MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN CÁC BÀI TOÁN TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ……………

TRƯỜNG THPT ……………..

- - - - - - - - - -

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM HỌC …………..

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

PHẦN I: LỜI GIỚI THIỆU 1. Lý do chọn chuyên đề: Trong đề thi tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng (mà ngày nay gọi là kỳ thi THPT

N

Quốc gia) thường có một câu hỏi về bài toán hình học vận dụng phương pháp tọa độ trong mặt

H

Ơ

phẳng. Đây là bài toán tương đối khó, dùng để phân loại thí sinh.

N

Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy không ít học sinh còn rất lúng túng khi xác định

U

Y

phương pháp tiếp cận các bài toán tọa độ trong mặt phẳng. Vì vậy để giúp các em tư duy, nhận

G

2. Phạm vi, đối tượng, mục đích của chuyên đề:

N H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

Phạm vi : Trường THPT Sáng Sơn Đối tượng: Học sinh lớp 12

TR ẦN

Mục đích : Giúp các em đạt điểm tối đa trong bài toán tọa độ trong mặt phẳng.

3. Thực trạng :

B

a. Thuận lợi:

10 00

Đa số học sinh các lớp tôi giảng dạy là học sinh có nhận thức khá, giỏi nên việc áp dụng đề tài này khá thuận lợi.

Ó

A

b. Khó khăn:

-H

Nhiều học sinh vẫn rất mơ màng khi gặp bài toán tọa độ trong mặt phẳng, do các em chưa thật

Ý

sự hiểu rõ bản chất của bài toán, vì thế các em còn rất lúng túng khi giải quyết bài toán hoặc

-L

cách giải quyết của các em quá phức tạp hoá vấn đề dẫn đến đáp số cuối cùng dễ bị sai.

ÁN

4. Cơ sở thực hiện chuyên đề:

TO

Căn cứ vào tình hình nhận thức của đa số học sinh còn thụ động, hạn chế, mặt khác do từng

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

giúp các em nhận thấy một bài toán tọa độ trong mặt phẳng phức tạp trở nên dễ dàng, đơn giản.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Với mục đích của tôi là

Đ ẠO

TIẾP CẬN CÁC BÀI TOÁN TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG ”.

TP

Quốc Gia của các em đạt hiệu quả cao nhất tôi chọn chuyên đề: “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

dạng và có lời giải bài toán dạng này một cách hiệu quả , giúp cho việc học tập và ôn thi THPT

ÀN

tham gia nhiều khóa học ôn thi Đại học cao đẳng, ôn thi THPT Quốc Gia cho học sinh tôi đã tự

Đ

đúc rút ra kinh nghiệm cho mình và phân chia dạng toán theo ý chủ quan dưới đây

D

IỄ N

Tuy nhiên vì thời gian nghiên cứu còn hạn chế và kinh nghiệm chưa nhiều nên chuyên đề của

tôi chắc hẳn không tránh khỏi sai sót. Rất mong được sự đóng góp chân thành của quý thầy cô giáo và các em học sinh!

2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

PHẦN II – NỘI DUNG CỦA CHUYÊN ĐỀ A. Tóm Tắt Lý Thuyết

Ơ

N

1. Hệ tọa độ phẳng Oxy:

N

H

a. Hệ tọa độ Oxy:

Y

Hệ tọa độ Oxy gồm 2 trục Ox và Oy vuông góc nhau tại O. Ox, Oy lần lượt có vectơ đơn

H Ư

TR ẦN

a = ( x; y ) hoặc a ( x; y ) . c. Tọa độ của điểm:

B

10 00

Nếu vectơ OM = ( x; y ) thì cặp số ( x; y ) được gọi là tọa độ của điểm M và được viết là:

A

M ( x; y ) .

-H

Ó

d. Hai vectơ bằng nhau:

a1 = b1 . a = b  2 2

-L

Ý

Cho a = ( a1; a2 ) , b = ( b1; b2 ) thì a = b ⇔ 

ÁN

e. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ:

TO

IỄ N

Đ

ÀN

Cho a = ( a1; a2 ) , b = ( b1; b2 ) , ta có:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Nếu a = x.i + y. j thì cặp số ( x; y ) được gọi là tọa độ của vectơ a và được viết là:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

N

G

b. Tọa độ của vectơ:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Đ ẠO

TP

i . j = 0   i = j = 1

http://daykemquynhon.ucoz.com

D

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

vị là i và j .

a ± b = ( a1 ± b1; a2 ± b2 )

k .a = ( ka1; ka2 ) , ∀k ∈ ℝ

f. Quan hệ giữa tọa độ của vectơ và tọa độ của điểm:

Nếu A ( x A ; y A ) , B ( xB ; yB ) thì AB = ( xB − x A ; y B − y A ) .

3 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

g. Hai vectơ cùng phương:

Cho a = ( a1; a2 ) , b = ( b1 ; b2 ) ≠ 0 . Khi đó:

H

Ơ

N

a1 = kb1

a , b cùng phương ⇔ ∃k ∈ ℝ : a = kb ⇔ ∃k ∈ ℝ :  a2 = kb2

N

h. Tích vô hướng của hai vectơ:

Y U .Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

G

( )

TR ẦN

Độ dài của vectơ: a = a12 + a2 2

H Ư

N

+ Các ứng dụng của tích vô hướng:

http://daykemquynhon.ucoz.com

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ab = a b cos a , b = a1b1 + a2b2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

số được xác định theo công thức:

Đ ẠO

TP

+ Biểu thức tọa độ của tích vô hướng: Tích vô hướng của a và b ký hiệu là ab là một

B

Khoảng cách giữa hai điểm A ( x A ; y A ) , B ( xB ; yB ) :

( xB − x A )

10 00

AB = AB =

2

+ ( yB − y A )

2

( )

-H

Ó

A

ab a1b1 + a2b2 Góc giữa hai vectơ: cos a , b = = a b a12 + a2 2 b12 + b2 2

-L

Ý

i. Tọa độ trung điểm đoạn thẳng, tọa độ trọng tâm tam giác:

Đ

ÀN

TO

ÁN

I ( xI ; yI ) là trung điểm của AB với A ( x A ; y A ) , B ( xB ; yB ) thì: x A + xB  x = I  2   y = y A + yB  I 2

G ( xG ; yG ) là trọng tâm của tam giác ABC với A ( x A ; y A ) , B ( xB ; y B ) , và C ( xC ; yC ) thì:

D

IỄ N

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Cho a = ( a1; a2 ) , b = ( b1; b2 ) .

4 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

x A + xB + xC   xG = 3   y = y A + yB + yC  G 3

Ơ

N

j. Phương trình đường thẳng:

N

H

Đường thẳng ∆ đi qua điểm A ( xo ; yo ) và nhận n = ( a; b ) làm vectơ pháp tuyến có

.Q TP

hay ax + by + c = 0, c = −axo − byo

G N

http://daykemquynhon.ucoz.com

phương trình tham số là:

TR ẦN

H Ư

 x = xo + tu1 (t ∈ ℝ )   y = yo + tu2 k. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

10 00

B

Khoảng cách từ điểm M ( xo ; yo ) đến đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 được ký hiệu là

d ( M , ∆ ) và:

Ó

A

axo + byo + c a 2 + b2

-H

d (M ,∆) =

-L

Ý

l. Phương trình đường tròn:

ÀN

TO

ÁN

Đường tròn ( C ) tâm I ( a; b ) , bán kính R có phương trình là:

( x − a)

2

2

+ ( y − b) = R2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ ẠO

Đường thẳng ∆ đi qua điểm A ( xo ; yo ) và nhận u = ( u1; u2 ) làm vectơ chỉ phương có

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

a ( x − xo ) + b ( y − yo ) = 0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

phương trình tổng quát là:

hay x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0, c = a 2 + b 2 − R 2

Elip ( E ) có độ dài trục lớn là 2a, độ dài trục bé là 2b có phương trình là:

D

IỄ N

Đ

m. Phương trình đường elip:

x2 y2 (E): 2 + 2 =1 a b 5 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

n. Phương trình đường hyperbol: Hyperbol ( H ) có độ dài trục thực là 2a, độ dài trục ảo là 2b có phương trình là:

Ơ

N

x2 y 2 (H ): 2 − 2 =1 a b

N

H

2. Một số bài toán cơ bản sử dụng trong chuyên dề

Quy trình giải toán.

G

Bước 1. Viết phương trình đường thẳng AM qua A và vuông góc với đường thẳng AB.

N

http://daykemquynhon.ucoz.com

Bước 2. Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng AM và đường thẳng ∆ .

TR ẦN

H Ư

Bước 3. Kết luận

:ax+by+c=0

B(xB;yB)

A

A(xA;yA)

10 00

B

M

-H

Ó

Bài toán 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 ( a 2 + b 2 ≠ 0 )

-L

Ý

và điểm C ( xC ; yC ) không thuộc ∆ . Xác định tọa độ điểm A trên đường thẳng ∆ , biết góc giữa hai đường thẳng AC và ∆ bằng ϕ .

ÁN

C(xC;yC)

Quy trình giải toán.

TO

Bước 1. Tham số hóa điểm A.

ϕ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ ẠO

đường thẳng AM vuông góc với đường thẳng AB .

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

và hai điểm A ( x A ; y A ) , B ( xB ; yB ) không thuộc ∆ . Xác định điểm M trên đường thẳng ∆ , biết

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

Bài toán 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 ( a 2 + b 2 ≠ 0 )

D

IỄ N

Đ

ÀN

A :ax+by+c=0

AC.u ∆

Bước 2. Sử dụng công thức cos ϕ = ( u ∆ là véc tơ chỉ phương của đường thẳng ∆ ).

AC u ∆

Bước 3. Giải phương trình ở bước 2 và kết luận.

Bài toán 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm phân biệt A ( x A ; y A ) , B ( xB ; yB ) .

Xác định điểm M trên đường thẳng AB, biết AM = kBM ; ( k ∈ R, k > 0 ) .

6 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Quy trình giải toán.

Bước 1. Giả sử M ( x; y ) Bước 2. Xác định M trong hai trường hợp:

-

Trường hợp 2: AM = k BM (điểm M nằm ngoài đoạn AB).

B M1

A

N

Trường hợp 1: AM = −k BM (điểm M nằm trong đoạn AB).

M2

Ơ

-

N

H

Bước 3. Kết luận.

Quy trình giải toán.

Bước 3. Giải phương trình ở bước 2 và kết luận.

B

N

A

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

Bước 2. Sử dụng công thức tính khoảng cách d ( M , AB ) .

G

Bước 1. Tham số hóa điểm M.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ ẠO

M

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

d ( M , AB ) = k ( k ∈ R, k > 0 ) .

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

và hai điểm A ( x A ; y A ) , B ( xB ; yB ) không thuộc ∆ . Xác định tọa độ điểm M thuộc ∆ sao cho

TR ẦN

Bài toán 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A ( x A ; y A ) , B ( xB ; yB ) . Viết

B

phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M ( x0 ; y0 ) và thỏa mãn hệ thức A

10 00

d ( A, ∆ ) = k .d ( B, ∆ ) ; ( k ∈ R, k > 0 ) .

Quy trình giải toán.

Ó

A

Bước 1. Giả sử ∆ : ax + by = ax0 + by0 ( a 2 + b 2 ≠ 0 ) a = α b ( *) a = β b

M B

Ý

-H

Bước 2. Sử dụng hệ thức d ( A, ∆ ) = k .d ( B, ∆ ) ⇒ 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

Bài toán 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 ( a 2 + b 2 ≠ 0 )

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Bước 3. Chọn a, b đại diện và thỏa mãn (*)

7 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

B. Một số phương pháp tiếp cận bài toán tọa độ trong mặt phẳng 1. Tiếp cận bài toán tọa độ trong mặt phẳng từ tính chất vuông góc Bài toán 1.1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M(1;3) là trung 1

3 1

Ơ

N

điểm của cạnh BC, N  − ;  là điểm trên cạnh AC sao cho AN = AC . Xác định tọa độ các 4  2 2

Y

N

H

đỉnh của hình vuông ABCD, biết D nằm trên đường thẳng x − y − 3 = 0 .

TP

Ta nhận thấy rằng giả thiết bài toán xoay quanh ba điểm D, M, N nên giữa chúng xuất hiện những mối quan hệ đặc biệt. Bằng trực quan ta đưa ra giả thuyết DN ⊥ MN . Nếu

Ta sẽ cụ thể bài toán trên để kiểm chứng giả thuyết đã đề ra: Giả sử ta chọn hình vuông

N

http://daykemquynhon.ucoz.com

-

H Ư

ABCD có tọa độ các đỉnh A ( −2; 2 ) , B ( 2; 2 ) , C ( 2; −2 ) , D ( −2; −2 ) . Khi đó

TR ẦN

DN .MN = 0 ⇒ DN ⊥ MN .

Giải.

10 00

Cách 1. (Thuần túy hình phẳng)

B

Trước hết ta sẽ chứng minh DN ⊥ MN . Ta có thể chứng minh bằng một trong các cách sau: Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm F là trung điểm của đoạn DI. Khi đó tứ

Ó

A

giác FNMC là hình bình hành và F là trực tâm tam giác NDC nên CF ⊥ DN . Mà CF / / MN nên

-H

DN ⊥ MN .

B

-L

Ý

A

ÁN

N

TO

I

M

ÀN

F

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

các đỉnh còn lại của hình vuông bằng phương pháp tham số hóa quen thuộc.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

giả thuyết là đúng dựa vào bài toán 1 ta sẽ tìm được tọa độ điểm D. Từ đó ta sẽ tìm được

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

-

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

U

Phân tích:

C

D

D

IỄ N

Đ

Cách 2 . (Sử dụng công cụ véc tơ)

(

)

3 4

1 4

1 4

3 4

Đặt DA = x; DC = y x. y = 0; x = y . Ta có DN = x + y; MN = DN − DM = x − y.

Suy ra DN .MN =

3 2 2 x − y = 0 ⇒ DN ⊥ MN .

16

(

)

8 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

A

B

M

N

H

Ơ

x

N

N

C

Y

D

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Cách 3. (Sử dụng công cụ tọa độ)

Đ ẠO

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ. Khi đó D ( 0;0 ) , A ( 0; a ) , C ( a;0 ) , Nên

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

3 3  a   a 3a  M  a;  , N  ;  . Do đó DN .MN = − a 2 + a 2 = 0 ⇒ DN ⊥ MN .

16 16  2 4 4 

TR ẦN

N

10 00

B

M

A

Cách 4. (Sử dụng công cụ lượng giác)

5 8

Ó

Đặt AB = BC = CD = DA = a.

Xét tam giác AND, ta có DN 2 = AN 2 + AD 2 − 2 AN . AD.cosA = a 2 .

-

Xét tam giác CMN, ta có MN 2 = CN 2 + CM 2 − 2CN .CM .cosC = a 2 .

-

Xét tam giác DCM, ta có DM 2 = DC 2 + CM 2 = a 2 . Suy ra

-H

-

-L

Ý

5 8

TO

ÁN

5 4

ÀN

DM 2 = DN 2 + MN 2 ⇒ DN ⊥ MN .

B

A

Đ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

U

y

IỄ N

N

D

M

Sau khi chứng minh DN ⊥ MN ta có

D

C

9 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Phương trình đường thẳng DN : x + y + 1 = 0. x + y +1 = 0 x = 1 ⇒ ⇒ D (1; −2 ) .  x − y − 3 = 0  y = −2

Giả sử A ( m; n ) , từ AC = 4 AN ⇒ C ( −6 − 3m; 2 − 3n ) . Từ AB = DC ⇒ B ( −7 − 2m; 4 − 2n ) . Suy ra

N

Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ 

 −13 − 5m 6 − 5n  ; .

2 2  

N

H

Ơ

tọa độ điểm M 

−13 − 5m = 2 m = −3 ⇒ ⇒ A ( −3; 0 ) , B ( −1; 4 ) ; C ( 3; 2 )  6 − 5n = 6 n = 0

Để giải quyết bài toán 1.1 ta mở “ nút thắt đầu tiên” là tìm tọa độ điểm D nhờ mối quan

Đ ẠO

-

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Nhận xét:

TR ẦN

Bài toán 1.2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh B thuộc đường thẳng d1 : 2 x − y + 2 = 0 , đỉnh C thuộc đường thẳng d 2 : x − y − 5 = 0 . Gọi H là hình chiếu 9 2  

10 00

B

của B xuống AC. Biết điểm M  ;  , K ( 9; 2 ) lần lượt là trung điểm của AH và CD. Xác định 5 5

A

tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD, biết điểm C có tung độ dương.

-H

-

Ó

Phân tích:

Giả thiết bài toán xoay quanh các điểm M, K, B. Bằng trực quan ta đề xuất giả thuyết

-L

Ý

BM ⊥ KM và nếu giả thuyết đề ra là đúng chúng ta sẽ sử dụng kết quả bài toán 1 để “

ÁN

mở nút thắt đầu tiên” là tìm tọa độ điểm B. Từ đó bằng các phương pháp giải toán quen thuộc ta sẽ tìm được tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật. Để kiểm chứng giả thuyết đã đề ra, ta cụ thể hóa bài toán 1.2 bằng hình chữ nhật ABCD

TO

-

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

N

1 AC . Chứng minh rằng DN ⊥ MN .

4

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

cạnh AC sao cho AN =

G

thuần túy : Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC; N là điểm trên

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

hệ DN ⊥ MN . Như vậy bài toán 1.1 thực chất được xây dựng trên bài toán hình phẳng

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

U

Y

Từ đó ta có 

ÀN

với A ( −2;1) , B ( 2;1) , C ( 2; −1) , D ( −2; −1) .

D

IỄ N

Đ

Giải:

Trước hết ta chứng minh BM ⊥ KM . Tương tự như bài toán 1. 1 ta có 4 cách chứng minh BM ⊥ KM , ở đây tôi chỉ đưa ra cách chứng minh bằng hình học thuần túy:

Gọi E là trung điểm của HB. Lúc đó tứ giác MECK là hình bình hành và E là trực tâm của tam giác BMC nên CE ⊥ MB. Mà MK / /CE ⇒ MK ⊥ MB .

10 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Phương trình đường thẳng BM : 9 x + 2 y = 85 . 9 x + 2 y = 85 ⇒ B (1; 4 )  2 x − y = −2

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ 

B

A M

Giả sử C ( c; c − 5 )

N

E

K

Trong trường hợp hình chữ nhật suy biến thành hình vuông bài toán 1.2 có “ bản chất

H Ư

-

TR ẦN

hình phẳng ” chính là bài toán 1.1 hay nói cách khác bài toán 1.1 là một trường hợp đặc biệt của bài toán 1.2.

-

Ta cũng dễ dàng nhận ra, bài toán 1.2 thực chất được xây dựng trên bài toán thuần túy

10 00

B

hình phẳng sau: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên đường chéo AC. Các điểm M, K lần lượt là trung điểm của AH và DC. Chứng minh rằng

A

BM ⊥ KM .

-H

Ó

Bài toán 1.3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang vuông ABCD

( A = D = 90 ) có đỉnh D ( 2; 2) và CD=2AB. Gọi H là hình chiếu vuông góc của D lên đường

Ý

0

-L

 22 14 

ÁN

chéo AC. Điểm M  ;  là trung điểm của HC. Xác định tọa độ các đỉnh A, B, C biết rằng  5 5

ÀN

TO

đỉnh B thuộc đường thẳng ∆ : x − 2 y + 4 = 0 .

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

N

G

Nhận xét:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Từ đó ta có D ( 9; 0 ) .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Đ ẠO

TP

2 x + y = 6  13 4  ⇒ H  ;  ⇒ A (1;0 )  5 5 x − 2y = 1

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ 

.Q

Phương trình đường thẳng MC : x − 2 y = 1

http://daykemquynhon.ucoz.com

C

Y

Phương trình đường thẳng BH : 2 x + y = 6 Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

H

H D

N

c = 4 ⇒ C ( 4; −1)( loai )

Ơ

c = 9 ⇒ C ( 9; 4 )

Từ BC.KC = 0 ⇒ ( c − 9 )( 2c − 8 ) = 0 ⇒ 

-

IỄ N

Đ

Phân tích: Nhận thấy dữ kiện bài toán xoay quanh ba điểm D, M, B. Bằng trực quan ta đưa ra giả thuyết BM ⊥ DM . Nếu giả thuyết trên là đúng , ta sẽ “mở được nút thắt đầu tiên” của

D

bài toán đó là việc xác định được tọa độ điểm B. Từ đó ta hoàn toàn xác định được tọa độ các đỉnh còn lại.

Giải:

11 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Trước hết ta chứng minh BM ⊥ DM Tương tự như bài toán 1. 1 ta có 4 cách chứng minh BM ⊥ DM ở đây tôi chỉ đưa ra cách chứng minh bằng hình học thuần túy:

Gọi E là trung điểm của đoạn DH. Khi đó tứ giác ABME là hình bình hành ⇒ ME ⊥ AD nên E là trực tâm tam giác ADM. Suy ra AE ⊥ DM mà AE / / BM ⇒ DM ⊥ BM .

Ơ

N

Phương trình đường thẳng BM : 3 x + y = 16 .

H

 x − 2 y = −4 ⇒ B ( 4; 4 ) . 3 x + y = 16

Y

TR ẦN B 10 00

Nhận xét :

E

D

M C

Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho AE=DC khi đó ta thấy hình thang ABCD

A

-

H

-H

Ó

trong bài toán 1.3 thực ra được cắt từ hình chữ nhật trong bài toán 1.2 hay nói cách khác, bài toán 1.3 là một cách phát biểu khác nhau của bài toán 1.2

Ý

Ngoài việc phát biểu lại bài toán 1.2, chúng ta cũng có thể xây dựng các bài toán hình

-L

-

ÁN

giải tích mới thông qua bài toán thuần túy hình phẳng sau: Cho hình thang vuông ABCD

TO

có DC = 2AB. Gọi H là hình chiếu vuông góc của D lên AC. Điểm M là trung điểm của HC. Chứng minh rằng DM ⊥ BM .

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

B

H Ư

N

A

G

14 18  ;  ⇒ C ( 6; 2 ) . Từ CI = 2 IA ⇒ A ( 2; 4 ) .  5 5

Suy ra tọa độ điểm H 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đ ẠO

Phương trình đường thẳng DH : 2 x − y = 2 .

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Phương trình đường thẳng AC : x + 2 y = 10 .

http://daykemquynhon.ucoz.com

U

.Q

AC IB 1  10 10  = = ⇒ DI = 2 IB ⇒ I  ;  .

CD IC 2  3 3

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Gọi I là giao điểm của AC và BD. Ta có

N

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ 

ÀN

Bài toán 1.4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A(-1; 3). Gọi D là

D

IỄ N

Đ

một điểm trên cạnh AB sao cho AB = 3AD và H là hình chiếu vuông góc của B trên CD. Điểm 1 3 M  ; −  là trung điểm đoạn HC. Xác định tọa độ điểm C, biết điểm B nằm trên đường thẳng 2 2 x+ y+7 = 0 .

12 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Phân tích: -

Dữ kiện bài toán xoay quanh ba điểm B, M, A. Ta giả thuyết AM ⊥ BM .

-

Nếu giả thuyết này là đúng, ta sẽ “ mở được nút thắt đầu tiên” đó là xác định được tọa độ điểm B, từ đó ta tìm được tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác ABC.

Ơ

N

Giải:

H

Trước hết ta chứng minh AM ⊥ BM Tương tự như bài toán 1. 1 ta có 4 cách chứng minh

Y

N

AM ⊥ BM ở đây tôi chỉ đưa ra cách chứng minh bằng hình học thuần túy:

G

tam giác NBM và tứ giác NAME là hình bình hành nên từ NE ⊥ BM ⇒ AM ⊥ BM

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

Đường thẳng BM có phương trình x − 3 y = 5. Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ

TR ẦN

 x + y = −7 ⇒ B ( −4; −3) . Từ AB = 3 AD ⇒ D ( −2;1) . Lúc đó ta có phương trình các đường thẳng  x − 3y = 5

I

A N

Ý

-H

Ó

A

10 00

B

CD : x + y = −1; BH : x − y = −1. Suy ra tọa độ điểm H ( −1; 0 ) . Suy ra C ( 2; −3) .

D

ÁN

-L

H

Nhận xét:

B

C

Ta nhận thấy, tam giác cân trong bài toán 1.4 được cắt từ hình thang của bài toán 1.3.

TO

-

M E

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ ẠO

 AN / / BC  trọng tâm tam giác IBC. Do đó  . Gọi E là trung điểm của BH, khi đó E là trực tâm 1  AN = 2 BC

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

CA. Do tam giác IBC vuông tại B và AB = AC ⇒ A là trung điểm của đoạn IC, suy ra D là

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

U

Gọi N, I là giao điểm của đường thẳng qua B vuông góc với BC với các đường thẳng CD và

D

IỄ N

Đ

ÀN

Hay nói cách khác, bài toán 1.4 là cách phát biểu khác của bài toán 1.3.

-

Tuy nhiên với giả thiết đã cho, nếu không nhận biết được sự quen thuộc của bài toán 1.3

trong bài toán 1.4 công việc chứng minh AM ⊥ BM sẽ phức tạp hơn nhiều.

-

Ngoài việc xây dựng bài toán 1.4 bằng cách phát biểu lại bài toán 1.3 cũng có thể xây dựng bài toán hình giải tích mới thông qua bài toán thuần túy hình phẳng: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AB = 3AD. Gọi H là hình chiếu của B trên CD; M là trung điểm đoạn CH. Chứng minh AM ⊥ BM .

13 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài toán 1.5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh A ( −1; 2 ) .

19

8

Gọi N là trung điểm của cạnh AD; điểm H  ; −  là hình chiếu vuông góc của B lên CN. Xác  5 5 định tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông, biết trung điểm M của cạnh BC nằm trên đường

N

H

Ơ

N

thẳng x + 2 y + 6 = 0 .

Nếu giả thuyết trên là đúng, từ kết quả bài toán 1 chúng ta sẽ tìm được tọa độ điểm M, từ

G

đó ta sẽ tìm được tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông thông qua tọa độ các điểm đã

N H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

biết.

Giải :

TR ẦN

Trước hết ta chứng minh AH ⊥ MH Tương tự như bài toán 1. 1 ta có 4 cách chứng minh AH ⊥ MH ở đây tôi chỉ đưa ra cách chứng minh bằng hình học thuần túy:

B

= BNM . Tứ giác ABMN là hình chữ nhật ⇒ MAB = BNM

Tứ giác NHMB nội tiếp ⇒ BHM

10 00

= 900 ⇒ = BHM hay tứ giác ABMH nội tiếp. Mà MAB Suy ra MAB AHM = 900 hay AH ⊥ MH .

Ó

-H

4 x − 3 y = 20 ⇒ M ( 2; −4 ) .   x + 2 y = −6

A

Phương trình đường thẳng HM : 4 x − 3 y = 20. Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình

-L

Ý

Do CH // AM nên phương trình đường thẳng CH : 2 x + y = 6.

A

B

ÁN

Gọi N là trung điểm AD, từ N ∈ CH ⇒ N ( n;6 − 2n ) .

ÀN

TO

 n = 2 ⇒ N ( 2; 2 )

Lại có AN .MN = 0 ⇒  19  19 8  n = ⇒ N  ; −  ≡ H ( loai )  5  5 5

N

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

-

Đ ẠO

tọa độ cụ thể nào đó.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

AH ⊥ MH , ta cũng có thể kiểm chứng giả thuyết đã đặt ra bằng một hình vuông với các

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Dữ kiện bài toán xoay quanh ba điểm A, H, M. Từ hình vẽ ta có thể đặt giả thuyết

.Q

-

Y

Phân tích:

M

D

IỄ N

Đ

Suy ra D ( 5; 2 ) . Từ AB = NM ⇒ B ( −1; −4 ) , khi đó C ( 5; −4 ) .

Nhận xét: -

D

H

C

Để giải bài toán 1.5 ta cần “ mở nút thắt đầu tiên” đó là việc tìm ra tọa độ điểm M dựa vào mối quan hệ vuông góc giữa ba điểm A, H, M. Hay nói cách khác bài toán 1.5 được xây dựng dựa trên bài toán thuần túy hình học phẳng sau đây: Cho hình vuông ABCD.

14 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và AD, H là hình chiếu vuông góc của B lên CN. Chứng minh rằng AH ⊥ MH .

Bài toán 1.6. (Trích đề TSĐH khối A- năm 2013) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho

N

hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d : 2 x + y + 5 = 0 và A ( −4;8) . Gọi M là

Ơ

điểm đối xứng của B qua C, N là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng MD. Tìm tọa độ

.Q

-

Dữ kiện bài toán xoay quanh ba điểm A, N, C. Từ trực quan, ta đề xuất giả thuyết

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Phân tích:

G

Giải.

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

Trước hết ta chứng minh AN ⊥ CN . Tương tự như bài toán 1. 1 ta có 4 cách chứng minh AN ⊥ CN ở đây tôi chỉ đưa ra cách chứng minh bằng hình học thuần túy:

TR ẦN

= BNC mà BDC = CAB (do tứ giác ABCD là hình chữ Do tứ giác DBCN nội tiếp, nên BDC = BNC ⇒ tứ giác ABCN nội tiếp ⇒ nhật ). Suy ra CAB ANC = 900 (do ABC = 900 ) hay

10 00

B

AN ⊥ CN .

Đường thẳng CN có phương trình 3 x − 4 y = 31. 3 x − 4 y = 31 ⇒ C (1; −7 ) . Do tứ giác ADMC là hình bình hành 2 x + y = −5

-H

Ó

A

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ 

nên AC // DM mà BN ⊥ DM ⇒ BN ⊥ AC .

-L

Ý

Đường thẳng BN có phương trình x − 3 y − 17 = 0.  3 1

5 10 , nên tọa độ 2

TO

ÁN

Điểm B là giao điểm của BN với đường tròn tâm I  − ;  bán kính R = IA =  2 2

D

IỄ N

Đ

ÀN

 x = 5 ⇒ B ≡ N (loai)  x − 3 y = 17  4 y = −    2 2 điểm B là nghiệm hệ  3  1  125 ⇒  x + + y − =  x = −4      ⇒ B ( −4; −7 ) 2  2 2    y = −7

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

ta tìm được tọa độ các đỉnh còn lại.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

AN ⊥ CN . Nếu giả thuyết được đề xuất là đúng, ta sẽ xác định được tọa độ điểm C, từ đó

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

N

H

các điểm B và C biết rằng N ( 5; −4 ) .

15 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com A B

N

H

Ơ

N

C

D

Y

N

Nhận xét: toán 1.5.

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

G

vuông góc của B trên MD. Chứng minh rằng AN ⊥ CN .

TR ẦN

Bài toán 1.7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang vuông ABCD (vuông tại A  13 9  ;  là hình chiếu vuông góc của điểm B lên cạnh CD. Xác  5 5

và B) có BC = 2AD. Điểm H 

10 00

B

định tọa độ các đỉnh B và D của hình thang, biết điểm A ( −3;1) và trung điểm M của cạnh BC

Ó

A

nằm trên đường thẳng x + 2 y − 1 = 0.

Dữ kiện bài toán xoay quanh ba điểm A, H, M. Bằng trực quan ta đề xuất giả thuyết

Ý

-

-H

Phân tích:

-L

AH ⊥ MH . Nếu giả thuyết nêu ra là đúng, ta sẽ tìm được tọa độ điểm M, từ đó ta tìm

TO

Giải:

ÁN

được tọa độ các đỉnh của hình thang.

Trước hết ta chứng minh AH ⊥ MH Tương tự như bài toán 1. 1 ta có 4 cách chứng minh

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

sau: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là điểm đối xứng của B qua C, N là hình chiếu

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Để giải quyết bài toán 1.6 “ mấu chốt” của vấn đề là xử lý bài toán thuần túy hình phẳng

Đ ẠO

-

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

.Q

Nếu ta đặc biệt bài toán 1.6 thành hình vuông ABME, ta nhận được kết quả tương tự bài

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

-

M

ÀN

AH ⊥ MH ở đây tôi chỉ đưa ra cách chứng minh bằng hình học thuần túy:

D

IỄ N

Đ

= BHM . Tứ giác ABMD là hình chữ nhật nên BAM = BDM .

Tứ giác BDHM nội tiếp nên BDM

= BHM hay tứ giác AHMB nội tiếp, mà Suy ra BAM ABM = 900 ⇒ AHM = 900 hay AH ⊥ MH .

Phương trình đường thẳng MH : 7 x + y = 20 . 7 x + y = 20 ⇒ M ( 3; −1) . x + 2 y = 1

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ 

16 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Đường thẳng DC qua H và song song với AM nên có phương trình: x + 3 y = 8 .  d = 3 ⇒ D ( −1;3)

Gả sử D ( 8 − 3d ; d ) , từ AD.MD = 0 ⇒  9  13 9  d = ⇒ D  ;  ≡ H (loai)  5  5 5 A

Lại có AD = MC ⇒ C ( 5;1) , từ đó suy ra B (1; −3) .

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

sau: Cho hình thang vuông ABCD (tại A và B) có BC = 2AD. Gọi H là hình chiếu vuông

TR ẦN

góc của B trên cạnh CD. M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AH ⊥ MH .

B

2. Tiếp cận bài toán tọa độ trong mặt phẳng từ tính chất góc

 3 1

10 00

Bài toán 1.8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung 1

A

điểm của cạnh BC, N  − ;  là điểm trên cạnh AC sao cho AN = AC . Xác định tọa độ các 4  2 2

Dữ kiện bài toán xoay quanh ba điểm D, M, N. Bằng trực quan ta dễ nhận thấy những nét

ÁN

-

-L

Phân tích:

Ý

-H

Ó

đỉnh của hình vuông ABCD, biết đường thẳng DM có phương trình x − 1 = 0 .

TO

giống bài toán 1.1.

-

Theo kết quả của bài toán 1.1, ta đã có DN ⊥ MN . Tuy nhiên một vấn đề nảy sinh là giả

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

Để giải quyết bài toán 1.7 “ mấu chốt” của vấn đề là xử lý bài toán thuần túy hình phẳng

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Bài toán 1.7 là một cách phát biểu khác của bài toán 1.6. Hay nói cách khác hai bài toán

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

M

trên là những kết quả tương tự của nhau.

-

C

TP

-

D

Đ ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Nhận xét:

.Q

U

Y

N

H

H

Ơ

N

B

-

IỄ N

Đ

ÀN

thiết bài toán 1.8 không đủ để “mở nút thắt đầu tiên” chỉ với mối quan hệ vuông góc.

Từ đó ta đưa ra nhận định, giữa ba điểm này có mối quan hệ ràng buộc khác nữa. Ta dễ

= 450 từ cách giải dàng nhận ra mối quan hệ này là tam giác DMN vuông cân, hay NDM

D

4 trong bài toán 1.1 -

Cũng từ mối liên hệ này, kết hợp với kết quả bài toán 2 ta tìm được tọa độ điểm D, từ đó ta sẽ tìm được tọa độ các đỉnh còn lại.

17 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Giải: Để chứng minh tam giác DMN vuông cân tại N ta có thể thực hiện theo các cách sau: A

Cách 1: (Sử dụng công cụ lượng giác)

B

Ơ

N

N

Đặt AB = BC = CD = DA = a.

5 8

M

C

G

Cách 2: (Thuần túy hình phẳng)

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm F là trung điểm của đoạn DI. Khi đó tứ giác FNMC là hình bình hành và F là trực tâm tam giác NDC nên CF ⊥ DN . Mà CF//MN nên

TR ẦN

DN ⊥ MN .

Cách 3: (Sử dụng công cụ véc tơ)

(

)

10 00

B

= NCD = 450 . Từ đó suy ra tam giác DMN vuông cân tại N. Tứ giác DNMC nội tiếp nên NMD

Đặt DA = x; DC = y x. y = 0; x = y = a . Ta có 3 1 1 3 DN = x + y; MN = DN − DM = x − y; 4 4 4 4

-H

Ó

A

Suy ra DM .MN =

2 9 2 1  3 1  Lại có DN =  x + y  = x + y 4  16 16 4

()

( )

-L

Ý

2

ÁN

2 1 2 9  1 3  MN 2 =  x − y  = x + y 4  16 16 4

()

( )

2

2

3 2 2 x − y = 0 ⇒ DN ⊥ MN .

16

(

)

5 = a2 ; 8

5 = a 2 ⇒ DN = MN . Từ đó suy ra tam giác DMN vuông 8

TO

cân tại N.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

vuông cân tại N.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

⇒ ∆DMN

Đ ẠO

2 2 2  DM = DN + MN

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

 DN = MN

5 4

Xét tam giác DCM, ta có DM 2 = DC 2 + CM 2 = a 2 . Suy ra 

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

D

.Q

5 8

Xét tam giác CMN, ta có MN 2 = CN 2 + CM 2 − 2CN .CM .cosC = a 2 .

Y

N

H

Xét tam giác AND, ta có DN 2 = AN 2 + AD 2 − 2 AN . AD.cosA = a 2 .

ÀN

Cách 4: ( Sử dụng công cụ tọa độ )

D

IỄ N

Đ

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó D ( 0;0 ) , A ( 0; a ) , C ( a;0 ) . 

a

 a 3a 

Ta có M  a;  ; N  ;  .  2 4 4 

3 2 3 2  a 3a   3a a   ; MN =  − ;  ⇒ DN .MN = − a + a ⇒ DN ⊥ MN .

16 16 4 4   4 4

Do đó DN =  ;

18 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

5 8

Và DN 2 = MN 2 = a 2 . Hay tam giác DMN vuông cân tại N. Sau khi chứng minh tam giác DMN vuông cân tại N ta có:

H Ư

bài toán 1.1 và bài toán 1.8 lại có sự khác nhau . Nguyên nhân của sự khác nhau này

TR ẦN

chính là việc lựa chọn mối quan hệ ba điểm tạo thành góc ϕ = 450 trong cách phát biểu bài toán. Từ đó đẫn tới việc chúng ta sẽ sử dụng kết quả bài toán 2 để tìm tọa độ điểm , Từ đó ta cũng dễ dàng nhận ra bài toán 1.8 thực ra được xây dựng dựa trên bài toán

10 00

-

B

đó cũng là công cụ để chúng ta “mở nút thắt đầu tiên” của bài toán.

A

thuần túy hình phẳng sau: Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC; N 1 AC . Chứng minh tam giác DMN vuông cân.

4

-H

Ó

là điểm trên cạnh AC sao cho AN =

Bài toán 1.9. (Trích đề TSĐH khối A- năm 2012) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho

-L

Ý

hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trên CD sao cho CN = 2ND.  11 1 

TO

ÁN

Giả sử M  ;  và đường thẳng AN có phương trình 2 x − y − 3 = 0 . Tìm tọa độ điểm A.  2 2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Ta nhận thấy bài toán 1.1 và bài toán 1.8 là giống nhau về mặt hình thức, song kết quả

N

http://daykemquynhon.ucoz.com

-

G

Nhận xét :

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Từ đó theo kết quả bài toán 1.1 ta có A ( −3;1) ; B ( −1; −3) ; C ( 3; −1)

Đ ẠO

TP

Với d = 3 ⇒ D (1;3) . Phương trình đường thẳng NM : x + y = −1 . Suy ra M (1; −2) .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

Từ đó theo kết quả bài toán 1.1 ta có A ( −3;0 ) ; B ( −1; 4 ) ; C ( 3; 2 ) .

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Y

U

Với d = −2 ⇒ D (1; −2 ) . Phương trình đường thẳng NM : x − y = −2 . Suy ra M (1;3) .

N

H

Ơ

N

1

d− DN .u DM  d = −2 2 2 = Giả sử D (1; d ) , ta có cos NDM ⇒ = ⇒ 2 2 2 DN u DM d = 3 1 5  + − d     2 2 

-

Dữ kiện bài toán xoay quanh ba điểm A, M, N đồng thời ta nhận thấy nếu ta biết được hoặc giá trị của cos MAN ta có thể áp dụng kết quả bài toán 2 để giá trị của góc MAN

IỄ N

Đ

ÀN

Phân tích:

D

xác định tọa độ điểm A. -

sau đó sử dụng thuần túy hình Việc phán đoán và đề xuất giả thuyết độ lớn của góc MAN

phẳng để chứng minh là không mấy khả thi. Do vậy ta lựa chọn những giải pháp mạnh về

19 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

tính “ đại số” nhiều hơn như: sử dụng công cụ lượng giác, sử dụng công cụ véc tơ, sử dụng công cụ tọa độ.

Giải: bằng công cụ lượng giác.

Trước hết ta tính góc MAN

A

B

N

5 4

H C

M

2

N

http://daykemquynhon.ucoz.com

H Ư

Suy ra A (1; −1) hoặc A ( 4;5 ) .

-

TR ẦN

Nhận xét:

Bản chất thuần túy hình học phẳng của bài toán 1.9 có thể phát biểu lại như sau: Cho

B

hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trên CD sao cho CN =

10 00

.

2ND. Tính cos MAN

Bài toán 1.10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A (1;3) . Biết

Dữ kiện bài toán xoay quanh mối quan hệ ba điểm A, M, N song sự khác biệt là chúng ta

TO

-

ÁN

Phân tích:

-L

Ý

hình vuông ABCD.

-H

Ó

A

 17 9  M ( 6; 4 ) thuộc cạnh BC và N  ;  thuộc đường thẳng DC. Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D của  2 2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

a = 1 ⇒ a = 4  11  7  5  − a  +  − 2a  2  2  2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

25 − 5a 2

G

AM .u AN = ⇔ 2 = Giả sử A ( a; 2a − 3) , ta có cos MAN 2 AM u AN

D

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

AM 2 + AN 2 − MN 2 2 = 450 . = ⇒ MAN 2 AM . AN 2

.Q

U

Y

N

25 2 10 a ; AN 2 = AD 2 + DN 2 = a 2 .

36 9

Đ ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

= Do đó cos MAN

N

TP

MN 2 = CM 2 + CN 2 =

Ơ

Đặt AB = BC = CD = DA = a. Ta có AM 2 = AB 2 + BM 2 = a 2 .

ÀN

đã biết tọa độ của cả ba điểm này. Và một phát hiện tương đối thú vị là ba điểm này cúng

D

IỄ N

Đ

nằm trên một đường thẳng, điều đó khiến chúng ta đặt ra giả thuyết là ngoài mối quan hệ

này bài toán còn xuất hiện những mối quan hệ ba điểm khác.

-

Một giả thuyết đặt ra là chúng ta có thể viết được phương trình đường thẳng CD nhờ kết quả bài toán 2, nếu chúng ta tính được giá trị cos AND . Từ đó ta sẽ tìm được tọa độ điểm D, và sau đó ta tìm được tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông nhờ những mối liên hệ với các điểm đã biết.

20 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Giải: A

Trước hết ta tính cos AND bằng công cụ lượng giác.

B

NC MN 1 1 = = ⇒ NC = ND .

ND AN 3 3

Ơ C

D M

.Q

N

G

Đ ẠO

u AM .u CD 5a + b a = b 3 3 3 Khi đó cos AND = ⇔ ⇒ = ⇒ = 13 13 13 u AM u CD  7 a = −17b 26 ( a 2 + b 2 )

TR ẦN

Suy ra B ( 4;6 ) ; C ( 7;3) ; D ( 4;0 ) .

N

AB : x − y = −2; BC : x + y = 10; CD : x − y = 4; DA : x + y = 4

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

+) Với a = b, chọn b = 1 ⇒ a = 1 . Lúc đó phương trình các đường thẳng

+) Với 7a = -17b, chọn b = −7 ⇒ a = 17 . Lúc đó phương trình các đường thẳng

B

AB : 7 x + 17 y = 58; BC :17 x − 7 y = 74;CD : 7 x + 17 y = 136; DA :17 x − 7 y = −4

10 00

 64 18   85 69   34 90  ; ;C  ; ; D  ;  .  13 13   13 13   13 13 

Suy ra B 

Ó

A

Kiểm tra điểm M nằm trên cạnh BC, nhận thấy cả hai trường hợp trên đều thảo mãn yêu cầu.

Mối quan hệ giữa ba điểm A, M, N trong bài toán 1.10 tưởng chừng không liên quan đến

Ý

-

-H

Nhận xét:

-L

các mối quan hệ ba điểm đã nêu ở bài toán 1 và bài toán 2. Song với các suy luận ta

ÁN

hoàn toàn có thể đưa bài toán đã cho về bài toán 2 quen thuộc với phép gọi véc tơ đại

TO

diện.

Bài toán trên cũng có thể giải quyết theo hướng vận dụng kết quả bài toán 1 bằng cách

ÀN

-

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Giả sử u CD ( a; b ) , u CD ≠ 0 là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng CD.

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

U

Phương trình đường thẳng AM: x − 5 y + 14 = 0 . Ta có N ∈ AM .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

9 2 a + a2 4 2

3 13

H

=

N

3a

Y

ND ⇒ cos AND = = AN

N

Giả sử cạnh hình vuông có độ dài bằng a

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Ta có MC//AD ⇒

qua A dựng đường thẳng vuông góc với AM cắt CD tại E, tìm tạo độ điểm E nhờ vận

D

IỄ N

Đ

dụng kết quả bài toán 1, từ đó giải quyết bài toán một cách khá đơn giản.

-

Ta có bài toán về bản chất hình phẳng có trong bài toán 1.10: Cho hình vuông ABCD. Gọi M là điểm trên cạnh BC. Đường thẳng AM cắt đường thẳng CD tại N. Biết

MN =k , AN

AND theo k. tính cos

21 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

-

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ta cũng dễ dàng nhận ra trường hợp A, M, N thẳng hàng trong bài toán là một trường hợp đặc biệt của bài toán tổng quát đã nêu ở bài toán 1.9

Bài toán 1.11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là điểm 4

Ơ

N

trên cạnh AC sao cho AB = 3AM. Đường tròn tâm I(1;-1) đường kính CM cắt BM tại D. Xác 

Y

N

H

định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết đường thẳng BC đi qua N  ;0  , phương trình 3 

Phân tích:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

chúng ta sẽ tìm được nút thắt đầu tiên của bài toán.

Nếu ta tính được cos ICD

-

Lại thấy rằng từ mối quan hệ ba điểm A, M, B cho ta cos ABM =

H Ư

N

-

3 AB , mà = BM 10

TR ẦN

http://daykemquynhon.ucoz.com

thuộc của bài toán 2.

= MDC = 900 BAM

⇒

tứ giác ABCD nội tiếp, suy ra

10 00

Ta có

B

= MDC = 900 , từ đó ta đưa ra giả thuyết .

ABM = MCD BAM

Giải:

mà

B

3 AB = 3 . = ⇒ cos ICD BM 10 10

IC.u CD 3 Giả sử C ( 3c + 6; c ) ta có cos ACD = = 10 IC u CD

Ý

-H

Ó

A

ABM = cos

ABM = MCD

-L

 c = −1 2 ⇒ = 3 ⇒ 5c + 16c + 11 = 0 ⇒  2  c = − 11 (loai) 10c + 32c + 26 5 

C

A I

M

D

TO

ÁN

10c + 16

ÀN

Với c = 1 ⇒ C ( 3; −1) . Phương trình đường thẳng BC : 3 x + y − 4 = 0

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Từ dữ kiện bài toán ta nhận thấy mối quan hệ giữa ba điểm I, C, D là mối quan hệ quen

Đ ẠO

-

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

U

đường thẳng CD : x − 3 y − 6 = 0 và C có hoành độ dương.

Đ

Điểm M(-1;-1). Phương trình đường thẳng BM : 3 x + y + 4 = 0 .

thẳng AB : x + 2 = 0 . Điểm A = AB ∩ AC ⇒ A ( −2; −1) .

D

IỄ N

Điểm B = BC ∩ BM ⇒ B ( −2; 2 ) . Phương trình đường thẳng AC : y + 1 = 0 . Phương trình đường

Nhận xét:

22 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ta có thể nhận thấy ở bài toán 1.11 ý đồ sử dụng kết quả bài toán 2 bằng việc sử dụng

-

gián tiếp nó thông qua việc chứng minh hai góc bằng nhau trong một bài toán hình học phẳng thuần túy.

-

Như vậy chúng ta có thể xây dựng những bài toán tương tự bằng việc xuất phát từ một

Ơ

N

bài toán hình phẳng thuần túy chứng minh hai góc bằng nhau (α = β ) , sau đó gán giá trị

N

H

cos α và sau đó sử dụng kết quả bài toán 2 cho cos β .

TR ẦN

Phân tích:

Từ trực quan ta nhận thấy sự giống nhau cơ bản của bài toán này với bài toán 1.1, song

-

giả thiết của bài toán 1.12 không phải là mối quan hệ giữa ba điểm D, M, N như phát

10 00

B

biểu của bài toán 1.1 và bài toán 1.8 nghĩa là để mở “nút thắt đầu tiên” chúng ta không thể sử dụng kết quả của bài toán 1 và bài toán 2.

Ta cũng nhận thấy, dữ kiện bài toán liên quan đến ba điểm A, I, N hoặc C, I, N và ta đề

A

-

-H

Ó

ra giả thuyết là tìm được số thực k : IN = k IA và từ đó áp dụng kết quả bài toán 3.

Ý

Giải:

IA ID DA IN 5 5 = = =2⇒ = ⇒ IN = IA .

IC IM MC IA 8 8

ÁN

-L

Ta có ∆IMC ∼ ∆IDA ⇒

IỄ N

Đ

ÀN

TO

 5 5 − 2 = 8 ( x A − 1) Giả sử A ( x A ; y A ) , ta có  ⇒ A ( −3;0 ) .

5 5 4   − = y −  6 8  A 3 

Từ AN =

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ ẠO

G

H Ư

N

 4 I 1;  . Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD.  3

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

1

 3 1

cạnh BC, N  − ;  là điểm trên cạnh AC sao cho AN = AC , giao điểm của AC và DM là 4  2 2

http://daykemquynhon.ucoz.com

D

TP

Bài toán 1.12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

U

Y

3. Tiếp cận bài toán hình học phẳng từ mối quan hệ thẳng hàng.

1 AC ⇒ C ( 3; 2 ) .

4

Phương trình đường thẳng BD : 3 x + y − 1 = 0, đường tròn tâm J đường kính AC có phương trình 2

x 2 + ( y − 1) = 10.

23 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

  x = −1  3 x + y − 1 = 0 y = 4 Tọa độ B, D là nghiệm của hệ  2 ⇒ 2  x + ( y − 1) = 10   x = 1    y = −2 A

B

Ơ N

H

N M

C

N

Bài toán 1.12 được xây dựng dựa trên sự kết hợp kết quả bài toán 3 và bài toán thuần

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

-

G

tìm được những bài toán với những lời giải thú vị khác nhau.

túy hình phẳng sau: Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC; N là

5 8

10 00

B

rằng IN = IA .

1 AC ; I là giao điểm của DM và AC. Chứng minh 4

TR ẦN

điểm trên cạnh AC sao cho AN =

Bài toán 1.13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD với hai đáy AB,

A

CD và CD = 2AB. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ D xuống AC và M là trung điểm của

-H

Ó

HC. Biết tọa độ đỉnh B(5;6), phương trình đường thẳng DH : 2 x − y = 0 ; phương trình đường

Ta dễ dàng tìm được tọa độ điểm D. Để giải quyết bài toán, ta đưa ra hai giả thuyết : giả

TO

-

ÁN

Phân tích:

-L

Ý

thẳng DM : x − 3 y + 5 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang ABCD.

ÀN

thuyết thứ nhất là tìm được tọa độ điểm M từ mối quan hệ vuông góc giữa ba điểm D, M,

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

và bài toán 1.12) nhưng với cách lựa chọn mối quan hệ ba điểm là khác nhau, chúng ta

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Ta nhận thấy rằng là cùng một bài toán thuần túy hình phẳng (bài toán 1.1, bài toán 1.8

Đ ẠO

-

D

.Q

Nhận xét:

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

I

U

Y

J

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

x = 1 Với  ta có B (1; −2 ) ; D ( −1; 4 ) .  y = −2

N

 x = −1 ta có B ( −1; 4 ) ; D (1; −2 ) . y = 4

Với 

D

IỄ N

Đ

B và giả thuyết thứ hai là tìm được tọa độ điểm I từ mối quan hệ thẳng hàng giữa ba điểm D, I, B. Từ trực quan ta loại bỏ giả thuyết thứ nhất (có thể kiểm chứng bằng một hình

thang cụ thể). Như vậy giả thuyết còn lại là tìm được số thực k thỏa mãn DI = k BI .

Giải: Có nhiều giải pháp có thể lựa chọn, song đơn giản nhất chính là việc sử dụng mối quan hệ giữa AB và CD.

24 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Ta có AB / / CD ⇒

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

BI AB 1 = = ⇒ DI = 2 BI ⇒ DI = 2 IB .

DI CD 2 2 x − y = 0 ⇒ D (1; 2 ) .  x − 3 y = −5

Tọa độ của D là nghiệm của hệ 

H

Ơ

AB BI  11 14  = ⇒ DI = 2 BI ⇒ DI = 2 IB ⇒ I  ;  CD DI 3 3

N .Q

2 x − y = 0  13 26  ⇒H ;  . 5 5   x + 2 y = 13

G

−8 = 2 ( x A − 5 ) ⇒ A (1;6 ) . 0 = 2 ( y A − 6 )

TR ẦN

I

M C

D

B

Từ bài toán 1.13 ta thấy rằng bài toán xuất hiện nhiều mối quan hệ ba điểm khiến chúng

10 00

-

H Ư

Lại có CD = 2 BA ⇒ 

Nhận xét:

H

N

http://daykemquynhon.ucoz.com

B

ta phải đề ra nhiều giả thuyết, chúng ta có thể sử dụng trực quan hoặc có thể kiểm chứng

AB BI = = k , tức là mối quan hệ giữa ba điểm B, I, D phụ thuộc CD DI

Ó

Từ bài toán trên ta có

AB . Do đó để xây dựng bài toán tương tự, ta lựa chọn số k trong bài toán CD

-L

Ý

vào tỉ số k =

-H

-

A

với những trường hợp cụ thể để loại đi những giả thuyết ta đã đề xuất ban đầu.

ÁN

hình phẳng sau: Cho hình thang ABCD có AB = kCD, k > 0. Gọi I là giao điểm của AC và

TO

BD. Chứng minh rằng BI = k ID.  4 5

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

A

M là trung điểm của HC suy ra C ( 9; 2 ) .

TP

 x − 3 y = −5  29 18  ⇒M ;  .  5 5  x + 2 y = 13

Tọa độ M là nghiệm của hệ 

Đ ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Suy ra tọa độ điểm H là nghiệm của hệ 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

Đường thẳng AC có phương trình x + 2 y = 13 .

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Ta có AB / / CD ⇒

N

Gọi I là giao điểm của AC và BD.

1 8

ÀN

Bài toán 1.14. Cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp I  ;  , trực tâm H  ;   3 3 3 3

D

IỄ N

Đ

và trung điểm của BC là M(1;1). Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Phân tích: -

Từ dữ kiện bài toán, nếu ta xác định được tọa độ điểm A ta sẽ viết được phương trình đường thẳng BC từ đó lấy giao điểm với đường tròn ngoại tiếp và tìm được tọa độ các đỉnh B, C.

25 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

-

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Vậy tìm ra tạo độ điểm A có thể là mấu chốt của bài toán. Để tìm được tọa độ điểm A ta đề xuất giả thuyết mối quan hệ thẳng hàng giữa ba điểm M, G, A . Từ đó dẫn đến việc phải tìm được tọa độ điểm G.

-

Vậy giữa ba điểm G, H, I có thể có mối quan hệ đặc biệt, mối quan hệ đó chính là bài

Ơ

N

toán quen thuộc về đường thẳng Ơ-le: HG = 2GI .

N

H

Giải:

Y

Gọi A1 là điểm đối xứng của A qua I, ta dễ dàng chứng minh tứ giác HCA1B là hình bình hành,

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

G

N

H

I

G

B

M

C

TR ẦN

1 − x A = 2(1 − 1) Lại có AG = 2GM ⇒  ⇒ A (1; 4 ) 2 − y A = 2(1 − 2)

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

 1 4   xG − 3 = 2  3 − xG     Ta có  ⇒ G (1; 2 )  y − 8 = 2 5 − y  G G   3 3  

A1

B

Phương trình đường thẳng BC: x + 2 y − 3 = 0

2

2

10 00

4  5  50  . Suy ra tọa Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là ( C ) :  x −  +  y −  = 3  3 9 

Bài toán về đường thẳng Ơ- le là bài toán xuất hiện ở đầu chương trình học lớp 10 THPT

ÁN

-

-L

Nhận xét:

Ý

-H

Ó

A

x + 2 y − 3 = 0  B ( −1; 2 ) ; C ( 3;0 )  2 độ B, C là nghiệm của hệ phương trình  4 2  5  50 ⇒   x − 3  +  y − 3  = 9  B ( 3; 0 ) ; C ( −1; 2 )    

do vậy khi xuất hiện dữ kiện xung quanh đường tròn ngoại tiếp và trực tâm thông thường

TO

D

IỄ N

Đ

ÀN

ta nghĩ đến mối quan hệ giữa ba điểm I, H, G với HG = 2GI .

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ ẠO

A

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, suy ra G cũng là trọng tâm tam giác AHA1 ⇒ HG = 2GI

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

U

từ đó suy ra M là trung điểm của A1H .

4. Tiếp cận bài toán tọa độ trong mặt phẳng từ bài toán khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng.

Bài toán 1.15. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC, N là điểm trên cạnh AC sao cho AN =

1 AC ; điểm N thuộc đường thẳng 3 x + y + 4 = 0 4

26 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

, phương trình đường thẳng MD : x − 1 = 0 . Xác định tọa độ đỉnh A của hình vuông ABCD, biết khoảng cách từ A đến MD bằng 4 và điểm N có hoành độ âm.

Phân tích: Từ trực quan ta nhận thấy những nét giông nhau cơ bản với bài toán 1.1, tuy nhiên với

Ơ

N

-

H

dữ kiện bài toán đã cho chúng ta rất khó vận dụng kết quả bài toán 1 để giải như bài

Y

N

toán 1.1, vận dụng kết quả bài toán 2 để giải như bài toán 1.8 hay vận dụng bài toán 3

TP

xuất giả thuyết là tính được khoảng cách từ điểm N đến đường thẳng MD, từ đó vận dụng

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

N

http://daykemquynhon.ucoz.com

G

vuông.

5 5 IA ID DA IN 5 = = =2⇒ = ⇒ d ( N , MD ) = d ( A, MD ) = IC IM MC IA 8 8 2 5 2

A

B N

B

Giả sử N ( n; −3n − 4 ) . Từ d ( N , MD ) =

TR ẦN

Ta có ∆IMC ∼ ∆IDA ⇒

H Ư

Giải:

10 00

7   n = 2 ( loai ) 5  3 1 ⇒ n −1 = ⇒  ⇒ N − ;  .

2  2 2 n = − 3  2

Ó

A

M

E

-H

D

Ý

Lại do tam giác MND vuông cân ⇒ ND = 2d ( N , MD ) =

H

I C

5 2 .

2

-L

Nên các điểm D và M là giao điểm của đường thẳng DM và đường tròn tâm N bán kính

ÁN

5 2 , hay tọa độ các điểm đó là nghiệm của hệ 2

TO

ND =

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

kết quả bài toán 4 và tìm tọa độ điểm N, từ đó ta tìm được tọa độ các đỉnh của hình

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

Tuy nhiên bài toán vẫn là mối quan hệ giữa ba điểm N, M, D và từ dữ kiện bài toán ta đề

-

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

U

để giải như bài toán 1.12.

D

IỄ N

Đ

ÀN

x −1 = 0  D (1;3) ; M (1; −2 )  2 2  3  1 25 ⇒   x + 2  +  y − 2  = 2  D (1; −2 ) ; M (1;3)    

1



5

+) Trường hợp 1: D (1;3) ; M (1; −2 ) , từ DI = 2 IM ⇒ I 1; −  , lại từ IN = IA ⇒ A ( −3;1) 3 8  4

5

  +) Trường hợp 2: D (1; −2 ) ; M (1;3) , từ DI = 2 IM ⇒ I 1;  , lại từ IN = IA ⇒ A ( −3;0 ) 8 3  

27 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Nhận xét : -

5 8

Từ kết quả bài toán 1.12 ta nhận thấy sự ràng buộc giữa hệ thức IN = IA và hệ thức

N

5 d ( N , MD ) = d ( N , MD ) do đó việc xây dựng bài toán 1.15 thực chất là sự kết hợp giữa 8

N

H

Ơ

kết quả bài toán 4 với bài toán hình phẳng đã được nêu ở bài toán 1.12.

U

Y

Bài toán 1.16. (Trích đề thi tuyển sinh khối A – năm 2012) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

-

N H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

Phân tích:

Ta đã giải quyết bài toán này với mối quan hệ tạo với nhau một góc ϕ = 450 ở bài toán

TR ẦN

1.9. Tuy nhiên với từ dữ kiện bài toán, ta cũng có thể đề xuất giả thuyết ba điểm này có mối quan hệ khoảng cách và áp dụng bài toán 4 để gải quyết.

B

Điều thú vị là dữ kiện bài toán cho chúng ta kết quả d ( M , AN ) =

10 00

-

3 5 , nó khiến chúng ta 2

đặt câu hỏi, liệu đây có phải là kết quả ngược lại của bài toán 4 không? Nghĩa là từ kết

A

Ó

Dễ dàng nhận ra sự liên quan giữa diện tích các hình và khoảng cách từ M đến đường

Ý

-

3 5 chúng ta tìm được yếu tố liên quan để giải quyết trọn vẹn bài toán.

2

-H

quả d ( M , AN ) =

ÁN

A

B

ÀN

TO

Giải :

-L

thẳng AN. Do vậy ta có thể sử dụng diện tích để thử tìm xem mối quan hệ đó là gì?

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

điểm A.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

TP

 11 1  CN = 2 ND . Giả sử M  ;  và đường thẳng AN có phương trình 2 x − y − 3 = 0 . Tìm tọa độ  2 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trên CD sao cho

IỄ N

Đ

M

C

D

D

N

Giả sử cạnh của hình vuông có độ dài bằng a.

28 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Khi S AMN = S ABCD − ( S ADN + SCNM + S BAM ) =

5 2 a 2 a 10 a ; AN = a 2 + = . Từ 12 9 3

a 10 3 5 1 d ( M , AN ) . AN ⇒ d ( M , AN ) = = ⇒ a = 3 2 . Suy ra 2 4 2

AM =

 a = 1 ⇒ A (1; −1) a 5 3 10 = ⇒ a 2 − 5a + 4 = 0 ⇒  2 2  a = 4 ⇒ A ( 4;5 )

N

H

Ơ

N

S AMN =

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

toán hình phẳng thuần túy sau: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi M là trung

N

http://daykemquynhon.ucoz.com

G

Bài toán 1.17. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A (1;3) . Biết 17 9

TR ẦN B

của hình vuông ABCD.

10 00

Phân tích: -

H Ư

điểm M ( 6; 4 ) thuộc cạnh BC và N  ;  thuộc đường thẳng DC. Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D  2 2

Dữ kiện bài toán xoay quanh ba điểm A, M, N song tọa độ của các điểm này đã biết. Từ

A

đó ta đề xuất các giả thuyết: giả thuyết thứ nhất là sử dụng kết quả bài toán tổng quát ở

-H

Ó

bài toán 1.16 và tìm được độ lớn cạnh hình vuông, giả thuyết thứ hai là sử dụng bài toán 5 và viết phương trình các cạnh hình vuông, từ đó tìm tộ độ các đỉnh.

Ý

Nếu giả thiết cho điểm N thuộc cạnh DC, ta hoàn toàn sử dụng được kết quả bài toán

-L

-

ÁN

1.16 song giả thiết ban đầu là N thuộc đường thẳng DC, vì vậy ta loại trừ giả thuyết thứ

TO

nhất.

-

Ta cũng dễ dàng nhận ra d ( M , AD ) = d ( A, DC ) vì vậy có thể giả thuyết thứ hai là giả

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

a 10 .

4

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

d ( M , AN ) =

Đ ẠO

điểm của cạnh BC, N là điểm trên CD sao cho CN = 2 ND . Chứng minh rằng

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Ta nhận thấy bài toán 1.16 cũng có thể được xây dựng nhờ kết hợp bài toán 4 và bài

.Q

-

Y

Nhận xét :

ÀN

thuyết chấp nhận được.

D

IỄ N

Đ

Giải:

A

Giả sử n ( a; b ) , n ≠ 0 là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng AD. Lúc đó

B

Phương trình đường thẳng AD : ax + by = a + 3b

M

Phương trình đường thẳng DC : b x − ay =

17b − 9a 2 C

D N

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

29

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com 5a + b

Lại có d ( M , AD ) = d ( A, DC ) ⇒

a 2 + b2

=

3a − 15b

a = b ⇒ 2 a 2 + b2  7 a = −17b

Với a = b . Chọn b = 1 ⇒ a = 1 . Lúc đó phương trình đường thẳng AB : x − y = −2; BC : x + y = 10; CD : x − y = 4; DA : x + y = 4 . Suy ra B ( 4;6 ) ; C ( 7;3) ; D ( 4;0 ) .

Ơ

N

Với a = −17b . Chọn b = −7 ⇒ a = 17 . Lúc đó phương trình đường thẳng

N

H

AB : 7 x + 17 y = 58; BC :17 x − 7 y = 74; CD : 7 x + 17 y = 136; DA :17 x − 7 y = −4 . Suy ra

Ta có thể nêu quy trình giải quyết bài toán mở rộng sau: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

G

Oxy. Viết phương trình các cạnh của hình vuông ABCD, biết rằng đường thẳng AB, CD

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

lần lượt đi qua các điểm P ( xP ; yP ) ;Q ( xQ ; yQ ) và các đường thẳng BC, AD lần lượt đi qua các điểm R ( xR ; yR ) ;S ( xS ; yS ) .

TR ẦN

Bước 1: Giả sử n ( a; b ) , n ≠ 0 là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng BC. Bước 2: Viết phương trình các cạnh BC, CD dưới dạng tổng quát.

10 00

B

Bước 3: Sử dụng công thức d ( P, CD ) = d ( S , B C ) và lựa chọn các giá trị a, b thông qua hệ thức liên hệ giữa chúng.

A

Bước 4: Viết phương trình các đường thẳng và tìm tọa độ giao điểm của các đường thẳng AB,

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Ý

-H

Ó

BC, CD, DA.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

-

Đ ẠO

Nhận xét:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Kiểm tra điểm M nằm trên cạnh BC , nhận thấy cả hai trường hợp trên đều thỏa mãn yêu cầu.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

U

Y

 64 18   85 69   34 90  B  ; ;C  ; ; D  ;  .  13 13   13 13   13 13 

30 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

C. Một số bài tập áp dụng Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có phương trình đường chéo AC : x + y − 5 = 0 . Trên tia đối của tia CB lấy điểm M và trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao

cho DN = BM. Đường thẳng song song với AN kẻ từ M và đường thẳng song song với AM kẻ

Ơ

N

từ N cắt nhau ở F(0; -3). Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết điểm M nằm

N

H

trên trục hoành.

Y

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A (1;4). Trên tia đối của tia CB

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

với AN kẻ từ M và đường thẳng song song với AM kẻ từ N căt nhau tại F. Biết phương trình

G

nhau ở I(0;-1). Kẻ AH và BK lần lượt vuông góc với BD và AC. Đường thẳng AH và BK cắt  3 1  

N

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

nhau ở E  − ;  . Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD, biết điểm H nằm trên 2 2

TR ẦN

đường thẳng x + 2 y − 1 = 0

Bài 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại I. Kẻ AH và BK lần lượt vuông góc với BD và AC. Đường thẳng AH và BK cắt nhau

10 00

B

tại E. Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD, biết phương trình đường thẳng

A

 3 4 BK : 3 x − y + 5 = 0 , phương trình đường thẳng IE : x + y + 1 = 0 và tọa độ điểm H  − ;  .  5 5

-H

Ó

Bài 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A; D là trung điểm của  11 5 

 13 5 

-L

Ý

đoạn AB. Biết rằng I  ;  , E  ;  lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC,  3 3  3 3 trọng tâm tam giác ADC; Các điểm M(3; -1), N(-3;0) lần lượt thuộc các đường thẳng DC, AB.

ÁN

Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết A có tung độ dương.

TO

Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A;D là trung điểm của đoạn

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo cắt

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

đường thẳng CF : x − y − 3 = 0 . Xác định tọa độ các điểm M, N, biết rằng M nằm trên trục hoành.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

U

lấy điểm M và trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho DN = BM . Đường thẳng song song

 13 5 

D

IỄ N

Đ

ÀN

thẳng AB. Điểm E  ;  là trọng tâm tam giác ADC. Phương trình đường thẳng CD : x − 3 = 0  3 3

, đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC đi qua N(2;0). Xác định tọa độ tâm đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC. Bài 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm I đường kính AC. Từ điểm  7 3 M  − ;  nằm ngoài đường tròn, vẽ các tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm ). Tiếp  2 2

31 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

tuyến tại C có phương trình x − y − 1 = 0 cắt đường thẳng AB ở D. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết điểm I thuộc đường thẳng 3 x + y = 0 .

1 3 Bài 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm I  − ;  đường kính AC. Từ

H

 3 2

Ơ

7 3 điểm M  − ;  nằm ngoài đường tròn, vẽ các tiếp tuyến MA, MB () A, B là các tiếp điểm).

N

 2 2

Y

N

Tiếp tuyến tại C cắt đường thẳng AB ở D(-2;-3). Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

cạnh BC. Đường thẳng qua B vuông góc với DE cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H

G

Bài 10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, E(2;1) là một điểm thuộc

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

cạnh BC. Đường thẳng qua B vuông góc với DE cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở

TR ẦN

 62 34  H  ;  và K(5;-2). Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông, biết điểm C thuộc đường  25 25 

thẳng x + 2 y + 2 = 0 .

B

Bài 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD , gọi E là trung điểm của cạnh 11 2  3 6 ; −  là hình chiếu vuông góc của B lên CE và M  ; −  là trung điểm của BH.  5 5 5 5

10 00

AD, H 

A

Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết điểm A có hoành độ âm.

-H

Ó

Bài 12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là điểm trên cạnh AC sao cho AB = 2AM. Đường tròn tâm I(1;-1) đường kính CM cắt BM tại D. Xác

Ý

4



-L

định tọa độ các đỉnh của ∆ABC biết đường thẳng BC đia qua N  ;0  , phương trình đường 3 

ÁN

thẳng CD : x − 3 y − 6 = 0 và điểm C có hoành độ dương.

TO

Bài 13. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn 2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

7 x − y − 16 = 0 .

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

và K ( 5; −2 ) . Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông , biết đường thẳng CH có phương trình

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Bài 9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, E(2;1) là một điểm thuộc

2

D

IỄ N

Đ

ÀN

7 5 1 325  . Đường phân giác trong góc BAC cắt (C) tại điểm E  0; −  . ( C ) :  x −  +  y −  = 2  4 16 2  

Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết đường thẳng BC đi qua điểm N ( −5; 2 ) và đường thẳng AB đi qua P ( −3; −2 ) .

32 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 14. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(1;1); đường cao từ đỉnh A có phương trình 2 x − y + 1 = 0 và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng ∆ : x + 2 y − 1 = 0 . Xác định tọa độ các đỉnh A, B, C biết diện tích tam giác ABC bằng 6.

Bài 15. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, có tâm O và hai cạnh kề lần lượt

Ơ

N

đi qua M(-1;2), N(3;-1). Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông.

N

H

Bài 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có phương trình đường thẳng chứa

Y

các cạnh AB và CD lần lượt là 4 x − 3 y − 4 = 0; 4 x − 3 y − 18 = 0 . Xác định tọa độ các đỉnh của hình

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Bài 17. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB, CD; hai

G

Bài 18. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(3;3) và 4



 13 

N

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

AC = 2BD. Điểm M  2;  thuộc đường thẳng AB, điểm N  3;  thuộc đường thẳng CD. Viết  3  3

TR ẦN

phương trình đường chéo BD biết đỉnh B có hoành độ nhỏ hơn 3.

Bài 19. (Trích đề thi tuyển sinh khối A – năm 2014). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm của đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Ý

-H

Ó

A

10 00

B

AN = 3 NC . Viết phương trình đường thẳng CD, biết rằng M(1;2) và N(2;-1).

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Xác định tọa độ đỉnh D của hình thang ABCD.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Biết A(0;3), B(3;4) và điểm C nằm trên trục hoành.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

U

vuông ABCD, biết tâm I thuộc đường thẳng ∆ : x + y − 1 = 0 .

33 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

PHẦN III. KẾT LUẬN Trên đây là phần trình bày nội dung chuyên đề của tôi. Qua chuyên đề này tôi thấy các em học sinh đã biết cách xác định đúng dạng toán, đưa ra được phương pháp giải tổng hợp, từ đó học

N

sinh có lời giải chính xác, rõ ràng, lập luận chặt chẽ, đạt điểm tối đa.Tiến tới đạt kết quả cao

H

Ơ

trong các kỳ thi THPT Quốc Gia.

N

Tuy nhiên do kinh nghiệm còn hạn chế nên chuyên để của tôi vẫn không tránh khỏi những sai

U

Y

sót nhỏ, tôi rất mong được sự đóng góp rút kinh nghiệm của đồng nghiệp và hội đồng nghiệm

Đ ẠO

TP

Quốc Gia.

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Tôi xin chân thành cảm ơn!

N

Sông Lô, ngày 04 tháng 11 năm 2015.

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

B

TR ẦN

Người viết chuyên đề

Lê Minh Hoàn

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Ý

-H

Ó

A

10 00

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

thu để đề tài thực sự trở thành tài liệu có ích cho các en học sinh học toán cũng như ôn thi THPT

34 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Ơ

N

1. Hình Học 10- Nhà Xuất Bản Giáo Dục

N

H

2. Toán Học Và Tuổi Trẻ- Nhà Xuất Bản Giáo Dục

Y

3. Đề Thi Tuyển Sinh Đại Học Các Năm.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G N

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Ý

-H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

U

4. Đề Thi Thử Đại Học Của Một Số Trường THPT.

35 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial