xy + y + 2 = 0 ( vn )

Đ G

⇔ x = y.

Thay x = y vµo (1) ®−îc x3 − 2x + 1 = 0 ⇔ (x − 1)(x2 + x − 1) = 0

10 00

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

x − y = 0

⇔

TR ẦN

⇔ (x − y)(x2 + xy + y2 + 2) = 0

H Ư

x 3 + 1 = 2y ⇒ x3 − y3 = − 2(x − y)  3 y + 1 = 2x

(1)

a. §Æt y = 3 2x − 1 ⇔ y3 + 1 = 2x. Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh ®−îc chuyÓn thµnh hÖ:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

ẠO

HOẠT ĐỘNG 10:

x = 1

x − 1 = 0

⇔ 



−1± 5 . 2

2 x + x − 1 = 0

⇔ 

−1 ± 5 . 2

Í-

VËy, nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ x = 1 hoÆc x =

-L

b. §Æt y = 3 35 − x3 ⇒ x3 + y3 = 35. Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh ®−îc chuyÓn thµnh hÖ: x.y.(x + y) = 30  (x + y )3 − 3xy(x + y) = 35 x + y = 5 ⇔  x.y. = 6

suy ra x, y lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: t2 − 5t + 6 = 0

IỄ N

ÀN

ÁN

x.y.(x + y) = 30 ⇔  3 x + y 3 = 35 x.y.(x + y) = 30 ⇔  x + y = 5

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

 x = −1 − 5 . x2 + 2x = 1 ⇔ x2 + 2x − 1 = 0 ⇔  x 1 5 = − +  1 Gi¶i (2): Víi ®iÒu kiÖn 2x − 1 ≥ 0 tøc x ≥ . 2 Ta cã biÕn ®æi:  3− 6 (loai) x = 3 x 2 + 2x = (2x − 1) 2 ⇔ 3x 2 − 6x + 1 = 0 ⇔  .  3+ 6 x = 3  3+ 6 VËy, ph−¬ng tr×nh cã c¸c nghiÖm x = −1 ± 5, x = . 3

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Gi¶i (1): Ta cã biÕn ®æi:

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

x = 2 x = 2   3 35 − x 3 = 3 y = 3 t = 2 x = 2 ⇔  ⇔  ⇔  ⇔  t = 3 x=3 x = 3  x = 3   y = 2 3 35 − x 3 = 2

N Ơ H

11 − 2x − 9

11 − 2x + 3

−

-L

⇔

)

x+3 −2 = 0 x +3−4 x+3 −2

=0 ⇔

−2x + 2 11 − 2x + 3

( ⇔ (− x + 1) ( 2

)

⇔ (− x + 1) 2 x + 3 − 4 + 11 − 2x + 3 = 0

)

x + 3 + 11 − 2x − 1 = 0

x −1 x+3 −2

IỄ N

ÀN

ÁN

2 1   ⇔ (− x + 1)  + =0 x+3 −2  11 − 2x + 3

−

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

) (

11 − 2x − 3 −

Í-

(

BiÕn ®æi ph−¬ng tr×nh:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

10 00

TR ẦN

H Ư

7 − 3x ≥ 0 ⇔ 2 x + 3 = 7 − 3x ⇔  2 4(x + 3) = (7 − 3x) 7  x≤  7 3   x ≤ ⇔   x = 1 ⇔ x = 1, tho¶ m·n ®iÒu kiÖn. ⇔ 3 2 9x − 46x + 37 = 0  37  x = 9  VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 1. C¸ch 2: §iÒu kiÖn: 11 − 2x ≥ 0 11 ⇔ −3≤ x ≤ .  2 x + 3 ≥ 0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q

ẠO

HOẠT ĐỘNG 11: a. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo çc çch sau: Çch 1: §iÒu kiÖn: 11 − 2x ≥ 0 11 ⇔ −3≤ x ≤ .  2 x + 3 ≥ 0 BiÕn ®æi ph−¬ng tr×nh: 11 − 2x = 1 + x + 3 ⇔ 11 − 2x = 1 + (x + 3) + 2 x + 3

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ x = 2 hoÆc x = 3.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

(1)  −x + 1 = 0 ⇔ 2 x + 3 + 11 − 2x = 1 (2) Gi¶i (1) ta ®−îc x = 1. Gi¶i (2): Häc sinh tù lµm. VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 1.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

u = 11 − 2x u 2 = 11 − 2x , u, v ≥ 0 ⇒ u 2 + 2v 2 = 17. ⇒   2  v = x + 3  v = x + 3 Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh ®−îc chuyÓn thµnh hÖ: u − v = 1 u = v + 1 u = v + 1 ⇔ ⇔  2   2 2 2 2 u + 2v = 17 (v + 1) + 2v = 17 3v + 2v − 16 = 0

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

TR ẦN

H Ư

u = v + 1   11 − 2x = 3 u = 3 v = 2 ⇔ ⇔ ⇔  v = 2  x + 3 = 2   v = − 8 (loai)   3

⇔ x = 1, tho¶ m·n ®iÒu kiÖn. VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 1.

10 00

C¸ch 4: NhËn xÐt r»ng: VT lµ hµm nghÞch biÕn. VP lµ hµm ®ång biÕn. Nên phương trình nếu có nghiệm thì sẽ là duy nhất. Nhận thấy x = 1 là nghiệm của phương trình.

Í-

C¸ch 5: BiÕn ®æi ph−¬ng tr×nh:

ÁN

-L

11 − 2x = 1 + x + 3. NhËn xÐt r»ng: VT lµ hµm nghÞch biÕn. VP lµ hµm ®ång biÕn. Nên phương trình nếu có nghiệm thì sẽ là duy nhất. Nhận thấy x = 1 là nghiệm của phương trình. b. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo c¸c c¸ch sau:

IỄ N

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

§Æt:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

C¸ch 3: §iÒu kiÖn: 11 − 2x ≥ 0 11 ⇔ −3≤ x ≤ .  2 x + 3 ≥ 0

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Ơ H

ÀN

ÁN

t ≤ 0  x = 0 t = 0 ⇔  ⇔ t = 0 ⇔ x2 + 3x = 0 ⇔  .  x = −3   t = 128   49

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

-L

Í-

⇔ 4 2t(t + 4) = −9t −9t ≥ 0  t ≤ 0 ⇔ ⇔ 2  t [32(t + 4) − 81t ] = 0 32t(t + 4) = (−9t)

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q TP ẠO Đ G N

H Ư

10 00

TR ẦN

HOẠT ĐỘNG 12: a. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo çc çch sau: Çch 1: §iÒu kiÖn:  x 2 + 3x + 4 ≥ 0  x 2 + 3x + 4 ≥ 0 x ≥ 0 2 ⇔ x + 3x ≥ 0 . ⇔ ⇔  2  2 2x + 6x ≥ 0  x ≤ −3 2 ( x + 3x ) ≥ 0 §Æt t = x2 + 3x, ta cã: Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: t + 4 + 2 2t = 2 ⇔ t + 4 + 8t + 4 2t(t + 4) = 4

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

)

2x + 7 − 9 x +3− 4 + + 2x − 2 = 0 2x + 7 + 3 x+3+2 2(x − 1) x −1 ⇔ + + 2(x − 1) = 0 2x + 7 + 3 x+3+2 2 1   ⇔ (x − 1)  + + 2 = 0 x +3 +2  2x + 7 + 3  ⇔ x = 1. VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 1.

IỄ N D

) (

⇔

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

(

C¸ch 1: NhËn xÐt r»ng: VT lµ hµm ®ång biÕn. VP lµ hµm nghÞch biÕn. Nên phương trình nếu có nghiệm thì sẽ là duy nhất. Nhận thấy x = 1 là nghiệm của phương trình. C¸ch 2: §iÒu kiÖn: 2x + 7 ≥ 0 ⇔ x ≥ −3.  x + 3 ≥ 0 BiÕn ®æi ph−¬ng tr×nh: 2x + 7 − 3 + x + 3 − 2 + 2x − 2 = 0

VËy, ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = 0 vµ x = −3.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

C¸ch 2: §iÒu kiÖn:

N https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO G

VËy, ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = 0 vµ x = −3. C¸ch 3: §iÒu kiÖn:

TR ẦN

H Ư

 x 2 + 3x + 4 ≥ 0  x 2 + 3x + 4 ≥ 0 x ≥ 0 2 ⇔ x + 3x ≥ 0 ⇔ ⇔  2  x ≤ −3 . 2 2 x + 3x ≥ 0 ( ) 2x + 6x ≥ 0   BiÕn ®æi ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng:

)

(

x 2 + 3x + 4 − 2 + 2 2x 2 + 6x = 0

x 2 + 3x

2(2x 2 + 6x)

x 2 + 3x + 4 + 2

2x 2 + 6x

x 2 + 3x + 4 + 2

4(x 2 + 3x)

⇔

x 2 + 3x + 4 − 4

10 00

⇔

2x 2 + 6x

Í-

  1 4 ⇔ (x 2 + 3x)  + =0 2 2x 2 + 6x   x + 3x + 4 + 2 x = 0

ÁN

-L

⇔ x2 + 3x = 0 ⇔  .  x = −3

VËy, ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = 0 vµ x = −3. C¸ch 4: §iÒu kiÖn:

 x 2 + 3x + 4 ≥ 0  x 2 + 3x + 4 ≥ 0 x ≥ 0 ⇔ x 2 + 3x ≥ 0 ⇔  . ⇔  2 2 x ≤ − 3 2 x + 3x ≥ 0 ( ) 2x + 6x ≥ 0  

IỄ N

ÀN

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

x = 0

t = 0 ⇔ x2 + 3x = 0 ⇔  .  x = −3

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

U Y

t + 4 + 2 2t = 2 NhËn xÐt r»ng: VT lµ hµm ®ång biÕn. VP lµ hµm h»ng. Nên phương trình nếu có nghiệm thì sẽ là duy nhất. Nhận thấy t = 0 là nghiệm của phương trình.

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

 x 2 + 3x + 4 ≥ 0  x 2 + 3x + 4 ≥ 0 x ≥ 0 ⇔ x 2 + 3x ≥ 0 ⇔  . ⇔  2 2 x ≤ − 3 2 x + 3x ≥ 0 ( ) 2x + 6x ≥ 0   2 §Æt t = x + 3x, ta cã: Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh cã d¹ng:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

BiÕn ®æi ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng: 2 x + 3x + 4 + 2 2(x 2 + 3x) = 2 ≥2

Suy ra VT ≥ 2 nªn ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm khi: x = 0

N Ơ H https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Í-

-L

ÁN

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

ẠO

H Ư

TR ẦN

10 00

(*)

Xét hàm số f(x) = x − 2 + x 2 − 5 trên D =  2; 5  : 1 x f '(x) = + > 0, ∀x∈D ⇒ Hàm số đồng biến trên D. 2 2 x−2 x −5 NhËn xÐt r»ng ph−¬ng tr×nh cã: VT lµ hµm ®ång biÕn. VP lµ hµm h»ng. Nên phương trình nếu có nghiệm thì sẽ là duy nhất. Nhận thấy x = 3 là nghiệm của phương trình.

TO ÀN Đ

IỄ N D

)

) (

(

(*)

VËy, ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = 0 vµ x = −3. b. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo çc çch sau: Çch 1: §iÒu kiÖn:  x ≥ 2 x − 2 ≥ 0 ⇔ 2 ≤ x ≤ 5. ⇔  2  x ≤ 5 x − 5 ≥ 0 BiÕn ®æi ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng: x − 2 −1 x2 − 5 − 4 2 x − 2 −1 + x − 5 − 2 = 0 ⇔ + =0 x − 2 +1 x2 − 5 + 2 x −3 x2 − 9 ⇔ + =0 x − 2 +1 x2 − 5 + 2  1 x+3  ⇔ (x − 3)  + =0 2 x −5 +2   x − 2 +1 x − 3 = 0 ⇔ ⇔ x = 3. 1 x+3  + = 0 (vo nghiem do (*)) x2 − 5 + 2  x − 2 + 1 VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 3. Çch 2: §iÒu kiÖn: x − 2 ≥ 0  x ≥ 2 ⇔ 2 ≤ x ≤ 5. ⇔  2  x ≤ 5 x − 5 ≥ 0

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

x2 + 3x = 0 ⇔  .  x = −3

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

HOẠT ĐỘNG 13: a. §iÒu kiÖn:

N H

+ 2x 2 + 5x − 7 = 0

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

H Ư

x − 2 −1 +

x − 2 +1 x −3

x2 − 5 − 4

x − 2 −1

x2 − 5 − 2 + x − 3 = 0 x2 − 5 + 2 x2 − 9

+ x −3 = 0

Í-

+ + x −3 = 0 x − 2 +1 x2 − 5 + 2   1 x+3 ⇔ (x − 3)  + + 1 = 0 x2 − 5 + 2   x − 2 +1 (1) x − 3 = 0  ⇔ 1 x+3  + + 1 = 0 (2) x2 − 5 + 2  x − 2 + 1

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

⇔

)

10 00

) (

(

(*)

TR ẦN

VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 1. b. §iÒu kiÖn: x ≥ 2 x − 2 ≥ 0 ⇔ ⇔ x ≥ 5.  2 x − 5 ≥ 0  x ≥ 5 BiÕn ®æi ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

5−x−4

−

2 (x + 3 − 2)

)

5 − x − 2 + 2x 2 + 5x − 7 = 0

x+3+2 5−x +2 2 ( x − 1) x −1 ⇔ + + (x − 1)(2x + 7) = 0 x+3 +2 5−x +2 2 1   ⇔ ( x − 1)  + + 2x + 7  = 0 5−x +2  x+3 +2  x − 1 = 0 ⇔ ⇒ x = 1. 2 1  + + 2x + 7 = 0 (vn do (*))  x + 3 + 2 5−x +2

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇔

) (

x+3 −2 −

U Y

(

(*)

x + 3 ≥ 0 ⇔ − 3 ≤ x ≤ 5.  5 − x ≥ 0 BiÕn ®æi ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

* Gi¶i (1) ta ®−îc x = 3. * Gi¶i (2) ta thÊy v« nghiÖm do ®iÒu kiÖn (*). VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 3.

HOẠT ĐỘNG 14: a. §iÒu kiÖn: x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1. §Æt

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

2 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2. Sö dông hai Èn phô: 3 u = 3 3x − 2 u = 3x − 2 ⇒ u3 + 3v2 = 4. ⇔   2  v = 2 − x  v = 2 − x , v ≥ 0 Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh ®−îc chuyÓn thµnh hÖ: u = 4 − 3v u + 3v − 4 = 0 ⇔   3 2 3 2 u + 3v = 4 (4 − 3v) + 3v = 4 u = 4 − 3v ⇔ 3 2 27v − 111v + 124v − 60 = 0 u = 4 − 3v ⇔ 2 (v − 1)(27v − 84v + 60) = 0

IỄ N

ÀN

HOẠT ĐỘNG 15: §iÒu kiÖn: 1 2x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ − . 2

(*)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H Ư

VËy, ph−¬ng tr×nh cã ba nghiÖm x = 2, x = 1 vµ x = 10. b. §iÒu kiÖn:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

3 2 − x = 0 x = 2 u = 0  ⇔ u = 1 ⇔ 3 2 − x = 1 ⇔ x = 1 . 3 x = 10 u = −2  2 − x = −2 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y ẠO

Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh ®−îc chuyÓn thµnh hÖ: u 3 + v2 = 1 ⇒ u3 + (1 − u)2 = 1 ⇔ u3 + u2 − 2u = 0  u + v = 1

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

u = 3 2 − x , v ≥ 0, suy ra u3 + v2 = 1.  v = x − 1

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

BiÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng:

(

)

2x + 1 + 1 − 2x + 1 = 1 ⇔

2x + 1 + 1 − 2x + 1 = 1

2x + 1 + 1 − 2x + 1 = 1 ⇔ 0 = 0, lu«n ®óng. 1 VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x ≥ − . 2 1 C¸ch kh¸c: Víi ®iÒu kiÖn x ≥ − , biÕn ®æi ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng: 2

)

TP ẠO (*)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

1+ x −3 1− x

= 10 − 8x − 6 1 − x 2 =

(1)

(

)

1 5 − 4x − 3 1 − x 2 . 2

-L

Í-

10 00

Do ®ã ph−¬ng tr×nh (1) cã d¹ng: 2t = 2t 2 ⇔ t2 − t = 0 ⇔ t = 0 hoÆc t = 1. Ta lÇn l−ît: Víi t = 0 th×: 1+ x −3 1− x = 0 ⇔ 1+ x = 3 1− x 4 ⇔ 1 + x = 9(1 − x) ⇔ 10x = 8 ⇔ x = , tho¶ m·n (*). 5 Víi t = 1 th×:

ÁN

1+ x −3 1− x = 1 ⇔ 1+ x = 1+ 3 1− x

⇔ 1 + x = 1 + 9(1 − x) + 6 1 − x ⇔ 6 1 − x = 10x − 9 9  10x − 9 ≥ 0 x ≥ ⇔ ⇔ 10 2 36(1 − x) = (10x − 9) 100x 2 − 144x + 45 = 0 

IỄ N

ÀN

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

(

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

t2 =

H Ư

)

1 + x − 3 1 − x = 5 − 4x − 3 1 − x 2 .

§Æt t = 1 + x − 3 1 − x suy ra:

0 = 0, lu«n ®óng.

TR ẦN

(

H N

1 VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x ≥ − . 2 HOẠT ĐỘNG 16: §iÒu kiÖn: 1 + x ≥ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1.  1 − x ≥ 0 BiÕn ®æi ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

)

U Y

(

⇔ 2x + 2 + 2 2x + 1 = 1 + 2x + 1

2x + 2 + 2 2x + 1 = 1 + 2x + 1

⇔

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

9  x ≥ 10 72 + 684 ⇔ . ⇒x= 100 x = 72 ± 684  100

IỄ N

ÀN

ÁN

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

(1)

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

1+ x 1− x −1 − n = 0. 1− x 1+ x NhËn xÐt r»ng: 1+ x n 1− x n . =1 1− x 1+ x 1+ x 1− x 1 = . nªn nÕu ®Æt t = n th× n 1− x 1+ x t Khi ®ã: t = 1 1 . (1) ⇔ 2t − 1 − = 0 ⇔ 2t2 − t − 1 = 0 ⇔  t  t = −1/ 2 B©y giê ta xÐt hai tr−êng hîp: Tr−êng hîp 1. NÕu n ch½n Khi ®ã, ®iÒu kiÖn cña t ph¶i kh«ng ©m, do ®ã nghiÖm t = 1 1+ x 1+ x n =1 ⇔ = 1 ⇔ 1 + x = 1 − x ⇔ x = 0. 1− x 1− x Tr−êng hîp 2. NÕu n lÎ Víi t = 1, ta ®−îc: 1+ x 1+ x n =1 ⇔ = 1 ⇔ 1 + x = 1 − x ⇔ x = 0. 1− x 1− x 1 Víi t = − , ta ®−îc: 2 1+ x 1 1+ x 1 1 + 2n n =− ⇔ =− n ⇔ x= . 1− x 2 1− x 2 1 − 2n VËy, ta thÊy: Víi n ch½n ph−¬ng tr×nh nghiÖm x = 0. 1 + 2n Víi n lÎ ph−¬ng tr×nh nghiÖm x = 0, x = . 1 − 2n

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1 − x 2 , ta ®−îc:

U Y

HOẠT ĐỘNG 17: V× x = ±1 kh«ng lµ nghiÖm, chia 2 vÕ cña ph−¬ng tr×nh cho

6 72 + 684 VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = , x = . 5 100

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

HOẠT ĐỘNG 18: §iÒu kiÖn x ≥ 1. V× x = 1 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh, chia hai vÕ cña ph−¬ng tr×nh cho x − 1 > 0 , ta ®−îc:

N Ơ

x +1 , ta cã biÕn ®æi: x −1

H U Y .Q TP ẠO

H Ư

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

10 00

TR ẦN

§Ó ph−¬ng tr×nh ban ®Çu cã nghiÖm thùc ®iÒu kiÖn lµ ph−¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm t ∈ D, tøc ®−êng th¼ng y = −m c¾t ®å thÞ hµm sè f(t) = 3t2 − 2t trªn tËp D, ta ®−îc: − m > 1 ⇔ m < −1. VËy, víi m < −1 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi.

HOẠT ĐỘNG 19: §iÒu kiÖn:

x ≥ 0  x + 12 ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 4.  5 − x ≥ 0 4 − x ≥ 0

Í-

(1)

(2)

ÁN

-L

ViÕt l¹i ph−¬ng tr×nh d−íi d¹ng: (x x + x + 12 )( 5 − x − 4 − x ) = m. XÐt hµm sè y = f(x) = (x x + x + 12 )( 5 − x − 4 − x ). MiÒn x¸c ®Þnh D = [0; 4]. NhËn xÐt r»ng:

Hµm sè y = h(x) = x x + x + 12 ®ång biÕn vµ d−¬ng trªn D.

IỄ N

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

(*)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2 ⇒ t > 1. x −1 Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: 3t2 − 2t = −m. XÐt hµm sè f(t) = 3t2 − 2t tªn tËp D = (1 ; +∞), ta cã: f’(t) = 6t − 2 > 0, ∀t ∈ D ⇒ Hµm sè ®ång biÕn trªn D. Ta cã b¶ng biÕn thiªn: x 1 +∞ y' + +∞ y 1 t = 4 1+

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

§Æt t =

x +1 x +1 x +1 x2 −1 . = 24 ⇔ m+3 = 24 2 x −1 (x − 1) x −1 x −1

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

m+3

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Hµm sè y = g(x) = 5 − x − 4 − x cã: 5 − x. 4 − x

> 0, ∀x ∈ D ⇒ lµ hµm ®ång biÕn trªn D.

⇒ Hµm sè y = f(x) = h(x)g(x) lµ hµm ®ång biÕn trªn D. VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm khi vµ chØ khi f(0) ≤ m ≤ f(4) ⇔ 12 ( 5 − 4 ) ≤ m ≤ 12.

Í-

b. XÐt hµm sè y = f(x) = x 2 + x + 1 − x 2 − x + 1 . MiÒn x¸c ®Þnh Df = R. §¹o hµm:

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

y' =

2x + 1 2

−

2x − 1

2 x + x +1 2 x2 − x +1 2x + 1 2x − 1

y' = 0 ⇔

2 x2 + x +1

−

2 x2 − x +1

⇔ (2x − 1) x 2 + x + 1 = (2x + 1) x 2 − x + 1 (2x − 1)(2x + 1) > 0 ⇔  2 2

(2x − 1) (x + x + 1) = (2x + 1)2 (x 2 − x + 1)

(vn).

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

H Ư

TR ẦN

10 00

HOẠT ĐỘNG 21:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

x = 1 ⇔ (x − 1)[(x − 1)(x + 3)2 − m] = 0 ⇔  3 2 (*)  x + 5x + 3x − 9 = m Ta chØ cÇn ®i chøng minh ph−¬ng tr×nh (*) lu«n cã ®óng mét nghiÖm thuéc kho¶ng (1; +∞). ThËt vËy, xÐt hµm sè y = x3 + 5x2 + 3x − 9 trªn tËp D = (1; +∞), ta cã: y’ = 3x2 + 10x + 3 > 0, ∀x∈D ⇒ Hµm sè ®ång biÕn trªn D. Ta cã b¶ng biÕn thiªn: x 1 +∞ y' + +∞ y 0 Tõ b¶ng biÕn thiªn ta thÊy víi mäi m > 0 ph−¬ng tr×nh (*) lu«n cã ®óng mét nghiÖm thuéc kho¶ng (1; +∞). VËy, víi mäi m > 0 ph−¬ng tr×nh ban ®Çu lu«n cã hai nghiÖm thùc ph©n biÖt.

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

N U Y

(x − 1)(x + 3) = m(x − 1) ⇔ (x − 1)2(x + 3)2 = m(x − 1)

http://daykemquynhon.ucoz.com

HOẠT ĐỘNG 20: Víi m > 0 th× ®iÒu kiÖn cña ph−¬ng tr×nh lµ x ≥ 1. Ph−¬ng tr×nh ®−îc biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng vÒ d¹ng:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

5−x − 4−x

y' =

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

MÆt kh¸c y'(0) = 1 > 0 ⇒ y' > 0 ∀x nªn hµm sè ®ång biÕn. Giíi h¹n: x → −∞

lim y = lim

2x 2

x − x +1 + x2 + x +1

= 1.

H Ư

hµm sè lµ R vµ dÉn tíi kÕt luËn sai lÇm r»ng ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi m. §iÒu nµy kh¼ng ®Þnh thªm r»ng b−íc t×m c¸c giíi h¹n trong bµi to¸n kh¶o s¸t hµm sè lµ cÇn thiÕt.

+ 4 2−x + x + 2−x = 4

(2)

10 00

TR ẦN

HOẠT ĐỘNG 22: Kí hiệu phương trình ban đầu là (1). §iÒu kiÖn cÇn: Gi¶ sö (1) cã nghiÖm lµ x = x0 suy ra 2 − x0 còng lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1). VËy (1) cã nghiÖm duy nhÊt khi: x0 = 2 − x0 ⇔ x0 = 1. Thay x0 = 1 vµo (1), ta ®−îc m = 4. §ã chÝnh lµ ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt. §iÒu kiÖn ®ñ: Víi m = 4, khi ®ã (1) cã d¹ng:

¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiacèpxki, ta ®−îc:

Í-

+ 2 − x ≤ 2 vµ 4 x + 4 2 − x ≤ 2

-L

Do ®ã:

4 x + 4 2 − x = 2

⇔ x = 1 lµ nghiÖm duy nhÊt cña ph−¬ng tr×nh. VËy, víi m = 4 ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt.

IỄ N

ÀN

ÁN

 x + 2−x = 2 (2) ⇔ 

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

lim y rÊt cã thÓ c¸c em häc sinh ngé nhËn r»ng tËp gi¸ trÞ I cña

x → +∞

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q TP

lim y vµ

x → −∞

ẠO

Chó ý: Trong bµi to¸n trªn nÕu kh«ng thùc hiÖn viÖc x¸c ®Þnh

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

+∞

VËy, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm khi vµ chØ khi − 1 < m < 1.

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

B¶ng biÕn thiªn x −∞ y' + y −1

x − x +1 + x + x +1

= −1,

x → +∞

U Y

x → +∞

2x 2

lim y = lim

x → −∞

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

BÀI TẬP NÂNG CAO Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh: a. x − 1 = 3 + x − x2. 3 − x + x2 −

x − x2 =

+ 1− x .

U Y

Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh: a.

x 2 − 2x + 5 +

x −1

x − x2 −1 +

x + x 2 − 1 = 2.

x − 2 x −1 +

x + 3 − 4 x − 1 = 1.

= 2.

Bµi tËp 5.

BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh:

H Ư

TR ẦN

12 − 3x2 = x − m.

10 00

1 − x 2 = x − m.

T×m a, b ®Ó ph−¬ng tr×nh sau nghiÖm ®óng ∀x:

Bµi tËp 6.

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

a x 2 + 1 − x 2 + bx + 1 = 0.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Chøng tá r»ng víi a + b − c = 0 ph−¬ng tr×nh: a 3x + 1 + 3b x = 4cx x(3x + 1) lu«n cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc (0; 1).

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Bµi tËp 4.

Chøng tá r»ng víi a + 3b = 27 ph−¬ng tr×nh: 2(6x − b) x + 1 = a lu«n cã Ýt nhÊt mét nghiÖm d−¬ng.

Bµi tËp 3.

ẠO

d. 2 7x 3 − 11x 2 + 25x − 12 = x2 + 6x − 1.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

2 3

2 + x − x 2 = 1.

2x − 1

d. 1 + Bµi tËp 2.

+ x 2 + 3 = 4 − x.

Bµi tËp 1.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

-L

Í-

Từ đó, để cung cấp cho các em học sinh một giáo trình gọn nhẹ với đầy đủ kiến thức, bài giảng này sẽ được chia thành 4 phần (4 dạng bất phương trình). Ví dụ đầu tiên ở mỗi phần rất quan trọng, bởi nó sẽ cung cấp các phương pháp để giải. Hoạt động sau mỗi ví dụ chính là bài tập.

IỄ N

ÀN

ÁN

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

10 00

TR ẦN

§ÞNH H¦íNG Nhận thấy: 1. Bài 1 thuộc Dạng bất phương trình chứa 1 căn bậc hai. 2. Bài 2 thuộc Dạng bất phương trình chứa 2 căn bậc hai. 3. Bài 3 thuộc Dạng bất phương trình chứa 2 căn có bậc khác nhau. 4. Bài 4, bài 5 thuộc Dạng bất phương trình chứa nhiều căn.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y .Q TP

H Ư

ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Bµi 2. (Đề thi đại học − Khối B năm 2012): Giải bất phương trình:

x + 1 + x 2 − 4x + 1 ≥ 3 x , (x ∈ ℝ). Bµi 3. (Đề thi đại học − Khối A năm 2005): Giải bất phương trình: 5x − 1 − x − 1 > 2x − 4, x ∈ ℝ. Bµi 4. (Đề thi đại học − Khối A năm 2010): Giải bất phương trình: x− x ≥ 1, x ∈ ℝ. 1 − 2 ( x 2 − x + 1)

− 3x ) 2x 2 − 3x − 2 ≥ 0, x ∈ ℝ.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

GIíI THIÖU Kể từ năm 2005 đến nay, đề thi đại học môn toán có bài toán về bất phương trình chứa căn: Bµi 1. (Đề thi đại học − Khối D năm 2002): Giải bất phương trình:

§ 3 BÊt p ph−¬ng h−¬ng tr×nh chøa c¨n thøc

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

1. bÊt ph−¬ng tr×nh chøa mét c¨n bËc hai (Đề thi đại học − Khối D năm 2002): Giải bất phương trình:

Ơ https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

H Ư

1  x = 2 ∨ x = − 2   2x 2 − 3x − 2 = 0 x ≥ 3  x > 2  2 . ⇔  x = 2  2x − 3x − 2 > 0 ⇔    x < −1/ 2     x 2 − 3x ≥ 0  x ≤ −1/ 2     x ≥ 3     x ≤ 0

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

BÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi:

ẠO

Gi¶i

10 00

1  VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ  −∞; −  ∪ {2} ∪ [3; + ∞ ) . 2 

HOẠT ĐỘNG 1: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:

a. (x − 1) 2x − 1 ≤ 3(x − 1), x ∈ ℝ.

b. (x 2 + 1) + (x + 1) + 3x x + 1 > 0, x ∈ ℝ.

Í-

DẠNG CƠ BẢN 1

f(x) < g(x) ta có phép biến đổi tương đương:

f(x) ≥ 0  g(x) > 0 f(x) < g 2 (x) 

. (*)

Các em học sinh cần biết đánh giá tính giải được của bất phương trình (*).

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Với bất phương trình

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: §©y lµ mét d¹ng bÊt ph−¬ng tr×nh ®¬n gi¶n d¹ng AB ≥ 0 nh−ng rÊt nhiÒu häc sinh kh«ng t×m ra ®−îc ®Çy ®ñ c¸c nghiÖm cña nã. Chóng ta cÇn sö dông phÐp biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng sau: g(x) = 0  f (x). g(x) ≥ 0 , víi f(x) vµ g(x) cã nghÜa ⇔  g(x) > 0 . .  f (x) ≥ 0

− 3x ) 2x 2 − 3x − 2 ≥ 0, x ∈ ℝ.

VÝ dô 1:

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn VÝ dô 2:

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:

x + 1 ≥ 2(x 2 − 1), x ∈ ℝ. §¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Sử dụng lược đồ trong “DẠNG CƠ BẢN 1” bới

trong trường hợp này (*) là một bất phương trình bậc hai − Giải được.

N Ơ H N U Y

10 00

TR ẦN

H Ư

x 2 + 3 ≤ 3x 2 − 1, x ∈ ℝ. §¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Sử dụng lược đồ trong “DẠNG CƠ BẢN 1” bới trong trường hợp này (*) là một bất phương trình trùng phương − Giải được. Ngoài ra, bất phương trình còn được giải theo các cách khác: Nhẩm nghiệm x0 rồi chuyển bất phương trình về dạng tích (x − x0)h(x) bằng phép nhân liên hợp. Cụ thể: − Nhận xét rằng x0 = 1 là nghiệm của bất phương trình. − Biến đổi bất phương trình về dạng: x 2 + 3 − 2 ≤ 3x 2 − 3 ⇔

x2 + 3 − 4

x +3 +2   1 ⇔ (x 2 − 1)  − 3  ≤ 0. 2  x +3 +2 

(

≤ 3 x2 − 1

)

Í-

ÁN

Gi¶i

-L

Sử dụng phương pháp đạt ẩn phụ, với t = x 2 + 3, t ≥ 3.

Ta có thể trình bày theo các cách sau:

(

x 2 + 3 ≤ 3x 2 − 1

)

1 , ta biến đổi phương trình về dạng: 3

(

)(

)

⇔ 9x 4 − 7x 2 − 2 ≥ 0 ⇔ x 2 − 1 9x 2 + 2 ≥ 0

IỄ N

ÀN

Cách 1: Với điều kiện 3x2 − 1 ≥ 0 tức x ≥

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

x 2 − 2x − 15 ≤ x − 3, x ∈ ℝ.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

x 2 − 3x − 10 < x − 2, x ∈ ℝ.

ẠO

HOẠT ĐỘNG 2: Giải các bất phương trình:

VÝ dô 3:

 x = −1 1 ≤ x ≤ 3 . 

BÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi:  x ≥1  x ≥1 2(x 2 − 1) ≥ 0    ⇔ ⇔  x ≥ −1 ⇔  x ≥ −1 x + 1 ≥ 0  2   2 2 2(x − 1) ≤ (x + 1)  x − 2x − 3 ≤ 0  −1 ≤ x ≤ 3 VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ [1; 3] ∪ {−1}.

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Gi¶i

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

⇔ x 2 − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1.

VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ (−∞; −1] ∪ [1; +∞).

Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng:

(

≤ 3 x2 − 1

)

x +3 +2   1 ⇔ (x 2 − 1)  − 3  ≤ 0. 2  x +3 +2  2

(*)

x2 + 3 − 4

x 2 + 3 − 2 ≤ 3x 2 − 3 ⇔

−3< 0

t≥ 3

⇒ t −2 ≥ 0 ⇒

H Ư

Cách 3: Đặt t = x 2 + 3, t ≥ 3. Suy ra x2 = t2 − 3. Bất phương trình có dạng: t ≤ 3(t2 − 3) − 1 ⇔ 3t2 − t − 10 ≥ 0 ⇔ (3t + 5)(t − 2) ≥ 0

x 2 + 3 ≥ 2 ⇔ x2 + 3 ≥ 4 ⇔ x2 ≥ 1 ⇔ x ≥ 1.

TR ẦN

VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ (−∞; −1] ∪ [1; +∞).

HOẠT ĐỘNG 3: Giải bất phương trình: b.

x + 1 < 5 − x, x ∈ ℝ.

x 2 + 8 ≤ 4x 2 − 1, x ∈ R.

10 00

VÝ dô 4:

Giải bất phương trình:

1 − x3 − 3 ≤ x + 2 ⇔

1 − x3 − 9 1 − x3 + 3

≤x+2

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

1 − x3 ≤ x + 5, x ∈ ℝ. §¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Sử dụng lược đồ trong “DẠNG CƠ BẢN 1” bới trong trường hợp này (*) là một bất phương trình bậc ba − Giải được. Ngoài ra, bất phương trình còn được giải theo cách: Nhẩm nghiệm x0 rồi chuyển bất phương trình về dạng tích (x − x0)h(x) bằng phép nhân liên hợp. Cụ thể: − Nhận xét rằng x0 = −2 thoả mãn VT = VP. − Biến đổi bất phương trình về dạng:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ (−∞; −1] ∪ [1; +∞).

x 2 − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

x +3+2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

1 2

nên (*) được biến đổi về dạng:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

1 ⇒ 2

U Y

x +3 +2

1 2

Nhận xét rằng:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com  x2 − x + 1  ≥ 0 ⇔ (x + 2)  1 + ≥0 1 − x3 + 3 1 − x3 + 3   x3 + 8

⇔ x+2+

1 − x3 + 3

≤x+2 ⇔ x+2+

x3 + 8 1 − x3 + 3

≥0

10 00

 x2 − x + 1  ⇔ (x + 2)  1 +  ≥ 0 ⇒ x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ −2. 1 − x3 + 3  

VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ [−2; 1].

ÁN

-L

Í-

Cách 3: Với điều kiện x ≤ 1 nhận xét: VP là hàm đồng biến. VT là hàm nghịch biến. Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x = −2. VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ [−2; 1].

ÀN

NhËn xÐt: Nh− vËy, ®Ó gi¶i mét bÊt phương tr×nh chøa c¨n ta cã thÓ lùa chän mét trong çc çch: Çch 1: BiÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng. L−u ý çch nhẩm nghiệm x0 rồi chuyển bất phương trình về dạng tích (x − x0)h(x) bằng

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

1 − x3 − 9

1 − x3 − 3 ≤ x + 2 ⇔

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

G N

Cách 2: Với điều kiện 1 − x3 ≥ 0 tức x ≤ 1, ta biến đổi bất phương trình về dạng:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TR ẦN

H Ư

x ≤ 1 x ≤ 1   ⇔ x ≥ −5 ⇔ x ≥ −5 ⇔ −2 ≤ x ≤ 1. x ≥ −2 x + 2 ≥ 0   VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ [−2; 1].

ẠO

1 − x 3 ≥ 0 x 3 ≤ 1 x ≤ 1    ⇔  x ≥ −5 ⇔ x + 5 ≥ 0 x + 5 ≥ 0 1 − x 3 ≤ (x + 5)2 (x + 2)(x 2 − x + 12) ≥ 0 x 3 + x 2 + 10x + 24 ≥ 0   

IỄ N D

Ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1: BÊt bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

H N U Y

Gi¶i

http://daykemquynhon.ucoz.com

Sử dụng phương pháp hàm số, với điều kiện x ≤ 1 nhận xét: − VP là hàm đồng biến. − VT là hàm nghịch biến. Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x = −2. VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ [−2; 1].

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

phép nhân liên hợp, bëi trong nhiÒu tr−êng hîp sÏ nhËn ®−îc çch gi¶i hay. Çch 2: §Æt Èn phô. Mét hoÆc nhiÒu Èn phô. Çch 3: Sö dông ph−¬ng ph¸p hµm sè. Sö dông ®¹o hµm. Çch 4: §¸nhgi¸.

Víi a > 0, gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Sử dụng lược đồ trong “DẠNG CƠ BẢN 1” bới

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

trong trường hợp này (*) là một bất phương trình bậc hai − Giải được. Ngoài ra, bất phương trình còn được giải theo cách lượng giác hoá với: x = a.cost, t ∈ [0; π].

a − x ≥ 0 − a ≤ x ≤ a x = a  2 2 ≤ a − x ⇔ a − x ≥ 0 ⇔ x ≥ a ⇔  − a ≤ x ≤ 0  2 x ≤ 0 a − x 2 ≤ (a − x)2 

TR ẦN

a 2 − x2

H Ư

Ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1: BiÕn ®æi bÊt ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng:

Gi¶i

10 00

VËy, nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ − a ≤ x ≤ 0 hoÆc x = a Cách 2: §iÒu kiÖn − a ≤ x ≤ a.

§Æt x = a.cost, víi t ∈ [0, π] ⇒ a 2 − x 2 = a.sint. Khi ®ã, bÊt ph−¬ng tr×nh cã d¹ng:

a.cost + a.sint ≤ a ⇔ cost + sint ≤ 1 ⇔ cos(t −

π 1 )≤ 4 2

-L

Í-

π ≤t≤π − 1 ≤ cos t ≤ 0 − a ≤ a. cos t ≤ 0 − a ≤ x ≤ 0 ⇔ 2 ⇔  ⇔  ⇔  .  cos t = 1 a. cos t = a x = a t = 0

ÁN

VËy, nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ −a ≤ x ≤ 0 hoÆc x = a.

HOẠT ĐỘNG 5: Giải bất phương trình: x2 + a2 ≤ x +

IỄ N

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

x + a 2 − x 2 ≤ a, x ∈ ℝ.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

2a 2 x2 + a2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

x + 2 < 3x − 4, x ∈ ℝ.

x3 + 3 ≤ 3x − 1, x ∈ ℝ.

U Y

VÝ dô 5:

HOẠT ĐỘNG 4: Giải các bất phương trình:

, x ∈ ℝ.

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

DẠNG CƠ BẢN 2 Với bất phương trình

Ơ H

(1)

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

Ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1: Bất phương trình tương đương với: 1 − x ≥ 0 2x + 1 ≥ 0 (I) :  hoÆc (II) :  2. 1 − x < 0  2x + 1 > (1 − x ) Ta lÇn l−ît: Giải (I) ta được: 1  x ≥ − 2 ⇔ x > 1.   x > 1 Giải (II) ta được: x ≤ 1 x ≤ 1 ⇔ 0 < x ≤ 1. ⇔  2 0 < x < 4 x − 4x < 0

(2)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H Ư

TR ẦN

Gi¶i

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2   + x > 0 ⇔ x + 1 > 0 2x + 1 + 1  2x + 1 + 1 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

2x + 1 − 1

Sử dụng phương pháp hàm số, với nhận xét: − VT là hàm đồng biến. − VP là hàm nghịch biến. Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 0. Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (0; +∞).

IỄ N D

)

2x + 1 − 1 + x > 0 ⇔

(

ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: 2x + 1 > 1 − x, x ∈ ℝ. §¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Sử dụng lược đồ trong “DẠNG CƠ BẢN 2” bới trong trường hợp này (*) là một bất phương trình bậc hai − Giải được. Ngoài ra, phương trình còn được giải theo các cách khác: Nhẩm nghiệm x0 rồi chuyển bất phương trình về dạng tích (x − x0)h(x) bằng phép nhân liên hợp. Cụ thể: − Nhận xét rằng x0 = 0 thoả mãn VT = VP. − Biến đổi bất phương trình về dạng: VÝ dô 6:

f(x) > g(x) ta có phép biến đổi tương đương: g(x) ≥ 0  f(x) ≥ 0 (I) :  hoặc (II) :  2 g(x) < 0 f(x) > g (x). (*) Các em học sinh cần biết đánh giá tính giải được của bất phương trình (*).

Từ (1) và (2) suy ra tập nghiệm của bất phương trình là (0; +∞).

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

1 Cách 2: Với điều kiện 2x + 1 ≥ 0 tức x ≥ − , ta biến đổi bất phương trình về dạng: 2

(

)

2x + 1 − 1 + x > 0 ⇔

2x + 1 − 1

2   + x > 0 ⇔ x + 1 > 0 2x + 1 + 1  2x + 1 + 1 

Ơ H

1 1 − x ≥ x + , x ∈ ℝ. 4 2

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Sử dụng lược đồ trong “DẠNG CƠ BẢN 2” bới

-L

Gi¶i

Í-

trong trường hợp này (*) là một bất phương trình bậc hai có chứa dấu giá trị tuyệt đối − Giải được bằng phương pháp chia khoảng.

1  x+ >0  2 1  (I) : x + ≤ 0 hoÆc (II) :  . 2 2  1 − x ≥  x + 1  (*)    4 2 

IỄ N

ÀN

ÁN

Bất phương trình tương đương với:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:

10 00

VÝ dô 7:

x + 2 > 4 − x, x ∈ ℝ.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

HOẠT ĐỘNG 6: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q TP ẠO Đ G

TR ẦN

H Ư

⇒ 2x + 1 > 1 ⇔ 2x + 1 > 1 ⇔ x > 0. Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (0; +∞). Cách 4: Nhận xét rằng: VT là hàm đồng biến. VP là hàm nghịch biến. Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 0. Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (0; +∞).

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (0; +∞). 1 Cách 3: Điều kiện 2x + 1 ≥ 0 tức x ≥ − . 2 t2 −1 . Đặt t = 2x + 1, (t ≥ 0) . Suy ra x = 2 Bất phương trình có dạng: t2 −1 t > 1 t > 1− ⇔ t2 + 2t − 3 > 0 ⇔  2  t < −3 (loai)

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇔ x > 0.

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

1 Giải (I) ta được x ≤ − . 2 Giải (II): Ta có biến đổi cho (*): 1 1 Với − x ≥ 0 tức x ≤ thì: 4 4

(1)

Ơ H

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Nếu sử dụng lược đồ trong “DẠNG CƠ BẢN 2” thì (*) là một bất phương trình bậc bốn − Để giải được bất phương trình này cần có kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử. Ngoài ra, phương trình còn được giải theo các cách khác:

ÀN

ÁN

-L

Í-

Sử dụng phương pháp đạt ẩn phụ, với t = x 2 − 3x + 6, t ≥ 0. Nhẩm nghiệm x0 rồi chuyển phương trình về dạng tích (x − x0)h(x) bằng phép nhân liên hợp. Cụ thể: − Nhận xét rằng x0 = 1 là nghiệm của phương trình. − Biến đổi phương trình về dạng: x 2 − 3x + 6 − 2 = 3x 2 − 9x + 6 ⇔

x 2 − 3x + 6 − 4

x − 3x + 6 + 2   1 ⇔ (x 2 − 3x + 2)  − 3 = 0 2  x − 3x + 6 + 2  2

= 3(x 2 − 3x + 2)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

10 00

x 2 − 3x + 6 ≥ 3x 2 − 9x + 8, x ∈ ℝ.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N .Q

TP ẠO Đ

VÝ dô 8:

TR ẦN

HOẠT ĐỘNG 7: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: 1 x − 1 ≥ x − , x ∈ ℝ. 4

H Ư

Từ (1) và (2) suy ra tập nghiệm của bất phương trình là (−∞; 0].

IỄ N D

(2)

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

1 1  1 ≥  x +  ⇔ x 2 + ≤ 0 , vô nghiệm 2 4  2 Suy ra, nghiệm của (*) là −2 ≤ x ≤ 0. Và hệ (II) có dạng: 1  1 x > − ⇔ − < x ≤ 0. 2  2 −2 ≤ x ≤ 0 x−

1 1  − x ≥  x +  ⇔ x2 + 2x ≤ 0 ⇔ −2 ≤ x ≤ 0, thoả mãn. 4 2  1 1 Với − x < 0 tức x > thì: 4 4

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Gi¶i

Ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng:

(

)

x 2 − 3x + 6 = 3 x 2 − 3x + 6 − 10.

5 ≤t≤2 ⇒ t≤2 3

U Y

⇒ x 2 − 3x + 6 ≤ 2 ⇔ x 2 − 3x + 2 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 2.

1 x − 3x + 6 + 2 2

−3< 0

TR ẦN

1 ⇒ 2

nên (*) được biến đổi về dạng: ⇔ x 2 − 3x + 2 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 2.

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [1; 2].

10 00

HOẠT ĐỘNG 8: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:

x 2 + 3x + 5 > 2x 2 + 6x − 5, x ∈ ℝ.

Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: 2x > 2x + 2, x ∈ ℝ. 2x + 1 − 1

Í-

VÝ dô 9:

ÁN

-L

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: ThiÕt lËp ®iÒu kiÖn cã nghÜa cho bÊt ph−¬ng tr×nh, råi sö dông phÐp nhËn liªn hîp ®Ó biÕn ®æi bÊt ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng c¬ b¶n.

Gi¶i

(*)

IỄ N

ÀN

§iÒu kiÖn: 2 x + 1 ≥ 0 1 ⇔ 0 ≤ 2x + 1 ≠ 1 ⇔ − ≤ x ≠ 0.  2  2x + 1 − 1 ≠ 0

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

x − 3x + 6 + 2

H Ư

Nhận xét rằng: 2

(*)

  1 ⇔ (x 2 − 3x + 2)  − 3  ≥ 0. 2  x − 3x + 6 + 2 

≥ 3(x 2 − 3x + 2)

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q x − 3x + 6 + 2 2

ẠO

x 2 − 3x + 6 − 4

x 2 − 3x + 6 − 2 ≥ 3x 2 − 9x + 6 ⇔

Cách 2: Ta có biến đổi:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [1; 2].

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

t ≥ 3t 2 − 10 ⇔ 3t 2 − t − 10 ≤ 0 ⇔ −

Đặt t = x 2 − 3x + 6, (t ≥ 0) ta được:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Trôc c¨n thøc, ta biÕn ®æi bÊt ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng:

)

2x + 1 + 1

)(

2x + 1 − 1

)

2x + 1 + 1

> 2x + 2 ⇔

2x + 1 + 1 > 2x + 2

(*)

2x + 1 > 2x + 1 ⇔ 2x + 1 > (2x + 1) 2 1 ⇔ 4x2 + 2x < 0 ⇔ − < x < 0. 2  

U Y

VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ T =  − ; 0  . 2

.Q ẠO Đ G

Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: 4x 2 < 2x + 2, x ∈ ℝ. (1 − 1 + 2x )2

VÝ dô 10:

1 − 1 − 4x 2 < 3, x ∈ ℝ. x

H Ư

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: ThiÕt lËp ®iÒu kiÖn cã nghÜa cho bÊt ph−¬ng tr×nh,

råi sö dông phÐp nhËn liªn hîp ®Ó biÕn ®æi bÊt ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng c¬ b¶n.

TR ẦN

Gi¶i

§iÒu kiÖn: 2x + 1 ≥ 0 1 ⇔ 0 ≤ 2x + 1 ≠ 1 ⇔ − ≤ x ≠ 0.  2 1 − 2x + 1 ≠ 0 Trôc c¨n thøc, ta biÕn ®æi bÊt ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng:

(

10 00

(*)

)

)(

)

(

-L

Í-

(

  2x 2x + 1 + 1   < 2x + 9 ⇔  2x + 1 − 1 2x + 1 + 1    ⇔ 2x + 1 + 1 + 2 2x + 1 < 2x + 9

IỄ N

ÀN

(*)

2x + 1 < 2x + 1 ⇔ 2x + 1 < (2x + 1) 2 x > 0 2 . ⇔ 4x + 2x > 0 ⇔  x < − 1 2  VËy, bÊt ph−¬ng tr×nh cã tËp nghiÖm lµ (0; +∞).

ÁN

⇔

)

2x + 1 + 1 < 2x + 9

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

HOẠT ĐỘNG 9: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

 1 

⇔

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

(

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

HOẠT ĐỘNG 10: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: 2x 2 < x + 21, x ∈ ℝ. (3 − 9 + 2x ) 2 Giải bất phương trình: >3 5.

(1)

U Y

Dùa vµo tËp x¸c ®Þnh ®Ó thùc hiÖn ph−¬ng ph¸p chia kho¶ng. Èn phô xuÊt hiÖn khi b×nh ph−¬ng hai vÕ cña bÊt ph−¬ng tr×nh.

, t > 0. t > 5

TR ẦN

Khi ®ã, bÊt ph−¬ng tr×nh (2) cã d¹ng:

 x > 20

⇔ 

(2)

| x |> 20

⇔ 

x −4 2

> 5 ⇔ x4 − 25x2 + 100 > 0

t2 + 4t − 45 > 0 ⇔  ⇒t>5⇔  t < −9 2

x4 x2 + 4. > 45 . x −4 x2 − 4 2

10 00

2  x < 5 | x |< 5 KÕt hîp víi tr−êng hîp ®ang xÐt, ta ®−îc tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ: (−∞; − 20 ) ∪ (− 5 ; 5 ) ∪ ( 20 ; +∞).

-L

Í-

HOẠT ĐỘNG 11: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: x 35 x+ > , x ∈ ℝ. x 2 − 1 12 Giải bất phương trình:

ÁN

VÝ dô 12:

IỄ N

ÀN

x2 − 1 ≤ 2x x 2 + 2x . ®Þnh Þnh h−íng thùc hiÖn: Bất phương trình được mở rộng từ dạng cơ bản §¸nh gi¸ vµ ® f(x) ≤ g(x) thành h(x) f(x) ≤ g(x) nên chưa thể sử dụng phép khai phương. Trước tiên, hãy đi đặt điều kiện có nghĩa cho bất phương trình.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

x2 − 4

> 45 ⇔

§Æt t =

4x 2

4x 2 + x2 − 4

H Ư

x2 +

ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

§iÒu kiÖn: x2 − 4 > 0 ⇔ |x| > 2. (*) Tr−êng hîp 1: Víi x < −2 th× bÊt ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm (do vÕ tr¸i ©m). Tr−êng hîp 2: Víi x > 2 th× b×nh ph−¬ng 2 vÕ ph−¬ng tr×nh (1) ta ®−îc:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Gi¶i

http://daykemquynhon.ucoz.com

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: ThiÕt lËp ®iÒu kiÖn cã nghÜa cho bÊt ph−¬ng tr×nh.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

x2 − 4

VÝ dô 11:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Nhận xét rằng với ẩn phụ t = x 2 − 2x , (t ≥ 0) , ta được: x2 − 2tx − 1 ≤ 0. suy ra, bất phương trình bậc hai ẩn x và tham số t.

Gi¶i

x2 + 4x ≥ (x + 4) x 2 − 2x + 4 .

Í-

2. bÊt ph−¬ng tr×nh chøa hai c¨n bËc hai x + 9 > 5 − 2x + 4, x ∈ ℝ.

ÁN

-L

Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:

ÀN

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: DÔ thÊy ch−a thÓ sö dông ngay phÐp khai ph−¬ng cho bÊt ph−¬ng tr×nh nµy, suy ra cÇn biÕn ®æi:

x + 9 + 2x + 4 > 5. Tíi ®©y, ta sÏ nhËn ®−îc bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng c¬ b¶n. Ngoµi ra, còng cã thÓ sö dông ph−¬ng ph¸p hµm sè.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

10 00

HOẠT ĐỘNG 12: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TR ẦN

VËy, bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x ≥ 0.

VÝ dô 13:

N 1  x ≥ − 2   x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0.    x ≤ −2

H Ư

 2x + 1 ≥ 0  2x + 1 ≥ 0  ⇔  ⇔  x 2 + 2x ≥ 0 ⇔ 2 2 0 ≤ x + 2x ≤ (2x + 1)  2 3x + 2x + 1 ≥ 0

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

x 2 + 2x ≤ 2x + 1

x 2 + 2x − 2x − 1 ≤ 0 ⇔

(x − t − x − 1)(x − t + x + 1) ≤ 0 ⇔ ( x 2 + 2x + 1)( x 2 + 2x − 2x − 1) ≤ 0

⇔

H N

U Y .Q TP ẠO

tøc lµ (1) ®−îc biÕn ®æi vÒ d¹ng:

IỄ N D

(1)

x = t − x − 1 x = t + x + 1 

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

§Æt t = x 2 + 2x , ®iÒu kiÖn t ≥ 0. BÊt ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: f(x) = x2 − 2tx − 1 ≤ 0. Coi vÕ tr¸i lµ mét tam thøc bËc 2 theo x, ta cã: ∆’ = t2 + 1 = x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 khi ®ã f(x) = 0 cã c¸c nghiÖm:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Gi¶i Ta cã thÓ tr×nh bµy theo çc çch sau: Çch 1: §iÒu kiÖn: x + 9 ≥ 0 ⇔ x ≥ −2.  2x + 4 ≥ 0

(*)

BiÕn ®æi bÊt ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng:

H MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

(*)

C¸ch 2: §iÒu kiÖn: x + 9 ≥ 0 ⇔ x ≥ −2.  2x + 4 ≥ 0

ẠO

⇔ x > 0. VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ (0; +∞).

H Ư

BiÕn ®æi bÊt ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng:

10 00

TR ẦN

x + 9 + 2x + 4 > 5. Nhận xét rằng: VT là hàm đồng biến. VP là hàm hằng. Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 0. VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ (0; +∞).

HOẠT ĐỘNG 13: Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh: x + 1 > 5 − 2x + 3, x ∈ ℝ.

Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:

ÁN

-L

VÝ dô 14:

3 − x − x + 2 > 1, x ∈ ℝ.

Í-

x − 2 + x 2 − 5 > 3, x ∈ ℝ.

IỄ N

ÀN

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: BÊt ph−¬ng tr×nh chøa hai c¨n bËc hai víi lâi lµ c¸c hµm sè bËc hai. Nªn kh«ng thÓ sö dông ph−¬ng ph¸p b×nh ph−¬ng. BÊt phương trình được giải theo cách "Nhẩm nghiệm x0" rồi chuyển về dạng tích (x − x0)h(x) bằng phép nhân liên hợp. Cụ thể: − Nhận xét rằng x0 = 3 thoả mãn VT = VP..

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

12 − 3x < 0  ⇔ 2 (x + 9)(2x + 4) > 12 − 3x ⇔  12 − 3x ≥ 0  4(x + 9)(2x + 4) > (12 − 3x) 2 

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

x + 9 + 2x + 4 > 5 ⇔ x + 9 + 2x + 4 + 2 (x + 9)(2x + 4) > 25

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

− Biến đổi bất phương trình về dạng:

) (

(

x − 2 −1 + x −3

x − 2 +1

x2 − 5 − 4

x2 − 5 + 2

x2 − 9

>0 x − 2 +1 x2 − 5 + 2  1 x+3  ⇔ (x − 3)  +  > 0. 2 − + x 2 1 − + x 5 2  

x − 2 −1

U Y

ẠO (*)

)

Xét hàm số f(x) = x − 2 + x 2 − 5 trên D =  5; + ∞ :

Í-

IỄ N

ÀN

ÁN

> 0, ∀x∈D ⇒ Hàm số đồng biến trên D. 2 x−2 x2 − 5 NhËn xÐt r»ng ph−¬ng tr×nh cã: VT lµ hµm ®ång biÕn. VP lµ hµm h»ng. Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 3. VËy, bÊt ph−¬ng tr×nh cã tËp nghiÖm lµ (3; +∞).

-L

f '(x) =

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

10 00

TR ẦN

H Ư

)

) (

(

(*) MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Ta cã thÓ tr×nh bµy theo çc çch sau: Çch 1: §iÒu kiÖn:  x ≥ 2 x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 5. ⇔  2  x ≤ 5 x − 5 ≥ 0 BiÕn ®æi ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng: x − 2 −1 x2 − 5 − 4 2 x − 2 −1 + x − 5 − 2 > 0 ⇔ + >0 x − 2 +1 x2 − 5 + 2 x −3 x2 − 9 ⇔ + >0 x − 2 +1 x2 − 5 + 2  1 x+3  ⇔ (x − 3)  +  > 0. 2 x −5 +2   x − 2 +1 ⇔ x − 3 > 0. ⇔ x > 3. VËy, bÊt ph−¬ng tr×nh cã tËp nghiÖm lµ (3; +∞). Çch 2: §iÒu kiÖn:  x ≥ 2 x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 5. ⇔  2  x ≤ 5 x − 5 ≥ 0

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Gi¶i

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

⇔

)

x2 − 5 − 2 > 0 ⇔

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

HOẠT ĐỘNG 14: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: x 2 − 3x + 3 + x 2 − 3x + 6 < 3, x ∈ ℝ. VÝ dô 15:

(Đề thi đại học − Khối B năm 2012): Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: x + 1 + x 2 − 4x + 1 ≥ 3 x, (x ∈ ℝ).

10 00

Víi bÊt ph−¬ng tr×nh ®· cho, tr−íc tiªn chóng ta cÇn ®Æt ®iÒu kiÖn cã nghÜa. 2. Trong c¶ hai lùa chän chóng ta ®Òu gÆp bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng c¬ b¶n: g ≤ 0  f ≥ g ⇔  g > 0 .  f ≥ g 2 

Í-

Gi¶i

(*)

ÁN

-L

Ta cã thÓ tr×nh bµy theo çc çch sau: Çch 1: §iÒu kiÖn: x ≥ 2 + 3 x 2 − 4x + 1 ≥ 0 . ⇔  0 ≤ x ≤ 2 − 3 x ≥ 0 t 2 + 1 + t 4 − 4t 2 + 1 ≥ 3t ⇔ t 4 − 4t 2 + 1 ≥ −t 2 + 3t − 1.

(1)

IỄ N

ÀN

§Æt t = x (t ≥ 0) bÊt ph−¬ng tr×nh ®−îc chuyÓn vÒ d¹ng:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

NhËn xÐt: 1.

TR ẦN

t 2 − 6 ≥ 3 − t.

H Ư

ẠO

x hoµn toµn ®−îc ®−a vµo c¨n bËc hai nªn nÕu 1 chia c¶ hai vÕ cña ph−¬ng tr×nh cho x > 0 sÏ thÊy xuÊt hiÖn x + vµ x 1 1 (t ≥ 2) . Vµ khi ®ã, ta nhËn x + , tõ ®ã nhËn ®−îc Èn phô t = x + x x ®−îc bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Tõ viÖc ®¸nh gi¸ hÖ sè vµ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

t 4 − 4t 2 + 1 ≥ − t 2 + 3t − 1. Trong tr−êng hîp nµy cÇn ph¶i gi¶i mét bÊt ph−¬ng tr×nh cao h¬n 2.

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Èn phô dÔ nhËn thÊy nhÊt lµ t = x (t ≥ 0) vµ khi ®ã ta nhËn ®−îc bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng:

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: DÔ thÊy kh«ng thÓ sö dông ngay phÐp khai

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Ta xÐt hai tr−êng hîp: Tr−êng hîp 1: BÊt ph−¬ng tr×nh (1) ®óng khi: − t 2 + 3t − 1 ≤ 0 ⇔ t 2 − 3t + 1 ≥ 0 ⇔ t ≤

3− 5 3+ 5 hoÆc t ≥ . 2 2

3− 5 3+ 5 . ≤t≤ 2 2 BÊt ph−¬ng tr×nh (1) ®−îc chuyÓn vÒ d¹ng:

−t2 + 3t − 1 ≥ 0 ⇔

ÁN

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

-L

Í-

10 00

NhËn xÐt r»ng x = 0 lµ nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh. Víi x > 0, biÕn ®æi bÊt ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng: 1 1 x+ + x−4+ ≥3 x x 1 1 §Æt t = x + (t ≥ 2) suy ra x + = t 2 − 2 nªn bÊt ph−¬ng tr×nh ®−îc x x chuyÓn vÒ d¹ng: 3 − t ≤ 0  2 2 t + t − 6 ≥ 3 ⇔ t − 6 ≥ 3 − t ⇔  3 − t > 0 2  2  t − 6 ≥ (3 − t) t ≥ 3 5 1 5 u = x >0 1 5  ≥ ⇔ u+ ≥ ⇔  t < 3 ⇔ t ≥ ⇔ x + 2 u 2 x 2  6t ≥ 15

ÀN Đ

(*)

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

ẠO

TR ẦN

H Ư

 1 VËy, bÊt ph−¬ng tr×nh cã tËp nghiÖm lµ 0;  ∪ [ 4; + ∞ ) .  4 C¸ch 2: §iÒu kiÖn: x ≥ 2 + 3 x 2 − 4x + 1 ≥ 0 . ⇔  0 ≤ x ≤ 2 − 3 x ≥ 0

IỄ N D

U Y

 1 (**)  3 − 5 1 t = 0 t≤ ≤t≤ ⇔ 3t(2t − 5t + 2) ≥ 0 ⇔  2 ⇔ 2 ⇔ 2 2.    2t − 5t + 2 ≥ 0  t ≥ 2 t ≥ 2 KÕt hîp hai tr−êng hîp 1 vµ tr−êng hîp 2, ta ®−îc: 1  1 (*)  1  1   t ≤ 2 ⇔  x ≤ 2 ⇔  x ≤ 4 ⇔ 0 < x ≤ 4 .      x ≥ 2 x ≥ 4 t ≥ 2 x ≥ 4 2

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ơ H

t 4 − 4t 2 + 1 ≥ −t 2 + 3t − 1 ⇔ 6t 3 − 15t 2 + 6t ≥ 0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

)

(**)

(

Tr−êng hîp 2: Víi ®iÒu kiÖn:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

 x ≥2 u ≥ 2 x ≥ 4   . ⇔ 2u − 5u + 2 ≥ 0 ⇔  ⇔ ⇔  x≤1 0 < x ≤ 1 u ≤ 1  2 4   2 2

 1 VËy, bÊt ph−¬ng tr×nh cã tËp nghiÖm lµ 0;  ∪ [ 4; + ∞ ) .  4

H MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Sử dụng hai ẩn phụ:

H Ư

u = x ≥ 0 .  v = x − 2

Gi¶i

(*)

2(x − 2)2 + 2x ≤ x − 2 + x .

(2)

TR ẦN

§iÒu kiÖn x ≥ 0. BiÕn ®æi bÊt ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng:

10 00

§Æt: u = x ≥ 0 .  v = x − 2

Khi ®ã, bÊt ph−¬ng tr×nh cã d¹ng:

Í-

u + v ≥ 0 ⇔ 2u 2 + 2 v 2 ≤ u + v ⇔  2 2u + 2 v 2 ≤ (u + v)2

-L

x ≥ 2 x − 2 ≥ 0 ⇔ u = v ≥ 0 ⇔  ⇔  2  x = x − 2

x − 5x + 4 = 0

u + v ≥ 0  (u − v )2 ≤ 0

⇔x=4

ÁN

VËy, nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ x = 4.

2x 2 + 12x + 6 − 2x − 1 > x + 2, x ∈ ℝ.

2x 2 − 10x + 16 − x − 1 ≤ x − 3, x ∈ ℝ.

IỄ N

ÀN

HOẠT ĐỘNG 16: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: a.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y TP

ẠO

2(x − 2)2 + 2x ≤ x − 2 + x .

Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:

2x 2 − 6x + 8 − x ≤ x − 2, x ∈ ℝ. §¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: BiÕn ®æi bÊt ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

VÝ dô 16:

HOẠT ĐỘNG 15: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: 5 1 5 x+ < 2x + , x ∈ ℝ. 2x 2 x

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn VÝ dô 17:

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

(Đề thi đại học − Khối A năm 2010): Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: x− x ≥ 1. 1 − 2 ( x 2 − x + 1)

hoÆc: 2

1 3 3  2 x − x +1 = 2 x −  + > > 1 ⇒ MS < 0 2 2 2 

)

H Ư

(

TR ẦN

Suy ra, bÊt ph−¬ng tr×nh ®−îc biÕn ®æi vÒ d¹ng:

)

(

)

x − x ≤ 1 − 2 x 2 − x + 1 ⇔ 2 x 2 − x + 1 ≤ 1 − x + x.

(1)

ÁN

-L

Í-

10 00

Tíi ®©y, viÖc lùa chän ph−¬ng ph¸p gi¶i cho bÊt ph−¬ng tr×nh (1) sÏ ®−îc dùa theo d¹ng xuÊt ph¸t c¬ b¶n lµ f ≤ g . Tuy nhiªn, nh− ®· tr×nh bµy trong phÇn cÊu tróc ®Ò thi ®¹i häc m«n to¸n th× ®©y lu«n lµ c©u hái khã nªn c¸c em häc sinh cÇn cã kiÕn thøc rÊt tèt míi cã thÓ tiÕp tôc ®−îc. Cô thÓ, chóng ta sÏ lùa chän mét trong c¸c h−íng sau: H−íng 1: Sö dông phÐp biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng: g ≥ 0 f ≤g⇔ . 2 f ≤ g Vµ víi h−íng nµy cÇn cã kinh nghiÖm tèt trong viÖc biÕn ®æi ®¹i sè. H−íng 2: Sö dông Èn phô t = x (t ≥ 0) vµ phÐp biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng gièng nh− h−íng 1 ®Ó nhËn ®−îc mét bÊt ph−¬ng tr×nh bËc 4 theo t. H−íng 3: Sö dông Èn phô t lµ tæ hîp cña x vµ phÐp biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng gièng nh− h−íng 1 ®Ó nhËn ®−îc mét bÊt ph−¬ng tr×nh bËc 2 theo t. 1 Cô thÓ trong bµi to¸n nµy chóng ta sÏ ®Æt t = − x. x

TO ÀN Đ

N Ơ H N

U Y

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

)

2 x 2 − x + 1 = x 2 + ( x − 1) + 1 > 1 ⇒ MS < 0

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

(

ẠO

hoÆc:

IỄ N D

)

(

⇔ 2 x 2 − x + 1 > 1 ⇔ 2x2 − 2x + 1 > 0, lu«n ®óng.

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Q(x) < 0 ⇔ 1 − 2 ( x 2 − x + 1) < 0 ⇔ 2 ( x 2 − x + 1) > 1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

P(x) ≥ k (k lµ h»ng sè) , do vËy ®Ó Q(x) gi¶i nã chóng ta cÇn cã nh÷ng ®¸nh gi¸ dÇn nh− sau: NhËn xÐt vÒ dÊu cña Q(x) ®Ò chuyÓn bÊt ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng: P(x) ≥ k.Q(x) hoÆc P(x) ≤ k.Q(x). Víi bµi to¸n nµy, ta cã:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

H−íng 4: Sö dông ph−¬ng ph¸p ®¸nh gi¸ (nÕu cã thÓ). Cô thÓ trong bµi to¸n nµy chóng ta sö dông bÊt ®¼ng thøc 2(a2 + b2) ≥ (a + b)2 bëi ta cã biÕn ®æi:

(

)

2 x 2 − x + 1 = 2 (1 − x ) +  2

( x )  ≥ (1 − x + x ) 2

≥ 1 − x + x.

Gi¶i

)

(

)

(

)

(

(1)

x − x ≤ 1 − 2 x 2 − x + 1 ⇔ 2 x 2 − x + 1 ≤ 1 − x + x.

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

)

TR ẦN

H Ư

(

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Tíi ®©y, chóng ta cã thÓ tr×nh bµy theo çc çch sau: Çch 1: BiÕn ®æi tiÕp (1) vÒ d¹ng: 1 − x + x ≥ 0  2  2 2 x + ( x − 1) + 1 ≤ 1 − x + x 1 − x + x ≥ 0 1 − x + x ≥ 0 ⇔ ⇔  2 2 2 2 x + 1 ≤ 2(1 − x) x + x x + ( x − 1) + 1 ≤ (1 − x ) + 2(1 − x) x + x 1 − x + x ≥ 0 1 − x + x ≥ 0  ⇔ 2 ⇔ 2 ( x − 2x + 1) − 2(1 − x) x + x ≤ 0  1 − x − x ≤ 0 1 − x + x ≥ 0 2 x ≥ 0 1 − x ≥ 0 x ≤ 1 ⇔ ⇔ ⇔ 2 ⇔  2 x − 3x + 1 = 0 1 − x − x = 0  x = 1 − x x = (1 − x ) 3− 5 . ⇔x= 2 3− 5 VËy, bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = . 2 Çch 2: §Æt t = x (t ≥ 0) , khi ®ã (1) cã d¹ng:

)

-L

Í-

10 00

(

1 − t 2 + t ≥ 0 2 t − t +1 ≤ 1− t + t ⇔  4 2 2 2 t − t + 1 ≤ 1 − t + t 1 − t 2 + t ≥ 0 ⇔ 4 2 4 2 2 3 2 t − t + 1 ≤ 1 + t + t − 2t + 2t − 2t

ÁN

(

)

(

) (

)

IỄ N

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

§iÒu kiÖn x ≥ 0. BÊt ph−¬ng tr×nh ®−îc biÕn ®æi vÒ d¹ng:

U Y

2 x 2 − x + 1 = x 2 + ( x − 1) + 1 > 1 ⇒ MS = 1 − 2 x 2 − x + 1 < 0.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

(

NhËn xÐt r»ng:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

1 − t 2 + t ≥ 0 1 − t 2 + t ≥ 0 1 − t 2 + t ≥ 0 ⇔ ⇔ ⇔4 2  2 2 3 2 t + 2t − t − 2t + 1 ≤ 0 t + t − 1 = 0  t + t − 1 ≤ 0

)

1 − x ≥ 0 − x = 1 ⇔ x = 1− x ⇔  2 x x = (1 − x )

H Ư

⇔t=1 ⇔

t ≥ −1  2 ( t − 1) ≤ 0

TR ẦN

x ≤ 1 3− 5 ⇔ 2 . ⇔x= 2 x − 3x + 1 = 0

3− 5 . 2 C¸ch 4: Sö dông bÊt ®¼ng thøc 2(a2 + b2) ≥ (a + b)2, ta thÊy:

(

)

10 00

VËy, bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x =

2 x 2 − x + 1 = 2 (1 − x ) + 

( x )  ≥ (1 − x + x ) 2

= 1 − x + x ≥ 1 − x + x.

Í-

VËy, bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x =

3− 5 . 2

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Tõ (1) vµ (3) suy ra bÊt ph−¬ng tr×nh ®−îc biÕn ®æi vÒ d¹ng: 1 − x ≥ 0  x ≤ 1 3− 5 2 1 − x = x ⇔ (1 − x ) = x ⇔  2 . ⇔x=  2 x − 3x + 1 = 0 1 − x + x ≥ 0  2 x ≥ 0

(3)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

t + 1 ≥ 0 t ≥ −1 2 t2 + 1 ≤ t + 1 ⇔  2 ⇔2 ⇔ 2 2(t + 1) ≤ (t + 1) t − 2t + 1 ≤ 0

(

U Y

1 2 = t + 2 , khi ®ã (2) cã d¹ng: x

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

− x th× x +

(2)

ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

1 1  2 x −1+  ≤ − x + 1. x x 

§Æt t =

3− 5 . 2 C¸ch 3: NhËn xÐt r»ng x = 0 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña (1) nªn ta cã biÕn ®æi:

VËy, bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x =

2t ≥ 0 5 −1 5 −1 3− 5  . ⇔  −1 ± 5 ⇔ t = ⇔ x= ⇔x= 2 2 2 t =  2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

(

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

HOẠT ĐỘNG 17: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:

(

)

2 x + x2 + a2 ≤

x2 + a2

, x ∈ ℝ. .

Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Ta cã nhËn xÐt:

H Ư

2ax − a 2 + a 2 + 2ax − a 2 2a

Gi¶i

TR ẦN

x + 2ax − a 2 =

2ax − a 2 + 2a 2ax − a 2 + a 2 = = 2a

2ax + a 2 + a 2a

2ax + a 2 − a

x − 2ax − a =

10 00

| 2ax + a 2 − a |

. 2a Khi ®ã, bÊt ph−¬ng tr×nh ®−îc biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng thµnh: | 2ax + a 2 + a |

≤

-L

Í-

⇔ | 2ax − a 2 + a| + | 2ax − a 2 − a| ≤ 2a a> 0

⇔

2ax − a 2 + a + | 2ax − a 2 − a| ≤ 2a

ÁN

⇔ | 2ax − a 2 − a| ≤ a − 2ax − a 2 ⇔ 2ax − a 2 − a ≤ 0 2ax − a 2 ≥ 0 a > 0 a ⇔ 2ax − a 2 ≤ a ⇔  ⇔ ≤ x ≤ a.

2 2ax − a 2 ≤ a 2 a VËy, bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm ≤ x ≤ a. 2

IỄ N

ÀN

2ax + a 2 + a

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

2ax − a 2 + a 2 + 2ax − a 2 2a

x + 2ax − a 2 =

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

tr×nh ®· phøc t¹p. Do ®ã, bµi to¸n cÇn cã c¸ch gi¶i kh¸c b»ng viÖc ®¸nh gi¸ d¹ng ®Æc thï cña c¨n thøc:

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: H¼n b−íc ®Æt ®iÒu kiÖn cã nghÜa cho bÊt ph−¬ng

x + 2ax − a 2 + x − 2ax − a 2 ≤ 2a , a > 0, x ∈ ℝ.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

VÝ dô 18:

5a 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

3 x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 > , x ∈ ℝ. 2

x − x 2 − 1 + x + x 2 − 1 ≤ 2, x ∈ ℝ.

HOẠT ĐỘNG 18: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:

Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:

ẠO

§iÒu kiÖn x ≥ 0. Ta cã: x > 0 →1+ x −1 > 0 → x > (1 + 3 x − 1 )2 (1) ← ⇔ x > 1 + 2 3 x − 1 + ( 3 x − 1 )2 ⇔ x − 1 − ( 3 x − 1 )2 − 2 3 x − 1 > 0.

→ t > −1. §Æt t = x − 1  Khi ®ã, bÊt ph−¬ng tr×nh (2) cã d¹ng: t +1> 0 t3 − t2 − 2t > 0 ⇔ t(t2 − t − 2) > 0 ⇔ t(t + 1)(t − 2) > 0 ← → t(t − 2) > 0 x >0

 3 x −1 > 2

t > 2

TR ẦN

H Ư

x − 1 > 8

x > 9

x >0 ← →  ⇔  ⇔  ⇔  3 t < 0 x − 1 < 0   0 < x < 1  x − 1 < 0

10 00

VËy, bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x > 9 hoÆc 0 < x < 1.

HOẠT ĐỘNG 19: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:

2 3 3x − 2 + 3 6 − 5x − 8 < 0, x ∈ ℝ.

-L

Í-

4. bÊt ph−¬ng tr×nh chøa nhiÒu c¨n bËc hai (Đề thi đại học − Khối A năm 2005): Giải bất phương trình: 5x − 1 − x − 1 > 2x − 4, x ∈ ℝ.

ÁN

VÝ dô 20:

ngay r»ng sau phÐp chuyÓn vÕ ®−îc bÊt ph−¬ng f (x) > g(x) + h(x) , do ®ã c¸c b−íc thùc hiÖn bao gåm: B−íc 1: ThiÕt lËp ®iÒu kiÖn cã nghÜa cho bÊt ph−¬ng tr×nh.

ÀN Đ IỄ N D

(2)

(*)

tr×nh

d¹ng

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Gi¶i

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

§¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: Tr−íc tiªn, ®Æt ®iÒu kiÖn cã nghÜa cho bÊt ph−¬ng tr×nh. Tõ ®©y, b»ng phÐp khai ph−¬ng ta thÊy xuÊt hiÖn Èn phô t = 3 x − 1.

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

(1)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

x > 1 + 3 x − 1, x ∈ ℝ.

VÝ dô 19:

3. bÊt ph−¬ng tr×nh chøa hai c¨n cã bËc kh¸c nhau

(*)

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

B−íc 2: BiÕn ®æi bÊt ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng: f(x) > g(x) + h(x) + 2 g(x).h(x)

p(x) > 0 g(x).h(x) < p(x) ⇔  ⇒ nghiÖm. 2 g(x).h(x) < p (x) B−íc 3: KÕt hîp víi (*), nhËn ®−îc nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh. ⇔

N Ơ

(*)

(2x − 4)(x − 1) < x + 2 ⇔ (2x − 4)(x − 1) < (x + 2)2 ⇔ x2 − 10x < 0 ⇔ 0 < x < 10. KÕt hîp víi (*), ta ®−îc nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ 2 ≤ x < 10. HOẠT ĐỘNG 20: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:

+ 7x − 6 + 2 49x 2 + 7x − 42 < 181 − 14x.

TR ẦN

7x + 7

H Ư

⇔

Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: x 2 − 3x + 2 + x 2 − 4x + 3 ≥ 2 x 2 − 5x + 4, x ∈ ℝ. (1) §¸nh gi¸ vµ ®Þnh h−íng thùc hiÖn: DÓ thÊy kh«ng thÓ sö dông phÐp khai ph−¬ng ®Ó gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh nµy. NhËn thÊy nh©n tö chung x − 1 , nªn ta sÏ thùc hiÖn theo c¸c b−íc: B−íc 1. §Æt ®iÒu kiÖn cã nghÜa cho bÊt ph−¬ng tr×nh. B−íc 2. Sö dông ph−¬ng ph¸p chia kho¶ng.

10 00

VÝ dô 21:

Í-

Gi¶i

ÁN

-L

§iÒu kiÖn:  x 2 − 3x + 2 ≥ 0  2 x ≥ 4 .  x − 4x + 3 ≥ 0 ⇔  x ≤ 1  2  x − 5x + 4 ≥ 0 (1) ⇔ (x − 1)(x − 2) + (x − 1)(x − 3) ≥ 2 (x − 1)(x − 4)

IỄ N

ÀN

Tr−êng hîp 1: Víi x ≥ 4 th×:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

⇔ 5x − 1 > 2x − 4 + x − 1 + 2 (2x − 4)(x − 1)

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

U Y

(*)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

§iÒu kiÖn: 5x − 1 ≥ 0   x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2. 2x − 4 ≥ 0  BiÕn ®æi bÊt ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng: 5x − 1 > 2x − 4 + x − 1

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Gi¶i

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

⇔ x −2 + x −3 ≥ 2 x −4 ⇔ x −2 − x −4 ≥ x −4 − x −3

lu«n ®óng v× víi x ≥ 4 ta ®−îc VT > 0 vµ VP < 0. VËy x ≥ 4 lµ nghiÖm bÊt ph−¬ng tr×nh. Tr−êng hîp 2: Víi x ≤ 1 th×:

(1) ⇔ (1 − x)(2 − x) + (1 − x)(3 − x) ≥ 2 (1 − x)(4 − x)

TR ẦN

H Ư

2 x + 2 + 2 x + 1 − x + 1 < 4, x ∈ ℝ.

®¸p sè − lêi gi¶i c¸c ho¹t ®éng

2x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥

1 . 2

2x − 1 , t ≥ 0 ⇒ x =

§Æt t =

10 00

HOẠT ĐỘNG 1: a. §iÒu kiÖn:

(*)

1 2 (t + 1). 2

1 2

Khi ®ã, bÊt ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: 1 2

-L

Í-

[ (t2 + 1) − 1]t ≤ 3[ (t2 + 1) − 1] ⇔ t3 − 3t2 − t + 3 ≤ 0

ÁN

⇔ (t + 1)(t − 1)(t − 3) ≤ 0 ⇔ 1 ≤ t ≤ 3 ⇔ 1 ≤ VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ [1; 5].

Chó ý: Ta kh«ng thÓ b×nh ph−¬ng hai vÕ cña bÊt ph−¬ng tr×nh ban ®Çu v× ch−a kh¼ng ®Þnh ®−îc dÊu cña hai vÕ. Hoµn toµn cã thÓ sö dông phÐp biÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng ®Ó thùc hiÖn thÝ dô trªn, cô thÓ: (x − 1)( 2x − 1 − 3) ≤ 0

ÀN

2x − 1 ≤ 3 ⇔ 1 ≤ x ≤ 5.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

HOẠT ĐỘNG 21: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

ẠO

NhËn xÐt r»ng víi x < 1 th× VT < 0 vµ VP > 0, ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm. VËy, bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm x = 1 hoÆc x ≥ 4.

IỄ N D

⇔ 2− x − 4− x ≥ 4− x − 3− x

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇔ 2− x + 3− x ≥ 2 4− x

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

Víi x = 1, bÊt ph−¬ng tr×nh nghiÖm ®óng. Víi x < 1, bÊt ph−¬ng tr×nh cã d¹ng:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

  x − 1 ≥ 0   x ≥ 1 x ≥ 1      2x − 1 − 3 ≤ 0   2x − 1 ≤ 3 0 ≤ 2x − 1 ≤ 9 ⇔ ⇔ ⇔  x < 1   x − 1 < 0   x < 1    2x − 1 − 3 ≥ 0   2x − 1 ≥ 3   2x − 1 ≥ 9  

N Ơ H https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H Ư

 x 2 − 3x − 10 ≥ 0 (x − 2)(x + 5) ≥ 0 x ≥ 5    ⇔ x > 2 ⇔ x − 2 > 0 x − 2 > 0  2  x − 14 < 0  x < 14 2    x − 3x − 10 < (x − 2)

TR ẦN

⇔ 5 ≤ x < 14. VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ [5; 14).

b. Bất phương trình tương đương với hệ:

10 00

 x 2 − 2x − 15 ≥ 0  x 2 − 2x − 15 ≥ 0  x ≥ 5 hoac x ≤ −3    ⇔ x ≥ 3 ⇔ x − 3 ≥ 0 x − 3 ≥ 0 4x − 24 ≤ 0 x ≤ 6  2 2   x − 2x − 15 ≤ (x − 3)  ⇔ 5 ≤ x ≤ 6. VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ [5; 6].

-L

Í-

HOẠT ĐỘNG 3: a. Ta có thể trình bày theo các cách sau:

(

x 2 + 8 ≤ 4x 2 − 1

)

1 , ta biến đổi bất phương trình về dạng: 2

(

)(

)

⇔ 16x 4 − 9x 2 − 7 ≥ 0 ⇔ x 2 − 1 16x 2 + 7 ≥ 0

⇔ x 2 − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1.

VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ (−∞; −1] ∪ [1; +∞).

IỄ N

ÀN

ÁN

Cách 1: Với điều kiện 4x2 − 1 ≥ 0 tức x ≥

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

ẠO

HOẠT ĐỘNG 2: a. Bất phương trình tương đương với hệ:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y TP

§Æt t = x x + 1 . Tõ ®ã, ta nhËn ®−îc nghiÖm x ≥ −1.

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇔ 1 ≤ x ≤ 5. VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ [1; 5]. b. H−íng dÉn: §iÒu kiÖn x ≥ −1. BiÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng bÊt ph−¬ng tr×nh: x2(x + 1) + 3x x + 1 + 2 > 0.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Cách 2: Biến đổi bất phương trình về dạng: x2 + 8 − 9

x 2 + 8 − 3 ≤ 4x 2 − 4 ⇔

x +8 +3 2

(

≤ 4 x2 − 1

)

  1 ⇔ (x 2 − 1)  − 4  ≤ 0. 2  x +8 +3 

(*)

x +8+3

−4<0

U Y

nên (*) được biến đổi về dạng:

x 2 + 8 ≥ 3 ⇔ x2 + 8 ≥ 9 ⇔ x2 ≥ 1 ⇔ x ≥ 1.

⇒ t −3 ≥ 0 ⇒

TR ẦN

b. Ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1: Biến đổi bất phương trình về dạng:

H Ư

VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ (−∞; −1] ∪ [1; +∞).

10 00

x + 1 ≥ 0  x ≥ −1  −1 ≤ x < 5    ⇔ x < 5 ⇔ −1 ≤ x < 3. ⇔ x < 3 5 − x > 0   x 2 − 11x + 24 > 0 x > 8 2    x + 1 < ( 5 − x )

VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ [−1; 3).

Í-

Cách 2: Với điều kiện x + 1 ≥ 0 tức x ≥ −1, ta biến đổi bất phương trình về dạng: x +1− 4 x −3 x +1 − 2 < 3 − x ⇔ < 3−x ⇔ + x −3 < 0 x +1 + 2 x +1 + 2

ÁN

-L

1   ⇔ ( x − 3)  + 1  < 0 ⇔ x − 3 < 0 ⇔ x < 3. x + 1 + 2   >1

VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ [−1; 3).

Đặt t = x + 1, (t ≥ 0) . Suy ra x = t2 − 1.

IỄ N

ÀN

Cách 3: Điều kiện x + 1 ≥ 0 tức x ≥ −1.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

t ≥2 2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

ẠO

Cách 3: Đặt t = x 2 + 8, t ≥ 2 2. Suy ra x2 = t2 − 8. Bất phương trình có dạng: t ≤ 4(t2 − 8) − 1 ⇔ 4t2 − t − 33 ≥ 0 ⇔ (4t + 11)(t − 3) ≥ 0

VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ (−∞; −1] ∪ [1; +∞).

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

x 2 − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1 2

1 ⇒ 3

x +8 +3

1 2

Nhận xét rằng:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Bất phương trình có dạng: x +1 < 2

t < 5 − (t2 − 1) ⇔ t2 + t − 6 < 0 ⇔ −3 < t < 2 ⇒ ⇔ x + 1 < 4 ⇔ x < 3. VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ [−1; 3).

N Ơ H

x + 2 − 2 < 3x − 6 ⇔

x+2−4

x+2 +2 1   ⇔ (x − 2)  − 3  < 0.  x+2 +2 

< 3x − 6

(*)

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

4  x>  x + 2 ≥ 0  x ≥ −2 3    ⇔   x > 2 ⇔ x > 2. ⇔ 3x > 4 3x − 4 > 0 x + 2 < (3x − 4)2 9x 2 − 25x + 14 > 0  7   x < 9  VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ (2; +∞). Cách 2: Với điều kiện x + 2 ≥ 0 tức x ≥ −2 , ta biến đổi bất phương trình về dạng:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

10 00

b. Ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1: Biến đổi bất phương trình về dạng:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TR ẦN

H Ư

ẠO

HOẠT ĐỘNG 4: a. BÊt bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi: x 3 + 3 ≥ 0 x 3 + 3 ≥ 0 x 3 + 3 ≥ 0    ⇔ 3x − 1 ≥ 0 ⇔ 3x − 1 ≥ 0 3x − 1 ≥ 0 x 3 + 3 ≤ (3x − 1)2 x 3 − 9x 2 + 6x + 2 ≤ 0 (x − 1)(x 2 − 8x − 2) ≤ 0    x ≥ − 3 3  1  ⇔ 1 ≤ x ≤ 4 + 3 2. ⇔ x ≥ 3  x ≤ 4 − 3 2 hoac 1 ≤ x ≤ 4 + 3 2  VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ 1; 4 + 3 2  .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Cách 4: Điều kiện x + 1 ≥ 0 tức x ≥ −1. Nhận xét rằng: VT là hàm đồng biến. VP là hàm nghịch biến. Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 3. VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ [−1; 3).

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 1 1 ⇒ −3< 0 x+2 +2 x+2 +2 2 nên (*) được biến đổi về dạng: x − 2 > 0 ⇔ x > 2. VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ (2; +∞).

Cách 3: Điều kiện x + 2 ≥ 0 tức x ≥ −2.

|a| cos t

Khi ®ã, bÊt ph−¬ng tr×nh cã d¹ng:

1 2

2a 2 . cos t |a|

⇔ 1 ≤ sint + 2cos2t ⇔ 2sin2t − sint − 1 ≤ 0

⇔ −

≤ |a|tgt +

≤ sint ≤ 1 ⇔ tgt ≥ −

10 00

|a| cos t

⇔x≥−

VËy, nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ x ≥ −

|a| 3

Cách 2: BiÕn ®æi bÊt ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng:

x2 + a2 ≤ x x 2 + a 2 + 2a2 ⇔ x2 − a2 ≤ x x 2 + a 2 . XÐt hai tr−êng hîp: NÕu x ≥ 0, th× (2) ®−îc viÕt l¹i d−íi d¹ng: x2 − a2 ≤ x 2 (x 2 + a 2 ) ⇔ x≥0

⇔

x ≥ 0.

x 2 − a 2 ≤ 0  x 2 − a 2 ≥ 0  (x 2 − a 2 )2 ≤ x 2 (x 2 + a 2 )

⇔

| x |≤| a |  | x |≥| a |  |a| | x |≥ 3 

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

(2)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ra:

H Ư

x2 + a 2

π π , ) suy 2 2

TR ẦN

Cách 1: §Æt x = |a|tgt, víi t ∈ ( −

HOẠT ĐỘNG 5: Ta có thể trình bày theo các cách sau:

VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ (2; +∞).

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q TP

x + 2 > 2 ⇔ x > 2.

ẠO

t > 2 ⇔ ⇒  t < − 5 (loai)  3

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Đặt t = x + 2, (t ≥ 0) . Suy ra x = t2 − 2. Phương trình có dạng: t < 3(t2 − 2) − 4 ⇔ 3t2 − t − 10 > 0

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Nhận xét rằng: 1

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

NÕu x < 0, th× (2) ®−îc viÕt l¹i d−íi d¹ng: − | a |≤ x ≤| a | x< 0  |a| ⇔  |a| − ≤ x ≤  3 3 

≤x<0

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

(1)

x ≤ 4 x ≤ 4 ⇔ 2 < x ≤ 4. ⇔  2 2 < x < 7  x − 9x + 14 < 0

H Ư

(2)

TR ẦN

Từ (1) và (2) suy ra tập nghiệm của bất phương trình là (2; +∞).

Cách 2: Với điều kiện x + 2 ≥ 0 tức x ≥ −2 , ta biến đổi bất phương trình về dạng: x+2−4

x+2 +2

>2−x

x+2 −2 >2−x ⇔

10 00

1   ⇔ (x − 2)  + 1  > 0 ⇔ x − 2 > 0 ⇔ x > 2.  x+2 +2 

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (2; +∞).

Cách 3: Điều kiện x + 2 ≥ 0 tức x ≥ −2.

-L

Í-

Đặt t = x + 2, (t ≥ 0) . Suy ra x = t2 − 2. Bất phương trình có dạng: t > 2

x+2 >2

ÁN

⇒ t > 4 − (t2 − 2) ⇔ t2 + t − 6 > 0 ⇔   t < −3 (loai)

IỄ N

ÀN

⇔ x > 2. Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (2; +∞). Cách 4: Nhận xét rằng: VT là hàm đồng biến.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

|a|

ẠO

|a|

HOẠT ĐỘNG 6: Ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1: Biến đổi bất phương trình về dạng: 4 − x ≥ 0 x + 2 ≥ 0 (I) :  hoÆc (II) :  2. 4 − x < 0  x + 2 > ( 4 − x ) Ta lÇn l−ît: Giải (I) ta được:  x ≥ −2 ⇔ x > 4.  x > 4 Giải (I) ta được:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

VËy, nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ x ≥ −

−

x 2 − a 2 ≤ 0 ⇔  2 (x − a 2 )2 ≥ x 2 (x 2 + a 2 )

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

H Ư

TR ẦN

(

10 00

HOẠT ĐỘNG 8: Ta có thể trình bày theo các cách sau: Cách 1: Biến đổi bất phương trình về dạng:

)

x 2 + 3x + 5 > 2 x 2 + 3x + 5 − 15.

Đặt t = x 2 + 3x + 5, (t ≥ 0) ta được:

-L

Í-

t > 2t 2 − 15 ⇔ 2t 2 − t − 15 < 0 ⇔ −

5 <t<3 2

ÁN

⇒ x 2 + 3x + 5 < 3 ⇔ x 2 + 3x − 4 < 0 ⇔ − 4 < x < 1.

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (−4; 1).

x 2 + 3x + 5 − 3 > 2x 2 + 6x − 8 ⇔

x 2 + 3x + 5 − 9 x + 3x + 5 + 3 2

> 2(x 2 + 3x − 4)

IỄ N

ÀN

Cách 2: Ta có biến đổi:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

3 1 1 15 1  1 − x ≥  x −  ⇔ x 2 + x − ≤ 0 ⇔ − ≤ x ≤ , thoả mãn. 2 16 4 4 4  3 1 Suy ra, nghiệm của (*) là − ≤ x ≤ . Và dễ thấy hệ (II) vô nghiệm. 4 4 1  Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là  −∞;  . 4 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

3 17 1  x − 1 ≥  x −  ⇔ x 2 − x + ≤ 0 , vô nghiệm. 2 16 4  Với x − 1 < 0 tức x < 1 thì:

(1)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

HOẠT ĐỘNG 7: Bất phương trình tương đương với: 1  x− >0  4 1  (I) : x − ≤ 0 hoÆc (II) :  . 2 4 1    x −1 ≥ x −   (*)  4  1 Giải (I) ta được x ≤ . 4 Giải (II): Ta có biến đổi cho (*): Với x − 1 ≥ 0 tức x ≥ 1 thì:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

VP là hàm nghịch biến. Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 2. Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (2; +∞).

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

  1 ⇔ (x 2 + 3x − 4)  − 2  > 0. 2  x + 3x + 5 + 3 

(*)

Nhận xét rằng: x 2 + 3x + 5 + 3

1 ⇒ 3

1 x 2 + 3x + 5 + 3

−2< 0

nên (*) được biến đổi về dạng:

x 2 + 3x − 4 < 0 ⇔ − 4 < x < 1.

U Y

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (−4; 1).

 1

< 3(1 + 1 − 4x2 )

(1 − 1 − 4 x 2 )(1 + 1 − 4 x 2 ) x

H Ư

(1) ⇔

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)



− 2 ≤ x < 0 1 − 4x 2 ≥ 0 . ⇔   1  x ≠ 0  0 < x ≤

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

⇔ 4x < 3 + 3 1 − 4x2 ⇔ 3 1 − 4x2 > 4x − 3

10 00

TR ẦN

 3 x < 4 4x − 3 < 0   1  2  1 − 4x ≥ 0 | x |< 2 x ≠0 ⇔  ←→ ⇔  − ≥ 4 x 3 0   3   2 2 x ≥ 4  − > − ( 4 x 3 ) 9 ( 1 4 x )   9(1 − 4x 2 ) > (4x − 3)2

 1 − 2 ≤ x < 0 .  0 < x ≤ 1  2

1 ≤ x < 0 th×: 2

Víi −

•

C¸ch 2: XÐt hai tr−êng hîp dùa trªn ®iÒu kiÖn.

-L

Í-

1 − 3x > 0 (1) ⇔ 1 − 4x2 < 1 − 3x ⇔  2

1 − 4x < (1 − 3x)2

ÁN

1  x < ⇔  3 ⇔ x < 0. 13x 2 − 6x > 0 

KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn ®ang xÐt ®−îc nghiÖm lµ −

1 ≤ x < 0. 2

IỄ N

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

HOẠT ĐỘNG 9: §iÒu kiÖn:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn •

Víi 0 < x ≤

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

1 th×: 2

< x + 21

⇔ x2 < (9 + x − 3 9 + 2 x )(x + 21) ⇔ (x + 21) 9 + 2 x < 10x + 63 (*)

⇔ (x + 21) (9 + 2x) < (10x + 63) ⇔ 2x − 7x < 0 2

10 00

(*)

⇔ 2x − 7 < 0 ⇔ x <

7 . 2

KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (*), nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ x ∈ [ −

9 7 , ) \ {0} 2 2

C¸ch 2: Trôc c¨n thøc, ta biÕn ®æi bÊt ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng:

-L

Í-

(3 + 9 + 2 x )2 < 2(x + 21) ⇔ 9 + 2 x < 4 ⇔ x <

7 . 2

ÁN

KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (*), nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ x ∈ [ −

C¸ch 3: Sö dông ph−¬ng ph¸p ®Æt Èn phô. 2x = t2 − 9 ⇔ x =

1 2 (t − 9) 2

IỄ N

ÀN

§Æt t = 9 + 2 x , 0 ≤ t ≠ 3 suy ra

9 7 , ) \ {0} 2 2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

9 + x − 3 9 + 2x

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TR ẦN

< x + 21 ⇔

H Ư

C¸ch 1: BiÕn ®æi bÊt ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

(*)

9 + 2x ≥ 0 9 ⇔ 0 ≤ 9 + 2x ≠ 9 ⇔ − ≤ x ≠ 0.  2 3 − 9 + 2x ≠ 0

9 + 9 + 2 x − 6 9 + 2x

ẠO

1 ]. 2

HOẠT ĐỘNG 10: §iÒu kiÖn:

2x2

N .Q

1 2

VËy, bÊt ph−¬ng tr×nh cã tËp nghiÖm lµ [− ; 0) ∪ (0 ;

1 . 2

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn ®ang xÐt ®−îc nghiÖm lµ 0 < x ≤

U Y

 1 x > 3 1 − 3x < 0  1 1  1 1  2 3 < x ≤ 2 1 − 4x ≥ 0 1 − 2 ≤ x ≤ 2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔0<x≤ . 1 2 0 < x ≤ 1 − 3x ≥ 0 1    x ≤  3 2 2   3 1 − 4x > (1 − 3x)  13x 2 − 6x < 0

(1) ⇔ 1 − 4x2 > 1 − 3x

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Khi ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: < 2x + 42 ⇔ (t2 − 9)2 < (3 − t)2(t2 − 9 + 42) 7 2

. ,

7 2

) \ {0}

9 2

(1)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

 x = −4 x = t 

tøc lµ (1) ®−îc biÕn ®æi vÒ d¹ng: (x + 4)(x − t) ≥ 0 ⇔ (x + 4)(x −

10 00

TR ẦN

H Ư

x 2 − 2x + 4 ) ≥ 0   x + 4 ≥ 0   x ≥ −4   2 2  x − x − 2x + 4 ≥ 0  x − 2x + 4 ≤ x ⇔  ⇔   x + 4 ≤ 0  x ≤ −4   2 2   x − x − 2x + 4 ≤ 0   x − x − 2x + 4 ≤ 0   x ≥ −4  x ≥ 2 x ≥ 0 ⇔   . ⇔  2 2 x ≤ −4 0 ≤ x − 2x + 4 ≤ x     x ≤ −4

VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ (−∞; −4] ∪ [2; +∞).

(*)

BiÕn ®æi bÊt ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng: x + 1 + 2x + 3 > 5 ⇔ x + 1 + 2x + 3 + 2 (x + 1)(2x + 3) > 25

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

HOẠT ĐỘNG 13: a. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo çc çch sau: Çch 1: §iÒu kiÖn: x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ −1.  2x + 3 ≥ 0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

HOẠT ĐỘNG 12: §Æt t = x 2 − 2x + 4 , ®iÒu kiÖn t ≥ 0. BÊt ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: f(x) = x2 − (t − 4)x − 4t ≥ 0. Coi vÕ tr¸i lµ mét tam thøc bËc 2 theo x, ta cã: ∆ = (t − 4)2 + 16t = (t + 4)2 khi ®ã f(x) = 0 cã c¸c nghiÖm:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (*), nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ x ∈ [ −

⇔ (t + 3)2 < t2 + 33 ⇔ t < 4 ⇔ 9 + 2 x < 4 ⇔ x <

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

(3 − 9 + 2x )2

4x2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

 21 − 3x < 0  ⇔ 2 (x + 1)(2x + 3) > 21 − 3x ⇔  21 − 3x ≥ 0  4(x + 1)(2x + 3) > (21 − 3x)2 

⇔ x > 3. VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ (3; +∞).

x ≤ 0 − x ≥ 0 x ≤ 0  ⇔ ⇔ 2 ⇔   x < −1 ⇔ x < −1. 2  x + 2 < (− x) x − x − 2 > 0 x > 2 

VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ [−2; −1).

ÁN

-L

Í-

C¸ch 2: §iÒu kiÖn: 3 − x ≥ 0 ⇔ −2 ≤ x ≤ 3.  x + 2 ≥ 0

3 − x > 1 + x + 2. NhËn xÐt r»ng: VT lµ hµm nghÞch biÕn.

IỄ N

ÀN

BiÕn ®æi bÊt ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

x + 2 < −x

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q TP ẠO Đ G N

10 00

3 − x > 1 + x + 2 ⇔ 3 − x > 1 + (x + 2) + 2 x + 2 ⇔

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

BiÕn ®æi bÊt ph−¬ng tr×nh:

TR ẦN

b. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo çc çch sau: Çch 1: §iÒu kiÖn: 3 − x ≥ 0 ⇔ −2 ≤ x ≤ 3.  x + 2 ≥ 0

H Ư

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

BiÕn ®æi bÊt ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng: x + 1 + 2x + 3 > 5 Nhận xét rằng: VT là hàm đồng biến. VP là hàm hằng. Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 3. VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ (3; +∞).

U Y

(*)

C¸ch 2: §iÒu kiÖn: x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ −1.  2x + 3 ≥ 0

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

VP lµ hµm ®ång biÕn. Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x = −1. VËy, tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ [−1; 3).

HOẠT ĐỘNG 14: Ta cã thÓ tr×nh bµy theo çc çch sau: Çch 1: §Æt t = x2 − 3x + 3, ta cã:

3 3 3  t = x −  + ≥ 2 4 4  3 4

x 2 − 3x + 6 + 2 x 2 − 3x + 2

G <0

+ <0 x 2 − 3x + 3 + 1 x 2 − 3x + 6 + 2   1 1 ⇔ (x 2 − 3x + 2)  + <0 2 x 2 − 3x + 6 + 2   x − 3x + 3 + 1 ⇔ x2 − 3x + 2 < 0 ⇔ 1 < x < 2. VËy, bÊt ph−¬ng tr×nh cã tËp nghiÖm lµ (1; 2).

10 00

⇔

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

x 2 − 3x + 3 + 1 x 2 − 3x + 2

x 2 − 3x + 6 − 4

HOẠT ĐỘNG 15: §iÒu kiÖn x > 0. ViÕt l¹i ph−¬ng tr×nh d−íi d¹ng:

(*)

Í-

-L

ÁN

5( x +

2 x 1

1 2 x

) < 2(x +

2 x

C «si

≥

1 )+4 4x

(2)

, ta cã nhËn xÐt: 2

vËy ®iÒu kiÖn lµ t ≥ 2 .

IỄ N

ÀN

§Æt t = x +

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

1 2 x

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

x 2 − 3x + 3 − 1

TR ẦN

⇔

)

x 2 − 3x + 6 − 2 < 0

H Ư

x 2 − 3x + 3 − 1 +

) (

(

⇔ x2 − 3x + 2 < 0 ⇔ 1 < x < 2. VËy, bÊt ph−¬ng tr×nh cã tËp nghiÖm lµ (1; 2).

C¸ch 2: BiÕn ®æi ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

 t(t + 3) < (3 − t)

t ≤ 3 ⇔ t < 1 ⇔ x2 − 3x + 3 < 1 t < 1

⇔ 

3 − t ≥ 0

⇔ 

t(t + 3) < 3 − t

ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Khi ®ã, bÊt ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: t + t + 3 < 3 ⇔ t + t + 3 + 2 t(t + 3) < 9 ⇔

U Y

do ®ã, ®iÒu kiÖn cho Èn phô t lµ t ≥ .

= 2, (**)

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

MÆt kh¸c: 

t2 =  x + 

1   2 x

= x+

1 4x

+1⇒x+

1 4x

= t2 − 1.

Khi ®ã, bÊt ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: 5t < 2(t2 − 1) + 4 ⇔ 2t2 − 5t + 2 > 0 (**)

Ơ H .Q , + ∞).

H Ư TR ẦN

2x 2 + 12 x + 6 ≥ 0 1 ⇔x≥ .  2 2x − 1 ≥ 0

(*)

BiÕn ®æi bÊt ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng:

2x − 1 .

2(x + 2) 2 + 2(2x − 1) > x + 2 +

u = 2 x − 1 ≥ 0 .  v = x + 2

10 00

§Æt

Khi ®ã, bÊt ph−¬ng tr×nh cã d¹ng:

-L

Í-

u + v ≥ 0 u + v ≥ 0 2u 2 + 2 v 2 > u + v ⇔  2 ⇔ ⇔ u ≠ v.  2u + 2 v 2 > (u + v )2 (u − v )2 > 0

XÐt tr−êng hîp u = v x = 1

ÁN

⇔ 2x − 1 = x + 2 ⇔ x2 − 6x + 5 = 0 ⇔  x = 5 1 2

1 2

VËy, nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ x ∈ [ ; +∞) \ {1; 5}.

ÀN

Suy ra, ®Ó u ≠ v, ta ph¶i cã x ∈ [ , + ∞) \ {1, 5}.

(2)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP ẠO

3 + 2

2 )∪(

HOẠT ĐỘNG 16: a. §iÒu kiÖn:

IỄ N D

3 − 2

VËy, bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm (0,

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

> 2 ⇔ 2X2 − 4X + 1 > 0

U Y

1 2X

  3 2+ 2 2+ 2  x> + 2 X >  x>  2 2 ⇔  . ⇔  ⇔  2   0 < x < 3 − 2 2− 2 2− 2 X <  x<  2 2 2  

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

X+

§Æt X = x , X > 0, khi ®ã:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

t > 2

⇔  ⇔ t>2⇔ x + > 2. 2 x t < 1 / 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

b. H−íng dÉn: ViÕt l¹i bÊt ph−¬ng tr×nh d−íi d¹ng: 2(x − 1) + 2(x − 3)2 ≤

+ x − 3.

x −1

Ơ H .Q TP

(*)

H Ư

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

 x − 1 − 1 ≥ 0  3  2 x − 1 >  x ≥ 2 3 2 ⇔  x − 1 + 1 + | x − 1 − 1| > ⇔  ⇔ ∀x. 2  x − 1 − 1 < 0 x < 2  2 > 3  2

TR ẦN

KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn (*) ®−îc x ≥ 1 lµ nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh.

10 00

C¸ch 2: §iÒu kiÖn: x − 1 ≥ 0   x + x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1.  x − x −1 ≥ 0 Bình phương hai vế của bất phương trình, ta được: 9 2x + 2 x + 2 x − 1 x − 2 x − 1 > 4 9 9 ⇔ 2x + 2 x 2 − 4(x − 1) > ⇔ 2x + 2 x 2 − 4x + 4 > 4 4 9 9 ⇔ 2 (x − 2)2 > − 2x ⇔ 2 x − 2 > − 2x. 4 4 Ta có biến đổi cho (1): Với x − 2 ≥ 0 tức x ≥ 2 thì: 25 25 9 (1) ⇔ 2(x − 2) > − 2x ⇔ 4x > ⇔ x> . 4 4 16 Suy ra, nghiệm trong trường hợp này là x ≥ 2.

)(

(*)

)

(1)

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

(

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

3 . 2

§iÒu kiÖn: x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1. Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh trë thµnh:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇔ ( x − 1 + 1)2 + ( x − 1 − 1)2 >

3 2

HOẠT ĐỘNG 18: a. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo çc çch sau: Çch 1: ViÕt l¹i bÊt ph−¬ng tr×nh d−íi d¹ng: x −1+ 2 x −1 +1 + x −1− 2 x −1 +1 >

Sö dông phÐp biÕn ®Æt Èn phô u = x − 1 vµ v = x − 3.

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

N Ơ H N U Y

C¸ch 2: §iÒu kiÖn:

10 00

x 2 − 1 ≥ 0   2 x − x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1.  x + x 2 − 1 ≥ 0 

TR ẦN

H Ư

VT = 2 ⇔ x − x 2 − 1 = x + x 2 − 1 ⇔ x − x 2 − 1 = x + x 2 − 1 x = 1 ⇔ 2 x2 −1 = 0 ⇔ x2 −1 = 0 ⇔  .  x = −1 (loai) VËy, nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ x = 1.

(*)

(x −

)(

)

x2 −1 x + x2 −1 ≤ 4

-L

Í-

2x + 2

Bình phương hai vế của bất phương trình, ta được:

ÁN

⇔ 2x + 2 x 2 − ( x 2 − 1) ≤ 4 ⇔ 2x + 2 ≤ 4 ⇔ x ≤ 1.

VËy, nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ x = 1.

ÀN

HOẠT ĐỘNG 20: §iÒu kiÖn: 7x + 7 ≥ 0 6 ⇔x≥ .  7 7x − 6 ≥ 0

(*)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

VT = x − x 2 − 1 + x + x 2 − 1 ≥ 2 x − x 2 − 1 . x + x 2 − 1 = 2. VËy, bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm khi vµ chØ khi

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

ẠO

(*)

NhËn xÐt r»ng:

IỄ N D

x 2 − 1 ≥ 0   2 x − x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1.  x + x 2 − 1 ≥ 0 

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Với x − 2 < 0 tức x < 2 thì: 9 9 (1) ⇔ 2(2 − x) > − 2x ⇔ 4 > , luôn đúng. 4 4 1 ⇔ x 2 + ≤ 0 , vô nghiệm 2 Suy ra, nghiệm trong trường hợp này là x < 22. Suy ra (1) nghiệm đúng với mọi x. VËy, bÊt ph−¬ng tr×nh cã tËp nghiÖm lµ [1; +∞). b. Ta cã thÓ tr×nh bµy theo çc çch sau: Çch 1: §iÒu kiÖn:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Sö dông phÐp biÕn ®Æt Èn phô: u = 7x + 7 vµ v = 7x − 6 , víi u, v ≥ 0. Khi ®ã, bÊt ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: u + v + 2uv < 181 − (u2 + v2 − 1) ⇔ (u + v)2 + (u + v) − 182 < 0 ⇔ (u + v + 14)(u + v − 13) < 0 ⇔ u + v < 13

Ơ .Q

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

x +1 < 4

⇔ 2 x + 1 + 1 − x + 1 < 4 ⇔ 2( x + 1 + 1) − x + 1 ≥ 0 ⇔ x +1 < 2 ⇔  ⇔ −1 ≤ x < 3. x + 1 < 4 VËy, bÊt ph−¬ng tr×nh cã tËp nghiÖm lµ [−1; 3).

2 ( x + 1 + 1) 2 − x + 1 < 4

H Ư

C¸ch kh¸c: Víi ®iÒu kiÖn x ≥ −1, biÕn ®æi bÊt ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng:

(

) (

TR ẦN

2 x + 2 + 2 x +1 < 4 + x +1

⇔ 4 x + 2 + 2 x +1 < 4 + x +1

)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

6 ≤ x < 6. 7

HOẠT ĐỘNG 21: BiÕn ®æi t−¬ng ®−¬ng bÊt ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

⇔ 3x < 9 ⇔ x < 3.

ÁN

-L

Í-

10 00

VËy, bÊt ph−¬ng tr×nh cã tËp nghiÖm lµ [−1; 3).

IỄ N

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Gi¶i tiÕp, ta nhËn ®−îc nghiÖm

49x 2 + 7x − 42 < 84 − 7x.

U Y

⇔

⇔ 7x + 7 + 7x − 6 < 13 ⇔ 14x + 1 + 2 49x 2 + 7x − 42 < 169

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial