Một số dạng bài về đồ thị đạo hàm trong một số bài về tính đơn điệu, cực trị

ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN TRƯỜNG THPT

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN EBOOK PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

Một số dạng bài về đồ thị đạo hàm trong một số bài về tính đơn điệu, cực trị và giá trị lớn nhấtgiá trị nhỏ nhất của hàm số WORD VERSION | 2020 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

CHUYÊN ĐỀ

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM MỤC LỤC Nội dung

MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn chuyên đề 2. Mục đích nghiên cứu 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 4. Thực trạng vấn đề và hướng giải quyết NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ PHẦN I: ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI XÉT SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ I. Lý thuyết II. Một số dạng bài tập III. Một số bài tập tương tự PHẦN II: ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI CỰC TRỊ HÀM SỐ

Trang 3 3 3 3 3 4

4 4 9

I. Lý thuyết

14

II. Một số dạng bài tập

15

III. Một số bài tập tương tự PHẦN III: ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

19

I. Lý thuyết

23

II. Một số dạng bài tập

24

III. Một số bài tập tương tự PHẦN IV: MỘT SỐ BÀI TẬP LUYỆN TẬP TỔNG HỢP

28 32

MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn chuyên đề Các bài toán về đồ thị đạo hàm trong các đề thi THPT Quốc gia từ năm 2017 là một dạng toán tương đối lạ với học sinh trường THPT. Đây là dạng toán thuộc mức độ vận dụng và vận dụng cao, yêu cầu học sinh có kĩ năng tổng hợp, đánh giá , phán đoán để tìm ra phương án giải quyết.

Với mong muốn cải thiện năng lực nhận thức, giúp học sinh dần tự tin, có định hướng khi đứng trước một bài toán mà các em vẫn nghĩ là khó, tôi đã tập hợp một số dạng bài tập về đồ thị đạo hàm nhằm làm tư liệu giảng dạy.

2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu nhằm cải thiện kĩ năng giải một số bài toán về đồ thị đạo hàm cho HS lớp 12A trường THPT. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu a) Phạm vi nghiên cứu Phạm vi của chuyên đề là một số bài toán về đồ thị đạo hàm b) Đối tượng áp dụng chuyên đề Tôi đã nghiên cứu và hoàn thiện chuyên đề từ tháng 8 năm 2019 đến tháng 10 năm 2019 và đang áp dụng trong giảng dạy chuyên đề cho học sinh trường Trung học phổ thông Phạm Công Bình .

4. Thực trạng vấn đề và hướng giải quyết Đối với HS của chúng tôi, các em thường không có định hướng hoặc không phát hiện ra ý đồ của đề bài ra trong các bài toán mà đề bài cho đồ thị của đạo hàm chứ không phải là đồ thị của hàm số như hay gặp, một số khác thương nhầm lẫn đó là đồ thị của hàm số, bên cạnh đó, là kĩ năng chuyển từ đồ thị đạo hàm sang bảng biến thiên của các em còn lúng túng, Để phần nào cải thiện kĩ năng làm bài cho HS; tôi đã sưu tầm, biên soạn thành bộ tài liệu giảng dạy trong 9 tiết với các dạng bài tập từ dễ đến khó, sau các bài tập ví dụ là các bài tập tương tự để học sinh rèn luyện. Nội dung bao gồm một số dạng bài về đồ thị đạo hàm trong một số bài về tính đơn điệu, cực trị và giá trị lớn nhất-giá trị nhỏ nhất của hàm số.

-2-

NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ PHẦN I: ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI XÉT SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ I. Lý thuyết 1. Định nghĩa: Cho hàm số y  f ( x ) xác định trên K , với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.  Hàm số y  f ( x) đồng biến (tăng) trên K nếu x1 , x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2  .  Hàm số y  f ( x) nghịch biến (giảm) trên K nếu x1 , x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2  .

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y  f ( x ) có đạo hàm trên khoảng K .  Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f   x   0, x  K .  Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f  x   0, x  K .

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên khoảng K .  Nếu f  x  0, x  K thì hàm số đồng biến trên khoảng K .  Nếu f  x  0, x  K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K .  Nếu f  x  0, x  K thì hàm số không đổi trên khoảng K .  Chú ý.  Nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “ Hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. Chẳng hạn: Nếu hàm số y  f ( x ) liên tục trên đoạn  a; b  và có đạo hàm f  x  0, x  K trên khoảng a; b thì hàm số đồng biến trên đoạn  a; b  .  Nếu f  x  0, x  K ( hoặc f  x  0, x  K ) và f  x  0 chỉ tại một số điểm hữu hạn của K thì hàm số đồng biến trên khoảng K(hoặc nghịch biến trên khoảng K ).

II. Một số dạng bài tập Bài tập 1: Cho hàm số y  f  x xác định và liên tục trên  . Hàm số y  f   x có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y  f  x  ?

-3-

Bài giải: Nhận xét:

 x  1  - Từ đồ thị hàm số ta có: f  x   0   x  0  x  2  - Mặt khác: Đồ thị hàm số y  f   x nằm phía trên trục Ox ứng với x  1;0  1;  ; đồ thị hàm số y  f   x nằm phía dưới trục Ox ứng với x  ;1  0;2 . Tức là: f   x   0 trên khoảng 1;0  1;  ; f  x   0 trên khoảng ;1  0;2 .

Vậy bảng biến thiên của hàm số y  f  x như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: +) Hàm số y  f  x đồng biến trên các khoảng 1;0 và 2;  . +) Hàm số y  f  x  nghịch biến trên các khoảng  ; 1 và 0;2 .

Bài tập 2: Cho hàm số y  f  x xác định và liên tục trên  . Đồ thị hàm số y  f   x như hình sau:

Chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y  f  x ?

Bài giải : Nhận xét:

 x  2  x  1

+ Từ đồ thị hàm số ta có: f  x   0  

f   x  0 trên khoảng 2;1 và 1; f   x   0 trên khoảng ;2 . +Vậy bảng biến thiên của hàm số y  f  x như sau:

+ Mặt khác:

-4-

Tương tự như bài tập 1; từ đồ thị của hàm số y  f   x ta có hàm số y  f  x +) Hàm số đồng biến trên các khoảng 2;   . +) Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 2 .

Trong các bài tập trên, để xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số y  f  x thì học sinh cần có kĩ năng đánh giá về dấu của f  x  dựa vào đồ thị của nó. Đối với những bài yêu cầu xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm y  f u  dựa vào đồ thị của y  f   x thì học sinh cần nhớ đến công thức đạo hàm của hàm hợp. Ta xét các bài tập sau đây.

Bài tập 3: (Trích đề thi thử THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên  , biết rằng hàm số y  f ' x có đồ thị như hình dưới

Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y  f 2  x   2019 .

Bài giải: Tập xác định: D   Để xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y  f  2  x  2019 ta hướng dẫn học sinh như sau: Đặt g (x)  f  2  x   2019 ; tính g ' x  , tìm nghiệm phương trình g ' x   0 Ta có: y '   f '2  x .

 x  2 Suy ra  x  1

Mặt khác: f  x   0  

 2  x  2  x  4   2  x  0 x  2 y '  0  f ' 2  x   0    2  x  1 x 1   2  x  2 x  0  

-5-

Bảng xét dấu y '   f '2  x :

x

-∞

y' = - f ' (2 - x)

-

0 0 +

1 0

-

2 4 0 + 0

+∞ -

Suy ra hàm số đồng biến trên 0;1,2;4 ; hàm số nghịch biến trên các khoảng

;0,1;2,4;  Bài tập 4 : (Trích đề thi thử của trường THPT Lê Quý Đôn-Q.Ngãi 2019) Cho hàm số y  f  x xác định và liên tục trên  có đồ thị hàm f  x như hình vẽ bên. Tìm khoảng nghịch biến của hàm số y  f  x 2 1 .

Bài giải: Tập xác định: D   Ta có y   2 x. f  x 2 1 .

x  0 x  0 x  0     x  0 y   0  2 x. f   x 2 1  0   x 2 1  2   x 2  1   2  x 1 x 1   x 2 1  0  x2  1   x  1    Ta có bảng biến thiên

Nhìn bảng biến thiên hàm số y  f ( x 2 1) nghịch biến trên khoảng 0;1 .

Qua các bài tập trên , ta có nhận xét như sau:

-6-

Bài toán đề cập tới chủ đề tính đơn điệu của hàm hợp không chứa tham số. Nội dung bài toán:“Biết đồ thị hàm số y  f  x  xét tính đơn điệu của hàm số





y  g x   f u x   h x  ”

Hướng giải bài toán: Ta cần sử dụng các tính chất sau: * Tính chất về điều kiện để một hàm số đơn điệu trên 1 khoảng K a. Nếu y  g  x   u  x  .f  u x   0,  x  K (Dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm) thì hàm số y  g x   f u x  đồng biến trên K . b. Nếu y  g  x   u  x  .f  u x   0,  x  K (Dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm) thì hàm số y  g x   f u x  nghịch biến trên K . c. Nếu y  g  x   u  x .f  u x   h  x   0,  x  K (Dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm) thì hàm số y  g x   f u x   h x  đồng biến trên K . d. Nếu y  g  x   u  x .f  u x   h  x   0,  x  K (Dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm) thì hàm số y  g x   f u x   h x  nghịch biến trên K .

Ngoài ra, trong một số dạng bài, ta cần sử dụng: Tính chất về sự so sánh giá trị của hai hàm số trên một khoảng K: Nếu trên khoảng K mà đồ thị hàm số y  f x  nằm phía trên đồ thị y  g x  thì f x   g x , x  K .

Ta xét bài tập áp dụng tính chất trên: Bài tập 5: (Trích đề thi thử ĐH Vinh lần 3- 2019) Cho hàm số y  f  x xác định và liên tục trên  và đồ thị hàm số y  f  x  như hình bên. Tìm khoảng đồng biến của hàm số y  f x  1  x 2  2x .

Bài giải: Ta có y  f x  1  x 2  2x

-7-

Khi đó y   f  x  1  2x  2 . Hàm số đồng biến khi y   0  f  x  1  2 x  1  0 1

Đặt t  x  1 thì 1 trở thành: f  t   2t  0  f  t   2t .

Quan sát đồ thị hàm số y  f  t  và y  2t trên cùng một hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Khi đó ta thấy với t  0;1 thì đồ thị hàm số y  f  t  luôn nằm trên đường thẳng y  2t .

Suy ra f  t   2t  0, t  0;1 . Do đó x  1;2 thì hàm số y  f x  1  x 2  2x đồng biến.

Bài tập tương tự: Bài tập 1: Cho hàm số y  f  x liên tục và xác định trên  . Biết f  x có đạo hàm f ' x và hàm số y  f ' x có đồ thị như hình vẽ. Tìm khoảng nghịch biến của hàm số

Bài tập 2: Cho hàm số f  x xác định trên  và có đồ thị hàm số f ' x  là đường cong trong hình bên. Tìm khoảng nghịch biến của hàm số.

-8-

Bài tập 3: (Trích đề thi thử chuyên Hưng Yên Lần 3-2019) Cho hàm số y  f  x có đạo hàm trên  , thỏa mãn f 1  f 3  0 và đồ thị của hàm số y  f   x  có dạng như hình dưới đây. Tìm khoảng nghịch biến của hàm số y   f  x  .

2

4 3 2 1 -3

-2

-1

y

x 1

-1 -2 -3 -4

2

3

Bài tập 4: (Trích đề thi thử Sở Bắc Ninh 2019) Cho y  f  x là hàm đa thức bậc 4 , có đồ thị hàm

số

y  f   x như hình vẽ. Tìm khoảng đồng biến của hàm số

y  f 5  2 x   4 x2 10 x. y 5

3

1 O

1

2

x

Bài tập 5: (Trích đề thi thử lần 5 2019-báo THTT) Cho hàm số bậc bốn y  f  x có đồ thị hàm số y  f   x  như hình vẽ bên. Hàm số g  x   f  x 2  x 1 đồng biến trên khoảng nào ?

Bài tập 6: (Trích đề thi thử Sở Cần Thơ 2019) Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên R và có đồ thị hàm số y  f  ( x ) như hình vẽ dưới.

-9-

Tìm khoảng nghịch biến của hàm số y  f ( x)  x 2  2 x .

Hướng dẫn giải bài tập tương tự Bài tập 3: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm trên  , thỏa mãn f 1  f 3  0 và đồ thị của hàm số y  f   x có dạng như hình dưới đây. Tìm khoảng nghịch biến của hàm số y   f  x  .

2

4 3 2 1 -3

-2

-1

y

-1 -2 -3 -4

x 1

2

3

Giải: Từ đồ thị và giả thiết, ta có bảng biến thiên của y  f  x :



 f  x   2 f  x. f  x.  Ta có bảng xét dấu của y    f  x   : y 

2

2

Ta được hàm số y   f  x  nghịch biến trên 1;2 .

2

Bài tập 4: Cho y  f  x là hàm đa thức bậc 4 , có đồ thị hàm số y  f   x như hình vẽ. Tìm khoảng đồng biến của hàm số y  f 5  2 x   4 x 2 10 x.

- 10 -

y 5

3

1 O

1

x

2

Ngoài phương pháp như đã làm ở trên, ta có thể làm theo cách khác như sau: Từ đồ thị của y  f   x ta suy ra y  f   x có hai điểm cực trị A0;1, B  2;5 .

Ta có f   x   ax  x  2  ax 2  2 ax , do đó y  f   x  

ax 3  ax 2  b 1 .

3

b  1 b  1  Thay tọa độ các điểm A, B vào 1 ta được hệ:  .  8a    4a  b  5 a  3  3 3 2 Vậy f  x   x  3 x  1 . Đặt g  x  f 5  2 x  4 x2 10 x hàm có TXĐ  . Đạo hàm g   x   2  f  5  2 x   4 x  5  4 4 x 3  24 x 2  43x  22 ,

x  2  g   x  0   x  4  5  2

Ta có bảng xét dấu của g  x

Bài tập 5: Cho hàm số bậc bốn y  f  x có đồ thị hàm số y  f   x như hình vẽ bên. Hàm số g  x   f  x 2  x  1 đồng biến trên khoảng

Giải: Ngoài cách giải như các BT nêu trên, ta có thể làm theo cách khác như sau: Dựa vào đồ thị ta có: f  x   a  x  1 x 1 với a  0 2

- 11 -

g   x  2 x  1 f   x 2  x 1  a  2 x  1 x 2  x x 2  x  2

2

 ax  2 x  1 x  1 x 1  x  2 2

2

Bảng biến thiên

Bài tập 6: Cho hàm số y  f ( x ) liên tục trên R và có đồ thị hàm số y  f  ( x ) như hình vẽ :

Tìm khoảng nghịch biến của hàm số y  f ( x)  x 2  2 x .

Giải:

Đặt y  g ( x)  f ( x)  x 2  2 x .

Ta có:

g  ( x )  ( f ( x)  x 2  2 x )  f  ( x )  2 x  2 .  g  ( x )  0  f  ( x )  2 x  2 .

Số nghiệm của phương trình g  ( x )  0 chính bằng số giao điểm của đồ thị hàm số f ( x ) và đường thẳng () : y  2 x  2 (như nhình vẽ dưới).

 x  1  Dựa vào đồ thị ta thấy g   x  0   x  1  x  3  Dấu của g  ( x ) trên khoảng ( a; b) được xác định như sau: Nếu trên khoảng ( a; b) đồ thị hàm f  ( x ) nằm hoàn toàn phía trên đường thẳng () : y  2 x  2 thì g ( x )  0 x  ( a; b) .

- 12 -

Nếu trên khoảng ( a; b ) đồ thị hàm f  ( x ) nằm hoàn toàn phía dưới đường thẳng

() : y  2 x  2 thì g ( x )  0 x  ( a; b) .Dựa vào đồ thị ta thấy trên (1;1) đồ thị hàm f ( x ) nằm hoàn toàn phía dưới đường thẳng () : y  2 x  2 nên g ( x )  0 x  (1;1) .Do đó hàm số nghịch biến trên (1;1) .

PHẦN II: ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI CỰC TRỊ HÀM SỐ I. lý thuyết 1. Định nghĩa Giả sử hàm số f xác định trên tập K và x0  K . Ta nói:

 x0 là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng a; b chứa x0 sao cho

a; b  K và f  x  f  x0 , x  a; b \  x0  . Khi đó f  x0  được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f .  x0 là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng a; b chứa x0 sao cho

a; b  K và f  x  f  x0 , x  a; b \  x0  . Khi đó f  x0  được gọi là giá trị cực đại của hàm số f .  Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị.  Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị.  Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị phải là một điểm trong tập hợp K.  Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số.  Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thì điểm  x0 ; f  x0  được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f . * Nhận xét:  Giá trị cực đại (cực tiểu) f  x0  nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên tập D; f  x0  chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên một khoảng a; b nào đó chứa x0 hay nói cách khác khi x0 điểm cực đại ( cực tiểu) sẽ tồn tại khoảng (a;b) chứa x0 sao cho f  x0  là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên khoảng a; b.

 Hàm số f có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập K . Hàm số có thể không có cực trị trên một tập cho trước.

2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Định lí 1: Giả sử hàm số y  f  x đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó, nếu y  f  x có đạo hàm tại điểm x0 thì f  x0   0.

Chú ý:  Đạo hàm f   x có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm x0 .

- 13 -

 Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.  Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.

3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Định lí 2: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó, nếu hàm số f có đạo hàm tại điểm

x0 thì f ' x0   0 .

 Nếu trên khoảng  x0  h; x0  và f   x  0 trên khoảng  x0 ; x0  h thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f  x.  Nếu f   x   0 trên khoảng  x0  h; x0  và f   x   0 trên khoảng  x0 ; x0  h  thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f  x.

4. Quy tắc tìm cực trị Quy tắc 1:  Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm f  x.  Bước 2: Tìm các điểm xi i  1;2;... mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.  Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu f  x  . Nếu f   x  đổi dấu khi đi qua xi thì hàm số đạt cực trị tại xi . Định lí 3: Giả sử y  f  x có đạo hàm cấp 2 trong khoảng  x0  h; x0  h với h  0. Khi đó:  Nếu f  x0   0, f  x0   0 thì hàm số f đạt cực đại tại x0 .  Nếu f  x0   0, f  x0   0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại x0 .

Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số Quy tắc 2:  Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm f   x .  Bước 2: Tìm các nghiệm xi i  1;2;... của phương trình f  x  0.  Bước 3: Tính f   x và tính f  xi .  Nếu f   xi   0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm xi .  Nếu f   xi   0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm xi .

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài tập 1: Cho hàm số y  f  x xác định và liên tục trên  có đồ thị của hàm y  f   x như hình vẽ đưới đây. Tìm số điểm cực trị của hàm số y  f  x  .

- 14 -

Bài giải: Từ đồ thị của hàm số đã cho nhận thấy dấu của đạo hàm như bảng biến thiên của hàm số y  f  x  dưới đây:

Vậy hàm số y  f  x có 2 điểm cực trị.

Bài tập 2: (Trích đề thi thử THPT Chuyên Nguyễn Du-Đ Lăc 2019) Cho hàm số y  f  x liên tục trên R và có đồ thị hàm số y  f   x như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số y  f  x .

Bài giải: Từ đồ thị hàm số y  f   x ta có bảng biến thiên

Vậy hàm số có 3 điểm cực trị.

Bài tập 3: (Trích đề thi thử sở GD-ĐT Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số y  f  x là hàm đa thức có f 2  0 và đồ thị hàm số y  f '  x  như hình vẽ bên dưới.

Số cực trị của hàm số g  x   f  x  là bao nhiêu?

Bài giải: Vì y  f  x là hàm đa thức nên lim y   và lim y   x

Từ đồ thị hàm số y  f

'

x

 x và f 2  0 , ta có bảng biến thiên sau:

- 15 -

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số g  x   f  x  có 3 cực trị.

Bài tập 4: (Trích đề thi thử ĐHSP HN 2019) Cho hàm số y  f  x xác định và liên tục trên

 có đồ thị đạo hàm y  f   x  như hình bên.

Tìm điểm cực đại của hàm số y  f  x   x 2  x.

Bài giải: Ta có: y   f   x  2 x  1  y   0  f  x  2 x  1.

Từ đồ thị ta thấy x  0 là nghiệm đơn của phương trình y   0 .

Ta có bảng biến thiên trên ;2 :

- 16 -

: Từ bảng biến thiên  hàm số đạt cực đại tại x  0 .

Bài tập 5: (Trích đề thi thử ĐH Vinh lần 3-2019) Cho hàm số f  x có đồ thị hàm số

1 y  f ' x  được cho như hình vẽ bên. Hàm số y  f  x  x 2  f 0 có nhiều nhất bao 2 nhiêu điểm cực trị trong khoảng 2;3 ?

Bài giải: Đặt g  x  f  x  

x2  f  0 2

 x  2( L)  Ta có: g ' x  f ' x   x , g ' x  0   x  0  x  2  ( Nhận xét: x  2 là nghiệm bội lẻ, x  0 có thể nghiệm bội lẻ hoặc nghiệm bội chẳn tuy nhiên không ảnh hưởng đáp số bài toán)

Suy ra hàm số y  g  x có nhiều nhất 3 điểm cực trị trong khoảng 2;3 .

- 17 -

Các bài tập tương tự: Bài tập 1: Hàm số y  f   x  có đồ thị trên một khoảng K như hình vẽ bên. y

x1

y = f'(x)

O x2 x3

x4

x

Tìm số điểm cự đại, cực tiểu của hàm số y  f  x  Bài tập 2: (Trích đề thi thử THPT Ngô Quyền-Hà Nội 2019) Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  . Đồ thị hàm số y  f  ( x ) như hình vẽ sau:

Số điểm cực trị của hàm số y  f ( x)  5 x là bao nhiêu Bài tập 3:Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên  . Đồ thị hàm số y  f   x như hình vẽ sau. Số điểm cực trị của hàm số y  f  x   2 x là bao nhiêu?

Bài tập 4: (Trích đề thi thử THPT Lê Xoay lần 1-2019) Cho hàm số y  f  x liên tục và có đạo hàm trên 0;6 . Đồ thị của hàm số y  f   x trên đoạn 0;6 được cho bởi hình bên dưới. Hỏi hàm số y   f  x  có tối đa bao nhiêu cực trị?

2

- 18 -

Bài tập 5: Cho hàm số y  f  x và đồ thị hình bên là đồ thị của đạo hàm f ' x . Hỏi đồ thị của hàm số g  x   2 f  x    x 1 có tối đa bao nhiêu điểm cực trị ?

2

Hướng dẫn giải bài tập tương tự Bài tập 1: Hàm số y  f   x  có đồ thị trên một khoảng K như hình vẽ bên.Tìm số điểm cực đại, cực tiểu của hàm số y  f  x 

y

x1

y = f'(x)

O x2 x3

x4

x

Bài giải: Dựa vào đồ thị của hàm số y  f   x  , ta có bảng xét dấu:

Như vậy: trên K , hàm số y  f  x  có điểm cực đại là x2 và điểm cực tiểu là x1 , Bài tập 2: Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục trên  . Đồ thị hàm số y  f ( x ) như hình vẽ sau:

Số điểm cực trị của hàm số y  f ( x)  5 x là bao nhiêu?

Bài giải: Ta có y  f ( x)  5 x . Suy ra y   f ( x)  5 .

- 19 -

Số điểm cực trị của hàm số y  f ( x)  5 x là số nghiệm bội lẻ của phương trình

y  0 .

Ta có y   f ( x )  5  0  f ( x)  5 .

Dựa vào đồ thị ta có y  f  ( x ) cắt đường thẳng y  5 tại duy nhất một điểm. Suy ra số điểm cực trị của hàm số y  f ( x )  5 x là 1 .

Bài tập 3: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  . Đồ thị hàm số y  f   x  như hình vẽ sau. Số điểm cực trị của hàm số y  f  x   2 x là bao nhiêu?

Bài giải: Xét hàm số g  x   f  x   2 x . Ta có g   x   f   x   2 . Từ đồ thị hàm số f  x  Ta thấy:

 x  1 .  x     0   x   + g   x  0  f  x  2   .   x  1 + g   x  0  f  x 2  x   .

+ g   x  0  f  x  2  

Từ đó suy ra hàm số y  f  x   2 x liên tục và có đạo hàm chỉ đổi dấu khi qua giá trị x.

Vậy hàm số đã cho có đúng một cực trị.

- 20 -

Bài tập 4: Cho hàm số y  f  x liên tục và có đạo hàm trên 0;6 . Đồ thị của hàm số

y  f   x trên đoạn 0;6 được cho bởi hình bên dưới. Hỏi hàm số y   f  x có 2

tối đa bao nhiêu cực trị?

Bài giải: Ta có y   f  x   y   2 f  x. f   x .

2

 f  x  0  y  0    f  x   0 f   x  0  x  1;3;5 .

Dựa vào đồ thị hàm số của y  f   x ta lập bảng biến thiên của hàm số y  f  x  trên đoạn 0;6  .

Từ bảng biến thiên, ta thấy phương trình f  x  0 có tối đa bốn nghiệm phân biệt với

0  x1  1  x2  3  x3  5  x4  6 .

Do đó, phương trình y   0 có tối đa 7 nghiệm phân biệt và đều là nghiệm đơn.

Vậy hàm số y   f  x  có tối đa 7 cực trị.

2

Bài tập 5: Cho hàm số y  f  x và đồ thị hình bên là đồ thị của đạo hàm f ' x . Hỏi đồ thị của hàm số g  x   2 f  x   x 1 có tối đa bao nhiêu điểm cực trị ?

2

Bài giải: Đặt h  x  2 f  x   x 1  h ' x   2 f ' x  2 x 1 .

Ta vẽ thêm đường thẳng y  x 1 .

2

- 21 -

Ta có h ' x  0  f ' x   x 1  x  0; x  1; x  2; x  3; x  a  a  1;2 Theo đồ thị h ' x  0  f ' x  x 1  x  0;1   a;2  3; .

Lập bảng biến thiên của hàm số h  x  . x h'(x)

∞

0 0

+

1

a

0

0

+

2

3

0

0

+∞ +

h(x)

Đồ thị hàm số g  x có nhiều điểm cực trị nhất khi h  x có nhiều giao điểm với trục hoành nhất, vậy đồ thị hàm số h  x cắt trục hoành tại nhiều nhất 6 điểm, suy ra đồ thị hàm số g  x  có tối đa 11 điểm cực trị.

PHẦN III: ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM TRONG CÁC GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ I. Lý thuyết 1. Định nghĩa. Cho hàm số y  f  x  xác định trên tập D.



 f ( x )  M , x  D  Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y  f  x trên D nếu:  . 

x0  D, f ( x0 )  M  f ( x)  m, x  D   Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f  x  trên D nếu:  .    x0  D, f ( x0 )  m 2. Phương pháp tìm GTLN,GTNN 2.1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp  Bước 1: Tính f  x  và tìm các điểm x1 , x2 ,..., xn  D mà tại đó f  x   0 hoặc hàm số không có đạo hàm.  Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

2.2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn  Bước 1:  Hàm số đã cho y  f  x xác định và liên tục trên đoạn  a; b.

- 22 -

 Tìm các điểm x1 , x2 ,..., xn trên khoảng a; b , tại đó f   x  0 hoặc f   x không xác định.  Bước 2: Tính f a , f  x1 , f  x2 ,..., f  xn , f b.  Bước 3: Khi đó:  max f  x   max  f  x1 , f  x2 ,..., f  xn , f a , f b.  a ,b 

 min f  x  min  f  x1 , f  x2 ,..., f  xn , f  a , f b .  a ,b 

2.3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng  Bước 1: Tính đạo hàm f ( x ) .  Bước 2: Tìm tất cả các nghiệm xi  ( a; b) của phương trình f ( x )  0 và tất cả các điểm i  (a; b ) làm cho f ( x ) không xác định.  Bước 3. Tính A  lim f ( x ) , B  lim f ( x ) , f ( xi ) , f (i ) . x a

xb

 Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận M  max f ( x ) , m  min f ( x ) . ( a ;b )

( a ;b )

Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).

Chú ý:

min f  x  f  a  a;b .  Nếu y  f  x đồng biến trên  a; b  thì   max f  x  f b  a;b min f ( x )  f b  a ;b  .  Nếu y  f  x nghịch biến trên  a; b thì   max f ( x)  f a   a;b  Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó.

II. Một số dạng bài tập Bài tập 1: Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên 2;2 , có đồ thị của hàm số y  f   x như hình dưới. Tìm giá trị x0 để hàm số y  f  x đạt giá trị lớn nhất trên 2;2 .

y

x

2  1 O 1

 x  1 .  x  1

Bài giải: +Từ đồ thị ta có f  x  0  

- 23 -

2

+Bảng biến thiên:

+Vậy x0  1.

Bài tập 2: Cho hàm số y  f  x có đồ thị như hình vẽ:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 

3 2

 x f   trên đoạn 0;2.  2 

Bài giải: Ta có : g ' x  

x  0  x 3  x  f '  , g ' x  0  f '   0   . Từ đó lập bảng biến  2  4  2   x  4

thiên của hàm số g  x  trên đoạn 0;2  ta được GTLN là 3, GTNN là 0.

Bài tập 3:(Trích đề thi thử THPT Thuận Thành 2-Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y  f  x  có đồ thị f  x như hình vẽ

- 24 -

1 3

Giá trị lớn nhất của hàm số g  x   f  x   x 3  x 1 trên đoạn 1;2 bằng 5 A. f  1  .

3

1 B. f 1  .

3

5 C. f  2   .

3

1 D.  .

3

Bài giải: Ta có: g   x   f   x   x 2  1  f   x    x 2  1  0  f   x  x 2  1 (*)

Từ đồ thị ta cáo bảng xét dấu x

1

1

g ( x )



0

2



g 1

g ( x)

1 3

Giá trị lớn nhất của hàm số g  x   f  x   x 3  x 1 trên đoạn 1;2 bằng

f 1 

1 3

Bài tập 4: Cho hàm số f  x có đạo hàm là f  x . Đồ thị của hàm số y  f   x được cho như hình vẽ bên.

Biết rằng

f 0  f 3  f  2  f 5 . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của f  x  trên đoạn 0;5?

Bài giải:

Từ đồ thị hàm số y  f   x  ta có BBT như sau:

- 25 -

min f  x  f  2 và f 3  f 2 0;5

f 0  f 3  f 2  f 5  f 0  f 5  f  2  f 3  0 

Mà

f 0  f 5 .

Vậy : m  f  4, M  f  2.

Bài tập 5: (Trích đề thi thử sở GD-ĐT Quảng Ninh lần 1- 2019) Cho hàm số f ( x) . Biết hàm số

y  f ( x)

có

đồ

thị

như

hình

bên.Trên

đoạn

[  4;3] ,

hàm

số g ( x)  2 f ( x )  (1  x) đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm nào?

2

Bài giải: Ta có g ( x)  2 f ( x)  (1 x) 2  g '( x )  2 f ( x)  2(1  x)  2[ f ( x )  (1  x )]

 x  4  g '( x)  0  f '( x)  1  x   x  1 .  x  3  Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, suy ra g ( x ) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [  4;3] tại x0  1 Ta có: g ( x)  2 f ( x)  (1 x) 2  g '( x )  2 f ( x)  2(1  x)  2[ f ( x )  (1  x )] Vì trong đoạn [  4; 1] đồ thị hàm số y  f '( x) nằm phía dưới đồ thị hàm số

y  1 x

- 26 -

 f '( x)  1 xx  [  4;1]  g '( x)  0 x  [4;1]  g ( x) nghịch biến trên (-4;-1)  g (4)  g (3)  g (1)

(*)

Vì trong đoạn [-1;3] đồ thị hàm số y  f '( x) nằm phía trên đồ thị hàm số y  1  x

 f '( x)  1 xx  [-1;3]  g '( x)  0 x  [1;3]  g ( x) đồng biến trên (-1;3)  g (3)  g (1) (**)

Từ (*) và (**) suy ra g ( x ) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [  4;3] tại x0  1

Các bài tập tương tự: Bài tập 1: Cho hàm số f  x có đạo hàm trên R và có đồ thị hàm số y  f ' x như hình vẽ.

Biết rằng f 1  f  2  f 1  f  4 , các điểm A1;0, B 1;0 thuộc đồ thị.

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f  x trên đoạn 1;4 .

Bài tập 2: (Trích đề thi HK2 năm 2019-THPT Nguyễn Huệ, Hà Nội) Cho hàm số f  x . Biết hàm số y  f   x  có đồ thị như hình bên dưới. Trên đoạn 4;3 , hàm số

g  x  2 f  x  1 x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm náo?

2

- 27 -

Bài tập 3: (Trích đề thi thử Thuận Thành-Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y  f  x . Đồ thị hàm

y  f ' x  như hình vẽ dưới đây.

Xét 1 3 3 số g  x   f  x   x 3  x 2  x  2018 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

3 4 2 B. min g  x  g 3 .

A. min g  x  g 1 .

số

đạo

hàm

3;1

hàm

3;1

g 3  g 1 .

D. min g  x   g 1 . 3;1 3;1 2 Bài tập 4: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm và liên tục trên  . Biết rằng đồ thị hàm số y  f   x như dưới đây.

C. min g  x  

6

y 5 4

3 2

-1

x O

1

2

-1 2

Lập hàm số g  x  f  x   x 2  x . Hãy so sánh g 1; g  2 Hướng dẫn giải: Bài tập 1: Cho hàm số f  x có đạo hàm trên R và có đồ thị hàm số y  f ' x như hình vẽ.

Biết rằng f 1  f  2  f 1  f  4 , các điểm A1;0, B 1;0 thuộc đồ thị.

Tim giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f  x  trên đoạn 1;4  .

Bài giải: Bảng biến thiên:

- 28 -

Ta có: f 1  f 1, f 1  f  2, f 1  f 4 mà

f 1  f  2  f 1  f 4  f  2  f 1  f  4  f 1  0  f  4  f 1 Vậy giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f  x trên đoạn 1;4 lần lượt là

f 1; f  4 Bài tập 2: Cho hàm số f  x . Biết hàm số y  f   x có đồ thị như hình bên dưới. Trên đoạn

4;3 , hàm số g  x  2 f  x  1 x

2

đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm nào?

Bài giải: Ta có g   x  2 f   x  21 x  2  f   x  1 x

Vẽ đường thẳng y  1  x trên cùng hệ trục chứa đồ thị y  f   x  .

 x  4  Dựa vào hình vẽ ta có g  x   0  f  x   1  x   x  1 .  x  3  Ta có bảng biến thiên

- 29 -

Vậy hàm số g  x  2 f  x  1  x  đạt giá trị nhỏ nhất tại x0  1 2

Bài tập 3: Cho hàm số y  f  x . Đồ thị hàm số đạo hàm y  f ' x như hình vẽ dưới đây.

1 3

Xét hàm số g  x   f  x   x 3  A. min g  x   g 1 . 3;1

3 2 3 x  x  2018 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

4 2 B. min g  x   g 3 . 3;1

g 3  g 1 .

D. min g  x   g 1 . 3;1 3;1 2 Bài giải: Cho hàm số y  f  x . Đồ thị hàm số đạo hàm y  f ' x như hình vẽ dưới đây. Xét C. min g  x  

1 3 3 3 3 hàm số g  x  f  x  x3  x 2  x  2018  g ' x  f ' x  x 2  x  3 4 2 2 2

 x  3  3 3 3 3 2 Cho g ' x  f ' x   x  x   0  f ' x  x  x    x  1  2 2 2 2 x 1  2

Dựa vào đồ thị ta so sánh được min g  x   g 1 . 3;1

Bài tập 4: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm và liên tục trên  . Biết rằng đồ thị hàm số

y  f   x như dưới đây.

- 30 -

6

y 5 4

3 2

-1

x O

1

2

-1 2

Lập hàm số g  x  f  x  x 2  x . Hãy so sánh g 1; g  2 Bài giải: Ta có g   x  f   x  2 x  1.

Ta thấy đường thẳng y  2 x  1

là

đường

thẳng

đi

qua

các

điểm

A1;1, B 1;3, C 2;5 .

Từ đồ thị hàm số y  f   x  và đường thẳng y  2 x  1 ta có bảng biến thiên

Vậy: g 1  g  2.

MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP (Sưu tầm) Câu 1.

Cho hàm số f  x có đạo hàm f ' x xác định, liên tục trên 

y

và f ' x có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên 1; .

O 1

B. Hàm số đồng biến trên ;1 và 3; .

C. Hàm số nghịch biến trên ;1.

x

-4

D. Hàm số đồng biến trên ; 1  3; .

Câu 2.

3

-1

Cho hàm số f  x có đạo hàm f  x xác định, liên tục trên

y

 và f ' x  có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số f  x  đồng biến trên ;1.

B. Hàm số f  x đồng biến trên ;1 và 1; .

x O

1

C. Hàm số f  x đồng biến trên 1; .

D. Hàm số f  x đồng biến trên .

Câu 3.

Cho hàm số f  x  xác định trên  và có đồ thị hàm số f ' x  là đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

- 31 -

A. Hàm số f  x nghịch biến trên khoảng1;1. B. Hàm số f  x đồng biến trên khoảng 1; 2.

C. Hàm số f  x  đồng biến trên khoảng 2;1. D. Hàm số f  x  nghịch biến trên khoảng 0; 2.

Câu 4.

Cho hàm số f  x xác định trên  và có đồ thị của hàm số f   x như hình vẽ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số y  f  x đồng biến trên khoảng 4;2.

B. Hàm số y  f  x đồng biến trên khoảng ; 1.

C. Hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng 0;2.

D. Hàm số y  f  x nghịch biến trên khoảng ;4 và 2; .

Câu 5.

Cho hàm số f  x  ax 4  bx3  cx 2  dx  e a  0 . Biết rằng hàm số f  x có đạo hàm là f ' x  và hàm số y  f ' x  có đồ thị như hình vẽ bên. Khi đó nhận xét nào sau đây là sai? y 4

x -2

-1 O

1

A. Trên 2;1 thì hàm số f  x luôn tăng. B. Hàm f  x giảm trên đoạn 1;1 .

C. Hàm f  x  đồng biến trên khoảng 1; . nghịch biến trên khoảng ;2 Câu 6.

Cho hàm số y  f  x liên tục và xác định trên  . Biết f  x có đạo hàm f ' x và hàm số y  f ' x có đồ thị như hình vẽ, khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số f  x đồng biến trên .

B. Hàm số f  x  nghịch biến trên .

C. Hàm số f  x chỉ nghịch biến trên khoảng ;0 .

D. Hàm số f  x nghịch biến trên khoảng 0; .

Câu 7.

Cho hàm số y  f  x liên tục và xác định trên  .

Biết f  x  có đạo hàm f ' x  và hàm số y  f ' x  có đồ thị như hình vẽ. Xét trên ;  , khẳng định

- 32 -

D.

Hàm f  x 

nào sau đây đúng?

A. Hàm số f  x  đồng biến trên khoảng ;   .

B. Hàm số f  x nghịch biến trên khoảng ;  .

      C. Hàm số f  x nghịch biến trên khoảng ;  và  ;   .

 2   2  D. Hàm số f  x đồng biến trên khoảng 0; .

Câu 8. Cho hàm số y  f  x. Đồ thị hàm số y  f   x như hình bên. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hàm số f  x đồng biến trên 2;1.

B. Hàm số f  x đồng biến trên

1;.

C. Hàm số f  x nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 .

D. Hàm số f  x

nghịch biến trên ; 2.

Câu 9.

Cho hàm số y  f  x. Hàm số y  f '( x) có đồ thị như hình bên. Hàm số y  g  x   f ( 2  x) đồng biến trên khoảng A. 1;3 B. 2; C. 2;1

D. ;2

Câu 10. ĐỀ CHÍNH THỨC 2018 - 103 Cho hai hàm số y  f  x , y  g  x . Hai hàm số

y  f   x  và y  g  x  có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số y  g   x  . y  f x

y

10 8 5 4 O 3

8 1011

x

y  g x

 

 2 

3 Hàm số h x   f  x  4  g  2 x   đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

- 33 -

 31 .  5 

A. 5;

9 4

 

 31  ;   .  5 

B.  ; 3 .  

C. 

 

D. 6;

25  .

4 

Câu 11. Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f   x  có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số

y  f  x 2  đồng biến trong khoảng y

y  f '( x ) O

1

 1 1  A.  ;  .

1

4

x

  D. 2; 1 .  2 2   2  Câu 12. Cho hàm số y  f  x. Đồ thị hàm số y  f   x như hình bên. Hỏi hàm số B. 0;2 .

1 C.  ;0 .

g  x  f  x 2  đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A. ;1.

B. 1; .

C. 1;0.

D. 0;1.

Câu 13. Cho hàm số y  f  x   ax 4  bx 3  cx 2  dx  e , đồ thị hình bên là đồ thị của hàm số y  f   x  . Xét hàm số g  x   f  x 2  2 . Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. Hàm số g  x nghịch biến trên khoảng ; 2.

B. Hàm số g  x

đồng biến trên khoảng 2; .

C. Hàm số g  x nghịch biến trên khoảng 1;0.

D. Hàm số g  x

nghịch biến trên khoảng 0;2.

Câu 14. Cho hàm số 2. Đồ thị hàm số y  f   x như hình bên dưới

Hỏi hàm số g  x  f  x 2  5 có bao nhiêu khoảng nghịch biến?

A. g  x   f  x 2  2 x  2

B. 3.

C. 4. D. 5.

Câu 15. Cho hàm số y  f ( x). Hàm số y  f '( x) có đồ thị như hình bên. Hàm số y  f ( x  x 2 )

- 34 -

nghịch biến trên khoảng?

  2

 

  2

  1  3 C. ;  .

D.  ;  .    2  2  Câu 16. Cho hàm số y  f ( x ). Hàm số y  f ( x ) có đồ thị như hình bên. Hàm số y  f (1  2 x  x 2 ) đồng biến trên khoảng dưới đây?

1 A.  ;  .

3 B.  ;  .

A. ;1 .

B. 1; .

C. 0;1 .

D. 1;2 .

Câu 17. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm là hàm số f  x  trên  . Biết rằng hàm số

y  f   x  2  2 có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số f  x nghịch biến trên khoảng nào? y

2

x

2

O

1

3

-1

  D. 2; .  2 2  Câu 18. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm là hàm số f  x trên  . Biết rằng hàm số y  f   x  2  2 có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số f  x nghịch biến trên A. ;2 .

B. 1;1 .

3 5 C.  ;  .

B. 1;1, 3;5 .

C. ; 2, 0;2 .

khoảng nào?

A. 3;1, 1;3 .

5;3, 1;1.

- 35 -

D.

Câu 19. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên . Đồ thị hàm số y  f   x như hình bên dưới

Đặt g  x  f  x  x, khẳng định nào sau đây là đúng?

A. g  2  g 1  g 1.

B. g 1  g 1  g  2. C.

g 1  g 1  g  2.

D. g 1  g 1  g  2.

Câu 20. Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm liên tục trên . Bảng biến thiên của hàm số  x y  f ( x ) được cho như hình vẽ dưới đây. Hàm số y  f 1   x nghịch biến  2 trên khoảng

A. (2;4).

C. (2;0).

B. (0;2).

D. (4;2).

Câu 21. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên  và hàm số y  f   x có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số y  f  x đạt cực đại tại điểm x  1.

B. Hàm số

y  f  x đạt cực tiểu tại điểm x  1.

C. Hàm số y  f  x  đạt cực tiểu tại điểm x   2. y  f  x đạt cực đại tại điểm x   2 . y

D.

Hàm

số

f 'x 

4

2 x -2

-1 O -2

-1

Câu 22. Cho hàm số f  x  xác định trên  và có đồ thị của hàm số f   x  như hình vẽ bên.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. f  x đạt cực tiểu tại x  0.

B. f  x đạt cực tiểu tại x  2.

- 36 -

C. f  x đạt cực đại tại x  2.

D. Giá trị cực tiểu của f  x nhỏ hơn giá trị cực đại của f  x .

Câu 23. Hàm số y  f  x liên tục trên khoảng K , biết đồ thị của

y

hàm số y  f ' x  trên K như hình vẽ bên. Tìm số cực trị của hàm số y  f  x  trên K .

A. 1.

B. 2.

C. 3.

1

x

D. 4.

Câu 24. Hàm số f  x  có đạo hàm f ' x  trên khoảng K . Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số f ' x trên khoảng K . Hỏi hàm số f  x có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 4.

Câu 25. Cho hàm số y  f  x  xác định trên  và có đồ thị hàm số

y  f ' x là đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số y  f  x đạt cực tiểu tại x  2 và x  0 .

B. Hàm số y  f  x có 4 cực trị.

C. Hàm số y  f  x đạt cực tiểu tại x  1 .

D. Hàm số y  f  x  đạt cực đại tại x  1 .

Câu 26. Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị hàm số y  f  x. Số điểm cực trị của hàm số y  f  x là

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Câu 27. Cho hàm số f  x có đồ thị f  x của nó trên khoảng K như hình vẽ. Khi đó trên

K , hàm số y  f  x  có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1.

B. 4.

C. 3.

- 37 -

D. 2.

Câu 28. Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f   x  có đồ thị trên một khoảng K như hình vẽ bên.

Trong các khẳng định sau, có tất cả bao nhiêu khẳng định đúng ?  I  . Trên K , hàm số y  f  x có hai điểm cực trị.  II  . Hàm số y  f  x đạt cực đại tại x3 .

 III  . Hàm số

y  f  x  đạt cực tiểu tại x1 .

B. 0 .

C. 1 .

D. 2 .

A. 3 .

Câu 29. Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f   x  có đồ thị trên một khoảng K như hình vẽ bên. y

y = f'(x)

O x1

x x2

x3

Trong các khẳng định sau, có tất cả bao nhiêu khẳng định đúng ?  I  . Trên K , hàm số y  f  x có ba điểm cực trị.  II  . Hàm số y  f  x đạt cực tiểu tại x3 .

 III  . Hàm số

y  f  x  đạt cực tiểu tại x2 .

B. 0 .

C. 1 .

D. 2 .

A. 3 .

Câu 30. Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f   x  có đồ thị trên một khoảng K như hình vẽ bên. y

x1

y = f'(x)

O x2 x3

Chọn khẳng định đúng ?

A. Hàm số y  f  x  có 2 cực đại và 2 cực tiểu. có 3 cực đại và 1 cực tiểu.

C. Hàm số y  f  x  có 1 cực đại và 2 cực tiểu. y  f  x  có 2 cực đại và 1 cực tiểu.

- 38 -

x x4

B. Hàm số y  f  x  D.

Hàm

số

Câu 31. Cho hàm số y  f  x . Biết f  x có đạo hàm f ' x và hàm số y  f ' x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số g  x  f  x 1 đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?

A. x  2.

B. x  4.

C. x  3.

D. x  1.

Câu 32. Hàm số y  f  x liên tục trên khoảng K , biết đồ thị của hàm số y  f ' x trên

K như hình vẽ. Tìm số cực trị của hàm số g  x  f  x  1 trên K ?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 33. Cho hàm số f  x  có đồ thị f  x  của nó trên khoảng K như hình vẽ. Khi đó trên K , hàm số y  f  x  2018 có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1.

B. 4.

C. 3.

D. 2.

Câu 34. Cho hàm số f  x  xác định trên  và có đồ thị của

f  x như hình vẽ bên. Hàm số f  x  2018 có mấy điểm cực trị?

B. 2 .

A. 1 .

y

y

hàm số

C. 3 .

x

O

O

f x



x

D. 4 .

Câu 35. Cho hàm số f  x xác định trên  và có đồ thị của hàm số

f  x như hình vẽ. Hàm số y  g  x  f  x  4 x có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 36. Cho hàm số f  x  xác định trên  và có đồ thị f  x  như hình vẽ bên dưới. Hàm số g x   f  x   x đạt cực đại tại

- 39 -

.

A. x  1.

B. x  0.

C. x  1.

D. x  2.

Câu 37. Cho hàm số f  x  xác định trên  và có đồ thị của hàm số f  x  như hình vẽ. Hàm số y  g  x  f  x  3x có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 38. Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  .Đồ thị hàm số y  f   x như hình vẽ sau:

Số điểm cực trị của hàm số: y  f ( x)  5 x là A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 1 Câu 39. Cho hàm số y  f  x liên tục trên  . Hàm số y  f ' x có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số y  g  x   f  x  

2017  2018 x có bao nhiêu cực trị?

2017 y 5

2 1

x x1

x2 x3

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 40. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục trên  và f 0  0, đồng thời đồ thị hàm số y  f   x như hình vẽ bên dưới

- 40 -

Số điểm cực trị của hàm số g  x  f 2  x là A. 1.

B. 2.

C. 3.

Câu 41. Cho hàm số y  f  x xác định và có đạo hàm f   x . Đồ thị

D. 4.

của hàm số f   x  như hình dưới đây. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng  ;2 .

B. Hàm số y  f  x đồng biến trên khoảng  ; 1 .

C. Hàm số y  f  x có ba điểm cực trị.

D. Hàm số y  f  x nghịch biến trên khoảng 0;1 .

Câu 42. Cho hàm số y  f  x  . Đồ thị của hàm số y  f ' x  như hình bên. Đặt

g  x  f  x  x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. g 1  g 1  g  2 .

B. g  2  g 1  g 1 . C.

g  2  g 1  g 1 .

D. g 1  g 1  g  2 Câu 43. Cho hàm số y  f  x xác định, liên tục trên  và có f 2  0 và đồ thị hàm số f  x như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?

A. Hàm số y  f 1  x 2020  nghịch biến trên khoảng ; 2 .B. Hàm số y  f 1  x 2020  có hai cực tiểu.

C. Hàm số y  f 1  x 2020  có hai cực đại và một cực tiểu.

D. Hàm số y  f 1  x 2020  đồng

biến trên khoảng 2; .

Câu 44. Người ta khảo sát gia tốc a t  của một vật thể chuyển động ( t là khoảng thời gian

- 41 -

tính bằng giây từ lúc vật thể chuyển động) từ giây thứ nhất đến giây thứ 10 và ghi nhận được a t  là một hàm số liên tục có đồ thị như hình bên dưới. Hỏi trong thời gian từ giây thứ nhất đến giây thứ 10 được khảo sát đó, thời điểm nào vật thể có vận tốc lớn nhất?

A. giây thứ 7.

B. giây thứ nhất.

C. giây thứ 10.

D. giây thứ 3.

Câu 45. Cho hàm số y  f  x liên tục trên R . Đồ thị của hàm số y  f   x như hình bên. Đặt g  x  2 f  x   x  1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng. y 2

4 2 3 O 1 2

3

x

A. Min g ( x )  g (1).

B. Max g ( x )  g (1).

C. Max g ( x )  g (3).

D. Không tồn tại giá trị nhỏ nhất của g ( x ) trên 3;3.

3;3

3;3

3;3

Câu 46. Cho hàm số y  f  x có đạo hàm và liên tục trên  . Biết rằng đồ thị hàm số

y  f   x như dưới đây.

6

y 5 4

3 2

-1

x O

1

2

-1 2

Lập hàm số g  x  f  x   x 2  x . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. g 1  g 1 .

B. g 1  g 1 .

C. g 1  g  2 .

D. g 1  g 2 .

y  f  x  có đồ thị y  f   x  như hình vẽ. Xét hàm số 1 3 3 g  x  f  x  x3  x 2  x  2018 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

3 4 2

Câu 47. Cho hàm số

- 42 -

y

3 1 1

x

O1

3

2

A. min g  x   g 1 .

B. min g  x   g 1 . C.

3; 1

3; 1

min g  x  g 3 . D. min g  x  3; 1

3; 1

g 3  g 1 .

2

Câu 48. Hàm số y  f  x có đồ thị y  f   x như hình vẽ.

1 3

Xét hàm số g  x  f  x   x 3 

3 2 3 x  x  2017 . Trong các mệnh đề dưới đây: 4 2

(I) g 0  g 1

(II) min g  x   g 1 x3;1

(III) Hàm số g  x nghịch biến trên 3; 1

(IV)

max g  x   max  g 3; g 1

x3;1

Số mệnh đề đúng là A. 2.

B. 1.

C. 3.

- 43 -

D. 4.