Preview Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính & Số phức và ứng dụng số phức trong...

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

NGAN – KẸO PẠ SỚT

MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Sơn La, năm 2018

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Thuộc nhóm chuyên ngành: Khoa học tự nhiên

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Sinh viên: Ngan - Kẹo Pạ Sớt Lớp: K55 ĐHSP Toán Ngƣời hƣớng dẫn : TS. Hoàng Ngọc Anh

Sơn La, năm 2018

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 1. Lý do chọn khoá luận ..................................................................................... 1

Ơ

3. Nhiệm vụ nghiên cứu ..................................................................................... 1

N

2. Mục đích nghiên cứu ...................................................................................... 1

N

H

4. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu ................................................ 1

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Đ

1.1. Hệ phương trình tuyến tính .......................................................................... 3

N

G

1.1.1. Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính ..................................................... 3

H Ư

1.1.2. Phân loại hệ phương trình tuyến tính ........................................................ 4

TR ẦN

1.2. Ma trận ........................................................................................................ 6 1.2.1. Các khái niệm ........................................................................................... 6

10 00

B

1.2.2. Các tính chất của ma trận.......................................................................... 8 1.3. Định thức..................................................................................................... 8

A

1.3.1. Định nghĩa định thức ................................................................................ 8

H

Ó

1.3.2. Tính chất của định thức ............................................................................ 8

-L

Í-

Chƣơng 2. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH ................................................................................................ 10

ÁN

2.1. Phương pháp thế ........................................................................................ 10 2.1.1. Phương pháp giải .................................................................................... 10

ÀN

2.1.3. Bài tập áp dụng....................................................................................... 11

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Chƣơng 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ..................................................... 3

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

7. Cấu trúc khoá luận.......................................................................................... 2

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

6. Dự kiến đóng góp của khóa luận .................................................................... 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

5. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................ 2

D

IỄ N

Đ

2.2. Phương pháp cộng đại số ........................................................................... 12 2.2.1. Phương pháp giải .................................................................................... 12 2.2.2. Một số ví dụ ........................................................................................... 13 2.2.3. Bài tập áp dụng....................................................................................... 14 2.3. Phương pháp dùng ma trận nghịch đảo ...................................................... 18 2.3.1. Phương pháp giải .................................................................................... 18

Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

2.3.3. Bài tập áp dụng....................................................................................... 20 2.4. Phương pháp dùng định thức ..................................................................... 24 2.4.1. Phương pháp giải .................................................................................... 24

Ơ

2.4.3. Bài tập áp dụng....................................................................................... 26

N

2.4.2. Một số ví dụ ........................................................................................... 25

N

H

2.5. Phương pháp khử dần ẩn số hay phương pháp Gauss ................................ 31

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

TO

ÁN

D

IỄ N

Đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................. 36

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

KẾT LUẬN ..................................................................................................... 35

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

2.5.2. Một số ví dụ ........................................................................................... 32

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

2.5.1. Phương pháp giải .................................................................................... 31

Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn khoá luận Việc giải bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính có ý nghĩa

Ơ

N

to lớn trong việc nghiên cứu khoa học cũng như trong thực tế.

N

H

Rất nhiều sinh viên khi học môn Toán cao cấp nói chung và môn Đại số

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

G

Đ

học phổ thông của nước CHDCND Lào. Đề thi tuyển sinh vào đại học của nước

N

CHDCND Lào hàng năm đều có câu liên quan đến hệ phương trình tuyến tính.

H Ư

Đó cũng là phần học quan trọng ở nội dung đại số lớp 12.

TR ẦN

Từ khá lâu nay việc tìm cách tổng hợp các phương pháp để giải hệ phương trình tuyến tính cũng đã được rất nhiều người quan tâm. Các nhà toán

10 00

B

học đã tìm ra nhiều phương pháp để giải hệ phương trình tuyến tính. Tuy nhiên đối với một hệ phương trình tuyến tính bất kì, việc áp dụng phương pháp nào sẽ

A

cho kết quả tốt nhất đó là việc nghiên cứu rất quan trọng.

H

Ó

Vì vậy, với mong muốn được tìm hiểu, tổng hợp và phân loại các phương

-L

Í-

pháp giải hệ phương trình tuyến tính, tôi đã chọn nghiên cứu khoá luận: “Một số

ÁN

phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính”.

2. Mục đích nghiên cứu Tổng quan kiến thức về hệ phương trình tuyến tính, ma trận, định thức.

ÀN

Từ đó nghiên cứu một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính và làm rõ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

phương trình tuyến tính là một chuyên đề quan trọng trong chương trình toán

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

gì đến kiến thức toán cao cấp vốn khó này? Nhưng trên thực tế, đối với tôi hệ

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

trường chúng ta chỉ dạy toán Trung học phổ thông, kiến thức ở đó đâu liên quan

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

tuyến tính nói riêng đều có câu hỏi: Tại sao phải học những môn này mà khi ra

D

IỄ N

Đ

các kiến thức, các phương pháp nói trên để phân tích, tìm lời giải các bài tập áp

dụng.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu Khoá luận tập trung nghiên cứu một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính.

4. Đối tƣợng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu 1

Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

4.1. Đối tƣợng nghiên cứu Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính.

4.2. Phạm vi nghiên cứu Giáo trình Toán học cao cấp về Đại số tuyến tính và sách giáo khoa môn

Ơ

N

Toán lớp 12 của nước CHDCND Lào.

U Y

- Nghiên cứu tài liệu

ẠO

6. Dự kiến đóng góp của khóa luận

Đ

Khoá luận trình bày một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản về hệ

N

G

phương trình tuyến tính và các ví dụ áp dụng đối với mỗi phương pháp giải hệ

H Ư

phương trình tuyến tính.

TR ẦN

7. Cấu trúc khoá luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung khoá luận bao

10 00

B

gồm 2 chương:

Chương 1: Một số kiến thức cơ sở

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

Chương 2: Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

- Trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

- Phân tích, tổng hợp các kiến thức

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

5. Phƣơng pháp nghiên cứu

2 Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chƣơng 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1. Hệ phƣơng trình tuyến tính 1.1.1. Định nghĩa hệ phƣơng trình tuyến tính

N Ơ H (1)

H Ư

N

gọi là hệ phương trình tuyến tính tổng quát (gồm m phương trình, n ẩn số) aij gọi

B

a12 a22

10 00

 a11 a 21 Ma trận A = (aij )      an1

TR ẦN

là những hệ số, bi gọi là hệ số tự do.

a12 ... a1n a22 ... a2 n

an 2

... ann

b1  b2  có được bằng cách thêm vào hệ   bn 

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

 a11 a 21 bs Ma trận A      an1

an 2

... a1n  ... a2 n  gọi là ma trận các hệ số.   ... ann 

Đ

ÀN

TO

số tự do vào cột thứ (n+1) gọi là ma trận bổ sung.

 x1  x  2 Nếu kí hiệu ma trận cột các ẩn số x    và ma trận cột các hệ số tự do      xn 

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

Đ

Trong đó aij , bi cho trước ( j  1, n; i  1, m) thuộc K, x j ( j  1, n) là các ẩn số

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

 bi , i  1, m

ẠO

j

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

ij

j 1

IỄ N D

a x

Hay

.Q

n

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1 a x  a x  ...  a x  b  22 2 2n n 2 Hệ phương trình:  21 1  am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm

 b1  b  2 β    thì hệ phương trình tuyến tính trên có thể viết được dưới dạng ma trận      bn  3

Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

là: A.x = β.

- Một nghiệm của hệ (1) là một bộ n số c1 , c2 ,..., cn   K sao cho khi thay t

x j  c j thì mọi đẳng thức trong hệ (1) đều là những đẳng thức số đúng.

N

- Hệ phương trình (1) được gọi là có nghiệm (hay tương thích) nếu tập hợp

H

Ơ

các nghiệm của nó khác rỗng . Ngược lại nếu tập hợp các nghiệm là tập rỗng thì

Đ

a) Hệ Cramer

G

Hệ phương trình tuyến tính n phương trình, n ẩn số mà ma trận các hệ số

H Ư

N

của nó không suy biến ( det A  0 ) gọi là hệ Cramer.

TR ẦN

Hệ Cramer có duy nhất nghiệm.

Phương pháp giải:

B

Cách 1: Xét phương trình ma trận A. X  B vì det A  0 nên tồn tại ma

10 00

trận nghịch đảo A1 ta có: X  A1.B

Ó

A

Cách 2: Nếu ta gọi  j là định thức của ma trận nhận được bằng cách thay

j 

j  1, n (ở đó  là định

Í-

H

cột thứ j của ma trận A bởi cột hệ số tự do thì x j 

-L

thức của ma trận A).

ÁN

b) Hệ phƣơng trình tuyến tính tổng quát

TO

n

Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

a x

ÀN

j 1

ij

j

 bi

i  1,m 

có nghiệm

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

1.1.2. Phân loại hệ phƣơng trình tuyến tính

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q TP

cùng ẩn số và cùng tập nghiệm.

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

- Hai hệ phương trình tuyến tính được gọi là tương đương nếu chúng có

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

hệ (1) gọi là vô nghiệm.

D

IỄ N

Đ

khi và chỉ khi hạng A = hạng Abs .

Phương pháp giải: Cách 1: Phương pháp dùng định thức Cách giải: Giả sử hạng A  hạng Abs  k - Nếu k  n thì hệ có duy nhất nghiệm (sử dụng cách giải như hệ Cramer) - Nếu k  n thì hệ vô số nghiệm (chọn k ẩn chính, còn n  k ẩn còn lại coi 4

Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

là ẩn tự do ) Cách 2: Phương pháp khử dần ẩn số hay phương pháp Gauss n

Nhận xét: Cho hệ phương trình tuyến tính :  aij x j  bi , i  1, m (1) j 1

G

Đ

phương trình đã cho.

H Ư

N

Khi giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss, ta sẽ dùng 3 phép biến đổi trên cho ma trận bổ xung để biến đổi ma trận đó về dạng tam giác hay dạng

TR ẦN

hình thang. Hay đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương trình mới tương đương, sao cho các phương trình về sau số ẩn càng ít đi.

10 00

B

c) Hệ phƣơng trình tuyến tính thuần nhất

Hệ phương trình tuyến tính mà các hệ số tự do của nó đều bằng 0 gọi là hệ

A

phương trình tuyến tính thuần nhất.

a x ij

j

 0, i  1, m

(1')

- Hệ (1’) luôn có nghiệm (ít nhất là nghiệm  x1 , x2 ,..., xn 

t

Đ

ÀN

TO

ÁN

j 1

-L

n

Í-

H

Ó

Như vậy hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có dạng:

 x1  x    2  , gọi là      xn 

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

còn lại thì ta được một hệ phương trình tuyến tính mới tương đương với hệ

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

- Cộng vào 1 phương trình một tổ hợp tuyến tính của các phương trình

IỄ N D

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

- Nhân 2 vế của một phương trình nào đó với số k  0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

- Đổi chỗ cho hai phương trình của hệ

http://daykemquynhon.ucoz.com

H N

trình tương đương với hệ (1), nghĩa là hệ có cùng tập nghiệm với hệ (1).

Ơ

N

Nếu dùng các phép biến đổi sau đây thì ta vẫn nhận được một hệ phuơng

nghiệm tầm thường) - Hệ (1’) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi hạng A  p  n .

Cách giải tương tự như hệ (1)

5 Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

1.2. Ma trận 1.2.1. Các khái niệm a) Định nghĩa

N

Ma trận cấp  m, n  là một bảng gồm m.n số thực (phức) được viết thành m

Ơ

H Ư

1. Ma trận không

2. Ma trận đối xứng

B

10 00

0 0 0 Ví dụ. A  0 0 0    0 0 0 

TR ẦN

Aij  0, i, j (tất cả các phần tử đều bằng không)

H

Ó

A

Ma trận vuông A   aij  cấp n được gọi là ma trận đối xứng nếu

-L

Í-

aij  a ji , i, j  1, n.

ÀN

TO

ÁN

 1 2 1 Ví dụ. A   2 0 3     1 3 4 

D

IỄ N

Đ

3. Ma trận chuyển vị

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

N

G

b) Các ma trận đặc biệt

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ

ẠO

Kí hiệu: A   aij  . ( m ,n )

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q

am 2

H

... a1n  ... a2 n     ... amn 

a12 a22

TP

 a11 a A   21    am1

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

dòng và n cột như sau:

Cho ma trận A   aij  Đổi dòng thành cột (cột thành dòng) của ma trận A , ta được ma trận mới gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A . Kí hiệu: At .

Vậy At   a ji  nm . Nếu A có m dòng và n cột thì At có n dòng và m cột.

6 Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

 1 4   1 2 3  thì At   2 5  Ví dụ. A       4 5 6   3 6 

4. Ma trận chéo - ma trận đơn vị

N Ơ H

0 0    ann 

-L

Í-

H

Ó

A

1 0 0  Ví dụ. Ma trận A  0 2 0  là ma trận chéo cấp 3   0 0 3

Đ

ÀN

TO

ÁN

- Ma trận vuông cấp n

1 0 0 1 I    0 0

0 0    1

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

B

10 00

 a11 0 0 a 22 A   0 0

TR ẦN

aij  0, i  j , tức là A có dạng:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

H Ư

N

G

- Ma trận vuông A  (aij ) cấp n được gọi là ma trận chéo cấp n nếu

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q Đ

trận A , mỗi phần tử aii được gọi là phần tử chéo của A .

ẠO

Đường thẳng đi qua a11, a22 ,..., ann được gọi là đường chéo chính của ma

IỄ N D

a1n  a2 n     ann 

TP

 a11 a12 a a22 A   21    an1 an 2

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Cho A là ma trận vuông cấp n.

Trong đó các phần tử chéo đều bằng 1 còn tất cả các phần tử khác đều bằng 0, gọi là ma trận đơn vị cấp n.

5. Ma trận khả nghịch, ma trận nghịch đảo Cho ma trận vuông A   aij  nếu tồn tại ma trận vuông B cấp n sao ( n ,n ) 7

Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

cho AB = BA = I (I - Ma trận đơn vị) thì ma trận A gọi là khả nghịch và ma trận B gọi là nghịch đảo của A, kí hiệu B = A-1

Ơ

N

1 Nếu A   aij  thì A1   Aji  trong đó Aij là phần bù đại số của ( n ,n ) ( n ,n ) A

U Y

1.2.2. Các tính chất của ma trận

3.

 ( A)  ( ) A

4.

EA  AE  A

5.

A2  AA, A3  AA2  A2 A,..., An  AAn1  An1 A

ẠO Đ G

N

H Ư

1.3. Định thức

B

1.3.1. Định nghĩa định thức

... a1n  ... a2 n     ... ann 

a12 a22

H

Ó

A

10 00

 a11 a 21 Với ma trận vuông A      an1

an 2

TO

ÁN

-L

Í-

Ta gọi tổng : A   Sgn( )a1 ( n ) .a2 (2) .....an ( n )

IỄ N

Đ

ÀN

Kí hiệu:

D

( E là ma trận đơn vị)

 S

... a1n ... a2 n

a11 a21

a12 a22

an1

an 2 ... ann

, hay A , haydet A được gọi là định thức của

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

(   ) A   A   A

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

2.

.Q

 ( A  B)   A   B

TP

1.

TR ẦN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

 ,   , A, B là hai ma trận cùng cấp, khi đó :

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

phần tử aij.

ma trận A. 1.3.2. Tính chất của định thức Loại 1: A  0 khi: - Có một dòng bằng 0 - Hai dòng tỷ lệ 8

Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

- Một dòng là tổ hợp tuyến tính của các dòng còn lại.

Loại 2: A thay đổi khi Đổi chỗ hai dòng làm định thức đổi dấu

Ơ

A  At

U Y

- Nhân một số với một dòng rồi cộng vào dòng khác

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

TO

ÁN

D

IỄ N

Đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

của các dòng còn lại.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

- Nếu một dòng là tổ hợp tuyến tính làm cho A bằng tổ hợp tuyến tính

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

- Đưa thừa số chung của một dòng ra ngoài

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

-

N

Loại 3: A không thay đổi khi:

9 Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chƣơng 2. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2.1. Phƣơng pháp thế

TR ẦN

4 x  3 y  6 4 x  3(4  2 x)  6 x  3     y  4  2x  y  4  2x  y  2

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là ( x; y)  (3; 2)

10 00

B

2 x  y  5 Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau:  3x  2 y  4

(1) (2)

Ó

A

Lời giải: Ta nhận thấy phương trình (1) biểu diễn nghiệm đơn giản nhất

-L

Í-

H

 y  5  2x và có hệ phương trình tương đương sau:  3x  2 y  4

Đ

ÀN

TO

ÁN

 y  5  2x Theo quy tắc thế ta được:  3x  2(5  2 x)  4  y  5  2x  y  5  2x  y  5  2.2 y 1     3x  10  4 x  4 7 x  14 x  2 x  2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H Ư

N

Theo quy tắc thế hệ phương trình tương đương với hệ phương trình sau:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q G

Đ

Lời giải: Ta nhận thấy phương trình (2) biểu diễn nghiệm đơn giản nhất.

IỄ N D

(1) (2)

TP

4 x  3 y  6 Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau:  2 x  y  4

ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

2.1.2. Một số ví dụ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

Bƣớc 2: Thế vào phương trình còn lại.

http://daykemquynhon.ucoz.com

H N

Bƣớc 1: Chọn một phương trình biểu diễn nghiệm đơn giản nhất.

Ơ

N

2.1.1. Phƣơng pháp giải

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là : ( x; y)  (2;1)

Ví dụ 3. (Phƣơng pháp trắc nghiệm) Các nghiệm sau đây, nghiệm nào là nghiệm của hệ phương trình A.(5;7)

x  y  3  3x  4 y  2

B.(10;7)

C.(7;10)

D.(7;5)

10 Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Đáp số: Phương án B 2.1.3. Bài tập áp dụng 4 x  3 y  9 Bài 1. Giải hệ phương trình sau:  2 x  y  5

(1) (2)

Ơ

N

Lời giải: Ta nhận thấy phương trình (2) biểu diễn nghiệm đơn giản nhất

H

B

Lời giải: Ta nhận thấy phương trình (1) biểu diễn nghiệm đơn giản nhất

10 00

 y  2z  3 và có hệ phương trình tương đương sau:  3 y  2 z  7

-L

Í-

H

Ó

A

5  y    y  2z  3  y  2z  3   2 Theo quy tắc thế ta được:    3(2 z  3)  2z   7  8z  2 z  1   4

TO

ÁN

 5 1 Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ( y; z )    ;  .  2 4

ÀN Đ IỄ N

(1) (2)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

(1) (2)

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TR ẦN

 y  2 z  3 Bài 2. Giải hệ phương trình sau:  3 y  2 z  7

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N TP

ẠO

Đ

H Ư

N

G

 12 1  Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ( x; y )   ;  .  5 5

2 y  2 z  3 Bài 3. Giải hệ phương trình sau:   2y  z  2

D

U Y

.Q

12   x  4 x  3(5  2 x)  9 10 x  15  9  5 Theo quy tắc thế ta được:     y  5  2x  y  5  2x y  1  5 

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

4 x  3 y  9 và có hệ phương tình tương đương sau:   y  5  2x

Lời giải: Ta nhận thấy phương trình (2) biểu diễn nghiệm đơn giản nhất 2 y  2 z  3 và có hệ phương trình tương đương sau:  z  2  2 y

11 Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

1   y  2 y  2(2  2 y )  3   6 y  1  6 Theo quy tắc thế ta được:    z  2  2 y z  2  2 y z  5  3 

Ơ H

TR ẦN

Vậy nghiện của hệ phương trình là:  y; z    2; 1.

Tương tự ta giải các bài toán sau:

10 00

B

3x  2 y  11 Bài 5. Giải hệ phương trình  4 x  5 y  3

A

Đáp án:  x; y    7;5.

Í-

H

Ó

5 x  2 y  9 Bài 6. Giải hệ phương trình  4 x  3 y  2

ÁN

-L

Đáp án:  x; y    1;2 .

Đáp án:  x; y    2; 3.

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

2 x  3 y  13 Bài 7. Giải hệ phương trình  7 x  4 y  2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H Ư

N

G

2(3z  1)  3z  1  3z  3  z  1 Theo quy tắc thế ta được:     y  3 z  1  y  3 z  1  y  2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

TP Đ

ẠO

2 y  3 z  1 và có hệ phương trình tương đương sau:   y  3z  1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

(1) (2)

Lời giải: Ta nhận thấy phương trình (2) biểu diễn nghiệm đơn giản nhất

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

2 y  3 z  1 Bài 4. Giải hệ phương trình sau:   y  3z  1

N

1 5 Vậy nghiệm của hệ phương trình là:  y;z    ;  .  6 3

2.2. Phƣơng pháp cộng đại số 2.2.1. Phƣơng pháp giải Cách giải Bƣớc 1: Nhân hai vế của hai phương trình với số thích hợp (nếu cần) sao

cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau .

12 Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bƣớc 2: Sử dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn).

Bƣớc 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ

Ơ

N

đã cho.

N

H

Ngoài ra ta có thể sử dụng phương pháp khử ẩn số hay phương pháp

H Ư

3x  y  2 x  y  3  7  5x  10

N

Lời giải: Cộng phương trình (1) với phương trình (2) ta có:

TR ẦN

Theo quy tắc cộng đại số hệ phương trình đã cho tương đương với hệ

10 00

B

x  2 5 x  10  phương trình sau:   9 2 x  y  7  y  2

H

Ó

A

 9 Vậy hệ có nghiệm duy nhất là: ( x; y )   2;   2

-L

Í-

3x  2 y  4 Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau:  2 x  y  5

(1) (2)

ÁN

Lời giải: Ta thấy rằng: khử biến y bằng cách nhân 2 vào hai vế phương

TO

trình (2), sau đó cộng từng vế của hai phương trình ta sẽ được hệ phương trình

D

IỄ N

Đ

ÀN

tương đương với hệ phương trình sau:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO Đ

(1) (2)

G

3x  y  3 Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau:  2 x  y  7

TP

2.2.2. Một số ví dụ

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

tương đương với phương pháp cộng đại số ở phổ thông.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

Gauss trong Đại số tuyến tính để giải các hệ phương trình. Phương pháp này

3x  2 y  4 7 x  14 x  2    4 x  2 y  10 2 x  y  5 y 1

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ( x; y)  (2;1) Ví dụ 3. (Phƣơng pháp trắc nghiệm) Các nghiệm sau đây, nghiệm nào là x  3y  5  0 nghiệm của hệ phương trình:  2 y  4  0

13 Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

B.(  1;  2)

A.(1;2)

D.(  10;  5)

C.(10;5)

Đáp số: Phương án A 2.2.3. Bài tập áp dụng

N (1) (2) (3)

B

Lời giải: Lấy (1)  2(2)  (2) và lấy (1)  2(3)  (3) ta sẽ được hệ (1) (2) (3)

Ó

A

10 00

4 x  y  2  phương trình tương đương sau  y  6 z  34  y  2 z  14 

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

1    x  4 x  y  2 2   Lấy (2)  (3) (3) ta được hệ sau:  y  6 z  34   y  4   z  5 4 z  20    1 Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x   , y  4 , z  5 .

2

4 x  2 y  z  3  Bài 3. Giải hệ phương trình sau 3x  y  6 2 x  y  1 

Lời giải: Nhân

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

H Ư

4 x  y  2  Bài 2. Giải hệ phương trình sau 2 x  y  3z  18 2 x  y  z  8 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q ẠO Đ N

G

Vậy hệ phương trình vô số nghiệm.

IỄ N D

TP

x  2 y  0   1 (vô lý) y   0  2

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

của hai phương trình ta sẽ được hệ phương trình tương đương sau:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

1 vào hai vế của phương trình (2), sau đó cộng từng vế 2

U Y

Lời giải: Nhân

(1) (2)

Ơ

x  2 y  0 Bài 1. Giải hệ phương trình sau  2 x  4 y  1

(1) (2) (3)

1 vào cả hai vế của (1) ta được: 4

14 Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

1 1 3  x  y  z   2 4 4  3x  y  6 2 x  y  1  

N

(1) (2) (3)

U Y

TR ẦN

 x  5 y  7 z  7  Bài 4. Giải hệ phương trình sau 4 x  y  9 z  9 5 x  y  z  9 

10 00

B

(1) (2) (3)

Lời giải: Nhân 4(1)  (2)  (2) và nhân 5(1)  (3)  (3) ta sẽ được hệ  x  5 y  7 z  7  tương đương sau: 19 y  19 z  19 26 y  27 z  19 

-L

Í-

H

Ó

A

(1) (2) (3)

1 (2)  (2) và nhân 26(1)  (3)  (3) ta sẽ được hệ phương trình 19

TO

ÁN

nhân

D

IỄ N

Đ

ÀN

 x  5 y  7 z  7  x   16   tương đương như sau:   y  z  1   y  8  z  7 z7  

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H Ư

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: x  5 , y  9 , z  1 .

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q TP ẠO Đ G N

1 1 3  x y z     2 4 4 x  5  1 5  1  y  z     y  9  4 4  6 z  1  1 1  z  4 4

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

đương sau:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Ơ

1 1 Lấy (1)  (2)  (2) và (1)  (3)  (3) ta sẽ được hệ phương trình tương 2 2

Vậy hệ phương trình có nghiệm là : x  16 , y  8 , z  7 . 2 x  3 y  z  8  Bài 5. Giải hệ phương trình sau:  x  4 y  2 z  4 3x  y  2 z  9 

(1) (2) (3)

Lời giải: Đổi phương trình(1) thành (2) và ngược lại ta có hệ : 15 Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

 x  4 y  2 z  4  2 x  3 y  z  8 3x  y  2 z  9 

(1) (2) (3)

Ơ H

10 00

Lời giải: Nhân 2(1)  (2)  (2) ta sẽ được hệ phương trình tương đương

A

sau:

 x  y  3z  2   3 y  5 z  1   2 y  2z  2 

-L

Í-

H

Ó

(1) (2) (3)

Đ

ÀN

TO

ÁN

Đổi phương trình (2) thành phương trình (3) và ngược lại thì ta có hệ:

Nhân

 x  y  3z  2    2 y  2z  2  3 y  5 z  1 

(1) (2) (3)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

(1) (2) (3)

B

TR ẦN

 x  y  3z  2  Bài 6. Giải hệ phương trình sau: 2 x  y  z  3   2 y  2z  2 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

G

N

H Ư

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: x  2 , y  1 , z  1.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

ẠO

TP

.Q

1 (2)  (2) và nhân 11(2)  (3)  (3) ta được hệ tương đương sau: 5  x  4 y  2 z  4  x  2   y  z  0   y  1   z  1 3z  3  

IỄ N D

(1) (2) (3)

Đ

Nhân

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

 x  4 y  2 z  4  trình tương đương như sau:  5 y  5z  0  11y  8 z  3 

N

Nhân 2(1)  (2)  (2) và nhân 3(1)  (3)  (3) ta sẽ được hệ phương

1 (2)  (2) và sau đó nhân 3(2)  (3)  (3) ta được hệ phương 2

 x  y  3z  2  x  3   trình tương đương như sau:   y  z  1   y  2  z  1 2z  2  

16 Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: x  3 , y  2 , z  1.  x  z 1  Bài 7. Giải hệ phương trình sau  3x  y  6 5 x  6 y  12 

(1) (2) (3)

Ơ

H

B

Lời giải: Chia cả hai vế của phương trình (3) cho 2 và sau đó đổi phương

Ó

A

10 00

 x  y  2z  1  trình (3) thành phương trình (1) và ngược lại ta có: 4 x  2 y  4 z  2 7 x  y  2 z  3 

(1) (2) (3)

Í-

H

Nhân 4(1)  (2)  (2) và nhân 7(1)  (3)  (3) ta sẽ được hệ phương trình

-L

x  y  2z  1  tương đương như sau:  6 y  12 z  6  6 y  16 z  4 

Đ

ÀN

TO

ÁN

(1) (2) (3)

 x  y  2z  1 x  0   Lấy (2)  (3) ta được hệ sau:  6 y  12 z  6   y  2   4z  2 1  z   2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

(1) (2) (3)

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TR ẦN

H Ư

7 x  y  2 z  3  Bài 8. Giải hệ phương trình sau: 4 x  2 y  4 z  2 3x  3 y  6 z  3 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q

ẠO

Đ

G

28 18 17 ,y  ,z  .

11 11 11

N

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: x 

IỄ N D

TP

28  x   11 x  z  2  18   phương trình tương đương như sau:   y  3   y   11 11z  17    17  z  11

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

Lời giải: Nhân 3(1)  (2)  (2) và nhân 5(1)  (3)  (3) ta sẽ được hệ

1 Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x  0, y  2, z  .

2

17 Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

2.3. Phƣơng pháp dùng ma trận nghịch đảo 2.3.1. Phƣơng pháp giải Xét phương trình ma trận AX  B , nếu ma trận A có ma trận nghịch đảo là A1 ta có thể tìm được nghiệm của hệ phương trình.

Ơ

N

Nghĩa là từ AX  B ta được A1 AX  A1B hoặc X  A1B

10 00

 x   2 3 7   2  Suy ra       4  1   1 2 y       

Ó

A

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x  2, y  1.

ÁN

-L

Í-

H

2 x1  2 x2  x3  9  Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau:  x1  3x2  x3  10 2 x  3x  x  11 2 3  1

Đ

ÀN

TO

 2 2 1  x1   9  Lời giải: Từ hệ phương trình ta viết được 1 3 1  x2  = 10         2 3 1  x3  11

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

B

2 3  2 3 1 Nếu A   thì  A   1 2  1 2  

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TR ẦN

H Ư

N

2 3 7  và B    Ta có A    1 2 4

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

TP ẠO

G

Đ

 2 3  x  7  Lời giải:Từ hệ phương trình ta viết được       1 2  y   4

IỄ N D

.Q

2 x  3 y  7 Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau:   x  2y  4

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

2.3.2. Một số ví dụ

H

Vậy ta tìm được nghiệm của hệ phương trình là: X  A1B

 2 2 1 9 Ta có A  1 3 1 và B  10       2 3 1 11

18 Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

 2 2 1  0 1 1  nếu A  1 3 1 thì A1   1 0 1       2 3 1  3 2 4 

1

Í-

H

Ó

A

1 3 1  48 27 13  48 28 4  1 1  28 12 8     27 12 1 A1   2 5 3        20 20  3 1 9   4   1 1  1  13 8

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

 20     x  48 28 4   4   192  84  128   20  1  1 1 40      y     27 12 1   3     108  36  32    2       20    20  20   z   13 8 1 32  52  24  32     3  60    20 

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

10 00

B

1 3 1 Do det( A)  2 5 3  45  27  2  (15  54  3)  20 3 1 9

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

N H Ư

TR ẦN

1 3 1  x   4   2 5 3  y    3        3 1 9   z  32

G

Đ

Lời giải: Có thể viết hệ phương trình trên được dưới dạng ma trận sau:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

ẠO

TP

.Q

x  3y  z  4  Ví dụ 3. Giải hệ phương trình sau: 2 x  5 y  3z  3 3 x  y  9 z  32 

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x1  1, x2  2 và x3  3.

N

H

Ơ

N

 x1   0 1 1   9  1  Suy ra  x2    1 0 1  10    2          x3   3 2 4  11  3 

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x  1, y  2,z  3.

Ví dụ 4. (Phƣơng pháp trắc nghiệm) Các nghiệm sau đây, nghiệm nào là  x  2 y  3z  4  0  nghiệm của hệ phương trình 2 x  y  z  3 3x  2 z  9 

19 Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

35 24 5 B.  ; ;   17 17 17 

A.(1;2;3)

29 34 15 C.  ; ;   13 13 13 

19 48 61 D.  ; ;   17 17 17 

Đáp số: Phương án A 2.3.3. Bài tập áp dụng

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x  8 , y  5.

10 00

B

 x  y 1 Bài 2. Giải hệ phương trình sau:  2 x  3 y  2

Í-

H

Ó

A

 1 1  x   1  Lời giải: Từ hệ phương trình ta viết được        2 3  y   2

ÁN

-L

1 1 1 Ta có A   và B      2 3  2 

Đ

ÀN

TO

1 1  3 1 1 Nếu A   thì  A   2 1   2 3  

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

 x  8 3  1  8 Suy ra           y  5 2  0   5

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

H Ư

N

G

Đ

 2 3 8 3  1 Nếu A   thì A   5 2     5 8 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

ẠO

TP

 2 3  1 Ta có A   và B     0  5 8 

IỄ N D

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

 2 3  x   1 Lời giải:Từ hệ phương trình ta viết được        5 8   y   0 

N

H

Ơ

N

2 x  3 y  1 Bài 1. Giải hệ phương trình sau:  5 x  8 y  0

 x   3 1  1   5  Suy ra           y   2 1   2  4

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x  5 , y  4 4 x  5 y  2 Bài 3. Giải hệ phương trình sau:  3x  4 y  1

20 Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

 4 5   x   2 Lời giải: Từ hệ phương trình ta viết được        3 4  y  1   4 5 2 Ta có A   và B      3 3 1 

N Ơ H

Ó

1

ÁN

-L

Í-

H

 2 1 3  2 3 1  2 6 4  1 1  6 9 1     3 9 5 A1   1 1 1       2 2   3 2 0   4 5 1   1 1 1 

Đ

ÀN

TO

  1  3    2  1   2

3 9 2 1  2

   1 2    x  5     3  y   2     2 z 1    1    2  2

3 9 2 1  2

 2    2   2  5     0  3 2      0   1 1      2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

A

10 00

B

2 1 3 Do det( A)  1 1 1  3  6  9  4  2 3 2 0

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TR ẦN

 2 1 3   x   2  Lời giải: Từ hệ phương trình ta viết được  1 1 1   y    0        3 2 0   z   0 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N .Q ẠO Đ G

H Ư

N

2 x  y  3z  2  Bài 4. Giải hệ phương trình sau:  x  y  z  0 3 x  2 y  0 

TP

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x  3 , y  2.

IỄ N D

U Y

 x   4 5  2  3  Suy ra           y   3 4  1   2

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

4 5  4 5 1 Nếu A   thì  A   3 4  3 4  

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x  2 , y  3 , z  1. x  y  z  6  Bài 5. Giải hệ phương trình sau:  x  y  z  2 x  y  z  0 

21 Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC KHOA: TOÁN – LÝ - TIN ----------

TÔ THỊ HOÀN

SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG CÁC BÀI TOÁN SƠ CẤP

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

SƠN LA, NĂM 2018

TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC KHOA: TOÁN – LÝ - TIN ----------

SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG CÁC BÀI TOÁN SƠ CẤP Thuộc nhóm chuyên ngành: Khoa học tự nhiên

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Sinh viên: Tô Thị Hoàn Lớp: K55 ĐHSP Toán Ngƣời hƣớng dẫn: TS. Hoàng Ngọc Anh

SƠN LA, NĂM 2018

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hoàng Ngọc Anh (2012), Đại số tuyến tính, Giáo trình nội bộ Trường Đại học Tây Bắc.

Ơ

N

[2] Lê Tuấn Hoa (2006), Đại số tuyến tính qua các ví dụ và bài tập, NXB

N

H

Đại học Quốc Gia Hà Nội.

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

[5] Nguyễn Đình Trí (2002), Toán học cao cấp tập một, NXBGD.

D

IỄ N

Đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Quốc Gia Hà Nội.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

[4] Nguyễn Doãn Tuấn (2004), Bài tập đại số tuyến tính, NXB Đại học

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Gia Hà Nội.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

[3] Nguyễn Hưu Việt Hưng (2001), Đại số tuyến tính, NXB Đại học Quốc

36 Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo: GVC.TS Hoàng

Ơ

luận này. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo trong khoa

N

Ngọc Anh đã tận tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong quá trình thực hiện khóa

N

G

Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các

TR ẦN

Sơn La, tháng 5 năm 2018 Ngƣời thực hiện khóa luận

Tô Thị Hoàn

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

Tôi xin chân thành cảm ơn!

H Ư

bạn sinh viên để khóa luận của tôi thêm hoàn thiện.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

thực hiện và hoàn thành khóa luận.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

ẠO

trong tập thể lớp K55 - ĐHSP Toán đã động viên, đóng góp ý kiến, giúp đỡ tôi

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

.Q

Đồng thời tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các bạn sinh viên

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện khóa luận.

N

H

Toán - Lý - Tin, phòng Đào tạo Đại học, Thư viện Trường Đại học Tây Bắc đã

Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

IỄ N

D

Í-

-L A

Ó

H B

10 00 TR ẦN G

N

H Ư

Tốt nghiệp quốc gia

THPT Trung học phổ thông

CĐ Cao đẳng

ĐH Đại học

Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

.Q

N

N

Ơ

TNQG

H

Nhà xuất bản

U Y

NXB

TP

Đại học sƣ phạm

ẠO

ĐHSP

Đ

Giảng viên chính. Tiến sĩ

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

ÁN

TO GVC.TS

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

ÀN

Đ

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1

Ơ

2. Mục đích nghiên cứu ...................................................................................... 1

N

1. Lý do chọn khóa luận ..................................................................................... 1

.Q

G

Đ

5. Ý nghĩa khóa luận .......................................................................................... 2

H Ư

N

6. Cấu trúc khóa luận.......................................................................................... 2

TR ẦN

Chƣơng 1: SỐ PHỨC VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN .................................... 3 1. 1. Lịch sử hình thành khái niệm số phức ........................................................ 3

10 00

B

1.2. Định nghĩa số phức...................................................................................... 6 1.2.1. Định nghĩa ................................................................................................ 6

H

Ó

A

1.2.2. Định lý ..................................................................................................... 6

-L

Í-

1.3. Dạng đại số của số phức .............................................................................. 6

ÁN

1.3.1. Xây dựng số i ........................................................................................... 6

TO

1.3.2. Biểu diễn hình học của số phức ................................................................ 7

ÀN

1.3.3. Phép cộng và phép trừ số phức ................................................................. 8

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

ẠO

4. Phƣơng pháp nghiên cứu ................................................................................ 2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

3.2. Phạm vi nghiên cứu ..................................................................................... 1

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

3.1. Đối tƣợng nghiên cứu .................................................................................. 1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu................................................................... 1

D

IỄ N

Đ

1.3.4. Phép nhân số phức .................................................................................... 9 1.3.5. Số phức liên hợp và module của số phức ................................................ 10 1.3.6. Phép chia cho số phức khác không ......................................................... 11 1.3.7. Căn bậc hai của số phức ......................................................................... 11 1.4. Dạng lƣợng giác của số phức ..................................................................... 12

Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

1.4.1. Argument của số phức z  0 .................................................................. 12 1.4.2. Dạng lƣợng giác của số phức .................................................................. 12

Ơ

1.4.4. Công thức Moivre................................................................................... 13

N

1.4.3. Nhân và chia số phức dƣới dạng lƣợng giác ........................................... 12

.Q

G

Đ

2.1.1. Cách chuyển đổi một số phức từ dạng đại số sang lƣợng giác ................ 14

H Ư

N

2.1.2. Nhân và chia hai số phức dƣới dạng lƣợng giác...................................... 16

TR ẦN

2.1.3. Tính toán các biểu thức số phức với lũy thừa lớn.................................... 20 2.1.4. Tìm căn bậc n của số phức...................................................................... 21

10 00

B

2.1.5. Bài tập tự luyện ...................................................................................... 23 2.2. Ứng dụng số phức trong đại số .................................................................. 24

H

Ó

A

2.2.1. Ứng dụng số phức giải hệ phƣơng trình .................................................. 24

Í-

2.2.2. Ứng dụng số phức giải phƣơng trình bậc hai .......................................... 34

ÁN

-L

2.2.3. Ứng dụng số phức chứng minh bất đẳng thức ......................................... 39

TO

KẾT LUẬN...................................................................................................... 46

D

IỄ N

Đ

ÀN

TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 47

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

ẠO

2.1. Ứng dụng số phức trong lƣợng giác........................................................... 14

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

VÀ ĐẠI SỐ ..................................................................................................... 14

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

Chƣơng 2: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG LƢỢNG GIÁC ......................... 14

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

1.4.5. Căn bậc n của số phức dƣới dạng lƣợng giác .......................................... 13

Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn khóa luận Trong các ngành của Toán học thì số phức xuất hiện khá muộn kể từ thế

N

kỷ XVI khi các nhà Toán học nghiên cứu về các phƣơng trình đại số. Mặc dù

H

Ơ

sinh sau nhƣng số phức có rất nhiều đóng góp trong các ngành Toán học nhƣ đại

.Q

Đ

ứng dụng của số phức còn khá hạn chế, đặc biệt là khai thác số phức để giải

N

G

quyết các bài toán sơ cấp khó.

H Ư

Nhằm mục đích đào sâu tìm hiểu về số phức, các ứng dụng của số phức

TR ẦN

trong việc giải các bài toán sơ cấp và đáp ứng mong muốn của bản thân về một đề tài phù hợp mà sau này có thể phục vụ cho việc giảng dạy của mình ở trƣờng

10 00

B

trung học phổ thông nên tôi quyết định chọn khóa luận nghiên cứu: “Số phức và ứng dụng số phức trong các bài toán sơ cấp”.

Ó

A

2. Mục đích nghiên cứu

Í-

H

Nhằm nghiên cứu các ứng dụng của số phức trong việc giải một số dạng

-L

toán thƣờng gặp trong các đề thi cao đẳng, đại học cũng nhƣ thi học sinh giỏi.

ÁN

Phân tích cách giải có sử dụng số phức và so sánh với những cách giải không sử

TO

dụng số phức để rút ra ƣu, nhƣợc điểm trong từng cách giải.

ÀN

3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

ẠO

sinh chỉ mới biết đƣợc những kiến thức cơ bản của số phức, việc khai thác các

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

đến lớp 12. Số phức là một nội dung khá mới mẻ, thời lƣợng không nhiều, học

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ở trƣờng phổ thông thì học sinh chỉ đƣợc tiếp xúc với số phức khi học

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

số, giải tích , lƣợng giác, hình học…

D

IỄ N

Đ

3.1. Đối tƣợng nghiên cứu Các ứng dụng của số phức trong các bài toán sơ cấp phổ thông: đại số, giải tích, lƣợng giác.

3.2. Phạm vi nghiên cứu Từ các nguồn tài liệu, giáo trình của các thầy, cô có nhiều kinh nghiệm 1

Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

trên cùng lĩnh vực, các tài liệu trên mạng và các tài liệu ôn thi cao đẳng, đại học, bồi dƣỡng học sinh giỏi, các tạp chí toán học…

4. Phƣơng pháp nghiên cứu

H

Ơ

trên internet có liên quan đến đề tài của khóa luận) để thu thập thông tin và tập

N

Cơ bản sử dụng phƣơng pháp nghiên cứu tài liệu (sách, báo và các tài liệu

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

G

Đ

và học toán ở nhà trƣờng, đem lại niềm say mê, hứng thú, sáng tạo cho giáo viên

H Ư

N

và học sinh.

TR ẦN

6. Cấu trúc khóa luận

Cấu trúc của khóa luận: Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo,

B

khóa luận gồm 2 chƣơng:

10 00

Chương 1: Số phức và các khái niệm cơ bản

A

Chương 2: Ứng dụng số phức trong giải một số dạng toán về lượng

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

giác và đại số

D

IỄ N

Đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

học sinh giỏi toán ở bậc trung học phổ thông. Góp phần thiết thực cho việc dạy

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

Hệ thống hóa đƣợc một khóa luận phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dƣỡng

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

5. Ý nghĩa khóa luận

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

hợp các bài toán phục vụ cho yêu cầu của đề tài.

2 Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

NỘI DUNG

Ơ

N

Chƣơng 1: SỐ PHỨC VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

.Q

biết cách giải phƣơng trình bậc ba. Có nguồn tin nói rằng một giáo sƣ toán

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

G

cách giải của ông chƣa hoàn chỉnh. Mãi đến khi ông sắp qua đời, ông mới truyền

H Ư

N

lại cách giải (chƣa hoàn chỉnh) cho học trò ông là một nhà toán học ít tên tuổi là

TR ẦN

Antonio Mario Fior.

Nhƣng dù có nguồn tin nhƣ vậy, Tartaglia vẫn tìm ra cách giải một độc

B

lập. Nhƣng Fior không tin, tìm cách giảm uy tín của Tartaglia bèn thách thức

10 00

Tartaglia giải 30 phƣơng trình bậc ba trong 2 giờ. Ngƣợc lại, Fior cũng nhận

A

thách thức sẽ giải 30 phƣơng trình bậc ba do Tartaglia đặt ra.

H

Ó

Thời bấy giờ, việc giải các phƣơng trình bậc ba nói trên đều đƣợc làm một

Í-

cách mò mẫm. Trong đêm 12 sáng ngày 13 tháng 2 năm 1535 là hạn cuối cùng

-L

cuộc thi giữa Tartaglia và Fior thì Tartaglia đã tìm ra cách giải tổng quát 30

ÁN

phƣơng trình mà Fior đã ra cho ông trong khi đó thì Fior đang bí và chỉ giải đƣợc một phƣơng trình mà thôi vì vậy chỉ sau vài giờ là Tartaglia đã giải xong

ÀN

toàn bộ để lãnh thƣởng là 30 bữa tiệc liên tiếp. Ông giữ kín phƣơng pháp giải,

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

giải phƣơng trình x 3  px  q , nhƣng ông không hề công bố, ngƣời ta nghĩ rằng

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

trƣờng Đại học Bologne (Ý) tên là Scipione Del Ferro (1465-1526) đã biết cách

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

Tƣơng truyền vào những năm đầu thế kỉ XVI, có lẽ trên thế giới chƣa ai

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

1. 1. Lịch sử hình thành khái niệm số phức

D

IỄ N

Đ

hy vọng còn dự thi lần nữa để lấy thƣởng.

Cardano (1501-1576) lúc này cũng chƣa tìm ra cách giải phƣơng trình bậc ba trong trƣờng hợp tổng quát. Khi nghe tin Tartaglia thắng Fior, Cardano muốn gặp ngay Tartaglia. Tháng 3 năm 1539 nhân gặp Tartaglia ở Milan, Cardano bèn chớp cơ hội nhờ Tartaglia bày cho mình cách giải tổng quát phƣơng trình bậc 3

Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

ba. Cardano phải thề thốt rằng sẽ không bao giờ truyền cho ai “bí mật” này hoặc công bố trên sách, báo chí. Nhƣng sau đó nghe loáng thoáng rằng giáo sƣ Scipione del Ferro đã tìm ra cách giải trƣớc Tartaglia nên Cardano đã không giữ lời hứa với Tartaglia bèn cho công bố trong tác phẩm của ông là Ars magna vào

H

Ơ

N

năm 1545.

.Q

vã giữa hai ngƣời này, và cuộc cãi vã này sẽ không có hồi kết thúc nếu nhƣ

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

G

Đ

nên nếu gặp phải căn bậc 2 của số âm thì cả hai đều cho là vô lý.

H Ư

N

Nhân nói về Cardano thì ông là một nhà bác học ngƣời Ý. Ông sinh năm

TR ẦN

1501, đạt học vị tiến sĩ y khoa năm 1526, nhƣng không đƣợc hành nghề y, mà trở thành thầy giáo dạy Toán. Ông có trên 200 công trình về các lĩnh vực Toán

B

học, Y học, Triết học, Thiên văn học, Âm nhạc và Thần học. Năm 1545 ông

10 00

xuất bản quyển sách “Nghệ thuật lớn giải các phƣơng trình đại số”. Trong cuốn sách này ông trình bày cách giải phƣơng trình bậc ba, bậc bốn và đề cập tới căn

Ó

A

bậc hai của số âm. Có thể nói sự nghiên cứu số phức khởi nguồn từ công trình

Í-

H

này.

-L

Còn đối với R.Bombelli (1526-1573), ngƣời ta xem ông là một kỹ sƣ

ÁN

đồng thời là nhà Toán học, nhƣng ít ai biết lai lịch của ông. Sự đóng góp của nhà khoa học ngƣời Ý này chủ yếu là hệ thống hóa kiến thức về các phép tính số

ÀN

phức. Năm 1560 R.Bombelli viết tác phẩm Đại số trong đó có điều thú vị là ông

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

giải phƣơng trình bậc ba cả Tartaglia và Cardano đều chƣa biết số phức là gì cho

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

không có sự xuất hiện công trình nghiên cứu của Bombelli về số ảo. Vì khi đi

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

sách của mình nhan đề “New Problems and inventions”. Từ đó xảy ra cuộc cãi

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

Tartaglia vô cùng tức giận, bèn quyết tâm vạch mặt Cardano trong quyển

D

IỄ N

Đ

xét phƣơng trình bậc ba: x 3  x  n và ông chỉ ra rằng phƣơng trình trên có ba nghiệm thực nếu

n m  là âm. Trong trƣờng hợp này công thức của Tartaglia2 3

Cardano không dùng đƣợc vì trong trƣờng hợp này ta gặp phải căn bậc 2 của số âm, là một trở ngại vào thời đó chƣa ai vƣợt qua nổi. Với sự sáng tạo của mình , Bombelli vẫn dùng công thức trên nhƣng tìm cách vƣợt qua trở ngại đó. Ví dụ 4 Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

với phƣơng trình x 3 15x  4 , ông làm việc với các số có dạng a  b 1 nhƣ đối với số thực, ông nhận xét rằng 2  1 là căn bậc 3 của 2  121 và công

Ơ

trình x 3 15x  4 , còn các nghiệm khác có đƣợc là nhờ ba căn bậc 3 của

N

thức Cardano-Tartaglia đã cho ông kết quả x  4 là một nghiệm của phƣơng

U Y

phức. Đời sau đánh giá Bombelli là ngƣời có công đầu tiên trong việc tìm hiểu

Đ

ảo không đƣợc hình dung một cách rõ ràng mà còn đầy bí ẩn. Chẳng hạn, lịch sử

G

cũng ghi lại rằng I.Newton đã không thừa nhận các đại lƣợng ảo và không xem

H Ư

N

các đại lƣợng ảo thuộc vào các khái niệm số, còn G.Leibniz thì thốt lên rằng:

TR ẦN

“Các đại lƣợng ảo- đó là nơi ẩn náu đẹp đẽ huyền diệu đối với tinh thần của đấng tối cao, đó dƣờng nhƣ một giống lƣỡng cƣ sống ở một chốn nào đấy giữa

B

cái có thật và không có thật”.

10 00

Thuật ngữ số phức đƣợc dùng đầu tiên bởi K.Gauss (năm 1831). Vào thế kỷ XVII-XVIII nhiều nhà toán học khác cũng đã nghiên cứu các tính chất của

H

Ó

A

đại lƣợng ảo (số phức) và khảo sát các ứng dụng của chúng. Chẳng hạn L.Euler

Í-

mở rộng khái niệm logarit cho số phức bất kì (1738), còn Moivre nghiên cứu và

-L

giải bài toán căn bậc tự nhiên đối với số phức (1736).

ÁN

Sự nghi ngờ đối với số ảo (số phức) chỉ tiêu tan khi nhà toán học ngƣời

TO

Nauy là C.Wessel đƣa sự minh họa hình học về số phức và các phép toán trên

ÀN

chúng trong công trình công bố năm 1799. Đôi khi phép biểu diễn minh họa số

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Đến thế kỷ XVIII bản chất đại số và bản chất hình học của các đại lƣợng

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

số phức.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

2  121 . Điều này đƣa ông đến chỗ tìm đƣợc các qui tắc tính toán đối với số

D

IỄ N

Đ

phức cũng đƣợc gọi là “sơ đồ Argand” để ghi nhận công lao của nhà toán học

Thụy Sỹ R.Argand- ngƣời thu đƣợc kết quả nhƣ của Wessel một cách độc lập.

Lí thuyết thuần túy số học đối với các số phức với tƣ cách là các cặp số thực có thứ tự  a;b  ,a  ,b  đƣợc xây dựng bởi nhà toán học Ailen là W.Hamilton(1837). Ở đây đơn vị “ảo” i chỉ đơn giản là một cặp số thực có thứ 5

Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

tự cặp  0;1 , tức là đơn vị “ảo” đƣợc lí giả một cách hiện thực.

Cho đến thế kỷ XIX, Gauss mới thành công trong việc luận chứng một cách vững chắc khái niệm số phức. Tên tuổi của Gauss cũng gắn liền với phép

10 00

B

Phép nhân: z1.z 2   x1.x 2  y1.y2 ;x1.y2  x 2.y1 

2

cùng với hai phép toán cộng và nhân đƣợc định nghĩa nhƣ trên gọi

Ó

Tập

A

1.2.1. Định nghĩa

Í-

H

, phần tử  x, y  



để chỉ tập hợp

ÁN

Kí hiệu

là một số phức.

\  0;0  .

-L

là tập số phức



, ,



là một trƣờng (nghĩa là trên

Đ

ÀN

TO

1.2.2. Định lý

IỄ N

với các phép toán đã định nghĩa

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

Phép cộng: z1  z 2   x1  x 2 ; y1  y2 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

nhƣ sau:

N

z1   x1, y1  ;z 2   x 2 , y2 

2

H Ư

Ta xây dựng các phép toán trên

G

Đ

ẠO

x  x 2 Hai phần tử  x1 , y1  và  x 2 , y2  bằng nhau khi và chỉ khi:  1  y1  y 2

có các tính chất tƣơng tự trên

D



.Q

  z   x;y  x, y



TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

2

N

1.2. Định nghĩa số phức Xét tập

Ơ

mọi phƣơng trình đa thức đều có nghiệm.

H

rằng trong trƣờng số phức

N

chứng minh chính xác đầu tiên đối với Định lí cơ bản của Đại số khẳng định

với các phép toán cộng nhân thông thƣờng).

1.3. Dạng đại số của số phức 1.3.1. Xây dựng số i Xét tƣơng ứng: f : 

 0 6

Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

x

 x;0 

Dễ thấy f là ánh xạ và hơn nữa là một song ánh.

Ngoài ra ta cũng có:  x;0    y;0    x  y;0  và  x;0 . y;0    xy;0 

H

Ơ

N

Vì f là song ánh nên ta có thể đồng nhất  x;0   x

TR ẦN

Biểu thức x  yi đƣợc gọi là dạng đại số của số phức z  (x, y) .

10 00

B

Kí hiệu: x  Re(z) gọi là phần thực của số phức z .

A

x  Im(z) gọi là phần ảo của số phức z .

H

Ó

Chú ý

 .

ÁN

-L

a  0i  a 

Í-

Số phức z  a  0i có phần ảo bằng 0 đƣợc coi là số thực và viết là

TO

Số phức có phần thực bằng 0 đƣợc gọi là số ảo (còn gọi là số thuần ảo):

Đ

ÀN

z  0  bi  bi (b  );i  0  1i  1i .

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

và i 2  1 .

z  x  yi, x, y 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

có thể biểu diễn duy nhất dƣới dạng

N

2

H Ư

Mỗi số phức z  (x, y) 

G

Đ

Định lý

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

ẠO

Từ đó ta có kết quả sau:

IỄ N D

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

và z  (x, y)  (x;0)  (0; y)  (x;0)  (y;0).(0;1)  x  yi

U Y

N

Đặt i   0;1 thì i 2   0;1. 0;1   1;0   1

Số 0  0  0i  0i vừa là số thực vừa là số ảo.

Hai số phức z  a  bi(a,b  );z'  a ' b'i(a ',b'  ) gọi là bằng nhau

nếu a  a ' ,b  b' . Khi đó ta viết z  z '.

1.3.2. Biểu diễn hình học của số phức Xét mặt phẳng Oxy. Mỗi số phức z  ax+bi (a,b  ) đƣợc biểu diễn bởi 7

Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

điểm M có tọa độ  a;b  . Ngƣợc lại, rõ ràng mỗi điểm M(a;b) biểu diễn một số phức z  ax+bi (a,b  ) . Ta còn viết M(a  bi) hay M(z).

Vì thế mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức còn gọi là mặt phẳng phức.

H Ư

N

Tổng của hai số phức z  a  bi(a,b  );z'  a ' b'i(a ',b'  ) là số phức

TR ẦN

z  z'  a  a ' (b  b')i Tính chất phép cộng số phức

10 00

B

+) Tính chất kết hợp: (z  z')  z"  z  (z' z") , z,z',z"  +) Tính chất giao hoán: z  z'  z' z , z,z' 

Ó

A

+) Cộng với 0: z  0  0  z , z 

Í-

H

+) Với mỗi số phức z  a  bi(a,b  ) , nếu khí hiệu số phức a  bi là

ÁN

-L

z thì ta có: z  (z)  (z)  z  0 . Số z đƣợc gọi là số đối của số phức z.

TO

b) Phép trừ hai số phức

z  z'  z  (z').

D

IỄ N

Đ

ÀN

Hiệu của hai số phức z và z ' là tổng của z với z ' tức là:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

Đ

Định nghĩa

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

ẠO

a) Tổng của hai số phức

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q TP

1.3.3. Phép cộng và phép trừ số phức

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Các điểm trên trục tung Oy biểu diễn số ảo nên gọi là trục ảo.

U Y

N

H

Các điểm trên trục hoành Ox biểu diễn các số thực, nên gọi là trục thực.

Ơ

N

Gốc tọa độ O biểu diễn bằng số 0.

Nếu z  a  bi(a,b  );z'  a ' b'i(a ',b'  ) thì: z  z'  a  a ' (b  b')i. c) Ý nghĩa hình học của phép cộng và phép trừ Trong mặt phẳng phức, ta coi điểm M có tọa độ  a;b  biểu diễn số phức

z  a  bi. Ta cũng coi mỗi vecto u có tọa độ (a;b) biểu diễn số phức 8 Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

z  a  bi.

Khi đó, nói điểm M biểu diễn số phức z cũng có nghĩa là vecto OM biểu diễn số phức đó.

Ơ

N

Dễ thấy rằng, nếu u,u ' theo thứ tự biểu diễn số phức z,z' thì u  u ' thì

G

Đ

phép nhân một cách hình thức biểu thức a  bi với biểu thức a ' b'i rồi thay

H Ư

N

i 2  1, ta đƣợc (a  bi)(a ' b'i)  aa ' bb'i 2  (ab' a 'b)i  aa ' bb' (ab' a 'b)i

TR ẦN

Định nghĩa

10 00

zz'  aa ' bb' (ab' a 'b)i

B

Tích hai số phức z  a  bi(a,b  );z'  a ' b'i(a ',b'  ) là số phức

Nhận xét

H

Ó

A

Với mọi số thực k và mọi số phức a  bi (a,b  ) thì:

-L

Í-

k(a  bi)  (k  0i)(a  bi)  ka  kbi

ÁN

Đặc biệt: 0z  0 , z 

Đ

ÀN

TO

b) Tính chất của phép nhân số phức Tính chất giao hoán: zz'  z'z, z 

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Cho hai số phức z  a  bi(a,b  );z'  a ' b'i(a ',b'  ) . Thực hiện

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

a) Tích của hai số phức

IỄ N D

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

1.3.4. Phép nhân số phức

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

H

biểu diễn số phức z  z' và u  u ' biểu diễn số phức z  z'.

Tính chất kết hợp: (zz')z"  z(z'z"), z,z',z"  Nhân với 1: 1.z  z.1  z, z  Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:

z(z' z")  zz' zz", z,z',z"  9 Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

1.3.5. Số phức liên hợp và module của số phức a) Số phức liên hợp Định nghĩa

H

Ơ

N

Số phức liên hợp của số phức z  a  bi(a,b  ) là z  a  bi

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

N

G

Đ

Định lý

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

xứng với nhau qua trục thực Ox.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

2. Hai số phức liên hợp khi và chỉ khi các điểm biểu diễn của chúng đối

z  z, z 

2.

z.z 

3.

z1  z 2  z1  z 2 , z1,z 2 

4.

z1.z2  z1.z2 , z1,z 2 

5.

z 1  (z)1, z 

6.

 z1  z1    , z1 ,z 2   z2  z2 Re(z) 

zz , z,z  2

Im(z) 

zz , z,z  2i

ÁN

7.

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

1.

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

1. z  z

ÀN

8.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

Nhận xét

Định nghĩa

D

IỄ N

Đ

b) Module của số phức

Module của số phức z  a  bi(a,b  ) là số thực không âm

a 2  b2 và

đƣợc kí hiệu là z .

10 Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Định lý Cho số phức z thì:

 z  Re(z)  z và  z  Im(z)  z

2.

z 0

3.

z  z  z

4.

z1.z 2  z1 . z 2

5.

z1  z2  z1  z 2  z1  z 2

6.

z 1  z

7.

z z1  1 z2 z2

10 00

B

Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là z 1 

1 z

2

z.

A

z' của phép chia số phức z ' cho số phức z khác 0 là tích của z ' z

Í-

H

Ó

Thƣơng

z'  z '.z 1 z

ÁN

-L

với số phức nghịch đảo của z, tức là

TO

1.3.7. Căn bậc hai của số phức

D

IỄ N

Đ

ÀN

Định nghĩa

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Định nghĩa

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TR ẦN

1.3.6. Phép chia cho số phức khác không

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y .Q TP N

G

Đ

ẠO

1

H Ư

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

H

Ơ

N

1.

Cho số phức w  a  bi(a,b  ). Mỗi số phức z  x  yi (x, y  ) gọi là

một căn bậc hai của w khi và chỉ khi: x 2  y2  a z w 2xy  b 2

11 Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

1.4. Dạng lƣợng giác của số phức 1.4.1. Argument của số phức z  0 Định nghĩa

Ơ

N

Cho số phức z  0. Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số

U Y

là một Argument của z.

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

N

G

Hai số phức z và iz (với z  0 và i là số thực dƣơng) có Argument sai

H Ư

khác k2, vì các điểm biểu diễn của chúng cùng thuộc một tia gốc O.

TR ẦN

1.4.2. Dạng lƣợng giác của số phức

B

Xét số phức z  a  bi  0(a,b  )

10 00

Kí hiệu r là module của z và  là một Argument của z thì dễ thấy

H Í-

Định nghĩa

Ó

A

a  r cos , b  rsin . Từ đây ta có:

-L

Dạng z  r(cos   isin ) trong đó r  0 đƣợc gọi là dạng lƣợng giác của

ÁN

số phức z  0.

1.4.3. Nhân và chia số phức dƣới dạng lƣợng giác

D

IỄ N

Đ

ÀN

Định lý

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

  k2, k  .

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

Nếu  là một Argument của z thì mọi Argument của z có dạng

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nhận xét

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

phức z. Số đo (rađian) của một góc lƣợng giác tia đầu Ox, tia cuối OM đƣợc gọi

Nếu z  r(cos   isin ) và z'  r '(cos  ' isin  ') (r,r '  0) thì:

zz'  rr '[cos(+')+isin(+')]

z r   cos(   ')  isin(   ') ( khi r  0 ) z' r '

12 Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

1.4.4. Công thức Moivre Từ công thức nhân số phức dƣới dạng lƣợng giác, bằng quy nạp toán hoặc dễ dàng suy ra rằng với mọi số nguyên dƣơng n ta có:

 r n (cos n  isin n).

N G

Đ

w n  z. (n là số nguyên cho trƣớc, n  0 )

H Ư

N

Định lý

TR ẦN

Khi w  0, ta viết w dƣới dạng lƣợng giác w  R(cos   isin ), R  0.

B

   k2    k2    Khi đó căn bậc n của w là số phức z  n R  cos    isin    . n n n n      

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

Lấy k  0;1;2;.........;n 1 ta đƣợc n căn bậc n phân biệt của w.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Cho số phức z, một số phức w đƣợc gọi là căn bậc n của số phức z nếu

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

Định nghĩa

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

N U Y .Q

1.4.5. Căn bậc n của số phức dƣới dạng lƣợng giác

http://daykemquynhon.ucoz.com

H

Đặc biệt: Khi r  1 thì: (cos   isin )n  cosn  isin n.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

n

Ơ

 r(cos   isin 

13 Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Chƣơng 2: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG LƢỢNG GIÁC VÀ ĐẠI SỐ

Ơ

N

2.1. Ứng dụng số phức trong lƣợng giác

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

  2 2 2 2 r  a  b r  a  b   a a thức hai số phức ta có: a  r cos   cos    ,(1) 2 2 r a  b b  r sin     b b ,(2) sin    2 2 r a  b 

10 00

Hệ phƣơng trình trên cho phép chúng ta thực hiện việc chuyển đổi dễ

A

dàng từ đại số sang lƣợng giác.

H

Ó

Chú ý

Í-

- Từ các hệ thức (1) và (2), kết hợp với kiến thức lƣợng giác về cung và

ÁN

-L

góc lƣợng giác ta sẽ xác định đƣợc .

TO

- Nhiều số phức cho dạng “na ná” lƣợng giác rất dễ làm chúng ta “lầm

ÀN

tƣởng” đó chính là dạng lƣợng giác. Nhƣng không, bằng việc chuyển đổi linh

D

IỄ N

Đ

hoạt các công thức từ cos sang sin và ngƣợc lại ta sẽ thu đƣợc dạng lƣợng giác

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

ta phải tìm đƣợc moudle và argument của số phức. Bằng việc đồng nhất biểu

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

Để chuyển số phức z  a  bi sang dạng lƣợng giác z  r  cos   isin 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

a) Phƣơng pháp giải

http://daykemquynhon.ucoz.com

H

2.1.1. Cách chuyển đổi một số phức từ dạng đại số sang lƣợng giác

“chính gốc”.

- Trong các biểu thức cho phép xác định  thì thƣờng có hai giá trị 

chấp nhận đƣợc, tùy thuộc vào chiều quay mà ta chọn để lấy  theo chiều dƣơng hay chiều âm (ví dụ cặp giá trị   

5 7 hoặc   đều chấp nhận đƣợc).

6 6 14

Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

b) Một số ví dụ Ví dụ 1: Tính module và argament của các số phức sau:

b) z  3  i

N Ơ H

 4

H

Ó

A

Vậy số phức z  1  i có: r  2 và  

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

  r  a 2  b 2  3  1 r  2  r  2   a a 3 3   b) z  3  i  cos      cos     r 2 3 1 a 2  b2     6 1   b b 1   sin sin        2 r 3 1 a 2  b2 

Vậy số phức z  3  i có: r  2 và  

D

IỄ N

r  2 1    2    4 1 2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

   2 2 r  2 r  a  b  1  1   a a 1  a) z  1  i  cos      cos   r 11 a 2  b2     b b 1 sin      sin   2 2 r  1 1  a b 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y .Q TP ẠO

G

Đ

  2 2 r  a  b  a a Áp dụng các công thức: cos    r a 2  b2   b b sin    2 r a  b2 

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Lời giải:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

a) z  1  i

 .

6

Ví dụ 2: Viết các số phức sau dƣới dạng lƣợng giác:

a)z  3  i

b)z  1  i 3 15

Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

H

Ó

A

2.1.2. Nhân và chia hai số phức dƣới dạng lƣợng giác

Í-

a) Phƣơng pháp giải

ÁN

-L

Nhân hai số phức dƣới dạng lƣợng giác

TO

Cho hai số phức dạng lƣợng giác z1  r1  cos 1  isin 1  và

ÀN

z2  r2  cos 2  isin 2  . Khi đó số phức z  z1.z 2 đƣợc cho bởi công thức

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

10 00

B

   Vậy dạng lƣợng giác của số phức z  1  i 3 là: z  2  cos  isin  .

3 3 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP

ẠO

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

   2 2 r  2 r  a  b  1  3  r  2  a a 1 1   b) z  1  i 3  cos      cos     2 2 r 2    1 3 a  b    3   3 b b 3 sin    sin     2 2 2 r 1 3  a b

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q

    Vậy dạng lƣợng giác của số phức z  3  i là: z  2  cos  isin .

6 6  

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Ơ

  r  a 2  b 2  3  1 r2   r  2   a a 3 3     cos    a)z  3  i  cos     2 2 r 2    3  1 a  b    6 1   1 b b  sin    2 sin    2  2 r 3 1 a b 

N

Lời giải:

D

IỄ N

Đ

z  z1.z 2  r1.r2 cos  1  2   isin  1  2  . Từ đó ta có số phức z  z1.z 2 có

module và argument thỏa mãn: r  r1.r2 và   1  2 .

Chứng minh: Thật vậy ta có: z  z1.z 2  r1  cos 1  isin 1  . r2  cos 2  isin 2  16

Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

 r1.r2  cos 1.cos 2  sin 1.sin 2   i  cos 1.sin 2  sin 1 cos 2    r1.r2 cos  1  2   isin  1  2   Chia hai số phức dƣới dạng lƣợng giác

Ơ H

z1 r1 z  cos  1  2   isin  1  2   . Từ đó ta có số phức z  1 có z 2 r2 z2

r1.r2  cos 1 .cos 2  sin 1 .sin 2   i sin1 .cos2  cos1 .sin2  

A



10 00

B

z1 r1  cos 1  isin 1   r1  cos 1  isin 1   . r2  cos 2  isin 2    z 2 r2  cos 2  isin 2  r22

H

Ó

r1 cos  1  2   isin  1  2  . r2 

-L

Í-



r22

ÁN

b) Một số ví dụ

a)z  2  cos18o  isin18o  cos72o  isin 72o  cos85o  isin85o b)z  cos 40o  isin 40o

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

Ví dụ 1: Viết các số phức sau dƣới dạng đại số

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

Thật vậy ta có:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

ẠO

H Ư

N

Chứng minh:

z

Đ

r1 và   1  2 . r2

G

module và argument thỏa mãn: r 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

U Y

z1 đƣợc cho bởi công thức z2

.Q

z

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

z2  r2  cos 2  isin 2  . Khi đó số phức z 

N

Cho hai số phức dạng lƣợng giác z1  r1  cos 1  isin 1  và

Lời giải: a) Áp dụng công thức z  z1.z 2  r1.r2 cos  1  2   isin  1  2  ta có:

17 Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

z  2  cos18o  isin18o  cos72o  isin 72o   2 cos 18o  72o   isin 18o  72o    2  cos90o  isin 90o   i 2



B

10 00



3 i



`

b) z 

1 i 2  2i

Lời giải:

ÁN

-L

Í-

H

a) z  1  i 

Ó

A

Ví dụ 2: Viết các số phức sau dƣới dạng lƣợng giác:

TO

Đối với phần (a) ở ví dụ 2 chúng ta hoàn toàn có thể thực hiện phép nhân

ÀN

ngay rồi chuyển kết quả thành lƣợng giác, nhƣng thƣờng thì do argument của số

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

cos85o  isin85o 1 1 là z   i o o cos 40  isin 40 2 2

Vậy dạng đại số của số phức z 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ

TR ẦN

H Ư

N

G

cos85o  isin85o z  cos  85o  40o   isin 85o  40o   cos 45o  isin 45o o o cos 40  isin 40 1 1 1 1   iz  i 2 2 2 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y z1 r1  cos  1  2   isin  1  2   , ta đƣợc: z 2 r2 

ẠO

b) Áp dụng công thức z 

TP

.Q

là z  i 2 Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

N

Vậy dạng đại số của số phức z  2 cos18o  isin18o cos72o  isin 72o

http://daykemquynhon.ucoz.com



H



Ơ

N

zi 2

D

IỄ N

Đ

phức khó tìm đƣợc kết quả đẹp nên chúng ta sẽ chuyển từng biểu thức sang

lƣợng giác rồi thực hiện phép nhân sau.

Với những dạng bài toán nhƣ thế này thì khi chuyển sang lƣợng giác chúng ta có thể thực hiện nhanh mà không phải trình bày rƣờm rà thao tác chuyển nhƣ thế nào.

18

Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

       a) Ta có: 1  i  2  cos  isin  ; 3  i  2  cos  isin  4 4 6 6               isin 3  i   2  cos  isin   . 2  cos  4 4    6 6    



G

b) Ta có:

TR ẦN

H Ư

N

       1  i  2  cos  isin  ;2  2i  2 1 i  2 2 cos  isin  4 4  4 4  

10 00

B

    2  cos  isin  1 i 4 4  1         z   cos      isin        2  2i  2  4 4  4 4  2 2  cos  isin  4 4 

Í-

H

Ó

A

1    1   cos  isin  i 2 2 2  2

ÁN

-L

1 1 i Vậy z   i là dạng lƣợng giác của số phức z  2 2  2i

ÀN

TO

Chú ý

Có thể dùng máy tính bỏ túi để chuyển đổi dạng đại số với dạng lƣợng

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/



MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

3 i

ẠO



Đ

z  1  i 

TP

.Q

   Vậy z  2 2 cos isin  là dạng lƣợng giác của số phức 12 12  

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

N

H

Ơ

    2 2  cos  isin  12 12  

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN



N

Khi đó z  1  i 

D

IỄ N

Đ

giác của số phức z  0. Chẳng hạn, dụng máy tính bỏ túi CASIO fx  500MS để: 1) Đổi từ dạng đại số z  1  3i thành dạng lƣợng giác

z  r  cos   isin  thì (đặt ở chế độ “rađian”) ấn liên tiếp:

19 Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Pol( 1 ,

3

)

 : trên màn hình hiện 2 (tức là r  2 );

Ơ

 3 )

 trên màn hình hiện 1

Đ

G N

H Ư

2.1.3. Tính toán các biểu thức số phức với lũy thừa lớn

TR ẦN

a) Phƣơng pháp giải

B

Công thức Moivre

10 00

Từ công thức nhân số phức dƣới dạng lƣợng giác, bằng quy nạp toán học

A

dễ dàng suy ra rằng với mọi số nguyên dƣơng n, ta có:

r  cos   isin   r n  cosn  isin n và khi r  1, ta có:

Í-

H

Ó

n

n

-L

 cos   isin 

 cosn  isin n. Cả hai công thức đó đều đƣợc gọi là

TO

ÁN

công thức Moivre.



a) z  1  i 3



1 i  b) z    1 i 

100

6

IỄ N

Đ

ÀN

b) Ví dụ: Tính module và viết các số phức liên hợp của mỗi số phức sau:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/



F : trên màn hình hiện F  1,732050808 (tức là b  3 .

ấn tiếp RCL

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

ẠO

(tức là a  1),

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y



.Q

Rec( 2 , SHIET

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

z  a  bi thì (đặt chế độ “rađian”) ấn liên tiếp:

SHIET

H N

   2) Đổi từ dạng lƣợng giác z  2  cos  isin  thành dạng đại số 3 3 

N

 F : trên màn hình hiện F  1,047197551 (tức là    .

3

ấn tiếp RCL

D

Lời giải:

2 2    isin  a) Ta có: 1  i 3  2  cos 3 3   20 Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com 6



Ơ



N

  2 2    z  1  i 3   2  cos  isin   3 3    12 12  6   26  cos  isin   2  cos 4  isin 4  3 3    26  z  64 6

100

100 100  isin 1 2 2

10 00

B

Vậy z  1;z 1.

 cos

2.1.4. Tìm căn bậc n của số phức

Ó

A

Cho số phức z, một số phức w đƣợc gọi là căn bậc n của số phức z nếu

Í-

H

w n  z.

-L

a) Phƣơng pháp giải

TO

ÁN

Giả sử số phức z đã cho là z  r  cos   isin  , và số phức w là

 r '  cos  ' isin  '    r  cos   isin    r 'n cos  n '  isin  n '    r  cos   isin   n

D

IỄ N

Đ

ÀN

w  r '  cos  ' isin  ' . Khi đó điều kiện w n  z tƣơng đƣơng với:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

      cos  isin  2 2  

TR ẦN

100

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

1 i    1 i 

H Ư

N

G

Đ

ẠO

    2  cos  isin  1 i   4 4      cos  isin  i   1 i 2 2  2  cos  isin  4 4 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

TP

.Q

       b) Ta có: 1  i  2  cos  isin  ;1  i  2  cos  isin  4 4  4 4  

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

H

Vậy z  64;z  64.

r '  n r r 'n  r   Từ đó suy ra    k2 ; với k  0;1;2;3;.....;n 1. n  '    k2   '     n 21 Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Vậy các căn bậc n của số phức z là:

  k2   k2    isin w  n r  cos  ,k  0,n  1 n n  

Ơ

N

b) Ví dụ: Tìm căn bậc 3 của z  3  i

U Y

B

3

3

    2  cos  isin  18 18  

Ó

A

10 00

Với k = 0 ta đƣợc: w1 

      2  cos 6  isin 6   3 3    

H

Với k = 1 ta đƣợc :

-L

Í-

     2   2    2  cos 6  isin 6  3 3    

3

3

11 11   2  cos  isin  18 18  

Với k = 2 ta đƣợc :

Đ

ÀN

TO

ÁN

w2 

w3 

3

     4  4   2  cos 6  isin 6  3 3    

3

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

3

TR ẦN

w

H Ư

N

     k2   k2    2  cos 6  isin 6  ,k  0,2 3 3    

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

G

Đ

Theo công thức tính căn bậc n của số phức ta có :

ẠO

Gọi số phức w  r(cos  isin  là căn bậc 3 của z, khi đó w 3  z .

IỄ N D

.Q TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

    Ta có z  3  i  2  cos  isin  6 6  

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Lời giải:

23 23   2  cos  isin  18 18  

Vậy số phức đã cho có ba căn bậc ba là :

22 Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

    w1  3 2  cos  isin  18 18   11 11   w 2  3 2  cos  isin  18 18  

H

Ơ

N

23 23   w 3  3 2  cos  isin  18 18  

.Q 2 3

H Ư

Bài 2: Viết các số phức sau dƣới dạng lƣợng giác:

b)z  5  5 3i 4 4   b)z  10  cos  isin  3 3  

10 00

B

4 4   Đáp án: a)z  2  cos  isin  3 3  

TR ẦN

a)z  1  i 3

A

Bài 3: Viết các số phức sau dƣới dạng đại số:

Í-

H

Ó

a)z  3 cos120o  isin120o  cos15o  isin15o 

ÀN

TO

ÁN

-L

2 2   2  cos  isin  3 3   b)z     2  cos  isin  2 2 

Đ IỄ N

3 3  i 2 2

b)z 

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

Đ

b) r  4 và  

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

7 6

N

Đáp án: a) r  2 2 và  

Đáp án: a)z  

D

b)z  2  2 3i

ẠO

a)z   6  i 2

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Bài 1: Tìm module và argument của các số phức sau:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

2.1.5. Bài tập tự luyện

6 2  i 4 4

Bài 4: Viết các số phức sau dƣới dạng lƣợng giác:

a)z 



  3

2  i 6 1 i

`

b)z 

1  3i 3i

23 Giới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial