MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

10 00

B

TR ẦN

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU - ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Tên sáng kiến

Ó

A

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

Thị Thanh Hòa

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Ý

-H

Tác giả sáng kiến: Nguyễn Mã sáng kiến: 09.52.01

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đ ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

U

Y

N

H

Ơ

N

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT TRẦN HƯNG ĐẠO =====***=====

Tam Dương, Năm 2018 0 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

- Email: nguyenthanhhoa.gvtranhungdao@vinhphuc.edu.vn

10 00

B

TR ẦN

4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Nguyễn Thị Thanh Hòa 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: - Môn Đại số lớp 10 và Giải Tích lớp 12 ban cơ bản -Trong phạm vi đề tài này, tôi thực hiện nghiên cứu đưa ra các các dạng cơ bản và phương pháp giải một số hệ phương trình thuộc chương trình Đại số 10 và có sử dụng kiến thức của chương 1 Giải tích 12.

6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu: Ngày 03 tháng 11 năm 2017.

7. Mô tả bản chất của sáng kiến:

-H

Ó

A

7.1. Nội dung của sáng kiến

PHẦN I. MỞ ĐẦU

Ý

1. Mục đích nghiên cứu

TO

ÁN

-L

Tôi viết sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích bản thân có một cuốn tài liệu phục vụ công tác giảng dạy và mong muốn cung cấp cho các thầy, cô giáo có thêm một tài liệu tham khảo. Các em học sinh THPT một tài liệu học tập, tra cứu thông dụng và có hiệu quả khi giải hệ phương trình Đại số.

D

IỄ N

Đ

ÀN

2. Đối tượng nghiên cứu

Ơ https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

- Số điện thoại: 0987.444.700

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

- Địa chỉ: Trường THPT Trần Hưng Đạo – Tam Dương – Vĩnh Phúc.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

TP

2. Tên sáng kiến “Một số phương pháp giải hệ phương trình đại số”.

3.Tác giả sáng kiến: - Họ và tên: Nguyễn Thị Thanh Hòa

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

U

Y

N

H

Hệ phương trình Đại số là một trong các bài toán cơ bản của chương trình toán học phổ thông. Các em häc sinh được làm quen với hệ phương trình đại số từ các lớp trung học cơ sở. Ở bậc THPT các học sinh được học chi tiết ở chương trình đại số lớp 10, nhưng với lượng kiến thức không nhiều, trong khi đó hệ phương trình được đưa vào trong các đề thi THPT Quốc gia, thi HSG lại đòi hỏi các em phải có một lượng kiến thức tương đối nhiều về phần này. Chính vì thế trong quá trình giảng dạy, tôi đã soạn chuyên đề: “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ”. Trước hết giúp bản thân hệ thống được các dạng cơ bản của hệ phương trình cùng các phương pháp giải qua đó phục vụ tốt hơn cho tác giảng dạy, nâng cao trình độ chuyên môn.

N

1. Lời giới thiệu

Học sinh lớp 12A1 và 12A3 trường THPT Trần Hưng Đạo năm học 2017 –

2018.

3. Phạm vi nghiên cứu Chương III của chương trình Đại Số lớp 10 và chương I của chương trình Giải Tích 12.

4. Phương pháp nghiên cứu 4.1. Nghiên cứu lí luận.

1 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Phân tích chương trình môn toán THPT. Nghiên cứu kỹ các dạng phương trình cơ bản và các phương pháp: “Giải hệ phương trình Đại số” trong các tài liệu lý luận, sách tham khảo.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Ý

-H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

- Một số phương pháp giải hệ phương trình.

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

- Các hệ phương trình cơ bản.

G

Sáng kiến kinh nghiệm được chia làm hai phần:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

U

Y

N

H

4.3. Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và hiệu quả của việc phân dạng bài tập. Qua đó đánh giá được hiệu quả của đề tài.

5. Điểm mới của đề tài - Hệ thống lại một số dạng hệ phương trình cơ bản, thường gặp và cách giải của chúng.

- Đưa ra được một số phương pháp giải chung đối với một số hệ phương trình thường gặp cùng với các ví dụ có lời giải - Hệ thống được một số bài tập thường gặp trong các đề thi HSG trong các năm gần đây.

6. Cấu trúc của sáng kiến kinh nghiệm

Ơ

Thông qua các buổi dạy, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy với các đồng nghiệp và khảo sát học sinh thông qua các bài kiểm tra để rút kinh nghiệm.

N

4.2. Thực hành và rút kinh nghiệm.

2 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Phần II: NỘI DUNG 1. CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

Ơ H

( 2)

N

 Ax + By + C = 0 (1)  1.1.1. Dạng tổng quát: ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 

N

1.1. HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.

Y

1.1.2. Phương pháp giải:

Bước 3: Kết luận.

G

1.1.2.2. Phương pháp đồ thị:

TR ẦN

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

Bước 1: Tập hợp các điểm thỏa mãn phương trình (1) là đường thẳng d: Ax + By + C = 0. Tập hợp các điểm thỏa mãn phương trình (2) là đường cong (S) có phương trình: ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 Bước 2: Số nghiệm của hệ là số giao điểm của đường thẳng d và đường cong (S)

10 00

1.1.2.3. Ví dụ minh họa:

B

Chú ý: Phương pháp này thường sử dụng cho bài toán chứa tham số và khi a = c, b = 0. Lúc đó (S) là phương trình đường tròn.

(1) ( 2)

Ó

A

x − y − m = 0 Ví dụ 1: Cho hệ phương trình:  y 2 + 2 x − 2m − 3 = 0 

-H

a) Giải hệ phương trình với m = 1.

-L

Ý

2 2 2 2 b)Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt ( x1 ; y1 ); ( x2 ; y2 ) thỏa măn: x1 + y1 = x2 + y2

TO

ÁN

 x − y −1 = 0 a) Với m = 1 ta có hệ:  y 2 + 2 x − 5 = 0 

Lời giải:

(1) ( 2)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ ẠO

Bước 2: Giải phương trình bậc hai.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Bước 1: Từ phương trình (1) của hệ ta rút x hoặc y thế vào phương trình (2). Khi đó ta được phương trình bậc hai đối với y hoặc x.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

U

1.1.2.1. Phương pháp thế:

D

IỄ N

Đ

ÀN

+) Từ (1) ta có: x = y + 1 thay vào (2) được:  y =1  x=2 y2 + 2 y − 3 = 0 ⇔  ⇒  y = −3  x = −2

+) KL: Hệ có nghiệm: ( 2,1) ; ( −2, −3) b) Từ phương trình (1): y = x − m thay vào (2) ta được: x 2 − 2 ( m − 1) x + m 2 − 2m − 3 = 0 (3).

3 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

+) Dễ thấy phương trình (3) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Do vậy hệ luôn có hai cặp nghiệm phân biệt là: ( x, y ) = {( m − 3, −3) , ( m + 1,1)} +) Mặt khác từ giả thiết ta có: 2

N

x12 + y12 = x2 2 + y2 2 ⇔ ( m + 1) + 1 = (m − 3) 2 + 9 ⇔ m = 2

N Y 2

G

Cách 1: Từ (1) ta có: x = a − ay thay vào (2) được: (a − ay ) 2 + y 2 − ( a − ay ) = 0

N

hệ có hai nghiệm phân biệt 4 ⇔ ∆>0⇔0<a< 3

4 . Phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt y1 , y2 thỏa mãn: 3

B

b) Với 0 < a <

⇔ (3) có hai nghiệm phân biệt

TR ẦN

a) Để

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

⇔ (1 + a 2 ) y 2 − a (2a − 1) y + a 2 − a = 0 (3)

Do đó ta có:

-H

Ó

A

10 00

a (2a − 1)   y1 + y2 = a 2 + 1  x1 = a − ay1   và 2  x2 = a − ay2 y y = a −a 1 2 2 a +1 

TO

ÁN

-L

Ý

2 2 2 ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) = ( ay1 − ay2 ) + ( y2 − y1 ) 2 = ( a 2 + 1) ( y1 + y2 ) − 4 y1 y2   

ÀN Đ IỄ N

=

4a − 3a 2 (2a − 1) 2 = 1 − ≤1 a2 + 1 a2 + 1

(đpcm)

(1)  x + ay − a = 0  2 ⇔  1 1 2  x −  + y = (2) 2 4 

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Lời giải:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

2 b) Gọi ( x1; y1 ); ( x2 ; y2 ) là các nghiệm của hệ. CMR: ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) ≤ 1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

a) Tìm a để hệ có hai nghiệm phân biệt.

 x + ay − a = 0 Cách 2:  x 2 + y 2 − x = 0 

D

(1) ( 2)

U

 x + ay − a = 0 Ví dụ 2: Cho hệ phương trình:  2 2 x + y − x = 0

H

Ơ

KL: m = 2 .

Phương trình (1) là phương trình đường thẳng d.

1 1  Phương trình (2) là phương trình đường tròn (C ) tâm I  ;0  , bán kính R= .

2 2  a)Hệ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng (d) cắt đường tròn

4 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

(C ) tại hai điểm phân biệt ⇔ d(I; d) < R ⇔

2

a +1

<

1 4 ⇔0<a< 2 3

Ơ

2

Ta có: AB ≤ 2 R ⇔ AB 2 ≤ 4R 2 ⇔ ( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 ) ≤ 1

N

4 , d cắt (C ) tại hai điểm A(x1; y1) và B(x2; y2).

3 (đpcm).

N

H

b) Với 0 < a <

1 −a 2

G N H Ư

6 5

TR ẦN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Lời giải

+) Điều kiện: x ≤

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Ví dụ 3: Giải phương trình: 2 3 3 x − 2 + 3 6 − 5 x − 8 = 0 (1) ( Khối A – 2009).

 u = 3 3x − 2 +) Đặt  v = 6 − 5 x

B

điều kiện v ≥ 0

10 00

 2u + 3v − 8 = 0 (2) +) Khi đó (1) trở thành:  3 2 5u + 3v − 8 = 0 (3)

A

8 − 2u thay vào (3) được: 3

-H

Ó

+) Từ (2) ta có v =

Ý

15u 3 + 4u 2 − 32u + 40 = 0 ⇔ (u + 2)(15u 2 − 26u + 20) = 0 ⇔ u = −2

-L

+) Với u = −2 thì

3

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

TP

Chú ý: Phương pháp thế còn mở rộng cho hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc lớn hơn 2, hoặc dùng để giải phương trình vô tỷ không đồng bậc có dạng: a 3 a1 x + b1 + b a2 x + b2 + c = 0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

U

Y

Nhận xét: So sánh hai phương pháp ta thấy khi bài toán chứa tham số mà sử dụng được bằng phương pháp đồ thị thì bài toán có lời giải ngắn gọn hơn. Tuy nhiên với dạng hệ phương trình này sử dụng phương pháp đồ thị có hiệu quả nếu a = c, b = 0.

3 x − 2 = −2 ⇔ x = −2(tm)

ÁN

KL: phương trình có nghiệm x = −2 .

TO

1.2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I 1.2.1. Định nghĩa:

D

IỄ N

Đ

ÀN

Hệ phương trình đối xứng loại I đối với hai ẩn x, y là hệ gồm các phương trình không thay đổi khi ta thay x bởi y và y bởi x.

1.2.2. Phương pháp giải chung: x + y = S Bước 1: Biến đổi về tổng x + y và tích xy rồi đặt  xy = P  2 S − 4P ≥ 0

(*) , điều kiện:

5 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bước 2: Đưa hệ phương trình về hệ gồm hai ẩn S, P. Giải hệ tìm S, P, thay vào (*) khi đó x, y là nghiệm của phương trình: t 2 − St + P = 0 (**)

N

+) Một số biểu diễn biểu thức đối xứng qua S, P: 2

3

.Q TP

2

1.2.3. Ví dụ minh họa:

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

x + y + xy = 11  Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:  x 2 + y 2 + 3 x + y = 28 ( ) 

G

4 4 2 2 2 2 2 2 * x + y = ( x + y ) − 2 x y = ( S − 2P ) − 2P

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2

Đ ẠO

2 2 * x y + xy = xy ( x + y ) = SP

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

3 3 3 * x + y = ( x + y ) − 3xy ( x + y ) = S − 3PS

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

2 2 2 * x + y = ( x + y ) − 2 xy = S − 2 P

TR ẦN

Lời giải:

10 00

B

x + y + xy = 11  x + y + xy = 11  ⇔   2 +) Biến đổi hệ: x 2 + y 2 + 3 ( x + y ) = 28  ( x + y ) − 2 xy + 3 ( x + y ) = 28 (*) , (Điều kiện S 2 − 4P ≥ 0 )

A

x + y = S +) Đặt   xy = P

Ơ

H

+) Nếu ( x0 , y0 ) là nghiệm của hệ thì ( y0 , x0 ) cũng là nghiệm của hệ. Từ đó để hệ có nghiệm duy nhất điều kiện cần là x0 = y0 .

N

* Chú ý:

-H

Ó

S + P = 11   S = −10  S = 5 ⇔ ∧ +) Ta có hệ:  2  S − 2 P + 3S = 28  P = 21  P = 6

ÁN

-L

Ý

 S = −10  x + y = −10  x = −7  x = −3 +) Với  P = 21 ⇒  xy = 21 ⇔  y = −3 ∧  y = −7    

TO

S = 5 x + y = 5 x = 2  x = 3 ⇒ ⇔ ∧    +) Với P = 6  y = 3 y = 2  xy = 6

 ( x + 1)( y + 1) = 8 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:  x x + 1 + y y + 1 + xy = 17 ) ( )  (

Lời giải:

D

IỄ N

Đ

ÀN

+) KL: Hệ có nghiệm: ( −3; −7 ) , ( −7; −3) , ( 2;3) , ( 3; 2 )

x + y + xy = 7  +) Hệ ⇔  2 ( x + y ) + x + y − xy = 17

6 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

x + y = S +) Đặt   xy = P

(*) , điều kiện: S 2 − 4 P ≥ 0

H

Ơ

x + y = 4  x = 1 x = 3 ⇔ ∧   xy = 3 y = 3  y =1

N https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

* Điều kiện cần:

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

G

Giả sử ( x0 ; y0 ) là nghiệm của hệ. Do hệ đã cho là hệ đối xứng với x, y nên ( y0 ; x0 ) cũng là nghiệm của hệ. Để hệ có nghiệm duy nhất thì x0 = y0 .

TR ẦN

 3 x02 = m + 6  m = −3 ⇒ Thay vào hệ phương trình ta được:  2  x0 + 4 x0 = m  m = 21

* Điều kiện đủ:

A

10 00

B

+) Với m = −3 thay vào hệ ta được:  x 2 + xy + y 2 = 3  x = 3  x = − 3  x = −1 ⇔ ∧ ∧  2 x + xy + 2 y = − 3 y = − 3 y = 3  y = −1   

-H

Ó

Với m = −3 hệ có 3 nghiệm nên m = −3 không thỏa mãn.

-L

Ý

 x 2 + xy + y 2 = 27 x = 3 ⇔ +) Với m = 21 thay vào hệ ta được:  2 x + xy + 2 y = 21  y = 3 Vậy m = 21 thỏa mãn. KL: m = 21 là giá trị cần tìm.

ÁN

1.2.4. Phương pháp giải một số hệ phương trình đối xứng loại I .

TO

1.2.4.1. Hệ phương tŕnh đối xứng có chứa x 4 + y 4 .

IỄ N

Đ

ÀN

 x2 + y 2 = S Phương pháp: Khi đó ta đặt  hoặc  xy = P

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q

Đ ẠO

Lời giải:

TP

 x 2 + xy + y 2 = m + 6 Ví dụ 3: Tìm m để hệ:  có nghiệm duy nhất.  2 x + xy + 2 y = m

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

D

Y

+) KL: Vậy hệ có hai nghiệm: (1;3) , ( 3;1)

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

S = 4 ⇒ +) Với  P = 3

N

 S = 4; P = 3 (tm)  S+P=7 Khi đó hệ có dạng:  S 2 + S − P = 17 ⇔  S = −6; P = 13 (l )  

 x2 + y 2 = S  2 2  x y =P

 x2 + y2 = 5 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:  4 4 2 2  x + y − x y = 13 Lời giải:

7 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

 x2 + y 2 = S Đặt  2 2  x y =P

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Điều kiện S , P ≥ 0; S 2 − 4 P ≥ 0

x = 2 y =1 Ta có: x 2 = 4 ⇔  và y 2 = 1 ⇔   x = −2  y = −1

Ơ H N Y

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

G

N

KL: Vậy hệ có 8 nghiệm: (1;2 ) , (1; −2 ) , ( −1; 2 ) , ( −1; −2 ) , ( 2;1) , ( 2; −1) , ( −2;1) , ( −2; −1)

xy .

TR ẦN

1.2.4.2. Hệ phương trình đối xứng chứa x + y = S

B

Phương pháp: Khi đó ta đặt:  xy = P , điều kiện P ≥ 0 

A

10 00

 x + 1 + y + 1 = 4 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:  (I)  x + y − xy = 3

Ó

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

 x2 = 4 +) Với  2  y =1

TP

x = 1 y = 2 Ta có: x 2 = 1 ⇔  và y 2 = 4 ⇔   x = −1  y = −2

Đ ẠO

 x2 = 1 +) Với  2 y = 4

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

t 2 − 5t + 4 = 0

 x2 + y2 = 5 ⇒ 2 2 , khi đó x 2 , y 2 là nghiệm của phương trình:  x y =4  x 2 = 1; y 2 = 4 t = 1 ⇔ ⇒ 2 2 t = 4  x = 4; y = 1

U

S = 5 +) Với  P = 4

N

 S =5 S = 5 (tm) ⇔ Khi đó hệ đã cho trở thành:  2  S − 3P = 13 P = 4

Lời giải:

-H

+) Điều kiện : x ≥ −1; y ≥ −1; xy ≥ 0

ÁN

-L

Ý

x + y = S  x + y + 2 + 2 x + y + xy + 1 = 16 +) Hệ (I)  . Đặt  xy = P , điều kiện P ≥ 0 x + y − xy = 3  

ÀN

TO

 S + 2 + 2 S + P 2 + 1 = 16 (1) +) Khi đó hệ (I) có dạng:  (2)  S − P = 3

D

IỄ N

Đ

Từ phương trình (2) ta có S = P + 3 thay vào (1) được:

P + 5 + 2 P 2 + P + 4 = 16 ⇔ 2 P 2 + P + 4 = 11 − P  P=3  4 ( P 2 + P + 4 ) = 121 − 22 P + P 2 (3) ⇔ ⇔  P = − 35 ( L) 11 − P ≥ 0 (4)  3 

8 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

 x + y = 6 x + y = 6 x = 3 ⇔ ⇔ +) Với P = 3 ⇒ S = 6 . Khi đó:   xy = 9 y = 3  xy = 3

+) KL: Vậy hệ có nghiệm duy nhất: (3; 3).

N

1.2.4.3. Hệ gần đối xứng:

H .Q TP

( x + t )2 − 3 xt = 1 ⇔  x + t + xt = 3

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

điều kiện S 2 − 4 P ≥ 0 (*), thay vào hệ ta được:

S = 2  S = −5 

TR ẦN

 S 2 − 3P = 1 ⇒ S 2 + 3S − 10 = 0 ⇔   S+P=3

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

Đ ẠO

 x 2 − xt + t 2 = 1 Đặt t = − y thay vào hệ ta được:   x + t + xt = 3

N

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Lời giải:

x = 1  x = 1 ⇔ ⇔ = 1 t  y = −1 

x + t = 2 +) Với S = 2 ⇒ P = 1 . Khi đó ta có:  xt = 1 

10 00

B

+) Với S = −5 ⇒ P = 8 (Loại do (*)) +) KL : Vậy hệ có nghiệm: (1; −1) .

ax + b và

ay + b .

Ó

A

1.2.4.4. Hệ đối xứng chứa

với u , v ≥ 0

-L

Ý

-H

u = ax + b Phương pháp: Khi đó ta đặt:   v = ay + b

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

N

 x 2 + xy + y 2 = 1 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:   x − y − xy = 3

x + t = S Đặt   xt = P

Ơ

Phương pháp: Đưa về hệ phương trình đối xứng bằng cách đặt t = − x hoặc t = − y .

TO

ÁN

 x +1 + y +1 = 4  Ví dụ 1: Cho hệ phương trình: (I)  x x + 1 + y y + 1 = 12m

a) Giải hệ phương trình với m = 1.

D

IỄ N

Đ

ÀN

b) Tìm m để hệ có nghiệm.

Lời giải:

+) Điều kiện x, y ≥ −1 u = x + 1 +) Đặt:  v = y + 1

, đk u , v ≥ 0 . Thay vào hệ ta được:

9 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

u+v =4  ⇔  2 2 u (u − 1) + v(v − 1) = 12m

 u+v = 4 ⇔  uv m − = 5 

 u+v = 4  uv = 5 − m

⇒ u , v là nghiệm của phương trình: X 2 − 4 X + 5 − m = 0 (1)

Ơ N

H

x = 3 ⇔ y = 3

Y Đ ẠO

*) Trường hợp 1: Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu

⇔ ac < 0 ⇔ 5 − m < 0 ⇔ m > 5

G H Ư

N

∆ ' = m − 1 ≥ 0 ⇔ ⇔1≤ m ≤ 5  5−m ≥ 0

http://daykemquynhon.ucoz.com

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

*) Trương hợp 2: Phương trình (1) có hai nghiệm không âm:

TR ẦN

KL: Vậy với m ≥ 1 hệ có nghiệm.

1.2.4.5. Hệ đối xứng chứa biến nghịch đảo x +

1 1 và y + . x y

, với u ≥ 2; v ≥ 2 .

Ó

A

10 00

B

1   u = x + x Phương pháp: Khi đó đặt:  v = y + 1 y 

-L

Ý

-H

1 1   x+ y+ x + y =4  Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: (I)   x2 + y 2 + 1 + 1 = 4  x2 y 2

ÁN

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

KL: Vậy với m = 1 hệ có nghiệm: (3;3). b) Hệ (I) có nghiệm ⇔ PT (1) có nghiệm không âm

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

 x + 1 = 2 ⇒  +) Với u = v = 2  y + 1 = 2

N

a) Với m = 1 thay vào (1) được: X 2 − 4 X + 4 = 0 ⇔ X = 2 ⇒ u = v = 2

Lời giải:

TO

+) Điều kiện: x, y ≠ 0 .

D

IỄ N

Đ

ÀN

   1  1 1 1  x+ y+ + =4  x+ + y+  = 4 x  y x y    ⇔   +) Viết lại hệ:  x2 + y 2 + 1 + 1 = 4  x 2 + 1  +  y 2 + 1  = 4      x2 y 2 x2   y2   

10 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N H

Ơ

u + v = 4 ⇔  uv = 4

Y

⇒ u, v là nghiệm của phương trình: X 2 − 4 X + 4 = 0 ⇔ X = 2 ⇒ u = v = 2 (t/m)

Đ ẠO

TP

(tm).

G

Bài tập rèn luyện:

H Ư

N

Bài 1: Giải các hệ phương trình:

( x − 1)( y − 1)( x + y − 2 ) = 6 4/  x 2 + y 2 + 1 = 2 x + y + 2 ( )   x +1 + y +1 = 4  6/  x x + 1 + y y + 1 = 12

-H

Ó

A

 x 2 + y 2 − xy = 3 5/  2 2  x + 1 + y + 1 = 4

10 00

 x 2 + y 2 + 2 xy = 8 2 3/  x+ y =4 

TR ẦN

 x 2 + y 2 + xy = 7 2/  4 4 2 2  x + y + x y = 21

 x + y + xy = 11 1/  2 2  x y + xy = 30

B

http://daykemquynhon.ucoz.com

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

KL: Vậy hệ có nghiệm: (1; 1).

 x + y + x 2 + y 2 =8    xy ( x +1)( y +1)=12 

8/

2 ( x + 1) + ( x + 1) y + 1 + y = 6 9/   x + ( x + 2 ) y + 1 = 4

 4 y 3 − 1 + x = 3 10/  2 3  x + y = 82

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Ý

 x + y + 2 xy = 2 7/  3 3  x + y =8

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

U

1   x + x = 2  x = 1 ⇔ +) Với u = v = 2 ⇒  y + 1 = 2 y =1 y 

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

N

u+v = 4   2 2 u − 2 + v − 2 = 4

1 = u2 − 2 x2 , với u ≥ 2; v ≥ 2 . Khi đó (I) trở thành: 1 2 v = − 2 y2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

1  2   u = x + x  x + ⇒ +) Đặt  1 v = y +  y2 + y  

 x + xy + y = m + 2 Bài 2: (CSND – 99A)Cho hệ phương trình:  2 2  x y + xy = m + 1 a) Giải hệ với m = −3 .

b) Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất.

 x + y + x2 + y 2 = 8 Bài 3: (NT – 97D) Cho hệ:   xy ( x + 1)( y + 1) = m a) Giải hệ với m = 12.

b) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm.

11 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

 5( x + y ) − 4 xy = 4 Bài 4: (QG – 99D). Tìm m để hệ  để hệ có nghiệm. ( x + y ) − xy = 1 − m

Ơ

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

G

1.3.2. Phương pháp giải

H Ư

 f ( x; y ) = 0 (1) Xét hệ phương trình đối xứng loại 2 dạng:   g ( x; y ) = 0 (2)

TR ẦN

Bước 1: Trừ vế với vế của phương trình (1) cho phương trình (2) ta được: x= y ( 3)  h ( x, y ) = 0 ( 4 )

10 00

B

( x − y ) h ( x, y ) = 0 ⇔ 

Bước 2: Giải hệ phương trình với từng trường hợp.

A

1.3.3. Ví dụ minh họa:

-L

Ý

-H

Ó

3  x + 1 = 2 y (1) Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:  y 3 + 1 = 2 x 2 ( )  Lời giải: +) Lấy vế trừ vế của hai phương trình ta được:

TO

ÁN

x− y =0  x 3 − y 3 = 2 ( y − x ) ⇔ ( x − y ) ( x 2 + xy + y 2 + 2 ) = 0 ⇔  2 2  x + xy + y + 2 = 0

−1 ± 5 2

+) Với x 2 + xy + y 2 + 2 = 0 (vô nghiệm)

KL: Hệ có nghiệm: x = y = 1; x = y =

−1 ± 5 2

D

IỄ N

Đ

ÀN

3 +) Với x = y thay vào (1) ta được: x − 2 x + 1 = 0 ⇔ x = 1, x =

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Hệ phương trình đối xứng loại II đối với hai ẩn x, y là hệ nếu thay đổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình này chuyển thành phương trình kia của hệ.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đ ẠO

1.3.1. Định nghĩa

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

1.3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

H N U

Y

x + y =1 x + y y =1−3m

.Q

Bài 6: Tìm m để hệ pt sau có nghiệm:

   x 

N

1 1  x + + y + =5  x y  Bài 5: Tìm m để hệ sau có nghiệm:   x 3 + 1 + y 3 + 1 = 15m − 10  x3 y3

12 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N

 y2 + 2 3 = y  x2  Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:  2  3x = x + 2  y2

Ơ

Lời giải:

N

H

+) Điều kiện: x > 0, y > 0



TP G

+) Với x + y + 3 xy = 0 (vô nghiệm do x > 0, y > 0 ).

N H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

KL: Hệ có nghiệm (1;1) .

TR ẦN

 x + 5 + y − 2 = 7 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:   y + 5 + x − 2 = 7

(1) ( 2)

Lời giải:

B

+) Điều kiện: x ≥ 2, y ≥ 2

A

10 00

+) Trừ (1) cho (2) vế theo vế ta được: x+5 + y−2 = y+5 + x−2 = 0 ⇔

x + 5 + x − 2 = 7 ⇔ x = 11 ⇒ x = y = 11

-H

Ó

+) Với x = y thay vào (1): ta được:

( x + 5 )( y − 2 ) = ( y + 5)( x − 2 ) ⇔ x = y

KL: Hệ có nghiệm: (11;11)

ÁN

-L

Ý

 x = y 2 − y + m (1) Ví dụ 4: Cho hệ phương trình:  2  y = x − x + m (2)

TO

a) Giải hệ phương trình với m = 0. b) Tìm m để hệ có nghiệm.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ ẠO

+) Với x = y thay vào (1) ta được: 2 x 3 − x 2 − 2 = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = 1

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

x=y  x + y + 3 xy = 0

( x − y )( x + y + 3 xy ) = 0 ⇔ 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

U

Y

3 x 2 y = y 2 + 2 . Trừ vế theo vế ta được: +) Hệ ⇔  2 2  3xy = x + 2

D

IỄ N

Đ

ÀN

c) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.

Lời giải:

x − y = 0 ⇔ +) Lấy (2) trừ (1) ta được: x 2 − y 2 = 0 ⇔  x + y = 0

x = y  x = − y

*) Trường hợp 1: Nếu x = y thay vào (2) ta được: x2 – 2x + m = 0

(3)

*) Trường hợp 2: Nếu x = − y thay vào (2) ta được: x2 + m = 0

(4)

13 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

x = 0 y = 0 a) Với m = 0 ta có: (3) ⇔ x2 – 2x = 0 ⇔  ⇒ x = 2  y = 2 (4) ⇔ x2 = 0 ⇔ x = 0 ⇒ y = 0

N

KL: Vậy m = 0 hệ có nghiệm: (0 ; 0), (2 ; 2).

H

Ơ

b) Hệ có nghiệm khi phương trình (3) hoặc phương trình (4) có nghiệm

N

+) phương trình (3) có nghiệm ⇔ ∆ '(3) ≥ 0 ⇔ 1 − m ≥ 0 ⇔ m ≤ 1

.Q TP

c) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.

Giả sử ( x0 ; y0 ) là nghiệm của hệ thì

( y0 ; x0 )

Đ ẠO

*) Điều kiện cần:

cũng là nghiệm của hệ, do đó hệ có

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

nghiệm duy nhất thì x0 = y0 . Khi đó thay vào (2) ta được: x02 − 2 x0 + m = 0 (5)

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

Do x0 duy nhất nên phương trình (5) có nghiệm duy nhất. ⇔ ∆ '(5) = 0 ⇔ 1 − m = 0 ⇔ m = 1

TR ẦN

*) Điều kiện đủ:

10 00

B

 x = y 2 − y + 1 (6) +) Với m = 1 hệ có dạng:  2  y = x − x + 1 (7)

x = y  x = − y

A

x − y = 0 Cách 1: Lấy (7) trừ (6) ta được: x 2 − y 2 = 0 ⇔  ⇔ x + y = 0

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

KL : Vậy hệ có nghiệm khi: m ≤ 1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

+) phương trình (4) có nghiệm ⇔ −m ≥ 0 ⇔ m ≤ 0

-H

Ó

+) Trường hợp 1: Nếu x = y thay vào (2) được: x 2 − 2 x + 1 = 0 ⇔ x = 1 +) Trường hợp 2: Nếu x = − y thay vào (2) được: x2 + 1 = 0 (Vô nghiệm)

-L

Ý

KL: Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.

ÁN

x =1 Cách 2: Lấy (6) cộng (7) được: ( x − 1) 2 + ( y − 1) 2 = 0 ⇔  y =1

TO

Nhận xét:

D

IỄ N

Đ

ÀN

1) Khi giải hệ đối xứng loại II, ngoài cách trừ vế với vế để được phương trình tích còn có thể cộng vế với vế để có cách giải ngắn gọn hơn.

2) Khi hệ phương trình đồng bậc và các hệ số có liên quan đến nhau ta có thể đưa về hệ đối xứng loại II bằng cách đặt ẩn phụ.

1  2  2x + x − = 2 y Ví dụ 5: Giải các hệ phương trình:   y − y 2 x − 2 y 2 = −2 

(I)

Lời giải:

14 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Phân tích: Xét về bậc mỗi ẩn của hai phương trình: bằng nhau. Các hệ số: có cùng hệ số, vậy có thể đưa về hệ đối xứng loại II bằng cách đặt ẩn phụ như sau: +) Điều kiện: y ≠ 0

Ơ H N Y MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

x − u = 0 x = u ⇔ ( x − u )( x + u + 1) = 0 ⇔  ⇔ x + u +1 = 0 x + u +1 = 0

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

x = 1  y =1 +) Trường hợp 1: Với x = u thay vào (1) được: 2 x 2 = 2 ⇔  ⇒  x = −1  y = −1

TR ẦN

H Ư

 −1 − 3 x = 2 2 +) Trường hợp 2: Với x = −u − 1 thay vào (1) được: 2 x + 2 x − 1 = 0 ⇔   −1 + 3 x = 2 

B

−1 − 3 −1 − 3 ⇒ y = 1 + 3 +) Với x = ⇒ y = 1− 3 2 2

10 00

+) Với x =

-H

Ó

A

 −1 − 3   −1 + 3  ;1 + 3  ,  ;1 − 3  .

KL: Vậy hệ có 4 nghiệm (1;1) , ( −1; −1) ,  2 2    

-L

Ý

 y 3 ( 3x + 2 ) = 8 Ví dụ 6: Giải hệ phương trình:  3  y ( x − 2) = 6 Lời giải:

ÁN

+) Với y = 0 không phải là nghiệm của hệ.

3

IỄ N

Đ

ÀN

TO

8  ( 3x + 2 ) = 3  y  y ( 3x + 2 ) = 8  ⇔   +) Với y ≠ 0 ta có: 3  y ( x − 2) = 6  x3 − 2 = 3 2  y

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U TP

.Q

Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được: 2( x 2 − u 2 ) + 2( x − u ) = 0

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

D

N

 2x2 + x − u = 2  1 1 +) Đặt u = với u ≠ 0 , hệ (I) có dạng:  1 1 y  − 2 x − 2 2 = −2 u u u 2  2 x + x − u = 2 (1) ⇔ 2 2u + u − x = 2 (2)

2 +) Đặt u = , với u ≠ 0 . Hệ (II) trở thành: y

(II)

 3x + 2 = u 3 (1)  3  x − 2 = 3u (2)

15 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

3 3 2 2 Lấy (1) cộng (2) vế theo vế ta được: x + 3 x = u + 3u ⇔ ( x − u ) ( x + xu + u + 3) = 0 x − u = 0 ⇔ 2 2  x + u + xu + 3 = 0(vn)

H

Ơ

N

 x = −1  x = y = −1 3 +) Với x = u thay vào (1) được: x − 3x − 2 = 0 ⇔  ⇒ x = 2  x= y=2

Y

N

KL : Vậy hệ có hai nghiệm: ( −1; −1) , ( 2; 2 )

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

y +1+ 7− x =4

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

 x + 2 − y = 2 5/   y + 2 − x = 2

10 00

B

TR ẦN

 x 2 + 91 = y − 2 + y 2 6/  2 2  y + 91 = x − 2 + x

 x 2 + 21 = y − 1 + y 2 7/  2 2  y + 21 = x − 1 + x

 x + 5 + y − 2 = 7 8/   y + 5 + x − 2 = 7

A

1.4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI.

-H

Ó

 a1 x 2 + b1 xy + c1 y 2 = d1 1.4.1. Định nghĩa: Hệ đẳng cấp bậc hai có dạng:  2 (I) 2  a2 x + b2 xy + c2 y = d 2

ÁN

-L

Ý

1.4.2. Phương pháp giải: Cách 1:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP Đ ẠO

1 1  x − = y − x y 4/   2 y = x3 + 1 

x+1+ 7− y =4

N

3/

    

 x3 = 2 x + y 2/  3 y = 2y + x

G

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

 x2 + 1 = 2x 1/  2  y +1 = 2y

.Q

U

Bài tập rèn luyện:

TO

*) Xét x = 0 thay trực tiếp vào hệ và kiểm tra.

y = t ) thay vào hệ ta được: x 2  2  a1 x 2 + b1tx 2 + c1t 2 x 2 = d1  x ( a1 + b1t + c1t ) = d1 (1) ⇔  2 .

2 2 2 2 2  a2 x + b2tx + c2t x = d 2  x ( a2 + b2t + c2t ) = d 2 ( 2 )

D

IỄ N

Đ

ÀN

*) Xét x ≠ 0 . Đặt y = tx (hiểu là đặt

a1 + b1t + c1t 2 d1 Chia vế cho vế hai phương trình của hệ: a + b t + c t 2 = d (3). Phương trình (3) là 2 2 2 2 một phương trình bậc 2 ẩn t. *) Giải (3) thay vào (1) tìm x từ đó suy ra y rồi kết luận.

16 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Cách 2:

Y

N

Chú ý: Với bài toán chứa tham số nên chọn cách 2.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

H Ư

 x 2 ( 3 + 5t − 4t 2 ) = 38 (1)  x 2 ( 3 + 5t − 4t 2 ) = 38   ⇔  3 + 5t − 4t 2 38  2 2 =  x ( 5 − 9t − 3t ) = 15  ( 2) 2 15  5 − 9t − 3t

N

http://daykemquynhon.ucoz.com

*) Xét x ≠ 0 . Đặt y = tx, (t ∈ ℝ ) . Thay vào hệ ta được:

G

*) Dễ thấy x = 0 không thỏa mãn hệ.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

Lời giải:

10 00

B

1  t=  3 Ta có: ( 2 ) ⇔ 54t 2 + 417t − 145 = 0 ⇔  t = − 145  18

-H

Ó

A

1 thay vào (1) ta được x 2 = 9 ⇔ x = ±3 ⇒ y = ±1 3

Ý

145 thay vào (1) không thỏa mãn.

18

-L

*) Với t = −

ÁN

KL: Hệ có hai nghiệm: ( 3;1) , ( −3; −1)

ÀN

TO

 x 2 − 2 xy − 3 y 2 = 8 Ví dụ 2: Tìm a để hệ phương trình:  2 có 2 4 3 2 2 x + 4 xy + 5 y = a − 4a + 4a − 12 + 105 nghiệm.

Lời giải:

Đ IỄ N

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP

.Q

3 x 2 + 5 xy − 4 y 2 = 38 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:  2 2  5 x − 9 xy − 3 y = 15

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

D

U

1.4.3.Ví dụ minh họa:

*) Với t =

Ơ

H

*) Thế (3) vào một trong các phương trình của hệ ta được phương trình trùng phương ẩn x.

N

2 *) Từ hệ (I) khử số hạng x 2 (hoặc y 2 ) để dẫn đến phương trình khuyết x (hoặc y2), Dx 2 + F giả sử ta khử y 2 được: Dx 2 + Exy + F = 0 ⇒ y = − (3).

Ex

 x 2 − 2 xy − 3 y 2 = 8 (1) *) Đặt m = a − 4a + 4a − 12 + 105 , khi đó hệ có dạng:  2 2 2 x + 4 xy + 5 y = m (2) 4

3

2

Nhận xét: Nếu (x; y) là nghiệm của hệ thì x ≠ 0 ( nếu x = 0 thì phương trình (1) vô nghiệm)

17 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

+) Khử số hạng y2 từ hệ ta được: 2 xy = 40 + 3m − 11x 2 ⇔ y = −

40 + 3m − 11x 2 (3) 2x

N

+) Thay (3) vào phương trình (1) của hệ được: 2 105 x 4 − 2 ( 31m + 408) x 2 + ( 3m + 40 ) = 0 2

H

Ơ

Đặt t = x 2 , ( t ≥ 0 ) ta có: f ( t ) = 105t 2 − 2 ( 31m + 408 ) t + ( 3m + 40 ) = 0 (4)

Y

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

KL: Vậy với a ≥ 3 hoặc a ≤ −1 hệ có nghiệm.

N

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

a ≥ 3 ⇔ a 4 − 4a 3 + 4a 2 − 9 ≥ 0 ⇔   a ≤ −1

G

4 3 2 Từ đó ta có: a − 4a + 4a − 12 + 105 ≥ −3 + 105

TR ẦN

 x3 + xy 2 + 3x − 6 y = 0 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:  2  x + xy = 3

B

Lời giải:

10 00

 x 3 + xy 2 = 3 ( − x + 2 y ) (1) Hệ ⇔  2 . Thế (1) vào (2) ta được: ( 2)  x + xy = 3

-H

Ó

A

x=0  x 3 + xy 2 = ( x 2 + xy ) ( − x + 2 y ) ⇔ 2 x 3 − x 2 y − xy 2 = 0 ⇔  2 2  2 x − xy − y = 0

Ý

*) Với x = 0 thay vào (2) ta thấy không thỏa mãn.

ÁN

-L

 x=y 2 2 *) 2 x − xy − y = 0 ⇔ ( x − y )( 2 x + y ) = 0 ⇔   y = −2 x

TO

+) Với x = y thay vào (2) ta được: x = y = ±

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q TP Đ ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Do ac > 0 nên phương trình (4) có nghiệm âm  ∆/ ≥ 0  ⇔  2(31m + 408) ⇔ m ≥ −3 + 105 ≥0  105 

N

Để hệ có nghiệm thì phương trình (4) phải có ít nhất một nghiệm không âm.

6 2

D

IỄ N

Đ

ÀN

2 +) Với y = −2 x thay vào (2) ta được: x = −3 (vô nghiệm)

 6 6  6 6 KL: Hệ có nhiệm  ; ;− , −  2   2 2   2

Nhận xét: Hệ phương trình trên không phải là hệ phương trình đẳng cấp bậc 2 cơ bản mà ta xét ban đầu. Tuy nhiên với phương pháp thế hoặc biến đổi hai phương trình của hệ về dạng có bậc: 3 − 1, 2 − 0 sau đó nhân chéo vế ta thu được phương trình đẳng cấp

18 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

bậc 3 theo x,y. Hệ phương trình dạng này còn được gọi là hệ giả đẳng cấp. Ta xét tiếp một ví dụ sau:

N

 x3 − 8 x = y3 + 2 y  Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: 2 2  x − 3y = 6

Ơ

Lời giải:

TP

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

 x = 3y 2 2 *) x + xy − 12 y = 0 ⇔ ( x − 3 y )( x + 4 y ) = 0 ⇔   y = −4 x

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

*) Với x = 0 thay vào (2) ta thấy không thỏa mãn.

Đ ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

x=0  6 ( x 3 − y 3 ) = ( x 2 − 3 y 2 ) ( 8 x + 2 y ) ⇔ x 3 + x 2 y − 12 xy 2 = 0 ⇔  2 2  x + xy − 12 y = 0

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

+) Với x = 3 y thay vào (2) ta được: y 2 = 1 ⇔ y = ±1 ⇒ x = ±3

6 6 ⇒ x = ∓4 13 13

TR ẦN

+) Với x = −4 y thay vào (2) ta được: y = ±

B

 6 6   6 6  KL: Hệ có nhiệm ( 3;1) , ( −3; −1) ,  4 ;− ;  ,  −4  13   13 13   13

10 00

 x 3 + y 3 − xy 2 = 1 (1) Ví dụ 5: Giải hệ phương trình sau:  4 x 4 + y 4 = 4 x + y 2 ( ) 

Ó

A

Lời giải:

-H

Thế (1) vào (2) ta được: 4 x 4 + y 4 = ( 4 x + y ) ( x 3 + y 3 − xy 2 ) ( 3)

ÁN

-L

Ý

 x3 = 1 ⇔ x =1  +) Xét y = 0 thay vào hệ: 4 4 x = 4 x +) Xét y ≠ 0 . Đặt x = ty thay vào (3) ta được:

TO

t = 0 y ( 4t + 1) = y ( 4t + 1) ( t − t + 1) ⇔ t − 4t + 3t = 0 ⇔  t = 1  t = 3 4

4

3

3

2

D

IỄ N

Đ

ÀN

4

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

N

H

3 3  x − y = 8 x + 2 y (1) Hệ ⇔  2 . Nhân chéo vế của (1) và (2) ta được: 2 ( 2)  x − 3 y = 6

+) Với t = 0 ⇒ x = 0 ⇒ y = 1

 x3 = 1 ⇔ x =1= y +) Với t = 1 ⇒ x = y thay vào hệ:  4 5 x = 5 x

19 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

 25 y 3 = 1 1 3 t = 3 ⇒ x = 3 y ⇔y= 3 ⇒x= 3 +) Với thay vào hệ:  4 25 25 325 y = 13x

N

1   3 ;3 KL: Hệ có nghiệm: (1;0 ) , ( 0;1) , (1;1) ,  3   25 25 

H N Y

 x3 − 8 x = y 3 + 2 y 5/  2 2  x − 3 = 3 ( y + 1)

 x3 + xy 2 + x − 3 y = 0 6/  x 2 + xy = 2 

 2 y2 − x2 = 1 7/  3 3 2 x − y = 2 y − x

 x3 + y 3 = 1 8/  2 2 3  x y + 2 xy + y = 2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

G

N H Ư

10 00 A

-H

Ó

5 x 2 − 3 y = x − 3xy 11/  3 2 2 3  x − x = y − 3y

 x3 + x 2 y = 2 y 10/  2 3  x y−y = y

B

 x 2 + 8 y 2 = 12 9/  3 2  x + 2 xy + 12 y = 0

 x2 + y 2 = 1  12/ 3x3 − y 3 = 1  x+ y 

2 x 2 + 3 y 2 − xy − 9 x + 8 y + 9 = 0  14/ 2 2  x − y + 3xy − x − 8 y − 5 = 0

ÁN

-L

Ý

 ( 3x + y )( x + 3 y ) xy = 14 13/  2 2 ( x + y ) ( x + y + 14 xy ) = 36

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

 x 3 + 4 y = y 3 + 16 x 4/  2 2  1 + y = 5(1 + x )

Đ ẠO

3 x 2 + 5 xy − 4 y 2 = 38 3/  2 2  5 x − 9 xy − 3 y = 15

.Q

2/

 2 x2 +3 xy + y 2 =12    x2 − xy +3 y 2 =11 

TP

 x 2 + 2 xy +3 y 2 =9    2 x 2 + 2 xy + y 2 =2 

TR ẦN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

1/

Ơ

Bài tập rèn luyện:

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

Trên đây là những hệ phương trình cơ bản có phương giải cụ thể, rõ ràng cho từng dạng. Tuy nhiên trong hầu hết các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng, đề thi học sinh giỏi ta sẽ bắt gặp hệ phương trình không mẫu mực. Muốn làm được các dạng bài tập đó đòi hỏi cần nắm chắc các dạng cơ bản trên và một số phương pháp giải sau đây.

2. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2.1. PHƯƠNG PHÁP THẾ.

2.1.1.Nhận dạng Thế là một kĩ năng quan trọng hàng đầu trong vấn đề giải hệ phương trình. Là kĩ năng được sử dụng trong hầu hết các hệ phương trình. Dấu hiệu để nhận ra phương pháp rút – thế là hai phương trình của hệ có một bộ phận giống nhau hoặc hệ có một phương trình bậc nhất theo một biến nào đó.

20 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

2.1.2. Các ví dụ minh họa:

 x 2 ( y + 1)( x + y + 1) = 3x 2 − 4 x + 1 (1) Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:  2 (2)  xy + x + 1 = x

N https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

B

5 2

10 00

5  KL: Hệ phương trình có hai nghiệm: (1; −1) ,  −2; −  .

2 

-H

Ó

A

 x 4 + x 2 y 2 + 2 x3 y = 2 x + 9 (3) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:  2 (4)  x + 2 xy = 6 x + 6

Ý

( x 2 + xy )2 = 2 x + 9 (1)  ⇔ x2  xy = 3 x + 3 − (2)  2

-L 2

3

TO

ÁN

2

ÀN Đ IỄ N

( Khối B 2008).

Lời giải:

x + x y + 2x y = 2x + 9  2  x + 2 xy = 6 x + 6 4

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

G

TR ẦN

*) Với x = 1 ⇒ y = −1 *) Với x = −2 ⇒ y = −

N H Ư

*) Với x = 0 ( loại do x ≠ 0 )

*) Thế xy = 3x + 3 −

D

.Q

TP

 x2 − 1  x2 − 1 . + x  = 3 x 2 − 4 x + 1 ⇔ ( x 2 − 1)( 2 x 2 − 1) = ( x − 1)(3 x − 1) x  x 

x = 1  ⇔ ( x − 1)(2 x3 + 2 x 2 − 4 x) = 0 ⇔  x = −2  x = 0

http://daykemquynhon.ucoz.com

Y

x2 −1 thay vào (1) được: x

Đ ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

H

(vô nghiệm)

*) Với x ≠ 0 phương trình (2) ⇔ y + 1 =

x2 .

Ơ

0 = 1 *) Với x = 0 hệ ⇔  1 = 0

N

Lời giải:

x2 vào (1) ta được: 2 2

 x2  4 3 2  + 3 x + 3  = 2 x + 9 ⇔ x + 12 x + 48 x + 64 x = 0  2  x = 0( L) 3 ⇔ x ( x + 4) = 0 ⇔   x = −4

21 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

17   KL: Hệ có một nghiệm:  −4;  4 

 x ( x + y + 1) − 3 = 0  Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:  5 2 ( x + y ) − x 2 + 1 = 0

(1) ( 2)

N

17 4

Y

N

H

Nhận xét: Ta thấy hai phương trình của hệ có một bộ phận giống nhau là x + y . Dó đó ta sẽ nghĩ đến việc rút x + y từ (1) thế vào (2) là xong.

Ơ

*) Với x = −4 ⇒ y =

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

TP

3 − 1 thay vào (2) ta được: x

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

N

http://daykemquynhon.ucoz.com

2  x =1 5 3  2  + 1 − 2 + 1 = 0 ⇔ 2 x − 6 x + 4 = 0 ⇔  x = 2 x  x 

Đ ẠO

(1) ⇔ x + y =

G

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

*) Điều kiện: x ≠ 0 .

3  KL: Hệ có nghiệm: (1,1) ;  2, −  2 

TR ẦN

3 2

B

*) Với x = 2 ⇒ y = −

H Ư

*) Với x = 1 ⇒ y = 1

Lời giải:

-H

Ó

A

10 00

 5 x 2 y − 4 xy 2 + 3 y 3 = 2 ( x + y ) (1) 2 Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:  2 2 ( 2 ) (Khối A - 2011)  xy ( x + y ) = ( x + y )  xy − 1 = 0 2 2 x + y = 2

( 2 ) ⇔ ( x 2 + y 2 ) ( xy − 1) = 2 ( xy − 1) ⇔ ( xy − 1) ( x 2 + y 2 − 2 ) = 0 ⇔ 

-L

Ý

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

U

Lời giải:

1 thay vào (1) ta được: x  x =1  y =1 x4 − 6x2 + 3 = 0 ⇔ x2 = 1 ⇔  ⇒  x = −1  y = −1

ÀN

TO

ÁN

*) Với xy = 1 ⇔ y =

D

IỄ N

Đ

*) Với x 2 + y 2 = 2 thay vào (1) ta được:  x= y 5 x 2 y − 4 xy 2 + 3 y 3 = ( x 2 + y 2 ) ( x + y ) ⇔ 4 x 2 y − 5 xy 2 + 2 y 3 − x 3 = 0  x = 2y

*) Với x = y ⇒ x = y = ±1 *) Với x = 2 y ⇒ y 2 =

2 2 2 ⇔ y=± ⇒ x = ±2 5 5 5

22 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

 2 2  2 2 KL: Hệ có nghiệm: (1;1) , ( −1; −1) ,  2 ;  ,  −2 ; − .

5 5 5 5     2.1.3. Bài tập rèn luyện

2 x 2 + x + y 2 = 7 2/   xy − x + y = 3

 x 2 − y ( x + y ) + 1 = 0 3/  2 ( x + 1) ( x + y − 2 ) + y = 0

 x2 + 5x + y = 9  4/ 3 2 2 3x + x y + 2 xy + 6 x = 18

 x 3 + 7 y = ( x + y )2 + x 2 y + 7 x + 4 5/  3x 2 + y 2 + 8 y + 4 = 8 x 

 1 + x 2 + y 2 = 4 x + xy 6/  2 2  xy − y ( y + y + 1) = x + 1

 2 y2 + 1 = 2x − y 7/   2 x + y + 2 ( x − y ) = 3 y

 x + y = 8 8/  2 2  x + 9 + y + 9 = 10

 ( x + y ) x − y + 2 = x + 3y + 2 9/  ( x − y ) x − y + 2 = ( x + y + 1) x + y − 2

 5x − y − 2 y − x = 1 10/  2 2  2 2 y − x + 3 xy = 2 x + y + 3 x − 1

8 8  3 2  x + 3x − 13x − 15 = y 3 − y 11/   y 2 + 4 = 5 y 2 ( x2 + 2x + 2) 

 x3 − 6 x2 y = 8 y3 − 6 12/  2 4 xy + x = 2 y + 2 y − x + 1 + 1

Y

-L

ÁN

2.2. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

TO

2.2.1. Nhận dạng

D

IỄ N

Đ

ÀN

Điểm mấu chốt của phương pháp này là phát hiện ẩn phụ u = f(x; y), v = g(x; y) ngay trong từng phương trình của hệ hoặc ngay sau các phép biến đổi. Thông thường các phép biến đổi thường xoay quanh việc cộng, trừ hai phương trình của hệ hoặc chia hai vế của phương trình cho một số hạng hoặc một ẩn nào đó sẵn có trong các phương trình của hệ để tìm ra phần chung và sau đó đặt ẩn phụ.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Ý

-H

 x + 2 y + 2 x + y + 5 = y + 2 14/  2  2 x + y + 5 + ( y − 1) = x + 3

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

 x − x − y − 1 − 1 = 0 13/  2 2  y + x + 2 y x − xy = 0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

.Q

TP

Đ ẠO

G

N

H Ư

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

N

H

Ơ

N

 x 2 + xy = x + 2 1/  2 2 ( 2 y + 5 ) x + 13 x = 26

*) Các ẩn phụ cơ bản thường dùng:

1. Hệ có chứa hai căn 2. Hệ có chứa

ax + b và

cx + d ta đặt u = ax + b , v = cx + d

xy ta đặt u = x ± y, v = xy

23 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

3. Hệ có chứa x 4 + y 2 ta đặt u = x 2 ± y 4. Hệ có chứa x 4 + x 2 y 2 ta đặt u = x 2 ± xy 5. Hệ có chứa x 4 + y 4 ta đặt u = x 2 ± y 2

Ơ

N

1 2 1 1 1 , y + 2 ta đặt u = x ± , v = y ± 2 x y x y

H U .Q

TP

G

2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Phân tích bài toán: Để ý đến mối quan hệ của x 4 + y 2 và x 2 + y ta có:

H Ư

N

x 4 + y 2 + 2 x3 y = ( x 2 + y ) .

TR ẦN

5 5  2  2 3 2 2  x + y + x y + xy + xy = − 4  x + y + xy ( x + y ) + xy = − 4 ⇔ a)  5   x 4 + y 2 + xy (1 + 2 x ) = − 5 ( x 2 + y ) 2 + xy = −   4 4

B

5  u + uv + v = − 4 (1) Thay vào hệ ta được:   u 2 + v = − 5 (2)  4

A

10 00

u = x 2 + y Đặt   v = xy

-H

Ó

5 Từ (2) ta có v = − − u 2 thay vào (1) được: 4

ÁN

-L

Ý

u = 0 5 5 1  5  2 2 2 u + u  − − u  − − u = − ⇔ u  −u − u −  = 0 ⇔  u = − 1 4 4  4  4  2 

TO

+) Với

IỄ N

Đ

ÀN

 x2 + y = 0 5  u =0⇒v=− ⇒ 5 4  xy = −  4 +) Với 1  2 x +y=− 1 3  2 u=− ⇒v=− ⇒ 3 2 2  xy = −  2

⇒ x2 −

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Lời giải:

http://daykemquynhon.ucoz.com

D

( Khối A 2008)

Đ ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

5  2 3 2  x + y + x y + xy + xy = − 4 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:   x 4 + y 2 + xy (1 + 2 x) = − 5  4

Y

N

2.2.1. Ví dụ minh họa

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

6. Hệ có chứa x 2 +

5 5 25 = 0 ⇔ 4 x3 − 5 = 0 ⇔ x = 3 ⇒ y = 3 4x 4 16

⇒ x2 −

3 1 3 = − ⇔ 2 x3 + x − 3 = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = − 2x 2 2

24 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

 5 25   3 KL: Vậy hệ có hai nghiệm là:  3 4 ; 3 16  ,  1; − 2     

N

H

Phân tích: Kinh nghiệm khi giải hệ phương trình là nếu trong hệ có chứa x 4 + x 2 y 2 thì ta sẽ đặt ẩn phụ theo x 2 ± xy . Từ đó ta có hướng phân tích bài toán như sau:

Ơ

N

 x 4 − x3 y + x 2 y 2 = 1 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:  3 2  x y − x + xy = −1

.Q

-H

Ó

A

( xy − 1)2 = x 2 − y 2 + xy + 2   1 1  25 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:  2 2  ( x y + 1)  2 + 2  = y  4 x 

-L

Ý

Phân tích: Từ (2) ta có: ( 2 ) ⇔ x 2 +

1 1 25 + y 2 + 2 = . Từ đó ta thử biến đổi hệ theo 2 4 x y

ÁN

1 1 ẩn u = x ± , v = y ± . x y

TO

Lời giải:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H Ư

TR ẦN

10 00

KL: Hệ có nghiệm: (1;0 ) , ( −1;0 )

B

2  x 2 + 2 = xy u = −2  x 2 − xy = −2  x + 2 = xy ⇒ 3 ⇔ 2 ⇔ 2 2 *) Với  (vô nghiệm)  v = −3  x y = −3  x xy = −3  x ( x + 2 ) = −3

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP  u = 1 u = −2 ⇔ ∨ v = 0  v = −3

N

 u = 1  x 2 − xy = 1  x = ±1 ⇒ 3 ⇔ *) Với  v = 0  x y = 0  y=0

http://daykemquynhon.ucoz.com

Đ ẠO

u 2 + v = 1 (1) Thay vào hệ ta được:   u − v = 1 (2)

u = x 2 − xy Đặt  3 v=x y

G

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

2 2 3  x 4 − x3 y + x 2 y 2 = 1  ( x − xy ) + x y = 1 ⇔ .

Hệ ⇔  3 2 3 2 x y − x + xy = − 1   x y − ( x − xy ) = −1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

Lời giải:

(1) ⇔ ( xy − 1)

2

= x 2 − y 2 + xy + 2 ⇔ x 2 y 2 − 2 xy + 1 = x 2 − y 2 + xy + 2

1  1  ⇔ ( x 2 y 2 − x 2 ) + ( y 2 − 1) = 3 xy ⇔ ( x 2 + 1)( y 2 − 1) = 3 xy ⇔  x +  y −  = 3 x  y 

D

IỄ N

Đ

ÀN

Điều kiện x ≠ 0, y ≠ 0 .

25 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Ơ H

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

G

Nhận xét: Đây là dạng hệ phương trình có chứa hai căn, ta đặt ẩn phụ theo hai căn là được.

TR ẦN

H Ư

u = 6 x + y  u 2 = 6x + y Đặt  ⇒ u 2 − 2v 2 = 2 x − y . Thay vào hệ ta ( u ≥ 0, v ≥ 0 ) ⇒  2  2v = 4 x + 2 y  v = 2 x + y được hệ:

KL: Hệ có nghiệm ( −1;6 )

10 00

B

u+v = 2  u = 0 6 x + y = 0  x = −1 ⇔ ⇔ ⇔  2 .

2 u − 2v + v = −6 v = 2 2 x + y = 4  y=6

Ó

A

*) Chú ý: Nếu phương trình của hệ có chứa một biến độc thân, thông thường ta chia hai vế của phương trình cho biến đó rồi mới đặt ẩn phụ.

-L

Ý

-H

 xy + x + 1 = 7 y Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:  2 2 2  x y + xy + 1 = 13 y

(1) (2)

(Khối B - 2009)

Lời giải:

ÁN

*) Với y = 0 không là nghiệm của hệ phương trình.

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

 xy + x + 1 = 7 y *) Với y ≠ 0 , ta có hệ:  2 2 2  x y + xy + 1 = 13 y x 1  x 1  x+ + =7 x + + = 7   y y y y   ⇔ ⇔ 2  x 2 + x + 1 = 13  x + 1  − x = 13    y y2 y y 

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Lời giải:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP Đ ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

 6 x + y + 2 x + y = 2 Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:   2 x + y + 2 x − y + 6 = 0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

U

Y

 uv = 3  25 . Đến đây việc giải hệ này không còn khó Ta được hệ phương trình:  2 2 u + v = 4 khăn nữa.

N

1   2 1 2 u = x + x  x + x 2 = u − 2 ⇒  1 v = y −  y 2 + 12 = v 2 + 2 y y  

N

 1  1    x +  y −  = 3 x  y   Hệ ⇔  . Đặt  x 2 + 1  +  y 2 + 1  = 25     x2   y2  4 

26 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

-L

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Ý

-H

(

)

9  2 2  ( x + xy − y )( x − xy + y ) = 2 xy 12/   x 2 + ( xy − y 2 )2 − 5 y 2 = 0 

ÁN

 x 17 − 4 x 2 + y 19 − 9 x 2 = 3 11/  2 2  17 − 4 x + 19 − 9 y = 10 − 2 x − 3 y

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Ó

8/ 2 2 2  4 x − 4 xy + 4 y − 51 ( x − y ) + 3 = 0  ( 2 x − 7 )( x − y ) + 1 = 0 

 x y 2 + 5 + y x 2 + 3 = 3 + 2 xy 10/  2 2  x + 3 + y + 5 + x + y = 8

TO

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

10 00 A

 x 2 + y 2 + xy + 2 x = 5 y 6/  3 2 2  x + x y − x + 2 xy − 6 x + 3 y = 0

 x y 2 + 6 + y x 2 + 3 = 7 xy 9/  2 2 2 2  x x + 3 + y y + 6 = 2 + x + y

ÀN Đ

Ơ

H Ư

TR ẦN

 x + y + 2 x + y + 3 = 5 4/  2  2 x + y + 3 + x − y = 5

B

 3 x + 2 y + 3 − x − y = 5 3/   2 3 − x − y + 2 x + 3 y + 4 = 2

IỄ N

N U TP

Đ ẠO G

 2 x + y − 5 x + 3 y = −2 2/  2 x + y + 5x − y = 8 

N

 4 x + y + 2 x + y = 4 1/   2 x + y + x + y = −2

http://daykemquynhon.ucoz.com

D

 1 . Giải hệ được nghiệm 1;  ,(3;1) .  3

2.2.3. Bài tập rèn luyện

 xy + x − 1 = 3 y 7/  2 2  x y − x = 2y

hệ vô nghiệm.

.Q

1  x + y = 4  *) Với u = 4 ⇒ v = 3 ⇒   x =3  y

 y + xy 2 = 6 x 2 5/  2 2 2 1 + x y = 5 x

N

1   x + y = −5  ⇒  x = 12  y

 u = −5 *) Với u = −5 ⇒ v = 12 ⇒  v = 12

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

u = 4 ⇒ u 2 + u − 20 = 0 ⇔  u = −5

H

u + v = 7 thay vào hệ được:  2  u − v = 13

Y

1  u = x + y  Đặt   v= x y 

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

2.3. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI THÀNH TÍCH 2.3.1. Nhận dạng

Phương pháp biến đổi thành tích là một phương pháp mà khá nhiều giáo viên ra đề hay sử dụng. Mấu chốt của phương pháp này là học sinh phải nhận ra một phương

27 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

trình của hệ có nhân tử chung và đưa phương trình đó về dạng tích từ đó đưa hệ ban đầu về hai hay nhiều hệ phương trình đơn giản hơn.

2.3.2. Ví dụ minh họa

Ơ

10 00

năm học 2014 – 2015)

Lời giải:

x = y −1 x = 2 y +1

Ó

A

Ta có (1) ⇔ ( x − y + 1)( x − 2 y − 1) = 0 ⇔ 

-H

y = 2

Với x = y − 1 thay vào (2) ta được 2 y 2 − 3 y − 2 = 0 ⇔ 

-L

Ý

y = − 1 2 

ÁN

+) y = 2 ⇒ x = 1 .

1 2

3 2

TO

+) y = − ⇒ x = − .  y = −1 Với x = 2 y + 1 thay vào (2) ta được 5 y + 3 y − 2 = 0 ⇔  y = 2 5  2 9 +) y = −1 ⇒ x = −1 ; +) y = ⇒ x = .

5 5

ÀN Đ IỄ N

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

B

 x 2 + 2 y 2 − 3 xy − y − 1 = 0 (1) Ví dụ 2 : Giải hệ phương trình:  2 2 (HSG 10 Vĩnh Phúc (2)  x + y − y − 3 = 0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TR ẦN

−3 + 177 15 + 177  −3 − 177 15 − 177  ; . ; ;    6 6 6 6

Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) là:  

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

H Ư

N

G

  x = −3 + 177  6 Thế y = x + 3 vào (2) ta được: 3 x 2 + 3 x −14 = 0 ⇔    x = −3 − 177 6 

http://daykemquynhon.ucoz.com

D

.Q

Đ ẠO

⇔ ( x + 1− y + 2)  ( x + 1) 2 + ( x + 1)( y − 2) + ( y − 2) 2 + 1 = 0 ⇔ y = x + 3.

TP

x3 + 3 x 2 + 4 x = y 3 − 6 y 2 + 13 y −12 ⇔ ( x + 1)3 + ( x + 1) = ( y − 2)3 + ( y − 2).

U

Cộng tương ứng hai vế của (1) và (2) ta được Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

H

Y

N

Lời giải:

N

 x3 − y 3 + 2 x 2 + 4 y 2 + 5 = 0  Ví dụ 1 : Giải hệ phương trình  2 (HSG 10 Vĩnh Phúc  x + 2 y 2 + 4 x −13 y + 7 = 0  năm học 2015 – 2016)

2

 3

1 9 2

Vậy, hệ (I) có nghiệm ( x; y ) là: (1; 2 ) , ( −1; − 1) ,  − ; −  ,  ;  .  2 2 5 5

28 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

 y 7 + y 6 − 6 x 2 = 0 (1)  3 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau:  5 x y + = x 2 + xy 2 (2)  3 y 

N

Lời giải:

H

Ơ

Điều kiện: y ≠ 0 .

N

 x = y3  x3 2 2 3 2 x 3 5 2 x y y x x y x y x − = 0 ⇔ − + − 1 = 0 ⇔ − − = 0 ⇔ ( )  y3  ( )( )  2 5 y3   x = y

(1)  xy + x − 2 = 0 Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:  3 2 2 2  2 x − x y + x + y − 2 xy − y = 0 (2)

10 00

B

Lời giải:

( 2 ) ⇔ ( 2 x 3 − 2 xy ) − ( x 2 y − y 2 ) + ( x 2 − y ) = 0 ⇔ 2 x ( x 2 − y ) − y ( x 2 − y ) + ( x 2 − y ) = 0

-H

Ó

A

 x2 = y ⇔ ( x 2 − y ) ( 2 x − y + 1) = 0 ⇔   y = 2x +1

Ý

+) Với y = x 2 thay vào (1): x 3 + x − 2 = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = 1

TO

ÁN

-L

 −1 + 5 x =  y= 5 2 +) Với y = 2 x + 1 thay vào (1): x 2 + x − 1 = 0 ⇔  ⇒  −1 − 5  y = − 5 x =  2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

KL: Hệ có nghiệm: ( 5;125) , ( 2;32 ) , ( −3; −243)

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

G

 y=2  x = 32 y7 + y 6 − 6 y5 = 0 ⇔ y5 ( y 2 + y − 6 ) = 0  ⇒  y = −3  x = −243

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

*) Với x = y 5 thay vào (1) ta được:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

Đ ẠO

Với y = 5 ⇒ x = 125

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

 y = 0( L) 7 6 *) Với x = y 3 thay vào (1) ta được: y − 5 y = 0 ⇔  .  y=5

U

Y

( 2) ⇔ y5 − xy2 +

D

IỄ N

Đ

ÀN

 −1 + 5   −1 − 5  KL: Hệ có nghiệm: (1;1) ,  ; 5 , ;− 5  2 2    

Chú ý 1 : Khi gặp phương trình của hệ là phương trình bậc hai với x và y có dạng: ax 2 + by 2 + cxy + dx + ey + f = 0 để biến đổi thành tích ta có thể coi đây là phương trình bậc 2 với ẩn x (hoặc ẩn y) với y là tham số. Giải phương trình bậc 2 với ẩn x tham số y để tìm mối quan hệ giữa x và y rồi thế vào phương trình còn lại là xong.

29 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Cũng cần lưu ý rằng bài toán chỉ có thể giải quyết được theo cách này khi phương 2 trình có ∆ dạng ( my + n ) .

N

 x 2 + xy − 2 y 2 + 3 x + 2 = 0 Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:  x2 + y 2 = x + y 

H

Ơ

Lời giải:

Y

N

Từ (1) ta có: (1) ⇔ x 2 + ( y + 3) x − 2 y 2 + 2 = 0 (phương trình bậc 2 ẩn x tham số y)

(1) ( 2)

TR ẦN

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

 2 x 2 + y 2 − 3 xy + 3 x − 2 y + 1 = 0 Ví dụ 6: Giải hệ phương trình:  2 2 4 x − y + x + 4 = 2 x + y + x + 4 y

(Khối B_2013)

Lời giải:

10 00

B

+) Điều kiện: 2 x + y ≥ 0, x + 4 y ≥ 0 .

A

+) Từ phương trình (1): y 2 − ( 3x + 2 ) y + 2 x 2 + 3x + 1 = 0 (3). Coi (3) là phương trình ẩn y tham số x. Giải phương trình ta được : y = x + 1; y = 2 x + 1 thay vào (2).

Ó

+) Với y = x + 1 thay vào (2) ta được:

(

) (

)

Ý

-H

3x 2 − x + 3 = 3x + 1 + 5 x + 4 ⇔ 3 ( x 2 − x ) + x + 1 − 3x + 1 + x + 2 − 5 x + 4 = 0

ÁN

-L

x = 0  y = 1 1 1   2 ⇔ ( x2 − x )  3 + +  = 0 ⇔ x − x = 0 ⇔  x =1 ⇒ y = 2 x + 1 + 3x + 1 x + 2 + 5 x + 4    

TO

+) Với y = 2 x + 1 thay vào (2) ta được:

(

) (

4x +1 −1 +

)

9x + 4 − 2 = 0

D

IỄ N

Đ

ÀN

3 − 3x = 4 x + 1 + 9 x + 4 ⇔ 3x +

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

KL: Hệ có nghiệm: ( x, y ) = ( 0,1) .

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

*) Với x = −2 y − 2 thay vào (2) ta được: 5 y 2 + 9 y + 6 = 0 ( vn )

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q

2

*) Với x = y − 1 thay vào (2) ta được: ( y − 1) = 0 ⇔ y = 1 ⇒ x = 0

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

 x = y −1 2 ∆ = 9 y 2 + 6 y + 1 = ( 3 y + 1) . Từ đó suy ra: (1) ⇔   x = −2 y − 2

4 9   ⇔ x3 + +  = 0 ⇔ x = 0 ⇒ y =1 4x + 1 + 1 9x + 4 + 2  

+) KL: Hệ có nghiệm: ( 0;1) , (1;2 )

Chú ý 2: Nếu hệ gồm 2 phương trình bậc 2 theo x và y nhưng không thỏa mãn chú ý 1 thì ta nhân thêm vào mỗi phương trình với một số nào đó rồi cộng chúng lại với nhau để được 1 phương trình có tính chất như ở chú ý 1.

30 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

2 x 2 + 2 xy + y = 5 Ví dụ 7: Giải hệ phương trình:  y 2 + xy + 5 x = 7 

(1) ( 2)

Lời giải:

Ơ

N

2 2 *) (1) + k ( 2 ) : 2 x + ( 2 y + ky + 5k ) x + ky + y − 7 k − 5 = 0 (3).

2

H

Coi (3) là phương trình ẩn x tham số y thì ta có: 2

2

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

*) Thay vào (1) hoặc (2) ta có nghiệm của hệ là: (1;1) , ( −1; −3) . .

TR ẦN

Chú ý 3: Nếu hệ có 1 ẩn là bậc 2 và 1 ẩn là bậc 3 thì nhân cả hai vế của 1 phương trình nào đó với một số k rồi cộng hai phương trình của hệ đưa về phương trình với ẩn là bậc 2 rồi tìm k sao cho phương trình biến đổi được thành tích.

10 00

B

 x3 + 2 xy 2 = 2 x 2 y + 4 Ví dụ 8 : Giải hệ phương trình :  x 2 + 2 y 2 = xy + x + 2 y 

(1) ( 2)

Lời giải:

A

*) Nhân vào 2 vế của (2) với số k rồi cộng về theo về với (1) ta được:

-H

Ó

x 3 + 2 x 2 y + k ( x 2 + 2 y 2 ) = ( 2 x 2 y + 4 ) + k ( xy + x + 2 y ) ⇔ ( 2 x + α ) y 2 − ( 2 x 2 + kx + 2k ) y + x 3 + kx 2 − kx − 4 = 0( ) . Để đưa phương trình (*) về dạng tích ta chọn k sao cho (*) luôn đúng với mọi y. Tức là ta có: ( 2 x + 2k ) = ( 2 x 2 + kx + 2k ) = x 3 + kx 2 − kx − 4 = 0 ⇔ x = 2, k = −2

ÁN

-L

Ý

*

TO

*) Như vậy:

ÀN Đ IỄ N

x=2

 2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

−y + 3 ; x = − y − 4.

2

(1) − 2.( 2 ) : ( x − 2 ) ( x 2 − 2 xy + 2 y 2 − 2 y + 2 ) = 0 ⇔ 

D

U

TP

2

2 *) ∆ x = y + 22 y + 121 = ( y + 11) ⇒ (3) ⇔ x =

Đ ẠO

Như vậy k = 1. Khi đó:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

2

2 2 *) Với ∆ y = ( 5k + 10k − 4 ) − ( k − 2 ) ( 25k + 56k + 40 ) = 0 ⇔ k = 1.

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

*) Để giải quyết được bài toán ta phải tìm k sao cho: ∆ x = ( ay + b ) ⇔ ∆ y = 0

Y

N

∆ x = ( 2 + k ) y + 5k  − 8 ( ky 2 + y − 7 k − 5 ) = ( k − 2 ) y 2 + 2 ( 5k 2 + 10k − 4 ) y + 25k 2 + 56k + 40

2

( x − y ) + ( y − 1) + 1 > 0

*) Với x = 2. thay vào (2) ta có y = 1. KL: Hệ có nghiệm ( 2;1) .

2.3.3. Bài tập rèn luyện Giải các hệ phương trình sau.

31 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

 x 2 + y 2 + xy = 3 2/  2  x + 2 xy + 9 = 7 x + 5 y

 x 3 + 3 xy 2 + 49 = 0 3/  2 2  x − 8 xy + y = 8 y − 17 x

2x2 + 3 y = y 2 + x + 3 4/  2 2 2 y + 8 = x + x + 7 y

 x 2 + 2 xy 2 = 2 x 2 y + 4 5/  2 2  x + 2 y = xy + x + 2 y

 x3 = 8 y3 + 3 y 6/  2 2 x + y = 4 y + x

 x 3 − y 3 = 35 7/  2 2 2 x + 3 y = 4 x − 9 y

 x3 + y3 = 9 8/  2 2 x + 2 y = x + 4 y

2 xy  2 2 x + y + x + y = 1 9/   x + y = x2 − y 

4  2  3( 2 − x) 2 − y − ( 2 − y) = x +1 10/  2  2 ( x + xy − x + y − 2) 2 − y = x + y − 2

-H

)

-L

Ý

(

ÁN

2.4. PHƯƠNG PHÁP LIÊN HỢP VÀ ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH.

TO

2.4.1. Nhận dạng

- Thông thường phương trình của hệ có chứa 2 hay nhiều căn.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

A

 ( y + 1) ( x 2 + 7 ) 3  x + 3 x = x+ y+3 17/   2 ( x − y ) ( y + y + x ) = x ( y + 1)

Ó

 x − y + x − 2 y − 14 = 4  15/  2 2  x + y − x + y = xy 1 − x − y

 ( 4 y − 1) x 2 + 1 − 2 y = 2 x 2 + 1  14/ 3 2 2  x + x y + y = 1

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

10 00

B

( x + y ) x − y + 2 = x + 3 y + 2 13/   ( x − y ) x − y + 2 = ( x + y + 1) x + y − 2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

TP

Đ ẠO

G

N

2 2  2x ( x + 3) − y ( y + 3) = 3xy ( x − y ) 12/  2  ( x 2 − 2) = 4 ( 2 − y )

TR ẦN

( x + 1)3 − ( y − 1)3 = ( x − y )( xy − 1) + 4 xy 11/  2 2  2 x + 5 − 4 2 − x = ( y − 1) + 2 + y

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

U

Y

N

H

Ơ

N

 2 x 2 + 2 xy + 5 = 5 1/  2  y + xy + 5 x = 7

D

IỄ N

Đ

ÀN

- Biểu thức sau khi nhân liên hợp có nhân tử chung với biểu thức còn lại trong phương trình đó.

2.4.2. Ví dụ minh họa

 x + x + 2 + x + 4 = Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:  2 2  x + y + x + y = 44

y −1 + y − 3 + y − 5

Lời giải:

32 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

x ≥ 0 *) Điều kiện xác định:  y ≥ 5 

) (

)

x + 4 − y −1 = 0

Ơ

N

x− y+5 x− y+5 x− y +5 + + =0 x + y −1 x + 2 + y −3 x + 4 + y −5

N Y U

(

H Ư

  Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:   

)

x2 + y + x2 + 3 x = y − 3

TR ẦN

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

*) Với y = 6 ⇒ x = 1 . Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (1;6).

G

 y = −2( L) ⇒ 2 y − 5 + 2 y 2 − 10 y + 25 = 44 ⇔ 2 y 2 − 8 y − 24 = 0 ⇔ y 2 − 4 y − 12 = 0 ⇔  y = 6

x2 + y + x = x + 3

B

Lời giải:

10 00

Điều kiện: x ≥ 0.

x 2 + y − x 2 + 3 = 0 ⇔ y = 3 thay vào hệ ta thấy không thỏa mãn.

*) Xét

x 2 + y − x 2 + 3 ≠ 0 ⇔ y ≠ 3 . Khi đó nhân cả hai vế của (1) cho

Ó

A

*) Xét

-H

x 2 + y − x 2 + 3 ta được:

 x = x2 + y − x2 + 3 x2 + y − x2 + 3 ⇔  . y = 3( l ) 

)

(

ÁN

-L

Ý

(1) ⇔ ( y − 3) x = ( y − 3)

TO

2 2 * Với x = x + y − x + 3 Thế vào (2) ta có:

ÀN Đ IỄ N

2

x + x +3 =3⇔

 1 ⇔ ( x − 1)  +  x +1

(

) (

x −1 +

x −1 + x +3−2 = 0 ⇔ x +1 2

  = 0 ⇔ x =1 x2 + 3 + 2  x +1

)

x2 − 1 x2 + 3 + 2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ ẠO

TP

x = y − 5 *) Kết hợp với (2) ta được hệ:  .

2 2  x + y + x + y = 44

( 2) ⇔

D

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

  1 1 1 ⇔ ( x − y + 5)  + + =0  x + y −1 x + 2 + y −3 x + 4 + y − 5   ⇔ x + y −5 = 0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

x+ 2 − y −3 +

H

⇔

) (

x − y −5 +

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

(1) ⇔ (

=0 .

*) Với x = 1 ⇒ y = 8 .

KL: Hệ có nghiệm ( 2;8) .

33 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

3 2  3x + 4 − 3 y + 4 + x − x y = 0 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:  3 .  x − 3 y + 1 = 8 − 3x 2

Lời giải:

N

.Q

TP

(

)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

*) Với x = y vào phương trình (2) ta có:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

  3 + x2 ( x − y ) = 0 ⇔ ( x − y )  + x2  = 0  3x + 4 + 3 y + 4  3x + 4 + 3 y + 4   ⇔ x− y =0 3( x − y )

(1) ⇔

=

G

N

TR ẦN

8 − 3x 2

(2 − x) +

− x 2 + x + 6 + ( x + 1) 8 − 3 x 2 2 − x + 8 − 3x 2

10 00

B

Ta có : x + 1 +

4

 3 + x 2 > 0,  = 0 , Vì (1)  3x + 4 + 3 y + 4 

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

x3 − 3x + 1 = 8 − 3x 2 ⇔ x3 − 2 x − 1 + ( 2 − x ) − 8 − 3 x 2 = 0  4 ⇔ ( x 2 − x − 1)  x + 1 +  ( 2 − x ) + 8 − 3x 2 

2

(

)

A

2 2 − x + 8 − 3x2

=

(

(

2 2− x+

2

) + 3 > 0 , với 8 − 3x )

x + 1 + 8 − 3x2

2

4 8 − ≤x≤ 3 3

Ó

=

( x + 1) + 2 ( x + 1) 8 − 3x2 + ( 8 − 3x2 ) + 3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

3 3  4 4 *) Nhận xét: ( x; y) =  − ; −  không là nghiệm của hệ. Do đó x ≠− hoặc y ≠ − 4 4  3 3

H

Ơ

N

4 8 4 ; y≥− . *) Điều kiện: − ≤ x ≤ 3 3 3

ÁN

-L

Ý

-H

 1+ 5 x = 2 *) Do đó ta có ⇔ x 2 − x − 1 = 0 ⇔   1+ 5 x = 2 

ÀN

TO

1+ 5 1+ 5  1− 5 1− 5  ; ; *) Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) =  ; .

2 2 2 2    

D

IỄ N

Đ

2.4.3. Bài tập rèn luyện  x + 3 y + 2 + 3 x − 2 y − 5 = 3 y + 1 1/  2x − 3 − y + 2 = x + y − 4 

 x + x 2 − 3 = y + y 2 + 3  2/ 3 3  x − y = 3 x − 3 y + 4

 x + y + x ( x + y ) = 2 y + 2 y 2 3/  2  x + 4 y − 3 + 1 = 3x − 2 + y

2 xy + y + x + y = 3 4/  2 3 x + 1 − y + 25 − 3 x = x − 2 x + 7

34 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

 x + x 2 + 1 = y + y 2 − 1 5/  x 2 + y 2 − xy = 1 

Ơ

)

N

)(

H Ư

*) Cơ sở của phương pháp: Ta sử dụng các định lí sau đây:

TR ẦN

Định lí 1: Nếu hàm số y = f ( x ) là hàm đơn điệu (luôn đồng biến hoặc luôn nghịch

f ( x ) = k có nhiều nhất một nghiệm và

biến) trên tập D thì phương trình

f ( x) = f ( y ) ⇔ x = y .

10 00

B

Định lí 2: Nếu hàm số y = f ( x ) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và hàm số

y = g ( x ) luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên D thì phương trình

A

f ( x ) = g ( x ) có nhiều nhất một nghiệm trên D.

Ó

Định lí 3: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm đến cấp n và phương trình f ( k ) ( x) = 0

-H

có m nghiệm, khi đó phương trình f ( k −1) ( x ) = 0 có nhiều nhất là m+1 nghiệm.

-L

Ý

2.5.2. Ví dụ minh họa

ÁN

 x3 − y 3 − 3 x 2 + 6 y 2 = −6 x + 15 y − 10 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:  2  y x + 3 + ( y + 6 ) x + 10 = y + 4 x

( x, y ∈ R )

TO

(HSG 12 Vĩnh Phúc 2014 – 2015) Lời giải:

ÀN Đ IỄ N

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

N

G

Đ ẠO

Phương pháp hàm số là phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số để đi giải quyết một phương trình nào đó của hệ từ đó tìm ra hệ thức đơn giản hơn giữa các biến.

Phương pháp hàm số là một công cụ mạnh trong việc giải phương trình, hệ phương trình đặc biệt đối với phương trình có nghiệm duy nhât. Phương pháp này có vai trò như phương pháp biến đổi thành tích.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

2.5.1. Nhận dạng

http://daykemquynhon.ucoz.com

D

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

2.5. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

(

H

 2 x + y − 4 + 4 x + 3 y − 9 = 5 y − 1 8/  8 x = ( 35 − 8 x ) y 2 − 1 

 x + x2 + 1 y + y2 + 1 = 1  7/  y 35 y+ + =0  2 x − 1 12 

N

 x 12 − y + y (12 − x 2 ) = 12  6/   x3 − 8 x − 1 = 2 y − 2

3 3  x3 − y 3 − 3 x 2 + 6 y 2 = −6 x + 15 y − 10 ( x − 1) + 3 ( x − 1) = ( y − 2 ) + 3 ( y − 2 ) ⇔  2 2  y x + 3 + ( y + 6 ) x + 10 = y + 4 x  y x + 3 + ( y + 6 ) x + 10 = y + 4 x

(1) ( 2)

 x ≥ −3 y∈ R

Điều kiện 

Xét hàm số

f ( t ) = t 3 + 3t , ∀t ∈ R, f ′ ( t ) = 3t 2 + 3 > 0 ∀t ∈ R . Vậy hàm số f ( t ) đồng

35 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

biến trên R. Từ (1) ta có f ( x − 1) = f ( y − 2 ) ⇔ x − 1 = y − 2 ⇔ y = x + 1

( 3)

2 Thay (3) vào (2) ta được phương trình: ( x + 1) x + 3 + ( x + 7 ) x + 10 = x + 6 x + 1 Phương trình ( 4 ) ⇔ ( x + 1) x + 3 − 3 + ( x + 7 ) x + 10 − 4 = x 2 − x − 30

)

(

)

N

H

= ( x + 5 )( x − 6 )

( 3) Từ ( 5 ) : x − 6 = 0 ⇒ x = 6  → y = 7 ⇒ ( x; y ) = ( 6;7 ) là một nghiệm của

( 7 ) phương trình vô nghiệm

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

1 1 1 1  7 −  < 0 = VP ( ) −  + ( x + 7) ⋅  2 2  x+3 +3   x + 10 + 4 

G



MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

x +1 x+3 x+7 x+7 − + − =0 2 2 x+3 +3 x + 10 + 3

Từ ( 6 ) :

N

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

do VT ( 7 ) < ( x + 3) ⋅ 

( x ; y ) = ( 6; 7 ) . .

TR ẦN

KL :Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất

Ví dụ 2: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực (HSG 12 Vĩnh Phúc 2013 – 2014)

10 00

B

3 2 2 3x + x y − 3x − xy = 2m (x, y ∈ R)  2  x + 2 x + y = 6 − m

Lời giải:

-H

Ó

A

( x 2 − x)(3x + y ) = 2m Hệ tương đương  2 ( x − x) + (3x + y ) = 6 − m ab = 2m

-L

Ý

1 Đặt x 2 − x = a, a ≥ − ;3x + y = b , ta có hệ: a + b = 6 − m  4

ÁN

 6a − a 2  ab = 2m  a (6 − m − a ) = 2m = m (1)  ⇔ ⇔  a+2  a + b = 6 − m b = 6 − m − a b = 6 − m − a 

TO

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

x+3 +3 x + 10 + 4  x − 6 = 0 (5) ⇔  x + 1 x+7 + = x + 5 ( 6)  x + 3 + 3 x + 10 + 4

Y

( x − 6)

U

+ ( x + 7) ⋅

.Q

( x − 6)

TP

⇔ ( x + 1) ⋅

Ơ

N

(

( 4)

1 4

D

IỄ N

Đ

ÀN

Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm thỏa mãn a ≥ − .

Xét hàm số f (a) = Với a ≥ −

2 6a − a 2 1 ; a ≥ − . Ta có f '(a ) = − a + 4a − 12 . a+2 4 (a + 2)2

1 thì f '(a) = 0 ⇔ a = 2 .

4

Lập bảng biến thiên ta được giá trị cần tìm của m là: m ≤ 2 .

36 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

 x5 + xy 4 = y10 + y 6 (1) Ví dụ 3: Giải hệ phương trình  2  4 x + 5 + y + 8 = 6 (2) Lời giải:

H

Ơ

N

5 Điều kiện : x ≥ − .

4

N

+) Với y = 0 thay vào hệ ta thấy không thỏa mãn.

.Q

5

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

 x x 5 Ta được :   + = y + y (*)  y y

B

 2 x + y + 5 − 3 − x − y = x3 − 3 x 2 − 10 y + 6 Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:  x3 − 6 x 2 + 13 x = y 3 + y + 10 

10 00

Lời giải:

Ó

A

2 x + y + 5 ≥ 0 * Điều kiện:   3− x − y ≥ 0

2

-H

*) Biến đổi phương trình (2): ( x − 2 ) + ( x − 2 ) = y 3 + y (*) .

-L

Ý

*) Xét hàm số f ( t ) = t 3 + t . Ta có f ' ( t ) = 3t 2 + 1 > 0∀t ∈ R . Suy ra hàm số đồng biến trên R.

ÁN

Suy ra (*) ⇔ f ( x − 2 ) = f ( y ) ⇔ x − 2 = y. .

ÀN

TO

*) Với y = x − 2 Thay vào pt (1) ta được:

Đ IỄ N

(

) (

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

KL: Vậy hệ có hai nghiệm (1;1) , (1; −1) . .

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

G N

4 x + 5 + x + 8 = 6 ⇔ x = 1 ⇒ y = ±1 .

+) Với x = y 2 thay vào (2) ta được:

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

x x có: (*) ⇔ f ( ) = f ( y ) ⇔ = y ⇔ x = y 2 . y y

3x + 3 − 5 − 2x = x3 − 3x2 −10x + 26 ⇔

D

Đ ẠO

+) Xét hàm số f ( t ) = t 5 + t với t thuộc R . Là hàm số luôn đồng biến trên R vậy ta

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

+) Với y ≠ 0 từ đó chia hai vế của phương trình (1) cho y5 ta được:

)

3x + 3 − 3 + 1 − 5 − 2x = x3 − 3x2 −10x + 24

x=2   ⇔ + = ( x − 2) ( x − x −12) ⇔ 3 2  + = x2 − x −12 3x + 3 + 3 1 + 5 − 2x  3x + 3 + 3 1 + 5 − 2x

3( x − 2 )

Do −1 ≤ x ≤

2 ( x − 2)

5 nên 2

2

3 2 + = x 2 − x − 12 (vô nghiệm).

3x + 3 + 3 1 + 5 − 2 x

37 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

* Với x = 2 ⇒ y = 0 . Kết luận hệ có nghiệm: ( 2;0 ) .

 x + 1 + 4 x − 1 − 4 y 4 + 2 = y Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:  2 2  x + 2 x ( y − 1) + y − 6 y + 1 = 0

(1) ( 2)

Ơ

N

(Khối A, A1 _ 2013)

H

Lời giải:

N

2

TR ẦN

+) Với y = 0 ⇒ x = 1

+) Với g ( y ) = y 7 + 2 y 4 + y − 4 = 0 ta có: g / ( y ) = 7 y 6 + 6 y 3 + 1 > 0∀y ≥ 0 . Nên

B

phương trình g ( y ) = 0 có nhiều nhất một nghiệm mà y = 1 là nghiệm. Vậy là nghiệm

10 00

duy nhất của phương trình g ( y ) = 0 . Với y = 1 ⇒ x = 2 .

A

KL: Hệ có nghiệm (1,0 ) ; ( 2,1) .

-L

Ý

-H

Ó

2  (4 x + 1) x + ( y − 3) 5 − 2 y = 0 (1) Ví dụ 6: Giải hệ phương trình:  2 2 (2) 4 x + y + 2 3 − 4 x = 7

Lời giải:

TO

ÁN

3 5 +) Điều kiện x ≤ ; y ≤ 4 2 3

(

5 − 2y

)

3

+ 5 − 2 y (3)

ÀN

2 (1) ⇔ 2 x(4 x + 1) = ( 5 − 2 y ) + 1 5 − 2 y ⇔ ( 2 x ) + 2 x =

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

+) Thay x = y 4 + 1 vào phương trình (2) ta được: y=0  y ( y7 + 2 y4 + y − 4) = 0 ⇔  7 4 g ( y) = y + 2y + y − 4 = 0

G

Do đó phương trình (3) tương đương với: y = u ⇔ x = y 4 + 1 .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

+ 1 > 0∀t ≥ 0

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

t4 + 2

TP

2t 3

( 3)

Đ ẠO

4 +) Xét hàm: f ( t ) = t + 2 + t , ( t ≥ 0 ) . Ta có: f / ( t ) =

y4 + 2 + y

.Q

u4 + 2 + u =

+) Đặt u = 4 x − 1, ( u ≥ 0 ) . Phương trình (1) trở thành: Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

U

Y

+) Điều kiện: x ≥ 1 . Từ (2) ta suy ra được: 4 y = ( x + y − 1) , suy ra y ≥ 0

+) Ta có: f ' ( t ) = 3t 2 + 1 > 0 với t ≥ 0 suy ra hàm số f(t) đồng biến trên khoảng

[0; +∞ )

D

IỄ N

Đ

+) Xét hàm số: f ( t ) = t 3 + t , với t ≥ 0

Từ (3) ta có: f(x) = f(y) ⇔ f ( 2 x ) = f

(

 x≥0  5 − 2 y ⇔ 2x = 5 − 2 y ⇔  5 − 4 x2 y =  2 

)

38 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

+) Thay y vào (2) được: 16 x 4 − 24 x 3 − 3 + 8 3 − 4 x = 0 4 3  3 Xét hàm số f ( x) = 16 x − 24 x − 3 + 8 3 − 4 x , với x ∈ 0;   4

H

Ơ

N

16  3 < 0 với ∀x ∈  0;  , 3 − 4x  4

Y

TR ẦN

Lời giải:

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

G

 x 3 − y 3 + 3 y 2 − 3 x − 2 = 0 (1) Ví dụ 7: Tìm m để hệ phương trình:  2 có 2 2  x + 1 − x − 3 2 y − y + m = 0 (2) nghiệm thực.

Điều kiện −1 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 2

B

+) Ta có (1) ⇔ ( x + 1)3 − 3( x + 1) 2 = y 3 − 3 y 2

10 00

+) Đặt t = x + 1 ⇒ 0 ≤ t ≤ 2 . Khi đó ta có (1) t3 - 3t2 = y3 - 3y2 +) Xét hàm số: f(u) = u3 - 3u2 . Dễ thấy hàm số nghịch biến trên đoạn [0; 2] nên:

Ó

A

(1) y = t ⇒ y = x + 1

-H

2 2 +) Với y = x + 1 thay vào (2) ta được: ( 2 ) ⇔ x − 2 1 − x + m = 0 (3).

-L

Ý

2 2 +) Xét hàm: f ( x ) = x − 2 1 − x với x ≤ 1.

ÁN

Ta có: f '( x) = 2 x − 2

x

1− x

2

/ , f ( x) = 0 ⇔ x = 0 .

TO

+) Lập bảng biến thiên cho hàm số f ( x ) trên đoạn [ −1;1] ta được: −2 ≤ f ( x ) ≤ 1

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ ẠO

1  KL : Vậy hệ có nghiệm:  ;2  2 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U TP

.Q

1 1 Mà ta có : f   = 0 ⇒ x = ⇒ y = 2 2 2

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

N

 3  3 Hàm số f ( x ) liên tục trên 0;  ⇒ f ( x ) là hàm đồng biến trên 0;   4  4

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

f '( x) = 64 x 3 − 72 x 2 −

D

IỄ N

Đ

ÀN

Vậy để hệ có nghiệm thực khi và chỉ khi (3) có nghiệm thực ⇔ −2 ≤ − m ≤ 1 ⇔ −1 ≤ m ≤ 2

+) Kết luận: −1 ≤ m ≤ 2 2.5.3. Bài tập rèn luyện  x + 5 + y − 2 = 7 1/   y + 5 + x − 2 = 7

 2 x 2 y + y 3 = 2 x 4 + x 6 2/  2 ( x + 2) y + 1 = ( x + 1)

39 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com  2 x + y + 5 − 3 − x − y = x 3 − 3x 2 − 10 y + 6 4/  x 3 − 6 x 2 + 13x = y 3 + y + 10 

 2 x + 1 − 2 y + 1 = y − x 3//  4 2 2 y = 3 2 y − 4 x + 24 x + 18

3 x 2 − 2 x − 5 + 2 x x 2 + 1 = 2 ( y + 1) y 2 + 2 y + 2

 x ( x 2 + y 2 ) = y 4 ( y 2 + 1)  5/  2 2 2 4  5 y − 4 x + 5 x − 4 x = 2

Phần III: KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ

Ý

-H

Ó

A

Hệ phương trình đại số là phần kiến thức quan trọng và khó đối với nhiều học sinh trong khi đó thời lượng chương trình quá ít. Do vậy trong phân phối chương trình đại số lớp 10 cần tăng số tiết về chuyên đề hệ phương trình giúp các em học sinh có thêm thời gian nghiên cứu, tìm hiểu sâu hơn về phần kiến thức quan trọng này.

ÁN

-L

Nên đưa thêm dạng toán ứng dụng đạo hàm vào giải toán phương trình và hệ phương trình vào các tiết tự chọn hoặc các tiết ôn thi đại học của học sinh lớp 12 để giáo viên có thời lượng truyền đạt kiến thức cho học sinh.

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

Việc hệ thống các hệ phương trình cơ bản và phương pháp giải các hệ phương trình không mẫu mực hy vọng sẽ giúp các em học sinh làm tốt bài toán giải hệ phương trình trong các đề thi tuyển sinh HSG và đề thi THPT Quốc gia. Tôi cũng mong rằng đây cũng là một tài liệu để đồng nghiệp trong tổ tham khảo.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

 x 5 − x 2 + y 5 − 4 y 2 = 3 Câu 4:  2 2  5 − x + 5 − 4 y = 6 − x − 2 y

B

10 00

 2 xy + 3 x + 4 y = −6 Câu 3:  2 2 x − y + 2x − 4 y = 5

TR ẦN

 2 x + 3 + 4 − y = 4 Câu 2:   2 y + 3 + 4 − y = 4

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

G N H Ư

Giải các hệ phương trình sau  x + y + 2 xy = 2 Câu 1:  3 3  x + y =8

N Ơ

H 6 x 2 + y 2 − 5 xy − 7 x + 3 y + 2 = 0 10/  3 3  x + x − 1 = y + y − 1

Đề kiểm tra.

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

.Q

U

Y

2 2  x − 2 − 3 − y = y − x + 4 x − 6 y + 5 8/  2x + 3 + 4 y + 1 = 6 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

2 y 3 + 2 x 1 − x + 3 1 − x − y 9/  2  y = 2 x + 2 xy 1 + x − 1

)

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

(

2 2  x + 2 y = 2 x − 4 y + 3

Đ ẠO

 x2 − y 2 + 1 = 2 y − x + 1 − x  7/   x +1 + y − 3 + x − y = 2

6/ 

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Toán – Tin – CN cùng các em học sinh lớp 12A1, 12A3 Trường THPT Trần Hưng Đạo đã giúp đỡ tôi hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm này. Cuối cùng, cho dù đã cố gắng nhưng sẽ không tránh khỏi những thiếu sót bởi những hiểu biết và kinh nghiệm còn hạn chế, tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các em học sinh để sáng kiến kinh nghiệm này được hoàn thiện hơn.

40 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Phương pháp dạy học môm toán – Tác giả Nguyễn Bá Kim [2]. Sách Đại số 10.

[4]. Sáng tạo và giải phương trình – hệ phương trình – Tác giả Nguyễn Tài Chung.

N

H

[5].Trọng tâm kiến thức và phương pháp giải toán đại số - Tác giả Nguyễn Phú Khánh.

Ơ

N

[3]. Sách Bài tập đại số 10 ( Nâng cao và cơ bản)

Y

[6]. Toán nâng cao Đại số THPT (Tập 1) – Tác giả Phan Huy Khải.

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

G

- Để phát huy hơn nữa khả năng sáng tạo của học sinh khi thực hiện dạy giải hệ phương trình đại số giáo viên nên kết hợp thêm với việc giao bài tập nhóm và báo cáo kết quả trước lớp

26

ÁN

12A1

30

-H

Điểm dưới TB

SL

Điểm TB

Điểm khá

Điểm giỏi

%

SL

%

SL

%

SL

%

5

16,7

6

19,9

14

46,7

5

16,7

8

30,8

7

26

8

30,8

3

12,4

Ý

12A3

Số bài

-L

Lớp

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

- Sáng kiến có thể áp dụng với tất cả các em học sinh THPT khi học toàn bộ chương 1- Giải Tích 12 nói riêng cũng toàn cấp học nói chung.

- Sáng kiến đã được áp dụng trong thực tế với các em học sinh tại lớp 12A3 trường THPT Trần Hưng Đạo, khi học chương 1 – Giải Tích 12..

Thực tế cho thấy các em học sinh dễ tiếp thu bài giảng, dễ làm quen với các bài tập về tương giao hai đồ thị hơn +) Lớp thực nghiệm : 12A3 +) Lớp đối chứng : 12A1 Kết quả

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

Nhận xét : - Ở lớp thực nghiệm 12A3: Tỉ lệ học sinh có điểm TB và dưới TB thấp hơn ở lớp đối chứng, tỉ lệ khá và giỏi cao hơn.

- Ở lớp đối chứng 12A1: Tỉ lệ học sinh có điểm TB và dưới TB cao hơn ở lớp thực nghiệm, tỉ lệ có điểm khá giỏi thấp hơn. Điều đó cho thấy học sinh ở lớp thực nghiệm lĩnh hội, tiếp thu và vận dụng kiến thức tốt hơn. Khả năng nhìn nhận và giải quyết bài toán tốt hơn so với đối chứng.

8. Những thông tin cần được bảo mật: không 9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ ẠO

- Qua nghiên cứu về lí luận và thực hiện dạy thực tế ở trường phổ thông, tôi nhận thấy việc thực hiện dạy học giải hệ phương trình với cách trình bày ở trên mang lại kết quả cao, giúp học sinh hứng thú, sáng tạo trong quá trình học tập.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

7. 2. Khả năng áp dụng của sáng kiến

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

U

[7]. Đại số sơ cấp _ tác giả Nguyễn Tất Thu

41 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

- Giáo viên cần đưa ra các phương pháp dạy học phù hợp với năng lực và trình độ nhận thức của học sinh.

Ơ

N

H

- Việc kiểm tra đánh giá trong dạy học tích hợp cần hướng tới việc đánh giá theo định hướng phát triển năng lực học sinh.

N

- Việc thực hiện dạy kiến thức cần đảm bảo tính vừa sức, khoa học nhằm phát huy tính chủ động, tích cực và sáng tạo của học sinh trong học tập; tránh việc dạy quá nhiêu, quá khó lan man; khiên cưỡng.

Y

10. Đánh giá lợi ích thu được do áp dụng sáng kiến.

D

IỄ N

Đ

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

ÀN

TO

Sáng kiến đã nêu được phương pháp chung cho mỗi dạng cũng như minh họa bằng các bài toán cụ thể, đồng thời cũng đưa ra cho mỗi dạng một số bài tập với các mức độ khác nhau.

10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân: Sáng kiến kinh nghiệm có tính khả thi, và ứng dụng vào thực tiễn, mang lại hiệu quả cao trong giờ học toán ở trường phổ thông.

Giúp học sinh có niềm say mê và hứng thú với môn học đồng thời khắc sâu được kiến thức

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

ÁN

-L

Ý

-H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

G

Đ ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

U

10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả: 10.1.1. So sánh phương pháp dạy khi chưa phân dạng và phương pháp dạy theo hướng phân dạng a. Phương pháp dạy khi chưa phân dạng Khi chưa phân dạng mà ra bài tập cho học sinh làm ta thấy như sau: - Học sinh không có phương hướng làm bài dẫn đến mất nhiều thời gian suy nghĩ.

- Trình bày: Vắt tắt, lủng củng, không logic, không chặt chẽ.

- Nhiều khi biến đổi không hiểu bản chất dẫn đến mắc sai lầm trong toán học.

- Bị mất điểm trình bày.

Mặc dù dạy theo kiểu chưa phân dạng giúp các em phải kiên trì tư duy, tự phát hiện vấn đề để giải nhưng lại không khắc sâu tổng quan về chuyên đề. b. Phương pháp dạy khi phân dạng Sau khi học xong chuyên đề này các em có thể sẽ cảm thấy rất tự tin vào nội dung chương trình ôn thi THPT Quốc Gia hay ôn thi học sinh giỏi. Nhờ vào việc tận dụng những từ khóa và phương pháp sáng tạo, một chuyên đề như thế được ghi bài hết sức cô động trong một trang giấy, mà không bỏ lỡ bất kỳ một thông tin quan trọng nào. Tất cả những thông tin cần thiết để đạt điểm cao trong kỳ thi vẫn được lưu giữ nguyên vẹn từ những chi tiết nhỏ nhặt nhất Hệ phương trình đại số là một trong những bài toán cơ bản, quan trọng.

Trong khuôn khổ của sáng kiến tôi chỉ đề cập đến lớp các bài toán thường xuất hiện trong các đề thi trong những năm gần đây.

42 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Tuy vậy do thời gian có hạn, kinh nghiệm còn hạn chế nên sáng kiến của tôi không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự góp ý của đồng nghiệp để sáng kiến này thực sự là tài liệu có ích cho bản thân cùng như các em học sinh trong quá trình ôn thi THPT Quốc Gia và ôn thi học sinh giỏi.

H

N H Ư TR ẦN

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Ý

-H

Ó

A

10 00

B

Nguyễn Thị Thanh Hoà

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Tác giả sáng kiến

G

Thủ trưởng đơn vị (Ký tên, đóng dấu)

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

Tam Dương, ngày 24 tháng 02 năm 2018

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Tam Dương, ngày 25 tháng 02 năm 2018

Chương 3 phần Đại số lớp 10 MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

- Lớp 12A1, 12A3

Chương 1 phần Giải Tích lớp 12

U

Trường THPT Trần Hưng Đạo – Tam Dương – Vĩnh Phúc

.Q

- Nguyễn Thị Thanh Hòa

Y

áp dụng sáng kiến

Ơ

Phạm vi/Lĩnh vực

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

1

Địa chỉ

Tên tổ chức/cá nhân

Đ ẠO

Số TT

N

11. Danh sách những cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu:

43 Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial