PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG MÔN TOÁN

vectorstock.com/30110321

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM (PHƯƠNG PHÁP TÌM KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ, BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ, GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ, NHẬN DIỆN ĐỒ THỊ) WORD VERSION | 2021 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ Tên chuyên đề: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

MỤC LỤC Trang Mục lục…………………………………………………………………….

2

Phần 1 : Mở đầu……………………………………………………………

3

Phần 2 : Nội dung………………………………………………………….

6

A. Kiến thức cơ bản ………………………………………………………

6

B. Kỹ năng ..........………………………………........................................

7

C. Bài tập áp dụng

9

1. Bài tập nhận biết và thông hiểu ………………………………………..

9

2. Bài tập vận dụng và vận dụng cao………………………………………

11

3. Bài tập tự luận…………………………………………………………..

18

D.Bài tập tự luyện tập………………………………………………………..

Phần III. Kết luận và kiến nghị………………………………………………

Tài liệu tham khảo …………………………………………………………………

1

23 22

39

PHẦN 1: MỞ ĐẦU I.

LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong chương trình môn Toán bậc THPT, các em học sinh được học đạo hàm từ cuối học kỳ 2 của lớp 11, nhưng đại đa số các em khi học xong những kiến thức về đạo hàm thì chỉ biết vận dụng công thức để giải các bài toán về tính đạo hàm, hoặc khảo sát hàm số, còn việc ứng dụng đạo hàm để khai thác và giải các bài toán liên quan đến hàm số, phương trình , hệ phương trình thì lại tỏ ra lúng túng, bỡ ngỡ.

Trong các kỳ thi THPT Quốc gia, học sinh giỏi cấp tỉnh, ngoài các câu hỏi liên quan trực tiếp đến hàm số ta thường thấy có những câu hỏi mà học sinh thường phải vận dụng tư duy hàm số như là một công cụ đắc lực để giải toán như: xét tính đơn điệu của hàm số, giải phương trình, bất phương trình ,tìm cực trị ,.....Các câu hỏi này cũng thường gây khó khăn cho cả thầy và trò trong các giờ lên lớp. Trong các giờ học các em thường bị động trong nghe giảng và rất lúng túng vận dụng vào việc giải toán. Nguyên nhân là do các em chưa hiểu được bản chất của vấn đề, chưa có kỹ năng và kinh nghiệm trong việc vận dụng ứng dụng của đạo hàm vào giải toán, các em luôn đặt ra câu hỏi:“Tại sao nghĩ và làm được như vậy?’’. Để trả lời được câu hỏi đó trong các giờ dạy, việc bồi dưỡng năng lực tư duy hàm số cho học sinh thông qua các bài toán là một điều rất cần thiết. Muốn làm tốt được điều đó người thầy không chỉ có phương pháp truyền thụ tốt mà còn phải có kiến thức vừa chuyên ,vừa sâu, dẫn dắt học sinh tìm hiểu một cách lôgic bản chất của toán học. Từ đó giúp các em có sự say mê trong việc học môn Toán - môn học được coi là ông vua của các môn tự nhiên. Để toán học trở nên gần gũi và là sự yêu mến, hứng thú học hỏi, niềm say mê đối với các em học sinh .

Với nguyện vọng giúp học sinh thay đổi tư duy về môn toán tôi tập trung khai thác ứng dụng của đạo hàm trong việc xét tính đơn điệu của hàm số .Vì vậy, tôi chọn đề tài “ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ” để phần nào giúp các em học sinh có cái nhìn hệ thống, phát triển tư duy, trí tuệ và cách học tích cực hơn đối với dạng toán này 2

II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Trong số các bài toán cơ bản là tìm khoảng đồng biến, nghịch biến thì các học sinh trung bình có thể làm được còn một số bài toán có tính chất tư duy như bài toán vận dụng tìm giá m thoả mãn một số yếu tố hay áp dụng tính đồng biến nghịch biến để giải phương trình , bất phương trình, hệ phương trình thì học sinh thường thụ động trong việc tiếp cận bài toán, không chú trọng đến bản chất chất của bài toán ấy, một phần vì học sinh ngại bài toán khó, một phần vì giáo viên khi dạy cũng chưa chú trọng khai thác hướng dẫn cho học sinh.

Nhằm giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp, kỹ năng để giải quyết các bài toán tính đơn điệu hàm số một cách hiệu quả và kết quả tốt thì sau nhiều năm giảng dạy dạng toán này, với kiến thức đã tích lũy và học hỏi được, tôi mạnh dạn nêu ra đề tài ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ”để giúp học sinh và giáo viên tham khảo để đạt kết quả cao hơn trong học tập và trong giảng dạy.

III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Trong đề tài này tôi đưa ra một số nhiệm vụ sau đây: a) Nghiên cứu cơ sở lý luận của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề b) Vận dụng quan điểm dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào dạy học chủ đề ứng dụng của đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số.

IV. ĐỐI TƯỢNG VÀ KHÁCH THỂ NGHIÊN CỨU -Đề tài này được triển khai thực tiễn cho các em học sinh có lực học từ trung bình khá trở lên.

-Các bài toán ứng dụng của đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số ,trong chương trình Toán THPT mà trọng tâm là trong kì thi THPT Quốc gia.

3

V. PHẠM VI NGHIÊN CỨU Các dạng toán xét tính đơn điệu của hàm số trong chương trình toán phổ thông, đặc biệt là trong kỳ thi THPT Quốc gia, trong các kỳ thi chọn HSG cấp tỉnh.

- Phân loại các dạng toán thường gặp và phương pháp giải mỗi dạng.

- Thời gian dạy cho học sinh: 10 tiết VI. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Phương pháp nghiên cứu dựa trên tài liệu Nghiên cứu các tài liệu tâm lý học, giáo dục học, phương pháp bộ môn cùng với các tài liệu có liên quan đến đề tài - Phương pháp điều tra quan sát - Phương pháp thực nghiệm sư phạm - Phương pháp thống kê toán học -Xử lí các số liệu thu được sau khi điều tra.

VII. CẤU TRÚC CỦA BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ Phần I : Đặt vấn đề.

Phần II : Nội Dung.

Phần III: Kết luận và Kiến nghị

4

PHẦN 2: NỘI DUNG A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng hoặc một đoạn. + Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi x1 , x2 ∈ K : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 )

+ Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi x1 , x2 ∈ K : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 )

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y= f(x) có đạo hàm trên khoảng K. + Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f '( x) ≥ 0, ∀x ∈ K . + Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f '( x) ≤ 0, ∀x ∈ K .

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y= f(x) có đạo hàm trên khoảng K. + Nếu f '( x) > 0, ∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K. + Nếu f '( x) < 0, ∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K. + Nếu f '( x) = 0, ∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên tập K. • Chú ý :

+ Nếu K là một khoảng hoặc một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “ Hàm số y=f(x ) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.Chẳng hạn: Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [ a; b] và có đạo hàm f '( x) > 0, ∀x ∈ K trên khoảng ( a; b ) thì hàm số đồng biến trên đoạn [ a; b] .

5

+ Nếu f '( x) ≥ 0, ∀x ∈ K ( hoặc f '( x) ≤ 0, ∀x ∈ K ) và f '( x) = 0 tại một số hữu hạn điểm của tập K thì hàm số đồng biến trên K (hoặc nghịch biến trên K).

B. KỸ NĂNG 1. Lập bảng xét dấu của một biểu thức P(x) Bước 1: Tìm nghiệm của biểu thức P(x) hoặc giá trị của x làm cho biểu thức P(x) không xác định .

Bước 2: Sắp xếp các giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.

Bước 3: Sử dụng máy tính tìm dấu của P(x) trên từng khoảng của bảng xét dấu.

2. Xét tính đơn diệu của hàm y=f(x) trên tập xác định Bước 1: Tim tập xác định D. Bước 2: Tính đạo hàm y ' = f '( x) .

Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình f '( x) = 0 hoặc những giá trị của x để cho f '( x) không xác định.

Bước 4: Lập bảng biến thiên.

Bước 5: Kết luận.

3. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y=f(x) đồng biến, nghịch biến trên ( a; b ) cho trước.

Cho hàm số y = f ( x; m) có tập xác định K, khoảng ( a; b ) ⊂ K . + Hàm số nghịch biến trên ( a; b ) ⇔ y ' < 0, ∀x ∈ (a; b) . + Hàm số đồng biến trên ( a; b ) ⇔ y ' > 0, ∀x ∈ (a; b) .

• Chú ý : - Đối với hàm số đa thức thì : + Hàm số nghịch biến trên ( a; b ) ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ (a; b) . + Hàm số đồng biến trên ( a; b ) ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ (a; b) . ax + b thì : cx + d + Hàm số nghịch biến trên ( a; b ) ⇔ y ' < 0, ∀x ∈ (a; b) .

- Đối với hàm phân thức y =

+ Hàm số đồng biến trên ( a; b ) ⇔ y ' > 0, ∀x ∈ (a; b) .

• Nhắc lại một số kiến thức liên quan : Cho tam thức f ( x) = ax 2 + bx + c(a ≠ 0) a > 0 ∆ ≤ 0 a > 0 b) f ( x) > 0, ∀x ∈ R ⇔  ∆ < 0 a < 0 c) f ( x) ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔  ∆ ≤ 0

a) f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ 

6

a < 0 ∆ < 0

d) f ( x) < 0, ∀x ∈ R ⇔ 

• Chú ý : Nếu tìm bài toán tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên

khoảng ( a; b ) : Bước 1: Đưa bất phương trình f '( x) > 0 (hoặc f '( x) < 0, ∀x ∈ (a; b) ) về dạng g ( x) > h(m) (hoặc g ( x) < h(m), ∀x ∈ (a; b) ).

Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) trên khoảng ( a; b ) .

Bước 3: Từ bảng biến thiên và các điều kiện thích hợp ta suy ra các giá trị cần tìm của tham số m.

7

C. BÀI TẬP ÁP DỤNG 1. Bài tập ở mức độ nhận biết và thông hiểu.

Câu 1 : Cho hàm số y =

x +1 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng.

1− x

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;1) ∪ (1; +∞) .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;1) ∪ (1; +∞) .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;1) ; (1; +∞) .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;1) ; (1; +∞) .

Lời giải : Đạo hàm : y ' =

−2 < 0, ∀x ≠ 1 thì hàm số nghịch biến trên khoảng (1 − x) 2

(−∞;1) ; (1; +∞)

*Chú ý: Hàm số đơn điệu trên khoảng; đoạn, nửa khoảng nhưng không phải trên tập hợp ( không có các ký hiệu giao, hợp, hiệu hai tập hợp).

Câu 2:Cho hàm số y = x3 + 3x 2 + 20 x − 2 . Khẳng định nào sau đây đúng: A. Hàm số nghịch biến trên R. B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 2) .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −2) và hàm số nghịch biến trên khoảng (2; +∞) .

D. Hàm số đồng biến trên R.

Lời giải : Hàm đa thức: y ' = 3 x 2 + 6 x + 20 > 0, ∀x ∈ R nên hàm số đồng biến trên R. ( Học sinh vận dụng định lý dấu của tam thức bậc hai để làm các dạng toán này) Câu 3:Cho hàm số y = − x3 + 3x 2 − 3x + 2 . Khẳng định nào sau đây đúng: A. Hàm số nghịch biến trên R. B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;1) ; (1; +∞) .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;1) và hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞) .

D. Hàm số đồng biến trên R.

8

Lời giải: Hàm đa thức: y ' = −3x 2 + 6 x − 3 ≤ 0, ∀x ∈ R nên Hàm số nghịch biến trên R. ( Học sinh vận dụng định lý dấu của tam thức bậc hai để làm các dạng toán này) Câu 4: Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 − 3x + 15 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai: A. Hàm số nghịch biến trên (-3;1).

B. Hàm số đồng biến trên R. C. Hàm số đồng biến trên (-9; -5).

D. Hàm số đồng biến trên (5; +∞) . x =1  x = −3

Lời giải: Hàm đa thức: y ' = 3 x 2 + 6 x − 9 = 0 ⇔ 

Hàm số y ' < 0, ∀x ∈ (−3;1) nên hàm số nghịch biến trên (-3;1).

1 3

Câu 5. Với các giá trị nào của m thì hàm số y = x3 −

m 2 x − 2 x + 1 luôn đồng biến 2

trên R ?

A. m > 0

B. m < 0

C. Với mọi giá trị m

D. Không

có giá trị m Chọn: Đáp án D y=

1 3 m 2 x − x − 2x + 1, D = R 3 2

y ' = x 2 − mx − 2 Để hàm số luôn đồng biến trên R ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆ ≤ 0 ⇔ m 2 + 8 ≤ 0 (vô nghiệm)

Vậy: không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán Nhận xét:Bài toán tìm tham số để hàm số đồng biến trên khoảng, đoạn tức là đạo hàm của hàm số đó không âm trên đoạn, khoảng đã cho. Ở bài toán này là luôn đồng biến trên R và đạo hàm là hàm số bậc 2 và ta để ý thấy , a c trái dấu suy ra đạo hàm đó không thể luôn không âm suy ra không tồn tại m.

9

Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + mx + 1 luôn đồng biến trên tập xác định của nó.

A. m > 3 .

B. m < 3 .

C. m ≤ 3 . D. m ≥ 3 .

Chọn đáp án D y ' = 3x 2 − 6x + m . Hàm số luôn đồng biến trên tập xác định ⇔ ∆ ' = 9 − 3m ≤ 0 ⇔ m ≥ 3 ⇒ chọn D y Câu 7.Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) xác định, liên tục trên R và f ' ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

O 1 A. Hàm số đồng biến trên (1; +∞ ) .

3 x -1 B. Hàm số đồng biến trên ( −∞; −1) và ( 3; +∞ ) .

C. Hàm số nghịch biến trên ( −∞; −1) .

-4 D. Hàm số đồng biến trên ( −∞; −1) ∪ ( 3; +∞ ) .

Lời giải Chọn B Trên khoảng ( −∞; −1) và ( 3; +∞ ) đồ thị hàm số f ' ( x ) nằm phía trên trục hoành 2. Bài tập ở mức độ vận dụng và vận dụng cao 3

x Câu 1: Có bao nhiêu giá trị m nguyên để hàm số y = + mx 2 − mx − m luôn đồng 3

biến trên R. A. 1

B. 0

C. 3

D. 2

Lời giải : y ' = x 2 + 2mx − m để hàm số đồng biến trên R thì a = 1 > 0 y ' ≥ 0, ∀x ∈ ℝ⇔ x 2 + 2mx − m ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔  ⇔ −1 ≤ m ≤ 1 với m 2 ∆ ' = m + m ≤ 0

nguyên thì m = -1; m = 0; m = 1 có 3 giá trị m nguyên thoả mãn.

Câu 2: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y =

x−m+2 nghịch x +1

biến trên các khoảng xác định của nó.

A. m >3

B. m ≥ 1

Lời giải: Hàm phân thức y ' = y=

C. m ≤ 1

D. m < 1

m −1 < 0, ∀x ≠ −1 ⇒ m − 1 < 0 ⇔ m < 1 thì cho hàm số ( x + 1)2

x−m+2 nghịch biến trên các khoảng xác định của nó. x +1

10

*Chú ý: Hàm phân thức thì hàm số nghịch biến trên ( a; b ) ⇔ y ' < 0, ∀x ∈ (a; b) , hàm số đồng biến trên ( a; b ) ⇔ y ' > 0, ∀x ∈ (a; b) .

Câu 3: Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất sao cho hàm số y =

mx + 4 luôn nghịch biến x+m

trên (−∞;1) .

A. −2 < m < 2

B. −2 ≤ m ≤ −1

C. −2 < m ≤ 1

D. −2 ≤ m ≤ 2

m2 − 4 Lời giải: Hàm phân thức y ' = < 0∀x ∈ (−∞;1) ⇒ m 2 − 4 < 0 ⇔ −2 < m < 2 2 ( x + m)

Điều kiện: x + m ≠ 0 ⇔ x ≠ −m mà x ∈ (−∞;1) ⇒ −m ∉ (−∞;1) ⇒ −m ≥ 1 ⇒ m ≤ −1 Đáp án: −2 < m ≤ 1 Câu 4: Tìm m để hàm số y = − x 3 + 3x 2 + 3mx − 1 nghịch biến trên khoảng (0;+∞) Giải: Ycbt ⇔ y , = −3x 2 + 6 x + 3m ≤ 0, ∀x > 0 ⇔ m ≤ x 2 − 2 x, ∀x > 0 ⇔ m ≤ Min( x 2 − 2 x) Lập x >0

bảng biến thiên của hàm số f ( x) = x − 2 x trên (0;+∞) 2

x

0

1

f(x) 0

+∞ +∞

-1 Từ bảng biến thiên ta có Min f ( x) = −1 .Vậy m ≤ −1 x >0

Câu 5: Tìm m để

y = −1 x 3 + ( m − 1) x 2 + ( m + 3) x − 4 3

đồng biến trên (0, 3)

Giải. Hàm số tăng trên (0,3) ⇔

y ′ = − x 2 + 2 ( m − 1) x + ( m + 3) ≥ 0 ∀x ∈ ( 0, 3)

Do

y′ ( x)

⇔

liên tục tại x = 0 và x = 3 nên (1) ⇔ y′ ≥ 0 ∀x∈[0, 3]

m ( 2 x + 1) ≥ x 2 + 2 x − 3 ∀x ∈ [ 0, 3]

⇔ Max g ( x ) ≤ m . x∈[ 0,3]

(1)

Ta có:

⇔ g ( x) = x

2

+ 2 x − 3 ≤ m ∀x ∈ [ 0, 3] 2x + 1

2 g ′ ( x ) = 2 x + 2 x +2 8 > 0 ∀x ∈ [ 0, 3] ( 2 x + 1)

11

⇒ g(x) đồng biến trên [0, 3] ⇒ Câu 6 :Tìm m để

y = m x 3 − ( m − 1) x 2 + 3 ( m − 2 ) x + 1 3 3

Giải: Hàm số tăng / [ 2, +∞ ) ⇔ ⇔

2 m ( x − 1) + 2  ≥ −2 x + 6 ∀x ≥ 2

Ta có:

g′( x) =

m ≥ Max g ( x ) = g ( 3) = 12 x∈[ 0,3] 7

y ′ = mx 2 − 2 ( m − 1) x + 3 ( m − 2 ) ≥ 0 ∀x ≥ 2

⇔ g ( x) =

2 ( x 2 − 6 x + 3) =0 ( x 2 − 2 x + 3) 2

−2 x + 6

( x − 1) 2 + 2

2

x

3+ 6

+∞

+

0

0

23

g ( x)

(1)

≤ m ∀x ≥ 2

_

g ′ ( x)

 x = x1 = 3 − 6 ; lim g ( x ) = 0 ⇔  x = x 2 = 3 + 6 x→∞

Từ BBT ⇒

đồng biến trên [ 2, +∞ )

CT

Max g ( x ) = g ( 2 ) = 2 ≤ m . x≥ 2 3

Câu 7 .Tìm m để hàm sốố y = x 3 − mx 2 − ( 2m 2 − 7 m + 7 ) x + 2 ( m − 1) ( 2m − 3)

đồng biến / [ 2, +∞ )

Giải: Hàm số tăng trên [ 2, +∞ ) ⇔ y ′ = 3x 2 − 2mx − ( 2m 2 − 7 m + 7 ) ≥ 0, ∀x ≥ 2 Ta có

 △′= 7 ( m 2 − 3m + 3) = 7  m − 3 2 

(

)

2

 + 3 > 0 4

nên

BPT g(x) ≥ 0 có sơ đồồ miề miền nghiệm G là: Ta có

y′ ( x) ≥ 0

đúng

∀x ≥ 2

y′ = 0 x1

có 2 nghiệm x2

⇔ [ 2, +∞ ) ⊂ G

∆ ′ > 0 −1 ≤ m ≤ 5   2 2 ⇔ −1 ≤ m ≤ 5 ( ) ( ) ′ ⇔ x1 < x 2 ≤ 2 ⇔ 3 y 2 = 3 −2m + 3m + 5 ≥ 0 ⇔  2 m < 6 S = m < 2  2 3

Câu 8. Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f '( x ) có đồ thị như hình bên. Hàm sốố y = g ( x ) = f (2 − x) đồng biến trên khoảng A. (1;3)

B. ( 2; +∞ )

12

x1 < x 2

C. ( −2;1)

D. ( −∞; −2 ) Lời giải

Chọn C Ta có: g ′ ( x ) = ( 2 − x )′ . f ′ ( 2 − x ) = − f ′ ( 2 − x )  2 − x < −1 x > 3 ⇔ 1 < 2 − x < 4 −2 < x < 1

Hàm số đồng biến khi g ′ ( x ) > 0 ⇔ f ′ ( 2 − x ) < 0 ⇔  Câu 9 . Cho hàm số

y = f ( x ).

Đồ thị hàm số

y = f ′( x )

như hình bên dưới

Hàm số g( x ) = f (3 −2x ) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A. (0;2).

B. (1;3).

C. (−∞;−1).

D. (−1; +∞).

Lời giải Chọn C Dựa vào đồ thị, suy ra Xét

−2 < x < 2 f ′(x ) > 0 ⇔  . x > 5 

Ta có

g′ ( x ) =−2 f ′ (3 − 2x ).

1 5 −2 < 3 − 2 x < 2  <x<  ′ ′ g ( x ) < 0 ⇔ f (3 − 2 x ) > 0 ⇔ ⇔ 2 2.   3 − 2 x > 5  x < −1

Vậy g( x ) nghịch biến trên các khoảng

Cách 2. Ta có

 1 5   ;   2 2 

và (−∞;−1).

 5 x =  2 3 − 2 x = −2   1  theo do thi f '( x ) g′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ (3 − 2 x ) = 0 ←→ 3 − 2 x = 2 ⇔  x = .   2 3 − 2 x = 5    x = −1  

thiên 13

Bảng biến

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C Chú ý: Dấu của

g′ ( x )

được xác định như sau: Ví dụ ta chọn

theo do thi f '( x )

3 − 2 x = 3 → f ′ (3 − 2 x ) = f ′ (3) < 0.

Nhận thấy các nghiệm của

g′ ( x )

Khi đó

 1 x = 0 ∈ −1; ,  2

suy ra

g′(0) =− f ′ (3) > 0.

là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu.

Câu 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m sao cho hàm số 2 x 2 + (1 − m) x + 1 + m y= đồng biến trên khoảng (1; +∞) x−m

A. 3

B. 1

C. 2

D. 0

Lời giải: Tập xác định D = R \ {m} . Ta có đạo hàm y' =

2 x 2 − 4mx + m2 − 2m − 1 g ( x) = Hàm số đồng biến trên (1; +∞) thì 2 ( x − m) ( x − m) 2

g ( x) ≥ 0, ∀x > 1 và m ≤ 1 . Vì ∆ ' = 2(m + 1) 2 ≥ 0, ∀m ∈ ℝ ⇒ g ( x) = 0 có hai nghiệm thỏa

2 g (1) = 2(m2 − 6m + 1)2 ≥ 0 mãn x1 ≤ x2 ≤ 1 nên  S ⇔ m ≤ 3 − 2 2 (*) = m ≤ 1  2

Điều kiện: x + m ≠ 0 ⇔ x ≠ −m Do (*) nên không tồn tại giá trị m nguyên dường nào thảo mãn đầu bài.

Câu 11: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số  p y = − x 4 + (2m − 3) x 2 + m nghịch biến trên khoảng (1; 2) là  −∞;  trong đó phân số q  p tối giản và q > 0 . Hỏi tổng p + q bằng q 14

A. 5

B. 9

C. 7

D. 3

Lời giải: Tập xác định D = R .

Ta có y ' = −4 x 3 + 2(2m − 3) x . Hàm số y = − x 4 + (2m − 3) x 2 + m nghịch biến trên 3 2

khoảng (1; 2) thì y ' ≤ 0, ∀x ∈ (1; 2) ⇔ −4 x 3 + 2(2m − 3) x ≤ 0 ⇔ m ≤ x 2 + = g ( x), ∀x ∈ (1; 2) Lập bảng biến thiên của g(x) trên (1; 2) với g '( x) = 2 x ⇒ g ( x) = 0 ⇔ x = 0, ∀x ∈ (1; 2)

Bảng biến thiên x

1 2

g’(x)

+

g(x)

11 2 5 2 5 2

p =5 ⇒ p+q =7 q = 2

Dựa vào bảng biến thiên m ≤ min g ( x) ⇔ m ≤ ⇒ 

Câu 12: Tìm mối liên hệ giữa các tham số a và b sao cho hàm số y = 2 x + a sin x + b cos x luôn đồng biến trên R .

A.

1 1 + =1 a b

B. a + 2b = 2 3

C. a 2 + b 2 ≤ 4

Lời giải: Tập xác định D = R .

15

D. a + 2b ≥

1+ 2 3

Ta có y ' = 2 + a cos x − b sin x ≥ 0, ∀x ∈ R Áp dụng bất đẳng thức ức Schwartz ta có : 2 − a 2 + b 2 ≤ y ' ≤ 2 + a 2 + b 2 Ta đưa bài toán bất phương ương tr trình y ' ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ 2 − a 2 + b 2 ≥ 0 ⇔ a 2 + b 2 ≤ 4 .

Câu 13: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên ℝ và có đồ thị y = f ′ ( x ) như hình vẽ.

Xét hàm số g ( x ) = f ( x 2 − 2 ) . Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số g ( x ) nghịch ch biế biến trên ( −1; 0 ) .B. Hàm số g ( x ) nghịch ch biến trên tr ( −∞; −2 ) .

C. Hàm số g ( x ) nghịch ch biế biến trên ( 0; 2 ) .

D. Hàm số g ( x ) đồng ng biến biế trên ( 2; +∞ ) .

Lời giải Chọn A

Dựa vào đồ thị ta thấy f ′ ( x ) < 0 ⇔ x ∈ ( −∞; 2 ) .

Ta có g ′ ( x ) = 2 x. f ′ ( x 2 − 2 ) .   x ≥ 0  x ≥ 0  2  2   f ′ ( x − 2 ) ≤ 0  x − 2 ≤ 2 2 g ′ ( x ) ≤ 0 ⇔ 2 x. f ′ ( x − 2 ) ≤ 0 ⇔  ⇔ x≤0   x ≤ 0    2   x 2 − 2 ≥ 2   f ′ ( x − 2 ) ≥ 0

16

 x ≥ 0    −2 ≤ x ≤ 2 0 ≤ x ≤ 2 ⇔ ⇔  x ≤ 0 .   x ≤ −2  x ≥ 2    x ≤ −2 

Như vậy đáp án B, C đều đúng và đáp án A sai. Tương tự chứng minh được đáp án D đúng.

3. Dạng bài tập tự luận: Bài toán 1: Cho hàm số : y = x 3 + 3( m + 1) x 2 + 6 mx + 4 m; (C m ) a) Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên [1;+∞ ) b) Tìm m để hàm số luôn nghịch biến trên [-3;-2] Giải.

Nhận xét : Với bài toán dạng này học sinh theo chương trình sách giáo khoa mới sẽ thực sự lúng túng vì không được trang bị các kiến thức về so sánh nghiệm với một số thực α của phần tam thức bậc hai, chính vì thế cần hướng dẫn học sinh đi theo 1 cách tiếp cận khác như sau : TX Đ : D=R y ' = 3 x 2 + 6( m + 1) x + 6 m

a)Điều kiện để hàm số đồng biến trên [1;+∞ ) là : y ' ≥ 0; ∀x ∈ [1;+∞) ⇔ x 2 + 2(m + 1) x + 2m ≥ 0; ∀x ≥ 1

⇔ 3 x 2 + 6( m + 1) x + 6 m ≥ 0; ∀ x ≥ 1 ⇔ 2 m ( x + 1) ≥ − x 2 − 2 x; (1)

Vì x ≥ 1 ⇒ x + 1 > 0 nên từ (1) ta có :

2m ≥

− x2 − 2 x ; (2) ( x + 1)

− x2 − 2 x Xét hàm số f ( x ) = ; ( x + 1)

Ta có:

f '( x ) =

( x + 1)( − 2 x − 2) + x 2 + 2 x − x 2 − 2 x − 2 = < 0; ∀x ≥ 1 ( x + 1) 2 ( x + 1) 2

Bảng biến thiên :

17

x f’(x) f(x)

1

+∞

−3 2

−∞

Để (1) đúng x ≥ 1 ⇔ (2) đúng x ≥ 1 ⇔ 2 m ≥

−3 −3 ⇔ m≥ 2 4

−3 thì hàm số luôn luôn đồng biến trên [1;+∞ ) 4 b) Điều kiện để hàm số luôn nghịch biến trên [-3;-2] là y' ≤ 0; ∀ x ∈ [-3;-2]

KL : Với m ≥

⇔ 2 m ( x + 1) ≤ − x 2 − 2 x; (3)

Vì x ∈ [-3;-2] ⇒ x + 1 < 0 Nên từ (3) ta có : 2 m ≥

− x2 − 2x ( x + 1)

Theo câu a ta có bảng biến thiên : Bảng biến thiên : x f’(x) f(x)

-3

-2 -

3 2

0 • Để hàm số luôn nghịch biến ∀ x ∈ [-3;-2] ⇔ 2m ≥ • KL :vậy với m ≥

3 3 ⇔m≥ 2 4

3 thì hàm số luôn nghịch biến trên [-3;-2] .

4

Nhận xét : Với cách giải quyết bài toán này thì rõ ràng học sinh có thể hoàn toàn chủ động để giải quyết các bài toán tương tự. Và hơn nữa với cách giải này học sinh sẽ hạn chế được các sai sót trong quá trình tính toán. Bên cạnh đó khi giải quyết các bài toán dạng này sẽ làm nảy sinh 1 vấn đề ; Nếu tham số m không cùng bậc để có thể nhóm và đưa về bất phương trình có dạng f(x) ≥ g(m) thì cần giải quyết như thế nào ? để trả lời câu hỏi này chúng ta xét bài toán sau :

18

1 3

Bài toán 2: Cho hàm số : y = x 3 − 3mx 2 + ( m 2 − m ) x + 1; (C m ) Tìm m để hàm số luôn đồng biến ∀ x ∈ [1;+ ∞ ) Giải : +TX Đ : D=R + y ' = x 2 − 6 mx + ( m 2 − m ) Để hàm số luôn đồng biến ∀ x ∈ [1;+ ∞ ) thì y' ≥ 0; ∀ x ≥ 1 ⇔ f ( x ) = x 2 − 6 mx + ( m 2 − m ) ≥ 0; ∀ x ≥ 1

f ' ( x ) = 2 x − 6m ⇒ f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 3m

Bài toán đưa về dạng : Tìm m để min f ( x ) ≥ 0; ∀ x ≥ 1 Bảng biến thiên : x f’(t) f(t)

3m

−∞ +∞

-

0

+

+∞ +∞ f ( 3m )

Dựa vào bảng biến thiên ta xét các trường hợp : 1 3

*TH1: Nếu 3m ≤ 1 ⇔ m ≤ ⇒ m inf(x) = f (1) .  7 + 45 m ≥ 2 Để (1) luôn đúng với ∀x ≥ 1 thì f (1) ≥ 0 ⇔ m 2 − 7 m + 1 ≥ 0 ⇔   7 − 45 m ≤  2 1 7 − 45 So sánh điều kiện m ≤ ta được m ≤ 3 2 1 *TH2 : Nếu 1 < 3m ⇔ m > ⇒ m inf ( x ) = f (3m ) 3 1 Để (1) luôn đúng với ∀x ≥ 1 thì f (3m ) ≥ 0 ⇔ −8 m 2 − m ≥ 0 ⇔ − ≤ m ≤ 0. (loại) 8 7 − 45 KL : m ≤ 2 mx 2 + ( 6m + 5 ) x − 2 (1 − 3m )

Bài toán 3 .Tìm m để

y=

nghịch biến trên [1, +∞)

x +1

Giải: Hàm số nghịch biến trên [1, +∞)

19

⇔

2 y ′ = mx + 2mx2 + 7 ≤ 0 ∀x ≥ 1 ( x + 1)

⇔

mx 2 + 2mx + 7 ≤ 0 ⇔ m ( x 2 + 2 x ) ≤ −7 ∀x ≥ 1

Ta có:

u′ ( x) =

⇔ u ( x) =

−7 ≥ m ∀x ≥ 1 ⇔ Min u ( x ) ≥ m . x ≥1 x + 2x 2

7 ( 2x + 2) > 0 ∀x ≥ 1 ( x 2 + 2 x) 2

⇒ u(x) đồng biến trên [1, +∞) ⇒

Bài toán 4. Tìm m để

y=

m ≤ Min u ( x ) = u (1) = −7 x ≥1 3

2 x 2 + (1 − m ) x + 1 + m x−m

đồng biến trên (1, +∞ )

Giải: Hàm số đồng biến trên (1, +∞ ) ⇔ ⇔

2 2 y ′ = 2 x − 4mx + m 2 − 2m − 1 ≥ 0 ∀x > 1 ( x − m)

 g ( x ) = 2 x 2 − 4mx + m 2 − 2m − 1 ≥ 0 ∀x > 1  g ( x ) ≥ 0 ∀x > 1 ⇔   x − m ≠ 0 m ≤ 1

Cách 1: Phương pháp tam thức bậc 2 Ta có:

2

∆ ′ = 2 ( m + 1) ≥ 0

suy ra g(x) = 0 có 2 nghiệm

BPT g(x) ≥ 0 có sơ đồ miền nghiệm G là:

x1

x1 ≤ x 2 . x2

Ta có g(x) ≥ 0 đúng ∀x∈(1, +∞) ⇔ (1, +∞ ) ⊂ G m ≤ 1 m ≤ 1, ∆ ′ ≥ 0   2 ( ) ( ) ⇔ x1 ≤ x 2 ≤ 1 ⇔  2 g 1 = 2 m − 6m + 1 ≥ 0 ⇔   m ≤ 3 − 2 2 ⇔ m ≤ 3 − 2 2 m ≥ 3 + 2 2  S = −2 ≤ 1  2

Cách 2: Phương pháp hàm số Ta có: g′(x) = 4(x − m) ≥ 4(x − 1) > 0 ∀x > 1 ⇒ g(x) đồng biến trên [1, +∞) Do đó

2 Min g ( x) ≥ 0 g (1) = m − 6m + 1 ≥ 0 (1) ⇔  x≥1 ⇔ ⇔ m ≤ 1 m ≤ 1 

20

m ≤ 3 − 2 2  m ≥ 3 + 2 2 ⇔ m ≤ 3 − 2 2 m ≤ 1 

-Nhận xét: Qua các bài toán trên ta thấy nếu dùng đạo hàm lập bảng biến thiên thì các dạng toán trên đều có thể giải quyết được mà không cần sử dụng kiến thức về tam thức bậc 2 đã giảm tải trong chương trình sách giáo khoa.

Bài toán 5. Tìm m để

y = ( 4m − 5 ) cos x + ( 2m − 3) x + m 2 − 3m + 1

giảm với ∀x ∈ R

Giải: Yêu cầu bài toán ⇔ y , = (5 − 4m) sin x + 2m − 3, ∀x ∈ R ⇔ g ( u ) = ( 5 − 4m ) u + 2m − 3 ≤ 0, ∀u ∈ [ −1;1] .

thẳng nên ycbt

Do đồ thị

y = g ( u ) , u ∈ [ −1;1]

là một đoạn

 g ( −1) = 6m − 8 ≤ 0 ⇔ ⇔1≤ m ≤ 4 3 ( )  g 1 = −2m + 2 ≤ 0

Bài toán 6 . Tìm m để hàm số y = mx + sin x + 1 sin 2 x + 1 sin 3x tăng với mọi x ∈ R 4

Giải: Yêu cầu bài toán ⇔

9

⇔ y ′ = m + cos x + 1 cos 2 x + 1 cos 3 x ≥ 0, ∀x ∈ ℝ 2 3

m + cos x + 1 ( 2 cos 2 x − 1) + 1 ( 4 cos 3 x − 3 cos x ) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ 2 3

⇔ m ≥ − 4 u 3 − u 2 + 1 = g ( u ) , ∀u ∈ [ −1,1] , 3 2

Ta có

với

u = cos x ∈ [ −1,1]

g ′ ( u ) = −4u 2 − 2u = −2u ( 2u + 1) = 0 ⇔ u = − 1 ; u = 0 2

Lập BBT suy ra yêu cầu bài toán ⇔ Bài toán 7. Cho hàm số

Max g ( u ) = g ( −1) = 5 ≤ m .

6

x∈[ −1,1]

y = 1 ( m + 1) x 3 + ( 2m − 1) x 2 − ( 3m + 2 ) x + m .

3

Tìm m để khoảng nghịch biến của hàm số có độ dài bằng 4 Giải. Xét

y ′ = ( m + 1) x 2 + 2 ( 2m − 1) x − ( 3m + 2 ) = 0 .

2 nghiệm

x1 < x 2 .

Do

∆ ′ = 7m 2 + m + 3 > 0

Khoảng nghịch biến của hàm số có độ dài bằng 4

⇔ y ′ ≤ 0; ∀x ∈ [ x1 ; x 2 ] ; x 2 − x1 = 4 ⇔ m + 1 > 0 2

và

2

x 2 − x1 = 4 ⇔ 16 = ( x 2 − x1 ) = ( x 2 + x1 ) − 4 x 2 x1 = 2 2 ⇔ 4 ( m + 1) = ( 2m − 1) + ( 3m + 2 ) ( m + 1)

21

x 2 − x1 = 4 .

Ta có

2 4 ( 2m − 1) 4 ( 3m + 2 ) + 2 m +1 ( m + 1)

nên

y′ = 0

có

⇔ 3m 2 − 7 m − 1 = 0 ⇔ m =

kết hợp với

m +1> 0

7 ± 61 6

suy ra

m=

7 + 61 6

Nhận xét: các bai toán trên có thể giải theo phương pháp tam thức bậc hai nhưng dài và phức tạp học sinh hay bỏ quyên trường hợp. Dùng theo phương pháp hàm số thì bài toán đơn giản hơn rất nhiều.

22

D.BÀI TẬP TỰ GIẢI I.

BÀI TẬP MỨC ĐỘ 1

Câu 1: Cho hàm y = x 2 − 6 x + 5 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

B. Hàm số đồng biến trên A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 5; +∞ ) . khoảng ( 3; +∞ ) .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;1) .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞;3) . x +1 , y = tan x , y = x3 + x 2 + 4 x − 2017 . Số hàm số đồng x+2 C. 1 . D. 2 . biến trên R là A. 0 . B. 3 . x−2 Câu 3: Cho hàm số y = . Mệnh đề nào sau đây đúng? x+3 A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞; +∞ ) .

B. Hàm số nghịch biến trên

Câu 2Cho các hàm số y =

từng khoảng xác định.

C. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. khoảng ( −∞; +∞ ) .

D. Hàm số đồng biến trên

Câu 4: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = x 2 + 1 . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên ( −∞;1) .

B. Hàm số nghịch biến trên ( −∞; + ∞ ) .

C. Hàm số nghịch biến trên ( −1;1) .

D. Hàm số đồng biến trên ( −∞; + ∞ ) .

Câu 5: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1; 3) .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1; + ∞ ) .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1;1) .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; 1) .

Câu 6: Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

23

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞) .

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (2; +∞) .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0) .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 0) .

Câu 7: Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. ( −2; 2 ) .

B. ( − ∞; 0 ) .

C. ( 0; 2 ) .

D. ( 2; + ∞ ) .

Câu 8: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm y = f ′ ( x ) = x ( x − 2 ) , ∀x ∈ R . Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. ( 0; 2 ) B. ( 0; +∞ ) C. ( −∞;0 ) D. ( 2; +∞ ) Câu 9 : Cho hàm số y =

2x + 1 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? −x +1

A. Hàm số đồng biến trên D B. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞; 1) và (1; + ∞ ) C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞; 1) và (1; + ∞ ) D. Hàm số đồng biến trên R \ {1} Câu 10: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên khoảng ( a; b ) . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Nếu f ′ ( x ) < 0 với mọi x thuộc ( a; b ) thì hàm số f ( x ) nghịch biến trên ( a; b ) .

B. Nếu hàm số f ( x ) đồng biến trên ( a; b ) thì f ( x ) > 0 với mọi x thuộc ( a; b ) .

C. Nếu hàm số f ( x ) đồng biến trên ( a; b ) thì f ' ( x ) ≥ 0 với mọi x thuộc ( a; b ) .

D. Nếu f ′ ( x ) > 0 với mọi x thuộc ( a; b ) thì hàm số f ( x ) đồng biến trên ( a; b ) .

Câu 11. Hàm số y = 2 x − x 2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( −∞;1) .

B. (1;2 ) .

C. (1; +∞ ) .

D. ( 0;1) .

II.

BÀI TẬP MỨC ĐỘ 2

24

Câu 12. Kết quả của m để hàm số sau y =

x+m đồng biến trên từng khoảng xác x+2

định là B. m > 2 .

C. m < 2 .

D. A. m ≤ 2 . m ≥ 2.

Câu 13: Hàm số nào đồng biến trên khoảng ( −∞; +∞ ) .

A. y = x + 1 .

B. y = x3 + x − 2 .

C. y = − x 4 + 2 x 2 + 1 . D. y=

x −1 . x +1

Câu 14: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x3 + x 2 + mx + 1 đồng biến trên ( −∞; + ∞ ) .

4 3

A. m ≤ .

1 3

B. m ≤ .

1 3

C. m ≥ .

Câu 15: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = biến trên khoảng xác định của nó.

A. m ∈ (1; 2 ) .

B. m ∈ [ 2; + ∞ ) .

C. m ∈ ( 2; + ∞ ) . m ∈ ( −∞; 2 ) .

Câu 16. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên R ?

A. y = x 2 + x .

B. y = x 4 + x 2 .

C. y = x3 + x . y=

4 3

D. m ≥ .

2x − m đồng x −1

D.

D.

x +1 x+3

Câu 17. Cho hàm số y = − x 3 − mx 2 + ( 4m + 9 ) x + 5 , với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên ( −∞; +∞ ) ?

A. 5.

B. 6.

C. 7.

D. 4.

Câu 18: Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên R và có đạo hàm f ′ ( x ) .

Biết rằng f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên ( −2;0 ) trên khoảng ( 0; +∞ ) C. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên ( − ∞;3) trên khoảng ( −3; −2 ) 25

B. Hàm số y = f ( x ) nghịch biến D. Hàm số y = f ( x ) nghịch biến

2

Câu 19: Cho y = f ( x ) có đđạo hàm f ′ ( x ) = ( x + 1) (1 − x )( x + 3) . Mệnh nh đề nào dưới đây đúng? khoảng ( −3; −1) và (1; +∞ ) C. Hàm số s nghịch A. Hàm số nghịch biếnn trên các kho biến trên khoảng ( −3;1) B. Hàm số đồng biếnn trên các khoảng ( −∞; −3) và (1; +∞ ) D. Hàm số s đồng biến trên khoảng ( −3;1) Câu 20: Hàm số f ( x) có đđạo hàm trên R là hàm số f '( x) . Biết đồ thị hàm số f '( x) được cho như hình ình vvẽ. Hàm số f ( x) nghịch biến trên khoảng ng

1 A.  ;1 .

3 

B. ( 0; +∞) .

1 C.  −∞;  .



3

D. ( −∞; 0)

.

Câu 21. Cho hàm số y = − x 3 − mx 2 + ( 4m + 9 ) x + 5 với m là tham số. ố. Có bao nhiêu nhi giá trị nguyên của m để hàm àm ssố nghịch biến trên khoảng ( −∞; +∞ ) A. 4 .

B. 6 .

C. 7 .

D. 5 .

3 2 Câu 22: Tìm m để hàm ssố y = x − 3mx + 3 ( 2m − 1) + 1 đồng biến n trên R. A. Không có giá trị m thỏỏa mãn. B. m ≠ 1 . C. m = 1 . D. Luôn thỏa th mãn với mọi m .

III.

BÀI TẬP MỨC ỨC ĐỘ 3

Câu 22.

Cho hàm sốố y = ax3 + bx 2 + cx + d . Hỏi hàm số đó ó luôn đồng đồ biến trên R khi nào?  a = b = 0, c > 0

A.  .

2  a < 0; b − 3ac ≤ 0

 a = b = 0, c > 0

B.  .

2  a > 0; b − 3ac ≤ 0

a = b = c = 0

C.  .

2  a < 0; b − 3ac < 0

D.

 a = b = 0, c > 0 .  2  a > 0; b − 3ac ≥ 0

Câu 23. Có bao nhiêu giá tr trị nguyên của tham số m để hàm số s y= đồng biến trên mỗi khoảng ng xác định? A. 4 . B. 6 . C. Vô số. D. 2 .

26

mx − 6 x − m +1

2x −1 1 đồng biến trên ( 0; +∞ ) . A. m < x−m 2 1 1 C. m ≤ D. 0 ≤ m < B. m ≤ 0 2 2 Câu 25: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = mx − sin x đồng biến trên R. A. m > 1 . B. m ≤ −1 .

C. m ≥ 1 .

D. m ≥ −1 .

2 x−m Câu 26: Tìm các giá trị của m để hàm số y = đồng biến trên khoảng x − 3m + 2 ( −∞;1) ?

Câu 24: Tìm m để hàm số y =

A. m ∈ ( −∞;1) ∪ ( 2; +∞ )

B. m ∈ ( −∞;1)

C. m ∈ (1; 2 )

D.

m ∈ ( 2; +∞ )

Câu 27.

Tìm tất cả các giá trị m để hàm số y = x3 − 3x 2 + mx + 2 tăng trên khoảng (1; + ∞ ) . A. m ≥ 3 .

B. m ≠ 3 .

C. m ≤ 3 .

D. m < 3 .

3 2 Câu 28: Hàm số y = x − 6 x + mx + 1 đồng biến trên ( 0; +∞ ) khi giá trị của m là?

A. m ≥ 12 B. m ≥ 0 C. m < −12 D. m ≤ 0 Câu 29: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số 1 1 y = x 3 − mx 2 + 2mx − 3m + 4 nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3 . Tính 3 2 tổng tất cả phần tử của S. A. 9 .

B. −1 .

C. −8 .

D. 8 . mx + 4 Câu 30: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = nghịch biến trên x+m ( −∞;1) .

A. −2 < m < −1 .

B. −2 < m < 2 .

C. −2 ≤ m ≤ 1 .

D. − 2 < m ≤ −1 .

Câu 31: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 1 y = x3 − ( m − 1) x 2 − 4mx đồng biến trên đoạn [1; 4] .

3 1 1 A. m ≤ B. m ∈ R C. < m < 2 D. m ≤ 2 2 2 −2 s inx − 1 Câu 32: Tìm tất cả các số thực của tham số m sao cho hàm số y = s inx − m π đồng biến trên khoảng  0;  .  2 1 1 1 1 A. − < m < 0 hoặc m > 1 B. m > − C. m ≥ − D. − < m ≤ 0 hoặc 2 2 2 2 m ≥1

27

Câu 33: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y =

cot x − 1 đồng m cot x − 1

π π biến trên khoảng  ;  .

4 2   A. m ∈ ( −∞;0 ) ∪ (1; +∞ ) .

B. m ∈ ( −∞; 0 ) .

C. m ∈ (1; +∞ ) .

D.

m ∈ ( −∞;1) .

Câu 34: ) Tập hợp tất cả giá trị của tham số m để hàm số y =

mx − 1 nghịch biến m − 4x

1 trên khoảng  −∞;  là?

4



A. ( −2; 2 ) .

B. [1; 2 ) .

C. ( −2; +∞ ) .

D. ( −∞; 2 ) .

Câu 35. Tìm số các giá trị nguyên của tham số m ∈ ( −2018; 2018) để hàm số y = ( 2m − 1) x − ( 3m + 2 ) cos x nghịch biến trên R. A. 3 .

B. 4 .

C. 4014 .

D. 218 .

Câu 36. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = π biến trên  0;  . A. m > 2 .

2 



B. m ≤ 0 hoặc 1 ≤ m < 2 .

cos x − 2 nghịch cos x − m

C. m ≤ 2 .

D. m ≤ 0 .

mx + 16 đồng biến trên x+m B. m ∈ ( −∞; − 4 ) ∪ ( 4; + ∞ ) .

Câu 37 . Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y =

( 0;10 ) . A.

m ∈ ( −∞; − 10] ∪ ( 4; + ∞ ) .

C.

m ∈ ( −∞; − 10] ∪ [ 4; + ∞ ) .

D.

m ∈ ( −∞; − 4] ∪ [ 4; + ∞ )

Câu 38. Có tất cả bao nhiêu số nguyên m để hàm số y =

( m + 1) x − 2 đồng biến x−m

trên từng khoảng xác định của nó?

A. 1.

B. 0.

C. 2.

D. 3.

Câu 39: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = ( m + 1) sin x − 3cos x − 5 x luôn nghịch biến trên R ?

A. Vô số.

B. 10 .

C. 8 .

D. 9 .

Câu 40: . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 − mx 2 − ( m − 6 ) x + 1 đồng biến trên khoảng ( 0; 4 ) là: A. ( −∞;6] .

B. ( −∞;3) .

C. ( −∞;3] .

D. [3;6] .

Câu 41: Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x 2 + 1 − mx − 1 đồng biến trên khoảng ( −∞; +∞ ) .

28

A. ( −∞; −1] . .

B. [ −1;1] .

C. ( −∞;1) .

D. [1; +∞ )

Câu 42: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y =

mx + 4 x+m

nghịch biến trên khoảng ( −∞;1) ?

A. −2 < m ≤ −1 .

B. −2 ≤ m ≤ −1 .

C. −2 ≤ m ≤ 2 .

D. −2 < m < 2 .

Câu 43: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn [ −2018; 2018] để hàm số cot 2 x − 2m cot x + 2m 2 − 1 π π y= nghịch biến trên  ;  . A. 2019 .

B. cot x − m 4 2 2018 .

C. 0 .

D. 2020 .

2 Câu 44: Cho hàm số f ( x ) = mx − 4 x + m 2 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để

đạo hàm f ′ ( x ) < 0 với ∀x ∈ ( −1; 2 ) . A. m ≤ 1 . m ≥ −2 .

D. −2 ≤ m ≤ 1 .

B. −2 ≤ m ≤ 1 , m ≠ 0 .

Câu 45: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = π trên khoảng  0;  . A. m ≤ 0 . 

IV.

B. m ≥ 1 .

2

C. m > −1 .

C.

2sin x − 1 đồng biến sin x − m

D. m = 5 .

BÀI TẬP MỨC ĐỘ 4

Câu 46: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m

để hàm số

 π y = sin 3 x − 3cos 2 x − m sin x − 1 đồng biến trên đoạn 0;  .  2 A. m > −3 .

B. m ≤ 0 .

C. m ≤ −3 .

D. m > 0 .

Câu 47: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) được cho như hình

bên. Hàm số y = −2 f ( 2 − x ) + x 2 nghịch biến trên khoảng y 3 1 −1 O

2

3 4

5

x

−2

A. ( −3; − 2 ) .

B. ( −2; − 1) .

Hướng dẫn 29

C. ( −1; 0 ) .

D. ( 0; 2 ) .

Chọn C

Ta có y = −2 f ( 2 − x ) + x 2 ⇒ y′ = − ( 2 − x )′ 2 f ′ ( 2 − x ) + 2 x y′ = 2 f ′ ( 2 − x ) + 2 x ⇒ y ′ < 0 ⇔ f ′ ( 2 − x ) + x < 0 ⇔ f ′ ( 2 − x ) < ( 2 − x ) − 2 .

Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng y = x − 2 cắt đồ thị y = f ′ ( x ) tại hai điểm có 1 < x < 2

1 hoành độ nguyên liên tiếp là  và cũng từ đồ thị ta thấy f ′ ( x ) < x − 2 trên x =  2 3 miền 2 < x < 3 nên f ′ ( 2 − x ) < ( 2 − x ) − 2 trên miền 2 < 2 − x < 3 ⇔ −1 < x < 0 .

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1; 0 ) .

Câu 48. Cho hàm số như hình bên dưới

y = f (x)

có đạo hàm liên tục trên

ℝ.

Đồ thị hàm số

y = f ′( x )

Hàm số g( x ) = 2 f ( x )− x 2 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A. (−∞;−2).

B. (−2;2).

C. (2;4).

D. (2;+∞).

Lời giải Chọn B Ta có Số nghiệm của phương trình g′( x ) = 0 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) và đường thẳng d : y = x (như hình vẽ bên dưới). g′ ( x ) = 2 f ′ ( x ) −2x  → g′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) = x.

30

Dựa vào đồ thị, suy ra

 x = −2  g′ ( x ) = 0 ⇔  x = 2 .  x = 4 

Lập bảng biến thiên (hoặc ta thấy với x ∈ (−2;2) thì đồ thị hàm số f ′( x ) nằm phía trên đường thẳng y = x nên g′( x ) > 0 )  → hàm số g ( x ) đồng biến trên (−2;2).

Chọn B Câu 49 .Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ℝ . Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình bên. Hỏi hàm số g( x ) = 2 f ( x ) +( x +1)2 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

B. (1;3).

A. (−3;1).

C. (−∞;3).

D.

(3;+∞).

Chọn

B

Lời giải Ta

có

g′ ( x ) = 2 f ′ ( x ) + 2( x +1)  → g′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) =−x −1.

Số nghiệm của phương trình g′( x ) = 0 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) và đường thẳng d : y = −x −1 (như hình vẽ bên dưới).  x = −3  Dựa vào đồ thị, suy ra g′ ( x ) = 0 ⇔  x = 1 .  x = 3  x <−3 Yêu cầu bài toán ⇔ g′ ( x ) > 0 ⇔  (vì phần đồ thị của f '( x) nằm phía trên 1 < x < 3 đường thẳng y = −x −1 ). Đối chiếu các đáp án ta thấy đáp án B thỏa mãn. Chọn B

Câu 50. Cho hàm số

y = f ( x ).

Đồ thị hàm số

31

y = f ′( x )

như hình bên dưới

Hàm số g( x ) = f ( 3 − x ) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A. (−∞;−1).

B. (−1;2).

C. (2;3).

D. (4;7).

Lời giải −1 < x < 1  x < −1 f ′(x ) > 0 ⇔  f ′(x ) < 0 ⇔  . và x > 4   1 < x < 4

Với x >3 khi −1 < x − 3 < 1 2 < x < 4 g( x ) = f ( x − 3)  → g′ ( x ) = f ′ ( x − 3) > 0 ⇔  ⇔ x −3 > 4 x > 7  

Chọn B Dựa vào đồ thị, suy ra

đó

hàm số g( x ) đồng biến trên các khoảng (3;4), (7;+∞). → g′ ( x ) =− f ′ (3 − x ) > 0 ⇔ f ′ (3 − x ) < 0 Với x < 3 khi đó g( x ) = f (3 − x )   →

3 − x < − 1 ⇔ ⇔  1 < 3 − x < 4

 x > 4 (loaï i)  − 1 < x < 2 

 → hàm

(−1;2).

32

số

g( x )

đồng biến trên khoảng

V. KẾT QUẢ THU ĐƯỢC 1. Ý nghĩa thực tiễn Sau khi được sự hướng dẫn rèn luyện hệ thống kiến thức trên và thực hành làm bài tập tương tự, các em học sinh đã mạnh dạn hơn, linh hoạt hơn trong việc giải các bài tập về tính đơn điệu của hàm số.

2. Kết quả thu được sau khi thực hiện đề tài Qua quá trình giảng dạy tôi thấy việc phân loại các dạng toán như trên học sinh nắm được bài, hiểu được sâu kiến thức. Từ đó học sinh rèn được kĩ năng giải toán. Số học sinh đam mê, yêu thích môn toán ngày càng nhiều hơn. Đối với bài kiểm tra các em trình bày chặt chẽ, lôgic hơn .

So với kết quả khảo sát trên cùng nhóm các em học sinh trước khi được giới thiệu đề tài và sau khi thực hiện đề tài cho thấy kết quả thu được rất tích cực cụ thể tôi đã cho các em học sinh làm đề kiểm tra và thu được kết quả như sau: Bảng 1: Kết quả thống kê bài kiểm tra của học sinh ở hai nhóm thí nghiệm và đối chứng.

Học sinh

Làn điểm <5

5-6

7

8-9

10

Nhóm TN

0

14

13

2

1

Nhóm ĐC

9

13

7

1

0

Dựa trên số liệu bảng 1 tôi vẽ đồ thị 1 mối quan hệ giữa số lượng học sinh với làn điểm.

33

14 12 10 8 SL HS

Nhóm TN

6

Nhóm ĐC 4 2 0 <5

05->6

7

08->9

10

Làn điểm

Đồ thị 1: Mối quan hệ giữa làn điểm học sinh Thông quan bảng số liệu và đồ thị tôi nhận thấy: Số học sinh ở nhóm đối chứng số lượng HS được 5 điểm chiếm số lượng nhiều hơn ở nhóm thí nghiệm, bên cạnh đó số lượng HS đạt điểm 8,9,10 ở nhóm thí nghiệm cao hơn so với nhóm đối chứng.

Như vậy chứng tỏ đề tài của tôi có ý nghĩa trong việc nâng cao chất lượng học môn toán cho HS.

34

PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I.KẾT LUẬN: Trên đây là những giải pháp mà tôi đúc rút được trong suốt quá trình giảng dạy tại trường THPT nơi tôi công tác. ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số là một nội dung quan trọng trong chương trình môn toán lớp 12 nói riêng và bậc THPT nói chung.

Nhưng đối với học sinh lại là một mảng tương đối khó, đây cũng là phần nhiều thầy cô giáo quan tâm. Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy lớp 12, được học sinh đồng tình và đạt được kết quả. Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hướng dẫn kỹ các em học sinh với mức học trung bình trở lên đã có kỹ năng giải các bài tập. Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt. Cụ thể ở các lớp khối 12 sau khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy thì số HS hiểu và có kỹ năng giải được cơ bản các dạng toán nói trên . a) Phần 1 của đề tài đã hệ thống được các kiến thức, kỹ năng, phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số. b) Trong phần 2 của báo cáo đã hệ thống được kiến thức theo các mức độ. c) Với từng chuyên đề, tác giả đã cố gắng tìm cách phát hiện và giải quyết vấn đề một cách dễ hiểu và thông dụng nhất. d) Do phạm vi thời gian nên tác giả mới chỉ giới thiệu các bài toán liên quan đến tính đơn điệu của hàm số.

Qua quá trình vận dụng đề tài trong giảng dạy tôi nhận thấy khi giáo viên hướng dẫn học sinh giải toán bằng cách phân loại các dạng toán thì học sinh nâng cao được khả năng tư duy và tính sáng tạo trong giải toán. Đề tài đã nêu được phương pháp chung cho mỗi dạng cũng như minh họa bằng các bài toán cụ thể, đồng thời cũng đưa ra cho mỗi dạng một số bài tập với các mức độ khác nhau.

35

II. KIẾN NGHỊ Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiều hơn nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ .

Nhà trường cần tổ chức các bổi trao đổi phương pháp giảng dạy. Có tủ sách lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề.

Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập.

III. LỜI KẾT: Tác giả xin chân thành cám ơn các đồng nghiệp môn Toán trong trường đã giúp tôi sưu tầm và hệ thống các bài tập có liên quan. Đặc biệt các đồng chí trong hội đồng khoa học nhà trường đã góp ý thông qua các buổi hội thảo chuyên đề qua các năm giúp tôi hoàn thiện hơn trong việc viết báo cáo chuyên đề giúp phục vụ cho việc giảng dạy.

Mặc dù đã tham khảo một số lượng lớn các tài liệu hiện nay để vừa viết, vừa đi giảng dạy để kiểm nghiệm thực tế, song vì năng lực và thời gian có hạn, rất mong được sự đóng góp của các bạn đồng nghiệp và những người yêu thích môn toán để đề tài này có ý nghĩa thiết thực hơn trong nhà trường. Góp phần nhỏ bé vào việc nâng cao hơn nữa chất lượng Giáo dục phổ thông. Giúp các em học sinh có phương pháp - kỹ năng khi giải các bài toán liên quan đến xét tính đơn điệu của hàm số.

Tính mới của chuyên đề, bản chất của chuyên đề: Chuyên đề đã chỉ ra được cơ sở pháp lý, áp dụng lý luận vào thực tiễn dạy học. Từ những hạn chế thực trạng cơ sở tôi đã đề xuất được các giải pháp cụ thể nhất là phát huy được năng lực học tập của tất cả các đối tượng học sinh trong lớp. Đề xuất được các phương pháp mới hiệu quả để nâng cao chất lượng dạy 36

học về xét tính đơn điệu cho học sinh. Khắc phục được những hạn chế của phương pháp cũ.

Bằng những vận dụng lý luận vào thực tiễn trong quá trình giảng dạy, đặt ra mục đích nghiên cứu và đề xuất một số biện pháp, giải pháp giúp cho giáo viên có phương pháp tạo cho học sinh có kỹ năng giải bài tập Giúp học sinh: nâng cao khả năng vận dụng thực hành, phát triển năng lực tư duy, đặc biệt là khả năng phân tích, suy luận lôgíc và nâng cao chất lượng học .

Kết luận khoa học: Chúng tôi đã tiến hành thực nghiệm để kiểm nghiệm tính khả thi của chuyên đề, sự hiệu quả của các phương pháp, hình thức tổ chức dạy học, học sinh biết suy nghĩ tìm tòi trước những đề Toán gặp phải. Căn cứ vào kết quả dự giờ của hai giờ trên lớp và áp dụng phương pháp trong quá trình giảng dạy, kết quả chấm bài cho thấy: đa số HS đều tiếp thu tốt, hiểu và vận dụng nhanh chóng trong quá trình làm bài.Nếu được áp dụng nhân rộng thì chắc chắn chất lượng sẽ dần được nâng cao. Kết quả thực nghiệm cho thấy nếu GV chú ý và triển khai dạy học tích cực ở những nội dung có thể được và rộng rãi hơn thì kết quả sẽ rất khả quan .

Tôi xin chân thành cám ơn!

37

TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Sách giáo khoa Giải Tích lớp 12-NXBGD. 2) Sách giáo khoa và sách Ứng dụng đạo hàm khảo sát tính biến thiên và vẽ đồ thị hàm số - Lê Hồng Đức - NXB GD. 3) Các đề thi đại học – trang weside math.vn 4) Các đề thi thử quốc gia của các trường THPT- weside box math.vn 5) Đề thi học sinh giỏi các tỉnh Vinh, Nghệ An, Nam Định,Bắc Giang…

6) Chuyên đề ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình ; bất phương trình và hệ phương trình- http://www.luyenthithukhoa.vn/tai-lieu/khoi-lop10/1270-su-dung-tinh-don-dieu-cua-ham-so-de-giai-he-phuong-trinh; https://diendantoanhoc.net/

38

39