Một số bài toán về khoảng cách trong không gian thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QG MÔN TOÁN

vectorstock.com/30110321

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN EBOOK PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

Một số bài toán về khoảng cách trong không gian thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng; đề thi học sinh giỏi, các đề thi tốt nghiệp, đề thi THPTQG WORD VERSION | 2021 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

PHẦN 1. MỞ ĐẦU Trong chương trình toán THPT bài toán về khoảng cách trong không gian giữ một vai trò quan trọng, nó xuất hiện ở hầu hết các đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng; đề thi học sinh giỏi, các đề thi tốt nghiệp, đề thi THPTQG trong những năm gần đây. Đây là phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có tư duy sâu sắc, có trí tưởng tượng hình không gian phong phú nên đối với học sinh đại trà, đây là mảng kiến thức khó và thường để mất điểm trong các kì thi nói trên.

Với mong muốn cung cấp cho các em học sinh phương pháp giải một số bài toán về tính khoảng cách trong hình học không gian nên tôi đã lựa chọn đề tài: “Một số bài toán về khoảng cách trong không gian”. Hi vọng đề tài sẽ cung cấp cho học sinh những kiến thức bổ ích và cũng là tài liệu tham khảo tốt cho bạn bè, đồng nghiệp.

PHẦN 2. NỘI DUNG A. CƠ SỞ LÍ THUYẾT 1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Cho điểm M và đường thẳng ∆. Gọi H là hình chiếu của M trên ∆. Khi đó độ dài đoạn thẳng MH được gọi là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆.

Kí hiệu d (M , ∆) H

∆

A

M

d (M , ∆) = MH ≥ MA với mọi điểm A ∈ ∆ .

* Nhận xét: Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ ta có thể Việc dựng hình chiếu của một điểm trên đường thẳng trong không gian, ta có thể làm theo 2 cách sau: + Dựng mặt phẳng đi qua điểm và đường thẳng đã cho. Rồi trên mặt phẳng đó qua điểm đã cho dựng đoạn vuông góc từ điểm tới đường thẳng. + Dựng một mặt phẳng đi qua điểm đã cho và vuông góc với đường thẳng, lúc đó giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng vừa dựng chính là hình chiếu của điểm trên đường thẳng. Tính toán: Sau khi đã xác định được khoảng cách cần tính, ta dùng các hệ thức lượng trong tam giác, đa giác, đường tròn, … để tính toán.

2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Cho điểm M và mặt phẳng (α). Gọi H là hình chiếu của M trên (α). Khi đó độ dài đoạn thẳng MH được gọi là khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α). Kí hiệu d (M ,(α)) M

N H α

(

)

d M , (α) = MH ≥ MN với mọi điểm N ∈ ∆ .

1

* Nhận xét: Để tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) ta có thể sử dụng một trong các cách sau: Cách 1. Tính trực tiếp. Xác định hình chiếu H của M trên (α) và tính MH * Phương pháp chung. (β) - Dựng mặt phẳng (P) chứa M và vuông góc với (α) M - Tìm giao tuyến ∆ của (P) và (α) - Kẻ MH ⊥ ∆ ( H ∈ ∆ ). Khi đó d (M ,(α)) = MH .

H (α )

* Đặc biệt: + Trong hình chóp đều, thì chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm đáy. + Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường vuông góc hạ từ đỉnh sẽ thuộc giao tuyến của mặt bên đó với đáy. + Hình chóp có 2 mặt vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao tuyến của hai mặt này. + Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc tạo với đáy những góc bằng nhau) thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy. + Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy.

Cách 2. Sử dụng công thức thể tích 1 3V S .h ⇔ h = . Theo cách này, để tính 3 S khoảng cách từ đỉnh của hình chóp đến mặt đáy, ta đi tính V và S Cách 3. Sử dụng phép trượt đỉnh Ý tưởng của phương pháp này là: bằng cách trượt đỉnh M trên một đường thẳng đến một vị trí thuận lợi M ' , ta quy việc tính d (M ,(α)) về việc tính d (M ',(α)) . Ta thường sử dụng những kết quả sau:

Thể tích của khối chóp V =

Kết quả 1. Nếu đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (α) và M, N ∈ ∆ thì d (M ,(α)) = d (N ,(α)) M

N

M'

N'

(α)

2

Kết quả 2. Nếu đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (α) tại điểm I và M, N ∈ ∆ (M, N d (M ,(α)) MI không trùng với I) thì = d (N ,(α)) NI M N I (α)

* Đặc biệt, nếu I là trung điểm của MN thì d (M ,(α)) = d (N ,(α)) Chú ý: - Nếu hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC ) khi đó ta xác định khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC) như sau: + Dựng AK ⊥ BC , AH ⊥ SK (hình vẽ) + Khi đó do BC ⊥ SA, BC ⊥ AK ⇒ BC ⊥ (SAK ) ⇒ BC ⊥ AH mà AH ⊥ SK nên AH ⊥ (SBC ) .

(

)

Do đó d A, (SBC ) = AH - Nếu bài toán yêu cầu tính khoảng cách từ một điểm M không phải là điểm A (chân đường cao từ S) thi ta có thể sử dụng Kết S quả 2 để quy về tính khoảng cách từ điểm A. Cách 4. Sử dụng tính chất của tứ diện vuông Cơ sở của phương pháp này là tính chất sau: Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O ( H OA ⊥ OB,OB ⊥ OC ,OC ⊥ OA ) và H là hình C chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Khi đó đường cao OH được tính bằng công thức A 1 1 1 1 = + + OH 2 OA2 OB 2 OC 2

K B

3

_O

_A

_C _H

_B

Cách 5. Sử dụng phương pháp tọa độ Cơ sở của phương pháp này là ta cần chọn hệ tọa độ thích hợp sau đó sử dụng các công thức sau: Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D

với M (x 0 ; y 0 ; z 0 ) , A2 + B 2 + C 2 (α) : Ax + By + Cz + D = 0

  MA ,u

 d (M , ∆) =   với ∆ là đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương u u

d (M ,(α)) =

  u, u ' .AA ' d (∆, ∆ ') =   với ∆, ∆ ' lần lượt là đường thẳng đi qua A, A ' và có vtcp   u, u '  

u, u '

3. Khoảng giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song.

Cho đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (α). Khoảng cách giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (α) là khoảng cách từ một điểm bất kì của ∆ đến mặt phẳng (α). Kí hiệu d (∆,(α)) M

H α

(

)

d (∆,(α)) = d M , (α) với M ∈ ∆ .

* Nhận xét: Việc tính khoảng cách từ đường thẳng ∆ đến mặt phẳng (α) được quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

4

4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Kí hiệu d ((α),(β )) M

N α

H

K

β

* Nhận xét: Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Đường thẳng ∆ cắt cả a và b đồng thời vuông góc với cả a và b được gọi là đường vuông góc chung của a và b. Đường vuông góc chung ∆ cắt a tại H và cắt b tại K thì độ dài đoạn thẳng HK gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b. Kí hiệu d (a, b) .

H a

b K

Đoạn HK xác định như trên được gọi là đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b. * Nhận xét: Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau a và b ta làm như sau: + Tìm H và K từ đó suy ra d (a,b ) = HK . + Tìm một mặt phẳng (P) chứa a và song song với b. Khi đó d (a, b) = d (b,(P )) . + Tìm cặp mặt phẳng song song (P), (Q) lần lượt chứa a và b. Khi đó d (a, b) = d ((P ),(Q )) . + Sử dụng phương pháp tọa độ. * Đặc biệt:

5

- Nếu a ⊥ b thì ta tìm mặt phẳng (P) chứa a và vuông góc với b, tiếp theo ta tìm giao điểm I của (P) với b. Trong mp(P), hạ đường cao IH. Khi đó d (a, b) = IH - Nếu tứ diện ABCD có AC = BD, AD = BC thì đoạn thẳng nối hai trung điểm của AB và CD là đoạn vuông góc chung của AB và CD. * Cách dựng đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau: + Cách 1: Giả sử a, b là hai đường thẳng chéo nhau và a ⊥ b . b

a

B A

α

- Dựng mặt phẳng (α) chứa a và vuông góc với b tại B. - Dựng BA ⊥ a tại A. Đoạn AB là đoạn vuông góc chung của a và b. + Cách 2: Cho a và b chéo nhau.

M

B

a α

b

b' A

M'

- Dựng (α) chứa a và song song với b.

- Chọn điểm M trên b dựng MM ' ⊥ (α) tại M’.

- Từ M’ dựng b’ // b cắt a tại A. - Từ A dựng AB // MM’ cắt b tại B. - Đoạn AB là đoạn vuông góc chung của a và b. + Cách 3: Cho a và b chéo nhau.

6

b

a A

B b'

O α

H

I

- Dựng mặt phẳng (α) ⊥ a tại O, (α) cắt b tại I. - Dựng hình chiếu vuông góc b’ của b trên (α) .

- Dựng trong mặt phẳng (α) đường OH ⊥ b ' .

- Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại điểm B. - Từ B dựng đường thẳng song song với OH, cắt a tại A. Đoạn AB là đoạn vuông góc chung của a và b.

7

B. CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ.

I. Phương pháp tính trực tiếp.

Ví dụ 1. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều tâm O, cạnh a, hình chiếu của C’ trên mp(ABC) trùng với tâm của đáy. Cạnh bên CC’ hợp với mp(ABC) góc 60 . Gọi I là trung điểm của AB. Tính các khoảng cách: a) Từ điểm O đến đường thẳng CC’. b) Khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng IC’ Hướng dẫn: Theo giả thiết, suy ra: C 'O ⊥ (ABC ), suy ra: OC là hình chiếu của CC ' lên (ABC )

⇒ CC ', (ABC ) = C 'CO ⇒ C 'CO = 60

(

)

Trong mp(C’CO) dựng OH ⊥ CC' tại H ta được: d (O,CC ') = OH .

Xét ∆COH ⇒ OH = OC .sin 30 = Suy ra: d (O,CC ') =

a 2

a .

2

b) Trong mp(C’IC) dựng CK⊥ IC' tại K ta được: d (C , IC ') = CK .

Xét ∆CIC ' ⇒ OC '.CI = CK .IC ' ⇒ CK =

OC '.CI .

IC '

Mà a 3 a2 13a 2 2 2 2 2 OC ' = OC tan 60 = a;CI = ; IC ' = IO + OC ' = +a = 2 12 12

3a 13 .

13 Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE. Hướng dẫn: Vì SA⊥ ABCD, trong mặt phẳng (ABCD) nếu dựng AH ⊥ BE tại H thì SH⊥ BE (định lí 3 đường vuông góc). Tức là khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE bằng đoạn SH. Ta có:

Nên d (C , IC ') = CK =

8

S ∆ABE

1 a2 1 = AB.EF = = AH .BE 2 2 2

Mà BE = BC 2 + CE 2 = a 2 +

a2 a 5 = 4 2

a2 2a Nên AH = = , mà △SAH vuông tại A, BE 5 nên: SH = SA2 + AH 2 = a 2 +

4a 2 3a 5 = .

5 5

3a 5 .

5 Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O, SA⊥ (ABCD), SA = a. Gọi I là trung điểm của SC và M là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng CM Hướng dẫn: Do IO ⊥ (ABCD) nên nếu dựng OK ⊥ CM (K ∈CM) thì IK ⊥ CM. Tức là: d (I, CM) = IK.

Vậy d (S , BE ) =

Mà IK = OI 2 + OK 2 =

a2 + OK 2 4

1 Do S ∆OMC = OK .MC 2 a 2 a 2 a 2  2  − −   2 8 4  2S a ⇒ OK = ∆OMC = = MC 2 5 a2 a2 + 4

a2 a2 a 30 + = .

4 20 10 Ví dụ 4. Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC = 2a, = 60 . Gọi M là trung điểm cạnh BC và SA = SC = SM = a 5 . Tính ABC

Vậy d (I ,CM ) = IK =

khoảng cách từ S đến cạnh AB? Hướng dẫn: Chân đường cao hình chóp là tâm H của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC = 120 , nên H ở ngoài tam giác AMC và (Do SA = SC = SM). Góc AMC HAM là tam giác đều nên: 9

HM = AM = a, SH = SM 2 − HM 2 = 5a 2 − a 2 = 2a . Từ H kẻ HK ⊥ AB thì SK ⊥ AB ⇒ SK là khoảng cách từ S đến cạnh AB. HK = MI =

a 3 (do ABM là tam giác đều cạnh bằng a). Do đó 2

3a 2 a 19 = d (S , AB ) = SK = SH + HK = 4a + .

4 2 Ví dụ 5: (Đề minh họa thi THPTQG năm 2018) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A’C’ bằng 2

A. a 3

2

B. a

3a 2

C.

2

D. a 2 Hướng dẫn:

Do (ABCD ) (A ' B 'C ' D ') nên

(

)

d (BD, A 'C ') = d (ABCD ), (A ' B 'C ' D ')

= AA ' = a Ví dụ 6: (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S .ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B , AB = a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC ) bằng

A.

a 2

a 2 a 6 D. 2 3 Hướng dẫn:

C.

B. a

Chọn D S

H A

C

B

Kẻ AH ⊥ SB trong mặt phẳng (SBC ) 10

BC ⊥ AB Ta có:  ⇒ BC ⊥ (SAB ) ⇒ BC ⊥ AH  BC ⊥ SA  AH ⊥ BC 1 a 2 Vậy  ⇒ AH ⊥ (SBC ) ⇒ d A, (SBC ) = AH = SB = .  AH ⊥ SB 2 2  Ví dụ 7: (Đề thi THPTQG năm 2017) Cho hình nón đỉnh S có chiều cao h = a và bán kính đáy r = 2a. Mặt phẳng (P ) đi qua S và cắt đường tròn đáy tại A và

(

)

B sao cho AB = 2 3a. Tính khoảng cách d từ tâm của đường tròn đáy đến (P).

A. d =

3a 2

C.

2a 2 Hướng dẫn: Gọi O là tâm đường tròn đáy của hình nón, I là trung điểm của đoạn thẳng AB, H là hình chiếu vuông góc của O lên SI. Ta có d=

5a 5

B. d = a

S

D. d =

H A

D

B

C

AB ⊥ OI , AB ⊥ SO ⇒ AB ⊥ (SOI ) ⇒ AB ⊥ OH (1)

Mặt khác: OH ⊥ SI (2).

(

)

Từ (1) và (2) ⇒ OH ⊥ (SAB ) ⇒ d = d O, (SAB ) = OH .

2

 AB   = 4a 2 − 3a 2 = a Ta có OI = r − AI = r −   2  2

2

2

Suy ra SO = OI = a ⇒ ∆SOI vuông cân tại O ⇒ H là trung điểm của cạnh SI SI SO 2 a 2 a 2 = = ⇒d = 2 2 2 2 Ví dụ 8: Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD = 2a và có cạnh SA vuông góc mp (ABCD ) ,

S

⇒ OH =

với SA = a 6 . Tính khoảng cách từ A đến mp (SCD ) .

Hướng dẫn: Vì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD = 2a nên ta có AD//BC, AB = BC = CD = a 11

h

H

O

B A

I

AC ⊥ CD, AB ⊥ BD , AC = BD = a 3 CD ⊥ AC  Ta có  ⇒ CD ⊥ mp(SAC) CD ⊥ SA   Kẻ AH ⊥ SC tại H ta có AH ⊥ CD Nên AH ⊥ mp(SCD). Vậy AH = d (A;(SCD )) Xét tam giác SAC vuông tại A có AH là đường cao Do đó

1 1 1 1 1 = + = + 2 2 2 2 AH SA AC (a 6) (a 3)2 1 = 2 2a

⇒ AH 2 = 2a 2 ⇒ AH = a 2 Ví dụ 9: (Đề thi ĐH khối D - 2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A ' B 'C ' D ' có đáy là hình vuông, tam giác A ' AC vuông cân, A 'C = a.

Tính thể tích khối tứ diện ABB 'C ' và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD ') theo a.

D'

C'

A'

B'

Hướng dẫn: a3 2 D * Tích thể tích: V = 18 * Tính khoảng cách: Gọi H là chân đường cao kẻ từ A A của ∆A ' AB . Ta có AH ⊥ A ' B ⇒ AH ⊥ (A ' BC ), nghĩa là AH ⊥ (BCD ') . Do đó

(

H C

B

)

AH = d A, (BCD ') .

1 1 1 6 a 6 = + = 2 . Do đó d A, (BCD ') = AH = 2 2 2 6 AH AB AA ' a Ví dụ 10. (Đề thi ĐH khối A - 2010).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết

(

Ta có

)

SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.

Hướng dẫn: = DCN

Ta có: ∆MAD = ∆NCD ⇒ ADM ⇒ MD ⊥ NC 12

Do SH ⊥ (ABCD ) ⇒ MD ⊥ SH MD ⊥ (SHC )

Kẻ HK ⊥ SC (K ∈ SC ) Suy ra HK là đoạn vuông góc chung của DM và SC nên d (DM , SC ) = HK Ta có: HC =

CD 2 2a = CN 5

HK =

SH ⋅ HC

=

2 3a

⋅ Vậyd (DM , SC ) =

2 3a

19 19 SH 2 + HC 2 Ví dụ 11. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và

SA = a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng

A.

6a 2

B.

2a 3

C.

a 2

D.

Hướng dẫn: Chọn B

S H

A

K

B

O D

C

Từ B kẻ Bx //AC ⇒ AC // (SB, Bx )

(

)

(

)

Suy ra d (AC , SB ) = d AC , (SB, Bx ) = d A, (SB, Bx ) Từ A kẻ AK ⊥ Bx (K ∈ Bx ) và AH ⊥ SK AK ⊥ Bx Do  ⇒ Bx ⊥ (SAK ) ⇒ Bx ⊥ AH SA ⊥ Bx 

(

)

Nên AH ⊥ (SB, Bx ) ⇒ d A, (SB, Bx ) = AH 13

a 3

Ta có ∆BKA đồng dạng với ∆ABC vì hai tam giác vuông có KBA = BAC (so le trong

AK AB AB.CB a.2a 2 5a = ⇒ AK = = = .

CB CA CA 5 a 5 SAK Trong tam giác

Suy ra

có

1 1 1 1 5 9 2a = + = 2 + 2 = 2 ⇒ AH = .

2 2 2 3 AH AS AK a 4a 4a 2a .

3 II. Phương pháp sử dụng công thức tính thể tích.

Ví dụ 12. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S .ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C , BC = a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và

Vậy d (AC , SB ) =

SA = a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC ) bằng

A.

2a 2

B.

2a

C.

a 2

D.

3a 2

Hướng dẫn: Chọn B S

//

a H //

B A a

a C

(

)

Ta có d A, (SBC ) =

3VA.SBC 3V = S .ABC .

S ∆SBC S ∆SBC

BC ⊥ AC Vì  ⇒ BC ⊥ SC nên tam giác SBC vuông tạiC . BC ⊥ SA 

(

)

Suy ra d A, (SBC )

1 1 3. SA. CA2 3VA.SBC 3VS .ABC a 2 2 = = = 3 = 1 S ∆SBC S ∆SBC 2 SC .BC 2 14

Ví dụ 13. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau, và OA = OB = a , OC = 2a . Gọi M là trung điểm của AB . Khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và AC bằng A.

2 5a 5

B.

2a 2

C.

2a 3

D.

Hướng dẫn: A

H

M C

O N B

Chọn C Gọi N là trung điểm của BC suy ra MN //AC ⇒ AC// (OMN )

(

)

(

)

⇒ d (OM ; AC ) = d C ; (OMN ) = d B; (OMN ) .

1 1 1 . a.a.2a = a 3 .

3 2 3 d M ; (ABC ) S 1 1 1 1 = . OBN = . = ⇒ VM .OBC = a 3 .

2 2 4 12 d A; (ABC ) SOBC

VA.OBC =

VM .OBC VA.OBC

( (

) )

1 2 AB = a.

2 2 2 1 1 5 Xét tam giác vuông BOC : ON = BC = 2a ) + a 2 = a. ( 2 2 2 2 1 1 2 5 Xét tam giác BAC : MN = AC = a + (2a ) = a.

2 2 2 Trong tam giác cân OMN , gọi H là trung điểm của OM ta có

Xét tam giác vuông cân AOB : OM =

3 2 1 3 a . Suy ra SOMN = OM .NH = a 2 .

4 2 8 3V 2 Vậy d (B;OMN ) = M .OBN = a .

SOMN 3 NH = NM 2 − HM 2 =

15

2a 3

Ví dụ 14. (Đề thi ĐH khối A – 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tam giác = 30 , SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông vuông tại A, ABC góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).

Hướng dẫn: Gọi H là trung điểm của BC, suy ra S SH ⊥ BC . Mà (SBC) vuông góc với (ABC) theo giao tuyến BC, nên SH ⊥ (ABC ) .

Ta có BC = a, suy ra SH =

a 3 ; 2

I

B

a AC = BC sin 30 = ; 2

A

H

a 3 . Do đó 2 1 a3 VS .ABC = SH .AB.AC = .

6 16 Tam giác ABC vuông tại A và H là trung điểm của BC nên HA = HB. Mà SH ⊥ (ABC ), nên AC = BC cos 30 =

C

S

SA = SB = a. Gọi I là trung điểm của AB, suy ra SI ⊥ AB . Do đó AB 2 a 13 . Từ đó = 4 4 3V a 39 = S .ABC = .

S ∆SAB 13

SI = SB 2 −

(

)

d C , (SAB )

A

I

30°

M

Nhận xét: Việc tính khoảng cách từ đỉnh C đến D (SAB) được tính thông qua thể tích VS .ABC được H tính ở phần trước và diện tích của tam giác SAB. Ví dụ 15. (Đề thi KSCLĐH khối A lần 2 – Vĩnh Phúc năm 2014).

C

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AD = BC =

a 13 , 4

3a , mặt phẳng (SCD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tam 2 giác ASI cân tại S, với I là trung điểm của cạnh AB, SB tạo với mặt phẳng AB = 2a, CD =

16

B

(ABCD) một góc 30 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa SI và CD. Hướng dẫn: Gọi H là hình chiếu của S trên CD, khi đó SH là đường cao của hình chóp S.ABCD. Gọi M là trung điểm của AI khi đó SM ⊥ AB mà SH ⊥ AB , từ đó suy ra MH ⊥ AB . Ta có: AE =

AB − DC a = 2 4

⇒ MH = DE = AD 2 − AE 2 =

Mặt khác: MB =

a 3 2

3a , từ đó 2

HB = MB 2 + MH 2 = a 3 .

Theo giả thiết ta có SBH = 30 , do vậy SH = BH tan 30 = a .

Diện tích hình thang ABCD là S ABCD

(AB + CD ) MH = 2

7a 2 3 = .

8

1 7a 3 3 S ABCD .SH = .

3 24 3V Do CD//AB ⇒ d (CD, SI ) = d CD, (SAB ) = d C , (SAB ) = SABC .

S ∆ABC

Do đó thể tích khối chóp S.ABCD là V =

(

Trong đó VSABC = và S ∆ABC =

)

)

1 1 1 a3 3 SH .S ∆ABC = SH . AB.MH = , 3 3 2 6

1 1 a2 7 AB.SM = AB. SH 2 + MH 2 = 2 2 2

Do vậy ⇒ d (CD, SI ) =

a 21 .

7

Nhận xét: Ta có thể tính d (CD, SI ) = d H , (SAB ) = HK , trong đó K

(

)

là hình chiếu của H trên SM. Thật vậy do AB ⊥ (SMH ) ⇒ AB ⊥ HK , suy ra HK ⊥ (SAB ) . Mà tam giác SHM vuông tại H,

do vậy

(

A

E M I

D

H

1 1 1 a 7 a 21 = + ⇒ HK = ⇒ d (CD, SI ) = .

2 2 2 21 7 HK SH MH 17

B

C

Ví dụ 16. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 2 . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, CD. Tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng (AMN).

Phân tích. Theo giả thiết, việc tính thể tích các khối chóp S.ABCD hay S.ABC hay AMNP là dễ dàng. Vậy ta có thể nghĩ đến việc quy việc tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng (AMN) về việc tính thể tích của các khối chóp nói trên, khoảng cách từ P đến (AMN) có thể thay bằng khoảng cách từ C đến (SAB).

Hướng dẫn: Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, khi đó SO ⊥ (ABCD).

M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB nên 1 1 a2 7 S AMN = S ANS = S ABS = .

2 4 16 Do PC // (AMN) ⇒ d ((P,(AMN ))) = d ((C ,(AMN ))) .

Vậy: 1 1 1 S AMN .d ((P ,(AMN ))) = . S ABS .d ((C ,(AMN ))) 3 3 4 1 1 1 1 = VC .ABS = VS .ABC = . S ABC .SO .

4 4 4 3 1 a 6 .

S ABC = a 2, SO = SA2 − AO 2 = 2 2

VP .AMN =

Vậy VAMNP

3V 6 1 1 2 a 6 a3 6 = . a. = ⇒ d ((P,(AMN ))) = PAMN = a .

S AMN 7 12 2 2 48

Nhận xét: Ta có thể tính khoảng cách từ P đến (SAB) như sau:

(

)

(

)

(

)

d P, (SAB ) = d C , (SAB ) = 2d O, (SAB ) = 2d .

Do OA, OB, OS đôi một vuông góc nên 1 1 1 1 = + + d 2 OA2 OB 2 OS 2 Ví dụ 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy hình chóp. Cho AB = a, SA

S

N

M

P

D O A

B

= a 2 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (AHK).

18

C

Phân tích. Khối chóp AOHK và ASBD có chung đỉnh, đáy cùng nằm trên một mặt phẳng nên ta có thể tính được thể tích khối chóp OAHK, hơn nữa tam giác AHK cân nên ta tính được diện tích của nó.

Hướng dẫn: Cách 1: VOAHK =

1 S .d O, (AHK ) 3 AHK

(

)

Trong đó: 1 1 1 3 a 6 = + = 2 ⇒ AH = ; 2 2 2 3 AH AB AS 2a a 6 ∆SAD = ∆SAB ⇒ AK = AH = 3 Ta có HK và BD đồng phẳng và cùng vuông góc với SC nên HK // BD. AI cắt SO tại G là trọng tâm của tam giác SAC, G thuộc HK nên HK SG 2 2 2 2a = = ⇒ HK = BD = . Tam giác AHK cân tai A, G là trung BD SO 3 3 3 2 2 1 1 2a điểm của HK nên AG ⊥ HK và AG = AI = . SC = .2a = 3 3 2 3 3 1 1 2a 2 2a 2 2a 2 S AHK = AG .HK = . . = .

2 2 3 3 9 1 1 1 VOAHK = VAOHK = d A; (OHK ) .S ∆OHK = d A; (SBD ) .S ∆OHK = h.S ∆OHK 3 3 3

(

)

(

)

S

Tứ diện ASBD vuông tại A nên: 1 1 1 1 5 a 10 = + + = 2 ⇒h = 2 2 2 2 5 h AS AB AD 2a

K J

Tam giác OHK cân tại O nên có diện tích S bằng

I

G H

D

A O

1 1 a 10 2 2a S = OG .HK = . . = 2 2 6 3

(

)

⇒ d O; (AHK ) =

3VOAHK S AHK

5a 2 1 2a 3 ⇒ VOAHK = Sh =B 9 3 27

2a 3 27 = a = 2 2 2a 2 9 3⋅

19

C

2 Cách 2: Ta chứng minh VOAHK = VSABD 9 2 1 Ta có: HK = BD;OG = SO 3 3 1 1 2 2 ⇒ SOHK = HK ⋅ OG = ⋅ BD ⋅ SO = S SBD 2 2 9 9

2 2 1 1 a3 2 ⇒ VAOHK = VSABD = ⋅ SA ⋅ AB ⋅ AD = 9 9 3 2 27 Cách 3: Giải bằng phương pháp tọa độ như sau:

Chọn hệ tọa độ O’xyz sao cho O' ≡ A, B(a ; 0 ; 0), D(0 ; a ; 0), S(0 ; 0 ; a 2 ).  2a a 2   2a a 2  a a    , K  ; 0;  , O  ; ; 0 Tính SH, SK suy ra tọa độ của H 0; ;    3 3   3 3   2 2  1   Áp dụng công thức V = AH , AK  .AO 6  Cách 4: SC ⊥ (AHK) nên chân đường vuông góc hạ từ O xuông (AHK) có thể xác định được theo phương SC. * AH ⊥ SB, AH ⊥ BC (do BC ⊥ (SAB)) ⇒ AH ⊥ SC Tương tự AK ⊥ SC. Vậy SC ⊥ (AHK) * Giả sử (AHK) cắt SC tại I, gọi J là trung điểm của AI, khi đó OJ // SC ⇒ OJ ⊥ (AHK).

SA = AC = a 2 ⇒ ∆SAC cân tại A ⇒ I là trung điểm của SC. 1 1 1 a IC = SC = .2a = .

2 4 4 2 III. Phương pháp trượt đỉnh.

Ví dụ 18. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a , BC = 2a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD , SC bằng

Vậy OJ =

A.

a 30 6

B.

4 21a 2 21a C. 21 21 Hướng dẫn:

Chọn C

20

D.

a 30 12

S

M

D A O B C

Gọi O là tâm hình chữ nhật và M là trung điểm SA , ta có: SC // (BMD ) .

(

)

(

)

(

)

(

)

Do đó d SC , BD = d SC , (BMD ) = d S , (BMD ) = d A, (BMD ) = h Ta có: AM , AB, AD đôi một vuông góc nên 1 1 1 1 4 1 1 = + + = 2+ 2+ 2 2 2 2 2 h AM AB AD a a 4a 2a 21 .

21 Ví dụ 19. (Mã 102 - BGD - 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD ) bằng

Suy ra: h =

A.

21a .

28

B.

21a .

14

C.

2a .

2

D.

Hướng dẫn: Chọn D S

A H B

D

K M

C

Gọi H là trung điểm của AB ⇒ SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ (ABCD ).

21

21a .

7

Từ H kẻ HM ⊥ BD , M là trung điểm của BI và I là tâm của hình vuông. BD ⊥ HM Ta có:  ⇒ BD ⊥ (SHM) BD ⊥ SH  Từ H kẻ HK ⊥ SM ⇒ HK ⊥ BD ( Vì BD ⊥ (SHM) ) ⇒ HK ⊥ (SBD ) ⇒ d(H;(SBD)) = HK.

Ta có: HM =

HK =

AI AC 2a 3a = = . SH = .

2 4 4 2

HM .HS HM 2 + HS 2

=    

2a 3a .

21a 4 2 = .

2 2 14    2a   3a   +  4   2 

d (C ;(SBD )) = d (A;(SBD )) = 2d (H ;(SBD )) = 2HK = 2.

Vậy: d (C ;(SBD )) =

21a = 14

21a .

7

21a .

7

Ví dụ 20. (Mã 103 - BGD - 2019) Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SAC ) bằng S

A

D

B

A.

a 2 .

2

B.

C

a 21 a 21 .

C. .

7 14 Hướng dẫn:

Chọn B

22

D.

a 21 .

28

S

S

H A I

A D

G O

O

I

B

K

C

C

* Gọi O = AC ∩ BD và G là trọng tâm tam giác ABD , I là trung điểm của AB ta có d D; (SAC ) DG SI ⊥ (ABCD ) và = = 2 ⇒ d D; (SAC ) = 2.d I ; (SAC ) .

IG d I ; (SAC )

( (

) )

(

)

(

)

* Gọi K là trung điểm của AO , H là hình chiếu của I lên SK ta có IK ⊥ AC ; IH ⊥ (SAC )

(

)

(

)

⇒ d D; (SAC ) = 2.d I ; (SAC ) = 2.IH a 3 BO a 2 ; IK = = 2 2 4 1 1 1 4 16 28 a 3 = 2+ = 2 + 2 = 2 ⇒ IH = 2 2 IH SI IK 3a 2a 3a 2 7

* Xét tam giác SIK vuông tại I ta có: SI =

a 21 .

7 Ví dụ 21. (Đề thi HSG Toán 12 Vĩnh Phúc năm 2017). Cho hình chóp

(

)

(

)

⇒ d D; (SAC ) = 2.d I ; (SAC ) = 2.IH =

S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a 2 và tam giác SAB là tam giác cân tại đỉnh S . Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy bằng 450 , góc giữa mặt phẳng (SAB ) và mặt phẳng đáy bằng 600. Tính khoảng cách từ C đến (SAD ) .

Hướng dẫn:

23

S

P A

D K

M

N

H

B

C

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt đáy, M là trung điểm AB ∆SAB cân tại S nên SM ⊥ AB và kết hợp với SH ⊥ (ABCD ) suy ra AB ⊥ (SMH ) .

Vậy MH là trung trực của AB , MH cắt CD tại N ⇒ N là trung điểm của CD. Nên theo giả thiết ta được:

= 450 ⇒ SA = SH 2 + SA,(ABCD ) = SAH

(

)

2

+ (SAB ), (ABCD ) = (SM , MH ) = SMH = 600 ⇒ SM = SH .

Trong tam 3 4SH 2 + 2a 2 ⇔ SH = a 3 giác SAM ta có: SA2 = AM 2 + SM 2 ⇔ 2SH 2 = 3 2a 30 Từ đó tính được: d (C ,(SAD )) = 2d (H ,(SAD )) = 2HP = 5 Ví dụ 22. (Đề thi ĐH khối B - 2013).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).

(

)

Hướng dẫn: Gọi H là trung điểm của AB, suy ra

S

a 3 SH ⊥ AB và SH = . Mà (SAB) 2 vuông góc với (ABCD) theo giao tuyến là AB, nên SH ⊥ (ABCD ) .

I A

D

H 24 B

K C

Do đó VS .ABCD =

1 a3 3 SH .S ABCD = .

3 6

(

)

(

)

Do AB // CD và H ∈ AB nên d A, (SCD ) = d H , (SCD ) . Gọi K là trung điểm của CD và I là hình chiếu vuông góc của H trên SK. Ta có HK ⊥ CD mà SH ⊥ CD ⇒ CD ⊥ (SHK ) ⇒ CD ⊥ HI ⇒ HI ⊥ (SCD ) .

(

)

Do đó d A, (SCD ) = HI =

SH .HK SH 2 + HK 2

=

a 21 .

7

1 Nhận xét: Có thể tính d A, (SCD ) thông qua thể tích VSACD = VS .ABCD và 2 1 diện tích tam giác S ∆SCD = SK .CD .

2 Ví dụ 23. (Đề thi ĐH khối A – 2012) Cho hình chóp S.ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là H nằm trên AB sao cho AH = 2HB. Góc giữa SC và (ABC) bằng 60 0 .

Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.

Hướng dẫn: là góc giữa SC và (ABC), suy ra Ta có SCH

(

)

= 60 . Gọi D là trung điểm của cạnh AB. Ta SCH có:

a a 3 a 7 , CD = , HC = HD 2 + CD 2 = 6 2 3 a 21 SH = HC . tan 60 = .

3 HD =

1 a3 7 VS .ABC = .SH .S ∆ABC = .

3 12 Kẻ Ax // BC. Gọi N và K lần lượt là hình chiếu của H trên Ax và SN. Ta có BC // 3 3 (SAN) và BA = HA ⇒ d (SA, BC ) = d B, (SAN ) = d H , (SAN ) .

2 2

(

)

(

)

Mặt khác Ax ⊥ (SHN ) ⇒ Ax ⊥ HK .

(

)

Do đó HK ⊥ (SAN ) ⇒ d H , (SAN ) = HK . Ta có: AH =

2a a 3 SH .HN a 42 , HN = AH sin 60 = , HK = = .

2 2 3 3 12 SH + HN 25

a 42 .

8 2 Nhận xét: Do BA = HA và có thể xác định được hình chiếu của H trên 3 mp(SAN) (Ta thường chọn chân đường cao) nên ta tính được d B, (SAN ) qua

Vậy d (SA, BC ) =

(

(

)

)

d H , (SAN ) .

Ví dụ 24. (Đề thi ĐH khối B - 2011).

Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD, góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 600. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a.

Phân tích. Do B1C // (A1BD) nên ta trượt đỉnh B1 về vị trí thuận lợi C và quy B1 việc tính d B1; (A1BD ) thành tính C1

( d (C ; (A BD ))

)

1

Hướng dẫn: * Gọi O là giao điểm của AC và BD ⇒ AO ⊥ (ABCD ) 1

A1 D1

Gọi E là trung điểm AD ⇒ OE ⊥ AD & A1E ⊥ AD

B

⇒A EO = 600 1

O H A

a 3

AO = OE . tan A EO = ; 1 1 2 SABCD = a 2 3 Vlt = AO .S ABCD 1

(

C

K

E

D

3a 3 = 2

)

* Tính d B1; (A1BD ) :

(

)

(

)

Cách 1: Do B1C // (A1BD) ⇒ d B1; (A1BD ) = d C ; (A1BD )

(

)

Hạ CH ⊥ BD ⇒ CH ⊥ (ABD ) ⇒ d C ;(ABD ) = CH = 1 1 Cách 2: 26

CBCD .

CB 2 + CD2

=

a 3 2

(

)

(

)

(

)

d B1; (A1BD ) = d C ; (A1BD ) = d A; (A1BD ) =

3VA ABD 1

S A BD 1

1 a3 1 1 a 3 a2 3 = ⋅ ⋅ = .

BD 2 a Trong đó: VA ABD = Vlt = ; S ∆A BD = AO 1 1 6 4 2 1 2 2 2 3 a 3⋅ 4 =a 3 ⇒ d B1; (A1BD ) = 2 2 a 3 2 Ví dụ 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O có cạnh

(

)

bằng a, SA = a 3 và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). a) Tính khoảng cách từ O đến (SBC). b) Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến (SAC).

( ) d (A, (SBC )) , tương tự như vậy ta có thể quy việc tính d (G, (SAC )) thông qua việc tính d (E , (SAC )) hay d (B, (SAC ))

Phân tích: Do OA ∩ (SBC ) = C , nên thay vì việc tính d O, (SBC ) ta đi tính

Hướng dẫn: a) Ta có: OA ∩ (SBC ) = C nên:

( ) = OC = 1 2 d (A, (SBC )) AC 1 ⇔ d (O, (SBC )) = d (A, (SBC )) 2

d O, (SBC )

S

Gọi H là hình chiếu của A trên SB ta có: AH ⊥ SB  ⇒ AH ⊥ (SBC )  AH ⊥ BC  Trong tam giác vuông SAB có: 1 1 1 4 a 3 = + = 2 ⇔ AH = 2 2 2 2 AH SA AB 3a

G

H

A E O

B

1 1 a 3 ⇒ d O, (SBC ) = d A, (SBC ) = AH = 2 2 4 b) Gọi E là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác SAB.

(

)

(

)

27

D

F

C

Do EG ∩ (SAB ) = S nên

( ) = GS = 2 ⇔ d G, SAC = 2 d E, SAC ( ( )) 3 ( ( )) 3 d (E , (SAC )) ES

d G, (SAC )

BO ⊥ AC Ta có:  ⇒ BO ⊥ (SAC ) ; BE ∩ (SAC ) = A BO ⊥ SA  1 1 a 2 ⇒ d E , (SAC ) = d B, (SAC ) = BO = 2 2 4 2 a 2 a 2 ⇒ d G, (SAC ) = ⋅ = 3 4 6 IV. Phương pháp sử dụng tính chất của tứ diện vuông 1. Định nghĩa. Tứ diện vuông là tứ diện có một A đỉnh mà ba góc phẳng ở đỉnh đó đều là góc vuông.

2. Tính chất. Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O (OA ⊥ OB,OB ⊥ OC ,OC ⊥ OA ) và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). O Khi đó đường cao OH được tính bằng công thức

(

)

(

)

(

)

H

C D B

1 1 1 1 = + + 2 2 2 OH OA OB OC 2 Chứng minh: Giả sử AH ∩ BC = D , OH ⊥ (ABC ) ⇒ OH ⊥ BC (1) OA ⊥ OB,OA ⊥ OC ⇒ OA ⊥ BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra BC ⊥ OD . Trong các tam giác vuông OAD và OBC ta có 1 1 1 1 1 1 = + , = + 2 2 2 2 2 OH OA OD OD OB OC 2 1 1 1 1 Vì vậy = + + 2 2 2 OH OA OB OC 2 Mục tiêu của phương pháp này là sử dụng các phép trượt để quy việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng về việc tính khoảng cách từ đỉnh của tam diện vuông đến mặt huyền của nó và vì vậy áp dụng được tính chất trên.

Ví dụ 26. Cho lăng trụ đều ABC .A ' B 'C ' có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA ' và BB ' . Tính khoảng cách giữa B ' M và CN

28

Phân tích: Để tính khoảng cách giữa B ' M và CN ta tìm một mặt phẳng chứa CN và song song với B ' M , tiếp theo ta dùng các phép trượt để quy việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng về A' C' việc tính khoảng cách trong tứ diện vuông.

Hướng dẫn: B' Gọi O, D lần lượt là trung điểm của BC và CN thì M OACD là tứ diện vuông tại O. AMB ' N là hình bình hành ⇒ NA / /B ' M . Mặt phẳng (ACN) chứa N D CN và song song với B ' M nên d (B ' M ,CN ) = d (B ' M ,(ACN )) = d (B ',(ACN )) C A = d (B,(ACN )) = 2d (O,(ACD )) = 2h.

O Áp dụng tính chất của tứ diện vuông ta được

B

a 3 1 1 1 1 64 a 3 d ( B ' M , CN ) = = + + = ⇔ h = .

Vậy 4 8 h 2 OA2 OC 2 OD 2 3a 2 Ví dụ 27. Cho hình lập phương ABCD.A ' B 'C ' D ' có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của DD ' . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và A ' D. Hướng dẫn: Gọi N là trung điểm của BB ' thì A ' NCM là hình bình hành nên A ' N / /CM .

Mặt phẳng ( A ' ND ) chứa A ' D và D' C' song song với CM nên d (CM , A ' D ) = d (CM ,(A ' ND )) = d (M ,(A ' ND )) = d (M ,(A ' DE )) với E = AB ∩ A ' N . Gọi O = AD '∩ A ' D, G = AD '∩ AM

thì G là trọng tâm của tam giác ADD ' . Do đó d (M ,(A ' DE )) GM 1 = = . d (A,(A ' DE )) GA 2

A'

B'

M O G

N

D

C

A

B

Tứ diện AA ' DE vuông tại A nên 1 1 1 1 9 2a = + + = ⇒ d ( A ,( A ' DE )) = .

3 d 2 (A,(A ' DE )) AA '2 AD 2 AE 2 4a 2 1 a Vậy d (CM , A ' D ) = d (M ,(A ' DE )) = d (A,(A ' DE )) = .

2 3 V. Sử dụng phương pháp tọa độ. * Phương pháp: Bước 1: Chon hệ toạ độ Oxyz gắn với hình đang xét.

Bước 2: Chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ - véc tơ 29

E

Bước 3: Giải bài toán bằng phương pháp toạ độ, rồi chuyển sang ngôn ngữ hình học.

Ví dụ 28. (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho tứ diện O.ABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau,OA = a và OB = OC = 2a . Gọi M là trung điểm của BC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và AB bằng A.

6a 3

B. a

C.

2 5a 5

D.

2a 2

Hướng dẫn: z A C

y

M

O B

x

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, khi đó O (0; 0; 0) , B (2a; 0; 0) ,C (0;2a; 0) , A (0; 0; a )

M là trung điểm của BC ⇒ M (a; a; 0)

Ta có OM = (a; a; 0) ;OB = (0;2a; 0) ; AB = (2a; 0; −a )

  OM , AB  .OB

    ⇒ OM , AB  = −a 2 ; a 2 ; −2a 2 ⇒ d (AB,OM ) = 

    OM , AB    

(

=

2a 3

)

=

a 6 3

a 4 + a 4 + 4a 4 Ví dụ 29. Cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a góc ˆ = 600 và đường cao SO = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và A SB. Hướng dẫn: Chọn hệ toạ độ như hình vẽ z

S

y

30

B

Ta có:  a 3  a 3   a   a     ; 0; 0; C  ; 0; 0 ; B 0; ; 0 ; D 0; − ; 0 ; S(0;0;a) O(0;0;0), A −    2    2 2    2 

  AD, SB  AB  Gọi d là khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB ta có d =    AD, SB    a 3 a  a 3 a   a    ; − ; 0 ; AB =  ; ; 0 ; SB = 0; ; −a  Trong đó: AD =   2  2  2 2  2    a 

0 −    2 0 ; AD, SB  =     a −a −a   2

a 2 19   ⇒ AD, SB  =   4

a 3 a 3 2 ; 2 0 0

 a   −  a 2 a 2 3 a 2 3   ; 2  =  ; ;    2 2 4 a     2 

a 3 3 a 2 19 2a 57 : = .

2 4 19 Ví dụ 30. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh B’B, CD và A’D’. Tính khoảng cách giữa cặp đường thẳng A’B, B’D và cặp đường thẳng PI, AC’ (I là tâm của đáy ABCD).

Hướng dẫn: z Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ là A, P A' D' tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD và tia Oz chứa AA’. Khi đó: C'

Vậy d =

A (0; 0; 0), B (1; 0; 0),C (1;1; 0), D (0;1; 0) A ' (0; 0;1), B ' (1; 0;1),C ' (1;1;1), D ' (0;1;1)

B'

M

D

A I

31

B

N

y

Suy ra

A ' B = (1; 0; −1), B ' D = (−1;1; −1)

  ⇒ A ' B, B ' D  = (1;2;1) .  

Lại có A ' B ' = (1; 0; 0) nên

  A  ' B, B ' D  .A ' B ' 1  d (A ' B, B ' D ) =  = .   6 A ' B, B ' D     1  1   1  1 1   Ta lại có: P 0; ;1, I  ; ; 0 ⇒ IP = − ; 0;1, AC ' (1;1;1), AP 0; ;1 .  2   2 2   2   2 

  IP  , AC ' .AP 14  = .

Suy ra d (PI , AC ') = 

  28 IP, AC '   Ví dụ 31. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Một mặt phẳng (α) bất kì đi qua đường chéo B’D. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ACD’) và (A’BC’) Phân tích: Với một hình lập phương ta luôn chọn được một hệ toạ độ thích hợp, khi đó tạo độ các đỉnh đã biết nên A N B việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng z (ACD’) và (A’BC’) trở nên dễ dàng. Với phần b, ta quy việc tính diện tích thiết C diện về việc tính khoảng cách từ M đến D H đường thẳng DB’. y Hướng dẫn: Chọn hệ toạ độ sao cho gốc toạ độ A' B' O ≡ D ' (0; 0; 0) A ' (0;1; 0), B ' (1;1; 0),C ' (1; 0; 0), A (0;1;1),C (1; 0;1) D'

Gọi M là điểm bất kì trong đoạn thẳng C’D’, tức M (x ; 0; 0) ; 0 ≤ x ≤ 1

a) Dễ dàng chứng minh được (ACD’) // (A’BC’)

(

)

(

)

⇒ d (ACD '), (A ' BC ') = d A ', (ACD ')

Mặt phẳng (ACD’) có phương trình: x + y − z = 0 32

x M

C'

(

)

(

)

⇒ d (ACD '), (A ' BC ') = d A ', (ACD ') =

1

3 Ví dụ 32. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.

SA ⊥ (ABCD ), SA = a . Gọi M là điểm di động trên cạnh CD. Xác định vị trí

của M để khoảng cách từ điểm S đến BM lớn nhất, nhỏ nhất.

Hướng dẫn: Chọn hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz sao cho O ≡ A (0; 0; 0), B (1; 0; 0),C (1;1; 0), D (0;1; 0),

z S

S (0; 0;1) .

A O

M là điểm di động trên CD nên M (t;1; 0) với

0 ≤ t ≤ 1 . BM = (t − 1;1; 0)

  SB  , BM  t 2 − 2t + 3 d (S , BM ) =   = 2 t − 2t + +2 BM Xét hàm số f (t ) =

D

B

y

C

x

−2 (t − 1) t 2 − 2t + 3 trên [0;1], f ' t = . () 2 2 t 2 − 2t + 2 t − 2t + 2

(

)

Ta có bảng biến thiên:

t f’(t)

0

−∞

1

+

+

2

f(t) 3 2

Từ bảng biến thiên ta có min f (t ) =   0;1

3 , đạt được khi t = 0 2

max f (t ) = 2 , đạt được khi t = 1   0;1  

Do đó d (S , MB ) lớn nhất khi M ≡ C & d (S , BM ) = 2 33

+∞

3 2

d (S , MB ) nhỏ nhất khi M ≡ D & d (S , BM ) =

Ví dụ 33. (Đề thi ĐH khối D - 2007).

Cho hình chóp S .ABCD có đáy ADCB là hình thang vuông tại A và B. BA = BC = a, AD = 2a, SA ⊥ (ABCD ), SA = a 2. Gọi H là hình chiếu

vuông góc của A lên SB. Tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD ).

Hướng dẫn: z S

y C B

a 2

a

H A

x

2a D

a

a

a

A B

a

D

C

y

+ Chọn hệ tọa độ như hình vẽ ta có

(

)

A (0; 0; 0), B (0;a; 0), C (a; a; 0), D (2a; 0; 0), S 0; 0; a 2 .

1 1 u1 = CD = (1; −1; 0), u2 = SC = 1;1; − 2 . a a

+ Ta thấy u1u2 = 0 ⇔ SC ⊥ CD hay tam giác SCD vuông tại C .

+ Mặt phẳng (SCD ) có véc tơ pháp tuyến n = u1; u2  = 2; 2;2

(

)

(

)

⇒ (SCD ) : 2x + 2y + 2z − 2a 2 = 0.

1 + Ta có u = SB = 0;1; − 2 . a

(

)

+ Mặt phẳng (α) qua A vuông góc với SB ⇒ (α) : y − 2z = 0.  2a a 2   Vì H là hình chiếu của A lên SB ⇒ H = (α) ∩ SB ⇒ H 0; ; .  3 3  34

x

+ Vậy khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SBC ) là 2.0 + 2.

(

)

d H ; (SBC ) =

2a 2a 2 + − 2a 2 3 3 2+2+4

=

a .

3

C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1. (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S .ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B , AB = a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC ) bằng 2 5a 5a 2 2a 5a B. C. D. 5 3 3 5 Bài 2. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a , BC = 2a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD , SC bằng

A.

4 21a 2 21a a 30 a 30 B. C. D. 21 21 12 6 Bài 3. (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Cho lập phương ABCD.A′ B ′C ′D ′ có cạnh bằng a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A′ C ′ bằng

A.

3a B. 2a C. 3a D. a 2 Bài 4. (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp S .ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B , AB = a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a

A.

. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC ) bằng a 6 a 2 a B. C. D. a 3 2 2 Bài 5. (Mã đề 101 - BGD - 2019) Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD ) bằng

A.

21a 21a 2a 21a .

B. .

C. D. .

14 7 2 28 Bài 6. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho hình chóp = 60o , SA = a và SA vuông góc S .ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , BAD

A.

với mặt phẳng đáy. Khoảng cách tứ B đến (SCD ) bằng?

35

21a 15a 21a 15a .

B. .

C. .

D. .

3 3 7 7 Bài 7. (Mã 102 - BGD - 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy ( minh họa như hình vẽ bên). Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD ) bằng

A.

21a 2a 21a 21a .

B. .

C. D. . .

14 2 28 7 Bài 8. (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho hình chóp S .ABCD có đáy

A.

là hình vuông cạnh

3a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a . Khoảng

cách từ A đến mặt phẳng (SBC ) bằng A.

6a 6

B.

3a 3

C.

5a 3

D.

3a 2

Bài 9. (Đề thi ĐH khối D – 2013).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt = 120 , M là trung điểm của cạnh BC và SMA = 45 . Tính theo phẳng đáy, BAD a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC).

Bài 10. (Đề thi ĐH khối D – 2011).

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = SB = 2a 3 và = 300 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt SBC phẳng (SAC) theo a.

Bài 11. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm O, = 600 . Các cạnh bên SA = SC; SB = SD = a 3 . góc BAD a) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC). b) Tính khoảng cách giữa các đường thẳng SB và AD. Bài 12. Cho tứ diên OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = 1 . Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB,OA. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và CN. Bài 13. (Đề thi ĐH khối A - 2011).

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết o

góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 . Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.

Bài 14. (Đề thi ĐH khối D - 2008).

36

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA' = a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C. Bài 15. (Đề thi ĐH khối D - 2009).

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A điểm đến mặt phẳng (IBC).

Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc = 600 , có SO vuông góc mặt phẳng (ABCD) và SO = a.

BAD a) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC). b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC).

Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với mp(ABCD), SA= a 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác SAB. Tính khoảng cách từ G đến mp(SAC).

Bài 18. Cho hình lăng trụ đứng ABC .A1B1C 1 có tất cả các cạnh đều bằng a. M là trung điểm của đoạn AA1. Chứng minh BM ⊥ B1C và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và B1C. Bài 19. (Đề thi thử ĐH-2012-THPT chuyên Hạ Long) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB đều và nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB bằng a.

Bài 20. (Đề thi thử ĐH - 2012 -THPT Nguyễn Đức Cảnh -Thái Bình) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB=BC=a, AD=2a, các mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt đáy. Biết góc tạo bởi (SAB) và (ABCD) bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD theo a.

Bài 21. (Đề thi thử ĐH-2013-THPT Ngô Gia Tự - Bắc Ninh) Cho hình chóp S.ABCD có SA = a và SA vuông góc với mặt đáy. Biết ABCD là thang vuông tại A và B, AB=a, BC=2a và SC vuông góc với BD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM theo a với M là trung điểm của BC. Bài 22. (Đề thi thử ĐH khối D 2014 -Vĩnh phúc) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = a, BC = a, AD = 2a. Đường thẳng SA vuông góc mặt phẳng (ABCD), góc giữa mp(SCD) và mp(ABCD) bằng 60 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (SCD).

37