NGHIÊN CỨU KHOA HỌC VỀ NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Mục lục Trang Phần I: Mở đầu ........................................................................................ 02

Ơ

.Q

5. Phương pháp nghiên cứu ........................................................... 04

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Đ

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn ............................................ 05

G

Chương 2: Các biện pháp .............................................................. 07

H Ư

N

Biện pháp 1: ......................................................................... 07 Biện pháp 2: ......................................................................... 07

TR ẦN

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm ................................................ 24 1. Mục đích thực nghiệm ............................................................... 24

10 00

B

2. Nội dung thực nghiệm ............................................................... 24 3. Kết quả thực nghiệm ................................................................. 35

A

Phần III: kết luận ..................................................................................... 40

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

Tài liệu tham khảo ................................................................................... 42

D

IỄ N

Đ

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Phần II: Nội dung ..................................................................................... 05

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

4. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu .............................................. 04

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................. 04

H

2. Mục đích nghiên cứu .................................................................. 03

N

1. Lý do chọn đề tài......................................................................... 02

1

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

PHẦN I: MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài:

Ơ

H

hoá cơ bản được xây dựng nối tiếp toán tiểu học và làm cơ sở, đặt nền móng cho

N

Trong trường THCS môn toán có một vị trí quan trọng. Đây là môn văn

.Q

tải kiến thức. Toán học là dành cho mọi người, qua việc học toán phát triển trí

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Đ

thiết, một nền tảng kiến thức kỹ năng cơ bản, chắc chắn với chức năng hoàn

G

thiện con người trong xã hội hiện đại tạo sự năng động, hoà nhập xã hội. Đó

H Ư

N

chính là bản chất thực sự của việc dạy toán ở trường THCS hiện nay.

Tuy nhiên với mục tiêu phát triển toàn diện, phát triển bồi dưỡng học sinh

TR ẦN

giỏi: công việc phát triển mũi nhọn ở mỗi trường học cần thiết phải phát triển, nâng cao một số nội dung một cách hệ thống, đầy đủ, sâu sắc hơn giúp học sinh

10 00

B

lĩnh hội kiến thức, kỹ năng về môn toán tốt hơn cả chiều rộng lẫn chiều sâu. Biết vận dụng kiến thức môn này vào giải toán, làm công cụ cho các môn khác, góp

A

phần giúp học sinh phát triển trí tuệ mang lại niềm vui sáng tạo và yêu thích bộ

H

Ó

môn toán hơn. Bất đẳng thức là cơ sở cho học bất phương trình, các phép biến

Í-

đổi tương đương bất phương trình được suy luận từ các tính chất của bất đẳng

-L

thức. Việc sử dụng bất đẳng thức hợp lý sẽ giúp học sinh giải nhanh, gọn một số

ÁN

bài toán. Đặc biệt là những bài toán tìm cực trị của một biểu thức. Thậm chí trong bài tập hình học và cả giải phương trình nhiều khi ta cũng sử dụng bất

D

IỄ N

Đ

ÀN

đẳng thức.

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

tuệ chung, mà trước hết là hình thành ở học sinh những phẩm chất tư duy cần

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

Thực hiện chương trình đổi mới SGK, phương pháp dạy học mới có giảm

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

môn toán ở cấp THPT.

Vấn đề bất đẳng thức chưa được đề cập nhiều và hệ thống ở SGK. Các

công cụ, lý thuyết liên quan chưa đủ để giải bài toán nâng cao, dành cho học sinh khá, giỏi. Có ít bài toán cũng như hằng bất đẳng thức được công nhận, cho phép sử dụng dẫn đến việc nâng cao kiến thức rèn luyện kỹ năng giải toán dạng này của học sinh cũn hạn chế.

Bất đẳng thức là một trong những mảng kiến

thức khó nhất của toán học phổ thông .

2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Nhưng thông qua các bài tập về chứng minh bất đẳng thức học sinh hiểu kỹ và sâu sắc hơn về giải và biện luận phương trình , bất phương trình ,về mối liên hệ giữa các yếu tố của tam giác về tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu

Ơ

H

được phat triển đa dang và phong phú vì các bài tập về bất đẳng thức có cách

N

thức. Trong quá trình giải bài tập , năng lực suy nghĩ , sáng tạo của học sinh

.Q

cách lôgíc có hệ thống.

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Đ

phương pháp nhất định nên học sinh rât lúng túng khi giải toán về bất đẳng thức

G

vì vậy học sinh sẽ không biết bắt đầu từ đâu và đi theo hương nào .Do đó hầu đẳng thức để giải quyết các loại bài tập khác.

H Ư

N

hết học sinh không biết làm toán về bất đẳng thứcvà không biết vận dụng bất

TR ẦN

Trong thực tế giảng dạy toán ở trường THCS việc làm cho học sinh biết chứng minh bất đẳng thức và vận dụng các bất đẳng thức vào giải các bài tập có ,thông qua đó rèn luyện

10 00

B

liên quan là công việc rất quan trọngvà không thể thiếu được của người dạy toán

A

Tư duy lôgic và khả năng sáng tạo cho học sinh .Để làm được điều đó

H

Ó

người thầy giáo phải cung cấp cho học sinh một số kiến thức cơ bản và một số

Í-

phương pháp suy nghĩ ban đầu về bất đẳng thức .

-L

Tâm lý nhiều học sinh chưa chú trọng đến nội dung bài này, còn lúng túng

ÁN

và mắc nhiều sai sót khi giải bất đẳng thức và các dạng toán liên quan điều này

TO

ảnh hưởng không tốt đến chất lượng học môn toán.

Trong đề tài này tôi trình bày một số các bất đẳng thức, một số phương

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Cũng vì toán về bất đẳng thức không có cách giải mẫu , không theo một

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

cách suy nghĩ lôgic sáng tạo biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức mới một

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

giải không theo quy tắc hoặc khuôn mẫu nào cả. Nó đòi hỏi người đọc phải có

D

IỄ N

Đ

pháp chứng minh bất đẳng thức, các ví dụ áp dụng và bài tập tương ứng dành cho học sinh THCS đặc biệt là học sinh khá giỏi lớp 8; 9 dạy chủ yếu trong một

số giờ luyện tập thích hợp và các giờ dạy nâng cao.

2. Mục đích nghiên cứu: Giúp giáo viên dạy toán THCS nói riêng có quan điểm coi trọng việc nghiên cứu, dạy bất đẳng thức.

3

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Giúp học sinh có kiến thức sâu hơn về bất đẳng thức, góp phần học tốt hơn môn toán. Đưa ra một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức và một số phương pháp

.Q

Điều tra thực trạng về tình hình dạy và học bất đẳng thức ở trường THCS

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Đ

thức, các phương pháp chứng minh bất đẳng thức đưa vào một số tiết học phù

G

hợp. Chẳng hạn trong các tiết dạy các hằng đẳng thức đáng nhớ của chương I,

H Ư

N

các tiết dạy về biến đổi các biểu thức hữu tỉ của chương II môn toán đại số 8.

Kiểm tra, đánh giá, trao đổi với học sinh, giáo viên toán qua đó thấy được

TR ẦN

hiệu quả của việc áp dụng đề tài như thế nào và đồng thời điều chỉnh việc dạy học nội dung bất đẳng thức cho phù hợp nhằm nâng cao chất lượng học bất đẳng

10 00

B

thức nói riêng cũng như học môn toán nói chung.

4. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:

A

Đối tượng là một số vấn đề, thực trạng về dạy và học bất đẳng thức của

H

Ó

giáo viên, học sinh THCS.

Í-

Lý thuyết bất đẳng thức ở SGK, các phương pháp để giải toán chứng

-L

minh bất đẳng thức. Một số tài liệu được tham khảo được sử dụng cho học sinh

ÁN

THCS, hiện đang được nghiên cứu, thử nghiệm tại trường THCS Tôi áp dụng đề tài này trong qua trình giảng dạy môn toán lớp 8A trường

D

IỄ N

Đ

ÀN

THCS Âu Lâu

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Triển khai đề tài trong qua trình dạy học bằng cách lựa chọn các bất đẳng

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

3. Nhiệm vụ nghiên cứu:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

nội dung bất đẳng thức và do đó sẽ dạy - học tốt môn toán trong trường THCS.

H

Qua việc triển khai đề tài này góp phần nâng cao chất lượng dạy - học tốt

Ơ

N

chứng minh bất đẳng thức phù hợp trình độ học sinh .

5. Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp tôi sử dụng để nghiên cứu trong đề tài này chủ yếu là các

phương pháp sau: Phương pháp thực nghiệm sư phạm.

Phương pháp nghiên cứu lý luận.

Phương pháp điều tra, phỏng vấn.

4

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

PHẦN II: NỘI DUNG Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Ơ

H

tài hình thành đội ngũ lao động có trí thức và tay nghề, có năng lực tự chủ, năng

N

Như chúng ta đã biết “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân

.Q

vệ Tổ Quốc.

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Đ

đến chất lượng dạy và học, luôn học hỏi, trau dồi những kinh nghiệm, tìm ra

G

những phương pháp, hình thức giảng dạy, phù hợp với trình độ và khả năng

H Ư

N

nhận thức của học sinh, nhằm tạo cho học sinh niềm say mê , hứng thú trong học tập. Trong lĩnh vực giảng dạy toán ở trường THCS dạng toán chứng minh bất

TR ẦN

đẳng thức có điều kiện là một mảng kiến thức hay, khó và phong phú, nó có mặt trong nhiều chương trình bồi dưỡng, thi vào các lớp 10 THPT chuyên. Đặc biệt

10 00

B

đối với các thầy giáo, cô giáo khi bồi dưỡng học sinh giỏi, học sinh năng khiếu nó càng thiết thực hơn. Muốn tạo điều kiện tốt nhất giúp các em tự tin khi học

A

tập thì thầy, cô giáo cần phải cung cấp cho các em đầy đủ những kiến thức cơ

H

Ó

bản nhất, giúp các em định hướng cho mình những dạng toán cơ bản để có thể

Í-

vận dụng vào giải toán. Vì vậy mỗi giáo viên nói chung và giáo viên giảng dạy

-L

bộ môn toán nói riêng phải luôn luôn tìm tòi, sáng tạo, đổi mới phương pháp dạy

ÁN

học. Trong chương trình môn toán ở các lớp THCS kiến thức về chứng minh bất đẳng thức có điều kiện không nhiều song lại rất quan trọng, đó là những tiền

D

IỄ N

Đ

ÀN

đề cơ bản để học sinh học nâng cao môn toán và tiếp tục học lên ở THPT.

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Vì vậy, đối với những người làm công tác giáo dục luôn luôn phải chăm lo

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

những con người phát triển toàn diện để phục vụ cho sự nghiệp xây dựng và bảo

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

động, sáng tạo” đó chính là mục tiêu của giáo dục và đào tạo, góp phần đào tạo

Khi giải các bài toán về chứng minh bất đẳng thức có điều kiện đòi hỏi học

sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức như : các tính chất của bất đẳng thức, các phương pháp chứng minh bất đẳng thức… Học sinh biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo, kỹ năng từ đơn giản đến phức tạp.

“Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức” giúp học sinh có được phương pháp giải toán chứng minh bất đẳng thức có điều kiện nhanh,

5

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

chính xác, ngắn gọn ngoài ra qua tìm hiểu phương pháp chứng minh này giúp học sinh phát triển tư duy, phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo trong giải toán. Đồng thời giáo dục tư tưởng, ý thức, thái độ, lòng say mê học toán cho học

H

Chứng minh bất đẳng thức có điều kiện là loại toán mà học sinh THCS

Ơ

N

sinh.

.Q

Các bài toán về chứng minh bất đẳng thức có điều kiện là một dạng toán

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Đ

THPT, thi vào các trường THPT chuyên và còn có cả trong các đề thi vào các

G

trường đại học hàng năm. Tuy nhiên, các tài liệu viết về vấn đề này rất hạn chế

H Ư

N

hoặc chưa hệ thống thành các phương pháp nhất định gây nhiều khó khăn trong việc học tập của học sinh, cũng như trong công tác tự bồi dưỡng của giáo viên.

TR ẦN

Mặt khác, việc tìm hiểu các phương pháp giải toán chứng minh bất đẳng thức có điều kiện hiện nay còn ít giáo viên quan tâm, nghiên cứu.

10 00

B

Vì vậy việc nghiên cứu các phương pháp giải toán chứng minh bất đẳng thức có điều kiện là rất thiết thực và cần thiết nhằm giúp giáo viên nắm vững nội

A

dung và xác định được phương pháp giảng dạy phần này đạt hiệu quả, góp phần

H

Ó

nâng cao chất lượng dạy và học, đặc biệt là chất lượng học sinh giỏi và giáo viên

Í-

giỏi ở các trường THCS.

-L

Thực trạng tại trường THCS Âu Lâu là trường vùng núi có điều kiện về

ÁN

mọi mặt còn khó khăn. Sự quan tâm của phụ huynh học sinh chưa đúng mức, một số học sinh ý thức học tập thấp. Do đó việc học nói chung và môn toán nói

ÀN

riêng còn hạn chế. Mặt khác bất đẳng thức là một nội dung khó, ít đề cập trong

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

hay và khó, có nhiều trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, thi vào lớp 10

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

những phương pháp chứng minh nào ngắn gọn , chính xác mà dễ hiểu nhất ?

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

coi là loại toán khó, nhiều học sinh không biết chứng minh như thế nào? có

D

IỄ N

Đ

chương trình toán THCS, nên dẫn đến tình trạng: Giáo viên: Còn ngại khai thác dạy học bất đẳng thức. Chưa đầu tư nghiên cứu bất đẳng thức một cách hệ thống.

Học sinh: Kiến thức về bất đẳng thức được trang bị quá ít, nên rất khó khăn khi giải các bài tập liên quan đến bất đẳng thức nói riêng cũng như khó khăn trong giải toán nói chung.

6

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Chương 2: Các biện pháp sư phạm nâng cao chất lượng dạy học bất đẳng thức 1. Biện pháp 1: Điều tra thực nghiệm

Ơ

N

Tìm hiểu sự ham thích của học sinh khối 8 trường THCS Âu Lâu đối với

H

việc học bất đẳng thức.

TP

G

giải một số bài tập.

H Ư

N

Ở chương trình dạy nâng cao, tôi đưa vào bài dạy các bất đẳng thức một được kiến thức về bất đẳng thức.

TR ẦN

cách hệ thống. Đồng thời soạn ra các bài tập tương ứng giúp học sinh vận dụng Quá trình thực hiện đề tài này tôi đã đưa vào chương trình dạy của mình

10 00

B

các nội dung như sau: Dạy hệ thống các bất đẳng thức phù hợp và các tính chất của chúng; Dạy học sinh các phương pháp chứng minh bất đẳng thức phù hợp

A

với trình độ nhận thức cũng như yêu cầu bộ môn đối với học sinh lớp 8A của

H

Ó

trường THCS Âu Lâu . Cụ thể:

Í-

A. Kiến thức cần nắm về bất đẳng thức:

-L

1. Định nghĩa bất đẳng thức:

ÁN

Ta gọi hệ thức dạng a < b (hay a > b; a ≤ b; a ≥ b) là bất đẳng thức và

Đ

ÀN

TO

gọi a là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức.

IỄ N D

Đ

học nắm được các bất đẳng thức, chứng minh chúng và vận dụng được trong

2. Tính chất bất đẳng thức:

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Tôi chọn các bất đẳng thức phù hợp với kiến thức của học sinh để giúp

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2. Biện pháp 2: Dạy về bất đẳng thức cho học sinh khối 8

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

bất đẳng thức của học sinh khối 8.

.Q

U Y

N

Kiểm tra về kiến thức, kĩ năng làm các bài tập có liên quan đến nội dung

1) a > b ; b >c ⇒ a > c 2) a >b ⇒ a + c > b + c 3) a > b ; c > 0 ⇒ ac > bc a > b ; c < 0 ⇒ ac < bc 5) a > b ; c > d ⇒ a + c > b + d a>b;c<d ⇒ a-c<b-d

7

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

6) a > b ≥ 0 ⇒ ac > bd 7) a > b > 0 ; 0 < c < d ⇒

a b > c d

N

8) a > b > 0 ⇒ an > bn

H

Ơ

a > b ⇔ an > bn (n lẻ)

TP

1 1 < a b

N

G

3. Các hằng bất đẳng thức:

H Ư

1) a2 ≥ 0 với ∀ a∈ R. Dấu bằng xẩy ra khi a = 0

TR ẦN

2) a ≥ 0 với ∀ a∈ R. Dấu bằng xẩy ra khi a = 0 3) a ≥ a với ∀ a∈ R. Dấu bằng xẩy ra khi a ≥ 0 với ∀ a, b ∈ R. Dấu bằng xẩy ra khi ab ≥ 0

B

b

10 00

4) a + b ≤ a +

5) a − b ≥ a - b với ∀ a, b ∈ R. Dấu bằng xẩy ra khi ab>0 và

Ó

A

a ≥ b

H

B. Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

-L

Í-

1. Phương pháp sử dụng định nghĩa: 1.1. Phương pháp giải: Muốn chứng minh A > B hãy xét hiện A - B. Nếu hiện

ÁN

A - B dương thì khẳng định được A > B là bất đẳng thức cần chứng minh.

TO

1.2. Ví dụ áp dụng:

D

IỄ N

Đ

ÀN

a 3 +b3  a+b  Ví dụ1: Cho a > 0, b > 0. chứng minh rằng: ≥  2  2 

3

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

⇒

am = an

Đ

10) a > b , ab > 0

⇒

ẠO

0<a<1

.Q

a =1 ⇒ am = an

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

9) Nếu m > n > 0 thì a >1 ⇒ am > an

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

a 〉 b ⇔ an > bn ( n chẵn )

Giải: a 3 +b3  a+b  Xét hiệu: B = -  2  2 

3

Bỏ ngoặc, phân tích B thành nhân tử ta được: B =

8

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

3 (a + b) (a - b)2 Vì a > 0 , b 8

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

a + b > 0 mà (a - b)2 ≥ 0

a 3 +b3 Theo định nghĩa ⇒ 2

≥

⇒

B ≥0

 a+b     2 

3

Ơ

N

Dấu bằng xẩy ra ⇔ a = b

H

Ví dụ 2: ∀ x, y, z chứng minh rằng :

U Y

N

a) x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy+ yz + zx

.Q TP

c) x 2 + y 2 + z 2 +3 ≥ 2 (x + y + z)

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

ẠO

Giải:

Đ

a) Ta xét hiệu

G

x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz - zx

N

1 2

1 ( x − y ) 2 + ( x −z ) 2 + ( y − z ) 2 ≥ 0 đúng với mọi x;y;z ∈ R 2

[

]

TR ẦN

=

H Ư

= .2 .( x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx)

Vì (x-y)2 ≥ 0 với ∀x ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y

10 00

B

(x-z)2 ≥ 0 với ∀x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z (y-z)2 ≥ 0 với ∀ z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y

Ó

A

Vậy x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy+ yz + zx

-L

b)Ta xét hiệu

Í-

H

Dấu bằng xảy ra khi x = y =z

ÁN

x 2 + y 2 + z 2 - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x 2 + y 2 + z 2 - 2xy +2xz –2yz

TO

http://daykemquynhon.ucoz.com

b) x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2xy – 2xz + 2yz

=( x – y + z) 2 ≥ 0 đúng với mọi x;y;z ∈ R

D

IỄ N

Đ

ÀN

Vậy x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z ∈ R

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

⇒

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

>0

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Dấu bằng xảy ra khi x+y=z c) Ta xét hiệu x 2 + y 2 + z 2 +3 – 2( x+ y +z )

= x 2 - 2x + 1 + y 2 -2y +1 + z 2 -2z +1 = (x-1) 2+ (y-1) 2+(z-1) 2 ≥ 0

9

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1 1.3. Bài tập tương tự: ≥

2xy + 2yz - 2x

H

a b c + + b+c c+a a+b

≥

N

a2 b2 c2 + + b 2 +c 2 c 2 +a 2 a 2 +b 2

Ơ

N

Bài 2: Cho a, b, c > 0 chứng minh:

U Y

ẠO

đổi. Từ đó khẳng định bất đẳng thức cần chứng minh.

2.2. Ví dụ áp dụng: ≥

0. Chứng minh rằng:

(x + y) (y + z) (z + x)

≥

8xyz

Giải: ⇒

x2 + 2xy +y2

⇒

(x+y)2

≥

4xy (1)

(y+z)2

≥

4yz (2)

(x+z)2

≥

4xz (3)

A

10 00

Tương tự ta có:

TR ẦN

x2 - 2xy +y2 ≥ 0

⇒

B

(x-y)2

Ta có:

≥

4xy (Tính chất 2)

2

⇒ [(x+y)(y+z)(x+z)] ≥ ⇒

(x+y)(y+z)(x+z)

(8xyz )2 (Tính chất 6)

≥ 8xyz

(Tính chất 8)

-L

Í-

H

Ó

Nhân từng vế của (1), (2), (3)

VÝ dô 2:

Đ

0, z

G

≥

N

0, y

≥

H Ư

Ví dụ 1: Cho x

TO

ÁN

5 2 2 2 1 1 1 1 Cho a,b,c> 0 tháa m·n a + b + c = . Chøng minh + + < 3 a b c abc

ÀN

Gi¶i:

D

IỄ N

Đ

Ta cã :( a+b- c)2= a2+b2+c2+2( ab –ac – bc) 〉 0 ⇒ ac+bc-ab 〈

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

.Q

2.1. Phương pháp giải: Sử dụng một hay nhiều tính chất đã nêu ở 2.2 để biến

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

2. Phương pháp sử dụng tính chất:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Bài 1: Chứng minh: x2 + y2 + z2

1 2 2 2 ( a +b +c ) 2

⇒ ac+bc-ab ≤

5 1 1 1 1 〈 1 Chia hai vÕ cho abc > 0 ta cã + − 〈 6 a b c abc

2.3. Bài tập tương tự: 10

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

a2 b2 c2 c b a + + Bài 1: Chứng minh rằng: 2 + 2 + 2 ≥ b c a b a c

Bài 2: Cho x + y = 2. Chứng minh : x2 + y2 ≥ 2

Ơ

H

3.1. Phương pháp giải: Xuất phát từ bất đẳng thức cần chứng minh ta biến

N

3. Phương pháp biến đổi tương đương: ( phương pháp phân tích)

1 2

(1)

Đ

Chứng minh: x3 + y3 +xy ≥

ẠO

Ví dụ 1: Cho 2 số x, y thoả mãn: x+ y = 1

2

2

2

1 2

H Ư

≥0 1 2

TR ẦN

1 2

(1) ⇔ x3 + y3 +xy -

N

G

Giải:

⇔ (x+ y) (x - xy+ y ) +xy -

1 2

2

10 00

2

≥0

A

⇔ x +y -

≥ 0 (vì x+ y = 1)

B

2

⇔ x - xy+ y + xy-

≥0

2

2

H

2

Ó

⇔ 2x + 2x - 1 ≥ 0 2

-L

Í-

⇔ 2x + 2(1 -x) - 1 ≥ 0 ( vì y = 1 -x)

1 2

(2)

)2 ≥ 0

ÁN

⇔ 4 (x-

TO

Bất đẳng thức (2) luôn đúng mà các phép biến đổi trên là tương đương ⇒ (1)

D

IỄ N

Đ

ÀN

đúng.

Dấu bằng xảy ra tại x= y =

1 .

2

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

.Q

3.2. Ví dụ áp dụng:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

đổi nó tương đương với một bất đẳng thức khác mà ta đã biết là đúng từ đó

Ví dụ 2: Chứng minh rằng: (a 10 + b10 )(a 2 + b 2 ) ≥ (a 8 + b 8 )(a 4 + b 4 ) Giải:

(a

10

)(

) (

)(

+ b10 a 2 + b 2 ≥ a 8 + b 8 a 4 + b 4

⇔ a

12

)

+ a 10 b 2 + a 2 b 10 + b 12 ≥ a 12 + a 8 b 4 + a 4 b 8 + b 12

11

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

⇔

(

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

)

(

)

a 8b 2 a 2 − b 2 + a 2b 8 b 2 − a 2 ≥ 0

2 2

2

2

6

6

2 2

⇔ a b (a -b )(a -b ) ≥ 0

2

2 2

4

2 2

4

⇔ a b (a -b ) (a + a b +b ) ≥ 0

Bất đẳng thức cuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh

H N .Q

ẠO

4. Phương pháp tổng hợp:

Đ

4.1. Phương pháp giải: Từ một bất đẳng thức đã biết là đúng, dùng các phép

G

biến đổi tương đương biến đổi bất đẳng thức đó về bất đẳng thức cần chứng

H Ư

N

minh.

Phương pháp giải này làm cho học sinh thấy khó ở chỗ là không biết

TR ẦN

nên bắt đầu từ bất đẳng thức nào nhưng nếu biết phương pháp giải này ngược với phương pháp phân tích thì cũng rất dễ tìm ra bất đẳng thức xuất

10 00

B

phát.

4.2. Ví dụ áp dụng

Ó

A

Ví dụ: Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng: 2

( a+c ) + ( b+d )

2

Í-

H

a 2 +b 2 + c 2 +d 2 ≥

-L

Giải:

ÁN

Ta có: (ad - bd)2 ≥ 0

TO

⇔ a2d2 - 2adbc + b2c2 ≥ 0

D

IỄ N

Đ

ÀN

⇔ a2d2 - 2adbc + b2c2 + a2c2 + b2d2 ≥ a2c2 + b2d2 ⇔ a2d2 - 2adbc + b2c2 + a2c2 + b2d2 ≥ a2c2 + 2acbd + b2d2

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

4

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

x 6 y6 Bài 2: Chứng minh x + y ≤ 2 + 2 với x ≠ 0, y ≠ 0 . y x 4

http://daykemquynhon.ucoz.com

x y − x≥ y− y x

U Y

Bài 1: Cho x > 0, y > 0. Chứng minh rằng:

Ơ

N

3.3. Bài tập tương tự

⇔ a2(c2 + d2) + b2(c2 + d2) ≥ (ac + bd)2

⇔

(a

2

+b 2 )( c2 +d 2 ) ≥ ac + bd ( vì ac + bd > 0)

⇔ a2 + b2 + 2 ⇔ (

(a

2

(a

2

+b 2 )( c 2 +d 2 ) + c2 + d2 ≥2ac + 2bd + a2 + b2 + c2 +d2

+b 2 )( c 2 +d 2 ) )2 ≥ (a + c)2 + (b + d)2

12

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

⇔ a 2 +b 2 + c 2 +d 2 ≥

2

(đpcm)

Chú ý: Với a, b, c, d > 0 thì các phép biến đổi trong cách giải trên là tương

U Y

4.3. Bài tập tương tự: Chứng minh các bất đẳng thức

3

Đ

5. Phương pháp phản chứng:

N

G

5.1. Phương pháp giải: Nếu bài toán yêu cầu chứng minh bất đẳng thức A ≥

H Ư

B ( hoặc A < B) thì ta giả sử A < B (hoặc A ≥ B). Từ điều mà ta vừa giả sử

TR ẦN

cùng với giả thiết của bài toán ta suy ra một điều mâu thuẫn với giả thiết với các kiến thức đã học. Cuối cùng ta khẳng định kết luận của bài toán A ≥ B

B

( hoặc A < B) là đúng.

10 00

Phương pháp giải như trên gọi là phương pháp phản chứng.

5.2. Ví dụ áp dụng

Ó

A

Ví dụ 1: Chứng minh rằng:

-L

Giải:

Í-

H

Nếu a + b + c > 0; abc >0 , ab + bc + ac > 0 thì a > 0, b > 0, c > 0.

ÁN

Giả sử a ≤ 0

TO

Nếu a = 0 thì abc = 0 trái với giả thiết abc > 0

ÀN

Nếu a < 0 : do a + b + c > 0 nên b + c > 0 do abc > 0 nên bc < 0

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

TP

a 3 +b3  a+b  Bài 2: ≥  với a > 0 , b > 0.

2  2 

⇒ a(b + c) + bc < 0

Đ IỄ N D

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Bài 1: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca với mọi a, b

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

đương.

N

a c = b d

Ơ

Dấu “=” xảy ra ⇔

2

( a+c ) + ( b+d )

Hay ab + ac + bc < 0 trái với giả thiết ab + ac + bc > 0 Vậy a > 0. Tương tự ta chứng minh được b > 0, c > 0

Ví dụ 2: Cho 4 số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện ac ≥ 2.(b+d) .Chứng minh rằng có

13

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:

a 2 < 4b

,

c 2 < 4d

Giải : 2 Giả sử 2 bất đẳng thức : a < 4b , c 2 < 4d đều đúng khi đó cộng các

H

(2)

.Q

ẠO

5.3. Bài tập tương tự:

6. Phương pháp quy nạp toán học:

N

H Ư

Bài 2: Cho x3 + y3 = 2. Chứng minh x+ y ≤ 2.

G

Đ

Bài 1: Chứng minh rằng: 4(a3+b3) - (a+b)3 ≥ 0 với ∀ a, b > 0 .

TR ẦN

6.1. Phương pháp giải: Nếu bất đẳng thức phải chứng minh phụ thuộc vào đối số tự nhiên n thì ta có thể dùng phương pháp quy nạp toán học. Ta cần

B

thực hiện 3 bước sau:

10 00

+ Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = 1 (hoặc đúng với n = n0 là giá trị

A

tự nhiên bé nhất của n theo yêu cầu của đề bài)

Ó

+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k (k > 1 hoặc k > n0) rồi chứng minh bất

Í-

H

đẳng thức đúng với n = k + 1.

-L

+ Kết luận bất đẳng thức đúng với mọi n ∈ N.

ÁN

6.2. Ví dụ áp dụng: (n+1)(n+2)(n+3)….2n > 2n (1)

ÀN

TO

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n > 1 thì:

D

IỄ N

Đ

Giải:

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

thức sai

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

(vô lý)

2 Vậy trong 2 bất đẳng thức a 2 < 4b và c < 4d có ít nhất một các bất đẳng

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

2 Từ (1) và (2) ⇒ a 2 + c 2 < 2ac hay (a − c ) < 0

N

Theo giả thiết ta có 4(b+d) ≤ 2ac

Ơ

N

(1)

U Y

vế ta được a 2 + c 2 < 4(b + d )

Với n = 2 thì (1) trở thành: (2+1)(2+2) > 22 ⇔ 12 > 4 ⇒ (1) đúng.

Giả sử (1) đúng với n = k (k ∈ N, k > 2) tức là (k+1)(k+2)(k+3)….2k > 2k. Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1 tức là phải chứng minh (k+2)(k+3)(k+4)…2(k+1) > 2k+1 Hay (k+2)(k+3)(k+4)…(2k+2) > 2k+1 14

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Thật vậy: Theo giả thiết quy nạp ta có: (k+1)(k+2)(k+3)…2k > 2k k

⇒ (k +1)(k+2)(k+3)…(2k)(2k+1) > 2 (Do k ∈ N, k ≥ 2 ⇒ 2k+1 ≥ 5) k

⇒ 2(k +1)(k+2)(k+3)…(2k)(2k+1) > 2.2 k+1

Ơ

N

⇒ (k+2)(k+3)…(2k)(2k+1)(2k+2) > 2

H

Vậy bất đẳng thức (1) đúng với mọi số tự nhiên n >1 nghĩa là:

ẠO

Đ G

(đúng)

N

1 2

H Ư

1 4

Với n =2 ta có 1 + < 2 −

TR ẦN

Vậy BĐT (1) đúng với n =2

Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh

1 1 1 1 1 + 2 + .... + 2 + < 2− 2 2 1 2 k (k + 1) k +1

A

(1) ⇔

10 00

Thật vậy khi n =k+1 thì

B

BĐT (1) đúng với n = k+1

Í-

1 1 1 1 1 1 1 + 2 + .... + 2 + < 2− + < 2− 2 2 2 1 2 k (k + 1) k (k + 1) k +1

-L

⇔

H

Ó

Theo giả thiết quy nạp

1 1 1 1 1 + .... + < + < 2 2 2 1 (k + 1) k + 1 (k + 1) k

TO

ÁN

⇔

ÀN Đ IỄ N

k +1+1 1 2 2 < ⇔ k (k + 2) < (k + 1) 2 ⇔ k +2k<k +2k+1 Điều này đúng .Vậ y 2 k (k + 1)

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

(1)

∀n ∈ N ; n > 1

Giải :

⇔

D

.Q

1 1 1 1 + 2 + .... + 2 < 2 − 2 1 2 n n

TP

Chứng minh rằng

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ví dụ 2:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

(n+1)(n+2)(n+3)…2n > 2n

bất đẳng thức (1)được chứng minh

6.3. Bài tập tương tự Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ≥ 3 thì:

n2 > n + 5

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì: 1 1 1 + +...+ >1 n+1 n+2 3n+1

15

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

7. Phương pháp xét các khoảng giá trị của biến: 7.1. Phương pháp giải: Có những bài toán yêu cầu chứng minh bất đẳng thức A(x) > 0 mà không cho thêm giả thiết nào nữa ta có thể suy nghĩ theo

Ơ

Đ

Ví dụ: Chứng minh 12x4 + 8x3 +11x2 +7x+10 >0

G

Giải:

H Ư

N

Xét B = 12x4 + 8x3 +11x2 +7x+10 (1)

Hoặc B = 10(x4 + x3 +x2 +x+1) + 2x4 +x2 -2x3 -3x (2) +x2 > 0; -2x3 -3x > 0 ( do x < 0)

10 00

B

Vậy B > 0.

TR ẦN

+ Nếu x ≥ 0 thì từ (1) ⇒ B > 0 ( vì x4 + x3 +x2 +x+1 > 0 tương tự ví dụ 1 và 2x4

7.3. Bài tập tương tự

Ó

A

Bài 1: Chứng minh x6 - x5 + x4- x3+x2 - x +

3 >0 4

Í-

H

Bài 2: Chứng minh x8 +x4 +1 > x7 + x

-L

8. Phương pháp làm trội: ( hoặc làm giảm)

ÁN

8.1. Phương pháp giải: Để chứng minh A < B ta làm trội A thành C (A < C)

TO

rồi chứng minh C ≤ B (biểu thức C đóng vai trò trung gian để so sánh A và B). Tương tự đối với phương pháp làm giảm.

Đ

ÀN

L−u ý: Dùng các tính bất đẳng thức để đưa một vế của bất đẳng thức về dạng tính được tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn. (*) Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = u1 + u2 + .... + un Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u k về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau:

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

7.2. Ví dụ áp dụng:

IỄ N D

.Q TP

A(x) < 0 trước hết ta chuyển vế để đưa về dạng đó.

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Trong trường hợp bất đẳng thức cần chứng minh chưa có dạng A(x) > 0 hay

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

U Y

dụng định nghĩa bất đẳng thức x ≥ a ⇔ x-a ≥ 0 hay x < a ⇔ x -a < 0.

H

thì ta xét các khoảng giá trị của biến x chẳng hạn như x ≥ a và x < a để sử

N

cách giải sau: Nếu biểu thức A(x) viết được về dạng tổng các hạng tử nx(x-a)

u k = ak − ak +1

Khi đó : 16

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

S = (a1 − a2 ) + (a2 − a3 ) + .... + (an − an +1 ) = a1 − an +1 (*) Phương pháp chung về tính tích hữu hạn P = u1u2 ....un Biến đổi các số hạng u k về thương của hai số hạng liên tiếp nhau:

Ơ H

a a1 a2 a . ..... n = 1 a2 a3 an +1 an +1

.Q TP

Ví dụ 1 :

G

Đ

1 1 1 1 3 < + + .... + < 2 n +1 n + 2 n+n 4

ẠO

Với mọi số tự nhiên n >1 chứng minh rằng

Do đó:

với k = 1,2,3,…,n-1

TR ẦN

1 1 1 > = n + k n + n 2n

Ta có

H Ư

N

Giải:

10 00

B

1 1 1 1 1 n 1 + + ... + > + ... + = = n +1 n + 2 2n 2n 2n 2n 2

Ó

A

Ví dụ 2 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2 ta có:

Í-

H

1 1 1 A = 1+ + +...+ n < n 2 3 2 -1

-L

Giải:

TO

ÁN

1 1  1 1  1 1 1 1  1 1  1 A=1+  +  +  2 + + +  +  3 + +...+  +...+  n-1 +...+ n  15  2 -1   2 3  2 5 6 7   2 9 2

D

IỄ N

Đ

ÀN

ở mỗi nhóm trong A ta làm trội bằng cách thay các phân số bởi phân số lớn nhất

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

8.2. Ví dụ áp dụng:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

Khi đó P =

N

ak ak +1

U Y

uk =

trong nhóm, ta được: 1 1 1 1 A< 1 + .2 + 2 .4 + 3 .8 + ... + n −1 .2n −1 = 1+1+...+1=

n 2 2 2 2 n

Vậ y A < n

8.3. Bài tập tương tự

17

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài tập: Chứng minh:

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

1 1 1 1 + + +...+ < 2 Với n nguyên dương. n+1 n+2 n+3 3n+1

9. Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức kinh điển: ( Bất đẳng Côsi

Ơ

H

9.1. Phương pháp giải: Để chứng minh một bất đẳng thức nào đó ngoài các

N

và bất đẳng thức Bunhiacốpxki)

ẠO

a. Bất đẳng thức Côsi: Cho a1, a2,…,an là các số không âm. Khi đó ta có:

N

G

Đ

a1 +a 2 +…+a n n ≥ a1 a 2…a n n

H Ư

Dấu bằng xảy ra khi a1= a2 = …= an

TR ẦN

b. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki: Cho hai dãy số a1, a2,…,an và b1, b2,…,bn. khi đó ta có:

B

(a1b1+ a2b2 + …+ anbn)2 ≤ (a12 +a22 + …+ an2)(b12 +b22 + …+bn2) a1 a 2 a = =...= n với quy ước nếu mẫu của tỉ số nào bằng 0 b1 b 2 bn

10 00

Dấu bằng xẩy ra khi

Ó

A

thì tử của tỉ số đó cũng bằng 0.

Í-

H

c. Bất đẳng thức Trê- bư-sép: a≤b≤c A ≤ B ≤ C

⇒

aA + bB + cC a + b + c A + B + C ≥ .

3 3 3

a≤b≤c A ≥ B ≥ C

⇒

aA + bB + cC a + b + c A + B + C ≤ .

3 3 3

-L

Nếu 

TO

ÁN

Nếu 

D

IỄ N

Đ

ÀN

a=b=c Dấu bằng xảy ra khi  A = B = C 9.2. Ví dụ áp dụng:

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

thức Trê- bư-sép để chứng minh các bất đẳng thức khác.

TP

.Q

dụng bất đẳng thức Côsi (Cauchy) , bất đẳng thức Bunhiacốpxki và Bất đẳng

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

phạm vi chương trình THCS , tôi xin giới thiệu và hướng dẫn học sinh vận

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

cách đã giới thiệu ta có thể sử dụng các bất đẳng thức kinh điển. Trong

Ví dụ 1: Cho a, b, c là các số không âm và a+b+c=1. Chứng minh rằng: a+b + b+c + c+a ≤ 6

Giải: a, b, c ≥ 0 ⇒ a+b ≥ 0; b+c ≥ 0; c+a ≥ 0

18

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn ⇒

a+b ,

b+c ,

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

c+a xác định.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski với 2 bộ số:

Ơ

6

Ví dụ 2: Cho a, b, c, d >0 và abcd =1 .Chứng minh rằng : a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + a(b + c ) + b(c + d ) + d (c + a ) ≥ 10 Giải:

Đ

Ta có a 2 + b 2 ≥ 2ab

G

c 2 + d 2 ≥ 2cd

1 ) ≥ 4 (1) ab

TR ẦN

2 2 2 Ta có a + b + c ≥ 2(ab + cd ) = 2(ab +

N

1 1 1 (dùng x + ≥ ) ab x 2

H Ư

Do abcd =1 nên cd =

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Ó

A

10 00

B

Mặt khác: a(b + c ) + b(c + d ) + d (c + a ) =(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) 1   1   1    +  ac +  +  bc +  ≥ 2 + 2 + 2 =  ab + ab   ac   bc   2 2 2 2 Vậy a + b + c + d + a(b + c ) + b(c + d ) + d (c + a ) ≥ 10 Ví dụ 3: Cho a > b > c > 0 và a 2 + b 2 + c 2 = 1 chứng minh rằng

-L

Í-

H

1 a3 b3 c3 + + ≥ b+c a+c a+b 2

ÁN

Giải:

TO

 a2 ≥ b2 ≥ c2 Do a,b,c đối xứng , giả sử a ≥ b ≥ c ⇒  a ≥ b ≥ c  b + c a + c a + b

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

H

(vì a+b+c=1)

2

⇔ ( a+b + b+c + c+a ) ≤ 3.2 ⇔ ( a+b + b+c + c+a ≤

N

c+a )2 ≤ (1+1+1)(a+b+b+c+c+a)

N

b+c +1.

U Y

a+b +1.

c+a

.Q

ta có: (1.

b+c , b3 =

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

a1=1, a2=2, a3=3, b1= a+b , b2=

D

IỄ N

Đ

áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có a2.

a b c a2 + b2 + c2  a b c  1 3 1 + b2. + c2. ≥ . + + = . = b+c a+c a+b 3 b+c a+c a+b 3 2 2

a3 b3 c3 1 + + ≥ Vậ y b+c a+c a+b 2

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c =

19

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

1 3

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

* Lưu ý: + Việc chứng minh các bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức

Bunhiacôpxki ở đây không đề cập mà chỉ hướng dẫn các em chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng một hoặc nhiều bất đẳng thức đã biết khác.

Ơ

H

có điều kiện ≥ 0 còn bất đẳng thức Bunhiacôpxki thì không cần điều kiện các

N

+ Khi sử dụng bất đẳng thức Côsi thì cần chú ý các số áp dụng phải

.Q

ẠO

một bất đẳng thức khác.

Đ

9.3. Bài tập tương tự:

G

Bài tập: cho a, b, c > 0. Chứng minh:

H Ư

N

a b c + + >2 b+c a+c a+b

TR ẦN

10. Phương pháp tam thức bậc hai: ( dành cho học sinh giỏi cuối lớp 8 và lớp 9)

10 00

B

10.1. Phương pháp giải: Dùng định lí về dấu của tam thức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức.

A

Định lý về dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0)

H

Ó

∆ = b2 - 4ac

Í-

- Nếu ∆ < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với a với mọi giá trị của x (nghĩa là a.f(x)

ÁN

-L

> 0)

TO

- Nếu ∆ =0 thì f(x) luôn cùng dấu với a với mọi giá trị của x, trừ khi x =

D

IỄ N

Đ

ÀN

thì f(x) = 0 (nghĩa là a.f(x) > 0 với ∀ x ≠

-b 2a

-b -b , a.f(x) = 0 khi x = ) 2a 2a

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

trên thì các em có thể sử dụng một số bất đẳng thức đã biết để chứng minh

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

+ Ngoài 2 bất đẳng thức hay sử dụng cho học sinh THCS đã nêu ở

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

số ≥ 0 nhưng phải áp dụng cho 2 bộ số.

- Nếu ∆ > 0 thì f(x) cùng dấu với a khi x nằm ngoài khoảng hai nghiệm (x1, x2) và khác dấu với a khi x nằm trong khoảng hai nghiệm.

10.2. Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacôpxki đã nêu trong phần (9) Giải:

20

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Xét tam thức bậc hai: f(x) = (b1x - a1)2 + (b2x - a2)2+….+(bnx - an)2 Ta thấy f(x) ≥ 0 với mọi x. Ta viết f(x) dưới dạng sau:

Ơ

N

f(x) =( b 12 +b 22 +…+b n2 ) x2 - 2(a1b1+a2b2+…+anbn)x + ( a12 +a 22 +…+a n2 )

2

U Y

2

2

+…+a n b n ) ≤ ( a 12 +a 22 +…+a 2n )( b12 +b 22 +…+b 2n )

ẠO

Dấu = xảy ra ⇔ ∆ ' = 0

N

G

a1 a 2 a = =…= n b1 b 2 bn

H Ư

⇔

Đ

⇔ phương trình f(x) = 0 có nghiệm kép

Ví dụ 2:

(

TR ẦN

Chứng minh rằng

)

f ( x, y ) = x 2 y 4 + 2 x 2 + 2 . y 2 + 4 xy + x 2 > 4 xy 3

10 00

B

Giải:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

(

)

A

x 2 y 4 + 2 x 2 + 2 . y 2 + 4 xy + x 2 − 4 xy 3 > 0 2

H

Ó

⇔ ( y 2 + 1) 2 .x 2 + 4 y (1 − y ) x + 4 y 2 > 0

Ta có ∆′ = 4 y 2 (1 − y 2 ) − 4 y 2 (y 2 + 1) = −16 y 2 < 0 2

-L

Í-

2

Vì a = (y 2 + 1) > 0 vậy f (x, y ) > 0 (điều phải chứng minh)

ÁN

2

TO

* Nhận xét: khi sử dụng phương pháp tam thức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức như ví dụ của (10) đã nêu ở trên thì học sinh cần biết định lí về dấu

D

IỄ N

Đ

ÀN

của tam thức bậc hai nhưng kiến thức đó chưa được chính thức giới thiệu ở

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2

.Q

1 1

TP

( a b +a b

⇒

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

∆ ' = ( a1b1 +a 2 b 2 +…+a n b n ) - ( a 12 +a 22 +…+a n2 )( b12 +b 22 +…+b 2n ) ≤ 0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Do f(x) ≥ 0 với mọi x nên từ (1) suy ra:

bậc THCS nên hơi khó đối với các em. Do đó tôi chỉ giới thiệu ví dụ trên để HS tham khảo.

11. Dùng bất đẳng thức để tìm cưc trị

Lưu ý - Nếu f(x) ≥ A thì f(x) có giá trị nhỏ nhất là A - Nếu f(x) ≤ B thì f(x) có giá trị lớn nhất là B Ví dụ 1 : 21

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

N Ơ H

Vậy S ≤

B

1 3

10 00

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=

TR ẦN

( x + y ).( y + z ) .( z + x ) ≥ 3 3 ( x + y ).( y + z ).( x + z ) ⇒ 2 ≥ 3 3 ( x + y ) .( y + z ) .( z + x ) 8 1 8 . = 27 27 729

8 1 khi x=y=z= 729 3

Í-

H

Ó

A

Vậy S có giá trị lớn nhất là

-L

12. Phương pháp đồ thị và hình học:

ÁN

11.1. Phương pháp giải: Vận dụng các kiến thức hình học để chứng minh

TO

các bài toán về bất đẳng thức đại số.

ÀN

Ví dụ: Cho a, b, c, d > 0 . Chứng minh rằng:

Đ IỄ N

2

( a+c ) + ( b+d )

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta có

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

TP

ẠO

Đ

G

N

1 1 ⇒ xyz ≤ 3 27

H Ư

⇒ 3 xyz ≤

a 2 +b 2 + c 2 +d 2 ≥

D

(1) (2)

U Y

Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) với x,y,z > 0 và x+y+z =1 Giải : Vì x,y,z > 0 ,áp dụng BĐT Côsi ta có x+ y + z ≥ 3 3 xyz

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Tìm giá trị nhỏ nhất của : T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| Giải : Ta có |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x| ≥ |x-1+4-x| = 3 Và x − 2 + x − 3 = x − 2 + 3 − x ≥ x − 2 + 3 − x = 1 Vậy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| ≥ 1+3 = 4 Ta có từ (1) ⇒ Dấu bằng xảy ra khi 1 ≤ x ≤ 4 (2) ⇒ Dấu bằng xảy ra khi 2 ≤ x ≤ 3 Vậy T có giá trị nhỏ nhất là 4 khi 2 ≤ x ≤ 3

.Q

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

2

Giải: Trên trục hoành Ox đặt liên tiếp hai đoạn OA = a, AB = c, còn trên trục Oy đặt liên tiếp OC = b, CD = d. Xét hình chữ nhật COAE và DOBF. Theo định lý Pitago ta có:

22

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

OE =

a 2 +b 2

EF =

c 2 +d 2

OF =

( a+c ) + ( b+d )

y 2

D

N C

A 2

-4

O

1B

-2

H

Ó

Gọi I(x;y) là điểm trên

Í-

mặt phẳng Oxy trong đó x, y thoả mãn

-L

đề bài. Tập hợp các điểm I(x,y) là miền

TO

ÁN

mặt phẳng giới hạn bởi tam giác ABC.

ÀN Đ IỄ N

4 5

x

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G N y

H

A

Giải:

4 5

10 00

Chứng minh: x2 + y2 ≥

B

TR ẦN

H Ư

2x+y-2 ≥ 0  2x-y-2 ≤ 0 -x+2y- 4 ≤ 0 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

B

Đ

Ví dụ 3: Cho x, y là 2 số thoả mãn:

Như vậy muốn chứng minh x2 + y2 ≥

D

A

x

c

TP

O

a

.Q

a c = b d

G

E

ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

C b

U Y

N

d

Dấu bằng xảy ra ⇔ ∆ OAE ∼ ∆ EFG

http://daykemquynhon.ucoz.com

H

Mà OE + EF ≥ OF

⇔

F

Ơ

2

4 =900, OH ⊥ AB ta cần chứng minh : OI2 ≥ . Xét tam giác OAB, O 5 ⇒

5 1 1 1 4 = ⇒ OH2 = ; Lại có OI ≥ OH = + 2 2 2 5 OH OA OB 4

23

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Vậy OI2 ≥

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

4 4 . Hay x2 + y2 ≥ 5 5

11.3. Bài tập tương tự

+t 2 )( y 2 +t 2 ) ≥ ( x+y )( z+t )

x 2 -6x+34- x 2 -6x+10 ≤ 4

ẠO

1. Mục đích thực nghiệm:

G

Đ

+ Kiểm tra, đánh giá hiệu quả của đề tài nghiên cứu.

H Ư

N

+ Xác định được những nhược điểm của đề tài từ đó đưa ra những biện pháp

điều chỉnh khắc phục để đề tài hoàn thiện hơn.

TR ẦN

+ Giúp học sinh học tốt về bất đẳng thức nói riêng và học tốt môn toán nói chung.

B

+ Qua việc theo dõi qua trình triển khai, đánh giá hiệu quả của đề tài này các

10 00

đồng nghiệp có thể trao đổi, góp ý xây dựng cho đề tài cũng như tham khảo đề

A

tài góp phần nâng cao chất lượng dạy học tốt nội dung bất đẳng thức trong công

Ó

tác giảng dạy.

Í-

H

2. Nội dung thực nghiệm:

-L

Sau đây tôi xin trình bày ba bài giáo án đại số 8 mà trong đó tôi đã áp

TO

ÁN

dụng một số biện pháp của đề tài này trong học kỳ I năm học 2011 - 2012.

ÀN

Ngày soạn: 15/12/2011

D

IỄ N

Đ

Ngày giảng: 19/12/2011

TIẾT 34:

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

.Q

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Bài 2: Chứng minh rằng với ∀ x ∈ R :

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2

Ơ

(x

H

+z 2 )( y 2 +z 2 ) +

N

2

U Y

(x

N

Bài 1: Chứng minh rằng với x, y, z, t > 0 thì

BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC HỮU TỈ GIÁ TRỊ CỦA PHÂN THỨC

A. Mục tiêu:

* Kiến thức: HS có khái niệm về biểu thức hữu tỉ, biết rằng mỗi phân thức và mỗi đa thức đều là những biểu thức hữu tỉ. HS biết cách biểu diễn một 24

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

biểu thức hữu tỉ dưới dạng một dãy các phép toán trên những phân thức và hiểu rằng biến đổi một biểu thức hữu tỉ là thực hiện các phép toán trong biểu thức để biến nó thành một phân thức đại số.

.Q Đ

* HS: Học và làm bài đầy đủ ở nhà. Ôn tập các phép toán cộng, trừ, nhân,

G

chia, rút gọn phân thức.

H Ư

N

C. Tiến trình dạy học:

I: Tổ chức : SS: 8A

TR ẦN

II: Kiểm tra

- Phát biểu quy tắc chia phân thức. Viết công thức tổng quát.

- GV nhận xét cho điểm.

A

- GV nhấn mạnh:

10 00

B

- Chữa bài 37 b SBT.

H

Ó

+ Khi biến chia thành nhân phải nghịch đảo phân thức chia.

-L

Í-

III: Bài mới

Hoạt động của học sinh

ÁN

Hoạt động của giáo viên

1. Biểu thức hữu tỉ

TO

- Cho các biểu thức sau:

ÀN Đ

2 ; 5

2

7 ; 2x -

(6x + 1) (x - 2) ;

5x + 3 2

3x + 1

; 4x +

;

Các biểu thức:

1 ; 3 1 x+3

0; −

2 ; 5

2

7 ; 2x -

(6x + 1) (x - 2) ; Biểu thức: 4x +

5x + 3

2

3x + 1

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

* GV: Bảng phụ.

IỄ N D

TP

B. Chuẩn bị của GV và HS:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

* Thái độ: Rèn tính cẩn thận cho HS.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

được xác định.

0; −

Ơ

H

phân thức đại số. HS biết cách tìm điều kiện của biến để giá trị của phân thức

N

* Kĩ năng: HS có kĩ năng thực hiện thành thạo các phép toán trên các

1 ; 3

là các phân thức.

1 là phép cộng hai x+3

phân thức.

25

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

2x +2 x −1 3 2 x −1

2x +2 x − 1 là dãy tính gồm phép Biểu thức: 3 x2 − 1

Ơ H

biểu thức nào là phân thức ? Biểu thức.

ẠO

- Giới thiệu: Mỗi biểu thức là một

Đ

phân thức hoặc biểu thị một dãy các

G

phép toán: cộng, trừ, nhân, chia trên HS lấy 2 VD về biểu thức hữu tỉ

H Ư

N

những phân thức là những biểu thức

2. Biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành

- Yêu cầu HS lấy 2 VD về biểu

một phân thức

TR ẦN

hữu tỉ. thức hữu tỉ.

1 1 A = 1 +  :  x −  x

10 00

- Ví dụ 1: Biến đổi biểu thức

x 

B



1 x thành một phân thức.

A= 1 x− x

=

Í-

H

Ó

A

1+

-L

- GV hướng dẫn HS:

x + 1 x2 − 1 : x x

=

x +1 x 1 . = x ( x + 1)( x − 1) x − 1

ÁN

1 1 A = 1 +  :  x −  x 

x

TO



- Gọi một HS lên bảng làm tiếp.

2   2x  ?1.B = 1 +  : 12 + 2  

- Nhắc nhở HS: Hãy viết phép chia theo hàng ngang.

=

x − 1 + 2 x2 + 1 + 2 x : x −1 x2 + 1

=

x + 1 x2 + 1 x1 + 1 . = x − 1 ( x + 1) 2 x 2 − 1

D

IỄ N

Đ

ÀN

- Yêu cầu HS làm ?1.

x −1 

x + 1

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

các phân thức?

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

thức nào biểu thị phép toán gì trên

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

Hãy cho biết các biểu thức trên, cộng và phép chia thực hiện trên các phân

IV: Củng cố - luyện tập

Bài số 46 SGK/57: Biến đổi mỗi

Bài số 46 SGK/57

26

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

biểu thức sau thành một phân thức

1 a, x = 1 1− x 1+

Ơ H N .Q

2 x2 − 2 ) : (1 − 2 ) x +1 x −1

Đ

= (1 −

TP

Y/c 2 hs lên bảng thực hiện

G

x + 1 − 2 x2 −1 − x2 + 2 x −1 x2 −1 : = . x +1 x2 −1 x +1 1 ( x − 1) 2 = = ( x − 1)2 1

TR ẦN

và chốt vấn đề

H Ư

Y/c học sinh nhận xét, Gv nhận xét

N

=

B

V:Hướng dẫn về nhà

10 00

- Cần nhớ: Thế nào là biểu thức hữu tỉ, biến đổi biểu thức hữu tỉ thực chất là thực hiện các phép toán về phân thức

Ó

A

- Làm bài 50 , 51, 53, 54, 55 SGK

Í-

H

- Ôn lại các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, ước của số nguyên.

-L

***************************

ÁN

Ngày soạn: 16/12/2011

TIẾT 35 :

BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC HỮU TỈ

Đ

ÀN

TO

Ngày giảng: 20/12/2011

IỄ N D

2 +1 x b, 2 x −2 1− 2 x −1 1−

ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

U Y

2 x +1 b, x2 − 2 1− 2 x −1 1−

N

1  1  x +1 x −1 = (1 + ) :  1 −  = = : x  x x x x +1 x x +1 = . = x x −1 x −1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1 x a, 1 1− x 1+

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

đại số

GIÁ TRỊ CỦA PHÂN THỨC A. Mục tiêu:

* Kiến thức: HS có khái niệm về biểu thức hữu tỉ, biết rằng mỗi phân thức và mỗi đa thức đều là những biểu thức hữu tỉ. HS biết cách biểu diễn một biểu thức hữu tỉ dưới dạng một dãy các phép toán trên những phân thức và hiểu 27

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

rằng biến đổi một biểu thức hữu tỉ là thực hiện các phép toán trong biểu thức để biến nó thành một phân thức đại số. * Kĩ năng: HS có kĩ năng thực hiện thành thạo các phép toán trên các

Ơ H

được xác định.

.Q

B. Chuẩn bị của GV và HS:

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

- GV: Bảng phụ.

G

C. Tiến trình dạy học:

H Ư

N

I: Tổ chức :SS:Lớp 8A: III: Bài mới Hoạt động của giáo viên

TR ẦN

II: Kiểm tra

Hoạt động của học sinh

2 . Tính giá trị của phân 3. Giá trị của phân thức x 2 2 - HS: Tại x = 2 thì = = 1 thức tại x = 2 ; x = 0. x 2

A

10 00

B

- Cho phân thức

H

Ó

Tại x = 0 thì

-L

Í-

không thực hiện được nên giá trị

ÁN

của phân thức không xác định.

TO

- Một HS đọc to SGK đoạn: "giá trị

ÀN Đ

được xác định là gì ?

IỄ N

2 2 = phép chia x 0

của phân thức" SGK. - Điểu kiện xác định của phân thức

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

rút gọn phân thức, tìm điều kiện để một tích khác 0.

- Vậy điều kiện để giá trị của phân thức

D

ẠO

- HS: Học và làm bài đầy đủ ở nhà. Ôn tập các phép toán cộng, trừ, nhân, chia,

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

* Thái độ: Rèn tính cẩn thận cho HS.

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

phân thức đại số. HS biết cách tìm điều kiện của biến để giá trị của phân thức

là điều kiện của biến để mẫu thức

- Yêu cầu HS đọc SGK. - Khi nào phải tìm điều kiện xác định của phân thức ?

- Điều kiện xác định của phân thức là gì?

khác 0.

VD2: SGK.

- GV đưa VD 2 SGK lên bảng phụ. Hỏi:

28

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

+ Phân thức

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

3x − 9 được xác định khi x ( x − 3)

nào ?

x +1 được xác định x2 + x

H

Ơ

a) Phân thức

N

⇔

U Y

N

G

+ x = 1 000 000 thoả mãn điều kiện

H Ư

xác định khi đó giá trị của phân

TR ẦN

thức

bằng:

1 x

=

1 1000000000

10 00

B

+ x = -1 không thoả mãn điều kiện xác định, vậy với x = -1 giá trị của

Ó

A

phân thức không xác định.

H

IV: Luyện tập - củng cố

Bài tập 47 SGK.

-L

Í-

Bài tập 47 SGK.

ÁN

a) Giá trị

5x được xác định 2x + 4

TO

⇔ 2x+4 ≠ 0 ⇔ 2x ≠ -4 ⇔ x ≠ -2.

ÀN

b) Giá trị

x −1 xác định x2 − 1

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

x +1 x +1 1 = = 2 x +x x ( x + 1) x

Đ

b)

ẠO

x ≠ - 1.

⇔ x2 - 1 ≠ 0 ⇔ x2 ≠ ± 1.

Đ IỄ N D

.Q

và

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

x2 + x ≠ 0 ⇔ x (x + 1) ≠ 0 ⇔ x ≠ 0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

- Yêu cầu HS làm ?2.

N

?2.

Bài tập 48 SGK. Hai HS lên bảng làm phần a, b ; hai HS

Bài tập 48 SGK. a) Giá trị phân thức

khác làm phần c, d.

x2 + 4x + 4 x+2

xác định ⇔ x + 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ - 2.

29

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

b)

x2 + 4 x + 4 ( x + 2) 2 = = x+2 x+2 x+2

⇒ x = -1 (TMĐK).

Ơ

H

1.

.Q

TP

phân thức bằng 0.

G

Đ

V:Hướng dẫn về nhà

H Ư

N

- Cần nhớ: Khi làm tính trên các phân thức không cần tìm điều kiện của biến, mà cần hiểu rằng: Các phân thức luôn xác định. Nhưng khi là những bài toán

TR ẦN

liên quan đến giá trị phân thức, thì trước hết phải tìm ĐK của biến để giá trị phân thức xác định; đối chiếu giá trị của biến để bài cho hoặc tìm được; xem giá

B

trị đó có thoả mãn hay không, nếu thoả mãn thì nhận được, nếu không thoả mãn

10 00

thì loại.

A

- Làm bài 50 , 51, 53, 54, 55 SGK

H

Ó

- Ôn lại các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, ước của số nguyên.

Í-

***************************

-L

Ngày soạn: 17/12/2011

TO

ÁN

Ngày giảng: 23/12/2011

Tiết 36: LUYÊN TẬP

D

IỄ N

Đ

ÀN

A. Mục tiêu:

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

Vậy không có giá trị nào của x để

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

d) x + 2 = 0

⇔ x = - 2 (Không TMĐK).

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

sửa sai

Với x = -1 thì giá trị phân thức bằng

N

Y/c học sinh nhận xét, gv nhận xét và

N

c) x + 2 = 1

* Kiến thức: Củng cố cách thực hiện các phép toán trên các phân thức đại

số. Phân biệt được khi nào cần tìm điều kiện của biến, khi nào không cần tìm

1 1 điều kiện của biến. Nắm được tính chất: a > b ⇒ < với ∀ a, b >0. a b *Kĩ năng: Rèn luyện cho HS kĩ năng thực hiện các phép toán trên các phân thức đại số. HS có kĩ năng tìm điều kiện của biến. Vận dụng được tính chất 30

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

bất đẳng thức trên vào việc chứng minh một số bất đẳng thức cũng như tìm giá trị lớn nhất (GTLN) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một phân thức. *Thái độ : Rèn tính cẩn thận cho HS.

Ơ

N

B. Chuẩn bị của GV và HS:

H

* GV : Bảng phụ.

.Q ẠO

I: Tổ chức

Đ

Lớp 8A:

H Ư

N

Yêu cầu 1 HS lên bảng kiểm tra:

10 00

B

3x 2   x    + 1 : 1 −  2   x +1   1− x 

TR ẦN

- HS1: Chữa bài tập 50a SGK

x + x + 1 1 − x 2 − 3x 2 : x +1 1 − x2

=

2x + 1 1 − 4x2 : x + 1 1 − x2

=

2 x + 1 (1 − x)(1 + x) 1− x . = x + 1 (1 − 2 x)(1 + 2 x) 1 − 2 x

-L

Í-

H

Ó

A

=

ÁN

- Bài này không cần tìm ĐK của biến vì không liên quan đến giá trị của phân

TO

thức.

IỄ N

Đ

ÀN

- HS2: Chữa bài 54 SGK.

D

G

II: Kiểm tra

3x + 2 2x2 − 6x

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

C. Tiến trình dạy học:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

số nguyên.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

* HS : Học và làm bài đầy đủ ở nhà. Ôn tập PTĐT thành nhân tử, ước của

ĐK: 2x2 - 6x ≠ 0 ⇒ 2x (x-3) ≠ 0 ⇒ x ≠ 0 và x ≠ 3.

b)

5 ĐK: x2 - 3 ≠ 0 x −3 2

31

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

⇒ (x- 3 ) (x + 3 ) ≠ 0 ⇒ x ≠ 3 và x ≠ - 3

III: Bài mới

Bài 52 SGK.

N

Hoạt động của học sinh

Ơ

Hoạt động củaGiáo viên

N

H

Bài 52SGK.

- Tại sao trong đề bài lại có điều

 x 2 + a 2   2a 4a   a −  .  −  x+a   x x−a 

kiện: x ≠ 0; x ≠ ± a .

=

ax + a 2 − x 2 − a 2 2ax − 2a 2 − 4ax . x+a x( x − a )

=

ax − x 2 − 2a 2 − 2ax . x+a x( x − a )

=

x( a − x) − 2a (a + x) (a − x).2a − = = 2a x+a x( x − a) a−x

TR ẦN

là số chẵn do a nguyên.

10 00

B

Giáo viên yêu cầu học sinh nhận xét, kết luận chốt lại vấn đề cơ bản.

Ó

A

Bài 46 tr 25 SBT.

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

- Yêu cầu HS trả lời trước lớp.

Bài 46 tr 25 SBT. a) Giá trị phân thức mọi x. b) Giá trị phân thức x≠

4x xác định với 3x − 7

7 3

c) Giá trị phân thức

IỄ N

5x2 − 4 x + 2 xđ với 20

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

ẠO

Đ

N

G

- Yêu cầu 1 HS lên bảng kiểm tra.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

viên

.Q

hiện

H Ư

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

- Giáo viên yêu cầu học sinh thực Học sinh thực hiện theo yêu cầu của Giáo

8 xác định với x + 2004

D

x ≠ - 2004.

2 Giáo viên yêu cầu học sinh nhận d) Giá trị của phân thức x xác định x+z xét, kết luận chốt lại vấn đề cơ bản.

32

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

với x ≠ z.

- Yêu cầu hai HS lên bảng.

Bài 55 SGK. x2 + 2 x + 1 x2 − 1

N

a)

H

Ơ

ĐK: x2 - 1 ≠ 0

.Q

x +1 c) GV cho HS thảo luận tại lớp, b) x + 2 x + 1 = ( x + 1) = 2 x −1 ( x + 1)( x − 1) x − 1 hướng dẫn HS đối chiếu với ĐKXĐ c) Với x = 2, giá trị của phân thức được

Đ

ẠO

xác

2 +1 =3 2 −1

N

G

định, do đó phân thức có giá trị:

H Ư

Với x = -1, giá trị của phân thức không

TR ẦN

xác định, vậy Thắng tính sai Chỉ có thể tính được giá trị của phân thức

đã cho nhờ phân thức rút gọn với những

10 00

B

- GV bổ sung câu hỏi:

d) Tìm giá trị của x để giá trị của

-L

Í-

H

Ó

A

biểu thức bằng 5.

giá trị của biến thoả mãn điều kiện. d)

x +1 =5 x −1

ĐK: x ≠ ± 1

x+1 = 5 x - 5 x - 5x = - 1 - 5 - 4x = -6

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

e) Tìm giá trị nguyên của x để giá x = 3 (TMĐK) 2 trị của biểu thức là một số nguyên. e) ĐK: x ≠ ± 1 - Hướng dẫn HS: tách ở tử ra một

đa thức chia hết cho mẫu và một hằng số.

Thực hiện chia tử cho mẫu.

x +1 x −1+ 2 2 = = 1+ x −1 x −1 x −1

Biểu thức là số nguyên ⇔

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

D

U Y

2

2

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

⇒ (x-1)(x+1) ≠ 0 ⇒ x ≠ ± 1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Bài 55 SGK.

2 là một số x −1

Giáo viên yêu cầu học sinh nhận xét nguyên ⇔ x - 1 ∈ Ư (2) hay từng phần, kết luận chốt lại vấn đề

x- 1 ∈ {- 2 ; -1 ; 1 ; 2}

33

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

cơ bản.

x - 1 = - 2 ⇒ x = - 1 (loại) x - 1 = - 1 ⇒ x = 0 (TMĐK) x - 1 = 1 ⇒ x = 2 (TMĐK)

a) Chứng minh rằng:

U Y

là số nguyên.

2

.Q Đ

0 ( Tương tự đối với các trường hợp

G

a) Ta có: D = x 2 − 4 x + 6 = (x2-4x+4)+2

N

dấu của bất đẳng thức là: ≤ ; ≥ ; < )

=(x-2)2+2 ≥ 2 với ∀ x ∈ R .

H Ư

- Xét đa thức D = x2- 4x+6.

1 1 ≤ với ∀ x ∈ R . x -4x+6 2

TR ẦN

Ta tìm GTNN của D, từ đó ta sẽ ⇒ A= 1 chứng minh được A ≤ .

2

2

B

Dấu “=” xảy ra tại x = 2.

10 00

b) Tìm GTNN của biểu thức: B = 2 .

-x +2x-3

H 1 x -2x+3

Í-

+ Hướng dẫn:

Ó

A

2

-L

Xét biểu thức:C=

2

b) Ta có: x 2 − 2 x + 3 =(x2-2x+1)+2 =

ÁN

⇒ B = - 2C. Ta tìm được: GTLN = (x-1)2+2 ≥ 2 với ∀ x ∈ R .

TO

của C, từ đó tìm được GTNN của B.

kiến thức đã vận dụng vào các dạng

1 1 ≤ với ∀ x ∈ R . x -2x+3 2 2

⇒ -2.C ≥ -2.

bài tập đã chữa.

1 = - 1.

2

⇒ B ≥ - 1 với ∀ x ∈ R .

D

IỄ N

Đ

ÀN

Giáo viên yêu cầu học sinh đưa ra

⇒ C=

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP ẠO

1 1 - Tính chất: a > b ⇒ < với a, b > a b

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1 1 ≤ với ∀ x ∈ R . x - 4x+6 2

N

H

Vậy x ∈ {0; 2; 3} thì giá trị của biểu thức

+ Hướng dẫn:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

A=

N

x - 1 = 2 ⇒ x = 3 (TMĐK)

Ơ

Bài tập:

- Hay là GTNN của B bằng - 1 tại x=1.

- HS khác nhận xét.

V.Củng cố: Hệ thống kiến thức bài học.

34

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

VI.Hướng dẫn về nhà: - HS chuẩn bị đáp án cho 12 câu hỏi ôn tập chương II (SGK-Tr 61).

- Làm bài tập 45, 48, 54, 55, 57 (SBT-Tr 27).

10 00

B

TR ẦN

H Ư

N

G

Đ

ẠO

Xác nhận của ban giám hiệu

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

Phạm Quang Ngọc

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Duyệt của tổ trưởng

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N U Y

3 x 2 -8x+20

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

b) Tìm GTLN của biểu thức B =

http://daykemquynhon.ucoz.com

H

1 1 ≤ với ∀ x ∈ R . x +6x+12 3 2

.Q

a) Chứng minh rằng: A =

Ơ

N

- Làm bài tập:

35

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

3. Kết quả thực nghiệm: Ngày soạn: 26/8/2011 Ngày giảng: 28/8/2011

Ơ

N

TIẾT 29: KIỂM TRA CHƯƠNG I

H

A: Mục tiêu

.Q TP

số, phép cộng các phân thức đại số

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

G

*Thái độ: Nghiêm túc trong kiểm tra

H Ư

N

B: Chuẩn bị của GV và HS

*Gv: Ma trận đề kiểm tra, đề kiểm tra, đáp án - biểu điểm

TR ẦN

*HS: Ôn tập kỹ kiến thức từ đầu chương đến phép cộng các phân thức đại số

10 00

B

C: Tiến trình dạy học I - Tổ chức : SS:

Lớp 8A:

A

II - Kiểm tra

Í-

Vận dung Nhận biết Cấp độ Cấp độ Chủ đề Thấp Cao Cộng TN TL TN TL TN TL TN TL KQ KQ KQ KQ Hiểu và Nhận biết Tìm được Phân thực hiện TXĐ của thức- TXĐ được một một phân của phân phân thức. được tính chất cơ bản thức. thức. Tính của phân chất cơ thức bản phân thức.( 2 tiết ) Số câu hỏi 1 1 1 3 Số điểm 0,5 0,5 0,5 1,5 Tỉ lệ % 5% 5% 5% 15% Thông hiểu

TO

ÁN

-L

Cấp độ

H

Ó

Ma trận đề kiểm tra:

Đ IỄ N D

Đ

đại số

36

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

* Kỹ năng: Rèn kỹ năng quy đồng mẫu thức, rút gọn, cộng các phân thức

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

phân thức đại số, rút gọn các phân thức đại số, quy đồng mẫu các phân thức đại

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

* Kiến thức: Củng cố kiến thức về phân thức đại số, tinh chất cơ bản của

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

N Ơ H 3 30% 10 100%

A

H

Ó

I. TRẮC NGHIỆM: (4 điểm)

Í-

Câu 1: (2 điểm) Điền dấu “ X ” vào ô thích hợp Đúng

Sai

x+2 là một phân thức đại số x 2 +1

2

Phân thức đối của phân thức

3

Phân thức

4

3x 6 + =3 x−2 2−x

ÀN Đ

Nội dung

ÁN

TO

1

-L

Câu

7x − 4 7x + 4 là 2 xy 2 xy

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

4

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

U Y .Q

G

Đ

ẠO

TP

Phối hợp thực hiện các phép tính về cộng 1 2 0,5 2 5% 20% 7 1 15 5,5 1,0 55% 10%

ĐỀ KIỂM TRA:

IỄ N D

3,0 30%

1 10 %

10 00

Số câu hỏi Số điểm Tỉ lệ % Tổng số câu Tổng số điểm Tỉ lệ %

Thực hiện được các phép tính đơn giản 1 0.5 5% 4 3 0,5 3,0 5% 30%

0.5 5%

TR ẦN

Phép cộng,

5

1

B

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Số câu hỏi Số điểm Tỉ lệ %

Vận dụng qui tắc để phối hợp thực hiện các phép cộng, trừ, nhân, chia.

1

N

Biết vận dụng qui tắc thực hiện các phép rút gọn và qui đồng.

2 1 1 0.5 10% 5%

H Ư

Rút gọn Qui đông mẫu thức. ( 4 tiết )

8x được xác định khi x ≠ 5 và x ≠ -5 x − 25 2

Câu 2: (2 điểm) Đánh dấu "x" vào ô vuông của câu trả lời đúng nhất trong các câu sau: 37

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

1) Biến đổi phân thức

4x + 3 thành phân thức có tử là 12x2 + 9x thì khi 2 x −5

đó mẫu thức là:

2) Cho đẳng thức:

... x . Đa thức phải điền vào chỗ trống là: = x − 64 x − 8

A. x2 + 8

B. x2 – 8

C. −3

1 4

TR ẦN

D.

B 10 00

x+2 x−5 x+8 + + 3x 5x 4x

A

b/

x 9 − 6x + 2 x − 3 x − 3x

3x + 3 x2 −1

Í-

H

Ó

Bài 2: (3 điểm) Cho phân thức

-L

a/ Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức được xác định.

ÁN

b/ Tìm giá trị của x để phân thức có giá trị bằng –2 .

ÀN

TO

c/ Tìm giá trị của x để phân thức có giá trị là số nguyên.

D

IỄ N

Đ

Đáp án :

5 4

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

G

1 4

Bài 1: (3 điểm) Thực hiện phép tính: a)

2x x−4

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q TP D.

5x − 10 2x − 4 ta được kết quả là: + 4x − 8 x−2

B. 3

II. TỰ LUẬN: (6 điểm)

− 2x x+4

N

4) Thực hiện phép tính:

C.

ẠO

2x x+4

H N

U Y

D. x2 – 8x

32 x − 8 x 2 + 2 x 3 ta được kết quả là: x 3 + 64

B.

5 4

C. x2 + 8x

H Ư

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

− 2x x−4

A. −

D. 3x3 – 15x

2

3) Rút gọn phân thức A.

C. 3x3 + 15x

N

B. 3x3 – 15

Ơ

A. 3x3 + 15

I. TRẮC NGHIỆM: (4 điểm) Câu 1: (2 điểm) Mỗi câu đúng được 0,5 điểm.

1

2

3

4

Đ

S

Đ

Đ

38

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

2

3

4

D

C

B

B

H

Ơ

1

N

Câu 2: (2 điểm) Mỗi câu đúng được 0,5 điểm.

.Q

( x − 3 )2 = x ( x − 3)

Bài 2: (3 điểm)

Ó

H

Í-

ÁN

-L

- Tìm được x = −

TO

c/ - Lập luận:

3 x −1

(0,5điểm)

1 ( TMĐK ) 2

(0,5điểm)

3 là số nguyên khi ( x – 1 ) ∈ Ư(3) x −1

=> ( x – 1 ) ∈ {± 1;±3}

(0,5điểm)

- Tìm được x ∈ {− 2,0,2;4} và kết luận.

(0,5điểm)

D

IỄ N

Đ

ÀN

(0,75 điểm)

(1điểm)

A

a/ - Tìm được ĐKXĐ: x ≠ ± 1 b/ - Rút gọn được:

(0,75 điểm)

B

47 x + 100 60 x

10 00

- Biến đổi được:

TR ẦN

20 ( x + 2 ) + 12 ( x − 5 ) + 15 ( x + 8 ) 60 x

H Ư

Câu b:(1,5 điểm) - Biến đổi được:

(0,75 điểm)

N

G

x−3 x

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

- Biến đổi được:

(0,75 điểm)

ẠO

x 9 − 6x x 2 + 9 − 6x + = x − 3 x(x − 3) x( x − 3)

Đ

- Biến đổi được:

TP

Câu a:(1,5 điểm)

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

Bài 1: (3 điểm)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

II. TỰ LUẬN: (6 điểm)

IV: Củng cố - Gv thu bài, nhận xét giờ kiểm tra V: Hướng dẫn về nhà - Làm lại bài kiểm tra vào vở 39

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

- Xem trước bài phép trừ các phân thức đại số

Kết quả thống kê điểm:

(6.5 - 7,9)

(5 - 6,4)

(3,5 - 4,9)

(< 3,5)

Số lượng

4

5

13

4

2

%

14.3

17.9

46.4

14.3

(8 - 10)

(6.5 - 7,9)

(5 - 6,4)

Số lượng

2

3

15

%

6.9

10.3

Yếu

Kém

(3,5 - 4,9)

(< 3,5)

6

3

20.7

10.3

G

TB

N

Khá

TR ẦN

H Ư

Giỏi

51.7

10 00

B

Điểm

Đ

- Lớp 8B (29 học sinh: : là lớp không được áp dụng giảng dạy theo đề tài này)

III. Kết luận

A

Để nâng cao chất lượng, đặc biệt là chất lượng mũi nhọn học môn toán

H

Ó

ngoài việc thực hiện giảng dạy theo hệ thống kiến thức cơ bản trong chương

Í-

trình, sách giáo khoa hiện hành thì việc giảng dạy các chuyên đề nâng cao nói

-L

chung, nội dung bất đẳng thức nói riêng là không thể thiếu được. Tôi thấy rằng:

ÁN

trong đề thi vào trường THPT cũng như trong kỳ thi học sinh giỏi các cấp

TO

thường có một số bài liên quan đến bất đẳng thức; khi giải các bài toán tìm giá

D

IỄ N

Đ

ÀN

trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất; giải một số phương trình đặc biệt; một số bài tập

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

7.1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

(8 - 10)

N

Kém

Ơ

Yếu

H

TB

N

Khá

Điểm

U Y

Giỏi

.Q

- Lớp 8A (28 học sinh: là lớp được áp dụng giảng dạy theo đề tài này)

hình học cũng cần sử dụng kiến thức về bất đẳng thức.

Học sinh biết được càng nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức thì khi giải các loại bài tập liên quan đến việc chứng minh bất đẳng thức có nhiều hướng suy nghĩ nên dễ tìm ra cách giải qua đó cũng phát triển được tư duy và nâng cao được năng lực sáng tạo.

Nếu chúng ta - những giáo viên dạy toán THCS nói riêng nhận thức được 40

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

tầm quan trọng của bất đẳng thức và có kế hoạch nghiên cứu, dạy bất đẳng thức thỏa đáng thì nhất định sẽ góp phần nâng cao được chất lượng dạy học môn toán. Thực tế kết quả của việc triển khai đề tài này tại trường THCS Âu Lâu đã

Ơ

H

khoa toán THCS mới các nhà biên soạn sẽ nghiên cứu đưa vào hệ thống bất

N

chứng tỏ được nhận định trên của tôi. Tôi mong rằng khi biên soạn sách giáo

.Q

Trên đây là đề tài nghiên cứu khoa học về nghiệp vụ sư phạm của tôi:

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Đ

đề tài trên chắc chắn không tránh khỏi nhiều thiếu sót, tôi rất mong được sự

G

thông cảm và đóng góp ý kiến, trao đổi của các thầy, các bạn đồng nghiệp để đề

H Ư

N

tài này hoàn thiện hơn, có tính khả thi hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn TS. Sĩ

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

Đức Quang - thầy giáo đã hướng dẫn, giúp đỡ tôi thực hiện đề tài này!

D

IỄ N

Đ

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

“Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức”. Do hạn chế của bản thân,

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

và học môn toán ở trường THCS.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

đẳng thức và các phương pháp chứng minh bất đẳng thức đáp ứng nhu cầu dạy

41

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

Tài liệu tham khảo 1. Vũ Hữu Bình. Một số vấn đề phát triển đại số 8. NXB Giáo dục - 2006.

2. Lê Hồng Đức. Phương pháp giải Toán Bất Đẳng Thức. NXB Hà Nội -

H

3. Trần Văn Hạo (Chủ biên). Bất đẳng thức Cauchy. NXB Giáo dục - 2001.

Ơ

N

2003.

TP

.Q

5. Vũ Đình Hòa. Bất Đẳng Thức hình học. NXB Giáo dục - 2001.

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Đ

2000.

G

7. Phan Huy Khải. Tuyển tập các bài Toán Bất Đẳng Thức - Tập 1. NXB

H Ư

N

Giáo dục - 1996.

8. Trần Phương (Chủ biên). 15 kỹ thuật sử dụng Bất đẳng thức Cauchy. NXB

TR ẦN

Giáo dục - 2001.

9. Nguyễn Vũ Thanh. Phương pháp giải Bất Đẳng Thức. NXB tổng hợp

10 00

B

Đồng Tháp - 1994.

10. Nguyễn Mạnh Trinh (Chủ biên). Thực hành giải toán cấp II. NXB Hà Nội

A

- 1990.

H

Ó

11. G.KORN-T.KORN. Phan Văn Hạp và Nguyễn Trọng Bá dịch. Sổ tay Toán

Í-

học. NXB Đại học và Trung học Chuyên nghiệp Giáo dục - 1997.

TO

ÁN

-L

12. Tạp chí Toán học tuổi trẻ. NXB Giáo dục.

D

IỄ N

Đ

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ẠO

6. Phan Huy Khải. 500 bài toán chọn lọc về bất đẳng thức. NXB Hà Nội -

ÀN

http://daykemquynhon.ucoz.com

2001.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Y

N

4. Trần Văn Hạo (Chủ biên). Chuyên đề Bất Đẳng Thức. NXB Giáo dục -

42

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Khoa Toán tin

U Y

Đề tài nghiên cứu khoa học

.Q Đ

ẠO

Tên đề tài:

N

G

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG

Người hướng dẫn: TS Sĩ Đức Quang

Cán bộ giảng dạy khoa Toán- Tin, ĐHSP Hà Nội Người thực hiện: Nguyễn Thị Vân Số báo danh, ngày sinh: 11-10-1976 Trường THCS Âu Lâu- Yên Bái

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Skype : daykemquynhon@hotmail.com https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

http://daykemquynhon.ucoz.com

về nghiệp vụ sư phạm

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

H

Ơ

N

*********

Phú Thọ, 6 - 2012

43

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial