Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng (2018)

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

10 00

B

THỨC VÀ ỨNG DỤNG

Sinh viên: Lớp:

Th.S Nguyễn Kế Tam Trần Thị Mỹ Hạnh Đại học Sư phạm Toán K56

Quảng Bình, tháng 5 năm 2018

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Ý

-H

Ó

A

Giảng viên hướng dẫn:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

G

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

U

Y

N

H

Ơ

N



Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết quả nghiên cứu trong bài khóa luận này là hoàn toàn

Ơ

N

trung thực. Đây là công trình nghiên cứu của chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn

N

H

của thầy giáo ThS. Nguyễn Kế Tam.

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

này.

TP

Quảng Bình, tháng 5 năm 2018

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Trần Thị Mỹ Hạnh

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Ý

-H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

G

Đ ẠO

Tác giả

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

Chúng tôi chịu hoàn toàn trách nhiệm về nội dung khoa học của công trình

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

LỜI CẢM ƠN Sau một thời gian cố gắng và nỗ lực , em đã phần nào hoàn thành đề tài “ Một

Ơ

N

số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng”. Ngoài sự có cố gắng hết

N

H

mình của bản thân, em đã nhận được rất nhiều sự khích lệ từ phía các thầy cô, nhà

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

Với tình cảm chân thành của mình, em xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu,

G

suốt quá trình học tập. Đặc biệt, em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Th.S

TR ẦN

trong suốt quá trình thực hiện khóa luận.

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

Nguyễn Kế Tam, người đã tận tình giúp đỡ em về kiến thức cũng như phương pháp

Xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn lo lắng, động viên và ủng hộ em trong

10 00

B

suốt thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này.

Cuối cùng em xin kính chúc các thầy, cô giáo nhiều sức khỏe và thành công

Ó

A

trong sự nghiệp trồng người cao quý.

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Ý

-H

Em xin chân thành cảm ơn!

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

nhiên đã tận tình truyền đạt những kiến thức và kinh nghiệm cho chúng em trong

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

cán bộ, giảng viên Trường Đại học Quảng Bình, giảng viên khoa Khoa học – Tự

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

trường, gia đình và bạn bè.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

MỤC LỤC PHẦN I : MỞ ĐẦU ................................................................................................... 1

N

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI .......................................................................................... 1

Ơ

II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU ................................................................................. 2

N

H

III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU........................................................................ 2

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

PHẦN II: NỘI DUNG................................................................................................ 3

TP

CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ BẤT ĐẲNG THỨC .................................. 3

H Ư

1.3. Một số bất đẳng thức cần nhớ .......................................................................... 5

TR ẦN

CHƯƠNG 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC .... 6

B

2.1. Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa ................................................................ 6

10 00

2.2. Phương pháp 2: Sử dụng các tính chất của bất đẳng thức ............................... 8

Ó

A

2.3. Phương pháp 3: Sử dụng các bất đẳng thức cổ điển. ..................................... 11

-H

2.3.1. Bất đẳng thức Cauchy .............................................................................. 11

-L

Ý

2.3.2. Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz (BĐT Bunhiacopxki) ......................... 18

ÁN

2.3.3. Bất đẳng thức Chebyshev ........................................................................ 22

ÀN

TO

2.4. Phương pháp 4: Sử dụng phép biến đổi tương đương ................................... 27

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

G

1.2. Các tính chất của bất đẳng thức ....................................................................... 3

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

1.1. Định nghĩa ........................................................................................................ 3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

IV. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ................................................................................ 2

D

IỄ N

Đ

2.5. Phương pháp 5: Sử dụng đạo hàm ................................................................. 30 2.6. Phương pháp 6: Sử dụng quy nạp .................................................................. 34 2.7. Phương pháp 7: Sử dụng tam thức bậc 2. ...................................................... 37 2.8. Bài tập tương tự.............................................................................................. 40

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC ........................................... 44 3.1. Dùng bất đẳng thức để giải phương trình, hệ phương trình .......................... 44

Ơ

N

3.2. Dùng bất đẳng thức đề tìm cực trị.................................................................. 47

N

H

3.4. Bài tập tương tự.............................................................................................. 49

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Ý

-H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

G

Đ ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 55

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

PHẦN III. KẾT LUẬN ............................................................................................ 54

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

N

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT

:

Bất đẳng thức

2. CMR

:

Chứng minh rằng

3. ĐK

:

Điều kiện

4. ĐPCM

:

Điều phải chứng minh

5. GTLN

:

Giá trị lớn nhất

6. GTNN

:

Giá trị nhỏ nhất

7. VT

:

Vế trái

8. VP

:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q TP Đ ẠO

G N

H Ư

TR ẦN

Vế phải

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Ý

-H

Ó

A

10 00

B

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

U

Y

N

H

Ơ

1. BĐT

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

LỜI NÓI ĐẦU Toán học là một bộ môn khoa học cơ bản rất quan trọng trong đời sống và

Ơ

N

được ứng dụng rộng rãi. Hoạt động giải bài tập toán học là một phương tiện có hiệu

N

H

quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức và phát

.Q

Để giải được các bài toán về bất đẳng thức đòi hỏi người học toán không

G

những phải nắm vững những kiến thức cơ bản, mà còn biết áp dụng các phương

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

pháp phù hợp với đặc thù của từng bài toán cụ thể. Chính vì vậy, em đã chọn đề tài

TR ẦN

“ Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng” cho khóa luận của mình. Với đề tài này, em mong rằng học sinh sẽ bớt lúng túng và e ngại khi gặp các bài toán về chứng minh bất đẳng thức, cũng như ứng dụng của nó. Qua đó, các em

10 00

B

có thể định hướng tốt hơn về các giải, đánh giá các biểu thức, sử dụng các công thức bất đẳng thức quen thuộc, thay đổi hình thức giữa các bất đẳng thức,… để đi

Ó

A

đến giải quyết bài toán một cách tốt nhất. Mong rằng trong quá trình học tập, các

-H

em học sinh thay vì ngại chạm trán với các bài bất đẳng thức thì sẽ yêu thích, hứng

-L

Ý

thú và say mê hơn khi học và giải các bài toán về bất đẳng thức.

ÁN

Em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Kế Tam và các thầy cô trong khoa

TO

Khoa học – Tự nhiên đã tận tình hướng dẫn giúp em hoàn thành khóa luận này.

ÀN

Mặc dù đã cố gắng trong quá trình thực hiện, song không thể tránh khỏi những

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ ẠO

TP

thức.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

độc đáo của phương pháp cũng như kĩ thuật giải, đó chính là bài toán về bất đẳng

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

triển tư duy. Một trong những vấn đề toán học hấp dẫn mạnh mẽ nhờ vẻ đẹp, tính

D

IỄ N

Đ

thiếu sót. Vậy em kính mong nhận được sự thông cảm và góp ý chân thành của các thầy cô về nội dung cũng như hình thức trình bày để khóa luận của em được hoàn thiện và có hiệu quả cao.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

PHẦN I : MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

N

Nói đến Toán học là nói đến một ngành khoa học cơ bản tạo nền tảng cho các

H

Ơ

ngành khoa học khác. Trong chương trình giáo dục phổ thông, môn Toán không

N

những giữ vai trò hết sức quan trọng nhằm trang bị cho người học một hệ thống

Bất đẳng thức là một nội dung khó trong môn Toán ở trường phổ thông, tuy

G

nhiên đây cũng là một lĩnh vực rất hay, đòi hỏi người học phải động não, tìm tòi,

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

sáng tạo. Từ một bất đẳng thức đơn giản có thể tạo ra những bài toán khó và do đó cũng có những cách giải hay, độc đáo và đơn giản cho một bài toán phức tạp. Bất

TR ẦN

đẳng thức xuất hiện trong nhiều bộ phận khác của toán phổ thông như trong việc giải các bài toán về phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, tìm các giá trị

10 00

B

lớn nhất nhỏ nhất của các biểu thức, xuất hiện trong các bài toán hình học, lượng giác… Do đó bất đẳng thức sẽ là công cụ quan trọng và hiệu quả trong việc rèn

Ó

A

luyện các hoạt động trí tuệ cơ bản như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, trừu

-H

tượng hóa.

-L

Ý

Là một sinh viên được đào tạo để trở thành một giáo viên giảng dạy môn

ÁN

Toán, em luôn tìm tòi những cách giải hay và mới ở những bài toán khó mà học

TO

sinh thường ngại mỗi khi làm. Vấn đề đặt ra ở đây là điều gì ở các bài toán bất đẳng thức mà các em còn vướng mắc và làm thế nào để giúp các em có thể nắm

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ ẠO

của học sinh.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

triển năng lực toán học cùng với các thao tác tư duy, rèn luyện các hoạt động trí tuệ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

kiến thức căn bản, mà còn được coi như một môn thể thao của trí tuệ góp phần phát

Xuất phát từ những lý do trên em quyết định chọn đề tài: “ Một số phương

pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng”

D

IỄ N

Đ

ÀN

vững và giải thành thạo các bài toán chứng minh bất đẳng thức?

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tìm hiểu sâu hơn vấn đề “bất đẳng thức” trong trường phổ thông. Đưa ra một

N

số phương pháp chứng minh BĐT và ứng dụng của BĐT trong việc giải toán. Từ

Ơ

đó giúp học sinh hiểu và nắm được các phương pháp chứng minh BĐT thông

N

H

thường cũng như nâng cao. Bên cạnh đó rèn luyện cho các em kỹ năng tư duy tính

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

TP

Phương pháp nghiên cứu khái quát hóa

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

Tham khảo từ Internet: dienantoanhoc.net, toanmath.com,…

IV. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

TR ẦN

Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn.

Trong đề tài “ Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng”

10 00

B

em đã đưa ra một số định nghĩa, tính chất,… cũng như các bài tập vận dụng cho những phương pháp chứng minh BĐT bao gồm những chương sau:

Ó

A

Chương 1: Cơ sở lý thuyết về bất đẳng thức: Đây là chương tóm tắt một số

-H

kiến thức lý thuyết cơ bản mà học sinh cần nắm để sử dụng trong quá trình chứng

Ý

minh bất đẳng thức.

-L

Chương 2: Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức: Tổng hợp một số

ÁN

phương pháp chứng minh bất đẳng thức, với mỗi phương pháp có các lý thuyết cần

TO

nắm và các bài tập áp dụng để học sinh tự mình hình thành tư duy, cảm nhận về

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

Nghiên cứu tài liệu: Sách giáo khoa, sách tham khảo về bất đẳng thức

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

Phương pháp nghiên cứu phân tích, tổng hợp tài liệu

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

toán trong các bài toán chứng minh.

Chương 3: Ứng dụng của bất đẳng thức: Trình bày những ứng dụng phổ biến

của chứng minh bất đẳng thức.

D

IỄ N

Đ

ÀN

phương pháp đó.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ BẤT ĐẲNG THỨC

N

1.1. Định nghĩa

H

Ơ

Định nghĩa : Cho hai số a và b là hai số thực. Khi đó: a lớn hơn b (kí hiệu

Y

N

a  b ) nếu hiệu a  b là một số dương; a nhỏ hơn b (kí hiệu a  b ) nếu hiệu a  b

a  b  a b  0.

G N

http://daykemquynhon.ucoz.com

a  b  a  b  0.

H Ư

Ngoài ra ta còn có:

TR ẦN

a  b a  b  a  b  a  b  0 . 

10 00

B

a  b a  b  a  b  a  b  0 . 

A

Các mệnh đề “ a  b ”; “ a  b ”; a  b ”; a  b ” được gọi là bất đẳng thức và a

Ó

được gọi là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức.

-H

Cũng như các mệnh đề logic khác, một bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai.

-L

Ý

Chứng minh bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng.

ÁN

1.2. Các tính chất của bất đẳng thức

TO

a) Tính chất bắc cầu

ÀN

Với a, b, c  , ta có:

a  b  a  c.  b  c

Đ IỄ N D

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ ẠO

Vậy :

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

a  b.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

U

là một số âm. Ngược lại, nếu hiệu a  b  0 thì ta nói rằng a  b , nếu a  b  0 thì

b) Tính chất đơn điệu của phép cộng Với a, b, c  , ta có: a b  a c b c.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

c) Tính chất đơn điệu của phép nhân Với a, b  , ta có:

N

a  b  ac  bc(c  0)

H

Ơ

a  b  ac  bc(c  0) .

N

d) Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều, được bất đẳng thức mới cùng

TR ẦN

Với a, b, c, d  , ta có:

B

a  b ac bd .  c d  

-L

Ý

-H

Ó

A

Với a, b  , ta có:

10 00

f) Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu hai vế cùng dấu

1 1  a b .

1 1 ab0  a b a b0

ÁN

g) So sánh hai lũy thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dương

IỄ N

Đ

ÀN

TO

Với a  , ta có :

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

chiều với bất đẳng thức bị trừ

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

N

G

e) Trừ từng vế hai bất đẳng thức ngược chiều, được bất đẳng thức mới cùng

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Đ ẠO

a  b acbd .  c d  

TP

.Q

Với a, b, c, d  , ta có:

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

D

Y

chiều với các bất đẳng thức đã cho

Nếu a  1 thì am  an  m  n .

Nếu 0  a  1 thì am  an  m  n .

h) Nâng lên lũy thừa bậc nguyên dương hai vế của bất đẳng thức: Với a, b  , ta có: Nếu a  b  0 thì an  bn .

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Nếu a  b thì an  bn với n  2k  1(k  ) .

Chú ý: Trong các tính chất trên, dấu  ( hoặc  ) có thể thay thế bởi 

N

( hoặc  ).

H

Ơ

1.3. Một số bất đẳng thức cần nhớ

Y

.

N

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Ý

-H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

e) A  B  A  B với A, B 

TP

.

Đ ẠO

d) A  B  A  B với A, B 

G

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

c) A  0 với A  .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

U

và k là số tự nhiên.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

b) A2 k  0 với A 

N

a) A2  0 với A  .

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

CHƯƠNG 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

N

2.1. Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa

H

Ơ

2.1.1. Lý thuyết

N

Để chứng minh một BĐT A  B nào đó là đúng, ta cần chỉ ra A  B  0 bằng

Lưu ý: A2  0 với mọi A, dấu “ = ” xảy ra  A  0 .

N

G

2.1.2. Bài tập vận dụng

TR ẦN

Giải:

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

Bài 1: CMR: a2  b2  c2  ab  bc  ca với mọi a, b, c .

Xét hiệu:

-H

Ó

A

10 00

B

A  (a 2  b 2  c 2 )  (ab  bc  a ) 1 2  [(a  2ab  b 2 )  (b 2  2bc  c 2 )  (c 2  2ca  a 2 )] 2 1  [(a  b) 2  (b  c) 2  (c  a) 2 ].

2

Ý

Do:

-L

(a  b)2  0 với a, b . Dấu “ = ” xảy ra  a  b .

TO

ÁN

(b  c)2  0 với b,c . Dấu “ = ” xảy ra  b  c .

ÀN

(c  a)2  0 với c, a . Dấu “ = ” xảy ra  c  a .

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ ẠO

chứng minh.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Ngược lại, khi cần chứng minh A  B  0 ta có thể đưa về BĐT A  B để

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

U

Y

cách biến đổi biểu thức ( A  B) một cách thích hợp.

D

IỄ N

Đ

Nên A  0  (a 2  b2  c 2 )  (ab  bc  ca)  0 với a, b, c .

Từ đó suy ra :

a2  b2  c2  ab  bc  ca với a, b, c.

Dấu “ = ” xảy ra  a  b  c (đpcm).

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 2: CMR: a 4  b4  ab3  a3b với mọi a, b .

Giải:

N

Xét hiệu:

H

G

N

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

TR ẦN

Nên B  0 với a, b.

Từ đó suy ra :

10 00

Dấu “ = ” xảy ra  a  b (đpcm).

B

a 4  b4  ab3  a3b với a, b.

Giải:

-H

Ó

A

Bài 3: CMR: a 2  b2  c 2  3  2(a  b  c) với a, b, c .

Ý

Xét hiệu:

ÁN

-L

a 2  b2  c 2  3  2(a  b  c)  a 2  2a  1  b 2  2b  1  c 2  2c  1  (a  1)2  (b  1)2  (c 1)2 .

TO

Do: (a  1)2  0 với a, b . Dấu “ = ” xảy ra  a  1 .

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2

b  3b2   0 với a, b . Dấu “ = ” xảy ra  a  b  0 . a    2 4 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

(a  b)2  0 với a, b . Dấu “ = ” xảy ra  a  b .

Đ ẠO

Do:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

.Q

U

2

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

N Y

2  b  3b 2   ( a  b )  a    .

2 4    

Ơ

B  a 4  b 4  ab3  a 3b  a 3 (a  b)  b3 (a  b)  (a  b)(a 3  b3 )  (a  b) 2 (a 2  ab  b 2 )

D

IỄ N

Đ

ÀN

(b  1)2  0 với b,c . Dấu “ = ” xảy ra  b  1.

(c  1) 2  0 với c, a . Dấu “ = ” xảy ra  c  1 .

Nên a 2  b2  c 2  3  2(a  b  c)  0 với a, b, c .

Từ đó suy ra: a 2  b2  c 2  3  2(a  b  c) với a, b ,c.

Dấu “ = ” xảy ra  a  b  c  1.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 4: Với a  0, b  0 , CMR:

a b   a b. b a

N

Giải

H N Y



( a  b )( a  b ) 2 . ab

G

N

H Ư

10 00

B

( a  b )( a  b ) 2  0 với a  0, b  0.

Vì ab

a b   a  b với a  0, b  0 (đpcm). b a

A

Nên

-H

Ó

Nhận xét: Qua các ví dụ trên, ta thấy khi xét hiệu vế trái và vế phải của bất đẳng

Ý

thức thì thường xuất hiện các hằng đẳng thức. Việc phát hiện ra những hằng đẳng

-L

thức để tách và ghép có nhiều ý nghĩa trong chứng minh bất đẳng thức. Vậy để

ÁN

chứng minh A  B ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để phân tích hiệu A  B

TO

thành tổng hoặc tích của những biểu thức không âm.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

( a  b )(a  2 ab  b) ab

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)



Đ ẠO

( a  b )(a  ab  b)  ab ( a  b ) ab

TR ẦN

http://daykemquynhon.ucoz.com



DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN



a 3  b3  ab ( a  b ) ab

U

a a  b b  ab ( a  b ) ab

.Q



TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

a b   a b b a

Ơ

Xét hiệu:

ÀN

2.2. Phương pháp 2: Sử dụng các tính chất của bất đẳng thức

D

IỄ N

Đ

2.2.1. Lý thuyết.

Vận dụng hợp lí các tính chất của bất đẳng thức để suy ra các bất đẳng thức cần chứng minh.

2.2.2. Bài tập vận dụng

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 1: Cho a  2, b  2 . CMR: ab  a  b .

N

Giải:

Ơ

Do a  2 và b  0 nên ta có:

N

H

ab  2b .

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên, ta được:

Giải:

a a  abc a bcd b b  bcd abcd

ÀN

TO

c c  cd a abcd d d .  d ab abcd

Đ IỄ N

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

10 00

ÁN

-L

Ý

-H

Ó

Do a, b, c, d  0 nên:

B

a b c d     2. abc bcd cd a d a b

A

1

TR ẦN

Vậy ab  a  b với a  2, b  2 (đpcm).

Bài 2: Cho a, b, c, d  0 . CMR:

N

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

ab  a  b .

G

Chia hai vế cho 2, ta được:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

2ab  2a  2b .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U TP

.Q

ab  2a .

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

D

Y

Do b  2 và a  0 nên ta có:

Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên, ta suy ra:

a b c d     1. abc bcd cd a d a b

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

(1)

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Mặt khác, ta lại có:

a a c c .   ; abc ac cd a ac

Ơ

N

Nên suy ra :

Y

N

H

a c   1. abc cd a

a b c d     2 (đpcm). abc bcd cd a d a b

Bài 3: Cho 0  a, b, c  1. CMR:

10 00

B

2a3  2b3  2c3  3  a2b  b2c  c2a Giải

Ó

A

Do 0  a, b  1 nên a3  a2  a  1; b3  b2  b  1.

a3  b3  1  a 2b .

(1)

b3  c3  1  b2c .

(2)

a3  c3  1  c 2 a .

(3)

ÀN

TO

hay :

(1  a 2 )(1  b)  0  1  a 2b  a 2  b  1  a 2b  a 3  b 3 .

ÁN

-L

Ý

-H

Ta có:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H Ư

Từ (1) và (2) suy ra: 1 

(2)

TR ẦN

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

G

a b c d     2. abc bcd cd a d ab

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Từ đó suy ra:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q

Đ ẠO

b d   1. bcd d ab

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Tương tự, ta có:

D

IỄ N

Đ

Tương tự, ta có:

Cộng từng vế các bất đẳng thức (1); (2) và (3), ta có:

2a3  2b3  2c3  3  a2b  b2c  c2a (đpcm).

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 4: CMR: a 4  b4  c 4  abc(a  b  c) với a, b, c Giải

2

Ơ

2

H

2

N

  a 2   b2    c2   a 2b 2  b 2 c 2  c 2 a 2 .

Y

a 4  b4  c 4

N

Theo 2.1.2 - Bài 1 ta có:

B

a 4  b4  c 4  abc(a  b  c) .

10 00

Vậy a 4  b4  c 4  abc(a  b  c) với a, b, c (đpcm).

A

Nhận xét: Các ví dụ trên sử dụng linh hoạt các tính chất của bất đẳng thức để suy

-H

Ó

ra bất đẳng thức cần chứng minh. Để chứng minh một bất đẳng thức không chỉ sử

Ý

dụng một tính chất mà có thể sử dụng nhiều tính chất của bất đẳng thức để biến đổi

-L

bất đẳng thức cần chứng minh về một điều hiển nhiên đúng.

ÁN

2.3. Phương pháp 3: Sử dụng các bất đẳng thức cổ điển.

TO

2.3.1. Bất đẳng thức Cauchy

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Theo tính chất bắc cầu, ta có:

TR ẦN

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

 a 4  b 4  c 4  a 2b 2  b 2 c 2  c 2 a 2 .  2 2 2 2 2 2 a b  b c  c a  abc(a  b  c )

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N

G

Từ đó ta có:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

 (ab)2  (bc) 2  (ca) 2  ab 2c  abc 2  a 2bc  abc(a  b  c).

Đ ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

a 2b 2  b 2 c 2  c 2 a 2

.Q

U

Ta lại có:

D

IỄ N

Đ

ÀN

2.3.1.1. Lý thuyết Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân AM-GM (Arithmetic

Means - Geometric Means) còn được gọi là bất đẳng thức Cauchy (Côsi).

Bất đẳng thức Cauchy là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân của n số thực không âm được phát biểu như sau:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng, và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó

N

bằng nhau.

H N

Với n = 2:

Y

N

http://daykemquynhon.ucoz.com

G

a1  a2  a3 3  a1a2 a3 .

3

Tổng quát: n

TR ẦN

•

H Ư

Dấu “ = ” xảy ra  a1  a2  a3

a

i

B

i 1

10 00

n



n

n

a

i

() .

i 1

Ó

-H

Chứng minh:

A

Dấu “ = ” xảy ra  a1  a2  ...  an .

-L

TO

ÁN

Thật vậy:

Ý

- Với n = 2, khi đó BĐT () đúng.

( a1  a2 )2 a1  a2 .  a1a2  2 2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Với n = 3:

Đ ẠO

•

TP

Dấu “ = ” xảy ra  a1  a2 .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

a1  a2  a1a2 .

2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

•

Ơ

Cho các số không âm a1 , a2 , a3 ,..., an . Khi đó, ta có các BĐT sau:

Suy ra: a1  a2  a1a2 .

2

D

IỄ N

Đ

ÀN

( a1  a2 )2 Mà  0 với a1 , a2  0 2

Dấu “ = ” xảy ra  a1  a2 .

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

- Giả sử BĐT () đúng với n  k (k  2, k  N ) , tức là: k

i

i 1



a . i

i 1

Ơ

k

k

k

N

a

N

H

Dấu “ = ” xảy ra  a1  a2  ...  ak .

.Q i 1

i 1

i  k 1

 kk

k

 ai  k k i 1

a

i

i  k 1

2k

2k 2 k  ai .

N

G



http://daykemquynhon.ucoz.com

2k

i 1

H Ư

Theo quy nạp thì BĐT () đúng với n  2m (m  N  ) .

TR ẦN

- Mặt khác nếu BĐT () đúng với n  k (k  2, k  N ) thì nó cũng đúng với

k 1

k

10 00

Thật vậy, đặt a  k 1  ai , ta có:

B

n  k  1.

i 1

k 1

A

k 1

i 1

 kk

i 1

 k

-L

Ý

-H

Ó

 ai  k 1  ai

k 1

k 1

i 1

i 1

 ai .k 1  ai k 1

k 1

a . i

ÁN

i 1

ÀN

TO

Từ đó suy ra:

k 1

k 1

 a  (k  1)  a . k 1

i

i 1

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2k

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

k

 ai   ai   ai

TP

2k

Đ ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Thật vậy:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

- BĐT () đúng với n  k (k  2, k  N ) , thì nó đúng với n  2k .

i

i 1

D

IỄ N

Đ

Theo quy nạp BĐT () đúng với n  k  1.

Vậy theo nguyên lý quy nạp BĐT () đúng với mọi n  2, n  .

Dấu “ = ” xảy ra  a1  a2  ...  an .

2.3.1.2. Bài tập vận dụng

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 1: Cho a, b, c  0 . CMR:

N

a b c 3    . bc ca ab 2

Ơ

Giải:

N

H

Ta có:

B

1 1 1 ta có: ; ; ab bc ca

10 00

Cho 3 số dương

Ó

A

1 1 1 1    33 . (2) ab bc ca (a  b)(b  c)(c  a)

TO

ÁN

-L

Ý

-H

Nhân từng vế của BĐT (1) và (2) ta có:

1 1   1 2(a  b  c)    9 ab bc ca

1 1  9  1  ( a  b  c)     . ab bc ca 2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

a  b  b  c  c  a  3 3 (a  b)(b  c)(c  a). (1)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

N TR ẦN

Cho 3 số dương a  b, b  c, c  a , ta có:

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

Áp dụng BĐT Cauchy:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

G

Đ ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

U

Y

a b c a b c   3  1 1 1 bc ca ab bc ca ab abc abc abc    bc ca ab 1 1   1  (a  b  c)    . bc ca ab

Đ

ÀN

Từ đó suy ra:

D

IỄ N

9 a b c   3 bc ca ab 2 

3 a b c    . bc ca ab 2

Dấu “ = ” xảy ra  a  b  c .

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

3 Bài 2: Cho a, b, c  0 và a  b  c  .CMR: 4

N

a  3b  3 b  3c  3 c  3a  3

Ơ

Giải:

3

c  3a 

c  3a  1  1 .

3

TP Đ ẠO

G

N

http://daykemquynhon.ucoz.com

Tương tự, ta có:

TR ẦN

H Ư

Dấu “ = ” xảy ra  b  3c  1.

B

Dấu “ = ” xảy ra  c  3a  1 .

a  3b  3 b  3c  3 c  3a 

Ó

A

3

10 00

Cộng từng vế của BĐT trên ta được :

-H

3 (Theo giả thiết).

4

3

TO

ÁN

Suy ra:

-L

Ý

Vì a  b  c 

4(a  b  c)  6 .

3

a  3b  3 b  3c  3 c  3a  3.

D

IỄ N

Đ

ÀN

a  3b  1 b  3c  1  1 Dấu “ = ” xảy ra  c  3a  1  a  b  c  (đpcm).

4  3 a  b  c   4

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Dấu “ = ” xảy ra  a  3b  1.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

b  3c  1  1 .

3

N

b  3c 

Y

3

U

a  3b  1  1 .

3

.Q

a  3b 

3

H

Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương a  3b;1;1, ta có:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

3

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

1 Bài 3: Cho a  b  c  1. CMR: ab  bc  ca  .

3

N

Giải:

Ơ

Ta có:

N

H

ab  bc  ca  a(b  c)  bc.

1 a   a (1  a )     2  1  (1  a )(3a  1) 4 1  (3  3a )(3a  1).

12

1 1  3  3a  1  3a  (3  3a)(3a  1)   .

12 12  2 

10 00

B

2

Ó

A

Suy ra:

1  3  3a  1  3a  a(b  c)  bc    .

12  2 

-L

Ý

-H

2

1  3  3a  1  3a  1 ab  bc  ca     .

12  2  3 2

ÀN

TO

ÁN

Từ đó, suy ra:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Áp dụng BĐT Cauchy cho (3  3a);(3a  1) , ta có:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TR ẦN

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

G

Đ ẠO

2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

2

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

bc a (b  c)  bc  a (b  c )     2 

U

Y

Áp dụng BĐT Cauchy cho a(b  c); bc , ta có:

D

IỄ N

Đ

1 Vậy ab  bc  ca  .

3 b  c 1  Dấu “ = ” xảy ra  3  3a  1  3a  a  b  c  (đpcm).

3 a  b  c  1 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 4: CMR với mọi số thực không âm a, b, c ta có:

N

a2 b2 c2 abc    bc ac ab 2

Ơ

Giải

N

H

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

Y

TR ẦN

a2 b2 c2 abc     abc. bc ac ab 2

10 00

B

Hay :

A

a2 b2 c2 abc .    bc ac ab 2

-H

Ó

Dấu “ = ” xảy ra  a  b  c (đpcm).

-L

Ý

Bài 5: Cho a, b, c là các số dương tùy ý. CMR:

(a  b)(a  b  2c) 1  .

(3a  3b  2c) 2 8

ÁN

Giải

1 (2a  2b)(a  b  2c) 2 2 1  (2a  2b)  (a  b  2c)    2  2 1  (3a  3b  2c) 2 .

8

(a  b)(a  b  2c) 

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

G

c2 ab c2 a  b  2 . c.

4 ab ab 4

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q

Đ ẠO

b2 ac b2 a  c  2 .  b.

4 ac ac 4

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

a2 bc a2 b  c  2 .  a. bc 4 bc 4

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Từ đó suy ra: (a  b)(a  b  2c) 1  .

(3a  3b  2c) 2 8

Ơ

N

Dấu “ = ” xảy ra  a  b  2c (đpcm).

N

H

Nhận xét: Qua các ví dụ trên, ta thấy sử dụng bất đẳng thức Cauchy khi điều kiện

TP

đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng bất đẳng thức Cauchy.

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

tiếp ngay bất đẳng thức Cauchy để chứng minh mà thường phải biến đổi bài toán

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz còn được gọi là bất đẳng thức Cauchy Bunhiacopxki - Schwarz hay bất đẳng thức Bunhiacopxki.

TR ẦN

Bất đẳng thức Bunhiacopxki thông thường

a c  . b d

10 00

Dấu “ = ” xảy ra 

B

(ac  bd )2  (a 2  b2 )(c 2  d 2 ).

Ó

A

Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số

-L

Ý

-H

Với 2 bộ n số (a1 , a2 ,..., an ) và (b1 , b2 ,..., bn ) , ta có: n

n

n

( aibi )  ( ai )( bi 2 ).

2

i 1

2

i 1

TO

ÁN

Dấu “ = ” xảy ra  K , ai  Kbi ; i  1...n .

Chứng minh:

i 1

(*)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

2.3.2.1. Lý thuyết

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

2.3.2. Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz (BĐT Bunhiacopxki)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

của bài toán cho các ẩn là các số dương. Nhiều bất đẳng thức không sử dụng trực

n

ÀN

Đặt: F ( x)   (ai X  bi ) 2 . n

- Nếu

a

2

 0(*) hiển nhiên đúng.

2

 0 , ta có:

i

i 1

D

IỄ N

Đ

i 1

n

- Nếu

a

i

i 1

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com n

 (a X  b )

F ( x) 

i

2

i

i 1

n

n

n

i 1

i 1

i 1

Ơ

N

 ( ai 2 ) X 2  2( aibi ) X   bi 2  0.

n

n

n

n

n

n

i 1

i 1

i 1

i 1

i 1

i 1

U

10 00

a) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai cặp số (1;1) và ( x; y ) ta có:

A

( x  y)2  (12  12 )( x 2  y 2 )  2( x 2  y 2 ) .

x2  y 2  1  x  y  2 .

Ý

-H

Ó

Mặt khác :

(3x  4 y)2  (32  42 )( x 2  y 2 )  x 2  y 2 

1 (3x  4 y)2 .

25

(3x  4 y)2  (32  42 )( x 2  y 2 )  x 2  y 2 

1 (3x  4 y)2 .

25

Mặt khác:

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

b) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai cặp số (3;4) và ( x; y ) ta có:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

B

Giải:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

1 .

25

TR ẦN

b) Nếu 3 x  4 y  1 thì x 2  y 2 

H Ư

a) Nếu x 2  y 2  1 thì x  y  2 .

N

G

Bài 1: Chứng minh rằng:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

2.2. Bài tập vận dụng

http://daykemquynhon.ucoz.com

.Q

ai a a a  1  2  ...  n . bi b1 b2 bn

Đ ẠO

Dấu “ = ” xảy ra  ai X  bi  0  X 

Y

 aibi )2  ( ai 2 )( bi 2 )  0  ( aibi )2  ( ai 2 )( bi 2 ).

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

  0  (

N

H

Suy ra:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

3x  4 y  1  x 2  y 2 

1 .

25

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 2: Cho x  y  z  0 , CMR:

N

x2 y y 2 z z 2 x    x2  y 2  z 2 . z x y

H

Ơ

Giải:

N H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

Vì x  y  z  0 nên :

TR ẦN

 xy  yz  zx  x  y  x  z  y  z   0 . xyz

B

Suy ra:

10 00

x2 y y 2 z z 2 x x2 z y 2 x z 2 y .      z x y y z x

Ó

A

Từ đó: 2

-L

Ý

-H

 x 2 y y 2 z z 2 x   x 2 y y 2 z z 2 x  x 2 z y 2 x z 2 y  2 2 2 2  z  x  y    z  x  y  y  z  x    x  y  z  .     

x2 y y 2 z z 2 x    x2  y 2  z 2 . z x y

ÀN

TO

ÁN

Từ đó suy ra:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

 x 2 y y 2 z z 2 x   x 2 z y 2 x z 2 y   xy  yz  zx  x  y  x  z  y  z   .       xyz x y   y z x   z

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

Mặt khác, vì x  y  z  0 nên:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

 x 2 y y 2 z z 2 x  x 2 z y 2 x z 2 y  2 2 2 2      x  y  z  .  z x y  z x    y

Y

N

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki , ta có:

D

IỄ N

Đ

 x2 y x2 z  z  y   y2 z y2x Dấu “ = ” xảy ra     x y  z. x z   z2x z2 y  y  x 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 3: Với a, b, c, d , CMR: (a  b  c  d )2  3(a 2  b2  c 2  d 2 )  6ab .

N

Giải:

H N Y

10 00

B

 x 1 y 1 z 1  , , Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho ( x , y , z ) và   , ta có: x y z  

1 1 1 x 1 y 1 z 1   2    1. x y z x y z

ÁN

-L

Ý

Mặt khác, ta có:

-H

Ó

A

 x 1 y 1 z 1 ( x  1  y  1  z  1)2  ( x  y  z )    . x y z  

x yz 

 ( x  1  y  1  z  1) 2

x yz



x  1  y  1  z  1.

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

Từ đó suy ra:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Giải:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q

TP

TR ẦN

x  y  z  x 1  y 1  z 1

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

1 1 1    2 . CMR: x y z

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

Bài 4: Giả sử x, y, z  1 và

Đ ẠO

ab c d    abcd.

1 1 1

G

Dấu “ = ” xảy ra 

 [1.(a  b)  1.c  1.d ]2  3[(a  b) 2  c 2  d 2 ]  3(a 2  b 2  c 2  d 2 )  6ab.

N

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

(a  b  c  d ) 2

Ơ

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho (1;1;1) và (a  b; c; d ) , ta có:

Mà

x  x 1

y  y 1

z  x yz. z 1

1 1 1 3   2 x  y  z  . x y z 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Nhận xét: Để chứng minh các bất đẳng thức có khi áp dụng ngay và cũng nhiều khi phải biến đổi bài toán đưa về trường hợp thích hợp rồi mới sử dụng bất đẳng

N

thức Bunhiacopxki. Bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacopxki là hai

Ơ

bất đẳng thức phổ biến nhất trong chứng minh bất đẳng thức.

N

H

2.3.3. Bất đẳng thức Chebyshev

.Q G

a1  a2  ...  an a1  a2  ...  an hoặc .    b1  b2  ...  bn  b1  b2  ...  bn

N n

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

Thì ta có: n

n

 a b  a b n

k

TR ẦN

k k

k 1



k 1

.

n

k

k 1

n

.

10 00

B

b) Nếu 1 dãy tăng , 1 dãy giảm, tức là:

a1  a2  ...  an .  b  b  ...  b  1 2 n

Ó

A

a1  a2  ...  an hoặc  b  b  ...  b  1 2 n

Ý

-H

Thì ta có:

n

 ak bk

-L

k 1



 ak k 1

n

n

b

k

.

k 1

n

.

ÁN

n

n

TO

Chứng minh: Trường hợp 2 dãy cùng tăng:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ ẠO

a) Nếu cả 2 dãy cùng tăng hoặc cùng giảm, tức là:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Cho 2 dãy n số (a1 , a2 ,..., an ) và (b1 , b2 ,..., bn )

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

2.3.1.Lý thuyết

D

IỄ N

Đ

ÀN

1 n Đặt: A   ak (A là trung bình cộng của các số ai ). n k 1

Suy ra i 1,..., n sao cho:

a1  a2  ...  ai  A  ai 1  ...  an .

Ta chọn một hằng số B sao cho:

b1  b2  ...  bi  B  bi 1  ...  bn .

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Suy ra:

(ak  A)(bk  B)  0 .

 0

k

k

n

k 1

k 1

 A bk  B  ak  nAB

 0

Đ ẠO

k 1

n

 0

n

n n 1 n 1 n 1 n 1 n   ak bk   ak  bk   bk  ak  n.  ak  bk n k 1 k 1 n k 1 k 1 n k 1 n k 1 k 1

k

G

a b

N

http://daykemquynhon.ucoz.com



n

k

n

 ak bk k 1

n

n 1 n  ak  bk n k 1 k 1 n

TR ẦN





H Ư

k 1

 0



 ak k 1

n

A

2.3.2. Bài tập vận dụng

10 00

B

 a  a2  ...  an Dấu “ = ” xảy ra   1 .  b1  b2  ...  bn

-H

Ó

Bài 1: Cho a  b  0 , CMR: (a  b)(a3  b3 )(a5  b5 )  4(a9  b9 ) .

-L

Ý

Giải:

ÁN

Không mất tính tổng quát, giả sử:

TO

 a 3  b3 ab 5 .

5 a  b

n

b

k

.

k 1

n

.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

a b

k 1

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định



n

k 1

 A bk  B  ak  nAB

Y

k

U

k

k 1

n

.Q

a b

n

TP



n

N

k 1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

 A)(bk  B )

k

Ơ

 (a

H

n

N

Suy ra :

 a3  b3  a5  b5  a8  b8  2  2   2 .   

D

IỄ N

Đ

ÀN

Áp dụng BĐT Chebyshev cho 2 dãy số giảm (a3  b3 ) và (a5  b5 ) , ta có:

Nhân cả 2 vế của (1) cho

(1)

ab  0 , ta có: 2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

3 3 5 5 8 8  a  b   a  b  a  b   a  b   a  b       .  2   2  2   2   2 

N

Áp dụng BĐT Chebbyshev cho 2 dãy giảm (a  b) và a8  b8 , ta có:

TR ẦN

Giải:

Không mất tính tổng quát, ta giả sử: a  b  c  0

bcacab   a b c .    b  c a  c a  b

-H

Ó

A

10 00

B

Suy ra:

ÁN

1 (a  b  c) 3 a b c    bc ac ab

IỄ N

Đ

ÀN

TO

có:

-L

Ý

Áp dụng BĐT Chebyshev cho 2 dãy (b  c, a  c, a  b) và (

a b c , , ) , ta bc a c a b

1 1 a b c  (2a  2b  2c)     3 3 b  c c  a a  b  3  .

2



https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

N

a b c 3    . bc ca ab 2

H Ư

Bài 2: Cho a, b, c  0 , CMR:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

G

Dấu “ = ” xảy ra  a  b .

http://daykemquynhon.ucoz.com

D

Đ ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

3 3 5 5 a 9  b9  a  b   a  b  a  b       2  2   2  2   (a  b)(a 3  b3 )(a 5  b5 )  4(a 9  b9 ).

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Suy ra :

U

Y

N

H

Ơ

8 8 9 9  a  b  a  b  a  b    2 .  2  2 

a 2  b2  c2  a  b  c.

Dấu “ =” xảy ra   b  c  c  a  a  b 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 4: Cho a1 , a2 ,..., an là cạnh của n đa giác lồi có p là chu vi. CMR:

 p  2a ai

i 1



i

n . n2

N

n

H

Ơ

Giải:

N

Không mất tính tổng quát, ta giả sử:

2

dãy

( p  2a1 , p  2a2 ,..., p  2an ) và

TR ẦN

 a1 a2 an  , ,...,   , ta có: p  2 an   p  2a1 p  2a2

n

 p  2a ai



-H



Ó

A

10 00

B

n  n  ai  ai   n     ( p  2ai )   n  ( p  2ai ) i 1  p  2ai    i 1 p  2ai   i 1  n ai     np  (np  2 p)  i 1 p  2ai 

i

-L

Ý

i 1

n . n2

n

ÁN

Vậy:

TO

 p  2a i 1

ai

i



n . n2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

cho

G

Chebyshev

N

BĐT

dụng

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

Áp

.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

 p  2a1  p  2a2  ...  p  2an  a2 an  a1   ...   p  2 an  p  2a1 p  2a2

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Suy ra:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

U

Y

a1  a2  ...  an .

D

IỄ N

Đ

ÀN

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi: a2 an  a1   ...   p  2a p  2a2 p  2an  a1  a2  ...  an .

1   c  2a1  c  2a2  ...  c  2an

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 3: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: a 2  b2  c 2  1. CMR:

N

a3 b3 c3 1    . bc ca ab 2

Ơ

Giải:

N

H

Không mất tính tổng quát, ta giả sử: a  b  c  a 2  b2  c 2 .

.Q TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

a b c .   bc ca ab

TR ẦN

1  a3 b3 c3  1  a b c 1 2 2 2        . (a  b  c ) .   3 b  c c  a a  b  3 b  c c  a a  b  3 Theo giả thiết, ta có:

10 00

B

a 2  b 2  c 2  1.

a b c 3    . bc ca ab 2

ÁN

-L

Ý

Từ đó suy ra:

-H

Ó

A

và

a3 b3 c3 3 1 1    .  . bc ca ab 2 3 2 1 .

3

ÀN

TO

Dấu “ = ” xảy ra  a  b  c 

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G N H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

b c   a , ,   , ta có: bc ca ab

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

Áp dụng BĐT Chebyshev cho 2 dãy số đơn điệu giảm (a 2 , b 2 , c 2 ) và

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

Suy ra:

D

IỄ N

Đ

Nhận xét: Khi sử dụng bất đẳng thức Chebyshev phải để ý đến điều kiện của 2 dãy số để áp dụng đúng công thức đối với 2 dãy cùng tăng (cùng giảm) hay 1 dãy tăng, 1 dãy giảm. Qua các ví dụ trên, ta thấy đa số các bài toán không đề cập đến điều kiện của hai dãy số nên trước khi sử dụng bất đẳng thức Chebyshev cần đặt điều kiện.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

2.4. Phương pháp 4: Sử dụng phép biến đổi tương đương 2.4.1. Lý thuyết

N

Định nghĩa:

Ơ

Hai BĐT được gọi là tương đương nếu BĐT này đúng thì BĐT kia cũng đúng

N

H

và ngược lại.

TP

Dùng phép biến đổi tương đương để chứng minh BĐT tức là ta biến đổi BĐT

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

Để chứng minh BĐT A  B ta biến đổi tương đương A  B  ...  C  D .

Trong đó BĐT cuối cùng C  D là một BĐT hiển nhiên đúng hoặc là BĐT đơn

TR ẦN

giản hơn BĐT A  B . Sau khi khẳng định đúng đắn của BĐT C  D ta kết luận BĐT A  B đúng.

10 00

B

 Chuyển vế để chứng minh bất đẳng thức đó.  Chuyến vế các thừa số về dạng hằng đẳng thức để chứng minh

Ó

A

 Chia nhỏ từng vế để chứng minh sau đó cộng vế theo vế các bất đẳng thức

-H

con để được điều phải chứng minh.

Ý

Chú ý các hằng đẳng thức sau:

(a  b  c)2  a 2  b2  c 2  2ab  2bc  2ca .

•

(a  b  c)2  a 2  b2  c 2  2ab  2bc  2ca .

TO

ÁN

-L

•

ÀN •

(a  b  c)3  a3  b3  c3  3(a  b)(b  c)(c  a) .

•

a3  b3  c3  3abc  (a  b  c)(a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca) .

Đ IỄ N

(a  b  c)2  a 2  b2  c 2  2ab  2bc  2ca .

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

Phương pháp:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

cần chứng minh với BĐT đúng hoặc BĐT đã chứng minh.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

khác tương đương với nó.

•

D

U

Y

Phép biến đổi được gọi là tương đương nếu nó biến đổi một BĐT thành BĐT

2.4.2. Bài tập vận dụng

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 1: Với a, b, c  . CMR: (a  b  c)2  3(a 2  b2  c 2 ) .

Giải:

(a  b  c)2  3(a 2  b2  c 2 )

N

Ta có:

H

Ơ

(1)

Y



x(1  y )  y (1  y )



x  xy  y  xy  x  y.

-L

Ý

-H

Ó

A

x y  1 x 1 y

ÁN

Vì x  y đúng nên

x y  (đpcm).

1 x 1 y

a b ab a b a b      .

1 a  b 1 a  b 1 a  b 1 a  b 1 a 1 b

Do đó:

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

b) Vì a  b  a  b nên theo câu a) ta có:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

B 10 00

a) Với x  y  0 , ta có:

Giải:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

G N H Ư

a b a b .   1 a  b 1 a 1 b

TR ẦN

http://daykemquynhon.ucoz.com

b) Với a, b tùy ý, CMR:

x y  .

1 x 1 y

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Đ ẠO

nên (1) đúng với a, b, c  .

Vậy (a  b  c)2  3(a 2  b2  c 2 ) (đpcm).

Bài 2: a) Cho x  y  0 . CMR:

(2)

.Q

 (a  b)2  (b  c)2  (c  a)2  0 .

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

 2ab  2bc  2ac  2(a 2  b2  c 2 )

Do BĐT (2) đúng với a, b, c 

N

 a 2  b2  c 2  2ab  2bc  2ac  3(a 2  b 2  c 2 )

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

a b a b   .

1 a  b 1 a 1 b

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 3: Cho a, b  0 . CMR :

N

a  b a 2  b 2 a 3  b3 . .  2 2 2

Ơ

Giải:

H Ư

N

(2)

TR ẦN

Vì (2) đúng với a, b  0 nên (1) đúng với a, b  0 .

Vậy với a, b  0 :

10 00

B

a  b a 2  b 2 a 3  b3 . .  2 2 2

-H

Ó

A

Bài 3: CMR: Nếu a  0, b  0 thì

1 1 4 .   a b ab Giải

1 1 4   a b ab

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Ý

Với a  0, b  0 ta có:

Vì (a  b)2  0 đúng nên

ab 4  ab ab 2  (a  b)  4ab  a 2  2ab  b 2  4ab  ( a  b ) 2  0.



https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

 ( a  b) 2 ( a  b)  0 .

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

G

 (a  b)(a 2  b 2 )  0

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U Đ ẠO

 a3  ab2  a2b  b3  0

.Q

 a3  ab2  a2b  b3  2a3  2b3

http://daykemquynhon.ucoz.com

D

(1)

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

a  b a 2  b 2 a 3  b3 .  2 2 2

Y

N

H

Ta có:

1 1 4 .   a b ab

Nhận xét: Qua các ví dụ trên, ta thấy khi chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương ta kết hợp linh hoạt nhiều phương pháp khác nhau.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

2.5. Phương pháp 5: Sử dụng đạo hàm 2.5.1. Lý thuyết. Để chứng minh BĐT phụ thuộc vào ẩn x A  B ta có thể dùng đạo hàm như sau:

H

Ơ

N

a) Phương pháp 1: Đặt F ( x)  A  B , a  x  b .

N

• Tính F '( x ) . Xét dấu của F '( x ) .

TP

F '( x )

b

+

+

G N

F ( x)

0

H Ư

0

b

TR ẦN

http://daykemquynhon.ucoz.com

F ( x)



F '( x )

hoặc

x0

a

x

b) Phương pháp 2:

B

• Nếu B  const đặt F ( x)  A , x   a; b  .

10 00

F ( x )  F ( x)  B  A  B .

Dùng đạo hàm chứng minh B  min   x a ;b 

Ó

A

• Nếu A  const đặt F ( x)  B , x   a; b  .

-H

Dùng đạo hàm chứng minh A  max F ( x)  F ( x)  A  A  B .

Ý

x a ;b 

-L

c) Phương pháp 3: Tìm F ( x) sao cho A  F (a ) ; B  F (b) .

ÁN

• Nếu a  b ta chứng minh F '( x)  0  F tăng  F (a)  F (b)  A  B .

TO

• Nếu a  b ta chứng minh F '( x)  0  F giảm  F (a)  F (b)  A  B .

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

a

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

x

Đ ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

• Ví dụ:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

U

Y

• Khảo sát sự biến thiên của F '( x ) .

D

IỄ N

Đ

ÀN

d) Phương pháp 4: Dùng định lý Lagrange Nếu F liên tục trên

 a; b và

F khả vi trên

 a; b 

thì c   a, b  thỏa

F (b)  F (a)  F '(c)(b  a) .

2.5.2. Bài tập vận dụng

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 1: CMR: (1  x)n  (1  x)n  2n với x   1;1 .

Giải:

N

Đặt:

H

Ơ

F ( x)  (1  x)n  (1  x)n .

Y

N

Suy ra:



0

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

F '( x) 2n

F ( x)

TR ẦN

2

10 00

B

Từ đó suy ra:

max F ( x)  2 .

x 1;1

Ó

A

Suy ra:

-H

F ( x)  2n .

-L

Ý

Vậy (1  x)n  (1  x)n  2n với x   1;1 (đpcm).

ÁN

Bài 2: x  0 . CMR: x  ln(1  x)

TO

1

Giải:

+ 2n

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

0

G

-1

N

x

Đ ẠO

Bảng biến thiên của F ( x) trên đoạn  1;1 :

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

F '( x)  0  x  0 .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

U

F '( x)  n(1  x)n1  n(1  x) n1 .

ÀN

Đặt: F ( x)  x  ln(1  x) .

D

IỄ N

Đ

Suy ra:

F '( x)  1 

1 x  1 x 1 x

 F '( x)  0 với x  0 .

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bảng biến thiên: 

0

F '( x)

N



H

0

N

F ( x)

+

Ơ

x

.Q

. CMR: a sin a  b sin b  2(cos b  cos a ) .

G

Giải:

N H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

Ta có: Đặt: F ( x)  x sin x  2cos x .

Suy ra:

TR ẦN

a sin a  b sin b  2(cos b  cos a )  a sin a  2cos a  b sin b  2cos b .

10 00

B

F '( x)  sin x  x cos x  2sin x  x cos x  sin x .

A

F ''( x)  cos x  x sin x  cos x   x sin x .

-H

Ó

  Với x   0,  , F ''( x)  0  F '( x) giảm trên  2

  0, 2  .

ÁN

-L

Ý

  Với x  0 , F '(0)  F '    0  F '( x)  0  F ( x) giảm trên 2

TO

Với 0  a  b 

 2

  0, 2  .

 F (a)  F (b) .

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)



TP

Bài 3: Cho 0  a  b 

Đ ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Vậy x  ln(1  x) với x  0 (đpcm).

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

 F ( x)  0 với x  0 .

D

IỄ N

Đ

ÀN

Do đó: a sin a  2cos a  b sin b  2cos b .

Suy ra: a sin a  b sin b  2(cos b  cos a ) với 0  a  b 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

 2

.

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 4: Cho 0  b  a. CMR:

a b a a b .  ln  a b b Giải:

Ơ

N

Đặt:

N

H

F ( x)  lnx .

N a b a b a b   a c b a b a a b  ln  . a b b

10 00

B

Do b  c  a và a  b  0 nên:

a b . c

TR ẦN

lna  lnb 

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

Suy ra:

Ó

A



a b a a b .  ln  a b b

TO

ÁN

-L

Ý

-H

Vậy với 0  b  a ta có

ÀN

Nhận xét: Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp đạo hàm để xét sự biến

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

F (a)  F (b)  F '(c)(a  b) với c  (b; a) .

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

Áp dụng định lý Lagrange trên đoạn b; a  , ta có:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

1 . x

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

F '( x) 

U

Y

Suy ra:

D

IỄ N

Đ

thiên hay tìm cực trị của hàm số từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Khi chứng minh bất đẳng thức bẳng phương pháp sử dụng đạo hàm, cần chọn hàm số thích hợp để khảo sát sự biến thiên (đơn điệu) của hàm số phù hợp với bất đẳng thức cần chứng minh. Ứng dụng của đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức rất đa dạng nên thường xuất hiện trong các đề thi.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

2.6. Phương pháp 6: Sử dụng quy nạp 2.6.1. Lý thuyết Nếu BĐT là 1 hàm mệnh đề phụ thuộc vào biến tự nhiên n . Để chứng minh

Ơ

N

BĐT đúng với n  n0 ta thực hiện các bước sau:

N

H

- Bước 1: Kiểm tra BĐT đúng với n  n0 .

.Q TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

được gọi là giả thiết quy nạp).

N

http://daykemquynhon.ucoz.com

G

- Bước 4: Kết luận đúng BĐT đúng với mọi n  n0 .

H Ư

2.6.2. Bài tập vận dụng

TR ẦN

Bài 1: Cho a  1 , n  1, n  . CMR:

(1  a)n  1  n.a .

B

Giải:

10 00

Với n  1 ta có:

VP = 1  a .

-H

Ó

A

VT = 1  a .

Vậy BĐT đúng với n  1 .

-L

Ý

Giả sử BĐT đúng với n  k , k  , tức là:

ÁN

(1  a)k  1  k.a .

TO

Ta cần chứng minh BĐT đúng với n  k  1, tức là:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

BĐT cần chứng minh rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp).

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

- Bước 3: Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n  k  1 ( thay n  k  1 vào

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

- Bước 2: Giả sử BĐT đúng với n  k (thay n  k vào BĐT cần chứng minh

ÀN

(1  a)k 1  1  (k  1).a .

(1  a)k 1  (1  a)(1  a) k  (1  a)(1  ka)  1  (k  1) a  ka 2  1  (k  1) a.

D

IỄ N

Đ

Thật vậy, ta có:

 BĐT đúng với n  k  1.Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có ĐPCM.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài 2: CMR :

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

1 1 1 1 với n  N ; n  1 .   ....   2  12 22 n2 n Giải:

N Y

N

G

Thật vậy:

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

Khi n  k  1, ta có:

2

1 1 1 1  2  ....  2  2  2 1 2 k k

-H

Ó

A

Theo giả thiết quy nạp:

Ý

1 1 1 1 1 1 1  2  ....  2   2   2 2 2 2 1 2 k (k  1) k (k  1) k 1

-L



1 n 1  2 . k 1 

10 00

B

TR ẦN

1 1 1  2  ....  2 2 1 2 n 1 1 1 1  2  2  ....  2  1 2 k (k  1) 2

1 1 1 1 1 1 1   ....      .

12 22 k 2 (k  1) 2 k  1 (k  1) 2 k

TO

ÁN



https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Giả sử BĐT đúng với n  k ta cần chứng minh BĐT đúng với n  k  1.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

Ta thấy: VT < VP. Vậy BĐT đúng với n  2 .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

1 6  .

2 4

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

VP = 2 

H

1 1 5   .

12 22 4

TP

VT =

Ơ

N

Với n  2 ta có :

D

IỄ N

Đ

ÀN

Mà :

1 1 1 k 11 1     2 k  1 (k  1) k (k  1) 2 k

 k (k  2)  (k  1)2 k 2  2k  k 2  2k  1 (đúng).  BĐT đúng với n  k  1.

Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có ĐPCM.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 3: Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác vuông với c là cạnh huyền. CMR:

N

a2 n  b2 n  c2 n n  .

H

Ơ

Giải:

N

Với n  1 , BĐT đúng.

.Q

a 2 k  b2 k  c 2 k .

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

Ta cần chứng minh BĐT đúng với n  k  1, tức là:

Ta có:

 (a 2 k  b2 k )(a 2  b2 )  a 2b2 k  b2 a 2 k  c 2 k c 2  c 2( k 1) .

10 00

B

a 2( k 1)  b2( k 1)

TR ẦN

a 2( k 1)  b2( k 1)  c2( k 1) .

Suy ra BĐT đúng với n  k  1.

Ó

A

Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có ĐPCM.

Ý

-H

Bài 4: CMR: Mọi số tự nhiên n  1 , ta có:

ÁN

-L

12  22  32  ...  (n  1)2  n2 

n(n  1)(2n  1) .

6

TO

Giải

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

), tức là:

G

Giả sử BĐT đúng với n  k ( k 

Đ ẠO

Vậy BĐT đúng với n  1 .

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

a 2  b2  c 2 .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

Thật vậy: Vì a, b, c là 3 cạnh của một tam giác vuông với c là cạnh huyền nên ta có:

ÀN

Khi n  1 : VT = VP =1.Vậy BĐT đúng với n  1 .

D

IỄ N

Đ

Giả sử BĐT đúng với n  k (k  1) , tức là:

12  22  32  ...  (k  1)2  k 2 

k (k  1)(2k  1) .

6

Ta cần chứng minh BĐT đúng với n  k  1, tức là:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

12  22  32  ...  (k  1)  1  (k  1) 2  2

(k  1)(k  2)(2k  3) .

6

H

 12  22  32  ...  (k  1) 2   k 2  (k  1) 2 k (k  1)(2k  1)   (k  1) 2 6  2k 2  7 k  6   (k  1)   6  

-L

ÁN

2.7. Phương pháp 7: Sử dụng tam thức bậc 2.

TO

2.7.1. Lý thuyết Cho tam thức bậc hai f ( x)  ax 2  bx  c ( a  0 ),   b2  4ac .

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Ý

-H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

Nhận xét: Qua các ví dụ trên ta thấy bài toán chứng minh đẳng thức bằng cách dùng phương pháp qui nạp toán học chỉ khó khăn và phức tạp ở phần cuối bước 2 , tức là chứng minh đẳng thức đúng với n  k  1. Khi đó từ đẳng thức cần chứng minh ứng với n  k  1, ta biến đổi khéo léo (dùng kĩ thuật thêm bớt, hoặc tách số hạng…), để sử dụng được giả thiết đẳng thức đúng với n  k ,tiếp tục thực hiện tính toán một số bước nữa ta sẽ có đpcm. Ngoài ra, ta có thể biến đổi trực tiếp từ giả thiết đẳng thức đúng với n  k (giả thiết qui nạp của bài toán), để suy ra đẳng thức đúng với n  k  1.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Đ ẠO

G N

Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có ĐPCM.

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

Suy ra BĐT đúng với n  k  1.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

(k  1)(k  2)(2k  3) .

6



TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

U

Y

N

12  22  32  ...  (k  1) 2  k 2

Ơ

N

Thật vây:

D

IỄ N

Đ

ÀN

Nếu   0 thì f ( x) luôn cùng dấu với hệ số a , với x  .

Nếu   0 thì f ( x) luôn cùng dấu với hệ số a , trừ khi x 

b .

2a

Nếu   0 thì f ( x) cùng dấu với hệ số a khi x  x1 hoặc x  x2 , trái dấu với hệ số

a khi x1  x  x2 trong đó x1 , x2 ( x1  x2 ) là hai nghiệm của f ( x) .

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Phương pháp: Để chứng minh BĐT P( x)  Q( x) ta biến đổi P( x)  Q( x) về dạng tam thức

N

bậc hai ax2  bx  c và sử dụng các tính chất của tam thức bậc hai để chứng minh

H

Ơ

P( x)  Q( x)  0 .

N

2.7.2. Bài tập vận dụng

G

Đặt:

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

m  cos A  cos B  cos C

10 00

B

TR ẦN

 cos A  cos B  cos C  m  0 A B A B  2cos cos  cos( A  B)  m  0 2 2 A B A B  A B  2cos 2  cos  m  1  0.   2cos 2 2  2  Đặt:

-H

Ó

A

 A B F ( X )  2 X 2  2cos   X  m 1  0 .  2   A B  '  cos 2    2m  2 .

2  

TO

ÁN

-L

Ý

Suy ra:

D

IỄ N

Đ

ÀN

 A B Với X 0  cos   ta có: F  X 0   0 .  2 

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Giải:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP Đ ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

3 cos A  cos B  cos C  .

2

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

U

Y

Bài 1: Cho A  B  C   . CMR:

 A B cos 2  2 3 2    '  0  m   2 2  cos A  cos B  cos C 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

3 (đpcm).

2

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài 2: x, y 

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

, CMR:

x 2  5 y 2  4 xy  2 x  6 y  3  0 .

N

Giải:

H

Ơ

Đặt :

Y

N

f ( x)  x 2  5 y 2  4 xy  2 x  6 y  3 .

. CMR:

(đpcm).

10 00

B

x 2 y 4  2( x 2  2) y 2  4 xy  x 2  4 xy 3 .

Ó

A

Ta có:

Giải:

 4 xy 3  0 .

Ý

-H

x 2 y 4  2( x 2  2) y 2  4 xy  x 2  ( y 2  1)2 x 2  4 y(1  y 2 ) x  4 y 2

f ( x)  ( y 2  1)2 x 2  4 y(1  y 2 ) x  4 y 2 .

TO

ÁN

-L

Đặt :

Suy ra:

ÀN

 '  4 y 2 (1  y 2 )  4 y 2 ( y 2  1)2  16 y 2 .

Đ IỄ N

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Bài 3: x, y 

TR ẦN

x 2  5 y 2  4 xy  2 x  6 y  3  0 x, y 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

H Ư

Vậy :

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

.

G

nên f ( x)  0 với x, y 

N

http://daykemquynhon.ucoz.com

Vì ∆' < 0 với y 

TP

 '  (2 y  1) 2  5 y 2  6 y  3   y2  2 y  2  ( y  1) 2  1  0, y  .

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

D

.Q

U

Ta có:

Vì  '  0 với y  nên f ( x)  0 với x, y 

.

Vậy : x 2 y 4  2( x 2  2) y 2  4 xy  x 2  4 xy 3 với x, y 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

(đpcm).

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Bài 4: Cho a, b, c, d 

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

và b  c  d . CMR:

N

(a  b  c  d )2  8(ac  bd ) .

H

Ơ

Giải:

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

G

Suy ra:

Vì  '  0  f (a)  0 với a  .

B

Vậy:

TR ẦN

H Ư

 '  (b  3c  d )2  (b  c  d )2  8bd  8(c  b)(c  d ).

10 00

(a  b  c  d )2  8(ac  bd ) với a 

A

2.8. Bài tập tương tự

(đpcm).

-H

Ó

Trong phần bài tập tự giải này em đưa ra một số bài tập tổng hợp về các

Ý

phương pháp chứng minh bất đẳng thức để cho các em học sinh luyện tập, giúp các

-L

em tư duy và tìm ra các phương pháp giải thích hợp. Đối với các bài tập này em

ÁN

không giải chi tiết mà chỉ hướng dẫn, gợi ý để cho các em học sinh tự vận dụng và

TO

lựa chọn những phương pháp chứng minh tối ưu để hoàn thành các bài tập.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

a 2  2(b  3c  d )a  (b  c  d )2  8bd .

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

Đặt:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

U

 8(ac  bd )  0.

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

(a  b  c  d ) 2  a 2  2(b  3c  d )a  (b  c  d )2  8bd

Y

N

Ta có:

D

IỄ N

Đ

ÀN

Bài 1: CMR: a) a 2 (1  b2 )  b2 (1  c 2 )  c 2 (1  a 2 )  6abc .

x3  y 3  z 3  3xyz b)  0. x yz

Hướng dẫn: Sử dụng định nghĩa và các phép biến đổi tương đương.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 2: Cho a, b, c  0 và a  b  c  1 .CMR:

N

 1  1  1  1  1  1    64 .  a  b  c 

N

H

Ơ

 1  1  1 Hướng dẫn: Áp dụng BĐT Cauchy cho 1   , 1   , 1   .  a  b  c

TR ẦN

H Ư

3(a 2  b 2  c 2 ) a2 b2 c2    . bc ca ab 2

Hướng dẫn: Áp dụng BĐT Chebyshev cho 2 dãy đơn điệu cùng chiều:

10 00

B

 a 2  b2  c2   1 1 1 .    b  c c  a a  b

Ó

A

Bài 5: Với n  , n  1. CMR:

1 3 5 2n  1 1 .  . . ...

2 4 6 2n 3n  1

b)

1 1 1 1   ...   .

32 52 (2n  1) 2 4

TO

ÁN

-L

Ý

-H

a)

Hướng dẫn: Sử dụng phương pháp quy nạp.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

G

Bài 4: Với a, b, c  0 . CMR:



DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN



Hướng dẫn: Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho 2 cặp số (1, log 2 a ); 1; log 2 b

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

.Q TP

ab .

2

Đ ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

log 2 a  log 2 b  2 log 2

U

Y

Bài 3: Cho a  1, b  1 . CMR:

D

IỄ N

Đ

ÀN

Bài 6: Với a, b, c  0 , CMR: a3 b3 c3 abc .  2  2  2 2 2 2 a  ab  b b  bc  c c  ca  a 3

Hướng dẫn: Sử dụng phép biến đổi tương đương.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 7: Với 0  x  1 . CMR:

N

1 3 3 .  2 x(1  x) 2

Ơ

Hướng dẫn: Sử dụng đạo hàm ( tính đơn điệu của hàm số).

N

H

Bài 8: Cho a, b là số dương tùy ý: CMR:

10 00

B

1 1 1 5 .    ab  1 bc  1 ca  1 a  b  c Hướng dẫn: Sử dụng các tính chất của BĐT.

a b  1.

2a  b a  2b

Ý

-H

Ó

A

Bài 12: Cho a, b là hai số thực dương bất kỳ. CMR:

-L

Hướng dẫn: Sử dụng các tính chất của BĐT.

TO

ÁN

Bài 13: Chứng minh rẳng:

1 1 1 2014 .  2  ...   2 2 2 3 2015 2015

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

Bài 11: Cho các số thực a, b, c   0;1 và a  b  c  0 . CMR:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

H Ư

Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki 2 lần.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

N

G

x4 y4 z4    48 . ( y  1)2 ( z  1)2 ( x  1)

ÀN

Y

Đ ẠO

Bài 10: Cho ba số thực: x, y, z  1 . CMR:

http://daykemquynhon.ucoz.com

U TP

Hướng dẫn: Sử dụng phép biến đổi tương .

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

3a 2  2ab  3b 2  2 2(a 2  b 2 ) . ab

Bài 14: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:

1

D

IỄ N

Đ

Hướng dẫn: Sử dụng phương pháp quy nạp.

1 1 1 5  2  ...  2  .

2 1 2 n 3

Hướng dẫn: Sử dụng phương pháp quy nạp.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 15: Cho a, b là hai số thực dương bất kỳ. CMR:

a 2b4  2(a 2  2)b2  4ab  a 2  4ab3 .

N

Hướng dẫn: Sử dụng phương pháp tam thức bậc hai.

H

Ơ

Bài 16: Cho a, b, c, d là số thực thỏa mãn b  c  d . CMR:

Y

N

(a  b  c  d )2  8(ac  bd ) .



b bc  c

2



c



3 2 .

2

N

ab  b

2

ca  a

2

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

a

G

Bài 18: Cho a, b, c là hai số thực dương tùy ý. CMR:

TR ẦN

Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacopxki.

Bài 19: Cho a, b, c là hai số thực dương tùy ý. CMR:

10 00

B

a3 b3 c3 (a  b  c ) 2    b  2c c  2a a  2b 9

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Ý

-H

Ó

A

Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy.

.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ ẠO

a 2  b2  c 2  6 .

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Bài 17: Cho a, b, c là số thực thỏa mãn 1  a, b, c  2 và a  b  c  0 . CMR:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

U

Hướng dẫn: Sử dụng phương pháp tam thức bậc hai.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC 3.1. Dùng bất đẳng thức để giải phương trình, hệ phương trình

N

3.1.1. Lý thuyết

H

Ơ

Để giải phương trình, hệ phương trình ta đánh giá các biểu thức tham gia

N

trong phương trình, hệ phương trình.

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

G

 A  m (1) • Phương pháp 2: Ta đánh giá hai vế của phương trình:  .  B  m (2)

H Ư

Nếu dấu “ = ” ở (1) và (2) cùng đạt được tại x0 thì x0 là nghiệm của phương

TR ẦN

trình A  B .

- Để giải hệ phương trình:

B

• Phương pháp 1: Từ một phương trình của hệ, sử dụng đánh giá giữa hai ẩn

10 00

rồi thế vào phương trình còn lại.

A

• Phương pháp 2: Kết hợp hai phương trình của hệ, sử dụng các đánh giá để

-H

Ó

tìm hệ thức giữa hai ẩn rồi thế vào một phương trình của hệ.

Ý

3.1.2. Bài tập vận dụng

-L

Bài 1: Giải phương trình:

x  3  5  x  x 2  8x  18 .

ÁN

Giải:

TO

ĐK: 3  x  5 .

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ ẠO

x0 là nghiệm của A  B .

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

• Phương pháp 1: Chứng minh A  B ( A  B ). Dấu “ = ” đạt được tại x0 thì

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

- Để giải phương trình A  B :

( x  3  5  x ) 2  ( x  3)  (5  x)  2 ( x  3)(5  x)  2  2 ( x  3)(5  x)

IỄ N

Đ

ÀN

Ta có:

D

 2  ( x  3)  (5  x)  4.

 x  3  5  x  2 . Dấu “ = ” xảy ra  x  4 .

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

(1)

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Lại có: x 2  8 x  18  ( x  4) 2  2  2 . Dấu “ = ” xảy ra  x  4 .

(2)

N

H

Ơ

2 2  x  x9 . x 1

Y U

Giải:

.Q 2 2  1  2  2 2     x    x  9.  x  2 2  x  1       x  1  x  1    x  1      



2 2  x 1

1 1 x .

7 x 1

H Ư

Dấu “ = ” xảy ra 

TR ẦN

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

G



Bài 3: Giải phương trình: 13 x 2  x 4  9 x 2  x 4  16 .

10 00

B

Giải:

ĐK: 1  x  1 .

A

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:

Ó

4(1  x 2 )  x 2 4  3x 2 52  39 x 2 .   13 x 2  x 4  2 2 4

Ý

-H

4(1  x 2 ) x 2 

9 x 2 .4(1  x 2 ) 

TO

ÁN

-L

Tương tự, ta có:

13x 2  4 39 x 2  12 .  9 x2  x4  2 4

D

IỄ N

Đ

ÀN

Từ đó suy ra:

13 x 2  x 4  9 x 2  x 4 

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ ẠO

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

ĐK: x  0 .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Bài 2: Giải phương trình:

N

Từ (1) và (2) suy ra: x  4 (thỏa mãn đk )là nghiệm của phương trình.

52  39 x 2 39 x 2  12   16 .

4 4

 4(1  x 2 )  x 2 2 5 x Dấu “ = ” xảy ra   2 .

2 5 9 x  4(1  x )

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

2   x 12  y  y (12  x )  12 Bài 4: Giải hệ phương trình:  3   x  8x  1  2 y  2

 x, y   .

Ơ

N

Giải:

H

Ta có hệ:

N Y U

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

H Ư

y  12  x 2 . y(12  x )  2 2

Từ đó suy ra:

10 00

B

x 12  y  y(12  x 2 )  12 .

-H

Ó

A

 0  x  2 3 Dấu “ = ” xảy ra   .

2  y  12  x

Thay vào (2) ta có:

-L

Ý

x3  8 x  1  2 10  x 2  x3  8 x  3  2(1  10  x 2 )  0

TO

ÁN

 2( x  3)  ( x  3)  x 2  3x  1  1  10  x 2  2( x  3) 1  10  x 2

   0. 

0.

Suy ra x  3  0  x  3 Thay vào hệ và đối chiếu nghiệm ta được nghiệm: ( x; y )  (3;3) .

D

IỄ N

Đ

ÀN

Do x  0 nên x 2  3 x  1 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

G

x 2  12  y . x 12  y  2

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Theo BĐT Cauchy, ta có:

Đ ẠO

TP

ĐK: 2 3  x  2 3; 2  y  12 .

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

2   x 12  y  y (12  x )  12 (1) .  3 (2)   x  8x  1  2 y  2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

  x 1  y 1  4 Bài 5: Giải hệ phương trình:  . x  y  xy  3  

N

Giải:

Y

N

H

Ơ

x  0 ĐK:  . y  0 

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

2 x  2 y  2 xy  4 x  1  4 y  1  16  6  0

TR ẦN

 ( x  y  2 xy )  ( x  1  4 x  1  4)  ( y  1  4 y  1  4)  0  ( x  y )2  ( x  1  2) 2  ( y  1  2) 2  0 .

Ó

A

10 00

B

 x y  Dấu “ = ” xảy ra   x  1  2  x  y  3 .   y  1  2

-H

Thay vào hệ và đối chiếu nghiệm ta được nghiệm: ( x; y )  (3;3) .

-L

Ý

3.2. Dùng bất đẳng thức đề tìm cực trị

ÁN

3.2.1. Lý thuyết

TO

Phương pháp: Ta sử dụng các bất đẳng thức thông dụng nhất như: BĐT Côsi,

ÀN

BĐT Bunhiacốpxki,… để đánh giá biểu thức P ( hoặc hàm số f ( x) ), từ đó suy ra

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

Cộng vế theo vế của (*) ta có:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

  x 1  y 1  4  4 x  1  4 y  1  16 . (*)         x y xy 3 2 x 2 y xy 6    

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

U

Ta có:

D

IỄ N

Đ

giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất cần tìm.

- Nếu P  m thì f ( x) có giá trị nhỏ nhất là m .

- Nếu P  M thì f ( x) có giá trị lớn nhất là M .

Kiểm tra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức để tìm cực trị.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

3.2.2. Bài tập vận dụng Bài 1: Cho ba số thực dương a, b, c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

H

Ơ

N

 a  b  c  P  1  1  1   .  b  c  a 

N

Giải:

1

c c 2 . a a

-H

Vậy GTNN của P là: 8.

-L

Ý

Bài 2: Tìm GTNN của hàm số thực sau: f ( x) 

ÁN

Giải:

f ( x) 

Đ

ÀN

TO

Ta có:

1 1 với 0  x  1 .  x 1 x



https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Ó

A

Dấu “ = ” xảy ra  a  b  c  1.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO G N

B

10 00

Hay: P  8 .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

b b 2 c c

TP

1

abc  a  b  c   8. 1  1  1    8 abc  b  c  a 

IỄ N D

a a 2 b b

TR ẦN

Suy ra:

1

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

U

Y

Áp dụng BĐT Côsi ta có:

1 1 1 x x x   1 1 x   1         x 1 x x 1 x 1 x 1 x   x x 

1 x x   2. x 1 x

Áp dụng BĐT Côsi ta có:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

f ( x) 

N

1 x x 1  x .

1 x 2 x

Ơ

Dấu “ = ” xảy ra 

1 x x 1 x x  22 . 24. x 1 x x 1 x

N

H

Bài 3: Tìm GTLN và GTNN của: A  x  1  4  x .

.Q A2  ( x  1  4  x )2  3  2 x  1 4  x .

N

G

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

A2  3  2 x  1 4  x  3  x  1  4  x  6 .

TR ẦN

Suy ra :

0 A 6.

5 ( thỏa mãn đk).

2

6.

A

Vậy GTLN của A là:

10 00

B

Dấu “ = ” xảy ra  x  1  4  x  x 

-H

Ó

Mặt khác:

x  1 4  x  0 nên A  3 .

-L

Vì

Ý

A2  ( x  1  4  x )2  3  2 x  1 4  x  3 .

ÀN

TO

ÁN

 x 1 Dấu “ = ” xảy ra  ( x  1)(4  x)   ( thỏa mãn đk). x  4 Vậy GTNN của A là:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ ẠO

Ta có :

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

ĐK: 1  x  4 .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

Giải

3.

D

IỄ N

Đ

3.4. Bài tập tương tự Bài 1: Giải phương trình: x 2  2 x  2 x  1  3x 2  4 x  1 .

Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Bunhicopxki để đánh giá.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 2: Giải phương trình: 2 4 27 x 2  24 x 

28 27 1 x6.

3 2

Ơ

N

Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy để đánh giá.

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Bunhicopxki để đánh giá.

TR ẦN

Bài 5: Giải phương trình:

x y 1  2 y x 1 

3xy .

2

Bài 6: Giải phương trình:

10 00

B

Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy để đánh giá.

-H

Ó

A

2  x2  2 

1 1   4   x  .

2 x x 

Ý

Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Bunhicopxki để đánh giá.

TO

ÁN

-L

Bài 7: Giải phương trình: 1 x  2  y  3  z  5  ( x  y  z  7) .

2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

2 2 13  x 2  3x  6    x 2  2 x  7    (5x 2  12 x  33) 2 .  

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

Bài 4: Giải phương trình:

TP

Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy để đánh giá.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

1 .

27

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

32 x 4  (4 x  1)4 

N

H

Bài 3: Giải phương trình:

ÀN

Hướng dẫn: Áp dụng phương pháp biến đổi tương đương để đánh giá.

Đ

Bài 8: Giải phương trình:

D

IỄ N

x y 1  2 y x 1 

3xy .

2

Hướng dẫn: Áp dụng phương pháp biến đổi tương đương để đánh giá.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 9: Giải hệ phương trình:

N

  x 1  y 1  4 .  x  y  xy  3  

H

Ơ

Hướng dẫn: Áp dụng phương pháp biến đổi tương đương để đánh giá.

Y

N

Bài 10: Giải hệ phương trình:

TR ẦN

Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy để đánh giá.

Bài 12: Giải hệ phương trình:

10 00

B

 x 2  y 2  1 .  5 3 125 y  125 y  6 15  0

Ó

A

Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy để đánh giá.

 xyz  1 .  3 3 3 x y z x y z      

ÁN

-L

Ý

-H

Bài 13: Giải hệ phương trình:

TO

Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy để đánh giá.

D

IỄ N

Đ

ÀN

Bài 14: Giải hệ phương trình:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

N

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

1 2 3     12 . x y z  x  2 y  3z  3 

G

Bài 11: Giải hệ phương trình:

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

Hướng dẫn: Áp dụng phương pháp biến đổi tương đương để đánh giá.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U .Q TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

 x 2  xy  y 2  3 .  2  z  yz  1  0

 x4  y 4 xy 3    4 x y 8  ( x  y) .  1 3   4  x y

Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Bunhicopxki để đánh giá.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Bài 15: Giải hệ phương trình:

N

 ( x  y  1)( x  y  1  xy )  12 xy .  2 2   y 3x  2 x  1  x 1  y  2 y  xy  1

H

Ơ

Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy để đánh giá.

Y

N

Bài 16: Cho a, b là hai số dương thỏa mãn a  b  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

G

Bài 17: Cho các số x, y,z thỏa mãn x( x  1)  y ( y  1)  z ( z  1)  18 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1 1 1   . x  y 1 y  z 1 z  x 1

TR ẦN

B

3 .

5

A

chứng minh B 

10 00

B

Hướng dẫn: Áp dụng các bất đẳng thức quen thuộc và bất đẳng thức Cauchy để

-H

Ó

Bài 18: Giả sử x, y,z thỏa mãn 0  x, y, z  2 và x  y  z  3 . Tìm giá trị lớn nhất,

-L

Ý

giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

M  x 4  y 4  z 4  12(1  x)(1  y )(1  z ) .

ÁN

Hướng dẫn: Đặt ẩn phụ và áp dụng các bất đẳng thức quen thuộc để chứng minh

TO

M  3, M  17 .

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

15 .

16

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Hướng dẫn: Dựa vào tính chất của bất đẳng thức để chứng minh F 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

Đ ẠO

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

3 F  (a 3  b3 )2  (a 2  b 2 )  ab .

2

.Q

U

thức:

ÀN

Bài 19: Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  abc . Tìm giá trị lớn nhất của

D

IỄ N

Đ

biểu thức:

S

a bc(1  a )

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

2



b ca(1  b ) 2



c ab(1  c 2 )

.

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

Hướng dẫn: Áp dụng phép biến đổi tương đương và bất đẳng thức Cauchy để 3 .

2

Ơ

N

Bài 20: Cho các số dương a, b, c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

U .Q

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Ý

-H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

G

Đ ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh S  3 .

Y

N

H

c(ab  1)2 a(bc  1)2 b(ca  1) 2 .

S 2   b (bc  1) c 2 (ca  1) a 2 (ab  1)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

chứng minh S 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

PHẦN III. KẾT LUẬN

N

Trong quá trình thực hiện đề tài em đã cố gắng tìm tòi và hệ thống lại một số

H

Ơ

phương pháp chứng minh bất đẳng thức tiêu biểu và hai ứng dụng của bất đẳng

N

thức trong việc giải một số bài toán cực trị và phương trình vô tỉ. Ở mỗi phương

Các bài toán đưa ra ở mỗi phương pháp chứng minh bất đẳng thức chỉ mang

G

tính tương đối. Vì với mỗi bài toán sẽ có nhiều cách giải khác nhau, không chỉ dựa

H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

vào cách giải chung cho mỗi dạng toán mà vẫn còn nhiều lời giải riêng phù hợp với bài toán. Điều đó đòi hỏi người học cần phải cố gắng tìm tòi, suy nghĩ để tìm ra

TR ẦN

những cách giải mới, hay, phù hợp và chính điều đó là một trong những vẻ đẹp sáng tạo của toán học.

10 00

B

Sau khi hoàn thành khóa luận này, em mong rằng đây sẽ trở thành một trong những tài liệu bổ ích giúp các em học sinh cũng như các bạn cùng ngành trong tiếp

Ó

A

cận, tra cứu và tìm hiểu về bất đẳng thức một cách dễ dàng hơn.

-H

Do điều kiện về thời gian cũng như năng lực nghiên cứu của bản thân còn hạn

-L

Ý

chế nên khóa luận của em không thể tránh khỏi những thiếu sót. Bản thân em rất

ÁN

mong nhận được sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để đề tài của

TO

em được hoàn thiện hơn.

Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Nguyễn Kế Tam và các thầy

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ ẠO

tạo,... trong việc chứng minh bất đẳng thức.

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

thuyết và một số bài tập ở phần vận dụng để các em có thể tiếp cận, tư duy và sáng

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

pháp chứng minh bất đẳng thức em đã đưa ra những kiến thức cơ bản ở phần lý

Đ

ÀN

cô giáo trong Khoa Khoa học Tự nhiên đã có những ý kiến đóng góp giúp em hoàn

D

IỄ N

thành khóa luận này.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Ơ

N

[1] Phạm Kim Hùng (2010), Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Hà Nội

Y

N

H

[2] Trần Đức Tuyên (1993), Bất đẳng thức, NXB Trẻ

N H Ư

http://daykemquynhon.ucoz.com

[5] www.toanmath.com

D

IỄ N

Đ

ÀN

TO

ÁN

-L

Ý

-H

Ó

A

10 00

B

TR ẦN

[6] www.toanhoc247.com

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

[4] www.diendantoanhoc.net

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

TP

Nội

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

.Q

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

U

[3] Võ Giang Mai (2002), Chuyên đề bất đẳng thức, NXB Đại học Quốc gia Hà

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

https://twitter.com/daykemquynhon plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon https://daykemquynhon.blogspot.com

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN .....................................................................................................................................

H

H Ư

.....................................................................................................................................

TR ẦN

.....................................................................................................................................

Phản biện 1 (Ký, ghi rõ họ tên)

-L

Ý

-H

Ó

A

10 00

B

.....................................................................................................................................

NHẬN XÉT CỦA PHẢN BIỆN 2

ÁN

.....................................................................................................................................

TO

.....................................................................................................................................

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

http://daykemquynhon.ucoz.com

N

G

.....................................................................................................................................

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

NHẬN XÉT CỦA PHẢN BIỆN 1

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO)

Đ ẠO

TP

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định

.Q

U

Y

N

Giảng viên hướng dẫn (Ký, ghi rõ họ tên)

Ơ

.....................................................................................................................................

N

.....................................................................................................................................

Phản biện 2 (Ký, ghi rõ họ tên)

D

IỄ N

Đ

ÀN

.....................................................................................................................................

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial